( PDF ) Estimador de estado e parâmetro de linha de transmissão, baseado nas equações normais

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ESTIMADOR DE ESTADO E PARÂMETROS

DE LINHA DE TRANSMISSÃO, BASEADO NAS

EQUAÇÕES NORMAIS

MADELEINE ROCIO MEDRANO CASTILLO

Dissertação apresentada à Escola de

Engenharia de São Carlos, da

Universidade de São Paulo, como parte

dos requisitos para a obtenção do título

de Mestre em Engenharia Elétrica.

ORIENTADOR: Prof. Dr. João Bosco A. London Junior

São Carlos

2006

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A meus queridos pais, Lucio e Maria, e meus irmãos Flor Rosário, Yenny

e Lucio.

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Agradecimentos

A Deus por dar-me forças e ajudar-me a vencer os obstáculos e alcançar

mais este objetivo em minha vida.

À minha família, raízes da liberdade, que incentivaram em mim o gosto

por novas buscas e por que me ensinaram a lutar pelo que queria com

perseverança e muito trabalho.

A meu querido pai por ter sido sempre meu ponto de apoio em todos os

momentos, por ter me dado à oportunidade de escolher e acreditado em

min.

A minha querida mãe Maria Pilar pelo seu imenso amor e sabedoria que

sempre me motivaram a seguir em frente, e por nunca medir esforços

pensando sempre no melhor para min.

Ao Prof. Dr. João Bosco London, pela orientação.

Ao Prof. Dr. Newton Geraldo Bretas, pelos ensinamentos.

A todos os amigos do LACO, pela amizade e união.

A todos os colegas, professores e funcionários do Departamento de

Engenharia Elétrica da EESC/USP, pela colaboração.

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS i

LISTA DE TABELAS iii

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS v

LISTA DE SIMBOLOS vi

RESUMO viii

ABSTRACT ix

CAPÍTULO 1

1. INTRODUÇÃO 1

1.1 Objetivos e Discriminação dos próximos capítulos 4

CAPÍTULO 2

2. REVISÃO BIBLIOGRAFICA 9

2.1 Etapas envolvidas no processo de Estimação de Estado em

Sistemas Elétricos de Potência

2.2 Métodos para o tratamento de erros de parâmetros 14

2.2.1 Métodos baseados na análise de sensibilidade dos

resíduos

2.2.2 Métodos que aumentam o vetor de estado 16

CAPÍTULO 3

3. ESTIMAÇÃO DE ESTADO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE

POTÊNCIA

3.1 Estimador de estado estático baseado no método dos

mínimos quadrados

3.2 Detecção e identificação de medidas com erros grosseiros 21

3.2.1Detecção de medidas com erros grosseiros 22

3.3 Identificação de medidas com erros grosseiros 22

CAPÍTULO 4

4. ANALISE DE OBSERVABILIDADE BASEADA NA FATORAÇÃO

TRIANGULAR DA MATRIZ GANHO E EM CONCEITOS DE

CAMINHOS DE GRAFO

4.1 Desacoplamento do modelo 27

4.2 Analise de observabilidade baseada na fatoração triangular

da matriz ganho e em conceitos contidos em caminhos de grafo

4.2.1 Algoritmo para analise de observabilidade 31

4.2.2 Algoritmo para identificação de ilhas observáveis 31

4.3 Exemplo 32

CAPÍTULO 5

5. METODOLOGIA PARA ESTIMAÇÃO DE ESTADO E

PARÂMETRO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO, BASEADA NAS

EQUAÇÕES NORMAIS

5.1 Introdução 40

5.2 Fase 1: Determinação do conjunto de medidas a ser

utilizado

5.3 Fase 3: Estimação de estado e parâmetros 42

5.4 Fase 2: Analise de observabilidade para o estimador de

estado e parâmetros proposto

5.4.1 Obtenção da matriz GAum 50

5.4.2 Algoritmo para analise de observabilidade para o

estimador de estado e parâmetro proposto

5.5 Exemplo 51

CAPÍTULO 6

6. TESTES E ANALISE DOS RESULTADOS 66

6.1 Testes com o sistema de 6 barras do IEEE 66

6.2 Testes com o sistema de 14 barras do IEEE 74

6.3 Testes com o sistema de 30 barras do IEEE 86

6.4 Analise dos resultados 97

CAPÍTULO 7

7. CONCLUSÕES 99

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 103

APÊNDICE A – Escalonamento de linhas e colunas 109

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1.1 Parte do Sistema Elétrico Sul do Peru 4

FIGURA 1.2 Comparação entre a potências de transferência

registrada e a simulada computacionalmente

FIGURA 4.1 Sistema de 6 barras do IEEE associado a um conjunto

de medidas (exemplo 1)

FIGURA 4.2

Caminho de grafo associado com a matriz

FIGURA 4.3 Sistema de 6 barras do IEEE, associado a um conjunto

de medidas (exemplo 2)

FIGURA 4.4

Caminhos de grafo associados com a matriz

FIGURA 4.5 Rede de 6 barras utilizada 38

FIGURA 4.6

Caminhos de grafo associados com a matriz

FIGURA 5.1 Modelo П- Equivalente generalizado 46

FIGURA 5.2 Sistema teste de 3 barras (1º exemplo) 52

FIGURA 5.3 Matriz G

Aum

fatorada 54

FIGURA 5.4 Caminho de grafo 54

FIGURA 5.5 Sistema teste de 3 barras (2° exemplo) 55

FIGURA 5.6 Matriz G

Aum

fatorada 56

FIGURA 5.7 Caminho de Grafo 56

FIGURA 5.8 Matriz G

Aum

fatorada 57

FIGURA 5.9 Caminho de grafo 57

FIGURA 5.10 Sistema de 5 barras (3º exemplo) 58

FIGURA 5.11 Matriz G

Aum

fatorada 60

FIGURA 5.12 Caminho de grafo 60

FIGURA 5.13 Sistema teste de 5 barras (4° exemplo) 62

FIGURA 5.14 Matriz G

Aum

fatorada 62

FIGURA 5.15 Caminho de grafo 63

FIGURA 5.16 Matriz G

Aum

fatorada 63

FIGURA 5.17 Caminho de grafo 64

FIGURA 6.1 Sistema teste de 6 barras(teste1) 67

FIGURA 6.2 Matriz G

Aum

fatorada 68

FIGURA 6.3 Caminho de grafo 69

FIGURA 6.4 Sistema teste de 6 barras(teste 2) 71

FIGURA 6.5 Matriz G

Aum

fatorada 72

FIGURA 6.6 Caminho de grafo 72

FIGURA 6.7 Matriz G

Aum

fatorada 73

FIGURA 6.8 Caminho de grafo 73

FIGURA 6.9 Sistema de 14 barras do IEEE (teste 3) 75

FIGURA 6.10 Matriz G

Aum

fatorada 77

FIGURA 6.11 Caminho de grafo 78

FIGURA 6.12 Sistema de 14 barras do IEEE (teste 4) 81

FIGURA 6.13 Matriz G

Aum

fatorada 82

FIGURA 6.14 Caminho de grafo 82

FIGURA 6.15 Matriz G

Aum

fatorada 83

FIGURA 6.16 Caminho de grafo 84

FIGURA 6.17 Sistema de 30 barras do IEEE 86

FIGURA 6.18 Matriz G

Aum

fatorada 8

FIGURA 6.12 Sistema de 14 barras do IEEE (teste 4) 81

FIGURA 6.13 Matriz G

Aum

fatorada 82

FIGURA 6.14 Caminho de grafo 82

FIGURA 6.15 Matriz G

Aum

fatorada 83

FIGURA 6.16 Caminho de grafo 84

FIGURA 6.17 Sistema de 30 barras do IEEE 86

FIGURA 6.18 Matriz G

Aum

fatorada 89

iii

LISTA DE TABELAS

TABELA 5.1 Parâmetros de linha do sistema de 3 barras 53

TABELA 5.2 Tensões complexas obtidas via um estimador de estado

convencional WLS

TABELA 5.3 Valores do conjunto de medidas ilustrado na figura 5.2 54

TABELA 5.4 Resultados do 1° exemplo 55

TABELA 5.5 Valores do conjunto de medidas ilustrado na figura 5.5 58

TABELA 5.6 Resultados do 2º exemplo 58

TABELA 5.7 Parâmetros de linha do sistema de 5 barras 59

TABELA 5.8 Dados das magnitudes de tensão e ângulo do sistema

de 5 barras

TABELA 5.9 Valores do conjunto de medidas ilustrado na figura 5.10 61

TABELA 5.10 Resultados do 3º exemplo, os parâmetros e tensões

estão dados em p.u. e os ângulos em radianos.

TABELA 5.11 Valores do conjunto de medidas ilustrado na figura 5.13 64

TABELA 5.12 Resultados do 4º exemplo, os parâmetros e tensões

estão dados em p.u. e os ângulos em radianos.

TABELA 6.1 Parâmetros de linha do sistema de 6 barras 67

TABELA 6.2 Tensões complexas obtidas via um estimador de estado

convencional WLS

TABELA 6.3 Valores do conjunto de medidas ilustrado na figura 6.1 69

TABELA 6.4 Resultados do teste 1 70

TABELA 6.6 Resultados do teste 2 74

TABELA 6.7 Parâmetros de linha do sistema de 14 barras 76

TABELA 6.8 Tensões complexas utilizadas para a obtenção da

matriz G

Aum

TABELA 6.9 Valores do conjunto de medidas ilustrado na figura 6.9 79

TABELA 6.10 Resultados do teste 3 (os valores dos ângulos estão em

radianos e das demais variáveis em p.u.)

TABELA 6.11 Resultados do teste 4 (os valores dos ângulos estão

em radianos e das demais variáveis em p.u.)

TABELA 6.12 Parâmetros de linha do sistema de 30 barras do IEEE

(os valores dos ângulos estão em radianos e das

demais variáveis em p.u.)

TABELA 6.13 Dados das magnitudes de tensão e ângulo do sistema

de 30 barras.

TABELA 6.14 Valores do conjunto de medidas ilustrado na figura

6.17

TABELA 6.15 Resultados do teste 5 (os valores dos ângulos estão

em radianos e das demais variáveis em p.u.)

TABELA 6.16 Resultados do teste 6 (os valores dos ângulos estão

em radianos e das demais variáveis em p.u.)

TABELA 6.17 Valores do conjunto de medidas utilizado no teste 7 95

TABELA 6.18 Resultados referentes à situação 1 (estimador

proposto)

TABELA 6.19 Resultados referentes à situação 2 (estimador

proposto)

TABELA 6.20 Resultados referentes à situação 1 (estimador

proposto em [Liu&Wu(1992)])

TABELA 6.21 Resultados referentes à situação 2 (estimador

proposto em [Liu&Wu(1992)])

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

SEP Sistema Elétrico de Potência

PEPCO Potomac Electric Power Company -USA

EGs Erros Grosseiros

UTRs Unidades Terminais Remotas

SCADA Sistema de Aquisição e Supervisão de Dados

EMS Sistema de Gerenciamento de Energia

EESEP Estimação de Estados em Sistemas Elétricos de Potência

COES Comitê de Operação Econômica do Sistema

WSCC Western Systems Coordinating Council

WLS Mínimos quadrados ponderados

FPA Fluxo de Potência Ativa

FPR Fluxo de Potencia Reativa

PZ Pivô zero

IEEE Institute of Electrical and Electronic Engineer

LISTA DE SIMBOLOS

Condutâncias série de Linha de Transmissão Aéreas

Susceptâncias série de Linhas de Transmissão Aéreas

Vetor de medidas

(.)h

Vetor de funções não lineares

Vetor das variáveis de estado verdadeiras

Vetor dos erros das medidas

Numero de medidas

Numero de variáveis de estado a serem estimadas

Matriz de ponderação para as medidas

)(xJ

Função Quadrática

)(xH

Matriz Jacobiana

z∆

Erro de estimação

Vetor resíduo de estimação

Matriz sensibilidade do resíduo

Matriz Identidade

Matriz de covariância

Resíduos normalizados

Desvio Padrão unitário

Erro grosseiro da medida j

−

Média do resíduo de estimação

Elemento (i,j) da matriz

max

Maior resíduo normalizado

Limite de identificação

Fluxo de potencia ativa, da barra k para a barra m

Fluxo de potencia reativa, da barra k para a barra m

vii

Matriz Ganho

Matriz Jacobiana, relacionada apenas às medidas de potência ativa

Vetor de medidas de potência ativa

Matriz de ponderação das medidas de potência ativa

Magnitude de tensão da barra k

Magnitude de tensão da barra m

Ângulo de defasagem entre a barra k e a barra m

Numero de barras

Matriz ganho superior fatorada

Aum

Vetor de medidas aumentado

(.)

Aum

Vetor de funções não lineares, que relaciona as medidas com as

variáveis de estado aumentado.

vAum

Vetor de estado aumentado verdadeiro

Aum

Vetor dos erros nas medidas

Aum

Número de variáveis de estado e parâmetros, a ser estimado.

Aum

Número de medidas selecionadas na Fase1.

Ramos

Aum

Matriz Jacobiana aumentada

Aum

Matriz de Ponderação das medidas aumentadas

Admitancia série da linha de transmissão k-m

Susceptância shunt

A relação de transformação

Aum

Matriz ganho aumentada

viii

RESUMO

O processo de estimação de estado em sistemas elétricos de potência está

sujeito a três tipos de erros: erros nas medidas analógicas (erros grosseiros);

erros devido a informações erradas quanto aos estados de chaves e/ou

disjuntores (erros topológicos) e erros causados por informações erradas de

algum parâmetro do sistema (erros de parâmetros). É drástico o efeito de erros

de parâmetros, para o processo de estimação de estado, normalmente

intolerável, sendo, entretanto, menos evidente que os erros grosseiros e

topológicos. Aproveitando o fato de que certas medidas não sofrem mudanças

significativas de valor, durante um determinado intervalo de tempo, propõe-se

uma metodologia para estimação de estado e parâmetros de linhas de

transmissão. Na metodologia proposta, que se baseia nas equações normais, o

vetor de estado convencional é aumentado para a inclusão dos parâmetros a

serem estimados. Este vetor de estado “aumentado” é então estimado através

de uma grande quantidade de medidas, obtidas em diversas amostras, durante

um intervalo de tempo em que as variáveis de estado do sistema não tenham

sofrido alterações significativas de valor. Esta situação ocorre tipicamente à

noite, fora dos horários de pico. Propõe-se também uma metodologia para

análise de observabilidade para o estimador proposto. Para comprovar a

eficiência das metodologias propostas, vários testes foram realizados,

utilizando os sistemas de 6, 14 e 30 barras do IEEE.

Palavras-chave: Sistemas Elétricos de potência, Estimação de Estado,

Estimação de Parâmetro, Análise de Observabilidade.

ABSTRACT

The process of power system state estimation is subjected to three types of

errors: errors in analogical measurements (gross errors), incorrect information

about the status of switching devices (topology errors) and incorrect information

about the model of the systems equipment (parameter errors). The effects of

parameter errors on the process of power system state estimation are drastic

and less evident to detect than gross and topology errors. Taking advantage of

the fact that a certain fraction of the measurements varies over a small range in

a certain period of time, a methodology to estimative transmission line

parameters and state based on normal equations has been proposed. In such

methodology, which is based on normal equations, the traditional state vector is

expanded to include the parameters to be estimated. This “augmented” state

vector is estimated through a large collection of measurements, recorded within

several snapshots of the power system, during which the actual system state

varies over a small range. This situation typically occurs during the night off-

peak periods. An observability analysis methodology is also proposed for the

presented estimator. To prove the efficiency of the methodologies, several tests

were made using the systems of 6, 14 and 30 buses from IEEE.

Key-words: Electrical Power Systems, State Estimation, Parameters Estimation,

Observability Analysis.

Capítulo 1

Introdução

Em vários países ao redor do mundo, mudanças importantes estão

acontecendo na estrutura da indústria de potência. As estruturas reguladoras

estão sendo modificadas para permitir negócios sem limites de geração,

transmissão e distribuição, abrindo caminho para competição. Na América do

Sul, razões distintas, peculiares a cada país, também estão motivando a

reestruturação do setor de energia elétrica [RUDNICK H. (1996)]. Este é o caso

do Brasil, que lançou um programa de privatização das empresas elétricas

nacionais e mudou seus regulamentos para atrair investimentos privados ao

setor elétrico [VENTURA F (1996)].

O impacto do crescimento da demanda de energia elétrica, bem como

da expansão dos Sistemas Elétricos de Potência (SEP), sobre o volume de

informações oriundas do Sistema de Aquisição e Supervisão de Dados,

SCADA (do inglês Supervisory Control and Data Aquisition), vem evidenciando

a necessidade do tratamento destes dados através de aplicativos

computacionais avançados de análise em tempo-real. Segue-se, deste modo, a

tendência mundial de evolução em direção aos denominados Sistemas de

Gerenciamento de Energia, EMS (do inglês, Energy Management System),

para auxiliar o operador no tratamento das informações, viabilizando a

verificação rápida das condições de operação do sistema.

Através do EMS torna-se possível executar funções relacionadas com a

segurança da operação dos SEP, que possuem o objetivo de determinar o

estado operativo corrente dos SEP, isto é, se os sistemas estão ou não

operando adequadamente e, caso não estejam, devem indicar o que deve ser

feito para corrigir essa operação inadequada.

Um SEP não está operando da forma adequada quando existem cargas

não atendidas, equipamentos com limites de operação desrespeitados, etc.

A primeira função executada pelo EMS é a modelagem da rede elétrica

em tempo-real, e, para isto, o processo de Estimação de Estado em Sistemas

Elétricos de Potencia (EESEP) é de fundamental importância.

A finalidade do processo de EESEP é fornecer, em tempo-real, as

variáveis de estado do sistema, isto é, as tensões complexas nas barras do

mesmo, a partir do processamento de informações obtidas em tempo-real

(medidas analógicas

e lógicas

), provenientes do sistema SCADA e de

informações estáticas, disponíveis no banco de dados das companhias de

energia elétrica (os parâmetros do sistema

). Através das variáveis de estado

do SEP, define-se o estado operativo corrente do mesmo.

O sucesso do processo de EESEP depende da qualidade das

informações que lhe são fornecidas, pois, erros nessas informações podem

levar o processo de estimação à variáveis de estado muito distantes das

verdadeiras, ou, até mesmo, à não convergência.

Tendo em vista as informações fornecidas ao processo de EESEP,

supracitadas, o mesmo está sujeito a três tipos de erros: erros grosseiros (erros

nas medidas analógicas); erros topológicos (erros devido a informações

erradas quanto aos estados de chaves e/ou disjuntores) e erros de parâmetros

(erros causados por informações erradas de algum parâmetro do sistema).

É drástico o efeito de um erro de parâmetro, para o processo de EESEP,

normalmente intolerável, sendo, entretanto, menos evidente que os erros

grosseiros e topológicos [ZARCO & EXPÓSITO (2000); MEZA et al (2006)].

Os parâmetros do sistema podem estar incorretos fruto de [ZARCO &

EXPÓSITO (2000); MEZA et al (2006)]: dados imprecisos fornecidos pelos

fabricantes; estimativas grosseiras do comprimento de linhas de transmissão;

alterações de projeto não atualizadas na base de dados; preenchimento

incorreto da base de dados; variação de parâmetros devido ao envelhecimento

de componentes do sistema, etc.

Medidas de fluxo de potência ativa e reativa nas linhas, injeção de potência ativa e reativa e algumas

magnitudes de tensão nas barras.

Consistem em estados de chaves e disjuntores.

Impedância de linhas de transmissão e posição de taps de transformadores.

Como mencionado anteriormente, a partir das variáveis de estado obtidas pelo

processo de EESEP, determina-se o estado operativo corrente do sistema, e,

em seguida, determinam-se as ações de controle cabíveis. Em razão disto, os

erros de parâmetros podem trazer conseqüências drásticas para a operação de

um SEP.

Na seqüência apresentamos dois exemplos reais de problemas

causados por erros de parâmetros, que demonstram a importância do

desenvolvimento de metodologias que possibilitem a obtenção de parâmetros

mais confiáveis.

Sistema Elétrico do Peru: Após a interligação do sistema Centro-Norte

com o sistema Sul, em Setembro de 2000, apareceram muitos problemas

relacionados à estabilidade do sistema. Vários estudos foram feitos para

determinar a margem de estabilidade, porém, não se tem tanta confiabilidade

nos resultados devido a inúmeras incertezas nos parâmetros daquele sistema.

No evento acontecido em nove de Junho de 2002

, durante um teste de

estabilidade (inclusão de uma pequena perturbação) após o desligamento da

linha de transmissão L-1011 (vide figura 1.1), o sistema apresentou oscilações

interárea trazendo como conseqüência o desligamento das linhas L-1005 e L-

1006 e interrupção do fornecimento da energia em muitas áreas do sistema.

Tais acontecimentos não puderam ser previstos através das simulações

computacionais. A principal razão deste problema, de acordo com o COES

(comitê de operação econômica do sistema), é a não disponibilidade dos dados

corretos do sistema.

Dados obtidos da página do COES-PERU, www.coes.org.pe

Figura 1.1 Parte do Sistema Elétrico Sul do Peru. Os testes

computacionais com os dados fornecidos pelas empresas geradoras não

puderam predizer as oscilações após a abertura da linha L-1011.

Sistema WSCC (Western Systems Coordinating Council): Conforme relatado

em [DEMITRY, (2004)], no dia 10 de agosto de 1996 ocorreu um blecaute de

energia no sistema WSCC (Western Systems Coordinating Council), enquanto

as simulações computacionais prediziam operação normal (sistema estável)

nas mesmas condições de perturbação. Na figura 1.2, mostra-se a comparação

entre as curvas de potência de transferência (interligação Califórnia-Oregon)

real (registrada) e a obtida computacionalmente.

Figura 1.2 Comparação entre a potências de transferência registrada e a

simulada computacionalmente.

Dentre os métodos desenvolvidos para o tratamento de erros de

parâmetros, destacam-se aqueles que aumentam o vetor de estado para

incluírem os parâmetros do sistema, como se eles fossem variáveis de estado

independentes. Assim, os parâmetros são estimados juntamente com os

ângulos e as magnitudes de tensão. Considerando o tratamento que se dá a

esse modelo aumentado, tais métodos podem ser divididos em dois grupos: (1)

Métodos que utilizam as Equações Normais; (2) Métodos que utilizam a teoria

do Filtro de Kalman.

