ads:
ESTUDO COMPARATIVO DE ESQUEMAS PARA O CÁLCULO DE
TRAJETÓRIAS NO MÉTODO SEMI-LAGRANGEANO
Luiz Claudio Monteiro da Fonseca
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM
ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
Prof. José Luís Drummond Alves, D.Sc.
Prof. Edilson Marton, D.Sc.
Prof. Luiz Claudio Gomes Pimentel, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
JULHO DE 2005
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
ii
FONSECA, LUIZ CLAUDIO MONTEIRO
DA
Estudo Comparativo de Esquemas para o
Cálculo de Trajetórias no Método Semi-
Lagrangeano [Rio de Janeiro] 2005
XXIII, 124 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ,
M.Sc., Engenharia Civil, 2005)
Dissertação - Universidade Federal do
Rio de Janeiro, COPPE
1. Método Semi-lagrangeano.
2. Esquemas de Diferenças Finitas.
3. Esquemas de três níveis de tempo.
4. Cálculo de trajetória da partícula.
I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )
ads:
iii
Para Marcella e Luiz Claudio.
O verdadeiro Tesouro da minha Vida.
iv
AGRADECIMENTOS
Este trabalho representa o término de um importante e difícil período da minha
vida, o qual sem a ajuda das pessoas aqui mencionadas, não seria possível concluir.
Agradeço inicialmente a minha família, em especial a minha esposa Marcella, por
ter me apoiado em todos os momentos desta singradura. Sei que foram momentos
muitas vezes difíceis em que a minha ausência por estar estudando foi muito sentida,
mas sempre compreendida. Sem o seu apoio, compreensão e paciência, nunca teria
concluído este trabalho. Nestes momentos, nos quais até eu mesmo tinha dúvidas do
meu sucesso, você foi meu porto seguro, minhas águas calmas e ventos suaves. Por tudo
isso a você eu dedico este trabalho. Ao meu filho Luiz Claudio, peço desculpas por
muitas vezes não ter participado de atividades com você, em detrimento da necessidade
de estudar. Você também faz parte deste sucesso.
Aos meus pais, responsáveis pela minha formação moral e participantes em todos
os momentos da minha formação educacional, agradeço por terem me ensinado os
valores importantes da vida, e que o sucesso sem esforço de nada vale. Sei que, sem
nunca me perguntarem diretamente, vocês ansiavam pela conclusão deste trabalho.
Agradeço ao Sr CF(RM1) Ricardo Carvalho de Almeida pela proposta do tema e
confiança em mim depositada na solução deste importante problema. Obrigado pelos
seus ensinamentos e orientações. Espero, sinceramente, não o ter decepcionado.
Ao meu orientador, Prof. José Luís Drummond Alves agradeço pelo apoio
constante, mostrando-se sempre acessível e disposto a atender qualquer solicitação
minha.
Aos CF Alberto Pedrassani Costa Neves e CC Rodrigo de Souza Obino, meus
chefes direto no Centro de Hidrografia da Marinha, obrigado por compreenderem a
v
importância da conclusão deste estudo para mim, oferecendo-me, sempre que possível,
tempo para que eu pudesse realizá-lo.
E finalmente, agradeço a Marinha do Brasil por ter me dado a oportunidade de
realizar este Mestrado.
vi
Resumo da Dissertação apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M. Sc.)
ESTUDO COMPARATIVO DE ESQUEMAS PARA O CÁLCULO DE
TRAJETÓRIAS NO MÉTODO SEMI-LAGRANGEANO
Luiz Claudio Monteiro da Fonseca
Julho/2005
Orientador: José Luis Drummond Alves
Programa: Engenharia Civil.
Neste trabalho, um estudo comparativo dos métodos de determinação da posição
de partida das partículas no tratamento semi-lagrangeano de um problema de advecção
não linear é apresentado.
A partir de um campo inicial definido em termos de uma função de corrente, a
equação de conservação da vorticidade é integrada nos referenciais euleriano e
lagrangeano. São obtidas quatro diferentes soluções: A euleriana, considerada solução
padrão; semi-lagrangeana, com esquemas de três e dois níveis de tempo; e a solução
semi-lagrangeana, com um esquema de três níveis de tempo modificado. São
apresentados vários exemplos com campos de diferentes curvaturas e soluções com
diferentes números de Courant, demonstrando a alta estabilidade do esquema
modificado, bem como sua maior acurácia e menor atenuação, principalmente em
campos de maior curvatura e com maiores números de Courant.
O esquema de três níveis de tempo modificado se mostra perfeitamente aplicável,
apesar do pequeno incremento no custo computacional, na solução de problemas
meteorológicos, principalmente os que apresentam escoamentos com curvatura
acentuada.
vii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M. Sc.)
COMPARATIVE STUDY OF SCHEMES FOR THE CALCULATION OF
PARTICLE TRAJECTORIES IN SEMI-LAGRANGIAN METHODS
Luiz Claudio Monteiro da Fonseca
July/2005
Advisor: José Luis Drummond Alves
Department: Civil Engineering.
In this work, a comparative study of different schemes for the calculation of
particles trajectory in semi-lagrangian method, applied to the solution of a non-linear
advection problem, is presented
Starting from a streamfunction field, the vorticity equation is integrated both in the
eulerian and the lagrangian frames of reference. Four different solutions are obtained:
the eulerian, which is assumed to be the reference solution; the semi-lagrangian
schemes of two and three time-levels, and the modified three-time level semi-lagrangian
scheme. Several examples with different curvatures and Courant numbers demonstrate
not just the high capacity of stability, but also the good accuracy and low attenuation
properties of the modified method, especially in the strongly curved field with high
Courant number.
Despite of the small increase of the computational cost, it is shown that the
modified scheme is suitable for application in semi-lagrangian methods, especially to
solve meteorological problems with the presence of flows with significant curvature.
viii
ÍNDICE
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO....................................................................................01
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS.................................................................................01
1.2 RECURSOS COMPUTACIONAIS.........................................................................03
1.3 BIBLIOGRAFIAS.....................................................................................................03
CAPÍTULO 2: O PROBLEMA.....................................................................................05
2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS.................................................................................05
2.2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA................................................................................07
2.3 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO...............................................................................08
2.4 CASOS DE ESTUDO...............................................................................................09
2.5 CONDIÇÕES DE CONTORNO...............................................................................10
2.6 FILTRO ASSELIN....................................................................................................10
2.7 INTERPOLAÇÃO.....................................................................................................11
2.8 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO ELÍPTICA..................................................................13
CAPÍTULO 3: SOLUÇÃO EULERIANA....................................................................17
3.1 O JACOBIANO DE ARAKAWA............................................................................17
3.2 ALGORITMO EULERIANO...................................................................................20
3.3 CONDIÇÃO DE COURANT-FRIEDRICHS-LEWY (CFL)...................................21
3.4 SOLUÇÃO PADRÃO...............................................................................................22
ix
CAPÍTULO 4: SOLUÇÃO SEMI-LAGRANGEANA.................................................23
4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS.................................................................................23
4.2 ESQUEMA LAGRANGEANO................................................................................24
4.3 O MÉTODO SEMI-LAGRANGEANO....................................................................26
4.4 FONTES DE ERRO..................................................................................................27
4.5 VANTAGENS E DESVANTAGENS DO SEMI-LAGRANGEANO.....................28
4.6 SEMI-LAGRANGEANO DE 3 NÍVEIS DE TEMPO (SL3T).................................30
4.7 SEMI-LAGRANGEANO 2 NIVEIS DE TEMPO (SL2TMB).................................33
4.8 SEMI-LAGRANGEANO DE 3 NÍVEIS DE TEMPO MODIFICADO (SL3TM)..37
CAPÍTULO 5: RESULTADOS ALCANÇADOS........................................................42
5.1 OS CASOS................................................................................................................42
5.2 OS EXPERIMENTOS...............................................................................................48
CAPÍTULO 6: DISCUSSÃO DOS RESULTADOS.....................................................83
6.1 GRANDEZAS CONSERVATIVAS.........................................................................83
6.2 ACURÁCIA..............................................................................................................85
6.3 GRAU DE ATENUAÇÃO........................................................................................91
6.4 CUSTO COMPUTACIONAL..................................................................................95
CAPÍTULO 7: CONCLUSÃO......................................................................................97
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................99
x
APÊNDICES................................................................................................................103
APÊNDICE A - Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média, energia cinética
média e vorticidade média) e da velocidade máxima.................................103
APÊNDICE B - Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma, Razão da Soma
dos Quadrados, Erro Médio Quadrático e Razão dos Desvios Padrões........................115
xi
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2.1 Exemplo de campo inicial de função de corrente (CASO 1)...................08
Figura 2.2 Representação das diferentes regiões de interpolação do domínio..........11
Figura 2.3 Esquema de interpolação cúbica em x e cúbica em y..............................12
Figura 2.4 Esquema de varredura do domínio...........................................................15
Figura 4.1 Comparação da distribuição dos pontos de grade dos esquemas
lagrangeano e euleriano nos tempos t e
tt
+
∆
. A área hachurada representa os pontos
da grade e os “x” representam os pontos observados......................................................25
Figura 4.2 Representação da distribuição de partículas no esquema semi-
lagrangeano......................................................................................................................26
Figura 4.3 Esquema da trajetória “backward” do SL3T............................................30
Figura 4.4 Esquema da trajetória “backward” do SL2TMB.....................................34
Figura 4.5 Esquema da quebra da trajetória da partícula do esquema
SL3TM.............................................................................................................................37
xii
Figura 5.1 Representação da função de corrente inicial para o CASO 1. Gráfico de
superfície.........................................................................................................................43
Figura 5.2 Representação do campo inicial de função de corrente para o CASO 1.
Gráfico de curvas de nível...............................................................................................44
Figura 5.3 Função de corrente inicial para o CASO 2. Gráfico de superfície...........45
Figura 5.4 Campo inicial de função de corrente para o CASO 2. Curvas de nível...46
Figura 5.5 Campo inicial de função de corrente para o CASO 3..............................47
Figura 5.6 Campo inicial de função de corrente do CASO 3. Curvas de nível.........47
Figura 5.7 Solução euleriana para o CASO 1, com NCFL=0.8................................52
Figura 5.8 Solução SL3T para o CASO 1, com NCFL=0.8......................................53
Figura 5.9 Solução SL2TMB para o CASO 1, com NCFL=0.8...............................53
Figura 5.10 Solução SL3TM para o CASO 1, com NCFL=0.8..................................54
Figura 5.11 Diferença entre as soluções SL3T e euleriana nos experimentos EXP12 e
EXP14 ............................................................................................................................55
xiii
Figura 5.12 Diferença entre as soluções SL3T e euleriana nos experimentos
EXP16..............................................................................................................................56
Figura 5.13 Diferença entre as soluções SL2TMB e euleriana nos experimentos
EXP12 e EXP14 .............................................................................................................57
Figura 5.14 Diferença entre as soluções SL2TMB e euleriana nos experimentos
EXP16..............................................................................................................................58
Figura 5.15 Diferença entre as soluções SL3TM e euleriana nos experimentos EXP12
e EXP14 ..........................................................................................................................59
Figura 5.16 Diferença entre as soluções SL3TM e euleriana nos experimentos
EXP16..............................................................................................................................60
Figura 5.17 Crescimento do RMS com o aumento do NCFL para 5 dias e 30 dias de
integração.........................................................................................................................61
Figura 5.18 Comparação entre os tempos de processamento dos métodos euleriano
(somente para NCFL=0.8), SL3T, SL2TMB e SL3TM no CASO 1..............................61
Figura 5.19 Diferença entre a função de corrente inicial e final para o esquema
euleriano, para o CASO2, com NCFL=0.8 (EXP21) .....................................................62
xiv
Figura 5.20 Diferença entre a função de corrente inicial e final para os esquemas
SL3T e SL2TMB, para o CASO2, com NCFL=0.8 (EXP21) ........................................63
Figura 5.21 Diferença entre a função de corrente inicial e final para o esquema
SL3TM, para o CASO2, com NCFL=0.8 (EXP21) .......................................................64
Figura 5.22 Evolução da vorticidade média e energia cinética média ao longo da
integração (com NCFL=0.8) para os 4 esquemas (EXP21)............................................65
Figura 5.23 Evolução da enstrofia média e velocidade máxima ao longo da integração
(com NCFL=0.8) para os 4 esquemas (EXP21)..............................................................66
Figura 5.24 Diferença entre as soluções SL3T e euleriana nos experimentos EXP24 e
EXP25..............................................................................................................................67
Figura 5.25 Diferença entre as soluções SL3T e euleriana no experimento EXP26...68
Figura 5.26 Diferença entre as soluções SL2TMB e euleriana no experimento
EXP24..............................................................................................................................68
Figura 5.27 Diferença entre as soluções SL2TMB e euleriana nos experimentos
EXP25 e EXP26 .............................................................................................................69
Figura 5.28 Diferença entre as soluções SL3TM e euleriana no experimento
EXP24..............................................................................................................................70
xv
Figura 5.29 Diferença entre as soluções SL3TM e euleriana nos experimentos EXP25
e EXP26 ..........................................................................................................................71
Figura 5.30 Evolução da enstrofia
ξ
e da energia cinética Ec médias ao longo da
integração, com NCFL= 4 ..............................................................................................72
Figura 5.31 Evolução da enstrofia
ξ
e da energia cinética
E
c médias ao longo da
integração, com NCFL= 6 ..............................................................................................73
Figura 5.32 Evolução da enstrofia
ξ
e da energia cinética Ec médias ao longo da
integração, com NCFL= 8 ..............................................................................................73
Figura 5.33 Evolução do
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
e do erro RMS com o aumento do NCFL para 30
dias de integração............................................................................................................74
Figura 5.34 Comparação entre os tempos de processamento dos métodos euleriano
(somente para NCFL=0.8), SL3T, SL2TMB e SL3TM no CASO 2..............................75
Figura 5.35 Solução euleriana, SL3T, SL2TMB e SL3TM para o CASO3 com o
menor passo de tempo (NCFL=0.8)................................................................................76
Figura 5.36 Diferença entre as soluções SL3T e euleriana no experimento EXP31...77
xvi
Figura 5.37 Diferença entre os campos finais de função de corrente das soluções
SL2TM e SL3TM, e euleriana no experimento EXP31 (NCFL=0.8).............................78
Figura 5.38 Diferença entre as soluções SL3T e euleriana no experimento EXP34...79
Figura 5.39 Diferença entre os campos finais de função de corrente entre as soluções
SL2TM e euleriana no experimento EXP36 (NCFL=8).................................................80
Figura 5.40 Diferença entre os campos finais de função de corrente entre as soluções
SL3TM e euleriana nos experimentos EXP34 (NCFL=8) e EXP36 (NCFL=8).............81
Figura 5.41 Variação Percentual da enstrofia, energia cinética e vorticidade médias e
da velocidade máxima, com o aumento do NCFL de 0.8 a 10, para 30 dias de
Integração........................................................................................................................82
Figura 5.42 Comparação entre os tempos de processamento dos Métodos euleriano
(somente para NCFL=0.8), SL3T, SL2TMB e SL3TM no CASO 3..............................82
Figura 6.1 Variações Percentuais da enstrofia, energia cinética e vorticidade médias
e da velocidade máxima, com o aumento do NCFL de 0.8 a 10, para 5, 10, 20 e 30 dias
de Integração, para os CASOS 1 (acima) e 2 (abaixo)....................................................84
Figura 6.2 Variações Percentuais da enstrofia, energia cinética e vorticidade médias
e da velocidade máxima, com o aumento do NCFL de 0.8 a 10, para 5, 10, 20 e 30 dias
de Integração, para o CASO 3.........................................................................................85
xvii
Figura 6.3 Evoluções dos erros RMS das soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com
o aumento do NCFL para o CASO 1...............................................................................86
Figura 6.4 Evoluções dos erros RMS das soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com
o aumento do NCFL para o CASO 2...............................................................................87
Figura 6.5 Evoluções dos erros RMS das soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com
o aumento do NCFL para o CASO 3...............................................................................88
Figura 6.6 Razões
EUL
σ
σ
das soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com o aumento
do NCFL, para 5, 10, 20 e 30 dias de integração, referente ao CASO 1 .......................89
Figura 6.7 Razões
EUL
σ
σ
das soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com o aumento
do NCFL, para 5, 10, 20 e 30 dias de integração, para os CASOS 2 e 3........................90
Figura 6.8 Distribuição por casos dos resultados das 84 comparações entre os
esquemas semi-lagrangeanos de
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
e de
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
.............................................91
Figura 6.9 Distribuição por Horas de Integração (esquerda) e NCFL (direita) dos
resultados das 28 comparações entre os esquemas semi-lagrangeanos de
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
, no
CASO 3............................................................................................................................92
xviii
Figura 6.10 Razões
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
(contínua) e de
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
(tracejado) referente às
soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com o aumento do NCFL, para 5, 10, 20 e 30 dias
de integração, do CASO 1...............................................................................................93
Figura 6.11 Razões
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
(contínua) e de
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
(tracejado) referente às
soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com o aumento do NCFL, para 5, 10, 20 e 30 dias
de integração, dos CASOS 2 e 3 .....................................................................................94
xix
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 5.1 Experimentos do CASO 1........................................................................51
Tabela 5.2 Experimentos do CASO 2........................................................................51
Tabela 5.3 Experimentos do CASO 3........................................................................51
Tabela A.1 Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média, energia cinética
média e vorticidade média) e da velocidade máxima, da solução euleriana do CASO
1.....................................................................................................................................103
Tabela A.2 Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL3T do CASO 1..........................................................................................................104
Tabela A.3 Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c
e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL2TMB do CASO 1....................................................................................................105
Tabela A.4 Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL3TM do CASO 1.......................................................................................................106
xx
Tabela A.5 Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média, energia cinética
média e vorticidade média) e da velocidade máxima, da solução euleriana do CASO
2.....................................................................................................................................107
Tabela A.6 Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL3T do CASO 2..........................................................................................................108
Tabela A.7 Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL2TMB do CASO 2....................................................................................................109
Tabela A.8 Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL3TM do CASO 2.......................................................................................................110
Tabela A.9 Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média, energia cinética
média e vorticidade média) e da velocidade máxima, da solução euleriana do CASO
3.....................................................................................................................................111
Tabela A.10 Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL3T do CASO 3..........................................................................................................112
xxi
Tabela A.11 Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL2TMB do CASO 3....................................................................................................113
Tabela A.12 Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL3TM do CASO 3.......................................................................................................114
Tabela B.1 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão da
Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
R
MS
e Razão dos Desvios
Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL3T do CASO 1...............................................................115
Tabela B.2 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão da
Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos Desvios
Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL2TMB do CASO 1.........................................................117
Tabela B.3 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão da
Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos Desvios
Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL3TM do CASO 1...........................................................118
xxii
Tabela B.4 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão da
Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
R
MS e Razão dos Desvios
Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL3T do CASO 2...............................................................119
Tabela B.5 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão da
Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos Desvios
Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL2TMB do CASO 2.........................................................120
Tabela B.6 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão da
Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos Desvios
Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL3TM do CASO 2...........................................................121
Tabela B.7 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão da
Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
R
MS e Razão dos Desvios
Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL3T do CASO 3...............................................................122
Tabela B.8 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão da
Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos Desvios
Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL2TMB do CASO 3.........................................................123
xxiii
Tabela B.9 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão da
Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos Desvios
Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL3TM do CASO 3...........................................................124
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A Meteorologia Dinâmica nos dá a base teórica necessária aos atuais métodos de
previsão do tempo, que têm como objetivo prever o estado futuro da circulação
atmosférica, a partir da situação presente do tempo, utilizando aproximações numéricas
das equações da dinâmica dos fluidos. Para alcançar este objetivo, fazem-se necessárias
as observações do estado inicial das variáveis de campo (temperatura do ar, pressão,
velocidade do vento, etc.), um conjunto de equações relacionando estas variáveis, e um
método de integração dessas equações no tempo, para obter-se a distribuição futura
dessas variáveis de campo (HOLTON, 1992).
