( PDF ) A diferenciabilidade da função valor em uma classe de problemas de otimização dinâmica

Download PDF

ads:

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA

A DIFERENCIABILIDADE DA FUNÇÃO VALOR EM UMA CLASSE DE

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO DINÂMICA

Autor: Hudson Torrent

Porto Alegre

2005

ads:

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA

A DIFERENCIABILIDADE DA FUNÇÃO VALOR EM UMA CLASSE DE

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO DINÂMICA

Autor: Hudson da Silva Torrent

Orientador: Jorge Paulo Araújo

Porto Alegre

2005

Dissertação submetida ao Programa

de Pós-Graduação em Economia da

Faculdade de Ciências Econômicas da

UFRGS, como quesito parcial para

obtenção do grau de Mestre em

Economia.

ads:

T692d Torrent, Hudson da Silva

A Diferenciabilidade da Função Valor em uma Classe de Problemas de

Otimização Dinâmica / Hudson da Silva Torrent. – Porto Alegre, 2005.

68 f.

Orientador: Prof. Jorge Paulo Araújo.

Dissertação (Mestrado em Economia) - Universidade Federal do Rio

Grande do Sul, Faculdade de Ciências Econômicas, Programa de Pós-

Graduação em Economia, Porto Alegre, 2005.

1.Economia matemática. 2.Otimização Dinâmica. 3. Estática

Comparativa. 4. Modelo matemático. I. Araújo, Jorge Paulo. II.

Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Faculdade de Ciências

Econômicas. Programa de Pós-Graduação em Economia. III. Título.

CDU

Resumo

Neste trabalho analisamos a hipótese de diferenciabilidade da função valor-ótimo em

uma classe de problemas de otimização dinâmica. A classe de problemas analisada é cálculo

variacional com horizonte infinito. O artigo de Benveniste e Scheinkman (1979) é

apresentado de forma detalhada, além disso, seu lema fundamental é generalizado ao

excluirmos a hipótese de concavidade sobre a função auxiliar. Finalmente, aplicamos alguns

resultados estabelecidos por Milgrom e Segal (2002), a fim de obtermos a diferenciabilidade

da função valor-ótimo para a mesma classe de problemas, mas de uma nova maneira,

ampliando a análise sobre o tema.

Abstract

In this dissertation we analyzed the differentiability assumption on the valuation

function in a class of dynamic optimization problems. The class of problems is the infinite

horizon calculus of variations problems. The Benveniste and Scheinkman (1979) article is

presented in a detailed way and we generalized its fundamental lemma by exclude the

concavity assumption on auxiliary function. Finally, we apply some results established by

Milgrom and Segal (2002) to obtain the differentiability of the valuation function in the same

class of problems but in another way, amplifying this subject analysis.

Sumário:

INTRODUÇÃO: ...................................................................................................8

CAPÍTULO 1 CÁLCULO VARIACIONAL E TEOREMAS DE ENVELOPE:

.............................................................................................................................10

INTRODUÇÃO:...................................................................................................................10

1.1 OTIMIZAÇÃO DINÂMICA: ........................................................................................10

1.1.1 Controle Ótimo:.......................................................................................................11

1.1.2 Cálculo Variacional:................................................................................................12

1.1.3 Programação Dinâmica: ..........................................................................................13

1.2 VARIÁVEIS DE ESTADO E A FUNÇÃO VALOR-ÓTIMO: ....................................14

1.2.1 Variáveis de estado e variáveis de escolha:.............................................................14

1.2.2 A Função Valor-ótimo:............................................................................................16

1.3 TEOREMAS DE ENVELOPE: .....................................................................................16

1.3.1 Teoremas de Envelope Estáticos:............................................................................16

1.3.2 Teoremas de Envelope Dinâmicos:.........................................................................20

CONCLUSÃO:.....................................................................................................................21

CAPÍTULO 2 DEFINIÇÕES BÁSICAS:...........................................................22

INTRODUÇÃO:...................................................................................................................22

2.1 CORRESPONDÊNCIAS:..............................................................................................22

2.1.1 Correspondências Convexas e a Concavidade da Função Valor Ótimo: ................25

2.2 FUNÇÕES CÔNCAVAS E SUAS DERIVADAS DIRECIONAIS: ............................26

CONCLUSÃO:.....................................................................................................................31

CAPÍTULO 3 APRESENTANDO BENVENISTE & SCHEINKMAN (1979).

.............................................................................................................................32

INTRODUÇÃO:...................................................................................................................32

3.1 OUTRA VERSÃO PARA O LEMA DE BENVENISTE E SCHEINKMAN (1979):..32

3.2 SOBRE A DIFERENCIABILIDADE DA FUNÇÃO VALOR-ÓTIMO EM

MODELOS DINÂMICOS:..................................................................................................35

3.2.1 Tempo Discreto:......................................................................................................36

3.2.2 Tempo Contínuo:.....................................................................................................38

CONCLUSÃO:.....................................................................................................................45

CAPÍTULO 4 A DIFERENCIABILIDADE DA FUNÇÃO VALOR:..............46

INTRODUÇÃO:...................................................................................................................46

4.1 O TRABALHO DE MILGROM E SEGAL (2002):......................................................46

4.2 APLICANDO OS RESULTADOS DE MILGROM E SEGAL (2002) EM

BENVENISTE E SCHEIKMAN (1979): ............................................................................48

4.2.1 Tempo Contínuo:.....................................................................................................49

4.2.2 Tempo Discreto:......................................................................................................55

4.3 APLICAÇÕES À TEORIA DE ALOCAÇÃO INTERTEMPORAL ÓTIMA:.............58

4.3.1 Tempo Discreto:......................................................................................................59

4.3.2 Tempo Contínuo:.....................................................................................................60

CONCLUSÃO:.....................................................................................................................62

CONCLUSÃO: ...................................................................................................63

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA:...................................................................64

INTRODUÇÃO:

Decisões presentes afetam eventos futuros. Então é plausível pensar que os agentes

econômicos, racionais por hipótese, estejam, por exemplo, interessados em maximizar o seu

bem-estar atual, mas levando-se em consideração as conseqüências de suas escolhas feitas

hoje sobre o seu próprio bem-estar no futuro. Esse tipo de problema é conhecido como

escolha intertemporal. A teoria de Controle Ótimo é uma técnica utilizada para se estudar

problemas envolvendo esse tipo de decisão. Em Economia, as primeiras aplicações

envolvendo a teoria de Controle Ótimo, mais especificamente, envolvendo a teoria de Cálculo

Variacional foram elaboradas por Ramsey (1928) e Hotelling (1931).

Um teorema muito importante e útil na análise de problemas de otimização

intertemporal é o Teorema do Envelope. Este teorema é uma ferramenta poderosa em análise

de estática comparativa – tão presente em Economia e fundamentada por Samuelson (1947,

1960) e Silberberg (1971, 1974, 1978) – pois o Teorema do Envelope descreve condições

suficientes para que a função valor-ótimo de um problema de otimização parametrizada seja

diferenciável no parâmetro e ainda fornece uma fórmula para essa derivada. Ou seja,

podemos, via Teorema do Envelope, analisar os efeitos de mudanças marginais no parâmetro

sobre a função objetivo de um problema de otimização intertemporal no ponto ótimo.

Em Economia, quando se trabalha com modelos dinâmicos, muitos autores fazem uso

da hipótese de diferenciabilidade sobre a função valor-ótimo. São exemplos deste tipo de

trabalho os artigos de Oniki (1973), Epstein (1978), Caputo (1990), LaFrance e Barney

(1991). Entretanto, essa hipótese de diferebciabilidade da função valor-ótimo impõe,

implicitamente, restrições ao modelo. Alguns trabalhos estudando condições sob as quais a

função valor-ótimo é diferenciável são Benveniste e Scheinkman (1979), Taesung (1993), Sah

e Zhao (1998) e Milgrom e Segal (2002).

No presente trabalho analisaremos dois destes artigos. Mais especificamente

apresentaremos o trabalho elaborado por Benveniste e Scheinkman (1979). O qual estabelece

o conjunto de hipóteses necessário para se garantir a diferenciabilidade da função valor-ótimo

na classe de problemas de Cálculo Variacional com horizonte infinito. Entretanto, vamos

reescrever o lema fundamental desse trabalho com hipóteses menos restritivas e resultados

mais abrangentes e, a partir desse novo lema, estabelecer, seguindo o formato elaborado no

trabalho original, a diferenciabilidade da função valor-ótimo na referida classe de problemas.

O segundo artigo a ser analisado é aquele elaborado por Milgrom e Segal (2002). Vamos

apresentar parte desse trabalho, a fim de empregá-la na obtenção dos resultados estabelecidos

por Benveniste e Scheinkman (1979). Ou seja, vamos utilizar parte dos resultados alcançados

por Milgrom e Segal (2002), a fim de reescrevermos o problema analisado por Benveniste e

Scheinkman (1979) em um formato mais acessível e tratável sem, contudo, deixar de alcançar

os mesmos resultados.

Esta dissertação é constituída de quatro capítulos além desta introdução e de sua

conclusão. O primeiro capítulo trata da apresentação de três formas inter-relacionadas de se

descrever um problema de Otimização Dinâmica: Controle Ótimo, Cálculo Variacional e

Programação Dinâmica; além disso, conceituamos variável de estado e estabelecemos a

função valor-ótimo nessa classe de problemas. Por fim, apresentamos o Teorema do Envelope

para os casos estático e dinâmico, ressaltando sua relevância em análise de estática

comparativa. No segundo capítulo, apresentamos o conceito de correspondências e a noção de

hemicontinuidade para as mesmas. Além disso, estabelecemos alguns importantes lemas

sobre funções côncavas, os quais serão amplamente utilizados nas derivações presentes nos

dois capítulos finais. O terceiro capítulo trata da apresentação do trabalho publicado por

Benveniste e Scheinkman (1979). Neste capítulo apresentaremos a nova versão para o lema

fundamental daquele trabalho e em seguida, vamos estabelecer a diferenciabilidade da função

valor-ótimo na classe de problemas de Cálculo Variacional com horizonte infinito para os

casos de tempo discreto e tempo contínuo, seguindo o formato adotado no trabalho original.

Finalmente, no quarto capítulo, vamos apresentar parte do trabalho elaborado por Milgrom e

Segal (2002) e utiliza-la para estabelecer a diferenciabilidade da função valor-ótimo na

mesma classe de problemas que Benveniste e Scheinkman (1979), entretanto, após reescrever

o referido problema de forma mais acessível, tornando mais clara a aplicabilidade do Teorema

do Envelope.

CAPÍTULO 1 CÁLCULO VARIACIONAL E TEOREMAS DE

ENVELOPE:

INTRODUÇÃO:

Neste capítulo apresentaremos a classe de problemas que é objeto de estudo deste

trabalho, ou seja, problemas de otimização dinâmica. O enfoque dado ao referido assunto,

neste primeiro capítulo, visa apresentar e esclarecer as idéias básicas que estão por trás dessa

classe de problemas. Além disso, um dos objetivos deste capítulo é apresentar, de forma

genérica, o amplamente utilizado teorema do envelope. Neste primeiro momento, a

preocupação é definir e explicitar as vantagens e os motivos que levam ao interesse por esse

teorema como, por exemplo, sua importância na análise de estática comparativa, tão presente

em Economia. Entretanto, não serão discutidas ainda as condições necessárias e suficientes

que garantam a aplicabilidade do referido teorema.

O presente capítulo está dividido, além desta introdução e da conclusão, em três

seções: a primeira traz a apresentação de três tipos de problemas inter-relacionados de

otimização dinâmica, são eles: controle ótimo, cálculo variacional e programação dinâmica.

Sendo que programação dinâmica será abordada em tempo discreto, cálculo variacional em

tempo contínuo e controle ótimo em ambas as formas. A segunda seção visa melhor explicar e

conceituar variáveis de estado e, conseqüentemente, estabelecer a função valor-ótimo, sobre a

qual aplicaremos posteriormente o teorema de envelope. Na última seção serão apresentados

os teoremas de envelope para os casos estático e dinâmico, ressaltando sua importância e

aplicabilidade em análise de estática comparativa.

1.1 OTIMIZAÇÃO DINÂMICA:

Esta seção baseia-se fortemente em Van Long e Leonard (1992) e em Kamien e

Schwartz (1993). E, como dito anteriormente, visa esclarecer a classe de problemas de

otimização dinâmica.

1.1.1 Controle Ótimo:

Comecemos considerando um sistema dinâmico, por exemplo, uma economia

qualquer. Algumas variáveis podem ser identificadas por descrever o estado desse sistema em

cada instante do tempo: são chamadas de variáveis de estado – por exemplo, o estoque de

bens presente nessa economia em um dado instante. A taxa de variação ao longo do tempo no

valor de uma variável de estado pode depender do valor da própria variável, (do próprio

tempo), ou de alguma outra variável, a qual pode ser controlada em qualquer período pelo

operador do sistema. Esse tipo de variável é chamado variável de controle – por exemplo, o

fluxo de bens consumidos em um dado instante. As equações que descrevem a taxa de

variação das variáveis de estado são geralmente equações diferenciais. Logo, temos um

sistema dinâmico, pois a partir do momento em que são escolhidos os valores das variáveis de

controle em cada data, as taxas de variação nos valores das variáveis de estado são então

determinadas para cada período, e conseqüentemente – a partir de seus valores iniciais dados

– são determinados todos os valores futuros das variáveis de estado. Por exemplo, o padrão

de consumo da economia determina o investimento líquido e, portanto, a acumulação de

estoque de capital ao longo do tempo. Note que o objeto controlado em um sistema

geralmente contribui com um dado objetivo. Por exemplo, os valores de consumo, estoque de

capital, e tempo determinam o bem-estar da comunidade em cada instante do tempo, e o

objetivo é maximizar o bem-estar total ao longo de um horizonte temporal fixo, dados valores

específicos de estoque no início e no fim do período.

