( PDF ) Existência de soluções para uma classe de problemas elípticos via métodos variacionais

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Resumo

Neste trabalho usaremos métodos variacionais para mostrar a existência de solução

fraca para dois tipos de problema. O primeiro consiste num problema não-linear da

forma







−∆u + u = λ

hu + g(x, u), R

u ∈ H

)

tal que N ≥ 3. O segundo, trata-se de uma Equação Diferencial Ordinária do tipo

¨u + G



(u) = f (t).

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Abstract

In this work we use variational methods to show the existence of weak solutions

for two types problems. The ﬁrst of them is a nonlinear problem of the form







−∆u + u = λ

hu + g(x, u), R

u ∈ H

)

where N ≥ 3. The second, is related with a following Ordinary Diﬀerential Equations

of the form

¨u + G



(u) = f (t).

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Universidade Federal de Campina Grande

Centro de Ciências e Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Curso de Mestrado em Matemática

Existência de soluções para uma classe

de problemas elípticos via métodos

variacionais

por

Moisés Dantas dos Santos

sob orientação do

Prof. Dr. Claudianor Olive ira Alves

Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa

de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como

requisito parcial para obtenção do título de Mestre em

Matemática.

Campina Grande - PB

Dezembro de 2005

Existência de soluções para uma classe

de problemas elípticos via métodos

variacionais

por

Moisés Dantas dos Santos

Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em

Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre

em Matemática.

Área de Concentração: Análise

Aprovada por:

————————————————————————

Prof. Dr. Sergio Henrique Monari Soares - USP - São Carlos

————————————————————————

Prof. Dr. Daniel Cordeiro de Morais Filho - UFCG

————————————————————————

Prof. Dr. Claudianor Oliveira Alves - UFCG

Orientador

Universidade Federal de Campina Grande

Centro de Ciências e Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Curso de Mestrado em Matemática

Dezembro de 2005

Agradecimentos

-Primeiramente, agradeço a Deus por toda saúde e coragem que me deu durante este

trabalho.

-Ao professor Claudianor pela sempre atenção, paciência e pelo o exemplo de proﬁs-

sional e pessoa que ele é.

-Ao professor Marco Aurélio pela incasavel atenção e o auxilio dado durante a realiza-

ção deste trabalho.

-Aos professores Daniel Cordeiro e Sergio Henrique por se apresentarem disponível

nesta tarefa de me avaliar, fazendo parte da banca examinadora.

-A todos que fazem parte da minha família, em especial a meu pai que apesar de ser

analfabeto, sempre acreditou e insentivou todos os ﬁlhos ao estudo.

-A minha namorada Tatiana pela compreensão, insentivo e ajuda nos momentos ausentes.

-Aos professores da Pós-Graduação: Aparecido, Claudianor, Daniel Cordeiro e Marco

Aurélio pelas disciplinas que lecionaram e que contribuiram para a formação do meu

conhecimento.

-A todos que fazem parte do departamento de Matemática e Estatística da UFCG.

-Aos meus amigos Orlando e Aldo pelo companherismo, motivação e que indiretamente

contribuiram para a elaboração deste trabalho.

iii

Dedicatória

Ao meu pai e a minha querida

Tatiana.

Conteúdo

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Teorema do Ponto de Sela 11

1.1 Integrais em Espaços de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Equações Diferenciais Ordinárias em Espaços de Banach . . . . . . . . 14

1.3 Teorema de Deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Teorema do Ponto de Sela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Existência de solução fraca para um problema elíptico não-linear em

2.1 Espaços com Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Um Resultado de Imersão Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Um Resultado de Imersão Compacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 O Operador Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Propriedades do Operador Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Propriedades Relacionadas a λ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.7 Existência de Solução fraca para (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.8 Um exemplo para a condição (g

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Teoremas do Passo da Montanha 60

3.1 Condições de Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2 Teoremas do Passo da Montanha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Soluções Periódicas da Equação do Pêndulo Forçado 69

4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Existência de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A Grau topológico de Brouwer 83

B Funcionais diferenciáveis 84

C Operadores Compactos 96

D Resultados utilizados na dissertação 100

Bibliograﬁa 105

Introdução

Nesta dissertação vamos utilizar o s métodos variacionais pa ra determinar soluções

fracas pa ra dois tipos de problemas. O primeiro a ser tratado, é um problema não-linear

do tipo







−∆u + u = λ

hu + g(x, u), R

u ∈ H

)

(P )

onde N ≥ 3, com as funções h : R

−→ R

e g : R

× R −→ R contínuas veriﬁcando

as seguintes condições:

(i) h ∈ L

) ∩ L

∞

);

(ii) Existe Z ∈ L

) ∩ L

∞

) ; Z(x) > 0 ∀ x ∈ R

, satisfazendo

|g(x, t)| ≤ Z(x) ∀ (x, t) ∈ R

× R, (1)

e considere λ

o k-ésimo autovalor associado ao problema







−∆u + u = λhu, R

u ∈ H

)

Além disso, vamos supor que g satisfaz uma das condições (g

) ou (g

−

), listadas abaixo:



G(x, v(x))dx −→ ±∞ quando v −→ ∞ ; v ∈ N

)

sendo N

o auto espaço associado a λ

e G(x, .) =



g(x, τ)dτ designa a primitiva de

g(x, .).

É importante ressaltar, que a primeira versão referente a existência de solução

do problema (P ), para Ω ⊂ R

limitado é devido a Lazer, Ahmad e Paul [3]. O que

ﬁzemos foi completar o resultado provado por eles, considerando o do mínio co mo sendo

o R

. Encontrar uma solução fraca para o problema (P ) equivale a determinar pontos

críticos do funcional energia associado deﬁnido por

Φ : H

) −→ R

u −→ Φ(u) =



(|∇u|

+ |u|

)dx −



hdx −



G(x, u)dx.

Uma das maiores diﬁculdades na pro cura de solução para problemas elípticos em

um domínio não-limitado, como por exemplo o R

, é a falta de imersões compactas do

espaço de Sobo lev H

) nos espaço s L

). Para superar essa diﬁculdade vamos

trabalhar com espaços com peso.

O segundo problema que iremos abordar, trata-se de uma Equação Diferencial

Ordinária do tipo

¨u + G



(u) = f (t) (2)

a qual é de grande importância para a Mecânica e á Física-Matemática. Em particular,

se considerarmos G(u) = −cos u, obtemos a equação do pêndulo forçado

¨u + sin(u) = f(t).

A existência de solução T -periódica para a equação (1), é devido a Ambrosetti-Rabinowitz

[13] e consiste em determinar pontos críticos do funcional energia deﬁnido por

Φ(u) =



[

˙u

− G(u) + fu]dt.

No Capítulo 1 ﬁzemos um breve estudo sobre as integrais e E.D.O’s em es-

paços de Banach, revizando as deﬁnições e as principais propriedades, as quais são

ferramentas de grande importância para entendermos as duas versões do Teorema de

Deformação que foram abordadas neste cápitulo. Como conseqüência, demonstraremos

o Teorema do Ponto de Sela que se rá utilizado no estudo que desenvolvemos no Capí-

tulo 2 procurando solução fraca para o problema (P ).

No Capítulo 2 deﬁnimos espaços com peso e veriﬁcamos que o espaço



, hdx), .

p,h



com 1 ≤ p < ∞ é Banach. Também conseguimos mostrar que se h ∈ L

∞

), então

vale a imersão contínua

) → L

, hdx)

para p ∈ [1, 2

∗

] se N ≥ 3, e que ocorre a imersão compacta com h ∈ L

)∩L

∞

) → L

, hdx)

para p ∈ [1, 2

∗

] se N ≥ 3. Em seguida, ﬁzemos um estudo sobre o operador solução e

algumas de suas propriedades, que serão bastante utilizadas no decorrer deste Capítulo.

Depois destes fatos, voltamos ao problema (P ) e mostramos a existência de solução

fraca.

No Capítulo 3 deﬁnimos algumas condições de compacidade que serão de ex-

trema necessídade na procura de solução fraca para a equação (1). Logo após, demon-

stramos duas versões do Teorema do Passo da Montanha e apartir destas, sob certas

condições conseguiremos garantir que equaçã o (1) tem duas soluções T -periódicas que

não diferem por multiplicidade 2π.

No Capítulo 4 ﬁzemos um breve estudo sobre as séries de Fourier e demon-

stramos alguns resultados básicos. Além disso, mostramos que o espaço vetorial

H =



u : R → R ; u absolutamente contínua, T-periódica e



|˙u(t)|

dt < ∞



é um espaço de Hilbert com relação ao produto interno dado por

(u, v) =



( ˙u ˙v + uv)dt

e que o funcional Φ associado a equação (1) satisfaz a condição Fraca de Palais-Smale

(F P S), deﬁnida no Capítulo 3. Em seg uida, tratamos da existência de solução T -

periódica para a equação

¨u + G



(u) = f (t),

onde G ∈ C

(R, R) é uma função 2π-p eriódica e f ∈ C(R, R) uma função T -periódica.

No Apêndice A deﬁnimos o Grau de Brouwer e suas propriedades que são uti-

lizadas na dissertação.

No Apêndice B deﬁnimos a derivada de Fréchet e mostramos que os funcionais

utilizados na dissertação são de classe C

No Apêndice C mostramos que o operador T : H

) −→ H

), deﬁnido

por T (u) = ∇ψ(u), que foi considerado no Capítulo 2 é co mpacto.

Finalmente no Apêndice D enunciamos os principais resultados utilizados no

decorrer deste trabalho.

Capítulo 1

Teorema do Ponto de Sela

Nosso objetivo neste capítulo é demonstrar o Teorema do Ponto de Sela e, para

isto, usaremos a lguns Teoremas de Deformação e um pouco da Teoria do Grau e suas

propriedades que veremos no decorrer de nosso trabalho. Começamos nosso estudo

veriﬁcando alguns conceitos básicos envolvendo integrais em espaços de Banach.

1.1 Integrais em Espaços de Banach

Nesta seção iremos estudar o conceito de integrais em espaços de Banach e estudar

algumas de suas propriedades que serão utilizadas na demonstração do Teorema de

Deformação. Citamos o livro de Serge Lang [10] para maiores detalhes.

No que segue, G é um espaço vetorial normado completo cuja a norma é denotada

por |.|. Considere E o espaço das funções limitadas de [a, b] em G com a norma

f = sup

x∈[a,b]

|f(x)|.

Sejam a, b números rea is tais que a < b, P uma partição do intervalo [a, b] e considere

a sequência de números (a

, a

, ..., a

) tal que

a = a

≤ a

≤ ... ≤ a

= b

Deﬁnição 1.1 Seja f : [a, b] −→ G uma função. Dizemos que f é uma função escada,

se existem elementos w

, ..., w

∈ G tais que

f(t) = w

para a

i−1

< t < a

; i = 1, ..., n.

Assim, pela deﬁnição acima, f tem valor constante em cada intervalo aberto de-

terminado pela partição.

Deﬁnição 1.2 Seja f uma função escada com respeito a partição P. O valor da integral

de f será deﬁnido por

(f) = (a

− a

+ ... + (a

− a

n−1



i=1

− a

i−1

Proposição 1.3 Suponha que f é uma função escada com respeito a outra partição Q

de [a, b], então

(f) = I

(f).

Demonstração: Primeiro vamos considerar uma partição obtida de P, formada pela

inserção de um novo ponto entre os pontos de P,

= (a

, ..., a

, c, a

k+1

, ..., a

)

com

< ... < a

< c < a

k+1

< ... < a

Além disso, note que

< t < a

k+1

e f(t) = w

k+1

então, f tem valor constante em cada intervalo

< t < c e c < t < a

k+1

Consequentemente, a integral de f com respeito a P

será

− a

+ ... + (c − a

k+1

+ (a

k+1

− c)w

k+1

+ ... + (a

− a

n−1

Assim, esta soma difere da soma dada por I

(f) apenas por um termo (a

k+1

−a

k+1

Observe que

(c − a

k+1

+ (a

k+1

− c)w

k+1

= (a

k+1

− a

k+1

o que implica,

(f) = I

(f).

A partição R é dita um reﬁnamento de P, se cada ponto da partição P é ponto

de R. Inserindo um número ﬁnito de pontos e usando indução, concluímos que R é um

reﬁnamento de P, então

(f) = I

(f).

Aﬁrmação: Se Q é uma outra partição do intervalo [a, b], então P e Q tem em comun

um reﬁnamento.

De fato, se Q = (b

, ..., b

), então podemos inserir indutivamente b

, ..., b

em P, ob-

tendo assim um reﬁnamento, que denotaremos por R. Dessa forma,

(f) = I

(f).



Isto mostra que nossa integral não depende da partição. Vamos denotar a integral de

f por I(f).

É claro que f é limitada, pois f tem um número ﬁnito de valores e a norma de f

será dada por

f = max

∈G

{|w

| ; i = 1, ..., n}.

Assim,

|I(f)| ≤



i=1

− a

i−1

||w

| ≤



i=1

− a

i−1

) f

o que implica,

|I(f)| ≤ (b − a) f.

Agora, vamos enunciar alguns resultados que nã o iremos demonstrar e, apartir

destes, deﬁnir a integral no espaço de Banach.

Lema 1.4 O conjunto das funções escadas f : [a, b] −→ G é um subespaço do espaço de

todas as funções limitadas de [a, b] em G, que denotaremos por S

([a, b], G) . A função

I : S

([a, b], G) −→ G

é linear e limitada, isto é,

|I(f)| ≤ (b − a) f.

Teorema 1.5 Toda função contínua de [a, b] em G pode ser aproximada uniforme-

mente por funções escadas. Além disso, o fecho de S

([a, b], G) contém C ([a, b], G) .

Teorema 1.6 (Extensão Linear) Seja E um espaço vetorial normado, e F um sube-

spaço. Seja L : F −→ G um funcional linear contínuo. Então, L tem uma única

extensão linear contínua L : F −→ G.

Agora, considere

I : S

([a, b], G) −→ G

f −→ I(f) =



f(t)dt.

Considerando F = S

([a, b], G) e I = L, podemos aplicar o Teorema 1.6 com F =

C ([a, b], G) e concluir que existe uma única extensão linear contínua que denotaremos

também por

I : C ([a, b], G) −→ G

f −→ I(f) =:



f(t)dt.

Portanto, pelo Teorema 1.5 e usando o fato de que I(f) é linear e contínua temos

I(f) = lim

n→∞

I(f

) ; f

−→ f, f

∈ S

([a, b], G) .

Assim,



f(t)dt = lim

n→∞



(t)dt.

O próximo Teorema é uma versão do Teorema Fundamental do Cálculo.

Teorema 1.7 Seja f : [a, b] −→ G contínua e F : [a, b] −→ G diferenciável em [a, b]

com F



= f. Então,



f(t)dt = F (b) − F (a).

Corolário 1.8 Se f : [a, b] −→ G é contínua e F (x) =



f(t)dt, então F



(x) = f (x).

1.2 Equações Diferenciais Ordinária s em Espaços de

Banach

Nesta seção iremos fazer um breve estudo sobre as Equações Diferenciais Or-

dinárias em Espaço s de Banach, mais especiﬁcamente sobre o problema de Cauchy.

Vamos enunciar alguns resultados que serão utilizadas na demonstração do Teorema

de Deformação.

Seja U um conjunto aberto em E. Um campo vetorial de classe C

; 1 ≤ p ≤ ∞

em U é uma aplicação f : U −→ E de classe C

Ao campo vetorial f associemos a equação diferencial



(t) = f (α(t)). (∗)

As s oluções desta equação, são, as aplicações diferenciáveis α : J ⊂ R −→ U, onde J é

um intervalo aberto contendo o zero, tais que

dα

(t) = α



(t) = f (α(t))

e satisfazem a condição inicial

α(0) = x

; x

∈ U.

Essas soluções são chamadas trajetórias ou curvas integrais de f ou da equação difer-

encial (∗).

Comentário: Seja α : J −→ U uma função contínua satisfazendo a condição

α(t) = x



f(α(s))ds.

Então, pelo Teorema 1.7



(t) = f (α(t)).

