( PDF ) Caracterização de tecidos mamários através de modelos estatísticos utilizando o espalhamento de raios-x

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

FACULDADE DE FILOSOFIA CIÊNCIAS E LETRAS DE RIBEIRÃO

PRETO

DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA

DIEGO MERIGUE DA CUNHA

CARACTERIZAÇÃO DE TECIDOS MAMÁRIOS ATRAVÉS

DE MODELOS ESTATÍSTICOS UTILIZANDO O

ESPALHAMENTO DE RAIOS-X

RIBEIRÃO PRETO

2006

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DIEGO MERIGUE DA CUNHA

CARACTERIZAÇÃO DE TECIDOS MAMÁRIOS ATRAVÉS

DE MODELOS ESTATÍSTICOS UTILIZANDO O

ESPALHAMENTO DE RAIOS-X

Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em

Física Aplicada à Medicina e Biologia da Faculdade de

Filosofia Ciências e Letras de Ribeirão Preto, da

Universidade de São Paulo, como requisito para a

obtenção do título de Mestre em Ciências.

Orientador: Prof. Dr. Martin Eduardo Poletti.

RIBEIRÃO PRETO

2006

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AGRADECIMENTOS

A Deus, pelas oportunidades que me são concedidas;

À minha família, pelo apoio incondicional em todos os momentos;

À Alessandra Tomal, pelo companheirismo, pela amizade e por fazer parte da minha vida;

Ao Prof. Dr. Martin Eduardo Poletti, pela orientação deste trabalho;

Ao Prof. Dr. Carlos Júlio Tierra-Criollo, pelos esclarecimentos a respeito da aplicação de

técnicas multivariadas de análise de dados;

Ao Prof. Dr. Alfredo Ribeiro-Silva, pelos esclarecimentos e discussões sobre as

características histopatológicas das doenças de mama;

Ao Departamento de Patologia da Faculdade de Medicina de Ribeirão Preto, por fornecer os

materiais analisados neste trabalho;

Aos professores do curso de pós-graduação em Física Aplicada à Medicina e Biologia, do

Departamento de Física e Matemática da Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de Ribeirão

Preto, que contribuíram para minha formação;

Aos amigos Paulo Petchevist, Herofen Zaias, Otávio Riani e Marina Piacenti, pela

convivência ao longo do curso;

Aos amigos André Gonçalves, Denise Assafrão, Cleverson Filgueiras, Carlos Eduardo

Galhardo e Mariana Brandão, pela amizade constante, mesmo à distância.

A CAPES, pela concessão da bolsa de pós-graduação;

A FAPESP, pelo apoio financeiro ao projeto Jovem Pesquisador “Caracterização

Histopatológica de Tecidos Mamários Através da Radiação Secundária”, nº do processo:

02/00380-3.

iii

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS...............................................................................................................v

LISTA DE TABELAS............................................................................................................vii

RESUMO................................................................................................................................viii

ABSTRACT .............................................................................................................................ix

1 - INTRODUÇÃO...................................................................................................................1

2 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS .........................................................................................4

2.1- Interação da Radiação com a Matéria .............................................................................4

2.1.1 – Espalhamento Elástico............................................................................................4

2.1.2 – Espalhamento Inelástico.........................................................................................9

2.2 – Comparação entre Grupos de Amostras......................................................................11

2.2.1 - Comparação Univariada........................................................................................12

2.2.2 – Comparação Multivariada ....................................................................................14

2.3 – Reconhecimento de Padrões Utilizando Análise Multivariada...................................15

2.3.1 - Análise de Componentes Principais......................................................................15

2.3.2 – Análise de Discriminante .....................................................................................18

2.4 – Critério de Classificação Histológica ..........................................................................21

2.5 – Verificação da Eficácia dos Modelos de Diagnóstico.................................................22

3 - MATERIAIS E MÉTODOS.............................................................................................24

3.1 – Coleta das Amostras de Tecido Mamários..................................................................24

3.2 – Classificação Histológica dos Tecidos Mamários.......................................................24

3.3 - Obtenção dos Perfis de Espalhamento .........................................................................25

3.3.1 – Preparação das Amostras......................................................................................25

3.3.2 - Arranjo experimental ............................................................................................25

3.4 – Pré-processamento dos Dados Experimentais.............................................................27

3.4.1 – Suavização do Ruído ............................................................................................28

3.4.2 – Correção por contribuições espúrias ....................................................................28

3.4.3 – Obtenção da Seção de Choque Diferencial de Espalhamento..............................30

3.5 – Modelos Estatísticos para Diagnóstico através dos Perfis de Espalhamento..............32

3.5.1 – Modelo de Diagnóstico utilizando Variáveis Simplificadas ................................33

3.5.2 – Modelo de Diagnóstico utilizando Componentes Principais................................35

3.5.3 – Modelo de Diagnóstico utilizando Análise de Discriminante..............................38

4 - RESULTADOS E DISCUSSÕES....................................................................................41

4.1 – Obtenção dos Perfis de Espalhamento ........................................................................41

4.1.1 - Amostras de Tecidos Mamários Analisadas .........................................................41

4.1.2 – Obtenção Experimental da Distribuição Angular de Fótons Espalhados.............42

4.2 – Pré-Processamento dos Dados Experimentais.............................................................42

4.3 – Modelos Estatísticos para Diagnóstico através dos Perfis de Espalhamento..............46

4.3.1 - Modelo de Diagnóstico utilizando Variáveis Simplificadas.................................46

4.3.2 - Modelo de Diagnóstico utilizando Componentes Principais ................................53

4.3.3 - Modelo de Diagnóstico utilizando Análise de Discriminante...............................64

5 - CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS..............................................................................75

5.1 - Conclusões ...................................................................................................................75

5.1.1 - Sobre o método de obtenção das seções de choque dσ/dΩ das amostras de tecido

..........................................................................................................................................75

5.1.2 - Sobre os modelos de diagnóstico desenvolvidos ..................................................76

5.1.3 – Conclusões Finais.................................................................................................77

5.2 – Perspectivas .................................................................................................................78

6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................79

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Fator de forma e função de espalhamento incoerente da molécula de H

O. F

mol

(x)

foi obtido utilizando distribuição de densidade eletrônica. e foram obtidos

através do modelo atômico independente (MORIN, 1982)................................................7

)(xF

MAI

mol

)(xS

MAI

mol

Figura 2.2 – Seção de choque diferencial molecular em 17,44 keV. As curvas foram obtidas

utilizando: (i) F

mol

(x), (ii) e (iii) ...............................................................8

)(xF

MAI

mol

)(xS

MAI

mol

Figura 2.3 – Seção de choque diferencial elástica para água líquida a 20ºC (MORIN,1982),

molécula de água (MAI), Tecido mamário normal (50% adiposo e 50% glandular)

(POLETTI, GONÇALVES E MAZZARO, 2002a) e seção de choque diferencial

inelástica para molécula de água (MAI) obtida para 17,44 keV. .......................................8

Figura 2.4 – Componentes principais CP

e CP

obtidos para o conjunto de dados definidos

pelas variáveis X

e X

(JOHNSON E WICHERN, 2002). .............................................17

Figura 2.5 – Função discriminante Z que otimiza a separação entre duas populações

bivariadas (JOHNSON E WICHERN, 2002)...................................................................20

Figura 3.1 – Porta-amostra utilizado. .......................................................................................25

Figura 3.2 – Arranjo experimental para as medidas de difração de raios-X. ...........................26

Figura 3.3 – Área do tecido irradiada.......................................................................................26

Figura 3.4 - (a) Representação esquemática do arranjo experimental utilizado para medida das

amostras de tecido. (b) Contribuição de cada parte do arranjo ao espalhamento.............29

Figura 3.5 - Arranjo experimental utilizado para medida do espalhamento (a) do ar, (b) do

porta-amostra e (c) do filme de PVC................................................................................30

Figura 3.6 – Variáveis selecionadas a partir das curvas de espalhamento. ..............................33

Figura 4.1 – Quantidade de amostras analisadas. TN = tecidos normais, FA = fibroadenomas,

CDIS = carcinoma ductal “in situ”, CDI, CDII, CDIII = carcinomas ductais de grau I, II

e III respectivamente e CM = carcinoma mucinoso.........................................................41

Figura 4.2 – Distribuição angular dos fótons espalhados. (a) Água, (b) Tecido Adiposo

Normal, (c) Neoplasia benigna (fibroadenoma) e (d) maligna (carcinoma ductal grau III).

..........................................................................................................................................42

Figura 4.3 – Seção de choque diferencial de espalhamento para água líquida, comparada com

o resultado obtido através do fator de forma tabulado por Morin (MORIN, 1982).........43

Figura 4.4 - Valores médios das seções de choque diferencial de espalhamento dos tipos de

tecidos analisados. ............................................................................................................44

Figura 4.5 - Seção de Choque para tecidos normais com diferentes componentes histológicos.

..........................................................................................................................................44

Figura 4.6 – Perfil de espalhamento de fibroadenomas com presença de células adiposas.....45

Figura 4.7 - Perfil de espalhamento médio dos diferentes tipos de carcinomas analisados.....46

Figura 4.8 – Box-plot das variáveis P

, P

, I

, LMA, e I

.................................................47

Figura 4.9 - Intervalos de Confiança construídos para α=0,05................................................50

Figura 4.10 – Gráfico de LMA×I

, mostrando as coordenadas de cada grupo. .......................51

Figura 4.11 – Teste de Kruskal-Wallis comparando TN, FA e C em cada ângulo de

espalhamento. ...................................................................................................................54

Figura 4.12 – (a) Porcentagem de variância p

correspondente a cada autovalor. (b)

Porcentagem de variância acumulada...............................................................................55

Figura 4.13 – Componentes Principais obtidas da matriz S total dos grupos TN, FA e C.......56

Figura 4.14 – Posição das amostras no espaço CP

×CP

. ........................................................58

Figura 4.15 - (a) Porcentagem de variância p

correspondente à cada autovalor. (b)

Porcentagem de variância acumulada...............................................................................60

Figura 4.16 - Componentes Principais obtidas pela matriz R total dos grupos TN, FA e C....60

Figura 4.17 - Posição das amostras no espaço CP

×CP

..........................................................62

Figura 4.18 – Comparação múltipla entre os grupos nas funções discriminantes Z

e Z

........66

Figura 4.19 – Projeções as amostras no espaço Z

×Z

. ............................................................67

Figura 4.20 – Comparação múltipla entre os três grupos.........................................................71

Figura 4.21 – Coordenadas das amostras no espaço Z

×Z

. .....................................................72

vii

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 – Resultados possíveis num teste de diagnóstico ...................................................22

Tabela 4.1 – Teste de Kruskal-Wallis para as variáveis P

, P

, I

, LMA, e I

. ................48

Tabela 4.2 – Classificação das amostras utilizando LMA e I

. ................................................52

Tabela 4.3 – Processo de validação cruzada das variáveis LMA e I

. .....................................52

Tabela 4.4 – Validação e reprodutibilidade do teste de diagnóstico ........................................53

Tabela 4.5 – Teste de Kruskal-Wallis para as primeiras 8 componentes principais da matriz S.

..........................................................................................................................................57

Tabela 4.6 – Classificação das amostras utilizando CP

e CP

. ...............................................58

Tabela 4.7 – Validação cruzada do método classificatório. .....................................................59

Tabela 4.8 – Validação e reprodutibilidade do modelo de diagnóstico....................................59

Tabela 4.9 - Teste de Kruskal-Wallis para as primeiras 8 componentes principais da matriz R.

..........................................................................................................................................61

Tabela 4.10 – Classificação das amostras utilizando CP

e CP

. .............................................62

Tabela 4.11 – Validação cruzada do método classificatório. ...................................................63

Tabela 4.12 – Validação e reprodutibilidade do modelo de diagnóstico..................................63

Tabela 4.13 – Variáveis utilizadas no cálculo de Z

e Z

no método direto. ............................64

Tabela 4.14 – Autovalores da matriz W

-1

B. .............................................................................64

Tabela 4.15 – Elementos da matriz de coeficientes a...............................................................65

Tabela 4.16 – Teste de Kruskal-Wallis entre TN, FA e C nas variáveis Z

e Z

......................66

Tabela 4.17 – Teste

de Wilks entre os grupos na distribuição bivariada formada por Z

e Z

..........................................................................................................................................66

Tabela 4.18 – Classificação das amostras utilizando Z

e Z

....................................................67

Tabela 4.19 – Validação cruzada do método classificatório. ...................................................68

Tabela 4.20 – Validação e reprodutibilidade do modelo de diagnóstico..................................69

Tabela 4.21 – Variáveis selecionadas para o cálculo das funções discriminantes. ..................70

Tabela 4.22 – Autovalores da matriz W

-1

B. ............................................................................70

Tabela 4.23 – Coeficientes da matriz a. ...................................................................................70

Tabela 4.24 – Teste de Kruskal-Wallis entre TN, FA e C........................................................71

Tabela 4.25 – Teste

de Wilks para a distribuição bivariada formada por Z

e Z

.................71

Tabela 4.26 – Classificação das amostras utilizando Z

e Z

....................................................72

Tabela 4.27 – Validação cruzada do método classificatório. ...................................................73

Tabela 4.28 – Validação e reprodutibilidade do modelo de diagnóstico..................................74

viii

RESUMO

CUNHA, D. M. Caracterização de Tecidos Mamários através de Modelos Estatísticos

Utilizando Espalhamento de Raios-X. [Dissertação]. Ribeirão Preto: Faculdade de Filosofia

Ciências e Letras de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo; 2006. 90 p.

Em um exame mamográfico, quando os fótons de raios-X incidem sobre a mama, uma parte

destes fótons é transmitida sem ser desviada da trajetória inicial (radiação transmitida

primária), permitindo a formação da imagem mamográfica, e outra é dispersa de sua trajetória

inicial pelo tecido (radiação espalhada), atuando de forma deletéria na imagem mamográfica.

Entretanto, recentes investigações têm demonstrado que a radiação espalhada pode ser útil na

caracterização de tecidos. O objetivo deste trabalho é desenvolver um modelo de diagnóstico

de alterações no tecido mamário utilizando as informações presentes na distribuição angular

da radiação espalhada (perfil de espalhamento). Os perfis de espalhamento de 40 amostras de

tecidos mamários foram obtidos utilizando um difractômetro comercial SIEMENS D5005,

operando em modo reflexão na energia de 8,04 keV e variando o detector da posição angular

de 5º a 150º, correspondendo a um intervalo de x de 0,03Å

-1

a 0,62 Å

-1

. As amostras de tecido

foram previamente classificadas histopatologicamente como tecidos normais, fibroadenomas

(neoplasias benignas) e diferentes tipos de carcinomas (neoplasias malignas). Neste trabalho,

três modelos de diagnóstico baseados na análise estatística dos perfis de espalhamento foram

desenvolvidos. O primeiro, analisa seis parâmetros extraídos dos perfis de espalhamento, já o

segundo e o terceiro utilizam análise multivariada (análise de componentes principais e

análise de discriminante, respectivamente) para reconhecimento de padrões. Para cada

modelo, valores de sensibilidade, especificidade e índice de concordância entre o diagnóstico

baseado no modelo utilizado e o diagnóstico histopatológico foram obtidos. Dentre os

modelos desenvolvidos, aquele que utiliza análise de discriminante proporciona o melhor

diagnóstico das alterações encontradas no tecido, permitindo diferenciar tecidos normais e

neoplasias benignas e malignas. Com base nos resultados obtidos conclui-se que modelos

baseados na análise estatística dos perfis de espalhamento permitem classificar

histologicamente tecidos mamários.

Palavras-chaves: Câncer de mama; Espalhamento de raios-x; Análise estatística multivariada;

Materiais amorfos.

ABSTRACT

CUNHA, D. M. Breast Tissue Characterization by Statistical Models Using X-Ray

Scattering. [Dissertation]. Ribeirão Preto: Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de

Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo; 2006. 91 p.

In mammography, when x-ray photons reach the breast, a fraction of these photons is

transmitted without interaction with any tissues (primary transmitted radiation), allowing the

formation of the mammographic image, and another fraction of them is deviated by the tissue

from its initial trajectories (scattered radiation), reducing the image contrast. However, recent

investigations have demonstrated that scattered radiation can be a useful diagnostic tool. The

purpose of this work is to develop a diagnostic model for breast tissue characterization using

the angular distribution of the scattered radiation (scattering profile). The scattering profiles of

40 breast tissue samples were obtained in a SIEMENS D5005 diffractometer, operating in

reflection mode at 8,04keV, and varying the angular position of the detector from 5º to 150º,

corresponding to an x interval from 0,03 Å

-1

to 0,62 Å

-1

. All tissue samples were previously

classified histopathologically as normal tissues, fibroadenomas (benign alteration) and several

types of carcinomas (malignant alteration). Three models of diagnostic based on the statistical

analysis of the scattering profiles were developed. The first one was constructed using six

parameters extracted from the scattering profiles and the second and third models used the

whole information from the scattering profiles. The latter two used multivariate analysis

(principal component analysis and discriminant analysis, respectively) for pattern recognition.

For each model, values of sensitivity, specificity and rate of agreement between the model

diagnostic and histopathological results were obtained. Among the developed models, the

discriminant analysis provides the best diagnostic of the lesions present in the tissues (normal

tissues, benign and malignant alterations). From the results, it is possible to conclude that

models based on the statistical analysis of the scattering profiles allow the histological

classification of breast tissues.