A limitação dos métodos que utilizam as equações normais está

relacionada à observabilidade, isto é, raramente o número de medidas

disponível é suficiente para estimar todas as variáveis de estado “aumentadas”,

uma vez que o vetor de estado aumenta, mas o conjunto de medidas continua

o mesmo.

Na tentativa de superar essa limitação, os métodos que utilizam o Filtro

de Kalman aumentam também o vetor de medidas, através de pseudo-

medidas, que correspondem ao vetor de estado aumentado estimado no

instante anterior. Entretanto, a grande limitação desses métodos está na

determinação da matriz transição de estado. Na maioria das pesquisas

realizadas, essa matriz é considerada como sendo uma matriz identidade,

admitindo-se que o sistema seja quase-estático.

Vale destacar ainda o estimador generalizado desenvolvido por [ALSAÇ

et al (1998)]. Neste estimador, o vetor de estado convencional ganha novas

variáveis de estado, que são os fluxos de potência ativa e reativa, através dos

disjuntores e dos ramos cujos parâmetros serão estimados. Novas pseudo-

medidas são também introduzidas no modelo, permitindo assim uma melhor

discriminação entre erros grosseiros, topológicos e erros de parâmetros.

Devido à grande quantidade de informações, envolvidas no processo de

estimação generalizada de estado, tal estimador pode tornar-se inviável para

aplicação em tempo-real. Em razão disto, os autores indicam a sua utilização

apenas em situações especiais, isto é, quando existe a suspeita da existência

de erros topológicos ou de parâmetros [ALSAÇ et al (1998)].

A deterioração que o erro de parâmetro pode causar ao processo de

estimação de estado foi analisada em [ZARCO & EXPÓSITO (2000)]. Naquele

trabalho, realizou-se ainda um detalhado estudo dos métodos já desenvolvidos

para estimação de parâmetros, a cujo respeito se relacionam, a seguir,

algumas conclusões:

1. Para obter-se uma estimação de parâmetros confiável, independentemente

do método utilizado, requer-se um adequado nível de redundância das

medidas, nas vizinhanças dos elementos suspeitos de estarem com erros de

parâmetros;

2. Os métodos baseados na análise da sensibilidade, relativa aos resíduos das

medidas, são os mais plausíveis de se incorporarem aos estimadores de

estado convencionais. Por outro lado, dentre os métodos que aumentam o

vetor de estado, aqueles que utilizam as Equações Normais são mais propícios

a se estenderem aos estimadores convencionais, em comparando-os com os

que utilizam a teoria do Filtro de Kalman, porquanto estes requerem rotinas

muito diferentes daquelas, utilizadas pelos estimadores convencionais;

3. Utilizar medidas de diversas amostras para o processo de estimação na

forma seqüencial ou no mesmo instante, possibilita a obtenção de estado e

parâmetros mais confiáveis;

4. Estimação da posição de Taps de transformadores, assim como a

determinação da posição de chaves e/ou disjuntores, que é uma tarefa a

realizar-se "on-line". Já a estimação dos parâmetros de um ramo, como a

indutância e a capacitância de linhas de transmissão, que permanecem

constantes por um longo período de tempo, são tarefas que podem ser

realizadas "off-line" (algumas vantagens do processamento off-line desses

parâmetros são apresentadas com mais detalhes em [ZARCO & EXPÓSITO

(2000)]);

5. Os métodos que aumentam o vetor de estado superam, claramente, aqueles

baseados na análise da sensibilidade dos resíduos das medidas. Entretanto,

importa lembrar que, para a identificação dos ramos suspeitos, a análise do

resíduo das medidas é ainda necessária. O que até então não se solucionou é

o dilema: se a melhor escolha, para a estimação dos parâmetros, é um método

utilizando as Equações Normais, ou um método fundamentado na teoria do

Filtro de Kalman. A opinião dos autores [ZARCO & EXPÓSITO (2000)] é de

que, para a estimação de parâmetros variáveis com o tempo, são mais

apropriados os métodos que utilizam a teoria do Filtro de Kalman. Já os

métodos que utilizam as Equações Normais são, por sua vez, mais atrativos

para a estimação dos parâmetros que permanecem constantes, por um longo

período de tempo;

6. A seleção dos ramos suspeitos pode ser realizada através da análise de

dados históricos.

1.1 Objetivos e Discriminação dos próximos capítulos

O presente trabalho tem como objetivo elaborar uma metodologia para

estimação de estado e parâmetros, baseado nas equações normais, que

aumente ambos os vetores de estado e de medidas. Aproveitando o fato de

certas medidas não sofrerem mudanças significativas de valor, durante um

determinado intervalo de tempo, o aumento do vetor de estado realizar-se-á

para a inclusão dos parâmetros a serem estimados; já o vetor de medidas será

aumentado para considerar medidas de diversas amostras, desde que não

tenham sofrido uma alteração significativa dos seus valores. Assim, a

ocorrência de problemas de observabilidade diminuirá, uma vez que o aumento

do vetor de estado será acompanhado pelo aumento do vetor de medidas.

Cumpre observar que, em razão de as medidas não mudarem

significativamente de valor, no período de tempo considerado, podemos

considerar que as respectivas variáveis de estado sejam “quase-estáticas”,

nesse intervalo de tempo, daí não se exigindo a determinação de uma matriz

transição de estado.

Os parâmetros a serem estimados, pela metodologia proposta, são as

condutâncias série

)(

e as susceptâncias série

)(

de linhas de

transmissão aéreas, classificadas como médias e longas, isto é, com

comprimento acima de 80 km (50 milhas). Decidiu-se estimar apenas esses

parâmetros, por serem os principais responsáveis pelas perdas em um SEP

[KUSIC & GARRISON (2004)].

Para verificar as porções observáveis do sistema, isto é, as variáveis de

estado aumentadas possíveis de serem estimadas pelas medidas disponíveis,

propõe-se, também, um método para análise de observabilidade. Para isto

pretendemos utilizar como base o método desenvolvido por BRETAS (1996)

isto em razão de o mesmo ser simples, de fácil implementação, rápida

execução e de não exigir a solução de equações algébricas.

Vale salientar que a idéia de atacar o problema de estimação de parâmetros,

da forma aqui proposta, surgiu em função da constatação dos engenheiros da

PEPCO (Potomac Electric Power Company - USA) de que certas medidas não

experimentavam mudanças significativas de valor, durante um determinado

intervalo de tempo, principalmente entre 1:00 e 4:00 horas da manhã, face à

pequena variação de carga nesse período de tempo; em função também das

conclusões apresentadas em [ZARCO & EXPÓSITO (2000)], descritas

anteriormente

Este trabalho está estruturado em sete capítulos, além desta introdução

e de mais um apêndice. No capitulo 2 apresenta-se uma ampla revisão

bibliográfica sobre as diferentes metodologias de estimação de estado, bem

como uma análise das vantagens e desvantagens das metodologias

desenvolvidas para o tratamento de erros de parâmetros. No capítulo 3

descreve-se a base teórica do processo de estimação de estado, por mínimos

quadrados ponderados. No Capítulo 4 apresenta-se, em linhas gerais, a

metodologia para análise de observabilidade desenvolvida por BRETAS (1996).

No Capítulo 5 encontra-se a proposição deste trabalho, que consiste no

estimador de estado e parâmetros e na metodologia para análise de

observabilidade, para o modelo aumentado. No Capítulo 6 são apresentados

os testes realizados para comprovar a eficiência das metodologias propostas.

As conclusões da dissertação estão no capítulo 7. Por fim, no Apêndice,

encontra-se um breve desenvolvimento teórico, sobre o método de

escalonamento que foi utilizado para melhorar o condicionamento numérico da

matriz Ganho Aumentada, que será apresentada no capítulo 5.

O método desenvolvido por BRETAS (1996) destina-se ao estimador de estado tradicional, isto é, sem a

inclusão dos parâmetros como variáveis de estado a serem estimadas.

Conclusões 1, 3 e 4, apresentadas na seção anterior.

Capítulo 2

Revisão Bibliográfica

Neste capítulo é apresentado um pequeno histórico, destacando as

principais características de algumas metodologias destinadas ao tratamento

das diversas etapas envolvidas no processo de estimação de estado, em

sistemas elétricos de potência. Em especial aquelas que tratam de erros de

parâmetros.

2.2 Etapas envolvidas no processo de Estimação de Estado em

Sistemas Elétricos de Potência

A estimação de estado em SEP abrange dois campos, o fluxo de

potência e a estatística.

O estimador destina-se a obtensão das variáveis de estado de um SEP,

através de um conjunto redundante de medidas imperfeitas. Em razão da

redundância e imperfeição dessas medidas, a estimação se baseia em

processos estatísticos, onde se tenta tornar mínimos ou máximos os critérios

estabelecidos, daí se determinando o valor mais provável das variáveis de

estado.

A estimação de estado em sistemas elétricos de potência vem sendo

alvo de inúmeras pesquisas, desde o final da década de 60 [SCHWEPPE

(1970); SCHWEPPE & DOUGLAS (1970); SCHWEPPE & WILDES (1970);

COUTTO FILHO et al. (1990); MONTICELLI (1999); ABUR & EXPÓSITO

(2004)].

Tradicionalmente são quatro as etapas envolvidas no processo de

estimação de estado [MONTICELLI (1999)]:

• 1ª Etapa: Obtenção da topologia do sistema, no modelo barra linha.

A partir das medidas lógicas, bem como de informações quanto ao tipo e

à localização dos medidores instalados no sistema, o configurador de sistemas

determina a topologia e a correspondente configuração de medidores, no

modelo barra linha.

• 2ª Etapa: Análise e Restauração da Observabilidade do Sistema

Através do modelo barra/linha, obtido pelo configurador de sistemas,

verifica-se se é possível, através das medidas analógicas e virtuais

disponíveis, determinar as variáveis de estado em todas as barras do sistema.

Em caso afirmativo, o sistema é dito observável. Caso contrário essa falta de

medidas pode ser suprida, em algumas situações, por pseudo-medidas, que

são dados de previsão de carga, previsão de geração, dados históricos, etc,

que fazem parte do banco de dados dos centros de operação através das quais

o sistema se torna observável como um todo. Uma alternativa, para essa

situação, é determinar as partes observáveis do sistema, isto é, as ilhas

observáveis.

A maioria dos métodos desenvolvidos para análise de observabilidade

pode dividir-se em dois grupos: os métodos topológicos e os numéricos.

Os métodos do primeiro grupo caracterizam-se pela criação de rotinas

específicas, que não exigem cálculos, mas que são de natureza combinatória

heurística e complexa [KRUMPHOLZ et al. (1980); QUINTANA et al. (1982)]. Já

os do segundo grupo são mais simples, visando à utilização de rotinas já

disponíveis nos programas de estimadores de estado. Entretanto, estão

sujeitos a erros numéricos [MONTICELLI & WU (1985a); MONTICELLI & WU

(1985b)].

O método para análise e restauração de observabilidade, apresentado

por [SLUTSKER & SCUDDER (1987)] baseia-se na redução simbólica da

matriz Jacobiana, caracterizando-se por ser extremamente simples e rápido.

Nesse método, os autores não levam em conta o valor real dos elementos não

nulos da matriz Jacobiana e sim a posição desses elementos. Três anos

depois, [CHEN (1990)] apresentou uma versão modificada do método,

considerando valores inteiros para os elementos não nulos da matriz

Jacobiana.

[CONTAXIS & KORRES (1988)] propuseram um algoritmo, utilizando em

conjunto as análises de observabilidade topológica e numérica. Assim, o

Medidas virtuais são medidas de injeção zero, em barras de passagem do sistema.

tamanho da rede é reduzido, através de processos topológicos, realizando-se

então a análise e restauração da observabilidade, por meio de processos

numéricos. Uma vez que a rede ficou reduzida, reduzir-se-á conseqüentemente

a quantidade de cálculos requeridos.

Em [MONTICELLI et al. (1992)], foram apresentados problemas que

podem aparecer nas análises de observabilidade, realizadas por métodos

fundamentados apenas em informações topológicas. Para tratar desta

limitação, os autores sugerem um método numérico de análise de

observabilidade, baseado na fatoração triangular da matriz Ganho.

Algum tempo depois, [BRETAS (1996)] desenvolveu um método

baseado em conceitos de caminhos de fatoração e na fatoração triangular da

matriz Ganho. É um método simples, que não exige a solução de equações

algébricas e de fácil implementação, uma vez que usa sub-rotinas já existentes

em programas destinados à estimação de estado.

• 3ª Etapa: Estimação de Estado

Considerando a topologia do sistema, obtida pelo configurador de

sistemas, e através dos seus parâmetros armazenados no banco de dados,

bem como do conjunto disponível de medidas, o estimador de estado permite

determinar as variáveis de estado de todas as barras do sistema.

Dos muitos estimadores desenvolvidos, os mais difundidos e

pesquisados são os Estimadores Estáticos

por Mínimos Quadrados

Ponderados, originalmente proposto por [SCHWEPPE (1970)].

Considerando a dinâmica do vetor de estado, algumas pesquisas

buscaram algoritmos para a estimação dinâmica de estado. Dentre elas,

algumas acompanham as mudanças das variáveis de estado com o tempo,

valendo-se do chamado estimador “tracking” [MASIELLO & SCHWEPPE

(1971); FALCÃO et al. (1982)]; outras adicionaram aos estimadores “tracking “

a teoria do filtro de Kalman [DEBS & LARSON (1970); LEITE da SILVA et al.

(1987); BRETAS (1989)].

O termo estático refere-se ao fato de o modelo de rede utilizada ser estático, não se considerando as

variações entre as grandezas e a variável tempo.

• 4ª Etapa: Processamento de Erros Grosseiros (EGs) em Medidas

Analógicas

Como mencionado no Capítulo 1, as medidas analógicas, fornecidas ao

estimador de estado, estão sujeitas aos EGs

. Na prática, esses erros são

causados, por exemplo, por problemas nos canais de comunicação,

instrumentos de medição defeituosos, erro na modelagem de pseudo-medidas,

etc.

Devido a essa fragilidade do conjunto de medidas, o estimador de

estado deve ser robusto o suficiente para detectar e identificar a ocorrência de

EGs. As medidas identificadas como portadoras de EGs são eliminadas e as

variáveis de estado estimadas novamente.

Dentre os diversos métodos desenvolvidos, para detecção e

identificação de medidas com EGs, os mais utilizados são aqueles baseados

na análise estatística dos resíduos das medidas que é a diferença entre entre o

valor medido e o valor estimado das medidas.

Apesar de esses métodos apresentarem um bom desempenho, para

diversas situações, possuem algumas limitações, como, por exemplo, o fato de

não detectarem EGs em medidas críticas as quais são as medidas que,

quando perdida, faz um sistema de potência observável tornar-se não

observável [CLEMENTS et al. (1981)] e não identificarem EGs em conjuntos

críticos de medidas o qual é formado por medidas não criticas, em que a

eliminação de uma qualquer, a ale pertencente, torna as demais críticas [MILI

et al. (1984)]. Isto em razão de as medidas críticas apresentarem resíduos

nulos e as medidas de um conjunto crítico possuírem resíduos normalizados

idênticos.

Para contornar essas limitações, foram desenvolvidos métodos que

permitem a obtenção de planos de medição isentos de medidas críticas e de

conjuntos críticos de medidas [CLEMENTS et al. (1982); KORRES &

CONTAXIS (1994); ABUR & MAGNAGO (1999); LONDON Jr. et al. (2003)].

Medidas portadoras de EGs são aquelas com grau de imprecisão muito maior do que é suposto pelo

modelo de medição.

Entretanto, possuir um plano de medição confiável não é uma condição

suficiente para o sucesso de um Estimador de Estado. É uma condição

necessária, mas não suficiente. Isto porque, durante a operação de um sistema

de potência, podem ocorrer problemas no sistema de aquisição de dados

(sistema de telemedição), acarretando a perda de medidas e/ou Unidades

Terminais Remotas (UTRs) o qual é um equipamento eletrônico de uso

dedicado, responsável pela leitura de informações dos sistemas, nas usinas e

subestações, e pelo seu envio aos Centros de Operação do Sistema,

dificultando, ou, até mesmo, impedindo a estimação de estado. Para tornar

ainda possível uma estimação de estado confiável, em situações como essa,

em [LONDON Jr. et al (2004a)] foi proposto um método que, com a máxima

brevidade possível, permite a obtenção das seguintes informações: (i) Se o

sistema em análise continua observável; (ii) Caso continue observável, quais

as características qualitativas do conjunto de medidas disponível naquele

momento (presença de medidas críticas e de conjuntos críticos de medidas);

(iii) Caso o sistema tenha perdido a observabilidade, quais as pseudo-medidas

necessárias à sua restauração.

Como vimos anteriormente, as Etapas 2, 3 e 4 baseiam-se na topologia

obtida na 1ª Etapa. Em razão disto, caso ocorra algum erro topológico e este

não tenha sido detectado pelo configurador de sistemas, tal erro pode causar

um aumento nos resíduos das medidas analógicas, localizadas nas

vizinhanças dos elementos erroneamente configurados do sistema. Assim, na

4ª Etapa, as medidas analógicas, com resíduos elevados, serão identificadas

como portadoras de erros grosseiros. Nessa situação, dar-se-á início a um

processo de eliminação de medidas analógicas, e, eventualmente, o processo

poderá reduzir a zero o nível de redundância local. Logo, não será mais

detectado erro grosseiro em medida analógica, mas o erro topológico

permanece. Conseqüentemente, o modelo do sistema não representará

corretamente a sua atual situação.

Similar análise pode realizar-se, considerando erros nos parâmetros do

sistema, pois, as Etapas 3 e 4 baseiam-se nos parâmetros fornecidos ao

estimador, na 3ª Etapa. Assim, caso a informação de algum parâmetro do

sistema tenha sido erroneamente fornecida ao estimador de estado, tal erro

causará um aumento nos resíduos das medidas analógicas, localizadas nas

vizinhanças do elemento, cujo parâmetro é o que forneceu aquela informação

errada.

Diante disto, vários autores realizaram então trabalhos, em busca de

métodos para a análise de erros topológicos e de parâmetros. Entretanto,

pouco se sabe sobre o sucesso da implantação prática desses métodos

[MONTICELLI (1999); ABUR & EXPÓSITO (2004)].

2.2 Métodos para o tratamento de erros de parâmetros

Em [KUSIC & GARRISON (2004)] mostra-se a razão por que, numa

proporção de 25% a 30%, os parâmetros do circuito equivalente das linhas de

transmissão de um sistema, armazenados nos bancos de dados das

companhias de energia elétrica, possuem erros. Através de um estudo

econômico, demonstra-se que tais erros podem acarretar prejuízos, na ordem

de milhões de dólares por ano, para essas companhias (a análise a que se

procedeu foi realizada para companhias americanas).

De uma forma geral, os métodos desenvolvidos para o tratamento de

erros de parâmetros podem ser divididos em dois grupos:

Grupo 1: Métodos baseados na análise da sensibilidade dos resíduos

10;

Grupo 2: Métodos que aumentam o vetor de variáveis de estado.

Os métodos referentes a esses dois grupos dependem de uma

estimação de estado convencional, para a determinação dos ramos suspeitos

os quais são ramos incidentes às medidas com resíduos elevados, de estarem

com erros de parâmetros.

Grupo 1: Métodos baseados na análise da sensibilidade dos resíduos

Os métodos deste grupo utilizam o vetor de estado convencional e

baseiam-se na análise da sensibilidade dos resíduos das medidas, incidentes

aos ramos suspeitos. Através dessa análise, identificam os parâmetros

suspeitos de estarem com erros em seus valores.

Uma das primeiras pesquisas buscando a identificação de erros de

parâmetros, através da análise estatística dos resíduos das medidas, foi

proposta em [ABOYTES & CORY (1975)]. Neste trabalho, desenvolveu-se um

Resíduo de estimação é a diferença entre o valor medido e o valor estimado das medidas.

estudo estatístico dos efeitos dos erros grosseiros, topológicos e de

parâmetros, no processo de estimação de estado, donde se obtiveram as

seguintes conclusões: (i) o uso de medidas de injeções nodais aumenta a

dificuldade de identificar erros de configuração e de parâmetros; (ii) os erros de

parâmetros podem ser identificados mais efetivamente, quando o fluxo de

potência de uma linha, cujo parâmetro está com erro, é medido somente em

um dos terminais.

Baseando-se na forte relação entre o fluxo de potência reativa, através

do transformador, e a posição do tap do mesmo, [FLETCHER & STADLIN

(1983)] lançaram um método para estimação da posição de taps de

transformadores. A diferença entre os fluxos de potência reativa, medidos e

calculados, através do transformador, é utilizada para verificar se a posição do

tap é correta ou não. Os autores definem a posição inicial do tap como sendo

metade da escala de variação do transformador em [SMITH (1985)], o valor

inicial do tap é definido como sendo 1 p.u.).

[CUTSEN & QUINTANA (1988)] propuseram um método para estimação

de parâmetros que se baseia na análise do efeito dos erros de parâmetros nos

resíduos das medidas. Embora o método se aplique a qualquer parâmetro da

rede, maior ênfase foi dada para erros na posição de tap de transformadores.

Em [LIU & LUN (1992)] propõe-se a estimação dos erros de parâmetros,

que, uma vez estimados, permitem a correção desses parâmetros errados do

sistema. Tal estimação realiza-se através de um novo tratamento do vetor de

resíduo. As limitações deste método são as seguintes: (i) número grande de

iterações, pois o algoritmo encerra duas estimações independentes, a primeira

para estimar os resíduos

e a segunda para estimar os erros de parâmetros;

(ii) as matrizes utilizadas no processo de estimação dos erros de parâmetros

são geralmente singulares, o que provoca problemas de observabilidade; e (iii)

os autores não consideram erros grosseiros nas medidas.

A grande limitação dos métodos, baseados na análise da sensibilidade

dos resíduos, é distinguir entre o resíduo causado por um erro grosseiro

daquele causado por um erro de parâmetro.

Através de um estimador por mínimos quadrados iterativo.

