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ROGERIO MOREIRA DE SOUZA
A CINÉTICA ULTRA-RÁPIDA DE EXCITAÇÕES
ELEMENTARES EM SEMICONDUTORES
FOTOEXCITADOS
Dissertação apresentada ao
curso de Mestrado em Física do
Centro de Ciências Exatas e
Tecnologia da Universidade
Federal de Mato Grosso do Sul
(UFMS), como requisito parcial
à obtenção do título de Mestre
em Física.
Campo Grande - MS
2006
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ii
ROGERIO MOREIRA DE SOUZA
A CINÉTICA ULTRA-RÁPIDA DE EXCITAÇÕES
ELEMENTARES EM SEMICONDUTORES
FOTOEXCITADOS
Dissertação apresentada ao
curso de Mestrado em Física do
Centro de Ciências Exatas e
Tecnologia da Universidade
Federal de Mato Grosso do Sul
(UFMS), como requisito parcial
à obtenção do título de Mestre
em Física.
Orientador: Prof. Dr. Antônio
dos Anjos P. da Silva.
Campo Grande - MS
2006
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iii
Este trabalho é dedicado a Sueli Batista de Almeida uma grande
companheira e aos meus filhos Vinicius Almeida de Souza e Vitória Almeida
de Souza.
iv
AGRADECIMENTOS
A todos que diretamente ou indiretamente, contribuíram para a
realização e execução deste trabalho.
Ao professor Dr. Antonio dos Anjos P. da Silva pela orientação, apoio,
colaboração e constante disposição nas discussões durante o andamento do
trabalho.
Aos colegas do Departamento de Física, particularmente a Gleison
Nunes Jardim pelas discussões e auxílio computacional.
Aos meus pais pelo apoio e estímulo.
À Capes, pelo apoio financeiro durante o mestrado.
v
RESUMO
Neste trabalho são apresentados alguns resultados referentes ao estudo
de da cinética de evolução ao estado de equilíbrio de um semicondutor foto-
excitado. As equações de transporte que descrevem a evolução ao equilíbrio
foram obtidas a partir do Método do Operador Estatístico de Não Equilíbrio na
versão de Zubarev. O semicondutor é descrito em termos de portadores de
carga (elétrons e buracos foto-injetados através de uma fonte externa de energia
) interagindo entre si e com a rede cristalina (fônons). No modelo considerado
são levados em conta os efeitos de recombinação direta do par elétron-buraco,
difusão ambipolar e blindagem da interação elétron-fônon. As populações de
fônons longitudinais ópticos (LO) e transversais ópticos (TO) são tratadas como
populações fora do equilíbrio térmico enquanto que as populações de fônons
longitudinais acústicos (LA) são tomadas em equilíbrio permanente com o
reservatório térmico. Resultados numéricos são apresentados para o Arseneto
de Gálio (GaAs) evidenciando tanto o estado transiente como o estado
estacionário do plasma. Ainda apresenta-se um primeiro resultado referente ao
uso de uma estatística não convencional (estatística de Renyi) para descrição
das populações de fônons LO.
vi
ABSTRACT
In this work it is introduced some results of the studies of kinetic
evolution to the equilibrium state of a photo-excited semiconductors. The
equations of transistors that describes the evolution to the equilibrium was
obtained through the Statistics Operator Method of not-equilibrium in Zubarev
version. The semiconductor is described in terms of having a charge (Electrons
and hole photo-injecteds through an external source of energy) interacting with
one another and with a Crystal clear net (phonons). On the model are
considered the effects of direct recombination to the pair Electron hole,
dissemination ambipolar and blindagem interaction electron-phonon. The
phonons group longitudinals optic (LO) and transversals optic (TO) are treated
like groups out of equilibrium thermal while the groups of phonons
longitudinals acoustic (LA) are taken in permanent equilibrium with thermal
reservour. Statistic results are showed to the Arseneto de Gálio (GaAs)
evidencing not only the transient state but also the stationary state of the
plasma. Besides it is introduced a first result about the use of a statistic not
conventional (Renyi’s statistic) to description of the group phonons LO group.
vii
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1- Introdução...............................................
01
CAPÍTULO 2- Operador Estatístico de Não
Equilíbrio.............................................................................
06
2.1-Introdução.....................................................................
06
2.2-Operador Estatístico de um Sistema em Equilíbrio
08
2.3-Método do Operador Estatístico de Não-
Equilíbrio (MOENE)..........................................................
11
2.4-Equações de Transporte..............................................
14
CAPÍTULO 3- O Plasma Fotoexcitado e as Equações
de Transporte......................................................................
18
3.1-Introdução.................................................................... 18
3.2-O Modelo Considerado...............................................
24
3.3-O Hamiltoniano do Sistema.......................................
29
3.4-Variáveis de Base.........................................................
32
3.5-As Equações de Transporte no Semicondutor.........
39
CAPÍTULO 4- O Plasma Foto-injetado: Aplicações no
GaAs.....................................................................................
52
4.1-Introdução.................................................................... 52
viii
4.2-Resultados Numéricos................................................
55
4.3-Discussão de Resultados.............................................
60
CAPÍTULO 5- Conclusões................................................
81
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................
85
ix
LISTAS DE FIGURAS
CAPÍTULO 3
Fig.3.1 Esquema simples da estrutura de banda de energia em
materiais: isolante, semicondutor e condutor................................................
20
Fig.3.2 Relação de dispersão E(k) para k > 0, como soluções válidas da
equação de Schrödinger do modelo de Kronig – Penney............................
21
Fig.3.3 Descrição esquemática do diagrama de fase de não-equilíbrio de
portadores em um semicondutor foto-excitado. A ordenada indica o
excesso de energia cinética que implica numa pseudo-temperatura
efetiva para os portadores.................................................................................
27
Fig.3.4 Evolução da distribuição inicial de portadores foto-injetados
num semicondutor foto-excitado....................................................................
27
Fig.3.5 Descrição esquemática dos principais canais de interação
envolvidos no processo de relaxação do excesso de energia num
semicondutor excitado. 1. Produção de Pares, 2. Recombinação, 3.
Potencial de Frolich, 4. Potencial de Deformação, 5. Interação
Anarmônica, 6. Relaxação do excesso de energia para o Banho
Térmico................................................................................................................
28
Fig.3.6 Os diferentes estágios cinéticos percorridos, no processo de
relaxação ao estado de equilíbrio, por um PSAE.........................................
36
x
CAPÍTULO 4
Fig.4.1 Evolução da pseudo-temperatura dos portadores...........................
61
Fig.4.2 Evolução da pseudo-temperatura por modo dos fônons LO.........
63
Fig.4.3 Evolução da pseudo-temperatura por modo dos fônons TO.........
64
Fig.4.4 Evolução de energia transferida por partícula..................................
65
Fig.4.5 Evolução da concentração de portadores..........................................
66
Fig.4.6 Evolução da pseudo-temperatura de fônons LO............................
67
Fig.4.7 Evolução da taxa de energia transferida por partícula para os
diferentes fônons (LO, TO e A)........................................................................
68
Fig.4.8 Evolução da pseudo-temperatura dos portadores e pseudo-
temperatura de alguns modos dos fônons TO..............................................
68
Fig.4.9 O efeito dos fônons na relaxação da pseudo-temperatura dos
portadores, (a) pseudo-temperatura única, (b) pseudo-temperatura por
modo....................................................................................................................
70
Fig.4.10 Efeito da difusão ambipolar na relaxação da pseudo-
temperatura dos portadores, (a) modelo sem a difusão, (b) modelo com
a difusão..............................................................................................................
71
Fig.4.11 Efeito da difusão ambipolar na evolução dos modos LO em
condições de alta concentração de portadores...............................................
72
xi
Fig.4.12 Efeito da difusão ambipolar na evolução dos modos TO em
condições de alta concentração de portadores..............................................
73
Fig.4.13 Efeito de blindagem na interação elétron fônon sobre a
relaxação da pseudo-temperatura dos portadores, (a) modelo sem o
efeito blindagem, (b) modelo com efeito blindagem....................................
75
Fig. 4.14 Efeito Blindagem eletrônica da interação polar na relaxação da
pseudo-temperatura correspondentes aos diferentes modos do fônon
LO.........................................................................................................................
76
Fig.4.15 Evolução temporal das pseudo-temperaturas, correspondentes
aos modos dos fônons LO: modos (b); (c) ; (d) e (e)......................................
77
Fig.4.16 Evolução temporal das pseudo-temperaturas, correspondentes
aos modos dos fônons LO, com diferentes valores do parâmetro
α
.........
80
1
Capítulo 1
Introdução
Para melhor compreensão deste trabalho vale a pena inicialmente
responder a perguntas do tipo: qual o significado de um operador estatístico e
qual a sua função no contexto da mecânica estatística? O que é um sistema
termodinâmico em equilíbrio e fora do equilíbrio? Para entender o significado
do operador estatístico deve-se primeiro introduzir o conceito de ensemble,
amplamente usado na formulação clara e elegante de problemas da mecânica
estatística. Um ensemble estatístico é uma coleção de N sistemas físicos
idênticos (réplicas) preparados nas mesmas condições macroscópicas e que se
encontram em diferentes microestados acessíveis ao sistema. Na teoria do
ensemble a idéia central é que o valor médio de uma variável dinâmica A,
efetuada sobre o ensemble, seja idêntico ao valor médio temporal dessa
variável física efetuada sobre o sistema físico em estudo. Assim o valor médio
sobre o ensemble de sistemas físicos (valor médio estatístico) é definido por:
ˆ
ˆ
s s
P Tr P
ρ
< >=
,
(1.1)
onde
ˆ
ρ
é o operador estatístico que tem o papel de estabelecer uma conexão
entre estados microscópicos e estados macroscópicos determinando os valores
médios termodinâmicos das diferentes variáveis dinâmicas envolvidas.
2
Em relação a segunda pergunta pode ser dito que um sistema
termodinâmico constituí-se numa parte do universo físico cujas propriedades
físicas estão sob investigação. Tal parte pode ser uma região limitada por uma
superfície real ou imaginária, fixa ou móvel, através da qual o sistema troca
energia com o seu exterior. Os sistemas termodinâmicos classificam-se em
abertos, fechados ou isolados, podendo estar em equilíbrio ou fora do
equilíbrio
1,2
.
Um sistema termodinâmico em equilíbrio é um sistema no qual suas
variáveis (dinâmicas ou parâmetros) são finitas e não variam no tempo. São
sistemas simples, macroscopicamente homogêneos, isotrópicos, onde com um
determinado número de variáveis finitas, é possível descrever o sistema do
ponto de vista estatístico
1,2,3,4
. Para esse tipo de sistema existe o consolidado
formalismo dos ensembles de Gibbs onde a partir da Mecânica Estatística de
equilíbrio obtém-se as leis da Termodinâmica de equilíbrio associada.
Entretanto no presente trabalho o sistema de interesse é um sistema aberto
(dissipativo) fora do equilíbrio e, para sistemas dessa natureza, pode-se
identificar dois regimes: o regime linear e o regime não-linear. No regime linear o
sistema pela ação de uma fraca perturbação mecânica é ligeiramente desviado
da situação de equilíbrio. Para esse tipo de problema o tratamento estatístico
pode ser feito no escopo da teoria da função resposta
1-5
.
Sistemas fortemente afastados do equilíbrio remetem o problema para o
chamado regime não linear. A física dos fenômenos tratados no regime não-
linear, tem sido objeto de crescentes estudos nos últimos anos
4,5
através da
Mecânica Estatística de sistemas fora do equilíbrio e, tem como propósito,
determinar propriedades termodinâmicas e a evolução no tempo dos
observáveis macroscópicos de tais sistemas em termos das leis dinâmicas que
governam o movimento das partículas constituintes. Se considerar a evolução
temporal, temos que reconciliar a reversibilidade da mecânica microscópica,
com a irreversibilidade observada na natureza onde as equações de transporte
devem refletir esta irreversibilidade e explicar a evolução para o estado de
equilíbrio em sistemas naturais isolados. Para descrever a evolução temporal e
3
espacial do sistema é necessário um estudo muito mais minucioso e detalhado
que em situações de equilíbrio, onde a grande maioria dos problemas pode ser
descrita por meio de uma função de estado conveniente de acordo com os
vínculos aos quais os sistemas estejam submetidos
3-9
.
No final do século XIX, Boltzmann enfrentava um grande desafio, onde
tentava descrever a evolução temporal de um sistema de muitos corpos fora do
equilíbrio. Boltzmann considerando um gás diluído e usando um método
cinético, deduziu a sua equação de transporte. Em conseqüência desta equação
foi obtido o teorema H, que fornece uma descrição da evolução do sistema para
o estado de equilíbrio.
Com o surgimento da teoria cinética de Boltzmann, no cálculo dos
coeficientes de transporte surgiram muitas controvérsias sobre seus
fundamentos, mais precisamente na existência do Teorema H. Com essas
controvérsias que se resultou em muitas discussões, surgiram novas teorias e
equações cinéticas a respeito de processos irreversíveis. Das quais vale citar
algumas como: Champman e Enskov, baseado em aproximações sucessivas,
originaram um método que permite obter soluções particulares da equação de
Boltzmann, a equação de Vlasov para plasmas diluídos, a equação de Focker-
Planck para o movimento Browniano, etc
2,4,5,6
. Mas permanecia o desafio: como
escrever equações de transporte generalizadas, isto é, que não estivessem desde
a sua origem, ligado a algum sistema específico.
Contribuições nessa direção foram dadas do ponto de vista clássico, onde
a evolução temporal de um sistema fluido é descrita pela equação de Liouville,
visto que ela contém a máxima informação possível referente à evolução do
sistema. Entretanto até esse ponto, não se fez qualquer progresso; para ter
algum progresso, se fez necessário definir densidades reduzidas que
obedecessem a um conjunto de equações acopladas, tratadas por Bogoliubov,
Born, Green, Kirkwood e Yvon, constituindo a chamada hierarquia de BBGKY.
Porém não havia uma maneira satisfatória de desacoplar as equações da
hierarquia BBGKY
3
.
4
A Mecânica Estatística de não-equilíbrio tem tipicamente seguido duas
direções: (i) a teoria cinética dos gases diluídos e suas extensões, onde partindo
de umas poucas hipóteses que, embora muito controvertidas, permitem a
descrição de como sistemas simples se aproximam do equilíbrio (o famoso
teorema H de Boltzmann). Uma extensão destas idéias a sistemas densos segue
vários caminhos como a construção de uma teoria cinética generalizada: a
hierarquia de equações BBGKY, etc; (ii) a generalização da teoria do movimento
Browniano, onde as complicadas equações dinâmicas ( as equações de Newton-
Langevin generalizadas) que se derivam das leis da Mecânica, usadas para
descrever a dinâmica de moléculas ( ou partículas, ou quase-partículas) que
constituem o sistema, é acompanhada por hipóteses estatísticas. Pertence a este
enfoque o formalismo das funções de correlação (ou funções de memória)
devido a Mori, o método das equações mestras, etc.
Das várias aproximações para teoria de processos de não equilíbrio, vale
ressaltar os métodos de projeção de Zwanzig e Robertson, e o Formalismo da
Máxima Entropia (FEM) proposto por Jaynes. Baseado no FEM de Jaynes,
Zubarev desenvolveu um método que permite escrever de uma forma simples e
direta equações de transporte não-lineares que descrevem a evolução
termodinâmica irreversível de um sistema de muitos corpos
6,10-12
.
Neste trabalho desenvolvemos esforços para obter equações de
transporte generalizadas com as quais é possível estudar sistemas fora do
equilíbrio. Usando tal método conseguimos obter as equações de transportes
não lineares que descrevem os processos irreversíveis associadas a relaxação de
portadores e fônons em semicondutores polares altamente excitados.
São apresentados alguns resultados referentes ao estudo da cinética de
evolução ao estado de equilíbrio de um semicondutor foto-excitado. As
equações de transporte que descrevem a evolução ao equilíbrio foram obtidas a
partir do Método do Operador Estatístico de Não Equilíbrio na versão de
Zubarev. O semicondutor é descrito em termos de portadores de carga
(elétrons e buracos foto-injetados através de uma fonte externa de energia)
interagindo entre si e com a rede cristalina (fônons). No modelo considerado
5
são levados em conta os efeitos de recombinação direta do par elétron-buraco,
difusão ambipolar e blindagem da interação elétron-fônon. As populações de
fônons longitudinais ópticos (LO) e transversais ópticos (TO) são tratadas como
populações fora do equilíbrio térmico enquanto que as populações de fônons
longitudinais acústicos (LA) são tomadas em equilíbrio permanente com o
reservatório térmico. Resultados numéricos são apresentados para o Arseneto
de Gálio (GaAs) evidenciando tanto o estado transiente como o estado
estacionário do plasma. Ainda apresenta-se um primeiro resultado referente ao
uso de uma estatística não convencional (estatística de Renyi) para descrição
das populações de fônons LO.
6
Capítulo 2 -
Operador Estatístico de Não
Equilíbrio
2.1 - Introdução
O arcabouço da mecânica estatística quando aplicado a um determinado
sistema de muitos corpos tem como objetivo principal, explicar e predizer
fenômenos macroscópicos por meio de leis dinâmicas que governam o
movimento microscópico das partículas constituintes do sistema abordado. A
ausência de fluxos de quantidades físicas, massa e energia, por exemplo
9
através
da superfície que delimita as fronteiras do sistema considerado faz com que
suas propriedades macroscópicas permaneçam constantes no tempo. Esse tipo
de sistema pode ser perfeitamente tratado pelo formalismo da mecânica
estatística de equilíbrio, que é uma disciplina já consolidada e que exerce um
papel relevante na fundamentação da termodinâmica dos processos reversíveis
entre estados de equilíbrio. Por outro lado, os processos físicos de interesse
geral nem sempre envolvem sistemas que se mantém em equilíbrio permanente
e, para esses casos, é imprescindível a formulação de uma ferramenta (mecânica
estatística) apropriada a situações de não equilíbrio. É esperado que tal
disciplina descreva a evolução temporal de observáveis macroscópicos além, é
claro, de fornecer suporte teórico à termodinâmica dos processos irreversíveis
em sistemas não equilibrados.
