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AVALIAÇÃO DE METODOLOGIAS DE ANÁLISE DE UNIDADES
ESTACIONÁRIAS DE PRODUÇÃO DE PETRÓLEO OFFSHORE
Alex Leandro de Lima
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM
ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
________________________________________________
Prof. Breno Pinheiro Jacob, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Celso Kazuyuki Morooka, Ph.D.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
JUNHO DE 2006
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ii
LIMA, ALEX LEANDRO DE
Avaliação de Metodologias de Análise de
Unidades Estacionárias de Produção de
Petróleo Offshore [Rio de Janeiro] 2006
X, 165 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,
Engenharia Civil, 2006)
Dissertação - Universidade Federal do Rio
de Janeiro, COPPE
1. Sistemas Offshore
2. Análise Acoplada
3. CALM, ITTC
I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
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Dedico este trabalho à minha família.
iv
AGRADECIMENTOS
Ao meu Deus por ter me dado a graça de conquistar mais essa vitória na minha
vida acadêmica, por ter me dado a força e ânimo quando tudo parecia difícil.
Ao professor Breno Pinheiro Jacob, pela paciência compreensão, estímulo e
ensinamentos transmitidos ao longo de todo este trabalho.
Aos amigos Fabrício Nogueira Corrêa e Marcos Vinícius Rodrigues que
forneceram apoio valioso para o desenvolvimento deste trabalho.
Aos amigos do LAMCSO (Laboratório de Métodos Computacionais e Sistemas
Offshore): Luciano Tardelli Vieira, Danilo Machado Lawinscky da Silva, Mônica de
Biase di Blasio e Bruno Martins Jacovazzo pelo companheirismo e amizade
demonstrados desde o início da minha chegada ao laboratório.
Ao amigo Glauco José de Oliveira Rodrigues pelo incentivo ao tema de tese na
área de produção offshore, por ter contribuído positivamente na minha formação
acadêmica, através de suas orientações e ensinos, e principalmente por sua amizade
sempre constante.
A CAPES pelo auxílio financeiro recebido durante este trabalho.
v
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
AVALIAÇÃO DE METODOLOGIAS DE ANÁLISE DE UNIDADES
ESTACIONÁRIAS DE PRODUÇÃO DE PETRÓLEO OFFSHORE
Alex Leandro de Lima
Junho/2006
Orientador: Breno Pinheiro Jacob
Programa: Engenharia Civil
Este trabalho apresenta a execução e a validação de análises dinâmicas acopladas
de sistemas offshore, considerando a interação entre um corpo rígido, representando a
unidade flutuante, e as linhas de ancoragem e risers, modeladas por elementos finitos. A
metodologia de análise acoplada não-linear no domínio do tempo considera a interação
entre o comportamento hidrodinâmico do casco e comportamento estrutural e
hidrodinâmico das linhas de ancoragem e risers.
Para isso, o casco é representado por uma equação dinâmica para resolver seus
seis graus de liberdade (surge, sway, heave, roll, pitch e yaw) e as linhas são
representadas no lado direito dessa equação de movimento por forças agindo nas
conexões do casco. Demonstra-se que esta metodologia “fracamente acoplada” pode
representar corretamente os efeitos da interação que compreendem o comportamento
real de um sistema offshore. Para isto, primeiramente um exemplo acadêmico simples
compara os resultados desta metodologia com uma análise dinâmica “totalmente
acoplada”, onde o casco e as linhas são representados por elementos finitos. Em
seguida, esta metodologia é usada para analisar modelos para os quais existem
resultados experimentais, mais especificamente, em um sistema CALM e a semi-
submersível ITTC.
A avaliação dos resultados numéricos obtidos e a comparação com os resultados
experimentais darão ênfase à precisão e confiança nas análises acopladas, que estão
começando a ganhar um uso mais acentuado em projetos estruturais offshore.
vi
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
EVALUATION OF METHODOLOGIES OF ANALYSIS OF STATIONARY UNITS
OF PRODUCTION OF OIL OFFSHORE
Alex Leandro de Lima
June/2006
Advisor: Breno Pinheiro Jacob
Department: Civil Engineering
This work presents the implementation and validation of coupled dynamic
analysis of offshore systems, considering the interaction between a rigid body,
representing the floating platform, and the risers and mooring lines, modeled by finite
elements. Consequently, the coupled nonlinear time-domain analysis methodology
considers the interaction between the hydrodynamic behavior of the hull and the
structural/hydrodynamic behavior of the mooring lines and risers. For that, the hull is
represented by a dynamic equation to solve its six degrees of freedom (surge, sway,
heave, roll, pitch and yaw) and the lines are represented, on the right side of that
dynamic equation, by its forces acting on the hull connections.
It will be demonstrated that this “weak” coupled methodology is able to represent
correctly the interaction effects that comprise the real behavior of an offshore system.
For that, firstly a simple academic example will compare the results of this methodology
with a fully coupled dynamic analysis where the hull and the lines are all modeled by
Finite Element Method. Next, results of coupled analyses will be compared with the
results of models evaluated in tank tests, more specifically, a semi-submersible ITTC
and a CALM monobuoy.
The obtained results will stress the accuracy and reliability of the coupled
dynamic non-linear simulations, which are beginning to gain a wider use by offshore
engineers.
vii
CONTEÚDO
1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................... 1
1.1 PANORAMA..........................................................................................................................1
1.2 MOTIVAÇÃO........................................................................................................................ 2
1.3 OBJETIVO............................................................................................................................ 3
1.4 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO .................................................................................................4
2. SISTEMAS DE PRODUÇÃO OFFSHORE......................................................................5
2.1 PLATAFORMAS PARA EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO......................................................... 5
2.1.1 PLATAFORMA FIXA ........................................................................................................... 5
2.1.2 PLATAFORMA SEMI-SUBMERSÍVEL................................................................................... 6
2.1.3 NAVIOS FPSO ................................................................................................................... 7
2.1.4 TLP ................................................................................................................................... 7
2.2 RISERS.................................................................................................................................9
2.3 SISTEMAS DE ANCORAGEM..............................................................................................11
2.3.1 CONFIGURAÇÕES DE LINHAS DE ANCORAGEM............................................................... 11
2.3.2 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE ANCORAGEM............................................................. 13
2.4 METODOLOGIAS DE ANÁLISE DE UNIDADES FLUTUANTES ANCORADAS.....................16
2.4.1 MODELOS DESACOPLADOS............................................................................................. 16
2.4.2 MODELOS ACOPLADOS ................................................................................................... 20
2.4.3 O PROGRAMA PROSIM .................................................................................................... 22
3. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DE PLATAFORMAS FLUTUANTES...................24
3.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................24
3.2 SISTEMAS DE COORDENADAS ..........................................................................................25
3.2.1 SISTEMA GLOBAL GERAL (CONSTANTE, “INERCIAL”) ................................................... 25
3.2.2 SISTEMA LOCAL DAS ONDAS .......................................................................................... 25
3.2.3 SISTEMA ESTRUTURAL DA PLATAFORMA (MÓVEL, “FIXO NO CORPO”)........................ 25
3.2.4 SISTEMA LOCAL DOS MEMBROS DA PLATAFORMA E DOS ELEMENTOS FINITOS DAS
LINHAS E RISERS ......................................................................................................................... 26
3.3 FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO ...........................................................28
3.3.1 DESLOCAMENTO DE TRANSLAÇÃO................................................................................. 28
3.3.2 DESLOCAMENTO DE ROTAÇÃO ....................................................................................... 28
viii
3.3.3 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS............................................................................ 30
3.3.4 TRANSFORMAÇÃO DE VELOCIDADES ............................................................................. 30
3.3.5 SEGUNDA LEI DE NEWTON ............................................................................................. 31
3.3.6 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO – FORMA INICIAL............................................................... 32
3.4 SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO....................................................................34
3.4.1 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO – FORMA FINAL ................................................................. 34
4. FORÇAS AMBIENTAIS.................................................................................................. 36
4.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................36
4.2 FORMULAÇÃO DO PVC QUE COMPÕE O MODELO MATEMÁTICO................................38
4.2.1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL 2D............................................................................................ 39
4.2.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO............................................................................................. 40
4.3 SOLUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO............................................................................41
4.3.1 MÉTODOS DE SOLUÇÃO (“TEORIAS DE ONDA”) ............................................................. 41
4.3.2 TEORIA LINEAR DE AIRY ................................................................................................ 42
4.4 REPRESENTAÇÃO ESPECTRAL.........................................................................................50
4.4.1 INTRODUÇÃO................................................................................................................... 50
4.4.2 ESPECTRO DE JONSWAP .................................................................................................. 51
4.5 FORÇAS GERADAS PELA MOVIMENTAÇÃO DO FLUIDO INDUZIDA PELAS ONDAS ....... 53
4.5.1 FORMULAÇÃO DE MORISON ........................................................................................... 53
4.5.2 FORMULAÇÃO DE FROUDE-KRYLOV .............................................................................. 56
4.5.3 MODELO DE DIFRAÇÃO / RADIAÇÃO .............................................................................. 60
4.6 FORMULAÇÕES HÍBRIDAS PARA O CÁLCULO DAS FORÇAS NO CASCO ........................65
4.6.1 INTRODUÇÃO; APLICABILIDADE DAS FORMULAÇÕES .................................................... 65
4.6.2 EXPRESSÃO COMPLETA PARA O CÁLCULO DE FORÇAS NO MODELO HÍBRIDO .............. 67
4.7 FORÇAS DE CORRENTEZA................................................................................................69
4.7.1 INTERAÇÃO COM AS FORÇAS DE ONDA: INTERAÇÃO FÍSICA.......................................... 69
4.7.2 INTERAÇÃO COM AS FORÇAS DE ONDA: INTERAÇÃO ESTATÍSTICA ............................... 70
4.8 VENTO ...............................................................................................................................72
4.8.1 CÁLCULO DAS FORÇAS: PARCELA ESTÁTICA ................................................................. 72
4.8.2 CÁLCULO DAS FORÇAS: PARCELA DINÂMICA ................................................................ 73
5. FORMULAÇÃO ESTRUTURAL E HIDRODINÂMICA DAS LINHAS................... 75
5.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................75
5.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ESTRUTURAL .................................................................75
ix
5.2.1 MODELO MATEMÁTICO; SOLUÇÃO NUMÉRICA.............................................................. 75
5.3 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL: O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS............................77
5.3.1 ELEMENTO DE TRELIÇA .................................................................................................. 77
5.3.2 ELEMENTO DE PÓRTICO .................................................................................................. 77
5.4 DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO: SOLUÇÃO NUMÉRICA DE PROBLEMAS DINÂMICOS
LINEARES....................................................................................................................................79
5.4.1 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DINÂMICO....................................................................... 79
5.4.2 PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO DO PROBLEMA DINÂMICO .............................................. 80
5.5 TRATAMENTO DOS PROBLEMAS NÃO-LINEARES COM ALGORITMOS IMPLÍCITOS .....84
5.6 SOLUÇÃO DO PROBLEMA DINÂMICO: O ALGORITMO αB-NEWMARK......................... 87
5.7 IMPLEMENTAÇÃO OTIMIZADA DO PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO............................... 88
6. APLICAÇÕES...................................................................................................................92
6.1 AVALIAÇÃO DO MODELO FRACAMENTE ACOPLADO: BÓIA COM LINHA SUSPENSA ..93
6.1.1 DESCRIÇÃO ..................................................................................................................... 93
6.1.2 DADOS GERAIS ............................................................................................................... 94
6.1.3 CARREGAMENTO APLICADO........................................................................................... 95
6.1.4 MODELAGEM DO CASCO................................................................................................. 96
6.1.5 MODELAGEM DA LINHA SUSPENSA ................................................................................ 98
6.1.6 CASOS ANALISADOS ....................................................................................................... 99
6.1.7 RESULTADOS................................................................................................................. 101
6.1.8 CONCLUSÕES SOBRE AS ANÁLISES DA BÓIA COM A LINHA SUSPENSA ........................ 109
6.2 SISTEMA CALM .............................................................................................................112
6.2.1 DESCRIÇÃO ................................................................................................................... 112
6.2.2 DADOS GERAIS ............................................................................................................. 114
6.2.3 CARREGAMENTO APLICADO......................................................................................... 116
6.2.4 MODELAGEM DAS LINHAS DE ANCORAGEM ................................................................ 118
6.2.5 MODELAGEM DA BÓIA.................................................................................................. 119
6.2.6 RESULTADOS ESTÁTICOS.............................................................................................. 121
6.2.7 RESULTADOS DINÂMICOS............................................................................................. 124
6.2.8 COMENTÁRIOS SOBRE AS ANÁLISES DO SISTEMA CALM ............................................ 136
6.3 PLATAFORMA SEMI-SUBMERSÍVEL ITTC ....................................................................138
6.3.1 DESCRIÇÃO ................................................................................................................... 138
6.3.2 MODELAGEM DO CASCO............................................................................................... 139
6.3.3 MODELAGEM DAS LINHAS ............................................................................................ 144
6.3.4 ANÁLISES REALIZADAS ................................................................................................ 147
x
7. CONCLUSÕES................................................................................................................159
7.1 SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS.......................................................................... 160
8. REFERÊNCIAS............................................................................................................... 162
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1
1
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1.1 Panorama
Das primeiras atividades de exploração de petróleo offshore, em 1968 na Bacia de
Sergipe (com lâmina d’água de cerca de 30m), até as explorações em águas profundas
(entre 1000 e 2000 m) e ultraprofundas (acima de 2000 m) na Bacia de Campos (RJ), o
Brasil tem se destacado no cenário mundial neste tipo de exploração, a ponto de sermos
hoje líderes mundiais neste setor.
Muitos foram os desafios impostos para exploração de petróleo, enquanto as
profundidades das lâminas d’água aumentavam. As estruturas fixas (jaquetas),
empregadas em águas mais rasas, começaram a ter seu uso inviabilizado, pois para
águas profundas deveriam ser construídas estruturas excessivamente rígidas e caras.
Essas e outras tecnologias empregadas em outros países, não atendiam nossos
necessidades de exploração. Isso possibilitou ao Brasil um elevado desenvolvimento
tecnológico no que se refere à exploração de petróleo em águas profundas.
Como conseqüência desses novos desafios gerados pela elevação da profundidade
na exploração de petróleo no mar, trazendo complicações no que se refere ao projeto de
estruturas utilizadas para suporte a plataformas offshore, a necessidade de pesquisas
neste setor aumentou consideravelmente, tendo em vista o desenvolvimento de sistemas
de exploração e produção de petróleo seguros, eficientes e economicamente viáveis.
Presentemente, as alternativas consideradas para plataformas offshore em águas
profundas baseiam-se primordialmente em estruturas flutuantes ancoradas, tais como
plataformas semi-submersíveis e unidades baseadas em navios. As pesquisas nesta linha
continuam na tentativa de se buscar novas soluções para atender as mais variadas
condições de projeto e melhoramento dos sistemas já existentes. Para isto é necessário
contar com modelos matemáticos e métodos numéricos de análise, que sejam mais
representativos do modelo real, visando sempre o aprimoramento das atividades
exploratórias.
2
1.2 Motivação
No contexto de métodos numéricos de análise, para a completa representação do
comportamento de um sistema estrutural para exploração de petróleo no mar, não é
suficiente considerar separadamente a estrutura de suporte (casco da unidade flutuante)
e as linhas de ancoragem ou de produção. É necessário considerar a interação entre
todos os componentes.
As ferramentas numéricas tradicionalmente usadas na análise de unidades
flutuantes ancoradas adotam um procedimento de análise desacoplada, que trata os
movimentos do casco da unidade flutuante separadamente do comportamento estrutural
dinâmico não-linear das linhas de ancoragem e risers.
A análise desacoplada, de um modo geral, ignora o fato de que o casco, as linhas
de ancoragem e os risers compõem um sistema integrado, introduzindo simplificações
que fazem com que a interação do comportamento dinâmico não-linear destes
componentes não sejam considerada de forma rigorosa, o que pode prejudicar
significativamente a qualidade dos resultados. Essas simplificações tornam-se mais
graves para sistemas com grande número risers, e para sistemas instalados em lâminas
d’água profundas.
Por outro lado, a utilização de uma formulação acoplada permitirá avançar além
do estado-da-arte atual de projeto, contribuindo para a integração entre o projeto de
ancoragem e o projeto dos risers. Além disso, as análises acopladas contribuem para
que seja possível prever com mais precisão o comportamento de estruturas offshore,
analisando-se possíveis problemas e soluções antes mesmo de serem instaladas ou de ir
a campo avaliá-las.
Portanto, a grande motivação deste trabalho é caminhar no sentido de colaborar
para que métodos de análise acoplada se firmem como ferramentas empregadas para o
projeto de unidades flutuantes ancoradas.
3
1.3 Objetivo
Tendo em mente a motivação apresentada no item anterior, o objetivo deste
trabalho é realizar estudos comparativos sobre metodologias de análise de unidades
estacionárias de produção de petróleo offshore dentro do contexto da denominada
análise acoplada.
As analises efetuadas neste trabalho serão realizadas através do programa de
análise acoplada Prosim [1], desenvolvido em parceria pela Petrobras e pelo
LAMCSO/PEC/COPPE/UFRJ. Este programa é baseado em uma formulação acoplada
que incorpora, em uma única estrutura de código e de dados, um modelo hidrodinâmico
para a representação do casco da unidade flutuante, e modelos de elementos finitos para
a representação rigorosa das linhas de ancoragem e risers.
Foram selecionados modelos para os quais existem disponíveis resultados
experimentais. Com isso será possível avaliar ou validar as metodologias consideradas.
Na formulação acoplada do programa Prosim, a cada instante do processo de
integração no tempo das equações de movimento do casco efetua-se uma análise não-
linear dinâmica de um modelo de elementos finitos de cada uma das linhas, sob ação da
onda, correnteza, peso próprio, e das componentes de movimento transmitidas pelo
casco. As forças no topo de cada linha, obtidas como resultado destas análises, são
então aplicadas no lado direito das equações de movimento do casco. Esta formulação
poderia ser considerada “fracamente acoplada”, já que o acoplamento é efetuado no
lado direito das equações de movimento da unidade flutuante. Portanto, uma das
aplicações efetuadas neste trabalho procura comparar os resultados desta formulação
com os de uma formulação “totalmente acoplada”, onde todas as matrizes de massa e
rigidez, tanto o casco como as linhas, são armazenadas em uma única matriz global.
Além disso, outra das aplicações consideradas neste trabalho consiste no estudo
do comportamento dinâmico de uma monobóia, para a qual existem algumas questões já
levantadas quanto ao modelo de análise mais apropriado. A comparação dos resultados
obtidos com os fornecidos por ensaios permitirá traçar alguns comentários e sugestões
sobre esse assunto.
4
1.4 Organização do Texto
O restante do texto deste trabalho está dividido em capítulos, estruturados na
seqüência apresentada a seguir.
O capítulo 2 apresenta uma breve descrição dos principais componentes de um
sistema offshore (plataformas, risers, linhas de ancoragem e sistemas de ancoragem).
Apresenta também um histórico das metodologias de análise e projeto de sistemas
flutuantes, iniciando da abordagem mais tradicional baseada em modelos desacoplados,
e definindo a abordagem mais recente baseada em modelos acoplados.
O capítulo 3 apresenta uma revisão da formulação teórica das equações de
movimento de plataformas flutuantes.
O capítulo 4 apresenta a formulação dos carregamentos ambientais que agem
como força externa à unidade flutuante.
No capítulo 5, são descritos os modelos numéricos estruturais para a análise das
linhas de ancoragem e risers, que são utilizados nos programas computacionais voltados
para simulação numérica de sistemas offshore. Este capítulo descreve também os
algoritmos explícitos e implícitos para integração no tempo das equações de movimento
das linhas.
No capítulo 6, encontram-se os estudos de aplicação de três modelos de sistemas
offshore: inicialmente um modelo acadêmico que pretende comparar resultados de
análises “fracamente acopladas” e “totalmente acopladas”, e, em seguida, dois modelos
para os quais existem disponíveis resultados experimentais realizados em tanques de
prova.
Finalmente, o capítulo 7 apresenta as conclusões obtidas das análises realizadas
neste trabalho e apresenta propostas para desenvolvimentos futuros.
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Este capítulo será voltado para uma descrição sucinta de sistemas offshore para
que o leitor compreenda melhor alguns tipos de problemas que serão estudados nesta
tese, se familiarizando, assim, com algumas denominações e conceitos básicos da área
offshore. Apresenta também um histórico das metodologias de análise e projeto de
sistemas flutuantes, iniciando da abordagem mais tradicional baseada em modelos
desacoplados, e definindo a abordagem mais recente baseada em modelos acoplados.
2.1 Plataformas para Exploração de Petróleo
2.1.1 Plataforma Fixa
Inicialmente, a extração de petróleo offshore no Brasil era efetuada em lâmina
d’águas denominadas rasas atualmente, com profundidades variando de 100m a 500m.
Para tal eram utilizadas plataformas fixas (Figura 1) apoiadas no leito marinho. Como
estas plataformas são fixadas no fundo e são estruturas relativamente rígidas, os efeitos
dinâmicos e os efeitos não-lineares geométricos, devido aos carregamentos de onda,
vento e correnteza não se apresentam de forma muito significativa.
Figura 1 – Plataforma fixa.
À medida que foram sendo descobertos novos reservatórios de petróleo em
lâminas d’água mais profundas (500m a 1000m), observou-se que a freqüência natural
6
deste tipo de plataforma se aproximava perigosamente da freqüência de excitação
causada pelas ondas. Isto poderia fazer com que o sistema sofresse amplificações
dinâmicas excessivas em sua resposta, podendo até mesmo, caso não houvesse
amortecimento, entrar em ressonância ocasionando um desastre de grandes proporções.
Para evitar-se este problema seria necessário construir uma estrutura muito rígida, o que
se mostrou economicamente inviável.
Para compor novas alternativas na exploração de petróleo em águas profundas,
foram introduzidos os sistemas flutuantes ancorados no fundo do mar por meio de
cabos. Estes sistemas são descritos a seguir.
2.1.2 Plataforma Semi-submersível
As semi-submersíveis (Figura 2) são plataformas com estruturas flutuantes
largamente empregadas para produção, completação e perfuração. Consistem de dois
flutuadores compartimentados em tanques com finalidades de oferecer lastro e flutuação
à plataforma. Estes flutuadores são denominados de “pontoons”, os quais apóiam as
colunas, também chamadas de pernas, e que por sua vez sustentam os conveses. Seu
calado pode ser alterado através do bombeio de água para os tanques de lastro.
Figura 2 – Plataforma Semi-submersível.
As semi-submersíveis podem ser empregadas tanto em produção quando
perfuração. As plataformas semi-submersíveis de perfuração são geralmente
denominadas de MODU (Mobile Offshore Drilling Unit).
7
2.1.3 Navios FPSO
Navios do tipo FPSO (Floating Production, Storage and Offloading Vessel) ou
Unidade de Produção, Armazenamento e Alívio de Petróleo) (Figura 3), são navios
adaptados a extrair, armazenar e exportar petróleo, estando estes também ancorados ao
fundo do mar por meio de cabos.
Figura 3 – Unidade FPSO.
2.1.4 TLP
A TLP (Tension Leg Platform) (Figuras 4 e 5) consiste numa estrutura similar à
semi-submersível, sendo mantida na locação através de tirantes (tendões) que são
ancorados no fundo através de estacas e tracionadas no topo pela força resultante entre
peso e empuxo (restauração hidrostática). Esta tração deve ser mantida ao longo de
todo seu comprimento a fim de evitar a desconexão no fundo do mar e/ou a flambagem
dos tendões.
A TLP permite que a completação dos poços seja do tipo ‘seca’, isto é, o controle
e intervenção nos poços é feito na plataforma e não no fundo do mar. Desta forma,
torna-se desnecessária a utilização de embarcações com posicionamento dinâmico para
a intervenção nos poços, o que ocorre quando é utilizada a completação ‘molhada’ em
que as árvores de natal ficam no fundo do mar.
8
Figura 4 – Vista geral de uma TLP.
EQUIPAMENTO DE
PERFURAÇÃO E PRODUÇÃO
SUPER ESTRUTURA
FLUTUANTE
BÓIA DE FLUTUAÇÃO
DAS LINHAS
FERRAMENTAS
DE PERFURAÇÃO
CONDUZIDAS
AO POÇO
FUNDAÇÃO
LINHA LATERAL DE ANCORAGEM
DE CABO DE AÇO E AMARRAS
TENDÕES DE
ANCORAGEM
RISER
DE PRODUÇÃO
ESTACA
Figura 5 – TLP com linhas laterais.
Na Figura 5 acima, tem-se a única TLP instalada no mundo com linhas laterais
(TLP de Auger), instalada no Golfo do México [2].
Casco
Risers
Tendões
Conecto
r
tendão/estaca
9
2.2 Risers
Para transportar o óleo do fundo do mar até às unidades flutuantes são necessárias
tubulações que devem ser analisadas cuidadosamente. Estes tubos suspensos,
geralmente dispostos em configurações em catenária, recebem a denominação de risers
(Figura 6) e podem ser flexíveis, formados por camadas alternadas de plástico e aço, ou
rígidos, constituídos de aço.
Figura 6 –
Riser
flexível e
riser
rígido.
Para o dimensionamento e verificações estruturais dos risers conectados às
unidades flutuantes também são necessárias ferramentas específicas que considerem o
efeito dinâmico e não linear dos movimentos impostos por estas unidades ao topo dos
risers, além do efeito das ondas e correnteza agindo diretamente sobre estas linhas.
Os risers flexíveis podem assumir diferentes configurações em catenária como
“Steep Wave” e “Lazy Wave” (Figura 7). Estas configurações possuem seções
intermediária com flutuadores, cujo empuxo alivia o peso suportado pelo sistema
flutuante e, quando sob solicitação lateral, contribui com momentos restauradores.
10
Figura 7 – Configurações de
riser
s flexíveis.
11
2.3 Sistemas de Ancoragem
2.3.1 Configurações de Linhas de Ancoragem
As linhas de ancoragem têm a função estrutural de fornecer forças de restauração
para manter em posição os sistemas flutuantes tais como plataformas semi-submersíveis
ou navios. Para oferecer a força de restauração necessária são dispostas em catenária
(ancoragem convencional) ou utilizadas como linhas retesadas (taut-leg) ou tendões.
• Ancoragem Convencional
A ancoragem convencional é composta por linhas a ancoragem em catenária
(Figura 9). Esta técnica de ancoragem é utilizada em operações de produção ou
perfuração. A ancoragem em catenária mantém a unidade flutuante em uma locação
através da força de restauração das linhas. As linhas ancoradas são presas ao fundo do
mar por âncoras de resistência horizontal.
Para atender os critérios de projeto para passeio das unidades flutuantes ancoradas
(por exemplo 10% da lâmina d’água) tem-se a necessidade de ter um raio de ancoragem
razoavelmente grande. Conseqüentemente, em um campo de exploração de petróleo,
isto gera um congestionamento de linhas de unidades próximas, interferindo
diretamente no posicionamento das mesmas, juntamente com equipamentos submarinos.
• Taut-leg
A ancoragem Taut-Leg (Figura 9) é constituída por linhas retesadas com um
ângulo de topo de aproximadamente 45° com a vertical. Conseqüentemente, tem-se uma
projeção horizontal menor do que a ancoragem convencional, com relação a mesma
ordem de grandeza da lâmina d’água.
As linhas da ancoragem Taut-Leg são constituídas nas suas extremidades por
cabos de aço ou amarras e no seu trecho intermediário por cabo de poliéster, conforme
mostrado na Figura 8. Cabos de fibra e cordas são formados por fios naturais ou
sintéticos, torcidos e retorcidos em forma de hélice, utilizados para tração. Esta
configuração de linha pode ser a mesma adotada para ancoragem convencional.
12
Figura 8 - Composição de cabo de poliéster.
As linhas da ancoragem Taut-Leg são fixas na suas extremidades inferiores por
meio de estacas de sucção, VLA (âncoras com resistência vertical) ou estacas de
fundeio. A ancoragem Taut-Leg é geralmente empregada em plataformas Semi-
submersíveis e navios FPSO’s.
Figura 9 – Sistema de ancoragem
Taut-Leg
x convensional.
• Tendões
Este tipo de ancoragem baseia-se na utilização de tendões verticais que precisam
estar sempre tracionados devido ao excesso de empuxo proveniente da parte submersa
da embarcação. Este tipo de ancoragem é usado principalmente em plataformas tipo
TLP (Figura 5), mas também pode ser adotada por bóias, monobóias, entre outras.
Os tendões de TLP’s são usualmente compostos por tubos de aço, proporcionando
alta rigidez no plano vertical e baixa rigidez no plano horizontal. A força de restauração
no plano horizontal é fornecida pela componente horizontal da força de tração nos
tendões.
13
2.3.2 Classificação de Sistemas de Ancoragem
Sistemas de ancoragem utilizados em estruturas flutuantes podem ser classificados
em diferentes tipos, incluindo amarração em ponto único SPM (Single Point Mooring),
amarração com quadro de ancoragem SM (Spread Mooring) e o posicionamento
dinâmico (DP), descritas sucintamente a seguir.
• Ancoragem com Ponto Único
A ancoragem em ponto único ou SPM é mais freqüentemente utilizada por navios
petroleiros convertidos em FSO’s (Floating Storage and Offloading Units) ou FPSO’s.
Estas permitem que a embarcação se alinhe com o carregamento ambiental,
minimizando as forças sobre o casco. Existem vários tipos de ancoragem em um único
ponto, dentre eles a ancoragem com turret, sistemas CALM (Catenary Anchor Leg
Mooring) e SALM (Single Anchor Leg Mooring).
No sistema de ancoragem com turret, todas as linhas de ancoragem e risers são
presas no turret que essencialmente faz parte da estrutura a ser ancorada. O turret
permite que a embarcação gire em torno das linhas. Ele pode ser montado interno ou
externamente à embarcação (Figura 10).
S
WIVE
L
CONEX
Ã
TURRET
VERTICAL
MESA DE AMARRAS
LINHAS DE ANCORAGEM
PAREDES DO POÇO
DO
TURRET
CONEXÃO ESTRUTURAL INFERIOR
LINHAS DE ANCORAGEM
CONEXÃO ESTRUTURAL
SUPERIOR
UNIDADE FLUTUANTE
DE ARMAZENAMENTO
TURRET
VERTICAL
CONEXÃO INFERIOR
COM A ESTRUTURA
Figura 10 –
Turret
interno e
turret
externo.
O sistema CALM consiste numa bóia de grandes dimensões conectada a um
número de linhas de ancoragem em catenária. Tal sistema pode ser empregado como um
terminal oceânico, onde um navio é ancorado à bóia através de um cabo sintético em um
sistema usualmente denominado como “hawser” (Figura 11).
14
Este sistema é limitado em sua capacidade de resistir às condições ambientais,
quando a reação da bóia for totalmente diferente da resposta do navio sob influência da
onda. Assim, quando as condições do mar alcançam uma certa magnitude, é necessário
desconectar o navio. Para evitar essas limitações, podem ser empregadas forquilhas
(yoke) de acoplamento estruturais rígidas com articulações para ligar o navio à parte
superior da bóia (Figura 11). A articulação rígida elimina movimentos horizontais entre
a bóia e o navio.