Neste último item encontra-se a Previsão Numérica de Tempo, que consiste numa
seqüência de operações computacionais intensivas, começando com a coleta dos dados
por todo mundo, culminando na elaboração das cartas de tempo e mensagens/alertas
geradas automaticamente pelo computador. A principal parte deste sistema são os
modelos numéricos utilizados para, a partir de condições iniciais, preverem o estado
futuro das variáveis atmosféricas. No coração dos modelos numéricos encontram-se os
métodos de discretização e integração no tempo.
A necessidade cada vez maior de modelos numéricos de maior resolução aliada à
falta de recursos computacionais, motivou o desenvolvimento de esquemas de
integração no tempo mais eficientes (KUO, WILLIAMS, 1990). Por muito tempo, um
problema existente na integração de modelos numéricos de previsão de tempo foi o de
2
que o maior passo de tempo permitido era definido em função de considerações de
estabilidade ao invés de acurácia, sendo necessária a utilização de passos de tempo
muito pequenos aumentando-se assim o custo computacional, para que as integrações
permanecessem estáveis (STANIFORTH, COTÉ, 1991).
A partir de trabalhos pioneiros de FJΦRTOFT (1952, 1955), WIIN-NIELSEN
(1959), KRISHNAMURTI (1962), SAWYER (1963), LEITH (1965), ROBERT, et al.
(1972) e PURNELL (1976), ROBERT (1981) propôs a combinação do esquema de
integração semi-implícito com o tratamento semi-lagrangeano dos termos advectivos
das equações do modelo barotrópico, provando que o passo de tempo poderia ser
aumentado em até seis vezes em relação aos utilizados nos demais esquemas da época.
A partir deste trabalho, a utilização do método semi-lagrangeano para solução de
escoamentos eminentemente advectivos foi amplamente estudada e aplicada em
diferentes tipos de modelos numéricos (STANIFORTH, COTÉ, 1991), tendo sido
estabelecidas novas técnicas de determinação da posição de partida da partícula
(MCDONALD, BATES, 1987), utilizando-se diferentes métodos de interpolação da
grandeza advectada na posição de partida (RIDDAWAY, 2001). COSTA (2003)
introduziu uma nova técnica para determinação da posição de partida da trajetória das
partículas, num problema de advecção linear da colina de Gauss, e mostrou que o
esquema proposto, o semi-lagrangeano de três níveis de tempo modificado (SL3TM),
apesar de ter um custo computacional um pouco maior, tem melhor acurácia, atenua
menos e apresenta menor dispersão numérica na simulação numérica de fenômenos de
acentuada curvatura, com maiores passos de tempo, e em longos períodos de integração.
O presente estudo implementa o esquema SL3TM em um problema de advecção
não linear e, comparando seus resultados com dois esquemas semi-lagrangeanos de dois
e três níveis de tempo, demonstra a vantagem de utilização deste novo esquema na
3
determinação da posição de partida da partícula, principalmente em escoamentos com
alto número de Courant e grandes curvaturas.
No capítulo 2 será apresentado o problema e serão discutidos os procedimentos
matemáticos comuns aos métodos deste estudo. O capítulo 3 tratará da solução
euleriana para o problema proposto; as soluções semi-lagrangeanas serão vistas no
capítulo 4. No capítulo 5 os resultados serão apresentados e discutidos no capítulo 6.
Finalmente a conclusão será apresentada no capítulo 7.
1.2 – RECURSOS COMPUTACIONAIS
Todo o trabalho foi desenvolvido em um microcomputador Athlon XP 2.2, com
256Mb RAM, utilizando o sistema operacional Windows
®
2000. Os códigos dos
modelos foram escritos em FORTRAN
®
e compilados com o programa Compaq
®
Visual Fortran Professional Edition 6.1.0. Todos os gráficos apresentados foram
construídos com MATLAB
®
6.5 Release 13. Os recursos utilizados na construção dos
códigos em FORTRAN
®
e em MATLAB
®
podem ser consultados em CHAPMAN
(1998) e CHAPMAN (2003), respectivamente.
1.3 – BIBLIOGRAFIAS
As principais referências bibliográficas necessárias para a confecção deste
trabalho, podem ser obtidas junto às bibliotecas da UFRJ. Foram consultados livros e ou
periódicos das bibliotecas do Centro de Tecnologia (CT), Centro de Ciências da
4
Matemática e da Natureza (CCMN), Instituto de Química (IQ), Instituto de Física (IF) e
Instituto de Matemática (IM), bem como o Posto de Serviço de Informação do
Laboratório de Métodos Computacionais em Engenharia (LAMCE). Outra fonte
preciosa de informação utilizada para muitas consultas e buscas é o Portal Brasileiro de
Informação Científica, localizado no sítio http://www.periodicos.capes.gov.br/,
disponibilizado para todos os alunos da UFRJ para consulta.
5
CAPÍTULO 2
O PROBLEMA
Neste capítulo será apresentada a equação de conservação da vorticidade que
governa o problema a ser solucionado, bem como os diferentes métodos de integração
utilizados. No item 2.4 serão apresentados de forma sucinta diferentes casos que foram
estudados. Nos itens 2.5, 2.6, 2.7 e 2.8 serão abordadas questões comuns a todos os
métodos, a saber: condições de contorno, aplicação do filtro Asselin (somente nos
esquemas de três níveis de tempo), interpolação (somente nos esquemas semi-
lagrangeanos) e o método de sobre relaxação seqüencial aplicado na solução da equação
elíptica em questão.
2.1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Considere um escoamento horizontal e não divergente, governado pela equação da
conservação da vorticidade,
0
D
Dt
ζ
=
(2.1)
onde
D
Dt
é a Derivada Material ou Derivada de Acompanhamento do Movimento de
um Fluido, definida em BATCHELOR (1967) como sendo,
D
U
Dt t
∂
=
+⋅∇
∂
G
(2.2)
no referencial euleriano, onde
U
G
é o vetor velocidade e
∇
é o vetor gradiente definidos
pelas expressões:
6
()
,,
dx dy
Uuv
dt dt
==
G
G
G
G
G
(2.3)
e
ij
x
y
∂∂
∇= +
∂∂
G
G
(2.4)
Assim, no referencial euleriano, que é um ponto fixo no espaço (inercial), onde
uma determinada grandeza do escoamento é função do vetor posição
X
G
e do tempo t
(BATCHELOR, 1967), a equação de conservação da vorticidade (2.1) pode ser reescrita
na forma,
0U
t
ζ
ζ
∂
+
⋅∇ =
∂
G
(2.5)
que também é conhecida como equação de advecção de vorticidade sem fontes nem
sumidouros.
No referencial lagrangeano, que é definido como sendo um ponto acompanhando
o movimento de uma parcela individual de fluido (não-inercial), onde uma determinada
grandeza do escoamento é função do tempo
t e do elemento de fluido escolhido
(BATCHELOR, 1967), a equação de conservação (2.5) é representada e trabalhada na
forma de derivada total (2.1) (DURRAN, 1998), evitando-se assim a explicitação do
termo não-linear.
Deste modo pode-se afirmar que (2.5) e (2.1) descrevem o mesmo escoamento sob
diferentes referenciais, euleriano e lagrangeano respectivamente.
7
2.2 – DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
Usando como referência ARAKAWA e LAMB (1977), o problema consiste na
simulação numérica de um escoamento horizontal, não divergente, governado pela
equação de conservação da vorticidade, que a partir de um campo inicial definido em
termos de função de corrente
ψ
, onde
;u
y
v
x
ψ
ψ
∂
=−
∂
∂
=
∂
(2.6)
e
2
ζ
ψ
=∇ (2.7)
e sendo
2
∇ o operador laplaciano, integra-se as equações (2.5) ou (2.1), conforme o
caso, ao longo de trinta (30) dias.
A partir de um domínio definido por
NX e NY pontos de grade ao longo dos eixos
x e y respectivamente, define-se um campo de função de corrente inicial, pela equação
()
(
)
(
)
,
sin cos 0.1 cos
2
ij
jj
i
nx ny ny
ππ
π
ψ
⋅⋅
⋅
=Ψ⋅ ⋅ + ⋅
⋅
(2.8)
onde
()
amplitude constante
1
1,
2
0: e :
NY
nx NX ny
i nx j ny ny
Ψ→
−
=− =
==−
que, por sua vez, aplicado às equações (2.6) e (2.7), definirá os campos de vorticidade e
velocidade iniciais, iniciando-se então a integração.
8
Fig. 2.1- Exemplo de campo inicial de função de corrente (CASO 1)
2.3 – MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Utilizam-se quatro diferentes métodos de integração: euleriano (ARAKAWA,
LAMB, 1977), semi-lagrangeano de dois níveis de tempo (MCDONALD, BATES,
1987), semi-lagrangeano de três níveis de tempo (ROBERT, 1982) e o método semi-
lagrangeano de três níveis de tempo modificado (COSTA, 2003).
As particularidades e diferenças de cada um destes métodos serão abordadas nos
capítulos 3 e 4.
9
2.4 – CASOS DE ESTUDO
Foram definidos três casos de estudo, que diferem entre si basicamente pelo
tamanho do domínio. Cada domínio foi definido como sendo uma grade regular com
espaçamento de grade
5000xy∆=∆= , com NX pontos de grade ao longo do eixo
x
e
NY pontos de grade ao longo do eixo y .
CASO 1:
641
129;
129; e
5.0 10
NX
NY
ms
−
=
=
Ψ= ⋅
CASO 2:
641
129;
65; e
2.0 10
NX
NY
ms
−
=
=
Ψ= ⋅
CASO 3:
641
129;
49; e
1.5 10
NX
NY
ms
−
=
=
Ψ= ⋅
O objetivo de se modificar as dimensões do domínio foi o de determinar o
desempenho dos métodos semi-lagrangeanos à medida que se aumentava a curvatura do
escoamento do campo inicial.
Para cada um dos casos foram realizados sete experimentos nos quais o número de
Courant (NCFL) assumiu os valores aproximados de 0.8, 1, 2, 4, 6, 8 e 10.
A integração utilizando o método euleriano com NCFL=0.8 foi considerada como
a padrão de cada caso e utilizada para avaliação dos três métodos semi-lagrangeanos.
10
2.5 – CONDIÇÕES DE CONTORNO
Foram utilizadas as seguintes condições de contorno para todos os experimentos:
0; e
constante
ζ
ψ
=
=
(2.9)
No caso dos métodos semi-lagrangeanos, onde se faz necessário o cálculo do vetor
velocidade
()
,Uuv
G
utilizou-se, ainda, da condição de contorno, impondo que os fluxos
para dentro e para fora do domínio fossem zero, ou seja, nas fronteiras:
Norte e Sul Leste e Oeste
0 0
0 0
u
u
y
v
v
x
∂
==
∂
∂
==
∂
(2.10)
Essas equações visavam garantir que o campo conservasse a energia cinética
média e vorticidade média ao longo da integração.
2.6 – FILTRO ASSELIN
Com o objetivo de controlar os efeitos dos modos computacionais presentes nos
esquemas de três níveis de tempo, utilizou-se do filtro de freqüência definido em
ASSELIN (1972) descrito pela expressão
(
)
2
tt tt ttt
ζζγζ ζζ
+∆ −∆
=+⋅ − + (2.11)
11
onde
γ
é o parâmetro do filtro e os termos com uma barra
(
)
ζ
representam os valores
já filtrados. No presente trabalho foi utilizado
0.1
γ
=
, definido empiricamente
procurando-se sempre utilizar o menor parâmetro que atenda às necessidades do
problema.
2.7 – INTERPOLAÇÃO
Na aplicação do método semi-lagrangeano, faz-se necessário o uso de interpolação
para o cálculo do valor de uma grandeza (velocidade, vorticidade, etc.) na posição de
partida. As interpolações utilizadas nestes casos obedecem aos seguintes critérios:
Considere o desenho abaixo uma representação do domínio.
4 2 4
3
1
3
4 2 4
Fig. 2.2 – Representação das diferentes regiões de interpolação do domínio.
Região 1: Interpolação cúbica em x e cúbica em y
Região 2: Interpolação cúbica em x e linear em y
Região 3: Interpolação linear em x e cúbica em y
Região 4: Interpolação linear em x e linear em y
12
onde as interpolações cúbicas são efetuadas utilizando-se dos quatro pontos mais
próximos da posição de partida, dois antes e dois depois ao longo de cada eixo e
interpolando segundo a fórmula de Lagrange (SPIEGEL, 1992),
()
()()()
()()()
()
(
)
(
)
(
)
()()()
()
()()()
()()()
()
()()()
()()()
()
234 134
12
121314 21232 4
124 123
34
313234 414243
..
..
nnn nnn
n
nn n nn n
xxxxxx xxxxxx
fx fx fx
xx xxxx xxxxx x
xxxxxx xxxxxx
f
xfx
xxxxxx xxxxxx
−−− −−−
=++
−−− −−−
−−− −−−
++
−−− −− −
(2.12)
primeiro na direção do eixo
x
depois na direção do eixo y , conforme o esquema
abaixo, em que
()
,
nn
x
y
é a posição de partida da partícula.
1
x
2
x
n
x
3
x
4
x
4
y
1, 1ij
ζ
−+
,1ij
ζ
+
1, 1ij
ζ
+
+
2, 1ij
ζ
+
+
D
ζ
C
ζ
3
y
1, 1ij
ζ
−+
,1ij
ζ
+
1, 1ij
ζ
+
+
2, 1ij
ζ
+
+
,
nn
x
y
ζ
n
y
2
y
1,ij
ζ
−
,ij
ζ
1,ij
ζ
+
2,ij
ζ
+
B
ζ
1
y
1, 1ij
ζ
−−
,1ij
ζ
−
1, 1ij
ζ
+
−
2, 1ij
ζ
+
−
A
ζ
Fig. 2.3 – Esquema de interpolação cúbica em x e cúbica em y.
13
As interpolações lineares seguem a equação
() ()
(
)
(
)
()
21
22
21
nn
fx fx
f
xfx xx
xx
−
=− −
−
(2.13)
2.8 – SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO ELÍPTICA
Durante a solução da equação (2.1), em todos os casos (tanto euleriano com semi-
lagrangeano), o valor da função de corrente
(
)
ψ
é obtido a partir da vorticidade
()
ζ
resolvendo-se a equação (2.7) que é elíptica, também conhecida como equação de
POISSON (HALTINER, WILLIAMS, 1980).
A solução da equação é obtida aplicando-se o método sobre relaxação seqüencial
(SOR) e utilizando-se das condições de contorno de Dirichlet (2.9). Este método
consiste em uma aproximação inicial que é progressivamente melhorada até que certo
nível de acurácia é atingido.
2.8.1 – DESCRIÇÃO DO MÉTODO SOR
No interior do domínio considere um ponto
(
)
,
p
ij
qualquer e seus oito pontos
vizinhos:
1, 1 , 1 1, 1
1, 1,
1, 1 ,
,
11,1
i
ij ij ij
ij ij
ij ij ij
j
−
++++
−+
−
−−+−
•
••
•
•
•
••
•
14
Aplicando-se a equação (2.7) em
(
)
,
p
ij teremos
1, , 1, , 1 , , 1
2
, ,
22
22
i j ij i j ij ij ij
ij ii
xy
ψ
ψψ ψ ψψ
ψ
ζ
+−+−
−+ −+
∇= + =
∆∆
onde
x
∆ e y∆ são os espaçamentos de grade em x e y. Como
x
yd
∆
=∆ = , então
1, 1, , 1 , 1 ,
2
,
2
2
,
,
2
4
i j i j ij ij ij
ij
Fij
ii
d
d
ψ
ψψψ ψ
ψ
ψ
ζ
+− +−
+
++−
∇= =
∇
==
assim
22
,,Fij ii
d
ψ
ζ
∇= (2.14)
Considerando
,
m
ij
ψ
a m-ésima aproximação
,ij
ψ
, o resíduo
,ij
R
definido por
22
,,,
ij F ij ij
Rd
ψ
ζ
=∇ − (2.15)
será descrito pela fórmula
2
1, 1, , 1 , 1 , , ,
4
mmmm m m
i j i j ij ij ij ij ij
dR
ψ
ψψψ ψ ζ
+− +−
+++−− = (2.16)
onde
,
m
ij
R
é o resíduo após a m-ésima aproximação.
O objetivo das subseqüentes iterações é diminuir o resíduo até um valor aceitável,
uma vez que o
,
0
ij
R
=
em todos os pontos não será atingido. A partir do m-ésimo valor
de
,
m
ij
ψ
o valor calculado de
1
,
m
ij
ψ
+
irá reduzir o resíduo para zero. Assim
2
1, 1, , 1 , 1 , ,
40
mmmm m
i j i j ij ij ij ij
d
ψ
ψψψ ψ ζ
+− +−
+++−− = (2.17)
Subtraindo-se (2.17) de (2.16) obtém-se
,
1
,,
4
m
ij
mm
ij ij
R
ψ
ψ
+
=+ (2.18)
Na Relaxação Seqüencial, o cálculo dos resíduos e correções é realizado ponto a
ponto da esquerda para direita de baixo para cima, sendo que para aumentar-se a
15
convergência insere-se em (2.16) os valores da iteração (m+1)-ésima, já calculados
anteriormente, ficando
112
1, ,1, 1 ,,,,1
4
mm
ij ij
mm mm
i j ij ij ij ij
dR
ψ
ψψψψ ζ
+
++
− + −
+++−− = (2.19)
Na Sobre Relaxação Seqüencial, utiliza-se um coeficiente
12
α
≤
≤ em (2.18)
para aumentar-se a velocidade de convergência, ficando
,
1
,,
4
m
ij
mm
ij ij
R
ψ
ψα
+
=+⋅
(2.20)
O presente trabalho, após uma avaliação empírica, adotou
1
α
=
.
Conseqüentemente, foi efetivamente adotada a relaxação seqüencial na solução da
equação elíptica (2.7).
Fig. 2.4 – Esquema de varredura do domínio.
16
Ainda para aumentar a velocidade de convergência foi empregada uma varredura
intercalando-se as linhas de varredura de modo que ao se iniciar a segunda, existirão
mais pontos na vizinhança do ponto
(
)
,
p
ij com os valores mais atualizados, conforme
representado na figura 2.4.
Neste trabalho utilizou-se como critério de parada das interações quando a norma
da diferença não variasse mais do que 1% entre uma duas iterações sucessivas. Assim,
considere um domínio
()
0: , :nx ny ny− , onde o interior é representado pelos pontos
1, 1 2, 1 3, 1 3, 1 2, 1 1, 1
1,2 2,23,2 3,2 2,2 1,2
1,3 2,33,3 3,3 2,3 1,3
ny ny ny nx ny nx ny nx ny
ny ny ny nx ny nx ny nx ny
ny ny ny nx ny nx ny nx ny
−−− −−−−−−
−−− −−−−−−
−−− −−−−−−
•
•• • • •
••• • • •
••• • • •
"
"
"
###
1,32,33,3 3,3 2,3 1,3
1,22,23,2 3,2 2,2 1,2
1,12,13,1 3,1 2,
ny ny ny nx ny nx ny nx ny
ny ny ny nx ny nx ny nx ny
ny ny ny nx ny nx ny
−+ −+ −+ −−+ −−+ −−+
−+ −+ −+ −−+ −−+ −−+
−+ −+ −+ −−+ −−
•
•• • • •
•
•• • • •
•• • • •
###
"
"
"
11,1nx ny
+
−− +
•
Teremos que
(
)
2
1
,,,
1
1
1
,
1
1
mm
ij ij ij
ny
nx
m
dif i j
i
jny
e
Ne
ψψ
+
−
−
+
=
=− +
=−
=
∑
onde
1m
dif
N
+
é a norma da diferença na (m+1)-ésima iteração.
