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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE RIBEIRÃO PRETO
DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
Luís Augusto Perles
Avaliação do algoritmo Macro Response Monte
Carlo através dos espectros de elétrons
Ribeirão Preto - SP
2006
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Milhares de livros grátis para download.
Luís Augusto Perles
Avaliação do algoritmo Macro Response Monte
Carlo através dos espectros de elétrons
Tese apresentada à Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras
de Ribeirão Preto da USP para obtenção do título de Doutor
em Ciências.
Área de Concentração: Física Aplicada à Medicina e Biologia.
Orientadora: Prof
a
. Dr
a
. Adelaide de Almeida
Ribeirão Preto - SP
2006
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AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABA-
LHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ES-
TUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.
FICHA CATALOGRÁFICA
Perles, Luís Augusto.
Avaliação do algoritmo Macro Response Monte Carlo através dos espectros
de elétrons/ Luís Augusto Perles; orientadora Adelaide de Almeida.
– Ribeirão Preto, 2006.
119 f. :fig.
Tese (Doutorado - Programa de Pós Graduação da Faculdade de Filosofia,
Ciências e Letras de Ribeirão Preto - Área de Concetração: Física Aplicada
a Medicina e Biologia) - Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de
Ribeirão Preto da Universidade de São Paulo.
1. Radioterapia. 2. Monte Carlo. 3. Transporte de elétrons
Agradecimentos
À Prof
a
. Dr
a
. Adelaide de Almeida, pela orientação e paciência.
Ao prof. Dr. Antonio Carlos Roque da Silva Filho, por possibilitar o acesso ao cluster de
micros.
Aos professores Dr. Alexandre Souto Martinez e Dr. Martin Eduardo Poletti pelas discus-
sões e sugestões.
Ao físico médico Ms. José Renato Oliveira Rocha pelo incentivo, idéias e sugestões.
Ao prof. Dr. Alessandro Martins da Costa pela imensa ajuda com o L
A
T
E
X.
Ao CNPq pelo apoio financeiro em forma de bolsa e taxa de bancada.
Aos desenvolvedores dos programas/bibliotecas ROOT e Geant4, que, mesmo a distância,
sempre que possível esclareciam as minhas dúvidas.
À todos os desenvolvedores de software livre, por terem feito ferramentas importantíssimas
sem as quais este trabalho não seria feito legalmente.
À comunidade Linux, por terem feito um sistema operacional decente para rodar as simu-
lações com desempenho, sem o fantasma da ’tela azul’, vírus, cavalos de tróia, invasões, etc,
etc.
Aos meus amigos e colegas do departamento, que tornaram suportável minha estada neste
deserto cultural.
“A new scientific truth does not triumph by convincing its opponents and mak-
ing them to see the light, but rather because its opponents eventually die, and
a new generation grows up that is familiar with it.”
Max Planck
Sumário
Lista de Figuras
Lista de Tabelas
Resumo
Abstract
1 Introdução p.19
1.1 Técnicas de planejamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.19
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21
1.3 Estrutura da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.22
2 Noções teóricas p.23
2.1 A simulação pelo método Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.23
2.1.1 Aplicação ao transporte de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24
2.2 As interações dos elétrons com o meio material . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25
Espalhamento coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26
Produção de raios delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26
Emissão de radiação por bremsstrahlung . . . . . . . . . . . p.26
Aniquilação de pares elétron-pósitron . . . . . . . . . . . . . p. 26
2.3 Os algoritmos de história condensada de elétrons . . . . . . . . . . . . . . . p.26
2.3.1 O modelo de Molière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28
2.3.2 O modelo de Goudsmit-Saunderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28
2.3.3 O modelo de Lewis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.28
2.4 Os métodos Local-to-Global Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29
2.4.1 Phase-space evolution Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29
2.4.2 Response History Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30
2.4.3 Macro Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31
2.4.4 Macro Response Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.32
3 Geração da base de dados de kugels p.34
3.1 A escala de energia e os raios dos kugels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.34
3.2 O cálculo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.35
3.3 A estrutura do kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36
3.3.1 As bandas do kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36
3.3.2 O cosseno da posição de saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.38
3.3.3 A energia de saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.38
3.3.4 A direção de saída das partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38
3.3.5 O número médio de elétrons secundários e fótons saindo do kugel . . p. 41
3.4 O formato da base de dados kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41
4 O Método de transporte MRMC p.42
4.1 A implementação do sistema de transporte global . . . . . . . . . . . . . . . p. 43
4.1.1 A escolha do kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.46
4.1.2 Amostrando as saídas do kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47
4.1.2.1 A banda de saída do elétron primário . . . . . . . . . . . . p. 49
4.1.2.2 A posição de saída do elétron primário . . . . . . . . . . . p.49
4.1.2.3 A direção de saída do elétron primário . . . . . . . . . . . p. 50
4.1.2.4 A energia de saída do elétron primário . . . . . . . . . . . p.50
4.1.2.5 As partículas secundárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.51
4.2 O transporte eletrônico através de interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.51
5 Metodologia dos testes do MRMC e da análise de seus resultados p.53
5.1 Os tipos de objetos simuladores testados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.53
5.1.1 O objeto simulador homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53
5.1.2 O objeto simulador heterogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54
5.2 Metodologia das simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.57
5.3 Metodologia da análise das simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.59
6 Resultados e discussões p.61
6.1 Objeto simulador homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61
6.1.1 O espectro dos elétrons primários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61
6.1.1.1 Discussão dos resultados dos espectros primários . . . . . p.72
6.1.2 O espectro de elétrons primários e secundários . . . . . . . . . . . . p. 77
6.1.2.1 Discussão dos resultados dos espectros primário e secundário p.89
6.2 Objeto simulador heterogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 90
6.3 Comparação entre os tempos de simulação do MRMC e Geant4 . . . . . . . p. 93
7 Conclusões p.96
Referências p.97
Apêndice A -- Exemplo de funções de distribuição de probabilidade de um kugel p.100
Apêndice B -- Terminologia usada pelo Geant4 p.111
B.1 Limites inferior de energia no transporte de partículas (Cutoffs) . . . . . . . . p.111
B.2 Limiar de produção de secundários (RangeCut) . . . . . . . . . . . . . . . . p.111
B.2.1 A região sensível do detetor (SensitiveDetector) . . . . . . . . . . . . p.112
Apêndice C -- Parâmetros das simulações dos kugels p.113
Apêndice D -- Diagramas de classes do código MRMC p.114
Anexo A -- Dados dos Materiais e Tecidos p.118
Lista de Figuras
1 Geração das funções distribuição de probabilidade, onde temos indicado o
feixe de elétrons incidente e suas saídas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.30
2 Método de simulação das funções distribuição de probabilidades em hemis-
férios, indicando o elétron incidente e suas saídas. . . . . . . . . . . . . . . . p. 31
3 Exemplo do método de transporte RHMC usando hemisférios. . . . . . . . . p. 31
4 Geração das funções distribuição de probabilidades em um kugel do MMC,
indicando o elétron incidente e suas saídas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32
5 Exemplo de transporte de um feixe incidente de elétrons por kugels pelo mé-
todo MMC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32
6 Geração das funções distribuição de probabilidades em um kugel do MRMC,
indicando o elétron incidente e suas saídas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33
7 Exemplo de transporte de um feixe incidente de elétrons por kugels pelo mé-
todo MRMC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.33
8 Energias adotadas para as simulações dos kugels. . . . . . . . . . . . . . . . p.35
9 Esquema ilustrativo da estrutura de bandas do kugel. . . . . . . . . . . . . . p.37
10 O vetor
R
1
de saída da partícula e os novos eixos de referência
P,
N,
O
. . . p.39
11 Diagrama do vetor
R
1
da direção de saída da partícula e sua decomposição
em componentes dcn, dco e dcp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.39
12 O método de transporte global do MRMC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.43
13 Diagrama UML de atividade do sistema de transporte MRMC. . . . . . . . . p.45
14 Diagrama de atividade da determinação do estado final do kugel. . . . . . . . p. 48
15 Vista lateral do objeto simulador A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.55
16 Vista lateral do objeto simulador B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55
17 Vista lateral e detalhe do corte transversal do objeto simulador C. . . . . . . . p.56
18 Ilustração do objeto simulador homogêneo com o feixe incidente externo de
elétrons e as regiões de saída. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.57
19 Ilustração do objeto simulador homogêneo com o feixe incidente de elétrons
posicionado dentro do mesmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58
20 Gráfico das energias disponíveis na base dados kugel e as energias usadas nas
simulações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 59
21 Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 25 MeV no
objeto simulador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62
22 Espectro lateral de elétrons primários para feixe incidente de 25 MeV no
objeto simulador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62
23 Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 10 MeV no
objeto simulador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63
24 Espectro lateral de elétrons primários para feixe incidente de 10 MeV no
objeto simulador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63
25 Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 5 MeV no ob-
jeto simulador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.64
26 Espectro lateral de elétrons primários para feixeincidente de 5 MeV no objeto
simulador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.64
27 Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 1 MeV no ob-
jeto simulador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.65
28 Espectro lateral de elétrons primários para feixeincidente de 1 MeV no objeto
simulador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.65
29 Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 25 MeV no
objeto simulador de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67
30 Espectro lateral de elétrons primários para feixe incidente de 25 MeV no
objeto simulador de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68
31 Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 10 MeV no
objeto simulador de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68
32 Espectro lateral de elétrons primários para feixe incidente de 10 MeV no
objeto simulador de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69
33 Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 5 MeV no ob-
jeto simulador de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.69
34 Espectro lateral de elétrons primários para feixeincidente de 5 MeV no objeto
simulador de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.70
35 Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 1 MeV no ob-
jeto simulador de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.70
36 Espectro lateral de elétrons primários para feixeincidente de 1 MeV no objeto
simulador de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.71
37 Comparação entre os desvios MRMC-Geant4 dos espectros frontais. . . . . . p. 72
38 Comparação entre os desvios MRMC-Geant4 dos espectros laterais. . . . . . p.73
39 Cosseno de posição de saída para os elétrons primários da Banda 2 para o
kugel de 17,78 MeV e 1 mm de raio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.74
40 Comparação entre MRMC, Geant4 e uma versão do MRMC sem a correção
para perda contínua de energia próximo às interfaces - feixe incidente de
10 MeV e objeto simulador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75
41 Comparação entre MRMC, Geant4 e uma versão do MRMC sem a correção
para perda contínua de energia próximo às interfaces - feixe incidente de
5 MeV e objeto simulador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75
42 Comparação entre MRMC, Geant4 e uma versão do MRMC sem a correção
para perda contínua de energia próximo às interfaces - feixe incidente de
1 MeV e objeto simulador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76
43 Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 25 MeV no objeto simu-
lador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.78
44 Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 25 MeV no objeto simu-
lador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.78
45 Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 10 MeV no objeto simu-
lador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.79
46 Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 10 MeV no objeto simu-
lador de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.79
47 Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 5 MeV no objeto simula-
dor de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.80
