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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Controle Ativo de Vibrações de Rotores com
Mancais Magnéticos – Influência dos
Parâmetros do Controlador PID
Paulo Henrique Fulanete Guiráo
Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia de Ilha
Solteira da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita
Filho”, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do
título de Mestre em Engenharia Mecânica.
Orientador: Prof. Dr. Luiz de Paula do Nascimento
Ilha Solteira, Agosto de 2006.
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Dedico este trabalho primeiramente à Deus,
pelo dom da vida. Aos meus pais Aparecido e
Fátima, à minha namorada Tatiana e aos meus
irmãos Fábio e Carlos.
3
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pela vida e por todos os outros infinitos fatores que me
possibilitaram escrever este trabalho.
Aos meus pais Aparecido e Fátima, que me criaram dentro de princípios de ética,
moral, honestidade, responsabilidade e fé. Grande parte do que sou devo a vocês.
À minha namorada Tatiana, pelo amor incondicional e pelo carinho em todos os
momentos.
Aos meus irmãos, Fábio e Carlos, verdadeiros companheiros.
Aos meus amigos de Mestrado, em especial ao amigo Tobias, companheiro de todas
as horas.
À todos os meus professores, em especial ao professor Luiz de Paula e Gilberto, pela
amizade e pelos conselhos construtivos durante a graduação e pós-graduação.
Ao Departamento de Engenharia Mecânica da Faculdade de Engenharia de Ilha
Solteira – UNESP, sem o qual este trabalho não poderia ter sido realizado.
À CAPES – Coordenadoria de Aperfeiçoamento do Pessoal de Nível Superior, pela
bolsa concedida para a execução deste trabalho.
À todos, muito obrigado.
5
“Ainda que eu tivesse o dom da profecia, o
conhecimento de todos os mistérios e de toda
a ciência; ainda que eu tivesse toda a fé, a
ponto de transportar montanhas, se não
tivesse o amor, eu não seria nada.”
1 Coríntios 13,2
6
RESUMO
GUIRÁO, P. H. F. Controle Ativo de Vibrações de Rotores com Mancais Magnéticos –
Influência dos Parâmetros do Controlador PID. Dissertação de Mestrado. Faculdade de
Engenharia – Campus de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2006.
Neste trabalho apresenta-se uma análise teórica do desempenho de um sistema de
controle ativo de vibrações de rotores utilizando mancais magnéticos. Trata-se de uma
alternativa de controle ativo de vibrações de rotores onde um sistema adaptativo
“feedforward” é empregado sobreposto ao sistema de controle “feedback” dos mancais
magnéticos. O desempenho de algumas arquiteturas de controle, tanto em termos de vibração
global como em vibração local do rotor, foi analisado dando ênfase na variação do ganho
proporcional e derivativo do controlador PID, que compõe o circuito de controle do mancal
magnético ativo. Também foi analisado o efeito da posição e do número de sensores de erro,
bem como o efeito do mancal atuador utilizado, sobre o desempenho das estratégias de
controle. O sistema de controle foi aplicado em um modelo teórico de rotor desenvolvido pelo
método da matriz de impedância.
Palavras-chave: Mancais Magnéticos Ativos, Controle Ativo, Dinâmica de Rotores, Filtro
PID.
7
ABSTRACT
GUIRÁO, P. H. F. Active Control of Vibrations of Rotors with Magnetic Bearings –
Influence of the Variation of the Parameters of the PID Controller. Master’s Thesis.
Faculdade de Engenharia – Campus de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha
Solteira, 2006.
In this work a theoretical analysis of the performance of a system which actively
controls vibrations of rotors using magnetic bearings is presented. The proposed system of
control is an alternative of active control of rotor vibrations in which an adaptive feedforward
system superimposed on the feedback control system of the magnetic bearings is used. The
performance of some control architectures was analyzed, in terms of global vibration as in
terms of local vibration of the rotor, giving emphasis in the variation of the proportional and
derivative gain of the PID controller of the control circuit of the active magnetic bearings.
Furthermore, the performance of the vibration control system was analyzed considering the
effect of the number and position of the error sensors, as well as the effect of the magnetic
bearing employed as actuator. The control system was applied in a theoretical rotor model
developed by the matrix impedance method.
Key-words: Active Magnetic Bearing, Active Control, Rotor Dynamics, PID Filter.
8
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO..................................................................................................................10
2. ATUADORES MAGNÉTICOS.........................................................................................14
2.1. INTRODUÇÃO.............................................................................................................14
2.2. PRINCÍPIO BÁSICO DE OPERAÇÃO DOS MANCAIS MAGNÉTICOS ATIVOS...................16
2.3. TEORIA BÁSICA DOS ATUADORES MAGNÉTICOS...........................................................17
2.4. CIRCUITO DE CONTROLE DO ATUADOR MAGNÉTICO (“FEEDBACK”).............................25
2.4.1. SENSOR DE POSIÇÃO...................................................................................................26
2.4.2. FILTRO PASSA BAIXA.................................................................................................27
2.4.3. FILTRO PROPORCIONAL, INTEGRAL E DERIVATIVO (FILTRO PID)..............................28
2.4.4. AMPLIFICADOR DE POTÊNCIA.....................................................................................28
2.5. EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DO SISTEMA ROTOR-MANCAL MAGNÉTICO.......................29
2.6. RIGIDEZ E AMORTECIMENTO EQUIVALENTES...............................................................29
3. INFLUÊNCIA DA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS DO CONTROLADOR PID.......32
3.1. INTRODUÇÃO................................................................................................................32
3.2. CURVAS DE RIGIDEZ E AMORTECIMENTO EQUIVALENTES............................................33
3.2.1. VARIAÇÃO DO GANHO PROPORCIONAL DO FILTRO PID (K
P
) SOBRE A RIGIDEZ E O
AMORTECIMENTO EQUIVALENTES..............................................................................34
3.2.2. VARIAÇÃO DO GANHO INTEGRAL DO FILTRO PID (K
I
) SOBRE A RIGIDEZ E O
AMORTECIMENTO EQUIVALENTES..............................................................................35
3.2.3. VARIAÇÃO DO GANHO DERIVATIVO DO FILTRO PID (K
D
) SOBRE A RIGIDEZ E O
AMORTECIMENTO EQUIVALENTES..............................................................................36
3.2.4. VARIAÇÃO DO GANHO TOTAL DO FILTRO PID (K
T
) SOBRE A RIGIDEZ E O
AMORTECIMENTO EQUIVALENTES.......................................................................................37
9
4. CONTROLE ATIVO DE VIBRAÇÕES............................................................................39
4.1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................39
4.2. CONTROLE ATIVO TIPO “FEEDBACK”............................................................................40
4.2.1. RESPOSTA DE UM SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE COM CONTROLE
“FEEDBACK”...............................................................................................................43
4.2.2. CONTROLE FEEDBACK USANDO VARIÁVEIS DE ESTADO............................................45
4.2.3. CONTROLE ÓTIMO......................................................................................................49
4.3. CONTROLE ATIVO TIPO “FEEDFORWARD”.....................................................................51
4.3.1. CONTROLADOR DIGITAL ADAPTATIVO........................................................................54
4.3.2. CONTROLADORES ADAPTATIVOS MULTICANAIS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA........60
4.3.3. CONTROLADORES ADAPTATIVOS MULTICANAIS NO DOMÍNIO DO TEMPO..................63
4. dfgjadf
5. MODELO TEÓRICO.........................................................................................................69
5.1 INTRODUÇÃO..................................................................................................................69
5.2. TEORIA BÁSICA DA MODELAGEM MATEMÁTICA..........................................................70
5.3. CONTROLE ATIVO ÓTIMO APLICADO AO ROTOR...........................................................75
5.4. DESCRIÇÃO DO MODELO TEÓRICO PARA ANÁLISE........................................................76
6. ANÁLISE DO CONTROLE ATIVO EM FUNÇÃO DE VARIAÇÕES NOS
PARÂMETROS DO CONTROLADOR PID....................................................................78
6.1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................78
6.2. FREQÜÊNCIAS CRÍTICAS E MODOS DE VIBRAÇÃO DO ROTOR........................................79
6.3. ANÁLISE DE DESEMPENHO DOS ATUADORES................................................................83
6.4. ESTRATÉGIA DE CONTROLE USANDO UM ATUADOR E UM SENSOR DE ERRO...............85
6.5. ESTRATÉGIA DE CONTROLE USANDO UM ATUADOR E DOIS SENSORES DE ERRO.........93
6.6. ESTRATÉGIA DE CONTROLE USANDO UM ATUADOR E TRÊS SENSORES DE ERRO.......100
6.7. ESTRATÉGIA DE CONTROLE USANDO DOIS ATUADORES E DOIS SENSORES DE ERRO.104
7. CONCLUSÕES FINAIS E PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS................108
7.1. CONCLUSÕES FINAIS...................................................................................................108
7.2. PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS....................................................................110
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................................................111
10
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Os mancais magnéticos ativos (MMA) apresentam uma nova concepção na
tecnologia de mancais. Eles são dispositivos eletromagnéticos projetados para manter um eixo
em levitação dentro do mancal, apenas por forças magnéticas. Os princípios de
funcionamento dos mancais magnéticos podem ser vistos nos trabalhos de Nascimento (2002)
e de Allaire et al. (1993). Os mancais magnéticos atualmente têm uma grande variedade de
aplicações práticas e pesquisas sendo desenvolvidas, detalhadas, por exemplo, na publicação
de Kasarda (2000). Suas aplicações comerciais incluem turbomáquinas e bombas
turbomoleculares de grandes velocidades de rotação (acima de 60.000 rpm). Em pesquisas,
encontram-se estudos em motores sem mancais, corações artificiais, máquinas ferramentas,
motores a jato para aeronaves, entre outros. Outras informações sobre aplicações dos MMA
podem ser obtidas nas publicações de Iamaishi (1997), Allaire, et al. (1997), Motee (2003),
Pilat (2004) e Khanfir et al. (2005).
Entre as aplicações dos mancais magnéticos atualmente, está a sua utilização em
controle ativo de vibrações de rotores desbalanceados, porém as estratégias utilizadas ficam
restritas a arquitetura do tipo “feedback”. Quando os mancais operam como suporte e como
atuadores para o controle de vibração, aplica-se uma estratégia de controle do tipo
“feedforward” sobreposta ao sistema de controle ativo do tipo “feedback” necessária para
manter a estabilidade do rotor.
Um trabalho onde pode ser encontrada a aplicação de mancais magnéticos como
atuadores para várias estratégias de controle é, por exemplo, Kasarda et al. (2004), onde os
autores propõem reduzir vibrações subsíncronas de um rotor com um disco desbalanceado
utilizando um sistema moderno de controle ativo que tem a tecnologia dos mancais
magnéticos juntamente com mancais convencionais de apoio. Segundo os autores,
instabilidades do rotor em turbomáquinas se manifestam freqüentemente como uma
re-excitação da primeira velocidade crítica do rotor, resultando em vibrações laterais em uma
freqüência abaixo da freqüência operacional do rotor. Os autores, então, propõem uma
11
solução para este problema utilizando os mancais magnéticos ativos como um amortecedor
magnético ativo juntamente com os mancais de apoio convencionais. Desta forma, as
vibrações subsíncronas são reduzidas com o uso do amortecedor magnético ativo,
conseguindo uma elevada redução da amplitude de vibração.
Outra publicação que pode ser citada é a de Jang et al. (2005) onde os autores
apresentam uma análise e controle de mancais magnéticos ativos com um rotor flexível. Um
esquema de controlador de modo “sliding” (quando ocorre contato entre o rotor e a parte
estacionária do mancal auxiliar) foi proposto para compensar os efeitos não lineares do
sistema de mancais magnéticos ativos. Um modelo não linear para o mancal magnético ativo
com um atuador eletromagnético e um rotor flexível é proposto para facilitar a análise do
projeto do controlador. Neste modelo não linear foi considerado a dinâmica do rotor flexível,
as características do sistema eletromagnético de suspensão e a força de contato entre o mancal
auxiliar e o eixo. Os resultados numéricos mostraram que o sistema de controle tem elevada
precisão e robustez quando opera sob o modo de controle “sliding”.
Outro trabalho que pode ser mencionado é o de Shi et al. (2004) onde os autores
desenvolveram algoritmos de controle adaptativo para minimizar vibrações medidas em
rotores através do ajuste da amplitude e da fase de um sinal sincrônico injetado sobre o sinal
de controle “feedback” do mancal magnético. Neste trabalho dois métodos foram analisados.
O primeiro é a aplicação de técnicas que utilizam filtros adaptativos x- filtrado para atenuar
diretamente os deslocamentos do rotor, e é referido como método direto. O segundo minimiza
a magnitude do sinal de erro do mancal magnético e é referido como método indireto para
atenuar perturbações síncronas. Neste trabalho são apresentados resultados experimentais
mostrando a eficácia dos algoritmos para a redução das vibrações.
O trabalho de Piper et al. (2005) também utiliza mancais magnéticos como
atuadores. Neste trabalho os autores estudaram um sistema de controle ativo de ruído
provocado por um ventilador de fluxo axial usando mancais magnéticos ativos. O ventilador
foi conectado a um motor por um eixo rígido pequeno apoiado por mancais magnéticos. Os
autores utilizaram os mancais magnéticos como atuadores para controlar a posição do eixo
fazendo com que o ventilador vibrasse a uma freqüência e amplitude desejada. Esta estratégia
de controle ativo funciona analogamente a um sistema de controle que utiliza um alto–falante
para contrapor à fonte de ruído indesejado. Um processador de sinal digital foi implementado
usando um algoritmo mínimo médio quadrático. A resposta desse algoritmo de controle
comanda a ação do controlador do mancal magnético.
12
Inúmeros outros trabalhos podem ser citados aqui brevemente, como o trabalho de
Cole et al. (2004), que estuda alguns sistemas de controle ativo com mancais magnéticos
aplicados conjuntamente com sistemas de diagnose ou controle de falhas. O trabalho de Zhu
et al. (2003) analisa teoricamente as características dinâmicas de um rotor trincado apoiado
por mancais magnéticos. Os autores discutiram os efeitos dos parâmetros do controlador sobre
as características dinâmicas do rotor trincado e o efeito da trinca sobre a estabilidade do
sistema de controle ativo. Segundo os autores, as características dinâmicas de um rotor
trincado usando mancais magnéticos são mais complexas do que as de um rotor trincado
tradicional, pois o controle adaptativo com mancais magnéticos pode ocultar as características
da falha do rotor trincado. Portanto, é muito difícil detectar a trinca no rotor com um sistema
de controle com mancais magnéticos quando a vibração do rotor é plenamente controlada.
Aenis et al. (2002) também apresenta um procedimento de identificação e diagnose de falhas
em turbomáquinas utilizando-se da característica ativa dos mancais magnéticos.
A contribuição deste trabalho de mestrado é apresentar uma alternativa de controle
ativo de vibrações de rotores empregando-se um sistema tipo “feedforward” sobreposto ao
sistema de controle “feedback” dos mancais magnéticos. Para o sistema de controle ativo
adaptativo utilizou-se um algoritmo LMS para a minimização de uma função custo para se
alcançar um controle ótimo. Analisou-se como os ganhos proporcional e derivativo do
controlador PID, do circuito de controle do mancal magnético, afetam o desempenho do
controle ativo de vibração em várias estratégias de controle utilizadas, bem como estes ganhos
interferem na escolha das melhores estratégias de controle, em termos de atuadores
magnéticos e posicionamento e quantidade de sensores.
Este trabalho é dividido em seis capítulos. No capítulo 2 apresenta-se a teoria básica
de operação dos mancais magnéticos, a teoria básica dos atuadores magnéticos e o circuito
eletrônico de controle com os equipamentos utilizados no controle ativo “feedback”. Além
disso, são apresentadas as funções de transferências usadas nos dispositivos do circuito
eletrônico, com as quais se determina a função de transferência global do sistema de controle.
Um modelo matemático é proposto para a determinação da rigidez e do amortecimento
equivalentes do mancal magnético em função de suas características construtivas e dos
ganhos do controlador.
Na seqüência, o capítulo 3 mostra a influência da variação dos parâmetros do
controlador PID na rigidez e no amortecimento dos mancais magnéticos, e como estas
características dinâmicas variam em função da freqüência de rotação do eixo. É apresentada
13
também as considerações a serem feitas para uma boa estabilidade dinâmica na obtenção das
médias de rigidez e amortecimento ao longo da freqüência de rotação.
O capítulo 4 é dedicado aos fundamentos básicos do controle ativo de vibração
usando as estratégia de controle tipo “feedback” e “feedforward”. Em relação aos sistemas de
controle ativo, vale salientar, que neste capítulo, apresenta-se apenas uma breve introdução da
teoria básica dessas duas técnicas, o suficiente para o leitor compreender a arquitetura de
controle empregada neste trabalho para a redução de vibração em rotores. A teoria completa
de controle ativo é bastante complexa, ampla e envolve várias áreas do conhecimento em
engenharia, sendo necessária uma vasta revisão bibliográfica para o entendimento deste tema.
Uma teoria, objetivando o desenvolvimento de modelos de rotores apoiados por
mancais magnéticos ativos, utilizando o método da matriz de impedância, é apresentada no
capítulo 5. A partir do modelo de rotor se estabelece um sistema de controle ativo de
vibrações que minimiza uma função custo através do método dos mínimos quadrados das
saídas dos sensores de erro. Apresenta-se também a descrição de um rotor teórico utilizado na
análise de desempenho de arquiteturas de controle ativo de vibração em função dos
parâmetros do controlador PID.
No capítulo 6, apresentam-se os resultados simulados para o rotor teórico construído
no capítulo 5. Neste capítulo, o desempenho de controle ativo é estudado em função da
variação dos ganhos proporcional e derivativo do controlador PID, em diferentes estratégias
de controle, no que diz respeito ao número de atuadores e de sensores de erro.
Finalmente, o capítulo 7 mostra as conclusões finais do trabalho e também as
propostas para trabalhos futuros.
14
CAPÍTULO 2
ATUADORES MAGNÉTICOS
2.1. INTRODUÇÃO
Os mancais magnéticos apresentam uma nova concepção na tecnologia de mancais.
São dispositivos eletromagnéticos projetados para manter um eixo suspenso dentro do mancal
sem que haja nenhum contato entre ambos. Os mancais magnéticos podem suportar tanto
cargas radiais quanto cargas axiais utilizando-se apenas forças magnéticas para a levitação do
eixo, diferenciando-se dos mancais fluidodinâmicos ou dos mancais de rolamento que são
baseados em forças mecânicas para o suporte.
Os mancais magnéticos apresentam várias vantagens sobre os mancais convencionais
por uma variedade de aplicações práticas. As vantagens primárias dos mancais magnéticos
são a baixa perda de carga ou baixo consumo de potência e a longa vida, tendo em vista que
não há contato entre o rotor e o estator. Devido a esta ausência de contato, não há desgaste das
peças, enquanto que em mancais fluidodinâmicos ocorrem elevadas perdas por fricção devido
ao efeito de cisalhamento do óleo. As perdas dos mancais magnéticos se reduzem a alguma
resistência do ar entre o rotor e o estator e correntes marginais (“eddy currents”) ou histerese.
Também, as perdas associadas à bomba de óleo, filtros e tubulações dos mancais
fluidodinâmicos são excessivamente maiores que as perdas nos amplificadores de potências
dos mancais magnéticos.
Ainda por serem limpos, ou seja, livres de óleo ou graxa e sem ruídos, os mancais
magnéticos são convenientes para aplicações de bioengenharia (bombas cardíacas ou projetos
de corações artificiais), indústrias farmacêuticas e alimentícias. Outra vantagem importante é
que eles podem operar em velocidades mais altas que os mancais convencionais de rolamento
ou fluidodinâmicos com relativamente baixa perda mecânica. A alta velocidade que estes
mancais possibilita ao rotor é devido à ausência de contato, que não proporciona o
aquecimento deste sistema. Também podem operar em ambientes onde as condições seriam
15
adversas a outros tipos de mancais, como em altas ou em baixas temperaturas que poderiam
prejudicar o óleo de lubrificação dos mancais de rolamento ou fluidodinâmicos.
Outro grande benefício da tecnologia dos mancais magnéticos ativos é sua
capacidade de operar como um sistema de controle ativo de vibrações, uma vez que esse
controle tem a capacidade de corrigir, milhares de vezes por segundo, o desvio do eixo de sua
posição centrada dentro do mancal.
Um dos grandes problemas que os projetistas e usuários de mancais magnéticos
enfrentam hoje está na resposta à questão do que acontece quando a energia que mantém este
tipo de mancal acaba subitamente. Se isso ocorrer, o rotor submetido à levitação sofre um
colapso no mesmo instante e pode tocar o estator do mancal. Para prevenir esta situação, os
mancais magnéticos devem ser equipados com mancais passivos de auxílio, que entram em
ação caso haja uma perda de potência dos mancais magnéticos. Estes mancais auxiliares
usualmente são mancais convencionais de rolamento fixados com uma folga entre o eixo e a
sua parte interna (diâmetro interno), porém esta folga é ligeiramente maior que a folga entre o
eixo e a parte estacionária do mancal magnético para evitar o contato.
Outra desvantagem é que os MMA têm baixa capacidade de carga, comparados aos
mancais convencionais, portanto, necessitam de uma cobertura maior para instalação (grandes
dimensões). Dependendo da escolha de um material ferromagnético para ser usado,
teoricamente, os MMA têm uma capacidade de carga da ordem de 0,7 MPa a 1,4 MPa.
Contudo, a real capacidade de carga é determinada em função da folga entre o rotor e o
estator (“gap”), bem como em função dos efeitos de vazamento de correntes de fuga.
Mancais que utilizam filme de óleo são geralmente projetados para ter uma capacidade de
carga de 1,7 MPa a 2,0 MPa, e mancais de rolamento convencionais podem ter uma grande
capacidade de carga dependendo da velocidade de rotação. Além das maiores capacidades de
carga, os mancais convencionais podem suportar, por alguns instantes, um possível
carregamento súbito inesperado (como, por exemplo, na ocorrência da perda de uma pá de
uma turbina). Diferentemente, os MMA têm característica muito linear para a capacidade de
força e não toleram bem cargas excessivas inesperadas.