Quando
1
1%
mm
dif dif
m
dif
NN
N
+
−
≤
(2.21)
admite-se que o método convergiu para a acurácia desejada.
17
CAPÍTULO 3
SOLUÇÃO EULERIANA
Será descrita a seguir a solução do problema apresentado no Capítulo 2, pelo
método euleriano. Inicialmente será abordada a solução de Arakawa para o termo não
linear da equação de advecção. Em seguida, será apresentado o algoritmo deste método
e, finalmente, discutidas as restrições impostas pelo critério de CFL.
3.1 – O JACOBIANO DE ARAKAWA
A partir de (2.5), se aplicarmos (2.6) e substituirmos na equação teremos
0
tyxxy
ζ
ψζ ψζ
∂∂∂∂∂
−
+=
∂∂∂∂∂
(3.1)
que é a equação de conservação de vorticidade em termos de função de corrente e
vorticidade.
Definindo-se o operador Jacobiano (ARAKAWA, LAMB, 1977) como sendo
()
,
xy
J
yx xy
xy
ζζ
ψ
ζψζ
ζψ
ψψ
∂∂
∂∂
∂
∂∂∂
==−
∂∂
∂
∂∂∂
∂∂
(3.2)
pode-se reescrever (3.1) na forma
()
,J
t
ζ
ζ
ψ
∂
=
∂
(3.3)
Considerando um domínio fechado com as condições de fronteiras (2.9) e (2.10),
demonstra-se que a vorticidade
()
ζ
, enstrofia
(
)
ξ
e energia cinética por unidade de
massa
()
E
c
médias, se conservam. Onde
ξ
e Ec são definidas pelas fórmulas
18
2
22
2
2
uv
Ec
ζ
ξ
=
+
=
(3.4)
Neste estudo o termo energia cinética, refere-se à energia cinética por unidade de
massa. A expressão por “unidade de massa” será muitas vezes omitida por questão de
simplificação.
A conservação destas grandezas impõe importantes restrições às propriedades do
escoamento incompressível, em particular a de que o número de onda médio definido
pela fórmula
()
()
2
2
2
2
ψ
κ
ψ
∇
=
∇
(3.5)
se conserva, sendo desejável que o esquema de discretização conserve estas
propriedades.
A partir da definição (3.2) podemos reescrever
(
)
,J
ζ
ψ
1
2
3
;
; ou
J
yx xy
J
yxxy
J
xyyx
ψ
ζψζ
ζζ
ψψ
ψψ
ζζ
∂∂ ∂∂
=−
∂∂ ∂∂
∂∂ ∂∂
=−
∂∂∂∂
∂∂ ∂∂
=−
∂∂∂∂
(3.6)
Considere os pontos do interior do domínio
19
625
301
748
j+1
j
j-1
| | |
i-1 i i+1
−
•••
−
•••
−
•••
12 3
, e JJ J podem ser representados nas seguintes formas discretas
()()
(
)
(
)
()()()()
()()()()
2413 1324
1
2
25 6 48 7 15 8 36 7
2
2
15 8 36 7 25 6 48 7
3
2
4
4
4
J
d
J
d
J
d
ψψζζ ψψζζ
ψζ ζ ψζ ζ ψζ ζ ψζ ζ
ζψ ψ ζψ ψ ζψ ψ ζψ ψ
−−−−−
=
−− − − −− −
=
−− − − −− −
=
(3.7)
onde
x
yd∆=∆= .
ARAKAWA (1966) demonstrou que um Jacobiano derivado da fórmula
123
, onde 1JJ J J
α
βγ αβγ
=++ ++= (3.8)
conservaria a enstrofia
()
ξ
se e somente se
α
β
=
, e conservaria a energia cinética
(
)
E
c se e somente se
α
γ
= . Assim podem-se definir outros Jacobianos conforme for a
grandeza que se deseja conservar. Neste estudo, na solução da equação (3.3), foi
empregado o operador Jacobiano definido pela fórmula
()
123
,
3
JJJ
J
ζψ
+
+
= (3.9)
pois, ARAKAWA e LAMB (1977) demonstraram que este Jacobiano, conhecido a
partir de então como Jacobiano de Arakawa, era a melhor opção a ser utilizada para
representar este tipo de campo, pois nele a enstrofia e energia cinética médias se
conservariam
()
αβγ
==.
20
Em essência, o método de Arakawa é uma maneira de se reescrever a equação
(2.5) na forma discreta, anulando-se os termos não lineares, conservando-se as
grandezas mencionadas e, principalmente, controlando a cascata de energia
computacional (aliasing), mantendo constante o número de onda médio
()
κ
dentro do
termo advectivo, devido à parte não divergente do escoamento (MESINGER,
ARAKAWA, 1976).
3.2 – ALGORITMO EULERIANO
O algoritmo da solução euleriana pode ser descrito nos seguintes passos:
1)
Inicializar o campo de função de corrente a partir das condições iniciais
descritas em (2.8), aplicada em todo o domínio;
2)
Calcular a vorticidade inicial, a partir da função de corrente inicial,
aplicando-se (2.7) para o interior do domínio, e as condições de contorno (2.9)
nas fronteiras;
3)
Calcular o campo de velocidade
(
)
,uv e as médias das grandezas
conservativas, utilizando-se das fórmulas (2.6) e (3.4) para o interior do
domínio, aplicando as condições de contorno (2.9) e (2.10);
4)
Integrar adiante no tempo, determinando o valor da vorticidade em tt+∆
por meio das equações (3.7), (3.9) e (3.3), para os pontos no interior do
domínio e as condições de contorno (2.9) nas fronteiras. Na maior parte das
vezes esta integração é efetuada pelo esquema leapfrog (centrado no tempo e
no espaço) onde a equação (3.3) é discretizada e resolvida na forma;
(
)
,,
2,
tt tt
ij ij
tJ
ζζ ζψ
+∆ −∆
=+⋅∆⋅ (3.10)
21
5)
A partir da vorticidade calculada, determinar o valor da função de corrente
no interior do domínio, resolvendo-se a equação elíptica (2.7) pelo método
SOR descrito no subitem 2.8, e
6)
Repetir os passos 3, 4 e 5 até o término do período de integração.
É importante observar que neste esquema de três níveis de tempo existe um
desacoplamento das soluções dos passos de tempo pares e ímpares, podendo aparecer
variações significativas ao longo do tempo, o que gera instabilidade. Para evitar este
problema efetua-se um passo de tempo no esquema euleriano (centrado no espaço e
adiante no tempo) a cada 240 passos de tempo leapfrog (ARAKAWA, LAMB, 1977).
Assim no primeiro e a cada 240 passos, a equação (3.3) é discretizada e resolvida
segundo a fórmula
(
)
,,
,
tt t
ij ij
tJ
ζ
ζζψ
+∆
=+∆⋅ (3.11)
3.3 – CONDIÇÃO DE COURANT-FRIEDRICHS-LEWY (CFL)
O crescimento exponencial da solução de uma equação de diferenças finitas é
chamado de instabilidade computacional (HALTINER, WILLIAMS, 1980) e deve ser
claramente evitado.
A condição de estabilidade para o esquema leapfrog no referencial euleriano, em
questão, é a de que
1
Ut
x
⋅
∆
≤
∆
(3.12)
22
que é comumente chamada de condição de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL), onde a
razão
Ut
x
⋅∆
∆
é chamada de número de Courant (NCFL).
DURRAN (1998) ainda explica que a idéia básica da condição de CFL é a de que
a solução do esquema de diferenças finitas não pode ser independente dos dados que
determinam a solução da equação diferencial parcial associada.
3.4 – SOLUÇÃO PADRÃO
Uma vez que o problema apresentado não tem solução analítica, adotou-se para
todos os casos estudados, após algumas simulações com diferentes passos de tempo, a
solução euleriana com
0.8NCFL ≈
como solução padrão com a qual se compararão as
diferentes soluções obtidas pelos métodos semi-lagrangeanos.
23
CAPÍTULO 4
SOLUÇÃO SEMI-LAGRANGEANA
Três diferentes soluções para o problema apresentado no Capítulo 2, utilizando o
método semi-lagrangeano serão abordadas neste capítulo. Primeiramente será
apresentado o método semi-lagrangeano, suas peculiaridades, vantagens e desvantagens.
Posteriormente, serão apresentadas os esquemas já consagrados de três e de dois níveis
de tempo, para então finalmente ser apresentada a solução de três níveis de tempo
modificada. Para cada método será descrito o esquema de cálculo da posição de partida
da partícula bem como o algoritmo de integração da equação do modelo.
4.1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS
WIIN-NIELSEN (1959), KRISHNAMURTI (1962) e SAWYER (1963) foram os
pioneiros a empregarem o método semi-lagrangeano no final dos anos 50 e início dos
anos 60, contudo foi após os trabalhos de ROBERT (1981 e 1982) associando ao
método o esquema semi-implícito (ROBERT, HENDERSON, TURNBULL, 1972) que
o método semi-lagrangeano passou a ser largamente utilizado em problemas
eminentemente advectivos (STANIFORTH, CÔTÉ, 1991). Hoje o método semi-
lagrangeano semi-implícito se tornou um dos esquemas mais populares na arquitetura
dos modelos globais de previsão de tempo (DURRAN, 1998).
24
4.2 – ESQUEMA LAGRANGEANO
A diferença básica entre os esquemas euleriano e lagrangeano está no
posicionamento do observador do escoamento (referencial).
No euleriano o referencial é inercial, ou seja, é um ponto fixo no espaço onde uma
determinada grandeza do escoamento é função do vetor posição
X
G
e do tempo t . Neste
caso a cada instante de tempo t tem-se uma “fotografia” da distribuição espacial de
uma determinada grandeza (velocidade, temperatura, pressão, etc).
Já no esquema lagrangeano, utiliza-se um referencial não inercial que descreve a
evolução do escoamento observado, acompanhando o movimento de uma parcela
individual de fluido. Neste caso, uma determinada grandeza do escoamento é função do
tempo t e do elemento de fluido escolhido.
Na solução euleriana para a equação de advecção (2.5), observa-se a evolução do
fluido que passa em pontos fixos no espaço, ou seja, trabalha-se com uma malha fixa de
pontos. Uma importante restrição deste esquema advém do fato da escolha do passo de
tempo máximo permitido ser governada por questões de estabilidade ao invés de
acurácia, conforme foi discutido na seção 3.3, devido ao critério de CFL (3.12).
Na solução lagrangeana , a equação (2.5) passa a ser representada na forma (2.1)
não explicitando-se assim o termo não linear (MESINGER, ARAKAWA, 1976 e
DURRAN, 1998), de forma que o observador acompanha a partícula de fluido ao longo
de sua trajetória no escoamento. O esquema lagrangeano oferece a possibilidade de
utilizar-se passos de tempo consideravelmente maiores que os permitidos no esquema
euleriano mantendo-se a estabilidade, tendo contudo, como grande desvantagem, o fato
de que um conjunto inicial de partículas regularmente distribuídas geralmente irá
evoluir para uma distribuição espacial muito irregular (WELANDER, 1955), podendo,
25
conseqüentemente, deixar de representar importantes características do escoamento,
onde a distribuição destas partículas for mais esparsa (STANIFORTH, CÔTÉ, 1991). Já
o esquema euleriano mantém uma distribuição regular dos seus pontos de grade, como
pode ser visto na figura 4.1.
Fig. 4.1 – Comparação da distribuição dos pontos de grade dos esquemas
lagrangeano e euleriano nos tempos t e
tt
+
∆ . A área hachurada representa
os pontos da grade e os “x” representam os pontos observados.
26
4.3 – O MÉTODO SEMI-LAGRANGEANO
Uma solução melhor para o controle da distribuição dos pontos observados
(parcelas de fluidos) é a escolha, a cada passo de tempo, de um novo conjunto de
partículas que coincidam com os pontos de grade do domínio. Este novo conjunto de
partículas escolhidas são as que chegam em cada ponto da grade do domínio a cada
novo passo de tempo
tt+∆
(DURRAN, 1998). A partir daí calculam-se as coordenadas
do ponto de partida de cada uma destas parcelas, realizando-se a chamada trajetória
backward (para trás).
A figura 4.2 representa a distribuição de partículas nos tempos t+∆t e t para o
esquema semi-lagrangiano.
Fig. 4.2 – Representação da distribuição de partículas no esquema semi-
lagrangeano.
A idéia principal do esquema semi-lagrangeano é conciliar as vantagens dos
métodos euleriano e lagrangeano, isto é, a distribuição regular das partículas no tempo
t+∆t é mantida, conforme mostra a figura 4.2, e o cálculo de (2.1) por diferenças finitas
fica facilitado eliminando-se o termo não linear de (2.5) e possibilitando a utilização de
27
maiores passos de tempo (STANIFORTH, CÔTÉ, 1991), uma vez que
matematicamente o esquema é incondicionalmente estável, pois o domínio de
dependência da solução numérica incluirá sempre o domínio de dependência da solução
exata (DURRAN, 1998).
Escrevendo-se a equação (2.1) na forma discreta de um esquema de três níveis de
tempo, teremos
,,
,,
0
2
tt tt
ij xy
tt tt
ij xy
t
ζζ
ζζ
+∆ −∆
+
∆−∆
−
=⇒ =
∆
(4.1)
onde
()
,ij
é a coordenada do ponto de grade no tempo tt
+
∆ e
(
)
,
x
y
é a coordenada
do ponto de partida no tempo
tt−∆
. Normalmente
(
)
,
x
y
não coincide com um ponto
de grade, como visto anteriormente.
Portanto o método consiste em realizar a trajetória backward, determinando-se a
posição de partida
()
,
tt
xy
−∆
da partícula que chega no ponto de grade
()
,
tt
ij
+∆
, e nesta
posição, realizar a interpolação dos valores de
ζ
, determinando-se o valor de
,
tt
xy
ζ
−∆
.
4.4 – FONTES DE ERRO
São duas as principais fontes de erro do método semi-lagrangeano. A primeira
advém da interpolação dos valores vizinhos à posição de partida
()
,
tt
xy
−∆
a fim de se
determinar o valor de
,
tt
xy
ζ
−∆
. A segunda está relacionada com as imprecisões e
aproximações na determinação da posição de partida da partícula. Como já explicado na
seção 2.7, para minimizar-se a primeira fonte de erro, sempre que possível, foram
utilizadas interpolações cúbicas de Lagrange em
x
e
y
, empregando a expressão (2.12)
28
conforme está representado na figura 2.3. Nas regiões do domínio próximo às fronteiras,
utilizaram-se interpolações lineares, definidas por (2.13) conforme está esquematizado
na figura 2.2.
Os diferentes métodos empregados na determinação da posição de partida é,
essencialmente, o que difere os três esquemas semi-lagrangeanos apresentados neste
trabalho, para a solução do problema proposto. A explicação de cada um destes métodos
será abordada posteriormente, por ocasião da descrição dos respectivos esquemas.
4.5 – VANTAGENS E DESVANTAGENS DO MÉTODO SEMI-
LAGRANGEANO
A seguir serão listadas algumas vantagens e desvantagens do método semi-
lagrangeano.
1)
A implementação de um esquema semi-lagrangeano implica num maior
custo computacional por passo de tempo, devido à necessidade de calcular-se a
posição de partida da partícula e das interpolações necessárias ao método.
Logo, para que o esquema seja eficiente, faz-se necessária a utilização de
maiores passos de tempo, o que é permitido tendo em vista a estabilidade
numérica do método (DURRAN, 1998);
2)
A utilização do método semi-lagrangeano em problemas de transporte de um
traçador em uma grade de alta resolução é recomendada, uma vez que neste
caso o fator limitante do passo de tempo seria o cálculo da posição de partida
com maior acurácia, permitindo assim a utilização de maiores passos de tempo
mantendo uma elevada resolução espacial (DURRAN, 1998);
29
3)
Num domínio esférico, utilizando-se de uma grade de referência em latitude
e longitude, a aplicação do método semi-lagrangeano apresenta a vantagem de
não sofrer influência da convergência dos meridianos, que devido à
diminuição das distâncias na direção leste-oeste afeta o passo de tempo dos
esquemas sujeitos à condição de estabilidade de CFL (3.12), apesar de ter-se
que tomar alguns cuidados especiais no cálculo das trajetórias das partículas
(MCDONALD, BATES, 1989);
4)
Em geral, se é requisito do problema ter uma resolução temporal alta, não é
recomendável a utilização do método semi-lagrangeano, uma vez que ao
utilizar-se de passos de tempo pequenos o método torna-se ineficiente
(DURRAN, 1998);
5)
A utilização do método semi-implícito (ROBERT, HENDERSON,
TURNBULL, 1972) associado ao semi-lagrangeano (SLSI) mostra-se muito
eficiente, pois ambos permitem a utilização de grandes passos de tempo.
Realizando-se um teste num modelo de previsão de tempo de alta resolução no
European Centre for Medium Range Weather Forecast (ECMWF) mostrou-se
que a utilização do SLSI permitiu um passo de tempo de 15 minutos, que em
comparação com o de 3 minutos do modelo euleriano semi-implícito,
promoveu um ganho de eficiência global de cerca de 20% (RITCHIE
et al.,
1995);
6)
O método semi-lagrangeano apresenta bons resultados em problemas cuja
escala do fenômeno é pequena em relação ao espaçamento da grade (p. ex.
áreas de frontogênese), apresentando a vantagem de não propagar ruído (KUO,
WILLIAMS, 1990);
30
7)
O método semi-lagrangeano pode ser implementado em grades de resolução
variável de forma relativamente simples (DURRAN, 1998), e
8)
A aplicação do método semi-lagrangeano em problemas advectivos é
recomendável por não apresentar a instabilidade não-linear, devido à
eliminação do termo
u
⋅
∇ , não apresentando aliasing. (MESINGER,
ARAKAWA, 1976 e STANIFORTH, CÔTÉ, 1991)
4.6 – ESQUEMA SEMI-LAGRANGEANO DE TRÊS NÍVEIS DE TEMPO
(SL3T)
Este esquema, baseado em ROBERT (1981), é o de três níveis de tempo
“tradicional”, onde a posição de partida é calculada com base numa trajetória linear da
partícula a partir do ponto de grade
()
,
tt
ij
+
∆
até ponto
()
,
tt
xy
−
∆
, utilizando uma
velocidade constante calculada para o tempo t .
Fig. 4.3 – Esquema da trajetória “backward” do SL3T
tt
−
∆
()
,
t
t
uv
tt
+
∆
(
)
,i
j
(
)
,x
y
2d
(
)
,
x
nyn
31
4.6.1 – CÁLCULO DA VELOCIDADE
t
U
G
Na figura 4.3 vê-se a representação da trajetória da partícula a partir do ponto de
grade
()
,
tt
ij
+∆
até o ponto de partida
()
,
tt
xy
−
∆
. A distância
2d é dada pela fórmula
,
22
t
xn yn
dU t
=
⋅∆
G
(4.2)
onde
()
,
,
,
t
t
xn yn
xn yn
Uuv=
G
é o vetor velocidade calculado para o tempo t .
A determinação de
,
t
xn yn
U
G
é realizada por meio de um método iterativo conforme
os seguintes passos:
a)
Toma-se como aproximação inicial a velocidade
,
t
ij
U
G
no ponto de grade
()
,ij no tempo t
,
*,
tt
ij
UU=
GG
;
b)
Calcula-se o deslocamento
*
1
t
dU t
=
⋅∆
G
;
c)
Determina-se a posição da partícula no tempo t, dada por
*, *
tttt
ij
X
XUt
+∆
=−⋅∆
GG G
;
d)
Na nova posição
*
t
X
G
calcula-se um novo vetor velocidade
*
t
U
G
interpolando-
se os valores vizinhos ao ponto, conforme descrito no item 2.7;
e)
Calcula-se o novo deslocamento
*
2
t
dUt
=
⋅∆
G
;
f) Se
21
1%
1
dd
d
−
≤
então considera-se que
,*
tt
xn yn
UU
=
G
G
. Caso contrário
retorna-se ao item b.