Deﬁnição 1.9 Seja U

um aberto de U contendo x

. A aplicação α : J × U

−→

U; J × U

= {(t, x); x ∈ U

, t ∈ J} chama-se ﬂuxo gerado por f e vale as seguintes

propiedades

(i) α(0, x) = x,

(ii) α(t + s, x) = α(t, α(x + s)),.

Teorema 1.10 Sejam J um intervalo aberto contendo o zero e U um aberto em E;

∈ E, e 0 < a < 1 tais que

) ⊂ U.

Considere f : J × U −→ E uma função contínua, limitada por uma constante c > 0

satisfazendo a condição de Lipschitziana em U com constante de Lipschitz K > 0,

uniformemente com respeito a J. Se b < min





, então existe um único ﬂuxo

α : J

× B

−→ U.

Além disso, se f é de classe C

, então cada curva integral α(t, x) referente a (∗) também

é de classe C

1.3 Teorema de Deformação

Nesta seção vamos demonstrar duas versões do Teorema de Deformação (ver[4])

que serão fundamentais para a demonstração do Teorema do Ponto de Sela. No que

segue, designamos por X um espaço de Banach, φ : X −→ R um funcional de classe

(X, R),

Y = {u ∈ X; φ



(u) = 0}

= {u ∈ X; φ(u) = c, φ



(u) = 0}

o conjunto de todos os pontos críticos no nível c. Denotaremos por φ

o conjunto de

todos os níveis menores ou iguais a c, isto é,

= {u ∈ X; φ(u) ≤ c}

Deﬁnição 1.11 Um campo pseudo-gradiente para φ ∈ C

(X, R) é uma aplicação

localmente lipschitziana v : Y → X tal que, para cada u ∈ Y,

v(u) ≤ 2 φ



(u) (1.1)

φ



(u), v(u) ≥ φ



(u)

. (1.2)

Lema 1.12 Assumindo as condições da Deﬁnição 1.11, existe um campo pseudo-

gradiente para φ em Y.

Demonstração: Seja ˜u ∈ Y, logo φ



(˜u) = 0. Então, existe w = w(˜u) ∈ X com

w = 1 e

φ



(˜u), w >

φ



(˜u).

De fato, desde de que φ



(˜u) é um funcional linear contínuo, tem-se

φ



(˜u) = sup

w=1

φ



(˜u), w. (1.3)

Desde que

φ



(˜u) >

φ



(˜u),

por (1.3) temos que existe (w

) ⊂ X com w

 = 1 tal que

φ



(˜u), w

 −→ φ



(˜u) quando n → ∞.

Assim, existe w = w

para n suﬁcientemente grande tal que

φ



(˜u), w >

φ(˜u). (1.4)

Agora, deﬁna a seguinte função

v : Y −→ X

˜u −→ v(˜u) =

φ



(˜u)w.

Assim,

v(˜u) =

φ



(˜u) < 2 φ



(˜u)

φ



(˜u), v(˜u) =



φ(˜u),

φ



(˜u)w



de onde tem-se

φ



(˜u), v(˜u) =

φ



(˜u)φ



(˜u), w.

Agora, por (1.4) obtemos

φ



(˜u), v(˜u) >

φ



(˜u)φ



(˜u),

consequentemente

φ



(˜u), v(˜u) > φ



(˜u)

Desde que φ



é contínua, existe uma vizinhaça aberta de ˜u em Y que iremos de-

notar por V

˜u

tal que para cada u ∈ V

˜u

tem-se:

v(˜u) < 2 φ



(u) (1.5)

φ



(u), v(˜u) > φ



(u)

(1.6)

Note que a família {V

˜u

; ˜u ∈ Y } é uma cobertura em Y. Além disso, Y ⊂ X

é metrizável, portanto paracompacto, logo existe um reﬁnamento localmente ﬁnito

˜u

}

i∈I

. Desta forma, existe uma partição de unidade contínua e localmente lip-

ischitziana {φ

}

i∈I

subordinada a {V

˜u

}

i∈I

; 0 ≤ φ

≤ 1 e



i∈I

= 1 em Y.

Considere

V (u) =



i∈I

(u)v

; v

= v( ˜u

) ∀ u ∈ Y.

Fixado u ∈ Y , existe J ⊂ I ﬁnito tal que

V (z) =



i∈J

(z)v

∀ z ∈ B

(u).

Mostrando que V é localmente lipschitziana, pois V é soma ﬁnita de funções localmente

lipschitziana φ

(z)v

em B

(u).

Para ﬁxar a idéia, vamos supor J = {1, 2, ..., n

} ; n

= n

(u) e δ = δ(u) portanto,

V (z) =



i=1

(z)v

∀ z ∈ B

(u)

em particular,

V (u) =



i=1

(u)v

consequentemente,

V (u) ≤



i=1

(u) v

.

Assim, usando (1.5) temos

V (u) ≤



i=1

2φ

(u) φ



(u)

o que implica,

V (u) ≤ 2 φ



(u)



i=1

(u),

isto é,

V (u) ≤ 2 φ



(u).

Além disso,





(u), V (u)







(u),



i=1

(u)v



logo





(u), V (u)





i=1

(u)





(u), v



de onde obtemos por (1.6)





(u), V (u)



≥



i=1

(u)





(u)



ou seja,





(u), V (u)



≥





(u)





i=1

(u).

Assim





(u), V (u)



≥





(u)



mostrando que existe um campo pseudo-gradiente para φ. 

Agora, vamos deﬁnir o conjunto S

o qual usaremos na demonstração do próximo

teorema.

Deﬁnição 1.13 Dados um subconjunto S ⊂ X e δ > 0, designamos por S

a vizin-

hança fechada de S deﬁnida por

= {u ∈ X; d(u, S) ≤ δ}.

Teorema 1.14 Seja X um espaço de Banach e φ : X −→ R um funcional de classe

(X, R). Suponha que S ⊂ X, c ∈ R e , δ > 0 são tais que

φ



(u) ≥

4

(1.7)

para todo u ∈ φ

−1

([c − 2, c + 2]) ∩ S

2δ

. Então, existe η ∈ C([0, 1] × X, X) tal que,

para todo u ∈ X e t ∈ [0, 1], tem-se:

(i) η(0, u) = u,

(ii) η(t, u) = u se u /∈ φ

−1

([c − 2, c + 2]) ∩ S

2δ

(iii) η(1, φ

c+

∩ S) ⊂ φ

c−

∩ S

(iv) η(t, .) : X −→ X é um homeomorﬁsmo.

Demonstração: Deﬁnindo

A = φ

−1

([c − 2, c + 2]) ∩ S

2δ

B = φ

−1

([c − , c + ]) ∩ S

Y = {u ∈ X; φ



(u) = 0},

temos

B ⊂ A ⊂ Y.

Além disso, considere v : Y −→ X um campo pseudo-gradiente para φ e 0 ≤ ρ ≤ 1

uma função localmente lipschitziana (ver [9]) deﬁnida por

ρ : X −→ R

u −→ ρ(u) =

d(u,X\A)

d(u,X\A)+d(u,B)

Segue da deﬁnição de ρ que

ρ(u) = 1 se u ∈ B

ρ(u) = 0 se u ∈ X\A.

Deﬁnindo f : X −→ X por

f(u) =











−ρ(u)

v(u)

v(u)

, se u ∈ A

0, se u /∈ A,

temos que f é localmente lipschitziana (Ver [9]) e que f  ≤ 1 para todo u ∈ X. Segue

do Teorema 1.10 que o problema de Cauchy









(t) = f(w)

w(0) = u

tem solução única a qual denotaremos por w(t, u), sendo deﬁnida para todo t ≥ 0.

Seja η : [0, 1] × X −→ X deﬁnida por η(t, u) = w(δt, u). Então,

(i) η(0, u) = w(0, u) = u;

(ii) η(t, u) = w(δt, u) = u se u /∈ A = φ

−1

([c − 2, c + 2)] ∩ S

2δ

De fato, seja w

(t) = u ∀ t ∈ R, note que



(t) = 0 = f(w

(t))

o que implica,









(t) = f(w

(t)) se u /∈ A

(0) = u

Assim, pelo teorema de existência e unicidade temos

(t) = w(t, u) = u ∀ t ∈ R.

Daí,

η(t, u) = w(δt, u) = u ∀ t ∈ R.

(iii) Note que, para t ≥ 0,

w(t, u) − w(0, u) =



f(w(s, u))ds,

consequentemente

w(t, u) − w(0, u) ≤



f(w(s, u))ds ≤ t.

Note que ∀ t ∈ [0, δ] tem-se

w(t, u) − u ≤ t ≤ δ

portanto, se u ∈ S temos

d(w(t, u), S) ≤ δ,

o que implica,

w(t, u) ∈ S

∀ u ∈ S,

isto é,

w(t, S) ⊂ S

∀ t ∈ [0, δ]

de onde concluímos

η(t, S) ⊂ S

∀ t ∈ [0, 1]. (1.8)

Por outro lado, para cada u ∈ X ﬁxado, a função φ(w(t, u)) é não-crescente, p ois

φ(w(t, u)) = φ



(w(t, u))w



(t, u)

de onde segue

φ(w(t, u)) = φ



(w(t, u))f(w(t, u)).

Pela deﬁnição de f, se w(t, u) /∈ A,

φ(w(t, u)) = 0 e caso contrário

φ(w(t, u)) = −ρ(w(t, u))φ



(w(t, u))

v(w(t, u))

v(w(t, u))

Por (1.2), temos

φ(w(t, u)) ≤ −ρ(w(t, u))





(w(t, u))



v(w(t, u))

, (1.9)

e portanto

φ(w(t, u)) ≤ 0

mostrando que φ(w(t, u)) é não-crescente.

Fixe u ∈ φ

c+

∩ S e observe as seguintes aﬁrmações:

(a) Se φ(w(

t, u)) < c −  para algum

t ∈ [0, δ) tem-se

φ(η(1, u)) = φ(w(δ, u)) ≤ φ(w(

t, u)) < c − ,

de onde podemos concluir que

η(1, u) ⊂ φ

c−

Desta forma de (1.8) tem-se

η(1, u) ∈ φ

c−

∩ S

(b) Note que ∀ t ∈ [0, δ] temos

φ(w(t, u)) ≤ φ(w(0, u)) = φ(u) ≤ c + 

o que implica,

φ(w(t, u)) ≤ c + .

Supondo que w(t, u) ∈ B = φ

−1

([c − , c + ]) ∩ S

, ∀ t ∈ [0, δ], segue de (1.1) , (1.9)

e do fato que ρ = 1 em B, a seguinte desigualdade

φ(w(δ, u)) ≤ φ(u) −







(w(t, u))



dt,

o que implica

φ(w(δ, u)) ≤ c +  −

4

δ,

ou seja,

φ(w(δ, u)) ≤ c − .

Portanto, em qualquer um dos casos (a) ou (b),

η(1, u) = w(δ, u) ∈ φ

c−

∩ S

se u ∈ φ

c+

∩ S.

(iv) η(t, .) : X −→ X é um homeomorﬁsmo, ou s eja, η(t, u) = w(δt, u) é uma aplicação

bijetora com inversa contínua.

Para isto, deﬁna as seguintes funções

h : X −→ X

u −→ h(u) = w(δt, u)

g : X −→ X

u −→ g(u) = w(−δt, u).

Observe o seguinte

(h ◦ g)(u) = w(δt, g(u)),

o que implica

(h ◦ g)(u) = w(δt, w(−δt, u))

e assim

(h ◦ g)(u) = w(δt − δt, u) = w(0, u) = u,

isto é,

(h ◦ g)(u) = u.

Usando o mesmo tipo de raciocínio temos

(g ◦ h)(u) = u

de onde segue η é inversível.

Além disso, η(t, u) = w(δt, u) é contínua pela dependência contínua com relação aos

dados iniciais para w(δt, u). Desde que w(−δt, u) também é contínua, η(t, u) : X −→ X

é um homeomorﬁsmo. 

Deﬁnição 1.15 Um funcional φ : X −→ R de classe C

(X, R) é dito veriﬁcar a

condição de Palais-Smale, denotada por (P S), se toda sequência (u

) ⊂ X com

φ(u

) −→ d e φ



) −→ 0

admite uma subsequência fortemente convergente em X.

Como uma consequência do Teorema 1.14, tem-se o s eguinte Teorema:

Teorema 1.16 Suponha que φ ∈ C

(X, R) satisfaz a condição Palais-Smale. Se c ∈ R

não é um valor crítico de φ então, para todo  > 0 suﬁcientemente pequeno, existe

η ∈ C([0, 1] × X, X) tal que para qualquer u ∈ X e t ∈ [0, 1] tem-se:

(i) η(0, u) = u;

(ii) η(t, u) = u se u /∈ φ

−1

([c − 2, c + 2]);

(iii) η(t, φ

c+

) ⊂ φ

c−

;

(iv) η(t, .) : X −→ X é um homeomorﬁsmo.

Demonstação: Como c ∈ R não é um valor crítico de φ, devem existir constantes

α, β > 0 tais que se u ∈ φ

−1

([c − 2α, c + 2α]) implique em





(u)



≥ β, pois caso

contrário, para quaisquer α, β > 0 existirá

α,β

∈ φ

−1

([c − 2α, c + 2α])

com





α,β

)



< β.

Considerando α =

, β =

e u

= u

,β

, tem-se

c −

≤ φ(u

) ≤ c +





)



Assim, passando ao limite quando n → ∞ obtemos

φ(u

) −→ c e φ



) −→ 0.

Da condição Palais-Smale, existe uma subsequência (u

) ⊂ (u

) tal que

−→ u.

Desde de que φ ∈ C

(X, R),

φ(u

) −→ φ(u) e φ



) −→ φ



(u).

Portanto, pela unicidade do limite obtemos

φ(u) = c e φ



(u) = 0.

Logo, c é um valor crítico de φ, contradizendo a hipótese. Daí, usando o Teorema 1.14

com S = X,  ∈ (0, α] ﬁxado e δ =

4

, concluímos a demonstração do nosso teorema. 

1.4 Teorema do Ponto de Sela

Nesta seção iremos demonstrar o Teorema do Ponto de Sela de R abinowitz (ver[4])

o qual será utilizado para garantir a existência de solução fraca de um problema que

veremos no próximo cápitulo. Para a demonstração do teorema usaremos algumas

propriedades da teoria do Grau (ver apêndice A) e também o Teorema 1 .16.

Teorema 1.17 (Ponto de Sela) Seja X = V ⊕W um espaço de Banach, de modo que

dim V < ∞, e seja φ ∈ C

(X, R) uma aplicação satisfazendo a condição de Palais-

Smale. Se D é uma vizinhaça limitada de 0 em V tal que

a = max

∂D

φ < inf

φ ≡ b, (1.10)

então

c = inf

h∈Γ

max

u∈D

φ(h(u))

é um valor crítico de φ com c ≥ b, onde

Γ =



h ∈ C(D, X) ; h(u) = u , ∀ u ∈ ∂D



Demonstração: Primeiro vamos veriﬁcar que h(D) ∩W = ∅ qualquer que seja h ∈ Γ.

De fato, deﬁnindo

P : X −→ V

x −→ P (x) = x

; x = x

+ x

; x

∈ V e x

∈ W

a projeção sobre V, temos P ◦ h ∈ C(D, V ) (ver apêndice D) e

P (h(u)) = P (u) = u = 0 ∀ u ∈ ∂D.

Uma vez que podemos identiﬁcar V com R

, o grau de Brouwer d(P h, D, 0) está bem

deﬁnido e de suas propriedades (ver apêndice A) segue

d(P ◦ h, D, 0) = d(I

, D, 0) = 1.

Logo, existe u

∈ D tal que

P (h(u

)) = 0,

de onde temos h(u

) ∈ W. Sendo

b = inf

φ = inf {φ(w) ; w ∈ W }

e h(u

) ∈ W, obtemos

φ(h(u

)) ≥ b.

Consequentemente

max

u∈

φ(h(u)) ≥ φ(h(u

)) ≥ b ∀ h ∈ Γ,

e sendo

c = inf

h∈Γ

max

u∈D

φ(h(u)),

temos que c ≥ b.

