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AVALIAÇÃO DA POLUIÇÃO DIFUSA GERADA POR ENXURRADAS
EM MEIO URBANO
Jorge Henrique Alves Prodanoff
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS
EM ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
____________________________________________
Prof. Flávio Cesar Borba Mascarenhas, D.Sc.
____________________________________________
Prof. Rui Carlos Vieira da Silva, D.Sc.
____________________________________________
Prof. Webe João Mansur, Ph.D.
____________________________________________
Prof. Marcelo Gomes Miguez, D.Sc.
____________________________________________
Prof
a
. Mônica Ferreira do Amaral Porto, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
JUNHO DE 2005
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ii
PRODANOFF, JORGE HENRIQUE
ALVES
Avaliação da Poluição Difusa Gerada por
Enxurradas em Meio Urbano. [Rio de
Janeiro] 2005.
X, 266 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ,
D.Sc., Engenharia Civil, 2005)
Tese - Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE.
1. Poluição Difusa Urbana, 2. Modelação
Matemática, 3. Método dos Volumes
Finitos, 4. Esquema Numérico de Alta
Resolução, 5. Limitador Universal.
I. COPPE/UFRJ II. Título (série).
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Dedicatória
Na minha família
encontrei a felicidade
razão para alimentar a emoção de viver
contemplar o nascer de um filho
e logo logo chega o segundo
é o resgate da vida
é a lembrança da infância
o sorriso de uma criança é quase tudo
é o vôo da alma
Cristina, Caio e Diogo
Estejam sempre perto de mim
Citação Favorita
"What doesn't kill us makes us stronger."
(Friedrich Nietzsche)
iv
Agradecimentos
Agradeço a todas as pessoas com que tive a chance de conviver desde os tempos de
escola e que me doaram parte de seu tempo. Muito tempo se passou desde que comprei
minha primeira revista científica em 1979. Naqueles tempos de juventude sonhava em
ser um oceanógrafo bem do jeito como nos documentários do J. Cousteau. Tempos
depois estava disputando ingressos para mostra anual de filmes científicos. Tenho esses
sentimentos a muito tempo guardados e por essa razão procurei ao máximo aproveitar
o tempo que permaneci pesquisando nos laboratórios da COPPE. Lembro-me bem de
uma conversa, logo após o término do mestrado em 1991, quando naquela ocasião o
Professor Webe disse: “Muitos trabalham para poucos pesquisarem”.
Gostaria de agradecer aqueles que contribuíram nesta fase e aos “muitos” também.
• Agradeço ao CNPq e a minha esposa Cristina pelo suporte financeiro,
principalmente pela pontualidade e tolerância, respectivamente, nestes 3 anos.
• Agradeço ao meu orientador, Flávio Mascarenhas pelas várias discussões sobre
CFD, pela seriedade e diplomacia de sua conduta e pela confiança em mim
depositada. Ao professor Marcelo Gomes Miguez, amigo de longa data desde os
tempos do laboratório de Hidrologia em 1987, mostrou-se sempre um grande
incentivador. Ao prof. Webe pelo exemplo de pesquisador autêntico. Reconheço o
esforço e agradeço ao professor José Paulo que viabilizou minha vinda de
Campinas com projeto de P&D Furnas.
• A minha família, Cristina, Caio e Diogo (faltam ainda 3 semanas para nascer), meus
pais, Jorge e Iracema, meus irmãos, Fernando e Claudia.
• A colaboração e o apoio de todos os integrantes do Laboratório de Hidráulica
Computacional. Gostaria de reservar um agradecimento especial aos amigos
Franklin, Max, Mariana, Luis Paulo, Renata, Viviane, Alfredo(s), Felipe, Carlos,
Magali, Guilherme, DeBonis, Patrícia, Olívia, Raul, Eduardo, Bruno, Valéria, Beth
e Jairo. As bibliotecárias do CT meu muito obrigado. Agradeço ao funcionário
Marcos da LAMSA pela arriscada atividade de varrição e coleta de material na
Linha Amarela. A Dra. Maria Cristina do LEMA pelas análises e dedicação.
• A todos os doutorandos meu respeito e admiração pelo grande sacrifício à pesquisa.
v
Resumo da Tese apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
AVALIAÇÃO DA POLUIÇÃO DIFUSA GERADA POR ENXURRADAS
EM MEIO URBANO
Jorge Henrique Alves Prodanoff
Junho/2005
Orientador: Flávio Cesar Borba Mascarenhas
Programa: Engenharia Civil
O problema da poluição ambiental urbana já não se restringe apenas à qualidade
do ar que respiramos e da água em nossas torneiras. A maioria daqueles que habitam a
cidade do Rio de Janeiro não sabem os prazeres que os corpos d'água como a baía de
Guanabara um dia já proporcionou. É enganoso pensar que o tratamento das águas
residuais levará a uma despoluição das áreas contaminadas. A deposição atmosférica, os
resíduos sólidos, o esgoto pluvial e o lodo decantado continuarão presentes durante um
longo período. Este trabalho tem por objetivo avaliar e quantificar a poluição gerada por
enxurradas em meio urbano. São apresentadas e aplicadas diversas metodologias para
avaliação das cargas poluentes carreadas durante uma tempestade. Uma operação
sustentável dos sistemas de drenagem se faz, dentre outros, com o monitoramento
hidrometeorológico, modelos de escoamento e de ferramentas para a gestão integrada
dos recursos hídricos, que em muito auxiliam o processo de tomada de decisão. Essas
ferramentas geralmente utilizam modernas técnicas numéricas e de geoprocessamento
para a implementação de modelos de avaliação de impactos e controles ambientais. Um
modelo matemático é derivado baseado nos princípios de conservação da massa,
resultando na equação advecção-difusão-reação-produção unidimensional para
escoamentos variados no tempo e no espaço. A correta utilização da equação de
transporte, pode reproduzir os comportamentos físicos, químicos e biológicos de alguns
dispositivos de retenção, equalização e tratamento das águas de enxurradas e servidas.
vi
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
STORMWATER POLLUTION EVALUATION IN URBAN ENVIRONMENT.
Jorge Henrique Alves Prodanoff
June/2005
Advisor: Flávio Cesar Borba Mascarenhas
Department: Civil Engineering
Air pollution and safe drinking waters are not the only focus of urban
environmental pollution issues in our major cities today. Only a few local citizens from
new generations heard of the beneficial uses of water bodies like Guanabara Bay, RJ. It
is a common belief that the waste water treatment plants will repair contaminated areas.
Atmospheric deposition, solid wastes, storm water and deposited sludge will keep
present and full activated. The main purpose of the present thesis is the evaluation and
quantification of urban storm water pollution. Some well known methodologies from
literature are collected and case studies presented for estimation of loads and event
mean concentration. A wholly sustainable urban drainage system can only become
useful if weather monitoring, flood behavior and managements procedures stay
altogether, composing an integrated water resources decision support tool. Frequently,
these kinds of tools make use of modern numerical techniques and geographic
information system in order to develop environmental impacts studies and non
structural activities. Mathematical models are derived from the principle of conservation
mass to represent the movement, decay, storage and treatment of stormwater runoff
pollutants and dry weather wastewater flows through natural and engineered transport
systems. The unsteady advection dispersion equation are solved using traditional finite
differences and high resolution finite volume method. Detention time and decay
coeficients are key parameters in establishing the final form of the governing
differential equation.
vii
INDICE
Capítulo 1 – Introdução.................................................................................................... 1
1.1 Poluição Hídrica em Meio Urbano.................................................................... 1
1.1.1 Breve Histórico......................................................................................... 1
1.1.2 Reflexões Sobre o Processo de Urbanização............................................ 2
1.1.3 Nova Abordagem do Problema de Enchentes Urbanas............................ 3
1.1.4 As Enxurradas .......................................................................................... 4
1.1.5 Fontes de Poluição.................................................................................... 6
1.1.6 Impactos da Urbanização – Resumo ........................................................ 9
1.2 Razões para Coleta de Dados de Qualidade de Água...................................... 10
1.2.1 Embasamento Teórico............................................................................ 10
1.2.2 Razões..................................................................................................... 10
1.3 Definições e Noções Básicas........................................................................... 13
1.3.1 Natureza das Fontes de Poluição............................................................ 13
1.3.2 Substâncias conservativas e não conservativas ...................................... 15
1.3.3 Sólidos em Suspensão ............................................................................ 16
1.4 Relações de Fluxo, Concentração e Carga dos Poluentes ............................... 17
1.4.1 Concentração .......................................................................................... 17
1.4.2 Primeira Carga de Lavagem ou First-Flush............................................ 18
1.4.3 Concentração Média no Evento.............................................................. 21
1.5 Polutograma Sintético ..................................................................................... 23
1.6 Justificativas do Presente Trabalho ................................................................. 24
1.7 Estrutura do Trabalho...................................................................................... 25
Capítulo 2 – Recursos Hídricos e Poluição .................................................................... 28
2.1 Introdução........................................................................................................ 28
2.2 Usos da Água................................................................................................... 29
2.2.1 Importância dos Cursos d’Água ............................................................. 29
2.2.2 Prevenção de Cheias............................................................................... 34
2.2.3 Usos Recreativos .................................................................................... 35
2.2.4 Usos Biológicos...................................................................................... 37
2.2.5 Usos Relacionados à Saúde do Homem ................................................. 37
Capítulo 3 – Pesquisa Bibliográfica ............................................................................... 39
3.1 Qualidade da Água .......................................................................................... 39
3.1.1 Generalidades ......................................................................................... 39
3.1.2 Lixo......................................................................................................... 40
3.1.3 Nutrientes ............................................................................................... 40
3.1.4 Microorganismos.................................................................................... 41
3.1.5 Toxicidade .............................................................................................. 42
3.1.6 Metais Pesados ....................................................................................... 43
3.1.7 Orgânicos Tóxicos.................................................................................. 44
3.1.8 Granulometria e Deposição de Partículas............................................... 45
3.1.9 Óleos e Graxas........................................................................................ 46
3.2 Fontes de Poluição........................................................................................... 46
3.2.1 Gerais...................................................................................................... 46
3.2.2 Atmosférica ............................................................................................ 48
3.2.3 Telhados e Coberturas ............................................................................ 49
3.2.4 Auto-estradas e Rodovias....................................................................... 50
3.2.5 Extravasamento de Sistema Combinado de Esgoto ............................... 51
viii
3.2.6 Despejos Ilegais...................................................................................... 51
3.2.7 Industriais ............................................................................................... 52
Capítulo 4 – Modelos Empíricos para Avaliação da Produção de Poluentes durante as
Enxurradas...................................................................................................................... 53
4.1 Introdução........................................................................................................ 53
4.2 Revisão Bibliográfica ...................................................................................... 54
4.3 Caracterização dos Poluentes .......................................................................... 57
4.4 Métodos Empíricos para Avaliação Quantitativa da Poluição Gerada durante
as Enxurradas................................................................................................... 66
4.4.1 Método da Concentração Média no Evento ........................................... 67
4.4.2 Método da Taxa de Exportação.............................................................. 67
4.4.3 Métodos de Acumulação e Lavagem de Material .................................. 68
4.4.4 Método Simplificado de SCHUELER (1987)....................................... 72
4.4.5 Método de Heaney.................................................................................. 74
4.4.6 Método de Amy...................................................................................... 75
1.2 Sedimentos ...................................................................................................... 77
4.5 Estudos de Caso............................................................................................... 93
4.5.1 Método de SCHUELER (1987) para um Trecho de Rodovia................ 93
4.5.2 Método do FHWA para um Trecho de Rodovia .................................... 95
4.5.3 Método de AMY para um Reservatório de Detenção ............................ 97
4.5.4 Método de DRIVER e TASKER - Rio Carioca – Laranjeiras ............. 100
Capítulo 5 – Geração Sintética de Polutogramas ......................................................... 109
5.1 Introdução...................................................................................................... 109
5.2 Sistema do Tipo First Flush........................................................................... 109
5.3 Funções de Lavagem ou “Wash-off”............................................................. 110
5.4 Curvas de Massa............................................................................................ 112
5.5 Geração de um Polutograma Sintético .......................................................... 114
5.6 Exemplo de Cálculo ...................................................................................... 115
5.7 Planilha de Cálculo........................................................................................ 117
5.8 Conclusões..................................................................................................... 118
Capítulo 6 – Modelos Numéricos de Transporte de Poluentes .................................... 119
6.1 Modelos Matemáticos de Transporte de Poluentes....................................... 119
6.1.1 Leis de Conservação............................................................................. 119
6.1.2 Equação de Advecção........................................................................... 122
6.1.3 Coeficientes Variáveis.......................................................................... 124
6.1.4 Difusão e a Equação de Advecção-Difusão Unidimensional............... 126
6.1.5 Termos de Fonte................................................................................... 127
6.1.6 Termos de Fonte – Efeitos Externos .................................................... 127
6.1.7 Termos de Fonte - Reação.................................................................... 127
6.1.8 Equação Adevcção Difusão Reação e Produção.................................. 129
6.1.9 Modelo de Transporte de Poluentes ..................................................... 129
6.1.10 Equação ADRP para Águas Subterrâneas............................................ 132
6.1.11 Técnicas Numéricas para Solução das Equações ADRP...................... 134
6.1.12 Equação Modificada............................................................................. 135
6.2 Método das Diferenças Finitas ...................................................................... 136
6.2.1 Introdução............................................................................................. 136
6.2.2 Conceitos Básicos................................................................................. 136
6.2.2.1 Avaliação da Derivada Primeira........................................................... 137
6.2.2.2 Avaliação da Derivada Segunda........................................................... 139
ix
6.2.2.3 Aproximação de Ordem Alta................................................................ 139
6.2.3 MDF Aplicado a Equação de Advecção............................................... 140
6.2.4 MDF para a Equação da Difusão.......................................................... 149
6.2.5 MDF para a equação da ADRP ............................................................ 151
6.3 Método dos Volumes Finitos......................................................................... 154
6.3.1 Introdução............................................................................................. 154
6.3.2 Formulação Geral para as Leis de Conservação................................... 154
6.3.3 Fluxo Numérico para a Equação da Difusão........................................ 158
6.3.4 Condição CFL ...................................................................................... 159
6.3.5 Fluxo Instável ....................................................................................... 161
6.3.6 Método de Lax-Friedrichs .................................................................... 161
6.3.7 Método de Lax Wendroff de dois Passos por Richtmyer..................... 162
6.3.8 Método de Bott..................................................................................... 162
6.3.9 Método Upwind ou Célula de Donor ................................................... 164
6.3.10 Método de Crowley de Quarta Ordem ................................................. 164
6.3.11 Método de Fromm de Quarta Ordem ................................................... 165
6.4 MVF segundo a abordagem de LEONARD.................................................. 166
6.4.1 Esquemas Polinomiais Arbitrários de Ordem Alta para Advecção...... 166
6.4.2 Esquema QUICK para o Regime Permanente...................................... 170
6.4.3 Esquema de Leith ................................................................................. 172
6.4.4 Esquema QUICKEST para Fluxos Transientes ................................... 173
6.5 Métodos de Alta Resolução........................................................................... 176
6.5.1 Normalização de Variáveis................................................................... 176
6.5.2 Avaliação da Derivada Temporal......................................................... 177
6.5.3 Limitador Universal.............................................................................. 179
6.5.4 Critério de Monotonicidade.................................................................. 181
6.5.5 Estratégia ULTIMATE para Variáveis Normalizadas ......................... 183
6.5.6 Estratégia simplificada ULTIMATE QUICKEST .............................. 186
6.5.7 Discriminador de Extremos.................................................................. 187
Capítulo 7 – Resultados dos Modelos Numéricos........................................................ 189
7.1 Convergência, Precisão e Estabilidade.......................................................... 189
7.1.1 Introdução............................................................................................. 189
7.1.2 Convergência........................................................................................ 189
7.1.3 Escolha da Norma................................................................................. 190
7.2 Avaliação e Desempenho dos Algoritmos..................................................... 192
7.2.1 Escolha da Norma................................................................................. 192
7.2.2 Soluções Analíticas .............................................................................. 192
7.2.3 Resultados – MDF e MVF ................................................................... 193
7.3 Resultados para a Equação da Advecção ...................................................... 194
7.3.1 MDF para Advecção Pura com Velocidade Constante ........................ 195
7.3.2 MDF para Advecção Pura com Velocidade Espacialmente Variável.. 209
7.3.3 MVF para Advecção Pura com Velocidade Constante ........................ 215
7.3.4 MVF para Advecção Pura com Velocidade Variável .......................... 222
7.3.5 Estratégia ULTIMATE QUICKEST para Advecção Pura................... 224
7.4 Soluções Analíticas para a Equação ADRP .................................................. 229
7.5 Resultados para a Equação da Advecção-Difusão ........................................ 235
7.5.1 MDF com Velocidade Constante ......................................................... 235
7.5.2 MVF com Velocidade Constante ......................................................... 241
Capítulo 8 – Conclusões e Recomendações ................................................................. 244
x
8.1 Conclusões..................................................................................................... 244
8.1.1 Dados Históricos .................................................................................. 244
8.1.2 Metodologias para Avaliação da Produção de Poluentes..................... 244
8.1.3 Monitoramento da Qualidade da Água................................................. 244
8.1.4 Polutograma Sintético .......................................................................... 245
8.1.5 Técnicas Numéricas - MDF.................................................................. 245
8.1.6 Técnicas Numéricas - MVF.................................................................. 246
8.2 Recomendações ............................................................................................. 248
8.2.1 Monitoramento Hidrometeorológico e Ambiental ............................... 248
8.2.2 Monitoramento da Qualidade da Água................................................. 248
8.2.3 Acoplamento com Modelos Hidráulicos.............................................. 248
8.2.4 Técnicas Numéricas de Solução da Equação ADRP............................ 249
Capítulo 9 – Referências Bibliográficas....................................................................... 251
1
Capítulo 1 – Introdução
1.1 Poluição Hídrica em Meio Urbano
1.1.1 Breve Histórico
A investigação sobre a poluição gerada pelas enxurrada em meio urbano possui
uma longa história em alguns países do mundo, todavia no Brasil ainda se encontra em
um estágio inicial. Nos Estados Unidos, os relatos remontam de meados da década de
60, quando pela primeira vez agências governamentais identificaram que as cargas
associadas às descargas ou vazões provenientes de cheias urbanas representavam
grandes fontes de poluição dos corpos hídricos. Em 1972, nas emendas ao Ato chamado
“Clean Water Act”, o Programa Nacional de Escoamentos Urbanos (no original NURP)
foi estabelecido, contendo como meta principal ajudar na investigação da poluição das
águas no ambiente urbano (EPA, 1983). O relatório “Inventário Nacional de Qualidade
da Água” entregue em 1995 ao Congresso Americano, afirmou que 30% dos casos
identificados de impactos na qualidade da água são atribuídos às descargas de
enxurradas ou de fontes distribuídas (EPA 1995). Algumas das cidades nos EUA e
países desenvolvidos, que obtiveram êxito na coleta e tratamento da águas residuais,
segundo novos levantamentos, têm mostrado que as fontes de poluição difusa passaram
a ser as maiores causadoras de degradação da qualidade das águas superficiais
(DRISCOLL et al. 1990, EPA 1983). Além disso, as enxurradas podem conter
quantidades significativas de substâncias tóxicas.
Mesmo após investigações detalhadas, continuam a existir muitas incertezas
sobre o processo de poluição gerado pelas enxurradas. Estas incertezas refletem a falta
de intensivas campanhas de campo para verificação. Os processos de origem difusa são
intrinsecamente difíceis e complexos de se modelar devido à natureza estocástica do
fenômeno. Por essa razão, é de se esperar que o processo estudado não possa ser
previsto de forma puramente determinística. Todavia, do ponto de vista de engenharia
ou de gerenciamento, os modelos determinísticos continuarão a ser bastante úteis.
O gerenciamento integrado das cheias urbanas deve tanto abranger aspectos de
quantidade quanto de qualidade dos escoamentos urbanos. Os controles da quantidade
alcançaram um grau de maturidade devido aos esforços conduzidos no passado. Os
2
controles de qualidade continuam no estágio inicial de desenvolvimento. As atividades
antrópicas a muito já são reconhecidas como sendo as mais importantes que afetam a
qualidade, como a urbanização e agricultura. De fato, a maioria das atividades humanas
impacta seriamente os escoamentos devido à impermeabilização das superfícies. O
sucesso de um programa de controle de poluição reside, dentre outros aspectos, na
coleta sistemática de dados ambientais e também modelagem consistente dos processos
de geração, acumulação e transporte de poluentes.
1.1.2 Reflexões Sobre o Processo de Urbanização
A urbanização é um fato irreversível em praticamente todo o planeta. No início
do século 20 apenas 10% da Humanidade residiam em áreas urbanas; hoje, metade,
mais de 2,9 bilhões, vive em cidades. Existem 19 mega cidades, das quais 15
localizadas nos países em desenvolvimento, com população acima de 10 milhões de
habitantes. Essa evolução, por si só, já faz a ecologia urbana um tema fundamental. Por
muito tempo as relações entre o ambiente natural e o construído foram vistas sob o
prisma do conflito. A idéia da separação, do confronto, da subjugação do ambiente
natural frente à vontade criadora e construtora foi uma constante. Nas óticas marxistas,
que influenciaram tanto urbanistas no século 20, a “contradição entre o homem e a
natureza” precedia e sucederia àquela entre classes sociais. Mesmo as correntes de
arquitetos que aparentemente valorizaram os espaços verdes não conseguiam perceber
que a cidade de concreto, asfalto e vidro na verdade não constituía um ente separado da
natureza, mas natureza transformada, um novo ecossistema integrado, modificado,
diferente do ambiente natural, mas não fora dele, não imune aos ciclos, dinâmicos e
reações, SIRKIS (2003).
Na escala de planejamento urbano, esse pensamento mostrou-se desastroso ao
desprezar a principal matéria da qual é feito o tecido urbano, as calçadas, as esquinas, as
praças, as lojas nas ruas, a densidade humana, que criam a humanidade, onde o espaço
público é primordial e a mistura de usos é argamassa integradora, SIRKIS (2003).
Tentou-se substituir o tecido urbano tradicional por não-cidades de condomínios
ensimesmados, com torres cercadas de grades ou super quadras, uso segregado, vias
expressas, shopping e uma sufocante dependência do transporte individual. Criou-se um
bizarro espaço, nem urbano nem rural, na escala do automóvel, não do pedestre. Isso,
3
freqüentemente, no bojo de um discurso ambientalmente sedutor: supostamente essa
não cidade seria melhor para a preservação de espaços verdes e para a qualidade de vida
dos moradores que as promíscuas cidades densas, cheias de gente nas ruas. Mas as
próprias áreas verdes urbanas dependem da dinâmica dos bairros que as rodeiam.
SIRKIS (2003) declara suas manifestações de antipatia pela não-cidade nas suas
variantes modernista, “planificada” (condomínios isolados ou super quadras, vias
expressas e shoppings) ou aquela mais americanizada do "urban sprawl" (subúrbios de
classe média com charmosas ruas arborizadas de casa e jardins) e diz que tais variantes
merecem duas ressalvas. Em primeiro lugar, a existência desses tipos de aglomerados de
baixa densidade constitui fato consumado e irreversível. Por outro lado, numerosas
pessoas apreciam o estilo de vida que isso lhes proporciona. Portanto, não há como fugir
dessas não-cidades, e são necessárias políticas que lidem com os aspectos mais
problemáticos sem muita ilusão em relação à possibilidade de modificá-los. Modelos
urbanísticos, uma vez implementados, têm vida muito longa.
1.1.3 Nova Abordagem do Problema de Enchentes Urbanas
Em diversos países, o crescimento da preocupação geral, tanto do poder público
quanto da população, tem evidenciado a importância da gestão ambiental das cheias
urbanas. Isto tem resultado numa deterioração progressiva dos valores ambientais dos
ecossistemas aquáticos em ambientes urbanos. Freqüentemente, esta baixa qualidade da
água pode ser diretamente atribuída às atividades de uso e ocupação do solo.
O acúmulo de resíduos sólidos carreados pelas águas das chuvas também pode
causar poluição nos rios locais. A má qualidade da limpeza urbana e a falta de
conscientização da população têm trazido grandes prejuízos à qualidade das águas
pluviais. É preciso então reduzir a geração de resíduos sólidos. O excesso de lixo é um
empecilho para a implantação de reservatórios de retenção, aumenta os riscos sanitários
e o custo de manutenção da rede de drenagem, PARKINSON (2003).
Todavia, o gerenciamento das cheias urbanas sob uma nova e inovadora ótica
esta começando a ser desenhada. Trata-se do desenvolvimento sustentável da drenagem
urbana com o objetivo de imitar o ciclo hidrológico natural. Existem diversos exemplos
práticos onde engenheiros, planejadores, paisagistas e outros especialistas tiveram
sucesso na reintegração da água na paisagem urbana. Em muitos casos, os recursos
4
hídricos foram o principal foco na revitalização de áreas centrais da cidade. De forma
similar, áreas áridas vislumbram as águas das chuvas como um recurso potencial, onde
a enxurrada está sendo utilizada localmente de forma benéfica, ao invés de ser
rapidamente descarregada como uma espécie de resíduo, HEANEY et al. (1999)
Este novo modelo incorpora técnicas inovadoras da engenharia como a
construção de pavimentos permeáveis e de canais abertos com vegetação, ambos
buscando atenuar as vazões de pico e reduzir também a concentração de poluentes das
águas de chuva nas áreas urbanas. O modelo define como princípios modernos da
drenagem urbana, PARKINSON (2003):
• Novos desenvolvimentos não podem aumentar a vazão de pico das condições
naturais (ou prévias) - controle da vazão de saída ;
• O planejamento da bacia deve incluir controle do volume;
• Deve se evitar a transferência dos impactos para jusante.
Para gestão dos recursos hídricos é necessária a integração das diversas agendas
que existem em uma bacia e que estão associadas aos recursos hídricos (agenda azul),
ao meio ambiente (agenda verde) e à cidade (agenda marrom). Essas políticas também
têm que ser compatibilizadas nesta unidade de planejamento geral, que é a bacia
hidrográfica. Para que estas técnicas de engenharia sejam implementadas e para se
assegurar à operação sustentável dos sistemas de drenagem, novos métodos de
planejamento e gerenciamento urbano são necessários
.
1.1.4 As Enxurradas
O escoamento urbano e o carregamento de poluentes aumentam de forma
permanente com o desenvolvimento da cidade e se mantém num patamar elevado
durante toda a vida útil do empreendimento. Isso acontece em razão das superfícies
impermeáveis como: ruas, calçadas, passeios públicos, ciclovias, estradas, telhados,
quadras esportivas, etc., permanentemente reduzem a infiltração das chuvas e do
escoamento para o subsolo.
Taxas aceleradas de escoamento superficial também ocorrem em função da
urbanização e podem aumentar de forma significativa à habilidade das águas
destacarem os sedimentos e poluentes associados a ele, carregando-os para fora do seu
meio e vindo depositá-los mais a jusante. Taxas altas de escoamento também podem
5
causar erosão dos canais e de suas margens. O aumento do volume de escoamento
superficial e de vazões também aumenta as cheias urbanas, que resultam na perda de
vidas humanas e de propriedades.
A urbanização também pode afetar severamente as águas subterrâneas. Em
alguns casos, o escoamento de águas poluídas contamina as águas subterrâneas. Mais
freqüentemente, as superfícies impermeáveis bloqueiam a infiltração afetando não
somente os níveis do lençol freático, mas também a quantidade de água liberada pelo
aqüífero para o rio durante o período de estiagem. Do ponto de vista de qualidade da
água, os períodos de estiagem são considerados críticos porque a quantidade disponível
para diluir os poluentes atinge um mínimo durante este período. Vazões reduzidas
durante um longo período de estiagem também afeta negativamente a vida aquática.
Os escoamentos superficiais, compostos pelas águas das chuvas, dos fluxos de
áreas em construção e da vazão de base (contaminada), têm sido apontados com
causadores de impactos significativos nos corpos d’água receptores e no habitat
aquático. Esses efeitos são obviamente mais severos para pequenos corpos receptores
que recebem fluxos de bacias de drenagem em franco desenvolvimento e com altas
taxas de urbanização. Todavia, alguns estudos têm demonstrado a existência de
impactos significativos sobre a vida aquática de rios com grau de urbanização menor
que 10%.
De forma a melhor identificar e compreender esses impactos é necessário incluir
um monitoramento biológico e analisar a qualidade dos sedimentos também. A maioria
dos impactos sobre a vida aquática está provavelmente relacionada aos problemas
crônicos de longa duração, causados pela destruição do habitat por sedimentos
contaminados e quebra da cadeia alimentar. Várias linhas de pesquisa indicam que uma
adequada análise dos impactos ambientais biológicos dos corpos receptores deve incluir
a investigação de um número de grupos de organismos vivos (peixes, macro-
invertebrados bentônicos, algas, macrófitas, etc.) em complementação aos estudos de
qualidade de água e do sedimento. Estudos simplificados com apenas a qualidade de
água, mesmo realizando possíveis comparações com os padrões de qualidade da água
para a proteção da vida aquática, são usualmente inadequados para prever impactos
biológicos associados, BURTON e PITT (2002).
6
DUDA et al. (1982) apresentam uma discussão sobre o porquê das abordagens
tradicionais de levantamento da qualidade da água, na seleção das opções de controle
nas áreas urbanas, têm falhado. A maior dificuldade da abordagem tradicional quando
aplicada aos escoamentos urbanos é a complexidade das fontes poluentes, os problemas
de monitoramento durante as chuvas intensas e as limitações quando se utilizam os
padrões legais de qualidade de água para avaliar a severidade dos problemas dos corpos
receptores durante a estação chuvosa. No Brasil, não temos uma lei específica que
regule os padrões de qualidade de água de corpos hídricos localizados em áreas urbanas.
Para a melhor clareza e concisão do texto fica implícito, que a partir deste ponto,
quando se falar de qualidade das águas (QA) significará “qualidade das águas de
enxurradas no meio urbano” ou “qualidades das águas pluviais urbanas”. Na literatura
internacional o termo em inglês “stormwater quality” é mais compacto e dirigido ao
meio urbano por definição. O termo escoamento (superficial) de enxurradas no meio
urbano será abreviado em (ESMU).
1.1.5 Fontes de Poluição
O entendimento das fontes potenciais de poluentes é de fundamental importância
quando se estuda os impactos do lançamento dos escoamentos. A acumulação de vários
poluentes dentro da área da bacia pode ser atribuída a diversas fontes e os efeitos
individuais são de difícil separação. Todavia, o conhecimento qualitativo das prováveis
fontes possibilita ao investigador a se concentrar nas áreas problemáticas e avaliar
dispositivos de controle que podem ser usados para desviar cargas adversas antes que
elas atinjam o sistema de drenagem, vide figura 1.1. As principais fontes poluidoras são,
SARTOR e BOYD (1972):
1) Pavimentação das ruas. Os componentes oriundos da degradação da superfície de
rolamento podem fazer parte da carga da ESMU. O material agregado é o maior
contribuinte e quantidades adicionais provem dos enchimentos e de qualquer
substância aplicada na superfície. A quantidade de poluentes dependerá da idade e
tipo de superfície, do clima e da quantidade e tipo de trafego.
2) Motores dos Veículos. Os veículos podem contribuir com uma larga variedade de
materiais no ESMU. O lançamento ou derramamento de combustíveis e
lubrificantes, partículas advindas dos pneus ou fluidos de freio, emissões de
exaustão capturadas, produtos da corrosão e partes quebradas que despencam da
7
lataria, tudo isso vem a compor lançamentos sobre o pavimento. Enquanto se espera
que a quantidade de material depositada pelos veículos seja pequena, o potencial
poluente é considerável. Os veículos são as principais fontes não pontuais de
asbestos e de alguns metais pesados.
3) Deposição atmosférica. Os poluentes atmosféricos resultam ou de processos naturais
ou de processos antropogênicos. As fontes de poluição atmosférica são entendidas
como qualquer processo natural ou antropogênico que possa liberar ou emitir
matéria ou energia para a atmosfera, tornando-a contaminada ou poluída. O
potencial significado da deposição de poeiras ficou evidente durante um estudo
conduzido na cidade de Cincinnati, WEIBEL et al. (1964). Durante o período de
estudo, uma deposição seca de 567 kg/ha foi medida na estação de monitoramento e
818 kg/ha de sólidos em suspensão foram medidos no escoamento.
4) Vegetação. Folhas, grama, galhos e outros tipos de plantas que caem ou são
depositados na área urbana podem ser parte do problema. As quantidades irão
depender da localização geográfica, estação, práticas paisagísticas e de disposição.
5) Superfície do solo. O tipo de cobertura encontrada na bacia de drenagem e os
volumes de tráfego e de pedestres são função do uso do solo e logo vão afetar a QA.
6) Lixo. O lixo domiciliar, especialmente quando não degradável, apresenta formas e
volumes variáveis em sua composição. Muitas vezes, ao seguir o escoamento,
colidem e aglutinam-se, formando blocos maiores e mais pesados, que tendem a se
depositar no leito, agravando a propensão para o assoreamento. A combinação da
presença dos sedimentos originados pela erosão do solo da bacia com o acréscimo
de lixo nos escoamentos dos rios e seus afluentes, acarreta em uma grande redução
da eficiência da rede de drenagem da bacia (CAMPOS, 2000).
7) Derramamentos. Este óbvio poluente superficial pode incluir quase todas as
substâncias jogadas nas ruas das cidades. Sujeira, areia, entulho e cascas são os
exemplos mais comuns. Os derramamentos industriais e químicos são
potencialmente os mais sérios.
8) Agroquímicos. Uma grande variedade de químicos podem ser utilizados como
fertilizantes, pesticidas e herbicidas.
9) Locais de construção. A erosão do solo proveniente de áreas em construção e a
produção crescente do ESMU causam sérios problemas econômicos, sociais e
8
ambientais. Esses problemas podem ser causados por atividades de desenvolvimento
urbanístico como loteamentos, construções casas e prédios, grandes projetos tais
como distritos industriais, centros de lazer e rodovias. A descarga de metais pesados
tóxicos e matéria orgânica que resultam em pescados inadequados ao consumo
humano, água não potável, além de ocorrer uma mudança da vida aquática para
espécies mais tolerantes a poluição; no fechamento de praias. Os danos causados
pela erosão do terreno e sedimentação na rede de drenagem, atingem seu pico
durante a construção, quando a exposição do solo é máxima.
10) Sistemas coletores. Sistemas de drenagem pluvial que usam canais naturais ou
canais de terra trabalhados ficarão sujeitos a erosão de suas margens. Os sistemas
tendem também a acumular material depositado que será desprendido e transportado
durante as enxurradas.
11) Redes de esgotos deficientes. Causam vazamentos e contaminações indesejadas
sobre os demais sistemas e serviços urbanos, além da possibilidade de proliferação
de doenças de veiculação hídrica durante o transbordamento sobre as margens.
Figura 1.1 – Principais Fontes de Poluição no Meio Urbano, WALESH (1989).
9
1.1.6 Impactos da Urbanização – Resumo
A tabela 1.1 apresenta de forma resumida os impactos da urbanização e seus
efeitos diretos mais importantes.
IMPACTOS EFEITOS
Aumento da vazão de cheia;
Impermeabilização
Diminuição da vazão de estiagem.
Redes de Drenagem
Maiores picos a jusante.
Degradação da qualidade da água;
Lixo
Entupimento de bueiros e galerias.
Degradação da qualidade da água;
Moléstias de veiculação hídrica;
Redes de esgotos deficientes
Enchentes agravam os efeitos devido à
contaminação da várzea de inundação.
Maiores picos e volumes;
Mais erosão;
Desmatamento e
Desenvolvimento
Indisciplinado
Assoreamento em canais e galerias.
Maiores prejuízos;
Maiores picos;
Ocupação das várzeas
Maiores custos de utilidades públicas.
Tabela 1.1 – Impactos da urbanização sobre a bacia hidrográfica
(PORTO et al., 1993).
10
1.2 Razões para Coleta de Dados de Qualidade de Água
1.2.1 Embasamento Teórico
Da literatura técnica e das discussões com muitas organizações, está claro que
muita confusão e falta de esclarecimento ainda persistem sobre as razões para coletar
dados da qualidade de água. Em alguns casos, uma necessidade forte para um programa
da qualidade de água é expressa, com pouca definição de finalidades e de objetivos do
programa, exceto uma noção vaga de “saber a qualidade”. Mais a mais, alguns
programas de levantamento de dados bem projetados, quando baseados na aproximação
usual de monitoramento padrões falham em não incluir recursos e projetos específicos
para interpretar e analisar os dados coletados, RICKERT (1991).
A falta de objetivos claros, e como conseguí-los, resulta que em muitos órgãos
governamentais ou privados são gastos recursos financeiros limitados em: (a) coletando
dados da qualidade de água que tem pouco ou nenhum significado em termos das
possíveis fontes poluentes, (b) emitindo relatórios que consistem meramente em tabelas
contendo dados "crus" com quase nenhuma interpretação, e (c) em projetos que prestam
pouca ou quase nenhuma atenção à representatividade dos dados produzidos.
1.2.2 Razões
Conforme mostrado na tabela 1.2, são quatro principais razões para coletar dados
sobre a QA. Elas devem fornecer informações para: (a) alcançar objetivos sociais, (b)
dar suporte a análise de decisão regulatória, (c) definir problemas emergentes ou
existentes da QA, e (d) permitir o avanço da compreensão científica. Estes quatro itens
são listados propositadamente nesta ordem, porque a seqüência deve fluir em ambos os
sentidos para que os objetivos sociais sejam atendidos. Órgãos de gerenciamento, de
regulamentação, e as agências ambientais e científicas devem claramente definir as
necessidades de informação que, delineiam os objetivos específicos para programas de
qualidade de água e para auxiliar no avanço da compreensão científica. A compreensão
científica é básica para a definição dos problemas de QA, que devem estar bem
definidos para um gerenciamento eficiente e integrado dos recursos hídricos. Em suma,
os recursos hídricos devem ser corretamente gerenciados para alcançar os objetivos
sociais (VRBA e PENKY, 1991; apud RICKERT, 1991).
11
Infelizmente, a maioria das fontes de informação que citam as finalidades e os
objetivos de programas de QA, fornecem somente uma parte deste retrato, com as
razões específicas misturadas entre as diversas categorias. Alguns destes objetivos de
monitoramento podem estar amarrados a razões específicas dentro das quatro categorias
mencionadas, visto que outros são amplos ou confusos e parecem ter significado claro
mas, de fato, possam ser definidos de forma muito diferente pelas diversas
organizações.
A tabela 1.2 foi desenvolvida para ajudar as organizações: (a) efetuar decisões
claras sobre as razões porque estão planejando ou conduzindo programas de QA e (b)
indicar claramente os objetivos e metas como uma base para projetar e executar os
programas de QA, que tenham boa probabilidade de sucesso. Além disso, o diagrama
esquemático sugere que para preencher um conjunto tão complexo de necessidades de
informação, irá requerer um processo que integre aproximações múltiplas, melhor que
confiar meramente na aproximação padrão de estação fixa, amostragem fixa do
intervalo do tempo. O processo integrado de aproximações múltiplas é a avaliação da
qualidade de água (AQA), e a finalidade imediata é avançar na compreensão científica
da QA. Assim, os quatro primeiros itens da última coluna da tabela 1.2 -- para definir
linhas de base, o status, mudanças ou tendências, e causa-efeitos -- são os objetivos para
avaliação da qualidade da água. Implícitas nos objetivos para a AQA estão as
dimensões espacial e temporal. Isto é, a AQA deve-se encontrarem com estes quatro
objetivos no que se refere (a) postos de monitoramento em número suficientes para
definir adequadamente a variabilidade espacial da QA, e (b) da duração e da freqüência
apropriadas de amostragem para definir a sazonalidade e as mudanças e tendências de
longo termo.
Quando os vários objetivos são encontrados com sucesso, a AQA fornece uma
base firme para a definição dos problemas da QA, subsidiando sistemas de análise de
decisão, e indo, portanto de encontro com os objetivos sociais.
12
Tabela 1.2 : Razões para Coletar Dados de Qualidade de Água (Fonte: RICKERT, 1991)
Atingir Metas Sociais
Subsidiar o Sistema de Análise de
Decisões sobre Outorgas de Uso
Definir Problemas Emergentes ou
Existentes de Qualidade de Água
Avançar no Desenvolvimento
Científico e Tecnológico
1. Proteger a Vida Aquática
Quantidade Suficiente
Qualidade Adequada
1. Desenvolver e melhorar o planejamento,
gerenciamento e outorga de uso dos
recursos hídricos
1. Temperatura
2. Erosão / Assoreamento
1. Definir as condições naturais da
Q.A (background)
2. Proteger a Saúde Humana
Abastecimento Público
Recreação e Lazer
2. Alocação de Recursos financeiros entre os
diferentes problemas e programas de Q.A.
3. Salinização
4. Qualidade Sanitária
2. Definir o status atual das
condições de Q.A.
3. Proteger outras classes de Uso
Agricultura
Indústria
Estética
3. Estabelecer diretrizes, padrões e critérios para
os efluentes e manutenção dos usos da água
5. Resíduos Orgânicos Biodegradáveis
6. Eutrofização
3. Definir Mudanças ou tendências
na Q.A.
4. Garantir o cumprimento das diretrizes, a
obediência aos padrões e critérios
estabelecidos para cada tipo de efluente e
uso específico do solo
7. Acidificação
8. Compostos Tóxicos
9. Radionuclídeos ?
4. Identificar, definir e avaliar as
causas dos problemas de Q.A.
Naturais
Antrópicas
5. Determinar a eficiência geral do programa 10. Nitrato 5. Descobrir o fluxo, taxas e fatores
que regem o controle dos
processos químicos e biológicos
6. Determinar a carga de trabalho adicional de
controle de poluição
11. Outros
13
1.3 Definições e Noções Básicas
Neste item são apresentados alguns conceitos e definições básicas sobre tópicos
relacionados à hidrologia e poluição urbana, de forma que as justificativas e motivações
deste trabalho de dissertação sejam mais bem entendidas.
1.3.1 Natureza das Fontes de Poluição
De forma genérica, a poluição das águas decorre da adição de substâncias ou de
formas de energia que, diretamente ou indiretamente, alterem as características físicas e
químicas do corpo d’água de uma maneira tal, que prejudique a utilização das suas
águas para usos benéficos. Torna-se importante ressaltar a existência de duas formas
distintas, pelas quais as águas poluídas atingem um determinado corpo receptor: (a)
fontes pontuais e (b) fontes não-pontuais ou fontes difusas.
A primeira, denominada fonte ou poluição pontual, refere-se, como o próprio
nome esclarece, à poluição decorrente de ações modificadoras localizadas. É o caso, por
exemplo, da desembocadura de um rio, de efluentes de uma estação de tratamento de
esgotos domésticos ou industriais, ou mesmo, a saída de um tronco coletor de esgotos
domésticos sem tratamento, ou ainda a saída no mar de um emissário submarino.
A segunda, denominada poluição difusa, se dá pela ação das águas da chuva ao
lavarem e transportarem a poluição nas suas diversas formas espalhadas sobre a
superfície do terreno (urbano ou rural) para os corpos receptores. A poluição difusa
alcança os rios, lagoas, baías, etc., distribuída ao longo das margens, não se
concentrando em um único local como é o caso da poluição pontual.
A origem da poluição difusa é bastante diversificada, sendo que contribuem: a
abrasão e o desgaste das ruas pelos veículos, lixo acumulado nas ruas e calçadas,
resíduos orgânicos de pássaros e animais domésticos, atividades de construção, resíduos
de combustível, óleos e graxas deixados por veículos, poluentes do ar, etc. Os principais
poluentes que são assim carreados são sedimentos, matéria orgânica, bactérias, metais
como cobre, zinco, manganês, ferro e chumbo, hidrocarbonetos provenientes do
petróleo, tóxicos, como os pesticidas, e os poluentes do ar que se depositam sobre as
superfícies. Eventos de precipitação podem elevar as concentrações de metais tóxicos
no corpo receptor até a níveis agudos, ELLIS (1986).
14
Ligações irregulares (não são clandestinas como vários textos indicam) de
esgotos, efluentes de fossas sépticas, vazamentos de tanques de combustível enterrados,
restos de óleo lubrificante, tintas, solventes e outros produtos tóxicos despejados em
sarjetas e bueiros também contribuem para o aumento das cargas poluidoras
transportadas pelas redes de drenagem urbana. A poluição gerada pelo escoamento
superficial da água em zonas urbanas é de origem difusa, uma vez que provém de
atividades que depositam poluentes de forma esparsa sobre a área de contribuição da
bacia hidrográfica. Segundo NOVOTNY (1991), são cinco as condições que
caracterizam as fontes difusas de poluição,:
•
lançamento da carga poluidora é intermitente e está relacionado à
precipitação;
•
os poluentes são transportados a partir de extensas áreas;
•
as cargas poluidoras não podem ser monitoradas a partir de seu ponto de
origem, mesmo porque sua origem exata é impossível de ser identificada;
•
o controle da poluição de origem difusa obrigatoriamente deve incluir ações
sobre a área geradora da poluição, ao invés de incluir apenas o controle do
efluente quando do lançamento;
•
é difícil o estabelecimento de padrões de qualidade para o lançamento do
efluente, uma vez que a carga poluidora lançada varia com a intensidade e a
duração do evento meteorológico, a extensão da área de produção naquele
específico evento, e outros fatores que tornam a correlação vazão x carga
poluidora praticamente impossível de ser estabelecida.
O grau de poluição das águas é medido através de características físicas,
químicas e biológicas das impurezas existentes, que, por sua vez, são identificadas por
parâmetros de qualidade das águas.
De uma maneira geral, as características físicas são analisadas sob o ponto de
vista de sólidos (suspensos, coloidais e dissolvidos na água) e gases. As características
químicas, nos aspectos de substâncias orgânicas e inorgânicas e as biológicas sob o
ponto de vista da vida animal, vegetal e organismos unicelulares (algas).
A poluição por cargas difusas é um fenômeno com origem no ciclo hidrológico.
Inicia-se com o arraste dos poluentes atmosféricos pela chuva e o escoamento
superficial direto será responsável pelo transporte dos poluentes dispostos sobre a
superfície da área urbana até o lançamento final no corpo receptor. A poluição por
cargas difusas é um fenômeno aleatório como o evento hidrológico responsável pela sua
ocorrência, (EPA 1983; DRISCOLL et al. 1990; PORTO, 1995).
15
As concentrações dos poluentes no escoamento gerado variam ao longo do
evento hidrológico, assim como variam as vazões. É de se esperar que tais valores
formem um polutograma, com a mesma forma genérica do hidrograma correspondente.
É difícil calcular ou prever a distribuição temporal das concentrações de
poluentes, isto é, o polutograma. Na maior parte dos estudos de poluição por cargas
difusas, no entanto, o objetivo principal é a avaliação do impacto do lançamento da
drenagem urbana sobre o corpo receptor, e a resposta do ecossistema ao problema
geralmente se dá de forma razoavelmente lenta.
A qualidade das águas do escoamento superficial urbano tende a ser
extremamente variável (EPA 1983; DRISCOLL et al. 1990). A intensidade da chuva
geralmente varia de forma bastante irregular e imprevisível. Essa variação da
intensidade das chuvas afeta diretamente as taxas de escoamento, as taxas de lavagem
(lixiviação) dos poluentes, a erosão e suspensão de sedimentos, a forma e geometria dos
canais naturais e uma série de outros fenômenos que de uma maneira complexa
determinam a distribuição temporal dos poluentes e as vazões observadas.
Somando-se a tudo isso, a natureza transiente e imprevisível das fontes de
poluentes, seus mecanismos de lançamento e as diferenças dos intervalos de tempo
entre os eventos chuvosos também contribuem para a grande variabilidade dos
processos de produção e transporte de poluentes. Como resultado, a concentração de
poluentes e outras características das tempestades em uma determinada localidade flutua
significativamente durante um simples evento hidrológico e de evento para evento.
1.3.2 Substâncias conservativas e não conservativas
Considera-se que uma substância é conservada, isto é, não existem perdas de
massa devido a reações químicas ou degradações bioquímicas. Tais substâncias podem
incluir, por exemplo, total de sólidos dissolvidos, cloretos e certos metais que durante
certas épocas do ano são transportados na forma dissolvida.
Contudo, os poluentes conservativos podem sofrem algumas mudanças à medida
que são transportados ao longo dos cursos d’água. O efeito mais significativo é o da
dispersão, que proporciona um espalhamento ou aumento na distribuição espacial da
mancha ou polutograma à medida que se propaga para jusante, devido principalmente a
soma de diversos processos como a turbulência e assimetria dos fluxos, e variação nos
16
regimes de escoamento. A figura 1.2 mostra qualitativamente o efeito do fenômeno de
dispersão.
Figura 1.2 - Dispersão de Poluentes durante o Transporte
Em uma primeira abordagem, o efeito acima descrito usualmente pode ser
desprezado para as situações de drenagem urbana em pequenas bacias de captação. Isto
significa dizer, quer a massa de poluentes afluente que chega a um emissário submarino,
a uma lagoa ou outra localização de interesse é igual à massa gerada pela enxurrada.
Assumindo-se que uma substância sofra decaimento com o tempo devido a
reações químicas, degradação bacteriana, decaimento radioativo ou devido à deposição
por decantação para fora da coluna d’água. Muitas substâncias exibem decaimento ou
comportamento não conservativo incluindo matéria orgânica oxidável, nutrientes,
compostos químicos voláteis e bactéria. Uma hipótese muito prática é que o decaimento
de uma determinada substância decaia de acordo com uma reação de primeira ordem,
isto é, a taxa de perda da substância é proporcional à concentração em qualquer instante.
Então, o balanço de massa, em regime permanente, é uma equação diferencial linear de
primeira ordem, THOMMANN e MULLER (1987),
1( )dQc
Kc
Adx
=−
(1.1)
onde K é a taxa de decaimento [T
-1
] da substância.
1.3.3 Sólidos em Suspensão
Muitos poluentes ocorrem na forma particulada e costumam ter forte afinidade
com os sólidos em suspensão (SS). Por conseguinte, a remoção de SS irá quase sempre
remover muitos outros poluentes particulados encontrados no ESMU.
17
O princípio acima não se aplica aos poluentes dissolvidos tal como o nitrito e
nitrato (NO
2
, NO
3
), e o fósforo solúvel (PO
4
). Bacia de detenção seca tem exibido
consistentemente baixos valores de remoção de NO
2
, NO
3
dissolvidos e PD. A remoção
de poluentes dissolvidos é mais bem obtida através de outros métodos com ação
biológica.
O tipo e quantidade de poluentes encontrados no ESMU e o grau de
relacionamento desses poluentes em associação com os sedimentos são
significativamente importantes. Os seguintes fatores, dentre outros, tem importância na
descrição das características de deposição do SS e poluentes associados:
• Carga de poluentes por tipo;
• Percentual de poluentes decantáveis;
• Distribuição granulométrica;
• Distribuição dos sólidos pelas velocidades de queda;
• Distribuição dos poluentes pelas velocidades de queda;
• Densidade dos poluentes decantáveis.
1.4 Relações de Fluxo, Concentração e Carga dos Poluentes
1.4.1 Concentração
A medida primária para quantificar um componente químico é a sua
concentração, C, definida como:
quantidade (massa) do componente
volume do fluido
C =
(1.2)
Muitos dos componentes são medidos em termos de sua massa e a concentração
C possui unidades como mg/L ou g/m
3
. Como a densidade da água é próxima a 1.0
g/cm
3
, unidades de µg/cm
3
, mg/L, e g/m
3
são numericamente equivalentes a partes por
milhão (ppm) por massa na água, uma feliz coincidência, enquanto µg/L (microgramas
por litro) é numericamente equivalente a partes por bilhão (ppb) por massa.
A concentração também pode ser definida para variáveis não medidas em
unidades de massa. Por exemplo, bactérias são freqüentemente medidas como um
número (e.x. número mais provável de organismos ou NMP) por unidade de volume.
18
O impacto de poluentes no corpo hídrico pode ser influenciado tanto pela
concentração quanto pela carga. A carga tanto pode tanto significar a massa total M em
um volume V de água:
M = C V
(1.3)
ou a taxa de fluxo de massa
L
(massa/tempo) na água escoando com a vazão
Q
(volume/tempo):
L = C Q
(1.4)
1.4.2 Primeira Carga de Lavagem ou First-Flush
Intensidade e duração da tempestade podem ter um impacto marcante no tipo e
quantidade de poluentes presentes no escoamento superficial. Resultados de pesquisas
conduzidas na década de 1970 concluíram que as concentrações de poluentes tendem a
ser muito mais alta no início da tempestade quando comparadas com o meio ou o final.
Estes estudos concluíram que os estoques de poluentes acumulados nas superfícies
pavimentadas eram rapidamente lavados durante a primeira parte da tempestade, e
conforme a tempestade continuava os poluentes disponíveis para lavagem eram
esgotados e as concentrações diminuíam.
Um dos fenômenos discutidos, quando se trata de prever polutogramas, é a
ocorrência da chamada carga de lavagem (em inglês, “first flush”). A explicação mais
comum é a de que se trata da remoção inicial do material acumulado no período entre
chuvas, quer sobre o solo, quer no interior das canalizações, significando que o pico do
polutograma ocorreria, em muitos casos, antes do pico das vazões. O fato desta carga de
lavagem às vezes ocorrer e outras não, pode estar relacionado com as perdas iniciais no
escoamento superficial. Dependendo da rugosidade e do estado de conservação do
pavimento, as perdas iniciais são maiores e possibilitam a retenção de uma parte dos
poluentes junto com a parcela de água assim acumulada. Dependendo também do
volume total escoado e da altura da lâmina formada sobre as superfícies urbanas, esta
perda será mais ou menos representativa. É mais freqüente observar-se o fenômeno da
carga de lavagem em bacias pequenas do que em bacias maiores, PORTO (1995).
A verificação local da ocorrência ou não da carga de lavagem torna-se
importante nos casos em que se pretende reter o escoamento superficial urbano em
bacias de detenção para o controle de carga poluidora a ser lançada no corpo receptor.
19
Caso a carga de lavagem se verifique, grande parte da carga poluidora estará contida no
volume inicial escoado.
Muitos estudos subseqüentes nas décadas de 80 e 90 confirmaram este
fenômeno de “first-flush” (FF) e ampliaram a teoria para incluir a regra da “half-inch”.
Essencialmente, esta regra afirma que 90% dos poluentes são transportados durante a
passagem da primeira meia-polegada de escoamento superficial (efetivo). As figuras
1.3, 1.4 e 1.5 apresentam hidrogramas e polutogramas obtidos em rios urbanos na
cidade de São Paulo-SP. Cabe aqui ressaltar que existem diversas formas de se definir o
fenômeno de FF, merecendo um capítulo especial. As figuras 1.3 a 1.5 foram incluídas
com a finalidade de confirmar a existência do fenômeno de antecipação do pico do
polutograma em relação ao pico do hidrograma. Dependendo da metodologia escolhida,
o fenômeno de FF, pode ou não estar caracterizado.
Sólidos Suspensão Total
Vista Alegre-Tempo Úmido-Data:02/04/2001
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
15:00 16:00 17:00 17:30 18:00 18:30 19:00 19:30 20:00 21:00 22:00 23:00
Tempo (horas)
Vazão(m
3
/s)
0
200
400
600
800
1000
1200
Concentração (mg/L)
Hidrograma
Polutograma
Figura 1.3 - Fenômeno de First-Flush para Sólidos em Suspensão.
20
DBO
Vista Alegre-Tempo Úmido-Data:28/11/2002
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
16:00 16:30 16:15 17:00 17:30 17:35 17:45 18:00 18:30 19:00 19:30 20:00 20:30 21:00 21:30 22:00 22:30
Tempo (hora/min)
Vazão(m
3
/s)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Concentração(mg/L)
Hidrograma
Polutograma
Figura 1.4 - Fenômeno de First-Flush para DBO.
Nitrogênio Amoniacal
Vista Alegre-Tempo Úmido-Data:28/03/2002
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
16:00 16:30 16:45 17:00 17:15 17:30 18:00 18:30 19:00 19:30 20:00 20:30 21:00 21:30 22:00 22:30
Tempo (hora/min)
Vazão(m
3
/s)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Concentração(mg/L)
Hidrograma
Polutograma
Figura 1.5 - Fenômeno de First-Flush para Nitrogênio Amoniacal.
21
1.4.3 Concentração Média no Evento
Para uma avaliação global do impacto das cargas difusas, pode-se calcular o
fator Concentração Média no Evento - CME, que em um só valor resume a relação entre
a massa de poluente transportada pelo volume de água escoado. A CME tem sido
extensivamente utilizada como indicador do grau de impacto ambiental devido a QA do
ESMU. A CME, como o próprio nome diz, representa a concentração ponderada de um
poluente correspondente a um evento completo de enxurrada. Alguns estudos mostram
que a CME pode ser muito diferente de evento para evento e caso a caso. Geralmente,
acredita-se que o tipo de uso do solo da bacia seja o fator mais importante que causa a
diferença das CME’s.
A CME é estimada tanto de amostras compostas coletadas automaticamente ou
de uma série de amostras simples coletadas durante o evento da enxurrada. Quando a
CME é estimada a partir de amostras simples, cada amostra isolada, fisicamente,
representa uma concentração instantânea de poluentes dentro do evento, e a CME é
calculada a partir destes valores de concentração instantânea. Um método razoável de
cálculo é usar a média ponderada pela vazão destas concentrações instantâneas. Um
amostrador automático coleta uma grande quantidade ed amostras individuais,
constituindo uma série instantânea de amostras de concentração. A CME é igual ao
resultado da análise de uma simples, porém enorme amostra.
Matematicamente, a CME pode ser definida como a massa total do poluente
()
M
descarregado durante o evento dividida pelo volume total
()V
escoado durante a
enxurrada.
() ()
()
CtQtdt
M
CME C
V
Qtdt
== =
∫
∫
(1.5)
Na equação (1.5),
()Ct
é uma função temporal suave que representa a curva de
concentração do poluente (ordenadas no polutograma; M/L
3
, mg/l) e
()Qt
também é
uma função suave no tempo que representa a curva de vazões da enxurrada (ordenadas
do hidrograma; L
3
/T, l/s). Todavia, na prática, estima-se as integrais em (1.5) não pelas
funções
()Qt
e
()Ct
mais pelas medições experimentais de campo, isto é, a partir de
valores discretos. Assumindo-se que foram feitas medições de concentração e taxas de
descarga baseadas em igual incremento de tempo, a CME pode ser estimada por
22
ii
i
i
i
cq
CME
q
=
∑
∑
(1.6)
Do ponto de vista da aproximação da função contínua em (1.5), quanto mais
medições são feitas, mais precisa é a aproximação obtida pela expressão (1.6).
Como é evidenciada a partir da figura 1.6, a concentração instantânea durante a
enxurrada pode ser maior ou menor que CME, mas o uso da CME como uma
característica do evento substitui a real variação temporal de C versus t
em um evento
de enxurrada por um pulso de concentração constante tendo igual massa e duração do
evento verdadeiro. Isto garante apenas que as cargas do evento serão corretamente
representadas.
Figura 1.6 – Efeito do First-Flush na forma do polutograma e na curva de descargas
Assim como a concentração instantânea varia dentro da enxurrada, as CME
variam de tempestade para tempestade, como ilustrado na figura 1.7, e também de local
para local.