LINHA DE
ANCORAGEM
H
AWSER
BÓIA
LINHA DE ANCORAGEM
BÓIA
YOKE
Figura 11 – Ancoragem tipo CALM fixado com
hawser
e
com
yoke
.
O sistema SALM (Figura 12) emprega um sistema de riser vertical que tem uma
ampla capacidade de flutuação próximo à superfície e, algumas vezes, na superfície,
mantido por um riser pré-tensionado. O sistema basicamente emprega um riser
articulado com uma forquilha de acoplamento rígida.
JUNTA UNIVERSAL
SEÇÃO DO
RISER
BASE
YOK
E
SWIVEL
SEÇÃO DA
BÓIA
NAVIO CISTERNA
Figura 12 – SALM fixado com
riser
e
yoke
.
15
• Amarração com Quadro de Ancoragem (SM)
A ancoragem SM tem sido mais freqüentemente utilizada por plataformas semi-
submersíveis em operações de perfuração e produção, mas também pode ser empregada
em unidades baseadas em navios. Neste sistema, as linhas de ancoragem se encontram
distribuídas em torno da embarcação, de modo a resistir a carregamentos ambientais
vindos de quaisquer direções.
FAIRLEAD
ÂNCORA
GUINCHO
BÓIA DE
LOCALIZAÇÃO
LINHA DE
ANCORAGEM
Figura 13 – Semi-submersível ancorada.
• Ancoragem com Posicionamento Dinâmico (DP)
O sistema DP (Dynamic Position) pode ser utilizado sozinho ou como auxílio a
um sistema já ancorado de alguma forma. Este tipo de ancoragem é utilizado em
atividades de perfuração, completação e intervenção em poços de petróleo. As unidades
DP podem ser constituídas de navios ou plataformas semi-submersíveis que mantém
sua posição com o auxílio de um conjunto de propulsores. Quando estas unidades
operam muito próximas a outras unidades ancoradas, pode ser necessária a utilização de
âncoras de segurança, para o caso de sofrerem alguma falha na geração de energia para
os seus propulsores.
Figura 14 – Posicionamento dinâmico.
16
2.4 Metodologias de Análise de Unidades Flutuantes Ancoradas
Nesta seção, apresentar-se-á um histórico das metodologias de análise e projeto de
sistemas flutuantes, iniciando da abordagem mais tradicional baseada em modelos
desacoplados, e definindo a abordagem mais recente baseada em modelos acoplados.
Maiores detalhes podem ser encontrados em [3].
2.4.1 Modelos Desacoplados
A prática de projeto atual para o sistema de ancoragem e risers da unidade
flutuante consiste em adotar um procedimento onde há pouca integração entre os
modelos de análise do casco da plataforma, das linhas de ancoragem e dos risers. Com
isso, os efeitos não-lineares e dinâmicos devidos à interação do comportamento
hidrodinâmico do casco com o comportamento estrutural e hidrodinâmico das linhas e
risers não são considerados.
Neste procedimento “desacoplado”, duas etapas distintas podem ser identificadas:
¾ A primeira etapa consiste na análise de movimentos da unidade flutuante, na
qual as linhas são representadas de forma simplificada, por modelos escalares;
¾ A segunda etapa consiste na análise estrutural dos risers, representadas por um
modelo de Elementos Finitos, aplicando-se no topo os movimentos da unidade
flutuante, calculados na 1ª etapa.
A seguir, apresenta-se uma breve descrição destas etapas.
• Análise Hidrodinâmica da Unidade Flutuante
A primeira etapa, associada ao projeto do sistema de ancoragem, consiste em
efetuar análises de modelos hidrodinâmicos de unidades flutuantes para a determinação
dos movimentos, estimativa das trações nas linhas de ancoragem e comparações destes
resultados com os valores estabelecidos nos critérios de projeto.
Nestas análises, as linhas de ancoragem são representadas por coeficientes
escalares incorporados na equação de movimento da unidade flutuante para representar
a rigidez, massa, amortecimento e parcela da força de correnteza nas linhas, como
ilustrado na Figura 15 . Estes coeficientes podem ser determinados a partir de modelos
17
analíticos simplificados (por exemplo, baseados na equação da catenária) ou calibrados
a partir de modelos experimentais. A contribuição dos risers também deve ser incluída
no cálculo destes coeficientes, mas, em muitas aplicações práticas, tem sido
simplesmente ignorada.
Figura 15 – Modelo hidrodinâmico da unidade flutuante.
A rigidez das linhas sobre a embarcação é normalmente representada por molas
lineares ou não-lineares (associadas a curva de restauração obtida em análises estáticas
preliminares das linhas, modeladas por elementos finitos).
A parcela da massa das linhas de ancoragem e risers que afeta os movimentos da
embarcação pode ser estimada como uma fração da massa das linhas ou calculada
através de um teste de decaimento (“decay test”), experimental ou numérico, que
determina o período T. A partir do período T e da rigidez k, a massa é obtida pela
expressão:
T =2
π
m
k
(2.1)
O coeficiente de amortecimento (c/c
crit
) das linhas, também podem ser obtidos
por um teste de decaimento, no qual se observa a amplitude de picos sucessivos (a
N-1
e
a
N
):
c/c
crit
=
1
2
π
ln
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
a
N-1
a
N
(2.2)
A parcela da força de correnteza nas linhas de ancoragem e risers sobre a
embarcação pode ser considerada como uma carga concentrada, somada do lado direito
da equação de movimento da unidade flutuante. Pode ser estimada por um cálculo
manual, onde as linhas e risers são substituídas por “tubos verticais equivalentes” ou
Corrente
Vento
Onda
18
calculada em análises estáticas preliminares das linhas, modeladas por elementos
finitos.
Nesta etapa inicial, são usados programas como o ARIANE [4], WAMIT[5] e
DYNASIM [6] para realizar as análises de movimentos do casco.
• Análise Estrutural dos Risers
A segunda etapa do procedimento desacoplado, associada ao projeto dos risers,
consiste em efetuar análises de modelos de Elementos Finitos de um riser, sob a
aplicação, no topo, dos movimentos da unidade flutuante calculados na 1ª etapa, bem
como dos carregamentos de onda e correnteza ao longo da linha (Figura 16). O objetivo
destas análises é obter a resposta estrutural do riser, de forma que os esforços nos
trechos mais críticos possam ser comparados aos critérios de projeto.
Figura 16 – Análise estrutural das linhas e
risers
.
No procedimento atual para o projeto de risers, definem-se situações de
carregamento Near, Far, Cross e Transverse. Para cada uma destas situações, a resposta
dinâmica no domínio do tempo é determinada através da seguinte seqüência de análises:
¾ Inicialmente, efetua-se uma análise não-linear estática para a determinação da
configuração de equilíbrio, sob ação das parcelas estáticas do carregamento:
peso próprio, correnteza, pré-tração e offset estático da embarcação
(determinados na análise da ancoragem). O carregamento é aplicado
incrementalmente: no primeiro passo, aplica-se apenas a carga total do peso
próprio, e nos demais, aplica-se incrementalmente a correnteza e o offset
estático (como deslocamento prescrito no nó do topo do riser). Para a situação
Far, o offset estático da embarcação e a correnteza são aplicados de modo a
afastar o nó do topo do ponto da âncora. Para a situação Near, este
Linhas de ancoragem e risers:
modelo de elementos finitos.
19
carregamento é aplicado no sentido inverso, de modo a aproximar o nó do topo
do ponto da âncora. Para a situação Cross, o carregamento é aplicado na
direção perpendicular ao plano da linha. Para a situação Transverse, o
carregamento é aplicado a 45° do plano da linha (Figura 17).
Figura 17 – Situações de carregamento.
¾ Em seguida, a partir da configuração estática, é feita uma análise não-linear
dinâmica no domínio do tempo, que se inicia a partir dos resultados obtidos no
último passo da análise estática. Esta análise inclui todas as parcelas estáticas
do carregamento e acrescenta as parcelas dinâmicas, aplicadas no sentido
apropriado, de acordo com a situação Near, Far, Cross ou Transverse: a onda
regular atuando diretamente sobre os risers e as parcelas dinâmicas do
movimento da embarcação. Ressalva-se neste procedimento, que os offsets
estáticos e dinâmicos são obtidos como resultado da análise do sistema de
ancoragem em diferentes situações, por exemplo, situação intacta ou danificada
20
(com uma ou duas linhas rompidas). Diferentes fatores de segurança podem ser
aplicados para cada uma destas situações.
Esse procedimento, apesar de estar fortemente estabelecido na cultura e no estado
da arte atual de projeto, constitui-se na verdade em um artifício para reduzir os
requisitos de tempo de CPU requeridos pelas análises. Ignorando o fato de que o casco,
as linhas de ancoragem e os risers compõem um sistema integrado, são introduzidas
simplificações que fazem com que a interação do comportamento dinâmico não-linear
destes componentes não seja considerada de forma rigorosa, o que pode penalizar
seriamente a qualidade dos resultados.
Sabe-se que as simplificações relacionadas ao procedimento de análise
desacoplada se tornam mais graves para sistemas com grande número de risers, e/ou
instalados em lâminas d’água profundas; este último aspecto pode se tornar crucial
quando projetos de unidades flutuantes ancoradas em até 3000m de lâmina d’água são
considerados [7, 8, 9, 10, e 11].
2.4.2 Modelos Acoplados
Conforme visto no item anterior, sabe-se que metodologias desacopladas
introduzem simplificações que desprezam a interação entre o comportamento dinâmico
não-linear da embarcação e das linhas de ancoragem e risers, desconsiderando efeitos
importantes tais como a interação entre o movimento de baixa freqüência da unidade
flutuante e a carga de correnteza nas linhas e risers, e o amortecimento de baixa
freqüência gerado pela dinâmica das linhas; desta maneira, podem surgir imprecisões,
por exemplo, na determinação do offset estático e na determinação do movimento de
baixa freqüência gerado pelas cargas de 2ª ordem. Estas incertezas são mais críticas para
os casos de águas profundas, sistemas com grande número de risers e em flutuantes de
menor porte tais como monobóias.
Recentemente, têm sido propostos procedimentos combinando a utilização
simultânea de programas de análise hidrodinâmica de movimentos do casco, e de
análise estrutural de linhas, comunicando-se através de interfaces externas. No entanto,
entende-se que um enfoque computacionalmente mais eficiente é utilizar um programa
único, baseado em uma formulação acoplada que incorpora, em uma única estrutura de
código e de dados, um modelo hidrodinâmico para a representação do casco da unidade
21
flutuante, acoplado a um modelo de elementos finitos para a representação rigorosa das
linhas, como representado na Figura 18.
Figura 18 - Modelo para análise acoplada.
Este enfoque foi seguido na implementação do programa Prosim, no qual o
esquema de integração no tempo das equações de movimento da unidade flutuante é
adaptado para, a cada instante de tempo, efetuar uma série de análises não-lineares com
modelos de elementos finitos das linhas. Nestas análises, as componentes de movimento
transmitidas pelo casco são aplicadas no topo de cada linha a cada intervalo de
integração; consideram-se também cargas de onda, correnteza e peso próprio atuando
diretamente sobre a mesma. Como resultado, obtêm-se as forças no topo de cada linha,
que são acumuladas e aplicadas no lado direito das equações de movimento do casco.
A eficiência computacional deste procedimento de solução é garantida pelo fato
de que são gerados modelos de elementos finitos para cada linha individualmente, e
portanto, a matriz de rigidez correspondente a cada modelo tem banda relativamente
reduzida. Além disso, esta implementação mostra-se naturalmente adequada para
computadores com arquitetura paralela.
Note que os resultados obtidos por um programa baseado numa formulação
acoplada, em termos de movimentos da unidade flutuante, por exemplo, vão ser mais
precisos do que aqueles obtidos através de análises desacopladas, já que as formulações
acopladas consideram implicitamente e, automaticamente, todos os efeitos não lineares
e dinâmicos resultantes da interação entre o casco e as linhas. Isto fornece ao projetista
uma maior confiança nos resultados obtidos.
Daí decorre um benefício talvez ainda mais importante – a robustez e
confiabilidade dos resultados, que deixam de depender do “know-how” e experiência do
22
usuário na estimativa e calibração dos coeficientes escalares para aproximar a
contribuição das linhas no procedimento desacoplado (geralmente a partir de resultados
experimentais, nem sempre disponíveis).
Desta forma, a aplicação de tal procedimento de análise acoplada constitui-se em
um enfoque inovador para a simulação numérica do comportamento de unidades
flutuantes ancoradas, avançando além do estado da arte atual de projeto.
2.4.3 O Programa Prosim
Como mencionado anteriormente, o programa Prosim vem sendo desenvolvido
em parceria pela Petrobras e pelo LAMCSO/PEC/COPPE/UFRJ, desde meados de
1997. Emprega uma formulação acoplada onde, a cada instante do processo de
integração no tempo das equações de movimento do casco, efetua-se uma análise não-
linear dinâmica de um modelo de elementos finitos de cada uma das linhas, sob ação da
onda, correnteza, peso próprio, e das componentes de movimento transmitidas pelo
casco. As forças no topo de cada linha, obtidas como resultado destas análises, são
então aplicadas no lado direito das equações de movimento do casco.
A formulação originalmente implementada para a análise hidrodinâmica do casco
é semelhante à empregada no programa TDSIM6 [12]. Trata-se de uma formulação
híbrida que combina a formulação de Morison (que leva em conta efeitos viscosos de
fluidos reais) com o modelo de difração/radiação de fluidos ideais da Teoria Potencial,
conforme será visto na seção 4.6. Para tratar os efeitos do escoamento potencial, o
Prosim lê arquivos com resultados gerados por um programa de difração tal como o
WAMIT [5], contendo coeficientes de transferência de força de deriva lenta e de
amortecimento potencial dependente da freqüência. Com isso, o programa Prosim é
adequado para aplicação em plataformas compostas por membros reticulados de
grandes diâmetros, tais como TLP’s, plataformas semi-submersíveis, Spar-buoys e
monobóias.
Atualmente, o Prosim conta com diversos aprimoramentos, tais como novos
algoritmos de integração no tempo (tais como o método de αB-Newmark em uma
implementação preditora-corretora); melhorias na formulação hidrostática, para
considerar o caso de pontoons parcialmente submersos; e melhorias diversas na
formulação hidrodinâmica, boa parte delas implementada por pesquisadores da USP
[13].
23
O programa Prosim conta também, com uma interface gráfica de pré e pós-
processamento para gerar automaticamente os arquivos com modelos de análise e para
visualizar os resultados. Os módulos de pré-processamento desta interface gráfica
dispõem de recursos de análise estática e geração de modelos para situações de
instalação e avaria de unidades ancoradas, de onde surgiu a inspiração para a
denominação que vem sendo aplicada a esta ferramenta: SITUA. Ao conjunto composto
pela interface gráfica e pelo programa de análise, denomina-se: SITUA-Prosim.
24
3
3
.
.
E
E
Q
Q
U
U
A
A
Ç
Ç
Õ
Õ
E
E
S
S
D
D
E
E
M
M
O
O
V
V
I
I
M
M
E
E
N
N
T
T
O
O
D
D
E
E
P
P
L
L
A
A
T
T
A
A
F
F
O
O
R
R
M
M
A
A
S
S
F
F
L
L
U
U
T
T
U
U
A
A
N
N
T
T
E
E
S
S
3.1 Introdução
Como mencionado ao final do capítulo anterior, o procedimento de análise
acoplada de plataformas implementado no programa Prosim é baseado na integração
numérica no domínio do tempo das equações de movimento de corpo rígido da
plataforma (modelada por elementos cilíndricos), associadas à representação estrutural e
hidrodinâmica do comportamento das linhas de ancoragem e risers por modelos de
elementos finitos.
Nesta seção, apresenta-se de forma resumida a formulação das equações de
movimento de grande amplitude que representam os movimentos de corpo rígido da
plataforma; maiores detalhes podem ser encontrados em Meirovich [14].
A formulação apresentada nesta seção tem origem na análise de movimento no
domínio do tempo seguindo o enfoque desacoplado tradicional, mas será estendida
também para a incorporação no modelo acoplado, como será comentado em seções
posteriores.
As equações de movimento consideram efeitos não-lineares geométricos
decorrentes de grandes deslocamentos do corpo; além disso, como será visto em seções
posteriores, outros efeitos não-lineares são considerados na formulação do modelo
acoplado, relacionados ao:
¾ Comportamento hidrodinâmico na interação fluido-estrutura (incluindo a força
de arrasto viscosa, função quadrática da velocidade relativa entre o fluido e o
corpo), e à
¾ Interação não-linear com as linhas de ancoragem e risers modelados por
elementos finitos, configurando o modelo acoplado.
25
3.2 Sistemas de Coordenadas
3.2.1 Sistema Global Geral (Constante, “inercial”)
Inicialmente, define-se o sistema de coordenadas global geral (x,y,z) primário,
único, ao qual estarão referenciados todos os demais sistemas. Os eixos x e y deste
sistema global estão contidos em um plano horizontal, e o eixo z corresponde à direção
vertical, orientado de baixo para cima. Em princípio, a profundidade da origem deste
sistema de referência global geral a partir do nível de águas tranqüilas, pode ser definida
através de uma variável h, como indicado na Figura 19, mas usualmente é mais
conveniente fazer com que a origem esteja contida no plano da superfície média da
água, ou seja, h = 0.
As coordenadas dos nós da malha de elementos finitos que representam as linhas
no modelo acoplado são expressas neste sistema global geral (eventualmente também
referido como o sistema “inercial”).
3.2.2 Sistema Local das Ondas
Em seguida, define-se um sistema de coordenadas (
ξ
,
ζ
,
η
) para descrever os
movimentos da onda. Neste sistema, são calculadas as velocidades, acelerações e
pressões do fluido induzidas pela onda. O plano
ξζ
está na superfície média do mar, e o
eixo
η
é vertical, como indicado na Figura 19. O eixo
ξ
é paralelo à direção de atuação
da onda, e faz um ângulo
β
com o eixo x-global (positivo no sentido de x para y).
Desta forma, as seguintes expressões podem ser empregadas para transformar as
coordenadas de um ponto do sistema global (x,y,z) para o sistema da onda:
ξ
= x cos
β
+ y sen
β
ζ
=
−
x sen
β
+ y cos
β
(3.3)
η
= z
−
h
3.2.3 Sistema Estrutural da Plataforma (Móvel, “Fixo no Corpo”)
Define-se também um sistema de coordenadas estrutural (X,Y,Z), específico da
unidade flutuante. Trata-se de um sistema móvel que acompanha os movimentos do
corpo. As equações de movimento do corpo, apresentadas mais adiante, são escritas
26
neste sistema e expressam a posição e os movimentos do sistema móvel (X,Y,Z) em
relação ao sistema global (x,y,z).
A origem deste sistema de referência estrutural do corpo está localizada no seu
centro de gravidade (CG). Inicialmente, os eixos têm orientação semelhante à do
sistema global geral (x,y,z), ou seja, inicialmente o plano XY está contido em um plano
horizontal e o eixo Z é vertical, orientado de baixo para cima.
A definição da posição inicial da origem do sistema estrutural (X,Y,Z), em relação
ao sistema global geral (x,y,z), é feita através de três valores que definem a distância de
sua origem (o CG) até a origem do sistema de global geral, e de um quarto valor que
representa o ângulo, em graus, que define o aproamento da unidade flutuante. Este
ângulo é medido no plano horizontal, entre o eixo X-global geral e o eixo x-estrutural da
unidade.
Observa-se que o programa trabalha internamente efetuando a montagem e
solução das equações de movimento do casco neste sistema com origem no CG. No
entanto, externamente o usuário deve fornecer os dados que definem a geometria de
cada unidade flutuante em outro sistema de coordenadas, paralelo a este, mas com
origem em um ponto de referência mais conveniente (por exemplo, a “quilha à meia
nau” no caso de navios, ou um ponto contido no plano horizontal que passa pela base
dos pontoons no caso de uma plataforma semi-submersível). A referência entre estes
dois sistemas é definida pelas coordenadas do CG em relação ao ponto de referência
escolhido.
3.2.4 Sistema Local dos Membros da Plataforma e dos Elementos Finitos das
Linhas e Risers
Finalmente, cada elemento da malha de elementos finitos para as linhas, e cada
membro reticulado da plataforma tem seu próprio sistema de referência local (x
_
,y
_
,z
_
). As
propriedades dos elementos ou membros devem ser fornecidas neste sistema local. A
origem deste sistema está localizada no nó 1 do membro. A direção local x
_
coincide
com o eixo do membro, e é orientada do nó 1 para o nó 2; as direções locais y
_
e z
_
,
ortogonais a x
_
, estão contidas na seção transversal do membro. Para um membro com
27
orientação geral no espaço, a direção local y
_
é horizontal, e a direção local z
_
é
perpendicular às direções x
_
e y
_
. Para um membro horizontal, a direção local z
_
é vertical,
paralela ao eixo global z. Para um membro vertical, a direção local horizontal y
_
é
paralela ao eixo global y. Por sua vez, a direção local z
_
, também horizontal, é paralela
ao eixo global x (mas em sentido contrário).
x
y
z
Y
X
Z
x
_
y
_
z
_
N
ó 2
N
ó 1
η
ζ
ξ
Paralelo ao eixo-x
β
η
=-h
Figura 19 - Sistemas de coordenadas.
28
3.3 Formulação das Equações de Movimento
No raciocínio que se segue, vamos supor que o aproamento da plataforma em
relação ao sistema global (x,y,z) é zero, ou seja, que o sistema estrutural da plataforma
(X,Y,Z) e o sistema global (x,y,z) são originalmente paralelos. A extensão para casos
mais gerais com aproamento diferente de zero é trivial.
O deslocamento do corpo pode ser expresso como o somatório de uma translação
da origem do sistema de coordenadas estrutural da plataforma, e uma rotação em torno
de um eixo passando pela origem do sistema estrutural:
3.3.1 Deslocamento de Translação
A translação x
l
(t) é expressa pela variação da origem do sistema estrutural da
plataforma (X,Y,Z), ou seja, a variação da posição do centro de gravidade (CG), medida
em relação ao sistema global (x,y,z). As componentes de x
l
são x
l
1
(t), x
l
2
(t), x
l
3
(t).
3.3.2 Deslocamento de Rotação
De forma similar, o movimento de rotação é a variação angular dos eixos do
sistema estrutural em relação ao sistema global. Para expressar a posição relativa
rotacional desses dois sistemas de referência, empregam-se os ângulos de Euler,
denominados γ, β, α. A seqüência de rotações que define estes ângulos é descrita a
seguir e ilustrada na Figura 20.
¾ Assume-se que originalmente o sistema da plataforma (X,Y,Z) e o sistema
global (x,y,z) são coincidentes.
¾ Inicialmente, a plataforma gira em torno do seu eixo-Z através do ângulo de
yaw γ.
¾ Em seguida, a partir da posição resultante gira em torno do eixo-Y através do
ângulo de pitch β;
¾ Finalmente, a partir desta última posição, gira em torno do eixo-X através do
ângulo de roll α.
29
YA
z
y
x
XA
γ
γ
ZA
YA
X
α
α
Z
Y
ZA
YA
XA
β
β
X
z
Figura 20 - Ângulos de Euler.
30
3.3.3 Transformação de Coordenadas
Após o movimento do corpo, a seguinte expressão relaciona as coordenadas de
um ponto expressas no sistema estrutural da plataforma X = (X,Y,Z) com as coordenadas
do mesmo ponto expressas no sistema global x = (x,y,z), em função do movimento de
translação x
l
= (x
l
1
, x
l
2
,x
l
3
) e do movimento de rotação definido pelos ângulos de Euler
γ, α, β:
X = A (x − x
l
) (3.4)
ou
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
X
Y
Z
=
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
c
β
c
α
s
β
c
α−
s
α
−
s
β
c
γ
+ c
β
s
α
s
γ
c
β
c
γ
+ s
β
s
α
s
γ
c
α
s
γ
s
β
s
γ
+ c
β
s
α
c
γ−
c
β
s
γ
+ s
β
s
α
c
γ
c
α
c
γ
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
x
−
x
l
1
y
−
x
l
2
z
−
x
l
3
(3.5)
Nesta expressão são usadas notações abreviadas: s
β
= sen
β
, c
β
= cos
β
, e assim
por diante.
Esta expressão, define a transformação de coordenadas que relaciona o sistema
global (fixo no espaço) com o sistema estrutural (móvel) da plataforma.
A matriz 3x3 A é a matriz de rotação ou de transformação de coordenadas.
Trata-se de uma matriz ortonormal, de modo que sua inversa é igual à sua transposta e a
transformação inversa (que exprime as coordenadas do ponto no sistema global como a
soma das componentes de movimento translacional x
l
e rotacional A) é dada por:
x = x
l
+ A
T
X (3.6)
3.3.4 Transformação de Velocidades
Uma outra expressão de transformação pode ser definida, relacionando as
velocidades angulares ω = (ω
1
,ω
2
,ω
3
), expressas no sistema global (x,y,z), com as
derivadas no tempo dos ângulos de Euler θ = (γ,β,α) (entendidas como velocidades
angulares expressas no sistema estrutural da plataforma). Esta expressão é dada por
ω = B
dθ
dt
(3.7)
onde B é dado por
B =
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
1 0
−
sen
α
0 cos
γ
sen
γ
. cos
α
0
−
sen
γ
cos
γ
. cos
α
(3.8)
31
Em geral B é uma matriz quadrada e não singular, portanto a sua inversa existe e
assim a transformação inversa de (3.7) pode ser escrita como:
dθ
dt
= B
-1
ω (3.9)
3.3.5 Segunda Lei de Newton
A segunda lei de Newton para movimentos translacionais e rotacionais pode ser
escrita respectivamente como:
f =
d
dt
(M v) (3.10a)
m =
d
dt
(I ω) (3.10b)
onde f e m são os vetores de forças externas e momentos; M e I são matrizes 3x3
compostas pela massa m do corpo e seus momentos e produtos de inércia I
ii
e J
ij
= J
ji
como definido a seguir:
M =
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
m00
0m0
00m
, (3.11)
I =
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
I
11
−
J
12
−
J
13
−
J
21
I
22
−
J
23
−
J
31
−
J
32
I
33
. (3.12)
onde:
I
ii
=
⌡
⌠
⎝
⎛
⎠
⎞
x
2
j
+ x
2
k
dm j,k ≠ i
J
ij
=
⌡
⌠
x
i
x
j
dm i ≠ j
Alternativamente, os momentos e produtos de inércia I
ii
e J
ij
podem ser
relacionados aos valores dos raios de giração r
ii
e r
ij
pelas seguintes expressões:
r
ii
=
I
ii
m
(3.13)
r
ij
= sinal(J
ij
)
|J
ij
|
m
O lado direito das equações (3.10) representa as derivadas no tempo da quantidade
de movimento translacional e angular, respectivamente. Considerando que a velocidade
32
translacional v do centro de gravidade do corpo e o vetor de forças f são expressos no
sistema global (xyz), e que a matriz de massa é constante, a equação (3.10a) torna-se:
f = M
dv
dt
, (3.14)
e
v =
dx
dt
, (3.15)
Quanto à equação (3.10b) relacionando momentos a quantidade de movimento
angular, seria conveniente reescrevê-la de uma forma que a matriz de inércia I também
fosse constante. Para tanto pode-se avaliar a equação não no sistema global, mas no
sistema estrutural (móvel) da plataforma, no qual I é constante. A derivada no tempo da
quantidade de movimento angular é, portanto, avaliada num sistema de coordenadas que
está girando, de modo que a equação (3.10b) torna-se:
m = I
dω
dt
+ ω x (I ω) (3.16)
3.3.6 Equações de Movimento – Forma Inicial
As equações (3.14), (3.15), (3.16) e (3.9) podem ser rearranjadas e reescritas
como:
dv
dt
= M
-1
f, (3.17a)
dx
dt
= v, (3.17b)
dω
dt
= I
-1
[m − ω x (I ω)] (3.17c)
dθ
dt
= B
-1
ω (3.17d)
As equações (3.17) podem ser vistas como um sistema de doze equações de
primeira ordem nas variáveis v, x, ω e θ, que expressam as velocidades e posição do
corpo em função do tempo.
É importante ressaltar dois tipos de não linearidade que ocorrem nas equações
(3.17):
¾ Os vetores de força e momento, f e m, são funções não lineares da posição do
corpo e do estado de movimento.
33
¾ O produto vetorial ω x (Iω) e a matriz de transformação B
-1
contém termos não
lineares envolvendo, respectivamente, produtos e potências das velocidades
angulares, e funções trigonométricas dos ângulos de Euler.
Neste ponto, formulações simplificadas poderiam assumir pequenas amplitudes de
movimento e desprezar termos de ordem superior contendo produtos ou potências de
quantidades de menor ordem de grandeza. No entanto, como mencionado
anteriormente, a presente formulação mantém todos os termos não-lineares e, portanto,
é válida para grandes amplitudes de movimento; isto será possível já que a integração
das equações será feita no domínio do tempo.
34
3.4 Solução das Equações de Movimento
3.4.1 Equações de Movimento – Forma Final
Para a integração no tempo das equações de movimento, será empregado o
método de Runge-Kutta de quarta ordem. Este método pode operar sobre um sistema de
equações diferenciais acopladas da forma
dy
dt
= f(y,t), que, como pode ser visto, é similar
às equações (3.17). Trata-se de um método baseado em extrapolações polinomiais da
variável principal no intervalo de tempo seguinte, e na determinação dos coeficientes do
polinômio a partir de valores estimados das derivadas em instantes ao longo do
intervalo de tempo.
Mais adiante, será demonstrado que os vetores de força e momento, f e m, têm
componentes que são proporcionais às acelerações do corpo (as parcelas de inércia da
fórmula de Morison). Estas componentes irão gerar termos de massa adicional, que
variam ao longo do tempo. Separando as parcelas de f e m que dependem das
acelerações, e que são afetados por termos de massa adicional, pode-se rearranjar as
equações (3.17a) e (3.17c) da seguinte forma:
M
dv
dt
= − A
dv
dt
− B
dω
dt
+ f
1
(3.18)
I
dω
dt
= − C
dv
dt
− D
dω
dt
+ m
1
− ω x (I ω)
Nestas expressões, A e D são as matrizes de massa adicional avaliadas em cada
instante de tempo; B e C são os termos cruzados de massa adicional; f
1
e m
1
são as
parcelas dos termos de força e momento que dependem da posição, velocidade e tempo,
mas são independentes da aceleração.