Suponha por contradição que c não é valor crítico. Então, pelo Teorema 1.16,

dado

0 <  <

b − a

existe η ∈ C([0, 1] × X, X) tal que

η(t, u) = u se u /∈ φ

−1

([c − 2, c + 2]) (1.11)

η(t, φ

c+

) ⊂ φ

c−

. (1.12)

Escolha h ∈ Γ tal que

max

u∈D

φ(h(u)) ≤ c +  (1.13)

e deﬁna

h(u) = η(1, h(u)).

Usando o fato que c ≥ b tem-se

a < c − 2.

Agora, se u ∈ ∂D

φ(u) ≤ a = max

u∈∂D

φ(u), (1.14)

de onde podemos concluir,

φ(u) /∈ ([c − 2, c + 2])

o que implica,

u /∈ φ

−1

([c − 2, c + 2]).

Por outro lado, de (1.11) segue

h(u) = η(1, h(u)) = η(1, u) = u ∀ u ∈ ∂D

logo,

h ∈ Γ.

Agora, por (1.13) teremos

φ(h(u)) ≤ max

u∈D

φ(h(u)) ≤ c + ,

portanto

h(u) ∈ φ

c+

Por (1.12) temos

h(u) = η(1, h(u)) ∈ φ

c−

isto é,

φ(

h(u)) ≤ c −  ∀ u ∈

o que implica,

max

u∈D

φ(

h(u)) ≤ c − . (1.15)

Desde que

c = inf

h∈Γ

max

u∈D

φ(h(u)),

podemos aﬁrmar que

c ≤ max

u∈D

φ(h(u)) ∀ h(u) ∈ Γ,

obtendo assim, por (1.15)

c ≤ max

u∈D

φ(

h(u)) ≤ c − ,

o que é um absurdo, mostrando que c é um valor crítico. 

Capítulo 2

Existência de solução fraca para um

problema elíptico não-linear em R

Neste capítulo, vamos estudar a existência de solução fraca para o problema







−∆u + u = λ

hu + g(x, u), R

u ∈ H

)

(P )

onde N ≥ 3, com as funções h : R

−→ R

e g : R

× R −→ R continuas veriﬁcando

as seguintes condições:

(i) h ∈ L

) ∩ L

∞

);

(ii) Existe Z ∈ L

) ∩ L

∞

) ; Z(x) > 0 ∀ x ∈ R

, satisfazendo

|g(x, t)| ≤ Z(x) ∀ (x, t) ∈ R

× R, (2.1)

e λ

o k-ésimo autovalor associado ao problema







−∆u + u = λhu, R

u ∈ H

)

Além disso, vamos supor que g satisfaz uma das condições (g

) ou (g

−



G(x, v(x))dx −→ ±∞ quando v −→ ∞ ; v ∈ N

)

sendo N

o auto espaço associado a λ

e G(x, .) =



g(x, τ)dτ designa a primitiva de

g(x, .).

O nosso obje tivo, é mostrar a existência de solução fraca para o problema (P ). A

grande diﬁculdade, é a falta de imersões compactas do espaço de Sobolev H

) nos

espaços L

). Sendo assim, vamos estudar alguns espaços de modo que conseguire-

mos que essas imersões sejam compactas.

2.1 Espaços com Peso

Nesta seção vamos deﬁnir espaços co m peso e mostrar algumas propriedades

envolvendo tais espaços. Para isto, começaremos com a seguinte deﬁnição:

Deﬁnição 2.1 Seja h : R

−→ (0, +∞) uma função mensurável e 1 < p < ∞.

Deﬁnimos o espaço L

, hdx) como sendo o seguinte conjunto:

, hdx) =



f : R

−→ R mensuráveis ;



|f(x)|

h(x)dx < ∞



No que segue denotaremos por

u =





(|∇u|

+ |u|

)dx



1/2

f

p,h





|f|

hdx



1/p

as normas em H

) e L

, hdx), respectivamente.

Teorema 2.2 O espaço



, hdx), .

p,h



com 1 ≤ p < ∞ é Banach.

Demonstração: Seja {u

} ⊂ L

, hdx) uma seqüência de Cauchy. Então, dado

 > 0 existe n

∈ N tal que

u

− u



p,h

<  para n, m ≥ n

. (2.2)

Deﬁnindo

= h

1/p

segue de (2.2) que

v

− v



)

<  para n, m ≥ n

Sendo L

) um espaço de Banach, existe um w ∈ L

) com

−→ w em L

) quando n → ∞. (2.3)

Deﬁnindo,

u(x) =

w(x)

h(x)

1/p

observe que

u

− u

p,h





− u|

hdx



1/p







1/p

− h

1/p





1/p

o que implica,

u

− u

p,h





− w|



1/p

= v

− w

)

Por (2.3) temos

u

− u

p,h

−→ 0 quando n → ∞,

ou seja,

−→ u em L

, hdx)

mostrando assim, que L

, hdx) é um espaço de Banach. 

Do Teorema 2.2 podemos concluir que



, hdx), .

2,h



é Hilbert com o

seguinte produto interno

(f, g)

2,h



hfgdx.

2.2 Um Resultado de Imersão C ontínua

Nesta seção vamos estudar um resultado de imersão contínua para espaços com

peso, que será de grande importância na busca de existência de solução fraca para o

problema (P ). Começaremos o nosso estudo enunciando o seguinte teo rema:

Teorema 2.3 Se h ∈ L

∞

), então vale a imersão contínua

) → L

, hdx)

para p ∈ [1, 2

∗

] se N ≥ 3.

Demonstração: Para u ∈ H

), temos





|u|

hdx



1/p

≤ h

∞





|u|



1/p

= h

∞

u

)

onde, usamos o fato de que h ∈ L

∞

Das imersões continuas de Sobolev temos

) → L

)

para p ∈ [2, 2

∗

] se N ≥ 3. Assim, existe C > 0 tal que

u

)

≤ C u ∀ u ∈ H

Portanto,





|u|

hdx



1/p

≤ C h

∞

u ∀ u ∈ H

Considerando C

= C h

∞

obtemos





|u|

hdx



1/p

≤ C

u,

isto é,

u

p,h

≤ C

u ∀ u ∈ H

)

mostrando a imersão contínua. 

2.3 Um Resultado de Imersão C omp acta

Nesta seção vamos estudar um resultado de imersão compacta que será de ex-

trema importância para garantirmos a existência de uma solução para o problema (P ).

Teorema 2.4 Se h ∈ L

) ∩ L

∞

), tem-se a imersão compacta

) → L

, hdx)

para p ∈ [1, 2

∗

) se N ≥ 3.

Demonstração: Seja (u

) ⊂ H

) uma sequência limitada, usando o fato que

) é reﬂexivo existe (u

) ⊂ (u

) tal que

 u em H

Aﬁrmação: Dado  > 0, existe R > 0 tal que



− u



(0),hdx)



∀ n

De fato, para R > 0 e usando a desigualdade de Hölder com expoentes

∗

= 1,

obtemos



(0)



− u



hdx ≤ h

(0))





− u





2∗

(0))

o que implica,



(0)



− u



hdx ≤ h

(0))



− u



∗

)

e pelas imersões continuas de Sobolev



(0)



− u



hdx ≤ C h

(0))



− u



Consequentemente



(0)



− u



dx ≤ C

h

(0))

. (2.4)

Segue da teoria da medida que se h ∈ L

) para γ ∈ [1, ∞), dado  > 0 existe R > 0

tal que

h

(0))







Agora, do resultado acima e por (2.4) tem-se



(0)



− u



dx ≤







∀ n

Portanto,



− u



(0),hdx)



∀ n

(2.5)

mostrando a aﬁrmação.

Por outro lado,



− u



(0),hdx)





(0)



− u





1/p

≤ h

∞



− u



(0))

Das imersões compactas de Sobolev, temos que

) → L

(0)),

de onde segue

−→ u em L

(0)) quando n

→ ∞.

Logo, dado  > 0 existe n

tal que



− u



(0))



2 h

∞

para n

≥ n

desta forma temos



− u



(0),hdx)



para n

≥ n

. (2.6)

Por (2.5) e (2.6)



− u



p,h

<  para n

≥ n

o que implica,

−→ u em L

, hdx) quando n

→ ∞

mostrando a compacidade. 

2.4 O Operador Solução

Dado f ∈ L

, hdx), existe uma única solução u ∈ H

) do problema







−∆u + u = hf, R

u ∈ H

)

pois, sendo hf ∈ L

, hdx), considere

F : H

) −→ R

φ −→ F (φ) =



fφhdx

que é linear e contínuo, isto é,

|F (φ)| ≤



|f||φ|hdx

Por Hölder obtemos

|F (φ)| ≤ f

2,h

φ

2,h

e das imersões continuas de Sobolev

|F (φ)| ≤ C f 

2,h

φ

o que implica,

|F (φ)| ≤ M φ ; M = C f

2,h

mostrando a continuidade de F .

Logo, F ∈ H

−1

) e pelo Teorema da Representação de Riesz, existe um único

u ∈ H

) tal que

(u, φ)

)

= F (φ) ∀ φ ∈ H

de onde segue



(∇u∇φ + uφ)dx =



fφhdx ∀ φ ∈ H

ou seja, u é a única solução fraca do problema (P

). 

Pelo que foi visto até o momento, podemos deﬁnir o seguinte operador

S : L

, hdx) −→ H

)

f −→ S(f) = u,

que associa a cada f ∈ L

, hdx) a única solução u = S(f) do problema (P

2.5 Propriedades do Operador Solução

Nesta seção iremos estudar algumas propriedades relacionadas ao operador solução,

as quais serão usadas para a obtenção de solução para o problema (P ).

(P.1) S é linear, isto é,

S(λf + γg) = λS(f) + γS(g), ∀ f, g ∈ L

, hdx) e ∀ λ, γ ∈ R.

Demonstração: Seja m u = S(f) e v = S(g).Por deﬁnição







−∆u + u = hf, R

u ∈ H

)







−∆v + v = hg, R

v ∈ H

Logo, multiplicando respectivamente por λ e γ obtemos







−∆(λu) + λu = λhf, R

λu ∈ H

)







−∆(γv) + γv = γhg, R

γv ∈ H

)

o que implica,







−∆(λu + γv) + λu + γv = h(λf + γg), R

λu + γv ∈ H

consequentemente

S(λf + γg) = λu + γv,

isto é,

S(λf + γg) = λS(f) + γS(g), ∀ f, g ∈ L

, hdx) e ∀ λ, γ ∈ R.



(P.2) S é contínuo, ou seja, existe M > 0 veriﬁcando

S(f) ≤ M f

2,h

∀ f ∈ L

, hdx)

Demonstração: Seja u = S(f). Então,







−∆u + u = hf, R

u ∈ H

)

o que implica, por deﬁnição



(∇u∇φ + uφ)dx =



fφhdx ∀ φ ∈ H

Escolhendo φ = u, obtemos



(



∇u



+ |u|

)dx =



fuhdx,

assim,

u



fuhdx

de onde segue

u

≤



|f||u||h|dx.

Por Hölder tem-se

u

≤ f

2,h

u

2,h

Das imersões continuas de Sobolev obtemos

u

≤ C f

2,h

u.

Se u = 0, temos

u ≤ C f

2,h

isto é,

S(f) ≤ C

f

2,h

∀ f ∈ L

, hdx).



(P.3) S pode ser vista de L

, hdx) em L

, hdx). Além disso, neste caso S é

linear e compacto.

Observe que,

S : L

, hdx) −→ H

)

é uma aplicação contínua e pelo Teorema 3.4

i : H

) −→ L

, hdx)

é compacta. Recordando que

(a) Composição de aplição linear é linear.

(b) Composição de um operador contínuo com um compacto é compacto.

podemos concluir que o operador

S : L

, hdx) −→ L

, hdx)

é linear compacto. 

(P.4) O operador S : L

, hdx) −→ L

, hdx) é simétrico, ou seja,

(S(f), g)

2,h

= (f, S(g))

2,h

onde, (.)

2,h

é o produto interno de L

, hdx).

Demonstração: Seja m u = S(f) e v = S(g). Devemos mostrar a seguinte ig ualdade



ughdx =



vfhdx.

Desde que u = S(f ) e v = S(g) temos que







−∆u + u = hf, R

u ∈ H

)







−∆v + v = hg, R

v ∈ H

Portanto,



(∇u∇φ + uφ)dx =



fφhdx ∀ φ ∈ H

)



(∇v∇ϕ + vϕ)dx =



gϕhdx ∀ ϕ ∈ H

Fixe φ = v e ϕ = u, obtemos



(∇v∇u + uv)dx =



fvhdx



(∇v∇u + uv)dx =



guhdx

de onde segue



ughdx =



vfhdx,

isto é,

(S(f), g)

2,h

= (f, S(g))

2,h



(P.5) S(f) = 0 se, e somente se, f = 0.

Demonstração: Considere que S(f) = u. Então, u ∈ H

) é solução do problema







−∆u + u = hf, R

u ∈ H

)

ou seja,



(∇u∇φ + uφ)dx =



fφhdx ∀ φ ∈ H

). (2.7)

Se f = 0, então



(∇u∇φ + uφ)dx = 0.

Fixando v = u, temos



(|∇u|

+ |u|

)dx = u

= 0 ⇔ u = 0,

isto é,

S(f) = 0.

Supondo que S(f) = 0, segue de (2.7)



fvhdx = 0, ∀ v ∈ H

Considere g = f h como g ∈ L

) ⊂ L

loc

), segue do Lema de Du Bois Raymond

(ver Apêndice D) que

g = 0 q.t.p em R

e sendo h > 0, então

f = 0 q.t.p em R



(P.6) λ = 0 não é autovalor de S.

Demonstração: Note que

N(S) =



ϕ ∈ L

, hdx) ; S(ϕ) = 0



por (P.5), temos

S(ϕ) = 0 ⇔ ϕ = 0

logo N(S) = 0, mostrando a propriedade. 

(P.6) S é positivo, isto é,

(S(f), f)

2,h

> 0 ∀ f = 0.

Demonstração: Seja S(f ) = u com u = 0, então







−∆u + u = hf, R

u ∈ H

)

o que implica,



(∇u∇φ + uφ)dx =



fφhdx ∀ φ ∈ H

Fixando φ = u, segue

0 < u



fuhdx =



fS(f)hdx = (S(f), f)

2,h

mostrando que

(S(f), f)

2,h

> 0 ∀ f = 0.



Agora, usando a Análise Funcional (ver[3]) o operador S : L

, hdx) −→

, hdx) têm uma sequência de autovalores positivos µ

veriﬁcando

> µ

> ... > µ

> ... > 0

com

lim

n→∞

= 0.

Além disso, os autovalores constituem uma base Hilbertiana para L

, hdx).

Aﬁrmação: Os autovalores de S são os inversos dos autovalores de (P

)

De fato, se λ é um autovalor de −∆, então existe φ = 0 veriﬁcando







−∆φ + φ = λhφ, R

φ ∈ H

)

Desde que λ = 0, seg ue da deﬁnição de solução fraca



(∇φ∇ψ + φψ)dx =



λψφhdx ∀ ψ ∈ H

Fixando, φ = ψ tem-se

φ

= λ φ

2,h

consequentemente

λ =

φ

2,h

Assim, considere o problema







−∆(

φ) +

φ = hφ, R

φ ∈ H

De onde segue,

S(φ) =

mostrando que

é autovalor de S.

Agora, se µ > 0 é autovalor de S, então existe φ ∈ L

, hdx) com

S(φ) = µφ

logo,

S(φ) = φ.

Visto que S é linear, temos

φ) = φ,

de onde concluimos que







−∆φ + φ =

hφ, R

φ ∈ H

)

mostrando que

é autovalor de (P

). 

Este fato mostra que o problema (P

) possui uma sequência {λ

} de autovalores p o si-

tivos veriﬁcando

< λ

< ... < λ

< ...

lim

n→∞

= 0.

2.6 Propriedades Relacionadas a λ

Nesta seção vamos mostrar duas importantes propriedades envolvendo o autova lor

, as quais serão usadas no decorrer do nosso trabalho.

(P.1) Toda autofunção associada a λ

tem sinal deﬁnido.