48 Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 5 MeV no objeto simula-
dor de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.80
49 Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 1 MeV no objeto simula-
dor de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.81
50 Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 1 MeV no objeto simula-
dor de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.81
51 Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 1 MeV no objeto simula-
dor de tecido mole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 82
52 Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 1 MeV no objeto simula-
dor de tecido mole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 83
53 Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 25 MeV no objeto simu-
lador de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.84
54 Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 25 MeV no objeto simu-
lador de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.85
55 Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 10 MeV no objeto simu-
lador de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.85
56 Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 10 MeV no objeto simu-
lador de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.86
57 Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 5 MeV no objeto simula-
dor de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 86
58 Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 5 MeV no objeto simula-
dor de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 87
59 Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 1 MeV no objeto simula-
dor de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 87
60 Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 1 MeV no objeto simula-
dor de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 88
61 Espectro de elétrons retroespalhado para feixe incidente de 5 MeV no objeto
simulador de osso compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.89
62 Espectro frontal de elétrons do objeto simulador A para feixe incidente de
10 MeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 91
63 Espectro frontal de elétrons do objeto simulador B para feixe incidente de
25 MeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 92
64 Espectro frontal de elétrons do objeto simulador C para feixe incidente de
10 MeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 93
65 Comparação entre as razões dos tempos de simulação Geant4/MRMC. . . . p.94
66 Cosseno da posição de saída para os elétrons primários e secundários da
Banda 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 101
67 Cosseno da posição de saída para os elétrons primários e secundários da
Banda 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 101
68 Cosseno da posição de saída para os elétrons primários e secundários da
Banda 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 102
69 Cosseno da posição de saída para os elétrons primários e secundários da
Banda 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 102
70 Energia de saída normalizada pela energia inicial dos elétrons primários e
secundários da Banda 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.103
71 Energia de saída normalizada pela energia inicial dos elétrons primários e
secundários da Banda 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.103
72 Energia de saída normalizada pela energia inicial dos elétrons primários e
secundários da Banda 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.104
73 Energia de saída normalizada pela energia inicial dos elétrons primários e
secundários da Banda 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.104
74 Trajetória de saída dcp dos elétrons primários e secundários da Banda 1. . . . p. 105
75 Trajetória de saída dcp dos elétrons primários e secundários da Banda 2. . . . p. 105
76 Trajetória de saída dcp dos elétrons primários e secundários da Banda 3. . . . p. 106
77 Trajetória de saída dcp dos elétrons primários e secundários da Banda 4. . . . p. 106
78 Trajetória de saída, cos(
µ
), dos elétrons primários e secundários da Banda 1. p.107
79 Trajetória de saída, cos(
µ
), dos elétrons primários e secundários da Banda 2. p.107
80 Trajetória de saída, cos(
µ
), dos elétrons primários e secundários da Banda 3. p.108
81 Trajetória de saída, cos(
µ
), dos elétrons primários e secundários da Banda 4. p.108
82 Número médio de elétrons secundários das Bandas 1 e 2. . . . . . . . . . . . p. 109
83 Número médio de elétrons secundários das Bandas 3 e 4. . . . . . . . . . . . p. 109
84 Número médio de fótons das Bandas 1 e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 110
85 Número médio de fótons das Bandas 3 e 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 110
86 Diagrama UML das classes relacionadas à geometria do MRMC. . . . . . . . p. 115
87 Diagrama UML do código de transporte do MRMC. . . . . . . . . . . . . . . p. 116
88 Diagrama da classe de gerenciamento dos kugels e classes correlatas. . . . . . p.117
Lista de Tabelas
1 Dimensões dos objetos simuladores homogêneos para água e tecido mole
testados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54
2 Dimensões dos objetos simuladores homogêneos para o osso compacto . . . p. 54
3 Dimensões dos objetos simuladores A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56
4 Dimensões do objeto simulador C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.56
5 Análise dos espectros primários referentes ao objeto simulador homogêneo
de água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66
6 Análise dos espectros primários referentes ao objeto simulador homogêneo
de tecido mole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66
7 Tabela de análise dos espectros primários referentes ao objeto simulador ho-
mogêneo de osso compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71
8 Tabela de análise dos espectros referentes ao objeto simulador homogêneo de
água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77
9 Tabela de análise dos espectros referentes ao objeto simulador homogêneo de
tecido mole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 83
10 Tabela de análise dos espectros referentes ao objeto simulador homogêneo de
osso compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.84
11 Análise dos espectros referentes ao objeto simulador A . . . . . . . . . . . . p. 90
12 Análise dos espectros referentes ao objeto simulador B . . . . . . . . . . . . p.90
13 Análise dos espectros referentes ao objeto simulador C . . . . . . . . . . . . p.90
14 Razão entre os tempos de simulação do Geant4 e MRMC . . . . . . . . . . . p. 94
15 Parâmetros das simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 113
16 Densidade e comprimento de radiação dos materiais/tecidos usados neste tra-
balho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.118
17 Composição atômica da água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 118
18 Composição atômica do tecido mole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 119
19 Composição atômica do osso compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.119
Resumo
PERLES, L. A. Avaliação do algoritmo Macro Response Monte Carlo através dos es-
pectros dos elétrons. 2006. Tese (Doutorado) - Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de
Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo, Ribeirão Preto, 2006.
O tempo de simulação computacional em planejamento de radioterapia ainda é muito alto.
Diversas técnicas de redução de variância têm sido desenvolvidas para o transporte de elétrons a
fim de reduzir o tempo de simulação. Destacamos algumas delas: Macro Monte Carlo (MMC),
Response History Monte Carlo (RHMC) e Macro Response Monte Carlo (MRMC). Todas es-
sas técnicas utilizam base de dados onde as histórias dos elétrons foram previamente simuladas.
Tais algoritmos, até o presente momento, foram somente avaliados através da dose absorvida.
Neste trabalho, fazemos uma comparação dos espectros dos elétrons utilizando uma implemen-
tação própria do MRMC. A base de dados do MRMC consiste de histórias pré-simuladas de
elétrons em pequenas esferas de material homogêneo (chamadas de kugel) para diferentes ti-
pos de energias e tamanhos de raios. O MRMC usa o kugel de maior raio para transportar o
elétron, desde que o mesmo não cruze nenhuma interface entre materiais. Nesta implementa-
ção, o transporte do elétron através de uma interface é aproximado por uma linha reta e, ao
final, corrige-se sua energia pela perda contínua de energia. A base de dados kugel foi gerada
pelo Geant4 versão 8.0 para água, tecido mole e osso compacto, para a faixa de energia de
31,63 MeV até 178 keV, com raios de 0,025 cm a 1,0 cm. Os testes consistem na simulação
de um feixe estreito de elétrons em objetos simuladores homogêneos e heterogêneos de forma
cilíndrica. Foram obtidos os espectros frontais e laterais pelo MRMC e comparados aos respec-
tivos espectros simulados pelo Geant4. Foram simulados 10
6
histórias em ambos os sistemas,
por este motivo não houve a necessidade de normalizar os histogramas. Os espectros avaliados
mostram uma boa concordância para energias acima de 5 MeV. A diferença entre as energias
dos picos foi menor que 1,7%, para energias acima de 5 MeV em objetos simuladores homo-
gêneos. Para o osso compacto as diferenças entre os espectros frontais foram cerca de 5%, e
para os laterais menor que 2% para energias acima de 5 MeV. Os tempos de simulação com
o MRMC foram de até 15 vezes menores para objetos simuladores homogêneos e cerca de 5
vezes menores para objetos simuladores heterogêneos.
Palavras chave: radioterapia, Monte Carlo, transporte de elétrons
Abstract
PERLES, L. A. Macro Response Monte Carlo algorithm evaluated through electron
spectra. 2006. Thesis (Doctoral) - Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto,
Universidade de São Paulo, Ribeirão Preto, 2006.
In radiotherapy the computer simulation elapsed time for treatment planning is still a prob-
lem. Several techniques for electron transport variance reduction have been developed in order
to speed up the calculations. Some of them are: Macro Monte Carlo (MMC), Response History
Monte Carlo (RHMC) and Macro Response Monte Carlo (MRMC). All of them use a database
where electrons histories were previously simulated. These algorithms have been evaluated
only by absorbed dose. This work shows a comparison between electron spectra simulated by
our implementation of MRMC. Such algorithm uses a database where electron histories were
pre-simulated in small homogeneous spheres (called kugel) for several different initial ener-
gies and some different radii. The MRMC transportation code uses the largest kugel size for
electron transportation, since it does not cross any material boundary. In this implementation
the electron transport through a boundary is done in a straight line and the energy correction
is made by continuous slowing down approximation. The kugel database has been generated
using Geant4 version 8.0 for water, soft tissue and compact bone, with energy range spanning
from 31.63 MeV down to 178 keV and with radius range from 0.025 to 1.0 cm. The MRMC
benchmarks consist of an electron pencil beam simulation in homogeneous and heterogeneous
cylindrical phantoms. The forward and lateral electron output spectra are computed and com-
pared against Geant4 simulations. We have simulated 10
6
histories in both systems, so the
histograms are compared without any normalization factors. The agreement between spectra
shapes have been evaluated and show to be good above 5 MeV. The results show an agreement
better than 1.7% in the peak energy for energies above 5 MeV, for water and soft tissue homo-
geneous phantoms. The agreement for compact bone homogeneous phantom between peaks of
forward spectra were around 5% and for side spectra were better than 2% for energies above
5 MeV. The benchmarks have shown that our implementation of MRMC are up to 15 times
faster than Geant4 for homogeneous phantoms and 5 times for heterogeneous ones.
Keywords: radiotherapy, Monte Carlo, electron transportation.
19
1 Introdução
A aplicação da radiação ionizante na medicina compreende, basicamente, as áreas de di-
agnóstico e terapia. A primeira tem por objetivo principal obter imagens médicas por meio da
radiação ionizante para fins diagnósticos, e a segunda tem por principal objetivo o uso terapêu-
tico da radiação ionizante. A radioterapia pode utilizar diversos tipos de partículas ionizantes
para irradiar o paciente, tais como fótons (raios-X e
γ
), elétrons, prótons, píons e nêutrons. As
mais comuns são fótons e elétrons, tendo como fontes elementos radioativos como o Cobalto
60, tubos de raios-X ou aceleradores de elétrons.
A maioria dos casos clínicos na radioterapia é de tumores, e sua aplicação envolve várias
etapas, desde o diagnóstico do paciente, planejamento da irradiação com a localização do tumor
e dos tecidos sadios vizinhos, determinação do tipo de energia do feixe, posicionamento do
paciente, simulação do tratamento e aplicação da irradiação.
Um dos objetivos do planejamento é aumentar a dose absorvida no tumor e minimizar a
dose nos tecidos sadios circunvizinhos, através do posicionamento do campo de radiação, da
determinação de sua forma e dos tempos de exposição para a dose absorvida prescrita.
1.1 Técnicas de planejamento
A dose absorvida definida pelo International Comission on Radiation Units and Measure-
ments (ICRU) (1) é descrita pela seguinte equação:
20
D =
d
E
abs
dm
(Gy) (1.1)
Onde D é composta pela parcela da energia cinética das partículas carregadas, d
E
abs
, ab-
sorvida pelo meio material, de massa dm.
Uma das técnicas de planejamento mais antigas envolve a determinação da dose no eixo
central do campo de irradiação por meio de funções que dependem do material ou tipo de
tecido envolvido e de parâmetros medidos experimentalmente. Outra técnica também antiga é
a determinação das distribuições bidimensionais (2D) da dose de irradiação através da interpo-
lação de curvas de isodose, medidas experimentalmente em objetos simuladores de água. Essas
técnicas, embora antigas, ainda são utilizadas atualmente em procedimentos de planejamento.