Neste caso, para permitir a utilização do método de Runge-Kutta, transferem-se os
termos com derivadas das incógnitas básicas para o lado esquerdo. As equações (3.18)
são então novamente re-arranjadas transformando-se em:
(M+A)
dv
dt
+ B
dω
dt
= f
1
(3.19)
C
dv
dt
+ (I+D)
dω
dt
= m
1
− ω x (I ω)
ou, em forma matricial,
35
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
M + A B
CI + D
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
dv
dt
dω
dt
=
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
f
1
m
1
− ω x (I ω)
(3.20)
onde a matriz de massa global é dada por:
A
_
=
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
M + A B
CI + D
(3.21)
Pode-se demonstrar que A
_
é uma matriz simétrica e, em geral, não singular, de
modo que sua inversa pode ser expressa, numa forma particionada, como:
A
_
-1
=
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
A
−
11
A
−
12
A
−
21
A
−
22
(3.22)
Pode-se agora pré-multiplicar os dois lados de (3.20) por A
_
-1
, obtendo-se
dv
dt
= A
−
11
f
1
+ A
−
12
[m
1
− ω x (I ω)] (3.23a)
dω
dt
= A
−
21
f
1
+ A
−
22
[m
1
− ω x (I ω)] (3.23b)
Estas equações encontram-se agora em uma forma apropriada para aplicação do
algoritmo de integração no tempo, uma vez que o lado direito não possui termos com
derivadas das incógnitas básicas.
36
4
4
.
.
F
F
O
O
R
R
Ç
Ç
A
A
S
S
A
A
M
M
B
B
I
I
E
E
N
N
T
T
A
A
I
I
S
S
4.1 Introdução
Para concluir a descrição da formulação das equações de movimento [(3.10) ou
(3.14) a (3.16), ou ainda (3.17) e (3.23)], deve-se prosseguir apresentando a formulação
para o cálculo das forças externas e para o acoplamento com modelos de elementos
finitos para representar as linhas de ancoragem e risers.
As forças externas são devidas principalmente aos carregamentos ambientais:
¾ Onda, correnteza e vento atuando no casco da plataforma;
¾ Onda e correnteza atuando nas linhas de ancoragem e risers.
Para o cálculo das forças devidas à movimentação do fluido induzida pelas ondas
e pela correnteza, atuando tanto no casco da plataforma quanto nas linhas de ancoragem
e risers, é necessário inicialmente apresentar a formulação dos modelos de
representação das ondas. Este tópico será tratado no presente capítulo. Assim, nos
próximos itens os seguintes aspectos serão abordados:
¾ A descrição do modelo matemático que representa o comportamento de
ondas no mar, em termos de um Problema de Valor de Contorno (PVC) que
consiste em uma equação diferencial e condições de contorno associadas;
¾ A descrição de um procedimento de solução desse modelo, de modo a obter
as velocidades e acelerações que caracterizam o movimento das partículas
fluidas induzido pelas ondas;
¾ A representação espectral de um estado de mar irregular geral (em termos de
alguns parâmetros estatísticos, tais como: altura significativa de onda, período
de pico, forma espectral e direcionalidade), e a discretização do espectro em
termos de um somatório de diversas componentes de onda, cada uma
caracterizada em termos de seu período, amplitude, fase e direção. Desta
forma, as características do movimento das partículas fluidas induzido pelas
ondas (velocidade e aceleração) podem ser obtidas pelo somatório dos valores
calculados para cada componente de onda;
37
¾ O cálculo das forças atuando sobre o casco e as linhas de ancoragem e risers
devidas às ondas, correnteza e vento.
Mais adiante, o próximo capítulo irá tratar da formulação para a análise das linhas
modeladas por elementos finitos, compondo o modelo acoplado.
38
4.2 Formulação do PVC que compõe o Modelo Matemático
Nesta seção, descreve-se o modelo matemático que representa o comportamento
de ondas no mar. Este modelo é composto por um Problema de Valor de Contorno
(PVC), que consiste em uma equação diferencial e as condições de contorno associadas.
Para a formulação do modelo matemático, considera-se o sistema de coordenadas
(
ξ
,
ζ
,
η
) descrito na seção 3.2. Assume-se que o fundo do oceano é plano e com
profundidade d (medida a partir do nível de águas tranqüilas) e que as ondas são
bidimensionais no plano
ξη
, periódicas, uniformes e progredindo na direção
ξ
positiva.
A Figura 21 ilustra os contornos do problema, no fundo do mar e na superfície
livre. Ilustra também uma onda regular definida em termos de sua altura H e período T.
ξ
η
L
,
T
H
d
t
η
s
0=
Φ
∂η
∂
ξ
η
ξ
η
η
∂
∂
∂
Φ∂
+
∂
∂
=
∂
Φ∂
t
η
ηξ
g
t
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Φ∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Φ∂
−=
∂
Φ∂
22
2
1
Figura 21 - Modelo matemático: características da onda e condições de contorno.
Na Figura 21, L indica o comprimento da onda (a distância medida na direção ξ
entre dois picos ou cristas sucessivas), e
T é o período (o tempo que uma crista leva para
percorrer uma distância igual ao comprimento de onda
L). Desta forma, existe uma
relação entre
L e T que define a velocidade de propagação da onda (ou celeridade), dada
simplesmente por:
c =
L
T
(4.1)
39
Nesse ponto, vale observar que o modelo matemático bidimensional descrito nesta
seção, usualmente conhecido como a “
teoria de onda”, tem por objetivo determinar
velocidades e acelerações do fluido
, sem considerar a presença do corpo. Esta “teoria de
onda” é uma particularização do modelo mais geral que representa a interação das
partículas do fluido com corpos flutuantes ou imersos de grandes dimensões,
usualmente conhecido como a “
teoria da difração”. Este último modelo, que é
tridimensional e considera a presença do corpo, tem por objetivo determinar as forças
no corpo que resultam da movimentação do fluido induzida pelas ondas.
4.2.1 Equação Diferencial 2D
Neste modelo, o fluxo é considerado oscilatório, incompressível e irrotacional.
Como conseqüência da consideração de fluido incompressível, valem as condições de
continuidade pelas quais a massa e o volume do fluido são conservados. A expressão de
conservação de volume pode ser escrita em termos das velocidades das partículas do
fluido, da seguinte forma [15]:
∂u
.
∂ξ
+
∂w
.
∂
η
= 0 (4.2)
onde
u
.
e w
.
são as componentes de velocidade nas direções ξ e η respectivamente.
Como conseqüência da consideração de fluido irrotacional, as velocidades da
partícula fluida podem ser representadas como o gradiente de um potencial escalar
Φ= Φ(ξ,η,t) (função das coordenadas de um ponto no espaço (ξ,η) e do tempo t), ou
seja, como a taxa de variação do potencial
Φ em relação às coordenadas do ponto
considerado [15]:
u
.
=
∂Φ
∂
ξ
, w
.
=
∂Φ
∂
η
(4.3)
Substituindo-se (4.3) em (4.2), obtém-se a equação de Laplace:
∂
2
Φ
∂
ξ
2
+
∂
2
Φ
∂
η
2
= 0 (4.4)
O problema de valor de contorno que compõe o modelo matemático que
representa o comportamento das ondas incorpora esta equação de Laplace (4.4) e um
conjunto de condições de contorno associadas. A incógnita básica do PVC é, portanto, o
potencial de velocidade do fluido
Φ, a partir do qual, por derivação, podem ser obtidas
as velocidades e acelerações das partículas do fluido.
40
4.2.2 Condições de Contorno
As duas condições de contorno na superfície livre, expressas em termos do
potencial
Φ, são:
¾ A condição de contorno dinâmica, que pode ser deduzida a partir da equação
de Bernoulli, partindo da premissa que a pressão atmosférica fora da região do
fluido é constante (como demonstrado em [15]):
∂Φ
∂t
+ g
η
s
+
1
2
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
∂Φ
∂
ξ
2
+
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
∂Φ
∂
η
2
= 0 em
η
=
η
s
(4.5)
onde
g é a aceleração da gravidade, e
η
s
(
ξ
,t) é uma função que exprime a elevação da
onda na superfície livre.
¾ A condição de contorno cinemática, que estabelece que uma partícula na
superfície livre em um dado instante de tempo irá permanecer na superfície
livre [15]:
∂
η
s
∂t
+
∂Φ
∂
ξ
∂
η
s
∂
ξ
−
∂Φ
∂
η
= 0 em
η
=
η
s
(4.6)
Lembrando que o fundo do mar é assumido como plano e horizontal, a condição
de contorno no fundo
implica que a componente vertical da velocidade da partícula de
fluido deve ser igual a zero.
∂Φ
∂
η
= 0 em η =
−
d (4.7)
O problema de valor de contorno completo é portanto descrito pela equação de
Laplace (4.4) e as três condições de contorno (4.5) a (4.7).
41
4.3 Solução do Modelo Matemático
4.3.1 Métodos de Solução (“Teorias de Onda”)
O problema de valor de contorno descrito na seção anterior é altamente não-linear,
especialmente devido às condições de contorno de superfície livre. Desta forma, de
modo geral não é possível obter uma solução analítica rigorosa para
Φ, e a solução (em
termos de velocidades e acelerações das partículas fluidas induzidas pela onda) deve ser
obtida introduzindo aproximações e/ou utilizando métodos numéricos.
Existem diversos métodos ou “teorias de onda” comumente usadas para a solução
desse problema [16,15]. Algumas teorias são desenvolvidas assumindo-se que a solução
para
Φ toma a forma de uma série de potências em termos de um parâmetro de
perturbação adimensional
ε:
Φ =
∑
n=1
∞
ε
n
Φ
n
(4.8)
onde
Φ
n
é a solução de ordem n para Φ; assume-se que o valor do potencial de
velocidade (ou, equivalentemente, o perfil da onda na superfície) converge
assintoticamente com as ordens mais elevadas das séries em
ε. Uma solução analítica
fechada pode então ser obtida introduzindo uma aproximação, que consiste em limitar o
parâmetro de perturbação
ε a uma dada ordem.
O parâmetro de perturbação
ε é comumente definido em termos de uma relação
entre a altura
H e o comprimento L da onda (ou a declividade), dada por:
ε = π
H
L
(4.9)
Neste ponto, pode-se introduzir o conceito do
número de onda k:
k =
2
π
L
(4.10)
de modo que o parâmetro de perturbação ou declividade da onda
ε pode ser escrito
como:
ε =
k H
2
(4.11)
42
De forma similar, a elevação da onda
η
s
na superfície livre pode ser escrita na
forma de uma série:
η
s
=
∑
n=1
∞
ε
n
η
n
(4.12)
Assim, a não linearidade ou a ordem do problema é definida em termos da
declividade da onda
ε. A teoria de 1
a
ordem é proporcional à declividade da onda, a
teoria de 2
a
ordem ao quadrado da declividade, e assim por diante.
Dentre os métodos que se encaixam nesta categoria, podem ser mencionados os
seguintes:
¾ Teoria Linear de Airy, ou Teoria de Onda Senoidal: de primeira ordem, válida
para ondas de pequena amplitude (quando comparadas ao seu comprimento L);
¾ Teoria de Stokes, não-lineares (de segunda, terceira ou quinta ordem).
O procedimento mais usual, e que atende à prática de projeto de sistemas
offshore,
consiste em empregar a Teoria Linear de Airy. Em alguns casos particulares poderiam
ser empregadas teorias não-lineares, descritas em detalhe em [15]. Na próxima seção
será descrito o procedimento de solução da Teoria de Airy.
4.3.2 Teoria Linear de Airy
• Linearização
A Teoria Linear de Airy está baseada na premissa de que a altura de onda é
pequena comparada com o comprimento de onda.. Esta premissa permite que as
condições de contorno de superfície livre sejam satisfeitas no nível médio de águas
tranqüilas e não no nível real da elevação da onda. Para tanto, as condições de contorno
são linearizadas, desprezando os termos de segunda ordem e de ordens superiores.
O procedimento de linearização consiste em obter apenas a solução de primeira
ordem, tomando somente o primeiro termo das séries em
Φ e
η
s
nas expressões (4.8) e
(4.12). Como isso o problema passa a ser linear em termos da altura da onda H ou
declividade
ε. Substituindo as expressões linearizadas nas condições de contorno de
superfície livre (4.6) e (4.5), obtém-se:
43
∂
η
s1
∂t
−
∂Φ
1
∂
η
= 0 em η = 0 (4.13)
e
∂Φ
1
∂t
+ g
η
s1
= 0 em η = 0 (4.14)
Da equação (4.14), a elevação da onda acima da superfície média da água é dada
por:
η
s1
= −
1
g
∂Φ
1
∂t
(4.15)
As duas condições de contorno de superfície livre podem ser combinadas em uma,
pela eliminação de uma das incógnitas
η
s1
:
∂
2
Φ
1
∂t
2
+ g
∂Φ
1
∂
η
= 0 em η = 0 (4.16)
Desta forma, o PVC fica definido pela equação diferencial (4.4) e pelas condições
de contorno (4.16) e (4.7).
• Solução: Potencial de Velocidades
A solução deste PVC é obtida através de uma técnica de separação de variáveis.
Assume-se que o potencial
Φ
1
pode ser escrito na forma:
Φ
1
(
ξ
,
η
,t) = Y(
η
) Λ(
α
) (4.17)
onde, para uma onda progressiva com celeridade c, e assumindo que a onda está
viajando na direção
ξ
positiva, a periodicidade α é dada por
α
=
ξ
+ ct.
Substituindo (4.17) na equação diferencial parcial (4.4) obtém-se duas equações
diferenciais ordinárias:
∂
2
Y
∂
η
2
− k
2
Y = 0 (4.18)
∂
2
Λ
∂
α
2
+ k
2
Λ = 0 (4.19)
As soluções gerais para estas equações diferenciais são:
Y = A
1
cosh k
η
+ A
2
sinh k
η
(4.20)
Λ = A
3
cos [k (
ξ
−
c t)] + A
4
sen [k (
ξ
−
c t)] (4.21)
44
Considerando-se que, quando
ξ
= 0 e t = 0, a elevação da onda corresponde ao
valor da crista (ou seja, sua amplitude
a = H/2), pode-se deduzir o valor para a
constante
A
3
= 0. Além disso, a condição de contorno no fundo fornece A
2
= A
1
tanh kd.
Assim, (4.17) pode ser escrita como:
Φ(
ξ
,
η
,t) = A
1
A
4
cosh
k(
η
+ d)
cosh kd
sen [k (
ξ
−
c t)] (4.22)
Ainda considerando
ξ
= 0 , t = 0 e
η
= 0, na expressão (4.25) para
η
s1
= H/2,
deduz-se que
A
1
A
4
=
g a
k c
(4.23)
Finalmente, lembrando que
c = L/T (4.1), T = 2π/
ω
e L = 2π/k (4.10), deduz-se
que kc =
ω
onde ω é a freqüência da onda em rad/s. Assim, obtém-se a seguinte
expressão para o potencial de velocidade de 1
a
ordem (Φ = ε Φ
1
):
Φ(
ξ
,
η
,t) =
g a
ω
cosh
k(
η
+ d)
cosh kd
sen (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.24)
Nesta expressão, considerou-se também um termo
θ
que representa a fase da
onda. Substituindo a expressão (4.24) em (4.25), obtém-se a elevação da superfície da
onda que corresponde a um trem de ondas regulares se movendo na direção-
ξ:
η
s
(
ξ
,t) = a cos (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4. 25)
• Velocidades, Acelerações e Deslocamentos das Partículas do Fluido
Finalmente, uma vez obtido o potencial de velocidade, as velocidades da partícula
do fluido nas direções horizontal e vertical são obtidas diferenciando-se a equação
(4.24) em relação a
ξ
e η:
u
.
=
∂Φ
∂
ξ
=
g k a
ω
cosh
k(
η
+ d)
cosh kd
cos (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.26)
w
.
=
∂Φ
∂
η
=
g k a
ω
senh
k(
η
+ d)
cosh kd
sen (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.27)
As acelerações da partícula do fluido nas direções horizontal e vertical são dadas
por:
u
..
=
∂u
.
∂t
= g k a
cosh
k(
η
+ d)
cosh kd
sen (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.28)
45
w
..
=
∂w
.
∂t
=
−
g k a
senh
k(
η
+ d)
cosh kd
cos (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.29)
Observando-se as expressões de velocidades horizontal e vertical, verifica-se que
a velocidade horizontal da partícula de fluido é máxima (ou mínima) quando a
velocidade vertical for zero e vice-versa. Como as amplitudes dessas duas velocidades
são geralmente diferentes, a partícula de fluido descreve uma trajetória elíptica sobre
sua posição média, em um ciclo de onda completo.
Na implementação computacional para o cálculo das velocidades e acelerações
das partículas do fluido pelas expressões (4.26) a (4.29), podem ser identificados termos
constantes que não dependem de ξ, η ou t, e que podem portanto ser calculados apenas
uma vez, antes do início do processo de integração no tempo:
gkach = g k a
1
cosh kd
(4.30)
Estes termos podem, então, ser armazenados (afetados pela freqüência
ω no caso
do cálculo das velocidades), para serem empregados durante o processo de integração
no tempo.
Os deslocamentos da partícula de fluido a partir de sua posição média podem ser
obtidos pela integração de u
.
e v
.
em relação ao tempo t, aplicando-se a condição de
contorno adequada para a constante de integração. Os deslocamentos nas direções
horizontal e vertical, respectivamente
u e w, são dados por:
u =
−
a
cosh
k(
η
+ d)
senh kd
sen (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.31)
w = a
senh
k(
η
+ d)
senh kd
cos (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.32)
O deslocamento vertical máximo, medido no nível de águas tranqüilas, é igual à
amplitude da onda
a = H/2.
• Pressões
Finalmente, outro resultado de interesse é o campo de pressões no fluido. Tal
resultado pode ser obtido através da aplicação da equação de Bernoulli [15]:
p(
ξ
,
η
,t) =
−
ρ
g
η
−
ρ
∂
φ
∂t
−
1
2
ρ
(∇
φ
)
2
(4.33)
46
A primeira parcela desta expressão corresponde ao termo de ordem zero, ou de
pressão hidrostática. As demais parcelas correspondem às parcelas de primeira e
segunda ordem da pressão dinâmica. De forma consistente com a expansão de primeira
ordem do potencial de velocidade assumida pela teoria linear de Airy, a expressão de
primeira ordem da pressão fica:
p
1
=
−
ρ
g
η
−
ρ
∂
φ
∂t
(4.34)
onde a segunda parcela do lado direito representa a pressão dinâmica ou
oscilatória p
d1
:
p
d1
=
−
ρ
∂
φ
∂t
=
−
ρ
ε
∂
φ
1
∂t
(4.35)
Empregando a expressão (4.24), pode-se então obter a expressão desejada para
p
d1
.
p
d1
(
ξ
,
η
,t) =
ρ
g a
cosh
k(
η
+ d)
cosh kd
cos (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.36)
ou, observando (4.25),
p
d1
(
ξ
,
η
,t) =
ρ
g
cosh k(
η
+ d)
cosh kd
η
s
(
ξ
,t) (4.37)
Substituindo-se
η = 0 na expressão (4.36) obtém-se
p
d1
(
ξ
,t)
η
=0
=
ρ
g
η
s
(
ξ
,t) (4.38)
ou seja, a pressão dinâmica no nível de águas tranqüilas é calculada tomando o valor da
elevação da superfície livre da onda. Assim, em uma partícula localizada na superfície
média, sob a crista de uma onda, a elevação é igual à amplitude da onda e, portanto,
p
d1
ξ
=0
,
η
=0
,
t=0
=
ρ
g a (4.39)
como seria de se esperar, considerando ainda que a pressão hidrostática na superfície
média (calculada com
η = 0 na primeira parcela do lado direito de (4.34) é igual a zero.
Além disso, em uma partícula localizada no cavado da onda, teria-se
p
d1
ξ
=0
,
η
=-a
,
t=T/2
=
−
ρ
g a (4.40)
A rigor, nesta formulação de primeira ordem as pressões são calculadas apenas
para pontos até a superfície média (com valores negativos para a coordenada
η). A
seguir, apresenta-se um procedimento que permite estender o cálculo para pontos acima
da superfície média. Como será visto, neste caso, o valor calculado para a superfície
média será tomado como sendo o valor na superfície livre. Assim, na crista da onda a
47
pressão dinâmica fica igual a
ρ
ga, mas a condição de contorno de pressões na superfície
é atendida porque a pressão hidrostática (calculada com
η=a na primeira parcela do lado
direito de (4.34)) é negativa e igual a
−ρ
ga. Por outro lado, no cavado a pressão
dinâmica é
−ρ
ga, mas a pressão hidrostática fica igual a
ρ
ga e, portanto a pressão total
fica igual a zero.
• Correção para a Superfície Livre: Extrapolação de Wheeler
A teoria linear de Airy foi desenvolvida considerando-se que as condições de
contorno do problema eram impostas no nível médio do mar (o nível de águas
tranqüilas, onde
η = 0), e não na superfície livre da onda. Desta forma, todas as
expressões apresentadas até agora para fornecer valores para a cinemática da onda (por
exemplo velocidades e acelerações) podiam ser usadas apenas para pontos até a
superfície média (com valores negativos para a coordenada
η), ignorando a alteração da
superfície livre devida à onda.
Em aplicações onde a altura de onda é significativa, o efeito de alteração da
superfície livre sobre a força total induzida pela onda torna-se muito importante e,
portanto, faz-se necessário algum tipo de aproximação para considerar os pontos
situados na superfície livre. Dentre os tipos de aproximações mais conhecidos
destacam-se a extrapolação hiperbólica, linear, e o método de extrapolação ou
‘
stretching’ de Wheeler [17], o qual é considerado no programa Prosim. O princípio da
extrapolação de Wheeler consiste em assumir que, na superfície livre da onda, os
valores de velocidades, acelerações etc. são idênticos aos originalmente calculados pelas
expressões de Airy para o nível de águas tranqüilas. Para isto, afeta-se o termo (
η+d)
por
d/(
η
s
+ d), onde
η
s
é a elevação da onda no ponto. Por exemplo, a expressão (4.26)
para a velocidade horizontal se torna:
u
.
=
∂Φ
∂
ξ
=
g k a
ω
cosh
k(
η
+ d)
d
η
s
+ d
senh kd
cos (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.41)
Observa-se que, na expressão original (4.26), que podia ser usada para valores de
η
apenas até a superfície média, para pontos no nível de águas tranqüilas onde η =
η
s
= 0
o argumento do cosseno hiperbólico seria
kd. Na expressão modificada (4.41), que pode
ser usada para pontos acima da superfície média, em qualquer ponto na superfície livre
da onda tem-se
η =
η
s
e, portanto, o argumento do cosseno hiperbólico continua sendo
48
kd − confirmando o pressuposto que os valores na superfície livre para a expressão
modificada são os mesmos obtidos na superfície média para a expressão original. Os
demais valores para pontos abaixo da superfície livre assumem uma distribuição em
cossenos hiperbólicos “esticada” (se o ponto está na crista, ou “encolhida” se o ponto
está no cavado), de modo a permitir a determinação da cinemática da onda até o fundo
do mar.
É importante observar que
d é a profundidade do fundo do mar medida a partir do
nível de águas tranqüilas
. Considerando que a profundidade do ponto pode ser expressa
como
η
=
η
s
−
h', onde h' é a profundidade medida a partir de um ponto da superfície
livre da onda, o argumento do cosseno hiperbólico também pode ser escrito como
kd
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
η
s
−
h' + d
η
s
+ d
(4.42)
Finalmente, o potencial de velocidade modificado pela proposição de Wheeler
pode ser escrito da seguinte forma:
Φ(
ξ
,
η
,t) =
g a
ω
cosh
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
kd
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
η
s
−
h' + d
η
s
+ d
cosh kd
sen (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.43)
• Aproximações para Águas Profundas
Substituindo o valor de Φ na condição de contorno de superfície livre combinada
(4.16), obtém-se a relação de dispersão linear, que fornece a relação entre freqüência
circular da onda e o número de onda
k em lâminas d’água com profundidade d:
ω
2
= g k tanh (k d) (4. 44)
de onde se deduz que
cosh (
k d) =
g k
ω
2
senh kd
Substituindo esta expressão em (4.24) pode-se obter uma forma alternativa para o
potencial
Φ:
Φ(
ξ
,
η
,t) =
a
ω
k
cosh
k(
η
+ d)
senh kd
sen (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.45)
que corresponde à expressão (3.47) de [15], na qual a fração (
a
ω
/ k) é substituída pela
forma equivalente (
π
H / k T)
49
Diferenciando-se a equação (4.45) em relação a
ξ
e η, e, em seguida, em relação a
t, podem ser obtidas expressões alternativas para as velocidades e acelerações:
u
.
=
∂Φ
∂
ξ
= a
ω
cosh
k(
η
+ d)
senh kd
cos (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.46)
w
.
=
∂Φ
∂
η
= a
ω
senh
k(
η
+ d)
senh kd
sen (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.47)
u
..
=
∂u
.
∂t
= a
ω
2
cosh
k(
η
+ d)
senh kd
sen (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.48)
w
..
=
∂w
.
∂t
=
−
a
ω
2
senh
k(
η
+ d)
senh kd
cos (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.49)
Estas expressões correspondem às expressões (3.55) a (3.58) de [15], na qual os
termos (
a
ω
) e (a
ω
2
) são substituídos pelas formas equivalentes (
π
H / T) e (2
π
2
H / T
2
).
Em águas com profundidade infinita (ou, em termos práticos, em águas profundas
com lâmina d’água maior que o comprimento de onda), pode-se admitir
tanh(k d) ≈ 1 e
a relação de dispersão (4.44) é dada por:
ω
2
= g k (4.50)
Ainda para águas profundas, a seguinte aproximação é válida:
cosh
k(
η
+ d)
senh kd
≈
senh
k(
η
+ d)
senh kd
≈ e
k
η
(4.51)
de modo que a expressão aproximada da função potencial para águas profundas é:
Φ(
ξ
,
η
,t) =
g a
ω
e
k
η
sen (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.52)
e as expressões correspondentes para velocidades e acelerações ficam da seguinte
forma:
u
.
= a
ω
e
k
η
cos (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.53)
w
.
= a
ω
e
k
η
sen (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.54)
u
..
= a
ω
2
e
k
η
sen (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.55)
w
..
=
−
a
ω
2
e
k
η
cos (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.56)
Por sua vez, a expressão para a pressão dinâmica (4.36) passa a ser:
p
d1
=
ρ
g a e
k
η
cos (k
ξ
−
ω
t
−
θ
) (4.57)
50
4.4 Representação Espectral
4.4.1 Introdução
Como mencionado na Introdução da seção 4, o modelo matemático para a
representação das ondas do mar que foi formulado em termos de um PVC (na Seção
4.2) e resolvido pela teoria de Airy (na seção 4.3.2), trata de apenas um único trem de
ondas, definido por sua altura
H e período T, como indicado na Figura 21. Este tipo de
representação é usualmente conhecido como “mar regular” ou “onda determinística”.
Uma representação mais realística consiste em empregar um modelo espectral
para um estado de “mar irregular”, às vezes também referido como “ondas aleatórias”.
Neste modelo, o estado de mar irregular geral é representado pela superposição linear de
várias ondas regulares, com diferentes valores de período, amplitude e fase. Para uma
dada locação, medições e estudos estatísticos ajustam um modelo de espectro adequado
para a representação da distribuição de densidade de energia apropriada das ondas do
mar.
O ajuste do modelo espectral é feito em termos de parâmetros estatísticos, tais
como fatores de forma espectral, altura significativa de onda e período de pico. Na
estatística de curto prazo, estes parâmetros são supostos constantes, cada conjunto deles
caracterizando um “estado de mar”. A escolha do espectro de mar e de seus parâmetros
característicos é função do fenômeno a ser estudado e dos levantamentos em medições
realizadas na posição geográfica a que se queira referir.
O espectro mais comum de um único parâmetro é o modelo de Pierson-Moskovitz
(1964) [18], baseado na altura significativa de onda ou velocidade de vento. Dos
espectros de dois parâmetros, os mais comumente usados são Bretschneider (1969),
Scott (1965), ISSC (1964) e ITTC (1966). O espectro de Jonswap (Hasselman, 1973 a
1976) é de cinco parâmetros, mas usualmente três destes parâmetros são mantidos
constantes. A seguir, a seção 4.4.2 irá apresentar o modelo de espectro de Jonswap, que
vem sendo estabelecido pela Petrobras como o padrão para a representação de estados
de mar na Bacia de Campos.
Para o cálculo dos valores que caracterizam o comportamento das partículas do
fluido em um dado ponto no espaço e um instante no tempo (tais como velocidades,
acelerações e pressões), primeiramente efetua-se um procedimento de discretização do
51
espectro
em termos de um somatório de um número arbitrado de componentes de onda
regular. Neste procedimento, determinam-se os valores que caracterizam cada
componente: períodos (ou freqüências), amplitudes e fases aleatórias. Para cada
componente, aplicam-se as expressões de Airy, obtendo-se, por exemplo, as velocidades
e acelerações em um dado ponto pelas expressões (4.26) a (4.29). Finalmente, os
valores desejados para o estado de mar irregular podem ser determinados pelo
somatório dos valores calculados para cada componente de onda regular.
Existem diferentes procedimentos para efetuar a discretização do espectro e
determinar os períodos, amplitudes e fases de cada componente de onda regular. Em
geral, as fases são geradas aleatoriamente a partir de uma distribuição uniforme de
probabilidade no intervalo (0,2π) radianos; as amplitudes de cada componente de onda
são determinadas a partir da parcela de energia a ela associada no espectro.
4.4.2 Espectro de Jonswap
O espectro de Jonswap resultou originalmente de um projeto conjunto executado
no Mar do Norte, de onde deriva seu nome (
JOint North Sea WAve Project). A
expressão para o espectro de Jonswap pode ser escrita da seguinte forma [15]:
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
22
2
2
exp
4
54
2
25.1exp
2
)(
p
p
w
ww
p
w
w
w
g
wS
σ
γ
π
α
(4.58)
Esta expressão fornece, a partir de um valor de freqüência
w (em H
z
), a densidade
de energia correspondente S(
w). Os parâmetros variáveis do espectro são a freqüência
de pico
w
p
(em H
z
), e os parâmetros de forma α e γ (este último conhecido como o
“parâmetro de pico”).
O parâmetro de forma
σ é fixo, sendo determinado em função da relação entre a
freqüência w e a freqüência de pico w
p
:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>=
≤=
=
pb
pa
wwpara
wwpara
,09.0
,07.0
σ
σ
σ
(4.59)
52
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
w
S(w)
Figura 22 - Espectro de Jonswap.
Recentemente a Petrobras propôs empregar uma expressão do espectro de
Jonswap ajustada para as condições de onda da Bacia de Campos [19]. Em particular,
para projetos de fadiga estocástica, o espectro de onda de Jonswap pode ser usado na
faixa de 4s ≤ T
p
≤17.7s e 0.47m ≤ H
s
≤6.51m, estabelecendo as seguintes relações para
determinar os parâmetros de forma α e γ a partir de H
s
e T
p
(período de pico = 2π/w
p
):
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
s
p
H
T
01966.00394.1exp
γ
(4. 60)
()
[]
γα
ln287.010609.5
4
2
∗−=
p
s
T
H
(4.61)
53
4.5 Forças Geradas pela Movimentação do Fluido induzida pelas
Ondas
Em um item anterior, foi apresentada a formulação e um procedimento de solução
do modelo matemático que representa o comportamento de ondas no mar. Com isso é
possível determinar as características da movimentação do fluido sob a ação de ondas
(incluindo campos de
velocidades, acelerações e pressões), mas sem considerar a
presença de um corpo flutuante ou submerso.