Keywords: Breast Cancer; X-ray scattering; Multivariate statistical analysis; Amorphous

materials.

CAPÍTULO 1

1 - INTRODUÇÃO

INTRODUÇÃO

O câncer de mama é o segundo tipo de câncer mais freqüente em todo o mundo, e o

primeiro entre as mulheres (INSTITUTO NACIONAL DE CÂNCER, 2005). Embora a

epidemiologia da doença ainda não seja totalmente conhecida, sabe-se que certos fatores

tendem a aumentar o risco do seu surgimento, como por exemplo, idade e histórico familiar

(MCPHERSON, STEEL e DIXON, 2000).

A detecção precoce do câncer de mama é a forma mais eficaz de diminuir a taxa de

mortalidade e aumentar a sobrevida dos pacientes (INSTITUTO NACIONAL DE CÂNCER,

2005), sendo a mamografia a técnica mais utilizada para este fim (SEIDMAN E

MUSHINSKI, 1983; TABAR ET AL, 1985). Entretanto, apesar de ser eficiente em evidenciar

a existência de alterações na mama, esta técnica não permite o diagnóstico dessas alterações,

sendo incapaz de diferenciar precisamente entre alterações benignas e malignas. A função de

classificar estas alterações é desempenhada por médicos histopatologistas através da análise

histológica de pequenas amostras de tecido (biópsias) (TABAR ET AL, 1985).

Num exame mamográfico, o feixe de raios-X ao incidir sobre a mama vai sendo

atenuado à medida que atravessa o tecido, e a fração da radiação que chega ao detector (filme

radiográfico) forma a imagem mamográfica. Entretanto, alguns fótons ao interagirem com o

tecido, sofrem dispersão (processo de espalhamento). Esta radiação espalhada incidente no

filme radiográfico sempre foi considerada um problema a ser minimizado, por ser a

responsável pela diminuição da resolução e contraste da imagem. Muitos esforços têm sido

feitos na tentativa de reduzir a quantidade de radiação espalhada que chega ao filme

(BARNES, 1991).

Entretanto, o conceito de considerar o espalhamento de raios-X como uma

desvantagem vem mudando ultimamente, devido a dois fatores importantes (HARDING

KOSANETSKY E NEITZEL, 1987; SPELLER E HORROCKS, 1991): (i) os fótons

espalhados carregam informação sobre a estrutura presente nos tecidos do paciente

(informação que não é considerada na radiografia convencional) e (ii) na maioria das energias

Introdução

usadas nas aplicações médicas, a interação mais provável é o espalhamento (elástico +

inelástico). Estes fatos levaram a se pesquisar as propriedades de espalhamento dos diferentes

tecidos, com a obtenção de medidas precisas dos perfis de espalhamento dos diferentes

tecidos humanos, e em particular os perfis de tecidos mamários (POLETTI ET AL, 2002).

Recentes investigações vêm apontando para a possibilidade de se caracterizar um

tecido utilizando informações sobre o espalhamento elástico de raios-X (KIDANE ET AL,

1999; SPELLER, 1999; POLETTI, 2001; POLETTI ET AL, 2002; POLETTI, GONÇALVES

E MAZZARO, 2002a; POLETTI, GONÇALVES E MAZZARO, 2002b; OLIVEIRA, 2006).

Nestes trabalhos, fica evidente a diferença entre o perfil de espalhamento de tecidos normais e

alterados, mas nota-se que há pouca diferença entre o perfil de alterações benignas e

malignas.

A proposta deste trabalho é desenvolver um método de análise que permita a

classificação histológica dos tecidos mamários, através de seus perfis de espalhamento. O

objetivo é evidenciar diferenças não apenas entre tecidos normais e alterados, mas possibilitar

a identificação da alteração como benigna ou maligna.

Para isso, obteve-se experimentalmente o perfil de espalhamento de amostras de tecido

mamário de diferentes classificações histológicas, e dentre as várias formas de se buscar a

identificação de padrões num conjunto de dados (JAIN ET AL, 2000), optou-se pela

abordagem estatística, aplicando a estes perfis procedimentos estatísticos para

reconhecimento de padrões, e testes de hipóteses para comparar grupos de amostras. As

técnicas para reconhecimento de padrões basearam-se em métodos multivariados, em

particular a análise de componentes principais e a análise de discriminante.

O trabalho foi organizado da seguinte forma:

O capítulo 2 faz uma breve descrição dos conceitos teóricos em que este trabalho está

baseado. São descritos processos de interação da radiação com a matéria, em particular as

características do processo de espalhamento elástico e inelástico em átomos e moléculas.

Descrevem-se também as formas de comparar grupos de amostras através de testes

estatísticos, bem como as técnicas aplicadas a fim de reconhecer padrões de comportamento

num conjunto de dados. Além disso, descreve-se também o critério de classificação

histológica adotado, e alguns parâmetros utilizados para testar a eficiência e confiabilidade de

um teste de diagnóstico.

No capítulo 3 são apresentados os tipos de tecidos mamários analisados, o arranjo

experimental utilizado para medida dos perfis de espalhamento, o processo de tratamento dos

dados experimentais, a metodologia de construção dos modelos de diagnóstico utilizando

Introdução

métodos estatísticos de reconhecimento de padrões, e por fim o processo de análise e

validação dos modelos desenvolvidos.

O capítulo 4 apresenta os resultados obtidos. Primeiramente são mostrados os perfis de

espalhamento obtidos experimentalmente para as amostras de tecidos mamários analisadas.

Em seguida, os resultados obtidos ao longo da construção dos modelos de diagnóstico, e a

avaliação da eficiência destes modelos na caracterização histológica das amostras de tecido.

Por fim, no capítulo 5, são apresentadas as conclusões sobre os métodos utilizados e

resultados obtidos, e as perspectivas para trabalhos futuros.

CAPÍTULO 2

2 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

2.1- Interação da Radiação com a Matéria

Os principais fenômenos de interação da radiação com a matéria, considerando a faixa

de energia utilizada em radiodiagnóstico (E<100keV), são o efeito fotoelétrico e o

espalhamento elástico e inelástico. Para fótons com energia utilizada em mamografia (17,44

keV) numa amostra de água em particular, 80,7% do total de interações ocorrem por efeito

fotoelétrico, 8,5% para o espalhamento elástico e 10,8% para o espalhamento inelástico

(JOHNS E CUNNINGHAM, 1983). Tecidos biológicos apresentam valores percentuais

semelhantes devido às altas percentagens de água em suas composições.

Neste trabalho está sendo analisada a distribuição angular dos fótons espalhados

(perfil de espalhamento) por tecidos mamários, que é governada pela seção de choque do

conjunto de moléculas que compõe o tecido. Os tópicos abaixo apresentam a descrição do

modelo teórico para a seção de choque diferencial para o espalhamento de fótons em um

sistema constituído por um conjunto de moléculas, que é o modelo teórico que mais se

aproxima do espalhamento de fótons em tecidos biológicos.

2.1.1 – Espalhamento Elástico

Quando um fóton interage com a matéria se desviando da sua trajetória inicial de

modo que ele não sofra variação na sua energia, temos o chamado espalhamento elástico ou

coerente. O campo elétrico da onda eletromagnética, com comprimento de onda λ, associado

a esse fóton dá origem a uma vibração dos elétrons presentes na matéria. Devido a essa

aceleração estes elétrons emitem uma radiação de mesmo comprimento de onda λ que a

radiação incidente (JOHNS E CUNNINGHAN, 1983).

Fundamentos Teóricos

Se o espalhamento elástico ocorre devido somente a um elétron livre, ele também

recebe o nome de espalhamento Thomson, em homenagem ao primeiro cientista que obteve a

seção de choque diferencial de espalhamento para um elétron (JOHNS E CUNNINGHAN,

1983). A seção de choque mede a intensidade da radiação espalhada, ou seja, o número de

fótons por unidade de área em função da direção de espalhamento. Thomson considerando um

feixe de fótons não polarizado e apenas suposições de física clássica obteve a seguinte

expressão

(

cos1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

)

(2.1)

onde m

1082.2

−

×==

πε

é o raio clássico do elétron e θ é o ângulo de

espalhamento.

O espalhamento elástico de fótons por um átomo livre, também chamado

espalhamento Rayleigh em homenagem ao cientista que o discutiu para a luz visível, Lord

Rayleigh (1881), ocorre quando os fótons incidentes têm sua energia conservada e sofrem

variação de momento após o espalhamento pelos elétrons ligados ao átomo. As ondas

espalhadas por cada elétron sofrem interferência construtiva devido à diferença de caminho

ótico percorrido no átomo. A seção de choque diferencial pode ser expressa na forma

()

[]

ThRay

ZxF

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σσ

, (2.2)

onde é proporcional ao momento transferido q na interação do fóton com o

átomo e a relação entre x e q é dada por

)2/(

θλ

senx

−

qx h607744.20

, onde =1,054×10h

-34

J.s.

(

)

ZxF ,

chamado fator de forma atômico, onde Z é o número atômico..

A função

(

)

ZxF ,

é a transformada de Fourier da distribuição de cargas do átomo

(HUBBELL ET AL, 1975). O fator de forma total do átomo pode ser decomposto na soma dos

fatores de forma individuais de cada camada eletrônica do átomo (HUBBELL ET AL, 1975).

Para determinar o espalhamento por uma molécula livre podem ser utilizadas três

abordagens: A aproximação mais geral utiliza a distribuição de densidade eletrônica dentro da

molécula (BLUM, 1971 apud NARTEN E LEVY, 1971). Outra aproximação possível requer

Fundamentos Teóricos

o conhecimento das distâncias atômicas dentro da molécula (DEBYE, 1915 apud NARTEN E

LEVY, 1971). Uma terceira aproximação, mais simples, supõe que o espalhamento por uma

molécula livre é composto pelas contribuições independentes de cada átomo que a compõe.

Essa última aproximação é também chamada Modelo Atômico Independente (MAI) (JAMES,

1962).

No Modelo Atômico Independente o fator de forma molecular será determinado pela

soma dos fatores de forma de cada átomo independentemente, e pode ser obtido de duas

maneiras:

(i) Se o número de átomos for conhecido, assume a forma:

)(

mol

∑

= )()(

xFnxF

iimol

(2.3)

onde F

é o fator de forma de cada átomo e n

o número de átomos de cada elemento.

(ii) Se o número de átomos for desconhecido, pode ser obtida pela fração de massa w

)(

mol

e pela massa atômica A

do átomo i:

∑

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= )(/)(

MxF

mol

(2.4)

onde M é o peso molecular (CHAN E DOI, 1983).

A seção de choque diferencial elástica para uma molécula livre é da forma:

mol

elas

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σσ

)(

(2.5)

A figura 2.1 mostra o comportamento da função para molécula de água

utilizando a distribuição de densidade de carga eletrônica (BLUM apud NARTEN E LEVY,

1971) e o modelo atômico independente (HUBBELL ET AL, 1975). A seção de choque

diferencial elástica para molécula de água está representada na figura 2.2, calculada a partir

das duas aproximações de . Pode-se notar que as duas aproximações convergem para

o mesmo valor quando x>0,4

)(xF

mol

)(xF

mol

-1

Fundamentos Teóricos

A descrição do espalhamento por um conjunto de moléculas também pode ser obtida

através da aproximação de fator de forma. A expressão para a seção de choque diferencial

elástica por molécula é da forma:

elas

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σσ

)(

(2.6)

onde é o fator de forma equivalente que leva em conta o grau de ordem da estrutura

atômica (ou molecular).

)(xF

A figura 2.3 mostra a seção de choque elástica para água líquida a 20ºC obtida a partir

do fator de forma equivalente tabulado por Morin (MORIN, 1982). Observa-se que a função

de interferência provoca oscilações na seção de choque do conjunto de moléculas. Tais

oscilações ocorrem em torno da seção de choque da molécula livre calculada a partir do MAI,

observando-se também a existência de interferência destrutiva para valores baixos de x. Este

efeito é bem conhecido em estudos de difração por líquidos ou materiais amorfos (JAMES,

1962). Para valores de x maiores as duas curvas convergem para os mesmos valores.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

mol

(x)

MAI

mol

(x)

MAI

mol

(x)

mol

(x), S

mol

(x)

x (A

-1

)

Figura 2.1 – Fator de forma e função de espalhamento incoerente da molécula de H

O. F

mol

(x) foi

obtido utilizando distribuição de densidade eletrônica. e foram obtidos através

do modelo atômico independente (MORIN, 1982).

)(xF

MAI

mol

)(xS

MAI

mol

Fundamentos Teóricos

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Seção de Choque Diferencial

σ/dΩ) (m

/molécula.sr) x 10

-28

x (A

-1

)

(i) molécula de H

O livre

(ii) átomo de

O livre + 2 átomos livres de

(iii) H

O Incoerente

Figura 2.2 – Seção de choque diferencial molecular em 17,44 keV. As curvas foram obtidas

utilizando: (i) F

mol

(x), (ii) e (iii) .

)(xF

MAI

mol

)(xS

MAI

mol

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Seção de Choque Diferencial

σ/dΩ) (m

/molécula.sr) x 10

-28

x (A

-1

)

Água Líquida

Tecido Mamário

(50% Adiposo - 50% Glandular)

O (MAI)

O Incoerente

Figura 2.3 – Seção de choque diferencial elástica para água líquida a 20ºC (MORIN,1982),

molécula de água (MAI), Tecido mamário normal (50% adiposo e 50% glandular) (POLETTI,

GONÇALVES E MAZZARO, 2002a) e seção de choque diferencial inelástica para molécula de

água (MAI) obtida para 17,44 keV.

Fundamentos Teóricos

2.1.2 – Espalhamento Inelástico

Quando os elétrons do meio absorvem, em forma de energia cinética, parte da energia

do fóton incidente, tem-se o chamado espalhamento inelástico ou incoerente. O processo de

espalhamento inelástico foi tratado inicialmente por Compton (JOHNS E CUNNINGHAN,

1983) que considerou a radiação como pacotes de onda quantizados com energia hν. Por isso,

esse processo também recebe o nome de espalhamento Compton.

Se um fóton é espalhado por um elétron livre de forma que não ocorra conservação na

energia deste fóton, a seção de choque de espalhamento diferencial é dada por:

()

[]

()

[]

()

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+−+

−

+−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

θθα

θα

σσσ

cos1cos11

cos1

1cos11

ThKN

(2.7)

com

Essa expressão foi obtida por métodos de eletrodinâmica quântica por Klein e Nishina

em 1928 (JOHNS E CUNNINGHAN, 1983).

O espalhamento inelástico num átomo (ou Compton atômico) pode ser descrito como

uma aproximação análoga à realizada para o espalhamento Rayleigh. Definindo o fator S(x,Z),

também chamado de função do espalhamento inelástico, a seção de choque diferencial do

efeito Compton atômico pode ser escrita:

()

KNComp

ZxS

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σσ

, (2.8)

onde

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

é a seção de choque diferencial obtida para o elétron livre (eq. 2.7). O fator

é análogo ao fator de forma do espalhamento Rayleigh, e é usualmente calculado por

tratamento não-relativístico.

(

ZxS ,

)

No espalhamento inelástico de uma molécula, assim como para um átomo, cada

elétron contribui de forma independente para o espalhamento (JOHNS E YAFFE, 1983). A

seção de choque pode então ser dada como

Fundamentos Teóricos

mol

inelas

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σσ

)( (2.9)

onde é a função de espalhamento incoerente molecular, definida como

, se o número de átomos for conhecido. S

)(xS

mol

∑

= )()( xSnxS

iimol

(x) é a função de espalhamento

incoerente de cada átomo e n

o número de cada átomo na molécula (CHAN E DOI, 1983). Os

valores de S

(x) estão tabulados em Hubbell et al (HUBBELL ET AL, 1975) corrigidos pelas

energias de ligação dos elétrons.

Se o número de átomos for desconhecido, também pode ser obtida a partir da

fração de massa w

)(xS

mol

e da massa atômica A

do átomo i, através da expressão

∑

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= )(/)( xS

MxS

mol

, onde M é o peso molecular.

A função de espalhamento incoerente molecular está representada na figura

2.1, e a seção de choque diferencial inelástica molecular na figura 2.2, tendo sido obtidas

utilizando o modelo atômico independente para água.

)(xS

mol

Uma vez que no espalhamento inelástico os comprimentos de onda dos fótons

espalhados são diferentes entre si, não existe uma relação de interferência entre as várias

moléculas que compõe o conjunto. Pode-se supor que cada átomo contribui de forma

independente para o espalhamento (Modelo Atômico Independente). Assim, a seção de

choque do conjunto de moléculas, por unidade de molécula, será determinada pela soma das

seções de choque de cada átomo do sistema, da mesma forma como realizado anteriormente

para a molécula livre:

mol

inelas

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σσ

)( (2.10)

onde é a função de espalhamento incoerente molecular.

)(xS

mol

A partir da figura 2.3 vê-se que o comportamento da seção de choque, e

conseqüentemente do perfil de espalhamento, é uma função do parâmetro x. Para valores

pequenos de x a seção de choque apresenta uma dependência da distribuição espacial dos

átomos que compõe as moléculas do conjunto, e para valores maiores de x pode ser descrita

Fundamentos Teóricos

pelo Modelo Atômico Independente, ou seja, os átomos que compõe o material espalham os

fótons incidentes de forma independente uns dos outros.