32
4.6.2 – ALGORITMO SL3T
O Algoritmo da solução SL3T pode ser descrito nos seguintes passos:
1.
Inicializar o campo de função de corrente a partir das condições iniciais
descritas em (2.8), aplicadas em todo o domínio;
2.
Calcular a vorticidade inicial, a partir da função de corrente inicial, aplicando-
se (2.7) para o interior do domínio, e as condições de contorno (2.9) nas
fronteiras;
3.
Calcular o campo de velocidade
(
)
,uv e as médias das grandezas
conservativas, utilizando-se das fórmulas (2.6) e (3.4) para o interior do
domínio, aplicando as condições de contorno (2.9) e (2.10);
4.
Determina-se a velocidade de deslocamento da partícula
()
,
,
,
t
t
xn yn
xn yn
Uuv=
G
,
conforme descrito no subitem 4.6.1;
5.
Determina-se a posição de partida da partícula pela fórmula
,, ,
2
tt tt t
x y i j xn yn
X
XU t
−∆ +∆
=
−⋅⋅∆
GGG
(4.3)
6.
A partir da posição de partida
(
)
,
x
y
determina-se por interpolação dos valores
vizinhos a esta posição, conforme descrito no item 2.7, a vorticidade
,
tt
xy
ζ
−∆
;
7.
De acordo com (4.1) determina-se
,
tt
ij
ζ
+
∆
;
8. A partir da vorticidade
,
tt
ij
ζ
+
∆
calculada para todos os pontos, determina-se o
valor da função de corrente no interior do domínio resolvendo-se a equação
elíptica (2.7) pelo método SOR descrito no subitem 2.8, e
9.
Repetir os passos 3, 4, 5, 6, 7 e 8 até o término do período de integração.
33
Na integração do primeiro passo de tempo adota-se que
,,
tt
xn yn i j
UU=
G
G
(4.4)
Como o esquema é de três níveis de tempo, aplica-se o filtro Asselin descrito em
(2.11) para evitar o aparecimento dos modos computacionais.
4.7 – ESQUEMA SEMI-LAGRANGEANO DE DOIS NIVEIS DE TEMPO
(SL2TMB)
Baseado em MCDONALD e BATES (1987), este esquema de dois níveis de
tempo foi proposto com o intuito de, mantendo-se a acurácia de um esquema de três
níveis de tempo, eliminar o aparecimento dos modos computacionais presentes nos
esquemas de três níveis de tempo, que torna necessária a aplicação de filtros; reduzir a
necessidade de armazenamento, e em certos casos, diminuir o custo computacional.
Para isso o esquema utiliza como velocidade de deslocamento da partícula a
velocidade calculada em
2
t
t
∆
+
, através de uma extrapolação linear das velocidades em
t e
tt−∆ .
2
31
22
t
t
ttt
UUU
∆
+
−
∆
=−
G
GG
(4.5)
Na forma discreta um esquema de dois níveis de tempo a equação (2.1) ficará
,,
,,
0
tt t
ij xy
tt t
ij xy
t
ζζ
ζ
ζ
+∆
+∆
−
=⇒ =
∆
(4.6)
34
Fig. 4.4 – Esquema da trajetória “backward” do SL2TMB
4.7.1 – DETERMINAÇÃO DE
2
,
t
t
xn yn
U
∆
+
G
Observando a figura 4.4, verifica-se que o esquema SL2TMB consiste em, a partir
do ponto de grade
()
,
tt
ij
+∆
, andar um passo de tempo para trás utilizando-se como
velocidade
2
,
t
t
xn yn
U
∆
+
G
.
A determinação desta velocidade é realizada conforme o seguinte roteiro:
a)
Toma-se como aproximação inicial a velocidade
,
t
ij
U
G
no ponto de grade
()
,ij
no tempo
t
,
*,
t
ij
UU=
GG
;
b)
Calcula-se o novo deslocamento
*
1
2
t
dU
∆
=
⋅
G
;
c)
Determina-se a posição da partícula no tempo
2
t
t
∆
+
, dada por
()
2
**
,
2
t
t
t
ij
t
XXU
∆
+
∆
=
−⋅
G
GG
(4.7)
t
(
)
,x
y
d
tt
+
∆
()
2
2
,
t
t
t
t
uv
∆
+
∆
+
(
)
,i
j
(
)
,
x
nyn
35
d)
Na nova posição
2
*
t
t
X
∆
+
G
calcula-se as velocidades
*
t
U
G
e
*
tt
U
−
∆
G
interpolando-se
os valores vizinhos ao ponto, conforme descrito no item 2.7 para os campos de
velocidade nos tempos
e tt t
−
∆ ;
e)
Com os valores de
*
t
U
G
e
*
tt
U
−
∆
G
a velocidade de deslocamento da partícula é
determinada pela extrapolação linear definida pela expressão
2
***
31
22
t
t
ttt
UUU
∆
+
−
∆
=−
G
GG
(4.8)
f)
Calcula-se o novo deslocamento
2
*
2
2
t
t
t
dU
∆
+
∆
=
⋅
G
;
g)
Se
21
1%
1
dd
d
−
≤
encerram-se as interações considerando que
22
,*
t
t
t
t
xn yn
UU
∆
+
∆
+
=
GG
.
Caso contrário, assume-se que
2
**
t
t
UU
∆
+
=
G
G
e retorna-se ao item b.
4.7.2 – ALGORITMO SL2TMB
O Algoritmo da solução SL2TMB pode ser descrito nos seguintes passos:
1.
Inicializar o campo de função de corrente a partir das condições iniciais
descritas em (2.8), aplicadas em todo o domínio;
2.
Calcular a vorticidade inicial, a partir da função de corrente inicial,
aplicando-se (2.7) para o interior do domínio, e as condições de contorno (2.9)
nas fronteiras;
3.
Calcular o campo de velocidade
(
)
,uv e as médias das grandezas
conservativas, utilizando-se as fórmulas (2.6) e (3.4) para o interior do
domínio, aplicando as condições de contorno (2.9) e (2.10);
36
4.
Determinar a velocidade de deslocamento da partícula
()
2
2
,
,
,
tt
tt
xn yn
xn yn
Uuv
∆
∆
++
=
G
,
conforme descrito no item 4.7.1;
5.
Determinar a posição de partida da partícula pela fórmula
2
,, ,
t
t
ttt
xy ij xnyn
X
XU t
∆
+
+∆
=
−⋅∆
GG G
(4.9)
6.
A partir da posição de partida
(
)
,
x
y
determina-se por interpolação dos
valores vizinhos a esta posição, conforme descrito no item 2.7, a vorticidade
,
t
xy
ζ
;
7.
De acordo com (4.6) de termina-se
,
tt
ij
ζ
+
∆
;
8.
A partir da vorticidade
,
tt
ij
ζ
+
∆
calculada para todos os pontos, determinar o
valor da função de corrente no interior do domínio resolvendo-se a equação
elíptica (2.7) pelo método SOR descrito no subitem 2.8, e
9.
Repetir os passos 3, 4, 5, 6, 7 e 8 até o término do período de integração.
Apesar do esquema ser de dois níveis de tempo, faz-se necessário armazenar o
campo de velocidade em
tt−∆ para efetuar-se o cálculo da velocidade de deslocamento
da partícula. Por isso, no primeiro passo de tempo, adota-se
2
,,
t
t
t
xn yn i j
UU
∆
+
=
G
G
(4.10)
Por ser um esquema de dois níveis de tempo, o SL2TMB não está sujeito ao
aparecimento dos modos computacionais e por isso não necessita da aplicação de filtros.
37
4.8 – ESQUEMA SEMI-LAGRANGEANO DE TRÊS NÍVEIS DE TEMPO
MODIFICADO (SL3TM)
Proposto inicialmente por COSTA (2003) para a solução de um problema de
advecção linear, o SL3TM baseia-se no princípio da quebra da trajetória da partícula,
onde se espera que em situações de grandes curvaturas o método represente melhor o
deslocamento, mesmo com NCFL alto.
Neste esquema a trajetória é quebrada em dois passos. No primeiro passo a partir
do ponto de grade
(
)
,ij caminha-se um passo de tempo para trás com uma velocidade
calculada para um ponto intermediário
(
)
1, 1
x
nyn interpolado no tempo t . No segundo,
a partir da posição de chegada do primeiro lance, caminha-se mais um passo de tempo
com uma velocidade definida para um outro ponto intermediário
()
2, 2
x
nyn
,
interpolado também no tempo
t .
Fig. 4.5 – Esquema da quebra da trajetória da partícula do esquema SL3TM
()
2, 2
,
t
x
nyn
uv
(
)
,x
y
tt
−∆
(
)
1, 1
x
nyn
tt
+
∆
(
)
,i
j
()
1, 1
,
t
x
nyn
uv
d1
d2
(
)
2, 2
xn yn
t
38
4.8.1 – CÁLCULO DAS VELOCIDADES
1, 1
t
xn yn
U
G
E
2, 2
t
xn yn
U
G
Na figura 4.5 observa-se a representação da trajetória em dois passos a partir do
ponto de grade
()
,
tt
ij
+∆
até o ponto de partida
()
,
tt
xy
−
∆
. As distâncias 1d e 2d são
determinadas pelas fórmulas
1, 1
2, 2
1
2
; e
t
xn yn
t
xn yn
dU t
dU t
=⋅∆
=
⋅∆
G
G
(4.11)
onde
1, 1
t
xn yn
U
G
e
2, 2
t
xn yn
U
G
são os vetores velocidades calculados para as posições
intermediárias
()
1, 1
x
nyn
e
()
2, 2
x
nyn
no tempot .
A determinação destes vetores velocidades é realizada por meio do método
iterativo descrito a seguir:
a)
Toma-se como valor inicial a velocidade
,
t
ij
U
G
no ponto de grade
()
,ij no
tempo
t ,
*,
tt
ij
UU=
G
G
;
b)
Calcula-se o deslocamento
*
11
2
t
t
dU
∆
=
⋅
G
;
c)
Determina-se a posição da partícula no tempo
2
t
t
∆
+
, dada por
2
*,
11
t
t
tt
ij
X
Xd
∆
+
+∆
=−
G
;
d)
Na nova posição
2
*
t
t
X
∆
+
G
calcula-se um novo vetor velocidade
*
t
U
G
interpolando-se os valores vizinhos ao ponto, conforme descrito no item 2.7;
e)
Calcula-se o novo deslocamento
*
12
2
t
t
dU
∆
=
⋅
G
;
39
f)
Se
12 11
1%
11
dd
d
−
≤
então considera-se que
1, 1 *
tt
xn yn
UU
=
G
G
Caso contrário
retorna-se ao item b.
g)
Calcula-se a posição intermediária
*
t
X
G
dada por
*, 1,1
tttt
i j xn yn
X
XU t
+∆
=
−⋅∆
GG G
h)
Na nova posição
*
t
X
G
calcula-se um novo vetor velocidade
*
t
U
G
interpolando-
se os valores vizinhos ao ponto, conforme descrito no item 2.7;
i)
Calcula-se o deslocamento
*
21
2
t
t
dU
∆
=
⋅
G
;
j)
Determina-se a posição da partícula no tempo
2
t
t
∆
− , dada por
2
*,1,1
21
t
t
tt t
i j xn xn
X
XU td
∆
−
+∆
=− ⋅∆−
GGG
;
k)
Na nova posição
2
*
t
t
X
∆
−
G
calcula-se um novo vetor velocidade
*
t
U
G
interpolando-se os valores vizinhos ao ponto, conforme descrito no item 2.7;
l)
Calcula-se o novo deslocamento
*
22
2
t
t
dU
∆
=
⋅ ;
m)
Se
22 21
1%
21
dd
d
−
≤
então considera-se que
2, 2 *
tt
xn yn
UU
=
G
G
Caso contrário
retorna-se ao item i.
4.8.2 – ALGORITMO SL3TM
O Algoritmo da solução SL3TM pode ser descrito nos seguintes passos:
1.
Inicializar o campo de função de corrente a partir das condições iniciais
descritas em (2.8), aplicadas em todo o domínio;
40
2.
Calcular a vorticidade inicial, a partir da função de corrente inicial,
aplicando-se (2.7) para o interior do domínio, e as condições de contorno (2.9)
nas fronteiras;
3.
Calcular o campo de velocidade
(
)
,uv e as médias das grandezas
conservativas, utilizando-se das fórmulas (2.6) e (3.4) para o interior do
domínio, aplicando as condições de contorno (2.9) e (2.10) nas fronteiras;
4.
Determinar as velocidades
() ()
1, 1 2, 2
1, 1 2, 2
,, e
tt
tt
xn yn xn yn
xn yn xn yn
UuvU uv==
G
G
de
deslocamento da partícula, conforme descrito no subitem 4.8.1;
5.
Determina-se a posição de partida da partícula pela fórmula;
,, 1,1 2,2
tt tt t t
x y i j xn yn xn yn
X
XU tU t
−∆ +∆
=− ⋅∆− ⋅∆
GGG G
(4.12)
6.
A partir da posição de partida
(
)
,
x
y
determina-se por interpolação dos
valores vizinhos a esta posição, conforme descrito no item 2.7, a vorticidade
,
tt
xy
ζ
−∆
;
7.
De acordo com (4.1) de termina-se
,
tt
xy
ζ
+
∆
;
8.
A partir da vorticidade
,
tt
xy
ζ
+
∆
calculada para todos os pontos, determina-se o
valor da função de corrente no interior do domínio resolvendo-se a equação
elíptica (2.7) pelo método SOR descrito no subitem 2.8, e
9.
Repetir os passos 3, 4, 5, 6, 7 e 8 até o término do período de integração.
Na integração do primeiro passo de tempo adota-se uma trajetória retilínea de
,
tt
ij
X
+∆
G
até
,
tt
xy
X
−∆
G
, tal que
,, ,
2
tt tt t
x y i j xn yn
X
XU t
−∆ +∆
=
−⋅⋅∆
GGG
(4.13)
onde
41
,,
tt
xn yn i j
UU=
G
G
Como o SL3TM é um esquema de três níveis de tempo, aplica-se o filtro Asselin
descrito em (2.11) para controlar os ruídos associados ao modo computacional.
42
CAPÍTULO 5
RESULTADOS ALCANÇADOS
Neste capítulo serão apresentados todos os casos que compõem o presente estudo
bem como discutidos os principais resultados dos experimentos. Dentro de cada caso,
serão mostrados os diferentes resultados obtidos pelos quatro métodos de integração
abordados nos capítulos 3 e 4. A análise dos resultados alcançados será fornecida no
decorrer da apresentação dos experimentos que compõem cada caso.
5.1 – OS CASOS
Com o objetivo de verificar a sensibilidade da solução semi-lagrangeana em
relação ao aumento da curvatura e do número de Courant (NCFL), o trabalho foi
dividido em três casos que diferem entre si pelas dimensões do domínio, sendo que cada
um destes casos está dividido em sete experimentos onde o passo de tempo é
gradativamente aumentado, fazendo com que o NCFL assuma aproximadamente os
valores 0.8, 1, 2, 4, 6, 8 e 10.
Para que sejam mantidos valores significativos de velocidade, variou-se a
amplitude inicial
()
Ψ
do campo função de corrente à medida que se foi aumentando a
curvatura.
Ressalta-se que para todos os experimentos o espaçamento da grade (resolução do
modelo) é de 5000m em
x
e em
y
isto é,
5000
x
ym
∆
=∆ =
(5.1)
43
5.1.1 – CASO 1
É o caso que apresenta a menor curvatura do escoamento onde o número de
pontos de grade em
x
é igual ao em y , ou seja,
621
129;
128;
64;
5.0 10
NX NY
nx
ny
ms
−
=
=
=
=
Ψ= ⋅
e
(5.2)
Baseado em (2.8) define-se o campo inicial de função de corrente como
()
(
)
(
)
6
,
5.0 10 sin cos 0.1 cos
2
0 :128 64 : 64
ij
jj
i
nx ny ny
ij
ππ
π
ψ
⋅⋅
⋅
=⋅⋅ ⋅ +⋅
⋅
==−
, com
e
(5.3)
sendo representado pelo gráfico abaixo
Fig. 5.1 – Representação da função de corrente inicial para o CASO 1. Gráfico de
Superfície.
44
ou na forma de curvas de nível
Fig. 5.2 – Representação do campo inicial de função de corrente para o CASO 1.
Gráfico de curvas de nível.
5.1.2 – CASO 2
Caracterizado pela redução do número de pontos de grade em
y
pela metade,
ficando o domínio com as seguintes características:
621
129;
65;
128;
32;
2.0 10
NX
NY
nx
ny
ms
−
=
=
=
=
Ψ= ⋅
e
(5.4)
45
De modo que a função de corrente inicial (2.8) será dada por
()
(
)
(
)
6
,
2.0 10 sin cos 0.1 cos
2
0 :128 32 :32
ij
jj
i
nx ny ny
ij
ππ
π
ψ
⋅⋅
⋅
=⋅⋅ ⋅ +⋅
⋅
==−
, com
e
(5.5)
representando graficamente como
Fig 5.3 – Função de corrente inicial para o CASO 2. Gráfico de Superfície
É importante observar que apesar de ser semelhante ao gráfico do campo inicial
do CASO 1, neste domínio as dimensões em
x
e y são diferentes, aumentando-se
assim a curvatura do escoamento. Pode-se verificar melhor esta diferença na análise do
gráfico de curvas de nível da figura 5.4, a seguir.
46
Fig. 5.4 – Campo inicial de função de corrente para o CASO 2. Curvas de nível.
5.1.3 – CASO 3
Neste caso reduziu-se ainda mais o número de pontos em
y aumentando-se assim
a curvatura. Este é o caso de maior curvatura e foi simulado com os seguintes
parâmetros
621
129;
49;
128;
24;
1.5 10
NX
NY
nx
ny
ms
−
=
=
=
=
Ψ= ⋅
e
(5.6)
aplicados na equação da condição inicial do campo de função de corrente dada pela
fórmula
()
(
)
(
)
6
,
1.5 10 sin cos 0.1 cos
128 48 24
0 :128 24 : 24
ij
jj
i
ij
ππ
π
ψ
⋅⋅
⋅
=⋅⋅ ⋅ +⋅
==−
, com
e
(5.7)
47
sendo representada pelas figuras 5.5 e 5.6.
Fig 5.5 – Campo inicial de função de corrente para o CASO 3.
Fig 5.6 – Campo inicial de função de corrente do CASO 3. Curvas de Nível.
48
5.2 – OS EXPERIMENTOS
Como mencionado anteriormente, para cada caso foram realizados sete
experimentos, nos quais o passo de tempo foi gradativamente sendo aumentado. Os
primeiros experimentos dos casos representam a simulação em que se utilizou o menor
passo de tempo, mantendo-se o NCFL em torno de 0.8.
As soluções eulerianas estão apresentadas somente para estes experimentos, uma
vez que ao assumirmos maiores passos de tempo obtemos um
1NCFL >
,
impossibilitando a aplicação desta solução devido às restrições de estabilidade deste
método (3.12).
Dentro de cada caso, a solução euleriana para o primeiro experimento é
considerada como referência para comparação do desempenho das demais soluções
semi-lagrangeanas.
Para a avaliação da solução produzida pelos métodos nos diferentes experimentos,
foram gerados gráficos com a representação do campo de função de corrente ao término
do período de integração, bem como um gráfico com a diferença entre o campo final
euleriano e o campo final de cada um dos esquemas semi-lagrangeanos.
