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MÁCIO AUGUSTO DE ALBUQUERQUE
ESTABILIDADE EM ANÁLISE DE AGRUPAMENTO
(CLUSTER ANALYSIS)
Dissertação apresentada a Universidade Federal Rural
de Pernambuco, para obtenção do titulo de Mestre em
Biometria, Área de concentração: Modelagem e
planejamento de experimentação.
Orientador: Prof°. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira, Dr.
Co-orientadores: Prof°. José Antônio Aleixo da Silva, PhD.
Profº. Borko D. Stosic, PhD.
RECIFE
Estado de Pernambuco – Brasil
Fevereiro – 2005
1
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Ficha catalográfica
Setor de Processos Técnicos da Biblioteca Central – UFRPE
A345e Albuquerque, Mácio Augusto de
Estabilidade em análise de agrupamento (cluster
analysis) / Mácio Augusto de Albuquerque. – 2005.
62 f. : il., tabs.
Orientador: Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira
Dissertação (Mestrado em Biometria) – Universida-
de Federal Rural de Pernambuco. Departamento de
Física e Matemática.
Refêrencias.
CDD 574.018 2
1. Tabela de contingência
2. Análise de agrupamento
3. Algoritmo de agrupamento
4. Mahalanobis
5. Técnica de hierarquização aglomerativa
I. Ferreira, Rinaldo Luiz Caraciolo
II. Título
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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Departamento Física e Matemática
Mestrado em Biometria
ESTABILIDADE EM ANÁLISE DE AGRUPAMENTO
(CLUSTER ANALYSIS)
MÁCIO AUGUSTO DE ALBUQUERQUE
Dissertação foi julgada adequada para obtenção do titulo de mestre em Biometria,
defendida e aprovada por unanimidade em 23/02/2005 pela Banca Examinadora:
Orientador:
__________________________________________________
Prof. Dr. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira – UFRPE
Examinadores:
__________________________________________________
Prof. PhD. José António Aleixo da Silva – UFRPE
___________________________________________________
Prof. Dr. Eufrázio de Souza Santos - UFRPE
___________________________________________________
Prof. PhD. Mário de Andrade Lira Júnior - UFRPE
RECIFE – PE
Fevereiro/2005
A minha família, em especial à minha esposa Edna e aos
meus filhos Tarsyla e Tárcio e a minha mãe Luzia, por
sempre me incentivarem, apoiarem e darem força para
seguir em busca dos meus ideais.
DEDICO
AGRADECIMENTOS
Agradecimento é o sentimento de principal importância dentro da realização
deste trabalho. Acredito que seria impossível a evolução do ser sem que houvesse,
direta e indiretamente a participação de outros. E que essa interação influenciou
significativamente a minha vida, permitindo-me crescer no sentido mais amplo da
palavra. Por isso, tentarei agradecer a todos envolvidos na elaboração deste
trabalho.
A Deus pela força para realização desse trabalho.
Ao meu orientador professor doutor Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira, pela
dedicação, praticidade, honestidade e orientação na execução deste trabalho; pela
amizade e apoio durante todo o curso e principalmente pela confiança em mim
depositada.
Ao coordenador do curso de Biometria professor doutor Eufrázio de Souza
Santos, pela orientação, pela dedicação e esforço pelo curso. Meu respeito e
gratidão.
Especialmente ao professor Borko Stosic, pelas sugestões na elaboração da
dissertação.
Aos professores, Gauss Moutinho Cordeiro, Paulo de Paula Mendes e Maria
Adélia Oliveira Monteiro da Cruz, pela dedicação, apoio e pela transmissão do
conhecimento no decorrer do curso.
Ao meu amigo e cunhado José Jerônimo de Araújo, pelo incentivo e ajuda
nas pesquisas pela internet, dedicando todo o seu carinho e atenção e
principalmente por poder ter contado sempre com seu conselho amigo.
E a Cilene Augusta da Nóbrega Veloso, pelo incentivo e ajuda no português,
dedico todo carinho e atenção.
Ao colega amigo Antonio Lopes Pessoa, pelas caronas, por todo apoio nas
horas difíceis e também pelos ótimos momentos vivenciados juntos.
Aos amigos Paulo Duarte, Adalberto Gomes, Marcela Verônica, Luiz de
França, Cleto Bezerra, Nedson Pereira, Arundo Nunes, Ady Marinho, Heliovânio
Torres, Ilzes Celi, Carlos André, Sérgio de Sá, Dâmocles Aurélio, Antônio José de
Oliveira, pela ótima convivência durante o curso.
Ao amigo Bruno Cunha Coutinho, aluno do curso de Computação da UFPB,
que contribuiu com os seus conhecimentos em programação C.
As secretárias, Josemar, Mary e ao secretário Marcos pelo carinho, respeito e
amizade.
A Universidade Federal Rural de Pernambuco, pela oportunidade de
realização do meu mestrado.
Á coordenadoria de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – CAPES,
pela bolsa concedida.
A todos que de alguma forma contribuíram para o crescimento de cada
momento para realização deste trabalho.
SUMÁRIO
Página
LISTA DE TABELAS …………………………………………………………… vi
LISTA DE FIGURAS …………………………………………………………… vii
RESUMO ………………………………………………………………………… viii
ABSTRACT ……………………………………………………………………… ix
1. INTRODUÇÃO ………………………………………………………………….. 01
2. REVISÃO DE LITERATURA ………………………………………………….. 03
2.1 A Análise de Agrupamento ………………………………………………... 03
2.2 As técnicas de análise de agrupamentos ……………………………….. 05
2.2.1 Técnicas hierarquização ………………………………………………… 06
2.2.2 Definição do número de grupos ………………………………………... 07
2.2.3 Dendrograma …………………………………………………………….. 08
2.3 Medidas de distância ………………………………………………………. 09
2.4 Algoritmos de agrupamento ………………………………………………. 13
2.4.1 Método da Ligação Simples …………………………………………….. 13
2.4.2 Método da Ligação Completa …………………………………………... 14
2.4.3 Método do Centróide …………………………………………………….. 15
2.4.4 Método da Mediana ……………………………………………………… 16
2.4.5 Método das Médias das Distâncias (da Média de agrupamento) ….. 17
2.4.6 Método de Ward …………………………………………………………. 17
2.5 Inferência estatística ………………………………………………………. 19
2.6 Bootstrap ……………………………………………………………………. 19
2. 7 Correlação Cofenética ……………………………………………………. 22
3. MATERIAL E MÉTODOS ……………………………………………………… 24
3.1 Dados ……………………………………………………………………….. 24
3.2 Métodos Estatísticos ………………………………………………………. 25
3.2.1 Estabilidade via método “bootstrap” …………………………………… 25
3.2.2 Medida de distância ……………………………………………………… 26
3.2.3 Algoritmos de agrupamento …………………………………………….. 26
3.2.4 Dendrogramas …………………………………………………………… 32
3.2.5 Correlação Cofenética …………………………………………………... 32
3.2.6 Distorção entre a matriz de dissimilaridade e matriz cofenética ……. 33
3.2.7 Tabelas de contingência ………………………………………………… 34
3.2.7.1 Independência e associação entre métodos ……………………….. 34
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO ………………………………………………. 36
4.1 Análise de agrupamento a partir da matriz de Mahalanobis original … 36
4.2. Análise de agrupamento a partir da matriz de Mahalanobis via
“bootstrap” ……………………………………………………………………….. 41
4.3 Correlação cofenética ……………………………………………………… 47
4.4 Distorção entre a matriz de dissimilaridade e a matriz cofenética ……. 47
5. CONCLUSÕES …………………………………………………………………. 49
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ………………………………………….. 50
LISTA DE FIGURAS
Figura Página
01
Diagrama esquemático ilustrando a construção da distribuição
“bootstrap” ............................................................................................
21
02
Dendrograma representando as seqüências das fusões das
parcelas, obtidas pelo emprego do método da ligação simples, com
base na distância Mahanalobis dos dados originais ...........................
37
03
Dendrograma representando as seqüências das fusões das
parcelas, obtida pelo emprego do método ligação completa, com
base na distância Mahalanobis dos dados originais ...........................
37
04
Dendrograma representando as seqüências das fusões das
parcelas, obtida pelo emprego do método da centróide, com base na
distância Mahalanobis dados originais ................................................
38
05
Dendrograma representando as seqüências das fusões das
parcelas, obtido pelo emprego do método mediana, com base na
distância Mahalanobis dos dados originais .........................................
38
06
Dendrograma representando as seqüências das fusões das
parcelas, obtida pelo emprego do método das médias da distância,
com base na distância Mahalanobis dos dados originais ....................
39
07
Dendrograma representando as seqüências das fusões das
parcelas, obtidas pelo emprego do método do Ward, com base na
distância Mahalanobis dos dados originais .........................................
39
08
Dendrograma representando as seqüências das fusões das
parcelas, obtida pelo emprego do método ligação simples, com base
na matriz de distância de Mahalanobis via bootstrap .........................
43
09
Dendrograma representando as seqüências das fusões das
parcelas, obtida pelo emprego do método ligação completa, com
base na distância Mahalanobis via bootstrap......................................
43
10
Dendrograma representando as seqüências das fusões das
parcelas, obtida pelo emprego do método da centróide, com base na
distância Mahalanobis via bootstrap ....................................................
44
11
Dendrograma representando as seqüências das fusões das
parcelas, obtido pelo emprego do método mediana, com base na
distância Mahalanobis via bootstrap ....................................................
44
12
Dendrograma representando as seqüências das fusões das
parcelas, obtida pelo emprego do método das médias da distância,
com base na distância Mahalanobis via bootstrap ..............................
45
13
Dendrograma representando as seqüências das fusões das
parcelas, obtidas pelo emprego do método do Ward, com base na
distância Mahalanobis via bootstrap ....................................................
45
LISTA DE TABELAS
Tabela Página
01
Densidade de 17 espécies da mata da silvicultura, em parcelas de
20 X 50 m, Universidade Federal de Viçosa – MG ............................
24
02 Forma geral de uma tabela de contingência de duas dimensões
34
03
Matriz de distância Mahalanobis dos dados originais para as 11
parcelas da Mata da Silvicultura, da Universidade Federal de Viçosa
– MG ...................................................................................................
36
04
Porcentagem de grupos coincidentes entre métodos de
agrupamento, com base na matriz de Mahalanobis dos dados
originais, (nível de significância do teste de independência do ), a
partir da tabela de contingência e do grau de associação ..................
2
χ
40
05
Resultados dos dados originais com associação dos métodos
obtidos a partir da qui-quadrado .........................................................
41
06
Matriz de Mahalanobis obtida via reamostragem “bootstrap” após
com 10000 iterações ...........................................................................
42
07
Porcentagem de grupos coincidentes entre métodos de
agrupamento, com base na matriz de Mahalanobis via bootstrap,
(nível de significância do teste de independência do
), a partir da
tabela de contingência e do grau de associação ................................
2
χ
46
08
Resultados dos dados de reamostragem bootstrap com 10000
interações com associação dos métodos obtidos a partir da qui-
quadrado .............................................................................................
46
09
Correlações cofenética entre as matrizes cofenética e a de
dissimilaridade obtidas conforme método de agrupamento utilizado .
47
10
Grau de distorção (%) entre as distâncias original e bootstrap e a
obtida por meio dos dendrogramas obtidos conforme método de
agrupamento utilizado .........................................................................