No intervalo de x considerado neste trabalho espera-se observar padrões de

interferência na região de baixo x nos perfis de espalhamento elástico dos tecidos, como o

representado na figura 2.3 para tecidos mamários normais, constituídos de 50% de tecido

adiposo e 50% de glandular. Uma vez que estes padrões dependem da estrutura atômica e

molecular que compõe o tecido, espera-se encontrar diferenças nos perfis de espalhamento de

tecidos mamários normais e alterados, e utilizar estas diferenças como método de diagnóstico.

2.2 – Comparação entre Grupos de Amostras

Neste trabalho, os perfis de espalhamento obtidos experimentalmente foram divididos

em grupos, segundo sua classificação histológica (tecido normal, neoplasias benigna e

maligna). Para identificar as diferenças existentes em cada grupo, os perfis foram comparados

utilizando métodos de inferência estatística.

A estatística inferencial permite obter conclusões a respeito dos dados a partir da

formulação de hipóteses. Uma hipótese é uma suposição a ser verificada com base nos dados

observados, podendo ser aceita ou rejeitada. A veracidade de uma hipótese é verificada

através da aplicação de testes estatísticos, que a determinam probabilisticamente. Esta

probabilidade é o nível de significância do teste, definido previamente, e diz respeito à

confiabilidade do resultado. Por exemplo, um nível de significância de 0,05 diz que há 95%

de chance de a hipótese formulada para o teste estar correta (SPIEGEL, 2004).

Portanto, quando se comparam dois ou mais grupos de indivíduos, pode-se formular a

hipótese de que os grupos são iguais (hipótese nula) ou diferentes (hipótese alternativa). O

resultado do teste aplicado e o nível de significância adotado permitem tomar a decisão sobre

aceitar ou rejeitar a hipótese nula.

O tipo de teste aplicado depende do número de grupos comparados e do

comportamento da variável a ser testada. Os tópicos a seguir abordam brevemente os testes

aplicados neste trabalho. A seção 2.2.1 mostra os testes univariados utilizados neste trabalho,

ou seja, testes aplicados sobre uma única variável. A seção 2.2.2 mostra um teste multivariado

utilizado para comparação entre grupos.

Fundamentos Teóricos

2.2.1 - Comparação Univariada

Teste U de Mann-Whitney

O teste de Wilcoxon-Mann-Whitney foi desenvolvido inicialmente por F. Wilcoxon

em 1945 com o objetivo de comparar tendências centrais de dois grupos independentes com

mesmo número de elementos. Em 1947 EH. B. Mann e D. R. Whitney generalizaram o

método para grupos de tamanhos diferentes (CALLEGARI-JACQUES, 2003). O teste baseia-

se em procedimentos de soma de postos (ranks) para determinar se dois grupos são idênticos,

sem a restrição de que tenham distribuições de probabilidades conhecidas, e é análogo ao

teste-t de Student para dois grupos independentes que seguem uma distribuição normal.

Seja G

={X

, X

, ..., X

} e G

={Y

, Y

, ..., Y

} dois grupos independentes,

distribuídos segundo as funções de distribuição contínuas F

e F

, respectivamente. O

objetivo do teste então é verificar se F

(x)= F

(x), ∀ x ∈ ℜ (hipótese nula H

), ou se F

(x)>

(x), F

(x)< F

(x) ou F

(x)≠ F

(x) (hipóteses alternativas).

Combinando os dois grupos, obtém-se um único conjunto G

={X

, X

, ..., X

, Y

..., Y

} de tamanho n=n

. Ordenam-se os elementos de G

do menor valor (posto 1) até

o maior (posto n), denotando por R(X

) o posto ocupado por cada valor observado X

, e define-

se a soma:

∑

)(

XRT

(2.11)

A soma T

é a estatística do teste, e será proporcional ao tamanho do grupo n

Entretanto, a estatística de Mann-Whitney é colocada freqüentemente em termos do

parâmetro U=U

, em que U

pode ser definido como sendo o número de pares de elementos

, Y

) tais que X

, ou seja, o número de X

’s maiores que Y

’s (PRATT E GIBBONS,

1981). Este parâmetro fornece resultados equivalentes à U

(ROHATGI, 1984).

∑

jiG

sYsXU

)'' de número(

(2.12)

Para calcular o valor-p do teste, ou seja, encontrar a região crítica para um dado

deve-se observar a distribuição de probabilidade cumulativa para T

para diferentes valores

Fundamentos Teóricos

de n

e n

. Essa distribuição de probabilidade cumulativa encontra-se tabulada em ROHATGI

(ROHATGI, 1984).

Se num mesmo grupo, dois ou mais indivíduos apresentam o mesmo valor observado,

então se diz que houve empate (tie). Embora para uma distribuição contínua teoricamente não

possa haver empates, na prática eles acabam ocorrendo. Neste caso, a atribuição de postos

baseados na magnitude dos valores observados não pode ser aplicada da forma convencional a

estes indivíduos. Gibbons (GIBBONS, 1971) apresenta alguns métodos para se tratar grupos

com empates. O mais freqüentemente utilizado é o método do posto-médio, em que aos

indivíduos cujo valor observado se repete, atribui-se um valor para o posto ocupado por eles

igual ao valor médio do posto que aquele valor observado teria caso não houvesse empates.

Dessa forma, indivíduos que apresentam empates recebem postos iguais.

Análise de Variância Não-Paramétrica: Teste de Kruskal-Wallis

O teste de Kruskal-Wallis é uma generalização do teste de Wilcoxon-Mann-Whitney,

e é utilizado para se compararem dois ou mais grupos quanto à tendência central dos dados. É

o análogo não paramétrico da análise de variância, ANOVA (Analysis of Variance), a ser

utilizado quando a suposição de normalidade da distribuição dos dados não é satisfeita.

A estatística do teste baseia-se no parâmetro H, dado por

∑

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

)1(

(2.13)

Onde é a soma dos postos ocupados pelos elementos do i-ésimo grupo

no conjunto formado pela ordenação de todos os elementos de cada grupo.

niRR

iji

,...,2,1,

∑

Quanto maior H, maior a disparidade entre o posto médio amostral e o posto médio do

conjunto formado pela união de todos os grupos, tal que a rejeição da hipótese nula acontece

sempre que H ≥ H

crítico

A distribuição de H para k = 3 e n

≤ 5 pode ser encontrada tabulada em CONOVER

(CONOVER, 1980). Para valores maiores de n

a distribuição de H pode ser aproximada pela

Fundamentos Teóricos

Frequentemente, quando o teste é significativo, indicando que há diferenças entre os

grupos, deseja-se averiguar quais grupos são diferentes entre si. Este tipo de comparação é

denominada comparação múltipla entre os grupos. Dunn (DUNN, 1964) propôs um método

de comparação múltipla não-paramétrica, que se baseia na soma dos postos dos elementos de

cada grupo. A estatística do teste baseia-se no parâmetro Q, dado por

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

)1(

(2.14)

onde N = n

é o número total de elementos. A distribuição de Q

,gl

pode ser encontrada em

Zar (ZAR, 1999).

2.2.2 – Comparação Multivariada

Teste

de Wilks

O teste

de Wilks é uma forma de comparação entre distribuições multivariadas de

um número g de populações. Este teste compara médias populacionais multivariadas, e é um

tipo de Análise de Variância Multivariada (MANOVA). A hipótese nula H

supõe que as

populações tenham médias multivariadas iguais. Este teste supõe que existe normalidade

multivariada, homocedasticidade e linearidade entre as variáveis.

A estatística do teste é baseada no parâmetro

, dado por

=Λ

(2.15)

onde

()(

∑∑

−−=

iijiij

XXXXW

)

é uma matriz que mede a variabilidade dos valores

observados de uma população em relação à média daquela população, e é proporcional à soma

das matrizes de covariância de cada população (JOHNSON E WICHERN, 2002). E

Fundamentos Teóricos

()(

∑

−−=

iii

XXXXnB

)

mede a variabilidade das médias populacionais em relação à

média total

dos dados.

Para

∑

grande, pode-se mostrar (JOHNSON E WICHERN, 2002) que a

transformação

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

segue uma distribuição

com p(g-1) graus de

liberdade, onde

p é o número de variáveis.

2.3 – Reconhecimento de Padrões Utilizando Análise Multivariada

De forma geral, o reconhecimento de padrões pode ser definido como a categorização

dos dados observados em classes identificáveis, através da comparação entre as características

existentes em cada indivíduo do conjunto de dados. Vários métodos podem ser aplicados com

este objetivo, como por exemplo, o uso redes neurais, métodos estatísticos, ou uma

combinação de ambos (TOU E GONZALEZ, 1974).

Neste trabalho adotou-se a abordagem estatística, tendo sido utilizadas duas técnicas

capazes de identificar padrões existentes num conjunto de dados (JAIN

ET AL, 2000): a

Análise de Componentes Principais e a Análise de Discriminante.

2.3.1 - Análise de Componentes Principais

A análise de componentes principais visa à obtenção de um conjunto reduzido de

novas variáveis, denominadas componentes principais, a partir das variáveis originais sem que

haja perda significativa de informação, simplificando assim a interpretação dos resultados.

Embora seja uma técnica de redução de variáveis, é freqüentemente utilizada a fim de

evidenciar padrões de comportamento que podem estar ocultos pelas variáveis originais

(KRZANOWSKI, 1987).

Fundamentos Teóricos

Obtenção das Componentes Principais

Seja

, X

,...,X

um conjunto de m variáveis. As componentes principais CP

,...,CP

são combinações lineares destas variáveis:

XaXaXaXaCP

mmmmmmm

=+++=

...

2211

222221212

112121111

(2.16)

Onde os coeficientes

de cada componente são determinados de forma a maximizar a

variância de cada componente. A variância de cada

é dada por:

iii

SaaCP

′

)(Var , i=1,...,m (2.17)

onde

a’

é a transposta de a

, e S é a matriz de covariância.

A primeira componente principal é a combinação linear que maximiza Var(

). A

segunda componente principal é obtida da mesma forma, mas com a restrição de que esta

deve ser ortogonal à primeira, ou seja,

Cov(

, CP

)=0 (2.18)

onde Cov(

,CP

) é a covariância entre as combinações lineares.

Assim, a

i-ésima componente principal deve maximizar Var(a

X) com a restrição de

que Cov(

X,a

X)=0, ∀ k<i. Dessa forma obtém-se um conjunto de m combinações lineares

independentes entre si.

, i=1,...,m é o i-ésimo autovalor associado ao autovetor e

da matriz de covariância

S, pode-se mostrar que a variância da i-ésima componente principal CP

é máxima se

Var(

, e esta relação mantém a restrição de ortogonalidade entre as componentes

principais (JOHNSON e WICHERN, 2002). As componentes podem então ser escritas na

forma

Fundamentos Teóricos

mimiiii

XeXeXeXeCP

== ...

2211

, i=1,...,m (2.19)

com

Var(

)=e’

Σe

(2.20)

Cov(CP

,CP

)= e’

Σe

=0, i≠k

Geometricamente, as componentes principais representam uma rotação do eixo das

coordenadas originais, na direção da maior variância dos dados, conforme mostra a figura

abaixo.

Figura 2.4 – Componentes principais CP

e CP

obtidos para o conjunto de dados definidos pelas

variáveis X

e X

(JOHNSON E WICHERN, 2002).

No caso em que as variáveis são medidas em escalas diferentes ou caso em que as

variáveis apresentam variâncias com ordens de grandeza muito diferentes entre si, é

conveniente calcular as componentes principais através da matriz de correlação

R. A matriz R

corresponde a uma padronização dos valores observados, impedindo que o módulo de cada

componente principal seja muito influenciado por uma única variável ou um pequeno grupo

de variáveis, cuja variância seja muito maior que a das outras.

Determinação do número de Componentes

Se Var(CP

é a variância da i-ésima componente principal, então a variância total é

dada por

Fundamentos Teóricos

∑

)(Var

∑

(2.21)

A proporção da variância total devida à k-ésima componente principal pode ser escrita

como

λλλ

+++

∑

...

)(Var

(2.22)

Se a maior parte da variância total for devida a um número reduzido de componentes,

então as outras componentes podem ser eliminadas sem que haja perda relevante de

informação. Desta forma a análise das

m variáveis originais se resume à análise de algumas

poucas componentes.

Uma forma gráfica de se determinar o número ideal de componentes principais para

análise dos dados é através do

scree plot. O scree plot é um gráfico onde os autovalores

aparecem ordenados do maior para o menor no eixo horizontal, e no eixo vertical as

respectivas porcentagens da variância total. O número ideal de componentes é dado pelo

índice

i onde os pontos referentes aos autovalores começam a ficar relativamente pequenos e

praticamente constantes.

2.3.2 – Análise de Discriminante

A técnica de Análise de Discriminante visa a encontrar uma combinação linear das

variáveis originais, a chamada função discriminante, que permita a melhor separação entre

grupos de amostras. É a técnica mais indicada, portanto, quando o objetivo da análise dos

dados é tornar evidente diferenças entre grupos.

O caso mais simples supõe que o conjunto de dados pertence a dois grupos distintos, e

pode ser generalizado para o caso em que existam mais grupos.

Fundamentos Teóricos

Função discriminante para separação de duas populações

Considerando inicialmente o caso em que se tenham duas populações distintas,

contendo respectivamente

e n

elementos cada, então pode-se formar dois conjuntos de

dados,

e X

contendo os valores observados em cada população.

Assim como as componentes principais, a função discriminante

Z também é obtida por

uma combinação linear dos valores observados

X conforme a expressão abaixo.

Z=aX (2.23)

Onde a matriz

a representa os coeficientes da combinação linear.

A combinação linear de

fornece os valores Z

, Z

,...,Z

para a primeira população

contendo

elementos e X

fornece Z

, Z

,...,Z

para a segunda. A separação destes grupos

em função dessas combinações lineares é dada então pela diferença dos valores médios

Z e

Z padronizadas em unidades de desvio padrão. Assim

separação

−

(2.24)

onde

)()(

−+

−+−

∑∑

ZZZZ

(2.25)

é a variância combinada (pooled variance). O objetivo é então encontrar os coeficientes da

matriz a que maximizem a separação entre as médias

Z e

Z .

Pode-se mostrar (RENCHER, 1992) que a combinação linear que maximiza a

separação entre Z

e Z

é dada pela função discriminante de Fisher:

XSXXZ

pooled

)'(

−

−= (2.26)

Fundamentos Teóricos

onde é a matriz de covariância combinada, formada pela média ponderada das

matrizes de covariância S

pooled

e S

de cada população. Esta matriz é da forma

)1()1(

pooled

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−+−

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−+−

−

(2.27)

Também é possível mostrar (JOHNSON E WICHERN, 2002) que o valor máximo de

separação entre as populações é dado por

(

)

(

)

' XXSXXD

pooled

−−=

−

(2.28)

O fator D

é conhecido como distância de Mahalanobis, e no caso acima mede a

distância entre as médias X

e X

A figura abaixo exemplifica o efeito da aplicação do método de análise de

discriminante. O efeito dessa técnica é projetar os valores observados de cada grupo no eixo

definido pela combinação linear, e encontrar a direção em que estas projeções atinjam a

separação máxima.

Figura 2.5 – Função discriminante Z que otimiza a separação entre duas populações bivariadas

(JOHNSON E WICHERN, 2002).

Funções discriminantes para separação de g>2 populações

Os resultados obtidos anteriormente para duas populações podem ser generalizados

para o caso em que se tem um conjunto de g grupos, tal que g>2.

O objetivo agora é encontrar a combinação linear que maximize a soma das diferenças

da média de cada grupo em relação à média total (RENCHER, 1992):

Fundamentos Teóricos

()

Waa

Baa

−

∑

(2.29)

onde as matrizes B e W foram definidas anteriormente (seção 2.2.2).

Pode-se mostrar que o vetor a que maximiza a equação acima pode ser escrito como

autovetor da matriz W

-1

B, e que haverá um número de (g-1) autovetores positivos.

(JOHNSON E WICHERN, 2002). Conseqüentemente, para um conjunto formado por g

populações o número de funções discriminantes que se pode obter é min(g-1, p), onde p é o

número de variáveis.

2.4 – Critério de Classificação Histológica

O critério de classificação dos elementos de cada grupo baseou-se na medida da

distância D

de Mahalanobis do i-ésimo elemento ao centróide do j-ésimo grupo, dada por

(

)

(

)

jipooledji

XXSXXD −−=

−12

' (2.30)

Cada elemento era classificado como pertencente ao grupo cujo centróide estava mais

próximo.

Além disso, para testar a validade do resultado utilizou-se o processo de validação-

cruzada, indicado nos casos em que o número de amostras em cada grupo é relativamente

pequeno (HAIR ET AL, 1998). Neste procedimento, um elemento é retirado do conjunto e as

componentes principais, ou funções discriminantes, são novamente calculadas, obtendo novos

centróides em cada grupo. Mede-se então a distância D

entre as coordenadas deste elemento

e estes centróides, classificando-o quanto à menor distância.

Fundamentos Teóricos

2.5 – Verificação da Eficácia dos Modelos de Diagnóstico

Em geral, quando se realiza um teste de diagnóstico, nem sempre um resultado

positivo ou negativo corresponde respectivamente à presença ou ausência de uma alteração. A

tabela abaixo mostra os resultados que podem ocorrer quando se realiza um teste diagnóstico.