Além destes, foram construídos mais dois conjuntos de gráficos com o intuito de
avaliar-se o desempenho de cada esquema semi-lagrangeano. O primeiro conjunto,
conforme ARAKAWA e LAMB (1977), consiste no acompanhamento da evolução das
grandezas conservativas vorticidade média
(
)
ζ
, enstrofia média
(
)
ξ
e energia cinética
média
()
Ec , definidas por (3.4), e também da magnitude máxima do vetor velocidade
()
M
AX
U
G
onde
22
Uuv
=
+
G
(5.8)
49
O segundo conjunto, seguindo os trabalhos de PUDYKIEWICZ e STANIFORTH
(1984) e KUO e WILLIAMS (1990), com o intuito de se verificar a acurácia de cada
método semi-lagrangeano, acompanha a evolução dos seguintes parâmetros estatísticos:
1.
A razão entre os somatórios do valor da função de corrente em cada ponto de
grade do esquema semi-lagrangeano e do euleriano;
SL
EUL
ψ
ψ
∑
∑
(5.9)
2.
A razão entre os somatórios do quadrado da função de corrente em cada
ponto de grade do esquema semi-lagrangeano e do euleriano;
2
2
SL
EUL
ψ
ψ
∑
∑
(5.10)
3.
A razão entre os desvios padrões
(
)
σ
dos valores da função de corrente do
esquema semi-lagrangeano e do euleriano;
(
)
()
; onde
SL
EUL
σψ
σψ
(5.11)
()
2
,
0:
:
,
0:
:
;
1
; e
ij
inx
jnyny
ij
inx
jnyny
N
N
NNXNY
ψψ
σ
ψ
ψ
=
=−
=
=−
−
=
−
=
=
⋅
∑
∑
50
4.
O erro médio quadrático, definido pela raiz quadrada da média dos
quadrados
()
R
MS da diferença entre os campos de função de corrente semi-
lagrangeano e euleriano.
(
)
2
,
0:
:
; onde
SL EUL
ij
inx
jnyny
RMS
RMS
NX NY
ψψ
ψ
=
=−
−
=
⋅
∑
(5.12)
O período de integração para todos os casos foi de 30 dias. Os gráficos de
evolução das grandezas conservativas foram construídos com saídas do programa a cada
1 hora de integração.
Já os gráficos de evolução das grandezas estatísticas foram construídos com saídas
do programa a cada 8 horas e 20 min de integração.
Os passos de tempo
()
t∆
foram escolhidos de forma que a cada 8 horas e 20
minutos de integração um número inteiro de passos tenha sido executado, evitando-se
assim a comparação de campos em diferentes instantes da integração.
O valor do NCFL atribuído a cada experimento foi calculado no instante inicial da
integração podendo apresentar variações ao longo do período de integração.
Nas tabelas 5.1 a 5.3 é apresentado um resumo com os parâmetros utilizados nas
rodadas de todos os experimentos dos três casos de estudo.
Nas tabelas dos apêndices A e B estão apresentados os resultados encontrados no
cálculo das grandezas conservativas e estatísticas para todas as simulações; para 5, 10,
20 e 30 dias de integração, no caso das grandezas conservativas (apêndice A), e para
125, 250, 500 e 716 horas de integração, no caso das grandezas estatísticas (apêndice
B).
51
Tab. 5.1 – Experimentos do CASO 1.
CASO 1 NX = NY = 129
Ψ = 5 . 10
6
m
2
s
-1
EXP11
∆t = 1,5.10
2
s
NCFL = 0.81
EXP12
∆t = 2.0.10
2
s
NCFL = 1.08
EXP13
∆t = 4.0.10
2
s
NCFL = 2.16
EXP14
∆t = 7.89437.10
2
s
(1)
NCFL = 4.26
EXP15
∆t = 1.2.10
3
s
NCFL = 6.48
EXP16
∆t = 1.5789.10
3
s
(2)
NCFL = 8.52
EXP17
∆t = 2.0.10
3
s
NCFL = 10.79
(1) ∆t=(30.10
3
)/38
(2) ∆t=(30.10
3
)/19
Tab. 5.2 – Experimentos do CASO 2.
CASO 2 NX = 129 e NY = 65
Ψ = 2 . 10
6
m
2
s
-1
EXP21
∆t = 2.0.10
2
s
NCFL =0.84
EXP22
∆t = 2.5.10
2
s
NCFL = 1.05
EXP23
∆t = 5.0.10
2
s
NCFL = 2.09
EXP24
∆t = 10
3
s
NCFL = 4.19
EXP25
∆t = 1.5.10
3
s
NCFL = 6.29
EXP26
∆t = 2.0.10
3
s
NCFL = 8.38
EXP27
∆t = 2.5.10
3
s
NCFL = 10.48
Tab. 5.3 – Experimentos do CASO 3.
CASO 3 NX = 129 e NY = 49
Ψ = 1.5 . 10
6
m
2
s
-1
EXP31
∆t = 2.0.10
2
s
NCFL = 0.84
EXP32
∆t = 2.5.10
2
s
NCFL = 1.05
EXP33
∆t = 5.0.10
2
s
NCFL = 2.09
EXP34
∆t = 10
3
s
NCFL = 4.19
EXP35
∆t = 1.5.10
3
s
NCFL = 6.28
EXP36
∆t = 2.0.10
3
s
NCFL = 8.38
EXP37
∆t = 2.5.10
3
s
NCFL = 10.48
52
5.2.1 – EXPERIMENTOS DO CASO 1 (EXP11, EXP12, EXP14 e EXP16)
Os resultados destes experimentos estão listados nas tabelas A.1 a A.4 e B.1 a B.3
dos apêndices A e B respectivamente.
Nas figuras 5.7 a 5.10 encontra-se a representação do campo final de função de
corrente das soluções euleriana, SL3T, SL2TMB e SL3TM, após 30 dias de integração
com NCFL=0.8. Observa-se que os quatro esquemas convergiram para soluções muito
próximas o que corrobora a idéia de utilizar este resultado (o euleriano) como padrão.
Fig. 5.7 – Solução euleriana para o CASO 1, com NCFL=0.8.
53
Fig. 5.8 – Solução SL3T para o CASO 1, com NCFL=0.8.
Fig. 5.9 – Solução SL2TMB para o CASO 1, com NCFL=0.8.
54
Fig. 5.10 – Solução SL3TM para o CASO 1, com NCFL=0.8.
As figuras 5.11 e 5.12 representam a diferença entre o campo final de função de
corrente da solução SL3T e euleriana
(
)
3SL T EUL
ψψ
− para os NCFL 1, 4 e 8,
respectivamente, após 30 dias de integração.
55
Fig. 5.11 – Diferença entre as soluções SL3T e euleriana nos experimentos
EXP12 e EXP14.
56
Fig. 5.12 – Diferença entre as soluções SL3T e euleriana no experimento EXP16
Já nas figuras 5.13 e 5.14, estão representados os mesmos campos, porém em
relação ao SL2TMB
()
2SL TMB EUL
ψψ
− também para os NCFL 1, 4 e 8 após 30 dias de
integração.
57
Fig. 5.13 – Diferença entre as soluções SL2TMB e euleriana nos experimentos
EXP12 e EXP14.
58
Fig. 5.14 – Diferença entre as soluções SL2TMB e euleriana no experimento
EXP16.
Nas figuras 5.15 e 5.16 encontram-se representadas a diferença entre o campo
final de função de corrente da solução SL3TM e euleriana
(
)
3SL TM EUL
ψψ
− para os
NCFL 1, 4 e 8, respectivamente, após 30 dias de integração.
Comparando-se as figuras 5.11 a 5.16, pode-se verificar que nos esquemas
SL2TMB e SL3T também ocorre um afastamento da solução padrão com o aumento do
NCFL, contudo este afastamento na amplitude da diferença entre a solução semi-
lagrangeana e a padrão é menor no caso do SL3TM.
59
Fig. 5.15 – Diferença entre as soluções SL3TM e euleriana nos experimentos
EXP12 e EXP14.
60
Fig. 5.16 – Diferença entre as soluções SL3TM e euleriana no experimento
EXP16.
O crescimento do erro RMS, definido pelas equações em (5.12), com o aumento
do NCFL, pode ser constatado na figura 5.17, que apresenta esse crescimento para 5 e
30 dias de integração. Contudo, é evidente que o esquema SL3TM obtém o melhor
desempenho dos três esquemas semi-lagrangeanos.
Os tempos de processamento de todos os experimentos deste caso estão
representados no gráfico da figura 5.18, onde verifica-se o maior custo computacional
do esquema SL3TM e a desvantagem de utilização do método semi-lagrangeano em
escoamentos com baixos NCFL, tendo em vista o maior custo computacional deste
método se comparado com o euleriano. Apesar de ser importante destacar a vantagem
da aplicação do esquema semi-lagrangeano no que se refere à não ocorrência da
instabilidade não-linear.
61
Fig. 5.17 – Crescimento do RMS com o aumento do NCFL para 5 dias e 30 dias
de integração.
Fig. 5.18 – Comparação entre os tempos de processamento dos Métodos
euleriano (somente para NCFL=0.8), SL3T, SL2TMB e SL3TM no CASO 1.
62
5.2.2 – EXPERIMENTOS DO CASO 2 (EXP21, EXP24, EXP25 e EXP26)
Utilizando-se os parâmetros da tabela 5.2, foram realizados os experimentos do
CASO 2 cujos resultados encontram-se transcritos nas tabelas A.5 a A.8 e B.4 a B.6 dos
apêndices A e B respectivamente.
Fig. 5.19 – Diferença entre a função de corrente inicial e final do esquema
euleriano, para o CASO 2, com NCFL=0.8 (EXP21).
63
Fig. 5.20 – Diferença entre a função de corrente inicial e final dos esquemas
SL3T e SL2TMB, para o CASO 2, com NCFL=0.8 (EXP21).
64
Fig. 5.21 – Diferença entre a função de corrente inicial e final do esquema
SL3TM, para o CASO 2, com NCFL=0.8 (EXP21).
Novamente foi constatado que os quatro esquemas convergiram para soluções
muito próximas quando utilizado um passo de tempo pequeno, NCFL=0.8. As figuras
5.19 a 5.21 ilustram as diferenças entre o campo final (após 30 dias de integração) e o
inicial da função de corrente
()
0fim
ψ
ψ
− para cada um dos esquemas na solução com
menor número de Courant, e pode ser verificado quão próximas foram as soluções dos
diferentes esquemas, uma vez que os gráficos são visivelmente semelhantes, o que
ampara a idéia de utilização deste experimento como padrão de comparação.
65
Fig. 5.22 – Evolução da vorticidade média e energia cinética média ao longo da
integração (com NCFL=0.8) para os 4 esquemas (EXP21).
Os gráficos das figuras 5.22 e 5.23 representam a evolução das grandezas
conservativas vorticidade, enstrofia e energia cinética médias e da velocidade máxima
definidas em (3.4) e (5.8), para o experimento com o menor número de Courant,
confirmando a idéia de que os esquemas convergiram para a mesma solução, ao utilizar-
se deste passo de tempo pequeno. Uma vez que após 30 dias de integração verifica-se
que o máximo de variação entre as grandezas conservativas, foi em torno de 1%
(energia cinética média) e de 2% (enstrofia média).
Vale salientar que observando as figuras 5.19 a 5.23 verifica-se que as soluções
semi-lagrangeanas apresentam menos ruído do que a euleriana.
66
Fig. 5.23 – Evolução da enstrofia média e velocidade máxima ao longo da
integração (com NCFL=0.8) para os 4 esquemas (EXP21).
As figuras 5.24 e 5.25 representam a diferença entre o campo final de função de
corrente da solução SL3T e euleriana
(
)
3SL T EUL
ψψ
− para os NCFL 4, 6 e 8, após 30
dias de integração. Nos gráficos das figuras 5.26 e 5.27 estão representados estes
mesmos campos para o esquema SL2TMB
(
)
2SL TMB EUL
ψψ
−
, também para os NCFL 4,
6 e 8.
67
Fig. 5.24 – Diferença entre as soluções SL3T e euleriana nos experimentos
EXP24 e EXP25.
68
Fig. 5.25 – Diferença entre as soluções SL3T e euleriana no experimento EXP26.
Fig. 5.26 – Diferença entre as soluções SL2TMB e euleriana no experimento
EXP24.
69
Fig. 5.27 – Diferença entre as soluções SL2TMB e euleriana nos experimentos
EXP25 e EXP26.
70
Nos gráficos das figuras 5.27 e 5.28 estão representados a diferença entre os
campos finais de função de corrente das soluções SL3TM e euleriana
()
3SL TM EUL
ψψ
− ,
novamente para os NCFL 4, 6 e 8, após 30 dias de integração.
Analisando as figuras 5.24 a 5.29, verifica-se que o esquema SL3TM obteve
melhores valores que os outros dois esquemas semi-lagrangeano, mostrando-se menos
sensível à variação do NCFL pois a diferença
(
)
3EUL SL TM
ψψ
− é minimizada, ao passo
que enquanto o esquema SL3T amplificou os valores próximos à fronteira com o
aumento do NCFL, o esquema SL2TMB amplificou próximo ao centro do domínio.
Fig. 5.28 – Diferença entre as soluções SL3TM e euleriana no experimento
EXP24.
71
Fig. 5.29 – Diferença entre as soluções SL3TM e euleriana nos experimentos
EXP25 e EXP26.
72
Os gráficos das figuras 5.30 a 5.32 que descrevem a evolução da enstrofia e
energia cinética médias para os NCFL 4, 6 e 8 para os três esquemas semi-lagrangeanos,
demonstram que inicialmente, com NCFL 4, a solução do esquema SL3T apresenta um
aumento das grandezas
Ec e
ξ
, passando a atenuar estas grandezas com o aumento do
NCFL para 6 e 8. Paralelamente, verifica-se que o esquema SL2TMB apresentou um
crescimento destas grandezas médias com o aumento do NCFL (6 e 8).
A solução do esquema SL3TM mostrou-se mais conservativa e menos sensível em
relação ao aumento do NCFL, apresentando assim, o melhor resultado.
Fig. 5.30 – Evolução da enstrofia
ξ
(acima) e da energia cinética Ec (abaixo) ao
longo da integração, com NCFL= 4.
73
Fig. 5.31 – Evolução da enstrofia
ξ
(acima) e da energia cinética Ec (abaixo) ao
longo da integração, com NCFL= 6.
Fig. 5.32 – Evolução da enstrofia
ξ
(acima) e da energia cinética Ec (abaixo) ao
longo da integração, com NCFL= 8.
74
A figura 5.33 descreve o crescimento com o aumento do NCFL, da razão da soma
dos quadrados (5.10) e do erro RMS (5.12) do campo de função de corrente após 30
dias de integração. Apesar de o primeiro parâmetro apresentar certa constância, o
segundo mostra que, a partir do NCFL 4, o erro RMS do SL3T cresceu
demasiadamente, tendo o do SL2TMB crescido mais acentuadamente a partir do NCFL
6 e o erro RMS do SL3TM a partir do NCFL 8.
Fig. 5.33 - Evolução do
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
e do erro RMS com o aumento do NCFL para
30 dias de integração
O gráfico da figura 5.34, que discrimina os tempos de processamento de cada um
dos experimentos deste caso, mostra mais uma vez que o esquema SL3TM tem custo
computacional pouco maior que os demais semi-lagrangeanos o que era de se esperar
tendo em vista que a quebra da trajetória neste esquema aumenta o número de
75
interpolações efetuadas. Entretanto já para o NCFL=1 o SL3TM apresenta um tempo de
processamento menor do que o euleriano.
Fig. 5.34 – Comparação entre os tempos de processamento dos métodos euleriano
(somente para NCFL=0.8), SL3T, SL2TMB e SL3TM no CASO 2
5.2.3 – EXPERIMENTOS DO CASO 3 (EXP31, EXP34 E EXP36)
Aumentando-se ainda mais a curvatura do campo inicial, foram realizados, a partir
dos parâmetros da tabela 5.3, os experimentos pertinentes ao CASO 3; este é o caso
mais crítico, pois é o de maior curvatura. Nos apêndices A e B tabelas A.9 a A.12 e B.7
a B.9 estão transcritos os resultados destes experimentos.
Na figura 5.35 encontra-se a representação em curvas de nível do campo final de
função de corrente para os esquemas euleriano e semi-lagrangeanos.
76
Fig 5.35 – Solução euleriana, SL3T, SL2TMB e SL3TM para o CASO3 com o
menor passo de tempo (NCFL=0.8).
77
Nas figuras 5.36 e 5.37 estão representados as diferenças entre o campo final de
função de corrente das soluções semi-lagrangeanas e euleriana para este caso com o
menor passo de tempo NCFL=0.8.
Fig. 5.36 – Diferença entre as soluções SL3T e euleriana no experimento EXP31.
Analisando as figuras 5.36 a 5.37, vê-se que os esquemas semi-lagrangeanos
convergem para a mesma solução uma vez que as representações dos campos diferença
entre cada solução semi-lagrangeana e a solução euleriana são semelhantes. Na figura
5.35, a fim de endossar a afirmação anterior, representou-se o campo final de função de
corrente de cada uma das soluções semi-lagrangeanas e da solução euleriana, sendo
possível certificar que os três esquemas obtiveram campos finais bem semelhantes à
solução euleriana. Portanto, tal como nos casos anteriores, a solução euleriana com
NCFL=0.8 é adotada como referência de comparação.
78
Fig. 5.37 – Diferença entre os campos finais de função de corrente das soluções
SL2TM e SL3TM, e euleriana no experimento EXP31 (NCFL=0.8).
79
A figura 5.38 descreve o campo formado pela diferença entre a função de corrente
final da solução semi-lagrangeana pelo esquema SL3T e a função de corrente final da
solução euleriana
(
)
3SL T EUL
ψψ
− para o NCFL 4. A figura 5.39 descreve, o mesmo
campo diferença entre funções de corrente para a solução pelo esquema SL2TMB
()
2SL TMB EUL
ψψ
− com NCFL 6.
Pela comparação das figuras 5.38 e 5.39, com a figura 5.40, que representa o
campo diferença entre a função de corrente final do esquema SL3TM e a função de
corrente final do esquema euleriano
(
)
3SL TM EUL
ψψ
−
, nos experimentos EXP34 e
EXP36 (NCFL 4 e 8), pode-se constatar o crescimento da solução SL3T já no NCFL=4
e o crescimento da solução SL2TMB a partir do NCFL=8, enquanto a solução pelo
esquema SL3TM mantém-se estável.
Fig. 5.38 – Diferença entre as soluções SL3T e euleriana no experimento EXP34.
80
Fig. 5.39 – Diferença entre os campos finais de função de corrente entre as
soluções SL2TMB e euleriana no experimento EXP36 (NCFL=8).
A representação da variação percentual da
ξ
, Ec ,
ζ
e
M
AX
U
G
, definidas em (3.4)
e (5.8), com o aumento do NCFL de 0.8 a 10, ao longo de 30 dias de integração,
encontra-se no gráfico da figura 5.41, onde o SL3TM aparece como o esquema de
menor variação.
Na figura 5.42 observa-se que os tempos de processamento dos esquemas semi-
lagrangeanos são menores do que o do euleriano, mesmo na situação de menor passo de
tempo (NCFL=0.8), isto acontece porque devido ao aumento da curvatura do domínio, o
campo de função de corrente calculado pelo esquema euleriano apresenta mais ruído,
demorando a convergir na solução da equação de elíptica (método SOR) do que o
mesmo campo proveniente da solução semi-lagrangeana.
81
Fig. 5.40 – Diferença entre os campos finais de função de corrente entre as
soluções SL3TM e euleriana nos experimentos EXP34 (NCFL=8) e EXP36
(NCFL=8).
