( PDF ) Análise da interação solo-estrutura através do emprego conjunto dos métodos dos elementos de contorno e elementos finitos

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DANIEL JATOBÁ DE HOLANDA CAVALCANTI

ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA ATRAVÉS DO

EMPREGO CONJUNTO DOS MÉTODOS DOS ELEMENTOS

DE CONTORNO E ELEMENTOS FINITOS

ORIENTADOR: Prof. Dr. João Carlos Cordeiro Barbirato

CO-ORIENTADOR: Prof. Dr. Francisco Patrick Araujo Almeida

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil – PPGEC

Centro de Tecnologia – CTEC

Universidade Federal de Alagoas – UFAL

Maceió/AL, Junho de 2006.

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DANIEL JATOBÁ DE HOLANDA CAVALCANTI

ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA ATRAVÉS DO

EMPREGO CONJUNTO DOS MÉTODOS DOS ELEMENTOS

DE CONTORNO E ELEMENTOS FINITOS

ORIENTADOR: Prof. Dr. João Carlos Cordeiro Barbirato

CO-ORIENTADOR: Prof. Dr. Francisco Patrick Araujo Almeida

Maceió/AL, Junho de 2006.

Dissertação de mestrado apresentada ao

Programa de Pós-

Graduação em Engenharia

Civil –

PPGEC da Universidade Federal de

Alagoas –

UFAL, como requisito parcial para

obtenção do título de Mestre em Engenharia

Civil.

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Dedico este trabalho aos meus pais

Alexandre e Eliana

que iluminados pelo

Espírito Santo me deram

todo o apoio e

estímulo necessário para a sua conclusão.

AGRADECIMENTOS

Ao professor e amigo Dr. João Carlos Cordeiro Barbirato, pela orientação, serenidade e

equilibrio durante a preparação deste trabalho.

Ao professor e amigo Dr. Francisco Patrick Araujo Almeida, pela orientação e dedicação.

Aos meus irmãos Diogo Jatobá e Lívia Jatobá pelo apoio e estímulo dispensados durante a

preparação deste trabalho.

Aos amigos do PPGEC/UFAL, em especial a Antônio Carlos, Edvaldo Lisboa, Alexandre

Machado, Edson Pessoa, Fábio Martins, João Gilberto, Luciana Correia e Rodrigo Mero pela

convivência agradável, apoio e amizade.

À Renata, pela paciência durante este período de muita luta e dedicação.

Ao professor Dr. Severino Pereira Cavalcante Marques, pela sua competência e

compreensão no desenvolvimento de suas atividades.

A todo corpo docente do Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil - PPGEC da

Universidade Federal de Alagoas pelos ensinamentos transmitidos ao longo do curso de Mestrado.

A DEUS que em todos os momentos, de alegrias e tristezas, sempre está ao lado do ser

humano buscando ajudá-lo e incentivá-lo a superar todas as dificultades e problemas, iluminando-o

da melhor forma possível.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – CAPES, pelo

financiamento da pesquisa.

RESUMO

CAVALCANTI, D.J.H. (2006). Análise da interação solo-estrutura através do emprego conjunto

dos Métodos dos Elementos de Contorno (MEC) e Elementos Finitos (MEF). 137p. Dissertação

(mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal de Alagoas.

Maceió. 2006.

Neste trabalho, propõe-se a análise do comportamento mecânico da interação solo-estrutura

a partir do desenvolvimento de um código computacional utilizando-se uma formulação estática

conjunta do Método dos Elementos de Contorno (MEC) e do Método dos Elementos Finitos

(MEF) para o cálculo de deslocamentos e tensões em estruturas em contato com o meio semi-

infinito.

Assim sendo, pretende-se modelar a estrutura a partir de elementos finitos de placa DKT

(discrete Kirchhoff triangle) e utilizar o conceito da formulação do Método dos Elementos de

Contorno (MEC) para modelar o solo, considerando-o como um espaço semi-infinito e/ou infinito

e utilizando a solução fundamental de Kelvin. O acoplamento entre os meios é feito aplicando-se a

técnica de sub-regiões.

A partir do desenvolvimento de um código computacional são processados alguns

exemplos de engenharia tais como: análise da interação solo-estrutura em fundações de placa

superficiais e enterradas e outras estruturas de engenharia, estudo do comportamento de um espaço

semi-infinito a partir da aplicação de um carregamento distribuído e carga concentrada, análise de

corpos submetidos à flexão e à tração, entre outras aplicações.

Palavras–chave: Interação Solo -Estrutura; Método dos Elementos de Contorno; Método dos

Elementos Finitos; Acoplamento MEC/MEF.

ABSTRACT

CAVALCANTI, D.J.H. (2006). Soil-structure interaction analysis by the coupling of Boundary

Element Method (BEM) and Finite Element Method (FEM). 137p. M.Sc. Thesis – Programa de

Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal de Alagoas. Maceió. 2006.

In this work, it is proposed a mechanical behavior analysis of the soil-structure interaction

from the development of a computational code using a coupling static formulation of Boundary

Element Method (BEM) and Finite Element Method (FEM) for the displacements and stress

calculation in structures in contact to the half space.

Thus, it is intended to model the structure using the bending plate finite element DKT

(discrete Kirchhoff triangle) and applying the concepts of the Boundary Element Method (BEM)

formulation to model the soil, considered as a half-infinite and/or infinite space and using Kelvin’s

fundamental solution. The coupling between the media is done using the sub-regions technique.

From the computational code development some practical examples of engineering are

implemented, such as: soil-structure interaction analysis in superficial and buried plate foundations

and others engineering structures, study on the behavior of a half-infinite space from the

application of a distributed and concentrated load, analysis of bodies submitted to bend and

traction, among others applications.

Keywords: Soil-Structure Interaction; Bo undary Element Method; Finite Element Method;

BEM/FEM Coupling.

SUMÁRIO

Lista de Símbolos .................................................................................................. i

Lista de Figuras ..................................................................................................... iv

Lista de Tabelas ..................................................................................................... ix

1 – Considerações Iniciais .....................................................................................

1.1 – Introdução. ..............................................................................................

1.2 – Estado da Arte ........................................................................................ 4

2 – Fundamentos Matemáticos............................................................................. 10

2.1 – Notação Indicial ......................................................................................

2.2 – Delta de Krönecker .................................................................................

2.3 – Delta de Dirac .........................................................................................

2.4 – Teorema da Reciprocidade de Betti ....................................................... 14

2.5 – Teoremas de Green .................................................................................

3 – Formulação do Método dos Elementos de Contorno ................................... 18

3.1 – Introdução ...............................................................................................

3.2 – Equações Básicas da Elastostática Linear ...............................................

3.3 – Solução Fundamental ..............................................................................

3.3.1 – Solução Fundamental de Kelvin .....................................................

3.4 – Equações Integrais de Contorno .............................................................

3.4.1 – Equação Integral para Pontos do Domínio ......................................

3.4.2 – Equação Integral para Pontos do Contorno .....................................

3.5 – Método dos Elementos de Contorno ...................................................... 31

3.5.1 – Discretizações ..................................................................................

3.5.2 – Elementos de Contorno ................................................................... 35

3.5.2.1 – Elemento de Interpolação Linear ..............................................

3.5.3 – Integrações Numéricas .....................................................................

3.5.3.1 – Integração Singular ou Semi-Analítica ....................................

3.5.3.2 – Integração Numérica .................................................................

3.5.4 – Deslocamentos e Tensões em Pontos do Domínio .........................

3.5.5 – Tensões em Pontos do Contorno .................................................... 48

3.6 – Exemplos ............................................................................................... 52

3.6.1 – Exemplo 3.1 ....................................................................................

3.6.2 – Exemplo 3.2 ....................................................................................

3.6.3 – Exemplo 3.3 ....................................................................................

4 - Formulação do Elemento Finito DKT ...........................................................

4.1 – Introdução ...............................................................................................

4.2 – Estudo da Teoria de Placas e Definição do Elemento DKT .................. 70

4.2.1 – Considerações Iniciais ....................................................................

4.2.2 – Teoria de Placas Considerando Pequenos Deslocamentos .............

4.2.3 – Matriz de Rigidez do Elemento DKT ..............................................

4.2.4 – Vetor de Forças Nodais Equivalentes do Elemento DKT ...............

4.2.5 – Definição dos Esforços Internos no Elemento .................................

4.3 – Exemplos ............................................................................................... 81

4.3.1 – Exemplo 4.1 ....................................................................................

5 – O Acoplamento Entre o Método dos Elementos de Contorno (MEC) e o

Método dos Elementos Finitos (MEF) ..................................................................

5.1 – Introdução ...............................................................................................

5.2 – Representação Algébrica do MEC e do MEF .........................................

5.3 – Aproximação para o Acoplamento entre o MEC e o MEF .................... 89

6 – Implementações Computacionais ...................................................................

6.1 – Introdução ..............................................................................................

6.2 – Algoritmo do MEC a partir da Formulação Elastostática .......................

6.3 – Algoritmo do MEF a partir do Elemento DKT .......................................

100

6.4 – Algoritmo do Acoplamento entre os Métodos ....................................... 102

7 – Aplicações ....................................................................................................... 105

7.1 – Exemplo 7.1 ............................................................................................

105

7.2 – Exemplo 7.2 ............................................................................................

113

7.3 – Exemplo 7.3 ............................................................................................

118

7.4 – Considerações sobre os resultados ..........................................................

122

8 – Considerações finais ........................................................................................ 125

9 – Referências ....................................................................................................... 127

Anexo A ...................................................................................................................

134

Anexo B ...................................................................................................................

136

LISTA DE SÍMBOLOS

– Componentes do vetor de deslocamentos.

p –

Componentes do vetor de forças de superfície.

b –

Componentes do vetor de forças volumétricas.

–

Componentes do tensor de tensões.

–

Componentes do tensor de deformações.

–

Delta de Krönecker.

δ (x-d) –

Distribuição Delta de Dirac

Ω

–

Domínio de um corpo qualquer em estado de equilíbrio.

–

Contorno de um corpo qualquer em estado de equilíbrio.

∇

–

Operador gradiente.

∇

–

Operador Laplaciano.

–

Constantes elásticas de Lamé.

–

Módulo de elasticidade longitudinal.

–

Coeficiente de Poisson.

–

Módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade ao

cisalhamento.

s – Ponto fonte.

q – Ponto campo.

q)s,(u

–

Componentes de deslocamentos para o problema fundamental de Kelvin

(3D).

q)s,(

ijk

– Tensor de deformações para o problema fundamental de Kelvin (3D).

q)s,(

ijk

– Tensor de tensões para o problema fundamental de Kelvin (3D).

q)s,(p

– Forças de superfície para o problema de Kelvin tridimensional.

r – Distância entre o ponto fonte s e o ponto de campo q.

ijk

–

Tensor de 3ª ordem definido através da derivação dos tensores de

deslocamentos e forças de superfície do problema fundamental.

ijk

–

Tensor de 3ª ordem definido através da derivação dos tensores de

deslocamentos e forças de superfície do problema fundamental.

–

Raio da superfície esférica de domínio Ω

c –

Matriz dos coeficientes em função da

localização do ponto a ser estudado

(fora do domínio do sólido, no contorno do sólido ou interno ao

domínio do

mesmo).

–

Raio da esfera que faz analogia à região que representa um espaço semi-

infinito ou infinito (espaço de Kelvin), situação do problema a ser estudado.

– Vetor normal ao contorno da superfície do elemento.

–

Funções interpoladoras

P e U

–

Deslocamentos e forças de superfície aproximadas por seus valores nodais

para cada elemento j a ser discretizado.

–

Valores nodais das forças volumétricas aplicadas nos nós funcionais.

– Matriz com as forças de superfície q)s,(p

–

Matriz com os deslocamentos q)s,(u

–

Coordenadas

cartesianas dos pontos nodais da célula tridimensional para

discretização do domínio.

–

Coordenadas cartesianas dos pontos geométricos da célula tridimensional

para discretização do domínio.

–

Vetor com os valores nodais dos deslocamentos.

–

Vetor com os valores nodais das forças de superfície.

–

Matriz definida pelo somatório das integrais que formam um produto com o

vetor dos valores nodais de deslocamentos.

–

Matriz definida pelo somatório da integral que forma um produto com o

vetor dos valores nodais das forças de superfície.

–

Matriz cheia e não simétrica que contém os elementos das matrizes H e G

após aplicação das condições de contorno.

–

Vetor misto que contém as incógnitas (deslocamentos e forças de

superfície).

–

Vetor obtido da multiplicação da matriz G

modificada pelo vetor de valores

prescritos.

–

Coordenadas de área para o elemento triangular linear descontínuo.

n e n

–

Vetores normais nas direções cartesianas i e j.

–

Eixos cartesianos.

–

Co-senos diretores da normal em relação aos eixos cartesianos.

–

Co-senos diretores no ponto em análise em relação ao eixo x

–

Jacobiano de transformação de coordenadas.

–

Peso de Gauss no ponto k.

–

Número de pontos de Gauss a ser utilizado no elemento.

e ββ

–

Rotações da normal ao plano médio indeformado do elemento DKT.

e w, θθ

–

Graus de liberdade do elemento DKT.

zyx

e , σσσ

–

Tensões normais atuantes no elemento finito DKT.

, τ

e τ

–

Tensões de cisalhamento atuantes no elemento finito DKT.

e M

–

Momentos fletores atuantes em torno dos eixos x e y.

–

Momento de torção.

e Q

–

Esforços cortantes segundo os eixos x e y.

ε –

Matriz com o campo de deformações.

–

Vetor de curvaturas

–

Rigidez a flexão da placa.

–

Matriz que relaciona esforços solicitantes e curvaturas.

K –

Energia interna de deformação.

–

Coordenadas adimensionais de área para o elemento DKT.

–

Matriz de transformação deformação x deslocamento.

DKT

–

Matriz de rigidez do elemento DKT

–

Erro residual.

iii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.3.1 – Pulso retangular unitário (dois exemplos) .............................................

Figura 2.4.1 – Corpo em equilíbrio: (Contorno) e (Domínio)

Ω

............................... 14

Figura 2.4.2 –

Definição de

e ΓΩ

do corpo virtual (Fundamental) ..........................

Figura 3.2.1 – Sólido tridimensional de domínio

Ω

e contorno

.............................

Figura 3.2.2 – Elemento infinitesimal de volume .........................................................

Figura 3.2.3 – Elemento infinitesimal de superfície (Tetraedro de Cauchy) ................

Figura 3.2.4 – Valores prescritos de contorno .............................................................

Figura 3.3.1 – Definição do problema fundamental ....................................................

Figura 3.3.2a –

Definição geométrica do problema fundamental. (F

onte: BREBBIA

& DOMINGUEZ, 1989) .......................................................................

Figura 3.3.2b –

Componentes dos deslocamentos da solução fundamental da

superfície ..............................................................................................

Figura 3.3.2c –

Componentes de forças de superfície da solução fundamental da

superfície ...............................................................................................

Figura 3.3.3 – Definição do vetor r para cálculo de suas derivadas .............................

Figura 3.3.4 – Definição do problema fundamental de Kelvin ................................... 26

Figura 3.4.1 – Corte do contorno expandido no ponto suave .......................................

Figura 3.4.2 – Corte do contorno expandido no ponto S (não suave ) ..........................

Figura 3.4.3 – Região infinita – espaço de Kelvin .......................................................

Figura 3.5.1 –

(a) elementos de

contorno constantes, (b) elementos de contorno

lineares e (c) elementos de contorno quadráticos (Fonte: Brebbia &

Dominguez, 1989) .................................................................................

Figura 3.5.2 –

Tipos de elemento linear: (a) contínuo; (b) e (c) de transição; e (d)

descontínuo ...........................................................................................

Figura 3.5.3 – Elemento triangular linear descontínuo .................................................

Figura 3.5.4 – Definição da integração singular ...........................................................

Figura 3.5.5 –

Representação do elemento unidimensional linear e integração no

contorno fictício do elemento triangular (Fonte: Barbirato, 1999) .......

Figura 3.6.1 –

Viga engastada com carregamento transversal na extremidade livre....

Figura 3.6.2 –

Discretizações do contorno por elementos triangulares planos

descontínuos: (a) M40, 40 elementos, (b)M72, 72 elementos e

(c)M176, 176 elementos .......................................................................

Figura 3.6.3 –

Representação gráfica da geometria da viga mostrando as

discretizações utilizadas: M40, M72 e M176 .......................................

Figura 3.6.4 –

Linha elástica da viga obtida pela teoria de vigas e pela discretização

M40 .......................................................................................................

Figura 3.6.5 –

Linha elástica da viga obtida pela teoria de vigas e pela discretização

M72 .......................................................................................................

Figura 3.6.6 –

Linha elástica da viga obtida pela teoria de vigas e pela discretização

M176......................................................................................................

Figura 3.6.7 –

Linha elástica da viga: comparativo de resultados ................................

Figura 3.6.8 –

Definição do sólido e suas condições de contorno ................................

Figura 3.6.9a –

Malhas de discretização: (a) e (b) M12 com 12 elementos e (c) e (d)

M44 com 44 elementos .........................................................................

Figura 3.6.9b –

Malhas de discretização: (e) e (f) M76 com 76 elementos ................

Figura 3.6.10 –

Área retangular (solo) na superfície livre do semi-

infinito,

carregamento uniformemente distribuído .............................................

Figura 3.6.11a–

Discretizações utilizadas: (a) 16 elementos e (b) 64 elementos ............

Figura 3.6.11b–

Discretizações utilizadas: (c) 156 elementos ........................................ 64

Figura 3.6.12 –

Deslocamentos em X

ao longo de X

(em cm) –

comparação entre a

sol. fund. de Kelvin ut

ilizada nesse trabalho e as sol. fund. de Mindlin

e Kelvin utilizadas em BARBIRATO (1999)........................................

Figura 3.6.13 –

Deslocamentos em X

ao longo de X

(em cm) –

comparação entre a

sol. fund. de Kelvin utilizada nesse traba

lho e as sol. fund. de Mindlin

e Kelvin utilizadas em BARBIRATO (1999)........................................

Figura 3.6.14 – Visualização gráfica do meio semi-infinito – malha com16 elementos.

Figura 3.6.15 –

Deslocamentos em X

ao longo de X

(em cm) –

comparação entre a

sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e a sol. fund. de Mindlin

utilizada em BARBIRATO (1999)........................................................

Figura 3.6.16 –

Deslocamentos em X

ao longo de X

(em cm) –

comparação entre a

sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e a sol. fund. de Mindlin

utilizada em BARBIRATO (1999)........................................................

Figura 3.6.17 – Visualização gráfica do meio semi-infinito - malha com 64 elementos

Figura 4.1.1 – Definição do elemento finito DKT ........................................................

Figura 4.2.1 – Tensões que agem em um elemento diferencial de uma placa. .............

Figura 4.2.2 – Direções positivas de

e ββ .............................................................. 73

Figura 4.2.3 – Coordenadas adimensionais de área

........................................ 76

Figura 4.2.4 – Geometria do elemento finito DKT (Fonte: Batoz et al., 1980) ............

Figura 4.2.5 –

Carregamento uniformemente distribuído no elemento mostrando a

transformação para carregamento nodal equivalente.............................

Figura 4.3.1 –

Exemplo 4.1: discretização da placa

utilizando as malhas M1, M2,

M4 e M5...............................................................................................

Figura 4.3.2 –

Exemplo 4.1: discretização da placa utilizando as malhas: M10 (lado

da discretização dividida em 10 part

es iguais e M20 (lado da

discretização dividida em 20 partes iguais) ..........................................

Figura 4.3.3 –

Comparação de resultados para diversos tipos de carregamento

aplicado .................................................................................................

Figura 4.3.4a –

Comparativo de resultados para o exemplo 4.1 ....................................

Figura 4.3.4b –

Comparativo de resultados para o exemplo 4.1 ....................................

Figura 5.3.1 –

Representação das sub-regiões (

e ΩΩ

) modeladas por Elementos

de Contorno e Elementos Finitos (Fonte: Brebbia & Dominguez,

1989) .....................................................................................................

Figura 5.3.2 –

Esquema de uma viga para utilização da técnica de sub-

regiões: duas

sub-regiões Ω

e Ω

..............................................................................

Figura 5.3.3 –

Sub-região de domínio Ω

discretizada pelo MEF e sub-

região de

domínio Ω

discretizada pelo MEC, no acoplamento ...........................

Figura 6.2.1 –

Roteiro do algoritmo computacional para problemas estáticos ............

Figura 6.2.2a –

Leitura de dados para processamento do program

a (Exemplo 3.3:

Malha com 16 elementos) .....................................................................

Figura 6.2.2b –

Leitura de dados para processamento do programa (Exemplo 3.3:

Malha com 16 elementos) .....................................................................

Figura 6.2.3a –

1ª parte do arquivo com a entrada de dados referente as coordenadas

dos nós (linhas 7 a 19) e condições de contorno (linhas 20 a 30):

Exemplo 4.1 – Malha M2 com 9 nós e 8 elementos .............................

101

Figura 6.2.3b –

2ª parte do arquivo com a entrada de dados referente as propriedades

do material (linhas 32 a 46) e conectividade dos elementos (linhas 48

a 60): Exemplo 4.1 – Malha M2 com 9 nós e 8 elementos ..................

102

Figura 6.2.3c –

3ª parte do arquivo com a entrada de dados referente ao carregamento

prescrito: carga concentrada e carregamento distribuído (linhas 62 a

83): Exemplo 4.1 – Malha M2 com 9 nós e 8 elementos .....................

102

Figura 7.1.1 –

Exemplo 7.1: Discretização da interface placa-solo por 49 nós e 72

elementos ..............................................................................................

105

Figura 7.1.2 – Exemplo 7.1: Discretização estendida com 109 nós e 160 elementos ..

106

Figura 7.1.3 –

Visualização gráfica dos valores da tabela 7.1 para a discretização

estendida ...............................................................................................

107

Figura 7.1.4 –

Visualização gráfica dos valores da tabela 7.2 para discretização com

49 nós e 72 elementos ..........................................................................

107

Figura 7.1.5 –

Resultados para a solução fundamental de Kelvin: comparativo entre

as duas discretizações utilizadas .........................................................

108

Figura 7.1.6 – Comparativo de Resultados .................................................................. 109

Figura 7.1.7 –

Comportamento da placa h=20cm para a discretização estendida,

(valores em mm) ...................................................................................

110

Figura 7.1.8 –

Comportamento da placa h=20cm para a discretização estendida em

escala cinemática, (valores em mm) ....................................................

110

Figura 7.1.9 –

Comportamento da placa h=350cm para a discretização estendida,

(valores em mm) ...................................................................................

111

Figura 7.1.10 –

Comportamento da placa h=350cm para a discretização estendida em

escala cinemática, (valores em mm) .....................................................

111

vii

Figura 7.2.1 – Carga concentrada ‘P’ no centro da placa .............................................

113

Figura 7.2.2 – Discretização estendida .........................................................................

114

Figura 7.2.3 – Discretização da interface de contato placa-solo .................................. 114

Figura 7.2.4 – Variação do deslocamento em função da espessura da placa ............... 115

Figura 7.2.5 – Comportamento da placa (h=20cm): Discretização estendida ............. 115

Figura 7.2.6 – Comportamento da placa (h=20cm): Discretização estendida ..............

116

Figura 7.2.7 – Comportamento da placa (h=250cm): Discretização estendida ............

117

Figura 7.2.8 – Comportamento da placa (h=250cm): Discretização estendida ............

117

Figura 7.3.1 –

Carregamento distribuído parcialmente aplicado em 8 elementos da

discretização...........................................................................................

118

Figura 7.3.2 – Comparativo de resultados: Elemento de Placa DKT ...........................

119

Figura 7.3.3 –

Carregamento distribuído parcialmente aplicado em 32 elementos da

discretização .........................................................................................

120

Figura 7.3.4 – Comparativo de resultados: Elemento de Placa DKT .......................... 121

Figura 7.3.5 –

Comparativo de resultados para a discretização estendida da análise

sujeita a diversos tipos de carregamento ...............................................

122

Figura 7.3.6 –

Comparativo de resultados para a discretização da interface placa-

solo da análise sujeita a diversos tipos de carregamento ......................

123

viii

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 –

Linha elástica da viga analisada (valores em cm): Discretização

M40 ....................................................................................................

Tabela 3.2 –

Linha elástica da viga analisada (valores em cm): Discretização

M72 ....................................................................................................

Tabela 3.3 –

Linha elástica da viga analisada (valores em cm): Discretização

M176 ..................................................................................................

Tabela 3.4a –

Valores do deslocamento da viga analisada à tração para a

discretização M12, (valores em cm) ..................................................

Tabela 3.4b –

Valores do deslocamento da viga analisada à tração para as

discretizações M40 e M76, (valores em cm) .....................................

Tabela 3.5 –

Deslocamentos em X

ao longo de X

(em cm), representados

graficamente na figura 3.6.12 ............................................................

Tabela 3.6 –

Deslocamentos em X

ao longo de X

(em cm), representados

graficamente na figura 3.6.13 ............................................................

Tabela 3.7 –

Deslocamentos em X

ao longo de X

(em cm), representados

graficamente na figura 3.6.15 ............................................................

Tabela 3.8 –

Deslocamentos em X

ao longo de X

(em cm), representados

graficamente na figura 3.6.16 .............................................................

Tabela 4.1 –

Deslocamento transversal (U) para placa quadrada .........................

Tabela 7.1 –

Valores de deslocamento no centro da placa em função da

espessura para a discretização estendida ............................................

107

Tabela 7.2 –

Valores de deslocamento no centro da placa em função da

espessura para a discretização com 49 nós e 72 elementos ...............

107

Tabela 7.3 –

Valores do deslocamento da placa h=20cm (em mm) para a

discretização estendida .....................................................................

110

Tabela 7.4 –

Valores do deslocamento da placa h=350cm (em mm) para a

discretização estendida ......................................................................

111

Tabela 7.5 – Discretização estendida ......................................................................

113

Tabela 7.6 – Discretização da interface de contato placa-solo ............................... 114

Tabela 7.7 –

Valores do deslocamento da placa (h=20cm) (em mm):

Discretização estendida ......................................................................

116

Tabela 7.8 –

Valores do deslocamento da placa (h=250cm) (em mm):

Discretização estendida ......................................................................

117

Tabela 7.9 –

Resultados para as duas modelagens: comparação entre o

carregamento distribuído intermediário q

e a carga concentrada

equivalente .........................................................................................

118

Tabela 7.10 –

Resultados para a duas modelagens: comparação entre o

carregamento distribuído intermediário q

e a carga concentrada

equivalente .........................................................................................

121

Tabela A.1 – Valores das coordenadas naturais e dos pesos de Gauss ................... 135

1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

1.1 - INTRODUÇÃO:

O Método dos Elementos de Contorno (MEC) vem se destacando entre os pesquisadores de

diversos centros de estudo como um importante método de simulação numérica, onde a solução

dos problemas físicos é calculada em pontos discretos (nós) que são definidos sobre o contorno

para os casos em que a solução fundamental é conhecida. Nesse método as equações diferenciais

que regem o domínio são transformadas em equações integrais aplicáveis à superfície ou contorno

do mesmo, reduzindo assim de uma unidade as dimensões de problemas lineares analisados e

facilitando a sua aplicação em extensões infinitas ou semi-infinitas, já que satisfazem a condição

de radiação e regiões com alta concentração de tensões. Por outro lado, a matriz do sistema é

geralmente cheia e não-simétrica.

Para obter-se a equação integral de contorno que possibilite a análise do problema, o MEC

necessita de uma solução fundamental. Esta representa a resposta em um ponto do domínio infinito

devido à aplicação de força unitária em outro ponto do mesmo domínio. “A utilização de uma

solução fundamental, que genericamente pode ser classificada como uma desvantagem, na verdade

proporciona precisão ao método” (BARBIRATO, 1999).

Em problemas de interação solo-estrutura o MEC têm-se mostrado eficiente e confiável. O

solo, considerado neste trabalho como um meio elástico e estático passa a ser discretizado pelo

MEC já que se trata de um domínio estendido ao espaço infinito (ou semi-infinito). Esse método

possui modelagem própria para tal domínio, uma vez que a solução fundamental utilizada no

método já contempla a influência do infinito (ou semi-infinito). O Método dos Elementos Finitos

(MEF), por ser uma técnica de domínio, pode trazer algumas implicações em análises que

envolvam domínios infinitos, pois estes devem ser interrompidos para que se gere uma

discretização finita, ocasionando a formação de um contorno fictício, podendo causar erros na

implementação numérica.