A presente seção irá tratar dos procedimentos para o cálculo das
forças no casco e
nas linhas
de ancoragem e risers exercidas pelo fluido. Esta é uma das principais tarefas
no projeto de sistemas offshore: trata-se de uma tarefa complexa, pois envolve diversas
incertezas, que se somam às envolvidas na formulação do modelo de ondas, e na
natureza randômica de um estado de mar real, como descrito na seção anterior.
Atualmente, existem formulações que, tendo sido verificadas e calibradas por
ensaios experimentais e monitoração no mar, se mostram adequadas para representar
com precisão as forças devidas à movimentação do fluido sobre sistemas offshore.
Segundo Chakrabarti [15], estas formulações podem ser agrupadas em três classes
principais, de acordo com sua adequação aos diferentes tipos de sistemas offshore:
¾ Formulação de Morison;
¾ Formulação de Froude-Krylov;
¾ Modelo de Difração / Radiação.
A seguir apresenta-se uma descrição resumida das principais características de
cada uma destas formulações.
4.5.1 Formulação de Morison
A formulação de Morison [20] é bastante difundida em aplicações práticas para o
cálculo das forças de fluidos em corpos esbeltos, com dimensão transversal
característica D pequena em comparação com o comprimento de onda λ. Um critério
usualmente empregado para definir um “corpo esbelto” consiste em verificar se a
seguinte relação é atendida:
54
D
λ
< 5 (4. 62)
Nestes casos, a formulação de Morison assume que as forças podem ser
computadas através de uma aproximação na qual os parâmetros importantes do fluxo na
superfície do corpo, tais como pressão, velocidade e aceleração, podem ser aproximados
pelo valor correspondente calculado no eixo da seção transversal do corpo esbelto.
A formulação de Morison considera que a força de onda é composta pela soma de
duas parcelas:
¾ Uma parcela de arraste associada a efeitos viscosos, proporcional às
velocidades do fluido e do corpo;
¾ Uma parcela de inércia, proporcional às acelerações do fluido e do corpo.
A equação de Morison pode ser expressa da seguinte forma:
F =
1
2
ρ
w
D C
d
⎪u
.
− x
.
⎪(u
.
− x
.
) +
ρ
w
π
D
2
4
C
m
u
..
−
ρ
w
π
D
2
4
C
a
x
..
(4.63)
Nesta expressão,
ρ
w
é a massa específica do fluido; D é uma dimensão transversal
característica do corpo (usualmente o diâmetro de um membro cilíndrico); e u
.
, x
.
, u
..
e x
..
são respectivamente as velocidades e acelerações do fluido e do corpo. O primeiro
termo do lado direito desta equação (proporcional às velocidades) corresponde, portanto
à parcela de arraste; o segundo e terceiro termos (proporcionais às acelerações)
correspondem à parcela de inércia. Geralmente considera-se que a formulação de
Morison é mais aplicável quando a força de arraste é significativa, e os efeitos viscosos
preponderam sobre os inerciais; este é usualmente o caso em corpos esbeltos [15].
A formulação de Morison é considerada semi-empírica, já que as parcelas de
arraste e inércia são afetadas por coeficientes adimensionais C
d
, C
m
e C
a
, que devem ser
calibrados a partir da observação de resultados experimentais. Por exemplo, na análise
de linhas de ancoragem e risers usualmente empregam-se valores de C
d
variando entre
0,7 e 1,2, e valores de C
m
em torno de 2,0 . O terceiro termo, afetado pelo coeficiente C
a
(usualmente definido como C
m
– 1) é proporcional às acelerações do corpo e está
associado a efeitos de “massa adicional”.
A equação de Morison tem apresentado bons resultados em aplicações práticas
tais como membros de plataformas fixas reticuladas (as jaquetas), e linhas de
55
ancoragem e risers modelados por elementos finitos. Nestas aplicações, no entanto,
deve-se ter em mente os seguintes aspectos:
¾ A Fórmula de Morison considera que a resposta do riser está alinhada com a
direção do fluxo incidente. Portanto, omite forças de
lift (sustentação) e forças de
arrasto devidas à vibraçõs induzidas por vórtices (
VIV), que podem ser
importantes em muitas situações.
¾ Não incorpora o efeito da esteira de interferência entre risers muito próximos (o
que pode influenciar a parcela de arrasto). Um riser na esteira de outro pode
receber menos carga, o que pode levar à colisão (
clashing) entre os risers. Este
efeito poderia ser modelado empiricamente, variando os valores do coeficiente C
d
.
Como será comentado mais adiante, esta equação também pode ser empregada em
plataformas flutuantes compostas por membros reticulados, tais como as plataformas
semi-submersíveis, TLPs ou SPAR-buoys. Nestes casos, membros muito próximos
podem “confinar” uma porção da massa de fluido, que pode agir como parte da
estrutura, levando ao aumento da força de massa adicional. Assim, a utilização pura e
simples da equação de Morison equivaleria a assumir que os membros, além de
relativamente esbeltos, são razoavelmente espaçados entre si, de modo que o
espaçamento médio entre dois membros é grande quando comparado com as dimensões
transversais da seção. A força que o fluido exerce em cada membro não seria então
afetada pela presença de outros membros, e a força total pode ser obtida somando-se as
forças calculadas individualmente para cada membro. O efeito de “confinamento” do
fluido poderia ser modelado empiricamente, aumentando o valor do coeficiente C
a
(proporcional à aceleração do corpo), mas sem alterar o valor do coeficiente C
m
que
afeta apenas a força de inércia proporcional à aceleração do fluido.
56
4.5.2 Formulação de Froude-Krylov
Na formulação de Froude-Krylov, a força atuante no corpo é proveniente da
pressão gerada pela passagem da onda incidente sobre a superfície do corpo, também
considerando que a presença do corpo não afeta o fluxo. A partir de uma dada expressão
para o campo de pressões no fluido gerado pela onda, podem ser obtidas as
componentes de força resultante atuando em um corpo, em cada uma das direções de
um sistema de eixos ortogonais. Para isto basta efetuar a integração da correspondente
componente da pressão p, sobre a parte submersa do corpo, como indicado a seguir:
F
x
= C
H
⌡
⌠
s
p n
x
dS (4. 64)
F
y
= C
V
⌡
⌠
s
p n
y
dS (4. 65)
Estas expressões fornecem respectivamente as componentes horizontal e vertical
da força resultante no corpo. n
x
e n
y
são as componentes horizontal e vertical do vetor
normal à superfície do corpo. C
H
e C
V
são coeficientes de força horizontal e vertical,
também determinados empiricamente, como será comentado a seguir (mas não devem
ser confundidos com os coeficientes de inércia e de arraste da fórmula de Morison).
No cálculo da força de Froude-Krylov para um membro cilíndrico da plataforma,
a integral que expressa a força resultante é dada por:
f
FK
=
⌡
⌠
S
p n ds (4. 66)
onde S é a superfície que envolve o volume imerso do corpo;
n é um vetor unitário
normal à superfície, e
p é um vetor contendo componentes da pressão do fluido dada
pela expressão (4.34).
Pode-se aplicar o Teorema de Gauss para transformar esta integral sobre a
superfície submersa do corpo em uma integral do gradiente de pressão ∇p sobre o
volume imerso:
f
FK
=
⌡
⌠
S
p n ds =
⌡
⌠
V
∇
p dv (4. 67)
Para membros reticulados de plataformas flutuantes, a integração no volume V
pode ser substituída pela multiplicação da área da seção transversal A pela integral ao
57
longo do comprimento do eixo do membro. Além disso, considerando que as dimensões
da seção transversal são pequenas comparadas com o comprimento de onda, os valores
do gradiente de pressão na seção transversal podem ser tomados como constantes e
iguais aos valores calculados no eixo. Desta forma, a força de Froude-Krylov pode ser
aproximada pela seguinte integral:
f
FK
=
⌡
⎮
⌠
0
L
A
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
∂p
∂x
⎪
⎪
⎪
0
,
∂p
∂y
⎪
⎪
⎪
0
,
∂p
∂z
⎪
⎪
⎪
0
dx
_
(4. 68)
A aplicação desta formulação torna-se mais conveniente quando associada a uma
expressão do campo de pressões no fluido p derivada de uma teoria linear de onda,
como as expressões (4.36) e (4.34) da teoria de Airy, que podem então ser empregadas
paras fornecer a pressão em um ponto na superfície de uma estrutura submersa, agindo
normal à superfície daquele ponto. Neste caso, a aplicação deste método é vantajosa já
que, para algumas formas particulares de membros submersos (como cilindros ou
esferas), podem ser obtidas expressões fechadas para as integrais definidas nas equações
(4.64) e (4.65) que fornecem as forças atuantes no corpo. Chakrabarti [15] demonstra
que, em muitos casos, as expressões resultantes são semelhantes às obtidas pela parcela
de inércia da fórmula de Morison (embora, como mencionado anteriormente, o
coeficiente que deve ser determinado empiricamente não é o mesmo).
Desta forma, segundo Chakrabarti [15], a formulação de Froude-Krylov é mais
aplicável quando a força de arraste é pequena
, e os efeitos de inércia predominam sobre
os viscosos, mas o corpo é ainda relativamente esbelto e, portanto, pode-se assumir que
a sua presença não afeta significativamente o fluxo das partículas fluidas. Como, ainda
segundo Chakrabarti, poucas aplicações práticas atendem a estas hipóteses, em casos
onde os efeitos de difração são significativos, mas pequenos, é possível considerá-los na
forma de um termo de correção nos coeficientes de força. Em casos mais gerais onde os
efeitos de difração são mais importantes, isso não é possível. Além disso, a proximidade
do corpo com o fundo ou a superfície livre pode gerar efeitos não facilmente
quantificáveis nos coeficientes. Nestes casos, deveria então ser aplicada a formulação
completa da teoria da difração.
O modelo hidrodinâmico híbrido do programa Prosim segue a linha sugerida por
Hooft [21], para corpos relativamente esbeltos tais como membros reticulados de
plataformas flutuantes. Neste caso, a parcela de força de Froude-Krylov calculada pela
58
expressão (4.68) é somada a termos de força de inércia e de arraste semelhantes às
parcelas da fórmula de Morison, e a termos de segunda ordem vindos da teoria da
Difração, como será visto posteriormente.
•
Consideração do Comportamento Hidrostático Não-Linear
Observando-se as expressões (4.34), (4.36) e (4.68), pode-se verificar que o
cálculo das cargas hidrostáticas está incorporado nessa formulação de Froude-Krylov,
como implementado originalmente no programa Prosim. No entanto, o fato de a
integração da expressão (4.68) estar sendo efetuada ao longo do eixo de um membro
cilíndrico pode levar a imprecisões no cálculo das forças e momentos de empuxo.
Assim, para aprimorar a representação do cálculo do empuxo, foram incorporadas
ao programa Prosim rotinas para um tratamento mais rigoroso do comportamento
hidrostático não-linear, aqui referenciadas como HNLC. Estas rotinas, baseadas nas
empregadas no programa de análise de estabilidade estática de plataformas SSTAB
[22], utilizam expressões clássicas encontradas na literatura (por exemplo [23]) para
calcular o volume d’água deslocado e o centro de empuxo para diferentes posições de
um membro cilíndrico em relação à superfície livre, como ilustrado na Figura 23. A
partir daí, calcula-se as forças e momentos de empuxo em relação ao CG da plataforma.
Figura 23 – Posições para Cálculo do Empuxo.
59
É interessante ressaltar que o fato de estas forças serem calculadas levando em
conta a superfície livre instantânea
, em cada instante de uma análise no domínio do
tempo, é que reforça o rigor na consideração do comportamento hidrostático não-linear,
importante para plataformas em geral e essencial para sistemas flutuantes de menor
porte como monobóias, como será visto mais adiante na aplicação estudada do sistema
CALM.
Evidentemente, para não haver superposição de efeitos, ao ativar a opção do
cálculo da hidrostática por estas rotinas, há a necessidade de retirar a consideração da
hidrostática pela formulação de Froude-Krylov na integral (4.68), mantendo apenas os
termos de pressão dinâmica. Na implementação atual do Prosim, a separação entre a
pressão estática e dinâmica está sendo efetuada zerando os valores de pressão estática e
gradiente de pressão na direção vertical. No entanto, este procedimento não garante que
o “cancelamento” das pressões na superfície livre seja feito de forma consistente, ou
seja, que na superfície livre a pressão total seja nula, com a pressão hidrostática igual e
com sinal oposto à pressão dinâmica. Com isso existe atualmente uma inconsistência na
combinação do cálculo da hidrostática pelas rotinas HNLC. Este tópico será abordado
novamente na aplicação ao sistema CALM, levando à sugestão de propostas de novos
desenvolvimentos na direção de obter um modelo mais rigoroso para a representação do
comportamento dinâmico de monobóias, como será comentado no capítulo 6.3.
60
4.5.3 Modelo de Difração / Radiação
Finalmente, quando as dimensões do sistema offshore não são pequenas em
relação ao comprimento de onda, as hipóteses consideradas nas seções anteriores não
são válidas, e espera-se que a presença do corpo altere de forma significativa o campo
de ondas na sua vizinhança, gerando efeitos de difração, interferência e radiação de
ondas pelo corpo. Portanto, nestes casos de corpos de forma completamente geral, um
método rigoroso para o cálculo das forças induzidas pela movimentação das partículas
do fluido devida às ondas deve considerar um modelo de Difração/Radiação.
O modelo matemático tridimensional de Difração/Radiação é uma generalização
do modelo bidimensional que representa a “teoria de onda”, descrito anteriormente no
item 4.3. Enquanto o modelo da “teoria de onda” tinha por objetivo apenas determinar
velocidades e acelerações do fluido
, sem considerar a presença do corpo, o modelo de
Difração/Radiação considera a presença do corpo e tem por objetivo determinar as
cargas
que resultam da movimentação do fluido induzida pelas ondas.
Esse modelo pode estar associado à Teoria Potencial, compondo um modelo
matemático em termos de um PVC composto pela equação de Laplace tridimensional
com as condições de contorno associadas, mas agora incluindo a consideração do corpo
submetido à ação do fluido.
Em alguns casos particulares, como cilindros verticais fixos e semi-cilindros ou
semi-esferas apoiadas no fundo, existem soluções analíticas fechadas disponíveis na
literatura. Em casos mais gerais podem ser empregados métodos numéricos, baseados
por exemplo na Teoria das Faixas e na formulação de Green [15]. Por exemplo, o
programa WAMIT [5] é um código extensamente usado para calcular as forças de
fluido empregando um modelo de Difração/Radiação.
Vale observar que o modelo de Difração/Radiação associado à Teoria Potencial,
baseada na equação de Laplace, pressupõe a desconsideração da viscosidade do fluido
.
Um modelo mais rigoroso que levasse em conta este efeito deveria ser baseado nas
equações de Navier-Stokes [21], compondo portanto um modelo matemático ainda mais
complexo.
61
•
Resposta de Primeira Ordem: RAO’s
Como resultado da aplicação de uma teoria potencial de primeira ordem ou
linearizada, obtém-se forças “de primeira ordem” atuando sobre o corpo que oscilam
com a mesma freqüência da onda.
Programas que resolvem o modelo de Difração/Radiação tais como o WAMIT,
calculam os “movimentos de primeira ordem” gerados por estas foças em termos de
tabelas conhecidas como Response Amplitude Operator (RAO’s). Estas tabelas
fornecem, para várias direções de incidência da onda sobre o casco e para várias
freqüências de onda, a resposta da embarcação sob a ação de uma onda de amplitude
unitária, em termos da amplitude de cada grau de liberdade dos movimentos.
•
Respostas de Segunda Ordem: Deriva, Springing
Em soluções de segunda ordem, pode ser demonstrado [15, 21, 24, 25] que
surgem outras parcelas de carga, atuando em diferentes faixas de freqüência. Dentre elas
incluem-se as forças que geram efeitos de deriva e “springing”, como será mencionado
a seguir.
Em ondas regulares
, a força de deriva consiste em uma parcela estática ou de
“deriva média
”, cuja magnitude depende da freqüência e é proporcional ao quadrado da
amplitude da onda. Expressões analíticas fechadas para esta parcela de carga, em alguns
casos particulares tais como uma parede vertical ou um cilindro horizontal, podem ser
encontradas em [24,25]. Em casos gerais, a solução deve ser obtida numericamente,
obtendo-se coeficientes conhecidos como “funções de transferência quadrática” (QTF
ou quadratic transfer functions). Para um dado valor w
i
de freqüência de onda regular, a
função define um coeficiente que fornece a força de deriva associada à onda regular
com freqüência w
i
e amplitude unitária. Mais adiante, será ilustrado como tais
coeficientes, fornecidos por programas que resolvem a Teoria Potencial (como por
exemplo o WAMIT) são incorporados no procedimento de solução no domínio do
tempo do programa Prosim.
Em estados de mar irregulares, com espectro representado por uma superposição
de várias componentes de ondas lineares de Airy com amplitudes a
j
e freqüências
ω
j
,
além das cargas de deriva média resultante da ação de cada uma das componentes de
onda surgem outras cargas de onda que variam no tempo, oscilando em:
62
¾ Freqüências baixas (correspondentes à diferença das freqüências das ondas
que representam o espectro). Em plataformas ancoradas, estas cargas podem
excitar movimentos usualmente referidos como de “deriva lenta
”.
¾ Freqüências altas (correspondentes à soma das freqüências das ondas). Em
plataformas TLP ancoradas por tendões verticais, estas cargas podem excitar
movimentos usualmente referidos como de “springing” ou “ringing”.
O cálculo das forças de segunda ordem associadas a estados de mar irregular pode
ser efetuado avaliando e integrando a expressão da pressão do fluido atuando no casco,
mantendo os termos de segunda ordem. Também podem ser expressas como funções do
quadrado da amplitude de cada componente de onda; com isso é possível deduzir
expressões para coeficientes de transferência (QTF) semelhantes aos já mencionados
acima no caso das cargas de deriva média.
Na implementação do programa Prosim, para incluir as parcelas de força de deriva
(dependente da freqüência) em uma simulação no domínio do tempo, efetua-se a
combinação da função de transferência com as propriedades da onda (freqüências,
amplitudes) em cada instante de tempo. Recorda-se a expressão da elevação da
superfície livre como resultado da soma de componentes de ondas regulares que
representam um mar irregular:
η
(t) =
∑
i = 1
N
a
i
cos(ω
i
t +
ε
i
) (4.69)
onde εi é a fase randomicamente distribuída no intervalo [0, 2π].
A parcela da força de deriva média ou estática é dada por
F
0
=
∑
i = 1
N
D
ii
a
2
i
(4.70)
onde D
ii
é a função de transferência da força de deriva da onda regular com freqüência
ω
i
.
Recorda-se a expressão geral da parcela de força de deriva lenta ou de baixa
freqüência:
63
F
s
(t) =
∑
i
≠
j
N
∑
j
≠
i
N
D
ij
a
i
a
j
2
cos[(ω
i
− ω
j
) t + (
ε
i
−
ε
j
)]) (4.71)
Considerando a aproximação de Newman [24], assume-se que D
ij
= D
kk
, onde D
kk
é a função de transferência da força de deriva média da onda regular com freqüência
igual à média entre
ω
i
e
ω
j
. Com isto, obtém-se a seguinte expressão:
F
s
(t) =
∑
i=1
N
∑
j=i+1
N
D
kk
a
i
a
j
cos[(ω
i
− ω
j
) t + (
ε
i
−
ε
j
)]) (4.72)
A parcela
f
D
correspondente às forças de deriva média e lenta é então dada pela
soma das equações (4.70) e (4.72):
f
D
= f
0
+ f
s
(4.73)
•
Amortecimento Potencial
De acordo com Hooft [21], nenhum efeito de amortecimento é observado em
corpos submersos oscilando longe da superfície livre em um fluido invíscido. Efeitos de
amortecimento associados à Teoria Potencial (que não considera a viscosidade do
fluido) são devidos à oscilação do corpo próximo à superfície livre.
Neste caso, para baixas freqüências de oscilação, o amortecimento não é
significativo. No entanto, para maiores freqüências, o movimento do corpo próximo à
superfície livre gera perturbações na elevação das ondas, de modo que a força de reação
deixa de estar em fase com as acelerações, o que equivale à consideração de efeitos de
perda de energia ou amortecimento. Desta forma, a partir de resultados da teoria
potencial é possível determinar coeficientes de amortecimento em função da freqüência.
No programa Prosim, para incluir as forças de amortecimento potencial
(dependentes da freqüência) em uma simulação no domínio do tempo, os seguintes
procedimentos são efetuados:
1)
A partir de uma matriz de coeficientes de amortecimento dependente da
freqüência, avaliada através de um programa baseado na Teoria Potencial como
por exemplo o WAMIT, calcular as respostas impulso ou função de memória no
tempo através da transformada de Fourier;
64
2)
O valor da força de amortecimento em um dado instante de tempo é então obtido
por meio de uma integral de convolução da função de memória sobre a história no
tempo dos movimentos [26].
O primeiro passo (cálculo da resposta de impulso do amortecimento ou função de
memória) é realizado tomando a transformada de Fourier em cossenos da matriz de
coeficientes de amortecimento:
L
ij
(
τ
) =
2
π
⌡
⌠
0
∞
λ
ij
(
ω
) cos(
ω
)
τ
d
ω
(4.74)
No segundo passo, o valor da força de amortecimento potencial na direção i e no
tempo t é então obtido como a convolução sobre a história passada da velocidade do
corpo.
f
PD
(t) =
⌡
⌠
0
∞
L
ij
(τ) v
b
(t-τ) dτ (4.75)
65
4.6 Formulações Híbridas para o Cálculo das Forças no Casco
4.6.1 Introdução; Aplicabilidade das Formulações
Na descrição das formulações apresentadas anteriormente, foi apontada uma
indicação prática para a escolha do método apropriado, em termos das dimensões do
corpo flutuante em relação ao comprimento da onda.
Por outro lado, essas formulações não necessitam ser consideradas como
mutuamente exclusivas, e podem ser combinadas em modelos “híbridos” que combinam
características positivas de mais de uma formulação, seguindo propostas como as
apresentadas por Hooft [21] e Pauling [12]. Neste modelo híbrido, implementado no
programa Prosim, combinam-se as seguintes forças:
¾ As forças de primeira ordem da fórmula de Morison, particularmente as forças
viscosas de arraste;
¾ As forças de Froude-Krylov;
¾ As forças de segunda ordem oriundas da Teoria Potencial, incluindo efeitos de
Difração e Radiação de ondas
.
Em tal modelo híbrido, a aplicação das diferentes formulações complementa as
lacunas e reforça as vantagens de cada uma. Por exemplo, a utilização pura e simples da
fórmula de Morison para o cálculo das cargas de fluido no casco de uma plataforma
composta por membros reticulados tais como TLP’s ou semi-submersíveis implicaria
em assumir algumas simplificações, mencionadas a seguir.
Uma primeira simplificação está diretamente embutida na premissa em que se
estabelece a formulação de Morison, pela qual um membro individual é esbelto o
suficiente para que os efeitos de difração sejam insignificantes, e as forças possam ser
computadas a partir de velocidades e acelerações calculadas pela teoria linear de Airy
no eixo da seção transversal do membro. Com isso a perturbação da onda causada pela
presença e movimento do corpo é ignorada.
Além disso, a formulação de Morison assume também que o espaçamento médio
entre dois membros da plataforma é grande em comparação com as dimensões da seção
transversal. Deste modo, a força em um membro individual não é afetada pela presença
66
de outros membros e, em conseqüência, a força total no casco pode ser calculada como
a soma das forças calculadas para cada um dos membros individuais. No entanto, um
tratamento mais rigoroso deveria considerar que existe interação entre os membros, o
que leva a efeitos de cancelamento ou sobreposição de ondas, o que depende da
freqüência de cada componente de onda.
A Teoria Potencial é capaz de tratar adequadamente os efeitos devidos à
perturbação (difração e radiação) da onda causada pela presença e movimento do corpo,
bem como os efeitos devidos à interação entre as ondas que refletem nos membros da
plataforma. Estes efeitos de segunda ordem incluem [24]:
¾ O amortecimento potencial por irradiação de ondas pelo corpo, e
¾ As forças de deriva média e lenta, devidas à difração e reflexão das ondas em
torno do corpo.
Por outro lado, enquanto as forças de primeira e segunda ordem são avaliadas pela
Teoria Potencial no domínio da freqüência e válidas para pequenas amplitudes de onda
e movimento, a formulação de Morison avalia as forças de primeira ordem no domínio
do tempo, a cada passo do processo de integração, e são válidas para grandes amplitudes
de onda e movimento. A formulação de Morison associada a uma análise no domínio do
tempo é, portanto, capaz de tratar adequadamente os efeitos não-lineares, levando em
conta a superfície livre instantânea
e determinando as cargas exatamente no trecho
imerso de cada membro em cada instante de tempo.
Além disso, modelos de Difração/Radiação baseados na teoria potencial não
incorporam efeitos devidos à viscosidade do fluido; por exemplo, no programa WAMIT
o amortecimento viscoso deve ser introduzido externamente pelo usuário, através de
uma matriz de amortecimento calibrada. Argumenta-se em favor da teoria potencial que
este fato não constitui problema em sua aplicação a corpos de grandes dimensões como
navios, onde os efeitos de inércia são preponderantes e os efeitos viscosos seriam
importantes apenas como amortecimento para excitações de ressonância, com períodos
próximos a períodos naturais do corpo (por exemplo o roll em navios). A questão que se
coloca é se esse raciocínio permanece válido para membros cilíndricos de plataformas,
onde o diâmetro pode não ser tão grande quando comparado como comprimento da
onda. Nesses casos, os efeitos viscosos, além de serem importantes como
67
amortecimento na ressonância, podem ser importantes também como força de arraste
para outras faixas de freqüência.
Quanto às forças de deriva, é interessante mencionar que existe um tipo de força
de deriva que é fornecido pela equação de Morison. Esta parcela é devida à diferença na
força de arrasto da onda em membros cortados pela superfície da água, que resulta da
diferença do comprimento molhado do membro, da crista para o cavado, ao longo da
passagem da onda pelo membro [12].
4.6.2 Expressão Completa para o Cálculo de Forças no Modelo Híbrido
No modelo híbrido empregado no programa Prosim, as forças atuando na
plataforma devidas à movimentação do fluido são compostas por várias parcelas,
definidas na seguinte expressão:
F
wc
= f
FK
+ f
Mmn
+ f
Mdn
+ f
Ma
+ f
D
+ f
PD
(4. 76)
onde:
¾ O primeiro termo, f
FK
, é a força de Froude-Krylov, função da pressão do fluido p.
¾ O segundo e terceiro termos, f
Mmn
e f
Mdn
, correspondem aos termos de inércia e
arraste da fórmula de Morison, sendo funções de a
rn
e v
rn
(respectivamente as
componentes normais ao eixo do membro das acelerações e velocidades relativas
fluido-estrutura) e dos coeficientes de massa adicional e de arrasto quadrático C
a
e
C
d
. É importante ressalvar que, para que seja válida a superposição da parcela de
inércia com o termo de Froude-Krylov (que também representa um termo de
inércia, porém considerando somente as acelerações do fluido), na aplicação da
fórmula de Morison não deve ser fornecido o coeficiente de inércia C
m
, mas sim o
coeficiente de massa adicional C
a
(que afeta somente as acelerações do corpo).
¾ O quarto termo, f
Ma
, corresponde à componente axial das forças de inércia e
arraste, calculadas para membros com extremidades expostas à ação do fluido;
¾ O quinto termo, f
D
, corresponde às forças de Deriva Média e Lenta;
¾ Finalmente, o sexto termo f
PD
corresponde às Forças de Amortecimento Potencial.
68
Expressões para cada uma destas parcelas podem ser encontradas em [27].
Observa-se, em especial, que os dois últimos termos são forças que resultam da
aplicação do modelo de Difração/Radiação da Teoria Potencial. São incluídos na
formulação híbrida a partir de resultados previamente calculados no domínio da
freqüência por programas como o WAMIT [5].
Observa-se que estas parcelas dizem respeito apenas às forças geradas pela
movimentação do fluido devido às ondas e correnteza; outras parcelas de força atuando
na plataforma, como, por exemplo, forças de vento, são descritas mais adiante.
69
4.7 Forças de Correnteza
Prosseguindo na descrição da formulação das equações de movimento, esse item
apresenta a formulação para o cálculo das forças de
correnteza (atuando tanto no casco
quanto nas linhas de ancoragem e risers
).
A correnteza é definida através de um perfil poligonal, em que são fornecidos
valores de velocidade e ângulos de incidência. Este tipo de carregamento geralmente é
aplicado incrementalmente à estrutura e fornecido através de uma função tempo, que
pode ser associada ao carregamento de onda e correnteza.
A correnteza pode ser considerada primordialmente como carregamento estático,
embora existam alguns efeitos dinâmicos associados à correnteza. Pode-se mencionar,
por exemplo, as vibrações induzidas por vórtices (VIV) em elementos esbeltos (como
por exemplo em risers e tendões), e a variação no valor da velocidade da correnteza
medida no tempo, que é usualmente ignorada.
No caso de corpos flutuantes para os quais a fórmula de Morison pode ser
aplicada, tais como membros reticulados de plataformas ou linhas de ancoragem e
risers, as forças de correnteza podem ser consideradas diretamente no cálculo da parcela
de arraste que leva em conta as velocidades relativas fluido-estrutura, simplesmente
efetuando uma soma vetorial das velocidades de correnteza com as velocidades do
fluido devidas à onda e as velocidades da estrutura.
É importante mencionar que, em projetos recentes de plataformas em águas
profundas, tem sido observado que a parcela das forças de correnteza atuando sobre as
linhas pode ser da mesma ordem de grandeza da parcela que atua sobre o casco da
plataforma.
4.7.1 Interação com as Forças de Onda: Interação Física
Usualmente, as cargas totais sobre uma unidade flutuante são consideradas pela
soma vetorial das componentes individuais de onda, vento e corrente, sem considerar
qualquer interação entre eles.
No entanto, um procedimento mais rigoroso deveria incluir a consideração de um
modelo de interação ambiental ou de interação física, particularmente entre as forças de
onda e correnteza. No cálculo das forças de onda pela Teoria Potencial, deve-se
70
inicialmente lembrar que, para a Teoria Potencial continuar sendo aplicável, a
velocidade de correnteza (constante) deve ser menor que a velocidade da partícula da
onda (periódica), do contrário a hipótese de fluido ideal não é mais válida e uma
separação massiva do fluxo pode ocorrer [25]. Ignorar a interação entre onda e
correnteza equivaleria a ir mais além e assumir que a velocidade da correnteza não é
maior do que a dos termos de segunda ordem da onda (de baixa freqüência ou deriva
lenta) e portanto muito menor do que a dos termos de primeira ordem da onda.
Existem situações onde a velocidade da correnteza é maior do que a velocidade de
deriva lenta, e é comparável com a velocidade de primeira ordem. O problema está na
determinação de um modelo de cálculo apropriado para a avaliação das forças
combinadas, que leve em consideração a onda na presença de correnteza. Por exemplo,
tal modelo deveria considerar que as alturas de onda podem ser modificadas na presença
de correnteza. As forças de primeira e segunda ordem de onda também seriam alteradas,
pois a correnteza afeta a forma como a energia da onda é dispersa pela estrutura.