Resultado do

Teste

Existe alteração

(Indivíduo doente)

Não existe alteração

(Indivíduo normal)

Total

Positivo Verdadeiro positivo (VP) Falso positivo (FP)

VP + FP

Negativo Falso negativo (FN) Verdadeiro negativo (VN)

FN + VN

Total

VP + FN FP + VN

Tabela 2.1 – Resultados possíveis num teste de diagnóstico

Conhecendo-se então o número de acertos e erros no teste, os seguintes indicadores

podem ser utilizados para averiguar sua eficiência (PEREIRA, 2005):

Sensibilidade (S): Probabilidade de obter um resultado verdadeiro-positivo, ou seja, de o

método detectar a alteração quando ela realmente está presente. Se VP é o número de

verdadeiros-positivos e FP o de falsos-positivos, a sensibilidade é dada por

S = VP / (VP + FN) (2.31)

Especificidade (E): Probabilidade de obter um resultado verdadeiro-negativo, ou seja, a

confiabilidade num resultado que não detecta uma anomalia. Se VN é o número de

verdadeiros-negativos e FN o de falsos-negativos, a especificidade é dada por

E = VN / (VN + FP) (2.32)

Valor Preditivo Positivo (VPP): Proporção de verdadeiros-positivos dentre todos os

resultados positivos obtidos, dada por

VPP = VP / (VP + FP) (2.33)

Fundamentos Teóricos

Valor Preditivo Negativo (VPN): Proporção de verdadeiros-negativos dentre todos os

resultados negativos, dada por

VPN = VN / (VN + FN) (2.34)

Os parâmetros S e E têm importância fundamental na confiabilidade de um teste de

diagnóstico. Os valores VPP e VPN, por outro lado, não podem ser aplicados a populações

diferentes daquelas utilizadas para sua estimação (MACMAHON, B., TRICHOPOULOS, D.,

1996).

Outro parâmetro importante é o valor do parâmetro

. Este parâmetro mede a

reprodutibilidade do teste, isto é, o índice de concordância do resultado, quando comparado

por métodos de avaliação independentes. Este índice varia entre -1 e +1, sendo que

=-1

indica completo desacordo entre os avaliadores,

=0 indica um diagnóstico dado ao acaso e

=+1 indica concordância total quanto ao resultado. O valor de

é obtido da seguinte forma

(PEREIRA, 2005):

−

(2.35)

onde

indica a proporção de concordâncias observadas, e P

a proporção de concordâncias

esperadas. Estes valores são dados por

FNFPVNVP

VNVP

+++

(2.36)

)(

))(())((

FNFPVNVP

VNFPVNFNFNVPFPVP

+++

CAPÍTULO 3

3 - MATERIAIS E MÉTODOS

MATERIAIS E MÉTODOS

3.1 – Coleta das Amostras de Tecido Mamários

As amostras de tecido mamário estudadas foram obtidas no Departamento de

Patologia do Hospital das Clínicas da Faculdade de Medicina de Ribeirão Preto. O material

colhido para análise correspondia a uma fração dos tecidos retirados em procedimentos

cirúrgicos de mastectomia ou mastoplastia, e o volume de tecido colhido era determinado de

forma a se ter uma amostra o mais homogênea possível e em quantidade suficiente para ser

irradiada.

Depois de colhidas, as amostras eram armazenadas à temperatura ambiente em

recipientes plásticos contendo solução de formol tamponado (10%).

Um total de 40 amostras de tecido mamário foram colhidas para análise.

3.2 – Classificação Histológica dos Tecidos Mamários

As amostras de tecidos mamários coletadas foram classificadas como tecidos normais

(adiposo e glandular), fibroadenomas e carcinomas mucinoso, intraductal e ductais invasivos

de grau I, II e III, conforme o critério de classificação de Bloom e Richardson (BLOOM E

RICHARDSON, 1957). A classificação histológica foi realizada através da análise das

lâminas de tecido por médicos do Departamento de Patologia do Hospital das Clínicas e

posteriormente revisadas por um especialista em patologias mamárias.

Materiais e Métodos

3.3 - Obtenção dos Perfis de Espalhamento

3.3.1 – Preparação das Amostras

Os tecidos mamários foram retirados da solução de formol e cortados no tamanho

adequado para serem acomodados em um recipiente acrílico cilíndrico (porta-amostra)

construído com diâmetro interno de 18 mm e uma altura de 4 mm (figura 3.1). Uma fina

camada de policloreto de vinila (filme de PVC), com espessura de 1.5±0.2

μm, foi utilizada

recobrindo a amostra de forma que esta última apresentasse superfície mais regular possível.

Para se minimizar os efeitos do formol na medida do espalhamento, o excesso dessa solução

na amostra foi retirado utilizando-se papel absorvedor.

Figura 3.1 – Porta-amostra utilizado.

3.3.2 - Arranjo experimental

Os perfis de espalhamento das amostras de tecido mamário foram obtidos num

difractômetro comercial Siemens D-5005, operando no modo reflexão. A figura abaixo

mostra um esquema do aparato utilizado.

Materiais e Métodos

Figura 3.2 – Arranjo experimental para as medidas de difração de raios-X.

O tubo de raios-X possuía um anodo de Cu (Z=29, K

= 8.04KeV e K

= 8.91KeV). A

fenda divergente regulava a abertura do feixe emergente, para que a área irradiada na

superfície da amostra se mantivesse constante, de dimensões 6

mm×12mm, e a fenda Söller

tornava o feixe paralelo na direção horizontal.

O porta-amostra foi posicionado no centro do goniômetro localizado sobre o eixo

central do difractômetro, e girava de forma que o ângulo incidente e o ângulo espalhado

fossem iguais em relação à superfície da amostra. A figura abaixo mostra a área de tecido

irradiada no porta-amostra.

Figura 3.3 – Área do tecido irradiada

Materiais e Métodos

O feixe de raios-X espalhado na amostra era colimado por uma segunda fenda

divergente e em seguida atravessava uma fenda Söller, atingindo então o monocromador de

Grafite (2

d=0.2708nm), que selecionava os fótons espalhados elasticamente. A radiação

espalhada atingia finalmente o detector de cintilação, cuja eficiência na detecção de fótons de

energia 8,04 keV era de 95%. O detector estava associado à uma eletrônica padrão

(fotomultiplicadora, amplificador) e conectado ao micro por uma placa de interface. O

software de aquisição dos dados foi desenvolvido pelo próprio fabricante do difractômetro.

Os fótons espalhados eram detectados variando o ângulo de espalhamento no intervalo

5º - 150º, em passos de 1/3 de grau, com tempo de contagem de 20s, garantindo assim uma

boa contagem de fótons no detector, com uma incerteza estatística de 3%. O tamanho do

passo escolhido era suficiente para detectar a existência de picos de espalhamento, uma vez

que a largura à meia altura dos picos era de no mínimo 2º para tecidos mamários normais e 9º

para tecidos neoplásicos, na energia utilizada. Medidas adicionais foram realizadas para a

subtração de contribuições espúrias: (

i) com o porta-amostra vazio, mantida a camada de

PVC, (

ii) com o porta amostras sem o filme de PVC e (iii) sem nenhum tipo de alvo.

Os dados de espalhamento obtidos no difractômetro foram submetidos a um pré-

processamento antes da análise, de forma a subtrair as contribuições espúrias, e corrigir

efeitos de atenuação da amostra e variação da intensidade do feixe de RX em função do

ângulo.

3.4 – Pré-processamento dos Dados Experimentais

O pré-processamento dos perfis de espalhamento obtidos experimentalmente foi

realizado em 3 etapas:

Aplicação de filtro para eliminação do ruído dos dados experimentais;

ii.

Subtração das contribuições espúrias, devido à presença de outras fontes de radiação

espalhada durante o experimento;

iii.

Aplicação dos fatores de correção aos dados experimentais, com o intuito de obter o

valor do coeficiente diferencial linear de espalhamento

de cada amostra.

Este coeficiente é proporcional à seção de choque diferencial de espalhamento e,

portanto, é uma característica própria da amostra de tecido, sendo independente do

processo de obtenção dos dados.

Materiais e Métodos

3.4.1 – Suavização do Ruído

Aos perfis de espalhamento obtidos experimentalmente, deve-se aplicar um filtro de

suavização de ruído, de forma a amenizar a contribuição das freqüências altas presentes em

todo o espectro.

Optou-se por aplicar um filtro de média móvel. Este tipo de filtro é de fácil aplicação e

teoricamente simples. Consiste em dividir o sinal em diversos intervalos, cuja largura é

definida inicialmente. Substitui-se então o valor do ponto central do intervalo pelo valor

médio do intervalo. Este processo é executado ao longo de todo o sinal, e o resultado é um

sinal com menos ruído que o original.

O filtro de média móvel foi aplicado em todos os perfis de tecidos mamários obtidos,

utilizando a função

filtfilt do “Signal Processing Toolbox” do software Matlab

. Esta função

aplica o filtro de média móvel duas vezes, primeiro do início do sinal até o último ponto, e em

seguida na direção contrária. Dessa forma obtém-se um resultado com deslocamento de fase

zero em relação ao sinal original, preservando assim as características dos perfis de

espalhamento, como a posição dos picos, por exemplo.

O tamanho do intervalo utilizado para o cálculo da média foi de 3 pontos. Este

intervalo permitiu reduzir as altas frequências de forma significativa, sem distorcer o sinal.

3.4.2 – Correção por contribuições espúrias

Considera-se como contribuição espúria ao perfil de espalhamento qualquer contagem

de fótons que chegue ao detector, mas que não seja oriunda da amostra de tecido analisada.

Devido ao arranjo experimental utilizado podemos ter várias dessas fontes de espalhamento,

tais como o espalhamento do feixe de raios-X no ar, sobre o filme de PVC que cobre a

amostra, e ainda devido ao fato de o feixe incidente na amostra não ser totalmente atenuado

pela mesma e terminar atingindo o porta-amostra de acrílico, o que faz com que este também

se torne um fonte de espalhamento de raios-X.

A figura 3.4 mostra um esquema simplificado da disposição de todos os elementos que

contribuem para o sinal do espalhamento detectado.

Materiais e Métodos

Figura 3.4 - (a) Representação esquemática do arranjo experimental utilizado para medida das

amostras de tecido. (b) Contribuição de cada parte do arranjo ao espalhamento.

A partir da figura acima pode-se escrever então a intensidade do espalhamento medida

experimentalmente no difractômetro como a soma das seguintes contribuições:

ARPAAPPAPM

IITTIITI

)()()()(

θθθθ

(3.1)

onde é a intensidade medida experimentalmente, é o espalhamento proveniente da

amostra, o espalhamento proveniente do filme de PVC que cobre a amostra, o

espalhamento do porta-amostra e o espalhamento do ar. e são respectivamente os

fatores de transmissão do filme de PVC e da amostra. Através da figura pode-se ver a

necessidade de se considerar os fatores de atenuação do filme de PVC e da amostra, e

respectivamente, uma vez que o feixe incidente na amostra é antes atenuado pelo filme de

PVC, enquanto que o feixe que atinge o porta-amostra atravessa antes o filme de PVC e a

amostra.

)(

Para obter a intensidade do espalhamento devido exclusivamente à amostra reescreve-

se a equação acima de forma a explicitar quais são os fatores que devem ser eliminados dos

dados experimentais:

)(

)()()(

)(

ARPAAPPMPA

IITTIITI −−−=

−

θθθθ

(3.2)

Os fatores de atenuação e são obtidos através da expressão , onde

o coeficiente de atenuação linear do material, e

l é o caminho percorrido pelo feixe de raios-

2−

Materiais e Métodos

X. O fator de atenuação da amostra foi obtido utilizando cálculos numéricos e o valor de

foi considerado constante ( =0,974).

Para a obtenção do sinal de espalhamento do ar realizou-se uma medida sem que

nenhum objeto estivesse sendo irradiado (figura 3.5a). O sinal de espalhamento do porta-

amostra ( ) foi obtido medindo-se o espalhamento do conjunto “porta-amostra + ar”,

conforme mostra a figura 3.5b, e em seguida subtraindo o sinal do espalhamento devido ao ar

. Por fim para obter o sinal de espalhamento do filme de PVC ( ) mediu-se o

espalhamento do conjunto “porta-amostra + filme de PVC + ar”, como mostra a figura 3.5c,

subtraiu-se o sinal encontrado para o porta-amostra e também a contribuição do ar .

)(

(b) (c)

(a)

Figura 3.5 - Arranjo experimental utilizado para medida do espalhamento (a) do ar, (b) do porta-

amostra e (c) do filme de PVC.

3.4.3 – Obtenção da Seção de Choque Diferencial de Espalhamento

Uma vez obtido o perfil de espalhamento da amostra I

(

), deve-se obter a seção de

choque diferencial de espalhamento

desta amostra. A obtenção da seção de choque

segue basicamente a metodologia proposta por Kane (KANE

ET AL, 1986). A intensidade

(θ) do espalhamento é igual ao número total de fótons espalhados em um dado ângulo, e se

relaciona com a seção de choque pela equação:

() () () ()

∫

ΔΩ

−−

monvA

dVen

eII

det0

ηηθθ

θθ

μμ

(3.3)

onde:

()

I número de fótons incidentes por unidade de área da amostra,

μ coeficiente de atenuação linear da amostra,

Materiais e Métodos

−

e atenuação durante o caminho l percorrido da superfície ao ponto de

espalhamento da amostra,

()

Ωd

seção de choque diferencial de espalhamento,

elemento de volume,

n número de partículas espalhantes por unidade de volume presentes em dV,

−

atenuação durante o caminho l percorrido pelo fóton desde o ponto de

espalhamento até a superfície da amostra,

()

ΔΩ

ângulo sólido compreendido entre o ponto de espalhamento à abertura do

colimador do feixe espalhado,

mon

eficiência do monocromador,

det

eficiência do detector.

A equação (3.3) acima pode ser reescrita como:

() () () ()

∫

−

ΔΩ

monvA

dVen

ηηθθ

θθ

det0

(3.4)

uma vez que a integral é calculada sobre o volume espalhador irradiado

V que é visto pelo

detector, e os termos

() () ()

mon

ηθθ

e ,,

ΔΩ

dependem somente do ângulo, depende

da amostra e

det

da energia.

O coeficiente diferencial linear de espalhamento

()

, que é proporcional à seção

de choque diferencial de espalhamento

()

Ωd

, pode então ser escrito como

() ()(

det

)(

)(/)(

ηηθθθ

)

monPAv

AKTIn

(3.5)

O termo na equação (3.5) representa a atenuação na amostra dos

feixes incidente e espalhado de todos os diferenciais de volume.

∫

−

dVeA

)(

Materiais e Métodos

Os termos

(

)()

ΔΩ e

I na equação (3.4) dizem respeito à variação da intensidade do

feixe incidente, que ocorre pelo fato de o número de fótons que atinge a superfície da amostra

depender diretamente da abertura da fenda divergente. Estes termos podem ser combinados de

forma a constituírem um fator

), relativo à variação da intensidade do feixe incidente.

A metodologia para obtenção dos fatores de correção K(

) e A(

) podem ser

encontrados em Oliveira (OLIVEIRA, 2006).

3.5 – Modelos Estatísticos para Diagnóstico através dos Perfis de Espalhamento

Foram utilizadas três abordagens para a determinação de um método que permitisse

classificar corretamente as amostras de tecido através de suas seções de choque de

espalhamento.

A primeira abordagem, mas simples, consistiu de definir algumas grandezas, isto é,

variáveis, a partir dos perfis de espalhamento, e compará-las entre os grupos, através de

técnicas de análise univariada.

A segunda abordagem consistiu em determinar uma faixa angular dos perfis de

espalhamento e utilizar todo o sinal obtido nessa faixa para comparar os grupos.

Considerando cada ângulo de espalhamento como uma variável independente, aplicou-se o

método de Análise de Componentes Principais para encontrar padrões de comportamento nos

perfis de espalhamento.

A terceira abordagem foi realizada sobre a mesma faixa angular definida

anteriormente, e consistiu na aplicação da técnica de Análise de Discriminante, com o

objetivo de otimizar a diferenciação entre os perfis de espalhamento de diferentes tipos

histológicos.

Os procedimentos aplicados em cada abordagem foram realizados utilizando os

softwares SPSS 13

e MATLAB 6.5

Materiais e Métodos

3.5.1 – Modelo de Diagnóstico utilizando Variáveis Simplificadas

Definição de Variáveis a Partir dos Perfis de Espalhamento

Com base nas curvas de espalhamento obtidas para os tecidos mamários foram

definidas as seguintes variáveis para análise: posição do primeiro e do segundo pico de

espalhamento (P

e P

, respectivamente), intensidade do primeiro e do segundo pico (I

e I

respectivamente), largura à meia altura do primeiro pico (LMA) e a razão entre as

intensidades do segundo e do primeiro pico (I

). A escolha destas variáveis foi motivada

por trabalhos anteriores (EVANS

ET AL, 1991; KIDANE ET AL, 1999; LEWIS ET AL, 2000;

POLETTI, GONÇALVES, E MAZZARO, 2002a). A figura 3.6 exemplifica estas variáveis

extraídas dos perfis de espalhamento dos tecidos.

dσ/dΩ (u. a.)