Com o avanço dos computadores nas décadas de 80 e 90, os procedimentos de planejamento
passaram a serem feitos em computadores. Os programas de planejamento, inicialmente, faziam
a interpolação das curvas de isodose medidas em objeto simulador de água, da mesma forma
como eram feitas as interpolações das curvas manualmente. Posteriormente, os programas de
planejamento passaram a adotar modelos numéricos mais sofisticados e a fazerem cálculos
tridimensionais (3D), como os de convolução para a fótons (2–5) e os de Fermi-Eyges (6) para
elétrons. No entanto, esses modelos, em geral, apresentam deficiências em aplicações onde é
exigido o cálculo da distribuição da dose em meios heterogêneos.
Métodos de planejamento baseado em simulação por Monte Carlo têm sido explorados
recentemente. Esta técnica consiste em simular o transporte e a interação das partículas em
meios materiais para obter as distribuições 3D de dose absorvida. Tal método apresenta uma
boa concordância com resultados experimentais. Alguns programas tradicionais de simulação
por Monte Carlo são: Electron Gamma Shower version 4 (EGS4) (7), Monte Carlo N Particle
(MCNP4) (8), PENetration and Energy LOss of Positrons and Electrons (PENELOPE) (9) e
o Geometry and tracking (Geant4) (10). Recentemente, uma versão mais atualizada do EGS4
produzida com o apoio do National Research Council do Canadá, o EGSnrc (11), tem sido
21
muito utilizada. Porém, todos esses algoritmos ainda são lentos para serem utilizados na rotina
dos hospitais.
Ainda na década de 90, começaram os estudos com técnicas de redução de variância apli-
cada a programas de simulação do transporte de partículas. Para fótons temos o X Voxel Monte
Carlo (XVMC) (12); para elétrons temos o Voxel Monte Carlo (VMC) (13), o Macro Monte
Carlo (MMC) (14, 15), o Response History Monte Carlo (RHMC) (16) e o Macro Response
Monte Carlo (MRMC) (17).
O VMC simplifica alguns passos no transporte dos elétrons, otimizando o transporte e a
distribuição de energia através dos voxels. O XVMC alia a técnica do VMC às simplificações
nas interações e transporte dos fótons.
O MMC, RHMC e o MRMC são baseados em histórias de elétrons previamente simuladas.
O MMC usa histórias pré-simuladas pelo EGS4 em esferas, chamadas de kugel (esfera em
alemão). O RHMC utiliza histórias pré-simuladas em hemisférios. O MRMC também faz uso
de histórias pré-simuladas em kugels, contudo, a geração da base de dados de kugels é feita
usando um código de simulação do transporte de elétrons mais preciso e detalhado que o EGS4.
O sistema de transporte dos elétrons no MRMC também é diferente do MMC.
1.2 Objetivos
Por meio dos programas de simulação por Monte Carlo podemos extrair diversas infor-
mações, além da dose absorvida, mesmo sendo utilizadas técnicas de redução de variância. No
entanto, a maioria dos códigos LGMC têm sido testados apenas no cálculo da dose. Outros ítens
que influenciam na distribuição 3D da dose, tais como os espectros dos elétrons, não aparecem
na literatura até o presente momento.
O objetivo deste trabalho é avaliar os espectros de elétrons produzidos pelas simulações
com o algoritmo MRMC, cuja base de dados possui kugels de raios maiores e uma faixa de
energia mais ampla que os já testados para a obtenção da dose. Também serão avaliados os
22
tempos de simulação em objetos simuladores homogêneos e heterogêneos usando essa base de
dados estendida.
1.3 Estrutura da tese
O código fonte da implementação do MRMC possui mais de 3000 linhas em sua versão
final. O programa que simula o transporte de elétrons nos kugels possui mais de 3900 linhas
de código. Se forem contabilizados também o programa para a obtenção dos espectros pelo
Geant4, os scripts em C++ para análise da base de dados e apresentação de gráficos, no total,
foram escritos mais de 10000 linhas de código final. O tempo de geração da base de dados de
kugels completa para o tecido mole foi de aproximadamente uma semana em um cluster de mi-
cros rodando GNU/Linux otimizado, utilizando 13 processadores Intel Pentium4 de 2,66 GHz
trabalhando em paralelo.
Devido a complexidade e a extensão deste trabalho, a tese ficou dividida em sete capítulos.
No capitulo 2 são apresentadas algumas noções teóricas sobre o problema do transporte
de elétrons em meios materiais e as alternativas adotadas, a fim de aumentar a velocidade das
simulações por Monte Carlo.
A metodologia da geração da base de dados, também conhecida por ’transporte local’, é
apresentada no capítulo 3. O exemplo das funções de distribuição de probabilidade de um
kugel, pertencentes a essa base de dados encontra-se no apêndice A.
A implementação do código de MRMC, também conhecido por ’transporte global’, é apre-
sentado no capítulo 4.
A metodologia adotada para os testes que inclui a geometria e os parâmetros das simulações
estão no capítulo 5, assim como a metodologia usada para a análise dos resultados.
No capítulo 6 estão os resultados e as discussões dos espectros de elétrons obtidos.
No capítulo 7 encontram-se as conclusões. Nos apêndices e no anexo temos informações
complementares diversas.
23
2 Noções teóricas
Neste capítulo são apresentadas algumas noções teóricas sobre a simulação pelo método
Monte Carlo e algumas técnicas de simulação do transporte e interação dos elétrons.
2.1 A simulação pelo método Monte Carlo
A função distribuição de probabilidade associa uma probabilidade, Pr, a cada intervalo
numérico (18). A função distribuição de probabilidade de uma variável X pode ser unicamente
descrita por:
F (x) = Pr[X ≤ x] (2.1)
Onde F (x) é a função distribuição cumulativa de X. Se esta função não possui nenhuma
discontinuidade, podemos descreve-la por meio de uma função densidade de probabilidade f (t)
assim:
F (x) =
x
−∞
f (t)dt (2.2)
Onde a função densidade de probabilidade é sempre positiva em todo o seu domínio e
normalizada,
∞
−∞
f (t)dt = 1.
Assim, a probabilidade de ocorrer um evento x no intervalo [a,b] é dada por:
24
Pr[a ≤ x ≤ b] =
b
a
f (t)dt (2.3)
2.1.1 Aplicação ao transporte de partículas
De uma maneira simplificada, a simulação do transporte e interação de partículas em meios
materiais, compreende os seguintes passos:
1. Amostrar a posição da interação;
2. Amostrar o tipo de interação;
3. Amostrar o estado final da(s) partícula(s).
Na primeira etapa determinamos a posição onde ocorre a interação da partícula ao longo de
sua trajetória. Em seguida determinamos a interação que irá ocorrer, que é dependente do tipo
de partícula, sua energia cinética e do meio material. Por último, determinamos o estado final
da partícula que, dependendo do tipo de interação, podem levar a criação ou aniquilação de de
partículas.
A probabilidade p(t)dt de interação de uma partícula ao longo do transporte é dada por:
p(t)dt =
1
λ
·e
−
t
λ
dt (2.4)
Onde
λ
é o caminho livre médio da partícula no meio material. Por meio dessa probabili-
dade obtemos a seguinte função distribuição cumulativa:
F (x) =
x
0
1
λ
·e
−
t
λ
dt (2.5)
Observe que, a função densidade de probabilidade já está normalizada,
∞
0
1
λ
·e
−
t
λ
dt = 1.
25
A simulação do transporte da partícula pelo método Monte Carlo consiste, primeiramente,
em saber em que posição, x, ela irá interagir. Para amostrar a posição de interação precisamos
inverter a equação 2.5, assim temos:
x = −
λ
ln(1−F (x)) (2.6)
Observe agora que F (x) está como variável independente contida no intervalo [0,1[. Esta
é a base do chamado método direto (7), em que F (x) =
ξ
, sendo
ξ
um número aleatório uni-
formemente distribuído no mesmo intervalo. Assim, a equação 2.6 pode ser reescrita como:
x = −
λ
ln(1−
ξ
) (2.7)
Se
ξ
é um número aleatório uniformemente distribuído no intervalo [0,1[, 1−
ξ
também
é, mas no intervalo ]0,1]. Assim, podemos substituir 1 −
ξ
por
χ
, sendo que este último é
um número aleatório uniformemente distribuído em ]0,1], e assim reescrevemos a equação 2.7
como:
x = −
λ
ln(
χ
) (2.8)
A amostragem do tipo de interação leva em conta as probabilidades de cada processo em
relação à probabilidade total de todos os processos. O estado final da partícula é amostrado de
acordo com o tipo de interação ocorrido.
2.2 As interações dos elétrons com o meio material
Neste trabalho estamos interessados especialmente nas interações dos elétrons com o meio
material. Os processos relevantes são: espalhamento coulombiano, produção de raios delta,
emissão de radiação por bremsstrahlung e aniquilação de pares elétron-pósitron.
26
Espalhamento coulombiano Quando um elétron atravessa a matéria ele sofre um grande
número de colisões com os elétrons das camadas mais externas do átomo, onde as trocas de
energia são pequenas. Neste processo também podem ocorrer excitação e ionização dos átomos.
Existe outro tipo de espalhamento coulombiano, que ocorre quando o elétron interage com o
núcleo do átomo. Na maioria destes casos o espalhamento é elástico e responde por mudanças
bruscas na trajetória do elétron (19).
Produção de raios delta A interação do elétron com as camadas eletrônicas internas do
átomo leva a extração de um elétron atômico, criando o chamado raio delta. Neste processo
podem ocorrer grandes trocas de energia (19).
Emissão de radiação por bremsstrahlung Cerca de 2 a 3% das interações do elétron com o
núcleo são inelásticas e produzem fótons chamados de bremsstrahlung. Neste processo também
podem ocorrer grandes trocas de energia (19).
Aniquilação de pares elétron-pósitron Ocorre quando um pósitron é aniquilado no encon-
tro com um elétron. Este processo não será abordado neste trabalho, porque, sendo o feixe
incidente composto por elétrons, a probabilidade de aniquilação de pares dentro das esferas
envolve a probabilidade de produção de fótons por bremsstrahlung, condicionada a probabili-
dade de produção de pares elétron-pósitron e sua conseqüente aniquilação, tudo isso dentro de
esferas de raio menores que 1 cm.
2.3 Os algoritmos de história condensada de elétrons
Simular cada um dos eventos para fótons, cujo caminho livremédio é da ordem de centíme-
tros, é o método mais comum empregado atualmente. No entanto, para elétrons, cujo caminho
livre médio é da ordem de micras, a simulação do transporte até que o mesmo tenha energia
cinética nula podem ser necessários centenas de milhares de interações (19). Por este motivo,
uma simulação que envolva o transporte de elétrons pode exigir várias horas de cálculo com-
27
putacional. A fim de reduzir os tempos de simulação foram desenvolvidas técnicas alternativas
para o transporte dos elétrons.