Algumas teorias vêm sendo desenvolvidas para predizer a forma como as forças
de deriva são afetadas pela correnteza [28]. Para estruturas esbeltas, enfoques simples
como, por exemplo, o baseado no conceito da freqüência de encontro fornecem bons
resultados. A freqüência de encontro
ω
c
pode ser calculada a partir da freqüência da
onda
ω
e da velocidade da correnteza na superfície v
c
pela seguinte expressão:
ω
c
=
ω
+ k v
c
cos
β
(4.1)
onde k é o número de onda, e
β
é a direção relativa entre onda e correnteza.
4.7.2 Interação com as Forças de Onda: Interação Estatística
Além da interação física, deve ser considerada também uma interação estatística
entre as forças de onda e correnteza. As normas API RP 2SK [29] e DNV/POSMOOR
[30] especificam um período retorno individual para onda, vento e corrente, como por
exemplo:
“Vento médio e estado de mar correspondendo a 100 anos de período de retorno,
combinado com uma correnteza de 10 anos de período de retorno”.
Esta forma de especificar o projeto não fornece uma indicação de período de
retorno do evento combinado. Idealmente, o período de retorno do evento combinado
deveria ser especificado e então avaliadas as magnitudes de vento, onda e correnteza.
71
Isto poderia ser feito se houvesse um número suficiente de dados ambientais
disponíveis.
72
4.8 Vento
As forças de vento atuam sobre a área exposta do casco e do convés das
plataformas flutuantes. As condições de vento usadas em projeto devem ser
apropriadamente determinadas a partir de dados coletados, consistentes com os outros
parâmetros ambientais que ocorrem simultaneamente.
Existem duas maneiras de se considerar os efeitos de vento no projeto, que
dependem de parâmetros do sistema e objetivos da análise:
¾ Força de vento estática, constante no tempo;
¾ Força de vento variável no tempo, calculada em função de uma componente
estática, permanente, somada a uma componente variando com o tempo,
calculada a partir de um espectro de vento adequado.
4.8.1 Cálculo das Forças: Parcela Estática
Para o cálculo da parcela estática da força de vento é assumido que a área exposta
à ação do vento na embarcação possa ser caracterizada por um único número, o qual
representa o produto da área exposta ao vento pelo fator de forma. O programa Prosim
também fornece a opção de se interpolar ao longo do tempo a área exposta à ação do
vento devido à variação do aproamento (yaw) da plataforma.
Considerando-se que o centro de pressão de vento seja conhecido, a força de
vento é considerada atuando neste ponto, em cada intervalo de integração, pela seguinte
equação:
2
2
ventoventovento
VAF
ρ
= (4. 77)
onde:
ρ
- densidade do ar;
A
vento
– produto da área exposta ao vento pelo coeficiente de forma;
V
vento
– velocidade média do vento.
Resultados de teste de túnel de vento podem ser usados para estabelecer
coeficientes de força (força/velocidade
2
) em determinadas direções de incidência do
vento. Assim, basta multiplicar o valor da velocidade de vento ao quadrado pelo
73
coeficiente de força obtido do ensaio, para que seja determinada a força de vento sobre a
embarcação. Nos ensaios, os coeficientes de força de vento são normalmente
determinados para uma altura de 10 metros acima da lâmina d’água. Assim, para se
obter as forças, as velocidades de vento medidas precisam ser transportadas para esta
mesma altura de 10 metros, de acordo com a fórmula abaixo [29]:
V
w
= V
10m
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
Z
10
0,13
(4. 78)
4.8.2 Cálculo das Forças: Parcela Dinâmica
De modo similar às ondas, os ventos também geram forças variáveis no tempo.
Embora métodos para determinar a parcela de força de vento variável no tempo
(também referida como força de vento de baixa freqüência [28]) tenham sido
extensivamente estudados, há ainda um substancial grau de incerteza nesta estimativa,
particularmente na definição de um espectro de energia a partir de dados medidos de
vento. Na falta de dados mais precisos, a parcela variável no tempo pode ser obtida a
partir da simulação do espectro proposto pela API RP 2A [31], que é apresentado a
seguir:
()
()
3
5
2
5.11
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
p
p
f
f
f
z
fS
σ
(4. 79)
σ(z) = V(1hr,z)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×
−
−
s
s
s
s
zzpara
z
z
zzpara
z
z
275.0
125.0
15.0
15.0
(4. 80)
()( )
125.0
,1,1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
R
R
z
z
zhrVzhrV (4.81)
()
10.0
,1
01.0 ≤
⋅
≤
zhrV
zf
p
(4.82)
onde:
S(f) – Densidade de energia espectral, na elevação z;
f – Freqüência em Hz;
f
p
– Freqüência de pico característica do espectro;
74
σ(z) – Desvio-padrão da velocidade de vento;
V(1hr,z) – Velocidade média de vento em 1 hora, medida na elevação z;
z
s
– 20m (espessura da “camada superficial”);
z
r
– 10 m (altura da referência).
A Figura 24 ilustra o espectro de vento da API para uma velocidade média horária
de 35 m/s e
()
05.0
,1
=
⋅
zhrV
zf
p
.
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
350.0
400.0
450.0
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80
f (H
z
)
S(f)
Figura 24 - Espectro de Vento da API.
A simulação do espectro de vento consiste em determinar uma série de
componentes discretas, senoidais e unidirecionais, as quais são superpostas para se obter
a velocidade instantânea do vento. Estas componentes são geradas em intervalos de
igual energia do espectro, com fases distribuídas randomicamente no intervalo [0,2π], as
quais são superpostas para se obter a velocidade instantânea do vento. Para cada
componente, a seguinte expressão determina a velocidade instantânea do vento no
instante de tempo t:
∑
=
−+=
N
n
nnnrhrw
tazVtV
1
1
)cos()()(
θω
(4.83)
onde a
n
é a amplitude de cada componente em que o espectro é discretizado,
ω
n
é a
freqüência correspondente, e
θ
n
representa a fase da componente, gerada aleatoriamente.
75
5
5
.
.
F
F
O
O
R
R
M
M
U
U
L
L
A
A
Ç
Ç
Ã
Ã
O
O
E
E
S
S
T
T
R
R
U
U
T
T
U
U
R
R
A
A
L
L
E
E
H
H
I
I
D
D
R
R
O
O
D
D
I
I
N
N
Â
Â
M
M
I
I
C
C
A
A
D
D
A
A
S
S
L
L
I
I
N
N
H
H
A
A
S
S
5.1 Introdução
Finalmente, para concluir a descrição do procedimento de análise acoplada de
plataformas flutuantes empregado no programa Prosim, este capítulo irá descrever de
forma resumida a formulação e o procedimento de solução numérica do modelo
matemático que representa o comportamento estrutural e hidrodinâmico das linhas de
ancoragem e risers.
5.2 Formulação do Problema Estrutural
5.2.1 Modelo Matemático; Solução Numérica
O comportamento dinâmico de uma estrutura pode ser descrito matematicamente
por um problema de valor inicial e de contorno (
PVI/C), constituído por um sistema de
equações diferenciais parciais (
EDP) hiperbólicas - as Equações de Movimento ou
equações de equilíbrio dinâmico. Na montagem deste sistema estão incorporadas as
Equações constitutivas
relacionando tensões às deformações, e as Equações
deformação-deslocamento.
A essas equações diferenciais parciais, está associado um conjunto de condições
de contorno no espaço, que estabelece que o contorno da estrutura está dividido em uma
região com deslocamentos conhecidos e outra com forças conhecidas. Além disso, está
associado também um conjunto de condições iniciais no tempo, que estabelece que os
deslocamentos e velocidades em qualquer ponto do domínio espacial têm valores
conhecidos no tempo t = 0.
A construção deste modelo matemático diferencial
está baseada em conceitos da
Mecânica do Contínuo e da Teoria da Elasticidade. Usualmente, no procedimento de
solução do problema estrutural o modelo matemático é reescrito em uma formulação
integral
, baseada em princípios variacionais. Esta formulação integral pode ser obtida de
diversas maneiras: através de princípios de energia, como o Princípio dos Trabalhos
76
Virtuais ou o Princípio da Energia Potencial Estacionária; ou através do método de
Galerkin, baseado na técnica de resíduos ponderados.
Uma descrição detalhada do estabelecimento e formulação destes modelos
matemáticos pode ser encontrada em diversos textos [32, 33, 34]. Uma descrição mais
concisa e didática pode ser encontrada no trabalho de Kayser Junior [35].
Para a solução do problema descrito por estes modelos matemáticos contínuos,
que acarreta na obtenção da resposta dinâmica desejada, são empregados métodos
numéricos que efetuam discretizações no espaço e no tempo. O processo usual consiste
em efetuar as discretizações de forma independente (semi-discretização
), em duas
etapas:
A) Em uma primeira etapa, utiliza-se uma técnica para a discretização espacial do
domínio. Em formulações diferenciais, as
EDP seriam então transformadas em
um sistema de equações diferenciais ordinárias (
EDO) semi-discretas (porque
ainda funções contínuas do tempo).
B) Em uma segunda etapa, efetua-se a discretização das EDO no tempo, obtendo-se
a resposta através de um algoritmo de integração.
77
5.3 Discretização Espacial: O Método dos Elementos Finitos
No contexto da análise de estruturas esbeltas, especificamente de risers e linhas de
ancoragem de plataformas flutuantes, a técnica de discretização empregada é o Método
dos Elementos Finitos –
MEF. A formulação do MEF, que tem sido extensivamente
estudada ao longo das três últimas décadas, não será descrita neste texto; recomenda-se
a leitura de referencias clássicas da literatura, tais como [32, 33, 34]. Novamente, uma
descrição concisa e didática pode ser encontrada em [35].
Para a discretização espacial dos risers e linhas de ancoragem, o programa Prosim
emprega elementos reticulados de treliça e pórtico. A seguir apresenta-se uma descrição
sucinta das características destes elementos.
5.3.1 Elemento de Treliça
Os elementos de treliça possuem 3 graus de liberdade por nó. Os graus de
liberdade (U,V,W) representam movimentos lineares nas direções x
_
, y
_
e z
_
, como ilustra
a Figura 25. Como este tipo de elemento não possui graus de liberdade angulares,
conseqüentemente não é possível fornecer rigidez flexional. Por este motivo, estes
elementos representam bem linhas que possuem baixa rigidez à flexão tais como linhas
de ancoragem e umbilicais.
X
Z
Y
N
ó 1
N
ó 2
U
V
W
U
V
W
Figura 25 - Elemento de treliça.
5.3.2 Elemento de Pórtico
O programa Prosim emprega um elemento finito de pórtico espacial baseado em
uma formulação co-rotacional [36,37,38]. Esta formulação vem se impondo como
alternativa às formulações Lagrangeanas total e atualizada [33], tradicionalmente
empregadas na mecânica dos sólidos para a descrição do movimento em problemas com
78
não-linearidade geométrica acentuada. O objetivo principal da formulação co-rotacional
é separar os movimentos de corpo rígido dos movimentos que geram deformações. Com
isso, obtém-se um elemento mais preciso, robusto e menos sensível à magnitude das
rotações incrementais.
O elemento de pórtico espacial possui 6 graus de liberdade por nó. Os graus de
liberdade (U,V,W,RU,RV,RW) representam movimentos lineares nas direções x
_
, y
_
e z
_
, e
movimentos angulares em torno destes mesmos eixos, como ilustra a Figura 26. Com
este tipo de elemento é possível considerar a rigidez à flexão das linhas, de modo a
representar linhas cuja rigidez à flexão é representativa, tais como risers rígidos e risers
flexíveis.
X
Z
Y
N
ó 1
N
ó 2
U
V
W
U
V
W
RU
R
V
R
W
R
V
R
W
Figura 26 - Elemento de Pórtico Espacial.
79
5.4 Discretização no Tempo: Solução Numérica de Problemas
Dinâmicos Lineares
5.4.1 Formulação do Problema Dinâmico
Como resultado da aplicação do Método dos Elementos Finitos para a
discretização espacial, o modelo matemático diferencial, originalmente um PVI/C
composto por um sistema de equações diferenciais parciais (
EDP) associado a um
conjunto de condições de contorno no espaço e condições iniciais no tempo, se
converteria em um problema de valor inicial
composto por um sistema de equações
diferenciais ordinárias (
EDO) semi-discretas (discretizadas no espaço, mas ainda
funções contínuas do tempo), e um conjunto de condições iniciais no tempo.
Para problemas lineares, as EDO correspondem às equações de movimento
escritas da seguinte forma:
M u"(t) + C u'(t) + K u(t) = F(t) (5.1)
As incógnitas destas equações são os vetores
u(t), u
'
(t) e u
"
(t) contendo,
respectivamente, componentes de deslocamentos, velocidades e acelerações para cada
grau de liberdade da malha de elementos finitos empregada para efetuar a discretização
espacial. O problema de valor inicial é composto por estas equações de movimento,
associadas às seguintes condições iniciais:
u(0) = u
0
; u
'
(0) = v
0
(5.2)
As três parcelas do lado esquerdo das equações de movimento representam,
respectivamente, forças de inércia, amortecimento e forças elásticas. Estas forças
internas equilibram as forças externas no lado direito, que são representadas pelo vetor
F(t) contendo as resultantes nodais das cargas.
Finalmente,
M, C e K são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez,
simétricas e constantes no tempo. As matrizes de massa e rigidez podem ser deduzidas
diretamente a partir da formulação de elementos finitos. A matriz de amortecimento
C,
por sua vez, é usualmente representada pela expressão de amortecimento de Rayleigh
como uma combinação linear das matrizes de massa e rigidez [33]:
C = α
m
M + α
k
K. (5.3)
80
onde α
m
e α
k
são, respectivamente, coeficientes escalares proporcionais à massa e à
rigidez, a ser determinados a partir de dois pares de valores (freqüência × percentagem
de amortecimento crítico).
5.4.2 Procedimento de Solução do Problema Dinâmico
Para a solução do problema de valor inicial composto pelas equações (5.1) e (5.2),
utilizam-se algoritmos de integração no tempo. Para isso, inicialmente escreve-se uma
forma discretizada no tempo das equações (5.1), onde os valores exatos
u
"
(t
n+1
), u
'
(t
n+1
) e
u(t
n+1
) são substituídos por aproximações a
n+1
, v
n+1
e d
n+1
M a
n+1
+ C v
n+1
+ K d
n+1
= F
n+1
(5.4)
Assim, assume-se que o equilíbrio não será mais satisfeito a cada instante
infinitesimal de tempo, mas apenas em um determinado número de instantes, separados
por intervalos discretos de tempo.
Em seguida, utilizam-se operadores ou funções que, em um dado instante de
tempo t
n+1
, fornece aproximações a
n+1
, v
n+1
e d
n+1
a partir de aproximações obtidas em
instantes anteriores. Em problemas discretizados no espaço pelo Método dos Elementos
Finitos, é usual empregar a família de algoritmos de Newmark, que é caracterizada
pelos seguintes operadores para fornecer as aproximações desejadas [33,34]:
d
n+1
= d
n
+ Δtv
n
+
2
t
2
Δ
[(1-2β)a
n
+ 2βa
n+1
] (5.5)
v
n+1
= v
n
+ Δt [(1-γ)a
n
+ γa
n+1
] (5.6)
Nestas expressões, γ e β são os parâmetros que caracterizam a família de
algoritmos de Newmark. Por exemplo, a regra trapezoidal é um membro desta família,
caracterizado por estes operadores com os valores γ = ½ e β = ¼ , e pela expressão
discretizada (5.4).
Alternativamente, os operadores de Newmark podem ser escritos em termos de
acelerações e velocidades:
a
n+1
=
1
βΔt
2
(d
n+1
- d
n
) −
1
βΔt
v
n
−
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
2β
− 1 a
n
(5.7)
v
n+1
=
γ
βΔt
(d
n+1
- d
n
) −
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
γ
β
− 1 v
n
−
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
γ
2β
− 1 Δt a
n
(5.8)
81
Observa-se que a aplicação do algoritmo de integração leva a um sistema de três
equações para as três incógnitas
a
n+1
, v
n+1
, d
n+1
: as equações de movimento discretizadas
(5.4), e os operadores [(5.5) e (5.6)], ou [(5.7) e (5.8)]. Temos, portanto mais de uma
opção para a implementação computacional, de acordo com a ordem em que são
eliminadas as incógnitas.
•
Implementação por Deslocamentos
Uma implementação usual consiste em empregar os operadores (5.7) e (5.8) para
eliminar as acelerações e velocidades das equações de movimento (5.4), resultando em
uma expressão onde as incógnitas são os deslocamentos. Antes de apresentar esta
implementação, vamos observar as equações (5.7) e (5.8) e definir as seguintes
constantes:
a
0
=
1
βΔt
2
; a
1
=
γ
βΔt
; a
2
=
1
βΔt
; a
3
=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
2β
− 1 ;
a
4
=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
γ
β
− 1 ; a
5
=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
γ
2β
− 1 Δt (5.9)
Empregando estas constantes, os operadores (5.7) e (5.8) podem ser escritos da
seguinte forma:
a
n+1
= a
0
(d
n+1
− d
n
) − a
2
v
n
− a
3
a
n
(5.10)
v
n+1
= a
1
(d
n+1
− d
n
) − a
4
v
n
− a
5
a
n
(5.11)
Finalmente, vamos aplicar os operadores (5.10) e (5.11) para eliminar as
acelerações e velocidades da expressão (5.4), e em seguida vamos passar os termos já
conhecidos no instante t
n
para o lado direito. Com isso, obtemos a seguinte expressão:
[]
a
0
M + a
1
C + K d
n+1
= F
n+1
+ M
[
a
0
d
n
+ a
2
v
n
+ a
3
a
]
n
+
+ C
[
a
1
d
n
+ a
4
v
n
+
]
a
5
a
n
(5.12)
Esta expressão define um Sistema Efetivo de equações algébricas lineares, que
pode ser escrito da forma:
A x = b (5.13)
onde a matriz de coeficientes
A é a matriz efetiva, definida como uma combinação das
matrizes de massa, rigidez e amortecimento, afetadas por coeficientes escalares; e o
82
vetor de termos independentes
b é o vetor de cargas efetivas, calculados em termos das
cargas externas, e de forças elásticas, de inércia e de amortecimento do passo anterior.
Verificamos portanto que o processo de integração no tempo recai na
solução de
um sistema de equações algébricas lineares para cada instante de tempo.
Considerando o uso uma técnica direta para a solução dos sistemas de equações, o
processo de integração no tempo em problemas lineares
é o detalhado na Tabela 1:
Tabela 1:Implementação Computacional do
Procedimento de Integração no Tempo para Problemas Lineares
⇒ Ao início da análise, montar a matriz efetiva A / triangularizar.
⇒ Loop de instantes de tempo: conhecidas as aproximações a
n
, v
n
e d
n
:
• Calcular o vetor de cargas efetivo b ;
• Efetuar uma retrosubstituição para resolver o sistema efetivo obtendo-se
d
n+1
;
• Calcular a
n+1
e v
n+1
através dos operadores de Newmark;
• Incrementar n e passar para o próximo instante de tempo.
• Implementação por Acelerações
Outra implementação que pode ser considerada para o algoritmo de integração (a
implementação “por acelerações”) consiste em substituir os operadores de Newmark
(5.5) e (5.6) nas equações de movimento (5.4), resultando em:
[
]
(
)
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+Δ+
−Δ−+−=Δ+Δ+
++
nnn
nnnn
atvtdK
atvCFaKtCtM
2
11
2
2
1
1
β
γβγ
(5.14)
Neste caso, as incógnitas do sistema efetivo são as acelerações.
Observamos que,
de acordo com o valor do parâmetro β, podemos identificar os seguintes casos:
¾ β = 0 e matrizes de massa e amortecimento diagonais: o sistema efetivo é
desacoplado, o que quer dizer que não há necessidade de empregar uma técnica
para resolução do sistema. As incógnitas são obtidas diretamente pela divisão
dos termos do vetor de cargas efetivo pelos termos da diagonal da matriz
efetiva. Esta característica identifica um algoritmo explícito.
83
¾ β ≠ 0: o sistema efetivo é acoplado. Neste caso exige-se uma técnica para a
resolução de sistemas de equações algébricas, e temos as características de um
algoritmo implícito.
Com base nos critérios apresentados em [33], é possível concluir que para os
problemas inerciais, a regra trapezoidal ou suas variações com amortecimento numérico
(como os métodos αH-Newmark ou αB-Newmark que serão descritos mais adiante) são
de fato os algoritmos mais adequados. Para chegar a esta conclusão podemos observar
também os teoremas de Dahlquist [34]:
¾ Não existe um algoritmo explícito incondicionalmente estável.
¾ Não existe um algoritmo incondicionalmente estável com ordem de precisão
maior ou igual a 3.
¾ O algoritmo incondicionalmente estável com ordem de precisão igual a 2 e
com menor constante de erro é a regra trapezoidal.
84
5.5 Tratamento dos Problemas Não-lineares com Algoritmos
Implícitos
Para problemas não-lineares, as equações de movimento semi-discretas podem ser
expressas da forma:
M u"(t) + C u'(t) + R(u) = F(u,t) (5.15)
As não-linearidades estão embutidas nas parcelas
R(u) e F(u,t). A parcela de
esforços elásticos
R(u) inclui efeitos geométricos e/ou de materiais com comportamento
elástico não-linear. A parcela de cargas externas
F(u,t) considera não-linearidade devido
à variação das cargas externas com a geometria, caracterizando carregamentos não-
conservativos.
A solução do sistema de EDO não-linear (5.15) associado a algoritmos implícitos
exige procedimentos específicos para o tratamento das não-linearidades, como
apresentado a seguir. Inicialmente, escreve-se a forma discretizada correspondente:
M a
n+1
+ C v
n+1
+ R(d
n+1
) = F
n+1
(d
n+1
) (5.16)
O tratamento do problema não-linear baseia-se em assumir que, no entorno de
uma configuração deformada
u, o problema pode ser considerado localmente linear.
Esta linearização consiste em tomar a seguinte aproximação para as parcelas não-
lineares
R(d
n+1
) e F
n+1
(d
n+1
), através de uma série de Taylor com termos de ordem
superior truncados:
d
d
R
dRdR
n
d
nn
Δ
∂
∂
+=
+
)()(
1
(5.17)
d
d
F
dFdF
n
d
n
nnnn
Δ
∂
∂
+=
+
+++
1
111
)()( (5.18)
onde:
Δ
d = d
n+1
− d
n
(5.19)
A última parcela de (5.18), que define a variação das cargas externas com a
geometria, não será considerada nos desenvolvimentos posteriores. Esta parcela
usualmente só é levada em conta quando se exige um tratamento muito rigoroso de
carregamento não-conservativo, já que compõe uma matriz não-simétrica.
A matriz de rigidez tangente é definida como:
85
K
T
=
∂
R
∂d
(5.20)
•
Formulação Incremental
Substituindo (5.20), (5.18) e (5.17) em (5.16), as equações de equilíbrio dinâmico
discretizadas no espaço e no tempo escrevem-se da seguinte forma incremental:
M a
n+1
+ C v
n+1
+ K
T
Δd = F
n+1
(d
n
) − R(d
n
) (5.21)
d
n+1
= d
n
+ Δd (5.22)
onde
R(d
n
) são os esforços elásticos resistentes calculados com os deslocamentos do
intervalo anterior, e a matriz de amortecimento de Rayleigh agora é dada por:
C = α
m
M + α
k
K
T
(5.23)
•
Formulação Incremental-Iterativa
Deve-se observar que estas equações não mais garantem o equilíbrio dinâmico ao
fim do intervalo de tempo t
n+1
, devido às linearizações assumidas em (5.17) e (5.18).
Por isto, é necessário empregar uma técnica iterativa para resolver o problema não
linear. Usualmente emprega-se o Método de Newton-Raphson e suas variações, que
consistem em escrever as equações de movimento na seguinte forma incremental-
iterativa:
M a
(k)
n+1
+ C v
(k)
n+1
+ K
T
ΔΔd
(k)
= F
n+1
− R(d
(k-1)
n+1
,
ΔΔd
(k-1)
) (5.24)
Δ
d
(k)
= Δd
(k-1)
+ ΔΔd
(k)
(
5.
25)
d
(k)
n+1
= d
(k-1)
n+1
+ ΔΔd
(k)
(
5.
26)
Nestas expressões, os superscritos k e k-1 indicam um contador de iterações, e
ΔΔ
d
(k-1)
representa a variação dos deslocamentos incrementais obtida a cada iteração do
ciclo de verificação do equilíbrio.
A formulação do Método de Newton-Raphson baseia-se portanto em adotar a
linearização (5.17) e iterar com matrizes tangentes como a dada por (5.20). No Método
de Newton-Raphson Padrão
NRP, a matriz tangente é reavaliada em todas iterações. No
entanto, em alguns casos os custos de montagem e decomposição associados não
compensam os ganhos com a convergência do processo, e o método de Newton-
Raphson modificado
NRM é uma alternativa interessante. Nesta técnica, a matriz de
rigidez tangente K
T
é calculada ao início de cada intervalo de tempo e mantida
86
constante ao longo do ciclo iterativo, podendo ainda ser mantida constante ao longo de
um certo número de intervalos de tempo.
O vetor de cargas externas F
n+1
(d
n
) é reavaliado ao início de cada intervalo de
tempo, e é mantido constante ao longo do ciclo iterativo. Os esforços elásticos
resistentes
R estão expressos também em função das variações dos deslocamentos
incrementais ΔΔ
d
(k-1)
porque estes são utilizados na formulação do elemento de pórtico
não-linear tridimensional empregado.
•
Aplicação do Operador de Integração no Tempo
Observando os operadores de Newmark em termos de acelerações e velocidades
(5.10) e (5.11), verifica-se que os deslocamentos incrementais
(d
n+1
- d
n
) correspondem
a Δ
d
(k)
, o qual por sua vez pode ser substituído pelo lado direito da expressão (5.25).
Com isso, obtemos a seguinte forma “incremental-iterativa” para os operadores de
Newmark:
a
(k)
n+1
= − a
2
v
n
− a
3
a
n
+ a
0
(Δd
(k-1)
+ ΔΔd
(k)
) (5.27)
v
(k)
n+1
= − a
4
v
n
− a
5
a
n
+ a
1
(Δd
(k-1)
+ ΔΔd
(k)
) (5.28)
De forma semelhante ao apresentado para o caso linear, a resposta dinâmica não-
linear pode então ser obtida através da aplicação destes operadores (5.27) e (5.28) sobre
a expressão incremental-iterativa das equações de movimento (5.24). Com isto, obtém-
se um sistema “efetivo” de equações algébricas lineares, que devem ser resolvidas a
cada iteração do procedimento de Newton-Raphson.
Uma forma geral para este sistema “efetivo” é dada por
A ΔΔd
(k)
= b
(k-1)
(5.29)
onde a matriz de coeficientes
A é a matriz efetiva, definida como uma combinação das
matrizes de massa, rigidez e amortecimento, afetadas por coeficientes escalares; e o
vetor de termos independentes
b
(k-1)
é o vetor de resíduos efetivos, calculados em termos
das cargas externas, e de forças elásticas, de inércia e de amortecimento da iteração
anterior.
A forma particular para
A e b
(k-1)
é definida de acordo com a implementação
adotada para o operador de integração no tempo, como será demonstrado adiante.
87
5.6 Solução do Problema Dinâmico: O algoritmo αB-Newmark
O algoritmo empregado no Prosim, conhecido como αB-Newmark, resultou da
proposta de Bossak e Zienkiewicz [39] para uma modificação no algoritmo original de
Newmark, com objetivos e metodologia semelhantes à que levou ao desenvolvimento
do algoritmo HHT ou αH-Newmark [40,41].
O algoritmo αH-Newmark (atualmente implementado no programa Anflex) é um
algoritmo implícito, com propriedades de dissipação numérica capaz de reduzir a
participação dos modos de vibração com freqüências mais altas, que poderiam
introduzir ruídos espúrios na resposta dinâmica. Emprega os mesmos operadores que
caracterizam a família de algoritmos de Newmark, equações (5.5) e (5.6). A
particularidade do algoritmo αH-Newmark consiste na expressão das equações de
movimento discretizadas no tempo, que passam a ser escritas da seguinte forma:
M a
n+1
+ (1+α)C v
n+1
− αC v
n
+ (1+α)K d
n+1
− α K d
n
= (1+α)F
n+1
− αF
n
(5.30)
Observa-se que estas expressões introduziram um parâmetro α. Trata-se de um
parâmetro ajustável que permite controlar o grau de dissipação, e que deve ser fornecido
pelo usuário no intervalo
[-1/3,0]. Além disso, os parâmetros γ e β também passam a ser
definidos em função de α, da seguinte forma:
γ = (1 − 2α) / 2 (5.31)
β = (1 − α)
2
/ 4 (5.32)
Com isso o algoritmo αH-Newmark também incorpora, como caso particular, a
regra trapezoidal (já que, fornecendo-se α
= 0, as equações discretizadas recaem na
forma (5.4), e os valores para os parâmetros γ e β recaem em γ = ½ e β = ¼). O
algoritmo αH-Newmark é incondicionalmente estável, com ordem de precisão 2, como
demonstrado nos estudos das propriedades de convergência, estabilidade, consistência e
precisão apresentados em [40,41].
O algoritmo αB-Newmark também emprega os mesmos operadores que
caracterizam a família de algoritmos de Newmark, equações (5.5) e (5.6). Emprega
também um parâmetro ajustável α, com o mesmo objetivo de controlar o grau de
dissipação numérica para reduzir ruídos espúrios de alta freqüência, e que deve ser
fornecido pelo usuário no intervalo
[-1/3,0]. Demonstra-se [34,42] que os métodos
88
αH-Newmark e αB-Newmark fornecem resultados muito semelhantes, principalmente
para os valores mais usualmente fornecidos para α, não muito próximos do limite -1/3.
A particularidade do algoritmo αB-Newmark consiste na expressão das equações
de movimento discretizadas no tempo, que passam a ser escritas da seguinte forma:
(1−α)
M a
n+1
+ α M a
n
+ C v
n+1
+ K d
n+1
= F
n+1
(5.33)
Comparando esta expressão com a que caracteriza o algoritmo αH-Newmark,
observa-se que os multiplicadores α não afetam os termos de amortecimento e de forças
elásticas (que dependem das matrizes
C e K), mas sim o termo de forças de inércia, que
depende da matriz de massa
M. Este fato acarreta em diversas vantagens na
implementação computacional, que se torna mais simples, particularmente em
problemas não-lineares, como será demonstrado mais adiante.