Segundo Zwanzig, os formalismos matemáticos diversos desenvolvidos
para o estudo de sistemas macroscópicos afastados do equilíbrio podem ser
classificados nas seguintes classes: (i) técnicas intuitivas; (ii) técnicas baseadas em
7
generalizações das teorias cinéticas dos gases; (iii) técnicas baseadas na teoria dos
processos estocásticos; (iv) expansões a partir de um ensemble inicial de equilíbrio e (v)
generalizações do algoritmo dos ensembles de “Gibbs”. Em particular, dentre os
métodos baseados na extensão dos ensembles de Gibbs, vale a pena destacar o
Método do Operador Estatístico de Não-Equílibrio (MOENE), que é uma
ferramenta para tratamento estatístico de sistemas de muitos corpos
arbitrariamente afastados do equilíbrio. O MOENE possui diversos enfoques,
uns baseados em argumentos heurísticos e outros em operadores de projeção.
Entretanto, é possível mostrar que esses diferentes enfoques do MOENE são
equivalentes e podem ser unificados mediante um único princípio variacional
proposto por Jaynes. Este princípio variacional consiste na maximização da
entropia de Gibbs, sujeita as condições de vínculo, incluindo os efeitos de
memória e de irreversibilidade
8-11,13
.
Neste trabalho o interesse está focado em um tema de grande interesse
tanto do ponto de vista teórico quanto tecnológico: a investigação de fenômenos
ultra-rápidos em semicondutores foto-excitados. Se de um lado há uma
motivação teórica especial para esse tipo de problema do outro lado, o interesse
prático não é menor, pois a utilização de dispositivos tecnológicos operando em
condições fora do equilíbrio é cada vez maior. Este é o caso da microeletrônica
de semicondutores onde, por exemplo, pequenas distâncias e altas velocidades
são parâmetros conjugados. Transistores com dimensões da ordem de algumas
dezenas de nanômetros apresentam um tempo de trânsito eletrônico que pode
ser inferior a um picossegundo. Assim, no desenvolvimento de dispositivos de
alta velocidade, é imprescindível conhecer em detalhes as propriedades dos
portadores (elétrons e buracos) em sistemas semicondutores na escala de tempo
de picossegundos (10
-12
s) e de femtossegundos (10
–15
s)
6,14,15
.
8
2.2 - Operador Estatístico de um Sistema em Equilíbrio
Em um experimento onde não se tem o conhecimento completo do
estado microscópico do sistema é comum lançar mão de uma descrição
macroscópica do sistema em termos de um número de variáveis dinâmicas,
aqui denominadas de }{P
s
. A cada elemento do conjunto }{P
s
(variáveis
dinâmicas) associa-se um elemento pertencente a um outro grupo chamado
conjunto das macrovariáveis
}Q{
s
tal que:
}Q,.....,Q,Q,{Q
s321
→
}P
ˆ
,.......P
ˆ
,P
ˆ
,P
ˆ
{
s321
(2.1)
com
n
s
<<
, onde n é o número de graus de liberdade do sistema .
A relação entre as variáveis dinâmicas }{P
s
e as macrovariáveis
}Q{
s
é
dada por,
}ρ
ˆ
P
ˆ
{TrP
ˆ
Q
111
==
}ρ
ˆ
P
ˆ
Tr{P
ˆ
Q
222
==
}ρ
ˆ
P
ˆ
Tr{P
ˆ
Q
333
==
}ρ
ˆ
P
ˆ
Tr{P
ˆ
Q
444
==
:
:
},ρ
ˆ
P
ˆ
Tr{P
ˆ
Q
sss
== (2.2)
onde o símbolo
....
representa a média estatística realizada sobre o ensemble
de equilíbrio caracterizado pelo operador estatístico
ρ
ˆ
.
9
O operador estatístico
ρ
ˆ
, que descreve sistemas em equilíbrio térmico,
pode ser obtido a partir do uso das propriedades extremais do chamado
funcional de Gibbs. Para fazer isto se introduz o operador entropia definido
como,
(t)ρln(t)S
ˆ
^
−= (2.3)
onde
(t)ρ
ˆ
representa o operador estatístico a ser determinado. A chamada
entropia de Gibbs
(t)S
ˆ
G
está associada ao operador (t)S
ˆ
mediante a seguinte
relação:
)}t(
ˆ
ln)t(
ˆ
Tr{(t)}S
ˆ
)t(
ˆ
Tr{(t)S
ˆ
G
ρρ−=ρ=
(2.4)
A maximização da entropia de Gibbs
)}t(
ˆ
ln)t(
ˆ
Tr{(t)S
ˆ
G
ρρ−=
quando
submetida aos vínculos: (i)
})t(
ˆ
P
ˆ
Tr{(t)Q
ss
ρ=
e (ii)
1)}t(
ˆ
Tr{ =ρ
, fornece uma
expressão para
)t(
ˆ
ρ
.
No processo de maximização da entropia de Gibbs
(t)S
ˆ
G
introduz-se os
chamados multiplicadores de Lagrange
2
que estão associados às condições de
vínculo (i) e (ii). Neste caso, dois multiplicadores serão acrescentados à
entropia antes de fazer sua variação igual a zero. O processo de obtenção de
(t)ρ
ˆ
esta descrito abaixo conforme indica as Eqs.[(2. 5) – (2.15)].
1
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
L( ) ( ) (
φ 1) Tr{ ( )} Tr{P ρ( )}
w
G s s
s
S t t F t
ρ ρ
=
= + − +
∑
(2.5)
ou,
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
L( ) { ( ) ln ( )} (
φ 1) Tr{ ( )} F Tr{P ρ( )}
w
s s
s
Tr t t t t
ρ ρ ρ ρ
=
= − + − +
∑
(2.6)
ou,
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
L(
ρ( )) Tr{ ( ) ln ( ) (φ 1) ( ) F (P ρ( )) }
w
s s
s
t t t t t
ρ ρ ρ
=
= − + − +
∑
(2.7)
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
[ ( ( ))] [ { ( ) ln ( ) ( 1) ( ) P ( )}] 0
w
s s
s
L t Tr t t t F t
δ ρ δ ρ ρ ϕ ρ ρ
=
= − + − + =
∑
(2.8)
10
1
ˆ
ˆ ˆ
[ {ln ( ) 1 ( 1) }] ( ) 0
w
s s
s
Tr t F P t
ρ ϕ δρ
=
+ + − + =
∑
(2.9)
1
ˆ
ˆ
ln ( ) 0
w
s s
s
t F P
ρ ϕ
=
+ + =
∑
(2.10)
1
ˆ
ˆ
ln ( ) 0
S
s s
s
t F P
ρ ϕ
=
= − − =
∑
(2.11)
1
ˆ
ˆ
ρ( ) exp{ φ F }
w
s s
s
t P
=
= − −
∑
(2.12)
onde
φ
e
s
F
são os multiplicadores de Lagrange que podem ser obtidos a partir
da condições de normalização 1}{
=
ρ
Tr resultando em,
1
ˆ
1 { exp( )}
w
s s
s
Tr e F P
ϕ
−
=
= −
∑
(2.13)
1
ˆ
{ exp( )}
w
s s
s
e Tr F P
ϕ
=
= −
∑
(2.14)
Definindo
Ze =
ϕ
então φZln
=
e assim, o operador estatístico de
equilíbrio
ˆ
( )
t
ρ
será dado pela equação abaixo :
1
1
ˆ
ˆ
ρ( ) Z exp[ ]
w
s s
s
t F P
−
=
= −
∑
. (2.15)
ˆ
ρ( )
t
é o operador estatístico de equilíbrio generalizado correspondendo as
formas canônicas que caracterizam os diferentes ensembles de Gibbs como por
exemplo, ensemble canônico:
1
1 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ
; ( ) exp( )
P H F t Z H
β ρ β
−
= = → = −
;
ensemble grand-canônico:
1
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
; ; ; ( ) exp[ ( )]
P H P N F F t Z H N
β β µ ρ β µ
−
= = = = → = − −
11
2.3 - Operador Estatístico de Não-Equilíbrio
Na seção anterior descreveu-se os passos necessários que devem ser
seguidos na obtenção do operador estatístico que descreve sistemas em
equilíbrio. Já no caso de um sistema afastado do equilíbrio associa-se um
ensemble estatístico de não-equilíbrio caracterizado por um operador estatístico
ˆ
ρ( )
t
(método dos ensembles de Gibbs estendidos à situação de não-equilíbrio).
Em sistemas dessa natureza, o interesse normalmente recaí sobre o
comportamento temporal e espacial de certas quantidades
t)}(r,Qt),.....,(r,Qt),(r,Qt),(r,{Q
n321
definidas como sendo o conjunto
macrovariáveis do sistema que podem ser por exemplo, energia, fluxo de
energia, número de partículas, fluxo de partículas , etc
5,14,15
. A esse conjunto de
macrovariáveis associa-se um conjunto de operadores que são denominados de
variáveis dinâmicas de base
(r)}P(r),.....,P(r),P(r),P{
n
^
3
^
2
^
1
^
cuja relação é dada na
forma usual,
(t)},
ˆ
(r)P
ˆ
{Tr(r)Q
jj
ρ= (2.16)
onde j = 1,2 ....n e
(t)
ˆ
ρ
é Operador Estatístico de Não-equilíbrio definido sobre
o espaço de Hilbert com }R
ˆ
{Tr representando o traço do operador R
ˆ
.
Uma característica associada ao Método do Operador Estatístico de Não-
Equilíbrio consiste na separação do Hamiltoniano
H
ˆ
do sistema que pode ser
escrito como a soma de duas partes: uma primeira parte,
0
H
ˆ
, englobando as
energias cinéticas das partículas do sistema e as energias correspondentes a
parte das interações suficientemente fortes. Essa última parcela sendo aquela
responsável pelos efeitos de relaxação rápidos, isto é, efeitos que ocorrem com
tempos de relaxação muito menores que o tempo característico de um
determinado sistema. A segunda parte de
H
ˆ
,
'
H
ˆ
, contém aquelas interações
que produzem efeitos de relaxação muito lentos, com tempos de relaxação
12
muito longos
5
. Desta forma o Hamiltoniano
H
ˆ
do sistema pode ser escrito
como:
'
0
H
ˆ
H
ˆ
H
ˆ
+=
. (2.17)
Essa separação baseia-se no princípio de Bogoliubov sobre os tempos de
amortecimento de correlações que, admitindo que em cada etapa de sua
evolução, o sistema perde sucessivamente a memória de sua distribuição
anterior então é possível definir uma hierarquia nos tempos de relaxação. De
acordo com esse princípio, à medida que o sistema se aproxima do estado de
equilíbrio um número cada vez mais reduzido de variáveis é necessário para a
descrição do seu estado macroscópico.
A escolha das variáveis de base é uma das questões fundamentais do
MOENE e, a princípio, é desejável que o conjunto )}t(Q{
j
contenha todas as
quantidades físicas necessárias para a descrição do problema. Até o presente
momento não existe um critério universal que permita uma escolha unívoca
dessas variáveis, entretanto, uma possibilidade seria incorporar ao conjunto
base somente àquelas variáveis que sejam mensuráveis, direta ou
indiretamente, no experimento sob consideração.
O procedimento de obtenção do Operador Estatístico de Não-Equilíbrio
encontra-se muito bem descrito numa extensa bibliografia
10,11,13
. Por ora, é
suficiente informar que a construção desse operador é feita usando um
princípio variacional, proposto por Jaynes, que consiste na maximização de
uma função chamada entropia estatística de Gibbs, conforme foi feito para um
sistema em equilíbrio na seção anterior.
Usando o critério de maximização da entropia de Gibbs, dado por :
^
G
ˆ ˆ
S (t) Tr { (t)ln (t)}
ρ ρ
= − (2.18)
e sujeita aos vínculos
13
)}(t
ˆ
P
ˆ
{Tr)(tQ
'
j
'
j
ρ= (2.19)
e
1)}(t
ˆ
Tr{
'
=ρ (2.20)
onde a Eq.(2.19) assegura que o conjunto )}(t{Q
'
j
descreve adequadamente o
estado macroscópico do sistema a todo instante t’, e a equação Eq.(2.20) garante
a normalização do operador )(tρ
ˆ
'
em todo o intervalo
ttt
'
0
≤≤
, com
0
t sendo
o tempo inicial de preparação do sistema e
t
o tempo no qual se faz a medida.
Na versão de Zubarev, o Operador Estatístico de não-equilíbrio é dado
por :
t)}t,(t
ˆ
ln
dt
d
edt(t,0)
ˆ
exp{ln(t)
ˆ
''
'
t)(tε
t
'
'
−ρ−ρ=ρ
−
∞−
∫
, (2.21)
onde ε é uma quantidade positiva (ε>0) indo para zero após o cálculo dos
traços terem sido executados na determinação dos valores médios. Os
operadores
(t,0)
ˆ
ρ e
t)t,(t
ˆ
''
−ρ são dados por :
}P
ˆ
(t)FΦ(t)exp{(t,0)
ˆ
j
jj
∑
−−=ρ
(2.22)
e
}H
ˆ
t)(t
i
1
exp{,0)(t
ˆ
}H
ˆ
t)(t
i
1
exp{)tt,(t
ˆ
'''''
−ρ−−=−ρ
, (2.23)
onde
(t,0)
ˆ
ρ
é um operador auxiliar de relevância prática na teoria no qual
Φ
(t)
e o conjunto
1 2
{F (t), F (t),........F (t)}
n
representam os multiplicadores de Lagrange
introduzidos pelo método variacional.
Φ
(t)
assegura a normalização de
)0(t,
ˆ
ρ
e desempenham o papel do logaritmo de uma função de partição de não
equilíbrio, enquanto que o conjunto
1 2
{F (t), F (t),........F (t)}
n
, representam
14
parâmetros termodinâmicos intensivos de não-equilíbrio. Portanto as
macrovariáveis
(t)}{Q
j
fornecem a descrição da termodinâmica irreversível do
sistema, e o conjunto
1 2
{F (t), F (t),........F (t)}
n
, proporciona uma descrição
alternativa equivalente.
É possível, mediante alguma álgebra, escrever o Operador Estatístico de
Não Equilíbrio
(t)
ˆ
ρ
como uma soma de dois termos,
(t)(t,0)
ˆ
(t)
ˆ
'
ρ+ρ=ρ
. (2.24)
Onde
(t,0)
ˆ
ρ
é o operador estatístico auxiliar da Eq.(2.22), que não
descreve processos dissipativos mas pode definir instantaneamente os valores
médios das variáveis dinâmicas {
^
j
P
} , isto é,
(t,0)}
ˆ
PTr{)}(t
ˆ
PTr{(t)Q
j
^
'
j
^
j
ρ=ρ=
(2.25)
e
(t)
ˆ
'
ρ
, é a parte de
(t)
ˆ
ρ
responsável pela evolução temporal irreversível.
2.4 – As Equações de Transporte
A proposta da presente seção é estabelecer um conjunto de equações
formais de transporte para as variáveis de estado do sistema
)}(t{Q
'
j
no espaço
de estados termodinâmicos de não equilíbrio.
A partir da equação de Heisenberg da mecânica quântica é possível
escrever:
(t)}
ˆ
]H
ˆ
,P
ˆ
[
i
1
Tr{
dt
(t)dQ
j
j
ρ=
. (2.26)
15
Agora usando a separação do Hamiltoniano
H
ˆ
[Eq. (2.18)] e do operador
estatístico
(t)
ˆ
ρ
[Eq. (2.24)] juntamente com as Eqs. (2.17) e (2.25) a Eq. (2.26)
pode ser escrita como:
(t)J(t)J(t)}
ˆ
]H
ˆ
,P
ˆ
[
i
1
Tr{
dt
(t)dQ
j
(1)
j
0
jj
j
ℑ++=ρ=
, (2.27)
onde
(t,0)}
ˆ
]H
ˆ
,P
ˆ
[
i
1
Tr{J
0j
0
j
ρ=
(2.28)
(t,0)}
ˆ
]H
ˆ
,P
ˆ
[
i
1
{TrJ
'
j
(1)
j
ρ=
(2.39)
(t)}
ˆ
]H
ˆ
,P
ˆ
[
i
1
Tr{(t)
'
jj
ρ=ℑ
. (2.30)
Na Eq. (2.27),
)t(J
(0)
j
e
)t(J
(1)
j
são termos associados ao operador
(t)
ˆ
ρ
e o
operador colisão
(t)
j
ℑ
relacionado a
(t)
ˆ
'
ρ
, sendo responsável pela descrição
dos processos de espalhamento que dão origem aos efeitos dissipativos, e
eventualmente contendo também efeitos de excitação criados por fontes
externas. Em geral o cálculo do operador colisão é extremamente complexo,
porém um método perturbativo permite sua descrição em termos de uma série
de operadores de colisão parciais. Assim é possível decidir por um processo de
truncamento da série tendo como critério a análise de ordem da magnitude das
diferentes contribuições, dadas por:
∑
∞
=
=ℑ
2n
(n)
j
j
(t)J(t)
(2.31)
onde o índice (n) informa a ordem das interações
^
'
H
presentes em cada termo.