Vamos agora definir formalmente um problema de controle ótimo simples. Para todo t

encontre c(t) que maximiza:

( ( ), ( ), ) (1.1)

s.a. ( ( ), ( ), ) (1.2)

(0) ; ( ) (1.3)

Vvstcttdt

sfstctt

sssTs

∫

onde s(t) é a variável de estado, ()st

é a taxa de variação da variável de estado em relação

ao tempo, c(t) é a variável de controle, e t denota a data; o intervalo ],0[ T é o horizonte de

planejamento, s

e s

são os valores que a variável de estado deve assumir nos limites desse

horizonte. Os valores de T, s

e s

são especificados exogenamente.

Podemos ainda apresentar um problema de controle ótimo em tempo discreto. Nesse

caso, o horizonte consiste de T períodos, t = 1, 2, ..., T, ao invés de um intervalo contínuo.

Desse modo, temos um problema de maximização com restrição que apresenta uma estrutura

recursiva especial. Escrito de outra forma: ache c(1), c(2), ..., c(T) que maximiza:

( ( ), ( ), ) (1.4)

s.a. ( 1) ( ) ( ( ), ( ), ); 1,2,..., (1.5)

(1) ; ( 1)

Vvstctt

st st f st ct t t T

sssT s

+− = =

=+=

∑

(1.6)

Este é o problema discreto análogo ao formulado em (1.1) – (1.3). A equação em

diferença (1.5), que descreve como a variável de estado varia de um período para o próximo,

substitui a equação diferencial (1.2), que descreve a variação a cada instante. Os símbolos s(t)

e c(t) denotam, respectivamente, os valores da variável de estado e variável de controle no

início do período t. Logo, especificar um valor para s(T+1) é o mesmo que requerer que a

variável de estado assuma este valor no fim do período T. Somos livres para escolher

quaisquer valores para c(t) e s(t) que maximizem (1.4) desde que as restrições (1.5) e (1.6)

sejam satisfeitas.

1.1.2 Cálculo Variacional:

Na subseção precedente estudamos o problema de encontrar (s(t) e c(t)) que maximiza:

( ( ), ( ), ) (1.7)

s.a. ( ) ( ( ), ( ), ) (1.8)

(0) ; ( ) (1.

Vvstcttdt

st f st ct t

sssTs

∫

9); (1.10)

Supondo que possamos explicitar c(t) em função de

(), () e st st t

, temos:

( ) ( ( ), ( ), ) (1.11)ct st st t

Substituindo (1.11) em v(s, c, t) obtemos:

( ( ), ( ), ) ( ( ), ( ( ), ( ), ), ) (1.12)vstctt vst ststtt

O lado direito de (1.12) é uma função de s(t),

()st

e t. Daremos a essa função um

nome,

((),(),)Fst st t

. Então o problema (1.7) torna-se: achar s(t) e também ()st

que

maximiza:

( ( ), ( ), ) (1.13)

s.a. (0) ; ( ) (1.14)

Fst st tdt

sssTs==

∫

Este problema está escrito no formato de Cálculo Variacional, no qual a variável de

escolha é a taxa de variação da variável de estado. Note que um problema de Controle Ótimo

é mais geral que um problema de Cálculo Variacional, pois todo problema variacional da

forma de (1.13) sujeito a (1.14) pode ser escrito como um problema de Controle Ótimo. Basta

fazermos ( ) ( )st ct

. Enquanto que um problema de Controle Ótimo poderá ser escrito na

forma de um problema variacional, apenas quando for possível reescrever a restrição (1.8) de

modo a explicitar c(t) em função de ( ), ( ) e st st t

1.1.3 Programação Dinâmica:

Na subseção 1.1.1, introduzimos um problema de otimização em tempo discreto. Um

método alternativo de resolver este tipo de problema é através de programação dinâmica, a

qual explora a natureza recursiva do problema (1.4). Para mostrar isso, vamos primeiramente

reescrever (1.4) e (1.5) em um formato mais conveniente para o nosso atual interesse. O

problema é encontrar c(1), c(2), ..., c(T) que maximiza:

( ( ), ( )) (1.15)

s.a. s(t 1) ( ( ), ( )); 1,2,..., (1.16)

(1) ; ( 1)

Vvstct

hstct t T

sssT s

+= =

=+=

∑

(1.17)

onde s

e s são fixados exogenamente.

A terminologia usual de programação dinâmica é como se segue: Em (1.15),

))(),((

tctsv

é o benefício líquido no tempo t. A equação (1.16) é chamada de função de

transição em

t. O subscrito t em v

e h

indica que estas funções podem depender de t.

O problema (1.15), sujeito a (1.16) e (1.17), é uma versão discreta de um problema de

controle e tal qual possui duas propriedades fundamentais de separabilidade e aditividade ao

longo dos períodos de tempo. Mais precisamente,

i) para qualquer

t, as funções v

e h

dependem de t e dos valores correntes das

variáveis de estado e de controle, mas não dos seus valores passados ou futuros;

ii) o maximizante

V é a soma das funções de benefício líquido.

Essas propriedades tornam possível a solução do problema por indução retroativa. Este

método consiste em resolver o problema para o último período, tomando como dado o valor

da variável de estado e resolvendo para trás até o primeiro período, quando de fato sabemos o

valor da variável de estado. Obtemos então a solução ótima ao remontar os passos a partir da

origem, empregando o valor inicial da variável de estado.

1.2 VARIÁVEIS DE ESTADO E A FUNÇÃO VALOR-ÓTIMO:

Nesta seção vamos esclarecer o que vem a ser uma variável de estado em um problema

de otimização intertemporal e como essa variável é utilizada na constituição da função valor-

ótimo. Escrito dessa maneira, um problema de otimização dinâmica estará expresso em

função de uma única variável ou um subconjunto de variáveis.

1.2.1 Variáveis de estado e variáveis de escolha:

Ainda que um sistema econômico consista de várias variáveis (por exemplo, capital,

trabalho, produto, salários, taxas de juros), um subconjunto dessas variáveis geralmente

resume satisfatoriamente o estado do sistema em qualquer ponto do tempo, no qual o

comportamento de todas as outras variáveis pode ser derivada a partir do comportamento

desse subconjunto. Por exemplo, no modelo de crescimento de Solow com dois fatores,

retornos constantes a escala na função de produção implica que salários, taxas de juros, o

produto per capita são todos funções de

k, ou seja, a relação capital-trabalho (ou o estoque de

capital per capita, quando trabalho é igual à população). Se a força de trabalho cresce

exogenamente, produto total e capital total são imediatamente obtidos a partir de seus valores

per capita. O comportamento dinâmico de todas as variáveis pode então pode ser facilmente

derivado a partir do comportamento de uma única variável,

k. Desse modo, a relação capital-

trabalho,

k, determina inteiramente o estado da economia em cada ponto do tempo.

Chamamos

k uma variável de estado para o modelo de crescimento.

De forma mais geral, uma variável de estado é uma variável (ou um conjunto de

variáveis) cujo valor em um ponto do tempo determina inteiramente (juntamente com o valor

das outras variáveis do estado) o estado do sistema, isto é, os valores de todas as variáveis

relevantes do sistema. Para cada variável de não-estado, deveríamos ter uma equação

comportamental relacionando seu valor em

t aos valores das variáveis de estado em t (por

exemplo, produto per capita )(

kfy = ). (Aquelas variáveis que são constantes ao longo do

tempo não são consideradas variáveis de estado). A vantagem de se definir variáveis de estado

é a redução do número de variáveis que precisamos trabalhar, reduzindo assim a

complexidade do sistema.

Variáveis de estado são mais comumente usadas em sistemas dinâmicos, pois a

evolução dessas variáveis ao longo do tempo determina a evolução do sistema. Mais

precisamente precisamos de uma equação de transição para cada uma dessas variáveis, a fim

de descrever seu comportamento dinâmico (e, desse modo, o comportamento dinâmico do

sistema). No tempo discreto, uma equação de transição dá o valor da variável de estado no

tempo

t + 1 como uma função de todas as variáveis de estado no tempo t.

Para resumir, a equação comportamental para uma variável relacionando seu valor em

um ponto do tempo às variáveis de estado na mesma data (por exemplo, )(

kfy

combinada com as equações de transição e com um valor inicial para as variáveis de estado,

implica que a seqüência completa de variáveis a partir do tempo zero até o último período é

uma função das variáveis de estado no tempo 0.

Em um modelo de comportamento otimizador freqüentemente distinguimos variáveis

de estado das variáveis de escolha, estas são escolhidas pelo agente otimizador, enquanto que

uma função da variável de estado descreve o estado no início do período no qual a escolha é

feita. Grosso modo, distinguimos aquelas variáveis cujo valor é “transferido à frente”

daquelas escolhidas dentro do período. Por exemplo, no problema de crescimento ótimo,

consumo em

t é uma função do capital em t. Note que a variável de estado em t + 1 pode ser a

variável de escolha em

1.2.2 A Função Valor-ótimo:

O conceito de função valor-ótimo pode ser visto como desdobramento do conceito de

uma variável de estado. Conceitualmente, o que significa uma função valor-ótimo? Significa

que o valor presente descontado máximo da função objetivo, a partir de um ponto do tempo,

pode ser expresso como uma função das variáveis de estado naquela data. Isto é, a utilidade

máxima obtenível a partir do tempo zero é uma função do estado do sistema em zero e a

função valor-ótimo é a função que resume esta relação.

Para ficar claro, sejamos mais específicos. Sejam as variáveis de estado em um ponto

no tempo variáveis que determinam todas as demais variáveis no tempo corrente (via

equações de transição) e nas datas futuras, incluindo aquelas que entram na função objetivo;

elas determinam o valor máximo obtenível desta função. Por exemplo, no problema de

crescimento,

determina k

t+1

, o qual determina k

t+2

, et cetera. k

, conseqüentemente,

determina o valor maximizante da utilidade de

, c

t+1

, c

t+2

, et cetera, e este valor máximo

obtenível é simplesmente

V(k

). Não precisamos saber quais são esses valores para

compreender que há um máximo o qual é inteiramente determinado por

1.3 TEOREMAS DE ENVELOPE:

Nesta seção vamos apresentar o Teorema de Envelope para os casos estático e

dinâmico, ressaltando a importância desse teorema em análise de estática comparativa, tão

presente em modelos de Teoria Econômica.

1.3.1 Teoremas de Envelope Estáticos:

Teoremas de envelope são empregados para obter resultados de estática comparativa.

A identidade de Roy, equação de Slutsky, lema de Shepard, lema de Hotelling são

estabelecidos via teoremas de envelope. Estes teoremas são importantes para a análise de

sensibilidade da função valor-ótimo em relação às perturbações na função-objetivo e na

restrição e são empregados em teoria dos jogos, desenho de mecanismos e análise de erro,

além dos usos mais conhecidos em Microeconomia.

Um teorema de envelope é um resultado que estabelece condições através das quais a

função de valor-ótimo

()

sup ( , ) ( )

xFy

xy Vy

∈

é diferenciável e obtém uma expressão para a

diferencial desta função.

Os mais conhecidos envelopes usados em estática comparativa estão expostos abaixo.

YyyF ∈≠ todopara )(int

.)(int)}(),(/)({)max(arg

≠

⊆

∈= yFyVyxfxFxy

Caso

f seja diferenciável em )(*)max(arg yxy

então

Langrange. de doresmultiplica ntescorreponde são ))(*()),...,(*( onde

)),(*()).(*(...)),(*()).(*()),(*()(

yxyx

yyx

yxyyx

iii

λλ

∂

O reconhecimento da importância destes teoremas para a análise econômica se deve a

Samuelson: “para que a análise seja útil ela tem que fornecer informações do modo em que

nossas quantidades de equilíbrio irão variar como resultado das variações dos parâmetros

tomados como dados independentes”. Samuelson define equilíbrio como “... os valores das

variáveis determinados por um conjunto de condições...”, ou seja, genericamente equilíbrio é

o conjunto de pontos

x = (x

, ... ,x

) de um sistema de equações

kixxf

,...,1 ,0),...,(

O conjunto de condições é representado pelas equações f

= 0, ou seja, os equilíbrios

são os valores de uma multifunção. Mas Samuelson acrescenta: “Dificilmente bastaria,

contudo mostrar que em certas condições podemos indicar relações (equações) suficientes

para determinar o valor de nossas incógnitas. É importante que nossa análise se desenvolva de

forma a nos auxiliar a determinar como nossas variáveis se modificam qualitativamente ou

quantitativamente em face da ocorrência de mudanças nos dados explícitos. Assim

introduzimos explicitamente em nosso sistema certos dados sob a forma de parâmetros, que,

ao mudar, provocam variações em nossas relações funcionais”. Traduzindo matematicamente:

tomamos um sistema de n equações,

nixxf

,...,1 ,0),...,,...,(

αα

Em n + m incógnitas. O conjunto de equilíbrio, ou seja, o conjunto dos pontos

(, )

∈ pode, sob algumas condições, ser localmente representado por n funções

))(),...,(()(

ααα

xxgg = pelo teorema da função implícita. As variações das quantidades

de equilíbrio em função dos parâmetros,

, são obtidas resolvendo os sistemas:

ααα

∂

−=⋅

∂

++⋅

∂

−=⋅

∂

++⋅

∂

...

para j = 1, ..., m.