Grupo 2: Métodos que aumentam o vetor de variáveis de estado

Os métodos deste grupo aumentam o vetor de variáveis de estado, para

incluírem os parâmetros suspeitos, como se estes fossem variáveis

independentes. Desta maneira, os parâmetros são estimados juntamente com

as tensões complexas das barras do sistema de potência, o que se denomina

de estimação simultânea de estado e parâmetros.

Uma das alternativas para trabalhar com este modelo aumentado

realiza-se através das equações normais, o que corresponde exatamente à

mesma formulação do estimador de estado convencional, porém com o vetor

de estado aumentado.

Um dos primeiros métodos de estimação de estado e parâmetros, a

desenvolver-se dessa maneira, foi proposto por [ALLAN & LAUGHTON (1974)].

Além de estimar estado e parâmetros, através da diferença entre os valores

dos parâmetros, fornecidos pelo banco de dados, e os seus valores estimados,

esse método permite identificar se os ramos do sistema estão fora de operação

ou não.

[ALSAÇ et al (1998)] propuseram um estimador generalizado, que

melhora o processo de obtenção de informação; sua principal contribuição é a

inclusão de erros de topologia e erros de parâmetros, na estimação e no

processo de análise de erros. Este estimador permite a modelagem das

subestações suspeitas, ao nível de seção de barra.Para isto, o vetor de estado

convencional, formado pelas magnitudes e ângulos das tensões, ganha novas

variáveis de estado, que são os fluxos de potência ativa e reativa, através dos

disjuntores e dos ramos cujos parâmetros serão estimados. Novas pseudo-

medidas são também introduzidas no modelo, permitindo assim uma melhor

discriminação entre erros grosseiros, topológicos e erros de parâmetros.

Devido à grande quantidade de informações, envolvidas no processo de

estimação generalizada de estado, tal estimador pode tornar-se inviável para

aplicação em tempo real.

De uma forma geral, é possível afirmar que a limitação dos métodos que

usam equações normais está relacionada à observabilidade, isto é, raramente

o número de medidas disponível é suficiente para estimar todas as variáveis de

estado aumentadas, uma vez que as mesmas aumentam, mas o conjunto de

medidas continua o mesmo [ZARCO & EXPÓSITO (2000)].

Para evitar o problema de observabilidade, foram propostos também

métodos baseados na teoria do filtro de Kalman. Estes métodos aumentam o

vetor de medidas com pseudomedidas, referentes ao vetor de estado

aumentado, estimado no instante anterior.

A possibilidade de estimar-se o vetor de estado aumentado, através de

um algoritmo recursivo, baseado no filtro de Kalman, foi investigada

inicialmente por [DEBS (1974)]. Nesse trabalho, os parâmetros são modelados

como sendo constantes e as tensões complexas das barras são atualizadas

segundo o processo de Markov. As limitações de tal formulação são as

seguintes: - problemas de convergência, quando aplicada a sistemas grandes

e/ou com muitos parâmetros incorretos; - as medidas são tratadas como sendo

exatas e os parâmetros como constantes, limitando a flexibilidade do algoritmo,

visto que alguns parâmetros, em razão das perdas por efeito corona, são

variáveis no tempo.

Diferentemente do anterior, os parâmetros não são considerados

constantes em [SLUTSKER & CLEMENTS (1996)], pois, assim como as

tensões e os ângulos das barras do sistema, tais parâmetros são também

atualizados segundo o processo de Markov. Deste modo, permite-se a

estimação de parâmetros, variáveis com o tempo.

A grande limitação dos métodos, baseados na teoria do filtro de Kalman,

está na determinação da matriz transição de estados. Muitos autores

consideram essa matriz como sendo uma matriz identidade, isto é, consideram

que os estados e parâmetros não sofram mudanças com o tempo.

Capítulo 3

Estimação de Estado em Sistemas Elétricos

de Potência

O problema de estimação de estado consiste em um conjunto de

algoritmos para processar tele-medidas realizadas em todo o sistema. Essas

tele-medidas são em geral redundantes e corrompidas por erros de medição,

erros de conversão analógico-digital e ruídos de transmissão. O estimador

processa essas tele-medidas com o objetivo de fornecer estimativas confiáveis

para as variáveis de estado do sistema. Para isto, dos muitos critérios

estatísticos existentes, o mais utilizado, para estimação de estado em sistemas

elétricos de potência, é o dos mínimos quadrados ponderados (W.L.S

O estimador de estado pode ser dinâmico ou estático. A grande

limitação do estimador dinâmico está na determinação da matriz transição de

estado. Na maioria dos artigos, essa matriz é considerada como sendo uma

matriz identidade, assumindo que o sistema seja quase estático.

No estimador estático, supõe-se que o sistema esteja em condições de

regime permanente, ou seja, não se considera a variação entre as grandezas

envolvidas com a variável tempo. Por isso, a rede é representada por um

conjunto de equações algébricas [LONDON Jr. (2000)].

A seguir apresenta-se a formulação do estimador de estado estático por

mínimos quadrados ponderados.

Do inglês W.L.S. – Weighted Least Square.

3.1 Estimador de Estado Estático baseado no Método dos Mínimos

Quadrados

A estimação de estados, através dos mínimos quadrados, formula-se

considerando:

wxhz

+= )(

(3.1)

Onde: z – vetor de medidas (mx1); h(.) - vetor de funções não lineares,

relacionando as medidas com os estados (mx1); xv – vetor das variáveis de

estado verdadeiras (nx1); w – vetor dos erros das medidas (mx1); m – número

de medidas; n – número de variáveis de estado a serem estimadas.

A melhor estimativa do vetor xv, designada por

, é o valor de x que torna

mínimo o índice J(x), dado por:

wWwxJ

=)(

(3.2)

)]([)]([)( xhzWxhzxJ

−−=

(3.3)

Onde W é uma matriz de ponderação para as medidas; é o inverso da

matriz covariância das mesmas. É uma matriz diagonal, cujos valores

diferentes de zero são os inversos das variâncias de cada medida

)(

1−

[HANDSCHIN et al. (1975), HORISBERGER et al. (1976)]. Através dessa

matriz, as medidas são ponderadas conforme as suas qualidades.

Da equação (3.3) deduz-se que

)(xJ

é uma função quadrática. Considerando

que

torna mínimo

)(xJ

, podemos dizer que

)(xJ

é convexo nas

proximidades de

. Desta forma, para obter

, que torne

)(xJ

mínimo,

fazemos:

)(

∂

(3.4)

portanto

0)]

([)

(2 =− xhzWxH

(3.5)

onde

)

(xH

é a matriz Jacobiana, dada por:

)(

)

(

∂

∆

(3.6)

Como podemos ver, a solução da equação (3.5) fornece o vetor

Devido à não linearidade de

)

(xH

)

(xh

, a solução direta dessa equação não é

possível. Assim, o vetor estimado

é obtido através de técnicas iterativas.

Para isso, utiliza-se o método de Newton-Raphson.

Expandindo em série de Taylor a equação

)(xh

, e tomando apenas os

termos lineares em torno de um ponto inicial

, têm-se:

000

)()()( xxHxhxh ∆+≅

(3.7)

Sendo:

xxx −=∆

De (3.1) obtêm-se:

wxxHxhz +∆+=

000

)()(

(3.8)

Define-se:

)()(

xhzxz −=∆

(3.9)

Onde

z∆

é o erro de estimação, obtendo-se:

wxxHxz +∆=∆

)()(

(3.10)

Assim, a função objetivo passa a ser:

])()([])()([)(

000000

xxHxzWxxHxzxJ

∆−∆∆−∆=

(3.11)

E o mínimo é encontrado fazendo-se:

0])()([)(

0000

=∆−∆ xxHxzWxH

(3.12)

Portanto:

)()()]()([

000

xzWxHxWHxHx

∆=∆

−

(3.13)

Onde a matriz ganho é dada por:

)]()([)(

000

xWHxHxG

(3.14)

001

xxx ∆+=

(3.15)

Assim, a estimativa de

corresponde ao valor de

para uma

determinada iteração, em que se verifique um índice de convergência pré

fixado.

3.2 Detecção e identificação de medidas com erros grosseiros

Conforme já mencionado, medidas analógicas com erros grosseiros

(EGs) podem inviabilizar o processo de estimação de estado. Assim, tais

medidas precisam ser identificadas e eliminadas e as variáveis de estado

estimadas novamente.

Como a maioria dos estimadores de estado são dependentes da análise

dos resíduos, são apresentados, nesta seção, os processos de detecção e

identificação de medidas com erros grosseiros, através da análise dos resíduos

de estimação.

O termo detecção é entendido aqui como o teste da hipótese de que não

há EG no conjunto de medidas. Se o resultado do teste é negativo, parte-se

então para o processo de identificação das medidas que contém EG.

3.2.1 Detecção de medidas com erros grosseiros

A detecção é feita através do índice

)

(xJ

. Considerando a hipótese de

que não haja erro grosseiro, o valor do índice

)

(xJ

, calculado para

obtido

após a convergência do processo de estimação de estado, é comparado com

o parâmetro λ. O valor de λ é previamente determinado, supondo uma

distribuição

, com (m-n) graus de liberdade

para o índice

)

(xJ

e fixada uma

certa probabilidade

de se tomar a decisão errada, rejeitando-se a hipótese

quando ela é verdadeira.

(xJ

, rejeita-se a hipótese de que não haja erro grosseiro, e, se

(xJ

aceita-se a mesma.

Se a hipótese de que não haja erro grosseiro for aceita, consideram-se

confiáveis os resultados obtidos pelo estimador de estado. Mas, se essa

hipótese for rejeitada, importa identificar e eliminar as medidas que estejam

com erros grosseiros.

3.3 Identificação de medidas com erros grosseiros

Os métodos mais empregados, para identificação de medidas com EGs,

têm sido aqueles que se baseiam na análise estatística dos resíduos de

estimação normalizados. O vetor resíduo de estimação pode ser definido como:

)

(xhzr −=

(3.16)

Que pode ser representado também da seguinte forma [HANDSCHIN et

al.(1975)]:

(3.17)

Onde:

- é o vetor aleatório dos erros das medidas;

Lembrando que m e n representam, respectivamente, o número de medidas e variáveis de estado de um

sistema de potência.

- é a matriz sensibilidade do resíduo, dada por:

WxHxWHxHxHI

)

()]

()

()[

(

1−

−=Γ

(3.18)

Sendo

uma matriz identidade.

A matriz covariância do vetor

é a matriz

dada por:

xHxHWxHxHWR )

()]

()

()[

(

11 −−

−=

(3.19)

Considerando

o elemento (i,i) da matriz

, os resíduos normalizados

ficam definidos como:

(3.20)

com i=1,2,...m.

Onde

é aproximadamente uma distribuição normal de média

, dada

por:

(3.21)

E desvio padrão unitário.

Quando for detectada a presença de medidas com erros grosseiros, é

acrescentada à equação (3.1) um vetor determinístico b, para representar os

erros grosseiros. Assim a equação (3.1) toma a seguinte forma:

bwxhZ

++= )(

(3.22)

Considerando que apenas a medida j possua erro grosseiro, o vetor b

será dado por:













, sendo bj o erro grosseiro da medida j.

Assim, a média do resíduo de estimação é:

ijji

brbjbr

=⇒













=Γ=

, i = 1,2,3,...,m.

onde

é o elemento (i,j) da matriz Γ, que é obtida pela equação (3.18).

Através da equação (3.20) chegamos à expressão:

ijj

, i = 1,2,...,m (3.23)

Entretanto, para cada medida, somente um ρii é encontrado. Desta

forma, as médias dos resíduos normalizados de cada medida são diferentes,

mas com variâncias iguais e unitárias. Portanto, as distribuições de

probabilidade dos resíduos normalizados, de cada medida, diferem apenas no

que se refere às médias. Conseqüentemente, para a identificação de medidas

com erros grosseiros, basta examinar as médias dos resíduos normalizados de

cada medida. A medida que tiver o

mais distante das demais, ou seja, a

medida que tiver o maior resíduo normalizado corresponderá à medida com

erro grosseiro [SCHWEPPE (1970), HANDSCHIN et al. (1975)].

Então,

max

o maior resíduo normalizado, se

ατ

max

, a correspondente

medida "i" é portadora de erro grosseiro (

é o limite de identificação e

depende de níveis de probabilidade aceitáveis de falso-alarme e de não

identificação [MONTICELLI (2000)]).

Observação 3.1: Quando uma medida com erro grosseiro é identificada, a

mesma é eliminada do conjunto de medidas

, sendo necessário proceder-se

novamente à estimação de estado, através do novo conjunto de medidas. O

método de identificação de medidas, descrito acima, permite identificar uma

medida de cada vez; assim, para situações em que ocorram múltiplos erros,

esse processo torna-se muito pesado, pois, para cada medida com erro

grosseiro que se elimine, realizar-se-á uma nova estimação de estado, até que

todas as medidas com erros grosseiros sejam eliminadas.

Existem métodos que propiciam a eliminação de mais de uma medida de

cada vez, reduzindo assim o tempo de processamento, para detectar e

identificar medidas com erros grosseiros [MILI et al. (1984)].

Em [GARCIA et al. (1979)], ao invés de eliminar a medida com erro, elimina-se o efeito dessa medida.

Capítulo 4

Análise de Observabilidade, baseada na

fatoração triangular da matriz Ganho e em

conceitos de caminhos de grafo.

Neste capítulo será apresentado, em linhas gerais, o método para

análise e restauração da observabilidade, desenvolvido por [BRETAS (1996)],

que será utilizado como base para o desenvolvimento do novo método a ser

proposto, destinado à análise de observabilidade para o estimador de estado e

parâmetros.

Através do desacoplamento

QVP −

, conhecido como desacoplamento

do modelo, que é obtido considerando o fato de as sensibilidades

∂

∂P

∂

serem mais intensas que as sensibilidades

∂

∂Q

(este tipo de relação

verifica-se principalmente para redes com a relação

bem alta), podemos

realizar a análise de observabilidade algébrica separadamente, para cada um

dos modelos.

Em razão de o método de [BRETAS (1996)] realizar a análise

considerando o modelo Pθ

, também conhecido como modelo ativo ou linear,

apresenta-se a seguir uma análise do mencionado desacoplamento do modelo.

A maioria dos métodos desenvolvidos para análise e restauração da observabilidade utiliza o modelo

linear [MONTICELLI & WU (1985a) e MONTICELLI & WU (1985b)].

4.1 Desacoplamento do modelo

O número de variáveis de estado, a serem estimadas para um sistema

de potência com nb barras, é igual a (2nb-1), sendo:

- (nb-1) ângulos de fase, pois o ângulo de uma das barras é considerado

como referência angular;

- nb magnitudes de tensão;

Assim, para realizar a análise de observabilidade de um sistema de

potência, é necessário verificar se é possível, através do conjunto de medidas

disponível

, estimar as suas (2nb-1) variáveis de estado.

Então, considerando a equação (3.13), um sistema é observável se a

correspondente matriz G tiver posto igual ao número de variáveis de estado a

serem estimadas, isto é:

()

12 −= nbGPosto

(4.1)

Entretanto, através do desacoplamento

QVP −

, conhecido como

desacoplamento do modelo, podemos realizar a análise de observabilidade

separadamente, para cada um dos modelos.

Logo, para determinar se o sistema é Pθ observável, importa verificar se

é possível, considerando apenas as medidas de potência ativa, estimar os

ângulos de fase de (nb-1) barras desse sistema.

Da mesma forma, para determinar se o sistema é QV observável, releva

verificar se é possível, considerando apenas as medidas de potência reativa e

as de magnitude de tensão, estimar as magnitudes de tensão em todas as nb

barras desse sistema.

Face ao exposto e considerando a equação (3.13), pode-se afirmar que:

Um sistema é Pθ observável se:

(

)

1−= nbGPosto

(4.2)

Um sistema é QV observável se:

(

)

GPosto =

(4.3)

Como já mencionado, usualmente, as medidas disponíveis são: fluxo de potência ativa e reativa nas

linhas, injeção de potência ativa e reativa e algumas magnitudes de tensão nos barramentos.

Considerando o que se disse, para um sistema em que as medições de

potência ativa e reativa são realizadas aos pares, a existência de, pelo menos

uma medida de magnitude de tensão, faz com que o número de variáveis de

estado, a serem estimadas para o modelo

, seja igual ao do modelo

Assim, se tal sistema é

observável, será também

observável.

Usualmente, nos sistemas de potência, as medições de potência ativa e

reativa são realizadas aos pares, existindo mais de uma medida de magnitude

de tensão. Logo, garantindo-se que o sistema seja

observável, garantir-se-

á que o mesmo será

observável, embora a recíproca possa não ser

verdadeira.

Assim, restringir a análise ao modelo

, ou ao modelo linear, é uma

medida conservadora.

Para o modelo linear, a equação (3.13) tem a seguinte forma:

PPP

zWHHWH

θθθ

(4.4)

com

θθθ

HWHG ..=

(4.5)

logo

zWHG ..

θθ

(4.6)

Onde:

é a matriz ganho, correspondente às medidas de potência ativa;

é a matriz Jacobiana, relacionada apenas às medidas de potência ativa;

é o

vetor de medidas de potência ativa e

é a matriz de ponderação das medidas

de potência ativa.

De acordo com o método proposto por [MONTICELLI & WU (1985a) e

MONTICELLI & WU (1985b)], um sistema é observável se qualquer fluxo na

rede possa ser observado, por algum tipo de indicação no conjunto de

medidas. Em outras palavras, se todas as medidas (fluxo e injeção de potência

ativa) forem zero, então todos os fluxos devem ser zero, quando o sistema é

observável. Por outro lado, se houver algum fluxo não zero, significa que esse

fluxo não recebe informação das medidas, ou seja, o ramo correspondente a

esse fluxo é não observável.

Para o modelo linear, o fluxo de potência ativa, da barra k para a barra

m, é dado pela seguinte expressão:

−

(4.7)

Assim, para “

” ser nulo é necessário que

Considerando essas observações, em [MONTICELLI & WU (1985a) e

MONTICELLI & WU (1985b)] demonstrou-se que, para analisar a

observabilidade de um sistema, basta verificar se a solução da equação (4.6);

para

é do tipo

nbi ...2,1=

, isto é, basta verificar se há uma única

referência de ângulo de tensão quando

4.2 Análise de observabilidade, baseada na fatoração

triangular da matriz Ganho e em conceitos contidos em

caminhos de grafo.

Assim como foi feito em [PEREIRA (2005)], são apresentadas, a seguir,

algumas propriedades demonstradas em [BRETAS (1996)] e [MONTICELLI &

WU (1985a) e MONTICELLI & WU (1985b)].

Propriedade 1: Se o sistema é observável, a fatoração da matriz

, dada

pela equação (4.5), quando não se define nenhum ângulo de fase como

referência, resulta em somente um caminho de fatoração conexo [BRETAS

(1996)]. A matriz

, resultante dessa fatoração, apresenta a seguinte forma

[BRETAS (1996); MONTICELLI & WU (1985a) e MONTICELLI & WU (1985b)]:

1........................

(4.7)

Em que “nb” representa o número de barras do sistema (a área escura

corresponde aos possíveis elementos não nulos). A submatriz, sem a ultima

linha e a última coluna, é não singular, existindo apenas um caminho de grafo

associado a ela. É necessário que, pelo menos, um dos elementos da ultima

coluna de Uθ faça conexão com o grafo da submatriz anterior; caso contrário a

variável correspondente àquela coluna seria uma variável isolada do sistema.

Propriedade 2: Se durante a fatoração de

, um pivô zero (PZ) aparecer na

diagonal

),( ii

, sendo

nbi <

, o sistema é não observável como um todo, sendo

os outros elementos da linha e coluna “i” nulos [MONTICELLI & WU (1985a) e

MONTICELLI & WU (1985b)]. Isto significa que os nós restantes,

correspondentes às colunas de

, de

1+i

até

, farão parte de outros

caminhos de fatoração, que não possuíram conexão com o caminho de

fatoração anterior [BRETAS (1996)]. A matriz

, resultante dessa fatoração,

terá a seguinte forma [MONTICELLI & WU (1985b)]:

Observação 4.1: Com base nas Propriedade 1 e 2, [BRETAS (1996)]

demonstrou que o número de pivôs nulos, encontrados na fatoração da matriz

, é igual ao número de caminhos de grafos associados a essa fatoração.

Propriedade 3: Identificação das ilhas observáveis: se, na fatoração triangular

, existir mais de um caminho de grafo, podem ocorrer duas situações:

i) Não havendo medidas de injeção de potência, relacionando nós de diferentes

caminhos de grafos, o sistema como um todo é não observável e cada sub-

rede, associada a cada caminho de grafo isolado, constitui-se em uma ilha

observável da rede [BRETAS (1996)];

(4.8)

ii) Havendo medidas de injeção de potência, relacionando nós de diferentes

caminhos de grafo, o sistema como um todo é não observável, não sendo

possível assegurar que as subredes, associadas a cada caminho de grafo

isolado, constituem ilhas observáveis. Para encontrar as ilhas observáveis,

aquelas medidas devem ser identificadas e descartadas17, para a obtenção da

nova matriz

. Em seguida essa matriz deve ser fatorada.

O processo de descarte de medidas e de fatoração termina, quando não

existir medida de injeção relacionando nós de diferentes caminhos de grafo.

Cada sub-rede, associada a um caminho da grafo isolado, constituirá uma ilha

observável [BRETAS (1996)].

4.2.1 Algoritmo para Análise de Observabilidade

É apresentado, a seguir, o algoritmo desenvolvido em [BRETAS (1996)],

para análise de observabilidade de redes.

ALGORITMO:

PASSO 1: com o conjunto de medidas disponível, montar a matriz Jacobiana

PASSO 2: obter a matriz ganho

PASSO 3: realizar a fatoração triangular da matriz ganho

PASSO 4: encontrar os caminhos de fatoração, associados à fatoração

triangular da matriz ganho

. Se apenas um caminho de grafo for encontrado,

a rede é observável como um todo. Pare. Caso contrário, a rede como um todo

é não observável.

4.2.2 Algoritmo para identificação de ilhas observáveis

Em [BRETAS (1996)], um algoritmo para identificação de ilhas

observáveis foi apresentado.