(c)
Descarga com C
(t)
constante
(d) Polutograma com
f
irst
f
lus
h
(e)
Descarga com first
f
lus
h
Q
Carga =
QxC
C
t
(a) Hidrógrafa
(b) Polutograma com
concentração constante
Carga
= QxC
C
t
t
t
t
23
Figura 1.7 – Variação dos polutogramas entre as tempestades e as respectivas CME
O estabelecimento da Concentração Média no Evento (CME) como parâmetro
indicador do potencial poluidor de cada evento de precipitação traz algumas vantagens
como (NOVOTNY, 1992):
•
as CME's exibem distribuição log-normal;
•
é um parâmetro conciso, representando um conjunto de dados muito variável;
•
a maior facilidade de comparação entre eventos e locais diferentes;
1.5 Polutograma Sintético
Assume-se, que a geração sintética de um polutograma possua importância
prática para o planejamento e dimensionamento de estruturas de controle de poluição,
semelhante àquela dada ao hidrograma sintético. A hidrógrafa sintética é aquela
desenvolvida com o uso mínimo de dados fluviais, uma situação muito comum na
prática. A hidrógrafa de um escoamento superficial é definida como uma expressão das
descargas superficiais com o passar do tempo. É uma expressão das características da
bacia hidrográfica que invariavelmente governam as relações entre as precipitações e o
escoamento resultante. Ela representa os efeitos integralizados do regime pluviométrico
e características da bacia, como área, forma, declividades, padrão de drenagem, uso do
solo, da morfologia fluvial e características hidráulicas de dispositivos especiais
construídos fora da calha principal. Alguns dos métodos mais comumente utilizados
C (mg/L)
Evento 1
CME(1)
Polutogramas
Tempo
CME(2)
CME(3)
Evento 2
Evento 3
24
são: racional, hidrógrafa do Soil Conservation Service, hidrógrafa unitária, Santa
Bárbara e hidrógrafa de tempo unitário discreto.
No capítulo 5, mostra-se em detalhes o passo necessário para a confecção de um
polutograma sintético. Estas curvas têm como finalidade substituir temporariamente os
polutogramas, que ainda não foram levantados. Isto somente é possível em uma fase
inicial de planejamento, pois é imperativo realizar campanhas intensivas de
monitoramento, para que se tenha um conhecimento do comportamento real de cada
bacia quanto ao processo de produção e lavagem dos diversos poluentes prioritários.
1.6 Justificativas do Presente Trabalho
Esta dissertação apresenta alguns tópicos relevantes sobre poluição difusa em
ambiente urbano, explorando duas vertentes de abordagem sobre estimativa e
modelagem das cargas poluidoras geradas pelas enxurradas. Dentro de uma visão
prática e objetiva buscaram-se exaustivamente modelos de aplicação direta, desde
aqueles mais simples (equação linear) até aqueles mais elaborados (conjunto de
regressões múltiplas), de forma a se ter um domínio destas técnicas, motivando
aplicações imediatas através de estudos de caso. Na segunda abordagem exploram-se
profundamente várias soluções numéricas da equação advecção-difusão, que tem sido
amplamente utilizada em modelos de transporte de poluentes nas diversas áreas da física
como em poluição atmosférica, águas subterrâneas, poluição de rio, lagos e estuários,
apenas para citar algumas aplicações.
Os dispositivos de controle como as bacias de detenção e os sistemas de
filtragem têm assumido um crescente papel de importância no gerenciamento integrado
de cheias urbanas. A função destes sistemas é interceptar e amortecer as flutuações das
concentrações e das cargas, promovendo equalizações e abatimentos.
Os modelos matemáticos de transporte, apresentados no capítulo 6, foram
construídos a partir do princípio físico da conservação da massa, de forma a representar
o movimento, decaimento, armazenamento e tratamento dos poluentes presentes nas
enxurradas e das águas residuais do período de estiagem, transportados nos sistemas de
drenagem naturais ou artificiais. A equação unidimensional transiente de conservação
de massa pode então ser simplificada ou adaptada para aplicação nos vários caminhos
percorridos, escrevendo-se apenas dos termos dominantes da equação governante.
25
O trabalho de MEDINAS et al. (1981a) apresenta uma conceituação unificada
para o sistema físico dos corpos receptores nos ambientes urbano e rural. Para cada tipo
especial de estrutura ou compartimento é feita uma abordagem teórica dos
comportamentos hidráulicos e bioquímicos governantes. Em um segundo artigo em
seqüência, MEDINAS et al. (1981b) exploram alguns aspectos práticos da metodologia
proposta. Eles enfatizam que para executar as simulações nas mais diversas condições é
importante possuir um modelo robusto e confiável para cada caso.
1.7 Estrutura do Trabalho
Sendo a principal preocupação das ações de controle de cheias urbanas a
atenuação dos volumes de água que escoam sobre a superfície da bacia de captação,
visando prevenir efeitos adversos, a importância do controle da qualidade da água deve
ser considerada. A qualidade das águas das enxurradas varia muito de uma bacia
hidrográfica para outra; todavia, é possível estimar grosseiramente as cargas de
poluentes produzidas, bastando que algumas características físicas, climáticas e
meteorológicas da bacia sejam conhecidas. A carga de poluentes é definida como a
massa de poluente que escoa por uma bacia em um determinado intervalo de tempo
multiplicado pela área da mesma. Esta carga de poluentes é de tal magnitude e
importância, que poderá causar impactos negativos na qualidade da água dos corpos
hídricos receptores, mesmo daqueles localizados longe da fonte geradora.
O texto da tese se desenvolve da seguinte forma:
No segundo capítulo, intitulado “Recursos Hídricos e Poluição”, são
apresentados os diversos usos da água no meio urbano e exemplos de sua importância e
necessidade de cuidados. Também neste capítulo alguns tópicos sobre poluição em
áreas urbanas são abordados, junto com as fontes de poluição e impactos ambientais
associados.
No terceiro capítulo, intitulado “Pesquisa Bibliográfica”, é feito um
levantamento de publicações, livros, artigos científicos, relatórios técnicos e demais
fontes de informação, que foram separados em dois grandes tópicos: Qualidade da água
e Fontes de poluição. Devido a enorme quantidade de referências, apenas parte do
material coletado foi transcrito ou referenciado;
26
No quarto capítulo, intitulado “Modelos Empíricos para Avaliação da Produção
de Poluentes durante Enxurradas”, após uma breve introdução é apresentada uma
revisão bibliográfica sobre diversos modelos e estudos em varias partes do mundo. O
próximo item detalha a caracterização dos poluentes através de relatos, sendo
enriquecido por inúmeras tabelas, contendo levantamentos de dados históricos das
principais fontes de poluição urbana e suas principais características físicas. A seguir
são apresentadas as relações fundamentais de fluxo, concentração e carga para o
fenômeno físico em si. A seguir são descritas algumas das metodologias existentes para
estimar a carga de poluentes. Na segunda parte desse capítulo são apresentados estudos
de casos para bacias urbanas e auto-estradas no estado do Rio de Janeiro, de forma a
demonstrar a facilidade de aplicação destes métodos de cálculo;
No quinto capítulo, intitulado “Geração Sintética de Polutogramas”, é
apresentada uma metodologia de geração sintética de um polutograma, a partir do
conhecimento prévio do hidrograma, da curva de massa M(V) e da CME.
No sexto capítulo, intitulado “Modelos Numéricos para Avaliação do Transporte
de Poluentes durante Enxurradas”, cujo primeiro terço apresentado às leis de
conservação de massa aplicada a sistemas hiperbólicos, chegando a equação da
advecção com coeficientes constantes e variáveis, a seguir a equação da difusão é
apresentada, e então os outros termos que compõem o modelo de transporte de
poluentes são introduzidos. Devido à importância dos modelos de transportes em águas
subterrâneas um item foi acrescido ao final desta conceituação. No segundo terço do
capítulo o Método das Diferenças Finitas MDF é rapidamente revisto, para então se
apresentar diversos esquemas clássicos existentes na literatura. No terço final do
capítulo o Método dos Volumes Finitos MVF é apresentado, dando continuidade aos
conceitos mostrados na primeira parte do capítulo. Após apresentar esquemas clássicos
escritos nesta formulação, o capítulo passa quase que integralmente ser conduzido pelos
modelos e abordagem de LEONARD para o volume de controle. Esquemas de alta
resolução, monotonicidade, limitador universal, limitador de fluxo, captura de choque e
discriminador de extremos locais são apresentados e explicados.
No sétimo capítulo, intitulado “Resultados dos Modelos Numéricos”, apresenta-
se resumidamente alguns critérios de precisão e estabilidade dos esquemas numéricos.
A seguir são mostrados os critérios de avaliação e desempenho dos algoritmos
numéricos implementados através de índices e por comparação com soluções analíticas
27
(quando existirem). Os resultados estão separados pelos métodos numéricos
empregados (Diferenças Finitas ou Volumes Finitos), pela equação diferencial
(advecção, advecção-difusão, com ou sem os termos de reação ou produção) e pelo
caráter transitório ou não do campo de velocidades existente no estirão fluvial ou na
galeria de drenagem.
No oitavo capítulo, são apresentadas as principais conclusões deste trabalho de
pesquisa e feitas algumas recomendações para trabalhos futuros.
Resumidamente, pode-se dizer que os principais objetivos deste trabalho são a
busca exaustiva de modelos matemáticos robustos, capazes de representar as etapas de
acumulação de poluentes, a geração sintética de um polutograma e por último a
propagação do polutograma pelo sistema de drenagem, sempre que possível utilizando o
mínimo de informações possíveis. Uma ênfase especial é dada na estruturação de um
modelo matemático computacional, baseado nos princípios de conservação da massa,
que permita a representação dos fenômenos de advecção, dispersão, decaimento,
produção, armazenamento e tratamento das águas poluídas geradas pelas enxurradas,
através dos diversos sistemas de drenagem natural ou construídas. O estado da arte é
atingido na fase referente à implementação de uma solução numérica monotônica
(positiva definida) da equação advecção-difusão, em um domínio unidimensional,
utilizando para tal as mais avançadas e modernas técnicas numéricas existentes na
literatura especializada. Os testes numéricos realizados foram os mais rigorosos
possíveis, correspondendo ao caso da advecção pura (Peclet infinito) de uma frente de
onda abrupta. A aprovação nestes testes confere confiabilidade ao modelo de transporte
de poluentes para propagar qualquer forma de distribuição inicial de polutograma
sintético ou uma frente de choque.
28
Capítulo 2 – Recursos Hídricos e Poluição
2.1 Introdução
Os atributos de cada evento hidrológico são resultado das condições
meteorológicas antecedentes, tipos de uso do solo, intensidade e duração das chuvas e
outras características físicas ou climáticas. Devido à característica de heterogeneidade
da tempestade e sua correspondente qualidade das águas do escoamento superficial, a
previsão dos efeitos acarretados nos corpos receptores, além de difícil, é feita de forma
grosseira na melhor das hipóteses. As águas pluviais freqüentemente acarretam
impactos ambientais aos ecossistemas aquáticos. Esses impactos ou fatores estressantes
incluem a demanda de oxigênio, sólidos em suspensão e dissolvidos, íons alterados,
nutrientes, organismos patogênicos, metais, compostos orgânicos naturais e sintéticos,
pH e temperatura. Esses impactos podem interagir em diversos graus de formas
antagônicas, aditivas ou por sinergia, afetando os organismos vivos.
Existem inúmeros problemas associados aos corpos d’água receptores de águas
pluviais, que interferem nos principais usos das águas do meio urbano. O aumento das
vazões cria problemas significativos no habitat dos rios urbanos pela variação na
geometria do canal, causando significativa erosão na calha fluvial e condições instáveis
do leito. As ocupações marginais afetam dramaticamente o habitat pela remoção das
matas ciliares e vegetações ribeirinhas e pelo lançamento de detritos orgânicos
diretamente sobre os rios e córregos. Outro impacto é o aumento do transporte de
sedimentos associados à falta de controle do material erodido em áreas em construção
ou com movimentação de terras. Esses sedimentos finos em sua maioria cobrem os
sedimentos fluviais, que normalmente são mais grosseiros, que são necessários à desova
dos peixes e assoreiam pequenas lagoas marginais. Outro fator estressante é a grande
quantidade de material flutuante e lixo que são levados pelo escoamento durante as
tempestades e se acumulam ao longo dos cursos d’água, CAMPOS (2000). Isto cria um
impacto visualmente desagradável e condições potencialmente perigosas, interferindo
com o uso dos recursos hídricos e no desempenho hidráulico do sistema de drenagem
pluvial.
A principal razão de se promover um tratamento das águas pluviais é a redução
dos impactos adversos sobre os corpos receptores.
29
2.2 Usos da Água
2.2.1 Importância dos Cursos d’Água
Pode-se considerar improvável que uma bacia hidrográfica completamente
desenvolvida e que não possua quaisquer dispositivos de controle de cheias, possa
usufruir os usos básicos dos recursos hídricos. Com o desenvolvimento plenamente
estabelecido e com a falta de controles adequados, é comum encontrar os cursos d’água
bastante degradados. Os usos biológicos também devem se constituir num objetivo, mas
com a compreensão que o ecossistema natural dos rios ser severamente modificado com
a urbanização ou atividades agrícolas. Certos controles básicos de cheias urbanas aliado
às proteções dos ambientes aquáticos podem possibilitar o aproveitamento adequado de
parte ou todo dos usos benéficos. Um planejamento cuidadoso e a utilização racional
das estruturas de controle de cheias são necessários para alcançar os objetivos básicos
na maioria das bacias hidrográficas. Recreação de contato, a pesca e abastecimento de
água não são considerados objetivos apropriados para as bacias altamente
desenvolvidas. Todavia, esses usos mais nobres poderiam ser possíveis em áreas
urbanas onde os corpos hídricos receptores são de grande porte e drenam grandes áreas
não urbanizadas e desenvolvidas.
Existem muitos exemplos a nível mundial onde a população local reconheceu o
valor adicionado pela estética dos rios ao paisagismo das cidades. Com esse tipo de
reconhecimento surge uma espécie de orgulho por essas águas nos córregos e um desejo
genuíno de melhorar as suas condições, BURTON e PITT (2002).
Exemplos de Atuação
Provavelmente, o exemplo mais famoso, nos EUA, dos benefícios econômicos
advindos pela harmonia proporcionada pelos cursos d’água, é a localidade de Riverwalk
em San Antonio, Texas (Figuras
2.1
a
2.3
). O passeio público de Riverwalk foi
planejado e construído décadas atrás, mas apenas recentemente teve seu pleno valor
reconhecido. Watcomm Creek, Bellingham, Washington (Figura
2.4
), Austin, Texas
(Figura
2.5
) e Denver, Colorado (Figuras
2.6
a
2.8
) são algumas das localidades dos
EUA que urbanizaram as áreas vizinhas aos córregos dentro da região central destas
cidades, BURTON e PITT (2002).
30
Figura 2.1 Seção original de Riverwalk Figura 2.2 Seção atual de Riverwalk
Figura 2.3 Controle de detritos em Riverwalk Figura 2.4 Ciclovia em Watcom Creek
31
Figura 2.5 Área de banho em Barton Springs Figura 2.6 Pista de corrida em Cherry
Creek
Figura 2.7 Pista de Cherry Creek Figura 2.8 Junção dos rios Cherry
Creek e Platte
GÖRANSSON (1998) também descreve o uso estético da drenagem nas áreas
urbanas na Suécia. A ênfase principal é dada à retenção das águas pluviais circulando na
drenagem superficial ao invés de direcioná-las rapidamente para os canais e condutos
subterrâneos. Pequenos canais naturalmente esculpidos pelas chuvas são utilizados para
conduzir as águas coletadas nos telhados para o sistema de drenagem. Alguns destes
canais são em forma de espiral, dando um efeito visual bastante interessante,
principalmente em áreas de pouca beleza urbanística. Algumas destas espirais são
formadas por áreas de infiltração e raramente são notadas durante a estação seca.
A prefeitura de Tóquio realizou um esforço concentrado para restaurar rios
urbanos de valor histórico que foram poluídos, aterrados ou tiveram os seus cursos
desviados por completo. FUJITA (1998) descreve como os moradores de Tóquio
32
desempenharam um papel relevante na revitalização de cursos d’água e canais: “Áreas
com fontes de água propiciam aos cidadãos um conforto e diversão, assim como um
lugar para observar a natureza e contemplar a paisagem”. Infelizmente, a urbanização
intensiva que tem ocorrido na cidade de Tóquio durante as últimas décadas tem
resultado na forte degradação dos cursos d’água, incluindo o total desaparecimento de
alguns córregos.
Em muitos locais implantados nos EUA, sistemas de tratamento utilizando bacias
de detenção alagadas são usados para aumentar o valor imobiliário das propriedades
localizadas nas vizinhanças. As figuras
2.9a
e
2.9b
mostram dois exemplos desse tipo
de intervenção (em Austin, TX e no Lago Oswego, OR, respectivamente). Muitas
pessoas gostam de viver perto das bacias de tratamento do tipo alagadas, sendo que o
valor de suas propriedades é tipicamente maior do que aquelas que estão mais afastadas,
MARSALEK et al. (1982). Esses autores também fazem indicação que os pequenos
sistemas de alagados estão menos sujeitos a contestações judiciais que as grandes bacias
de detenção. DEBO e RUBY (1982) fizeram um resumo a partir de um levantamento
conduzido na cidade de Atlanta, GA, com moradores da proximidade de um sistema de
15 pequenas bacias de detenção e descobriram que praticamente a metade dos
entrevistados, não fazia idéia da existência destes dispositivos. WIEGAND et al. (1986)
descobriram que as wetlands, quando adequadamente operadas, são as preferidas por
moradores quando comparadas com outras práticas de controle de cheias urbanas.
Figura 2.9(a) - Propaganda dos benefícios do sistema de tratamento (Austin,Texas)
33
Figura 2.9(b) - Valorização dos imóveis (Lake Oswego, Oregon).
A figura 2.10 mostra uma vista parcial da Lagoa Rodrigo de Freitas-RJ, uma das
áreas mais valorizadas na cidade. Este corpo hídrico recebe toda a carga de poluição
durante as enxurrada sem qualquer tratamento, apesar de ser o maior espaço em termos
diversidades de lazer e recreação da zona sul carioca.
Figura 2.10 – Lagoa Rodrigo de Freitas – RJ (vista da sede náutica do CRVG).
34
2.2.2 Prevenção de Cheias
Vários problemas são causados pelo incremento da vazão de pico, que está
intimamente associado ao aumento das taxas de escoamento superficial e ao decréscimo
do tempo de concentração da bacia de drenagem. Devido às altas vazões em trânsito,
durante a época de águas altas, é comum os rios urbanos apresentarem vazões menores
que as vazões mínimas históricas durante o período de estiagem, devido a menor
recarga do lençol freático. As obstruções e pedregulhos naturais que existiam
originalmente nos rios e canais, que ajudam na manutenção da vida aquática,
tipicamente prejudicam o sistema de drenagem, e por isso são freqüentemente
removidos para melhorar a condutância dos canais e vias. Outros conflitos comuns estão
associados à construção de canais de drenagem prismáticos (Figura
2.11
), enquanto que
o ecossistema aquático necessita de uma diversidade de características de canais e
reentrâncias. Este conflito deve ser resolvido através de um planejamento integrado,
incluindo controle das fontes e controles de drenagem que impliquem efeitos mínimos
na vida aquática. A solução ótima deve fornecer os benefícios de controle de cheias e
drenagem eficientes, enquanto preserva um habitat biológico adequado, BURTON e
PITT (2002).
Figura 2.11 - Canalizações na bacia do rio Joana-RJ
Rio dos Urubus
Rio Andaraí
Rio Joana (Maracanã)
Degradação do rio Joana
35
2.2.3 Usos Recreativos
Para esse uso em especial, a preocupação básica é com os odores, lixo, aparência
(estética), acessos (pontes e caminhos) e controles de níveis. A segurança é um item
importante em áreas urbanas onde crianças freqüentemente brincam perto dos corpos
d’água, (Figuras 2.12 e 2.13). A boa estabilidade dos taludes e o controle de flutuação
rápida de níveis são de vital importância. Excessivo crescimento de algas,
acompanhados de odores e péssimo visual, também podem ocorrer ao longo de rios
impactados, e cursos d’água e canais urbanos (Figura 2.14). Alguns controles simples
foram instalados em determinadas áreas para reduzir o impacto estético (Figura 2.15).
Esse último tipo de dispositivo poderia ter evitado impactos visuais, além de outros,
como os apresentados na praia de São Conrado, RJ (Figura 2.16 a 2.17), CAMPOS
(2000).
Figura 2.12 - Crianças brincando em um córrego urbano
Figura 2.13 - Praia de rio na região metropolitana em Navesink, NJ
36
Figura 2.14 - Algas e materiais Flutuantes, Orlando Figura 2.15 - Dispositivo de controle
Figura 2.17 - Lixo se acumula na praia em
São Conrado.
Figuras 2.16- A chuva forte causou ressaca
e levou sujeira à praia.
37
2.2.4 Usos Biológicos
Este uso também é importante, sendo definido de diferentes formas por diversos
autores. É pouco razoável se esperar que as condições naturais dos corpos receptores
sejam uma realidade em rios urbanizados ou com bacias ocupadas pela agricultura, onde
os impactos ambientais são inevitáveis. Busca-se uma diversidade da vida aquática a
níveis aceitáveis e a ausência de episódios de mortandade de peixes. Espécies tidas
como sensíveis são prováveis vítimas em córregos urbanizados e por isso necessitam de
atenção especial. Os impactos mais importantes que atuam sobre a vida aquática são do
tipo: destruição do habitat (incluindo desestabilização dos canais e das margens,
sedimentação e perda de áreas de refúgio e de vegetação), flutuação das vazões,
contaminação das águas no período de estiagem, sedimentos contaminados e possível
degradação da qualidade da água na época das cheias. A diminuição da recarga dos
lençóis subterrâneos e aumento da vazão de pico durante as tempestades são associados
com o decréscimo de vazões no período de estiagem. A vida aquática sofre um estresse
adicional durante o período de estiagem, devido ao acréscimo de temperatura e a
simples diminuição da mobilidade e oportunidades de alimentação, BURTON e PITT
(2002).
2.2.5 Usos Relacionados à Saúde do Homem
Em boa parte do país, os escoamentos provindos de áreas urbanas e agricultáveis
drenam suas águas para mananciais de abastecimento público, áreas de recreação e lazer
ou de pesca. Nesses casos, uma preocupação esta especialmente relacionada aos
produtos tóxicos e organismos patogênicos. Estações de tratamento para abastecimento
público são freqüentemente afetadas por águas residuárias lançadas nas áreas drenadas
pelos seus mananciais e por essa razão são projetadas para reduzir e monitorar os
constituintes mais preocupantes. À medida que as descargas de montante aumentam, o
tratamento se torna mais difícil e oneroso, aumentando também a probabilidade de um
surto de doenças com sérias conseqüências, BURTON e PITT (2002). Praias e regiões
de banho, na região urbana, tem apresentado uma maior freqüência de alertas de
proibição de uso, devido às altas contagens de bactérias após eventos de chuva. Apesar
da pesca em áreas urbanas e de agricultura intensiva serem práticas comuns (Figuras
2.18
), muitas municipalidades estão colocando avisos de advertência para desencorajar
esta prática (Figura
2.19
)
38
Figura 2.18 Pesca na zona urbana no rio Neva, St. Petersburgo, Rússia
Figura 2.19 Cartaz de advertência em Village Creek, Alabama.
39
Capítulo 3 – Pesquisa Bibliográfica
3.1 Qualidade da Água
3.1.1 Generalidades
Um estudo da qualidade da água realizado por CHUI (1997) em duas bacias
hidrográficas urbanas, adjacentes à cidade de Singapura utilizou o monitoramento
contínuo das precipitações e vazões, e amostragem sistemática do ESMU. Foram
derivadas correlações entre a CME para sólidos em suspensão (SS) e a demanda
química de oxigênio (DQO) com o período seco antecedente e as características da
precipitação.
VANBUREN et al. (1997) conduziram um estudo durante três anos avaliando as
descargas de uma área de estacionamento sobre uma lagoa no próprio leito do rio e
concluiram que a melhor distribuição estatística entre o escoamento do lote de
estacionamento e o escoamento de base do córrego seria a distribuição log-normal,
enquanto se mostrou pouco adequada para o evento de vazão e o escoamento de base da
lagoa. Esses autores aplicaram uma distribuição do tipo normal para os constituintes
solúveis (sólidos, solúveis, cloretos, sulfatos e DQO) e a vazão de saída da lagoa.
MUNN e GRUBER (1997) estudaram as relações entre o uso da terra e
compostos organoclorados encontrados nos sedimentos fluviais e nos peixes no platô
central Columbia a leste de Washington e do Idaho e reportaram que a maioria dos
compostos organoclorados continua presente no meio ambiente.
LINE et al. (1997), desenvolveram um programa de amostragem no estado da
Carolinia do Norte que coletou a primeira descarga em 20 diferentes localidades,
cobrindo dez diferentes grupos de industrias. Os compostos Zn e Cu foram os metais
mais comuns encontrados enquanto outros poluentes incluindo orgânicos voláteis e
semivoláteis, pesticidas e poluentes convencionais, especialmente, nutrientes e sólidos,
apresentaram altas concentrações quando quantidades significativas de resíduos
biológicos ou solo exposto estão presentes. MUSCARA et al. (1997) reportou poluentes
típicos, isto é, Fe, Zn, Níquel (Ni), nitrogênio-nitrato e nitrogênio-nitrito, produzidos
numa área de construção de uma auto-estrada nas imediações de Houston, Texas.
40
THOMSON et al. (1997a) examinaram as relações entre parâmetros substitutos
(SS, TSD, total de sólidos voláteis e carbono orgânico total) e outros constituintes de
interesse (ex. metais, espécies iônicas e nutrientes) utilizando o banco de dados de
amostras coletadas nas auto-estradas de Minnesota para análise de regressão.
Encontraram que as relações dos constituintes metais e nutrientes eram limitadas às
áreas urbanas com condições ambientais similares. De posse dos resultados de
monitoramento e de um modelo estatístico, THOMSON et al. (1997b) concluiram que
aproximadamente 15-20 amostras são necessárias para fornecer uma boa estimativa da
CME para SS, TSD, COT e Zn.
3.1.2 Lixo
ARMITAGE e ROOSEBOOM (2000a) demonstraram que uma grande
quantidade é transportada nos escoamentos urbanos na África do Sul e que a quantidade
de lixo produzida estava relacionada ao uso da terra, cobertura vegetal, nível de limpeza
das ruas e ao tipo de chuva. Os benefícios advindos da redução foram documentados
utilizando os seus trabalhos na Austrália e na Nova Zelândia, e apresentaram equações
de projeto para o dimensionamento de coletores (alçapões) de lixo e detritos grosseiros
ARMITAGE e ROOSEBOOM (2000b). NEWMAN et al. (2000a) caracterizaram os
resíduos flutuantes carreados pelo escoamento superficial urbano. Os resultados desse
estudo devem ser utilizados para o desenvolvimento de modelos de transporte para
prever o movimento e o controle destes materiais flutuantes.
A principal fonte de lixo no canal de Bristol no Reino Unido foi atribuída como
de origem fluvial, derivada do sistema de esgotamento sanitário combinado
(WILLIAMS e SIMMONS, 1997a). Segundo WILLIAMS e SIMMONS (1997b), a
limpeza das margens dos rios fornece uma informação valiosa sobre a acumulação e
movimentação do lixo, mostrando uma correlação nítida entre os eventos de cheias e o
movimento dos lixos. Neste mesmo trabalho, mostra-se que o lixo e os detritos grossos
têm uma produção crescente durante os eventos de cheias.
3.1.3 Nutrientes
BALL e ABUSTAN (2000) investigaram a exportação de fósforo de uma bacia
urbana em Sidney, New South Wales, Austrália e derivaram uma relação entre sólidos
inorgânico em suspensão e o fósforo particulado para essa bacia de captação. Esses
41
resultados objetivam sua aplicação na previsão do desempenho de bacias de detenção ou
de wetlands para o tratamento do escoamento urbano.
Cento e sessenta e dois testes de erosão induzida de solo foram conduzidos por
LIU et al. (1999), para auxiliar a previsão da perda de solo e o subseqüente aumento na
produção de sólidos em suspensão total. Esses autores concluiram que a perda de solo
era dependente da intensidade das precipitações, da tensão cisalhante do solo e
resistência à compressão.
JAMES e GRACIE (1999), após seis anos de monitoramento das vazões e QA,
concluíram que o constituinte nitrato parece ser o poluente primário de origem agrícola
como de maior preocupação em Walnut Creek, o estado da Califórnia. Apontaram que
as práticas de gestão para reduzir a lixiviação de NO
3
dos campos e o aumento da
remoção nos sistemas urbanos deveriam receber uma consideração prioritária.
3.1.4 Microorganismos
Como parte de um exercício de modelagem para a previsão de retirada da
restrição de fechamento para banho de mar após um evento de tempestade, JIN et al.
(2000) caracterizaram o movimento de organismos indicadores (E. coli, entercocci e
coliformes fecais), lançados a partir de emissários de drenagem pluvial no Lago
Ponchartrain na praia de Lincoln no estado de Nova Orleans. Eles encontraram que,
como esperado, um rápido decréscimo da concentração de organismos na região
próxima do ponto de lançamento e que para o intervalo de dois ou três dias após o
bombeamento, a concentração de organismos indicadores na praia de Lincoln ficou
abaixo dos padrões sanitários estabelecidos por lei para o uso de contato direto para o
banho. Os dados coletados por esses autores mostraram que E. coli foi o melhor
organismo indicador para os ambientes aquáticos de água doce, enquanto enterococci
mostrou-se mais adequado para ambientes marinhos.
FRANCY et al. (2000) relacionaram as fontes potenciais de microorganismos
(coliformes totais, E. coli e Clostridium perfringens) aos corpos hídricos. Em geral
poucos organismos foram encontrados nas águas subterrâneas. Os autores descobriram
que o tipo de uso da terra apresentou a maior influência na concentração de indicadores
bacteriológicos nas correntes, enquanto a presença de sistemas sépticos e poços
profundos possuem a maior influência na concentração de bactéria em águas
subterrâneas.
42
SKERRET e HOLLAND (2000) descobriram que a ocorrência de
Crystoporidium oocyst em áreas da cidade de Dublin, Irlanda, aumentavam após
tempestades severas. Seus resultados também mostraram que o Crystoporidium oocyst
estava amplamente disperso nos ambientes aquáticos nas áreas de Dublin.
BORST e SELVAKUMAR (2003) investigaram os efeitos de adição e
agitamento de compostos químicos antes da análise da concentração de
microorganismos presentes no escoamento urbano de um único evento de tempestade de
verão para determinar se os organismos associados às partículas ou escondidos nelas
possuem um papel significativo. O método padrão de filtração por membrana foi
utilizado para a contagem dos microorganismos. Todos os microorganismos, com
exceção do Escherichia coli, mostraram um aumento na concentração medida após a
mistura da amostra a 22000 rpm com ou sem a adição de reagentes químicos. A não ser
o streptococci fecal, a concentração de organismos decresceram com a adição da
solução de Camper tanto nas amostras misturadas e não misturadas antes das análises.
Os resultados não mostraram correlações entre o aumento das concentrações de
coliforme total, coliforme fecal e streptococcus fecal com o tamanho médio das
partículas.
3.1.5 Toxicidade
PARKER et al. (2000) analisaram os sedimentos encontrados no escoamento
superficial urbano na área metropolitana de Phoenix, Arizona. Eles descobriram que o
conteúdo inorgânico do sedimento é similar com aqueles apresentados nos solos não
impactados pelo escoamento urbano. A concentração de metais (Cd, Cu, Pb e Zn) obtida
foi elevada, todavia abaixo dos níveis que necessitem de remediação. As concentrações
de Arsênico encontradas também estavam altas, todavia verificou-se que a fonte era
geológica e não antropogênica. Clordane, DDT, dieldrin, toxaphene e PCBs foram
encontrados nos sedimentos em todas as estações de amostragem. A toxicidade do
sedimento foi detectada, mas não pode ser explicada baseada nos resultados químicos.
LOVE e WOOLLEY (1999) encontraram que a toxicidade do escoamento
urbano estava muito mais alta do que o do esgoto tratado. O projeto chamado Concord,
financiado pela EPA, examinou a necessidade de tratamento do escoamento para o
reuso. O escoamento urbano da região de serrarias na Columbia Britânica foi
monitorado quanto à toxicidade por BAILEY et al. (1999), que encontrou em 42 de 58
43
amostras toxicidade a filhotes de truta arco-íris. Cátions bivalentes, especialmente
zinco, foram à fonte mais comum de toxicidade.
Um estudo de toxicidade do escoamento urbano da baía de Santa Mônica,
Califórnia, contemplou a análise de amostras de águas superficiais e amostras de
sedimentos que se seguiram a quatro eventos de cheias significativos. A toxicidade
esteve presente nas amostras de água na zona costeira e era proporcionais a
concentração no escoamento na pluma e as mudanças nas características do sedimento,
tais como granulométrica e carbono orgânico total, também ficaram evidentes, BAY et
al. (1998).
3.1.6 Metais Pesados
WILLIAMSON e MORRISEY (2000) modelaram o aumento de metais pesados
(Pb, Zn e Cu) em estuários urbanos devido à contaminação do escoamento superficial,
sendo o modelo baseado no comportamento dos metais no escoamento em si e durante o
transporte no estuário.
O escoamento superficial urbano foi alvo de estudo por BATISTA NETO et al.
(2000) como fonte potencial das concentrações de metais (Pb, Zn, Ni, Cu e Cr)
encontrados no levantamento de Jurujuba localizado no sudeste Brasileiro. Analise de
amostras de sedimentos indicou um aumento na concentração de metais ocorreu na
época em que uma rápida urbanização teve início na bacia hidrográfica.
BARBOSA e HVITVED-JACOBSEN (1999) examinaram os metais pesados no
escoamento de auto-estradas em Portugal. As concentrações de Cd e Cr usualmente
ficaram abaixo do limite de detecção (1µg/L), os níveis de cobre ficaram entre 1 e 54
µg/L, chumbo entre 1 e 200 µg/L e zinco entre 50 e 1460 µg/L. A redução do valor de
pH provocou o aumento da desorção dos valores retido de Zn, Cu e Pb contidas no solo
das estruturas de barragens dos reservatórios de tratamento destas águas.
Um estudo conduzido por SANSALONE e BUCHBERGER (1997) analisou o
escoamento urbano de cinco localidades de uma auto-estrada de alto tráfego em
Cincinnati, Ohio. Eles descobriram que a concentração média do evento (EMC) de Zn,
Cd e Cu excederam os padrões de qualidade de água para lançamento. Além disso,
notou-se que os constituintes Zn, Cd e Cu estão principalmente na forma dissolvida
44
enquanto os outros metais, isto é, Pb, Fe e Alumínio estão principalmente aderidos às
partículas.
3.1.7 Orgânicos Tóxicos
SHINYA et al. (2000) investigaram a concentração de metais e hidrocarbonetos
aromáticos policíclicos, PAHs, no escoamento oriundo de quatro sistemas de drenagem
urbano-rodoviária. Os resultados mostraram o fenômeno de primeira descarga (“first
flush”) tanto para os metais e para PAHs. A maioria dos metais estava aderida às
partículas, assim como as PAHs de maior peso molecular. Fenantreno, fluoranteno e
pireno contabilizaram cerca de 50% do total quantificado de PAH em cada amostra.
SMITH et al. (2000a) analisaram PAHs no escoamento de quatro localidades em
áreas urbanas: um posto de gasolina, uma rampa de acesso de uma rodovia e em dois
estacionamentos de alto e baixo volumes de tráfego. O local do posto de gasolina
produziu o mais alto valor da carga total de PAH (2.24g/ano/m
2
), seguido pelo
estacionamento de alto volume de tráfego (0.0556g/ano/m
2
), a rampa (0.052g/ano/m
2
) e
o estacionamento de baixo tráfego (0.0323g/ano/m
2
). As concentrações de PAHs
normalmente se apresentaram maiores durante a primeira descarga do escoamento
superficial e rapidamente decairam com o passar do tempo.
As variações sazonais de herbicidas (diuron e simazine) nos escoamentos
urbanos foram examinados por REVITT et al. (1999). A concentração de herbicidas foi
maior durante os eventos chuvosos, com o máximo nível registrado de diuron com
238µg/L e de simazine com 2.2 µg/L. O valor de extremo máximo ocorreu durante o
evento chuvoso, que se seguiu logo após a aplicação do herbicida. Durante este evento,
mais de 45% do volume aplicado de diuron foi perdido para o escoamento.
LOGANATHAN et al. (1997) avaliaram as fontes de bifenois policlorinados
(PCB) em CSO lançado no rio Buffalo, N.Y. analisando o esgotamento sanitário e
combinado, as deposições atmosférica seca e úmida e amostras de poeiras das ruas dos
coletores do distrito da rua Babcock. A composição congênere (do mesmo tipo) do PCB
sugeriu que a poeira contaminada da rua é uma das fontes potenciais de PCB no CSO e
no rio Buffalo.
45
3.1.8 Granulometria e Deposição de Partículas
GROUT et al. (1999) investigaram a composição e morfologia de materiais
coloidais que entram nos cursos d’água urbanos (Brays Bayou, Houston, Texas),
durante um evento chuvoso. Foi realizada uma análise do carbono orgânico, Si, Al, Fe,
Cr, Cu, Mn, Zn, Cd, Mg e Ca sobre uma fração de material que passou no filtro de 0.45
µm. Esta fração, tradicionalmente definida como “dissolvida”, foi ainda mais fracionada
por ultracentrifugação nas frações coloidal e dissolvida.
ANDRAL et al. (1999) analisaram a granulometria e velocidade de decantação
das partículas de amostras de escoamento urbano de oito eventos chuvosos da auto-
estrada A9 na região de Kerault, França. Os autores concluíram que para tratar
eficientemente o escoamento as partículas menores que 50 µm em diâmetro (que
representam aproximadamente 3/4 das partículas analisadas, em peso) devem ser
capturadas. O tamanho médio das partículas das amostras analisadas ficou em torno de
15 µm. A velocidade de queda destas partículas também foi estudada. As velocidades
médias de queda das partículas menores que 50 µm variaram na faixa de 2.5 a 3.3m/h,
enquanto as partículas maiores contidas na faixa de 50 a 100µm em diâmetro
apresentaram velocidades de queda variando de 5.7 a 13 m/h.
KRISHNAPPAN et al. (1999) examinaram a distribuição granulométrica dos
sólidos em suspensão em um reservatório de detenção alagado. Eles utilizaram um
equipamento submersível a laser para analisar o tamanho das partículas, que possibilitou
examinar suas características sem perturbar a amostra. Eles encontraram que os sólidos
em suspensão eram em sua maior parte constituídos de flocos, com tamanho máximo
variando de 30µm (inverno) a 212µm (verão). Concluíram que os flocos de tamanho
entre 5 a 15µm devem depositar mais rápido que tanto as partículas primárias menores
de densidade maior e que flocos um tanto maior de densidade mais baixa. Os flocos
maiores apresentaram-se mais suscetíveis a uma quebra pela ação da turbulência.
CHARACKIS e WIESNER (1997) caracterizaram a qualidade da água e a
distribuição granulométrica do escoamento urbano de dois eventos chuvosos, que
indicaram relações potenciais entre o par zinco/carbono orgânico e ferro/macrocolóides
(0.45µm-20µm). Os resultados também indicaram que a concentração de no número
iônico das partículas, carbono orgânico, sólidos em suspensão, Fe e Zn aumentou
46
durante as chuvas mas não mostrou qualquer evidência do efeito de primeira descarga
(“first flush”).
As características dos sólidos sedimentáveis são muito importantes no projeto de
dispositivos de CSO e estruturas de controle de sedimentação de escoamentos urbanos.
PISANO (1996) apresenta uma coletânea de mais de 15 anos de dados obtidos nos
Estados Unidos, separados por tipo de sistema de esgotamento.
3.1.9 Óleos e Graxas
Estudos sobre o lançamento de escoamentos contendo óleos e graxas em áreas
da Baía de São Francisco, mostraram que freqüentemente a concentração excedia de
forma dramática valores na faixa 10-15 mg/l, que são os níveis tipicamente permitidos
para descargas de fontes pontuais (STENSTROM et al.;1982, 1984). A carga total de
fontes não-pontuais de óleos e graxas lançados na baía foi estimada compreendida na
faixa entre 5 e 10 milhões de libras por ano, para chuvas médias, comparadas com cerca
de 11 a 15 milhões de libras por ano descarregas de fontes pontuais (SILVERMAN et
al., 1985).
SILVERMAN e STENSTROM (1982a) estudaram dispositivos especiais para a
dispersão e emissários submarinos para mitigar os efeitos de óleos e graxas dos
escoamentos de enxurradas. SILVERMAN e STENSTROM (1982b) estudaram o uso
de cinturões verdes, principalmente em estacionamentos, para controlar os efeitos de
óleos e graxas dos escoamentos superficiais.
3.2 Fontes de Poluição
3.2.1 Gerais
Os hidrólogos já sabem há algum tempo que o escoamento superficial ocorre
como resultado tanto do excesso de saturação e de infiltração em solos contendo fontes
distribuídas de poluentes. As áreas que apresentam fontes distribuídas devem ser
identificadas previamente aos projetos regionais de controle de qualidade da água,
ENDRENY e WOOD (1999).
IATROU et al. (1996) descreveram os resultados de amostras de água coletadas
no sistema de drenagem de New Orleans. Os locais escolhidos para amostragem
47
representam áreas residenciais, comerciais e industriais. SAKAI et al. (1996) mediram
as características do escoamento urbano provindo de ruas e superfícies de telhados e
encontrou a razão DQO
MN
: T-N na faixa de 3:1 para o caso de telhados e na faixa de 7:1
para o escoamento das ruas. A maioria dos componentes orgânicos e T-P no escoamento
das ruas são insolúveis e contem nitrogênio solúvel, que pode ter vindo da contribuição
da poluição atmosférica.
NOWAKOSKA-BLASZEZYK et al. (1996) estudaram as fontes de poluentes
existente no período chuvoso na Polônia. Encontraram que o escoamento urbano de
áreas de estacionamento e ruas possuiam as maiores concentrações de SS, DQO, DBO
5
e P
b
, enquanto que o fósforo veio na sua maioria de escoamentos de áreas paisagísticas.
GROMAIRE-MERTZ et al. (1999) coletaram o escoamento urbano de 4
telhados, 3 pátios e 6 ruas em uma bacia experimental no centro de Paris, França, e
analisaram as amostras para SS, SSV, DQO, DBO
5
, hidrocarbonetos e metais pesados
tanto na fração dissolvida como na particulada. O escoamento das ruas mostrou altas
cargas de SS, DQO e hidrocarbonetos e o escoamento dos telhados apresentou altas
concentrações de metais pesados.
O escoamento urbano é um dos principais processos no qual os radionuclideos
depositados na superfície do ambiente migram tanto na forma particulada quanto
dissolvida. AMANO et al. (1999) concentraram-se na capacidade de transferência dos
radionuclídeos de vida longa no incidente de Chernobyl, gerados na superfície dos solos
e transportados para os rios na forma dissolvida.
O escoamento urbano da área do pátio de manobras e circulação do Porto de
Tauranga, Ilha Norte, Nova Zelândia, mostrou que suas águas contêm concentrações
significativas de resina ácida (ácido dehidroabético), TIAN et al. 1998. Amostras de
sedimentos marinhos foram coletadas na região adjacente aos pátios, sendo analisadas
para determinar a extensão dos depósitos da resina ácida. A concentração de parâmetros
convencionais, isto é, DBO, DQO e SS, e 123 poluentes prioritários foram coletados e
analisados do escoamento superficial, não tendo achado níveis alarmantes. Apenas cerca
de 1-13% de DQO era biodegradável e da mesma forma a concentração de SS,
sugerindo que o controle de SS diminuiria a DQO também, DE HOOP et al. (1998)
48
3.2.2 Atmosférica
Em um estudo da influência da deposição atmosférica sobre a concentração de
mercúrio, cádmio e PCB em escoamentos urbanos, ATASI et al. (2000) encontraram
que a deposição atmosférica era a fonte primária destes compostos nas águas
superficiais por eles coletadas. Os autores argumentam que a contribuição da deposição
atmosférica deve ser levada em conta tanto como fonte de poluentes, mas também no
planejamento de controle de poluição.
As deposições atmosféricas, contaminadas em várias gradações, podem ser uma
fonte significativa de fósforo transferida ao sistema aquático do Sul da Florida. Baseado
em análise de dados de 115 estações de monitoramento, um valor de corte, utilizado
para controle de qualidade, de 130 Fg/L foi determinado (AHN, 1999).
ATASI et al. (1999) utilizaram equipamentos altamente especializados e
metodologia analítica ultralimpa para quantificar a concentração ou os fluxos de
mercúrio, cádmio e PCB no ar ambiental, na precipitação, escoamento superficial,
esgoto sanitário e esgotos tratados na cidade de Detroit, Michigan. A deposição
atmosférica foi apontada como a fonte primária das massas de Cd, Hg e PCB, no
escoamento urbano das diversas áreas monitoradas. SHIBA et al. (1999) também
investigaram o papel da deposição atmosférica como fonte de poluentes dos
escoamentos urbanos. Eles encontraram que as substâncias químicas presentes na
precipitação constituíam uma importante fonte de poluentes.
Os resultados do monitoramento de dez bacias hidrográficas indicaram que o
Fósforo orgânico e Carbono se correlacionaram à concentração de partículas em
suspensão, que difere de bacia para bacia. Estimativas recentes também sugerem que
40% da carga de nitrogênio (N) provindo da bacia de captação e lançado na baía de
Chesapeake tem origem na deposição atmosférica, 33% de resíduos de criação de
animais e 27% da aplicação de fertilizantes, JORDAN et al. (1997).
TIMPLE (1999) descreve que o objetivo de seu projeto é contribuir para o
conhecimento das relações e influências da deposição atmosférica na qualidade das
águas superficiais, principalmente a carga de nitrogênio. Segundo o autor, o projeto
possui dois objetivos principais a saber: estimar a carga total de nitrogênio no
escoamento devido à deposição atmosférica versus outras fontes provenientes da área de
49
captação urbana/residencial da bacia hidrográfica da Baía de Tampa na Flórida e em
segundo lugar estimar as taxas de retenção de nitrogênio. A amostragem das águas de
duas bacias hidrográficas urbanas residências utilizou equipamento de coleta
automática. Estes dispositivos permitiram a determinação das fontes distribuídas de
nitrogênio, aplicando-se a elas as técnicas padrão de amostras compostas. A
amostragem da deposição atmosférica seca e úmida localizou-se nas redondezas da
estação ponte Gandy, permitindo a quantificação das entradas correspondentes a essas
fontes. O estudo concluiu que cerca de 28% das fontes difusas de nitrogênio estavam
diretamente atribuídas à deposição úmida atmosférica, sendo que a restante proveniente
da bacia hidrográfica. A contribuição total da deposição atmosférica para a baía via
descargas de fontes distribuídas é comparativamente maior, mas ocorre através de
processos indiretos e que não puderam ser completamente quantificadas durante o
estudo.
3.2.3 Telhados e Coberturas
ZOBRIST et al. (2000) examinaram os potenciais efeitos do escoamento de
telhados no sistema de drenagem urbana de três diferentes tipos de coberturas: telhado
inclinado de barro, telhado inclinado de poliester e um telhado horizontal de pedra. Os
escoamentos dos dois telhados inclinados apresentaram uma alta concentração durante o
“first flush” com um rápido declínio para níveis mais baixos. O telhado horizontal de
pedra apresentou baixas concentrações muito devido à permanência dos poluentes
estagnados nas poças, sendo que as pedras atuaram como um reservatório de detenção.
A carga de poluentes ficou semelhante à deposição atmosférica, com exceção do cobre
proveniente da corrosão dos drenos (taxa em cerca de 5g/m
2
/ano).
FOERSTER (1999) reportou estudos que investigaram as fontes de poluentes do
tipo telhados e coberturas. Amostras do escoamento foram tiradas de um sistema de
telhados experimentais contendo cinco diferentes tipos de material de cobertura e de
telhados residenciais de cinco diferentes localizações em Bayreuth, Alemanha.
Encontrou-se que as fontes locais (PAH de sistemas de arrefecimento), as dissoluções
de componentes metálicos do sistema de telhados e a poluição do ar existente no
ambiente foram as principais fontes da poluição. Eles encontraram que o fenômeno de
“first flush” provindo dos telhados era altamente poluído e que deveria ser tratado de
forma especial. Os autores concluíram que os telhados que possuíam peças metálicas
50
não deveriam ser conectados aos dispositivos de infiltração uma vez que as
concentrações de cobre e zinco excediam em muito os valores máximos permitidos.
Eles também examinaram telhados “verdes“ a título de comparação de resultados. A
lixiviação de superfície não protegida de zinco nos telhados “verdes” resultou em
concentrações extremamente altas no escoamento. Em oposição os telhados “verdes” se
mostraram aprisionadores de PAH.
3.2.4 Auto-estradas e Rodovias
O escoamento de auto-estradas apresenta cargas significativas de metais pesados
e hidrocarbonetos. De acordo com a legislação Alemã, este escoamento deve ser
infiltrado em diques para fornecer recarga nos aqüíferos. Para investigar os efeitos da
descontaminação dos diques gramados, foram tomadas diversas amostras de perfil de
solos ao longo de auto-estradas com alto tráfego. Os solos foram analisados para
caracterizar a contaminação em relação à distância e profundidade para o constituinte
chumbo, zinco, cobre, cádmio e PAH, DIERKES e GEIGER (1999).
A QA proveniente de rodovias na região de Austin, Texas, particularmente em
três localidades da auto-estrada MoPac, quanto à concentração de constituintes, foi
similar em relação aos valores médios compilados pelo levantamento nacional de QA de
estradas, BARRETT et al. (1998a). Uma vala gramada construída do lado que possui o
coeficiente de escoamento superficial mais baixo devido à infiltração, reduziu a
concentração da maioria dos constituintes.
Em São Francisco, Califórnia, para partículas de PAH tanto no modo ultrafino
(< 0.12 µm) quanto no modo de acumulação (0.12-2 µm) são derivadas de veículos
movidos a diesel, enquanto que veículos movidos à gasolina emitem PAH de peso
moleculares maior, principalmente no modo ultrafino. Grandes veículos de carga com
motor diesel foram considerados fontes importantes de partículas finas de carbono
(MIGUEL et al., 1998). Em um estudo europeu, 90% das partículas de uma área de
captação de uma rodovia eram menores que 100µm. As partículas menores que 50µm
foram analisados por difração a raios-X, termogravimétrica e massa específica,
mostrando conteúdos de 56% argila, 15% quartzo, 12% giz, 9% matéria orgânica, 5%
feldspato e 2% dolomita, ROGER et al. (1998).
51
3.2.5 Extravasamento de Sistema Combinado de Esgoto
A Agência de Proteção Ambiental, EPA (1996) conduziu estudos de caso para
examinar os efeitos do CSO sobre a integridade biológica em alguns rios em Ohio e
Nova Iorque, utilizando protocolos rápidos de bioensaios. Os resultados foram
comparados com levantamentos históricos conduzidos nos mesmos rios.
WATER ENVIRONMENt & TECHNOLOGy (1996) reportou que a contagem
de coliformes fecais decresceu de cerca de 500/100ml para 150/100ml no rio Mississipi,
após o programa de separação de sistemas de drenagem das cidades de Minneapolis e
St. Paul, MN. Um total de 8500ha de sistemas de esgotos combinados foram separados
em um programa que durou 10 anos e custaram $332 milhões.
O resultado de amostras de sedimentos coletadas nas adjacências de CSO ao
longo do baixo curso do rio Passaic em Nova Jersey, indicaram que os sedimentos
próximos aos extravasores de CSO estavam contaminados com uma gama de químicos
incluindo metais tóxicos, PAH, PCB, pesticidas e outros compostos orgânicos. A
distribuição espacial destes compostos fortemente sugere que o CSO era a fonte
primária de contaminação perto destes lançamentos, IANNUZZI et al. (1997).
3.2.6 Despejos Ilegais
MCGEE et al. (2000) investigaram as fontes potenciais do indicador bactéria
cuja presença fechava parte da praia de Huntington, no condado de Orange-California.
O projeto tinha objetivo de levantar áreas de risco sanitário, e a investigação usos tanto
as tecnologias de ponta (radar, sonar e imagens infravermelho) quanto as convencionais
(sondas, inspeção dos esgotos por câmeras e poços de monitoramento).
SANGAL et al. (1996) conduziram um estudo de viabilidade dentro do projeto
nacional demonstrativo de escoamentos urbanos para o rio Rouge, para avaliar a
aplicabilidade de isótopos estáveis para identificar ligações clandestinas em três
pequenas sub-bacias dentro ou perto do condado de Wayne, MI. Os resultados
indicaram que a técnica de isótopos tem uma relação custo-benefício alta e também é
robusta para distinguir entre as águas subterrâneas locais e as águas derivadas de
lançamentos domésticos, industrial e comercial.
O estado de Baltimore, MD, examinou o seu sistema de drenagem pluvial para
detectar entradas clandestinas, STACK e BELT (1996). Cerca de um terço das 344 sub-
52
bacias na cidade foram selecionadas como fontes potenciais de compostos tóxicos de
entradas clandestinas, baseado em análise de sulfactantes, fenóis, amônia, Cu, Pb, Zn e
hidrocarbonetos de origem do petróleo.
3.2.7 Industriais
LEWIS et al. (2000) revisaram dados de monitoramento de escoamentos
superficiais vindo de distritos industriais que eram lançados na bacia do rio San Grabriel
na região de Los Angeles. O resultados desta revisão mostrou que enquanto que as
instalações industriais ocupavam menos de 1% da área da bacia, contribuíam com as
cargas de 10% a 70% do cobre total e entre 15% e 60% do zinco total. MORENO-
GRAU et al. (2000) investigaram o conteúdo de metais pesados presentes em aerossóis
atmosféricos e matéria particuladas em suspensão de área industriais em Cartagena. As
industrias que contribuíam para a contaminação atmosférica com metais incluíam usinas
de força, as refinarias, as de metais não-ferrosos, de fertilizantes e estaleiro.
HALL (1996) coletou amostras de dois sistemas de manguezais na região
estuarina de áreas altamente urbanizadas, para determinar se os resíduos do
processamento de minério de cromite contribuíam significativamente para as altas
concentrações de Cromo nos meios bióticos e não-bióticos. Embora as concentrações de
Cr, Cu e Pb foram significativamente altas em amostras de sedimentos em comparação
ao local de referência, nenhum padrão foi encontrado que explicasse as altas
concentrações de metais contido nas amostras.
LINE et al. (1996) examinaram o escoamento de dez localidades industriais na
Carolina do Norte para uma vasta lista de parâmetros convencionais e substância
poluentes do tipo organo-tóxicas. As áreas de refúgio de automóveis nas estradas
possuíam as mais altas concentrações de metais, com exceção dos locais com
preservação florestal que tinham as maiores concentrações de cromium. Outros
poluentes não variaram significativamente entre os diferentes tipos de operação
industrial.
53
Capítulo 4 – Modelos Empíricos para Avaliação da Produção
de Poluentes durante as Enxurradas
4.1 Introdução
O escoamento urbano é compreendido de diferentes fases de fluxo. Pode-se
incluir o escoamento de base do período de estiagem, fluxo das cheias e o
extravasamento do sistema de esgoto combinado. A magnitude relativa destas vazões
varia de forma considerável. A estação do ano e o uso da terra tem sido identificados
como importantes fatores que afetam o escoamento de base e a QA.
Uma representação imprecisa das fontes de poluição não-pontuais pode levar a
projetos sub dimensionados e ineficientes nas medidas mitigadoras, ou a medidas super
dimensionadas com gastos financeiros e de manutenção excessivos. É importante
também ter um bom entendimento da quantidade de poluentes associados a cada
diferente faixa granulométrica.
Tipicamente os modelos enxergam o problema de poluição como um processo
composto de três estágios, acumulação de poluentes, lavagem da bacia e transporte pelo
sistema de drenagem. A acumulação é o aumento de poluentes na superfície da bacia de
captação durante períodos secos e a lavagem é a remoção dos poluentes pela chuva e
escoamento superficial. A disponibilidade de poluentes na bacia é tipicamente estimada
por uma relação linear, exponencial, potencial ou Michaelis-Menton que é função do
número de dias secos anteriores ao evento chuvoso. A lavagem de poluentes é
tipicamente modelada por um decaimento exponencial da carga superficial de poluentes
disponíveis, sendo a intensidade da chuva, o volume precipitado, a taxa de escoamento
ou volume escoado usados como variáveis explanatórias.
Embora diferentes componentes possam ser encontrados no ESMU, é
importante focar primeiramente em certos poluentes que podem ser usados como
indicadores representativos de outros tantos. Esta seleção é baseada no NURP. O EPA
explica esta seleção da seguinte forma:
“Esta lista inclue poluentes de interesse geral, que são normalmente
examinados tanto em estudos de fontes pontuais e não pontuais e que se
mostram representativos de importantes categorias de poluentes, notadamente,
sólidos, constituintes consumidores de oxigênio, nutrientes e metais pesados.”
54
4.2 Revisão Bibliográfica
Os principais objetivos da modelagem da qualidade das águas em meio urbano
são para: caracterização dos micro poluentes; fornecer as cargas lançadas nos corpos
hídricos receptores; dimensionamento das estruturas de controle; realizar uma análise de
freqüência dos parâmetros de qualidade; e fornecer subsídios para uma análise de custo-
benefício (HUBER, 1986; apud TSIHRINTZIS e HAMID, 1997). Os dois primeiros
objetivos estão relacionados à magnitude do problema e os demais estão relacionados
análise e solução do problema.
Modelos distribuídos são cada vez mais utilizados em estudos regionais. Uma
das principais razões é a sua compatibilidade natural com dados “raster” dos Sistemas
de Informações Geográficas, SIG. ZECH e ESCARMELLE (1999) investigaram a
possibilidade do uso de outras bases de dados, que foram projetados especificamente
para a cartografia.
CASSAR e VERWORN (1999) descreveram a atualização de um modelo
existente do tipo chuva-vazão, HYSTEM/EXTRAN e o modelo INTL de apoio à
decisão para utilização em tempo real.
ZUG et al. (1999) descrevem os esforços computacionais e de modelação para
simular tanto o controle de cheias quanto à prevenção de poluição na cidade de Gentilly,
França. Um modelo matemático foi calibrado de forma satisfatória e também validado
para um segundo conjunto de dados, sendo colocado em uso para simular a operação da
área da bacia e seus sistemas de drenagem.
AHYERRE et al. (1998) examinaram diversos modelos de qualidade de água
procurando determinar o porquê de nenhum dos modelos ter conseguido uso
generalizado e indicou que a produção e transporte de escoamento poluído em um meio
urbano são complexos, envolvendo muitos meios e muitas escalas de espaço e tempo, o
que confere a essa categoria especial de modelo um grau de difícil utilização e na
maioria dos casos também é dispendioso. Os autores sugerem que deve ser feita uma
clara distinção entre os modelos de pesquisa e as ferramentas de gestão.