O limite Markoviano corresponde a considerar apenas o primeiro termo da
expansão na Eq. (2.31), ou seja,
)t(J(t)
2
jj
≅ℑ
. É nesta aproximação que as
16
equações de transporte do presente trabalho foram obtidas onde sobrevivem na
expansão apenas as colisões binárias (de segunda ordem). Assim a Eq.(2.27) se
reduz à:
(t)J(t)J(t)J
dt
dQ
(2)
j
(1)
j
(0)
j
j
++≅
, (2.32)
onde
.dt(t,0)}
ˆ
]P
ˆ
,)(tH
ˆ
Tr{[
(t)δQ
(t)δJ
)(xpe)
i
1
(
dt(t,0)}
ˆ
]]P
ˆ
,H
ˆ
[,)t(H
ˆ
[Tr{)(xpe)
i
1
(J
1k01
'
n
1k
k
(1)
j
0
1j
'
01
'
0
22
j
ρε+
ρε=
∑
∫
∫
=
∞−
∞−
(2.33)
Com
δ
correspondendo a derivada funcional e o subíndice zero
indicando a evolução na representação de interação.
Outro resultado de grande utilidade nos capítulos subseqüentes consiste
em relacionar a evolução temporal das macrovariáveis
)}t(Q{
j
com a evolução
dos operadores de Lagrange
(t)F
j
uma vez que,
dt
(t)dF
(t)F
(t)Q
dt
(t)dQ
k
n
1k
k
jj
∑
=
∂
∂
=
(2.34)
ou
.
n
1k
.
kkj
k
.
n
1k
j
k
j
(t)F)P
ˆ
;P
ˆ
((t)F(t,0)})
ˆ
P
ˆ
(Tr{
(t)Fdt
(t)dQ
∑∑
==
−=ρ
∂
∂
= (2.35)
O ponto acima dos multiplicadores de Lagrange indica a derivada
temporal e
)P
ˆ
;P
ˆ
(
kj
representam a função de correlação de
j
P
ˆ
com
k
P
ˆ
, sendo
definida como:
(t,0)}
ˆ
(t,0)]
ˆ
[P∆(t,0)]
ˆ
[PTr{(du)P;P(
u
k
u
^
j
1
0
^
k
^
j
ρρρ=
−
∫
(2.36)
com
17
(t,0)}
ˆ
{PTrPP∆
kk
^
k
ρ−=
(2.37)
Portanto uma vez conhecidas as equações de evolução para as
macrovariáveis de base, pode–se obter as equações de evolução para os
multiplicadores de Lagrange, que desempenham o papel de variáveis
termodinâmicas intensivas descrevendo completamente o estado de não
equilíbrio do sistema, assim como também fazem as macrovariáveis
4-8
)(
tQ
j
.
18
Capítulo 3 -
O Plasma Fotoexcitado e as
Equações de Transporte
3.1 - Introdução
Um dos triunfos das teorias cinética e atômica é sua capacidade de dar
conta de quase todas as propriedades físicas da matéria, explicando, por
exemplo, por que alguns materiais são bons condutores de calor, enquanto
outros não (os isolantes). Os materiais condutores são elementos que possuem
elétrons livres em grandes quantidades fracamente ligados ao núcleo e que, sob
a ação de uma diferença de potencial (ddp), passam a se locomover facilmente
no interior do material.
Os materiais isolantes são elementos com características inversas, ou seja,
possuem elétrons fortemente presos em suas ligações, e que mesmo sob ação de
uma ddp ou quando aquecidos, desprendem uma quantidade muito pequena
de elétrons, evitando dessa maneira a condução elétrica.
Existe ainda uma classe intermediária de substâncias, chamadas
semicondutores, que são melhores condutores do que os isolantes de
eletricidade, mas não tão bons condutores como os metais. Nesses materiais a
condutividade elétrica, ao contrário do que ocorre com os condutores normais,
aumenta com a temperatura. Assim eles se comportam como condutores nas
temperaturas usuais e como isolantes em baixas temperaturas. Além do
germânio (Ge), do silício (Si) e de alguns outros elementos, são semicondutores
uma grande quantidade de substâncias entre as quais se destacam os compostos
19
binários constituídos por átomos de grupos diferentes da tabela periódica
como, por exemplo, GaAs, AlSb e InSb
11,13,16,17
.
Os semicondutores provocaram uma verdadeira revolução na tecnologia
da eletrônica e nenhum aparelho eletrônico atual, desde um simples relógio
digital ao mais avançado dos computadores, seria possível sem os mesmos. Os
semicondutores em que o número de elétrons é igual ao número de buracos são
chamados de semicondutores intrínsecos e suas propriedades de condução são
características do material puro. Entretanto, há outra classe denominada de
semicondutores extrínsecos ou dopados que recebem uma determinada
impureza e, por essa razão, são chamados de extrínsecos do tipo n ou p.
Através do mecanismo de dopagem do material é possível priorizar um maior
crescimento na população de elétrons em relação a população de buracos ou
vice-versa. Os semicondutores em que a população de elétrons predomina é
chamado do tipo n e naqueles em que há uma predominância de buracos são
denominados do tipo p. Os semicondutores com dopagem exibem uma
condutividade que pode ser controlada pela concentração de impurezas e que
varia fracamente com a temperatura. Esse controle das propriedades do
material via mecanismo de dopagem permite utilizar os semicondutores
extrínsecos em uma ampla variedade de dispositivos eletrônicos
5,18,19
.
Isolantes, condutores e semicondutores podem ainda ser diferenciados
em termos das chamadas bandas de energia. A Fig. 3.1 exibe essa diferença do
ponto de vista das bandas de valência e de condução e da separação entre elas
(“gap” de energia).
20
Fig. (3.1): Esquema simples da estrutura de banda de energia em materiais: isolante,
semicondutor e condutor.
Um elétron em um átomo monoeletrônico possui estados quânticos
estacionários caracterizados por níveis de energia discretos e quantizados,
correspondendo aos orbitais atômicos. Num átomo multieletrônico, o estado
fundamental é obtido distribuindo os elétrons em níveis de menor energia,
obedecendo ao Princípio de Exclusão de Pauli. Aproximando dois átomos
inicialmente isolados, ocorre uma interação mútua e os níveis de energia de
cada átomo ficam ligeiramente perturbados. No caso geral em que se aproxima
uma grande quantidade de átomos para formar um sólido, tem-se um grande
número de níveis de energia muito próximo dando origem a uma banda de
energia quase contínua.
Esta descrição sobre a origem das bandas de energia é bastante reduzida,
ocultando algumas características essenciais dos estados eletrônicos uma vez
que, é na natureza ondulatória dos elétrons que se encontram as origens das
bandas de energia. O cálculo quântico dos estados eletrônicos e das energias é
uma tarefa um tanto complexa onde normalmente são feitas algumas
aproximações
3-8
. Em uma dessas aproximações considera-se o problema como
se envolvesse um único elétron com os demais elétrons fazendo parte dos íons,
que originam um potencial periódico, semelhante ao poço de potencial com
21
paredes infinitas nas superfícies do cristal. Este potencial ao qual o elétron está
submetido leva as soluções da equação de Schroedinger cujas energias formam
as bandas
20
, conforme mostrado na Fig. 3.2.
Fig. (3.2): Relação de dispersão E(k) para k > 0, como soluções válidas da equação de
Schrödinger do modelo de Kronig – Penney
20
.
Num semicondutor, os portadores livres (elétrons e buracos) distribuem-
se em bandas de energia segundo a Estatística de Fermi, enquanto que os fônons
que representam as vibrações da rede cristalina distribuem-se de acordo com a
Estatística de Bose. Na ausência de campos externos, esses dois sub-sistemas
encontram-se em equilíbrio térmico mútuo, uma vez que energia e momento
são trocados constantemente através das interações elétron-fônon. Assim no
equilíbrio (estado estacionário), as temperaturas de suas distribuições
coincidem, isto é, as excitações elementares (portadores e fônons) podem ser
caracterizadas por uma temperatura única comum, que é aquela do reservatório
com a qual a amostra encontra-se em contato (termostato Dewar, ar do
laboratório, etc)
15
.
22
A configuração inicial de equilíbrio do sistema portador-fônon pode
sofrer profundas alterações pela ação de alguma fonte externa de energia, como
por exemplo a excitação óptica. Isso ocorre quando um semicondutor intrínseco
é iluminado por um laser intenso dando origem a um grande número de pares
(elétron-bruraco) não-térmicos, que se comportam como um líquido de Fermi
de duas componentes (elétrons-buracos). Esses pares movimentando-se no
fundo positivo da rede cristalina (também não-térmica), dão origem ao
chamado plasma em semicondutor altamente excitado (PSAE)
21,22,23,,24
. Os
elétrons fotoexcitados em geral possuem uma energia cinética média superior
àquela correspondente à temperatura do banho e, por essa razão, são
denominados freqüentemente de “portadores-quentes”. De forma análoga, em
condições de altas excitações, os diferentes modos fonônicos através da
interação elétron-fônon podem ter a sua pseudo-temperatura elevada a níveis
superiores àquela do banho e, por isso, também são denominados de “fônons
quentes”. Em tais condições o plasma “quente”, gerado pela fotoexcitação do
semicondutor, poderá relaxar para um estado final de equilíbrio se a
perturbação for retirada, ou poderá evoluir para estados estacionários se a
pertubação for mantida. A escolha do laser como fonte externa de energia tem
se mostrado ser a mais indicada, uma vez que permite a determinação seletiva
da energia de excitação, evita um aquecimento considerável da rede e a
formação de defeitos e, além disso, proporciona um controle da variação de
duração do pulso, que é um fator muito importante nas técnicas experimentais
de investigação de fenômenos ultra-rápidos em sistemas fora do equilíbrio.
As primeiras tentativas na compreensão do comportamento de
portadores quentes iniciaram a partir da década de 30 com os estudos teóricos
de Landau e outros. Neles, se procuravam informações a respeito da função
distribuição de elétrons em semicondutores submetidos a campos intensos.
Investigações experimentais dos efeitos de campos em semicondutores
homogêneos, isto é, semicondutores sem junções, foram realizados com êxito
por Shockley e Ryder em 1951
25
. Já na década de 60 com o surgimento do laser,
23
o estudo da distribuição de portadores quentes em semicondutores passou a ser
investigado por técnicas ópticas: medidas de luminescência; reflexão; transmissão e
espectroscopia Raman. Na década de 80 com o desenvolvimento da tecnologia de
geração de pulsos ultracurtos surge uma poderosa ferramenta: a espectroscopia
laser ultra-rápida. Essa técnica, aprimorada constantemente no decorrer dos
últimos anos, tem permitido investigar, com alto grau de confiabilidade,
processos dinâmicos de relaxação ocorrendo em sistemas físicos, químicos e
biológicos, na escala de femtossegundos (1fs = 10
-15
s). No domínio de
femtossegundos, uma nova classe de problemas torna-se passível de
investigação. Em particular, é possível estudar as propriedades de líquidos e
sólidos num tempo menor que o período de muitas vibrações importantes
26,27
.
O processo de relaxação ocorrendo no plasma quente gerado pela
fotoexcitação de um semicondutor é de natureza ultra-rápida, e pode ser
estudado experimentalmente através da espectroscopia laser ultra-rápida.
Dependendo do intervalo espectral, da intensidade, e da duração do pulso de
laser, a evolução dos portadores quentes será caracterizada por uma ampla
distribuição de constantes de tempo. Esses tempos característicos variam na
escala de femtossegundos para a fase de relaxação ultra-rápida dos estados
populados inicialmente pelos portadores, passam pelo regime de
subpicossegundos e picossegundos caracterizados pelos tempos de
termalização e relaxação da energia dos diferentes tipos de portadores, até os
tempos de difusão e recombinação que são da ordem de nanossegundos. Um
tratamento teórico quantitativo desses regimes de relaxação amplamente
diferentes envolverá necessariamente níveis de descrição e graus de
complexidade muito diferentes
28
. Modelos propostos para a relaxação têm sido
paulatinamente incrementados, tornando-os mais realísticos, e buscando uma
sintonia mais precisa com as medidas experimentais. A inclusão da blindagem
da interação elétron-fônon; do efeito do fônon “quente”; do espalhamento inter-
vales; e da difusão ambipolar são exemplos de modificações que foram
introduzidas visando melhorar a performance do modelo. Entretanto, apesar da
24
grande contribuição decorrente destas modificações, muitas propriedades
físicas dos portadores foto-injetados no semicondutor continuam não muito
bem compreendidas.
Neste capítulo é feita uma investigação da relaxação de portadores
(elétrons e buracos) fotoexcitados por um pulso de laser num semicondutor
polar de “gap“ direto em contato com um reservatório térmico a uma
temperatura T
R
.
3.2 - O Modelo Considerado
Considere uma amostra de material semicondutor sob o qual incide uma
fonte de luz (laser). A ação do laser sobre o sistema (semicondutor) promove
transições de elétrons da banda de valência para a banda de condução, que se
distribuem inicialmente em torno dos estados de energia acoplados pelo pulso,
ou seja, em
ε
e
na banda de condução e em
ε
h
na banda de valência, com
ε
e
-
ε
h
≅
ω
L
(ou 2
ω
L
). No primeiro caso com absorção direta de um fóton quando
ω
L
>
E
G
onde
ω
L
é a freqüência do laser e E
G
é o “gap” de energia e, no segundo
caso,
ω
L
<
E
G
porém 2
ω
L
>
E
G
com absorção de dois fótons. No processo de
absorção direta de um fóton, cada par de portadores criados adquire um
excesso de energia
ω
L
- E
G
que, na seqüência, é dissipada através de
diferentes canais de interação.
Supõem-se uma intensidade do laser tal que os portadores foto-excitados
sejam gerados em concentrações
n
suficientemente altas (
n
≥
10
16
cm
-3
) tal que os
pares criados encontram-se no lado metálico da transição de Mott, podendo ser
considerados como um líquido de Fermi de duas componentes (PSAE)
5, 6, 22
. A
Fig. 3.3 fornece uma descrição do diagrama de fase de não-equilíbrio de um
semicondutor foto-excitado, evidenciando a região de interesse acima
mencionada.
25
Os portadores inicialmente foto-injetados pelo laser interagem entre si
(interação portador-portador) e com os modos normais de vibração da rede
cristalina (interação portador-fônon) relaxando seu excesso de energia e
retornando ao seu estado de equilíbrio. A forte interação Coulombiana
portador- portador redistribui no espaço-energia o excesso de energia
decorrente da foto-injeção. Desta forma, a distribuição não-térmica inicial
aproxima-se de uma distribuição termalizada (tipo Fermi-Dirac) caracterizada
por pseudo-temperaturas
T
e
e
T
h
para elétrons e buracos, diferentes da
temperatura do reservatório
T
R
.
Em seguida, elétrons e buracos termalizam
entre si de modo que o plasma pode ser descrito por uma pseudo-temperatura
única T T
c R
∗
> .
Este tipo de interação não contribui para uma mudança na
energia média mas apenas alarga a distribuição energética inicial. A Fig.3.4
ilustra esquematicamente a distribuição inicial dos elétrons e a sua evolução
para uma distribuição termalizada (T
c
∗
).
A interação portador-fônon pode ocorrer via o chamado potencial de
deformação ou como resultado da ação de forças eletrostáticas geradas pelas
ondas de polarização que acompanham os fônons, a chamada interação de
Fröhlich em semicondutores polares. Os portadores interagem com os modos
longitudinais ópticos (LO) através da interação de Fröhlich, e com os modos
transversais ópticos (TO) e acústicos (A), via potencial de deformação
29,30
.
A interação anarmônica entre fônons ópticos e acústicos (interação
fônon-fônon) é a responsável pela transferência de energia entre estes dois
subsistemas e, no presente trabalho, é tratada na aproximação do tempo de
relaxação. Entre os fônons acústicos (A) e o reservatório térmico (R) é suposto
um bom contato térmico de modo que haja um equilíbrio térmico permanente
entre os dois subsistemas. Assim, o sistema completo é composto de um
subsistema aberto envolvendo portadores e fônons ópticos interagindo entre si
e com o subsistema externo constituído de fônons acústicos (A), fótons e o
reservatório (R).
26
O processo de relaxação é ainda afetado pelos mecanismos de
recombinação e de difusão ambipolar de portadores. A recombinação direta
(recombinação radiativa) é um processo pelo qual, um par elétron-buraco
aniquila-se com a conseqüente emissão de radiação eletromagnética. Outros
mecanismos de recombinação tais como, recombinação não radiativa,
recombinação assistida por plasmons, por fônons e o efeito Auger não foram
considerados neste trabalho, pois são efeitos de segunda ordem e desprezíveis
frente a recombinação direta
21,23
. A difusão ambipolar de portadores é um
mecanismo caracterizado pela difusão conjunta de elétrons e buracos pela ação
de campos elétricos internos gerados pela não homogeneidade na distribuição
de portadores ao longo do cristal. No caso de um semicondutor intrínseco as
concentrações de elétrons e buracos são idênticas, além disso, os elétrons têm
uma mobilidade maior que os buracos e por essa razão tendem a se difundir
mais rapidamente. Essa separação de cargas dá origem a um campo elétrico que
reduz a velocidade de difusão dos elétrons e acelera a velocidade de difusão
dos buracos caracterizando um processo de difusão conjunta (difusão
ambipolar). A difusão ambipolar de portadores para fora da região ativa da
amostra é um mecanismo que reduz sensivelmente a densidade de portadores
e, em determinadas situações, atrasa o processo de relaxação de energia no
plasma.