82
Fig. 5.41 - Variação Percentual da enstrofia, energia cinética e vorticidade
médias e da velocidade máxima, com o aumento do NCFL de 0.8 a 10, para
30 dias de Integração.
Fig. 5.42 – Comparação entre os tempos de processamento dos Métodos
euleriano (somente para NCFL=0.8), SL3T, SL2TMB e SL3TM no CASO 3
83
CAPÍTULO 6
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Neste capítulo, os resultados alcançados pelos esquemas semi-lagrangeanos,
apresentados no capítulo anterior e descritos nos apêndices A e B, serão confrontados e
avaliados quanto à variação das grandezas conservativas, acurácia, grau de atenuação e
custo computacional.
6.1 – GRANDEZAS CONSERVATIVAS
Esta avaliação considera a variação percentual das grandezas conservativas
(ARAKAWA, LAMB, 1977) vorticidade média
(
)
ζ
, enstrofia média
()
ξ
e energia
cinética média
()
Ec , definidas por (3.4), e também da magnitude máxima do vetor
velocidade
()
M
AX
U
G
definida por (5.8), para os esquemas semi-lagrangeanos com
diferentes números de Courant e em períodos de integração distintos.
A partir dos resultados constantes das tabelas do apêndice A, podem-se
confeccionar os gráficos das figuras 6.1 e 6.2 que apresentam a variação percentual das
grandezas mencionadas neste item para cada caso deste estudo, separadas em períodos
de integração de 5, 10, 20 e 30 dias.
84
Fig. 6.1 – Variações Percentuais da enstrofia, energia cinética e vorticidade
médias e da velocidade máxima, com o aumento do NCFL de 0.8 a 10, para
5, 10, 20 e 30 dias de Integração, para os CASOS 1 (acima) e 2 (abaixo).
85
Fig. 6.2 – Variações Percentuais da enstrofia, energia cinética e vorticidade
médias e da velocidade máxima, com o aumento do NCFL de 0.8 a 10, para
5, 10, 20 e 30 dias de Integração, para o CASO 3.
A analise destes gráficos mostra que dentre os três esquemas semi-lagrangeanos o
SL3TM é o que mais conserva as grandezas mencionadas em todas as situações, o que é
altamente desejável neste tipo de problema.
6.2 – ACURÁCIA
Serão utilizados dois critérios para avaliar-se a acurácia das soluções. O primeiro é
a comparação do erro médio quadrático (RMS) da diferença entre os campos de função
de corrente obtidos pelos métodos semi-lagrangeanos e destes campos obtidos pelo
86
método euleriano (KUO, WILLIAMS, 1990), conforme definido em (5.12), para todos
os casos, observando-se o crescimento ao longo do aumento do período de integração.
O segundo critério a ser utilizado para avaliar-se a acurácia será o da comparação
entre o desvio padrão de cada solução semi-lagrangeana normalizado pelo desvio
padrão da solução de referência (PUDYKIEWICZ, STANIFORTH, 1984), conforme
definido em (5.11).
A partir das tabelas do apêndice B constroem-se os gráficos das figuras 6.3, 6.4 e
6.5 que representam o crescimento do RMS com o aumento do NCFL para diferentes
curvaturas do campo (casos), distribuídos em períodos de integração distintos.
Fig. 6.3 – Evoluções dos erros RMS das soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com o
aumento do NCFL para o CASO 1.
87
Estes gráficos (das figuras 6.3 a 6.5) mostram que, apesar do erro RMS crescer
com o aumento do NCFL para os três esquemas em todos os casos, as soluções obtidas
pelo esquema SL3TM apresentam um crescimento sempre menor do erro RMS, o que
demonstra ter esta solução um grau de acurácia maior do que as demais.
É importante ainda salientar que no CASO 3, onde o campo apresenta a maior
curvatura, o esquema SL3TM apresentou um crescimento do RMS bem menor do que
os demais, chegando a 50% menor em determinados NCFL (4 e 6).
Fig. 6.4 – Evoluções dos erros RMS das soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com o
aumento do NCFL para o CASO 2.
Finalmente, ressalta-se que os valores dos erros RMS para o caso 3 foram em
geral menor do que para os outros dois casos. Isto ocorre porque em um domínio de
88
maior curvatura o esquema euleriano, mesmo com um passo de tempo pequeno
(NCFL=0.8), amplificou sua solução na direção das soluções semi-lagrangianas o que
levou a um menor erro RMS destas soluções quando comparadas com a solução
euleriana.
Fig. 6.5 – Evoluções dos erros RMS das soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com o
aumento do NCFL para o CASO 3.
Utilizando-se dos dados constantes das tabelas do apêndice B, os gráficos das
figuras 6.6 e 6.7 que representam as razões entre os desvios padrões dos esquemas
semi-lagrangeanos e o euleriano, são confeccionados. Da análise destes gráficos,
verifica-se, inicialmente, que o valor da razão dos desvios padrões varia muito pouco ao
longo da integração. Isto acontece devido às características do problema, que utiliza um
89
campo relativamente estável e simétrico. Apesar disto, uma análise mais detalhada
mostra que o SL3TM descreve uma curva semelhante em todos os casos mantendo a
coerência de suas soluções em qualquer situação de domínio e NCFL. Ressalta-se que
nesta comparação o melhor desempenho está na curva que se mantém mais próxima de
1, uma vez que o que queremos é que
EUL
σ
σ
≈
, sendo este o comportamento da curva
SL3TM.
Fig. 6.6 – Razões
EUL
σ
σ
das soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com o aumento
do NCFL, para 5, 10, 20 e 30 dias de integração, referente ao CASO 1.
90
Fig. 6.7 – Razões
EUL
σ
σ
das soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com o aumento
do NCFL, para 5, 10, 20 e 30 dias de integração, para os CASOS 2 e 3.
91
6.3 – GRAU DE ATENUAÇÃO
O grau de atenuação de cada solução será medido pela comparação das razões
entre os somatórios dos campos de função de corrente da solução semi-lagrangeana pelo
da solução padrão, e entre o somatório dos quadrados das funções de corrente semi-
lagrangeanas pela da euleriana (PUDYKIEWICZ, STANIFORTH, 1984), definidas por
(5.9) e (5.10) respectivamente.
Fig. 6.8 – Distribuição por casos dos resultados das 84 comparações entre os
esquemas semi-lagrangeanos de
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
e de
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
.
Analisando os resultados lançados nas tabelas do apêndice B, verifica-se o
lançamento destes parâmetros após 125, 250, 500 e 716,67 horas de integração, para
cada um dos sete NCFL, para os três casos, levando a um total de 84 comparações entre
os esquemas semi-lagrangeanos. Com relação à razão entre os somatórios (5.9), das 84
92
comparações, o SL3TM foi melhor em 58 (69%). Com relação à razão entre o
somatório dos quadrados (5.10), o SL3TM foi melhor em 51 (60%) das 84
comparações. Estes valores estão distribuídos nos casos conforme o gráfico da figura
6.8, onde as barras indicam os números de casos que cada método foi superior.
Ao expandir as informações da razão entre os somatórios dos quadrados no CASO
3, onde o SL3T teve uma maior “pontuação” do que o SL3TM, constroem-se os
gráficos da figura 6.9, onde as 28 comparações referente ao CASO 3 estão distribuídas
por horas de integração (à esquerda) e número de Courant (à direita). Pode-se verificar
que com o aumento do período de integração e NCFL o desempenho do SL3TM é
superior ou igual aos demais esquemas.
Fig. 6.9 – Distribuição por Horas de Integração (esquerda) e NCFL (direita) dos
resultados das 28 comparações entre os esquemas semi-lagrangeanos de
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
, no CASO 3.
93
Os gráficos das figuras 6.10 e 6.11, também confeccionados a partir dos dados das
tabelas do apêndice B, representam a evolução com o aumento do número de Courant
das razões entre os somatórios dos campos de função de corrente das soluções semi-
lagrangeanas e euleriana (5.9), e entre os somatórios dos quadrados dos campos de
função de corrente das soluções semi-lagrangeanas e euleriana (5.10). Em ambas razões,
a indicação do melhor desempenho está na curva que mais se aproxima de 1. Pela
análise destes gráficos, percebe-se que mesmo onde o SL3TM não foi o melhor, nos
baixos NCFL, o esquema esteve próximo do melhor.
Deste modo, pode-se concluir o menor grau de atenuação do esquema SL3TM em
relação aos outros dois esquemas semi-lagrangeanos deste estudo.
Fig. 6.10 – Razões
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
(contínua) e
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
(tracejado) referente às
soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com o aumento do NCFL, para 5, 10, 20
e 30 dias de integração, do CASO 1.
94
Fig. 6.11 – Razões
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
(contínua) e
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
(tracejado) referente às
soluções SL3T, SL2TMB e SL3TM, com o aumento do NCFL, para 5, 10, 20
e 30 dias de integração, dos CASOS 2 e 3.
95
6.4 – CUSTO COMPUTACIONAL
A implementação da quebra da trajetória em dois passos para determinação da
posição de partida da partícula no esquema SL3TM, promove um aumento no custo
computacional do esquema, mais especificamente na rotina de determinação das
velocidades da trajetória descrita no item 4.8.1, dobrando-se o número de interpolações
necessárias, em comparação com a mesma rotina do esquema SL3T, descrito no item
4.6.1. Este aumento reflete o maior tempo de processamento do SL3TM em comparação
com o SL3T e SL2TMB registrados nos gráficos das figuras 5.13, 5.20 e 5.24
Em função dos valores obtidos e representados nos mencionados gráficos, a
quebra da trajetória da partícula resulta num aumento em média de 34% no tempo de
processamento, em relação aos outros métodos semi-lagrangeanos.
O
High resolution Regional Model (HRM) é um modelo atmosférico desenvolvido
pelo serviço meteorológico alemão
Deutscher Wetterdienst (DWD) e utilizado
operacionalmente por mais de 30 instituições em diversos paises, inclusive no Instituto
Nacional de Meteorologia (INMet) e no Centro de Hidrografia da Marinha. Tomando
como base o HRM, a previsão dinâmica explícita (parte advectiva do modelo), resolvida
pelo método semi-implícito euleriano, representa 14% a 34% do custo total
computacional, conforme a configuração da grade do modelo (número de pontos e
espaçamento), da máquina utilizada (IBM, SGI, Cluster de Linux) e do método de
paralelismo utilizado (OpenMP e MPI) (MAJEWSKI,
et al., 2005).
Coma base nestes valores, pode-se afirmar que a implementação do SL3TM
promoveria um aumento aproximadamente de 4% a 11% no custo computacional de um
modelo numérico semi-lagrangeano, caso fosse mantido o mesmo passo de tempo.
96
Entretanto, a implementação do SL3TM permitiria o uso de maiores do passos de tempo
sem perda significativa de acurácia, o que compensaria este aumento podendo até
mesmo promover uma diminuição do custo computacional total.
97
CAPÍTULO 7
CONCLUSÃO
Este trabalho apresentou a comparação de três esquemas de determinação da
posição de partida das partículas no método semi-lagrangeano aplicado a um problema
de advecção não-linear.
A motivação deste estudo fundamenta-se na possibilidade de diminuição de uma
das principais fontes de erro do método semi-lagrangeano (DURRAN, 1998),
empregando-se um método de três níveis de tempo modificado para a determinação da
posição de partida da partícula.
O problema consistiu na simulação numérica de um escoamento horizontal, não
divergente, governado pela equação de conservação da vorticidade, a qual, a partir de
um campo inicial definido em termos de uma função de corrente, foi integrada,
utilizando-se quatro diferentes métodos: euleriano que foi considerada a solução de
referência, semi-lagrangeano de três níveis de tempo, semi-lagrangeano de dois níveis
de tempo e semi-lagrangeano de três níveis de tempo modificado (SL3TM) proposto
pela primeira vez por COSTA (2003) para a solução de um problema de advecção
linear.
Foram efetuadas várias integrações utilizando diferentes passos de tempo
variando-se a curvatura do campo inicial.
As soluções semi-lagrangeanas foram comparadas e concluiu-se que:
a)
O método, como os demais semi-lagrangeanos, é incondicionalmente
estável;
98
b)
O SL3TM mostrou um melhor desempenho na conservação das grandezas
vorticidade média, enstrofia média e energia cinética média;
c)
O SL3TM apresentou maior acurácia nas suas soluções;
d)
O SL3TM atenua menos que os demais métodos semi-lagrangeanos,
principalmente em situações de maior curvatura, maior número de Courant e
períodos de integração mais longos, e
e)
O SL3TM tem um custo computacional 34%, em média, maior que os
demais semi-lagrangeanos, o que representaria um aumento de cerca de 5% a
11% em um modelo numérico atmosférico caso fosse mantido o mesmo passo
de tempo, mostrando-se, mesmo assim, vantajosa sua aplicação em vista dos
demais ganhos obtidos.
Enfim, o método se mostrou perfeitamente aplicável, principalmente em
escoamentos de curvatura acentuada, onde a utilização de maiores passos de tempos
(que é a vantagem do semi-lagrangeano) teria um menor efeito na acurácia da solução,
em relação aos outros dois esquemas semi-lagrangeanos.
Todas as simulações foram efetuadas em um domínio plano, utilizando-se
somente a equação de advecção sem fontes nem sumidouros. Com a finalidade de testar
este método em situações mais realísticas, sugere-se, para trabalhos futuros, a
implementação do SL3TM em um modelo de águas rasas aplicado à esfera.
99
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARAKAWA, A., 1966, Computational Design for Long-Term Numerical Integrations
of the Equations of the Atmospheric Motion.
Journal of Computational Physics, vol. 1,
pp. 119-143.
ARAKAWA, A., LAMB, V., R., 1977: Computational Design of the Basic Dynamical
Process of the UCLA General Circulation Model.
Methods in Computational Physics,
vol. 17, 173-265.
ASSELIN, R., A., 1972, Frequency Filter for Time Integrations,
Monthly Weather
Review, vol. 100, pp. 487-489.
BATCHELOR, G. K., 1967,
An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University
Press.
CHAPMAN, S., J., 1998,
Fortran 90/95 for Scientists and Engineers, 1 ed., New York,
McGraw-Hill.
CHAPMAN, S., J., 2003,
Programação em MATLAB para Engenheiros, 1 ed., São
Paulo, Pioneira Thomson Learning.
COSTA, G., A., S., 2003,
Aprimoramento na Determinação do Ponto de Partida da
Trajetória de Partículas no Método Semi-Lagrangeano de Três Níveis de Tempo
.
Dissertação M. Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil.
100
DURRAN, D.R., 1998,
Numerical Methods for Waves Equations in Geophysical Fluid
Dynamics
. 1 ed. New York, Springer-Verlag.
FJ
ΦRTOFT, R., 1952, On a Numerical Method of Integrating the Barotropic Vorticity
Equation,
Tellus, vol. 4, pp. 179-194.
HALTINER, G.J., WILLIAMS, R.T., 1980,
Numerical Prediction and Dynamic
Meteorology
. 2 ed. New York, Juon Wiley & Sons.
HOLTON, J. R., 1992,.
An Introduction to Dynamic Meteorology. 3ª ed. Academic
Press.
KRISHNAMURTI, T.N., 1962, Numerical Integration of Primitive Equations by a
quasi-Lagrangian Advective Scheme,
Journal of Applied Meteorology, vol 1, pp 508-
521.
KUO, H. C., WILLIAMS, R.T., 1990, Semi-Lagrangian Solutions to the Inviscid
Burgers Equation,
Monthly Weather Review, vol. 118, pp. 1278-7288.
MAJEWSKI, D,
et al., 2005, HRM User’s Guide, Deutscher Wetterdienst, Offenbach.
MCDONALD, A., BATES, J. R., 1987, Improving de Estimate of the Departure Point
position in a Two-Time-Level Semi-Lagrangian and Semi-Implicit Model.
Monthly
Weather
Review, vol. 115, pp. 737-739.
101
MCDONALD, A., BATES, J. R., 1989, Semi-Lagrangian Integration of a Gridpoint
Shallow Water Model on the Sphere.
Monthly Weather Review, vol. 117, pp. 130-137
MESINGER, F., ARAKAWA, A., 1976,
Numerical methods used in atmospheric
models, volume I
, In: Garp Publication Series No. 17, WMO/ICSU Joint Organazing
Committee.
PUDYKIEWICZ, J., STANIFORTH, A., 1984,
Some properties and comparative
performance of the semi-Lagrangian method of Robert in the solution of the advection
diffusion equation
. Atmosphere-Ocean, vol. 22, pp. 283-308.
RIDDAWAY, R., W., 2001,
Numerical Methods. In: ECMWF Meteorological Training
Course Lecture Series.
RITCHIE, H.,
et al., 1995, Implementation of the semi-Lagrangian Method in a High-
Resolution Version of the ECMWF Forecast Model,
Monthly Weather Review, vol. 123,
pp. 489-514.
ROBERT, A., HENDERSON, J., TURNBULL, C., 1972, An Implicit Time Integration
Scheme for Baroclinic Models of the Atmosphere,
Monthly Weather Review, vol. 100,
pp. 329-335.
ROBERT, A., 1981, A Stable Numerical Integration Scheme for the Primitive
Meteorological Equations,
Atmosphere-Ocean, vol. 19, pp. 35-46.
102
SAWYER, J. S., 1963, A Semi-Lagrangian method of Solving the Vorticity Advection
Equation,
Tellus, vol. 15, pp. 336-342.
SPIEGEL, M., R., 1992,
Manual de Fórmulas, Métodos e Tabelas de Matemática 2ª
Ed., São Paulo,Ed. Makron Books do Brasil e MacGraw-Hill ltda.
STANIFORTH, A., CÔTÉ, J., 1991, Semi-Lagrangian integration schemes for
atmospheric models – A review,
Monthly Weather Review, vol. 119, pp. 2206-2223.
WELANDER, P., 1955, Studies on the General Development of Motion in a
Twodimensional, Ideal Fluid.
Tellus, vol. 7, pp. 141-156.
WIIN-NIELSEN, A., 1959, On the Application of Trajectory Methods in Numerical
Forecasting.
Tellus, vol. 11, pp. 180-196.
103
APÊNDICES
APÊNDICE A - Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média, energia
cinética média e vorticidade média) e da velocidade máxima.
Tabela A.1 – Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média, energia cinética
média e vorticidade média) e da velocidade máxima, da solução euleriana do Caso 1.
NCFL
ξ
E
c
ζ
MAX
U
G
Após 05 dias de integração
0.81 9.388770e-009 188.683 -1.014890e-004 27.3157
Após 10 dias de integração
0.81 9.388230e-009 188.678 -1.011710e-004 27.2883
Após 20 dias de integração
0.81 9.387420e-009 188.907 -1.013060e-004 27.3552
Após 30 dias de integração
0.81 9.386840e-009 189.011 -1.012470e-004 27.3399
104
Tabela A.2 – Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL3T do Caso 1.