5.7 Implementação Otimizada do Procedimento de Solução
Para apresentar a implementação otimizada empregada no programa Prosim, que
combina o algoritmo αB-Newmark para integração no tempo com o método de
Newton-Raphson para o tratamento do problema não-linear, vamos inicialmente
escrever a seguinte forma incremental-iterativa das equações de movimento
discretizadas no tempo:
(1−α)
M a
(k)
n+1
+ α M a
n
+ C v
(k)
n+1
+ K
T
ΔΔd
(k)
= F
n+1
− R(d
(k-1)
n+1
) (5.34)
Vamos agora reescrever estas equações levando em conta a expressão para a
matriz de amortecimento de Rayleigh (5.23):
M [(1−α)a
(k)
n+1
+ α
m
v
(k)
n+1
] + K
T
(α
k
v
(k)
n+1
+ ΔΔd
(k)
) = F
n+1
− R(d
(k-1)
n+1
) − α M a
n
(5.35)
Em seguida, vamos trabalhar sobre a forma incremental-iterativa dos operadores
de Newmark, equações (5.27) e (5.28). Pode ser observado que os dois primeiros termos
do lado direito daquelas equações não são incógnitas, já que dependem somente de
valores já obtidos no passo anterior. Estes termos, portanto, definem aproximações
iniciais para as acelerações e velocidades (também conhecidas como parcelas
“preditoras”
a
*
and v
*
):
a
*
= − a
2
v
n
− a
3
a
n
(5.36)
v
*
= − a
4
v
n
− a
5
a
n
(5.37)
89
Assim, as equações (5.27) e (5.28) podem ser reescritas em termos destas parcelas
preditoras, da seguinte forma:
a
(k)
n+1
= a
*
+ a
0
Δd
(k)
(5.38)
v
(k)
n+1
= v
*
+ a
1
Δd
(k)
(5.39)
ou, considerando (5.25),
a
(k)
n+1
= a
*
+ a
0
(Δd
(k-1)
+ ΔΔd
(k)
) (5.40)
v
(k)
n+1
= v
*
+ a
1
(Δd
(k-1)
+ ΔΔd
(k)
) (5.41)
Podemos agora empregar estas expressões reescritas dos operadores de Newmark
(5.40) e (5.41) na forma das equações de movimento incremental-iterativa (5.35). Com
isso o lado esquerdo destas equações passa a se escrever como:
M
⎣
⎡
⎦
⎤
(1−α)
()
a
*
+ a
0
(Δd
(k-1)
+ ΔΔd
(k)
) + α
m
()
v
*
+ a
1
(Δd
(k-1)
+ ΔΔd
(k)
) +
+ K
T
⎣
⎡
⎦
⎤
α
k
()
v
*
+ a
1
(Δd
(k-1)
+ ΔΔd
(k)
) + ΔΔd
(k)
= . . . . . (5.42)
Neste ponto, os termos já conhecidos na iteração (k) poderiam ser transferidos
para o lado direito das equações de movimento, para serem incorporados no vetor de
resíduos efetivo
b
(k-1)
da equação (5.29). No entanto, para evitar as multiplicações com
as matrizes globais e obter a desejada redução de custos computacionais, podemos
introduzir um artifício [43] que consiste em definir um vetor ΔΔ
d
^
(k)
como sendo os
termos entre colchetes que multiplicam
K
T
em (5.42), ou seja
ΔΔ
d
^
(k)
= α
k
()
v
*
+ a
1
(Δd
(k-1)
+ ΔΔd
(k)
) + ΔΔd
(k)
(5.43)
e, reciprocamente,
ΔΔ
d
(k)
=
ΔΔ
d
^
(k)
- α
k
()
v
*
+ a
1
Δd
(k-1)
α
k
a
1
+ 1
(5.44)
Pode ser observado que, em casos particulares onde o amortecimento proporcional
à rigidez não é considerado (ou seja, α
k
= 0 na equação (5.23)), as equações (5.43) e
(5.44) se reduzem a:
ΔΔ
d
^
(k)
= ΔΔd
(k)
(5.45)
Reescrevendo a equação (5.42) empregando a definição de ΔΔ
d
^
(k)
expressa pela
equação (5.43), e em seguida transferindo os termos já conhecidos na iteração (k) para o
lado direito das equações de movimento, obtemos
90
M (1−α) (a
0
+ α
m
a
1
) ΔΔd
(k)
+ K
T
ΔΔd
^
(k)
= F
n+1
− R(d
(k-1)
n+1
) − αM a
n
− M
⎣
⎡
⎦
⎤
(1−α)
()
a
*
+ a
0
Δd
(k-1)
+ α
m
()
v
*
+ a
1
Δd
(k-1)
(5.46)
Substituindo (5.44) em (5.46), o lado esquerdo das equações de movimento é
expresso como:
M (1−α) (a
0
+ α
m
a
1
)
⎝
⎜
⎜
⎛
⎠
⎟
⎟
⎞
ΔΔ
d
^(k)
− α
k
(
v
*
+ a
1
Δd
(k-1)
)
α
k
a
1
+ 1
+ K
T
ΔΔd
^(k)
= . . . (5.47)
Definindo
α
^
0
= (1−α) (a
0
+ α
m
a
1
)
⎝
⎜
⎜
⎛
⎠
⎟
⎟
⎞
1
α
k
a
1
+ 1
(5.48)
e novamente transferindo termos já conhecidos na iteração (k) para o lado direito das
equações de movimento, obtemos
α
^
0
M ΔΔd
^
(k)
+ K
T
ΔΔd
^
(k)
= F
n+1
− R(d
(k-1)
n+1
) − α M a
n
−
− M
⎣
⎡
⎦
⎤
(1−α)
()
a
*
+ a
0
Δd
(k-1)
+ (α
m
- α
^
0
α
k
)
()
v
*
+ a
1
Δd
(k-1)
(5.49)
Finalmente, esta equação pode ser escrita em uma forma similar à (5.29), como
um sistema efetivo de equações algébricas lineares a ser resolvido a cada iteração de
Newton-Raphson:
A ΔΔd
^
(k)
= b
(k-1)
(5.50)
onde a matriz efetiva
A é dada por
A = α
^
0
M + K
T
(5.51)
e o vetor de resíduos efetivos
b
(k-1)
é definido como sendo o lado direito da equação
(5.49). Observa-se que o objetivo foi alcançado, ou seja, no lado direito não há nenhuma
operação de multiplicação com matrizes globais de rigidez ou amortecimento.
A Tabela 2 resume a implementação otimizada do procedimento de solução do
problema dinâmico não-linear.
91
Tabela 2 - Implementação Computacional do Procedimento Otimizada
A) Processamento Inicial para o Instante n+1
A.1) Inicializar deslocamentos totais, incrementais, e forças elásticas:
d
(0)
n+1
= d
n
; Δd
(0)
= 0; R(d
(0)
n+1
) = R(d
n
)
A.2) Avaliar o vetor de cargas externas F
n+1
;
Instantes de Tempo com Reavaliação de Rigidez:
A.I) Atualizar a matriz de rigidez tangente K
T
A.II) Calcular matriz efetiva A, equações (5.51), (5.48)
A.III) Decompor matriz efetiva A
A.3) Calcular parcelas preditoras das acelerações a
*
e velocidades v
*
, equações
(5.36), (5.37)
A.4) Calcular termo constante do vetor de resíduos efetivo:
carg.ext acel.ant. inerc. amort.
b
*
= F
n+1
− α M a
n
− M
[]
(1−α) a
*
+ (α
m
- α
^
0
α
k
) v
*
A.5) Calcular vetor de resíduos efetivo para a primeira iteração:
b
(0)
= b
*
− R(d
(0)
n+1
)
B) Ciclo Iterativo N-R: k = 1,N
itmax
B.1) Resolver o sistema efetivo: ΔΔd
^
(k)
= A
-1
b
(k-1)
B.2) Determinar ΔΔd
(k)
pelas equações (5.44) ou (5.45).
B.3) Atualizar deslocamentos incrementais Δd
(k)
, equação. (5.25) / deslocamentos
totais d
(k)
n+1
, equação (5.26)
B.4) Chamar rotinas de elementos para calcular R(d
(k)
n+1
)
B.5) Calcular resíduos efetivos para a próxima iteração:
const fresi inerc. amort.
b
(k)
= b
*
− R(d
(k)
n+1
) − M
()
(1−α) a
0
+ (α
m
− α
^
0
α
k
) a
1
Δd
(k)
B.6) Verificar os critérios de convergência, encerrar o ciclo iterativo se os critérios
forem atendidos.
C) Final do Ciclo Iterativo, Processamento Final para o Instante n+1
C.1) Atualizar as acelerações e velocidades, equações (5.38), (5.39).
C.2) Para intervalos de tempo selecionados: Efetuar a gravação de resultados de
deslocamentos, e/ou velocidades e/ou acelerações para graus de liberdade
selecionados; e de esforços para elementos selecionados.
92
6
6
.
.
A
A
P
P
L
L
I
I
C
C
A
A
Ç
Ç
Õ
Õ
E
E
S
S
Três modelos foram estudados neste trabalho para avaliação das metodologias
descritas anteriormente na análise de unidades estacionárias de produção de petróleo
offshore.
O primeiro modelo estudado é o de um problema acadêmico hipotético, composto
por uma bóia totalmente submersa de 3,8m de diâmetro com uma linha suspensa. Para
este modelo, especificamente, não existem resultados experimentais em tanques de
prova a serem comparados, porém este estudo pretende comparar os resultados obtidos
com as formulações “fracamente acoplada” e “totalmente acoplada”, de modo a
demonstrar como a parcela de massa das linhas é adequadamente considerada na
modelagem do sistema.
O segundo e terceiro exemplos são analisados através da formulação “fracamente
acoplada”.
O segundo modelo corresponde a um modelo de monobóia CALM, de 15m de
diâmetro, situado em uma lâmina d’água de 400m. Este estudo tem como objetivo,
também, investigar o comportamento típico de uma monobóia dentro do contexto do
modelo “fracamente acoplado” do Prosim. Para este modelo existem resultados de
ensaio que serão usados para validação dos resultados numéricos.
O terceiro e último modelo estudado é o da plataforma semi-submersível
padronizada no 17º Comitê de Engenharia Oceânica ITTC. Este estudo procura avaliar
os períodos naturais da semi-submersível, bem como seus RAO’s (Response Amplitude
Operator), através de análises com o programa Prosim. Para este modelo, também,
existem resultados de ensaios em tanques de prova que serão usados para validação dos
resultados numéricos.
93
6.1 Avaliação do Modelo Fracamente Acoplado: Bóia com Linha
Suspensa
6.1.1 Descrição
O objetivo deste primeiro exemplo é investigar se os resultados de um modelo
“fracamente acoplado” (no qual o acoplamento elástico/inercial do conjunto linha-casco
é feito pelo lado direito da equação de movimento), equivale aos resultados avaliados
por um sistema totalmente acoplado (onde todas as matrizes de massa e rigidez, tanto o
casco como as linhas, são armazenadas em uma única matriz global).
Para tal, um sistema bóia-linha foi estudado empregando-se ambas as
metodologias:
•
a “fracamente acoplada”, onde a bóia é representada pelo modelo
hidrodinâmico de corpo rígido do Prosim, e a linha é representada por
elementos finitos,
•
e a “totalmente acoplada”, onde tanto a bóia quanto a linha são
representadas por elementos finitos.
A Figura 34 a seguir mostra um desenho esquemático do problema.
Figura 27 – Bóia com linha suspensa – vista 3D.
Este exemplo tem também como finalidade confirmar que, ao montar o modelo
para a unidade flutuante na formulação fracamente acoplada, apenas as características
físicas e geométricas da própria unidade flutuante (massa, raio de giração, posição do
CG) devem ser consideradas no lado esquerdo da equação de movimento. Toda a
parcela de massa e rigidez das linhas é automaticamente representada pelas forças
inerciais e elásticas que entram do lado direito da mesma equação.
94
6.1.2 Dados Gerais
Os dados gerais da bóia utilizados na modelagem numérica no programa Prosim
são apresentados a seguir. A Tabela 3 apresenta as características da bóia, enquanto que
a Tabela 4 apresenta as características da linha.
Tabela 3 - Características da bóia.
Parâmetro Valor
Diâmetro (m) 3,80
Altura (m) 2,00
Altura do CG (m) 1,00
Peso (kN) 28,07
Raio de Giração (pitch e roll)* 1,46
Raio de Giração de yaw* (m) 1,90
*Sem considerar a parcela de massa da linha de ancoragem.
Tabela 4 - Características da linha.
Parâmetro Valor
Comprimento (m) 5,00
Diâmetro nominal (m) 0,01
Peso no ar vazio (kN/m) 40,1
Peso na água vazio (kN/m) 40,0
EA (kN) 20000,00
EI (kN.m
2
) 50000,00
Ângulo de topo (°) 0,00
95
6.1.3 Carregamento Aplicado
As simulações numéricas envolvem análises dinâmicas com dois tipos de cargas
aplicadas no sistema. A primeira é uma força constante no tempo com magnitude de
10kN, que será aplicada durante 10s de simulação, conforme Figura 28. A segunda é
aplicada também durante 10s, porém com uma rampa linear de 5s até alcançar a
magnitude de 10kN, visando minimizar efeitos transientes na resposta.
Estas forças estão aplicadas na direção x do sistema local de referência, conforme
apontado pela Figura 32.
t
10 s
10 kN
F(t)
5 s
F(t)
10 s
10 kN
t
Figura 28 – Forças aplicadas.
O peso da bóia foi calculado de forma que fosse atendido o equilíbrio das forças
verticais (empuxo = peso da bóia + peso da linha), sendo assim, o sistema encontra-se
totalmente submerso.
A bóia e a linha constituem em sistema integrado rígido e não apresenta nenhuma
condição de contorno na extremidade inferior da linha suspensa (constituindo, portanto,
um sistema hipostático), desta forma o seu comportamento dinâmico sob a ação desta
força corresponde a um movimento de corpo rígido.
O ponto de aplicação das forças consideradas irá variar de acordo como caso
analisado, como comentado mais adiante. Espera-se que tanto na metodologia
“fracamente acoplada” quanto na “totalmente acoplada”, o movimento angular do
sistema seja nulo quando as forças atuarem no CG real do sistema bóia-linha.
96
6.1.4 Modelagem do Casco
Para a modelagem do casco, foram empregadas duas alternativas: a primeira
compondo um modelo “fracamente acoplado” empregando membros cilíndricos do
modelo hidrodinâmico do Prosim. E o segundo compondo um modelo “totalmente
acoplado” discretizando a bóia como se fosse um segmento de “linha”, empregando
elementos finitos.
•
Empregando o Modelo “Fracamente Acoplado”
Neste modelo, a bóia é representada por um elemento cilíndrico do modelo
hidrodinâmico de corpo rígido para plataformas reticuladas do Prosim, descrito no
Capítulo 3, como indicado na Figura 32. Os dados necessários para compor o modelo
são as coordenadas dos nós iniciais e finais do eixo do cilindro, seu diâmetro, e os
coeficientes hidrodinâmicos. A bóia foi modelada conforme dados da Tabela 3.
Figura 29 – Modelagem da bóia.
Como o foco destas análises não é verificar o comportamento hidrodinâmico do
sistema, e sim comparar / avaliar a influência / acoplamento da massa da linha sobre a
massa do corpo em um modelo “fracamente acoplado”, neste modelo todos os
coeficientes hidrodinâmicos (C
d
e C
a
) da fórmula de Morison foram zerados, de modo a
ignorar qualquer efeito hidrodinâmico, por exemplo, forças viscosas e de massa
adicional, e considerar apenas as forças elásticas e inerciais da estrutura.
•
Empregando Modelo “Totalmente Acoplado” por Elementos Finitos
Neste modelo, a bóia e a linha foram modeladas por elementos finitos de pórtico
espacial. Novamente, os coeficientes da fórmula de Morison, tanto da bóia quanto da
linha, também foram zerados, a fim de se obter apenas as forças elásticas e inerciais,
conforme já descrito no item anterior.
97
A Figura 30 apresenta a topologia dos elementos de pórtico espacial utilizada para
modelagem da bóia. A bóia foi modelada com quatro elementos de pórtico passando por
seu eixo, sendo um nó coincidente com o CG da mesma, onde é aplicada a força no
casco.
Figura 30 – Modelagem por elementos finitos.
CG
Elemento de pórtico
98
6.1.5 Modelagem da Linha Suspensa
A linha suspensa foi discretizada por elementos finitos de pórtico através de uma
malha definida pelos parâmetros da Tabela 4.
A linha tem 25 elementos de pórtico espacial de 0,2m cada. As características da
gradação da malha de elementos finitos são ilustradas na Figura 31.
Pela mesma razão descrita para a bóia, os coeficientes hidrodinâmicos da fórmula
de Morison foram zerados.
Figura 31 – Linha discretizada em elementos finitos.
99
6.1.6 Casos Analisados
Foram analisados dois grupos de casos: no primeiro grupo, a bóia é representada
pelo modelo hidrodinâmico de corpo rígido, na formulação “fracamente acoplada”. No
segundo grupo, a bóia é representada por elementos finitos, na formulação “totalmente
acoplada”.
•
Primeiro Grupo: Formulação Fracamente Acoplada
Neste primeiro grupo, onde a bóia é representada pelo modelo hidrodinâmico de
corpo rígido (conforme mostra a Figura 32 a seguir), foram estudados quatro casos com
o intuito de se investigar a resposta de movimento do corpo flutuante da bóia. E a partir
desses resultados avaliar qual deles representa o comportamento real do conjunto.
¾ No Caso 1, o CG fornecido na geração do modelo da bóia, e no qual a equação de
movimentos é resolvida, corresponde ao CG do conjunto bóia-linha
. A massa e os
raios de giração fornecidos como dado de entrada consideram todo o conjunto. A
força está aplicada no CG da bóia isolada.
¾ Para o Caso 2, mantiveram-se as características do Caso 1, porém mudou-se o
ponto de aplicação da força, agora aplicada no CG do conjunto bóia-linha.
¾ No Caso 3, o CG fornecido na geração do modelo da bóia, e no qual a equação de
movimentos é resolvida, corresponde ao CG da bóia isolada
. A massa e os raios
de giração fornecidos como dado de entrada correspondem apenas à bóia. A força
está aplicada também no CG da bóia isolada.
¾ No Caso 4, mantiveram-se as características do Caso 3, porém mudou-se a
posição de aplicação da força, agora aplicada no CG do conjunto bóia-linha.
•
Segundo Grupo: Formulação Totalmente Acoplada
Neste segundo grupo, foram considerados dois casos onde a bóia é modelada por
elementos finitos: o Caso 6 e o Caso 7. De um caso para outro apenas altera-se a
posição de aplicação da carga, não sendo necessário o fornecimento da posição do
centro de gravidade e nem a matriz de raios de giração.
A Figura 33 ilustra estes dois modelos.
100
1.0
Bóia
F(t)
Z
X
Linha
Caso 1
0.0 0.0
0.0
0.0
0.0
0.0 1.90
3.44
3.44
r =
2.12
- CG fornecido
- CG real do conjunto
Bóia
F(t)
Z
X
Linha
Caso 2
0.0 0.0
0.0
0.0
0.0
0.0 1.90
3.44
3.44
r =
2.12
- CG fornecido
- CG real do conjunto
1.0
Bóia
F(t)
Z
X
Linha
Caso 3
0.0 0.0
0.0
0.0
0.0
0.0 1.90
1.46
1.46
r =
- CG fornecido
- CG real do conjunto
2.12
1.0
F(t)
Bóia
Z
X
Linha
Caso 4
0.0 0.0
0.0
0.0
0.0
0.0 1.90
1.46
1.46
r =
2.12
- CG fornecido
- CG real do conjunto
Figura 32 - Casos analisados com a formulação “fracamente acoplada”.
1.0
Bóia
F(t)
Z
X
Linha
Caso 5
- CG real do conjunto
2.12
F(t)
Bóia
Z
X
Linha
Caso 6
2.12
- CG real do conjunto
Figura 33 - Casos analisados com a formulação “totalmente acoplada”.
101
6.1.7 Resultados
A partir dos modelos numéricos descritos nas seções anteriores, foram efetuadas
análises dinâmicas empregando o programa Prosim com o objetivo de se determinar os
movimentos do sistema para os diferentes casos analisados.
Foram empregados os seguintes parâmetros de análise:
¾ Tempo de simulação: 10s;
¾ Intervalo de tempo para integração das equações de movimento: 0,0005s.
Nos próximos itens, apresentam-se os resultados das análises, em termos de séries
temporais de três dos seis graus de liberdade (surge, heave e pitch), expressos no CG da
monobóia, visto que três deles (sway, roll e yaw) foram nulos. Apresentam-se também,
respostas em termos de força do nó de topo da linha.
Os resultados são apresentados para as duas formas de aplicação da carga
consideradas: com a força aplicada instantaneamente, e com a rampa de tempo de 5s
para minimizar o efeito transiente da resposta.
102
•
Resultados para Força Constante
A Figura 34 mostra os movimentos de surge para os seis casos analisados. Nesta
figura observa-se que este movimento foi praticamente o mesmo para todos os casos.
Para os movimentos de heave, conforme apresentados na Figura 35, vemos um
deslocamento muito pequeno (na ordem de 10
-2
m), mostrando que o conjunto não teve
deslocamento vertical significativo.
COMPARAÇÃO DOS MOV. DE SURGE
FORÇA CONSTANTE
0
5
10
15
20
25
012345678910
Tempo (s)
SURGE (m)
CASO 1 CASO 2
CASO 3 CASO 4
CASO 5 CASO 6
Figura 34 – Comparação entre movimentos de
surge
.
103
COMPARAÇÃO DOS MOV. DE HEAVE
FORÇA CONSTANTE
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
012345678910
Tempo (s)
HEAVE (m)
CASO 1 CASO 2
CASO 3 CASO 4
CASO 5 CASO 6
Figura 35 – Comparação entre movimentos de
heave
.
Quanto aos movimentos de pitch apresentados na Figura 36, vemos que os
valores mais elevados são para os Casos 1, 3 e 5. Estes valores estão compatíveis com o
modelo, visto que a força está aplicada fora do CG do conjunto, independente de se
considerar a massa da linha na equação de movimento da unidade flutuante. Observa-se
que o Caso 1 considera a massa da linha na equação de movimento da unidade flutuante
e o Caso 3 não considera. O Caso 5, pelo fato serem, tanto a bóia quanto a linha,
modelados por elementos finitos, as massas estão distribuídas nos nós do elemento.
104
COMPARAÇÃO DOS MOV. DE PITCH
FORÇA CONSTANTE
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
012345678910
Tempo (s)
PITCH (m)
CASO 1 CASO 2
CASO 3 CASO 4
CASO 5 CASO 6
Figura 36 – Comparação entre movimentos de
pitch
.
As Figuras 37, 38 e 39, apresentam as força do nó de topo da linha suspensa, que
são passadas para a equação de movimento da bóia durante a simulação numérica.
FORÇAS NA DIREÇÃO X
-5
0
5
10
15
20
25
012345678910
Tempo (s)
F
X
(kN)
CASO 1 CASO 2
CASO 3 CASO 4
CASO 5 CASO 6
Figura 37 – Comparação entre forças na direção
x
.
105
FORÇAS NA DIREÇÃO Z
180
185
190
195
200
205
210
215
220
225
230
012345678910
Tempo (s)
F
Z
(kN)
CASO 1 CASO 2
CASO 3 CASO 4
CASO 5 CASO 6
Figura 38 – Comparação entre forças na direção
z
.
MOMENTO EM Y
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
012345678910
Tempo (s)
M
Y
(kN.m)
CASO 1 CASO 2
CASO 3 CASO 4
CASO 5 CASO 6
Figura 39 – Comparação entre momentos em torno do eixo
y
.
106
•
Resultados para Rampa de Aplicação da Força
Quanto aos resultados obtidos para a força com rampa de aplicação, conforme os
apresentados a seguir, valem os mesmos comentários feitos anteriormente para a força
constante.
COMPARAÇÃO DOS MOV. DE SURGE
FORÇA COM RAMPA DE APLICAÇÃO
0
5
10
15
20
25
012345678910
Tempo (s)
SURGE (m)
CASO 1 CASO 2
CASO 3 CASO 4
CASO 5 CASO 6
Figura 40 – Comparação entre movimentos de
surge
.
COMPARAÇÃO DOS MOV. DE HEAVE
FORÇA COM RAMPA DE APLICAÇÃO
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
012345678910
Tempo (s)
HEAVE (m)
CASO 1 CASO 2
CASO 3 CASO 4
CASO 5 CASO 6
Figura 41 – Comparação entre movimentos de
heave
.
107
COMPARAÇÃO DOS MOV. DE PITCH
FORÇA COM RAMPA DE APLICAÇÃO
-1
0
1
2
3
4
5
012345678910
Tempo (s)
PITCH (m)
CASO 1 CASO 2
CASO 3 CASO 4
CASO 5 CASO 6
Figura 42 – Comparação entre movimentos de
pitch
.
FORÇAS NA DIREÇÃO X
-5
0
5
10
15
20
25
012345678910
Tempo (s)
F
X
(kN)
CASO 1 CASO 2
CASO 3 CASO 4
CASO 5 CASO 6
Figura 43 – Comparação entre forças na direção
x
.
108
FORÇAS NA DIREÇÃO Z
160
170
180
190
200
210
220
230
240
012345678910
Tempo (s)
F
Z
(kN)
CASO 1 CASO 2
CASO 3 CASO 4
CASO 5 CASO 6
Figura 44 – Comparação entre forças na direção
z
.
MOMENTO EM Y
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
012345678910
Tempo (s)
M
Y
(kN.m)
CASO 1 CASO 2
CASO 3 CASO 4
CASO 5 CASO 6
Figura 45 – Comparação entre momentos em torno do eixo
y
.
109
6.1.8 Conclusões sobre as análises da Bóia com a Linha Suspensa
No item anterior foram apresentados os gráficos para os movimentos de surge,
heave e pitch, bem como os esforços no nó de topo da linha suspensa para os modelos
estudados (Casos 1 a 6), para as duas formas de aplicação da força.
Para os Casos 1 e 2 da formulação fracamente acoplada (Figura 32), ao fornecer-
se a massa, a matriz de raios de giração bem como a posição do CG da bóia, levou-se
em consideração toda a contribuição da linha. Já nos Casos 3 e 4, não se considerou
qualquer contribuição da linha no lado esquerdo da equação de movimento da unidade
flutuante. Nestes casos, as propriedades geométricas e de massa são fornecidas somente
para a bóia, considerando que a contribuição de massa e rigidez da linha entra no lado
direito da equação de movimento como força.
Observando os gráficos das seções anteriores, pode-se perceber que os
movimentos de translação (surge e heave), bem como os esforços nestas direções (F
X
e
F
Z
), mantiveram-se praticamente os mesmos para os casos em consideração. A força F
Z
apresenta um valor médio de 200kN, que representa o peso da linha suspensa.
Quanto aos movimentos de pitch, para este sistema flutuante rígido, ao se aplicar
uma força no CG do sistema, espera-se que os movimentos angulares sejam nulos.
Portanto, nos casos 2 e 4 não deveriam ser observados movimento de pitch. Para
verificar esta premissa, pode-se observar as Tabelas 5 e 6 que sumarizam os resultados
estatísticos para os movimentos de pitch, considerando a formulação fracamente
acoplada.
Tabela 5 – Estatística de movimentos de pitch
Formulação “fracamente acoplada” com Carga Constante
Caso Média (°) Desvio Padrão Máximo (°)
1 2,478 1,780 5,052
2 0,256 0,200 0,553
3 2,522 1,786 5,040
4 -0,032 0,016 -0,059
110
Tabela 6 – Estatística de movimentos de pitch
Formulação “fracamente acoplada” com Rampa de Aplicação da Carga
Caso Média (°) Desvio Padrão Máximo (°)
1 2,546 0,014 2,566
2 0,264 0,012 0,282
3 2,542 0,036 2,593
4 -0,024 0,024 -0,059
Observando as Tabelas 5 e 6 vemos que o Caso 1 apresenta um valor de pitch, o
que era de se esperar, pois a força está aplicada fora do CG do conjunto com uma braço
de alavanca de 3,12m (ver Figura 32).
O Caso 2 também apresenta pitch, o que não deveria acontecer, pois a carga está
aplicada no CG do conjunto. Ainda que menor que no Caso 1, o valor de pitch para este
caso ainda é significativo, mesmo considerando que o braço de alavanca é nulo. Isso se
explica pelo fato de que está havendo uma superposição de efeitos, já que a massa da
linha está sendo considerada em ambos os lados do sistema de equações.
O Caso 3 apresenta pitch na mesma ordem de grandeza do Caso 1. Isto se dá pelo
fato de a carga estar sendo aplicada no CG da bóia, que não é CG do conjunto.
Já para o Caso 4, o pitch é praticamente nulo (a menos de efeitos transientes),
conforme se queria demonstrar. Nesse caso, podemos observar que a posição fornecida
como dado de entrada para o CG do conjunto, Z = -2,12m (ver Figura 32) foi
corretamente determinada.
Com estes resultados foi possível confirmar que, no modelo fracamente acoplado,
o correto é fornecer as propriedades geométricas e de massa referenciadas no CG da
unidade flutuante, desprezando a parcela de massa das linhas na equação de movimento
da unidade flutuante.
Para reforçar mais esta idéia podemos observar os resultados dos casos em que a
linha e a bóia foram modelados por elemento finitos na formulação totalmente acoplada
(Casos 5 e 6, Figura 33), ou seja, suas propriedades físicas e geométricas irão compor
uma única estrutura de dados em que há montagem de uma única matriz de massa e
rigidez para a bóia e a linha.
111
Para estes casos, não foi necessário fornecer a posição do CG da bóia, uma vez
que o mesmo é considerado implicitamente pelo método dos elementos finitos.
Os valores estatísticos para os movimentos de pitch são apresentados nas Tabelas
7 e 8.
Tabela 7 - Estatística de movimentos de pitch
Formulação “totalmente acoplada” com Carga Constante
Caso Média (°) Desvio Padrão Máximo (°)
5 2,546 1,772 5,008
6 -0,047 0,028 -0,093
Tabela 8 - Estatística de movimentos de pitch
Formulação “totalmente acoplada” com Rampa de Aplicação da Carga
Caso Média (°) Desvio Padrão Máximo (°)
5 2,516 0,225 2,833
6 -0,046 0,003 -0,051
A primeira observação que se pode fazer quanto a estes resultados é que eles
coincidem com os fornecidos pelos modelos equivalentes analisados com a formulação
fracamente acoplada (Casos 3 e 4). Conclui-se então que a formulação fracamente
acoplada é capaz de fornecer resultados adequados.
Além disso, esses resultados demonstram mais uma vez que, para a correta
modelagem de um sistema modelado por uma unidade flutuante e linhas de ancoragem
de um modelo fracamente acoplado, é apropriado definir as propriedades geométricas e
de massa da própria unidade flutuante, ficando a massa das linhas a serem representadas
implicitamente por forças na equação de movimento da unidade flutuante.
112
6.2 Sistema CALM
6.2.1 Descrição
A segunda aplicação considerada neste trabalho consiste em um terminal oceânico
CALM, composto por uma monobóia, suas linhas de ancoragem, e os “hawsers” que a
ligam a um navio cisterna. Será considerado o modelo da bóia IMODCO III ensaiada
pelo laboratório de tecnologias marinhas Marintek [44], correspondente a uma locação
em uma lâmina d’água de 400m.