O MEF teve um crescimento extremamente rápido com os avanços tecnológicos no campo

da computação atingindo praticamente todos os problemas de engenharia. O MEF tem a

característica de aproximar a solução da equação diferencial que rege o problema físico, utilizando

valores do domínio de validade do problema, ou seja, valores das variáveis básicas do problema

associados a pontos internos e de contorno do espaço em análise. Esse método é caracterizado por

dividir fisicamente o contínuo em uma série de elementos, equacionando-os como sub-regiões

contínuas de forma individual e juntando-os para a solução do problema como um todo. A

formulação do MEF é, na maioria das vezes, baseada na técnica dos resíduos ponderados que

permite uma generalização maior do método. Porém seu equacionamento pode ainda ser

apresentado a partir dos princípios variacionais através da minimização de um funcional (COOK et

al., 1989 e SHAMES & DYM, 1985).

Para a discretização da estrutura em contato com o solo pode-se utilizar a formulação do

elemento finito DKT (discrete Kirchhoff triangle) que utiliza discretamente a teoria das placas de

Kirchhoff, também conhecida como teoria de pequenos deslocamentos de placas delgadas, onde as

deformações por esforço cortante e a energia de deformação causada por esse esforço são

desprezadas (BATHE, 1982 e COOK et al., 1989).

O estudo com problemas de interação solo-estrutura utilizando o emprego conjunto do

MEC e MEF a ser desenvolvido neste trabalho visa à obtenção de resultados mais precisos

(tensões e deslocamentos), como também aproveitar as vantagens e características distintas de cada

método, já que diversas são as simplificações utilizadas até hoje para se fazer tal tipo de análise.

Os programas computacionais com os quais se poderiam tentar tais simulações estão elaborados

em elementos finitos, o que limita muito o seu emprego devido ao volume de informações que se

precisa gerar e aos problemas relacionados à simulação de meios infinitos ou semi-infinitos. O

acoplamento dos dois métodos é bastante utilizado justamente por levar em conta as vantagens e

desvantagens que existem entre eles e objetivar o estudo mais complexo de casos de engenharia

onde existem, por exemplo, materiais com propriedades complexas e não-homogêneas, altas

concentrações de tensões e potenciais (BREBBIA & DOMINGUEZ, 1989).

Sendo assim, a abordagem da interação solo-estrutura através do acoplamento MEC e

MEF, objeto deste trabalho, é de grande interesse para solucionar muitos problemas e está presente

nas discussões sobre o desenvolvimento tecnológico atual.

O presente trabalho apresenta-se, portanto, no contexto da análise da interação solo-

estrutura através do emprego conjunto do Método dos Elementos de Contorno (MEC) e Método

dos Elementos Finitos (MEF). O objetivo principal é o estudo da interação solo-estrutura para

problemas de engenharia utilizando-se uma formulação conjunta do MEC e do MEF para analisar

o comportamento mecânico dos meios envolvidos.

A partir do objetivo principal surgem os objetivos específicos, que subsidiam o primeiro

com suas formulações. São eles: o desenvolvimento de um código computacional para o estudo de

exemplos de engenharia; o desenvolvimento de estudos para o acoplamento de dois métodos

numéricos MEC e MEF, onde o primeiro utilizará a formulação de Kelvin para o meio infinito

(solo) e o segundo utilizará o elemento de placa DKT (discrete Kirchhoff triangle) para discretizar

a estrutura da superfície; o estudo sobre computação ligada à análise estrutural – desenvolvimento

de software a partir da plataforma Matlab; a contribuição para a formação de recursos humanos

especializados para o desenvolvimento regional.

O trabalho final apresentado como parte dos requisitos para obtenção do título de mestre

em estruturas contempla as considerações iniciais do presente capítulo, bem como os demais

capítulos que fazem parte do escopo deste trabalho, organizados da seguinte forma:

No capítulo 2 são apresentados e definidos os fundamentos matemáticos necessários e

utilizados para o desenvolvimento da formulação do Método dos Elementos de Contorno.

No capítulo 3 é desenvolvida a formulação tridimensional elastostática do Método dos

Elementos de Contorno (MEC), utilizando os fundamentos matemáticos, representações integrais,

soluções fundamentais, bem como as correspondentes equações algébricas para a discretização do

solo em elementos de contorno. Neste capítulo também são apresentados e analisados exemplos de

estruturas de engenharia discretizadas através de elementos de contorno.

Em seguida, no capítulo 4, é apresentada a formulação do MEF utilizando-se o elemento

triangular de placa DKT para a discretização da estrutura. Neste capítulo é realizado um estudo

sobre placas: conceitos, hipóteses e equações para a apresentação da matriz de rigidez do elemento

finito DKT, tensões, deslocamentos, bem como do seu vetor de cargas nodais equivalentes para

carregamento uniformemente distribuído. São apresentados ainda exemplos de estruturas de

engenharia estudadas através do MEF.

O acoplamento do MEC e MEF é o objeto de estudo do capítulo 5. São definidas as

soluções para a compatibilização das equações governantes dos dois métodos, levando-se em

consideração que após o acoplamento dos dois métodos, a estrutura computacional de dados

(tensões e deformações) será disposta em MEC e MEF. Serão descritas as duas metodologias para

o acoplamento dos métodos para problemas de análise da interação solo-estrutura, bem como

apresentadas e discutidas algumas dificuldades do processo.

No capítulo 6 são apresentadas as implementações computacionais utilizadas, apresentando

as rotinas de implementação mais importantes. O sétimo capítulo é referente aos exemplos finais.

Nas conclusões gerais são apresentadas algumas considerações finais sobre os assuntos

abordados. Para finalizar são apresentadas as referências utilizadas em todo o desenvolvimento do

trabalho, bem como os anexos com o desenvolvimento e apresentação de equações importantes

para o completo entendimento dos diversos assuntos abordados.

1.2 - ESTADO DA ARTE:

Na última metade do século passado com o desenvolvimento da tecnologia da computação,

diversas técnicas numéricas de resolução de equações ou de sistemas de equações diferenciais

deram origem a eficientes ferramentas de cálculo possibilitando a análise dos mais variados

problemas de engenharia através dos métodos numéricos.

As técnicas de resolução de equações integrais de contorno surgem, neste contexto, com

procedimentos numéricos alternativos promissores para a resolução dos diversos problemas físicos

usuais das engenharias. Mais particularmente, o Método dos Elementos de Contorno (MEC) vêm

ganhando espaço entre os pesquisadores dos mais conceituados centros de pesquisa. O método

teve seu início e evolução baseados nos esquemas de resolução de equações integrais, até então

vistos como um tipo de método analítico, embora aproximações das variáveis sobre o contorno

fossem usualmente adotadas.

A idéia básica do MEC consiste em transformar as equações diferenciais que regem o

domínio de um determinado problema em equações integrais aplicáveis à superfície ou contorno

do mesmo. Em seguida, é possível discretizar o contorno da região considerada, dividindo-o em

elementos – daí o nome elementos de contorno – como também relacionar as variáveis em pontos

do contorno através da solução fundamental.

Segundo ELLIOT

apud VENTURINI (1988), foi Abel, em 1823, quem primeiro deduziu

uma equação integral para o tratamento de um problema físico, o pêndulo isócrono.

A obtenção matemática das equações integrais para problemas de elastostática surgiu no

século XIX, notadamente no trabalho de SOMIGLIANA

(1886) apud BARBIRATO (1999)

denominada como Identidade Somigliana. Diversos trabalhos deram continuidade a esse contexto,

utilizando equações integrais, principalmente no campo da mecânica dos fluidos e potencial; pode-

se relacionar: FREDHOLM (1903), MUSKHELISHVILI (1953), VOLTERRA (1956) e

MIKHLIN

(1957) apud BARBIRATO (1999).

ANDERSEN, R. S. et al. (1980). The application and numerical solution of integral equations. Alphen aan

den Rijn, The Netherlands, Sijthoff & Noordhoff.

SOMIGLIANA, C. (1886). Sopra 1’equilibrio di um corpo elástico isótropo. 1I Nuovo cimento. Ser. 3, v. 17-

20.

MIKHLIN, S.G. (1957). Integral equations. London. Pergamon Press (International series of monographs in

pure and applied mathematics).

A formulação do método em uma primeira fase de sua história era mostrada a partir de

aproximações de equações integrais obtidas com o emprego de algum princípio clássico, como o

teorema de Betti. A utilização de equações integrais no contorno tornou-se uma alternativa para

também representar aproximadamente as equações governantes de problemas de valor de

contorno.

O trabalho de RIZZO (1967) foi o primeiro em que o tratamento das equações integrais

toma uma forma de técnica numérica similar à dos demais métodos – Método das Diferenças

Finitas e Método dos Elementos Finitos. O método proposto por Rizzo foi chamado de método das

equações integrais de contorno, já que era uma técnica alternativa das equações integrais em

problemas de elasticidade bi-dimensional, que usou elementos retilíneos para discretizar o

contorno onde as funções (deslocamentos e forças de superfície) assumiam valores constantes em

cada elemento. Segundo BECKER (1992), este trabalho é também o primeiro a propor a

abordagem direta para o tratamento das equações integrais, onde as incógnitas que aparecem nos

integrandos são as variáveis físicas do problema.

Visando um maior entendimento e aperfeiçoamento do método proposto e uma maior

divulgação do Método das Equações Integrais de Contorno, diversos trabalhos foram publicados

após o trabalho de RIZZO (1967). Pode-se citar os trabalhos de CRUSE (1969; 1973) que

mostraram o uso do método em problemas gerais de elasticidade tri-dimensional, RIZZO &

SHIPY (1968) onde foi sugerido o uso de sub-regiões para o tratamento de domínios não-

homogêneos, além de CRUSE & RIZZO (1968) e CRUSE & VAN BUREN (1971) que fizeram

uma análise para problemas não-lineares.

O grande avanço nos chamados métodos de contorno tem sua origem na tese de LACHAT

(1975), onde mostra-se bem mais abrangente que os trabalhos citados anteriormente. Neste

trabalho foi dada uma generalidade maior ao método, introduzindo em sua formulação as

representações paramétricas para a representação dos elementos de superfície e das funções

aproximadoras de deslocamentos e de forças de superfície. A técnica das sub-regiões aparece nesse

trabalho, não só para modelar corpos não homogêneos, mas como um recurso para facilitar a

resolução do sistema final de equações.

Após a tese de Lachat, as técnicas de resolução das equações integrais começaram a ser

interpretadas como um método numérico. Essa nova interpretação fica demonstrada no trabalho de

BREBBIA (1978) que formula as equações integrais a partir do método dos resíduos ponderados,

com uma conveniente escolha da função ponderadora. Esse novo enfoque dado à técnica permite

uma generalização ainda maior ao método.

Os problemas práticos de engenharia passaram a ser equacionados agora de uma forma

bastante consistente, utilizando-se para isso as respectivas formulações em termos de resíduos

ponderados e funções de forma tão utilizadas no Método dos Elementos Finitos. Brebbia foi o

primeiro a denominar a técnica de “Método dos Elementos de Contorno”, em 1978.

A partir de então, várias formulações foram propostas para análise dos mais variados

problemas de engenharia, podendo-se destacar aqui os relativos a não-linearidade física,

plasticidade, viscoelasticidade, viscoplasticidade, não-linearidade geométrica, mecânica da fratura,

contato, mecânica das rochas e dos solos, adensamento, percolação e efeitos dinâmicos, vibrações,

propagação de ondas, radiação, acústica, placas, cascas, concentração de tensão, interações solo-

estrutura, fluido-estrutura e acústica-estrutura, e outros.

No campo das engenharias, uma solução apropriada ao estudo de problemas relativos a

escavações, interação solo-estrutura e outros, foi publicada logo após o surgimento do Método dos

Elementos de Contorno, de autoria de NAKAGUMA (1979) que utilizou a solução fundamental de

Mindlin na formulação do método para análise de tensões em sólidos tridimensionais.

NAKAGUMA (1979), SÁ & TELLES (1986) e BARBIRATO (1991) utilizaram formulações do

MEC para análise tridimensional com as soluções fundamentais de Kelvin e Mindlin.

A aplicação do MEC para o estudo de problemas tridimensionais tem como precursores os

trabalhos de CRUSE (1969), LACHAT (1975) e NAKAGUMA (1979), já citados. Este tema

também é abordado em CUROTTO (1981), SILVA (1989), BARBIRATO (1991), CODA (1993),

entre outros.

KOCAK & MENGI (2000) apresenta um estudo de um modelo simples para analisar a

interação solo e estruturas tridimensionais. Neste trabalho, a região do solo, analisada em

elementos de contorno, foi dividida em camadas e cada camada representada por um modelo

paramétrico. Os parâmetros deste modelo foram determinados em termos da espessura e das

propriedades elásticas do subleito.

Além da possibilidade de combinarem-se regiões com quaisquer propriedades mecânicas,

lineares ou não, os problemas práticos exigem também a combinação entre partes estruturais de

diferentes naturezas, em muitos casos tratados por métodos numéricos diferentes.

Alguns algoritmos numéricos que combinam o Método dos Elementos de Contorno com

outras técnicas, já foram propostos por diversos autores.

Os trabalhos de ZIENKIEWICZ et al. (1977), SHAW & FALBY (1977) e OSIAS et al.

(1977)

apud VENTURINI (1988) foram os primeiros a tratar sólidos onde uma parte é analisada

via Elementos de Contorno e o restante do domínio é discretizado e analisado pelo Método dos

Elementos Finitos.

A solução encontrada na combinação de ambas as técnicas numéricas é muito relevante em

diversos problemas práticos, tais como: domínios infinitos ou regiões de altas concentrações de

tensões são melhores representados por soluções com integrais no contorno e domínios com

comportamento não linear ou anisotrópico por soluções com integrais no domínio.

Um dos trabalhos a estudar as combinações de diferentes naturezas foi desenvolvido por

BANERJEE & BUTTERFIELD (1977) que estudou a interação solo -estrutura para analisar o

comportamento de grupos de estacas. WOOD & CREED (1982) também utilizaram combinações

do MEC e MEF para analisar interação solo-estrutura. Nesse caso particular, os autores mostraram

resultados obtidos na análise de uma plataforma off-shore apoiada em fundação composta por

estacas.

Atualmente existem diversos trabalhos na literatura que estudam a interação solo-estrutura

através do acoplamento entre o MEF e o MEC demonstrando desta forma a importância e o

crescimento desta ferramenta para o estudo dos problemas de engenharia.

KOMATSU (1995) desenvolveu um estudo de problemas de escavação através da

combinação Elementos de Contorno e Elementos Finitos. Foi apresentada uma combinação do

MEF com o MEC no acoplamento de uma estrutura reticulada em um domínio bidimensional. Para

o caso em análise, os elementos uniaxiais são tratados através do MEF, enquanto que o MEC é

utilizado na modelagem do meio contínuo que pode ser homogêneo ou não-homogêneo.

FERRO (1999) em seu trabalho, utilizou a combinação do MEC com o MEF para a análise

da interação entre estacas e o solo, considerado como um meio infinito tridimensional e

homogêneo. O meio contínuo tridimensional de domínio infinito é modelado pelo MEC, enquanto

as estacas consideradas como elementos reticulares são tratadas pelo MEF. Finalmente, uma

formulação para a análise do comportamento não-linear do solo na interface com a estaca é

desenvolvida, tornando o modelo mais abrangente.

MESQUITA & CODA (1999) formularam um novo estudo sobre escavações reforçadas

através da combinação entre o MEC e o MEF.

OSIAS, J.R.; WILSON, R.B. & SEITELMAN, L.A. (1977). Combined boundary integral equation finite

element analysis of solids. In: Symposium on innovative numerical analysis in applied engineering science, 1

Versailles, CETIM.

No artigo publicado por VON ESTORFF & FIRUZIAAN (2000) é desenvolvida uma

formulação acoplada do MEF e MEC para a investigação da interação dinâmica solo estrutura

incluindo não linearidades, analisando uma resposta inelástica transiente de estruturas acopladas

com um meio semi-infinito. A estrutura e o solo circunvizinho no campo próximo são modelados

com Elementos Finitos. Neste trabalho verifica-se o uso de materiais elastoplásticos e não-

homogêneos e com efeitos de endurecimento. A radiação na região do solo em meio elástico é

discretizada através de Elementos de Contorno.

A análise da interação solo-estrutura através do acoplamento da equação de Somigliana

para discretizar o meio elástico e o sistema que vem dos elementos finitos para discretizar a

estrutura é desenvolvida no trabalho de GUARRACINO et al. (1992). Neste trabalho, algumas

características particulares do MEC aplicado para o meio elástico são analisadas, estas são

derivadas da escolha de uma solução fundamental. É possível encontrar uma matriz definida

positiva e simétrica que permitem com facilidade o acoplamento simples do MEF e MEC.

Como já foi dito no tópico anterior, a discretização da estrutura em contato com o solo será

desenvolvida através do MEF pela formulação do elemento finito DKT (discrete Kirchhoff

triangle) que faz parte do grupo de elementos discretos de Kirchhoff e é conhecido como um

elemento finito de placas à flexão, COOK et al. (1989).

As estruturas a serem estudadas são discretizadas como placas finas submetidas a

carregamentos ortogonais ao plano médio, ou superfície média. A teoria de Kirchhoff é utilizada

onde seções planas permanecem planas após a deformação da estrutura, ou seja, qualquer reta

perpendicular à superfície média antes do carregamento, permanece perpendicular à superfície

média deformada após o carregamento. Toda a formulação de discretização da estrutura através do

MEF terá como fundamento básico os trabalhos de BATHE (1982), COOK et al. (1989),

ZIENKIEWICZ & TAYLOR (1989) e RAO (1999).

BATOZ et al. (1980) faz uma avaliação dos elementos triangulares para discretização de

placas à flexão com o objetivo de identificar o elemento finito mais eficiente para a análise de

placas finas. Baseado numa revisão dos elementos disponíveis na literatura com 9 graus de

liberdade foi desenvolvido um estudo com os elementos DKT (discrete Kirchhoff triangle), HSM

(hybrid stress model) e SRI (selective reduced integration). São discutidas as novas e eficientes

formulações desses elementos e os resultados de diversos exemplos práticos analisados são

disponíveis. Foi concluído que os mais eficientes são os elementos DKT e HSM.

BATOZ (1982) desenvolve em um outro trabalho, uma nova expressão explícita da matriz

de rigidez do elemento DKT. Alguns resultados numéricos interessantes avaliando o

comportamento deste elemento são apresentados e discutidos.

No trabalho de JEYACHANDRABOSE et al. (1985) a matriz de rigidez para o elemento

DKT é formulada explicitamente num sistema de coordenadas globais. Esta aproximação faz com

que não seja necessária a transformação da rigidez e propriedades dos elementos de coordenadas

local para global na qual é solicitada em diversos outros artigos e trabalhos. É adicionado um

código computacional em FORTRAN 77 para montagem da matriz de rigidez do elemento em

coordenadas globais.

Um outro trabalho bastante interessante foi desenvolvido por BATOZ & LARDEUR

(1989), onde é desenvolvida a formulação de um novo elemento triangular de 3 nós e 9 graus de

liberdade válido para a análise de placas finas. A formulação é baseada na generalização da técnica

discreta de Kirchhoff incluindo os efeitos cortantes transversais. O elemento é conhecido como

DST (discrete shear triangle).

OSHIMA (2004) apresenta uma formulação mista do MEC e do MEF. Nessa formulação,

as estacas são modeladas através do MEF como elementos de barra e o solo através do MEC,

como um meio contínuo, elástico linear, isótropo e homogêneo, utilizando as soluções

fundamentais de Mindlin. A seguir, apresentam-se alguns exemplos numéricos obtidos a partir da

formulação proposta e compara-se com modelos de outros autores.

No trabalho de RIBEIRO (2005), que estuda a interação do solo com a estrutura, o solo é

modelado pelo MEC tridimensional, aplicando a solução fundamental de Kelvin. Neste trabalho, é

possível analisar problemas onde o solo é composto por camadas de diferentes características

físicas, apoiadas em uma superfície de deslocamento nulo e enrijecidas por elementos de fundação,

também modelados pelo MEC tridimensional.

Podem-se citar ainda os trabalhos de PAIVA & BUTTERFIELD (1997) que apresenta uma

formulação do Método dos Elementos de Contorno para analisar problemas de interação placa –

solo e MENDONÇA & PAIVA (2000), onde é desenvolvida uma análise elastostática de radiers

estaqueados pelo método dos elementos de contorno.

Outros trabalhos importantes e utilizados para o desenvolvimento da pesquisa são: CODA

(1993), BERNAT & CAMBOU (1998), CODA & VENTURINI (2000), KARINSKI et al. (2003)

e ALMEIDA (2003).

2 - FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Os fundamentos matemáticos utilizados no desenvolvimento do trabalho e que servem de

auxílio para uma melhor compreensão das teorias apresentadas são descritos neste tópico.

2.1 - NOTAÇÃO INDICIAL

A notação indicial é uma forma compacta de se representar e manipular sistemas de

equações, combinações lineares e somatórios através de índices, possuindo uma grande utilidade

em diversas situações, como por exemplo, ao se trabalhar com as relações constitutivas dos

materiais. Esta notação é feita através do emprego de índices repetidos e livres combinada com

operações empregando estes índices, objetivando uma forma sucinta e elegante de escrita.

Por exemplo, um conjunto de variáveis x

, x

será denotado por x

, representando

desta forma, o sistema de coordenadas cartesianas, onde as direções cartesianas são definidas pelos

índices 1, 2 e 3. Nesta notação, os índices podem ser denotados como um subscrito ou sobrescrito,

ou seja, x

ou x

são ambos válidos. Algumas variáveis encontradas no trabalho são:

deslocamentos,

u ; forças de superfície,

p ; forças de volume,

b ; tensor de tensões,

σ ; tensor de

deformações,

ε ; dentre outras.

Durante o desenvolvimento deste trabalho são apresentadas expressões na forma de

somatório. A convenção é a seguinte: a repetição de um índice em um termo representará um

somatório com respeito a esse índice no seu intervalo de variação. Em geral, é utilizada uma

variação de 1 a 3 para problemas tridimensionais. Por exemplo,

⋅

∑

⋅ b

⋅+ b

⋅+ a

, i = j = 1,2,3. (2.1.1)

ou seja,











=++

3. i para

2, i para

1, i para

333232131

323222121

313212111

cbcbcb

(2.1.2)

∑

= 1

⋅

∑

⋅ w

⋅

( )

⋅

(2.1.3)

As operações de derivação também podem ser representadas via notação indicial. Observe-

se o seguinte exemplo para a derivada parcial de u e v,

∂

(2.1.4)

kij

∂

(2.1.5)

lkij

∂∂

∂

(2.1.6)

Pode-se ainda, aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada de uma função composta,

como por exemplo u = u(b

)), ou seja

ij,j,i,

b u u =

(2.1.7)

Existem alguns trabalhos onde se pode obter mais informações sobre a notação indicial tais

como MASE (1970), BREBBIA & DOMINGUES (1989), KANE, J.H. (1994), entre outros.

2.2 – DELTA DE KRÖNECKER

O símbolo

δ (i,j = 1,2,3) é denominado delta de Krönecker e definido como:







(2.2.1)

Como i e j são índices livres no termo

e ambos variam de 1 a 3, tem-se um total de 9

valores dados segundo a definição de

δ por

332211

=== δδδ (2.2.2)

323123211312

====== δδδδδδ (2.2.3)

se i = j

se i ≠ j

Em notação matricial, tem-se

























100

010

001

333231

232221

131211

δδδ

(2.2.4)

ou seja, o delta de Krönecker se reduz a matriz identidade de ordem 3, podendo ser denotado como

[

]

[

]

I .

Utilizando-se ainda, a notação indicial, tem-se

332211

injnmjim

jjiiijij

ijij

TTT

δδδδ

=++=

(2.2.5a-d)

2.3 – DELTA DE DIRAC

O conceito da distribuição Delta de Dirac é muito importante para a formulação do Método

dos Elementos de Contorno (MEC). A distribuição Delta de Dirac é uma função geral que pode ser

definida como o limite de uma função normal, a qual é zero para todos os pontos do domínio,

exceto para o ponto em que o argumento da função é nulo. Neste ponto o limite tende para um

valor infinito, como definido na função abaixo:

∫

Ω

ρ=Ωδρ

=∞=δ

≠=δ

(s). q)d- (s(q)

e s; q se , q) - (s

s; q se ,0)q- s(

(2.3.1)

onde p e q são pontos do domínio

Ω

, e

(q) uma função qualquer.

Com o objetivo de elaborar uma descrição matemática do ponto de excitação da fonte, será

definida a função pulso retangular unitário, definida por F(x,d,a).

A função F(x,d,a), representada na figura 2.3.1, tem como característica o valor unitário de

sua integral qualquer que seja o domínio. É definida da seguinte forma:

F(x,d,a) =











+≤≤

d x se ,0

- d se ,

- d x se ,0

(2.3.2)

1/a

Denomina-se de distribuição Delta de Dirac o limite da função pulso unitário quando a

largura “a” do retângulo tende para a zero, ou seja, tende ao infinito.

δ x d−( )

F x d, a,( )lim

→

(2.3.3)

A distribuição Delta de Dirac é muito utilizada em diversos problemas de engenharia onde

as excitações são idealizadas como se acontecessem de forma pontual. Cargas concentradas em

mecânica dos sólidos e fontes concentradas de energia interna em análises térmicas são dois

exemplos de aplicação. No MEC, esta função será utilizada para o desenvolvimento das soluções

diferenciais.

Figura 2.3.1 – Pulso retangular unitário (dois exemplos).

2.4 – TEOREMA DA RECIPROCIDADE DE BETTI

Seja o corpo definido por

Ω

que está em estado de equilíbrio sob a ação de forças e

deslocamentos prescritos.

Este estado de equilíbrio é representado por

σ ,

ε ,

p e

b .

Agora, será considerada a existência de um domínio

Ω

com contorno

que contém o

corpo

Ω

já definido na figura 2.4.1.

Esta nova região definida na figura 2.4.2 também está em estado de equilíbrio representado

por

σ ,

ε ,

p e

b .

Figura 2.4.1 – Definição do corpo de interesse:

(

)

.(Contorno) e Domínio ΓΩ

Figura 2.4.2 – Definição de

e ΓΩ

do corpo virtual (Fundamental).

Aplicando a definição da lei de Hooke para um material elástico isotrópico, para os dois

estados de tensão anteriormente definidos, tem-se:

σ =

ijkl

σ =

ijkl

(2.4.1a-b)

onde:

ijkl

C =

−

)(G

ik jkiljlklij

δδδδδδ ++ (2.4.2)

sendo G o módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade ao cisalhamento do

material e ν o coeficiente de Poisson.

Então, pode-se escrever:

) (C C

ijklkl

klijkl

ijijijij

εεεεεσ ==

(2.4.3)

Por simetria, tem-se que:

klijijkl

C C =

(2.4.4)

logo:

klijkl

) (C

klijijij

σεεεεσ ==

(2.4.5)

Utilizando as propriedades de notação indicial e integrando os dois membros, pode-se

escrever a expressão (2.4.5) da seguinte forma

∫ ∫

Ω Ω

Ω=Ω d d

ijijij

εσεσ

(2.4.6)

A expressão acima define o teorema da reciprocidade de Betti, ou seja, o trabalho realizado

pelas tensões no corpo

e ΓΩ

sobre as deformações no corpo

Ω

é igual ao trabalho

realizado pelas tensões no corpo

Ω

sobre as deformações no corpo

e ΓΩ

2.5 – TEOREMAS DE GREEN

Os operadores gradiente e laplaciano, no espaço tridimensional, serão chamados de

e ∇∇

respectivamente e definidos por:

x ∂

∂

=∇

→→→

(2.5.1a)

zy ∂

∂

=∇∇=∇

(2.5.1b)

onde

k e j ,

→→→

representam os versores nas direções x, y e z respectivamente.