NCFL
ξ
E
c
ζ
MAX
U
G
0.81 9.318280e-009 188.569 -1.013750e-004 27.2838
1.08 9.311580e-009 188.449 -1.013590e-004 27.2759
2.16 9.260520e-009 187.622 -1.011040e-004 27.2169
4.26 9.143760e-009 185.94 -1.001560e-004 27.0714
6.48 8.901460e-009 183.519 -9.904560e-004 26.922
8.52 8.631880e-009 181.918 -9.775420e-004 26.8252
Após 05 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.79 8.450750e-009 181.053 -9.665910e-004 26.7288
0.81 9.312630e-009 188.472 -1.014110e-004 27.2675
1.08 9.302030e-009 188.305 -1.013770e-004 27.2563
2.16 9.211170e-009 187.024 -1.009000e-004 27.1668
4.26 9.007700e-009 184.664 -9.918630e-005 26.9653
6.48 8.590810e-009 181.029 -9.734930e-005 26.7625
8.52 8.149250e-009 178.301 -9.533170e-005 26.6349
Após 10 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.79 7.931190e-009 177.249 -9.397600e-005 26.5584
0.81 9.302020e-009 188.26 -1.014170e-004 27.2362
1.08 9.283780e-009 187.952 -1.013430e-004 27.2159
2.16 9.114820e-009 185.204 -1.004180e-004 27.0279
4.26 8.756730e-009 180.298 -9.727180e-005 26.6213
6.48 8.069530e-009 172.773 -9.430570e-005 26.2249
8.52 7.375520e-009 166.969 -9.122730e-005 25.9952
Após 20 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.79 6.971210e-009 165.309 -8.901700e-005 25.9396
0.81 9.292050e-009 188.057 -1.013920e-004 27.2104
1.08 9.266080e-009 187.594 -1.012770e-004 27.18
2.16 9.020930e-009 183.294 -9.990940e-005 26.8852
4.26 8.535150e-009 175.41 -9.547950e-005 26.2408
6.48 7.672300e-009 163.525 -9.179730e-005 25.6028
8.52 6.793070e-009 154.261 -8.801840e-005 25.189
Após 30 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.79 6.125840e-009 150.293 -8.472980e-005 25.0755
105
Tabela A.3 – Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL2TMB do Caso 1.
NCFL
ξ
E
c
ζ
MAX
U
G
0.81 9.318400e-009 188.564 -1.013650e-004 27.2828
1.08 9.314290e-009 188.491 -1.013620e-004 27.2777
2.16 9.286480e-009 187.971 -1.012310e-004 27.2385
4.26 9.160870e-009 185.918 -1.004700e-004 27.0835
6.48 8.964740e-009 183.549 -9.914020e-005 26.8916
8.52 8.755030e-009 181.817 -9.750710e-005 26.7193
Após 05 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.79 8.412770e-009 180.103 -9.548140e-005 26.5291
0.81 9.314140e-009 188.49 -1.014020e-004 27.2673
1.08 9.309510e-009 188.413 -1.014000e-004 27.2622
2.16 9.271040e-009 187.792 -1.012190e-004 27.2164
4.26 9.073570e-009 185.162 -1.000680e-004 27.0272
6.48 8.768460e-009 181.975 -9.806790e-005 26.7869
8.52 8.475980e-009 179.523 -9.573080e-005 26.5633
Após 10 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.79 8.001260e-009 176.592 -9.303510e-005 26.3267
0.81 9.306390e-009 188.332 -1.014110e-004 27.2377
1.08 9.300760e-009 188.236 -1.014100e-004 27.2325
2.16 9.241230e-009 187.247 -1.011240e-004 27.1644
4.26 8.904300e-009 182.48 -9.920820e-005 26.8365
6.48 8.401540e-009 176.706 -9.595980e-005 26.4252
8.52 7.998240e-009 172.578 -9.247600e-005 26.0713
Após 20 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.79 7.440390e-009 167.204 -8.914180e-005 25.6916
0.81 9.299210e-009 188.177 -1.013900e-004 27.2137
1.08 9.292540e-009 188.064 -1.013880e-004 27.2081
2.16 9.212140e-009 186.662 -1.009990e-004 27.1138
4.26 8.742310e-009 179.332 -9.834560e-005 26.6126
6.48 8.071830e-009 170.394 -9.400020e-005 25.9788
8.52 7.619440e-009 164.641 -8.968260e-005 25.486
Após 30 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.79 7.152840e-009 157.842 -8.638230e-005 24.9565
106
Tabela A.4 – Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL3TM do Caso 1.
NCFL
ξ
E
c
ζ
MAX
U
G
0.81 9.319610e-009 188.593 -1.013820e-004 27.2854
1.08 9.315120e-009 188.516 -1.013810e-004 27.2807
2.16 9.288680e-009 188.053 -1.012820e-004 27.2485
4.26 9.211610e-009 186.811 -1.007910e-004 27.1517
6.48 9.077530e-009 185.049 -9.995000e-005 27.0163
8.52 8.908900e-009 183.607 -9.890730e-005 26.9045
Após 05 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.79 8.698680e-009 182.44 -9.768620e-005 26.7906
0.81 9.315300e-009 188.522 -1.014260e-004 27.2708
1.08 9.309070e-009 188.417 -1.014200e-004 27.2642
2.16 9.266770e-009 187.8 -1.012500e-004 27.2225
4.26 9.139340e-009 186.191 -1.004320e-004 27.1012
6.48 8.917300e-009 183.898 -9.907410e-005 26.9331
8.52 8.645060e-009 181.796 -9.743520e-005 26.7857
Após 10 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.79 8.325310e-009 179.937 -9.564280e-005 26.6499
0.81 9.307330e-009 188.365 -1.014450e-004 27.2431
1.08 9.297830e-009 188.197 -1.014290e-004 27.2335
2.16 9.224130e-009 187.036 -1.011070e-004 27.1597
4.26 8.998380e-009 183.982 -9.963850e-005 26.9381
6.48 8.619450e-009 179.758 -9.732760e-005 26.6413
8.52 8.157060e-009 175.588 -9.458830e-005 26.3711
Após 20 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.79 7.687210e-009 172.025 -9.195980e-005 26.1523
0.81 9.300020e-009 188.213 -1.014320e-004 27.2206
1.08 9.287080e-009 187.981 -1.014050e-004 27.2078
2.16 9.182400e-009 186.204 -1.009270e-004 27.0956
4.26 8.862160e-009 181.326 -9.882980e-005 26.7424
6.48 8.355070e-009 174.654 -9.569430e-005 26.273
8.52 7.742320e-009 167.865 -9.205630e-005 25.8302
Após 30 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.79 7.167450e-009 162.453 -8.878010e-005 25.5037
107
Tabela A.5 – Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média, energia cinética
média e vorticidade média) e da velocidade máxima, da solução euleriana do Caso 2.
NCFL
ξ
E
c
ζ
MAX
U
G
Após 05 dias de integração
0.84 1.040210e-008 81.3978 -1.029430e-004 22.7167
Após 10 dias de integração
0.84 1.040110e-008 81.3594 -1.030220e-004 22.6431
Após 20 dias de integração
0.84 1.039910e-008 81.6522 -1.023900e-004 22.7805
Após 30 dias de integração
0.84 1.039710e-008 81.7031 -1.034340e-004 22.8245
108
Tabela A.6 – Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c
e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL3T do Caso 2.
NCFL
ξ
E
c
ζ
MAX
U
G
0.84 1.025750e-008 81.2409 -1.033170e-004 22.6737
1.05 1.025580e-008 81.2352 -1.033520e-004 22.6729
2.10 1.026170e-008 81.2728 -1.034160e-004 22.6792
4.19 1.031290e-008 81.4393 -1.031990e-004 22.6939
6.29 1.012070e-008 80.1505 -1.023260e-004 22.5202
8.39 9.974520e-009 79.2148 -1.014720e-004 22.3986
Após 05 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 9.779550e-009 78.1502 -1.002930e-004 22.2496
0.84 1.023890e-008 81.113 -1.034380e-004 22.6422
1.05 1.023940e-008 81.1281 -1.034840e-004 22.6444
2.10 1.026870e-008 81.3157 -1.036130e-004 22.6715
4.19 1.040620e-008 81.8098 -1.032980e-004 22.716
6.29 1.006920e-008 79.9163 -1.018290e-004 22.4629
8.39 9.841010e-009 78.7401 -1.005350e-004 22.3066
Após 10 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 9.589180e-009 77.4283 -9.910700e-005 22.1256
0.84 1.020650e-008 80.8538 -1.034110e-004 22.6045
1.05 1.021140e-008 80.9045 -1.034790e-004 22.6123
2.10 1.028870e-008 81.4374 -1.037250e-004 22.6876
4.19 1.060290e-008 82.8746 -1.031490e-004 22.8386
6.29 9.955700e-009 78.9656 -1.004790e-004 22.3166
8.39 9.573280e-009 76.9513 -9.840530e-005 22.0527
Após 20 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 9.192280e-009 74.9991 -9.635410e-005 21.773
0.84 1.017670e-008 80.6022 -1.032690e-004 22.5724
1.05 1.018600e-008 80.6885 -1.033600e-004 22.5851
2.10 1.031230e-008 81.5721 -1.037170e-004 22.7087
4.19 1.080210e-008 83.8791 -1.027830e-004 22.9581
6.29 9.831810e-009 77.7042 -9.901120e-005 22.1369
8.39 9.310840e-009 74.7063 -9.619490e-005 21.7414
Após 30 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 8.772340e-009 71.8298 -9.341760e-005 21.3214
109
Tabela A.7 – Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c
e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL2TMB do Caso 2.
NCFL
ξ
E
c
ζ
MAX
U
G
0.84 1.025290e-008 81.2023 -1.032670e-004 22.668
1.05 1.024840e-008 81.1756 -1.032830e-004 22.6642
2.10 1.022910e-008 81.0317 -1.032460e-004 22.645
4.19 1.019130e-008 80.6718 -1.029070e-004 22.5978
6.29 1.018830e-008 80.2738 -1.023850e-004 22.5401
8.39 1.006190e-008 79.152 -1.010820e-004 22.3781
Após 05 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 9.763210e-009 77.1935 -9.927550e-005 22.0948
0.84 1.023130e-008 81.0471 -1.033580e-004 22.6325
1.05 1.022710e-008 81.0269 -1.033750e-004 22.6299
2.10 1.021150e-008 80.9331 -1.033600e-004 22.6176
4.19 1.020330e-008 80.7217 -1.030840e-004 22.5886
6.29 1.031120e-008 80.7307 -1.027640e-004 22.5757
8.39 1.019190e-008 79.496 -1.010960e-004 22.3811
Após 10 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 9.763470e-009 77.0487 -9.868390e-005 22.0374
0.84 1.019260e-008 80.7316 -1.032770e-004 22.5869
1.05 1.018880e-008 80.7165 -1.032990e-004 22.5854
2.10 1.018130e-008 80.6903 -1.033250e-004 22.5837
4.19 1.023370e-008 80.8873 -1.031620e-004 22.61
6.29 1.058410e-008 82.2824 -1.032670e-004 22.7793
8.39 1.046910e-008 80.6764 -1.007640e-004 22.5042
Após 20 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 9.745740e-009 76.5064 -9.706410e-005 21.9234
0.84 1.015620e-008 80.4233 -1.030850e-004 22.5471
1.05 1.015280e-008 80.4131 -1.031130e-004 22.5462
2.10 1.015360e-008 80.452 -1.031810e-004 22.5533
4.19 1.026860e-008 81.0825 -1.031240e-004 22.6397
6.29 1.089430e-008 84.1848 -1.037020e-004 23.0373
8.39 1.073710e-008 81.8747 -1.000410e-004 22.6445
Após 30 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 9.691680e-009 75.5425 -9.527930e-005 21.7756
110
Tabela A.8 – Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c
e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL3TM do Caso 2.
NCFL
ξ
E
c
ζ
MAX
U
G
0.84 1.025780e-008 81.2434 -1.033220e-004 22.674
1.05 1.025540e-008 81.234 -1.033570e-004 22.6726
2.10 1.024570e-008 81.1716 -1.034070e-004 22.6651
4.19 1.024730e-008 81.127 -1.033050e-004 22.6602
6.29 1.019080e-008 80.6415 -1.028020e-004 22.5911
8.39 1.008800e-008 79.8197 -1.020090e-004 22.48
Após 05 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 9.926610e-009 78.8289 -1.009340e-004 22.3422
0.84 1.023950e-008 81.1186 -1.034480e-004 22.6429
1.05 1.023850e-008 81.1248 -1.034950e-004 22.6439
2.10 1.023570e-008 81.1205 -1.035880e-004 22.6453
4.19 1.027300e-008 81.2363 -1.035160e-004 22.6586
6.29 1.020890e-008 80.6902 -1.027740e-004 22.5784
8.39 1.006260e-008 79.7109 -1.015910e-004 22.4367
Após 10 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 9.849180e-009 78.4943 -1.001850e-004 22.2643
0.84 1.020770e-008 80.8665 -1.034310e-004 22.6061
1.05 1.020970e-008 80.8981 -1.035010e-004 22.6114
2.10 1.022110e-008 81.0155 -1.036650e-004 22.6305
4.19 1.032960e-008 81.5764 -1.036170e-004 22.701
6.29 1.024810e-008 80.7985 -1.023830e-004 22.5794
8.39 1.001740e-008 79.2666 -1.004800e-004 22.3516
Após 20 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 9.677450e-009 77.3341 -9.829000e-005 22.0766
0.84 1.017850e-008 80.6216 -1.032990e-004 22.5749
1.05 1.018340e-008 80.6798 -1.033930e-004 22.5836
2.10 1.020900e-008 80.9066 -1.036160e-004 22.6178
4.19 1.038980e-008 81.9389 -1.035810e-004 22.7511
6.29 1.028970e-008 80.8774 -1.018500e-004 22.5891
8.39 9.976030e-009 78.6288 -9.926560e-005 22.2571
Após 30 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 9.498380e-009 75.7416 -9.625730e-005 21.8516
111
Tabela A.9 – Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média, energia cinética
média e vorticidade média) e da velocidade máxima, da solução euleriana do Caso 3.
NCFL
ξ
E
c
ζ
MAX
U
G
Após 05 dias de integração
0.84 1.584750e-008 75.5909 -1.254800e-004 23.374
Após 10 dias de integração
0.84 1.584570e-008 75.7387 -1.260750e-004 23.332
Após 20 dias de integração
0.84 1.584150e-008 75.779 -1.268140e-004 23.3567
Após 30 dias de integração
0.84 1.583690e-008 75.7865 -1.267060e-004 23.3706
112
Tabela A.10 – Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c
e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL3T do Caso 3.
NCFL
ξ
E
c
ζ
MAX
U
G
0.84 1.558110e-008 75.2393 -1.265430e-004 23.2833
1.05 1.558270e-008 75.2592 -1.266260e-004 23.286
2.10 1.561790e-008 75.4209 -1.268640e-004 23.3164
4.19 1.570450e-008 75.6539 -1.267120e-004 23.3484
6.29 1.543790e-008 74.5669 -1.258980e-004 23.2008
8.39 1.530300e-008 73.95 -1.254410e-004 23.1128
Após 05 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 1.484530e-008 72.2901 -1.233220e-004 22.8673
0.84 1.551570e-008 74.9291 -1.265780e-004 23.2526
1.05 1.552370e-008 74.985 -1.266920e-004 23.2597
2.10 1.562090e-008 75.4275 -1.271300e-004 23.3309
4.19 1.583570e-008 76.0468 -1.268550e-004 23.4093
6.29 1.536520e-008 74.329 -1.254950e-004 23.1627
8.39 1.519420e-008 73.6748 -1.250520e-004 23.0637
Após 10 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 1.443400e-008 71.2555 -1.217700e-004 22.7024
0.84 1.540060e-008 74.344 -1.261760e-004 23.195
1.05 1.542190e-008 74.4648 -1.263510e-004 23.2109
2.10 1.564880e-008 75.5037 -1.271760e-004 23.3773
4.19 1.610430e-008 76.9109 -1.264220e-004 23.5714
6.29 1.521170e-008 73.4382 -1.240240e-004 23.0629
8.39 1.500510e-008 72.7188 -1.237910e-004 22.9274
Após 20 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 1.368130e-008 67.9392 -1.183470e-004 22.1686
0.84 1.529340e-008 73.7817 -1.255830e-004 23.1361
1.05 1.532810e-008 73.9687 -1.258180e-004 23.1609
2.10 1.568920e-008 75.6198 -1.270300e-004 23.4261
4.19 1.634940e-008 77.5319 -1.255080e-004 23.6995
6.29 1.506120e-008 72.4244 -1.223800e-004 22.9469
8.39 1.488220e-008 71.8405 -1.226670e-004 22.8091
Após 30 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 1.306420e-008 64.6275 -1.153490e-004 21.6182
113
Tabela A.11 – Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c
e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL2TMB do Caso 3.
NCFL
ξ
E
c
ζ
MAX
U
G
0.84 1.557060e-008 75.1856 -1.264500e-004 23.2757
1.05 1.556660e-008 75.1821 -1.264980e-004 23.2746
2.10 1.554520e-008 75.0973 -1.265150e-004 23.2635
4.19 1.552140e-008 74.9107 -1.262370e-004 23.2509
6.29 1.556570e-008 74.7173 -1.257760e-004 23.2357
8.39 1.531370e-008 73.5113 -1.240060e-004 23.0659
Após 05 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 1.487550e-008 71.5734 -1.219450e-004 22.7957
0.84 1.549630e-008 74.8258 -1.264200e-004 23.2391
1.05 1.549440e-008 74.8351 -1.264770e-004 23.2392
2.10 1.548620e-008 74.8403 -1.265580e-004 23.2384
4.19 1.554200e-008 74.9674 -1.265020e-004 23.2703
6.29 1.581540e-008 75.4735 -1.264610e-004 23.3634
8.39 1.549550e-008 73.8973 -1.239500e-004 23.1058
Após 10 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 1.489250e-008 71.5181 -1.213780e-004 22.7716
0.84 1.536190e-008 74.1399 -1.258970e-004 23.169
1.05 1.536420e-008 74.1693 -1.259720e-004 23.1715
2.10 1.538370e-008 74.3103 -1.261830e-004 23.189
4.19 1.560750e-008 75.1818 -1.265540e-004 23.3441
6.29 1.639540e-008 77.7031 -1.273530e-004 23.7717
8.39 1.585530e-008 74.8913 -1.229440e-004 23.2877
Após 20 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 1.490310e-008 71.1668 -1.195690e-004 22.7498
0.84 1.523430e-008 73.4736 -1.251850e-004 23.0969
1.05 1.524090e-008 73.524 -1.252800e-004 23.1018
2.10 1.528890e-008 73.8045 -1.256220e-004 23.1382
4.19 1.568910e-008 75.4576 -1.264200e-004 23.4247
6.29 1.706830e-008 80.2793 -1.280410e-004 24.2252
8.39 1.612340e-008 75.3849 -1.211170e-004 23.4166
Após 30 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
0.84 1.523430e-008 73.4736 -1.251850e-004 23.0969
114
Tabela A.12 – Valores das Grandezas Conservativas (enstrofia média
ξ
, energia
cinética média
E
c
e vorticidade média
ζ
) e da velocidade máxima
MAX
U
G
, da solução
SL3TM do Caso 3.
NCFL
ξ
E
c
ζ
MAX
U
G
0.84 1.558070e-008 75.2379 -1.265480e-004 23.2828
1.05 1.558060e-008 75.2517 -1.266300e-004 23.2842
2.10 1.558250e-008 75.2776 -1.268300e-004 23.2897
4.19 1.560960e-008 75.3765 -1.268940e-004 23.3113
6.29 1.556410e-008 75.1085 -1.264990e-004 23.2814
8.39 1.540100e-008 74.3428 -1.256050e-004 23.1723
Após 05 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 1.521870e-008 73.5581 -1.245570e-004 23.0689
0.84 1.551490e-008 74.9276 -1.265890e-004 23.2516
1.05 1.551950e-008 74.9699 -1.267010e-004 23.256
2.10 1.554820e-008 75.1482 -1.270580e-004 23.2797
4.19 1.565080e-008 75.5088 -1.272750e-004 23.3364
6.29 1.563130e-008 75.2747 -1.267440e-004 23.3049
8.39 1.539150e-008 74.2779 -1.253980e-004 23.1556
Após 10 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 1.517990e-008 73.3719 -1.242600e-004 23.0321
0.84 1.539910e-008 74.3415 -1.261970e-004 23.1931
1.05 1.541350e-008 74.4342 -1.263690e-004 23.2035
2.10 1.549790e-008 74.8941 -1.270140e-004 23.265
4.19 1.574990e-008 75.891 -1.274450e-004 23.4223
6.29 1.577550e-008 75.7594 -1.265890e-004 23.4144
8.39 1.539530e-008 74.0779 -1.243990e-004 23.1449
Após 20 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 1.505260e-008 72.7606 -1.228380e-004 22.957
0.84 1.529120e-008 73.778 -1.256130e-004 23.1333
1.05 1.531550e-008 73.9227 -1.258440e-004 23.1497
2.10 1.545580e-008 74.659 -1.267580e-004 23.2492
4.19 1.585740e-008 76.2893 -1.273740e-004 23.5108
6.29 1.591230e-008 76.1921 -1.261030e-004 23.5253
8.39 1.541080e-008 73.8209 -1.231870e-004 23.1413
Após 30 dias de
Inte
g
ra
ç
ão
10.48 1.488280e-008 71.7949 -1.210410e-004 22.8495
115
APÊNDICE B - Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma, Razão da Soma
dos Quadrados, Erro Médio Quadrático e Razão dos Desvios Padrões.