47
Estabilidade em Análise de Agrupamento
Autor: Ms. Albuquerque, Macio Augusto
Orientador: Dr. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira
RESUMO
Objetivou-se propor uma sistemática para o estudo e a interpretação da
estabilidade dos métodos em análise de agrupamento, através de vários algoritmos
de agrupamento em dados de vegetação. Utilizou-se dados provenientes de um
levantamento na Mata da Silvicultura, da Universidade Federal de Viçosa-MG. Para
análise de agrupamento foram estimadas as matrizes de distância de Mahalanobis
com base nos dados originais e via reamostragem “bootstrap” e aplicados os
métodos da ligação simples, ligação completa, médias das distâncias, do centróide,
da mediana e do Ward. Para a detecção de associação entre os métodos foi
aplicado o teste qui-quadrado. Para os diversos métodos de agrupamento foi obtida
a correlação cofenética. Os resultados de associação dos métodos foram
semelhantes, indicando em princípio que qualquer algoritmo de agrupamento
estudado está estabilizado e existem, de fato, grupos entre os indivíduos
observados. No entanto, observou-se que os métodos são coincidentes, exceto os
métodos do centróide e Ward e os métodos do centróide e mediana quando
comparados com o de Ward, respectivamente, com base nas matrizes de
Mahalanobis a partir dos dados originais e “bootstrap”. A sistemática proposta é
promissora para o estudo e a interpretação da estabilidade dos métodos de análise
de agrupamento em dados de vegetação.
viii
STABILITY IN CLUSTER ANALYSIS
Autohr: Ms. Albuquerque, Mácio Augusto
Advisor: Dr. Rionaldo Luiz Caraciolo Ferreira
ABSTRACT
The main objective of this research was to propose a systematic to the study
and interpretation of the stability of methods in cluster analysis through many cluster
algorithms in vegetation data. The data set used came from a survey in the
Silviculture Forest at Federal University of Viçosa – MG. To perform the cluster
analysis the matrices of Mahalanobis distance were estimated based on the original
data and by “bootstrap” resampling. Also the methods of single linkageage, complete
linkageage, the average of the distances, the centroid, the medium and the Ward
were used. For the detection of the association among the methods it was applied
the chi-square test. For the various methods of clustering it was obtained a
cofenetical correlation. The results of the associations of methods were very similar,
indicating, in principle, that any algorithm of cluster studied is stabilized and exist, in
fact, groups among the individuals analyzed. However, it was concluded that the
methods coincide with themselves, except the methods of centroid and Ward. Also
the centroid methods and average when compared to the Ward, respectively, based
on the matrices of Mahalanobis starting from the original data set and “bootstrap”.
The methodology proposed is promising to the study and interpretation of the stability
of methods concerning the cluster analysis in vegetation data.
ix
1- INTRODUÇÃO
As técnicas de análise multivariada possibilitam avaliar um conjunto de
características, levando em consideração as correlações existentes, que permitem
que inferências sobre o conjunto de variáveis sejam feitas em um nível de
significância conhecido.
Nas diversas áreas do conhecimento uma das técnicas multivariadas mais
utilizadas é a análise de agrupamento. O seu emprego em áreas tais como
engenharia florestal, experimentos agronômicos, medicina, sociologia,
administração, entre outras, vem aumentando muito nos últimos anos.
A análise de agrupamento tem por finalidade reunir, por algum critério de
classificação as unidades amostrais em grupos, de tal forma que exista
homogeneidade dentro do grupo e heterogeneidade entre grupos (Johnson &
Wichern, 1992; Cruz & Regazzi, 1994).
O processo de agrupamento envolve basicamente duas etapas. A primeira se
refere à estimação de uma medida de dissimilaridade entre os indivíduos e a
segunda, refere-se à adoção de uma técnica de formação de grupos.
Um grande número de medidas de similaridade ou de dissimilaridade tem sido
proposto e utilizado em análise de agrupamento, sendo a escolha entre elas
baseada na preferência e/ou na conveniência do pesquisador (Bussab et al., 1990).
Com a definição da medida de dissimilaridade a ser utilizada, a etapa
seguinte é a adoção de uma técnica de agrupamento para formação dos grupos.
Para realização desta tarefa, existe um grande número de métodos disponíveis, dos
quais o pesquisador tem de decidir qual o mais adequado ao seu propósito, uma vez
que as diferentes técnicas podem levar a diferentes soluções (Souza et al., 1997).
As técnicas de análise de agrupamento exigem de seus usuários a tomada de
uma série de decisões independentes, que requerem o conhecimento das
propriedades dos diversos algoritmos à disposição e que podem representar
diferentes agrupamentos. Além disso, o resultado dos agrupamentos pode ser
influenciado pela escolha da medida de dissimilaridade, bem como pela definição do
número de grupos (Gower & Legendre, 1986; Jackson et al., 1989; Duarte et al.,
1999).
O incremento na capacidade computacional promoveu grandes avanços na
análise multivariada, reduzindo simultaneamente o esforço e os custos. Uma dessas
1
possibilidades de otimização é o procedimento de reamostragem “bootstrap". Esses
procedimentos têm sido utilizados para avaliar a estabilidade dos agrupamentos
obtidos a partir de matrizes de dissimilaridade (Weir, 1990; Meyer, 1995; Hillis et al.,
1996; Manly, 1997). Logo, aplicação do procedimento de reamostragem “bootstrap”
pode fornecer um ponto de equilíbrio que permite uma estimativa precisa dos
grupos.
Assim, objetivou-se propor uma sistemática para o estudo e a interpretação
da estabilidade dos métodos em análise de agrupamento, através de vários
algoritmos de agrupamento em dados de vegetação.
2
2 - REVISÃO DE LITERATURA
Em quase todas as áreas de pesquisa várias variáveis são mensuradas e, em
geral, essas devem ser analisadas conjuntamente. A análise multivariada é a área
da estatística que trata desse tipo de estudo e existem várias técnicas que podem
ser aplicadas, sendo que, a utilização dessas depende do tipo de dado que se
deseja analisar e dos objetivos do estudo.
Segundo Anderson (1984), existem, basicamente, duas formas de classificar
as análises multivariadas: as que permitem extrair informações a respeito da
independência entre as variáveis que caracterizam cada elemento, tais como análise
fatorial, análise de agrupamento, análise canônica, análise de ordenamento
multidimensional e análise de componentes principais; e as que permitem extrair
informações a respeito da dependência entre uma ou mais variáveis ou uma com
relação à outra, tais como análise de regressão multivariada, análise de contingência
múltipla, análise discriminante e análise de variância multivariada.
2.1 A Análise de Agrupamento
A análise de agrupamento é uma técnica multivariada que tem por objetivo
proporcionar uma ou várias partições na massa de dados, em grupos, por algum
critério de classificação, de tal forma que exista homogeneidade dentro e
heterogeneidade entre grupos (Sneath & Sokal, 1973; Mardia et al., 1997).
Essa técnica sumariza dados para interpretação e utiliza métodos que
procuram grupos excludentes, ascendentes, reduzindo as informações de um
conjunto de n indivíduos para informações de um novo conjunto de g grupos, onde g
é significativamente menor que n, resultando um dendrograma de exclusão (Mardia
et al., 1997).
Conforme Reis (1997), de modo sintético, a técnica pode ser descrita como
se segue: dado um conjunto de n indivíduos para os quais existe informação sobre a
forma p variáveis, o método de análise de agrupamento procede ao agrupamento
dos indivíduos em função da informação existente, de tal modo que os indivíduos
pertencentes a um mesmo grupo sejam tão semelhantes quanto possível e sempre
mais semelhante aos elementos do mesmo grupo do que aos elementos dos grupos
restantes. Essa técnica é também chamada de técnica de partição, classificação ou
taxonomia, embora o termo partição seja mais utilizado para uma das técnicas
3
especificas da análise: aquela em que os indivíduos são divididos por um número
preestabelecido de grupos.
Segundo Aaker et al. (2001), a premissa mais importante da análise de
agrupamento é a de que a medida de similaridade ou dissimilaridade na qual o
processo de agrupamento se baseia é uma medida válida de similaridade ou
dissimilaridade entre os indivíduos. A segunda premissa mais importante é a de que
existe uma justificativa teórica para estruturar os indivíduos em grupos. Como em
outras técnicas multivariadas, também há teoria e lógica guiando e dando base à
análise de agrupamento.
Geralmente, é difícil avaliar a qualidade do processo de agrupamento. Não
existem testes estatísticos padrões para garantir que o resultado seja puramente
aleatório. O valor do critério medida, legitimidade do resultado, aparência de uma
hierarquia natural (quando for empregado um método não hierárquico) e
confiabilidade de testes de divisão de amostra, oferecem informações úteis (Bussab
et al., 1990). Entretanto, é difícil saber, exatamente, quais os grupos são muito
parecidos e quais objetos são difíceis de serem inseridos. Geralmente, não é fácil
selecionar um critério e programa de agrupamento por meio de outra referência que
não a disponibilidade.
Na análise de agrupamento, é fundamental ter particular cuidado na seleção
das variáveis de partida que vão caracterizar cada indivíduo, e determinar, em última
instância, qual o grupo em que deve ser inscrito. Nesta análise não existe qualquer
tipo de dependência entre as variáveis, isto é, os grupos se configuram por si
mesmo sem necessidade de ser definida uma relação causal entre as variáveis
utilizadas. Essa análise não faz uso de modelos aleatórios, mas é útil por fornecer
um sumário bem justificado de um conjunto de dados. As técnicas são exploratórias
e a idéia é, sobretudo gerar hipóteses, mais do que testá-las, sendo necessária a
validação posterior dos resultados encontrados através da aplicação de outros
métodos estatísticos (Reis, 1997).
Genericamente, a análise de agrupamento compreende cinco etapas (Aaker
et al., 2001):
1. A seleção de indivíduos ou de uma amostra de indivíduos a serem
agrupados;
2. A definição de um conjunto de variáveis a partir das quais serão obtidas
informações necessárias ao agrupamento dos indivíduos;
4
3. A definição de uma medida de semelhança ou distância entre os
indivíduos;
4. A escolha de um algoritmo de partição/classificação;
5. Por último, a validação dos resultados encontrados.
2.2 As técnicas de análise de agrupamentos
A análise de agrupamento envolve algumas decisões subjetivas, como qual a
técnica a mais conveniente, conforme as circunstâncias.
Vários são os tipos de técnicas de agrupamento encontradas na literatura
(Johnson & Wichern, 1992; Cruz & Regazzi, 1994; Mardia el al., 1997; Aaker et al.,
2001; Barroso & Artes, 2003), tendo o pesquisador que tomar a decisão de qual é a
mais adequada ao seu propósito, uma vez que, as diferentes técnicas podem levar a
diferentes soluções.
De maneira geral, ao empregar quaisquer procedimentos de análise de
agrupamento, o pesquisador deve tomar cuidado com os seguintes aspectos
(Aldenderfer & Brashield, 1984):
- A maioria dos métodos de análise de agrupamento é procedimento
relativamente simples que, geralmente, não tem um embasamento teórico estatístico
abrangente.
- Os métodos de análise de agrupamento foram desenvolvidos com base em
diversas disciplinas, e os vieses herdados de cada uma delas podem diferir muito
entre si.
- Métodos de agrupamentos diferentes geram soluções diferentes para o
mesmo conjunto de dados.
- A estratégia da análise de agrupamentos busca uma estrutura, enquanto
sua operação necessita de uma estrutura preestabelecida.
As próprias técnicas de agrupar podem ser “classificadas” em grupos, e
diferentes autores produzem diferentes classificações. Cormack (1971), propõe a
seguinte:
1) A técnica hierárquica de agrupamento consiste em uma série de sucessivos
agrupamentos ou sucessivas divisões de elementos, em que os elementos são
agregados ou desagregados. As técnicas hierárquicas são subdivididas em
aglomerativas e divisivas.
5
Os grupos, na técnica hierárquica, são geralmente representados por um
diagrama bi-dimensional chamado de dendrograma ou diagrama de árvore. Nesse
diagrama, cada ramo representa um elemento, enquanto a raiz representa o
agrupamento de todos os elementos.