Essas medidas são medidas irrelevantes, no que diz respeito à estimação de estado das ilhas

observáveis.

PASSO 1: Na medida em que se obtém mais de um caminho de grafo,

associado à fatoração triangular da matriz ganho

, e:

Não existam medidas de injeção de potência, relacionando nós de diferentes

caminhos de grafos, então as sub-redes associadas a cada caminho de grafo

já constituem ilhas observáveis. Pare.

Existam medidas de injeção de potência relacionando nós de diferentes

caminhos de grafos, então nada poderá ser dito a respeito da observabilidade

das redes, associadas a estes caminhos de grafos. Vá para o passo 2.

PASSO 2: Identificar essas medidas e removê-las do conjunto de medidas

original. Estas são medidas irrelevantes, em termos de estimação de estado.

PASSO 3: Atualizar a matriz ganho

e refazer a fatoração triangular.

PASSO 4: Identificar os caminhos de fatoração e retornar ao passo 1.

Observação 4.2: O algoritmo pode tornar-se um processo iterativo, no caso de

acontecer a situação b do passo 1. A razão disto é que, quando medidas

irrelevantes são identificadas e descartadas, outras medidas irrelevantes

podem aparecer.

4.3 Exemplo

Exemplo 1

O sistema da figura abaixo será usado para mostrar como o algoritmo de

análise de observabilidade e o de identificação de ilhas observáveis funcionam.

Figura 4.1: Sistema de 6 barras do IEEE associado a um conjunto de medidas (exemplo 1)

Conjunto de medidas: [P1, P2, P3, P4, P5, P6].

AGORITMO PARA ANÁLISE DE OBSERVABILIDADE:

Passo 1: A partir do conjunto de medidas disponível, montar a matriz

Jacobiana. Para facilitar o cálculo, as reatâncias das linhas são consideradas

unitárias, bem como os elementos da matriz de ponderação













−

−−−

−−

011000

001100

000011

113100

000112

(4.9)

Passo 2: Obter a matriz Ganho.













−

−−−

−−

−

−−

113100

124100

3411400

114312

000134

000246

(4.10)

Passo 3: Fazer a fatoração triangular da matriz













−

−−

−

−−

000000

110000

33.067.01000

5.05.02100

000110

00033.067.01

(4.11)

Passo 4: Identificar os caminhos de fatoração.

Os caminhos de fatoração são obtidos através da análise dos elementos não

nulos do triângulo superior da matriz

. Percorre-se a linha (i), a partir do

elemento (i, i), até o primeiro elemento não nulo (i, j) e passa-se para a próxima

linha. O processo é repetido até à penúltima linha da matriz

Voltando para a matriz

, temos:













↓

−→

↓

−−→

↓

−→

↓

−→

↓

−−→

)0(00000

)1()1(0000

33.0)67.0()1(000

5.05.0)2()1(00

000)1()1(0

00033.0)67.0()1(

Verificam-se as seguintes conexões

Linha 1: elementos [1, 1] e [1, 2] – barra 1 conectada com a barra 2.

Linha 2: elementos [2, 2] e [2, 3] – barra 2 conectada com a barra 3.

Linha 3: elementos [3, 3] e [3, 4] – barra 3 conectada com a barra 4.

Linha 4: elementos [4 ,4] e [4, 5] – barra 4 conectada com a barra 5.

Linha 5: elementos [5, 5] e [5, 6] – barra 5 conectada com a barra 6.

O caminho de fatoração associado com a matriz

é mostrado,

graficamente, através do caminho de grafo da figura 4.2.

Figura 4.2: Caminho de grafo associado com a matriz

Existe apenas um caminho de fatoração, associado com a fatoração

triangular da matriz

, o caminho n1. Assim, de acordo com a propriedade 1,

o sistema é observável como um todo, em relação ao conjunto de medidas

disponível.

Exemplo 2

Outro exemplo com o mesmo sistema será mostrado, mas com um

conjunto de medidas diferente, ilustrado na figura 4.3.

Os elementos não nulos [i, i] e [i ,j] indicam a existência de conexão entre as barras correspondentes às

suas colunas, isto é, conexão entre as barras “i” e “j”.

Figura 4.3: Sistema de 6 barras do IEEE, associado a um conjunto de medidas (exemplo 2)

Conjunto de medidas: [P1, P2, P3, P4].

AGORITMO PARA ANÁLISE DE OBSERVABILIDADE:

Passo 1: Obter a matriz Jacobiana.













−

−−−

101000

011000

000101

113100

(4.12)

Passo 2: Obter a Matriz Ganho.













−

−−−

−−

−

101000

011000

113311

0031034

001311

001412

(4.13)

Passo 3: Fazer a fatoração triangular da matriz













−

−−

−

000000

110000

5.05.01000

000000

001210

005.025.01

(4.14)

Passo 4: Identificar os caminhos de fatoração.

Como no exemplo anterior, verificam-se as seguintes conexões:

Linha 1: elementos [1, 1] e [1, 2] 7– barra 1 conectada com a barra 2.

Linha 2: elementos [2, 2] e [2, 3] – barra 2 conectada com a barra 3.

Linha 3: barra 3 não tem conexão com as barras 4, 5 e 6 (linha de zeros) .

Linha 4: elementos [4, 4] e [4, 5] – barra 4 conectada com a barra 5.

Linha 5: elementos [5, 5] e [5, 6] – barra 5 conectada com a barra 6.

Os caminhos de fatoração associados com a matriz

são mostrados,

graficamente, através dos caminhos de grafo da figura 4.4.

Figura 4.4: Caminhos de grafo associados com a matriz

Neste caso aparecem dois caminhos de fatoração, associados com a

fatoração triangular, o caminho n1 e o caminho n2.

De acordo com a propriedade 3, chega-se à conclusão de que o sistema

não é observável como um todo, com relação ao conjunto de medidas

disponível.

A partir deste ponto, importa identificar as ilhas observáveis do sistema.

AGORITMO PARA IDENTIFICAÇÃO DE ILHAS OBSERVÁVEIS:

Passo 1: Através dos caminhos de fatoração, verificar se existem medidas de

injeção, relacionando nós de diferentes caminhos de fatoração: Medida P1:

relaciona os nós 3 e 4, que estão em caminhos de fatoração diferentes.

Passo 2: Remover essa(s) medida(s).

Figura 4.5 Rede de 6 barras utilizada

Conjunto de medidas atualizado: [P2, P3, P4].

Passo 3: Atualizar a matriz

e refazer fatoração triangular.













−

−−

−

000000

110000

5.05.01000

000000

000101

(4.14)

Passo 4: Identificar caminhos de fatoração.

Linha 1: elementos [1, 1] e [1, 3] – barra 1 conectada com a barra 3.

Linha 2: barra 2 não tem conexão com as barras 3, 4, 5 e 6 (linha de zeros) .

Linha 3: barra 3 não tem conexão com as barras 4, 5 e 6 (linha de zeros) .

Linha 4: elementos [4, 4] e [4, 5] – barra 4 conectada com a barra 5.

Linha 5: elementos [5, 5] e [5, 6] – barra 5 conectada com a barra 6.

Os caminhos de fatoração associados com a matriz

são mostrados,

graficamente, através dos caminhos de grafo da figura 4.6

Figura 4.6: Caminhos de grafo associados com a matriz

Neste caso aparecem três caminhos de fatoração, associados com a

fatoração triangular de

Passo 1: Através dos caminhos de fatoração, verificar se existem medidas de

injeção, relacionando nós de diferentes caminhos de grafos.

Como não existe medida de injeção com as características acima, de acordo

com a propriedade 3, chega-se à conclusão de que o sistema não é observável

como um todo e as sub-redes, associadas com cada caminho de fatoração

isolado, constituem ilhas observáveis.

Observação 4.3: Além dos algoritmos apresentados nesta seção, em

[BRETAS (1996)] é apresentado um algoritmo para restaurar a observabilidade

do sistema.

Capítulo 5

Metodologia para Estimação de Estado e

Parâmetros de Linhas de Transmissão,

baseada nas Equações Normais

5.1 Introdução

Propõe-se, neste capítulo, uma metodologia para estimação de estado e

parâmetros de linhas de transmissão, sendo que o vetor de estado será

expandido, para a inclusão dos parâmetros a serem estimados; já o vetor de

medidas será aumentado, para considerar medidas de diversas amostras,

desde que não tenham sofrido uma alteração significativa dos seus valores.

Em estimação de estado utiliza-se, para representação de linhas de

transmissão, o modelo ∏ equivalente, a ser apresentado na seção 5.4. Tal

modelo possibilita a representação de uma linha de transmissão, através de

parâmetros concentrados.

Importa destacar que, em termos de estimação de estado, como as

medidas são tomadas apenas nas extremidades da linha, não há diferença

entre a representação com parâmetros concentrados ou distribuídos, mesmo

para linhas de transmissão aéreas, classificadas como longas [STEVENSON

(1986)].

Como mencionado na introdução deste trabalho, os parâmetros a serem

estimados, pela metodologia proposta, são as condutâncias

)(

série e as

susceptâncias

)(

série de linhas de transmissão aéreas, classificadas como

médias e longas, isto é, com comprimento acima de 80 km (50 milhas)

Através dos parâmetros do modelo ∏ equivalente, distingue-se uma linha

aérea classificada como curta, das classificadas como médias e longas,

através da sua susceptância shunt, que será igual a zero. Isto porque uma

linha aérea classificada como curta, isto é, com comprimento de até 80 km (50

milhas), possui uma capacitância em derivação muito pequena, que pode ser

inteiramente desprezada, sem perda apreciável de precisão, sendo suficiente

considerar apenas a resistência em série e a indutância em série, para todo o

comprimento da linha.

A metodologia proposta compreende três fases:

Fase 1: Determinação do conjunto de medidas, a ser utilizado no processo de

estimação de estado e parâmetros, isto é, determinação das medidas que não

tenham sofrido uma alteração significativa dos seus valores, durante um certo

período de tempo;

Fase 2: Análise de Observabilidade, baseada na fatoração triangular da matriz

ganho e nos conceitos de caminho grafo, para o modelo aumentado, isto é, o

modelo correspondente aos vetores de estado e de medidas, aumentados;

Fase 3: Estimação de estado e parâmetros, propriamente dita.

A seguir será apresentada cada uma dessas fases.

5.2 Fase 1: Determinação do Conjunto de Medidas a ser

utilizado

Para determinar as medidas a serem utilizadas, o primeiro passo

consiste em determinar as variáveis de estado, não sujeitas a uma variação

significativa, durante um determinado intervalo de tempo. De posse dessas

variáveis de estado, as medidas das diversas amostras, obtidas naquele

intervalo de tempo, incidentes apenas às barras cujas variáveis de estado não

estejam variando significativamente, são selecionadas para serem utilizadas na

estimação de estado e parâmetros.

Decidiu-se estimar apenas esses parâmetros, em razão de serem os principais responsáveis pelas

perdas em um SEP [KUSIC & GARRISON (2004)].

Consideramos que uma variável de estado não está sujeita a uma

variação significativa, durante um determinado intervalo de tempo, se a

diferença entre o valor mais alto e o valor mais baixo, que a mesma assumiu

naquele período de tempo, for igual ou menor que 1% (o índice utilizado para

análise da convergência do estimador de estado).

Antes de apresentar o método proposto para analise de observabilidade do

modelo aumentado (Fase 2), será apresentada a formulação do proposto

estimador de estado e parâmetros (Fase 3).

5.3 Fase 3: Estimador de Estado e Parâmetros

O estimador de estado e parâmetros proposto baseia-se nas equações

normais. Conseqüentemente, a sua formulação é praticamente a mesma do

estimador de estado convencional, por mínimos quadrados ponderados,

descrita no capitulo 3.

Tomando essa formulação como base, os vetores de medidas e de

estado passam a ser chamados, respectivamente, de vetor de medidas

aumentado (

Aum

) e de estado aumentado (

Aum

Considerando este modelo de medição aumentado, a equação (3.1)

torna-se:

Aum

wxhz += )(

(5.1)

Onde:

Aum

: vetor de medidas aumentado (mAumx1);

(.)

Aum

: vetor de funções não lineares, que relaciona as medidas com as

variáveis de estado aumentado, a serem estimadas (mAumx1);

vAum

: vetor de estado aumentado verdadeiro (nAumx1);

Aum

: vetor dos erros nas medidas (mAumx1);

Aum

: número de variáveis de estado e parâmetros, a ser estimado.

Aum

: número de medidas selecionadas na Fase 1.

Neste trabalho, os parâmetros a serem estimados são as condutâncias

)(

e as susceptâncias

)(

série de linhas de transmissão médias e

longas, isto é, daquelas que apresentam a susceptância shunt não nula

(modelo ∏ equivalente). Conseqüentemente, para um sistema com “L” ramos e

“nb” barras, temos

"212" Lnbn

Aum

+−=

variáveis de estado “aumentado”, a

serem estimadas (sendo “nb” magnitudes de tensão; “nb-1” ângulos de tensão

e “2L” parâmetros).

A melhor estimativa do vetor

Aum

, designada por

Aum

, é o valor de

Aum

, que torna mínimo o índice J(x), dado por:

Aum

AumAum

wWwxJ =)(

(5.2)

[][]

)()()(

Aum

xhzWxhzxJ −−=

(5.3)

Onde

Aum

é a correspondente matriz de ponderação das medidas

aumentadas.

Obtém-se o mínimo da expressão dada por (5.3), fazendo:

)(

∂

Aum

(5.4)

portanto

[]

0)()( =−

AumAum

Aum

AumAum

xhzWxH

(5.5)

onde

)(

AumAum

é a matriz Jacobiana aumentada, dada por:

AumAum

Aum

AumAum

Aum

)(

∂

∆

(5.6)

A solução da equação (5.5) fornece o estado estimado

Aum

, mas, devido

à não linearidade de

)(

AumAum

)

(

Aum

, a solução direta dessa equação

não é possível. Assim, o estado estimado

Aum

é obtido através de técnicas

iterativas. Para isto, utiliza-se o método de Newton-Raphson.

Expandindo em série de Taylor a equação

)(

AumAum

, e tomando apenas

os termos lineares, em torno de um ponto inicial

Aum

, têm-se:

000

)()()(

AumAum

Aum

AumAumAumAum

xxHxhxh ∆+≅

(5.7)

De (5.1) obtêm-se:

AumAumAum

Aum

AumAum

Aum

wxxHxhz +∆+=

)()(

(5.8)

Define-se:

)()(

AumAum

Aum

AumAum

xhzxz −=∆

(5.9)

Onde

Aum

z∆

é o erro de estimação, obtendo-se:

AumAumAumAumAum

Aum

wxxHxz +∆=∆

000

)()(

(5.10)

Assim, a função objetivo passa a ser:

[

]

000000

)()(])()([)(

AumAum

Aum

AumAum

Aum

AumAum

xxHxzWxxHxzxJ ∆−∆∆−∆=

(5.11)

E o mínimo é encontrado fazendo-se:

0])()([)(

=∆−∆

AumAumAum

Aum

AumAum

xxHxzWxH

(5.12)

Portanto:

[]

)()()()(

Aum

AumAumAumAum

AumAumAum

xzWxHxHWxHx ∆=∆

−

(5.13)

Onde a matriz ganho aumentada é dada por:

[

]

)()()(

000

xHWxHxG

AumAum

(5.14)

001

AumAumAum

xxx ∆+=

(5.15)

A estimativa de estado

mAu

é o valor de

Aum

, para uma determinada

iteração, em que se verifique um critério de convergência pré fixado.

A seguir, propõe-se um método para análise de observabilidade,

referente ao modelo aumentado.

5.4 Fase 2: Análise de Observabilidade para o Estimador de

Estado e Parâmetros

De posse do conjunto de medidas a ser utilizado, é necessário

determinar quais as variáveis de estado e parâmetros, a serem possivelmente

estimadas, isto é, determinar as ilhas observáveis do sistema. Isto se faz

necessário, uma vez que, possivelmente, diversas medidas sofram mudanças

significativas em seus valores, durante o intervalo de tempo considerado. Logo,

não será possível incluir todas as medidas realizadas no sistema, no conjunto

de medidas a ser utilizado no processo de estimação de estado e de

parâmetros.

Considerando a formulação do estimador de estado e parâmetros,

apresentada na seção anterior, a matriz Jacobiana Aumentada (

Aum

), dada

pela equação (5.6), contém as derivadas das funções, referentes a:













FPR

FPA

Aum

, onde “FPA”, “FPR” e “E” indicam, respectivamente, o vetor de

medidas de fluxo de potência ativa, reativa e medidas de magnitude de

tensão

20,

em relação a













Aum

, em que “

” e “

” são, respectivamente, os

vetores dos ângulos e das magnitudes das tensões das barras do sistema; e

“p” o vetor dos parâmetros a serem estimados.













∂













θν

FPRFPR

FPR

FPAFPA

FPA

HHH

VVvVp

QQvQp

PPvPp

Aum

(5.16)

Das equações de fluxo de potência, considerando o modelo

∏

Equivalente generalizado, apresentado a seguir na figura 5.1 [Monticelli

(1999)], tem-se:

Inicialmente não estão sendo consideradas medidas de injeção de potência.

Onde:

−

mpk

VVV

Magnitude de tensão das barras k, p e m.

−

mpk

Ângulo de tensão das barras k,p e m.

−+=

kmkmkm

jbgy

Admitância série da linha de transmissão k-m.

−

susceptância shunt.

−=

kmkm

eat

a relação de transformação

)()cos(

mkkmkmkmmmkkkmmkkmkmkmmmkkkmkmkkmkm

senbVaVagVaVagVaPFPA

ϕϕθϕϕθ

−+−−+−==

(5.17)

(

)

() ()

mkkmkmkmmmkKkmmkkmkmkmmmkkkm

kkmkm

sengVaVabVaVabbVaQFPR

ϕϕθϕϕθ

−+−−+++−== cos

(5.18)

No caso de linhas de transmissão,

1==

mkkm

0==

mkkm

; para

transformadores em-fase com tap no lado da barra

0==

mkkm

, e

; e para os defasadores puros, com regulador no lado

da barra

0==

1==

mkkm

, e

Logo, os elementos da matriz Jacobiana Aumentada (

Aum

) são os

seguintes:

)cos(

mkkmkmmmkkkmkkm

VaVaVa

ϕϕθ

−+−=

∂

(5.19)

1:t

ura 5.1. Modelo ∏ -E

uivalente

eneralizado

)(

mkkmkmmmkkkm

senVaVa

ϕϕθ

−+−=

∂

(5.20)

()

mkkmkmkmmmkkmmkkmkmkmmmkkmkmkkm

senbVaagVaagVa

ϕϕθϕϕθ

−+−−+−=

∂

)cos(2

(5.21)

)()cos(

mkkmkmkmkmkkmmkkmkmkmkmkkm

senbVaagVaa

ϕϕθϕϕθ

−+−−+−=

∂

(5.22)

() ()

mkkmkmkmmmkkkmmkkmkmkmmmkkkm

bVaVasengVaVa

ϕϕθϕϕθ

−+−−+=

∂

cos

(5.23)

() ()

mkkmkmkmmmkkkmmkkmkmkmmmkkkm

bVaVasengVaVa

ϕϕθϕϕθ

−++−+−=

∂

cos

(5.24)

()

mkkmkmmmkKkm

senVaVa

ϕϕθ

−+−=

∂

(5.25)

()

mkkmkmmmkkkmkkm

VaVaVa

ϕϕθ

−++−=

∂

cos

(5.26)

()

mkkmkmkmmmkkmmkkmkmkmmmkkm

kmkmkkm

sengVaabVaabbVa

ϕϕθϕϕθ

−+−−+++−=

∂

)cos(2

(5.27)

)()cos(

mkkmkmkmkmkkmmkkmkmkmkmkkm

sengVaabVaa

ϕϕθϕϕθ

−+−−+=

∂

(5.28)

)cos()(

mkkmkmkmmmkkkmmkkmkmkmmmkkkm

gVaVasenbVaVa

ϕϕθϕϕθ

−+−−+−=

∂

(5.29)

)cos()(

mkkmkmkmmmkkkmmkkmkmkmmmkkkm

gVaVasenbVaVa

ϕϕθϕϕθ

−++−+=

∂

(5.30)

Assim, de uma forma mais detalhada, a estrutura da matriz Jacobiana

Aumentada é a seguinte:













∂













00000

VVvVp

QQvQp

PPvPp

Aum

HHH

θθ

(5.31)

A matriz Ganho Aumentada (

Aum

), que será utilizada no processo de

estimação de estado e parâmetros, dada pela equação 5.14, tem a seguinte

forma:













θθθ

GGG

HWHG

vvvp

ppvp

AumAum

]][[][

(5.32)

Onde:

]][[][]][[][]][[][

VvV

VvQvQ

QvPvP

Pvv

VpV

VvQpQ

QvPpP

VpQQ

QpPP

Ppp

VvV

VpQvQ

QpPvP

Pppv

VpV

VpQpQ

QpPpP

Ppp

HWHHWHHWHG

++=

θθθθ

]][[][]][[][]][[][

θθθθθθθ

θθθθ

θθθ

VQQ

QPP

VvV

VQVQ

QPVP

VpV

VQpQ

QPpP

VvQQ

QvPP

Pvv

HWHHWHHWHG

++=

O algoritmo ora proposto para análise de observabilidade baseia-se na

fatoração da matriz ganho aumentada

Aum

e nos conceitos de caminho

grafo21. Inicialmente, o método permite verificar se o sistema é observável.

Não o sendo, o mesmo permite a identificação das ilhas observáveis.

Para possibilitar a utilização dos caminhos de grafo, na determinação

das ilhas observáveis, é necessário que as equações em análise relacionem

pelo menos duas das variáveis a serem estimadas [TINNEY et al (1985)].

Face ao exposto, o método proposto para análise de observabilidade

não considera, em sua análise, as medidas de magnitude de tensão, nem

mesmo as variáveis de estado de magnitude de tensão, nas barras que

possuem pelo menos uma medida de tensão. Em razão dessas

particularidades, a nova matriz Jacobiana Aumentada (

Aum

), que será

considerada na análise de observabilidade, apresentará a seguinte estrutura:













Aum

HHH

(5.33)

Onde “vS” indica as variáveis de magnitude de tensão a serem estimadas, isto

é, aquelas correspondentes às barras sem medidas de magnitude de tensão.