Fazer economia é o grande fundamento que dita e limita o uso dos mancais
magnéticos ativos. Embora os preços tenham caído, os MMA ainda são relativamente caros.
Comparados com os mancais convencionais de rolamento, eles podem ser muito caros para
um primeiro ponto de vista, entretanto, um estudo da relação custo benefício deste sistema
deve ser realizado. Em alguns casos, em longo prazo, uma análise incluindo os custos de
manutenção é necessária para se justificar a economia que se consegue com esse tipo de
16
tecnologia. Gray (1990) discutiu os custos em aplicações efetivas na “Electic Power Research
Institute (EPRI)”, e concluiu que houve um aumento na disponibilidade e uma redução nos
custos de manutenção e operação associados com o uso de MMA em comparação com os
mancais convencionais. A maioria das aplicações dos MMA se deve ao fato de sua tecnologia
possibilitar muitas habilidades distintas, e com uma aplicação correta, seu custo é
perfeitamente justificado.
Um sistema mancal magnético apresenta os seguintes componentes básicos:
atuadores magnéticos, controlador PID, filtro de freqüências, amplificador de potência e
sensor de posição do eixo. De certa forma, os mancais magnéticos se assemelham com os
motores elétricos com os atuadores magnéticos construídos de um material ferromagnético
ativado por uma bobina (enrolamento).
2.2. PRINCÍPIO BÁSICO DE OPERAÇÃO DOS MANCAIS MAGNÉTICOS ATIVOS
Os MMA são mecanismos com controle realimentado (“feedback”) que suportam
um eixo em rotação por levitação através de um campo magnético. A Fig. 2.1 mostra um
quadrante de um típico sistema de MMA, que consiste em um sensor de deslocamento, um
controlador, um amplificador de potência e um atuador eletromagnético.
Figura 2.1 – Elementos de um Mancal Magnético Ativo.
O conjunto mostrado na Fig. 2.1 funciona basicamente da seguinte forma: O rotor em
rotação está sujeito à ação de forças externas que podem tirá-lo de sua posição original. O
sensor de proximidade irá medir este deslocamento do eixo e enviar um sinal ao controlador,
17
que por sua vez, determinará a corrente elétrica necessária a ser enviada ao atuador para que
este gere uma força magnética, e com isso recuperar a posição inicial do eixo. Como a
corrente elétrica enviada pelo controlador é de pequena grandeza, é necessário que ela passe
por um amplificador antes de chegar ao atuador. O caminho percorrido pelo sinal, desde a
informação do sensor até a corrente de controle chegar ao atuador, é realizado milhares de
vezes por segundo. Um atuador magnético não pode atuar sozinho, mas sempre aos pares para
cada direção de controle. Isso é necessário porque os atuadores eletromagnéticos geram
somente forças de atração e não de repulsão. Para isso, em cada direção de controle devem ser
montados dois atuadores diametralmente opostos para garantir o total controle da posição do
eixo.
Na maioria dos mancais magnéticos, os atuadores ficam localizados radialmente ao
redor de um material ferromagnético que reveste o eixo. Na prática, pelo menos dois pares de
atuadores, um para o controle horizontal e outro para o vertical são necessários. Porém,
mancais com um número maior de pares de atuadores existem, e assim um número maior de
direções são controladas. Há mancais com até 16 pólos atuadores, ou seja, com 8 pares de
atuadores controlando 8 direções radiais distintas com espaçamento angular eqüidistante entre
elas.
2.3. TEORIA BÁSICA DOS ATUADORES MAGNÉTICOS
Em um modelo teórico, para se estudar os mancais magnéticos ativos, é necessário
considerar várias hipóteses, as quais são enumeradas a seguir: 1) os níveis de fluxo magnético
estão sempre abaixo do nível de saturação do material ferromagnético; 2) os movimentos do
eixo são pequenos comparados com o tamanho da folga do mancal; 3) a distribuição de fluxo
magnético na seção transversal do estator é relativamente uniforme; 4) a perda elétrica é
pequena.
Na análise de um mancal magnético, algumas ou todas essas hipóteses podem ser
violadas por um projeto particular de mancal. Isso não significa que o mancal não irá operar,
mas significa que uma análise mais apurada, por elementos finitos, deve ser considerada em
um projeto confiável de mancal magnético.
A Fig. 2.2 mostra a geometria básica de um atuador magnético para operar em uma
direção de controle. A parte magnética é constituída de um material próprio para essa função
como o aço silício ou outros materiais que apresentam elevados índices de saturação
magnética, como é o caso “Vanadium Permendur”. A folga entre o rotor e o estator tem
18
espessura g e área A
g
. O fluxo magnético é produzido em cada seção do atuador (em forma de
ferradura) por um enrolamento de N espiras com uma corrente elétrica i fluindo através dele.
Um amplificador de potência produz a corrente elétrica necessária no enrolamento.
Figura 2.2 – Geometria básica da ação dupla de um atuador magnético.
O caminho do fluxo de comprimento L passa pela seção do atuador, através das
folgas no final de cada face dos pólos do atuador e através do material do rotor. A lei de
Ampere indica que a intensidade do campo magnético H induzido por N espiras enroladas ao
redor de um caminho magnético de comprimento L e conduzindo uma corrente elétrica i, é
dada por,
L
Ni
H = (2.1)
Nesta equação, assume-se que a direção da intensidade de campo magnético é
paralela ao caminho magnético e que a corrente no enrolamento é perpendicular ao caminho
magnético. A quantidade Ni é denominada de força magnetomotiva. O fluxo magnético
φ
no
circuito é igual à intensidade de fluxo B multiplicada pela face do pólo A
g
, a qual é a área de
apenas uma folga no circuito magnético,
g
BA=
φ
(2.2)
19
Nos circuitos magnéticos, a maioria da resistência magnética, que é chamada de
relutância, se localiza nas folgas entre o atuador e o eixo. O ar e outros materiais não-ferrosos
têm praticamente as mesmas propriedades magnéticas. A densidade de fluxo no ar e em tais
materiais não magnéticos está relacionada com a intensidade de campo magnético por uma
relação linear,
HB
0
µ
= (2.3)
onde a permeabilidade do espaço livre (ar) é,
)(10.4
17
0
−−
= Hm
πµ
(2.4)
Os mancais magnéticos são geralmente construídos de um material magnético
ferroso e com a menor folga possível para minimizar a força magnetomotiva requerida. Quase
sempre, o fluxo magnético no mancal é determinado pela folga entre o mancal e o eixo, e a
relutância do material magnético então pode ser desprezada, pois é pequena comparada com a
relutância da folga. Um típico material ferromagnético aplicado em atuador eletromagnético
tem a curva de magnetização, B versus H, como mostrado na Fig. 2.3. A curva B-H é
aproximadamente linear para uma ampla faixa de B. A inclinação dessa curva na faixa linear é
chamada de permeabilidade do material,
µ
. Em geral, essa permeabilidade é expressa como
produto da permeabilidade no espaço livre,
µ
0
, multiplicada por uma relativa permeabilidade
para o material,
µ
r
. Assim, temos que a relação B-H fica,
HB
r
µµ
0
= (2.5)
Para elevados valores da densidade de fluxo do campo magnético (B), a curva B-H
não é linear. A região onde a curva sofre deflexão é chamada de região de saturação. Esta
região de saturação indica que para um determinado índice de magnetização do material, a
densidade de fluxo não aumentará mais com o aumento da intensidade de campo magnético,
ou seja, o material atingiu a sua saturação magnética. Para um aço silício, a região de
saturação está em torno de 1,5 a 1,7 Tesla (1 Tesla equivale a 10.000 Gauss). Com o avanço
da tecnologia que permite obter materiais magnéticos como o “Vanadium Permendur”, essa
região de saturação pode ocorrer em níveis bem mais elevados, atingindo 2,2 a 2,4 Tesla.
20
Quando a operação do mancal conduz o material magnético a essa região, ele age como se
tivesse um núcleo de ar. Portanto, nessa situação a requerida força magnetomotiva é muito
elevada e não econômica, pois na região de saturação ela não irá contribuir em nada para
aumentar a densidade de fluxo.
Figura 2.3 – Densidade de fluxo magnético (B) vs. Intensidade de campo
magnético (H) para o aço silício (Allaire, 1993).
A densidade de fluxo B em cada folga do mancal é,
g
Ni
B
o
2
µ
=
(2.6)
a qual é induzida por um total de N espiras que circundam o circuito magnético. Essa
expressão do fluxo é linearmente proporcional à força magnetomotiva Ni e inversamente
proporcional à folga g.
A força F
g
por folga, a qual atrai o rotor para o estator e permite que o atuador
magnético atue como um mancal, é dada por,
2
22
0
0
2
8
2
g
AiNAB
F
gg
g
µ
µ
==
(2.7)
21
Geralmente, nos projetos há duas folgas no circuito do mancal, tal que a força é duas vezes
esse valor, portanto,
2
22
0
0
2
4g
AiNAB
F
gg
µ
µ
==
(2.8)
A força é proporcional ao quadrado de Ni e inversamente proporcional ao quadrado
da folga g. Isso pode, em princípio, nos dar a idéia de que os mancais magnéticos não são
dispositivos lineares. Entretanto, um exame da ação dupla do mancal revela um resultado
diferente que será visto posteriormente.
Um circuito magnético real possui efeitos tais como difusão das linhas de forças e
fugas de corrente que, em geral, são desprezadas e não consideradas na equação da força
eletromagnética. Um fator de correção geométrico
ε
pode ser convenientemente usado para
conduzir a resultados mais precisos, de forma a levar em consideração esses efeitos. Então, a
força, Eq. (2.8), torna-se:
2
22
0
4g
AiN
F
g
µ
ε
= (2.9)
Geralmente, o valor do fator geométrico de correção é admitido ser 0,9 para mancais axiais e
0,8 para mancais radiais, aproximadamente. A diferença admitida no valor do fator de
correção é devido ao efeito de fuga de corrente ser mais acentuado na geometria dos mancais
radiais. Uma solução mais criteriosa do campo magnético, por elementos finitos, poderá
proporcionar resultados mais precisos, porém esses valores admitidos para o fator geométrico
são suficientes para analisar o circuito magnético básico.
A operação do mancal magnético envolve a superposição de dois fluxos: um fluxo
permanente (“bias”) e um fluxo de perturbação, como mostra a Fig. 2.3. O fluxo permanente
é responsável pela levitação do eixo no mancal, enquanto que o fluxo de perturbação é
responsável pela força magnética que irá corrigir a posição do eixo, caso alguma força externa
atue sobre ele. A densidade de fluxo permanente B
b
é um fluxo com nível permanente
induzido por uma corrente permanente (“bias”) i
b
no enrolamento. A densidade de fluxo de
perturbação B
p
é uma densidade de fluxo de controle que irá variar com o tempo, dependendo
da intensidade da carga externa que atua no eixo. A densidade de fluxo B
p
é desenvolvida por
22
uma corrente de perturbação (ou de controle) i
p
no enrolamento. O fluxo total e a corrente
total no enrolamento são,
bp
BBB += e
pb
iii += (2.10)
Da Eq. (2.6), as duas densidades de fluxo são,
g
Ni
B
b
b
2
0
µ
=
e
g
Ni
B
p
p
2
0
µ
= (2.11)
Em geral, o nível do fluxo permanente B
b
é tomado em torno da metade do nível da
saturação magnética do material, mostrado na Fig. 2.3, permitindo uma variação
relativamente maior dos níveis de fluxo de perturbação (ou de controle) para cima e para
baixo do nível permanente. Essa faixa de variação é importante, e deve ser a mais ampla
possível, pois é a partir dela que se obtém a força necessária para corrigir a posição do eixo no
mancal. Portanto, nada melhor do que tomar um valor médio na faixa linear da curva B-H. A
expressão da força associada a essas densidades de fluxo, de acordo com a Eq. (2.8), torna-se,
0
2
)(
µ
ε
pbg
BBA
F
+
= (2.12)
Como a força é diretamente proporcional à densidade de fluxo magnético e sabendo-
se que o material saturado não desenvolve qualquer fluxo adicional, então a máxima
capacidade de força em um mancal magnético de dupla ação ocorre quando em um lado a
densidade de fluxo é reduzida a zero (força de atração do eixo zero) e no outro lado o valor do
fluxo atinge o máximo com a saturação (máxima força de atração do eixo). Assim, a
expressão da força máxima torna-se,
0
2
max
µ
ε
gsat
AB
F = (2.13)
Essa é a força limite sobre os mancais magnéticos. Os mancais magnéticos não
produzirão força além desse nível sem uma maior força magnetomotiva para conduzir o nível
23
do fluxo a um maior valor. As forças eletromagnéticas são apenas de atração, de modo que os
atuadores devem ser colocados em ambos os lados diametralmente opostos ao rotor, em um
arranjo de dupla ação, como ilustrado na Fig. 2.2. Da Eq. (2.9), a força líquida F
N
em um
plano de controle do mancal é dada por,
−=−=
2
1
2
1
2
2
2
2
2
0
12
4
g
i
g
i
NA
FFF
g
N
µ
ε
(2.14)
onde i
1
e i
2
são as correntes nos magnetos 1 e 2, e g
1
e g
2
são as folgas entre a massa do rotor e
os magnetos 1 e 2, respectivamente. As espessuras das folgas em ambos os lados do mancal
podem ser escritas como,
xgg −=
01
e xgg +=
02
(2.15)
onde a espessura nominal da folga, com o rotor devidamente centrado, é g
0
, e x representa a
perturbação da posição do rotor a partir do centro. A diferença no sinal das expressões das
folgas é porque quando o rotor se move em direção a qualquer um dos magnetos, estará se
distanciando do outro. De maneira análoga, as correntes i
1
e i
2
podem ser expressas como,
pb
iii −=
1
e
pb
iii +=
2
(2.16)
Substituindo as Eqs. (2.15) e (2.16) na Eq. (2.14), resulta na seguinte expressão,
(
)
( )
(
)
( )
−
−
−
+
+
=
2
0
2
2
0
2
2
0
4
xg
ii
xg
iiNA
F
pbpbg
N
εµ
(2.17)
O modelo linearizado da força líquida F
N
assume que a corrente de perturbação i
p
e a
perturbação x são pequenas quando comparadas com a corrente permanente i
b
e a folga
nominal g
0
, respectivamente. Isso permite a exclusão dos termos de maior ordem da corrente
de perturbação i
p
e da perturbação x, resultando na seguinte equação,
24
x
g
iNA
i
g
iNA
F
bg
p
bg
N
−
=
3
0
22
0
2
0
2
0
εµεµ
(2.18)
As forças do atuador magnético variam com a corrente e com a espessura da folga. A
variação devida à mudança na corrente do enrolamento, denominada de ganho de rigidez de
corrente K
i
, é o fator mais importante para os mancais magnéticos. Por outro lado, a variação
da força devida à variação na espessura da folga (correspondendo à variação na posição do
rotor) é chamada de rigidez de posição K
x
. A rigidez de corrente dentro da faixa linear, para
todas as quatro folgas da ação dupla do mancal, é definida como,
2
0
2
0
g
iNA
i
F
K
bg
p
N
i
µ
ε
=
∂
∂
= (2.19)
A rigidez de corrente de um mancal magnético é positiva devido a que o aumento da
força externa aplicada ao mancal, em uma dada direção, é contraposto por um aumento da
corrente de controle no outro lado do mancal, aumentando a força de atração que se opõe a
essa força externa.
A expressão da rigidez de corrente, Eq. (2.19), é independente da corrente de
perturbação, porém linearmente relacionada com a corrente permanente (“bias”). Assim, o
atuador magnético não deve operar com uma corrente permanente muito baixa para evitar
uma fraca resposta quando uma mudança na força é requerida. Se i
b
é a metade do valor de
saturação, então a faixa de atuação dinâmica do atuador é máxima.
O seguinte parâmetro é a rigidez de posição. Esse parâmetro, para todas as quatro
folgas de um mancal de ação dupla, é definido como,
3
0
22
0
g
iNA
x
F
K
bg
N
x
µ
ε
−=
∂
∂
−= (2.20)
A rigidez de posição é negativa. Quando o rotor se move para um lado, a força aumenta
tendendo a puxá-lo na mesma direção de seu movimento, diferentemente de uma mola
mecânica, que tende a empurrá-lo para o centro.
25
2.4. CIRCUITO DE CONTROLE DO ATUADOR MAGNÉTICO (“FEEDBACK”)
Em um mancal magnético é necessário um sistema de controle ativo para manter a
estabilidade do sistema rotor-mancal. O sistema de controle utiliza sinais emitidos por
sensores, localizados adjacentes aos atuadores, para determinar a corrente de estabilização
necessária. Amplificadores, então, proporcionarão a corrente necessária para os atuadores, os
quais criam as forças de estabilização na forma de fluxo eletromagnético (forças
eletromagnéticas). Esse circuito fechado (“feedback loop”) é retroalimentado milhares de
vezes por segundo. A Fig. 2.4 mostra o diagrama de controle de um mancal radial, em um
único plano, de um sistema controlador. Além da malha retroalimentada de estabilização, um
controlador de malha aberta também pode ser simultaneamente usado para minimizar as
vibrações transmitidas para os suportes dos mancais. Em um controle de malha aberta, a ativa
natureza dos mancais magnéticos é usada para, adaptavelmente, cancelar as componentes
síncronas da posição medida no eixo. É importante frisar que um controle de malha aberta
sozinha não proporciona uma levitação estável do rotor, isto é, ela somente pode ser usada
porque o rotor é estabilizado pela ação concomitante do controle retroalimentado (“feedback
control”).
Figura 2.4 – Diagrama de controle de uma malha fechada de um mancal radial.
(Revolve “Magnetic Bearing Incorporated”).
26
Como pode ser visto na Fig. 2.4, o circuito eletrônico, o qual controla a corrente nos
enrolamentos do estator, tem três componentes básicos: sensor, controlador e amplificador de
potência. Eventualmente, um filtro passa-baixa também pode ser convenientemente usado.
Neste circuito, a corrente no enrolamento do atuador é determinada com base na posição do
rotor. A equação geral (empregando a transformada de Laplace, onde s é uma variável
complexa) para o circuito de controle é,
(
)
(
)
(
)
sxsGsi
p
= (2.21)
onde G(s) é função de transferência global que expressa a relação entre a corrente de
perturbação (saída) e a posição do eixo (entrada). Se não for empregado um controlador
retroalimentado, a rigidez de posição negativa K
x
do atuador, Eq. (2.20), mostra que o atuador
é instável. Entretanto, o propósito principal do controle retroalimentado é estabilizar o rotor e
mantê-lo centrado. A função de transferência G(s) é composta por uma série de componentes
de função de transferência multiplicadas entre si, e pode ser escrita como,
(
)
(
)
(
)
sibsasG
GG
+= (2.22)
onde a
G
(s) e b
G
(s) representam a parte real e a parte imaginária da função de transferência
global, respectivamente. Essa função de transferência multiplicada pela posição do eixo x, irá
produzir a corrente de controle i
p
, como mostra a Eq. (2.21). Considerando, então, todos os
componentes do circuito de controle, a função de transferência completa é dada por,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
sAMPsPIDsLPsSSsG = (2.23)
onde SS(s), LP(s), PID(s) e AMP(s) são as funções de transferência do sensor de posição, do
filtro passa-baixa, do filtro PID e do amplificador de potência, respectivamente. As funções
que regem cada componente do circuito de controle são apresentadas a seguir.
2.4.1. SENSOR DE POSIÇÃO
Os sensores de posição são usados para monitorarem continuamente a posição do
rotor no mancal magnético. Normalmente são de não-contato (“proximeter”) tipo indutivo ou
27
capacitivo, ou até mesmo, sensores ópticos. O sensor emite uma pequena voltagem de saída
proporcional à posição do eixo, e a função de transferência do sensor, considerando que ele se
comporta linearmente na faixa de movimento do rotor, é dada simplesmente por,
(
)
(
)
(
)
sxsVsSS
x
/= (2.24)
onde V
x
(s) é a voltagem de saída do sensor. Para captar o movimento do eixo, o sensor pode
ser colocado em qualquer lugar ao longo do eixo. Em um mancal magnético radial, o sensor
deve ser colocado o mais próximo possível da localização do mancal, isso porque garante uma
medida mais precisa do deslocamento do rotor próxima ao mancal evitando, assim, problemas
no controle. Um problema particular surge quando um ponto nodal do eixo, associado a uma
particular freqüência natural do rotor, é localizado entre o sensor e o mancal.
2.4.2. FILTRO PASSA-BAIXA
O filtro passa-baixa é utilizado dentro do controlador para reduzir o ganho das altas
freqüências do controlador, acima da largura de banda de controle pré-estabelecida, e no
mínimo um filtro deve ser usado para que o mancal opere adequadamente. O filtro passa-
baixa também proporciona uma operação silenciosa do mancal, atenuando o ruído de origem
elétrica de altas freqüências. Um modelo de filtro passa-baixa de segunda ordem pode ser
expresso da forma,
( )
22
2
2
LPLPLP
LP
x
LP
ss
V
V
sLP
ωωξ
ω
++
== (2.25)
onde V
LP
é a voltagem de saída do filtro,
ω
LP
é a freqüência de corte do filtro,
ξ
LP
é o fator de
amortecimento do filtro e s é a variável complexa de freqüência. Os valores do fator de
amortecimento (
ξ
LP
) e da freqüência de corte (
ω
LP
) são tomados como dados de entrada de um
“software” de comando do sistema de controle.
28
2.4.3. FILTRO PROPORCIONAL, INTEGRAL E DERIVATIVO (FILTRO PID)
O controle PID é o método de controle normalmente usado para mancais magnéticos.