Em economia, usualmente, o equilíbrio é obtido através das condições de primeira ordem

para extremos de alguma função, como por exemplo, ),(),(),,(

xgxfxL +

, os

equilíbrios são dados pelas equações:

.,...,1 ,0)*,()*,()*,(

nix

∂

⋅+

∂

αλαα

Respeitadas certas condições, obtemos os equilíbrios )(*

x via teorema da função

implícita. Na década de sessenta, Samuelson amplia a análise iniciada em “Foundations”

introduzindo o que posteriormente Silberberg chamou de metodologia primal-dual.

Suponhamos que o parâmetro ),( ba

∈

. Samuelson troca o problema

)( s.a.

),(max)(

xfV

∈

pelo problema primal-dual

b)(a, e )( s.a.

)(),(max

∈∈

−

αα

Vxf

)(*

é solução do problema acima então,

. )(,0)(),(

0)()),(*(

ααα

FxVxf

Vxf

∈∀≤−

−

Logo, fixado )(*

x , a função )(),(),(

Vxfxz

−

tem um máximo em

, e

este é um problema sem restrição em

. Portanto,

,0)()),(*()),(*( =

∂

−

∂

αα

jjj

que é o teorema do envelope.

Consideremos o problema com restrição:

0),(,...,0),( s.a.

),(max)(

αα

xgxg

xfV

O problema primal-dual é

0),(,...,0),( s.a.

)(),(),(max

),(

−=

αα

ααα

xgxg

Vxfxz

Se )(*

x é um máximo de ),(

xz com as restrições

0),(,...,0),(

xgxg

Definindo o lagrangeano

),,(...),()(),(),(*

k11

xgxgVxfxL

⋅

−

Obtemos,

(*(),) (*(),) () (,)... (,) 0,

jjjj j

LfVg g

xx x x

αα αα α λ α λ α

αααα α

∂∂∂∂ ∂

−+⋅ ++⋅ =

∂∂∂∂ ∂

que é o teorema do envelope.

1.3.2 Teoremas de Envelope Dinâmicos:

Derivadas da função valor-ótimo em cálculo das variações aparentemente surgem na

década de 1970. Hadley e Kemp (1971), obtém expressões para as derivadas parciais de

0011

(, ,,) max (,(),())

s.a. x(t ) , ( ) ,

Jab ftxtxtdt

xt x

αβ

∫

ao considerar as curvas soluções

)(* tx

que passam pelos pontos

(,) e (,)ab

. Oniki (1973)

sugere uma fórmula para a derivada da função valor-ótimo em relação aos parâmetros

exógenos num problema de controle ótimo. O mesmo faz Epstein (1978), calculando as

derivadas de primeira e segunda ordens para a função valor-ótimo em relação às variáveis

exógenas num problema de controle ótimo.

Nos textos de macroeconomia implicitamente se faz uso de teoremas de envelope

dinâmicos quando se analisa a alteração nas trajetórias causadas por variação de algum

parâmetro exógeno. Por exemplo, no modelo de crescimento neoclássico,

()max (())

sa ( ) ( ( )) ( ) ( ),

( ) , ( ) 0, ( ) 0.

Vk B e Uct dt

kt fkt ct bkt

kt k ct kt

+∞

−⋅

=⋅ ⋅

=−−⋅

=≥≥

∫

Queremos saber como V responde ao parâmetro k

. Este problema pode ser

transformado no problema variacional

()max ((()) () ())

s.a. ( ) , ( ) 0.

Vk B e Ufkt bkt kt dt

kt k kt

+∞

−⋅

=⋅ ⋅ −⋅−

=≥

∫

Em outras palavras, estamos interessados em saber se V é diferenciável com relação ao

parâmetro k no ponto k

. E ainda qual a expressão para essa derivada.

CONCLUSÃO:

Portanto, neste primeiro capítulo apresentamos as principais formas de se descrever

um problema de Otimização Dinâmica; destacamos a importância das variáveis de estado

nessa classe de problemas, além de sua importância na formulação da função valor-ótimo. Por

fim, apresentamos as mais conhecidas formas de se estabelecer o teorema de envelope,

abordando os casos estático e dinâmico. A apresentação destes conceitos é importante neste

trabalho, pois estamos interessados na aplicabilidade do teorema de envelope sobre uma

determinada função valor-ótimo, a qual descreve um problema de Cálculo Variacional com

horizonte infinito.

CAPÍTULO 2 DEFINIÇÕES BÁSICAS:

INTRODUÇÃO:

Um conceito importante em problemas de otimização parametrizada é o conceito de

correspondências. Por exemplo, preferências são correspondências. Estas surgem

inevitavelmente em teoria econômica porque o problema básico é a análise da escolha, através

de algum critério, de pontos em determinados conjuntos. Este critério geralmente não

determina um único ponto. São exemplos: a maximização da utilidade dentro do conjunto de

possibilidades de consumo do agente sujeito a uma restrição orçamentária e a minimização da

função perda social dentro de um conjunto de possibilidades de trajetória para a inflação

esperada. Em todos esses problemas o subconjunto das escolhas ótimas não é necessariamente

formado por um ponto ou trajetória. As escolhas ótimas podem ser muitas ou não existirem.

Também muito importante em problemas de otimização em Economia são as funções

côncavas. Estas possuem propriedades interessantes para modelos econômicos. Por exemplo,

os pontos críticos de uma função côncava são máximos globais; a soma ponderada de funções

côncavas é uma função côncava; e os conjuntos de nível de uma função côncava possuem o

formato apropriado para as teorias de consumo e produção.

Dividiremos, portanto, o presente capítulo em duas seções além desta introdução. Na

primeira seção abordaremos o conceito de correspondências e estabeleceremos a

hemicontinuidade para correspondências. Além disso, vamos estabelecer a concavidade da

função valor-ótimo em um problema de maximização em que a função objetivo é côncava e a

correspondência sobre a qual se maximiza é convexa. Na segunda seção apresentaremos

alguns resultados sobre funções côncavas e suas derivadas direcionais, os quais serão

utilizados no desenvolvimento dos capítulos posteriores.

2.1 CORRESPONDÊNCIAS:

Em problemas de otimização, pontos ótimos podem não ser únicos. Para cada conjunto

de valores dos parâmetros podemos ter inúmeras soluções e, portanto, a relação que associa os

parâmetros aos pontos pode não ser uma função. Correspondências aparecem na literatura

matemática e econômica com designações diferentes: set-valued functions, multivalued

functions, multifunctions, point-to-set maps são algumas das expressões empregadas.

Formalmente, uma correspondência

:FX Y→ , do conjunto X no conjunto Y, é uma

parte do plano cartesiano

Y× , isto é, .FXY⊆× Além disso, pode ser definida como: dados

os conjuntos ,

XY⊆  , uma correspondência :FX Y→ é uma regra que designa um

conjunto ( )Fx Y⊆ para cada

X∈ . Note que funções :

XY→ são um tipo particular de

correspondência de X em Y tais que a cada

∈

existe apenas um yY∈ associado, isto é, se

(,),(,') '.

yxy f yy∈⇒=

Dada uma correspondência

:FX Y→ , definimos dois tipos diferentes de imagens

inversas de :

Y⊆

{}

() / () ;

() / () .

FB xXFxB

−

=∈ ∩≠

=∈ ⊆

(), ()FBFB

−+

são ditas imagens inversas inferior e superior, respectivamente.

Na década de 1930, Boulingand, Kuratowski e Blanc (Aubin, 1990 e Rockafellar,

1998) estenderam o conceito de continuidade de funções para correspondências. Os principais

conceitos de continuidade para correspondências são os de hemicontinuidade inferior e

superior. Intuitivamente, o significado da hemicontinuidade inferior num ponto

é que em

torno de

os conjuntos ()Fx não podem ser muito “menores” que o conjunto

()Fx . O

significado da hemicontinuidade superior num ponto

é que em torno de

os conjuntos

()Fx

não podem ser muito “maiores” que o conjunto

()Fx . Dito de outra forma,

hemicontinuidade superior é compatível com descontinuidades que aparecem como

“explosões” de conjuntos, enquanto hemicontinuidade inferior é compatível somente com

“implosões” de conjuntos.

Sejam

X e Y espaços topológicos. Dizemos que F é hemicontínua superior (uhc) em

X∈ se para toda a vizinhança aberta

de (),VY Fx⊆ existe vizinhança aberta UX⊆ de

tal que se

entao ( ) ,

UFxV∈⊆

isto é, as imagens inversas superiores de vizinhanças

abertas de

()Fx são vizinhanças abertas de

. De maneira similar, dizemos que F é

hemicontínua inferior (lhc) em

se para todo aberto VY⊆ tal que

()Fx V

∩≠ existe

vizinhança aberta UX⊆ de

tal que se entao ( ) .xU Fx V

∈

∩≠

Em outra palavras, as

imagens inversas inferiores de abertos que interceptam

()Fx são vizinhanças abertas de

Se diz que F é hemicontínua (hc) (contínua) em

se for uhc e lhc em

Dizemos que F é hemicontínua superior em X se for hemicontínua superior em todos

os pontos de X. Igualmente, se diz que F é hemicontínua inferior em X se for hemicontínua

inferior em todos os seus pontos. Neste caso, podemos caracterizar a hemicontinuidade

superior dizendo que F é hemicontínua superior se a imagem inversa superior ( )FG

de todo

aberto G de Y é aberto de X e F é hemicontínua inferior se a imagem inversa inferior ( )FG

−

de todo aberto G de Y é aberto de X.

Se ( )Fx for um conjunto fechado ou compacto para todo

X∈ , dizemos que F é

valor-fechado ou valor-compacto. Se Y for um espaço vetorial e F(x) for convexo para todo

X∈ , dizemos que F é valor-convexo.

Se o gráfico de F,

{

}

() (,) / (),graf F F x y X Y y F x== ∈× ∈

é um subconjunto fechado de

Y×

dizemos que F é fechado. Se X e Y são espaços vetoriais

F for convexo dizemos que F é convexa.

Caso as topologias de X e Y satisfaçam o primeiro axioma da enumerabilidade, isto é,

cada ponto do espaço tenha uma base de vizinhanças enumerável, então podemos caracterizar

a hemicontinuidade inferior e superior através de seqüências. Este é o caso de espaços

métricos, por exemplo. Em termos de seqüências, temos:

Definição 2.1: Uma correspondência

→ é hemicontínua inferior (lhc) em x se

()

Γ é não-vazia e se, para todo ( )

∈

Γ e toda seqüência ,

x→ existe 1N ≥ e uma

seqüência

{

}

∞

tal que e ( ),

nnn

yy x→∈Γ para todo .nN≥

Definição 2.2: Uma correspondência valor-compacta

→ é hemicontínua

superior (uhc) em x se

()

é não-vazia e se, para toda seqüência ,

x→ e toda seqüência

{

}

y tal que ( ),

x∈Γ para todo n, existe uma subseqüência convergente de

{

}

y , cujo

ponto limite y está em ( )

Γ .

Os próximos dois resultados provêem condições sobre graf (F) que são suficientes

para garantir as hemicontinuidades superior e inferior respectivamente de

.Γ

Teorema 2.1: Seja

YΓ→ uma correspondência não-vazia, seja A o gráfico de .

Suponha que A

seja fechado e que para qualquer conjunto limitado

X⊆ , o conjunto

()

é limitado. Então Γ é valor-compacto e uhc.

O próximo teorema diz respeito à hemicontinuidade inferior. Para qualquer

∈



qualquer

> , seja

(,)

uma bola fechada de raio

centrada em x:

{

}

(,) ' : ' .Bx x X x x

=∈ −≤

Teorema 2.2: Seja

YΓ→

uma correspondência não-vazia, seja A o gráfico de .

Suponha que

A seja convexo e que para qualquer conjunto limitado

X⊆ , há um conjunto

YY⊆ tal que

()xY

Γ∩≠, para todo

;

X∈ e que para todo

∈

, existe algum 0

> tal

que o conjunto

(,)

∩

é fechado e convexo. Então

é lhc.

2.1.1 Correspondências Convexas e a Concavidade da Função Valor Ótimo:

Vamos agora estabelecer a concavidade da função valor-ótimo num problema de

maximização de uma função objetivo côncava sobre uma correspondência convexa.

Comecemos pela seguinte definição:

Definição 2.3: Dizemos que :

gX Y→ é uma correspondência convexa se

∈

tal que

()ygx∈ e

()ygx∈ implica

12 12

[(1 ) ] ((1 ) );0 1yyg xx

λλλλ

−

+∈−+ ≤≤.

Dada essa definição, vamos apresentar um lema que estabelece a concavidade da V:

Lema 2.1: Seja o seguinte problema de maximização, supondo que este possua

*( ) ( )

xgx∈ que soluciona:

( ) max ( , )

. . ( )

onde : e uma funçao concava

: e uma correspondencia convexa

Vx fxy

sa y g x

fXY

gX Y

∈

′

×→

′

→



Então, podemos afirmar que

V(x) é uma função côncava.