Ângulo

LMA

Figura 3.6 – Variáveis selecionadas a partir das curvas de espalhamento.

Agrupamento dos Dados

As amostras foram dividas em três grupos, um grupo contendo os tecidos sadios

(grupo TN), um grupo contendo os tecidos benignos, ou seja, os fibroadenomas (grupo FA), e

o terceiro contendo os tecidos malignos, ou seja, os carcinomas (grupo C), sendo que este

engloba todos os tipos de carcinomas analisados.

Materiais e Métodos

Estatística Descritiva das Variáveis

Um gráfico do tipo

Box-plot foi feito para cada variável, comparando seus valores

entre os diferentes grupos. Este tipo de gráfico permite comparar visualmente a distribuição

de uma mesma variável para diferentes grupos, além de detectar pontos discrepantes na

distribuição (

outliers).

A normalidade das distribuições foi averiguada utilizando o teste de Kolmogorov-

Smirnov, com a correção de Lilliefors (LILLIEFORS, 1967). Também foi testada a suposição

de que as variâncias das variáveis entre os grupos eram homogêneas, utilizando o teste de

Levene (JOBSON, 1991).

Comparação entre os grupos

A análise dos dados foi realizada através da aplicação de testes estatísticos para tentar

diferenciar os grupos de dados definidos anteriormente.

Inicialmente pretende-se verificar se existe diferença entre tecidos normais (TN),

benignos (FA) e malignos (C). Aplicou-se o teste de Kruskal-Wallis, o análogo não-

paramétrico da Análise de Variância (ANOVA) para comparação de 3 ou mais grupos. Este

teste foi aplicado em todas as variáveis, inclusive nas que apresentavam distribuição normal,

visto que nestes casos tanto a ANOVA quanto o teste de Kruskal-Wallis levavam às mesmas

conclusões (CALLEGARI-JACQUES, 2003).

Para as variáveis que tenham apresentado resultados significativos no teste de

Kruskal-Wallis, realizou-se um teste de comparação múltipla não-paramétrica para averiguar

quais grupos diferiam entre si.

Construção do Modelo de Diagnóstico

Foram selecionadas duas variáveis com maior capacidade de diferenciar os três

grupos, formando uma distribuição bivariada. Calculou-se então a distância de Mahalanobis

de todas as amostras ao centróide de cada grupo, classificando-as de acordo com o centróide

mais próximo.

A validação do resultado classificatório foi realizada aplicando o processo de

validação-cruzada. Para testar a validade do modelo como teste de diagnóstico foram obtidos

os parâmetros sensibilidade, especificidade, valor preditivo positivo e valor preditivo

Materiais e Métodos

negativo. A reprodutibilidade do teste foi avaliada através do parâmetro

, comparando o

diagnóstico conferido pela análise histológica das lâminas de cada tecido com o resultado

fornecido pelo modelo de diagnóstico.

3.5.2 – Modelo de Diagnóstico utilizando Componentes Principais

Seleção da faixa angular de interesse

Embora o perfil de espalhamento tenha sido obtido variando o detector da posição 5˚ a

150˚, é conveniente analisar em quais sub-intervalos angulares os perfis de espalhamento de

tecidos normais, benignos e malignos apresentam maior diferença entre si. Desta forma,

seleciona-se qual a faixa angular de maior conteúdo informativo, além de reduzir o número de

variáveis de interesse, otimizando futuras coletas de dados.

Um teste estatístico de Kruskal-Wallis foi realizado para todos os ângulos

considerando cada amostra como pertencente à um dos grupos TN, FA ou C, de acordo com

sua classificação histológica. Considerou-se cada ângulo como uma variável independente, e

o teste foi aplicado sobre toda a faixa angular de 5º a 150º.

Estatística Descritiva das Variáveis

Antes de aplicar qualquer técnica de análise estatística, é necessário analisar as

características da distribuição das variáveis utilizadas.

Os grupos de amostras utilizadas foram os mesmos definidos anteriormente, ou seja, o

grupo TN, contendo os perfis de espalhamento de amostras normais, o grupo FA, contendo os

benignos e o grupo C, contendo os malignos.

Num conjunto de variáveis independentes, para analisar a normalidade da distribuição

multivariada é suficiente averiguar a normalidade de cada variável separadamente. O teste de

Kolmogorov-Smirnov com a correção de Lilliefors foi aplicado às variáveis em cada grupo.

Outro fator importante é o da homogeneidade das variâncias de cada variável. Para

testar essa hipótese em cada variável separadamente foi utilizado o teste de Levene.

A linearidade do conjunto de variáveis também deve ser averiguada. Esta

característica supõe que exista uma relação de dependência linear entre as variáveis, e é

Materiais e Métodos

importante quando se trabalha com o coeficiente de correlação de Pearson. Uma forma de

averiguá-la é através da análise dos resíduos de uma regressão linear multivariada. Para isso,

considerou-se uma variável como sendo dependente das outras e feito então um ajuste linear,

e o mesmo procedimento repetido para cada variável.

Obtenção das Componentes Principais

Uma forma de evidenciar diferenças entre grupos é substituir as variáveis originais, ou

seja, os ângulos de espalhamento, por um novo conjunto de variáveis, as componentes

principais, e tentar identificar quais destas componentes fornecem uma melhor distinção.

A técnica de componentes principais consiste numa rotação do sistema de coordenadas

definido pelo conjunto de variáveis utilizado, de forma a originar um novo sistema de

coordenadas orientado na direção de maior variância do conjunto de dados. É na verdade uma

técnica de redução de variáveis, embora seja utilizada freqüentemente para observar

diferenças entre grupos de indivíduos, e é com esse objetivo que será aplicada aos perfis de

espalhamento.

A aplicação da técnica de componentes principais foi feita de duas formas. No

primeiro método, as componentes foram extraídas da matriz de covariância

S do conjunto

formado pelos grupos TN, FA e C, e no segundo, da matriz de correlação

R destes grupos.

Método 1: Análise das Componentes da Matriz S

Os dados para análise foram organizados de forma que as linhas representavam as

amostras de tecido e as colunas representavam as variáveis, formando assim uma matriz de

dados

D de dimensões 40×136.

Para obter as componentes principais o primeiro passo é encontrar os autovalores

matriz de covariância, através da equação

det(

S-

I)=0 (3.6)

Foi obtido um conjunto de 136 autovalores, que foram dispostos em ordem

decrescente de acordo com seu valor. A parcela de variância

relacionada a cada autovalor

pode ser encontrada dada pela equação 3.7.

Materiais e Métodos

As componentes principais são os autovetores associados a cada autovalor e formavam

uma matriz

P de dimensões 136×136.

A projeção das componentes sobre a matriz de dados

D fornece uma matriz T, que

contém as coordenadas de cada amostra no novo sistema de variáveis. Esta matriz é dada pela

equação

T = D.P (3.7)

Para determinar quais componentes diferenciavam os grupos, aplicou-se um teste de

hipóteses, primeiramente considerando todos os grupos TN, FA e C, e em seguida apenas nos

grupos FA e C.

Método 2 – Análise das Componentes da Matriz R

As componentes principais também podem ser obtidas utilizando a matriz de

correlação

R ao invés da matriz de covariância S. A única condição que deve ser cumprida

para o uso da matriz

R é que exista linearidade entre as variáveis, uma vez que os coeficientes

de correlação somente identificam a existência de dependência linear entre elas.

Para encontrar as componentes principais, obtiveram-se os autovalores da matriz

R, e

em seguida seus autovetores, seguindo o mesmo procedimento utilizado na etapa anterior.

Comparação entre os grupos

Para as duas etapas descritas acima, um teste de Kruskal-Wallis foi aplicado às

componentes, para descobrir quais eram capazes de diferenciar os grupos. Às componentes

com resultado significativamente estatístico foi realizado também um teste de comparação

múltipla.

Construção do Modelo de Diagnóstico

Selecionou-se duas componentes capazes de melhor diferenciar cada grupo, e a

classificação de cada amostra foi feita comparando-se as distâncias de Mahalanobis dos

centróides de cada grupo às amostras, utilizando como critério a menor distância.

Materiais e Métodos

A validação cruzada foi utilizada para confirmar a classificação obtida. Neste

processo, uma amostra é retirada de seu grupo, e as componentes principais novamente

obtidas. Em seguida, este elemento é incluído no conjunto de dados, e identifica-se qual o

grupo com centróide mais próximo das coordenadas desta amostra, classificando-a como

pertencente a este grupo. Este processo é então repetido para cada amostra.

Os níveis de sensibilidade, especificidade, valor preditivo positivo e valor preditivo

negativo foram obtidos para avaliar a validade do método como teste de diagnóstico, e sua

reprodutibilidade foi comparada com a classificação histopatológica previamente realizada

através do parâmetro

3.5.3 – Modelo de Diagnóstico utilizando Análise de Discriminante

A análise de discriminante consiste em realizar uma combinação linear das variáveis

originais, cujo objetivo é separar os grupos da melhor forma possível. Essas combinações são

chamadas de funções discriminantes de Fisher.

Esta técnica requer que as variáveis tenham distribuição normal, e que haja uma

relação de linearidade entre elas. Além disso, é necessário também que as matrizes de

covariância dos grupos sejam homogêneas. Todas estas hipóteses foram testadas

anteriormente e aceitas dentro do nível de significância de 0,05.

Obtenção das Funções Discriminantes

Foram utilizados dois métodos para o cálculo das funções discriminantes: o método

direto e o método passo-a-passo (

stepwise).

Método 1: Método Direto

Este método, também chamado método simultâneo, consiste em calcular as funções

discriminantes utilizando todas as variáveis do conjunto de dados, independentemente da

capacidade discriminatória de cada uma na separação dos grupos.

Entretanto, nem todas as variáveis entram indiscriminadamente no cálculo das

funções. Cada variável é submetida a um teste de tolerância, que visa a identificar a existência

Materiais e Métodos

de multicolinearidade entre elas, ou seja, se existem variáveis cuja correlação é tão forte a

ponto de uma poder ser totalmente explicada por uma combinação das outras. Este tipo de

redundância prejudica a capacidade de produzir funções capazes de separar satisfatoriamente

os grupos, o que ocorre devido ao fato de uma parcela da variância total dos dados pertencer a

variáveis que não acrescentem nenhum tipo de informação relevante no conjunto de dados

(HAIR

ET AL, 1998). A tolerância de uma variável i é dada pelo parâmetro ,

onde é obtido através de um modelo de regressão linear (SEN E SRIVASTAVA, 1990).

RTOL −=

Obtiveram-se então os autovalores e autovetores da matriz

-1

B, calculados utilizando

as variáveis aceitas no teste de tolerância. Como a análise de discriminante está sendo

aplicada para tentar diferenciar três grupos de dados, o número de autovalores encontrados é

min(

g-1,p)=2. Os autovetores de W

-1

B fornecem o coeficiente da matriz a, que maximiza a

separação entre os grupos.

As funções discriminantes foram obtidas pela projeção das variáveis originais na

matriz de coeficientes

Método 2: Método Stepwise

O método stepwise é uma alternativa ao método direto, e consiste em selecionar as

variáveis que serão utilizadas no cálculo das funções discriminantes baseando-se em algum

critério de seleção, e em seguida calculando as funções discriminantes em etapas (

steps). A

cada etapa, a variável que satisfaz o critério de seleção é adicionada ao cálculo. Vários

critérios podem ser utilizados, como a distância

de Mahalanobis, Rao’s V, Wilk’s

, dentre

outros (HAIR

ET AL, 1998). Este método é indicado quando se deseja averiguar quais

variáveis contribuem significativamente para a separação dos grupos, e quais podem ser

descartadas sem comprometer o resultado final.

O critério de seleção de variáveis adotado neste trabalho foi a medida da distância

de Mahalanobis entre os centróides

Z e

Z de cada grupo. Na primeira etapa as funções

discriminantes são calculadas com a variável que maximiza a distância de Mahalanobis entre

os três grupos. Nas etapas seguintes, as variáveis que também satisfazem a este critério são

adicionadas sucessivamente ao cálculo das funções.

Uma vez selecionadas as variáveis com maior capacidade de separar os grupos, o

processo de obtenção das funções discriminantes é o mesmo descrito no método direto.

Materiais e Métodos

Comparação entre os grupos

Um teste de Kruskal-Wallis foi aplicado a cada função separadamente a fim de

verificar se eram capazes de diferenciar os grupos. Além disso, um teste

de Wilks foi

realizado considerando a distribuição bivariada formada pelas funções.

Construção do modelo de diagnóstico

Como nos outros dois modelos de diagnóstico, o critério de classificação de uma

amostra baseou-se na medida de sua distância de Mahalanobis em relação aos centróides de

cada grupo.

A validação cruzada também foi aplicada, retirando uma amostra e recalculando as

funções discriminantes. Comparou-se então a projeção desta amostra neste novo espaço,

classificando-a quanto à sua proximidade aos centróides.

A sensibilidade, especificidade, valor preditivo positivo e negativo também foram

obtidas para analisar a validade das funções discriminantes como teste de diagnóstico, bem

como o parâmetro

para analisar a reprodutibilidade do teste.

CAPÍTULO 4

4 - RESULTADOS E DISCUSSÕES

RESULTADOS E DISCUSSÕES

4.1 – Obtenção dos Perfis de Espalhamento

4.1.1 - Amostras de Tecidos Mamários Analisadas

Foram coletadas 40 amostras de tecidos mamários, classificadas como tecido normal,

fibroadenoma (neoplasia benigna) e diversos tipos de carcinomas (neoplasias malignas), tais

como carcinomas ductais de grau I, II e III, intraductal e mucinoso. A figura 4.1 mostra a

proporção do número de tecidos analisados em função de sua classificação histológica.

TN FA CDIS CDI CDII CDIII CM Total

Figura 4.1 – Quantidade de amostras analisadas. TN = tecidos normais, FA = fibroadenomas,

CDIS = carcinoma ductal “in situ”, CDI, CDII, CDIII = carcinomas ductais de grau I, II e III

respectivamente e CM = carcinoma mucinoso.

Resultados e Discussões

4.1.2 – Obtenção Experimental da Distribuição Angular de Fótons Espalhados

Para cada amostra de tecido foi obtida a distribuição angular do número de fótons

espalhados, utilizando o difractômetro Siemens D-5005. Além disso, foi realizada também

uma medida do perfil de espalhamento para uma amostra de água líquida. A figura 4.2 mostra

o resultado obtido para a amostra de água, tecidos mamários normais adiposos e tecidos

alterados.

0 20 40 60 80 100 120 140 160

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Intensidade (nº de fótons)

(a)

0 20 40 60 80 100 120 140 160

1000

2000

3000

4000

5000

(b)

0 20 40 60 80 100 120 140 160

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Intensidade (nº de fótons)

Ângulo

(c)

0 20 40 60 80 100 120 140 160

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Ângulo

(d)

Figura 4.2 – Distribuição angular dos fótons espalhados. (a) Água, (b) Tecido Adiposo Normal,

Os dados experimentais obtidos mostram que o tecido adiposo é o que mais se difere

dos demais, com o primeiro pico de espalhamento ocorrendo em 20º. Fibroadenomas e

carcinomas apresentam comportamento semelhante à água, variando apenas a intensidade das

curvas.

4.2 – Pré-Processamento dos Dados Experimentais

Os perfis de espalhamento obtidos foram submetidos a um pré-processamento antes de

serem analisados. Este processo tem como finalidade remover as contribuições espúrias ao

Resultados e Discussões

perfil de espalhamento do tecido, e obter a seção de choque diferencial de espalhamento

) para cada tecido, através da aplicação de fatores de correção.

A figura 4.3 mostra o perfil de espalhamento para a amostra de água, após o pré-

processamento, comparada com o valor de referência, obtido a partir do fator de forma

tabulado por Morin (MORIN, 1982).

-20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

dσdΩ (u. a.)

Ângulo ( º )

Curva de Referência

Valor Experimental

Figura 4.3 – Seção de choque diferencial de espalhamento para água líquida, comparada com o

resultado obtido através do fator de forma tabulado por Morin (MORIN, 1982).

A figura 4.3 mostra que a seção de choque de espalhamento obtida experimentalmente

para água está de acordo com o resultado prévio, mostrando que a metodologia de obtenção e

processamento dos dados experimentais é adequada para determinar a seção de choque

diferencial do espalhamento elástico.

A figura 4.4 mostra o perfil de espalhamento das amostras de tecido mamário após

serem pré-processadas. Cada curva corresponde ao valor médio dos diferentes tipos de tecido

mamário.

Resultados e Discussões

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

dσ/dΩ (u.a)

Ângulo ( º )

Água (experimental)

Média dos Tecidos Normais

Média dos Fibroadenomas

Média dos Carcinomas

Figura 4.4 - Valores médios das seções de choque diferencial de espalhamento dos tipos de tecidos

analisados.

Cabe ressaltar que tecidos normais são compostos basicamente por tecido adiposo e

fibroglandular, além do estroma. O perfil de espalhamento para um tecido normal pode

apresentar basicamente dois comportamentos, dependendo da proporção entre a quantidade

dos componentes que o constituem. A figura 4.5 mostra a comparação entre dois casos de

tecidos mamários normais encontrados, um com excesso de tecido adiposo, e outro composto

por tecido glandular, com pequena quantidade de tecido adiposo.

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

dσ/dΩ (u. a.)