Para a descrição do processo global de relaxação no plasma (PSAE), o
sistema pode ser dividido num conjunto de subsistemas, conforme
esquematizado na Fig. 3.5. O subsistema envolvendo os portadores é descrito
na aproximação de massa efetiva com duas bandas (valência e condução)
parabólicas. Essa aproximação se justifica, pois, nas transições interbanda
envolvendo fótons de uma só freqüência, os estados em torno de
k
= 0 são
aqueles que fornecem as maiores contribuições (enquanto, claro, os níveis de
excitação não sejam suficientemente altos para requerer a inclusão dos vales
laterais)
21
.
27
Fig. (3.3): Descrição esquemática do diagrama de fase de não-equilíbrio de portadores
em um semicondutor foto-excitado. A ordenada indica o excesso de energia cinética que implica
numa pseudo-temperatura efetiva para os portadores
21
.
Fig. (3.4): Evolução da distribuição inicial de portadores foto-injetados num
semicondutor foto-excitado
30
.
28
Fig. (3.5): Descrição esquemática dos principais canais de interação envolvidos no
processo de relaxação do excesso de energia num semicondutor excitado. 1. Produção de Pares,
2. Recombinação, 3. Potencial de Frolich, 4. Potencial de Deformação, 5. Interação Anarmônica,
6. Relaxação do excesso de energia para o Banho Térmico
4,5
.
O processo global de relaxação do plasma quente ao estado de equilíbrio,
uma vez definidas as interações relevantes no modelo, torna-se mais
compreensível se acompanhado por uma seqüência de estágios. Num primeiro
estágio, conforme veremos posteriormente, ocorre a termalização interna dos
portadores, comandada pela forte interação coulombiana de longo alcance.
Após esta termalização interna a função distribuição de portadores pode ser
representada por uma distribuição de Fermi-Dirac com valores instantâneos
para a pseudo-temperatura efetiva T t
c
∗
( )
e para os pseudo-potenciais químicos
µ
e
t
( )
e
µ
h
t
( ).
Num segundo estágio, os portadores termalizados (T T
c rede
∗
>
)
perdem energia principalmente pela emissão de fônons ópticos, sua pseudo-
temperatura T t
c
∗
( )
decresce e eles tendem a ocupar estados no fundo da banda
de condução. Durante os dois primeiros estágios, a taxa de produção de fônons
ópticos é grande e eles, ao contrário dos portadores, não estão termalizados, isto
é, não podem ser descritos apenas em termos de sua energia e de uma única
pseudo-temperatura instantânea. Portanto, para esses intervalos de tempo, a
descrição do estado termodinâmico dos fônons ópticos requer o uso completo
LASER
ELÉTRONS
BURACOS
FÔNONS
ÓTICOS
FÔNONS
ACÚSTICO
1
1
2
3
3
4
4
5
6
29
das populações
ν
γ
q
t
( )
, com
q varrendo toda a zona de Brillouin. Finalmente,
num terceiro estágio a relaxação dos portadores e fônons ópticos ocorre
principalmente pela emissão de fônons acústicos, com difusão de calor dos
acústicos para o reservatório. Numa escala de nanossegundos, a recombinação
de pares elétron-buraco torna-se um importante mecanismo no processo de
relaxação do plasma
22,24,28,31,32
.
3.3 - O Hamiltoniano do Sistema
O Hamiltoniano
ˆ
H
do sistema indicado na Fig.3.5 pode ser escrito como:
0
ˆ ˆ ˆ
H H H
′
= +
,
(3.1)
onde
0
ˆ
H
e
ˆ
H
′
são, respectivamente, os Hamiltonianos dos subsistemas livres e
das interações, isto é,
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
p f
H H H H
γ
γ
= + +
∑
, (3.2)
ˆ
p
H
é o Hamiltoniano dos portadores,
ˆ
H
γ
com
γ
= LO, TO e A representando o
Hamiltoniano dos fônons ópticos e acústicos e
ˆ
f
H
o Hamiltoniano dos fótons
(da radiação laser e da recombinação).
O Hamiltoniano dos portadores em segunda quantização é dado por:
ˆ ˆ ˆ
( )
e h
p e h G
k k k k k k
k k
H H H E c c h h
ε ε
+ +
= + = + +
∑ ∑
, (3.3)
30
com c c
k k
+
;
e h h
k k
+
; correspondendo
respectivamente, aos operadores de criação
e aniquilação de elétrons e buracos no estado
k ; E
G
representa o “gap” de
energia,
ε
k
e
e
ε
k
h
as relações de dispersão de energia para elétrons e buracos
com massas efetivas m
e
e m
h
.
O Hamiltoniano representando os três modos fonônicos é composta
pelas contribuições,
1
ˆ
2
q q q
q
H a a
γ γ γ γ
ω
+
= +
∑
,
(3.4)
com
a a
q q
γ γ
+
;
representando os operadores de criação e aniquilação dos fônons
de vetor de onda
q
no ramo
γ
; com
ω
γ
q
sendo a relação de dispersão do ramo
γ
.
O último termo da eq.(3.2) está relacionado ao Hamiltoniano livre dos
fótons absorvidos ou emitidos nos processos de transição interbanda, isto é,
ˆ
f
H
corresponde ao feixe de fótons emitidos pela fonte laser e ao gás de fótons
resultante do processo de recombinação radiativa, ou seja
( ), ( ),
1
ˆ
,
2
f p L R p L R p
p
H f f
+
= Ω +
∑
(3.5)
onde
Ω
p
é a energia do fóton e,
f
L R p( ),
+
e
f
L R p( ),
são os operadores de criação e
aniquilação de fótons correspondentes aos fótons da radiação externa (L) e de
recombinação direta (R), com momento
p.
O Hamiltoniano
ˆ
H
′
representando as interações entre os subsistemas
pode ser escrito como:
31
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
p p L p R LO A TO A
H H H H H H
γ
γ
− − − −
′
= + + + +
∑
,
(3.6)
onde
ˆ
p
H
γ
está relacionada às interações entre os portadores (elétrons e buracos)
e fônons
γ
(LO,TO e A) cuja forma genérica é:
(
)
(
)
, , , ,
, ,
ˆ
( ) ( )
p e q q h q q
k q k k q k
k q k q
H U q c c a a U q h h a a
γ γ
γ γ γ γ γ
+ + + +
− −
+ − − −
= − + −
∑ ∑
,
(3.7)
onde
U q
α
γ
( )
é o elemento de matriz da interação de portadores com os fônons e
α
representa elétrons (e) e buracos (h).
O segundo termo na eq.(3.6) representa a absorção de fótons do laser
incidente no processo de criação de pares e o terceiro termo está ligado ao
processo de recombinação direta de pares elétron-buraco envolvidos no
modelo. Estas interações são dadas respectivamente por,
,
,
ˆ
( ) . .,
p L L L p
k p k
k p
H G p f c h H C
+ +
−
+ −
= +
∑
(3.8)
e
,
,
ˆ
( ) . .,
p R R R p
k p k
k p
H G p f c h H C
+ +
−
+ −
= +
∑
(3.9)
onde
G p
L R( )
( )
é o elemento de matriz da interação portador-radiação externa
(portador-campo de luminescência) e H.C representa o Hermitiano conjugado.
Finalmente, as interações anarmônicas
ˆ
LO A
H
−
e
ˆ
TO A
H
−
serão tratadas na
aproximação do tempo de relaxação e por esta razão, maiores detalhes destas
interações serão aqui omitidos.
32
3.4 - Variáveis de Base
{ }P
m
Conforme visto no Capítulo 2 o uso do Método do Operador Estatístico de
Não-Equilíbrio (MOENE) pressupõe a escolha de um conjunto de variáveis
dinâmicas
{ }P
m
através do qual a evolução macroscópica do sistema fica bem
caracterizada. Ao fazer tal escolha admite-se uma hierarquia de tempos de
relaxação e pode-se definir uma série de estágios cinéticos, descritos por
conjuntos
{ },P
m
que são sucessivamente menores.
A relaxação de portadores “quentes” ao estado de equilíbrio em um
semicondutor foto-excitado ocorre via diferentes processos, cada um ocorrendo
num tempo próprio
τ
p
,
e envolvendo os diversos canais de interação
considerados no modelo. Acompanhando a evolução do plasma, é possível
identificar um espectro de tempos de relaxação que caracterizam os diferentes
estágios percorridos pelo sistema no decorrer de sua evolução ao estado de
equilíbrio:
a) Estágio Inicial: Aqui, o número de variáveis necessárias para a descrição da
evolução do sistema coincide com o número total de graus de liberdade das n
partículas e, portanto, não há um tratamento teórico satisfatório.
b) Estágio Cinético. Nesse estágio é esperado que um grande número de
correlações dinâmicas já tenha amortecido e que o sistema tenha perdido a
memória da distribuição inicial. Assim, uma descrição macroscópica torna-se
possível. Em geral, esse estágio pode ser decomposto em vários estágios
sucessivos após ter ocorrido a primeira contração, que se segue ao estágio
inicial. Isso permite reduzir subseqüentemente o número de variáveis
macroscópicas
14,15,16
:
33
b1) Primeiro Estágio Cinético. Num plasma em semicondutor altamente
excitado (PSAE) coexistem subsistemas não-equilibrados como, por exemplo, o
fluído de portadores e os íons da rede. A dinâmica dos íons pode ser descrita
em termos dos modos normais de vibração ou, em forma quantizada, pelos
diferentes ramos de fônons ópticos e acústicos. Para o fluido de portadores
predomina a forte interação Coulombiana de longo alcance e o tempo de uma
colisão poderia ser interpretado como o tempo
τ
µ
dito de microrandomização
do primeiro estágio cinético, isto é,
τ
µ
>
r
v
0
(tempo necessário para que o
sistema perca a memória sobre a configuração inicial de não- equilíbrio). Na
estimativa de
τ
µ
,
v
representa a velocidade média das partículas constituintes
do sistema (velocidade de Fermi em baixas temperaturas, ou velocidade térmica
em altas temperaturas) e
r
0
representa o raio de correlação que está relacionado
com o alcance das forças de interação entre as partículas (parâmetro de
blindagem de Thomas-Fermi em baixas temperaturas, ou de Debye em altas
temperaturas). Assim, nos dois limites extremos de temperatura,
τ
µ
é dado por,
τ
ω
µ
≈
1
pl
, onde
ω π ε
pl x
ne m= ( / )
/
4
2
0
1 2
, com
ω
pl
representando a freqüência de
plasma e
n
,
e
,
ε
0
e
m
x
respectivamente a concentração de portadores, o valor
absoluto da carga eletrônica, a constante dielétrica estática e a massa efetiva
excitônica
(
)
m m m
x e h
− − −
= +
1 1 1
do portador (elétron-buraco).
O resultado acima prescreve que, em escalas de tempo da ordem do
período de uma onda de plasma eletrônica, o fluido de portadores pode ser
descrito instantaneamente em termos de operadores estatísticos de uma única
partícula. Em suma, o primeiro estágio cinético para o PSAE se encaixa na
escala de tempo necessária para o início do movimento coletivo. Em
semicondutores típicos,
τ
µ
é da ordem de algumas centenas de femtossegundos
para concentrações superiores a 10
16
cm
-3
.
34
b1) Segundo Estágio Cinético. Em virtude da forte interação de Coulomb, é
esperado que num tempo muito curto as colisões portador-portador,
comandadas por essa interação, promovam uma contração adicional na
descrição do subsistema portadores. No caso do PSAE homogêneo, admite-se
que essa descrição possa ser feita em termos da função número de ocupação
f t
e h
( )
( , ),
ε
obtida mediante a operação:
{
}
f t f t Tr c c t
e h
k
k k( )
( , ) ( ) ( , )
ε ρ
α
α α
= =
+
0
,
onde,
ρ
( , )t 0
é o operador estatístico auxiliar do MOENE [cf. Eq.(2.5)],
c c
k k
α α
+
são, respectivamente, os operadores criação e aniquilação das quasi-partículas
(
α
= e para elétrons e
α
= h para buracos) e
ε
εε
ε
é a energia da quasi-partícula no
estado
k
.
Supondo que a interação de Coulomb produz uma termalização do
subsistema portadores então,
f t
e h( )
( , ),
ε
fica caracterizada por uma “pseudo-
temperatura”,
k T t t
B c c
∗ −
=( ) ( )
β
1
(de não-equilíbrio), e pelos “pseudo-potenciais
químicos”
µ
e
t( )
e
µ
h
t( )
para elétrons e buracos, respectivamente, podendo ser
representada, por uma distribuição instantânea do tipo Fermi-Dirac (que
evoluem no tempo à medida que se desenvolvem os processos de dissipativos
no sistema)
14,15
.
f t t t
e h c e h( ) ( )
( , ) { exp[ ( )( ( )]} .
ε β ε µ
= + −
−
1
1
Para uma densidade de
n
x
cm
=
−
3
10
17 3
Collet et al
22
estimaram em
aproximadamente 500fs o tempo de evolução, no GaAs, da função distribuição
f t
e h( )
( , )
ε
, desde uma situação inicial (na qual os portadores são descritos por
distribuições fortemente centradas na energia que caracteriza o estado para o
qual foram excitados) até a função atingir uma forma tipo Maxwell-Boltzmann.
Alexandrou et al
33
considerando densidades da ordem de
10
17 3
cm
−
investigaram, através de medidas de saturação de absorção, a evolução da
35
população de não-equilíbrio de elétrons foto-injetados (independentemente da
população de buracos) estimando em 200fs o tempo de termalização da
distribuição eletrônica no GaAs.
Durante o segundo estágio cinético no PSAE os fônons ópticos ainda não
termalizaram entre si. Portanto, uma descrição apropriada dos estados
macroscópicos do sistema nessa escala de tempo deve levar em conta as
variáveis
ν
γ
q
de fônons ópticos que dependem de todos os modos
caracterizados pelo vetor de onda
q,
com
q
variando sobre toda a zona de
Brillouin.
b2) Terceiro Estágio Cinético. O terceiro estágio cinético é marcado por uma
termalização interna dos modos ópticos de fônons. Nesse estágio, o sistema de
fônons ópticos passa a ser caracterizado por “pseudo-temperaturas” únicas
T t
LO
∗
( )
e
T t
TO
∗
( )
com populações de fônons representadas por distribuições
instantâneas do tipo Planck:
ν
ω
LO TO
LO TO
B LO TO
t
q
k T t
( )
( )
( )
( ) {exp[
( )
( )
] }= −
∗
−
1
1
,
que evoluem no tempo, à medida que se desenvolvem os processos dissipativos
no meio. Na equação acima
k
B
representa
a constante de Boltzmann. Portanto,
uma descrição macroscópica do PSAE no terceiro estágio torna-se acessível em
termos de seis macrovariáveis, ou seja, { ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )} .T t T t T t T t t t
c LO TO A e h
∗ ∗ ∗ ∗
µ µ
b3) Relaxação ao Equilíbrio Final. No final do terceiro estágio cinético, as
temperaturas
T t T t
c LO
∗ ∗
( ), ( ) e
T t
TO
∗
( ) convergem para um valor comum, ou seja,
T t T t T t
c LO TO
∗ ∗ ∗
= =( ) ( ) ( ) e, a partir desse ponto, portadores e fônons ópticos
relaxam seu excesso de energia para o banho térmico, via interação com fônons
acústicos. Deve-se ainda lembrar que os mecanismos de difusão ambipolar e de
36
recombinação (elétron-buraco) presentes no processo contribuem para que a
concentração de portadores decresça até que o equilíbrio final seja atingido.
14,15
.
A Fig.(3.6) ilustra os processos de contração envolvidos na descrição
macroscópica do PSAE homogêneo
14,15
.
Excitação Inicial
⇓
⇓⇓
⇓
→
→→
→0 Estágio Inicial (não há contração na descrição)
⇓
⇓⇓
⇓
→τ
µ
≤ 10fs
Primeiro Estágio Cinético (descrição de portadores e fônons por
operadores estatísticos de uma partícula)
⇓
⇓⇓
⇓
→τ
1
≤ 5 x10
2
fs
Segundo Estágio Cinético (pseudo-temperatura de portadores e
pseudo-potenciais químicos)
⇓
⇓⇓
⇓
→τ
2
≅ 10 a 20
fs
Terceiro Estágio Cinético (pseudo-temperatura de fônons ópticos:
equilíbrio mútuo entre portadores e fônons ópticos)
⇓
⇓⇓
⇓
Evolução ao Equilíbrio (recombinação dos pares fotoexcitados e equilíbrio com
o reservatório à temperatura T
R
)
Fig.(3.6): Os diferentes estágios cinéticos percorridos, no processo de relaxação ao estado de
equilíbrio, por um PSAE
14,15
.
Analisando as diferentes etapas do processo é possível escolher, de
forma apropriada, as variáveis de base { }
P
m
, inerentes ao MOENE, através das
quais a Termodinâmica Estatística do sistema será descrita. A partir do segundo
37
estágio cinético uma escolha natural para a composição do conjunto-base de
variáveis dinâmicas { }
P
m
é,
{ } {
;
;
;
}
P H N N
m c e h q
=
ν
γ
, (3.10)
onde
H
c
é o operador Hamiltoniano dos portadores em bandas de Bloch,
N
e
e
N
h
são os operadores número para elétrons e buracos e,
ν
γ γ γ
q q q
a a=
+
(3.11)
é o operador para número de fônons no ramo γ (TO, LO), isto é, para fônons
ópticos transversais e longitudinais com vetor de onda
q
varrendo toda zona
de Brillouin, e com
†
( )
q q
a a
γ γ
representando os operadores criação (aniquilação)
no modo
q no ramo
γ
.
