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BENEDITA NATSUKO TOJO
CONCEPÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA DIDÁTICA PARA O
ENSINO/APRENDIZAGEM DA CONGRUÊNCIA
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
PUC/SP
São Paulo
2006
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BENEDITA NATSUKO TOJO
CONCEPÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA DIDÁTICA PARA O
ENSINO/APRENDIZAGEM DA CONGRUÊNCIA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de Mestre
Profissional em Ensino de Matemática, sob a
orientação do Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni.
PUC/SP
São Paulo
2006
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Banca Examinadora
Profa. Dra. Celina A. Almeida Pereira Abar
Prof. Dr. Marcos Antonio Santos de Jesus
Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni
A
utorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: __________________________________ Local e Data: __________________
A Deus, por tudo.
À querida família Tojo, pelo
apoio em todos os momentos
de minha vida.
AGRADECIMENTO
Com carinho e admiração agradeço às pessoas que contribuíram direta e
indiretamente para a elaboração dessa dissertação:
A Deus, pela oportunidade e experiência; pela presença em todos os instantes de
minha vida.
Ao prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni, por sua sabedoria e dedicação; pela paciência
e incentivo durante a orientação.
Aos meus pais kiyonori e Toyoko, que tornaram possível a educação escolar para
os seus filhos.
Aos meus irmãos Ednilson Kiyoshi, Roberto Kiyoji, Mario Tochihaki, João Akio e
Augusto Goro, e minhas irmãs Aparecida Junko e Márcia Haruko, que são minhas
referências, pelo apoio e compreensão de sempre.
Ao meu cunhado e minhas cunhadas, meus sobrinhos e sobrinhas, que
acompanharam minha trajetória nesse curso.
Ao prof. Dr. Marcos Antonio Santos de Jesus e a profa. Dra. Celina A. Almeida
Pereira Abar pelas valiosas contribuições concedidas na qualificação.
Aos queridos professores, funcionários e alunos da escola "Verdinho", à diretora
Judith, às coordenadoras Maria Aparecida (Cidinha), Maria Tereza e Valéria, pelo
carinho, apoio e incentivo que sempre recebi dessa maravilhosa equipe.
Ao prof. Anderson José da Silva, ao meu sobrinho Arthur e aos alunos que
participaram desta pesquisa.
Ao prof. Wellington pela amizade e revisão deste trabalho.
À amiga Maria Helena pelas reuniões, trabalhos e seminários compartilhados
durante o curso de mestrado; pelo companheirismo de sempre.
Aos professores doutores da PUC-SP, pelas atualizações e renovações de idéias
e pelo revigoramento profissional.
Ao Francisco e à Vera da secretaria da PUC-SP, pelo auxílio de sempre.
À equipe da Diretoria de Ensino de Jacareí, pelas orientações e atendimento sobre a
Bolsa Mestrado.
RESUMO
Esta dissertação tem por objetivo investigar como alunos da 1
a
série do
Ensino Médio se apropriam do conceito de congruência e o utilizam no processo
de prova.
A pesquisa foi baseada nas investigações de: Parzysz (2001) sobre o
desenvolvimento do pensamento para o ensino da Geometria; Machado (2005)
sobre a rede de conhecimentos; Freudenthal (1973) sobre a organização local
para o estudo da congruência e Balacheff (1988) sobre os tipos de provas.
Utilizou-se como metodologia de pesquisa, alguns princípios da Engenharia
Didática que envolveu 14 alunos do 1
o
ano do Ensino Médio, de uma escola
pública do Estado de São Paulo.
As análises da experimentação mostraram que, o processo de transição do
concreto para o espaço-gráfico contribuiu para a apropriação do conceito de
congruência e que esse processo favoreceu, em parte, a passagem do empírico
para o dedutivo. Outros complementos na sequência didática se tornam
necessários para que a passagem do empírico ao dedutivo se concretize mais
amplamente.
Palavras-chave: Congruência – Cabri-géomètre – Prova – Geometria.
ABSTRACT
This dissertation has by purpose to investigate how first grade students of
the High School appropriate of the congruence conception and utilize it in the
proof process.
The research was embased in the investigation of: Parzysz (2001) about
thought progress for geometry teaching; Machado (2005) about knowledge net;
Freudenthal (1973) about local organization for congruence teaching and
Balacheff (1988) about kinds of proofs.
It was utilized while research methodology, some didatic engineering
principle which involved fourteen first grade students of the High School from a
public school of the São Paulo State.
The analyses of the experimentation showed that the changing process
from concrete to the graphic-space contributed to the appropriation of the
congruence conception and how this process collaborated, partially, to the
passage from empirism to deduction. Other complements in didatic sequence
become necessary to that this passage from empirism to deduction renders more
widely.
Key-words: Congruence – Cabri-géomètre – Proof – Geometry.
SUMÁRIO
Capítulo 1 - Introdução
1.1. Justificativa e escolha do tema............................................................... 1
1.2. Estrutura do Trabalho............................................................................. 4
1.3. Revisão Bibliográfica.............................................................................. 5
1.4. Fundamentação teórica........................................................................ 13
Capítulo 2 - Estudo do objeto matemático "congruência"
2.1. Euclides............................................................................................... 25
2.2. Clairaut ................................................................................................ 33
2.3. Legendre.............................................................................................. 36
2.4. Hadamard............................................................................................ 40
2.5. Hilbert .................................................................................................. 42
2.6. Birkhoff................................................................................................. 49
2.7. Congruência e igualdade..................................................................... 52
2.8. Congruência via isometrias.................................................................. 54
2.9. Análise de Livros Didáticos.................................................................. 60
Capítulo 3 – Sujeitos, Método e Material
3.1. Caracterização dos sujeitos.................................................................. 75
3.2. Procedimentos Metodológicos.............................................................. 75
3.3. Material................................................................................................. 79
3.3.1. Análise a priori das atividades do Bloco 1 ................................... 81
3.3.2. Análise a priori das atividades do Bloco 2 ................................... 86
3.3.3. Análise a priori das atividades do Bloco 3................................. 105
Capítulo 4 - Experimentação e análise a posteriori
4.1. Análise a posteriori das atividades do bloco 1................................... 116
4.2. Análise a posteriori das atividades do bloco 2................................... 127
4.4. Análise a posteriori das atividades do bloco 3................................... 149
Capítulo 5 - Considerações finais.................................................................. 176
Bibliografia.................................................................................................... 180
Anexos
Anexo 1: Questionário do observador............................................................ 187
Anexo 2: Questões sobre Congruência de Figuras........................................ 188
Anexo 3: Lista de Materiais da atividade 1 do Bloco 1................................... 189
Anexo 4: Atividade do Bloco 1 – Concreto..................................................... 190
Anexo 5: Atividade do Bloco 2 – Cabri-Géomètre.......................................... 194
Anexo 6: Atividade do Bloco 2 - Malha quadriculada..................................... 195
Anexo 7: Atividade do Bloco 3 – Prova .......................................................... 196
Anexo 8: Convite............................................................................................ 198
Anexo 9: Certificado....................................................................................... 199
Anexo 10: Atividades e familiarização com Cabri-Géomètre ......................... 200
Tabelas
Tabela 1: Questões sobre congruência.............................................................. 4
Tabela 2: Distribuição de axiomas, postulados e proposições organizadas por Vitrac ..... 33
Tabela 3: Justificativas da atividade com figuras plana, questão 1................ 121
Tabela 4: Questão 1, atividade 3.................................................................... 126
Tabela 5: Resultado atividade 3, bloco 2 ....................................................... 131
Tabela 6: Resultado da atividade 8, bloco 2................................................... 134
Tabela 7: Resultado da atividade 9, bloco 2................................................... 135
Tabela 9: Resultado da atividade 6, bloco 3................................................... 162
Tabela10: Resultado da atividade 7, bloco 3.................................................. 164
Tabela11: Resultado da atividade 9, bloco 3.................................................. 169
Tabela12: Resultado da atividade 10, bloco 3................................................ 173
Quadros
Quadro 1: Comparativo Euclides e Legendre................................................... 38
Quadro 2: Enfoques métrico e sintético ........................................................... 51
Quadro 3: Folha de manipulação e de resposta –situação 1, bloco 1.............. 87
Quadro 4: Folha de manipulação e de resposta –situação 2, bloco 1.............. 88
Quadro 5: Jogo da congruência ...................................................................... 89
Quadro 6: Folha 1 – Congruência e triângulos - bloco 2................................ 100
Quadro 7: Institucionalização........................................................................ 110
Quadro 8: Quadro resumo dos objetivos das atividades da seqüência de ensino ................115
Quadro 9: Resultado esperado e obtido da atividade 1 – concreto................ 118
Quadro 10: Diálogo da dupla Ev e Va da atividade 2, situação 1................... 122
Quadro 11: Diálogo da dupla D e G da atividade 2, situação 1 ..................... 123
Quadro 12: Atividade 2– Figuras planas ........................................................ 124
Quadro 13: Justificativas da atividade 1- transformações.............................. 128
Quadro 14: Justificativas da atividade 2 – transformações ............................ 130
Quadro 15: Galeria de fotos – placa quadriculada......................................... 144
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1. JUSTIFICATIVA E ESCOLHA DO TEMA
Desde que comecei o mestrado, minha intenção era escrever sobre a
geometria. O motivo é que pela própria vivência como professora, há mais de 10
anos, sendo a maioria do tempo no Ensino Médio, percebia que a cada ano os
alunos parecem vir do Ensino Fundamental, com menos conhecimentos sobre
assuntos elementares da geometria.
Para um bom aproveitamento de assuntos relacionados ao Ensino Médio
como: trigonometria, geometria analítica, geometria espacial, entre outros, é
imprescindível o conhecimento prévio dos fundamentos da geometria.
Favoravelmente à intenção de elaborar uma pesquisa em geometria,
iniciou-se no segundo semestre de 2005, o projeto de pesquisa, denominado
AProvaME – Argumentação e Prova na Matemática Escolar, sob a coordenação
de Siobhan Victoria Healy e professores membros do Grupo de Pesquisa
Tecnologias e Meios de Expressão em Matemática (TecMEM), da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP. Minha participação nesse projeto
integra o trabalho dos demais professores, que também são alunos do curso de
pós-graduação da PUC-SP.
Um dos objetivos do projeto AprovaME é investigar as concepções sobre a
argumentação e prova em Geometria e Álgebra, de alunos da faixa etária entre 14
e 16 anos, ou seja, alunos do Ensino Fundamental e Ensino Médio. Além disso,
outra finalidade do projeto é a utilização do computador como instrumento
incentivador e favorável ao ensino e aprendizagem da matemática.
Motivada pelas finalidades do projeto AprovaME, que concilia a tecnologia
do computador com as investigações de argumentação e prova em Geometria, e
meu interesse em explorar o conhecimento em Geometria dos estudantes que
concluíram o Ensino Fundamental, escolhi o tema Congruência, normalmente
contemplado no 4º ciclo do Ensino Fundamental, caracterizando-se como um dos
primeiros assuntos de contato dos alunos com a geometria dedutiva, objeto de
2
interesse de pesquisa no AprovaME. No 3º ciclo (5ª e 6ª séries) do Ensino
Fundamental, a geometria é voltada para o empírico e as constatações ocorrem e
são aceitas por meio de observações dos procedimentos e resultados de
experimentos como, por exemplo, pode-se verificar que a soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo é 180º por meio de dobraduras, recortes de
triângulos ou medições dos ângulos do triângulo com o transferidor. Por outro
lado, no 4º ciclo (7ª e 8ª séries) do Ensino Fundamental, é esperado que o aluno
utilize os axiomas, os teoremas e a linguagem simbólica para provar certos
enunciados, por meio de validações formais e dedutivas, exemplificando, o uso
dos casos de congruência de triângulos, no estudo das propriedades dos
quadriláteros.
Um trabalho que valorize também a passagem do empírico para o
dedutivo, pode auxiliar na aprendizagem e desenvolvimento do conhecimento nos
alunos, visto que, a transição do empírico, no 3º ciclo, para o dedutivo, no 4º
ciclo, em inúmeros casos ocorre abruptamente, isto é, no 3
o
ciclo as
constatações que são aceitas por meio de observações e resultados empíricos
não são suficientes no 4
o
ciclo.
A transição do concreto para o abstrato, do processo empírico para o
dedutivo, da linguagem natural para a simbólica, propiciando o desenvolvimento e
a evolução na aprendizagem do estudante chamou minha atenção, sendo que o
interesse sobre essas evoluções também é geral, e nos últimos anos, estudos
têm sido realizados por pesquisadores da área de educação. Entre os estudos
realizados, estão destacadas, na Revisão Bibliográfica deste capítulo, algumas
pesquisas em Geometria, referentes à aquisição de conceitos matemáticos, a
utilização de programas de computador auxiliando o processo de aprendizagem,
e, sobre provas e demonstrações na matemática. O estudo específico sobre o
tema Congruência ainda carece ser desenvolvido.
Para investigar como o tema Congruência é tratado em documentos,
consultei os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (PCNEF)
e Médio (PCNEM), documentos atuais que sugerem e auxiliam a prática
pedagógica ou seleção de materiais didáticos, e estão disponíveis a educadores e
pesquisadores. O PCNEF apresenta no bloco Espaço e Forma o estudo da
congruência de figuras a partir de atividades experimentais, além disso, relaciona
as transformações isométricas com a congruência.
3
Deve destacar-se também nesse trabalho a importância das
transformações geométricas (isometrias, homotetias), de modo que
permitam o desenvolvimento de habilidades de percepção espacial e
como recurso para induzir de forma experimental a descoberta, por
exemplo, das condições para que duas figuras sejam congruentes ou
semelhantes. (PCNF, 1998, p.51).
As orientações dos parâmetros do Ensino Médio também mencionam a
Congruência como um assunto já estudado no Ensino Fundamental, portanto,
considerando-se que o aluno do Ensino Médio tenha tido contato com a
congruência, sugere um estudo mais aprofundado, voltado ao dedutivo, como
segue:
O ensino de Geometria no Ensino Fundamental está estruturado para
propiciar uma primeira reflexão dos alunos através da experimentação e
de deduções informais sobre as propriedades relativas a lados, ângulos e
diagonais de polígonos, bem como o estudo de congruência e
semelhança de figuras planas. Para alcançar um maior desenvolvimento
do raciocínio lógico, é necessário que no Ensino Médio haja um
aprofundamento dessas idéias no sentido de que o aluno possa
conhecer um sistema dedutivo, analisando o significado de postulados e
teoremas e o valor de uma demonstração para fatos que lhe são
familiares. (PCNEM, Matemática, 2002, p.123)
Para consolidar a escolha do tema e saber se era propício desenvolver um
estudo sobre congruência, decidi verificar se alunos da 1ª série do Ensino Médio
se apropriaram do assunto Congruência de figuras no Ensino Fundamental.
Assim, três questões (anexo 2) sobre congruência foram formuladas, sendo que a
primeira foi discursiva; a segunda solicitava, de livre escolha do aluno, a
representação de duas figuras congruentes; e a terceira, com o auxílio de uma
malha pontilhada, pedia a reprodução de uma figura dada. Essas questões foram
aplicadas em alunos de uma escola estadual, do 1º ano do Ensino Médio, período
diurno.
Os resultados dos 144 alunos que colaboraram são mostrados na tabela da
página a seguir:
4
- Questão 1 -
Discursiva
- Questão 2 -
Representação
- Questão 3 -
Malha Pontilhada
Acertos 35 44 46
Erros/não sabe/brancos 109 100 98
Total de estudantes 144 144 144
Tabela 1 - Questões sobre congruência
Entre as três questões, a que obteve menor acerto foi a questão discursiva,
apesar de ocorrer pouca evolução nos acertos de uma questão para outra.
No geral, os resultados foram relevantes e me motivaram a fazer uma
pesquisa sobre o assunto, pois, na primeira questão, 109 alunos (76%) não
responderam corretamente, deixaram em branco ou declararam não saber
responder. Na segunda questão, 100 alunos (69%) não souberam representar
corretamente, deixaram em branco ou declararam não saber responder. Mesmo
com o auxilio da malha pontilhada, 98 alunos (68%) não conseguiram reproduzir o
desenho, deixaram em branco, ou declararam não saber responder.
Os resultados mostraram que a compreensão dos alunos da 1ª série do
Ensino Médio dessa escola, em relação à congruência é em grande parte
ausente, indicando o favorecimento a uma pesquisa de situação de aprendizagem
sobre Congruência de figuras.
Diante dos resultados obtidos com os alunos, mais a constatação de
carência de pesquisas, especificamente ligadas à situação de aprendizagem
desse tópico, concluí que é importante um estudo sobre a Congruência com os
alunos do 1º ano do Ensino Médio, já que, além de não apresentarem o
conhecimento sobre a congruência, alguns têm uma idéia equivocada sobre o
assunto.
1.2. ESTRUTURA DO TRABALHO
A organização dessa pesquisa é constituída de 5 capítulos, sendo que no
primeiro capítulo, justifica-se a escolha do tema e se apresenta uma revisão
bibliográfica de pesquisas relacionadas à aquisição de conceitos matemáticos, à
utilização de programas de computador voltados à geometria e a provas de
conceitos geométricos. Finaliza-se o capítulo com a apresentação dos
5
fundamentos teóricos, baseados em trabalhos dos pesquisadores: Parzysz,
Machado, Freudenthal, Chevallard e Balacheff.
O segundo capítulo apresenta uma breve história da origem e
fundamentação da geometria influenciando na concepção do conceito de
congruência, envolvendo os trabalhos de Euclides, Clairaut, Legendre, Hadamard,
Hilbert e Birkhoff. Finaliza-se o capítulo com a análise de alguns livros didáticos.
Os Sujeitos, Método e Material compõem o terceiro capítulo, com o intuito
de esclarecer onde, quando, como, com quem e o que foi desenvolvido nessa
pesquisa, isto é, organização, concepção e aplicação de uma seqüência de
ensino sobre congruência em alunos do 1º ano do Ensino Médio, baseados na
metodologia da Engenharia Didática.
O quarto capítulo é dedicado à análise a posteriori das atividades da
seqüência de ensino, bem como, a confrontação desses resultados com as
análises a priori, realizada no terceiro capítulo. Contempla o quinto capítulo, os
resultados e considerações finais a respeito da pesquisa realizada.
1.3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
A Geometria tem sido tema de pesquisadores da área de Matemática e
Psicologia, que focam tanto as práticas pedagógicas, como a aprendizagem em
Geometria de alunos e professores. Dentre os psicólogos, nota-se o trabalho de
Klausmeier (1977), que pesquisou sobre a aquisição de conceitos. Na concepção
desse autor, esta aquisição ocorre através de mudanças progressivas e
ordenadas na estrutura cognitiva e nos comportamentos observáveis e de
inferências, processadas durante a vida do sujeito. Ocorre em quatro níveis
sucessivos: o concreto (como prestar atenção no objeto, realizar discriminação,
reconhecer e ou lembrar de um objeto mesmo que ele esteja ausente em um
conjunto de objetos); identidade (capacidade de generalização); classificatório
(como reconhecer e classificar conceitos como sendo exemplos e não exemplos
de uma mesma classe de coisas) e formal (como denominar o conceito e defini-lo
e recordar o conteúdo verbal referente a ele, formular hipóteses, compreender o
conceito a partir de casos particulares para os mais gerais). Sugere alguns
procedimentos do professor: identificar se o aluno é capaz de formar os níveis
cognitivos; programar uma seqüência para ensinar o aluno a perceber
6
características de exemplos e não exemplos, de modo que ele mesmo identifique
os atributos definidores do conceito; estabelecer uma terminologia correta e
fornecer retornos ao aluno sobre os acertos e erros e, finalmente, propiciar o uso
do conceito.
Pirola (1995) utilizou a teoria de Klausmeier. Sua pesquisa consistiu em
investigar, dentre os 137 alunos de 5ª a 8ª séries do ensino Fundamental de uma
escola pública do estado de São Paulo, se os alunos de séries mais avançadas
conseguiam identificar os conceitos de triângulo e de paralelogramo, no que diz
respeito aos atributos definidores, exemplos e não exemplos, de forma mais
completa que alunos de séries menos avançadas. Os sujeitos analisados tiveram
o mesmo professor e este utilizava a proposta curricular para o ensino de
matemática. Um questionário, um teste de atributos definidores, em que os alunos
assinalavam se afirmativas eram verdadeiras ou falsas, e teste de exemplos e
não exemplos, foram aplicados a esses alunos e os resultados mostraram que os
alunos da sétima série obtiveram melhores resultados, em seguida a sexta,
depois a oitava e quinta séries. Os alunos da sétima e sexta séries conseguiram
verbalizar as definições de triângulos e paralelogramo, além de desenhar e
reconhecer os atributos definidores do conceito. Os exemplos e não exemplos
das figuras analisadas também tiveram uma grande porcentagem de acertos na
sexta série, com 68% e na sétima série com 74%. O pesquisador finaliza
concluindo que naquela escola não é valorizada a aprendizagem dos conceitos de
forma significativa, mas são evidenciados as fórmulas memorizadas e problemas-
tipo, devido ao fato dos alunos terem calculado áreas e perímetros sem conhecer
os atributos e exemplos e não exemplos das figuras.
Além de Klausmeier, outro referencial de estudo sobre a aprendizagem é
Krutetskii (1968), citado por Wielewski (2005), que se refere à habilidade
matemática como um fenômeno interno, resultante da interação de vários
componentes que, para serem estudados, é preciso observar o sujeito durante a
execução da atividade. Ele utilizou métodos experimentais (análises quantitativas
e qualitativas de experimentos sobre as habilidades em matemática, nos
estudantes considerados talentosos na disciplina) e não experimentais (referia-se
às discussões com os estudantes, pais, professores, estudo da personalidade e
desempenho em outras disciplinas, além de professores de matemática e
pesquisadores matemáticos soviéticos que responderam a questionários sobre a
7
habilidade para aprender matemática). Segundo Krutetskii (1968), citado por
Wielewski (2005), os componentes das habilidades matemáticas são: Percepção,
generalização, lógica e raciocínio, redução, flexibilidade, pensamento reversível,
analítico-sintética, memória matemática, conceitos espaciais.
A pesquisa realizada por Wielewski (2005) investigou os aspectos do
pensamento matemático para resolução de problemas, segundo a teoria de
Krutetskii. A pesquisa consistiu ser exploratória qualitativa, na forma de estudo de
caso, tendo como objetivo investigar o pensamento matemático de alguns
estudantes universitários. Questionários, com questões subjetivas, foram
aplicados antes e depois de 13 problemas matemáticos. Os sujeitos foram 13
alunos universitários (sendo 9 do curso de Licenciatura Plena em Matemática e 4
estudantes do curso de Ciências da Computação). Diferentemente de Krutetskii, a
pesquisadora investigou estudantes universitários em função da vivência e
maturidade relacionadas ao pensamento matemático, se comparados aos
estudantes do Ensino Fundamental. Na pesquisa exploratória, esclareceu os
aspectos teóricos utilizados no trabalho cientifico. A parte experimental focou a
resolução de problemas, envolvendo diferentes pensamentos e diferentes
processos de resolução. O objetivo da pesquisa era questionar o aspecto
psicológico e interpretativo sob o ponto de vista matemático. Os resultados
obtidos levaram a pesquisadora a concluir que o pensamento matemático não é
influenciado por características individuais, mas pela sua história cultural e social,
pelo desenvolvimento da matemática, por livros didáticos e representações
semióticas, por conteúdo ou áreas envolvidas, pela formação acadêmica, pelas
experiências com a atividade matemática e pelos próprios problemas
matemáticos.
Alves (1999) explorou as habilidades na resolução de problemas
aritméticos de 53 alunos do 3º ano do Ensino Médio de escola particular e pública.
Utilizou, entre outros, a teoria de Krutetskii (1976) e que segundo ele a solução de
problemas é um processo cognitivo através do qual o sujeito recorre aos
conceitos e princípios previamente aprendidos para elaborar uma estratégia
adequada, com a finalidade de encontrar a resposta ou solução desejada,
aperfeiçoando esquemas já existentes em sua estrutura cognitiva.
Um outro estudo na Educação Matemática é o modelo teórico de
aprendizagem proposto por van Hiele (1955), modelo de desenvolvimento do
8
pensamento geométrico, que foi amplamente divulgado e traduzido para o inglês
a partir década de 1970. Esta teoria identifica cinco níveis de compreensão na
aprendizagem em geometria: visualização (nível 0), análise (nível 1), dedução
informal (nível 2), dedução formal (nível 3) e rigor (nível 4), que de acordo com a
maturidade geométrica o sujeito pode estar em um determinado nível e, através
de seqüências ou situações de ensino, este sujeito poderá passar de um nível
para outro mais avançado. Segundo a teoria, o avanço no nível depende mais do
conteúdo e método de instrução do que da idade do sujeito. Rezi (2001, p.10) faz
citação de van Hiele sobre esses níveis:
Você pode dizer que alguém atingiu um nível mais elevado de
pensamento quando uma nova ordem de pensamento permite a ele, com
respeito a certas operações, aplicar essas operações sobre novos
objetos. O atingir de um novo nível não pode ser efetuado pelo ensino,
mas ainda, pela escolha adequada de exercícios, o professor pode criar
uma situação favorável para que o aluno alcance o nível de pensamento
mais elevado. (van Hiele, 1955, p.289, citado por van Hiele, 1986, p.39).
Na visualização, os sujeitos são capazes de reconhecer as formas dos
objetos de forma geral e não por suas partes ou propriedades. Já no nível
seguinte, análise, as características e propriedades das figuras são discernidas,
mas as relações entre propriedades ainda não são entendidas. Na dedução
informal, os sujeitos estabelecem relações entre propriedades das figuras ou
entre figuras e, na dedução formal, ocorre a compreensão das relações entre
termos indefinidos, axiomas, teoremas, demonstração e definição. O ultimo nível,
referente ao rigor, o sujeito é capaz de trabalhar em vários sistemas axiomáticos,
isto é, a geometria euclidiana e a não-euclidiana.
No Brasil, a teoria de van Hiele também tem sido divulgada por autores
como: Lílian Nasser e Neide P. Sant'Anna, em "Geometria segundo a teoria de
van Hiele", Mary Montgomery Lindquist e Alberrt P. Shulte, em "Aprendendo e
Ensinando Geometria" – tradução de Hygino H. Domingues, trabalhos de
mestrado de Odaléa A. Viana e Viviane Rezi da UNICAMP, entre outros.
A pesquisadora Rezi (2001), investigou as relações entre o nível de
desenvolvimento do pensamento da geometria de van Hiele e estudou alguns
componentes da habilidade matemática, intrínsecos às atividades de solução de
9
problemas, relacionados a conceitos geométricos e componentes das habilidades
matemáticas, como a percepção geométrica e a habilidade para conceitos
espaciais. Inicialmente avaliou 201 estudantes, concluintes do Ensino Médio de
uma escola particular e outra pública, durante o período de aula sobre seus
conhecimentos na resolução de problemas com enunciado verbal, problemas que
requerem processamento visual e problemas que requerem representação e
manipulação mental de objetos. A pesquisadora baseou-se no trabalho de van
Hiele (1986), "Structure and Insight", trabalhos anteriores de Pirola (1995),
Oliveira (1998) e Vianna (2000), e textos de Nasser (1992, 1992a) e Usiskin
(1982, 1994). Em suas considerações finais, a pesquisadora apresenta como
resultado de pesquisa, a necessidade do professor auxiliar o desenvolvimento de
habilidade nos alunos conseqüentemente a aquisição de conhecimentos.
Viana (2000) explora as habilidades geométricas segundo o modelo de van
Hiele. As perspectivas da formação de conceitos, segundo Piaget e Vygotsky, são
apresentadas e destaca a contribuição desses teóricos para a educação. Avaliou
o conhecimento de 377 alunos do CEFAM – Centro Específico de Formação e
Aperfeiçoamento do Magistério, sobre as figuras tridimensionais e classificou-os
segundo os níveis de conceituação de van Hiele. Além disso, concentrou seus
estudos na análise de habilidades visual/gráfica e verbal, categorizadas através
das teorias de Piaget sobre a representação do espaço e de Vygotsky sobre os
conceitos científicos e espontâneos. Para classificação dos níveis de van Hiele,
no nível 1 era solicitado ao aluno nomear figuras, no nível 2 era usada a
planificação, para o nível 3 foram selecionadas questões sobre as relações entre
figuras. Os resultados mostraram que, dos 377 alunos, 285 (75,6%%) alunos não
conseguiram reconhecer e nomear as principais figuras geométricas espaciais,
que geralmente são trabalhadas nas primeiras séries do Ensino Fundamental,
sendo classificados no nível 0; 64 alunos (17%) conseguiram nomear e
reconhecer as figuras e foram classificados no nível 1; em seguida, 21 alunos
(5,6%) conseguiram analisar as propriedades das figuras e foram classificados no
nível 2. Apenas 1 aluno ficou no nível 3, por estabelecer relações entre as
propriedades das figuras. Os restantes, 6 alunos (1,6%), não foram classificados.
Outras pesquisas foram dedicadas à investigação da geometria dedutiva:
Nasser e o grupo do Projeto Fundão do Instituto de Matemática da Universidade
Federal do Rio de Janeiro, contando com a participação de professores de ensino
10
fundamental e médio e de licenciandos. Os primeiros experimentos realizados em
turmas, cujos professores não tinham uma prática voltada para a argumentação,
mostraram que os alunos não eram capazes de justificar qualquer afirmação, por
mais simples que fosse, tanto no campo geométrico quanto no algébrico.
Trabalharam a habilidade de argumentação em turmas de 5ª a 8ª série do Ensino
Fundamental e em todas as séries do Ensino Médio. Na investigação, os
seguintes tipos de prova foram considerados: justificativa pragmática (a
veracidade de uma afirmativa se dá com base em apenas um ou alguns casos
particulares); recorrência à autoridade (o aluno afirma que o resultado é
verdadeiro porque o professor falou, ou porque está no livro didático); exemplo
crucial (o aluno desenvolve um raciocínio de caráter bem geral, apoiado em um
exemplo e justificativa gráfica que tenha uma figura como base).
Carlovich (2005) analisa o ensino da Geometria dedutiva nos livros
didáticos do 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental, do início de 1990 e início de
2000. Esses períodos foram escolhidos em virtude de serem anteriores e
posteriores à implantação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), em
1995. Sua análise, apresenta uma evolução nas propostas dos exercícios dos
livros analisados, aplicados no período de 1990, para exercícios com enfoque
heurístico em 2000. A autora ressalta a necessidade de fornecer caminhos para a
apropriação do raciocínio dedutivo em Geometria pelos alunos das séries desse
ciclo, embora, as coleções dos anos de 2000 proponham atividades com
validações empíricas e dedutivas. Faz referências aos casos de congruência
para justificar e provar a congruência de triângulos e propriedades dos
quadriláteros. Arsac (1987) e Balacheff (1987) são citados por Calovich (2005) na
orientação sobre a evolução do pensamento empírico e dedutivo. O primeiro
defende que provas empíricas podem aparecer na 7ª série, enquanto o segundo
defende que a evolução dos fundamentos devem iniciar com justificativas
empíricas e evoluir para validações dedutivas desde as séries iniciais, respeitando
o nível de racionalidade dos alunos.
Mabushi (2000) realizou um estudo sobre transformações geométricas nos
cursos de formação de professores. A pesquisadora se fundamenta nos trabalhos
de pesquisadores como van Hiele, Brousseau e Douady. O estudo foi realizado
junto aos professores inscritos no curso de Licenciatura Plena em Matemática da
PUC-SP, para Professores com Licenciatura Curta em Ciências, projeto iniciado
11
em 1999 que visava oportunizar aos professores, com licenciatura curta em
Ciências, aprimorar, atualizar e complementar seus estudos. O grupo era formado
por 34 professores, com idade ente 20 e 45 anos, considerando que 51% eram
recém-formados. Na pesquisa realizada por Mabuchi, 74% dos professores
colaboradores nunca estudaram o assunto transformações geométricas, 70%
desconheciam termos como vetor, translação, rotação e até a idéia de simetria.
Em sua conclusão, Mabuchi sugere novas pesquisas sobre transformações
utilizando a tecnologia.
Pietropaolo (2005) investigou sobre a necessidade e acessibilidade da
implementação de provas e demonstrações nos currículos de Matemática da
Educação Básica e suas implicações nos currículos de formação inicial de
professores. Um dos motivos apresentados para o desenvolvimento da pesquisa
foi que, como Integrante da equipe de elaboração dos Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN) de Matemática do 3º e 4º ciclos do Ensino Fundametal,
Pietropaolo (2005) constatou que "foram pouco profundos os debates sobre
argumentações e provas e sobre suas potencialidades pedagógicas durante a
composição do PCN", e questionou mais adiante sobre quais experiências um
professor de matemática em formação deveria vivenciar para constituir
competência na organização e direção de situações de aprendizagem visando ao
desenvolvimento do raciocínio dedutivo de seus alunos. A pesquisa qualitativa foi
realizada por meio de pesquisa bibliográfica, entrevistas com 9 pesquisadores
e/ou professores em Educação Matemtática e 7 professores do Ensino
Fundamental e Médio. Fundamentou-se nos trabalhos dos pesquisadores Healy e
Hoyles (2000), Dreyfus (2000), Balacheff (1987), Knuth (2002). Os resultados de
sua pesquisa apontaram que os entrevistados eram favoráveis à inclusão de
provas nas aulas de Matemática desde o Ensino Fundamental, mas que alguns
defendiam um trabalho voltado à verificações empíricas e em "mostrações" para
se chegar à formalização no Ensino Médio. Quanto a sua questão de pesquisa,
sobre os cursos de licenciatura se estariam em condições de oferecer uma
formação de qualidade para o profissional que vai ensinar provas, inclusive
rigorosas e se ele próprio aprendeu a provar, o pesquisador chegou a uma
conclusão negativa dessas questões.
No estudo com os programas de computador, Vaz (2004) utilizou a
metodologia Experimento de Ensino para explorar o ensino e aprendizagem de
12
prova e demonstração, utilizando o software educativo Cabri-géomètre, com o
assunto isometrias. Trata dos aspectos indutivos e dedutivos que, geralmente,
não são suficientemente desenvolvidos nos alunos. Os participantes foram alunos
de 7ª e 8ª séries de uma escola particular da cidade de São Paulo. A
pesquisadora se fundamentou nos trabalhos de Piaget e Garcia, em particular, a
transição entre a etapa intrafigural (enfoque nas propriedades internas de uma
figura) e interfigural (enfoque nas relações entre figuras) e no trabalho de
Balacheff no que se refere às classificações de prova. Segundo a pesquisadora,
os alunos permaneceram mais no campo pragmático (campos de ação e
percepção) e fizeram pouca conexão entre esse campo e o campo conceitual.
O Cabri-Géomètre auxiliou o movimento empírico/conceitual, enquanto
generalização de figura, em virtude do dinamismo do software. Acrescenta que o
uso das transformações geométricas na prova não consegue, por si só, resolver
todos os problemas que foram apresentados no estudo que utiliza modelos
euclidianos. Com sua pesquisa, os alunos conseguiram elaborar provas locais,
indício para uma prova válida global.
As pesquisas em Psicologia da Educação Matemática, segundo Brito
(2001), têm por objetivo estudar o ensino e a aprendizagem da Matemática e sua
relação com os fatores cognitivos e afetivos dos sujeitos analisados, envolve
interesse de especialistas, tanto da área de Matemática, quanto da Educação e
da Psicologia. Brito (2001) ressalta Fischbein (1990) ao assinalar que as
disciplinas, Psicologia e Matemática,
Embora sejam estruturalmente diferentes, sempre houve um interesse
recíproco entre elas. Se por um lado psicólogos tentavam demonstrar os
fenômenos psicológicos em termos de modelos matemáticos, os
matemáticos como Poincaré, Hadamard, Polya e Freudenthal
pesquisaram a psicologia do raciocínio matemático.(Brito, 2001, p.53).
Além de Klausmeier e Kruteskii, outros psicólogos elaboraram teorias da
aprendizagem. Pode-se destacar Ausubel, que se dedicou em elaborar uma teoria
da aprendizagem dentro da sistemática da sala de aula. Sua teoria,
Aprendizagem Significativa, tem como idéia central o conhecimento prévio do
sujeito, e a aprendizagem pode ocorrer por descoberta ou por recepção. A
aprendizagem significativa por descoberta, segundo a teoria de Ausubel, citado
13
por Brito (2001), ocorre quando o sujeito é levado a encontrar, por si somente, o
significado de um ou mais conceitos que se encontram imersos no conteúdo total
a ser aprendido; diferentemente da aprendizagem por recepção, que tem o
material apresentado ao sujeito de forma pronta, final e acabada. Brito (2001)
exemplifica a aprendizagem significativa do conceito de congruência:
Por exemplo, ao ensinar o conceito de congruência e as propriedades
da congruência entre segmentos (propriedade reflexiva, propriedade
simétrica e propriedade transitiva) o professor prepararia o conteúdo a
ser aprendido de maneira lógica e ordenada, iniciando a aula com
situações motivadoras e desafiadoras, de forma a levar o aluno a
descobrir os significados e as relações entre os conceitos envolvidos e
os procedimentos necessários para se alcançar a solução. (p.74).
Pode-se afirmar que essa aprendizagem será significativa se, no contexto
da sala de aula, o professor e o aluno forem protagonistas, visto que o professor
deverá criar condições, através da preparação e organização dos materiais
potencialmente significativos (de maneira não-arbitrária e substantiva), para que a
aprendizagem significativa possa ser incorporada à estrutura cognitiva do aluno.
Por outro lado, o aluno deverá se dispor a relacionar significativamente o material
aos elementos já existentes na sua estrutura cognitiva, isto é, o aluno deverá
manifestar uma disposição para a aprendizagem.
1.4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Esta pesquisa se apoiará nos trabalhos de Parzysz, Machado, Freudenthal,
Chevallard e Balacheff.
1.4.1. PARZYSZ
Parzysz (2001) no seu artigo " Articulation entre perception et déduction
dans une démarche géométrique en PE1", faz um comparativo e análise dos
trabalhos de van Hiele (1984) que distingue cinco níveis do desenvolvimento do
pensamento geométrico.
Com relação ao trabalho de van Hiele (1957), segundo Parzysz (2001), a
geometria, relativa aos níveis 0 e 1, refere-se a uma geometria "concreta" (objetos
são materiais do cotidiano do aluno), e a argumentação se apóia em critérios
14
perceptivos. Em contrapartida, a geometria correspondente aos níveis 3 e 4 é
uma geometria "teórica" (objetos são conceituais e a única argumentação
aceitável é a demonstração). Entre esses níveis, o nível 2 é quando aparece o
conflito entre o que o aluno sabe e o que percebe, isto é, um nível intermediário
entre o concreto e o teórico. De acordo com Parzysz (2001):
Esta distinção em níveis, se tomada ao pé da letra, corre o risco de se
deixar pensar que um dado indivíduo, a um certo momento de seu
desenvolvimento, deve situar-se num determinado nível. Mas seria não
levar em conta a situação na qual encontra-se este indivíduo neste
momento, e que pode desempenhar um papel determinante: sabe-se que
um "perito" de um domínio específico pode não mais se comportar em
perito quando é colocado numa situação não familiar, mesmo quando
surgiu ao seu domínio de avaliação
. (PARZYSZ, 2001, p.1, tradução
nossa).
A análise leva Parzysz a propor um quadro teórico para o ensino da
geometria que consiste em 4 níveis formadores das etapas no desenvolvimento
do pensamento geométrico. O primeiro nível G0, denominado Geometria
concreta, tem como característica a identificação das figuras, exclusivamente,
pelo aspecto geral. Os objetos são concretos e a validação é perceptiva.
Quando a ênfase ocorre nas representações figurais e gráficas, o nível G1,
denominado geometria espaço-gráfica, é evidenciado. Nesse nível dá-se inicio à
identificação de propriedades de certas figuras. Trabalha-se com a manipulação
de objetos bidimensionais (desenhos em uma folha ou tela de computador) e a
resolução está relacionada ao uso de régua, compasso, transferidor ou comandos
do programa de computador utilizado. A validação é, ainda, perceptiva.
Na geometria proto-axiomática, nível G2, os objetos em jogo são teóricos
(suas existências provêm de axiomas e definições) e a prova é teórica (tendendo
a ser hipotético-dedutivo). Segundo Parzysz (2001, p.1), o termo "proto-
axiomática" (G2) é um paradigma que aparece, de fato, como uma simplificação,
uma versão vulgarizada de uma teoria axiomática completa (G3), tal como a de
Hilbert. Isso quer dizer que o estudo dos axiomas e teoremas euclidianos não
precisam seguir a forma rigorosa de um sistema axiomático completo, mas podem
ser estudados de modo que sejam obtidos empiricamente e possam ser utilizados
15
em conjunto das técnicas dedutivas, cuja validação seja feita com o uso de
teoremas e propriedades evidentes obtidas dessa experimentação.
O nível G3, denominado geometria axiomática, caracteriza-se pelo uso
exclusivo de sistemas axiomáticos. Os objetos analisados são teóricos e a
validação é por meio de axiomas e propriedades desses sistemas axiomáticos.
Assim, o quadro teórico proposto por Parzysz (2001) apresenta objetos de
natureza física (G0 e G1) ou teórica (G2 e G3), e a validação pode ser perceptiva
(G0 e G1) ou lógica-dedutiva (G2 e G3).
1.4.2. MACHADO
Muitos psicólogos e matemáticos contribuíram para explicar o processo de
desenvolvimento cognitivo em geometria. Outros, como Machado (2005),
procuraram estabelecer pontes entre as concepções e ações docentes, as
generalidades das questões teóricas e a especificidade das tarefas pedagógicas,
a fim de garantir a compreensão e construção do conhecimento.
Segundo Machado (2005), o conhecimento pode ser considerado como
rede de significados e leva em conta a idéia de que conhecer é apreender o
significado. Destaca o comentário de Dewey (1979):
Compreender é apreender a significação... Apreender a significação de
uma coisa, de um acontecimento ou situação é ver a coisa em suas
relações com outras coisas... Contrariamente, aquilo a que chamamos
coisa bruta, a coisa sem sentido para nós, é algo cujas relações não
foram apreendidas (DEWEY, 1979, p.139, citado por MACHADO, 2005,
p.35).
De acordo com Machado (2005), para que ocorra a apreensão da rede de
significados em Geometria, é necessário propor atividades integradoras que
propiciem a articulação entre os elementos cognitivos de percepção, de
concepção, de representação e de construção dos objetos de estudo, sendo que
essas atividades devem ocorrer em todos os níveis de ensino da Geometria.
Esses elementos formam as faces do tetraedro (Fig. 1), designados por Machado
(2005), para explicar a construção do conhecimento geométrico. A percepção
16
engloba a observação e manipulação direta de objetos materiais, percepção de
formas e propriedades características, atividades empíricas, sensoriais. Na
construção, os objetos são físicos. As atividades são realizadas por meio de
objetos do cotidiano (massas, varetas, papéis). As representações de objetos
ocorrem por meio de desenhos, onde as propriedades costumam ser
parcialmente concretizada, linguagem computacional, comandos, programas,
algoritmos, diagramas de bloco têm lugar nas representações esquemáticas. A
face da concepção tem como característica, a sistematização do conhecimento
geométrico, com predomínio de definições precisas, enunciado cuidadoso das
propriedades, encadeamento de proposições nas demonstrações formais ou
informais de certos resultados, chamados de teoremas.
Essas quatro faces separadas têm importância limitada. Para que se atinja
a organização conceitual cada face deve estar integrada a outra. A
desvalorização de uma ou outra prejudica no desenvolvimento do conhecimento
geométrico.
As faces integradas com o objetivo de se atingir a organização conceitual
Fig. 1
A metáfora do tetraedro está no equilíbrio do sólido quando é apoiado em
qualquer uma das faces e no conhecimento geométrico que se encontra, também,
equilibrado, numa de suas características que serve de apoio. O aprendizado de
geometria necessita da articulação das quatro faces ou características,
anteriormente citadas,
uma vez que percebemos para construir ou quando construímos para
representar ou representamos. Concebemos o que pretendemos
construir, mediante as representações, ou construímos uma
P e r c e p ç ã o
C o n c e p ç ã o
R e p r e s e n t a ç ã o
C o n s t r u ç ã o
Percepção Construção Representação Concepção
17
representação como uma planta ou maquete para facilitar a percepção.
Separadas, cada uma das faces tem uma importância muito restrita.
Entre as atividades perceptivas e conceituais, ou para o estabelecimento
de relações mais consistentes entre o conhecimento empírico e sua
sistematização formal são fundamentais atividades intermediárias
envolvendo a construção e a representação. (MACHADO, 2005, p.54-55)
Segundo Machado (2005), atividades relativas à representação não
costumam ser suficientemente valorizadas como elementos fundamentais dos
processos cognitivos. Dessa forma, defende que em todas séries do ensino da
geometria o professor utilize atividades integradoras que propiciem a articulação
harmoniosa das quatro faces do tetraedro, inclusive de construção e
representação. Ressalta que:
é tão importante transitar, como uma criança, da percepção à
construção, daí à representação e, então, à concepção, quanto o é
realizar o percurso do engenheiro ou do arquiteto, que concebe o objeto
geométrico antes de representá-lo e
construí-lo, e só então torná-lo
palpável. (MACHADO, 2005, p.56).
Os pesquisadores Parzysz e Machado estão em concordância no que diz
respeito ao uso de atividades que estimulem a percepção, representação,
construção e concepção dos conceitos geométricos para a construção do
pensamento geométrico. Pode-se dizer que o aluno só irá atingir determinados
níveis do pensamento geométrico se houver a articulação eficaz entre as faces do
tetraedro. Assim, para que a aprendizagem ocorra é necessário propor atividades
para que haja uma mobilização entre os sentidos e ações do indivíduo, de modo
que estes sejam requisitados, reorganizados, descartados e resgatados quando
necessário, a fim de contribuir para a efetiva aprendizagem.