2) As técnicas não-hierárquicas, ou por particionamento, foram desenvolvidos para
agrupar elementos em K grupos, em que K é a quantidade de grupos definida
previamente.
Nem todos valores de K apresentam grupos satisfatórios, sendo assim,
aplica-se o método várias vezes para diferentes valores de K, escolhendo os
resultados que apresentem melhor interpretação dos grupos ou uma melhor
representação gráfica (Bussab et al., 1990).
A idéia central da maioria dos métodos por particionamento é escolher uma
partição inicial dos elementos e, em seguida, alterar os membros dos grupos para
obter-se a melhor partição (Anderberg, 1973).
Quando comparado com a técnica hierárquica, a técnica não-hierárquica ou
por particionamento é mais rápido porque não é necessário calcular e armazenar,
durante o processamento, a matriz de similaridade ou dissimilaridade (Johnson &
Wichern, 1992).
Em geral, os métodos por particionamento diferem entre si pela maneira que
constituem a melhor partição. Como qualquer classificação, existirão tipos que serão
difíceis de classificar, ou que poderão caber em mais de um grupo.
2.2.1 Técnicas hierarquização
Segundo Reis (1997), as técnicas de hierarquização conduzem a uma
hierarquia de partições P
1
P
2
,...,P
n
do conjunto total dos n objetos em 1, 2....n
grupos. A denominação de hierárquicos advém do fato de, que, para cada par de
partições P
i
e P
i + 1
, cada grupo da partição P
i + 1
está sempre incluído num grupo da
partição P
i.
Esse tipo de técnica se baseia na construção de uma matriz de
dissimilaridade ou distâncias em que cada elemento da matriz descreve o grau de
diferença entre cada dois casos com base nas variáveis escolhidas. Segundo Souza
et al. (1997), os métodos hierárquicos se dividem em aglomerativos e divisivos.
Entre os métodos aglomerativos, citam-se o do “vizinho mais próximo”, do “vizinho
mais distante”, da “mediana”, do “centróide”, da “média das distância” e o proposto
6
por Ward (1963). Entre os métodos divisivos, o mais conhecido é o de “Edwards e
Cavalli-Sforza (1965)”. Nos primeiros, parte-se de n grupos de apenas um indivíduo,
que vão sendo agrupados, sucessivamente, até que se encontre apenas um grupo
que incluirá a totalidade dos n indivíduos. O processo inverso é utilizado pelos
métodos divisivos: parte-se de um grupo que inclui todos os indivíduos em estudo e
por um processo sistemático de divisões sucessivas. Os métodos de análise de
agrupamentos mais utilizados pelos pesquisadores são os hierárquicos
aglomerativos.
O ponto de partida comum a todos os métodos hierárquicos é a construção de
uma matriz de similaridade ou de distância, sendo este o terceiro problema a
resolver em qualquer análise de agrupamento.
2.2.2 Definição do número de grupos
Determinar o número de grupos para uma base de dados é uma das tarefas
mais difíceis no processamento de agrupamento.
Para Barroso & Artes (2003), o número de grupos pode ser definido a priori,
através de algum conhecimento que se tenha sobre os dados, pela conveniência do
pesquisador, por simplicidade, ou ainda pode ser definido a posteriori com base nos
resultados da análise.
De acordo com Aaker et al., (2001), para determinar o número apropriado de
grupos, existem diversas abordagens possíveis: em primeiro lugar, o pesquisador
pode especificar antecipadamente o número de agrupamentos. Talvez, por motivos
teóricos e lógicos, esse número seja conhecido. O pesquisador pode também, ter
razões práticas para estabelecer o número de agrupamentos, com base no uso que
pretende fazer dele. Em segundo lugar, o pesquisador pode especificar o nível de
agrupamento de acordo com um critério. Se o critério de agrupamento for de fácil
interpretação, tal com a média de similaridade interna do agrupamento, é possível
estabelecer certo nível que ditaria o número de agrupamentos. Uma terceira
abordagem é determinar o número de agrupamentos com base no padrão gerado
pelo programa. As distâncias entre os agrupamentos em etapas sucessivas podem
servir de guia, e o pesquisador pode escolher interromper o processo quando as
distâncias excederem um valor estabelecido. Uma quarta abordagem é representar,
graficamente, a razão entre a variância total interna dos grupos e a variância entre
os grupos, em relação ao número de agrupamentos. O ponto em que surgir uma
7
curva acentuada, um ponto de inflexão, seria a indicação do número adequado de
agrupamentos. Aumentar esse número além desse ponto seria inútil, e diminuí-lo
seria correr o risco de misturar objetos diferentes.
Qualquer que seja a abordagem empregada, geralmente é aconselhável
observar o padrão total de agrupamentos. Isto pode proporcionar uma medida da
qualidade do processo de agrupamento e do número de agrupamentos que emerge
nos vários níveis do critério de agrupamento. Geralmente mais de um nível de
agrupamento é relevante (Aaker et al., 2001).
No caso de não existir o conhecimento do número de grupos em que a
população em estudo deverá ser dividida, um dos métodos usados quando se usam
técnicas hierárquicas, consiste na comparação gráfica do número de agrupamento
com o respectivo coeficiente de fusão, isto é, o valor numérico (distância ou
semelhança) para o qual vários casos se unem para formar um grupo (Reis, 1997).
Assim, quando a divisão de um novo grupo não introduz alterações significativas no
coeficiente de fusão, poderá se tomar essa partição como sendo ótima. Outro
procedimento utilizado é o da comparação dos resultados obtidos por vários
métodos diferentes de agrupamento. Poder-se-á aferir o grau de convergência entre
os vários métodos de agrupamento através de uma tabela de contingência,
indicando o número de observações que se agrupam no mesmo agrupamento, para
o mesmo número de agrupamento. Desta forma é possível verificar a maior ou
menor estabilidade das soluções encontradas, de maneira a concluir acerca da
qualidade do agrupamento efetuado.
2.2.3 Dendrograma
Dendrograma é uma representação matemática e ilustrativa de todo o
procedimento de agrupamento através de uma estrutura de árvore (Everitt et al.
2001).
Os nós do dendrograma representam agrupamentos, E nós são compostos
pelos grupos e ou objetos (grupos formados apenas por ele mesmo) ligados a ele
(nó). Se cortarmos o dendrograma em um nível de distância desejado, obteremos
uma classificação dos números de grupos existentes nesse nível e dos indivíduos
que os formam. O número de grupo dos indivíduos é obtido pelo corte do
dendrograma em um nível desejado e então cada componente conectado forma um
grupo.
8
2.3 Medidas de distância
Para agrupar indivíduos, é necessário a definição de uma medida de
similaridade ou dissimilaridade. Com base nessa medida os indivíduos similares são
agrupados e os demais são colocados em grupos separados (Aaker et al., 2001):
As medidas de dissimilaridade têm papel central nos algoritmos de
agrupamentos. Através delas são definidos critérios para avaliar se dois pontos
estão próximos, e, portanto, podem fazer parte de um mesmo grupo, ou não.
Segundo Barroso & Artes (2003), há dois tipos de medidas de parecença:
medidas de similaridade (quanto maior o valor, maior a semelhança entre os objetos)
e medidas de dissimilaridade (quanto maior o valor, menor a semelhança entre os
objetos).
De um modo geral, as medidas de similaridade e de dissimilaridade são
interrelacionadas e, facilmente, transformáveis entre si (Bussab et al., 1990). Há um
grande número de coeficientes de similaridade e/ou de dissimilaridade para
caracteres binários disponíveis na literatura. Segundo Clifford & Stephenson (1975),
tais coeficientes podem ser, facilmente, convertidos para coeficientes de
dissimilaridade: se a similaridade for denominada s, a medida de dissimilaridade
será o seu complementar (1 – s).
A maioria dos métodos de análise de agrupamento requer uma medida de
similaridade ou dissimilaridade entre os elementos a serem agrupados, normalmente
expressa como uma função distância ou métrica (Doni, 2004).
Seja M um conjunto, uma métrica em M é uma função d: MxM → , tal que
para quaisquer i, j, z ∈M, tenhamos:
ℜ
1. d (i, j) = d (j, i) (simétrica);
2. d (i, j) > 0, se i≠ j;
3. d (i, j) = 0, se e somente se, i = j; e
4. d (i, j) ≤ d (i, z) + d (z, j) (desigualdade triangular).
Além disso, é esperado que d (i, j) aumente quando a dissimilaridade entre i e
j aumentar.
Existem várias medidas que podem ser utilizadas como medidas de
distâncias ou dissimilaridade entre elementos de uma matriz de dados, (Cormack,
1971) descreve uma série de medidas possíveis: distâncias euclidiana, euclidiana
quadrada e euclidiana padronizada, distância corda, distância de Nei, distância
9
absoluta ou City – Block Metric, distância de Minkowski, distância Mahalanobis,
distância de Chebychev.
Segundo Cormack (1971) as distâncias mais utilizadas em análise de
agrupamento são:
1. Distância Euclidiana: a distância entre dois casos (i e j) é a raiz
quadrada do somatório dos quadrados das diferenças entre valores de i e j para
todas as variáveis (v = 1, 2, ,,,,, p).
∑
=
−=
p
1v
2
)
jv
X
iv
(X
ij
d
em que
X
iv
representa a característica do indivíduo i,
X
jv
representa a característica do individuo j,
p é o número de parcelas na amostra,
v é o número indivíduo na amostra.
2. Distância Euclidiana quadrada: a distância entre dois casos (i e j) é
definida como o somatório dos quadrados das diferenças entre os valores de i e j
para todas as variáveis (v = 1, 2.....p).
∑
=
−=
p
1v
2
)
jv
X
iv
(X
2
ij
d
em que:
X
iv
representa a característica do indivíduo i,
X
jv
representa a característica do individuo j,
p é o número de parcelas na amostra,
v é o número indivíduo na amostra.
3. Distância euclidiana ponderada.
Para Bussab et al., (1990), na realidade, este coeficiente de similaridade e
dissimilaridade está associado a uma questão freqüente em análise de
agrupamento, que é o da ponderação das variáveis, ou seja, o de dar mais peso
para variáveis que o pesquisador julgar mais importante para definir semelhança.
)
j
X -
i
(X S
'
)
j
X -
i
(X d =
10
S é uma matriz diagonal, tendo i-ésimo componente a variância s
2
i
, isto é, S
= diag. ( então: )
2
p
s .....,,
2
2
s ,
2
1
s
'
)
j
X
i
(X − é matriz transposta;
)
j
X
i
X( − é uma matriz ;
X
i
é o vetor de médias do i’ésimo indivíduo;
X
j
é o vetor de médias do j’ésimo indivíduo.
Os casos particulares mais importantes, sendo a distância ponderada por S,
são:
i ) S = 1, a ponderação é a matriz identidade, tem-se então a distância
euclidiana usual.
ii ) S = [ diag. ])
2
p
s .....,,
2
2
s ,
2
1
s (
-1
, e tem-se a distância das variáveis
padronizadas.
iii ) S = V
–1
, onde V é matriz de covariâncias, tem-se então a “distância de
Mahalanobis”.
Esta última distância, além de ponderar pela variabilidade de cada uma das
componentes, leva em conta também o grau de correlação entre elas. Este fato
torna muito difícil a interpretação de resultados baseados neste coeficiente de
similaridade dissimilaridade.
4. Distância de Mahalanobis também chamada distância generalizada, Esta
medida, ao contrário das apresentadas anteriormente, considera a matriz de
covariância
para o cálculo das distâncias: Esta é a distância escolhida para o
nosso trabalho pois ela leva em consideração a estrutura de correlação existente
nos dados.