Tendo em vista essa nova matriz

Aum

, a matriz

Aum

, que será utilizada

para análise de observabilidade, terá a seguinte estrutura:

O método utiliza as propriedades descritas no capitulo 4, demonstradas em [BRETAS (1996)] e

[MONTICELLI & WU (1985a) e MONTICELLI & WU (1985b)].













GGG

HWHG

SSS

vvpv

AumAum

]][[][

(5.34)

5.4.1. Obtenção da matriz G

Aum

A condição inicial usualmente utilizada no processo iterativo de cálculo

de fluxo de potência ou estimação de estado não linear é: θ

= 0 e v

= 1, para

i = 1,...,nb. Entretanto, essa condição inicial não pode ser utilizada nas Fases 2

e 3 da metodologia proposta. Isto em razão de tal condição zerar os elementos

da matriz H

Aum

, resultantes das derivadas das medidas de potência em relação

aos parâmetros que serão estimados [equações: (5.19), (5.20), (5.25) e (5.26)].

Face ao exposto, a condição inicial a ser considerada nas Fases 2 e 3

da metodologia proposta é assim constituída:

- Valores dos parâmetros do sistema: consideram-se os parâmetros

disponíveis;

- Valores das tensões complexas nas barras do sistema: são aquelas obtidas

por um estimador de estado convencional, por mínimos quadrados ponderados

(WLS), que é processado considerando os parâmetros e as medidas

disponíveis. Vale ressaltar que a condição inicial para este estimador WLS é a

usual (

θi = 0 e vi = 1, para i = 1,...,nb).

5.4.2. Algoritmo para análise de observabilidade para o estimador de

estado e parâmetros proposto

As propriedades apresentadas no capitulo 4, relacionadas à fatoração

triangular da matriz G e aos conceitos de caminhos de grafo, são válidas para a

matriz

Aum

, dada pela equação (5.33). Desta forma, propõe-se o seguinte

algoritmo, para análise de observabilidade do modelo aumentado:

Passo 1: Fazendo W=I obtenha a matriz

Aum

[veja equação (5.34)]

22.

seguida executar a fatoração triangular dessa matriz. Se aparecer apenas um

De acordo com as observações contidas na seção 5.4.1.

PZ, o sistema é observável como um todo; PARE. Caso contrário, vá para o

próximo passo;

Passo 2: identificar os caminhos de grafo, associados com a matriz fatorada

Aum

. Se não existir medida de potência, relacionando nós de diferentes

caminhos de grafo, então cada sub-rede, associada a cada caminho de grafo

isolado, constitui uma ilha observável da rede; Pare. Caso contrário, vá para o

próximo passo.

Passo 3: eliminar as medidas de potência, relacionando nós de caminhos de

grafos diferentes (essas medidas são irrelevantes, em considerando estimação

de estado e parâmetros para as ilhas observáveis). Atualizar a fatoração de

Aum

e retornar ao passo 2.

Uma vez que as ilhas observáveis tenham sido determinadas, a

estimação de estado e parâmetros será realizada separadamente, para cada

uma destas ilhas.

5.5 Exemplo

Serão apresentados, nesta seção, quatro exemplos da aplicação da

metodologia proposta, utilizando-se dois sistemas, com três e cinco barras,

respectivamente.

Em todos os exemplos que serão apresentados nesta seção, considera-

se um erro de 3,33% para todos os parâmetros a serem estimados. Para se

chegar a esse valor de erro realizou-se uma análise das pesquisas já

desenvolvidas para o tratamento de erros de parâmetros. Verificou-se, então,

que a grande maioria dessas pesquisas não considera erro em todos os

parâmetros a serem estimados. Além disto, tendo em vista a grande variedade

de valores assumidos, naquelas pesquisas, para os erros de parâmetros,

observa-se que ainda não se definiu um valor padrão para ser considerado

como erro de parâmetro.

Face ao exposto, decidiu-se utilizar um erro de 3,33%, em razão de ser

esse o valor assumido, na maioria das pesquisas da área, para o desvio

padrão das medidas fornecidas ao estimado de estado.

Em todos os exemplos que serão apresentados partimos das seguintes

considerações:

2 3

Como já mencionado, considera-se um erro de 3,33% em todos os

parâmetros a serem estimados, isto é, as condutâncias

)(

e as

susceptâncias

)(

série das linhas de transmissão aéreas, classificadas

como médias e longas, isto é, aquelas com susceptâncias shunt não nulas

(modelo ∏ equivalente);

Valores corretos para todos os parâmetros que não serão estimados,

isto é, todas as susceptâncias shunt e os parâmetros de linhas curtas e

transformadores;

Para os ramos correspondentes a transformadores ou linhas de

transmissão curtas, o processo de estimação de estado e parâmetros vai

estimar apenas as tensões complexas nas barras adjacentes, funcionando,

para tais ramos, como um estimador de estado convencional;

Valores corretos para todas as medidas que serão utilizadas no processo de

estimação de estado e parâmetros (Fase 3). Esses valores são obtidos através

do programa de fluxo de potência Ana Rede.

1º exemplo: O método é aplicado ao sistema de três barras, ilustrado na figura

5.2. Os parâmetros de linha desse sistema, que serão considerados como

condição inicial, são apresentados na segunda coluna da tabela 5.1.

Onde:

Î Par de medidores de fluxo d potência

Î Medidor de magnitude de tensão

Î Gerador

Î Compensador síncrono

ura 5.2: Sistema teste de 3 barras

(

1° exem

)

Tabela 5.1: Parâmetros de linha do sistema de 3 barras.

Condição

inicial

Valores

verdadeiros

G12 (pu) 5.1657 4.9991

G23 (pu) 1.1728 1.1350

B12 (pu) -15.772 -15.263

B23 (pu) -4.9412 -4.7819

Bsh12 (pu) 0.0264 0.0264

Bsh 23(pu) 0.0219 0.0219

Fase 1: vamos considerar que as medidas indicadas na Figura 5.2 foram

previamente selecionadas para serem utilizadas.

Fase 2: Análise de observabilidade:

Passo 1: Obtenha a matriz G considerando: - as medidas ilustradas na Figura

5.2; - os parâmetros apresentados na coluna 2 da Tabela 5.1; - as tensões

complexas obtidas por um estimador de estado convencional WLS

, contidas

na Tabela 5.2; e, fazendo W = I.

Tabela 5.2: Tensões complexas obtidas via um estimador de estado

convencional WLS

Barra Tensão (pu) Ângulo (rad)

1 1.0593 0

2 1.0447 -0.0420

3 1.0108 -0.2197

Uma vez obtida a matriz

Aum

, faz-se a fatoração triangular da mesma

resultando em:

O estimador de estado tradicional foi processado considerando as medidas corretas apresentadas na

tabela 5.3.

Figura 5.3: matriz

Aum

fatorada

Como apareceu apenas um PZ (elemento

)3,3(

Aum

), o sistema é

observável como um todo, com relação ao conjunto de medidas disponível. O

caminho de fatoração associado com a matriz

Aum

é mostrado, graficamente,

através do caminho de grafo abaixo:

Figura 5.4: Caminho de grafo

Fase 3: Estimação de estado e parâmetros: considerando a configuração de

medidores, indicada na figura 5.2, e seus valores corretos (veja Tabela 5.3), o

vetor de variáveis de estado aumentado é estimado. Os resultados obtidos

nesta fase são apresentados na tabela 5.4.

Tabela 5.3: valores do conjunto de medidas ilustrado na figura 5.2

Medidas de fluxo de

potência ativa (P.u.)

Medidas de fluxo de

potência reativa (P.u.)

Medidas de magnitude

de tensão (P.u.)

P12 0.812 Q12 -0.010 V1 1.060

P21 -0.801 Q21 -0.014 V2 1.045

P23 0.984 Q23 0.017 V3 1.010

P32 -0.942 Q32 0.112

3 1

Tabela 5.4 Resultados do 1° Exemplo.

Condição

inicial

Valores

estimados

Valores

verdadeiros

θ1 (rad)

0 0 0

θ2 (rad)

-0.0420 -0.0430 -0.0436

θ3 (rad)

-0.2197 -0.2260 -0.2268

V1 (pu) 1.0593 1.0600 1.0600

V2 (pu) 1.0447 1.0450 1.0450

V3 (pu) 1.0108 1.0100 1.0100

G12 (pu) 5.1657 5.0096 4.9991

G23 (pu) 1.1728 1.1445 1.1350

B12 (pu) -15.771 -15.398 -15.263

B23 (pu) -4.9412 -4.7922 -4.7819

Bsh12 (pu) 0.0264 Fixo 0.0264

Bsh23 (pu) 0.0219 Fixo 0.0219

2º exemplo: O método é aplicado ao sistema de três barras, associado ao

conjunto de medidas ilustrado na Figura 5.5. Os parâmetros de linha desse

sistema, que serão considerados como condição inicial, esta na segunda

coluna da tabela 5.1.

Fase 1: Considerando o conjunto de medidas indicado na figura 5.5, que é o

mesmo do 1° exemplo, entretanto, sem as medidas

, como foram

previamente selecionadas para serem utilizadas.

Fase 2: Análise de Observabilidade

Figura 5.5: Sistema teste de 3 barras(2° exemplo)

Onde:

Î Par de medidores de fluxo de potência

Î Medidor de magnitude de tensão

Passo 1: obtêm-se a matriz

Aum

e faz-se a fatoração triangular da mesma

. A

estrutura da matriz

Aum

fatorada é apresentada na figura 5.6.

A estrutura da

Aum

fatorada é a seguinte:

Figura 5.6: matriz

Aum

fatorada

Como existem dois PZs, elementos

),(

Aum

),(

Aum

, o

sistema não é observável como um todo; vá para o passo 2.

O caminho de fatoração associado com a matriz

Aum

é mostrado,

graficamente, através do caminho de grafo abaixo:

Figura 5.7: Caminho de grafo

Passo 2: existem dois caminhos de grafos: CG1={G12, B12, G23, B23, θ1, θ2};

e CG2={θ3}; como as medidas de potência

P e

Q relacionam nós de

caminhos de grafo diferentes; vá para o seguinte passo.

Passo 3:

P e

Q são removidas. A nova

Aum

é obtida e fatorada.

Para montar

Aum

G consideramos:- as medidas ilustradas na figura 5.5;- W=I; - os parâmetros

apresentados na tabela 5.1;- os valores das tensões complexas apresentadas na tabela 5.2.

A estrutura da nova matriz

Aum

fatorada é apresentada na figura 5.8:

Figura 5.8: Matriz

Aum

fatorada

Passo 2: existem quatro caminhos de grafos: CG1={G12, B12, θ1, θ2};

CG2={G23}; CG3={B23}; e CG5={θ3}.

Figura 5.9: Caminho de grafo

Não existe medida de potência relacionando os nós de diferentes caminhos de

grafos; então o sistema não é observável como um bloco e cada sub-rede,

associada a cada caminho de grafo isolado, constitui uma ilha observável da

rede.

Observação: a estimação de estado e parâmetros não é processada para ilha

observável, formada por apenas uma barra.

Fase 3: considerando as ilhas observáveis, formadas pelas barras 1 e 2, a

estimação de estado e parâmetros é processada. Utilizando apenas medidas

exatas (veja Tabela 5.5), o vetor de estado aumentado foi estimado (veja

Tabela 5.6).

Tabela 5.5: Valores do conjunto de medidas ilustrado na figura 5.5

Medidas de fluxo de

potência ativa (P.u.)

Medidas de fluxo de

potência reativa (P.u.)

Medidas de magnitude

de tensão (P.u.)

P12 0.812 Q12 -0.01 V1 1.060

P21 -0.801 Q21 0.014 V2 1.045

Tabela 5.6 Resultados do 2º Exemplo.

Condição

inicial

Valores

estimados

Valores

verdadeiros

θ1 (rad)

0 0 0

θ2 (rad)

-0.0420 -0.0427 -0.0436

V1 (pu) 1.0593 1.0600 1.0600

V2(pu) 1.0447 1.0450 1.0450

G12 (pu) 5.1657 5.0220 4.9991

B12 (pu) -15.771 -15.3920 -15.2631

3° exemplo: O método é aplicado ao sistema de cinco barras, ilustrado na

figura 5.10. Os parâmetros de linha desse sistema, que serão considerados

como condição inicial, são apresentados na segunda coluna da tabela 5.7

25.

A linha entre as barras 4-5 é uma linha curta (B

=0). Em razão disso, os seus parâmetros não serão

estimados.

Figura 5.10: Sistema de 5 barras (3° exemplo)

Onde:

Î Par de medidas de fluxo de potência

Î Medidas de tensão

Tabela 5.7: Parâmetros de linha do sistema de 5 barras

Condição

inicial

Valores

verdadeiros

G12 (pu) 5.1658 4.9991

G15 (pu) 1.0601 1.0259

G23 (pu) 1.1728 1.1350

G24 (pu) 1.7422 1.6860

G25 (pu) 1.7578 1.7011

G34 (pu) 2.0522 1.9860

G45 (pu) 6.8410 6.8410

B12 (pu) -15.7719 -15.2631

B15 (pu) -4.3762 -4.2349

B23 (pu) -4.9413 -4.7819

B24 (pu) -5.2864 -5.1158

B25 (pu) -5.3671 -5.1939

B34 (pu) -5.2378 -5.0688

B45 (pu) -21.578 -21.578

Bsh12 (pu) 0.0264 0.0264

Bsh15 (pu) 0.0246 0.0246

Bsh23 (pu) 0.0219 0.0219

Bsh24 (pu) 0.017 0.017

Bsh25 (pu) 0.0173 0.0173

Bsh34 (pu) 0.0064 0.0064

Bsh45 (pu) 0 0

Fase 1: considera-se o conjunto de medidas previamente selecionadas para

serem usadas, indicadas na figura 5.10.

Fase 2: Análise de observabilidade:

Passo 1: Obtenha a matriz G considerando: - as medidas ilustradas na figura

5.10; - os parâmetros apresentados na coluna 2 da Tabela 5.7; - as tensões

complexas obtidas por um estimador de estado convencional WLS

, contidas

na Tabela 5.8; - fazendo W = I.

Uma vez obtida a matriz

Aum

, faz-se a fatoração triangular da mesma.

O estimador de estado tradicional foi processado considerando as medidas corretas, apresentadas na

tabela 5.9.

Tabela 5.8: Dados das magnitudes de tensão e ângulo do sistema de 5 barras

Barra Tensão (pu) Ângulo (rad)

1 1.0591 0

2 1.0446 -0.0498

3 1.0106 -0.1577

4 1.0321 -0.1015

5 1.0381 -0.0808

A estrutura da

Aum

fatorada é a seguinte:

Figura 5.11: Matriz

Aum

fatorada

Como apareceu apenas um PZ (elemento

)5,5(

Aum

), o sistema é

observável como um todo, em relação ao conjunto de medidas disponível.

O caminho de fatoração associado à matriz

Aum

é mostrado

graficamente, através do caminho de grafo abaixo:

Figura 5.12: Caminho de grafo

Fase 3: Estimação de estado e parâmetros: considerando o conjunto de

medidas indicado na figura 5.10, e usando somente medidas corretas (veja

Tabela 5.9), o vetor de variáveis de estado aumentado é estimado. Os

resultados obtidos nesta fase são apresentados na Tabela 5.10.

Tabela 5.9: valores do conjunto de medidas ilustrado na figura 5.10

Tabela 5.10 Resultados do 3º Exemplo, os parâmetros e tensões estão dados

em p.u. e os ângulos em radianos.

4º exemplo: O método proposto é aplicado ao sistema de 5 barras, associado

ao conjunto de medidas ilustrado na figura 5.13 (os parâmetros utilizados

como condição inicial estão na segunda coluna da tabela 5.7).

Fase 1: Análise de observabilidade

Passo 1: consideremos o conjunto de medidas indicado na figura 5.13, que é o

mesmo do 3° exemplo, mas sem as medidas

, e

;

W=I; os parâmetros apresentados na coluna 2 da tabela 5.7; e, os valores das

tensões complexas apresentados na tabela 5.8, obtêm-se a matriz

Aum

e faz-

se a fatoração triangular da mesma (passo 1). A estrutura da matriz

Aum

fatorada é apresentada na figura 5.14.

.......0

Aum

Figura 5.14: Matriz

Aum

G fatorada

Figura 5.13: Sistema de 5 barras (4° exemplo)

Onde:

Î Par de medidas de fluxo de potência

Î Medidas de tensão

Como existem dois PZs: elementos

),(

Aum

),(

Aum

, o sistema não é

observável como um todo; vá para o passo 2.

Passo 2: Como ilustrado na figura 5.15, existem dois caminhos de grafos:

CG1={G12, G15, G23, G24, G25, G34, G45, B12, B15, B23, B24, B25, B34,

B45, θ1, θ2, θ3, θ4 }; e CG2={θ5}.

Como as medidas de potência

, relacionam nós

de caminhos de grafo diferentes, vá para o seguinte passo.

Passo 3: as medidas

, são removidas. A nova

matriz

Aum

é obtida e fatorada.

A estrutura da nova matriz

Aum

fatorada é apresentada na figura 5.16:

Figura 5.15: Caminho de grafo

0......0

.........................0

0 .................................................0

0 ..........................................0

0 ..................................0

0 ...................0

0.............0 B

Figura 5.16: Matriz

Aum

G fatorada

Passo 2:

Existem oito caminhos de grafos: (veja figura 5.17) CG1={G12, G23, G24, G34,

B12, B23, B24, B34, θ1, θ2, θ3, θ4 }; CG2={G15}; CG3={G25}; CG4={G45},

CG5={B15}, CG6={B25}, CG7={B45}, CG8={ θ5} .

Não existe medida de potência relacionando os nós de diferentes caminhos de

grafos; então o sistema não é observável como um bloco e cada sub-rede,

associada a cada caminho de grafo isolado, constitui uma ilha observável da

rede.

Observação 5.1: a estimação de estados e parâmetros não é processada, em

caso que a ilha observável, é formada por somente uma barra isolada.

Fase 3: considerando as ilhas observáveis, formadas pelas barras 1, 2, 3 e 4,

a estimação de estado e parâmetros é processada. Utilizando apenas valores

corretos para as medidas ainda disponíveis (veja tabela 5.11), o vetor de

estado e parâmetros foi estimado (veja tabela 5.12).

Tabela 5.11: valores do conjunto de medidas ilustrado na figura 5.13

Medidas de fluxos de

potencia ativa (P.u.)

Medidas de fluxo de

potencia reativa (P.u.)

Medidas de magnitude de

tensão(P.u.)

P12 0.955 Q12 -0.049 V1 1.060

P21 -0.939 Q21 0.039 V2 1.045

P23 0.610 Q23 0.049 V3 1.010

P32 -0.593 Q32 -0.027 V4 1.032

P24 0.318 Q24 -0.039

P42 -0.312 Q42 0.019

P25 0.195 Q25 -0.039

P52 -0.193 Q52 0.007

Figura 5.17: Caminho de grafo

Tabela 5.12 Resultados obtidos do 4º exemplo, os parâmetros e tensões estão

dados em p.u. e os ângulos em radianos.

Condição

inicial

Valores

estimados

Valores

verdadeiros

θ1

θ2

-0.0498

-0.0518

-0.0506

θ3

-0.1577

-0.1631

-0.1623

θ4

-0.1015

-0.1055

-0.1047

V1 1.0591 1.0600 1.0600

V2 1.0446 1.0450 1.0450

V3 1.0106 1.0100 1.0100

V4 1.0321 1.0320 1.0320

G12 5.1657 4.9142 4.9991

G23 1.1728 1.1481 1.1350

G24 1.7422 1.6892 1.6860

G34 2.0521 2.0215 1.9860

B12 -15.771 -15.134 -15.263

B23 -4.9412 -4.7785 -4.7819

B24 -5.2863 -5.0421 -5.1158

B34 -5.2377 -5.1286 -5.0688

Observação 5.2: Neste capítulo, foram apresentados 4 exemplos de aplicação

do método proposto, que demonstram a sua eficácia. No próximo capítulo,

serão apresentados testes realizados com os sistemas de 6, 14 e 30 barras, do

IEEE.

Capítulo 6

Testes e Análise dos Resultados

Neste capítulo apresentam-se testes para comprovar a eficiência da

metodologia proposta, destinada à estimação de estado e parâmetros de linhas

de transmissão, com a utilização dos sistemas IEEE 6, 14 e 30 barras.

Analogamente ao que procedemos na seção 5.5, do capitulo 5, nos

testes 1, 2, 3, 4, 5 e 6, consideramos:

• Erro de 3,33% em todos os parâmetros a serem estimados, isto é, as

condutâncias série

)(

e as susceptâncias série

)(

das linhas de

transmissão aéreas, classificadas como médias e longas (aquelas com

susceptâncias shunt não nulas);

• Valores corretos para todos os parâmetros que não serão estimados,

isto é, todas as susceptâncias shunt e os parâmetros de linhas curtas e

transformadores;

• Para os ramos correspondentes a transformadores, ou a linhas de

transmissão curtas, o processo de estimação de estado e parâmetros

destinar-se-á apenas às tensões complexas nas barras adjacentes,

funcionando, para tais ramos, como um estimador de estado

convencional;

• Valores corretos para todas as medidas que serão utilizadas no

processo de estimação de estado e parâmetros (Fase 3). Estes valores

são obtidos através do programa de fluxo de potência Ana Rede.

6.1 Testes com o sistema de 6 barras do IEEE

Teste 1

O método é aplicado ao sistema de 6 barras, ilustrado na figura 6.1. Os

parâmetros de linha desse sistema, que serão considerados como condição

inicial, são apresentados nas colunas 2 e 5 da tabela

6.1.