Ângulo ( º )

Tecido Normal Glandular

Tecido Normal Adiposo

Média dos Tecidos Normais

Figura 4.5 - Seção de Choque para tecidos normais com diferentes componentes histológicos.

Resultados e Discussões

Pode-se ver que o tecido mamário composto de células adiposas tem o primeiro pico

de espalhamento bem proeminente em 20º. O tecido mamário constituído de tecido glandular

apresenta o pico adiposo quase inexistente, mas por outro lado, apresenta um pico de

espalhamento característico em 30º, e comportamento bem semelhante ao da água.

As amostras de fibroadenomas analisadas indicam que este tipo de neoplasia apresenta

sempre o mesmo comportamento, com o primeiro pico de espalhamento surgindo em

=30º,

variando apenas a intensidade da curva. Somente no caso de haver entre os componentes do

fibroadenoma a presença de células adiposas é que este comportamento se altera. A presença

destas células faz surgir o pico adiposo característico em 20º, como mostra a figura 4.6.

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

dσ/dΩ (u. a.)

θ ( º )

Fibroadenoma típico

Fibroadenoma com

células adiposas

Figura 4.6 – Perfil de espalhamento de fibroadenomas com presença de células adiposas.

Os carcinomas também apresentam sempre o mesmo comportamento, com o primeiro

pico de espalhamento surgindo em 30º. Foram analisados diferentes tipos destes tecidos, tais

como carcinomas intraductais, ductais (grau I, II, e III) e mucinoso, e observou-se que os

perfis de espalhamento apresentam sempre o mesmo padrão, variando apenas a diferença de

intensidade das curvas. Entretanto, como o número de amostras é relativamente pequeno, não

é possível afirmar se existe uma relação entre o tipo de carcinoma e a intensidade do

espalhamento. A figura 4.7 mostra o perfil de espalhamento médio para cada tipo de

carcinoma analisado.

Resultados e Discussões

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

dσ/dΩ (u. a.)

θ ( º )

Carcinoma Mucinoso

Carcinoma Ductal grau I

Carcinoma Ductal grau II

Carcinoma Ductal grau III

Carcinoma Intraductal

Figura 4.7 - Perfil de espalhamento médio dos diferentes tipos de carcinomas analisados.

Deve-se notar a semelhança entre os perfis de espalhamento de fibroadenomas e

carcinomas. Apesar de na média os fibroadenomas terem intensidades menores que os

carcinomas, a variação destas intensidades é muito grande, mesmo para os tecidos de mesma

classificação histológica, impossibilitando afirmar se realmente existiriam diferenças

significativas entre os perfis de tecidos benignos e malignos.

Assim como no caso dos fibroadenomas, a presença de células adiposas entre as

células neoplásicas que constituem o carcinoma também dá origem a um pico adiposo em 20º.

4.3 – Modelos Estatísticos para Diagnóstico através dos Perfis de Espalhamento

Estão descritas a seguir as três abordagens utilizadas para classificar as amostras de

tecidos mamários.

4.3.1 - Modelo de Diagnóstico utilizando Variáveis Simplificadas

Este modelo baseou-se na definição das variáveis P

, P

, I

, LMA, e I

, definidas

na seção 3.5.1. A partir delas, buscou-se identificar quais eram as que melhor forneciam uma

separação entre os grupos, e que poderiam ser utilizadas para classificá-los.

Resultados e Discussões

Gráficos Box-plot das variáveis

Para cada variável foi feito um gráfico do tipo

box-plot, com o objetivo de visualizar

diferenças existentes nas distribuições de cada grupo. A figura 4.8 mostra os resultados

obtidos.

Figura 4.8 – Box-plot das variáveis P

, P

, I

, LMA, e I

Observa-se que algumas variáveis, como por exemplo, P

e LMA permitem

discriminar entre tecidos normais (TN) e alterados (FA e C). A variável I

também parece

Resultados e Discussões

indicar alguma diferença entre eles, embora visualmente não seja possível afirmar se ela é

realmente significativa.

Deve-se ressaltar também o fato de nenhuma das variáveis ter evidenciado, ao menos

visualmente, alguma diferença entre os tecidos benignos (grupo FA) e malignos (grupo C).

Pode-se notar nos gráficos a existência de alguns pontos discrepantes (

outliers) em

cada grupo. Estes pontos surgem pelo fato de amostras de tecido mamário de indivíduos

diferentes apresentarem porcentagens diferentes de algum componente histológico. No caso

de tecidos normais, por exemplo, pode haver um excesso de componente glandular ou

adiposo. A figura 4.5 exemplifica este tipo de situação. Na figura, nota-se que um tecido

mamário composto basicamente por tecido glandular apresenta comportamento bem diferente

da média do grupo. Este tecido seria, portanto, considerado como um

outlier em algumas

variáveis, como LMA, por exemplo. Por outro lado, uma mama puramente adiposa seria um

outlier na variável I

. Entretanto, ambos os casos representam um tecido mamário

absolutamente normal. Por este motivo, optou-se por não retirar os

outliers, uma vez que eles

acrescentam ao conjunto de dados uma variabilidade que pode ocorrer em casos reais.

Comparação entre os grupos

A comparação entre as distribuições das variáveis em cada grupo foi efetuada através

de um teste de hipótese. Uma vez que algumas variáveis apresentam distribuições não

normais, além de heterocedasticidade (variâncias não homogêneas) entre grupos, utilizou-se o

teste não-paramétrico de Kruskal-Wallis.

A tabela 4.1 mostra o resultado do teste, comparando tecidos normais, benignos e

malignos. A coluna

dá a estatística do teste, e a gl diz respeito aos graus de liberdade

referentes ao número

g de grupos (gl=g-1). Foram considerados significativamente diferentes

grupos que apresentassem no teste um nível de significância

α<0,05.

Variável

29,110 2 0,000

11,077 2 0,004

LMA 28,669 2 0,000

7,893 2 0,128

4,111 2 0,000

22,342 2 0,019

Tabela 4.1 – Teste de Kruskal-Wallis para as variáveis P

, P

, I

, LMA, e I

Resultados e Discussões

Com exceção da variável I

, todas as outras apresentam diferenças entre três os

grupos, como fica evidente pelos valores de

obtidos para cada variável.

Entretanto, o resultado deste teste deve ser analisado com cautela, pois é um teste que

compara simultaneamente um número

g de grupos, e um resultado significativo não

necessariamente implica que todos os grupos são diferentes entre si. A existência de um único

grupo muito diferente dois demais pode tornar o teste significativo, mesmo que os demais

sejam semelhantes entre si (CALLEGARI-JACQUES, 2003).

Como complemento ao teste de Kruskal-Wallis, foi feito um teste de comparação

múltipla entre os grupos. Este teste analisa simultaneamente pares de grupos, e permite

revelar quais são diferentes entre si. Um intervalo de confiança foi construído com nível de

significância

=0,05. Se os intervalos referentes aos grupos se sobrepõem, então aceita-se a

hipótese de que não há diferença entre eles. Caso os intervalos estejam bem separados,

conclui-se que os grupos são diferentes.

A figura 4.9 mostra o resultado da comparação múltipla para cada variável, exceto

para I

, que não havia identificado nenhuma diferença entre os três grupos.

Resultados e Discussões

Figura 4.9 - Intervalos de Confiança construídos para α=0,05.

Analisando os intervalos de confiança obtidos entre os pares de grupos, nota-se que o

grupo TN mostra-se diferente dos demais para todas as variáveis, exceto para I

, que não

diferencia os normais dos fibroadenomas. Os grupos FA e C, por outro lado, não são

estatisticamente diferentes em nenhuma das variáveis. Isso mostra que o resultado

significativo obtido no teste de Kruskal-Wallis foi devido ao grupo TN, o que está de acordo

com a comparação feita pelo

box-plot destes grupos.

Modelo de Diagnóstico

Mesmo não havendo nenhuma variável capaz de diferenciar entre benignos e

malignos, aplicou-se um teste de Mann-Whitney entre FA e C, para averiguar qual delas

Resultados e Discussões

apresenta a menor significância. O resultado mostrou que I

é capaz de diferenciá-los com

0,47, indicando que há apenas 53% de chance de a afirmação de que eles sejam diferentes seja

verdadeira. Apesar de seu desempenho ruim, optou-se por tentar classificar os elementos

utilizando esta variável, combinada com a LMA, que permite diferenciar normais de

alterados.

A figura 4.10 mostra o gráfico de LMA

×I

. Os pontos indicados com o símbolo ()

mostram os centróides de cada grupo, isto é, o ponto médio das coordenadas de seus

elementos.

Figura 4.10 – Gráfico de LMA×I

, mostrando as coordenadas de cada grupo.

A figura 4.10 mostra que LMA separa muito bem os tecidos normais dos alterados,

mas não diferencia entre benignos e malignos, como mostrado no teste de comparação

múltipla. Por outro lado, I

não diferencia entre normais e alterados, e nem parece mostrar

alguma separação entre benignos e malignos, devido à baixa significância do teste de

comparação entre os dois. A classificação das amostras de tecidos foi realizada através do

seguinte método: calculou-se o centróide de cada grupo, isto é, a média das coordenadas dos

elementos que o constitui, e em seguida mediu-se a distância de Mahalanobis destes

Resultados e Discussões

elementos em relação aos três centróides, classificando-os histologicamente de acordo com o

centróide mais próximo. A tabela 4.2 mostra o resultado obtido.

Grupo Nº elementos classificados Total

TN FA C

TN 17 (100 %) 0 (0 %) 0 (0 %) 17

FA 1 (11,1%) 3 (33,3 %) 5 (55,6 %) 9

C 0 (0 %) 7 (50,0 %) 7 (50,0 %) 14

Tabela 4.2 – Classificação das amostras utilizando LMA e I

Na tabela, os valores diagonais representam o número de elementos de cada grupo

corretamente classificados. Os valores não-diagonais mostram o número de elementos

classificados erroneamente e os números em parênteses mostram os percentuais em relação ao

total de cada grupo.

Nota-se que a quantidade de elementos corretamente classificados não é muito

expressiva, com um índice de acerto geral de 67,5%. A classificação dos tecidos normais é

muito boa, devido à variável LMA que os separa dos demais. Entretanto, a classificação de

benignos e malignos é bastante equivocada, como já era esperado, pelo fato de I

não

diferenciar os dois grupos com um nível de significância satisfatório.

Para confirmar este resultado e avaliar a capacidade destas variáveis em classificar um

novo indivíduo, aplicou-se o processo de validação-cruzada. Neste processo, retirou-se um

elemento de um grupo e obtiveram-se as coordenadas do centróide daquele grupo. Comparou-

se então novamente a distância deste elemento ao novo centróide, e o elemento recebia a

classificação de acordo com o centróide mais próximo. Este processo é repetido para todos os

elementos de cada grupo. A tabela 4.3 mostra o resultado obtido.

Grupo Nº elementos classificados Total

TN FA C

TN 17 (100 %) 0 (0 %) 0 (0 %) 17

FA 1 (11,1%) 2 (22,2 %) 6 (66,7 %) 9

C 0 (0 %) 9 (64,3 %) 5 (35,7 %) 14

Tabela 4.3 – Processo de validação cruzada das variáveis LMA e I

A validação cruzada mostra que os tecidos normais são bem classificados, ao contrário

dos benignos e malignos, cujas classificações se confundem. O índice geral de acerto na

classificação foi de 60%.

Resultados e Discussões

Foram obtidos os parâmetros que medem a sensibilidade S, especificidade E, valor

preditivo positivo

VPP, e valor preditivo negativo VPN, e o índice de concordância

, para

testar a credibilidade destas variáveis como modelo diagnóstico. A fim de analisar a

capacidade do modelo em detectar alguma alteração no tecido, considerou-se inicialmente

como resultado positivo qualquer diagnóstico de alteração no tecido, seja ela benigna ou

maligna. Em seguida, para analisar a capacidade do modelo em diagnosticar as alterações

encontradas como benignas ou malignas, considerou-se como resultado positivo apenas o

diagnóstico de alteração maligna, e como negativo o de alterações benignas. A tabela 4.4

mostra o resultado encontrado.

Resultado do

Diagnóstico

S (%) E (%) VPP (%) VPN (%)

Negativo = TN

Positivo = FA ou C

95,6 100,0 100,0 94,4 1,0

Negativo = FA

Positivo = C

35,7 25,0 45,4 18,2 -0,3

Tabela 4.4 – Validação e reprodutibilidade do teste de diagnóstico

Os valores obtidos para estes parâmetros mostram que as variáveis utilizadas fornecem

resultados bastante confiáveis quando se tenta detectar alguma anomalia no tecido mamário.

Entretanto, quando se tenta diagnosticar esta anomalia mais precisamente, como benigna ou

maligna, o modelo é incapaz de fornecer resultados confiáveis. O alto valor de

classificação entre normais e alterados confirma a alta sensibilidade do método para detectar

qualquer alteração. Entretanto, quando se compara o diagnóstico de benignos e malignos, o

valor de

próximo de zero indica a aleatoriedade deste resultado.

4.3.2 - Modelo de Diagnóstico utilizando Componentes Principais

Seleção da faixa angular para análise

Para determinar qual o melhor intervalo angular para análise aplicou-se um teste de

Kruskal-Wallis em cada posição angular, comparando os grupos TN, FA e C. O resultado está

na figura 4.11.

Resultados e Discussões

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Nível de Significância α

Variável θ

α = 0,05

Figura 4.11 – Teste de Kruskal-Wallis comparando TN, FA e C em cada ângulo de espalhamento.

Da figura 4.11 se observa que para o nível de significância

=0,05 existe uma região

angular, em torno de 20º, onde os grupos são significativamente diferentes. É nessa região

onde se situa o pico adiposo dos tecidos normais.

Todos os ângulos que não apresentavam diferenças significativas foram removidos,

com exceção da região próxima aos picos de espalhamento de cada tecido, como, por

exemplo, de 22º a 25º.

A região de 25º até aproximadamente 60º também apresentou diferenças

significativas. É na região em torno de 30º onde estão localizados os picos de espalhamento

dos tecidos alterados.

Portanto, de todo o sinal espalhado medido experimentalmente, foi considerado para

análise a região compreendida entre 15º e 60º. Neste intervalo angular tem-se um conjunto de

136 variáveis, uma vez que durante a realização do experimento o detector variava a posição

angular em passos de 1/3 de grau.

Obtenção das Componentes Principais

As componentes principais foram obtidas de duas maneiras, a primeira utilizando a

matriz de covariância

S do conjunto total de dados, e a segunda através da matriz de

correlação

Resultados e Discussões

Método 1: Análise das Componentes da Matriz S

Foram extraídos inicialmente os autovalores da matriz de covariância total

S, que

incluía as covariâncias dos grupos TN, FA e C. A figura 4.12 mostra a parcela de variância

correspondente ao

k-ésimo autovalor, e a porcentagem de variância acumulada pelos

autovalores.

140,00120,00100,0080,0060,0040,0020,000,00

Nº Autovalor

80,00

60,00

40,00

20,00

0,00

140,00120,00100,0080,0060,0040,0020,000,00

Nº Autovalor

100,00

95,00

90,00

85,00

80,00

75,00

70,00

Porcentagem de Variancia Acumulada

(b)

(a)

Figura 4.12 – (a) Porcentagem de variância p

correspondente a cada autovalor. (b) Porcentagem

de variância acumulada.

Do primeiro gráfico observa-se que o primeiro autovalor explica 72,9% da variância

total dos dados. O segundo corresponde a 25,5% e o terceiro a 1,3%. Juntos, portanto os três

autovalores possuem 99,5% da variância total, como pode ser visto pelo segundo gráfico.

Todos os autovalores juntos correspondem a 0,5% da variância.

Portanto, se o objetivo fosse reconstituir todo o sinal de espalhamento das amostras,

seria possível fazê-lo de forma satisfatória utilizando somente as três primeiras componentes

principais, ao invés de trabalhar com as 136 variáveis originais.

Entretanto, o objetivo deste trabalho é tentar encontrar diferenças entre os perfis dos

diferentes grupos que permitam classificá-los quanto à sua estrutura histológica. Apesar de as

três primeiras componentes conterem praticamente toda a variância dos dados de

espalhamento, se houver alguma diferença sutil entre os grupos, ela poderia aparecer nas

componentes subseqüentes. Portanto a análise das componentes de menor variância também é

importante.

Os gráficos da figura 4.13 mostram o comportamento das 9 primeiras componentes

principais.

Resultados e Discussões

0 20 40 60 80 100 120 140

-500

500

1000

1500

2000

2500

3000

CP1

Nº da variável

0 20 40 60 80 100 120 140

-500

500

1000

1500

2000

2500

CP2

Nº da variável

0 20 40 60 80 100 120 140

-300

-200

-100

100

200

300

CP3

Nº da variável

0 20 40 60 80 100 120 140

-150

-100

-50

100

150

200

CP4

Nº da variável

0 20 40 60 80 100 120 140

-100

-50

100

CP5

Nº da variável

0 20 40 60 80 100 120 140

-40

-20

CP6

Nº da variável

0 20 40 60 80 100 120 140

-40

-30

-20

-10

CP7

Nº da variável

0 20 40 60 80 100 120 140

-40

-20

CP8

Nº da variável

0 20 40 60 80 100 120 140

-40

-20

CP9

Nº da variável

Figura 4.13 – Componentes Principais obtidas da matriz S total dos grupos TN, FA e C.