∑
Para Reis (1997), a distância generalizada D
2
de Mahalanobis também pode
ser usada como técnica de comparação quando na separação entre diversos
grupos, permitindo avaliar a extensão e a direção dos afastamentos entre os valores
médios das variáveis usadas na discriminação. As diferenças entre cada par de
grupos que estão sendo comparados são, assim, examinados simultaneamente por
meio das diversas variáveis, que podem ser correlacionadas, de modo que, a
11
informação fornecida por uma delas pode não ser independente da fornecida pelas
demais.
O valor numérico da maior separação possível entre dois grupos quaisquer é
chamado distância generalizada entre os grupos e mede, em escala independente
da originalmente utilizada para as várias variáveis, a clareza das disjunções entre
elas.
Assim, o valor da distância generalizada D
2
, ligando dois grupos, é um
número puro, com propriedades da distância comum, e mede a extensão com que
diferem entre si em tamanho e forma.
A distância Generalizada de Mahalanobis entre os grupos i e j é usualmente
estimada segundo (Rao, 1952) por:
2
ij
D
= (
X
~
i
-
~
X
j
)’. ∑
-1
.
(
X
~
i
-
X
~
j
)
em que:
~
i
X
é o vetor de médias do i’ésimo grupo;
~
j
X
é o vetor de médias do j’ésimo grupo;
∑ é a estimativa combinada da matriz da Covariância/variância dentro dos
grupos.
Para o cálculo de D
2
, supõe-se a existência de distribuição multinormal p-
dimensional e a homogeneidade da matriz de covariância residual das unidades
amostrais, restringindo-se, portanto, o seu uso. Entretanto, considerável robustez
para violação dessas hipóteses já foi demonstradas, que faz da distância de
Mahalanobis uma opção de grande utilidade, principalmente pelo fato de D
2
ter
analogia com outras técnicas multivariadas (Cruz e Regazzi, 1994). Além disso, a
distância de Mahalanobis considera a variabilidade dentro de cada unidade
amostral, e não somente a medida de tendência central, sendo, portanto, uma
medida mais aceitável, quando as unidades amostrais constituem um conjunto de
indivíduos e, principalmente, quando as variáveis são correlacionadas (Riboldi,
1986).
Este método de representação de diferenças entre grupos leva em
consideração qualquer correlação que exista as variáveis utilizadas, e é também
independente das unidades de medida com que as variáveis estão expressas.
12
2.4 Algoritmos de agrupamento
Nos algoritmos de agrupamentos hierárquicos, conhecidos como SAHN
(“Seqüencial, Agglomerative, Hierarquic, Nonoverlapping Clustering Methods”), em
cada passo do agrupamento há a necessidade de recalcular o coeficiente de
dissimilaridade entre os grupos estabelecidos e os possíveis candidatos a futuras
admissões de novos membros nos grupos já estabelecidos (Sneath & Sokal, 1973).
Os vários métodos de agregação das espécies diferem no modo como
estimam distância entre grupo já formado e outros grupos ou indivíduos por agrupar.
O processo de agrupamento de indivíduos já agrupados depende da similaridade e
dissimilaridade entre os grupos. Portanto, diferentes definições destas distâncias
poderão resultar em diferentes soluções finais (Bussab et al., 1990).
A seguir, são apresentados diversos métodos de agrupamentos que fazem
parte dos métodos SAHN. Vale salientar que, não existe o que se possa chamar de
melhor critério na análise de agrupamentos, mas alguns são mais indicados para
determinadas situações do que outros (Kaufmann & Rosseeuw, 1990). É prática
comum utilizar vários critérios e fazer a comparação dos resultados, se tais
resultados forem semelhantes, é possível concluir que eles possuem um elevado
grau de estabilidade e, portanto, são confiáveis.
Os métodos mais comuns de agrupamento para determinar a distância entre
agrupamentos são: ligação simples, ligação completa, dos centróides, da mediana,
das médias das distâncias e da soma de erros quadráticos ou variância (método
Ward) (Anderberg, 1973).
2.4.1 Método da Ligação Simples
Este algoritmo, também denominado de método do elemento mais próximo
(Neighbourhoods) é um dos mais simples, sendo de uso geral e de rápida aplicação.
O método da ligação simples, segundo Orlóci (1978); Gama (1980); e Mardia
et al. (1997), é uma técnica de hierarquização aglomerativa, e tem como uma de
suas características não exigir que o número de agrupamentos seja fixado a priori,
assim, temos:
Seja E = {E
1
, E
2
, ,,, , E
p
} um conjunto de elementos em que cada um é
representado por um vetor X
~
i
, para i = 1, 2, ,,,, p pontos do espaço p-dimensional
13
(I
p
), no caso de análise de vegetação, cada dimensão do espaço corresponde a uma
espécie diferente, então, qualquer medida de distância estatística ou de similaridade
pode ser empregada neste algoritmo.
Suponha que tenham sido determinados todos os n(n-1)/2 diferentes valores
de d
ij
ou S
ij
(i = j = 1, 2..... n), representados na forma de uma matriz de distância
(D
1
) ou de similaridade (S
1
).
No método da ligação simples, os agrupamentos entre objetos e grupos ou
entre grupos são feitos por ligações simples entre pares de objetos, ou seja, a
distância entre os grupos é definida como sendo aquela entre os objetos mais
parecidos entre esses grupos. Este método leva a grupos longos se comparados aos
grupos formados por outros métodos de agrupamentos SAHN (Meyer, 2002). Os
dendrogramas, resultantes deste procedimento, são, geralmente, pouco
informativos, devido à informação dos indivíduos intermediários que não são
evidentes (Carlini-Garcia, 1998). De acordo com Sneath & Sokal (1973),
agrupamentos pelo método de ligação simples podem ser obtidos tanto pelo
procedimento aglomerativo quanto divisivo.
Anderberg (1973) cita as seguintes características desse método:
• Em geral, grupos muito próximos podem não ser identificados;
• Permite detectar grupos de formas não-elipticas;
• Apresenta pouca tolerância a ruído, pois tem tendência a incorporar os
ruídos em um grupo já existente;
• Apresenta bons resultados tanto para distância Mahalanobis quanto para
outras distâncias;
• Tendência a formar longas cadeias (encadeamento).
Encadeamento é um termo que descreve a situação em que há um primeiro
grupo de um ou mais elementos que passa a incorporar, a cada interação, um grupo
de apenas um elemento. Assim, é formada uma longa cadeia, onde se torna difícil
definir um nível de corte para classificar os elementos em grupos (Romesburg, 1984).
2.4.2 Método da Ligação Completa
Este método é também denominado de método do elemento mais distante,
sendo uma das técnicas de hierarquização aglomerativa de maior aplicação na
14
análise de agrupamento (Gama, 1980). Como no método de ligação simples, aqui
também não é exigida a fixação, a priori, do número de agrupamentos.
Conforme Bussab et al. (1990), no método da ligação completa, também
denominado vizinho mais distante, a dissimilaridade entre dois grupos é definida
como sendo aquela apresentada pelos indivíduos de cada grupo que mais se
parecem, ou seja, formam-se todos os pares com um membro de cada grupo, e a
dissimilaridade entre os grupos é definida pelo par que mais se parece. Este método,
geralmente, leva a grupos compactos e discretos, tendo os seus valores de
dissimilaridade relativamente grande.
Kaufmann & Rosseeuw (1990) cita as seguintes características desse método:
• Apresenta bons resultados tanto para a distâncias Mahalanobis quanto para
outras distancias;
• Tendência a formar grupos compactos;
• Os ruídos demoram para serem incorporados ao grupo.
2.4.3 Método do Centróide
O método do centróide foi proposto por Sokal & Michener (1958) e teve como
origem, a caracterização da matriz de dados como pontos do espaço Mahalanobis
(I
p
). Cada agrupamento é considerado um simples ponto, representado pelo seu
centro de massa, chamado centróide. O presente método utiliza uma função de
agrupamento para medir a distância entre os centros de massa dos dados. Esta
técnica é de hierarquização aglomerativa.
Este algoritmo se caracteriza pela redefinição, a cada passo, da matriz de
dados, em que cada agrupamento é representado pelo vetor médio das p variáveis
envolvidas. Na realidade, uma nova matriz de distâncias é determinada a cada
interação.
No método do centróide, a distância entre dois grupos é definida como a
distância entre os seus centróides, pontos definidos pelas médias das variáveis
caracterizadoras dos indivíduos de cada grupo, isto é, o método do centróide calcula
a distância entre dois grupos como a diferença entre as suas médias, para todas as
variáveis. Uma desvantagem desse método é que se os dois grupos forem muito
diferentes em termos de dimensão, o centróide do novo agrupamento estará, mas
15
próximo daquele que for maior e as características do grupo menor tenderão a se
perde. De fato, com esse método, o centróide do novo grupo é uma combinação
ponderada dos centróides dos dois grupos separados, sendo as ponderações
proporcionais ao tamanho destes grupos (Reis, 1997).
Uma característica importante desse algoritmo é a de que a distância entre
agrupamentos é determinada pela distância entre os pontos representativos dos
seus respectivos centros de massa (centróide).
Kaufmann & Rosseeuw (1990) cita as seguintes características desse método:
• Robustez à presença de ruídos;
• Fenômeno da reversão.
O fenômeno da reversão ocorre quando a distância entre centróides é menor
que à distância entre grupos já formados, isso fará com que os novos grupos sejam
formados em um nível inferior aos grupos já existentes, tornando o dendrogama
confuso (Romesburg, 1984).
2.4.4 Método da Mediana
Com base na metodologia proposta por Orlóci (1978) e Gama (1980), este
algoritmo é um caso particular do método do centróide. A determinação da distância
entre dois agrupamentos por meio do cálculo do centro de massa não considera o
número de elementos em cada um dos agrupamentos. Assim, o vetor médio que
representa o novo agrupamento, pode eventualmente, ficar situado entre os
elementos do agrupamento com maior número de elementos. Para contornar este
problema, Gower (1967) desenvolveu um procedimento de cálculo que pondera a
medida de distância pelo número de elementos de cada agrupamento.
A rigor, os dois métodos são um só, não havendo razões para classificá-los
como métodos distintos.
Para Barroso & Artes (2003), o método da mediana é uma modificação do
método do centróide para a independência da distância do tamanho dos grupos. Se
agregarem os grupos, com centróides a e b, para formar um novo grupo, a distância
desse novo grupo a outro grupo, de centróide c, é a mediana.
Kaufmann & Rosseeuw (1990) cita as seguintes características desse método:
• Apresenta resultado satisfatório quando os grupos possuem tamanhos
diferentes;
16
• Pode apresentar resultado diferente quando permutados os elementos na
matriz de dissimilaridade;
• Robustez à presença de outliers;
• Fenômeno da reversão.
2.4.5 Método das Médias das Distâncias (da Média de agrupamento)
Este método define a distância entre dois grupos como sendo a média das
distâncias entre todos os pares de elementos, sendo um em cada grupo. Este
procedimento pode ser utilizado tanto para medidas de similaridade como de
distância, contanto que o conceito de uma medida média seja aceitável (Everitt,
1974).
Os grupos são reunidos em um novo grupo quando a média das distâncias
entre seus elementos é mínima.
No método das médias das distâncias se define a distância entre dois grupos,
i e j, como sendo a média das distâncias entre todos os pares de objetos
constituídos por elementos dos dois grupos. A estratégia e o valor médio tem a
vantagem de evitar valores extremos e de tomar em consideração toda a informação
dos grupos. Um grupo passa a ser definido como um conjunto de indivíduos no qual
cada um tem mais semelhanças, em média, com todos os membros do mesmo
grupo do que com todos os elementos de qualquer outro grupo (Reis, 1997).