Os níveis descritos por Parzysz e as faces do tetraedro construído por
Machado estão relacionados ao que no campo da psicologia tem sido
amplamente estudado no que diz respeito à relação da habilidade de percepção
visual e os conceitos de geometria.
18
1.4.3. FREUDENTHAL
Hans Freudenthal (1905 – 1990) foi um matemático muito influente no
desenvolvimento da Educação Matemática. Foi professor dos van Hiele, e em seu
livro Mathematics as an Educational Task, de 1973, propõe uma renovação no
ensino da Geometria, apresentando os trabalhos dos van Hiele (1957), que
realizavam cursos onde utilizavam materiais concretos e o espaço era o ponto de
partida para a formulação de conjeturas e suas justificativas.
Para Freudenthal (1973) a Geometria é “compreender o espaço” que a
criança “deve aprender a conhecer, explorar, conquistar, de modo a poder aí
viver, respirar e mover-se melhor”. Prossegue afirmando que, a criança poderá
"aprender a matematizar a realidade" e "realizar descobertas" por si mesma e de
modo significativo para ela. Além disso, a geometria contribui para que a "criança
sinta, a partir da necessidade lógica das suas conclusões, a força do espírito
humano, ou seja, o próprio espírito". Com base nessa compreensão, ao invés se
desenvolver junto aos alunos o formalismo rigoroso da geometria axiomática,
Freudenthal (1973) propõe um outro tipo de organização.
Para o ensino da demonstração em vez de se pretender apresentar ao
aluno uma organização global da geometria (um sistema axiomático
completo), devem ser apresentadas experiências de organização local,
em que alguns resultados conjeturados por eles, sejam por meio de
curtas deduções, interligados logicamente. (FREUDENTHAL, 1973,
citado por VELOSO, 1998, p.27).
Como exemplo, Freudenthal propõe uma organização local para o estudo
de quadriláteros, aceitando sem demonstração os casos de congruência dos
triângulos (LLL, LAL, ALA, LAAo) e a igualdade dos ângulos alternos internos,
sendo estes aceitos sem demonstração. Essa organização local pode ser feita
com ou sem o computador. Essa inovação no ensino da Geometria foi
amplamente divulgada pelo Conselho Nacional de Professores de Matemática
(NCTM), dos Estados Unidos, em 1989, quando entre outras normas, o
desenvolvimento de curtas seqüências de teoremas, tinha como base a idéia de
Freudenthal.
19
1.4.4. CHEVALLARD
Segundo Chevallard (1999), a atividade do professor envolve uma
organização praxeológica que "é um conjunto de técnicas, de tecnologias e de
teorias organizadas para um tipo de tarefa". As atividades dos livros didáticos
podem ser analisadas, utilizando-se a organização praxeológica proposta por
Chevallard.
A tarefa pode ser expressa por um verbo, por exemplo, construir um
triângulo eqüilátero, dividir um número inteiro por outro inteiro, ler um manual. A
técnica pode ser relacionada como sendo uma “maneira de fazer” a tarefa
proposta. Para um tipo de tarefa, constitui-se a organização praxeológica de um
bloco prático-técnico (saber fazer) e um bloco tecnológico-teórico (um saber).
As tecnologias são os discursos racionais sobre a técnica. Uma das
finalidades da tecnologia é o de justificar “racionalmente” a técnica para assegurar
a realização da tarefa e, outra, a de explicar e fazer inteligível e clarear a técnica,
isto é, dizer porque a justificativa é correta.
O discurso tecnológico contém afirmações mais ou menos explícitas,
ocorrendo essa realização a um nível superior de justificação-explicação-
produção ao da teoria, que retoma em relação à tecnologia o papel que esta
última tem a respeito da técnica.
Parzysz (2001) utiliza a organização praxeológica de Chevallard para
analisar problemas de níveis G1 e G2 e explica que pode ocorrer em um mesmo
tipo de problema (tarefa) a distinção, ao mesmo tempo, do nível das técnicas, da
tecnologia e da teoria. Por exemplo, para G1 as técnicas utilizadas para a
resolução deste tipo de tarefa são essencialmente ligadas ao uso de instrumentos
como regra graduada, compassos, esquadro, relator (percepção instrumentada).
As tecnologias (modo de validação) fazem igualmente uso dos instrumentos, que
são utilizados para controlar o desenho construído pela constatação visual de
coincidências ou superposições, graduações da regra, pontas do compasso. O
nível teórico - ausente na prática usual - seria uma teoria relativa à precisão ou a
economia dos traçados.
Em G2, essa mesma tarefa apresenta na técnica referência a objetos
geométricos (retas, pontos, segmentos, círculos...), cuja existência é assegurada
por enunciados (definições, axiomas, propriedades admitidas...), e o uso dos
20
instrumentos permite obter representações (desenhos). As tecnologias
correspondentes consistem na produção de um discurso de tipo dedutivo aplicado
nos dados do enunciado, utilizando elementos de G2 encontrados anteriormente.
O nível teórico é constituído por uma geometria axiomática de tipo G3 (a
geometria afim euclidiana). Contudo, uma técnica muito geral em G2 é a
realização e o estudo de "figuras" (desenhos) sobre os quais fará, eventualmente,
agir com técnicas de G1, com o objetivo de procurar índices que permitirão
conduzir a uma demonstração.
1.4.5. BALACHEFF
Balacheff (1988) apresenta uma forma de categorizar a evolução cognitiva
sobre provas. Ele apresenta quatro tipos de validações para as provas: empirismo
ingênuo, experiência crucial, exemplo genérico e experiência mental.
O empirismo ingênuo é uma das primeiras formas do processo de
generalização, a validação ocorre com a verificação de alguns poucos casos, sem
questionamento quanto às particularidades. Em seguida, na experiência crucial a
validação ocorre enunciando-se explicitamente o problema da generalização e a
resolução é por meio de um caso particular que é possível. O exemplo genérico é
um outro tipo de prova, em que a validação ocorre tomando-se um representante
de uma situação particular para explicar a validação de uma proposição. E o
último tipo de prova é a experiência mental, que se refere à apresentação de
deduções lógicas baseadas em propriedades, desligadas de um representante
particular. Os três primeiros tipos de prova são considerados provas pragmáticas,
que segundo Balacheff são elaboradas baseando-se em fatos e ações, enquanto
que a última é uma prova de tipo intelectual, cujo pensamento e atuação são
teóricos. A seguir, é exemplificado, por meio de uma questão resolvida, os
diferentes tipos de níveis. Esta questão foi utilizada no projeto AprovaME, fase 1.
A e B são dois quadrados idênticos.
Um vértice do quadrado B está
localizado no centro do quadrado A.
Qual fração da área do quadrado A
está coberta pelo quadrado B?
Fig. 2
21
Empirismo ingênuo: Por exemplo, uma resposta sendo igual a ½,
constatada pela observação de que há uma parte coberta e outra não coberta do
quadrado A.
Outro exemplo desse tipo, tomando-se alguns casos em que,
experimentalmente, se conclui de que a área é de ¼, justificando que ao "ajeitar"
o quadrado B no quadrado A percebe-se que a área é ¼.
Fig. 3
Experiência crucial: Caracterizada pela verificação da proposição em
causa num caso particular tido como típico. Utiliza-se um caso particular
considerando-o de forma geral que também valide outros casos particulares. Por
exemplo, na representação 1 os lados do quadrado B que estão sobre o quadrado
A, são prolongados de modo que ocorre a divisão em 4 partes iguais do quadrado
A. Como isso ocorre com a representação 1, também ocorre com as demais
representações. Portanto, a área é de ¼.
Representação 1
Representação 2
Representação 3
Representação 4
Fig.4
Exemplo genérico: Caracterizado pela apresentação de propriedades
aplicadas sobre um caso típico. Por exemplo, toma-se o quadrado A e o divide em
quatro quadrados iguais (C, D, E, F), pelos pontos médios dos lados desse
22
quadrado. Retira-se o triângulo retângulo G do quadrado D e o encaixe na parte H
que sobrou do quadrado E.
Fig. 5
Portanto, a área preenchida pelo quadrado B no quadrado A é de ¼.
Experiência mental: Pode-se justificar, utilizando o caso ALA de
congruência de triângulos, que a área do quadrado A coberta pelo quadrado B é
¼.
Dividindo o quadrado em quatro partes iguais, pelo ponto
médio de cada lado. O ponto P, centro do quadrado A, é
vértice dos quatro quadrados originados pela divisão. Tem-
se que
PSTPQR
Δ
≅Δ , pois, PT
≅
PR (lados dos
quadrados menores),
PRQPTS
∧∧
≅
(ângulos retos dos
quadrados menores),
QPRTPS
∧∧
≅
(
°=+
∧∧
90TPSSPR
e
°=+
∧∧
90QPRSPR
, com
RPS
∧
comum).
Fig. 6
Como a parte do quadrado B que cobre o quadrado A é composto pelos
polígonos: PQR e PRUS, sendo que PQR e PTS são congruentes, a área coberta
é de ¼.
Outros pesquisadores que realizaram estudos sobre a prova trazem
valiosas contribuições, por exemplo, para Hanna, "enquanto na prática
matemática a função da prova é a justificação e a verificação, a função principal
na educação matemática é seguramente a da explicação". Além disso, acrescenta
que numa "boa prova, além de correta e explicativa, poderia também ser levada
em consideração o nível de detalhe, o contexto da aula e a experiência dos
estudantes".(Hanna, 1995, p.48, citado por Pietropaolo, 2005, p. 80).
Para Nasser e Tinoco (2001), uma prova pode ter várias funções. A mais
conhecida é a de validar um resultado, isto é, comprovar que é verdadeiro. Essa
função é, sem dúvida, fundamental na Matemática, mas nem sempre é
23
motivadora para alunos da escola básica. A função adquire significado especial
quando há alguma dúvida, ou seja, quando é preciso validar ou refutar uma
conjectura. Outra função da prova é a de explicar ou elucidar, isto é, mostrar
porque o resultado é verdadeiro. Algumas provas são perfeitamente aceitas, mas
não esclarecem o motivo pelo qual a afirmativa vale. As autoras citam De Villiers
(1991), “Em vez de enfatizar na prova apenas seu papel de verificação, a função
mais fundamental da prova como meio de explicação deve ser explorada, a fim de
apresentar a prova como uma atividade significativa para os alunos”.
1.4.6. CABRI-GÉOMÈTRE
Considerando a utilização de ambientes dinâmicos computadorizados na
organização de uma situação didática, o computador pode contribuir no
desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos. Em contato com esses
ambientes dinâmicos, os alunos podem explorar situações que possibilitam
descobrir as propriedades das figuras e conceitos geométricos, de maneira
significativa para eles.
Nesse trabalho será utilizado o software de geometria dinâmica Cabri-
géomètre, objetivando favorecer a aprendizagem dos alunos em relação a
congruência. Esse software foi concebido por Jean-Marie Laborde e Frank
Bellemain, da Université Joseph Fourier em Grenoble, França, em 1985, cuja
versão em Windows foi em 1988.
Segundo Laborde e Laborde (1995), citado por Vaz (2004, p.19), uma das
características do Cabri é permitir que os estudantes verifiquem propriedades
visualmente identificáveis de suas construções. Dessa forma, o próprio aluno
pode descobrir propriedades inerentes às figuras geométricas pela manipulação
de seus elementos. Isso também é revelado no significado das iniciais que
compõem a palavra Cabri (Cahier de Brouillon Interactif), cuja tradução é caderno
de rascunho interativo. Pode, então, ser considerado um caderno de rascunho
em que as inúmeras estratégias de construção ou resolução de problemas podem
ser colocadas em prática e registradas através dos comandos que o software
oferece, como os utilizados no Windows, e em tempo real, as construções podem
ser alteradas, movimentadas na busca de soluções problemas e de propriedades
de figuras.
24
O Cabri-Géomètre II é acessível aos alunos, pois foi distribuído às escolas
públicas do Estado de São Paulo no final da década de 1990, período em que foi
implementado o programa "A Escola de Cara Nova na Era da Informática", da
Secretaria de Educação do Estado de São Paulo. A exploração se faz através de
atividades de interação dos alunos com as ferramentas do software, que
permitem a eles, experimentar, modificar, transformar, construir e reconstruir,
identificar propriedades, visualizar o objeto de estudo. Nesse sentido, Arcavi e
Hadas (2003) afirmam que "os ambientes computadorizados dinâmicos
constituem laboratórios virtuais em que os estudantes podem jogar, investigar e
aprender matemática".(Arcavi e Hadas, 2003, p.25), sendo os computadores um
meio de aprendizagem.
Segundo Arcavi e Hadas (2003), a visualização, a experimentação, a
surpresa, a retro-alimentação e a necessidade de prova e demonstração, são
características desse laboratório virtual, que ajudam a aprofundar e intensificar a
aprendizagem. A experimentação permite, além da observação, a possibilidade
de medir, comparar, modificar figuras e fazer construções auxiliares mais fáceis. A
surpresa diz respeito às atividades que buscam motivar e surpreender os alunos
diante de expectativas prévias esperadas por eles. A retro-alimentação
ocasionada pela surpresa faz com que os alunos busquem maneiras de resolver e
justificar suas respostas. Com o ambiente dinâmico e atividades que exploram a
visualização, experimentação, surpresa e retro-alimentação, propicia-se situações
para prova e demonstração.
25
CAPÍTULO 2
ESTUDO DO OBJETO MATEMÁTICO "CONGRUÊNCIA"
Este capítulo traz, primeiramente, como a congruência foi tratada ao
longo da história, em seguida, a análise de como três livros didáticos, indicados
pelo PNLD, abordam o tema congruência. Esta análise será feita segundo a
teoria antropológica do didático proposta por Chevallard.
A palavra congruência vem do latim "congruentia", que significa
conveniência, coerência, isto é, que há ligação ou adesão recíproca. Em
Geometria, para provar que duas figuras são congruentes deve-se mostrar que
é possível sobrepor uma sobre a outra, de modo que se correspondam ponto a
ponto. O processo que leva a sobreposição de uma figura a outra, sem
deformação, se denomina deslocamento ou transformação, que por sua vez,
pode ser uma translação, uma rotação, uma reflexão ou uma composição entre
essas transformações.
A congruência nem sempre foi, ou é tratada do ponto de vista da
geometria das transformações, como, sucintamente, foi descrito acima, mas foi
considerada como proposição na obra de Euclides, ou como axioma em Hilbert.
Considerando-se essas diferentes posições, pode-se afirmar que o estudo da
congruência é inerente ao estudo da origem e da evolução da Geometria,
outrossim, o seu estudo torna-se um convite para a utilização e
desenvolvimento dos atributos cognitivos de percepção, representação,
construção e de dedução.
O presente estudo toma como ponto de partida a congruência tratada por
Euclides, em particular, os casos de congruência de triângulos, que têm sua
importância na utilização direta ou indireta, nas proposições seguintes de sua
obra.
2.1. EUCLIDES
Na origem da geometria, encontra-se entre os babilônios e egípcios a
prática de uma geometria intuitiva, não axiomática. Os procedimentos e regras
objetivavam principalmente as medições de áreas e volumes. A tentativa de
26
sistematização da geometria foi apresentada nas páginas introdutórias de
Proclus (410-485) em seu "Comentário sobre o primeiro livro de Os Elementos
de Euclides".
Tales primeiro foi ao Egito e de lá introduziu esse estudo na
Grécia. Descobriu muitas proposições ele próprio, e instruiu seus
sucessores nos princípios que regem muitas outras, seu método
de ataque sendo em certos casos mais geral, em ouros mais
empírico. (Boyer,1974, pág.35)
Proclus atribui o teorema de congruência, conhecido hoje como o caso
ALA, de congruência de triângulos a Tales. Após Tales, outros grandes filósofos
gregos contribuíram para a formação da geometria sistematizada, entre eles,
Pitágoras, Hipócrates de Quios, Platão, Aristóteles. Possivelmente, Euclides
utilizou as divisões de Aristóteles para a sua organização metódica.
A obra de Euclides intitulada de "Os Elementos" era constituída de 13
livros. Sua organização foi tão bem estruturada que, durante séculos, superou
todos os escritos sobre a Geometria e ainda hoje é explorada. Sobre a sua obra
são expressas afirmações como:
O grande mérito de seu trabalho reside na seleção feliz de proposições
e no seu arranjo numa seqüência lógica, presumivelmente a partir de
umas poucas suposições iniciais. (Eves, 2004, p.169).
Os Elementos de Euclides, escritos há mais de dois mil anos, são um
feito impressionante. Juntamente comas descobertas de J. Bolyai e de
N. Lobachewsky, o trabalho de Euclides, os seus prolongamentos e a
análise das suas limitações têm constituído o núcleo central da
geometria com que a generalidade das pessoas e dos matemáticos
entram em contato, nas escolas e nos nossos institutos e
universidades. (Veloso, 1998, p.17)
O estudo da congruência legada por Euclides é, nessa pesquisa,
apresentada segundo a tradução de Vitrac (1990).
Euclides edifica a geometria a partir de definições, postulados e entes
primitivos. Utiliza-os numa seqüência lógica e sistemática nas proposições.
Inicia seu trabalho, no livro I, apresentando 23 definições, posteriomente,
27
define, entre outros elementos, o ponto, a reta, o plano, o ângulo, o triângulo, o
círculo. A seguir, são apresentadas algumas definições:
Um ponto é o que não tem partes.
Uma linha é o que tem comprimento sem largura.
As extremidades de uma linha são pontos.
Uma linha reta é uma linha que assenta igualmente entre as suas extremidades.
Uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura.
As extremidades de uma superfície são linhas.
Uma superfície plana é uma superfície sobre a qual assenta toda a linha reta entre
dois pontos quaisquer da superfície.
Essas definições consistiam em uma tentativa de análise lógica do
espaço físico idealizado, pois, para os gregos, a geometria não era um estudo
abstrato como foi formalizado posteriormente, mas era proveniente de vivências
e evidências, por exemplo, o ponto era uma idealização de partículas muito
pequenas. Após essas definições, Euclides apresenta 5 postulados e 9 noções
comuns ou axiomas. Dos axiomas, destaca-se o axioma 7: "Coisas que
coincidem umas com outras são iguais entre si", que é utilizado na proposição 4
do caso LAL.
Euclides não utilizou o termo congruência, mas seu entendimento pode-
se dar com o axioma 7, que pode ser interpretado como "coisas" que se ajustam
umas sobre as outras, sem se deformar. Tradicionalmente é interpretado como
uma justificativa de um princípio de superposição, não mencionado por
Euclides. Este axioma aparece também na proposição 8 – caso LLL de
congruência, e na proposição 26 - casos ALA e LAAo.
A seguir, as proposições e demonstrações dos casos de congruência de
triângulos desenvolvidos na obra de Euclides.
1º caso de congruência de triângulos (LAL) - proposição 4
Se dois triângulos têm dois lados iguais a outros dois lados respectivamente,
e se os ângulos compreendidos por esses lados forem também iguais, então,
os lados restantes são iguais e os ângulos que são opostos aos lados iguais,
também são iguais
.
28
Fig. 7a Fig. 7b
Demonstração: Sejam ABC e DEF dois triângulos com os dois lados AB e
AC iguais aos dois lados DE e DF respectivamente, isto é, AB é igual a DE e
AC é igual a DF, e o ângulo BAC igual ao ângulo EDF.
Digo que a base BC também é igual à base EF, o triângulo ABC é igual ao
triângulo DEF, e os outros ângulos são iguais aos outros ângulos
respectivamente, isto é, os que ficam opostos a lados iguais, ou seja, o
ângulo ABC é igual ao ângulo DEF e o ângulo ACB é igual ao ângulo DFE.
Se o triângulo ABC é posto sobre o triângulo DEF e se o ponto A é posto
sobre o ponto D e as linhas retas AB sobre a DE então o ponto B também
coincide com E porque AB é igual a DE. De novo, coincidindo AB com DE, a
linha reta AC também coincide com DF porque o ângulo BAC é igual ao
ângulo EDF. Assim, o ponto C também coincide com F porque AC é igual a
DF. Mas B também coincide com E, logo a base BC coincide com a base
EF e, portanto são iguais. Assim, todo o triângulo ABC coincide com todo o
triângulo DEF e, portanto são iguais. E os outros ângulos também coincidem
com os outros ângulos logo são iguais, o ângulo ABC é igual ao ângulo DEF
e o ângulo ACB é igual ao ângulo ao ângulo DFE. Assim, se dois triângulos
têm dois lados iguais a dois lados respectivamente, e se os ângulos
compreendidos por esses lados forem também iguais então os lados
restantes são iguais e os ângulos que são opostos aos lados iguais são
também iguais.
O caso de congruência LAL é assumido por Euclides como sendo uma
proposição (teorema) e é justificado usando a superposição através do termo
"posto sobre", empregado no sentido de encaixar, transladar ou aplicar uma
figura sobre a outra. Essa utilização fez com que outros matemáticos tecessem
outras considerações a respeito dessa proposição, porque Euclides supôs,
implicitamente, o movimento das figuras geométricas sem alteração de sua
forma e tamanho, mas não mencionou anteriormente a essa o método de
superposição.
29
2º caso de congruência de triângulos (LLL) - proposição 8
Se dois triângulos têm dois lados iguais a dois lados respectivamente, e
bases também iguais, então também os ângulos formados pelas linhas retas
iguais são iguais.
Fig. 8a Fig. 8b
Demonstração: Sejam ABC e DEF dois triângulos com os dois lados AB e
AC iguais aos dois lados DE e DF respectivamente, isto é, AB é igual a DE e
AC é igual a DF, e também com a base BC igual à base EF.
Digo que o ângulo BAC também é igual ao ângulo EDF. Se o triângulo ABC é
posto sobre o triângulo DEF, e o ponto B é posto sobre o ponto E e a linha
reta BC sobre EF, então o ponto C coincide com F porque BC é igual a EF.
Assim, coincidindo BC com EF, as duas linhas retas BA e AC também
coincidem com ED e DF. E, se a base BC coincide com a base EF, e os
lados BA e AC não coincidem com ED e DF, mas caem ao lado destas em
EG e GF, então dadas duas linhas retas construídas sobre uma linha reta e
coincidentes num ponto, foram construídas na mesma linha reta, e no mesmo
lado desta, duas outras linhas retas coincidentes em outro ponto e iguais às
duas formadas respectivamente, isto é, as que têm as mesmas
extremidades. Mas estas não podem ser construídas. Portanto não é
possível que, se a base BC coincide com a base EF, os lados BA e AC não
coincidam com ED e DF. Logo, eles coincidem e o ângulo BAC coincide com
o ângulo EDF e é igual a ele. Assim, se dois triângulos têm dois lados iguais
a dois lados respectivamente, e as bases também são iguais, então os
ângulos formados pelas linhas retas também são iguais.
Esta proposição também utiliza a superposição de figuras como critério
de congruência; utiliza o axioma 7 para mostrar que vértices e lados são
ajustados; utiliza também a proposição 4, do lado AB congruente a ED e AC
congruente a DF dos triângulos ABC e EDF, o ângulo BÂC também é
congruente a E
∧
D
F. A seguir, a proposição 26:
30
Se dois triângulos têm dois ângulos iguais a dois ângulos respectivamente, e
um lado igual a outro lado, quer estes lados sejam adjacentes ou opostos a
ângulos iguais, então, os outros dois lados dos triângulos são iguais e o outro
ângulo é igual ao outro ângulo.
Fig. 9a Fig. 9b
Esta proposição apresenta duas hipóteses. A primeira, relativa ao caso
ALA, que tem um lado conhecido entre dois ângulos, e a segunda, o caso LAAo,
que apresenta um lado conhecido oposto a um dos ângulos.
3º caso de congruência de triângulos (ALA) - proposição 26
Sejam ABC e DEF dois triângulos que tenham os dois ângulos ABC e BCA
iguais aos dois ângulos DEF e EFD respectivamente, isto é, o ângulo ABC
igual ao ângulo DEF e o ângulo BCA igual ao ângulo EFD, e tenham também
um lado igual a outro lado e sejam estes lados em primeiro lugar adjacentes
aos ângulos iguais, isto é, BC igual a EF. (Fig.9a e Fig 9b)
Digo que os outros lados são iguais aos outros lados respectivamente, isto é,
AB é igual a DE e AC é igual a DF, e o outro ângulo é igual ao outro ângulo,
isto é, o ângulo BAC é igual ao ângulo EDF.
Se AB não é igual a DE, então um deles é maior.
Seja AB o maior. Faça-se BG igual a DE e desenhe-se GC. Como BG é igual
a DE, e BC é igual a EF, os dois lados GB e BC são iguais aos dois lados DE
e EF respectivamente, e o ângulo GBC é igual ao ângulo DEF, logo a base
GC é igual à base DF, o triângulo GBC é igual ao triângulo DEF, e os outros
ângulos são iguais aos outros ângulos, isto é, os opostos aos lados iguais.
Portanto o ângulo GCB é igual ao ângulo DFE. Mas o ângulo DFE é igual ao
ângulo ACB por hipótese. Logo o ângulo BCG é igual ao ângulo BCA, o
menor é igual ao maior, o que é impossível. Então AB não é desigual a DE e,
portanto é igual. Mas BC também é igual a EF. Portanto os dois lados AB e
BC são iguais aos dois lados DE e EF respectivamente, e o ângulo ABC é
Ax..3
Post. 1
31
igual ao ângulo DEF. Assim, a base AC é igual à base DF e o outro ângulo
BAC é igual ao outro ângulo EDF.
O caso ALA é demonstrado usando-se a proposição 4 e por absurdo.
4º caso de congruência de triângulos (LAAo) - proposição 26
Sejam agora iguais os lados opostos a ângulos iguais, tal que AB seja igual a
DE (Fig.9a e Fig 9b).
Digo de novo que os outros lados são iguais aos outros lados, isto é, AC é
igual a DF e BC é igual a EF, e além disso o outro ângulo BAC é igual ao
outro ângulo EDF.
Se BC é desigual a EF, então um deles é maior.
Seja BC o maior, se possível. Faça-se BH igual a EF e desenhe-se AH.
Como BH é igual a EF, e AB é igual a DE, os dois lados AB e BH são iguais
aos dois lados DE e EF respectivamente, e têm ângulos iguais, logo a base
AH é igual à base DF, o triângulo ABH é igual ao triângulo DEF, e os outros
ângulos são iguais aos outros ângulos, isto é, os opostos aos lados iguais.
Então o ângulo BHA é igual ao ângulo EFD.
Mas o ângulo EFD é igual ao ângulo BCA, logo no triângulo AHC, o ângulo
externo BHA é igual ao ângulo interno oposto BCA, o que é impossível. Então
BC não é desigual a EF, e logo é igual.
Mas AB também é igual a DE. Então os dois lados AB e BC são iguais aos
dois lados DE e EF respectivamente, e têm ângulos iguais. Portanto a base
AC é igual à base DF, o triângulo ABC é igual ao triângulo DEF, e o outro
ângulo BAC é igual ao outro ângulo EDF.
Dessa forma, se um triângulo tem dois ângulos iguais a dois ângulos do
outro triângulo, respectivamente, e um lado igual ao do outro, quer este lado ser
adjacente ou oposto a ângulos iguais, então, os outros dois lados dos triângulos
são iguais e o ângulo remanescente é igual ao outro ângulo.
As proposições dos casos de congruência de triângulos foram utilizadas
ao longo do livro 1 e demais livros dos Elementos de Euclides. A estrutura do
livro I de Euclides foi bem retratada por Vitrac (2001), no livro "Os Elementos de
Euclides". Nesse livro, Vitrac (2001, p.514) apresenta na forma de tabela, as
proposições e suas recorrências utilizadas por Euclides. Neste trabalho, são
Prop.3
Post. 1
Prop.4
Prop.4
Ax.1
Prop.16
32
destacadas em negrito, as proposições que recorrem às proposições dos casos
de congruência.
Proposição Definição Postulado
A
xioma Proposição utilizada
1
15,2 1,3 1
2
15,2 1,2,3 1,3 1
3
15 3 1 2
4 7, 9
5
1,2 3 3
4
6
1 8 3
4
7
1 8
5
8
7
7
9
20 1
1 3 8
10
20
1 4 9
11
10,2 1
1 2 3 8
12
10,15 1,3
8 1
13
10 1,2
11
14
2,4 1,2,3,8
13
15
4 1,2,3
13
16
1,2 8
2 3 4 10 15
17
2 4
13 16
18
1 8
3 5 16
19
5 18
20
1,2 8
2 5 19
21
2 4
16 2
22
15 1,3 1
2 3 20
23
1
8 22
24
1 1,8
2 4 5 19 23
25
4 24
26
1 1,8
3 4 16
27
23 2
16
28
4 1,2,3
13 15 27
29
23 2,5 1,2,4
13 15
30
1
27 29
31
1,2
23 27
32
2 1,2
13 29 31
33
1
4 27 29
34
1 2
4 26 29
35
1,2,3
4 29 34
36
1 1
33 34 35
37
2 6
31 34 35
38
2 6
31 34 36
39
1 1,8
31 37
40
1 1,8
31 38
41
1 1,2
34 37
42
1 1,2
10 23 31 38 41
43
1 2,3
34
44
1,2,5 1,8
15 29 30 31 42 43
45
1 1,2
14 29 30 33 34 42 44
46
22 4 1,3
2 3 11 29 31 34
47
1,4 1,2,5
4 14 30 31 41 46
48
1 1,2
2 3 8 11 47
Tabela 2 – Distribuição de axiomas, postulados e proposições organizadas por Vitrac
Esta tabela deixa evidente a importância e a ampla utilização da
proposição 4, caso LAL de congruência de triângulos. Esta proposição é
utilizada no desencadeamento lógico de proposições que a sucedem de forma
33
direta, como por exemplo, as proposições 15 e 34, ou indiretamente, como por
exemplo, as proposições 28 que utiliza a 15, ou a 37 que utiliza a 34. O mesmo
ocorre com a proposição 8 do caso LLL. E, a proposição 26, caso ALA ou LAAo
é utilizada a partir da proposição 34. De fato, Ávila (2001) ressalta que:
O aspecto mais importante dos Elementos é essa organização dos
fatos, num admirável encadeamento lógico-dedutivo em que um
reduzido número de proposições e definições iniciais são o bastante
para se demonstrar, uns após outros, todos os teoremas considerados.
Historicamente, os Elementos são a primeira corporificação desse
método axiomático.(AVILA, 2001,RPM, p.5)
Estudar a congruência de figuras, em especial a congruência de
triângulos, envolve tanto a questão de aprendizagem, no que diz respeito aos
domínios de aspectos concretos e dedutivos, como também o preparo para um
estudo axiomático do sistema euclidiano. O estudo pode ser ampliado para o
sistema não-euclidiano.
2.2. CLAIRAUT (1713 – 1765)
Muitos autores tentaram revisar a obra de Euclides, porém, Clairaut
publicou, pela primeira vez em 1741, uma geometria fora dos padrões de "Os
Elementos". Não apresentou axiomas ou postulados, mas proposições
dispostas ordenadamente. Esta pesquisa analisou a edição traduzida por João
Feliciano, de 1909.
Clairaut é conhecido como anti-Euclidiano. Ao ler o prefácio de sua obra,
"Elementos de Geometria", nota-se semelhança às propostas de ensino nos
dias atuais, algo que se assemelha com a organização local, estimular a
investigação e descoberta, representações e construções, uso da observação. A
evolução das proposições ocorre utilizando-se proposições anteriores ou provas
evidentes, sem o rigor da obra de Euclides, mas em linguagem natural, mais
acessível ao aluno. Sua proposta foi de retomar a origem da geometria, a
geometria natural, isto é, a medida de terrenos. Já na primeira parte do livro
Clairaut (1909), propõe problemas envolvendo medidas de distâncias e
34
comprimentos entre pontos. No caso da congruência de triângulos, Clairaut
(1909) utiliza o termo igual e semelhante para descrever os casos LLL, LAL e
ALA de congruência.
Propõe o seguinte problema de medida de terreno, utilizando a
triangulação de polígonos:
Suponhamos que seja ABCDE (Fig. 10), a figura de um campo, de um
quintal, etc cuja medida se queira conhecer. Pelo que vimos, fora preciso
decompor primeiro ABCDE em triângulos, como ABC, ACD, ADE, e em
seguida medir estes triângulos, depois de ter baixado perpendiculares EF,
CH, BG. Mas suponhamos que no espaço ABCDE encontramos algum
obstáculo, por exemplo, uma elevação, um bosque, um tanque, etc, que nos
impeça de traçar as linhas de que tivemos necessidade. Que faremos então?
Que método será preciso seguir para obviar ao inconveniente do terreno?.
Fig. 10
Para responder as questões, o autor sugere que se encontre um terreno
livre, que se possa descrever sobre esse terreno triângulos congruentes aos do
terreno original. A resolução proposta por Clairaut (1909) ocorre por
construção, na proposição XXVI da 1ª parte do livro, que possibilitando a
relação ao caso LLL. Assim, tomando o triângulo ABC que tem um obstáculo
impedindo a medição direta do terreno, Clairaut representa (Fig.11 e Fig. 12) e
descreve:
Fig. 11
Fig.12
35
Supondo que o obstáculo encontra-se no triângulo ABC, cujos lados são
conhecidos. Querendo traçar sobre o terreno escolhido um triângulo igual e
semelhante a ABC, descrevemos antes de tudo uma linha DE, igual ao
lados AB (figuras 11 e 12) e depois tomando uma corda do comprimento
BC, fixamos uma de suas extremidades em E e descrevemos o arco IFG,
que terá a corda como raio. Tomando uma outra corda igual a AC e ligando
uma de suas pontas em D, traçamos o arco FKFH, que cortará o primeiro
no ponto F. Traçando então as linhas DF FE, teremos um triângulo DEF
igual e semelhante ao triângulo proposto ABC. E isso é evidente, porquanto
os lados DF e EF, que se unem no ponto F, sendo respectivamente iguais
aos lados AC e BC, unidos no ponto C, e a base DE sendo tomada igual a
AB, não seria possível que a posição das linhas DF e EF sobre DE fosse
diferente da posição das linhas AC e BC sobre AB. Verdade é que se
poderiam tomar as linhas Df e EF abaixo de DE; mas o triângulo seria
ainda o mesmo, estando porém invertido.
Clairaut, na 1ª parte de seu livro, item XXVII, apresenta a necessidade de
haver um ângulo entre dois lados de um triângulo para determinar outro
triângulo congruente – caso LAL. Descrevemos, a seguir, a proposição XXVII.
Se pudéssemos medir somente dois dos três lados de um triângulo ABC,
os dois lados AB e BC, por exemplo, está claro que com isto só não
poderíamos determinar um segundo triângulo igual e semelhante a ABC.
Portanto, ainda que se tomasse o lado DE igual a BC e DF igual a AB não
saberíamos que posição das a este relativamente ao outro.
Fig.13a
Fig.13b
Para superar essa dificuldade, é simples o recurso que se apresenta: faz-
se que DF tenha sobre DE a mesma inclinação que AB tem sobre BC; ou
para falar como os geômetras, dá-se ao ângulo FDE a mesma abertura que
tem o ângulo ABC.
Para fazer esta operação, toma-se um instrumento como abc, composto de
duas réguas que possam girar em torno de b, e colam-se esta régua sobre
36
os lados AB e BC. Fazem elas assim o mesmo ângulo que os lados AB e
BC. Pondo depois a régua bc sobre a base DE, de modo que o centro b
corresponda ao ponto D e a abertura do instrumento seja sempre a
mesma, a régua ab dará a posição da linha DF, a qual fará com a linha DE
o ângulo FDE igual ao ângulo ABC. Ora, a linha DF tendo sido tomada com
o comprimento de AB, bastará somente traçar por F e por E a reta FE para
ter o triângulo FED, inteiramente igual e semelhante ao triângulo ABC.
É simples essa prática e supõe este principio evidente: Um triângulo é
determinado pelo comprimento de dois de seus lados e por sua
abertura; ou o que dá no mesmo, um triângulo é igual a outro quando
dois de seus lados são respectivamente iguais e é igual o ângulo
entre eles compreendido.
No caso LAL, a justificativa ocorre por evidência e construção em
linguagem acessível ao aluno. Utiliza instrumento para auxiliar nas construções.
O caso ALA corresponde à proposição XXX conforme descrito a seguir:
Quando quisermos fazer o triângulo FDE igual ao triângulo ABC, e for
possível medir um só lado BC, por exemplo, podemos recorrer aos
ângulos ABC e ACB. Tendo tomado DE igual a BC, colocamos as
linhas FD e FE de modo que façam com DE os mesmos ângulos que
AB e AC fazem com BC. Então pelo encontro destas duas linhas,
temos o triângulo FDE igual e semelhante ao triângulo ABC. O
princípio que esta operação supõe é tão simples, que por inútil
demonstrá-lo.
O caso LAAo não é explicitado no livro de Clairaut, mas pode-se recorrer
à proposição XXX, usando, por exemplo, os ângulos ABC e BAC. A justificativa
também é por construção e evidência.
2.3. LEGENDRE (1752 – 1833)
Legendre foi professor na École Militaire de Paris. Em 1794 publica
Éléments de Géométrie – uma geometria que satisfaz ao espírito.
A obra de Legendre foi escrita para uso escolar e acadêmico, com as
primeiras publicações bem sucedidas, ainda em vida do autor, 20 edições foram
37
publicadas. O aprimoramento pedagógico dos Elementos de Euclides dado por
Legendre foi amplamente difundido nos EUA e no Brasil.
Legendre atualiza e simplifica as proposições de Os Elementos de
Euclides. Utiliza 26 definições, algumas destas citadas no quadro comparativo.
Quadro 1: Comparativo Euclides e Legendre
Euclides Legendre
• Um ponto é o que não tem
partes.
• Um ponto é o lugar em que duas
linhas se cortam.
• Uma linha reta é uma linha que
assenta igualmente entre as
suas extremidades.
• Uma linha reta é uma linha indefinida
que assinala a mais curta distância
entre quaisquer dois dos seus
pontos.
• Uma superfície é o que tem
apenas comprimento e largura
• A superfície de um corpo é o limite
que o separa do espaço adjacente.
• Uma superfície plana é uma
superfície sobre a qual assenta
toda a linha reta entre dois
pontos quaisquer da superfície.
• O plano é uma superfície tal que,
tomando nela dois pontos à vontade
e unindo-os por uma reta, esta linha
fica toda situada na superfície.
O axioma 7 que Euclides utilizou na demonstração da proposição 4,
referente ao primeiro caso de congruência, "coisas que coincidem umas com
outras são iguais entre si", foi considerado por Legendre como sendo a
definição XXVI, "duas figuras quaisquer, volumes, superfícies ou linhas,
são iguais quando podemos aplicá-las uma sobre a outra de modo que
coincidam perfeitamente".
Legendre acrescenta o termo "aplicar" para coincidir. Também é saliente
a apresentação de uma explicação de termos como axioma, postulado, e sinais
utilizados na obra. Por exemplo:
Axioma é uma proposição evidente por si mesma.
Teorema é uma verdade que se torna evidente por meio de um
raciocínio chamado demonstração.
Lema é uma verdade empregada subsidiariamente para a
demonstração de um teorema ou para a solução de um problema
(questão proposta que exige uma solução).
Nome comum de preposição atribui-se indiferentemente aos teoremas,
lemas e problemas.
Corolário é a conseqüência de uma ou mais proposições.
Sinais das operações que comumente usamos. (+, -, x, ( )).
A forma como Legendre tratou o assunto congruência é descrito a seguir:
38
1º caso de congruência de triângulos (LAL) - Teorema VIII
Dois triângulos são iguais, quando têm um ângulo igual compreendido por
dois lados iguais cada um a cada um (Fig. 14a e Fig 14b).
Fig.14a Fig. 14b
Seja o ângulo A igual ao ângulo D, o lado AB igual a DE, o lado AC igual a
DF: digo que os triângulos ABC, DEF são iguais.
Com efeito, esses triângulos podem ser colocados um sobre o outro, de
modo que coincidam perfeitamente. E em primeiro lugar, se colocarmos o
lado DE sobre o seu igual AB, o ponto D cairá em A e o ponto E em B; porém
sendo o ângulo D igual ao ângulo A, quando o lado DE estiver colocado
sobre AB, o lado DF tomará a direção AC. Demais DF, é igual a AC: logo, o
ponto F cairá em C, e o terceiro lado EF ajusta-se exatamente com o terceiro
lado BC: por conseguinte, o triângulo DEF é igual ao triângulo ABC.
Corolário: Desde que em dois triângulos três partes são iguais: ângulo A=D,
lado AB=DE, lado AC=DF, podemos concluir que também são iguais as
outras três partes:ângulo B=E, ângulo C=F, lado BC=EF.
Legendre utiliza as palavras coincidência e ajusta-se, para indicar a
congruência de triângulos e de lados de triângulos. Enuncia o corolário que
estabelece a condição mínima de congruência do caso LAL.
2º caso de congruência de triângulos (ALA) - Teorema IX
"Dois triângulos são iguais quando têm um lado igual adjacente a dois
ângulos iguais, cada um a cada um".
Fig. 15a Fig 15b
39
Seja o lado BC igual a EF, o ângulo B igual ao ângulo E, e o ângulo C igual
ao ângulo F: digo que o triângulo DEF é igual ao triângulo ABC. Para efetuar
a superposição, coloque EF sobre o seu igual BC: ponto E cairá em B, e o
ponto F em C. Por ser o ângulo E igual ao ângulo B, e o lado ED tomará a
direção BA; e assim, o ponto D há de achar-se em algum ponto da linha BA.
Semelhantemente, por sr o ângulo F igual ao ângulo C, a linha FD tomará a
direção CA, e o ponto D se achará sobre algum ponto do lado CA: logo o
ponto D, que deve achar-se ao mesmo tempo sobre as duas linhas BA, CA,
cairá sobre a interseção A: portanto, os dois triângulos ABC, DEF, coincidem
um com o outro, e são perfeitamente iguais.
Corolário: Desde que em dois triângulos são iguais três partes a saber:
BC=EF, B=E, C=F, podemos concluir que também são iguais as outras
partes, a saber: AB=DE, AC=DF, A=D.
No 2º caso de congruência, Legendre utiliza o termo "superposição" no
lugar da descrição em que dois triângulos podem ser colocados um sobre o
outro, de modo que coincidam perfeitamente. Utiliza também a definição XXVI.
3º caso de congruência de triângulos (LLL) - Teorema XI
Dois triângulos são iguais, quando têm os três lados iguais cada um a cada
um (Fig. 16a e Fig. 16b).
Fig. 16a Fig 16b
Seja o lado AB=DE, AC=DF, BC=EF: digo que se terá o ângulo A=D, B=E,
C=F. Porque, se o ângulo A fosse maior que o ângulo D, sendo os lados AB,
AC, iguais aos lados DE, DFF, cada um a cada um, seguir-se-á (pelo
teorema precedente) que o lado BC é maior que EF; e se o ângulo A fosse
menor que o ângulo , seguir-se-á que o lado BC é menor do que EF: ora, BC
é igual a EF: logo, o ângulo A não pode ser maior nem menor que o ângulo
D; e pois, é igual a ele. Provar-se-á de modo análogo que o ângulo B=E, e
que o ângulo C=F.
Escólio: É fácil ver que os ângulos iguais ficam opostos aos lados iguais,
assim, os ângulos iguais A e D ficam opostos aos lados BC e EF.
40
Legendre utiliza a proposição anterior X para demonstrar a proposição XI.
O caso LAAo não é explorado por Legendre.
2.4. HADAMARD (1865 – 1963)
Um outro matemático a influenciar bastante o ensino da matemática foi
Hadamard. Na sua obra "Leçons de Géométrie Élémentaire" (1937), introduz
definições de figuras iguais como sendo,
Uma figura qualquer pode ser transportada de uma infinidade de
maneiras no espaço sem deformação, como os corpos sólidos usuais.
Nomeiam-se duas figuras iguais quando uma pode ser transportada
sobre a outra, de maneira a fazer coincidir, exatamente, todas as
partes, ou seja, duas figuras formam uma mesma figura, em dois
lugares diferentes. Uma figura à qual se faz sofrer apenas
deslocamento sem deformá-la é dita figura invariável (Hadamard,
1937, p.3).
Os casos de congruência de triângulos são apresentados como
proposições que exprimem as condições necessárias e suficientes para que
dois triângulos sejam congruentes, de acordo com a definição introduzida por
Hadamard (1937).
1º caso – ALA: Dois triângulos são iguais, se eles têm-se um lado igual
compreendido entre dois ângulos iguais respectivamente.
Sejam dois triângulos ABC e A'B'C' (Fig. 17a e Fig. 17b) nos quais
BC=B'C';
∧∧∧∧
== ';' CCBB .
Fig. 17a Fig 17b
Transporta o ângulo
'
∧
B
sobre o seu igual
∧
B
, o lado B'A' toma a direção
BA e B'C' a direção BC. Como B'C' = BC, o ponto C' vem em C e, dado que
∧∧
= CC'
, o lado C'A' toma a direção CA. A partir do ponto A', interseção de
41
B'A' e de C'A', vem necessariamente à interseção de BA e CA, ou seja, em
A. A coincidência, pos conseguinte, é estabelecida.
2º caso – LAL: Dois triângulos são iguais, se tem um ângulo igual
compreendido entre dois ângulos iguais respectivamente.
Sejam dois triângulos ABC e A'B'C' nos quais AB=A'B';
∧∧
= 'AA ; AC = A'C.