Prova:

12 12 12

((1 ) ) ((1 ) ); *((1 ) ))Vxxfxxy xx

λλλλλ

−

+ =−+ −+

Como g(.) é convexa então:

12 12

(1 ) * ( ) * ( ) ((1 ) )yx yx g x x

λλλ

−+∈−+ e

12 12 1 2

((1 ) ) ((1 ) );(1 ) *( ) *( ))V x x f x x yx yx

λλλλλ

−

+≥−+ − +

Devido à concavidade da f:

12 11 22

((1 ) ) (1 ) ( , ) ( , )Vxx fxyfxy

λλ λ λ

−+≥− +

Então:

12 1 2

((1 ) ) (1 ) ( ) ( )Vxx VxVx

λλλ

−

+≥− +

Logo V é côncava.

2.2 FUNÇÕES CÔNCAVAS E SUAS DERIVADAS DIRECIONAIS:

Nesta seção vamos desenvolver e mostrar alguns resultados referentes a funções

côncavas e o comportamento de suas derivadas direcionais. Esses resultados nos auxiliarão na

demonstração e posterior modificação do lema proposto por Benveniste e Scheinkman (1979).

Vamos considerar uma função côncava. Tomemos três pontos distintos pertencentes a

essa curva. Construamos (tracemos) então cordas abaixo dessa função ligando os três pontos

tomados dois a dois. O objetivo é extrair relações entre as inclinações das referidas retas. Um

resultado conhecido sobre funções côncavas na reta nos diz que:

Lema 2.2:

32 31 21

12 3 2 1 3

:. e concava

() () () () () ()

para todo x , x , x tal que x (1 ) ; (0,1)

Intervalo

xx xxxx

xx xx xx

ϕϕ ϕϕ ϕϕ

λλλ

′

⊆→ ⇔

−−−

≤≤

−−−

=− + ∈



Este resultado podemos generalizar para funções côncavas definidas em convexos do

 .

Lema 2.3:

ˆˆ

: , e concava e concava quando

restrita aos segmentos de reta que unem os pontos de .

convexo n

fD f f

′′

⊆→ ⇔



Temos que:

() (´) (´´) ()(´´) (´)

´´´´´´

xfx fxfxfx fx

xx xx xx

−−−

≥≥

−−−

Essas relações surgem naturalmente da observação das inclinações das retas que ligam os três

pontos escolhidos. Juntamente com o lema 2.3 podemos estabelecer o seguinte resultado:

Lema 2.4:

: ; f concava

( ´´) ( ) ( ) ( ´)

( ´´) ( ´)

´´ ´´ ´ ´

para todo x´, x , x´´ tal que x (1 ) ´ ´´; (0,1)

aberto convexo

fx fx fx fx

fx fx

xx xx xx

λλλ

⊆ℜ ⇔

−−

−

≤≤

−−−

=− + ∈

Prova:

→

Se f é côncava então f é côncava quando restrita aos segmentos de reta contidos no seu

domínio, isto é,

(t) ((1 ) ´ ´´) e concava;ftxtx

′

−+ se ´, ´´ .

∈

De modo que:

(1) ( ´´)

( ) ((1 ) ´ ´´) ( )

(0) ( ´)

xx fx

ψλ λ λ

=−+=

Logo:

( ) (0) (1) (0) (1) ( )

(2.1)

λψ ψ ψ ψ ψλ

λλ

−−−

≥≥

−

Mas:

(1 ) ´ ´´

´ ( ´´ ´)

´(´´´)

´´´´

´´ ´

xx xx

xxx

=− +

=+ −

−= −

−

´´ (1 ) ´ (1 ) ´´

´´ (1 )( ´ ´´)

´´ (1 ) ´ ´´

´´

(1 )

´´´

xxx

xx xx

−

=− −−

−=− −

−

−=

−

Substituindo

(t)

, λ e 1-λ em (2.1) temos:

() (´) (´´) ()

( ´´) ( ´)

´´´

´´ ´ ´´ ´

xfx fxfx

fx fx

xx xx

−−

≥−≥

−−

Multiplicando-se cada termos por

´´ ´

−

, temos:

() (´) (´´) ()

(´´) (´)

´´´´´´

xfx fxfx

fx fx

xx xx xx

−−

−

≥≥

−−−

←

Da mesma maneira, se

ˆˆ

(.) e concava sobre cada linha e concavaf

′

⇒

Como vimos

(t)

é côncava sobre cada linha, pois:

( ) (0) (1) (0) (1) ( )

λψ ψ ψ ψ ψλ

λλ

−−−

≥≥

−

O que, como foi mostrado, implica

f côncava.

Outro conceito importante para os problemas que estamos tratando é o conceito de

derivadas direcionais. Em funções côncavas, as derivadas direcionais pela direita não podem

ser menores que aquelas pela esquerda. Esse resultado está resumido no seguinte lema:

Lema 2.5:

aberto, convexo

: ; f concava.

entao:

i) existem as derivadas direcionais ( ) e ( )

ii) ( ) ( )

−

+−

⊆→

∂∂

≤

∂∂



Prova:

Por definição:

()()

()lim

onde u e um vetor e e um escalar.

def

fx tu fx

→

−

∂

′′

Recordemos a seleção de pontos para a função f e escrevamos esses pontos da seguinte

maneira:

´´

´´ ´´

xtu

É importante notar que os vetores em

x´e x´´ têm sentidos opostos e aqui

convencionamos, sem perda de generalidade, que

´0 e ´´0tt

> . Podemos então escrever:

(´´) ´´´´

(´) ´ ´

tu x tu t u

+−= =

+−= =−

rrr

Pela concavidade da f, usando o lema 2.4:

000000

( ´´) ( ) ( ´´) ( ´) ( ) ( ´)

´´ ( ´´ ´) ´

xtu fx fxtu fxtu fx fxtu

tu t tu tu

−+−+−+

≤≤

−−

rrrr

rrr

Então para

´ 0 ´´:tt

0000

(´´)()(´)()

´´ ´

(´´)()(´)()

´´ ´

xtu fx fxtu fx

tu tu

xtu fx fxtu fx

−+−

≤

+− +−

≤

Por outro lado, usando também o lema 2.3:

000 0

( ) () ( ´´) ()

; para ´´

´´

fx tu fx fx tu fx

tu t u

−+−

≥<

Logo:

00 00

()() ()()

lim ( ) sup ; 0

fx tu fx fx tu fx

existe x t

tut

→

+− +−

∂

⎧

⎫

⎨

⎬

∂

⎩⎭

Já para o caso da derivada direcional pela esquerda, temos:

()()

()lim

def

xtu fx

−

→

−

∂

Usando o mesmo raciocínio, mas escolhendo um

x qualquer entre x´e x

, podemos

escrever:

Pode ser +∞ caso estejamos num ponto de fronteira do domínio. No nosso caso o domínio é aberto. Logo as

derivadas são sempre limitadas.

000 0

()()(´)()

; para ´

()()(´)()

fx tu fx fx tu fx

tu tu

fx tu fx fx tu fx

tu tu

−++ −++

≤

−−

+− + −

≤

Logo:

()()

lim existe = ( )

fx tu fx f

−

→

+−

∂

Vamos utilizar o fato de que

f é côncava e que as derivadas direcionais existem. Seja

fixo e seja o mesmo conjunto de pontos escolhidos, como anteriormente. E usando

´ 0 ´´:tt<<

0000

(´´)()(´)()

´´ ´

xtu fx fxtu fx

−+−

≤

Então fazendo

´0 e ´´0tt

−+

→→

então:

() ()

−

∂

≤

∂∂

CONCLUSÃO:

Neste capítulo definimos conceitos e estabelecemos resultados que serão importantes

no desenvolvimento dos capítulos posteriores. Mostramos a concavidade de uma função

valor-ótimo em um problema de maximização em que a função objetivo é côncava e a

correspondência sobre a qual se maximiza é convexa. Além disso, mostramos que as

derivadas direcionais de uma função côncava existem e que essas derivadas pela direita não

são menores que aquelas pela esquerda.

CAPÍTULO 3 APRESENTANDO BENVENISTE & SCHEINKMAN

(1979).

INTRODUÇÃO:

Neste capítulo será apresentado o trabalho elaborado por Benveniste e Scheinkman

(1979). Ou seja, mostraremos sob quais condições torna-se possível estabelecer a

diferenciabilidade da função valor-ótimo na classe de problemas de Cálculo Variacional com

horizonte infinito. Os autores daquele trabalho utilizam um importante lema sobre a

diferenciabilidade da função valor-ótimo, o qual será fundamental para se alcançar os

resultados estabelecidos no artigo. Entretanto, vamos aqui reescrever esse lema de modo a

torná-lo mais geral e ainda com resultados mais poderosos. Feito isso, apresentaremos as

hipóteses que nos permitirão a aplicação do lema modificado a fim de se encontrar ou definir

uma expressão para a derivada da função valor-ótimo. Os desdobramentos necessários para

alcançarmos os resultados propostos, bem como as demonstrações dos teoremas serão

apresentadas em ambos os casos: tempo discreto e tempo contínuo.

Este capítulo está dividido em duas seções além desta introdução. Na primeira seção

apresentaremos uma nova versão para o lema de Benveniste e Scheinkman (1979). Na

segunda seção apresentaremos as hipóteses e o desenvolvimento necessários para se

estabelecer a diferenciabilidade da função valor-ótimo em problemas de Cálculo Variacional

com horizonte infinito em tempo discreto e em tempo contínuo.

3.1 OUTRA VERSÃO PARA O LEMA DE BENVENISTE E SCHEINKMAN (1979):

Nesta seção vamos utilizar alguns resultados estabelecidos no capítulo 2, a fim de

modificarmos um importante lema exposto originalmente no trabalho de Benveniste e

Scheinkman (1979). Este lema sobre a diferenciabilidade de uma função côncava foi a

principal ferramenta utilizada no referido trabalho. Na nova versão aqui proposta,

descartamos uma hipótese sobre uma função auxiliar

W(.) e ainda estabelecemos um resultado

mais poderoso no que diz respeito ao valor da derivada de uma função côncava

V(.) em

relação à função auxiliar

W(.) no ponto x

. A nova versão para o lema encontra-se logo

abaixo:

Lema 3.1: Seja

V uma função côncava valor real definida sobre um conjunto convexo

D ⊆  Se W é uma função diferenciável na vizinhança N de x

em D com a propriedade que

W(x

) = V(x

) e )()( xVxW ≤ para todo x em N, então V é diferenciável em x

).´()´(

xWxV =

Antes de demonstrá-lo relembremos que:

f é diferenciável em x

00 0

() ´(x)( x) ( x)

def

fx f x R x⇔= −+−

em que

(x)

lim 0

→

−

. Isto

é,

() ´( )( )

lim 0

fx f x x x

→

−−

−

Prova:

Seja x´´ livre e vamos escolher x´ tal que x

seja o ponto médio entre x´ e x´´:

´´´

= . Logo:

000

´´´´´´2 xxxxxxx

−

⇒+= .

Da concavidade da V e de acordo com o lema 2.4, apresentado no capítulo 2, sabemos

que:

´)()(

´´´

´)(´´)(

´´

)(´´)(

xVxV

−

≤

−

≤

−

Como W(x

) = V(x

) e )()( xVxW

≤

podemos escrever:

000

´´

)´´)(´()(´´)(

´´

)´´)(´()(´´)(

xxxWxVxV

xxxWxWxW

−

≤

−

−−

Esse resultado associado ao fato da V ser côncava implica (note que

´´´

xxx−= −):

000 000

0000 00

000

( ´´) ( ) ´( )( ´´ ) ( ´´) ( ) ´( )( ´´ )

´´ ´´

() (´) ´()(´´ ) () (´) ´()( ´)]

´´ ´

[(´) () ´()(´ )]

Wx Wx W x x x Vx Vx W x x x

xx xx

Vx Vx W x x x Wx Wx W x x x

xx xx

Wx Wx W x x x

−− − −− −

≤

−−

−− − − − −

≤

−−

−−− −

−

Note que quando

´ então ´´ xxxx →→ . Logo, fazendo ´´

xx → temos para o resto da

função W que:

00 0

00000

´´ x ´´ x ´´ x

000

(´´x) (´´) ( ) ´( )(´´ ) (´x)

lim lim lim

´´ x ´´ ´ x

xx x

Rx Vx Vx Wxxx Rx

xxxx

→→ →

−−−−−

≤≤

−−−

´´

)´´)(´()(´´)(

lim0

000

x´´

≤

−

≤

→

xxxWxVxV

Logo:

´´

)´´)(´()(´´)(

lim

000

x´´

−

→

xxxWxVxV

Então V é diferenciável em x

e ).´()´(

xWxV

Uma demonstração para um caso mais simples desse lema pode ser mais facilmente

alcançado quando definimos as funções , :VW →



 . Pelo lema 2.5 sobre derivadas

direcionais em funções côncavas sabemos que:

V é côncava, logo:

i) existem; )´( e )´(

+−

xVxV

ii)

. )´()´(

−+

≤ xVxV

Sejam x < x

)()( xVxW ≤

com W(x

) = V(x

), logo:

)()()()(

xVxV

xWxW

xVxVxWxW

−

≥

−

−≤−

Fazendo

−

→ xx

temos:

).´()´(

−−

≥ xVxW

Sejam x > x

)()( xVxW ≤

com W(x

) = V(x

), logo:

)()()()(

xVxV

xWxW

xVxVxWxW

−

≤

−

−≤−

Fazendo

→ xx temos: ).´()´(

≤ xVxW

Como W é, por hipótese, diferenciável em x

).´()´()´(

000

xWxWxW ==

−+

Além disso,

)´()´()´(

000

+−

≤≤ xVxWxV

. Mas como

)´()´(

+−

≤ xVxV

podemos concluir que

)´()´(

+−

= xVxV e ).´()´(

xWxV =

Essa nova demonstração nos permitiu modificar o lema original de uma forma

bastante interessante. Além de utilizarmos conceitos mais simples em sua demonstração não

fizemos uso da hipótese de concavidade da W e, além disso, ainda garantimos que as

derivadas da função V e da função W são iguais no ponto x

3.2 SOBRE A DIFERENCIABILIDADE DA FUNÇÃO VALOR-ÓTIMO EM

MODELOS DINÂMICOS:

O lema apresentado na seção anterior será utilizado a partir de agora para

encontrarmos um formato para a derivada da função valor-ótimo no ponto x

em uma classe

específica de modelos dinâmicos, tendo por base o trabalho de Benveniste e Scheinkman

(1979). A classe de problemas tratada diz respeito ao Cálculo de Variações em horizonte

infinito e abordaremos os casos para tempo discreto e tempo contínuo. Primeiramente, vamos

definir o problema a ser analisado:

(D) No tempo discreto, dado um conjunto de tecnologia

T ⊆ 

ache a seqüência

), t = 0,...,

∞

, a qual soluciona:

Max

(, ,)

..( , ) , e fixo

ux x t

sa x x T t x

∞

∈∀

∑

T ⊆  ache a trajetória

absolutamente contínua (x(t)), a qual soluciona:

Max

((), '(),)

. .( ( ), '( )) , e (0) fixo.

uxt xt tdt

sa xt x t T t x

∞

∈∀

∫

Dado um estado inicial x

com um padrão de solução associado a y(t, x

) as funções de

valor-ótimo são definidas para os casos discreto (D) e contínuo (C) como:

(D) V(x

) =

((, ),( 1, ),)

uytx yt x t

∞

∑

) =

((, ), '(, ),)uytx ytx tdt

∞

∫

3.2.1 Tempo Discreto:

Scheinkman e Benveniste (1979) apresentam um conjunto de hipóteses que nos

permite, com o auxílio do lema 3.1, encontrar V´(x

). Essas hipóteses são suficientes para se

estabelecer a diferenciabilidade para a função de valor-ótimo do problema (D) e estão listadas

a seguir:

Hip. 1: T é convexo e T

≠

Hip. 2: Para cada t, u(., ., t):

T →



é côncava e diferenciável.

Hip. 3: Uma solução ótima (não necessariamente única)

{}

(, )

ytx

∞

existe para (D)

em x

, e V(x) é bem definida para x em alguma vizinhança de x

Hip. 4: (x

, y(1, x

)) T∈

A hipótese 1 é uma hipótese padrão de convexidade em que T

≠

significa que o

conjunto dos pontos interiores de T não é vazio, a hipótese 2 é uma condição de

amortecimento em u, a qual é claramente necessária para a diferenciabilidade de V. A

hipótese 3 estabelece que a função de valor seja bem definida na vizinhança de x

; enquanto

que a hipótese 4 exige que o padrão ótimo de x

seja inicialmente interior. Como mostraremos

a seguir, essas hipóteses são suficientes para se estabelecer a diferenciabilidade da V para o

caso em que o tempo é discreto.

Para um problema de maximização, se

() ,

convexo

gx T x

∀

é uma correspondência

convexa e u é uma função côncava então podemos usar o lema 2.3 para concluir que V(x

) é

côncava. A fim de encontrarmos V´(x

) vamos construir W(x) da seguinte maneira:

000

() (,(1, ),0) ((, ),( 1, ),)

Wx uxy x uytx yt x t

∞

=+ +

∑

Note que )()( xVxW

≤ pois o x escolhido em W(x) para o primeiro período não é

necessariamente o x que maximiza, claro que

() ().Vx Wx

Além disso, se lembrarmos que

(, )

tx é a trajetória que maximiza e que V(x

) =

((, ),( 1, ),)

uytx yt x t

∞

∑

podemos

escrever essa função W(x) da seguinte forma:

0000

() (,(1, ),0) ( ) ( ,(1, ),0)Wx uxy x Vx ux y x=+−

Por hipótese W(.) é diferenciável em x

, logo:

000

´( ) ( , (1, ), 0)

Wx xy x

∂

Pelo lema 3.1, V é diferenciável em x

, logo:

00 00

´( ) ´( ) ( , (1, ), 0)

Vx Wx xy x

∂

Portanto, encontramos de acordo com Benveniste e Scheinkman (1979) uma expressão

para V’(x

). Esse resultado está estabelecido no seguinte teorema:

Teorema 3.1:

Sob as hipóteses 1, 2, 3 e 4, V é uma função diferenciável em x

com:

V’(x

) =

(,(1,),0)ux y x

∂

3.2.2 Tempo Contínuo:

Agora apresentaremos um conjunto de hipóteses para o caso contínuo, a fim de

garantir a diferenciabilidade da V em x

, assim como fizemos para o caso discreto. O novo

conjunto de hipóteses consiste em mantermos as hipóteses 1 e 3 do caso discreto e

substituirmos as hipóteses 2 e 4 pelas seguintes:

Hip. 2’:

:uT×→ é uma função continuamente diferenciável em T



, e

(.,., ):utT

→  é côncava..

Hip. 4’: Uma solução ótima {y(t, x

)} existe para o estado inicial x

, e esta solução é

interior no seguinte sentido: existe h>0,

> e M>0 tal que para 0 th

≤

≤ :

(, ), (, )

tx ytx M<



e se

(, ')

zz ∈  satisfaz:

(, ), (, ) (, ')ytx ytx zz

−≤



para algum

[

]

0,th∈ então ( , ')zz T∈ .

Com esse novo conjunto de hipóteses, é apresentado o seguinte teorema para o caso

contínuo.

Teorema 3.2: Sob as hipóteses 1, 2’, 3 e 4’, V é continuamente diferenciável em x

com:

0200

'()lim ((,),(,),)

Vx uytx ytx tdt

→

=−

∫

Onde u

é o vetor de derivadas parciais de u com respeito às suas primeiras n

coordenadas do

 e u

é o vetor de derivadas parciais de u com respeito às suas segundas n

coordenadas do

 . Ou seja,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

(.)(.),...,

nnn

Antes de apresentarmos a prova do Teorema 3.2, faz-se necessário destacar alguns

resultados interessantes.

Lema 3.2: Para

ηε

=+≤−

2/1

))1((( hhxx , a trajetória v(t,x) originando em x com:

(, ) (, )

vtx ytx

−

é uma trajetória tecnicamente factível para ),(),( e ],0[

xhyxhvht

∈

Prova:

Por definição:

22 2

00 0 0

((,),(,))((,) (,))

xx h

ytx ytx vtx vtx x x x x

−+

⎛⎞

−− ≤−+ = −≤

⎜⎟

⎝⎠

conseqüentemente, pela hipótese 4´, a trajetória v(t, x);

≤

0 é factível. Pela segunda parte

desse lema, temos:

(,) (,) (,)

(,) (,) (, )

vhx x vtxdt x ytxdt x x

vhx x ytxdt yhx

=+ =+ + −

=+ =

∫∫

∫

Lema 3.3: A função

:()

wNx

→



dada por:

() ((,),(,),)

wx uvtxvtxtdt=

∫

bem definida.

Prova: Para ver isto, pode-se observar que se )( e

xNzy

∈ , então

),(),(),( ztvytvzytv

+=+

onde

e do mesmo modo para as derivadas. Logo,

é bem definida pelo lema 3.2.

Lema 3.4: w

é diferenciável em x

com:

0100 200

'() ((,),(,),)1 ((,),(,),)

w x u ytx ytx t dt u ytx ytx t dt

⎛⎞ ⎛⎞

=−−

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

∫∫

Prova:

Pela definição de w

( ) ((,),(,),) em

wx uvtxvtxtdt x x

∂

∫

(3.1)

Pela hipótese 4´, o conjunto

{(,),(,),):0 , ( )}vxt vxt t t hx N x

≤

≤∈

tem fecho

compacto em T. Logo, visto que u é C

, podemos trocar a diferenciação e a integração em

(3.1) e obter:

0100 200

( ) ((,),(,),)

'() ((,),(,),)1 ((,),(,),)

wx uvtxvtxtdt

w x u ytx ytx t dt u ytx ytx t dt

∂

⎛⎞ ⎛⎞

=−−

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

∫

∫∫

Temos que

xxxxxtyxtv )(),(),(

000

−+−+= . Logo, )(

existe.

Vamos, a partir desses lemas, desenvolver um raciocínio a fim de provar o Teorema

3.2. Observemos primeiramente o seguinte:

Seja,

(, ) (, ) ; com (0, )

vtx ytx v x x

−

=+ =

Podemos escrever:

00 0

(, ) (, )

tt t

v s x ds y s x ds ds

−

∫∫ ∫

Então:

)0(),0(),(),0(),(

−

+−=− t

xyxtyxvxtv

Temos que:

(0, ) e (0, )vxxyx= , logo:

000

(, ) (, ) ( )

( , ) ( , ) ( ) 1 ; para h fixo

vtx ytx x x x x

vtx ytx x x

=+−+−

⎛⎞

=+−−

⎜⎟

⎝⎠

Pelo lema 3.2 ),( xtv é factível com as hipóteses 1´, 2, 3 e 4´. A partir disso, vamos

encontrar ((,),(,),)uvtx vtx t

, definida no lema 3.3:

)(1),(),(

xtyxtv −

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+=

Pode ser escrita como:

12 1122

00 0 00 0

1112 22

00000 0

( , ) ( ( , ), ( , ),..., ( , )) 1 ( , ,..., )

( , ) ( , ) 1 ( ), ( , ) 1 ( ),..., ( , ) 1 ( )

(, ) ( )

nnn

vtx y tx y tx y tx x x x x x x

tt t

vtx y tx x x y tx x x y tx x x

hh h

vtx x x

⎛⎞

=+−−−−

⎜⎟

⎝⎠

⎛ ⎞

⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞

=+−− +−− +−−

⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟

⎜ ⎟

⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠

⎝ ⎠

∂

=−−

∂

, ( ),..., ( )

xx xx

th th

⎛⎞

∂∂

−− −−

⎜⎟

∂∂

⎝⎠

Substituindo as relações acima em

((,),(,),)uvtx vtx t

, temos:

111 11

000 00

( , , ) ( , ) 1 ( ),..., ( , ) 1 ( ); ( ),...,

( );

nnn

tty

uvvt u y tx x x y tx x x x x

hhth

xxt

⎛

∂

⎛⎞ ⎛⎞

=+−− +−−−−

⎜

⎜⎟ ⎜⎟

∂

⎝⎠ ⎝⎠

⎝

⎞

∂

−−

⎟

∂

⎠

É importante notar que cada variável que compõe

((,),(,),)uvtx vtx t

corresponde a

uma coordenada dessa função. Isso significa que

)(1),(

xty −

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

corresponde à

coordenada 1,

)(1),(

nnn

xty −

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+ corresponde à coordenada n,

)(

−−

∂

corresponde à coordenada n+1 e assim sucessivamente. Então, podemos escrever:

1111 1

22 2

(,,) 1

euueuutu

vvt

ex e x e h e h

uutu

vvt

xeheh

uut

vvt

xeh

∂∂∂∂∂∂ ∂

⎛⎞ ⎛⎞

=+ =−+−

⎜⎟ ⎜⎟

∂∂∂∂∂∂∂

⎝⎠ ⎝⎠

∂∂ ∂

⎛⎞ ⎛⎞

=−+ −

⎜⎟ ⎜⎟

∂∂∂

⎝⎠ ⎝⎠

∂∂ ∂

⎛⎞

=−+

⎜⎟

∂∂

⎝⎠

MMM

⎛⎞

−

⎜⎟

∂

⎝⎠

De acordo com o lema 3.4, temos:

( ) ( , , ) ,..., ( , , )

wx vvtdt vvtdt

⎛⎞

∂∂

∇=

⎜⎟

∂∂

⎝⎠

∫∫

Substituindo nesta equação o que foi mostrado logo acima:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

=∇

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

=∇

∫∫

nnnn

,...,

1,...,1)(

1,...,

1)(

Reescrevendo esta equação na notação definida no início desta seção:

( ) ( , , ) 1 ( , , ) (3.2)

w x u yyt dt u yytdt

⎛⎞

∇= −−

⎜⎟

⎝⎠

∫∫

Vamos neste ponto fazer uma observação importante. Essa observação diz respeito a

como localizar uma função:

Lema 3.5:

11 ()(0)

() ( ( ) (0))

onde A´

Ah A

tdt Ah A

hh h

−

=−=

∫

Além disso, se

é uma função absolutamente contínua e derivável em 0, então:

1()(0)

lim ( ) lim ´(0) (0)

lim ( ) (0)

Ah A

tdt A

tdt

αα

→→

→

−

===

∫

Aplicando este resultado na equação (3.2) temos:

10 0 1

20 0 2

lim ( (, ), (, ),) ((0, ), (0, ),0).0 0

lim ( (, ), (, ),) ( (0, ), (0, ),0)

uytxytxttdtuvxvx

uytxytxttdtuyxyx

→

∫

De acordo com a definição de V(x

000

000 00

() ((,),(,),)