TENBROEK e BRINK (1996) compararam diversos modelos de simulação
contínuos de escoamento urbano, dentre vários os modelos STORM e o SWMM.
DONIGIAN et al. (1996) compararam os atributos de seis modelos urbanos e de sete
não urbanos. MERCER et al. (1996) resumiram o uso de uma variedade de modelos
55
incluindo SWMM, WASP, um Modelo de Gerenciamento de Bacias e P8 como parte do
projeto Rouge na região de Detroit, MI. Os atributos de seis modelos de escoamento
urbano foram comparados por SHOEMAKER et al. (1996).
SWARNER e THOMPSON (1996) apresentaram os resultados de medidas
exaustivas e de modelagem dos problemas causados pelo Extravasamento de Sistemas
de Drenagem Separados SSO na cidade de Seattle, WA. Os resultados de uma avaliação
extensiva de SSO utilizando XP SWMM para o sistema de drenagem da cidade de
Miami, FL, são descritos por WALCH et al. (1996).
Uma variedade de modelos de simulação do escoamento urbano tem sido
lançada no mercado internacional nos últimos anos. NEYLEN et al. (1996) descreveram
a primeira versão do modelo de gerenciamento de qualidade da água no escoamento
urbano da HydroWorks, desenvolvido pela Wallington Software do Reino Unido.
FOLLER et al. (1996) mostraram como o MOUSE pode ser usado para otimizar
um sistema combinado de drenagem no leste da Alemanha. DEMPSEY et al. (1996)
descreveram o SIMPOL, um modelo simplificado de qualidade de água urbana
desenvolvido como ferramenta de modelagem do programa de pesquisa para o
gerenciamento da poluição urbana no Reino Unido. O modelo SIMPOL modela o
sistema de drenagem como uma série de reservatórios.
JACK et al. (1996) descreveram vários modelos para a caracterização de
sedimentos nos esgotos.
O programa de computador, RUNMEAN (RUNOFFMEAN), foi desenvolvido
por TSANIS (2000) para estimar a CME de poluentes tóxicos em escoamentos urbanos.
Para o conjunto de dados monitorados foram utilizados três métodos de avaliação:
método de substituição, método de regressão e o método de máxima verossimilhança
modificado. Um arquivo de entrada contendo as informações mais comuns requeridas
em estudos de poluição urbana está no formato mais usado pelas bases de dados
toxicológicas.
OSUCH-PAJDZINSKA e ZAWILSKI (1998a) em seu artigo apresentam um
modelo matemático do tipo determinístico para simular a quantidade e qualidade das
vazões carregadas por um sistema de drenagem de águas pluviais para qualquer chuva
desejada. É necessário o uso do modelo para calcular o hidrograma e o polutograma em
qualquer ponto da rede. O modelo integra cinco submodelos: escoamento superficial,
56
acumulação de poluentes, carregamento de poluentes, fluxos na rede de drenagem
pluvial e um último para o transporte da carga de poluentes na rede de drenagem. Esses
mesmos autores em seu segundo artigo (1998b) apresentaram os resultados da
calibração e verificação de modelos matemáticos para o cálculo de hidrograma e
polutogramas do escoamento urbano. A calibração dos parâmetros do modelo esta
baseada nos resultados obtidos a partir de estudos de campo de sub-bacias mistas
industrial e residenciais e de apenas residencial com área superficial de 300 ha. O erro
relativo foi calculado pela comparação das previsões fornecidas pelo modelo e os
resultados da pesquisa de campo.
SWMM (The Storm Water Management Model) é um modelo dinâmico de
simulação do tipo chuva-vazão, principalmente, mas não exclusivamente para áreas
urbanas, sendo capaz de manipular eventos isolados ou com simulações contínuas. A
propagação de vazões é realizada para sistemas de coleta superficial, sub superficial e
subterrâneo, incluindo a opção de propagação hidráulica pelas equações dinâmicas
completas. O escoamento e sua propagação, afetados por fontes não pontuais de
poluição, também podem ser simuladas, assim como o seu armazenamento, tratamento e
outras práticas de bom gerenciamento.
O modelo SLAMM é uma ferramenta de gerenciamento de áreas contendo
fontes de poluição em bacias urbanas. O modelo foi inicialmente desenvolvido no meio
da década de 70, primeiramente como ferramenta de agrupamento de dados dos
primeiros projetos de identificação de áreas fonte de poluição e áreas prioritárias de
varredura das ruas, financiados pelo programa de controle de poluição de escoamentos
urbanos e sistemas combinados de esgotamento da EPA. O modelo foi finalizado
durante o projeto NURP e complementado por estudos de campo e programação
financiados pelo Ministério de Meio Ambiente de Ontário (CET e McLEAN, 1986,
PITT, 1987, PITT e VOORHEES, 1995).
O modelo “Water Quality Analysis Simulation Program” WASP6 (DI TORO et
al., 1981), possui uma estrutura generalizada para a modelagem do transporte e
decaimento de poluentes em águas superficiais. WASP6 é um programa para a
modelagem de sistemas aquáticos em compartimentos, incluindo tanto a coluna d’água
quanto à região bêntica. Os processos de advecção, dispersão, carga pontual ou difusa e
trocas com o contorno são representados no modelo.
57
4.3 Caracterização dos Poluentes
Dados e Tabelas Existentes
Os fatores hidráulicos mais importantes que afetam o volume de escoamento são
a quantidade de água precipitada e a extensão de superfícies impermeáveis diretamente
conectada aos córregos ou ao sistema de drenagem. São ditas áreas diretamente
conectadas as ruas pavimentadas, vias, caminhos e áreas de estacionamento que drenam
para sistemas do tipo meio-fio e sarjeta, e telhados que drenam diretamente para os
canais de drenagem pluvial ou combinada de esgotos.
A tabela 4
.
1 apresenta dados antigos de QA (APWA 1969). O uso do solo e as
áreas fontes possuem efeitos importantes na qualidade das águas. Sabe-se que a
concentração de DBO
5
, bactéria e nutrientes presente no ESMU é menor do que a
encontrada nos esgotos brutos de águas residuais. Todavia, o escoamento ainda possui
uma concentração relativamente alta de bactérias, aliado com altas concentrações de
compostos metálicos e alguns orgânicos.
O programa USEPA Nationwide Urban Runoff Program (NURP) encontrou que
a concentração de poluentes, os volumes dos escoamentos e em conseqüência a
produção anual de poluentes variam com o uso do solo. Apesar das práticas de
desenvolvimento local tornarem o uso do solo um indicador não tão perfeito das
características do escoamento urbano, o uso do solo deve ser utilizado como agregado
aos indicadores mais apropriados, isto porque os dados de desenvolvimento são
tipicamente reportados em função das categorias de uso e ocupação do solo. A
quantidade de áreas impermeáveis diretamente conectadas é um ótimo indicador do
volume escoado superficialmente de uma área. A extensão de superfícies impermeáveis
“efetivas”, todavia, é uma função dos padrões de desenvolvimento (tamanho do lote,
uso de drenagens em valas, residências, prédios, tipos de paisagens, etc.) que podem
variar, significativamente, dentro de uma mesma categoria de uso da terra (como
residencial de média densidade), e também pela idade da urbanização e localização
dentro de uma mesma cidade, BURTON e PITT (2002).
BANNERMAN et al. (1979) encontraram uma alta correlação entre os valores
das cargas dos poluentes e os percentuais de áreas impermeáveis conectadas durante o
monitoramento de sete sub-bacias da bacia de drenagem do rio Menomonee: a carga do
58
poluente afluente ao rio aumentou à medida que cresceu a extensão das áreas
impermeáveis diretamente conectadas ao sistema de drenagem das chuvas.
DBO
5
Sólidos
Totais
Sólidos em Cloretos DQO
Cidade (mg/L) (mg/L) Suspensão(mg/L) (mg/L) (mg/L)
Oakland, Califórnia
Mínimo 3 726 16 300
Máximo 7700 4400 10,260
Média 87 1401 613 5100
Cincinnati, Ohio
Máxima Média do
período
12 260
110
Média 17 227 111
Los Angeles
Média de 1962–63 161 2909 199
Washington, D.C.
Mínimo 6 26 11
Máximo 625 36,250 160
Média 126 2100 42
Seattle, Washington 10
Oxney, Inglaterra 100a 2045
Moscou, Rússia 186–285
1000–
3500a
Leningrado, Rússia 36 14,541
Stockholmo, Suécia 17–80 30–8000 18–3100
Pretoria, África do Sul
Residencial 30 29
Comercial 34 28
Detroit, Michigan 96–234 310–914 102–213b
a
Maximo.
b
Média
Tabela 4.1 - Característica do escoamento superficial de cheias urbanas em estudos anteriores
(APWA, 1969).
Um grande número de projetos de monitoramento de QA (tal qual EPA 1983;
PITT e MCLEAN 1986) encontraram no ESMU compostos inorgânicos, orgânicos
perigosos e substâncias tóxicas. Os dados do NURP, coletados de áreas residenciais,
não indicaram qualquer diferença regional nas substâncias coletadas ou nas suas
concentrações. Todavia, os dados de áreas residenciais e industriais obtidos por PITT e
MCLEAN (1986) na cidade de Toronto chegaram a concentrações significativas e
diferenças nas taxas de produção para esses dois tipos de uso do solo e para vazões do
escoamento do período chuvoso e de estiagem.
As tabelas 4.2 e 4.3 listam as substâncias orgânicas tóxicas e perigosas que
foram encontradas em mais de 10% das amostras de água drenadas de regiões
residenciais e industriais. Os pesticidas mostrados foram em sua maioria encontrados no
59
escoamento de áreas residenciais, enquanto que os outros materiais perigosos
prevalecem nas áreas industriais. O escoamento de base durante a estiagem pode ser um
importante contribuinte de poluentes perigosos e tóxicos, BURTON e PITT (2002).
Substâncias Áreas Áreas
Perigosas Residências Industriais
Benzeno 5 µg/L 5 µg/L
Clordane 17 ng/L —
Cloroformio — 5 µg/L
Dieldrin 2 a 6 ng/L —
Endrin 44 ng/L —
Methoxyclor 20 ng/L —
Pentaclorofenol 70 a 280 ng/L 50 a 710 ng/L
Fenol 1 µg/L 4 µg/L
Fósforo 0.1 mg/L 0.5 µg/L
Tolueno — 5 µg/L
Tabela 4.2 - Substâncias perigosas observadas em escoamentos urbanos
(EPA 1983; PITT e MCLEAN 1986 (Toronto); PITT et al. 1996 (Birmingham)).
GC/MS Voláteis Áreas Residenciais Áreas Industriais
1,2-Dichloroethane — 6 µg/L
Methylene chloride — 5 µg/L
Tetrachloroethylene — alto em algumas áreas fonte
GC/MS Neutros
Bis (2-ethylene) phthalate 8 µg/L 18 µg/L
Butyl benzyl phthalate 5 µg/L 58 µg/L
Diethyl phthalate — 20 µg/L
Di-N-butyl phthalate 3 µg/L 4 µg/L
Isophorone 2 µg/L —
N-Nitrosodimethylamine — 3 µg/L
Phenanthrene — alto em algumas áreas fonte
Pyrene — alto em algumas áreas fonte
GC/MS Pesticidas
BHC até 20 ng/L —
Chlordane até 15 ng/L —
Dieldrin até 6 ng/L —
Endosulfan sulfate até 10 ng/L —
Endrin até 45 ng/L —
PCB-1254 — até 630 ng/L
PCB-1260
—
até 440 ng/L
Tabela 4.3 – Outras substâncias tóxicas observadas nos escoamentos urbanos
(EPA 1983; PITT e MCLEAN 1986 (Toronto); PITT et al. 1996 (Birmingham)).
As tabelas 4.4 e 4.5 listam valores de frações mássicas de alguns poluentes
obtidos por diversos autores em amostras de ESMU.
60
Uso do Solo
Parâmetro Residencial
(mg/kg)
Comercial
(mg/kg)
Industrial
(mg/kg)
DBO
5
20
9200 8300 7500
DQO 20800 19400 35700
Nitrogênio Kjeldahl 1700 1100 1400
Nitrogênio Nitrato 50 500 60
Fósforo 900 800 1200
Tabela 4.4 - Concentração de poluentes convencionais no sedimento urbano.
(SARTOR e BOYD, 1972)
As fontes das substâncias tóxicas e perigosas encontradas no escoamento urbano
variam enormemente. Os hidrocarbonetos aromáticos policíclicos, o composto orgânico
tóxico mais comumente detectado nos escoamentos, é em sua maioria provenientes da
combustão de combustível fóssil.
Parâmetro Residencial
(mg/kg)
Comercial
(mg/kg)
Industrial leve
(mg/kg)
Industrial
pesado
(mg/kg)
Média
ponderada
(mg/kg)
Cd 3.0 4.2 4.0 3.9 3.4
Cr 192 225 288 278 211
Cu 93 133 128 107 104
Fe 20600 23300 21800 28600 22000
Pb 1430 3440 2780 1160 1810
Mn 392 397 490 570 418
Ni 28 48 41 37 35
Sr 21 18 27 23 21
Zn 350 520 368 317 370
Tabela 4.5 – Fração de metais no sedimento urbano (AMY et al., 1974).
61
A tabela 4.6 mostra um resumo das CME calculadas pelo programa NURP para
eventos monitorados entre 1979 e 1982 (EPA, 1983). O dados do NURP são os dados
disponíveis de QA nos EUA mais detalhados e de livre acesso. Os valores obtidos estão
classificados para áreas residenciais, comerciais e mistas. A tabela 4.7 lista valores de
poluentes obtidos por DRISCOL et al. (1990) e GUPTA et al. (1981).
Residencial Uso Misto Comercial Área não urbana
Poluente Mediana CV
a
Mediana CV Mediana CV Mediana CV
DBO
5
, mg/L 10 0.41 7.8 0.52 9.3 0.31 — —
DQO, mg/L 73 0.55 65 0.58 57 0.39 40 0.78
TSS, mg/L 101 0.96 67 1.14 69 0.85 70 2.92
Nitrogênio Kjeldahl
Total, µg/L
1900 0.73 1288.8 0.50 1179 0.43 965 1.00
NO
2
+ NO
3
(N) µg/L 736 0.83 558 0.67 572 0.48 543 0.91
Fósforo Total, µg/L 383 0.69 263 0.75 201 0.67 121 1.66
Fósforo Solúvel,
µg/L
143 0.46 56 0.75 80 0.71 26 2.11
Chumbo Total, µg/L 144 0.75 114 1.35 104 0.68 30 1.52
Cobre Total, µg/L 33 0.99 27 1.32 29 0.81 — —
Zinco Total, µg/L 135 0.84 154 0.78 226 1.07 195 0.66
a
COV : coeficiente de variação = desvio padrão /média.
Tabela 4.6– Concentração média de poluentes separados por uso do solo (EPA, 1983).
Os valores entre parênteses são os coeficientes de variação reportados
(a) DRISCOL et al. (1990); (b) GUPTA et al. (1981)
Tabela 4.7 - Concentração média de diversos constituintes em escoamentos urbanos.
Componente CME
pH 5.5 – 7.5
(a)
TSS 142 mg/L (0.62)
(a)
Sólidos Voláteis 39 mg/L (0.58)
(a)
DBO
5
20
5 mg/L – 25 mg/L
(a)
DQO 114 mg/L (0.58)
(a)
Carbono Total 25 mg/L (0.62)
(a)
Nitrogênio Kjeldahl 1.83 mg/L (0.45)
(a)
NO
2
+ NO
3
-
0.76 mg/L (0.56)
(a)
Ortofosfato PO
4
- P 0.40 mg/L (0.89)
(a)
Coliforme Total 260/100ml – 180,000/100ml
(b)
Coliforme Fecal 20/100ml – 1,900/100ml
(b)
Streptococos Fecal 940/100ml – 27,000/100ml
(b)
Óleos e Graxas 5 mg/L – 10 mg/L
(a)
62
A tabela 4.8 mostra a mediana das concentrações de alguns poluentes
monitorados e uma bacia de ocupação mista residencial e comercial, e de uma área
industrial de Toronto, Ontário, para diferentes fases de escoamento,
PITT e MCLEAN
(1986). As amostras foram obtidas dos escoamentos de base e do escoamento
superficial. Os escoamentos de base possuem de forma surpreendente altas
concentrações de diversos poluentes, especialmente de sólidos dissolvidos (resíduo
filtrado) e de coliformes fecais da área de contribuição residencial. A concentração de
alguns constituintes do escoamento urbano, drenado de áreas industriais foram
tipicamente maiores do que as concentrações dos mesmos constituintes de áreas
residenciais. A QA do escoamento de base do período chuvoso da área industrial está
muito próxima ao valor de QA do escoamento superficial do que a QA das vazões de
base das áreas residenciais e seus valores de QA do escoamento superficial. Os dados
levantados para os pesticidas e PCBs indicaram que os escoamentos industriais e
escoamentos de base contêm tipicamente concentrações muito mais altas desses
poluentes do que os escoamentos de áreas residenciais. Da mesma forma, os metais
pesados mais comumente analisados prevalecem mais nas águas industriais. Todavia, os
herbicidas foram apenas detectados no escoamento de áreas residenciais, especialmente
nas vazões de base, BURTON e PITT (2002).
Durante a estação fria, o acréscimo de resíduos filtráveis ficou bastante aparente
em ambas as bacias de estudo e em ambas vazões de base. Este aumento foi
provavelmente causado pela aplicação de sal nas estradas. Em contraste, a população de
bactéria ficou notória mente menor em todas as vazões durante o inverno. Mudanças nas
concentrações de nutrientes e metais pesados foram pouco notadas entre as estações de
inverno e verão.
BAIRD e JENNINGS (1996) revisaram uma numerosa literatura e bancos de
dados de qualidade de água existentes, e compilaram as CME em relação a oito
categorias de uso e ocupação do solo e diversos parâmetros. As categorias de uso do
solo definidas foram: (1) industrial; (2) meios de transporte; (3) comercial; (4)
residencial; (5) agricultura culturas (sequeiro e irrigada); (6) montanhas; (7) áreas não-
desenvolvidas ou abertas.
63
Escoamento de Base -
Verão
Escoamento Superficial -
Inverno
Poluente ( mg/L) Residencial Industrial Residencial Industrial
Resíduo Total 979 554 256 371
Resíduo Filtrável 973 454 230 208
Resíduo Particulado <5 43 22 117
Fósforo Total 0.09 0.73 0.28 0.75
N
itrogênio Kjeldahl Total 0.9 2.4 2.5 2.0
Fenólicos
(µg/L) < 1.5 2.0 1.2 5.1
DQO 22 108 55 106
Coliformes Fecais (no./100 mL) 33,000 7000 40,000 49,000
Streptococci Fecal (no./100 mL) 2300 8800 20,000 39,000
Cromo <0.06 0.42 <0.06 0.32
Cobre 0.02 0.045 0.03 0.06
Chumbo <0.04 <0.04 <0.06 0.08
Zinco 0.04 0.18 0.06 0.19
Escoamento de Base -
Inverno
Períodos de derretimento -
Inverno
Poluente Residencial Industrial Residencial Industrial
Resíduo Total 2230 1080 1580 1340
Resíduo Filtrável 2210 1020 1530 1240
Resíduo Particulado 21 50 30 95
Fósforo Total 0.18 0.34 0.23 0.50
N
itrogênio Kjeldahl 1.4 2.0 1.7 2.5
Fenólicos (µg/L) 2.0 7.3 2.5 15.0
DQO 48 68 40 94
Coliformes Fecais
(colônias /100ml)
9800 400 2320 300
Streptococcos Fecal
(colônias /100ml)
1400 2400 1900 2500
Cromo <0.01 0.24 <0.01 0.35
Cobre 0.015 0.04 0.04 0.07
Chumbo <0.06 <0.04 0.09 0.08
Zinco 0.065 0.15 0.12 0.31
Fonte: Pitt, R. e J. McLean. Humber River Pilot Watershed Project, Ontario Ministry of the
Environment, Toronto, Canada. 483 pp. Junho 1986.
Tabela 4.8 – Mediana das concentrações dos poluentes por uso do solo e por estação do ano.
64
Classificação por Uso e Ocupação do Solo
Componente
Residencial Comercial Industrial
Transpo
rtes
Misto
Agricu-
ltura
Montan
hoso
Nitrogênio Total
(mg/L)
1.82 1.34 1.26 1.86 1.57 4.4 0.7
Nitrogênio Kjeldahl
(mg/L NHK)
1.5 1.1 1.0 1.5 1.25 1.7 0.2
Nitrato+Nitrito (mg/L) 0.23 0.26 0.3 0.56 0.34 1.6 0.4
Fósforo Total (mg/L) 0.57 0.32 0.28 0.22 0.35 1.3 0.01
Fosforo Dissolvido
(mg/L)
0.48 0.11 0.22 0.1 0.23 --- ---
Sólidos em Suspensão
(mg/L)
41 55.5 60.5 73.5 57.9 107 1
Sólidos Dissolvidos
(mg/L)
134 185 116 194 157 1225 245
Chumbo Total (µg/L) 9 13 15 11 12 1.5 5.0
Cobre Total (µg/L) 15 14.5 15 11 13.9 1.5 10
Zinco Total (µg/L) 80 180 245 60 141 16 6
Cadmium Total (µg/L) 0.75 0.96 2 1 1.05 1 1
Cromo Total (µg/L) 2.1 10 7 3 5.5 10 7.5
Niquel Total (µg/L) 10 11.8 8.3 4 7.3 --- ---
DBO (mg/L) 25.5 23 14 6.4 17.2 4.0 0.5
DQO (mg/L) 49.5 116 45.5 59 67.5 --- ---
Óleos e Graxas (mg/L) 1.7 9 3 0.4 3.5 --- ---
Coliformes Fecais
(colônias/100 ml)
20,000 6,900 9,700 53,000 --- --- 37
Strep. Fecal
(colônias/100 ml)
56,000 18,000 6,00 26,000 --- --- ---
Tabela 4.9 – CME por classificação do uso do solo, Baird e Jennings (1996).
A tabela 4.10 compara as descargas anuais estimadas para bacias com ocupação
residencial e industrial durante épocas do ano. A produção específica de nutrientes e de
metais pesados é maior na bacia industrializada. A bacia industrial contribui com a
maioria do percentual de cromo e com valores comparáveis das áreas residenciais e
comerciais para fósforo, DQO, cobre e zinco. Verifica-se a importância das vazões de
base no período de verão para compor a produção anual. As cargas de bactérias durante
o inverno é insignificante, quando comparada com as vazões do verão, mas as cargas de
cloretos são muito mais importantes durante a estação fria.
65
Residencial / Comercial Industrial
Verão Inverno Verão Inverno
Constituinte Unidade
Descarga de
base
Escoam.
Urbano
Descarga de
base
Água de
degelo
Total
Aprox.
Descarga de
base
Escoam.
Urbano
Descarga de
base
Água de
degelo
Total
Aproxim.
Relação da
Prod.
Total
Industria x
Resid.
Relação da
Prod. Total
Industria x
Resid.
Ponderada
Vazão
Específica
m³/ha 1700 950 1100 1800 5600 2100 1500 660 830 5100 0.9 0.3
Resíduo total kg/ha 1700 240 2400 1700 6100 1100 670 710 1500 4000 0.7 0.2
Cloreto kg/ha 480 33 1200 720 2400 160 26 310 700 1200 0.5 0.2
Fósforo Total g/ha 150 290 200 570 1200 1500 1300 220 540 3600 3.0 1.0
NKT g/ha 1500 2800 1500 3500 9300 4900 3400 1300 2800 12000 1.3 0.4
Fenóis g/ha <2.6 1.2 2.3 23 26 4.1 8.1 4.8 14 31 1.2 0.4
DQO kg/ha 38 51 52 130 270 220 170 45 91 530 2.0 0.7
Cromo g/ha <100 21 <10 15 36 860 600 160 290 1900 50 18
Cobre g/ha 35 30 16 77 160 92 120 26 76 310 1.9 0.7
Chumbo g/ha <70 41 <70 170 210 <75 170 <25 150 320 1.5 0.5
Zinco g/ha 70 74 70 270 480 370 430 100 350 1200 2.5 0.8
Coliforme Fecal 10
9
org/ha 560 480 110 62 1200 144 760 3 6 910 0.8 0.3
Tabela 4.10 - Descarga anual de poluentes para bacias experimentais do rio Humber, Toronto (PITT e MCLEAN, 1986).
66
4.4 Métodos Empíricos para Avaliação Quantitativa da Poluição
Gerada durante as Enxurradas
Uma etapa importante dentro dos estudos de QA é estimar a magnitude das
cargas de poluentes. As cargas podem variar como resultado de um grande número de
fatores, incluindo:
•
Precipitação
•
Solos
•
Tipo de vegetação
•
Uso do Solo
•
Práticas de drenagem
•
Práticas de gerenciamento de Saneamento
Na falta de quaisquer dados locais, dados de referências publicadas, como as
várias tabelas aqui reproduzidas, podem ser usadas apenas em estudos preliminares. Os
estudos baseados em tais dados podem apenas fornecer estimativas das cargas e
portanto dos volumes de material afluente aos rios e lagoas, ou das exigências de
gerenciamento e dos custos. Devem-se conduzir testes de sensibilidade, de forma a
avaliar os efeitos de incertezas nas cargas adotadas.
Alternativas para Estimar a Carga de Poluentes
Um variado número de métodos tem sido proposto para o cálculo para das
concentrações e das cargas geradas durante as enxurradas. Os métodos empíricos mais
conhecidos são:
1.
Concentração Média no Evento;
2.
Taxa de Exportação;
3.
Acumulação e Lavagem (Build-up e Washoff);
4.
Schueler;
5.
Heaney;
6.
Amy;
7.
Driver e Tasker ;e
8.
Federal Highway Administration – FHWA.
67
4.4.1 Método da Concentração Média no Evento
Neste método a carga é aproximada por uma simples relação:
4
10
R
LCVA
−
=⋅⋅⋅
(4.1)
onde
L = Carga Annual (kg)
C = CME de longo termo (mg/l)
V
R
= Volume de runoff (mm)
A = Área da bacia (ha)
Várias tabelas contendo valores publicados da CME foram apresentadas neste
capítulo (4.1 a 4.3, 4.6 a 4.9). É muito importante uma inspeção prévia do clima, uso do
solo e condições hidrológicas das respectivas áreas que as originaram, para se fazer à
escolha, quando possível, daquela com características mais próximas com a área de
projeto.
4.4.2 Método da Taxa de Exportação
Uma alternativa ao uso do método CME (4.1) é representar as cargas como
função do escoamento superficial diário. A forma da função deve ser derivada por uma
análise de regressão dos dados monitorados. Caso se use dado coletado localmente, os
efeitos estatísticos devido ao tamanho das amostras e erros de amostragem devem ser
levados em consideração.
A forma geral da equação da taxa de exportação de poluentes é:
e
LaR
=⋅
(4.2)
onde
L = Carga diária (kg/km
2
/dia)
R
= Escoamento superficial diário (mm/dia)
a
= Coeficiente empírico e
e = Expoente empírico
O método da CME é uma forma particular do método da taxa de exportação com
e = 1.0. As equações de taxas de exportação usadas em Brisbane, Austrália, WILLING
e PARTNERS (1999). As equações de cargas de poluentes sugeridas para o uso urbano
são dadas na tabela 4.11.
Poluente Equação
68
Sedimentos
L = 1000 R
1.4
Sólidos em Suspensão (SS)
L = 166 R
0.75
Fósforo Total (PT)
L = 0.15 R
0.90
Nitrogênio Total (NT)
L = 1.45 R
0.86
Tabela 4.11 - Equações de exportação de poluentes para áreas urbanas.
Pode ser visto que através de comparação com a equação (4.1), que estas
relações são não lineares, ao contrário da CME que implica uma resposta linear ao
escoamento. Além disso, as equações são de uso dirigido para cálculos de cargas
diárias. Esta análise pode ser estendia para períodos de tempo maiores pela soma de
cargas dia a dia.
Devido a grande importância histórica e também pelo grau de aceitação e
aplicabilidade técnica, amplamente divulgados na literatura internacional, os seguintes
métodos são apresentados em detalhes no capítulo 5: Schueler, Heaney e Huber, Amy,
Driver & Tasker e o da FHWA.
4.4.3 Métodos de Acumulação e Lavagem de Material
Fontes atmosféricas podem contribuir com quantidades significativas de
poluentes em escoamentos superficiais urbanos. A deposição pode ocorrer como
precipitação úmida (chuva, granizo, garoa) ou deposição seca, simplesmente chamada
de poeira. A poeira é produzida continuamente enquanto atividades humanas e naturais
liberam finas partículas no ar ambiente. Estas finas partículas podem possuir diversos
poluentes associados com elas, incluindo nitrogênio, fósforo, metais e uma variedade de
produtos químicos provenientes de emissões de veículos e outros lançamentos na
atmosfera. Concentrações típicas de poeira para varias cidades dos Estados Unidos
variam de 17 a 170 Mg/km
2
/mês (10 a 100 tons/mi
2
/mês) (GUPTA et al., 1981).
Para precipitações úmidas, as enxurradas em particular criam altos volumes de
escoamento superficial e rápido deslocamento de volumes de água e poluentes. Três
características de um evento de tempestade podem ser relevantes para a QA: o número
de dias secos precedendo um evento de tempestade, intensidade da tempestade, e
duração da tempestade. O número de dias entre eventos de tempestade, ou período seco
antecedente PSA, é de interesse quando um número de dias sem chuvas permite
poluentes acumularem em quantidades significativas sem serem periodicamente lavados
69
da superfície da estrada. Estudos anteriores identificaram PSA como uma variável
influente onde uma resposta linear foi observada entre quantidades crescentes de muitos
constituintes de poluentes e esta variável. Correlações significativas entre PSA e
concentrações de poluentes foram encontradas para curtas durações.
A acumulação se refere ao processo pelo qual os poluentes se acumulam na área
urbana em função do tempo. Acumulação é modificada pelas práticas de gerenciamento
como a varrição das ruas. A lavagem é o processo pelo qual os acúmulos são carreados
para o sistema de drenagem pluvial, sistema esse que até pouco tempo era chamado de
esgoto pluvial.
Abordagens do tipo “build-up e washoff” potencialmente oferecem uma forma
de caracterizar as cargas de poluentes mais precisas, uma vez que ela tenta representar
mais o processo físico do que fornecer uma correlação estatística. Ela é usada, como
opção, em diversos modelos computacionais de QA como o SWMM.
A tabela 4.12 apresenta uma estimativa da produção de poluentes de uma área
urbana típica a partir de diversos estudos. As condições locais e as características da
urbanização afetam de forma significativa estas estimativas. Os baixos valores
mostrados nesta tabela correspondentes às áreas residenciais de baixa densidade e
refletem justamente aquelas áreas drenadas por esses dispositivos. Caso se utilize o
sistema convencional meio fio–sarjeta, ao invés de valas ou canaletas gramadas, a
produção poderá ser aproximadamente 10 vezes maior. O aumento da eficiência da
drenagem invariavelmente conduz a um aumento das descargas de poluentes, BURTON
e PITT (2002).
70
Uso da terra
Sólidos
Totais
Sólidos em
Suspensão
Cloreto
Fósforo
Total
Nitrogênio
Kjeldahl
Total
NH
3
NO
2
e
NO
3
DBO
5
Comercial 2100 1000 420 1.5 6.7 1.9 3.1 62
Área de
estacionamento
1300 400 300 0.7 5.1 2.0 2.9 47
Alta densidade
residencial
670 420 54 1.0 4.2 0.8 2.0 27
Média densidade
residencial
450 250 30 0.3 2.5 0.5 1.4 13
Baixa densidade
residencial
b
65 10 9 0.04 0.3 0.02 0.1 1
Auto-estradas 1700 880 470 0.9 7.9 1.5 4.2 ND
b
Industrial 670 500 25 1.3 3.4 0.2 1.3 ND
Parques ND
c
3 ND 0.03 ND ND ND ND
Shopping center 720 440 36 0.5 3.1 0.5 1.7 ND
Uso da terra DQO Chumbo
d
Zinco Cromo Cobre Cádmio Arsênico
Comercial 420 2.7 2.1 0.15 0.4 0.03 0.02
Área de
estacionamento
270 0.8 0.8 ND 0.06 0.01 ND
Alta densidade
residencial
170 0.8 0.7 ND 0.03 0.01 ND
Média densidade
residencial
50 0.05 0.1 0.02 0.03 0.01 0.01
Baixa densidade
residencial
b
7 0.01 0.04 0.002 0.01 0.001 0.001
Auto-estradas ND 4.5 2.1 0.09 0.37 0.02 0.02
Industrial 200 0.2 0.4 0.6 0.1 0.05 0.04
Parques ND 0.005 ND ND ND ND ND
Shopping center ND 1.1 0.6 0.04 0.09 0.01 0.02
a
A diferença entre lb/acre/ano e kg/ha/ano é menos que 15%, e a precisão dos valores
mostrados nesta tabela não pode diferenciar valores tão próximos.
b
As áreas de baixa densidade residencial monitoradas foram drenadas por valas gramadas.
c
ND = Não disponível.
d
A carga de chumbo por unidade de área mostrada nesta tabela é atualmente esperada para
serem significantemente menores que as apresentadas, pois estes valores são de períodos
quando gasolina aditivada afetou, desfavoravelmente, a QA. Dados foram obtidos de
BANNERMAN et al. (1979, 1983); MADISON et al. (1979); EPA (1983); PITT e MCLEAN
(1986).
Tabela 4.12 – Produção de poluentes típicos de áreas urbanas.
71
Carga de Poluentes na Precipitação Úmida
Existem diversas medições e evidências (trabalhos nos EUA), de que pequenas
mas significativas concentrações de poluentes estão presentes nas precipitações sobre
áreas urbanas ou em áreas próximas. Algumas se originam provavelmente de atividades
urbanas, ex. provenientes da exaustão de veículos. Quando as chuvas atingem o solo,
esses poluentes passam a compor parte da carga total de poluentes. No capítulo 3 (item
fontes atmosféricas) foram apresentados alguns trabalhos relevantes (período 1996-
2000), demonstrando a importância da avaliação deste componente dentro do ciclo
hidrogeoquímico.
A tabela 4.13 apresenta valores típicos de medições de concentrações de
poluentes na precipitação úmida.
Parâmetro Concentração típica
Faixa
Unidades
Acidez (pH)
(a)
3 – 6
Orgânicos
(a)
: BOD
5
1 – 13 mg/L
DQO 9 - 16 mg/L
COT
(b)
1 - 3 mg/L
Inorgânicos C
(b)
0 - 2 mg/L
Cor
(b)
5 - 10 PCU
Sólidos: Totais
(b)
18 - 24 mg/L
Suspensão
(b)
2 - 10 mg/L
Turbidez
(b)
4 – 7 JTU
Nutrientes
(a)
:
N Orgânico 0.5 – 1.0 mg/L
NH
3
-N
(b)
0.01 – 0.04 mg/L
NO
2
-N
(b)
0.00 – 0.01 mg/L
NO
3
-N 0.05 – 1.0 mg/L
Total N 0.02 – 1.5 mg/L
Ortofosfato 0.0 – 0.05 mg/L
P Total 0.02 – 0.15 mg/L
Metais Pesados:
(a)
Chumbo 30 - 70 µg/L
Tabela 4.13 – Concentração de poluentes em precipitações úmidas.
Fontes: (a) BREZONIK, 1975; (b) MATTRAW e SHERWOOD, 1977
72
4.4.4 Método Simplificado de SCHUELER (1987)
O Método Simplificado da EPA, desenvolvido em 1987, é uma equação
empírica de uso fácil para a estimativa de carregamentos de poluentes para uma bacia de
contribuição urbana. O método é aplicável a bacias de contribuição de áreas menores do
que 2,5 km2 (1 mi2), e pode ser usada para analise de planejamento do local. O método
foi desenvolvido usando um banco de dados gerado durante um estudo NURP em
Washington DC. Alguma precisão é perdida como resultado do esforço para fazer a
equação geral e simples. O método é adequado para ser usado na tomada de decisão ao
nível de planejamento local, FHWA (1996).
A carga de poluentes provenientes de uma bacia de contribuição, em
quilogramas, para um intervalo especificado é :
[
]
[
]
98,6
rjv
p
HPR C A
L
⎡⎤
⋅⋅ ⋅ ⋅
⎣⎦
= (4.3)
onde:
L
p
= carga de poluentes durante o intervalo (kg);
H
r
= quantidade de chuva durante o intervalo de tempo especificado (mm);
Pj = porcentagem de chuva que produz escoamento superficial no intervalo;
R
v
= coeficiente de escoamento superficial;
C = concentração média de poluentes no escoamento superficial urbano (mg/l);
A = área do local desenvolvido (ha);
98,6 = fator de conversão de unidades.
A quantidade de chuva Hr é a altura de chuva que caiu durante o intervalo de
tempo de interesse. O total anual médio de chuva pode ser usado, devendo esta
quantidade ser ajustada apropriadamente se usada para o calculo da carga de poluentes
em anos secos ou úmidos.
O percentual (Pj) é usada para considerar os eventos de chuva durante o
intervalo de tempo que são tão inferiores que não produzem escoamento superficial
apreciável no intervalo. O volume de chuva destes eventos inferiores ou é interceptado
ou é estocado antes que possam produzir escoamento superficial e eventualmente
evaporar. Se a equação for usada para um evento único, o valor será 1,0.
O coeficiente de escoamento superficial (Rv) é usado para estimar a quantidade
de escoamento superficial resultante de um evento de chuvas e é igual a razão do
73
volume de escoamento superficial e do volume total de chuva. A razão expressa pelo
coeficiente de escoamento superficial é uma função da impermeabilidade, e pode ser
estimada usando a equação abaixo:
()
0,05 0,009
v
I
R =− ⋅ (4.4)
onde:
I = porcentagem de área impermeável;
A = área medida em hectares, se maior do que 2,5 km
2
, usar outro método.
O valor (C) é usado de acordo com o uso geral do solo, incluindo áreas
suburbanas, urbanas, florestais e de estradas. Os valores são determinados através de
analise estatística dos dados citados previamente. O valor C pode ser obtido na Tabela
4.14 para os valores médios encontrados pelo estudo NURP em diversos tipos de usos
do solo e para aqueles encontrados especificamente no escoamento superficial de
estradas em meio urbano.
Poluentes Estradas
Urbanas
Novos locais
NURP
(Wash., DC)
Outras
áreas
Urbanas
(Baltimore)
Distrito
centro de
negócios
(Wash., DC)
Médias do
Estudo
NURP
Floresta
( Northern
Virginia)
Fósforo
Total - 0,26 1,08 - 0,46 0,15
Orto - 0,12 0,26 1,01 - 0,02
Solúvel 0,59 0,16 - - 0,16 0,04
Orgânico - 0,10 0,82 - 0,13 0,11
Nitrogênio
Total - 2,00 13,6 2,17 3,31 0,78
Nitrato - 0,48 8,9 0,84 0,96 0,17
Amônia - 0,26 1,1 - - 0,07
Orgânico - 1,25 - - - 0,54
TKN 2,72 1,51 7,2 1,49 2,35 0,61
DQO 124,0 35,6 163 - 90,8 >40,0
DBO (5-dias) - 5,1 - 36 11,9 -
Metais
Zinco 0,380 0,037 0,397 0,250 0,176 -
Chumbo 0,550 0,018 0,389 0,370 0,180 -
Cobre - - 0,105 - 0,047 -
Tabela 4.14: Valores de C para áreas uso com o Método Simplificado (mg/l).
(adaptado de SCHUELER, 1987)
74
4.4.5 Método de Heaney
HEANEY et al. (1977) e HEANEY e HUBER (1979) apresentaram uma classe
de funções gerais que descrevem o cálculo das cargas de poluentes lavados pelas chuvas
em meio urbano, pela seguinte expressão:
kkkk
LFP
α
γ
=⋅⋅⋅ (4.5)
onde,
L
k
= carga anual do poluente devido ao escoamento superficial proveniente
do uso do solo k [kg/ha]
α
k
= fator da concentração do poluente [kg/ha-ano]
F
k
= função da densidade populacional
γ
k
= fator da limpeza da rua
P = precipitação anual
A carga total L é simplesmente a soma das “k” cargas individuais, da forma:
kk
k
L
LA
⋅
=
∑
(4.6)
onde,
L = carga anual total de poluentes devido ao escoamento [kg]
A
k
= área correspondente ao uso da terra k [ha]
A equação (4.5) pode ser interpretada como uma função geral de carga na qual
multiplica o fluxo d’água
()
k
FP
⋅
pela concentração (
α
k
) e uma razão de atenuação (γ
k
).
A precipitação anual é obtida a partir de uma estação meteorológica local ou de
um mapa de isoietas regional. Os fatores de concentração para drenagens separadas e
combinadas, separadas por tipo de poluente e uso da terra são dados na Tabela.
A função de densidade populacional é a seguinte:
0.54
1.0 comercial e industrial
0.142 0.134 residencial
0.142 outros usos
K
FPD
⎡⎤
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(4.7)
onde
PD = densidade populacional [pessoas/ha].
O fator de limpeza da ruas γ
k
é baseado no intervalo N
S
de limpeza
das ruas:
/20
ks
N
γ
=
para 20
s
N
<
(4.8)
Para N
s
> 20 dias, os efeitos da não-limpeza das ruas são aparentes e γ
k
= 1.0
75
Dado que a maior parte da carga de poluentes em uma drenagem combinada
deve-se ao esgoto bruto, a limpeza urbana, por este motivo, não será capaz de reduzir
significativamente estas cargas, para as áreas que possuam drenagem combinada.
Poluente (kg/ha-ano)
Uso da Terra
DOB
5
SS SV PO
4
N
D
renagem Separada
Residencial 0.35 7.2 4.2 0.015 0.058
Comercial 1.41 9.8 6.2 0.033 0.131
Industrial 0.53 12.9 6.3 0.031 0.122
Outros usos 0.05 1.2 1.2 0.004 0.027
D
renagem pluvial e
esgotos juntos
Residencial 1.45 29.7 17.2 0.061 0.239
Comercial 5.83 40.6 25.6 0.138 0.539
Industrial 2.21 53 26.2 0.291 0.504
Outros usos 0.21 4.9 4.8 0.018 0.066
Tabela 4.15– Fatores de concentração de poluentes para as funções de carga anual
(HEANEY e HUBER, 1979).
4.4.6 Método de Amy
Uma classe de funções de carga de poluentes por evento hidrológico isolado é
baseada em procedimentos gerais propostos por AMY et al. (1974), muitos dos quais
foram incorporados no modelo de cheias urbanas STORM do U. S. Army Corps of
Engineers (Hydrological Engineering Center, 1977). O total de sedimentos, também
referenciados como “sujeira e poeira” ou simplesmente sólidos, contidos no escoamento
é multiplicado pela concentração do poluente, através da seguinte fórmula:
6
10
L
CY
−
=⋅
(4.9)
onde:
L = carga do poluente no escoamento urbano [kg/ha];
C = concentração do poluente no sedimento [ppm,
µ
g/g ou mg/kg];
Y = sedimento lavado da área urbana durante o evento chuvoso [kg/ha].
Embora a equação (4.9) seja freqüentemente usada tanto para a fase dissolvida
quanto para a fase sólida do poluente, espera-se que ela seja mais precisa no último
caso.
76
A lavagem dos sedimentos é limitada pelo total de sedimentos que foram
acumulados na superfície da bacia, passando a ser representada segundo a fórmula:
YWX=⋅
(4.10)
onde:
X = quantidade de sedimentos acumulados no instante da tempestade [kg/ha];
W = fração de X que é carreada durante a tempestade.
A função de lavagem é obtida assumindo-se que a taxa de lavagem/carreamento
é uma função linear da taxa de escoamento e dos sedimentos acumulados:
()
()
dX h
uqX h
dh
=−
(4.11)
ou
0
() (0)exp
h
X
h X u qdh
⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦
∫
(4.12)
onde:
X(h) = sedimento remanescente na superfície do solo na hora h após o início da
tempestade [kg/ha];
X(0) = sedimentos acumulados no início da tempestade [kg/ha];
q = taxa de escoamento [cm/h];
u = coeficiente de carreamento [cm
-1
].
A integral que aparece na equação (4.12) corresponde ao escoamento superficial
total até a hora h da tempestade. Atribuindo-se h como sendo a duração da
tempestade/chuva, então:
[
]
() (0)expXh X uQ=−
(4.13)
onde:
Q = lâmina de escoamento total gerado pela tempestade [cm].
O coeficiente de carreamento pode ser determinado assumindo-se que 90% do
sedimento acumulado será lavado pelos primeiros 1.27 cm (0.5 pol) de escoamento,
portanto:
0.1 X(0) = X(0) exp[-1.27 u] ou u = 1.8 cm
-1
.
A fração de sedimentos completamente lavados será:
(0) ( )
1exp(1.8)
(0)
XXh
WQ
X
−
==−−
(4.14)
e a equação (1) pode ser reescrita como:
77
[
]
6
10 1 exp( 1.8 )LQCX
−
=−−
(4.15)
Quando essa função é aplicada em uma área com diversos tipos de uso do solo, cada
uma das cargas é ponderada para cada área
kk
k
LaL
=
∑
(4.16)
ou usando as concentrações médias ponderadas e acumulação de sedimentos obtem-se:
kk kk
kk
CX a X a C
⎡⎤⎡⎤
=
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
∑∑
(4.17)
onde:
a
k
= fração da área total do uso do solo k;
L
k
= carga de poluentes correspondente ao uso do solo k [kg/ha] dada por (4.15);
X
k
= sedimento acumulado na área k [kg/ha];
C
k
= concentração do poluente no sedimento referente ao uso do solo k [mg/kg].
1.2 Sedimentos
O acúmulo de sedimentos e poluentes em áreas urbanas é um processo complexo
que depende da deposição atmosférica diária e também de outras fontes, como a
remoção pela varredura das ruas e a lavagem pelo escoamento superficial. Para estimar
C e X na equação (4.15), deve-se iniciar os cálculos pela determinação da acumulação
de sedimentos e sólidos. Quando este tipo de dado não puder ser obtido, valores médios
de programas prévios de monitoramento urbano deverão ser utilizados.
Os dados de sedimentos urbanos são freqüentemente normalizados em relação
ao comprimento do meio-fio da rua, isto porque a maior parte da poeira e sujeira que
constituem o sedimento urbano é coletada pelas sarjetas. O acréscimo de sedimento a
nível diário é dado por:
xzCl=⋅
(4.18)
onde:
x = acréscimo diário de sedimento [kg/ha.dia];
z = taxa de acumulação de sedimento [kg/km.dia por meio-fio];
Cl = densidade de extensão de meio-fio [km/ha].
O comprimento de meio-fio pode ser estimado como sendo duas vezes a
extensão total da rua, e Cl é obtida dividindo-se o comprimento do meio-fio pela área.
78
Alternativamente, a equação de regressão dada pela American Public Works
Association (1974) pode ser usada (convertida para unidades métricas).
0.31 0.27(0.93)
P
D
Cl
=−
(4.19)
Taxas de acumulação de sedimentos no meio urbano de diferentes fontes são
apresentadas na Tabela 4.16. As taxas dadas por AMY et al., (1974) e SARTOR e
BOYD (1972) são valores médios baseados em um conjunto de dados levantados em
diversas áreas urbanas. As taxas contidas no modelo STORM são aquelas que
internamente são sugeridas como valores padrão. Embora as taxas dadas em SARTOR e
BOYD (1972) sejam maiores do que os outros dois conjuntos de dados, são geralmente
comparáveis com os dados de AMY et al., (1974). As taxas de Sartor e Boyd são
recomendadas para o uso na equação (4.18), pois são taxas mais conservativas e
consistentes.
Os sedimentos irão acumular a uma taxa diária x até que as ruas sejam varridas
ou um evento chuvoso ocorra. O balanço de massa diária de sedimentos é:
1tt tt
X
XxYS
+
=+−−
(4.20)
onde:
X
t
= sedimento acumulado no início do dia t [kg/ha];
Y
t
= sedimento removido pelo escoamento no dia t [kg/ha];
S
t
= sedimento removido pela varredura no dia t [kg/ha].
Uso do Solo
AMY et al (1974) SARTOR e BOYD (1972)
(todos em kg/meio-fio-1 km-dia)
STORM
Residencial 42 - -
residencial uni-familiar - 48
10
residencial multi-familiar - 66
34
Comercial 21 69
49
Industrial - 127
68
Industrial Leve 110 - -
Industrial Pesada 57 - -
Parques - - 22
Espaços Abertos 3.4 - -
Tabela 4.16– Taxas de acumulação de sedimentos (sólidos) urbanos
79
Se o evento chuvoso ocorrer no dia t, então as equações (4.10) e (4.15) ficam:
[
]
1exp(1.8 )
ttt
YQX=− −
(4.21)
onde:
Qt = escoamento no dia t [cm].
Inversamente, se as ruas forem varridas no dia t:
t t
SeX
=⋅
(4.22)
onde:
e = eficiência da limpeza por varredura da rua (fração removida pela limpeza).
Normalmente, assume-se que as ruas não são limpas/varridas no mesmo dia que
ocorre o evento chuvoso.
4.4.7 Método da Regressão Múltipla de DRIVER e TASKER.
DRIVER e TASKER (1990) desenvolveram quatro conjuntos de modelos
regressivos linear para estimar a carga de poluentes, o volume d’água, a concentração
média de poluentes e a média anual (ou sazonal) da carga de poluentes escoados pelas
enxurradas a partir de características físicas, uso do solo e de características climáticas
de bacias hidrográficas urbanas nos Estados Unidos. Foram desenvolvidos trinta e
quatro modelos de regressão para a carga de poluentes e para o volume d’água, e 31
modelos para a concentração média de poluentes. Utilizando modelos de regressão
linear para locais específicos, foram desenvolvidos dez modelos para estimar a carga
sazonal ou a carga anual média de poluentes pela análise de longos registros históricos
de eventos chuvosos.
Os modelos de regressão linear ótimo foram determinados pela utilização de
análise de regressão múltipla, incluindo as técnicas de mínimos quadrados. Estes
modelos podem ser usados para estimar a carga de poluentes, o volume d’água, a
concentração média de poluentes e a média anual (ou sazonal) da carga de poluentes de
bacias hidrográficas instrumentadas ou não.
Os fatores mais significativos em todos os modelos de regressão linear foram o
total pluviométrico e a área de drenagem. A área impermeável, o uso do solo e as
características climáticas médias anuais também são significativos em alguns modelos.
Os modelos para estimar as cargas de sólido dissolvido, nitrogênio total e amônia total
80
mais nitrogênio orgânico são via de regra os mais precisos, por outro lado os modelos
para sólidos em suspensão foram os menos precisos.
4.4.7.1
Escopo do trabalho
A primeira fase do trabalho envolveu o desenvolvimento de modelos de
regressão linear para estimar valores de cargas e volumes em base regional. Para essa
análise os Estados Unidos foram divididos em três regiões discriminadas pelo índice
pluviométrico anual. Os coeficientes de determinação múltipla (R2) e erros padrão de
estimativa apresentados no trabalho referido são indicativos do grau de adequação do
ajuste do modelo de regressão aos dados e a acurácia das estimativas. Foram analisadas
as cargas das enxurradas para 11 constituintes – incluindo demanda química de
oxigênio, sólidos em suspensão, sólidos dissolvidos, nitrogênio total, amônia total mais
nitrogênio orgânico como nitrogênio (nitrogênio Kjeldahl), fósforo total, fósforo
dissolvido, cádmio recuperável total, cobre recuperável total, chumbo recuperável total
e zinco recuperável total – e volumes de escoamento da enxurrada.
A segunda fase envolveu o desenvolvimento de modelos de regressão para
estimar a concentração média do escoamento, definido como a carga de enxurrada
dividida pelo volume de água escoado. As mesmas regiões, tipos de poluentes e
conjuntos de variáveis explanatórias para cada modelo de carga desenvolvidos na
primeira fase, foram utilizadas na segunda fase. Para cada região, um modelo de
regressão também foi desenvolvido que relacionou 11 concentrações médias das
enxurradas com as características físicas, o uso do solo e as variáveis climáticas.
A terceira fase envolveu a determinação de valores médios de cargas poluentes
por estação (sazonal) ou carga anuais para bacias selecionadas, desenvolvendo modelos
de regressão regional. Os constituintes de qualidade de água para a média sazonal ou
cargas anuais - incluindo demanda química de oxigênio, sólidos em suspensão, sólidos
dissolvidos, nitrogênio total, amônia total mais nitrogênio orgânico como nitrogênio
(nitrogênio Kjeldahl), fósforo total, fósforo dissolvido, cádmio recuperável total, cobre
recuperável total, chumbo recuperável total e zinco recuperável total.
4.4.7.2
Seleção das variáveis de resposta e explanatórias
As tempestades ou enxurradas foram selecionadas do banco de dados de acordo
com certos atributos e disponibilidade de variáveis específicas. Quando uma variável
selecionada para uma determinada análise estava indisponível para um evento, o evento
81
em questão foi retirado da análise. Nenhuma tentativa foi efetuada para estimar falha
nos dados. Devido às falhas nos dados, nem todos os 2813 registros de eventos
chuvosos foram utilizados na maioria das análises.
Modelos de regressão regional foram desenvolvidos para 11 tipos de
constituintes e mais o volume do escoamento. Os 11 tipos de constituintes calculados
nas cargas de enxurradas, expressos originalmente em libras, são a demanda química de
oxigênio (DQO), sólidos em suspensão (SS), sólidos dissolvidos (DS), nitrogênio total
(TN), amônia total mais nitrogênio orgânico como nitrogênio (TKN), fósforo total (TP),
fósforo dissolvido (DP), cádmio recuperável total (CD), cobre recuperável total (CU),
chumbo recuperável total (PB) e zinco recuperável total (ZN). Os volumes de
escoamento superficial (RUN) são expressos em polegadas. O programa de computador
desenvolvido para o presente trabalho é capaz de manipular tanto unidades inglesas
quanto no sistema internacional (métrico).
As variáveis de resposta (cargas e volume) foram selecionadas de acordo com a
freqüência desta variável no banco de dados e em acordo com a importância geral no
planejamento urbano. Estão listadas na Tabela 4.17 as variáveis explanatórias utilizadas
nos modelos de regressão em questão, suas unidades e os símbolos correspondentes.
Físicas e Uso do Solo A Área total de Contribuição, mi
2
ou m
2
I Área impermeável, percentual de A
LUI Uso do solo industrial, percentual de A
LUC Uso do solo comercial, percentual de A
LUR Uso do solo residencial, percentual de A
LUN Uso do solo não urbano, percentual de A
PD Densidade populacional, pessoas por mi
2
ou m
2
Climáticas H
r
Total precipitado no evento, em polegadas ou mm
t
R
Duração do evento, em minutos
INT Intensidade máxima da precipitação de 24-horas, que possua
tempo de retorno de 2 anos, em polegadas ou mm.
H
MAR
Precipitação média anual, em polegadas ou mm
MNL Carga média anual de nitrogênio na precipitação, em libras
por acre ou quilos por quilômetro quadrado
T
J
Temperatura média mínima do mês de janeiro (T
J
),
o
F ou
o
C
Tabela 4.17– Características, símbolos e unidades.
As variáveis explicativas para cada modelo de regressão foram selecionadas
utilizando procedimentos de regressão do tipo “stepwise”, utilizando um sistema ou
82
pacote de análise estatística comercial. O critério principal para a seleção do conjunto
mais apropriado de variáveis foi o de possuir coeficiente de regressão significantemente
diferente de zero em um nível de cinco porcento. De acordo com o texto original,
diversos critérios foram aplicados para fazer distinção entre os conjuntos de variáveis
que atenderam as exigências. São eles (1) o erro médio quadrado (
δ
2
); a variância sobre
a regressão, que representa medida do erro com a qual cada valor observado valor Y
pode ser previsto dado um valor X usando um determinado modelo; (2) coeficiente de
determinação múltipla (R
2
), que mede a proporção da variação total sobre a média,
Y
;
(3) Estatística de Mallows Cp, uma medida do quadrado do desvio e variância do erro
(DRAPER e SMITH, 1981; apud DRIVER e TASKER, 1990); (4) o sinal dos
coeficientes das variáveis explanatórias; e (5) a correlação entre as variáveis
explanatórias, que se pretendia ocasionar um decréscimo da multi coliniaridade entre as
variáveis explanatórias.
Procedimentos para o Cálculo das cargas e volumes das enxurradas
A equação (4.23) é aplicável para o cálculo das cargas. Quando a equação (4.23)
é aplicada no cálculo do volume d’água, deve-se multiplicar por 0.02832 para converter
de ft
3
para m
3
ao invés de 0.4536.
12
'
0
ˆ
ˆˆ
12
ˆ
0.4536
n
p
n
LBCFXX X
β
ββ
β
=×× × × ×
⎡⎤
⎣⎦
… (4.23)
onde:
L
p
= carga ou volume estimado produzido pela enxurrada em kg ou m
3
.
'
012
ˆˆˆ ˆ
,,
n
β
ββ β
…
= coeficientes de regressão.
12
,
n
XX X…
= características físicas, uso da terra ou climáticas.
n = número de características físicas, uso da terra ou climáticas.
BCF = fator de correção de "Bias" que corrige o desvio sobre a média.
Os parâmetros que são utilizados nas equações variam de região para região e
constituintes. A Tabela 4.18 lista os coeficientes de regressão dos modelos
desenvolvidos para carga e volume. Todos os constituintes estão listados, seguidos por
RUN, ou volume de “runoff”. OS coeficientes
β
estão listados nesta tabela. O valor para
a variável X é listado no topo da tabela. Deve-se notar que o estudo original foi feito
inteiramente em unidades inglesas; portanto, todos os valores obtidos em unidades
métricas devem ser convertidos para a inglesa antes de se entra na equação. As unidades
83
métricas apropriadas, com o fator de conversão, são mostradas na Tabela 4.18. Um
modelo simplificado com três variáveis também foi desenvolvido para os 11
constituintes. As únicas variáveis utilizadas neste modelo foram à precipitação total, a
área de drenagem e área impermeável. A Tabela 4. lista os coeficientes para este modelo
simplificado. Este método pode ser usado preliminarmente ao modelo completo quando
se deseja uma rápida estimativa das cargas. Para estimativas mais precisas, os modelos
mostrados na Tabela 4.18 devem ser aplicados.
Foi desenvolvido um programa de computador para facilitar os cálculos
referentes a equação (4.23), utilizando o aplicativo Borland DELPHI da Enterprise
versão 6.0. As características físicas e climáticas das microbacias em estudo estão
armazenadas em um pequeno banco de dados Microsoft ACCESS, podendo este ser
manipulado internamente ao programa ou externamente. Os cálculos são realizados
célula a célula, dando ao usuário a opção de salvar ou não os resultados no banco. A
Imagem 4.1 mostra uma visualização da tela de interface com o usuário, quando o
programa executa um cálculo de um registro específico do banco de dados. O caso
apresentado é uma célula urbana pertencente a bacia hidrográfica do Rio Joana – RJ.