Tabela 6.1: Parâmetros de linha do sistema de 6

Condição

inicial

Valores

verdadeiros

Condição

inicial

Valores

verdadeiros

G12 (pu) 5.1658 4.9991 B25 (pu) -5.3671 -5.1939

G15 (pu) 1.0601 1.0258 B34 (pu) -5.2378 -5.0688

G23 (pu) 1.1728 1.1350 B45 (pu) -21.5786 -21.5786

G24 (pu) 1.7422 1.6860 B56 (pu) -3.9679 -3.9679

G25 (pu) 1.7578 1.7011 Bsh12 (pu) 0.0264 0.0264

G34 (pu) 2.0522 1.9859 Bsh 15(pu) 0.0246 0.0246

G45 (pu) 6.8409 6.8409 Bsh23(pu) 0.0219 0.0219

G56 (pu) 0 0 Bsh 24(pu) 0.0170 0.0170

B12 (pu) -15.7719 -15.2630 Bsh25(pu) 0.0173 0.0173

B15 (pu) -4.3762 -4.2349 Bsh 34(pu) 0.0064 0.0064

B23 (pu) -4.9413 -4.7818 Bsh45 (pu) 0 0

B24 (pu) -5.2864 -5.1158 Bsh 56(pu) 0 0

Onde:

Medidas de tensão

Condensador síncrono

Gerador

Medidas de fluxo de potência ativa e reativa

Figura 6.1: Sistema teste de 6 barras (teste 1)

Fase 1: vamos a considerar que as medidas indicadas na figura 6.1 foram

previamente selecionadas para serem utilizadas.

Fase 2: Analise de observabilidade:

Passo 1: Obtenha a matriz G considerando: - as medidas ilustradas na figura

6.1; - os parâmetros apresentados nas colunas 2 e 5 da Tabela 6.1; - as

tensões complexas obtidas por um estimador de estado convencional WLS

contidas na Tabela 6.2; - fazendo W = I.

Tabela 6.2: Tensões complexas obtidas via um estimador de estado

convencional WLS

Barra Tensão (pu) Ângulo (rad)

1 1.0590 0

2 1.0444 -0.0541

3 1.0105 -0.1649

4 1.0254 -0.1084

5 1.0282 -0.0880

6 1.0699 -0.1119

Uma vez obtida a matriz

Aum

faz-se a fatoração triangular da mesma.

A estrutura da

Aum

fatorada é a seguinte:

Figura 6.2: Matriz

Aum

fatorada

O estimador de estado tradicional foi processado considerando as medidas corretas,apresentadas na

tabela 6.4.

Aug

Como apareceu apenas um PZ (elemento

),(

Aum

), o sistema é

observável como um todo, com relação ao conjunto de medidas disponível.

O caminho de fatoração associado com a matriz

Aum

é mostrado,

graficamente, através do caminho de grafo abaixo:

Figura 6.3: Caminho de grafo

Fase 3: Estimação de estado e parâmetros: considerando a configuração de

medidores indicada na figura 6.1, e seus valores corretos (veja Tabela 6.3), o

vetor de variáveis de estado aumentado é estimado. Os resultado obtidos nesta

fase são apresentados na tabela 6.4.

Tabela 6.3: Valores do conjunto de medidas ilustrado na figura 6.1

Tabela 6.4: Resultados do teste 1

Condição

inicial

Valores

estimados

Valores

verdadeiros

θ1(rad)

0 0

θ2 (rad)

-0.0541 -0.0560

-0.0559

θ3 (rad)

-0.1649 -0.1695

-0.1693

θ4 (rad)

-0.1084 -0.1109

-0.1117

θ5 (rad)

-0.0880 -0.0906

-0.0907

θ6 (rad)

-0.1119 -0.1136

-0.1152

V1 (pu) 1.0590 1.0600 1.0600

V2 (pu) 1.0444 1.0450 1.0450

V3 (pu) 1.0105 1.0100 1.0100

V4 (pu) 1.0254 1.0250 1.0250

V5 (pu) 1.0282 1.0280 1.0280

V6 (pu) 1.0699 1.0700 1.0700

G12 (pu) 5.1658 4.9134 4.9991

G15 (pu) 1.0601 1.0306 1.0258

G23 (pu) 1.1728 1.1571 1.1350

G24 (pu) 1.7422 1.7004 1.6860

G25 (pu) 1.7578 1.6956 1.7011

G34 (pu) 2.0522 1.9327 1.9859

G45 (pu) 6.8409 Fixo 6.8409

G56 (pu) 0 Fixo 0

B12 (pu) -15.7719 -15.2283 -15.2630

B15 (pu) -4.3762 -4.2954 -4.2349

B23 (pu) -4.9413 -4.8133 -4.7818

B24 (pu) -5.2864 -5.2474 -5.1158

B25 (pu) -5.3671 -5.2663 -5.1939

B34 (pu) -5.2378 -5.0051 -5.0688

B45 (pu) -21.5786 Fixo -21.5786

B56 (pu) -3.9679 Fixo -3.9679

Bsh12 (pu) 0.0264 Fixo 0.0264

Bsh 15(pu) 0.0246 Fixo 0.0246

Bsh23(pu) 0.0219 Fixo 0.0219

Bsh 24(pu) 0.0170 Fixo 0.0170

Bsh25(pu) 0.0173 Fixo 0.0173

Bsh 34(pu) 0.0064 Fixo 0.0064

Bsh45 (pu) 0 Fixo 0

Bsh 56(pu) 0 Fixo 0

Teste 2

O método é aplicado ao sistema de 6 barras, associado ao conjunto de

medidas ilustrado na figura 6.4. Os parâmetros de linha desse sistema, que

serão considerados como condição inicial, estão nas colunas 2 e 5 da tabela

6.1.

Fase 1: Considerando o conjunto de medidas indicadas na figura 6.4, que é o

mesmo do teste 1, entretanto, sem as medidas P21, P43, P32, P54, Q21, Q43 ,

Q32 e Q54, como foram previamente selecionadas para serem utilizadas.

Fase 2: Analise de observabilidade:

Passo 1: Obtêm-se a matriz

Aum

e faz-se a fatoração triangular da mesma28.

A estrutura da matriz

Aum

fatorada é apresentada na figura 6.5.

Para montar

Aum

G consideramos as medidas ilustradas na figura 6.4; W=I; - os parâmetros

apresentados na tabela 6.1;- os valores das tensões complexas apresentadas na tabela 6.2.

Onde:

Medidas de tensão

Condensador sincrono

Gerador

Medidas de fluxo de potência ativa e reativa

Figura 6.4: Sistema teste de 6 barras (teste 2)

Figura 6.5: Matriz

Aum

fatorada

Como existem dois PZs, elementos

),(

Aum

),(

Aum

o sistema

não é observável como um todo; vá para o passo 2.

O caminho de fatoração associado com a matriz

Aum

é mostrado,

graficamente, através do caminho de grafo

abaixo:

Figura 6.6: Caminho de grafo

Passo 2: existem dois caminhos de grafos: CG1={G12, G15, G23, G24, G25,

G45, B12, B15, B23, B24, B25, B45, θ1, θ2, θ4, θ5, θ6}; e CG2={ G34, B34,

θ3}; como as medidas de potência

, relacionam nós de

caminhos de grafo diferentes; vá para o seguinte passo.

Passo 3:

, são removidas. A nova

Aum

é obtida e fatorada.

.......0

Aum

A estrutura da nova matriz

Aum

fatorada é apresentada na figura 6.7:

Figura 6.7: Matriz

Aum

fatorada

Passo 2:

Existem seis caminhos de grafos: CG1={G12, G15, G24, G25, G45,

G56, B12, B15, B24, B25, B45, θ1, θ2, θ4, θ5, θ6}; CG2={G23}; CG3={G34};

CG4={ B23}, CG5={B34}, CG6={θ3}.

Não existe medida de potência relacionando os nós de diferentes caminhos de

grafos, então o sistema é não observável como um bloco e cada sub-rede

associada a cada caminho de grafo isolado constitui uma ilha observável da

rede.

Observação 6.1: a estimação de estado e parâmetros não é processada para

ilha observável, formada por apenas uma barra.

Figura 6.8: Caminho de grafo

0......0

0 ................................................. 0

0 .................................. 0

0 ...................0

0.............0 B

Fase 3: considerando as ilhas observáveis, formadas pelas barras 1, 2, 4, 5 e

6, a estimação de estado e parâmetros é processada. Utilizando apenas

valores corretos para as medidas ainda disponíveis (veja Tabela 6.3), o vetor

de estado e parâmetro foi estimado (veja Tabela 6.6).

Tabela 6.6: Resultados do teste 2

Condição

inicial

Valores

estimados

Valores

verdadeiros

θ1 (rad)

0 0

θ2 (rad)

-0.0541 -0.0560

-0.0559

θ4 (rad)

-0.1084 -0.1099

-0.1117

θ5 (rad)

-0.0880 -0.0895

-0.0907

θ6 (rad)

-0.1119 -0.1134

-0.1152

V1 (pu) 1.0590 1.0600 1.0600

V2 (pu) 1.0444 1.0450 1.0450

V4 (pu) 1.0254 1.0250 1.0250

V5 (pu) 1.0282 1.0280 1.0280

V6 (pu) 1.0699 1.0700 1.0700

G12 (pu) 5.1658 4.9055 4.9991

G15 (pu) 1.0601 1.0356 1.0258

G24 (pu) 1.7422 1.6138 1.6860

G25 (pu) 1.7578 1.7186 1.7011

G45 (pu) 6.8409 Fixo 6.8409

G56 (pu) 0 Fixo 0

B12 (pu) -15.7719 -15.2235 -15.2630

B15 (pu) -4.3762 -4.3003 -4.2349

B24 (pu) -5.2864 -5.2576 -5.1158

B25 (pu) -5.3671 -5.2797 -5.1939

B45 (pu) -21.5786 Fixo -21.5786

B56 (pu) -3.9679 Fixo -3.9679

6.2 Testes com o sistema de 14 barras do IEEE

Teste 3

O método é aplicado ao sistema de 14 barras, associado com o conjunto de

medidas ilustrado na figura 6.9. Os parâmetros de linha desse sistema, que

serão considerados para a nossa análise, são apresentados nas colunas 2 e 5

da Tabela 6.7.

1314

612

312

126

1213

1312

136

1413

914

149

910

109

1110

1011

611

116

Onde:

Medidas de fluxo de pôtencia

Medidas de tensão

Condensador sincrono

Gerador

ura 6.9: Sistema de 14 barras do IEEE

(

teste 3

)

Tabela 6.7: Parâmetros de linha, do sistema de 14 barras

Condição inicial Valores verdadeiros Condição

inicial

Valores

verdadeiros

G12 (pu) 5.1658 4.9991 B611 (pu) -4.0940 -4.0940

G15 (pu) 1.0601 1.0258 B612 (pu) -3.1759 -3.1759

G23 (pu) 1.1728 1.1350 B613 (pu) -6.1027 -6.1027

G24 (pu) 1.7422 1.6860 B78 (pu) -5.6769 -5.6769

G25 (pu) 1.7578 1.7011 B79 (pu) -9.0900 -9.0900

G34 (pu) 2.0522 1.9859 B910 (pu) -10.3653 -10.365

G45 (pu) 6.8409 6.8409 B914 (pu) -3.0290 -3.0290

G47 (pu) 0 0 B1011 (pu) -4.4029 -4.4029

G49 (pu) 0 0 B1213 (pu) -2.2519 -2.2519

G56 (pu) 0 0 B1314 (pu) -2.3149 -2.3149

G611 (pu) 1.9550 1.9550 Bsh12 (pu) 0.0264 0.0264

G612 (pu) 1.5259 1.5259 Bsh15 (pu) 0.0246 0.0246

G613 (pu) 3.0989 3.0989 Bsh23 (pu) 0.0219 0.0219

G78 (pu) 0 0 Bsh24 (pu) 0.017 0.017

G79 (pu) 0 0 Bsh25 (pu) 0.0173 0.0173

G910 (pu) 3.9020 3.9020 Bsh34 (pu) 0.0064 0.0064

G914 (pu) 1.4240 1.4240 Bsh45 (pu) 0 0

G1011 (pu) 1.880 1.8808 Bsh47 (pu) 0 0

G1213 (pu) 2.489 2.4890 Bsh49 (pu) 0 0

G1314 (pu) 1.136 1.1369 Bsh56 (pu) 0 0

B12 (pu) -15.772 -15.263 Bsh611 (pu) 0 0

B15 (pu) -4.3761 -4.2349 Bsh612 (pu) 0 0

B23 (pu) -4.9412 -4.7818 Bsh613 (pu) 0 0

B24 (pu) -5.2864 -5.1158 Bsh78 (pu) 0 0

B25 (pu) -5.3671 -5.1939 Bsh79 (pu) 0 0

B34 (pu) -5.2378 -5.0688 Bsh910 (pu) 0 0

B45 (pu) -21.578 -21.578 Bsh914 (pu) 0 0

B47 (pu) -4.7819 -4.7819 Bsh1011 (pu) 0 0

B49 (pu) -1.7979 -1.7979 Bsh1213 (pu) 0 0

B56 (pu) -3.9679 -3.9679 Bsh1314 (pu) 0 0

Fase 1: vamos considerar que as medidas indicadas na figura 6.9 foram

previamente selecionadas para serem utilizadas.

Fase 2: Analise de observabilidade:

Passo 1: Obtenha a matriz G considerando: - as medidas ilustradas na figura

6.9; - os parâmetros apresentados nas colunas 2 e 5 da Tabela 6.7; - as

tensões complexas obtidas por um estimador de estado convencional WLS,

contidas na Tabela 6.8; - fazendo W = I.

Tabela 6.8: Tensões complexas utilizadas para a obtenção da matriz

Aum

Barra Tensão(pu) Ângulo (rad)

1 1.0588 0

2 1.0443 -0.0843

3 1.0103 -0.2154

4 1.0178 -0.1748

5 1.0196 -0.1481

6 1.0700 -0.2431

7 1.0616 -0.2281

8 1.0901 -0.2281

9 1.0560 -0.2556

10 1.0511 -0.2584

11 1.0569 -0.2531

12 1.0552 -0.2579

13 1.0504 -0.2593

14 1.0357 -0.2747

Uma vez obtida a matriz

Aum

, faz-se a fatoração triangular da mesma.

A estrutura da

Aum

fatorada é a seguinte:

Figura 6.10: Matriz

Aum

fatorada

Como apareceu apenas um PZ [elemento

),(

1414

Aum

], o sistema é

observável como um todo, com relação ao conjunto de medidas disponível.

O caminho de fatoração associado com a matriz

Aum

é mostrado,

graficamente, através do caminho de grafo abaixo:

Aug

Figura 6.11: Caminho de grafo

Fase 3: Estimação de estado e parâmetros: considerando a configuração de

medidores indicada na figura 6.9, e seus valores corretos (veja Tabela 6.9), o

vetor de variáveis de estado aumentado é estimado. Os resultado obtidos nesta

fase são apresentados na tabela 6.10.

611

612

613

910

914

1011

1213

1314

611

612

613

910

914

1011

1213

1314

Tabela 6.9: valores do conjunto de medidas ilustrado na figura 6.9

Medidas de fluxo de potencia

ativa (P.u.)

Medidas de fluxo de potencia

reativa (P.u.)

Medidas de magnitude de

tensão (P.u.)

P12 1.569 Q12 -0.204 V1 1.060

P21 -1.526 Q21 0.277 V2 1.045

P15 0.755 Q15 0.039 V3 1.010

P51 -0.727 Q51 0.022 V4 1.018

P23 0.732 Q23 0.036 V5 1.020

P32 -0.709 Q32 0.016 V6 1.070

P24 0.561 Q24 -0.016 V7 1.062

P42 -0.545 Q42 0.03 V8 1.090

P25 0.415 Q25 0.012 V9 1.056

P52 -0.406 Q52 -0.021 V10 1.051

P34 -0.233 Q34 0.045 V11 1.057

P43 0.237 Q43 -0.048 V12 1.055

P45 -0.612 Q45 0.158 V13 1.050

P54 0.617 Q54 -0.142 V14 1.036

P47 0.281 Q47 -0.097

P74 -0.281 Q74 0.114

P49 0.161 Q49 -0.004

P94 -0.161 Q94 0.017

P56 0.441 Q56 0.125

P65 -0.441 Q65 -0.081

P611 0.074 Q611 0.036

P116 -0.073 Q116 -0.034

P612 0.076 Q612 0.025

P126 -0.077 Q126 -0.024

P613 0.177 Q613 0.072

P136 -0.175 Q136 -0.068

P78 0 Q78 -0.172

P87 0 Q87 0.176

P79 0.281 Q79 0.058

P97 -0.281 Q97 -0.050

P910 0.052 Q910 0.042

P109 -0.052 Q109 -0.042

P914 0.094 Q914 0.036

P149 -0.093 Q149 -0.034

P1011 -0.038 Q1011 -0.016

P1110 0.038 Q1110 0.016

P1213 0.016 Q1213 0.008

P1312 -0.016 Q1312 -0.007

P1314 0.056 Q1314 0.017

P1413 -0.056 Q1413 -0.017

Tabela 6.10 Resultados do teste 3 (os valores dos ângulos estão em radianos

e das demais variáveis em P.u.)

Condição

inicial

Valores

Estimados

Valores

Verdadeiros

Condição

inicial

Valores

Estimados

Valores

Verdadeiros

θ1

0 0 0

G45

6.8409 Fixo 6.8409

θ2

-0.0843 -0.0872 -0.0872

G47

0 Fixo 0

θ3

-0.2154 -0.2230 -0.2217

G49

0 Fixo 0

θ4

-0.1748 -0.1798 -0.1798

G56

0 Fixo 0

θ5

-0.1481 -0.1530 -0.1536

G611

1.9550 Fixo 1.9550

θ6

-0.2431 -0.2480 -0.2478

G612

1.5259 Fixo 1.5259

θ7

-0.2281 -0.2331 -0.2338

G613

3.0989 Fixo 3.0989

θ8

-0.2281 -0.2331 -0.2338

G78

0 Fixo 0

θ9

-0.2556 -0.2607 -0.2600

G79

0 Fixo 0

θ10

-0.2584 -0.2634 -0.2635

G910

3.9020 Fixo 3.9020

θ11

-0.2531 -0.2581 -0.2583

G914

1.4240 Fixo 1.4240

θ12

-0.2579 -0.2630 -0.2635

G1011

1.8808 Fixo 1.8808

θ13

-0.2593 -0.2644 -0.2653

G1213

2.4890 Fixo 2.4890

θ14

-0.2747 -0.2797 -0.2792

G1314

1.1369 Fixo 1.1369

1.0588 1.0600 1.0600

B12

-15.7718 -15.2160 -15.263

1.0443 1.0450 1.0450

B15

-4.37614 -4.2374 -4.2349

1.0103 1.0100 1.0100

B23

-4.9412 -4.7591 -4.7818

1.0178 1.0180 1.0180

B24

-5.2863 -5.1386 -5.1158

1.0196 1.0200 1.0200

B25

-5.3670 -5.2249 -5.1939

1.0700 1.0700 1.0700

B34

-5.2377 -4.9502 -5.0688

1.0616 1.0620 1.0620

B45

-21.578 Fixo -21.578

1.0901 1.0901 1.0900

B47

-4.7819 Fixo -4.7819

1.0560 1.0560 1.0560

B49

-1.7979 Fixo -1.7979

V10

1.0511 1.0511 1.0510

B56

-3.9679 Fixo -3.9679

V11

1.0569 1.0570 1.0570

B611

-4.0940 Fixo -4.0940

V12

1.0552 1.0552 1.0550

B612

-3.1759 Fixo -3.1759

V13

1.0504 1.0504 1.0500

B613

-6.1027 Fixo -6.1027

V14

1.0357 1.0360 1.0360

B78

-5.6769 Fixo -5.6769

G12

5.1657 4.9946 4.9991

B79

-9.0900 Fixo -9.0900

G15

1.0600 1.0221 1.0258

B910

-10.365 Fixo -10.365

G23

1.1728 1.1186 1.1350

B914

-3.0290 Fixo -3.0290

G24

1.7422 1.6895 1.6860

B1011

-4.4029 Fixo -4.4029

G25

1.7578 1.7038 1.7011

B1213

-2.2519 Fixo -2.2519

G34

2.0521 1.9262 1.9859

B1314

-2.3149 Fixo -2.3149

Teste 4

O método é aplicado ao sistema de 14 barras, associado ao conjunto de

medidas ilustrado na figura 6.12.

Fase 1: Considerando o conjunto de medidas indicado na figura 6.12, que é o

mesmo do teste 3, entretanto, sem as medidas P51, Q51, P52, Q52, P54, Q54,

1314

612

312

126

1213

1312

136

1413

914

149

910

109

1110

1011

611

116

Onde:

Medidas de fluxo de potência

Medidas de tensão

Condensador sincrono

Gerador

ura 6.12: Sistema de 14 barras do IEEE

(

teste 4

)

P56, Q56, P32 , Q32, P34 e Q32, como foram previamente selecionadas para

serem utilizadas.

Fase 2: Analise de observabilidade:

Passo 1: Obtêm-se a matriz

Aum

e faz-se a fatoração triangular da mesma. A

estrutura da matriz

Aum

fatorada é apresentada na figura 6.13.

Figura 6.13: Matriz

Aum

fatorada

Como existem três PZs, elementos

),(

Aum

),(

Aum

),(

1414

Aum

, o sistema é observável como um todo; vá para o passo 2.

O caminho de fatoração associado com a matriz

Aum

é mostrado,

graficamente, através do caminho de grafo abaixo:

Figura 6.14: Caminho de grafo

.......0

Aum

0...........................0

611

612

613

910

914

1011

1213

1314

611

612

613

910

914

1011

1213

1314

Passo 2: existem três caminhos de grafos CG1= { G12, G15, G23, G24, G25,

G45, G47, G49, G611, G612, G613, G78, G79, G910, G914, G1011, G1213,

G1314, B12, B15, B23, B24, B25, B45, B47, B49, B611, B612, B613, B78,

B79, B910, B914, B1011, B1213, B1314, θ1, θ2, θ4, θ6, θ7, θ8, θ9, θ10, θ11,

θ12, θ13, θ14}; CG2={ G34, B34, θ3} e CG3={G56, B56, θ5}; como as

medidas de potência P15, P23, P25, P43, P45, P65, Q15, Q23, Q25, Q43, Q45

e Q65 relacionam nós de caminhos de grafo diferentes; vá para o seguinte

passo.

Passo 3: P15, P23, P25, P43, P45, P65, Q15, Q23, Q25, Q43, Q45 e Q65 são

removidos. A nova

Aum

é obtida e fatorada.

A estructura da nova matriz

Aum

fatorada é apresentada na figura 6.15.