Demonstração: Considere φ uma a utofunção asso c iada a λ

e suponhamos que

= 0

onde,

= max {φ, 0}.

Segue dos espaços de Sobolev que se φ ∈ H

), então a função φ

∈ H

)(ver[1]).

Além disso,

∇φ







∇φ, se φ ≥ 0

0, se φ < 0

Assim,



φ, φ



)



(∇φ∇φ

+ φφ

)dx =







∇φ





dx =





φ, φ



,hdx)



φφ

hdx =





hdx =



2,h

Além disso, considere o problema







−∆φ + φ = λ

hφ, R

φ ∈ H

)

o que implica, por deﬁnição de solução fraca



(∇φ∇v + φv)dx = λ



vφ hdx; ∀ v ∈ H

Fixando v = φ



(∇φ∇φ

+ φφ

)dx = λ



φhdx ∀ φ

∈ H

isto é,



φ, φ



)

= λ



2,h

logo



= λ



2,h

de onde concluímos que

φ



φ



p,h

Agora, usando o fato que

w =

φ



2,h

veriﬁca o problema







−∆w + w = λ

hw, R

w ∈ H

desde que w ≥ 0 e w(x) = 0, pelo princípio do máximo forte

w(x) > 0 ∀ x ∈ R

De onde temos

(x) > 0 ∀ x ∈ R

isto é,

(x) = max {φ, 0} > 0,

e portanto

φ(x) > 0 ∀ x ∈ R

Um raciocínio semelhante é feito para o caso φ

−

= 0. 

(P.2) O autoespaço V

associado a λ

tem dimensão 1, e V

= φ.

Demonstração: seja m u e v autofunções associadas a λ

. Considere

A =



t ∈ R ; u(x) + tv(x) ≥ 0, x ∈ R



B =



t ∈ R ; u(x) + tv(x) ≤ 0, x ∈ R



Os conjuntos A e B são f echados, p ois c onsiderando {t

} ⊂ A e t

−→ t

temos

u(x) + t

v(x) ≥ 0,

logo

lim

n→∞

(u(x) + t

v(x)) = u(x) + lim

n→∞

v(x) ≥ 0,

ou seja,

u(x) + t

v(x) ≥ 0

o que implica, t

∈ A e portanto A é fechado. Raciocínio semelhante é utilizado para

demonstrar que B é fechado. Além disso,

A = ∅ e B = ∅

portanto,

R = A ∪ B.

Uma vez que R é um conjunto conexo, segue-se

A ∩ B = ∅.

Assim, existe t

∈ A ∩ B, isto é,

u(x) + t

v(x) = 0 ∀ x ∈ R

mostrando que u e v são linearmente dependentes. 

2.7 Existência de Solu ção fraca para (P )

Nesta seção mostraremos a existência de solução fraca para o problema







−∆u + u = λ

hu + g(x, u), R

u ∈ H

)

(P)

onde N ≥ 3. O resultado principal deste capitulo é o seguinte teorema:

Teorema 2.5 Se as condições (g

) ou (g

−

), são válidas então (P ) possui uma solução

fraca u ∈ H

Preliminares: Consideraremos o seguinte funcional

Φ : H

) −→ R

u −→ Φ(u) =



(|∇u|

+ |u|

)dx −



hdx −



G(x, u)dx

o qual está bem deﬁnido em H

), é de classe C

), R) (ver Ap êndice B) e

seus pontos críticos são soluções fracas de (P ).

Deﬁnindo o operador linear

Lu = u − λ

S(u),

temos

(Lu, u)

)



(∇(Lu)∇u + Lu.u) dx,

assim,

(Lu, u)

)



(∇(u − λ

S(u))∇udx +



(u − λ

S(u)) udx

isto é,

(Lu, u)

)



(|∇u|

+ |u|

)dx − λ



(∇S(u)∇u + S(u)u)dx. (2.8)

Além disso, considerando S(u) = w tem-se







−∆w + w = hu, R

w ∈ H

)

o que implica,



(∇φ∇w + φw)dx =



uhφdx ∀ φ ∈ H

Fixando u = φ,



(∇S(u)∇u + S(u)u)dx =



hdx (2.9)

logo, por (2.8) e (2.9) temos

(Lu, u)

)



(|∇u|

+ |u|

)dx −



hdx

de onde segue

Φ(u) =

(Lu, u)

)

−



G(x, u)dx.

Agora, vamos ﬁxar a seguinte decomposição ortogonal de X = H

X = X

−

⊕ X

onde

= N

−

= N

⊕ N

⊕ ... ⊕ N

k−1

= N

k+1

⊕ N

k+2

⊕ ...

Proposição 2.6 Se u ∈ X

, então (Lu, u)

)

= 0.

Demonstação: Como já vimos

(Lu, u)

)



(|∇u|

+ |u|

)dx − λ



hdx,

sendo u ∈ X

, o mesmo é solução do problema







−∆u + u = λ

hu, R

u ∈ H

)

de onde temos



(∇φ∇u + φu) = λ



uφhdx; ∀ φ ∈ H

Fixando φ = u,



(|∇u|

+ |u|

)dx = λ



hdx,

mostrando que

(Lu, u)

)

= 0, se u ∈ X



Proposição 2.7 Se u ∈ X

−

, então existe α > 0 tal que (Lu, u)

)

≤ −α u

, ou

seja, L é deﬁnido negativo em X

−

Demonstação: Seja u ∈ X

−

= N

⊕ N

⊕ ... ⊕ N

k−1

, então

u = φ

+ φ

+ ... + φ

k−1

e ∇u = ∇φ

+ ∇φ

+ ... + ∇φ

k−1

Observe que por (2.8)

(Lu, u)

)



(|∇u|

+ |u|

)dx − λ



(∇S(u)∇u + uS(u)) dx

assim,

(Lu, u)

)

= (u, u)

)

− λ

(S(u), u)

)

. (2.10)

Desde que φ

veriﬁca







−∆φ

+ φ

= λ

hφ

, R

∈ H

)

por deﬁnição do operador solução

S(λ

) = φ

portanto,

S(φ

) =

e ∇S(φ

) =

∇φ

Da linearidade de S,

S(u) = S(φ

) + S(φ

) + ... + S(φ

k−1

)

o que implica,

S(u) =

+ ... +

k−1

Assim,

(S(u), u)

)

= (S(φ

) + S(φ

) + ... + S(φ

k−1

), φ

+ φ

+ ... + φ

k−1

)

e desde que (φ

, φ

)

= 0, se j = k, obtemos

(S(u), u)

)

(φ

, φ

)

+ ... +

k−1

(φ

k−1

, φ

k−1

)

Segue da deﬁnição de produto interno em H

) que

(S(u), u)

)



(|∇φ

+ |φ

)dx + ... +

k−1



(|∇φ

k−1

+ |φ

k−1

)dx

o que implica

(S(u), u)

)

k−1



j=1



(|∇φ

+ |φ

)dx

isto é,

(S(u), u)

)

k−1



j=1

φ



Além disso,

(u, u)

)

= (φ

+ φ

+ ... + φ

k−1

, φ

+ φ

+ ... + φ

k−1

)

portanto,

(u, u)

)

k−1



j=1



(|∇φ

+ |φ

)dx =

k−1



j=1

φ



Agora, podemos escrever (2.10) da seguinte forma

(Lu, u)

)

k−1



j=1



1 −



φ



e usando o fato que

≤ λ

k−1

para j ∈ {1, 2, ..., k − 1}

o que implica,

1 −

k−1

≥ 1 −

logo,

(Lu, u)

)

≤

k−1



j=1



1 −

k−1



φ





1 −

k−1



k−1



j=1

φ



Assim,

(Lu, u)

)

≤



1 −

k−1



u

de onde temos

(Lu, u)

)

≤ −



k−1

− 1



u

ou seja,

(Lu, u)

)

≤ −α u

< 0 ∀ u ∈ X

−

\ {0} e α > 0.



Proposição 2.8 Se u ∈ X

, então existe α > 0 tal que (Lu, u)

)

≥ α u

, ou

seja, L é deﬁnido positivo em X

Demonstação: Seja u ∈ X

= N

k+1

⊕ N

k+2

⊕ ... então

u = φ

k+1

+ φ

k+2

+ ...

Considere,

u =

∞



j=k+1

= lim

N→∞

; w



j=k+1

onde w

∈ X

Vamos mostrar que existe α > 0 independente de N tal que

(Lw

, w

)

≥ α w



, ∀ N ∈ {k + 1, k + 2, ...}.

De fato, observe que

(Lw

, w

)





j=k+1

Lφ



j=k+1



)

o que implica,

(Lw

, w

)





j=k+1

(φ

− λ

S(φ

)),



j=k+1



)

consequentemente,

(Lw

, w

)





j=k+1



j=k+1



)

−





j=k+1

S(φ



j=k+1



)

Agora, usando o mesmo raciocínio da Proposição 2 temos

(Lw

, w

)



j=k+1

φ



−



j=k+1

φ



e observando que

≥ λ

k+1

encontramos

1 −

≥ 1 −

k+1

logo,

(Lw

, w

)

≥



1 −

k+1





j=k+1

φ



Assim,

(Lw

, w

)

≥



1 −

k+1



w



mostrando que

(Lw

, w

)

≥ α w



∀ N ∈ {k + 1, k + 2, ...}, (2.11)

onde α =



1 −

k+1



. Usando o fato que

−→ u quando N → ∞

obtemos

w



−→ u

e da continuidade de L tem-se

L(w

) −→ L(u).

Consequentemente,

(Lw

, w

)

−→ (Lu, u)

)

desta forma, passando ao limite em (2.11) segue

(Lu, u)

)

≥ α u



Observação: No que segue, denotaremos por P

−

, P

e P

as projeções ortogonais em

−

, X

e X

respectivamente.

Lema 2.9 Se u = P

u + P

u ∈ X

⊕X

. Então, (Lu, u)

)

= (LP

u, P

)

Demonstração: Seja

(Lu, u)

)

= (L(P

u + P

u), P

u + P

)

então

(Lu, u)

)

= (LP

u + LP

u, P

u + P

)

Usando a Proposição 2.6 e o fato de L ser simétrico o btemos

(Lu, u)

)

= 2 (LP

u, P

)

+ (LP

u, P

)

Note que

(LP

u, P

)

= (P

u − λ

S(P

u), P

)

portanto,

(LP

u, P

)

= λ

(S(P

u), P

)

Assim, por deﬁnição do operador solução obtemos

(LP

u, P

)

= (P

u, P

,hdx)

= 0,

onde na última igualdade usamos a ortogonalidade das projeções. Logo,

(Lu, u)

)

= (LP

u, P

)



Proposição 2.10 Suponha válidas as condições (2.1) e (g

−

). Então,

(a) Φ(u) −→ −∞ quando u → +∞; u ∈ X

−

(b) Φ(u) −→ +∞ quando u → +∞; u ∈ X

⊕ X

Demonstração:(a) Seja u ∈ X

−

. Usando o fato de L ser negativo deﬁnido em X

−

obtemos

Φ(u) ≤ −

α u

−



G(x, u)dx.

Observe que pelo Teorema do Valor Médio temos

|G(x, u) − G(x, 0)| =





(x, s)



|u − 0|; s(x) ∈ [0, u(x)] ou [u(x), 0],

logo por (2.1)

|G(x, u) − G(x, 0)| ≤ Z(x) |u|

portanto,

−



G(x, u)dx ≤ u

1,Z

de onde temos que

Φ(u) ≤ −

α u

+ u

1,Z

Pelo Teorema 2.3 segue

u

2,Z

≤ C

u,

então

Φ(u) ≤ −

α u

+ C

u

consequentemente,

Φ(u) −→ −∞ quando u → ∞ ∀ u ∈ X

−

(b) Seja u = P

u + P

u ∈ X

⊕ X

. Usando o Lema 2.9 tem-se

Φ(u) =

(LP

u, P

)

−



G(x, u)dx.

Além disso, sendo L positivo deﬁnido em X

segue

Φ(u) ≥

α P

u

−



[G(x, u) − G(x, P

u)] dx −



G(x, P

u)dx.

Usando novamente o Teorema do Valor Médio e (2.1),

−



[G(x, u) − G(x, P

u)] dx ≤



|G(x, u) − G(x, P

u)|dx ≤



|u − P

u|Z(x)dx

o que implica,

−



[G(x, u) − G(x, P

u)] dx ≤ P

u

1,Z

Portanto, segue das imersões continuas obtida no Teorema 2.3

Φ(u) ≥

α P

u

− C P

u −



G(x, P

u)dx. (2.12)

Agora, usando a condição (g

−

), o fato que

u

= P

u

+ P

u

e analizando os casos:

(i) P

u → +∞ e P

u ≤ M. Usando (g

−

) e fazendo a análise em (2.12), tem-se

Φ(u) −→ +∞ quando u → ∞.

(ii) P

u → +∞ e P

u ≤ K. Note que



−



G(x, P

u)dx



≤



|G(x, P

u)|dx ≤



u|Z(x)dx,

isto é,



−



G(x, P

u)dx



≤ K

Logo, fazendo a análise em (2.12), obtemos

Φ(u) −→ +∞ quando u → ∞.

(iii) Se P

u → ∞ e P

u → ∞. Novamente da condição (g

−

) e fazendo a análise

em (2.12), segue

Φ(u) −→ +∞ quando u → ∞,

mostrando assim, o ítem (b). 

Observação: Se tivéssemos assumido a condição (g

) ao invés de (g

−

) o raciocínio

usado seria o mesmo e as conclusões seriam as seguintes:

(a) Φ(u) −→ −∞ quando u → ∞; u ∈ X

⊕ X

−

(b) Φ(u) −→ +∞ quando u → ∞; u ∈ X

No que segue demonstraremos o Teorema 2.5 que vai garantir a existência de um

ponto crítico para o funcional Φ, e portanto a existência de uma solução fraca para o

problema (P ).

Demonstração do Teorema 2.5: Como já sabemos que Φ ∈ C

(X, R) , mostraremos

no que segue, que Φ satisfaz a condição (P S), isto é, dada uma sequência (u

) ⊂

) com

|Φ(u

)| ≤ c e Φ



) → 0

temos que (u

) possui uma subsequência convergente.

De fato, sendo

Φ(u

) =

(Lu

, u

)

−



G(x, u

)dx,

então



)v = (Lu

, v)

)

−



g(x, u

)vdx

o que implica,







(Lu

, v) −



g(x, u

)vdx



. (2.13)

Além disso,







≤





)



v

de onde temos







≤ v ∀ v ∈ H

para n suﬁcientemente grande, pois



) → 0 ⇔





)



→ 0

logo,





)



≤ 1.

Agora, nosso próximo passo é mostrar que

= P

+ P

−

+ P

é limitada. Observe que

(i) Se v = P

, substituindo em (2.13) segue







(Lu

, P

) −



g(x, u



Note que usando o mesmo raciocínio do Lema 2.9,

(Lu

, P

) = (L(P

−

) + L(P

), P

) = (L(P

), P

Daí, usando o fato de L ser positivo deﬁnido em X

temos

(Lu

, P

) = (L(P

), P

) ≥ α P



Além disso,

P

 ≥







≥ |(Lu

, P

)| −





g(x, u



o que implica,

P

 ≥ α P



− P



1,Z

Do Teorema 2.3 temos

P

 ≥ α P



− C P



portanto, P

 é limitada.

(ii) Novamente considerando v = P

−

em (2.13) obtemos



−

≤ (Lu

, P

−

) +



|g(x, u

)||P

|dx,

de onde segue



−

≤ −α P

−



+ P

−



1,Z

assim,

−P

−

 ≤ Φ



−

≤ −α P

−



+ C

P

−



consequentemente,

P

−

 ≥ α P

−



− C

P

−

.

Logo, P

−

 é limitada. Agora, por (i) e (ii) tem-se

u

− P

 = P

+ P

−

 ≤ K. (2.14)

Por outro lado, como podemos escrever

Φ(u

) =

(L(u

− P

), u

− P

)−



[G(x, u

) − G(x, P

)] dx−



G(x, P

)dx

temos,



G(x, P

)dx =

(L(u

− P

), u

− P

)−Φ(u

)−



[G(x, u

) − G(x, P

)] dx.