A forma padrão da função de transferência do filtro PID é dada por,
( )
(
)
s
KsKsKK
V
V
sPID
IPDT
LP
PID
++
==
2
(2.26)
onde K
T
é o ganho total, K
D
é o ganho derivativo, K
P
é o ganho proporcional, K
I
é o ganho
integral e s é a variável de freqüência complexa. V
PID
é a voltagem de saída do filtro e V
LP
é a
voltagem de entrada vinda do filtro passa-baixa. Em geral, o ganho proporcional afeta
diretamente a rigidez do mancal, uma vez que ele está multiplicado diretamente pelo sinal de
posição. De forma similar, o ganho derivativo afeta diretamente o amortecimento do eixo,
porque ele está multiplicado pela derivada do sinal de posição. O ganho integral age sobre os
níveis permanentes DC (“steady offsets”) dentro do eixo e proporciona um sinal de controle
para eliminar o DC (“offset”). O ganho total é simplesmente um multiplicador sobre os três
ganhos simultaneamente. Todos esses ganhos são admitidos como dados de entrada do
“software” de comando do sistema de controle.
2.4.4. AMPLIFICADOR DE POTÊNCIA
O sinal de saída vindo do circuito de controle é tipicamente uma pequena voltagem
proporcional a corrente a ser enviada para os enrolamentos do mancal. Entretanto, a corrente
requerida é normalmente muito maior, em ordem de Amps, tal que um amplificador de
potência é necessário para cada enrolamento do mancal. A função de transferência de um
amplificador pode ser expressa como,
( )
22
2
2
AA
A
a
PID
C
ss
K
V
I
sAMP
ωω
ω
++
== (2.27)
onde I
C
é a corrente de controle para um magneto individualmente, V
PID
é a voltagem de
entrada vinda do filtro PID,
ω
A
é a freqüência de corte, K
a
é o ganho do amplificador e s é a
variável complexa de freqüência.
29
2.5. EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DO SISTEMA ROTOR-MANCAL MAGNÉTICO
Em um único eixo de controle dentro do mancal magnético atuam dois magnetos
opostos conforme está mostrado na Fig. 2.5.
Figura 2.5 – “Layout” de um eixo de controle de um mancal radial.
No modelo apresentado na Fig. 2.5 pode-se ver a força de atração de cada magneto
oposto, F
1
e F
2
, agindo sobre a massa dentro de uma única direção de controle. A equação do
movimento que descreve esse sistema é dada por,
ir
FFFxM =−+
12
&&
(2.28)
onde F
i
é a força externa aplicada sobre o sistema e M
r
é a massa do rotor. A rigidez e o
amortecimento do sistema na direção de controle são derivados da força líquida aplicada
sobre a massa pelos dois magnetos opostos. A força líquida (F
2
– F
1
) é dada pela Eq. (2.18).
Substituindo a rigidez de corrente e a rigidez de posição, Eqs. (2.19) e (2.20), na Eq. (2.28),
tem-se,
ipixr
FiKxKxM =++
&&
(2.29)
2.6. RIGIDEZ E AMORTECIMENTO EQUIVALENTES
Um controlador retroalimentado tira vantagem da positiva rigidez de corrente para
proporcionar estabilidade para o atuador. O controlador ajusta a corrente de perturbação i
p
30
para os magnetos contraporem à mudança na posição detectada pelo sensor dentro do mancal.
A função de transferência do controlador fornece uma relação entre a corrente de perturbação
(saída) e a posição do eixo (entrada), como discutida anteriormente. A corrente de
perturbação, i
p
, também é referida como corrente de controle, i
c
, isso porque ela é gerada pelo
sistema de controle, associada à eletrônica envolvida. A função de transferência do
controlador, Eq. (2.22), também contém a informação da fase relativa entre o sinal da corrente
e o sinal da posição de entrada. Essa equação pode ser convenientemente simplificada
substituindo-se a variável de Laplace s pela freqüência complexa i
ω
para chegar a,
(
)
(
)
(
)
ωωω
GG
ibaiG += (2.30)
Essa função de transferência, multiplicada pela posição x, leva à corrente de controle i
p
, a qual
pode ser substituída na Eq. (2.29) para dar,
(
)
[
]
iGGixr
FXibaKKXM =+++−
2
ω
(2.31)
A Eq. (2.31) assume uma força harmônica externa atuando sobre o sistema, tal que a
aceleração da massa pode ser representada como -X
ω
2
. Assim, a rigidez e o amortecimento do
mancal podem agora ser determinados igualando a força líquida, produzida pela rigidez de
posição e de corrente juntamente com a função de transferência do controlador, com uma
força produzida por uma rigidez e um amortecimento equivalentes. Equacionando essas duas
forças tem-se,
(
)
(
)
[
]
XibaKKXiCK
GGixeqeq
++=+
ω
(2.32)
e, igualando os termos reais de ambos os lados da equação, obtém-se a rigidez equivalente
dada como,
Gixeq
aKKK += (2.33)
e, dos termos imaginários obtém-se o amortecimento equivalente expresso por,
31
ω
Gi
eq
bK
C = (2.34)
As Eqs. (2.33) e (2.34) representam a rigidez e o amortecimento linearizados de uma única
direção de controle. Esses valores variam com a freqüência devido à sua dependência da parte
real e da parte imaginária da função de transferência do controlador, que também são
dependentes da freqüência. Para modelar um sistema de mancal magnético radial com
sucesso, a função de transferência do controlador deve ser conhecida.
A equação de movimento completa de um sistema rotor mancal magnético pode ser obtida
combinando a equação do modelo do rotor com a equação do modelo do mancal magnético
ativo representado pelas Eqs. (2.33) e (2.34). Neste caso a equação completa pode ser escrita
como,
[
]
{
}
[
]
[
]
(
)
{
}
[
]
[
]
(
)
{
}
{
}
FUKKUCCUM
bsbss
=++++
&&&
(2.35)
onde [M
s
] é a matriz de massa do sistema, {U} é o vetor posição do sistema, [C
s
] é a matriz de
amortecimento do rotor, [C
b
] é a matriz de amortecimento do MMA, [K
s
] é a matriz de rigidez
do rotor, [K
b
] é a matriz de rigidez do MMA e {F} é o vetor força externa do sistema. As
matrizes [K
b
] e [C
b
] contém as propriedades do mancal magnético que são calculadas pelas
Eqs. (2.33) e (2.34).
32
CAPÍTULO 3
INFLUÊNCIA DA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS DO
CONTROLADOR PID
3.1. INTRODUÇÃO
Como visto no capítulo anterior, a rigidez e o amortecimento equivalentes de um
mancal magnético são determinados em função de suas características geométricas e
construtivas, bem como em função dos parâmetros dos equipamentos eletrônicos do circuito
de controle. Assim, para um determinado mancal magnético, os valores de rigidez e de
amortecimento equivalentes podem variar significativamente em função do conjunto de
parâmetros adotados para os equipamentos do sistema de controle. Normalmente, os
parâmetros do filtro passa-baixa e do amplificador de potência são mantidos constantes para
uma determinada aplicação. Por outro lado, os parâmetros do controlador PID são passíveis
de serem mudados para se obter características dinâmicas desejáveis para o mancal. Essas
mudanças são feitas via “software” de comando implementado no computador que assiste o
sistema de controle.
A partir das expressões matemáticas que representam a rigidez e o amortecimento
equivalentes, Eq. (2.33) e (2.34), respectivamente, implementou-se uma rotina computacional
utilizando o “software MATLAB” para o levantamento das curvas de rigidez e amortecimento
em função da freqüência de vibração do rotor, e dos parâmetros que compõem o controlador
PID do circuito de controle ativo do mancal magnético.
A função de transferência global, dada pela Eq. (2.23), a qual é composta pelas
funções de transferência de cada componente do circuito de controle, conduz a um modelo
para a obtenção das características dinâmicas dos mancais com resultados satisfatórios em
freqüências até 150 Hz, aproximadamente. Nesta análise da influência da variação dos
parâmetros do controlador sobre as características dinâmicas do mancal, tomou-se uma faixa
de freqüência restrita entre 0 a 100 Hz. Para a simulação dinâmica de rotores, normalmente
calcula-se um valor aproximado para a rigidez equivalente considerando a média dos valores
33
na faixa de freqüência analisada. Por sua vez, um valor aproximado para o amortecimento
equivalente do mancal também pode ser determinado a partir da curva em freqüência obtida.
Neste caso, toma-se a média dos valores de amortecimento equivalente contidos na faixa de
freqüências entre 40 a 100 Hz, uma vez que o modelo para a obtenção desse parâmetro
também não produz resultados coerentes nas freqüências baixas. Estas limitações serão vistas
nos resultados a seguir.
3.2. CURVAS DE RIGIDEZ E AMORTECIMENTO EQUIVALENTES
Nesta análise, as curvas de rigidez e de amortecimento equivalentes foram obtidas
para um mancal magnético produzido pela empresa americana “Revolve Magnetic Bearings
Inc”. As características construtivas principais deste mancal estão indicadas na Tabela 3.1.
Tabela 3.1 – Dados característicos do mancal magnético analisado.
Parâmetro
Valor Parâmetro
Valor
ε 0,8 (mancais radiais)
N 228 espiras
µ
0
4π x 10
-
7
Hm
-
1
i
b
1,5 A
A
g
64,426 x 10
-
6
m
2
g
0
0,381 x 10
-
3
m
No levantamento dessas curvas analisou-se o comportamento da rigidez e do
amortecimento do mancal com a variação dos parâmetros do controlador PID do circuito de
controle, que são eles:
• Ganho proporcional, K
P
;
• Ganho integral, K
I
;
• Ganho derivativo, K
D
;
• Ganho total, K
T
.
Os valores adotados para os ganhos acima, nas curvas seguintes, estão dentro de uma
faixa de recomendação do fabricante do mancal magnético para evitar instabilidades na
operação do mancal.
Os demais parâmetros do circuito de controle foram mantidos constantes. Para o
filtro passa-baixa tomou-se uma freqüência de corte e um fator de amortecimento de 800 Hz e
0,707, respectivamente. Para o amplificador de potência adotou-se um ganho de 650 e uma
freqüência de corte de 20.000 Hz.
34
Para realizar a análise da influência, três valores distintos para cada ganho do
controlador PID foram adotados para obter as curvas de Keq e Ceq. Assim, enquanto um
ganho era submetido à variação, os demais permaneciam constantes, com valores
intermediários, os quais são apresentados na Tabela 3.2.
Tabela 3.2 – Valores intermediários dos parâmetros analisados.
Parâmetro Valor
K
T
0,00006
K
D
0,1
K
P
60
K
I
80
3.2.1. VARIAÇÃO DO GANHO PROPORCIONAL DO FILTRO PID (K
P
) SOBRE A
RIGIDEZ E O AMORTECIMENTO EQUIVALENTES
Para analisar a influência do ganho proporcional, adotou-se para esse parâmetro os
valores de 40, 60 e 80, com os quais foram obtidas as curvas de rigidez e de amortecimento
equivalentes apresentadas na Fig. 3.1. Pode-se observar, destas curvas, a dependência que as
características do mancal têm da freqüência, e como o modelo para o cálculo de C
eq
não é
representativo para as freqüências abaixo de 40 Hz.
Figura 3.1 – Curvas de Keq e Ceq em função do ganho proporcional do filtro PID (K
P
).
35
Observa-se que o ganho proporcional influencia de forma acentuada os valores de
Keq em toda faixa de freqüência analisada e influencia muito pouco os valores de Ceq, já que
neste último, as variações são pequenas. O fato de K
P
afetar mais diretamente a rigidez do
mancal ocorre porque ele contribui apenas para a parte real da função de transferência do
filtro PID, Eq. (2.26), sendo diretamente multiplicado pelo sinal de posição. Outro aspecto
muito interessante aqui observado é que à medida que K
P
aumenta, os valores de Keq também
aumentam, porém os valores de Ceq diminuem. Portanto, em um projeto de mancal onde é
desejável aumentar a rigidez do sistema sem diminuir muito o seu amortecimento, ou vice-
versa, o ganho proporcional do filtro PID constitui-se no parâmetro de destaque para ser
manipulado e seu valor dever ser cuidadosamente determinado. De acordo com o mencionado
anteriormente, os valores médios são apresentados na Tabela 3.3:
Tabela 3.3 – Valores médios de Keq e Ceq em função de K
P.
K
P
Keq (N/m) Ceq (N.s/m)
40 72,07 x 10
2
287,39
60 72,96 x 10
3
268,05
80 13,87 x 10
4
248,71
3.2.2. VARIAÇÃO DO GANHO INTEGRAL DO FILTRO PID (K
I
) SOBRE A RIGIDEZ E
O AMORTECIMENTO EQUIVALENTES
A análise do comportamento de Keq e Ceq com a variação do ganho integral (K
I
) do
filtro PID foi realizada a partir das curvas apresentadas na Fig. 3.2. Para obter essas curvas
foram adotados os seguintes valores de K
I
: 60, 80 e 100. Desta figura conclui-se que K
I
altera
muito pouco as curvas de rigidez e amortecimento equivalentes, sendo a variação
praticamente imperceptível nos gráficos. Como já foi comentado anteriormente no capítulo 2,
o ganho integral atua sobre os níveis de deslocamentos permanentes DC (“steady offsets”)
dentro do eixo e proporciona um sinal de controle somente para compensar o DC (“offset”) do
sinal de vibração do rotor. Desta forma, esta análise confirma a desprezível influência deste
parâmetro nas características dinâmicas do mancal e, por consequência, não altera a dinâmica
dos rotores. Os valores médios de Keq e Ceq são mostrados na Tabela 3.4.
36
Figura 3.2 – Curvas de Keq e Ceq em função do ganho integral do filtro PID (K
I
).
Tabela 3.4 – Valores médios de Keq e Ceq em função de K
I
.
K
I
Keq (N/m) Ceq (N.s/m)
60 72,98 x 10
3
268,47
80 72,96 x 10
3
268,05
100 72,94 x 10
3
267,63
3.2.3. VARIAÇÃO DO GANHO DERIVATIVO DO FILTRO PID (K
D
) SOBRE A RIGIDEZ
E O AMORTECIMENTO EQUIVALENTES
As curvas de Keq e Ceq determinadas em função da variação do ganho derivativo
(K
D
) do controlador PID estão apresentadas na Fig. 3.3, obtidas com os seguintes valores
adotados para K
D
: 0,05, 0,1 e 0,25. Neste caso, observa-se que o ganho derivativo tem uma
influência decisiva sobre o amortecimento do mancal magnético, ou seja, o amortecimento
aumenta grandemente à medida que se procede a um pequeno aumento de K
D
. Este fato é, de
certa forma, justificado quando se analisa a Eq. (2.26), uma vez que este parâmetro está
multiplicado pela derivada do sinal de posição. Por sua vez, estes resultados demonstram que
a rigidez equivalente somente sofre pequenas alterações na faixa de freqüências mais
elevadas. Este parâmetro é, portanto, o mais interessante para ser analisado quando se busca
37
um amortecimento desejável para o rotor com uma alteração mínima de sua rigidez. Na
Tabela 3.5 estão indicados os valores médios de Keq e Ceq.
Figura 3.3 – Curvas de Keq e Ceq em função do ganho derivativo do filtro PID (K
D
).
Tabela 3.5 – Valores médios de Keq e Ceq em função de K
D
.
K
D
Keq (N/m) Ceq (N.s/m)
0,05 66,59.10
3
104,18
0,1 72,96.10
3
268,05
0,25 92,08.10
3
759,66
3.2.4. VARIAÇÃO DO GANHO TOTAL DO FILTRO PID (K
T
) SOBRE A RIGIDEZ E O
AMORTECIMENTO EQUIVALENTES
A variação para o ganho total foi feita tomando-se apenas dois valores distintos, que
são: 0,00006 e 0,00008. Os resultados dessa variação sobre as características dinâmicas do
mancal são apresentados na Fig. 3.4.
38
Figura 3.4 – Curvas de Keq e Ceq em função do ganho total do filtro PID (K
T
).
O ganho total influencia direta e proporcionalmente tanto as curvas de rigidez como
as curvas de amortecimento, pois ele é simplesmente um multiplicador sobre os outros três
ganhos do filtro PID simultaneamente (proporcional, integral e derivativo), como pode ser
visto na Eq. (2.26). Mesmo assim, em termos do comportamento dinâmico do rotor, este
certamente será mais modificado devido à variação do amortecimento do rotor quando há uma
variação do parâmetro K
T
. Os valores médios de Keq e Ceq para este caso são mostrados na
Tabela 3.6.
Tabela 3.6 – Valores médios de Keq e Ceq em função de K
T.
K
T
Keq (N/m) Ceq (N.s/m)
0,00006 72,965 x 10
3
268,05
0,00008 14,29 x 10
4
357,40
Com toda esta análise, verifica-se que os parâmetros do controlador PID podem
modificar bastante a dinâmica de sistemas rotativos que utilizam mancais magnéticos como
suportes, dependendo do conjunto de parâmetros adotados. Pequenas variações em alguns
parâmetros podem induzir grandes variações na rigidez e no amortecimento do mancal.
Posteriormente será analisado como essas variações modificam o comportamento vibratório
de rotores em termos de freqüências naturais, modos de vibrar e controle ativo dos mesmos.
39
CAPÍTULO 4
CONTROLE ATIVO DE VIBRAÇÕES
4.1. INTRODUÇÃO
Controle ativo de ruído é uma técnica que tem como propósito “cancelar” o ruído
indesejável através da introdução de um campo de som adicional gerado eletronicamente,
enquanto que o controle ativo de vibração tem como propósito “cancelar” a vibração
indesejável introduzindo uma perturbação secundária, essencialmente usando as mesmas
técnicas de controle como no controle ativo de ruído. Embora a idéia básica do controle ativo
de ruído e vibração data desde os anos 60, só recentemente que a sua implementação prática
tornou-se viável, como resultado dos avanços nos microprocessadores e na tecnologia dos
transdutores acústicos. Na última década houve uma expansão gigantesca, dentro da literatura
acadêmica, no tratamento dos vários aspectos do controle ativo de ruído e vibração. Incluindo
na literatura, pode-se encontrar os resultados de um vasto número de implementações
experimentais, demonstrando o potencial dessa tecnologia de controle de ruído e vibração.
Mesmo assim a implementação comercial em larga escala do controle ativo de ruído e
vibração, particularmente nos bens de consumo de massa, não ocorreu. O interesse em
controle ativo está essencialmente restrito à comunidade acadêmica. Um dos fatores de maior
impedimento do uso massivo de controle ativo de ruído e vibração é o grande conhecimento
científico requerido para a implementação prática desse método de controle nos sistemas.
Existem duas técnicas que são usadas para implementar sistemas de controle ativo de
ruído e vibração: “feedback” (retroalimentado) e “feedforward”. Neste capítulo será feito um
estudo dos fundamentos básicos dessas técnicas. Para o entendimento mais aprofundado deste
assunto é necessário conhecer alguns princípios fundamentais de um número razoável de
áreas da engenharia. Para uma introdução geral em processamento de sinais, os textos
publicados por Gold e Radar (1969) e Oppenheim e Shafer (1975) são muito úteis. Para uma
introdução em processamento de sinal adaptativo, pode referir-se a Cowan e Grant (1985) ou
40
Widrow e Stearns (1985). Para uma introdução em acústica e vibrações, o leitor poderá usar a
referência Bies e Hansen (1988). Para referência em controle ativo de ruído e vibrações, o
leitor poderá usar o livro de Nelson e Elliott (1992), o qual trata especificamente de controle
ativo de ruído, e o livro de Fuller, Elliott e Nelson (1996), que trata especificamente de
controle ativo de vibrações.
4.2. CONTROLE ATIVO TIPO “FEEDBACK”
Considere o comportamento de um sistema com um único sensor de controle e um
único atuador secundário para um controlador tipo “feedback” de apenas um canal. O sensor
de controle medirá a resposta total do sistema mecânico. O sinal desse sensor comanda a ação
do controlador que, através do atuador, introduzirá um sinal secundário sobre o sistema
mecânico. O diagrama de bloco para o sistema de controle “feedback” é mostrado na Fig. 4.1,
no qual assume-se que a excitação do sistema mecânico é a diferença entre a excitação
primária e a secundária. A função de transferência do sistema mecânico, denominada )(sG ,
pode ser definida como a razão da transformada de Laplace de resposta, )(sW , e a diferença
entre as forças de excitação, )()( sFsF
sp
− .
Figura 4.1 – Componentes de um sistema “feedback”.
A função de transferência do controlador tipo “feedback” é também definida como a
razão entre a transformada de Laplace de excitação secundária )(sF
s
e a transformada de
Laplace de resposta )(sW , denominada )(sH . A Fig. 4.2 é um diagrama de um sistema de
controle “feedback” onde está representada a diferença entre as excitações primárias e
secundárias.
Sistema
Mecânico
Excitação Primária
Sensor - Resposta
Mecânica do Sistema.
Excitação Secundária
via Controle Ativo
Controlador
Atuador
41
Figura 4.2 – Diagrama de um sistema de controle “feedback”.
Da definição da função de transferência do sistema mecânico original )(sG , pode-se
expressar a transformada de Laplace da resposta como,
)]()()[()( sFsFsGsW
sp
−= (4.1)
A transformada de Laplace da excitação secundária pode ser escrita usando a definição
da função de transferência do controlador tipo “feedback”, ),(sH como,
)()()( sWsHsF
s
= (4.2)
Substituindo a Eq. (4.2) na Eq. (4.1) obtém-se,
)]()(-)()[()( sWsHsFsGsW
p
= (4.3)
Fazendo uma manipulação algébrica, a função de transferência de um sistema
mecânico com um controle tipo “feedback” pode ser escrita como,
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sF
sW
p
+
= (4.4)
A Eq. (4.4) pode ser usada para obter as características da malha fechada para
qualquer sistema mecânico e controlador tipo “feedback”. Transformando a Eq. (4.4) em uma
resposta em freqüência, com a substituição de
ω
j
s
=
obtém-se,
Função de Transferência
do Controlador Feedback
_
G(s)
H(s)
Excitação
Primária
Função de
Transferência
do Sistema Mecânico
Resposta
W(s)
+
F
p
(s)
F
s
(s)
∑
42
)()(1
)(
)(
)(
ωω
ω
ω
ω
jHjG
jG
jF
jW
p
+
= (4.5)
a qual é a resposta em freqüência do sistema de malha fechada.