Ao conjunto { }
P
m
associa-se um conjunto { }
F
m
de
parâmetros termodinamicamente conjugados, que correspondem aos
multiplicadores de Lagrange introduzidos pelo método:
{ } { ( ); ( ) ( ); ( ) ( ); ( )}
F t t t t t F t
m c e c h c q
=
−
−
β
µ
β
µ
β
γ
, (3.12)
onde,
µ
e
t
( ) e
µ
h
t
( ) são identificados com os pseudo-potenciais químicos e
β
c
t
( ) com a pseudo-temperatura:
F t
q
γ
( ) , como será mostrado posteriormente,
pode ser relacionado com a pseudo-temperatura associada ao modo
q
.
Os valores médios das variáveis dinâmicas { }
P
m
, tomados sobre um
“ensemble” de não-equilíbrio, no contexto do MOENE, originam um conjunto
38
{ ( )}
Q t
m
de variáveis macroscópicas que caracterizam o estado termodinâmico
de não-equilíbrio do sistema. Esse conjunto é representado por
{ ( ) { ( ); ( ); ( ); ( )}
Q t E t n t n t t
m c e h q
=
ν
γ
, (3.13)
com,
E t Tr H t
c c
( ) {
( , )}
=
ρ
0 , (3.13a)
( )
( ) {
( , )} {
( , )}
n t n t Tr N t Tr N t
e h e h
= = =
ρ ρ
0 0 , (3.13b)
ν ν ρ
γ γ γ
q q q
t Tr t F t( ) {
( , )} {exp[ ( )] }= = −
−
0 1
1
, (3.13c)
onde,
E t
c
( ) é a energia dos portadores,
n
t
(
)
é a densidade de elétrons e buracos
(ambos são iguais, pois os processos envolvendo a criação e a aniquilação de
portadores ocorrem aos pares e a amostra semicondutora é intrínseca),
ν
γ
q
é a
população de fônons no modo
q
do ramo
γ
e
ρ
( , )
t
0 é o operador estatístico
auxiliar dependente nas variáveis dinâmicas{ }
P
m
que, de acordo com a Eq.(2.5)
do capítulo 2, pode ser escrito como,
ρ φ β µ µ ν
γ
γ
γ
( , ) exp{ ( ) ( )[
( )
( )
] ( )
}
t t t H t N t N F t
c c e e h h q
q
q
0
= − − − − −
∑
(3.13d)
onde
φ
( )
t
é um multiplicador de Lagrange introduzido pelo método
variacional.
39
3.5 - As Equações de Transporte no Semicondutor
As equações de transporte generalizadas, nas macrovariáveis { ( )}
Q t
m
,
podem ser obtidas através do formalismo do MOENE introduzido no
Capítulo 2.
De acordo com a Eq.(2.10) daquele capítulo, as equações que descrevem
a cinética das macrovariáveis { ( )}
Q t
m
, dentro da aproximação de segunda
ordem na teoria de relaxação (aproximação quasi-linear), são escritas como:
dQ t
dt
J t J t J t
m
m m m
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= + +
0 1 2
, (3.14)
onde m = 1,...,4 e os operadores de colisão
J t J t
m m
( ) ( )
( ), ( )
0 1
e
J t
m
( )
( )
2
dados,
respectivamente, por
(0)
0
1
( ) {[ , ] ( , 0)}
m m
J t Tr P H t
i
ρ
=
, (3.15)
J t
i
Tr P H t
m m
( )
( ) {[ , ] ( , )}
1
1
0
=
′
ρ
, (3.16)
J t i dt t Tr H t H P t
m m
( )
( ) ( ) exp( ) {[ ( ),[ , ]] ( , )}
2 2
1
0
1 1
0=
′ ′
+
−
−∞
∫
ε ρ
1
0
1
0
1 1
1
i
dt t Tr H t P t
J t
Q t
k
n
k
m
k
−∞
∫
∑
′
exp( ) {[ ( ), ] ( , )}
( )
( )
.
( )
ε ρ
δ
δ
(3.17)
40
onde
H
0
é o operador associado aos subsistemas livres e
′
H
, às interações.
Considerando que as quantidades { }
P
m
da Eq.(3.10) comutam entre si e
com
H
0
, então, os operadores de colisão
J t
m
( )
( )
0
e
J t
m
( )
( )
1
são identicamente
nulos e a eq.(3.14) se reduz à,
dQ t
dt
i dt t Tr H t H P t
m
m
( )
( ) exp( ) {[ ( ) ,[ , ]] ( , )}=
′ ′
−
−∞
∫
2
1
0
1 1 0
0
ε ρ
. (3.18)
A Eq.(3.18) determina a evolução de cada uma das macrovariáveis do
conjunto
{
}
{
}
Q t E t n t n t t
m c e h q
( ) ( ); ( ); ( ); ( )
=
ν
γ
, nos seus múltiplos termos
associados às interações com os vários subsistemas envolvidos no problema.
A equação cinética para a macrovariável
E t
c
( ) pode ser escrita como:
dE t
dt
dE t
dt
dE t
dt
dE t
dt
dE t
dt
c c
p L
c
p
c
p R
c
DA
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
+
+
+
− − −
γ
, (3.19)
onde os dois primeiros termos no lado direito da Eq.(3.19) representam
respectivamente a interação do subsistema de portadores com a fonte externa
de energia (laser) e com os vários ramos de fônons. O terceiro termo está
relacionado ao mecanismo de recombinação direta envolvendo os portadores e
o quarto termo representa o efeito da difusão ambipolar dos portadores quentes
para fora da região ativa da amostra.
Os três primeiros termos a direita da Eq.(3.19), calculados explicitamente
a partir da Eq.(3.18), após alguma álgebra são escritos como:
41
dE t
dt
G p E
c
p L
L
k p
G
k
e
k
h
( )
( ) ( )
,
= + +
−
∑
2
2
π
ε ε
x
{
}
( ( ) ( )) ( )1
− − + + −f t f t E
k
e
k
h
G
k
e
k
h
L
δ ε ε ω
, (3.20a)
dE t
dt
G p f t f t
c
p R
R
k p
k
e
k
h
k
e
k
h
( )
( ) ( ) ( ) ( )
,
= +
−
∑
2
2
π
ε ε
x
{ ( )}δ ε ε
k
e
k
h
p
+ − Ω
, (3.20b)
dE t
dt
U q x
c
p
k q
k q k
( )
( ) ( )
,
= −
−
+
∑
γ
α
γ α α
π
ε ε
2
2
{
}
ν ν
γ
α α
γ
α α
q
k k q
q
k k q
t f t f t t f t f t x( ) ( )[ ( )] [ ( )][ ( )] ( )1 1 1
− − + −
+ +
δ ε ε ω
α α
γ
( )
k q k
q
+
− −
, (3.20c)
Nas equações acima,
f t
k
α
( )
e
ν
γ
q
t( ) representam as populações de
portadores e fônons, com
α
= e para elétrons e
α
= h para buracos. Essas
populações são obtidas mediante a seguinte operação:
{
}
f t Tr c c t t t t
k
k k c
k
α
α α
α
α
ρ β ε µ
( ) ( , ) {exp[ ( )( ( ) ( ))] }
= = − +
+ −
0 1
1
e
{
}
ν ρ
γ γ γ γ
q q q q
t Tr a a t F t( ) ( , ) {exp[ ( )] }
= = −
+ −
0 1
1
,
onde
a a
q q
γ γ
+
,
representam respectivamente, os operadores de criação e
aniquilação de fônons de vetor de onda
q no ramo
γ
e os pseudo-potenciais
químicos
µ
α
( )t
juntamente com parâmetro
β
c B c
t k T t( ) ( ( ))
=
∗ −
1
estão
42
relacionados à concentração de portadores
n
t
(
)
por meio das funções de
Fermi
24
de índice 1/2, isto é,
n t n t t t n t t t
e c e h c h
( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )]
/ /
= ℑ = ℑ
0
1 2
0
1 2
β µ β µ
,
com,
n t m k T t
B c
α α
π
0 2 3 2
2 2( ) [ ( ) / ]
/
=
∗
,
e
ℑ =
−
+ −
∞
∫
1 2
1 2
1
/ ( )
/
( )
( ( ) ( ))
( )
[ exp( ( )( ( )))]
β µ
β µ
c e h
G
c e h
E
t t
E E dE
t E t
G
.
Nas equações (3.20) os elementos de matriz são dados por,
G p e
P
m
L
VC
q
( )
( )
2
2
2
2
2
=
∞
π
ε ω
, (3.21a)
G p
L
( )
é o elemento de matriz para a interação portador-radiação do laser onde,
P
VC
é o elemento de matriz para o momento linear
p do elétron tomado no
centro da zona entre as bandas de valência e condução que, calculado de acordo
com o método conhecido como “f-sum rule”
33
, resulta em, P
m E
m
VC
G
x
2
0
2
=
. Onde
m
0
é a massa de repouso do elétron e m
x
representa a massa efetiva excitônica:
m m m
x e h
− − −
= +
1 1 1
.
G p e
E
V cpm
R
G
x
( )
2
2
4
=
∞
π
ε
, (3.21b)
43
G p
R
( )
representa o elemento de matriz associado ao processo de recombinação,
onde m
x
é a massa efetiva excitônica,
ε
∞
a constante dielétrica de alta
freqüência e V o volume ativo da amostra (i.e. a região de original focalização
do feixe de fótons do laser criando o plasma). Na Eq.(3.20b)
Ω
p
é dado por,
Ω
p
cp=
∞
/
/
ε
1 2
.
U q
E
gV
D
TO
TO
q
TO
α
α
ω
,
,
( )
2
2
2
=
, (3.21c)
U q
E
gV
D
LO
LO
q
LO
α
α
ω
,
,
( )
2
2
2
=
, (3.21d)
U q
TO
α
( )
e U q
LO
α
( )
são os elementos de matriz envolvendo a interação entre
fônons ópticos (TO, LO) e portadores, via potencial de deformação, onde
g
é a
densidade do material e E
γ α
−
representa a intensidade desse acoplamento.
U q e
Vq q t
F
LO
q
LO
α
π ω
ε ε
ε
,
( )
( / )
2
2
0
2 2
2
1 1 1
= −
∞
, (3.21e)
U q
F
LO
α
,
( )
é o elemento de matriz relacionado à interação polar entre portadores e
fônons LO onde,
ε
∞
e
ε
0
são, respectivamente, as constantes dielétrica de alta
freqüência e estática,
q
é o módulo do vetor de onda do fônon LO e
ε
( / )
q t
representa a função dielétrica eletrônica nas condições de não equilíbrio do
sistema e conseqüentemente dependente do tempo. Essa função foi introduzida
na Eq.(3.21e) para levar em conta o efeito de blindagem eletrônica na interação
elétron-fônon. Esse efeito altera o acoplamento entre os portadores e as
perturbações dipolares, pois, cada portador, enquanto interage com os fônons
LO, são influenciados pela presença dos demais portadores resultando numa
44
interação portador-fônon, blindada pela interação portador-portador. Na
aproximação de fases aleatórias (RPA)
25
e no limite para pequenos valores de
q ,
ε
( / )
q t é dada por,
ε
( / ) ( ) /
q t q t q
≅ +
1
0
2 2
, (3.21f)
com,
q t
e
V
f t
k
k
k
0
2
2
0
4
( )
( )
.
=
∑
π
ε
∂
∂ε
α
α
(3.21g)
onde
q
0
depende no tempo através de
β
c
t
( ) e
µ
α
( )t
e portanto necessita ser
determinado auto-consistente.
U q
qE
gVs
A
A
α
α
( ) .
,
2
2
2
=
(3.21h)
U q
A
α
( )
representa o elemento de matriz para a interação entre portadores e
fônons acústicos via potencial de deformação, onde
s
é a velocidade do som no
meio considerado e
E
A,,
α
a intensidade do acoplamento.
O quarto termo - ou termo de difusão - na Eq.(3.19) é introduzido na
aproximação de tempo de difusão na forma,
dE t
dt
E t
t t
E f t f t
c
DA
c
D D
G
k
k
e
k
e
k
h
k
h
( ) ( )
( ) ( )
[( ) ( ) ( )]
= − = − + +
∑
τ τ
ε ε
1
. (3.22)
45
De acordo com a teoria usual (vide, por exemplo, K. Seeger,
Semiconductors Physics - An Introduction, Springer-Verlag - 1982)
34
tem-se
que:
τ
D
l
D
=
2
, (3.22a)
onde
l
é o comprimento de difusão e D o coeficiente de difusão ambipolar.
No presente trabalho a expressão acima é colocada na seguinte forma
τ
D
t
l
D t
( )
( )
=
2
, (3.22b)
pois agora as quantidades
D
e
τ
dependem do estado de não equilíbrio do
sistema e
l
é tomado como o inverso do coeficiente de absorção, que é uma
grandeza apropriada para caracterizar a região ativa da amostra. Ainda,
segundo a Ref.[34],
D
t
(
)
é definido em termos dos coeficientes individuais de
elétrons e buracos como:
D t D t D t
e h
− − −
= +
1 1 1
1
2
( ) [ ( ) ( )]. (3.22c)
Os coeficientes
D t
α
( )
podem ser calculados a partir do MOENE e tomam uma
forma análoga à expressão correspondente na teoria cinética clássica:
D t c t t
α α α
τ
( ) ( ) ( )
=
1
3
2
, (3.22d)
46
onde
c t
α
( )
tem dimensão de velocidade,
τ
α
( )t
de tempo, e ambos são funções
das variáveis macroscópicas que descrevem a evolução do sistema e,
conseqüentemente, devem ser calculados simultâneamente com as equações de
transporte. As expressões para
c t
α
( )
e
τ
α
( )t
são dadas na Ref.[35].
As equações cinéticas para as macrovariáveis
n
t
(
)
e
ν
γ
q
t
( ) podem ser
obtidas de uma forma análoga àquela descrita para a variável
E t
c
( ). No caso da
densidade
n
t
(
)
os diferentes processos que contribuem para a mudança na
concentração de portadores no semicondutor são, a fotoprodução de pares, a
recombinação e a difusão ambipolar. A equação abaixo representa cada um
desses termos,
dn t
dt
dn
dt
dn
dt
dn
dt
p L p R DA
( )
,
=
+
+
− −
(3.23)
onde, os dois primeiros termos a direita, calculados a partir da eq.(3.18),
resultam em:
dn
dt
dE
dt
p L
L
c
p L
=
−
−
1
ω
(3.24a)
onde
dE
dt
c
p L
−
é obtido a partir da eq.(3.20a) e
dn
dt
p R
−
é dado por,
dn
dt
G p f t f t
p R
R
k
k
e
k
h
k
e
k
h
p
= − + −
−
∑
2
2
π
δ ε ε
( ) ( ) ( ) ( ).
Ω
(3.24b)
47
O termo restante na eq.(3.23),
dn
dt
DA
,
referente à difusão ambipolar, é
introduzido fenomenologicamente na forma
dn
dt
n t t
DA
D
= − ( ) / ( )
τ
. (3.25)
Os fônons ópticos (TO, LO) interagem com os portadores e com os
fônons acústicos de modo que a equação que governa a evolução de suas
populações pode ser escrita na seguinte forma:
d t
dt
d t
dt
d t
dt
q
LO
q
LO
P LO
q
LO
An
ν ν ν
( ) ( ) ( )
=
+
−
, (3.26a)
d t
dt
d t
dt
d t
dt
q
TO
q
TO
P TO
q
TO
An
ν ν ν
( ) ( ) ( )
=
+
−
, (3.26b)
onde os termos
d t
dt
q
LO
p LO
ν
( )
−
e
d t
dt
q
TO
p TO
ν
( )
−
calculados a partir da eq.(3.18),
têm a forma genérica:
d t
dt
U q t f t f t t f t x
q
P
k q
q
k k q
q
k
ν
π
ν ν
γ
γ
α
γ
γ
α α
γ
α
( )
( ) {[ ( )][ ( )][ ( ) ( ) ( )]
,
= + − −
−
+
∑
2
1 1
2
[ ( )] ( )},1
− − −
+ +
f t
k q k q k
q
α α α
γ
δ ε ε ω
(3.27)
48
enquanto que, os termos
d t
dt
LO q
An
ν
,
( )
e
d t
dt
TO q
An
ν
,
( )
,
referentes à interação
anarmônica entre fônons ópticos e acústicos, são tratados na aproximação do
tempo de relaxação, isto é
{ }
d
dt
t T
LO TO q
An
LO TO
LO TO q LO TO q A
ν
τ
ν ν
( ),
( )
( ), ( ),
( ) ( )
= − −
1
, (3.28)
onde
τ
LO TO
( )
é um tempo de relaxação fenomenológico e
T
A
é a temperatura dos
fônons acústicos que, neste trabalho, é tomada como sendo igual à temperatura
do reservatório, isto é,
T T cte
A R
=
=
.
Assim, a partir do operador colisão
J t
m
( )
( ),
2
um sistema de equações nas
variáveis macroscópicas
{
}
E t n t n t t
c e h q
( ); ( ); ( ): ( )
ν
γ
pode formalmente ser escrito
como:
dE t
dt
dE t
dt
dE t
dt
dE t
dt
dE t
dt
c c
p L
c
p
c
p R
c
DA
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
+
+
+
− − −
γ
dn t
dt
dn t
dt
dn t
dt
dn t
dt
dn t
dt
dn t
dt
e h
p L p R DA
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
= = =
+
+
− −
(3.29)
d t
dt
d t
dt
d t
dt
LO q LO q
p LO
LO q
An
ν ν ν
, , ,
( ) ( ) ( )
=
+
−
d t
dt
d t
dt
d t
dt
TO q TO q
p TO
TO q
An
ν ν ν
, , ,
( ) ( ) ( )
.