A história condensada de elétrons consiste em simular o transporte do elétron através de
passos maiores que seu caminho livre médio. Após o elétron ser transportado por um determi-
nado trecho, são feitas correções no caminho percorrido, deslocamento lateral, direção e perda
de energia. Os múltiplos desvios sofridos pelo elétron, durante o transporte, são corrigidos pelo
algoritmo de múltiplo espalhamento coulombiano (Multiple Scattering - MSC), e as perdas de
energia computadas pela perda contínua de energia (19–21), dE/dx. Contudo, existem códigos
de simulação que dispensam o uso dessas aproximações e implementam todos os detalhes do
transporte de elétrons, tais programas são conhecidos por história detalhada ou Single Scatter-
ing.
Os programas de simulação que usam o algoritmo de história condensada foram agrupados
em duas classes por Berger ((22) apud (21)).
Os de classe I transportam o elétron por meio de passos de comprimentos pré-determinados.
Usualmente esse passo é ajustado para que a fração de energia transferida ao meio material seja
constante. Após o transporte, procede-se às correções citadas anteriormente. A desvantagem
deste método é que não são modelados os efeitos onde ocorrem grandes trocas de energias, tais
como fótons por bremsstrahlung ou raios delta. As correções para o transporte dos elétrons
limitam-se a desvios laterais e a correção da trajetória, assim como a perda de energia por
dE/dx.
Os de classe II são conhecidos como algoritmos mistos porque, além de transportarem
os elétrons da mesma maneira que os de classe I, também modelam eventos onde há grandes
perdas de energias (bremsstrahlung e raios delta). A técnica de inclusão desses efeitos é análoga
à apresentada na seção 2.1. Os tempos de simulação exigidos pelos programas de classe II são
fortemente dependentes dos valores ajustados para o limiar de produção de secundários (fótons
e elétrons), e tipicamente maiores que os de classe I.
A seguir veremos alguns dos modelos de história condensada e suas aplicações.
28
2.3.1 O modelo de Molière
O modelo de Molière ((23) apud (24)) é uma aproximação que considera que, ao longo da
trajetória do elétron, tenha ocorrido pelo menos 20 colisões elásticas e que o ângulo de espalha-
mento não tenha sido maior que 20 graus. Esta limitação decorre da aproximação sen
θ
≈
θ
. O
EGS4 implementa uma versão do modelo de Molière modificado por Bethe (7, 24).
2.3.2 O modelo de Goudsmit-Saunderson
O modelo de Goudsmit-Saunderson não é uma aproximação para pequenos ângulos, mas
uma expansão em séries de polinômios de Legendre. Por meio dele, podemos saber exatamente
o ângulo de espalhamento independentemente do número de colisões elásticas que ocorreram
durante o passo. A limitação deste modelo está justamente na expansão polinomial, que pode
exigir muitos termos do polinômio de Legendre, quando o passo do elétron é bastante reduzido.
Por exemplo, em situações onde o passo é da ordem de 20 caminhos livre médio, foram reporta-
dos que são necessários até 999 termos em materiais como o carbono e o ouro ((25) apud (17)).
Este modelo é implementado no EGSnrc.
2.3.3 O modelo de Lewis
O modelo de Lewis é um outro tipo de aproximação para o transporte de elétrons através de
meios materiais. Este modelo é capaz de prever, após o deslocamento da partícula, seu desvio
lateral e sua distribuição angular (26). No Geant4 está implementado uma modificação deste
modelo feita por Urbán (10, 27). Embora esta esteja baseada em um modelo mais completo que
o de Molière, a mesma apresenta uma limitação a ser considerada: a espessura do material em
que a partícula é transportada deve ser maior que um milésimo do comprimento de radiação,
X
0
, do mesmo (28).
29
2.4 Os métodos Local-to-Global Monte Carlo
O método Local-to-Global Monte Carlo (LGMC) consiste em usar dados de funções dis-
tribuição de probabilidade que representam uma mudança no espaço de fase dos elétrons de
saída de geometrias que possam ser consideradas um elemento de volume (17). O cálculo local
consiste na simulação dessas funções distribuição de probabilidades em diversas energias inici-
ais e em vários tipos de materiais, compondo uma base de dados. O cálculo global compreende
a simulação do transporte das mesmas partículas na geometria final, amostrando suas posições,
direções e energias a partir das funções distribuição de probabilidade previamente simuladas e
armazenadas em uma base de dados.
Este método foi originalmente proposto por Mackie e Battista ((29) apud (17)) em 1984, sob
o nome de Macro Monte Carlo, onde as funções distribuição de probabilidade seriam obtidas
da simulação dos elétrons em voxels cúbicos
1
.
A seguir são descritos, brevemente, os seguintes algoritmos LGMC encontrados na litera-
tura: Phase-space evolution Monte Carlo (Evolution), Macro Monte Carlo (MMC), Response
History Monte Carlo (RHMC) e o Macro Response Monte Carlo (MRMC).
2.4.1 Phase-space evolution Monte Carlo
Este algoritmo desenvolvido por Scora e Faddegon (30) implementa a idéia original de
Mackie e Battista (29), usando voxels cúbicos de 0,5 cm de extensão, de onde obtém-se o
espaço as funções distribuição de probabilidade do fase dos elétrons simulados pelo EGS4. Os
autores reportaram diferenças nas doses absorvidas de até 4%, porém o tempo computacional
necessário para as simulações foi cerca de duas vezes maior que o EGS4. Outro ítem importante
apontado pelos autores foi o tamanho da base de dados ocupado por apenas um tipo de material,
cerca de 60 MB. A figura 1 mostra como é feito a simulação de um voxel para a obtenção do
espaço de fase.
1
Este Macro Monte Carlo não é o mesmo mencionado no capítulo anterior, conforme será explicado mais
adiante nesta mesma seção.
30
e
−
de saída
e
−
Face de entrada
Figura 1: Geração das funções distribuição de probabilidade, onde temos indicado o feixe de elétrons
incidente e suas saídas.
2.4.2 Response History Monte Carlo
Este algoritmo foi desenvolvido por Ballinger (16) e simula as funções distribuição de pro-
babilidades dos elétrons em hemisférios por um código de história detalhada. O autor justifica a
utilização dos hemisférios através de três pontos: não perde-se muito tempo de simulação local
transportando os elétrons retroespalhados, é possível acoplar um hemisfério logo na entrada do
elétron por uma interface, existe uma ’correlação’ espacial entre os caminhos percorridos por
todos os elétrons e a dose depositada no meio. Na figura 2 temos um esquema em que podemos
ver como são obtidos as funções distribuição de probabilidades em hemisférios e na figura 3 um
exemplo de como é feito o transporte neste sistema.
31
e
−
Figura 2: Método de simulação das funções distribuição de probabilidades em hemisférios, indicando o
elétron incidente e suas saídas.
e
−
Figura 3: Exemplo do método de transporte RHMC usando hemisférios.
2.4.3 Macro Monte Carlo
O MMC foi desenvolvido por Neuenschwander e Born (14) usando esferas (kugels) para
obter as funções distribuição de probabilidade dos elétrons transportados pelo EGS4. Na fi-
gura 4 temos um esquema de como são simuladas as funções distribuição de probabilidade,
e na figura 5 um exemplo do transporte por este método, onde as setas indicam a direção de
saída dos elétrons de cada kugel. Os tempos de simulação com o MMC foram de 10 a 18 vezes
menores que os do EGS4 (15).
32
e
−
Figura 4: Geração das funções distribuição de probabilidades em um kugel do MMC, indicando o elétron
incidente e suas saídas.
e
−
incidente
Figura 5: Exemplo de transporte de um feixe incidente de elétrons por kugels pelo método MMC.
2.4.4 Macro Response Monte Carlo
O MRMC foi implementado por Svatos (17) e também faz uso dos kugels para obter as
funções distribuição de probabilidade dos espaços de fase. Neste caso, destacamos dois pon-
tos que diferem do MMC: as simulações locais iniciam-se no centro do kugel, figura 6, e foi
utilizado um algoritmo de simulação detalhada para o transporte dos elétrons. Na figura 7 te-
mos um exemplo do transporte pelo método MRMC, onde as setas indicam a direção de saída
dos elétrons de cada kugel. Os resultados para a dose absorvida, calculados por este modelo,
33
quando comparados aos de um algoritmo de história detalhada, são bons. No entanto, os tem-
pos de simulação são aproximadamente o dobro dos outros programas de simulação por história
condensada de elétrons.
e
−
Figura 6: Geração das funções distribuição de probabilidades em um kugel do MRMC, indicando o
elétron incidente e suas saídas.
e
−
Figura 7: Exemplo de transporte de um feixe incidente de elétrons por kugels pelo método MRMC.
34
3 Geração da base de dados de kugels
Neste trabalho geramos uma base de dados para cada tipo de tecido ou material testado. Os
materiais usados foram: água, tecido mole e osso compacto, cujas composições atômicas estão
no anexo A.
Cada base de dados é composta por um conjunto de kugels de vários diâmetros e diversas
energias. Um kugel é definido em uma única energia e com um único raio, sendo composto por
um conjunto de histogramas das funções distribuição de probabilidade para a posição, direção
e a energia das partículas que deixam o kugel.
Todas as simulações da base de dados usam 5×10
5
histórias para cada kugel. No apên-
dice A temos as funções distribuição de probabilidade de um kugel de água com 0,25 mm de
raio e 1,33 MeV de energia incidente.
3.1 A escala de energia e os raios dos kugels
A escolha de um intervalo logarítmico entre as energias da base de dados permite um es-
paçamento maior nas energias altas enquanto mantém um espaçamento menor nas mais baixas.
Adotamos a razão entre energias consecutivassugeridapor Svatos (17), (E
n
−E
n−1
)/E
n
≃0.25,
no entanto os valores e a faixa de energia implementados neste trabalho são diferentes daquele
implementado por Svatos. As energias aqui dotadas e sua posição na base de dados são mostra-
das no gráfico da figura 8, sendo o limite inferior de 178,00 keV e superior de 31,63 MeV.
35
Energia (MeV)
0 5 10 15 20 25 30
Posição na base de dados de kugels
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Escala de energia dos kugels e a energia inicial usada nos testes
Figura 8: Energias adotadas para as simulações dos kugels.
Os raios escolhidos para compor a base de dados de kugels foram: 0,025; 0,050; 0,100;
0,250; 0,500 e 1,000 cm.
3.2 O cálculo local
A base de dados obtida por Svatos (17) foi gerada pelo programa chamado CREEP (31).
Este programa faz a simulação detalhada do transporte de elétrons, porém não faz o transporte
e interação dos fótons. O trabalho desenvolvido por Neuenschwander e colaboradores (14, 15)
mostra que é possível o uso de códigos de história condensada de elétrons para a geração dos
kugels. Na falta de um programa de simulação detalhada de elétrons adotaremos o Geant4, que
faz o transporte dos elétrons usando história condensada (10).
Quando utilizamos um código de história condensada de elétrons para a simulação de um
kugel encontramos certas limitações a serem observadas, a principal delas é a menor dimensão
geométrica que o código garante o resultado sem desvios sistemáticos. A limitação da espessura
36
dos materiais no Geant4 está no algoritmo de MSC que, de acordo com Urbán (27, 32), é de
um milésimo do comprimento de radiação do material. Para a água em sua densidade padrão,
o limite de espessura dado pelo modelo MSC implementado no Geant4 é de aproximadamente
360
µ
m, e para o osso compacto de cerca de 165
µ
m, conforme dados disponíveis no anexo A.