Se na resposta em freqüência da malha aberta, )()(
ω
ω
jHjG , houver apenas um
pequeno deslocamento de fase (“phase shift”) na faixa de freqüência de interesse e
simultaneamente houver um ganho muito maior que a unidade, então pode escrever que,
1)()(1 >>+
ωω
jHjG para
ω
na faixa de trabalho, (4.6)
tal que,
)(
)(
)(
ω
ω
ω
jG
jF
jW
p
<<
para
ω
na faixa de trabalho. (4.7)
A resposta do sistema mecânico é, assim, significativamente reduzida na região de
freqüência de trabalho, isso pela ação do controlador “feedback”. Fora da faixa de freqüência
de trabalho, entretanto, não se pode assegurar que o deslocamento da fase da resposta em
freqüência da malha aberta seja pequeno. Em particular, qualquer atraso (“delay”) no caminho
do sistema mecânico ou do sistema “feedback” irá inevitavelmente provocar um aumento no
deslocamento da fase nas altas freqüências. Se o ganho da malha aberta é unitário para uma
dada freqüência
c
ω
, e ao mesmo tempo ocorre um deslocamento de fase de 180º, então,
c
parajHjG
ωωωω
=−= 1)()( (4.8)
então
c
parajW
ωωω
=∞→)( (4.9)
O projeto de um sistema de controle “feedback” prático envolve, assim, um
compromisso entre ter um ganho elevado para a malha aberta atingir um bom desempenho na
faixa de trabalho, e ter o mais baixo ganho para a malha aberta que assegure certa estabilidade
fora da faixa de freqüência de trabalho.
43
4.2.1. RESPOSTA DE UM SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE COM CONTROLE
“FEEDBACK”
Nesta seção será apresentado um exemplo particular de sistema de controle tipo
“feedback” de um único canal aplicado a um sistema massa-mola-amortecedor. O sistema está
ilustrado na Fig. 4.3, no qual o sinal do sensor, W, é proporcional ao deslocamento da massa.
O atuador, gerando a entrada secundária, introduz no sistema uma força, F
s
, proporcional ao
sinal de controle. Qualquer rigidez ou amortecimento associado ao atuador pode ser
dinamicamente agregado ao sistema massa-mola-amortecedor original sem controle. Antes do
controle ativo, o sinal de controle dirigido ao atuador secundário e também a força secundária
serão iguais a zero. Nestas condições, a resposta do sistema dinâmico massa-mola-
amortecedor pode ser deduzida pela equação diferencial descrita em termos da força primária,
f
p
(t), e do deslocamento da massa como, )(tw , dadas por,
)()()()( tKwtwCtwMtf
p
++=
&&&
(4.10)
Figura 4.3 – Controlador tipo “Feedback” aplicado ao sistema massa-mola-amortecedor.
Fazendo a transformada de Laplace de cada termo da equação diferencial e
assumindo as condições iniciais iguais a zero, isto é, )0(w e )0(w
&
, a Eq. (4.10) pode ser
escrita como,
)()()()(
2
sKWsCsWsWMssF
p
++= (4.11)
44
sendo que )()( sWesF
p
são as transformadas e Laplace de )()( twetf
p
, respectivamente.
A função de transferência que define a resposta do sistema antes do controle é dada
da forma,
)(
)(
)(
sF
sW
sG
p
= (4.12)
na qual introduzindo a Eq. (4.11), chega-se, neste caso, a,
K
Cs
Ms
sG
+
+
=
2
1
)( (4.13)
Para se determinar a resposta da malha fechada do sistema mostrado na Fig. 4.3, é
necessário conhecer a forma do controlador “feedback”, H(s). Assume-se que a resposta
eletrônica do controlador é tal que a força secundária tem três componentes, as quais são
proporcionais à aceleração, velocidade e deslocamento da massa, com ganhos constantes
va
gg , e
d
g . A força secundária pode ser escrita em função do tempo, como,
)()()()( twgtwgtwgtf
dvas
++=
&&&
(4.14)
Na prática, geralmente apenas um transdutor é usado, por exemplo, para medir a
aceleração e integradores eletrônicos são utilizados para se obter sinais proporcionais à
velocidade e ao deslocamento. Tal aproximação somente é válida sobre uma faixa de
freqüências. A Eq. (4.14) pode ser um bom modelo para o controle de vibração tipo
“feedback” sobre a faixa de freqüências importante nos problemas de vibração, até mesmo
com um único acelerômetro como sensor. Se, alternativamente, houver um único sensor
disponível para medir a velocidade da massa, um sistema “feedback" da forma da Eq. (4.14)
pode ser obtido com um diferenciador e um integrador eletrônico.
A transformada de Laplace da Eq. (4.14) pode ser tomada termo a termo e
reorganizada para dar a função de transferência do controle “feedback”, H(s), como,
dva
s
gsgsg
sW
sF
sH ++==
2
)(
)(
)( (4.15)
45
As duas funções de transferência das malhas abertas, Eq. (4.13) e a Eq. (4.15),
podem ser usadas para a dedução da resposta da malha fechada, dada pela Eq. (4.4), como,
)()()(
1
)()(1
)(
)(
)(
2
dvap
gKsgCsgMsHsG
sG
sF
sW
+++++
=
+
= (4.16)
O efeito da realimentação da aceleração, da velocidade e do deslocamento é
claramente modificar a massa efetiva, o amortecimento e a rigidez do sistema mecânico,
respectivamente.
A Eq. (4.16) pode também ser escrita, por analogia com a Eq. (4.13), como,
´''
1
)(
)(
2
KsCsMsF
sW
p
++
= (4.17)
sendo
a
gMM +=' a massa modificada,
v
gCC +=' o coeficiente de amortecimento
modificado do amortecedor e
d
gKK +=' a rigidez modificada.
Neste caso, a estabilidade do sistema de malha fechada é garantida visto que,
'',' KeCM são todos positivos. Em princípio, a massa, o amortecimento e a rigidez podem
ser independentemente modificados pelos três ganhos no controlador tipo “feedback”, tal que
cada um destes parâmetros pode ser selecionado para qualquer freqüência dentro da faixa
analisada.
4.2.2. CONTROLE “FEEDBACK” USANDO VARIÁVEIS DE ESTADO
A generalização de um controlador tipo “feedback” com múltiplos canais a partir de
um controlador de um único canal discutido na seção 4.2, é retro-alimentar cada entrada a
partir de cada saída respectiva, através de um elemento na matriz de ganhos “feedback”. Tal
arranjo está ilustrado na Fig. 4.4. Nesta seção será apresentada uma análise da resposta da
malha fechada do sistema usando a aproximação por variáveis de estado. Por conveniência de
notação, as matrizes serão representadas por letras latinas maiúsculas em negrito e os vetores
serão representados por letras latinas minúsculas também em negrito. Assume-se, portanto,
que o sistema mecânico antes do controle é governado pelas equações de variáveis de estado,
46
)()()( ttt
Bu
Ax
x
+
=
&
(4.18)
e
)()()( ttt DuxCy
me
+= (4.19)
sendo )(t
x
o vetor de estado,
nn
R
2x2
∈
A
,
pn
R
x2
∈
B
,
2nxk
R∈
me
C ,
pk
R
x
∈
D
, onde 2n é a
ordem do sistema, p o número de entradas )(t
u
e k o número de saídas )(t
y
.
A matriz
A
é conhecida como matriz de estado ou matriz dinâmica e sua
representação é, (Hu e Ng, 2005),
−−
=
−−
CMKM
I0
A
11
(4.20)
sendo
C
M,
e
K
as matrizes de massa, amortecimento e rigidez do sistema, respectivamente,
todos de ordem n x n.
A matriz de entrada das perturbações
B
é dada por:
=
−1
M
0
B (4.21)
A matriz
me
C é conhecida como matriz de saída ou matriz de medida. Ela é montada
de acordo com o número de variáveis da resposta que se deseja obter devido a uma entrada. A
matriz
D
é geralmente chamada de matriz de transmissão direta.
Com o controle “feedback” a entrada para o sistema mecânico é, agora, a diferença
entre a entrada, representada por )(t
r
, e os sinais retro-alimentados da saída, ),(t
y
ponderados pelos elementos da matriz de ganho
0
G , de maneira que,
)()()( ttt yGru
0
−= (4.22)
47
Figura 4.4 – Diagrama de bloco de um sistema mecânico com múltiplos canais com
Controle “feedback”.
Usando a Eq. (4.19) de )(t
y
na Eq. (4.22), então pode-se obter o vetor de entrada
líquida do sistema mecânico escrito da forma,
[
]
[
]
)()()( ttt xCGrDGIu
me0
1
0
−+=
−
(4.23)
Substituindo a Eq. (4.23) na Eq. (4.18), o sistema mecânico com controle “feedback”
é agora governado pela nova equação com variáveis de estado,
)(][)(]][[)( ttt rDGIBxCGDGIBAx
1
0me0
1
0
−−
+++−=
&
(4.24)
Portanto, a matriz dinâmica das variáveis de estado do sistema mecânico é agora
governada pelo novo sistema de matrizes,
]CGD]GB[I[AA
me0
1
00
−
+−= (4.25)
Para um determinado sistema mecânico e matriz de ganho “feedback”, as
propriedades do sistema de malha fechada podem ser calculadas usando a Eq. (4.25). Em
particular, a estabilidade do sistema de malha fechada pode ser avaliada pelo cálculo dos
autovalores de
0
A . Vários métodos têm sido desenvolvidos para calcular os elementos de
ganho da matriz
0
G para se determinar uma resposta desejada da malha fechada.
Considere, agora, o efeito do controle “feedback” sobre a dinâmica do sistema
quando o vetor de estado é calculado a partir do vetor de saída. Para isso, assume-se que se
48
têm acesso a todas as variáveis de estado e que o número destas variáveis é igual ao número
de variáveis de saída. Estas condições são equivalentes a assumir que a matriz
me
C da Eq.
(4.19) é inversível, tal que se pode escrever,
[
]
)()()( ttt DuyCx
1
me
−=
−
(4.26)
sendo que
me
C deve ser quadrada e não singular para a expressão ser válida. Tendo obtido os
sinais das variáveis de estado, então o processo de retro-alimentação é feito através da matriz
de ganho
x
G , tal que se pode escrever,
)()()( ttt xGru
x
−= (4.27)
sendo que )(t
r
expressa a entrada do sistema da malha fechada mostrado na Fig. 4.5.
Substituindo a Eq. (4.27) na Eq. (4.18), a equação da variável de estado do sistema
de malha fechada com "feedback" de estado pode ser escrita como,
[
]
)()()( ttt BrxBGAx
x
+−=
&
(4.29)
Resultando a matriz do sistema de malha fechada dada por,
xx
BGAA −= (4.29)
Figura 4.5 – Diagrama de bloco de um sistema “feedback” com variável de estado usando o
vetor de saída para calcular o vetor de estado.
49
4.2.3. CONTROLE ÓTIMO
O propósito do controle “feedback” é freqüentemente reduzir o movimento vibratório
do sistema mecânico o máximo possível através da escolha de um conjunto de ganhos para o
sistema de controle. A escolha de uma determinada mudança nas propriedades dinâmicas dos
sistemas é geralmente motivada pelo propósito da redução das respostas. Por exemplo, o fator
de amortecimento de um sistema poderia ser ajustado pelo controle “feedback” de forma que
o sistema de malha fechada passaria a ser amortecido criticamente.
Há vários métodos diretos para projetar sistemas de controle “feedback”, os quais
conseguem as maiores reduções possíveis na resposta. Os sistemas projetados usando esses
métodos são conhecidos como sistemas de controle ótimo. Em um controle ótimo, o sistema
de controle “feedback” é projetado para minimizar uma função custo ou o índice de
desempenho o qual é proporcional à medida requerida da resposta do sistema. Assume-se,
aqui, que o objetivo é reduzir a resposta o máximo e, neste caso, o sistema de controle é dito
agir como um regulador. Algebricamente, é bastante conveniente definir uma função custo
que é quadraticamente dependente da resposta, uma vez que isso simplifica bastante o
problema de otimização. Uma função custo apropriada para um regulador seria (Kwakernaak
e Sivan, 1972),
[ ]
∫
++=
f
t
ff
TTT
ttdtttttJ
0
)()()()()()( SyyRuuQyy (4.30)
onde
Q
e
R
são matrizes de ponderação simétricas positivas definidas. Uma função custo
análoga para um servo sistema pode ser obtida substituindo )(t
y
na Eq. (4.30) por
)),()(( tt yy
D
− onde )(t
D
y é um vetor de saídas desejadas. A quantidade escalar )()( tt
T
Qyy é
quadraticamente dependente das saídas do sistema sob controle e, )()( tt
T
Ruu , é
quadraticamente dependente das entradas do controle. O propósito do segundo termo da
Eq. (4.30) é levar em conta o esforço que pode ser empreendido pelo sistema de controle
quando pequenas reduções na saída não são obtidas devido aos níveis não significativos de
entrada. O termo final )()(
ff
T
tt Syy também é incluído para independentemente ponderar a
saída no tempo final do período considerado.
Assumindo que a equação da saída do sistema sob controle pode novamente ser
escrito na forma reduzida,
50
)()( tt xCy
me
= (4.31)
a função custo, Eq. (4.30), pode então ser escrita da forma,
[ ]
∫
++=
f
t
ff
TTT
ttdtttttJ
0
)()()()()()( xSxRuuxQx
11
(4.32)
tal que
meme1
QCCQ
T
= e
meme1
SCCS
T
= são as matrizes de ponderação das variáveis de
estado, as quais são positivas semi-definidas porque, em geral, há mais estados que saídas. A
Eq. (4.32) é a função custo geralmente considerada em um controle ótimo.
Wang e Huang (2002) mostraram que o sistema de controle “feedback” que
minimiza esta função custo, para um sistema linear e invariante no tempo, definido pela
equação,
)()()( ttt
Bu
Ax
x
+
=
&
(4.33)
emprega o “feedback” de estado com uma matriz de ganho “feedback” )(t
0
G variando no
tempo, tal que,
)()()( ttt xGu
0
= (4.34)
A matriz de ganho “feedback” ótima variando no tempo é dada por,
)()( tt
T
PBRG
10 −
−= (4.35)
onde )(t
P
é a solução da matriz da equação de Riccati,
)()()()()( ttttt
T
BPBRPAPPAQP
1
1
−
+−−−=
&
(4.36)
Este conjunto de equações diferenciais não-lineares deve ser resolvido no tempo com
a condição inicial SP =
)(
f
t . Vários algoritmos podem ser usados para resolver
numericamente a equação de Riccati e eles são apresentados, por exemplo, por Meirovitch
51
(1990). Foi verificado por Merovitch, entretanto, que a convergência e a estabilidade de tais
algoritmos não podem ser garantidas e as chances de obter uma solução convergente
diminuem bastante à medida que a ordem do sistema de controle aumenta e o número de
atuadores diminui.
4.3. CONTROLE ATIVO TIPO “FEEDFORWARD”
Na implementação dos sistemas de controle é possível obter, em muitos casos,
alguma medida da perturbação indesejável na entrada, freqüentemente referida na literatura de
controle ativo como sinal de referência. Um exemplo disso ocorre quando uma perturbação
(onda) se propaga “conduzida” ao longo de um dispositivo (tal como um duto condutor de ar),
onde é possível obter uma medição à montante dessa perturbação. Um segundo exemplo é
onde a fonte da perturbação (a fonte primária) é de uma máquina rotativa, onde a perturbação
é periódica, e um sinal de um tacômetro estará relacionado com essa perturbação. Nestes
exemplos é possível enviar uma medida da perturbação para um controlador, produzindo um
sistema de controle ativo tipo “feedforward”, como apresentado na Fig. 4.6. Os sistemas de
controle “feedforward”, quando podem ser implementados, freqüentemente oferecem um
maior potencial de atenuação que os sistemas de controle tipo “feedback”. Heuristicamente, o
sistema de controle “feedforward” pode ser visto como um sistema que oferece uma
prevenção à perturbação, produzindo uma saída para contrapor à perturbação antes de sua
propagação, enquanto que no sistema tipo “feedback”, deve-se esperar que a perturbação
ocorra e que seja medida na saída do sistema controlado, para que o mesmo possa agir e
atenuar o efeito da perturbação.
Os componentes físicos de um sistema de controle tipo “feedforward” de apenas um
canal estão ilustradas na Fig. 4.6.
Figura 4.6 – Componentes de um sistema de controle “feedforward”.
52
A diferença entre este diagrama e o do controlador tipo “feedback”, mostrado na Fig.
4.1, é que o controlador elétrico,
H
, é agora dirigido por uma estimativa da excitação original
do sistema mecânico devida à fonte de excitação primária
.
x
O sinal proporcional da resposta
do sistema mecânico
,
e
não representa parte direta na trajetória do controle, mas poderia ser
usado para adaptar a resposta do controlador. A excitação original influencia o sistema
mecânico pela força primária, ,
p
f que está relacionada à excitação original pela trajetória de
transmissão primária .P A excitação liquida do sistema mecânico é novamente proporcional à
diferença entre as forças primária e secundária )(
sp
ff − e a resposta do sistema mecânico
está relacionada à esta excitação líquida via função de resposta do sistema mecânico, .G A
Fig. 4.7 mostra o diagrama de bloco do sistema de controle tipo “feedforward”, no qual os
sinais são representados por suas transformadas de Laplace e as respostas dos vários
componentes por suas funções de transferência.
A transformada de Laplace da resposta do sistema mecânico, observando a Fig. 4.7,
pode ser escrita como,
[
]
(
)
sXsHsPsGsE )()()()( −= (4.37)
Figura 4.7 – Diagrama de bloco de um sistema de controle “feedforward”.
Neste caso, assume-se que a resposta do sistema mecânico é devido apenas às
excitações primária e secundária. Em particular, assume-se que nenhum outro sinal não
correlato está presente, pois este agiria como ruído no sistema. Na ausência de ruídos, pode-
se, em princípio, conduzir a resposta do sistema para zero usando o controle “feedforward”,
isto é, pode-se perfeitamente cancelar a resposta do sistema o tempo todo equilibrando
exatamente
p
F com
s
F . A transformada de Laplace da resposta poderia também ser zero sob
53
estas condições e, da Eq. (4.37), fica claro que isso pode ocorrer se o controlador responde
exatamente igual ao caminho primário, isto é,
0)()()(
=
=
sEentãosPsHse (4.38)
Assumindo que a perturbação original é aleatória, a Eq. (4.38) tem que ser satisfeita
para todos os valores da freqüência complexa,
s
. Isto significa que a amplitude e a fase da
resposta em freqüência do controlador “feedforward” deve, exatamente, igualar-se à resposta
do caminho primário para todas as freqüências, de forma que as respostas ao impulso destes
sistemas devem também ser iguais. Em princípio, esta tarefa é um problema de projeto de
filtro elétrico. Na prática, vários problemas surgem, particularmente quando o controlador
“feedforward” é implementado digitalmente, como normalmente é o caso quando o
controlador é adaptável. Filtros elétricos implementados digitalmente têm uma inevitável
defasagem associada a eles. Isto é, em parte, devido ao tempo de processamento do sistema
digital, mas o mais importante, é também devido ao deslocamento de fase de filtros passa
baixa que são geralmente usados para prevenir “aliasing” e reconstruir a forma de onda da
saída. Uma conseqüência desta inerente defasagem é que a parte inicial da resposta ao
impulso do caminho primário não pode ser modelada por um controlador digital. A
defasagem associada com uma implementação digital do controlador para um controle
“feedforward” de vibração randômica pode ter conseqüências sérias sobre o grau de
cancelamento de vibração alcançado.
Se a perturbação é determinística, entretanto, o problema de defasagem é contornado,
pois o futuro comportamento da perturbação é, em princípio, perfeitamente previsível do seu
comportamento anterior. Como um exemplo do controle de tal perturbação, considere o
controle de uma perturbação senoidal de freqüência angular
0
ω
e admite-se trabalhar em
termos de variáveis complexas no domínio da freqüência. O sinal de referência, neste caso,
pode ser um complexo senoidal unitário ))((
0
0
tj
ejX
ω
ω
= de forma que a resposta complexa
do sistema mecânico pode ser escrita como,
[
]
)()()()(
0000
ωωωω
jHjPjGjE −= (4.39)
54
Para cancelar exatamente a resposta à esta freqüência, é apenas necessário tomar
medidas para assegurar-se que a amplitude e a fase da resposta do controlador à freqüência
0
ω
sejam iguais às do caminho primário. Em termos das respostas complexas a
0
ω
, tem-se,
0)()()(
000
==
ωωω
jEentãojPjHse (4.40)
Esta condição, para um único valor de
0
ω
, é obviamente uma condição bem menos
difícil de se encontrar que o caso de excitação aleatória Eq. (4.38), uma vez que a resposta em
freqüência do controlador apenas tem que se igualar à resposta do caminho primário à uma
única freqüência.
4.3.1. CONTROLADOR DIGITAL ADAPTATIVO
A forma de sistema de controle “feedforward” atualmente implementada em sistemas
de controle ativo é uma estratégia adaptativa, mostrada na Fig. 4.8. Neste caso, uma medida
da saída do sistema é usada para ajustar o sistema de controle e propiciar uma máxima
atenuação, a qual é efetivamente uma adaptação de malha fechada para uma estratégia de
controle “feedforward”. Essa medida não é usada para conduzir diretamente o controlador
eletrônico, porém é usada apenas para monitorar o desempenho do controlador.