() ((,),(,),) ((,),(,),)

Vx uytx ytx tdt

Vx uytx ytx tdt uytx ytx tdt

∞

∫

∫∫

Note que

((,),(,),)

uytx ytx tdt

∞

∫

é constante pois se trata da trajetória que

maximiza. Então podemos escrever:

( ) ( ( , ), ( , ), ) Constante

Vx uvtxvtxtdt≥+

∫

Pelo lema 3.3:

Constante )()(

+≥ xwxV

De acordo com os lemas 3.3 e 3.4 podemos afirmar que

() em ( )

wx V Nx

≤

e ( ) ( )

wx Vx= . Isso nos permite aplicar o lema 3.1. O qual garante que V é derivável em x

e que:

0100 200

() ()

( ) ( (, ), (, ),) 1 ( (, ), (, ),)

Vx w x

Vx u ytx ytx t dt u ytx ytx tdt

∇=∇

⎛⎞

∇= −−

⎜⎟

⎝⎠

∫∫

Tomando o limite quando

0→h

0100 200

( ) lim ( (, ), (, ),) 1 ( (, ), (, ),)

Vx u ytx ytx t dt u ytx ytx tdt

→

⎡⎤

⎛⎞

∇= −−

⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠

⎣⎦

∫∫

De acordo com o lema 3.5:

0200

( ) lim ( (, ), (, ),)

Vx u ytx ytx tdt

→

∇=−

∫

Quando o controle ótimo é uma função piecewise contínua do tempo, a hipótese 4’ irá

valer para algum h>0 proveniente de

(,(0,))

yx T

∈

. Além disso, neste caso temos:

0200200

( ) lim ( ( , ), ( , ), ) ( , (0, ),0)

Vx u ytx ytx tdt u x y x

→

∇=− =−

∫

O que nos permite estabelecer o seguinte corolário:

Corolário 3.1: Sob as hipóteses 1, 2´ e 3, se

(,(0,))

yx T

∈

e se o controle ótimo é

uma função piecewise contínua do tempo, então V é C

em x

020 0

´( ) ( , (0, ), 0)Vx uxy x=−

CONCLUSÃO:

Portanto, neste capítulo reescrevemos o lema fundamental do trabalho de Benveniste e

Scheinkman (1979) de forma mais geral e ainda com resultados mais fortes; apresentamos

uma demonstração nova e baseada em conceitos mais simples que aqueles encontrados no

trabalho original. Além disso, apresentamos o trabalho de Benveniste e Scheinkman (1979),

ou seja, estabelecemos o conjunto de hipóteses necessárias por trás de um modelo de Cálculo

Variacional com horizonte infinito, a fim de garantir a hipótese de diferenciabilidade da

função valor-ótimo em tempo discreto e tempo contínuo.

CAPÍTULO 4 A DIFERENCIABILIDADE DA FUNÇÃO VALOR:

INTRODUÇÃO:

O trabalho de Milgrom e Segal (2002) estabelece a diferenciabilidade da função valor-

ótimo e, conseqüentemente, a aplicabilidade de teoremas do envelope em problemas de

otimização em que estão presentes conjuntos de escolha arbitrários. Ou seja, o conjunto de

escolha não tem estrutura e é usado meramente como um conjunto de índices para identificar

elementos de uma família de funções no conjunto

[

]

0,1 de valores possíveis de parâmetros.

Esta alteração de ponto de vista é bastante radical, pois normalmente os parâmetros têm

menos estrutura que os conjuntos de escolha. Neste capítulo apresentaremos uma parte desse

trabalho; mais especificamente o seu primeiro teorema e um dos corolários decorrentes deste.

O objetivo é utilizar esses resultados a fim de se reescrever e generalizar o trabalho de

Benveniste e Scheinkman (1979), apresentado no capítulo anterior. Essa aplicação foi

sugerida no trabalho de Milgrom e Segal (2002), entretanto não foi proposta nenhuma forma

de realizá-la. Daí surge o principal objetivo deste capítulo, isto é, propor uma nova forma de

se escrever o problema abordado no capítulo anterior, generalizando seus resultados. Faremos

isso para os casos de tempo contínuo e de tempo discreto.

O presente capítulo é constituído de três seções além desta introdução. A primeira

delas trata da apresentação da referida parte do trabalho de Milgrom e Segal (2002). Na

segunda seção reescreveremos o problema abordado por Benveniste e Scheinkman (1979) e

estabeleceremos a diferenciabilidade da função valor-ótimo utilizando os resultados

alcançados por Milgrom e Segal (2002). E a terceira seção traz uma sugestão de aplicação dos

resultados encontrados para a teoria de alocação intertemporal ótima nos casos de tempo

discreto e contínuo.

4.1 O TRABALHO DE MILGROM E SEGAL (2002):

Nesta seção vamos apresentar parte do trabalho elaborado por Milgrom e Segal

(2002). Este consiste em estabelecer a aplicabilidade de teoremas do envelope sobre as

funções valor-ótimo em modelos de otimização dinâmica como conjuntos de escolha

arbitrários. O tipo de problema analisado por Milgrom e Segal (2002) está estabelecido da

seguinte forma:

X denota o conjunto de escolha e suponhamos relevante o parâmetro

[

]

0,1t∈ . Tem-se

[

]

:0,1fX×→ denotando a função objetivo parametrizada. Assim a função valor V e a

correspondência de escolha ótima X* são dadas por:

V(t) = sup ( , )

∈

X*(t) =

{:(,)()}

Xfxt Vt∈=

O primeiro resultado relaciona as derivadas da função valor com a derivada parcial

(x, t) da função objetivo com respeito ao parâmetro:

Teorema 4.1: Suponha que

[

]

0,1t∈ e **()

∈

, e suponha que f

(x*, t) existe. Se

t>0 e V é diferenciável à esquerda em t, então '( ) ( *, )

Vt fxt

−

≤ . Se t<1 e V é diferenciável à

direita em t, então '( ) ( *, )

Vt fxt+≥ . Se

(0,1)t

∈

e V é diferenciável em t, então

'( ) ( *, )

Vt fxt= .

Prova:

Usando (1) e (2), pode-se notar que para qualquer ],1,0[´

∈

)(´)()*,(´)*,( tVtVtxftxf

−

≤

− .

Tomando ),1,(´ tt

∈

dividindo ambos os lados por ,0´ >

−

tt e tomando seus limites

quando ,´

→ tt tem-se

)´()*,(

≤ tVtxf

se esta derivada existe.

Tomando ainda

),,0(´ tt ∈

dividindo ambos os lados por

,0´>

−

e tomando seus

limites quando ,´

−

→ tt tem-se )´()*,(

−

≥ tVtxf

se esta derivada existe.

Logo, quando V é diferenciável em ),1,0(

∈

t tem-se ).*,()´()´()´( txftVtVtV

===

+−

Através da incorporação de um requerimento de que a função objetivo seja côncava

em ambos a variável de escolha e o parâmetro, um corolário apresentado por Milgrom e Segal

(2002) proveniente do teorema 4.1 nos diz que:

Corolário 4.1: Suponha que X é um conjunto convexo e

[

]

:0,1fX×→ é uma

função côncava. Também suponha que

(0,1)t

∈

e que há algum

**()

Xt∈ , de modo que

(x*, t

) exista. Então V é diferenciável em t

'( ) ( *, )

Vt fxt

Prova:

Tomemos ´, ´´, [0,1].tt

∈ Pela convexidade de X e pela concavidade da f, para

qualquer ´, ´´

xX∈ podemos escrever:

( ´ (1 ) ´´, ´ (1 ) ´´) ( ´, ´) (1 ) ( ´´, ´´)

xxttfxt fxt

λλ λ λ λ

+− +− ≥ + −

Tomando o supremo de ambos os lados em ´, ´´

∈

e usando a convexidade de X,

obtemos:

( ´ (1 )´´) (´) (1 ) (´´),Vt t Vt Vt

λλ λ

−≥ +−

e, portanto, V é côncava. Isto implica que V é direcionalmente diferenciável em cada

(0,1)t

∈

e ´( ) ´( ).Vt Vt

−+

≥ Por outro lado, pelo teorema 4.1,

000

´( ) ( *, ) ´( ).

Vt fxt Vt

−

≤≤

Milgrom e Segal (2002) sugerem como aplicação de seus resultados uma nova

maneira de demonstrar o teorema exposto no trabalho de Benveniste e Scheinkman (1979).

Entretanto não desenvolvem esta idéia.

4.2 APLICANDO OS RESULTADOS DE MILGROM E SEGAL (2002) EM

BENVENISTE E SCHEIKMAN (1979):

O objetivo principal desta seção é aplicar os resultados alcançados por Milgrom e

Segal (2002) a fim de obtermos o Teorema do Envelope proposto por Benveniste e

Scheinkman (1979), entretanto, propondo uma nova forma de se ver o problema analisado. A

idéia que propomos consiste em alterarmos o modo de se descrever as trajetórias possíveis, de

modo que a dotação inicial se torne um parâmetro exógeno da função objetivo na classe de

problemas analisada por Benveniste e Scheinkman (1979). Conseqüentemente, essa função

objetivo possuirá duas variáveis: uma proveniente do conjunto de escolha, dado pela

tecnologia e outra determinada pelo conjunto de possíveis valores para o parâmetro exógeno.

Construído dessa forma, poderemos aplicar os resultados obtidos por Milgrom e Segal (2002)

sobre o problema de alocação intertemporal abordado e obtermos uma expressão para a

derivada da função valor-ótimo correspondente. Vamos começar pelo caso no qual o tempo é

contínuo.

4.2.1 Tempo Contínuo:

O problema a ser analisado no tempo contínuo é aquele definido no capítulo anterior,

ou seja, dado o conjunto de tecnologia

T ⊆



ache a trajetória absolutamente contínua (x(t)),

a qual soluciona:

Max ( ( ), ( ), )

. .( ( ), ( )) , e (0) fixo.

uxt xt tdt

sa xt xt T t x

∞

∈∀

∫

O que propomos é um artifício que consiste primeiramente em reescrevermos as

trajetórias de modo que estas possam se iniciar a partir de qualquer ponto x pertencente ao

conjunto de escolha. As equações que descrevem essas trajetórias para o caso contínuo são:

(, ) ( ) 1 ; 0 t h

(, (, ), )

(, ); t h

()

ytx x x

vtytx x

ytx

⎧

⎛⎞

−− ≤<

⎪

⎜⎟

⎝⎠

⎨

⎪

≥

⎩

−

=−

Da interpretação dessas equações temos que

(, )

tx é uma trajetória qualquer

começando em x

(, (, ), )vtytx x é uma trajetória começando em um x qualquer do conjunto

de escolha. Sendo que, portanto, se uma determinada trajetória começa em x

então

(, (, ), ) (, )vt ytx x ytx= . Além disso, da forma como definimos, uma trajetória que não tenha

se iniciado em x

atingirá e se igualará à trajetória

(, )

tx a partir do instante

th=

A conseqüência desse modo de se descrever as trajetórias possíveis é podermos

reescrever a função objetivo de forma que o ponto inicial não dependa do caminho escolhido

e seja, portanto, um parâmetro exógeno nesta função, como mostrado a seguir:

((, ),) (,,)

((, ),) (,,) (,,)

def

fytx x uvvtdt

ytx x uvvtdt uyytdt

∞

∫

∫∫

O supremo do conjunto das trajetórias que se iniciam em x

define a trajetória ótima

que maximiza a função objetivo. E, portanto, supondo que a solução exista, os caminhos que

começam em x

acabam por determinar as trajetórias que maximizam a função de valor-

ótimo, definida como se segue:

000

()sup((,),)

onde é o caminho e é o parâmetro exógeno

Vx fytx x

∈

Suponha que ),(*

xty seja o caminho ótimo, então:

000 00

( ) ( *(, ), *(, ),) ( *(, ), )Vx uytxytxtdt fytxx

∞

∫

Por essa equação fica claro o modo como estamos reescrevendo o problema exposto

anteriormente por Benveniste e Scheinkman (1979). Estamos escrevendo o problema

tornando x

parâmetro real exógeno.

Porém, antes de enunciarmos o resultado obtido a partir dessa nova forma de se

escrever o problema analisado, vamos fazer uma observação referente à diferenciabilidade da

função u(.). Vamos definir o que vem a ser uma função localmente lipschitziana e apresentar

dois teoremas que dizem que uma função côncava é localmente lipschitziana e que uma

função localmente lipschitziana é diferenciável quase sempre. O que é suficiente para

garantirmos que essa função seja diferenciável dentro de uma integral. Iniciemos pela

seguinte definição:

Definição 4.1: Uma função

: A

→



é dita localmente Lipschitz se para cada

compacto KA⊆ existe uma constante C

tal que,

( ) ( ) , para todo , .

yCxy xyK

ϕϕ

−≤− ∈

Seja o seguinte teorema:

Teorema 4.2: Seja :

→ uma função côncava. Então

é localmente Lipschitz

 .

Um resultado interessante está estabelecido no Teorema de Rademacher, enunciado

logo abaixo:

Teorema 4.3: (Rademacher) Seja :

→



 uma função localmente Lipschitz.

Então

é diferenciável quase sempre.

Então, pelo teorema 4.2 temos que a função u(.) do nosso problema é localmente

Lipschitz por ser côncava. O que implica, pelo Teorema de Rademacher, que a função u(.) é

diferenciável quase sempre. Logo a função u(.) pode ser derivada dentro da integral.