Na figura 4.13, o eixo horizontal está relacionado com as variáveis originais

por

uma rotação de coordenadas. Entretanto optou-se por representá-lo apenas como assumindo o

valor do indicador

i da variável, uma vez que seu valor real não é relevante para a análise das

componentes. A principal informação que se pode extrair da figura é o comportamento de

cada componente.

Pode-se observar que cada componente subseqüente carrega menos informação que as

anteriores. O comportamento da componente CP

, por exemplo, já não parece corresponder a

nenhum padrão, se assemelhando mais a um sinal aleatório, ou seja, um ruído, devido à

parcela de variância quase nula a que ela correspondente.

Calculou-se então a projeção dos dados originais nestas componentes, obtendo as

coordenadas dos elementos de cada grupo no novo espaço vetorial.

Comparação entre grupos

Para averiguar quais componentes são úteis em distinguir os grupos realizou-se um

teste de hipótese. Foram testadas as primeiras 8 componentes, que juntas correspondiam à

99,9% da variância total dos dados. Os testes de normalidade e homocedasticidade para cada

Resultados e Discussões

componente foram realizados, e algumas componentes foram rejeitadas nestes testes. Optou-

se então por comparar os grupos através do teste de Kruskal-Wallis. A tabela 4.5 mostra o

resultado deste teste.

Variável

20,042 0,000

8,175 0,017

2,833 0,243

2,936 0,230

0,976 0,614

2,447 0,294

0,147 0,929

0,741 0,691

Tabela 4.5 – Teste de Kruskal-Wallis para as primeiras 8 componentes principais da matriz S.

Da tabela 4.5 pode-se ver que apenas as componentes CP

e CP

são capazes de

identificar alguma diferença entre os grupos. Para descobrir quais grupos são diferentes entre

si, realizou-se um teste de comparação múltipla destas componentes. O resultado mostrou que

estas elas apenas diferenciam entre normais e alterados, e nenhuma das duas é capaz de

distinguir entre benignos e malignos.

Para descobrir qual componente melhor diferencia tecidos benignos e malignos,

realizou-se um teste de Mann-Whitney. O resultado mostrou que a componente CP

fornece o

melhor resultado, com

α=0,124.

Modelo de Diagnóstico

Para classificar as amostras de tecido foram utilizadas as componentes CP

, que

diferencia o grupo TN dos grupos FA e C, e a componente CP

, que melhor diferencia entre

FA e C, mesmo não significativamente.

A figura 4.14 mostra o gráfico de CP

×CP

. Pode-se notar que no eixo horizontal é

possível distinguir tecidos normais e alterados, enquanto no vertical distinguem-se

razoavelmente benignos e malignos, mas não os normais.

Resultados e Discussões

Figura 4.14 – Posição das amostras no espaço CP

×CP

A tabela 4.6 mostra o resultado classificatório baseado nas distâncias de cada elemento

aos centróides dos três grupos.

Grupo Nº elementos classificados Total

TN FA C

TN 14 (82,2%) 2 (11,8%) 1 (6,0%) 17

FA 1 (11,1%) 4 (44,4%) 4 (44,4%) 9

C 2 (14,3%) 3 (21,4%) 9 (64,3%) 14

Tabela 4.6 – Classificação das amostras utilizando CP

e CP

O índice de acerto geral foi de 67,5% dos casos, sendo que a maior contribuição para

este índice é a grande quantidade de tecidos normais corretamente classificados. O grupo dos

fibroadenomas, por outro lado, apresenta cerca de metade de seus elementos classificados

erroneamente.

Para confirmar este resultado, aplicou-se o processo de validação cruzada, adotando o

mesmo critério de classificação das amostras.

A tabela 4.7 mostra o resultado obtido. Do total de 40 amostras, apenas 62,5% foram

corretamente classificadas.

Resultados e Discussões

Grupo Nº elementos classificados Total

TN FA C

TN 13 (76,4%) 2 (11,8%) 2 (11,8%) 17

FA 1 (11,1%) 4 (44,4%) 4 (44,4%) 9

C 2 (14,3%) 4 (22,6%) 8 (63,4%) 14

Tabela 4.7 – Validação cruzada do método classificatório.

A sensibilidade, especificidade, valor preditivo positivo e negativo também foram

obtidos com base nas classificações obtidas. O resultado está na tabela 4.8.

Resultado do

Diagnóstico

S (%) E (%) VPP (%) VPN (%)

Negativo = TN

Positivo = FA ou C

86,9 76,4 83,3 81,2 0,64

Negativo = FA

Positivo = C

66,7 50,0 66,7 50,0 0,17

Tabela 4.8 – Validação e reprodutibilidade do modelo de diagnóstico.

Observa-se na tabela 4.8 que as componentes apresentam uma boa sensibilidade na

detecção de anomalias, com

S=86,9%, embora a confiabilidade num resultado negativo não

seja tão alta (76,4%). Quando se tenta diagnosticar a anomalia como benigna ou maligna, a

qualidade do teste diminui bastante.

O nível de concordância

entre o resultado do teste diagnóstico e o resultado

previamente conhecido apresenta valores apenas regulares na detecção de anomalias (

=0,64)

e o diagnóstico da anomalia detectada apresenta valores bastante baixos (

=0,17).

Método 2: Análise das Componentes da Matriz R

Obtenção das Componentes Principais

As componentes principais também foram calculadas através da matriz de correlação

R total, formada pelos grupos TN, FA e C. A figura 4.15 mostra a parcela de variância

correspondente a cada autovalor de

Resultados e Discussões

140,00120,00100,0080,0060,0040,0020,000,00

Nº Autovalor

80,00

60,00

40,00

20,00

0,00

140,00120,00100,0080,0060,0040,0020,000,00

Nº Autovalor

100,00

95,00

90,00

85,00

80,00

75,00

Porcentagem de Variancia Acumulada

(a) (b)

Figura 4.15 - (a) Porcentagem de variância p

correspondente à cada autovalor. (b) Porcentagem

de variância acumulada.

Como no caso dos autovalores da matriz de covariância S, os três primeiros

autovalores da matriz

R explicam quase toda a variância dos dados, cerca de 99%.

A figura 4.16 mostra o comportamento das 9 primeiras componentes principais.

0 20 40 60 80 100 120 140

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

CP1

Nº da variável

0 20406080100120140

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

CP2

Nº da variável

0 20 40 60 80 100 120 140

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

CP3

Nº da variável

0 20 40 60 80 100 120 140

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

CP4

Nº da variável

0 20406080100120140

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

CP5

Nº da variável

0 20 40 60 80 100 120 140

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

CP6

Nº da variável

0 20 40 60 80 100 120 140

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

CP7

Nº da variável

0 20406080100120140

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

CP8

Nº da variável

0 20 40 60 80 100 120 140

-0,03

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

CP9

Nº da variável

Figura 4.16 - Componentes Principais obtidas pela matriz R total dos grupos TN, FA e C.

Nota-se que em geral, as componentes principais da matriz

R são diferentes daquelas

obtidas da matriz de covariância

S, embora em algumas pareçam existir comportamentos

semelhantes. Mas em ambos os casos as componentes obtidas evidenciam principalmente

Resultados e Discussões

características relativas aos picos de espalhamento. Sendo que as primeiras seis componentes

são as que parecem apresentar algum tipo de informação a respeito da estrutura dos dados.

Obtiveram-se as projeções destas componentes no conjunto de dados, e um teste de

hipótese foi aplicado a estas projeções, com o objetivo de identificar quais componentes são

capazes de diferenciar os grupos. Foram consideradas para análise as oito primeiras

componentes, responsáveis por 99,9% da variância total dos dados.

Comparação entre os grupos

Para comparar os grupos TN, FA e C nas oito primeiras componentes utilizou-se o

teste de Kruskal-Wallis. A tabela 4.9 mostra o resultado do teste.

Variável

20,070 0,000

6,978 0,031

26,111 0,000

2,562 0,278

1,804 0,406

10,517 0,005

6,741 0,034

3,010 0,222

Tabela 4.9 - Teste de Kruskal-Wallis para as primeiras 8 componentes principais da matriz R.

Observa-se que apenas as componentes CP

, CP

e CP

, não identificaram diferenças

entre os três grupos. A comparação múltipla foi realizada para identificar para cada

componente quais grupos diferem entre si, mostrando que o resultado significativo no teste de

Kruskal-Wallis era devido à diferença entre o grupo TN e os demais, não havendo diferenças

significativas entre FA e C.

Para tentar identificar quais componentes melhor separam os grupos FA e C, realizou-

se um teste de Mann-Whitney. O resultado mostrou que a componente CP

é a que apresenta

melhor resultado na diferenciação entre eles, com

α=0,277.

Resultados e Discussões

Modelo de Diagnóstico

Para classificar as amostras optou-se por utilizar a componente CP

, que diferencia

normais e alterados, e a CP

, que melhor diferencia entre benignos e malignos. A figura 4.17

mostra o gráfico de CP

×CP

Figura 4.17 - Posição das amostras no espaço CP

×CP

Pode-se notar que a separação entre os grupos não é muito boa, exceto para o grupo

dos normais. A quantidade de elementos classificados em cada grupo está na tabela 4.10.

Grupo Nº elementos classificados Total

TN FA C

TN 15 (88,2%) 2 (11,8%) 0 (0%) 17

FA 2 (22,2%) 5 (55,6%) 2 (22,2%) 9

C 0 (0%) 5 (35,7%) 9 (64,3%) 14

Tabela 4.10 - Classificação das amostras utilizando CP

e CP

Do total, 11 amostras não foram corretamente classificadas, correspondendo a um

índice geral de 72,5% de acerto.

Resultados e Discussões

Aplicou-se o processo de validação cruzada para testar a capacidade destas

componentes em classificar corretamente novas amostras de tecido. O resultado final mostrou

que 67,5% foram corretamente classificadas, conforme mostra a tabela 4.11.

Grupo Nº elementos classificados Total

TN FA C

TN 15 (88,2%) 2 (11,8%) 0 (0%) 17

FA 2 (22,2%) 5 (55,6%) 2 (22,2%) 9

C 0 (0%) 7 (50,0%) 7 (50,0%) 14

Tabela 4.11 - Validação cruzada do método classificatório.

Quando comparados os resultados fornecidos pelas componentes obtidas das matrizes

S e R, conclui-se que ambas fornecem resultados equivalentes, com taxas de acerto não muito

diferentes entre si.

A tabela 4.12 mostra os parâmetros indicativos da eficiência do modelo classificatório.

Resultado do

Diagnóstico

S (%) E (%) VPP (%) VPN

(%)

Negativo = TN

Positivo = FA ou C

91,3 82,3 87,5 87,5 0,74

Negativo = FA

Positivo = C

50,0 42,8 63,6 30,0 0,06

Tabela 4.12 - Validação e reprodutibilidade do modelo de diagnóstico.

A detecção de alterações é muito boa, ocorrendo em 91,3% dos casos, e a

confiabilidade num resultado negativo também apresenta um resultado satisfatório (82,3%).

Entretanto, a identificação do tipo de alteração apresenta-se com um percentual bastante

baixo, com os tecidos malignos sendo corretamente diagnosticados em apenas 50% dos casos

em que realmente ocorrem.

A comparação destes resultados através do índice de concordância

também leva às

mesmas conclusões. A concordância quanto à existência de uma anomalia apresenta-se

satisfatória (

=0,74), enquanto a concordância quanto ao diagnóstico de malignidade da

alteração detectada é bastante próximo de zero, indicando que as duas componentes são

incapazes de diferenciar alterações benignas e malignas.

Resultados e Discussões

4.3.3 - Modelo de Diagnóstico utilizando Análise de Discriminante

A análise de discriminante foi realizada utilizando dois métodos, o direto e o stepwise.

As variáveis utilizadas para o cálculo das funções discriminantes foram as mesmas

selecionadas para obtenção das componentes principais, compreendendo apenas os ângulos no

intervalo angular de 15º a 60º.

Método 1: Método Direto

Obtenção das Funções Discriminantes

O primeiro passo para a obtenção das funções discriminantes pelo método direto foi

selecionar, pelo teste de tolerância, as variáveis que entrariam no cálculo destas funções. Este

teste verificou a existência de multicolinearidade no conjunto de variáveis, e das 136 variáveis

originais, apenas um grupo de 6 foram aceitas considerando o nível mínimo de tolerância de

0,01, e estão representadas na tabela 4.13.

Variável Ângulo de

Espalhamento

15,00

15,33

16,33

23,33

34,33

37,00

Tabela 4.13 – Variáveis utilizadas no cálculo de Z

e Z

no método direto.

Utilizando estas variáveis, foram obtidos os autovalores positivos da matriz W

-1

B. A

tabela 4.14 mostra os autovalores

, ordenados em ordem decrescente de valor absoluto, bem

como a parcela de variância correspondente a cada um e a porcentagem de variância

acumulada pela soma dos dois. O número de autovalores é igual à min(

g-1, p)=min(2, 150)=2.

% de

Variância

% de Variância

Acumulada

= 4,18

86,3 86,3

= 0,31

13,7 100,0

Tabela 4.14 – Autovalores da matriz W

-1

Resultados e Discussões

Assim como na técnica de componentes principais, o primeiro autovalor explica

grande parte da variância total dos dados, e os dois juntos correspondem à variância total.

Como há dois autovalores, são utilizadas duas funções discriminantes para separar os grupos

TN, FA e C.

Obtiveram-se então os dois autovetores correspondentes a cada autovalor. O primeiro

fornece os coeficientes da combinação linear para obtenção da primeira função discriminante

, e o segundo fornece os coeficientes para Z

. A tabela 4.15 mostra os valores desses

coeficientes.

Variável Coeficientes da Matriz a

-0,013 0,005

0,015 -0,013

-0,001 0,008

-0,002 -0,001

0,001 -0,009

0,000 0,011

-2,623 -4,504

Tabela 4.15 – Elementos da matriz de coeficientes a.

Na tabela,

c é uma constante. As funções discriminantes adquirem então a forma:

= -2,623+0,013

-0,015

+…-0,000

=-4,504+0,05

-0,013

+…+0,011

Foram então calculados os valores de

e Z

para todos os elementos pertencentes aos

grupos, pela projeção das variáveis originais na matriz de coeficientes.

Comparação entre os grupos

Para avaliar o grau de diferenciação entre os grupos, realizou-se um teste de hipótese

comparando-os. Como a função

não tinha distribuição normal em um dos grupos, optou-se

por utilizar o teste de Kruskal-Wallis para comparar entre TN, FA e C. A tabela 4.16 mostra o

resultado dos testes.

Resultados e Discussões

Variável

28,573 2 0,000

15,508 2 0,000

Tabela 4.16 – Teste de Kruskal-Wallis entre TN, FA e C nas variáveis Z

e Z

O resultado dos testes de comparação entre os três grupos mostrou-se significativo

para as duas funções. Para analisar quais grupos são diferentes entre si realizou-se um teste de

comparação múltipla. O resultado está na figura 4.18.

Figura 4.18 – Comparação múltipla entre os grupos nas funções discriminantes Z

e Z

O resultado mostra que a função

diferencia os tecidos normais dos alterados, mas

não os benignos dos malignos. A função

, por outro lado, é capaz de diferenciar entre

benignos e malignos, apesar de não diferenciar este último dos normais. Espera-se então que

as duas funções juntas sejam capazes de diferenciar os três grupos. Um teste

de Wilks foi

então aplicado à distribuição bivariada composta por

e Z

, com o objetivo de averiguar se

os grupos eram diferentes. O resultado está na tabela 4.17.

Grupos

gl = p(g-1)

TN, FA e C

0,1431 70,9733 4 0,000

FA e C 0,5749 11,0718 2 0,004

Tabela 4.17 – Teste

de Wilks entre os grupos na distribuição bivariada formada por Z

e Z

Os baixos níveis de significância do teste mostram que as duas funções são capazes de

identificar diferenças em cada um dos três grupos.

Resultados e Discussões

Modelo de Diagnóstico

A figura 4.19 mostra as coordenadas de cada amostra no plano formado pelas duas

funções discriminantes.

Figura 4.19 – Projeções as amostras no espaço Z

×Z

Da figura 4.19 é possível visualizar o resultado do teste de comparação múltipla

realizado. Analisando os valores do eixo horizontal

, nota-se que o centróide do grupo TN

está bem distante dos grupos FA e C, sendo que estes dois últimos estão bem próximos entre

si. No eixo vertical

nota-se que a maior separação ocorreu entre os grupos FA e C.

Adotando o critério da mínima distância de Mahalanobis aos centróides como

classificador das amostras, obtêm-se os resultados da tabela 4.18.

Grupo Nº elementos classificados Total

TN FA C

TN 16 (94,1%) 1 (5,9%) 0 (0%) 17

FA 0 (0%) 9 (100%) 0 (0%) 9

C 0 (0%) 3 (21,4%) 11 (78,6%) 14

Tabela 4.18 - Classificação das amostras utilizando Z

e Z

Resultados e Discussões

O grupo TN, dos tecidos normais, teve apenas um de seus elementos classificados

erroneamente como fibroadenoma. O grupo FA, dos tecidos benignos, teve todos os seus

elementos classificados corretamente. E o grupo C, dos tecidos malignos, teve três de seus

elementos classificados como benignos.

Portanto, do total de 40 elementos, obteve-se um percentual geral de acerto de 90%.