No entanto, com a finalidade de uniformizar a base de dados, utilizamos como menor raio
250
µ
m, tanto para a água quanto para o tecido mole e o osso compacto. Os parâmetros usados
nas simulações dos kugels estão no apêndice C.
3.3 A estrutura do kugel
Todos os ítens descritos a seguir fazem parte dos histogramas de distribuição de probabili-
dade do kugel no cálculo local. Esses histogramas são normalizados pelo número de partículas
incidentes, exceto quando indicado no texto.
3.3.1 As bandas do kugel
A região mais provável de saída dos elétrons é voltada para a direção inicial dos elétrons pri-
mários (região frontal). Este fato leva a uma distribuição com uma estatística melhor na região
frontal em detrimento da região de retroespalhamento. Uma maneira de corrigir este problema
é sub-dividir o kugel em bandas, onde cada banda deve possuir um conjunto completo de his-
togramas. Apenas os códigos RHMC e MRMC usam essa estrutura de bandas para agrupar as
partículas de saída (17, 33). A estrutura de bandas usada neste trabalho segue a sugerida por
Svatos (17), onde o kugel é sub-dividido em 4 bandas, figura 9, cuja projeção dessas bandas no
eixo Z normalizada pelo raio do kugel (z/R
kugel
) corresponde a:
Banda 1: 1,00 −→0,98;
Banda 2: 0,98 −→0,80;
Banda 3: 0,80 −→0,40;
Banda 4: 0,40 −→−1,00.
37
y
z
Banda 3
Banda 2
Banda 1
Banda 4
Figura 9: Esquema ilustrativo da estrutura de bandas do kugel.
Para os fótons usamos uma única banda com 100 canais que cobre todo o kugel, uma vez
que a criação de fótons é relativamente pequena, a estatística dos histogramas será melhor
quanto menor o número de canais usados.
A probabilidade de ocorrência de cada banda é dada pela integral dos histogramas do cos-
seno de posição, definida na seção 3.3.2. A fim de reduzir o tempo de computação do código
global, essas probabilidades são armazenadas em um histograma apropriado. Para os elétrons
primários, temos um histograma de probabilidades das bandas 0 a 4, onde a banda 0 representa
a probabilidade P
0
do elétron primário não sair do kugel, calculada a partir da equação 3.1,
uma vez que esses elétrons, por uma questão de tempo computacional, não são registrados. Os
elétrons secundários e os fótons não possuem a banda 0, pois são contabilizados somente ao
saírem do kugel.
P
0
= 1−
4
∑
i=1
P
i
(3.1)
Os elétrons primários precisam de 5 histogramas por banda para serem corretamente descri-
tos, são eles: um de posição, um de energia, dois de direção e um que descreve a probabilidade
de ocorrência das bandas. Os elétrons secundários, além desses histogramas, necessitam de um
38
outro histograma que indica o número médio de secundários saindo do kugel. Os fótons, que
por serem descritos por uma única banda de saída, necessitam das mesmas informações que os
elétrons secundários, exceto pelo histograma que descreve a probabilidade de ocorrência das
bandas. Portanto, para a descrição completa de um kugel necessitamos de 5 (×4 bandas) histo-
gramas para os elétrons primários, 6 (×4 bandas) para os elétrons secundários e 5 (×1 banda)
para os fótons, totalizando 49 histogramas.
3.3.2 O cosseno da posição de saída
A posição de saída da partícula com referência ao eixo Z é normalizada pelo raio do kugel,
z/R
kugel
, e registrada em histogramas de 100 canais para cada banda. Portanto são 400 canais
de registro de posição de saída em todo o kugel.
Não é necessário armazenar as outras variáveis de posição x e y, devido a existência da si-
metria de rotação em torno do eixo Z, que será devidamente explorada pelo código de transporte
global no capítulo 4.
3.3.3 A energia de saída
A energia de saída de cada partícula E
saida
é normalizada pela energia inicial do elétron
primário e armazenada em histogramas de 100 canais para cada banda. Portanto estes histogra-
mas são definidos no intervalo [0,1]. A única exceção a esta regra são os elétrons secundários,
que, por definição, possuem até metade da energia do elétron primário, por isso usamos um
histograma com apenas 50 canais para o intervalo [0, 0,5].
3.3.4 A direção de saída das partículas
A escolha de um sistema de referência para a descrição da direção de saída das partículas
é de fundamental importância para a base de dados de kugels, porque uma escolha inadequada
pode, por exemplo, exigir muita memória ou mesmo não descrever com precisão as direções de
saída das partículas. O sistema de referência escolhido é o mesmo utilizado por Svatos (17).
39
N
O
e
P
P
n−1
P
n
R
1
Figura 10: O vetor
R
1
de saída da partícula e os novos eixos de referência
P,
N,
O
.
N
O
P
O
R
1
dcp
dco
dcn
φ
µ
Figura 11: Diagrama do vetor
R
1
da direção de saída da partícula e sua decomposição em componentes
dcn, dco e dcp.
Os eixos do novo sistema de referência são mostrados nas figuras 10 e 11. O vetor
N é
unitário e normal à superfície da esfera na posição de saída da partícula,
O é o vetor unitário
40
perpendicular a
N que intercepta o eixo Z, no referencial do kugel, em z
0
; e
P é dado pelo
produto vetorial apresentado a seguir:
P =
N ×
O (3.2)
O vetor de direção
R
1
é então descrito nessa nova referência, com suas projeções dadas por:
dcn =
R
1
·
N (3.3)
dco =
R
1
·
O (3.4)
dcp =
R
1
·
P (3.5)
Sendo o vetor
R
1
unitário, dcn
2
+dco
2
+dcp
2
= 1, apenas duasvariáveis são independentes
e precisam ser armazenadas para descrever o vetor
R
1
corretamente. No entanto, a amostragem
do vetor de direção de saída pelo código global exigiria uma função de densidade de probabi-
lidade condicional, isto é, temos uma probabilidade associada ao dcn dada por P[dcn] e uma
probabilidade condicionada ao dco pelo resultado da amostragem de dcn, P[dco;dcn]. Tal fato
leva a uma redução do desempenho do código de transporte global, bem como a um aumento
considerável na memória utilizada, pois exigiria um histograma de probabilidade de dco para
cada canal do histograma de dcn. A fim de evitar este problema recorremos às coordenadas es-
féricas, com as quais podemos descrever uma direção por meio dos ângulos azimutal (
µ
) e polar
(
φ
), figura 11. Neste sistema de referências devemos apenas armazenar o cosseno da elevação
do plano tangente ao kugel, cos
µ
, e um dos cossenos diretores que, no esquema mostrado pela
figura 11, é dado por sen
φ
= dcp. A expressão para o cos
µ
é dada por:
cos
µ
=
dco
√
dco
2
+ dcn
2
=
dco
1−dcp
2
(3.6)
Pela equação 3.6 temos a correlação entre dco e dcp quando armazenamos o cos
µ
.
41
3.3.5 O número médio de elétrons secundários e fótons saindo do kugel
Com o objetivo de saber o número de elétrons secundários e o número de fótons produzidos
dentro do kugel, armazenamos o número médio dessas partículas em um histograma como
função da energia de saída do elétron primário. Note que é importante saber essa quantidade
mesmo quando o elétron primário não deixa o kugel (banda 0).
3.4 O formato da base de dados kugel
A base de dados kugel é armazenada no formato de arquivo ROOT com compactação nível
1, que representa a melhor relação desempenho/espaço em disco (34). Este formato permite
que sejam armazenados objetos instanciados
1
por classes pertencentes ao ROOT ou classes
derivadas criadas pelo usuário. Este trabalho usa várias classes do ROOT, tanto no código
de simulação local quanto no global. Por este motivo escolhemos o formato ROOT para o
armazenamento da base de dados de kugel.
Em cada arquivo temos uma descrição completa de um determinado tipo de material ou
tecido contendo os histogramas descritos neste capítulo, bem como as informações adicionais
da escala de energia, dos raios dos kugels e tabelas de Stopping Power total.
O tamanho final dos arquivos da base de dados de cada material ocupa menos que 3 MB
em disco, e quando descompactado e carregado na menória, menos que 15 MB.
1
Instanciar: Ato de criar objetos pertencentes a determinadas classes (orientação a objeto). Uma classe está
para um tipo de dado assim como a variável está para a classe.
42
4 O Método de transporte MRMC
O transporte MRMC consiste em utilizar o maior passo possível para os elétrons. O passo
neste caso é o kugel, mais precisamente o passo seu raio. É através do kugel que o sistema amos-
tra a posição, direção e energia de saída do elétron primário e das partículas secundárias, caso
existam. Esta etapa é também chamada de transporte global, em complementação à simulação
da base de dados chamada de transporte local.
A seqüência compreendida pelo método de transporte MRMC é a seguinte:
1. Encontrar o kugel mais adequado (energia e raio);
2. Amostrar a saída do elétron primário (posição e momento);
3. Amostrar o número e o tipo de partículas secundárias e seus
respectivos estados de posição e momento.
Na figura 12 temos uma ilustração do transporte pelo método MRMC implementado neste
trabalho. No topo desta figura observamos o elétron incidente que é transportado usando o
maior kugel possível, desde que o mesmo não cruze nenhuma interface entre meios materiais.
Quando o elétron encontra-se próximo a uma interface entre materiais diferentes e o sistema
não encontra um kugel cujo raio não a ultrapasse, o elétron passa a ser transportado em linha
reta, e a perda de energia é computada pelo Stopping Power total. Para este trabalho não foram
implementadas as correções devido ao MSC.
A figura 12 também ilustra a produção de secundários. Os elétrons secundários são trans-
portados da mesma forma que os primários. A simulação da interação de fótons com o meio
43
material não foi implementada, por esse motivo os fótons são transportados em linha reta até
saírem da geometria.
Fótons
Elétron Secundário
Elétron Primário
Elétron Incidente
Figura 12: O método de transporte global do MRMC.
4.1 A implementação do sistema de transporte global
O método de transporte global MRMC compreende o transporte do elétron primário por
meio de kugels, bem como a geração e transporte dos elétrons secundários.
Para mostrar como funciona o sistema implementado do transporte de partículas usamos a
linguagem chamada Unified Modeling Language (UML). Nesta seção usamos o diagrama de
atividade para mostrar a lógica de ações no transporte das partículas. No apêndice D temos os
44
diagramas das principais classes do MRMC, mostrando as inter-relações das mesmas, também
descritos em UML.