=
+
−
As Equações para
E t
c
( ) e
n
t
(
)
em (3.29) podem ainda ser transformadas
em equações de taxa nas variáveis termodinâmicas intensivas de não equilíbrio,
49
mediante o uso da Eq.(2.17) definida no capítulo 2, e aqui reproduzida para
facilitar o acompanhamento:
dQ t
dt
P P F t
m
m
k
n
k k
( )
( ; )
( )
= −
=
∑
1
, (3.30)
onde ( ; )
P P
m k
representa a função de correlação de
P
m
com
P
k
definida
conforme a Eq.(2.18).
De acordo com a Eq.(3.30)
dE t
dt
c
( )
,
dn t
dt
e
( )
e
dn t
dt
h
( )
podem ser escritos
como:
dE t
dt
H H
d t
dt
H N
d t t
dt
H N
d t t
dt
c
c c
c
c e
e c
c h
h c
( )
(
;
)
( )
(
;
)
( ( ) ( ))
(
;
)
( ( ) ( ))
= − + +
β
µ
β
µ
β
(3.31)
dn t
dt
N H
d t
dt
N N
d t t
dt
N N
d t t
dt
e
e c
c
e e
e c
e h
h c
( )
(
;
)
( )
(
;
)
( ( ) ( ))
(
;
)
( ( ) ( ))
= − + +
β
µ
β
µ
β
dn t
dt
N H
d t
dt
N N
d t t
dt
N N
d t t
dt
h
h c
c
h e
e c
h h
h c
( )
(
;
)
( )
(
;
)
( ( ) ( ))
(
;
)
( ( ) ( ))
= − + +
β
µ
β
µ
β
onde, as várias funções de correlação calculadas de acordo com a Eq.(2.18)
resultam em:
(
;
) [( ) ( )( ( )) ( ) ( )( ( ))]
H H E f t f t f t f t
c c G
k
k
e
k
e
k
e
k
h
k
h
k
h
= + − + −
∑
ε ε
2 2
1 1
(
;
) [( ) ( )( ( ))] (
;
)
H N E f t f t N H
c e G
k
k
e
k
e
k
e
e c
= + − =
∑
ε
1
(
;
) ( ) ( )( ( ))] (
;
)
H N f t f t N H
c h
k
k
h
k
h
k
h
h c
= − =
∑
ε
1
50
(
;
) ( )( ( ))
N N f t f t
e e
k
k
e
k
e
= −
∑
1
(
;
) ( )( ( ))
N N f t f t
h h
k
k
h
k
h
= −
∑
1
(
;
) (
;
)
N N N N
e h h e
= =
0 .
Substituindo as funções de correlação nas Eqs.(3.31) obtém-se a evolução
temporal das macrovariáveis
E t
c
( ) ,
n t
e
( ) e
n t
h
( ) em termos da variação
temporal das variáveis intensivas { }
F
m
termodinamicamente conjugadas às
variáveis dinâmicas { }
P
m
:
dE t
dt
E f t f t t f t f t t
c
G
k
k
e
k
e
k
e
e
k
h
k
h
k
h
h
( )
[( ) ( )( ( )) ( ) ( )( ( )) ( )
= + − + − −
∑
ε µ ε µ
1 1
( ) ( )( ( )) ( ) ( )( ( ))]
( )
E f t f t f t f t t
G
k
e
k
e
k
e
k
h
k
h
k
h
c
+ − − − +
ε ε β
2 2
1 1
[( ) ( )( ( ))
( ) ( )( ( ))
( )] ( )
E f t f t t f t f t t t
G
k
k
e
k
e
k
e
e
k
h
k
h
k
h
h c
∑
+ − + −
ε µ ε µ β
1 1
(3.32)
{
}
dn t
dt
f f t E f f t f f t t
e
k
e
k
e
e G
k
e
k
e
k
e
c
k
e
k
e
c e
k
( )
[ ( ) ( ) ( ) ( )]
( ) ( ) ( )
( )
= − − + − + −
∑
1 1 1
µ ε β β µ
{
}
dn t
dt
f f t f f t f f t t
h
k
h
k
h
h
k
h
k
h
k
h
c
k
h
k
h
c h
k
( )
[ ( ) ( ) ( )]
( ) ( ) ( )
( )
= − − − + −
∑
1 1 1
µ ε β β µ
.
As Eqs.(3.29 e 3.32) podem ser escritas em termos de energia
transformando as soma no espaço
k
em integrais no espaço de energia de
acordo com a regra:
→ =
−
∑
∫ ∫
∞
V
d k
V
m
E E dE
k
x
G
E
G
2 2
2
2
3
2 2
3 2
1 2
π π
/
/
( )
,
51
onde
m
x
é a massa efetiva excitônica,
E
a energia e
E
G
o “gap de energia”.
Fazendo as transformações acima e igualando os termos correspondentes
entre os conjuntos de equações (3.29) e (3.32) obtém-se um sistema de equações
integro-diferenciais não-lineares acopladas nas variáveis
{ ( ); ( ); ( ); ( )}.
β
µ
µ
ν
γ
t t t t
e h q
Este sistema pode ser resolvido numericamente, a
partir de condições iniciais pré-estabelecidas { ( ); ( ); ( ); ( )},
β
µ
µ
ν
γ
t t t t
e h q0 0 0 0
e tal
solução fornece uma descrição da evolução temporal do sistema considerado.
No próximo capítulo a teoria acima desenvolvida é aplicada ao estudo de
algumas situações experimentais específicas.
52
Capítulo 4 -
O Plasma Foto-injetado: Aplicações
no GaAs
4.1 – Introdução
Em 1875, após 12 anos de uma longa pesquisa, foi descoberto pelo
químico Lecop de Boisbaudran, um novo elemento químico, através da
espectroscopia. Boisbaudran notou que entre o alumínio e o índio havia uma
falha que deveria ser preenchida por um "corpo hipotético" com propriedades
intermediárias entre aqueles dois elementos. Com o auxílio do espectroscópio
procurou por este "corpo hipotético" e em 1868 coletou novas amostras da
blenda de zinco de Pierrefitte tendo na noite de 27 para 28 de agosto de 1875
definido a existência deste novo elemento. A este novo elemento, deu o nome
de gálio em honra à sua terra natal que em latim se denominava Gallia
5
.
O que Boisbaudran aparentemente não sabia é que em 1869, um
professor de Química da Universidade de São Petersburgo fez uma
impressionante predição. Pelo menos mais três elementos químicos seriam
adicionados à lista dos sessenta e três já conhecidos. Ele os chamou de eca-
alumínio, eca-boro e eca-silício. Dmitri Ivanovitch Mendeleiev (1834-1907) não
havia realizado nenhuma experiência relativa a esses três elementos e nunca os
tinha visto, antes de fazer uma predição tão audaciosa relativa à sua descoberta.
Ele também não conhecia nenhuma substância que os contivesse e não tinha a
menor idéia de onde poderiam ser encontrados. Mendeleiev ao elaborar sua
53
tabela periódica dos elementos deixou propositalmente alguns espaços para
certos elementos ausentes que ele afirmava que ainda seriam descobertos. Em
1875 Mendeleiev comunicou à Academia de Ciências de Paris que Gálio e eca-
alumínio eram o mesmo elemento. Mais surpreendente de tudo isso, porém, é
que Mendeleiev ousou corrigir algumas das propriedades medidas por
Boisbaudran afirmando que o pesquisador francês deveria ter cometido algum
engano em suas determinações. Realmente, Boisbaudran refez suas
determinações e reconheceu que as propriedades do gálio eram aquelas
previstas por Mendeleiev. Estas afirmações de Mendeleiev confirmadas por
Boisbaudran consagraram sua tabela periódica.
Embora o gálio não seja um elemento muito raro, é mais abundante do
que o mercúrio e encontra-se na superfície da terra em quantidades
semelhantes ao chumbo. No entanto ao contrário destes outros o gálio não
forma depósitos, encontra-se muito disperso na superfície. Por isso é obtido
industrialmente como subproduto da indústria do alumínio e em menor escala
da indústria do zinco. É um elemento metálico pertencente ao grupo do Boro na
Tabela Periódica, mole e prateado, corrói a maioria dos metais porque se
difunde em seus retículos. A maioria dos compostos de gálio(I) e alguns de
gálio(II) são instáveis.
O gálio forma com os elementos do grupo V da tabela periódica
compostos semicondutores, onde os mais conhecidos são o arseneto de gálio
(GaAs) e o nitreto de gálio (GaN). O GaAs é um semicondutor de maior
aplicação em opto- eletrônica, constituído pelos elementos Ga e As dos grupos
III e V respectivamente e cristalizados na estrutura do tipo “zinc-blend”. O
GaAs foi reconhecido como um material semicondutor com performance
superior ao do silício nos fins dos anos 70, mesmo que tenha sido sempre mais
difícil de fabricar GaAs do que o silício, suas propriedades permitem que os
elétrons alcancem velocidades cinco vezes maiores do que no silício. O GaAs
permite o uso de diferenças de potencial menores, consumindo menos energia.
O menor consumo de energia é crítico na aplicação da maioria dos
sistemas. Porém, as primeiras peças apresentavam alta velocidade dissipando
54
muita energia e baixos níveis de integração. Estas unidades eram aplicadas em
sistemas militares que exigiam velocidades extremamente altas, em sistemas
aeroespaciais como radares operados em aeronaves, sistemas de interferência
em radares e foguetes e sistemas de navegação de satélites.
No GaAs ocorrem transições eletrônicas diretas do topo da banda de
valência para o mínimo da banda de condução pela absorção de um fóton,
porém o processo inverso também pode ocorrer ( pela emissão de um fóton).
Este tipo de semicondutor é chamado de gap direto pois o mínimo da banda de
condução coincide com o máximo da banda de valência em k=0.
O GaAs e outros compostos de gálio permitem construir LED’s que
emitem luz em cores de todo o espectro visível, é um semicondutor de gap
direto com o mínimo de energia da banda de condução e o máximo de energia
da banda de valência correspondendo ao mesmo valor de vetor momento de
onda. Este material exibe uma alta mobilidade dos elétrons na banda de
condução, em torno de 700cm
2
V/s enquanto que, os buracos apresentam uma
mobilidade em torno de 400cm
2
V/s e resistividade no escuro pode ser da
ordem de 1.10
8
Ω.cm, podendo ser bruscamente alterado quando iluminado
5,20
.
Esse capítulo tem como objetivo apresentar e discutir resultados
numéricos pertinentes a evolução temporal ao estado de equilíbrio de
portadores “quentes” no GaAs. Esses resultados são decorrentes da solução
numérica das equações de transporte (obtidas de acordo com o modelo
considerado no capítulo 3) que descrevem o processo de excitação (laser) e
posterior relaxação dos portadores foto-injetados no material. Os resultados
numéricos mostram a influência dos diferentes ramos de fônons no processo de
relaxação dos portadores e a importância de sua descrição em termos do
conceito de temperatura por modo. Também verifica-se o papel importante no
processo de relaxação dos efeitos de blindagem eletrônica da interação elétron-
fônon, recombinação de portadores e difusão ambipolar. Também são
apresentados resultados numéricos correspondendo a um estados de não
equilíbrio estacionário. Finalmente mostra-se um resultado numérico no quais
55
as populações de fônons são descritos por uma estatística não convencional
(estatística de Renyi) dependente de um parâmetro α.
4.2 - Resultados Numéricos
Nesta seção resultados numéricos são apresentados para a relaxação de
portadores no GaAs em condições semelhantes a experimentos encontrados na
literatura. O presente trabalho considera como estados de valência somente
aqueles localizados na banda de buracos pesados. A densidade de estados da
banda de buracos leves e da banda deslocada pela interação spin-órbita são
inferiores à densidade de estados da banda de buracos pesados e, por esta
razão, não são levados em conta. Já na banda de condução, apenas o vale
central no ponto
Γ
é considerado, eliminando-se, com isso, a possibilidade de
qualquer mecanismo de espalhamento lateral (espalhamento intervales). Com
tais simplificações, o problema da relaxação de portadores fotoexcitados no
GaAs passa a ser observado do ponto de vista de um modelo constituído de
duas bandas parabólicas na aproximação de massa efetiva, e a representação
em termos de elétrons (na banda de condução) e de buracos (associados aos
estados desocupados da banda de valência) será utilizada.
A Tabela I relaciona os parâmetros característicos do GaAs necessários à
solução numérica das equações de transporte.
56
Tabela I-Parâmetros característicos do Arseneto de Gálio (GaAs), sendo
m
o
é a massa de repouso do elétron:
Parâmetro Símbolo Valor
Energia de gap (300K)
a
E
G
1,43 eV
Energia dos fônons ópticos longitudinais
b
ћω
LO
0,037eV
Energia dos fônons ópticos transversais
b
ћω
TO
0,034eV
Constante dielétrica óptica
b
∞
11,0
Constante dielétrica estática
b
0
13,13
Constante de rede
a
a 5,65 Å
Massa efetiva do buraco
c
m
h
0,5 m
0
Massa efetiva do elétron
c
m
e
0,068m
0
Potencial de deformação acústica para
elétrons
d
e
A
E
7,0eV
Potencial de deformação acústica para
buracos
d
h
A
E
3,5eV
Potencial de defortmação óptica
d
h
E
γ
6,5x10
8
eV/cm
Densidade
e
ρ
5,31g/cm
3
Raio de Brillouin
e
R
B
1,1x10
7
cm
-1
(a)Kittel, C. Introdução à Física do Estado Sólido 5ª ed. Rio de Janeiro; Guanabara Dois,
(1978) [20];
(b)Dou, J. D. and Redfield, D. Phys.Rev. B, Vol. 2, 594-606, (1972) [36];
(c)Sze, S. M. Physics of Semiconductor Devices, New York: Wiley-Interscience, (1969)
[37];
(d)Jacoboni, C. and Reggiani, L. Adv. Phys. Vol 28, 493-503 (1979) [38]
(e)B. R. Nag, B. R. Theory of Eletrical Transport in Semiconductors, New York;
Pergamon, (1972) [19];
No Cap.3 foram obtidas as equações de evolução (Eqs. 3.29 e 3.32) para
as macrovariáveis
)}();();();({
ttntntE
qhec
γ
ν
57
que caracterizam um semicondutor fora do equilíbrio térmico. Essas
macrovariáveis serão usadas para investigar o processo de relaxação numa
amostra de GaAs. Para fazer isso é necessário antes, definir as condições iniciais
do problema, ou seja,
{ ( ), ( ), ( ), ( )}
β
µ
µ
ν
γ
c e h q
0 0 0 0
.
Tal conjunto de valores iniciais refere-se a situação na amostra após um
curto tempo de aplicação do laser necessário à formação do plasma. Lembrando
que o plasma é formado após ter sido atingido uma concentração de portadores
da ordem de 10
16
cm
-3
(em concentrações menores se tem uma mistura de
portadores com um gás de excitons e complexos excitônicos). A concentração
inicial
n
(
)
0
- isto é, nesse instante – é determinada com base no produto do
coeficiente de absorção pelo fluxo de radiação do laser, e o intervalo desde o
começo do pulso do laser até o momento em que a concentração acima indicada
foi alcançada. Os valores iniciais para o cálculo da pseudo-temperatura e
pseudo-potenciais químicos segue-se de que a energia dos portadores é dada
por,
[
]
∑
++=
k
h
k
h
k
e
k
G
e
k
ffEE
)0()0()()0(
εε
, (4.1)
e a concentração dos portadores é,
)0(
1
)0(
1
)0(
∑∑
==
k
h
k
k
e
k
f
V
f
V
n
, (4.2)
já que o material é intrínseco.
58
As distribuições conforme já dito, adquirem uma forma do tipo Fermi-
Dirac, que, nas condições experimentais, podem ser muito bem aproximadas
por uma do tipo Maxwell-Boltzmann, com concentração inicial
n
(
)
0
e pseudo-
temperatura inicial )0(
∗
c
T
, como já visto, e assim um rápido cálculo indica que,
])[0()0(
2
3
)0(2)0(
GcB
EnTknE −=≅
∗
ω
, (4.3)
onde a última quantidade expressa o excesso de energia cinética fornecida pelos
fótons na formação de cada par elétron-buraco. Conseqüentemente,
][
3
1
)0(
GL
B
c
E
k
T −=
∗
ω
, (4.4)
que proporciona o valor inicial tomado para a pseudo-temperatura.
Da expressão para a concentração (4.2), uma vez obtida a pseudo-
temperatura inicial, calculam-se os pseudo-potenciais químicos iniciais, ou seja,
)]()([)()(
2/1
0
ttFtntn
c
αα
µβ
=
onde,
2/32*0
]/)(2[2)(
htTkmtn
cB
αα
π
=
,
e
∫
∞
−+
=
G
E
c
c
t
d
ttF
))])((exp(1[
))()((
2/1
2/1
ηεβ
εε
µβ
α
,
com,
))((
Gc
EEt −=
βε
e ))()((
)( Ghec
Ett −=
µβη
.
59
Usando os valores iniciais da concentração e da temperatura de
portadores, obtém-se os valores iniciais dos pseudo-potenciais químicos
µ
e
( )0
e
µ
h
( )0 .