Para testar a capacidade destas funções em classificar novos elementos foi utilizado o

processo de validação cruzada. Neste processo, um elemento aleatório é retirado de seu grupo,

e as funções discriminantes são calculadas novamente para os restantes. Classifica-se então

este elemento retirado utilizando as novas funções. Em seguida este elemento volta para o

grupo, e então outro é retirado e as funções discriminantes novamente calculadas, e assim por

diante, até que todos sejam testados.

A tabela 4.19 mostra o resultado obtido ao fim deste processo.

Grupo Nº elementos classificados Total

TN FA C

TN 14 (82,4%) 2 (11,8%) 1 (5,9%) 17

FA 1 (11,1%) 5 (55,6%) 3 (33,3%) 9

C 0 (0%) 3 (21,4%) 11 (78,6%) 14

Tabela 4.19 – Validação cruzada do método classificatório.

O resultado da validação cruzada mostrou que o percentual geral de acerto foi de 75%.

O grupo FA teve apenas 5 de seus elementos classificados corretamente. O grupo C

novamente apresentou três de seus elementos classificados como benignos.

Um dos fatores que influenciou bastante no resultado foi o número reduzido de

elementos em cada grupo. Hair

et al (HAIR ET AL, 1998) afirma que isto pode causar a

instabilidade das funções discriminantes, ou seja, a cada vez em que se retira um elemento de

um grupo para sua validação cruzada, os coeficientes das funções variam muito, adquirindo

valores bem diferentes daqueles obtidos para todos os elementos juntos. Isto ficou

comprovado quando se aplicou o processo de validação cruzada, em que a retirada de um

elemento de um grupo alterava os valores das funções discriminantes para os elementos

restantes.

Outro fator que também pode ter influenciado foi o método utilizado para selecionar

as variáveis. O teste de tolerância é útil para detectar e remover multicolinearidade, o que

influencia positivamente no resultado final, entretanto, muitas variáveis que talvez fossem

importantes para a separação entre os grupos podem ter sido rejeitadas pelo teste e excluídas

Resultados e Discussões

do cálculo das funções discriminantes. Uma alternativa seria então selecionar as variáveis

através de algum critério, o que foi feito posteriormente com a aplicação do método

stepwise.

A eficiência das funções discriminantes como modelo de diagnóstico foi avaliada

através dos parâmetros

S, E, VPP, VPN e

, dispostos na tabela 4.20.

Resultado do

Diagnóstico

S (%) E (%) VPP (%) VPN (%)

Negativo = TN

Positivo = FA ou C

95,6 82,3 88,0 93,3 0,79

Negativo = FA

Positivo = C

78,6 62,5 78,6 62,5 0,41

Tabela 4.20 - Validação e reprodutibilidade do modelo de diagnóstico.

Pode-se notar que as funções discriminantes

e Z

são capazes de detectar alguma

alteração no tecido mamário em quase todos os casos, como mostra o valor de

S=95,6%, e em

82,3% dos casos o resultado negativo correspondia realmente à ausência de alguma anomalia

na mama.

Alem disso,

e Z

são eficientes no diagnóstico de anomalias do tecido, identificando

em 78,6% dos casos a presença de neoplasias malignas.

Método 2: Método Stepwise

O método stepwise para seleção de variáveis é uma alternativa ao método direto, e

consiste em determinar quais variáveis entram no cálculo das funções discriminantes em

etapas consecutivas, tendo como base algum critério de seleção.

O critério de seleção de variáveis utilizado foi a maximização da medida da distância

de Mahalanobis entre os grupos. Este critério é particularmente útil porque permite utilizar

somente variáveis que tenham relevância na separação entre os grupos.

Obtenção das Funções Discriminantes

Foram necessárias 9 etapas para selecionar um conjunto de 7 variáveis. A cada etapa,

variáveis eram adicionadas ou removidas, dependendo de sua capacidade em separar os

centróides de cada grupo. A tabela 4.21 mostra as variáveis selecionadas no fim deste

processo.

Resultados e Discussões

Variável Ângulo de

Espalhamento

23,00

24,66

33,00

38,00

43,66

48,66

56,00

Tabela 4.21 – Variáveis selecionadas para o cálculo das funções discriminantes.

A partir destas variáveis obtiveram-se os autovalores

da matriz W

-1

B. A tabela 4.22

mostra os resultados obtidos.

% de

Variância

% de Variância

Acumulada

= 9,04

81,5 81,5

= 1,32

18,5 100,0

Tabela 4.22 - Autovalores da matriz W

-1

Os autovalores fornecem os autovetores de W

-1

B, que por sua vez fornecem os

coeficientes para as combinações lineares

e Z

. A tabela 4.23 mostra os coeficientes

obtidos.

Variável Matriz a

0,003 0,004

-0,006 -0,007

0,006 0,004

0,005 0,011

-0,006 -0,015

-0,017 -0,011

0,016 0,019

-0,614 -1,434

Tabela 4.23 – Coeficientes da matriz a.

As coordenadas de

e Z

para todos os elementos de cada grupo foram então obtidas

pela projeção das variáveis

, i=1,...,7 na matriz de coeficientes a.

Resultados e Discussões

Comparação entre os grupos

Para verificar se as funções obtidas são capazes de identificar diferenças entre os

grupos, aplicou-se o teste de Kruskal-Wallis para cada variável independentemente. A tabela

4.24 mostra os resultados obtidos neste teste.

Variável

32,814 2 0,000

20,659 2 0,000

Tabela 4.24 – Teste de Kruskal-Wallis entre TN, FA e C.

Os testes aplicados mostram que existe ao menos um grupo muito diferente dos

demais. Para descobrir quais grupos diferem entre si realizou-se uma comparação múltipla. O

resultado está na figura 4.20.

Figura 4.20 – Comparação múltipla entre os três grupos.

A comparação múltipla entre os grupos mostrou que

é capaz de diferenciar os três

tipos de tecidos, ao passo que a principal contribuição de

é diferenciar entre tecidos

benignos e malignos. Este resultado é mais expressivo do que o obtido através do método

direto, onde apenas uma função permitia a distinção entre benignos e malignos.

Um teste

de Wilks foi então aplicado à distribuição bivariada formada por Z

e Z

mostrando que os grupos são significativamente diferentes. O resultado está na tabela 4.25.

Grupos

gl = p(g-1)

TN, FA e C 0.0547 106.0484 4 0,000

FA e C 0.2157 30.6740 2 0,000

Tabela 4.25 – Teste

de Wilks para a distribuição bivariada formada por Z

e Z

Resultados e Discussões

Modelo de Diagnóstico

A figura 4.21 mostra as coordenadas de todos os elementos no plano

×Z

, indicando

a localização dos centróides

Z e

Z para cada grupo.

Figura 4.21 – Coordenadas das amostras no espaço Z

×Z

Nota-se que os grupos estão bem separados uns dos outros. Os grupos TN e C são os

que apresentam melhor resultado, com todos os seus elementos distribuídos homogeneamente

ao redor de seus centróides, e não muito distantes deles. Os elementos do grupo FA

apresentam-se mais dispersos em relação ao centróide do grupo.

A tabela 4.26 mostra o resultado da comparação entre classificação dos elementos a

partir de suas distâncias aos centróides.

Grupo Nº elementos classificados Total

TN FA C

TN 17 (100%) 0 (0%) 0 (0%) 17

FA 1 (11,1%) 8 (88,9%) 0 (0%) 9

C 0 (0%) 0 (0%) 14 (100%) 14

Tabela 4.26 - Classificação das amostras utilizando Z

e Z

Resultados e Discussões

A tabela mostra que apenas um elemento do grupo FA foi classificado erroneamente

como normal. Comparando este resultado com a tabela de classificação obtida no método

direto, nota-se que houve uma melhora expressiva no índice percentual de acerto, que neste

caso foi de 97,5%.

Para testar a eficiência das funções discriminantes como critério de classificação de

novos elementos, foi realizado o processo de validação cruzada. A tabela 4.27 mostra o

resultado da classificação dos elementos de cada grupo.

Grupo Nº elementos classificados Total

TN FA C

TN 15 (88,2%) 2 (11,8%) 0 (0%) 17

FA 2 (22,2%) 5 (55,6%) 2 (22,2%) 9

C 1 (7,1%) 0 (0%) 13 (92,9%) 14

Tabela 4.27 - Validação cruzada do método classificatório.

O processo de validação cruzada mostrou que das 40 amostras apenas 7 não foram

classificadas corretamente, correspondendo a um índice de acerto geral de 82,5%.

O grupo TN apresentou dois de seus elementos classificados como FA, e um caso de

falso negativo, com um elemento do grupo C classificado como normal.

O grupo FA, por outro lado, teve praticamente metade de seus elementos classificados

de forma errada. Um destes elementos classificados como TN possuía o pico de espalhamento

adiposo em 20º, que é característico dos tecidos normais, além do pico característico dos

tecidos alterados. Esta característica provavelmente foi a responsável por sua localização

próxima aos tecidos normais.

Apesar do resultado do grupo FA, pode-se concluir que os resultados obtidos neste

método foram em geral bem superiores ao método direto, uma vez que a característica do

critério de seleção de variáveis foi escolher aquelas que maximizavam a distância

Mahalanobis entre os centróides de cada grupo, otimizando o processo de classificação de

novos elementos.

Apesar disso, ainda existe o problema da instabilidade das funções discriminantes,

devido ao pequeno número de amostras de tecido analisadas, principalmente no grupo FA,

que foi o que apresentou maior número de classificações errôneas.

Os parâmetros que avaliam a eficiência e confiabilidade do resultado destas funções

como modelo de diagnóstico estão na tabela 4.28.

Resultados e Discussões

Resultado do

Diagnóstico

S (%) E (%) VPP (%) VPN (%)

Negativo = TN

Positivo = FA ou C

86,9 88,2 90,9 83,3 0,74

Negativo = FA

Positivo = C

100,0 71,4 86,7 100,0 0,76

Tabela 4.28 - Validação e reprodutibilidade do modelo de diagnóstico.

A sensibilidade para detectar algum tipo de alteração foi um pouco menor do que a

obtida no método anterior. Entretanto, o resultado mais expressivo da tabela acima certamente

é a alta sensibilidade das funções discriminantes para diagnosticar alterações malignas.

O índice de concordância

também apresentou níveis satisfatórios, principalmente no

diagnóstico de lesões benignas e malignas.

Pode-se notar que as funções discriminantes obtidas no método

stepwise foram as que

melhor identificaram diferenças entre tecidos benignos e malignos. Além disso, mantiveram o

nível de sensibilidade aceitável para a detecção de alterações, com o valor de

S bem próximo

da sensibilidade de um exame mamográfico.

CAPÍTULO 5

5 - CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

5.1 - Conclusões

5.1.1 - Sobre o método de obtenção das seções de choque dσ/dΩ das amostras de tecido

O uso de difractômetros comerciais, como o Siemens D5005 utilizado neste trabalho,

se mostrou adequado para determinar a distribuição angular da radiação espalhada pelas

amostras de tecidos mamários, sendo possível identificar claramente os picos de

espalhamento para cada tipo de tecido. Recentemente, Johns e Wismayer (JOHNS e

WISMAYER, 2004) também mostraram a viabilidade destes tipos de difractômetros para se

obter os perfis de espalhamento de materiais amorfos.

Os fatores de correção aplicados aos dados experimentais neste trabalho foram obtidos

baseando-se em correções experimentais e cálculos numéricos, e sua aplicação permite

determinar com precisão a seção de choque diferencial de espalhamento d

. Para avaliar a

adequação dos dados após a aplicação destes fatores, um teste foi realizado numa amostra de

água, e o resultado comparado com a seção de choque d

obtida a partir do fator de forma

tabulado por Morin (MORIN, 1982), resultado numa concordância aceitável dentro das

incertezas experimentais. Além disso, foram comparadas também as seções de choque de

tecidos normais e alterados com resultados apresentados em trabalhos anteriores (OLIVEIRA,

2006). Estas comparações permitiram concluir que a metodologia de correção dos dados é

adequada para obtenção das seções de choque diferencial de espalhamento das amostras de

tecido mamário.

Conclusões e Perspectivas

5.1.2 - Sobre os modelos de diagnóstico desenvolvidos

O primeiro modelo construído baseou-se na definição de algumas variáveis a partir

dos perfis de espalhamento, tais como posição e intensidade dos picos de espalhamento e

largura à meia altura, entre outros (seção 4.3.1).

Algumas destas variáveis se mostraram muito eficientes na distinção entre tecidos

normais e alterados, como P

e LMA. Esta distinção ocorre pelo fato de a maior parte dos

tecidos normais analisados serem ricos em tecido adiposo, cujo perfil é bem característico,

enquanto a maioria dos tecidos alterados (benignos e malignos) não apresenta este tipo de

tecido em sua composição.

Apesar da alta sensibilidade deste método em classificar tecidos normais e alterados,

ele não permite identificar diferenças entre alterações benignas e malignas, pelo fato de as

curvas de espalhamento destes dois tipos de tecidos serem muito semelhantes entre si. Além

disso, o processo de obtenção destas variáveis no perfil de cada amostra deve ser feito

manualmente, o que o torna lento e sujeito a erros sistemáticos.

O segundo método testado para classificar os tipos de tecidos analisados consistiu na

análise de um sub-intervalo angular do perfil de espalhamento das amostras, de 15º a 60º,

através da análise de componentes principais.

Estas componentes foram obtidas a partir das matrizes de covariância

S e correlação R,

e em ambos os casos, a análise de componentes principais mostrou-se uma técnica de redução

de variáveis altamente eficiente, sendo capaz de condensar praticamente toda a variabilidade

dos dados, constituídos inicialmente por 136 variáveis, em algumas poucas componentes

(seção 4.3.2).

No que se refere à capacidade destas componentes em identificar diferenças entre

tecidos normais, benignos e malignos, observou-se que elas oferecem uma boa sensibilidade e

especificidade na detecção de alterações, ou seja, na distinção entre tecidos normais e

alterados. Uma vez que os tecidos normais apresentam um perfil de espalhamento bastante

diferente dos alterados, era esperado que as primeiras componentes, que correspondem à

cerca de 99% da variância total dos dados, permitissem visualizar diferenças entre estes

tecidos. No que se refere à caracterização de tecidos alterados, assim como no modelo

anterior, o uso das componentes principais não se mostrou um método eficiente.

Conclusões e Perspectivas

O terceiro método de classificação consistiu na análise de discriminante, utilizando

como variáveis os ângulos contidos no sub-intervalo de 15º a 60º (seção 4.3.3). As funções

discriminantes foram obtidas de duas formas, através do método direto, em que todas as

variáveis aceitas no teste de tolerância entravam no cálculo das funções, e o método

stepwise,

que selecionava as variáveis que mais contribuíam para a separação entre os grupos.

O método direto permitiu a obtenção de duas funções discriminantes, que juntas eram

capazes de distinguir entre os três tipos de tecidos, mostrando ser possível distinguir tecidos

normais de alterados e, além disso, caracterizar as alterações como benignas ou malignas, o

que não foi possível de ser alcançado nos dois modelos anteriores.

O método

stepwise otimizou o resultado obtido no método direto, selecionando para o

cálculo das funções discriminantes apenas as variáveis que contribuíam para maximizar a

distância

de Mahalanobis entre os centróides de cada grupo. Como conseqüência, cada

uma das funções discriminantes era capaz de distinguir entre neoplasias benignas e malignas,

além de distinguir também os tecidos normais.

Portanto a análise de discriminante mostrou-se a técnica mais indicada para classificar

os tecidos, permitindo detectar alterações com uma sensibilidade equivalente à de um exame

mamográfico, e diagnosticá-las também de forma altamente eficiente, utilizando para isso um

número reduzido de variáveis angulares.

5.1.3 – Conclusões Finais

Este trabalho mostra que é possível utilizar os perfis de espalhamento dos tecidos

mamários como base para a detecção e o diagnóstico de alterações.

A técnica de análise de discriminante se mostrou muito adequada para este fim, sendo

bastante sensível em detectar a presença de uma alteração, assim como em distingui-la como

benigna ou maligna. Embora o número de amostras analisadas ainda seja insuficiente para

consolidar este método de reconhecimento de padrões como modelo de diagnóstico, os

resultados obtidos apontam para a viabilidade de sua aplicação como ferramenta no auxílio ao

diagnóstico do câncer de mama.

Conclusões e Perspectivas

5.2 – Perspectivas

Com os resultados obtidos neste trabalho, podem-se definir as seguintes perspectivas

para trabalhos futuros:

• Deve-se aumentar o número de amostras de tecidos mamários analisadas. Este é um

quesito fundamental para validar os resultados de classificação histológica baseada

nos perfis de espalhamento obtidos neste trabalho. Além disso, uma grande quantidade

destes perfis constitui-se num banco de dados para classificação de novas amostras no

futuro.

• Caracterização de neoplasias malignas. Uma vez que os carcinomas de mama são

constituídos por alterações de vários tipos, como por exemplo, carcinomas ductais de

grau I, II e III, intraductais e lobulares, pode-se estender o método de análise de

discriminante, de forma a incluir a classificação de neoplasias malignas.

• Automatizar o processo de classificação histológica, implementando a metodologia de

pré-processamento e de diagnóstico ao processo de obtenção dos perfis de

espalhamento.

Conclusões e Perspectivas

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6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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