Transporta o ângulo
'
∧
A sobre o seu igual
∧
A
, o lado B'A' toma a direção
BA e A'C' a direção AC. Como B'A' = BA, o ponto B' vem em B, do mesmo
modo o ponto C' vem em C. B'C' coincide, por conseguinte, com BC e a
superposição está completa.
3º caso – LLL: Dois triângulos são iguais, se têm os três lados iguais,
respectivamente.
Sejam os triângulos ABC, A'B'C' que têm os três lados iguais
respectivamente.
Fig. 18
Desloque o segundo triângulo de maneira a pôr B'C' sobre o seu igual BC,
os dois triângulos do mesmo lado de BC. Quer BCA1 a nova posição do
triângulo B'C'A'. Digo que o ponto A1 coincide com o ponto A. Torna-se
evidente se a reta B' A' toma a direção BA ou a reta C'A', a direção de CA.
Se não fosse assim, teríamos formado dois triângulos isósceles BAA1,
CAA1 (fig.2.12) e a perpendicular no meio de AA1 deveria passar pelos
pontos B e C (corolário 23), em outros termos confundir-se com o reta BC:
o que inadmissível, dado que BC, que deixa os pontos A e A1, do mesmo
lado, não pode passar pelo meio de AA1. Os pontos A e A1, podem, por
conseguinte, ser apenas confundidos, e os dois triângulos coincidem.
No capítulo VI, intitulado "Sobre o deslocamento das figuras", Hadamard
(1937) apresenta teoremas sobre a rotação, simetria e translação. Ressalta que
a condição necessária e suficiente para que as figuras sejam iguais e de mesma
orientação, como sendo a possibilidade de fazer corresponder cada ponto de
42
uma figura um ponto homólogo ao de uma segunda, de modo que três pontos
quaisquer e os seus homólogos formem triângulos iguais e da mesma
orientação.
A translação é apresentada como uma operação que transforma qualquer
figura numa figura igual e de mesma orientação. Este deslocamento pode ser
considerado como recorrência de um deslizamento da figura no seu plano. Em
seguida nomeia a rotação tal qual um deslocamento em que cada ponto da
figura deslocada gira em redor de certo ponto fixo, chamado centro da rotação.
Uma rotação pode ser obtida por um deslize da figura no seu plano, dado que,
pode-se supor que o ângulo de rotação varia continuamente, desde zero até ao
valor que deve tomar finalmente. Neste movimento, cada ponto descreve um
arco de círculo que tem por centro o centro da rotação. Estes diferentes arcos
correspondem a ângulos de mesmo centro; são, com as circunferências das
quais fazem respectivamente parte, uma mesma composição. Introduz a
simetria com o lema do teorema "duas figuras iguais e do mesmo modo sentido
(significado) podem sempre ser conduzidos de coincidir, quer por uma
translação, quer por uma rotação em redor de um ponto convenientemente
escolhido".
Dessa forma, Hadamard (1937) aprimora a obra de Euclides, pois ao
apresentar o estudo sobre o deslocamento de figuras, diferencia os
deslocamentos em translação, rotação e simetria.
2.5. HILBERT (1862 – 1943)
Até o século XIX, eram fortes o mito de Euclides e a crença de que "os
livros de Euclides continham verdades sobre o universo, claras e indubitáveis.
Partindo de verdades evidentes, por si próprias e procedendo por
demonstrações rigorosas" (Davis & Hersh, 1985, p.366). Por outro lado, havia
aqueles que faziam uma análise mais rigorosa e o interesse em dar consistência
aos postulados e axiomas de Euclides.
Com o desenvolvimento da axiomatização da Álgebra e da Análise e a
descoberta de novas geometrias, o programa formalista, desenvolvido por
Hilbert, reformulou um conjunto de postulados que permitia completar a
axiomatização dos "Elementos" de Euclides, que desde a sua publicação, era
43
questionada com relação às definições e noções comuns, as deficiências
lógicas nas definições e a ausência de um sistema completo de postulados.
Uma das diferenças entre a Geometria de Euclides e as geometrias que a
sucederam está na concepção dos conceitos primitivos. Para os gregos o ponto
e a reta eram idealizações de partículas muito pequenas e fios muito finos, isto
é, idealizações do espaço físico. Hilbert, ao formalizar a geometria, buscou
encontrar um conjunto de postulados que eliminasse suposições implícitas
prejudiciais a axiomática de Euclides.
Em 1899, Hilbert publicou Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da
Geometria) e na introdução escreve:
A presente investigação é um novo ensaio para construir a Geometria
sobre um sistema completo de axiomas, o mais singelo possível,
deduzindo os mais importantes teoremas, de maneira tal, que nesse
processo apareçam com a máxima clareza a interpretação dos
distintos grupos de axiomas e as relações das conseqüências que
isoladamente se derivem de cada um dos elos." (Hilbert,1899, citado
por Hilbert, 1953, p.1)
Hilbert preocupou-se em apresentar uma geometria que eliminasse as
deficiências lógicas encontradas nos Elementos de Euclides, utilizando entes
primitivos e suas relações, e o menor número de axiomas.
Hilbert fundamentou a geometria sobre os conceitos primitivos, que são
os objetos aceitos sem definição: ponto, reta, plano, e as relações entre eles
(relações não definidas): estar entre, congruente, paralelo, continuo.
Entes primitivos ou objetos não definidos são:
• Pontos - indicados por letras latinas: A, B, C, ....
• Retas – indicadas por letras latinas: a, b, c, ...
• Planos – indicados por letras gregas: α, β, γ, ...
Hilbert denominou de grupos de axiomas as descrições das relações
entre os entes primitivos. E estão divididos em cinco grupos:
• Axiomas de incidência – estabelecem as relações entre os entes primitivos
(ponto, reta, plano).
• Axiomas de ordem – este grupo define o conceito "entre" que é a base da
ordenação de pontos sobre uma reta, um plano ou um espaço.
• Axiomas de congruência – definem o conceito de congruência e de movimento.
44
• Axioma das paralelas – sobre o 5º postulado de Euclides.
• Axiomas de continuidade – que definem elemento de separação ente partes
contíguas.
O grupo da congruência é constituído de cinco axiomas definidores do
conceito de congruência e de movimento. Os três primeiros axiomas do grupo
referem-se à congruência de segmentos, o quarto axioma é sobre a
congruência de ângulos e o quinto axioma refere-se à relação entre os
conceitos de congruência de segmentos e congruência de ângulos. Este último
axioma refere-se ao 1º caso de congruência de triângulos, o caso LAL.
O que Euclides menciona implicitamente na proposição 4, sobre o
transporte de uma figura sobre a outra de modo que ocorra o ajustamento entre
elas, Hilbert proporciona a possibilidade desse transporte no axioma 1 de
congruência e demonstra a sua univocidade a partir do transporte de ângulos,
recorrendo ao axioma 5.
A idéia de "todo segmento é congruente consigo mesmo" é deduzido a
partir dos dois primeiros axiomas, e estabelece a simetria e transitividade da
congruência de segmentos.
Para introduzir os axiomas do grupo de axiomas de congruência, Hilbert
(1899) explica que "os segmentos estão entre si em certas relações, cuja
descrição serve a palavra congruente ou igual".
Axioma 1: Se A, B são dois pontos de uma reta a e, além disso, A' é
outro ponto da mesma ou distinta reta a', pode-se encontrar sempre
sobre um dos lados de a', determinados por A', um só ponto B' tal que,
os segmentos AB e A'B' sejam congruentes ou iguais. (AB≡A'B').
Este axioma proporciona a possibilidade de transporte de segmentos, ou
seja, todo segmento pode ser transportado de maneira determinada e unívoca
sobre um lado de uma reta dada a partir de um ponto dado.
Axioma 2: Se dois segmentos A'B' e A''B'' são congruentes do mesmo
segmento AB, também o segmento A'B' é congruente ao segmento A''B''
ou se dois segmentos são congruentes com um terceiro, são
congruentes entre si.
45
Todo segmento é congruente a si mesmo. Este fato, que não é de
imediato inteligível, se deduz com os dois primeiros axiomas de congruência,
transportando o segmento AB sobre qualquer semi-reta, tal como, em A'B'
congruente com AB e aplicando depois o axioma 2 nas congruências AB≡A'B',
AB≡A''B''. Com este fundamento e demais aplicações do axioma 2, resultam a
simetria e a transitividade da congruência de segmentos; isto é, a validez dos
teoremas:
Se AB≡A'B', tem-se também A'B'≡AB – simétrica.
Se AB≡A'B' e A'B'≡A''B'' se verifica AB≡A''B'' – transitiva.
Como conseqüência da simetria na congruência de segmentos, pode-se
expressar deste modo: Os segmentos são congruentes entre si – reflexão. Em
termos atuais, é possível afirmar que a congruência é uma relação reflexiva,
simétrica e transitiva entre segmentos.
Axioma 3: Sejam AB e BC dois segmentos da reta a sem pontos comuns
e, por outra parte, A'B' e B'C' dois segmentos sobre a mesma reta a ou
sobre outra distinta a', mas, em todo caso, sem pontos comuns: se AB≡A'B'
e BC≡B'C' sempre se verifica AC≡ A'C'.
Este axioma expressa a adicionabilidade de segmento. Pode-se associar
este axioma à noção comum de Euclides, "se coisas iguais se agregam a coisas
iguais, os totais são iguais".
No axioma 4, Hilbert (1899) explica que os ângulos estão em certas
relações entre si que para designá-los serve a palavra congruente ou igual. O
transporte de ângulos é tratado do mesmo modo que se trata o transporte de
segmentos. Define ângulos e os designa com os símbolos: ∠ (h,k) ou ∠(k,h).
Axioma 4: Dados um ângulo ∠ (h,k) em um plano α, uma reta a' em um
plano α' e uma das regiões de α' determinados por a'; representemos por h'
uma semi-reta de a' que parte de O'. Existe, então, no plano α' um e
somente um k', tal que, o ângulo ∠ (h,k) é congruente ou igual a ∠ (h',k') e,
por sua vez, todos os pontos inteiros do ângulo ∠ (h',k') estão situados na
região dada com relação a a'. Simbolicamente: ∠ (h,k) ≡∠ (h',k'). E todo
ângulo é congruente a si mesmo.
Todo ângulo de um plano pode ser transportado de maneira unívoca de um
lado e uma semi-reta dada.
46
Axioma 5: Se dois triângulos ABC e A'B'C' verificam as congruências:
AB
≡A'B', AC ≡A'C', ∠BAC≡B'A'C' também se dá por satisfeita a
congruência ∠ABC≡∠A'B'C' e ∠ACB≡∠A'C'B' (Fig. 19a e Fig. 19b).
Fig. 19a Fig. 19b
Este axioma introduz os casos de congruência de triângulos. Além disso,
com este axioma e os axiomas 2 e 3 Hilbert (1899) demonstrou que o transporte
de segmentos é unívoco. Supôs que o segmento AB se transporte de duas
maneiras distintas sobre a semi-reta de origem em A', chegando até B' e B".
Exigiu um ponto C' fora da reta A'B', obtendo as congruências:
''"'''
''''
"'''
CABCAB
CACA
BABA
≡∠
≡
≡
Fig. 20
Logo, pelo axioma 5,
"''''' BCABCA
∠
≡
∠
, que está em contradição com a
univocidade do transporte de ângulo exigido pelo axioma 4. Dessa forma, com o
conjunto de axiomas do grupo da congruência, fica esclarecido com mais rigor,
a congruência e transporte de segmentos, ângulos e conseqüentemente, de
figuras, proposto anteriormente por Euclides.
Os casos de congruência de triângulos aparecem a partir do teorema 12.
Hilbert (1899) retoma os triângulos do axioma 5 e demonstra que o lado BC é
congruente ao lado B'C' e o apresenta como sendo o 1º caso de congruência
de triângulos. Atualmente, considera-se como sendo o caso LAL a união do
axioma 5 e do teorema 12, em um único postulado.
47
1º caso de congruência de triângulos é dado pelo Teorema 12:
Um triângulo ABC é congruente a um triângulo A'B'C' no caso de que sejam
válidas as congruências: AB≡A'B', AC≡ A'C', ∠A≡∠A' (Fig. 21a e Fig 21b).
Fig. 21a Fig. 21b
Demonstração: Segundo o axioma 5, as congruências ∠B≡∠B' e ∠C≡∠C' se
verificam e, portanto, é necessário unicamente provar que BC e B'C' são
congruentes.
Admitamos, por absurdo, que BC e B'C' não são congruentes e
determinemos sobre B'C' um ponto D' tal que BC ≡ B'D'. Então, nos triângulos
ABC e A'B'D' coincidem dois lados e o ângulo compreendido, conforme o
axioma 5 aplicável nos triângulos ABC e A'B'D' se tem ∠BAC≡∠B'A'D' e
seriam assim congruentes os ângulos ∠BAC, ∠B'A'D' e ∠B'A'C', o que não é
possível, pois o axioma 4 estabelece que um ângulo qualquer só pode ser
transladado de uma só maneira em uma semi-reta dada, em uma região
dada no plano. Com isso se dá a demonstração de que os triângulos ABC e
A'B'C' são congruentes.
Este teorema utiliza os axiomas 4 e 5 de congruência, sendo que a
demonstração ocorreu por absurdo ao supor que BC e B'C' não são
congruentes. Na seqüência, o ponto D' é determinado sobre B'C' tal que BC
≡
B'D'. Com a utilização do axioma 4, chega-se à conclusão da falsidade da
suposição feita anteriormente.
2º caso de congruência de triângulos é dado pelo teorema 13: ALA
Um triângulo ABC é congruente com um triângulo A'B'C', no caso de que
sejam válidas as congruências: AB≡A'B', ∠A≡∠A', ∠B∠B'.
48
Fig. 22
3º caso de congruência de triângulos á dado pelo teorema 18: LLL
Se em dois triângulos ABC e A'B'C' os lados correspondentes são
congruentes, os triângulos são congruentes.
Fig. 23
Para a demonstração, utiliza o teorema sobre a simetria da congruência de
segmentos, para provar que os triângulos ABC e A'B'C' são congruentes.
4º caso de congruência de triângulos á dado pelo teorema 25: LAAo
Dois triângulos ABC e A'B'C'são congruentes, no caso de satisfazer as
congruências: AB≡A'B', ∠A≡∠A', ∠C∠C'.
Fig. 24a Fig. 24b
O 4º caso é conseqüência do teorema do ângulo externo.
49
2.6. BIRKHOFF (1884 – 1944)
Em 1930, Birkhoff apresentou um sistema axiomático da geometria
euclidiana diferente do sistema de axioma de Hilbert. Centralizou seu sistema
nos números reais, para fundamentar a geometria, e utilizou as idéias
fundamentais de congruência para segmentos. Separação para pontos sobre
uma reta, e congruência para ângulos, que se definem em termos de distância
e medida angular do seguinte modo:
1. A-B-C significa, por definição, que A, B e C são pontos diferentes de
uma mesma reta e AB+BC=AC.
2.
AB se define como a união de A, B e todos os pontos entre A e B.
3.
AB ≅ CD significa, por definição, que AB=CD
4.
∠ A ≅ ∠ B significa, por definição, que m
∠
A=m
∠
B.
Com este esquema, quase todas as propriedades básicas de separação
e congruência para segmentos e ângulos, podem se demonstrar como teorema,
a única exceção foi o postulado LAL.
O presente estudo se baseia em Moise (1963) que utilizou e difundiu a
estrutura da Geometria de Birkhoff em seu livro "Geometria elementar desde um
ponto de vista avançado".
Quadro 2 – Enfoques métrico e sintético
O enfoque sintético diz respeito à Geometria de Euclides/Hilbert, cuja
estrutura é composta por ponto, reta e plano (S, L, P), uma relação de separação
(B), e uma relação indefinida de congruência para segmentos e ângulos (
≅
). A
Enfoque sintético métrico Enfoque sintético não métrico
Estrutura dada
[S, L, P, d, m] [S, L, P, B,
≅
]
Distância Dada na estrutura Nunca se menciona
Medida para ângulos Dada na estrutura Nunca se menciona
Congruência para
segmentos
Definida em termos de
distância
Dada na estrutura
Congruência para
ângulos
Definida em termos de
distância angular
Dada na estrutura
Propriedades de
congruência
Enunciadas em teoremas Enunciadas em postulados
Soma Efetuada com números AB
Efetuada com classes de
congruência
][
__
AB
Desigualdades
Definidas entre números
AB<CD
Efetuada com classes de
congruência
][][
____
CDAB <
50
distância e a medida dos ângulos não são mencionadas, por exemplo, no
postulado de soma de segmentos, aparecem como classe de congruência: se
A-B-C, A'B'C',
''
B
A
A
B ≅
e ''CBBC ≅ então ''CAAC ≅ . As propriedades de
congruência são enunciadas nos postulados.
No enfoque métrico, a estrutura é composta por ponto, reta, plano,
distância e medida angular - [S, L, P, d, m] e é referente ao sistema proposto por
Birkhoff. Como mostra o quadro, o número aparece na estrutura de Birkhoff, nas
definições e teoremas em termos de distância e medida angular, que o distingue
da estrutura de Euclides. Acrescenta-se que a Geometria de Euclides consiste
em uma geometria com régua e compasso, mas sem números (geometria
sintética). E a de Birkhoff, uma geometria métrica, por apresentar uma
geometria com régua, compasso, mas com números.
O caso LAL é considerado como sendo um postulado. Os demais casos
são demonstrados. As demonstrações dos casos de congruência ALA, LLL,
LAAo estão apresentados a seguir:.
Caso ALA de congruência de triângulos:
Seja dada uma correspondência ALA de forma ABC
↔
DEF, como se
indica na figura a seguir, de maneira que:
Devemos demonstrar que
DEFABC
Δ
≅
Δ
.
Fig. 25a Fig. 25b
Demonstração:
2. AB contém um ponto B' tal que AB'=DE – teorema de localização de
pontos.
3. AB'C
↔ DEF é uma correspondência LAL – passos 1 e 2.
4.
DEFCAB Δ≅Δ '
- postulado LAL.
(1)
∠ A≅
∠
D;
AC=DF;
∠ C≅
∠
F.
51
5.
DFEACB ∠≅∠ ' - ângulos correspondentes.
6. CB' = CB – postulado da construção de um ângulo.
7. B' = B – duas retas diferentes se intersectam em um ponto.
8.
DEFABC Δ≅Δ
- passos 4 e 7.
Caso LLL de congruência de triângulos:
Este caso é demonstrado utilizando o teorema do triângulo isósceles.
Fig. 26a Fig. 26b
1. AB=DE, AC=DF, BBC=EEF – dados.
2. Há um ponto G do lado oposto de AC em B, tal que
∠ CAG≅
∠
D – postulado da construção do ângulo.
3. Há um ponto H de AG tal que AH=DE – postulado da localização
do ponto.
4. AHC
↔ DEF é uma correspondência LAL– passos 1, 2 e 3.
5.
Δ AHC
≅
Δ
DEF – LAL
6.
AHBAB
H
∠
≅
∠ e CHBHBC
∠
≅
∠
- teorema do triângulo
isósceles.
7.
AHCABC
∠
≅
∠ - postulado da adição de ângulos.
8.
AHCABC ↔ é uma correspondência LAL – passos 1, 5 7.
9.
AHCABC
Δ
≅
Δ - LAL
10.
DEFABC
Δ
≅
Δ - passos 5 e 9.
Caso LAAo de congruência de triângulos:
Definição: Se um par de lados correspondentes são congruentes e dois
pares de ângulos correspondentes são congruentes, então a
correspondência se chama uma correspondência LAAo
.
52
Dados os triângulos ABC e DEF. Se
∠
A
≅
∠
D,
∠
B≅∠E,
____
DFAC ≅
,
então
DEFABC
Δ
≅Δ
(Fig. 27a e Fig. 27b).
Fig. 27a Fig. 27b
Demonstração: Há somente três possibilidades para AB e DE:
(1) AB=DE;
(2) AB<DE;
(3) AB>DE.
Se o enunciado (1) é válido, então se deduz o teorema, porque, nesse
caso, ABC
↔ DEF é uma correspondência LAL. Demonstraremos que os
enunciados (2) e (3) são impossíveis.
Fig. 28a Fig. 28b
Suponhamos que o enunciado (2) é válido: AB<DE. Seja B' o ponto de AB
tal que AB' = DE. Então,
DEFCAB
Δ
≅
Δ
'
em virtude do postulado LAL.
Portanto
∠ AB'C
≅
∠
DEF e, em conseqüência,
∠
ABC≅∠AB'C. Isso é
impossível, porque o teorema do ângulo externo nos diz que
∠
ABC>∠ AB'C. De forma análoga demonstra-se que o enunciado (3) é
impossível.
2.7. CONGRUÊNCIA E IGUALDADE
Ao estudar a congruência na perspectiva de Euclides, Clairaut, Legendre,
Hadamard, Hilbert e Birkhoff, o vocábulo Congruência surge tardiamente.
Euclides considerou a congruência como sendo uma proposição, enquanto que,
Hilbert considerou como sendo parte de um grupo de axiomas. Em todos esses
estudos as palavras "igualdade", "igual" apareceram em vários momentos,
53
enquanto que as palavras "congruência", "congruente" foram, algumas vezes,
sendo incorporadas e diferenciadas das palavras anteriores, ao longo da
evolução da Geometria, de forma sutil e tácita.
Em Euclides, o termo igual é utilizado para designar de forma intuitiva
que um segmento AB é congruente ao segmento CD. Ele utilizou o termo AB é
igual a CD, após deixar implícito o princípio de superposição. Clairaut utiliza o
termo semelhante e igual para designar a congruência. Uma abordagem de
forma cuidadosa é realizada no estudo de Hilbert (página 46 deste trabalho),
quando apresenta o axioma 2 e acrescenta que, neste axioma, não é inteligível
de imediato que "todo segmento é congruente a si mesmo" – princípio da
identidade.
De acordo com a estrutura de Birkhoff, um exemplo de congruência e de
igualdade é mostrado a seguir.
Teorema: Todo segmento é congruente a si mesmo.
Utiliza-se
B
A ∠≅∠ para indicar que A
∠
e
B
∠
são congruentes.
Utiliza-se
CDAB ≅ para indicar que AB e CD são congruentes.
Assim,
CDAB ≅ significa que AB=CD.
B
A
∠≅∠ significa que BmAm ∠=∠ .
Cada uma das igualdades da direita é uma igualdade entre números.
Cada uma das congruências da esquerda é uma congruência entre figuras geométricas.
Quando se escreve = entre os nomes de figuras geométricas, quer se dizer que as figuras são
exatamente as mesmas.
Exemplo: Na figura, é correto escrever que
EADBAC
∠
=
∠
, porque BAC
∠
e EAD∠ são,
não somente congruentes, senão exatamente o mesmo ângulo. De maneira análoga,
A
B e
B
A são sempre o mesmo segmento e, por isso, é correto escrever, não somente CDAB ≅
senão também
B
A
A
B
=
. Além disso, pode-se dizer que FÂG
≅
BÂC (ângulos opostos pelo
vértice), mas FÂG
≠ BÂC.
Fig. 29
54
Na linguagem dos conjuntos, dizer que os conjuntos A e B são iguais
significa dizer que todo elemento de A é elemento de B e que todo elemento de
B é elemento de A, por exemplo, dados os segmentos CDAB e , com as
seguintes condições:
Sejam
+
ℜ∈kcba ,,, ,
{}
{}
1 com ,43/),(
1 com ,21/),(
=≤≤ℜ∈=
=≤≤ℜ∈=
+
+
yxyxCD
yxyxAB
(Fig. 30).
Fig. 30
CDAB ≠ pois os elementos de CDeAB são diferentes, mas CDeAB têm
medidas iguais: m( AB ) = 1 e m(CD) = 1.
Um tratamento diferente ao da geometria clássica é dado com o estudo
das transformações geométricas, em particular, as transformações isométricas,
que serão apresentadas a seguir.
2.8. CONGRUÊNCIA VIA ISOMETRIAS
Com o desenvolvimento da Álgebra e o surgimento de novas geometrias
como a geometria projetiva, a geometria analítica, as geometrias não-
euclidianas, a Geometria foi estudada sob um ponto de vista algébrico. Essa
nova concepção utiliza a estrutura de grupos
1
e é baseada nas pesquisas de
Felix Klein (1849-1925) e Sophus Lie (1842–1899).
Klein, em 1872, apresentou o Programa de Erlangen na sua primeira aula
na Universidade de Erlangen. Nessa aula, descreveu a geometria como "o
1
Um grupo consiste em um conjunto de elementos quaisquer e um conjunto de operações, obedecendo a um
certo número de leis e regras prefixadas como postulados. Na matemática esses grupos constam,
normalmente, de uma só operação e quatro postulados, que são: 1. o conjunto deve ser fechado com relação
à operação dada; 2. tal operação deve ser associativa; 3. o conjunto deve conter o elemento neutro com
respeito à dada operação; 4. cada elemento do conjunto deve ter um inverso com respeito à operação dada.
55
estudo das propriedades das figuras que permanecem invariantes sob um
particular grupo de transformações" (Boyer, 1974, p.400). Desse modo,
caracterizou e associou cada geometria existente a um grupo de
transformações. Essa nova perspectiva fez com que houvesse grande impulso
na Geometria, e que nos últimos anos tem sido dada ênfase o estudo das
transformações nas escolas.
Para definir, por exemplo, a geometria métrica plana, deve-se considerar:
um conjunto A (plano euclidiano) de pontos e o conjunto das isometrias que
formam um grupo G relativamente à operação de composição de
transformações. Da geometria métrica em A (plano euclidiano) de grupo
principal G (isometrias) entende-se como sendo o conjunto de propriedades de
A (congruência) invariantes para as transformações de G.
O axioma não mencionado por Euclides, sobre as figuras que
permanecem invariantes quando deslocadas no plano, equivale às
transformações de translação, rotação e reflexão de figuras que permanecem
invariantes no plano. Essa Geometria por transformações utiliza como objetos
geométricos os pontos, as retas, os planos e suas relações. A seguir, as
definições e o estudo da congruência segundo as transformações isométricas.
Transformação do plano é definida como sendo uma aplicação bijetora
do conjunto dos pontos do plano sobre si mesmo.
Transformação identidade é aquela pela qual a imagem de um ponto é
o próprio ponto. Assim, Id (P)=P para todo ponto P do plano.
Isometria do plano é uma transformação no plano F, tal que P'Q'=PQ
para todo par de pontos distintos P e Q do plano, onde P'=F(P) e Q'=F(Q). Em
outras palavras, podemos dizer que F preserva distâncias entre pontos do
plano. Além disso, pode-se afirmar que uma isometria conserva: a colinearidade
de pontos, a ordem dos pontos numa reta, a medida dos ângulos, o paralelismo,
os pontos médios, o perpendicularismo. Etimologicamente a palavra isometria
vem do grego isos, que significa igual, e metron que significa medida. Por
conseguinte, a isometria ou deslocamento, corresponde às transformações que
conservam as medidas (tamanho) e a forma das figuras, isto é, as figuras
continuam congruentes. Assim, duas figuras geométricas A e A' do plano são
congruentes se existe uma isometria F do plano, tal que F(A) = A'. Esta
definição se aplica a pares de figuras geométricas quaisquer do plano (Fig.31).
56
Fig. 31
Duas figuras geométricas do plano são congruentes se e somente se
estão relacionadas por uma translação, uma rotação, uma reflexão (simetria
axial), ou uma composição dessas transformações. A simetria axial é muito
importante, pois, qualquer isometria pode ser representada como resultado da
composição de no máximo 3 reflexões em retas.
Translação
Uma translação pode ser entendida como um movimento de uma figura
no espaço, tal que as posições final e inicial definam segmentos orientados
2
congruentes de mesmo sentido (eqüipolentes).
Dado o ponto A e a translação definida pelo segmento orientado
→
v
, pode-se obter um outro ponto B tal que,
→→
= vAB
(
AB
é
eqüipolente de
→
v
).
De maneira formal, a translação é definida como: dado um vetor
→
a ,
chamamos translação de vetor
→
a à transformação
∏
→
∏
:
a
T
, tal que, T
a
(P) = P'
se e somente se
∏∈∀=
→→
PaPP ,'
.
2
De forma intuitiva, o segmento orientado é representado por flecha cuja ponta indica o seu sentido. De
maneira formal, um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos do espaço. A é dito origem, B
extremidade do segmento orientado, sendo A
≠
B, (A,B) é diferente de (B,A). Quando os segmentos
orientados são colocados em uma mesma classe de equivalência, eles possuem mesma direção, mesmo
sentido e mesma medida.
Fig.32a
Fig. 32b
A
A
57
Com a transformação translação, obtém-se as propriedades de
congruência de triângulos. Por exemplo, dado um vetor v e um triângulo ABC, a
imagem A'B'C', por uma translação do vetor v, é congruente ao triângulo
original, os lados permanecem paralelos. A distância entre os respectivos
pontos dos triângulos ABC e A'B'C' são iguais ao comprimento (v) do vetor v. A
orientação (sentido horário ou anti-horário) e a ordem das imagens dos vértices
A, B e C, ou quaisquer pontos não colineares do triângulo ABC, permanecem
inalterados após a translação, ou seja, A', B', C' mantêm a ordem e a orientação
dos vértices originais.
Rotação de centro O e ângulo
α
A rotação em relação a um ponto e a um ângulo é uma transformação
isométrica. Dado um ponto O e um ângulo orientado
α
, a rotação fixa o ponto O
e, a cada ponto P do plano, distinto de O, associa um ponto P', de modo que o
ângulo orientado POP' seja congruente a
α
e as medidas dos segmentos PO e
P'O sejam iguais.
Fisicamente a rotação corresponde ao movimento realizado sobre uma
circunferência com centro no centro de rotação, recorrendo ao arco cuja
amplitude é igual ao ângulo de giro. Adota-se a rotação no sentido anti-horário
como positivo e o sentido horário como negativo (Fig. 33 e Fig. 34).
Fig. 33
Fig. 34
Simetria
A simetria estudada de forma intuitiva pode ser compreendida, utilizando-
se figuras planas ou objetos tridimensionais, espelhados ou refletidos em um
espelho, ou mesmo, tomando-se figuras da natureza ou criada pelo homem
para introduzir o eixo de simetria.
58
Eixo de simetria: reta imaginária que divide a figura em duas metades.
Fig. 35
Essas experimentações podem ser realizadas antes do estudo da
simetria central e axial e suas propriedades.
Simetria Central
Uma reflexão em relação a um ponto O ou simetria central, é uma
rotação de 180º (sentido positivo, anti-horário) em torno de um ponto O, ou seja,
associa a cada ponto P do plano, com P distinto de O, o ponto P' tal que O é
ponto médio do segmento PP'.
Fig. 36
Toda simetria central é uma isometria no plano.
Simetria Axial
Uma reflexão na reta r ou simetria axial (eixo) ou simetria em relação a
uma reta r, é uma aplicação que fixa todos os pontos de r e associa a cada
ponto P do plano, com P não pertencente a r, o ponto P' tal que r é uma reta
mediatriz do segmento PP'.
Fig. 37
59
Composição de transformações
Toda isometria do plano é uma composição de reflexões segundo retas
do plano. Assim, a congruência de figuras pode ser obtida, também, por uma
composição de reflexões. As figuras a seguir, ilustram algumas dessas
composições.
A translação como o produto de duas reflexões:
E3 foi obtido pela reflexão de E1 em relação à reta s. Depois, E2 foi obtido pela reflexão de
E3 em relação à reta r (Fig. 38a).
Fig. 38a
Do mesmo modo E2 pode ser obtido utilizando-se a translação de E1, segundo o vetor v
(Fig. 38b).
Fig. 38b
Distância entre as retas r e s é metade da distância do vetor v.
Rotação como produto de duas reflexões:
E3 é obtido pela reflexão de E1 em relação a reta r , obtendo E2. Em seguida, E2 é
refletido em s, resultando E3 (Fig. 39a).
Fig. 39a
Da mesma forma E3 pode ser obtido pela rotação de E1, em torno do ponto O, cujo ângulo
é o dobro de SÔR (Fig. 39b).
60
Fig. 39b
Produto de uma translação por uma reflexão (reflexão deslisante):
E3 é obtido por meio de uma translação, segundo o vetor v, resultando E2, em seguida
uma reflexão de E2 em relação a reta r (Fig. 40a).
Fig. 40a
Da mesma forma, pode ser representada como produto de três reflexões (Fig. 40b).
Fig. 40b
Esses resultados também podem ser explorados utilizando-se comandos
de software específicos como o Cabri-géomètre.
2.9. ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS
Até agora, este trabalho apresentou as diferentes perspectivas e
contribuições de Euclides, Clairaut, Legendre, Hadamard, Hilbert e Birkhoff e
Klein, no desenvolvimento da geometria, em particular na apresentação do
conceito de congruência. Suas obras influenciaram na educação, através dos
currículos escolares, livros didáticos e práticas pedagógicas.
Atualmente, o professor, ao adotar um livro didático estará diante da
influência ou característica dessas obras. É necessário atenção para a escolha
de um livro didático, pois este pode, por exemplo, apresentar na geometria, de
forma contextualizada ou não-contextualizada, um estudo da prova e
61
demonstração, de maneira rigorosa próxima ao apresentado no sistema
axiomático de Euclides e Hilbert ou de Legendre, ou de um estudo menos
rigoroso, voltado a uma educação mais utilitária como Clairaut, ou utilizando as
transformações, como Klein e Hadamard, ou ainda, dando ênfase a estrutura
numérica como a de Birkhoff. Essa escolha dependerá da intenção do
professor, da escola e da comunidade em relação aos seus alunos, porque
influenciará no ensino e aprendizagem dos mesmos. Por isso, o tema
congruência será analisado em três livros didáticos, recomendados pelo
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), coordenado pela Secretaria de
Educação Básica, que desde 1996 tem avaliado os livros didáticos
implementados nas escolas públicas brasileiras. Serão consideradas, entre
outras, as recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais e as
propostas pedagógicas dos três livros da 7ª série do Ensino Fundamental.
No que se refere ao desenvolvimento do conceito de congruência, os
parâmetros curriculares nacionais orientam a exploração de situações de
aprendizagem no concreto e no dedutivo que levem o aluno a produzir e
analisar transformações de figuras geométricas planas, identificando seus
elementos variantes e invariantes.
Construindo figuras a partir da reflexão, por translação, por rotação de
uma outra figura, os alunos vão percebendo que as medidas dos lados
e dos ângulos, da figura dada e da figura transformada são as
mesmas. As atividades de transformação são fundamentais para que o
aluno desenvolva habilidades de percepção espacial e podem
favorecer a construção da noção de congruência de figuras planas
(isometrias). (PCN, 1998, p.86, grifo nosso)
Segundo o PCN as atividades que envolvem transformações devem ser
privilegiadas, pois permitem o desenvolvimento dos conceitos geométricos de
forma significativa, além de obter o caráter dinâmico. Além dos conteúdos e
objetivos, o PCN orienta o professor a propor para seus alunos, atividades
concretas articuladas às situações dedutivas.
Embora no quarto ciclo se inicie um trabalho com algumas
demonstrações, com o objetivo de mostrar sua força e significado, é
62
desejável que não se abandonem as verificações empíricas, pois estas
permitem produzir conjecturas e ampliar o grau de compreensão dos
conceitos envolvidos. (PCN, 1998, p.87).
As atividades de Geometria são muito propícias para que o professor
construa junto com seus alunos um caminho que a partir de
experiências concretas leve-os a compreender a importância e a
necessidade da prova para legitimar as hipóteses levantadas. Para
delinear esse caminho, não se deve esquecer a articulação apropriada
entre os três domínios citados anteriormente: o espaço físico, as
figuras geométricas e as representações gráficas. (PCN, 1998,
p.126, grifo nosso).
Em 1989, a National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)
publicou, entre outras orientações, algumas propostas para o ensino de
geometria, como: abordagem da geometria por intermédio das coordenadas e
das transformações geométricas, desenvolvimento de curtas seqüências de
teoremas (organização local proposta por Freudenthal), argumentos dedutivos
expressos oralmente ou por frases ou parágrafos escritos, explorações em
computador de figuras bidimensionais e tridimensionais.
Na análise a seguir, será retomada a organização praxeológica de
Chevallard (1988), Ressalta as tarefas propostas, as técnicas, tecnologias e
discursos teóricos envolvidos no desenvolvimento do tema congruência, bem
como a organização dos conteúdos.
Livro 1: Título: Educação Matemática
Autores: Célia Carolino Pires, Edda Curi e Ruy Pietropaolo
Série: 7ª série
Editora: Atual – 2001
O livro da 7ª série está dividido em 20 módulos. Cada módulo está
subdividido nas seções: para começo de conversa; resolvendo problemas; é
preciso saber; é preciso saber fazer; para saber mais; mostre que você sabe.
No final do livro, os autores apresentam propostas para projetos de trabalhos,
banco de imagens com legendas e proposta de trabalho interdisciplinar,
questões objetivas relacionadas a cada módulo.
A proposta do livro é ajudar os alunos a perceber o caráter prático da
matemática e contribuir com o desenvolvimento do raciocínio lógico-
63
matemático. Estabelecida de acordo com o trabalho proposto por Machado em
que o conhecimento não deve ser tratado linearmente, mas como uma rede de
significados. O livro traz propostas de redes conceituais para auxiliar o
professor. No caso da congruência, os autores apresentam o seguinte esquema
para o capítulo 18:
Fig. 41
O módulo 18 inicia-se com um texto intitulado "Sobreposição de
figuras". Apresenta o caráter prático da matemática, no caso a triangulação de
estruturas que sustentam construções como prédios, casas, pavilhões, etc. Em
seguida, é apresentada a seção em que o aluno, por si mesmo, pode deduzir o
significado de congruência. Isso é realizado por meio de atividades em que o
aluno deverá manipular instrumentos, observar e perceber regularidades para,
então, concluir o que são figuras congruentes e suas propriedades. A
institucionalização da congruência ocorre na seção "é preciso saber". Os casos
de congruência de triângulos são apresentados de forma que os alunos possam
aceitá-los, em virtude das atividades anteriores que propõem ao aluno
comparar, visualizar e perceber a congruência de figuras.
A seguir a análise de questões das seções: "é preciso fazer" e "mostre
que você sabe".
Situação 1: Questão 9 da página 211:
Reproduza em seu caderno o triângulo DEF ao lado.
Em seguida:
a) obtenha o simétrico do triângulo DEF em relação
ao vértice E.
b) mostre a congruência dos triângulos, utilizando os
casos de congruência.
Fig. 42
Estruturas ou
Trian
g
ula
ç
ão
Figuras Congruentes
Congruência e resolução de problemas
Floco de neve de Koch
Caso LAL Caso LLL Caso AL
A
Construções com régua e compasso
Caso LAAo
Mediatrizes
Fractais
64
Segundo a organização praxeológica de Chevallard, no item a ocorre:
Tarefa: Construir o simétrico de DEF em relação ao vértice E.
Técnica: o aluno poderá, por exemplo, utilizar um papel transparente para
copiar DEF ou utilizar régua e compasso ou transferidor, para construir DEF.
Em seguida, construir ED'F', utilizando as medidas dos lados e ângulos do
triângulo. Prolongando os lados DE e FE com medidas de cada um dos
lados de DE e FE, respectivamente, obtém-se:
Fig. 43
Discurso teórico-tecnológico: Transformação isométrica relativa a simetria
em relação ao ponto E.
Nesta questão, o aluno deverá utilizar uma estratégia situada no nível G1,
pois, trata-se de uma construção.
Análise do Item b:
Tarefa: Justificar a congruência dos triângulos DEF e ED'F'.
Técnica: Análise da construção realizada na questão a.
Discurso teórico tecnológico: transformação isométrica, casos de
congruência de triângulos.
Fig. 44
Como DE≅D'E, EF≅EF' e DÊF≅D'ÊF', pelo caso LAL os triângulos DEF e
ED'F' são congruentes.
65
Na questão b, o aluno deverá utilizar uma estratégia situada no nível G2,
pois a justificativa deverá ser conduzida pela organização local dos casos de
congruências de triângulos.
Situação 2: Questão 1 da página 212
Nas figuras seguintes, verifique, sem medir, se os triângulos ABC e ACD são congruentes. Para
isso utilize os casos de congruência.
a) Sabe-se que as medidas dos ângulos DÂC
e
BCA
∧
são iguais.
Fig. 45
b) Sabe-se que as medidas
CBA
∧
e
CDA
∧
são iguais.
Fig. 46
Itens a e b:
Tarefa: Verificar a congruência de triângulos.
Técnica: Identificar os elementos congruentes dos triângulos.
Discurso Teórico-Tecnológico: Casos de congruência de triângulos.
No item a: Com observação o aluno poderá verificar que AC é comum,
DÂC≅ BCA
∧
(fornecido), e AD≅BC (fornecido) – caso LAL.
No item b
: pelo caso LAAo, temos: AC – lado comum,
CBA
∧
≅
CDA
∧
(fornecido),
DCABCA
∧∧
≅ (ângulos suplementares)
Esta atividade trata de uma aplicação direta dos casos de congruência,
cabendo ao aluno adequar os elementos (ângulos e lados congruentes)
fornecidos com os elementos dos casos de congruência
.
Situação 3: Questão 4 da página 213
Mostre, por meio da congruência de triângulos, que o
ponto A da mediatriz do segmento PQ está à mesma
distância de P e de Q.
Fig. 47
Tarefa: Justificar que PA tem a mesma medida que QA.
66
Técnica: obtenção dos elementos congruentes dos triângulos APM e QAM
pela análise da representação da figura dada.
Discurso Teórico-tecnológico: Mediatriz, ponto médio, casos de
congruência, retas perpendiculares.
A análise da figura deverá levar o aluno a
justificar que PA
≅QA, usando o caso LAL,
pois, PM
≅QM, AMPAMQ
∧∧
≅ , AM é lado
comum.
Fig. 48
Essa questão apresenta a representação figural. Exige que o aluno saiba
que a mediatriz é perpendicular ao segmento e intercepta o no ponto médio e,
que perceba AM como sendo lado comum aos dois triângulos. Nessa questão, o
aluno deverá utilizar uma estratégia situada no nível G2.
COMENTÁRIO SOBRE A CONGRUÊNCIA DO LIVRO 1
Reconhecemos que, em geral, a ocorrência do caso LAL é a mais
comum entre os casos de congruência. Fato que ocorre amplamente nesse
livro, contudo, seria interessante se os autores explorassem também, outros
casos de congruência de triângulos. Por exemplo, não há nenhuma atividade
que recorre, unicamente, nos casos LLL, ALA. Conclui-se que a abordagem
desse livro é atual; os assuntos estão de acordo com os PCN's e de acordo com
a proposta feita pelos autores do livro, pois recorre a utilização das
transformações isométricas para desenvolver o conceito de congruência,
utilizando materiais no concreto. Nesse livro didático, podem-se encontrar várias
situações reais de contextualização, problemas envolvendo organizações
conceituais locais e conhecimentos prévios. O aluno tem a oportunidade de
construir seu conhecimento através de atividades que exploram as
construções, percepções, representações e concepções dos conceitos a serem
estudados (Machado, 1995).
67
Livro 2: Título: Matemática é tudo
Autores: Luiz Roberto Dante
Série: 7ª série
Editora: Atual – 2002
Segundo o autor, o livro traz um número reduzido de explicações, sendo
a teoria construída nas atividades desenvolvidas pelos alunos. Apresenta o
objetivo de auxiliar na produção de significados, priorizar atividades para aluno,
estimulando a reflexão, a experimentação e a resolução de problemas.
O livro é dividido em 12 capítulos. Cada capítulo contém as seções:
trocando idéias; você sabia que...; oficina de matemática; atividades, desafio;
revendo o que aprendemos; projeto de equipe; redação; revisão cumulativa;
para ler, pensar e divertir-se. Em geral os capítulos são introduzidos com uma
pergunta aos alunos para reflexão e análise de uma situação ligada ao conteúdo
a ser desenvolvido. O diálogo é realizado entre uma professora e seus alunos.
Na orientação dos conteúdos específicos, o autor expõe a problemática da
passagem de atividades manipulativas para as dedutivas. Propõe deduções e
demonstrações locais. A linguagem simbólica é bastante explorada nos
exercícios. Em vários momentos, procura trazer formas de como se deve
demonstrar utilizando propriedades e teoremas já estudados.
O estudo da congruência de figuras é realizado no capítulo 6 e tem como
título: Propriedades de figuras geométricas. Nesse capítulo, a professora
desafia os alunos perguntando:
"como são as medidas de dois ângulos opostos pelo
vértice?",
e apresenta três resoluções: uma utilizando dobradura, outra com uso
de transferidor e, por último, a demonstração usando o rigor matemático. Essas
resoluções constituem as validações situadas nos níveis G0, G1 e G2 de
Parzysz (2001). Após as demonstrações, são propostos exercícios do tipo:
calcule as medidas ou determine os ângulos, construa a figura e compare com
os colegas. Essa seqüência prossegue no desenvolvimento de atividades e
conteúdos, ou seja, pergunta, resolução de forma empírica e apresentação de
como demonstrar formalmente e finaliza com exercícios de vários níveis.
No caso do estudo das figuras congruentes, que é apresentado na página
139, não se explora a associação das transformações isométricas com a
congruência de figuras. A única menção citada está em relação a seguinte
situação e apresentação de figuras: "Imagine duas figuras tal que seja possível
68
transportar uma sobre a outra de modo que coincidam. Dizemos que essas figuras são
congruentes".
Nesse caso, as figuras são representadas apenas por segmentos e
ângulos congruentes. Não há nenhuma representação de objetos ou fotos que
lembre algo da realidade, o dia-a-dia ou algo mais significativo para o aluno.