Kaufmann & Rosseeuw (1990) destaca as seguintes características desse
método:
• Menor sensibilidade a ruídos que os métodos de ligação simples e completa;
• Apresenta bons resultados tanto para a distância Mahalanobis quanto para
outras distâncias;
• Tendência a formar grupos com número de elementos similares.
2.4.6 Método de Ward
Ward (1963) propõe um processo geral de classificação em que n elementos
são progressivamente reunidos dentro de grupos através da minimização de uma
função objetiva para cada (n -2) passos de fusão.
Inicialmente, este algoritmo admite que cada um dos elementos se constituía
em um único agrupamento. Considerando a primeira reunião de elementos em um
17
novo agrupamento, a soma dos desvios dos pontos representativos de seus
elementos, em relação à média do agrupamento, é calculada, e dá uma indicação de
homogeneidade do agrupamento formado. Esta medida fornece a “perda de
informação” que se produz ao reunir os elementos de E em um agrupamento (Gama,
1980).
Conforme a proposta de Bouroche & Saporta (1972), quando os indivíduos
são pontos de um espaço Mahalanobis (I
p
), a qualidade de uma partição é definida
por sua inércia intraclasse ou por sua inércia interclasse. Quando se parte de K+1
classes para K classes, ou seja, agrupando duas classes numa só, a inércia
interclasse só pode diminuir. A inércia interclasse é a média da soma dos quadrados
das distâncias entre os centros de gravidade de cada classe e o centro de gravidade
total.
Gama propôs (1980), que a reunião de elementos em grupos é feita pela
análise dos valores da função de agrupamento, reunindo-se os elementos mais
próximos, isto é, aqueles que apresentassem Min (d
ij
).
Conforme Reis (1997), o método de Ward se baseia na perda de informação
resultante do agrupamento das espécies e medida através da soma dos quadrados
dos desvios das observações individuais relativamente às médias dos grupos em
que são classificadas.
Cada grupo se caracteriza por uma soma dos quadrados dos desvios de cada
observações do centróide do mesmo (é uma soma dos numeradores dos
estimadores das variâncias de cada variável dentro do grupo, é também a soma de
distância Mahalanobis do quadrado de cada observação do centróide). A distância
entre dois grupos se define como o aumento que se pronunciaria nesta soma de
quadrados, se ambos os grupos se agregassem para a formação de um único grupo.
O método de Ward é atraente por se basear numa medida com forte apelo
estatístico e por gerar grupos que, assim como os do método vizinho mais longe,
possuem uma alta homogeneidade interna (Barroso & Artes, 2003).
Romesburg (1984) cita as seguintes características desse método:
• Apresenta bons resultados tanto para distâncias Mahalanobis quanto para
outras distâncias;
• Pode apresentar resultados insatisfatórios quando o número de elementos em
cada grupo é praticamente igual;
• Tem tendência a combinar grupos com poucos elementos;
• Sensível à presença de outliers.
18
2.5 Inferência estatística
Apesar das tentativas de construção de vários testes para a confiabilidade
estatística dos agrupamentos, nenhum procedimento totalmente comprovado está
ainda disponível. A ausência de testes adequados provém da dificuldade de
especificação de hipóteses nulas realísticas.
No que se refere aos, enormes problemas associados à inferência estatística
na análise de agrupamentos, os pesquisadores podem lançar mão de alguns
procedimentos práticos para conferir, de maneira superficial, os resultados dessas
análises. Por exemplo, eles podem aplicar duas ou mais rotinas diferentes de
agrupamento ao mesmo conjunto de dados ou realizar a análise de agrupamentos
com os mesmos dados, empregando diferentes medidas de distância e comparando
os resultados por meio de algoritmos e medidas de distância. Pode-se, também,
repartir os dados aleatoriamente em duas metades, realizar agrupamentos
diferentes, e então examinar os perfis médios de valores de cada agrupamento
mediante subamostras. Outra alternativa é deletar diversas colunas (variáveis) nos
dados originais de perfis, calcular as medidas de dissimilaridade entre as colunas
remanescentes, e comparar esses resultados com os agrupamentos encontrados
por meio do uso do conjunto total de colunas (variáveis). Outra abordagem de
validação seria a utilização de procedimentos de simulação que empreguem
geradores de números aleatórios para criar um conjunto de dados com propriedades
que combinem com aquelas dos dados originais, mas não contenham nenhum
agrupamento. Em seguida, aplicam-se os métodos de agrupamento nos dados reais
e nos artificiais, e comparam-se as soluções resultantes (Aaker et al., 2001).
2.6 Bootstrap
O “bootstrap” é uma técnica estatística computacionalmente intensiva que
permite a avaliação da variabilidade de estatística, com base nos dados de uma
única amostra existente. Essa técnica foi introduzida por Efron (1979), e, desde
então, tem merecido profundo estudo por parte dos estatísticos que trabalha com
análise multivariada, não só na parte teórica, como também na aplicada.
Na estatística, as situações difíceis podem ser vistas como os problemas de
soluções analíticas complexas, e as variadas soluções possíveis seriam a utilização
19
de uma metodologia com grande quantidade de cálculos, para analisar um pequeno
conjunto de dados. A solução para esses casos, com o uso de métodos
computacionalmente intensivos, é obtida substituindo-se o poder analítico das
expressões teóricas pelo poder de processamento dos computadores.
A idéia chave do método é a amostra “bootstrap”, que é retirada da amostra
original com reposição. Dessa forma, todo resultado “bootstrap” depende
diretamente da amostra original observada, isto é, os resultados “bootstrap” são
robustos para a amostra original. Algumas considerações de regularidade sob as
quais esse método é consistente foram discutidas por Bickel & Freedman (1981). Os
conceitos básicos, propriedades teóricas e aplicações podem ser encontrados em
Efron & Tibishirani (1993).
O “bootstrap” pode ser implementado tanto na estatística não paramétrica
quanto na paramétrica, dependendo apenas do conhecimento do problema. No caso
não-paramétrico, o método “bootstrap” reamostra os dados com reposição, de
acordo com uma distribuição subjacente aos dados. No caso paramétrico, quando se
tem informação suficiente sobre a forma da distribuição dos dados, a amostra
“bootstrap” é formada realizando-se a amostragem diretamente nessa distribuição
com os parâmetros desconhecidos substituídos por estimativas paramétricas. A
distribuição da estatística de interesse aplicada aos valores da amostra “bootstrap”,
condicional aos dados observados, é definida como a distribuição “bootstrap” dessa
estatística.
Operacionalmente, o procedimento “bootstrap” consiste na reamostragem de
mesmo tamanho e com reposição dos dados da amostra original (Figura 1), e
cálculo da estatística de interesse para cada reamostra “bootstrap” (pseudo-dados).
20
Conjunto de dados (amostra original)
↓
Descrição das espécies (Matriz Mahalanobis)
↓
Análise de agrupamento (Métodos)
↓
Analisam-se os resultados
↓
Repete-se o processo B vezes
(calculo da Estatística bootstrap)
↓
Analisam-se os resultado
Figura 1 - Diagrama esquemático ilustrando a construção da distribuição “bootstrap”.
Na prática constrói-se a distribuição “bootstap” por Monte-Carlo com
um número de repetições B, suficientemente grande. Um indicador do tamanho
adequado de B, independente do custo computacional, é a qualidade da
convergência da estimativa “bootstrap” do parâmetro para estimativa natural do
parâmetro (Lavaranti, 2003).
O método mais simples para estimar intervalos de confiança por “bootstrap” é
o método percentil. Esse método consiste em encontrar a distribuição F ”bootstrap” e
calcular os percentis da distribuição que correspondem aos limites inferiores
e
superiores, respectivamente, do intervalo de confiança (Efron & Tibshirani, 1993).
Uma versão melhorada desse método é chamada Bca, que é uma abreviação de
(“bias – corrected and accelerated”). O intervalo Bca é um intervalo rigorosamente
exato naquelas situações em que a estatística teórica tem uma resposta exata
adaptada de Araújo (2003), dando uma precisão na estimação dos intervalos
21
confiança em todas as situações para dados obtidos da distribuição “bootstrap”
(Diciccio & Efron, 1996).
Finalmente, a grande vantagem dos procedimentos estatísticos “bootstrap” é
a estimação da precisão de qualquer estatística (multivariada na análise de
agrupamento) com a comparação dos métodos. Esses métodos começaram a se
tornar ferramentas bastante úteis e poderosas na construção de procedimentos
estatísticos, evitando obtenção de fórmulas via argumentos analíticos.
2. 7 Correlação Cofenética
A correlação cofenética é uma medida de validação utilizada, principalmente,
nos métodos de agrupamento hierárquicos. A idéia básica é realizar uma
comparação entre as distâncias efetivamente observadas entre os objetos e
distâncias previstas a partir do processo de agrupamento (Barroso & Artes, 2003).
A correlação cofenética mede o grau de ajuste entre a matriz de
dissimilaridade original (matriz D) e a matriz resultante da simplificação
proporcionada pelo método de agrupamento (matriz C). No caso, C é aquela obtida
após a construção do dendrograma. Tal correlação foi calculada conforme Bussab et
al., (1990):
∑∑∑∑
∑∑
−
=+=
−
−
=+=
−
−
=+=
−−
=
1
11
2
)(
1
11
2
)(
1
11
)()(
n
i
n
ij
d
ij
d
n
i
n
ij
c
ij
c
n
i
n
ij
d
ij
dc
ij
c
cof
r , em que;
c
i j
= valor de dissimilaridade entre os indivíduos i e j, obtidos a partir da matriz
cofenética;
d
i
j
= valor de dissimilaridade entre os indivíduos i e j, obtidos a partir da matriz de
dissimilaridade;
∑∑
−
=+=
−
=
1
11
)1(
2
n
i
n
ij
ij
c
nn
c ,
22
∑∑
−
=+=
−
=
1
11
)1(
2
n
i
n
ij
ij
d
nn
d .
Nota-se que essa correlação equivale à correlação de Pearson entre a matriz
de dissimilaridade original e aquela obtida após a construção do dendrograma.
Assim quanto mais próximo de 1, menor será a distorção provocada pelo
agrupamento dos indivíduos com os métodos.
Para Bussab et al., (1990), problema é responder se o valor observado é alto
ou baixo?. Responder a isto é tão difícil como responder, na maioria das situações, o
que é um alto coeficiente de correlação entre duas variáveis. Depende da área de
estudo e de padrões que vão se desenvolvendo com a prática. Pode-se adiantar que
em análise de agrupamento, algo em torno de 0,8 já pode ser considerado bom
ajuste.
23
3. MATERIAL E MÉTODOS
3.1 Dados
Neste trabalho foram utilizados dados de um levantamento da vegetação da
mata da Silvicultura (Tabela 1), da Universidade Federal de Viçosa-MG, retirado de
Souza et al. (1997).
Tabela 1
– Densidade de 17 espécies da mata da silvicultura, em parcelas de 20 X
50 m, Universidade Federal de Viçosa – MG
Espécies Parcelas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Casearia decandra Jacq. 8 1 27 0 1 9 2 3 22 15 7
Anadenanthera peregrina Spreg. 0 0 0 0 0 0 12 1 17 1 9
Apuleia leiocarpa (Vog.) Macbr. 3 9 4 6 22 9 5 2 7 4 4
Mabea fistulifera Mart. 6 3 3 4 29 12 0 4 4 4 4
Anadenanthera macrocarpa(Benth.) Brenan. 0 12 0 1 0 0 1 0 2 0 0
Platypodium elegans Vog. 0 0 1 1 9 1 0 0 5 11 1
Machaerium floridum (Benth.) Ducke 0 0 10 1 9 2 1 0 0 11 5
Copaifera langsdorffii Desf. 1 1 0 2 1 13 0 0 0 3 1
Ocotea pretiosa Mez. 2 0 2 2 2 6 0 5 0 2 2
Cabralea cangerana Saldanha 1 0 0 2 0 0 1 6 2 3 1
Piptadenia gonoacantha Macbr. 0 0 0 0 0 0 6 0 1 0 5
Dalbergia nigra Allem. Ex Benth. 5 0 7 0 5 0 0 0 0 1 0
Luehea divaricata Mart. 7 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
Melanoxylon brauna Schott. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1
Cedrela fissilis Vell. 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Croton floribundus Spreng. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Fonte: Souza et al. (1997)
Considerando que a densidade da espécie é uma variável quantitativa
discreta, os dados originais da matriz foram transformados por meio de raiz
quadrada, para tornar a sua distribuição mais apropriada a uma análise de
agrupamento.