Agora, sendo L = I − λ

S temos que L é limitado, logo

|(L(u

− P

), u

− P

)| ≤ L(u

− P

)u

− P

 ≤  Lu

− P



e por (2.14) obtemos

|(L(u

− P

), u

− P

)| ≤ C.

Observe que





G(x, P

)dx



≤

|(L(u

− P

), u

− P

)|+|Φ(u

)|+





[G(x, u

) − G(x, P

)] dx



portanto,





G(x, P

)dx



≤ C

Daí, usando a condição (g

−

) podemos concluir que P

 é limitada.

Note que pela ortogonalidade das projeções temos

u



= P



+ P

−



+ P



mostrando que (u

) é limitada.

Sabemos que



(u)v =



(∇u∇v + uv)dx − ψ



(u)v ; u , v ∈ H

)

onde

ψ(u) =



(

h + G(x, u))dx,

logo

(∇Φ(u), v)

)

= (u, v)

)

− (∇ψ(u), v)

)

assim,

(∇Φ(u), v)

)

= (u − ∇ψ(u), v)

)

e consequentemente,

∇Φ(u) = u − ∇ψ(u).

Considerando T (u) = ∇ψ(u) temos

∇Φ(u) = u − T (u)

portanto,

∇Φ(u

) = u

− T (u

)

o que implica,

= ∇Φ(u

) + T (u

Agora, sendo T : H

) −→ H

) compacto (ver Apêndice C), existe (u

) ⊂ (u

)

tal que

T (u

) −→ u quando n

→ ∞,

e usando o fato de que



) → 0 ⇔





)



→ 0 ⇔ ∇φ(u

) → 0 ⇔ ∇Φ(u

) → 0,

passando ao limite em

= ∇Φ(u

) + T (u

)

encontramos

−→ u quando n

→ ∞,

mostrando que Φ satisfaz a condição (PS).

Finalmente, temos que Φ ∈ C

, R), Φ satisfaz a condição de Palais-Smale e

usando a Proposição 2.10 podemos aplicar o Teorema do Ponto de Sela co m

V = X

−

, W = X

⊕ X

e garantir a existência de um ponto crítico para Φ, isto é, uma solução fraca do problema

(P ). 

2.8 Um exemplo para a condição (g

)

No que segue iremos supor que G(x, s) = Z(x)

G(x, s) e g(x, s) = Z(x)˜g(x, s);

|˜g(x, s)| ≤ M e Z(x) ∈ L

) ∩ L

∞

), onde

G(x, s) =



˜g(x, τ )dτ.

Vamos considerar o caso k = 1, ou seja, o problema (P ) pode ser escrito da seguinte

forma







−∆u + u = λ

hu + g(x, u), R

u ∈ H

(P)

Usando as propriedades vistas na Seção 2.6, N

tem dimensão 1, N

= φ

 e φ

tem sinal deﬁnido.

Proposição 2.11 Se a função ˜g : R

× R −→ R é tal que

lim

|s|→∞

G(x, s) = +∞ uniformemente em x ∈ R

)

−

) lim

|s|→∞

G(x, s) = −∞ uniformemente em x ∈ R

, (g

)

temos



G(x, v(x))dx −→ ±∞ quando v −→ ∞ ; v ∈ N

. (g

)

Demonstração: Seja v ∈ N

tal que v = ρw com ρ = v e

w ∈ S ∩ N

= {w ∈ N

; w = 1} = {−φ

, φ

onde

S =



x ∈ H

); x = 1



Aﬁrmação 1: Existe M

> 0 tal que

G(x, s) ≥ −M

∀ (x, s) ∈ R

× R.

De fato, por (g

), dado M

> 0 existe N > 0 tal que

G(x, s) ≥ M

para |s| ≥ N e

x ∈ R

. Por outro lado, sendo |˜g(x, s)| ≤ M tem-se



G(x, s)



≤ M |s|,

logo ﬁxado N > 0, temos

sup

x∈R

s∈[−N,N]



G(x, s)



≤ MN = M

portanto,



G(x, s)



≤ M

, ∀ x ∈ R

e s ∈ [−N, N]

consequentemente

G(x, s) ≥ −M

, ∀ x ∈ R

e |s| ≤ N.

Deﬁnindo

−M

= min {M

, M

}

concluímos que

G(x, s) ≥ −M

, ∀ x ∈ R

e ∀ s ∈ R,

mostrando a aﬁrmação.

Assim, desde de que Z(x) > 0, segue da Aﬁrmação 1

G(x, s) ≥ −M

Z(x), ∀ x ∈ R

e ∀ s ∈ R. (2.15)

Agora, note que



G(x, ρw(x))dx =



Ω

G(x, ρw(x))dx +



Ω

ρ,w,M

G(x, ρw(x))dx,

onde

Ω =



x ∈ R

; |ρw(x)| < α(M

)



Ω

ρ,w,M



x ∈ R

; |ρw(x)| ≥ α(M

)



Por (2.15) obtemos que



G(x, ρw(x))dx ≥ −M



Ω

Z(x)dx + M



Ω

ρ,w,M

Z(x)dx

portanto,



G(x, ρw(x))dx ≥ −M



Z(x)dx + M



Ω

ρ,w,M

Z(x)dx.

Aﬁrmação 2: Existe ρ(M

) tal que



Ω

ρ,w,M

Z(x)dx ≥



Z(x)dx para ρ ≥ ρ(M

De fato, suponha por absurdo que a aﬁrmação não ocorra, então existem (ρ

) ⊂ R com

−→ +∞ e (w

) ⊂ S ∩ N

, tal que



Ω

Z(x)dx <



Z(x)dx ∀ n ∈ N. (2.16)

Aﬁrmação 3: Existem (ρ

) ⊂ (ρ

) e (w

) ⊂ (w

) tais que



Ω

Z(x)dx −→



Z(x)dx.

De fato, seja (w

) ⊂ S ∩ N

= {φ

, −φ

}. Portanto, existe (n

) ⊂ N tal que

= φ

, ∀ n

= −φ

, ∀ n

Supondo sem perda de generalidade que

= φ

; φ

> 0 ∀ n

tem-se



Ω

,φ

Z(x)dx =



,φ

(x)Z(x)dx,

onde χ

,φ

(x) é a função caracteristica do conjunto Ω

,φ

. Fixado x ∈ R

existe n

(x) tal que

(x) > α(M

), ∀ n

≥ n

(x)

o que implica,

x ∈ Ω

,φ

∀ n

≥ n

(x).

Deﬁnindo

(x) = χ

,φ

(x)Z(x),

e sendo

,φ

(x) = 1, ∀ n

≥ n

(x)

obtemos

(x) = Z(x), ∀ n

≥ n

(x).

(x) −→ Z(x) quando n

→ ∞.

Por outro lado,



≤ Z(x) ∈ L

de onde segue pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue



(x)dx −→



Z(x)dx,

ou seja,



Ω

,φ

Z(x)dx −→



Z(x)dx.

Isto é equivalente a dizer, que dado  > 0 existe n

∈ N, tal que para n

≥ n





Ω

,φ

Z(x)dx −



Z(x)dx



< .

Então, para n

> n

temos que



Ω

,φ

Z(x)dx ∈





Z(x)dx − ,



Z(x)dx + 



logo para  suﬁcientemente pequeno



Ω

,φ

Z(x)dx ≥



Z(x)dx, ∀ n

≥ n

o que é um absurdo com (2.16).

Portanto, da aﬁrmação 2, concluímos que



Ω

ρ,w,M

Z(x)dx ≥



Z(x)dx para ρ ≥ ρ(M

)

assim,



G(x, ρw(x))dx ≥ −M



Z(x)dx + M



Z(x)dx. (2.17)

Usando o fato que Z(x) ∈ L

), cada parcela em (2.17) é limitada. Considerando

K = −M



Z(x)dx + M



Z(x)dx

temos



G(x, ρw(x))dx ≥ K.

Então, sendo v = ρw e v = ρ obtemos que para ρ suﬁcientemente grande



G(x, v(x))dx ≥ K,

portanto,



G(x, v(x))dx ≥ K para v ≥ N

= ρ(M

Assim, dado M

> 0 vamos escolher M

de maneira que K ≥ M

. Logo, da deﬁnição

de limite temos



G(x, v(x))dx −→ +∞ quando v → ∞,

mostrando o exemplo. 

Capítulo 3

Teoremas do Passo da Montanha

Neste capítulo iremos demonstrar algumas versões do Teorema do Passo da Mon-

tanha encontradas em Willem (ver[13]). Na demonstração dos teoremas abstratos

usamos novamente os Teoremas de Deformação vistos no Capítulo 1.

3.1 Condições de Compacidade

Nesta seção vamos deﬁnir alg umas condições de compacidade as quais serão uti-

lizadas no decorrer deste capítulo.

Deﬁnição 3.1 Seja X um espaço de Banach e φ ∈ C

(X, R). O funcional φ satisfaz

a condição Fraca de Palais-Smale ou (FPS) se cada sequência (u

) limitada tal que

|φ(u

)| é limitada e φ



) → 0 contém uma subsequência convergente.

Deﬁnição 3.2 Seja X um espaço de Banach, φ ∈ C

(X, R) e c ∈ R. O funcional φ

satisfaz a condição de Palais-Smale no nível c ou (PS)

se dada uma sequência (u

)

tal que φ(u

) → c e φ



) → 0, então c é um valor crítico de φ.

Teorema 3.3 Seja X um espaço de Banach e φ ∈ C

(X, R). Se

(i) φ é limitado inferiormente; c = inf

φ,

(ii) φ satisfaz a condição (P S)

então existe u

∈ X tal que

φ(u

) = c = inf

φ.

Logo, c é um valor crítico de φ.

Demonstração: Suponha por contradição, que c não é valor crítico de φ. Então, segue

do Teorema 1.15 que existe  > 0 e η ∈ C([0, 1] × X, X) tal que

η(1, φ

c+

) ⊂ φ

c−

Usando a deﬁnição de c existe u

∈ X tal que

c ≤ φ(u

) < c + 

o que implica,

∈ φ

c+

assim,

c+

= ∅

de onde segue

η(1, u

) ∈ η(1, φ

c+

ou seja,

η(1, φ

c+

) = ∅

o que é um absurdo uma vez que φ

c−

= ∅. Logo, c é um valor crítico de φ.

3.2 Teoremas do Passo da Montanha

Nesta seção vamos demonstrar duas versões do Teorema do Passo da Montanha

as quais serão utilizados no próximo capítulo.

Teorema 3.4 Seja X um espaço de Banach, φ ∈ C

(X, R), u = v ∈ X,

Γ =



g ∈ C

(X, R) : g(0) = u, g(1) = v



c = inf

g∈Γ

max

0≤t≤1

φ(g(t)).

(i) φ satisfaz a condição (P S)

(ii) Existe 0 < R < u − v e b ∈ R tal que

w − v = R

implica

φ(w) ≥ b > a = max {φ(u), φ(v)},

então c ≥ b é valor crítico de φ.

Demonstração: Da co ndição (ii) para cada g ∈ Γ, existe t

∈ (0, 1) tal que

g(t

) − u = R.

De fato, considere a seguinte função

f : [0, 1] −→ R

t −→ f(t) = g(t) − u ; g ∈ Γ.

Observe que

f(0) = g(0) − u = u − u = 0 < R

f(1) = g(1) − u = v − u > R,

isto é,

f(0) < R < f (1).

Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe t

∈ (0, 1) tal que

f(t

) = g(t

) − u = R

o que implica,

φ(g(t

)) ≥ b

assim,

max

0≤t≤1

φ(g(t)) ≥ b , ∀ g ∈ Γ

portanto, desde de que

c = inf

g∈Γ

max

0≤t≤1

φ(g(t))

segue c ≥ b.

Suponha por absurdo que c não é um valor crítico, então pelo Teorema 1.15,

existem 0 <  <

c−a

e η ∈ C([0, 1] × X, X) tais que

η(t, u) = u se u /∈ φ

−1

([c − 2, c + 2]) (3.1)

η(1, φ

c+

) ⊂ φ

c−

. (3.2)

Pela deﬁnição de c, existe g ∈ Γ tal que

max

0≤t≤1

φ(g(t)) ≤ c +  (3.3)

e deﬁna

h(t) = η(1, g(t)). Desde que,

φ(v), φ(u) ≤ a < c − 2

obtemos

φ(v), φ(u) /∈ [c − 2, c + 2]

o que implica,

v, u /∈ φ

−1

([c − 2, c + 2]).

Logo, por (3.1) tem-se

h(0) = η(1, g(0)) = η(1, u) = u

h(1) = η(1, g(1)) = η(1, v) = v

portanto

h ∈ Γ. Ago ra, por (3.3) temos

φ(g(t)) ≤ c +  ∀ t ∈ [0, 1]

assim,

g(t) ∈ φ

c+

∀ t ∈ [0, 1]

consequentemente, por (3.2) obtemos

h(t) = η(1, g(t)) ∈ φ

c−

∀ t ∈ [0, 1],

isto é,

φ(

h(t)) ≤ c −  ∀ t ∈ [0, 1]

de onde segue,

max

0≤t≤1

φ(

h(t)) ≤ c − .

Sendo

c = inf

g∈Γ

max

0≤t≤1

φ(g(t))

temos,

c ≤ max

0≤t≤1

φ(g(t)) , ∀ g ∈ Γ.

Portanto,

c ≤ max

0≤t≤1

φ(

h(t)) ≤ c − 

o que é um absurdo, mostrando que c é um valor crítico de φ. 

Teorema 3.5 Seja X um espaço de Banach, φ ∈ C

(X, R), u = v ∈ X,

Γ =



g ∈ C

(X, R) : g(0) = u, g(1) = v



c = inf

g∈Γ

max

0≤t≤1

φ(g(t)).

(i) φ satisfaz a condição (P S)

e (F P S)

(ii) Existe 0 < r < R < u − v tal que, se w ∈ X veriﬁca

r ≤ w − u ≤ R

temos

φ(w) ≥ a = max {φ(u), φ(v)},

então c ≥ a e c é um valor crítico de φ. Além disso, se c = a, existe um único ponto

crítico w tal que

φ(w) = a e w − v =

R + r

Demonstração: Para c > a, basta repetir a demonstração do Teorema 3.4. Vamos

mostrar o caso em que c = a. Seja n ∈ N de tal forma que

R − r

≥

√

Pela deﬁnição de c = a, tem-se

max

0≤t≤1

φ(g(t)) ≤ a +

o que implica,

φ(g(t)) ≤ a +

∀ t ∈ [0, 1]

ou seja

g(t) ∈ φ

∀ t ∈ [0, 1].

Aﬁrmação: Da condição (ii) para cada g ∈ Γ, existe t

∈ (0, 1) tal que

g(t

) − u =

R + r

De fato, considere a seguinte função

f : [0, 1] −→ R

t −→ f(t) = g(t) − u ; g ∈ Γ.

Note que

0 < r < R

daí,

r < 2r < R + r < 2R

portanto,

< r <

R + r

< R.

Assim,

f(0) = g(0) − u = u − u = 0 <

R + r

f(1) = g(1) − u = v − u > R >

R + r

isto é,

f(0) <

R + r

< f(1).

Logo, pelo Teorema do Valor Intermediario, existe t

∈ (0, 1) tal que

f(t

) = g(t

) − u =

R + r

mostrando a aﬁrmação. Agora, vamos considerar u

= g(t

), então

a ≤ φ(u

) ≤ a +

u

− u =

R + r

Supondo por contradição que o Teorema 1.14 pode ser aplicado com S = {u

c = a,  =

e δ =

√

, para cada

u ∈ φ

−1

([c −

, c +

]) ∩ S

√

implica





(u)



≥

√

Usando o fato u

∈ φ

∩ S

, segue da propriedade (iii) η(1, φ

a+

∩ S) ⊂ φ

a−

∩ S

logo

= η(1, u

) ∈ φ

a−

∩ S

√

. (3.4)

Note que

v

− u ≤ v

− u

 + u

− u

logo,

v

− u ≤

√

R + r

≤

R − r

R + r

= R,

Por outro lado,

v

− u ≥ u

− u − v

− u



portanto,

v

− u ≥

R + r

−

√

≥

R + r

−

R − r

logo,

v

− u ≥ r

concluído desta forma que

r ≤ v

− u ≤ R.