Considere-se, agora, um domínio consistindo de um volume

Ω

limitado por um contorno

, suave por partes, onde as funções F(x,y), escalar, e

→

G (x,y), vetorial, têm primeira derivada

contínua em relação às coordenadas cartesianas. Neste caso, valem os seguintes teoremas:

∫∫ ∫

ΓΩ Ω

Γ=Ω∇=Ω Fdn Fd grad(F).d

(2.5.2a)

conhecido como o Teorema do Gradiente, e

∫ ∫ ∫

Ω Ω Γ

→

Γ=Ω∇=Ω d G.n dG. d)Gdiv(

(2.5.2b)

conhecido como o Teorema da Divergência, onde o ponto, (.), representa o produto escalar de

vetores,

→

representa o versor normal externo ao contorno

. Em três dimensões, as equações

acima são equivalentes a

Γ++=Ω

∂

→→→

Ω

∫∫

Fd)nnni( d)i(

zyx

(2.5.3a)

Γ++=Ω

∂

∫∫

ΓΩ

d)GnGnGn( d)(

zzyyxx

(2.5.3b)

Respectivamente, e

)G e G ,G(n e n ,n

zyxzyx

são os componentes cartesianos de )G(n

→→

A partir dos teoremas definidos anteriormente, pode-se demonstrar algumas identidades

que são utilizadas nas formulações apresentadas no decorrer do trabalho, tais como:

∫∫ ∫

ΓΩ Ω

Γ+Ω∇=Ω∇ FHd n H)Fd(- Hd)F(

(2.5.4a)

∫ ∫ ∫

Ω Ω Γ

→→

Γ+Ω∇=Ω∇ dGF.n dG).F(- d)G.F(

(2.5.4b)

∫ ∫ ∫∫

Ω Γ ΓΩ

∂

=Γ∇=Ω∇∇+Ω∇ Hd

F)Hd(n Hd.F F)Hd(

(2.5.4c)

H(x,y) representa uma função escalar com as mesmas propriedades de F(x,y).

O teorema da divergência pode ser utilizado para relacionar duas variáveis no volume

Ω

Assumindo-se a existência de duas variáveis,

, com primeiras e segundas derivadas contínuas

no volume

Ω

, e empregando-se as eqs. (2.5.1b) e (2.5.3), é possível demonstrar a que a seguinte

identidade, conhecida como o Teorema de Green, é válida:

∫ ∫

Ω Γ

∂

=Ω∇∇ d)

( d) - (

φφλλφ

(2.5.5)

3 - FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE

CONTORNO

3.1- INTRODUÇÃO

A formulação estática do Método dos Elementos de Contorno (MEC) para sólidos elásticos

tridimensionais é apresentada neste capítulo. As representações integrais mostradas são

equacionadas a partir do teorema de Betti, embora também seja comum a utilização do método dos

resíduos ponderados para essa finalidade. As características da formulação para problemas

elastostáticos são aplicadas no equacionamento das representações integrais, na discretização do

sólido e geração dos sistemas algébricos.

O capítulo inicia-se com uma revisão das equações básicas da elastostática linear que são

utilizadas para gerar as referidas integrais de contorno. Em um próximo tópico é apresentada a

solução fundamental de Kelvin que é utilizada para deduzir as representações integrais para pontos

do domínio e especificamente para o contorno. Em seguida, é apresentada a discretização do

contorno do corpo através do elemento de contorno triangular linear descontínuo, determinando-se

as equações matriciais do MEC propriamente dito, bem como os procedimentos utilizados para a

integração numérica. As expressões algébricas para o cálculo de deslocamentos e tensões em

pontos do contorno e do domínio também são mostradas.

3.2 - EQUAÇÕES BÁSICAS DA ELASTOSTÁTICA LINEAR

Seja um sólido tridimensional elástico-linear, isotrópico e homogêneo em equilíbrio

estático definido por um domínio

Ω

e contorno

, sobre o qual atuam forças de superfície

p (atuam apenas sobre a superfície do corpo) e forças volumétricas

b (atuam sobre o volume do

corpo), de acordo com a figura 3.2.1.

Figura 3.2.1 – Sólido tridimensional de domínio

Ω

e contorno

A equação diferencial de equilíbrio estático no interior do domínio

Ω

de um corpo é dada

por

0 (s)b (s)s

ijij,

, i,j = 1,2,3

(3.2.1)

onde s)(

jij,

σ representa a derivada das componentes do tensor de tensão, b

(s) é o vetor com as

componentes das forças volumétricas e “s” representa o ponto material analisado, conforme mostra

a figura 3.2.2.

Levando-se em consideração que o tensor de tensões s)(

σ é simétrico, pode-se ainda

escrever

s)(

σ = s)(

(3.2.2)

Após a análise do equilíbrio estático no domínio, precisa-se representar a equação

diferencial que rege o equilíbrio de forças atuantes no contorno do corpo, logo, é tomado um

elemento infinitesimal situado no contorno do sólido.

As componentes das forças de superfície ( )p

atuantes em um ponto “s” localizado em

qualquer superfície

do corpo são expressas através das seis componentes do tensor de tensões.

Essa expressão é conhecida como fórmula de Cauchy e é definida fazendo-se equilíbrio nas três

direções cartesianas, conforme mostra a figura 3.2.3.

Figura 3.2.2 - Elemento infinitesimal de volume.

Considerando o equilíbrio nas três direções encontra-se

jiji

n)s( )s(p σ=

(3.2.3)

onde

n são os co-senos diretores dos ângulos entre a normal n e os eixos

3 21

xe x,x .

Além do tensor de tensões s)(

σ , das forças de superfície

)(p

e das forças

volumétricas )(b

s e considerando regime de pequenas deformações, pode-se definir ainda o tensor

de deformações s)(

ε - que depende do vetor deslocamento (s)u

- vetor este que representa a

mudança de posição de cada ponto do sólido

s))(u s)(u(

(s)

ij,ji,ij

+=ε (3.2.4)

A eq. (3.2.4) define as relações entre deformação e deslocamento, também chamadas de

cinemáticas.

A partir das equações até então mostradas, descreve-se a relação constitutiva conhecida

como Lei de Hooke da teoria da elasticidade que relaciona os tensores de tensão e deformação de

um corpo homogêneo, isotrópico e elástico-linear, conforme mostrado abaixo

ijkkijij

2 s)( µεελδσ +=

(3.2.5)

onde

δ é o delta de Kronecker já definido no tópico 2.2.

A equação inversa de (3.2.5) pode ser escrita como

Figura 3.2.3 – Elemento infinitesimal de superfície (Tetraedro de Cauchy).

ijkk

)2 (32

- σ

µλµ

λδ

ε +

(3.2.6)

As constantes elásticas de Lamé (

) e

, utilizadas em (3.2.5) e (3.2.6), podem ser

expressas em termos do módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young (E), do

coeficiente de Poisson ( )

e do módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade ao

cisalhamento (G)

)2 - )(1 (1

) 2(1

νν

(3.2.7a-b)

Outros detalhes sobre a Lei de Hooke podem ser encontrados em BREBBIA &

DOMINGUEZ (1989), SHAMES & COZZARELLI (1992) e LOPES JR. (1996).

O valor do tensor de tensão encontrado em (3.2.5) pode também ser expresso em termos de

deslocamentos. Assim, substituindo-se a eq. (3.2.4) na eq. (3.2.5), obtém-se:

s))(u s)((u s)(u

s)(

ij,ji,kk,ijij

++= µδ

µν

(3.2.8)

Pode-se obter ainda o vetor de forças de superfície expresso em função dos deslocamentos

substituindo a eq. (3.2.8) na eq. (3.2.3), como indicado abaixo:

iji,jij,ikk,i

))s(u s)((u s)(u

2 - 1

s)(p η+ηµ+η

µν

(3.2.9)

onde

iji,

s)(u η

é a derivada de s)(u

em relação à direção normal à superfície definida em ‘s’.

Fazendo agora a substituição da eq. (3.2.8) na eq. (3.2.1) encontra-se a equação diferencial

do problema elástico em termos de deslocamentos conhecida como equação de Navier-Cauchy

para a estática definida como:

s)(b

s)(u

2 - 1

s)(u

ijj,jji,

=++

µν

(3.2.10)

As equações até aqui analisadas contêm as relações necessárias para o estudo de um

problema elástico qualquer tridimensional, porém é necessário que se conheçam as condições de

contorno do corpo.

No estudo da mecânica dos sólidos, os valores prescritos de contorno são os deslocamentos

u e as forças de superfície

p . Logo, as condições de contorno são apresentadas a partir dessas

variáveis definidas no contorno do corpo. Desde já, para proceder esse tipo de análise, é necessário

dividir o contorno do sólido

em dois contornos distintos

e ΓΓ , ou seja

Γ+Γ=Γ . Os trechos

e ΓΓ

são apenas ilustrativos, já que os mesmos podem ter tanto condições prescritas de

deslocamento como de forças de superfície.

Como mostrado na figura (3.2.4), no contorno

a variável deslocamento prescrita

representa a condição de contorno, isto é

)essenciais (condições de ponto um s para , s)(u q)(u

1ii

Γ=

naturais) (condições de ponto um s para , s)(p s)(p

2ii

Γ=

(3.2.11a-b)

Vale lembrar que as condições de contorno não necessariamente são aplicadas em partes

separadas do contorno e a barra sobre as variáveis indica valores prescritos.

3.3 - SOLUÇÃO FUNDAMENTAL

A formulação das equações integrais de contorno para problemas elastostáticos a ser

descrita no tópico 3.4 requer o conhecimento da solução fundamental para sólidos tridimensionais

elásticos, homogêneos e isótropos que pode ser escolhida de acordo com o problema a ser

solucionado.

Nesse trabalho é utilizada a solução fundamental de Kelvin que considera a influência em

um domínio infinito ocasionada pela aplicação de uma carga concentrada e unitária.

Visando um maior esclarecimento na definição do problema fundamental, pode-se

considerar um domínio infinito

Ω

cujo contorno é denotado por

. O sólido que se pretende

estudar possui domínio

Ω

e contorno

e está contido no domínio

Ω

, conforme mostrado na

figura 3.3.1.

Figura 3.2.4 – Valores prescritos de contorno.

A solução fundamental do problema a ser analisado consiste em estudar os efeitos causados

pela aplicação de uma força unitária estática em um ponto s do domínio (ponto fonte), nas direções

cartesianas, em um outro ponto q no infinito (ponto de campo).

Esses efeitos causados no ponto de campo são definidos através dos deslocamentos

forças de superfície

, onde o primeiro índice representa a direção cartesiana de aplicação da

força e o segundo a direção do efeito medido, conforme figuras 3.3.2a, 3.3.2b e 3.3.2c.

Figura 3.3.1 – Definição do problema fundamental.

Figura

3.3.2a

–

Definição geométrica do problema fundamental.

(Fonte: BREBBIA & DOMINGUEZ, 1989)

Figura

3.3.2b

–

Componentes dos de

slocamentos da solução fundamental da

superfície.

Figura

3.3.2c

–

Componentes de forças de superfície da solução fundamental da

superfície.

Aplicando a distribuição Delta de Dirac e Delta de Krönecker, já definida nos fundamentos

matemáticos, na força unitária aplicada no ponto fonte s, pode-se definir as forças volumétricas no

domínio do sólido como sendo

kii

q)(s, q)(b δδ=

(3.3.1)

Substituindo a expressão (3.3.1) nas eqs. (3.2.1) e (3.2.10), tem-se

0 q)(s, q)(s,

jkij,

=+ δδσ

(3.3.2a)

0 q)s,(

q)(s,u q)(s,u

jjki,

jikj,

=++

−

δδ

µν

(3.3.2b)

que representam as expressões analíticas da solução fundamental desenvolvida a partir dos

deslocamentos e forças de superfície.

3.3.1 – SOLUÇÃO FUNDAMENTAL DE KELVIN

Existem diferentes soluções das equações acima que podem ser igualmente empregadas.

Estas soluções dependem da região

Ω

que se está trabalhando e das respectivas condições

de contorno.

A partir da resolução das eqs. (3.3.2a) e (3.3.2b) encontram-se as expressões de

deslocamentos para o problema de Kelvin tridimensional, que considera o domínio do sólido

Ω

estendendo-se ao infinito,

{

}rr )43(

)r-(116

q)s,(u

j,i,ij

+−= δν

µνπ

(3.3.3)

onde, q-s rr r

s)( x- q)( x r

iii

(3.3.4a-c)

Pode-se encontrar ainda a expressão das deformações aplicando-se a eq. (3.2.4)

]rr3r r - )r r)(21[(

)r-(116

q)s,(

k,j,i,ijk,jki,ikj,

ijk

++−= δδδν

νπµ

(3.3.5)

e pela Lei de Hooke, o respectivo tensor de tensões,

)(21[(

)r-(18

q)s,(

ijk

νπ

σ −= ]rr3r )r - r r

k,j,i,ijk,jki,ikj,

++ δδδ

(3.3.6)

As variáveis envolvidas na eq. (3.3.3) podem ser visualizadas na figura 3.3.3, a seguir:

E finalmente, a partir da eq. (3.3.6) e da eq. (3.2.3) encontra-se a expressão da força de

superfície para o problema fundamental, mostrada na eq. (3.3.7):

)}nr - n)(r2-(1 - r]r3r )21{[(

)r-(18

q)s,(p

ij,ji,n,j,i,ij

νδν

νπ

+−=

(3.3.7)

Para facilitar o entendimento da solução fundamental de Kelvin e visualizar alguns

parâmetros das equações mostradas, tem-se a figura 3.3.4.

Figura 3.3.3

–

Definição do vetor r para cálculo de suas derivadas.

Figura 3.3.4 – Definição do problema fundamental de Kelvin

, p

3.4- EQUAÇÕES INTEGRAIS DE CONTORNO

As equações integrais de contorno relacionam os deslocamentos de um ponto qualquer

localizado no domínio com deslocamentos e esforços no contorno de um corpo tridimensional

utilizando integrais que envolvem a solução fundamental de Kelvin utilizada neste trabalho. Essas

equações são muito importantes e auxiliam no desenvolvimento da formulação do Método dos

Elementos de Contorno (MEC) e podem ser obtidas através da utilização da técnica dos resíduos

ponderados ou do teorema da reciprocidade de Betti. A técnica dos resíduos ponderados possui

uma grande vantagem, pois, facilita a associação do MEC a outros métodos numéricos, como por

exemplo, o Método das Diferenças Finitas (MDF) e o Método dos Elementos Finitos (MEF).

3.4.1 – EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO DOMÍNIO

As equações integrais para pontos do domínio mostradas neste tópico são baseadas na

figura (3.2.4) e eqs. (3.2.11a-b) já mostradas neste trabalho, onde são definidas as condições de

contorno e o espaço infinito que definem o problema.

Utilizando o teorema da reciprocidade de Betti, ver tópico 2.4, encontra-se a representação

integral de deslocamento, conhecida como identidade Somigliana e apresentada da seguinte forma:

∫ ∫ ∫

Γ Γ Ω

Ω+Γ+Γ= (q)q)d(q)bs,(u (Q)Q)d(Q)ps,(u (Q)Q)d(Q)us,(p - s)(u

ijj

iji

(3.4.1)

A eq. (3.4.1) fornece o deslocamento no ponto ‘s’ do domínio na direção cartesiana i, a

partir dos valores de deslocamentos e forças de superfície no ponto ‘Q’ do contorno e, na presença

de forças de volume, das componentes

b no ponto ‘q’ do domínio.

A eq. (3.4.1) é uma representação contínua de deslocamentos em pontos do interior do

corpo. Sendo assim, as componentes das tensões internas podem ser determinadas aplicando a

relação cinemática (3.2.4) na eq. (3.4.1), fazendo assim uma derivação da eq. (3.4.1) em relação às

coordenadas de s, com isso obtém-se as deformações específicas e então substituindo o resultado

na Lei de Hooke, encontra-se:

∫∫∫

ΩΓΓ

Ω+Γ+Γ=σ

(q)

q)d(q)bs,(D (Q)Q)d(Q)ps,(D (Q)Q)d(Q)us,(S - s)(

ijk

(3.4.2)

É importante salientar que as derivadas são aplicadas diretamente nos integrandos.

A eq. (3.4.2) fornece os valores das tensões no ponto interno s a partir dos valores de

deslocamentos e forças de superfície do ponto Q do contorno, acrescidos da parcela relativa às

forças de volume, ponto q do domínio, quando considerada.

ijk

S e ijk

D são tensores de 3ª ordem para um problema tridimensional definidos através

da derivação dos tensores de deslocamentos e forças de superfície do problema fundamental, cujas

componentes para a solução fundamental de Kelvin, são

}kjj,i,kk,i,jk,j,i

k,j,i,ikj,jki,ijk,n,

ijk

)n4-(1 - )n n rr)(3n2-(1 )rrn rr(n3

]rr5r - )r (r r)21[(r3{

)r-(14

ijikjki

δνδδνν

δδνδν

νπ

++++

+++−=

(3.4.3)

}rr3r )r - r r)(21{(

)r-(18

k,j,i,ijk,jki,ikj,

ijk

++−= δδδν

νπ

(3.4.4)

3.4.2 – EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO CONTORNO

A identidade Somigliana (3.4.1) fornece os deslocamentos em qualquer ponto contido no

interior do sólido em estudo desde que os valores das forças de superfície e deslocamentos em

todos os pontos do contorno sejam conhecidos. No Método dos Elementos de Contorno é

necessário o conhecimento da expressão correspondente para pontos que pertençam ao contorno

, contudo nesses pontos tais integrais apresentam singularidade. Deve-se utilizar um artifício que

transforma esses pontos do contorno em pontos do domínio.

O objetivo é aumentar o domínio e o contorno do sólido em estudo, acrescentando a este o

contorno de uma superfície esférica de domínio

Ω , com centro no ponto de contorno e de raio

conforme ilustrado na figura (3.4.1). A partir de então, o domínio e o contorno do corpo passam a

ser respectivamente

Ω+Ω e ΓΓ+Γ -

. Desta forma, um ponto S do contorno passa a ser um

ponto s do domínio e a identidade Somigliana passa a valer para o novo domínio e contorno do

corpo.

A identidade Somigliana passa a ser definida para domínio e contorno diferentes,

como mostrado a seguir

∫

∫∫

εε

Ω+Ω

Γ+ΓΓΓ+ΓΓ

Ω+

Γ+Γ=

iji

(q)q)d(q)bs,(u

(Q))dQ(Q)ps,(u (Q)Q)d(Q)us,(p - s)(u

(3.4.5)

Pode-se estudar separadamente o limite de cada integral quando 0

→

o que faz com que

o ponto volte a ser de contorno. Pode-se encontrar todos os detalhes de tais demonstrações em

BREBBIA & DOMINGUEZ (1989) e ROCHA (1988). Logo, a expressão resultante da equação

integral (3.4.5) para pontos do contorno é reduzida a:

∫

∫∫

Ω

ΓΓ

Ω+

Γ+Γ=

(q)q)d(q)bS,(u

(Q)Q)d(Q)pS,(u (Q)Q)d(Q)uS,(p - (S)S)u(c

ijj

ijiij

(3.4.6)

onde, para pontos de contorno suaves ( sem angulosidades), tem-se o termo livre

1,2,3 ji,

S)(c

(3.4.7)

Nota-se, que a eq. (3.4.6) é semelhante à eq. (3.4.1) definida para pontos no domínio e de

uma forma geral, pode-se afirmar que tal expressão também é válida para pontos localizados fora

do domínio do corpo. Visando a definição de uma forma geral de representação desta equação,

define-se os valores para o coeficiente

, como mostrado abaixo:

Figura

3.4.1

–

Corte do c

ontorno expandido no ponto

suave

lim

ε → 0











Ω

. domínio ao internos pontos para 1,

; contorno do pontos para ,

; domínio do fora pontos para 0,

. (S)c

ijij

(3.4.8)

Para pontos do contorno não suaves, conforme mostrado na figura (3.4.2), o limite das

forças de superfície da solução fundamental fornece um resultado diferente, de forma que

1,2,3 ji, I (S) S)(c

ijijij

=+=δ

(3.4.9)

pode-se encontrar mais detalhes sobre a matriz

I em LOPES JR. (1996).

A expressão resultante da equação integral (3.4.6) mostrada é definida para sólidos

tridimensionais em que o vetor normal ao seu contorno tem sentido para fora do domínio, ver

figura (3.4.1), ou seja, é utilizada para estudar regiões internas ao sólido, cujo domínio é finito.

Desta forma, precisa-se estender essa equação para o caso de regiões infinitas que são estudadas

neste trabalho através da solução fundamental de Kelvin para modelar o solo, admitido como um

domínio infinito.

Logo, seja uma esfera de raio

, superfície

, domínio

Ω

com centro em um ponto S,

ponto este que envolve uma cavidade definida pelo contorno

(vide figura 3.4.3). Esta nova

região entre

está contida em um espaço infinito

Ω

. Para representar a nova região e

chegar na situação do problema analisado, deve-se fazer com que o raio da esfera tenda ao infinito

(

∞

→

), e nota-se que a expressão resultante é a mesma (3.4.6), a representação integral para

problemas de domínio finito também é válida para problemas cujo domínio é infinito.

Figura 3.4.2

–

Corte

do contorno expandido no ponto S (

não suave

3.5- MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

No capítulo anterior são definidas as equações integrais de contorno para a análise de

sólidos elásticos, homogêneos, isotrópicos tridimensionais. Nesta seção, é definido e mostrado a

transformação dessas equações em equações algébricas visando a formulação do Método dos

Elementos de Contorno (MEC).

3.5.1 – DISCRETIZAÇÕES

A princípio, precisa-se resolver as equações integrais numericamente, discretizando o

contorno em uma série de elementos nos quais os deslocamentos e força de superfície são escritos

em termos dos próprios valores de uma série de pontos nodais (valores dos nós funcionais). A

forma discretizada da eq. (3.4.6) para todos os pontos nodais implica em um sistema de equações

algébricas lineares. Aplicando-se as condições de contorno ao problema, o sistema pode ser

resolvido encontrando-se todos os valores desconhecidos e conseqüentemente uma solução

aproximada para os valores no contorno do problema.

Para tal discretização, divide-se o contorno do sólido em um número finito de elementos,

cuja geometria pode ser plana ou curva, triangular ou quadrangular, etc. (vide figura 3.5.1). Neste

igura

3.4.3

–

Região infinita

–

espaço de Kelvin

trabalho são utilizados os elementos triangulares lineares contínuo e descontínuo na discretização

do sólido pelo MEC.

Agora pode-se definir as funções u e p (deslocamentos e forças de superfície em algum

ponto do contorno) aplicadas para cada elemento j a ser discretizado, como mostrado a seguir

P p

U u

(3.5.1a-b)

onde

são as funções interpoladoras e

P e U são os deslocamentos e forças de

superfície aproximados por seus valores nodais de dimensões 3xN para problemas tridimensionais,

sendo N o número de nós do elemento.









































(3.5.2a-b)

igura

3.5.1

–

(a) elementos de contorno constantes, (b) elementos de contorno linear

es e

A matriz função de interpolação

com dimensões 3x3N é constituída de funções de forma

[ ]

n21

N21

...

0 0 ... 0 0 0 0

φφφ

φ =













(3.5.3)

A discretização do domínio do corpo é feita, de uma forma mais direta, dividindo-o em

células tridimensionais, geralmente na forma de hexaedros e tetraedros. Esta discretização também

poderia ser feita através de outras técnicas, onde seriam utilizados apenas elementos de contorno,

como, por exemplo, a técnica da Reciprocidade Dual e a Integração Direta. Porém, neste trabalho o

domínio do sólido não é modelado, ou seja, as forças volumétricas são desprezadas.

Desta forma, pode-se também definir as forças de volume b em algum ponto do domínio

Ω

na forma de um vetor tridimensional através de funções interpoladoras

e valores nodais

(aplicada nos nós funcionais)





















(3.5.4)

Os coeficientes da solução fundamental de Kelvin podem ser expressos como

























u u u

p p p

(3.5.5a-b)

onde

é a matriz em que os coeficientes

são as forças de superfície na direção j devidas a

uma força unitária em S agindo na direção i e

u é a matriz em que os coeficientes

são os

deslocamentos na direção j devido a uma força unitária em S agindo na direção i.

A partir das notações mostradas, a eq. (3.4.6) pode ser reescrita para cada ponto S como

mostrado a seguir:

∫

∫∫

Ω

ΓΓ

Ω+

Γ+Γ=

(q)q)d(q)bS,(u

(Q)Q)d(Q)pS,(u (Q)Q)d(Q)uS,(p - S)u(S)(c

(3.5.6)

onde os coeficientes c(S) já foram definidos neste trabalho.

As coordenadas cartesianas do contorno e as coordenadas cartesianas da célula podem ser

escritas em termos das coordenadas nodais para a definição dos elementos, conforme mostrado

abaixo

X X

(3.5.7a-b)

onde

são as mesmas funções de interpolação isoparamétrica utilizadas para os

deslocamentos e forças de superfície,

são as coordenadas cartesianas de seus pontos nodais e

as coordenadas cartesianas dos pontos geométricos da célula tridimensional para discretização

do domínio.

Considerando a mudança do sistema de coordenadas cartesianas, substituindo as eqs.

(3.5.1a-b) e aproximando o contorno do sólido em “L” elementos, com “J” pontos nodais (nós

funcionais) e o seu domínio em “M” células, a representação integral discretizada para

deslocamentos, a eq. (3.5.6), passa a ser:

(q)]B)dq(q)S,(u[

(Q)]PQ)d(Q)S,(u[ (Q)]UQ)d(Q)S,(p[ - S)u(S)(c

1 m

1 l

jT*

1 l

jT*

∑

∫

∑

∫

∑

∫

Ω

Ωφ+

Γφ+Γφ=

(3.5.8)

Aplicando integração numérica (ver tópico 3.5.3) para as eqs. integrais (3.5.8) em todos os

pontos S, tem-se a representação algébrica:

DB GP UH - cu ++=

(3.5.9)

onde as matrizes de influência

D eG ,H

são definidas, respectivamente, pelos somatórios das

integrais mostrados na eq. (3.5.8).

Analisando-se a eq. (3.5.9), nota-se que é possível agrupar as matrizes que formam um

produto com a matriz dos valores nodais de deslocamentos U, ou seja ( H = c +

) e a equação

passa a ser

HU = GP + DB (3.5.10)

Note que os elementos c(S) são encontrados como uma série de sub-matrizes 3x3 na

diagonal de H e não são simplesmente calculados de forma analítica devido, principalmente, a

singularidade da solução fundamental em pontos de canto.

Os vetores U e P representam todos os valores de deslocamentos e forças de superfície

após a aplicação das condições de contorno. Essas condições podem ser introduzidas fazendo-se

uma troca de colunas de H e G de modo que todos os valores desconhecidos passam para a matriz

X no lado esquerdo da igualdade. Isto resulta num sistema de equações algébricas, como mostrado

abaixo:

AX = F (3.5.11)

onde:

A é uma matriz cheia e não simétrica que contém elementos das matrizes H e G

devidamente trocados (troca de colunas) para agrupar todas as incógnitas do lado esquerdo da

igualdade, sejam elas deslocamentos ou forças de superfície, X é o vetor misto que contém as

incógnitas (deslocamentos e forças de superfície) e F é o vetor independente, obtido da

multiplicação dos coeficientes das matrizes H e G relativos às componentes prescritas de

deslocamentos e forças de superfície, note-se ainda que a matriz B passa a ser incorporada em F.

Em geral, utiliza-se o Método de Eliminação de Gauss para a resolução do sistema acima,

desta forma encontra-se a solução elastostática do problema.

Após a resolução do sistema acima, as variáveis contidas no vetor das incógnitas devem ser

reorganizadas em deslocamentos e forças de superfície, antes de serem utilizadas

computacionalmente.

3.5.2 – ELEMENTOS DE CONTORNO

Como dito anteriormente, nesse trabalho é utilizado o elemento triangular plano para a

discretização do contorno do sólido tridimensional. Existem diversas referências onde pode ser

encontrado este tipo de elemento, que a princípio, foi desenvolvido para ser utilizado no Método

dos Elementos Finitos (MEF), como por exemplo, em COOK et al. (1989), ZIENKIEWICZ &

TAYLOR (1989) e BATHE (1982).

Precisa-se definir a geometria deste elemento e em seguida aplicar as funções de

interpolação que são utilizadas para as variáveis da representação do Método dos Elementos de

Contorno: forças de superfície e deslocamentos. As funções de interpolação servem para

aproximar os campos das variáveis envolvidas no problema. Essa aproximação é aplicada nos

pontos nodais do elemento e são definidas através de polinômios. Essas funções podem ser

constantes, lineares, quadráticas, cúbicas ou de ordens mais elevadas, ver COOK et al. (1989) pp.