Figura 6.15: Matriz

Aum

fatorada

0 .........................................................................................................................................

0 ...........................................................................................................................

.............................................

................................

............

...................

0..................................................................................................

0....................................................................................

0.......................................................................

0...........................................................

0.............................................

0................................

0..................

0....

0 ....................................................................................................................................................................

0 ........................................................................................................................................................

0 ...............................................................................................................................................................................

Aum

Passo 2: existem quinze caminhos de grafos: CG1= { G12, G24, G47, G49,

G611, G612, G613, G78, G79, G910, G914, G1011, G1213, G1314, B12, B24,

B47, B49, B611, B612, B613, B78, B79, B910, B914, B1011, B1213, B1314,

θ1, θ2, θ4, θ6, θ7, θ8, θ9, θ10, θ11, θ12, θ13, θ14}; CG2={ G15}; CG3={G23};

CG4={G25}; CG5={G34}; Cg6={G45}; CG7={G56}; CG8={B15}; CG9={B23};

CG10={B25}; CG11={B34}; CG12={ B45}; CG13={B56}; CG14={θ3};e

CG15={θ5};

Figura 6.16: Caminho de grafo

Não existe medida de potência relacionando os nós de diferentes

caminhos de grafos; então o sistema não é observável como um bloco e cada

sub-rede, associada a cada caminho de grafo isolado, constitui uma ilha

observável da rede.

Fase 3: considerando as ilhas observáveis, formadas pelas barras 1, 2, 4, 6, 7,

8, 9, 10, 11, 12, 13 e 14 a estimação de estado e parâmetros é processada.

Utilizando apenas medidas exatas (veja tabela 6.9) o vetor de estado foi

estimado (veja tabela 6.11).

611

612

613

910

914

1011

1213

1314

611

612

613

910

914

1011

1213

1314

Tabela 6.11 Resultados do teste 4 (os valores dos ângulos estão em radianos

e das variáveis em P.u.)

Condição

inicial

Valores

Estimados

Valores

Verdadeiros

Condição

inicial

Valores

Estimados

Valores

Verdadeiros

θ1

0 0

G47

0 Fixo 0

θ2

-0.0843 -0.0871

-0.0872

G49

Fixo

θ4

-0.1748 -0.1788

-0.1798

G611

1.9550

Fixo

1.9550

θ6

-0.2431 -0.2470

-0.2478

G612

1.5259

Fixo

1.5259

θ7

-0.2281 -0.2320

-0.2339

G613

3.0989

Fixo

3.0989

θ8

-0.2281 -0.2320

-0.2339

G78

Fixo

θ9

-0.2556 -0.2596

-0.2601

G79

Fixo

θ10

-0.2584 -0.2624

-0.2635

G910

3.9020

Fixo

3.9020

θ11

-0.2531 -0.2570

-0.2583

G914

1.4240

Fixo

1.4240

θ12

-0.2579 -0.2619

-0.2636

G1011

1.8808

Fixo

1.8808

θ13

-0.2593 -0.2633

-0.2653

G1213

2.4890

Fixo

2.4890

θ14

-0.2747 -0.2786

-0.2793

G1314

1.1369

Fixo

1.1369

V1 1.0588 1.0600 1.0600 B12 -15.771 -15.2372 -15.263

V2 1.0443 1.0450 1.0450 B24 -5.2863 -5.1852 -5.1158

V4 1.0178 1.0180 1.0180 B47 -4.7819 Fixo -4.7819

V6 1.0700 1.0700 1.0700 B49 -1.7979 Fixo -1.7979

V7 1.0616 1.0620 1.0620 B611 -4.0940 Fixo -4.0940

V8 1.0901 1.0900 1.0900 B612 -3.1759 Fixo -3.1759

V9 1.0560 1.0560 1.0560 B613 -6.1027 Fixo -6.1027

V10 1.0511 1.0510 1.0510 B78 -5.6769 Fixo -5.6769

V11 1.0569 1.0570 1.0570 B79 -9.0900 Fixo -9.0900

V12 1.0552 1.0550 1.0550 B910 -10.365 Fixo -10.365

V13 1.0504 1.0500 1.0500 B914 -3.0290 Fixo -3.0290

V14 1.0357 1.0360 1.0360 B1011 -4.4029 Fixo -4.4029

G12 5.1657 4.9932 4.9991 B1213 -2.2519 Fixo -2.2519

G24 1.7422 1.7181 1.6860 B1314 -2.3149 Fixo -2.3149

Teste 5

O método é aplicado ao sistema de 30 barras, ilustrado na figura 6.17.

Os parâmetros de linha desse sistema, que serão considerados para a nossa

análise, são apresentados nas colunas 2 e 5 da tabela 6.12.

6.3 Testes com o sistema de 30 barras do IEEE

106

1022

1920

2221

1523

2315

2324

1815

828

286

288

2224

2422

2425

2524

2625

2526

2725

2527

2927

2730

3027

3029

26.

Onde:

Medidas de fluxo de potencia ativa e reativa

Medidas de tensão

Condensador sincrono

Gerador

15 18

ura 6.17: Sistema de 30 barras do IEEE

1518

1710

1514

1512

1215

1415

1412

1214

1612

1617

124

610

Tabela 6.12 Parâmetros de linha do sistema de 30 barras do IEEE. (os valores

das ângulos estão em radianos e das demais variáveis em p.u.)

Condição

inicial

Valores

verdadeiros

Condição

inicial

Valores

verdadeiros

Condição

inicial

Valores

verdadeiros

G12 5.3988 5.2246 B12 -16.168 -15.646 B

12 0.0264 0.0264

G13 1.5922 1.5408 B13 -5.8193 -5.6316 B

13 0.0204 0.0204

G24 1.7624 1.7055 B24 -5.3706 -5.1973 Bsh24 0.0184 0.0184

G25 1.1738 1.1359 B25 -4.9315 -4.7724 Bsh25 0.0209 0.0209

G26 1.7423 1.6861 B26 -5.2870 -5.1164 Bsh26 0.0187 0.0187

G34 8.4686 8.1954 B34 -24.315 -23.530 Bsh34 0.0042 0.0042

G46 6.6268 6.4131 B46 -23.054 -22.311 Bsh46 0.0045 0.0045

G412 0 0 B412 -4.0364 -4.0364 Bsh412 0 0

G57 3.0524 2.9540 B57 -7.6975 -7.4492 Bsh57 0.0102 0.0102

G67 3.7099 3.5902 B67 -11.393 -11.026 Bsh67 0.0085 0.0085

G68 6.4989 6.2893 B68 -22.746 -22.012 Bsh68 0.0045 0.0045

G69 0 0 B69 -4.9679 -4.8076 Bsh69 0 0

G610 0 0 B610 -1.8585 -1.7985 Bsh610 0 0

G628 4.5083 4.3628 B628 -15.979 -15.463 Bsh628 0.0065 0.0065

G828 1.4921 1.4439 B828 -4.6921 -4.5408 Bsh828 0.0214 0.0214

G911 0 0 B911 -4.8076 -4.8076 Bsh911 0 0

G910 0 0 B910 -9.0909 -9.0909 Bsh910 0 0

G1020 1.7848 1.7848 B1020 -3.9853 -3.9853 Bsh1020 0 0

G1017 3.9560 3.9560 B1017 -10.317 -10.317 Bsh1017 0 0

G1021 5.1018 5.1018 B1021 -10.980 -10.980 Bsh1021 0 0

G1022 2.6193 2.6193 B1022 -5.4007 -7.1428 Bsh1022 0 0

G1213 0 0 B1213 -7.1428 -3.1734 Bsh1213 0 0

G1214 1.5265 1.5265 B1214 -3.1734 -4.1043 Bsh1214 0 0

G1215 3.0954 3.0954 B1215 -6.0972 -15.646 Bsh1215 0 0

G1216 1.9519 1.9519 B1216 -4.1043 -5.6316 Bsh1216 0 0

G1415 2.4909 2.4909 B1415 -2.2508 -2.2508 Bsh1415 0 0

G1518 1.8108 1.8108 B1518 -3.6874 -3.6874 Bsh1518 0 0

G1523 1.9683 1.9683 B1523 -3.9760 -3.9760 Bsh1523 0 0

G1617 1.3190 1.3190 B1617 -4.8407 -4.8407 Bsh1617 0 0

G1819 3.0757 3.0757 B1819 -6.2187 -6.2187 Bsh1819 0 0

G1920 5.8823 5.8823 B1920 -11.764 -11.764 Bsh1920 0 0

G2122 16.774 16.774 B2122 -34.127 -34.127 Bsh2122 0 0

G2224 2.5405 2.5405 B2224 -3.9544 -3.9544 Bsh2224 0 0

G2324 1.4614 1.4614 B2324 -2.9892 -2.9892 Bsh2324 0 0

G2425 1.3098 1.3099 B2425 -2.2876 -2.2876 Bsh2425 0 0

G2526 1.2165 1.2165 B2526 -1.8171 -1.8171 Bsh2526 0 0

G2527 1.9693 1.9693 B2527 -3.7602 -3.7602 Bsh2527 0 0

G2729 0.9955 0.9955 B2729 -1.8810 -1.8810 Bsh2729 0 0

G2730 0.6874 0.6874 B2730 -1.2939 -1.2939 Bsh2730 0 0

G2728 0 0 B2728 -2.5252 -2.5252 Bsh2728 0 0

G2930 0.9120 0.9120 B2930 -1.7233 -1.7233 Bsh2930 0 0

Fase 1: considera-se o conjunto de medidas previamente selecionadas para

serem usadas, indicadas na figura 6.17.

Fase 2: Analise de observabilidade :

Passo 1: Obtenha a matriz G considerando: - as medidas ilustradas na figura

6.17; - os parâmetros apresentados tabela 6.12 (condição inicial); - as tensões

complexas obtidas por um estimador de estado convencional WLS, contidas na

Tabela 6.13; - fazendo W = I.

Uma vez obtida a matriz

Aum

, faz –se a fatoração triangular da mesma.

Tabela 6.13: Dados das magnitudes de tensão e ângulo do sistema de 30

barras.

Barra Tensão(pu) Ângulo(rad)

1 1.0579 0

2 1.0415 -0.0906

3 1.0198 -0.1276

4 1.0111 -0.1572

5 1.0095 -0.2397

6 1.0097 -0.1873

7 1.0021 -0.2177

8 1.0095 -0.1999

9 1.0501 -0.2389

10 1.0446 -0.2659

11 1.0803 -0.2389

12 1.0567 -0.2530

13 1.0701 -0.2530

14 1.0422 -0.2681

15 1.0377 -0.2697

16 1.0441 -0.2629

17 1.0396 -0.2686

18 1.0284 -0.2801

19 1.0259 -0.2830

20 1.0299 -0.2797

21 1.0326 -0.2734

22 1.0331 -0.2732

23 1.0274 -0.2764

24 1.0218 -0.2797

25 1.0171 -0.2740

26 0.9999 -0.2809

27 1.0227 -0.2656

28 1.0063 -0.1978

29 1.0032 -0.2864

30 0.9921 -0.3013

A estrutura da

Aum

fatorada é a seguinte:

Figura 6.18: Matriz

Aum

fatorada

Como apareceu apenas um PZ (elemento

)(

3030

Aum

), o sistema é

observável como um todo, com relação ao conjunto de medidas disponível.

Observação 6.2: Devido à dimensão do sistema de 30 barras do IEEE, não

apresentar-se-ão todos os passos do processo de análise de observabilidade,

como tem sido feito até o momento. Assim, a partir de agora, vamos colocar

apenas os resultados dos testes realizados.

Fase 3: Estimação de estado e parâmetros: considerando a configuração de

medidores indicada na figura 6.17, e usando somente medidas exatas (veja

Tabela 6.14), o vetor de variáveis de estado aumentado é estimado. Os

resultado obtidos nesta fase são apresentados na Tabela 6.15.

Aug

Tabela 6.14: valores do conjunto de medidas ilustrado na figura 6.17

Medidas de fluxos de potencia

ativa (P.u.)

Medidas de fluxo de potencia

reativa (P.u.)

Medidas de magnitude

de tensão (P.u.)

P12 1.732 P1213 0 Q12 -0.211 Q1213 -0.105 V1 1.06

P21 -1.68 P1312 0 Q21 0.308 Q1312 0.106 V2 1.043

P13 0.877 P1214 0.079 Q13 0.046 Q1214 0.024 V3 1.021

P31 -0.846 P1412 -0.078 Q31 0.024 Q1412 -0.022 V4 1.012

P24 0.436 P1215 0.179 Q24 0.039 Q1215 0.068 V5 1.01

P42 -0.426 P1512 -0.177 Q42 -0.047 Q1512 -0.064 V6 1.01

P25 0.824 P1216 0.072 Q25 0.018 Q1216 0.034 V7 1.002

P52 -0.794 P1612 -0.072 Q52 0.062 Q1612 -0.032 V8 1.01

P26 0.603 P1415 0.016 Q26 0.004 Q1415 0.006 V9 1.051

P62 -0.584 P1514 -0.016 Q62 0.015 Q1514 -0.006 V10 1.045

P34 0.822 P1518 0.060 Q34 -0.036 Q1518 0.016 V11 1.082

P43 -0.813 P1815 -0.060 Q43 0.052 Q1815 -0.015 V12 1.057

P46 0.721 P1523 0.050 Q46 -0.163 Q1523 0.029 V13 1.071

P64 -0.715 P2315 -0.050 Q64 0.176 Q2315 -0.028 V14 1.042

P412 0.442 P1617 0.037 Q412 0.142 Q1617 0.014 V15 1.038

P124 -0.442 P1716 -0.037 Q124 -0.096 Q1716 -0.014 V16 1.044

P57 -0.148 P1819 0.028 Q57 0.117 Q1819 0.006 V17 1.04

P75 0.149 P1918 -0.028 Q75 -0.133 Q1918 -0.006 V18 1.028

P67 0.381 P1920 -0.067 Q67 -0.030 Q1920 -0.028 V19 1.026

P76 -0.377 P2019 0.067 Q76 0.024 Q2019 0.028 V20 1.030

P68 0.296 P2122 -0.018 Q68 -0.081 Q2122 -0.014 V21 1.033

P86 -0.294 P2221 0.018 Q86 0.076 Q2221 0.014 V22 1.033

P69 0.277 P2224 0.057 Q69 -0.082 Q2224 0.031 V23 1.027

P96 -0.277 P2422 -0.057 Q96 0.098 Q2422 -0.030 V24 1.021

P610 0.158 P2324 0.018 Q610 0.002 Q2324 0.012 V25 1.016

P106 -0.158 P2423 -0.018 Q106 0.011 Q2423 -0.012 V26 0.999

P628 0.187 P2425 -0.012 Q628 0 Q2425 0.020 V27 1.022

P286 -0.186 P2524 0.012 Q286 -0.015 Q2524 -0.020 V28 1.007

P828 -0.005 P2526 0.035 Q828 -0.004 Q2526 0.024 V29 1.002

P288 0.005 P2625 -0.035 Q288 -0.04 Q2625 -0.023 V30 0.991

P911 0 P2527 -0.048 Q911 -0.157 Q2527 -0.004

P119 0 P2725 0.048 Q119 0.162 Q2725 0.004

P910 0.277 P2729 0.062 Q910 0.059 Q2729 0.017

P109 -0.277 P2927 -0.061 Q109 -0.051 Q2927 -0.015

P1020 0.090 P2730 0.071 Q1020 0.037 Q2730 0.017

P2010 -0.089 P3027 -0.069 Q2010 -0.035 Q3027 -0.014

P1017 0.053 P2728 -0.181 Q1017 0.044 Q2728 0.050

P1710 -0.053 P2827 0.181 Q1710 -0.044 Q2827 -0.037

P1021 0.158 P2930 0.037 Q1021 0.100 Q2930 0.006

P2110 -0.157 P3029 -0.037 Q2110 -0.098 Q3029 -0.005

P1022 0.076 Q1022 0.046

P2210 -0.076 Q2210 -0.045

Tabela 6.15 Resultados do teste 5 (os valores dos ângulos estão em radianos

e das demais variáveis em

P.u.)

Condição

inicial

Valores

estimados

Valores

verdadeiros

Condição

inicial

Valores

estimados

Valores

verdadeiros

θ1 0 0 0 G69 0 0.0000 0

θ2 -0.0906 -0.0934 -0.0925 G610 0 0.0000 0

θ3 -0.1275 -0.1321 -0.1309 G628 4.5083 5.0808 4.3628

θ4 -0.1571 -0.1629 -0.1623 G828 1.4921 1.8127 1.4439

θ5 -0.2396 -0.2472 -0.2478 G910 0 0.0000 0

θ6 -0.1872 -0.1929 -0.1937 G911 0 0.0000 0

θ7 -0.2176 -0.2236 -0.2251 G1017 1.7848 1.8443 1.7848

θ8 -0.1998 -0.2070 -0.2059 G1020 3.9560 4.0879 3.9560

θ9 -0.2387 -0.2446 -0.2461 G1021 5.1018 5.2719 5.1018

θ10 -0.2665 -0.2717 -0.2740 G1022 2.6193 2.7065 2.6193

θ11 -0.2387 -0.2446 -0.2461 G1213 0 0.0000 0

θ12 -0.2531 -0.2589 -0.2618 G1214 1.5265 1.5773 1.5265

θ13 -0.2531 -0.2589 -0.2618 G1215 3.0954 3.1986 3.0954

θ14 -0.2687 -0.2740 -0.2775 G1216 1.9519 2.0171 1.9519

θ15 -0.2703 -0.2756 -0.2792 G1415 2.4909 2.5739 2.4909

θ16 -0.2633 -0.2688 -0.2705 G1518 1.8108 1.8711 1.8108

θ17 -0.2693 -0.2745 -0.2775 G1523 1.9683 2.0339 1.9683

θ18 -0.2811 -0.2859 -0.2897 G1617 1.3190 1.3630 1.3190

θ19 -0.2842 -0.2888 -0.2915 G1819 3.0757 3.1782 3.0757

θ20 -0.2807 -0.2856 -0.2879 G1920 5.8823 6.0784 5.8823

θ21 -0.2743 -0.2793 -0.2827 G2122 16.774 17.333 16.774

θ22 -0.2741 -0.2790 -0.2827 G2224 2.5405 2.6252 2.5405

θ23 -0.2774 -0.2822 -0.2862 G2324 1.4614 1.5101 1.4614

θ24 -0.2809 -0.2855 -0.2897 G2425 1.3098 1.3535 1.3099

θ25 -0.2755 -0.2796 -0.2827 G2526 1.2165 1.2570 1.2165

θ26 -0.2827 -0.2866 -0.2897 G2527 1.9693 2.0348 1.9693

θ27 -0.2671 -0.2714 -0.2740 G2729 0.9955 1.0286 0.9955

θ28 -0.1977 -0.2033 -0.2042 G2730 0.6874 0.7103 0.6874

θ29 -0.2886 -0.2922 -0.2949 G2728 0 0.0000 0

θ30 -0.3040 -0.3072 -0.3107 G2930 0.9120 0.9423 0.9120

V1 1.0583 1.0599 1.0600 B12 -16.168 -15.630 -15.646

V2 1.0418 1.0429 1.0430 B13 -5.8193 -5.6098 -5.6316

V3 1.0202 1.0207 1.0210 B24 -5.3706 -5.6098 -5.1973

V4 1.0115 1.0104 1.0120 B25 -4.9315 -4.7742 -4.7724

V5 1.0098 1.0098 1.0100 B26 -5.2870 -5.1324 -5.1164

V6 1.0101 1.0104 1.0100 B34 -24.315 -22.728 -23.530

V7 1.0024 1.0019 1.0020 B46 -23.054 -23.402 -22.311

V8 1.0098 1.0100 1.0100 B412 -4.0364 -4.0363 -4.0364

V9 1.0505 1.0505 1.0510 B57 -7.6975 -7.1676 -7.4492

V10 1.0448 1.0449 1.0450 B67 -11.393 -11.126 -11.026

V11 1.0816 1.0807 1.0820 B68 -22.746 -20.370 -22.012

V12 1.0572 1.0565 1.0570 B69 -4.8076 -4.9678 -4.8076

V13 1.0711 1.0699 1.0710 B610 -1.7985 -1.8585 -1.7985

V14 1.0423 1.0421 1.0420 B628 -15.979 -15.559 -15.463

V15 1.0376 1.0376 1.0380 B828 -4.6921 -3.2658 -4.5408

V16 1.0443 1.0442 1.0440 B910 -4.8076 -4.9678 -4.8076

V17 1.0396 1.0399 1.0400 B911 -9.0909 -9.3938 -9.0909

V18 1.0280 1.0285 1.0280 B1017 -3.9853 -4.1181 -3.9853

V19 1.0255 1.0261 1.0260 B1020 -10.317 -10.661 -10.317

V20 1.0296 1.0300 1.0300 B1021 -10.980 -11.347 -10.980

V21 1.0324 1.0329 1.0330 B1022 -5.4007 -5.5808 -5.4007

V22 1.0329 1.0333 1.0330 B1213 -7.1428 -7.3808 -7.1428

V23 1.0271 1.0274 1.0270 B1214 -3.1734 -3.2792 -3.1734

V24 1.0212 1.0218 1.0210 B1215 -6.0972 -6.3005 -6.0972

V25 1.0167 1.0168 1.0160 B1216 -4.1043 -4.2411 -4.1043

V26 0.9990 0.9996 0.9990 B1415 -2.2508 -2.3259 -2.2508

V27 1.0225 1.0221 1.0220 B1518 -3.6874 -3.8103 -3.6874

V28 1.0067 1.0066 1.0070 B1523 -3.9760 -4.1086 -3.9760

V29 1.0025 1.0027 1.0020 B1617 -4.8407 -5.0020 -4.8407

V30 0.9911 0.9916 0.9910 B1819 -6.2187 -6.4260 -6.2187

G12 5.3988 5.2293 5.2246 B1920 -11.764 -12.156 -11.764

G13 1.5922 1.5242 1.5408 B2122 -34.127 -35.265 -34.127

G24 1.7624 1.7313 1.7055 B2224 -3.9544 -4.0862 -3.9544

G25 1.1738 1.1362 1.1359 B2324 -2.9892 -3.0887 -2.9892

G26 1.7423 1.6799 1.6861 B2425 -2.2876 -2.3638 -2.2876

G34 8.4686 8.8915 8.1954 B2526 -1.8171 -1.8776 -1.8171

G46 6.6268 5.5408 6.4131 B2527 -3.7602 -3.8854 -3.7602

G412 0 0.0000 0 B2729 -1.8810 -1.9437 -1.8810

G57 3.0524 2.8418 2.9540 B2730 -1.2939 -1.3371 -1.2939

G67 3.7099 3.9122 3.5902 B2728 -2.5252 -2.6094 -2.5252

G68 6.4989 5.9646 6.2893 B2930 -1.7233 -1.7808 -1.7233

Teste 6

Fase 1: O método proposto é aplicado novamente ao sistema de 30 barras do

IEEE, associado ao conjunto de medidas ilustrado na figura 6.17, mas sem

considerar as medidas:

30,27

27,30

22,10

10,22

15,12

12,15

Fase 2: Análise de observabilidade: Considerando os parâmetros do sistema

de 30 barras apresentados nas colunas 2 e 5 da Tabela 6.7, bem como os

valores das tensões complexas apresentadas na tabela 6.13, obtêm-se a

matriz GAum. A fatoração triangular da mesma resulta em sete caminhos de

grafos, que são os seguintes: CG1={G12, G13, G24, G25, G26, G34, G46,

G412, G57, G67, G68, G69, G610, G628, G828, G910, G911, G1017, G1020,

G1021, G1213, G1214, G1216, G1415, G1518, G1523, G1617, G1819, G1920,

G2122, G2224, G2324, G2425, G2526, G2527, G2729, G2728, G2930, B12,

B13, B24, B25, B26, B34, B46, B412, B57, B67, B68, B69, B610, B628, B828,

B910, B911, B1017, B1020, B1021, B1213, B1214, B1216, B1415, B1518,

B1523, B1617, B1819, B1920, B2122, B2224, B2324, B2425, B2526, B2527,

B2729, B2728, B2930, θ1, θ2, θ3, θ4, θ5, θ6, θ7, θ8, θ9, θ10, θ11, θ12, θ13,

θ14, θ15, θ16, θ17, θ18, θ20, θ21, θ22, θ23, θ24, θ25, θ26, θ27, θ28, θ29,

θ30}; CG2={G2730}; CG3={G1022}; CG4={G1215}; CG5={B2730};

CG6={B1022}; e CG7={B1215};

Em razão de não existir medida de potência, relacionando os nós de caminhos

de grafos distintos, chega-se a conclusão de que o sistema não é observável

como um todo e as sub-redes, associadas com cada caminho de fatoração

isolado, constituem ilhas observáveis.