Na congruência de triângulos, são apresentados exemplos de triângulos
com os elementos que garantem a congruência (LAL, LLL, ALA, LAAo) e os que
não garantem a congruência (AAA, LLA). Pede-se para construir, com régua e
transferidor, e comparar triângulos a partir de medidas fornecidas e somente
dos casos de congruência. A seguir, apresentaremos a análise de atividades
sobre congruência de figuras.
Situação 1: Exercício 31, página 140
Os triângulos ABC e EFG representados ao lado são
congruentes. Determine em seu caderno as medidas
assinaladas por letras.
Fig. 49
Tarefa: determinar as medidas relativas aos elementos congruentes de dois
triângulos.
Técnica: Comparar os elementos fornecidos com os elementos dos casos
de congruência ou por construção.
Discurso Teórico-tecnológico: soma das medidas dos ângulos internos de
um triângulo é 180º , congruência de figuras.
O aluno deverá responder: c=2,5cm, e=5cm, x=60º, y=30º, z=w=90º
=180º -(60º +30º). Nessa atividade o aluno deverá utilizar uma estratégia situada
do nível G1 para G2, pois ocorre a comparação entre as figuras de modo que os
valores c, x e y basta o aluno observar, enquanto que para determinar z e w é
necessário uso de propriedade decorrente de experimento ou aceitação
anterior.
Situação 2: Exercício 36, itens c, d, e e da página 143
Verifique em cada item abaixo se é possível afirmar que os triângulos são congruentes. Em
caso positivo escreva qual o caso de congruência que garante a congruência e quais os
69
demais elementos congruentes.
c) Triângulo PQR tem ângulos 75º, 90º e 15º. Triângulo XYZ tem ângulos 75º, 90º e 15º.
d) Os lados do triângulo RSP medem RS:8cm, RP:10cm, SP: 13cm. Os lados do triângulo
EFG medem EG:10cm, FG:13cm e EF: 8cm.
e)
Fig. 50
Análise da situação 2, itens c, d e e :
Tarefa: 1) Verificar se os triângulos são congruentes usando os casos de
congruência; 2) se forem congruentes, justificar; determinar os demais
elementos congruentes.
Técnica: Comparar os elementos fornecidos com os elementos dos casos
de congruência ou por construção.
Discurso Teórico-tecnológico: Casos de congruência de triângulos.
Não há no próprio exercício o estímulo ao aluno para fazer construções
das figuras dos itens c e d. Há somente uma observação ao professor para que
ele oriente os alunos a fazerem um esboço para melhor visualizar cada
situação. Não é solicitado que o aluno construa com os dados fornecidos
utilizando instrumentos adequados.
Nesta questão, o aluno deverá utilizar uma estratégia situada no nível G1.
O aluno poderá comparar os elementos que fazem parte dos casos de
congruência com os elementos fornecidos no exercício, que poderá ser ou não
esboçados. No item c, o aluno deverá chegar a conclusão de que com os dados
fornecidos não se pode garantir a congruência e os lados podem não ser
congruentes. Em d, o aluno deverá justificar que os triângulos são congruentes,
usando o caso LLL, pois RS≅EF, RP≅EG, SP≅FG. Os demais elementos serão
∧∧∧∧∧
≅≅≅ GPFSÊR ,, . O item e deverá se justificada usando o caso LAAo, com
AC≅PR, Â≅
∧
R
,
∧∧
≅ QB , e os demais elementos
∧∧
≅ PC , AB≅RQ, BC≅PQ.
70
Situação 3: Exercício 40, página 145.
Use um dos casos de congruência de triângulos e demonstre esta afirmação: "As
diagonais de um retângulo são congruentes".
Tarefa: Demonstrar propriedade do retângulo.
Técnica: Utilizar propriedades anteriores.
Discurso Teórico-tecnológico: definição de quadriláteros, congruência de
figuras.
Nesta questão, o aluno deverá utilizar uma estratégia situada no nível G2,
pois a validação será por meio de propriedades anteriormente validadas.
Fig. 51
Sabendo que os ângulos internos de um retângulo são todos 90º, o aluno
poderá demonstrar usando o caso LAL : AD≅BC (lados opostos de um retângulo);
∧∧
≅ CD ( ângulos retos) ; DC (lado comum).
COMENTÁRIO SOBRE A CONGRUÊNCIA DO LIVRO 2
Com a análise conclui-se que o autor busca construir o pensamento
matemático, utilizando, na maioria das vezes objetos teóricos, exemplificando
como demonstrar através do uso de propriedades derivadas de organização
local. São, praticamente ausentes, propostas de atividades empíricas e
manipulativas com objetos de natureza física, características do nível G0 de
Parzysz (2001); ocorre a transição do nível G1 para G2, pois propõe atividades
de nível G1, que utiliza régua e transferidor, e as utiliza para preparar o aluno
para a construção de novas propriedades e atividades de nível G2. A linguagem
simbólica e termos matemáticos são extremamente presentes em todo o livro.
Os exercícios relativos à congruência de triângulos são mais voltados
para o aluno analisar se ocorre ou não um dos casos de congruência. Não é
proposto nenhum caso ALA e o caso que mais aparece é o LAL.
71
Livro 3: Título: Matemática Pensar e Descobrir
Autores: Giovanni & Giovanni Junior
Série: 7ª série
Editora: Atual – 2000
O livro apresenta 8 unidades. Cada unidade inicia com uma leitura sobre
o assunto a ser estudado ou com a seção "Pense e descubra" que se refere a
problemas. As demais divisões são: "Vamos resolver" apresenta exercícios
sobre os conceitos desenvolvidos; "Auto-avaliação" tem o objetivo de
proporcionar ao aluno a medir o grau de aproveitamento nos estudos; "Tópicos
de Geometria"; Gráficos e tabelas" e "Noções de Estatística", "Saiba que". Os
conteúdos de geometria são tratados como tópicos a partir da unidade 3, desse
forma, a congruência de figuras é tratada na unidade 6. No início desse capítulo,
o autor apresenta a idéia de congruência de figuras a partir da sobreposição e
coincidência entre duas figuras analisadas e define que "dois polígonos são
congruentes quando possuem os lados respectivamente congruentes e os
ângulos respectivamente congruentes".
Em seguida, o autor apresenta os casos de congruência sem
demonstração ou proposta de atividades que levem os alunos a concepção
sobre o assunto. Faz aplicação dos casos no estudo de triângulos retângulos,
isósceles e eqüiláteros.
Situação 1: Exercício 96, página
239
Observe os triângulos e responda:
a) Eles são congruentes?
b) Qual o caso de congruência?
c) Quais as medidas de x e y?
Fig. 52
Tarefa: Observar e responder se são congruentes segundo os quatro casos.
Técnica: Comparar os dados fornecidos.
Discurso Teórico-tecnológico: casos congruência de triângulos.
Esta atividade é de observação e comparação dos dados fornecidos e
aplicação direta do caso LAL, portanto, segundo Parzysz é de nível G2, pois
utiliza os casos de congruência para decidir.
72
Situação 2: Exercício 100, página 239
Na figura, temos:
• EF//DC//AB
• EF≅DC
• D e C são pontos médios respectivamente
de AG e BG
• DC=AB/2
Nessas condições, determine o perímetro do
triângulo AGB.
Fig. 53
Tarefa: Determinar o perímetro do triângulo AGB.
Técnica: Obter os elementos congruentes dos triângulos CDG e EFG.
Discurso Teórico-tecnológico: ponto médio, reta transversal a duas retas
paralelas, casos de congruência, ângulos opostos pelo vértice.
Espera-se que o aluno responda:
Fig. 54
O perímetro do triângulo AGB é 26,8 cm,
pois os triângulos CDG e EFG são
congruentes pelo caso LAAo
(
FGEDGC
∧∧
≅ - opostos pelo vértice,
CD
≅EF – dado, GDCGFE
∧∧
≅ -
internos alternos).
Nesta atividade, o aluno deverá utilizar uma estratégia situada no nível
G2, pois o aluno deverá resgatar conhecimentos, anteriormente assimilados
sobre ângulos e retas.
Situação 3: Exercício 111, página 245
Na figura, AM é mediana relativa ao lado
BC. Sendo AB
≅AC, determine as medidas
x, y, z.
Fig. 55
73
Tarefa: Determinar as medidas de x, y e z .
Técnica: Obter os elementos congruentes dos triângulos ABM e ACM.
Discurso Teórico-tecnológico: reta perpendicular, mediana, ponto médio,
casos de congruência, soma dos ângulos internos do triângulo.
Espera-se que o aluno responda que x= 90º, pois é o ângulo formado
pelo lado BC com a sua mediana; y = 72º, pois y=180-(90+18). O valor de z é
18º pois, os triângulos ABM e ACM são congruentes pelo caso LLL ( MA ≅MA –
lado comum; BM≅CM – M é ponto médio; AB≅AC – dado fornecido).
Neste exercício,
o aluno deverá utilizar uma estratégia situada no nível G2, pois o aluno deverá
obter alguns elementos a partir de outros ou que já foram aceitos por uma
organização local.
COMENTÁRIO SOBRE A CONGRUÊNCIA DO LIVRO 3
O autor apresenta problemas dos casos de congruência, posicionando os
triângulos congruentes de forma diversificada, fazendo com que o aluno
desperte sua percepção e comparação, para a resolução dos problemas, mas
não há atividades de construção com régua e transferidor para que o aluno
possa representar objetos bidimensionais.
As atividades de congruência focam a verificação dos ângulos e lados
congruentes de dois triângulos. Há um exercício para provar que duas figuras
são congruentes, usando um dos casos de congruência. Não aparece o caso
LAAo, e há ocorrência maior dos casos LAL e ALA.
RESUMO E ANÁLISE DOS TRÊS LIVROS DIDÁTICOS
De modo geral, pode-se perceber a influência dos estudos dos
matemáticos citados anteriormente nos três livros didáticos, com relação ao
desenvolvimento e ao tratamento dado às provas e demonstrações do tema
congruência e dos casos de congruência de triângulos. A apresentação desses
assuntos é tratada de forma mais contemporânea nos três livros, através de
uma organização local ou aceitando diretamente como verdadeiros os casos de
congruência, para auxiliar na apresentação de novas linguagens e termos
matemáticos.
Os três livros analisados apresentam características diferenciadas. O
primeiro, "Educação Matemática", trabalha a congruência de figuras e de
74
triângulos utilizando as transformações geométricas. As atividades empíricas e
de manipulação são valorizadas, fazendo com que o aluno construa o conceito
de congruência pelas experiências propostas. Não há rigor no tratamento
matemático e os exercícios propostos são para justificar com linguagem natural
ou construir triângulos congruentes.
O livro "Matemática é tudo" não utiliza a linguagem das transformações
isométricas para desenvolver o tema congruência. Os casos de congruência são
desenvolvidos com a construção de triângulos, utilizando-se régua e
transferidor. Destaca os enunciados das propriedades ou teoremas a serem
demonstrados, e o rigor faz parte na apresentação dos conteúdos, na utilização
dos termos e símbolos matemáticos e em alguns exercícios que se pede para
demonstrar. Conceitos estudados anteriormente são utilizados nas atividades
sobre a congruência.
O terceiro livro analisado, "Matemática, pensar e descobrir" tem destaque
nos exercícios diversificados, isto é, contextualizado e também utilizando
objetos matemáticos. A apresentação dos casos de congruência é de forma
direta, sem proposta de atividades empíricas ou de construção. Não há
referência às transformações isométricas, mas sobre a sobreposição e
coincidência de lados e ângulos de polígonos para a introdução do estudo da
congruência.
De modo geral, as tarefas solicitadas nos livros ajudam o aluno na
compreensão do conceito de congruência, seja via transformação ou por
construção, pois não se limitam às listas de exercícios com um só tipo de
abordagem, por exemplo, vários exercícios para achar o caso de congruência,
utilizando somente pares de triângulos congruentes. Os livros trazem atividades
para justificar, construir, verificar e provar, favorecendo o emprego de técnicas
diversificadas. Os três livros resgatam outros conceitos (conforme discurso
teórico das atividades analisadas). O grau de formalidade é diferenciado nos
livros e o rigor se faz mais presente no segundo livro.
75
CAPÍTULO 3
SUJEITOS, MÉTODO E MATERIAL
3.1. CARACTERIZAÇÃO DOS SUJEITOS
Os sujeitos que participaram dessa pesquisa foram alunos regularmente
matriculados na 1ª série do Ensino Médio de uma escola estadual do interior de
São Paulo. Esta escola, situada na parte central do município, oferece somente o
curso de Ensino Médio e recebe anualmente os alunos oriundos das diversas
escolas da cidade. Dessa forma, cada sala formada apresenta alunos em
diferentes níveis de aprendizagem, grande heterogeneidade em termos de
hábitos e comportamentos oriundos de suas escolas de origem. Isso se torna um
desafio para o professor que deve trabalhar essas diferenças.
Inicialmente, foi feito um convite (anexo 8), com formato de curso, a alunos
da 1ª série do Ensino Médio, período matutino, dos quais, 21 se inscreveram,
fazendo com que o curso fosse dividido em dois momentos. O primeiro, no mês
de março de 2006 com 14 participantes, e o restante dos alunos ficaram para um
segundo momento, programado para o mês de novembro do mesmo ano. Serão
analisadas somente as atividades do primeiro grupo constituído por 14 alunos.
Seguindo a ordem de inscrição, a seqüência foi composta por 14 alunos
inscritos no curso, mas efetivamente, 13 alunos participaram das atividades. A
idade desses alunos era de 14 a 16 anos. A seqüência foi realizada no período da
tarde, conforme os dias e horários determinados no convite.
3.2. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Esta pesquisa resgata a idéia de organização local, proposta por
Freudenthal (1973), e tem por objetivo revisitar o tema congruência de figuras.
Procurará responder às seguintes questões:
76
• Em que medida o processo de transição do concreto para o espaço-
gráfico contribui para a apropriação do conceito de congruência?
• E em que medida esse processo favorece a passagem do empírico para o
dedutivo?
Para responder a essas perguntas uma seqüência de atividades será
elaborada e aplicada a alunos da 1
a
série do Ensino Médio.
A pesquisa contempla um estudo teórico e experimental, o que favorece a
utilização de elementos da metodologia da Engenharia Didática, proposta por
Artigue na década de 1980. Segundo esta pesquisadora,
A Engenharia Didática, vista como metodologia de investigação,
caracteriza-se por um esquema experimental baseado em
realizações didáticas na sala de aula, isto é, na concepção, na
realização, na observação e na análise de seqüências de ensino.
(Artigue, 1988, p.285-286).
Assim, para responder as questões de pesquisa será utilizada a
metodologia de pesquisa denominada Engenharia Didática. A prática pedagógica
e os sujeitos da pesquisa farão parte da dimensão experimental a ser realizada
em sala de aula. Integradas a elas, as análises dos resultados experimentais e as
investigações teóricas farão parte da dimensão teórica, caracterizando esta
metodologia de pesquisa.
A Engenharia Didática é constituída de quatro fases de execução: análises
preliminares, concepção e análise a priori; aplicação da seqüência didática e a
análise a posteriori. Essas fases compõem as dimensões teórica e experimental.
A primeira fase, as análises preliminares, apóia-se na fundamentação
teórica, num estudo histórico, na análise dos programas de livros didáticos e na
concepção de alunos sobre o tema proposto. Nesta pesquisa, as análises
preliminares serão constituídas pelos conhecimentos matemáticos e didáticos
adquiridos no estudo da congruência de figuras e da análise de três livros
didáticos, relativos ao 4º ciclo do Ensino Fundamental.
A segunda fase, relativa à concepção e análise a priori das atividades, é
determinada por um número de variáveis que podem ser globais ou locais. As
variáveis globais ou macro-didáticas dizem respeito à organização global da
engenharia, enquanto que as locais ou micro-didáticas, referem-se à organização
77
de uma seção ou de uma fase, objeto dessa pesquisa. Nessa fase, objetiva-se
determinar de que maneira as variáveis escolhidas permitem controlar o
comportamento dos alunos e o sentido desses comportamentos, através da
relação do conteúdo a ser estudado com as atividades da seqüência, visando à
apreensão dos conceitos por parte dos alunos.
A fase da experimentação é caracterizada pela aplicação da seqüência a
um grupo de alunos. É uma fase muito importante, pois a atenção durante essa
fase é imprescindível para obtenção do maior número de informações que
poderão contribuir para responder a questão de pesquisa. Finalmente será feita a
análise a posteriori que consiste, na interpretação dos dados colhidos na
experimentação, nas observações e produções dos alunos durante as atividades
da seqüência de ensino. Da confrontação entre a análise a priori e a análise a
posteriori obter-se-ão elementos para validar ou não as questões de pesquisa.
ORGANIZAÇÃO DA EXPERIMENTAÇÃO
A seqüência de ensino foi realizada no período da tarde, conforme os dias
e horários determinados no convite feito aos alunos. Uma dupla foi acompanhada
por um observador, sendo que sua tarefa foi de anotar diálogos, materiais
utilizados e perguntas realizadas. Além das anotações, os diálogos da dupla
foram gravados. Ao término de cada sessão, cada dupla respondeu a um
questionário entregue no início da sessão. Esses dados foram recolhidos pela
pesquisadora para serem utilizados nas análises a posteriori e confrontados com
as análises a priori.
O curso foi dividido em duas partes. A primeira parte (anexo 10) destinou-
se em despertar o interesse dos participantes, em fazer com que estes se
familiarizassem como software Cabri-Géomètre e tivessem contato com as
propriedades e relações entre pontos, retas, retas e pontos. Salienta-se que esse
momento objetiva, apenas a familiarização, não fazendo parte das análises da
seqüência. A segunda parte foi destinada à aplicação da seqüência de ensino, foi
analisada segundo a metodologia da Engenharia Didática. O número de horas foi
distribuído conforme descrito a seguir:
78
• 1a Parte - Curso de Cabri-Géomètre II: 12 horas
o 3 encontros de 2 horas: dias: 6, 7 e 10 de março de 2006.
o 2 encontros de 3 horas: dias: 13 e 14 de março de 2006.
• 2a Parte – Geometria: Estudo da Congruência: 12 horas (Seqüência de ensino)
o 4 encontros 3 horas: dias: 17, 20, 21 e 24 de março de 2006.
Na parte 1, foi estabelecido o contrato didático com os alunos: definição
dos horários, uso dos materiais nas atividades (materiais fornecidos aos alunos),
organização em duplas e esclarecimento sobre o objetivo do curso, que consistia
em explorar a congruência com o Cabri e atividades manipulativas levando a uma
compreensão do assunto. Ainda nessa etapa, introduzimos o Cabri-Géomètre
aos alunos. As transformações geométricas de rotação, translação e reflexão
foram trabalhadas com os alunos (vide anexo 10).
Na parte 2, ocorreu a aplicação da seqüência de ensino, que foi dividida
em 3 blocos: o Bloco 1, destinado a utilização de material concreto para o estudo
da congruência de figuras; o Bloco 2 que contou com a utilização do Cabri para o
estudo da congruência de figuras por meio das transformações e o uso da régua
e do transferidor; e finalizando, o Bloco 3 envolveu a prova e demonstração em
problemas de congruência de triângulos.
A seqüência foi realizada na sala de informática da escola e em sala de
aula. Ocorreram imprevistos, com relação a alguns alunos que faltaram no
segundo encontro. Nesse caso, para os que faltaram, aplicamos a atividade num
outro horário, anterior ao terceiro encontro. Os grupos formados receberam a
numeração de 1 a 6 e as iniciais dos nomes dos alunos foram utilizadas para
identificá-los. Em virtude de uma desistência, um dos grupos ficou com três
componentes. Abaixo, os seis grupos formados.
Fig. 56a
Fig. 56b
79
3.3. MATERIAL
A seqüência de ensino foi dividida em três blocos. Em cada bloco, foi
solicitado aos alunos que respondessem questões relativas às atividades
realizadas. Estas questões e os procedimentos adotados pelos alunos durante a
realização das atividades, foram analisadas segundo a metodologia da
Engenharia Didática, fundamentadas nos trabalhos de Parzysz, Machado,
Freudenthal, Balacheff e nos resultados de trabalhos de alguns pesquisadores,
citados na revisão bibliográfica deste trabalho.
O bloco 1 contemplou atividades do nível G0 e G1 do modelo proposto por
Parzysz. Este nível tem como ponto de partida a vivência e a realidade dos
alunos. As decisões tomadas pelo aluno são conseqüências do que ele visualiza.
Ainda no bloco 1, os alunos tiveram a oportunidade de conceber a noção de
congruência a partir da face "concreto" do tetraedro proposto por Machado,
envolvendo objetos tridimensionais e figuras no plano.
O bloco 2 objetivou fazer com que os alunos se apropriem do conceito de
congruência, via transformações isométricas. O instrumento didático foi o software
Cabri-Géomètre II, que por meio de suas ferramentas de transformações
isométricas, o aluno pode validar a congruência de figuras planas. Neste bloco,
foram apresentadas atividades do nível G1 e exploradas as duas faces do
tetraedro sugerido por Machado: percepção e representação. As validações foram
perceptivas. As atividades propostas foram com figuras congruentes, que buscava
favorecer a transição do processo cognitivo, envolvendo as percepções e
representações. Além do Cabri II, este trabalho fez uso da malha quadriculada.
Os alunos se empenharam em tarefas de construção e representação de
triângulos, cuja finalidade foi de abstrair os conceitos dos quatro casos de
congruência de triângulos.
No bloco 3 os argumentos e provas foram deduzidos a partir da
experimentação do bloco anterior. Os casos de congruência de triângulos foram
aceitos pelos alunos, conforme idéias de Freudenthal. Este bloco foi analisado
segundo os tipos de provas de Balacheff.
A seqüência de ensino buscou a articulação entre os elementos explorados
nos blocos 1, 2 e 3, e com base na rede conceitual proposta por Pires (2001).
Uma rede conceitual foi adaptada para essa pesquisa, conforme figura a seguir.
80
Fig. 57
A rede mostra os meios explorados na seqüência de ensino sobre as
figuras geométricas congruentes, e conseqüentemente, os casos de congruência
de triângulos, por meio de material manipulativo, transformação isométrica,
utilizando o computador ou por meio de problemas. O primeiro contato com a
congruência foi realizado no bloco 1 com atividades envolvendo os itens da rede:
jogos/materiais manipulativos, a ilusão de ótica, destinados à descoberta e
abstração do conceito de congruência. Em seguida, as transformações
isométricas, o computador e as construções com régua, compasso e transferidor,
fizeram parte do bloco 2 no estudo do objeto matemático congruência e, em
particular, os casos de congruência de triângulos. O item congruência e resolução
de problemas abrangeram o bloco 3, finalizando a seqüência de ensino com o uso
dos casos de congruência para prova e justificativa de situações envolvendo
objetos matemáticos. As atividades desenvolvidas em cada bloco foram:
Atividades do Bloco 1:
Sacola contendo pares de objetos congruentes.
Figuras bidimensionais congruentes.
Jogo da Congruência.
Atividades do Bloco 2:
Congruência de Figuras pelas transformações isométricas no Cabri-géomètre.
Construção de triângulos e introdução aos quatro casos de congruência de
triângulos – placa quadriculada.
Atividades do Bloco 3
:
Resolução de Problemas – Provas
Ilusão de ótica
Congruência e resolução de problemas
Caso LAL Caso LLL Caso ALA
Jogos /
material manipulativo
Transformações
Isoméricas
Computador
(Cabri-Géomètre)
Construções com régua e compasso e
transferidor
Caso LAAo
Triangulação
Figuras Congruentes
81
3.3.1. ANÁLISE A PRIORI DAS ATIVIDADES DO BLOCO 1 – CONCRETO
É comum a congruência ser tratada nos livros didáticos a partir de
triângulos ou polígonos, ou seja, objetos bidimensionais, sem uma relação direta
com a realidade dos alunos. Por isso, este bloco constitui-se de 3 atividades
manipulativas, com o objetivo de possibilitar aos alunos a compreensão da
congruência em seu aspecto geral. Tem como ponto de partida a exploração via
objetos tridimensionais, congruentes dois a dois, comuns ao cotidiano dos alunos.
Posteriormente, com figuras que causam ilusão de ótica, os alunos serão
instigados a provar, mesmo que de maneira perceptiva e manipulativa, se os
objetos bidimensionais são ou não congruentes. Espera-se que nessa atividade o
aluno justifique, pela superposição, que duas figuras são congruentes porque se
encaixam uma sobre a outra. Para consolidar a compreensão e a concepção de
congruência, a atividade 3 terá figuras congruentes duas a duas, impressas em
papel transparente em diversas posições, e para ocorrer a sobreposição será
preciso visualizar, girar, virar uma figura em relação a outra.
Atividade 1. Sacola com objetos congruentes
3
A foto a seguir, ilustra a composição de objetos da sacola da atividade 1:
Fig. 58
O objetivo dessa atividade é descobrir o que são objetos congruentes.
Como proposta serão utilizados objetos congruentes de diferentes materiais, tais
3
Anexo 3: Lista dos objetos congruentes contidos na sacola está nos anexos.
Atividade 1: Os objetos contidos na sacola são congruentes dois a dois.
Questão 1. Procure regularidades nos objetos e identifique os pares de
objetos congruentes. Cole, lado a lado, com fita adesiva, os pares de
objetos congruentes na folha dada.
82
como: madeira, plástico, metal, tecido. Algumas situações foram criadas para que
os alunos possam perceber o que influencia e o que não influencia na tomada de
decisão. Por exemplo, alguns pares de objetos congruentes terão mesma cor,
outros não; alguns pares de objetos congruentes serão semelhantes a outros
pares, com cores alternadas.
Os objetos congruentes de mesma cor foram preparados para tentar fazer
com que os alunos percebam que objetos congruentes são visualmente iguais
em tamanho e forma. São pares de: bola de ping-pong, colher de plástico,
alfinete, clips, botão de 4 furos e botão de 2 furos, palito com colchetes presos
nas extremidades – mesmo lado, palito com colchetes presos nas extremidades –
lados opostos, parafuso sextavado ¼ x 1'' e parafuso francês ¼ x 1''. Entretanto,
com os objetos congruentes dois a dois, de cores diferentes, espera-se que os
alunos notem que esses objetos, apesar das cores diferentes, têm o mesmo
formato e tamanho e que, portanto, são também congruentes. São eles: cabides,
peças de brinquedo de montar do tipo Lego, copos de brinquedo, colheres de
sorvete, fitas de 15cm (cor rosa e azul) e fitas de 11,5cm (cor rosa e azul). Os
objetos congruentes dois a dois com tamanhos diferentes e de mesma cor foram
preparados a fim de diferenciar a congruência de semelhança: São eles: um par
de copos de 180ml e um par de copos de 80ml de mesma cor; um par de porca
de ¼", um par de porca
5
/
16
e um par de porca
3
/
16
, todos prateados.
Na dificuldade dos alunos em perceber a congruência de objetos, a
professora poderá intervir com a seguinte instrução: a) Dois a dois os objetos têm
características comuns, quais são? b) E no geral, o que é comum a todos?
Espera-se que os alunos manipulem e comparem os objetos para
decidirem quais são e o que são objetos congruentes. E como análise, essa
atividade poderá ser categorizada no nível G0, segundo Parzysz, pois a validação
será perceptiva. Pode-se considerar também a sacola contendo os materiais
analisados como sendo um objeto complexo, espaço em que os alunos deverão
organizar, comparar, selecionar e abstrair, nesse primeiro momento, a idéia do
que são objetos congruentes apenas com a manipulação e visualização.
Questão 2: Se você fosse explicar para um colega de classe o que são objetos
congruentes, o que você diria a ele?
83
Essa questão, que vem após a atividade manipulativa, tem como base o
que Machado (2005) ressalta ser fundamental em qualquer situação de
aprendizado, que é a "articulação entre as atividades perceptivas e momentos de elaboração
conceitual, ou o estabelecimento de relações mais consistentes entre o conhecimento empírico e
sua sistematização formal"
. Assim, a questão 2 tem a finalidade de articular a situação
empírica experimentada pelos alunos na atividade anterior com a elaboração do
conceito de congruência. Espera-se que os alunos possam expressar suas idéias
e pensamentos abstraídos da atividade1.
Atividade 2: Figuras planas congruentes
Situação 1 - Figuras 1 e 2: Nessa atividade serão fornecidas duas folhas: uma
para a manipulação das figuras 1 e 2, e outra para que os alunos decidam e
respondam o que são figuras congruentes. As figuras 1 e 2 da folha de resposta
serão apenas ilustrativas.
Quadro 2 – Folha de manipulação e de resposta –situação 1, bloco 1
Folha de questão e manipulação Folha para resposta
1. Decida se as figuras são congruentes.
O que você acha sobre as figuras, elas são
congruentes? O que você faria para decidir se as
figuras são ou não congruentes?
1. Figuras 1 e 2:
As figuras 1 e 2 são
congruentes?
( )sim ( )não
Justifique.
Explique o que você fez para
justificar sua resposta.
Essa atividade também é de manipulação, e a decisão a ser tomada
deverá ser pela observação dos aspectos gerais das figuras bidimensionais.
Serão utilizadas representações planas que, visualmente, não parecem ser
congruentes. Para tanto, será utilizado um par de figuras que causam ilusão de
ótica, aquilo que "parece, mas não é", para ter certeza será necessário manipular
o objeto. A validação, ainda que perceptiva, será auxiliada pelo uso dos
instrumentos. Para a verificação, espera-se que os alunos descrevam a
necessidade de sobrepor uma figura sobre a outra, ou medir segmentos, ou lados
das figuras, ou ainda, recortar, ou desenhar para comparar. Os alunos poderão
utilizar os seguintes recursos:
Figura 1
Figura 2
Fi
gu
r
a
1
Figura 2
84
a) Papel transparente: nesse caso, o aluno copiará a figura 1 no papel
transparente para sobrepor a cópia da figura 1 sobre a figura 2, ou vice-versa
e tomar a decisão se são ou não congruentes;
b) Tesoura: um aluno recortará uma das figuras e sobrepor sobre a outra para
poder decidir sobre a congruência ou não;
c) Régua, transferidor, compasso: escolhendo régua ou compasso, o aluno vai
medir a distância de um ponto a outro de uma da figura e comparar com a
distância dos pontos correspondentes da outra figura.
Caso o aluno escolha o transferidor, a professora deverá intervir e instruir
o aluno sobre o uso do transferidor. Ângulos são formados por duas semi-retas
com origem no mesmo ponto, o que não ocorre nas figuras da situação 1. Na
utilização do papel transparente e a tesoura, o aluno precisará transportar,
deslocar a figura copiada ou recortada até a outra figura. Espera-se que essa
atividade faça o aluno perceber o processo de validação de sua resposta. Para
isso, o aluno vai justificar, descrevendo o que foi feito na atividade para que ele
tomasse tal decisão. Espera-se como resposta a necessidade de levar,
transportar, deslocar uma figura ou sua cópia até outra figura a ser comparada
por superposição.
Situação 2 - Figura formada por segmentos: Nessa atividade também serão
fornecidas duas folhas: uma para a manipulação das figuras 3 e 4 e, outra para
o aluno decidir e responder. As figuras 3 e 4 da folha de resposta serão apenas
ilustrativas.
Quadro 4 – Folha de manipulação e de resposta –situação 2, bloco 1
Folha de questão e manipulação Folha para respostas
2. Decida se as figuras são congruentes.
Figura 3 Figura 4
Os segmentos da figura 3 são
congruentes aos segmentos da figura 4?
( )sim ( )não
Justifique.
Explique o que você fez para justificar
sua resposta.
A figura 3 é congruente à figura 4?
( )sim ( )não
Justifique.
Explique o que você fez para justificar
sua resposta.
Figura 3
Figura 4
85
Na situação 2, espera-se que o aluno perceba a congruência de cada um
dos segmentos da figura 3 com a da figura 4. Além desses segmentos, observar a
forma retangular do conjunto de segmentos. O aluno também poderá utilizar os
recursos de régua, tesoura, compasso, papel transparente, como instrumentos
para medir ou sobrepor. Além de transportar a medida ou a figura recortada ou
desenhada, há a necessidade de girar para sobrepor.
Questão 3: Se você fosse explicar para um colega de classe como identificar duas
figuras congruentes, o que você diria a ele?
Espera-se que os alunos respondam que para haver a congruência basta
verificar se uma figura se encaixa sobre a outra por transporte e sobreposição.
Atividade 3: Jogo da Congruência
Nessa atividade, cada dupla receberá um quadro contendo 12 retângulos
congruentes. No verso dos retângulos estão escondidas figuras congruentes duas
a duas.
Situação 1: No verso de cada um dos retângulos que aparecem no quadro há figuras
congruentes duas a duas. O objetivo é identificar esses pares congruentes.
Questão 1: Identifique abaixo as figuras são congruentes duas a duas. Como você identificou?
Quadro 5 – Jogo da congruência
Quadro de retângulos numerados de 1 a 12 Figuras (numeradas de 1 a 12) congruentes que
serão colocadas no verso dos retângulos
12
4
5
6
7
3
10
11 12
9
8
86
A proposta desta atividade é utilizar figuras impressas em papel
transparente com o objetivo de que os alunos possam verificar a congruência
através da sobreposição e encaixe dos pontos correspondentes de cada figura
naturalmente. Para ressaltar que figuras congruentes mantêm as medidas,
deixaremos as figuras 1, 4, 10 e 11 para que decidam que realmente são
congruentes os pares de figuras 1 e 11, e as figuras 4 e 10. As figuras restantes
exigirão atenção dos alunos sobre o posicionamento dos detalhes de cada figura.
Terão superposição as figuras 6 e 9, figuras 3 e 7, figuras 5 e 12 e figuras 2 e 8.
Espera-se que os alunos manipulem e verifiquem que algumas figuras
deverão ser giradas para o encaixe, em outras, espera-se que os alunos
percebam que apesar de serem parecidas há diferença no tamanho. Poderá
ocorrer também a situação em que o aluno ao invés de sobrepor, coloque lado a
lado as figuras e as compare. Nesse caso, a professora deverá intervir
questionando porquê da certeza de que são figuras congruentes.
Questão 2: Com que jogo tradicional esse "jogo da congruência" se assemelha?
Qual o objetivo do jogo tradicional?
O objetivo dessa questão é fazer uma associação do que é comum no dia-
a-dia de nossos alunos. A brincadeira do jogo da memória é presente na vida de
nossos alunos e é tomada como entretenimento, sem relação com o aprendizado
escolar. Procura-se estimular os alunos com relação a aprendizagem de
congruência, aproveitando a idéia do jogo da memória que é encontrar figuras
congruentes e fazer a integração entre todos os participantes.
3.3.2. ANÁLISE A PRIORI DAS ATIVIDADES DO BLOCO 2
Esse bloco tem a finalidade de explorar as transformações isométricas no
estudo da congruência de figuras, utilizando o computador. Os alunos farão a
representação de objetos bidimensionais, diferentemente da situação do bloco 1
com a utilização do software Cabri-géomètre. Elementos não percebidos no bloco
1 começarão a surgir, ampliando a percepção dos alunos para além do aspecto
geral das figuras congruentes.
As figuras congruentes estarão representadas na tela do computador e os
alunos perceberão que mover um objeto e o encaixar sobre o outro já não será
87
tão simples como no bloco anterior, pois, é uma situação que está aquém da
vontade dos alunos em manipular livremente os objetos. Somente formulando
estratégias, observando as particularidades de cada objeto, aliados com
comandos específicos do programa Cabri, é que as figuras poderão ser
deslocadas e encaixadas uma sobre a outra.
3.3.2.1. CONGRUÊNCIA VIA ISOMETRIAS – CABRI-GÉOMÈTRE
Nesse bloco, as transformações isométricas: translação, rotação, reflexão
axial e suas composições terão papel fundamental para uma nova abordagem da
congruência de figuras. As atividades serão realizadas no Cabri-Géomètre II,
Pressupõe-se que os alunos terão o conhecimento das ferramentas de
transformação desse software, explorado na parte 1 dessa pesquisa. Serão
fornecidas em cada atividade duas figuras que, para saber se são congruentes,
ou a partir de figuras congruentes, os alunos deverão utilizar as ferramentas de
transformação isométricas, fazendo com que uma figura se sobreponha sobre a
outra, de modo que se coincidam. Os objetivos desse bloco são destacados a
seguir:
1. Somente usando as ferramentas de transformações isométricas do Cabri, os
alunos deverão concluir que as duas figuras dadas são congruentes. Para isto
uma figura deverá ser levada a coincidir com a outra.
2. Fazer com que o aluno reconheça o tipo de transformação que será utilizada
para transportar uma figura sobre a outra.
A validação deverá ser realizada com a observação dos resultados da
manipulação das figuras no Cabri II. Essas atividades terão as faces de
representação, percepção e dedução do tetraedro. Ao abrir os arquivos indicados
na folha de instrução, os alunos encontrarão os enunciados e as representações.
Convém ressaltar que os alunos deverão ter tido contato, no período de
familiarização do software Cabri-géomètre (parte 1), com o vetor, mediatriz, ponto
médio, bissetriz, bem como, da rotação no sentido anti-horário como sendo
positivo.
88
Atividade 1:
Abra o arquivo barco_vela.
Utilize as ferramentas de transformação e
descubra se as figuras 1 e 2 (Fig.59) são
congruentes.
Fig. 59
O objetivo nessa atividade é saber se os alunos visualizam a necessidade
de criar um vetor e, depois, transladar a figura 1 sobre a figura 2. Nesse caso o
aluno deverá lembrar que para levar uma figura sobre a outra deverá usar a
translação. O deslocamento deverá ser feito por um vetor. É possível que algum
aluno tenha dificuldade em criar um vetor, ou mesmo, perceber a necessidade de
criá-lo. Convém observar que todos os alunos passarão por uma fase de
familiarização das ferramentas do software Cabri
4
, e a utilização do vetor na
translação. Dessa forma, a criação de um vetor relacionada à translação deverá
ser apresentada aos alunos. Em geral, caso os alunos apresentem dúvidas, a
professora deverá solicitar que criem um vetor qualquer e um ponto livre e pedir
que transladem o ponto livre segundo o vetor criado.
Atividade 2: Abra o arquivo hélice.
Utilize as ferramentas de transformação e descubra
se as figuras 1 e 2 são congruentes (Fig. 60a).
Fig. 60a
Nessa atividade o aluno poderá utilizar as seguintes transformações:
1. Girar 180º (sentido anti-horário) com a
rotação.
Fig. 60b
Rotacionar a figura a em 180º (sentido anti-horário)
pelo vértice comum às figuras A e A'.
2. Simetria central.
Fig.
60c
Utilizar a simetria central pelo
vértice comum às figuras A e A'.
4
Anexo 10, item III - Ferramenta Transformar.
180
o
89
3. Simetria Axial: Os alunos poderão criar um eixo de
simetria no vértice comum à figura A e A'. Depois obter
a simetria axial de A em relação à reta. Finalmente
outra simetria axial da imagem de A em relação ao lado
comum à figura A'.
Fig. 60d
Atividade 3: Abra o arquivo triângulo
Utilize as ferramentas de transformação para
verificar ser a figura A é congruente à figura A'.
Fig. 61a
Espera-se que o aluno utilize a simetria axial para concluir que as figuras
são congruentes. Para isso, deverá perceber que basta obter a mediatriz entre
dois pontos correspondentes das duas figuras, por exemplo, um vértice da figura
A e seu correspondente em A'.
Fig. 62b
Se o aluno encontrar dificuldade, será questionado sobre o tipo de
transformação utilizada para levar a figura A na figura A'. Em seguida, o que
precisaria obter: eixo de simetria, vetor ou um ângulo?
Atividade 4: Abra o arquivo congruência 1
As figuras A e A' são congruentes. Transformar a figura A
na figura A'. Que transformação você usou?
Fig. 63a
Para resolver essa questão espera-se que o aluno utilize a translação da
figura A sobre a figura A', conforme os procedimentos abaixo:
90
Fig. 63b
Criar um vetor de um ponto na figura A
e seu correspondente na figura B.
Fig. 63c
Transladar a figura A sobre A', utilizando o
vetor criado.
Se houver dificuldade em posicionar ou criar um vetor adequado, será
solicitado ao aluno que identifique pontos correspondentes entre as figuras e os
analise par a par.
Atividade 5: Abra o arquivo congruência 2.
As figuras A e A' são congruentes. Transformar
a figura A na figura A'. Que transformação você
usou?
Fig. 64a
Para resolver, espera-se:
criar uma mediatriz
entre um ponto da
figura A com o seu
correspondente da
figura A'.
Fig. 64b
Utilizar a ferramenta
simetria axial e obter
o simétrico da figura
A sobre a figura A'.
Fig. 64c
Nessa atividade o aluno poderá, no princípio, se confundir com o tipo de
transformação, isto é, entre a rotação e a simetria axial. Caso isso ocorra, solicitar
que visualize a rotação e a simetria e decida o que usar (Fig. 64b e Fig.64c).
Atividade 6: Abra o arquivo Congruência 3
As figuras A e A' são congruentes. Transformar a figura
A na figura A'. Que transformação você usou?
Fig. 65a
91
Espera-se que o aluno visualize a translação seguida de uma rotação.
Conforme é exemplificado abaixo: Uso de translação e rotação .
a) Criar vetor ligando um ponto da figura A
ao correspondente na figura A' e transladar a
figura A, segundo o vetor criado.
Fig. 65b
b) Rotacionar sob o ângulo de 70º (sentido
horário) em torno do ponto de chegada do vetor
criando.
Fig. 66c
Espera-se que os alunos obtenham a congruência pelo uso de
composições de transformações.
Atividade 7: Abra o arquivo Congruência 4
As figuras A e A' são congruentes. Transformar a
figura A na figura A'. Que transformação você
usou?
Fig.67a
O objetivo é utilizar a rotação como transformação. Espera-se que o aluno
aplique a rotação, sentido anti-horário, utilizando o ângulo de 120º (sentido anti-
horário) indicado
.
Fig. 67b
Acredita-se que o aluno não terá dificuldade nessa atividade.
Atividade 8: Abra o arquivo triângulo2
Utilize a ferramenta da caixa de transformação
para verificar se os triângulos ABC e EDB são
congruentes.
Fig. 68a
92
Esta atividade tem o objetivo de levar o aluno a perceber as possíveis
transformações que pode fazer para levar um triângulo sobre o outro. Espera-se
que os alunos obtenham a congruência a partir de um desses casos:
(1)
Fig. 68b
Obter a mediatriz do segmento AE.
Utilizar a simetria axial, tomando a
mediatriz de AE como eixo de
simetria para obter a sobreposição
de ABC em BDE.
(2)
Fig.68c
Para obter:
Triângulo 1: identificar ângulo
D
B
A
∧
=33º e rotacionar Δ ABC,
com ângulo de 33º em torno de B.
Triângulo 2: Simetria axial da fig.1
em relação ao lado BD.
(3)
Fig.68d
Para obter:
Triângulo 1: Simetria central de
ABC
Triângulo 2: Criar vetor CD e
transladar a fig.1, segundo o vetor
CD.
Triângulo 3: Simetria axial da fig.2
em relação a AE.
(4)
Fig. 68e
Para obter:
Triângulo 1: Simetria central do
Δ
ABC em relação ao vértice B.
Triângulo 2: Rotação da fig.1, de -
118º, em torno de B.
Triângulo 3: Simetria axial de fig.2
em relação a BE.
(5)
Fig. 68f
Para obter:
Triângulo 1: criar vetor AE e
transladar o
Δ
ABC, segundo o vetor
AB.
Triângulo 2: obter a mediatriz de DF e
utilizar simetria axial e, relação ao eixo
de simetria DF
3
93
Atividade 9:
Abra o arquivo congruencia5
Os segmentos (Fig. 69a) MN e M'N' são
congruentes. Que transformações geométricas
levam o segmento MN no segmento M'N', de modo
que M seja levado em M' e N seja levado em N'?
Fig. 69a
Possibilidade de resolução 1: obtenção da mediatriz de NN' e MM'.
Fig.69b
Início
Obtenção de mediatrizes de MM' e NN'.
Identificação do ângulo formado pelo ponto N, o ponto
O (obtido pela interseção entre as mediatrizes) e o
ponto N'.
Fig. 69c
Resultado final
Rotação do segmento MN, ao redor
de O, utilizando o ângulo NÔN',
sentido horário.
Possibilidade de resolução 2: uma translação seguida de uma rotação.
Fig. 69d
Início
Cria-se um vetor, por exemplo, NN'.
Translada-se o segmento MN,
segundo o vetor NN'.
Fig. 69e
Resultado final
Obtenção do ângulo entre a fig1 transladada e o
segmento M'N'.
Rotação da fig 1, em torno de N', usando o ângulo
obtido anteriormente, sentido horário.
Possibilidade de resolução 3: Simetria axial e rotação
Fig. 69f
Início
Mediatriz de NN'.
Simetria axial e obtenção da fig.1.
Fig. 69g
Resultado final
Obtenção do ângulo entre a fig.1 transladada e o
segmento M'N'.
Rotação da fig 1, em torno de N', usando o ângulo
obtido anteriormente, sentido horário.
O O
94
3.3.2.2 - CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS – PLACA QUADRICULADA
As atividades com a placa quadriculada encerrarão a seqüência do bloco 2.
Tem por objetivo levar os alunos a verificar, empiricamente, os quatro casos de
congruência de triângulos por meio de construções. Em muitos livros didáticos
encontramos exercícios com figuras desenhadas em malhas pontilhadas ou
quadriculadas, ficando o manuseio dessas figuras nas malhas a mercê da
imaginação dos alunos. A proposta é fazer com que os alunos vivenciem a
construção de triângulos na malha quadriculada, tomem decisões a partir de suas
construções e tenham um primeiro contato com os casos de congruência de
triângulos. Em virtude disso, optou-se por realizar essas atividades na malha (fig.
76).