24
3.2 Métodos Estatísticos
Com proposta de metodologia estatística para análise de agrupamento se
considerou a seguinte ordem: processo reamostragem “bootstrap” na matriz de
dados originais, cálculo da matriz de distância, considerando-se a distância de
Mahalanobis, utilização dos algoritmos ligação simples, ligação completa, do
centróides, da mediana, das distâncias médias e de Ward, dendrogramas, tabelas
de contingências, e teste χ para comparação dos métodos.
2
3.2.1 Estabilidade via método “bootstrap”
Para se estabilizar os métodos em análise de agrupamentos via bootstrap,
foram seguidos os seguintes passos:
1. Considerou-se a seguinte matriz X, denominada de matriz de dados ou
matriz original (primaria).
=
(nxp)
X
xxx
xxx
xxx
pnpp
n
n
.............
...
...
............
............
21
22221
11211
Em que i = 1, 2 ,....., p espécie na amostra e j = 1, 2,....,n parcelas.
2. Com a matriz primária, encontrou-se a matriz de distância Mahalanobis, para
aplicação dos algoritmos de agrupamento.
3. De posse da matriz de Mahalanobis, aplicou-se “bootstrap” e calculou-se uma
nova matriz de distância Mahalanobis para aplicação dos algoritmos de
agrupamento e comparação com a aplicação do item 2.
25
4. Construção de Tabelas de contingência 2x2 para comparação entre
algoritmos de agrupamentos (número de observações que se agrupam no
mesmo grupo para o mesmo número de grupo).
100%
grupos de Número
sobservaçõe de Número
mPorcentage ⋅=
5. Conforme Jairo & Gilberto (1996) foi utilizado o indicador do grau de
associação entre dois métodos analisandos dados por:
Ncalculado
2
χ
calculado
2
χ
C
+
=
Esses coeficiente podem variar entre [0 , 1], estando mais associados os
métodos quanto maior é o valor de C.
3.2.2 Medida de distância
Como medida de dissimilaridade foi utilizada a distância de Mahalanobis (D
2
)
calculada conforme a seguinte expressão:
D
2
= (
X
~
i
-
X
~
j
)’ . ∑
-1
. (
X
~
i
-
X
~
j
),
em que D
2
= d ( X
~
i
- X
~
j
); ∑
-1
é a inversa da matriz de covariância residual de X, e
D
2
tem a característica de ser invariante para qualquer transformação linear não-
singular. Ao contrário da distância Euclidiana, D
2
pode ser utilizada quando existe
correlação entre as variáveis. Sendo os coeficientes de correlação nulos, o valor de
D
2
equivale à distância Euclidiana para variáveis padronizadas.
3.2.3 Algoritmos de agrupamento
Foram utilizados os seguintes algoritmos de agrupamento, por serem os mais
usados na prática pela facilidade de serem encontrados nos mais diversos
programas computacionais, tais como:
26
a) Método da Ligação Simples ou do Vizinho mais Próximo (Single Linkage)
De posse da matriz primária de dados X (n x p), o método de ligação simples
foi resolvido na seguinte seqüência de cálculos:
1. Com base na matriz de Mahalanobis original ou estabilizada via bootstrap
foram determinados os valores da função de agrupamento d
ij
, que foram
representados na forma matricial (D
1
);
2. Localizou-se o valor mínimo de d
ij
> 0. Os elementos E
i
e E
j
,
correspondentes a este valor, foram reunidos em um mesmo grupo, ficando
(n-1) agrupamentos remanescentes;
3. Com base na matriz de distância inicial (D
1
), determinou-se a distância
entre o novo agrupamento e os demais elementos, por meio da relação:
d
(i,j) l
= min (d
i1
, d
i2
), l = 1, (n-2)
l ≠ i ≠ j
e construiu-se nova matriz de distância (D
2
).
4. Localizou-se em D
2
, o menor valor de d
ij
> 0 e, em seguida, agrupou-se os
elementos que deram origem a esta nova distância, formando-se novo
agrupamento. Neste passo, têm-se (n-2) agrupamentos.
5. Compôs-se nova matriz de distâncias, baseando-se na matriz de distância.
Para isto, calculou-se a distância entre agrupamento formado na etapa
anterior e os demais, considerando-se um elemento isolado de E como um
agrupamento. Retornou-se a seguir a etapa 4.
Os processos foram repetidos até que todos os 11 elementos de E fossem
alocados a um só agrupamento.
b) Método da Ligação Completa ou do Vizinho mais Longe (complete linkage)
Dados n elementos e se admitindo conhecidos os n(n-1)/2 valores de uma
função de agrupamentos, d
ij
, i = j = 1, 2.... n, apresentados na forma de uma D, este
método pode ser sintetizado, segundo Gama (1980) e Mardia et al, (1997), nas
seguintes etapas:
1.Determinou-se, com base na matriz de Mahalanobis, o conjunto de valores
de uma função de agrupamento. Estes valores constituem medida de
distância estatística (D) que formam a matriz D
1
;
27
2. Decidiu-se o valor mínimo de d
ij
, sendo, os elementos E
i
e E
j
reunidos num
primeiro grupo. Então se pressupõe que os (n-2) elementos restantes
constituíssem, cada um, um agrupamento distinto;
3. Com base na matriz D
1
, determina-se a distância entre cada um dos (n-2)
elementos e o novo agrupamento formado pelos elementos (E
i
, E
j
). Esta
distância é calculada pela relação:
d
(i, j) l
= máx (d
i1
, d
jl
), l = 1, (n-2).
l ≠ i ≠ j
Sendo estas distâncias reunidas numa matriz D
2
4. Determina-se, com base na matriz D
2
, o maior valor d
ij
, agrupando-se os
elementos correspondentes, dando origem a um novo agrupamento, e, então
obtendo-se (n-2) agrupamentos;
5. Construiu-se um novo conjunto de valores de distâncias com base na
matriz D
2
(interação anterior), entre o novo agrupamento e os demais.
c) Método do Centróide.
Seja X (n x p) a matriz de dados básicos em que cada linha representa o
conjunto de valores observados para cada espécie, e cada coluna representa uma
parcela de área fixa ou variável.
Este algoritmo pode ser desenvolvido nas seguintes etapas:
1. Com base na matriz de dados e em uma função de agrupamentos, calcula-
se as distâncias (d
ij
) entre as parcelas (i, j), i = 1, 2...., n. Esses dados são
reunidos numa matriz de distâncias (D).
2. A primeira operação em D, consiste em procurar pelo menor valor de d
ij
,
excluindo os valores de d
ij
em que i = j, ou seja, excluir-se os elementos da
diagonal principal. Os elementos X
i
e X
j
cuja similaridade é maior, são
reunidos num mesmo agrupamento.
3. Em seguida, calcula-se uma nova matriz de distância e identificou-se os
elementos do agrupamento mais próximo, e se constrói um novo
agrupamento, Segundo Lance e Williams (1967) as distâncias podem ser
obtidas através da seguinte expressão:
28
()
ij
d
j
n
i
n
j
n
i
n
kj
d
j
n
i
n
j
n
ki
d
j
n
i
n
i
n
ijk
d
⋅
+
−⋅
+
+⋅
+
=
2
.
)(
em que:
d
k(ij)
, d
ki
, d
kj
e d
ij
= distâncias Mahalanobis entre os elementos k e
agrupamento ij, k e i, k e j, e i e j, respectivamente.
n
i
, n
j
e n
k
= número de elementos nos grupamentos i, j e k, respectivamente.
4. Verifica-se se o número de agrupamentos determinados é igual ao valor
fixado, g ≤ n, se fosse verdade, termina-se o processo, caso contrário,
retorna-se ao item 2.
d) Método da Mediana
Esse algoritmo foi desenvolvido nas seguintes etapas:
1. Com base na matriz de dados e em uma função de agrupamentos, calcula-
se as distâncias (d
ij
) entre as parcelas (i, j), i = 1, 2,...., n, Estes dados são
reunidos numa matriz de distâncias (D).
2. A primeira operação em D, consistiu em procurar menor valor de d
ij
,
excluindo os valores de d
ij
onde i = j, ou seja, excluir os elementos da diagonal
principal, Os elementos (parcelas) X
i
e X
j
cuja dissimilaridade é menor são
reunidos num mesmo agrupamento.
3. Em seguida é calculada uma nova matriz de distância e identificou-se os
elementos do agrupamento mais próximo, constroem-se um novo
agrupamento. Segundo Lance e Williams (1967), as distâncias podem ser
obtidas através da seguinte expressão:
ijkjkiijk
dddd
⋅
−⋅
+⋅
=
4
1
2
1
2
1
)(
em que:
d
k (ij)
, d
ki
, d
kj
e d
ij
= distâncias Mahalanobis entre os elementos k e
agrupamento ij, k e i, k e j, e i e j, respectivamente.
29
n
i
, n
j
e n
k
= número de elementos nos grupamentos i, j e k, respectivamente.
4 Verifica -se se o número de agrupamentos determinados era igual ao valor
fixado, g ≤ n, Se for verdade, termina-se o processo, caso contrário, retorna-
se ao item 2.
e) Método das Médias das distâncias (da Média de agrupamento)
O método pode ser resumido nos seguintes passos:
1. Determina-se a matriz de distâncias inicial.
2. Localiza-se os dois elementos que apresentam a menor distância,
reunindo em um único grupo.
3. Calcula-se a distância entre os diversos pares de grupos como sendo a
média das distâncias entre todos os pares de seus elementos, sendo um
elemento de cada um dos grupos.
4. Os dois grupos que apresentam menor distâncias são reunidos em um
único grupo.
5. Se o número de grupos obtidos é igual a um número g ≤ n, o processo
termina caso contrario, retorna-se ao passo 3.
Esta fórmula fornece das Médias das distâncias.
kj
d
ni
n
j
n
ki
d
j
n
i
n
i
n
ji
k
j
⋅
+
+
⋅
+
=
∗
),(
d
em que:
*
k(ij),
d
d
ki
e d
kj
= distâncias entre os elementos k e agrupamento ij, k e i, k
e j, e i e j, respectivamente.
n
i
e n
j
= número de elementos nos grupamentos i e j, respectivamente.
30
f) Método de Ward
Segundo Orlóci (1978), o algoritmo de Ward pode ser resumido nas seguintes
etapas:
1. Determina-se a matriz de distâncias e localiza-se os dois agrupamentos
para os quais d
ij
é mínimo;
2. Reúne-se estes agrupamentos, formando um novo agrupamento, e se
verifica, se o número de agrupamentos (g) já foi alcançado, senão, segue-se
à etapa 3, caso contrário, termina-se a análise;
3. Calcula-se o valor do aumento a ser obtido na soma dos quadrados pela
reunião de qualquer dos agrupamentos: I = (1/2), d
pq
.
4. Determina-se os dois agrupamentos que apresentam um menor incremento
na matriz D, isto é, Min (I
ij
) e volta-se à etapa 2.
Este método tem como função de agrupamentos a distância Mahalanobis e o
critério de agrupamento é dado pelo valor do incremento, que se obtém na
soma de quadrados do erro.