Tabela B.1 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão
da Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
R
MS e Razão dos
Desvios Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL3T do Caso 1.
NCFL
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
R
MS
E
UL
σ
σ
0.81 0.999576 0.999206 1.132264e+003 0.999642
1.08 0.999238 0.998526 1.982071e+003 0.999297
2.16 0.996798 0.993802 8.145717e+003 0.997038
4.26 0.991421 0.984105 2.099816e+004 0.992886
6.48 0.98464 0.970467 3.898818e+004 0.985821
8.52 0.980074 0.961365 5.116256e+004 0.981097
Após 125 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.79 0.977197 0.956305 5.826398e+004 0.978936
0.81 0.999347 0.99867 1.976798e+003 0.999317
1.08 0.998872 0.997712 3.144721e+003 0.998832
2.16 0.995007 0.990223 1.286831e+004 0.995233
4.26 0.987182 0.976282 3.142027e+004 0.989352
6.48 0.977119 0.955431 5.913041e+004 0.977956
8.52 0.969398 0.939669 8.039834e+004 0.969317
Após 250 horas
de inte
g
ra
ç
ão
10.79 0.965854 0.933525 8.917367e+004 0.966677
0.81 0.998114 0.996272 6.172238e+003 0.998163
1.08 0.997206 0.994476 8.166506e+003 0.997275
2.16 0.988823 0.978331 2.877429e+004 0.989515
4.26 0.972276 0.948969 6.816422e+004 0.976853
6.48 0.951228 0.905397 1.274201e+005 0.951951
8.52 0.934403 0.871714 1.742185e+005 0.932577
Após 500 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.79 0.929006 0.861586 1.886730e+005 0.927075
116
0.81 0.997185 0.994737 7.070137e+003 0.997626
1.08 0.995873 0.992161 1.039968e+004 0.996362
2.16 0.983359 0.968162 4.207238e+004 0.98481
4.26 0.958049 0.923505 1.027825e+005 0.965229
6.48 0.925931 0.858227 1.935174e+005 0.927091
8.52 0.899675 0.80746 2.663309e+005 0.897015
Após 716 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.79 0.888431 0.785719 2.983219e+005 0.883476
117
Tabela B.2 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão
da Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos
Desvios Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL2TMB do CASO 1.
NCFL
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
RMS
E
UL
σ
σ
0.81 0.999548 0.999182 1.174429e+003 0.999652
1.08 0.999349 0.998768 1.680768e+003 0.999435
2.16 0.997803 0.995814 5.527781e+003 0.998053
4.26 0.991583 0.984139 2.092263e+004 0.992696
6.48 0.984154 0.970589 3.896367e+004 0.986673
8.52 0.978292 0.9605 5.262615e+004 0.982588
Após 125 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.79 0.972872 0.950554 6.608401e+004 0.977978
0.81 0.99938 0.998781 1.859784e+003 0.999405
1.08 0.999173 0.998343 2.373206e+003 0.999168
2.16 0.997336 0.994796 6.908875e+003 0.997479
4.26 0.989322 0.979585 2.692380e+004 0.990343
6.48 0.979325 0.961088 5.153955e+004 0.981831
8.52 0.971002 0.946662 7.107720e+004 0.975796
Após 250 horas
de inte
g
ra
ç
ão
10.79 0.962146 0.929669 9.404256e+004 0.967145
0.81 0.998281 0.996677 5.775830e+003 0.998418
1.08 0.998036 0.996146 6.312994e+003 0.998121
2.16 0.995086 0.990417 1.314641e+004 0.995356
4.26 0.980477 0.962508 4.972770e+004 0.981937
6.48 0.962315 0.92863 9.530132e+004 0.965588
8.52 0.948115 0.904228 1.289719e+005 0.954931
Após 500 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.79 0.932096 0.873308 1.721891e+005 0.937986
0.81 0.997462 0.995385 6.286127e+003 0.998019
1.08 0.997179 0.994763 7.055154e+003 0.997666
2.16 0.993157 0.986945 1.723983e+004 0.993876
4.26 0.971717 0.946064 7.166224e+004 0.974017
6.48 0.944804 0.896202 1.397476e+005 0.949383
8.52 0.925357 0.863509 1.858633e+005 0.934853
Após 716 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.79 0.904958 0.825377 2.407990e+005 0.913603
118
Tabela B.3 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão
da Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos
Desvios Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL3TM do Caso 1.
NCFL
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
RMS
E
UL
σ
σ
0.81 0.99965 0.999351 9.610764e+002 0.999712
1.08 0.999441 0.998909 1.493098e+003 0.999475
2.16 0.998101 0.996267 4.914615e+003 0.998175
4.26 0.994303 0.989168 1.425393e+004 0.994954
6.48 0.988945 0.979137 2.751663e+004 0.990334
8.52 0.984469 0.970839 3.856936e+004 0.986528
Após 125 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.79 0.980844 0.964135 4.760217e+004 0.983433
0.81 0.999498 0.998965 1.648927e+003 0.99946
1.08 0.999218 0.998372 2.334645e+003 0.999139
2.16 0.997448 0.994837 6.836566e+003 0.997368
4.26 0.992461 0.985491 1.909698e+004 0.993092
6.48 0.985456 0.972232 3.665341e+004 0.986831
8.52 0.978959 0.960003 5.296471e+004 0.981007
Após 250 horas
de inte
g
ra
ç
ão
10.79 0.97327 0.94921 6.749189e+004 0.975724
0.81 0.998428 0.996884 5.561754e+003 0.998459
1.08 0.997971 0.995926 6.536291e+003 0.997946
2.16 0.99457 0.989161 1.470667e+004 0.994559
4.26 0.98497 0.971144 3.824835e+004 0.986183
6.48 0.971952 0.946356 7.137224e+004 0.974043
8.52 0.959004 0.921825 1.045789e+005 0.961723
Após 500 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.79 0.948102 0.901128 1.329679e+005 0.950973
0.81 0.997633 0.995612 5.958434e+003 0.99805
1.08 0.997017 0.994329 7.579126e+003 0.997368
2.16 0.992039 0.984472 2.043959e+004 0.992446
4.26 0.977446 0.957148 5.678172e+004 0.979629
6.48 0.957773 0.919953 1.071642e+005 0.961117
8.52 0.937653 0.88228 1.591242e+005 0.941671
Após 716 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.79 0.921535 0.85227 2.013134e+005 0.925564
119
Tabela B.4 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão
da Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos
Desvios Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL3T do Caso 2.
NCFL
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
RMS
E
UL
σ
σ
0.84 0.998665 0.997715 1.627624e+003 0.999112
1.05 0.998696 0.997672 1.619158e+003 0.999021
2.10 0.998923 0.998235 1.586510e+003 0.999376
4.19 0.998884 1.00013 3.118535e+003 1.00163
6.29 0.989673 0.982551 9.861830e+003 0.993314
8.39 0.982517 0.969771 1.676523e+004 0.987757
Após 125 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.974436 0.955161 2.456431e+004 0.98115
0.84 0.996319 0.994561 6.820224e+003 0.998552
1.05 0.996514 0.99481 6.730791e+003 0.998584
2.10 0.997717 0.997454 6.707630e+003 1.00007
4.19 0.998935 1.00365 9.598544e+003 1.00567
6.29 0.985701 0.977549 1.504736e+004 0.992711
8.39 0.976572 0.961219 2.340333e+004 0.985524
Após 250 horas
de inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.966836 0.943315 3.245257e+004 0.977091
0.84 0.993718 0.989234 6.787643e+003 0.995778
1.05 0.994189 0.989984 6.410348e+003 0.996031
2.10 0.997529 0.997316 4.785658e+003 1.00016
4.19 1.00262 1.01548 1.477233e+004 1.01445
6.29 0.975371 0.961287 2.334181e+004 0.987177
8.39 0.959439 0.933004 3.861318e+004 0.974484
Após 500 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.945102 0.906148 5.257082e+004 0.960917
0.84 0.991265 0.985046 8.630328e+003 0.99413
1.05 0.991971 0.986229 8.006063e+003 0.994579
2.10 0.997151 0.997658 4.948277e+003 1.00106
4.19 1.00494 1.02502 2.134986e+004 1.02232
6.29 0.9643 0.94406 3.320880e+004 0.9813
8.39 0.941312 0.903819 5.537780e+004 0.963044
Após 716 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.92109 0.866039 7.538836e+004 0.943143
120
Tabela B.5 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão
da Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos
Desvios Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL2TMB do Caso 2.
NCFL
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
RMS
E
UL
σ
σ
0.84 0.998326 0.99716 1.891075e+003 0.998915
1.05 0.998203 0.996833 2.007155e+003 0.998697
2.10 0.997242 0.994933 2.914450e+003 0.997758
4.19 0.994158 0.989984 5.736188e+003 0.996071
6.29 0.989922 0.984237 9.625440e+003 0.99496
8.39 0.98021 0.968539 1.836948e+004 0.989351
Após 125 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.965349 0.94178 3.245322e+004 0.9772
0.84 0.995733 0.993604 7.134112e+003 0.998214
1.05 0.995671 0.99337 7.156620e+003 0.998023
2.10 0.995117 0.992184 7.520123e+003 0.997374
4.19 0.992932 0.989278 9.388809e+003 0.996877
6.29 0.990829 0.989137 1.249827e+004 0.9995
8.39 0.979786 0.971544 2.059726e+004 0.993462
Após 250 horas
de inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.961392 0.93786 3.665675e+004 0.977743
0.84 0.992645 0.98747 7.706861e+003 0.995138
1.05 0.992639 0.987306 7.731597e+003 0.994955
2.10 0.992608 0.98707 7.824337e+003 0.994719
4.19 0.992806 0.9897 8.172666e+003 0.997534
6.29 0.998401 1.00828 1.470062e+004 1.01171
8.39 0.983099 0.984491 2.094210e+004 1.00422
Após 500 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.952438 0.926615 4.413684e+004 0.975983
0.84 0.989772 0.982574 9.981263e+003 0.993212
1.05 0.989816 0.982477 9.975173e+003 0.993039
2.10 0.990219 0.983039 9.660628e+003 0.993164
4.19 0.992559 0.990685 8.430105e+003 0.999011
6.29 1.00633 1.02892 2.401813e+004 1.02495
8.39 0.985287 0.99556 2.600823e+004 1.01417
Após 716 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.941935 0.912297 5.359736e+004 0.97245
121
Tabela B.6 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão
da Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos
Desvios Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL3TM do Caso 2.
NCFL
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
RMS
E
UL
σ
σ
0.84 0.998697 0.997756 1.601554e+003 0.999118
1.05 0.998712 0.997662 1.603532e+003 0.998987
2.10 0.99841 0.996896 1.929435e+003 0.998495
4.19 0.997699 0.996246 2.623033e+003 0.998683
6.29 0.993517 0.989427 6.343773e+003 0.996269
8.39 0.986872 0.978006 1.245855e+004 0.991688
Após 125 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.979088 0.964283 1.983663e+004 0.985811
0.84 0.996384 0.994648 6.772099e+003 0.998568
1.05 0.996544 0.994785 6.676756e+003 0.998515
2.10 0.996726 0.994863 6.653503e+003 0.998364
4.19 0.996849 0.996363 7.352602e+003 0.999952
6.29 0.991814 0.988527 1.060227e+004 0.997482
8.39 0.983822 0.974821 1.676880e+004 0.991991
Após 250 horas
de inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.974249 0.957952 2.526780e+004 0.984722
0.84 0.993858 0.989424 6.664634e+003 0.995816
1.05 0.994251 0.989936 6.350505e+003 0.995893
2.10 0.995342 0.991702 5.535805e+003 0.996509
4.19 0.997714 0.99911 5.947678e+003 1.002
6.29 0.989796 0.987544 1.169915e+004 0.998996
8.39 0.976924 0.965651 2.211484e+004 0.99028
Após 500 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.961479 0.938423 3.625111e+004 0.978283
0.84 0.991467 0.985324 8.453142e+003 0.994188
1.05 0.992058 0.98616 7.952569e+003 0.994383
2.10 0.993832 0.98925 6.410785e+003 0.995646
4.19 0.998223 1.002 7.124247e+003 1.00468
6.29 0.987392 0.986546 1.467532e+004 1.001
8.39 0.969302 0.955722 2.898781e+004 0.988566
Após 716 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.947177 0.916841 4.925540e+004 0.971118
122
Tabela B.7 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão
da Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos
Desvios Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL3T do Caso 3.
NCFL
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
RMS
E
UL
σ
σ
0.84 0.996191 0.995007 3.676330e+003 0.999125
1.05 0.996551 0.995391 3.436342e+003 0.99911
2.10 0.997908 0.997913 3.089438e+003 1.00026
4.19 0.998375 1.00103 4.615521e+003 1.00317
6.29 0.990369 0.985084 7.333849e+003 0.995173
8.39 0.985751 0.976123 1.044001e+004 0.990764
Após 125 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.972453 0.951611 1.992363e+004 0.979286
0.84 0.992172 0.987443 6.649956e+003 0.995597
1.05 0.99285 0.988364 6.237141e+003 0.995794
2.10 0.996392 0.995158 4.766920e+003 0.999042
4.19 0.998277 1.00366 7.676120e+003 1.00622
6.29 0.986233 0.978254 1.062934e+004 0.992572
8.39 0.981897 0.968945 1.356802e+004 0.987385
Após 250 horas
de inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.962581 0.932714 2.761093e+004 0.969714
0.84 0.985788 0.978628 1.120597e+004 0.993557
1.05 0.987043 0.98055 1.039287e+004 0.994176
2.10 0.994864 0.996246 7.734551e+003 1.00216
4.19 0.998621 1.01492 1.717154e+004 1.0183
6.29 0.974616 0.963649 1.896894e+004 0.990349
8.39 0.971133 0.953877 2.085516e+004 0.98351
Após 500 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.933274 0.882101 4.864044e+004 0.94653
0.84 0.980293 0.969908 1.480612e+004 0.99047
1.05 0.982048 0.972705 1.364109e+004 0.991475
2.10 0.9936 0.996259 9.524928e+003 1.00374
4.19 0.996744 1.01976 2.376532e+004 1.02589
6.29 0.963629 0.948256 2.640627e+004 0.986281
8.39 0.962359 0.940803 2.674172e+004 0.979318
Após 716 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.907764 0.837953 6.740372e+004 0.924814
123
Tabela B.8 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão
da Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos
Desvios Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL2TMB do Caso 3.
NCFL
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
RMS
E
UL
σ
σ
0.84 0.995619 0.994147 4.000437e+003 0.998869
1.05 0.995763 0.994162 3.862156e+003 0.998706
2.10 0.995354 0.993061 4.013566e+003 0.997977
4.19 0.993188 0.990261 5.604763e+003 0.997513
6.29 0.989861 0.987109 8.402215e+003 0.998079
8.39 0.978261 0.968697 1.569759e+004 0.991584
Após 125 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.961885 0.940016 2.675114e+004 0.978979
0.84 0.991089 0.985807 7.339428e+003 0.995093
1.05 0.991348 0.986007 7.171300e+003 0.994998
2.10 0.991761 0.986263 6.928344e+003 0.994777
4.19 0.991921 0.988239 7.311408e+003 0.996801
6.29 0.992648 0.995494 1.031254e+004 1.00403
8.39 0.977532 0.971063 1.752593e+004 0.995131
Após 250 horas
de inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.958098 0.935723 2.977579e+004 0.978657
0.84 0.983707 0.975403 1.258894e+004 0.99248
1.05 0.984161 0.975919 1.226211e+004 0.992503
2.10 0.985788 0.978274 1.117782e+004 0.993157
4.19 0.990942 0.991269 1.029288e+004 1.00142
6.29 1.00328 1.02788 2.251173e+004 1.02684
8.39 0.976257 0.983023 2.587212e+004 1.0101
Após 500 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.947777 0.927986 3.793309e+004 0.982325
0.84 0.977354 0.965283 1.680809e+004 0.988843
1.05 0.977981 0.966084 1.636379e+004 0.98898
2.10 0.980661 0.970287 1.456301e+004 0.990446
4.19 0.990254 0.99321 1.253257e+004 1.00444
6.29 1.01349 1.05825 3.555333e+004 1.04736
8.39 0.970785 0.984807 3.505794e+004 1.01861
Após 716 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
0.84 0.977354 0.965283 1.680809e+004 0.988843
124
Tabela B.9 – Valores das Grandezas Estatísticas: Razão da Soma
(
)
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Razão
da Soma dos Quadrados
()
2
2
EUL
ψ
ψ
∑
∑
, Erro Médio Quadrático
(
)
RMS
e Razão dos
Desvios Padrões.
()
EUL
σ
σ
, da solução SL3TM do Caso 3.
NCFL
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
2
2
E
UL
ψ
ψ
∑
∑
RMS
E
UL
σ
σ
0.84 0.99621 0.995 3.649582e+003 0.999093
1.05 0.996542 0.995291 3.406121e+003 0.99901
2.10 0.997194 0.995862 2.969796e+003 0.998842
4.19 0.997736 0.997385 3.077776e+003 0.999877
6.29 0.994912 0.993293 4.765723e+003 0.998785
8.39 0.988246 0.981751 8.756076e+003 0.994039
Após 125 horas
de Inte
gr
a
ç
ão
10.48 0.981246 0.969913 1.348555e+004 0.989292
0.84 0.992214 0.987437 6.609033e+003 0.995537
1.05 0.992833 0.988166 6.216567e+003 0.995592
2.10 0.994992 0.991148 4.964246e+003 0.996274
4.19 0.997293 0.996566 4.360672e+003 0.999507
6.29 0.994216 0.992809 6.328683e+003 0.999098
8.39 0.985564 0.977703 1.108279e+004 0.992775
Após 250 horas
de inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.977697 0.964158 1.634901e+004 0.987124
0.84 0.985873 0.978621 1.111621e+004 0.993443
1.05 0.987004 0.980147 1.033554e+004 0.99377
2.10 0.991708 0.987469 7.371813e+003 0.996207
4.19 0.997797 1.00216 7.665130e+003 1.00515
6.29 0.993823 0.999359 1.141322e+004 1.00692
8.39 0.979236 0.973591 1.665824e+004 0.995929
Após 500 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
10.48 0.968235 0.953619 2.314898e+004 0.986768
0.84 0.980415 0.969901 1.468952e+004 0.990312
1.05 0.981988 0.972128 1.359669e+004 0.990895
2.10 0.98879 0.983119 9.177749e+003 0.994917
4.19 0.997968 1.00568 1.012578e+004 1.00887
6.29 0.992559 1.00272 1.585601e+004 1.0122
8.39 0.972857 0.967797 2.195578e+004 0.997182
Após 716 horas
de Inte
g
ra
ç
ão
0.84 0.980415 0.969901 1.468952e+004 0.990312
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