Fig. 70
Junto à malha quadriculada, serão utilizados os materiais: agulhas, régua,
compasso, transferidor, fitas, tesoura, uma folha contendo instruções para a
construção das figuras solicitadas (folha 1) e uma folha de análise e resposta
(folha 2). As agulhas serão utilizadas para marcar ou fixar os vértices dos
triângulos a serem construídos e dar mobilidade aos lados das figuras. Espera-se
que a agulha possa auxiliar os alunos na hora das escolhas das posições dos
lados do triângulo. Por exemplo, fixando uma das pontas da fita, a outra fica livre
para a escolha de uma posição para a construção do triângulo. Essa atividade 4
terá como pressuposto o conhecimento dos alunos em reconhecer duas figuras
congruentes tanto no aspecto de medições como o da sobreposição e
coincidência dos pontos das figuras analisadas. Com as construções e
representações, espera-se que os alunos percebam a construção dos casos de
congruência. O quadro a seguir refere-se à Folha 1, que proporá instruções para
95
verificações de possíveis construções de triângulos, somente com os dados
fornecidos:
Quadro 6 – Folha 1 – Congruência e triângulos
Utilize os seguintes materiais para essa atividade: placa de malha pontilhada, fita de
papel, agulha, régua e tesoura.
Construa na placa quadriculada um triângulo
ABC a partir das medidas dadas abaixo. Em
seguida responda às questões 1 e 2.
Questão 1: É possível
construir um triângulo a
partir das medidas
fornecidas?
Questão 2: É possível
construir outros triângulos
não congruentes ao que
você construiu, usando as
medidas fornecidas?
Item Medidas: sim não sim não
1
dado um lado (L): AB= 5 cm
2
dois lados (LL): AB = 5cm e AC= 3 cm
3
três lados (LLL): AB= 9cm, AC=7cm, BC=5cm
4
três lados (LLL): AB=7cm, AC=4cm, BC=2 cm
5
três lados (LLL):AB=10cm, AC=7 cm,
BC=3cm
6
três ângulos (AAA): Â=35º,
∧
B
=70º,
∧
C
=75º
7
três ângulos (AAA): Â=45º,
∧
B
=60º,
∧
C
= 80º
8
três ângulos (AAA): Â=80º ,
∧
B
=45º ,
∧
C
= 30º
9
dois ângulos (AA): CÂB= 60º, C
∧
B
A=35º
10
um ângulo (A): Â= 45º
11
um lado e um ângulo (LA): AB= 5cm,
BÂC=35º
12
um lado, um ângulo e outro lado (LAL):
AB=7cm, BÂC= 60º, AC=5cm
13
um ângulo, um lado, outro ângulo (ALA):
AB=6cm, BÂC= 45º e A
∧
B
C=30º
14
um lado, outro lado, um ângulo( LLA):
AB=5cm, AC= 3 cm, C
∧
B
A =30º
15
um lado,um ângulo, ângulo oposto(LAAo):
AB=6cm, CÂB=45º, A
∧
C
B= 30º
Os resultados das construções na malha quadriculada deverão ser
anotados na folha 1 e analisados na folha 2. Abaixo, são descritas as possíveis
respostas, estratégias e eventuais dificuldades que os alunos poderão encontrar
em cada um dos experimentos desta atividade 4. É esperado que, ao longo dessa
atividade, o aluno possa visualizar o triângulo, considerando como elementos os
lados e os ângulos, não somente os lados.
96
1. Dado um lado (L): AB= 5 cm: Nesse experimento os alunos podem utilizar a
régua ou a própria marcação da malha quadriculada para medir as fitas
conforme a medida dada, e não encontrarão dificuldade na realização deste
experimento.
Fig.71
Construções esperadas:
Espera-se que sejam feitas construções de triângulos
do tipo: ABC ou ABG – escaleno, ABD – retângulo,
ABF – eqüilátero, ABE – isósceles.
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível construir um
triângulo a partir das medidas
fornecidas? Sim.
Questão 2: É possível construir outros
triângulos não congruentes ao que
você construiu, usando as medidas
fornecidas? Sim.
Caso o aluno tenha dificuldade, a professora deverá pedir a construção de
dois triângulos, tendo como única restrição a medida de 5cm para um dos lados.
2. Dois lados (LL): AB = 5cm e AC= 3 cm: Nesse experimento os alunos podem
utilizar a régua ou a própria marcação da malha quadriculada para medir as
fitas conforme as medidas dadas.
Construções esperadas:
Fig. 72a
Possibilidade 1- Figura 78a: Espera-se que o
vértice C pertença a um dos pontos de uma
circunferência de um raio de 3cm, com
exceção dos pontos G e H.
Fig. 72b
Possibilidade 2 - Figura 79b: Poderá ocorrer
também do aluno começar com o lado AC.
Então, deverá a circunferência ter um raio de
5cm e as exceções são os ponto G e H.
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível construir um triângulo a partir das medidas fornecidas? Sim.
97
Questão 2: É possível construir outros triângulos não congruentes ao que você construiu,
usando as medidas fornecidas? Sim.
Caso o aluno tenha dificuldade, a professora deverá solicitar que se corte as fitas
no tamanho pedido e deixe livre apenas uma das extremidades de uma fita.
3. três lados (LLL): AB= 9cm, AC=7cm, BC=5cm: Espera-se que nesse
experimento os alunos utilizem a régua ou a própria marcação da malha
pontilhada para medir as fitas conforme as medidas dadas.
Construções esperadas:
Fig. 73
Com três fitas medindo 9cm, 7cm, 5cm, apenas uma possibilidade
de construção do triângulo ABC. ABC' se construído será
congruente a ABC. Com os pontos D, E, F, G, não é possível
construir triângulos.
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível
construir um triângulo a
partir das medidas
fornecidas? Sim.
Questão 2: É possível
construir outros triângulos
não congruentes ao que
você construiu, usando as
medidas fornecidas? Não.
Espera-se que os alunos não tenham dificuldades nessa construção,
porém, fiquem duvidosos com relação ao outro triângulo, se realmente a
construção der somente congruente.
4. três lados (LLL): AB=7cm, AC=4cm, BC=2 cm
Construções esperadas:
Fig. 74
Como não há interseção entre os lados com as medidas
fornecidas, os alunos deverão concluir que não é possível
construir o triângulo com as medidas dadas.
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível
construir um triângulo a partir
das medidas fornecidas? Não.
Questão 2: É possível
construir outros triângulos não
congruentes ao que você
construiu, usando as medidas
fornecidas? Não.
98
Na ocorrência de dúvidas, eles deverão ser orientados a recortarem as fitas
com as medidas fornecidas, fixar as fitas com agulhas nas extremidades A e B, de
modo que se procure unir as extremidades livres.
5. três lados (LLL):AB=10cm, AC=7 cm, BC=3cm: Acredita-se que nesse
experimento, os alunos utilizem régua ou a própria marcação da malha
pontilhada para medir as fitas conforme as medidas dadas. Para justificar a
não existência desse triângulo, é necessário que os alunos percebam que o
valor da soma das medidas de dois lados é igual ao outro lado.
Construções esperadas:
Fig. 75
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível construir
um triângulo a partir das
medidas fornecidas? Não.
Questão 2: É possível construir
outros triângulos não
congruentes ao que você
construiu, usando as medidas
fornecidas? Não.
Como não há intersecção entre os lados com as medidas fornecidas, os
alunos deverão concluir que não é possível construir o triângulo com as medidas
dadas.
6. três ângulos (AAA): Â=35º,
∧
B
=70º,
∧
C
=75º: Alguns alunos poderão apresentar
dificuldades em começar a construir o triângulo, em virtude da ausência de
uma das medidas dos lados, e tenha a necessidade do auxílio da professora.
Construções esperadas:
Fig. 76
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível construir um
triângulo a partir das medidas
fornecidas? Sim.
Questão 2: É possível construir
outros triângulos não congruentes ao
que você construiu, usando as
medidas fornecidas? Sim.
Caso algum aluno pergunte sobre a possibilidade de usar qualquer medida
do lado do triângulo a professora deve concordar e esperar que o aluno perceba
que, com isso, há várias formas de construção de triângulos nesse experimento.
99
Espera-se que alguns alunos, ao verificarem as medidas dadas dos
ângulos, possam responder de imediato que não é possível a construção de
triângulos em virtude da soma dos ângulos ser maior que 180º. Caso não
percebam essa propriedade dos triângulos, deverão utilizar a régua e transferidor
para concluírem a não possibilidade da construção.
7. três ângulos (AAA): Â=45º,
∧
B
=60º,
∧
C
= 80º
Construções esperadas:
Fig. 77
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível construir um
triângulo a partir das medidas
fornecidas? Não.
Questão 2: É possível construir
outros triângulos não congruentes ao
que você construiu, usando as
medidas fornecidas? Não.
Com as medidas fornecidas não será possível construir os triângulos. No
caso, a soma dos ângulos internos do triângulo é maior que 180º. Por exemplo,
no lugar de 80º deve-se ter 75º. Em caso de dúvida, o aluno deverá ser
questionado sobre o que pode mudar e o que não pode ser mudado na
construção.
8. três ângulos (AAA): Â=80º ,
∧
B
=45º ,
∧
C
= 30º: Como no experimento 7, espera-
se que alguns alunos, ao verificarem as medidas dadas dos ângulos possam
responder de imediato que não é possível a construção de triângulos em
virtude da soma dos ângulos ser menor que 180º.
Construções esperadas:
Fig. 78
Com as medidas fornecidas não será possível a
construção. Nesse caso, a soma dos ângulos internos é
menor que 180º. as medidas fornecidas? Não.
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível construir um
triângulo a partir das medidas
fornecidas? Não.
Questão 2: É possível construir outros
triângulos não congruentes ao que
você construiu, usando as medidas
fornecidas? Não.
Por exemplo, com as medidas 80º e
45º o outro ângulo é 55º
100
Caso não percebam essa propriedade dos triângulos, deverão utilizar a
régua e transferidor para concluírem a não possibilidade da construção.
9. dois ângulos (AA): CÂB= 60º, C
∧
B
A=35º : Nessa atividade o aluno deverá
perceber que a medida do primeiro lado é de livre escolha, portanto, ele
poderá construir inúmeros triângulos não congruentes ao primeiro.
Construções esperadas:
Fig.79
Medida do lado AB será de livre escolha do aluno.
Construção dos ângulos  e
∧
B
. Obtenção do vértice C pela
extensão do lado compreendido do ângulo de 60º e de 35º.
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível construir um triângulo a partir das
medidas fornecidas? Sim.
Questão 2: É possível construir outros triângulos não
congruentes ao que você construiu, usando as medidas
fornecidas? Sim. Conforme os triângulos ABC, ADE, AFG
construídos acima.
10. um ângulo (A): Â= 45º
Construções esperadas:
Fig. 80
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível construir
um triângulo a partir das
medidas fornecidas? Sim.
Questão 2: É possível construir
outros triângulos não
congruentes ao que você
construiu, usando as medidas
fornecidas? Sim.
Nesse caso dois lados têm medidas de livre escolha do aluno. A medida do
terceiro lado é obtida a partir dos outros dois. Os alunos deverão ser estimulados
a modificar as posições dos lados do triângulo, sem que se altere o ângulo de 45º.
11. um lado e um ângulo (LA): AB= 5cm, BÂC=35º: Espera-se que o aluno
relacione esse experimento com o de número 6, tendo agora, a medida
específica de um lado do triângulo.
101
Construções esperadas:
Fig.81
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível construir um triângulo a
partir das medidas fornecidas? Sim.
Questão 2: É possível construir outros
triângulos não congruentes ao que você
construiu, usando as medidas fornecidas? Sim.
12. Um lado, um ângulo e outro lado (LAL): AB=7cm, BÂC= 60º, AC=5cm : Espera-se
que o aluno relacione esse experimento com o de número 6, tendo agora, a
medida específica de um lado do triângulo.
Construções esperadas:
Fig. 82
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível construir
um triângulo a partir das medidas
fornecidas? Sim.
Questão 2: É possível construir
outros triângulos não congruentes
ao que você construiu, usando as
medidas fornecidas? Não.
13. um ângulo, um lado, outro ângulo (ALA): AB=6cm, BÂC= 45º e A
∧
B
C=30º: Espera-
se que os alunos construam e percebam que não é possível a construção de
outro triângulo que não seja congruente ao triângulo com as medidas dadas.
Construções esperadas:
Fig.83
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível construir
um triângulo a partir das medidas
fornecidas? Sim.
Questão 2: É possível construir
outros triângulos não congruentes
ao que você construiu, usando as
medidas fornecidas? Não.
102
14. um lado, outro lado, um ângulo( LLA): AB=5cm, AC= 3 cm, C
∧
B
A =30º: Espera-se
que os alunos percebam que devem escolher a medida do ângulo formado
pelos lados 5cm e 3cm.
Construções esperadas:
Fig.84
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível construir um triângulo
a partir das medidas fornecidas? Sim.
Questão 2: É possível construir outros
triângulos não congruentes ao que você
construiu, usando as medidas fornecidas?
Sim.
15. um lado,um ângulo, ângulo oposto(LAAo): AB=6cm, CÂB=45º, A
∧
C
B= 30º :
Espera-se que esse experimento seja o mais desafiador entre todos os
experimentos na placa quadriculada, pois a determinação do segundo lado do
triângulo está implicitamente ligada com ângulo de 30º e a formação terceiro lado.
A professora deverá se certificar que todos realizem essa tarefa. Intervir,
pedindo que os alunos trabalhem com o terceiro lado do triângulo
simultaneamente ao segundo e ao ângulo de 30º.
Construções esperadas:
Fig. 85
Respostas esperadas:
Questão 1: É possível construir um triângulo a
partir das medidas fornecidas? Sim.
Questão 2: É possível construir outros
triângulos não congruentes ao que você
construiu, usando as medidas fornecidas? Não.
Após as atividades com a placa quadriculada, forneceremos a folha 2, cujo
objetivo das atividades será fazer com que os alunos comparem, organizem e
concebam a noção de congruência de triângulos. Os alunos, tendo em mãos a
tabela da folha 1 preenchida e os triângulos construídos na placa quadriculada,
deverão responder as seguintes questões.
1. Explique a possibilidade ou a não possibilidade de construção de
triângulos com as medidas dos experimentos 3, 4 e 5 (LLL)
103
O objetivo dessa questão é fazer com que os alunos percebam que nem
sempre é possível a construção do triângulo, isto é, a condição de existência de
um triângulo (experimentos 4 e 5). Espera-se que os alunos respondam que no
experimento 3 foi possível, mas em 4 e 5 não foram, pois, a soma das medidas de
dois lados do triângulo deve ser maior que o outro lado.
2. Explique a possibilidade ou a não possibilidade de construção de triângulos
com as medidas dos experimentos 6, 7 e 8 (AAA).
O objetivo dessa questão é mostrar que apesar do fornecimento dos três
ângulos, nem sempre é possível a construção, em virtude da soma dos valores
dos ângulos serem maiores ou menores que 180º.
3. Analise os resultados da tabela e escreva abaixo o número do experimento
e os casos em que a construção do triângulo foi única, isto é, apresentou as
seguintes condições, simultaneamente: 1) foi possível construir um triângulo
com as medidas dadas e, 2) não foi possível construir outros triângulos não
congruentes.
Considera-se decisiva a resposta dessa questão. O objetivo é introduzir os
casos de congruência. Espera-se que os alunos listem os casos de congruência
sem dificuldade, Se houver dificuldades, as mesmas serão discutidas na fase de
institucionalização.
3.3.3. INSTITUCIONALIZAÇÃO
Nesse momento da seqüência será suscitada a integração dos aspectos
experimentais realizados, anteriormente, pelo aluno, com os aspectos teóricos
relativos aos casos de congruência de triângulos. Para isso, uma situação de
institucionalização deverá ser levada em conta. Pais (2001) sintetiza a finalidade
de uma institucionalização como sendo
Buscar o caráter objetivo e universal do conhecimento
estudado pelo aluno. Sob o controle do professor, é o momento onde
se tenta proceder a passagem do conhecimento, do plano individual e
particular, à dimensão histórica e cultural do saber científico. Por meio
dessas situações, o saber passa a ter um estatuto de referência para
o aluno, extrapolando o limite subjetivo. (Pais, 2001, p.73-74)
104
Assim, com o objetivo fazer a transição do nível G1 para G2 e a
institucionalização da atividade anterior com os aspectos teóricos dos casos de
congruência de triângulos, será realizada a integração entre os alunos e a
apresentação de um sumário, com as condições mínimas de congruência de
triângulos, conforme a experimentos já realizados pelos alunos.
A introdução de novos símbolos se faz necessária nessa fase, além da
condição lógica "se... então....", que passará a ser utilizada pelos alunos.
Quadro 7 – Institucionalização
Institucionalização: Casos de congruência
Condições mínimas para a congruência entre dois triângulos.
Triângulos congruentes são aqueles que têm os lados respectivamente congruentes e os
ângulos respectivamente congruentes. Não precisamos comparar todos os lados e ângulos de
dois triângulos para reconhecer que são ou não congruentes. Basta verificarmos as condições
mínimas de congruência.
Símbolo de congruência:
≅
Símbolo do triângulo ABC:
ΔABC
Nos triângulos abaixo, cada tracinho indica a congruência de lados ou de ângulos.
Caso Lado, ângulo, lado (LAL)
Se
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≅
≅
≅
∧∧
____
____
____
então:
ΔABC≅ΔPQR
Caso Ângulo, lado, ângulo (ALA)
Se
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≅
≅
≅
____
____
____
então:
Δ___≅Δ___
Caso Lado, lado, lado ( LLL)
Se
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≅
≅
≅
____
____
____
então: ___
≅___
Caso Lado, ângulo, ângulo oposto ( LAAo)
Se
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≅
≅
≅
____
____
____
então: ___
≅Δ___
Se dois triângulos apresentam uma dessas condições então os dois triângulos são congruentes.
105
3.3.3. ANÁLISE A PRIORI DAS ATIVIDADES DO BLOCO 3 – PROVAS
Nas atividades desenvolvidas para esse bloco, os alunos deverão ser
estimulados a justificar suas respostas de acordo com os resultados obtidos nos
experimentos anteriores e os casos de congruência de triângulos. Tudo que
estudaram e experimentaram até agora será imprescindível a cada aluno, pois
esperamos ter estimulado o aspecto da percepção, construção, representação e
dedução sobre a congruência.
De acordo com propostas de Freudenthal, os blocos que precederam a
este, objetivavam organizar localmente o estudo e concepção de congruência de
figuras, em particular, os casos de congruência de triângulos, dando condições
para os alunos utilizarem, de forma significativa, os casos de congruência e
realizarem provas em problemas. O objeto utilizado nesse bloco é teórico e as
validações ocorrerão no nível G2.
A seguir, são apresentados os problemas em que os alunos deverão
utilizar os casos de congruência, a partir da vivência e descobertas realizadas
anteriormente.
Utilize os casos de congruência de triângulos para justificar e
responder as questões a seguir:
1. Uma reta é perpendicular ao segmento AB
passando pelo ponto médio M. Seja P um
ponto qualquer da reta, diferente de M(Fig.
86). Prove que PA
≅PB. Justifique.
Fig. 86
Está será a primeira atividade após a institucionalização. Espera-se que os
alunos visualizem o caso de congruência LAL entre os triângulos congruentes
PMA e PMB, pois, AM≅MB, PM é lado comum, A
M
P
∧
≅
B
M
P
∧
.Se o aluno
encontrar dificuldade na resolução, será solicitado que identifique os triângulos
que parecem ser congruentes e os construa separadamente com seus
respectivos lados e ângulos congruentes.
2. Rafael quer ir da cidade A para a cidade B. Porém a estrada que liga diretamente as duas
cidades está interditada. Ele tem que optar, então, por dois caminhos possíveis, veja a figura.
106
Qual o menor caminho a ser percorrido: ir de A para C e depois B ou ir de A até D e depois B?
Justifique sua resposta.
Situação real
Modelo matemático
Fig. 87
Este problema apresenta a representação real e o modelo matemático para
auxiliar o aluno a interpretar a situação proposta. Espera-se que os alunos
respondam que não importa o caminho a ser escolhido: AB+CB =AD+DB. A
justificativa está na constatação, utilizando o caso LAL, que os dois triângulos
ABC e ABD são congruentes, pois: BÂC ≅ DÂB (ângulos de 40º), AC≅AD (dado
no problema), AB é lado comum.
3. Um avião levanta vôo para ir da cidade A à cidade B, situada a 500km de distância. Depois de
voar 250 km em linha reta, o piloto descobre que a rota está errada e, para corrigi-la, ele altera
a direção do vôo de um ângulo de 90
o
. Se a rota não tivesse sido corrigida, a que distância ele
estaria de B após ter voado os 500km previstos. Justifique a sua resposta
.
O objetivo dessa questão é fazer com que os alunos interpretem o
problema e resolvam utilizando o caso LAL de congruência de triângulos. Espera-
se que os alunos recorram à representação da situação, pois, uma boa
representação os levará a um caso de congruência:
Espera-se a seguinte interpretação da questão:
Fig. 88a - Interpretação inicial Fig. 88b - Interpretação final
Inicialmente, os alunos deverão ser capazes de reconhecer que o avião chega ao seu destino
(ponto B) e reconhecer que D é ponto médio do segmento AC.
C
D
B
A
20 km
20 km
40
o
40
o
107
O aluno deverá responder que a distância da cidade B até C (se não tivesse sido corrigido) é de
500km, pois o triângulo ABD
≅ triângulo CDB. Justificado pelo caso LAL : AD≅CD – D é ponto
médio;
BDCBDA
∧∧
≅
- AC⊥ BD; BD≅BD – lado comum
Se os alunos encontrarem dificuldades, deverão ser estimulados a
desenhar separadamente as duas figuras (triângulos congruentes) e analisá-las.
4. O solo é considerado a base de todas as outras provas da Ginástica Olímpica. Os rolamentos
são os primeiros elementos a se aprender. Na ilustração a ginasta realiza um dos movimentos
básicos. Considere o alongamento perpendicular AB inicial igual ao final EF. Considere,
também, que BC é congruente a DE. O que você pode dizer sobre a distância CF e DA?
Justifique.
Fig. 96 - Rolamento de costas carpado
Espera-se que os alunos transcrevam a situação num modelo matemático
para justificar a congruência entre CF e DA. As possíveis repostas estão
descritas a seguir:
Uma estratégia de resolução poderá ser:
Fig. 89a
Os triângulos ABD e FEC são congruentes pelo
caso LAL, pois: AB
≅EF (dado do problema) ;
BD
≅CE (CD é comum aos lados BC e CE);
DEFCBA
∧∧
≅
(dado do problema: AB e EF são
perpendiculares ao segmento BE)
Outra estratégia de resolução poderá ser:
Percebendo a congruência entre os triângulos
ABC e DEF, pelo caso LAL, pode-se verificar
também:
Fig.89b
• Triângulos ACD e FDC são congruentes
pelo caso LAL, sendo:
DCACDF
∧∧
≅ -
ângulos suplementares de
BCA
∧
e
E
DF
∧
respectivamente
• CD lado comum
• AC≅FD – lados correspondentes dos
triângulos congruentes ABC e FDE
A
B CDE
F
108
O aluno poderá resolver também com a
seguinte estratégia:
Fig.89c
Traçando uma paralela passando pelos pontos
A e F: os triângulos ACF e FDA são
congruentes pelo caso LAL, sendo: AF
≅AF –
lado comum; AC
≅FD – lados correspondentes
dos triângulos congruentes ABC e FDE;
CAFDFA
∧∧
≅ - ângulos complementares de
BAC
∧
e
E
FD
∧
respectivamente.
Será solicitado ao aluno que visualize o que estudou no Cabri com relação
às transformações, no caso o que foi feito do triângulo ABC para transformar em
FDE. Na hipótese do aluno não visualizar alguma dessas formas, forneceremos
régua para que ele possa confirmar a congruência do lado AD com FC.
Outrossim, será solicitado ao aluno que construa a figura separadamente
indicando ângulos e lados correspondentes congruentes.
5. Considere uma circunferência de centro O e uma corda AB. Seja M o ponto médio da corda.
Complete a frase abaixo usando as palavras sempre, nunca, às vezes. "O segmento OM é
perpendicular ao segmento AB". Justifique sua resposta.
Espera-se que o aluno possa representar a figura:
Resposta esperada:
Construção 1: O centro O da circunferência não pertence à corda AB.
• OB e AO são congruentes, pois têm a medida do raio da circunferência.
• Os triângulos AOM e BOM são congruentes, pelo caso LLL: OA ≅OB (raio da circunferência);
MA
≅MB (M é ponto médio) e OM≅OM ( lado comum).
ou Fig. 90a
Construção 2: O centro da circunferência O pertence à corda AB
Fig.90b
Nesse caso, não haverá segmento OM, pois o ponto O
coincide com M.
Portanto, pode-se afirmar que às vezes "o segmento OM
é perpendicular ao segmento AB".
109
6. Um triângulo CDE pode ser obtido pela rotação de 90º do triângulo ABC, sentido anti-horário
(positivo), ao redor do ponto C (Fig.91a). Podemos afirmar que o ângulo C
∧
D
B tem medida
igual a _____. Justifique sua resposta.
Essa questão está ligada às atividades que serão
realizadas no Cabri II quando os alunos utilizarão a
rotação. Nesse caso toma-se como congruente o triângulo
CDE originado de uma rotação do triângulo A BC. É uma
tarefa trabalhosa, senão difícil, pois, espera-se que o
aluno possa identificar os elementos congruentes, que se
lembre que a soma dos ângulos internos de um triângulo
é igual a 180º, que o triângulo BCD é isósceles e,
portanto, os lados BC e CD são congruentes.
Fig. 91a
Identificação esperada:
Fig. 91b
Resposta esperada: Nessa questão os alunos deverão identificar:
1.
DCE
∧
=80º, pois complementa a soma dos ângulos 40º+60º do
total 180º,
2.
°=°=°=
∧∧∧
40,60,80 BACCBAACB
,
3.
∧
CAB
=80º e
DCA
∧
=10º, pois o giro foi de 90º (
°=
∧
90DCB
) sentido
positivo anti-horário,
4.
Δ
BCD é isósceles, pois BC
≅
CD.
5. De 3 e 4, temos que
DBC
∧
=45º e BDC
∧
=45º
Portanto, C
∧
D
B é igual a 45º .
Algumas questões e orientações deverão ser feitas para auxiliá-los: 1)
Quais são as medidas dos ângulos dos triângulos ABC e CDE? 2) Indique os
ângulos e lados correspondentes. 3) Se girou 90º os lados correspondentes
devem ter girado quantos graus? 4) Construa novamente a figura, identificando as
medidas dos lados e ângulos, bem como seus lados e ângulos correspondentes
congruentes.
7. Um triângulo isósceles é um triângulo que tem dois lados congruentes. Prove que os ângulos
da base de um triângulo isósceles são congruentes.
110
Estratégia 1:
Representar dois triângulos ACD e BDC traçando uma bissetriz relativa ao ângulo C.
Utilizando o caso LAL prova-se que os ângulos da base são congruentes, pois AC≅BC (lados
congruentes do triângulo isósceles); CD lado comum;
DCBDCA
∧∧
≅
(ângulos formados pela
bissetriz relativa ao ângulo C).
Fig. 92a Fig. 92b
Estratégia 2:
Como AC≅ BC, pode-se traçar, passando por C, uma mediana CD relativa ao lado AB, onde
D é ponto médio de AB.
BCDACD Δ≅Δ , pois pelo caso LLL prova-se que os ângulos da base são congruentes
(AC
≅ BC, CD é lado comum, AD
≅
BD).
Fig.93a Fig. 93b
Caso o aluno tenha dificuldade será solicitado a ele que separe as figuras e
identifique os elementos congruentes.
8. Seja o triângulo ABC e M o ponto médio do lado AC. Uma semi-reta com origem em B
passando por M é traçada. P e Q são pontos da semi-reta. AP e CQ são perpendiculares à
semi-reta dada. Prove que AP
≅QC.
Respostas esperadas:
Estratégia 1: O aluno poderá pensar num triângulo eqüilátero
ou isósceles. Nesse caso o aluno poderá notar que o ponto M
coincide com P e Q. Como M é ponto médio, AP
≅QC.
Fig. 94a
Estratégia 2: Se o aluno pensar e representar num triângulo
escaleno, poderá obter uma figura como construída abaixo.
Nesse caso, o aluno deverá justificar que os triângulos APM e
OQM são congruentes pelo caso LAAo, pois:
QMCPMA
∧∧
≅
-
opostos pelo vértice;
MQCMPA
∧∧
≅
(mediana do lado AC é
perpendicular aos segmentos AP e CQ); AM
≅MC (M é ponto
médio).Portanto AP
≅QC.
Fig. 94b
111
Estratégia 3: Podemos perceber também que AP é paralelo
QC e a mediana do lado AC e o lado AC são as transversais.
Com isso, os triângulos APM e OQM são congruentes pelo
caso ALA
MCQMAP
∧∧
≅ - ângulos alternos internos;
QMCPMA
∧∧
≅
- opostos pelo vértice; AM≅MC (M é ponto
médio). Portanto AP
≅QC.
Fig. 94c
Espera-se que o aluno interprete o problema, identifique os elementos
congruentes e se caso tiver dúvidas, deverá ser estimulado a representar
triângulos e identificar elementos fornecidos pelo problema.
9. Dadas as retas r e s com ponto de interseção em O. B é simétrico do ponto A em relação à
reta r e C é simétrico do ponto B em relação à reta s. O ponto B está na região em que as
retas r e s formam o ângulo
θ (teta). O que se pode dizer do ângulo AÔC e relação ao ângulo
θ? Justifique.
Fig. 95a
Nesta atividade o aluno poderá por em prática os conceitos estudados no
Cabri sobre as transformações. Deverá saber que A é o ponto original, sendo que,
pelo uso da simetria axial será obtido o ponto B em relação a reta r e, depois, o
ponto C simétrico do ponto B pela reta s. O segmento AB deverá ser
perpendicular ao eixo de simetria, reta r.A reta r é mediatriz do segmento AB e a
reta s é mediatriz do segmento BC.
Possíveis construções:
Fig. 95b Fig. 95c
112
Dessa forma tem-se dois triângulos isósceles AOB e BOC. O aluno poderá utilizar os seguintes
casos de congruência para justificar que AÔC = 2
θ.
1. A e B sendo simétricos, temos
BODDOA
∧∧
≅ pois os triângulos AOD e DCB congruentes
pelo caso LAL:
ODBODA
∧∧
≅ (OD é perpendicular a AB); AD≅BD (D é ponto médio); OD lado
comum.
2. Da mesma maneira, prova-se que CÔE
≅EÔB. Como θ = DÔB+EÔB, então, pelos resultados
obtidos em 1 e 2, temos que AÔD+CÔE =
θ, portanto AÔC= DÔB+EÔB+ AÔD+CÔE = 2θ.
10. Considere uma circunferência de centro O e uma corda AB. Pelo ponto O trace uma reta
perpendicular ao segmento AB. Essa reta intersectará o segmento AB num ponto G. Complete
a frase usando as palavras sempre, nunca, às vezes. "G é ponto médio do segmento AB".
Justifique sua resposta.
Essa questão tem por objetivo analisar a representação e construção da
figura, a interpretação do texto pelos alunos, aplicação dos casos de congruência
de triângulos. Os alunos, igualmente, deverão utilizar propriedades anteriormente
estudadas como o ponto médio, mediatriz, retas perpendiculares.
Construções esperadas: Exemplificam-se abaixo algumas das
possíveis construções que os alunos podem chegar a fazer: O
centro da circunferência não pertence ao segmento AB.
Possivelmente, a figura que mais aparecerá será a figura como a
Fig. 96a. Nesses casos, esperamos como justificativa: O triângulo
AOB é isósceles, pois AO
≅BO – raio da circunferência. Os
triângulos BOG e AOG são congruentes pelo caso LAAo, pois,
AO
≅BO – raio da circunferência ,
AGOBGO
∧∧
≅
- é dado que
OG é perpendicular a AB;
Â
B
≅
∧
- resultado da questão 7.
Portanto, AG
≅BG, e G está entre A e B e é ponto médio.
Fig. 96a
Outra situação deverá ser analisada pelos alunos:
O centro da circunferência pertence ao segmento AB .
Sendo AB o diâmetro da circunferência, temos que G coincide
com o centro O da circunferência; AO
≅BO são raios da
circunferência. Portanto G é ponto médio de AB.
Como em todos os casos possíveis G é ponto médio, então,
podemos acrescentar a palavra sempre.
Fig. 96b
113
11. Os Quadriláteros ABCD e AEFG (Fig. 97a) são quadrados. Mostre que os segmentos DG e
BE são congruentes.
Fig. 97a
Esta atividade está associada ao estudo dos quadriláteros. No caso, o
quadrado deverá ser entendido como sendo uma figura que tem os lados
congruentes e os ângulos internos retos. O objetivo é verificar se os alunos
conseguem perceber os triângulos congruentes ADG e EBA. Um dos itens que
dificultará a visualização é o ângulo DAE que é comum, não faz parte dos dois
triângulos a serem analisados, mas que é imprescindível para a decisão da
congruência.
Construção esperada: O aluno deverá perceber que:
• AG≅AE≅EF≅FG – lados do quadrado AEFG.
• AB≅BC≅CD≅AD – lados do quadrado ABCD.
• BÂD = 90º e EÂG = 90º - ângulos dos quadrados
ABCD e AEFG.
• BÂD = ê + î = 90º e EÂG = ô + î = 90º.
• ê ≅ ô pois, ê + î = ô + î = 90º - î é comum.
Os triângulos ABE e EDG são congruentes pelo caso LAL:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≅
≅
≅
ôê
AGAE
ADAB
, portanto DG≅BE.
Fig. 97b
Na ocorrência de dúvida, a professora deverá auxiliar com um dos
seguintes itens: 1) a pedir que identifiquem os triângulos congruentes; 2) a
reconstruírem as figuras identificando os elementos congruentes, visando o que a
questão pede; 3) a tentar imaginar o quadrado menor girando em torno de A.
Poderá auxiliar o aluno: imaginar ou representar o quadrado menor girando
sobre o menor e analisar algumas posições em que poderá facilitar a visualização
da congruência.
114
Fig. 97c
Fazendo com que um dos lados do quadrado ABCD
coincida sobre o lado AE do quadrado EFGA:
DG
≅BE, pelo caso LAL: AG≅AE (lados do quadrado
EFGA); AD
≅AB(lados do quadrado ABCD);
GÂD
≅EÂB(ângulos internos dos quadrados).
Portanto DG
≅BE.
Fig. 97d
Levando os lados do quadrado ABCD
para fora do quadrado EFGA, tem-se:
Triângulo ABE
≅ ADG, com AB
≅AD(lados de ABCD); AG≅AE(lados de
EFGA); e BÂE
≅DÂG (sendo â comum),
BÂD+â = GÂE+â. Portanto DG
≅BE.
Fig. 97e
Sendo BÂD oposto a GÂE pelo vértice A, GD é
perpendicular a EB. DG
≅ BE pois, DG = GA + AD =
BE = AE+BA , com GA
≅ AE e AB ≅ AD.
Fig. 97f
Nesse caso ao invés de somarmos,
subtraímos as medidas dos lados dos
quadrados. Portanto DG
≅BE.
115
:
CAPÍTULO 4
EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE A POSTERIORI
As pesquisas em educação matemática mostram que o conceito de
congruência não se resume a uma definição, para a sua apropriação é
necessário explorar atividades que levem, "o aluno a descobrir os significados e
as relações entre os conceitos envolvidos" (Brito, 2001, p.74). Segundo Machado
(2005) essas atividades devem permitir a transição da percepção à
conceptualização, incorporando atividades de construção e representação
A rede conceitual proposta no capítulo 3 (pág. 83) foi aplicada na
seqüência didática e os resultados dessa aplicação e as expectativas e objetivos
descritos na análise a priori serão comparados e analisados nesse capítulo. No
bloco 1 e 2, serão utilizados para análise, os níveis de desenvolvimento do
pensamento geométrico propostos por Parzsyz (2001) e no bloco 3, as
categorias de prova de Balacheff.
A análise buscará respostas para as questões de pesquisa, formulada no
capítulo 3: Em que medida o processo de transição do concreto para o espaço-
gráfico contribui para a apropriação do conceito de congruência? E em que
medida esse processo favorece a passagem do empírico para o dedutivo?
No quadro abaixo, é apresentada uma síntese dos principais objetivos de
cada atividade da seqüência.
Quadro 8 - Quadro resumo dos objetivos das atividades da seqüência de ensino
B A Q
Atividade Objetivo
1 1 1
Sacola com objetos
congruentes
Utilização de material concreto, objetivando a descoberta do
significado de congruência, de forma geral. (Objeto físico e
validação perceptiva).
1 1 2
Explicar o que são
objetos congruentes
Expressar, via escrita a concepção sobre os objetos
congruentes em seu aspecto geral.
1 2 1
Figuras 1 e 2
bidimensionais
Explorar a superposição de figuras congruentes, por meio de
representação de figuras bidimensionais. (Objeto físico e
validação perceptiva).
1 2 2
Figuras 3 e 4
bidimensionais
Explorar a superposição de segmentos e figuras congruentes,
por meio de representação de figuras bidimensionais. (Objeto
físico e validação perceptiva).
1 2 3
Explicar o que são
figuras congruentes
Expressar, via escrita a concepção sobre os objetos tri e
bidimensionais congruentes em seu aspecto geral.
1 3 1 Jogo da
Utilização de vários objetos bidimensionais, objetivando a
116
congruência
descoberta do significado de congruência por superposição.
(Objeto físico e validação perceptiva).
1 2 2
Jogo da
congruência
Explorar a congruência com a realidade do aluno. Analogia
com jogo tradicional.
2 1 1-9 Transformações
Explorar as transformações isométricas utilizando o
computador. Identificar os elementos e propriedades de cada
transformação. Transição entre o concreto e o abstrato.
2 2 1-15 Placa quadriculada
Explorar a construção de triângulos e suas propriedades
(condição de existência e os 4 casos de congruência de
triângulos).
2 Institucionalização
Institucionalizar o objeto matemático congruência, em
particular os 4 casos de congruência de triângulos.
3 1 1-11 Problemas
Explorar os casos de congruência de triângulos. (objeto
teórico, validação dedutiva).
B: Bloco; A: Atividade; Q: Questão.
Atendendo a um convite para um curso de Geometria, com ênfase no
estudo da Congruência, 13 alunos do 1
o
ano do Ensino Médio, de uma escola da
rede pública do Estado de São Paulo, participaram da seqüência de ensino desta
pesquisa. Inicialmente, esses alunos formaram 6 grupos, sendo 5 duplas e 1 trio:
(D e G), (Ev e Va), (Am e Re), (Da e Ma), (Gi e Rs) e (A, El e Ro).
Nos dias da aplicação da seqüência, novas duplas foram constituídas, em
virtude da ausência de alguns alunos. Para tanto, foram consideradas nesta
pesquisa, para fins de análise e acompanhamento das resoluções, as atividades
das duplas (A, El e Ro), (Gi e Rs) e (D e G) que estiveram sempre presentes.
4.1. ANÁLISE A POSTERIORI DAS ATIVIDADES DO BLOCO 1 - CONCRETO
Atividade 1: Sacola com objetos congruentes.
Os objetos contidos na sacola são congruentes dois a dois.
Questão 1. Procure regularidades nos objetos e identifique os pares de objetos congruentes. Cole,
lado a lado, com fita adesiva, os pares de objetos congruentes na folha dada
.
O objetivo dessa atividade era a apropriação do conceito de congruência
pelos alunos, por meio da visualização (nível G0) de objetos de natureza física
(Parzsyz, 2001). Para isso, os alunos deveriam organizar, comparar, selecionar e
buscar regularidades entre pares de objetos congruentes que foram previamente
selecionados e introduzidos em uma sacola. Através da percepção dos aspectos
gerais dos objetos, os alunos deveriam chegar à conclusão de que objetos
117
congruentes mantêm a forma e o tamanho. As fotos (Fig. 98a e 98b) ilustram um
dos momentos e o resultado final da atividade.
Fig. 98a
Fig. 98b
Não houve perguntas e pode-se perceber que os componentes de cada
grupo participaram ativamente, trocando idéias e opiniões, separando ou
agrupando os objetos antes de fixar na cartolina. A dupla (D e G) apresentou
dificuldade para perceber, assegurar e descrever o que são objetos congruentes.
Utilizou os termos "parecido, semelhante e igual", para designá-los: "Objetos
congruentes são iguais"; "Ou objetos parecidos. Não são da mesma cor, são
parecidos"; "... Semelhantes. Como vocês estão vendo... colher, palito, copo,
cabides são iguais, bolinha, copo de plástico, são objetos semelhantes". O diálogo
mostrou que a dupla ainda estava bastante confusa em descrever o que são
objetos congruentes.
A dupla (Ev e Va) comentou “não mudar de forma”, "não se pode quebrar,
não deformar, não mudar o comportamento da forma". As anotações do
observador foram importantes para esclarecer o que a dupla realmente queria
dizer. Além de anotar os procedimentos utilizados pela dupla, "separação dos
objetos conforme o formato, comparação e análise dos objetos"
, anotou, também,
alguns comentários esclarecedores: "
são congruentes quando são grandes, de
mesma forma
"; "congruentes, os que são iguais" (disseram quais eram os objetos
"iguais"). Com essas informações pode-se constatar que a dupla estava a
caminho de atingir a noção do conceito de congruência, no que se refere ao
aspecto geral de objetos congruentes.
Com relação à atuação dos grupos, alguns objetos que não eram tão
evidentes, mas se comparados com outros, era possível perceber as
regularidades no aspecto geral, dificultaram a identificação da congruência.
Destacam-se as fitas congruentes, pois, todos os grupos tiveram, de alguma
118
forma, dificuldades para separá-las. A cor influenciou muito e gerou muita dúvida.
Ignoraram o fato de se ter outros objetos congruentes dois a dois, com cores
diferentes.
Quadro 9 – Resultado esperado e obtido da atividade 1 – concreto
Resultado Esperado
Era esperado, uma resposta conforme a
ilustração ao lado: duas fitas de 15cm( azul
congruente à rosa) e duas fitas de 11,5 cm
(azul congruente à rosa).
Resultados obtidos
1. Cinco duplas, influenciadas pela cor,
separaram as fitas ignorando o tamanho.
2. O trio, também influenciado pela cor, cortou
as pontas das fitas de 15cm para que ocorresse
a congruência.
O grupo formado pelas três alunas tomou a iniciativa de cortar as fitas de
modo que as tornassem congruentes. A aluna El esclarece: "Tinham duas fitinhas
azuis e duas rosas. Ai, o que a gente fez para ficar congruente, tipo..., a gente cortou a
azul para ficar do mesmo tamanho que a azul, a rosa com a rosa. Mas, tipo..., antes a
gente deveria ter medido, tipo uma azul com uma rosa e a gente já cortou. Mas foi uma
forma que a gente achou de ficar congruente
”.
De maneira geral, pode-se dizer que os grupos atingiram parcialmente o
objetivo da atividade 1, pois, na cartolina representaram os objetos congruentes,
com exceção das fitas, e nos diálogos e observações, os alunos mencionaram o
tamanho e forma para caracterizar objetos os congruentes. Por outro lado,
tiveram dificuldades em descrever (questão 2) o que perceberam das
regularidades. Na busca de um significado para congruência, constantemente
utilizaram o termo igual, coincide, parecido e semelhante para designar a
congruência. A seguir, a questão 2 e as fotos que ilustram o momento em que
responderam a essa questão.
Questão 2: Se você fosse explicar para um colega de classe o que são objetos congruentes, o
que você diria a ele?
Fitas de 15 cm
Fitas de 11,5cm
119
Fig. 99a
Fig. 99b
Esta questão objetivava explorar nos alunos a justificativa em linguagem
natural. Os alunos deveriam explicar o que eram objetos congruentes. As
respostas dos grupos à questão 2, são transcritas a seguir:
D e G: Diria que são objetos semelhantes.
EV e VA: São aqueles que podemos ou não mudar de forma. Ex.podem mudar de forma:
clips, alfinete, luva e as fitas. Ex: não podem mudar de forma: botões, as porcas, os copos de
brinquedo, as bolinhas “.
Da e Ma: 1. Os objetos estão em pares, e os pares são idênticos uns aos outros, o que muda é o tamanho
(copo descartável, colher descartável, fitas, parafuso, porca); 2. Diríamos que objetos congruentes são
objetos com mesmo jeito, o que muda é o tamanho e a cor .
Am e Re: Diria que são objetos iguais, ou seja, têm os mesmos formatos e são dois ou mais.
Gi e Rs: Que são objetos que se ligam em um ponto.
El, Ro e An: Em primeiro lugar, daria, a ele um exemplo que seria congruência. Para se ter
noção disso, seria mais simples imaginar uma figura diante de um espelho. Se olharmos no
reflexo, perceberemos que a figura se inverteu. No caso da geometria, invertem-se os pontos.
Fig. 100
Na foto, visualiza-se que o trio percebeu a congruência pela reflexão, pois
a disposição dos objetos, realmente estão "espelhados", e está claramente
explicito que escolheram os objetos de mesmo tamanho e mesma forma, para a
apresentação na cartolina. Tal fato pode ser relacionado a utilização de
120
informações obtidas do estudo com as ferramentas de transformações do Cabri-
géomètre (anexo 10), em particular a simetria axial.
No geral, a tarefa foi cumprida por todos os grupos. Não foi uma tarefa
fácil, pois perceber os objetos congruentes e descrever o que são objetos
congruentes são tarefas que estão entre a percepção e concepção do conceito de
congruência, mas que segundo Machado (2005), é fundamental a articulação
entre as atividades perceptivas e momentos de elaboração conceitual.