153.

Nesse trabalho é utilizada apenas a função de interpolação linear que permite uma melhor

aproximação das variáveis do problema do que a função constante, no caso do elemento plano

triangular, essa interpolação consiste em interpolar linearmente entre os três valores nodais do

elemento.

3.5.2.1 – ELEMENTO DE INTERPOLAÇÃO LINEAR

Visando uma aproximação das variáveis através das funções interpoladoras de forma

linear, encontram-se na literatura três tipos de elementos, elemento linear contínuo, descontínuo e

de transição, conforme mostrados a seguir:

O elemento linear contínuo, ou isoparamétrico linear, possui os nós funcionais coincidentes

com os nós geométricos, ou seja, não se podem modelar diretamente contornos descontínuos

através desse elemento.

O elemento linear descontínuo, não conforme ou de colocação não nodal, possui os três nós

de colocação deslocados de seus nós geométricos que estão associados a um único elemento, esse

elemento permite a modelagem de contornos onde existem descontinuidades de forças de

superfície ou de geometria.

E, por fim, o elemento linear de transição possui alguns de seus pontos de colocação

coincidentes com os seus nós geométricos. Esse elemento é muito interessante, pois permite uma

Figura 3.5.2 – Tipos de elemento linear: (a) contínuo; (b) e (c) de transição; e (d) descontínuo.

discretização mais lógica, já que se podem definir os nós deslocados apenas em regiões onde há

descontinuidade. Sua formulação é baseada numa combinação das formulações dos elementos

contínuos e descontínuos.

A seguir, mostra-se a caracterização e definição do elemento triangular linear descontínuo.

Como já definido, este elemento possui os três pontos de colocação deslocados de seus nós

geométricos, desta forma pode-se discretizar contornos descontínuos (com angulosidades). Nesse

elemento é feita uma interpolação nos valores das variáveis (deslocamentos e forças de superfície)

devido a nova posição dos pontos de colocação (internos ao elemento), ver figura 3.5.3.

As componentes de deslocamentos e forças de superfície na direção i para qualquer nó

(

p e u ) podem ser encontradas em função das componentes nodais na mesma direção, como :

Figura 3.5.3 –Elemento triangular linear descontínuo

























































































321

0 0 0 0 0 0

ξξξ

(3.5.12a-b)

Sendo assim, a matriz c definida na eq. (3.5.8) para o elemento triangular linear

descontínuo é encontrada

























321

0 0 0 0 0 0

0 0

c(S)

ξξξ

(3.5.13)

onde as coordenadas de área

ξ são definidas nos pontos de colocação S deslocado para o

interior do elemento sobre a mediana do lado oposto ao vértice do triângulo relacionado ao ponto.

Chamando de f , a distância entre o vértice do triângulo e o seu centróide, o deslocamento do ponto

nodal que é aqui chamado de

, fica definido como

0,65fou 0,525f

(3.5.14)

onde, estes percentuais são medidos a partir do vértice do triângulo. Tomando como

exemplo o percentual referente a 0,525f, segundo BARBIRATO (1999), e utilizando as técnicas

para determinação das coordenadas de área, encontram-se os seguintes valores em um dado ponto

de colocação S: 0,65. e 0,175

321

=== ξξξ

Após a realização de diversos testes para diversos pontos de colocação encontram-se

resultados mais precisos em pontos localizados no intervalo em que os extremos inferior e superior

são os valores definidos em (3.5.14).

3.5.3 – INTEGRAÇÕES NUMÉRICAS

A partir das equações já definidas, devem-se obter as soluções analíticas das mesmas,

porém, vale ressaltar que as funções integradas são bastante complexas gerando uma grande

dificuldade na obtenção destas equações. Desta forma, são aplicados métodos numéricos de

integração para a resolução das equações previamente apresentadas.

Fazendo uma simplificação da eq. (3.5.8), sem considerar o termo que se refere as forças de

volume, verifica-se a existência de uma soma de integrais aplicadas sobre cada elemento do

contorno, onde essas integrais são chamadas a partir de agora de g e h, conforme mostrado a seguir

∫

Γφ=

(Q)Q)dQ)(S,u g

(Q)Q)dQ)(S,p h

(

(3.5.15a-b)

No estudo dos Elementos de Contorno, como já foi mencionado, pode-se encontrar dois

tipos de situações para sua integração dependendo da posição do ponto de colocação S. Neste

trabalho, quando este ponto encontra-se no elemento a ser integrado, a integração numérica a ser

realizada chama-se integração singular ou semi-analítica; caso o mesmo esteja situado fora do

elemento chama-se de integração numérica. A análise destas duas integrações é mostrada a seguir.

3.5.3.1 – INTEGRAÇÃO SINGULAR OU SEMI-ANALÍTICA

Como mencionado no parágrafo anterior, a integração singular é utilizada quando o ponto

de colocação pertence ao elemento estudado L, neste caso aparecerá uma singularidade devido à

solução fundamental de Kelvin em que as expressões

p e u são escritas em função da

coordenada esférica r apresentando singularidades nas vizinhanças do ponto S.

Nesse trabalho é utilizado um procedimento que consiste em fazer uma transformação no

sistema de coordenadas que passa a ser chamado de (

)

), onde o plano

)

contém o

elemento L, conforme mostrado na figura (3.5.4).

A partir desta análise, define-se o contorno do elemento em função das coordenadas

polares r e

e a integração singular é efetuada através de integração analítica em r e numérica em

Fazendo a substituição das expressões (3.3.3) e (3.3.7) nas eqs. (3.5.15a-b), encontra-se:

Figura 3.5.4 – Definição da integração singular.

e d

n)r2-(1B'

- d

rrr3B'

r)2-(1B'

lll

ij,

ji,

n,j,i,

n,ij

;

∫

∫∫∫

ΓΓΓ

Γφ

Γφ+Γφ

δν

(3.5.16a)

rrA'

)4-(3A'

j,i,

∫∫

ΓΓ

Γφ+Γφ

δν

(3.5.16b)

onde

e ;

)-(116

µνπ

(3.5.17a)

)-(18

νπ

(3.5.17b)

Utilizando notação indicial para a solução das integrais e fazendo um rearranjo, pode-se

encontrar a expressão final para g e h

e d

3B'

)(-2-(1B' d

)2-(13B' h

lll

∫

∫∫∫

ΓΓΓ

Γφη+

Γφ+Γφν+Γφν=

;

)

(3.5.18a)

A' d

)4-(3 A' g

j,i,

∫∫

ΓΓ

Γφ+Γφδν=

(3.5.18b)

onde

n e n são, respectivamente, os vetores normais nas direções cartesianas “i” e “j” e

ni,i

X =η

ou seja, são os co-senos diretores da normal em relação aos eixos cartesianos

Visando diminuir o tamanho das expressões apresentadas, a integração analítica em r pode

ser dividida em três parcelas distintas e gerais para a solução fundamental de Kelvin,

∫

Γξ=

f)p3(i,

f) j,p2(i,

p1(f)

j,i,

(3.5.19a-c)

Observando a figura (3.5.4), precisa-se definir a relação linear existente entre as

coordenadas cartesianas (x,y) e as coordenadas de área (

) expressa pelas seguintes equações

[ ]









































−

(3.5.20)

onde

jiijjiij

y - y y e x- x x ==

[ ] [ ]

.y x- y x Adet 2A onde ,

y y y x- yx

xy y x- yx

21313121

21121221

13313113

32232332













−

(3.5.21)

Representando as expressões acima na forma de notação indicial, tem-se

y], x [

ffff

γβαξ ++= (3.5.22)

onde











===

3 fp/ 2 k 1, j

2 fp/ 1 k 3, j

1 fp/ 3 k 2, j

e ; x- x

;y - y

;y x- y x

jkf

kjf

jkkjf

(3.5.23a-d)

Fazendo-se a mudança para o novo sistema yx

)

, tem-se

e ;senr y

;

cos

)

(3.5.24a-b)

1 0 0

0 cos sen -

0 sen cos









































































)

ϕϕ

(3.5.25)

Desta forma,

],yC xB A[

ffff

))

++=ξ

(3.5.26)

onde

ϕγϕβ

cos sen C

;sen - cos B

;y x A

fff

ofofff

(3.5.27a-c)

A partir das coordenadas adimensionais de área, as integrais analíticas em r definidas em

(3.5.19a-c) podem ser facilmente determinadas. Considerando ainda

rdrd d

, encontram-se as

parcelas p1(f) e p2(i, j, f)

θθθ

rd)senr

cosr

A(rr

f) j,p2(i,

rd)senr

cosr

p1(f)

fj,i,

++=

∫

(3.5.28a-b)

Ao resolver a integral definida na parcela

f)p3(i,

verifica-se que a mesma é singular

quando r = 0, desta forma a análise desta parcela precisa ser melhor detalhada. A integração pode

ser definida por

∫ ∫

→

++=

θ θ

θεθθθ d)rln(Alim - )dsenr C cosr B ln(r)A(r

f)p3(i,

i,f

fffi,

(3.5.29)

Analisando-se o integrando da parcela do limite indicado em (3.5.29), pode-se ver que a

derivada da variável r em relação à direção cartesiana i pode ser representada por:

,sen m cos m r

i2i1i,

θθ += (3.5.30)

onde

m são os co-senos diretores no ponto em análise em relação a x

Levando-se em consideração que o ângulo

tem uma variação de 0 a 2

, a integral

definida no limite tem valor nulo e o limite tende a zero, ou seja,

0. d)sen m cos )(mln(A lim

i2i1f

∫

→

θθθε

(3.5.31)

Desta forma, a parcela

f)p3(i,

é definida de forma resumida como

∫

++=

θθθ )dsenr C cosr B ln(r)A(r

f)p3(i,

fffi,

(3.5.32)

Vale ressaltar, que para o elemento linear descontínuo, o ponto de colocação S é deslocado

para dentro do elemento j em estudo. Sendo assim, pode-se utilizar a expressão (3.5.32), pois, os

extremos inferior e superior para o ângulo

são sempre 0 e 2

Após encontrar as expressões para as três parcelas, deve-se agora, utilizar um procedimento

numérico para a integração em

. Neste trabalho é realizada uma transformação de cada elemento

triangular plano em um domínio cujo contorno

)

possui três elementos unidimensionais retos,

conforme mostrado a seguir

Fazendo-se uma simples análise trigonométrica do elemento triangular definido na figura

(3.5.5) visando uma relação diferencial entre Γ

)

d e dθ para representar o elemento de superfície

através de três elementos lineares de contorno, tem-se

∂

)

rdθ (3.5.33)

Desta forma, as expressões (3.5.28a-b) e (3.5.32) podem ser reescritas e representadas da

seguinte forma

∂

++=

∂

++=

∂

++=

∫

)

)senr C cosr B ln(r)A(r

f)p3(i,

)senr

cosr

A(rr

f) j,p2(i,

)senr

cosr

p1(f)

fffi,

fj,i,

θθ

(3.5.34a-c)

igura

3.5.5

–

Representação do elemento unidimensional linear e Integração no

contorno fictício do elemento triangular (Fonte: Barbirato, 1999).

A partir das relações anteriormente definidas em (3.5.23a-d), (3.5.24a-b) e (3.5.25), tem-se

ainda

∂

++++=

∂

++++=

∂

++++=

∫

)

1)]} - (ln(r)y [y 1)] - (ln(r)x[x ln(r){

f)p3(i,

)) x(x ) x(x 2(rr

f) j,p2(i,

)) x(x ) x(x (2

p1(f)

ofoff

ofoffj,i,

ofoff

γβα

(3.5.35a-c)

Após as definições das expressões (3.5.35a-c) pode-se reescrever as expressões referentes a

g e h calculadas numericamente através da quadratura Gaussiana, ver anexo A. A figura (3.5.5)

acima, define o elemento utilizado no contorno fictício do elemento triangular, bem como os seus

parâmetros importantes.

∑

1 k

)w(hJ h

)w(hJ g

(3.5.36a-b)

onde J é o jacobiano de transformação de coordenadas para o elemento unidimensional

reto, ver COOK et al. (1989), definido como

, onde L é o comprimento do elemento;

é o

peso de Gauss no ponto k, ver anexo A;

h e h são os integrandos (3.5.18a-b) utilizando as

expressões (3.5.35a-c), conforme mostrado nas expressões (3.5.37a-b); e

N representa o número

de pontos de Gauss a ser utilizado no elemento.

e ;d

)) x(x ) x(x 2(rr

)) x(x ) x(x (2

)4-(3A'

ofoffj,i,

ofoff

∂

+++++

∂

++++=

∫

)

φγβα

(3.5.37a)

∂

+++++

+Γ

∂

++++

+Γ

∂

++++=

∫

)

1)]} - (ln(r)y [y 1)] - (ln(r)x[x ln(r){

3B'

n1)]} - (ln(r)y [y 1)] - (ln(r)x[x ln(r){

)2-(1B'

1)]} - (ln(r)y [y 1)] - (ln(r)x[x ln(r){

)2-(1B'

iofoff

ofoff

φηγβα

φγβα

(3.5.37b)

Vale lembrar que as expressões (3.5.35a-c) são válidas para a solução fundamental de

Kelvin que está sendo utilizada neste trabalho para a discretização do solo pela formulação

elastostática do Método dos Elementos de Contorno (MEC).

3.5.3.2 – INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

A integral numérica ocorre quando o ponto de colocação não pertence ao elemento a ser

integrado.

Esta integração é a forma mais direta de se calcular a integral sobre um elemento. No caso

utilizado neste trabalho de aproximações lineares, esta integração é feita através da quadratura de

Hammer, podendo ser facilmente encontrada em diversas tabelas (ver BREBBIA et al., 1984),

onde é utilizado o Jacobiano de transformação

em relação às coordenadas adimensionais de

área.

As integrais (3.5.15a-b) são obtidas através da integração sobre cada elemento do contorno,

já que o ponto de colocação não pertence ao elemento a ser integrado, sendo realizada uma

transformação de coordenadas globais para coordenadas de área, conforme mostrado abaixo:

∫ ∫

-1

2121h

-1

2121g

,d]d),(h[G h

d]d),(h[G g

ξξξξ

(3.5.38a-b)

Aplicando-se a integração numérica de Hammer através da quadratura na forma de

somatório, tem-se:

,w),(hG h

w),(hG g

∑

ξξ

(3.5.39a-b)

onde n representa o número de pontos de Hammer,

é o jacobiano de transformação e

vale 2A,

e ξξ são as coordenadas de área do ponto a ser considerado,

w é o valor do peso

associado ao ponto de integração k e

h e h

são os integrandos das integrais definidas nas

expressões (3.5.15a-b).

Sabe-se que as funções envolvidas nas integrações são singulares, desta forma, a precisão

da integração de Hammer é prejudicada pela distância “r” entre os pontos de colocação S e de

campo Q. Em casos onde essa distância é relativamente grande comparada com o tamanho dos

lados dos elementos triangulares o procedimento de Hammer fornece ótimos resultados, caso

contrário, a alternativa utilizada consiste em subdividir o elemento l qualquer em sub- elementos e

aplica-se a integração de Hammer em cada elemento separadamente, ocasionando em um número

maior de pontos de integração, objetivando a obtenção de resultados mais precisos.

Neste trabalho, quando o ponto S está bem próximo do elemento a ser integrado, divide-se

esse elemento em 25 partes iguais gerando 25 sub-elementos conforme pode ser observado no

trabalho de KANE, 1994.

3.5.4 – DESLOCAMENTOS E TENSÕES EM PONTOS DO DOMÍNIO

A identidade de Somigliana, eq. (3.4.1), fornece os deslocamentos em pontos internos

(pontos do domínio) em termos dos deslocamentos u e forças de superfície p no contorno.

Considerando novamente esta representação de integral como em (3.5.8) tem-se

(3.5.40)

onde

Γ é a superfície correspondente ao elemento l e “S” é agora um ponto interno.

A forma matricial da eq. (3.5.40) é definida como

DB GP HU - u

(3.5.41)

onde, o vetor com as componentes de deslocamentos é





















u(s)

(3.5.42)

Vale ressaltar que as integrais da eq. (3.5.40) são calculadas através do procedimento de

integração numérica, adotando-se a divisão do elemento triangular em sub-elementos objetivando

desta forma, a otimização dos resultados encontrados para os deslocamentos em pontos internos.

Para um sólido isotrópico, homogêneo e tri-dimensional, as tensões em pontos do domínio

podem ser calculadas da mesma forma que os deslocamentos, ou seja, a partir da eq. (3.4.2) tem-

se:

(q)]B)dq(q)s,(u[

(Q)]PQ)d(Q)s,(u[ (Q)]UQ)d(Q)s,(p[ - u(s)

1 m

1 l

jT*

1 l

jT*

∑

∫

∑

∫

∑

∫

Ω

Ωφ+

Γφ+Γφ=

, (q)]B)dq(q)s,(D[

(Q)]PQ)d(Q)s,(D[ (Q)]UQ)d(Q)s,(S[ - (s)

1 m

1 l

jT*

1 l

jT*

∑

∫

∑

∫

∑

∫

Ω

Ωφ+

Γφ+Γφ=σ

(3.5.43)

A forma matricial da eq. (3.5.43) é definida como

BD PG UH - ++=σ

(3.5.44)

onde, o vetor com as componentes de deslocamentos é

































333231

232221

131211

(s) aindaou (s)

σσσ

(3.5.45a-b)

O traço utilizado sobre as matrizes H, G e D serve apenas para diferenciar das matrizes

envolvidas na eq. (3.5.41) e os tensores de terceira ordem

D e S já foram definidos em (3.4.3) e

(3.4.4).

As integrais envolvidas na eq. (3.5.43) são resolvidas utilizando-se a integração numérica

de Hammer.

3.5.5 – TENSÕES EM PONTOS DO CONTORNO

A eq. (3.5.43) pode ser utilizada para o cálculo das tensões em pontos do contorno, mas,

vale ressaltar que esta equação pode gerar singularidades nestes pontos. Para problemas

tridimensionais, os termos dos tensores de terceira ordem

S e D contêm singularidades do tipo

respectivamente, exigindo considerações especiais .

Desta forma, de acordo com BREBBIA et al. (1984), um caminho mais simples e eficiente

de se determinar tensões em pontos do contorno consiste em utilizar uma aproximação para as

deformações a partir dos valores dos deslocamentos nos nós dos elementos.

A partir de um ponto nodal definido no elemento, pode-se representar as componentes do

tensor de tensão através de um elemento infinitesimal, onde as componentes de tensão na direção 3

são as próprias forças de superfície neste nó, ou seja, podemos definir primeiramente as expressões

das componentes do tensor de tensão. Utilizando a expressão que define forças de superfície e,

ainda, a Lei de Hooke, pode-se escrever

333

232

131

33112222

1212

33221111

) ( ) (2

+++=

εελελµσ

µεσ

εελελµσ

(3.5.46a-f)

Conhecendo-se a expressão de

através da Lei de Hooke e igualando ao valor da força

de superfície nesta direção, é possível encontrar o valor da componente de deformação

ε , como

mostrado a seguir

), ( ) (2 P

221133333

εελελµσ +++==

(3.5.47)

Colocando o valor de

em função da força de superfície, tem-se

)] ( - P[

) 2(

2211333

εελ

λµ

ε +

(3.5.48)

Substituindo a eq. (3.5.48) em (3.5.46a-c), encontra-se

333

232

131

22113112222

1212

22113221111

)]) ( - P[

) 2(

( ) (2

)]) ( - P[

) 2(

( ) (2

+++=

εελ

λµ

ελελµσ

µεσ

εελ

λµ

ελελµσ

(3.5.49a-f)

As componentes de deslocamento em coordenadas locais podem ser representadas como:

U u φ=

(3.5.50)

ou em termos de componentes, pode-se escrever:

.U ) U- (U ) U- (U U ),(u

ainda,ou

)U - - 1( U U U ),(u

21i

i21

21i

++==

ξξφξξ

ξξξξφξξ

(3.5.51a-b)

onde

são os valores nodais dos deslocamentos nodais nas coordenadas locais,

funções interpoladoras já definidas anteriormente que podem ser polinomiais. As derivadas dos

deslocamentos em relação às coordenadas de área são

) U- U(

∂

(3.5.52a-b)

Vale ressaltar que, no caso de se conhecer os deslocamentos nas coordenadas globais,

pode-se fazer a transformação das coordenadas para o sistema local através de uma matriz de

transformação de coordenadas.

Assim como as componentes de deslocamentos, as coordenadas cartesianas também são

expressas em função de seus valores nodais, como:

.x ) x- (x ) x- (x x ),(x

ainda,ou

)x - - 1( x x x ),(x

21j

j21

21j

++==

ξξφξξ

ξξξξφξξ

(3.5.53a-b)

Derivando a expressão (3.5.53a-b) encontra-se

x- x

∂

(3.5.54a-b)

Verificando a expressão que define o tensor de deformações apresentado em (3.2.4)

verifica-se que os deslocamentos são derivados em relação às coordenadas cartesianas, desta forma

aplicando-se a regra da cadeia, encontra-se

∂

ξξ

(3.5.55)

Por exemplo, tem-se

∂

ξξξ

(3.5.56a-d)

ou, na forma matricial, pode-se representar





















∂













∂





















∂

ξξ

(3.5.57)

Representando a forma matricial (3.5.57) na forma inversa, encontra-se





















∂













∂

−

∂





















∂

ξξ

(3.5.58)

Substituindo a equação matricial (3.5.58) em (3.5.49a-f) e fazendo

)2 - )(1 (1

) 2(1

νν

== , encontram-se as tensões em pontos do contorno de forma

aproximada, conforme mostrado a seguir:

333

232

131

]P )

(2[

- 1

)

(

]P )

(2[

- 1

∂

ννµ

νµσ

ννµ

(3.5.59a-f)

3.6 – EXEMPLOS

Nesta seção são apresentados alguns exemplos utilizando a formulação do

Método dos Elementos de Contorno objetivando a aplicação do método em diversas

análises em engenharia, bem como demonstrar a funcionalidade do programa

desenvolvido no ambiente MatLab para o cálculo de deslocamentos e tensões.

No exemplo 3.1 é analisada a equação da linha elástica para uma viga engastada

solicitada à flexão. Em seguida, no exemplo 3.2, mostra-se um paralelepípedo sólido

elástico solicitado por uma força estática de tração, onde são analisados os valores do

deslocamento na direção axial. Por fim, aplica-se um carregamento uniformemente

distribuído sobre a superfície livre do semi-infinito visando à análise de deslocamentos

a partir da solução fundamental de Kelvin.

3.6.1 – Exemplo 3.1

Nesse exemplo é feita uma análise de uma viga engastada em uma das

extremidades e livre na outra, solicitada por uma força perpendicular ao seu eixo

aplicada na extremidade livre, definindo o problema de uma viga à flexão. A figura

3.6.1 apresenta a viga em questão cujos parâmetros elásticos são E = 2100

e ν =

0,3.

P = 0,

E = 2100 kN/cm

ν = 0,3

80cm

20cm

=0,3kN

0cm

Figura 3.6.1 – Viga engastada com carregamento transversal na extremidade livre.

Na discretização da superfície de contorno da viga através de elementos

triangulares planos descontínuos são utilizados três tipos de malhas denominadas de

M40, M72 e M176, conforme figuras 3.6.2 e 3.6.3.

(a) M40

(b) M72

Figura 3.6.2

–

Discretizações do contorno por elementos triang

ulares planos

descontínuos: (a) M40, 40 elementos, (b)M72, 72 elementos e (c)M176,

176

elementos.

Figura 3.6.3

–

Representação

gráfica da geometria da viga mostrando as discreti

zações

utilizadas: M40, M72 e M176.

(a) M40

(b) M72

Na formulação implementada nesta análise, o carregamento a ser aplicado no

corpo passa a ser tratado por nó, desta forma, para o problema estudado neste exemplo,

toma-se uma carga distribuída P = 0,3kN/cm

como sendo uma carga aplicada no nó

central da superfície livre de contorno, como já mostrado na figura 3.6.1.

Sabe-se que o carregamento aplicado varia linearmente ao longo dos lados do

elemento de contorno, logo, a carga aplicada no nó central resulta em um carregamento

de forma piramidal. Esse carregamento possui intensidade de 0,3kN/cm

no nó central e

é nulo nos demais nós da superfície de contorno.

Sendo a área da seção transversal da viga em análise igual a A

= 400 cm

, o

problema implica em uma força resultante perpendicular ao eixo do corpo de módulo

igual ao volume da pirâmide formada, ou seja, 40kN.

A malha M40 utiliza 40 elementos triangulares planos com aproximação linear

com 120 pontos de colocação e 360 graus de liberdade. A malha M72 apresenta 216

pontos de colocação e 648 graus de liberdade e a malha M176 possui 528 pontos de

colocação e 1584 graus de liberdade.

Conforme verificado na figura 3.6.1, a viga possui seção transversal de 20cm x

20cm com 80cm de comprimento. Aplicando-se a equação da linha elástica a partir da

teoria de vigas, pode-se calcular o deslocamento transversal da mesma ao longo de seu

comprimento e comparar com os valores encontrados para as discretizações postas no

presente trabalho.

Nas tabelas 3.1, 3.2 e 3.3 são comparados os valores dos deslocamentos na

direção X

ao longo do eixo X

da viga utilizando as discretizações M40, M72 e M176

com a solução analítica da teoria de vigas utilizando o código computacional obtido

utilizando-se a formulação do MEC com a solução fundamental de Kelvin, apresentada

nesse capítulo.

coord. X3 (cm)

Teoria de Vigas Discretização M40

80 0,0000 0,0000

60 0,0210 0,0213

40 0,0762 0,0736

20 0,1543 0,1468

0 0,2438 0,2311

Tabela 3.1 – Linha elástica da viga analisada (valores em cm): Discretização M40.

Linha elástica da viga - estudo comparativo

0,0000

0,0250

0,0500

0,0750

0,1000

0,1250

0,1500

0,1750

0,2000

0,2250

0,2500

05101520253035404550556065707580

Eixo X3 (cm)

Deslocamento em X2 (cm)

Teoria de vigas M40

Linha elástica da viga - estudo comparativo

0,0000

0,0250

0,0500

0,0750

0,1000

0,1250

0,1500

0,1750

0,2000

0,2250

0,2500

05101520253035404550556065707580

Eixo X3 (cm)

Teoria de vigas M72

Figura 3.6.4 – Linha elástica da viga obtida pela teoria de vigas e pela discretização M40.

coord. X3 (cm)

Teoria de vigas Discretização M72

80 0,0000 0,0000

70 0,0055 0,0059

60 0,0210 0,0212

50 0,0450 0,0520

40 0,0762 0,0783

30 0,1131 0,1192

20 0,1543 0,1582

10 0,1983 0,2040

0 0,2438 0,2481

Tabela 3.2 – Linha elástica da viga analisada (valores em cm): Discretização M72.

Figura 3.6.5 – Linha elástica da viga obtida pela teoria de vigas e pela discretização M72.

Linha elástica da viga - estudo comparativo

0,0000

0,0250

0,0500

0,0750

0,1000

0,1250

0,1500

0,1750

0,2000

0,2250

0,2500

05101520253035404550556065707580

Eixo X3 (cm)

Deslocamento em X2 (cm)

Teoria de vigas 176 elementos

Os resultados obtidos, representados graficamente nas figuras 3.6.4 a 3.6.6,

permitem dizer que a formulação do Método dos Elementos de Contorno apresentada é

coerente com o problema analisado. Observa-se ainda que, à medida que a discretização

envolve mais elementos, os valores obtidos na análise se aproximam daqueles

utilizando-se a teoria clássica de vigas.

Visando uma verificação ainda melhor dos resultados obtidos nesse trabalho e a

sua confiabilidade fez-se uma comparação gráfica entre tais valores e os encontrados no

trabalho de BARBIRATO (1999), conforme verificado na figura 3.6.7. Verifica-se que

existe uma boa convergência entre os gráficos dos resultados encontrados nos dois

trabalhos.

coord. X3 (cm) Teoria de Vigas Discretização M176

80 0,0000 0,0000

72 0,0035 0,0056

64 0,0137 0,0155

56 0,0296 0,0319

48 0,0507 0,0523

40 0,0762 0,0778

32 0,1053 0,1060

24 0,1374 0,1377

16 0,1716 0,1710

8 0,2074 0,2062

0 0,2438 0,2417

Tabela 3.3 – Linha elástica da viga analisada (valores em cm): Discretização M176

Figura 3.6.6 – Linha elástica da viga obtida pela teoria de vigas e pela discretização M176.