Muitos programas de análise de movimentos empregam os resultados vindos de
um programa baseado na teoria potencial, como o WAMIT [5]. Na modelagem de
painéis do WAMIT, a lâmina d’água é mantida constante numa posição pré-definida da
bóia, e a variação da superfície livre ao longo do tempo não é considerada. No entanto,
sabe-se que, no comportamento típico de uma bóia, seus movimentos verticais
acompanham a variação da superfície livre; além disso, a bóia pode apresentar também
grandes movimentos angulares. Portanto, um modelo de cálculo que não atualize a
posição da bóia em função do tempo pode introduzir simplificações indesejadas na
resposta do sistema.
Assim, as análises que seguem procuram estudar este problema no contexto do
modelo hidrodinâmico híbrido do Prosim para a representação da bóia, e da formulação
acoplada onde o modelo da bóia é associado ao modelo de elementos finitos para
representação rigorosa das linhas de ancoragem.
Nestas análises, também se fará o uso dos recursos de modelagem do
comportamento hidrostático não-linear da bóia incorporados no Prosim. Estes recursos
permitem calcular automaticamente as forças e momentos de restauração da bóia em
função da posição atualizada da mesma em relação à superfície livre do mar. Para isto,
calculam-se o centro de empuxo e o volume d’água deslocado para qualquer posição de
um cilindro com relação à lâmina d’água.
Os resultados obtidos serão comparados com os fornecidos pelos ensaios
experimentais descritos em [44]. Além disso, serão comparados também outros
resultados anteriores:
113
¾ Os resultados apresentados em [45], também obtidos através do programa
Prosim, mas empregando um modelo para a bóia que incorpora elementos
cilíndricos adicionais (“patas”) na extremidade inferior, procurando considerar
os momentos devidos às pressões de Froude-Krylov gerando resultantes não
somente no eixo da bóia, mas em vários pontos ao longo da base da bóia;
¾ Os resultados apresentados em [46, 47], que emprega um modelo de elementos
finitos onde a bóia é representada por um elemento escalar, e os coeficientes da
fórmula de Morison apresentados em [46], são calibrados procurando
reproduzir os resultados dos ensaios.
114
6.2.2 Dados Gerais
Os dados gerais do sistema considerado no ensaio e na modelagem numérica são
apresentados a seguir. A Figura 46 apresenta a configuração do sistema de ancoragem
em catenária com a bóia e o navio cisterna. No ensaio relatado em [44], as
características do Navio Cisterna (100% cheio) utilizado neste ensaio são:
¾ Comprimento: 257,0m
¾ Boca: 39,4m
¾ Calado: 16,88m
¾ Deslocamento: 1357704,0kN
Observa-se que, nas análises consideradas neste trabalho, o navio será
representado por uma série temporal de forças calculadas previamente, e aplicadas na
conexão do “hawser” com a bóia, como descrito no item a seguir.
Figura 46 – Configuração do sistema CALM analisado.
A Tabela 9 a seguir apresenta as principais características da bóia.
115
Tabela 9 – Características da bóia
Parâmetro Valor
Diâmetro da bóia (m) 15,00
Diâmetro da saia da bóia (m) 17,00
Altura total (m) 4,60
Altura da conexão do hawser a partir da base da bóia (m) 5,60
Distância da conexão do hawser ao eixo transversal da bóia (m) 4,00
Diâmetro dos fairleads (m) 12,00
Posição vertical CG acima da base (m) 2,50
Peso total (kN) 2403,45
Calado (m) 2,36
Raio de Giração de pitch e roll (m) 4,00
Raio de Giração de yaw (m) 5,30
O sistema de ancoragem é composto por seis linhas de ancoragem iguais,
igualmente espaçadas de 60° entre si, conforme apresentado na Figura 47, onde se vê
também, a direção de incidência das cargas. A composição das linhas de ancoragem é
dada pela Tabela 10. A pré-tração atuante em cada linha de ancoragem é de 342,76kN.
Figura 47 – Vista plana do sistema de ancoragem.
116
Tabela 10 – Características das Linhas de Ancoragem
Item
Tramo 1
(fundo)
Tramo 2
(intermediário)
Tramo 3
(topo)
Tipo Amarra Cabo de aço Amarra
Comprimento (m) 927 363 8
Diâmetro nominal (mm) 76 86 76
Peso submerso (kN/m) 1,135 0,202 1,135
Rigidez axial EA (kN) 502272 465975 502272
C
d
1,2 1,2 1,2
C
m
2,0 2,0 2,0
6.2.3 Carregamento Aplicado
Para a elaboração do modelo numérico, foram considerados os resultados do
ensaio 365 de [44]. Neste ensaio o navio cisterna está 100% carregado e submetido as
seguintes condições ambientais:
¾ Onda (S): Espectro de Pierson-Moskovitz com H
S
= 6,3m e T
Z
= 8,7s.
¾ Vento (S): 35,7m/s.
¾ Correnteza (N): 1,78m/s na superfície – perfil triangular.
As ações ambientais de onda e vento foram consideradas atuando também na bóia,
porém a ação a correnteza foi considerada atuando apenas no navio cisterna,
representada através de uma força constante equivalente aplicada sobre o mesmo, de
acordo com o ensaio. A direção de incidência das cargas é mostrada na Figura 47.
O modelo estudado tem como parâmetro de entrada a série temporal da força
dinâmica do hawser, obtida a partir de uma simulação numérica do conjunto completo
bóia e hawser pelo programa SIMO [48]. A série temporal da força produzida pelo
hawser, na direção x do sistema de referência local fixo, é apresentada na Figura 48. A
título de ilustração, a densidade espectral da força produzida por este hawser é
apresentada na Figura 49.
117
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0.00 250.00 500.00 750.00 1000.00 1250.00 1500.00 1750.00 2000.00
Tempo (s)
Força (kN)
Figura 48 – Série Temporal da força do
hawser
.
0.0E+00
1.0E+05
2.0E+05
3.0E+05
4.0E+05
5.0E+05
6.0E+05
7.0E+05
8.0E+05
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80
W(rad/s)
Sp (W)
Figura 49 – Densidade espectral da força do
hawser
(kN
2
.s).
118
6.2.4 Modelagem das Linhas de Ancoragem
As linhas de ancoragem foram modeladas por elementos finitos de treliça. A
malha foi gerada a partir dos dados da Tabela 10. As linhas foram discretizadas em 143
elementos de treliça com comprimentos variados para cada trecho da linha (Tabela 10).
A Figura 50 a seguir mostra a configuração em catenária das linhas de ancoragem.
Figura 50 – Configuração das linhas de ancoragem.
A Figura 51 a seguir mostra uma vista 3D do modelo acoplado.
Figura 51 – Vista 3D do modelo acoplado.
119
6.2.5 Modelagem da Bóia
A bóia é representada por nove elementos cilíndrico do modelo hidrodinâmico de
corpo rígido para plataformas reticuladas do Prosim, como indicado na Figura 52. Os
dados necessários para compor o modelo são os descritos na Tabela 9.
Figura 52 - Modelagem da bóia.
Inicialmente, consideram-se modelos sem qualquer tipo de calibração, onde os
coeficientes hidrodinâmicos C
d
e C
a
dos elementos que compõem a bóia são obtidos
simplesmente seguindo as recomendações da norma DNV [30]. Em seguida,
consideram-se modelos que empregam os valores dos coeficientes hidrodinâmicos
calibrados como descrito em [46] de forma a obter forças hidrodinâmicas atuantes na
bóia semelhantes às obtidas pelo SIMO[48], que são C
d
= 0,7 e C
a
= 0,05.
Além disso, efetuam-se também estudos paramétricos procurando avaliar a
influência de diferentes aspectos da formulação do modelo hidrodinâmico descrita no
item 4.5.2, incluindo a consideração da hidrostática não-linear através das rotinas
especializadas incorporadas ao Prosim (HNLC), e da parcela dinâmica de Froude-
Krylov. A Tabela 11 a seguir apresenta os modelos considerados. Observa-se que em
qualquer caso a hidrostática não-linear é sempre considerada, mesmo com HNLC
desativado: neste caso, a hidrostática é considerada na parcela estática das pressões de
Froude-Krylov, equação (4.34).
Reitera-se que o modelo hidrodinâmico para o tratamento desta bóia no Prosim
será o modelo híbrido mencionado no capítulo 4, porém diante da falta de coeficientes
de onda de segunda ordem, provenientes de um programa de difração, será considerada
apenas a parcela de onda de primeira ordem .
120
Tabela 11 – Modelos Analisados
Modelo
Hidrostática
Não-linear via
HNLC
Forças de
Froude- Krylov
C
d
/ C
a
1 Não Sim 0,63 / 0,5 [30]
2 Não Sim 0,7 / 0,05 [46]
3 Sim Não 0,63 / 0,5 [30]
4 Sim Não 0,7 / 0,05 [46]
5 Sim Sim 0,63 / 0,5 [30]
6 Sim Sim 0,7 / 0,05 [46]
121
6.2.6 Resultados Estáticos
Nos ensaios em tanque de prova [44], foram feitos testes estáticos que permitem
verificar o comportamento da força de restauração estática de sistema de linhas de
ancoragem. Estes testes também foram feitos no Prosim e a seqüência dos ensaios e as
forças de restauração estão indicados na Tabela 12.
Nas tabelas e gráficos que se seguem podemos observar uma excelente
concordância entre os valores obtidos no Prosim e os valores experimentais.
Tabela 12 – Força de restauração
Seqüência do
Ensaio
Força
Aplicada (kN)
Surge
Ensaio (m)
Surge
Numérico (m)
1 0,0 0,0 0,0
2 860,0 67,9 67,7
3 1163,0 80,7 81,6
4 1647,6 98,6 97,7
5 2305,0 114,6 113,0
6 3297,0 129,5 127,4
O gráfico da Figura 53 a seguir mostra a representação da Tabela 12.
0.0
500.0
1000.0
1500.0
2000.0
2500.0
3000.0
3500.0
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0 140.0
Surge (m)
Força Aplicada (kN)
Experimental Numérico
Figura 53 – Restauração estática do sistema de ancoragem.
122
As Tabelas a seguir, mostram as trações no topo das linhas de ancoragem obtidas
através do ensaio experimental e do numérico.
Tabela 13 – Ensaio 1
Ensaio Linha
Tração
Exp. (kN)
Tração
Numérico (kN)
1 343,0 342,8
2 343,0 342,8
3 343,0 342,8
4 343,0 342,8
5 343,0 342,8
1
6 343,0 342,8
Tabela 14 – Ensaio 2
Ensaio Linha
Tração
Exp. (kN)
Tração
Numérico (kN)
1 204,0 197,0
2 263,0 248,2
3 526,0 530,9
4 855,7 866,3
5 503,8 530,9
2
6 263,0 248,2
Tabela 15 – Ensaio 3
Ensaio Linha
Tração
Exp. (kN)
Tração
Numérico (kN)
1 190,0 170,7
2 255,0 235,1
3 579,9 589,8
4 1061,0 1099,5
5 551,7 589,8
3
6 255,0 235,1
123
Tabela 16 – Ensaio 4
Ensaio Linha
Tração
Exp. (kN)
Tração
Numérico (kN)
1 175,0 154,4
2 242,0 221,7
3 653,0 672,3
4 1461,0 1491,8
5 563,0 672,3
4
6 250,0 221,7
Tabela 17 – Ensaio 5
Ensaio Linha
Tração
Exp. (kN)
Tração
Numérico (kN)
1 165,0 142,9
2 229,0 210,5
3 723,0 767,7
4 2024,0 2045,9
5 785,0 767,7
5
6 246,0 210,5
Tabela 18 – Ensaio 6
Ensaio Linha
Tração
Exp. (kN)
Tração
Numérico (kN)
1 159,0 136,7
2 225,0 200,8
3 829,0 878,2
4 2846,0 2923,3
5 895,0 878,2
6
6 242,0 200,8
124
A Figura 54 mostra a representação das tabelas acima, onde se observa, mais uma
vez, uma boa concordância entre os resultados experimentais e numéricos.
0.0
500.0
1000.0
1500.0
2000.0
2500.0
3000.0
3500.0
0.0 500.0 1000.0 1500.0 2000.0 2500.0 3000.0 3500.0
Tração (kN)
Força (kN)
L1 - EXP
L1 - NUM.
L2 - EXP.
L2 - NUM.
L3 - EXP.
L3 - NUM.
L4 - EXP.
L4 - NUM.
L5 - EXP.
L5 - NUM.
L6 - EXP.
L6 - NUM.
Figura 54 – Tração no topo das linhas de ancoragem.
6.2.7 Resultados Dinâmicos
As tabelas a seguir comparam os resultados obtidos pelos diferentes modelos
descritos na Tabela 11 com os resultados experimentais e com os resultados numéricos
de [45] e [46].
Nestas foram empregados os seguintes parâmetros de análise:
¾ Tempo de simulação: 2000s;
¾ Intervalo de tempo para integração das equações de movimento: 0,05s;
¾ Tempo de aplicação de rampa para as forças ambientais: 100s;
¾ Tempo de início para o cálculo dos parâmetros estatísticos: 100s.
Obs: Nas tabelas seguintes, a denominação Dif % representa a diferença
percentual dos valores calculados em relação aos valores experimentais.
125
Tabela 19 – Modelo 1: Sem HNLC, com FK, coeficientes DNV – Média
Valores de Média
Parâmetro
Exp. [45] Dif. % [46] Dif. % Prosim Dif. %
H
awse
r
(
kN
)
1262,0 - - 1196,00 5,23 1183,67 6,21
Surge (m) 85,17 86,60 1,68 84,50 0,79 87,12 2,29
Heave (m) -0,65 -0,37 43,08 -0,32 50,77 -0,33 49,23
Pitch (°) 3,36 3,77 12,20 3,69 9,82 9,36 178,57
Tração #1 (kN) 186,10 160,89 13,55 166,98 10,27 166,16 12,13
Tração #2 (kN) 262,50 225,79 13,98 230,99 12,00 231,28 11,89
Tração #3 (kN) N.A. 607,88 - 601,65 - 621,34 -
Tração #4 (kN) 1256,0 1215,60 3,22 1172,80 6,62 1253,30 0,21
Tração #5 (kN) 609,00 607,88 0,18 603,43 0,91 621,35 2,03
Tração #6 (kN) 262,20 225,79 13,89 231,24 11,81 231,28 11,79
Tabela 20 – Modelo 1: Sem HNLC, com FK, coeficientes DNV – Desvio Padrão
Desvio Padrão
Parâmetro
Exp. [45] Dif. % [46] Dif. % Prosim Dif. %
H
awse
r
(
kN
)
441,00 - - 438,80 0,50 427,20 3,13
Surge (m) 8,56 9,18 7,24 6,90 19,39 5,14 39,95
Heave (m) 1,46 1,44 1,37 2,14 46,58 1,35 7,53
Pitch (°) 4,47 6,06 35,57 5,49 22,82 13,74 207,38
Tração #1 (kN) 21,32 9,40 55,91 58,81 175,84 35,53 66,65
Tração #2 (kN) 30,73 8,80 71,36 75,53 145,79 28,32 7,84
Tração #3 (kN) N.A. 48,78 - 245,65 - 102,98 -
Tração #4 (kN) 386,40 260,25 32,65 510,59 32,14 422,97 9,46
Tração #5 (kN) 124,70 48,78 60,88 246,51 97,68 102,98 17,42
Tração #6 (kN) 27,44 8,80 67,93 75,43 174,89 28,30 3,13
126
Tabela 21 – Modelo 2: Com HNLC, sem FK, coeficientes DNV – Média
Valores de Média
Parâmetro
Exp. [45] Dif. % [46] Dif. % Prosim Dif. %
H
awse
r
(
kN
)
1262,0 - - 1196,00 5,23 1183,67 6,21
Surge (m) 85,17 86,60 1,68 84,50 0,79 85,86 0,81
Heave (m) -0,65 -0,37 43,08 -0,32 50,77 -0,27 58,46
Pitch (°) 3,36 3,77 12,20 3,69 9,82 3,22 4,17
Tração #1 (kN) 186,10 160,89 13,55 166,98 10,27 163,91 13,32
Tração #2 (kN) 262,50 225,79 13,98 230,99 12,00 229,48 12,58
Tração #3 (kN) N,A, 607,88 - 601,65 - 609,78 -
Tração #4 (kN) 1256,0 1215,60 3,22 1172,80 6,62 1194,80 4,87
Tração #5 (kN) 609,00 607,88 0,18 603,43 0,91 609,78 0,13
Tração #6 (kN) 262,20 225,79 13,89 231,24 11,81 229,48 12,48
Tabela 22 – Modelo 2: Com HNLC, sem FK, coeficientes DNV – Desvio Padrão
Desvio Padrão
Parâmetro
Exp. [45] Dif. % [46] Dif. % Prosim Dif. %
H
awse
r
(
kN
)
441,00 - - 438,80 0,50 427,20 3,13
Surge (m) 8,56 9,18 7,24 6,90 19,39 4,73 44,74
Heave (m) 1,46 1,44 1,37 2,14 46,58 1,70 16,44
Pitch (°) 4,47 6,06 35,57 5,49 22,82 3,96 11,41
Tração #1 (kN) 21,32 9,40 55,91 58,81 175,84 36,41 70,78
Tração #2 (kN) 30,73 8,80 71,36 75,53 145,79 31,20 1,53
Tração #3 (kN) N.A. 48,78 - 245,65 - 117,99 -
Tração #4 (kN) 386,40 260,25 32,65 510,59 32,14 346,20 10,40
Tração #5 (kN) 124,70 48,78 60,88 246,51 97,68 117,99 5,38
Tração #6 (kN) 27,44 8,80 67,93 75,43 174,89 31,27 13,96
127
Tabela 23 – Modelo 3: Com HNLC, com FK, coeficientes DNV – Média
Valores de Média
Parâmetro
Exp. [45] Dif. % [46] Dif. % Prosim Dif. %
H
awse
r
(
kN
)
1262,0 - - 1196,00 5,23 1183,67 6,21
Surge (m) 85,17 86,60 1,68 84,50 0,79 83,84 1,56
Heave (m) -0,65 -0,37 43,08 -0,32 50,77 -0,26 60,00
Pitch (°) 3,36 3,77 12,20 3,69 9,82 4,37 30,06
Tração #1 (kN) 186,10 160,89 13,55 166,98 10,27 170,87 9,64
Tração #2 (kN) 262,50 225,79 13,98 230,99 12,00 234,71 10,59
Tração #3 (kN) N.A. 607,88 - 601,65 - 600,66 -
Tração #4 (kN) 1256,0 1215,60 3,22 1172,80 6,62 1156,70 7,91
Tração #5 (kN) 609,00 607,88 0,18 603,43 0,91 600,61 1,38
Tração #6 (kN) 262,20 225,79 13,89 231,24 11,81 234,72 10,48
Tabela 24 – Modelo 3: Com HNLC, com FK, coeficientes DNV – Desvio Padrão
Desvio Padrão
Parâmetro
Exp. [45] Dif. % [46] Dif. % Prosim Dif. %
H
awse
r
(
kN
)
441,00 - - 438,80 0,50 427,20 3,13
Surge (m) 8,56 9,18 7,24 6,90 19,39 6,23 27,22
Heave (m) 1,46 1,44 1,37 2,14 46,58 2,74 87,67
Pitch (°) 4,47 6,06 35,57 5,49 22,82 8,19 83,22
Tração #1 (kN) 21,32 9,40 55,91 58,81 175,84 65,44 206,94
Tração #2 (kN) 30,73 8,80 71,36 75,53 145,79 65,62 113,54
Tração #3 (kN) N.A. 48,78 - 245,65 - 219,72 -
Tração #4 (kN) 386,40 260,25 32,65 510,59 32,14 525,18 35,92
Tração #5 (kN) 124,70 48,78 60,88 246,51 97,68 219,78 76,25
Tração #6 (kN) 27,44 8,80 67,93 75,43 174,89 65,47 138,59
128
Tabela 25 – Modelo 4: Sem HNLC, com FK, coeficientes calibrados – Média
Valores de Média
Parâmetro
Exp. [45] Dif. % [46] Dif. % Prosim Dif. %
H
awse
r
(
kN
)
1262,0 - - 1196,00 5,23 1183,67 6,21
Surge (m) 85,17 86,60 1,68 84,50 0,79 85,46 0,34
Heave (m) -0,65 -0,37 43,08 -0,32 50,77 -0,36 44,62
Pitch (°) 3,36 3,77 12,20 3,69 9,82 9,85 193,15
Tração #1 (kN) 186,10 160,89 13,55 166,98 10,27 167,52 11,41
Tração #2 (kN) 262,50 225,79 13,98 230,99 12,00 232,13 11,57
Tração #3 (kN) N.A. 607,88 - 601,65 - 612,39 -
Tração #4 (kN) 1256,0 1215,60 3,22 1172,80 6,62 1212,40 3,47
Tração #5 (kN) 609,00 607,88 0,18 603,43 0,91 612,40 0,56
Tração #6 (kN) 262,20 225,79 13,89 231,24 11,81 232,14 11,46
Tabela 26 – Modelo 4: Sem HNLC, com FK, coeficientes calibrados – Desvio
Padrão
Desvio Padrão
Parâmetro
Exp. [45] Dif. % [46] Dif. % Prosim Dif. %
Hawse
r
(
kN
)
441,00 - - 438,80 0,50 427,20 3,13
Surge (m) 8,56 9,18 7,24 6,90 19,39 5,08 40,65
Heave (m) 1,46 1,44 1,37 2,14 46,58 1,38 5,48
Pitch (°) 4,47 6,06 35,57 5,49 22,82 13,00 190,83
Tração #1 (kN) 21,32 9,40 55,91 58,81 175,84 35,92 68,48
Tração #2 (kN) 30,73 8,80 71,36 75,53 145,79 31,24 1,66
Tração #3 (kN) N.A. 48,78 - 245,65 - 106,03 -
Tração #4 (kN) 386,40 260,25 32,65 510,59 32,14 430,07 11,30
Tração #5 (kN) 124,70 48,78 60,88 246,51 97,68 106,00 15,00
Tração #6 (kN) 27,44 8,80 67,93 75,43 174,89 31,21 13,74
129
Tabela 27 – Modelo 5: Com HNLC, sem FK, coeficientes calibrados – Média
Valores de Média
Parâmetro
Exp. [45] Dif. % [46] Dif. % Prosim Dif. %
Hawse
r
(
kN
)
1262,0 - - 1196,00 5,23 1183,67 6,21
Surge (m) 85,17 86,60 1,68 84,50 0,79 83,90 1,49
Heave (m) -0,65 -0,37 43,08 -0,32 50,77 -0,27 58,46
Pitch (°) 3,36 3,77 12,20 3,69 9,82 3,28 2,38
Tração #1 (kN) 186,10 160,89 13,55 166,98 10,27 165,73 12,36
Tração #2 (kN) 262,50 225,79 13,98 230,99 12,00 230,97 12,01
Tração #3 (kN) N.A. 607,88 - 601,65 - 599,14 -
Tração #4 (kN) 1256,0 1215,60 3,22 1172,80 6,62 1150,60 8,39
Tração #5 (kN) 609,00 607,88 0,18 603,43 0,91 599,14 1,62
Tração #6 (kN) 262,20 225,79 13,89 231,24 11,81 230,97 11,91
Tabela 28 – Modelo 5: Com HNLC, sem FK, coeficientes calibrados – Desvio
Padrão
Desvio Padrão
Parâmetro
Exp. [45] Dif. % [46] Dif. % Prosim Dif. %
Hawse
r
(
kN
)
441,00 - - 438,80 0,50 427,20 3,13
Surge (m) 8,56 9,18 7,24 6,90 19,39 5,11 40,30
Heave (m) 1,46 1,44 1,37 2,14 46,58 1,76 20,55
Pitch (°) 4,47 6,06 35,57 5,49 22,82 2,94 34,23
Tração #1 (kN) 21,32 9,40 55,91 58,81 175,84 42,00 97,00
Tração #2 (kN) 30,73 8,80 71,36 75,53 145,79 38,14 24,11
Tração #3 (kN) N.A. 48,78 - 245,65 - 109,58 -
Tração #4 (kN) 386,40 260,25 32,65 510,59 32,14 339,40 12,16
Tração #5 (kN) 124,70 48,78 60,88 246,51 97,68 109,62 12,09
Tração #6 (kN) 27,44 8,80 67,93 75,43 174,89 38,33 39,69
130
Tabela 29 – Modelo 6: Com HNLC, com FK, coeficientes calibrados – Média
Valores de Média
Parâmetro
Exp. [45] Dif. % [46] Dif. % Prosim Dif. %
Hawse
r
(
kN
)
1262,0 - - 1196,00 5,23 1183,67 6,21
Surge (m) 85,17 86,60 1,68 84,50 0,79 80,72 5,22
Heave (m) -0,65 -0,37 43,08 -0,32 50,77 -0,23 64,62
Pitch (°) 3,36 3,77 12,20 3,69 9,82 4,37 30,06
Tração #1 (kN) 186,10 160,89 13,55 166,98 10,27 173,93 8,02
Tração #2 (kN) 262,50 225,79 13,98 230,99 12,00 237,18 9,65
Tração #3 (kN) N.A. 607,88 - 601,65 - 587,09 -
Tração #4 (kN) 1256,0 1215,60 3,22 1172,80 6,62 1096,40 12,71
Tração #5 (kN) 609,00 607,88 0,18 603,43 0,91 587,16 3,59
Tração #6 (kN) 262,20 225,79 13,89 231,24 11,81 237,17 9,55
Tabela 30 – Modelo 6: Com HNLC, com FK, coeficientes calibrados – Desvio
Padrão
Desvio Padrão
Parâmetro
Exp. [45] Dif. % [46] Dif. % Prosim Dif. %
Hawse
r
(
kN
)
441,00 - - 438,80 0,50 427,20 3,13
Surge (m) 8,56 9,18 7,24 6,90 19,39 6,20 27,57
Heave (m) 1,46 1,44 1,37 2,14 46,58 2,67 82,88
Pitch (°) 4,47 6,06 35,57 5,49 22,82 7,47 67,11
Tração #1 (kN) 21,32 9,40 55,91 58,81 175,84 64,02 200,28
Tração #2 (kN) 30,73 8,80 71,36 75,53 145,79 66,98 117,96
Tração #3 (kN) N.A. 48,78 - 245,65 - 212,28 -
Tração #4 (kN) 386,40 260,25 32,65 510,59 32,14 538,33 39,32
Tração #5 (kN) 124,70 48,78 60,88 246,51 97,68 212,20 70,17
Tração #6 (kN) 27,44 8,80 67,93 75,43 174,89 67,15 144,72
131
Os gráficos a seguir mostram o resumo dos valores das tabelas anteriores.
FORÇA DO HAWSER
0.00
200.00
400.00
600.00
800.00
1000.00
1200.00
1400.00
MÉDIA DESV. PADRÃO
FORÇA (kN)
Experimental
[46]
Sem HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Sem HNLC com F.K. (Coef. [46])
Com HNLC sem F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC sem F.K. (Coef. [46])
Com HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC com F.K. (Coef. [46])
z
Figura 55 – Média e Desvio Padrão da força do
hawser
.
SURGE
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
MÉDIA DESV. PADRÃO
SURGE (m)
Experimental
[45]
[46]
Sem HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Sem HNLC com F.K. (Coef. [46])
Com HNLC sem F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC sem F.K. (Coef. [46])
Com HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC com F.K. (Coef. [46])
z
Figura 56 – Média e Desvio Padrão de
surge
.
132
HEAVE
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
MÉDIA DESV. PADRÃO
HEAVE (m)
Experimental
[45]
[46]
Sem HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Sem HNLC com F.K. (Coef. [46])
Com HNLC sem F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC sem F.K. (Coef. [46])
Com HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC com F.K. (Coef. [46])
z
Figura 57 – Média e Desvio Padrão de
heave
.
PITCH
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
18.00
MÉDIA DESV. PADRÃO
PITCH (°)
Experimental
[45]
[46]
Sem HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Sem HNLC com F.K. (Coef. [46])
Com HNLC sem F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC sem F.K. (Coef. [46])
Com HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC com F.K. (Coef. [46])
z
Figura 58 – Média e Desvio Padrão de
pitch
.
133
TRAÇÃO LINHA 1
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
200.00
MÉDIA DESV. PADRÃO
TRAÇÃO (kN)
Experimental
[45]
[46]
Sem HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Sem HNLC com F.K. (Coef. [46])
Com HNLC sem F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC sem F.K. (Coef. [46])
Com HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC com F.K. (Coef. [46])
z
Figura 59 – Média e Desvio Padrão da Linha 1.
TRAÇÃO LINHA 2
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
MÉDIA DESV. PADRÃO
TRAÇÃO (kN)
Experimental
[45]
[46]
Sem HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Sem HNLC com F.K. (Coef. [46])
Com HNLC sem F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC sem F.K. (Coef. [46])
Com HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC com F.K. (Coef. [46])
z
Figura 60 – Média e Desvio Padrão da Linha 2.
134
TRAÇÃO LINHA 3
0.00
100.00
200.00
300.00
400.00
500.00
600.00
700.00
MÉDIA DESV. PADRÃO
TRAÇÃO (kN)
[45]
[46]
Sem HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Sem HNLC com F.K. (Coef. [46])
Com HNLC sem F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC sem F.K. (Coef. [46])
Com HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC com F.K. (Coef. [46])
z
Figura 61 – Média e Desvio Padrão da Linha 3.
TRAÇÃO LINHA 4
0.00
200.00
400.00
600.00
800.00
1000.00
1200.00
1400.00
1600.00
MÉDIA DESV. PADRÃO
TRAÇÃO (kN)
Experimental
[45]
[46]
Sem HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Sem HNLC com F.K. (Coef. [46])
Com HNLC sem F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC sem F.K. (Coef. [46])
Com HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC com F.K. (Coef. [46])
z
Figura 62 – Média e Desvio Padrão da Linha 4.
135
TRAÇÃO LINHA 5
0.00
100.00
200.00
300.00
400.00
500.00
600.00
700.00
MÉDIA DESV. PADRÃO
TRAÇÃO (kN)
Experimental
[45]
[46]
Sem HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Sem HNLC com F.K. (Coef. [46])
Com HNLC sem F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC sem F.K. (Coef. [46])
Com HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC com F.K. (Coef. [46])
z
Figura 63 – Média e Desvio Padrão da Linha 5.
TRAÇÃO LINHA 6
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
MÉDIA DESV. PADRÃO
TRAÇÃO (kN)
Experimental
[45]
[46]
Sem HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Sem HNLC com F.K. (Coef. [46])
Com HNLC sem F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC sem F.K. (Coef. [46])
Com HNLC com F.K. (Coef. DNV)
Com HNLC com F.K. (Coef. [46])
z
Figura 64 – Média e Desvio Padrão da Linha 6.
136
6.2.8 Comentários sobre as análises do Sistema CALM
Com base nos resultados apresentados podemos observar que, de modo geral, os
valores obtidos através do Prosim, tanto neste trabalho quanto no de [45], e os obtidos
em [46] através da calibração de coeficientes, se aproximam razoavelmente dos valores
experimentais.
Deve-se ressaltar que, nos casos apresentados aqui, existem dúvidas quanto à
correta representação da carga dos hawsers; não se tem certeza absoluta se a série
temporal empregada corresponde exatamente às empregadas nas análises de [45] e [46],
e se reproduzem exatamente as cargas nos ensaios.