Para entender esse tipo de controle, considere o sistema de controle ativo apresentado
na Fig. 4.9, o qual é um arranjo “feedforward” adaptativo. Uma medição da perturbação
indesejável no duto, tomada como “sinal de referência”, é obtida por um microfone colocado
“à montante” do sistema de controle (um “microfone de referência”). Esse arranjo trabalha
Sistema
Controle
Planta
∑
Saída
Perturbação
de Entrada
Entrada de
Controle
Sinal de
Referência
+
+
Figura 4.8 – Diagrama de um sistema de controle “feedforward” adaptativo.
55
porque o ruído a algum ponto “à montante” do duto será estritamente o mesmo que o ruído à
algum ponto “à jusante” após um período de tempo finito, sendo esse tempo função da
velocidade do som.
Figura 4.9 – Componentes básicos de um sistema de controle ativo de ruído adaptativo
“feedforward”, implementado para a atenuação da propagação de som em um duto de ar.
De posse do sinal de referência, o trabalho do sistema de controle é determinar um
sinal acústico de igual amplitude, porém em oposição de fase da perturbação, e introduz esse
sinal via uma “fonte de controle” (alto falante) dentro do duto quando o ruído indesejável
chega no ponto onde encontra-se a fonte de controle. Como os sistemas acústicos são lineares,
o sinal de controle irá “cancelar” o ruído indesejável. Como resultado, os níveis acústicos “à
jusante” do sistema de controle serão reduzidos.
Enquanto que os objetivos do sistema de controle podem ser categoricamente
estabelecidos, colocá-los em prática é uma tarefa muito mais difícil. Uma variação na
perturbação durante a sua propagação desde o microfone de referência até a fonte de controle
deve ser considerada, assim como uma variação no sinal de controle quando ele passa através
dos filtros, amplificadores e altos falantes. Por outro lado, as magnitudes destas variações são
fortemente relacionadas com as mudanças nas condições ambientais (tal como a temperatura)
e o desgaste do transdutor. Com base nisso, torna-se aparente que o sistema de controle deve
ser adaptativo, ou seja, deve continuamente ajustar-se para proporcionar um resultado ótimo.
Para colocar em prática o controle adaptativo, uma medida do campo de som residual, um
“sinal de erro”, é captado por um “microfone de erro”, e enviado para o sistema de controle.
Um algoritmo de adaptação é normalmente implementado como parte do sistema de controle,
56
que altera continuamente as características do controlador para, mais eficientemente,
minimizar a perturbação medida no sensor de erro.
O processamento de sinal digital adaptativo é um campo que cresceu inicialmente em
função da necessidade dos modernos sistemas de telecomunicação. Nesses sistemas, há uma
freqüente necessidade de se obter um sinal através de um processo de filtragem, tal que ele
pode ser extraído de um ruído contaminado. O processamento de sinal “convencional”
empregado para desenvolver essa tarefa opera em uma malha aberta, usando um filtro com
características fixas.
As hipóteses que devem ser assumidas para o uso de filtros fixos são que as
características do sinal de entrada são conhecidas, e que as características da perturbação e da
resposta do sistema não variam com o tempo. Portanto, se as características do sinal de
entrada e a resposta do sistema não são conhecidas, ou podem estar lentamente variando com
o tempo, então o uso de filtros com características fixas poderá não dar um desempenho
satisfatório. Na prática, o sinal de excitação e caminho primário mudam lentamente com o
tempo e para manter o delicado equilíbrio requerido pelo controle “feedforward”, a resposta
do controlador também deve mudar com o tempo. É relativamente fácil mudar a característica
do filtro digital pelo ajuste dos seus coeficientes, mas é geralmente difícil mudar a resposta de
um complicado filtro analógico. Por esta razão a maioria das implementações práticas de
sistemas ativos para controle “feedforward” de vibrações usa filtros digitais adaptáveis que
ajustam suas características (através de uma variação nos valores dos pesos do filtro) para
otimizar o desempenho do sistema. O algoritmo adaptativo, parte do sistema de controle
“feedforward”, é responsável pela modificação dos pesos do filtro digital, de forma que a
redução da perturbação acústica ou vibracional indesejável seja maximizada. Essa tarefa é
feita com base em um ou mais sinais de erro enviados para o sistema de controle, os quais
darão uma medida da perturbação indesejável que o sistema de controle ativo de ruído e
vibração tentará minimizar.
A maioria dos algoritmos adaptativos usados no campo de controle de ruído e
vibração é do tipo “algoritmos de gradiente decrescente”. Esses algoritmos operam
adicionando nos valores correntes dos pesos do filtro uma pequena porcentagem do gradiente
negativo do erro (critério do erro em função dos pesos do filtro) para calcular um conjunto
“melhorado” de pesos para o filtro. No trabalho do controle ativo de ruído e vibração, o
critério do erro é definido como a soma dos valores quadrados dos sinais de erro. A
minimização desse critério de erro conduzirá à minimização da perturbação acústica ou de
vibração indesejável nos pontos onde os sensores de erro estão localizados.
57
As propriedades e a implementação de filtros digitais estão descritas em inúmeros
livros textos, por exemplo, Lynn (1982), e Nelson e Elliott (1992). Aqui, será comentado
apenas sobre a adaptação dos filtros digitais cujas saídas são formadas pela soma ponderada
das entradas prévias. Tais filtros digitais têm uma resposta impulsiva (de duração finita) e são
conhecidos como filtros de resposta impulsiva finita, ou filtros FIR (“Finite Impulse
Response”), (Widrow e Stearns, 1985). Em um sistema de controle de um único canal, se o
sinal de excitação vindo da fonte primária for digitalizado em uma taxa de amostragem fixa
para produzir uma seqüência x(n), e se essa seqüência for utilizada como sinal de entrada para
o filtro FIR que atua como controlador em um sistema de controle de vibração “feedforward”,
então a seqüência de saída do controlador pode ser escrita como, (Elliot, 1998)
∑
−
=
−=
1
0
)()(
I
i
i
inxhnu
(4.41)
Nessa equação, n é o número de amostras, o qual pode apenas assumir valores
inteiros, n = ... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., e as variáveis h
i
são os coeficientes do filtro que
ponderam as I-1 prévias amostras de entrada do sinal x(n). Por conveniência, utiliza-se a
notação q
-1
para representar um operador de “defasagem” unitário, o qual, quando opera sobre
a seqüência x(n), transforma–a na mesma seqüência defasada de uma amostra (Fuller et al.
1996). Esse operador é normalmente escrito como,
)1()(
1
−=
−
nxnxq (4.42)
A ação do filtro FIR pode também ser representada utilizando esse operador,
podendo ser expresso como,
1
1
2
2
1
10
...)(
−
−
−−
++++=
I
I
qhqhqhhqH (4.43)
tal que a Eq. (4.41) pode agora ser escrita na forma do operador,
)()()( nxqHnu
=
(4.44)
58
Para utilizar a seqüência de saída definida pela Eq. (4.41) na condução do atuador
secundário, ela deve ser convertida em uma voltagem analógica usando um conversor
digital-analógico, e a onda deve ser filtrada usando um filtro passa baixa analógico. De forma
análoga, antes da resposta líquida do sistema mecânico ser utilizada para ajustar os
coeficientes do controlador digital, ela deve passar por um filtro analógico passa baixa para
prevenir “aliasing” e então ser convertida em uma seqüência, discretizada na mesma taxa de
amostragem através da passagem do sinal analógico por um conversor analógico-digital.
Portanto, no caminho total do sinal desde a seqüência de saída do controlador até a seqüência
representando a resposta líquida, há vários componentes que produzem efeitos sobre a
resposta do sistema mecânico. Considerando que os filtros analógicos previnem o “aliasing”
do sinal digital, então cada componente deste caminho tem uma resposta linear. Esse caminho
total pode, assim, ser completamente modelado pela resposta de um filtro digital fixo
equivalente que é representado pelo operador )(
ˆ
qG , como ilustrado na Fig. 4.10.
Figura 4.10 – Diagrama equivalente do sistema de controle digital adaptativo “feedforward”.
A seqüência representando a resposta líquida do sistema mecânico, e(n), pode, assim,
ser escrita como a soma da resposta do sistema devido ao sinal da perturbação na ausência do
controle, d(n), mais a resposta devido ao sinal do atuador secundário, G(q)u(n), tal que,
)()()()( nuqGndne
+
=
(4.45)
A Eq. (4.45) pode ser usada para expressar a seqüência da resposta líquida em termos
da resposta do controlador e da seqüência de excitação, x(n), a qual é também chamada de
sinal de referência. Assim,
59
)()()()()( nxqHqGndne
+
=
(4.46)
Visto que os operadores G(q) e H(q) são lineares e não variáveis com o tempo, a
ordem desses operadores na Eq. (4.46) pode ser invertida, tal que a expressão da resposta
líquida pode então ser escrita da seguinte forma,
)()()()( nrqHndne
+
=
(4.47)
sendo,
)()()( nxqGnr
=
(4.48)
que é a seqüência gerada pela passagem do sinal de excitação através do filtro digital
representando o comportamento do sistema mecânico, e é chamada de “sinal de referência
filtrado”. A Eq. (4.47) expandida na notação de operador, usando a Eq. (4.43), pode ser
escrita como,
∑
−
=
−+=
1
0
)()()(
I
i
i
inrhndne
(4.49)
deixando evidente que a resposta líquida do sistema é linearmente dependente de cada um dos
coeficientes do controlador digital.
Para melhor adaptar os coeficientes do filtro digital pode-se proceder à minimização
de uma função custo igual ao quadrado da resposta líquida, ou seja, (Vipperman e Burdisso,
1995).
)(
2
neJ = (4.50)
Esta função quadrática tem um único mínimo global. Um algoritmo do gradiente
decrescente pode ser empregado para convergir à solução ótima global deste problema. Tal
algoritmo adaptativo é da forma,
)(
)()1(
nh
J
nhnh
i
ii
∂
∂
−=+
µ
(4.51)
60
sendo
µ
um número positivo que define a porção do gradiente negativo a ser adicionado a
cada iteração, referido como coeficiente de convergência.
Da Eq. (4.49), a derivada do erro, )(ne , com relação à
i
h resulta em,
)()(2
)(
)(
)(2
)(
inrne
nh
ne
ne
nh
J
ii
−=
∂
∂
=
∂
∂
(4.52)
A Eq. (4.51) pode agora ser escrita como,
)()()()1( inrnenhnh
ii
−−=+
α
(4.53)
na qual,
µ
α
2
=
é outro coeficiente de convergência. Esse algoritmo é conhecido como
filtrado-x LMS algoritmo (“filtered-x LMS algorithm”), uma vez que )(nr é obtido pela
filtragem do sinal de referência )(nx passando por )(
ˆ
qG , de acordo com a Eq. (4.48). O
algoritmo foi primeiramente proposto por Morgan (1980), por Burgess (1981) para controle
ativo de som e por Widrow et al. (1981) para qualquer tipo de controle ativo ”feedforward”.
4.3.2. CONTROLADORES ADAPTATIVOS MULTICANAIS NO DOMÍNIO DA
FREQÜÊNCIA
Assumindo que o conjunto de sinais de excitação descrito no diagrama de bloco da
Fig. 4.11 consiste de um conjunto de senóides, podendo ser harmônicas de uma perturbação
periódica primária, então o espectro de cada elemento do vetor resposta,
,
e
estará relacionado
com a freqüência de cada respectiva componente das senóides da excitação. Uma vez que
cada canal dos equipamentos entre o atuador até o sensor é linear e o sistema está no estado
permanente, então a ação do conjunto de filtros do controlador que afeta uma freqüência, não
terá efeito sobre a resposta de outra freqüência (outro canal). A análise do problema de
controle é consideravelmente simplificada, neste caso, pois o ajuste de cada conjunto de
filtros afetando cada freqüência de referência pode ser considerado independentemente. A
análise do desempenho de cada um dos multicanais terá que ser verificada a uma única
freqüência.
61
Figura 4.11 – Diagrama de bloco de um sistema de controle “feedforward” com múltiplos
canais.
É conveniente adotar uma notação complexa para representar a amplitude e fase dos
vários sinais, e representar as respostas em freqüência dos caminhos mecânicos à freqüência
de referência. Também, as matrizes serão representadas por letras latinas maiúsculas e os
vetores por letras latinas minúsculas ambos em negrito. O vetor dos sinais da resposta
complexa pode ser escrito como,
)()()()(
0000
ωωωω
jjjj uGde += (4.54)
sendo )(
0
ω
ju o vetor das contribuições para cada um dos atuadores na freqüência
0
ω
. O
diagrama de bloco do controlador tipo “feedforward” de multicanais com as variáveis no
domínio da freqüência está mostrado na Fig. 4.12. Note que a amplitude e fase do controlador
à freqüência
0
ω
H
( na Fig. 4.11) foram absorvidos na definição de )(
0
ω
ju , que são as
variáveis que podem ser ajustadas pelo controlador.
Figura 4.12 – Diagrama de bloco de um controlador “feedforward” de multicanais na
freqüência de referência
0
ω
.
Para ajustar as componentes de )(
0
ω
ju deve-se proceder à minimização de uma
função custo que conduza a um controle ótimo. Para isso, a dependência explícita de
0
ω
nas
variáveis será eliminada para se chegar a uma notação mais conveniente. Assim, a Eq. (4.54)
pode ser escrita como,
62
Gu
d
e
+
=
(4.55)
Nelson e Elliot (1992), Wang e Huang (2002) e Hu e Vukovich (2005), por exemplo,
mostraram que a função custo a ser minimizada através do ajuste das partes real e imaginária
dos componentes de u, foi definida como,
uRuQee
HH
+=J (4.56)
sendo que o sobrescrito
H
representa o Hermitiano (transposto conjugado) dos vetores;
Q
e
R
são matrizes positivas definidas de ponderação, mas não necessariamente diagonais (de
forma que QQ
H
= e
R
R
H
=
) e J é um escalar real. Observe a semelhança entre essa
função custo e aquela minimizada no controle “feedback” ótimo, Eq. (4.30). O primeiro termo
da Eq. (4.56) depende da resposta do sistema sob controle, o segundo termo depende do
esforço gasto pelos atuadores e a matriz de ponderação
R
permite que o esforço de alguns
atuadores seja maior que outros, por exemplo.
Substituindo a Eq. (4.55) na Eq. (4.56), a função custo pode ser escrita como,
QddQGudQdGuuRQGGu
HHHHHH
++++= ][J (4.57)
a qual pode ser escrita na forma quadrática Hermitiana como,
cJ +++= ubbuAuu
HHH
(4.58)
onde as definições de
b
A,
e
c
são óbvias da Eq. (4.57). Ressalta-se que a matriz
A
na
Eq. (4.58) não é a mesma que a matriz dinâmica do sistema com variável de estado. Nelson e
Elliot (1992) e Elliot (1994), por exemplo, mostraram que o vetor das variáveis de
controle,
0
u , que minimiza a função custo da Eq. (4.56) e o valor mínimo resultante de
)(
min
JJ podem então ser identificados como sendo bAu
1
0
−
−= e bAb
1H −
−= cJ
min
. Neste
caso, o conjunto ótimo de sinais do atuador pode ser escrito como,
QdGRQGGu
H1H
0
−
+−=
][ (4.59)
63
A matriz complexa Hessiana RQGGA
H
+= associada à função custo é
positiva-definida. Em particular, a definição assumida de positiva definida para a matriz de
ponderação
R
assegura esta condição para a matriz
A
até mesmo se QGG
H
for mal
condicionada, ou ter um “rank” inadequado, como é o caso quando há menos sensores de
resposta que atuadores secundários, por exemplo. É garantido, assim, que a função custo tem
um único valor mínimo global para
0
uu = como determinado acima.
Um dos métodos padrões de ajustar as variáveis de controle, quando a função custo é
quadrática dessas variáveis com um garantido mínimo global, é o método do algoritmo de
gradiente decrescente. Tal algoritmo pode ser escrito na forma padrão, (Nelson e Elliot (1992)
e Elliot (1994)), como,
])([)()1(
b
Au
u
u
+
−
=
+
kkk
α
(4.60)
em que )(k
u
representa o vetor das variáveis de controle na k-ésima iteração,
A
e b são os
termos definidos pela Eq. (4.58) e
α
é um coeficiente de convergência. Substituindo as
expressões desses termos, deduzidos na Eq. (4.57), na Eq. (4.60), resulta no algoritmo de
gradiente decrescente que minimiza a função custo definido pela Eq. (4.56). Este algoritmo
adaptativo pode ser reescrito, usando a Eq. (4.55), como,
)()(][)1( kkk
H
QeGuRIu
αα
−−=+ (4.61)
sendo )(k
e
o vetor dos sinais da resposta complexa medida no estado permanente depois da
aplicação das variáveis de controle )(k
u
.
4.3.3. CONTROLADORES ADAPTATIVOS MULTICANAIS NO DOMÍNIO DO TEMPO
Ao invés de assumir que o conjunto de sinais de referência (
x
, na Fig. 4.11) são
senóides contínuas, assume-se agora que estes sinais são seqüências amostradas. Essas
seqüências ainda representam senóides com freqüências de excitação da fonte primária, mas
também poderiam representar seqüências de amostragem estimadas de um número de
excitações aleatórias primárias.
64
Nesta seção, considere o ajuste dos coeficientes dos filtros digitais FIR cujas entradas
possuem
K
seqüências de referência, )(nx
k
, e cujas saídas, )(nu
m
, possui
M
atuadores
secundários. O i-ésimo coeficiente,
mki
h , do filtro conduzindo o m-ésimo atuador do k-ésimo
sinal de excitação permite representar a saída desse filtro por, (Elliot, 1998)
∑∑
=
−
=
−=
K
k
l
i
kmkim
inxhnu
1
1
0
)()(
(4.62)
que pode ser considerado como uma generalização da Eq. (4.41), tal que existem agora,
MK
filtros de controle com
I
coeficientes cada. Novamente, usando a notação de operador
introduzida na seção 4.3.1, a Eq. (4.62) pode ser escrita como,
∑
=
=
k
k
kmkm
nxqHnu
1
)()()(
(4.63)
na qual, o operador )(qH
mk
é definido como,
∑
−
=
−
=
1
0
)(
I
i
i
mkimk
qhqH
(4.64)
Adotando novamente um desenvolvimento análogo ao caso de um controlador de um
único canal, assume-se que a resposta global, incluindo os filtros analógicos, conversores de
dados, resposta do atuador e sistema mecânico, no caminho do sinal desde a m-ésima saída do
controlador até o l-ésimo sinal do erro amostrado (resposta), é representada por um filtro
digital fixo cuja resposta é denominada de )(qG
lm
. A l-ésima seqüência do erro pode ser
escrita como,
∑
=
+=
M
m
mlmll
nuqGndne
1
)()()()(
(4.65)
onde )(nd
l
é a l-ésima seqüência de erro na ausência de controle. Usando a Eq. (4.63), esta
seqüência de erro pode ser escrita explicitamente em termos da resposta do controlador como,
65
∑∑
= =
+=
M
m
K
k
kmkilmll
nxqHqGndne
1 1
)()()()()(
(4.66)
E esta equação pode ser também escrita como,
∑∑
= =
+=
M
m
K
k
lmkmkll
nrqHndne
1 1
)()()()(
(4.67)
sendo os sinais de referência filtrados, agora, definidos como,
)()()( nxqGnr
klmlmk
= (4.68)
A expressão para o l-ésimo sinal de erro é agora dada em termos dos coeficientes dos
filtros no controlador digital, usando a Eq. (4.67), como,
∑∑∑
= =
−
=
−+=
M
m
K
k
I
i
lmkmkill
inrhndne
1 1
1
0
)()()(
(4.69)
que pode ser escrito em notação de vetores da forma, (Elliot, 1998),
hrde
T
lll
)()()( nnn += (4.70)
sendo
T
lMKll
Inrnrnrn )]1()1()([)(
1111
+−−= K
l
r (4.71)
e
T
MKI
hhh ][
1111110 −
= Kh (4.72)
Definindo os vetores de todos os sinais de erros e dos sinais primários como,
T
L
T
L
ndndndn
nenenen
)]()()([)(
)]()()([)(
21
21
K
K
=
=
d
e
(4.73)
66
pode-se, agora, expressar a resposta amostrada permanente do problema de controle
“feedforward” de multicanais, em uma forma matricial, por,
h
T
d
e
)()()( nnn
+
=
(4.74)
com
T
nnnn )]()()([)(
L21
rrrT K= (4.75)
Retornando à Eq. (4.62), pode-se, agora, escrever a seqüência que atua sobre o m-
ésimo atuador como,
hx
T
m
)()( nnu
m
= (4.76)
sendo
]0)1()(0)1()(00[
2211
KKKK −−= nxnxnxnx
T
m
x (4.77)
de forma que o vetor de sinais comandando os atuadores são,
h
X
u
)()( nn
=
(4.78)
com
T
nnnn )]()()([)(
M21
xxxX K= (4.79)
Uma função custo generalizada, semelhante àquela usada na teoria de controle tipo
“feedback” ótimo é também definida aqui da forma, (Elliot, 1994),
)]()()()([ nnnnEJ RuuQee
HH
+= (4.80)
na qual o sobrescrito
H
representa o Hermitiano e
E
representa um operador de expectativa.
O Hermitiano transposto é colocado aqui para permitir a possibilidade de se trabalhar com
sinais amostrados complexos.
Q é uma matriz de ponderação de erro,
R
é uma matriz de
67
ponderação de “esforço” e ambas são Hermitianas positivas definidas mas não
necessariamente diagonais. Usando as equações de )(n
e
e ),(n
u
a função custo pode ser
escrita na forma quadrática complexa,
cJ +++= hbbhAhh
HHH
(4.81)
com
)].()([
)],()([
)],()()()([
nnE
nnE
nnnnE
Qddc
QdTb
RXXQTTA
H
H
HH
=
=
+=
(4.82)
A Eq. (4.81) tem um único mínimo global, assumindo que
A
é positiva definida,
para um conjunto de coeficientes do filtro de controle dado por, (Elliot, 1994),
bAh
1
opt
−
−= (4.83)
que resulta no valor mínimo quadrático da função custo,
bAb
1H −
−= cJ
min
(4.84)
Na prática, somente uma aproximação para cada função de transferência dos caminhos
desde a fonte secundária até o sensor de erro pode ser medida e usada para gerar os sinais de
referência filtrados implementados, resultando na matriz que pode ser denominada de )(
ˆ
nT .