Por (3.4) tem-se

φ(v

) ≤ a −

< a

e por (ii) segue

φ(v

) ≥ a

o que é um absurdo. Então, o Teorema 1.14 não pode ser aplicado, portanto existe

algum

,δ

∈ φ

−1

([c − 2, c + 2]) ∩ S

2δ

tal que





,δ

)



≤

4

logo,

u

− w

,δ

 ≤ 2δ.

Sejam  =

, δ =

√

e considere w

= w

√

, então

c −

≤ φ(w

) ≤ c +

, (3.5)





)



≤

√

(3.6)

u

− w

 ≤

√

Observe que

w

− u ≤ w

− u

 + u

− u ≤

√

R + r

≤ R − r +

R + r

o que implica,

w

− u ≤

3R − r

Por outro lado,

w

 − u ≤ w

− u ≤

3R − r

de onde segue

w

 ≤

3R − r

+ u = C, ∀ n ∈ N,

ou seja, w

é limitada.

Passando ao limite em (3.5) e (3.6) tem-se

φ(w

) −→ c e φ



) −→ 0.

Da condição (F P S) temos que existe uma subsequência (w

) tal que

−→ w em X

portanto, usando o fato que φ ∈ C

(X, R) temos

φ(w

) −→ φ(w) e φ



) −→ φ



(w).

Logo, pela unicidade do limite

φ(w) = c e φ



(w) = 0,

mostrando que c é valor crítico de φ. Por outro lado,



− w



≤



− w



− w



o que implica,



− w



≤

√



− w



daí, passando ao limite tem-se



− w



−→ 0,

isto é,

−→ w em X.

Desde que



− u



R + r

passando ao limite obtemos

w − u =

R + r

mostrando o Teorema. 

Capítulo 4

Soluções Periódicas da Equação do

Pêndulo Forçado

Nosso objetivo neste capítulo é usar métodos variacionais para mostrar a existên-

cia de soluções T -periódicas da equação

¨u + G



(u) = f (t) (4.1)

a qual é de grande importância para a Mecânica e a Física Matemática. Em particular,

se considerarmos G(u) = −cos u, obtemos a equação do pêndulo forçado

¨u + sin(u) = f(t).

A garantia de solução T -periódica para a equação (4.1), é devido a Ambrosetti-Rabinowitz

(ver[13]) e consiste em determinar pontos críticos do funcional energia deﬁnido por

Φ(u) =



[

˙u

− G(u) + fu]dt.

4.1 Preliminares

Nesta seção vamos fazer um breve estudo sobre as séries de Fourier e demonstrar

alguns resultados básicos que serão utilizados ao decorrer deste cápitulo. Maiores

detalhes podem ser encontrados em [11].

Seja u : [0, T ] −→ R, uma função integrável, a sua série de Fourier é a série da da

por

S[u] =

∞



k=1



cos(

2kπ

t) + b

sin(

2kπ



. (4.2)

Podemos rescrever a série de Fourier de uma função u deﬁnida em [0, T ] de uma maneira

diferente, usando exponênciais complexas. Recorde que se t ∈ R, temos

i2kπ

= cos(

2kπ

t) + i sin(

2kπ

de modo que

cos(

2kπ

t) =

i2kπ

+ e

−i2kπ

sin(

2kπ

t) =

i2kπ

− e

−i2kπ

Portanto,

cos(

2kπ

t) + b

sin(

2kπ

t) = a



i2kπ

+ e

−i2kπ



+ b



i2kπ

− e

−i2kπ



o que implica,

cos(

2kπ

t) + b

sin(

2kπ

t) =





i2kπ



−



−i2kπ

de onde obtemos

cos(

2kπ

t) + b

sin(

2kπ

t) =



− ib



i2kπ



+ ib



−i2kπ

Rescrevendo (4.2) tem-se

S[u] =

∞



k=1



− ib



i2kπ

∞



k=1



+ ib



−i2kπ

assim,

S[u] =



k∈Z

i2kπ

é a série de Fourier complexa de u, onde os coeﬁcientes de Fourier são dados po r

, c

− ib

e c

−k

+ ib

; k ∈ Z.

Recorde que a

, b

, e a

são calculados da seguinte forma:



u(t) cos(

2kπ

t)dt,



u(t) sin(

2kπ

t)dt



u(t)dt.

Teorema 4.1 Seja u contínua, com ˙u ∈ L

([0, T ]) e u T-períodica. Então, a série

de Fourier gerada por u converge uniformente a u. Além disso, vale a identidade de

Parseval

c





k∈Z



|u(t)|

dt =

u

Proposição 4.2 Seja u : R −→ R

uma função absolutamente contínua e T-períodica

tal que



|˙u(t)|

dt < ∞. Se



u(t)dt = 0, então



|u(t)|

dt ≤

4π



|˙u(t)|

dt.

Demonstração: Seja

∼



k∈Z

i2kπ

a série de Fourier gerada por u, então a sua derivada é dada por

˙u

∼



k∈Z

i2kπ

Agora, usando a identidade de Parseva l tem-se



|u(t)|

dt =



k∈Z



|˙u(t)|

dt =



k∈Z

4π

de onde segue



|˙u(t)|

dt =

4π



k∈Z

Assim,

4π



|˙u(t)|

dt =



k∈Z

portanto

4π



|˙u(t)|

dt ≥



|u(t)|

logo,

4π



|˙u(t)|

dt ≥



|u(t)|

mostrando a proposição. 

4.2 Existência de Solu ção

Nesta seção iremos mostrar a existência de soluções T -periódicas para a equação

¨u + G



(u) = f (t),

onde G ∈ C

(R, R) é uma função 2π-p eriódica e f ∈ C(R, R) uma função T -periódica.

No que segue, denotaremos por H o seguinte espaço vetorial

H =



u : R → R ; u absolutamente contínua, T-periódica e



|˙u(t)|

dt < ∞



com a seguinte norma

u





|˙u|

+ |u|



e por Φ : H −→ R, o seguinte funcional

Φ(u) =



[

˙u

− G(u) + fu]dt

o qual está bem deﬁnido sendo de classe C

(H, R) (ver Apêndice B). Além disso, os

pontos críticos de φ são soluções fraca de (4.1), com



(u)h =



[ ˙u

h − G



(u)h + fh]dt ; ∀ h ∈ H.

Lema 4.3 O espaço H é Hilbert com relação ao produto interno dado por

(u, v) =



( ˙u ˙v + uv)dt.

Demonstração: Seja (u

) ⊂ H uma sequência de Cauchy. Então, dado  > 0 existe

∈ N tal que

u

− u



<  para m, n ≥ n

. (4.3)

Observe que

u







| ˙u

+ |u



dt = ¯u



([0,T ])

onde ¯u

= u



[0,T ]

. Por outro lado,

u

− u



= ¯u

− ¯u



([0,T ])

Usando o fato que H

([0, T ]) é Hilbert, existe ¯u ∈ H

([0, T ]) tal que

¯u

−→ ¯u em H

([0, T ]).

Agora, considere u(t) = ¯u(t); t ∈ [0, T ] e deﬁna

u(t) = ¯u(t − kT ) se t ∈ [kT, (k + 1)T ] ; k ∈ Z.

Das imersões continuas de Sobolev,

([0, T ]) → C([0, T ])

assim,

(0) = ¯u

(0) −→ ¯u(0)

(T ) = ¯u

(T ) −→ ¯u(T ).

Segue do fato que u

é T -periódica e da unicidade do limite,

¯u(0) = ¯u(T ).

Portanto, para cada k ∈ Z temos

u(t + T ) = ¯u(t + T − KT ) = u(t),

ou seja,

u(t + T ) = u(t)

mostrando que u é T -periódica e portanto contínua.

Aﬁrmação: u : R −→ R é absolutamente contínua, ou seja, dado  > 0 ∃ δ > 0 tal

que para toda sequência ﬁnita de intervalos disjuntos (a

, b

) de [0, T ] temos:



i=1

− a

| < δ =⇒



i=1

|u(b

) − u(a

)| < .

De fato, para mostrar a aﬁrmação usaremos as seguintes propriedades:

) Se f ∈ L

(X, X, µ) dado  > 0, ∃ δ > 0 tal que µ(B) < δ =⇒



fdµ < .

) Se u ∈ W

1,p

(I), então u(x) − u(y) =





(t)|dt (ver[3]).

Considere,

B = (a

, b

) ∪ (a

, b

) ∪ ... ∪ (a

, b

) em [0, T ]; i = 1, 2, ..., n,

e usando o fato que a união é disjunta,

µ(B) = µ((a

, b

)) + ... + µ((a

, b

)); (µ(B) := medida de Lebesgue)

portanto,

µ(B) = |a

− b

| + |a

− b

| + ... + |a

− b

| =



i=1

− a

| < δ.

Segue de (P

) e (P

)



i=1

|u(b

) − u(a

)| =



i=1







(t)dt



≤



i=1



)



(t)|dt

o que implica,



i=1

|u(b

) − u(a

)| ≤



∪

i=1

)



(t)|dt =





(t)|dt < 

Segue do argumento acima e do fato que u é T -periódica que u deve ser absolutamente

contínua.

Agora, sendo u(t) = ¯u(t); t ∈ [0, T ] uma função T -periódica e absolutamente

contínua com u

→ u em H

([0, T ]), então

u

− u



| ¯u

− ¯u|

dt = ¯u

− ¯u

([0,T ])

−→ 0,

isto é,

−→ u em H.



Lema 4.4 O funcional Φ satisfaz a condição (F P S).

Demonstração: Seja J : H −→ H



onde,

J(u), h =



˙u

hdt +



uhdt , ∀ u, h ∈ H

assim,



(u)h = J(u), h −



[uh − G



(u)h − fh]dt ; ∀ h ∈ H.

Considere também N : H −→ H



com

N(u), h =



[uh − G



(u)h − fh]dt ; ∀ h ∈ H

portanto,

J(u), h − N(u), h =



[ ˙u

h − G



(u)h + fh]dt

o que implica,

J(u), h − N(u), h = Φ



(u)h,

isto é,



(u) = J(u) − N(u).

Aﬁrmação: Se u

 u em H, então N(u

) −→ N(u) em H



De fato, usando a norma em H



temos

N(u

) − N(u)



= sup

h≤1

|N(u

) − N(u), h|.

Agora, observe que

N(u

) − N(u), h =



− G



) − f − (u − G



(u) − f)]hdt

de onde segue

N(u

) − N(u), h =



− u + G



) − G



(u)]hdt

o que implica,

|N(u

) − N(u), h| ≤



− u||h|dt +







) − G



(u)



|h|dt.

Por Hölder, e das imersões contínuas obtemos

|N(u

) − N(u), h| ≤ C u

− u

([0,T ])

h

+ C





) − G



(u)



([0,T ])

h

Agora, usando o fato que u

 u em H, então (u

) é limitada em H. E das imersões

compactas de Sobolev

([0, T ]) → L

([0, T ]).

Assim, dado (u

) limitada em H

([0, T ]) existe uma subsequência, que também deno-

taremos por (u

) tal que

−→ u em L

([0, T ]),

e a menos de subsequência

(t) −→ u(t) q.t.p em [0, T ].

Da continuidade de G



, tem-se



(t)) −→ G



(u(t)) q.t.p em [0, T ]

e portanto,





(t)) − G



(u(t))



−→ 0 q.t.p em [0, T ].

Por outro lado,





) − G



(u)



≤







)





(u)





daí,





) − G



(u)



≤ (M + M)

= 4M

∈ L

([0, T ]),

onde M veriﬁca





(t)



≤ M ∀ t ∈ R.

Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesg ue tem-se

lim

k→∞







) − G



(u)



dt = 0

o que implica,



) −→ G



(u) em L

([0, T ]).

Note que se considerarmos h ≤ 1, obtemos

|N(u

) − N(u), h| ≤ C u

− u

([0,T ])

+ C





) − G



(u)



([0,T ])

(4.4)

de onde segue

N(u

) − N(u)



≤ C u

− u

([0,T ])

+ C





) − G



(u)



([0,T ])

Passando ao limite quando k → ∞ tem-se

N(u

) − N(u)



−→ 0 quando k → ∞,

isto é,

N(u

) −→ N(u) em H



mostrando a aﬁrmação.

Desde que



) = J(u

) − N(u

passando ao limite e usando o fato que Φ



) → 0 e N(u

) → N(u) temos

J(u

) −→ N(u) quando k → ∞.

Agora, note que

J(u), h =



˙u

hdt +



uhdt,

ou seja,

J(u), h = (u, h)

([0,T ])

Segue do Teorema da Representação de Riesz, que podemos fazer a seguinte identiﬁ-

cação

J(u)

∼

e consequentemente

J(u)



= u

([0,T ])

Usando o mesmo raciocínio

N(u), h = (T u, h)

([0,T ])

e fazendo novamente a identiﬁcação com

T u

∼

N(u),

obtemos

N(u)



= T u

([0,T ])

portanto

J(u

) − N(u), h = (u

− T u, h)

([0,T ])

, ∀ h ∈ H

consequentemente,

J(u

) − N(u)



= u

− T u

([0,T ])

. (4.5)

Ora,

J(u

) −→ N(u) quando k → ∞ em H



logo passando ao limite em (4.5) temos

u

− T u

([0,T ])

−→ 0 quando k → ∞

o que implica,

−→ T u.

Considerando w = T u teremos

−→ w

mostrando assim, que Φ satisfaz a condição (F P S).

Teorema 4.5 Se



f(t)dt = 0, então a equação (4.1) tem duas soluções T -periódicas

que não diferem por multiplicidade 2π.

Demonstração: Para cada u ∈ H iremos escrever

v = u −



u(t)dt

w =



u(t)dt

o que implica,

u = v + w (4.6)

assim,

˙u = ˙v. (4.7)

Recorde que

Φ(u) =



[

˙u

− G(u) + fu]dt

daí, por (4.6) e (4.7) obtemos

Φ(u) =



˙v

dt −



G(v + w)dt +



f[v + w]dt

e usando a hipótese que



f(t)dt = 0 tem-se

Φ(u) =



˙v

dt −



G(v + w)dt +



fvdt. (4.8)

Aﬁrmação 1: Φ é limitado inferiormente.

De fato, seja

α = max

u∈R

G(u)

logo, por deﬁnição temos

α ≥ G(u) ∀ u ∈ R

portanto, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz

Φ(u) ≥



˙v

dt − α



dt −













Pela Proposição 4.2 obtemos

Φ(u) ≥



˙v

dt − α T −

4π











˙v



de onde segue

Φ(u) ≥

˙v

([0,T ])

− B ˙v

([0,T ])

− C, (4.9)

ou seja, Φ é limitado inferiormente.

Aﬁrmação 2: Φ é 2π-periódica, isto é, Φ(u + 2π) = Φ(u).

De fato, considere

u = v + w

consequentemente

˙u = ˙v,

então

Φ(u + 2π) =



˙v

dt −



G(v + w + 2π)dt +



f[v + w + 2π]dt

desta forma,

Φ(u + 2π) =



˙v

−



G(v + w + 2π)dt +



fvdt

portanto, usando o fato que

G(v + w + 2π) = G(v + w)

pois G é 2π-periódica, tem-se

Φ(u + 2π) = Φ(u).

Aﬁrmação 3: Φ satisfaz (P S)

para todo c ∈ R.

De fato, seja (u

) uma subsequência em H tal que

Φ(u

) → c e Φ



) → 0.

Desde que Φ(u

) é limitada, segue de (4.9)

≥ |Φ(u

)| ≥

 ˙v



([0,T ])

− B  ˙v



([0,T ])

− C,

ou seja,

 ˙v



([0,T ])

− B  ˙v



([0,T ])

− C ≤ C

portanto, ( ˙v

) é limitada em L

([0, T ]). Por outro lado, pela Proposição 4.2 temos

4π



| ˙v

(t)|

dt ≥



(t)|

o que implica,

v



([0,T ])

≤ C

 ˙v



([0,T ])

de onde temos

v



([0,T ])

≤ C

isto é, (v

) é limitada em L

([0, T ]). Agora, desde que u

= v

+ w

; w

∈ R, temos

pela periocidade de Φ que

Φ(u

) = Φ(v

+ ˆw

); ˆw

∈ [0, 2π].