Linha elástica da viga - estudo comparativo

0,0000

0,0250

0,0500

0,0750

0,1000

0,1250

0,1500

0,1750

0,2000

0,2250

0,2500

05101520253035404550556065707580

Eixo X3 (cm)

Deslocamento em X2 (cm)

Teoria de vigas 176 elementos

40 elementos, BARBIRATO (1999) 72 elementos, BARBIRATO (1999)

40 elementos

3.6.2 – Exemplo 3.2

O segundo caso a ser processado é um paralelepípedo sólido elástico engastado

na base, solicitado por uma força estática de tração, conforme apresentado na figura

3.6.8, definindo o problema de um sólido à tração.

Figura 3.6.7 – Linha elástica da viga: comparativo de resultados

P = 1 Pa

E = 100000 Pa

ν = 0,25

Figura 3.6.8 – Definição do sólido e suas condições de contorno

A formulação do Método dos Elementos de Contorno apresentada neste exemplo

foi implementada utilizando-se três discretizações, com 12 elementos triangulares

descontínuos (36 pontos de colocação), com 44 elementos (132 pontos de colocação) e

com 76 elementos (228 pontos de colocação), denominadas de malhas M12, M44 e

M76. Os nós de canto são avaliados através do nó deslocado da definição do elemento

triangular plano descontínuo.

(a) M12

(b) M12

(d) M44

Figura 3.6.9

–

Malhas de discretização

: (a) e (b)

M12

com

12 elementos

e (c) e (d)

M44

com 44 elementos.

Os resultados obtidos são comparados com a equação analítica que define o

deslocamento axial de uma viga engastada, mostrada a seguir:

= (3.6.1)

onde P é a força axial de tração, L é o comprimento do corpo analisado, E é o módulo

de elasticidade longitudinal do material e A é a área da seção transversal.

Aplicando a equação acima para o problema analisado nesse exemplo, encontra-

se o deslocamento axial de 4x10

-5

m. A seguir são apresentados os valores encontrados

para o deslocamento axial utilizando-se as discretizações definidas para esse exemplo:

Valor do deslocamento

em metros (*10

-5

)

Nós

Discretização M12

Valor analítico em

metros (*10

-5

)

Erro (%)

4,042

4,000

1,050

3,985

4,000

-0,375

3,978

4,000

-0,550

4,042

4,000

1,050

Figura 3.6.9b – Malhas de discretização: (e) e (f) M76 com 76 elementos.

(e) M76

(f) M76

Tabela 3.4a

–

Valores do deslocamento da viga analisada à tração para a

discretização M12, (valores em cm).

Embora o exemplo processado seja bastante simples, os resultados obtidos

mostram que a formulação apresentada é adequada para sólidos elásticos

tridimensionais solicitados à tração. O elemento triangular plano com aproximação

linear, de fácil implementação, possibilita uma representação coerente do problema

analisado.

A aproximação linear descontínua adotada elimina os problemas surgidos na

análise de nós de canto. As integrações utilizadas, tanto a numérica quanto a semi-

analítica mostram-se eficientes junto à formulação.

A análise desse exemplo foi realizada utilizando-se um programa escrito no

pacote MatLab, a partir de uma máquina Pentium(R) 4, CPU 2.80GHz, 496 MB de

RAM, onde verificou-se que o tempo de processamento para a discretização com 76

elementos, por exemplo, foi de 18 minutos e 46 segundos.

Valor do deslocamento

em metros (*10

-5

)

Nós

Discretização M76

Valor analítico em

metros (*10

-5

)

Erro (%)

3,982

4,000

-0,443

3,939

4,000

-1,530

3,982

4,000

-0,443

3,998

4,000

-0,048

3,882

4,000

-2,943

3,917

4,000

-2,073

3,895

4,000

-2,638

3,895

4,000

-2,638

3,917

4,000

-2,073

Valor do deslocamento

em metros (*10

-5

)

Nós

Discretização M44

Valor analítico em

metros (*10

-5

)

Erro (%)

3,950

4,000

-1,260

3,970

4,000

-0,740

3,981

4,000

-0,487

3,950

4,000

-1,260

3,999

4,000

-0,028

3,957

4,000

-1,080

3,919

4,000

-2,015

3,919

4,000

-2,015

3,957

4,000

-1,080

Tabela 3.4

–

Valores do deslocamento da viga analisada à tração para as

discretizações M44 e M76, (valores em cm).

3.6.3 – Exemplo 3.3

Neste exemplo, uma carga uniformemente distribuída é aplicada sobre uma área

retangular localizada na superfície do semi-infinito. A área a ser estudada é um

retângulo de lados 9,15m e 18,30m, com uma carga distribuída de compressão, módulo

de elasticidade longitudinal (característica do material, no caso o solo) e coeficiente de

Poisson descritos abaixo:

O problema apresentado nesse exemplo foi resolvido no trabalho de

BARBIRATO (1999), utilizando-se as soluções fundamentais de Kelvin e Mindlin,

porém, nesse trabalho é abordada apenas a solução fundamental de Kelvin para o estudo

do semi-infinito. Os resultados encontrados no presente trabalho são comparados com

os encontrados no trabalho supracitado, conforme mostrado nas tabelas 3.5 a 3.8.

Para estudar o problema proposto são utilizadas três discretizações com 16, 64 e

156 elementos triangulares planos descontínuos com aproximação linear.

Para a aplicação da solução fundamental de Kelvin define-se uma determinada

região externa à área retangular em análise, visando a discretização da região de forças

de superfície nulas do espaço semi-infinito através de uma malha estendida. Desta

Figura 3.6.10

–

Área retan

gular (solo) na superfície livre do semi

infinito,

carregamento uniformemente distribuído.

q = 0,0956 kPa

E = 44,42 kPa

ν = 0,3

forma, foi considerada uma nova região com 8,0m de largura para discretização

caracterizando a terceira malha estendida com 156 elementos, conforme figura 3.6.11b.

O objetivo dessa análise é calcular os deslocamentos segundo o eixo X

espaço semi-infinito ao longo dos eixos X

e X

, devido a aplicação do carregamento

distribuído verificando o comportamento do mesmo através de uma análise estática.

(a) Malha com 16 elementos

(b) Malha com 64 elementos

Figura 3.6.11a – Discretizações utilizadas: (a) 16 elementos e (b) 64 elementos.

Na análise desse problema, faz-se uma comparação entre os resultados

encontrados utilizando-se as discretizações mostradas na figura 3.6.11 para a solução

fundamental de Kelvin com os resultados de BARBIRATO (1999) que utilizou as

soluções fundamentais de Mindlin e Kelvin.

É importante salientar que para problemas que envolvem domínios semi-

infinitos com carregamentos e escavações próximos à superfície livre, a solução

fundamental de Mindlin é bastante utilizada. Com esta formulação, apenas as

superfícies escavadas e/ou carregadas precisam ser discretizadas, como é o caso do

presente exemplo e das discretizações apresentadas. Já para a solução fundamental de

Kelvin, adequada para o espaço infinito, é necessário discretizar, além das superfícies

escavadas e/ou carregadas, a superfície livre de trações do semi-infinito.

Porém, uma grande facilidade que existe na utilização da solução fundamental

de Kelvin é que as equações e as matrizes que envolvem tal solução são pequenas, de

rápida solução e em quantidades menores, quando comparadas com as equações que

envolvem a solução fundamental de Mindlin. Portanto, Kelvin é mais facilmente

programável.

Figura 3.6.11b – Discretizações utilizadas: (c) 156 elementos.

Discretização: Malha com 16

elementos

Kelvin:

eixo X1 (m) desl. X3 (cm)

ponto a: 0,0000 2,7517

ponto d: 4,5750 2,2198

Barbirato Kelvin (1999):

eixo X1 (m) desl. X3 (cm)

ponto a :0,0000 2,7420

ponto d :4,5750 2,2480

Barbirato Mindlin (1999):

eixo X1 (m) desl. X3 (cm)

ponto a :0,0000 2,8290

ponto d :4,5750 2,4160

Discretização: Malha com 16

elementos

Kelvin:

eixo X2 (m)

desl. X3

(cm)

ponto a: 0,0000 2,7517

ponto b: 4,5750 2,6509

ponto c: 9,1500 1,8100

Barbirato Kelvin (1999):

eixo X2 (m)

desl. X3

(cm)

ponto a: 0,0000 2,7420

ponto b: 4,5750 2,7480

ponto c: 9,1500 1,8270

Barbirato Mindlin (1999):

eixo X2 (m)

desl. X3

(cm)

ponto a: 0,0000 2,8290

ponto b: 4,5750 2,7800

ponto c: 9,1500 2,0200

Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - comparação entre a solução

fundamental de Kelvin utilizada no trabalho e as soluções fundamentais de Mindlin e

Kelvin (BARBIRATO, 1999).

2,0000

2,2000

2,4000

2,6000

2,8000

3,0000

0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 3,0000 3,5000 4,0000 4,5000 5,0000

Eixo X1 (m)

Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - S. F. de Kelvin.

Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - S. F. de Kelvin Barbirato (1999).

Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - S. F. de Mindlin Barbirato (1999)

Tabela 3.5

–

Deslocamentos em

ao longo de X

(em cm),

representados

graficamente na

figura 3.6.12.

Figura

3.6.12

–

Deslocamentos em X

ao longo de X

(em cm)

–

comparação entre a sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e as

sol. fund. de Mindlin e Kelvin utilizadas em BARBIRATO (1999).

Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) - comparação entre a solução

fundamental de Kelvin utilizada no trabalho e as soluções fundamentais de Mindlin e

Kelvin (BARBIRATO, 1999).

1,5000

1,7000

1,9000

2,1000

2,3000

2,5000

2,7000

2,9000

0,0000 1,0000 2,0000 3,0000 4,0000 5,0000 6,0000 7,0000 8,0000 9,0000 10,0000

Eixo X2 (m)

Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) - S. F. de Kelvin.

Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) - S. F. de Kelvin Barbirato (1999).

Deslocamentos em X3 ao longo de X2 - S. F. de Mindlin Barbirato (1999).

Tabela 3.6

–

Deslocamentos em

ao longo de X

(em cm),

representados

graficamente na

figura 3.6.13.

Figura

3.6.13

–

Deslocamentos em X

ao longo de X

(em cm)

–

comparação entre a sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e as

sol. fund. de Mindlin e Kelvin utilizadas em BARBIRATO (1999).

Discretização: M

alha com

64 elementos

Kelvin:

eixo X1 (m) desl. X3 (cm)

ponto a: 0,0000 2,7130

ponto f: 2,2875 2,5345

ponto g: 4,5750 1,9938

Barbirato Mindlin (1999):

eixo X1 (m) desl. X3 (cm)

ponto a: 0,0000 2,7900

ponto g: 4,5750 2,2210

Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - comparação entre a solução

fundamental de Kelvin utilizada no trabalho e a solução fundamental de Mindlin

(BARBIRATO, 1999).

1,5000

1,7000

1,9000

2,1000

2,3000

2,5000

2,7000

2,9000

0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 3,0000 3,5000 4,0000 4,5000 5,0000

Eixo X1 (m)

Desloc. em X3 (cm)

Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - S. F. de Kelvin.

Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - S. F. de Mindlin Barbirato (1999).

Tabela 3.7

–

Deslocamentos em

ao longo de X

(em cm),

representados graficamente na

figura 3.6.15.

Figura

3.6.1

–

Deslocamentos em X

ao longo de X

(em cm)

–

com

paração entre a sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e a

sol. fund. de Mindlin utilizada em BARBIRATO (1999).

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

-2.70

-2.60

-2.50

-2.40

-2.30

-2.20

-2.10

-2.00

-1.90

-1.80

-1.70

-1.60

-2.70

-2.60

-2.50

-2.40

-2.30

-2.20

-2.10

-2.00

-1.90

-1.80

-1.70

Figura 3.6.14 – Visualização gráfica do meio semi-infinito – malha com16 elementos.

Discretização: Malha com

64 elementos

Kelvin:

eixo X2 (m) desl. X3 (cm)

ponto a: 0,0000 2,7130

ponto b: 2,2875 2,6477

ponto c: 4,5750 2,5567

ponto d: 6,8625 2,3211

ponto e: 9,1500 1,7606

Barbirato Mindlin (1999):

eixo X2 (m) desl. X3 (cm)

ponto a: 0,0000 2,7900

ponto c: 4,5750 2,6530

ponto e: 9,1500 1,9700

Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) - comparação entre a solução

fundamental de Kelvin utilizada no trabalho e a solução fundamental de Mindlin

(BARBIRATO, 1999).

1,5000

1,7000

1,9000

2,1000

2,3000

2,5000

2,7000

2,9000

0,0000 1,0000 2,0000 3,0000 4,0000 5,0000 6,0000 7,0000 8,0000 9,0000 10,0000

Eixo X2 (m)

Desloc. em X3 (cm)

Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) - S. F. de Kelvin.

Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) - S. F. de Mindlin Barbirato (1999).

Tabela 3.8

–

Deslocament

os em

ao longo de X

(em cm),

representados graficamente na

figura 3.6.16.

Figura

3.6.1

–

Deslocamentos em X

ao longo de X

(em cm)

–

comparação entre a sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e a sol.

fund. de Mindlin utilizada em BARBIRATO (1999).

-2.70

-2.60

-2.50

-2.40

-2.30

-2.20

-2.10

-2.00

-1.90

-1.80

-1.70

-1.60

-1.50

-1.40

Figura 3.6.1

–

Visu

alização gráfica do meio semi

infinito

malha com 64 elementos.

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

-2.70

-2.60

-2.50

-2.40

-2.30

-2.20

-2.10

-2.00

-1.90

-1.80

-1.70

-1.60

-1.50

-1.40

-1.30

Para a discretização com 64 elementos, após a comparação entre a solução

fundamental de Kelvin e a solução fundamental de Mindlin de BARBIRATO (1999),

verifica-se que a diferença em relação ao deslocamento da superfície carregada é muito

pequena o que demonstra a eficiência da formulação e da análise realizada.

A discretização estendida com 156 elementos é utilizada apenas para o cálculo

do deslocamento no ponto ‘a’ localizado no centro da área retangular onde está sendo

aplicado o carregamento distribuído. O deslocamento encontrado foi de 2,743cm no

centro da placa e, como já era esperado, este valor é muito próximo do encontrado por

BARBIRATO (1999) que encontrou um deslocamento no centro da placa de 2,742cm.

Existem diversos exemplos de obras de engenharia que envolvem meios semi-

infinitos e/ou infinitos, onde se podem utilizar a formulação desenvolvida no exemplo

6.3. Pode-se citar como exemplo, a execução de um empreendimento sobre um meio

semi-infinito (solo), com fundação em radier protendido, onde o solo está sujeito a um

carregamento distribuído devido a estrutura de engenharia e aos esforços solicitantes

aplicados.

Desta forma, encontram-se os deslocamentos em cada ponto do meio, os

esforços solicitados, como também as tensões mobilizadas, verificando ainda a

estabilidade da estrutura quanto à resistência a estes esforços. Pode-se também fazer

uma análise a uma determinada profundidade em relação à superfície em estudo.

4 – FORMULAÇÃO DO ELEMENTO FINITO DKT

4.1- INTRODUÇÃO

Neste capítulo é apresentada a formulação do elemento finito DKT (discrete Kirchhoff

triangle) bem como, as suas tensões e o vetor de cargas nodais equivalentes para carregamento

uniformemente distribuído, baseado no trabalho de BATOZ et al. (1980).

Na análise de estruturas de placas e cascas através do Método dos Elementos Finitos vários

elementos finitos triangulares já foram estudados na literatura e um dos mais eficientes e

confiáveis destes elementos trata-se do elemento DKT que possui 3 nós com 9 graus de liberdade,

sendo 3 por vértice: 1 translação em z(w) e 2 rotações em x ( )

θ e em y (

)

, ver figura (4.1.1).

Para a obtenção deste elemento, deve-se utilizar a teoria de pequenos deslocamentos de

placas com deformações por esforço cortante incluídos, também conhecida como teoria de placas

de Reissner ou Mindlin, onde é utilizada discretamente a generalização das hipóteses de Kirchhoff,

onde seções planas permanecem planas após a deformação da estrutura, ou seja, qualquer reta

perpendicular à superfície média antes do carregamento, permanece perpendicular à superfície

média deformada após o carregamento.

Sendo assim, desenvolve-se as expressões referentes a energia de deformação do elemento

e para se chegar à expressão da matriz de rigidez do elemento, admite-se que este é utilizado na

análise de placas finas e assim, as deformações causadas pelos esforços cortantes e sua respectiva

energia de deformação são consideradas nulas discretamente nos nós do elemento, considerando-se

apenas as deformações e a energia de deformação devidas aos esforços de flexão.

Na formulação do elemento DKT deve-se considerar primeiramente algumas hipóteses

como por exemplo, as rotações da normal ao plano médio indeformado do elemento,

e ββ , são

interpoladas através das rotações nodais utilizando um polinômio quadrático e completo segundo

os planos x-z e y-z, respectivamente; ao longo dos lados do elemento, em seus pontos nodais, as

rotações são relacionadas com as primeiras derivadas dos deslocamentos transversais, através de

uma variação cúbica dos deslocamentos w; a rotação normal ( )

β varia linearmente ao longo de

cada lado.

4.2 - ESTUDO DA TEORIA DE PLACAS E DEFINIÇÃO DO ELEMENTO

DKT

4.2.1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Uma lâmina é uma estrutura caracterizada por apresentar uma das dimensões muito

pequena quando comparada com as outras duas, considerando um sistema cartesiano de referência.

As placas são lâminas com carregamento ortogonal ao plano sendo elementos estruturais muito

importantes já que podem fornecer maior rigidez e maior economia em relação a outros elementos

estruturais, tais como: vigas, barras, entre outros.

A placa, assim como a viga, está submetida a esforços de flexão, provocados por

carregamentos transversais ao seu plano. A Figura (4.2.1) ilustra as tensões atuantes na seção

transversal de uma placa constituída por um material homogêneo e elástico linear, submetida a

uma carga distribuída q. Verifica-se que as tensões normais

e σσ variam linearmente com a

direção z e estão associadas aos momentos fletores

M e M . A tensão cisalhante

τ varia

linearmente com z e está associada ao momento de torção

M . As tensões de cisalhamento

transversais

yzxz

e ττ

variam de forma quadrática em relação à direção z e a tensão normal

σ é

considerada desprezível em relação à intensidade das tensões

xyyx

e , τσσ

Figura 4.1.1– Definição do elemento finito DKT.

No estudo de placas submetidas à flexão simples, as cargas externas não possuem

componentes paralelas ao plano xy e, na superfície média (z = 0) as tensões de membrana

xyyx

e , τσσ são nulas. Segundo COOK et al. (1989), com exceção da tensão

τ , o estado de

tensões característico do problema de placas pode ser visto como uma extensão da teoria de vigas

unidimensional para o caso bidimensional.

A partir das tensões definidas na figura (4.2.1), pode-se escrever as expressões dos

momentos fletores M e das forças cortantes transversais Q, conforme mostrado a seguir:

∫

t- yzy

t- zxx

t- xyxy

t- yy

t- xx

dz Q

dz z M

(4.2.1)

onde

M e M

são os momentos fletores por unidade de comp rimento atuantes em torno dos eixos

x e y, respectivamente;

refere-se ao momento de torção por unidade de comprimento;

Figura 4.2.1. – Tensões que agem em um elemento diferencial de uma placa.

Q e Q são esforços cortantes, também por unidade de comprimento, segundo os eixos x e y,

respectivamente.

4.2.2 – TEORIA DE PLACAS CONSIDERANDO PEQUENOS DESLOCAMENTOS.

Como já foi comentado no início deste capítulo, é utilizada no trabalho a teoria clássica de

Kirchhoff que despreza os efeitos de cisalhamento transversal que são geralmente utilizados para

placas finas. A teoria de flexão de placas proposta por Kirchhoff considera as seguintes hipóteses:

1) as deflexões são pequenas, quando comparadas com a espessura da placa;

2) as seções ortogonais à superfície média indeformada permanecem ortogonais à

superfície média deformada;

3) a tensão normal

é desprezada no cálculo das deformações.

A segunda hipótese é equivalente a desconsiderar o efeito de forças cisalhantes na deflexão

de placas. Essa hipótese é usualmente satisfatória, mas, em alguns casos (por exemplo, placa com

orifícios), o efeito de cisalhamento torna-se importante e algumas correções na teoria de placas

delgadas devem ser introduzidas.

A partir da análise da figura (4.2.2) e considerando pequenos ângulos de rotação

y,x,

we w ,

definem-se as expressões dos deslocamentos e as relações cinemáticas deformação-deslocamento

para a formulação baseada na teoria de Kirchhoff, conforme mostrado abaixo:

y) w(x, w

),(z v

y)x,(z u

yxβ

(4.2.2)

onde w é o deslocamento transversal e

e ββ

são rotações de seção, ver figura (4.2.2), para a

teoria de placas de Kirchhoff são definidas como:

y,y

x,x

(4.2.3)

Desta forma, pode-se determinar as expressões das deformações lineares na forma

matricial, como mostrado a seguir:

κε z

= (4.2.4)

onde κε e

são as matrizes com o campo de deformações e o vetor de curvaturas, definidos

respectivamente, como:

























β+β

=κ





















=ε

xy,

yy,

xx,

xy,yx,

yy,

xx,

2w-

(4.2.5a-b)

A partir das equações já definidas e utilizando a Lei de Hooke para tensões planas com

=σ , escreve-se as relações constitutivas (tensão x deformação) para materiais isótropos:

xyxy

) (12

) (

) - (1

) (

) - (1

νεε

(4.2.6a-c)

sendo E o módulo de elasticidade e

o coeficiente de Poisson do material que compõem a placa.

Na forma matricial, as equações acima podem ser escritas como:

ε=σ E

(4.2.7)

onde:

Figura 4.2.2 – Direções positivas de

e ββ













ν−





















=ε





















=σ

- 1

0 0

0 1

)1(

(4.2.8a-c)

Substituindo a eq. (4.2.4) na eq. (4.2.6a-c), encontra-se:

zw2-

z)w w(

) - (1

z)w w(

) - (1

xy,xy

xx,yy,

yy,xx,

µτ

(4.2.9a-c)

Agora, pode-se encontrar as expressões dos esforços solicitantes que atuam ao longo da

espessura da placa, já desprezando os esforços cortantes, em função dos deslocamentos, como:

xy,xy

xx,yy,y

yy,xx,x

)w - D(1- M

)w D(w- M

(4.2.10a-c)

onde

) - 12(1

= é a rigidez à flexão da placa.

Na forma matricial, as equações acima podem ser escritas como:

D M =

(4.2.11)

onde D

é a matriz que relaciona esforços solicitantes e curvaturas, dada por:













D) - (1

0 0

0 D D

(4.2.12)

Como já foi definido anteriormente a teoria de placas de Kirchhoff é aplicada a placas finas

e é utilizada discretamente neste trabalho, nos nós do elemento finito, para a discretização da

estrutura através de elementos DKT. A energia de deformação na placa, para esse caso, é definida

através de deformações planas

xyyx

e , γεε que são funções da deformação lateral da placa.

4.2.3 – MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DKT

A partir da definição da energia de deformação, pode-se obter a matriz de rigidez do

elemento de placa. Esta energia depende do campo de deformações mostrado na eq. (4.2.4) e da

matriz E mostrada em (4.2.2.7c) que relaciona tensão x deformação e é definida como:

∫∫

dA dz E

U εε

(4.2.13)

Fazendo a integração ao longo da espessura do elemento, encontra-se:

∫

dA D

U κκ

(4.2.14)

Vale ressaltar que a deformação causada pelas contribuições devidas aos esforços cortantes

é desprezada, sendo considerada apenas a energia referente aos esforços à flexão.

As rotações de seção

e ββ variam quadraticamente no elemento e são definidas como:

4321y

4321x

y xy x y x y)(x,

ρρρρρρβ

ααααααβ

+++++=

(4.2.15a-b)

Analisando as equações acima, pode-se verificar a necessidade de 3 nós por lado do

elemento, ou seja, cria-se um terceiro nó localizado no meio de cada lado do elemento. Fazendo a

transformação para coordenadas homogêneas de área, ver figura (4.2.3), as eqs. (4.2.15a-b) passam

a ser:

4321y

4321x

),(

ηρξηρξρηρξρρηξβ

ηαξηαξαηαξααηξβ

+++++=

(4.2.16a-b)

ou ainda,

{ }

}){,( 1 ),(

ρηξφ

ηξηξηξηξβ

αηξφ

ηξηξηξηξβ

























(4.2.17a-b)

Fazendo as devidas substituições matriciais nas equações e aplicando os valores das

coordenadas de área nos 6 nós do elemento, pode-se escrever as rotações

ββ e

em cada nó, em

função das funções de forma, da seguinte maneira:

{

}

{

}

{ }

y654321y

x654321x

N N N N N N ),(

βηξβ

(4.2.18)

As funções de forma são dadas por:

P23r

1P2

1P3

área A

∆=

1 r

A A A A

=++

ηξ

Figura 4.2.3 – Coordenadas adimensionais de área

) - 1(4 N

) - - (14 N

4 N

- 2 N

) 2( ) 3( - 1 N

ηξξ

ηξη

ξη

ηη

ξξ

ηξηξ

−=

+++=

(4.2.19)

{ }









































(4.2.20a-b)

A teoria de Kirchhoff é imposta discretamente nos nós do elemento:

Para os nós 1, 2 e 3, tem-se:

{ }

y,y

x,x

























(4.2.21)

Para os nós 4, 5 e 6, tem-se:

0 w

sk,sk

=+β

(4.2.22)

onde

sk,sk

são a rotação na direção tangente ao lado do elemento e a diferencial de w em

relação a s, respectivamente.

Vale ainda ressaltar que a variação de w ao longo dos lados é cúbica, conforme mostrado a

seguir:

sj,j

si,i

sk,

- w

w +=

(4.2.23)

com k referindo-se ao nó do meio do lado ij e

L igual ao comprimento do lado ij.

Ao longo dos lados do elemento é imposta uma variação linear de

, como mostrado a

seguir:

) (

njnink

βββ += (4.2.24)

onde k = 4, 5, 6 significa o nó do meio dos lados 23, 31 e 12, respectivamente.

A geometria do elemento DKT pode ser verificada através da figura abaixo:

Para a obtenção de

e ββ em termos dos graus de liberdade nodais, definidos através da

matriz U abaixo, tem-se:

[

]

333222111

w w w U

yxyxyx

θθθθθθ= (4.2.25)

A seguir são apresentadas as relações geométricas necessárias e aplicadas em cada lado do

elemento triangular através da rotação dos eixos x e y:

jiij

ijij

y - y y

x- x x

)y (x L

iji

ijij

)sen( s

)cos( c

y - y y

x - xx

)

(

Figura 4.2.4 – Geometria do elemento finito DKT (Fonte: Batoz et al., 1980).

c- s

s c

c s

s- c









































































(4.2.26a-b)

onde

x,yy,xijij

w- e w ),n ,xsen( s ),n ,xcos( c ==== θθ

, ver figura (4.2.4).

A partir da utilização das eqs. (4.2.15a-b) até (4.2.26a-b), pode-se obter as expressões para

: e

ββ

U.),(H

eU;),(H

ηξβ

(4.2.27a-b)

onde

H e H são as nove componentes aplicadas às funções de forma, definidas a seguir:

x2y3

66551y2

5566y1

66551x3

6655x2

5566x1

H- H

Ne Ne N- H

)Nd - N1.5(d H

Nc - Nc - N H

Nb Nb H

)Na - N1.5(a H

++=

(4.2.28a-f)

As funções

y6y5y4x6x5x4

H e H ,H ,H ,H ,H são obtidas a partir das expressões acima,

fazendo-se apenas as trocas de

mente.respectiva 6, e 4por 5 e 6 índices dos e Npor N

As funções

y9y8y7x9x8x7

H e H ,H ,H ,H ,H são obtidas a partir das expressões acima, fazendo-se apenas as

trocas de

mente.respectiva 4, e 5por 5 e 6 índices dos e Npor N

Pode-se definir ainda:

ijij

- x

(

(4.2.29a-d)

)y (x L

- y

(

(4.2.29e-f)

onde k = 4, 5, 6 para os lados 23, 31, 12 respectivamente.