O foco principal das análises anteriores [45] e [46] se concentrava nos resultados
de movimentos angulares de pitch. Com o intuito de reproduzir adequadamente esse
comportamento, em[45] foram introduzidas as “patas” no modelo numérico. Já em
[46], foram ajustados os coeficientes de Morison até conseguir reproduzir os resultados
dos ensaios.
Já no presente trabalho, o objetivo principal é encontrar um modelo numérico que
seja capaz de reproduzir o comportamento real sem a necessidade de ajustes tomando
resultados experimentais. Observando-se os resultados, verifica-se que este objetivo está
sendo alcançado através da formulação da hidrostática não-linear (HNLC) recentemente
implementada no Prosim. Assim, os resultados do modelo sem HNLC (e sem patas)
levaram a valores excessivamente altos de desvio padrão de pitch. Ao se introduzir a
HNLC, e manter a parcela dinâmica da pressão no termo de Froude-Krylov, os valores
de desvio padrão se reduziram consideravelmente.
Na verdade, os resultados que mais se aproximaram dos experimentais foram
aqueles com HNLC e
sem a parcela dinâmica Froude-Krylov. Neste caso, vale ressaltar
que, como já mencionado no item 4.5.2, o cálculo das pressões hidrostática
e dinâmica
de Froude-Krylov pressupõe que, próximo à superfície livre, ambas as parcelas sejam
calculadas de forma
consistente, de modo a fazer com que na superfície livre a pressão
total seja nula, e para isso a hidrostática deve ser igual e com sinal oposto à pressão
dinâmica [27]. No procedimento original do Prosim, sem HNLC, essa consistência era
considerada.
137
Na implementação atual da hidrostática não-linear, a separação entre a pressão
estática e dinâmica está sendo efetuada zerando os valores de pressão estática e
gradiente de pressão na direção vertical, de modo a evitar o cálculo da pressão
hidrostática na integral (4.68). No entanto, este procedimento não garante que o
“cancelamento” das pressões na superfície livre seja feito de forma consistente.
Assim, a partir da comparação dos resultados numéricos com os experimentais,
acredita-se ainda que são necessários passos adicionais na direção de obter um modelo
mais rigoroso para a representação do comportamento dinâmico de monobóias.
Sugestões para alguns destes passos serão apresentadas mais adiante no capítulo 7.
É interessante observar também que os melhores resultados de pitch foram os
obtidos fornecendo os coeficientes segundo recomendação da DNV, e não os ajustados
de acordo com [46].
138
6.3 Plataforma Semi-submersível ITTC
6.3.1 Descrição
O modelo analisado nesta seção corresponde a uma plataforma semi-submersível
padronizada no 17º Comitê de Engenharia Oceânica ITTC, para comparações de
resposta de movimento entre diversos programas, e também para a verificação das
diferenças dos mesmos com os resultados obtidos nos ensaios em modelos reduzidos
conduzidos em tanque de provas no Japão [49,50].
Alguns dos ensaios, descritos em [49], reportam os períodos naturais de sway,
heave e roll e resultados de RAO’s para alguns arranjos de linhas de ancoragem e para
algumas lâminas d’água. Um daqueles arranjos foi escolhido para ser estudado nesta
seção: situado em uma lâmina d’água de 1050m (escala real), com fundo plano
horizontal e sistema de ancoragem com quatro linhas idênticas compostas por um único
trecho de amarra.
O objetivo deste estudo é então, avaliar os períodos naturais da unidade flutuante,
assim como seus RAO’s, através de análises com o programa Prosim, comparando-os
com os resultados experimentais reportados em [49]. Para tanto foram feitas várias
análises dinâmicas determinísticas, como será comentado mais adiante.
139
6.3.2 Modelagem do Casco
As principais características geométricas da plataforma semi-submersível estão
expostas na Figura 65 e na Tabela 31.
O modelo numérico da semi-submersível é representado por membros cilíndricos
do modelo hidrodinâmico híbrido do programa Prosim. Para a construção do modelo
empregaram-se 30 cilindros dimensionados de forma a representar as dimensões reais
da estrutura da semi-submersível, garantindo o mesmo volume dos membros estruturais.
Para os membros da semi-submersível que não possuem a forma cilíndrica, como
é o caso dos pontoons, foram calculados diâmetros equivalentes, de modo que o volume
permaneça o mesmo. Como os membros são discretizados por membros cilíndricos,
basta calcular de uma área de uma seção transversal circular, multiplicada pelo
comprimento do membro e igualar ao volume inicialmente calculado, para que se tenha
o diâmetro equivalente.
21.5 24.0 24.0 24.0 21.5
75.0
15.0 45.0
R
7
.
5
Ø
1
0
.
0
Ø
8
.
0
Ø
2
.
0
Ø3.0
Y
X
CG
15.0
115.0
ξ
D
i
r
e
ç
a
o
d
a
O
n
d
a
χ
CG
21.5
24.0 24.0 24.0
21.5
8.0 35.0
R
2
.
0
R
2
.
0
Ø2.0
115.0
10.0 8.0
8.0
10.0
Z
X
CG
Ø3.0
Ø
2
.
0
15.0
15.0
8.0
35.0
11.0
R
2
.
0
45.0
75.0
Z
Y
Figura 65 - Geometria da semi-submersível ITTC.
140
Tabela 31 – Principais Características da semi-submersível ITTC
Propriedade Valores (escala real)
Comprimento (m) 115,00
Calado (m)* 20.00
Boca (m) 60,00
Altura (m) 43.00
CG X (m) 0,0
CG Y (m) 0,0
CG Z (m) 17,5
Raio de Giração (roll) (m) 34,30
Raio de Giração (pitch) (m) 35,58
Raio de Giração (yaw) (m) 40,58
Empuxo (t) 34.157,00
*Sem considerar a massa das linhas de ancoragem.
A Tabela 32 e a Figura 66 apresentam as características geométricas do modelo
reticulado gerado para a análise no Prosim.
Assim como para a bóia CALM, o modelo hidrodinâmico para o tratamento do
casco da semi-submersível no Prosim será o modelo híbrido mencionado no capítulo 4,
porém, mais uma vez, diante da falta de coeficientes de onda de segunda ordem,
provenientes de um programa de difração, será considerada apenas a parcela de onda de
primeira ordem .
Os coeficientes hidrodinâmicos de arraste e massa adicional foram calculados
como recomendado pela norma DNV [30] e são apresentados na Tabela 33 a seguir.
141
Tabela 32 – Características geométricas do
modelo reticulado da plataforma
Coordenadas dos nós iniciais e finais dos
cilindros
Cilindro
X
1
(m)
Y
1
(m)
Z
1
(m)
X
2
(m)
Y
2
(m)
Z
2
(m)
Diâm.
Horiz.
(m)
Diâm.
Vert.
(m)
Área
(m2)
1 -50 -30 4 50 -30 4 18,552 8 117
2 -50 30 4 50 30 4 18,552 8 117
3 -50 -30 4 -56,366 -30 4 16,72 8 105
4 50 -30 4 56,366 -30 4 16,72 8 105
5 -50 30 4 -56,366 30 4 16,72 8 105
6 50 30 4 56,366 30 4 16,72 8 105
7 -36 -30 8 -36 -30 43 10 10 79
8 36 -30 8 36 -30 43 10 10 79
9 -36 30 8 -36 30 43 10 10 79
10 36 30 8 36 30 43 10 10 79
11 -12 -30 8 -12 -30 43 8 8 50
12 12 -30 8 12 -30 43 8 8 50
13 -12 30 8 -12 30 43 8 8 50
14 12 30 8 12 30 43 8 8 50
15 -36 -25 11 -36 25 11 3 3 7
16 -12 -26 11 -12 26 11 3 3 7
17 12 -26 11 12 26 11 3 3 7
18 36 -25 11 36 25 11 3 3 7
19 -32,88 -26,1 11 -13,5 -1,87 11 2 2 3
20 -32,88 26,1 11 -13,5 1,87 11 2 2 3
21 32,88 -26,1 11 13,5 -1,87 11 2 2 3
22 32,88 26,1 11 13,5 1,87 11 2 2 3
23 -36 -25 15,83 -36 0 40 2 2 3
24 -36 25 15,83 -36 0 40 2 2 3
25 -12 -26 15,83 -12 0 40 2 2 3
26 -12 26 15,83 -12 0 40 2 2 3
27 36 -25 15,83 36 0 40 2 2 3
28 36 25 15,83 36 0 40 2 2 3
29 12 -26 15,83 12 0 40 2 2 3
30 12 26 15,83 12 0 40 2 2 3
142
Figura 66 – ITTC modelada por cilindros.
Vale ressaltar que na figura acima os pontoons da semi-submersível são
apresentados como cilindros circulares apenas devido a uma particularidade da interface
de visualização gráfica. Na implementação do modelo numérico do Prosim, considera-
se a geometria real dos pontoons apresentada na Figura 65, que também é usada para a
determinação dos coeficientes hidrodinâmicos segundo as recomendações da DNV.
143
Tabela 33 – Coeficientes hidrodinâmicos da semi-submersível ITTC segundo a
DNV
Coeficientes Transversais Coeficientes Axiais
Cilindro
C
d1
* C
d2
* C
a1
* C
a2
* C
d1
* C
d2
* C
a1
* C
a2
*
1 0,54 1,38 0,25 1,70 0 0 0 0
2 0,54 1,38 0,25 1,70 0 0 0 0
3 0,63 0,63 0,48 2,03 0 0,5 0 0,5
4 0,63 0,63 0,48 2,03 0 0,5 0 0,5
5 0,63 0,63 0,48 2,03 0 0,5 0 0,5
6 0,63 0,63 0,48 2,03 0 0,5 0 0,5
7 0,63 0,63 0,96 0,96 0 0 0 0
8 0,63 0,63 0,96 0,96 0 0 0 0
9 0,63 0,63 0,96 0,96 0 0 0 0
10 0,63 0,63 0,96 0,96 0 0 0 0
11 0,63 0,63 0,98 0,98 0 0 0 0
12 0,63 0,63 0,98 0,98 0 0 0 0
13 0,63 0,63 0,98 0,98 0 0 0 0
14 0,63 0,63 0,98 0,98 0 0 0 0
15 0,63 0,63 1,00 1,00 0 0 0 0
16 0,63 0,63 1,00 1,00 0 0 0 0
17 0,63 0,63 1,00 1,00 0 0 0 0
18 0,63 0,63 1,00 1,00 0 0 0 0
19 0,58 0,58 1,00 1,00 0 0 0 0
20 0,58 0,58 1,00 1,00 0 0 0 0
21 0,58 0,58 1,00 1,00 0 0 0 0
22 0,58 0,58 1,00 1,00 0 0 0 0
23 0,58 0,58 1,00 1,00 0 0 0 0
24 0,58 0,58 1,00 1,00 0 0 0 0
25 0,58 0,58 1,00 1,00 0 0 0 0
26 0,58 0,58 1,00 1,00 0 0 0 0
27 0,58 0,58 1,00 1,00 0 0 0 0
28 0,58 0,58 1,00 1,00 0 0 0 0
29 0,58 0,58 1,00 1,00 0 0 0 0
30 0,58 0,58 1,00 1,00 0 0 0 0
*Os subscritos 1 e 2 dos coeficientes hidrodinâmicos (C
d
e C
a
) apontados na tabela acima, representam as
extremidades para cada cilindro.
144
6.3.3 Modelagem das Linhas
A unidade flutuante tem um aproamento χ = 90° com o Norte e suas linhas
encontram-se alinhadas transversalmente à plataforma.
Este modelo possui um número total de quatro linhas de ancoragem. Todas elas
apresentam comprimentos iguais e características físicas idênticas, descritas na Tabela
34. A Tabela 35 aponta seus parâmetros de geração de catenária.
A Figura 67 a seguir mostra o arranjo das linhas de ancoragem como foi utilizado
no ensaio.
Figura 67 - Arranjo das linhas de ancoragem.
145
Vale observar que, no procedimento de geração do modelo, quando se
penduraram as linhas de ancoragem o calado da semi-submersível foi alterado para
23,56m, confirmando o reportado nos ensaios em tanque de prova [49].
As linhas de ancoragem foram modeladas por elementos finitos de treliça,
empregando 599 elementos com comprimento de 5m cada. A Figura 68 a seguir mostra
a configuração em catenária das linhas. A Figura 69 mostra uma vista 3D do modelo
acoplado.
Tabela 34 - Características físicas e geométricas
das linhas de ancoragem
Parâmetro Valor
Tipo Amarra
Comprimento (m) 3000,00
Diâmetro Nominal (m) 0,117
Diâmetro Hidrodinâmico 0,205
EA (t) 96952,3
Peso Seco (t/m) 0,274
Peso Molhado (t/m) 0,238
Cd 1,7
Ca 1,2
Tabela 35 - Parâmetros para geração das catenárias
Sistema
Pré-tensão das
Linhas de
Ancoragem (t)
Lâmina d’água = 1050m 540
146
Figura 68 - Configuração das linhas de ancoragem.
Figura 69 – Vista 3D do modelo acoplado.
147
6.3.4 Análises Realizadas
Antes de efetuar as simulações numéricas com o modelo gerado, efetuou-se um
estudo para gerar acurvas de restauração das linhas de ancoragem e comparar os
resultados com os fornecidos pelo ensaio [49].
Em seguida, foram realizadas dois tipos de simulações: análises modais e análises
dinâmicas. As análises modais, empregando o Método de Jacobi Generalizado [51]
tiveram como objetivo avaliar os períodos de vibração de sway e heave da plataforma
em sua posição original de projeto (já equilibrada). Outra forma de obter
numericamente os períodos é efetuar análises dinâmicas simulando testes de
decaimento. Puderam-se então realizar comparações destes resultados numéricos com
os períodos naturais obtidos nos ensaios em tanque de provas [49].
Em seqüência, foram realizadas simulações dinâmicas para diferentes valores de
ondas com amplitude unitária visando apresentar os resultados em termos de RAO’s
(Response Amplitude Operator) para os movimentos de sway, heave e roll.
148
•
Curva de Restauração das Linhas de Ancoragem
Para uma correta representação das linhas de ancoragem, uma curva de
restauração da catenária das linhas foi gerada para observar a concordância com os
resultados experimentais obtidos em [49].
Esta curva é gerada aplicando-se deslocamentos (offsets) no topo da linha a partir
da posição equilibrada de projeto, isto é, quando a tração inicial para a geração da
catenária da linha está atuando. Então, para cada offset aplicado, obtém-se os valores
das trações nas direções axial (T), vertical (T
v
) e horizontal (T
h
). A Figura 70 mostra a
curva de restauração da catenária das linhas de ancoragem.
Como se pode observar no gráfico, existe uma boa concordância entre os dados
experimentais e os calculados pela teoria da catenária no Prosim. Neste mesmo gráfico
também se observa valor da pré-tração utilizado para a geração da configuração em
catenária.
Tração inicial padrão (540 t)
0
500
1000
1500
1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000
X (m)
T,Tv,Th (t)
EXP.
T
Tv
Th
Figura 70 - Características da curva de restauração da catenária (amarra).
149
•
Períodos Naturais
O objetivo desta seção é apresentar os resultados dos períodos naturais de sway,
heave e roll obtidos através do ensaio em tanque de prova do modelo ITTC, de
simulações de decaimento e através dos resultados de análise modal do modelo, estes
dois últimos realizados no programa Prosim.
Os testes de decaimento numérico compreendem simulações dinâmicas realizadas
sobre um modelo equilibrado, livre de qualquer carregamento ambiental, quando o
mesmo é submetido a um deslocamento inicial capaz de gerar uma resposta dinâmica
correspondente a de uma oscilação livre amortecida.
Como resultado destas simulações de decaimento, a taxa de amortecimento do
sistema pode ser encontrada a partir do decaimento das amplitudes sucessivas de
resposta [52] e o período natural amortecido da direção do desequilíbrio pode ser
avaliado através do tempo decorrido de um ciclo de movimento da unidade flutuante.
Portanto, no modelo ITTC do Prosim, efetuaram-se análises dinâmicas aplicando-
se deslocamentos iniciais de 2m e 4m para os testes de decaimento de heave e sway
respectivamente, e uma aceleração inicial de 2gr/s para o teste de decaimento de roll.
Para estas análises, adotou-se um intervalo de integração de 0,1s e um tempo total de
simulação de 600s.
Os históricos de deslocamento são apresentados nas Figuras 71, 72 e 73. Em
seguida, a Tabela 36 aponta os resultados dos períodos obtidos nestas simulações de
decaimento, assim como o resultado do ensaio do ITTC em tanque de provas [49] e o
resultado obtido pela análise modal do programa Prosim.
150
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 100 200 300 400 500 600
Tempo (s)
Sway (m)
Figura 71 – Resultados de decaimento de
sway
.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 100 200 300 400 500 600
Tempo (s)
Heave (m)
Figura 72 – Resultados de decaimento de
heave
.
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 100 200 300 400 500 600
Tempo (s)
Roll (°)
Figura 73 – Resultados de decaimento de
roll
.
151
Tabela 36 – Comparação dos períodos naturais dos ensaios [49],
simulações de decaimento e Análise Modal
Período Natural – Posição de Projeto (s)
Movimento
Experimental Decaimento Análise Modal
Sway
242,4 169,6 173,32
Heave
24,25 32,1 31,82
Roll
53,77 61,5 -
Observando a Tabela 36, percebe-se que os períodos naturais de sway e heave
obtidos pela análise modal se aproximam dos períodos amortecidos da simulação de
decaimento; no entanto estes resultados não estão próximos dos observados nos ensaios.
Quanto à referência [49], foram realizados no tanque ensaios de decaimento de
heave e roll sem amarração para três profundidades diferentes (224m, 535,4m e
1050m). Observa-se, no entanto, que os resultados de massa adicional aferida nestas
duas direções variaram consideravelmente nos três ensaios, chegando a 9% de diferença
entre os ensaios em lâmina d’água de 1050m e 535,4m (Tabela 4 de [49]). Isto implica
diretamente na variação de 4% a 6% nos períodos naturais entre as três escalas
ensaiadas, como apontado pela mesma referência.
No entanto, supondo que a diferença entre a massa adicional da plataforma
reportada em [49] e a massa adicional calculada numericamente seria o maior
responsável pelas diferenças entre os períodos naturais, e admitindo que o resultado
experimental para a profundidade de 1050m apresentado na Tabela 36 representa
rigorosamente a massa adicional do modelo em escala real, pode-se ajustar facilmente
os parâmetros de massa adicional do casco do modelo numérico de forma que seus
resultados de períodos naturais se aproximem do modelo experimental.
Sendo assim, os coeficientes hidrodinâmicos de massa adicional dos cilindros que
compõem os pontoons e as colunas foram redefinidos, e são apresentados na Tabela 37
a seguir.
152
Tabela 37 - Coeficientes hidrodinâmicos redefinidos
Cilindro C
a1
C
a2
1 3,8 0,72
2 3,8 0,72
3 3,8 0,72
4 3,8 0,72
5 3,8 0,72
6 3,8 0,72
7 1,0 1,00
8 1,0 1,00
9 1,0 1,00
10 1,0 1,00
Observe que este artifício de manipulação de coeficientes de massa adicional só é
recomendado quando se conhece os valores de massa adicional da unidade flutuante em
questão, seja por ensaios, seja através de resultados de um programa de difração.
Com essas redefinições de coeficientes hidrodinâmicos, foram realizados novos
testes de decaimento de sway, heave e roll. Os períodos naturais de sway, heave e roll
encontrados estão indicados na Tabela 38.
Tabela 38 – Comparação dos períodos naturais entre ensaio [49],
simulações de decaimento e Análise Modal
(com os coeficientes de massa adicional redefinidos)
Período Natural – Posição de Projeto (s)
Movimento
Experimental Decaimento Análise Modal
Sway
242,4 234,5 241,85
Heave
24,25 24,4 23,98
Roll
53,77 49,0 -
Observando a Tabela 38, vemos que o período natural de sway e heave obtidos
pela análise modal e pela simulação de decaimento estão próximos dos resultados
experimentais, apresentando, portanto, uma boa correspondência.
A Tabela 39 mostra os valores das massas adicionais encontrados considerando os
ajustes dos coeficientes. Já o gráfico da Figura 74, faz uma comparação entre esses
153
valores de forma adimensional. Os parâmetros adimensionais são descritos nesta mesma
figura.
Tabela 39 – Comparação das massas adicionais calculadas × experimental
Massa Adicional (t)
Coeficientes
Sway Heave Roll
Experimental 31489 48014 609528
DNV 11451 107870 96508000
Redefinidos 52570 46055 -
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
SWAY HEAVE ROLL
Experiemntal
Coef. DNV
Coef. hidrodinâmicos ajustados
Figura 74 - Comparação entre os valores adimensionais de massa adicional
calculada e a massa adicional experimental.
Como se pode observar no gráfico acima, os valores calculados de massa
adicional que mais se afastaram dos experimentais, para os três movimentos estudados,
foram os que utilizaram diretamente os coeficientes calculados pela DNV[30]. Para o
ajuste dos coeficientes de massa adicional, a discrepância maior foi em relação à massa
adicional de sway, pois como foi visto, pode ter havido um erro no cálculo da massa
adicional no modelo experimental.
UF
adc
M
M
LinerMov =.
ROLL
adc
I
M
AngMov =..
154
•
RAO’s
Outro estudo realizado com o modelo ITTC corresponde à comparação entre os
resultados experimentais de RAO (Response-Amplitude Operation) com os calculados
numericamente através do Prosim para os movimentos de sway, heave e roll.
O RAO representa a resposta de uma certa estrutura à excitação provocada por
ondas regulares de altura unitária. Estas curvas, também conhecidas como Função de
Transferência do sistema, informam como se comportará a resposta da unidade flutuante
em função da freqüência de excitação da onda incidente.
Estas curvas são apresentadas de forma adimensional de tal maneira que a
amplitude de resposta se relacione com a amplitude da onda incidente.
Para obtenção das RAO’s no modelo numérico do Prosim foram realizadas
simulações dinâmicas com aplicação de várias ondas regulares com períodos variados e
altura unitária. Nestas análises, adotou-se um intervalo de integração de 0,1s, um tempo
total para integração das equações de movimento de 1000s e um tempo de rampa de
500s.
As Figuras 75, 76 e 77 mostram as séries temporais para os movimentos de sway,
heave e roll obtidos, por exemplo, para uma onda incidente de período T=25s.
SWAY
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Y
A
(m)
Figura 75 - Movimento de
sway
devido a onda incidente de período igual a 25s.
155
HEAVE
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Z
A
(m)
Figura 76 - Movimento de
heave
devido a onda incidente de período igual a 25s.
ROLL
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Z
A
(º)
Figura 77 - Movimento de
roll
devido a onda incidente de período igual a 25s.
A Figura 78 mostra a função de transferência (RAO) para o movimento de sway.
Nesta figura, observa-se que, para a faixa de períodos estudada, existe uma ótima
concordância entre os resultados experimentais e os calculados pelo Prosim. Não é
possível observar a resposta de RAO na faixa de ressonância, uma vez que os períodos
naturais de surge e sway são bastante elevados como apontado na Tabela 38.
Salienta-se que na Figura 78, assim como nas Figuras 79 e 80, cada ponto da
curva de RAO obtida numericamente, corresponde a uma análise dinâmica com a onda
incidindo no período indicado.
156
SWAY
0
1
2
3
0 10203040506070
T (s)
Y
A
/
ζ
A
CALC.
EXP.
Figura 78 - Função de transferência de
sway
calculada e obtida experimentalmente.
(
Y
A
amplitude de
sway
;
ζ
A
amplitude da onda;
T
período da onda).
A Figura 79 mostra a função de transferência para o movimento de heave. Pode-se
notar a resposta de ressonância quando o período de excitação se aproxima do período
natural de heave. Observa-se também uma boa concordância entre os resultados
experimentais e os calculados.
HEAVE
0
1
2
3
0 10203040506070
T (s)
Z
A
/
ζ
A
CALC.
EXP.
Figura 79 - Função de transferência de
heave
calculada e obtida
experimentalmente.
157
Por último, a Figura 80 mostra a função de transferência (RAO) para o
movimento de roll. Para este gráfico, vê-se que o período de ressonância ficou abaixo
do período obtido experimentalmente, ficando em torno do valor obtido pelo teste de
decaimento (49s).
ROLL
0
5
10
0 10203040506070
T (s)
φ
A
/K
ζ
A
CALC.
EXP.
Figura 80 - Função de transferência de
roll
calculada e obtida experimentalmente.
O número K, presente no fator adimensional da função de transferência de roll, é
o número de onda. O número de onda mostra a influência da lâmina d’água para ondas
de períodos elevados. A Figura 81 mostra a curva de valores de K em função dos
períodos das ondas estudados. Isto foi feito, para levar em conta o efeito da não-
linearidade do movimento roll. Nos movimentos onde a hipótese linear é aceitável
(sway e heave), não há necessidade de usar o número de onda K, pois se Y
1
é a resposta
para uma altura de onda
ζ
1
então λY
1
será a resposta para uma altura λ
ζ
1
, onde λ é uma
constante qualquer. Para o caso de roll isto não acontece.
158
Número de Onda (K) x Período
000.0E+0
5.0E-3
10.0E-3
15.0E-3
0 1020304050607080
T (s)
K (1/m)
LDA = 1050 m
Figura 81 - Número de onda x Período de onda
De um modo geral, podemos concluir que os resultados obtidos pela análise
acoplada realizada pelo programa Prosim ficaram de acordo com os resultados obtidos
em ensaios de tanque de prova dentro da faixa de períodos estudada.
159
7
7
.
.
C
C
O
O
N
N
C
C
L
L
U
U
S
S
Õ
Õ
E
E
S
S
Este trabalho teve por objetivo a avaliação da metodologia de análise dinâmica
acoplada de sistemas offshore, considerando a interação entre um corpo rígido,
representando a unidade flutuante por um modelo hidrodinâmico, e as linhas de
ancoragem e risers, modeladas por elementos finitos.
O estudo acadêmico de uma bóia com linha suspensa confirmou que, para obter
uma modelagem adequada de um sistema flutuante conectado a linhas na formulação
fracamente acoplada, o correto é definir as propriedades inerciais da própria unidade
flutuante, já que a contribuição da massa das linhas será representada implicitamente
por forças no lado direito da equação de movimento da unidade flutuante. Essa
conclusão ficou reforçada pela comparação dos resultados com os obtidos por um
modelo totalmente acoplado representado por elementos finitos. Essa comparação
também permitiu verificar que a formulação fracamente acoplada é capaz de fornecer
resultados adequados
Para o caso do sistema CALM, a comparação com resultados experimentais, e
com resultados numéricos de [46] (obtidos por um modelo totalmente acoplado onde os
coeficientes hidrodinâmicos foram ajustados procurando reproduzir os resultados dos
ensaios), permite concluir que o modelo se mostrou satisfatório na representação do
comportamento dinâmico da bóia, mesmo empregando apenas coeficientes
hidrodinâmicos obtidos segundo recomendação da DNV, sem a necessidade de ajustar
coeficientes. Mesmo assim, como será comentado no próximo item, acredita-se que
ainda são necessários passos adicionais na direção de obter um modelo mais adequado
para a representação do comportamento dinâmico de monobóias.
Finalmente, a comparação dos resultados obtidos para a semi-submersível ITTC
[49] com os resultados experimentais também demonstrou que o modelo numérico é
capaz de apresentar resultados satisfatórios.
De um modo geral, demonstrou-se que, para os casos estudados, a metodologia
acoplada considerada no presente trabalho foi capaz de representar satisfatoriamente os
resultados de ensaios em tanque de prova disponíveis. Sendo assim, esses resultados
reforçam a precisão e confiança nas análises acopladas, que estão começando a ganhar
um uso mais acentuado em projetos estruturais offshore.
160
7.1 Sugestões de Trabalhos Futuros
Como mencionado anteriormente, ainda existem algumas questões quanto ao
melhor modelo para representar o comportamento de monobóias, principalmente quanto
à questão da representação dos movimentos angulares de pitch. Alguns avanços nesta
questão poderiam partir da formulação adotada para a hidrostática não-linear (HNLC).
Por exemplo, na implementação atual as pressões dinâmicas de Froude-Krylov nas
extremidades expostas estão sendo calculadas no eixo do cilindro, e com isso toma-se
uma pressão constante ao longo da seção, quando na verdade a pressão varia nos pontos
extremos da seção transversal (com a profundidade e com a elevação da onda). Assim,
poderiam ser sugeridos alguns caminhos alternativos, partindo da formulação da
hidrostática não-linear via HNLC.
Um deles poderia ser, ao combinar as parcelas de hidrostática via HNLC com a
parcela de pressão dinâmica via Froude-Krylov, não zerar os valores de pressão estática
e gradiente de pressão na direção vertical, de modo a manter o cálculo da pressão
hidrostática via Froude-Krylov na integral (4.68). Com isso, as rotinas de hidrostática
não-linear seriam alteradas para calcular apenas as parcelas estáticas e dinâmicas de
força e momento devidas à pressão nas extremidades expostas
, calculando as ordenadas
de pressão nos pontos extremos da seção transversal.
Um segundo caminho, talvez o mais apropriado, seria incorporar trechos de
cálculo de pressão dinâmica/gradiente de pressão dentro das rotinas que atualmente
efetuam o cálculo da hidrostática não-linear:
•
Na implementação atual do cálculo de forças de Froude-Krylov, a integral
do gradiente de pressões ao longo do eixo considera apenas a componente
normal ao eixo; em seguida, a componente normal à seção transversal da
extremidade exposta é calculada como pressão
×
área e somada.
•
Já nas rotinas de hidrostática não-linear, a formulação atual baseia-se em
uma expressão semelhante à (4.67) que emprega o teorema de Gauss para
indicar que a integral de superfície é equivalente à integral de volume. Na
implementação destas rotinas, atualmente considera-se apenas a
componente estática, e o gradiente de pressão é simplesmente
ρ
g, que
passa para fora da integral, que se resume então à integral de volume,
161
calculada analiticamente, para cada uma das condições do cilindro em
relação à superfície livre.
Com isto, a sugestão seria estender essa formulação das rotinas de hidrostática
não-linear (HNLC) para considerar também a componente dinâmica das pressões. Nesse
caso, a integração deve ser feita numericamente, usando um esquema similar ao
procedimento de integração de Gauss que se usa na formulação isoparamétrica de
elementos finitos para calcular a integral (em função do produto de matrizes
deformação-deslocamento
B e da matriz constitutiva D) que leva à matriz de rigidez de
um elemento finito. Possivelmente, um melhor procedimento fosse continuar fazendo a
separação normal ao eixo/normal à área da extremidade exposta, e utilizar este esquema
de integração numérica de Gauss apenas para a área exposta; enfim, essas sugestões
devem ser melhor estudadas para a implementação computacional em trabalhos futuros.
162
8
8
.
.
R
R
E
E
F
F
E
E
R
R
Ê
Ê
N
N
C
C
I
I
A
A
S
S
[1] JACOB, B.P, Programa PROSIM: Simulação Numérica do Comportamento de
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