Adicionando a hipótese de que as derivadas da função u(.) sejam integráveis, podemos

estabelecer um teorema resultante da nova forma de se descrever o problema analisado:

Teorema 4.4:

( *( , ), ) ( *, *, ) 1 ( *, *, )

futu

tx x y y t y y t dt

xxhxh

∂⎡∂ ∂⎤

⎛⎞⎛ ⎞

=−+−

⎜⎟⎜ ⎟

⎢

⎥

∂∂ ∂

⎝⎠⎝ ⎠

⎣

⎦

∫

Prova:

[]

000

(*(,),) (*(,),) (,,) (*,*,)

ytxx fytxx uvvt uyytdt−=−

∫

Aplicando Taylor em ( , , )uvvt

em torno de y*, temos:

()

(,,) (*, *,) (*, *,) * (*, *,)( *)

uvvt uy y t y y t v y y y t v y R

∂

−= −+ −+

∂∂

&& & &&&

Substituindo esta equação na equação que a precede:

()

000

0 0

( *( , ), ) ( *( , ), ) ( *, *, ) * ( *, *, )( *) ( )

h h

ytxx fytxx yytvy yytvy dt Rtdt

∂∂

⎡⎤

−= −+−+

⎢⎥

∂∂

⎣⎦

∫∫

&&&&

Da definição das equações que descrevem as trajetórias podemos escrever:

000

0 0

(*(,),) (*(,),)

1()

( *, *, ) 1 ( *, *, )

h h

fy tx x fy tx x

utu Rt

yt yyt dt dt

xxhxhxx

−

⎡∂ ∂ ⎤

⎛⎞⎛ ⎞

=−+− +

⎜⎟⎜ ⎟

⎢⎥

−∂ ∂ −

⎝⎠⎝ ⎠

⎣⎦

∫∫

(*)

Torna-se necessário olhar o comportamento do resto quando

x→ . Sabemos por

Taylor que:

()

lim 0

vy vy

→

−+−

Ou seja, dado

> existe 0

> tal que:

()Rt

vy vy

−+−<→ <

−+−

Mas:

vy vy xx xx

⎛⎞

−+−=− − +−

⎜⎟

⎝⎠

Então, existe

´0

> tal que:

´xx vy vy

−

<→−+−<

Além disso,

() ()

Rt Rt

xx vy vy hh

Rt Rt

dt dt

xx vy vy hh

⎛⎞

=+−

⎜⎟

−−+−

⎝⎠

⎛⎞

=+−

⎜⎟

−−+−

⎝⎠

∫∫

()

dt dt

xx hh

dt h

xx h

⎛⎞

<+−

⎜⎟

−

⎝⎠

⎛⎞

<+−⋅

⎜⎟

−

⎝⎠

⎛⎞

⎜⎟

−

⎝⎠

∫∫

∫

Logo, se

()

xx dt

δε

⎛⎞

−<⇒ < +

⎜⎟

−

⎝⎠

∫

Então,

()

lim 0.

→

−

∫

Voltando à equação (*) e fazendo

x→ :

0 0 0

000

0 0

(*(,),) (*(,),)

**1()

lim lim (.) 1 (.) lim

xx xx xx

fy tx x fy tx x

utu Rt

dt dt

xx x h x h xx

→→ →

⎡⎤

−

⎡∂ ∂ ⎤

⎛⎞⎛ ⎞

=−+−+

⎢⎥

⎜⎟⎜ ⎟

⎢⎥

−∂∂−

⎝⎠⎝ ⎠

⎣⎦

∫∫

( *( , ), ) ( *, *, ) 1 ( *, *, )

futu

tx x y y t y y t dt

xxhxh

∂⎡∂ ∂⎤

⎛⎞⎛ ⎞

=−+−

⎜⎟⎜ ⎟

⎢

⎥

∂∂ ∂

⎝⎠⎝ ⎠

⎣

⎦

∫

Agora vamos demonstrar a diferenciabilidade da função V em x. Iniciaremos

estabelecendo a concavidade da função f:

Sejam

10 20

(, ) e (, )

tx y tx duas trajetórias quaisquer iniciadas em

; e

dois

pontos quaisquer do conjunto de escolha.

Devido à linearidade das equações que descrevem as trajetórias nas variáveis

(, ) e

tx x, temos:

10 20 1 2 101 202

(,(1 ) (, ) (, ),(1 ) ) (1 )(, (, ), ) (, (, ), )vt y tx y tx x x vty tx x vty tx x

λλλλ λ

−+ −+=− +

Por definição:

10 20 12 12 12

((1)(,) (,),(1) ,) ((1) ,(1) ,)

ytx ytx x xt u v v v vtdt

λλ λλ λλλλ

∞

−+ −+=−+−+

∫

Devido à concavidade da u(.):

12 12 11 22

((1) ,(1) ,) ((1)(,,) (,,))u v v v vtdt uv v t uv vt dt

λλ λλ λ λ

∞∞

−+ −+ ≥ − +

∫∫

&& & &

Então:

10 20 1 2 11 22

((1 ) ( , ) ( , ),(1 ) , ) (1 ) ( , ) ( , )

ytx ytx x xt fyx fy x

λλλλλ

−+ −+≥− +

Logo f é côncava.

Do fato de f ser côncava concluímos, de acordo com o lema 2.1, que V é côncava, pois

maximizamos a função f sobre uma correspondência convexa. Logo, pelo lema 2.5, as

derivadas

´( ) e ´( )Vx Vx

−+

existem. Por definição, () (,)Vx fxt≥ para todo

X∈ , então:

(,) ( ,) () ( )

; para

(,) ( ,) () ( )

lim lim

entao ( , ) '( )

xx xx

fxt fxt Vx Vx

xx xx

fxt fxt Vx Vx

xx xx

xt Vx

→→

−−

≤>

−−

≤

−−

∂

≤

∂

Por outro lado,

(,) ( ,) () ( )

; para

(,) ( ,) () ( )

lim lim

entao ( , ) '( )

xx xx

fxt fxt Vx Vx

xx xx

fxt fxt Vx Vx

xx xx

xt Vx

−−

→→

−−

≥<

−−

≥

−−

∂

≤

∂

V é côncava, então pelo lema 2.5:

´( ) ´( ).Vx Vx

−

≤

Logo:

00 0 0 00

(*(, ), ) ´( ) ´( ) (*(, ), )

tx x V x V x y tx x

++− −

∂∂

≤≤≤

∂∂

Podemos então aplicar o teorema 4.1, o qual estabelece que:

00 00 00

(*(, ), ) (*(, ), ) (*(, ), )

fff

tx x y tx x y tx x

xxx

+−

∂∂∂

o que implica que V é derivável em x

000

´() (*(,),)

Vx y tx x

∂

Unindo os resultados dos teoremas 4.1 e 4.4, temos:

´( ) lim ( *, *, ) 1 ( *, *, )

utu

Vx yyt y yt dt

xhxh

→

⎡∂ ∂ ⎤

⎛⎞⎛ ⎞

=−+−

⎜⎟⎜ ⎟

⎢⎥

∂∂

⎝⎠⎝ ⎠

⎣⎦

∫

4.2.2 Tempo Discreto:

A derivação para o caso de tempo discreto não difere essencialmente daquela

apresentada para o caso contínuo. Novamente o problema a ser analisado é aquele definido no

capítulo anterior, ou seja, dado um conjunto de tecnologia

T ⊆



ache a seqüência (x

), t =

0,...,

∞

a qual soluciona:

Max

(, ,)

..( , ) , e fixo

ux x t

sa x x T t x

∞

∈∀

∑

Assim como no caso contínuo, vamos reescrever as trajetórias possíveis de modo que

(, )

tx seja uma trajetória qualquer começando em x

(, (, ), )vtytx x é uma trajetória

começando em um x qualquer do conjunto de escolha. Logo, se uma determinada trajetória

começa em x

, então

00 0

(, (, ), ) (, )vtytx x ytx

. Além disso, uma trajetória que não tenha se

iniciado em x

atingirá e se igualará à trajetória

(, )

tx no instante t = 1, por hipótese. Desse

modo definimos as equações que descrevem as trajetórias:

(0, ) ( ); 0

(, (, ), )

(, ); 1

xxxt

vtytx x

ytx t

−=

⎧

⎨

≥

⎩

Reescrevendo a função objetivo de modo que x

seja um parâmetro exógeno nessa

função temos:

000

0000

((,),) ((,(,),),(1,(1,),),)

((,),) (,(1,),0) ((,),(1,),)

def

ytx x uvtytx x vt yt x x t

ytx x uxy x uytx yt x t

∞

=++

=+ +

∑

Ambas equações descrevem a mesma situação, apenas destacamos o período

somatório a fim de ressaltar o instante a partir do qual as trajetórias possíveis se encontram

com a trajetória ótima.

A função valor-ótimo é definida pelo supremo do conjunto das trajetórias que

começam em x

000

()sup((,),)

onde é o caminho e é o parâmetro exógeno

Vx fytx x

∈

De forma análoga, vamos supor que a trajetória que maximiza exista. Seja ),(*

xty

esse caminho ótimo, logo:

000 00

() (*(,),) (*(,),*(1,),)

Vx fy tx x uy tx y t x t

∞

== +

∑

Assim como no caso contínuo, estamos tornando x

parâmetro real exógeno. Podemos

então estabelecer o seguinte teorema:

Teorema 4.5:

00 0 0

(*(, ), ) (,(1, ),0)

ytxx xyx

∂∂

Prova:

000000

(*(,),) (*(,),) (,(1,),0) (,(1,),0)f y tx x f y tx x uxy x ux y x−=−

Aplicando Taylor em

(,(1, ),0)uxy x em torno de x

, temos:

000 000

( , (1, ), 0) ( , (1, ), 0) ( , (1, ), 0)( )

uxy x ux y x x y x x x R

∂

−= −+

∂

Substituindo esta equação na equação que a precede:

000000

(*(,),) (*(,),) (,(1,),0)( )

ytxx fytxx xyx xx R

∂

−= −+

∂

Logo,

000

(*(,),) (*(,),)

(,(1,),0)

fy tx x fy tx x

xy x

xxxx

−

∂

−∂ −

Fazendo

x→ :

0 00

000

0 0

(*(,),) (*(,),)

lim lim ( , (1, ),0) lim

xx xx xx

fy tx x fy tx x

xy x

xxxx

→→→

−

∂

−

∂−

O resto vai a zero quando

x→ . Logo:

00 0 0

(*(, ), ) (,(1, ),0)

ytxx xyx

∂∂

Já mostramos a diferenciabilidade da V em x. Logo podemos aplicar o teorema 4.1 e

estabelecer o seguinte resultado para o caso discreto:

000

'( ) ( , (1, ),0)

Vx xy x

∂

Nesta seção formalizamos o que foi proposto no trabalho de Benveniste e Scheinkman

(1979), pois estes autores ao estabelecerem a diferenciabilidade da função valor-ótimo na

classe de problemas de consumo com horizonte infinito com uma dotação inicial

parametrizada, já estavam olhando para o parâmetro exógeno. Naquele cenário, X é o

conjunto de trajetórias de consumo tecnicamente factíveis e a função objetivo é a utilidade

intertemporal do consumidor, isto é,

(,) ( ) ( )

xt ux t ux

∞

=++

∑

. Contudo, se em adição à

restrição tecnológica encontrada em X há uma restrição sobre a factibilidade do consumo

t+ no primeiro período (ex.

≥ ), então a análise presente se aplica na vizinhança do

conjunto de parâmetros, no qual a restrição de consumo está inativa.

4.3 APLICAÇÕES À TEORIA DE ALOCAÇÃO INTERTEMPORAL ÓTIMA:

Nesta seção vamos sugerir duas aplicações para os resultados encontrados nas seções

anteriores deste capítulo. Vamos apresentar o problema de otimização intertemporal para cada

um dos casos de tempo discreto e tempo contínuo. Sobre cada qual valem os conjuntos de

hipóteses apresentados no capítulo 3, o que garante a aplicabilidade dos referidos resultados.

Em seguida interpretaremos os resultados sem, contudo, desenvolver a aplicação.

4.3.1 Tempo Discreto:

Para o caso em que o tempo é discreto vamos nos basear em uma aplicação presente

em Dutta e Mitra (1989), a qual trata de um problema de alocação intertemporal ótima. É

possível, com os resultados encontrados neste capítulo, mostrar que a função valor-ótimo

associada a esse problema é diferenciável.

Uma estrutura padrão de alocação intertemporal ótima pode ser descrita da seguinte

forma: A economia E consiste de um trio ( , , )u

, onde

Ω⊆ × é o conjunto

tecnológico,

:u Ω→ é a função utilidade e 01

< é um fator de desconto. As hipóteses

feitas para a economia E são aquelas expostas no capítulo 3, para o caso discreto.

Um programa a partir de em



é uma seqüência

{()}

∞

tal que

(0) e ( ( ), ( 1))k k kt kt=+ está em para 0t

≥ . Um programa

{*()}

∞

a partir de k é um

programa ótimo a partir de

se:

( ( ), ( 1)) ( *( ), *( 1))

uktkt uktkt

δδ

∞∞

+≤ +

∑∑

para qualquer programa

{()}

∞

a partir de k.

Definimos a função valor-ótimo, :

→



 como:

() Max ((),( 1))

s.a. { ( )} e um programa iniciado em .