Denotando ˆu

= v

+ ˆw

temos

Φ(ˆu

) = Φ(u

) −→ c e Φ



(ˆu

) = Φ



) −→ 0. (4.10)

Observe que



ˆw

≤ 4π

isto é,

ˆw



([0,T ])

≤ 4π

de onde segue

ˆw



([0,T ])

≤ 2π

√

T ,

mostrando que ( ˆw

) é limitada em L

([0, T ]). Assim, como (v

) e ( ˆw

) são limitadas

podemos concluir que (ˆu

) é limitada em H, então pelo Lema 4.4, (ˆu

) contém uma

subsequência que também denotaremos por (ˆu

) tal que

ˆu

−→ u em H.

Então, por (4.10) tem-se

Φ(ˆu

) → c e Φ



(ˆu

) → 0

por outro lado,

Φ(ˆu

) → Φ(u) e Φ



(ˆu

) → Φ



(u)

pois, Φ ∈ C

. Logo, pela unicidade do limite temos

Φ(u) = c e Φ



(u) = 0,

então c é um valor crítico, mostrando que Φ satisfaz a condição (P S)

Segue da Aﬁrmação 1 e Aﬁrmação 3, juntamente com o Teorema 3.3 que Φ

tem um mínimo em algum ponto u ∈ H. Consequentemente, da Aﬁrmação 2

Φ(u + 2π) = Φ(u) = min

Φ.

Considerando v = u + 2π observe que

u − v





[ ˙u − ˙v]

dt +



[u − v]



e do fato que ˙u = ˙v, tem-se

u − v





[u − v]



ou seja,

u − v





(2π)



o que implica,

u − v

= 2π

√

T .

Aplicando o Teorema 3.5 com v = u + 2π, 0 < r < R < 2π

√

T , w veriﬁcando

r ≤ w − u ≤ R

e observando que

Φ(w) ≥ a = max {Φ(u), Φ(v)},

então o nível minimáx c ≥ a e c é um valor crítico de Φ. Agora, note que

(i) Se c > a, suponha que u

é um ponto crítico com Φ(u

) = c e usando o fato que

Φ(u) = a, então

Φ(u

) > Φ(u)

consequentemente

= u + 2kπ,

pois caso contrário pela periodicidade de Φ teriamos Φ(u

) = Φ(u), o que seria um

absurdo.

(ii) Se c = a, p elo Teorema 3.5 temos um ponto crítico u

que veriﬁca Φ(u

) = a com

Φ(u

) = Φ(u) e u

− u =

R + r

. (4.11)

Considerando u

= u + 2kπ temos

u

− u



[ ˙u

− ˙u]

dt +



[2kπ]

e sendo ˙u

= ˙u, segue

u

− u = 2 |k|π

√

T ≥ 2π

√

portanto, usando o fato que 0 < r < R < 2 |k|π

√

T obtemos

R + r

< 2 |k|π

√

T = u

− u

o que contradiz (4.11). Logo, u

= u + 2kπ mostrando que a equação (4.1) possui duas

soluções que não diferem por multiplicidade 2π. 

Apêndice A

Grau topológico de Brouwe r

Neste apêndice faremos uma breve apresentação dessa importante ferramenta

topológica e de suas principais propriedades (ver [4]).

Seja φ ∈ C(

U, R

) onde U ⊂ R

é um conjunto aberto limitado. Dado b ∈

\ φ(∂U) o problema consiste em resolver a equação

φ(x) = b (A.1)

em U. Isto pode ser feito em certos casos usando-se o chamado Grau de Brouwer

da aplicação φ (relativo a U no ponto a), que é denotado por d(φ, U, b), o qual é um

inteiro que representa uma "contagem algébrica" do número de soluções de (A.1).

Citaremos a seguir, algumas propriedades que foram utilizada s durante o decorrer

deste trabalho:

) (Normalização) Se I

: U → R

é a aplicação inclusão então

d(I

, U, b) =







1, se b ∈ U

0, se b /∈ U

) (Dependência na fronteira) Se Ψ = φ em ∂U então

d(Ψ, U, b) = d(φ, U, b).

) (Propriedade de existência) Se d(Ψ, U, b) = 0 então existe uma solução x

∈ U

de (A

Apêndice B

Funcionais diferenciáveis

Neste apêndice o nosso objetivo é mostrar que os funcionais deﬁnidos no decorrer

deste trabalho são de classe C

Deﬁnição B.1 Seja J : X −→ R um funcional, onde X é um espaço normado. Dire-

mos que J é Fréchet Diferenciável em u ∈ X, se existe L : X −→ R funcional linear

contínuo veriﬁcando o seguinte

|J(u + h) − J(u) − L(h)|

h

−→ 0 quando h → 0.

Considere o funcional deﬁnido por

Φ : H

) −→ R

u −→ Φ(u) =



(|∇u|

+ |u|

)dx −



hdx −



G(x, u)dx,

mostraremos neste momento apenas que

I : H

) −→ R

u −→ I(u) =



G(x, u)dx

é de classe C

), R).

Aﬁrmação 1: I é Fréchet diferenciável.

De fato, seja u ∈ H

) e para cada v ∈ H

), considere

r(v) = I(u + v) − I(u) − L(v),

de onde segue

r(v) = I(u + v) − I(u) −



g(x, u)dx. (B.1)

Nosso objetivo é mostrar que

lim

v→0

|r(v)|

v

= 0.

De (B

) temos

r(v) =



(G(x, u + v) − G(x, u)) dx −





(x, u)vdx.

Aﬁrmação 2: Segue do Teorema Fundamental do Cálculo,

G(x, u + v) − G(x, u) =



G(x, u + tv)dt.

De fato, considere a seguinte função

f : [0, 1] −→ R

t −→ f(t) = G(x, u + tv) com u, v e x fixados,

temos





(t)dt = f (1) − f(0).

Por outro lado





(t)dt =



G(x, u + tv)dt = G(x, u + v) − G(x, u),

mostrando a aﬁrmação 2. Note que,

G(x, u + tv)dt = G



(x, u + tv)v

consequentemente



G(x, u + tv)dt =





(x, u + tv)vdt

portanto,

r(v) =







g(x, u + tv)vdt



dx −



g(x, u)vdx

o que implica,

r(v) =







g(x, u + tv)vdt − g(x, u)v



assim,

r(v) =







g(x, u + tv)vdt −



g(x, u)vdt



de onde temos

r(v) =







(g(x, u + tv) − g(x, u)) vdt



dx,

ou seja,

|r(v)| ≤







|g(x, u + tv) − g(x, u)||v|dt



dx. (B.2)

Desde de que v ∈ H

), segue das imersões continuas de Sobolev

) → L

); s = 2

∗

N − 2

logo v ∈ L

Aﬁrmação 3: A função f(x) = g(x, u+tv)−g(x, u) ∈ L

); ∀ t ∈ [0, 1] e r =

N+2

De fato,

|f(x)|

≤ (|g(x, u + tv)| + |g(x, u)|)

≤ (Z(x) + Z(x))

= (2Z(x))

o que implica,



|f(x)|

≤



(2Z(x))

= 2

Z(x)

r−1

∞



Z(x)dx < ∞

de onde segue que f ∈ L

Aplicando o Teorema de Fubini em (B.2) temos

|r(v)| ≤







|g(x, u + tv) − g(x, u)||v|dx



dt,

usando Hölder segue

|r(v)| ≤



g(x, u + tv) − g(x, u)

)

v

)

e das imersões continuas de Sobolev tem-se

|r(v)| ≤ C



g(x, u + tv) − g(x, u)

)

vdt,

consequentemente

|r(v)|

v

≤ C



g(x, u + tv) − g(x, u)

)

dt.

Nosso objetivo nesse momento é mostrar que

|r(v

v



−→ 0 quando v

→ 0 em H

Para cada n ∈ N deﬁna

: [0, 1] −→ R

t −→ s

(t) = g(x, u + tv

) − g(x, u)

)

portanto,

|r(v

v



≤



(t)dt

assim, basta mostrar que



(t)dt −→ 0 n → ∞.

Aﬁrmação 4: Para cada t ﬁxado, temos g(x, u + tv

) − g(x, u)

)

−→ 0.

De fato, desde que v

→ 0 em H

) segue das imersões continuas de Sobolev que

−→ 0 em L

)

portanto a menos de subsequência

(x) −→ 0 q.t.p em R

Usando o fato de que g é contínua,

g(x, (u + tv

)(x)) −→ g(x, u(x)) q.t.p em R

logo,

|g(x, u + tv

) − g(x, u)|

−→ 0 q.t.p em R

Por outro lado,

|g(x, u + tv

) − g(x, u)|

≤ (|g(x, u + tv

)| + |g(x, u)|)

o que implica,

|g(x, u + tv

) − g(x, u)|

≤ (2Z(x))

∈ L

Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesg ue temos

lim

n→∞



|g(x, u + tv

) − g(x, u)|

dx = 0,

consequentemente, para cada t ﬁxado

(t) −→ 0, ∀ t ∈ [0, 1].

Mostraremos agora que {s

} é limitada por uma função η ∈ L

Desde de que s

(t) = g(x, u + tv

) − g(x, u)

)

, então

0 ≤ s

(t) ≤ g(x, u + tv

)

)

+ g(x, u)

)

o que implica,

(t) ≤



|Z(x)|

dx +



|Z(x)|

dx = 2



|Z(x)|

dx = η ∈ L

Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesg ue temos

lim

n→∞



(t)dt = 0,

isto é,

−→ 0 em L

)

mostrando que I é Fréchet diferenciável com



(u)v =



g(x, u)vdx.

Observação: Em verdade mostramos que dado {v

} com v

 → 0, existe





⊂

} satisfazendo

lim

→∞



r(v

)





= 0. (B.3)

Aﬁrmação 5: O limite em (B.3) ocorre de fato para sequência {v

De fato, suponha que (B.3) não vale para {v

}, então deve existir {v

} e δ > 0 tal

que

|r(v

v



≥ δ ∀ n

. (B.4)

Repetindo o argumento utilizado anteriormente trocando {v

} por {v

}, iremos en-

contrar





⊂ {v

} com

lim

→∞



r(v

)





= 0

o que seria um absurdo com (B.4), mostrando que a aﬁrmação ocorre.

Aﬁrmação 6: I



é contínua, ou seja, se u

→ u em H

), devemos ter

I



) − I



(u)

−1

)

−→ 0 quando n → ∞.

Para mostrar essa aﬁrmação basta veriﬁcar que

g(x, u + v) −→ g(x, u) em L

); quando v → 0; v ∈ H

)

o que é equivalente a

g(x, u + v

) −→ g(x, u) com v

→ 0 quando n → 0.

De fato, considere {v

} ⊂ H

) com v

→ 0 e J

(x) = g(x, u + v

). Segue das

imersões continuas de Sobolev

−→ 0 em L

)

logo, a menos de subsequência

(x) −→ u(x) q.t.p em R

Sendo g contínua, temos

g(x, (u + v

)(x)) −→ g(x, u(x)) q.t.p em R

de onde segue

(x) −→ J(x) q.t.p em R

portanto,

(x) − J(x)|

−→ 0 q.t.p em R

Por outro lado,

(x) − J(x)|

≤ (|g(x, u + v

)| + |g(x, u)|)

o que implica,

(x) − J(x)|

≤ (2Z(x))

∈ L

Agora, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue

lim

n→∞



(x) − J(x)|

dx = 0,

ou seja,

g(x, u + v

) −→ g(x, u) em L

Por deﬁnição,

I



(u + v

) − I



(u)

−1

)

= sup

v≤1

|I



(u + v

) − I



(u), v|

e observe que

|I



(u + v

) − I



(u), v| =





(g(x, u + v

) − g(x, u))vdx



de onde temos

|I



(u + v

) − I



(u), v| ≤



|(g(x, u + v

) − g(x, u))||v|dx.

Por H¨older segue

|I



(u + v

) − I



(u), v| ≤ g(x, u + v

) − g(x, u)

)

v

)

portanto, para v ≤ 1,

|I



(u + v

) − I



(u), v| ≤ C g(x, u + v

) − g(x, u)

)

e então

I



(u + v

) − I



(u)

−1

)

≤ C g(x, u + v

) − g(x, u)

)

−→ 0 quando n → ∞,

isto é,



(u + v

) −→ I



(u) em H

−1

mostrando que I



é contínuo. 

Nosso objetivo agora, é mostrar que o funcional deﬁnido no Capítulo 4

Φ : H −→ R

u −→ Φ(u) =





˙u

− G(u) + fu



é de classe C

(H, R). Utilizando o mesmo raciocínio feito anteriormente para o funcional

I, mostraremos apenas que

ψ : H −→ R

u −→ ψ(u) =



G(u)dx

é de classe C

(H, R).

Aﬁrmação 1: ψ é Fréchet diferenciável.

De fato, seja u ∈ H([0, T ]) e para cada v ∈ H([0, T ]), considere

r(v) = ψ(u + v) − ψ(u) −





(u)vdx. (B.5)

De maneira análoga a que usamos para I, vamos veriﬁcar que

lim

v→0

|r(v)|

v

= 0.

De (B.5) temos que

r(v) =



(G(u + v) − G(u)) dx −





(u)vdx,

segue do Teorema Fundamental do Cálculo

G(u + v) − G(u) =



G(u + tv)dt

consequentemente,



G(u + tv)dt =





(u + tv)vdt

portanto,

r(v) =









(u + tv)vdt



dx −





(u)vdx

o que implica,

r(v) =









(u + tv)vdt −





(u)vdt



de onde temos

r(v) =









(u + tv) − G



(u)) vdt



dx,

ou seja,

|r(v)| ≤









(u + tv) − G



(u)||v|dt



dx. (B.6)

Note que das imersões continuas de Sobolev

H([0, T ]) → L

([0, T ])

logo v ∈ L

([0, T ]).

Aﬁrmação 2: Para cada t ∈ [0, T ] a função

f(x) = G



(u + tv) − G



(u) ∈ L

([0, T ])

De fato,

|f(x)|

= (|G



(u + tv)| + |G



(u)|)

≤ (M + M)

= (2M)

onde M veriﬁca



(t)| ≤ M ∀ t ∈ R.

O que implica,



|f(x)|

dx ≤



(2M)

dx = (2M )

de onde segue que f ∈ L

([0, T ]). Aplicando o Teorema de Fubini em (B.6) temos

|r(v)| ≤









(u + tv) − G



(u)||v|dx



dt,

usando H¨older

|r(v)| ≤



G



(u + tv) − G



(u)

([0,T ])

v

([0,T ])

e das imersões continuas de Sobolev tem-se

|r(v)| ≤ C



G



(u + tv) − G



(u)

([0,T ])

vdt,

de onde segue

|r(v)|

v

≤ C



G



(u + tv) − G



(u)

([0,T ])

dt.

Nosso objetivo nesse momento é mostrar que

|r(v

v



−→ 0 quando v

→ 0.

Para cada n ∈ N, deﬁna

: [0, 1] −→ R

t −→ s

(t) = G



(u + tv

) − G



(u)

([0,T ])

portanto,

|r(v

v



≤



(t)dt

assim, basta mostrar que



(t)dt −→ 0 n → ∞.

Aﬁrmação 3: Para cada t ﬁxado, temos

G



(u + tv

) − G



(u)

([0,T ])

−→ 0.

De fato, considere v

→ 0 em H([0, T ]) e das imersões continuas de Sobolev,

−→ 0 em L

([0, T ])

portanto a menos de subsequência

(x) −→ u(x) q.t.p em [0, T ],

e sendo G



é contínua



((u + tv

)(x)) −→ G



(u(x)) q.t.p em [0, T ]

logo,



(u + tv

) − G



(u)|

−→ 0 q.t.p em [0, T ].