O desenvolvimento da matriz de rigidez do elemento segue os procedimentos definidos no

Método dos Elementos Finitos através do método dos deslocamentos, sendo assim, deve-se utilizar

as eqs. (4.2.2.4b) e (4.2.27a-b) para chegar na expressão:

(4.2.30)

onde B é a matriz de transformação deformação x deslocamento, definida como:

y x- y x2A

Hy Hy H x- Hx-

H x- Hx-

Hy Hy

31121231

y,12

y,31

x,12

x,31

y,12

y,31

x,12

x,31













ηξηξ

ηξ

(4.2.31a-b)

As derivadas de

H e H com relação a

podem ser verificadas no Anexo B deste

trabalho.

A matriz de rigidez do elemento DKT pode, enfim, ser calculada através da seguinte

expressão:

∫ ∫

- 1

DKT

dBdDB2A K

ηξ

(4.2.32)

A partir das eqs. (4.2.1.1a-c) e (4.2.30) e após o cálculo dos deslocamentos nodais,

encontra-se as expressões dos momentos fletores em um ponto do elemento:

y)UB(x,D y)M(x,

(4.2.33)

onde

.x y y

e;x x xx

31211

ηξ

++=

(4.2.34)

Pode-se observar que os momentos fletores (M) dependem dos graus de liberdade nodais

do elemento, desta forma, em casos gerais onde se tem dois ou mais elementos compartilhados, os

momentos fletores não terão o mesmo valor no contorno entre estes elementos.

Após o cálculo da matriz de rigidez do elemento, calcula-se a matriz de rigidez global e

através da equação que define o MEF as deformações e tensões nos nós do elemento.

4.2.4 – VETOR DE FORÇAS NODAIS EQUIVALENTES DO ELEMENTO DKT

Considerando um carregamento uniformemente distribuído sobre o elemento triangular

plano, pode-se substituir esse carregamento pela aplicação de cargas concentradas agindo nos nós.

O vetor de cargas nodais equivalentes correspondente a um carregamento distribuído q constante

aplicado por unidade de superfície de área do elemento, ver figura (4.2.5), poderia ter sido

calculado de forma simplificada, e dado por:

{ }

[ ]

0 0 1 0 0 1 0 0 1

(4.2.35)

Todavia, admitindo-se uma aproximação linear para o carregamento distribuído transversal

aplicado ao elemento finito de placa, e também se considerando (como aproximação coerente) os

deslocamentos transversais médios com comportamento linear, a matriz G do elemento de placa,

conhecida como G

placa

em coordenadas locais para esse elemento pode ser escrita da seguinte

forma:













2 0 0 1 0 0 1 0 0

0 2 0 0 1 0 0 1 0

0 0 2 0 0 1 0 0 1

1 0 0 2 0 0 1 0 0

0 1 0 0 2 0 0 1 0

0 0 1 0 0 2 0 0 1

1 0 0 1 0 0 2 0 0

0 1 0 0 1 0 0 2 0

0 0 1 0 0 1 0 0 2

placa

(4.2.36)

onde A é a área do elemento de placa.

4.2.5 – DEFINIÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS NO ELEMENTO

A partir das eqs. (4.2.1.1a-c) e (4.2.9a-c) encontra-se o vetor dos esforços internos de

flexão, como sendo:

BUD M

(4.2.36)

onde:

Figura

4.2.5

–

Carregamento uniformemente distribuído no elemento mostrando a

transformação para carregamento nodal equivalente.





















(4.2.37)

4.3 - EXEMPLOS

Nesta seção são apresentados os exemplos estudados no presente trabalho utilizando

exclusivamente a formulação do Método dos Elementos Finitos utilizando elementos de placa

DKT (discrete Kirchhoff triangle) para problemas elastostáticos bi-dimensionais.

4.3.1 - Exemplo 4.1

O primeiro exemplo a ser estudado consiste na análise estática de uma placa quadrada

submetida a carregamento uniformemente distribuído e carga concentrada, onde são considerados

os seguintes casos:

1º) placa simplesmente apoiada nas bordas submetida a carregamento uniformemente distribuído

em toda a área;

2º) placa engastada nas bordas submetida a carregamento uniformemente distribuído em toda a

área;

3º) placa simplesmente apoiada nas bordas submetida à carga concentrada no centro;

4º) placa engastada nas bordas submetida à carga concentrada no centro;

5º) placa simplesmente apoiada nas bordas submetida a carregamento uniformemente distribuído e

carga concentrada; e

6º) placa engastada nas bordas submetida a carregamento uniformemente distribuído e carga

concentrada no centro.

Vale ressaltar que os 5º e 6º casos são implementados no programa computacional visando

apenas à influência da superposição dos efeitos (carga concentrada + carregamento distribuído) no

valor do deslocamento no centro da placa.

Para estudar o referido problema são utilizadas diversas discretizações denominadas de

malhas M1, M2, M4, M5, M10 e M20, conforme as figuras 4.3.1 e 4.3.2. Verifica-se ainda, que

apenas um quarto da placa necessita ser discretizado, devido à simetria da mesma. Para os lados

AB e AD são impostas as condições de contorno de rotação tangente nula e, para a aplicação da

carga concentrada, deve ser utilizado um quarto do seu valor aplicado no ponto A.

A tabela 4.1 apresenta os valores do deslocamento transversal no centro da placa (ponto

‘A’), bem como os erros a ele associados para os diversos casos de carregamento e condições de

contorno. Os valores analíticos foram extraídos de MARTINS e SABINO (1997). Observa-se que

os graus de liberdade (gdl) referidos na tabela são apenas aqueles dos elementos finitos DKT

(translação em z, rotação em torno do eixo x e rotação em torno do eixo y), sem se considerar os

outros graus de liberdade do sistema total, uma vez que esse possui 6 graus de liberdade por nó

visando futuras implementações de outros tipos de elementos finitos.

Nesse trabalho foi utilizado o programa m-tool, do pacote mat-lab, para a geração das

malhas M10 e M20, onde são utilizadas as coordenadas dos nós e conectividade dos elementos

conforme mostrado a seguir:

Figura 4.3.1 – Exemplo 4.1: discretização da placa utilizando as malhas M1, M2, M4 e M5.

aplicação do carregamento distribuído aplicação da carga concentrada no meio da placa

apoiada engastada apoiada engastada

malha

elem. nós gdl

Valor analítico

*1000

U*1000

erro (%)

Valor analítico

*1000

U*1000 erro (%)

Valor analítico

*1000

U*1000 erro (%)

Valor analítico

*1000

U*1000 erro (%)

M1 2 4 12 7,098 4,086 -42,436

2,211 1,811 -18,091

20,269 24,516 20,952

9,805 10,866 10,821

M2 8 9 27 7,098 6,422 -9,524

2,211 2,122 -4,025 20,269 22,432 10,672

9,805 11,112 13,330

M4 32 25 75 7,098 6,941 -2,215

2,211 2,198 -0,588 20,269 20,966 3,436 9,805 10,327 5,324

M5 50 36 108 7,098 6,999 -1,400

2,211 2,203 -0,362 20,269 20,744 2,344 9,805 10,171 3,733

M10 326 184 552 7,098 7,088 -0,148

2,211 2,217 0,271 20,269 20,286 0,085 9,805 9,828 0,235

M20 1298 690 2070 7,098 7,095 -0,042

2,211 2,212 0,045 20,269 20,274 0,025 9,805 9,812 0,071

aplicação do carregamento distribuído e da carga concentrada no meio da placa

apoiada engastada

malha

elem. nós gdl

Valor analítico

*1000

U*1000

erro (%)

Valor analítico

*1000

U*1000 erro (%)

M1 2 4 12 27,367 28,602 4,511

12,016 12,677 5,501

M2 8 9 27 27,367 28,854 5,434

12,016 13,234 10,136

M4 32 25 75 27,367 27,906 1,971

12,016 12,525 4,236

M5 50 36 108 27,367 27,743 1,373

12,016 12,374 2,979

M10 326 184 552 27,367 27,374 0,024

12,016 12,046 0,250

M20 1298

690 2070

27,367 27,369 0,007

12,016 12,024 0,067

Figura

4.3.2

–

Exemplo 4.1: discretização da placa utilizando as malhas

M10

(lado da discretização

dividida em 10 partes iguais e M20 (lado da discretização dividida em 20 partes iguais).

M10

M20

Tabela 4.1 – Deslocamento transversal (u

) para placa quadrada.

Observa-se na tabela 4.1 que os valores encontrados para o deslocamento transversal no

centro da placa (u

) estão sendo comparados com os valores analíticos para todas as discretizações

M1, M2, M4, M5, M10 e M20.

Verifica-se ainda que o valor do deslocamento transversal no centro da placa devido à

aplicação dos dois carregamentos é igual a soma dos valores encontrados para o deslocamento

causado pela aplicação das cargas separadamente, como já era esperado devido ao princípio da

superposição dos efeitos.

A partir do traçado do gráfico que mostra a variação do erro no deslocamento no centro da

placa (%) em função dos graus de liberdade da discretização, ver figura 4.3.3, verifica-se a boa

convergência do elemento finito DKT e a coerência dos valores encontrados.

Nas figuras 4.3.4a-d mostram-se os gráficos com a comparação dos resultados dos

deslocamentos encontrados nesse trabalho com o trabalho de ALMEIDA (1999) para os diversos

tipos de carregamento e condições de contorno.

Exemplo 4.1

-43,00

-38,00

-33,00

-28,00

-23,00

-18,00

-13,00

-8,00

-3,00

2,00

7,00

12,00

17,00

22,00

0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 1650 1800 1950 2100

gdl

Erro no deslocamento no centro da placa (%)

placa engastada/carga concentrada placa engastada/carga distribuída

placa apoiada/carga concentrada placa apoiada/carga distribuída

placa apoiada/carga concentrada e distribuída placa engastada/carga concentrada e carga distribuída

Figura 4.3.3 – Comparação de resultados para diversos tipos de carregamento aplicado.

Exemplo 4.1

3,000

3,500

4,000

4,500

5,000

5,500

6,000

6,500

7,000

7,500

0 20 40 60 80 100 120

gdl

valor do deslocamento no centro da placa

(*1000) (mm)

placa apoiada/carga distribuída, ALMEIDA (1999) placa apoiada/carga distribuída

Exemplo 4.1

20,000

20,500

21,000

21,500

22,000

22,500

23,000

23,500

24,000

24,500

25,000

0 20 40 60 80 100 120

gdl

placa apoiada/carga concentrada, ALMEIDA (1999) placa apoiada/carga concentrada

Exemplo 4.1

10,000

10,500

11,000

11,500

0 20 40 60 80 100 120

gdl

placa engastada/carga concentrada, ALMEIDA (1999)

placa engastada/carga concentrada

(a.1) placa apoiada com carregamento distribuído.

a.2) placa apoiada com carga concentrada.

a.3) placa engastada com carga concentrada

Figura 4.3.4a – Comparativo de resultados para o exemplo 4.1

a.4) placa engastada com carregamento distribuído

Figura 4.3.4b – Comparativo de resultados para o exemplo 4.1

Exemplo 4.1

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

0 20 40 60 80 100 120

gdl

valor do deslocamento no

centro da placa (*1000) (mm)

placa engastada/carregamento distribuído

placa engastada/carregamento distribuído, ALMEIDA (1999)

5 – O ACOPLAMENTO ENTRE O MÉTODO DOS ELEMENTOS

DE CONTORNO (MEC) E O MÉTODO DOS ELEMENTOS

FINITOS (MEF)

5.1 - INTRODUÇÃO

O Método dos Elementos de Contorno (MEC) e o Método dos Elementos Finitos (MEF)

são bastante utilizados para a solução numérica de equações diferenciais parciais que regem

problemas de engenharia. Esses métodos possuem vantagens e desvantagens e existem diversas

situações em que o uso de um método pode ser mais vantajoso do que o outro.

O acoplamento entre o MEC e o MEF é uma boa alternativa para o tratamento da interação

solo-estrutura. O MEC apresenta propriedades apropriadas para o tratamento de meios contínuos

tridimensionais com características semi-infinitas e/ou infinitas. O MEF é apropriado para se

modelar estruturas de placa, tais como as que podem existir em: fundações, túneis, lajes, entre

outros.

Neste trabalho descreve-se um procedimento para analisar a interação solo-estrutura através

do acoplamento entre o Método dos Elementos Finitos (MEF) e o Método dos Elementos de

Contorno (MEC). O MEF é utilizado para modelar a estrutura, composta por elementos de placa

DKT, cuja formulação encontra-se no capítulo 4. O solo é modelado pelo MEC tridimensional,

utilizando a solução fundamental de Kelvin, cuja formulação é descrita no capítulo 3.

O acoplamento entre os métodos é realizado utilizando-se a técnica de sub-regiões a partir

da utilização das condições de compatibilidade geométrica e de equilíbrio aplicadas na superfície

de contato entre os meios, que nesse trabalho é a superfície do radier.

Os sistemas de equações produzidos pelo MEF e MEC são expressos em termos de

diferentes variáveis e implicam em algumas considerações resolvidas para então serem acopladas.

O acoplamento entre os métodos tem sido estudado com muito interesse ao longo das duas últimas

décadas. Dentre alguns trabalhos e artigos consultados, pode-se citar: BREBBIA & DOMINGUEZ

(1989), INOUE (1998), KOCAK & MENGI (2000), VON ESTORFF & FIRUZIAN (2000),

CODA & VENTURINI (2000) e ALMEIDA (2003).

5.2 - REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA DO MEC E DO MEF

A equação que representa a formulação do Método dos Elementos de Contorno (MEC)

definida em (3.5.10) pode ser escrita, desprezando-se a parcela referente a forças de volume, da

seguinte forma:

HU = GP, (5.2.1)

onde U e P são as matrizes contendo os valores nodais no contorno para os deslocamentos e forças

de superfície respectivamente, H e G são as matrizes com os seus respectivos coeficientes de

influência.

O Método dos Elementos Finitos (MEF), conforme descrito no capítulo 4, possui o sistema

de equações algébricas, dado por:

KU = F, (5.2.2)

onde K representa a matriz de rigidez para o sistema que define o MEF, U e F são os vetores que

definem os deslocamentos nodais e as forças nodais equivalentes, respectivamente.

5.3 - APROXIMAÇÃO PARA O ACOPLAMENTO ENTRE O MEC E O MEF

Uma formulação aproximada para o acoplamento da interação solo-estrutura a ser utilizada

nesse trabalho visa à combinação das equações que regem as matrizes definidas para o Método dos

Elementos de Contorno e para o Método dos Elementos Finitos, eqs. (5.2.1) e (5.2.2). Estas

expressões são de naturezas diferentes e apesar de envolverem características de rigidez K e H

respectivamente, não podem ser combinadas diretamente.

Para analisar a interação solo-estrutura pretende-se transformar o sistema algébrico da parte

do domínio discretizada por elementos finitos em um sistema cuja forma é análoga à dos

elementos de contorno, sendo o sistema resultante resolvido por um processo de resolução que seja

próprio para a solução de análises de sistemas gerados pelo método dos elementos de contorno.

Dessa forma, objetiva-se condensar a expressão (5.2.2) na forma da expressão (5.2.1)

utilizando um procedimento analítico de transformação que implicará em resultados numéricos

exatos sem a necessidade de se inverter a matriz G, que se trata de uma matriz singular, já que,

devido ao problema de canto, os vetores normais são indefinidos nesses pontos causando

descontinuidade na distribuição das forças e tornando-a uma matriz singular. Essa aproximação foi

proposta por BREBBIA & GEORGIOU (1980).

Para equacionar e representar a técnica da combinação, considera-se as duas regiões

descritas na figura (5.3.1), onde a região

Ω

é discretizada em elementos de contorno, a região

Ω

é tratada via elementos finitos e entre as duas regiões é definida uma interface

Para a sub-região Ω

pode-se escrever as equações governantes como mostrado a seguir:

[ ] [ ]









































G G

H H ,

(5.2.3)

onde o índice subscrito i define a sub-região de interface entre as sub-regiões 1 e 2.

A eq. (5.2.2) que define a matriz de rigidez para o Método dos Elementos Finitos (MEF)

deve ainda ser remodelada, considerando-se a transformação dos valores das forças de superfície

(definida pela matriz P) em uma matriz de forças nodais equivalentes utilizada em Elementos

Finitos (definida por F). Essa transformação é realizada através da multiplicação das forças de

superfície por uma matriz de transformação G

, assim, a matriz de forças de superfície passa a ser:

Figura 5.3.1– Representação das sub-regiões (

e ΩΩ ) modeladas por

Elementos de

Contorno e Elementos Finitos (Fonte: Brebbia & Dominguez, 1989).

F = G

P (5.2.4)

onde G

é a matriz de transformação que depende das mesmas funções de interpolação

definidas para os deslocamentos utilizadas para representar as forças de superfície na interface das

regiões.

Substituindo a equação acima na eq. (5.2.2), encontra-se

[ ]

[

]









































G G

K K .

(5.2.5)

Aplicando-se as condições de equilíbrio e de compatibilidade na interface, conforme

definidas abaixo

U U U

P- P P

(5.2.6a-b)

e rearrumando as eqs. (5.2.3) e (5.2.5) pode-se definir

































































2F2

G 0

0 G

K G K 0

0 G- H H

(5.2.7)

As equações representadas na forma matricial em (5.2.7) precisam ser organizadas de

acordo com as condições de contorno. É importante salientar que esta aproximação não requer a

inversão de nenhuma matriz e ambos os deslocamentos e forças de superfície ficam desconhecidos

ao longo da interface, sendo as incógnitas encontradas através das equações apresentadas.

Com o objetivo de facilitar o entendimento da técnica de sub-regiões, mostra-se a seguir o

exemplo de uma viga engastada em uma extremidade e sujeita a um carregamento de tração Q

concentrado na extremidade livre, conforme mostrado na figura 5.3.2. Para esse problema a viga

foi dividida em duas sub-regiões de domínios Ω

e Ω

, denotadas sub-região 1 e sub-região 2,

respectivamente.

Figura

5.3.2

–

Esquema de uma viga para utilização da técnica de sub

regiões:

duas

sub-regiões Ω

e Ω

A partir da eq. (5.2.1) definem-se as equações matriciais que definem o problema mostrado

para cada sub-região que podem ser representadas como:

1111111

11121111211

1111111

21222212222

h hUg gPQ

= +

h hUg gPQ















(5.2.8)

2222222

11121111211

2222222

21222212222

h hUg gPQ

= +

h hUg gPQ















(5.2.9)

Pode-se observar que as eqs. (5.2.8) e (5.2.9) referem-se as sub-regiões 1 e 2,

respectivamente.

Sabendo-se que o deslocamento no engaste é nulo, ou seja,

U = 0

, a equação matricial

referente a sub-região 1 pode ser escrita da seguinte forma:

1111111

11121111211

1111111

21222212222

-g hP-h gUQ

= +

-g hU-h gPQ















(5.2.10)

Dessa forma, deve-se aplicar as condições de compatibilidade geométrica ou cinemática e

as condições de equilíbrio ao problema, partindo do princípio de que os nós pertencentes às duas

sub-regiões ao mesmo tempo (nós conectados ou ligados) devem ter o mesmo deslocamento e

forças de contato de mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários, conforme mostrado a

seguir:

1212

2121

U = U e P = -P

(5.2.11)

Visando o acoplamento numérico das eqs. (5.2.9) e (5.2.10) aplicam-se as condições

mostradas na eq. (5.2.11), encontrando-se as seguintes equações matriciais:

111111111

1111221111221

111111111

2112222112222

212221222

1121221121221

212221222

2122222122222

gP + hU = -hU + gP + Q

-gP + hU = -hU + gP + Q

hU + hU = -gP + gP + Q

−

(5.2.12a-d)

Considerando-se a existência de forças externas aplicadas no contato entre as sub-regiões 1

e 2, pode-se escrever:

221

112

P = P + P

(5.2.13a-b)

onde:

212

P é a força externa aplicada no nó 2 da sub-região 1 (prescrita);

P é a força de contato entre as sub-regi

ões 1 e 2 (antes conhecido como P);

P é a força externa aplicada no nó 1 da sub-região

121

2 (prescrita); e

P é a força de contato entre as sub-regi

ões 2 e 1 (antes conhecido como P).

A equação de equilíbrio pode ser escrita agora, como:

2112

P = -P ou ainda P = -P

(5.2.14)

Aplicando-se a eq.(5.2.13a), considerando agora forças externas no contato entre as duas

sub-regiões nas expressões encontradas na eq. (5.2.12) tem-se:

1111111111

1111221221111121

1111111111

2112222221211222

2122212222

1121221121111221

212221

212222212121

gP + hU - gP = -hU + gP + Q

-gP + hU - gP = -hU + gP + Q

hU + hU + gP = gP + gP + Q

hU + hU + gP = g

−

2222

P + gP + Q

(5.2.15a-d)

Na forma matricial as eqs. (5.2.15a-d) passam a ser:

11111

eiiei

111

111212

111

212222

222

12 1111

2221

H H -G G G

-g 0 h -g

0 h h g

0 h h

111

11112

211

22122

122

21211

221222

21212221

P -h 0 g 0

U -h 0 g 0

U 0 g 0 g

gP 0 g 0 g

























22222

eiiei

H H G G G













, (5.2.16)

ou ainda:

fffffc

eiieie

cccccc

eiieii

H 0 H -G G 0 G 0U

= +

0 H H G 0 G 0



























(5.2.17)

onde os índices ‘e’ e ‘i’ referem-se a ‘externo’ e ‘interno’, respectivamente, ou a ‘não-ligado’ e

‘ligado’, ou ainda a ‘não-conectado’ e ‘conectado’. Considerando-se que a sub-região 1 é

discretizada por elementos finitos e que a sub-região 2 é discretizada por elementos de contorno,

trocam-se os índices superiores ‘1’ e ‘2’ por ‘f’ e ‘c’ para facilitar o entendimento, já que nesse

trabalho é tratado apenas o acoplamento entre o MEC/MEF.

A eq. (5.2.17) pode ainda ser escrita da seguinte forma:

HU = GP + F

(5.2.18)

onde, pode-se observar que os vetores P e F e a matriz G possuem todos os valores conhecidos

após a aplicação das condições de equilíbrio e de compatibilidade, resultando em um sistema:

AX = B

(5.2.19)

De forma análoga pode-se considerar as duas sub-regiões apresentadas a seguir na figura

5.3.3

Pode-se escrever as equações matriciais para as duas sub-regiões:

fffff

ccccc

HU = GP + Q

Ω→

De forma explícita:

(5.2.20a-b)

{ }

fffff

eiei

ccccc

eiei

H H = G G + Q

P + P

H H = G G + Q

P + P































Procedendo as multiplicações de matrizes, tem-se:

(5.2.21a-b)

ffffffffff

eeiieeiii

cccccccccc

eeiieeiii

HU + HU = GP + GP + GP + Q

(5.2.22a-b)

Aplicando-se as condições de compatibilidade geométrica e de equilíbrio na superfície de

contato, tem-se:

Figura 5.3.3 – Sub-região de domínio

Ω

discretizada pelo MEF e sub-região de domínio

Ω

discretizada pelo MEC, no acoplamento.

ffffffffff

eeiieeiii

cccfcccfcc

eeiieeiii

HU + HU = GP + GP + GP + Q

HU + HU = GP - GP + GP + Q

(5.2.23a-b)

Na forma matricial:

fffffc

eiieie

cccccc

eiieii

H 0 H -G G 0 G 0

= +

0 H H G 0 G 0

U P



























(5.2.24)

Para o acoplamento entre os métodos utilizado nesse trabalho, a formulação do Método dos

Elementos de Contorno (MEC) foi analisada através de elementos de contorno triangulares planos

contínuos, diferentemente do tipo de elemento utilizado para a análise de estruturas e meios semi-

infinitos apenas pelo MEC como mostrado, por exemplo, nos exemplos do capítulo 3.

O elemento de contorno contínuo, conforme mostrado na seção 3.5.2 desse trabalho, possui

os nós funcionais coincidentes com os nós geométricos, ou seja, não se permite a modelagem

direta de contornos descontínuos através desse elemento.

Para esse elemento, considera-se a utilização de nó duplo para os nós que pertencem a dois

ou mais elementos ao mesmo tempo e/ou pertença a duas sub-regiões distintas.

6- IMPLEMENTAÇÕES COMPUTACIONAIS:

6.1 – INTRODUÇÃO:

Com base nas formulações e desenvolvimentos apresentados nos capítulos

anteriores, elaborou-se programas computacionais visando à implementação e a

validação dos desenvolvimentos teóricos do presente trabalho. Este sexto capítulo tem

como finalidade descrever as principais características do código computacional

desenvolvido, em termos gerais, e suas sub-rotinas mais importantes, bem como

comentar a respeito da entrada e saída de dados.

Neste trabalho são elaborados três programas computacionais utilizando a

linguagem do ambiente do MatLab, pacote bastante utilizado em resolução de

problemas de engenharia.

O primeiro utiliza toda a formulação do Método dos Elementos de Contorno

(MEC), onde foi criada uma interface em que o usuário pode simular diversos casos de

engenharia com facilidade, como os mostrados, por exemplo, no capítulo 3. Esse

programa utiliza a solução fundamental de Kelvin para o desenvolvimento da

formulação e cálculo das matrizes G e H visando fornecer os deslocamentos e as

reações de apoio de corpos bi e tridimensionais. O elemento de contorno utilizado é o

elemento triangular plano.

O segundo programa utiliza a formulação do Método dos Elementos Finitos

(MEF), onde também foi criada uma interface utilizando o programa MatLab. Esse

programa lê os arquivos com a entrada de dados do problema a ser analisado e a partir

da formulação do elemento de placa DKT, calcula a matriz de rigidez global do sistema

determinando, em seguida, os deslocamentos e reações de apoio para o problema a ser

estudado.

Por fim, faz-se o acoplamento entre os dois primeiros programas utilizando

também a linguagem MatLab, criando-se um terceiro programa que processa problemas

de engenharia que envolvem as duas formulações. Esse terceiro programa recebe as

matrizes G

e H e o vetor de forças de superfície F

do programa em elementos de

contorno, bem como, as matrizes K e G

e os vetores com a carga concentrada e

carregamento distribuído do programa em elementos finitos. Em seguida, é realizada a

alocação destes parâmetros para o devido acoplamento entre os métodos.

6.2 – ALGORITMO DO MEC A PARTIR DA FORMULAÇÃO

ELASTOSTÁTICA

O algoritmo a ser apresentado desenvolve computacionalmente a formulação

apresentada no capítulo 3 deste trabalho.

No programa é utilizada uma discretização em elementos triangulares planos

descontínuos, onde fica evidenciado que quanto maior o número de elementos da malha

de discretização, melhores são os resultados encontrados.

A interface do programa que trata da análise do problema em estudo processa o

arquivo de entrada dos dados geométricos da estrutura e gera um gráfico com a forma

geométrica do corpo, executando, em seguida, os cálculos dos deslocamentos e forças

de reação a partir da formulação implementada.

Visando uma melhor análise da confiabilidade dos resultados obtidos para os

diversos exemplos implementados, são fornecidas algumas aplicações com diferentes

discretizações para o mesmo problema. Para a geração do programa são fornecidas

algumas características do material como: módulo de elasticidade longitudinal e

coeficiente de Poisson.

Quanto às características geométricas, é necessário fornecer o número de nós

geométricos com suas respectivas coordenadas dentro de um sistema global, o número

de elementos triangulares e suas respectivas conectividades, bem como informar para

cada elemento as forças e deslocamentos (valores prescritos ou incógnitos).

O desenvolvimento do algoritmo é feito a partir de cinco módulos, na tentativa

de dividir tarefas para não repeti-las, conforme mostrado na figura 6.2.1.

Módulo I:

Figura 6.2.1

Roteiro do algoritmo

computacional p

ara problemas

estáticos.

A seguir, os módulos que constituem o código do MEC para problemas

elastostáticos são comentados.

a) Módulo I

No módulo I é realizada a leitura dos dados geométricos e característicos do

problema a ser analisado, tais como: conectividade, forças, características físicas,

definição dos valores das coordenadas dos pontos e pesos para a integração de Gauss

para elementos triangulares, além de outros dados necessários para a sua formulação.