Assim, um algoritmo para atualizar todos os coeficientes do filtro de controle de cada amostra
pode ser estabelecido como, (Elliot, 1994),
)]()()()(
ˆ
[)()1( nnnnnn RuXQeThh
HH
+−=+
α
(4.85)
Se todos os sinais de erro são igualmente ponderados )(
I
Q
=
e nenhum termo de
“esforço” é usado )(
0
R
=
, este algoritmo se reduz ao algoritmo de erro múltiplo LMS. Neste
68
caso, a Eq. (4.85) pode ser escrita em termos da adaptação dos coeficientes individuais do
controlador como,
∑
=
−−=+
L
l
llmkmkimki
inenrnhnh
1
)()(
ˆ
)()1(
α
(4.86)
onde
lmk
r
ˆ
é o sinal de referência filtrado obtido pela passagem do sinal de referência
)(nx
k
através de uma estimativa da função de transferência do caminho desde o m-ésimo
atuador até o l-ésimo sensor de erro, )(
ˆ
qG
lm
.
69
CAPÍTULO 5
MODELO TEÓRICO
5.1. INTRODUÇÃO
O objetivo deste capítulo é apresentar a metodologia de modelagem de rotores
empregada neste trabalho, com a qual modelou-se um rotor suportado por mancais
magnéticos para analisar teoricamente o desempenho de um sistema controle ativo de
vibração aplicado a este rotor, dando ênfase na análise desse desempenho em função da
variação dos parâmetros do controlador PID, principalmente o ganho proporcional e o ganho
derivativo, K
P
e K
D
, respectivamente.
Para a análise do desempenho do sistema de controle ativo utilizou-se um modelo
simplificado de rotor considerando-se apenas a vibração na direção vertical, assumindo-se que
o movimento nesta direção seja independente do movimento horizontal. Assim, a vibração na
direção horizontal pode ser controlada da mesma maneira que a vibração na direção vertical
utilizando um outro sistema de controle ativo desacoplado, produzindo resultados similares.
Também nesta modelagem o efeito giroscópio do rotor não foi considerado.
Nesta metodologia de modelagem de rotores, o modelo é desenvolvido em duas
fases. Inicialmente modela-se o eixo considerando-o uma viga livre-livre sem qualquer
elemento de massa, rigidez ou amortecimento concentrados conectados à ele. Apenas os
efeitos da massa e da rigidez distribuídas do eixo, e o amortecimento estrutural do material
são considerados. Nesta modelagem do eixo empregou-se a teoria de que a relação entre as
forças externas aplicadas em uma viga livre-livre e o seu movimento vibratório pode ser
estabelecida a partir do cômputo de um número finito de freqüências naturais e respectivos
modos de vibração, (Johnson et al., 2003). Na segunda fase os efeitos de rigidez e
amortecimento dos mancais magnéticos, bem como as massas concentradas dos discos e
materiais ferromagnéticos são introduzidos no modelo de viga livre-livre empregando-se o
método das matrizes de impedância (Bonello e Brennam, 2001). Os valores de rigidez e
70
amortecimento equivalentes dos mancais magnéticos são determinados conforme a teoria do
capítulo 2, Eqs. (2.33) e (2.34).
5.2. TEORIA BÁSICA DA MODELAGEM MATEMÁTICA
Nesta seção será apresentada a teoria básica de modelagem matemática empregada
no trabalho. Por conveniência de notação, as matrizes serão representadas por letras latinas
maiúsculas e os vetores por letras latinas minúsculas, ambos em negrito. Como já
mencionado, apenas os movimentos do rotor na direção vertical serão considerados. Além
disso, será desconsiderado o efeito giroscópio na modelagem.
Para descrever a teoria básica da modelagem, considere um rotor simples, conforme
mostra a Fig. 5.1, discretizado em N pontos nodais. O rotor é composto de um eixo apoiado
em mancais que atuam como elementos de rigidez e de amortecimento. Sobre o eixo é fixado
um disco com uma determinada massa.
Considere também os pontos nodais particulares l, p e q pertencentes ao eixo. Nos
pontos nodais l e q estão conectados os elementos de rigidez k
l
e k
q
, e de amortecimento c
l
e
c
q
, respectivamente. No ponto nodal p está conectada a massa do disco m
p,
de acordo com a
Fig. 5.1.
Figura 5.1- Esquema de um rotor para a descrição da teoria básica.
Tomando inicialmente apenas o eixo do rotor como uma viga livre-livre, então a
velocidade, u, da viga pode ser descrita como uma série ou somatório dos modos de vibração,
(Johnson et al., 2003).
∑
∞
=
=
0
)()(),(
n
nn
xaxu
ψωω
(5.1)
l
p
q
k
l
, c
l
k
q
,c
q
m
p
x
Viga (rotor)
Mancal
Mancal
71
onde o enésimo modo de vibração )(x
n
ψ
é função da posição x e o coeficiente de influência
complexo do enésimo modo sobre a velocidade é dado por )(
ω
n
a . Se a faixa de freqüência de
interesse é limitada, então é possível descrever, com uma precisão satisfatória, o
comportamento vibratório da viga usando um conjunto finito de modos. Os dois primeiros
modos da viga livre-livre são modos de corpo rígido e os modos de maior ordem são dados
pela combinação de funções seno, cosseno e hiperbólica. Assim, os modos de vibração são
dados pelas equações,
1)(
0
=x
ψ
(5.2)
l
x
x
2
1)(
1
−=
ψ
(5.3)
−+
−= 5.0cosh5.0cos)(
l
x
k
l
x
x
n
γγψ
para n = 2, 4, 6, ... (5.4)
sendo, 0
2
tanh
2
tan =+
γ
γ
e
2
senh
2
sen
γ
γ
−=k (5.5)
−+
−= 5.0senh5.0sen)(
'''
l
x
k
l
x
x
n
γγψ
para n = 3, 5, 7, ... (5.6)
sendo,
2
senh
2
sen
'
'
'
γ
γ
−=k
e 0
2
tanh
2
tan
''
=−
γγ
(5.7)
O coeficiente de influência )(
ω
n
a é função da freqüência angular
ω
e pode ser
calculado considerando-se todas as forças agindo sobre o rotor. A amplitude desse coeficiente
devida a uma única força )(
ω
F agindo sobre um ponto
j
x do rotor é dada por,
72
)()(
2)(
2
)(
22
ωψ
ωωζωω
ω
ω
Fx
j
j
m
a
jn
nnn
r
n
+−
= (5.8)
sendo
n
ω
e
n
ζ
a freqüência natural e a razão de amortecimento do enésimo modo,
respectivamente, e m
r
é a massa total do rotor. As razões de amortecimento modais são
tipicamente baixas para um rotor de aço, na ordem de 0,005 (Johnson et al., 2003). Foi
considerado que a maior parte do amortecimento do sistema é fornecida pelos mancais. As
freqüências naturais relativas aos modos de uma viga livre-livre podem ser calculadas usando
as equações,
0
0
=
ω
(5.9)
0
1
=
ω
(5.10)
ρ
π
ω
E
l
dn
n
2
22
4
)5.0( −
= para 2
≥
n (5.11)
sendo E o módulo de elasticidade, d o diâmetro do eixo, l o comprimento do eixo e
ρ
a
densidade do material.
Pela combinação da Eq. (5.1) e Eq. (5.8), pode-se calcular os termos da matriz de
transferência de mobilidade através da seguinte equação,
)()(
2)(
2
)(
0
22
jnin
n
nnn
r
ij
xx
j
j
m
T
ψψ
ωωζωω
ω
ω
∑
∞
=
+−
= (5.12)
A matriz de transferência de mobilidade
ij
T relaciona a velocidade da viga na
posição x
i
devido à ação de uma força externa na posição x
j
.
Para uma determinada freqüência discreta, as velocidades a um número de posições
do rotor podem ser descritas na forma matricial como,
jiji
fTu
= (5.13)
73
sendo que o vetor coluna u
i
descreve as velocidades nas posições x
i
devido a um número de
forças externas f
j
agindo nas posições x
j
. Cada elemento da matriz T
ij
é calculado usando a
Eq. (5.12).
A Eq. (5.13) pode ser usada unicamente para modelar uma viga livre-livre.
Entretanto, atuam sobre esta viga as forças de reação devido aos efeitos da rigidez e
amortecimento dos mancais e das massas concentradas fixadas ao rotor. Esses efeitos serão
introduzidos no modelo usando a teoria da matriz de impedância (Bonello e Brennan, 2001).
No rotor da Fig. 5.1, se os mancais também forem utilizados como atuadores de um
sistema de controle ativo, então serão consideradas como forças externas as forças de controle
nos pontos nodais l e q e uma força de desbalanceamento do disco no ponto nodal p. Por outro
lado, a massa do disco e a rigidez e o amortecimento dos mancais utilizados ao eixo criam
forças de reação nos pontos nodais l, p e q quando o rotor se move. Essas forças de reação
podem ser modeladas utilizando uma matriz de impedância Z, da seguinte forma,
mr
uZf −= (5.14)
onde Z é uma matriz diagonal de ordem NxN .
Para o modelo de rotor esquematizado na Fig. 5.1, a matriz de impedância será,
NxN
q
q
p
l
l
c
j
k
mj
c
j
k
+
+
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
O
O
O
O
ω
ω
ω
Z
(5.15)
74
sendo,
{
}
T
N
rrr
qpl
fff 00000000 LLLL=
r
f
(5.16)
{
}
T
N
mmmmmm
Nqpl
uuuuuu LLLL
21
=
m
u
(5.17)
onde u
m
é o vetor velocidade dos pontos nodais e f
r
é o vetor força de reação nos pontos
nodais l, p e q. O vetor velocidade u
m
pode ser considerado como a combinação do vetor
velocidade u
mr
devido às forças de reação f
r
e do vetor velocidade u
mj
devido às forças
externas f
j
do rotor. As forças externas do modelo são criadas pela massa desbalanceada e
pelas forças do controle ativo. Utilizando as Eqs. (5.13) e (5.14), chega-se à expressão do
vetor velocidade em função das forças externas,
mmmjmjrmmjmjmrmjm
uZTfTfTfTuuu
−
=
+
=
+
=
(5.18)
[
]
jmj
1
mmm
fTZTIu
−
+=⇒
(5.19)
Introduzindo a Eq. (5.19) na Eq. (5.14) obtém-se a equação das forças de reação em
termos das forças externas,
[
]
jmj
1
mmmr
fTZTIZZuf
−
+−=−=⇒ (5.20)
As duas matrizes T
mm
e T
mj
contêm as mobilidades do rotor descrevendo as
velocidades nos pontos de interesse do rotor devido à aplicação das forças de reação e das
forças externas, respectivamente. Os elementos dessas matrizes podem ser calculados usando
a Eq. (5.12). As Eqs. (5.19) e (5.20) podem ser usadas para calcular um novo conjunto de
mobilidades “compacto” do rotor
ij
T
ˆ
que inclui a força de reação f
r
das massas,
amortecimentos e rigidezes. A partir desse novo conjunto de equações pode-se calcular a
velocidade em qualquer ponto nodal do rotor devido à força aplicada em qualquer outro ponto
ao longo do rotor. Pode-se, agora, reescrever a mobilidade, Eq. (5.13) como,
jijrimjiji
fTfTfTu
ˆ
=+=
(5.21)
75
[
]
[
]
mj
1
mmimijij
TZTIZTTT
−
+−=
ˆ
(5.22)
As duas matrizes T
im
e T
ij
contêm as mobilidades do rotor descrevendo a velocidade
no ponto de observação x
i
devido às forças agindo nos pontos de localização de forças de
reação e nos pontos de aplicação das forças externas. Usando esse conjunto de equações, o
desempenho de um sistema de controle ativo pode ser avaliado.
5.3. CONTROLE ATIVO ÓTIMO APLICADO AO ROTOR
Um método para verificar o desempenho de um sistema de controle ativo ótimo
aplicado ao rotor teórico será agora apresentado. Um sistema de controle tentará minimizar a
soma do quadrado das saídas dos sensores de erro. Se um sistema de controle tem K atuadores
de controle e L sensores de erro, então, a uma dada freqüência discreta, o vetor de erro e de
comprimento L pode ser escrito em termos do vetor das forças de perturbação primárias f
p
(ou
seja, forças de desbalanceamento do rotor) e do vetor das forças de controle secundárias f
c
de
comprimento K.
cecpep
fTfTe
ˆˆ
+=
(5.23)
As duas matrizes
ep
T
ˆ
e
ec
T
ˆ
contém as mobilidades do rotor descrevendo as
velocidades nos locais dos sinais de erro x
e
devido às forças de desbalanceamento
(perturbações primárias) agindo nos pontos x
p
onde os discos estão fixados, e devido às forças
de controle (perturbações secundárias) aplicadas nas posições x
c
do rotor. A soma do
quadrado dos sinais de erro pode ser calculada usando o transposto Hermitiano (ou transposto
conjugado denominado por
H
) definido como,
ee
H
=J (5.24)
que é minimizado quando as forças de controle secundárias f
c
adquirem os valores, Fuller
(1996) e Nelson (1992),
[
]
pep
H
ec
1
ec
H
ecc_otimo
fTTTTf
ˆˆˆˆ
−
= (5.25)
76
Utilizando essas forças otimizadas, a velocidade a qualquer número de locais de
observação x
i
ao longo do rotor pode então ser calculada antes da aplicação do sistema de
controle )(
i_a
u , e após a aplicação do controle ótimo )(
i_d
u , como segue,
pipi_a
fTu
ˆ
= (5.26)
c_otimoicpipi_d
fTfTu
ˆˆ
+= (5.27)
As duas matrizes
ip
T
ˆ
e
ic
T
ˆ
contém as mobilidades descrevendo as velocidades nos
pontos de observação x
i
devido às forças agindo no ponto de aplicação x
p
da força de
desbalanceamento (perturbação primária) e nos pontos x
c
das forças de controle. Esse
processo pode ser repetido para uma banda de freqüências.
Para realizar as simulações implementou-se um programa computacional no
ambiente MatLab para o desenvolvimento do modelo matemático e para a análise do controle
de vibração do rotor.
5.4. DESCRIÇÃO DO ROTOR TEÓRICO PARA ANÁLISE
A seguir será descrito o rotor teórico idealizado, o qual foi modelado para ser
empregado na análise simulada do desempenho do sistema de controle ativo. Basicamente foi
concebido um rotor de aço de 700 mm de comprimento, sendo o eixo de 10mm de diâmetro
apoiado por dois mancais magnéticos. O mancal (MMA 2) está posicionado a 100 mm da
extremidade direita do eixo, e o mancal da esquerda (MMA 1) também a 100 mm da
extremidade esquerda do eixo, como mostrado na Fig. 5.2. Sobre o eixo estão fixados dois
discos rígidos, sendo um de 150 mm de diâmetro, 15 mm de espessura e massa de 2,0 Kg
(m
2
), e o outro com 75 mm de diâmetro, 25 mm de espessura e 0,8 Kg de massa (m
3
),
localizados a 250 mm e 500 mm, respectivamente, a partir do início do eixo à esquerda. Neste
rotor será considerada a existência de um desbalanceamento no disco maior à esquerda
produzindo uma força de magnitude unitária. Sobre o eixo também estão fixadas as massas
m
1
e m
4
relativas ao material ferromagnético que fazem parte dos mancais. A Tabela 5.1
mostra as propriedades físicas do rotor teórico e dos mancais magnéticos. Os parâmetros
construtivos dos mancais deste rotor são os mesmos apresentados na Tabela 3.1 do capítulo 3.
77
O modelo deste rotor teórico foi desenvolvido de acordo com a teoria apresentada na
seção 5.2. Para desenvolver o modelo do eixo como uma viga livre-livre, o mesmo foi
discretizado em 30 pontos nodais e foram considerados 10 modos de vibração para compor o
somatório da Eq. 5.1. Em uma análise prévia constatou-se que esse número de modos é
suficiente para que o modelo represente a dinâmica do rotor com uma precisão satisfatória.
Nesse modelo de viga livre-livre são introduzidos os efeitos da massa e da rigidez distribuídas
dos elementos de eixo. A partir desse modelo de viga, empregou-se o método das matrizes de
impedância para introduzir os efeitos das massas concentradas dos discos e dos materiais
ferromagnéticos, bem como a rigidez e o amortecimento dos mancais magnéticos calculados
de acordo com a teoria apresentada na seção 2.6.
Figura 5.2 – Esquema do rotor teórico idealizado.
Tabela 5.1 – Propriedades físicas do rotor teórico e dos mancais magnéticos.
Rotor Discos
Comprimento (l)
700 mm
Diâmetro eixo (d)
10 mm
m
2
(desbalanceado)
2,0 Kg
Módulo de
elasticidade(E)
207 GN/m
2
Massas
m
3
(balanceado)
0,8 Kg
Densidade (ρ)
7800 Kg/m
3
250 mm
Razão de amort.
estrutural (ζ)
0,001
Posição (x
m
)
500 mm
MMA 1 MMA 2
Massa (m
1
)
0,25 Kg
Massa (m
4
)
0,25 Kg
Rigidez (k
1
)
Variável
Rigidez (k
2
)
Variável
Amortecimento (c
1
)
Variável
Amortecimento (c
2
)
Variável
Posição (x
1
)
100 mm
Posição (x
2
)
600 mm
m
1
m
4
m
3
m
2
MMA 1
MMA 2
x
78
CAPÍTULO 6
ANÁLISE DO CONTROLE ATIVO DE VIBRAÇÃO EM FUNÇÃO DE
VARIAÇÕES NOS PARÂMETROS DO CONTROLADOR PID
6.1. INTRODUÇÃO
A análise do desempenho do controle ativo de vibrações apresentada neste capítulo
foi realizada empregando-se o modelo do rotor teórico apresentado no capítulo anterior, Fig.
5.2. O objetivo principal desta análise é verificar o desempenho de estratégias de controle
ativo de vibrações em função de variações nos parâmetros do controlador PID dos mancais
magnéticos que suportam o rotor. Por outro lado, variar os parâmetros do controlador PID,
sobretudo o ganho proporcional e o ganho derivativo, implica em variar as características
dinâmicas dos mancais, isto é, a rigidez e o amortecimento equivalentes.
Em geral, a rigidez dos mancais é um fator de grande influência sobre as velocidades
críticas dos rotores. Se tomarmos como base as duas primeiras freqüências críticas de um
rotor e analisarmos as curvas dessas freqüências em função da rigidez dos mancais, então
podemos identificar três regiões distintas dessas curvas. Na faixa onde a rigidez dos mancais é
baixa em relação à rigidez do eixo do rotor, as freqüências críticas são quase que inteiramente
dependentes da rigidez dos mancais, e as curvas apresentam uma inclinação ascendente
bastante acentuada. Dentro desta região das curvas o rotor é classificado como “rotor mancal
dependente”. Na faixa onde a rigidez dos mancais é muito elevada, tornando-se muito maior
que a rigidez do eixo, então o rotor é dito ser “rotor eixo dependente”. Neste caso, variações
na rigidez dos mancais praticamente não modificam as freqüências críticas (curvas de patamar
constante), e apenas a geometria do eixo influência sobremaneira essas freqüências. Na faixa
onde a rigidez dos mancais é comparável à rigidez do eixo do rotor, tanto a geometria do eixo
como a rigidez dos mancais contribuem para a determinação das freqüências críticas e as
curvas adquirem uma ascendência suave. Neste caso o rotor é dito estar na “zona de
transição”.
79
Tendo em mente essa classificação para os rotores, neste trabalho se avaliará a
influência da variação dos parâmetros do controlador PID no desempenho das estratégias de
controle ativo de vibrações, através da escolha de parâmetros adequados que permitam a
análise do rotor dentro das três regiões mencionadas anteriormente, ou seja, regiões de
“mancal dependente”, “transição” e “eixo dependente”. Dentro de cada uma dessas regiões, se
analisará o impacto da posição e do número de sensores de erro no desempenho dos sistemas
de controle ativo, e como isso se relaciona com a variação dos parâmetros do controlador PID.
A análise do desempenho do sistema se dará em termos de controle localizado e
controle global dos níveis de vibração. O nível global de vibração se refere ao nível de
deslocamento médio quadrático ponderado sobre o comprimento total do rotor considerando
os pontos nodais do modelo. Ainda que, freqüentemente, é mais importante reduzir níveis de
vibração em pontos particulares ao longo do rotor, o nível de vibração global irá proporcionar
alguma indicação do desempenho global do sistema de controle e poderá ressaltar problemas
potenciais de controle. A análise de vibração local será realizada em algumas freqüências
particulares, mostrando a redução da vibração ao longo dos pontos do rotor, e assim será
possível verificar o desempenho do controle em uma perspectiva local.
A análise será restrita à faixa de freqüência de excitação de 0 a 200 Hz para abranger
os quatro primeiros modos de vibração, os quais são os mais importantes e têm maior
probabilidade de serem excitados na prática.
Os mancais magnéticos possuem um sistema de controle ativo tipo “feedback”, o
qual é responsável pelo controle das vibrações nos pontos do rotor onde os mancais estão
posicionados. Já o controle tipo “feedforward” procura minimizar a vibração nos pontos onde
estão localizados os sensores de erro. A partir disso, neste trabalho empregou-se uma
estratégia de controle de malha aberta tipo “feedforward” sobreposta à arquitetura de malha
fechada “feedback” necessária para manter o rotor suspenso. Para a estratégia “feedforward”
se empregará um algoritmo LMS, o qual minimizará uma função custo dada pela soma do
quadrado dos sinais dos sensores de erro.
6.2. FREQÜÊNCIAS CRÍTICAS E MODOS DE VIBRAÇÃO DO ROTOR
Nesta etapa foram escolhidos alguns valores diferentes de ganho proporcional (K
P
) e
ganho derivativo (K
D
) para a determinação das curvas da resposta em freqüências em termos
de vibração global do rotor, as quais apresentam claramente os picos de freqüências críticas.