Por outro lado,



(u + tv

) − G



(u)|

≤ (|G



(u + tv

)| + |G



(u)|)

o que implica,



(u + tv

) − G



(u)|

≤ (2M)

∈ L

([0, T ]) ∀ n ∈ N.

Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesg ue temos

lim

n→∞





(u + tv

) − G



(u)|

dx = 0

consequentemente, para cada t ﬁxado

(t) −→ 0, ∀ t ∈ [0, 1].

Mostraremos agora que s

é limitada por uma função η ∈ L

([0, T ]). Desde de que

(t) = G



(u + tv

) − G



(u)

([0,T ])

então

0 ≤ s

(t) ≤ G



(u + tv

)

([0,T ])

+ G



(u)

([0,T ])

o que implica,

(t) ≤ 2M







= 2MT

= η

de onde segue

(t) ≤ η ∈ L

([0, T ]).

Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesg ue temos

lim

n→∞



(t)dt = 0,

isto é,

−→ 0 em L

([0, T ])

mostrando que ψ é Fréchet diferenciável com



(u)v =





(u)vdx.

Aﬁrmação 4: ψ



é contínua, ou seja, se u

→ u em H([0, T ]), devemos ter

ψ



) − ψ



(u)



−→ 0 quando n → ∞.

Para mostrar a Aﬁrmação 4, começamos veriﬁcando que vale o seguinte limite



(u + v) −→ G



(u) em L

([0, T ]); quando v → 0; v ∈ H([0, T ])

o que é equivalente a



(u + v

) −→ G



(u) com v

→ 0 quando n → 0.

De fato, considere {v

} ⊂ H([0, T ]) com v

→ 0. Das imersões contínuas de Sobolev

−→ 0 em L

([0, T ])

logo, a menos de subsequência

(x) −→ u(x) q.t.p em [0, T ].

Sendo G



contínua, temos



((u + v

)(x) −→ G



(u(x)) q.t.p em [0, T ]

portanto,



((u + v

)(x) − G



(u(x))|

−→ 0 q.t.p em [0, T ].

Por outro lado,



((u + v

)(x) − G



(u(x))|

≤ (|G



(u + v

)| + |G



(u)|)

o que implica,



(u + v

)(x) − G



(u(x))|

≤ (2M)

∈ L

([0, T ]).

Agora, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue

lim

n→∞





(u + v

)(x) − G



(u(x))|

dx = 0,

ou seja,



(u + v

) −→ G



(u) em L

([0, T ]).

Por deﬁnição,

ψ



(u + v

) − ψ



(u)



([0,T ])

= sup

v≤1

|ψ



(u + v

) − ψ



(u), v|

e observe que

|ψ



(u + v

) − ψ



(u), v| =







(u + v

) − G



(u))vdx



de onde temos

|ψ



(u + v

) − ψ



(u), v| ≤



|(G



(u + v

) − G



(u))||v|dx.

Por H¨older segue

|ψ



(u + v

) − ψ



(u), v| ≤ G



(u + v

) − G



(u)

([0,T ])

v

([0,T ])

e das imersões continuas de Sobolev e usando o fato que v ≤ 1 obtemos

|ψ



(u + v

) − ψ



(u), v| ≤ C G



(u + v

) − G



(u)

([0,T ])

;

consequentemente,

ψ



(u + v

) − ψ



(u)



([0,T ])

≤ C G



(u + v

) − G



(u)

([0,T ])

−→ 0 quando n → ∞,

isto é,



(u + v

) −→ ψ



(u)

mostrando que ψ



é contínuo. 

Apêndice C

Operadores Compactos

Neste ap êndice vamos mostrar que o operador T : H

) −→ H

), deﬁnido

por T (u) = ∇ψ(u), o qual foi considerado no Capítulo 2 é compacto.

Sabemos que H

) é um espaço de Hilbert, então pelo Teorema da Represen-

tação de Riesz existe um único vetor denotado por ∇Φ(u) tal que



(u).v = (∇Φ(u), v) , ∀ v ∈ H

Recorde que,

Φ : H

) −→ R

u −→ Φ(u) =



(|∇u|

+ |u|

)dx −



hdx −



G(x, u)dx,

então



(u).v =



(∇u∇v + uv) dx − ψ



(u)v; u, v ∈ H

onde estamos considerando

ψ(u) =



hdx −



G(x, u)dx.

Usando novamente o Teorema da Representação de Riesz para ψ



(u), segue que



(u)v = (∇ψ(u), v) ; v ∈ H

)

portanto,

(∇Φ(u), v) = (u, v) − (∇ψ(u), v)

assim,

(∇Φ(u), v) = (u − ∇ψ(u), v)

consequentemente

∇Φ(u) = u − ∇ψ(u).

Considerando T (u) = ∇ψ(u) temos

∇Φ(u) = u − T (u).

Proposição C.1 O operador T : H

) −→ H

) é compacto.

Demonstração: Considere (u

) ⊂ H

) uma sequência limitada, sendo H

)

reﬂexivo, então existe uma subsequência

 u em H

Segue do Teorema 2.4 que vale a imersão compacta de

) → L

, hdx)

assim,

−→ u em L

, hdx). (C.1)

Aﬁrmação: Se f (x, u) = λ

hu + g(x, u) , então f(x, u

) −→ f(x, u) em L

De fato, segue de (C.1) que a menos de subsequência

(x) −→ u(x) q.t.p em R

(x)| ≤ F q.t.p em R

onde F ∈ L

, hdx). Desde que f é contínua,

f(x, u

(x)) −→ f(x, u(x)) q.t.p em R

consequentemente,

|f(x, u

(x)) − f(x, u(x))|

−→ 0 q.t.p em R

Por outro lado,

|f(x, u

(x)) − f(x, u(x))|

≤ (|f(x, u

(x))| + |f(x, u(x))|)

o que implica,

|f(x, u

(x)) − f(x, u(x))|

≤ C



|f(x, u

(x))|

+ |f(x, u(x))|



portanto

|f(x, u

(x)) − f(x, u(x))|

≤ C



|h|

+ |Z(x)|

+ |h|

|u|

+ |Z(x)|



Agora, note que

(x)| ≤ F ∈ L

, hdx)

logo

≤ h

de onde segue



dx ≤ h

∞



dx < ∞

o que implica,

∈ L

)

assim,

|f(x, u

(x)) − f(x, u(x))|

≤ C



+ h

|u|

+ 2 |Z(x)|



∈ L

Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesg ue temos

lim

n→∞



|f(x, u

(x)) − f(x, u(x))|

dx = 0,

isto é,

f(x, u

(x)) −→ f(x, u(x)) em L

)

Daí, usando o Teorema da Representação de Riesz tem-se

T (u

) − T (u) = ψ



) − ψ



(u)

−1

)

= sup

v≤1

|ψ



) − ψ



(u), v|

por outro lado,

|ψ



) − ψ



(u), v| ≤



|f(x, u

) − f(x, u)||v|dx

portanto, usando H¨older e as imersões continuas de Sobolev para v ≤ 1, tem-se

|ψ



) − ψ



(u), v| ≤ C f(x, u

) − f(x, u)

)

consequentemente,

T (u

) − T (u) ≤ C f(x, u

) − f(x, u)

)

−→ 0

mostrando que T é compacto. 

Apêndice D

Resultados utilizados na dissertação

Neste apêndice enunciaremos as principais deﬁnições e teoremas utilizados no

decorrer deste trabalho.

Deﬁnição D.1 (Ver [7]) Uma família C=(C

)

λ∈L

de subconjuntos de um espaço métrico

M chama-se localmente ﬁnita quando todo ponto x ∈ M possui uma vizinhaça que in-

tercepta apenas um número ﬁnito de conjuntos C

Em termos mais explicitos: C é localmente ﬁnita se, e somente se, para cada x ∈ M

existem índices λ

, ..., λ

∈ L e uma vizinhaça V  x tais que V ∩ C

= ∅ ⇒ λ ∈

{λ

, ..., λ

Deﬁnição D.2 (Ver [7]) Um espaço métrico M chama-se paracompacto quando toda

cobertura aberta de M pode ser reﬁnada por uma cobertura aberta localmente ﬁnita.

Deﬁnição D.3 (Ver [7]) Seja M um espaço métrico. Uma partição de unidade em

M é uma família (φ

)

λ∈L

de funções contínuas φ

: M −→ R tais que:

1) Para todo x ∈ M e todo λ ∈ L, tem-se φ

(x) ≥ 0;

2) A família C=(supp(φ

))

λ∈L

é localmente ﬁnita em M;

3) Para todo x ∈ M tem-se



λ∈L

(x) = 1.

Teorema D.4 (Ver [7]) Todo espaço métrico separável é paracompacto.

Teorema D.5 (Imersões de Sobolev)(Ver [1]) As seguintes imersões são contínuas:

) → L

), 2 ≤ p < ∞, se N = 1 ou N = 2;

) → L

), 2 ≤ p < 2

∗

, se N ≥ 3 onde 2

∗

N − 2

100

101

Teorema D.6 (Imersões de Rellich)(Ver [1]) Se Ω for limitado, vale a seguinte imer-

são compacta

(Ω) → L

(Ω), 1 ≤ p < 2

∗

Teorema D.7 (Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue)(Ver [2]) Seja f

uma sequência de funções integráveis que convergem em quase toda parte para uma

função mensurável f. Se existe uma função integrável g tal que

| ≤ g ∀ n ∈ N,

então f é integrável e



fdµ = lim



dµ.

Teorema D.8 (Desigualdade de H¨older)(Ver [2]) Seja f ∈ L

(Ω) e g ∈ L

(Ω), onde

1 ≤ p < +∞ e

= 1. Então,

fg ∈ L

(Ω) e |fg|

(Ω)

≤ |f|

(Ω)

|g|

(Ω)

Teorema D.9 (Ver [3]) Seja (x

) uma sequência fracamente convergente em um es-

paço normado, isto é, existe x ∈ X tal que x

 x em X. Então,

(i) O limete fraco x de (x

) é único.

(ii) Toda subsequência (x

) ⊂ (x

) converge fraco para x.

(iii) A sequência (x

) é limitada.

Teorema D.10 (Teorema de Riesz)(Ver [5]) Todo funcional linear f sobre um espaço

de Hilbert, pode ser representado em termos do produto interno, isto é,

f(x) = z, x

onde z é unicamente determinado e veriﬁca

f = z.

Teorema D.11 (Ver [3]) Seja H um espaço de Banach reﬂexivo. Se (u

) é uma

sequência limitada em H, então existem uma subsequência (u

) ⊂ (u

) e u ∈ X tais

que

 x em H.

Teorema D.12 (Ver [3]) Seja H um espaço de Banach. Sejam G e L dois subspaços

vetoriais fechados tais que G + L é fechado. Então existe uma constante c ≥ 0 tal que

todo z ∈ G + L admite uma decomposição da forma z = x + y com x ∈ G, y ∈ L,

x ≤ c z e y ≤ c z.

102

Corolário D.13 A projeção

P : X −→ V

x −→ P (x) = x

; x

∈ V

é contínua, onde X = V ⊕ W.

De fato, seja x ∈ X, x = x

+ x

tal que x

∈ V e x

∈ W. Por deﬁniç˜cao P (x) = x

segue do Teorema D.12

P (x) = x

 ≤ c x

mostrando que P (x) ≤ c x, ou seja, a projeção P é contínua. 

Teorema D.14 (Ver [3]) Suponhamos que H um espaço de Hilbert é separável. Seja T

um operador compacto e autoadjunto. Então H admite uma base Hilbertiana formada

por vetores próprios de T.

Teorema D.15 (Teorema de Fubini)(Ver [1]) Suponhamos que F ∈ L

(Ω

× Ω

Então, para todo x ∈ Ω

F (x, y) ∈ L

(Ω

) e



Ω

F (x, y)dy ∈ L

(Ω

De maneira análoga, para todo y ∈ Ω

F (x, y) ∈ L

(Ω

) e



Ω

F (x, y)dx ∈ L

(Ω

Além disso,



Ω



Ω

F (x, y)dy =



Ω



Ω

F (x, y)dx.

Teorema D.16 (Critério de Compacidade)(Ver [5]) Sejam X e Y espaços normados.

Um operador linear T : X −→ Y é compacto se, e somente se, toda sequência limitada

) ⊂ X tem a propriedade que a sequência (T (x

)) ⊂ Y possui uma subsequência

convergente.

Teorema D.17 (Ver [5]) Sejam X e Y espaços vetoriais normados e T : X −→ Y um

operador linear compacto. Se (x

) ⊂ X veriﬁca

 x em X,

então

T (x

) −→ T (x) em Y.

103

Lema D.18 (Du Bois Raymond)(Ver [3]) Seja u ∈ L

loc

(Ω) tal que



Ω

uφdx = 0 ∀ φ ∈ C

(Ω).

Então,

u = 0 q.t.p em Ω.

Proposição D.19 Seja G um espaço de Banach e f : [a, b] −→ G uma função con-

tínua. Então,





f(t)dt



≤



f(t)dt. (D.1)

Demonstração: Fixe {ϕ

} uma sequência de funções escadas com

sup

t∈[a,b]

ϕ

(t) − f(t) −→ 0. (D.2)

Por deﬁnição



f(t)dt = lim

n→∞



(t)dt,

ou seja,





f(t)dt −



(t)dt



−→ 0

o que implica





(t)dt



−→





f(t)dt



. (D.3)

Por outro lado



ϕ

(t)dt −→



f(t)dt, (D.4)

pois





ϕ

(t)dt −



f(t)dt





(ϕ

(t) − f(t))dt



consequentemente,





ϕ

(t)dt −



f(t)dt



≤



|ϕ

(t) − f(t)|dt

de onde segue





ϕ

(t)dt −



f(t)dt



≤



ϕ

(t) − f(t)

portanto de (D2) temos





ϕ

(t)dt −



f(t)dt



−→ 0

104

mostrando (D4).

Mostraremos agora que (D1) ocorre para funções escadas em geral.

De fato, seja

ϕ(t) =



i=1

i−1

)

(t)

assim,



ϕ(t)dt =



i=1

− a

i−1

o que implica





ϕ(t)dt



≤



i=1

− a

i−1

) w

 =



ϕ(t)dt,

pois

ϕ(t) =



i=1

w

χ

i−1

)

(t).

Desta forma





ϕ(t)dt



≤



ϕ(t)dt.

Usando a sequência {ϕ

} tem-se





(t)dt



≤



ϕ

(t)dt,

por (D3) e (D4) obtemos





f(t)dt



≤



f(t)dt.

Bibliograﬁa

[1] Adams, R. A., Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975.

[2] Bartle, Robert G., The Elements of Integration and Lebesgue Measure, Wiley, New

York, 1995.

[3] Brézis, Haim, Analyse fonctionelle. 2

ed. Masson, 1987.

[4] Costa, David Goldstein, Tópicos em análise não-linear e Aplicações ás Equações

Diferenciais. CNPq-IMPA, 1986.

[5] Kreyszing, Erwin, Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley.

1989.

[6] Lima, E.L., Curso de Análise, Vo l. 1, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro,

1976.

[7] Lima, E.L., Espaços métricos, Projeto Euclides, CNPq-IMPA, 1977.

[8] Lima, E.L., Curso de Análise, Vol. 2 (6

edição), Projeto Euclides, IMPA, Rio de

Janeiro, 2000.

[9] Cavalcante, Luís Paulo de Lacerda, Existência de soluções positivas para uma

classe de problemas elípticas não lineares em domínios não limitados. Disser-

tação de Mestrado. UFCG, 2004.

[10] Lang, serg, Analysis II. Addison-Wesley, 1969.

[11] Iório Jr., Rafael José e Iório, Valéria, Equações Diferenciais Parciais: Uma Intro-

dução, CNPq-IMPA, Rio de Janeiro, 1988.

[12] Sotomayor, Jo rge, Lições de equações diferenciais ordinárias. Projeto Euclides

IMPA, 1979.

[13] Willem, Michel, Lectures on Critical Point Theory, Michel Willem, 1983.

105

106

[14] Willem, Michel, Minimax Theorems. Birkh¨auser, 1996.

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