Vk ukt kt

kt k

∞

′

∑

Então supondo que exista

{*()}

∞

, um programa ótimo a partir de k, temos:

() Max (*(), *( 1))

Vk uk t k t

∞

∑

De acordo com o que foi mostrado nas seções anteriores deste capítulo, podemos

estabelecer a diferenciabilidade da função valor-ótimo com relação à variável de escolha no

ponto

. Isto é:

´( ) ( , (1))

Vk kk

∂

Esse resultado nos fornece uma importante caracterização econômica de preços

sombra, que emerge do Cálculo Variacional. Segue da equação acima que os preços sombra

do Cálculo Variacional representam a valoração marginal do capital. (Este resultado tem

implicações sobre a necessidade de condições de transversalidade para tais problemas). Além

disso, Dutta e Mitra (1989) tratando o mesmo problema estabeleceram a continuidade da

função valor-ótimo, enquanto que, aplicando os resultados alcançados no presente trabalho,

estabelecemos a diferenciabilidade da função V.

4.3.2 Tempo Contínuo:

Para o caso contínuo, vamos considerar o clássico problema de poupança ótima

formulado originalmente por Ramsey (1928). Entretanto, vamos nos basear na formulação

deste problema exposta em Blanchard e Fischer (1989). Consideremos uma economia que

produz um único bem, que pode ser tanto investido quanto consumido. A quantidade

consumida traz utilidade imediata para o tomador de decisão, o planejador social. A

quantidade investida aumenta o estoque de capital, o que faz crescer a possibilidade de

produção no futuro. Dito de outra forma, podemos ver o problema como alguém

maximizando uma função (utilidade total) de infinitas variáveis (consumo e estoque de capital

em cada data), sujeito às restrições impostas pela tecnologia. Supomos válidas aqui o conjunto

de hipóteses apresentado para o caso contínuo no capítulo 3.

As preferências da família por consumo ao longo do tempo são representadas pela

seguinte integral:

()

Uucedt

∞

−−

∫

O bem estar da família no tempo s, U

, é a soma descontada de utilidades instantâneas

u(c

). A função u(.) é uma função de utilidade instantânea ou “felicidade”. O parâmetro θ é a

taxa de impaciência, estritamente positiva.

A função de produção, que descreve a restrição tecnológica, é dada em termos per

capita por:

()

tt t

kc nk

=+ +

Onde: k é a relação capital-trabalho e n é a força de trabalho empregada na produção.

Vamos assumir também que a economia começa com algum capital, de modo que é

possível iniciar uma produção, k

>0.

Suponha que o planejador central queira no tempo t = 0, maximizar o bem-estar da

família representativa. A única escolha que deve ser feita a cada momento do tempo é quanto

essa família deve consumir e quanto deve incorporar ao estoque de capital, a fim de prover o

consumo futuro. Logo, o problema de otimização intertemporal vem a ser:

max ( ( ))

()

.. ( ()) () ()

dado; ( ), ( ) 0 para todo

Ueuctdt

dk t

sa f k t ct nk t

kktct t

∞

−

=+ +

≥

∫

Podemos definir a função valor-ótimo para este problema como:

() max ((),())

.. 0 () (()), 0

0 dado.

Vk e Ukt kt dt

sa k t f k t t

∞

−

≤≤ ≥

∫

De acordo com o que foi mostrado nas seções anteriores deste capítulo, podemos

estabelecer a diferenciabilidade da função valor-ótimo com relação à variável de escolha no

ponto k

. Isto é:

´( ) ( (0), (0))

Vk k k

∂

=−

∂

Assim como na aplicação para o caso discreto, segue da equação acima que os preços-

sombra do Cálculo Variacional representam a valoração marginal do capital. Ou seja, o preço

em termos de bens de consumo de uma unidade de capital instalada no ponto de ótimo, dada a

dotação inicial do capital.

CONCLUSÃO:

Neste capítulo reescrevemos o problema analisado no trabalho de Benveniste e

Scheinkman (1979) a partir de um artifício que consiste em mudar a forma de se descrever as

trajetórias resultantes da solução do problema de otimização dinâmica analisado, o que nos

permitiu introduzir o valor inicial da variável de estado, na forma de parâmetro exógeno, na

função objetivo. Isso tornou possível, a partir da aplicação dos resultados obtidos por

Milgrom e Segal (2002), a obtenção dos resultados alcançados por Benveniste e Scheinkman

(1979) de forma mais simples e em um formato que facilitou a aplicação do teorema de

envelope.

CONCLUSÃO:

Neste trabalho analisamos a diferenciabilidade da função valor-ótimo em problemas

de Otimização Dinâmica. Reescrevemos o lema fundamental do trabalho de Benveniste e

Scheinkman (1979) de forma mais geral e ainda com resultados mais fortes; apresentamos

uma demonstração nova e baseada em conceitos mais simples que aqueles encontrados no

trabalho original. Além disso, apresentamos o trabalho de Benveniste e Scheinkman (1979),

ou seja, estabelecemos o conjunto de hipóteses necessárias por trás de um modelo de Cálculo

Variacional com horizonte infinito, a fim de garantir a hipótese de diferenciabilidade da

função valor-ótimo em tempo discreto e tempo contínuo. Além disso, reescrevemos o

problema analisado no referido trabalho a partir de um artifício que consiste em mudar a

forma de se descrever as trajetórias resultantes da solução do problema de otimização

dinâmica analisado, o que nos permitiu introduzir o valor inicial da variável de estado, na

forma de parâmetro exógeno, na função objetivo. Isso tornou possível, a partir da aplicação

dos resultados obtidos por Milgrom e Segal (2002), a obtenção dos resultados alcançados por

Benveniste e Scheinkman (1979) de forma mais simples e em um formato que facilitou a

obtenção da expressão para a derivada da função valor-ótimo correspondente.

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA:

AUBIN, J. P. & FRANKOWSKA, H.

Set-Valued Analysis. Boston-Birkhauser, 1990.

BANK, B. et alii.

Non-Linear Parametric Optimization. Brasil: Birkhauser, 1983.

BARTLE, R. G.

Elementos de Análise Real. Rio de Janeiro, Editora Campus LTDA, 1976.

BARTLE, R. G.

The Elements of Integration. New York, John Willey & Sons, Inc., 1966.

BENVENISTE L. and SCHEINKMAN J.

On the Differentiability of the Value Function in

Dynamic Models of Economics. Econometrica, v. 47, n. 3, p. 727 – 32, 1979.

BERGE, C.

Topological Spaces. New York: Dover, 1997.

BLANCHARD, O. J. and FISCHER, S.

Lectures on Macroeconomics. Cambridge MA, MIT

Press, 1989.

BLUME L. and SIMON C.

Mathematics for Economists. New York, W. W. Norton &

Company, USA, 1994.

BORDER, K.

Fixed Points Theorems with Aplications to Economics and Game Theory.

England, Cambridge University Press, 1985.

CAPUTO, M.

How to do Comparative Dynamics on the Back of an Envelope in Optimal

Control Theory. Journal of Economic Dynamics and Control, v. 14, p. 655 – 83.

CHAIN, S. H. A

plicações da topologia à analise. Rio de Janeiro, IMPA – Instituto de

Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1976.

DUTTA, P. K. and MITRA, T.

Maximum Theorems for Convex Strutures with an

Aplication to The Theory of Optimal Intertemporal Allocation. Journal of Mathematical

Economics, v.18, p. 77-86, august 1988.

EPSTEIN, L. G.

The LeChatelier Principle in Optimal Control Problems. Journal of

Economic Theory v. 19, p. 103 – 22, 1978.

GROVES, T.

Incentives in Teams. Econometrica, v. 41, n.4, p. 617-633,m July 1973.

GROVES, T. and LEDYARD, J.

Optimal Allocation of Public Goods: A Solution to the

“Free Rider” Problem. Econometrica, v. 45, n. 4, p. 783-809, may 1977.

GROVES, T. and LEDYARD, J.

The Existence of Efficient and Incentive Compatible

Equilibria with Public Goods . Econometrica, v. 48, n. 6, p. 1487-1505, sept. 1980.

GROVES, T. and LOEB, M.

Incentives and public Inputs. Journal of Public Economics. n.

4, p. 211-226, 1975.

FUDENBERG, D. AND TIROLE, J.

Game Theory. Cambridge, Massachusetts The MIT

Press London, England, 1995.

HOTTELING, H.

The Economics of Exhaustible Resources. Journal of Political Economy,

p. 137 – 75, April 1931.

ICHIISHI, T.

Game Theory for Economic Analysis. New York: Academic Press, 1983.

KAMIEN M. I. and SCHWARTZ N. L.

Dynamic Optimization: The Calculus of Variations

and Optimal Control in Economics and Management. 2

North Holland, Netherlands, 1991.

LA FRANCE J. T. e BARNEY L.D.

The Envelope Theorem in Dynamic Optimization.

Journal of Economic Dynamic and Control

, v. 15, p. 355 – 85, 1991.

LAFFONT, J. J. and MASKIN, E.

A Differencial Approach to Dominant Strattegy

Mechanisms. Econometrica, v. 48, n. 6, p. 1507 – 20, sept. 1980.

LAWRENCE C. E. and GARIEPY R. F.

Measure Theory and Fine Properties of Functions.

CRC Press, Boca Raton, Flórida, 1992.

LIMA, E. L.

Elementos de Topologia Geral. Rio de Janeiro, IMPA –Instituto de Matemática

Pura e Aplicada. CNPq, 1970.

LUCAS, R., STOKEY, N. and PRESCOTT, E.

Recursive Methods in Economic Dynamics.

New York: Harvard University Press, 1989.

MANDY, D.

Continuity of Optima. Journal of Economic Theory, v. 54, p. 460 – 67, 1991.

MAS-COLLEL A., WHINSTON M. D. e GREEN J. R.

Microeconomic Theory. New York:

Oxford University Press, 1995.

MILGROM P. e ROBERTS J.

The Economics of Modern Manufacturing: Technology,

Strategy, and Organization. The American Economic Review, v. 80, n. 3, p. June 1990.

MILGROM, P. and ILYA SEGAL.

Envelope Theorems for Arbitraty Choice Sets.

Econometrica

, v. 70, n. 2, march 2002.

MYERSON, R. B.

Incentive Compatibility and the Bargaining Problem. Econometrica, v.

47, p. 61 – 73, 1979.

MYERSON, R. B.

Optimal Coordination Mechanisms in Generalized Principal-Agent

Problems

. Journal of Mathematical Economics, v. 10, p. 67 – 81, 1982.

MYERSON, R. B.

Mechanism Design by an Informed Principal. Econometrica, v. 51, n. 6,

nov. 1983.

NGO VAN L. e LEONARD D.

Optimal Control Theory and Static Optimization in

Economics. New York, Cambridge University Press, USA, 1992.

ONIKI, H.

Comparative Dynamics (Sensitive Analysis) in Optimal Control Theory. Journal

of Economic Theory v. 6, p. 265 – 83, 1973.

RAMSEY, F.P.

A Mathematical Theory of Saving. Economic Journal, v. 38, p. 543 – 59,

Dec. 1928.

ROCKAFELLAR R.

Convex Analysis. Princeton, Princeton University Press, USA, 1970.

ROCKAFELLAR R. et alli.

Variational Analysis. Berlin. Springer, 1998.

ROMER D.

Advanced Macroeconomics. New York, McGraw-Hill, USA, 1996.

SAH R. e ZHAO J.

Some Envelope Theorems for Integer and Discrete Choice Variables.

International Economic Review

, v. 39, n. 3, p. 623 – 34, aug. 1998.

SALANIÉ B.

The Economics of contracts A Primer. Cambridge, Massachussets The MIT

Press London, England, 1998.

SAMUELSON, P.A.

Foundations of Economic Analysis. Harvard University Press,

Cambridge, MA, 1947.

SAMUELSON, P.A.

An Extension of the LeChatelier Principle. Econometrica v. 28, p. 368

– 79.

SILBERBERG, E.

The LeChatelier Principle as a Corollary to a Generalized Envelope

Theorem.

Journal of Economic Theory, v. 3, p. 146 – 55, 1971.

SILBERBERG, E.

A Revision of Comparative Static’s Methodology, or How to do

Economics on the Back of an Envelope. Journal of Economic Theory, v. 7, p. 159 – 72,

1974.

SILBERBERG, E.

The Structure of Economics: A Mathematical Analysis. New York, N.Y.,

1978, Mc Graw – Hill.

SUNDARAM e RANGARAJAM.

A First Course in Optimization Theory. Cambridge Press,

1996.

TOPKIS D. M.

Comparative Statics of the Firm. Journal of Economic Theory, v. 67, p. 370

– 401, 1995.

WALKER M.

A Generalization of the Maximum Theorem. International Economic Review,

v. 20, n. 1, 1979.

WALSH, C. E.

Monetary Theory and Policy. Cambridge, Massachussets The MIT Press

London, England, 2003.

WEEREN A. J. T. M., SCHUMACHER J. M. e ENGWERDA J. C.

Strategic Behavior and

Noncooperative Hierarchical Control. Journal of Economic Dynamics and Control, v. 23, p.

641 – 69, 1999.

WILLIAMS, S. R.

A Characteization of Efficient, Bayesian Incentive Compatible

Mechanisms. Economic Theory, v. 14, p. 155 – 80, 1999.

Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
 
Milhares de Livros para Download:
 
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas

Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
 
 