No diagrama de atividade mostrado na figura 13 temos a representação da seqüência lógica
de um evento. O evento inicia-se com a inserção na pilha de partículas da partícula primária,
que no caso do MRMC implementado é sempre um elétron. A seguir o sistema retira a partícula
da pilha e atualiza a posição da mesma na geometria. Se esta partícula for um fóton, ela será
transportada sem interação até sair da geometria. Caso seja um elétron, ela entrará no sistema
de simulação MRMC. Se esta partícula possuir energia acima do cutoff de energia e estiver
dentro da geometria, o sistema passa para a seção de transporte de elétrons. Caso exista algum
kugel disponível o transporte será feito pelo método MRMC usando o kugel selecionado. Caso
não exista nenhum kugel com raio menor ou igual a distância entre a partícula e a interface mais
próxima, o transporte será feito em linha reta até a interface corrigindo a energia pela perda
contínua de energia. A disponibilidade de kugels é determinada pela energia do elétron em
questão, que deve estar entre as existentes na base de dados, e também pelos raios dos kugels,
pois um kugel nunca deve transpor uma interface. Quando o transporte é feito usando os kugels,
existe a possibilidade da geração de secundários, que tanto podem ser fótons ou elétrons. Se
forem geradas partículas secundárias, estas serão imediatamente inseridas na pilhade partículas.
Os elétrons são sempre transportados até saírem da geometria de interação, definida com o
auxílio do pacote de geometria do ROOT, ou até sua energia ficar abaixo do limite inferior de
energia (cutoff) definido na simulação, quando então tal partícula é rotulada como “MORTA”.
Ao término do transporte do elétron primário, o sistema retira a próxima partícula da pilha
e repete o ciclo apresentado no diagrama 13.
O gerador de números aleatórios escolhido foi o Mersenne Twister, que possui uma peri-
odicidade de 2
19937
−1 e produz distribuições equiprováveis em até 623 dimensões (35). A
implementação usada deste gerador neste trabalho é a que está na biblioteca ROOT (34).
45
Atualizar a posição da partícula
Transportar sem Interação
Extrair uma partícula da pilha
Fim Do Evento
Partícula Morta
Transportar por CSDA
Encontrar Kugel
Transportar usando o Kugel
Caso exista, inserir novas part. na pilha
Energia < cutoff
Energia >= cutoff
Kugel NÃO disponível
Kugel disponível
Partícula dentro da goemetria
Partícula fora da geometria
Partícula = elétron
Partícula = fóton
Partícula ativa retirada da pilha
Partículas na pilha = 0
Figura 13: Diagrama UML de atividade do sistema de transporte MRMC.
46
A descrição da geometria e o sistema de transporte foram implementados usando o pacote
de geometria da biblioteca ROOT. Esta biblioteca possui classes base para a construção de
programas de transporte de partículas.
Nas seções seguintes são descritas em detalhes as etapas do transporte global MRMC im-
plementado.
4.1.1 A escolha do kugel
Para a determinação do kugel são necessários os seguintes passos:
1. determinação da energia a ser usada;
2. escolha do raio do kugel na energia selecionada.
Esta ordem se deve ao fato de que não encontramos todos os raios listados na seção 3.1 em
todas as energias de kugel. Em algumas combinações raio-energia a probabilidade de saída do
elétron primário (o de maior energia) é muito pequena, elevando a incerteza estatística. Além
disso, os tempos de simulação nos casos em que os primários têm pouca chance de saírem do
kugel também são consideravelmente maiores. Por todos esses motivos, as energias mais baixas
podem não ter, em sua base de dados, os raios maiores, porém sempre terão pelo menos o menor
raio.
A escolha da energia segue uma interpolação linear-logarítmica estocástica dada pela equa-
ção 4.1, conforme apresentada por Svatos (17).
χ
>
logE
+
−logE
logE
+
−logE
−
(4.1)
Sendo E a energia do elétron a ser transportado, e E
+
e E
−
as energias existentes na base de
dados kugel imediatamente superior e inferior a E, respectivamente.
χ
é um número aleatório
contido no intervalo [0, 1[. Caso o número aleatório escolhido satisfaça a expressão 4.1, a
energia escolhida será E
+
, caso contrário será E
−
. Por este motivo, para que o transporte do
47
elétron seja feito usando o método MRMC, deve sempre haver pelo menos um kugel de energia
superior e outro de energia inferior à energia do elétron a ser transportado. As energias da
base de dados são mostradas na figura 8 da seção 3.1. O caso especial em que a energia E
coincide exatamente com alguma energia da base de dados é tratada de forma trivial, embora a
probabilidade de ocorrência seja muito pequena.
Após a escolha da energia o sistema encontra o raio do kugel, que é sempre o maior possível
desde que não ultrapasse nenhuma interface entre materiais.
4.1.2 Amostrando as saídas do kugel
Esta é a parte mais importante do transporte MRMC, a amostragem do estado final do
transporte do elétron e de seus secundários. A amostragem se dá através dos histogramas arma-
zenados no kugel, e logo em seguida ocorre a mudança do referencial local para o global das
partículas amostradas. Os histogramas de um kugel são descritos no capítulo 3 e um exemplo
desses histogramas encontra-se no apêndice A. O procedimento para a amostragem do estado
final do kugel é mostrado na figura 14.
A determinação do estado final do kugel começa com a amostragem da banda de saída
do elétron primário, a seguir temos a amostragem da posição, direção e energia de saída do
mesmo elétron primário. As posições de saída amostradas pelo kugel estão sempre no sistema
de referência centrado no kugel (local), por isso todas as posições amostradas são transladadas
para o referencial global usado pelo pacote que descreve a geometria do objeto simulador. Após
amostrado o estado final do elétron primário o sistema passa para a determinação da quantidade
de secundários. Primeiramente, é amostrado o número de elétrons secundários. A seqüência de
amostragem do estado final dos elétrons secundários segue a mesma linha que para o primário:
amostrar a banda de saída, em seguida a posição, direção e energia. Além disso, é necessário
mais um passo, adicionar os secundários à pilha de partículas, para que eles sejam transportados
posteriormente. A seqüência de amostragem do número de fótons e seu estado final segue
a mesma seqüência apresentada para os elétrons secundários, exceto pelo fato de que não é
48
Adicionar a pilha
Adicionar a pilha
Referência
Local->Global
Direção de saída do fóton
Mudança de referência
Energia de saída do fóton
Fótons
Mudança de referência
Mudança de referência
Energia de saída do e- primário
Energia de saída do e- secundário
Direção de saída do e- primário
Nº de e- secundários
Direção de saída do e- secundário
Posição de saída do e- secundário
Elétrons Secundários
Posição de saída do e- primário
Banda de saída do e- primário
Nº de fótons
Elétron Primário
Posição de saída do fóton
Banda de saída do e- secundário
mais e- secundários
sem mais fótons
sem mais e- secundários
mais fótons
Figura 14: Diagrama de atividade da determinação do estado final do kugel.
49
amostrada a banda de saída, pois os fótons são registrados em apenas uma única banda que
cobre todo o kugel.
4.1.2.1 A banda de saída do elétron primário
A banda de saída é amostrada por meio de um histograma da probabilidades de saída do
elétron primário pelas bandas 0 a 4. A banda i escolhida é dada pela expressão 4.2.
4
∑
i=0
P
i
>
χ
(4.2)
Onde P
i
é a probabilidade cumulativa da banda i e
χ
é um número aleatório contido no
intervalo [0,1[.
4.1.2.2 A posição de saída do elétron primário
A componente z da posição de saída é amostrada por meio dos histogramas mostrados nas
figuras 66 a 69 do apêndice A, conforme a banda previamente selecionada. As componentes x
e y são determinadas pelas equações 4.3 e 4.4.
x =
R
2
kugel
−z
2
sen
θ
(4.3)
y =
R
2
kugel
−z
2
cos
θ
(4.4)
Sendo o ângulo
θ
amostrado por meio de uma distribuição de probabilidade uniforme con-
tida na intervalo [0,2
π
[, R
kugel
é o raio do kugel e z é o resultado da amostragem da posição de
saída do elétron primário.
Após determinado o vetor de posição de saída do elétron primário, o sistema realiza a
mudança de referencial do kugel (local) para o referencial da geometria (global).
50
4.1.2.3 A direção de saída do elétron primário
A determinação da direção de saída é um procedimento mais complexo que a determinação
da posição. Para obtermos a direção de saída, primeiro são amostrados os valores de dcp e cos
µ
armazenados no kugel. As outras componentes são obtidas por meio das equações 4.5 e 4.6.
dco = cos
µ
·
1−dcp
2
(4.5)
dcn = |dco|·
(1/cos
2
µ
) −1 (4.6)
Onde dcn é a projeção do vetor de direção do elétron no eixo normal
N, figura 11, e é
sempre positiva pois o elétron está saindo do kugel.
Com as equações 4.5 e 4.6, dcp e cos
µ
amostrados, obtemos o vetor de direção
R
1
de saída
do elétron no referencial normal à superfície do kugel, figura 3.2. No entanto, ainda não temos
a orientação desta referência mas apenas o seu eixo normal
N. A determinação dos eixos da
referência normal segue a mesma descrição apresentada na seção 3.3.4. Na seqüência, o vetor
de direção passa a ser descrito no sistema de referência do kugel e, posteriormente, convertido
para o sistema de referência da geometria.
4.1.2.4 A energia de saída do elétron primário
A energia de saída do elétron primário é determinada por uma amostragem do histograma
de energia da banda selecionada previamente. A energia de saída E
saida
do elétron primário é
dada pela equação 4.7, onde
ε
i
é a energia amostrada do histograma da banda i e E
inicial
é a
energia inicial do elétron que está sendo transportado na simulação global.
E
saida
=
ε
i
·E
inicial
(4.7)
51
4.1.2.5 As partículas secundárias
As partículas secundárias são amostradas por meio da distribuição de Poisson usando-se a
média do número de elétrons secundários/fótons saindo do kugel. A distribuição de Poisson
é utilizada por Svatos (17), que é uma boa aproximação se considerarmos que o número de
partículas secundárias que emergem do kugel é um evento raro (18).
O número médio de partículas secundárias (fótons e elétrons) é armazenado em histogramas
como função da energia e da banda de saída do elétron primário. Por este motivo, a amostragem
das partículas secundárias depende do resultado da banda de saída do elétron primário e de sua
respectiva energia. Nas figuras 82 e 83 do apêndice A, temos os histogramas referentes às
bandas 1 a 4 do número médio dos elétrons secundários saindo do kugel, e nas figuras 84 e 85
do mesmo apêndice os histogramas do número médio de fótons saindo do kugel para as bandas
1 a 4.
Após amostrado o número de secundários saindo do kugel, o sistema amostra a banda da
saída da partícula, equação 4.2 com o índice i do somatório entre 1 e 4. Para os fótons, que
são descritos por uma única banda, esse passo não é executado. Após determinada a banda de
saída, o sistema determina a posição da partícula na superfície do kugel, sua direção e respec-
tiva energia de saída. Para cada uma dessas variáveis temos um histograma específico, pois
estamos tratando de partículas secundárias, porém a metodologia de amostragem é exatamente
a mesma apresentada para o elétron primário. Este ciclo é repetido para cada uma das partículas
secundárias geradas.
4.2 O transporte eletrônico através de interfaces
Quando o sistema de busca de energias não encontra um kugel disponível, devido a distância
entre a partícula atualmente transportada e a interface mais próxima ser menor que o menor
raio existente na base de dados, ou porque a energia da partícula é menor que as energias
52
simuladas para a base de dados, o transporte eletrônico deve ser feito por outros métodos mais
convenientes.