Verificou-se também, que os alunos separaram e fixaram os objetos na
cartolina, adequadamente, mas tiveram dificuldades em redigir o que entendiam
por objetos congruentes. Nesse caso, ocorre um conflito entre o que se percebe e
o que, realmente, se sabe sobre a congruência (Parzysz, 2001). Exemplificando,
a dupla (Gi e Rs) separou os objetos na cartolina adequadamente, com exceção
das fitas, mas explicou que os objetos deveriam se ligar em um ponto. A
ocorrência de tal evento conduz ao seguinte parecer: a dupla necessita visualizar
outras regularidades e até mesmo irregularidades entre os objetos para decidir
sobre a congruência. Importante ressaltar a ocorrência da dificuldade em
expressar, por meio da escrita, tal como ocorreu na pesquisa para verificação e
viabilidade de um estudo sobre congruência, descrito no capítulo 1, que ocorreu
um menor número de acertos na questão 1 (descrição de figuras congruentes) do
que na questão em que os alunos deveriam representar as figuras congruentes.
Na atividade 2 a seguir, os alunos continuaram a trabalhar com objetos de
natureza física (no concreto) e tiveram a oportunidade de se aprofundar no
conceito de congruência.
Atividade 2: Figuras planas congruentes
O objetivo dessa atividade foi apresentar uma situação em que o aluno
tivesse que escolher entre medir, comparar ou sobrepor para validar sua
resposta, dando continuidade na elaboração do conceito de congruência. Nesse
caso, apenas olhar já não bastaria para justificar, com certeza, se os objetos eram
congruentes. A exploração se deu em figuras com segmentos e curvas (situação
1) e com segmentos (situação 2). Os objetos são bidimensionais e para essas
atividades foram deixados à disposição alguns instrumentos para auxiliar os
121
alunos na tomada de decisão: régua, tesoura, compasso, papel transparente,
transferidor.
Situação 1: O que você acha sobre as figuras 1 e 2, elas são congruentes? O que você faria para
decidir se as figuras são ou não congruentes?
Figuras 1 e 2:
As figuras 1 e 2 são congruentes?
( )sim ( )não
Justifique.
Explique o que você fez para
justificar sua resposta.
Fig. 101
Os resultados da situação 1, da atividade 2, estão na tabela abaixo:
Situação 1: As figuras 1 e 2 são congruentes?
Dupla Sim Não Justificativa
Instrumentos
solicitados
pelos alunos
1
D e G
x Mesmo as figuras sendo de forma curva, elas são do
mesmo tamanho. Se colocarmos uma figura em cima
da outra, elas serão iguais.
Régua e
comparação
(visual).
2
Ev e
Va
x Porque elas parecem ser diferentes umas das outras, mas
acabam sendo idênticas. 1º medimos várias vezes e
pensamos que fossem diferentes. 2º cortamos e vimos que
era só impressão e que tinham as mesmas medidas.
Fita
Régua
Tesoura
3
Am e
Re
x Porque as duas têm medidas iguais. Eu peguei uma fita e
medi com uma linha na fita marcando os cm de cada figura.
Fita
Régua
4
Da e
Ma
x Medimos os lados com a régua e verificamos que a figura
1 tem essas medidas (10,5cm; 7cm; 14,5cm; 6cm) e a
figura 2 essas outras medidas (10,5cm; 14,25cm; 6cm;
7cm).
Régua
5
A,El e
Ro
x Elas são congruentes porque uma tem o mesmo tamanho
e formato da outra. Recortamos a figura 2 e colocamos
uma sobre a outra.
Tesoura
6
Gi e
Rs
x Pois se grudarmos uma na outra elas vão se ligar por
pontos, mas vai ser uma figura paralela a outra. 1º
mudamos a posição da figura 2 e formamos uma nova
figura ligada por pontos. Recortamos as figuras numa 2ª
tentativa de achar a resolução.
Percepção
visual
Tesoura
Tabela 3 – Justificativas: atividade 1, com figuras planas, questão 1.
As duplas, em sua maioria, satisfizeram-se em medir as figuras 1 e 2 para
validar suas respostas. Essa escolha mostra que a atividade foi resolvida no nível
G1 de Parzysz (2001). O fato das duplas solicitarem mais a régua pode estar
associado ao que eles utilizam, comumente, no cotidiano escolar. Por exemplo,
Figura 1
Figura 2
122
nenhuma dupla solicitou papel transparente para reproduzir e verificar a
congruência por superposição.
A tesoura foi utilizada por três grupos, sendo que dois grupos (Ev e Va) e
(Na, El e Ro) constataram a congruência por superposição de figuras ao
afirmarem: "colocamos uma figura sobre a outra".
A outra dupla (Gi e Rs), não percebeu que a congruência era justamente o
que estava negando "Pois se grudarmos uma na outra elas vão se ligar por
pontos, mas vai ser uma figura paralela à outra". Para a dupla, a congruência
ocorre se houver intersecção entre as figuras. A utilização da palavra "paralela"
ou "intersecção" pode ter sido resgatada das atividades anteriores com o palito de
sorvete ou nas atividades com as ferramentas do Cabri (vide anexo 10).
As duplas 4 e 6 ainda apresentam idéia equivocada do conceito de
congruência de figuras. O aspecto visual ainda foi relevante para as duas duplas,
dada das expressões: "se colocarmos uma figura sobre a outra", ou "se
grudarmos uma figura na outra", sem que realizassem experimentalmente.
Apenas a dupla (Ev e Va) justificou, a congruência pela sobreposição e
encaixe das figuras. No diálogo da Dupla Ev e Va destaca-se a surpresa de Va
ao constatar que as figuras 1 e 2 eram congruentes. A dupla solicitou a fita
métrica, instrumento que não era disponível, porém, foi fornecida uma fita de
tecido, maleável como a fita métrica solicitada, e régua para a medição.
Quadro 10 – Diálogo da dupla Ev e Va da atividade 2, situação 1
Utilizando fita comum associada à régua, Ev auxiliava Va com marcações das medidas na figura.
Va: Essa daqui é muito maior. Medir de novo?
Executaram medições com a fita e a mediram na régua.
Va: Aqui também vai dar 7... Com a régua não dá? É 7. É quase 7. 6,9.
Ev: É igual.
Va: 6,9cm e aqui, 5,8.
Ev: aqui é menor mesmo, porque é menorzinho.
Va: aqui tem 14,9.
Ev: não espera ai.
Va: deu 14,2.
Va: 14,8
Ev: Aqui está maior e aqui está menor. 14,8.
123
Não satisfeita com os resultados, a dupla solicitou uma tesoura.
Ev e Va resolvem recortar a figura e manter como parâmetro suas medidas.
Va: 7,5; 14,5; 5,8; 10,9.
Após recortar as duas figuras, seguem os seguintes diálogos.
Va: Então porque que aqui deu errado e aqui não.
Ev: É a figura...
Va sobrepôs uma figura sobre a outra e depois as colocava sobre a mesa uma ao lado da outra.
Sem querer acreditar que as figuras se encaixavam ao sobrepor uma sobre a outra.
Va: Não é igual. Não pode ser igual
Ev: é igual sim Va. Olha. Mesma medida. Ficou certinho. (Ev sobrepõe uma figura sobre a outra)
Aos poucos, a dupla foi descobrindo como mostrar que realmente as
figuras 1 e 2 eram congruentes e buscaram solução no recorte dessas figuras e,
com surpresa, certificaram que eram congruentes usando a sobreposição.
Com a dupla D e G os diálogos foram os seguintes:
Quadro 9 - Diálogo da dupla D e G da atividade 2, situação 1
Ao receberem a atividade 2,
imediatamente D comentou:
essa parte aqui pode ser a
mesma que aqui"– apontando
para o arco maior da figura 1
e o da figura 2.
E: D agora está medindo...14 cm
Vamos ver a parte de cima.Deu?
D: 10,3cm. Aqui também 10,3cm
E: Os lados da figura agora,
6cm. 6cm; 7cm, 7cm. Como
podem ver as figuras têm lados
iguais.
D: Mesmo as figuras sendo
de forma curva, elas são do
mesmo tamanho. Se
colocarmos uma figura em
cima da outra, elas serão
iguais.
Esta dupla utilizou a validação pela visualização, depois medição e supôs
a congruência por sobreposição, mas não chegou a realizá-la; generalizaram a
possibilidade de congruência de figuras quaisquer.
124
Situação 2: Figura formada por segmentos
Fig. 102
O quadro a seguir, apresenta os resultados dessa atividade.
Quadro 12 - Atividade 2– Figuras planas
A) Os segmentos da figura 3 são congruentes aos segmentos da figura 4?
Dupla/
Trio
Sim Não Justificativa Instrumentos
Solicitados
pelos alunos
1
D e G
x Mesmo estando uma figura na horizontal e outra na vertical,
elas são do mesmo tamanho.
Régua
2
Ev e Va
x Pois elas têm a mesma medida.
Tesoura
Régua
3
Am e Re
x Pois apesar de estarem uma deitada e outra em pé, são
iguaizinhas (as linhas).
Régua
4
Da e Ma
x Em branco Régua
5
A,El e Ro
x Elas são congruentes porque se a figura 4 for invertida e
colocada por cima da figura 3 elas ficam com os mesmos
segmentos. Mas se colocarmos da maneira que se pede no
exercício, veremos que os segmentos não são congruentes.
Tesoura
6
Gi e Rs
x Porque os segmentos se cruzam. Se colocarmos os
segmentos da figura 4 sobre os segmentos da figura 3 e
eles se ligaram por pontos médios.
Visual
B) A figura 3 é congruente à figura 4?
Dupla/
Trio
Sim Não Justificativa Instrumentos
Solicitados
pelos alunos
1
D e G
x Se invertermos a 3 na vertical, poderemos ver que elas são
congruentes.
Régua
2
Ev e Va
x Pois elas têm as mesmas medidas e formas, mas uma está
na vertical e outra na horizontal.
Régua
Os segmentos da figura 3 são congruentes
aos segmentos da figura 4?
( )sim ( )não
Justifique.
Explique o que você fez para justificar sua
resposta.
A figura 3 é congruente à figura 4?
( )sim ( )não
Justifique.
Explique o que você fez para justificar sua
resposta.
Figura 3
Figura 4
125
3
Am e Re
x Pois se parecem muito e uma está deitada e outra em pé e
por isso são iguais.
Régua
4
Da e Ma
x Porque está com lados e tamanhos iguais.
Medimos as linhas e os espaços entre as linhas.
Régua
5
A,El e Ro
x Porque elas se encaixam se invertermos a figura 4 e
colocarmos por cima da figura 3.
Tesoura
6
Gi e Rs
x Porque se colocarmos uma figura sobre a outra elas irão se
cruzar por pontos.
Percepção
visual
Percebe-se que os alunos procuraram palavras para dar significado à
congruência, associando-as à idéia de que as figuras congruentes devem ter o
mesmo tamanho e forma, independente de estarem invertidas. Há, porém uma
forte associação com as palavras igual e parecido para tentar explicar e designar
a congruência. Apenas a dupla 6 respondeu utilizando a visualização, sem medir
ou sobrepor. Nesse caso, a resolução apresentada ainda permanece no nível G0.
A dupla 4 como apresenta o quadro, ainda não chegou numa conclusão sobre o
conceito de congruência.
A questão 3 que pedia para o aluno explicar a um colega como identificar
duas figuras congruentes, as duplas responderam:
D e G: Não respondeu.
Ev e Va: Sempre medir as figuras e sempre fazer com um colega para discutir as idéias.
Am e Re: Diria que são objetos iguais, pois têm os mesmos formatos.
Da e Ma: Diríamos que primeiro devemos comparar e ver se os lados estão iguais, se
estiverem todos iguais podemos dizer que não são congruentes.
A, Ro, El: eu diria que duas figuras são congruentes porque elas são semelhantes. Mas para
ter certeza, nada melhor do que comparar uma com a outra, e colocar uma por cima da outra.
Gi e Rs: Para observarem se os pontos se ligam formando pontos que se cruzam.
As respostas se assemelham às da primeira questão da atividade 1,
porém, já incluem instrumentos de medição para comprovarem a congruência, a
questão do tamanho e forma, mas ainda ocorre dificuldade na assimilação do
conceito pela dupla 6 e a dupla 1 omitiu a resposta.
Atividade 3: Jogo da Congruência
Situação 1: No verso de cada um dos retângulos que aparecem no quadro
(ver página 85) há figuras congruentes duas a duas. O objetivo é identificar
esses pares congruentes.
Questão 1: Identifique abaixo se as figuras são congruentes duas a duas.
Como você identificou?
126
Na questão 1 da atividade 3, esperava-se que o aluno utilizasse a
transparência do papel para sobrepor uma figura sobre a outra para identificar
quais figuras eram congruentes a outras. Esperava-se também que os alunos
chegassem à conclusão de que algumas figuras eram congruentes,
independentes de estarem em outras posições. Além disso, esperava-se que os
alunos identificassem que as figuras de mesmo formato, mas tamanhos diferentes
não eram congruentes. Todos perceberam a congruência das figuras, mas de
diferentes modos. Os resultados estão resumidos na tabela a seguir:
Perceberam a congruência? Sim Não Como fez
D e G X Posicionou lado a lado as figuras.
Ev e Va X Por sobreposição
Da e Ma X Visualizou e comparou apenas.
El, Ro e A X Por sobreposição
Gi e Rs X Posicionou as figuras refletindo uma da
outra.
Tabela 4 – Questão 1, atividade 3
D e G: "G identificou as figuras retirando-as
dos envelopes. Juntou-as aos pares, girando
ou invertendo as figuras pareando-as".
Fig. 104
Re e Am: "jogo da memória. Quem ganha são
os que acertam os pares corretos".
Fig. 103
Foi interessante a resposta dada pela dupla (Gi e Rs): "É como se tivesse um
eixo de simetria, onde as figuras se espelham" que resgatou um conhecimento
adquirido no processo de familiarização com o Cabri, na 1ª parte do curso, o
eixo de simetria.
Questão 2: Com que jogo tradicional esse "jogo da congruência" se assemelha?
Qual o objetivo do jogo tradicional?
O objetivo dessa questão é fazer uma associação do que é comum no dia-
a-dia de nossos alunos. A brincadeira do jogo da memória é presente na vida de
nossos alunos e é tomada como entretenimento, sem relação com o aprendizado
127
escolar. Procura-se estimular os alunos com relação a aprendizagem de
congruência, aproveitando a idéia do jogo da memória que é encontrar figuras
congruentes e fazer a integração entre todos os participantes.
Com exceção da dupla Gi e Rs que respondeu dominó, ainda sob a
influência da reflexão. Os demais grupos associaram ao jogo de memória.
CONCLUSÃO DAS ATIVIDADES DO BLOCO 1
As produções dos alunos no bloco 1 mostraram que o conceito de
congruência no seu aspecto geral foi percebido. Ao trabalharem com as figuras
bidimensionais, os grupos procuraram validar suas respostas por meio de
instrumentos como régua para medir e comparar, ou usando a tesoura para
sobrepor uma figura sobre a outra e decidir se eram congruentes (situações 1 e 2
da atividade 2).
Percebe-se que as atividades realizadas anteriormente foram resgatadas
por algumas duplas que mencionaram: "eixo de simetria em que as figuras se espelham".
Isso se refere à parte 1, destinada à familiarização das ferramentas do Cabri,
quando os alunos estudaram a simetria axial, mas, salienta-se que naquele
momento, não foi dada nenhuma relação da simetria axial com a congruência.
Nesse caso, o ambiente computadorizado contribuiu no aprendizado do grupo
(Arcavi e Hadas, 2003).
Houve dificuldades nas respostas por escrito, relativas à descrição do
conceito de congruência e forte associação com termos "igual e idêntico", não
trabalhados nesta pesquisa, mas que os alunos utilizaram para tentar explicar ou
substituir o termo congruência. O grupo (Da e Ma) ainda não percebeu a
congruência por sobreposição, preferindo a comparação ou a medição, pois, em
nenhum momento do bloco 1 mencionou a sobreposição.
4.2. ANÁLISE A POSTERIORI DAS ATIVIDADES DO BLOCO 2
Atividades com o Cabri-Géomètre
Uma semana após a familiarização com as ferramentas do Cabri, em
particular, com o menu das transformações (translação, rotação, simetria axial),
128
os alunos retornaram ao computador e realizaram as atividades, relativas às
congruências via transformações.
Este bloco explora as representações e visualizações de figuras para
validação da congruência de figuras. A resolução dos alunos poderá estar nos
níveis G1, G2 ou na transição entre G1 e G2 dos níveis de Parzysz.
Na familiarização do software, os alunos puderam transladar uma figura
criando um vetor; obter o simétrico de uma figura por meio de um eixo de simetria,
rotacionar uma figura ao redor de um ponto tanto no sentido horário, como no
sentido anti-horário, sem menção à congruência.
As atividades com o Cabri-géomètre foram realizadas em dois dias, sendo
que o primeiro dia foi após as atividades do bloco 1. Todos os alunos estavam
presentes nesse encontro. As alunas Ma e Ro faltaram no segundo dia da
aplicação das atividades com o Cabri, assim Da se juntou à dupla El e A. A seguir
as atividades:
Atividade 1: Utilize as ferramentas
de transformação e descubra se as
figuras 1 e 2 são congruentes (Fig.
105).
Fig.105
O objetivo dessa atividade era, verificar se as figuras eram congruentes
utilizando a ferramenta "Translação" do Cabri. Para isso o aluno deveria criar um
vetor, com origem em um ponto qualquer da figura 1 até a sua imagem na figura
B, que poderia ser de um vértice da figura 1 ao vértice correspondente na figura B
e por fim transladar a figura com a ferramenta translação. Os resultados dos
grupos foram os seguintes:
Quadro 13 – Justificativas da atividade 1- transformações
1: D e G
Usando o vetor e a translação
colocamos o barco azul encima
do amarelo. Fazendo isso
provamos que eles eram do
2: E e V
Sim são idênticas umas às
outras. Chegamos a essa
conclusão usando o vetor e
3: D e M
Não redigiu o comentário, mas na
figura final, percebe-se que antes de
utilizar a translação, a dupla mediu
129
mesmo tamanho porque o barco
azul cobriu o amarelo. Tentamos
também usar a translação sem o
vetor, mas não funcionou.
sobrepondo as figuras.
um dos lados da vela do barco.
4: E, R e A
Usamos primeiro o vetor em
seguida usamos a ferramenta
translação que nos ajudou a
obter o resultado atingido que foi
a transferência da figura 1 até a
figura 2.
5: R e A
Podemos observar que
pegando a ferramenta vetor e
levamos para o outro barco de
cima, depois utilizamos a
ferramenta translação.
6: G e R
Nossa primeira tentativa não deu
certo. Já a 2ª deu, pois criamos um
vetor e transladamos a figura 1
para a figura 2 e chegamos a
conclusão de que as figuras são
congruentes, pois elas são iguais.
Usamos a ferramenta de
transformações.
Todos conseguiram realizar a tarefa, porém com dificuldade. D e M,
tentaram fazer medições. A análise dos resultados dessa tarefa conduz aos
seguintes pareceres: 1) a idéia de deslocamento e movimento começou a surgir
entre os grupos ao expressarem com as palavras "levamos", transladamos" e
"transferência". 2) a idéia de prova e justificativa nos grupos, em especial, (D e
G) que constatou que estava provando ao afirmar que utilizou a translação para
provar que uma figura era congruente a outra. 3) a congruência foi justificada pela
sobreposição, mas o termo "igual" e "idêntico" aparecem como sinônimas de
congruência.
Atividade 2: Utilize as ferramentas de transformação e descubra se
as figuras 1 e 2 são congruentes.
Fig.106
Era esperado que os alunos justificassem que as figuras eram
congruentes, utilizando a ferramenta rotação e edição numérica de 180º, para
girar em 180º (sentido anti-horário) uma figura sobre a outra, ou utilizar a
ferramenta simetria central, ou ainda, a simetria axial (duas vezes).
130
Quadro 14 – Justificativas da atividade 2 - transformações
E e V
Usamos a simetria central e
novamente sobrepomos a figura.
Tentamos várias vezes de formas
variadas como: translação e
rotação.
A e E
As figuras são congruentes. Mas
para chegarmos a essa
conclusão erramos muito. E
finalmente usamos as
ferramentas certas que foram
Edição numérica e Rotação.
D e G
Com a ajuda da
professora:
Usamos a ferramenta
edição numérica mais a
ferramenta rotação.
Da e Ma
Através da edição numérica
achamos o ângulo de 180º,
encontramos outra figura igual e
com as mesmas medidas, ou
seja, essas figuras são
congruentes.
Re e Am
Nós fizemos três tentativas. A
primeira foi no lado, a segunda
posso, e a terceira deu certo
porque nós clicamos no triângulo
depois no ângulo de 180º e
depois clicamos no ponto do
triângulo.
Ros eGis
Não gravou.
Percebe-se que os alunos tiveram muita dificuldade na utilização da
ferramenta adequada. Utilizaram a medição, a translação, antes da rotação de
180º (sentido anti-horário). Não utilizaram a ferramenta simetria axial. Pode-se
afirmar que não associaram o que estavam visualizando com o que já fizeram nas
atividades com objetos bidimensionais.
Esperava-se que o aluno utilizasse a simetria axial. Para isso, deveriam
construir uma mediatriz entre dois pontos correspondentes das duas figuras, por
exemplo, um vértice da figura A e seu correspondente em A'. Os grupos
conseguiram completar a tarefa e os resultados das tentativas dessa atividade
estão resumidos abaixo:
Atividade 3: Utilize as ferramentas de transformação para verificar ser a
figura A é congruente à figura A'.
Fig. 107
131
Medição Translação Simetria
axial
Rotação Simetria
central
Composições
de
transformações
D e G x x
Ro e Va x x x
El, Da e A x
Re e Am x
Gi e Rs x x
Tabela 5 – Resultado atividade 3, bloco 2
Duas duplas (D e G) e (Ro e Va) recorreram à medição, como fizeram no
bloco 1, depois utilizaram a simetria axial. A dupla (Re e Am) relata que "usamos
a ferramenta de reta, depois a simetria axial, depois usamos o vetor e deu certo".
Esta dupla utilizou um produto de uma reflexão com uma translação. Utilizou um
lado do triângulo como eixo de simetria e obteve a imagem do triângulo original, e
depois transladou a figura, utilizando um vetor. Não era necessária a construção
da reta citada por eles, mas, talvez, o fato de tê-la construído, tenha ajudado a
lembrar da ferramenta simetria axial.
Fig. 108
O trio (El, A e Da) não tive dificuldade na resolução e "Devido aos outros
exercícios que já fizemos relativos a essa, ficou fácil fazê-lo. Só tivemos que utilizar a mediatriz e a
translação para provar que o A é igual ao A'
".
Atividade 4: As figuras A e A' são congruentes. Transformar a
figura A na figura A'. Que transformação você usou?
Fig. 109
Esperava-se que os alunos criassem um vetor para transladar a figura A.
Os alunos não tiveram dificuldades em obter o resultado desejado, conforme
previsto na análise a priori e todos realizaram a tarefa. Salienta-se que essa
132
atividade foi realizada após a atividade do barco a vela, que também estava
relacionada com a translação.
Atividade 5: As figuras A e A' são congruentes.
Transformar a figura A na figura A'. Que
transformação você usou?
Fig. 110
Como foi previsto na análise a priori todos iniciaram pela rotação e finalizou
com a simetria axial. Isso ocorre porque é perceptível um giro que parece ser no
próprio plano que contém A e A', mas não é muito perceptível um movimento ou
giro em que a figura A saísse do papel para sobrepor à figura B (simetria axial). A
dupla (A e El) descreve sua dificuldade: "Tentamos utilizar a rotação, mas não deu
certo depois tentamos a translação e foi pior ainda. Até que pegamos a mediatriz de um
ponto ao outro, e utilizando a simetria axial transferimos uma figura na outra
" (Fig. 111).
Fig 111
A dupla (Re e Am) dialogam: "eu acho que a gente vai usar a edição
numérica, vai girar em 180 graus". Depois de algumas tentativas Re comentou:
"Acho que a gente vai ter que usar a forma do espelho", atingindo o objetivo da
atividade.
Atividade 6: As figuras A e A' são
congruentes. Transformar a figura A na
figura A'. Que transformação você usou?
Fig. 112a
Para os alunos, essa atividade era visivelmente esclarecedora a utilização
da rotação, mas o como fazer é que não foi fácil. Não conseguiram associar a
composição de uma translação e uma rotação, porque na prática um único
133
movimento bastaria para levar A até B, sem pensar em sua particularidade, por
isso, todos acabaram construindo um ponto livre entre a figura A e a figura B e
tentaram a rotação da figura A ou B ao redor desse ponto criado. Foi por erro e
tentativa. Exemplificando:
A dupla (A e El) relata:
"Primeiro construímos um ponto que
chamamos de Z, em seguida
usamos a ferramenta edição
numérica para construirmos o
ângulo de -70º, e então,
rotacionamos a figura A para a
figura A'
".
Fig.112b
Mesmo tendo essa dificuldade, os alunos procuraram transformações para
garantir a sobreposição das figuras.
Atividade 7: As figuras A e A' são congruentes. Transformar a
figura A na figura A'. Que transformação você usou?
Fig. 113
Como esperado os grupos não tiveram dificuldades em rotacionar a figura
A em torno do ponto O, em 120
o
, sentido anti-horário.
Percebeu-se que nas atividades 4, 5 e 6, os alunos se desprenderam da
condição de medir a figura antes de tentar a transformação, sobressaindo-se a
superposição de figuras.
Atividade 8: Utilize a ferramenta da caixa de transformação
para verificar se os triângulos ABC e EDB são congruentes.
Fig. 114a
134
Como esperado, os grupos utilizaram a simetria axial ou alguma
composição de transformações. Os resultados são mostrados na tabela abaixo:
Medição Translação Simetria
axial
Rotação Simetria
central
Composição
de
transformações
Re e Am x x
Ro e Va x x x x
El, Da e A x
Gi e Rs x x
Tabela 6 – Resultado da atividade 8, bloco 2
Re e Am: "
primeiro nós usamos um ponto qualquer depois pegamos a ferramenta edição
numérica com rotação depois usamos reta e simetria axial e conseguimos obter este resultado".
Fig.114b
Va e Ro: tiveram muita dificuldade nessa atividade. Fizeram várias tentativas,
inclusive medição para certificação da congruência.
Iniciaram com medições e com a translação: fig. 114c
depois de várias tentativas e auxiliadas pela professora:
Fig 114d
Atividade 9: Os segmentos (Fig 115a) MN e
M'N' são congruentes. Que transformações
geométricas levam o segmento MN no
segmento M'N', de modo que M seja levado em
M' e N seja levado em N'?
Fig. 115a
135
Esperava-se que os grupos fizessem composição de transformações para
levar o segmento MN em M'N'. Os grupos tentaram utilizar apenas uma
transformação, como na atividade 6. Percebe-se que a composição de duas
transformações foi um obstáculo para a conclusão da atividade. Aos poucos os
grupos foram se lembrando das particularidades de cada ferramenta e
conquistando sua própria conclusão nessa atividade.
Medição Translação Simetria
axial
Rotação Simetria
central
Composições
de
transformações
Ro e Va x x x x
El, Da e A x x
Gi e Rs x x
Tabela 8– Resultado da atividade 9, bloco 2
Não há registro de (D e G) e (Re e Am). Outros grupos apresentaram os
seguintes resultados:
Depois de muitas tentativas a professora interviu:
P: existe alguma transformação que... Lembram daquelas figurinhas...
Va: Foi colocada uma sobre a outra.
P: O que se pode fazer para que se leve essa figura sobre essa?
V: Tente girar ela agora.
Tentaram também transladar.
Va: Tenta transladar.
Fig. 115b
Tentativa 2 Por fim, utilizaram a simetria axial e rotacionaram.
Fig. 115c
Rs e Gi
Nas primeiras tentativas não conseguimos porque estávamos erradas.
Agora conseguimos, pois criamos um vetor do ponto N ao N', depois
transladamos o segmento MN (clicando no segmento MN, e ajustando o
136
ângulo que estava 180º) e obtemos um novo segmento e colocamos um
novo segmento e colocamos sobre o segmento M'N'.
Fig. 115d
A e El: Primeiro utilizamos a mediatriz, depois usamos a ferramenta
simetria axial. Em seguida, medimos o ângulo, então rotacionamos uma
reta em relação ao ponto N' e ao ângulo.
Fig. 115e
Com relação às atividades no Cabri, o observador fez as seguintes
anotações: "Diferentemente da aula passada os alunos estão mais concentrados
e fazendo poucas perguntas à professora. Nestes momentos, percebe-se que os
alunos estão fazendo um verdadeiro experimento laboratorial com o software:
experimentam um recurso, testam, apagam, refazem, comparam com o anterior,
etc". A aula anterior referida pelo observador diz respeito ao encontro que ocorreu
após as atividades do bloco 1 e não foi feita nenhuma revisão ou retomada no
que eles fizeram na fase de familiarização do Cabri. Já no segundo dia, os alunos
foram questionados e instigados a lembrarem de conceitos tais como
transformações, retas perpendiculares, mediatrizes, retas paralelas, ponto médio,
antes de voltarem às atividades, o que foi positivo, conforme comentou o
observador.
137
Atividades com a placa quadriculada
O objetivo da placa quadriculada era fazer com que os alunos explorassem
atividades de construção e ao mesmo tempo verificassem algumas propriedades
dos triângulos, principalmente, os 4 casos de congruência de triângulos,
resgatando a proposta de Machado (2005) que é importante transitar da
percepção para a teorização, valorizando também as atividades de
representações e as de construções. Nas construções dos triângulos os alunos
apresentaram respostas no nível G1 e G2. Por exemplo, sem realizar a
construção do triângulo, o aluno poderia perceber nas questões 7 e 8, que a soma
das medidas dos ângulos internos de um triângulo não é igual a 180
o
, por isso, os
triângulos não poderiam ser construídos com os dados fornecidos.
As atividades com a placa quadriculada foram realizadas em dois dias. No
primeiro dia foram formadas as duplas: (El e A), (Gi e Rs), (Ro e Va), (D e G), e
(Am e Re). No segundo dia: (El e A), (Gi e Rs), (Ev e Ma), (D e G), e (Rs e Va).
As duplas (El e A) foram gravadas.
A seguir a orientação geral dada para a realização das atividades e as
análises das questões:
Construa na placa quadriculada um triângulo ABC a partir das medidas dadas
abaixo. Em seguida responda às questões 1 e 2.
Construção 1: Dado um lado (L): AB= 5 cm:
Esperava-se que os alunos construíssem um triângulo, cuja restrição era
que um lado medisse 5cm, em seguida, para responder às duas questões,
construíssem outro triângulo não congruente ao primeiro construído. Em todos os
grupos, o primeiro triângulo construído foi o eqüilátero, em virtude da não
compreensão de que somente o lado AB deveria ter 5cm. Já, para o segundo
triângulo, construíram isósceles ou escalenos e triângulo retângulo. Não tiveram
dificuldades em responder sim e sim nas duas questões.
Questão 1: É possível construir um triângulo a partir das medidas fornecidas?
Sim
Questão 2: É possível construir outros triângulos não congruentes ao que você construiu, usando
as medidas fornecidas?
sim
138
Construção 2: Dois lados (LL): AB = 5cm e AC= 3 cm
Esperava-se que construíssem triângulos a partir das medidas de AB ou
AC. No grupo (El e A) comentam "Bom se congruente é igual, não congruente é diferente.
Porque só esticar esse aqui oh. Dá um triângulo diferente...É só trazer o AC para cá".
Apesar de
se usar a palavra igual para congruente, El já pensa em outras classes de objetos
que não fazem parte do que é ser congruente. Os grupos não tiveram dificuldades
na construção, e para responder às questões:
Questão 1: É possível construir um triângulo a partir das medidas fornecidas?
Sim
Questão 2: É possível construir outros triângulos não congruentes ao que você construiu, usando
as medidas fornecidas?
sim
Em virtude da construção 1, esta ficou fácil de se resolver e os grupos
também não tiveram dúvidas.
Construção 3: três lados (LLL): AB= 9cm, AC=7cm, BC=5cm
Nesta construção, que é um exemplo de um dos casos de congruência de
triângulos, esperava-se que os alunos duvidassem da não possibilidade de
construção do segundo triângulo.
Fig. 116
Em uma das resoluções da dupla Gi e Rs:
Tentou-se construir os triângulos alternando-se a base e os
lados e achou que não era possível construir no segundo
triângulo, pois não observou que as aberturas entre os
lados poderiam ser alteradas (as agulhas permitiam essa
mobilidade).
Realmente, os alunos fizeram várias tentativas e não descartavam a
hipótese de se construir um segundo triângulo não congruente ao primeiro
construído. Responderam, inicialmente, sim para a possibilidade de construção de
um triângulo não congruente ao primeiro. Isso ocorreu porque ao alterar o início
da construção entre os lados AB, AB, AC, os alunos obtinham triângulos
congruentes, mas em diferentes posições, o que gerou dúvidas. Somente depois
de relacionar os dois triângulos quanto ao tamanho e a forma, é que os alunos
fizeram as correções e responderam sim para a primeira questão e não para a
segunda.
139
Questão 1: É possível construir um triângulo a partir das medidas fornecidas?
Sim
Questão 2: É possível construir outros triângulos não congruentes ao que você construiu, usando
as medidas fornecidas?
Não
Somente a dupla (Am e Re) construíram na primeira tentativa.
Construções: 4: três lados (LLL): AB=7cm, AC=4cm, BC=2 cm
5: três lados (LLL):AB=10cm, AC=7 cm, BC=3cm
Esperava-se que as construções 4 e 5 não oferecessem dificuldades para
responder às duas questões. Isso se comprovou, mas, alguns ficaram surpresos
por não ser possível construir triângulos com três medidas fornecidas. Na
construção 4 a mobilidade dos lados (representados pelas fitas) ajudou na
conclusão, mas na construção 5, devido às dimensões da fita, alguns alunos
obtiveram triângulos, o que foi pedido para que eles fossem mais precisos nas
medidas ou utilizassem régua. Os resultados para a construção 4 e 5 foram:
Questão 1: É possível construir um triângulo a partir das medidas fornecidas?
Não
Questão 2: É possível construir outros triângulos não congruentes ao que você construiu, usando
as medidas fornecidas?
Não
Construção 6: três ângulos (AAA): Â=35º,
∧
B
=70º,
∧
C
=75º
Esta construção introduz o estudo da congruência dos ângulos nos
triângulos congruentes. Era esperado que os alunos tivessem dificuldade na
construção em virtude do não fornecimento das medidas dos lados do triângulo.
Isso se comprovou em todos os grupos. da dupla (El e A) tem o diálogo:
em relação aos lados El comentou: "... mas é para a gente inventar. É para a
gente tentar fazer um triângulo com o que eles deram. Esse aqui é só para a gente
medir".
Em seguida, a dupla chamou a professora, que perguntou:
P: É dado o lado? Quem vai fornecer as medidas dos lados?
As duas: A gente.
Após construir o triângulo, a dupla chega a algumas conclusões com relação
ao segundo triângulo:..."mas pode ser maior..." "já deixa de ser congruente...
então tem como fazer".
140
Nessa construção e nas seguintes, os alunos fizeram uso do transferidor.
Na construção 6, as respostas às questões 1 e 2 foram:
Questão 1: É possível construir um triângulo a partir das medidas fornecidas?
Sim
Questão 2: É possível construir outros triângulos não congruentes ao que você construiu, usando
as medidas fornecidas?
Sim
Construções: 7: três ângulos (AAA): Â=45º,
∧
B
=60º,
∧
C
= 80º
8: três ângulos (AAA): Â=80º ,
∧
B
=45º ,
∧
C
= 30º:
Estas medidas não possibilitam a construção de nenhum triângulo, pois se
verifica a propriedade do triângulo, em que a soma das medidas dos ângulos
internos de um triângulo é sempre 180
o
. A soma das medidas dos ângulos da
construção 7 é maior que 180
o
e na construção 8, a soma das medidas fornecidas
é menor que 180
o
. A dupla (El e A) identificou essa propriedade: "dá 185...então é
por isso"
.
Os demais alunos demoram na verificação da construção 7 e 8, pois,
construíam os triângulos com duas medidas dos ângulos, mas não conferiam a
medida do terceiro ângulo. Somente quando questionados com relação ao
terceiro ângulo, eles identificaram a não possibilidade de construção. As
respostas nas construções 7 e 8 foram:
Questão 1: É possível construir um triângulo a partir das medidas fornecidas?
Não
Questão 2: É possível construir outros triângulos não congruentes ao que você construiu, usando
as medidas fornecidas?
Não
A dupla (EL e A) usou uma estratégia de construção: "
A gente põe a tira e
depois a gente corta
", possibilitando acomodar os ângulos sem se preocupar com as
medidas dos lados. Depois de algumas tentativas, El se lembra da propriedade da
soma dos ângulos internos de um triângulo: "Não dá porque se for 30
o
, vai dar aqui.
Primeiro, a gente tem que ver que a soma dos ângulos tem que dar 180
o
". "Por isso!!!!" A
compartilha satisfeita da constatação de EL.
Pode-se afirmar que El exemplificou um caso de transição do nível G1 para
G2, pois ela utilizou a construção, mas considerou fortemente a propriedade do
triângulo e isso bastou para que encerrasse a construção.
141
Construções: 9: dois ângulos (AA): CÂB= 60º, C
∧
B
A=35º
10: um ângulo (A): Â= 45º
11: um lado e um ângulo (LA): AB= 5cm, BÂC=35º:
As seguintes repostas para as construções 9, 10 3 11:
Questão 1: É possível construir um triângulo a partir das medidas fornecidas?
Sim
Questão 2: É possível construir outros triângulos não congruentes ao que você construiu, usando
as medidas fornecidas?
Sim
Os alunos não tiveram dificuldades na resolução. Possivelmente porque as
construções anteriores ajudaram na compreensão e no entendimento dos dados
dessas construções. Como ressalta a dupla (El e A):"Independente do tamanho, o
ângulo nunca muda, pode ser não congruente, mas o ângulo não muda. Na 7 (construção 7) já
fomos analisando...
"
Construção 12: Um lado, um ângulo e outro lado (LAL): AB=7cm, BÂC= 60º, AC=5cm
Esta construção refere-se ao caso LAL de congruência de triângulos e
esperava-se que os alunos construíssem triângulos sempre congruentes ao
primeiro.
Fig. 117
Os grupos não tiveram dificuldades visto que já haviam construído
triângulos com contendo as medidas dos ângulos e dos lados como condição
inicial de construção. As respostas obtidas foram:
Questão 1: É possível construir um triângulo a partir das medidas fornecidas?
Sim
Questão 2: É possível construir outros triângulos não congruentes ao que você construiu, usando
as medidas fornecidas?
Não
Construção 13: um ângulo, um lado, outro ângulo (ALA): AB=6cm, BÂC= 45º e A
∧
B
C=30º
Outro caso de congruência de triângulos, essa construção não apresentou
dificuldade para os alunos e resolveram com facilidade. As construções anteriores
facilitaram na compreensão e construção do item 13.
142
Fig. 118
As respostas obtidas com as construções foram:
Questão 1: É possível construir um triângulo a partir das medidas fornecidas?
Sim
Questão 2: É possível construir outros triângulos não congruentes ao que você construiu, usando
as medidas fornecidas?
Não
Construção 14: um lado, outro lado, um ângulo( LLA): AB=5cm, AC= 3 cm, C
∧
B
A =30
o
Fig. 119a
Era esperada uma construção como é mostrado em (Fig.119a), a
construção do triângulo ABC e ABD, com medida de AC ou AD iguais a 3cm.
Fig.119b
Foi difícil a construção em virtude dos lados de 3cm e 5cm e o ângulo de
30
o
que particulariza a construção em apenas dois triângulos não congruentes. A
dupla (El e A) encontrou sozinha a resolução; a manipulação das fitas fixada nas
agulhas ajudou e facilitou encontrar o triângulo desejado (fig. 119b). Como
ressalta El "estava com a fita assim... do nada, formou o triângulo".
143
Fig. 119c
A dupla (Rs e Gi) construiu primeiro, um triângulo como o de cor azul da
figura 119b, depois tentou obter um triângulo não congruente, iniciando a
construção com a medida AC=3cm e obteve um triângulo congruente ao primeiro
posicionado diferentemente. Tentou novamente, iniciando com a medida de
AB=5cm, obtendo outro congruente. Esse tipo de estratégia foi promissor nas
atividades anteriores. Após a orientação da professora que pediu para usar a
mobilidade das fitas, a dupla deixou de recortar a fita relativa ao lado BC e
movimentou as fitas dos outros dois lados. Chegando afinal, na construção de um
triângulo não congruente (Fig. 119c). Os demais grupos restringiram-se em
construir o primeiro triângulo.
Questão 1: É possível construir um triângulo a partir das medidas fornecidas?
Sim
Questão 2: É possível construir outros triângulos não congruentes ao que você construiu, usando
as medidas fornecidas?
Sim
Construção 15: um lado,um ângulo, ângulo oposto(LAAo): AB=6cm, CÂB=45º, A
∧
C
B= 30º
Na análise a priori foi previsto que esta última construção traria dificuldades
para a obtenção do primeiro triângulo, porque os alunos deveriam definir as
medidas de dois lados do triângulo a partir do ângulo de 30
º. Eles tiveram essa
dificuldade e foi solicitado que construíssem o lado AB com 6cm, tomassem duas
fitas e as fixassem nas extremidades do lado AB. Depois disso, trabalhassem os
ângulos de 45
o
e 30
o
. O triângulo formado por eles foi como mostra a figura a
seguir:
Fig. 120
Os alunos obtiveram as seguintes respostas:
144
Questão 1: É possível construir um triângulo a partir das medidas fornecidas?
Sim
Questão 2: É possível construir outros triângulos não congruentes ao que você construiu, usando
as medidas fornecidas?
Não
A seguir, alguns momentos de cada grupo enquanto realizavam as tarefas
e os resultados finais:
Quadro 15: Galeria de fotos – placa quadriculada
Grupo Gi e Ro
Grupo El e A
Ro Grupo G e D Grupo Ma e Ev
A organização dos resultados das construções foi realizada com o auxilio
de três questões:
1. Explique a possibilidade ou a não possibilidade de construção de triângulos com as
medidas dos experimentos 3, 4 e 5 (LLL)
Esta questão era para se verificar a condição de existência de triângulos.
Os alunos observaram que as construções 4 e 5 não eram possíveis, afirmando,
por exemplo, "as medidas são incompatíveis" e a construção 3 foi "possível
devido a diferença das medidas dos lados". Porém, não ocorreu uma relação mais
pertinente com relação às medidas dos lados. O desconhecimento da
145
propriedade: "Em qualquer triângulo, a medida de um lado deve sempre ser
menor que a soma das medidas dos outros dois lados", mostra que os alunos não
estão familiarizados com particularidades do objeto matemático triângulo.
2. Explique a possibilidade ou a não possibilidade de construção de triângulos com as
medidas dos experimentos 6, 7 e 8 (AAA).
Nessa questão, a dupla (El e A) mostrou conhecimento com relação à
soma das medidas dos ângulos de um triângulo e respondeu: "na 6, foi possível
construir porque a soma (das medidas) dos ângulos deu 180
o
". Exemplificaram uma
resolução de nível G2.
Outros grupos restringiram-se em informar a possibilidade de construção
do experimento 6, e a não possibilidade de construção dos experimentos 7 e 8.
Esses alunos não estabeleceram relações entre os ângulos dos triângulos,
fixaram suas conclusões na visualização da figura que não formou um triângulo
(G1).
3. Analise os resultados da tabela e escreva abaixo o número do experimento e os casos em que
a construção do triângulo foi única, isto é, apresentou as seguintes condições, simultaneamente:
1) foi possível construir um triângulo com as medidas dadas e, 2) não foi possível construir outros
triângulos não congruentes.
Foi considerada decisiva a resposta dessa questão, pois introduzem os 4
casos de congruência. Como resposta, listaram as construções 3, 12, 13 e 15,
como sendo as construções em que não foram possíveis construir triângulos não
congruentes.
Finalizando, as ações da dupla (El e A) chamaram a atenção do
observador, que fez as seguintes anotações: "elas constroem as figuras, falando o
que executam (como se estivessem no Cabri): primeiro vamos achar o lado...
depois encontramos um respectivo ângulo de s graus... certo lado tem y
centímetros.... se aqui tem x graus, então lá tem que ter y graus... Vamos ter
raciocínio lógico: se aqui é 80
o
, então aqui tem x graus e não tem como formar a
figura...". Essas anotações indicam que as alunas começam a ter uma maneira
própria de resolver problemas, que será muito útil no bloco 3.
146
CONCLUSÃO DAS ATIVIDADES DO BLOCO 2
Nas atividades com o Cabri-géomètre, os alunos puderam explorar as
transformações de translação, rotação, reflexão e suas combinações de forma
experimental.
As produções dos alunos mostraram que o conceito de congruência foi
associado à sobreposição de figuras. Em todos os momentos eles procuraram
uma ou mais transformações para justificar a sobreposição de figuras. A idéia de
deslocamento e movimento começou a surgir entre os grupos ao expressarem as
palavras "levamos", transladamos" e "transferência" – atividade 1.
Trouxeram da atividade anterior o fato das figuras poligonais congruentes
manterem as medidas dos lados, pois, em vários momentos realizaram medições
dos lados das figuras (Atividades 1, 2 e 3). Não relacionaram ainda, a
congruência com as medidas dos ângulos.
A dupla (D e G) constatou que estava provando ao afirmar que utilizou a
translação para "provar " que uma figura era congruente a outra, referindo-se a
um dos objetivos desta pesquisa.