Também, nesse módulo são definidas as coordenadas dos pontos onde são escritas as

integrais de deslocamentos e montagem da matriz de conectividade para estes novos

pontos (Load Points).

a.1) Leitura de dados: Permite a entrada dos parâmetros elásticos e geométricos do

problema. Na figura 6.2.2, mostra-se os arquivos de entrada de dados do programa:

(a)

conectividade dos elementos (nó 1,

nó 2 e nó 3) para o exemplo 3.3 –

malha com 16 elementos.

(b)

condições de contorno: 9 graus

de liberdade por elemento.

Figura 6.

2.2a

–

Leitura de dados para processamento do programa

(Exemplo 3.3: Malha com 16 elementos).

a) Módulo II

No módulo II é feita a montagem das matrizes H e G, através das integrais

numéricas (singular ou regular). A sequência das rotinas envolvidas é mostrada a seguir:

b.1) Inicialização de variáveis: Nesta sub-rotina definem-se as matrizes do tipo

ponteiro obedecendo o limite estabelecido para o número máximo de elementos e de

nós, definindo ainda as variáveis simples para o programa.

b.2) Pontos de Colocação: define as coordenadas dos pontos para os quais são escritas

as equações integrais de contorno de deslocamento. Sub-rotina onde os pontos dos

vértices do elemento são deslocados para o seu interior (elemento descontínuo).

b.3) Montagem do vetor índice: estabelece a ordem em que as componentes de H e G

devem ser arranjadas para que o particionamento das matrizes aconteça de forma direta.

É utilizado o vetor “cod” que define a característica dos graus de liberdade: se 1 (um), o

deslocamento é prescrito; se 0 (zero), a força de superfície é prescrita.

(c)

coordenadas dos nós

, x

e x

(d) valores

dos carregamentos

prescritos.

Figura 6.2.2

–

Leitura de dados para processamento do programa

(Exemplo 3.3: Malha com 16 elementos).

100

b.4) Montagem das matrizes H e G: efetua as integrações mostradas na formulação do

MEC, mostrado no capítulo 3, que resulta nas componentes das matrizes citadas.

b) Módulo III

No módulo III é efetuada a montagem das sub-matrizes G e H. Na formulação

do MEC tem-se valores de forças de superfícies e deslocamentos em um único vetor

misto, podendo os mesmos serem prescritos ou não-prescritos. Logo, é necessário criar

alguma particularização quanto a estes valores. Portanto são criados códigos que

informam se o nó está ou não conectado com o valor conhecido. Se esse código for 1

(um) o valor é prescrito (conhecido), podendo este ser força de superfície ou

deslocamento, se for 0 (zero) o valor é não-prescrito (incógnito). A partir desses códigos

montam-se as sub-matrizes H e G.

d) Módulo IV

Utilizando-se o algoritmo de Gauss resolve-se facilmente o sistema de equações

encontrado, utilizando também as condições de contorno, ou seja:

X = A

-1

e) Módulo V

No Módulo V, após a resolução do sistema de equações, é fornecido um

relatório com os resultados dos deslocamentos e forças de superfície para cada

elemento. É necessário fazer uma associação da matriz de conectividade dos elementos

com os respectivos valores para cada nó geométrico.

101

6.3 – ALGORITMO DO MEF A PARTIR DO ELEMENTO DKT:

O algoritmo a ser apresentado desenvolve computacionalmente a formulação

apresentada e desenvolvida no capítulo 4 deste trabalho e é dividido em algumas sub-

rotinas conforme discriminado a seguir.

a) Leitura de dados – dados de entrada: Nessa sub-rotina, o programa processa a

leitura dos dados de entrada a partir de um ‘arquivo.nf’, conforme mostrado a seguir nas

figura 6.2.3a,b,c.

Figura 6.2.3a

–

1ª parte do arquivo com a entrada de dados

referente as

coordenadas dos nós (linhas 7 a 19) e cond

ições de contorno (linhas 20 a 30):

Exemplo 4.1 – Malha M2 com 9 nós e 8 elementos.

102

Figura 6.2.3b

–

2ª parte do arquivo com a entrada de dados referente as propriedades do material

(linhas 32 a 46) e conectividade dos elementos (linhas 48 a 60): Exemplo 4.1 –

Malha M2 com 9

nós e 8 elementos.

Figura 6.2.3c

–

3ª parte do arquivo com a entrada de dados referente ao carregamento prescrito:

carga concentrada e carregamento distribuído (linhas 62 a 83): Exemplo 4.1 –

Malha M2 com 9

nós e 8 elementos

103

Foi utilizado também o programa m-tool, do pacote MatLab para a geração de

malhas de discretização, visando a determinação das coordenadas dos nós e

conectividade dos elementos.

b) Desenvolvimento do programa

Em seguida é desenvolvida toda a formulação do Método dos Elementos Finitos

através da definição da matriz constitutiva do material, da matriz que relaciona

deslocamentos com deformações para, na seqüência, definir a matriz de rigidez do

elemento DKT.

O programa computacional na linguagem MatLab baseado na formulação do

elemento finito DKT lê os arquivos de dados de entrada que contém os parâmetros: E

(módulo de elasticidade longitudinal), ν (coeficiente de Poisson), h (espessura da placa),

Nnos (número de nós da discretização), Nelem (número de elementos da discretização),

Pnos (matriz com as coordenadas dos nós), cod (matriz com as condições de contorno),

conect (matriz com a conectividade dos elementos), Cconc (vetor com as cargas

concentradas) e Ao (vetor com os carregamentos distribuídos).

Admitindo-se a aproximação linear para o carregamento distribuído e transversal

aplicado ao elemento finito de placa, e também se considerando (como aproximação

coerente) os deslocamentos transversais médios com comportamento linear, é definida a

matriz G, eq. (4.2.36), em coordenadas locais.

Em seguida, é realizada a alocação da matriz de rigidez K e da matriz G

elemento finito DKT em coordenadas locais, na matriz de rigidez do sistema em

coordenadas globais através da criação de um vetor de alocação.

Por fim, montam-se os vetores das ações, aplicam-se as condições de contorno e

resolve-se o sistema de equações determinando os deslocamentos globais e as reações

de apoio.

Vale ressaltar que o programa em elementos finitos DKT foi desenvolvido no

presente trabalho, considerando-se 6 graus de liberdade por nó, logo, fica muito simples

adaptar o programa para futuras implementações de elementos de chapa e/ou casca, por

exemplo.

104

6.4 – ALGORITMO DO ACOPLAMENTO ENTRE OS MÉTODOS:

Para o acoplamento entre os métodos foi criado um terceiro programa em

MatLab que recebe algumas informações e dados dos programas de MEC e MEF

separadamente, fazendo, em seguida uma alocação de acoplamento desses dados e

matrizes a partir da técnica de sub-regiões.

Vale ressaltar que, neste trabalho, são estudados apenas problemas que

envolvam 2 (duas) sub-regiões, ou seja, 1 (uma) interface de contato entre os meios, não

sendo permitida, desta forma, a análise de problemas que envolvam o acoplamento de

duas ou mais de duas sub-regiões.

No processo de acoplamento, as contribuições da matriz de rigidez do elemento

DKT referentes a forças transversais e forças rotacionais são acopladas no sistema

matricial global, analisar a eq. (5.2.24).

Porém, é muito importante salientar que, por se tratar de elementos finitos de

placa, apenas o grau de liberdade referente ao deslocamento transversal é acoplado

através das condições de equilíbrio e de compatibilidade geométrica.

Para visualizar com mais facilidade o processo de acoplamento utilizado no

código computacional, pode-se verificar a formulação apresentada na seção 5.3.

105

7 - APLICAÇÕES

No final dos capítulos 3 e 4 deste trabalho, são mostrados exemplos de

aplicações de engenharia estudados e analisados pelo Método dos Elementos de

Contorno (MEC) e Método dos Elementos Finitos (MEF), respectivamente. Nesses

exemplos, encontram-se resultados satisfatórios e coerentes quando comparados com

resultados analíticos e encontrados em outros trabalhos, demonstrando a adequação de

cada método individualmente.

Nesse capítulo de aplicações, quatro problemas são estudados com o objetivo

principal de mostrar a aplicação dos desenvolvimentos descritos nos capítulos

anteriores, bem como a potencialidade do código computacional desenvolvido na

pesquisa e a eficiência do acoplamento entre os métodos para a análise da interação

solo-estrutura.

As aplicações aqui mostradas são estudadas utilizando-se o acoplamento dos

dois métodos a partir da técnica de sub-regiões, onde para o MEC são utilizados

elementos contínuos para o acoplamento utilizando-se a definição de nó duplo para a

modelagem.

7.1 – EXEMPLO 7.1

Neste exemplo é feita uma análise do comportamento do solo em contato com

uma estrutura através de algumas condições de modelagem. Trata-se de uma placa

quadrada de lado ‘L’ apoiada sobre um semi-espaço infinito (solo) sujeita a um

carregamento distribuído ‘q’ em todo o seu domínio.

O solo é modelado inicialmente pelo MEC e a placa, pelo MEF, através de

elementos de placa DKT. A discretização utilizada nesse tipo de análise para a placa e

para o solo, bem como os demais dados envolvidos no problema podem ser vistos na

figura 7.1.1 mostrada a seguir. O elemento de placa DKT foi implementado de tal forma

que possibilita uma adequação futura para elementos de casca e/ou barra, pelo fato de

que são considerados 6 graus de liberdade por nó para este elemento.

1) Dados do Solo: E = 2,1E+9 kgf/m

ν = 0,13.

2) Dados da Estrutura: E = 2,1E+10 kgf/m

ν = 0,25.

3) Dados Gerais: L =20m.

q = 300000 kgf/m

Figura 7.1.1

–

Exemplo

7.1: Discretização

interface placa-solo por

nós e 72 elementos.

106

O objetivo dessa aplicação é encontrar o deslocamento transversal ‘u

’ no ponto

’P’ localizado no centro da placa. Para tal análise são utilizadas duas discretizações: a

primeira, já mostrada na figura 7.1.1, trata a discretização da interface solo-estrutura

utilizando-se a malha com 49 nós e 72 elementos, já a segunda, trata o meio semi-

infinito através de uma discretização estendida, ver figura 7.1.2, onde é utilizada uma

malha com 109 nós e 160 elementos.

A discretização estendida é caracterizada por modelar não apenas a região de

aplicação do carregamento aplicado mas também uma região externa de forças de

superfície nulas. Esse tipo de discretização é recomendada para a formulação da solução

fundamental de Kelvin, conforme já explicado na seção 3.3.1.

Vale ressaltar que a análise estática com a discretização estendida foi feita

utilizando elementos de contorno para a modelagem do solo (109 nós e 160 elementos)

e elementos finitos para a modelagem da placa (49 nós e 72 elementos), onde a área

total é um quadrado de lado igual a 200m.

Em resumo, trata-se de uma região quadrada de lado 200m x 200m discretizada

pelo MEC com uma placa quadrada sujeita a um carregamento distribuído ‘q’, de lado

20m x 20m discretizada pelo MEF, localizada no meio do semi-infinito.

Nas figuras 7.1.3 e 7.1.4 são apresentados graficamente os resultados para os

deslocamentos transversais do ponto ‘P’, mostrados nas tabelas 7.1 e 7.2,

respectivamente para as duas discretizações, onde a espessura ‘h’ da placa varia de zero

Figura 7.1.2 – Exemplo 7.1: discretização estendida com 109 nós e 160 elementos

107

a oito metros na análise. Vale ressaltar que para ‘h = 0’, apenas a sub-região do MEC

foi considerada e a carga foi aplicada diretamente no solo.

Verifica-se, após a análise dos resultados que para a espessura da placa variando

de ‘h=0m’ a ‘h=1,5m’, o deslocamento do ponto P é praticamente constante. Porém, a

partir de ‘h=1,5m’, verifica-se que à medida que se aumenta a espessura da placa, o

deslocamento diminui, o que já era esperado devido a influência da rigidez da placa.

Observa-se também que as estabilidades numéricas obtidas para as diversas análises são

bastante satisfatórias.

espessura da

placa (h), em

deslocamento no

centro da placa, em

mm.

0,00 3,1202

0,20 3,1201

0,50 3,1192

1,00 3,1231

1,50 3,1290

2,50 3,0417

3,50 2,8660

4,50 2,6900

5,00 2,6146

6,50 2,4490

8,00 2,3544

Tabela 7.1

–

Valores de

deslocamento no centro da

placa em função da espessura

para a discretização estendida.

Figura 7.1.3

–

Visualização gráfica

dos valores

da tabela 7.

para a discretização estendida.

espessura da

placa (h), em

deslocamento no

centro da placa, em

mm.

0,00 2,9613

0,20 2,9614

0,50 2,9627

1,00 2,9709

1,50 2,9734

2,50 2,8505

3,50 2,6294

4,50 2,4190

5,00 2,3309

6,50 2,1399

8,00 2,0319

bela 7.2

–

Valores de

deslocamento no centro da

placa em função da espessura

para a

discretização com 49 nós

e 72 elementos.

Figura 7.1.4

–

Visualização gráfica d

os valores da

tabela 7.2

para

a discretização com 49 nós e 72 elementos.

Deslocamento transversal x Espessura da placa

2,2000

2,3000

2,4000

2,5000

2,6000

2,7000

2,8000

2,9000

3,0000

3,1000

3,2000

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00

Espessura da placa (m)

Deslocamento transversal x Espessura da placa

2,0000

2,1000

2,2000

2,3000

2,4000

2,5000

2,6000

2,7000

2,8000

2,9000

3,0000

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00

Espessura da placa (m)

108

Em uma análise comparativa, figura 7.1.5, verifica-se que a solução fundamental

de Kelvin utilizada nesse trabalho fornece resultados coerentes quando se utiliza uma

discretização estendida, onde a superfície livre de forças de superfície do semi-infinito

também é modelada. Para essa situação observa-se que os valores dos deslocamentos

encontrados são maiores que os encontrados para a discretização com 49 nós.

Comparativo de resultados

1,9000

2,1000

2,3000

2,5000

2,7000

2,9000

3,1000

3,3000

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00

espessura da placa (m)

Discretização estendida, sol. fund. de Kelvin Discretização 49 nós, sol.fund. de Kelvin

Outra consideração muito importante a ser feita é que, para a análise utilizada

nesse trabalho através de elementos finitos de placa DKT, apenas o grau de liberdade

referente ao deslocamento transversal é acoplado, logo não é considerado os efeitos de

membrana para esse tipo de elemento.

Desta forma, faz-se uma comparação entre os resultados encontrados nesse

trabalho para o elemento de placa DKT (discrete Kirchhoff triangle) com os obtidos por

programa na linguagem FORTRAN 77 desenvolvido pelo co-orientador desse trabalho,

onde foi utilizado o elemento de casca obtido da superposição do elemento de placa

DKT com o elemento de chapa CST (constant strain triangle) que permite a aplicação

de carregamento cisalhante na superfície do elemento, como também o elemento de

placa, ver figura 7.1.6.

Figura 7.1.5

–

Resultados para a solução fundamental de Kelvin:

omparativo

entre as duas

discretizações utilizadas.

109

A análise da figura 7.1.6 é muito importante pelos seguintes aspectos:

1) Utilizando-se o elemento de casca para a modelagem da estrutura, à medida

que a espessura da placa aumenta o deslocamento sempre diminui, já que os efeitos de

membrana estão sendo considerados, ou seja, são acoplados os três graus de liberdade

referente aos deslocamentos nas três direções. Nessa análise, a espessura da placa variou

até 5,00 metros.

2) A formulação e análise implementada neste trabalho obteve resultados

bastante satisfatórios, a partir do momento de que se verifica que os resultados são

exatamente os mesmos obtidos pelo programa em FORTRAN 77 de ALMEIDA,

considerando-se a modelagem através de elementos de placa.

Utilizando-se os programas MatLab e Surfer32, encontram-se os deslocamentos

para todos os nós da placa sujeita ao carregamento ‘q’ para a discretização estendida e

faz-se uma visualização do comportamento estático da estrutura, ver figuras 7.1.7 a

7.1.10 e tabelas 7.3 a 7.4.

Figura

7.1.6

–

Comparativo de Resultados.

Comparativo de resultados: Elemento de Placa x Elemento de Casca

2,0000

2,2000

2,4000

2,6000

2,8000

3,0000

3,2000

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Espessura da Placa (em m).

Deslocamento no Centro da Placa (em

mm).

Elementos de Casca: Discretização estendida (ALMEIDA).

Elementos de Placa: Discretização estendida (ALMEIDA).

Elementos de Placa: Discretização estendida.

Elementos de Placa: Discretização com 49 nós e 72 elementos.

110

Nó

Coordenada x

(m)

Coordenada y

(m)

deslocamento

(mm)

1 110 90 -1,5616

2 90 90 -1,5559

3 106,6667 90 -1,9277

4 103,3333 90 -2,0816

5 100 90 -2,1279

6 96,66666 90 -2,0797

7 93,33334 90 -1,9235

8 110 110 -1,5595

9 110 106,6667 -1,922

10 110 103,3333 -2,0797

11 110 100 -2,1279

12 110 96,66666 -2,0815

13 110 93,33334 -1,9291

14 90 110 -1,5616

15 93,33334 110 -1,9277

16 96,66666 110 -2,0816

17 100 110 -2,1279

18 103,3333 110 -2,0797

19 106,6667 110 -1,9235

20 90 93,33334

-1,922

21 90 96,66666 -2,0797

22 90 100 -2,1279

23 90 103,3333 -2,0815

24 90 106,6667 -1,9291

25 106,6667 106,6667 -2,5021

26 106,6667 103,3333

-2,7224

27 106,6667 100 -2,7845

28 106,6667 96,66666 -2,7245

29 106,6667 93,33334 -2,5079

30 103,3333 106,6667 -2,7225

31 103,3333 103,3333 -2,9752

32 103,3333 100 -3,0463

33 103,3333 96,66666 -2,9761

34 103,3333 93,33334 -2,7245

35 100 106,6667 -2,7845

36 100 103,3333 -3,0463

37 100 100 -3,1201

38 100 96,66666 -3,0463

39 100 93,33334 -2,7845

40 96,66666 106,6667 -2,7245

41 96,66666 103,3333 -2,9761

42 96,66666 100 -3,0463

43 96,66666 96,66666 -2,9752

44 96,66666 93,33334 -2,7225

45 93,33334 106,6667 -2,5079

46 93,33334 103,3333 -2,7245

47 93,33334 100 -2,7845

48 93,33334 96,66666 -2,7224

49 93,33334 93,33334

-2,5021

Tabela 7.3

–

Valores do

deslocamento da placa h=20cm

(em

mm), para a discretização estendida.

-3.10

-3.00

-2.90

-2.80

-2.70

-2.60

-2.50

-2.40

-2.30

-2.20

-2.10

-2.00

-1.90

-1.80

-1.70

Figura 7.1.8

–

Comportamento da placa h=20cm

para a discretização estendida

em escala

cinemática, (valores em mm).

90.00 92.00 94.00 96.00 98.00 100.00 102.00 104.00 106.00 108.00 110.00

90.00

92.00

94.00

96.00

98.00

100.00

102.00

104.00

106.00

108.00

110.00

-3.10

-3.00

-2.90

-2.80

-2.70

-2.60

-2.50

-2.40

-2.30

-2.20

-2.10

-2.00

-1.90

-1.80

-1.70

-1.60

Figura 7.1.7

–

Comportamento da placa h=20cm

para a

discretização estendida, (valores em mm).

111

Nó Coordenada x

(m)

Coordenada y

(m)

deslocamento

(mm)

1 110 90 -1,7086

2 90 90 -1,7179

3 106,6667 90 -2,0059

4 103,3333 90 -2,2053

5 100 90 -2,2728

6 96,66666 90 -2,2004

7 93,33334 90 -1,9972

8 110 110 -1,7179

9 110 106,6667 -1,997

10 110 103,3333 -2,2002

11 110 100 -2,2727

12 110 96,66666 -2,2055

13 110 93,33334 -2,0061

14 90 110 -1,7086

15 93,33334 110 -2,0059

16 96,66666 110 -2,2053

17 100 110 -2,2728

18 103,3333 110 -2,2004

19 106,6667 110 -1,9972

20 90 93,33334

-1,9969

21 90 96,66666 -2,2002

22 90 100 -2,2728

23 90 103,3333 -2,2055

24 90 106,6667 -2,0061

25 106,6667 106,6667 -2,2845

26 106,6667 103,3333

-2,4938

27 106,6667 100 -2,5697

28 106,6667 96,66666 -2,4997

29 106,6667 93,33334 -2,2943

30 103,3333 106,6667 -2,4938

31 103,3333 103,3333 -2,7102

32 103,3333 100 -2,7883

33 103,3333 96,66666 -2,7137

34 103,3333 93,33334 -2,4996

35 100 106,6667 -2,5697

36 100 103,3333 -2,7883

37 100 100 -2,866

38 100 96,66666 -2,7883

39 100 93,33334 -2,5697

40 96,66666 106,6667 -2,4996

41 96,66666 103,3333 -2,7137

42 96,66666 100 -2,7883

43 96,66666 96,66666 -2,7102

44 96,66666 93,33334 -2,4938

45 93,33334 106,6667 -2,2943

46 93,33334 103,3333 -2,4997

47 93,33334 100 -2,5697

48 93,33334 96,66666 -2,4938

49 93,33334 93,33334 -2,2845

Tabela 7.4

–

Valores do

deslocamento da placa h=350cm

(em mm) para a d

iscretização

stendida.

Figura 7.1.9

–

Comportamento da placa h=350cm

para

a discretização estendida, (valores em mm).

90.00 92.00 94.00 96.00 98.00 100.00 102.00 104.00 106.00 108.00 110.00

90.00

92.00

94.00

96.00

98.00

100.00

102.00

104.00

106.00

108.00

110.00

-2.85

-2.75

-2.65

-2.55

-2.45

-2.35

-2.25

-2.15

-2.05

-1.95

-1.85

-1.75

Figura 7.1.10

–

Comportamento da placa h=350cm

para a discretização estendida em escala cinemática,

(valores em mm).

-2.80

-2.70

-2.60

-2.50

-2.40

-2.30

-2.20

-2.10

-2.00

-1.90

112

Sendo assim verifica-se que a solução fundamental de Kelvin apresenta

resultados maiores para o deslocamento para a formulação do MEC utilizada em

discretizações estendidas, onde a superfície de forças de superfície nulas do meio semi-

infinito também é discretizada. Verifica-se ainda que os deslocamentos encontrados

para a espessura da placa ‘h=350cm’ são menores que os encontrados para ‘h=20cm’, o

que já era esperado pelo fato de que quanto maior a espessura da placa maior a sua

rigidez.

113

7.2 – EXEMPLO 7.2

Nesse exemplo é feita uma análise do comportamento do solo sob aplicação de

uma carga concentrada ‘P’ aplicada no centro da placa quadrada de lado L = 20 metros

já mostrada e modelada no exemplo 7.1.

O principal objetivo dessa aplicação é estudar o comportamento do

deslocamento transversal do conjunto placa-solo a partir do aumento da rigidez da placa

à flexão. Desta forma, considera-se uma carga concentrada ‘P’ de módulo equivalente

ao carregamento distribuído implementado no exemplo anterior, aplicada no centro da

placa, ou seja, no nó 37, ver figura 7.2.1.

Na leitura dos arquivos de entrada de dados pelo programa de acoplamento em

MatLab é conveniente observar que a carga concentrada deve ser aplicada diretamente

no nó 37 da discretização da placa na rotina de programação em elementos finitos.

Logo, a carga concentrada é aplicada diretamente sobre a placa e não no semi-infinito,

como acontece para o caso de carregamento distribuído.

Nas tabelas 7.5 e 7.6 e figuras 7.2.2 e 7.2.3 mostra-se a variação do

deslocamento transversal no centro da placa em função da espessura para as mesmas

discretizações já definidas nas figuras 7.1.1 e 7.1.2 da seção anterior.

1)Dados do Solo: E = 2,1E+9 Kgf/m

ν = 0,13.

2)Dados da Estrutura: E = 2,1E+10 Kgf/m

ν = 0,25.

3)Dados Gerais: L =20metros.

P = 120000000 Kgf.

Figura 7

.2.1

–

Carga

concentrada ‘P’ no centro

da placa.

espessura da

placa (em m)

deslocamento no centro da

placa (em mm)

0,20 25,5215

0,50 23,7510

1,50 12,2695

2,50 7,5063

4,00 4,8129

4,50 4,3145

5,00 3,9224

Tabela 7.5 – Discretização estendida.

114

Variação do deslocamento transversal no centro:

Discretização estendida

0,8000

5,8000

10,8000

15,8000

20,8000

25,8000

30,8000

0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70

espessura da placa (em m).

Carga concentrada: Elemento de placa

Variação do deslocamento transversal no centro.

0,8000

5,8000

10,8000

15,8000

20,8000

25,8000

30,8000

35,8000

0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70

espessura da placa (em m).

deslocamento (em mm).

Carga concentrada: Elemento de placa

Analisando os resultados encontrados para as duas discretizações verifica-se que

o deslocamento transversal no centro da placa sempre é inversamente proporcional à

rigidez da mesma, ou seja, com o aumento da rigidez, o deslocamento diminui.

Figura 7.2.2 – Discretização estendida.

espessura da

placa (em m)

deslocamento no centro da

placa (em mm)

0,20 30,8537

0,50 28,2426

1,50 13,1340

2,50 7,5739

4,00 4,6012

4,50 4,0670

5,00 3,6508

Tabela 7.6 – Discretização da interface de contato placa-solo.

Figura 7.2.

–

Discretização da interface de contato placa

solo.

115

Na figura 7.2.4 mostra-se a variação do deslocamento transversal no centro da

placa para as duas discretizações em função da espessura da estrutura:

Comparativo de resultados para as duas modelagens

0,20

0,50

1,50

2,50

2,71

4,00

4,50

5,00

0,0000

5,0000

10,0000

15,0000

20,0000

25,0000

30,0000

35,0000

0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70 5,20

espessura da placa (em m).

deslocamento (em mm).

Discretização estendida Discretização da interface placa-solo

Para a espessura ‘h=2,71m’, observa-se que os valores encontrados para o

deslocamento nas duas modelagens são os mesmos e que a partir dessa espessura, a

modelagem estendida passa a fornecer deslocamentos maiores do que a modelagem

apenas da interface placa-solo.

Utilizando-se os programas MatLab e Surfer32, encontram-se os deslocamentos

para todos os nós da placa sujeita a carga concentrada equivalente ‘P’ para a

discretização estendida e faz-se uma visualização do comportamento estático da placa,

ver figuras 7.2.5 a 7.2.8 e tabelas 7.7 a 7.8.

Figura 7.2.

–

Variação do deslocamento em função da

espessura da placa.

-26.00

-24.00

-22.00

-20.00

-18.00

-16.00

-14.00

-12.00

-10.00

-8.00

-6.00

-4.00

-2.00

Fig

ura 7.2.

–

Comportamento da placa (h=20cm): Discretização estendida.

116

Nó

Coordenada

x (m)

Coordenada

y (m)

deslocamento

(mm)

1 110 90 -1,2445

2 90 90 -1,2581

3 106,6667 90 -1,3748

4 103,3333 90 -1,6203

5 100 90 -1,7767

6 96,66666 90 -1,6852

7 93,33334 90 -1,4804

8 110 110 -1,2581

9 110 106,6667 -1,4769

10 110 103,3333 -1,6835

11 110 100 -1,7762

12 110 96,66666 -1,6215

13 110 93,33334 -1,3783

14 90 110 -1,2445

15 93,33334 110

-1,3748

16 96,66666 110 -1,6203

17 100 110 -1,7767

18 103,3333 110 -1,6852

19 106,6667 110 -1,4804

20 90 93,33334 -1,4769

21 90 96,66666 -1,6835

22 90 100 -1,7762

23 90 103,3333 -1,6215

24 90 106,6667 -1,3783

25 106,6667 106,6667 -1,9152

26 106,6667 103,3333 -2,334

27 106,6667 100 -2,5806

28 106,6667 96,66666 -2,7346

29 106,6667 93,33334 -2,062

30 103,3333 106,6667 -2,3344

31 103,3333 103,3333 -4,2682

32 103,3333 100

-4,7656

33 103,3333 96,66666 -2,0075

34 103,3333 93,33334 -2,7344

35 100 106,6667 -2,5807

36 100 103,3333 -4,7657

37 100 100 -25,5215

38 100 96,66666 -4,7657

39 100 93,33334 -2,5807

40 96,66666 106,6667 -2,7344

41 96,66666 103,3333 -2,0075

42 96,66666 100 -4,7656

43 96,66666 96,66666 -4,2682

44 96,66666 93,33334 -2,3344

45 93,33334 106,6667 -2,062

46 93,33334 103,3333 -2,7346

47 93,33334 100 -2,5806

48 93,33334 96,66666 -2,334

49 93,33334 93,33334 -1,9152

90.00 92.00 94.00 96.00 98.00 100.00 102.00 104.00 106.00 108.00 110.00

90.00

92.00

94.00

96.00

98.00

100.00

102.00

104.00

106.00

108.00

110.00

-24.00

-23.00

-22.00

-21.00

-20.00

-19.00

-18.00

-17.00

-16.00

-15.00

-14.00

-13.00

-12.00

-11.00

-10.00

-9.00

-8.00

-7.00

-6.00

-5.00

-4.00

-3.00

-2.00

Tabela 7.