Considerando que as distâncias não serão maiores que 250
µ
m, podemos aproximar o trans-
porte para uma linha reta e corrigir a energia cinética da partícula por meio da perda contínua de
energia, usando uma tabela de Stopping Power total. A tabela utilizada nesta implementação foi
a disponibilizada na internet pelo National Institute of Standards and Technology (NIST) (36).
Conforme mostrado no capítulo 6, esta pode ser considerada uma boa aproximação para ener-
gias acima de 5 MeV.
Ao atravessar uma interface, o elétron passa pelo processo descrito anteriormente duas
vezes, uma quando se aproxima da interface pela lado interno, e outra logo após atravessar a
interface, até que haja uma distância suficiente para que seja encontrado um kugel sem que o
mesmo cruze uma interface.
53
5 Metodologia dos testes do MRMC e da
análise de seus resultados
Neste capítulo apresentamos os tipos de objetos simuladores utilizados nos testes de com-
paração entre o MRMC e o Geant4, bem como a metodologia das análises usada neste trabalho.
Consideramos que o Geant4 já está validado para o transporte de elétrons (37, 38), por este
motivo não serão feitas comparações do MRMC com dados experimentais.
5.1 Os tipos de objetos simuladores testados
Foram testados objetos simuladores homogêneos dos três tipos de materiais que compõe a
base de dados, e três modelos de objetos simuladores heterogêneos.
Todas as geometrias utilizadas nos testes são cilíndricas. A geometria cilíndrica foi es-
colhida para facilitar a análise e discussão dos resultados. O pacote de geometria do ROOT,
empregado para a descrição dos objetos simuladores e como ferramenta auxiliar no transporte
das partículas, não é limitado apenas à cilindros ou outras geometrias simples (34), no entanto
não é o objetivo deste trabalho promover um extenso estudo dos tipos de geometrias e das
capacidades deste pacote.
5.1.1 O objeto simulador homogêneo
As dimensões dos objetos simuladores cilíndricos homogêneos de água e tecido mole, uti-
lizados neste trabalho, estão na tabela 1. Para o osso compacto as dimensões estão na tabela 2.
Essas dimensões foram escolhidas no intuito de promover uma quantidade razoável de intera-
54
ções dos elétrons com o meio material e, concomitantemente, conseguir uma boa estatística de
saída dos espectros frontais e laterais.
Tabela 1: Dimensões dos objetos simuladores homogêneos para água e tecido mole testados
Energias (MeV) Comprimento (cm) Raio (cm)
25 3,00 0,70
10 2,00 0,50
5 1,00 0,25
1 0,30 0,10
Tabela 2: Dimensões dos objetos simuladores homogêneos para o osso compacto
Energias (MeV) Comprimento (cm) Raio (cm)
25 3,00 0,70
10 2,00 0,50
5 1,00 0,25
1 0,10 0,10
5.1.2 O objeto simulador heterogêneo
A simulação da interação dos elétrons com um objeto simulador heterogêneo tem por ob-
jetivo avaliar o desempenho do MRMC em um sistema onde o algoritmo tem de lidar com
interfaces entre materiais de diferentes densidades e seções de choque, além das interfaces de
saída do objeto simulador.
Basicamente os objetos simuladores heterogêneos são constituídos por um cilindro externo
cujo material equivalente é água, e outro interno cujo material equivalente é osso compacto.
Os desenhos desses objetos simuladores encontram-se nas figuras 15 a 17, e suas dimensões
encontram-se nas tabelas 3 e 4.
55
Rin
Lin
Rex
Lex
Figura 15: Vista lateral do objeto simulador A.
Lin
Rin
Lex
Rex
Figura 16: Vista lateral do objeto simulador B.
56
Rex
Lex
Rin
A−A
Lin
A
A
Figura 17: Vista lateral e detalhe do corte transversal do objeto simulador C.
Tabela 3: Dimensões dos objetos simuladores A e B
Energias (MeV) Lex (cm) Rex (cm) Lin (cm) Rin (cm)
25 3,0 0,7 1,8 0,49
10 2,0 0,5 1,4 0,35
5 1,0 0,25 0,6 0,175
1 0,3 0,1 0,18 0,07
Tabela 4: Dimensões do objeto simulador C
Energias (MeV) Lex (cm) Rex (cm) Lin (cm) Rin (cm)
25 3,0 0,7 1,8 0,35
10 2,0 0,5 1,4 0,25
5 1,0 0,25 0,6 0,125
1 0,3 0,1 0,18 0,05
O objeto simulador A apresenta uma simetria em torno do eixo do cilindro externo e outra
perpendicular, tendo por objetivo avaliar o comportamento do MRMC quando a heterogenei-
dade está inserida no centro do objeto simulador. O objeto simulador B possui apenas simetria
no eixo do cilindro externo e seu o objetivo é testar o MRMC na situação em que as partículas
podem deixar o objeto simulador tanto pela interface com o osso compacto quanto pela inter-
face da água na região frontal. No objeto simulador C o eixo do cilindro de osso compacto
57
fica fora do eixo do cilindro de água, porém preserva-se a simetria perpendicular ao eixo dos
cilindros, e o objetivo desta configuração é testar o comportamento do MRMC no transporte de
elétrons na presença de uma interface paralela ao sentido do transporte do feixe primário. Esta
é uma geometria crítica para este tipo de implementação.
5.2 Metodologia das simulações
Os testes consistem em simular o transporte de um feixe estreito de elétrons através de um
meio material. O posicionamento do feixe incidente é perpendicular a uma das faces do cilindro
e coincidente com o eixo de simetria do cilindro externo, conforme mostra a figura 18.
e
−
retroespalhamento
espalhamento frontal
espalhamento lateral
espalhamento lateral
Figura 18: Ilustração do objeto simulador homogêneo com o feixe incidente externo de elétrons e as
regiões de saída.
Embora o pacote de geometria do ROOT seja capaz de começar a transportar o elétron
incidente a partir do meio exterior ao objeto simulador, os testes serão feitos com o elétron
incidente posicionado a 250
µ
m adentro do objeto simulador, a fim de eliminar o erro devido ao
transporte do elétron incidente pela interface de entrada sem a correção para o MSC, figura 19.
58
e
−
250
µ
m
Figura 19: Ilustração do objeto simulador homogêneo com o feixe incidente de elétrons posicionado
dentro do mesmo.
Todas as simulações foram feitas com 10
6
histórias, tanto no MRMC quanto no Geant4,
portanto não houve a necessidade de normalização dos histogramas. Os histogramas apresenta-
dos no capítulo 6 possuem 100 canais que se estendem de zero até a energia do elétron primário.
Os dados das simulações são histogramados durante a simulação, por este motivo todos histo-
gramas têm tamanho fixo.
As simulações foram feitas usando as energias 1, 5, 10 e 25 MeV para o feixe incidente
de elétrons. Essas energias foram escolhidas pois exigem, logo de início, duas características
do sistema de busca de kugels: interpolação logaritmo-linear estocástica para as energias de 5 e
25 MeV, e para as energias de 1 e 10 MeV busca direta, pois estas energias já estão disponíveis
na base de dados. Na figura 20 vemos o gráfico das energias disponíveis na base de dados kugel
e as energias escolhidas para o teste.
59
Energia (MeV)
0 5 10 15 20 25 30
Posição na base de dados kugel
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Escala de energia dos kugels e as energias iniciais escolhidas
Base de dados de kugels
Energias usadas nos testes
Escala de energia dos kugels e as energias iniciais escolhidas
Figura 20: Gráfico das energias disponíveis na base dados kugel e as energias usadas nas simulações.
O limiar no transporte dos elétrons (cutoff)noMRMC foi ajustado para 5 keV, enquanto que
no Geant4 foi de 1 keV. O limiar de produção de secundários no MRMC foi também ajustado
para 5 keV. No Geant4, esse parâmetro é dado pelo RangeCut, que foi ajustado para 100
µ
m,
o que equivale a aproximadamente 84 keV para a água e tecido mole, e 116 keV para o osso
compacto. Embora os ajustes de limiar de produção sejam muito diferentes entre o MRMC e o
Geant4, isto não deve representar problemas nas comparações, pois o Geant4 reduz esse limiar
de produção de secundários próximo às interfaces (32).
5.3 Metodologia da análise das simulações
Nos testes realizados são comparados os espectros dos elétrons que saem pelas faces frontal,
traseira (por onde entra o feixe incidente) e lateral do objeto simulador, conforme ilustrado na
figura 18. Embora o transporte de fótons tenha sido implementado, não faremos uma análise dos
60
espectros dos mesmos. Para cada simulação foram gerados 6 histogramas. Os erros mostrados
nos histogramas são os erros estatísticos da simulação.
Os ítens analisados neste trabalho foram: diferença na energia dos picos (∆E
pico
) e na
energia máxima (∆E
max
) dos espectros, e a diferença no número (contagem) de partículas dos
canais.
A determinação do posicionamento dos picos de energia nos espectros é feito pelo algo-
ritmo de determinação de picos de Morhac e colaboradores (39) implementado no ROOT (34).
O ∆E
max
é obtido através da diferença entre as energias máximas obtidas pelas simulações,
excluindo-se os canais onde a contagem de elétrons é menor que 100. A diferença nas energias
∆E
pico
e ∆E
max
é apresentada na forma percentual e relativa ao respectivo resultado obtido pelo
Geant4.
Os desvios médios nas contagens,
∆N, são calculados por meio do ajuste de um polinômio
de grau zero dos dados do gráfico de diferenças. Este gráfico de diferenças é computado através
do módulo da diferença entre o conteúdo dos canais e normalizado pelo histograma gerado pela
simulação feita pelo Geant4, equação 5.1.
∆N =
100
∑
i=1
|h
i
−g4
i
|
g4
i
×100% (5.1)
Onde h
i
é o conteúdo do canal i do histograma gerado pelo MRMC e g4
i
é o conteúdo do
canal i do histograma correspondente do Geant4.
61
6 Resultados e discussões
Neste capítulo são apresentados os espectros dos elétrons das regiões frontal, lateral e tra-
seira. Nas seções 6.1 e 6.2 temos os resultados para os objetos simuladores homogêneos e
heterogêneos, respectivamente. Os parâmetros utilizados para esses testes são descritos no ca-
pítulo 5.
6.1 Objeto simulador homogêneo
Apresentamos nesta seção os resultados para o objeto simulador homogêneo, figura 18.
Primeiramente analisaremos os dados dos espectros dos elétrons primários, e na seção 6.1.2
os espectros completos, contendo os elétrons primárias e secundárias. Com essa separação
poderemos compreender melhor como é composto os desvios nos resultados.
6.1.1 O espectro dos elétrons primários
Os espectros resultantes das simulações para as energias mencionadas na seção 5.2 são
apresentados nas figuras 21 a 28.
62
Energia (MeV)
0 5 10 15 20 25
Número de partículas
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Espectro frontal dos elétrons - 25MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 25 MeV
Figura 21: Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 25 MeV no objeto simulador de
água.
Energia (MeV)
0 5 10 15 20 25
Número de partículas
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 25MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 25 MeV
Figura 22: Espectro lateral de elétrons primários para feixe incidente de 25 MeV no objeto simulador de
água.
63
Energia (MeV)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de partículas
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Espectro frontal dos elétrons - 10MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 10 MeV
Figura 23: Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 10 MeV no objeto simulador de
água.