Também são determinados os modos de vibrar do modelo desenvolvido para o rotor teórico
80
analisado. Para obter esses resultados os demais parâmetros do circuito de controle do mancal
magnético permaneceram fixos, que são eles: o ganho do amplificador de potência, K
A
; o
ganho total do controlador PID, K
T
; e o ganho integral do filtro PID, K
I.
Também
permaneceram constantes a freqüência de corte e o fator de amortecimento do filtro passa-
baixa, ω
LP
e ξ
LP
respectivamente, além da freqüência de corte do amplificador de potência,
ω
A
. Esses valores fixos de parâmetros são apresentados na Tabela 6.1.
Tabela 6.1 – Valores dos parâmetros do circuito de controle que permaneceram fixos durante
a simulação.
K
A
K
T
K
I
ω
LP
ξ
LP
ω
A
760
0,00008
80
800 H
z
0,707
20.000 H
z
Os valores de rigidez e amortecimento equivalentes obtidos a partir dos valores
adotados de K
P
e K
D
com os demais parâmetros do circuito constantes são apresentados na
Tabela 6.2. Deve-se lembrar que essas características do mancal são calculadas de acordo com
a teoria da seção 2.6, Eqs. (2.33) e (2.34). Também, como já analisado anteriormente,
observa-se nesta tabela que o parâmetro K
D
interfere muito pouco sobre a rigidez equivalente.
Tabela 6.2 – Características dinâmicas dos mancais em função de K
P
e K
D
.
K
P
K
D
Keq (N/m) Ceq (N.s/m)
0,009 3,09x10
3
2,68 27
0,015 4,28x10
3
33,34
0,010 1,35x10
4
4,78 29
0,015 1,45x10
4
30,32
0,012 4,98x10
4
4,44 36
0,017 5,08x10
4
29,99
0,016 1,12x10
5
6,79 48
0,021 1,13x10
5
32,34
0,037 4,85x10
5
5,54 120
0,042 4,86x10
5
31,09
As freqüências críticas para o sistema sem controle são obtidas considerando as
curvas da esquerda da Fig. 6.1. Por outro lado, as curvas da direta dessa figura representam as
formas dos quatro primeiros modos de vibração do rotor. Os resultados apresentados na Fig.
6.1 foram obtidos considerando somente os primeiros valores de K
D
, tendo em vista que a sua
variação praticamente não provoca alteração nas freqüências críticas e nos modos de vibração.
81
Analisando-se estes resultados, pode-se determinar, aproximadamente, a zona de transição
entre rotor “mancal dependente” e “eixo dependente”.
Figura 6.1 – Freqüências críticas em função do ganho proporcional e derivativo e seus
respectivos modos de vibração.
82
A Tabela 6.3 apresenta os valores de freqüências críticas do rotor teórico em função
da variação do ganho proporcional e derivativo do controlador PID.
Tabela 6.3 – Freqüências críticas em função de K
P.
K
P
K
D
F1 (Hz) F2 (Hz) F3 (Hz) F4 (Hz)
27 0,009
6,4 10,4 52 108
29 0,01
12,4 21,2 57,2 108,8
36 0,012
18 39,6 74 112,4
48 0,016
20,8 55,6 96,8 119,6
120 0,037
22,8 79,6 168,4 183,6
Analisando-se os valores da Tabela 6.3, nota-se que as variações da primeira
freqüência crítica (F1) são relativamente muito pequenas quando se atribuem valores de K
P
acima de 36, que corresponde a uma rigidez de 4,98x10
4
N/m para o mancal (Tabela 6.2), e as
variações de F2 tendem a diminuir bastante a partir deste valor. Por outro lado, para K
P
acima
de 36, as freqüências críticas do terceiro e quarto modo, F3 e F4, começam a ter variações
muito grandes. Também, analisando-se as formas dos modos de vibração do rotor (Fig. 6.1),
verifica-se que o primeiro e principalmente o segundo modos começam a apresentar grandes
deformações relativas a partir de K
P
= 36. Diante do exposto acima e considerando a
classificação de rotores já mencionada anteriormente, pode-se dizer que com uma rigidez dos
mancais em torno de 5x10
4
N/m (K
P
= 36), o rotor teórico encontra-se dentro da faixa
representativa da condição de transição entre rotor “mancal dependente” e rotor “eixo
dependente”. Outra evidência importante desta condição de transição é o fato da rigidez dos
mancais se aproximar bastante da rigidez do eixo. A rigidez do eixo é obtida pela Eq. (6.1),
que expressa a rigidez à flexão no meio do vão de uma viga bi-apoiada. Com os dados do
rotor e utilizando essa equação obtém-se a rigidez do eixo em torno de 4x10
4
N/m, que em
ordem de grandeza pode ser comparável à rigidez dos mancais para caracterizar a “zona de
transição”.
3
48
l
EJ
K = (6.1)
sendo E o módulo de elasticidade do material, J o momento de inércia diametral da viga e l o
comprimento do vão entre os dois apoios.
83
6.3. ANÁLISE DE DESEMPENHO DOS ATUADORES
A análise do desempenho dos atuadores é importante para se conhecer qual dos
mancais magnéticos, quando utilizados como atuadores para o controle ativo de vibrações,
apresenta o melhor desempenho. Uma vez que o rotor utilizado nas simulações não é
simétrico, como na maioria dos casos na prática, então poderá haver condições em que um
atuador apresente melhor desempenho do que o outro para atenuação das vibrações.
Para analisar o desempenho dos atuadores utilizou-se um sistema de controle
operando com um “sensor perfeito”, não realizável na prática, que é capaz de monitorar
simultaneamente uma grande quantidade de pontos nodais ao longo do eixo. Neste caso em
particular, seria como usar um número grande de sensores de erro posicionados em pontos
nodais igualmente espaçados ao longo do comprimento do rotor. Assim, a análise é feita para
se verificar o desempenho dos atuadores independente da influência do posicionamento dos
sensores de erro.
As Figs. 6.2 a 6.6 mostram o desempenho dos atuadores, em termos de vibração
global, para as várias condições de rigidez e de amortecimento dos mancais apresentada na
Tabela 6.2, ou seja, com o ganho proporcional do controlador PID variando de 27 a 120 e o
ganho derivativo variando de 0,009 a 0,042. Cada figura apresenta dois gráficos, sendo o da
direta relativo à condição de rotor mais amortecido, ou seja, tomando o maior valor de K
D
.
Figura 6.2 – Desempenho dos atuadores para K
P
= 27 e K
D
= 0,009 e 0,015.
84
Figura 6.3 – Desempenho dos atuadores para K
P
= 29 e K
D
= 0,010 e 0,015.
Figura 6.4 – Desempenho dos atuadores para K
P
= 36 e K
D
= 0,012 e 0,017.
Figura 6.5 – Desempenho dos atuadores para K
P
= 48 e K
D
= 0,016 e 0,021.
Figura 6.6 – Desempenho dos atuadores para K
P
= 120 e K
D
= 0,037 e 0,042.
85
Os resultados apresentados nas Figs. 6.2 a 6.6 mostram que, como esperado, os picos
de amplitudes correspondentes às freqüências críticas do rotor sem controle diminuem
significativamente com o aumento do amortecimento equivalente dos mancais (controle
passivo), e isso acontece com o valor maior de K
D
. Também, verifica-se que o amortecimento
em si praticamente não altera o desempenho do controle ativo, quando se compara os gráficos
da esquerda com os da direita de cada figura. Em termos de controle ativo, o desempenho do
sistema operando com o atuador 1 é um pouco melhor que operando com o atuador 2 para
atenuar as amplitudes das freqüências críticas mais baixas do rotor, e essa diferença de
desempenho diminui ligeiramente no caso de rotor “eixo dependente”, Figs. 6.5 e 6.6. Neste
ponto merece lembrar que o atuador 1 está localizado no lado do rotor onde se concentra uma
maior quantidade de massa (disco com maior massa). Em contrapartida, o desempenho do
atuador 2 é melhor para atenuar as freqüências críticas de maior ordem, em comparação com
o atuador 1, isso para todos os casos analisados.
Se ambos os atuadores forem utilizados simultaneamente, o ganho na redução do
nível global de vibração não é tão importante como se poderia esperar, alcançando apenas
uma melhor redução nas duas primeiras freqüências críticas do rotor “mancal dependente”,
Figs. 6.2 e 6.3.
6.4. ESTRATÉGIA DE CONTROLE USANDO UM ATUADOR E UM SENSOR DE ERRO
A estratégia de controle utilizando apenas um atuador e um único sensor de erro é
interessante e deve ser analisada porque ela utiliza menos equipamentos e demanda um menor
esforço computacional, reduzindo assim os custos financeiros pela adoção deste sistema de
controle. Assim nesta seção serão apresentados resultados desta estratégia de controle, bem
como será feita uma análise de seu desempenho em função do atuador utilizado, da
localização do sensor de erro e da classificação do rotor.
A estratégia de controle usando apenas um sensor de erro estará necessariamente
condicionada à redução de vibração na posição onde o sensor de erro está instalado.
Entretanto, com uma análise comparativa minuciosa do desempenho do sistema de controle
operando com o sensor de erro em cada ponto nodal do rotor, pode-se então determinar os
pontos para a instalação do sensor de erro nos quais os níveis de vibração global reduzem-se a
patamares aceitáveis, sobretudo em relação às amplitudes de freqüências críticas.
No caso particular do rotor aqui analisado, Fig. 5.2, verificou-se que o sistema de
controle com apenas um sensor de erro proporciona desempenhos não satisfatório na maioria
86
dos pontos nodais. Porém, com a análise comparativa, pode-se verificar que existem posições
para o sensor de erro onde os desempenhos são satisfatórios para atenuar significativamente
pelo menos as três primeiras freqüências críticas. Com o rotor nas zonas de “mancal
dependente” e “transição”, a posição mais favorável em termos de desempenho é em x = 555
mm usando o atuador 1 e em x = 121 mm usando o atuador 2. Quando o rotor entra na zona
de “eixo dependente” essas posições variam um pouco, conforme será visto adiante.
As Figs. 6.7 a 6.11 apresentam as curvas dos níveis de vibração global do rotor sem e
com controle para os vários valores de K
P
abrangendo todas as zonas classificação do rotor.
Pode-se notar que, em geral, esta estratégia de controle é bastante eficiente para atenuar as
três primeiras freqüências críticas, atingindo uma atenuação da primeira freqüência crítica em
mais de 40 dB no caso de rotor “eixo dependente”, Figs 6.10 e 6.11. Com relação à quarta
freqüência crítica, a sua atenuação é mínima quando o sistema de controle utiliza o atuador 1,
exceto quando o mancal é muito rígido em relação à rigidez do eixo, como mostra a Fig. 6.11.
Além disso, quando o sistema utiliza o atuador 2, ele é capaz de atenuar a quarta freqüência
crítica em todos os casos, mas também induz um pico de grande amplitude à direita da quarta
freqüência.
Com relação à posição do sensor de erro para o máximo desempenho, verifica-se que
para um dado atuador, em geral a melhor posição para o sensor é próximo ao outro mancal e
do lado interno entre os atuadores. Entretanto, para rotor “eixo dependente” as posições
ótimas tendem a distanciar das extremidades à medida que K
P
aumenta até certo ponto, a
partir do qual as melhores posições retornam mais para as extremidades, Figs 6.10 e 6.11.
Figura 6.7 – Nível global de vibração para K
P
= 27 e K
D
=0,009 (“mancal dependente”).
87
Figura 6.8 – Nível global de vibração para K
P
= 29 e K
D
=0,01 (“mancal dependente”).
Figura 6.9 – Nível global de vibração para K
P
= 36 e K
D
=0,012 (“transição”).
Figura 6.10 – Nível global de vibração para K
P
= 48 e K
D
=0,016 (“eixo dependente”).
88
Figura 6.11 – Nível global de vibração para K
P
= 120 e K
D
=0,037 (“eixo dependente”).
Em conformidade com a análise feita na seção 6.3, esses resultados vêm a confirmar
o melhor desempenho do atuador 1 comparado ao desempenho do atuador 2, exceto na quarta
freqüência crítica. Isso é atribuído ao fato do atuador 1 estar mais próximo da fonte de
excitação, ou seja, do disco desbalanceado do rotor. Esse fato também já havia sido analisado
por Jonhson, et al. (2003).
Em termos de amplitude modal, esses resultados também demonstram que esta
estratégia de controle tem maior desempenho à medida que se aumenta o valor de K
P,
atenuando os elevados picos de amplitudes de freqüências críticas, sobretudo as duas
primeiras.
Apesar desta estratégia de controle atenuar significativamente os níveis nas
velocidades críticas, conforme mostram as Figs. 6.7 a 6.11, ela não foi capaz de atenuar as
vibrações em toda faixa de freqüência analisada. Em algumas faixas de freqüência os níveis
não reduziram em outras até aumentaram muito. Além disso, mesmo que haja uma redução no
nível global, isso não garante que haverá redução de vibração em todos os pontos ao longo do
rotor. Assim, com base nos resultados do controle global de vibração, buscou-se a seguir,
analisar o desempenho do controlador para reduzir os níveis de vibração ao longo do eixo
(vibração local) para determinadas freqüências.
A Fig. 6.12 apresenta as vibrações locais nas freqüências críticas do rotor sem e com
controle, correspondente à condição mais característica de rotor “mancal dependente” que, em
termos de vibração global, é mostrada na Fig. 6.7. Também, para essa mesma condição, a Fig
6.13 apresenta as vibrações locais nas freqüências de 25 e 121,6 Hz, nas quais se observou
uma amplificação da vibração global. Observa-se na Fig. 6.12 que o sistema de controle foi
bastante eficiente e reduziu drasticamente os níveis de vibração ao longo do rotor nos modos
89
analisados, utilizando tanto com o atuador 1 como o atuador 2. Nos gráficos do primeiro e do
segundo modos pode-se ver nitidamente a redução total dos níveis de vibração nos pontos
onde o sensor de erro é instalado.
Analisando agora as curvas da Fig. 6.13, verifica-se que nas freqüências onde a
vibração global foi amplificada, Fig. 6.7, este sistema de controle apenas consegue reduzir os
níveis de vibração na região do rotor próxima ao ponto nodal onde o sensor de erro está
instalado. Nas outras regiões do rotor as vibrações locais podem ficar grandemente
amplificadas.
Em termos de vibração local e controle das amplitudes modais, resultados
semelhantes foram observados no rotor dentro da “zona de transição” e no rotor “eixo
dependente”, Figs. 6.14 e 6.16, respectivamente. Nestes casos o desempenho de ambos os
atuadores foi ainda melhor que no caso anterior, e as amplitudes modais controladas são tanto
menores quanto maior o valor de K
P
, confirmado o maior desempenho do sistema de controle
em rotores com mancais mais rígidos.
As Figs 6.15 e 6.17 apresentam os resultados do controle ativo em freqüências
discretas onde também foram observados aumentos dos níveis de vibração global do rotor na
“zona de transição”, Fig. 6.9, e rotor “eixo dependente”, Fig. 6.11.
Verifica-se na Figura 6.15 que na freqüência de 6 Hz ocorre uma amplificação
acentuada da vibração local nas regiões distantes do sensor de erro, isso para ambos os
atuadores. Mesmo não mostrado que há amplificação quando se observa o nível global, na
freqüência de 90 Hz também ocorre uma amplificação da vibração local distante do sensor de
erro quando se utiliza o mancal 1 como atuador. Da mesma forma para o caso de rotor “eixo
dependente”, Figura 6.17, ocorrem amplificações significativas em determinadas freqüências,
tais como 50 Hz e 110 Hz.
A estratégia de controle ativo utilizando um sensor de erro e um atuador é eficiente
para atenuar vibrações nas freqüências críticas, mas pode ter um desempenho muito pobre ou
até mesmo amplificar as vibrações em outras freqüências. Como os rotores são projetados
para girar fora das velocidades críticas, então a possibilidade de ocorrerem problemas em
estratégias de controle utilizando um sensor e um atuador é muito grande, o que merece uma
investigação de outras estratégias.
90
Figura 6.12 – Vibração local do rotor nas freqüências críticas de 6,4; 10,4; 52 e 108 Hz, para
K
P
= 27 e K
D
=0,009 (“mancal dependente”).
Figura 6.13 – Vibração local do rotor nas freqüências de 25 e 121,6 Hz, para K
P
= 27 e K
D
=0,009 (“mancal dependente”).
91
Figura 6.14 – Vibração local do rotor nas freqüências críticas de 18; 39,6; 74 e 112,4 Hz, para
K
P
= 36 e K
D
= 0,012 (“transição”).
Figura 6.15 – Vibração local nas freqüências de 6 e 90 Hz, para K
P
= 36 e K
D
= 0,012
(“transição”).
92
Figura 6.16 – Vibração local nas freqüências críticas de 22,8; 79,6; 168,4 e 183,6 Hz, para K
P
= 120 e K
D
=0,037 (“eixo dependente”).
Figura 6.17 – Vibração local nas freqüências de 50 e 110 Hz, para K
P
= 120 e K
D
=0,037
(“eixo dependente”)
93
6.5. ESTRATÉGIA DE CONTROLE USANDO UM ATUADOR E DOIS SENSORES DE
ERRO
Nesta seção serão apresentados os resultados para uma estratégia de controle
utilizando um atuador e dois sensores de erro, lembrando que a excitação do rotor é
provocada por uma força de desbalanceamento unitária no disco maior à esquerda do rotor,
Fig. 5.2. De acordo com a análise precedente, quando o sistema de controle é utilizado com
um atuador e um único sensor de erro, é possível reduzir bastante as vibrações nas faixas de
velocidades críticas, porém sempre há outras regiões de freqüências que as amplitudes de
vibração aumentam de forma indesejável. Portanto, é necessário analisar outras estratégias de
controle para tentar reduzir as vibrações em toda a faixa de freqüência analisada. Para isso,
agora será empregado um sistema de controle operando com um atuador e dois sensores de
erro e analisado o seu desempenho.
Da mesma forma que na análise anterior, também agora será analisado o desempenho
tanto do atuador 1 como do atuador 2, cujos resultados serão apresentados em um mesmo
gráfico para uma visualização comparativa. Em ambos os casos foram analisados os seus
desempenhos considerando vários pares de posições para instalação dos sensores de erro.
Assim, o melhor par de posições para os sensores em cada caso de rotor analisado foi obtido
através de uma comparação direta do desempenho do sistema entre os vários pares analisados.
Neste caso, as duas posições para os sensores de erro que produzem o melhor desempenho
estarão indicadas nos gráficos dos resultados.
As Figs. 6.18 a 6.22 apresentam, em termos de vibração global, as reduções obtidas
quando um sistema com dois sensores de erro é aplicado para controlar as vibrações do rotor,
empregando tanto o atuador 1 e como o atuador 2. Observa-se que no caso de rotor “mancal
dependente” as melhores posições para os sensores de erro são bem próximas às extremidades
do rotor, mais especificamente em x = 72 e 676 mm quando o atuador 1 é utilizado e em x =
72 e 628 mm quando o atuador 2 é utilizado. Com o rotor na condição de “transição” as
melhores posições para os sensores de erro ficam ligeiramente mais afastadas das
extremidades utilizando quaisquer dos atuadores, em x = 97 e 579 mm. Na condição de rotor
“eixo dependente”, as posições para os sensores de erro continuam sendo próximas às
extremidades, porém sem uma tendência bem definida. De qualquer maneira, é sempre muito
importante fazer uma análise para se determinar as posições para os sensores que
proporcionam os melhores desempenhos para o sistema de controle.
94
Para este caso de um sistema de controle empregando dois sensores de erro,
observando apenas as curvas em termos de vibrações globais, Figs. 6.18 a 6.22, nota-se que,
em geral, seu desempenho foi um pouco melhor para atenuar os picos de freqüências críticas,
quando se compara esse desempenho com o sistema utilizando um único sensor de erro, Figs.
6.7 a 6.11. Neste caso prevalece a tendência do atuador 1 atenuar as freqüências críticas mais
baixas e o atuador 2 atenuar as freqüências críticas mais elevadas em todos os casos de rigidez
de rotor analisado. Mas a característica mais importante do sistema com dois sensores de erro
é que com ele praticamente não ocorrem ampliações nas faixas de freqüências fora das
críticas para todos os valores de ganho proporcional do controlador PID, sendo esta uma
grande vantagem em relação ao sistema anterior. Vale relembrar que com o sistema de
controle com um sensor de erro e K
P
= 120, Fig. 6.11, ocorrem ampliações significativas em
todas as faixas fora das freqüências críticas.
Figura 6.18 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando dois
sensores, para K
P
= 27 e K
D
= 0,009 (“mancal dependente”).
95
Figura 6.19 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando dois
sensores, para K
P
= 29 e K
D
= 0,01 (“mancal dependente”).
Figura 6.20 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando dois
sensores, para K
P
= 36 e K
D
= 0,012 (“transição”).
Figura 6.21 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando dois
sensores, para K
P
= 48 e K
D
= 0,016 (“eixo dependente”).
96
Figura 6.22 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando dois
sensores, para K
P
= 120 e K
D
= 0,037 (“eixo dependente”).
As Figs. 6.23 a 6.28 apresentam as reduções das amplitudes locais de vibração nas
freqüências críticas e em algumas freqüências discretas fora das faixas de ressonância para os
três casos de rigidez do rotor dados em função da variação de K
P
, utilizando o sistema de
controle com dois sensores de erro. A exemplo do caso anterior as amplitudes modais nas
freqüências críticas ficam reduzidas a valores mínimos em todas as freqüências críticas e nas
três zonas de rigidez do rotor. Por outro lado, nas freqüências fora das faixas de ressonância
apenas no rotor tipo “mancal dependente”, com K
P
= 27, Fig. 6.24, observou-se um pequeno
aumento da vibração local em uma das extremidades do rotor, aumento este que é
imperceptível em termos de vibração global, como visto anteriormente, Fig. 6.18. Nos casos
de rotor na zona de “transição” e rotor “eixo dependente”, apesar de não haver reduções
apreciáveis nas vibrações locais fora das faixas de ressonâncias, também não há ampliações
que mereçam qualquer destaque ao logo do eixo do rotor. Em resumo, com o sistema de
controle empregando dois sensores de erro, consegue-se reduzir significativamente todas as
amplitudes modais e a possibilidade de amplificação significativa das vibrações nas faixas
fora das ressonâncias é mínima.