Fase 3: Estimação de estado e parâmetros: considerando a configuração de

medidores indicada na Fase 1 e usando somente os vetores corretos para

essas medidas (veja Tabela 6.14), o vetor de variáveis de estado aumentado é

estimado. Os resultado obtidos nesta fase são apresentados na Tabela 6.16.

Tabela 6.16 Resultados do teste 6 ( os valores dos ângulos estão em radianos

e das demais variáveis em P.u.)

Teste 7

Neste teste será analisada a capacidade do estimador proposto, no

sentido da obtenção de boas estimativas, para diferentes porcentagens de

erros, em um determinado parâmetro e na presença de medidas com ruído.

Face ao exposto, utilizar-se-á um conjunto de medidas que torne o

sistema em análise observável, não sendo necessário o processamento das

Fases 1 e 2, da metodologia proposta.

O estimador de estado e parâmetros proposto será aplicado ao sistema

de 30 barras do IEEE, associado ao conjunto de medidas ilustrado na figura

6.17, adicionando erros aleatórios (

≤

2%)

, para todas as medidas

disponíveis, assim como foi realizado em [Liu&Wu(1992)]. Os valores dessas

medidas são apresentados na Tabela 6.17.

O desempenho do estimador de estado e parâmetros proposto será

avaliado quanto à variação do erro, nos seguintes parâmetros:

Situação 1: erro na susceptância série da linha entre as barras 10 e 20 (os

demais parâmetros do sistema sem erro). Os resultados estão na tabela 6.18;

Situação 2: erro na susceptância série da linha entre as barras 2 e 4 (os

demais parâmetros do sistema sem erro). Os resultados estão na tabela 6.19.

Gerado através da função “rand” do Matlab.

Tabela 6.17: Valores do conjunto de medidas utilizado no Teste 7

Medidas de fluxos de potencia ativa (P.u.) Medidas de fluxo de potencia reativa (P.u.) Medidas de magnitude

de tensão (P.u.)

P12 1.765 P1213 0 Q12 -0.2135 Q1213 -0.1053 V1 1.06

P21 -1.688 P1312 0 Q21 0.3084 Q1312 0.1061 V2 1.043

P13 0.887 P1214 0.0803 Q13 0.0463 Q1214 0.0242 V3 1.021

P31 -0.854 P1412 -0.0788 Q31 0.0243 Q1412 -0.0224 V4 1.012

P24 0.444 P1215 0.1815 Q24 0.0396 Q1215 0.0693 V5 1.01

P42 -0.432 P1512 -0.1785 Q42 -0.0477 Q1512 -0.0643 V6 1.01

P25 0.831 P1216 0.0724 Q25 0.0180 Q1216 0.0341 V7 1.002

P52 -0.794 P1612 -0.0723 Q52 0.0626 Q1612 -0.0326 V8 1.01

P26 0.613 P1415 0.0161 Q26 0.0040 Q1415 0.0060 V9 1.051

P62 -0.589 P1514 -0.0162 Q62 0.0151 Q1514 -0.0061 V10 1.045

P34 0.832 P1518 0.0604 Q34 -0.0361 Q1518 0.0163 V11 1.082

P43 -0.826 P1815 -0.0607 Q43 0.0527 Q1815 -0.0152 V12 1.057

P46 0.734 P1523 0.0502 Q46 -0.1653 Q1523 0.0295 V13 1.071

P64 -0.726 P2315 -0.0507 Q64 0.1786 Q2315 -0.0280 V14 1.042

P412 0.444 P1617 0.0373 Q412 0.1434 Q1617 0.0140 V15 1.038

P124 -0.446 P1716 -0.0376 Q124 -0.0971 Q1716 -0.0142 V16 1.044

P57 -0.151 P1819 0.0285 Q57 0.1173 Q1819 0.0061 V17 1.04

P75 0.152 P1918 -0.0283 Q75 -0.1342 Q1918 -0.0061 V18 1.028

P67 0.384 P1920 -0.0677 Q67 -0.0304 Q1920 -0.0284 V19 1.026

P76 -0.384 P2019 0.0682 Q76 0.0244 Q2019 0.0284 V20 1.030

P68 0.296 P2122 -0.0183 Q68 -0.0814 Q2122 -0.0141 V21 1.033

P86 -0.296 P2221 0.0182 Q86 0.0764 Q2221 0.0140 V22 1.033

P69 0.281 P2224 0.0579 Q69 -0.0834 Q2224 0.0311 V23 1.027

P96 -0.277 P2422 -0.0578 Q96 0.0985 Q2422 -0.0301 V24 1.021

P610 0.158 P2324 0.0181 Q610 0.0020 Q2324 0.0121 V25 1.016

P106 -0.158 P2423 -0.0181 Q106 0.0112 Q2423 -0.0122 V26 0.999

P628 0.188 P2425 -0.0121 Q628 0 Q2425 0.0202 V27 1.022

P286 -0.188 P2524 0.0121 Q286 -0.0151 Q2524 -0.0203 V28 1.007

P828 -0.005 P2526 0.0355 Q828 -0.0040 Q2526 0.0242 V29 1.002

P288 0.005 P2625 -0.0352 Q288 -0.0401 Q2625 -0.0232 V30 0.991

P911 0 P2527 -0.0488 Q911 -0.1590 Q2527 -0.0040

P119 0 P2725 0.0485 Q119 0.1626 Q2725 0.0040

P910 0.279 P2729 0.0625 Q910 0.0600 Q2729 0.0173

P109 -0.282 P2927 -0.0619 Q109 -0.0512 Q2927 -0.0150

P1020 0.091 P3027 0.0718 Q1020 0.0371 Q2730 0.0171

P2010 -0.089 P2730 -0.0696 Q2010 -0.0357 Q3027 -0.0140

P1017 0.054 P2728 0.1835 Q1017 0.0444 Q2728 0.0507

P1710 -0.054 P2827 -0.1832 Q1710 -0.0443 Q2827 -0.0375

P1021 0.159 P2930 0.0376 Q1021 0.1006 Q2930 0.0061

P2110 -0.159 P3029 -0.0377 Q2110 -0.0987 Q3029 -0.0051

P1022 0.077 Q1022 0.0464

P2210 -0.076 Q2210 -0.0455

Tabela 6.18 Resultados referentes à Situação 1 (estimador proposto)

Valor verdadeiro b=3.9854

Caso Condição inicial % error

(original)

Valor estimado

(b)

% error

(corregido)

1 3.785 5 3.8944 2.28

2 3.585 10 3.8944 2.28

3 3.185 20 3.8944 2.28

4 2.385 40 3.8944 2.28

5 0.785 80 3.8944 2.28

Tabela 6.19 Resultados referentes à Situação 2 (estimador proposto)

Valor verdadeiro b=5.1974

Caso Condição inicial % error

(original)

Valor estimado

(b)

% error

(corregido)

1 5.457 5 5.2045 0.137

2 5.717 10 5.2045 0.137

3 6.238 20 5.2045 0.137

4 7.274 40 5.2045 0.137

5 9.387 80 5.2045 0.137

É importante observar que o estimador proposto permite corrigir

significativamente o erro no parâmetro, mesmo na presença de um erro de até

80%.

Nas Tabelas 6.20 e 6.21, acham-se os resultados da aplicação do

estimador de parâmetros proposto em [Liu&Wu(1992)], para análise das

situações 1 e 2, respectivamente. Vale destacar que, conforme mencionado no

capítulo 2, em [LIU & LUN (1992)] propõe-se a estimação dos erros de

parâmetros, atravé da análise do vetor de resíduo, e, através dessas

estimativas, realiza-se a correção dos parâmetros errados do sistema.

Tabela 6.20 Resultados referentes à Situação 1 (estimador proposto em

[Liu&Wu(1992)])

Valor verdadeiro b=3.9854

Caso Condição inicial % error

(original)

Valor estimado

(b)

% error

(corregido)

1 3.785 5 3.970 0.38

2 3.585 10 3.950 0.88

3 3.185 20 3.893 2.30

4 2.385 40 3.685 7.51

5 0.785 80 2.531 36.47

Tabela 6.21 Resultados referentes à Situação 2 (estimador proposto em

[Liu&Wu(1992)])

Valor verdadeiro b=5.1974

Caso Condição inicial % error

(original)

Valor estimado

(b)

% error

(corregido)

1 5.457 5 5.192 0.1

2 5.717 10 5.187 0.19

3 6.238 20 5.176 0.43

4 7.274 40 5.148 0.96

5 9.387 80 5.082 2.23

6.4 Análise dos resultados

Apreciando os resultados coerentes, obtidos em todos os testes realizados,

permite-se-nos afirmar que:

- Está comprovada a eficiência do método proposto para análise de

observabilidade, para o modelo aumentado;

- Importa salientar que as estimativas de estado obtidas, pelo estimador de

estado e parâmetros proposto, levam-nos a valores mais próximos dos

verdadeiros, em relação àqueles oriundos das estimativas obtidas pelo

estimador de estado convencional, por mínimos quadrados ponderados. Isto

se comprova analisando as tabelas que apresentam os resultados das análises

(tabelas: 6.4, 6.6, 6.10, 6.11, 6.15 e 6.16), pois, as condições iniciais, de todos

os testes apresentados, foram obtidas através de um estimador de estado

convencional, por mínimos quadrados ponderados, processado com os

mesmos parâmetros incorretos e os mesmos valores das medidas, usados nos

testes. Comparando os valores correspondentes a essas condições iniciais,

com os respectivos valores fornecidos pelo estimador de estado e parâmetros

proposto, também apresentados naquelas tabelas, verifica-se a superioridade

deste, que, por permitir a estimação dos parâmetros das linhas de transmissão

médias e longas, permitiu a obtenção de estimativas melhores para as tensões

complexas, com poucas exceções. Acreditamos sejam essas exceções devidas

a problemas numéricos, resultantes do mau condicionamento da matriz GAum.

Para melhorar o condicionamento dessa matriz, já foi implementado o método

de escalonamento por linhas e colunas, que será apresentado no apêndice A.

- No teste 7 comprova-se a capacidade do estimador proposto, no sentido de

obter boas estimativas, para diferentes porcentagens de erro em um parâmetro

e na presença de medidas com ruído;

- Comparando os resultados obtidos pelo estimador aqui proposto, constantes

nas Tabelas 6.18 e 6.19, e os obtidos pelo estimador desenvolvido em

[Liu&Wu(1992)], apresentados nas Tabelas 6.20 e 6.21, comprova-se a

viabilidade do estimador proposto. Vale destacar, entretanto, que tomando por

base esses resultados, não podemos afirmar que o nosso estimador seja

superior ao desenvolvido em [Liu&Wu(1992)]. Isto porque, em razão de não ter

sido apresentado o conjunto de medidas utilizado naquela referência, não é

possível realizar uma comparação mais justa entre as duas metodologias.

Contudo, de qualquer forma, já é um indicativo da viabilidade da metodologia

proposta.

Capítulo 7

Conclusões

Este capítulo resume o trabalho apresentado e destaca as principais

contribuições do mesmo. Além disso, salienta algumas perspectivas de

extensão da metodologia proposta.

Inicialmente, se mostrou que os métodos desenvolvidos, para o tratamento de

erros de parâmetros, podem ser divididos em dois grupos: métodos baseados

na análise da sensibilidade dos resíduos e aqueles que aumentam o vetor de

variáveis de estado.

Os métodos referentes a esses dois grupos dependem de uma

estimação de estado convencional, para a determinação dos ramos suspeitos

de estarem com erros de parâmetros. A grande limitação dos métodos

baseados na análise da sensibilidade dos resíduos é a dificuldade para

distinguir entre o resíduo causado por um erro grosseiro daquele causado por

um erro de parâmetro.

Os métodos que aumentam o vetor de estado podem ser ainda divididos

em: métodos que utilizam as Equações Normais e métodos que utilizam a

teoria do filtro de Kalman.

A principal limitação dos métodos que usam Equações Normais está

relacionada à observabilidade, isto é, raramente o número de medidas

disponível é suficiente para estimar todas as variáveis de estado aumentadas,

uma vez que as mesmas aumentam, mas o conjunto de medidas continua o

mesmo.

Os métodos baseados na teoria do filtro de kalman supera tal limitação,

aumentando-se o vetor de medidas, através de pseudo-medidas, que

correspondem às variáveis de estado e aos parâmetros estimados no instante

anterior. Entretanto, a grande limitação destes métodos está na determinação

da matriz transição de estado.

100

Com o objetivo de contribuir para a solução do problema de estimação

de parâmetros, em sistemas elétricos de potência, iniciou-se esta pesquisa,

buscando desenvolver um estimador de estado e parâmetros baseado nas

equações normais. Vale destacar que, para o desenvolvimento deste trabalho,

contamos com a colaboração do professor Lamine Mili (Virginia Tech –

Alexandria Research Institute).

Os parâmetros a serem estimados, pela metodologia proposta, são as

admitâncias série de linhas de transmissão aéreas, classificadas como médias

e longas (com comprimento acima de 80 km).

O que se propôs, neste trabalho, foi um a metodologia para estimação

de estado e parâmetros, baseada nas equações normais, em que os vetores

de estado e de medidas são aumentados. O vetor de estado é aumentado para

a inclusão dos parâmetros a serem estimados, citados anteriormente; já o vetor

de medidas é aumentado para considerar medidas de diversas amostras,

desde que não tenham sofrido uma alteração significativa dos seus valores.

Face ao exposto, os vetores de medidas e de estado passam a ser

chamados, respectivamente, de vetor de medidas aumentado e de vetor de

estado aumentado.

Para determinar a porção do sistema, cujo vetor de estado aumentado

possa ser estimado, desenvolveu-se, também, um método para análise de

observabilidade. Este método baseia-se na fatoração triangular da matriz

ganho aumentada

Aug

e em conceitos de caminhos de grafo. Inicialmente, o

método permite verificar se o sistema é observável como um todo. Não o

sendo, o mesmo permite a identificação das ilhas observáveis. Para isto,

utilizou-se como base o método proposto por Bretas (1996), que se destina à

análise de observabilidade para o estimador de estado convencional. Decidiu-

se utilizar tal método como base, em razão de o mesmo ser simples, de fácil

implementação, rápida execução e não exigir a solução de equações

algébricas.

Além das técnicas estendidas para a estimação de estado e parâmetros,

apresentaram-se, de forma breve, as utilizadas para estimação de estado

convencional, destacando-se as diferenças existentes entre os dois processos.

101

Um ponto não abordado neste trabalho é a consideração das medidas

de injeção de potência ativa e reativa, no plano de medição, que poderiam

auxiliar na análise de observabilidade, em função de aumentar o nível de

redundância das medidas.

Importa destacar que o método proposto para análise de

observabilidade, para o modelo aumentado, pode ser utilizado para qualquer

outro estimador de estado e parâmetros, que trabalhe com o vetor de estado

aumentado.

A implementação, tanto do “observador”, quanto do estimador de estado

e parâmetros, foi realizada utilizando linguagem C, compilado em Builder C++,

em ambiente com sistema operacional Windows, num processador Pentium IV.

No estimador implementado utilizou-se a técnica de escalonamento, para

contornar o problema do mau condicionamento da matriz GAum. O relatório de

saída indica se o sistema é ou não observável como um todo, sendo que, em

caso negativo, indica as ilhas observáveis do sistema. Em seguida, estima-se o

vetor de estado aumentado de todo o sistema, ou, de cada uma das suas ilhas

observáveis.

Na maioria dos testes realizados, utilizaram-se medidas corretas, obtidas

através do programa de fluxo de potência Ana Rede, considerando, como

condição inicial, as tensões complexas obtidas por um estimador de estado

convencional, processado considerando um erro de 3.33% em todos os

parâmetros a serem estimados.

Conforme indicam as simulações efetuadas, o estimador de estado e

parâmetros proposto conseguiu estimar as variáveis de estado com melhor

precisão, relativamente a um estimador de estado convencional, submetido aos

mesmos valores de medidas e parâmetros.

No teste 7, comprovou-se a capacidade do estimador proposto, quanto à

obtenção de boas estimativas, para diferentes porcentagens de erro em um

parâmetro e na presença de medidas com ruído.

102

Observação 7.1: As idéias iniciais deste trabalho foram publicadas em

LONDON Jr. et al (2004b). A metodologia, da forma como foi apresentada

neste trabalho, acaba de ser aceita para publicação no XVI Congresso

Brasileiro de Automática, que será realizado em outubro deste ano, em

Salvador – BA.

Perspectivas Futuras

Embora o estimador de estado e parâmetros proposto se mostre eficiente nos

testes realizados, o mesmo apresenta as seguintes limitações: - a necessidade

de uma análise inicial, para a determinação do conjunto de medidas a ser

utilizado; - falta de robustez, quando se consideram todas as medidas e todos

os parâmetros com ruído. Entretanto, estudos realizados nas fases finais do

desenvolvimento deste trabalho indicam, através da utilização de técnicas de

sincronização de sistemas e Homotopia [LEE, J. & Chiang, H. D.(2001)] a

possibilidade de superarmos aquelas limitações.

Face ao exposto, pretendemos, num trabalho futuro, investigar a possibilidade

de utilizarmos o estimador proposto e as citadas técnicas, para a obtenção de

um estimador de estado e parâmetros, com capacidade para proporcionar-nos

boas estimativas, mesmo na presença de ruído em todas as medidas e

parâmetros, e que não exija uma análise inicial, para a determinação do

conjunto de medidas a ser utilizado.

103

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109

Apêndice A

Neste apêndice apresenta-se a técnica de escalonamento de linhas e

colunas que foi implementada neste trabalho.

Escalonamento de linhas e colunas

Se cada equação de um conjunto linear

bAx =

for escalonada, este tem

o efeito de escalonamento das linhas da matriz de coeficientes. Se

for o fator

de escalonamento para a equação

, então a equação torna-se-á:





































nnnnnnn

ararar

..............

22222212

11121111

(A.1)

Por outro lado, se cada variável

for substituída por

cx /

, o efeito nos

coeficientes da matriz será o escalonamento nas colunas. Com ambas linhas e

colunas escalonadas a equação torna-se:





































nnn

nnnnnnnn

carcarcar

.............

..............

..............1

2211

2222221212

112121111

(A.2)

Se R e C forem matrizes diagonais de fatores de escalonamento de

linhas e colunas respectivamente, a equação modificada (A.2) poderá ser

escrita como :

bxA =

(A.3)

110

onde

RbbRACA == ,

xCx =

A matriz simétrica pode ser escalonada, simetricamente, fazendo

cr =

Se uma matriz simétrica definida positiva for escalonada de tal modo que

2/1−

iiii

acr

então a matriz resultante terá uma diagonal contendo apenas

elementos unitários. Alem disso, usando a propriedade de uma matriz definida

positiva que

jjiiij

aaa <

, define-se:

2/12/1

<==

−−

ijjjiij

iiij

aaacara

(A.4)

Assim, o escalonamento simétrico, de uma matriz simétrica definida

positiva, que torna unitário todos os elementos da diagonal principal, assegura

que todos os elementos fora da diagonal tenham um módulo menor que a

unidade.

O escalonamento pode ter um efeito marcado na escolha de pivôs onde

a seleção de pivô é adotada. Por exemplo, se a matriz.













−

001

078125.01

11001.0

(A.5)

é escalonada usando as matrizes R=C=[2000 1 1], então













−

002000

078125.02000

200020004000

(A.6)

Conseqüentemente, o elemento não nulo menor de A será convertido

em um elemento maior de

. Na realidade, é possível converter qualquer

elemento não nulo de uma matriz no elemento de maior magnitude da matriz

escalonada, adotando fatores de escalonamento de linhas e colunas

satisfatórios.

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