84
Variável e
Região
β
0
H
r
(mm/25.4)
A
(km
2
/2.59)
I+1
(percent)
LUI+1
(percent)
LUC+1
(percent)
LUR+1
(percent)
LUN+2
(percent)
PD
(pess.km
2
x2.59)
Tr
(minutos)
INT
(mm/25.4)
H
mar
(mm/25.4)
MNL
(kgN por km
2
x(2.59/0.4536)
Tj
O
C(5/a)+32
BCF
DQO I 7111 0.671 0.617 -- 0.415 0.267 -- -0.156 -- -- -- -0.683 -- -- 1.304
DQO II 36.6 0.878 0.696 -- 0.072 0.261 -- -0.056 -- -- -- 0.866 -- -- 1.389
DQO III 479 0.857 0.634 -- 0.321 0.217 -- -0.111 -- -- -- -- -- -- 1.865
SS I 1518 1.211 0.735 -- -- -- -- -- -- -0.463 -- -- -- -- 2.112
SS II 2032 1.233 0.439 0.274 -- -- -- -- 0.041 -- -- -- -- -0.59 1.841
SS III 1990 1.017 0.984 -- 0.226 0.228 -- -0.286 -- -- -- -- -- -- 2.477
SD I 54.8 0.585 1.356 1.383 -- -- -- -- -- -- -- -0.718 -- -- 1.239
SD II 2308 1.076 1.285 1.348 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -1.395 1.208
TN I 1132 0.798 0.96 -- 0.462 0.26 -- -0.194 -- -- -- -0.951 -- -- 1.139
TN II 3.173 0.935 0.939 0.672 -- -- -- -- -- -- -- -- 0.196 -- 1.372
TN III 0.361 0.776 0.474 0.611 -- -- -- -- -- -- -- -- 0.863 -- 1.709
TKN I 18.9 0.67 0.831 -- 0.378 0.258 -- -0.219 -- -- -- -- 1.35 -- 1.206
KN II 2.89 0.906 0.768 0.545 -- -- -- -- -- -- -- -- 0.225 -- 1.512
TKN III 199572 0.875 0.393 -- -- -- -- 0.082 -- -- -- -2.643 -- -- 1.736
TP I 262 0.828 0.645 -- 0.583 0.181 -- -0.235 -- -- -- -1.376 -- -- 1.548
TP II 0.153 0.986 0.649 0.479 -- -- -- -- -- -- 1.543 -- -- -- 1.486
TP III 53.2 1.019 0.846 -- -- 0.189 0.103 -0.16 -- -- -- -- -- -0.754 2.059
DP I 588 0.808 0.726 -- 0.642 0.096 -- -0.238 -- -- -- -1.899 -- -- 1.407
DP II 0.025 0.914 0.699 0.649 -- -- -- -- -- -- 1.024 -- -- -- 1.591
DP III 0.369 0.955 0.471 -- -- -- -- 0.364 -- -- -- -- -- -- 2.027
CD I 0.039 0.845 0.753 -- 0.138 0.248 -- -0.374 -- -- -- -- -- -- 1.244
CD II 0.005 1.168 1.265 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0.965 1.212
CU I 0.141 0.807 0.59 -- 0.424 0.274 -- -0.061 -- -- 0.928 -- -- -- 1.502
CU II 0.013 0.504 0.585 0.816 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.534
CU III 4.508 0.896 0.609 -- 0.648 0.253 -- -0.328 -- -- -2.071 -- -- -- 2.149
PB I 478 0.764 0.918 -- -0.161 0.276 -- -0.282 -- -- -- -1.829 -- -- 1.588
PB II 0.076 0.833 0.381 -- -- 0.243 0.087 -0.181 -- -- -- 0.574 -- -- 1.587
PB III 0.081 0.852 0.857 0.999 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.314
ZN I 224 0.745 0.792 -- -- 0.172 -0.195 -0.142 -- -- -- -1.355 -- -- 1.444
ZN II 0.002 0.796 0.667 1.009 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.148 1.754
ZN III 4.355 0.83 0.555 -- 0.402 0.287 -0.191 -- -- -- -- -- -- -0.5 1.942
RUN I 1123052 1.016 0.916 0.677 -- -- -- -- -- -- -- -1.312 -- -- 1.299
RUN II 62951 1.127 0.809 0.522 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.212
RUN III 32196 1.042 0.826 0.669 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.525
Tabela 4.18
– Resumo dos coeficientes de regressão para cargas e volumes (FHWA, 1996)
85
Variável e
Região
β
0
H
r
(mm/25.4)
A
(km
2
/2.59)
I+1
(percent)
BCF
DQO I 407 0.626 0.71 0.379 1.518
DQO II 151 0.823 0.726 0.564 1.451
DQO III 102 0.851 0.601 0.528 1.978
SS I 1778 0.867 0.728 0.157 2.367
SS II 812 1.236 0.436 0.202 1.938
SS III 97.7 1.002 1.009 0.837 2.818
SD I 20.7 0.637 1.311 1.18 1.249
SD II 3.26 1.251 1.218 1.964 1.434
TN I 20.2 0.825 1.07 0.479 1.258
TN II 4.04 0.936 0.937 0.692 1.373
TN III 1.66 0.703 0.465 0.521 1.845
TKN I 13.9 0.722 0.781 0.328 1.722
TKN II 3.89 0.944 0.765 0.556 1.524
TKN III 3.56 0.808 0.415 0.199 1.841
TP I 1.725 0.884 0.826 0.467 2.13
TP II 0.697 1.008 0.628 0.469 1.79
TP III 1.618 0.954 0.789 0.289 2.247
DP I 0.54 0.976 0.795 0.573 2.464
DP II 0.06 0.991 0.718 0.701 1.757
DP III 2.176 1.003 0.28 -0.448 2.254
CD I 0.00001 0.886 0.821 2.033 1.425
CD II 0.021 1.367 1.062 0.328 1.469
CU I 0.072 0.746 0.797 0.514 1.675
CU II 0.013 0.504 0.585 0.816 1.548
CU III 0.026 0.715 0.609 0.642 2.819
PB I 0.162 0.839 0.808 0.744 1.791
PB II 0.15 0.791 0.426 0.522 1.665
PB III 0.08 0.852 0.857 0.999 2.826
ZN I 0.32 0.811 0.798 0.627 1.639
ZN II 0.046 0.88 0.808 1.108 1.813
ZN III 0.024 0.793 0.628 1.104 2.533
Tabela 4.19– Resumo dos coeficientes de regressão do modelo com
três variáveis para cargas (FHWA, 1996).
Procedimentos para o Cálculo da Concentração Média no Evento (CME)
Conforme dito no início deste item, DRIVER e TASKER (1990) também
desenvolveram um de modelo para estimar a concentração média de poluentes do evento
chuvoso. A equação (4.23) também é utilizada para prever a concentração média do evento.
Esta equação permite o cálculo da concentração média para onze tipos diferentes de poluentes
presentes nas águas escoadas. Os mesmos parâmetros físicos, de uso do solo e climáticos são
usados na equação para determinar a concentração. Assim como nos cálculos de carga, todos
os onze constituintes podem ser determinados para as regiões I e II, enquanto que todos
menos sólidos dissolvidos e cádmio podem ser determinados para a região III. A
Tabela 4.
lista os coeficientes de regressão para a determinação da CME. Esses coeficientes são usados
na equação (4.23). As concentrações dos parâmetros de QA, com exceção dos metais (Cd, Cu,
Pb e Zn) são expressos em mg/L. A concentração dos metais é expressas em
µ
g/L.
86
Variável e
Região
β
0
H
r
(mm/25.4)
A
(km
2
/2.59)
I+1
(percent)
LUI+1
(percent)
LUC+1
(percent)
LUR+1
(percent)
LUN+2
(percent)
PD
(pess.km
2
x2.59)
Tr
(minutos)
INT
(mm/25.4)
H
mar
(mm/25.4)
MNL
(kgN por km
2
x(2.59/0.4536)
Tj
O
C(5/a)+32
BCF
DQO I 5.035 -0.473 -0.087 -- 0.388 0.012 -- 0.048 -- -- -- 0.855 -- -- 1.163
DQO II 0.254 -0.259 -0.054 -- 0.0003 0.025 -- -0.033 -- -- -- 1.556 -- -- 1.299
DQO III 46.9 -0.179 -0.047 -- 0.32 0.031 -- -0.169 -- -- -- -- -- -- 1.27
SS I 2041 0.143 0.108 -- -- -- -- -- -- -0.370 -- -- -- -- 1.543
SS II 734 0.132 -0.342 -0.329 -- -- -- -- 0.041 -- -- -- -- -0.519 1.65
SS III 176 0.054 0.286 -- 0.168 0.072 -- -0.295 -- -- -- -- -- -- 1.928
SD I 0.333 -0.402 0.469 0.445 -- -- -- -- -- -- -- 1.497 -- -- 1.352
SD II 2398 -0.112 0.519 0.468 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -1.373 1.179
TN I 3.52 -0.285 0.033 -- 0.512 0.017 -- 0.012 -- -- -- -0.129 -- -- 1.096
TN II 1.65 -0.204 0.065 0.176 -- -- -- -- -- -- -- -- -0.296 -- 1.256
TN III 26915 -0.253 -0.169 0.057 -- -- -- -- -- -- -- -2.737 -- -- 1.308
TKN I 1.282 -0.449 0.022 -- 0.426 -0.016 -- -0.012 -- -- -- -- 0.347 -- 1.167
KN II 0.83 -0.224 -0.066 0.039 -- -- -- -- -- -- -- -- 0.106 -- 1.321
TKN III 9549 -0.157 -0.159 -- -- -- -- -0.086 -- -- -- -2.447 -- -- 1.326
TP I 0.085 -0.232 -0.012 -- 0.552 -0.08 -- 0.038 -- -- -- 0.530 -- -- 1.261
TP II 0.022 -0.177 -0.133 0.006 -- -- -- -- -- -- 2.019 -- -- -- 1.521
TP III 2.63 -0.016 -0.107 -- -- 0.053 0.184 -0.168 -- -- -- -- -- -0.710 1.363
DP I 0.352 -0.294 -0.013 -- 0.629 -0.136 -- -0.046 -- -- -- -0.297 -- -- 1.266
DP II 0.003 -0.209 -0.174 0.245 -- -- -- -- -- -- 1.514 -- -- -- 1.567
DP III 0.06 0.189 -0.076 -- -- -- -- 0.358 -- -- -- -- -- -- 1.341
CD I 0.338 -0.256 0.025 -- 0.090 0.033 -- -0.110 -- -- -- 0.481 -- -- 1.166
CD II 0.851 0.223 0.189 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0.394 1.284
CU I 11.3 -0.327 0.066 -- 0.237 0.048 -- 0.155 -- -- 0.406 -- -- -- 1.297
CU II 9.683 -0.298 -0.151 0.157 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.473
CU III 1774 -0.104 -0.077 -- 0.446 0.078 -- -0.204 -- -- -3.247 -- -- -- 1.348
PB I 141 -0.347 0.145 -- -0.109 0.034 -- -0.086 -- -- -- 0.046 -- -- 1.304
PB II 0.487 -0.268 -0.359 -- -- 0.099 0.152 -0.008 -- -- -- 1.088 -- -- 1.433
PB III 39.8 -0.196 0.123 0.404 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.51
ZN I 199 -0.338 0.07 -- -- -0.029 0.144 0.068 -- -- -- -0.004 -- -- 1.242
ZN II 0.149 -0.238 -0.201 0.278 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.961 1.65
ZN III 1879 -0.149 -0.061 -- 0.285 0.146 -0.078 -- -- -- -- -- -- -0.916 1.322
Tabela 4.20 – Resumo dos coeficientes de regressão para concentração (FHWA, 1996)
87
Imagem 4.1 – Painel principal do programa Stormwater – Método de Driver e Tasker
88
4.4.8 Método da FHWA.
4.4.8.1
Concentrações dos Constituintes Poluidores
Os dados relatados para águas pluviais urbanas e qualidade do escoamento superficial
de estradas apresentam concentrações de constituintes poluidores similares. Exceções a isso
são os elevados níveis de metais pesados no escoamento superficial de estradas devido ao uso
de veículos, desgaste e emissões. Metais pesados (particularmente cobre e zinco) são de longe
os poluentes de maior prioridade em escoamentos superficiais de estradas. Uma quantidade
significativa de nutrientes e poluentes orgânicos de prioridade pode também estar presente no
ambiente estradal. Partículas e materiais sólidos no escoamento superficial de estradas são
considerados poluentes importantes devido, em parte, a sua habilidade de capturar e
transportar outros constituintes poluidores. O Fósforo e outras espécies de metais são
conhecidos por serem absorvidas prontamente por sólidos, principalmente partículas finas.
Exposição à água freqüentemente libera estes poluentes dentro do sistema aquático onde eles
comprometem a qualidade do corpo d’água receptor e o habitat aquático.
Poluentes diferentes são considerados mais significativos, baseados na fonte de
escoamento superficial e o uso designado do corpo d’água. Para cursos d’água, a proteção da
vida aquática enfatizará normalmente metais pesados. Para lagos, se sugere que o efeito de
descargas de fósforo no nível trófico seja a consideração mais importante. Portando, a
importância relativa de qualquer constituinte de escoamento superficial típico variará com o
tipo do corpo d’água receptor, seu uso, e sua saúde ecológica geral.
A Tabela 4 fornece variações de concentrações de constituintes e taxas de
carregamentos.
As colunas “Carga” refletem as concentrações observadas (em miligramas/litro)
multiplicadas pela vazão do escoamento superficial para estimar a quantidade de poluentes
(em quilogramas) que são transportadas por uma dada área superficial (em hectares) ou dentro
de um evento de precipitação único. As amplas variações de valores para concentrações bem
como para taxas de carregamentos enfatiza a alta variabilidade na qualidade do escoamento
superficial de estradas.
89
Constituintes
Concentração
(mg/l)
Carga
(kg/ha/ano)
Carga
(kg/ha/evento)
SÓLIDOS
Totais 437 - 1147 58,2
Dissolvidos 356 148
Suspensos 45 - 798 314 - 11.862 1,84 - 107,6
Voláteis, dissolvidos 131
Voláteis, suspensos 4,3 - 79 45 - 961 0,89 - 28,4
Voláteis, totais 57 - 242 179 - 2518 10,5
METAIS
Zinco 0,056 - 0,929 0,22 - 10,4 0,004 - 0,025
Cádmio 0,0 - 004 0,0072 - 0,037 0,002
Arsênico 0,058
Níquel 0,053 0,07
Cobre 0,022 - 7,033 0,030 - 4,67 0,0063
Ferro 2,429 - 10,3 4,37 - 28,81 0,56
Cromo 0,00 - 0,04 0,012 - 0,10 0,0031
Magnésio 1.062
Mercúrio 3,22 0,007 0,007
NUTRIENTES
Nitrogênio Amônia 0,07 - 0,22 1,03 - 4,60
Nitrogênio Nitrato e Nitrito 0,15 - 1,636 0,8 - 8,0 0,078
Nitrogênio Orgânico 0,965 - 2,3
Nitrogênio Kjeldahl Total 0,335 - 55,0 1,66 - 31,95 0,17
Fósforo Total 0,113 - 0,998 0,6 - 8,23
OUTROS
Coliformes Totais 570 - 6200
Coliformes Fecais 50 - 590
Sódio 1,95
Cloreto 4,63 - 1.344
Carbono Orgânico Total 24 - 77 31,3 - 342,1 0,88 - 2,35
DQO 14,7 - 272 128 - 3868 2,90 - 66,9
DBO(5 dias) 12,7 - 37 30,6 - 164 0,98
Hidrocarbonetos Poliaromáticos 0,005 - 0,18
Óleo e Graxa 2,7 - 27 4,85 - 767 0,09 - 0,16
Tabela 4.21- Valores médios para constituintes no escoamento superficial de estradas.
4.4.8.2
Metodologia de Cálculo.
A FHWA desenvolveu um método para estimar o carregamento de poluentes devido
ao escoamento superficial poluidor. Características locais usadas diretamente em equações
determinam a vazão de descarga, volume de escoamento superficial, e taxa de carregamento
de massa de poluentes. Os passos exigidos para determinação da carga de massa de poluentes
anual e por evento incluem o calculo da quantidade de escoamento superficial no local e
identificação da concentração média de poluentes no mesmo.
90
Algumas informações sobre o local são necessárias para a determinação da quantidade
e qualidade do escoamento superficial. A informação que precisa ser obtida inclui a área de
drenagem do local, porcentagem de impermeabilidade, informações sobre o escoamento
superficial da estrada e concentração de poluentes no mesmo.
Área de Drenagem e Porcentagem Impermeável
. A área de drenagem da faixa-de-dominio
total da estrada (A) e a área do pavimento da estrada (AI) são necessárias. Ambos os valores
devem estar em hectares. (A) é a área da faixa-de-dominio total para o seguimento da estrada
contribuindo com poluição para os cursos d’água. (AI) é a área do pavimento impermeável da
estrada. A razão de (AI) por (A) iguala a fração impermeável do seguimento da estrada. Essa
razão é usada para calcular a vazão e o volume do escoamento superficial.
Características de chuvas
. As características de chuvas exigidas para calcular a carga de
massa incluem o Volume Médio (Vms) e o Intervalo Médio entre Eventos (Ts). Para a analise
do impacto sobre um curso d’água e analise do impacto sobre lagoas, outros parâmetros são
também requeridos.
O Número Médio de Tempestades por ano será também necessário para os cálculos
subsequentes para carregamento de massa. Este é igual às horas em um ano dividido pelo
intervalo médio, em horas, entre tempestades:
Ns = (365 x 24 ) / Ts
onde:
Ns= número médio de tempestades por ano;
Ts= intervalo médio entre tempestades (horas).
Concentrações de Poluentes no Escoamento Superficial de Estradas
. Determinação da taxa de
carregamento de poluentes requer a concentração mediana local dos poluentes e o coeficiente
de variação da concentração média do evento poluidor. A concentração mediana local é a
mediana da concentração média do evento. As tabelas 4.22 e 4.23 listam as concentrações
medianas locais para estradas urbanas e rurais. Estas tabelas podem ser usadas para
determinar valores iniciais das concentrações medianas locais baseadas no número de
veículos por dia. A Tabela 4.22 se aplica a estradas com uma média de mais de 30.000
veículos por dia. A Tabela 4. para menos de 30.000. Geralmente, o valor mediano mostrado
na tabela para 50% dos locais pode ser usado. Entretanto, deve se usar julgamento para ajustar
estes valores conforme o necessário. Um coeficiente de variação para a concentração mediana
local de 0,75 é geralmente uma boa estimativa para todos os locais de estradas e todos os
91
poluentes. Mais especificamente, 0,71 pode ser usado para estradas urbanas, enquanto 0,84
para rurais.
(A) Estradas Urbanas: Trafego médio diário usualmente mais de 30.000 veículos por dia.
Concentração Média Local (Cmed) mg/l
Porcentagem de locais possuindo uma CME média menor do que a concentração indicada.
Poluentes 10%
dos Locais
20%
dos Locais
50%
dos Locais
80%
dos Locais
90%
dos Locais
TSS 68 88 142 230 295
VSS 20 25 39 61 78
TOC 8 12 25 51 74
COD 57 72 114 179 227
NOC+3 0,39 0,49 0,76 1,18 1,48
TKN 1,06 1,27 1,83 2,62 3,17
PO4-P 0,15 0,21 0,40 0,76 1,06
Cobre 0,025 0,032 0,054 0,091 0,119
Zinco 0,192 0,231 0,329 0,469 0,564
Tabela 4.22- Concentrações Médias no Escoamento de Estradas Urbanas.
(B) Estradas Rurais: Trafego médio diário usualmente mais de 30.000 veículos por dia.
Concentração Média Local (Cmed) mg/l
Porcentagem de locais possuindo uma EMC média menor do que a concentração indicada.
Poluentes 10%
dos Locais
20%
dos Locais
50%
dos Locais
80%
dos Locais
90% dos Locais
TSS 12 19 41 90 135
VSS 6 7 12 19 25
TOC 4 5 8 13 17
COD 28 34 49 80 85
NOC+3 0,23 0,29 0,46 0,72 0,91
TKN 0,34 0,47 0,87 1,59 2,19
PO4-P 0,06 0,08 0,16 0,33 0,48
Cobre 0,010 0,013 0,022 0,038 0,050
Zinco 0,035 0,046 0,080 0,139 0,185
Tabela 4.23 - Concentrações Médias no Escoamento de Estradas Rurais.
Estas tabelas são baseadas em medidas de campo tomadas entre 1975 e 1985. Práticas
de estradas e mudanças nos veículos (mudanças nos combustíveis) através das décadas
poderiam resultar em mudanças nas concentrações relatadas acima.
92
Volume de Escoamento Superficial
. As equações seguintes determinam o volume de
escoamento superficial do evento médio de tempestade.
Vms = Rv x Hms x A x 10
onde:
Vms = volume de escoamento superficial para o evento de tempestade médio (m3);
Rv = coeficiente de escoamento superficial;
A = área de drenagem do seguimento de estrada (ha);
Hms = volume de chuvas para o evento de tempestade médio (mm).
Rv = ( 0,007 x I ) + 0,10
onde:
I é a porcentagem de impermeabilidade da área de drenagem;
Carga da massa de poluentes no Escoamento Superficial
. A carga de massa é calculada pela
multiplicação da concentração e do volume de escoamento superficial. O carregamento de
massa anual deve ser estimado pela multiplicação da carga do evento médio e o número de
eventos por ano. A carga de massa média por evento é o produto do volume de escoamento
superficial médio e a concentração média do evento médio para o local.
Até esse ponto, valores medianos foram usados para a concentração. A mediana
precisa ser convertida para a concentração média do evento médio para o local, como
mostrado abaixo:
Cm = Cmed x (1 + CV
2
)
1/2
onde:
Cm = Concentração Média no Evento (mg/l);
Cmed= Concentração mediana de poluentes local (mg/l);
CV = coeficiente de variação da concentração média do evento.
A carga de massa do evento médio é então calculada como mostrado abaixo:
Lm = Cm x Vms
1000
onde:
Lm=carregamento de massa de poluentes média (kg por evento)
O carregamento de massa anual do local da estada é calculado pela multiplicação da carga de
massa da tempestade média e o número de tempestades por ano.
La = Lm x Ns
onde:
La = carregamento de massa anual dos poluentes;
93
4.5 Estudos de Caso
4.5.1 Método de SCHUELER (1987) para um Trecho de Rodovia
A Rodovia Presidente Dutra ou BR-116 está sob jurisdição da União e atualmente é
administrada como uma concessão rodoviária pela Concessionária Nova-Dutra. Classificada
como uma rodovia longitudinal, de direção geral Norte-Sul, no trecho em estudo faz a ligação
entre os Estados do Rio de Janeiro e São Paulo.
O trecho selecionado está localizado no Município de Queimados, parte integrante do
Estado do Rio de Janeiro. Possui 2 pistas, divididas em 2 faixas de rolamento mais um
acostamento, além de um canteiro central cuja área será considerada também no estudo. A
faixa-de-domínio neste trecho possui 60 metros de largura.
As dimensões geométricas importantes a serem consideradas neste estudo são:
Características da Rodovia
Velocidade Máxima 100 km/h
Largura da Faixa de Rolamento 3,60 m
Largura do Acostamento Externo 3,00 m
Largura do Canteiro Central 6.80 m
Tabela 4.24 - Dimensões da Rodovia Presidente Dutra.
A importância desse trecho está no fato da estrada cruzar o Rio Guandu, o principal
recurso hídrico envolvido no abastecimento de águas para consumo da população da cidade
do Rio de Janeiro. Os poluentes presentes no escoamento superficial desta estrada podem
produzir uma carga poluidora considerável, que pode pôr em risco a saúde das populações
ribeirinhas que venham a usar o rio como fonte de águas para consumo, e prejudicar a vida
aquática e o meio-ambiente na área banhada por suas águas.
A partir da ponte que permite a estrada ultrapassar este escoamento concentrado, o
trecho escolhido possui 1480 metros. Para caracterização da área, um levantamento
topográfico foi realizado com uma Estação Total Topcon GTS-210.
A maior parte do trecho se desenvolve em aterro, sendo assim as águas que são
interceptadas pelo seu sistema de drenagem são, na prática, apenas aquelas que incidem sobre
a superfície do pavimento e área da faixa-de-domínio. Não há contribuição de águas
incidentes sobre taludes de corte próximos ao leito estradal, que seriam coletadas pelas
sarjetas. Também não há valetas de proteção da saia de aterro, sendo assim será necessário
94
propor um novo sistema de drenagem para que as águas sejam coletadas e levadas até o ponto
onde pretendemos instalar a BMP.
A área total considerada envolve todo o trecho de estrada e sua faixa-de-domínio,
incluindo o canteiro central. A área impermeável corresponde à superfície do pavimento
asfáltico da estrada. Encontramos então a porcentagem impermeável da área:
Área:
Total = Comprimento total do trecho x Largura da faixa-de-domínio
= 1600,00 metros x 60 metros = 96000,00 m
2
= 9,6 ha;
Asfaltada = Comprimento total do trecho x Largura total das faixas de Rolamento
= 1600 metros x (4 x 3,6 + 2 x 3,0) metros = 32.640,00 m
2
= 3,3 ha.
I = Área Total / Área Asfaltada x 100%
= 3,3 / 9,6 ha x 100% = 34,4 %
De posse do valor I calculado, pode-se determinar o coeficiente de escoamento superficial:
Rv = 0,05 + 0,009 x (34,4) = 0,36
O volume total de chuva precipitado sobre a região durante o período de um ano,
conforme observado anteriormente na apresentação dos dados de chuva correspondentes à
região analisada, é de:
Hr = 1772,5 milímetros
Considera-se que em 90% dos casos as chuvas produzem escoamento superficial apreciável.
Pj = 0,9
Estes dados permitem calcular agora a carga de poluentes anual para o trecho de
estrada considerado. Para cada constituinte poluidor utilizaremos o C correspondente
encontrado na tabela 4.23, obtendo pela fórmula proposta no método à carga individual para
cada um deles:
Fósforo Total: Lp = 25,7 kg/ano
Nitrogênio Total: Lp = 185,1 kg/ano
Demanda Química de Oxigênio: Lp = 6.933,4 kg/ano
Demanda Biológica de Oxigênio: Lp = 665,4 kg/ano
Zinco (Zn): Lp = 21,2 kg/ano
Cobre (Cu): Lp = 2,6 kg/ano
Foram obtidas desta forma as cargas anuais para os diversos constituintes através do
Método Simplificado.
95
4.5.2 Método do FHWA para um Trecho de Rodovia
Fazendo a aplicação ao estudo de caso já apresentado, inicia-se pela determinação do
número médio de eventos de tempestade ao longo do ano. Uma vez que não se dispõe dos
dados referentes ao intervalo médio entre chuvas, não será utilizada a fórmula do método para
a obtenção do número de eventos médio por ano. Será utilizado o número de dias em que
ocorreram eventos de chuva ao longo do ano como uma estimativa do número de eventos
anuais. A suposição é de que cada dia corresponde a um evento. Conforme discutido
anteriormente, para a região do estudo tem-se, então:
Ns = 117,4 eventos.
Em seguida passa-se para a determinação do volume médio de escoamento superficial
para cada um dos eventos de chuva. O coeficiente de escoamento superficial proposto para
este método precisa antes ser obtido. Como visto anteriormente, 34,4% correspondem à
porcentagem impermeável (I), então:
Rv = ( 0,007 x 34,4 ) + 0,10 = 0,341
O volume de chuvas para o evento médio de tempestade será obtido através do
conhecimento da precipitação anual total e a adoção do número de dias de chuva como
número médio de eventos de tempestade.
Hms = (1772,5)/117,4 = 15,1 milímetros.
Como visto anteriormente, a área total corresponde a um total de 9,6 ha. De posse destes
dados, o volume de escoamento é calculado:
Vms = 0,341 x 15,1 x 9,6 x 10 = 494,2 m
3
A estrada em questão possui trafego pesado, com mais de 30.000 veículos por dia.
Assim, utiliza-se a Tabela 4. que fornece a concentração mediana local (Cmed) para estradas
em locais urbanos O coeficiente de variação de concentração do evento médio e de 0,71 para
áreas urbanas.
Para cada constituinte calcula-se agora a CME, a carga de massa por evento e a carga de
massa anual.
96
Sólidos em Suspensão Totais:
Cmed = 142 mg/L
Cm = 142 x (1+0,71
2
)
1/2
= 174 mg/L
Lm = (174 x 494,2)/1000 = 86,0 kg/evento.
La = 86,0 kg/evento x 117,4 eventos = 10.095,3 kg/ano.
Demanda Química de Oxigênio:
Cmed = 114 mg/L
Cm = 114 x (1+0,71
2
)
1/2
= 140 mg/L
Lm = (140 x 494,2)/1000 = 69,2 kg/evento.
La = 69,2 kg/evento x 117,4 eventos = 8.122,7 kg/ano.
Nitrogênio Total:
Cmed = 2,59 mg/L
Cm = 2,59 x (1+0,71
2
)
1/2
= 3,17 mg/L
Lm = (3,17 x 494,2)/1000 = 1,57 kg/evento.
La = 1,57 kg/evento x 117,4 eventos = 184,3 kg/ano.
Fósforo Total:
Cmed = 0,40 mg/L
Cm = 0,40 x (1+0,71
2
)
1/2
= 0,49 mg/L
Lm = (0,49 x 494,2)/1000 = 0,24 kg/evento.
La = 0,24 kg/evento x 117,4 eventos = 28,4 kg/ano.
Cobre:
Cmed = 0,054 mg/L
Cm = 0,054 x (1+0,71
2
)
1/2
= 0,066 mg/L
Lm = (0,066 x 494,2)/1000 = 0,033 kg/evento.
La = 0,033 kg/evento x 117,4 eventos = 3,9 kg/ano.
Zinco:
Cmed = 0,329 mg/L
Cm = 0,329 x (1+0,71
2
)
1/2
= 0,403 mg/L
Lm = (0,403 x 494,2)/1000 = 0,200 kg/evento.
La = 0,200 kg/evento x 117,4 eventos = 23,5 kg/ano.
97
4.5.3 Método de AMY para um Reservatório de Detenção
O pôlder Alberto de Oliveira localiza-se na margem direita do rio Sarapuí, em ponto
próximo à sua confluência com o rio Iguaçu, pouco à montante do seu deságüe na baía de
Guanabara. A bacia contribuinte para o canal auxiliar possui uma área de 14,7 km² e uma
extensão de aproximadamente 7 km.
O sistema vem sofrendo com a redução do seu volume de armazenagem, pela ocupação
irregular da área destinada ao seu reservatório pulmão. Sucessivos loteamentos e aterros vêm
ocorrendo, na última década, na área originalmente projetada para o pôlder. O remanescente
do reservatório original possui, atualmente, cerca de 15% da área de projeto. Tal redução
drástica na capacidade de armazenamento do reservatório vem acarretando em sérios
alagamentos na região. A Figura 4.1 apresenta uma vista aérea do pôlder Alberto de Oliveira.
Figura 4.1- Áreas remanescentes e de projeto do pôlder Alberto de Oliveira.
Considerando a área do bairro de Olavo Bilac cujo escoamento contribui diretamente
para o Pôlder, apenas a avenida Pedro Lessa possui limpeza com freqüência aproximadamente
semanal. Segundo informação obtida junto a moradores locais que ali transitavam no dia do
levantamento de campo, as demais ruas do bairro não recebem estes serviços públicos, sendo
apenas as calçadas parcialmente varridas pelos próprios moradores.
98
Supõe-se que as ruas pertencentes à bacia de drenagem estejam completamente limpas
no primeiro dia de cálculo, isto é, o início da simulação aqui proposta. Supondo-se também
que ocorra uma deposição ou produção diária de sedimentos totais da ordem de 80 kg/ha e
que durante o ano hidrológico médio ocorra aproximadamente 10 eventos chuvosos de
magnitude igual ou maior que 1.27 cm (0.5 pol.) de precipitação efetiva, portanto que a
equação (4.15) se aplique e mais ainda arbitrando-se que o intervalo médio transcorrido entre
os eventos de chuva sejam da ordem de 8 dias. Com essa última hipótese estima-se que o total
de sedimentos depositados praticamente não se altere durante o transcorrer dos cálculos.
Pode-se fazer as seguintes contas aproximadas:
t =0 (início do período chuvoso); X
0
= 0.0 kg/ha.
Sedimentos acumulados após 7 dias:
X
7
= 7(80) = 560 kg/ha.
A eficiência de remoção normalmente utilizada na literatura é de 40%, isto é, e=0,4.
Todavia, como dito anteriormente, sabe-se que somente a avenida principal é varrida e como
foi adotado um intervalo de 8 dias, acredita-se que regionalmente a eficiência de limpeza seja
da ordem de 10%. Então:
S
7
= 0.10 (560) = 56 kg/ha
No oitavo dia , o total de sedimentos remanescentes será igual a :
X
8
= X
7
– S
7
+ x = 560 – 56 + 80 = 584 kg/ha.
Para o 1
o
evento chuvoso, a equação de lavagem do sedimento fica sendo:
Y
8
= [1-exp(-1.8(1.27))] 584 = 524 kg/ha.
O peso remanescente fica sendo 584 – 524 = 60 kg/ha.
Para o 2
o
evento chuvoso em seqüência, tem-se
X
15
= 560 + 60 (remanescente) = 620 kg/ha;
X
16
= X
15
– S
15
+ x = 620 – 62 + 80 = 638 kg/ha;
Y
16
= [1-exp(-1.8(1.27))] 638 = 574 kg/ha .
O peso remanescente fica sendo 638 – 574 = 64 kg/ha.
Os cálculos devem prosseguir para os demais oito passos de forma análoga aos passos
acima expostos. Verifica-se que o valor de Y
16
praticamente se repete para os demais (n-2)
eventos chuvosos. Vale ressaltar que o procedimento está baseado na hipótese que em um
ano hidrológico com características de precipitação média, ocorreram 10 eventos com
99
precipitação superior a 12.7mm de chuva. Para um melhor detalhamento, devem-se extrair do
banco de dados pluviométricos local ou de mapas de regionalização a lista de eventos de
chuva e seus intervalos de ocorrência para um melhor entendimento do padrão de chuvas
local.
A carga anual específica por unidade de área pode ser calculada como:
Y
ano
= S Y
i
(i = 1 até 10) ≅ 5740 kg/ha.ano
Para a região em estudo, cuja área de contribuição é de aproximadamente 715 ha, chega-se a
um valor para a contribuição anual de sedimentos ao reservatório de:
Y
total
≅ 4100 tons/ano
Em termos de volume basta dividir o peso total 4100 t/ano pelo peso específico médio
do sedimento (1,65 t/m
3
, amostra contendo principalmente areia), o que resulta em perda
anual de volume de cerca de 2.500m
3
, sabendo-se que o reservatório possui 170.000 m
3
de
volume útil (V = 200.000 m
2
x 0,85 m), correspondendo a 1,5% de sua capacidade.
100
4.5.4 Método de DRIVER e TASKER - Rio Carioca – Laranjeiras
A urbanização da cidade do Rio de Janeiro se caracterizou pela intensa modificação do
meio ambiente e de seus corpos d’água. Rivalizando com as culturas nativas, que se adaptava
ao ambiente, a colonização européia do século 16, tentou transformar em pouco tempo uma
região tropical em uma cidade aos moldes europeus. Isso significou a modificação do espaço
antes dotado de grande número de rios. Hoje, quase todos eles ou tiveram seus cursos
modificados, ou estão ocultos sob a forma de galerias pluviais, e ainda ha os que já não
existem.
Sob essa perspectiva o Rio Carioca se destaca. Com seu curso original passando pelos
locais mais antigos da cidade, ele acompanhou desde cedo as profundas mudanças no espaço
e sua história confunde-se com a da cidade.
O rio Carioca nasce, no Maciço da Tijuca. Atualmente só é visível a céu aberto da
nascente até o Largo do Boticário, em frente à Ladeira do “Ascurra”, depois corre por galerias
subterrâneas e na altura da Rua Barão do Flamengo, desemboca na Baia de Guanabara.
Sua
história é tão importante quanto à história do desenvolvimento da cidade, pois foi partindo da
sua localização que surgiram os primeiros bairros do Rio de Janeiro.
O nome “Carioca” fora dado por volta do ano de 1503, quando, num de seus braços
próximo ao morro da Viúva os portugueses edificaram uma casa de feitoria, apelidada pelos
índios tamoios de “Cari-Óca” (Casa de Branco). Onde existiu essa casa, desaparecida já no
século XVII, hoje está um prédio moderno na atual esquina da rua Cruz Lima com a Praia do
Flamengo.
Em 1719 foi construído o primeiro aqueduto ligando as encostas de Santa Teresa ao
Campo de Santo Antônio. O aqueduto conduzia a água até um chafariz todo de pedra com 16
bicas ornadas de carrancas e de bronze. Em 1740 foi construído um aqueduto mais longo,
mais alto e mais forte para levar a água mais perto dos moradores. Em 1750, foi inaugurado o
Aqueduto Carioca, construído pelos escravos, feito de pedra, cal, areia, tijolo e óleo de baleia,
com 270 metros de comprimento, 18 metros de altura média e com 42 arcos em estilo romano
clássico.
101
Figura 4.2 - Arcos da Lapa, aqueduto por onde passava o Rio Carioca.
No final do século XIX, o aqueduto perdeu sua função primeira, tornando-se via de
acesso ao bairro de Santa Teresa. Os bondinhos passaram a trafegar nos arcos, transportando
passageiros do Largo da Carioca para diferentes pontos do bairro.
Outra intervenção na Bacia do Rio Carioca ocorreu também no fim do século XIX. O
que agora é a Floresta da Tijuca não existia há menos de dois séculos. No lugar dela, o que
havia era um monte de plantações de cana-de-açúcar e café que aos poucos se estendeu por
toda a Serra da Carioca até a Floresta da Tijuca, causando a devastação de ambas.
A ação predatória causou a decadência dos cafezais, pelo rápido declínio da
produtividade, na primeira metade do Século XIX. Então D. Pedro II voltou-se para a Floresta
com o objetivo de obter água para a cidade. Em 1861, após a desapropriação de várias
fazendas, se iniciou o reflorestamento com o plantio de mais de 75 mil espécies de árvores
muitas delas oriundas de outros paises tropicais.
Atualmente, a Bacia do Rio Carioca possui uma ocupação heterogênea. Próximo a sua
nascente há áreas verdes como a Floresta da Tijuca que resistem ao avanço das favelas
enquanto ao longo de seu percurso, o rio cruza com uma das áreas mais urbanas da cidade
recebendo esgotos. Essa heterogeneidade na ocupação é também observada na qualidade da
água em cada trecho. Ou seja, o rio nasce com boa qualidade e adquire ao longo de seu
percurso as cargas poluidoras que o transformam em sua foz em um rio de cor escura e odor
desagradável.
Antes de chegar na praia do Flamengo o rio é duas vezes desviado. Sua vazão em
tempo seco é coletada pela CEDAE e lavada ao emissário submarino. A vazão excedente é
102
interceptada por uma galeria de cintura e desviada para uma estação de tratamento, depois de
passar pela estação o rio deságua na Baia de Guanabara.
Uso e ocupação
Os dados físicos e os mapas de uso e ocupação do solo foram obtidos de SCHLEE
(2001), incluindo um mapa do perfil do rio com diversas características do mesmo ao longo
de sua extensão. A fim de estudar os diferentes graus de poluição em função dos diferentes
tipos de ocupação, a bacia foi dividida em três regiões com características distintas. Cada uma
delas apresenta um estágio que vai da ausência de urbanização a uma região extremamente
urbanizada.
A primeira região está dentro do Parque da Tijuca, uma área de preservação ambiental
que abriga a Floresta da Tijuca. Visitando o local se observou uma floresta densa e a quase
ausência de ocupação. A única interferência humana que o rio sofre é o trem turístico que vai
do Cosme Velho ao Cristo Redentor. Sobre a qualidade do rio, foi observado primeiramente
que ele é límpido e sem odores fortes.
Figura 4.3 - Mapa do Parque da Tijuca
103
Figura 4.4 - Parque da Tijuca
Figura 4.5 - Rio passando pelo Parque da Tijuca
A segunda região é heterogênea e composta pelos bairros de Santa Tereza e Cosme
Velho, bairros tradicionais e nobres com predominância de casas, favelas, vias expressas
(Túnel Rebouças) e ainda um pouco de floresta. O limite desta região é o Largo do Boticário,
onde o rio passa a céu aberto pela última vez. É observada a mudança de qualidade da água,
pois neste ponto o rio é turvo e com odor desagradável, o que também foi confirmado pela
análise do laboratório.
104
A terceira região corresponde à planície da bacia, bastante urbanizada. O rio corre sob
as ruas até chegar na estação de tratamento no Parque do Flamengo. Entretanto antes de
chegar na praia do Flamengo o rio é duas vezes desviado. Sua vazão em tempo seco é
coletada pela CEDAE e lavada ao emissário submarino. A vazão excedente é interceptada por
uma galeria de cintura e desviada para uma estação de tratamento, depois de passar pela
estação o rio deságua na Baía de Guanabara.
Figura 4.6 - Próximo ao Largo do Boticário
Figura 4.7 - Comunidade dos Guararapes
Figura 4.8 - Estação de tratamento na praia do Flamengo
105
Tabela 4.25 - Uso e ocupação
Tabela 4.26 - Indicadores urbanos e sociais. Fonte PCRJ/IPP 2000-2002
Uso e ocupação Clima
Região descrição área I LUI LUC LUR LUN PD
nº de pav
edificações Temp Umidade
1 Parque da Tijuca 1 10 0 0 0 100 0 0 22,5°C 63%
2 mista (floresta, casas,favela) 1,8 65 < 1 4 46 40 9200 1-3 26,5°C 62%
3 extremamente urbana 5,1 80 < 1 26 61 13
2300
0 7-18 27,5°C 53%
Total AP1 % AP2 % AP3 % AP4 % AP5 %
Área territorial
(ha)
Área total construída
(m2)
Área residencial
(m2)
População total
(1996)
População favelas
(1996)
D
ensidade populacion
a
(hab/ha) (1996)
Área verde
(média/hab)
ISS
(1998)
ICMS
(1998)
IPTU
(1998)
AP1 - área do núcleo, setor leste
AP2 - setores sul e sudeste, incluindo o vale do rio Carioca
AP3 - setor norte
AP4 - setor oeste (exterior)
Ap5 - setor oeste (interior)
Planejamento Municipal de Áreas Urbanas (principais regiões da cidade)
Parâmetros
125528 3582.5 2.85 9898.4 7.88 20745.2 16.53 30352 24.18 60949.9 48.55
1.4E+08 1.8E+07 13.12 4E+07 30.3 43937926 31.88 18373389 13.33 15666071 11.37
9.7E+07 4572029 4.7 3E+07 34.78 31655358 32.53 15240996 15.66 11990241 12.32
5551538 282544 5.09 18.1 22977121E+06 41.39 575992 10.37 1390505 25.05
952429 83685 8.78 137902 14.48 505092 53.03 86157 9.06 139593 14.65
44.2 78.9 101.5 110.8 19 22.8
54.93 4.78 18.83 0.57 154.25
29.58 1.11E+08 13.57 378298587.5E+08 3.6E+08 48.35 2E+08 5.03 17216667 2.29
54.22
7.0629375812.2450905131.7813218465.1621468343.7518196334158972
4.4E+08 7.5E+07 17.19 2E+08 42.09 66360100 15.24 98264869 22.56 12705129 2.92
106
(CONAMA -
Parque da Tijuca -TP Fav. Guararapes-FG
Resolução Jul-Ago Jan Out Jul-Ago Jan Out
20/1986 e 1991 2001 2004 1991 2001 2004
Parâmetros
271/2000) FEEMA
SCHLEE
UFRJ FEEMA
SCHLEE
UFRJ
DBO (mg/l) 3.0 2 - 2.7 - - 9.7
OD (mg/l) < 6 8,6- 9,2 - - - - -
Coliformes Fecais 200 excelente
(NMP/100ml) 800 satisfatório
0 - 34 150 240 - 1,2 - 3,0 1100
Condutividade (mS/cm) - 80 - 83 60.5 - - 80 - 149 -
Ferro (mg/l) 0.3 - 0.04 - - 0,1 - 0,13 -
Nitrato (mg/l N-NO3) 10 1,3 - 2,0 1.25 - - 1,19 - 1,46 -
Nitrito (mg/l N-NO2) 1.0 0.001 - - - 0.07 -
pH 6,0 - 9,0 5,0 - 7,4 6.35 7.12 - 6,8 - 7,25 7.31
SST (mg/l) - - 20 - - 13
SSF (mg/l) - - 28 10 - 38 - 70 7
SSV (mg/l) - - 10 - 6
Nitrogênio total
(mg/l N)
- - 1.54 - - 1,48 - 2,4 -
Fósforo total (mg/l P) 0.025 0,01 - 0,04 0.01 - - 0,01 - 0,22 -
Amônia
(mg/l N-NH
3
/NH
4
)
0.02 - 0.003 - - 0,02 - 0,7 -
DQO (mg/l) - - 40 - - 91
Cor (PtCO) - - 46 - - 49
Turbidez (FAU) - - 9 - - 15
Tabela 4.27 - Parâmetros de qualidade. Fonte: FEEMA-RJ,
SCHLEE e LEMA/UFRJ
107
(CONAMA -
Largo do Boticário-LB Conde de Baependi - CB Parque do Flamengo - FP
Resolução Jul-Ago Jan Out Jul-Ago Jan Out Jul-Ago Mar Out
20/1986 e 1991 2001 2004 1991 2001 2004 1991 2001 2004
Parâmetros
271/2000) FEEMA
SCHLEE
UFRJ FEEMA
SCHLEE
UFRJ FEEMA FEEMA UFRJ
DBO (mg/l)
3.0 2,0 - 3,6 - 17.4 20 - 60 - 20 - 50 80 20.3
OD (mg/l)
< 6 7,8 - 8,8 - - 3,2 - 4,4 - 1,6 - 2,0 0.4 -
Col.Fecais
200 excelente
(NMP/100ml)
800 satisfatório
16000 - 500000 3000 - 2400000 2400 160000 - 1600000 - 160000 - 1600000 > 16000000 2400
Condutividade (mS/cm)
- 209 - 416 274 - 416 - 270 - 300 - 300 - 560 - -
Ferro (mg/l)
0.3 - 0,08 - 1,02 - - - - - -
Nitrato (mg/l N-NO3)
10 2,2 - 4,0 0,86 - 2,7 - 0,02 - 1,7 - 0,02 - 0,06 - -
Nitrito (mg/l N-NO2)
1.0 0,02 - 20 0,1 - 0,4 - 0,01 - 0,4 - 0,003 - 0,2 - -
pH
6,0 - 9,0 6,9 - 7,3 6,5 - 7,5 7.12 6,5 - 7,5 - 6,2 - 7,3 - 7.09
SST (mg/l)
- - 38 - - 61
SSF (mg/l)
- - - 7 - - - - 13
SSV (mg/l)
- - 31 - - 48
Nitrogênio total
(mg/l N)
- - - - - - - - - -
Fósforo total (mg/l P)
0.025 0,1 - 1,54 1,2 - 2,4 - 1,2 - 2,4 - - 1,2 - 2,4 - -
Amônia
(mg/l N-NH
3
/NH
4
)
0.02 - - - - - - - - -
DQO (mg/l)
- - 127.5 - - 217.5
Cor (PtCO)
- - 51 - - 174
Turbidez (FAU)
- - 20
- - 45
Tabela 4.28 - Parâmetros de qualidade. Fonte; FEEMA-RJ, SCHLEE e LEMA/UFRJ
108
Carga (Kg) Pq Tijuca Mista Ultra urbana
DQO 130.86 297.23 929.84
SS 229.77 762.18 4187.86
DS 0.00 0.00 0.00
TN 731.37 2887.95 5361.93
TKN 3.24 3.80 5.26
TP 0.61 2.33 9.39
DP 1.15 1.10 1.23
CD 0.00 0.00 0.00
CU 2.52 7.23 29.29
PB 0.41 4.04 12.09
ZN 0.34 0.36 0.98
Tabela 4.29 - Resultado final da aplicação do método de Driver e Tasker
109
Capítulo 5 – Geração Sintética de Polutogramas
5.1 Introdução
Nos capítulos anteriores foram abordados diversos tópicos relativos à origem e
caracterização dos poluentes acumulados nas diversas paisagens urbanas. No capítulo 4
foram apresentados alguns dos métodos empíricos disponíveis, para avaliação da
produção de poluentes durantes as enxurradas. Estas metodologias, particularizadas ou
não, são capazes de fornecer cargas ou concentrações para eventos hidrológicos isolados
ou totalizações anuais, podendo ser úteis, quando conhecidas às condições físicas
climáticas dos locais monitorados, para uma avaliação preliminar da produção de
poluentes de bacias “semelhantes”. A partir deste ponto se faz necessário estabelecer
relações de transferência do material acumulado para o escoamento superficial
propriamente dito. Isto pode ser alcançado através dos polutogramas ou dos gráficos de
descarga, que relacionam as variações temporais das concentrações ou das cargas
lançadas no sistema de drenagem. Os polutogramas podem ser diretamente obtidos
através de levantamentos de campo, juntamente com os hidrogramas e hietogramas
correspondentes ou indiretamente através de uma metodologia teórica ou semi-empírica
que forneça as funções de lavagem ou “washoff”. Este capítulo apresenta uma nova
maneira de construir um polutograma sintético, que servirá como condição de contorno
essenciais ao funcionamento dos modelos de transporte de poluentes ou modelos de
qualidade de água. A definição do que é um sistema “first flush”, agora se mostra
oportuna para que seja despertado o interesse neste tipo de medida estrutural de controle
de poluição. Logo a seguir é apresentado, a título ilustrativo, um modelo clássico de
cálculo transferência de poluentes acumulados nas ruas.
5.2 Sistema do Tipo First Flush
O que é um sistema tipo “first flush” e quando tal sistema deve ser usado?
Um sistema do tipo “first flush” (SFF) ou da “primeira carga de lavagem” coleta
os primeiros 10 a 20 mm de escoamento superficial durante o evento chuvoso, de forma
separada do escoamento que se segue. O escoamento coletado é considerado como
aquele potencialmente mais poluído e por isso deve ser encaminhado para uma estação
de tratamento de águas residuais para estabilização ou então é armazenada para
110
posterior coleta na categoria de resíduo perigoso. Este SFF deve ser usado em todos os
pontos de coleta da rede de drenagem pluvial onde a fonte seja potencialmente
poluidora. Os poluentes potenciais comumente coletados em SFF incluem
hidrocarbonetos dos combustíveis e óleos, patogênicos das fezes de animais, pesticidas
e herbicidas de parques e jardins, e nutrientes dos fertilizantes. Estes escoamentos
líquidos são rapidamente variados, aliada a esta dificuldade computacional tem-se
também que distribuição temporal das concentrações, para pequenas bacias ou pequenas
redes coletoras, muitas vezes exibe um comportamento especial que é a antecipação do
pico do polutograma em relação ao pico do hidrograma. Para um canal de drenagem
único o funcionamento do SFF é de concepção simples, bastando projetar uma única
saída ou derivação do canal principal para a bacia coletora, que deve possuir um
dispositivo hidráulico de interrupção de fluxo e um ramal de desvio de emergência.
Agora, em uma rede de canais onde cada ramal possua forma, declividade e rugosidade
diferentes e áreas de drenagem heterogêneas, pode ser necessária a utilização de
modelos de simulação para estabelecer critérios e parâmetros técnicos, tanto para o
dimensionamento do sistema de derivação quanto a sua melhor localização geográfica
dentro da malha.
5.3 Funções de Lavagem ou “Wash-off”
O modelo de lavagem de partículas apresentado por SARTOR e BOYD (1972)
utiliza a intensidade da chuva na previsão do carregamento de sedimentos depositados
em superfícies impermeáveis. O modelo é dado pela seguinte expressão:
0
() (1 )
krt
Nt N e
−
⋅⋅
=− (5.1)
onde
N = lavagem dos sedimentos das ruas (gramas/metro de sarjeta)
N
0
= carga inicial de sedimentos, antes do evento chuvoso (gramas/m-sarjeta)
e = constante exponencial (2,718)
k = constante de proporcionalidade (/mm)
r = intensidade da chuva (mm/h)
t = duração da chuva (h)
A constante de proporcionalidade, k, é uma variável subjetiva escolhida pelo
usuário do modelo. Para que o modelo produza resultados confiáveis, a constante de
proporcionalidade deve ser calibrada no local de estudo. Sartor e Boyd comentaram que
111
a constante k é ligeiramente dependente da textura e condições dos pavimentos e
independente da intensidade da chuva e tamanho das partículas. Eles recomendaram o
valor de 0.18/mm para que ocorra 90% da lavagem da carga de sedimentos das ruas
durante um evento hidrológico de 13 mm/h de chuva efetiva.
Enquanto o modelo (5.1) incorpora tanto a intensidade e duração da chuva em
sua estimativa, ele diretamente não relaciona o acumulo e lavagem dos sedimentos com
a intensidade da chuva. Para contabilizar exclusivamente o efeito da intensidade nas
quantidades lavadas, NOVOTNY e CHESTERS (1981) desenvolveram um fator de
disponibilidade (A). A razão deste fator é isolar a quantidade de sedimentos realmente
disponíveis para o carregamento, dada a energia relativa da chuva. O fator de
disponibilidade é dado por:
1.1
0.057 0.04( )Ar
=+
(5.2)
O produto do fator de disponibilidade e a carga total de sedimentos inicial N
0
fornecem a carga de sedimentos suscetível para a lavagem devido a uma dada
intensidade de chuva. O modelo de Sartor e Boyd pode ser agora traduzido pela
expressão
0
() (1 )
krt
Nt AN e
−
⋅⋅
=⋅ − (5.3)
Para todas as intensidades maiores ou iguais a 18 mm/h, o fator de
disponibilidade é igual a 1,0.
112
5.4 Curvas de Massa
Antes da apresentação da metodologia de geração de um polutograma sintético,
se faz necessário mostrar a seqüência de cálculo necessária para a confecção da curva de
massa M(V). A variação das taxas de massa de poluentes durante as enxurradas em
sistemas de drenagem é descrita por meio de duas curvas: A hidrógrafa Q(t) e o
polutograma C(t) para cada poluente considerado. De forma a permitir um estudo
comparativo das taxas de transporte de massa de diferentes eventos, se faz necessária
uma representação adimensional do fenômeno, BERTRAND-KRAJEWSKI et al.
(1998). Esta representação consiste no traçado de curvas que fornecem a variação da
massa de poluente acumulada dividida pela massa total de poluente em relação ao
volume acumulado dividido pelo volume total. A partir de N medições da vazão Q
i
e
concentração C
i
a cada intervalo
i
t
∆
, e assumindo-se que Q e C variem linearmente
entre duas medições, a seguinte curva M(V) pode ser construída
111
111
jjj
ii i i i i
iii
NNN
ii i i i i
iii
CQ t Q t V
ff
CQ t Q t V
===
===
⎛⎞⎛⎞
∆∆
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
==
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
∆∆
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∑∑∑
∑∑∑
(5.4)
onde N é o número total de medições, j é o índice de 1 a N, e V
i
é o volume
descarregado durante o intervalo de tempo
i
t
∆
. Tal curva M(V) pode ser vista na figura
5.1. As setas indicam como desenhar cada ponto da curva M(V) a partir da hidrógrafa e
do polutograma. Os detalhes numéricos são apresentados no artigo original.
113
Figura 5.1 – Exemplo de traçado da curva M(V) para SST, extraído de BERTRAND-
KRAJEWSKI et al. (1998)
114
5.4.1 Análise das Curvas M(V)
Cada curva M(V) pode ser aproximadamente ajustada por uma função de
potência
()
b
FX X
=
(5.5)
onde
[0,1], (0) 0 e (1) 1,XF F∈== como já proposto por PHILIPPE e RANCHET
(1987) apud BERTRAND-KRAJEWSKI et al. (1998). Um ajuste experimental entre
M(V) e F(X) é usualmente satisfatório, com um coeficiente de correlação
2
0,9.r
≥
O
valor do parâmetro b caracteriza a defasagem entre a curva M(V) e a bissetriz.
5.5 Geração de um Polutograma Sintético
Na grande maioria das bacias hidrográficas dos centros urbanos brasileiros, os
polutogramas ou curvas de descarga sólida não estão desponíveis. Todavia é bastante
comum a existência de hidrogramas medidos ou de hidrogramas sintéticos. Este último
é mais utilizado nos cálculos de segurança dos vertedores de grandes aproveitamentos
hidroelétricos. Como já mencionado anteriormente, pode-se proceder a execução de
diversas campanhas de monitoramento (que é o ideal) ou então partir-se para a geração
de um polutograma sintético - PS. Apesar de apresentar resultados imediatos, o PS é
uma abstração matemática a ser utilizada apenas em cálculos preliminares, necessitando
fortemente de comprovação e calibração com dados experimentais no local de estudo.
A figura 5.1 mostra a seqüência natural de cálculo da curva M(V), obedecendo o
sentido de cima para baixo em ambos os lados do fluxograma. Propõe-se inverter parte
do fluxo original de forma a se partir de uma hidrógrafa conhecida e proceder os
cálculos contornando-se agora o fluxograma no sentido horário, até que se obtenha o
polutograma sintético, segundo a seqüência abaixo idealizada:
a)
A partir das características da bacia hidrográfica e da chuva, gera-se um
hidrograma sintético ou adota-se um hidrograma de projeto através de uma
metodologia bem estabelecida –
Gráfico 2
;
b)
De posse do hidrograma determina-se a curva de volumes acumulados - V(t)
–
Gráfico 4
;
115
c)
Determinar a curva normalizada de volumes acumulados, dividindo-se os
valores dados em (b) pelo volume total escoado durante o evento –
V(t)/Vtotal –
Gráfico 6
;
d)
Utilizando a equação (5.5), adota-ser um valor para o coeficiente b, de forma
a obter uma determinada curva de distribuição de massa do poluente versus o
volume escoado. A posição relativa entre as curvas normalizada de massas
M(t) e de volumes acumulados definirá a posição relativa entre os picos de
concentrações e de vazão, e principalmente as relações entre massa e volume
escoados num determinado intervalo preestabelecido –
Gráfico 7
e)
Determina-se a curva de massa acumulada normalizada versus tempo,
utilizando as mesmas posições temporais dadas nos itens (a), (b) ou (c) –
Gráfico 5
;
f)
Aplica-se o método de DRIVER e TASKER (capítulo 4) para se obter o
valor da CME ou escolhe-se um valor tabelado representativo (capítulo 4) ;
g)
Calcula-se a massa total transportada através do produto da CME (mg/L)
pelo volume total escoado (m
3
);
h)
Multiplica-se cada valor da curva obtida em (e) pela massa total obtida em
(g) e obtém-se a curva de massa desacumuladas M(t) –
Gráfico 3
;
i)
Finalmente dividi-se os valores individuais de massa M(t) obtida em (h), pelo
volume correspondente gerando o polutograma Sintético C(t) –
Gráfico 1
;
O procedimento proposto é apresentado na figura 5.2. Uma planilha contendo
dados e resultados para um estudo de caso hipotético é mostrada na figura 5.3.