As populações de fônons ao tempo inicial escolhido encontram-se em
equilíbrio térmico com o reservatório, podendo ser descritas por uma
distribuição tipo Planck:
1
(0) exp( ( ) 1)
q R q
γ γ
ν β ω
−
= −
onde,
β
R B R
k T
−
=
1
com
T
R
representando a temperatura do reservatório e
ω
γ
q
a
relação de dispersão para fônons ópticos e acústicos.
Uma vez definidas as condições iniciais do problema, isto é, dados
{ ( ); ( ); ( ); ( )}
β
µ
µ
ν
γ
c e h q
0 0 0 0
,
o conjunto de equações acopladas integro-diferenciais nas variáveis
)}();();();({
tttt
qhec
γ
νµµβ
,
que governa a dinâmica do sistema, é resolvido computacionalmente e os
resultados referentes à cada um dos casos são mostrados nas seções
subseqüentes.
60
4.3 Apresentação de Resultados
Na Tabela II são consideradas duas situações (A e B) onde a situação (A)
corresponde as condições experimentais encontradas na literatura
39,40
e na
situação (B) a intensidade da fonte foi reduzida de três ordens de grandeza. Os
resultados mostrados nessa seção se referem as duas situações acima
mencionadas.
Tabela II. Condições experimentais admitidas no problema:
Na tabela II,
ω
L
é a energia do fóton, t
L
representa a duração do pulso (cujo perfil,
neste trabalho, é suposto retangular), I
L
indica a densidade de energia e T
B
a temperatura do
banho
39,40
.
A Fig. 4.1 exibe a evolução temporal da pseudo-temperatura de
portadores nas condições da situação A indicada na Tabela II. A amostra de
GaAs mantida a temperatura ambiente (T
B
= 300K) é iluminada, durante um
intervalo de tempo de 6ps, por uma fonte de laser pulsado de intensidade igual
a I
L
= 1.56 x 10
16
eV/cm
2
ps. A ação do laser promove as transições de elétrons
da banda de valência para a banda de condução dando origem as populações
de elétrons e buracos. A energia dos fótons (
f
E
) provenientes do laser é 2,23 eV
de modo que o excesso de energia cinética
( )
f G
E E
−
fornecida pelos fótons na
SITUAÇÃO
ω
L
eV
( ) t
L
(ps) I
L
(eV/ps.cm
2
) T
B
(K)
A 2.23 6.0 1.5 x 10
16
300
B 2.23 6.0 1.5 x 10
13
300
61
formação do par elétron-buraco corresponde a uma temperatura inicial do
plasma de 3092K. A concentração inicial de portadores é da ordem de 10
16
cm
–3
para que o lado metálico da transição de Mott esteja sempre envolvido no
processo. Tomando esse cuidado a descrição de éxcitons e complexos
excitônicos pode ser desconsiderada no modelo. Os portadores foto-injetados
pelo laser e já termalizados entre si (através do potencial coulombiano)
transferem o seu excesso de energia para rede através da interação portador-
fônon. Isto é, elétrons e buracos em suas respectivas bandas emitem fônons que
em efeito cascata se deslocam até o fundo (topo) das bandas de condução
(valência) onde posteriormente recombinam-se emitindo radiação
eletromagnética. Por outro lado, os diferentes ramos de fônons interagindo
entre si transferem o excesso de energia ao reservatório térmico e, em algumas
dezenas de picossegundos, o sistema retorna ao seu estado de equilíbrio
inicial
39
.
0 10 20 30 40 50 60
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Pseudo-temperatura de portadores (K)
Tempo (ps)
I
L
=1.56 x 10
16
eV/cm
2
ps
E
f
= 2.23 eV
T
B
= 300 K
t
p
= 6.0 ps
Fig. (4.1): Evolução da pseudo-temperatura dos portadores. A seta indica o final do
pulso.
62
A Fig. 4.2 exibe (nas mesmas condições da Fig. 4.1) a evolução das
populações dos fônons LO correspondente aos diferentes modos, em termo da
pseudo-temperatura por modo. Inicialmente no processo de relaxação, a taxa de
emissão de fônons LO é maior que a taxa de decaimento, ocasionando uma
concentração em excesso de fônons LO, o que resulta no chamado efeito
“Bottleneck”, através do qual o canal de relaxação de energia entre portadores-
fônons LO perde sua eficiência. Este fato é conhecido como o efeito de fônon
quente, onde os modos LO são excitados de forma diferenciada ao longo da
zona de Brillouin.
Para os diferentes modos não há um mecanismo eficiente de
redistribuição de energia como aquele existente no caso dos portadores
(interação coulombiana), mas, em algumas dezenas de picossegundos os
diferentes modos LO termalizam entre si (terceiro estágio cinético) e com os
portadores (curva f na Fig. 4.2). Após a termalização dos modos LO o excesso
de energia é transferida ao reservatório via interação anarmônica com os
fônons acústicos que encontram-se na mesma temperatura do reservatório. No
presente trabalho os fônons acústicos são descritos através do conceito de
temperatura única e são tomados em equilíbrio permanente com o reservatório.
63
0 20 40 60
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Pseudo-temperatura de fônons LO (K)
Tempo (ps)
a
b
c
d
e
f
a) q
1
=5x10
5
cm
-1
b) q
2
=1x10
6
cm
-1
c) q
3
=5x10
6
cm
-1
d) q
4
=1x10
7
cm
-1
e) q
5
=5x10
7
cm
-1
f) portadores
Fig. (4.2): Evolução da pseudo-temperatura por modo dos fônons LO. A seta indica o
final do pulso.
A Fig. 4.3 mostra a evolução da pseudo-temperatura correspondente a
alguns modos (indicados na parte interna da figura) de fônons transversais
ópticos (TO). Nela ressalta-se o papel relevante dos fônons TO no processo de
relaxação para uma situação que envolve uma alta concentração de portadores.
Conforme visto na Fig. 4.2, o efeito de “Bottleneck” do canal de relaxação entre
portadores e fônons LO reduz a sua eficiência inibindo a transferência de
energia entre portadores e o reservatório. Em tais circunstâncias é a interação
entre portadores e fônons acústicos (A) via potencial de deformação que
assume o papel de principal canal de relaxação de energia entre os portadores e
reservatório térmico. Com isso, a pseudo-temperatura correspondente as
populações de fônons transversais ópticos cresce dando origem a uma espécie
de efeito do fônon “quente” TO conforme indica a Fig. 4.3. Os modos TO de
forma análoga aos modos LO se excitam de forma diferenciada ao longo da
zona de Brillouin.
64
0 20 40 60
0
500
1000
1500
2000
2500
Pseudo-temperatura de fônons TO (K)
Tempo (ps)
a
b
c
a)q= 1x10
6
cm
-1
b)q= 1x10
7
cm
-1
c)q= 5x10
7
cm
-1
Fig. (4.3): Evolução da pseudo-temperatura por modo dos fônons TO. A seta indica o
final do pulso.
Na Fig. 4.4 mostra a evolução temporal da taxa de energia transferida
por partícula e reforça alguns fatos comentados nas figuras anteriores referentes
a importância dos fônons ( LO, TO e A) na descrição do processo. No início da
relaxação os portadores “quentes” transferem grande quantidade de energia à
rede através do canal portador-fônon LO. Os fônons LO são rapidamente
aquecidos levando a uma perda de eficiência desse canal com a transferência de
energia passando a ser feita através dos canais portador-fônon TO e portador-
fônon A, conforme indica as curvas LO, TO e A na Fig. 4.4. Em algumas
dezenas de picossengundos os diferentes ramos de fônons se termalizam entre
si e taxa de transferência de energia tende a zero
6
.
65
0 10 20 30 40 50 60
-0,024
-0,020
-0,016
-0,012
-0,008
-0,004
0,000
TO
A
LO
Taxa de energia transferida por partícula (eV/ps)
Tempo (ps)
Fig. (4.4): Taxa de energia transferida por partícula. A seta indica o final do pulso.
Na Fig. 4.5 exibe a evolução temporal da concentração de portadores
fotoexcitados no GaAs no caso relativo a situação A da Tab.II. A concentração
inicialmente considerada foi de aproximadamente 10
16
cm
-3
garantindo com isto que,
durante o processo de excitação, o lado metálico da transição de Mott estivesse sempre
envolvido. A ação do laser cria uma grande concentração de portadores que cresce
continuamente atingindo um valor máximo de aproximadamente 2,8 x 10
19
cm
-3
no final
do pulso ( t
p
=6ps). Como no presente modelo foram considerados os mecanismos de
recombinação e de difusão ambipolar dos portadores para fora da região ativa da
amostra então a concentração de portadores decresce no tempo após cessada a ação do
laser. Do ponto de vista de temperatura o plasma fotoinjetado entra em equilíbrio com o
reservatório em algumas dezenas de picossegundos, entretanto a concentração de
portadores permanece bem acima do seu valor de equilíbrio, pois o mecanismo de
recombinação torna-se relevante apenas no final do processo.
66
0 10 20 30 40 50 60
5,0x10
18
1,0x10
19
1,5x10
19
2,0x10
19
2,5x10
19
3,0x10
19
Concentração de portadores (cm
-3
)
Tempo (ps)
Fig. (4.5): Evolução da concentração de portadores. A seta indica o final do pulso.
Nas próximas três figuras é considerada a situação B da tabela II onde a
intensidade da fonte foi reduzida de três ordens de grandeza em relação aos
resultados mostrados nas figuras anteriores. A Fig. 4.6 exibe a evolução
temporal da pseudo-temperatura de portadores (curva f) e fônons LO. Observa-
se que para alguns valores de q a evolução temporal de sua correspondente
pseudo-temperatura supera a pseudo-temperatura dos portadores. Esse fato é
conhecido como o efeito de “overshoot” da pseudo-temperatura do fônon LO.
Kin e Yu
41
, atribuem esse efeito devido a presença de vale satélites no material,
isto é, espalhamento de portadores quentes para vales vizinhos ao vale central
(espalhamento intervales). Por outro lado Rego
31,42
e Algarte
42
, observaram esse
efeito considerando apenas um modelo de duas bandas parabólicas (como o
usado no presente trabalho) e considerando somente situações onde as
transições intervales pudessem ser desprezadas. Neste caso o efeito de
“overshoot” era atribuído a blindagem da interação elétron-fônon.
67
0 10 20 30 40
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
a) q
1
=5x10
5
cm
-1
b) q
2
=1x10
6
cm
-1
c) q
3
=5x10
6
cm
-1
d) q
4
=1x10
7
cm
-1
e) q
5
=5x10
7
cm
-1
f) portadores
e
d
c
b
a
f
Pseudo-temperatura de fônons LO (K)
Tempo (ps)
Fig. (4.6): Evolução da pseudo-temperatura de fônons LO. A seta indica o final do
pulso.
Os resultados mostrados nas duas próximas figuras referem-se ao caso
em que a concentração de portadores no final do pulso é da ordem de 10
17
cm
-3
.
Na Fig. 4.7 estão representados as taxas de transferência de energia por
partícula dos portadores para os diferentes ramos de fônons. Neste caso, apesar
da forte excitação dos diferentes modos LO ao longo da zona de Brillouin a
interação portador-fônon LO assume o papel de principal canal de relaxação
entre os portadores e o reservatório térmico. Isso pode ser visto através das
intensidades das curvas LO, TO e A na Fig. 4.7. Como no caso anterior, os
fônons acústicos interagindo com os portadores via potencial de deformação
representa o canal menos eficiente na transferência de energia enquanto que os
fônons TO ocupam a posição intermediária. Na Fig. 4.8 é exibido a evolução
temporal da pseudo-temperatura dos portadores (curva p) e na parte interna
dessa figura a evolução temporal da pseudo-temperatura correspondente a
alguns modos TO (curvas a, b, c). Observando o comportamento das curvas (a,
68
b, c) é possível ver que nesse regime de concentração de portadores os
diferentes modos TO são fracamente excitados ao longo da zona de Brillouin.
Portanto, em tais condições, os fônons TO poderiam ter sido tomados em
equilíbrio permanente com o reservatório sem maiores conseqüências.
0 6 12 18 24
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0,00
LO
TO
A
Taxa de energia transferida por partícula (eV/ps)
Tempo (ps)
Fig. (4.7): Evolução temporal da taxa de energia transferida por partícula para os
diferentes fônons (LO, TO e A). A seta indica o final do pulso.
Fig. (4.8): Evolução temporal da pseudo-temperatura dos portadores e pseudo-
temperatura de alguns modos dos fônons TO (parte interna). A seta indica o final do pulso.
0 5 10 15 20 25 30
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
p
Pseudo-temperatura (K)
Tempo (ps)
0 5 10 15 20 25 30
298
300
302
304
306
308
310
312
314
a) q= 1x10
6
cm
-1
b) q= 1x10
7
cm
-1
c) q= 5x10
7
cm
-1
a
b
c
Pseudo-temperatura dos fônons TO (K)
Tempo (ps)
69
A Fig. 4.9 exibe com o papel fundamental de se levar em conta no
modelo as distribuições não equilibradas de fônons ópticos (LO e TO) no
processo de relaxação do plasma. Nesta figura mostra-se uma comparação entre
dois possíveis tratamentos para as populações de fônons ópticos. A curva (a)
exibe a evolução da pseudo-temperatura de portadores quando o subsistema de
fônons ópticos é descrito por uma distribuição do tipo Planck, caracterizada por
uma pseudo-temperatura única. Este tipo de tratamento implica em uma
consideração igual de todos os modos que compõem o espaço q, isto é, no
contexto desse modelo todos os modos são igualmente excitados durante o
processo de relaxação, correspondendo sempre ao mesmo número de ocupação.
Na curva (b) a evolução da pseudo-temperatura dos portadores foi obtida
considerando o tratamento por modo para as populações de fônons ópticos. A
diferença entre as curvas (a) e (b) é marcante e indica a relevância de se levar
em conta o fato dos fônons ópticos não estarem termalizados internamente. A
aproximação de pseudo-temperatura única para os fônons ópticos é eficiente
apenas numa escala de tempo em que os diferentes modos já termalizaram
entre si atingindo o equilíbrio térmico mútuo entre si e com os portadores.
70
0 10 20 30 40 50
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
a)Temperatura única
b)Temperatura por modo
b
a
Pseudo-temperatura de portadores (K)
Tempo (ps)
Fig. (4.9): O efeito dos fônons na relaxação da pseudo-temperatura dos portadores, (a)
pseudo-temperatura única, (b) pseudo-temperatura por modo. A seta indica o final do pulso.
Nas três figuras a seguir é considerada a situação A da tabela II e, nelas
pode ser visto como os efeitos de difusão ambipolar interferem no processo de
relaxação. A fig. 4.10 mostra o efeito do mecanismo de difusão ambipolar de
portadores na evolução temporal da pseudo-temperatura correspondente. Tal
mecanismo é caracterizado pela difusão conjunta de elétrons e buracos devido a
ação de campos elétricos internos gerados pela não homogeneidade na
distribuição de portadores ao longo do cristal. No semicondutor intrínseco as
concentrações de elétrons e buracos são idênticas, e os elétrons têm uma
mobilidade maior que os buracos e, por essa razão, tendem a se difundir mais
rapidamente. Essa separação de cargas dá origem a um campo elétrico que
reduz a velocidade de difusão dos elétrons e acelera a velocidade de difusão
dos buracos caracterizando um processo de difusão conjunta (difusão
ambipolar). A difusão ambipolar de portadores para fora da região ativa da
amostra é um mecanismo que reduz sensivelmente a densidade de portadores
71
e, em determinadas situações, atrasa o processo de relaxação de energia no
plasma. As curvas (a) e (b) na fig. 4.10 indicam a influência do mecanismo de
difusão ambipolar na relaxação da pseudo-temperatura dos portadores. Nas
fig. 4.11 e fig. 4.12 são feitas comparações entre modelos quem levam em conta
(ou não) o mecanismo de difusão ambipolar e indicam a influência do mesmo
na relaxação da pseudo-temperatura correspondente aos modos de fônons LO e
TO. A influência da difusão é mais marcante nos modos LO conforme pode ser
visto nas figs 4.11 e 4.12.
0 10 20 30 40 50
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Pseudo-temperatura de portadores (K)
Tempo (ps)
a
b
a)Modelo sem Difusão Ambipolar
b)Modelo com Difusão Ambipolar
Fig. (4.10): Efeito da difusão ambipolar na relaxação da pseudo-temperatura dos
portadores, (a) modelo sem a difusão ambipolar, (b) modelo com a difusão ambipolar. A seta
indica o final do pulso.
72
Fig. (4.11): Efeito da difusão ambipolar na evolução dos modos LO em condições de alta
concentração de portadores. A seta indica o final do pulso.
0 20 40 60 80
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Modelo com Difusão Ambipolar
a
b
c
d
e
a) q
1
=5x10
5
cm
-1
b) q
2
=1x10
6
cm
-1
c) q
3
=5x10
6
cm
-1
d) q
4
=1x10
7
cm
-1
e) q
5
=5x10
7
cm
-1
0 20 40 60 80
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Pseudo-temperatura dos fônons LO (K)
Tempo (ps)
a
b
c
d
e
a)q=5x10
5
cm
-1
b)q=1x10
6
cm
-1
c)q=5x10
6
cm
-1
d)q=1x10
7
cm
-1
e)q=5x10
7
cm
-1
Modelo sem Difusão Ambipolar
73
Fig. (4.12): Efeito da difusão ambipolar na evolução temporal dos modos TO em
condições de alta concentração de portadores. A seta indica o final do pulso.