Nas atividades com a placa quadriculada, ressalta-se que os alunos
puderam explorar melhor o objeto matemático triângulo, pois os resultados das
construções 4 e 5, mostraram que não tinham o conhecimento sobre a condição
de existência de triângulos, fato que ninguém relacionou o resultado da
construção com a propriedade "Em qualquer triângulo, a medida de um lado deve
sempre ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados", e como
justificativa apenas afirmaram que as construções não eram possíveis porque "as
medidas são incompatíveis" – validação perceptiva (G0). Os ângulos também
foram aos poucos introduzidos e percebidos como elementos preponderantes. A
dupla (El e A) percebeu a propriedade da soma das medidas dos ângulos internos
de um triângulo, após a construção " Não dá porque se for 30
o
, vai dar aqui.
Primeiro, a gente tem que ver que a soma dos ângulos tem que dar 180
o"
(construções 7 e 8), fato que favorece a passagem do nível G1 para G2. Além
disso, o ângulo foi percebido como elemento de congruência e não congruência
"Independente do tamanho, o ângulo nunca muda, pode ser não congruente, mas
o ângulo não muda. Na 7 (construção 7) já fomos analisando..." (construções 9,
10 e 11).
147
As atividades foram extensas (fizeram pelo menos 30 construções), mas os
alunos se dedicaram e cumpriram as tarefas. Os instrumentos régua, transferidor,
fitas, agulhas e marcações da placa quadriculada auxiliaram na construção dos
triângulos. Não tiveram problemas com o transferidor. As agulhas e as fitas que
permitiam a mobilidade dos lados do triângulo auxiliaram, principalmente, nas
construções 4, 5, 14 e 15, descritas abaixo.
Todas as atividades da placa quadriculada que foram possíveis construir
um triângulo não congruente ao primeiro construído, os alunos não tiveram
dificuldades e a construção foi breve. Essas construções apresentavam a medida
de pelo menos um lado ou pelo menos um ângulo, e as demais medidas eram por
conta do aluno: construções 1 (L), 2 (LL), 9 (AA), 10 (A), 11 (LA), 4 (LLL), 5(LLL),
Dos 4 casos de congruência de triângulos, as construções: 3 (caso LLL),
12 (caso LAL), 13 (caso ALA), geraram dúvidas aos alunos com relação à
congruência dos triângulos construídos, em virtude da mudança de posição dos
triângulos, fato incomum para os alunos.
Nas construções 7(AAA) e 8 (AAA), houve demora na construção porque
os alunos deixavam de verificar que a medida do terceiro ângulo não era
compatível à medida fornecida. Apenas os grupos (El e A) e (Gi e Rs)
conseguiram construir os triângulos da construção 14 (LLA), em virtude da
restrição que as medidas fornecidas causavam. Com os materiais disponíveis
(régua, transferidor, placa quadriculada, fitas e agulhas), somente utilizando a
mobilidade das fitas que a construção na placa seria possível.
Os alunos construíram os triângulos sabendo que o segundo (não
congruente ao primeiro) deveria ter dimensões diferentes ou formatos diferentes.
Por isso, pode-se concluir que as atividades do bloco 1 favoreceram a realização
das atividades de tarefas no nível G1 na placa quadriculada. Na construção
ocorreu a passagem de G1 para G2 de Parzsyz (2001). Dessa forma, os alunos
analisados se apropriaram dos 4 casos de congruência de triângulos.
INSTITUCIONALIZAÇÃO
A partir dos resultados apresentados da questão 3, em que os alunos
listaram os casos de congruência, foi realizada a institucionalização do conceito
de triângulos congruentes.
148
Não tiveram dificuldades em identificar os elementos e os casos de
congruência de triângulos. Institui-se o uso do símbolo de congruência
≅
, os
tracinhos indicando a congruência de lados e ângulos dos triângulos, as
condições mínimas para a ocorrência dos 4 casos de congruência de triângulos.
Fig. 121
Foram realizados alguns exemplos para a identificação dos casos de
congruência, sem que houvesse dificuldades. Os quatro casos de congruência de
triângulos foram apresentados na institucionalização após a constatação dos
resultados da placa quadriculada.
149
4.3. ANÁLISE A POSTERIORI DAS ATIVIDADES DO BLOCO 3 – PROVA
A análise do bloco 3 será feita considerando-se as classificações de prova,
proposto por Balacheff (1988) e os níveis Parzsyz (2001). Este bloco refere-se ao
uso de objetos teóricos obtidos por meio de experimentação anterior, utilização de
justificativa por meio de linguagem natural e ou simbólica. A proposta das
atividades foi de utilizar os 4 casos de congruência de triângulos para justificar a
resolução dos problemas. Esta última seqüência foi realizada em dois encontros
de 3 horas cada.
Em virtude das ausências de alguns alunos nos dias anteriores, para estas
atividades, eles mesmos se organizaram e formaram os seguintes grupos: (Re e
G), (Va e Ro), (Da e Ma), (D e Ev), (Rs e Gi) e (El e A). Os diálogos da dupla (El e
A) foram acompanhados com um gravador.
12. Uma reta é perpendicular ao segmento AB passando pelo ponto médio M. Seja P um ponto
qualquer da reta, diferente de M. Prove que PA≅PB. Justifique.
Fig. 121a
Esperava-se que os alunos identificassem quais eram os dois triângulos e
os respectivos elementos congruentes na figura fornecida no problema e que
utilizassem o caso LAL de congruência de triângulos para justificar que PA≅PB.
Caso algum grupo tivesse dificuldade seria solicitado que separassem os
triângulos e identificassem os elementos congruentes.
Na resolução deste primeiro problema, os grupos fizeram referências às
atividades realizadas no Cabri. Os grupos (D e Ev) e (Ma e Da), redigiram (em
linguagem natural) e outro grupo (Re e G) representou com um desenho,
modificando a figura dada. A seguir a resolução do grupo (D e Ev ) que redigiu:
150
Fig.121b
Esta dupla tentou visualizar a figura como se estivesse utilizando o Cabri, e
resgatou o fato da mediatriz estar ligada à simetria axial, deixando a figura
espelhada uma da outra. Neste momento, em que essa dupla tentou utilizar as
informações do Cabri, pode-se categorizar a resolução do problema, como sendo
um exemplo genérico, pois a validação ocorre por meio de um caso particular
(uso de simetria axial), e apresenta propriedades desse caso (uso de mediatriz).
Após esta tentativa, a dupla concluiu a resolução, utilizando o caso LAL de
congruência de triângulos. A dupla (Re e G) também utilizou informações que
indicam serem obtidas do Cabri, porém, utilizou a representação como forma de
expressão (Fig. 121c).
Fig. 121c
Percebe-se que a dupla (Re e G) iniciou a resolução com o deslocamento
do triângulo PBM, de modo que o lado MB se sobrepôs ao lado AM (é possível,
pois na figura indica que AM é congruente a MB), tal como poderia ser feito no
Cabri. Nesse caso, a dupla poderia estar pensando na translação, mas omitiu o
uso do vetor. pode-se afirmar que se trata de um exemplo genérico, pois, a
validação ocorreu tomando-se um representante de uma situação particular para
151
tentar explicar a validação de uma proposição. Em seguida, justifica usando o
caso LAL, que os triângulos APM e BPM são congruentes e identifica PM, como o
lado comum.
No diálogo da dupla (El e A) os elementos da figura dada foram aos poucos
sendo identificados e também relacionados ao uso do Cabri: "... mediatriz essa
reta aqui a gente viu isso no cabri"; "... Porque se fosse pelo Cabri a gente
considerava essa reta perpendicular uma mediatriz"; "... tipo AM congruente a
MB. Então já é um caso lado ai". Ao final, essa dupla atingiu parcialmente a
resolução do problema, pois, elas consideraram apenas duas condições
M
B
A
M ≅
e
P
M
B
P
M
A
∧∧
≅ e já concluíram que AP era congruente a PB.
Organizaram suas justificativas por meio de linguagem natural e linguagem
simbólica, apontando como conseqüência os lados AP e PB congruentes, sem
que fossem instruídas dessa maneira. A dupla apoiou-se também, na
representação da figura dividida em duas partes congruentes. A seguir a resposta
de (A e EL).
Fig. 121d
A dupla (Va e Ro), inicialmente apresentou resposta que pode ser
categorizada como sendo empirismo ingênuo: "sim, pois o ângulo é igual e os
lados também", sendo posteriormente auxiliada pela professora, que identificasse
triângulos que poderiam ser congruentes e os desenhassem separadamente para
tentar justificar, utilizando os casos de congruência, que PA era congruente a PB.
152
De forma geral, os grupos atenderam parcialmente as expectativas, as
duplas (El e A), (Rs e Gi), apesar de utilizarem o caso LAL como justificativa,
identificaram apenas dois elementos congruentes; cada dupla, a sua maneira,
começou a organizar sua resposta, seja por meio de linguagem natural ou
simbólica, com estilo próprio de apresentação.
13. Rafael quer ir da cidade A para a cidade B. Porém a estrada que liga diretamente as duas
cidades está interditada. Ele tem de optar, então, por dois caminhos possíveis, veja a figura.
Qual o menor caminho a ser percorrido: ir de A para C e depois B ou ir de A até D e depois
B? Justifique sua resposta.
Situação real
Modelo matemático
Fig. 122
Esperava-se que os alunos respondessem que não fazia diferença entre os
caminhos (A para C e depois B) e (A para D e depois B), utilizando o caso LAL de
congruência de triângulos; que identificassem o lado comum AB para os dois
triângulos congruentes.
A dupla (D e Ev) resolveu completamente o problema. Identificou o lado AB
comum aos dois triângulos congruentes, desenhou, separadamente os triângulos
ABC e ABD e identificou os elementos congruentes (Fig. 123).
Fig.123
C
D
B
A
20 km
20 km
40
o
40
o
153
Os demais grupos, afirmaram que não importava o caminho escolhido e,
alguns, indicaram o caso LAL de congruência de triângulos, mas as suas
justificativas não estavam de acordo com as condições desse caso de
congruência. A análise das respostas leva a concluir que os alunos apresentaram
as seguintes dificuldades: 1. perceber o lado comum; 2. considerar e utilizar a
condição "se...então..." adequadamente. Acredita-se que a utilização da condição
"se... então....", não seja comum para esses alunos, sendo, para eles, peculiar a
esta seqüência. Essa dificuldade está também associada ao uso inadequado dos
casos de congruência e o lado comum que é uma dificuldade a ser superada.
A seguir, a justificativa e o diálogo da dupla (El e A):
Fig. 124
E: Oh, já está dando aqui, que tem o ângulo né. Assa. Achou!!!!
E: CAB congruente a DAB. Ai vem...
A: CAB é congruente a DAB? BAD né, Elaine.
E: Dá no mesmo. já está dando o lado aqui.
A: 20 km
E: AC é congruente a AD. Isso significa que CB é congruente a BD.
A: BC é congruente a BD né.
E: então o caso é...
A: ângulo lado lado
E: É...professora... Pode ser ângulo lado lado?
P: Nós temos casos de congruência assim?
A: então pode ser Lado ângulo lado. Então só pode ser um desses 4 casos.
E: então é lado ângulo lado. Porque o ângulo está no meio, né.
154
No diálogo, pode-se notar que a dupla percebeu os lados e o ângulo
congruentes devidamente, mas a justificativa, por escrito não ficou de acordo com
o diálogo. Apesar da intervenção da professora, a dupla ainda mantém o lado CB
e BD como condição de congruência do caso LAL, talvez, por não estar
familiarizada com a utilização da condição "se...então...". No diálogo, parece que
elas perceberam o lado comum AB, mas ainda não se deram conta da sua
importância.
A dupla (MA e Da) poderia explorar mais a figura que fizeram, pois elas
separaram os dois triângulos, e entre eles posicionou uma reta indicando,
possivelmente, um eixo de simetria (Fig. 125).
Fig. 125
Essa dupla também não indicou adequadamente os elementos
congruentes para se chegar no caso LAL. Conclui-se que nessa atividade os
alunos não atingiram os objetivos esperados.
14. Um avião levanta vôo para ir da cidade A à cidade B, situada a 500km de distância. Depois de
voar 250 km em linha reta, o piloto descobre que a rota está errada e, para corrigi-la, ele altera
a direção do vôo de um ângulo de 90
o
. Se a rota não tivesse sido corrigida, a que distância ele
estaria de B após ter voado os 500km previstos. Justifique a sua resposta.
O objetivo desse problema era explorar, inicialmente, a interpretação,
evidenciando a geometria espaço-gráfica (nível G1) de Parzysz, pois ao ler a
questão, o aluno poderá representar graficamente a situação proposta. Indicará o
ângulo reto e as medidas dos lados fornecidos.
Os alunos tiveram dificuldades em interpretar e representar a situação do
problema. A posição da cidade A com relação à cidade B, era determinada pelas
155
informações complementares do problema e o que se deveria considerar
inicialmente era apenas a distância de 500km (Fig. 126 e 127).
Fig. 126
A Fig. 126 refere-se à resolução de (Ma e Da), que após várias tentativas,
representou a situação por etapas: a primeira, o segmento AB, depois, na
situação 2, indicou a cidade A, um caminho percorrido de 250, um ângulo e uma
nova rota. Representou novamente com os demais dados e posicionou a cidade
B e C adequadamente. Para justificar, tentou-se utilizar o caso LAL, mas numa
linguagem simbólica diferente a da proposta. Utilizou as letras A, B e C,
maiúsculas para indicar segmento e não pontos.
156
Fig. 127
A Fig. 127 refere-se à resolução de (El e A). Elas também tiveram
dificuldade para interpretar a situação e no final, apesar de ter dado como
resposta 1000km, (A) percebeu que esse valor seria se o avião tivesse percorrido
da cidade A até a cidade errada e depois para a cidade B. Isso é constatado no
diálogo entre El e A. As duas duplas também mantêm equivocada a condição
necessária para justificar usando os casos de congruência de triângulos. Após
várias tentativas como as realizadas pelas duplas (El e A) e (Da e Ma), com a
intervenção da professora, a dupla (Gi e Rs) apresentou a seguinte resposta final:
157
Fig. 128
Parece haver entendimento no que se refere ao lado comum BC, que antes
não havia ocorrido. Além dessa dupla, as duplas (Ro e Va), (Re e G) conseguiram
resolver o problema. A dupla (D e Ev) inicialmente apresentou a seguinte
resolução:
Fig. 129
Essa resposta apresenta característica de um exemplo de empirismo
ingênuo, segundo Balacheff (1988), pois não há nenhum questionamento sobre
as outras particularidades que são relevantes para a resolução do problema. Essa
dupla reconsiderou a questão e finalizou indicando o caso de congruência LAL,
mas equivocou-se ao afirmar: AC
≅
BC, e não AC
≅
CD. Identificou corretamente
o lado comum e o ângulo reto: DCBBCA
∧∧
≅ e CB
≅
CB. Responderam que BD é
igual a 500km.
Apenas duas duplas ainda não conseguiram justificar usando os casos de
congruência de triângulos, mas parece haver uma pequena evolução dos demais
grupos.
15. O solo é considerado a base de todas as outras provas da Ginástica Olímpica. Os rolamentos
são os primeiros elementos a se aprender. Na ilustração a ginasta realiza um dos movimentos
básicos. Considere o alongamento perpendicular AB inicial igual ao final EF. Considere,
também, que BC é congruente a DE. O que você pode dizer sobre a distância CF e DA?
Justifique.
158
Figura 130 - Rolamento de costas carpado
Em uma das tentativas de resolução a dupla (A e El) apresentou o seguinte
comentário: "se fizermos o segmento DA e o segmento CF vão se transformar em
triângulos, e se fossemos utilizar o Cabri, teríamos que usar alguma ferramenta de
transformação para comprovar se um triângulo é ou não congruente a outro. No caso,
usaríamos simetria axial. Para isso construiríamos uma mediatriz entre as figuras e
depois, acionaríamos a ferramenta simetria axial, clicaríamos na mediatriz construída e
aí, o triângulo (ABD) seria transferido ao outro (FEC). Portanto os triângulos formados
são conseqüência dos segmentos construídos (CF e DA)
".
Esse comentário feito pela dupla (A e EL) mostra que, o que elas
conceberam nas atividades com o Cabri, está sendo utilizado nesse bloco,
contribuindo para a visualização e compreensão do problema proposto. Caso a
dupla interrompesse a resolução nessa resposta, estaria exemplificando uma
prova categorizada como sendo exemplo genérico, pois toma um representante
(com o uso da simetria axial) para explicar a validação de sua resposta. Elas
resolveram o problema com facilidade, utilizando os casos de congruência, após a
intervenção da professora que sugeriu que representassem os dois triângulos
separadamente e identificassem os pontos A, B, C, D, E e F nos triângulos.
Assim, foi possível identificar que CD era comum para os dois triângulos.
Em uma das tentativas de resolução feita por (Va e Ro), encontra-se a
utilização de ângulos opostos pelo vértice. Em outra, utilizando um modelo
matemático da situação fornecida, a dupla tentou utilizar uma linguagem
simbólica própria e chegou a identificar que CD fazia parte do segmento BD e do
segmento CE.
A
B CDE
F
159
Fig.131
Pode-se considerar que a dupla foi seguindo os pontos na representação e,
talvez, percebido que, como os segmentos formados por esses pontos eram
congruentes, a dupla fez as indicações: FEDCABCD
≅
e EDCBCD ≅ ; ao mesmo
tempo, visualizou os ângulos congruentes
CBADEF
∧∧
≅
. O que era relevante foi
reescrito, e depois foram eliminadas as partes que não eram associadas ao caso
LAL.
16. Considere uma circunferência de centro O e uma corda AB. Seja M o ponto médio da corda.
Complete a frase abaixo usando as palavras sempre, nunca, às vezes. "O segmento OM é
perpendicular ao segmento AB". Justifique sua resposta.
Esperava-se as seguintes repostas:
Construção 1: O centro O da circunferência não pertence à corda AB.
• OB e AO são congruentes, pois têm a medida do raio da circunferência.
• Os triângulos AOM e BOM são congruentes, pelo caso LLL: OA ≅OB (raio da
circunferência); MA
≅MB (M é ponto médio) e OM≅OM ( lado comum).
ou Fig. 132a
Construção 2: O centro da circunferência O pertence à corda AB.
160
Nesse caso, não haverá segmento OM, pois o ponto O
coincide com M.
Portanto, pode-se afirmar que às vezes "o segmento
OM é perpendicular ao segmento AB".
Fig.132b
Quatro duplas (Rs e Gi), (El e A), (Va e Ro), (Re e G), apresentaram o
ponto médio M coincidente ao centro O, como a construção 2 (Fig. 132b) -
exemplo particular de um caso possível (crucial)
A dupla (Rs e Gi), inicialmente considerou a corda AB como diâmetro e o
ponto médio M coincidente ao centro da circunferência. Após intervenção da
professora, que questionou sobre o caso em que a corda não passasse pelo
centro da circunferência, elas representaram uma nova figura com a corda AB
passando abaixo do centro. Concluíram a resolução, com o auxílio da professora,
pois elas tiveram dificuldade em perceber os dois triângulos AOM e BOM para a
justificativa. Foi relevante a afirmação, de forma espontânea, de Gi ao dizer que
OM era congruente a OM, que pode ser considerado um indício de que ela, agora,
mostrou que concebeu a idéia do lado comum, utilizado nas questões 1 e 2 desse
bloco. A resolução pode ser categorizada como sendo de experiência mental,
pois utilizou propriedades como o ponto médio, a identificação do raio, e as
propriedades dos casos de congruência.
A dupla (El e A) representaram também várias situações de construção 2,
mas a resposta baseou-se na visualização (G1). Interpretou e representou
corretamente "O ponto O é o centro da circunferência mesmo. O ponto M é que
pode ser em outro lugar", mas a validação ocorreu com a verificação de alguns
casos sem questionamento quanto às particularidades. Portanto, pode-se
categorizar essa resolução como empirismo ingênuo. No final elas escrevem: "As
vezes, pois, em todos os casos foi possível a construção de triângulos, mesmo no
caso 4". Não verificaram que no caso 4 não ocorre triângulos e, nas outras
construções, não procuraram justificar porque OM é perpendicular à corda AB.
161
Fig. 132c
A dupla (Re e G), (Ma e Da) e (Ev e D) não conseguiram interpretar a
situação proposta.
17. Um triângulo CDE pode ser obtido pela rotação de 90º do triângulo ABC, sentido anti-horário
(positivo), ao redor do ponto C. Podemos afirmar que o ângulo C
∧
D
B tem medida igual a
_____. Justifique sua resposta.
Fig. 133
O problema, apesar de mencionar a rotação de 90
o
, transformação
estudada no Cabri pelos alunos, é complexo, visto que é necessário perceber e
aplicar algumas propriedades:
Identificar os lados congruentes dos triângulos ABC e CDE.
Identificar o ângulo °=
∧
80DCE , aplicando a propriedade da soma das medidas dos ângulos
internos de um triângulo.
Identificar o ângulo °=
∧
10DCA , em virtude do giro de 90
o
(sentido anti-horário) do lado BC.
162
Identificar que o triângulo ABC é isósceles e, portanto, DCBC
≅
,
°=
∧
90DCB
, e o ângulo
°=
∧
45CDB .
Os resultados são resumidos na tabela abaixo:
Grupo Categoria Procedimentos
Ev e G Não respondeu
Re e D Experiência
mental
Interpretaram, separaram os triângulos, não identificaram o valor
de 45º
Va e Ro Empirismo
ingênuo
Interpretação e associação a um caso de congruência de triângulo
sem identificar particularidades.
Rs e Gi Experiência
mental
Interpretaram, separaram os triângulos, identificaram o valor de
45º
El e A Experiência
mental
Identificaram o triângulo isósceles. Faltou responder
Ma e Da Empirismo
ingênuo
Interpretação e associaram a um caso de congruência de triângulo
sem identificar particularidades.
Tabela 9 – Resultado da atividade 6, bloco 3
Como era esperado, os grupos tiveram dificuldades na resolução desse
problema. A dupla (Ev e G) não respondeu. Duas duplas permaneceram na
identificação dos elementos congruentes (lados e ângulos) dos triângulos ABC e
CDE. A resolução de (Ro e Va) é mostrada a seguir:
Fig. 134
Percebe-se que a dupla visualizou o giro, em que o ângulo D do triângulo
CDE se sobrepõe ao ângulo B do triângulo ABC. Depois, tenta identificar os
demais ângulos congruentes, incluindo o ângulo solicitado DBCBDC
∧∧
≅ . Faltou
identificar outros elementos congruentes, por exemplo o ângulo
°=
∧
80DCE , e
organizar esses elementos de modo a visualizar três triângulos, sendo dois
congruentes entre si e outro isósceles.
163
Os que avançaram, lembraram da propriedade da soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo é 180º e identificaram os ângulos
ECD
∧
e
ACB
∧
congruentes e iguais a 80º . (Rs e Gi) chegou no valor de 45º. A dupla (El e A)
identificou o triângulo isósceles, mas não finalizou com a resposta desejada, e
(Re e G) não conseguiu identificar o ângulo de 45º.
Durante a resolução desse problema os alunos solicitaram ajuda da
professora que deu as seguintes orientações:
reconstruir a figura dada e identificar os elementos congruentes (ângulos e lados).
Identificar o ângulo DCE
∧
. Lembrar da atividade feita na placa quadriculada, em que
não era possível construir um triângulo.
Retornar à questão do problema e identificar o triângulo formado BCD e suas
propriedades.
A resolução a seguir é da dupla (El e A), que ao final da gravação diz:
"Tivemos dificuldades. A professor ajudou, falou para rotacionar ABC de 90
o
para
achar CDE. A gente viu as medidas que a gente tinha e completou o resto".
Fig. 135
Essa dupla identificou de imediato o ângulo de 80
o
e o triângulo isósceles,
mas não respondeu à questão. Fez uma associação com o caso LAL sem
necessidade. Talvez observando os dois lados congruentes BC e CD e o ângulo
164
de 90
o
. Outras intervenções foram feitas pela professora: "Se daqui até aqui tem 90 e
daqui até aqui tem 80 esse ângulo é quanto?", "identifiquem os lados congruentes com
tracinhos..."
A resolução da atividade estabeleceu-se em torno do nível G1 e G2, pois
os alunos recorreram à reconstrução da figura dada. Depois, mantiveram-se no
nível G2, ao usar as propriedades dos ângulos de um triângulo e do triângulo
isósceles. A essas características, pode-se associar a categoria de Balacheff da
experiência mental. Pode-se dizer que alguns alunos atingiram parcialmente os
objetivos da questão.
18. Um triângulo isósceles é um triângulo que tem dois lados congruentes. Prove que os ângulos
da base de um triângulo isósceles são congruentes.
Era esperado que os alunos pudessem aplicar a bissetriz ou a mediana
para resolver este problema. De fato, os alunos tentaram resgatar a bissetriz e a
mediana, porém, não utilizaram corretamente. O resultado é apresentado na
tabela abaixo:
Grupo Categoria Procedimentos
Ev e D Empirismo
ingênuo
Usou erradamente a mediatriz, como se fosse uma
bissetriz ou mediana, relacionou ao caso LAL
Re e G Experiência
mental
Usou a mediana, não apresentou o caso de congruência.
Va e Ro Empirismo
ingênuo
Usou erradamente a mediatriz, como se fosse uma
bissetriz ou mediana, relacionou ao caso LAL
Rs e Gi Experiência
crucial
Usou dados de quando se usa uma mediatriz e de uma
bissetriz e tomou um triângulos retângulo com ângulos
de 45
º, 45º e 90º
El e A Empirismo
ingênuo
Usou informação de quando se usa mediatriz e de
quando se usa bissetriz.
Ma e Da Empirismo
ingênuo
Usou erradamente a mediatriz, como se fosse uma
bissetriz ou mediana, relacionou ao caso LAL
Tabela 10 – Resultado da atividade 7, bloco 3
A dupla (Re e G) parece ter identificado corretamente, utilizando a mediana
do lado AB, mas não identificou o caso LLL de congruência de triângulos.
165
Fig. 136
A dupla (Rs e Gi) apresentou uma resolução do tipo experiência crucial:
Fig. 137
A dupla considerou a semi-reta com origem em A uma bissetriz. Depois, ao
separar os triângulos congruentes, apresentou o lado AC como se fosse originado
de uma mediatriz, indicando o ângulo de 90
o
. Acredita-se que a dupla não tenha
se apropriado da propriedade da bissetriz e da mediana no estudo dos triângulos,
considerando elementos de uma como de outra propriedade. Por fim, a validação
ocorreu por meio de um caso particular possível, isto é, um triângulo isósceles
com os ângulos: 90º, 45º, 45º. O mesmo ocorreu com as duplas (EL e A) e (Ev e
D). A seguir a resolução de (EL e A).
Fig. 138
166
A análise geral dessa atividade leva aos seguintes pareceres:
Os alunos tiveram dificuldades em utilizar corretamente as propriedades da
bissetriz e da mediana nos triângulos. Acredita-se que essa dificuldade tenha
ocorrido devido a não familiarização nos triângulos, pois, por exemplo, a semi-
reta formada pela bissetriz do ângulo C, não garante a perpendicularidade
dessa semi-reta com o lado AB.
Os alunos, de forma geral tentaram utilizar elementos da categoria experiência
mental, pois tentaram recorrer à propriedade da bissetriz, mas não atingiram o
objetivo por não terem devidamente se apropriado dessas propriedades nos
triângulos.
19. Seja o triângulo ABC e M o ponto médio do lado AC. Uma semi-reta com origem em B
passando por M é traçada. P e Q são pontos da semi-reta. AP e CQ são perpendiculares à
semi-reta dada. Prove que AP
≅QC.
Na análise a priori esperava-se que os alunos interpretassem e
representassem uma figura conforme os dados do problema. Como estratégia
inicial, foi previsto que o aluno escolheria um triângulo eqüilátero ou isósceles
para obter a seguinte uma idéia inicial de prova (Fig. 139):
Fig. 139
Nesse caso o aluno
poderá notar que o ponto
M coincide com P e Q.
Como M é ponto médio,
AP
≅QC
A dupla (Da e Ma) utilizou essa estratégia e justificou usando o caso ALA.
A princípio a dupla teve dificuldade em identificar os pontos P e Q. Depois,
separando os triângulos, pode-se dizer que: se a dupla tivesse utilizado a
propriedade "
em todo triângulo isósceles, a mediana relativa à base também é bissetriz e
altura
", não provada nessas atividades, a resolução poderia ser considerada
correta. Mas a dupla não mencionou se o triângulo era isósceles, ou eqüilátero,
ou escaleno e por fim, de acordo com os elementos congruentes selecionados, o
caso de congruência deveria ser LAAo.
167
Fig. 140
Uma segunda estratégia poderia ser realizada da seguinte maneira:
Fig. 141
Com um triângulo escaleno: A justificativa é que os
triângulos APM e OQM são congruentes pelo caso LAAo,
pois:
QMCPMA
∧∧
≅
- opostos pelo vértice;
MQCMPA
∧∧
≅
(mediana do lado AC é perpendicular aos segmentos AP e
CQ); AM
≅MC (M é ponto médio).Portanto AP≅QC.
Em geral, os alunos que representaram um triângulo escaleno foram
auxiliados na interpretação das posições dos pontos P e Q. Tiveram dificuldades
em localizar o ângulo reto não identificaram o ângulo
QMCPMA
∧∧
≅
opostos pelo
vértice, consideraram o lado QP congruente ao lado PM, sem que pudessem
considerá-los (Fig. 141a e 141b).
Fig. 141a
168
Fig. 141b
Todos os grupos tiveram dificuldades em interpretar e resolver o problema.
Tentaram utilizar propriedades, mas a análise das respostas leva a concluir que
os alunos utilizaram mais, os aspectos visuais para estabelecer a congruência
dos elementos dos dois triângulos. Nesse caso, não será apresentada uma tabela
categorizando o tipo de prova, pois, pode-se dizer que os alunos utilizaram
exemplificaram prova crucial, pois apresentaram algumas propriedades. E
considerando-se os níveis de Parzsyz (2001), os alunos transitaram do nível G2
para G1, pois utilizaram algumas propriedades, mas a validação de alguns
elementos congruentes foi perceptiva.
20. Dadas as retas r e s com ponto de interseção em O. B é simétrico do ponto A em relação à
reta r e C é simétrico do ponto B em relação à reta s. O ponto B está na região em que as
retas r e s formam o ângulo
θ (teta).O que se pode dizer do ângulo AÔC e relação ao ângulo
θ? Justifique.
Fig. 142
O objetivo deste problema era retomar a simetria axial estudada no Cabri,
de modo que se sobressaíssem as propriedades dessa transformação. Os alunos
deveriam visualizar retas perpendiculares, bissetrizes, mediatrizes, pontos
médios, além de compor e decompor triângulos. A tabela a seguir mostra um
169
resumo dos elementos, possivelmente, percebidos e indicados na figura
representada por cada grupo:
(Ev e D) (Re e G) (Va e Ro) (Rs e Gi) (El e A) (Ma e Da)
A dupla identificou: Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não
retas perpendiculares
x x x x x x
bissetrizes
x x x x x x
mediatrizes
x x x x x x
pontos médios
x x x x x x
ângulos congruentes
x x x x x x
lados comuns
x x x x x x
ângulo AÔC=2φ
x x x x x x
Tabela11 – Resultado da atividade 9, bloco 3
A tabela mostra que a mediatriz e o ponto médio não foram identificados
por três grupos, sendo que era importante, pois indicava, por exemplo, a
congruência dos lados AR e BR dos triângulos ABO e BRO, respectivamente, e o
entendimento da transformação simetria axial, sem a utilização do Cabri. Os lados
comuns, OR e OS não foram percebidos por três grupos e apenas um grupo
chegou na resposta desejada. A seguir, a resolução dos grupos (Ev e D) –
fig.142a , (Rs e Gi) – Fig. 142b e (El e A) – Fig.142c.
Fig. 142a
A dupla (Ev e D) justificou a
congruência dos triângulos
ARO e BRO e os triângulos
BOS e COS corretamente,
utilizando o caso ALA, porém,
não responderam à questão.
Fig. 142b
A dupla (Rs e Gi) não
relacionou a nenhum caso de
congruência. Indicou a
congruência
BROORA
∧∧
≅
simbolicamente, mas não
indicou na representação. Não
respondeu à questão.
170
Fig. 142c
A dupla (El e A) identificou alguns
elementos congruentes, mas não
relacionou corretamente ao caso de
congruência. Esta dupla não
relaciona as três condições
necessárias para a congruência de
triângulos. Chegou no valor
θ
2
para
o ângulo solicitado.
Foi uma tarefa árdua para os alunos, pois eram vários os elementos que
deveriam identificar. Com isso, percebe-se que os alunos identificaram algumas
propriedades e outras não, prejudicando a conclusão do problema. Com relação à
congruência, a dupla (El e A) ainda não percebeu que as condições mínimas de
congruência são três e não duas. Geralmente, elas relacionam duas e na terceira
incluem os elementos que devem ser conseqüência. Os grupos apresentaram
respostas que podem ser categorizadas como sendo experiência mental, e de
nível G2.
21. Considere uma circunferência de centro O e uma corda AB. Pelo ponto O trace uma reta
perpendicular ao segmento AB. Essa reta intersectará o segmento AB num ponto G. Complete
a frase usando as palavras sempre, nunca, às vezes. "G é ponto médio do segmento AB".
Justifique sua resposta.
Esperava-se que nessa questão os alunos interpretassem e
representassem a figura conforme os dados do problema, identificassem
triângulos congruentes cujos elementos indiquem o caso LAAo de congruência de
triângulos.
Situação 1
Fig. 143a
O centro da circunferência pertence ao segmento AB
Sendo AB o diâmetro da circunferência, temos que G coincide com
o centro O da circunferência; AO
≅BO são raios da circunferência.
Portanto G é ponto médio de AB.
Como em todos os casos possíveis G é ponto médio, então,
podemos acrescentar a palavra sempre.
171
Situação 2
Fig. 143b
O centro da circunferência não pertence ao segmento AB.
Era esperado como justificativa: O triângulo AOB é isósceles, pois
AO
≅BO – raio da circunferência. Os triângulos BOG e AOG são
congruentes pelo caso LAAo, pois, AO
≅BO – raio da circunferência
,
AGOBGO
∧∧
≅
- é dado que OG é perpendicular a AB;
Â
B
≅
∧
-
resultado da questão 7. Portanto, AG
≅BG, e G está entre A e B e é
ponto médio.
Conforme a análise a priori, a representação da figura Fig. 143a foi a que
mais apareceu. As duplas (Ev e D), (Rs e Gi) interpretaram e representaram a
figura solicitada; não identificaram os elementos congruentes e a justificativa foi
pela visualização. As respostas das duplas podem ser categorizadas como sendo
de nível G1 de Parzysz (2001).
Fig. 143 c: Resolução de (Ev e D)
Fig. 143d: Resolução de (Rs e Gi)
172
A dupla (Rs e Gi) interpretou e representou a figura corretamente e
identificou alguns elementos inerentes à figura: a congruência do lado comum OG
e, o ângulo reto formado pelo segmento AB e a reta perpendicular. Antecipou ao
informar que BG e AG são congruentes. Parece não ter considerado esses dados
para a justificativa final: "sim, porque G é uma reta (na verdade, um ponto) que conta o
segmento BA".
O aspecto geral da figura foi mais relevante para a dupla, sendo a
validação perceptiva (G1). No que se refere aos tipos de prova de Balacheff
(1988), pode-se considerar um exemplo de empirismo ingênuo, pois, a validação
ocorreu com a verificação de alguns poucos casos, sem questionamento quanto
às particularidades. Se a dupla tivesse explorado mais a figura formada e
procurado encontrar triângulos congruentes e seu elementos, talvez tivessem
sucesso na conclusão do problema.
A figura a seguir, refere-se à resposta da dupla (El e A).
Fig.144
A dupla (El e A), parece ter considerado as duas situações previstas na
análise a priori. Na situação 1, a dupla não relacionou triângulos ao centro O, mas
às intersecções da reta com a circunferência que formou 4 triângulos, sendo
congruentes dois a dois (isso é verificado nos triângulos representados
separadamente), formando um quadrilátero (figura não explorada neste trabalho).
Infelizmente a dupla ainda está considerando dois elementos congruentes e um
terceiro, que deveria ser a conclusão para justificar e validar o resultado. A dupla
generalizou (exemplo genérico), mas não conseguiu explicar porque escolheu o
caso LAL. Acredita-se que havendo um tempo maior para esclarecimento, a dupla
consiga resolver completamente o problema proposto. A tabela a seguir, resume
os resultados apresentados pelas duplas.
173
Grupo Procedimentos
Ev e D Respondeu sempre. Representou as duas situações previstas em numa só
circunferência. Não identificaram propriedades ou elementos congruentes.
Validação foi perceptiva.
Re e G Respondeu sempre, com validação perceptiva.Representou as duas situações
previstas em uma só circunferência.
Va e Ro Como Rs e Gi, e não conseguiram visualizar o caso de congruência.
Rs e Gi Representou somente com AB menor que o diâmetro e tentou usar os critérios da
congruência.
El e A Respondeu sempre, identificou as duas situações esperadas. Separou os
triângulos congruentes, mas não relacionou os elementos congruentes com o
caso devido de congruência de triângulos.
Ma e Da Não conseguiram visualizar o segmento AB igual ao diâmetro e não conseguiram
usar os casos de congruência.
Tabela12– Resultado da atividade 10, bloco 3
Em virtude da complexidade do problema e do tempo que tinham
disponível para resolver as questões, os alunos não atingiram completamente a
resolução da questão, apresentando provas com características entre o
empirismo ingênuo e experiência mental.
22. Os Quadriláteros ABCD e AEFG são quadrados. Mostre que os segmentos DG e BE são
congruentes.
Fig. 145
Conforme análise a priori, esperava-se que os alunos resolvessem de
forma intuitiva ou de forma dedutiva, utilizando os casos de congruência.
A figura abaixo, foi apresentada pela dupla (Da e Ma).
174
Fig. 146
Pode-se perceber que na tentativa 1 a dupla (Ma e Da) respondeu
visualizando o objeto, denotando um exemplo de empirismo ingênuo, pois as
particularidades não foram consideradas e a validação foi perceptiva (G0). Na
tentativa 2, a dupla usou como estratégia representar separadamente os
triângulos AGD, BCE, ABE e novamente o triângulo AGD, que achou conveniente.
Também, pela visualização a dupla concluiu que DG e BE eram congruentes: "DG
e BE são congruentes, percebemos isso repartindo os triângulos em 4 partes, separando as
partes iguais e não iguais..
.". Em seguida, desconsiderou totalmente a conservação
das medidas e relacionou como congruentes os lados dos triângulos AGD e BCE,
e indicaram o caso LAAo como justificativa de congruência desses triângulos.
Pode-se dizer que a estratégia usada poderia levar a uma conclusão satisfatória,
caso a dupla identificasse os elementos congruentes dos triângulos
representados separadamente. Fazendo isso, a dupla encontraria a congruência
dos triângulos AGD e ABE. Como resultado a dupla não conseguiu resolver o
problema.
Os demais grupos utilizaram o caso LAL de congruência de triângulos, mas
não sabiam explicar porque o ângulo BÂE era congruente ao ângulo GÂD. Essa
atividade foi exaustiva para os alunos, e não conclusiva.
175
CONCLUSÃO DO BLOCO 3 – PROVA
Ressalta-se que nesse bloco os alunos iniciaram a resolução das
atividades apresentando explicitamente o que foi estudado no Cabri, por meio da
linguagem natural, mencionando a simetria axial "lembrando-se da edição
numérica utilizada no Cabri e a simetria axial, podemos dizer..." (problema 1,
dupla (D e Ev)), ou por representação lembrando uma translação (problema 1,
dupla (Re e G)).
Algumas dificuldades que impediram a conclusão das tarefas foram
identificadas, tais como: os grupos, (El e A), (Va e Ro), não identificaram o lado
comum ou o ângulo comum nos triângulos congruentes; não souberam identificar
as condições mínimas de congruência de triângulos. Essas dificuldades podem
ser superadas com uma retomada nos problemas, visto que, a dificuldade com
relação ao lado comum, pode ser esclarecida se o aluno representar,
separadamente os triângulos congruentes e identificar os seus elementos
congruentes e não congruentes. Sobre as condições mínimas para a congruência
de triângulos, deve-se rever com os alunos, a utilização da condição
"se...então...". Nesse caso, se três elementos de um triângulo, pertencentes a um
dos casos de congruência de triângulos, forem congruentes aos outros três
elementos respectivos de outro triângulo, então os dois triângulos são
congruentes. Portanto, os outros elementos dos dois triângulos também são
congruentes entre si.
Percebe-se que os alunos utilizaram provas de categoria empirismo
ingênuo (como nas atividades 3, 5 e 9) , crucial (como nas atividades 2, 5 e 7),
genérico (como nas atividades 1 e 4) e experiência mental (como nas atividades
2, 3 e 6), segundo Balacheff, sendo que os últimos problemas foram mais
complexos, exigindo dos alunos a utilização e percepção de propriedades
relacionadas aos casos de congruência de triângulos, por exemplo, a mediatriz,
bissetriz, ponto médio, retas perpendiculares, elementos da circunferência, como
corda, diâmetro, raio.
176
CAPÍTULO 5
CONSIDERAÇOES FINAIS
Esta pesquisa contempla um estudo teórico e experimental sobre o tema
Congruência. A escolha desse tema foi motivada pelos seguintes fatores: a
participação no projeto AprovaME que concilia a tecnologia às investigações de
argumentação e prova em matemática; os resultados de uma pesquisa realizada
em alunos da 1
a
série do Ensino Médio; e a carência de pesquisas especificas
sobre esse tema. Ademais, uma revisão bibliográfica foi realizada com o objetivo
de fortalecer e vincular esta pesquisa a outras investigações realizadas na área
de Educação Matemática.
O estudo histórico da congruência como objeto matemático revelou a
importância desse conceito matemático. Para isto, foram consultadas as obras de
Euclides, Clairaut, Legendre, Hadamard, Hilbert e Birkhoff e feito um estudo sobre
as isometrias.
Esta pesquisa foi fundamentada nos trabalhos de Parzysz (2001), sobre os
níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico; Balacheff (1988), sobre os
tipos de prova; Machado (2005), sobre a rede de conhecimentos; Freudenthal
(1973), sobre a organização local num processo dedutivo. Para a análise da
congruência em 3 livros didáticos indicados pelo Programa Nacional do Livro
Didático (PNLD), foi utilizada a organização praxeológica de Chevallard (1999). A
parte experimental da pesquisa, trata de uma seqüência de atividades sobre a
congruência, concebida em 3 blocos: o bloco 1 com atividades exploratórias no
concreto, o bloco 2 que explorou a geometria espaço-gráfica, e o bloco 3 relativo
a problemas cujas soluções necessitam de provas teóricas.
Os resultados das atividades permitem apresentar alguns elementos de
resposta para a primeira indagação dessa pesquisa: Em que medida o processo
de transição do concreto para o espaço-gráfico contribui para a apropriação
do conceito de congruência?
A questão está relacionada às atividades dos blocos 1 e 2, que tinham por
objetivo a construção do significado de congruência por meio de atividades de
manipulação e visualização dos objetos bidimensionais e tridimensionais, bem
177
como de atividades de sobreposição de figuras e de construção de triângulos para
a verificação dos critérios de congruência.
No bloco 1, os alunos procuraram em objetos tridimensionais, selecionados
previamente, regularidades que caracterizavam a congruência em seu aspecto
geral. A validação ocorreu de forma perceptiva (G0). Nas atividades desse bloco,
os alunos utilizaram vocábulos como "igual", "semelhante", "idêntico" para
substituir, explicar ou designar o termo congruência (ver dupla D e G na atividade
1 do bloco 1). Os alunos entenderam a congruência de objetos como tendo a
mesma forma e mesmo tamanho, visualizando, medindo, sobrepondo uma figura
em relação à outra: "Porque as duas têm medidas iguais. Eu peguei uma fita e
medi com uma linha na fita marcando os cm de cada figura"; "Elas são
congruentes porque uma tem o mesmo tamanho e formato da outra. Recortamos
a figura 2 e colocamos uma sobre a outra". Mencionaram conceitos estudados
anteriormente como simetria axial, eixo de simetria, como a dupla (Gi e Rs)
comentou: "É como se tivesse um eixo de simetria, onde as figuras se espelham".
A sobreposição de figuras e coincidências de seus respectivos pontos foram
sendo percebidos no bloco 1, como o trio (El, a e Ro) comentou na situação 2 da
atividade 2: "Porque elas se encaixam. Se invertermos a figura 4 e colocarmos
por cima da figura 3.", e ( D e G) "Mesmo as figuras sendo de forma curva, elas
são do mesmo tamanho. Se colocarmos uma figura em cima da outra, elas serão
iguais". Entretanto, no bloco 2, a sobreposição de figuras e coincidência de seus
respectivos pontos formaram as condições necessárias nas atividades com o
Cabri. A congruência foi explorada por meio das transformações como a dupla D
e G comenta: "Usamos a simetria central e novamente sobrepomos a figura.
Tentamos várias vezes de formas variadas como: translação e rotação. Tentamos
também usar a translação sem o vetor, mas não funcionou". Essas observações
são um exemplo de como se processou a transição do concreto (manipulação de
objetos do cotidiano) para a espaço-gráfica, explorada no Cabri.