5.6 Exemplo de Cálculo
De forma a exemplificar os procedimentos propostos, idealizou-se um
hidrograma triangular como representativo da micro bacia em foco. As características
deste hidrograma são: (a) vazão de base 0
base
Q
=
; (b) tempo total de subida e descida
200 min
total
T
=
; (c) vazão de pico
3
20 m /s em 100 min
pico
QT==
; (d) Volume total
escoado
3
( ) 120000 m
total
VT =
.
116
Hidrograma Triangular
0.000
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
0 50 100 150 200 250
Tempo (min)
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
0 50 100 150 200 250
Tempo (min)
Volume acumulado V(t) (m3)
0.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000
0 50 100 150 200 250
Tempo (min)
V(t) / Volume Total
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
X: Volume acumulado / Vol Total
Y: Massa acumulada / Massa Total
0.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000
0 50 100 150 200 250
Tempo (min)
M(t) / Massa Total
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
0 50 100 150 200 250
Tempo (min)
Massa Desacumulada (kg)
CME=25.78 mg/l
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
120.0
0 50 100 150 200
Tempo (min)
Concentração C(t)
1
3
5
4
2
6
7
Figura 5.2
117
5.7 Planilha de Cálculo
TempoVazão Volume Acum Acum Norm Bissetriz Y=X^b Acum Polu Desacum Massa C(t)
(min) (m3/s) (m3) (m3) 0 (kg) (kg) Desacum (mg/l)
0 0 0 0 0.0000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00 0.0000
5 1 150 150 0.0013 0.025 0.025 0.0523 0.0048 0.0048 14.72 98.1524
10 2 450 600 0.0050 0.050 0.050 0.0910 0.0144 0.0097 29.91 66.4633
15 3 750 1350 0.0113 0.075 0.075 0.1259 0.0276 0.0132 40.75 54.3394
20 4 1050 2400 0.0200 0.100 0.100 0.1585 0.0437 0.0161 49.91 47.5344
25 5 1350 3750 0.0313 0.125 0.125 0.1895 0.0625 0.0188 58.05 43.0022
30 6 1650 5400 0.0450 0.150 0.150 0.2192 0.0837 0.0212 65.49 39.6919
35 7 1950 7350 0.0613 0.175 0.175 0.2480 0.1071 0.0234 72.40 37.1298
40 8 2250 9600 0.0800 0.200 0.200 0.2759 0.1326 0.0255 78.90 35.0662
45 9 2550 12150 0.1013 0.225 0.225 0.3032 0.1601 0.0275 85.06 33.3552
50 10 2850 15000 0.1250 0.250 0.250 0.3299 0.1895 0.0294 90.93 31.9046
55 11 3150 18150 0.1513 0.275 0.275 0.3560 0.2207 0.0312 96.56 30.6532
60 12 3450 21600 0.1800 0.300 0.300 0.3817 0.2536 0.0330 101.98 29.5583
65 13 3750 25350 0.2113 0.325 0.325 0.4069 0.2883 0.0347 107.21 28.5890
70 14 4050 29400 0.2450 0.350 0.350 0.4318 0.3246 0.0363 112.28 27.7226
75 15 4350 33750 0.2813 0.375 0.375 0.4563 0.3625 0.0379 117.20 26.9416
80 16 4650 38400 0.3200 0.400 0.400 0.4804 0.4019 0.0394 121.98 26.2325
85 17 4950 43350 0.3613 0.425 0.425 0.5043 0.4428 0.0409 126.64 25.5848
90 18 5250 48600 0.4050 0.450 0.450 0.5279 0.4852 0.0424 131.20 24.9897
95 19 5550 54150 0.4513 0.475 0.475 0.5513 0.5291 0.0438 135.64 24.4405
100 20 5850 60000 0.5000 0.500 0.500 0.5743 0.5743 0.0453 140.00 23.9313
105 19 5850 65850 0.5488 0.525 0.525 0.5972 0.6187 0.0444 137.29 23.4683
110 18 5550 71400 0.5950 0.550 0.550 0.6199 0.6601 0.0414 128.01 23.0643
115 17 5250 76650 0.6388 0.575 0.575 0.6423 0.6987 0.0386 119.27 22.7172
120 16 4950 81600 0.6800 0.600 0.600 0.6645 0.7345 0.0359 110.96 22.4163
125 15 4650 86250 0.7188 0.625 0.625 0.6866 0.7678 0.0333 103.01 22.1536
130 14 4350 90600 0.7550 0.650 0.650 0.7085 0.7987 0.0308 95.37 21.9232
135 13 4050 94650 0.7888 0.675 0.675 0.7302 0.8271 0.0284 87.97 21.7206
140 12 3750 98400 0.8200 0.700 0.700 0.7518 0.8532 0.0261 80.78 21.5421
145 11 3450 101850 0.8488 0.725 0.725 0.7732 0.8770 0.0238 73.78 21.3848
150 10 3150 105000 0.8750 0.750 0.750 0.7944 0.8987 0.0216 66.93 21.2465
155 9 2850 107850 0.8988 0.775 0.775 0.8155 0.9181 0.0195 60.21 21.1253
160 8 2550 110400 0.9200 0.800 0.800 0.8365 0.9355 0.0173 53.60 21.0197
165 7 2250 112650 0.9388 0.825 0.825 0.8574 0.9507 0.0152 47.09 20.9284
170 6 1950 114600 0.9550 0.850 0.850 0.8781 0.9638 0.0131 40.66 20.8505
175 5 1650 116250 0.9688 0.875 0.875 0.8987 0.9749 0.0111 34.30 20.7850
180 4 1350 117600 0.9800 0.900 0.900 0.9192 0.9840 0.0090 27.99 20.7314
185 3 1050 118650 0.9888 0.925 0.925 0.9395 0.9910 0.0070 21.72 20.6891
190 2 750 119400 0.9950 0.950 0.950 0.9598 0.9960 0.0050 15.49 20.6577
195 1 450 119850 0.9988 0.975 0.975 0.9799 0.9990 0.0030 9.29 20.6369
200 0 150 120000 1.0000 1.000 1.000 1.0000 1.0000 0.0010 3.09 20.6266
0 3093.60
400 120000 CME
b= 0.8 3093.60 25.78
Figura 5.3 – Planilha EXCEL contendo o procedimento proposto
118
5.8 Conclusões
De forma simplificada, pode-se dizer que a metodologia proposta para a
confecção do polutograma sintético possui as seguintes características:
a)
A área do polutograma é igual ao produto da CME pelo volume total escoado;
b)
Preserva o comportamento hidrológico da bacia em estudo, pois utiliza um
hidrograma localmente monitorado ou ajustado por metodologia própria;
c)
A CME foi determinada a partir de um modelo empírico, no caso em especial
escolheu-se o método de DRIVER e TASKER (1990) pois ele é resultado da
regressão múltipla de centenas de medições de eventos históricos;
d)
Inicialmente, a escolha do parâmetro b=0.8 foi feita de forma arbitrária, mais tão
logo se disponha de algumas medições locais, não esquecendo que cada poluente
possui um b próprio, pode-se proceder uma calibração deste coeficiente;
e)
A utilidade imediata deste tipo de procedimento de geração sintética de um
polutograma é a possibilidade de se avançar na etapa de planejamento da
implantação de medidas estruturais efetivas de controle de poluição. Pelo fato da
CME variar de bacia para bacia e de evento para evento, acredita-se que o
polutograma sintético não ofereça maiores incertezas do que outros modelos
mais sofisticados, principalmente na fase inicial de viabilidade técnica do
empreendimento;
f)
A metodologia emprega um quantidade de dados básicos mínima, o que é
altamente desejável.
119
Capítulo 6 – Modelos Numéricos de Transporte de Poluentes
6.1 Modelos Matemáticos de Transporte de Poluentes
6.1.1 Leis de Conservação
Para mostrar que as leis de conservação têm origem em princípios físicos,
considera-se um problema bem simples de dinâmica dos fluidos, em que um líquido ou
gás flui através de um tubo unidimensional com uma velocidade conhecida u(x,t), que
se assume variar apenas com a distância x ao longo do tubo e com o tempo t. Em
problemas típicos de dinâmica dos fluidos deve-se considerar o movimento do fluido,
isto é, a função velocidade u(x,t), como parte da solução, mas em todos os exemplos
deste trabalho, assume-se que este campo de velocidades já é conhecido a priori e se
deseja simplesmente modelar a concentração ou densidade de alguma espécie química
presente no fluido (presente em pequenas quantidades que não afetam a dinâmica dos
fluidos). Seja q(x,t) ou
φ
(x,t) a densidade ou concentração deste traçador químico, a
função que se deseja determinar, LEVEQUE (2002).
Para os intervalos de tempos
0t >
, existe a densidade de massa
φ
(x,t) bem
conhecida, tal que a massa total
(,)mt
Ω
no domínio
Ω
para o instante de tempo t é dada
por:
(,) (,)mt xtdV
φ
Ω
Ω
=
⋅
∫
(6.1)
Em geral, a densidade deve ser medida em unidades de massa por unidades de
volume, por exemplo, gramas por metro cúbico, mas quando se estuda um tubo ou canal
unidimensional com variações apenas em x, é mais natural assumir que
φ
(x,t) é medido
em unidades de massa por unidade de comprimento, isto é, gramas por metro. Esta
densidade pode ser obtida multiplicando-se a função densidade tridimensional pela área
da seção transversal do tubo. Então a seguinte integral
[]
2
12
1
massa em , no tempo ( , )
x
x
x
xtxtdx
φ
=
∫
(6.2)
representa a massa total do traçador na seção do tubo entre x
1
e x
2
em um tempo
particular t e possui unidade de massa. Em problemas onde ocorre cinética química,
freqüentemente é necessário medir a massa em termos de moles ao invés de gramas, e a
120
densidade em moles por metro ou moles por metro cúbico, uma vez que a consideração
mais importante não é a massa do constituinte e sim o número de moléculas presentes.
Considerando um seção do tubo
12
x
xx
<
< e a forma que a integral (6.2) varia
com o tempo. Caso se estude uma substância que não é criada ou destruída nesta seção,
então a massa total dentro da seção pode mudar somente devido ao fluxo de partículas
através dos extremos da seção localizados em x
1
e x
2
. Seja ( )
i
Ft a taxa com a qual o
fluxo de traçador passe pelo ponto fixo x
i
para i=1,2. Por convenção ( ) 0
i
Ft>
corresponde a um fluxo para a direita, enquanto ( ) 0
i
Ft
<
significa um fluxo na direção
oposta, de | ( ) |
i
Ft gramas por segundo. Uma vez que a massa total na seção
[
]
12
,
x
x varia
apenas devido ao fluxo pelos pontos ou nós extremos, tem-se:
2
12
1
(,) () ()
x
x
d
x
tdx Ft F t
dt
φ
=−
∫
(6.3)
Note que tanto
12
() e ()Ft Ft+−representam afluxos para a seção.
A equação (6.3) é a forma integral básica da lei de conservação. A taxa de
variação da massa total é devida apenas aos fluxos através dos extremos. Para dar
continuidade, é necessário determinar como as funções de fluxo
()
j
Ft
estão
relacionadas com
φ
(x,t), de forma que se obtenha uma equação que possa ser resolvida
para
φ
. No caso de escoamento fluido, o fluxo em cada ponto x no tempo t é
simplesmente o produto da densidade
φ
(x,t) pela velocidade u(x,t):
fluxo de massa em ( , ) ( , ) ( , )
x
tuxtxt
φ
=
(6.4)
A velocidade diz como as partículas estão se movendo pelo ponto x e a
densidade
φ
informa quantas gramas de um composto químico um “metro” de fluido
contém, então o produto, medido em grama por segundo, é a taxa de passagem do
composto químico por este ponto.
Sabendo que u(x,t) é uma função conhecida, pode-se escrever a função fluxo
como:
fluxo ( , , ) ( , )
f
xt uxt
φ
φ
==
(6.5)
Em particular, se a velocidade é independente de x e t, então
(,)uxt u
=
é alguma
constante, logo pode-se escrever:
121
fluxo ( )
f
u
φ
φ
== (6.6)
Neste caso o fluxo em qualquer ponto e tempo pode ser diretamente determinado
a partir do valor da quantidade conservada naquele ponto e não depende de forma
alguma da localização do ponto no espaço e no tempo.
Para uma função de fluxo
()
f
φ
que dependa apenas do valor de
φ
, pode-se
reescrever a lei de conservação (6.3) como:
2
12
1
(,) (( ,)) (( ,))
x
x
d
x
tdx f x t f x t
dt
φφφ
=−
∫
(6.7)
O lado direito desta equação pode ser reescrito a notação padrão do cálculo,
LEVEQUE (2002):
2
2
1
1
(,) ((,))
|
x
x
x
x
d
xtdx f xt
dt
φφ
=−
∫
(6.8)
Esta equação deve ser válida em cada intervalo [x
1
,x
2
] para valores arbitrários de
x
1
e x
2
. Todavia, não esta claro como se achar a função
φ
(x,t) que satisfaça tal condição.
Ao invés de se atacar este problema diretamente, geralmente transforma-o em uma EDP
manipulável por técnicas padrão. Para fazê-la, deve-se assumir que as funções
φ
(x,t) e
f(
φ
) são suficientemente suaves que as seguintes manipulações sejam validas.
Assumindo-se que
φ
e f são funções suaves, então a equação (6.8) pode ser
reescrita como:
22
11
(,) ((,))
xx
xx
d
x
tdx f xt dx
dt x
φφ
∂
=−
∂
∫∫
(6.9)
ou, fazendo mais algumas modificações chega-se a:
2
1
(,) ((,)) 0
x
x
xt f xt dx
tx
φφ
∂∂
⎡⎤
+=
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
∫
(6.10)
Uma vez que esta integral deve ser zero para todos os valores x
1
e x
2
, tem-se que
o integrando deve ser identicamente zero. Finalmente, isto fornece a equação diferencial
(,) ((,)) 0xt f xt
tx
φφ
∂∂
+=
∂∂
(6.11)
122
A equação (6.11) é chamada a forma diferencial das leis de conservação.
Qaundo as derivadas parciais são denotadas por subscritos, e equação (6.11) pode ser
reescrita como:
(,) ((,)) 0
tx
xt f xt
φ
φ
+= (6.12)
6.1.2 Equação de Advecção
Para a função de fluxo (6.6), a lei de conservação (6.12) se torna:
0
tx
u
φ
φ
+= (6.13)
Esta equação é chamada de equação de advecção, uma vez que ela modela a
advecção de um traçador ao longo da corrente fluida. Por traçador entende-se uma
substância química que esta presente em pequenas concentrações na massa fluida, de
maneira que a magnitude da concentração não tenha essencialmente qualquer efeito
sobre a dinâmica do fluido.
A equação (6.13) é uma EDP escalar, linear, de coeficiente constante do tipo
hiperbólica. A solução geral desta equação é facilmente determinada. Qualquer função
suave da forma
(,) ( )
x
txut
φφ
=−
(6.14)
satisfaz a equação diferencial (6.13), como pode ser facilmente verificada. Deve-se
notar que
(,)
x
t
φ
é constante ao longo de qualquer raio espaço-temporal para o qual
constante
x
ut−=
. Ao longo do raio
()
X
txut
=
+
o valor de
((),)
X
tt
φ
é igual a
0
()
x
φ
.
Os valores de
φ
são simplesmente transportados com velocidade constante
u
, uma vez
que o fluido no tubo (daí a massa do traçador se movendo com o fluido) é igualmente
transportando. Esses raios X(t) são chamados de características da equação. De forma
geral, as curvas características para uma EDO são curvas ao longo dais quais a equação
é simplificada de uma maneira particular. Para a equação (6.13), verifica-se que ao
longo de X(t) a derivada temporal de
((),)
X
tt
φ
é
( (),) ( (),) () ( (),) 0
txtx
d
Xt t Xt t X t Xt t u
dt
φφ φ φφ
′
=+ =+=
(6.15)
e a equação (6.13) se reduz a uma equação diferencial ordinária trivial
0
d
Q
dt
=
123
Para encontrar uma solução particular de (6.13), necessita-se das condições
iniciais e condições de contorno para determinar uma função particular
φ
em (6.14).
Considerando primeiramente o caso de um tubo infinito sem extremidades, de tal sorte
que a equação (6.13) seja valida para
x
−
∞< <∞
. Então para determinar
(,)
x
t
φ
de
forma única para todos o tempos
0
tt>
é preciso saber a condição inicial no tempo
0
t
,
isto é, a distribuição das concentrações (densidades) inicial. Supondo-se conhecida esta
distribuição na forma
0
0
(, ) ()
x
tx
φφ
=
(6.16)
onde
0
()
x
φ
é uma função dada. Então pelo fato de que
φ
deve ser constante em cada
característica, pode-se concluir que
0
0
(,) ( ( ))
x
txutt
φφ
=−−
(6.17)
para
0
tt≥
. O perfil inicial
0
()
x
φ
simplesmente se desloca para a direita (se 0
u >
) ou
para esquerda (se
0
u
<
) com velocidade u .
Caso o tubo tenha comprimento finito,
axb
<
<
, então deve-se também
especificar a densidade do traçador que entra a montante do tubo como função do
tempo. Por exemplo, se
0
u >
então deve-se especificar a condição de contorno em
x
a=
, da forma
00
( , ) ( ) para
x
tgt tt
φ
=≥
(6.18)
em conjunto com a condição inicial
0
( , ) ( ) para .
x
tx axb
φφ
=<<
(6.19)
A solução fica sendo então
00
0
00
( ( ) / se ( )
(,)
( ( )) se ( )
gt x a u a x a ut t
xt
x
ut t a ut t x b
φ
φ
−− <<+ −
⎧
⎫
⎪
⎪
=
⎨
⎬
−− +−<<
⎪
⎪
⎩⎭
(6.20)
124
6.1.3 Coeficientes Variáveis
Quando a velocidade do fluido
u
é variável, pode se substituir diretamente o
fluxo dado pela expressão (6.5). Como resultado obtêm-se a expressão geral de
conservação da massa na forma:
(,) (()) 0
tx
xt ux
φ
φ
+
=
(6.21)
Neste caso, as curvas características X(t) correspondem às soluções da seguinte EDO
() ( ())
X
tuXt
′
=
(6.22)
Partindo de um ponto inicial arbitrário x
0
, pode-se resolver a equação (6.22) com
a condição inicial X(0)= x
0
para se obter uma particular curva característica X(t). Essas
curvas acompanham o movimento de partículas materiais conduzidas pelo fluido, uma
vez que suas velocidades em qualquer tempo se igualam à velocidade do fluido. Ao
longo da curva característica a equação (6.21) simplifica-se em:
((),) ((),) ()((),)
( ( ))
( ( ( ) ) ( ( ))
( ( )) ( ( ), )
x
x
x
t
t
t
d
X
tt Xtt Xt Xtt
dt
uXt
uXt u Xt
uXt Xtt
φφ φ
φφ
φ
φφ
φ
′
=+
=+
′
=+ −
′
=−
(6.23)
Quando u é constante, as “curvas” não são mais segmentos de reta e as soluções
φ
não são constantes ao longo das curvas. O operador
tx
u
∂
+∂é freqüentemente
chamado de derivada material, uma vez que ele representa a diferenciação ao longo da
curva característica, e daí calcular a taxa de variação observada pela partícula material
se movendo com o fluido.
A equação (6.21) é a equação de advecção na forma conservativa. Para algumas
aplicações é mais natural utilizar a forma não conservativa da equação de advecção
(,) () 0
tx
xt ux
φ
φ
+
=
(6.24)
Qualquer uma das formas (6.14) ou (6.24) são freqüentemente achadas, depende
simplesmente em que unidades estão sendo medidas as quantidades físicas, por exemplo
se medirmos a concentração em gramas por metro como foi assumido acima (resultando
em (6.21)), ou se usarmos gramas por metro cúbico, que é a definição mais razoável
para a concentração, nos leva a (6.24).
125
O “Problema de Cauchy” é definido pela equação (6.21) no domínio
x
−∞ < < ∞ , 0t ≥ em conjunto com a condição inicial
0
(,0) ()
x
x
φφ
= (6.25)
Conforme mostrado na equação (6.17), a solução é simplesmente
0
( , ) ( ) para 0
x
txut t
φφ
=− ≥ (6.26)
O “Problema de Cauchy
” consiste na busca de como uma variável de estado se
desenvolve dada uma função qualquer no espaço, que apenas define o perfil da variável
de estado no tempo t=0. A evolução será diferente, dependendo de qual sistema de
equações diferenciais é escolhido. Este problema é muito pesado para se resolver
algebricamente, para tal serão utilizadas técnica numéricas tradicionais e modernas.
Enquanto as soluções clássicas de EDP devem ser funções suaves
(diferenciáveis até certo ponto), as fórmulas apresentadas podem ser usadas mesmo
quando os valores iniciais
0
φ
não são suaves. Se os dados têm uma singularidade
(descontinuidade em alguma derivada) em um ponto x
0
, então uma ou mais variáveis
características também terão uma singularidade neste ponto.
As leis de conservação em conjunto com dados constantes por partes, possuindo
uma descontinuidade simples, são conhecidas como problemas de Riemann. O
“Problema de Riemann
” consiste então na resolução de uma descontinuidade no perfil
da variável de estado. Imagine que exista um reservatório de rejeitos, localizado em
uma das margens de um de rio, com uma barreira que previna o escape destas
substâncias. Dentro da barreira o líquido é bastante denso ou tóxico e as variáveis de
estado possuem um conjunto particular de valores, e de outro lado da barreira à água
natural do rio não é tão densa e por isso as variáveis de estado recebem outro conjunto
particular de valores. Resolver o problema de Riemann é modelar o que acontece em
uma situação de contato quando a tal barreira é removida.
0
0
(,0)
l
r
x
x
x
φ
φ
φ
<
>
⎧
⎫
=
⎨
⎬
⎩⎭
(6.27)
A forma da solução dependerá da relação entre u
r
e u
l
. Em caso de sistemas de
equações lineares, que não é o tema desta dissertação, uma abordagem mais completa
pode ser vista em LEVEQUE (1992, 2002).
126
6.1.4 Difusão e a Equação de Advecção-Difusão Unidimensional
Supondo-se agora que o fluido no tubo não está escoando e possui velocidade
zero. Então, de acordo com a equação de advecção 0
t
φ
=
e o perfil inicial
0
0
t
φ
=
não
sofre mudança com o tempo. Todavia, se
0
t
φ
não é constante no espaço, então haverá
uma tendência gradual de mudança devido a difusão molecular. As moléculas
individualmente estão se agitando e pulando em diferentes direções, ou seja, as
moléculas que estamos rastreando vão tender a ficar espalhada pela massa fluida, assim
como uma gota de tinta se difunde. Vai existir um saldo de movimento da região onde a
densidade é maior para as regiões onde ela é menor. A Lei de ‘Fick’ para a difusão
afirma que o balanço do fluxo é proporcional ao gradiente de
φ
, que no espaço
unidimensional é simplesmente a derivada
x
φ
. O fluxo no ponto x agora depende do
valor de
x
φ
neste mesmo ponto, mais do que o valor de
φ
, então se escreve
fluxo de ( ) ,
xx
f
D
φ
φφ
==− (6.28)
onde D é o coeficiente de difusão. Usando (6.28) em (6.11) fornece
,
xx
t
D
φ
φ
= (6.29)
que é conhecida como a equação da difusão, LEVEQUE (2002).
Em alguns problemas o coeficiente de difusão pode variar com x. Então
()
x
f
Dx
φ
=− e a equação pode ser escrita como
(())
xx
t
Dx
φ
φ
= (6.30)
Num escoamento fluido mais geral deve ocorrer simultaneamente o fenômeno
de advecção e de difusão. Desta forma o fluxo é expresso por
(, )
xx
f
uD
φ
φφφ
=− ,
resultando na equação de advecção- difusão AD
tx xx
uD
φ
φφ
+=
(6.31)
As equações de difusão e de advecção-difusão são exemplos de uma classe mais
geral de EDP chamadas parabólicas.
127
6.1.5 Termos de Fonte
Em algumas situações a massa
2
1
(,)
x
x
x
tdx
φ
∫
varia devido a outros efeitos além
dos fluxo pelas extremidades da seção, quando há alguma fonte ou sumidouro de
substância dentro da seção. Para esta fonte pode-se denotar a função de densidade por
(,,)
x
t
ψ
φ
. Valores negativos de
ψ
correspondem aos sumidouros de massa. Então, a
equação de conservação (6.9) fica agora acrescida de um termo extra de fonte,
22 2
11 1
(,) ((,)) ((,),,)
xx x
xx x
d
x
tdx f xt dx xt xtdx
dt x
φφψφ
∂
=+
∂
∫∫ ∫
(6.32)
Isto leva a seguinte EDP
(,) ((,)) ((,),,)
tx
x
t f xt xt xt
φ
φψφ
+
=
(6.33)
6.1.6 Termos de Fonte – Efeitos Externos
Supondo que exista uma fonte externa geradora de massa ou com efeito de
diluição, como por exemplo a decomposição de matéria orgânica no fundo do rio ou a
entrada de água límpida pelo lençol freático respectivamente, distribuída ao longo to
tubo com densidade
ψ
. Então obtém- se a expressão
(,).
tx xx
uD xt
φ
φφψ
+= +
(6.34)
Esta equação assume que a fonte de massa é independente do atual valor da
concentração existente no tubo. Em alguns casos a força que a fonte exerce sobre o
sistema pode depender do valor da própria concentração
φ
já existente.
6.1.7 Termos de Fonte - Reação
Em muitas aplicações estão relacionadas à substância não-conservativas, tal
como a DBO exercida pelos efluentes de esgotos domésticos ou o calor dos efluentes
térmicos de usinas nucleares. Uma vez que várias destas substâncias podem ser
consideradas sujeitas a um decaimento de primeira ordem, torna-se útil uma análise para
avaliar numericamente os efeitos do termo de decaimento. Considerando uma
substância cuja taxa de decaimento em um corpo hídrico estacionário é dado por
d
dt
φ
µ
φ
=−
(6.35)
128
e supondo que uma substância seja lançada em
M
unidades de massa por unidade de
tempo em um rio cuja vazão seja Q. A jusante da zona de mistura inicial, a equação
advecção- difusão-reação ADR fica da forma
tx xx
uD
φ
φφµφ
+= −
(6.36)
Supondo agora que existam diferentes espécies de substâncias químicas sendo
transportadas pelo escoamento fluido, caso ocorra reação entre elas, à massa de cada
espécie individualmente não será conservada. Tem-se então a equação ADR para cada
espécie, incluindo o termo de fonte advindo da reação de cinética química. Supondo-se
a advecção de uma substância de concentração medida
1
φ
, que decai por ação da luz
solar, dito fotodecaimento, a uma taxa
µ
em um composto diferente com concentração
2
φ
. Caso este decaimento ocorra em um fluido escoando a velocidade
u
, então obtém-
se um sistema de duas equações com seus termos
11 1
22 1
tx
tx
u
u
φ
φµφ
φ
φµφ
+=−
+=+
(6.37)
As equações (6.37) podem assumir a forma ( )
tx
U
φ
φψφ
+
=
, em que a matriz de
coeficientes U é diagonal com ambos os elementos iguais a
u
. Este é um sistema
hiperbólico com termo de fonte. Geralmente, pode-se ter m espécies com várias reações
químicas (ou biológicas) ocorrendo simultaneamente. Tem-se então formado um
sistema com m equações ADR (com matriz diagonal de coeficientes
()UuI=
e os
termos de reação dados pelas equações de cinética química.
Se existirem variações espaciais das concentrações, então as equações (6.37)
devem ser complementadas por termos que correspondam ao fenômeno da difusão para
cada espécie. Isto deve levar a um sistema de equações ADR da forma:
()
tx xx
UD
φ
φφψφ
+= +
(6.38)
O coeficiente de difusão pode ser diferente para cada espécie, que no caso D
deve ser uma matriz diagonal em lugar de um escalar.
129
6.1.8 Equação Adevcção Difusão Reação e Produção
Somando os efeitos já vistos e expressos pelas equações (6.34) e (6.38) obtêm-se
a advecção-difusão-reação-produção (ADRP) da forma:
() (,)
tx xx
UD xt
φ
φφψφψ
+= + +
(6.39)
6.1.9 Modelo de Transporte de Poluentes
A equação ADRP é uma equação diferencial parcial que descreve o
espalhamento de substâncias sujeitas aos fenômenos de advecção, difusão, reação
(decaimento ou mortalidade) e produção (fonte ou sumidouro), usualmente quando uma
substância ou compostos orgânicos encontra-se dissolvidos ou em suspensão em um
meio fluido.
Advecção é o termo usada para descrever como uma substância é conduzida ou
transportada pela massa fluida em escoamento. Por exemplo, o óleo provindo de um
derramamento é transportado pela superfície do mar devido as correntes produzidas
pelos ventos e marés. Algumas vezes este movimento também é chamado de convecção,
todavia esta denominação ficará reservada aos problemas exclusivamente de
transferência de calor.
Difusão é o espalhamento de uma substância devido a colisões moleculares
aleatórias, ou devido a forças de magnitude tais como vorticidade ou turbulência.
Todavia, este fenômeno merece um capítulo especial, o que foge ao escopo deste
trabalho, para maiores informações vide FISCHER et al. (1979).
A reação (decaimento ou mortalidade) descreve a forma pela qual uma
substância pode ser deplecionada, por exemplo, uma mancha de óleo pode coagular ou
decantar no fundo do mar ou pode evaporar pela superfície. É mais comum encontrar
este termo com a denominação de coeficiente de decaimento.
A produção pode se manifestar através de fontes ou sumidouros, podendo seu
ente causador ser de origem externa (ex. cargas poluentes de fontes difusas ou pontuais)
ou internas (ex. sedimentação; adsorção por flocos de sedimentos). É mais comum
encontrar este termo com a denominação de coeficiente de produção.
Desta forma então, a equação ADRP pode ser usada para modelar diversas
situações envolvendo transporte por advecção, dispersão, decaimento e produção.
130
A equação ADRP com coeficientes constantes em um espaço unidimensional, no
caso de um poluente individual, pode ser dada pelas seguintes EDP na forma não
conservativa, SMITH (1999, 2000):
22
22
x
txxxx xxx
f
g
uD
tx x xx
ou
uD fg
φφ φ
µφ ψ
φφ φµφψ
∂∂ ∂ ∂∂
+− +=++
∂∂ ∂ ∂∂
+− +=++
(6.40)
na maioria dos modelos de transporte de poluentes os termos e
xxx
f
g da equação (6.40),
que correspondem aos efeitos de forças de campo, não são considerados. Em sistemas
naturais como rios e canais, é comum ocorrer à variação da seção transversal de
escoamento. Introduzindo esta nova informação na segunda expressão de (6.40), chega-
se a
() ( )
(,)
x
AuA
AD A xt
txx x
φφ φ
µφ ψ
∂∂ ∂ ∂
⎛⎞
+−⋅+=⋅
⎜⎟
∂∂∂ ∂
⎝⎠
(6.41)
O termo
(,)
A
xt
ψ
⋅
da equação (6.41) pode ser desmembrado em duas partes, a
primeira correspondendo a fontes que atuam nas superfícies e uma segunda referente a
fontes pontuais, obtendo-se
() ( )
()
xp
s
f
AuA A
AD A
txx x h
φφ φ
µφ ψ ψ ψ
∂∂ ∂ ∂
⎛⎞
+−⋅+=−+⋅
⎜⎟
∂∂∂ ∂
⎝⎠
(6.42)
onde
(,)
x
t
φ
representa a concentração da substância química, densidade ou número de
organismos vivos [ML
-3
, mg/l, ppm ou colônias/100ml]; u é a velocidade média do
escoamento na direção x [LT
-1
, m/s]; A é a área da seção transversal ao escoamento [L
2
];
D
x
é o coeficiente de difusão ou dispersão longitudinal [L
2
T
-1
, m
2
/s];
µ
é o coeficiente
de decaimento (ou taxa de reação) [T
-1
, dia
-1
]; e
s
b
ψ
ψ
, são fontes planares atuante na
superfície e no fundo [ML
-2
T
-1
];
p
ψ
são os coeficientes de produção pontuais [ML
-3
T
-
1
]; h(x,t) é a profundidade do escoamento [L]; x e t são as coordenadas espacial e
temporal.
131
Para o escoamento que se processa em um canal aberto, a equação da continuidade é
dada por
0
AuA
tx
∂∂
+=
∂∂
(6.43)
Substituindo a equação (6.43) em (6.42), obtém uma expressão de aplicação
mais geral, que será o modelo matemático principal a ser resolvido por diversos
esquemas numéricos propostos neste trabalho
()
1
s
f
x
p
uAD
txAx x h
ψ
ψ
φφ φ
µ
φψ
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
−
∂∂ ∂ ∂
+= ⋅ −+ ±
∂∂ ∂ ∂
(6.44)
Resumindo, na equação (6.44) cada termo a seguir representa
t
φ
∂
∂
dependência temporal da concentração
φ
;
u
x
φ
∂
∂
transporte por advecção;
2
2
x
D
x
φ
∂
∂
transporte por difusão ou dispersão;
µ
φ
decaimento ou reação de primeira ordem;
,(,)
Sf
x
t
ψ
ψ
fontes de superfície e fundo de ordem zero;
h
profundidade média na seção; e
(,)
p
x
t
ψ
fontes ou sumidouros pontuais de ordem zero.
Por existir uma variedade de aplicações que podem ser modeladas pela equação
ADRP, torna esta equação muito importante e a necessidade de se obter soluções para
esses problemas justificam seu estudo.
Aplicações do mundo real da equação ADRP são inúmeras. Elas aparecem em
oceanografia, poluição de rios e estuários, águas subterrâneas, atmosfera e também em
física e botânica, maiores detalhes vide SCULLEN (1992), ZHENG (1995).
132
6.1.10 Equação ADRP para Águas Subterrâneas
Pelo fato de existir uma vasta literatura relativa às aplicações de EDP do tipo
ADRP em problemas de poluição em águas subterrâneas, são importantes apresentá-la,
mesmo que de forma sintética. A equação governante é dada por
222
222
bxyzb
S
qD D D S
ttx x y z
φφφφφ
θ
ρθθθθλφρλ
∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+=−+ + + −−
∂∂∂ ∂ ∂ ∂
(6.45)
onde:
φ
= concentração do poluente dissolvido [M soluto/L
3
água]
S = concentração devida a adsorção [M soluto/M sólidos]
x, y, z = coordenadas espaciais [L]
t = tempo [T]
e
θ
= teor de saturação de água [L
3
água / L
3
meio poroso]
b
ρ
= densidade do meio [M sólidos / L
3
meio poroso]
q = fluxo de Darcy [M / T]
, ,
xyz
DDD
= coeficientes de dispersão nas direções principais [L
2
/ T]
λ
= coeficiente de decaimento de primeira ordem [T
-1
]
Concentração na fase de adsorção
Assumindo que o fenômeno de adsorção se processe segundo uma isoterma de
sorção linear
d
SK
φ
=
(6.46)
onde
K
d
é coeficiente de partição para sorção linear [L
3
/M]. Definindo o fator de
retardação,
R
, como:
1
b
d
R
K
ρ
θ
=+
(6.47)
a equação governante (6.45) pode ser escrita como:
222
222
xyz
R
qD D D R
tx x y z
φφ φ φ φ
θ
θθθθλφ
∂∂ ∂ ∂ ∂
=− + + + −
∂∂ ∂ ∂ ∂
(6.48)
dividindo tudo por
θ
:
222
222
xyz
R
uD D D R
txx yz
φφ φ φ φ
λ
φ
∂∂∂ ∂ ∂
=− + + + −
∂∂∂ ∂ ∂
(6.49)
133
onde:
q
u
θ
=
velocidade média da água no escoamento subterrâneo
dividindo (6.49) por
R
leva a:
222
222
'''
'
xyz
uD D D
txxyz
φφφφφ
λ
φ
∂∂∂∂∂
=− + + + −
∂∂∂∂∂
(6.50)
onde:
'
'
'
'
x
y
z
x
y
z
uuR
DDR
DDR
DDR
=
=
=
=
Nota sobre os coeficientes de dispersão
Os coeficientes de dispersão são definidos como a soma da dispersão mecânica e
os coeficientes de difusão
*
*
*
L
TH
TV
x
y
z
q
DD
q
DD
q
DD
α
θ
α
θ
α
θ
=+
=+
=+
(6.51)
onde:
L
α
= dispersividade longitudinal [L]
TH
α
= dispersividade horizontal transversa [L]
TV
α
= dispersividade vertical transversa [L]
*
D = coeficiente de difusão efetiva [L
2
/T]
134
6.1.11 Técnicas Numéricas para Solução das Equações ADRP
Várias técnicas têm sido utilizadas para resolver as equações ADRP. Podem-se
citar as técnicas analíticas, método dos elementos finitos (MEF), método das diferenças
finitas (MDF), métodos dos elementos de contorno (MEC), método dos volumes finitos
(MVF), método das características (MOC), Métodos de Ajuste Polinomial, métodos
híbridos do tipo Euleriano-Lagrangeano (ex. operator splitting methods-OSM,
Localized Adjoint Method-ELLAM), métodos Lagrangeanos ou método de partículas
(random walk particle method-RWPM, discrete puff particle method-DPPM),
Essentially nonoscillatory schemes (ENO), Weighted essentially nonoscillatory schemes
(WENO), Runge-Kutta Discontinuous Galerkin methods, etc. O manual de métodos
numéricos e analíticos para solução de diversas EDO e EDP apresenta um completo, na
respectiva data de publicação, levantamento das técnicas mais conhecidas e suas
principais referências, vide ZWILLINGER, (1992).
Cada método apresenta suas vantagens e limitações. Os métodos Eulerianos
(MDF, MEF, MVF, MEC), trabalham em um sistema de coordenadas fixas, que na
maioria dos casos permite uma computação simples. Os métodos Lagrangeanos seguem
o movimento natural do fluxo das massas de água, o que permite uma pronta simulação
da advecção da massa carregada pelo escoamento. PINDER e GRAY (1977) notaram
que as soluções numéricas da equação ADRP são caracterizadas por dois fenômenos
principais: oscilação (over- ou undershoot) e dispersão numérica. Estes fenômenos estão
bastante relacionados. Quando um esquema numérico é desenvolvido para minimizar a
dispersão numérica, aparece a oscilação, mas quando a oscilação é controlada, isto
geralmente se faz às custas de um aumento da dispersão numérica. Os métodos
Lagrangeanos são efetivos na eliminação da dispersão numérica (O’NEILL, 1981;
THOMSON et al., 1984), em particular no caso na simulação de transporte onde o
termo convectivo é dominante. Para diminuir a dispersão numérica e eliminar as
oscilações, notavelmente com frente de onda abrupta, alguns pesquisadores têm
proposto diferentes técnicas de ponderação para o uso do método Euleriano.
135
6.1.12 Equação Modificada
A dedução da equação dita modificada (WARMING e HYETT, 1974) tem-se
mostrado uma ferramenta muito útil e básica para a análise de esquemas de diferenças
finitas para problemas dependentes do tempo, na maioria dos casos mais não
exclusivamente, do tipo hiperbólico. Embora limitada para aplicações simples, ela
permite uma análise rigorosa do erro de truncamento, onde os erros dispersivos e
difusivos são claramente identificados. Desta forma, novos esquemas podem ser
sistematicamente comparados com aqueles bem conhecidos na literatura. Esta
abordagem pode ser usada para a construção de novos esquemas no qual determinados
tipos de erro específicos estão ausentes (até uma certa ordem de precisão).
O erro de truncamento local é determinado verificando-se o quão bom à solução
verdadeira da equação diferencial satisfaz as equações discretizadas. A equação
modificada é a equação diferencial parcial que é realmente resolvida quando o MDF é
aplicado a EDP original.
De forma ilustrativa, segue abaixo a reprodução de parte do texto original de
WARMING e HYETT (1974).
“Este trabalho descreve uma técnica para avaliar várias qualidades ou
propriedades de uma equação análoga de diferenças finitas de uma dada equação
diferencial parcial. Estas qualidades incluem a ordem de precisão, consistência,
estabilidade, dissipação e dispersão. Esta técnica envolve a determinação da real EDP
que esta sendo resolvida numericamente, fora o erro de arredondamento, pela aplicação
de um dado método de diferenças para resolver um problema de valor inicial. A
equação real é chamada de equação modificada. Ela é derivada pela expansão de cada
termo da equação de diferenças finitas em série de Taylor e então se elimina a derivada
temporal acima da primeira ordem maior, as derivada mistas espaciais pelo método
descrito na seção 1. É enfatizado que, ao contrário da prática comum, a EDP original
não deve ser usada para eliminar estas derivadas. Embora a equação modificada possua
uma infinidade de termos, apenas os primeiros termos de ordem mais baixa precisão ser
computado”. “Os termos que aparecem na equação modificada que não constam da
EDP original representam um tipo de erro de truncamento. Estes termos permitem a
determinação por simples inspeção da ordem de precisão e consistência de uma
aproximação por diferenças finitas”.
136
6.2 Método das Diferenças Finitas
6.2.1 Introdução
O MDF é de fácil compreensão, é razoavelmente simples em seus conceitos e
por isso é de imediata aplicação. Isto não quer dizer de forma alguma que a pesquisa,
escolha e aplicação de um bom esquema de solução em diferenças finitas para a
solução precisa e rápida de uma EDP seja uma tarefa simples. Como todos os métodos
numéricos, o MDF é arbitrariamente preciso – sua acerácea é limitada apenas pelo
número de casas decimais que o compilador pode armazenar para um dado valor, e pela
velocidade que ela pode ser calculada. O método é robusto, isto quer dizer que os
resultados produzidos podem ser considerados corretos, sabendo-se que o
comportamento da função Diferença Finita que esta sendo utilizada é bem conhecida
(estabilidade, atenuação e defasagem de pico são pontos chaves para a fidelidade dos
resultados). São facilmente codificados, são técnicas iterativas e por isso requerem
apenas um conhecimento básico de uma linguagem de programação de alto nível.
Uma vez que o MDF é uma técnica “iterativa”, em que a cada passo se introduz
apenas um pequeno erro. O resultado final é que o valor da função em todos os pontos
do domínio no tempo desejado esta sujeito a esses erros, e como tal é apenas uma
aproximação. Porém, esta aproximação pode ser o quanto precisa se deseje fazendo
passos de cálculo pequenos o bastante e sendo limitados apenas pelo recurso
computacional usado na implementação do problema.
A simples escolha de um esquema numérico não é suficiente, sendo necessário
um exame do esquema utilizado para resolver uma EDP específica, segundo as
propriedades de estabilidade, consistência e convergência, ROACHE (1972).
6.2.2 Conceitos Básicos
O fundamento do método das diferenças finitas – MDF é que funções de
argumentos contínuos, que descrevem o escoamento, são aproximadas por funções
definidas em um número finito de pontos dentro do domínio considerado. Para maiores
detalhes sobre o MDF sugere-se a leitura de textos clássicos como ROACHE (1972),
ORTEGA e POOLE (1981), ANDERSON et al. (1984), ABBOTT (1989), SMITH
(1980).
137
Princípio: as derivadas presentes na equação diferencial parcial são aproximadas
por combinações lineares dos valores da função nos pontos nodais
O espaço de solução unidimensional do MDF é dado por
(0, ), ( ) 0,1, ,
pontos nodais tamanho da malha
ii
i
XxiN
X
xix x
N
φ
φ
Ω= ≈ =
=
∆∆=
…
Do cálculo básico temos que
0
()()
lim
x
x
xx
xx
φ
φφ
∆→
∂+∆−
=
∂∆
(6.52)
No MDF, todavia,
x
∆ não é infinitamente pequeno; de fato,
x
∆ representa um
comprimento de significado físico importante. Com base no que foi dito, suponha três
pontos espaçados de uma distância
x
∆
.
Considerando
x
∆ constante, pode-se escrever as seguintes relações para uma
função
φ
11
00
11
0
( ) () () ( )
lim lim
()()
lim
2
ii ii
xx
ii
x
i
x
xxx
xx x
xx
x
φφ φφ
φ
φφ
+−
∆→ ∆→
+−
∆→
−−
∂
⎛⎞
==
⎜⎟
∂∆ ∆
⎝⎠
−
=
∆
(6.53)
6.2.2.1 Avaliação da Derivada Primeira
A expansão em série de Taylor para a função
φ
é dada por
()
( ) C ([0, ])
!
n
n
i
n
i
xx
x
X
nx
φ
φφ
∞
⎛⎞
−
∂
=∈
⎜⎟
∂
⎝⎠
∑
(6.54)
De onde se pode tirar
∆x
i
1ii+1
∆x
138
22 33
11
23
() ()
:
26
ii
i
ii
xx
Tx
xx x
φφφ
φφ
+
⎛⎞ ⎛⎞
∂∆∂ ∆∂
⎛⎞
=+∆ + + +
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
…
(6.55)
22 33
21
23
() ()
:
26
ii
i
ii
xx
Tx
xx x
φφφ
φφ
−
⎛⎞ ⎛⎞
∂∆∂ ∆∂
⎛⎞
=−∆ + − +
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
…
(6.56)
A ordem de aproximação ou erro de truncamento podem ser estimados com o
uso da expansão de uma função por série de Taylor. Matematicamente, significa que a
derivada é avaliada por uma expressão e o erro cometido nesta aproximação é da ordem
de ( )
m
x
∆ , sendo m igual a 1 ou 2 nestes casos.
Tem-se então as seguintes fórmula de diferenças finitas
a)
diferença progressiva com erro de truncamento
[]Ox
∆
22
1
1
3
23
:
(
6
)
2
ii
i
i
i
T
xx
xx
xx
φ
φ
φ
φφ
+
⎛⎞ ⎛⎞
∆∂
−
∂
⎛⎞
=
⎜⎟
∂∆
⎝⎠
∆∂
−
−+
⎜⎟ ⎜⎟
∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
…
(6.57)
b)
diferença regressiva com erro de truncamento
[]Ox
∆
22
1
2
3
23
:
(
)
26
ii
i
i
i
T
xx
xx
xx
φ
φφ
φ
φ
−
⎛⎞ ⎛⎞
∆∂
−
∂
⎛⎞
=
⎜⎟
∂∆
⎝⎠
∆∂
+
−+
⎜⎟ ⎜⎟
∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
…
(6.58)
c)
diferença central com erro de truncamento
2
[( ) ]Ox∆
23
1
12
3
1
:
)
(
62
ii
i
i
TT
x xx
x
φφ
φ φ
+−
−
∂
⎛⎞
−=
⎜⎟
∂
⎛⎞
∆∂
−
+
⎜⎟
∂
⎝⎠
∆
⎝⎠
…
(6.59)
A interpretação geométricas dessas diferenças é mostrada na figura 6.1
Figura 6.1 – Interpretação geométrica das diferenças finitas básicas
∆
x
∆
x
exata
regressiva
progressiva
central
φ
Interpretação geométrica
139
6.2.2.2 Avaliação da Derivada Segunda
Normalmente, a segunda derivada espacial é aproximada por esquema de
diferença centrada, obtida pela combinação linear dos polinômios T
1
e T
2
, da forma
2
2
11
12
22
2
( )
()
iii
i
TT Ox
xx
φφφ
φ
+−
⎛⎞
−+
∂
+→ = +∆
⎜⎟
∂∆
⎝⎠
(6.60)
ou de maneira alternativa
(
)
(
)
2
12 12
2
0
11
11
2
lim
2
()
ii
x
iiii
iii
i
i
xx
xxx x
xx
xx
φφ
φφ
φφφφ
φ
φφ
+−
∆→
+−
+
−
∂∂
∂∂
−
⎛⎞
∂⎡∂∂⎤
⎛⎞
==
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
∂∂∂ ∆
⎝⎠
⎣⎦
⎝⎠
−−
−
−+
∆∆
≈=
∆∆
(6.61)
Para o caso de coeficientes variáveis onde
() ()xdx
x
φ
φ
∂
=
∂
é o fluxo difusivo
11
12 12
12 12
12 1 12 12 12 1
2
()
()
ii ii
ii
ii
ii i i iii
i
dd
x
x
xx x
dddd
x
φ
φφφ
φφ
φ
φφφ
+
−
+−
+−
++ + − −−
−
−
−
−
∂
⎛⎞
∆∆
≈=
⎜⎟
∂∆ ∆
⎝⎠
−+ +
=
∆
(6.62)
6.2.2.3 Aproximação de Ordem Alta
Através de ajustes polinomiais chega-se as seguintes relações, KUZMIN (2004)
a)
Diferença regressiva para a primeira derivada
3
112
236
()
6
iiii
i
Ox
xx
φφφφ
φ
+−−
+− +
∂
⎛⎞
=
+∆
⎜⎟
∂∆
⎝⎠
(6.63)
b)
Diferença progressiva para a primeira derivada
3
112
63 2
()
6
iiii
i
Ox
xx
φφφφ
φ
+−−
−+− −
∂
⎛⎞
=
+∆
⎜⎟
∂∆
⎝⎠
(6.64)
c)
Diferença centrada para a primeira derivada
4
2112
88
()
12
iiii
i
Ox
xx
φφφφ
φ
++−−
−+ − +
∂
⎛⎞
=
+∆
⎜⎟
∂∆
⎝⎠
(6.65)
d)
Diferença centrada para derivada segunda
2
4
21 12
22
16 30 16
()
12( )
iiiii
i
Ox
xx
φφφφφ
φ
++ −−
⎛⎞
−+ − + −
∂
=
+∆
⎜⎟
∂∆
⎝⎠
(6.66)
140
6.2.3 MDF Aplicado a Equação de Advecção
A título de clareza repete-se abaixo a equação de advecção (6.13), cuja solução
numérica pelo MDF é a seguir explorado:
0u
tx
φ
φ
∂∂
+=
∂∂
(6.67)
A partir deste ponto o termo
u
passa a representar a velocidade média
u
.
6.2.3.1 Métodos Explícitos de Euler
Os seguintes métodos explícitos de um nível de tempo
Progressivo no espaço
1
1
0
nn nn
ii ii
u
tx
φφ φφ
+
+
−−
+
=
∆∆
(6.68)
Centrado no espaço
1
11
0
2
nn nn
ii ii
u
tx
φφ φφ
+
+−
−−
+
=
∆∆
(6.69)
possuem respectivamente erros de truncamento de
[, ]Otx
∆
∆
e
2
[,()]
Ot x∆∆
, portanto
esquemas com precisão de primeira ordem, uma vez que o termo de mais baixa ordem
no erro de truncamento é de primeira ordem. Quando a análise de estabilidade de von
Neumann é aplicada a esses esquemas, infelizmente descobre-se que são
incondicionalmente instáveis, ANDERSON
et al.
(1984).
6.2.3.2 Método Upwind (Windward)
O método descrito pela equação (6.68) pode se tornar estável trocando-se a
diferença espacial progressiva por uma diferença regressiva desde que a velocidade da
onda
u
seja positiva. Caso se utilize diferença regressiva, obtém-se o seguinte algoritmo:
1
1
0 0
nn nn
ii ii
uu
tx
φφ φφ
+
−
−−
+=>
∆∆
(6.70)
Este é um método com precisão de primeira ordem com erro de truncamento
[, ]Otx
∆∆ . A análise de estabilidade de von Neumann mostra que o método é estável
quando
01c≤≤ (6.71)
onde
cutx=∆∆
é o chamado número de Courant-Friedrichs-Lewy (1928) -CFL ou
simplesmente
número de Courant
.
141
A
Equação Modificada para a expressão (6.70) é dada por (WARMING e
HYETT, 1974):
32 23
2
2
( ) ,( ) , ( ) , ( )
()
(1 ) (2 3 1)
26
t x xx xxx
Ox xtxt t
ux u x
uc cc
φ
φφ φ
+∆∆∆∆∆∆
∆∆
+= − − −+
⎡⎤
⎣⎦
(6.72)
O lado direito da
Equação Modificada (6.72) é o erro de truncamento, uma vez que ele
representa a diferença entre a EDP original e aproximação por diferenças finitas.
Conseqüentemente, o termo de mais baixa ordem do lado direito da equação modificada
fornece a ordem do método. Neste caso, o método é de primeira ordem uma vez que o
termo de menor ordem é
[, ]Otx
∆∆ .
Assumindo que a
Equação Modificada pode ser representada por uma forma geral
2
n
n
n
n
u
tx x
v
φ
φφ
∞
=
∂∂ ∂
+=
∂∂ ∂
∑
(6.73)
a difusividade ou viscosidade artificial é dada por:
2
(1 )
2
ux
vc
∆
=−
(6.74)
6.2.3.3 Método de Lax ou Lax-Friedrichs
O método de Euler, equação (6.69), pode se tornar estável trocando-se
n
i
φ
pelo
termo ponderado
11
()/2
nn
ii
φφ
+−
+
. O algoritmo resultante é o bem conhecido método de
LAX (1954) de primeira ordem
1
11 11
1
11
()/2
0
2
11
(1 ) (1 )
22
nnn nn
iii ii
nnn
iii
u
tx
cc
φφφ φφ
φφφ
+
+− +−
+
+−
−+ −
+=
∆∆
=− ++
(6.75)
Este método explícito de um passo de cálculo é de primeira ordem com erro de
truncamento
2
[
,( ) / ]
O
tx t∆∆ ∆ e é estável se
||1c
≤
. A Equação Modificada é dada por
ANDERSON
et al. (1984)
2
2
1()
() (1)
23
tx xx xxx
ux u x
uc c
c
φφ φ φ
∆∆
+= − − − +
(6.76)
a difusividade é dada por
142
2
1
()
2
ux
vc
c
∆
=−
(6.77)
Nota-se que este método não é uniformemente consistente, pois
2
()/
x
t∆∆não
tende a zero no limite quando
[, ]Otx
∆
∆ vai para zero. Todavia, se c é mantido
constante quando
[, ]Otx
∆∆ se aproximam de zero, o método é consistente. O método
de Lax é conhecido por seu pronunciado erro de caráter dissipativo quando 1
c ≠ . A
magnitude da dissipação é aparente quando se compara o coeficiente do termo
xx
φ
na
equação (6.76) com o mesmo coeficiente na equação modificada no esquema de
diferenças progressivas para vários valores de
c .
6.2.3.4 Método de Lax-Wendroff
O esquema de LAX-WENDROFF (1960) pode ser derivado por expansão de
1n
i
φ
+
em série de Taylor da seguinte maneira
123
1
2
() [()]
nn n n
ii t tt
ttOt
φφ φ φ
+
=+∆+∆ + ∆
(6.78)
Usando as equações da onda linear e não linear
2
tx
tt xx
u
u
φ
φ
φ
φ
=−
=
(6.79)
A equação (6.78) pode ser escrita como
1223
1
2
() [()]
nn n n
ii x xx
ut u t O t
φφ φ φ
+
=−∆+ ∆ + ∆
(6.80)
e finalmente, se
x
φ
e
xx
φ
são trocados pelas expressões de diferenças centradas, o
conhecido esquema de Lax-Wendroff é obtido
22
1
11 1 1
2
()
() (2)
22()
nn nn n nn
ii ii i ii
ut u t
xx
φ
φφφ φφφ
+
+− + −
∆∆
=− − + − +
∆∆
(6.81)
Este esquema explícito de um passo de cálculo é de segunda ordem com erro de
truncamento
22
[
(),()]
O
x
t∆∆e é estável sempre que
||1c
≤
. A Equação Modificada para
este método é
23
22
() ()
(1 ) (1 )
68
t x xxx xxxx
xx
uu c u cc
φφ φ φ
∆∆
+=− − + − +
(6.82)
os termos da
Equação Modificada são dados por:
143
() ()
23
22
23 4
0, 1 , 1
68
ux ux
vv cv cc
∆∆
==− − = −
(6.83)
O erro do método de Lax-Wendroff é predominantemente de atraso de fase, com
exceção para número de onda altos
0.5 1c
<
< .
6.2.3.5 Método de Lax-Wendroff de dois passos
Para equações não lineares tais como as equações para escoamento não-viscosos,
pode-se usar uma variação em dois passos de cálculo do método original de Lax-
Wendroff (6.81). Quando aplicado à equação de advecção, este método explícito de dois
passos e três níveis de tempo se torna
()()
1/2
1/2 1 1
1
Passo1:
22
nnnnn
iiiii
c
φ
φφ φφ
+
++ +
=+−− (6.84)
(
)
11/21/2
1/2 1/2
Passo2:
nn n n
ii i i
c
φφ φ φ
+++
+−
=− −
(6.85)
Este esquema tem precisão de segunda ordem com erro de truncamento
22
[
(),()]
O
x
t∆∆ e é estável sempre que
||1c
≤
. O Passo 1 corresponde ao método de Lax
aplicado no ponto intermediário
1
2
i
+
para meio incremento temporal e o Passo 2 é o
método de leap frog para o restante passo temporal. Quando aplicado para a equação de
advecção linear, o esquema de Lax-Wendroff em dois passos é equivalente ao esquema
original. Isto pode ser rapidamente verificado substituindo (6.84) em (6.85). Uma vez
que os dois esquemas são equivalentes, segue-se que a equação modificada e o fator de
amplificação são os mesmos.
6.2.3.6 Método de Leith
O método de LEITH (1965) (apud LEONARD, 1979) é dado por
12
11 1 1
()(2)
2
nn nn n nn
ii ii i ii
c
c
φ
φφφ φφφ
+
+− + −
=− − + − +
(6.86)
6.2.3.7 Método de MacCormack
O método de MacCORMACK (1969) de diferenças finitas é um esquema
largamente empregado para resolver problemas em mecânica dos fluidos. Ele é uma
variação do método de Lax-Wendroff de dois passos de cálculo que remove a
necessidade de calcular as incógnitas nos pontos da malha
1
2
i
+
e
1
2
i
−
. Por causa desta
144
capacidade, o método de MacCormak é particularmente atraente na resolução de EDP
não lineares. Quando aplicada à equação da onda linear, este método do tipo preditor-
corretor fica sendo:
()
1
1
Preditor:
n
nnn
ii ii
t
u
x
φ
φφφ
+
+
∆
=− −
∆
(6.87)
()
111
1
1
1
Corretor:
2
nnn
nn
iii ii
t
u
x
φφφ φφ
+++
+
−
∆
⎡⎤
=+− −
⎢⎥
∆
⎣⎦
(6.88)
O termo
1
n
i
φ
+
é o valor temporário “Previsto” de
φ
no nível de tempo
1n
t
+
. A
equação de correção fornece o valor final de
φ
no nível de tempo
1n
t
+
. Note que na
equação (6.87) a diferença progressiva é usada para
/
x
φ
∂
∂
, enquanto que na equação
de correção diferença regressiva é usada. Para a equação de advecção linear o esquema
de MacCormack é equivalente ao esquema original de Lax-Wendroff.
6.2.3.8 Método de Warming e Beam
O método upwind de WARMING e BEAM (1975) é uma variação do método de
MacCORMACK que utiliza diferença regressiva (upwind) nos passos preditor e
corretor para 0
u > .