Observação:
,
2
)
k
X -
p
(X
2
pk
d
=
é a distância entre as médias dos elementos de G
p
e G
k
sendo G
p
e G
k
, respectivamente, os grupos p e k,
,
pk
kp
kp
pk
d
NN
NN
I
⋅
+
⋅
=
em que as reuniões dos agrupamentos G
p
e G
k
será feita
se I
pk
= mínimo.
Admita-se que para o agrupamento G
p
∪ G
k
= G
r
, o incremento na soma das
médias do erro é dado por:
,
tr
rt
rt
tr
d
nn
nn
I ⋅
+
⋅
=
onde
2
)(
2
r
X
t
X
tr
−=d
Podendo ser escrita por:
31
p
k
r
kp
tk
r
k
tp
r
p
tr
d
n
nn
d
n
n
d
n
n
d
⋅
⋅
−⋅+⋅=
2
,
Substituindo-se cada distância, em função do número de elementos, do
agrupamento, obteve-se:
[]
pk
I
r
n
tk
I
k
n
t
n
tp
I
p
n
t
n
r
n
t
n
tr
I ⋅−⋅++⋅+⋅
+
= )()(
1
Ou ainda, considerando d , tem-se:
tptp
I.2=
[]
pk
d
t
n
kt
d
k
n
t
n
tp
d
p
n
t
n
r
n
t
n
tr
d
−+++
+
=
.)().(
1
3.2.4 Dendrogramas
A seqüência de fusão dos agrupamentos é representada graficamente nos
dendrogramas, que foram divididas com a estatística descritiva usando o percentil,
com um corte de 50% da distância Mahalanobis, para determinar o número de
grupos. Os dendrogramas são construídos usando o programa computacional
Minitab. Os diferentes dendrogramas obtidos são então comparados para
possibilitar a análise da associação entre métodos.
3.2.5 Correlação Cofenética
Para os diversos métodos de agrupamento utilizados foram obtidas as
respectivas matrizes cofenéticas resultantes da simplificação proporcionada pelo
método. A matriz cofenética foi obtida após a construção do dendrograma. Com
base nas matrizes de dissimilaridade original e cofenética, foi obtida a correlação
cofenética conforme a expressão (Bussab et al., 1990):
32
∑∑∑∑
∑∑
−
=+=
−
−
=+=
−
−
=+=
−−
=
1
11
2
)(
1
11
2
)(
1
11
)()(
n
i
n
ij
d
ij
d
n
i
n
ij
c
ij
c
n
i
n
ij
d
ij
dc
ij
c
cof
r , em que;
c
i j
: valor de dissimilaridade entre os indivíduos i e j, obtidos a partir da matriz
cofenética;
d
i
j
: valor de dissimilaridade entre os indivíduos i e j, obtidos a partir da matriz
de dissimilaridade;
∑∑
−
=+=
−
=
1
11
)1(
2
n
i
n
ij
ij
c
nn
c ,
∑∑
−
=+=
−
=
1
11
)1(
2
n
i
n
ij
ij
d
nn
d .
Nota-se que essa correlação equivale à correlação de Pearson entre a matriz
de dissimilaridade original e aquela obtida após a construção do dendrograma.
Assim quanto mais próximo de 1, menor será a distorção provocada pelo
agrupamento dos indivíduos com os métodos.
3.2.6 Distorção entre a matriz de dissimilaridade e matriz cofenética
O grau da distorção (1 – α) foi calculado conforme Kruskal (1964):
∑∑
∑∑
−
=+=
−
=+=
=
1
11
1
11
n
i
n
ij
ij
d
n
i
n
ij
ij
c
α ,
em que:
ij
c : valor de dissimilaridade entre os indivíduos i e j, obtidos a partir da matriz
cofenética;
ij
d : valor de dissimilaridade entre os indivíduos i e j, obtidos a partir da matriz
de dissimilaridade.
33
Esse parâmetro mede a distorção entre a matriz original e bootstrap e aquela
obtida após a construção do dendrograma.
3.2.7 Tabelas de contingência
Foram construídas tabelas de contingência bi-dimensional (Tabela 2), na qual
uma amostra de N observações foi classificada com relação os dois métodos de
agrupamentos aplicados. Desta forma pôde-se cruzar as diversas características
relevantes aos métodos pesquisados com diversas variáveis, tomadas duas a duas.
Cada uma das células (n
11
, n
12
, n
ij
, etc.) representou a associação ou a contagem de
grupos em cada um dos métodos aplicado.
Tabela 2. Forma geral de uma tabela de contingência de duas dimensões
Método I Método J Total
1 2 j ... J
1 n
11
n
12
n
1j
... n
1J
n
1
2 n
21
n
22
n
2j
... n
2J
n
2
... ... ... ... ... ... ...
i n
i1
n
i2
n
ij
... n
iJ
n
i
... ... ... ... ... ... ...
I n
I1
n
I2
n
Ij
... n
IJ
n
I
Total n
.1
n
.2
n
.j
... n
.J
N
Fonte: modificado de Everitt (1992)
3.2.7.1 Independência e associação entre métodos
Para a detecção de associação entre os métodos, ou seja, saber se as
diferenças observadas entre métodos são significativas o suficiente para serem
atribuídas a outros fatores que não aleatórios, foi aplicado o teste qui-quadrado
(
) por meio da expressão:
2
χ
∑
=
esperada freqüência
esperada) frequência-observadaa(frequênci
2
χ
34
onde:
N
CL
esperada freqüência
∑∑
=
em que:
L = número de categorias da variável disposta na linha da tabela de contingência;
C = número de categorias da variável disposta na coluna da tabela de contingência.
O método usado para decidir se o teste
é independente ou se não estão
associado (ou seja se é possível ou não rejeitar a hipótese de nulidade, H
2
χ
2
χ
0
), foi
baseado na distribuição de probabilidade para sob a pressuposição de que a
hipótese nula é verdadeira. Dessa forma, quando a estatística
calculada foi maior
do que o valor tabulado para um determinado nível de significância, H
2
χ
0
foi rejeitada.
Caso contrário, a hipótese nula não foi rejeitada.
O número de graus de liberdade (GL), para decidir quando o valor de
obtido de alguma tabela de contingência leva a uma rejeição ou não da hipótese
nula, foi assim definido:
2
χ
GL = (L –1) (C – 1)
Todas os gráficos e as análises, ao longo deste trabalho foram
implementados através dos programas computacionais EXCEL, STATISTICA,
MINITAB e a construção de um programa na linguagem C.
35
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
4.1 Análise de agrupamento a partir da matriz de Mahalanobis original
Com base na matriz de dissimilaridade de Mahalanobis obtida a partir dos
dados originais (Tabela 3) foram aplicados os métodos da ligação simples, da
ligação completa, do centróide, da mediana, da média das distâncias e de Ward e
obtidos os respectivos dendrogramas (Figuras de 2 a 7).
Tabela 3. Matriz de distância Mahalanobis dos dados originais para as 11 parcelas
da Mata da Silvicultura, da Universidade Federal de Viçosa - MG
Parcela 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 00,00 16,81 20,01 15,93 20,35 14,40 19,50 13,37 20,11 18,53 17,66
2 00,00 18,50 7,721 18,51 13,81 18,80 18,59 15,59 20,89 19,03
3 00,00 17,68 20,80 18,21 22,27 20,08 18,48 20,55 19,10
4 00,00 12,57 10,32 16,73 7,092 14,54 15,04 13,84
5 00,00 17,65 22,86 20,99 19,20 20,37 17,55
6 00,00 19,90 16,21 16,89 18,27 13,12
7 00,00 20,02 17,36 22,69 16,47
8 00,00 15,11 18,29 14,05
9 00,00 14,87 13,20
10 00,00 11,90
11 00,00
Embora a estrutura geral dos agrupamentos seja bastante similar, pode-se
observar que há pequenas alterações nos níveis em que os indivíduos são
agrupados, ou seja, os indivíduos que estão dentro de um mesmo grupo podem ser
agrupados em outra ordem, quando se mudam os métodos.
Pode-se observar que há divergências entre os métodos, corroborando com a
afirmativa de Johnson & Wichern (1992), de que dificilmente os dendrogramas
obtidos por métodos de agrupamentos diferentes sejam semelhantes. No entanto,
segundo Bussab et al. (1990), a grande vantagem do dendrograma é permitir
observar graficamente o quanto é necessário “relaxar” o nível de dissimilaridade
para considerar grupos próximos.
36
7
9
1
1
1
0
5
6
8
4
2
1
3
Ligação simples
Distância
50%
Figura 2 – Dendrograma representando as seqüências das fusões das parcelas,
obtidas pelo emprego do método da ligação simples, com base na distância
Mahanalobis dos dados originais.
1
1
1
0
9
5
3
6
2
7
8
4
1
Ligação completa
Distância
50%
Figura 3 – Dendrograma representando as seqüências das fusões das parcelas,
obtida pelo emprego do método ligação completa, com base na distância
Mahalanobis dos dados originais.
37
7
5
1
0
9
1
1
6
8
4
2
1
3
Centróide
Distância
50%
Figura 4 – Dendrograma representando as seqüências das fusões das parcelas,
obtida pelo emprego do método da centróide, com base na distância Mahalanobis
dados originais.
7
5
1
0
9
1
1
6
8
4
2
1
3
Mediana
Distância
50%
Figura 5 – Dendrograma representando as seqüências das fusões das parcelas,
obtido pelo emprego do método mediana, com base na distância Mahalanobis dos
dados originais.
38
7
5
1
1
1
0
9
6
8
4
2
1
3
Médias das distâncias
Distância
50%
Figura 6 – Dendrograma representando as seqüências das fusões das parcelas,
obtida pelo emprego do método das médias da distância, com base na distância
Mahalanobis dos dados originais.
1
1
1
0
9
7
5
3
8
4
6
2
1
Ward
Distância
50%
Figura 7 – Dendrograma representando as seqüências das fusões das parcelas,
obtidas pelo emprego do método do Ward, com base na distância Mahalanobis dos
dados originais.
39
De forma geral os dendrograma apresentaram estruturas de agrupamentos de
objetos homogêneos, embora não exista um critério objetivo para determinar um
ponto de corte no dendrograma, ou seja, para determinar quais os grupos foram
formados.
Para os dendrogramas obtidos a partir dos métodos ligação simples (Figura
2), ligação completa (Figura 3), centróide (Figura 4), mediana (Figura 5), médias das
distâncias ((Figura 6) e Ward ((Figura 7), observa-se que eles foram cortados
utilizando-se a medida do percentil, com um corte de 50% da distância Mahalanobis,
observando-se que nos métodos ligação simples e Ward, ligação completa, mediana
e médias das distâncias, e centróide foram obtidos nove, dez e onze grupos,
respectivamente.
Para dados originais no grupo I, verificou-se que os métodos (médias das
distâncias e mediana, médias das distâncias e ligação completa, mediana e ligação
completa), formaram dez agrupamentos, com semelhança de 100%, e os métodos
do grupo II (Medias das distâncias e centróide, centróide e mediana, centróide e
ligação completa, médias das distâncias e ligação simples, médias das distâncias e
Ward, mediana e ligação simples, mediana e Ward, ligação simples e ligação
completa, ligação completa e Ward), com 86% e 84% de semelhança e o III grupo
com os métodos (centróide e ligação simples, centróide e Ward, ligação simples e
Ward) com 80%, 70% e 67% de semelhança respectivamente (Tabela 4).