0 20 40 60
0
500
1000
1500
2000
2500
Pseudo-temperatura dos fônons TO (K)
Tempo (ps)
a
b
c
a)q= 1x10
6
cm
-1
b)q= 1x10
7
cm
-1
c)q= 5x10
7
cm
-1
Modelo com Difusão Ambipolar
0 20 40 60
500
1000
1500
2000
2500
Modelo sem Difusão Ambipolar
c)q= 5x10
7
cm
-1
b)q= 1x10
7
cm
-1
a)q= 1x10
6
cm
-1
Pseudo-temperatura dos fônons TO (K)
Tempo (ps)
a
b
c
74
Nas figs. 4.13 e 4.14 é considerada a situação A da tabela II e nelas é
visto a influência do mecanismo de blindagem eletrônica da interação elétron-
fônon no processo de relaxação do plasma fotoinjetado pelo laser. Conforme já
mencionado, esse mecanismo altera o acoplamento entre os portadores e as
perturbações dipolares causadas pelas vibrações da rede cristalina (fônons LO).
Assim, cada portador, enquanto interage com os fônons (LO), é influenciado
pela presença dos demais, e esta interação portador-portador “enfraquece”
(blinda) a interação portador-fônon. O efeito de blindagem proveniente do
acoplamento elétron-fônon é incorporado no modelo via função dielétrica que
aparece no elemento de matriz da interação de Fröhlich. Na Fig. 4.13 esse efeito
pode ser observado comparando-se as curvas (a) e (b). Na curva (a) o efeito foi
desprezado enquanto que, na curva (b) ele encontra-se incorporado no modelo
resultando em uma relaxação mais lenta da pseudo-temperatura de portadores.
A influência do mecanismo de blindagem eletrônica na evolução das
populações dos diferentes modos de fônons LO pode ser visto na Fig.4.14.
Conforme já dito, esse mecanismo age no sentido de reduzir a intensidade da
interação polar entre portadores e fônons LO. Na parte superior da Fig.4.14 a
blindagem foi levada em conta na interação elétron-fônon, enquanto que, na
parte inferior, ela foi retirada do acoplamento elétron-fônon. O efeito
blindagem, dentro da região ativa de excitação dos modos na zona de Brillouin,
pode ser constatado verificando-se a evolução da pseudo-temperatura
associada ao modo q= 5x10
5
cm
-1
, nos dois modelos, porém quando a blindagem
é considerada, a pseudo-temperatura correspondente ao modo q= 5x10
5
cm
-1
cresce, porém, mantêm-se bem abaixo das pseudo-temperaturas características
dos modos q= 5x10
6
cm
-1
e q= 1x10
7
cm
-1
, portanto, quando não é considerado a
blindagem (modelo sem blindagem), o modo q= 5x10
5
cm
-1
é fortemente
excitado e a pseudo-temperatura a ele associada cresce ultrapassando as
pseudo-temperaturas dos modos q= 5x10
6
cm
-1
e q= 1x10
7
cm
-1
. Esse resultado
indica que na ausência de blindagem uma grande quantidade de energia foi
transferida do subsistema de portadores para o modo de fônon LO, surgindo
75
um crescimento rápido da pseudo-temperatura associada a esse modo q=
5x10
5
cm
-1
, conforme mostra a Fig. 4.14.(parte inferior).
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
a) Modelo sem o efeito blindagem
b) Modelo com o efeito blindagem
b
a
Pseudo-temperatura de portadores (K)
Tempo (ps)
Fig. (4.13): Efeito de blindagem na interação elétron fônon sobre a relaxação da pseudo-
temperatura dos portadores, (a) modelo sem o efeito blindagem, (b) modelo com efeito
blindagem, a seta indica o final do pulso.
76
Fig. (4.14): Efeito Blindagem eletrônica da interação polar na relaxação da pseudo-
temperatura correspondentes aos diferentes modos do fônon LO. A seta indica o final do pulso.
0 20 40 60
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
a
b
c
a) q
1
=5x10
5
cm
-1
b) q
2
=5x10
6
cm
-1
c) q
3
=10
7
cm
-1
Modelo sem Blindagem
Pseudo-temperatura LO (K)
Tempo (ps)
0 20 40 60
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Pseudo-Temperatura LO (K)
a
c
b
a) q
1
=5x10
5
cm
-1
b) q
2
=5x10
6
cm
-1
c) q
3
=10
7
cm
-1
Modelo com Blindagem
77
0 5 10 15 20
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
(a) carrier quasitemperature (K)
(b) 5.0 x 10
5
cm
-1
(c) 1.0 x 10
6
cm
-1
(d) 5.0 x 10
6
cm
-1
(e) 1.0 x 10
7
cm
-1
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
Pseudo-temperatura dos fônons LO(K)
Tempo(ps)
(I)
20 25 30 35 40
300
600
900
(a) carrier quasitemperature
(b) 5.0 x 10
5
cm
-1
(c) 1.0 x 10
6
cm
-1
(d) 5.0 x 10
6
cm
-1
(e) 1.0 x 10
7
cm
-1
(e)
(d)
(b) (c)
(a)
Pseudo-temperatura dos fônons LO(K)
Tempo (ps)
(II)
40 50 60 70 80 90 100
250
300
350
400
450
(e)
(d)
(b)
(c)
(a)
Pseudo-temperatura dos fônons LO(K)
Tempo (ps)
(III)
100 200 300 400 500 600
300
320
340
360
380
(d)
(a)
(e)
(c)
(b)
Pseudo-temperatura dos fônons LO(K)
Tempo(ps)
(IV)
600 1200 1800 2400 3000 3600
330
332
334
336
(e)
(d)
(a)
Pseudo-temperatura dos fônons LO (K)
Tempo (ps)
(V)
4000 5000 6000 7000 8000
330
332
334
336
(e)
(d)
(a)
Pseudo-temperatura dos fônons LO (K)
Tempo (ps)
(VI)
Fig. (4.15): Evolução temporal das pseudo-temperaturas, correspondentes aos modos
dos fônons LO: modos (b); (c) ; (d) e (e).
78
Na Fig. 4.15 foi considerada uma situação de pulso longo, isto é, a
amostra foi submetida a uma iluminação contínua por um laser de intensidade
correspondente ao caso B da tabela II. A fonte transfere energia para a amostra
durante um tempo de aproximadamente 8000ps (8ns) e o objetivo desse estudo
foi verificar a possibilidade de um possível estado estacionário de não
equilíbrio do plasma. Um estado estacionário de não equilíbrio do plasma deve
se estabelecer quando as suas propriedades não mais evoluem no tempo.
Observando a evolução da pseudo-temperatura de portadores e fônons LO na
situação de iluminação contínua vê-se que após um regime fortemente
transiente a pseudo-temperatura de portadores e de alguns ramos de fônons LO
tendem para um valor constante e superior a temperatura do reservatório
térmico indicando a existência de um possível estado estacionário para o
plasma fotoinjetado.
Para finalizar esse trabalho é feito, no contexto do modelo aqui
considerado, uma rápida aplicação de um formalismo estatístico não
convencional. Recentemente foram introduzidas abordagens estatísticas - que
são dependentes de parâmetros – que se mostraram bastante apropriadas para
lidar com sistemas apresentando algum tipo de característica fractal.
Dentre um
grande número de alternativas está disponível, e dentre estas, duas são
presentemente usadas em física estatística. Elas são a entropia-
α
informacional
(também referida como entropia informacional de Tsallis
43
), e a entropia
informacional de Renyi
44
, também dependente de um parâmetro
α
. Elas levam
as distribuições de probabilidades formalmente similares, mas com a estatística
de Renyi é possível remover certas dificuldades presentes nos outros
tratamentos
45
.
No caso da estatística de Renyi a função de distribuição dependente do
parâmetro
α
é dada por
( )
1
1
1 1 1
q
q
f
F
α
α
α
−
=
+ − +
,
79
onde, os detalhes do desenvolvimento dessa abordagem teórica podem ser
encontrados na referência.
Na Fig. 4.16 apresenta-se um resultado preliminar em que se faz o uso de
um tratamento utilizado na mecânica estatística não-convencional. Neste
tratamento, utilizam-se distribuições de probabilidade não convencional, isto é,
diferentes das distribuições canônicas usuais. Com esse tratamento obtém-se
resultados numéricos para pseudo-temperatura de portadores que ficam
dependentes de um certo parâmetro
α
, que aparece explicitamente na função de
distribuição de fônons. Esse parâmetro deve englobar os aspectos do problema
onde não temos o total conhecimento que, neste caso é, a temperatura de fônons
LO por modo, ou seja, usando um modelo de temperatura única associada com
a função de distribuição não convencional (dependente do parâmetro
α
) é
possível obter resultados que se aproximam daquele correspondente ao modelo
de temperatura por modo. Na figura mostra-se evolução temporal das pseudo-
temperaturas de portadores considerando os dois modelos do subsistema de
fônons LO: o modelo de temperatura por modo., correspondentes aos modos
dos fônons LO, e o modelo de temperatura única com diferentes valores do
parâmetro
α
. Nas curvas (a), (b) e (c) utilizou-se para os fônons LO uma
função de distribuição não convencional, isto é, dependente de uma parâmetro
α
. Os resultados indicam que dependendo do parâmetro
α
a curva prevista
pelo modelo de temperatura única pode aproximar-se daquela prevista pelo
modelo mais completo que leva em conta o conceito de temperatura por modo
e nisso reside a relevância dessa nova estatística.
80
0 10 20 30 40
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
d
c
b
a
a)
α
= 1.5
b)
α
= 1.0
c)
α
= 0.5
d)
α
= 1.0 com modos
Pseudo-temperatura dos portadores (K)
Tempo (ps)
Fig. (4.16): Evolução temporal das pseudo-temperaturas, correspondentes aos modos dos
fônons LO, para diferentes valores do parâmetro
α
. A seta indica o final do pulso.
81
Capítulo 5 -
Conclusões.
Neste trabalho empregou-se o Método do Operador Estatístico de Não
Equilíbrio (na versão de Zubarev) no estudo da cinética ultra-rápida de
processos irreversíveis em uma amostra de GaAs submetido a ação de uma
fonte externa de energia (laser de alta potência). É sabido que a ação do laser
sobre o sistema considerado, produz um grande número de portadores (pares
elétrons-buracos) afastados do equilíbrio térmico e que se comportam como um
líquido de Fermi de 2 componentes movimentando-se no fundo positivo da
rede cristalina (não térmica) e dando origem ao chamado plasma em
semicondutores altamente excitado (PSAE). Assim o aspecto global do
problema que recebe energia proveniente de uma fonte externa, é promovido a
um novo estado de não equilíbrio, e que posteriormente retorna ao equilíbrio
dissipando o excesso de energia para o reservatório térmico via diferentes
canais de relaxação.
A descrição desse sistema foi feita através de um modelo que levou em
conta os principais mecanismos de relaxação do excesso de energia dos
portadores fotoinjetados pelo laser. Esses mecanismos foram basicamente
aqueles correspondentes as trocas de energia envolvendo os subsistemas de
portadores, fônons e o reservatório térmico. Também foram incluídos no
modelo o efeito da blindagem eletrônica e a difusão ambipolar de portadores
para fora da região ativa da amostra. A influência da blindagem eletrônica foi
introduzida via função dielétrica
( , )
q t
ε
presente no elemento de matriz da
interação polar elétron-fônon LO. A difusão ambipolar foi tratada na
aproximação de tempo difusão. Aos fônons ópticos (LO e TO) não equilibrados
associou-se o conceito de temperatura por modo, enquanto que, os fônons
82
acústicos (A) foram descritos via distribuição tipo Planck, caracterizada por
uma temperatura única, uma vez que admitiu-se um bom contato térmico entre
eles e o reservatório.
Uma vez definido o modelo e as interações relevantes empregou-se o
formalismo do MOENE que pressupõe que o sistema possa ser descrito em
termos de um conjunto de variáveis dinâmicas
{
}
m
P
cujos valores médios sobre
o ensemble de não equilíbrio
{
}
( )
m
Q t
, descrevem o estado macroscópico do
sistema. Para escolha desse conjunto baseou-se no fato de que durante a
evolução do plasma ao estado de equilíbrio é possível identificar um espectro
de tempos de relaxação caracterizando uma seqüência de estágios nos quais o
número de variáveis necessárias para descrição do sistema torna-se cada vez
mais reduzido. Obteve-se um conjunto de equações, ou seja, expressões para as
derivadas temporais das variáveis de base
{
}
( )
m
Q t
, previamente selecionadas,
as quais informam como procede a evolução do estado macroscópico do
sistema. No presente trabalho as variáveis macroscópicas escolhidas foram a
energia e as concentrações de portadores e as populações de fônons ópticos, isto
é,
{
}
( ), ( ), ( ), ( ), ( )
c e h LO TO
E t n t n t t t
ν ν
.
As aplicações numéricas concentraram-se em um único material o
Arseneto de Gálio (GaAs) no qual, observou-se que os portadores sofrem um
processo contínuo de resfriamento, relaxando seu excesso inicial de energia
para rede, através da interação elétron-fônon. Para situações envolvendo
concentrações elevadas de portadores, pode ocorrer em função do
aparecimento de distribuições não equilibradas de modos LO. Um processo
extremamente rápido de saturação resultando no estrangulamento desse canal,
visto pela Fig. 4.2, o processo de relaxação passa então a ser comandado pelo
canal portador–fônons TO, que normalmente é menos eficiente que o canal
envolvendo os fônons LO, porém as excitações das populações não equilibradas
de fônons TO que é considerado no sistema, como mostra a Fig. 4.3.
Em concentrações baixas as populações de fônons LO continuam
sensíveis às trocas de energia com os portadores, porém não ocorre mais a
83
saturação do canal portadores-fônons LO. As populações de fônons TO
praticamente não são excitadas com as correspondentes pseudo-temperaturas
mostrando um leve crescimento em relação a temperatura do reservatório
térmico durante toda a evolução do plasma ao estado de equilíbrio, visto na
Fig. 4.3. Esse fato ajuda na rapidez do processo de relaxação e sugere ainda que
nesse limite de concentração de portadores, os fônons TO possam ser descritos,
em boa aproximação, em termos de uma temperatura única efetiva atribuída às
suas populações.
Em resumo pode-se afirmar que o modelo que melhor aproxima-se de
um sistema real é aquele em que os fônons LO (TO) são tomados como não
termalizados. Neste caso, os modos de fônons LO (TO), caracterizados pelo
vetor de onda
q
na região central da zona de Brillouin, são aquecidos e sua
temperatura cresce. Assim a taxa de transferência de energia dos portadores aos
fônons LO (TO) decresce em função do aquecimento dos fônons LO (TO) e a
curva da relaxação da pseudotemperatura dos portadores decresce
suavemente.
A blindagem eletrônica da interação polar elétron-fônon e a difusão
ambipolar são mecanismos relacionados diretamente com a concentração de
portadores envolvida no sistema. Em uma concentração baixa de portadores
pode-se desprezar tal efeito, mas em altas concentrações devem ser
considerada, pois afeta o mecanismo interno do sistema levando a um atraso no
processo de relaxação no plasma. Esse atraso pode ser constatado
acompanhando tanto a evolução de pseudotemperatura dos portadores (Fig.
4.10 e 4.13) como também dos fônons LO e TO (Fig. 4.11 , Fig. 4.12 e Fig. 4.14).
Em concentrações da ordem de 10
17
cm
-3
a blindagem eletrônica é, responsável
pelo efeito “overshoot” da pseudotemperatura do fônon LO.
A difusão ambipolar envolvendo alta concentração de portadores resulta
em uma contribuição fundamental para o retardamento na relaxação do plasma
(Fig. 4.10). Esse mecanismo também afeta profundamente a estrutura da
distribuição de fônons (Fig. 4.11 e Fig. 4.12).
84
O processo de relaxação é afetado por vários mecanismos, um deles é a
recombinação de pares que torna-se relevante apenas no final do processo
quando os portadores e fônons encontram-se termalizados com o banho mas, a
concentração de portadores ainda não atingiu o valor de equilíbrio. Nesse
estágio a recombinação de pares é o principal mecanismo que leva o sistema a
alcançar o estado final de equilíbrio.
Finalmente na Fig. 4.16 considerou-se a aplicação de um
formalismo estatístico não convencional, a estatística de Renyi onde a função de
distribuição depende de parâmetro
α
. Esse parâmetro deve englobar os
aspectos do problema onde não temos o total conhecimento que, neste caso é, a
temperatura de fônons LO por modo, ou seja, usando um modelo de
temperatura única associada com a função de distribuição não convencional
(dependente do parâmetro
α
) é possível obter resultados que se aproximam
daquele correspondente ao modelo de temperatura por modo. Na figura
mostra-se evolução temporal das pseudo-temperaturas de portadores
considerando os dois modelos do subsistema de fônons LO: o modelo de
temperatura por modo, correspondentes aos modos dos fônons LO, e o
modelo de temperatura única com diferentes valores do parâmetro
α
. Nas
curvas (a), (b) e (c) utilizou-se para os fônons LO uma função de distribuição
não convencional, isto é, dependente de um parâmetro
α
. Os resultados da fig.
4.16 indicam que dependendo do parâmetro
α
a curva prevista pelo modelo de
temperatura única pode aproximar-se daquela prevista pelo modelo mais
completo que leva em conta o conceito de temperatura por modo e nisso reside
a relevância dessa nova estatística.
Vale ressaltar que o plasma fotoinjetado em semicondutores demonstra
ser um sistema apropriado para o estudo de processos dissipativos ultra-
rápidos em sistemas de muitos corpos. Foram abordados neste trabalho alguns
aspectos, mas existem diversos problemas e questões a serem discutidas e
estudadas como, por exemplo, a relaxação de portadores e fônons em
semicondutores de baixa dimensionalidade.
85
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