–

Valores do deslocamento da placa

(h=20cm) (em mm): Discretização estendida.

Figura 7.2.

–

Comportamento da placa (h=

20cm):

Discretização estendida.

117

Nó

Coordenada x

(m)

Coordenada y

(m)

deslocamento

(mm)

1 110 90 -1,048

2 90 90

-1,0837

3 106,6667 90 -1,4453

4 103,3333 90 -1,7859

5 100 90 -1,8747

6 96,66666 90 -1,7468

7 93,33334 90 -1,4843

8 110 110 -1,0837

9 110 106,6667 -1,4826

10 110 103,3333 -1,7454

11 110 100 -1,8745

12 110 96,66666 -1,7872

13 110 93,33334 -1,4472

14 90 110 -1,048

15 93,33334 110 -1,4453

16 96,66666 110 -1,7859

17 100 110

-1,8747

18 103,3333 110 -1,7468

19 106,6667 110 -1,4843

20 90 93,33334 -1,4826

21 90 96,66666 -1,7454

22 90 100 -1,8745

23 90 103,3333 -1,7872

4 90 106,6667 -1,4472

25 106,6667 106,6667 -2,252

26 106,6667 103,3333

-2,9551

27 106,6667 100 -3,2861

28 106,6667 96,66666 -2,95

29 106,6667 93,33334 -2,1868

30 103,3333 106,6667 -2,9555

31 103,3333 103,3333 -4,4244

32 103,3333 100 -5,4103

33 103,3333 96,66666 -4,4864

34 103,3333 93,33334 -2,9496

35 100 106,6667 -3,2862

36 100 103,3333 -5,4103

37 100 100 -7,5063

38 100 96,66666 -5,4103

39 100 93,33334 -3,2862

40 96,66666 106,6667 -2,9496

41 96,66666 103,3333 -4,4864

42 96,66666 100 -5,4103

43 96,66666 96,66666

-4,4244

44 96,66666 93,33334 -2,9555

45 93,33334 106,6667 -2,1868

46 93,33334 103,3333 -2,95

47 93,33334 100 -3,2861

48 93,33334 96,66666 -2,9551

49 93,33334 93,33334 -2,252

Figura 7.2.

–

Comportamento da placa (h=250cm):

Discretização estendida.

90.00 92.00 94.00 96.00 98.00 100.00 102.00 104.00 106.00 108.00 110.00

90.00

92.00

94.00

96.00

98.00

100.00

102.00

104.00

106.00

108.00

110.00

-7.00

-6.50

-6.00

-5.50

-5.00

-4.50

-4.00

-3.50

-3.00

-2.50

-2.00

-1.50

-7.00

-6.50

-6.00

-5.50

-5.00

-4.50

-4.00

-3.50

-3.00

-2.50

-2.00

Figura 7.2.

–

Comportamento da placa (h=250cm):

Discretização estendida.

Tabela 7.8

–

Valores do deslocamento

da placa

(h=250cm) (em mm): Discretização estendida.

118

7.3 – EXEMPLO 7.3

Esse exemplo tem o objetivo de analisar o comportamento da estrutura em

contato com o solo, modelada por elementos de placa e sujeita a um carregamento

distribuído ‘q’ parcialmente em sua área.

Em uma primeira análise, esse carregamento distribuído é aplicado em uma área

interna da placa constituída de 8 elementos e possui o valor equivalente a carga

concentrada ‘P’ estudada no exemplo 7.2. Ou seja, trata-se da mesma placa quadrada

20mx20m já estudada nos exemplos 7.1 e 7.2, sujeita a um carregamento distribuído

equivalente aplicado nos nós 31, 32, 33, 36, 37, 38, 41, 42 e 43 que discretizam uma

área interna de 6,66m x 6,66m = 44,44m

. Esse novo carregamento distribuído ‘q

’

aplicado na área de 44,44m

é igual a q

= 2,7E+06 kgf/m

que resulta em uma carga

concentrada equivalente ‘P’ aplicada no centro da placa no valor de P= 1,2E+08 kgf,

ver exemplo 7.2.

Para esse novo carregamento distribuído verifica-se o comportamento da placa e

os resultados são comparados aos resultados encontrados no exemplo 7.2. As

discretizações utilizadas são as mesmas já abordadas nos exemplos 7.1 e 7.2.

Figura 7.3.1

–

Carregamento distribuído

parcialmente

aplicado em 8 elementos da

discretização.

1)Dados do Solo: E = 2,1E+9 kgf/m

ν = 0,13.

2)Dados da Estrutura: E = 2,1E+10 kgf/m

ν = 0,25.

Deslocamento transversal (mm)

espessura da placa (m) Situação 1 Situação 2 Situação 3 Situação 4

0,20 13,6899 13,0929 25,5215 30,8537

0,50 13,7127 13,0867 23,7510 28,2426

1,50 12,8215 12,1387 12,2695 13,1340

2,50 10,9026 10,1655 7,5063 7,5739

5,00 7,4259 6,5448 3,9224 3,6508

Situação 1: Discretização estendida com carregamento distribuído intermediário ‘q8’

Situação 2: Discretização da interface placa-solo com carregamento distribuído intermediário ‘q8’

Situação 3: Discretização estendida com carga concentrada equivalente ‘P’

Situação 4: Discretização da interface placa-solo com carga concentrada equivalente ‘P’

Tabela 7.9

–

Resultados

para a

duas modelagens: comparação entre o carregamento

distribuído intermediário q

e a carga concentrada equivalente.

119

Exemplo 7.3

2,0000

4,0000

6,0000

8,0000

10,0000

12,0000

14,0000

16,0000

18,0000

20,0000

22,0000

24,0000

26,0000

28,0000

30,0000

32,0000

0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70

espessura da placa (m)

Deslocamento transversal no

centro (mm)

Discretização estendida com carregamento distribuído intermediário q8

Discretização da interface placa-solo com carregamento distribuído intermediário q8

Discretização estendida com carga concentrada equivalente

Discretização da interface placa-solo com carga concentrada equivalente

Quando a placa está sujeita ao carregamento distribuído intermediário ‘q

’

atuando na área pintada de azul, ver figura 7.3.1, a análise da figura 7.3.2 mostra que o

valor do deslocamento no ponto central da placa é sempre um pouco maior para a

discretização estendida e, observa-se, que seus valores diminuem à medida que se

aumenta a espessura/rigidez da placa. Comparando-se o comportamento gráfico desse

exemplo com o do exemplo 7.1 verifica-se que até a espessura ‘h=0,50m’ o

deslocamento central da placa praticamente não se altera.

Já no exemplo 7.1, onde o carregamento distribuído ‘q’ é aplicado em toda a

área da placa, esse fenômeno ocorreu até uma espessura ‘h=1,50m’, ou seja, para

modelagens a partir de elementos finitos de placa DKT, onde apenas o grau de liberdade

referente ao deslocamento transversal é acoplado, verifica-se que até uma determinada

espessura, o aumento da rigidez da placa não altera o comportamento estático do

deslocamento.

Como já era esperado, quanto maior a área de atuação/aplicação do

carregamento distribuído ‘q’, maior é a espessura da placa a partir da qual os

deslocamentos da mesma começam a diminuir.

Quando a placa está sujeita a carga concentrada ‘P’ equivalente ao carregamento

distribuído ‘q’, aplicada no ponto central da placa, constata-se que os valores dos

deslocamentos para espessuras pequenas da placa são bem maiores que os encontrados

quando a mesma está sujeita ao carregamento distribuído.

Figura 7.3.2 – Comparativo de resultados: Elemento de Placa DKT

120

Verifica-se ainda que à medida que se aumenta a rigidez da estrutura, os valores

dos deslocamentos no ponto central da estrutura sempre diminuem, diferentemente do

que ocorre para o carregamento distribuído que apresenta um patamar de mudanças

constante.

Da mesma forma que já foi observado no exemplo 7.2, para a espessura

‘h=2,71m’, verifica-se que os valores encontrados para o deslocamento nas duas

modelagens são os mesmos e que a partir dessa espessura, a modelagem estendida passa

a fornecer deslocamentos maiores do que a modelagem apenas da interface placa-solo.

Após os resultados encontrados para a primeira análise, o carregamento

distribuído intermediário agora é aplicado em uma área interna da placa constituída de

32 elementos e também possui o valor equivalente à carga concentrada ‘P’ estudada no

exemplo 7.2. Ou seja, trata-se da mesma placa quadrada 20mx20m já estudada nos

exemplos 7.1 e 7.2, sujeita a um carregamento distribuído equivalente aplicado em 25

nós (nós 25 ao 49) que discretizam uma área interna de 13,33m x 13,33m = 177,78m

Esse novo carregamento distribuído ‘q

’ aplicado na área de 177,78m

é igual a q

6,75E+05 kgf/m

que resulta em uma carga concentrada equivalente ‘P’ aplicada no

centro da placa no valor de P= 1,2E+08 kgf, ver exemplo 7.2.

Para esse novo carregamento distribuído verifica-se o comportamento da placa e

os seus resultados são comparados àqueles encontrados nos exemplos anteriores. As

discretizações utilizadas são as mesmas já abordadas nos exemplos 7.1 e 7.2.

Figura 7.3.

–

Carregamento distribuído

parcialmente

aplicado em 32 elementos da

discretização.

1)Dados d

o Solo: E = 2,1E+9

gf/m

ν = 0,13.

2)Dados da Estrutura: E = 2,1E+10 kgf/m

ν = 0,25.

121

Exemplo 7.3

2,0000

4,0000

6,0000

8,0000

10,0000

12,0000

14,0000

16,0000

18,0000

20,0000

22,0000

24,0000

26,0000

28,0000

30,0000

32,0000

0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70

espessura da placa (m)

Deslocamento transversal no

centro (mm)

Discretização estendida com carregamento distribuído intermediário q32

Discretização da interface placa-solo com carregamento distribuído intermediário q32

Discretização estendida com carga concentrada equivalente

Discretização da interface placa-solo com carga concentrada equivalente

Quando a placa está sujeita ao carregamento distribuído intermediário ‘q

’

atuando na área pintada de laranja, ver figura 7.3.3, é possível proceder uma análise da

figura 7.3.4 onde verifica-se que o valor do deslocamento no ponto central da placa é

sempre um pouco maior para a discretização estendida e, observa-se que seus valores

diminuem à medida que se aumenta a espessura/rigidez da placa. Comparando-se o

comportamento gráfico desse exemplo com o do exemplo 7.1 verifica-se que até a

espessura ‘h=1,50m’ o deslocamento central da placa praticamente não se altera,

idêntico ao que ocorreu para o exemplo 7.1, onde o carregamento distribuído ‘q’ é

Deslocamento transversal (mm)

espessura da placa (m) Situação 1 Situação 2 Situação 3 Situação 4

0,20 5,8197 5,5251 25,5215 30,8537

0,50 5,8199 5,5285 23,7510 28,2426

1,00 5,8310 5,5427 17,1510 19,4736

1,50 5,8246 5,5237 12,2695 13,1340

2,50 5,5428 5,1767 7,5063 7,5739

5,00 4,4347 3,9247 3,9224 3,6508

Situação 1: Discretização estendida com carregamento distribuído intermediário ‘ q32’

Situação 2: Discretização da interface placa-solo com carregamento distribuído intermediário ‘q32’

Situação 3: Discretização estendida com carga concentrada equivalente ‘P’

Situação 4: Discretização da interfac

e placa

solo com carga concentrada equivalente ‘P’

abela 7.

–

Resultados para a duas modelagens: comparação entre o carregamento

distribuído intermediário q

e a carga concentrada equivalente.

Figura 7.3.4 – Comparativo de resultados: Elemento de Placa DKT

122

aplicado em toda a área da placa. Nas figuras 7.3.5 e 7.3.6 mostra-se a variação do

deslocamento transversal no ponto ‘P’ localizado no centro da placa para os 4(quatro)

tipos de carregamento apresentados nesse capítulo, respectivamente para as

discretizações estendida e da interface placa-solo.

7.4 – CONSIDERAÇÕES SOBRE OS RESULTADOS

De posse dos resultados obtidos do processamento dos exemplos neste capítulo

apresentados, pode-se determinar gráficos comparativos na intenção de verificar a

tendência do comportamento estrutural na iteração solo-estrutura proposta. As figuras

7.3.5 e 7.3.6 trazem os gráficos comparativos com os resultados das discretizações

escolhidas, visualizando os valores de deslocamentos transversais no ponto central da

placa estudada.

Discretização estendida

2,0000

3,0000

4,0000

5,0000

6,0000

7,0000

8,0000

9,0000

10,0000

11,0000

12,0000

13,0000

14,0000

15,0000

16,0000

17,0000

18,0000

19,0000

20,0000

21,0000

22,0000

23,0000

24,0000

25,0000

26,0000

0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70

espessura da placa (m)

Carregamento distribuído aplicado em toda a área da placa Carga concentrada equivalente 'P' aplicada no centro da placa

Carregamento distribuído intermediário 'q8' Carregamento distribuído intermediário 'q32'

Figura 7.3.5

–

Comparativo de resultados

para a discretização estendida da

análise sujeita a diversos tipos de carregamento.

123

Discretização da interface placa-solo

2,0000

3,0000

4,0000

5,0000

6,0000

7,0000

8,0000

9,0000

10,0000

11,0000

12,0000

13,0000

14,0000

15,0000

16,0000

17,0000

18,0000

19,0000

20,0000

21,0000

22,0000

23,0000

24,0000

25,0000

26,0000

27,0000

28,0000

29,0000

30,0000

31,0000

32,0000

0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70

espessura da placa (m)

Carregamento distribuído aplicado em toda a área da placa Carga concentrada equivalente 'P' aplicada no centro da placa

Carregamento distribuído intermediário 'q8' Carregamento distribuído intermediário 'q32'

A análise dos gráficos mostrados nas figuras 7.3.5 e 7.3.6 leva a algumas

conclusões importantes para a análise solo-estrutura modelada a partir de elementos

finitos de placa:

1) Verifica-se que o deslocamento transversal no centro da placa possui uma

variação muito grande quando da aplicação da carga concentrada equivalente à medida

que se aumenta a espessura da placa. Devido ao aumento da rigidez da placa no

processo de acoplamento, à medida que se aumenta a espessura da mesma, o

deslocamento transversal da placa diminui consideravelmente variando de 25,5mm para

‘h=0,2m’ até 3,9mm para ‘h=5m’.

2) Após uma comparação entre os gráficos da figura 7.3.5 para a discretização

estendida com os gráficos da figura 7.3.6 para a discretização da interface placa-solo,

observa-se, ainda, que apenas para a carga concentrada equivalente aplicada no centro

da placa os valores dos deslocamentos para a discretização estendida são menores que

os valores para a discretização da interface placa-solo.

3) Para as duas discretizações, verifica-se que à medida que o carregamento

aplicado passa a ser distribuído na área da placa, desde o carregamento ‘q

’ atuando em

apenas 8 elementos até o carregamento ‘q’ atuando na área total da mesma, os valores

Figura 7.3.6

–

Comparativo de resultados

para a discretização da interface placa

solo da análise sujeita a diversos tipos de carregamento.

124

dos deslocamentos transversais passam a ter uma variação cada vez menor no seu

comportamento.

Para o carregamento distribuído intermediário ‘q

’, ver exemplo 7.3, o

deslocamento praticamente permanece constante até a espessura da placa de ‘h=0,5m’.

A partir dessa espessura os valores do deslocamento transversal começam a diminuir

com o aumento da rigidez da estrutura.

Para o carregamento distribuído intermediário ‘q

’, ver exemplo 7.3, o

deslocamento praticamente não varia até a espessura da placa de ‘h=1,5m’.

Já para o carregamento distribuído ‘q’, ver exemplo 7.1, o deslocamento

permanece constante também até a espessura da placa de ‘h=1,5m’. Porém, verifica-se

que à medida que se aumenta a rigidez da estrutura, a variação do deslocamento para

esse carregamento é muito menor quando comparada com a variação do deslocamento

transversal para o carregamento intermediário ‘q

’.

4) Por fim, pode-se concluir que, para os três tipos de aplicação do carregamento

distribuído ‘q

’, ‘q

’ e ‘q’ os valores dos deslocamentos são inversamente

proporcionais à área de atuação do carregamento. Ou seja, quanto menor a área de

aplicação do carregamento, se aproximando de uma carga concentrada, maior são os

valores encontrados para o deslocamento da placa.

Conforme já comentado no capítulo 5, para o acoplamento entre os métodos

utilizado nesse trabalho, a formulação do Método dos Elementos de Contorno (MEC)

foi analisada através de elementos de contorno triangulares planos contínuos,

diferentemente do tipo de elemento utilizado para a análise de estruturas e meios semi-

infinitos apenas pelo MEC como mostrado, por exemplo, nos exemplos do capítulo 3.

O elemento de contorno contínuo, conforme mostrado na seção 3.5.2 desse

trabalho, possui os nós funcionais coincidentes com os nós geométricos, ou seja, não se

permite a modelagem direta de contornos descontínuos através desse elemento.

Para esse elemento, considera-se a utilização de nó duplo para os nós que

pertencem a dois ou mais elementos ao mesmo tempo e/ou pertença a duas sub-regiões

distintas.

125

8 – CONSIDERAÇÕES FINAIS

O principal objetivo do trabalho foi o estudo da interação solo-estrutura para problemas de

engenharia utilizando-se uma formulação conjunta do MEC e do MEF para analisar o

comportamento mecânico dos meios envolvidos, como também o desenvolvimento de códigos

computacionais para o estudo de exemplos de engenharia e o desenvolvimento de estudos para o

acoplamento dos dois métodos.

A partir do desenvolvimento da formulação tridimensional elastostática do Método dos

Elementos de Contorno (MEC) caracterizada pela utilização da solução fundamental de Kelvin e

das equações integrais de contorno apresentadas no trabalho, pode-se analisar o solo como um

meio elástico e estático caracterizado por um domínio estendido ao espaço infinito ou semi-

infinito. Desta forma, foi elaborado um programa computacional, utilizando o MatLab para

analisar o comportamento mecânico do solo a partir da aplicação de diversos tipos de

carregamento sobre a superfície do mesmo, como também estruturas solicitadas à tração e flexão

utilizando a formulação do MEC.

A formulação utilizada, bem como as discretizações, trazem resultados coerentes, próprias

para análises de problemas de engenharia.

Um outro código computacional definido a partir da formulação do MEF, discretizado por

elementos finitos DKT (discrete Kirchhoff triangle) que utiliza discretamente a teoria de placas de

Kirchhoff foi desenvolvido para analisar estruturas de placa a partir do cálculo da matriz de rigidez

do elemento em coordenadas locais e globais, visando o estudo dos deslocamentos da estrutura.

Os exemplos processados e analisados pela formulação do MEF demonstram a adequação

do elemento de placa DKT.

A análise da interação solo-estrutura pode ser definida a partir do acoplamento dos dois

modelos computacionais já implementados, utilizando a técnica de sub-regiões e a aplicação de

compatibilidade geométrica e condições de equilíbrio sobre toda a superfície de contato entre os

meios (solo e estrutura).

Alguns exemplos numéricos foram processados visando a validação dos códigos

computacionais e dos resultados encontrados. Foram processados problemas de engenharia

envolvendo apenas a utilização das formulações do MEF e do MEC separadamente e, em seguida,

foram analisados problemas do acoplamento MEC/MEF para estudo de placas em contato com o

solo.

126

A partir dos exemplos processados, verifica-se que, para a placa em contato com o solo

sujeita a carregamento distribuído em toda a sua área, os deslocamentos transversais permanecem

inalterados quando se aumenta a espessura da placa até ‘h=1,5m’. Quando da aplicação da carga

concentrada equivalente atuando no centro da placa constata-se que tal fato não ocorre, ou seja, os

deslocamentos sempre diminuem à medida que se aumenta a rigidez da estrutura.

Após os resultados analisados para os exemplos 7.1 e 7.2, fez-se simulação mostrada no

exemplo 7.3, onde a estrutura passa a ser solicitada por dois tipos de carregamento distribuído

intermediário ‘q

’ e ‘q

’. O objetivo dessa aplicação foi verificar o comportamento da placa em

uma situação intermediária de carregamento, à medida que se aumenta a área de atuação desse

carregamento. Após as análises, observa-se que os deslocamentos transversais permanecem

constantes até a espessura de ‘h=0,5m’ para o carregamento ‘q

’ e ‘h=1,5m’ para o carregamento

‘q

’.

Após todas as análises, observa-se que os resultados encontrados nesse trabalho foram

coerentes e satisfatórios, onde fica bem claro o comportamento do elemento de placa na análise da

interação solo-estrutura estática e linear.

Sugere-se para próximas pesquisas o desenvolvimento de estudos de problemas de análise

solo-estrutura com a utilização de elementos de casca, onde os efeitos de membrana são

considerados a partir da existência de carregamentos cisalhantes originando deslocamentos axiais

na placa, o estudo de análises dinâmicas e não-lineares para o meio semi-infinito (solo), bem como

a utilização da solução fundamental de Mindlin na formulação do Método dos Elementos de

Contorno também são propostas para futuros trabalhos de continuidade da presente pesquisa.

127

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VOLTERRA, V. (1956). Opere mathematiche. Acad. Naz. Lincei, 2: 216-275, Rome.

VON ESTORFF, O. & FIRUZIAN, M. (2000). Coupled BEM/FEM approach for nonlinear

soil/structure interaction. Engineering Analysis with Boundary Elements, v. 24, pp. 715-725.

WOOD, L.A. & CREED, S.G. (1982). The application of boundary elements in offshore

engineering. In: BREBBIA, C.A., ed. Boundary element methods in engineering. Springer-

Verlag.

ZIENKIEWICZ, O. C. & TAYLOR, R.L. (1989). The Finite Element Method, 4 ed. v. 1, Basic

Formulation and Linear Problems. London, McGraw Hill.

133

ZIENKIEWICZ, O.C., KELLY, D.W. & BETTESS, P. (1977). The coupling of the finite element

method and boundary solution procedures. International Journal for Numerical Methods in

Engineering, v.11, p.355-75.

134

ANEXO A

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

A integração numérica é utilizada quando o cálculo de integrais é difícil, ou mesmo

impossível de se resolver analiticamente. Desta forma, este cálculo é resolvido numericamente,

através do desenvolvimento da integral através de uma soma ponderada em diversos pontos de

integração Gaussiana. Existem diversos métodos de integração numérica na literatura, porém neste

trabalho é utilizado o método da Quadratura Gaussiana. Este método é baseado na escolha de n

pontos adequados e eqüid istantes, onde cada ponto possui um peso correspondente que

chamaremos de

w , de modo que a fórmula para a quadratura seja exata para o polinômio de

maior grau 2n –1. Na quadratura de Gauss-Legendre a integração é efetuada no intervalo de

variação das coordenadas naturais, ou seja, de -1 a 1, ver figura (3.5.5).

Para o caso de elementos retos unidimensionais, as integrais podem ser escritas através da

utilização das coordenadas naturais, conforme mostrado a seguir

∫

∑

+==

nkk

E )f(Jw dJ)f( I ξξξ (A.1)

onde n é o número de pontos de integração,

ξ é a coordenada natural do ponto de integração k,

w é o peso de Gauss no referido ponto,

o jacobiano da transformação de coordenadas e

E o

erro residual, que pode ser encontrado em BREBBIA & DOMINGUEZ (1989).

As coordenadas naturais para o elemento unidimensional reto depende das funções de

interpolação. Neste trabalho estão sendo utilizadas funções de interpolação lineares, desta forma,

as coordenadas naturais podem ser definidas como:

- 1

(A.2a-b)

135

Os valores de

we ξ

são listados na tabela A.1. Pode-se notar que os valores de

são

simétricos com relação a

e, para dois valores simétricos o valor do peso de Gauss é o

mesmo, ver a tabela abaixo.

ξ±

n =2

0.577350269189626 1.000000000000000

n = 3

0.000000000000000 0.888888888888888

0.774596669241483 0.555555555555555

n = 4

0.339981043584856 0.652145154862546

0.861136311594053 0.347854845137454

n = 5

0.000000000000000 0.568888888888889

0.538469310105683 0.478628670499366

0.906179845938664 0.236926885056189

n = 6

0.238619186083197 0.467913934572691

0.661209386466265 0.360761573048139

0.932469514203152 0.171324492379170

n = 7

0.000000000000000 0.417959183673469

0.405845151377397 0.381830050505119

0.741531185599394 0.279705391489277

0.949107912342759 0.129484966168870

n = 8

0.183434642495650 0.362683783378362

0.525532409916329 0.313706645877887

0.796666477413627 0.222381034453374

0.960289856497536 0.101228536290376

n = 9

0.000000000000000 0.330239355001260

0.324253423403809 0.312347077040003

0.613371432700590 0.260610696402935

0.836031107326636 0.180648160694857

0.968160239507626 0.081274388361574

n =10

0.148874338981631 0.295524224714753

0.433395394129247 0.269266719309996

0.679409568299024 0.219086362515982

0.865063366688985 0.149451349150581

0.973906528517172 0.066671344308688

Tabela A.1 – Valores das coordenadas naturais e dos pesos de Gauss.

136

ANEXO B

CONSIDERAÇÕES PARA O ELEMENTO DKT

As funções de forma para o elemento DKT, como já definidas na equação (4.2.3.7), são

) - 1(4 N

) - - (14 N

4 N

- 2 N

) 2( ) 3( - 1 N

ηξξ

ηξη

ξη

ηη

ξξ

ηξηξ

−=

+++=

(B.1)

onde

são as coordenadas de área já mostradas no capítulo 4 deste trabalho.

As derivadas das funções

H e H em relação a

são encontradas a partir da equação

(4.2.3.16a-f) encontrando os seguintes resultados:

























+++

++++

ηξ

ηξξ

ηξ

ηξηξ

ηξ

)q - (q -

)r - (r

) t (t -

)q - (q - )2 - (1q -

)r - (r )2 - (1r 1-

) t (t )2 - (1t-

)q (q )2 - (1q -

)r (r - )2 - (1r 1

) t- (t )2 - (1t

)r - (r -

)q - (q

)P (P -

)r - (r )2 - (1r 6 2-

)q - (q - )2 - (1q

)P (P )2 - (1P-

)r (r - )2 - (1r ) 6( 4-

)q (q - )2 - (1q

)P - (P )2 - (1P

646

656

646

466

646

656

(B.2a-b)

137

























+++

+−

++++

ξη

ξηη

ξη

ξηηξ

ξη

)q - (q - )2 - 1(q -

)r - (r )2 - 1(r 1-

) t (t - )2 - (1 t

)q - (q -

)r - (r

) t (t

)q (q )2 - (1q -

)r (r - )2 - (1r 1

) t- (t - )2 - (1t-

)r - (r )2 - (1r 6 2 -

)q - (q )2 1(q

)P (P - )2 - (1P

)r - (r

)q - (q

)P (P

)r (r - )2 - (1r ) 6( 4-

)q (q - )2 - (1q

)P - (P - )2 - (1P-

545

655

565

545

455

655

565

(B.3a-b)

onde:

;

e;d6

6y-

;4b

y3x

;6a

6x-

ijij

(B.4a-d)

sendo k = 4, 5, 6 para ij = 23, 31, 12, respectivamente.

Utilizando as expressões acima e a equação (4.2.3.19a-b), a matriz B é encontrada e

conseqüentemente a matriz de rigidez do elemento DKT e os momentos fletores em qualquer

ponto do elemento.

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