Tabela 4.- Porcentagem de grupos coincidentes entre métodos de agrupamento,
com base na matriz de Mahalanobis dos dados originais, (nível de significância do
teste de independência do
), a partir da tabela de contingência e do grau de
associação
2
χ
Métodos Médias das
distâncias
Centróide Mediana Ligação
simples
Ligação
completa
Centróide 86%
(0,58)
Mediana 100%
(0,71)
86%
(0,58)
Ligação
simples
84%
(0,57)
80%
(0,52)
84%
(0,59)
Ligação
Completa
100%
(0,71)
86%
(0,58)
100%
(0,71)
84%
(0,57)
Ward
84%
(0,57)
70%
(0,38)
84%
(0,57)
67%
(0,61)
84%
(0,57)
Entre parentes - nível de significância do teste de independência do .
2
χ
40
Observa-se ainda que os resultados de associação dos métodos foram
semelhantes e o nível de significância relativamente alto, sendo possível concluir
que, em principio qualquer algoritmo de agrupamento estudado está estabilizado e
existem, de fato, grupos entre os indivíduos observados e que existe estabilidade
entre os métodos.
Quanto aos resultados da qui-quadrado (Tabela 5) para um nível de
significância de 1% e 5% e de um grau de liberdade é igual 3,84 e 6,64
respectivamente, que não deixa dúvida que se pode rejeitar H
0
, isto é, concluindo-se
com risco de 1% e 5% que os métodos são dependentes, ou estão associados,
excluindo-se os métodos do centróide e Ward.
Tabela 5 - Resultados dos dados originais com associação dos métodos obtidos a
partir da qui-quadrado
Método Médias das
distâncias
Centróide Mediana Ligação
simples
Ligação
completa
Centróide 10,84
Mediana 20,00 10,82
Ligação simples 8,99 7,60 10,42
Ligação Completa 20,00 10,82 20,00 9,00
Ward 9,00 3,43 9,00 11,00 9,00
4.2. Análise de agrupamento a partir da matriz de Mahalanobis via “bootstrap”
Com base na matriz de dissimilaridade de Mahalanobis obtida via bootstrap
(Tabela 6) foram aplicados os métodos da ligação simples, da ligação completa, do
centróide, da mediana, da média das distâncias e de Ward e obtidos os respectivos
dendrogramas (Figuras de 8 a 13).
Com base na análise dos dendrogramas formado pelos métodos, verificou-se
que, com um corte de 50% nas matrizes de distância, foram formados três grupos
tantos para os dados originais como para os dados da reamostragem “bootstrap”.
41
Tabela 6. Matriz de Mahalanobis obtida via reamostragem “bootstrap” após com
10000 iterações
Parcelas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 00,00 20,01 14,40 20,11 16,81 17,66 20,35 17,66 19,50 16,81 20,11
2 00,00 18,51 18,50 18,80 15,59 18,59 15,59 19,03 20,89 18,51
3 00,00 20,80 18,21 20,80 19,10 19,10 20,08 22,27 19,10
4 00,00 12,57 14,54 10,32 16,73 16,73 13,84 7,092
5 00,00 17,55 20,99 19,20 19,20 20,99 17,65
6 00,00 16,21 19,90 19,90 16,21 16,21
7 00,00 22,69 22,69 16,47 16,47
8 00,00 14,05 14,05 18,29
9 00,00 13,20 14,87
10 00,00 11,90
11 00,00
Embora não exista um critério objetivo para determinar um ponto de corte no
dendrograma, ou seja, para determinar quais os grupos foram formados, os
dendrogramas obtidos a partir dos métodos com a reamostragem bootstrap com
10000 interações, foram cortados utilizando-se a medida percentil, com um corte de
50% na matriz de distância, observando-se que as Figuras 10 e 11, obtiveram onze
grupos, e as Figuras 8, 9 e 12, obtiveram dez grupos e a Figura 13, obteve a
formação de nove grupos.
Para os dados de reamostragem “bootstrap”, no grupo I, verificou-se que os
métodos médias das distâncias e ligação simples, médias das distâncias e ligação
completa, com dez grupos, centróide e mediana com onze grupos, com 100%
semelhança, grupo II com os métodos médias das distâncias e centróides, médias
das distâncias e mediana, centróide e ligação simples, centróide e ligação completa,
mediana e ligação simples, mediana e ligação completa com 86% de semelhança e
os métodos médias das distâncias e Ward, ligação simples e Ward, ligação completa
e Ward, com 84% de semelhança e o III grupo com os métodos ligação simples e
ligação completa com 80% de semelhança e centróide e Ward, mediana e Ward com
70% de semelhança (Tabela 7). Estes resultados demonstraram que existe boa
possibilidade de estabilidades entre os métodos
42
6
8
9
5
1
0
7
1
1
4
2
3
1
Ligação simples
Diatância
50%
Figura 8 – Dendrograma representando as seqüências das fusões das parcelas,
obtida pelo emprego do método ligação simples, com base na matriz de distância de
Mahalanobis via bootstrap.
1
0
9
8
7
1
1
4
6
2
5
3
1
Ligação completa
Distância
50%
Figura 9 – Dendrograma representando as seqüências de fusão das parcelas, obtida
pelo emprego do método ligação completa, com base na matriz de distância de
Mahalanobis via bootstrap.
43
5
8
9
6
7
1
0
1
1
4
2
1
3
Centróide
Distância
50%
Figura 10 – Dendrograma representando as seqüências de fusão das parcelas,
obtido pelo emprego do método do centróide, com base na matriz de distância de
Mahalanobis via bootstrap.
5
7
6
8
9
1
0
1
1
4
2
1
3
Mediana
50%
Distância
Figura 11 – Dendrograma representando as seqüências de fusões das parcelas,
obtido pelo emprego do método da mediana, com base na matriz de distância de
Mahalanobis via bootstrap.
44
9
8
7
1
0
1
1
4
6
2
5
3
1
Médias das distâncias
Distância
50%
Figura 12 – Dendrograma representando as seqüências das parcelas, obtido pelo
emprego do método das médias das distâncias, com base na matriz de distância de
Mahalanobis via bootstrap.
1
0
9
8
7
1
1
4
6
2
5
3
1
Ward
Distância
50%
Figura 13 – Dendrograma representando as seqüências das parcelas, obtido pelo
emprego do método do Ward, com base na matriz de distância de Mahalanobis via
bootstrap.
45
Tabela 7 - Porcentagem de grupos coincidentes entre métodos de agrupamento,
com base na matriz de Mahalanobis via bootstrap, (nível de significância do teste de
independência do
), a partir da tabela de contingência e do grau de associação
2
χ
Métodos Médias das
distâncias
Centróide Mediana Ligação
simples
Ligação
completa
Centróide
86%
(0,58)
Mediana
86%
( 0,58)
100%
(0,71)
Ligação simples 100%
(0,71)
86%
(0,58)
86%
(0,58)
Ligação Completa 100%
(0,71)
86%
(0,58)
86%
(0,58)
80%
(0,51)
Ward 84%
(0,57)
70%
(0,38)
70%
(0,38)
67%
(0,57)
84%
(0,57)
Entre parentes - nível de significância do teste de independência do
.
2
χ
Verificando que os resultados da qui-quadrado (Tabela 8) para um nível de
significância de 1% e 5% e de um grau de liberdade é igual 3,84 e 6,64
respectivamente, que não deixa dúvida que se pode rejeita-se H
0
, isto é, concluindo-
se com risco de 1% e 5% que os métodos são dependentes, ou estão associados,
excluindo-se os métodos do ( centróide e Ward) e (mediana Ward).
Tabela 8 - Resultados dos dados de reamostragem bootstrap com 10000 interações
com associação dos métodos obtidos a partir da qui-quadrado
Métodos Médias das
distâncias
Centróide Mediana Ligação
simples
Ligação
completa
Centróide 10,82
Mediana 10,82 22,00
Ligação simples 20,00 10,82 10,82
Ligação Completa 20,00 10,82 10,82 7,20
Ward 9,00 3,48 3,46 9,00 9,00
É importante destacar que o fato desse tipo de análise não apresentar um
critério objetivo para identificação dos grupos dificulta muito a interpretação dos
resultados.
46
4.3 Correlação cofenética
Os valores das correlações cofenética (Tabela 9) foram todas de magnitude
elevada, para os dados originais e bootstrap. Isso mostra que há boa representação
das matrizes de dissimilaridade na forma de dendrogramas e que isso independe do
método usado.
Tabela 9 - Correlações cofenética entre as matrizes cofenética e a de dissimilaridade
obtidas conforme método de agrupamento utilizado
Métodos de Agrupamento Matriz
Original Bootstrap
Ligação simples 0,99 0,99
Ligação completa 0,98 0,99
Centróide 0,99 0,99
Mediana 0,99 0,99
Média das distâncias 0,99 0,99
Ward 0,99 0,99
4.4 Distorção entre a matriz de dissimilaridade e a matriz cofenética
Tanto para os dados originais como os obtidos via “bootstrap” (Tabela 10), o
métodos média das distâncias apresentou distorção nula e Ward “bootstrap”
apresentou a maior distorção, corroborando com o observado na análise da
correlação cofenética, ou seja, de que há uma boa representação das matrizes de
dissimilaridade na forma de dendrograma e que isso independe do método usado e
dos dados.
Tabela 10 - Grau de distorção (%) entre as distâncias original e bootstrap e a obtida
por meio dos dendrogramas obtidos conforme método de agrupamento utilizado
Métodos de Agrupamento Matriz
Original Bootstrap
Ligação simples 0,18 0,16
Ligação completa 0,21 0,16
Centróide 0,35 0,36
Mediana 0,26 0,33
Média das distâncias 0,00 0,00
Ward 0,31 0,40
Apesar do presente trabalho não ter como objetivo comparar os métodos de
análise, algumas considerações podem ser feitas. Com base em tudo que foi
47
apresentado, que, de forma geral não se deve utilizar vários métodos de
agrupamento e a comparação posterior dos resultados obtidos, pois este
procedimento é muito vulgarizado (Reis, 1997).
É interessante notar que os métodos dentro de cada categoria possuem
princípios comuns e podem apresentar resultados muito parecidos.
Como já foi dito, existem diferentes distâncias, técnicas e métodos para
agrupar indivíduos. O importante é conhecer suas propriedades, qualidade e
deficiências, pois irá ajudar à escolha daquele que melhor responde ao objetivo do
trabalho.
A principal dificuldade para interpretar os resultados da análise de
agrupamento com construção de dendrogramas se deve ao fato de não haver um
critério objetivo para identificar os grupos formados. Em diversos trabalhos os
pesquisadores têm os seus próprios critérios.
Algoritmos que produzem árvores (dendrograma) são difíceis de analisar na
presença de muitos objetos (Bussab et al., 1990), pois os mesmo dificultam sua
visualização.
Apesar da versatilidade do modelo “bootstrap”, mais pesquisas devem ser
conduzidas visando o pleno entendimento desse fenômeno, tão intrigante nos
programas de análise de agrupamento, que é a interação dos dados. Um dos pontos
que merecem estudos mais detalhados é a definição dos níveis de estabilidade e
dos intervalos de confiança.
Finalmente, é preciso mencionar que a técnica “bootstrap” proposta, exige
esforço computacional. Entretanto, pode ser vantajosa sua utilização quando se
deseja alta qualidade na informação sobre a estabilidade dos dados em estudo.
48
5. CONCLUSÕES
A sistemática proposta é promissora para o estudo e a interpretação da
estabilidade dos métodos em análise de agrupamento, através de vários algoritmos
de agrupamento em dados de vegetação.
Houve correlação entre os métodos de estimação da distância Mahalanobis
baseado na associação da tabela de contingência. Pórem, independente do método
utilizado, mostrou que há significativa estabilidade entre os métodos.
Consideremos que esses resultados preliminares podem orientar pesquisas
futuras no sentido de investigar correlações que podem justificar ou explicar os
diferentes agrupamentos encontrados. Podem, ainda, subsidiar estudos posteriores
sobre fatores críticos na análise de agrupamento.
49
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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