()
1
1
Preditor:
n
nnn
ii ii
t
u
x
φ
φφφ
+
−
∆
=− −
∆
(6.89)
()
()
111
1
112
1
Corretor: 2
2
nnn
nn nnn
iii ii iii
tt
uu
xx
φφφ φφ φφφ
+++
+
−−−
∆∆
⎡
⎤
=+− −− −+
⎢
⎥
∆∆
⎣
⎦
(6.90)
A adição de uma segunda diferença regressiva na equação (6.90) faz este
esquema ficar com precisão de segunda ordem com erro de truncamento
22
[
( ) ,( )( ),( ) ]
O
x
xt t∆∆∆∆. Caso a equação (6.89) seja substituída na equação (6.90) o
seguinte algoritmo de passo único é obtido:
()
(
)
1
112
(1) 2
nn nn nnn
ii ii iii
ccc
φφ φφ φφφ
+
−−−
=− − + − − +
(6.91)
A equação modificada para esse esquema é
24
2
() ()
(1 ) (2 ) (1 )(2 )
68
t x xxx xxxx
xx
uu c c u cc c
t
φφ φ φ
∆∆
+= − − − − − +
∆
(6.92)
Este método satisfaz a condição de translação para
1c
=
e 2c
=
.
145
6.2.3.9 Método de Fromm
O método UPWIND (6.91) tem um erro de adiantamento de fase para 0 1c≤≤ e
erro de atraso de fase para 1 2
c≤≤. O método de LAX-WENDROFF (6.81) tem um
atraso de fase para
01c≤≤
. O método de FROMM (1968), conhecido por ser de
segunda ordem e erro de fase zero, é baseado na observação que uma redução
considerável do erro dispersivo pode ser obtido pela combinação linear dos métodos
LAX-WENDROFF (1960) e o UPWIND para
01c
≤
≤
. O seguinte algoritmo é obtido:
22
1
112 112
2
(35 ) ( )
44
nn n nnn nnnn
i i i i ii iiii
ut u t
xx
φ
φφφφφ φφφφ
+
+−− +−−
∆∆
=− + − + + −− +
∆∆
(6.93)
reagrupando tem-se
222
1
112
(1 )(4 ) 5
4444
nn nnn
ii iii
cc c c cc cc
φ
φφφφ
+
+−−
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞
−−+ − −
⎛⎞
=+ + +
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠
(6.94)
6.2.3.10 Método de Martin
O método de MARTIN (apud SCULLEN, 1992) é dado por:
()
(
)
()()
123 23
11 1 1 1
1
32 6 2 2
23 3
11 11
12
22 66
1
nnn
iii
nn
ii
cc c cc c
cc c cc
φ
φφ
φφ
+
+
−−
=− + − + − − + +
+− +−+
(6.95)
6.2.3.11 Método de Takacs
O método de TAKACS (1985) é explícito de dois passos de tempo do tipo Lax-
Wendroff, cujas características de precisão e fase são similares aos esquemas de terceira
ordem. A expressão do esquema é dada por
1
11 0 11 2 2
nnnnn
iiiii
aaa a
φ
φφφ φ
+
+−−−−
=++ +
(6.96)
onde os coeficientes
'
j
a
são obtidos exigindo-se uma precisão de segunda ordem da
forma
12
2
02
12
2
(1)2
13
(1)23
(1)
acc a
aca
acc a
acc
θ
−
−
−−
−
=− −
=− +
=+ −
=−
(6.97)
A forma do parâmetro livre
2
a
−
foi escolhido para quando 0 ou 1c
=
, o esquema
é exato. Substituindo (6.97) em (6.96) obtém-se
146
()
()
()
2
1
11 1 1 1 12
(2 ) 1 33
22
nn nn n nn n nnn
ii ii i ii iiii
cc
cc
φ
φφφ φφφθ φφφφ
+
+− + − + −−
=− − + − + − − − + − (6.98)
Para 0
θ
= , o esquema se reduz ao esquema de segunda ordem de Lax-Wendroff. Para
0
θ
≠ , um termo extra é adicionado correspondente a terceira derivada de
n
i
φ
no espaço.
Permitindo-se que o parâmetro livre seja função de c, então, segundo o autor,
escolhendo-se
(1 ) 6c
θ
=+ produz um esquema de precisão de terceira ordem no tempo
e no espaço usado quatro nós da malha. A análise de estabilidade de von Neumann
mostra que o método é estável quando
01c
≤
≤ e o parâmetro livre fica na faixa
1
2
0
θ
≤≤.
Tem-se o seguinte resumo do método:
a.
0.0
θ
= - Lax-Wendroff de segunda ordem
b.
0.25
θ
= - Fromm
c.
(1 ) 6c
θ
=+
- Takacs de terceira ordem
6.2.3.12 Método de Rusanov
RUSANOV (1970) e BURSTEIN e MIRIM (1970) simultaneamente
desenvolveram um método de terceira ordem, explícito e com três níveis de cálculo:
(1)
11
12 1 1
23
Passo 1: ( ) ( )
nn nn
iiiii
c
φ
φφ φφ
++ +
=+− −
(2) (1) (1)
2
12 12
3
Passo 2: ( )
n
ii i i
c
φφ φ φ
+−
=− −
1 (2) (2)
2112 11
21 12
1
24
(
24
3
Passo 3: ( 2 7 7 2 ) ( )
8
4 6 4 )
nn n n n n
ii i i i i ii
nnnnn
iiiii
cc
ω
φ
φφφφφφφ
φφφφφ
+
++−− +−
++ −−
=− − + − + − −
−−+−+
(6.99)
O passo 3 contém o termo de diferença de quarta ordem
4
21 12
464
nn n n n n
xi i i i i i
δ
φφ φ φ φ φ
++ −−
=− +− +
que é multiplicado pelo parâmetro livre
ω
. Este
termo foi adicionado para tornar o esquema estável. A necessidade para este termo fica
evidente quando se examina condição de estabilidade para este esquema:
24
1
43
c
cc
ω
≤
−≤≤
(6.100)
147
Caso o termo contendo a diferença de quarta ordem não esteja presente
()
ω
a
equação (6.100) não será satisfeita para 0 1c
<
≤ . A equação modificada para esse
esquema é
3
3
4
24
()
4
24
()
( 5 4 15 4 )
120
t x xxxx
xxxxx
x
uu cc
c
x
ucc
ω
φφ φ
ωφ
∆
⎛⎞
+=− −+
⎜⎟
⎝⎠
∆
+−++− +
(6.101)
De forma a reduzir a dissipação deste esquema, pode-se fazer o coeficiente da
quarta derivada igual a zero atribuindo
24
4cc
ω
=−
(6.102)
De forma semelhante, pode-se reduzir o erro dispersivo atribuindo o coeficiente
da quinta derivada a zero, o que fornece
22
(4 1)(4 )
5
cc
ω
+−
=
(6.103)
6.2.3.13 Método de Warming–Kutler-Lomax
WARMING et al. (1973) desenvolveram um método de terceira ordem que usa
o método de MacCormack para os dois primeiros passos e tem o mesmo terceiro passo
do método de Rusanov. Este conhecido método WKL é dado por
(1)
2
1
3
Passo 1: ( )
nnn
ii ii
c
φ
φφφ
+
=− −
(2) (1) (1) (1)
12
11
23
Passo 2: ( )
n
iii ii
c
φφφ φφ
+−
⎡
⎤
=+− −
⎣
⎦
1 (2) (2)
2112 11
21 12
1
24
(
24
3
Passo 3: ( 2 7 7 2 ) ( )
8
4 6 4 )
nn n n n n
ii i i i i ii
nnnnn
iiiii
cc
ω
φ
φφφφφφφ
φφφφφ
+
++−− +−
++ −−
=− − + − + − −
−−+−+
(6.104)
Este método possui a mesma região de estabilidade que o método de Rusanov.
Além disso, a equação modificada é idêntica a (6.101) para a equação de advecção ou
da onda linear. O método WKL possui as mesmas vantagens sobre o método de
Rusanov que o método de MacCormack tem sobre o método de Lax-Wendroff de dois
passos, ANDERSON
et al. (1984).
148
6.2.3.14 Método de Crowley
CROWLEY (1967) apresentou um método de alta ordem do tipo dois passos de
cálculo para dois níveis de tempo. Métodos que utilizam esta forma, são chamados de
categoria intermediária, FROMM (1969). Condensando em um único passo, a expressão
final é dada por:
23
1
11 2 2 2 1 1 2
28 16
()(2)(22)
nn nn n nn n n nn
ii ii i ii i i ii
cc c
φ
φφφ φφφ φφφφ
+
−+ − + − − ++
++ +
−−+−+−
= (6.105)
6.2.3.15 Método de
Holly e Preissman
HOLLY e PREISSMAN (1977) apresentaram um método preciso de cálculo da
advecção em aplicações fluviais. O método de Holly-Preissmann é baseado no fato que
polinômios de interpolação hermitianos de alta ordem podem ser construídos entre
apenas dois pontos, se além das variáveis dependentes, mas também suas derivadas são
conhecidas em cada desses pontos. Os detalhes do método são dados no artigo original e
apenas um breve resumo do algoritmo é aqui apresentado. O método de Holly-
Preissmann é um método dito compacto que usa dois pontos nodais, usando uma técnica
de interpolação cúbica com precisão de quarta ordem.
O método é baseado no uso de derivadas da concentração em pontos nodais
i-1 e
i. Denotando por
n
i
CX a derivada
C
x
∂
∂
da concentração no ponto nodal e incremento
de tempo n. Conhecendo C e CX no tempo n para os pontos
i-1 e i, tem-se quatro
quantidades conhecidas com as quais é possível construir um polinômio de interpolação
de terceiro grau entre os pontos
i-1 e i. Expressando o polinômio como
32
()Y c Ac Bc Dc E=+++ (6.106)
Os quatro coeficientes A, B, D e E podem ser avaliados uma vez que as
seguintes condições sejam satisfeitas
11
(1) ; (0) ; (1) ; (0)
nn n n
ii i i
YCY CYCX Y CX
−−
=== =
(6.107)
onde
( ) ( ) |
c
Y c dY dx=
.
Os coeficientes A, B, D e E podem agora ser avaliados, obtendo-se a equação
para a solução das concentrações incógnitas no ponto
i e tempo n+1.
1
11 2 3 1 4
()
nnn n n
iii i i
Yc C aC aC aCX aCX
+
−−
== + + + (6.108)
149
onde
222
1213 4
(3 2 ); 1- ; (1 ) ; (1 )ac c a a ac cxa c c x=− = =−∆ =−−∆
(6.109)
As derivadas da concentração também devem ser calculadas para o tempo
n+1
t para dar continuidade aos cálculos. A advecção das derivadas das concentrações é
executada exatamente da mesma maneira que advecção das concentrações. A expressão
resultante é
1
11 2 3 1 4
()
nnn n n
iii i i
Y c CX b C b C b CX b CX
+
−−
==++ +
(6.110)
onde
12134
6 ( 1) / ; - ; (3 2); ( 1)(3 1)bcc xbbacc bc c=−∆ = =− =−− (6.111)
A precisão do esquema é investigada através da análise dos erros introduzidos
pela investigação tradicional de componentes da série de Fourier, vide texto original.
6.2.4 MDF para a Equação da Difusão
6.2.4.1 Método Explícito
A equação da difusão unidimensional (6.29) é uma EDP parabólica. Na forma
apresentada, é a equação que governa a condução de calor ou a difusão unidimensional
em um meio isotrópico.
Lembrando a representação por diferença centrada para a segunda derivada (6.60)
2
2
2
11
222
2
()
() ()
n
iiixi
i
Ox
xxx
φφφδφ
φ
+−
⎛⎞
−+
∂
=
=+∆
⎜⎟
∂∆∆
⎝⎠
(6.112)
onde o operador diferença central
2
δ
é dado por
2
11
() 2
nnnnn
xi x xi i i i
δ
φδδφ φ φφ
+−
==−+ (6.113)
Lembrando a equação (6.66) e usando a definição dada acima, chega-se a
2
2
4
21 12
2222
16 30 16
()
12( ) ( ) (1 12)
n
iiiii xi
x
i
Ox
xxx
φφφφφ δφ
φ
δ
++ −−
⎛⎞
−+ − + −
∂
==+∆
⎜⎟
∂∆∆+
⎝⎠
(6.114)
Para maior clareza a equação (6.29) é reescrita abaixo
2
2
x
D
tx
φ
φ
∂∂
=
∂∂
(6.115)
150
Aplicando-se (6.112) em (6.115) fica-se com a forma discretizada
1
11
2
2
()
nn
ii i ii
x
D
tx
φ
φφφφ
+
+−
−−+
=
∆∆
(6.116)
Este método explícito de um passo de cálculo é de primeira ordem com erro de
truncamento
2
[
,( ) ]
O
tx∆∆ . Este método explícito é estável somente quando
1
2
0
α
≤≤ (6.117)
onde
2
()
x
Dt
x
α
∆
=
∆
(6.118)
é o número ou parâmetro difusivo.
Aplicando-se (6.114) em (6.115) fica-se com a forma discretizada
1
21 12
2
16 30 16
12( )
nn
ii i i i ii
x
D
tx
φ
φφφφφφ
+
++ −−
−−+−+−
=
∆∆
(6.119)
6.2.4.2 Método Combinado
Os métodos explícito, implícito e de Crank-Nicolson são casos especiais do
seguinte algoritmo geral
1212
2
(1 )
()
nn n n
i i xi xi
x
D
tx
φ
φθδφ θδφ
++
−+−
=
∆∆
(6.120)
onde
θ
é uma constante (0 1)
θ
≤≤. O método explícito corresponde a 0
θ
= , o método
implícito corresponde a 1
θ
= e o método de Crank-Nicolson corresponde a
1
2
θ
= . O
método implícito é incondicionalmente estável, enquanto o método explícito segue a
relação (6.117).
O método combinado (6.120) tem a precisão de primeira ordem com erro de
truncamento
2
[
,( ) ]
O
tx∆∆ exceto para caso especiais quando:
a)
1
2
θ
= (Crank-Nicolson)
22
[(
.. ),( )]
O
TE t x=∆ ∆
b)
2
1()
212
x
x
Dt
θ
∆
=−
∆
24
[(
.. ),( )]
O
TE t x=∆ ∆
c)
22
1() ()
e 20
212
xx
xx
Dt Dt
θ
∆∆
=− =
∆∆
26
[(
.. ),( )]
O
TE t x=∆ ∆
151
O erro de truncamento para estes casos especiais pode ser obtido examinando-se
a equação modificada
2
2
4
232 22
()
1
212
111 ()
() ()
3 6 2 360
x
txxx x xxxx
x x x xxxxxx
Dx
Du Dt
x
Dt Dtx D
φφ θ φ
θθ θ φ
⎡⎤
∆
⎛⎞
−=−−∆+
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
∆
⎛⎞ ⎛⎞
+−+ ∆+− ∆∆+ +
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
(6.121)
O método combinado é incondicionalmente estável caso
1
2
1
θ
≤
≤ . Todavia,
quando
1
2
0
α
≤≤o método é estável apenas na condição
1
0
24
α
θ
≤≤
−
(6.122)
6.2.5 MDF para a equação da ADRP
Resta agora efetuar cuidadosamente algumas das muitas combinações possíveis,
verificando quando são compatíveis, das expressões discretizadas para os termos da
equação ADRP. Vale observar que apesar de alguns esquemas implíctos terem sido
desenvolvidos no código computacional, eles não serão utilizados nos itens de
comparações entre as metodologias.
1º Caso
– Centrado
2
()Ox∆ (6.112) para a difusão e regressivo ou upwind (6.70) para
advecção
1
11 1
2
2
()
nn
ii ii i ii
x
uD
tx x
φ
φφφ φφφ
+
−+ −
−− −+
+=
∆∆ ∆
(6.123)
()
1
11 1
(2 )
nn nn n nn
ii ii i ii
c
φ
φφφαφφφ
+
−+ −
=− − + − +
(6.124)
2º Caso
– Centrado
2
()Ox∆ (6.112) para difusão e centrado para advecção
()
1
11 11 1 1
1
() (2)
22
nnnnnnnn
iiiiiiii
c
φ
φφ φφ αφ φφ
+
+− +− + −
=+−−+−+
(6.125)
3º Caso
– Centrado
2
()Ox∆ (6.112) para difusão e Lax-Wendroff (ou Beam-Warming)
para advecção
152
22
1
11 1111
2
()
() (2)(2)
22()
nn nn n nn n nn
ii ii i ii i ii
ut u t
xx
φ
φφφ φφφαφφφ
+
+− +−+−
∆∆
=− − + − + + − +
∆∆
simplificando
2
1
11 1 1
() (2)
22
nn nn n nn
ii ii i ii
cc
φ
φφφ αφφφ
+
+− + −
⎛⎞
=− − + + − +
⎜⎟
⎝⎠
e agrupando
12 2 2
11
11
(2 ) (1 2 ) (2 )
22
nnnn
iiii
cc c cc
φ
αφ αφαφ
+
+
−
=−+ +−−+++
(6.126)
Obs: O método de LxW tende a desenvolver oscilações atrás da onda de choque
enquanto o método de Beam-Warming tende a desenvolver oscilações na frente da
onda de choque.
4º Caso
– Centrado
2
()Ox∆ (6.112) para difusão e Fromm (6.94) para advecção
222
1
112
11
(1 )(4 ) 5
4444
( 2 )
nn nnn
ii iii
nnn
iii
cc c c cc cc
φ
φφφφ
αφ φ φ
+
+−−
+−
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞
−−+ − −
⎛⎞
=+ + +
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠
+−+
reagrupando
2 22
1
112
(1 )(4 ) 5
2
44 44
nn nnn
ii iii
cc c c cc cc
φ
αφ αφ αφ φ
+
+−−
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞
−−+ − −
⎛⎞
=++ −+ ++
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠
(6.127)
Note que o coeficiente do termo
2
n
i
φ
−
ficou sem influência da difusão.
5º Caso
– Centrado
4
()Ox∆ (6.119) para difusão e Fromm (6.94) para advecção
()
21 12
16 30 16
12
iiiii
α
φ
φφφφ
++ −−
−+ − + −
ficando
2
1
21
22
12
16 (1 )(4 ) 30
12 4 12 4 12
516
412 412
nn n n
ii i i
nn
ii
cc c c
cc c c
αα α
φ
φφ φ
αα
φφ
+
++
−−
⎛⎞
−−+
⎛⎞ ⎛ ⎞
=− + + + −
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
−−
++ +−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
(6.128)
Note que o coeficiente do termo
2
n
i
φ
+
ficou sem influência da advecção.
153
6º Caso
– Centrado no espaço (6.112) ou (6.119) para difusão e Takacs (6.98) para
advecção
()
()
()
2
1
11 1 1
112
(2 )
22
1 3 3
nn nn n nn
ii ii i ii
nnnn
iiii
cc
cc
φ
φφφ φφφ
θφφφφ
+
+− + −
+−−
⎛⎞
=− − + − +
⎜⎟
⎝⎠
−− −+−
(6.129)
As devidas particularizações para 0 e 0.25
θ
=
resultam nos casos já
mencionados, sendo que para o caso
(1 ) 6c
+
e a expressão
4
()Ox
∆
(6.119) para o
termo da difusão resulta em:
()
()
()
()
2
1
11 1 1
112
21 12
(2 )
22
(1 )
1 3 3
6
16 30 16
12
nn nn n nn
ii ii i ii
nnnn
iiii
iiiii
cc
c
cc
φ
φφφ φφφ
φφφφ
α
φφφφφ
+
+− + −
+−−
++ −−
⎛⎞
=− − + − +
⎜⎟
⎝⎠
+
−−−+−
+−+ − + −
(6.130)
154
6.3 Método dos Volumes Finitos
6.3.1 Introdução
O MVF é baseado na forma integral (6.7) ao invés da equação diferencial. No
lugar de aproximações pontuais (AP) via formulação de diferenças finitas (DF) nos nós
da malha, dividi-se o domínio em volumes de controle (VC), chamados também de
“volumes finitos”, e então se aproxima a integral do escalar
φ
sobre cada VC. A média
do escalar
φ
no VC, é aquela obtida pelo valor da integral dividido pelo volume. Esses
valores são modificados em cada passo de tempo pelo fluxo que atravessa os extremos
do VC, sendo que o problema primário passa a ser determinar as
funções de fluxo
numérico
que aproximam os fluxos verdadeiros (corretos) de uma forma consistente.
Isto deve estar baseado em aproximações da média da função no VC, que é a única
informação disponível.
6.3.2 Formulação Geral para as Leis de Conservação
Em uma espaço unidimensional, o método dos volumes finitos é baseado na
subdivisão da região de domínio em intervalos com “volumes finitos” (VF), também
chamados células da malha e acompanhando o progresso da aproximação da integral de
φ
sobre cada um desses volumes. Em cada passo de tempo, atualizam-se esses valores
usando aproximações para o fluxo através das extremidades do intervalo ou VC.
Denotando-se a iésima célula da malha por
12 12
(,)
iii
Cxx
−+
= (6.131)
como mostrado na figura 6.2. O valor de
n
i
φ
irá aproximar o valor médio sobre o iésimo
intervalo no instante
t
n
:
12
12
11
(, ) (, )
i
n
inn
C
i
i
x
x
x
tdx xtdx
xx
φφ φ
+
−
≈≡
∆∆
∫∫
(6.132)
onde
12 12ii
x
xx
+−
∆= −
é o comprimento da célula do VC.
155
Figura 6.2 – Ilustração do MVF para atualização das médias no VC
n
i
φ
usando os fluxos pelas
extremidades da célula. Mostrado no espaço x-t.
Se
(,)
x
t
φ
é uma função suave, então a equação (6.132) concorda com o valor de
φ
no ponto médio do intervalo na
2
()
O
x
∆
, LEVEQUE (2002). LEONARD (1995)
demonstra de forma elegante o erro de truncamento desta aproximação, partindo das
seguintes fórmulas de expansão em séries de Taylor para a função
φ
e suas n derivadas
23
11
26
()
ii i i
xxxx
ι
ιι ιιι
φφφφ φ
=+ + + +…
(6.133)
23
11
26
()
()
ii i i
iv
xxxx
ι ι ιι ιιι
φφφφ φ
=+ + + +…
(6.134)
23
11
26
() () ( 1) ( 2) ( 3)
()
ii i i
nnn n n
xxxx
φφφ φ φ
++ +
=
++ + +… (6.135)
Calculando-se agora as fórmulas de volumes finitos pela subtração das
expansões de Taylor escritas para
12 12
e
ii
x
x
+−
, que fornece
() ()
246
246
(1) (3) (5) (7)
23! 25! 27!
nn
de
iiii
nnnn
xxx
x
x
φφ
φφφφ
++++
−
∆∆∆
=+ + + +
∆
…
(6.136)
Esta fórmula é válida também para
n negativo (representando integração); em
particular, para 1
n =− , a média no VC do escalar propriamente transportado é dada por
12
12
24
()
1
()
24 1920
i
i
x
v
iiii
x
xx
xdx
x
ι
ιι
φ
φφφ φ
+
−
∆∆
==++
∆
∫
(6.137)
A expressão do lado esquerdo da equação (6.136) representa o operador média
no VC da (n+1) derivada, enquanto que o primeiro termo do lado direito é o operador
AP. Note-se que a diferença entre eles dois sempre envolverá uma quantidade
2
()
O
x
∆ ,
conforme disse LEVEQUE (2002), mas sem demonstrar. Isto é muito importante, pois
se um operador discreto de volume finito é visto como um termo de diferenças finitas,
existe uma discrepância de
2
()
O
x
∆ entre eles. Isto não afeta o erro de truncamento
1
n
t
+
1
n
i
φ
−
n
i
φ
1
n
i
φ
+
n
t
1n
i
φ
+
1/2
n
i
F
−
1/2
n
i
F
+
VC
156
governante em esquemas de primeira ordem. Esquemas de segunda ordem mostram
uma mudança nos valores numéricos dos coeficiente de
2
x
∆
. Todavia, para um
esquema de VF de terceira (ou mais alta) ordem apresentará precisão de segunda ordem
quando interpretado com um esquema AP de DF, e vice-versa.
Trabalhando-se com as médias nas células, todavia, se torna mais fácil usar
importantes propriedades da lei de conservação na dedução de métodos numéricos. Em
particular, pode-se garantir que um método numérico é conservativo na razão que ele
simula a solução verdadeira, e isso é extremamente importante para cálculos precisos
em ondas de choque. A razão disto é que
1
N
i
n
i
x
φ
=
∆
∑
aproxima a integral de
φ
sobre o
intervalo completo
[,]ab. Então este termo poderá variar por fluxos nos contorno x=a e
x=b. A massa total dentro do domínio será preservada, supondo-se que as condições de
contorno são adequadamente arbitradas, LEVEQUE (2002).
A forma integral da lei de conservação (6.3) fica sendo
()
()
()
(
)
12 12
(,) , ,
ii
i
C
d
x
tdx f x t f x t
dt
φφ φ
−+
=−
∫
(6.138)
Pode-se usar essa expressão para desenvolver um algoritmo explícito de marcha
no tempo. Dado
n
i
φ
, valores médios nas células no tempo
n
t , deseja-se aproximar
1n
i
φ
+
,
também valores médios no próximo tempo
1
n
t
+
após um passo de temporal
1
n
n
tt t
+
∆= − .
Integrando (6.138) no tempo de
1
a
n
n
tt
+
fornece
()
()
()
()
11
11212
(, ) (, ) , ,
nn
iin n
tt
nn i i
CCt t
x
tdx xtdx f x tdt f x tdt
φφ φ φ
++
+−+
−= −
∫∫∫ ∫
(6.139)
Dividindo-se por
x
∆ e rearranjando chega-se a
()
()
()
()
11
11212
111
(, ) (, ) , ,
nn
iin n
tt
nn i i
CCt t
x
tdx xtdx f x tdt f x tdt
xxx
φφ φ φ
++
++−
⎡
⎤
=− −
⎢
⎥
∆∆∆
⎣
⎦
∫∫∫ ∫
(6.140)
Esta expressão fornece exatamente como a média de
φ
no VC na expressão (6.132)
deve ser atualizada em um passo de tempo. Todavia, não somos capazes de avaliar
exatamente as integrais temporais do lado direito de (6.140), uma vez que
12
(,)
i
x
t
φ
±
varia ao longo do tempo em cada extremidade do VC, e não possuímos a
157
solução exata para trabalhar com ela. Mas podem-se estudar métodos numéricos da
seguinte forma, LEVEQUE (2002)
()
1
12 12
nn n n
ii i i
t
FF
x
φφ
+
+−
∆
=− −
∆
(6.141)
onde
()
()
1
12 12
1
,
n
n
n
i
t
i
t
Ffxtdt
t
φ
+
−
−
≈
∆
∫
(6.142)
Se for possível aproximar esse fluxo médio baseando-se nos valores de
n
i
φ
,
obtêm-se um método discreto por completo.
Em problemas hiperbólicos as informações se propagam com velocidade finita,
então primeiramente parece razoável se obter
12
n
i
F
−
com base apenas nos valores
1
e
nn
ii
φ
φ
−
, que são os valores ponderados em cada um dos lados desta interface. Então, é
possível usar uma fórmula da forma
12 1
(,)
nnn
ii
i
F
φ
φ
−
−
= F (6.143)
onde
F
é alguma função de fluxo numérica. O método (6.141) fica então
1
11
(, ) ( ,)
nn nn nn
ii i i
ii
t
x
φφ φφ φφ
+
+−
∆
⎡⎤
=− −
⎣⎦
∆
FF
(6.144)
O método específico obtido depende de como é feita a escolha da fórmula
F
,
mas de forma geral qualquer método deste tipo é um método explícito com a extensão
de três pontos, significando que o valor
1n
i
φ
+
dependerá de três valores
11
, e
nn n
ii i
φ
φφ
−+
do
intervalo de tempo anterior. Caso se efetue a soma
n+1
i
x
φ
∆⋅ a partir de (6.141) sobre
todo o conjunto de VC’s, obtém-se
()
n+1 n
ii1212
xx
JJ
nn
iI iI
ii
t
FF
x
φφ
==
+−
∆
∆=∆−−
∆
∑∑
(6.145)
158
6.3.3 Fluxo Numérico para a Equação da Difusão
As deduções anteriores foram apresentadas para as leis de conservação onde o
fluxo
()
f
φ
depende apenas do estado da grandeza
φ
. O mesmo trabalho de dedução
funciona de forma genérica, seja para o caso onde o fluxo depende explicitamente de
x
ou se depende da derivada da solução tal como
x
φ
. Considere a equação da difusão
(6.30), onde o fluxo é (6.28)
(,) ()
xx
f
xDx
φ
φ
=
− (6.146)
Dado os valores médios de
1
e
nn
ii
φ
φ
−
no VC, o fluxo numérico
1
(,)
nn
ii
φ
φ
−
F
na
interface do VC pode ser naturalmente definido como
1
112
(,)
nn
nn
ii
ii
i
D
x
φφ
φφ
−
−
−
⎛⎞
−
=−
⎜⎟
∆
⎝⎠
F
(6.147)
onde
12 12
()
ii
DDx
−−
≈
. Este fluxo numérico tem uma interpretação física natural, que a
quantidade conservada medida por
φ
flui de uma célula do grid para outra adjacente a
uma taxa proporcional a diferença dos valores de
φ
entre as duas células, sendo
12
i
D
−
a
medida da condutividade da interface entre elas. Esta é a versão macroscópica da lei de
Fick ou lei de Fourier.
Aplicando a equação (6.147) em (6.144) fornece uma discretização padrão tipo
diferenças finitas da equação da difusão
()()
1
12 1 12 1
2
nn nn nn
ii ii
ii i i
t
DD
x
φφ φφ φφ
+
+−
+−
∆
⎡⎤
=+ − − −
⎣⎦
∆
(6.148)
se constante
D ≡ , então adquire a forma simplificada
()
1
11
2
2
nn nnn
iii
ii
Dt
x
φ
φφφφ
+
+−
⋅∆
=+ − +
∆
(6.149)
agora apresentando a aproximação centrada para
x
x
φ
Para equações parabólicas, geralmente não se usa métodos explícitos desta
forma, por que são estáveis somente quando
2
().tOx∆= ∆
Desejando-se obter um método explícito cujo termo difusivo seja modelado por
um esquema de quarta ordem, deve-se fazer uso da relação (6.136) com
n=1 e retendo
do lado direito da expressão apenas os dois primeiros termos necessários, tem-se
159
()
2
4
''
()
24
de
ii
v
x
Ox
x
ι
φφ
φφ
−
∆
′′
=+ + ∆
∆
(6.150)
Aplicando a expressão de
i
φ
′′
dada por (6.114) e
()
i
v
ι
φ
dada por ANDERSON et al.
(1984)
21 12
4
()
464
iiiii
i
v
x
ι
φ
φφφφ
φ
+
+−−
−+−+
=
∆
(6.151)
obtem-se
()
4
21 12
4
''
28 54 28
24
de i i i i i
Ox
xx
φφ φ φ φ φ φ
++ −−
−−+ −+ −
=+∆
∆∆
(6.152)
Mais especificamente, o gradiente de quarta ordem da face direita pode ser
representado por
121 1
4
'
33
24
iii i ii
d
ord
xx
φ
φφ φ φφ
φ
+++ −
−−+−
⎡⎤
−
⎣⎦
∆∆
(6.153)
obtido pela interpolação de um polinômio cúbico através dos pontos nodais:
112
, , e .
iii i
φ
φφ φ
−++
6.3.4 Condição CFL
A condição CFL é uma condição necessária que deve ser satisfeita para que
qualquer MDF ou MVF, quando se espera que estes sejam estáveis e convergentes para
a solução da equação diferencial à medida que a malha é refinada. A condição CFL
simplesmente estabelece que um método deve ser usado de tal maneira que a
informação tenha a chance de se propagar a uma velocidade fisicamente correta, como
determinado pelos autovalores do fluxo Jacobiano
()f
φ
′
.
Com o método explícito (6.144) o valor de
1n
i
φ
+
dependerá de apenas três valores
11
, e
nn n
ii i
φ
φφ
−+
do intervalo de tempo anterior. Supondo que se aplique tal método a
equação de advecção de forma que a solução exata simplesmente translade a velocidade
u e se propague a distância ut
⋅
∆ durante um intervalo de tempo. A figura 6.3(a)
mostra a situação onde
ut x⋅∆ <∆
, então a informação se propaga menos que uma
célula em um tempo de cálculo. Neste caso faz sentido definir o fluxo em
12
i
x
−
em
termos de
1
e
nn
ii
φ
φ
−
apenas. Na figura 6.3(b), por outro lado, um passo temporal maior é
160
usado com
ut x⋅∆ >∆ . Neste caso o fluxo real em
12
i
x
−
claramente depende do valor
2
n
i
φ
−
. O método
(6.144) certamente deve ser instável quando aplicado em tal incremento
de tempo, não importando como o fluxo (6.143) foi especificado, pois o fluxo numérico
depende apenas de
1
e
nn
ii
φ
φ
−
.
Figura 6.3 – Características para a equação da advecção, mostrando as informações que fluem
para a célula
i
C
durante um único passo de tempo. (a) para um passo de tempo suficientemente
pequeno, o fluxo em
12
i
x
−
depende apenas do valor das células vizinhas – apenas de
1
n
i
φ
−
para
este caso onde
0.u >
(b) Para incrementos temporais grandes, o fluxo deve depender de
valores mais distantes.
Isto é uma conseqüência da condição CFL, chamada assim após Courant,
Friedrichs e Lewy. Eles escreveram um dos primeiros trabalhos dos métodos das
diferenças finitas para EDP em 1928 (a tradução para o inglês foi em 1967). Eles
usaram o MDF como ferramenta analítica para provar a existência de solução para
certas EDPs. A idéia é definir uma seqüência de soluções aproximadas (via equação de
diferenças finitas), provar que elas convergem à medida que se refina a malha e então
depois mostrar que a função limite deve satisfazer a EDP, dando a existência da
solução. No curso da prova de convergência desta seqüência, eles reconheceram a
seguinte condição de estabilidade necessária para qualquer método numérico:
Condição CFL
: Um método numérico somente pode ser convergente se o
domínio de dependência numérico contiver o domínio de dependência verdadeiro da
EDP, pelo menos no limite quando
e tx
∆
∆ forem para zero.
È muito importante notar que a condição CFL é apenas uma condição necessária
para estabilidade. Ela nem sempre é suficiente para garantir a estabilidade.
1n
t
+
1
n
i
φ
−
n
i
φ
n
t
1/2i
x
−
(
a
)
1n
t
+
1
n
i
φ
−
n
i
φ
n
t
1/2i
x
−
(
b
)
2
n
i
φ
−
161
6.3.5 Fluxo Instável
Retornando ao MVF (6.141) para um sistema hiperbólico e considerando as
várias formas que o fluxo numérico pode ser definido. Em particular considerando a
função de fluxo F como em (6.143). Deseja-se definir o fluxo médio em
12
i
x
−
baseado
nas informações de
1
e
nn
ii
φ
φ
−
a esquerda e a direita deste ponto. A primeira tentativa é
uma simples média aritmética, como no item 6.2.3.3
() ()
12 1 1
1
(,)
2
nnn nn
ii i i
i
Fff
φφ φ φ
−−
−
⎡⎤
==+
⎣⎦
F
(6.154)
Usando-a em (6.141) fornece
() ()
1
1
2
nn n n
ii i i
t
ff
x
φφ φ φ
+
−
∆
⎡⎤
=− +
⎣⎦
∆
(6.155)
6.3.6 Método de Lax-Friedrichs
O método de Lax-Friedrichs (LxF), visto pelo MDF na expressão (6.75) tem a
forma
() () ()
1
11 1
1
22
nnn nn
iii ii
t
ff
x
φφφ φφ
+
−+ −
∆
⎡
⎤
=+− +
⎣
⎦
∆
(6.156)
Numa primeira olhada o método (6.156) não parece estar da forma (6.141).
Todavia, isso pode ser arranjado definindo-se o fluxo numérico como
() () ()
11 1
1
(,)
22
nn n n n n
ii i i i i
t
ff
x
φ
φφφ φφ
−− −
∆
⎡⎤
=+−−
⎣⎦
∆
F
(6.157)
Este fluxo parece o fluxo instável centrado (6.154) com a adição de outro termo
similar ao fluxo (6.147) da equação da difusão. Usando-se este fluxo parece modelar a
equação AD
2
1
2
() com ( )/
txxx
f
DDxt
φφ φ
+= =∆∆. Mas se fixarmos
/tx∆∆
, então
pode-se ver que este coeficiente desaparece a medida que a malha é refinada, então no
limite o método permanece consistente com as equações hiperbólicas originais. Este
termo pode ser interpretado como uma difusão numérica que amortece as instabilidades.
No entanto, o método LxF introduz muito mais difusão do que é realmente necessário,
LEVEQUE (2002).
162
6.3.7 Método de Lax Wendroff de dois Passos por Richtmyer
Conforme visto em (6.76) o método de LxF tem precisão de primeira ordem.
Métodos com precisão de segunda ou de mais alta ordem podem ser obtidos usando-se
melhores aproximações para a integral (6.142). Isto pode ser feito aproximando-se
φ
no
centro do intervalo
1
2
12nn
tt t
+
=+∆
, e avaliar o fluxo neste tempo. O método de
Richtmyer fica
()
1/2
12 1/2
nn
i
i
Ff
φ
+
−
−
=
(6.158)
onde
() () ()
1/2
1/2 1 1 1
1
22
nnn nn
iii ii
t
ff
x
φφφ φφ
+
−−+ −
∆
⎡
⎤
=+− +
⎣
⎦
∆
(6.159)
Note-se que
1/2
1/2
n
i
φ
+
−
é obtido aplicando LxF nas faces do VC onde
e
x
t∆∆
trocados por
11
22
e
x
t∆∆respectivamente.
6.3.8 Método de Bott
O esquema numérico apresentado em BOTT (1989) é uns esquemas positivos
definido, apresentando uma pequena difusão numérica. A distribuição da concentração
no VC é representada por um polinômio de ordem
l como:
,
0
()
l
k
jjk
k
a
φ
ηη
=
=
∑
(6.160)
O polinômio pode ser construído com a capacidade de preservar a área impondo
a seguinte condição:
1
1,
0
0, 1, 2, ,
2
,
i
l
k
jjk
k
i
l
i
ad
φηη
+
+
=
=
±± ±
=
∑
∫
…
(6.161)
sobre uma extensão de
l+1 células variando-se o valor de i. A solução deste sistema
linear fornece os coeficientes
,jk
a . Os coeficientes obtidos desta maneira para os
polinômios quadráticos (
l=2) e quártico (l=4) junto com o esquema de Tremback com
polinômio de segunda ordem (TREMBACK
et al., 1987), são listados na tabela 6-1.
163
Tremback Bott-2 Bott-4
0
a
j
φ
1
11
24
26()
jjj
φ
φφ
+−
−−
−
1
21 12
1920
9 116 2134 116 9()
jj jjj
φ
φφφφ
++ −−
−+−+
1
a
1
11
2
()
jj
φ
φ
+−
−
1
11
2
()
jj
φ
φ
+−
−
1
2112
48
534345()
jjjj
φ
φφφ
++−−
−+ − +
2
a
1
11
2
2()
jjj
φ
φφ
+−
−+
1
11
2
(2 )
jjj
φ
φφ
+−
−+
1
21 12
16
12 22 12()
jjjjj
φ
φφφφ
++ −−
−+ − + −
3
a
---- ----
1
2112
12
229()
jjjj
φ
φφφ
++−−
−+−
4
a
---- ----
1
21 12
24
464()
jjjjj
φ
φφφφ
++ −−
−+−+
Tabela 6.1 – Coeficientes dos Polinômios usados em cada esquema
Dependendo da direção da velocidade, o fluxo
1
2
j
F
+
pode ser expresso como:
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
12
1
0
() , 0
() , 0
j
j
j
j
n
j
j
i
c
c
x
du
t
F
x
du
t
φη η
φηη
+
+
+
−
+
+
−
⎧
∆
≥
⎪
∆
⎪
⎪
=
⎨
⎪
∆
<
⎪
∆
⎪
⎩
∫
∫
(6.162)
onde
1
2
j
c
+
ou
d
c é o número de Courant /ut x
∆
∆ na face direita do VC j. Usando a
equação (6.162) para a integração da equação (6.160) entre os limites apropriados,
chega-se a a uma aproximação dos fluxos.
Quando o esquema de BOTT
O(4) é expresso em termos de fluxos nas faces do
VC, obtém-se
(
)
(
)
(
)
()()
24 234 234
234 23 4
13 94 5
1
11
30 24 120 60 24 4 24 30 120 8 3 8 20
95
1
23
20 8 12 8 30 20 24 24 24 120
nn n
c c cccc cccc
di i i
nn
cc c c c c c c
ii
φ
φφ φ
φφ
−
−+
++
=
−+ + −++− + +−−+ +
−++− + −++−+
(6.163)
e
(
)
(
)
(
)
()()
24 234 234
234 23 4
13 94 5
1
21
30 24 120 60 24 4 24 30 120 8 3 8 20
95
1
12
20 8 12 8 30 20 24 24 24 120
nn n
cc cccc cccc
ei i i
nn
cc c c c c c c
ii
φ
φφ φ
φφ
−
−−
++
=
−+ + −++− + +−−+ +
−++− + −++−+
Lembrando que as expressões (6.163) serão aplicadas em (6.141) fornecendo:
()
1
12 12
nn n n
ii i i
t
FF
x
φφ
+
+−
∆
=− −
∆
(6.164)
164
6.3.9 Método Upwind ou Célula de Donor
Para equação de advecção com coeficientes constantes 0
tx
u
φ
φ
+
= , figura 6.3
indica que o fluxo através face esquerda da célula é inteiramente determinada pelo valor
1
n
i
φ
−
na célula a esquerda desta célula corrente. Isto sugere a definição do fluxo
numérico como
12
1
nn
i
i
Fu
φ
−
−
=
(6.165)
Isto conduz ao método upwind de primeira ordem padrão para a equação da advecção
()
1
1
nn nn
ii ii
ut
x
φ
φφφ
+
−
∆
=− −
∆
(6.166)
Note que esta expressão pode ser reescrita como
1
1
0
nn nn
ii ii
u
tx
φφ φφ
+
−
⎛⎞
−−
+=
⎜⎟
∆∆
⎝⎠
(6.167)
ao passo que o método centrado instável (6.155) aplicado a equação da advecção é
1
11
0
2
nn nn
ii ii
u
tx
φφ φφ
+
+−
⎛⎞
−−
+=
⎜⎟
∆∆
⎝⎠
(6.168)
6.3.10 Método de Crowley de Quarta Ordem
Um esquema conservativo de quarta ordem pode ser expresso como,
CROWLEY (1968):
1 2 11 21
22
12 22
33
13 23
44
14 24
121
121
121
1
()( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
nnnnn
ii
iii
nn n n
i
iii
nn n n
i
iii
nn
i
ii
FtxAc Ac
Ac Ac
Ac Ac
Ac Ac
φφ φφ
φ
φφφ
φφ φφ
φφ φ
−
−−+
−
−+
−−+
−−
∆∆= + + +
+−+ −
+++ +
+−+
21
)
nn
i
φ
+
−
(6.169)
onde os coeficientes A
ij
são dados por:
A
11
= 7/12 A
12
= 15/24 A
13
=-1/12 A
14
=-3/24
A
21
= -1/12 A
22
= -1/24 A
23
=1/12 A
24
=1/24
Lembrando que a expressão (6.169) e a fórmula correspondente
12
n
i
F
+
serão aplicadas
em (6.141)
()
1
12 12
nn n n
ii i i
t
FF
x
φφ
+
+−
∆
=− −
∆
(6.170)
165
Os coeficientes da equação (6.169) dados acima representam um polinômio de
quarta ordem ajustado nos cinco pontos envolvidos CROWLEY (1968). Nenhum erro
está presente para os caso de
c
= 0, 1, -1, 2, -2. Infelizmente, existe instabilidade para a
faixa 1 2
c≤≤e existem indicativos que a ampliação da faixa de estabilidade é
acompanhada de mais amortecimento, FROMM (1969).
6.3.11 Método de Fromm de Quarta Ordem
Dando seqüência ao item 6.3.10, FROMM (1969) argumenta que se a
estabilidade para a faixa 0 1
c≤≤ é satisfatória, existe a possibilidade de otimização dos
coeficientes para um amortecimento mínimo. Fromm propôes então a seguinte
expressão:
1 2 11 21
22
12 22
33
13 23
21 3
21 3
21 3
(1)( ) (1)( )
( 1) ( ) ( 1) ( )
( 1) ( ) ( 1) ( )
nnnnn
ii
ii i
nn nn
i
ii i
nn nn
i
ii i
FtxAc Ac
Ac Ac
Ac Ac
A
φφ φφ
φ
φφφ
φ
φφφ
∗
−
−− −
−− −
−− −
∆∆= − + + − +
+− −+− −
+− ++− +
+
44
14 24
21 3
(1)( ) (1)( )
nn nn
i
ii i
cAc
φ
φφφ
−− −
−−+−−
(6.171)
onde
()
1
12 12
nn n n
ii i i
t
FF
x
φφ
+
∗∗
+−
∆
=− −
∆
(6.172)
Agora a equação (6.172) tem um erro de adiantamento de fase e uma combinação com a
equação (6.170) possibilita uma minimização do erro de fase. No caso mais simples
pode-se efetuar uma simples média entre os termos, FROMM (1969)
()
1
12 12 12 12
1
1
(
22
)
nnn nnnn
iiiiii
i
t
x
FF FF
φφφ
+
∗∗
++ −−
−
∆
−
∆
=+ +−− (6.173)
166
6.4 MVF segundo a abordagem de LEONARD
6.4.1 Esquemas Polinomiais Arbitrários de Ordem Alta para Advecção
Outra forma interessante de interpretação da equação (6.141) é dada em
LEONARD (1991a), que derivou esta expressão a partir de argumentos de VC na seção
i de / 2 a / 2
x
x−∆ + ∆ , assumindo uma malha uniforme. Seguindo a nomenclatura do
trabalho original deste autor, é apresentado um esquema exato de diferenças na forma
conservativa da forma:
()
1
nn
ii e
d
c
φ
φφφ
+
∗∗
=− − (6.174)
onde as barras representam médias espaciais e os asteriscos as médias temporais, os
sobrescritos designam níveis de tempo,
c
é o número de Courant. Os valores médios
temporais nas faces esquerda e direita são indicados nos subscritos.
As médias espaciais sobre o VC podem ser escritas em termos do valor de nó
central mais um termo de desvio
ii
DEV
φφ
=+
(6.175)
Assumindo agora que os valores nodais estão relacionados por uma equação
exata da forma
()
1
nn
ii e
d
c
φφ φφ
+
−=− − (6.176)
onde os valores das faces agora incluem os efeitos dos termos de desvio. Os termos de
desvio propriamente também irão satisfazer
()
1
nn
e
d
DEV DEV c DEV DEV
+
−=− − (6.177)
Então, a partir de (6.174), (6.175) e (6.177),
()
(
)
1
nn
de
ii e
d
cDEV DEV
φφ φ φ
+
⎡⎤
−=− − − −
⎣⎦
(6.178)
que pode ser colocado na forma da expressão (6.176) dado que o valor de face médio
efetivo para cada face
f é definido por
f
ff
DEV
φφ
∗
=− (6.179)
Nesta interpretação, a equação (6.176) pode ser reescrita como
()
1
nn
ii e
d
c
φ
φφφ
+
=− − (6.180)
167
pode ser considerada exata para
c constante, fornecidas definições apropriadas para os
valores de face. A conservação é garantida, visto que ( ) ( 1)
e
d
ii
φ
φ
=
+ . Em problemas
práticos, os valores de face são aproximados e a forma da equação é assumida como
válida para velocidades variáveis (incluindo reversão de sinal), isto é,
()
1
nn
ii ee
dd
cc
φ
φφφ
+
=− − (6.181)
onde ( ) ( 1)
e
d
ci ci=+
LEONARD (1991a) derivou um conjunto de fórmulas de diferenças para o
cálculo recursivo dos valores das faces baseadas em polinômios de interpolação de alta
ordem, que ele batizou por TIM (‘transient interpolation modeling’). O foco de atenção
é dado sobre a face localizado a direita da célula de VC.
Um método de geração de algoritmos na forma (6.180) é baseado em
1
(, ) ( ,0) ( )
nn
i
x
txut xut
φφ φ φ
+
=∆=−∆= −∆ (6.182)
Definindo
(
)
(0)
1
1
2
nn
dii
φ
φφ
+
=+
(6.183)
isto é, interpolação linear sobre a face direita. Seja a primeira diferença sobre a face
direita representada por
1
1
nn
ri i
δ
φφ
+
=− (6.184)
A segunda diferença centrada na face direita é dada pela metade da diferença das
primeiras diferenças através de duas células
(
)
(
)
(
)
2
21 1 21 1
11
22
nn nn nnnn
riiii iiii
φ
φφφ φφφφ
++ − ++ −
⎡⎤
=−−−=−−+
⎣⎦
D
(6.185)
De acordo com esse autor, diferenças de alta ordem, centradas na face direita,
podem ser calculadas recursivamente, a partir do triângulo de Pascal para as diferenças
de ordem par e um outro triângulo relacionado para as diferenças de ordem ímpar. Esses
triângulos são mostrados em tabelas no corpo do texto principal e um procedimento
explicativo para um esquema upwind de terceira ordem é feito no apêndice A
(LEONARD, 1991a). Descreve-se abaixo uma seqüência evolutiva dos esquemas de
volumes finitos, escritos em função das incógnitas nodais.
168
A fórmula para upwind de primeira ordem é
(
)
(1) (0) 1
1
2
dd dd
SGN c
φ
φδ
=−
(6.186)
e para diferença central de segunda ordem (Lax-Wendroff)
(2) (0) 1
1
2
dd dd
c
φ
φδ
=−
(6.187)
o esquema upwind de terceira ordem é
()() ()
2
(3)
11 11
1
22
1
2
6
nn nn n nn
diiii iii
c
c
φ
φφ φφ φ φφ
++ +−
⎛⎞
−
=+−−− −+
⎜⎟
⎝⎠
(6.188)
que pode ser reescrito como
2
(3) (0) 1 2 3
1
2
1
()
62
dd dd d d
SGNcc
c
φ
φδ δ
⎛⎞
−
⎡
⎤
=− − −
⎜⎟
⎢
⎥
⎣
⎦
⎝⎠
D
(6.189)
onde
2
21 1
2
nnnn
di i i i
φ
φφφ
++ −
=−−+
D (6.190)
e
3
21 1
33
nnnn
di i i i
δ
φφφφ
+
+−
=− +−
(6.191)
fazendo a substituição de (6.187) em (6.189), obtém-se a expressão para o esquema
upwind de terceira ordem para a equação da advecção ‘pura’, LEONARD (1991a,
1994). Este esquema é mais conhecido como QUICKEST, sendo baseado na
interpolação cúbica com tendência upwind ou regressiva. QUICKEST é a sigla de
“Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics with Estimated
Streaming Terms”, LEONARD (1979).
22
(3) (2) 2 3
1() ()
3! 2
dd
dd d d
SGN
cc
φ
φδ
−
⎡
⎤
=+ −
⎢
⎥
⎣
⎦
D
(6.192)
onde é assumido que a fórmula é válida para c variável, ou seja,
()
d
dd
d
ut
cci
x
∆
==
∆
(6.193)
A fórmula para o esquema upwind de segunda ordem, ou método de FROMM
(1968) também conhecido como “erro médio de fase zero”, possui forma similar ao
QUICKEST, mas com um coeficiente diferente para o termo de curvatura
(2 ) (2) 2 3
1
()
()
22
U
d
dd d d
SGN
c
c
φ
φδ
−
⎡
⎤
=+ −
⎢
⎥
⎣
⎦
D
(6.194)
169
A fórmula para upwind de quarta ordem é
22
(4) (2) 2 3
1
()
3! 4
dd
dd d d
cc
φ
φδ
−
⎡
⎤
=+ −
⎢
⎥
⎣
⎦
D
(6.195)
De forma similar
222 2
(5) (4) 4 5
12
()( ) ()
5! 2
dd d
dd d d
SGN
cc c
φ
φδ
−−
⎡
⎤
=+ −
⎢
⎥
⎣
⎦
D
(6.196)
222 2
(6) (4) 4 5
12
()( )
5! 6
dd d
dd d d
cc c
φ
φδ
−−
⎡
⎤
=+ −
⎢
⎥
⎣
⎦
D
(6.197)
onde
4
321 12
23223
nn nnnn
di i i i i i
φ
φφφφφ
++ + −−
=− + +− +D
(6.198)
e
5
32 1 12
510105
nn n nnn
di i i i i i
δ
φφ φ φφφ
+
++ −−
=− + − + −
(6.199)
continuando
222 22 2
(7) (6) 6 7
123
()( )() ()
7! 2
dd d d
dd d d
SGN
cc c c
φ
φδ
−− −
⎡
⎤
=+ −
⎢
⎥
⎣
⎦
D
(6.200)
e
222 22 2
(8) (6) 6 7
123
()( )()
7! 8
dd d d
dd d d
cc c c
φ
φδ
−− −
⎡
⎤
=+ −
⎢
⎥
⎣
⎦
D
(6.201)
onde
6
4321 123
2595595
nnnnnnnn
di i i i i i i i
φ
φφφφφφφ
++++ −−−
=− + − −+ − +D
(6.202)
e
7
43 2 1 123
7213535217
nn n n nnnn
di i i i i i i i
δ
φφ φ φ φφφφ
+
+++ −−−
=− + − + − + −
(6.203)
O padrão para um esquema upwind de N-ésima ordem (N ímpar) é
(1)/2
22
() ( 1) 1
1
()
()
!2
N
d
NN N N
kd
dd d d
SGN
k
c
c
N
φ
φδ
−
−−
=
−
⎡
⎤
=+ −
⎢
⎥
⎣
⎦
∏
D
(6.204)
e para um esquema de M-ésima (N par) é
/2 1
22
() ( 2) 2 1
1
()
(1)!
M
d
MM M M
kd
dd d d
k
c
c
MM
φφ δ
−
−−−
=
−
⎡
⎤
=+ −
⎢
⎥
−
⎣
⎦
∏
D
(6.205)
170
6.4.2 Esquema QUICK para o Regime Permanente
A figura 6.4 mostra o esquema de interpolação básico para
d
φ
quando
d
u é
positivo para a direita. O procedimento é visto em detalhes em LEONARD (1979).
Figura 6.4 – Interpolação regressiva quadrática para
d
φ
e
(
)
d
x
φ
∂∂
O esquema para
d
φ
é dado por
()()
11
2
28
dCD EDC
φ
φφ φφ φ
=+−+− (6.206)
que pode ser interpretado como uma interpolação linear corrigida por um termo
proporcional à curvatura de uma parábola ajustada pelos pontos E, C e D. Para a
modelação do gradiente
()
d
x
φ
∂∂ , a tangente na célula também é mostrada na figura
6.4. É uma propriedade da parábola que a inclinação da tangente na mediatriz entre dois
pontos é igual a inclinação da corda que liga esses pontos, então se escreve
D
C
d
d
x
x
φ
φ
φ
−
∂
⎛⎞
=
⎜⎟
∂∆
⎝⎠
(6.207)
que é válida para o caso de malha variável, como é indicado no subscrito. De forma
similar a construção para
e
φ
quando
e
u é também positivo para a direita.
()()
11
2
28
EC FC E
e
φ
φφ φφ φ
=+−+− (6.208)
e
CE
e
e
x
x
φ
φ
φ
−
∂
⎛⎞
=
⎜⎟
∂∆
⎝⎠
(6.209)
As fórmulas QUICK (6.206)-(6.209) são apropriadas para escoamentos
permanentes ou quase-permanentes em que o número de Péclet
P
∆
é grande em apenas
uma direção. O número de Péclet da malha é dado por
D
φ
d
φ
φ
E
φ
()
F
E
φ
d
u
171
00
0
ux
P
D
∆
∆
= (6.210)
A figura 6.5 mostra a definição dos termos sob a condição de malha variável em
uma dimensão. A componente da velocidade é definida positiva para a direita; seu valor
real tanto podem ser positivo quanto negativo, independentemente. Quando
d
φ
é
negativo,
FD
φ
será envolvido nos cálculos.
Figura 6.5 – Definição dos termos referentes a uma malha de espaçamento variável
Para o cálculo do novo valor
C
φ
(ponto nodal i) começa com os seguintes passos
1
C
nn
ee e
CC
dd d
ed
t
uu D D t
xxx
φφ
φ
φφφ ψ
∗∗
+
⎡⎤
∆∂∂
⎛⎞ ⎛⎞
=+ − − + +∆⋅
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
∆∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
(6.211)
onde
ψ
é o termo de fonte médio.
()
2
CURV
1
()
28
d
dCD dd
x
i
φφφ φ
∆
=+− =
(6.212)
e
GRAD
()
d
d
i
x
φ
∗
∂
=
∂
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(6.213)
com
(1)
d
e
i
φ
φ
=− (6.214)
C
φ
E
φ
F
E
φ
d
u
e
u
D
φ
F
D
φ
E
x
∆
x
∆
x
∆
f
e
x
∆
e
x
∆
d
x
∆
f
d
x
∆
(
)
1
i
+
(
)
2
i
+
(
)
i
(
)
1
i
−
(
)
2
i
−
172
GRAD
(1)
d
e
i
x
φ
∗
∂
=
−
∂
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(6.215)
onde
()
1
GRAD GRAD
1
()
nn
nn
ii
CE
ee
ee
i
xx
φφ
φφ
−
−
=−= =
∆∆
(6.216)
()
12
2
CURV GRAD GRAD
2
1
nnn
iii
ce
ee
e
xx
φφφ
−−
−+
=−=
∆∆
(6.217)
()
1
GRAD GRAD
1
(1)
nn
nn
ii
DC
dd
dfd
i
xx
φφ
φφ
+
−
=
−= = −
∆∆
(6.218)
()
11
2
CURV GRAD GRAD
2
1
nnn
iii
dc
dd
d
xx
φ
φφ
+
−
−+
=−=
∆∆
(6.219)
6.4.3 Esquema de Leith
Usando interpolação linear entre os valores nodais (diferença central), os valores
médios nas faces podem ser estimados assumindo-se que o perfil de
φ
é varrido para
jusante. Isto fornece
(
)
(
)
11
1
2
nn nn
ii ii
e
c
φφφφφ
−−
=+−−
⎡⎤
⎣⎦
(6.220)
e
(
)
(
)
11
1
2
nn nn
ii ii
d
c
φφφφφ
++
=+−−
⎡⎤
⎣⎦
(6.221)
Esta expressão pode ser generalizada para incluir campo de velocidades variáveis
()() ()()
1
1111
11
22
nn nn nn nn nn
ii eiieii diidii
cc cc
φφ φφ φφ φφ φφ
+
−−++
=+ +− − − +− −
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
(6.222)
que representa a forma conservativa do método de LEITH (1965) na ausência de
difusão física. Assumindo-se que a mesma estimativa de
e
φ
e
d
φ
possa ser feita quando
a difusão se faz presente, a equação AD fica sendo:
(
)
(
)
2
1
11 11
22
2
nn nn nn n
i i i i fisico i i i
cc
φ
φφφα φφφ
+
+− +−
⎡⎤
=− − + + + −
⎣⎦
(6.223)
que é formalmente equivalente a equação DA progressiva no tempo, centrada no espaço
para os termos de difusão e advecção e com coeficiente de difusão numérica
2
/2ut∆
,
ROACHE (1972).