Os alunos realizaram todas as tarefas no Cabri, porém, uma dificuldade
encontrada foi a utilização das composições de transformações, pois em algumas
atividades, os alunos desejavam utilizar uma única transformação para sobrepor
duas figuras congruentes. Nas atividades 2, 3 e 11, do Cabri, os alunos
recorreram às medições dos lados das figuras como no bloco 1, resgatando a
condição de congruência através de medidas e comparações. Destaca-se a
atividade 1 em que os alunos perceberam que a congruência estava relacionada
178
com o deslocamento e movimento das figuras ao expressarem palavras como:
"levamos", "transladamos", "transferência". Começou-se a formar uma idéia de
prova, útil para o bloco 3, e da congruência por superposição. Isso foi constatado
quando um grupo afirmou: "fazendo isso, provamos que eles eram do mesmo
tamanho porque o barco azul cobriu o amarelo".
Para a construção e representação dos triângulos congruentes e não
congruentes na placa quadriculada, os alunos já consideravam o tamanho e
forma para decidirem sobre o objeto construído, como constatado no diálogo da
dupla (EL e A), na construção 6, do bloco 2: "mas pode ser maior..."," já deixa de
ser congruente". Os alunos a partir de atividades exploratórias verificaram os
“casos de congruência” de triângulos de maneira empírica. As estratégias
utilizadas estavam situadas no nível G1 (construção e comparação entre os
retângulos construídos) e, em alguns casos aplicaram propriedades anteriormente
estudadas transitando para o nível G2: "Não dá porque se for 30
o
, vai dar aqui.
Primeiro, a gente tem que ver que a soma (das medidas) dos ângulos tem que dar
180
o
". Ainda nesse bloco, ocorreu a institucionalização dos casos de congruência
de triângulos.
Dessa forma, os resultados das atividades nos blocos 1 e 2 revelam que o
processo de transição do concreto para o espaço-gráfico contribuiu para que os
alunos se apropriassem do conceito de congruência.
A segunda questão: E em que medida esse processo favorece a
passagem do empírico para o dedutivo?, está relacionada às atividades de
prova do bloco 3. Foram apresentados problemas com ou sem representações,
de modo que, deveriam ser interpretados pelos alunos. Depois, os alunos
deveriam reconhecer os elementos congruentes das figuras e associá-los aos
casos de congruência de triângulos. Nos problemas mais complexos, os alunos
deveriam reconhecer também, outros elementos geométricos ou propriedades.
Na utilização dos casos de congruência de triângulos, as produções dos
alunos mostraram que houve a passagem de validações empíricas (nível G1)
para validações dedutivas (nível G2) e vice-versa. Os alunos utilizaram
informações de atividades dos blocos anteriores para resolver alguns problemas,
em outros recorreram diretamente aos casos de congruência. Detectamos nos
protocolos dos alunos analisados, os tipos de provas segundo a classificação de
Balacheff (1988): empirismo ingênuo (7), experiência crucial (8), exemplo
genérico (7) e experiência mental (14).
179
A análise das produções dos alunos revelou aspectos favoráveis à
passagem do empírico para o dedutivo e outros desfavoráveis. A exploração dos
blocos 1 e 2 auxiliou na interpretação dos problemas propostos, e os alunos
apresentaram justificativas em linguagem natural ou simbólica, de forma a
resgatar informações das atividades do concreto, do Cabri e da placa
quadriculada. Isso ocorreu, por exemplo, na atividade 1 do bloco 3: A dupla (Ev e
G) utilizou a linguagem natural para explicar como resolveriam no Cabri, só
depois resolveram o problema usando os casos de congruência, enquanto que a
dupla (Re e D) deslocou para a esquerda um dos triângulos dados, indicando a
translação de figuras. Nas provas dos problemas 6 e 9, os alunos utilizavam
conceitos geométricos tais como reta perpendicular, mediatriz, bissetriz, ponto
médio, de forma bastante natural. Julgamos que o trabalho com o software Cabri
no bloco 2 favoreceu o uso espontâneo de tais conceitos.
Outro aspecto favorável foi que as atividades resolvidas na placa
quadriculada ajudaram os alunos na compreensão dos 4 casos de congruência de
triângulos e favoreceram o uso da organização local proposta por Freudenthal na
resolução das atividades do bloco 3.
Entre os fatores desfavoráveis à passagem do empírico para o dedutivo,
pode-se apontar algumas dificuldades ocorridas na experimentação que
impediram a conclusão de algumas tarefas: para alguns grupos foi difícil a
identificação do lado comum ou do ângulo comum nos triângulos congruentes.
Em outros problemas, os grupos não souberam identificar as condições mínimas
de congruência de triângulos, identificavam somente dois elementos e como
terceiro indicavam o resultado que deveria ser provado (por exemplo: problema 1,
dupla (El e A), fig. 121d). Uma terceira dificuldade que surgiu foi com o uso do
“se...então”. Após verificar as condições mínimas de congruência de dois
triângulos, havia uma dificuldade em concluir que os restantes elementos
correspondentes dos dois triângulos eram respectivamente congruentes entre si.
Em virtude dessas dificuldades pode-se dizer que o processo de transição
do concreto para o espaço-gráfico favoreceu, em parte, a passagem do empírico
para o dedutivo. Outros complementos na seqüência didática se tornam
necessários para que a passagem do empírico ao dedutivo se concretize mais
amplamente.
180
BIBLIOGRAFIA
ABAR, Celina A. A. P. Noções de Lógica Matemática. São Paulo: Pontifícia
Universidade Católica,1999. Disponível em <http://www.pucsp.br/~logica/. Acesso
em 10 jul. 2006.
ALVES, Erica Valéria. Um estudo exploratório dos componentes da
habilidade matemática requeridos na solução de problemas aritméticos por
estudantes do Ensino Médio. 1999. 206 f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) – Universidade de Campinas, Campinas, 1999. Disponível em
<http://www.bibli.fae.unicamp.br/sitescb.htm >. Acesso em 9 jul.2006.
ALVES, Sérgio & GALVÃO, Maria E. E. L. Um Estudo Geométrico das
Transformações Elementares. São Paulo: IME, 1996.
ANDRAUS, Silvio; SANTOS, Udmyr Pires dos. Matemática 2º grau 1ª série.São
Paulo, Atual, 1977, 215p.
ARCAVI, A & HADAS, N. El computador como medio de aprendizaje: ejemplo
de un enfoque. Tradução Maria F. Mejía e Edinsson F.M. Instituto de Educación y
Pedagogia Universidad del Valle, 2003.
ARTIGUE, Michele. Engenharia Didáctica. Recherches en didactique des
mathematiques. vol. 9/3, 281-308. Grenoble, La Pensée Sauvage Éditions, 1988.
AVILA, Geraldo. Euclides, Geometria e Fundamentos. Revista Professor
Matemática. Nº 45, 2001, p. 1-9. São Paulo, Sociedade Brasileira de
Matemática, 2001.
BALACHEFF, Nicolas. Aspects of proof in pupils' pratice of school
matematics. Pimm D. (ed.) Mathematics, Teachers and Children. London: Hodder
and Stoughton, p. 316-230, 1988.
BALDIN, Y.Y; VILLAGRA, G.A.L. Atividades com Cabri-Géomètre II. São
Carlos: EdUFSCar, 2002. 240p.
181
BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan. GeometriaAnalítica: Um tratamento Vetorial.
São Paulo, MacGraw-Hill, 1987, 385p.
BOYER, Carls Benjamin. História da Matemática. Tradução de Elza Gomide.
São Paulo: Edgard Blücher, 1974.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares
Nacionais: Matemática / Secretaria de Educação Fundamental - Brasília: MEC
/SEF. 1998. 148p. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf>.
Acesso em: 30 out. 2005.
_______. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares
Nacionais: Ensino Médio. Parte 3. Ciências da natureza, Matemática e suas
Tecnologias. Brasília: MEC/SEMTEC, 2002b. Disponível em:
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf>. Acesso em: 25 fev. 2005.
_______. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino Médio:
Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares
Nacionais. Brasília: MEC / SEMTEC, 2002a. 144p. Disponível em:
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf>. Acesso em 25
fev. 2005.
BRITO, Márcia Regina F. Psicologia da educação Matemática. Florianópolis,
Insular, 2001, 280p.
BUSHAW,D, POLLAK, H. O., THOMPSON, M, USISKIN, Z. Aplicações da
matemática escolar. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1997.
CARLOVICH, Marisa. A geometria dedutiva em livros didáticos das escolas
públicas do estados de São Paulo para o 3º e 3º ciclos do Ensino
Fundamental. 2005. 150 f. Dissertaçao (Mestrado em Educaçao Matemática).
Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 2005.
CHEVALLARD, Yves. El análisis de las prácticas docentes en la teoría
antropológica de lo didático. Recherches en Didactiques des Mathematiques,
Vol 19, no 221-266, 1999.
182
CLAIRAUT, Alexis C. Elementos de Geometria. Tradução de José Feliciano.
São Paulo: Augusto Siqueira & C, 1909.
CROWLEY.M.L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento
geométrico. In LINDQUIST Mary Montgomery; SHULTE, Albert P Aprendendo e
ensinando geometria .Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual,1994,
p.1-20.
DANTE, Luiz.R. Matemática é tudo. Editora Ática, 7ª série. Editora Atica.São
Paulo, 2002.
DAVIS, Philip. J; Hersh, Reuben. A Experiência Matemática. Tradução João
Bosco Pitombeira. Rio de Janeiro, F.Alves, 1985. 481p.
DEL GRANDE, John J. Percepção espacial e geometria primária. In
LINDQUIST Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. Aprendendo e ensinando
geometria. Tradução de Higyno H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994, p.156-
167.
DEWEY, John. Como pensamos. São Paulo: Nacional 1979.
EVES, Horald. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H.
Domingues. São Paulo: UNICAMP, 2004.
FANTI, Ermínia de Lourdes Campelo; SILVA, Aparecida Francisco. Informática e
Jogos no Ensino da Matemática. II Bienal da Sociedade Brasileira de
Matemática. Salvador, 25 a 29 de outubro 2004. Disponível em
<www.bienasbm.ufba.br/M6.pdf>. Acesso em 13 de jul. 2006.
FARRELL, M.A. Geometria para professores da escola secundária. In
LINDQUIST Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. Aprendendo e ensinando
geometria. Tradução de Higyno H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994, p.290 -
308.
FONSECA, Lina. A demonstração e os futuros professores de matemática da
Educação Básica. ESE de Viana do Castelo,. Disponível em:
183
www.mytwt.net/cibem5/MyFiles/outros/Lina_Fonseca.pdf. Acesso em 19
mar.2006.
GIOVANNI &GIOVANNI. Matemática pensar e descobrir. 7ª série. São Paulo:
Editora FTD. 2000.
HADAMARD, Jacques. Leçons de Géométrie élémentaire. Paris: Editora
Librairie Armand Colin, 1937.
HILBERT, David. Fundamentos de la Geometria. Tradução Francisco Cebrian.
Editora Instituto Jorge Juan, Madrid, 1953.
KLEIN, Felix. Matemática Elemental desde um punto de vista superior. Vol II.
Tradução R. Fontanilla, Editora Madrid, 1931.
LABORDE, C. The computer as part of the learning environment: the case of
geometry. In C. Keitel & K. Tuthven, (Eds.) Learning from Computers:
Mathematics education and technology. New York: Spring Verlag, p. 48-67, 1993.
LAURO, Maria Mendias; BARUFI, Maria Cristina Bonomi. A perspectiva de
Clairaut para o ensino de geometria no século XVIII. In: 1
o
SEMINÁRIO
PAULISTA DE HISTÓRIA E EDUCAÇAO MATEMÁTICA, 2005, São Paulo.
Anais... São Paulo: IME-USP, 2005.
LEGENDRE, Adrien-Marie. Elementos de Geometria. Tradução de Manoel
Ferreira de A. Guimarães. Rio de Janeiro: Imprensa Régia, 1886.
LIMA, Elon Lages. Isometrias. Coleção do Professor de Matemática. São Paulo:
SBM, 1996.
LINDQUIST, M. M , SHULTE, A.P. Aprendendo e ensinando Geometria.
Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
MABUCHI, Setsuko Takara. Transformações geométricas: uma trajetória de um
conteúdo ainda não incorporado às práticas escolares nem à formação de
professores. 2000. 259 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) –
Pontifícia Universidade Católica, São Paulo,2000.
184
MACHADO, Nilson J. Epstemologia e didática: As concepções de conhecimento
e inteligência e a prática docente. 6. ed.São Paulo: Cortez, 2005, 320p.
MELLO,Elizabeth G.S. Demonstração: uma seqüência didática para a introdução
de seu aprendizado no ensino da geometria. Dissertação Mestrado. 1999. 189p.
PUC-SP, 1999.
MICROSOFT OFFICE ONLINE. Clipart e multimédia. Disponível em
<http://office.microsoft.com/pt-pt/default.asp>. Acesso em 23 ago. 2006.
MOISE, E & DOWS, F.L. Geometria Moderna. Tradução Mariano Garcia.
México: Reading Addison. Wesley, 1966.
MOISE, Edwin. Geometria Elemental desde um ponto de vista Avanzado.
México: Compañia Editorial Continental, S. A, 1968.
MOREIRA, Marco A., MASINI, Elcie F. S. Aprendizagem Significativa: A teoria
de David Ausubel. São Paulo, Moraes, 1982.
NASSER, Lílian e TINOCO, L. Argumentação e Provas no Ensino de
Matemática. Rio de Janeiro:IM/UFRJ, Projeto Fundão, 2001.
National Coucil of Teachers of Mathematics. Curriculum na evaluation
standards for school mathematics. Reston, Virginia, 1989.
OLIVEIRA, A. M., SILVA, A. LISA – Biblioteca da matemática moderna. São
Paulo: Lisa , livros irradiantes s.a, 1976, volumes 1, 2, 5.
PAIS, Luiz C. Didática da Matemática – Uma análise da influência francesa. BH:
Editora Autêntica, 2001.
PARZYSZ, Bernard. Articulation entre perception et déduction dans une
démarche géométrique en PE1. Extrait du colloque de la COPIRELEM – Tours –
2001.
PARZYSZ, Bernard. Pre-service elementary teachers and the fundamental
ambiguity of diagrams in geometry problem-solving. IUFM Orléans-Tours &
Equipe DIDIREM (université Paris-7)- 2002.
185
PASTOR, A.J & RODRIGUES, A.G. El grupo de las isometrias Del plano.
Espanha: Editorial Síntesis, S.A, 1996.
PIRES, Célia C. & CURI, Edda C. & Pietropaolo, Ruy. Educação Matemática. 7ª
série. São Paulo: Atual, 2001
PIRES, Célia M. C. Currículos de Matemática: da Organização linear à idéia
de rede. São Paulo : FTD., 2000.
PIROLA, Nelson Antonio; Brito, Márcia Regina F. A formação dos conceitos de
triângulo e de paralelogramo em alunos da escola elementar. In Psicologia da
Educação Matemática: Teoria e Pesquisa. Márcia Regina F. (org). Florianópolis:
Insular, 2001, p.85-106.
PIETROPAOLO, Ruy Cesar. (Re) significar a demonstração nos currículos da
educação básica e da formação de professores de matemática. 2005. 388 f.
Tese (Doutorado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica,
São Paulo, 2005.
REZI, Viviane. Um estudo exploratório sobre os componentes das
habilidades matemáticas presentes no pensamento em geometria. 2001.
192f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade Estadual
de Campinas, Campinas, 2001. Disponível em
<http://www.bibli.fae.unicamp.br/sitescb.htm>. Acesso em 9 jul.2006.
SÃO PAULO. Subsídios para a implementação do guia curricular de
Matemática – Geometria para o 1º grau 5ª a 8ª séries. São Paulo: SE/CENP.
SÃO PAULO. Subsídios para a implementação do guia curricular de
Matemática – Geometria para o 1º grau 5ª a 8ª séries: Atividades. São Paulo:
SE/CENP.
USISKIN, Zalman. Resolvendo os dilemas da geometria escolar. In
LINDQUIST Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. Aprendendo e ensinando
geometria. Tradução de Higyno H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994, p.21-39.
186
VAN HIELE, Pierre M. De Problrmatiek van het insicht: Gedemonstreerd aan
het inzicht van schoolkinderen in meetthunde-leerstof, 1957.147p. Tese
Doutorado. Universidade Real Utrecht,1957. traduçao em espanhol por Concurso
Nacional de Proyectos de Investigación Educativa del C.I.D.E, 1990.
VAZ, Regina, L. O uso das isometrias do software Vabri-Géomètre como
recurso de Prova e demonstração. 2004. 216p. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 2004.
VELOSO, E. Geometria: Temas Actuais: materiais para professores. Lisboa:
Instituto de Inovação Educacional,2000.
VERA, Francisco. Científicos Griegos. Madrid: Editora Aguilar, 1970.
VIANA, Odaléa Aparecida. O conhecimento geométrico de alunos do CEFAM
sbre figuras espaciais: um estudo das habilidades e dos níveis de conceito.
2000. 249 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade
Estadual de Campinas, Campinas, 2000. Disponível em
<http://www.bibli.fae.unicamp.br/sitescb.htm>. Acesso em 9 jul.2006.
VILLIERS, M. D. Papel e funções da demonstração no trabalho com o Sketchpad.
Educação Matemática. Revista Educação Matemática, número 62, 2001.
VILLIERS, M. D. Para uma Compreensão dos Diferentes Papéis da
Demonstração em Geometria Dinâmica. Revista Educação Matemática, número
62, 2001.
VITRAC, B; CAVEING, M. Euclide Les Éléments. Paris, Presses Universitaires
de France,1990.
WIELEWSKI, G.D. Aspectos do pensamento matemático na resolução de
problemas: uma apresentação contextualizada da obra de Krutetskii. 2005.
407 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade
Católica, São Paulo, 2005.
187
Anexo 1: Questionário do observador
Atividades do bloco 1 - concreto
O aluno percebeu a congruência de objetos tridimensionais? Houve dificuldade na
identificação?
O aluno percebeu a superposição de figuras congruentes?
Quantas vezes solicitou ajuda?
Atividades do bloco 2
Utilizando o Cabri-géomètre
O aluno identificou as ferramentas de transformação do Cabri?
O aluno entendeu o enunciado do exercício?
O aluno lembrou de criar vetores quando para usar a translação, um eixo de simetria
para usar a simetria axial e um ângulo e um ponto fixo para usar a rotação?
Quantas vezes solicitou ajuda?
Utilizando a placa quadriculada
O aluno entendeu como preencher a tabela para a construção de triângulos e seus
congruentes?
O aluno entendeu o enunciado das questões?
A régua e o transferidor, foram utilizados? Houve dificuldade em utilizar esses
instrumentos?
O aluno percebeu que nem sempre é possível construir triângulos?
Houve dificuldade em construir outros triângulos congruentes nos casos em que era
possível a construção?
Institucionalização
O aluno conseguiu preencher associando os lados e ângulos congruentes de cada
caso de congruência de triângulos?
O aluno associou a atividade da placa quadriculada com os casos de triângulos
congruentes?
Foi fácil a aceitação dos casos?
Solicitou ajuda? Quantas vezes?
Atividades do bloco 3 – Prova
O aluno interpretou os enunciados? Construiu figuras?
Precisou reconstruir as figuras?
Utilizou os casos de congruência?
Utilizaram argumentos a partir do que experimentaram nos blocos anteriores, ou
seja, justificaram a partir de observações ou construções?
Quantas vezes solicitou ajuda?
188
Anexo 2: Questões sobre Congruência de Figuras
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
Programa: Mestrado Profissional de Ensino de Matemática
Responsável: Benedita Natsuko Tojo
Nome: ______________________ Nº_________ série:_______ data:_________
1. Explique o que são figuras congruentes.
2. Desenhe duas figuras congruentes.
3. Construa uma figura congruente à figura dada.
189
Anexo 3: Lista de Materiais da atividade 1 do Bloco 1
Lista de Materiais contidos na sacola de objetos congruentes
Botão com 4 furos – cor creme
Botão com 2 furos – cor creme
Bola de ping-pong
Peça de brinquedo de montar tipo Lego – cores diferentes
Colher de plástico – cor branca
Copo de brinquedo- cores diferentes
Copo de plástico de 180 ml – cor branca
Copo de plástico de 80 ml – cor branca
Colher de sorvete – cores diferentes
Clips
Alfinete
Parafuso sextavado ¼ x 1''
Parafuso francês ¼ x 1''
Porca ¼
Porca
5
/
16
Porca
3
/
16
Cabide – cores diferentes
Palito com colchetes presos nas extremidades – mesmo lado
Palito com colchetes presos nas extremidades –lados opostos
Fita 11,5 cm – cores diferentes
Fita 15 cm – cores diferentes
Luva
190
Anexo 4: Atividades do Bloco 1
Estudo da Congruência - Concreto
Atividade 1. Sacola com objetos congruentes
1. Os objetos contidos na sacola são congruentes dois a dois.
Procure regularidades nos objetos e identifique os pares de objetos congruentes.
Cole, lado a lado, com fita adesiva, os pares de objetos congruentes na folha dada.
2. Se você fosse explicar para um colega de classe o que são objetos congruentes, o que você
diria a ele?
Atividade 2. Figuras planas
O que você acha das figuras abaixo. São congruentes? O que você faria para decidir se as figuras
são ou não congruentes.
Situação 1: Figuras 1 e 2:
As figuras 1 e 2 são congruentes? ( )sim ( )não
Justifique.
Explique o que você fez para justificar sua resposta.
Pontifícia Universidade de São Paulo
Programa de Pós-Graduação Educação Matemática
Data:
Orientador:
Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni
Aplicadora:
Profª Benedita Natsuko Tojo
Observador:
Prof. Anderson José da Silva
Assunto:
Curso de Cabri-Géomètre e Congruência de Figuras Planas
Nome:
Identificação:
Nome:
Identificação:
Figura 1
Figura 2
191
Situação
2. Figura formada por segmentos.
Os segmentos da figura 3 são congruentes aos segmentos da figura 4?
( )sim ( )não
Justifique.
Explique o que você fez para justificar sua resposta.
A figura 3 é congruente à figura 4? ( )sim ( )não
Justifique.
Explique o que você fez para justificar sua resposta.
3. Se você fosse explicar para um colega de classe como identificar duas figuras congruentes, o
que você diria a ele?
Atividade 3: Jogo da Congruência
No verso de cada um dos retângulos que aparecem no quadro há figuras congruentes duas a
duas. O objetivo é identificar esses pares congruentes.
1. Identifique abaixo as figuras são congruentes duas a duas. Como você identificou?
2. Com que jogo tradicional esse "jogo da congruência" se assemelha? Qual o objetivo do jogo
tradicional?
Figura 3
Figura 4
192
Manipulação de objetos - atividade 2 do Bloco 1
3. Decida se as figuras são congruentes.
Figura 1
Figura 2
193
Manipulação de objetos - atividade 2 do Bloco 1
4. Decida se as figuras são congruentes.
Figura 3
Figura 4
194
Anexo 5: Atividade do Bloco 2 – Cabri-Géomètre
Pontifícia Universidade de São Paulo
Programa de Pós-Graduação Educação Matemática
Data:
Orientador:
Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni
Aplicadora:
Profª Benedita Natsuko Tojo
Observador:
Assunto: Curso de Cabri-Géomètre e Congruência de Figuras Planas
Congruência de triângulos – Cabri II
Nome:
Identificação:
Nome:
Identificação:
As ferramentas de transformações geométricas estão na caixa de ferramenta
transformação do Cabri. Abra os arquivos abaixo e resolva as atividades
propostas.
Lembre-se de fazer os comentários e gravar o arquivo no final de cada atividade.
Atividade 1. Abra o arquivo barco_vela.
Atividade 2. Abra o arquivo hélice.
Atividade 3. Abra o arquivo: triângulo
Atividade 4. Abra o arquivo: triângulo2
Atividade 5. Abra o arquivo congruência1
Atividade 6. Abra o arquivo congruência2
Atividade 7. Abra o arquivo congruência3
Atividade 8. Abra o arquivo congruência5
Atividade 9. Abra o arquivo congruência6
195
Anexo 6: Atividades do Bloco 2 - Malha quadriculada
Utilizando os resultados dos experimentos da folha 1:
Explique a possibilidade e a não possibilidade de construção de triângulos com as
medidas dos experimentos 1, 2 e 3 (LLL)
1. Explique a possibilidade e a não possibilidade de construção de triângulos com as
medidas dos experimentos 6, 7 e 8 (AAA).
2. Analise os resultados da tabela e escreva abaixo os casos em que foi possível
construir apenas um triângulo, ou seja, a construção foi única.
Institucionalização: Casos de congruência
Condições mínimas para a congruência entre dois triângulos.
Dois triângulos são congruentes quando eles têm os lados respectivamente congruentes e
os ângulos respectivamente congruentes.
Não precisamos comparar todos os lados e ângulos de dois triângulos para reconhecer
que são ou não congruentes. Basta verificarmos as condições mínimas de congruência.
Símbolo de congruência: ≅
Símbolo do triângulo ABC: ΔABC
Nos triângulos abaixo, cada tracinho indica a congruência de lados ou de ângulos.
Caso Lado, ângulo, lado (LAL)
Se
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≅
≅
≅
∧∧
____
____
____
então:
ΔABC≅ΔPQR
Caso Ângulo, lado, ângulo (ALA)
Se
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≅
≅
≅
____
____
____
então:
Δ___≅Δ___
Caso Lado, lado, lado ( LLL)
Se
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≅
≅
≅
____
____
____
então: ___≅___
Caso Lado, ângulo, ângulo oposto ( LAAo)
Se
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≅
≅
≅
____
____
____
então: ___≅Δ___
Se dois triângulos apresentam uma dessas condições então os dois triângulos são congruentes.
196
Anexo 7: Atividade do Bloco 3 – Prova
Pontifícia Universidade de São Paulo
Programa de Pós-Graduação Educação Matemática
Data:
Orientador:
Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni
Aplicadora:
Profª Benedita Natsuko Tojo
Observador:
Prof. ....
Assunto: Curso de Cabri-Géomètre e Estudo da Congruência de Figuras Planas
Congruência de triângulos - Prova
Nome:
Identificação:
Nome:
Identificação:
Utilize os casos de congruência de triângulos para justificar e responder as questões a seguir:
23. Uma reta é perpendicular ao segmento AB passando pelo ponto médio M. Seja P um ponto
qualquer da reta, diferente de M. Prove que PA
≅PB. Justifique.
24. Rafael quer ir da cidade A para a cidade B. Porém a estrada que liga diretamente as duas
cidades está interditada. Ele tem de optar, então, por dois caminhos possíveis, veja a figura.
Qual o menor caminho a ser percorrido: ir de A para C e depois B ou ir de A até D e depois B?
Justifique sua resposta.
25. Um avião levanta vôo para ir da cidade A à cidade B, situada a 500km de distância. Depois de
voar 250 km em linha reta, o piloto descobre que a rota está errada e, para corrigi-la, ele altera
a direção do vôo de um ângulo de 90
o
. Se a rota não tivesse sido corrigida, a que distância ele
estaria de B após ter voado os 500km previstos. Justifique a sua resposta.
26. O solo é considerado a base de todas as outras provas da Ginástica Olímpica. Os rolamentos
são os primeiros elementos a se aprender.
Na ilustração a ginasta realiza um dos movimentos básicos. Considere o alongamento
perpendicular AB inicial igual ao final EF. Considere, também, que BC é congruente a DE. O
que você pode dizer sobre a distância CF e DA? Justifique.
Situação real
Modelo matemático
C
D
B
A
20 km
20 km
40
o
40
o
197
Rolamento de costas carpado
27. Considere uma circunferência de centro O e uma corda AB. Seja M o ponto médio da corda.
Complete a frase abaixo usando as palavras sempre, nunca, às vezes. "O segmento OM é
perpendicular ao segmento AB." Justifique sua resposta.
28. Um triângulo CDE pode ser obtido pela rotação de 90º do triângulo ABC, sentido anti-horário,
ao redor do ponto C. Podemos afirmar que o ângulo C
∧
DB tem medida igual a:
Justifique sua resposta.
29. Um triângulo isósceles é um triângulo que tem dois lados congruentes.
Prove que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.
30. Seja o triângulo ABC e M o ponto médio do lado AC. Uma semi-reta com origem em B
passando por M é traçada. P e Q são pontos da semi-reta. AP e CQ são perpendiculares à
semi-reta dada. Prove que AP
≅QC.
31. Dadas as retas r e s com ponto de interseção em O.
B é simétrico do ponto A em relação à reta r e C é simétrico do
ponto B em relação à reta s.
O ponto B está na região em que as retas r e s formam o ângulo
θ (teta).
O que se pode dizer do ângulo AÔC e relação ao ângulo
θ?
Justifique.
32. Considere uma circunferência de centro O e uma corda AB. Pelo ponto O trace uma reta
perpendicular ao segmento AB. Essa reta intersectará o segmento AB num ponto G. Complete
a frase usando as palavras sempre, nunca, às vezes.
"G é ponto médio do segmento AB". Justifique sua resposta.
33. Os Quadriláteros ABCD e AEFG são quadrados. Mostre que os
segmentos DG e BE são congruentes.
A
B C D E
F
198
Anexo 8 – Convite
Aos alunos da 1ª série do Ensino Médio
E.E. Prof. Francisco Feliciano Ferreira da Silva – Chico Ferreira
Convidamos você a participar do curso Cabri-Géomètre II e Introdução à
Geometria Plana – Congruência para atualizar e aprimorar seus conhecimentos
sobre a Geometria Plana.
Este curso é parte integrante da Dissertação de Mestrado da professora
Benedita Natsuko Tojo da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC.
O curso contará com atividades práticas e teóricas e também será utilizado
o programa Cabri-Géomètre II, software destinado ao estudo da Geometria.
O curso será realizado no mês de março, nessa escola.
Semana 1
6/mar/06 seg 13h00~15h00
7/mar/06 ter 13h00~15h00
10/mar/06 sex 13h00~15h00
Semana 2
13/mar/06 seg 13h00~16h00
14/mar/06 ter 13h00~16h00
17/mar/06 sex 13h00~16h00
Semana 3
20/mar/06 seg 13h00~16h00
21/mar/06 ter 13h00~16h00
24/mar/06 sex 13h00~16h00
Agradecemos e esperamos contar com a sua participação.
Ficha de
inscrição
Número:
Nome:
Idade:
Série:
Telefone contato:
199
Anexo 9 - Certificado
Certificamos que
___________________________,
participou do curso “
Introdução à Geometria com ênfase nos estudos
sobre congruência, usando o software Cabri-Géomètre II
”, proferido
pela Professora Mestranda Benedita Natsuko Tojo da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, realizado na
E. E. Prof. Francisco
Feliciano Ferreira da Silva – Chico Ferreira
, no período de 06/03/2006 a
27/03/2006, carga horária de 24 horas.
Jacareí, 27 de março de 2006
Judith Raymundo da Silva Benedita Natsuko Tojo
Diretora de Escola Professora
200
Anexo 10: Atividades e familiarização com o Cabri-géomètre
Parte 1
"Curso Cabri-Géomètre e Geometria - Estudo da Congruência"
A primeira parte que antecede a seqüência de ensino deste trabalho foi
desenvolvida segundo os itens: I) Introdução e Apresentação das ferramentas do
Cabri II; II) Ferramenta Construir; III) Ferramenta Transformar.
I) Introdução e Apresentação das ferramentas do Cabri II: Como motivação
para o início do curso, uma atividade foi realizada com palitos de sorvete para
formar polígonos, de modo a mostrar para os alunos que o triângulo é o polígono
mais simples, em termos de número de lados e ângulos se comparado com
outros polígonos, mas que apresentam propriedades como, por exemplo, a rigidez
de sua forma. Esses palitos foram confeccionados com colchetes de pressão nas
extremidades (colados), para facilitar a conexão de um palito com outro, e
possibilitar modificar a forma dos polígonos.
Atividade 1: Construção de polígonos com palitos de sorvete
Você está recebendo 10 palitos de sorvete com colchetes de pressão colados nas extremidades.
Construa polígonos de 3 lados, 4 lados, 5 lados, etc, de modo que cada palito represente um lado
do polígono construído.
1. Sem desconectar os palitos experimente, em cada polígono construído, obter novos formatos.
Comente os resultados.
2. Ao tentar obter novos formatos, o que ocorre com os ângulos e os lados de cada polígono?
3. Como na figura, por que é usual reforçar portas ou portões com traves na diagonal?
Atividade 2: com palitos de sorvete.
Conecte os dois palitos de sorvete movimente as extremidades. Observe a abertura formada a
partir do vértice. O que você percebe?
201
Em seguida, foi apresentado sucintamente, um contexto histórico sobre a
geometria euclidiana e as transformações, ressaltando o papel de Euclides, de
Hilbert e de Klein.
Figura A1: Contexto histórico da geometria
II) Ferramenta Construir : A familiarização com as ferramentas do Cabri-
Géomètre II, foi realizada com atividades de construção, que possibilitou aos
alunos reverem ou construírem conceitos, por si mesmos: ponto, ângulo, retas,
segmentos, e suas relações e figuras geométricas, algumas propriedades das
figuras, como a mediana, bissetriz, ponto médio, mediatriz.
As seguintes atividades foram propostas:
Atividade 1: Criando pontos e segmentos sobre o plano
1. Acione a ferramenta ponto e clique no plano. Chame de A.
2. Crie outros pontos e nomeie com uma letra maiúscula qualquer.
3. Para desativar a ferramenta, clique na parte cinza ou na ferramenta ponteiro.
4. Agora, construa o segmento com extremidades A e B. Construa outros segmentos.
Atividade 2: Abrir o arquivo Quadrado.
Com os palitos de sorvete verificamos que os triângulos são considerados estruturas rígidas
porque quando definidos os lados, os ângulos não se alteram. No Cabri, uma figura é considerada
202
robusta se suas propriedades são mantidas mesmo quando seus lados e vértices são
movimentados. Nessa atividade explore as seguintes ferramentas: distância e comprimento,
ângulo.
1. Somente observando: As duas figuras podem ser chamadas de quadrados? Por que?
2. Agora, movimente os lados e os vértices das figuras. Que figura você escolheria para
representar o quadrado? Justifique.
Atividade 3: Nomeando os itens criados.
1. Crie um ponto e chame de A.
2. Construa um segmento com extremidades B e C.
3. Clique em "ponto sobre objeto" e crie o ponto D sobre o segmento BC.
4. Movimente os pontos A e D e explique a diferença entre eles. Grave o arquivo.
Atividade 4: Abra o arquivo Segmento.
Dados os segmentos AB e CD. Construa um segmento EF de medida igual a AB+CD.
1. use a ferramenta "distância e comprimento" para medir os segmentos AB e CD.
2. Acione a ferramenta "calculadora". Some as medidas de AB+CD. Arraste o resultado da soma
para fora da calculadora.
3. Acione a ferramenta "transferência de medidas" e crie um segmento EF com medida AB+CD
(para isso, clique no resultado da soma de AB+CD e no ponto E). Movimente as
extremidades dos segmentos AB e CD. Comente. Grave o arquivo.
Atividade 5: Ângulos O.P.V. – opostos pelo vértice.
1. Desenhe abaixo, como você imagina ser a representação da seguinte situação: Duas retas
concorrentes r e s dividem o plano em quatro regiões. O ponto O é o ponto de interseção das
retas r e s. Tem-se que P
∈
r e Q
∈
s.
2. Abra o arquivo opv.
Movimente os pontos P e Q. Comente a relação entre os ângulos PÔQ formados com o
movimento dos pontos em cada região. Sugestão: Abaixo, você pode criar uma tabela
comparando as regiões com os ângulos formados e fazer seus comentários. Grave o arquivo.
3. Movimente as retas e responda: Quando as duas retas concorrentes r e s formam quatro
ângulos iguais?
Atividade 6: Reta perpendicular
1. Dada uma reta r e um ponto P fora dela.
Acione a ferramenta "reta perpendicular" e clique em P e num ponto qualquer de r.
Com isso você tem um ponto P que pertence a uma reta concorrente à reta r. Descubra as
medidas dos ângulos formados pelas 4 regiões. Comente a sua resposta. Grave o arquivo.
Atividade 7: Reta paralela
1. Dada uma reta r e um ponto P fora dela. Construa uma reta s que passa pelo ponto P e é
paralela a reta r.
Atividade 8: Ponto médio.
1. Construa um segmento AB.
2. Acione a ferramenta "ponto médio" e obtenha o ponto Q, médio de AB.
3. Qual a relação do ponto Q com as extremidades A e B?
Atividade 9: Abra o arquivo pto_medio.
1. Seja o segmento AB. O ponto P é móvel.
2. Q é ponto médio de AP e R é ponto médio de PB.
3. O que se pode dizer sobre o segmento QR?
Atividade 10: Soma dos ângulos internos de um triângulo é ______
Passo 1: Construa um triângulo ABC.
Passo 2: Utilize a ferramenta "ângulo" e obtenha as medidas de
∧∧∧
CBA ,,
internos do triângulo ABC.
Passo 3: Acione a ferramenta "calculadora" e some os ângulos internos do triângulo ABC. Arraste
o resultado para a tela do computador.
Passo 4: Movimente os vértices e os lados e some os novos ângulos.
203
Passo 5: Repita mais vezes o procedimento e responda:Com movimentos nos vértices e nos
lados, o que se altera e o que não se altera?
Atividade 11: Triângulo eqüilátero.
Construa um triângulo eqüilátero.
Passo 1: Construa um segmento AB.
Passo 2: Construa uma circunferência de raio AB, com centro em A.
Passo 3: Construa uma circunferência de raio AB, com centro em B.
Passa 4: Obter o ponto C que é a interseção das duas circunferências.
Passo 5: ligar os segmentos AC e BC. Medir os ângulos e os lados. Comente. Grave o arquivo.
Atividade 12: Mediatriz de um segmento
1. Construa um segmento AB. Utilize a ferramenta "mediatriz" e marque o ponto M, que é
interseção da mediatriz com o segmento AB. Que relação existe entre o ponto M e as
extremidades A e B?
2. Crie um ponto P sobre a mediatriz e movimente-o. Que relação existe entre o ponto P da
mediatriz e as extremidades A e B do segmento?
Atividade 13: Triângulo isósceles
Sabendo que: Um triângulo isóscele tem dois lados iguais, construa o triângulo isóscele ABC.
O que se pode dizer sobre os ângulos da base do triângulo isóscele?
Atividade 14: Obtendo as medianas de um triângulo.
Chama-se mediana de um triângulo o segmento cujas extremidades são o vértice e o
ponto médio do lado oposto.
1. Construa um triângulo ABC. Obtenha o ponto médio M do lado AB.
2. Ligue M ao vértice oposto C. (o segmento MC é mediana relativa ao lado AB).
3. Obtenha a mediana NB relativa ao lado AC. Obtenha a mediana PA relativa ao lado BC.
4. Movimente os lados e vértices do triângulo ABC.
Chama-se Baricentro o ponto de interseção das três medianas do triângulo.
Atividade 15: Bissetriz de um ângulo
1. Determinar três pontos não colineares (não alinhados).
2. Traçar a reta definida pelos pontos A e B e a reta definida por A e C.
3. Acione a barra de ferramenta e construa a bissetriz BAC.
4. Determinar um ponto D sobre a bissetriz.
5. Medir os ângulos BÂD e DÂC. Defina bissetriz.
Atividade 16: Bissetriz de um ângulo
1. Utilizando a mesma construção do item anterior, trace uma perpendicular à reta AB pelo ponto
D. Obtenha o ponto R de interseção dessas duas retas.
2. Pelo ponto D, trace uma perpendicular à reta AC. Obtenha o ponto S de interseção dessas
duas retas.
3. Determinar as medidas DR e DS e observá-las ao movimentar o ponto D. Comente. Grave o
arquivo.
Atividade 17: Obtendo as bissetrizes de um triângulo.
Chama-se bissetriz de um triângulo o segmento da bissetriz de um ângulo do triângulo
cujas extremidades são o vértice do ângulo e a interseção com o lado oposto.
1. Construa um triângulo ABC.
2. Acione a ferramenta "bissetriz" e clique em A, B e C. Você obterá a bissetriz BN relativa ao
ângulo B. Obtenha as bissetrizes relativas aos ângulos C e A.
Chama-se incentro o ponto de interseção das bissetrizes de um triângulo.
3. Identifique o incentro do triângulo que você construiu.
Atividade 18: Utilize o que você aprendeu até agora – lembre-se que as figuras devem ser
robustas.
1. Construa um quadrado de 6cm de lado.
2. Construa um retângulo.
204
Atividade 19: Abra o arquivo paralelogramo.
Um quadrilátero é um paralelogramo quando seus lados opostos são paralelos.
1. Utilize a ferramenta "reta paralela" e continue a construção do paralelogramo ABCD.
2. Movimente os vértices. O que se pode escrever sobre os ângulos e lados do paralelogramo?
III) Ferramenta Transformar: As atividades a seguir deverão levar os alunos a
estudarem, de modo intuitivo, a noção de vetor e descobrir que ele está
associado à translação. Na simetria axial o eixo de simetria se faz necessário e
que na rotação há a necessidade do ângulo e um ponto como centro de rotação.
Explorando a ferramenta Translação
1. Abra o arquivo: Translação_1: Utilize a ferramenta "Translação" para transladar :
• O ponto A e obter o transladado A' , segundo o vetor v.
• O segmento PQ e obter o transladado P'Q', segundo o vetor v.
• O polígono F e obter o transladado F', segundo o vetor v.
Movimente os pontos, segmentos e o vetor v e descubra onde estão os pontos transladados.
O que ocorre com uma figura quando é aplicada a translação?
2. Pavimentação
• Construa um retângulo de 4cm de base e 2cm de altura.
• Crie um vetor v sobre a base e translade o retângulo, segundo esse vetor.
• Repita o processo algumas vezes com o novo retângulo, segundo o vetor v.
• Crie um vetor w sobre a altura, com sentido para baixo e translade o retângulo segundo o
vetor w. Repita o processo com os demais retângulos. Qual foi o resultado?
3. Abra o arquivo cao.
Utilize a ferramenta translação e leve o cão para o interior da casinha. Quais foram os
procedimentos?
4. Abra o arquivo paralelogramo2.
Utilize a ferramenta translação para a construção do paralelogramo. Quais foram os
procedimentos?
Explorando a ferramenta Simetria Axial
5. Abra o arquivo R_basico_1.
• Acione a ferramenta "simetria axial" e obtenha as imagens das figuras dadas segundo o
eixo de simetria (reta s).
• Movimente as figuras, os pontos das figuras, o eixo de simetria e descubra as imagens de
cada um dos pontos e nomeie-os com A', B',C', etc.
• Como é o transladado em relação à figura original?
6. Continue com as figuras da questão 6.
• Ligue os pontos das figuras iniciais com suas respectivas imagens. (ex.: construa o
segmento AA', BB', etc).
• Movimente as figuras, a reta s e descubra propriedades e faça seu comentário sobre:
o a relação entre a reta s e os pontos ligados,
o as medidas dos quatro ângulos formados ente a reta r e o segmento construído.
o Pelo que você estudou até agora, que nome você daria para o ponto de interseção da
reta s e os segmentos construídos? Por quê?
o E a reta s, que nome você daria?
7. A partir de dois pontos A e B recupere o eixo de simetria.
205
8. Construa um triângulo ABC e um eixo de simetria. Sem utilizar a ferramenta simetria axial,
obtenha a imagem simétrica do triângulo ABC em relação ao eixo de simetria.
9. Abra o arquivo Letra_F.
Utilizando a ferramenta "simetria axial" obtenha as imagens de F segundo as diagonais do
hexágono. Em seguida, movimente o desenho original e escreva sobre os resultados obtidos.
10. Bissetriz de um ângulo.
Edite o número 36. A seguir, construa um ângulo de 36 graus. Finalmente, usando a simetria
axial construa um ângulo de 72 graus.
Explorando a ferramenta Simetria Central
11. Realize os seguintes experimentos:
a) crie os pontos A e O. Acione a ferramenta simetria central e obtenha o simétrico de A em
relação a O. Movimente os pontos e comente o resultado.
b) Construa um segmento AB e um ponto O. Use a ferramenta simetria central e obtenha o
segmento A'B' que é simétrico de AB em relação ao ponto O. Identifique os pontos A' e
B'. Comente os resultados.
c) Construa um polígono qualquer e um ponto O. Use a ferramenta simetria central e
obtenha o simétrico do seu polígono em relação ao ponto O.
12. Construa um triângulo ABC. Acione a ferramenta simetria central e clique em um dos vértices.
Comente sobre os resultados obtidos.
13. Construa um triângulo retângulo com os catetos medindo 5cm cada.
• Encontre o ponto médio da hipotenusa.
• Acione a ferramenta simetria central e clique na seqüência: no triângulo, depois no ponto
médio. Que figura você obteve? Justifique.
Explorando a ferramenta Rotação
14. Ferramenta Edição numérica
• Construa um segmento AB.
• Acione a ferramenta "edição numérica" e digite 90.
• Acione a ferramenta "rotação" e clique na seqüência: no segmento, depois, 90 e
finalmente no ponto A.
• Comente os resultados.
15. Construa um quadrado usando a ferramenta rotação.
16. Construa um triângulo eqüilátero utilizando a ferramenta rotação.
17. Utilize a ferramenta rotação e construa um triângulo retângulo com as medidas dos catetos
6cm e 4 cm.
18. Construa um ângulo AÔB qualquer. Usando a ferramenta "rotação", construa um ângulo DÔB
de modo que o OA seja bissetriz de DÔB.
19. Considere um triângulo ABC. Realizando uma rotação de 90º no sentido anti-horário em torno
do vértice A. O que se pode dizer sobre o segmento AB?
20. Centro de rotação.
• Abra o arquivo Barco_rotacao. Clique em edição numérica: digite 50
• acione a ferramenta rotação e clique na seqüência: figura, 50, centro O da circunfência.
• repita o processo clicando sempre na nova figura formada.
• Movimente o ponto O. Faça o seu comentário.
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