97
Figura 6.23 – Vibração local com o sistema de controle empregando dois sensores, nas
freqüências críticas, para K
P
= 27 e K
D
=0,009 (“mancal dependente”).
Figura 6.24 – Vibração local com o sistema de controle empregando dois sensores de erro, nas
freqüências de 30 e 86 Hz, para K
P
= 27 e K
D
=0,009 (“mancal dependente”).
98
Figura 6.25 – Vibração local com o sistema de controle empregando dois sensores, nas
freqüências críticas, para K
P
= 36 e K
D
=0,012 (“transição”).
Figura 6.26 – Vibração local com o sistema de controle empregando dois sensores de erro, nas
freqüências de 26 e 98 Hz, para K
P
= 36 e K
D
=0,012 (“transição”).
99
Figura 6.27 – Vibração local com o sistema de controle empregando dois sensores de erro, nas
freqüências críticas, para K
P
= 120 e K
D
=0,037 (“eixo dependente”).
Figura 6.28 – Vibração local com o sistema de controle empregando dois sensores de erro, nas
freqüências de 120 e 176 Hz, para K
P
= 120 e K
D
=0,037 (“eixo dependente”).
100
6.6. ESTRATÉGIA DE CONTROLE USANDO UM ATUADOR E TRÊS SENSORES DE
ERRO
Nesta seção serão apresentados os resultados da análise de uma estratégia de controle
que utiliza um atuador e três sensores de erro distribuídos ao longo do comprimento do rotor.
A idéia é verificar se com esta estratégia de controle se consegue alguma melhora no
desempenho do controlador nas freqüências fora das ressonâncias. Novamente, a escolha das
melhores posições para a fixação dos sensores de erro se baseou na comparação direta dos
desempenhos entre as várias combinações de três posições ao longo do eixo do rotor.
As Figs. 6.29 a 6.33 apresentam o desempenho desse sistema de controle ativo, em
termos de vibração global, para ambos os atuadores e para todos os casos de K
P
e K
D
analisados. As posições ótimas para a colocação dos sensores de erro ao longo do rotor são
em x = 0 mm (início do eixo), x = 290 mm e x = 700mm quando se utiliza o atuador 1 e em x
= 97mm, x = 410 mm e x = 628 mm quando se utiliza o atuador 2. Essas posições ótimas são
válidas para todos os casos de rigidez do rotor e se observa uma distribuição mais ou menos
uniforme das posições ao longo do rotor.
Comparando esses resultados com os obtidos com o sistema de controle operando
com dois sensores de erro, Figs. 6.18 a 6.22, verifica-se que não houve ganho no desempenho
que justifique a utilização desse sistema de controle com três sensores de erro.
Comparativamente, as variações no desempenho das duas arquiteturas para controlar as
amplitudes modais foram mínimas para todos os tipos de rigidez de rotores. Além disso, fora
das faixas de ressonâncias, também não se observa redução da vibração global. Assim,
conclui-se que o sistema de controle com dois sensores de erro é a opção mais viável
economicamente considerando menor custo de equipamentos e de capacidade computacional
necessária para a sua operação, sem qualquer perda de desempenho em relação ao sistema
com três sensores de erro.
101
Figura 6.29 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando três sensores,
para K
P
= 27 e K
D
= 0,009 (“mancal dependente”).
Figura 6.30 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando três sensores,
para K
P
= 29 e K
D
= 0,01 (“mancal dependente”).
Figura 6.31 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando três sensores,
para K
P
= 36 e K
D
= 0,012 (“transição”).
102
Figura 6.32 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando três sensores,
para K
P
= 48 e K
D
= 0,016 (“eixo dependente”).
Figura 6.33 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando três sensores,
para K
P
= 120 e K
D
= 0,037 (“eixo dependente”).
Em termos de vibração local, as Figs. 6.34 e 6.35 mostram, a título de ilustração, os
resultados do controle das freqüências críticas e de duas freqüências fora das faixas de
ressonâncias para o caso de rotor “mancal dependente”, onde K
P
= 27 e K
D
= 0,009. Como já
era esperado, as freqüências críticas reduziram drasticamente, mas mesmo com três sensores
de erro o sistema de controle não foi capaz de reduzir as amplitudes locais das freqüências em
questão como também não foi capaz de eliminar por completo as pequenas amplificações
observadas em algumas faixas. Situação análoga acontece para o rotor na zona de “transição”
e rotor “eixo dependente”.
103
Figura 6.34 – Vibração local com o sistema de controle empregando três sensores, nas
freqüências críticas, para K
P
= 27 e K
D
=0,009 (“mancal dependente”).
Figura 6.35 – Vibração local com o sistema de controle empregando três sensores de erro, nas
freqüências de 26 e 86 Hz, para K
P
= 27 e K
D
=0,009 (“mancal dependente”).
104
6.7. ESTRATÉGIA DE CONTROLE USANDO DOIS ATUADORES E DOIS SENSORES DE
ERRO
Como apresentado nas seções anteriores, as estratégias de controle empregando um
único atuador não conseguem aumentar o seu desempenho mesmo empregando mais que dois
sensores de erro. Assim, um avanço adicional na análise será verificar o desempenho de uma
estratégia na qual se utilizam simultaneamente os dois mancais magnéticos que suportam o
rotor como atuadores. A escolha das melhores posições para instalação dos dois sensores de
erro foi feita de forma análoga às análises anteriores. As Figs. 6.36 a 6.40 mostram o
desempenho deste sistema de controle ativo para todos os casos de rigidez de rotor analisados.
Nestes resultados primeiramente se observa que a duas posições para os sensores de
erro que admitem os melhores desempenhos para o sistema de controle foram em x = 676 mm
e em x = 700 mm, ou seja, os dois sensores de erro posicionados bem próximos à extremidade
direita do rotor. Nesta extremidade a distribuição de massa é menor (disco de menor massa) e
os sensores ficam mais distantes da excitação (desbalanceamento no disco maior). Segundo,
diferentemente do que se esperava, esta estratégia conduziu a desempenhos piores que quando
são utilizados um único atuador com dois sensores de erro. Em geral, as atenuações das
freqüências críticas são menores e ainda ocorrem pequenas amplificações nas faixas de
freqüências fora das ressonâncias. Entretanto, vale ressaltar que a estratégia com dois
atuadores e dois sensores de erro foi muito mais eficiente para atenuar as duas primeiras
freqüências naturais do rotor na condição de “mancal dependente”, do que as demais
estratégias, conforme mostram as Figs. 6.36 e 6.37, onde se pode verificar a grande atenuação
nas baixas freqüências. Portanto, se é desejável atenuar notavelmente as duas primeiras
freqüências criticas e se o rotor tem um mancal bem flexível, então esta opção de controle
pode ser considerada.
É muito provável que aumentando o número de sensores de erro para o
funcionamento dos dois atuadores, o desempenho irá melhorar, mas torna-se uma arquitetura
totalmente inviável economicamente, tendo em vista a necessidade de equipamentos mais
complexos com maior número de entradas e saídas e de grande capacidade computacional.
105
Figura 6.36 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando dois
atuadores e dois sensores, para K
P
= 27 e K
D
= 0,009 (“mancal dependente”).
Figura 6.37 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando dois
atuadores e dois sensores, para K
P
= 29 e K
D
= 0,01 (“mancal dependente”).
Figura 6.38 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando dois
atuadores e dois sensores, para K
P
= 36 e K
D
= 0,012 (“transição”).
106
Figura 6.39 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando dois
atuadores e dois sensores, para K
P
= 48 e K
D
= 0,016 (“eixo dependente”).
Figura 6.40 – Nível global de vibração com um sistema de controle empregando dois
atuadores e dois sensores, para K
P
= 120 e K
D
= 0,037 (“eixo dependente”).
Na Fig. 6.41 pode-se ver as atenuações locais das amplitudes das freqüências críticas
utilizando os dois atuadores simultaneamente. Como nos sistemas de controle anteriores as
amplitudes reduziram praticamente a zero. Por outro lado, conforme mostra a Fig. 6.42, e
como já visto nas curvas de vibração global, ocorrem amplificações significativas nas faixas
de freqüências distintas das faixas de ressonâncias.
107
Figura 6.41 – Vibração local com o sistema de controle empregando dois atuadores e dois
sensores, nas freqüências críticas, para K
P
= 27 e K
D
=0,009 (“mancal dependente”).
Figura 6.42 – Vibração local com o sistema de controle empregando dois atuadores e dois
sensores de erro, nas freqüências de 80 e 126,4 Hz, para K
P
= 27 e K
D
=0,009 (“mancal
dependente”).
108
CAPÍTULO 7
CONCLUSÕES FINAIS E PROPOSTAS PARA TRABALHOS
FUTUROS
7.1. CONCLUSÕES FINAIS
Neste trabalho realizou-se uma análise teórica para verificar o desempenho de um
sistema de controle ativo “feedforward” em um rotor empregando os mancais magnéticos
como atuadores. As arquiteturas de controle foram analisadas considerando-se variações nos
ganhos proporcional e derivativo do controlador PID, os quais influenciam sobre as
características dinâmicas do sistema e sobre o desempenho do controlador para reduzir os
níveis de vibração do rotor. O efeito da posição dos sensores de erro, bem como o mancal
utilizado como atuador também foram analisados. Para o sistema de controle ativo adaptativo
“feedforward” utilizou-se um algoritmo LMS que minimiza a função custo definida como a
soma dos quadrados das saídas dos sensores de erro sobreposto ao sistema “feedback” do
mancal magnético. As estratégias de controle ativo utilizadas neste trabalho se mostraram
eficientes para o controle de vibração nas velocidades críticas do rotor, conseguindo reduções
significativas das vibrações.
A rigidez dos mancais exerce grande influência sobre a velocidade crítica dos
rotores, fazendo do ganho proporcional do filtro PID (K
P
), que é o grande responsável pela
variação desta característica dinâmica, um parâmetro que deve ser analisado no desempenho
do controle ativo de vibrações. Verificou-se que o desempenho do sistema de controle ativo,
considerando sua operação com um “sensor perfeito”, se mostrou mais eficiente quando o
rotor está na região “eixo-dependente”, para K
P
acima de 36, e independente do atuador
utilizado, consegue-se uma redução das amplitudes de freqüências críticas em controle,
principalmente das duas primeiras freqüências.
Com relação ao ganho derivativo (K
D
) percebe-se que com o seu aumento, ocorre
uma diminuição dos picos de amplitudes das freqüências críticas do rotor, e isso ocorre
109
devido ao aumento do amortecimento dos mancais (controle passivo), porém a sua variação
influencia muito pouco sobre o desempenho do controle ativo.
A variação do ganho proporcional também determina a escolha dos mancais a serem
utilizados como atuadores e o posicionamento dos sensores. De uma forma geral, nos casos
em que o rotor analisado esteja na região “mancal-dependente” ou “transição”, o melhor
atuador é o mancal 1. Já para a região de “eixo-dependente”, o melhor atuador é o mancal 2.
Particularmente, o atuador 1 se apresenta mais eficiente para a atenuar as primeiras
freqüências críticas, enquanto que o atuador 2 é mais eficiente para atenuar as freqüências de
maior ordem. Isso provavelmente se deve ao fato do atuador 1 estar localizado mais próximo
da fonte de excitação, ou seja, do disco desbalanceado. Quando se utilizam os dois atuadores
simultaneamente, percebe-se apenas uma atenuação maior de vibração nas primeiras
freqüências críticas, comparadas ao uso dos atuadores separadamente. Com relação ao
posicionamento dos sensores, nota-se que as melhores posições variam de acordo com a
variação do ganho proporcional, porém, somente para o caso em que utiliza um atuador e um
sensor de erro se percebe uma tendência de posicionamento, em que eles se aproximam para o
centro do rotor na medida em que K
P
aumenta até certo ponto, depois retornam para as
extremidades.
Vale ressaltar que a variação dos ganhos proporcional e derivativo não interferem no
desempenho de controle quando se utilizam os dois mancais simultaneamente como
atuadores. Neste caso, a região de operação do rotor (“mancal-dependente”, “transição” ou
“eixo-dependente”) pode ser escolhida pelo comportamento da curva sem controle comparada
à curva controlada, já que esta última é sempre constante com relação à variação de K
P
.
Com relação à ótica de controle ativo, global e local, uma redução global a uma
determinada freqüência não significa necessariamente que a amplitude da vibração foi
atenuada em todos os pontos ao longo do rotor. Poderão existir regiões do rotor com grandes
atenuações e outras com uma certa ampliação.
A estratégia de controle ativo utilizando um sensor de erro e um atuador é eficiente
para atenuar vibrações nas freqüências críticas, mas pode ter um desempenho muito pobre ou
até mesmo amplificar as vibrações em outras freqüências. Como os rotores são projetados
para operar fora das velocidades críticas, então a possibilidade de ocorrerem problemas em
estratégias de controle utilizando um sensor e um atuador é muito grande. Já com o sistema de
controle empregando dois sensores de erro, consegue-se reduzir significativamente todas as
amplitudes modais e a possibilidade de amplificação das vibrações nas faixas fora das
ressonâncias é mínima.
110
A estratégia de controle com um atuador e três sensores de erro não apresentou
qualquer melhoria significativa com relação à estratégia com dois sensores, não justificando o
uso de mais um sensor de erro, pois demandaria um maior custo e esforço computacional. Já a
estratégia de controle com dois atuadores e dois sensores de erro conduziu a desempenhos
piores do que a estratégia com apenas um atuador e dois sensores. Com esta estratégia
ocorrem pequenas ampliações nas faixas de freqüências fora da ressonância. Entretanto, esta
estratégia foi a que apresentou o maior desempenho para a atenuação das duas primeiras
freqüências críticas do rotor. É muito provável que com o aumento do número de sensores
esta estratégia apresentaria melhores resultados, porém tornaria a arquitetura de controle
inviável do ponto de vista econômico e de esforço computacional, fazendo da estratégia de
controle com um atuador e dois sensores a melhor opção para ser empregada no rotor
analisado.
A possibilidade de variação do ganho proporcional é muito importante para melhorar
o desempenho do controle ativo das vibrações dos rotores que utilizam mancais magnéticos. É
uma alternativa de controle que pode oferecer várias vantagens, dependendo da escolha dos
atuadores como do posicionamento dos sensores de erro. A possibilidade de variação do
ganho proporcional também é importante pelo fato de permitir a alteração da dinâmica dos
rotores, afastando operações próximas às faixas de freqüências críticas.
7.2. PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS
Como proposta para futuros trabalhos, podem-se enumerar as seguintes:
- Proceder a uma análise experimental a fim de se obter dados experimentais para
comparar com os dados de simulação.
- Otimizar o processo para determinação dos pontos ótimos para a instalação dos
sensores de erro;
- Analisar rotores com maior número de mancais e com outras fontes de excitação;
- Fazer uma análise quando o mancal magnético ativo é utilizado apenas como
atuador e não como mancal de sustentação do rotor.
111
CAPÍTULO 8
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AENIS, M.; KNOPF, E. AND NORDMANN, R. Active Magnetic bearings for the
identification and fault diagnosis in turbomachinery. Mechatronics, v. 12, p. 1011-1021,
2002.
ALLAIRE, P. E. ET. AL. Magnetic bearings, handbook of tribology and lubrication.
Charlottesville: USA, 1993. v. III.
ALLAIRE, P. E. ET. AL. Design and Rotor Dynamics Analysis of a Magnetic Bearing
Supported Prototype Textile Spindle. In: PROCEEDINGS OF MAG’97, Alexandria, USA,
1997. p. 47-56.
BIES, D. AND HANSEN, C. H. Engineering noise control. London: Unwin-Hyman, 1988.
BONELLO, P. AND BRENNAN, M. J. Modelling the dynamic behaviour of a supercritical
rotor on a flexible foundation using the mechanical impedance technique. Journal of Sound
and Vibration, v. 239 (3), p. 445-466, 2001.
BURGESS, J. C. Active adaptive sound control in a duct: a computer simulation. Journal of
the Acoustical Society of America, v. 70, p. 715-726, 1981.
COLE, M. O. T.; KEOGH, P. S.; SAHINKAYA, M. N. AND BURROWS, C. R. Towards
fault-tolerant active control of rotor-magnetic bearing systems. Control Engineering
Practice, v. 12, p. 491-501, 2004.
COWAN, C. F. N. AND GRANT, P.M.
Adaptive Filters. New Jersey: Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, 1985.
112
ELLIOT, S. J. Active control of structure-borne noise. Journal of Sound and Vibration, v.
177(5), p. 651-673, 1994.
ELLIOT, S. J. Filtered reference and filtered error LMS algorithms for adaptive feedforward
control. Mechanical Systems and Signal Processing, v. 12(6), p. 769-781, 1998.
FULLER, C. R. ET AL. Active control of vibration. San Diego: Academic Press, 1996.
GOLD, B. AND RADAR, C. M. Digital processing of signals. New York: McGraw-Hill,
1969.
GRAY, S. ET AL. Magnetic Bearing Can Increase Availability, Reduce O&M Costs. Power
Engineering, v. 1, p. 26-29, 1990.
HU, Y. AND NG, A. Active robust vibration control of flexible structures. Journal of Sound
and Vibration, v. 288, p. 43-56, 2005.
HU, Y. AND VUKOVICH, G. Active robust shape control of flexible structures.
Mechatronics, v. 15, p. 807-820, 2005.
IAMAISHI, K., Application and Performance of Magnetic Bearing for Water Turbine and
Generator. In: PROCEEDINGS OF MAG’97, Alexandria, USA, 1997. p. 25-34.
JANG, M.; CHEN, C. AND TSAO, Y. Sliding mode control for active magnetic bearing
system with flexible rotor. Journal of the Franklin Institute, v. 342, p. 401-419, 2005.
JOHNSON, M. E.; NASCIMENTO, L. P.; KASARDA, M. AND FULLER, C. R. The effect
of actuator and sensor placement on the active control of rotor unbalance. Journal of
Vibration and Acoustics, v. 125, p. 365-373, 2003.
KASARDA, M. E. F., An overview of active magnetic bearing technology and application.
The Shock and Vibration Digest, v. 32, N
0
.2, p. 91-99, 2000.
113
KASARDA, M. E. F.; MENDOZA, H.; KIRK, R. G. AND WICKS, A. Reduction of
subsynchronous vibration in a single-disk rotor using an active magnetic damper. Mechanics
Research Communications, v. 31, p. 689-695, 2004.
KWAKERNAAK, H. AND SIVAN, R. Linear optimal control systems. New York: Wiley,
1972.
KHANFIR, H.; BONIS, M. AND REVEL, P. Improving waviness in ultra precision turning
by optimizing the dynamic behavior of a spindle with magnetic bearings. International
Journal of Machine Tools & Manufacture, v. 45, p. 841-848, 2005.
LYNN, P. A. An introduction to the analysis an processing of signals. London: Macmillan
Press, 1982. 2nd ed.
MEIROVITCH, L. Dynamics and control of structures. New York: Jonh Wiley and Sons,
1990.
MORGAN, D. R. An analysis of multiple correlation cancellation loops with a filter in
auxiliary path. Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions on Acoust
Speech an Signals Processing, ASSP-28, p. 464-467, 1980.
MOTEE, N., Minimization of Power Losses in Active Magnetic Bearing Control, 2003,
67 p. - Louisiana State University and Agricultural and Mechanical College, USA, 2003.
NASCIMENTO, L. P. Dynamic of active magnetic bearings, In: II CONGRESSO
NACIONAL DE ENGENHARIA MECÂNICA-CONEM’2002, 10, 2002, Fortaleza.( CD-R
paper CPB0488), 2002.
NELSON, P. A. AND ELLIOT, S. J. Active control of sound. San Diego: Academic Press,
1992.
OPPENHEIM, A. V. AND SHAFER, R. W. Digital signal processing. New Jersey: Prentice-
Hall, Englewood Cliffs, 1975.
114
PILAT, A., Femlab Software Applied to Active Magnetic Bearing Analysis. Int. J. Appl.
Math. Comput. Sci, Cracow, v. 14, n. 4, p. 497-501, 2004.
PIPER, G. E.; WATKINS, J. M. AND THORP III, O. G. Active control of axial-flow fan
noise using magnetic bearings. Journal of Vibration and Control, v. 11(9), p. 1221-1232,
2005.
SHI, J.; ZMOOD, R. AND QIN, L. Synchronous disturbance attenuation in magnetic bearing
systems using adaptive compensating signals. Control Engineering Practice, v. 12, p.
283-290, 2004.
VIPPERMAN, J. S. AND BURDISSO, R. A. Adaptive feedforward control of non-minimum
phase structural systems. Journal of Sound and Vibration, v. 183(3), p. 369-382, 1995.
WANG, D. AND HUANG, Y. Modal space vibration control of a beam by using the
feedforward and feedback control loops. International Journal of Mechanical Sciences, v.
44, p. 1-19, 2002.
WIDROW, B.; SHUR, D. AND SHAFFER, S. On adaptive inverse control. In:
PROCESSING OF THE 15 TH ASILOMAR CONFERENCE ON CIRCUITS, SYSTEMS
AND COMPUTERS, 1981. p. 185-195.
WIDROW, B. AND STEARNS, S. D. Adaptive signals processing. New Jersey: Prentice-
Hall, Englewood Cliffs, 1985.
ZHU, C.; ROBB, D. A. AND EWINS, D. J. The dynamics of a cracked rotor with an active
magnetic bearing. Journal of Sound and Vibration, v. 265, p. 469-487, 2003.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
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