173
A análise de estabilidade de Von Neumann da equação (6.223) nos dá como
resultado uma figura geométrica na qual fica delimitada a região de estabilidade para o
esquema numérico e o número de Peclet adotados. Essa análise resulta na condição
necessária e suficiente dada por, LEONARD (1979):
LEITH:
2
0(1)/2
fisico
c
α
≤≤−
(6.224)
6.4.4 Esquema QUICKEST para Fluxos Transientes
Um procedimento similar as expressões (6.212) e (6.213), para estimativa de
d
φ
e
()
d
x
φ
∂∂ , pode ser feito em conjunto com a interpolação regressiva quadrática.
Neste caso, uma vez que termos de curvatura foram incluídos nas fórmulas de
interpolação para os valores nas faces do VC, é consistente incluir termos de curvatura
similares na modelagem do termo de diferença temporal. O procedimento é visto em
detalhes em LEONARD (1979). Se torna conveniente repetir a equação (6.44) com
apenas o termo de fonte pontual, fica-se com
()1
()
xp
u
AD x
txAx x
φφ φ
µφ ψ
∂∂ ∂ ∂
⎛⎞
+= ⋅ ++
⎜⎟
∂∂ ∂ ∂
⎝⎠
(6.225)
Considerando agora que todas as importantes grandezas hidráulicas são variáveis
( (), (), ())AAxuuxDDx===, além das mostradas na equação (6.211) obtém-se uma
expressão “completa” para o método QUICKEST na forma
1
1
iC
nn
eee e e
CC
ddd d d
ed
n
CC
t
Au Au AD A D
Ax x x
t
φφ
φφ φ φ
µφ ψ
∗
∗
+
⎡⎤
∆∂∂
⎛⎞ ⎛⎞
=+ − − +
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
∆∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
+⋅ +∆⋅
(6.226)
onde
()
()
2
2
1
3
GRAD CURV
1
1()
22 2
dd
dCD dd d d dd
xx
cci
φφφ α φ
∆∆
⎡⎤
=+− + −− =
⎣⎦
(6.227)
()
()
2
2
1
3
GRAD CURV
1
1(1)
22 2
EC d
ee
eeeeee
xx
cci
φφφ α φ
∆∆
⎡⎤
=+− + −− =−
⎣⎦
(6.228)
GRAD CURV GRAD
()
2
d
ddd d
d
x
ci
x
φ
∗
∗
∆
∂
=− =
∂
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(6.229)
174
GRAD CURV GRAD
(1)
2
e
eee e
e
x
ci
x
φ
∗
∗
∆
∂
=
−=−
∂
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(6.230)
1
,
2
iid
dd
d
ut
uu
u
x
c
+
∆
−
==
∆
(6.231)
1
,
2
iie
e
e
e
ut u u
u
x
c
+
∆−
==
∆
(6.232)
1
2
,
2
ii
d
d
dd
Dt
DD
D
x
α
+
∆
+
==
∆
(6.233)
1
2
,
2
ii
e
e
ee
Dt D D
D
x
α
−
∆
+
==
∆
(6.234)
11
,
22
ii i i
e
d
A
AAA
AA
+−
+
+
==
(6.235)
Para o cálculo do termo de fonte médio
C
ψ
, assume-se que
n
i
ψ
é conhecido em
todos os centros de célula. Então, integrando entre
2 e 2
x
x
−
∆+∆, assumindo um
comportamento local quadrático, LEONARD (1988)
()
11
1
2
24
nnnn
ii
Cii
ψψ ψ ψψ
+−
=+ − +
(6.236)
Para
e cx∆
constantes a expressão fica sendo:
() ()
() ()
2
2
1
1
2
2
1
22
1
GRAD 1 3 CURV
22 6
1
GRAD 1 3 CURV
22 6
GRAD CURV GRAD CURV
22
nn
ii d d
nn
ii
nn
ii
dd
ee
ee
xx
cc
c
xx
cc
xx
xcxc
φφ α
φφ
φφ α
α
+
+
−
∆∆
+−⋅ − −−
=− +
∆∆
−+−⋅ −−−
∆∆
∆⋅ − ⋅ −∆⋅ − ⋅
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎢⎥
⎪⎣ ⎦ ⎪
⎨⎬
⎡⎤
⎪⎪
⎢⎥
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭
⎧⎫
⎡⎤⎡⎤
⎨⎬
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎩⎭
(6.237)
Uma condição necessária para a estabilidade do método é dada por:
(
)
()
()
()
2
2
32(1 )
1
se
61 2 2
32( 1)
1
se
62 1 2
cc
c
c
cc
c
c
α
α
−−
≤<
−
−−
≤>
−
(6.238)
temos ainda uma condição fisicamente não restritiva:
175
0
α
≥ (6.239)
As condições (6.238) e (6.239) são necessárias, mas não suficientes para a
estabilidade. Através de uma varredura completa em todas as faixas de
e c
α
, a região
de estabilidade para o método QUICKEST pôde ser determinada, conforme mostrado na
figura 6.6. Uma vez que os valores médios dos fluxo de
e ( / )n
φ
φ
∂
∂ são estimados
consistentemente e com precisão de terceira ordem, a faixa de estabilidade fica
aumentada consideravelmente em relação aos demais métodos explícitos.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2
Figura 6.6 – Região de estabilidade no plano
(,)c
α
para o método QUICKEST
176
6.5 Métodos de Alta Resolução
6.5.1 Normalização de Variáveis
Os próximos itens foram baseados nos artigos de LEONARD (1991a e 1991b).
A figura 6.7 mostra uma célula de VC com atenção na face esquerda. Para a
determinação do valor de face efetivo,
f
φ
, os nós mais influentes são os dois que
cercam a face e o próximo nó localizado a montante, dependendo é claro do sinal da
velocidade
f
u . Em termos das variáveis originais, existe um grande número de casos a
considerar: combinação de
f
u
positivo ou negativo,
φ
positivo ou negativo, e gradiente
e curvatura positivos ou negativos. As variações de sinal, direção do fluxo e escala
podem ser normalizados definindo-se para tal uma variável normalizada,
(
)
(
)
(,) (,)
nnn
UDU
xt xt
φ
φφφφ
=− −
(6.240)
Quando
f
φ
for função de , ,
nnn
D
CU
φ
φφ
e do número de Courant, o valor de face
normalizado é função apenas do valor normalizado no nó adjacente de montante e c.
(
)
,
n
fC
f
nc
φφ
=
(6.241)
uma vez que os outros valores nodais normalizados são constantes
0 e 1
nn
UD
φφ
==
(6.242)
Figura 6.7 – Definição dos valores nodais de montante (U), jusante (D) e central (C),
dependendo do sinal de u
f
A equação (6.241) inclui os métodos de primeira ordem, esquemas centrados e
upwind de segunda ordem e upwind de terceira ordem, englobando também os
algoritmos de captura de choque (shock-capturing) de segunda e terceira ordem. Os
U
φ
C
φ
D
φ
D
φ
C
φ
U
φ
f
u
f
u
VC
VC
(
a
)
u
f
> 0
(
b
)
u
f
<
0
177
métodos de ordem alta envolvem nós mais distantes, mas o valor normalizado
continuará fortemente dependente de
n
C
φ
.
6.5.2 Avaliação da Derivada Temporal
Geralmente, para os métodos de interpolação transiente baseados na equação
(6.182), a precisão temporal do algoritmo VC resultante é da mesma ordem do grau da
interpolação espacial usada no processo de modelagem. Muitos esquemas de advecção,
incluindo esquemas TVD, são baseados na ponderação temporal de segunda ordem, que
podem ser explicitados por integração direta. Especificamente, para métodos com
precisão espacial de segunda ordem, o termo de desvio em (6.175) é formalmente
negligenciado; então a partir de (6.179) os valores efetivos de face são justamente as
médias temporais estimadas. Se essas médias temporais são baseadas na advecção dos
valores das faces segundo um comportamento espacial linear, o valor na face ponderado
no tempo
t∆ é
0
1
ˆ
()
2
t
n
n
ff f f
f
ut
d
tx
φ
φφ φττφ
∆
∗
∆∂
⎛⎞
== =−
⎜⎟
∆∂
⎝⎠
∫
(6.243)
onde
n
f
φ
é o valor da face estimado no nível de tempo n. Na maioria dos casos o
gradiente espacial é calculado como
()
2
nn
n
fC
f
xx
φ
φ
φ
−
∂
⎛⎞
=
⎜⎟
∂∆
⎝⎠
(6.244)
então
()
nnn
ff fC
c
φ
φφφ
=− −
(6.245)
ou em termos das variáveis
(1 )
nn
ffC
cc
φ
φφ
=− +
(6.246)
onde a ponderação linear pelo número de Courant é explícito e
n
f
φ
depende apenas de
n
C
φ
(
)
nn
fC
fn
φ
φ
=
(6.247)
A figura 6.8 mostra os gráficos do diagrama de variáveis normalizadas (DVN),
para as seguintes relações funcionais conforme a relação (6.247)
178
(1)
Upwind de primeira ordem (1U):
nn
fC
φ
φ
=
(6.248)
(2)
Método de Lax-Wendroff (2C):
()
1
2
1
nn
fC
φ
φ
=+
(6.249)
(3)
Upwind de segunda ordem (2U):
3
2
nn
fC
φ
φ
=
(6.250)
(4)
Método de Fromm (2F):
1
4
nn
fC
φ
φ
=+
(6.251)
Nota-se que os últimos três métodos passam pelo ponto (0.5,0.75); de fato, qualquer
método cuja função ( )
nn
fC
φ
φ
passe através desse ponto com declividade finita é no
mínimo de segunda ordem de precisão espacial,
n
f
φ
pode então ser escrito
()( )
1
2
112
nn n
fC C
FC
φ
φφ
=−− −
(6.252)
onde o fator de curvatura é uma constante ou, no caso de esquemas não lineares, uma
função de
n
C
φ
. Isto é mais visível em termos de variáveis não normalizadas
()( )
1
2
2
nnn nnn
fDC DCU
FC
φ
φφ φ φφ
=+− −+
(6.253)
ou
()
2
2
2
1
2
n
nnn
fDC
f
FC x
x
φ
φφφ
⎛⎞
∂
=+− ∆+
⎜⎟
∂
⎝⎠
…
(6.254)
Da mesma forma, é importante também retratar os valores na face do VC
ponderados no tempo,
f
φ
(sem sobrescrito), de acordo com pesos lineares (6.246).
179
Figura 6.8 – DVNs para vários esquemas lineares: regressivo ou upwind de primeira ordem
(1U); Lax-Wendroff (2C); regressivo de segunda ordem (2U); método de Fromm (2F), e
progressivo de primeira ordem (1D).
6.5.3 Limitador Universal
O plano das variáveis normalizadas, composta por
n
C
φ
no eixo das abscissas e
f
φ
nas ordenadas, pode ser usado para construir diagramas simples que representam
restrições a média temporal do valor de face efetivo de forma a garantir a manutenção
dos perfis monotonicos. Desse modo valores super avaliados ou oscilações não
monotonicas são suprimidos, mas permitindo alta resolução dependendo da ordem de
precisão formal (tanto no espaço e no tempo) do método base.
Os esquemas de segunda ordem não lineares (lineares em c) podem ser
representados por uma simples curva no plano ( , )
n
Cf
φ
φ
para qualquer valor fixado do
1
1D
2U
2C
1U
1
2F
n
C
φ
~
n
f
φ
~
180
número de Courant. Isto é verdade também para um esquema não linear de terceira
ordem, a ser descrito, mas a dependência com o número de Courant será não linear. A
maioria dos esquemas de segunda ordem não lineares (Minmod, MUSCL, CLAM,
Superbee, Super-C, etc) satisfazem o critério TVD de SWEBY (1984),
para 0 e 1
nn n n
ffC C C
φφφ φ φ
== ≤ ≥
(6.255)
e
min 2 ,1 para 0 1
nn n n
Cf C C
φφ φ φ
⎡⎤
≤≤ ≤≤
⎣⎦
(6.256)
Em particular, todas as funções não lineares passam pelos pontos (0,0) e (1,1).
Esses critérios são escritos em termos de
n
f
φ
; eles então são limitados aos esquemas
temporais de segunda ordem lineares em c, de acordo com a equação (6.246).
Para permitir uma precisão de alta ordem, é extremamente importante trabalhar
diretamente com o valor de face efetivo normalizado e ponderado no tempo
f
φ
, do que
n
f
φ
. Impondo-se um simples critério de manutenção da monotonicidade, limites bem
menos restritivos
– limitador universal –
são colocados aos valores de face permitidos.
A estratégia computacional proposta é a seguinte:
(1)
formular
f
φ
por um método de alta ordem escolhido;
(2)
calcular o valor verdadeiro
n
C
φ
normalizado e o valor normalizado
f
φ
pretendido;
(3)
caso
f
φ
cai na faixa do limitador universal, prossiga;
(4)
se
f
φ
cair fora da faixa, limite seu valor para aquele mais próximo do contorno de
restrição para um dado valor de
n
C
φ
;
(5)
reconstrua o novo valor
f
φ
a partir de
f
φ
;
(6)
repita o procedimento para todas as faces;
(7)
atualize de acordo com (6.181)
181
6.5.4 Critério de Monotonicidade
A figura 6.9 mostra valores nodais normalizados com
n
C
φ
na faixa monotonica,
01
n
C
φ
≤≤
. Como sugerido pelo tracejado, o comportamento monotônico requer
condições necessária em
f
φ
:
1
nn
Cf
φφ
≤≤
(6.257)
e no valor da face correspondente ao VC adjacente a montante,
u
φ
:
0
n
C
u
φ
φ
≤≤
(6.258)
Considerando (6.180), escrita para
n
C
φ
em variáveis normalizadas
()
1
nn
u
CC
f
c
φ
φφφ
+
=− −
(6.259)
Figura 6.9 – Valores nodais normalizados para o caso de um comportamento localmente
monotônico. Os tracejados mostram as condições necessárias nos valores de face de interesse,
f
φ
, e o valor da face de montante do VC correspondente,
u
φ
.
De forma a manter a monotonicidade, o novo valor
C
φ
deve ser restringido por
111
nnn
UD
C
φφφ
+++
≤≤
(6.260)
Para advecção pura com velocidade constante, a inequação do lado direito é menos
restritiva que
nn
fC
φ
φ
≥
, mas a inequação do lado esquerdo resulta em
()
1
1
nn
fu
U
C
c
φφ φφ
+
≤+ −
(6.261)
E uma vez que
u
φ
é não negativa e
1
n
U
φ
+
não, a pior condição é dada por positiva 0
u
φ
=
e
1
0
n
U
φ
+
=
, isto é,
para 0 1
nn
f
CC
c
φφ φ
≤<≤
(6.262)
VOLUME DE
CONTROLE
0
f
φ
~
n
C
φ
~
U
φ
~
f
u
1
182
Isto, combinado com (6.257)
1 para 0 1
nn n
Cf
C
φφ φ
≤≤ ≤≤
(6.263)
constitui o limitador universal na faixa monotonica de
n
C
φ
. Para 0 ou >1
n
C
φ
<
,
experimentos numéricos mostraram que a simples condição
para 0 ou 1
nn n
f
CC C
φφ φ φ
=<>
(6.264)
fornece um desempenho geral satisfatório; isto, é claro, é equivalente ao upwind de
primeira ordem conforme usado por outros esquemas TVD não-lineares de segunda
ordem. Isto não prejudica a precisão do esquema como um todo, que é determinado
apenas pelo comportamento na região suave, perto de 0.5
n
C
φ
→
, LEONARD (1991a).
O limitador universal, (6.262), (6.263) e (6.264) é mostrado na forma de
diagrama na figura 6.10; o contorno dependente do número de Courant,
n
f
C
c
φφ
≤
, esta
tracejado para confirmar que a declividade varia com diferentes valores de c. Note-se
que para 0c → o contorno se aproxima do eixo vertical; enquanto para 1c = a relação
degenera para
n
f
C
φ
φ
≡
, correspondendo a uma transferência exata ponto a ponto.
Figura 6.10 – Diagrama de Variáveis Normalizadas mostrando os contornos do limitador
universal. O contorno tracejado tem declividade dependente do número de Courant 1/
c
.
f
φ
n
c
φ
1
0
1
A
C
1
183
6.5.5 Estratégia ULTIMATE para Variáveis Normalizadas
Os passos para a aplicação do limitador universal a equação ADRP são dados a
seguir, usando variáveis normalizadas. A estratégia ULTIMATE alternativamente pode
ser apresentada para valores não normalizados.
(1)
Designar os nós (U) upstream, (D) downstream e central (C) baseados no sinal
SGN(u
f
) para cada face em questão;
(2)
Calcular
nn
D
U
DEL
φ
φ
=
−
, Se |DEL|<10
-5
, atribua
n
f
C
φ
φ
=
e prossiga para a próxima
face.
(3)
Caso contrário, calcule ( ) /
nnn
CCU
DEL
φφφ
=−
; caso isso seja menor que 0 ou maior
que 1, novamente faça
n
f
C
φφ
=
e prossiga.
(4)
Caso negativo, calcule ( ) /
n
ffU
DEL
φφφ
=−
, onde
f
φ
é baseada no método de alta
ordem escolhido.
(5)
Caso
fC
φ
φ
<
, atribua (limite inferior)
fC
φ
φ
=
; se
n
f
C
c
φφ
>
, atribua (limite
superior)
n
f
C
c
φφ
=
; se 1
f
φ
>
, atribua (limite superior absoluto) 1
f
φ
=
.
(6)
Reconstrua
n
ff U
DEL
φ
φφ
=
+
(este é o valor de face usado no algoritmo de
atualização).
(7)
Após encontrar todos os valores de face desta forma, atualize explicitamente de
acordo com a equação (6.181).
De forma a apresentar a estratégia ULTIMATE, as figuras 6.11 e 6.12 mostram
os diagramas de variáveis normalizadas, ( , )
n
fC
f
nc
φφ
=
quando o limitador universal é
aplicado aos esquemas Lax-Wendroff, upwind de segunda ordem, método de Fromm, e
de terceira ordem QUICKEST, respectivamente.
184
(a)
(b)
Figura 6.11 – DVN para ULTIMATE (a) Lax-Wendroff, (b) upwind de segunda ordem
c
¬
0
c = 0.5
c = 1.0
1
1
f
φ
~
n
c
φ
~
c
¬
0
c = 0.5
c = 1.0
1
1
f
φ
~
n
c
φ
~
185
(a)
(b)
Figura 6.12 – DVN para ULTIMATE (a) Método de Fromm e (b) QUICKEST.
c
¬
0
c = 0.5
c = 1.0
1
1
f
φ
~
n
c
φ
~
c
¬
0
c = 0.5
c = 1.0
1
1
f
φ
~
n
c
φ
~
186
6.5.6 Estratégia simplificada ULTIMATE QUICKEST
Fazendo referência a figura 6.12(b), observa-se que para a faixa
0.2 0.8
n
C
φ
≤≤
(6.265)
o esquema ULTIMATE QUICKEST é de fato idêntico ao esquema QUICKEST não
limitado ou restringido. Então pode se fazer simplificações consideráveis no algoritmo
sem qualquer aproximação ou efeito nos resultados. A inequação (6.265) pode ser
reescrita como
0.5 0.3
n
C
φ
−≤
(6.266)
ou, multiplicando por 2,
12 0.6
n
C
φ
−≤
(6.267)
Reescrevendo em termos de variáveis não normalizadas resulta em
CURV 0.6 DEL≤
(6.268)
onde CURV é a segunda diferença deslocada para montante
CURV 2
nnn
DCU
φφφ
=− + (6.269)
e DEL é a diferença de normalização
DEL
nn
DU
φ
φ
=− (6.270)
Assim, se a equação (6.268) é satisfeita, o esquema QUICKEST não limitado pode ser
usado diretamente, sem a necessidade de testar as restrições do limitador universal. Este
critério será válido na maior parte das vezes no domínio do escoamento, sendo violado
apenas em uma fração dos nós da malha perto de variações bruscas do gradiente.
Se acontecer
0 ou 1
nn
CC
φφ
≤≥
(6.271)
todos os esquemas ULTIMATE (de qualquer ordem) irão usar
n
f
C
φφ
=
(6.272)
As inequações (6.271) são equivalentes a
0.5 0.5 ou CURV DEL .
n
C
φ
−≥ ≥
(6.273)
187
Assim, a estratégia ULTIMATE QUICKEST simplificada é a seguinte:
(1)
Baseado no SGN(u
f
) designe os nós ‘D’, ‘C’ e ‘U’ da maneira usual para cada face.
(2)
Calcule |DEL| e |CURV|.
(3)
Se (6.268) é satisfeita, use o valor da face pelo esquema QUICKEST não limitado e
não normalizado (6.192) ou (6.227).
(4)
Caso contrário, se a equação (6.273) é satisfeita, usar (6.272).
(5)
Caso contrário, calcule o valor de face QUICKEST limitado de acordo com a
estratégia ULTIMATE.
(6)
Prossiga para a próxima face do VC.
(7)
Atualize da forma usual.
6.5.7 Discriminador de Extremos
As estratégias ULTIMATE apresentadas nos itens anteriores objetivam aplicar
um limitador universal para restringir os fluxos, baseando-se no princípio físico da
conservação e nas características de propagação do problema. Todavia, conforme
detectado em LEONARD (1991b), um outro problema local surge quando são aplicados
esquemas de alta ordem, que é o alisamento dos picos, em inglês este comportamento é
denominado de “clipping”. Os esquemas representam muito bem os picos mais abertos
mas aparam aqueles de ondas mais curtas.
O seguinte algoritmo faz uma tentativa de distinguir entre os picos numéricos
artificiais, como aqueles que potencialmente ocorrem próximo a função degrau ou na
base da semi-elipse, e os verdadeiros extremos físicos. Os picos artificiais podem ser
associados as oscilações numéricas de comprimento de onda curto, com rápida variação
de valor, gradiente e curvatura, enquanto que os esquemas de terceira ou alta ordem
excluem as oscilações de comprimento de onda longos. Se um extremo local é
associado as oscilações de comprimento curto, o discriminador escolhe o algoritmo
limitado; todavia, se a curvatura possui o mesmo sinal das regiões adjacentes, o
discriminador relaxa as restrições de limitação no extremo e nos nós adjacentes de
montante e jusante.
Na etapa de atribuição dos valores para os fluxos advectivos, considere uma
varredura no “loop-DO” (no Pascal seria loop-FOR...DO) para
i
-crescente. Para o
discriminador, escolha uma extensão de sete pontos:
3
,
i
φ
−
2
,
i
φ
−
1
,
i
φ
−
,
i
φ
1
,
i
φ
+
2
,
i
φ
+
3
.
i
φ
+
Calcule então as diferenças entre os pares de pontos consecutivos:
188
23 12 32
1 ( ), 2 ( ), , 6 ( )
ii ii ii
DD D
φ
φφφ φφ
−− −− ++
=− =− =−
…
(6.274)
Por conveniência, assume-se que existe um máximo local; um mínimo requer que
algumas das inequações subseqüentes sejam revertidas. As restrições limitantes estão
ativas a não ser quando estabelecidas. O algoritmo se processa então da forma:
(i)
Verificar de D1 e D2 são ambos positivos e D3 e D4 ambos negativos; se não, vá
para o passo (iii); caso eles sejam, então:
(ii)
Verificar se |D2|<|D1| e |D3|<|D4|; caso seja verdadeiro, permute para a versão não
limitada para o valor de i corrente e salte os passos seguintes; caso contrário:
(iii)Verifique se D2 e D3 são ambos positivos e D4 e D5 ambos negativos; se não, vá
para o passo (v); caso eles sejam, então:
(iv)
Verificar se |D3|<|D2| e |D4|<|D5|; caso seja verdadeiro, permute para a versão não
limitada para o valor de i corrente e salte os passos seguintes; caso contrário:
(v)
Verifique se D3 e D4 são ambos positivos e D5 e D6 ambos negativos; se não,
mantenha a restrição de limite ligada; caso eles sejam, então:
(vi)
Verificar se |D4|<|D3| e |D5|<|D6|; caso seja verdadeiro, permute para a versão não
limitada para o valor de i corrente; caso contrário, proceda com o limitador ligado.
A figura 6.13(a) mostra esquematicamente o caso em que o discriminador deve
manter o limitador universal ligado; na figura 6.13(b), a restrição de limitador deve ser
removida para cada um dos pontos mostrados com círculo vazio. A rotina
discriminadora fica inativa a não ser quando um dos valores
1
,
i
φ
−
,
i
φ
1
i
φ
+
é um extremo
local. Como pode ser visto, a relaxação do limitador ocorre em grupos de três pontos,
com o extremo localizado no meio.
Figura 6.13 – Ação do discriminador. (a) Limitador ligado. (b) Limitador desligado nos três nós
centrais
(a) (b)
189
Capítulo 7 – Resultados dos Modelos Numéricos
7.1 Convergência, Precisão e Estabilidade
7.1.1 Introdução
Sempre que métodos numéricos são usados para resolver EDP, deve-se ter uma
preocupação sobre as propriedades de precisão e convergência das aproximações. Em
problemas reais, geralmente não se possui a solução verdadeira para fins de
comparação, de maneira que se “pode” confiar na combinação das seguintes técnicas
para se ganhar confiança nos resultados numéricos obtidos.
•
Validação em problemas teste. O método (e principalmente o código implementado)
deve ser testado em problemas simples onde a solução exata é conhecida, ou em
problemas onde comparações com soluções de alta precisão podem ser realizadas
por outros meios. Em alguns casos soluções experimentais podem estar disponíveis.
•
Análise teórica da convergência e precisão. Idealmente, pode-se preferir provar que
o método escolhido converge para a solução correta quando se refina a malha, e se
obter estimativas razoáveis do erro numérico que será observado em uma malha
finita, porém mais grosseira.
7.1.2 Convergência
Primeiramente, é preciso encontrar uma forma de quantificar o erro. Para
problemas unidimensionais tem-se uma aproximação
n
i
φ
em cada ponto da malha( , )
i
x
t
média em cada VC. Para fins de comparação assume-se que
n
i
φ
representa o valor exato,
para o qual se espera obter uma aproximação. Para o MDF é interessante escolher o
valor pontual
(,)
n
iin
x
t
φφ
=
(7.1)
enquanto que para o MVF deseja-se comparar
n
i
φ
com a expressão
12
12
1
(, )
i
i
n
x
n
i
x
x
tdx
x
φφ
+
−
=
∆
∫
(7.2)
190
Se a função
(,)
x
t
φ
é suficientemente suave, o valor pontual (7.1) avaliado no
centro da célula
x
i
concorda com a média da célula (7.2) na
2
()Ox∆ , conforme já visto
no capítulo 6. Supondo que se estabeleça um tempo finito T no qual se deseja fazer os
cálculos. Geralmente, se espera que os erros cresçam com o passar do tempo, então não
é razoável ficar na expectativa que uma malha finita seja capaz de fornecer bons
resultados para tempos arbitrariamente longos. Note que refinando-se a malha, o
número de passos temporais para alcançar T irá crescer na razão
/Tt∆
. Usando-se N
para indicar o nível de tempo correspondente ao tempo TNt
=
∆ . O erro global neste
tempo é denotado por
NN
φ
φ
=
−
N
E
(7.3)
e se deseja encontrar limites para esta função à medida que a malha é refinada.
7.1.3 Escolha da Norma
Para quantificar o erro, deve-se escolher alguma norma para que seja medido o
erro em um tempo fixo. O conjunto de normas padronizadas mais comumente usada é a
p-norma.
1
p
p
p
i
i
x
∞
=−∞
⎛⎞
=∆
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
EE (7.4)
que é a forma discreta análoga a norma de funções espaciais
1
()
p
p
p
x
dx
∞
−∞
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∫
EE
(7.5)
O fator
x
∆ na expressão (7.4) é muito importante para corrigir a escala e a
ordem de precisão a medida que a malha é refinada.
Em particular a 1-norma (com p=1) é freqüentemente usada nos problemas
envolvendo as leis de conservação, uma vez que as integrais da solução são muito
importantes. A 2-norma é muito usada em problemas lineares por causa da utilidade da
análise de Fourier. É comum usar
⋅
sem qualquer subscrito, quando não se deseja
especificar uma norma em particular.
Um método é dito convergente em um tempo T em uma norma
⋅
particular se
0
lim 0
t
NtT
∆→
∆=
=
N
E
(7.6)
191
O método é dito possuir precisão de ordem
s
se
( ) quando 0
s
Ot t
=
∆∆→
N
E
(7.7)
Pode-se esperar que aconteça uma convergência pontual à medida que a malha é
refinada. Isto pode ser obtido com o uso da norma-max (ou norma-∞) para estimar o
erro.
max
i
∞
−∞< <∞
=
i
EE
(7.8)
Quando a solução
(,)
x
t
φ
é suave, então é de se esperar uma convergência
pontual. Para problemas com soluções descontínuas, por outro lado, tipicamente
ocorrerá um espalhamento sobre um ou mais pontos nodais nas vizinhanças da
descontinuidade. Neste caso não se pode esperar a convergência na norma máxima, não
importando quão bom seja o método. A convergência na norma-1 é fisicamente mais
relevante. Em geral, a razão de convergência observada depende de qual norma está
sendo usada, e por isso é importante usar a norma apropriada para medir a
convergência.
Para compatibilizar os métodos e comparar os resultados apresentados por
LEVEQUE (2002), LEONARD (1991, 1995) e FARTHING & MILLER (2001), os
seguintes critérios foram avaliados:
i.
Erro Absoluto Global (ABSERROR) ou então a 1-norma dada equação (7.4)
quando
p=1
1
i
i
∞
=−∞
=
∑
EE
(7.9)
ii.
Variação Total do Erro ou Flutuação (WAVENESS)
1
1
N
i
i
i
+
=
=−
∑
WEE
(7.10)
iii.
Raiz do erro médio quadrático (RMS)
12
2
i
i
RMS
N
∞
=−∞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=
∑
E
(7.11)
iv.
2-norma
12
2
2
i
i
x
∞
=−∞
⎛⎞
=∆
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
EE (7.12)
192
7.2 Avaliação e Desempenho dos Algoritmos
7.2.1 Escolha da Norma
A avaliação e o desempenho dos métodos numéricos normalmente são feitos
através da comparação dos resultados numéricos com os valores obtidos por soluções
analíticas, quando ela existirem. Cabe aqui lembrar, que as soluções analíticas podem
ser representadas por expressões exatas ou aproximadas.
Após consulta a literatura pertinente, encontrou-se uma série finita de testes
“padronizados”, ou seja, um pequeno conjunto de situações hipotéticas para as quais são
feitas comparações de valores numéricos absolutos e relativos, testes estatísticos dos
principais momentos
023
, , e
kkk k
(área, centróide, variância, assimetria e curtose) e
comparações visuais dos gráficos pelos diversos métodos. Na literatura, estes testes são
mais conhecidos como “Bench-Mark Test Problems” (BMTP).
7.2.2 Soluções Analíticas
Técnicas analíticas são freqüentemente utilizadas para resolver a equação
ADRP em problemas associados à ciência dos solos e em escoamentos através de meios
porosos. Alguns dos mais importantes métodos incluem a separação de variáveis,
técnicas de variáveis complexas, transformações de Laplace, Fourier e Hankel, funções
de Green e série de potencias.
Numa abordagem determinística e com a adoção de parâmetros de transporte
constantes tanto no espaço quanto no tempo, a equação ADRP é linear e por isso
soluções fechadas geralmente podem ser derivadas. Muitas soluções para esta equação
estão disponíveis para variadas condições de contorno para o transporte unidimensional
[ex., van GENUCHTEN e ALVES, 1982] e para um número moderado de condições
para o transporte bi- e tri- dimensional [YEH e TSAI, 1976; YEH,1981; HUNT, 1978;
WILSON e MILLER, 1978; SAUTY, 1980; SAGAR, 1982; LEIJ e DANE, 1990; LEIJ
et al.
,1991; PHILLIP, 1994; SIM e CRYSIKOPOULOS, 1999]. Devido a grande
variabilidade dos padrões de escoamento, das propriedades transportadas, do caráter
transiente dos fluxos e pela condição naturalmente não-ideal de se aplicar condições de
contorno e iniciais, a utilidade de soluções analíticas é muitas vezes limitada e o
emprego de métodos numéricos pode ser necessário. Entretanto, as soluções analíticas
continuam úteis na validação de resultados numéricos, para fornecer estimativas iniciais
193
de cenários de poluição, na análise de sensibilidade para investigar os efeitos dos vários
parâmetros de transporte e para propósitos de extrapolação para largos intervalos de
tempo e de distância onde os métodos numéricos se mostrarem impraticáveis.
O aparecimento de descontinuidades na distribuição das concentrações (ex. as
frentes de onda), conforme dito no item 6.1.3, introduz grandes dificuldades
computacionais ao problema. Portanto, o principal esforço do presente capítulo é a
busca de uma solução precisa para este caso específico e também para situações
especiais onde apareçam descontinuidades de gradiente. Do MDF clássico, em que as
derivadas são aproximadas por diferenças finitas, pode-se esperar um “descompasso” na
região próxima a uma descontinuidade, onde a equação diferencial não se aplica.
7.2.3 Resultados – MDF e MVF
Estudos Comparativos
Uma rica literatura está disponível mostrando diversos estudos comparativos
envolvendo a precisão, estabilidade, consistência e convergência, apresentados pelos
mais variados tipos e classes de esquemas numéricos: van GENUCHTEN (1977),
LEONARD (1979, 1991), PATEL
et al.
(1985), PRODANOFF (1988), DEKEMA e
SHULTZ (1990), TSUI (1991), WANG e LACROIX (1997), KOLESNIKOV e
BAKER (2000), além das referências clássicas como ROACHE (1976) e ANDERSON
et al. (1984).
Nos itens que se seguem serão apresentados diversos esquema numéricos MDF e
MVF.
194
7.3 Resultados para a Equação da Advecção
No caso específico da advecção pura a velocidade constante, a solução numérica
é simplesmente a condição inicial deslocada de
s unt
∆
=⋅∆. Nos dois testes estudados,
a extensão total do domínio é de
250
x
⋅
∆
onde
0.010x
∆
=
, a concentração máxima é de
1.0 mg/L, a velocidade média uniforme
1.0
u
=
, incremento o coeficiente de
retardamento é 1.0, os termos de decaimento e produção são iguais a zero. Os casos são:
(a)
Courant = 0.05, 0.0005
t
∆= e número de incrementos de cálculo = 900.
(b)
Courant = 0.5,
0.005t
∆
=
e número de incrementos de cálculo = 90.
para 0 10
para 10 50
para 50 71
para 70
1
0
x
sen
20 x
0
exata
x
x
x
x
x
x
π
φ
<≤ ⋅∆
<≤ ⋅∆
<
≤⋅∆
<
⎛⎞
⎜⎟
⋅∆
⎝⎠
=
()
()
2
2
101
para 101 122
para 123 151
para 151 161
para 161 171
( 111 )
1
(10 )
0
1
x-151
10
1
1 x-161
10
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
≤
⋅∆
<
≤⋅∆
<
≤⋅∆
<
≤⋅∆
<
≤⋅∆
−⋅∆
−
⋅∆
⋅∆
⋅∆
−⋅∆
⋅∆
para 171 200
x
x
<
≤⋅∆
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00
Figura 7.1 – Condição ou distribuição inicial das concentrações
195
7.3.1 MDF para Advecção Pura com Velocidade Constante
7.3.1.1 Esquema de Diferença Central
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.2 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
São apresentados os resultados apenas para 9. t
∆
de cálculo, depois o sistema explode.
NOTA: As curvas plotadas em linha contínua correspondem as soluções ANALÍTICAS
e aquelas tracejadas ou não com pequenos círculos são as soluções NUMÉRICAS .
196
7.3.1.2
Esquema de Diferença Regressiva – UPWIND de 1ª ordem
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.3 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
197
7.3.1.3
Esquema de Lax-Friedrichs
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.4 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
São apresentados os resultados nos instantes 90. t
∆
e 900. t
∆
de cálculo no caso (a) e
nos instantes 9. t
∆
e 90. t
∆
no caso (b).
198
7.3.1.4
Esquema de Lax-Wendroff Explícito ou Preditor-Corretor
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.5 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
199
7.3.1.5
Esquema de Leith
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.6 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
200
7.3.1.6
Método de Fromm
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.7 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
201
7.3.1.7
Esquema de MacCormack
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.8 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
202
7.3.1.8
Esquema de Beam-Warming
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.9 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
203
7.3.1.9
Esquema de Takacs
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.10 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
204
7.3.1.10
Esquema de Martin
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.11 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
205
7.3.1.11
Esquema Centrado de Quarta Ordem
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.12 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
São apresentados os resultados para 9. t
∆
de cálculo.
206
7.3.1.12
Método de Holly-Preissmann
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.13 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
207
7.3.1.13
Esquema de Rusanov
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.14 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
208
7.3.1.14
Esquema de Warming-Kutler-Lomax
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.15 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
209
7.3.2 MDF para Advecção Pura com Velocidade Espacialmente Variável
Os resultados obtidos pela aplicação dos esquemas upwind, downwind, Lax-
Friedrichs e centrados de 1ª, 2ª e 4ª ordem, não serão reproduzidos. O comportamento
desses esquemas é bem conhecido e documentado na literatura, por apresentarem sérias
limitações devido a precisão, difusão numérica e oscilações espúrias nas soluções.
Um campo de velocidades que possui um componente espacialmente variável é
() ( )ux mx a
=
+
(7.13)
para a qual equação da advecção unidimensional
() 0mx a
tx
φ
φ
∂
∂
+
+=
∂∂
(7.14)
possui a seguinte solução exata
()
2
0
(,)
mt
kxae x a
xt
e
φ
−
⎡
⎤
⎣
⎦
−+ −−
= (7.15)
Portanto este campo de velocidades pode ser usado como um adequado teste da
precisão de um esquema numérico em um campo de velocidades que espacialmente
variável. Todavia, esta análise não fornece um conhecimento sobre a precisão de um
método para um campo de velocidades espacialmente variável qualquer, mas pode ser
usado como um guia geral.
Os dados utilizados nas simulações são:
2
12.5( 0.5)
(,0)
x
x
e
φ
−−
= (7.16)
e
( ) 4( 6)ux x
=
−− (7.17)
210
7.3.2.1
Esquema de Lax-Wendroff
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.16 –
0.08 Courant 0.48≤≤
, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
7.3.2.2
Esquema de Leith
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.17 – 0.08 Courant 0.48≤≤, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
211
7.3.2.3
Método de Fromm
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.18 –
0.08 Courant 0.48≤≤
, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
7.3.2.4
Esquema de MacCormack
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.19 – 0.08 Courant 0.48≤≤, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
212
7.3.2.5
Esquema de Beam-Warming
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.20 –
0.08 Courant 0.48≤≤
, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
7.3.2.6
Esquema de Takacs
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.21 – 0.08 Courant 0.48≤≤, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
213
7.3.2.7
Esquema de Martin
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.22 –
0.08 Courant 0.48≤≤
, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
7.3.2.8
Método de Holly-Preissmann
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.23 – 0.08 Courant 0.48≤≤, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
214
7.3.2.9
Esquemas de Rusanov
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.24 –
0.08 Courant 0.48≤≤
, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
7.3.2.10
Esquemas de Warming-Kutler-Lomax
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.25 – 0.08 Courant 0.48≤≤, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
215
7.3.3 MVF para Advecção Pura com Velocidade Constante
7.3.3.1
Esquema QUICK Explícito
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.26 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
216
7.3.3.2
Esquema QUICK Implícito
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.27 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
217
7.3.3.3
Esquema TIM Upwind 1ª Ordem
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.28 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
218
7.3.3.4
Esquema TIM Centrado 2ª Ordem (ou Lax-Wendroff)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.29 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
219
7.3.3.5
Esquema TIM Upwind 3ª Ordem ou QUICKEST
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.30 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
220
7.3.3.6
Esquema TIM Centrado 4ª Ordem
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.31 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
221
7.3.3.7
Esquema TIM Upwind 5ª Ordem
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.32 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
222
7.3.4 MVF para Advecção Pura com Velocidade Variável
7.3.4.1
Esquema TIM Centrado de 2ª Ordem
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.33 –
0.08 Courant 0.48≤≤
, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
7.3.4.2
Esquema TIM Upwind 3ª Ordem ou QUICKEST
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.34 – 0.08 Courant 0.48≤≤, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
223
7.3.4.3
Esquema TIM Centrado de 4ª Ordem
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.35 –
0.08 Courant 0.48≤≤
, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
7.3.4.4
Esquema TIM Upwind 5ª Ordem
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.36 – 0.08 Courant 0.48≤≤, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
224
7.3.5 Estratégia ULTIMATE QUICKEST para Advecção Pura
7.3.5.1
SEM Discriminador de Extremos, COM e SEM Limitador Universal e
Velocidade Constante
50
1
0.5
0
(a)
150
1
0.5
0
(b)
Figura 7.37 –Courant = 0.05 (a) Função DEGRAU, (b) Semi-Elipse
225
7.3.5.2
SEM Discriminador de Extremos e Velocidade Constante
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.38 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
226
7.3.5.3
COM e SEM Discriminador de Extremos e Velocidade Constante
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(a)
250200150100500
1.5
1
0.5
0
(b)
Figura 7.39 – (a) Courant = 0.05; (b) Courant = 0.5.
227
7.3.5.4
QUICKEST e ULTIMATE QUICKEST COM Discriminador de Extremos
em Campo de Velocidade Variável
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.40 – 0.08 Courant 0.48≤≤, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
QUICKEST em verde e ULTIMATE QUICKEST COM em vermelho
7.3.5.5
ULTIMATE QUICKEST COM e SEM Discriminador de Extremos em
Campo de Velocidade Variável
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.41 – 0.08 Courant 0.48≤≤, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
ULTIMATE QUICKEST COM em vermelho e SEM em verde
228
7.3.5.6
ULTIMATE QUICKEST COM Discriminador de Extremos e TIM
UPWIND 5ª ordem não limitado em Campo de Velocidade Variável
100500
1.5
1
0.5
0
Figura 7.42 – 0.08 Courant 0.48≤≤, resultados em 5.∆t, 100.∆t e 250.∆t.
ULTIMATE QUICKEST COM em vermelho e TIM 5ª ordem em verde
229
7.4 Soluções Analíticas para a Equação ADRP
As soluções analíticas para a equação ADRP unidimensional com coeficientes
constantes (velocidade, coeficientes de dispersão, reação e produção) estão disponíveis
quase que em sua totalidade no trabalho de van GENUCHTEN e ALVES (1982). Essas
soluções estão separadas em quatro grandes grupos, separados pelas diferentes
combinações de termos usados na equação principal. As condições de contorno a
montante são as mais usualmente encontradas em problemas ambientais, a saber,
injeção contínua com valor constante, injeção tipo pulso quadrado, injeção contínua
com decaimento exponencial e injeção tipo fluxo ou gradiente especificado. As
condições de contorno de jusante são de dois tipos: derivada da concentração igual a
zero a uma distância L ou no infinito
∞
.
As equações que se seguem estão codificadas primeiramente por uma letra
seguida de números (ex: A1) que copia a ordem dada em van GENUCHTEN e ALVES
(1982) e um segundo código referente a lógica interna do programa desenvolvido.
7.4.1 Equação Governante A1 - Código 101
2
2
x
RD u
txx
φ
φφ
∂∂∂
=−
∂∂∂
Condições Iniciais e de Contorno
00
0
( ,0)
0
(0, )
0
(,) 0
i
xC
Ctt
t
tt
t
x
φ
φ
φ
=
<≤
=
>
∂
∞=
∂
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
Solução Analítica
() ()
00
0000
1/2 1/2
( ) ( , ) 0
(,)
( ) ( , ) ( , )
onde
11
(,) exp
22
22
ii
ii
x
xx
CCCAxt tt
xt
C C C Axt C Axt t t t
R
xut ux Rxut
A x t erfc erfc
D
DRt DRt
φ
+−⋅ <≤
=
+−⋅ −⋅ − >
−+
=+
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
230
7.4.2 Equação Governante A3 - Código 103
2
2
x
RD u
txx
φ
φφ
∂∂∂
=−
∂∂∂
Condições Iniciais e de Contorno
00
0
( ,0)
0
(0, )
0
(,) 0
i
xC
Ctt
t
tt
Lt
x
φ
φ
φ
=
<≤
=
>
∂
=
∂
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
Solução Analítica
0 0
0000
( ) ( , ) 0
(,)
( ) ( , ) ( , )
ii
ii
CCCAxt tt
xt
C C C Axt C Axt t t t
φ
+−⋅ <≤
=
+−⋅ −⋅ − >
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
onde
2
2
2
1
22
m
2sin( )exp
24
(,) 1
()
22
onde os autovalores sao as raizes positivas da equaçao
cot( ) 0
2
mm
m
m
m
mm
x
xx
xx
x
x
Dt
ux u t
LDDRLR
Axt
uL uL
DD
uL
D
ββ
β
β
β
ββ
∞
=
−−
=−
++
+=
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
∑
Solução Aproximada
() ()
()
1/2 1/2
2
1/2
1/2
2
2
11
(,) exp
22
22
1(2) (2)
2 exp( / )
2
2
exp 2
4
x
xx
x
xx
x
xxx
R
xut ux Rxut
A x t erfc erfc
D
DRt DRt
uLx ut RLx ut
uL D erfc
DDR
DRt
ut vL R ut
Lx
DR D Dt R
π
−+
=+
−−+
++ +
−−−+
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞
⎡⎤
⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎣⎦
231
7.4.3 Equação Governante A5 - Código 105
2
2
x
RD u
txx
φ
φφ
∂∂∂
=−
∂∂∂
Condições Iniciais e de Contorno
11
21
00
0
0
(,0)
x
0
(0, )
0
(,) 0
Cxx
x
Cx
Ctt
t
tt
t
x
φ
φ
φ
≤<
=
≥
<≤
=
>
∂
∞=
∂
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
Solução Analítica
212 01 0
212 01 0 0 0
( ) ( , ) ( ) ( , ) 0
(,)
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )
onde
CCCAxtCCBxt tt
xt
CCCAxtCCBxtCBxtt tt
φ
+−⋅ +− <≤
=
+−⋅ +− −⋅ − >
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
() ()
() ()
11
1/2 1/2
1/2 1/ 2
1() 1 ()
(,) exp
22
22
11
(,) exp
22
22
x
xx
x
xx
R
x x ut ux R x x ut
A x t erfc erfc
D
DRt DRt
Rx ut ux Rx ut
B x t erfc erfc
D
DRt DRt
−− ++
=+
−+
=+
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
232
7.4.4 Equação Governante - Código 205
2
2
x
RD u
txx
φφφ
γ
∂∂∂
=−+
∂∂∂
Condições Iniciais e de Contorno
00
0
( ,0)
0
(0, )
0
(,) 0
i
xC
Ctt
t
tt
t
x
φ
φ
φ
=
<≤
=
>
∂
∞=
∂
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
Solução Analítica
0 0
0000
( ) ( , ) ( , ) 0
(,)
( ) ( , ) ( , ) ( , )
onde
ii
ii
CCCAxtBxt tt
xt
CCCAxtBxtCAxtt tt
φ
+−⋅ + <≤
=
+−⋅ + −⋅ − >
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
() ()
() ()
1/2 1/2
1/2 1/2
11
(,) exp
22
22
() ()
(,) exp
22
22
x
xx
x
xx
Rx ut ux Rx ut
A x t erfc erfc
D
DRt DRt
Rx ut Rx ut Rx ut ux Rx ut
B x t t erfc erfc
Ru uD
DRt DRt
γ
−+
=+
−−− +
=+ −
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
⎧⎫
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
⎪⎪
⎜⎟ ⎜⎟
⎨⎬
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩⎭
7.4.5 Equação Governante C1 (Regime Permanente) - Código 301
2
2
0
x
dd
Du
dx dx
φφ
µφ γ
−−+=
Condições Iniciais e de Contorno
0
(0)
() 0
C
d
dx
φ
φ
=
∞=
Solução Analítica
()
0
1/2
2
() ( )exp
2
onde
4
1
x
x
uvx
xC
D
D
vu
u
γγ
φ
µµ
µ
−⎡⎤
=+ −
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
233
7.4.6 Equação Governante C3 (Regime Permanente) - Código 303
2
2
0
x
dd
Du
dx dx
φφ
µφ γ
−−+=
Condições Iniciais e de Contorno
0
(0)
() 0
C
d
L
dx
φ
φ
=
=
Solução Analítica
0
1/2
2
() ( ) ()
() ()
exp exp
22
()
1exp
onde
4
1
xxx
x
x
xCAx
uvx vu vux vL
Duv DD
Ax
vu vL
uv D
D
vu
u
γ
γ
φ
µµ
µ
⎡⎤
⎡
⎤
⎛⎞
⎢⎥
⎢
⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎣
⎦
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=+ −
−− +
+−
+
=
−
+−
+
=+
234
7.4.7 Equação Governante C5 - Código 305
2
2
RD u
txx
φφφ
µφ γ
∂∂∂
=−−+
∂∂∂
Condições Iniciais e de Contorno
00
0
( ,0)
0
(0, )
0
(,) 0
i
xC
Ctt
t
tt
t
x
φ
φ
φ
=
<≤
⎧⎫
=
⎨⎬
>
⎩⎭
∂
∞=
∂
Solução Analítica
00
0000
( ) ( , ) ( ) ( , ) 0
(,)
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )
onde
i
i
C Axt C Bxt t t
xt
C Axt C Bxt C Bxt t t t
γγ γ
µµ µ
φ
γγ γ
µµ µ
+−⋅ +−⋅ <≤
=
+−⋅ +−⋅ −⋅ − >
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
() ()
() ()
1/2 1/2
1/2 1/2
11
( , ) exp 1 exp
22
22
1() 1()
(,) exp exp
22 22
22
x
xx
xx
xx
tRxutuxRxut
Axt erfc erfc
RD
DRt DRt
uvx Rxvt vux Rxvt
B x t erfc erfc
DD
DRt DRt
v
µ
⎧⎫
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
−− +
⎪⎪
⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
=− −
⎨⎬
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩⎭
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
−− ++
⎜⎟ ⎜⎟
=+
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
=
1/2
2
4
1
x
D
u
u
µ
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
235
7.5 Resultados para a Equação da Advecção-Difusão
7.5.1 MDF com Velocidade Constante
7.5.1.1
Advecção UPWIND de 1ª ordem + Difusão centrado 2ª ordem (verde)
Advecção Centrado + Difusão centrado 2ª ordem (vermelho)
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.43 – Peclet = 2, c = 0.4,
0.10, 0.004xt
∆
=∆=
, resultados em 50∆t e 350∆t.
100500
1
0.5
0
Figura 7.44 – Peclet = 5, c = 0.2,
0.25, 0.005xt
∆
=∆=
, resultados em 50∆t e 350∆t.
236
7.5.1.2
Advecção Lax Wendroff + Difusão centrado 2ª ordem (vermelho)
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.45 – Peclet = 2, c = 0.4,
0.10, 0.004xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
100500
1
0.5
0
Figura 7.46 – Peclet = 5, c = 0.2,
0.25, 0.005xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.47 – Peclet = 20, c = 0.45,
1.0, 0.045xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
237
7.5.1.3
Advecção Fromm + Difusão centrado 4ª ordem (vermelho)
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.48 – Peclet = 2, c = 0.4,
0.10, 0.004xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
100500
1
0.5
0
Figura 7.49 – Peclet = 5, c = 0.2,
0.25, 0.005xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.50 – Peclet = 20, c = 0.45,
1.0, 0.045xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
238
7.5.1.4
Advecção Takacs + Difusão centrado 2ª ordem (vermelho)
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.51 – Peclet = 2, c = 0.4,
0.10, 0.004xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
100500
1
0.5
0
Figura 7.52 – Peclet = 5, c = 0.2,
0.25, 0.005xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.53 – Peclet = 20, c = 0.45,
1.0, 0.045xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
239
7.5.1.5
Advecção Prodanoff + Difusão centrado 2ª ordem (vermelho)
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.54 – Peclet = 2, c = 0.4,
0.10, 0.004xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
100500
1
0.5
0
Figura 7.55 – Peclet = 5, c = 0.2,
0.25, 0.005xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.56 – Peclet = 20, c = 0.45,
1.0, 0.045xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
240
7.5.1.6
Advecção Holly e Preissmann + Difusão centrado 2ª ordem (vermelho)
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.57 – Peclet = 2, c = 0.4,
0.10, 0.004xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
100500
1
0.5
0
Figura 7.58 – Peclet = 5, c = 0.2,
0.25, 0.005xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.59 – Peclet = 20, c = 0.45,
1.0, 0.045xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
241
7.5.2 MVF com Velocidade Constante
7.5.2.1
QUICKEST SEM Discriminador (vermelho)
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.60 – Peclet = 2, c = 0.4,
0.10, 0.004xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
100500
1
0.5
0
Figura 7.61 – Peclet = 5, c = 0.2,
0.25, 0.005xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.62 – Peclet = 20, c = 0.45,
1.0, 0.045xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
242
7.5.2.2
Esquema TIM Upwind de 5ª Ordem (vermelho)
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.63 – Peclet = 2, c = 0.4,
0.10, 0.004xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
100500
1
0.5
0
Figura 7.64 – Peclet = 5, c = 0.2,
0.25, 0.005xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.65 – Peclet = 20, c = 0.45,
1.0, 0.045xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
243
7.5.2.3
ULTIMATE QUICKEST COM Discriminador (vermelho)
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.66 – Peclet = 2, c = 0.4,
0.10, 0.004xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
100500
1
0.5
0
Figura 7.67 – Peclet = 5, c = 0.2,
0.25, 0.005xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
200150100500
1
0.5
0
Figura 7.68 – Peclet = 20, c = 0.45,
1.0, 0.045xt
∆
=∆=
, 50∆t, 150∆t e 350∆t.
244
Capítulo 8 – Conclusões e Recomendações
8.1 Conclusões
8.1.1 Dados Históricos
Como resultado de exaustivas buscas nas mais diversas fontes de informação,
foram coletadas e ordenadas diversas tabelas contendo dados consistidos sobre CME,
deposição atmosférica, produções específicas de poluentes, dentre outras formas de
caracterização dos diversos elementos presentes no ciclo biogeoquímico em ambiente
urbano. Esta coleção evidencia claramente a necessidade de atenção imediata do poder
público e de entidades ambientais sobre o problema de poluição presente no escoamento
superficial que ocorre durante as enxurradas.
8.1.2 Metodologias para Avaliação da Produção de Poluentes
As metodologias mostradas no capítulo 4 foram organizadas numa seqüência
progressiva de grau de dificuldade, não apenas quanto à complexidade dos cálculos
envolvidos, mas também pela necessidade de dados mais completos e detalhados.
Foram escolhidos três locais bem distintos como exemplos de cálculo, ou seja, a mais
antiga bacia urbanizada da cidade do Rio de Janeiro, a principal rodovia interestadual e
um reservatório de detenção numa das áreas mais pobre do município de Duque de
Caxias. Estes estudos demonstraram a aplicabilidade das metodologias, lembrando
sempre que os valores numéricos obtidos devem ser considerados apenas como
estimativas preliminares, cuja validação deverá ser feita através de verificações
experimentais no próprio local.
8.1.3 Monitoramento da Qualidade da Água
Pelo fato da inexistência de uma bacia experimental localizada na cidade do Rio
de Janeiro, um plano de monitoramento dos eventos hidrológicos não foi contemplado.
Alternativamente, seria possível realizar algumas campanhas de coleta de dados durante
os eventos chuvosos durante o verão, porém esta decisão requer um envolvimento
institucional maior, devido à alocação de recursos materiais e humanos durante a
realização dos experimentos. Fundamentado nos trabalhos e artigos pesquisados,
decidiu-se coletar um pequeno número de amostras de material depositado nas ruas e
rodovias de forma a iniciar um estudo preliminar de caracterização dos principais
245
poluentes presentes neste sedimento. Para tais análises foram utilizados recursos da taxa
de bancada do CNPq e do projeto PRONEX. Os resultados obtidos pelos laboratórios
LEMA e da Escola de Química da UFRJ são considerados importantes do ponto de vista
de identificação e de caracterização dos micros poluentes presentes no sedimento
urbano.
8.1.4 Polutograma Sintético
A metodologia mostrada no capítulo 5 foi desenvolvida aproveitando-se um
ciclo de cálculo de uma metodologia publicada na literatura. Todavia, a abordagem
sugerida apresenta a grande vantagem de minimizar a regionalização de dados
geoambientais. Apesar das regressões do método de Driver e Tasker terem sido
estabelecidas para medições realizadas em outro país, os dados usados para o cálculo da
CME são locais.
8.1.5 Técnicas Numéricas - MDF
A implementação dos mais variados esquemas explícitos de diferenças finitas,
na sua grande maioria tradicionais, serviu para a confirmação do comportamento de
cada método quanto aos critérios de estabilidade e precisão. Os critérios de consistência
e convergência não foram abordados, assim como o estudo da estabilidade via análise
de von Neumann, que utiliza componentes da série de Fourier para expressar o fator de
amplificação e o erro relativo de fase. De acordo com os resultados apresentados no
capítulo 7, os métodos de Fromm, Takacs e Holly-Preissmann mostraram um
desempenho superior aos demais tanto para um campo de velocidade constante quanto
espacialmente variado. O comportamento apresentado por estes métodos permite a
complementação dos demais termos da equação de transportes. O comportamento do
esquema de Martin é semelhante ao esquema “Quickest”, portanto os comentários serão
feitos no próximo item. Quando o número de Courant é igual a 0.5, os métodos de
Fromm, Martin e Quickest fornecem os mesmos resultados numéricos. Os esquemas de
Rusanov e WKL, apesar do bom desempenho nos testes, são pouco flexíveis quanto a
sua extensão, mas são merecedores de um estudo mais aprofundado. O esquema de
MacCormack é bastante renomado por ser amplamente utilizado em problemas não-
lineares como aqueles regidos pela equação de Burgers ou pelas equações de Euler da
dinâmica dos gases. Todavia, no caso da equação da advecção ou da onda linear, o
esquema de MacCormack é equivalente ao esquema original de Lax-Wendroff.
246
8.1.6 Técnicas Numéricas - MVF
Dentre as técnicas numéricas mais modernas, o MVF tem recebido uma especial
atenção da comunidade científica, devido a sua propriedade conservativa e
principalmente pela qualidade dos resultados alcançados. O método de Lax-Wendroff
pode ser reinterpretado como um MVF quando apresentado na forma de fluxos, ou
pseudofluxos como alguns autores preferem escrever. Este método é bastante utilizado
na construção de métodos de alta resolução, onde nas regiões de forte gradiente recebe
um tipo de limitador de fluxo e aplicado sem limitador nas regiões com gradientes
suaves. Os esquemas “Quick” explícitos e implícitos, que originalmente foram
desenvolvidos para escoamentos permanente ou quase-permanente, não devem ser
usados na equação de advecção pura. Ambas as versões do Quick, não mostraram
desempenho satisfatório, porém devem continuar sendo aplicados nas condições
próprias para que foram criados, ou seja, somente quando houver a presença de difusão
física e em regime permanente. Confirmando as conclusões apresentadas em artigos
internacionais, o método upwind de terceira ordem “Quickest” fornece um ótimo
compromisso entre precisão e custo computacional, dentre os esquemas aqui estudados.
O método upwind de quinta ordem, mesmo sem a aplicação adicional do limitador
universal, mostrou ótimo desempenho.
A totalização do número de operações e análise do erro de truncamento
normalmente fornece um critério de escolha do método numérico mais apropriado.
Todavia, a capacidade de superar com sucesso uma extensiva bateria de testes é muito
mais importante.
A eficiência de cada método varia de acordo com as condições iniciais e o
padrão da discretização, tornando-se necessário considerar uma ampla classe de
problemas típicos. Isto é mais facilmente verificado observando os métodos que
apresentaram um bom desempenho nos testes com velocidade constante, porém
falharam quando o campo de velocidades variou. Nestes casos, verificou-se uma nítida
degeneração do erro de truncamento, isto é, ocorreu à perda de uma ordem de grandeza
no referido erro.
A categoria de métodos numéricos chamados “TVD”, que nos trabalhos mais
tradicionais são chamados de “shock-capturing”, é aquela que implementa uma
estratégia de supressão de oscilações pela diminuição da variação total. No artigo
original de Harten esta restrição algébrica foi chamada de TVNI- Total Variation Non
247
Incrising. Leonard analisou famílias de esquemas de diferenças regressivas (“upwind”)
e centrais obtendo duas importantes expressões gerais recorrentes para formular
esquemas polinomiais de baixa e alta ordem aplicados à equação da advecção escalar.
No mesmo artigo, Leonard estendeu a análise TVD de Sweby para uma forma mais
geral e menos restritiva, derivando um limitador de fluxo com o qual batizou pelo nome
de ULTIMATE, que seria independente da extensão do método (polinômio
interpolador), mas dependente do número de Courant. Como é comum nos trabalhos de
Leonard, segue-se ao desenvolvimento metodológico a criação de um acrônimo para os
modelos, vide QUICK, QUICKEST, ULTRA-SHARP, UTOPIA e NIRVANA.
A implementação computacional do Limitador Universal, que aplica restrições
não-lineares aos fluxos das faces do volume de controle, em conjunto com o
discriminador de extremos locais possibilitou a construção de um esquema numérico
explícito consistente, monotônico e de alta resolução, capacitando-o a receber os demais
termos da equação de transporte de poluentes.
O modelo de transporte de poluentes implementado possui as seguintes
capacidades(+) e limitações(-):
(a) velocidades e coeficientes de dispersão variando espacialmente (+);
(b) representação das descontinuidades de gradiente (+);
(c) atendimento ao critério TVNI (+);
(d) tratamento de pontos de junção ou nós de confluência (-);
(e) termo de reação de primeira ordem (+);
(f) modelação do termo de produção variável espacialmente (+);
(g) formulação conservativa baseada em volumes de controle (+);
(h) malha espacial
i
x
∆
variável (+);
(i) condição de contorno de Dirichlet (+) e de Neumann (-) a montante;
(j) capacidade adaptativa do polinômio interpolador (+);
(k) refinamento automático da malha (-);
(l) tratamento da condição de contorno de montante usando nós fictício (+);
(m) modelo atingiu a classificação na categoria de alta resolução (+)
248
8.2 Recomendações
8.2.1 Monitoramento Hidrometeorológico e Ambiental
A tarefa de monitoramento dos principais parâmetros hidrometeorológicos e
sedimentológicos é árdua e onerosa, mas essas razões não podem servir simplesmente
como desculpa para a sua não realização. Diariamente é realizado um monitoramento
em diversas estações meteorológicas ou climáticas distribuídos pela cidade do Rio de
Janeiro, todavia ainda não existe a prática de se registrar continuamente os níveis d’água
nos rios urbanos. Estes registros foram coletados apenas durante o período de realização
de alguns projetos específicos, por exemplo o projeto Canal do Mangue.
O estabelecimento de uma bacia piloto para monitoramento intensivo. Uma vez
escolhida esta bacia piloto, a instalação e operação de registradores contínuos com
armazenamento via cartão de memória e sensores de nível por células de pressão, ou
mesmo o sistema tradicional, é desejável, mesmo com os riscos de vandalismos.
8.2.2 Monitoramento da Qualidade da Água
Recomenda-se a continuidade dos procedimentos de coleta de amostras através
de varrição das sarjetas das vias expressas de ligação viária. Foram guardadas duplicatas
das alíquotas extraídas, visando uma futura análise de metais pesados. O local de coleta,
que corresponde, ao último contorno da linha amarela, intuitivamente parece um bom
local de estudo, não somente pela proximidade do campus universitário como também
pela proximidade da linha vermelha e da avenida Brasil. Esta última é a maior poluidora
do ar na qualidade de fonte móvel, segundo estudo recentemente concluído.
As campanhas de coleta das amostras de água, para o traçado do polutograma,
poderiam começar manualmente e tão logo se ganhe confiança nos processos e
dispositivos envolvidos, pode-se partir para a instalação de um coletor automático.
8.2.3 Acoplamento com Modelos Hidráulicos
Este trabalho de dissertação apresentou como principal algoritmo de solução
numérica para a equação ADRP o método “Ultimate Quickest”. Recentemente, este
mesmo método foi implantado no modelo CE-QUAL-W2 versão três, desenvolvido
pela Waterways Experiment Stations, que é um modelo bidimensional integrado
lateralmente contendo módulos hidrodinâmicos e de qualidade de água aplicável a
249
uma rede de rios, reservatórios e canais. Recomendam-se as seguintes possibilidades
para um desenvolvimento futuro:
(a)
Incorporação do modelo de transporte ora desenvolvido em complementação
ao modelo MODCEL também desenvolvido nos laboratórios da COPPE-
UFRJ. O modelo hidráulico-hidrológico seria responsável pela geração dos
parâmetros hidráulicos necessários para a alimentação sucessiva dos campos
de velocidade e seções molhadas utilizados pelo modelo de transportes de
poluentes. Cabe ressaltar que no caso específico do MODCEL a entrada da
carga de poluentes seria ao nível de cada célula individualmente, não
caracterizando uma entrada difusa e sim um conjunto de entradas
distribuídas espacialmente. O efeito da poluição difusa teria que ser
integralizado por célula, mesmo assim pode ser considerado um avanço
considerável de representação física;
(b)
Embora não tenham sido apresentados resultados numéricos, desenvolveu-se
um modelo Lagrangeano de partículas do tipo Random Walk. Este modelo
apresenta algumas vantagens quando são utilizadas condições de contorno
do tipo Dirichlet. Todavia, é necessário também estabelecer e calibrar uma
função especial de transferência para a corrente líquida das cargas poluentes
depositadas na superfície da bacia.
8.2.4 Técnicas Numéricas de Solução da Equação ADRP
Conforme apontado durante o decorrer deste trabalho de pesquisa, existem
dezenas de opções metodológicas e de ferramentas computacionais para o
desenvolvimento dos modelos de transporte de poluentes e de qualidade de água.
Baseando-se na qualidade dos resultados aqui apresentados, recomenda-se a
continuidade e aprofundamento do MVF segundo a abordagem proposta por Leonard,
podendo-se ainda fazer as seguintes melhorias:
(a)
Inclusão da condição de contorno do tipo Neumann no nó de montante;
(b)
Ampliação do vetor de velocidades para contemplar também as variações
temporais;
(c)
Verificação da estabilidade e precisão do método quando o termo de reação
apresentar valores expressivos;
250
(d)
Introduzir os termos
xxx
f
g
+
referidos na equação 6.40;
(e)
Desenvolver e implantar uma topologia de rede de rios e canais;
(f)
Implantar o Limitador Universal para o esquema upwind de 5ª ordem;
(g)
Colocar um esquema adaptativo para a escolha da ordem do polinômio utilizado;
(h)
Extensão pelo método NIRVANA para número de Courant > 1;
(i)
Aplicar técnicas de refinamento automático da malha espacial.
Caso se decida iniciar o desenvolvimento de modelo de transportes por outro
método numérico, que não o MVF, então se recomenda:
(a)
O Método de Holly-Preissmann;
(b)
O Método Lagrangeano – Random Walk ou Discrete Puff Method;
(c)
Os esquemas de van Leer – MUSCL e CLAM;
(d)
O esquema de Sweby - Superbee;
(e)
As classes de métodos ENO e WENO;
(f)
A classe SSP – ‘Strong Stability-Preserving High-Order Time Discretization
Methods’;
251
Capítulo 9 – Referências Bibliográficas
AHN, H., 1999, “Outlier Detection in Total Phosphorus Concentration Data from South
Florida Rainfall”, J. Am. Water Resour. Assoc., v. 35, n. 2, 301.
AHYERRE, M., CHEBBO, G., TASSIN, B., et al., 1998, “Storm Water Quality
Modeling: An Ambitious Objective?”, Water Sci. Technol., v. 37, n. 1, 205.
AMANO, H., MATSUNAGA, T., NAGAO, S., et al., 1999, “The Transfer Capability
of Long-lived Chernobyl Radionuclides from Surface Soil to River Water in
Dissolved Forms”, Organic Geochemistry, v. 30, n. 6, 437.
AMERICAN PUBLIC WORKS ASSOC, APWA., 1969, Water Pollution Aspects of
Urban Runoff , Water Pollution Control Research Series WP-20-15
,
Federal
Water Pollution Control Administration, January
AMY,G., R.E. PITT, SINGH, W.L., et al., 1974. Water Quality Management Planning
for Urban Runoff. U.S. Environmental Protection Agency
,
Washington, D.C. EPA
440/9-75-004
ANDERSON, D.A., TANNEHILL, J.C. R.H. PLETCHER, 1984, Computational Fluid
Mechanics and Heat Transfer, Hemisphere, New York.
ANDRAL, M.C., ROGER, S., MONTREJAUD-VIGNOLES, et al., 1999, “Particle
Size Distribution and Hydrodynamic Characteristics of Solid Matter Carried by
Runoff from Motorways”, Water Environ. Res., v. 71, n. 4, 398.
ARMITAGE, N., ROOSEBOOM, A., 2000a, “The Removal of Urban Litter from
Stormwater Conduits and Streams: Paper 1 - The Quantities Involved and
Catchment Litter Management Options”, Water SA., v. 26, pp. 181-188.
ARMITAGE, N., ROOSEBOOM, A., 2000b, “The Removal of Urban Litter from
Stormwater Conduits and Streams: Paper 2 - Model Studies of Potential Trapping
Structures”, Water SA., v. 26, pp. 189-196.
ATASI, K.Z., FUGITA, G., LE PLATTE, G., et al., 1999, Impact of Atmospheric
Deposition on the Headworks of Wastewater Treatment Plant . A Case Study. In:
Proc.Water Environ. Fed.72nd Annu.Conf. Exposition, New Orleans, LA.
BAILEY, H.C., ELPHICK, J.R., POTTER, A., et al., 1999, “Causes of Toxicity in
Stormwater Runoff from Sawmills”, Environ. Toxicol. Chem., v. 18, n. 7, 1485.
BAIRD, C., M. JENNINGS, 1996, Characterization of Nonpoint Sources and Loadings
to the Corpus Christi Bay National Estuary Program Study Area, Texas Natural
Resource Conservation Commission.
BALL, J.E., ABUSTAN, I., 2000, “Modelling the Export of Phosphorous from Urban
Catchments”, Australian J. Water Resour, v. 4, 33.
BANNERMAN, R., J., KONRAD, D., BECKER, G.V., et al., 1979. The IJC
Menomonee River Watershed Study Surface Water Monitoring Data. EPA-905/4-
79-029. U.S. Environmental Protection Agency, Chicago, IL.
BANNERMAN, R., K., BAUN, M., BOHN, P.E., et al., 1983. Evaluation of Urban
Nonpoint Source Pollution Management in Milwaukee County, Wisconsin.
252
Environmental Protection Agency
,
Water Planning Division. Vol. I. PB 84-
114164. U.S., November
BARBOSA, A.E., HVITVED-JACOBSEN, T., 1999, “Highway Runoff and Potential
for Removal of Heavy Metals in an Infiltration Pond in Portugal”, Sci. Total
Environ. v. 235, n. 1-3, 151.
BARRETT, M.E. IRISH, L.B., JR., MALINA, J. F., JR., et al., 1998a,
“Characterization of Highway Runoff in Austin, Texas, Area”. J. Environ. Eng.,
v. 124, n.2, 131
BARRY, D.A., G. SPOSITO, 1989, “Analytical solution of a convection-dispersion
model with time-dependent transport coefficients”, Water Resources Research, v.
25, pp. 2407-2416.
BASHA, H.A., F.S., EL-HABEL, 1993, “Analytical solution of the one-dimensional
time-dependent transport equation”, Water Resources Research, v. 29, pp. 3209-
3214.
BATISTA NETO, J.A., SMITH, B.J., MCALLISTER, J.J., 2000, “Heavy Metal
Concentrations in Surface Sediments in a Nearshore Environment, Jurujuba
Sound, Southeast Brazil”, Environ. Pollut. v. 109, 1.
BATU, V., M. TH. VAN GENUCHTEN, 1980, “First- and Third-Type Boundary
Conditions in Two-Dimensional Solute Transport Modeling”, Water Resources
Research, v. 26, n. 2, pp. 339-350.
BAY, S., SCHIFF, K., GREENTEIN, D., TIEFENTHALER, L., 1998, Stormwater
Runoff Effects on Santa Monica Bay: Toxicity, Sediment Quality, and Benthic
Community Impacts. In: Proceedings California and the World Ocean 97, San
Diego, Calif., ASCE, 921.
BERTRAND-KRAJEWSKI, J-L., CHEBBO, G., SAGET, A., 1998, “Distribution of
Pollutant Mass vs Volume in Stormwater Discharge and The First Flush
Phenomenon”, Water Research, v. 32, No. 8, pp. 2341-2356.
BORST, M., SELVAKUMAR, A., 2003, “Particle-associated microorganisms in
stormwater runoff”, Water Research, v. 37, pp. 215-223.
BURTON G.A., R.E. PITT, 2002, Stormwater effects handbook: a toolbox for
watershed managers, scientists, and engineers. CRC Press LLC, N.W., Boca
Raton, Florida 33431.
CAMPOS, R.O.G., 2000,. Modelação Matemática de Cheias Urbanas com Introdução
da Obstrução por Resíduos Sólidos. Dissertação de Mestrado, Programa de
Engenharia Civil, COPPE/UFRJ. 269p.
CASSAR, A., VERWORN, H.R., 1999, “Modifications of Rainfall Runoff and
Decision Finding Models for On-line Simulation in Real Time Control”, Water
Science & Technology, v. 39, n. 9, 201.
CHARACKLIS, G.W., WIESNER, M.R., 1997, “Particles, Metals, and Water Quality
in Runoff from Large Urban Watershed”, J. Environ. Eng., v. 123, n. 8, 753.
CHUI, P.C., 1997, “Characteristics of Stormwater Quality from Two Watersheds in
Singapore”, Environ. Monit. Assessment., v. 44, n. 1-3, 173.
253
COSTA, F. J. L., 2003. Estratégias de gerenciamento de Recursos Hídricos no Brasil:
Áreas de Cooperação com o Banco Mundial. In: Série Água Brasil 1, Banco
Mundial, Brasília-DF, 179pp.
COURANT, R., FRIEDRICHS, K.O., H. LEVY, 1967, “On the partial difference
equations of mathematics physics”, IBM Journal, v. 11, pp. 215-234.
COURANT, R., ISAACSON, E., M. REES, 1952, “On the solution of non linear
hyperbolic differencial equations by finite differences”, Comun. Pure Appl. Math.
v. 5, 243.
CROWLEY, W.P., 1968, “Numerical advection experiments”, Mon. Wea. Rev., v. 96,
pp. 1-11.
DAVIS, R.W., E.F. MOORE, 1982, “A numerical study of vortex shedding from
rectangles”, J. Fluid Mech., v. 116, pp. 475-506.
DE HOOP, C.F., KLEIT, S.R., CHEN, S., 1998b, “Overview of Logyards in
Louisiana”, Forest Products J., v. 48, n. 2, 65.
DE LUCA-ABBOTT, S.; LEWIS, G.D., CREESE, R.G., 2000, “Temporal and Spatial
Distribution of Enterococcus in Sediment, Shellfish Tissue, and Water in a New
Zealand Harbour”, J. Shellfish Res., v. 19, 423.
DEBO, D.N., H. RUBY, 1982, “Detention basins-an urban experience”, Public Works,
v. 113, n. 1, 42.
DEHGHAN, M., 2004. “Weighted finite difference techniques for the one-dimensional
advection–diffusion equation”, Appl. Mathematics and Computation, v. 147, pp.
307-319.
DEKEMA, S. K., D. H. SCHULTZ, 1990, “High-order Methods for Differential
Equations with Large First-derivative Terms”, Int. J. Numer. Methods Fluids, v.
10, pp. 259-284.
DEMPSEY, P., EADON, A., MORRIS, G., 1996. SIMPOL - A Simplified Urban
Pollution Modeling Tool. In: Proc. 7th Conf. on Urban Storm Drainage,
Hannover, Germany, IAHR/IAWQ Joint Committee on Urban Storm Drainage,
1365.
DI TORO, D.M., J.J. FITZPATRICK, R.V. THOMANN., 1981, rev. 1983. Water
Quality Analysis Simulation Program (WASP) and Model Verification Program
(MVP) -Documentation. Hydroscience, Inc., Westwood, NY, for U.S. EPA,
Duluth, MN, Contract No. 68-01-3872.
DIERKES, C., GEIGER, W.F., 1999, “Pollution Retention Capabilities of Roadside
Soils”, Water Sci. Technol. (G.B.), v. 39, n. 2, 201.
DONIGIAN, A.S., HUBER, W.C., BARNWELL, JR., T.O., 1996. Models of Nonpoint
Source Water Quality for Watershed Assessment and Management. In:
Proceedings WATERSHED ‘96 MOVING AHEAD TOGETHER: Tech. Conf. &
Expo., Baltimore, MD, Water Environ. Fed., 197.
DRAPER, N.R., SMITH, H., 1981. Applied regression analysis, 2d ed.: New York,
John Wiley, 709 pp.
254
DRISCOLL, E .D., SHELLEY, P .E., E.W. STRECKER, 1990, “Pollutant Loadings
and Impacts from Stormwater Runoff”, Volume III: Analytical Investigation and
Research Report. FHWA-RD-88-008, Federal Highway Administration.
DRISCOLL, E.D., SHELLEY, P.E. STRECKER, E.W., 1990, Pollutant Loadings and
Impacts from Highway Stormwater Runoff.
Analytical Investigation and Research
Report, FHWA-RD-88-008, Vol. III.
DRIVER, N., TASKER, G.D., 1990, Techinques for Estimation of Storm-Runoff Loads,
Volumes, and Selected Constituent Concentrations in Urban Watersheds in the
United States. U.S. Geological Survey Water-Supply Paper 2363.
DUDA, A.M., D.R., LENAT, D., PENROSE, 1982, “Water quality in urban streams
-
what we can expect”, J. Water Pollut. Control Fed., v. 54, n. 7, pp. 1139
–
1147,
July.
EKEBJAERG, L, E P. JUSTESEN, 1991, “An explicit scheme for advection-diffusion
modelling in two dimensions”, Comput. Methods Appl. Mechanics Engrg, v. 88,
pp. 287-297.
ELLIS, J.B., 1986, “Pollutional Aspects of Urban Runoff”. In: Urban Runoff Pollution,
Eds. H.J. Marsalek and M. Desbordes, NATA ASI Series, Series G: Ecological
Sciences, Vol. 10, Springer-Verlag, Berlin.
ENDRENY, T.A., WOOD, E.F., 1999, “Distributed Watershed Modeling of Design
Storms to Identify Nonpoint Source Loading Areas”, J. Environ. Qual., v.28, 388.
ENVIRONMENTAL AND CONSERVATION SERVICES DEPARTMENT, 1990,
The First Flush of Runoff and its effects on Control Structure Design.
Environmental Resources Management Division, City of Austin, Texas, Final
Report.
EPA (1996) Combined Sewer Overflows and the Multimetric Evaluation of Their
Biological Effects: Case Studies in Ohio and New York. In: EPA Office of Water,
Washington, DC, EPA 823-R-96-002.
EPA, 1994, National Water Quality Inventory Report to Congress. Office of Water,
EPA 841-R-95-005, Washington, D.C.
EPA, 1983, Results of the Nationwide Urban Runoff Program NURP. Water Planning
Division, PB 84-185552
-
Washington, D.C. December.
EPA, 1990, Technical Support Document for Water Quality-based Toxics Control.
Office of Water, U.S. Environmental Protection Agency, Washington, D.C. 1990.
EPA. NATIONAL WATER QUALITY INVENTORY, 1994, Report to Congress. In:
Office of Water. EPA 841-R-95-005. Washington, D.C. December 1995.
FARTHING, M.W., C.T. MILLER, 2001, “A comparison of high-resolution, finite-
volume, adaptive-stencil schemes for simulating advective-dispersive transport”,
Advances in Water Resources, v. 24, pp. 29-48.
FEDERICO, A., P.L. BREZONIK. 1975, A survey of water quality in the Kissimmee-
Okeechobee watershed. Technical Series 1(8), Fla. Dept. of Environ. Reg.,
Tallahassee, FL.
255
FELIPPA, C. A., 2001, Equation Modification Methods, Draft Notes
,
Department of
Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University
of Colorado, Boulder, CO, USA.
FHWA, 1996, Evaluation and Management of Highway Runoff Water Quality. Federal
Highway Administration, publication No. FHWA-PD-96-032, June, 480 pp.
FOERSTER, J., 1999, “Variability of Roof Runoff Quality”, Water Sci. and Tech., v.
39, n.5, 137.
FOLLER, P., FRENTZEL-BEYME, W., WITTENBERG, D., 1996. MOUSE-
Supported Optimization and Cost-Minimization for a Combined Sewer System in
East Germany. Proc. 7th Int. Conf. on Urban Storm Drainage, Hannover,
Germany, IAHR/IAWQ Joint Committee on Urban Storm Drainage, 1317.
FRANCY, D.; HESEL, D., NALLY, R., 2000, “Occurrence and Distribution of
Microbiological Indicators in Groundwater and Stream Water”. Water Environ.
Res., v. 72, 152.
FROMM, J.E., 1968, “A method for reducing dispersion in convective difference
schemes”, J. Comput. Phys., v. 3, pp. 176-189.
FROMM, J.E., December 1969, “Practical Investigation of Convective Difference
Approximations of Reduced Dispersion”, Physics of Fluids Supplement II, 12(12)
Part II, II-3, pp. 11-12
FUJITA, S., 1998, Restoration of polluted urban watercourses in Tokyo for community
use. Presented at the Engineering Foundation/ASCE sponsored symposium on
Sustaining Urban Water Resources in the 21st Century. Malmo, Sweden, Edited
by A.C. Rowney, P. Stahre, and L.A. Roesner. September 7
–
12, 1997. Malmo,
Sweden. ASCE/Engineering Foundation, New York.
GÖRANSSON, C., 1998, Aesthetic aspects of stormwater management in an urban
environment. Presented at the Engineering. In: Foundation/ASCE sponsored
symposium on Sustaining Urban Water Resources in the 21st Century, Malmo,
Sweden, Edited by A.C. Rowney, P. Stahre, and L.A. Roesner. September 7
–
12,
1997. Malmo, Sweden. ASCE/Engineering Foundation, New York.
GROMAIRE-MERTZ, M.C., GARNAUD, S., GONZALEZ, A., et al., 1999,
“Characterisation of Urban Runoff Pollution in Paris”, Water Sci. Technol. (G.B.),
v. 39, n. 2, 1.
GROUT, H., WIESNER, M.R., BOTTERO, J.Y., 1999, “Analysis of Colloidal Phases
in Urban Stormwater Runoff”, Environ. Sci. Technol. (G.B.), v. 33, n. 6, 831.
GUPTA, M. K., AGNEW, R.W., KOBRIGER, N.P., 1981 Constituents of Highway
Runoff, Federal Highway Administration
,
FHWA/RD-81/042, Vol. I, State-of-
the-Art Report.
HARTEN, A., ENGQUIST, B., OSHER, S., et al., 1987, “Uniformly high order
accurate essentially nonoscillatory scheme. III”, J. Comput. Phys., v. 71, pp. 231-
303.
HEANEY, J.P. HUBER, W.C., 1979, “Nationwide Cost of Wet-Weather Pollution
Control”, J. Water Pollution Control Federation. v. 51, n. 8, pp. 2043-2053.
256
HEANEY, J.P., HUBER, W.C., MEDINA, M.A., et al., 1977. Nationwide Evaluation of
Combined Sewer Overflows and Urban Stormwater Impacts. U.S. Environmental
Protection Agency, Cincinnati, OH. EPA-600/2-77-064.
HEANEY, J.P., PITT, R., R.FIELD, 1999, Innovative Urban Wet-Weather Flow
Management Systems. U.S. Environmental Protection Agency, Cincinnati, OH.
EPA/600/R-99/029.
HILDEBRAND, F. B., 1987. Introduction to Numerical Analysis, Second Edition,
Dover Publications, New York.
HUBER, W.C., R.E. DICKINSON., 1988, Storm Water Management Model, Version 4:
User’s Manual. United States Environmental Protection Agency, Georgia. 569p.
HUNT,B., 1978. “Dispersive Sources in Uniform Ground-Water Flow”, Journal of the
Hydraulic Division, ASCE, v. 104, January, HY1, pp. 75-85.
HUNTLEY, S.L., IANNUZZI, T.J., AVANTAGGIO, J.D., et al., 1997, “Combined
Sewer Overflows (CSOs) as Sources of Sediment Contamination in the Lower
Passaic River, New Jersey, Polychlorinated Dibenzo-p-dioxins, Polychlorinated
Dibenzofurans, and Polychlorinated Biphenyls”, Chemosph., v. 34, n. 2, 233.
IATROU, A., AUSTIN, G., SMITH, J., 1996, Characterization of Municipal
Stormwater Discharges. In: Proceeding WEFTEC‘96, 69th Annu. Conf. & Expo.,
Dallas, TX, Water Environ. Fed., 8-134.
JACK, A.G., PETRIE, M.M., ASHLEY, R.M., 1996, “The Diversity of Sewer
Sediments and the Consequences for Sewer Flow Quality Modeling”, Water. Sci.
Tech., v. 33, n. 9, 207.
JAMES, W., GRACIE, J.W., 1999. Performance of Stream Restoration Efforts in Small
Watersheds. In: ASCE 26th Annu. Conf. Water Resour Plann Manage. 1999 Annu.
Conf. Environ. Eng., Tempe, AZ.
JIN, G., ENGLANDE, A.J., BRADFORD, H., 2000, Appropriate Indicators for
Recreational Waters: Lake Pontchartrain Basin Case Study. In: Disinfection 2000:
Disinfection of Wastes in the New Millennium, March 2000. Water Environment
Federation, CD-ROM.
JORDAN, T. E., CORREL, D. L. WELLER, D. E., 1997, “Nonpoint Source Discharges
of Nutrients from Piedmont Watersheds of Chesapeake Bay”, J. Am. Water
Resour. Assoc., v. 33, n. 3, 631.
KOLESNIKOV, A., A. J. BAKER, 2000, “Efficient implementation of high order
methods for the advection-diffusion equation”, Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering, v. 189, pp. 701-722.
KRISHNAPPAN, B.G., MARSALEK, J., WATT, W.E., et al., 1999, “Seasonal Size
Distributions of Suspended Solids in a Stormwater Management Pond”, Water
Sci. Technol. (G.B.), v. 39, n. 2, 127.
KUZMIN, D., 2004. “Introduction to Computational Fluid Dynamics”, Institute of
Applied Mathematics, University of Dortmund, http://www.mathematik.uni-
dortmund.de/lsiii/download/cfd kuzmin/
LAX, P.D., 1954, “Weak Solutions of Nonlinear Hyperbolic Equations and their
Numerical Computation”, Comun. Pure Appl. Math., v. 7, pp. 159-193.
257
LAX, P.D., B. WENDROFF, 1960, “System of Conservation Laws”, Comun. Pure
Appl. Math. v. 13, pp. 217-237.
LAX, P.D., B. WENDROFF, 1964, “Difference schemes with high order of accuracy
for solving hyperbolic equations”, Comun. Pure Appl. Math., v. 17, pp. 381-398.
LEIJ, F.J., J.H. DANE, 1990, “Analytical solution of the one-dimensional advection
equation and two- or three-dimensional dispersion equation”, Water Resources
Research , v. 26, n., pp. 1475-1482.
LEIJ, F.J., SKAGGS, T.H., M.T. VAN GENUCHTEN, 1991, “Analytical Solution for
Solute Transport in Three-Dimensional Semi-infinite Porous Media”, Water
Resources Research, v. 27, n. 10, pp. 2719-2733.
LEITH, C.E., 1965, “Numerical simulation of the earth’s atmosphere”. Applications in
Hydrodynamics, v. 4, Methods in Computational. Physics, Academic Press, 1-28.
LEONARD, B. P., 1991, “The ULTIMATE conservative difference scheme applied to
unsteady one-dimensional advection”, Comp. Methods Appl. Mech. Eng., v. 88,
pp. 17-74.
LEONARD, B.P., 1979a, “A stable and accurate convective modelling procedure based
on quadratic upstream interpolation”, Comput. Methods Appl. Mechanics Engrg.,
v. 19, pp. 59-98.
LEONARD, B.P., 1979b, “A Survey of Finite Differences of Opinion on Numerical
Muddling of the Incomprehensible Defective Confusion Equation”, Finite
Element Methods for Convective Dominated Flows, AMD, v. 34, The American
Society of Mechanical Engineers.
LEONARD, B.P., 1994. “Note on the Neumann stability of explicit one-dimensional
advection schemes”, Comput. Methods Appl. Mechanics Eng., v. 118, pp. 29-46.
LEONARD, B.P., 1995. “Order of accuracy of QUICK and related convection-diffusion
schemes”, Appl. Math. Modelling, v. 19, pp. 640-653, November.
LEONARD, B.P., LOCK, A. P., M. K. MACVEAN, 1995. “The Nirvana Scheme
Applied to One-Dimensional Advection”, Internat. J. Numer. Methods Heat and
Fluid Flow, v. 5, pp. 341-377.
LEONARD, B.P., S. MOKHTARI, 1990, “Beyond first-order upwinding the ultra-sharp
alternative for non-oscillatory steady state simulation of convection”, Internat. J.
Numer. Methods Engrg., v. 30, pp. 729-766.
LEONARD,B.P., H.S. NIKNAFS, 1991b, “Sharp monotonic resolution of
discontinuities without clipping of narrow extrema”, Computers & Fluids v. 19, n.
1, pp. 141-154.
LEVEQUE, R.J., 1992, Numerical Methods for Conservation Laws, Lecture Notes in
Mathematics, 2nd ed., Birkhäuser, Basel, ETH, Zürich.
LEVEQUE, R.J., 2002, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge
Texts in Apllied Mathematics, Cambridge, UK, 558pp.
LEWIS, C.L., SAX, T.P., DUKE, L.D., 2000. Estimating Pollutant Loading from
Industrial Activities in an Urban Watershed. In: 2000 Joint Conference on Water
Resources Engineering and Water Resources Planning and Management, July
2000, Minneapolis, MN. American Society of Civil Engineers, CD-ROM.
258
LINE, D.E., ARNOLD, J.A., JENNINGS, et al., 1996, “Water Quality of Stormwater
Runoff from Ten Industrial Sites”, Water Res. Bull., v. 32, n. 4, 807.
LIU, H., CLEVELAND, T.G., WANG, K.H., 1999, “Laboratory Tests of Erosion
Dependence on Properties of Soils and Rainfall”, J. Am. Water Resour. Assoc., v.
35, n. 1, 167.
LOGANATHAN, B.G., IRVINE, K.N., KANNAN, K., et al., 1997, “Distribution of
Selected PCB Congeners in the Babcock Street Sewer District - A Multimedia
Approach to Identify PCB Sources in Combined Sewer Overflows (CSOs)
Discharging to the Buffalo River, New York”, Arch. Environ. Contam. Toxicol.,
v. 33, n. 2, 130.
LOVE, E., WOOLLEY, B., 1999, Environmentally Sustainable Stormwater Quality. In:
Proceeding the Eighth International Conference on Urban Storm Drainage.
August 30 . September 3, 1999, Sydney, Australia. (Eds) IB Joliffe and JE Ball.
The Institution of Engineers Australia, IAHR/IAWQ, 50.
MADISON, F., J., ARTS, S., BERKOWITZ, E., et al., 1979. Washington County
Project, EPA 905/9-80-003, U.S. Environmental Protection Agency, Chicago, IL.
MARSALEK, J., D., WEATHERBE, G., ZUKOVS, 1982, Institutional aspects of
stormwater detention. In: Proceedings of the Conference: Stormwater Detention
Facilities, Planning, Design, Operation, and Maintenance
,
Henniker, NH. Edited
by W. DeGroot. Published by the American Society of Civil Engineers, New
York. August.
MASCARENHAS, F. C. B., MIGUEZ, 2002, “Urban Flood Control Through a
Mathematical Cell Model”, Water International.
MASCARENHAS, F. C. B., MIGUEZ, M. G., 1993, Large Flood Plains Modeling by a
Cell Scheme: Application to the Pantanal of Mato Grosso. In: Second
International Symposium on Engineering Hydrology - Hydraulics Division of the
American Society of Civil Engineering (ASCE). San Francisco/California, USA,
Julho.
MASCARENHAS, F. C. B., MIGUEZ, M. G., 1994, Modelling of Large Flood Plains
by a Cell Scheme - Application to the Pantanal of Mato-Grosso. Journal of
Brazilian Engineering (RBE), Water Resources, v. 12, n. 2, December (em
Português).
MCGEE, C.D., HUNTER, D.E., MOWBRAY, S., 2000, Bacteria Contamination at
Huntington City and State Beaches. In: WEFTEC2000, 73rd Annual Conference
and Exposition, October 2000, Anaheim, CA. Water Environment Federation,
CD-ROM.
MEDINA, M.A., Jr., W.C. HUBER, J.P. HEANEY, 1981a, "Modeling Stormwater
Storage/ Treatment Transients - Theory", Journal of the Environmental
Engineering Division, v. 107, n. EE4, pp. 781-797.
MEDINA, M.A., Jr., W.C. HUBER, J.P. HEANEY, 1981b, "Modeling Stormwater
Storage/ Treatment Transients - Applications", Journal of the Environmental
Engineering Division, v. 107, n. EE4, pp. 799-816.
MENTZINGEN, R.F., VERÓL, A.P., VIEIRA, I.N., et al., 2004, Rio Carioca,
Monografia final do curso Poluição e qualidade das Águas, DRHIMA, EP,
UFRJ.
259
MERCER, G., CAVE, K., KAUNELIS, V., 1996, Comprehensive Watershed Analysis
Tools: The Rouge Project - A Case Study. In: Proc. WATERSHED ‘96 MOVING
AHEAD TOGETHER: Tech. Conf. & Expo., Baltimore, MD, Water Environ. Fed.,
892.
MIGUEL, A.H., KERCHSTETTER, T.W., HARLEY, R.A., 1998, “On-Road
Emissions of Particulate Polycyclic Aromatic Hydrocarbons and Black Carbon
from Gasoline and Diesel Vehicles”, Environ. Sci. Technol., v. 32, n. 4, 450.
MIGUEZ, M. G., 1994, Mathematical Modelling of Large Flood Plains Through a Flow
Cell Scheme, Applied to the Pantanal Mato-Grossense. Civil Engineering M. Sc.
Thesis, COPPE/UFRJ (em Português).
MORENO-GRAU, S., MORENO, J., BAYO, J., et al., 2000, Heavy Metals in
Atmospheric Aerosols, Rainfall, Soils and Ground Water in Industrial Cartegena,
Spain. In: 2000 Annual Meeting and International Conference of the American
Institute of Hydrology, November 2000, Research Triangle Park, NC. American
Institute of Hydrology.
MORRISEY, D.J., WILLIAMSON, R.B., VAN DAM, L., et al., 2000, “Stormwater
Contamination of Urban Estuaries. 2. Testing a Predictive Model of the Build-Up
of Heavy Metals in Sediments”, Estuaries. v. 23, 67.
MUNN, M.D., GRUBER, S.J.,
1997, “The Relationship between Land Use and
Organochlorine Compounds in Streambed Sediment and Fish in the Central
Columbia Plateau, Washington and Idaho, USA”, Environ. Toxicol. Chem., v.16,
n. 9, 1877.
MURTHY, J. Y., 2002, Numerical Methods in Heat, Mass, and Momentum Transfer,
Draft Notes, School of Mechanical Engineering, Purdue University, 196 pp.
MUSCARA, J., ROBERTS, D., WANG, K.H., et al., 1997, Typical Pollutants Leaving
a Highway Construction Site in the Houston Area and the Effectiveness of
Selected Temporary Sediment Controls. In: Proceedings 24th Water Resour.
Plann. Manage. Conf. Aesthetics in the Constructed Environment, Houston, Tex.,
246.
NEWMAN, T.L., II, LEO, W.M., GAFFOGLIO, R., 2000a, Characterization of Urban-
Source Floatables. Collection Systems Wet Weather Pollution Control: In:
Looking into Public, Private, and Industrial Issues, May 2000, Rochester, NY.
Water Environment Federation, CD-ROM.
NEYLEN, K.J., PRICE, R.K., WIXCEY, J.R., et al., 1996. A Robust Water Quality
Modeling Tool for Urban Drainage Networks. Proc. 7th Int. Conf. on Urban
Storm Drainage, Hannover, Germany, IAHR/IAWQ Joint Committee on Urban
Storm Drainage, 1169.
NOVOTNY, V., CHESTERS, 1981, Handbook of Nonpoint Pollution: Sources and
Management, Van Nostrand Reinhold, New York.
NOVOTNY, V., 1992, “Unit Pollutant Loads”, Water Environment & Technology, v.4,
pp. 40-43, January.
NOWAKOWSKA-BLASZCZYK, A., ZAKRZEWSKI, J., 1996. The Sources and
Phases of Increase of Pollution in Runoff Waters in Route to Receiving Waters.
In: Proc. 7th Int. Conf. on Urban Storm Drainage, Hannover, Germany,
IAHR/IAWQ Joint Committee on Urban Storm Drainage, 49.
260
NOYE, B. J., 2000, “Explicit finite difference methods for variable velocity advection
in the presence of a source”, Computers & Fluids, v. 29, pp. 385-399.
O’NEILL, K., 1981, “Highly efficient, oscillation free solution of the transport equation
over long times and large space”. Water Resources Research, v. 17, n. 6, pp. 1665-
1675.
OSMOND, D.L., GANNON, R.W., GALE, D.E., et al., 1997, “WATERSHEDSS: A
Decision Support System for Watershed-Scale Nonpoint Source Water Quality
Problems”, J. Am. Water Resour. Assoc., v. 33, n. 2, 327.
OSUCH-PAJDZINSKA, E., ZAWILSKI, M., 1998, “Model for Storm Sewer
Discharge. I: Description”, J. Environ. Eng., v. 124, n. 7, 593 .
OSUCH-PAJDZINSKA, E., ZAWILSKI, M., 1998, “Model for Storm Sewer
Discharge. II: Calibration and Verification”, J. Environ. Eng., v. 124, n. 7, 600.
PARKER, J.T.C., FOSSUM, K.D., INGERSSOL, T.L., 2000, “Chemical
Characteristics of Urban Stormwater Sediments and Implications for
Environmental Management”, Maricopa County, Arizona, Environ. Manage. v.
26, 99.
PARKINSON, J., MILOGRANA, J., CAMPOS, L.C., et al., 2003, Relatório do
Workshop - Drenagem Urbana Sustentável, Escola de Engenharia Civil da
Universidade Federal de Goiás, Water Engineering and Development Centre,
Loughborough University, Reino Unido, 24 pp.
PATEL,M. K., MARKATOS, N. C., M. CROSS, 1985. “A critical evaluation of seven
discretization schemes for convection-diffusion equations”, Int. J. Numer. Methods
Fluids, v., pp. 225-244.
PHILLIPS, K.J., L.W. GELHAR, 1978, “Contaminant Transport to Deep Wells”,
Journal of the Hydraulic Division, ASCE, June, HY6, pp. 807-819.
PINDER, G.F., W.G. GRAY, 1977, Finite Element Simulation in Surface and
Subsurface Hydrology, Academic Press, London, 295 pp.
PISANO,
W.C., 1996, “Summary: United States Sewer Solids Settling Characterization
Methods, Results, Uses, and Perspective”, Water Sci. and Technol., v.33, n.9, 109.
PITT, R., J. MCLEAN., June 1986, Toronto Area Watershed Management Strategy
Study - Humber River Pilot Watershed Project. Ontario Ministry of the
Environment, Toronto, Ontario,
PITT, R., J. VOORHEES., 1995, “Source loading and management model (SLAMM)”.
In: Proc.National Conference on Urban Runoff Management: Enhancing Urban
Watershed Management at the Local, County, and State Levels. March 30 – April
2, 1993. Center for Environmental Research Information, U.S. 243.
PITT, R., J., MCLEAN, 1986, Humber River Pilot Watershed Project, Toronto,Canada,
Ontario Ministry of the Environment, 483 pp. June.
PITT, R., November 1987, Small Storm Flow and Particulate Washoff Contributions to
Outfall Discharges. Ph.D. dissertation, Department of Civil and Environmental
Engineering, the University of Wisconsin - Madison.
261
PITT, R., R., FIELD, M., LALOR, et al., 1996, “Urban stormwater toxic pollutants:
assessment, sources and treatability”, Water Environ. Res., v. 67, n.3, pp. 260-
275. Discussão e fechamento em v. 68, n.4, pp. 953-955, July/August.
PORTO, M.F.A., 1995. Aspectos Qualitativos do Escoamento Superficial em Áreas
Urbanas. In: Drenagem Urbana. Editora da UFRGS, ABRH.
PORTO, R., ZAHED F. K., TUCCI, C.E.M., 1993, Drenagem Urbana. In: Hidrologia,
Ciência e Aplicação. Editora da UFRGS, ABRH.
PRODANOFF, J.H.A., 1988. Modelo Matemático para Acompanhamento de Acidentes
Ecológicos em Rios. Projeto Final de Graduação. Departamento de Hidráulica e
Saneamento DHS/EE -UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil.
RASMUSON, A., NARASHIMHAN, T.N., NERETNIEKS, I., 1982, “Chemical
transport in a fissured rock; verification of a numerical model”, Water Resources
Research, v. 18, n. 5, pp. 1479-1492.
REVITT, D.M., ELLIS, J.B., LLEWELLYN, N.R., 1999, Herbicide Behaviour in the
Runoff from an Urban Catchment. In: Proc. the Eighth International Conference
on Urban Storm Drainage. August 30 . September 3, 1999, Sydney, Australia.
Edited by IB Joliffe and JE Ball. The Institution of Engineers Australia,
IAHR/IAWQ, 96.
RICKERT, D.A., 1991, Water Quality Assessment: A New Concept for Measuring The
Quality of Surface and GroundWater, Technical Reports in Hydrology and Water
Resources No.34, World Meteorological Organization,August, pp. 38-79.
ROACHE, P. J., 1976. Computational Fluid Dynamics, Hermosa, Albuquerque, NM,
446 pp.
ROGER, S., MONTREJAUD-VIGNOLES, M., ADRAL, M. C., et al., 1998, “Mineral,
Physical and Chemical Analysis of the Solid Matter carried by Motorway Runoff
Water”, Water Res. (GB), v. 32, n. 4, 1119.
ROSMANN, P.C.C., 2004. Notas de Aulas, PEO-COPPE/UFRJ, Rio de Janeio-RJ.
SAGAR, B., 1982, “Dispersion in Three Dimensions: Approximate Analytic
Solutions”, Journal of the Hydraulic Division, ASCE, January, HY1, pp. 47-62.
SAKAI, A., SUMIYAMA, M., TANAKA, K. 1996, Analysis of Non-point Source
Pollutant Runoff Processes. In: Proc. URBAN WET WEATHER POLLUTION:
Controlling Sewer Overflows and Stormwater Runoff, Specialty Conf., Quebec
City, PQ, Canada, Water Environ. Fed., 11-63.
SANGAL, S.K., AGGARWAL, P.K., TUOMARI, D., 1996, Identification of Illicit
Connections in Storm Sewers: An Innovative Approach Using Stable Isotopes. In:
Proc. WEFTEC‘96, 69th Annu. Conf. & Expo., Dallas, TX, Water Environ. Fed.,
8-47.
SANSALONE, J. J., BUCHBERGER, S.G., 1997, “Partitioning and First Flush of
Metals in Urban Roadway Storm Water”, J. Environ. Eng., v. 123, n. 2, 134.
SARTOR, J.D., G.B., BOYD, 1972, Water Pollution Aspects of Street Surface
Contaminants, U.S. Environmental Protection Agency, Washington, EPA-R1-72-
081. NTIS No. PB 214 408, November.
262
SAUTY, J-P, 1980, “An Analysis of Hydrodispersive Transfer in Aquifers”, Water
Resources Research, v. 16, pp. 145-158.
SCHLEE, M.B., 2002, Landscape change along the Carioca River, Rio de Janeiro,
Brazil, Landscape Architeture M. Sc. Thesis, The Graduate School College of
Arts and Architeture, The Pensylvania State University.
SCULLEN, D., 1992. Finite Difference Methods for Advection in Variable-Velocity
Fields, M.Sc. Thesis, The University of Adelaide, Department of Applied
Mathematics, 126 pp.
SHIBA, S., HIRATA, Y., YAGI, S., 1999, Acid Cloud Droplet Formed by
Condensation of Atmospheric Water Vapor as Pollution Source of Urban Runoff.
In: Proc. the Eighth International Conference on Urban Storm Drainage. August
30. September 3, 1999, Sydney, Australia. (Eds) IB Joliffe e JE Ball.
IAHR/IAWQ, 1528.
SHINYA, M., TSUCHINAGA, T., KITANO, M., et al., 2000, “Characterization of
Heavy Metals and Polycyclic Aromatic Hydrocarbons in Urban Highway
Runoff”. Water Sci. Tech. (G.B.), v. 42, 201.
SHOEMAKER, L.L., LAHLOU, M., KUMAR, D., et al., 1996, “Filling the Watershed
Toolbox”. In: Proc. WATERSHED ‘96 MOVING AHEAD TOGETHER: Tech.
Conf. & Expo., Baltimore, MD, Water Environ. Fed., 999.
SHU, C., OSHER, S., 1988, “Effcient implementation of essentially non-oscillatory
shock capturing schemes”, J. Comput. Phys., v. 77, pp. 439-471.
SILVERMAN G., M. K. STENSTROM, 1982b, The Use of Greenbelts to Control Oil
and Grease in Urban Stormwater Runoff, In: Technical Memorandum No. 86,
Water Quality Management Program, Association of Bay Area Governments.
SILVERMAN G.,M. K. STENSTROM, 1982a, Dispersion and Outfall Devices to
Mitigate Effects of Oil and Grease in Urban Stormwater, In: Technical
Memorandum No. 83 Water Quality Management Program, Association of Bay
Area Governments.
SILVERMAN, G.S., M.K. STENSTROM, S. FAM. 1985, Evaluation of Hydrocarbons
in Runoff to San Francisco Bay. In: U.S. EPA Completion Report (California
State Water Resources Control Board Grant # C06000-21). Association of Bay
Area Governments, Oakland, CA.
SIMONS, D.B. F. SENTURK, 1992, Sediment Transport Technology – Water and
Sediment Dynamics. Water Resources Publication, 897 pp.
SIRKIS, A., 2003, “O Desafio Ecológico das Cidades”. In: André Trigueiro (ed.), Meio
Ambiente no Século 21, pp. 215-230, Editora Sextante.
SKERRETT, H.E., HOLLAND, C.V., 2000, “Occurrence of Cryptosporidium in
Environmental Waters in the Greater Dublin Area”, Water Res.(G.B.), v. 34,
3755.
SMITH, G.D., 1980, Numerical Solution of Partial Differencial Equations: Finite
Difference Methods. Oxford University Press, Oxford, 3
rd
ed.
SMITH, J.A., SIEVERS, M., HUANG, S., YU, S.L., 2000a, “Occurrence and Phase
Distribution of Polycyclic Aromatic Hydrocarbons in Urban Storm-Water
Runoff”, Water Sci. Tech. (G.B.), v. 42, 383.
263
SMITH, R., 1999, “Optimal and near-optimal advection-diffusion finite-difference
schemes. Part 1: Constant coeffcient 1-D”, Proc. Roy. Soc. Lond. A, v. 455, pp.
2371-2387.
SMITH, R., 2000, “Optimal and near-optimal advection-diffusion finite-difference
schemes. Part 2: Unsteadiness and non-uniform grid”, Proc. Roy. Soc. Lond. A,
456, pp. 489-502.
SOUSA, E., I. SOBEY, 2002, “On the influence of numerical boundary conditions”,
Applied Numerical Mathematics, v. 41, pp. 325–344.
SPALDING, D.B., 1972, “A novel finite difference formulation for differencial
expressions involving both first and second derivatives”, Internat. J. Numer.
Methods Eng., v. 4, pp. 551-559.
STACK, W., BELT, K., 1996, “Protecting Baltimore.s Waters from Toxic Substances
in Urban Storm Drains”. Abstract Book: SETAC 17th Annu. Meeting, Washington,
DC, Soc. Environ. Toxicol. and Chem., 104.
STENSTROM M. K., G.S. SILVERMAN, T. A. BURSZTYNSKY, 1982. Oil and
Grease in Stormwater Runoff, Environmental Science and Engineering,
University of California, Los Angeles 90024, Association of Bay Area
Governments.
STENSTROM, M.K., G.S. SILVERMAN, T. A. BURSZTYNSKY, 1984. Oil and
Grease in Urban Stormwaters. Journal of the Environmental Engineering
Division, ASCE, v. 110, n. 1, pp. 58-72.
SU, Y., JENSEN, P., HALL, R., 1996. A Comparison of Fecal Coliform and E. Coli for
Contact Recreation Regulation in a Central Texas River. In: Proc. WEFTEC‘96,
69th Annu. Conf. & Expo., Dallas, TX, Water Environ. Fed., 8-236.
SUN, N.Z., W.W.G. YEH, 1983, “A proposed upstream weight numerical method for
simulating pollutant transport in groundwater”, Water Resources Research, v. 19,
n. 6, pp. 489-1500.
SWARNER, R., THOMPSON, M., 1996, “Modeling Infiltration and Inflow in
Separated Sewer Systems”. In: Proc. Nat. Conf. on Sanitary Sewer Overflows
(SSOs). EPA Office of Research and Development and Office of Wastewater
Management, Washington, DC, EPA/625/R-96/007, 16.
SWEBY, P. K., 1984, “High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic
conservation laws”, SIAM J. Numer. Anal., v. 21, pp. 995-1011.
SWEBY, P. K., 1991, “High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic
conservation laws”, SIAM J. Numer. Anal., v. 28, pp. 891-906.
TAKACS,L.L., 1985, “A Two-Step Scheme for the Advection Equation with
Minimized Dissipation and Dispersion Erros”, Mon. Weather Rev, v. 113, pp.
150-165.
TAYLOR, G.I., 1953, “Dispersion of solute matter in solvent flowing through a tube”,
Proceedings of the Royal Society, London, Series A, v. 219, pp. 186-203.
TENBROEK, M., BRINK, P.N., 1996, “Comparison of Available Continuous Modeling
Techniques Using Benchmarking”. In: Proc. Urban Wet Weather Pollution-
controlling Combined Sewer Overflows and Stormwater Runoff, Specialty Conf.,
Quebec City, PQ, Canada, Water Environ. Fed., pp. 2-37.
264
THOMSON, N.R., MCBEAN, E.A., SNODGRASS, W., et al., 1997a, “Highway
Stormwater Runoff Quality - Development of Surrogate Parameter
Relationships”, Water, Air, Soil Pollut. (Neth.), v. 94, n .3-4, 307.
THOMSON, N.R., MCBEAN, E.A., SNODGRASS, W., et al., 1997b, “Sample Size
Needs for Characterizing Pollutant Concentrations in Highway Runoff”, J.
Environ. Eng., v. 123, n. 10, 1061.
THOMSON, N.R., SYKES, J.F., LENNOX, W.C., 1984, “A Lagrangian porous media
mass transport model”, Water Resources Research, v. 20, n. 3, pp. 389-399.
TIAN, F., WIKINS, A. L., HEALY, T. R., 1998, “Accumulation of Resin Acids in
Sediments Adjacent to a Log Handling Area, Tauranga Harbour, New Zealand”,
Bull. Environ. Contam. Toxicol., v. 60, n. 3, 441.
TIMPLE, M. P., 1999, Impacts of Atmospheric Deposition on Stormwater Quality. In:
Proceedings of Sixth Biennial Stormwater Research & Watershed Management
Conference, September 14-17
TREMBACK, G. J., POWELL, J., COTTON, W.R. et al., 1987, “The Forward-in-time
upstream advection scheme: extension to higher orders, Mon. Wea. Rev., v. 115,
540-555.
TSANIS, I.K., 2000, “Estimation of Toxic Contaminant Mean Concentrations from
Stormwater Quality Data”, Adv. Eng. Software (G.B.) v. 31, 207.
TSIHRINTZIS, V. A., HAMID, R., 1997, “Modeling and Management of Urban
Stormwater Runoff Quality: A Review”, Water Resources Management, 11
,
137–
164.
TSUI,Y-Y., 1991, “A study of upstream-weighted high-order differencing for
approximation to flow convection”, Int. J. Numer. Methods Fluids, v. 13, pp. 167-
199.
VAN GENUCHTEN, M.T., W.J., ALVES, 1982, “Analytical solutions of the one-
dimensional convective-dispersive solute transport equation”, US Department of
Agriculture, Technical Bulletin No. 1661, 151 pp.
VAN LEER, B., 1984, “On the relation between the upwind differencing schemes of
Godunov, Engquist-Osher and Roe”, SIAM J. Sci. Statist. Comput., v. 5, pp. 1-20.
VANBUREN, M.A., WATT, W.E., MARSALEK, J., 1997, “Application of the Log-
normal and Normal Distributions to Stormwater Quality Parameters”, Water Res.,
v. 31, n. 1, 95.
VRBA, J., PENKY, V., 1991
, “
Groundwater-quality monitoring – effective method of
hydrogeological system pollution prevention”, Environmental Geology and Water
Science, v.17, pp. 9-16.
WALCEK C.J., N., M. ALEKSIC, 1998, “A simple but accurate mass conservative,
peak-preserving, mixing ratio bounded advection algorithm with fortran code”,
Atmospheric Environment, v. 32, n. 22, pp. 3863-3880.
WALCH, M.P., CHRIST, T.J., LEO, K.S, et al., 1996, “Computer Modeling of Sanitary
Sewer Overflows Resulting from Peak Flow Conditions”. In: Nat. Conf. on
Sanitary Sewer Overflows (SSOs), EPA Office of Research and Development and
Office of Wastewater Management, Washington, DC, EPA/625/R-96/007, 26.
265
WALESH, S. G., 1989, Urban Surface Water Management, New York, John Wiley &
Sons.
WARMING, R.F., B.J. HYETT, 1974. “The modified equation approach to the stability
and accuracy analysis of finite-difference methods”, J. Comput. Phys., v. 14, n. 2,
pp. 159-179.
WATER ENVIRON. & TECHNOL., 1996b, News Watch: Sewer Separation Lowers
Fecal Coliform Levels in the Mississippi River. v. 8, n. 11, 21.
WEIBEL, S.R., R. J. ANDERSON, R.L. WOODWARD, 1964, “Urban Land Runoff As
a Factor in Stream Pollution”, Journal of the Water Pollution Control Fedration,
v. 36, pp. 914-924, Julho.
WIEGAND, C., T., SCHUELER, W. CHITTENDEN, D., et al., 1986, Comparative
costs and cost effectiveness of urban best management practices. Engineering
Foundation Conference: Urban Runoff Quality Impact and Quality Enhancement
Technology. Henniker, NH, (eds.) B. Urbonas e L.A. Roesner, Published by the
American Society of Civil Engineers, New York. June
WILLIAMS, A.T., SIMMONS, S.L., 1997a, “Estuaries Litter at the River/beach
Interface in the Bristol Channel, United Kingdom”, J. Coastal Res. (U.K.), v. 13,
n. 4, 1159.
WILLIAMS, A.T., SIMMONS, S.L., 1997b, “Movement Patterns of Riverine Litter”,
Water, Air, Soil Pollut. (Neth.), v .98, n. 1-2, 119.
WILLING & PARTNERS in association with CRC for Freshwater Ecology,
1998.
Review of water quality in the Bayview Haven Canals: final report, Project no.
3755. Willing & Partners Crows Nest, N.S.W.
WILSON, J.L., P. J. MILLER, 1978, “Two-Dimensional Plume in Uniform Ground-
Water Flow”, Journal of the Hydraulic Division, ASCE, April, HY4, pp. 503-514.
WROBEL, L.C., BÜGE, T.R., J.H.A PRODANOFF, 1989, “Comparação de Modelos
Matemáticos de Transporte de Poluentes Aplicados ao rio Paraíba do Sul”, VIII
Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos – ABRH. Foz do Iguaçú, Brasil.
WROBEL, L.C., BÜGE, T.R., J.H.A. PRODANOFF, 1989, “A Study of River
Pollution Using the QUICKEST Finite Difference Algorithm”, Hydrosoft - The
International Journal for Hydraulics, Hydrology and Hydrodynamics in
Engineering, v. 2, n. 4, pp. 172-175.
YATES, S.R., 1992. “An analytical solution for one-dimensional transport in porous
media with an exponential dispersion function”, Water Resources Research, v. 28,
pp. 2149-2154.
YEH, G. T., Y. J. TSAI, 1976, “Analytical Transient Three-Dimensional Modeling of
Effluent Discharges”, Water Resources Research, v. 12, pp. 533-540.
ZANOBETTI, D., LORGERÉ, H., PREISSMAN, A., CUNGE, J.A., 1970, “Delta
Mekong Mathematical Program Construction”, Journal of the Waterways and
Harbours Division, ASCE, v. 96, n. WW2, pp. 181-199.
ZECH, Y., ESCARMELLE, A., 1999, “Use of High-resolution Geographical Databases
for Rainfall-runoff Relation in Urbanized Areas”, Water Sci. Technol. (G.B.), v.
39, n. 9, 87.
266
ZHENG, C., D. BENNETT, 1995. “Applied Contaminant Transport Modeling – Theory
and Practice”. Van Nostrand Reinhold, New York, 440 pp.
ZOBRIST, J., MULLER, S.R., AMMANN, A., et al., 2000, “Quality of Roof Runoff
for Groundwater Infiltration”, Water Res. (G.B.), v. 34, 1455.
ZOPPOU, C., J.H., KNIGHT, 1997, “Analytical solutions for advection and advection-
diffusion equations with spatially variable coefficients”, Journal of Hydraulic
Engineering, ASCE, v. 123, pp. 144-148.
ZUG, M., MAGNE, G., HAMMOUDA, A., DE BELLY, B., 1999a, “Use of Modeling
to Study the Impact of the Management of the Detention Basin of Gentilly on the
Sewage System”. In: Proc. the Eighth International Conference on Urban Storm
Drainage. August 30 . September 3, 1999, Sydney, Australia. Edited by IB Joliffe
and JE Ball. The Institution of Engineers Australia, IAHR and The International
Association on Water Quality, 713.
ZWILLINGER, D., 1992. “Handbook of Differential Equations”, 787pp, Academic
Press Inc., Second Edition, San Diego CA.
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