Energia (MeV)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de partículas
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 10MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 10 MeV
Figura 24: Espectro lateral de elétrons primários para feixe incidente de 10 MeV no objeto simulador de
água.
64
Energia (MeV)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro frontal dos elétrons - 5MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 5 MeV
Figura 25: Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 5 MeV no objeto simulador de
água.
Energia (MeV)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 5MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 5 MeV
Figura 26: Espectro lateral de elétrons primários para feixe incidente de 5 MeV no objeto simulador de
água.
65
Energia (MeV)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro frontal dos elétrons - 1MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 1 MeV
Figura 27: Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 1 MeV no objeto simulador de
água.
Energia (MeV)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 1MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 1 MeV
Figura 28: Espectro lateral de elétrons primários para feixe incidente de 1 MeV no objeto simulador de
água.
66
Tabela 5: Análise dos espectros primários referentes ao objeto simulador homogêneo de água
Ítem/Energia 25 MeV 10 MeV 5 MeV 1 MeV
∆E
pico
frontal 1,5±0, 7% 1,5±0,7% 1, 5±0, 7%. 11,9±1, 0%
∆E
max
frontal 2,6±0,6% 4,1±0, 7% 2,5±0, 7% 4,8±0,8%
∆E
pico
lateral 1,5±0,7% 1, 5±0,7% 1,5±0, 7% 6,1±0,8%
∆E
max
lateral 0,0±0, 5% 0,0±0,5% 1,2±0, 5% 4,6±0,6%
∆N frontal 22,0±0,1% 21,6±0,1% 25,7±0,1% 57,3±0,1%
∆N lateral 17,5±0,1% 11,7±0,1% 11,2±0,1% 61,8±0,1%
Conforme podemos observar, a qualidade dos resultados para a energia incidente de 1 MeV
é muito inferior às demais.
A quantidade relativa de partículas retroespalhadas em todas as simulações para a água foi
inferior a 0,6% das partículas incidentes e a estatística obtida não permite fazer as análises do
retroespalhamento.
Na tabela 5 temos a compilaçãodas análises para o objeto simuladorde água, onde podemos
ver que esta implementação do MRMC mantém praticamente a mesma qualidade dos resultados
de 25 MeV até 5 MeV, no entanto, perde precisão quando a energia do feixe incidente chega a
1 MeV.
Tabela 6: Análise dos espectros primários referentes ao objeto simulador homogêneo de tecido mole
Ítem/Energia 25 MeV 10 MeV 5 MeV 1 MeV
∆E
pico
frontal 1,2±0, 7% 1,5±0,7% 1, 5±0, 7%. 11,9±1, 0%
∆E
max
frontal 3,9±0,6% 4,1±0, 7% 2,7±0, 7% 3,2±0,8%
∆E
pico
lateral 1,2±0,7% 1, 5±0,7% 0,0±0, 7% 5,9±0,8%
∆E
max
lateral 0,0±0, 5% 1,1±0,5% 1,0±0, 5% 3,5±0,6%
∆N frontal 21,6±0,1% 20,1±0,1% 28,4±0,1% 68,5±0,1%
∆N lateral 18,0±0,1% 11,4±0,1% 11,0±0,1% 84,3±0,1%
67
O tecido mole possui seções de choque para elétrons muito semelhantes às da água, por este
motivo, os espectros assemelham-se aos da água e não serão apresentados. Os resultados das
análises para o objeto simulador homogêneo de tecido mole estão na tabela 6, onde podemos ver
que as análises para o objeto simulador de tecido mole são semelhantes aos do objeto simulador
de água, mostrados na tabela 5.
Os histogramas dos espectros primários para o objeto simulador de osso compacto são
mostrados nas figuras 29 a 36. Na tabela 7 estão os resultados das análises para este objeto
simulador.
Energia (MeV)
0 5 10 15 20 25
Número de partículas
2
10
3
10
4
10
Espectro frontal dos elétrons - 25MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 25 MeV
Figura 29: Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 25 MeV no objeto simulador de
osso compacto.
68
Energia (MeV)
0 5 10 15 20 25
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 25MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 25 MeV
Figura 30: Espectro lateral de elétrons primários para feixe incidente de 25 MeV no objeto simulador de
osso compacto.
Energia (MeV)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro frontal dos elétrons - 10MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 10 MeV
Figura 31: Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 10 MeV no objeto simulador de
osso compacto.
69
Energia (MeV)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de partículas
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 10MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 10 MeV
Figura 32: Espectro lateral de elétrons primários para feixe incidente de 10 MeV no objeto simulador de
osso compacto.
Energia (MeV)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro frontal dos elétrons - 5MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 5 MeV
Figura 33: Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 5 MeV no objeto simulador de
osso compacto.
70
Energia (MeV)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Número de partículas
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 5MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 5 MeV
Figura 34: Espectro lateral de elétrons primários para feixe incidente de 5 MeV no objeto simulador de
osso compacto.
Energia (MeV)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Espectro frontal dos elétrons - 1MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 1 MeV
Figura 35: Espectro frontal de elétrons primários para feixe incidente de 1 MeV no objeto simulador de
osso compacto.
71
Energia (MeV)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 1MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 1 MeV
Figura 36: Espectro lateral de elétrons primários para feixe incidente de 1 MeV no objeto simulador de
osso compacto.
Tabela 7: Tabela de análise dos espectros primários referentes ao objeto simulador homogêneo de osso
compacto
Ítem/Energia 25 MeV 10 MeV 5 MeV 1 MeV
∆E
pico
frontal 4,3±1, 1% 5,3±1,3% 4, 9±1, 2%. 1, 3±0,6%
∆E
max
frontal 1,8±0,9% 6,2±1, 0% 1,9±0, 9% 1,2±0,6%
∆E
pico
lateral 3,7±0,9% 1, 9±0,9% 3,2±0, 8% 1,7±0,8%
∆E
max
lateral 1,1±0, 5% 0,0±0,6% 1,2±0, 6% 0,0±0,6%
∆N frontal 15,2±0,1% 15,4±0,2% 19,9±0,1% 23,2±0,1%
∆N lateral 17,9±0,1% 8,5±0,1% 14,2±0, 1% 40,2±0,1%
Para o osso compacto temos, no máximo, 1,6% das partículas incidentes retroespalhadas, o
que ainda não permite uma análise dos espectros de retroespalhamento. Observamos também
que para o osso compacto a concordância entre o espectros com feixe incidente de 1 MeV é
maior que no caso da água e do tecido mole.
72
6.1.1.1 Discussão dos resultados dos espectros primários
Observando os espectros frontais e laterais para a água e o osso compacto, constatamos que
as diferenças entre as energias de pico, ∆E
pico
, e as energias máximas, ∆E
max
, não representam
adequadamente a concordância dos resultados do MRMC quando comparados aos do Geant4.
No entanto, os ajustes do polinômio de grau zero à diferença entre os espectros do MRMC e do
Geant4, equação 5.1, são mais representativos da qualidade da simulação. Nas figuras 37 e 38
temos os gráficos dos desvios médios para a água, tecido mole e osso compacto apresentados
nas tabelas 5 a 7.
Energia do feixe incidente (MeV)
0 5 10 15 20 25
Desvio médio relativo (%)
20
30
40
50
60
70
Comparação entre os desvios dos espectros frontais
Energia do feixe incidente (MeV)
0 5 10 15 20 25
Desvio médio relativo (%)
20
30
40
50
60
70
água
tecido mole
osso compacto
Figura 37: Comparação entre os desvios MRMC-Geant4 dos espectros frontais.
73
Energia do feixe incidente (MeV)
0 5 10 15 20 25
Desvio médio relativo (%)
10
20
30
40
50
60
70
80
Comparação entre os desvios dos espectros laterais
Energia do feixe incidente (MeV)
0 5 10 15 20 25
Desvio médio relativo (%)
10
20
30
40
50
60
70
80
água
tecido mole
osso compacto
Figura 38: Comparação entre os desvios MRMC-Geant4 dos espectros laterais.
Por meio dos histogramas dos espectros e dos gráficos das figuras 37 e 38, podemos con-
siderar que esta implementação do MRMC tem um desempenho satisfatório quando o desvio
médio do número de partículas está abaixo dos 30%. O que ocorre para as energias entre de
5 e 25 MeV em todos os materiais para os espectros frontais e laterais.
Os espectros laterais para feixe incidente de 25 MeV apresentam um desvio “anômalo”
entre, aproximadamente, 20 e 23 MeV, tanto para o osso compacto quanto para a água e te-
cido mole. Por meio da expressão 4.1 obtemos que a probabilidade de escolha do kugel de
17,78 MeV é de 59% para um elétron de 20 MeV, e de 77% para um elétron de 19 MeV, quando
comparados ao kugel de 23,72 MeV. Observando os histogramas de probabilidade do kugel de
17,78 MeV e raio 1 mm, podemos constatar que apenas 0,56% dos elétrons primários saem pela
banda 2 e 0,03% pela banda 3. Devido a estatística pobre das bandas 2 e 3, responsáveis pela
maioria do espalhamento lateral, a resposta do MRMC para o espectro lateral fica comprome-
tida . Para o kugel de 23,72 MeV, a banda 2 contabiliza apenas 0,3% das partículas incidentes
74
e a banda 3 menos de 0,02%. Na figura 39 temos o histograma de posição de saída da banda 2
para o kugel de raio 1 mm e energia 17,78 MeV.
b2p
Entries 2799
)
kugel
Cosseno de Posição (z/R
0,8 0,82 0,84 0,86 0,88 0,9 0,92 0,94 0,96 0,98
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
-4
10
b2p
Entradas 2799
Banda 2 - primários
Figura 39: Cosseno de posição de saída para os elétrons primários da Banda 2 para o kugel de 17,78 MeV
e 1 mm de raio.
Parao osso compacto temos um resultado de boa qualidade também para a energia inicial de
1 MeV para o espectro frontal, porém o mesmo não ocorre para o espectro lateral. Uma possível
explicação para esse resultado de qualidade inferior do espectro lateral seria a não correção do
transporte do elétron primário pelo MSC próximo a interface lateral.
Os histogramas dos espectros frontais e laterais produzidos pelo MRMC apresentam o pico
de energia primário sempre abaixo ou coincidente ao pico de energia calculado pelo Geant4. As
máximas energias calculadas pelo MRMC são superiores ou iguais às calculadas pelo Geant4,
exceção feita aos espectros de 1 MeV. Com a finalidade de avaliar a importância da implemen-
tação da correção pela perda contínua de energia no transporte eletrônico próximo às interfa-
ces, foram feitas algumas simulações sem essa correção. Os espectros resultantes deste teste
encontram-se nas figuras 40 a 42.
75
Energia (MeV)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de partículas
10
2
10
3
10
4
10
5
10
MRMC
Geant4
MRMC sem correção dE/dX
Espectro frontal dos elétrons - 10 MeV
Figura 40: Comparação entre MRMC, Geant4 e uma versão do MRMC sem a correção para perda
contínua de energia próximo às interfaces - feixe incidente de 10 MeV e objeto simulador de água.
Energia (MeV)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
MRMC
Geant4
MRMC sem correção dE/dX
Espectro frontal dos elétrons - 5 MeV
Figura 41: Comparação entre MRMC, Geant4 e uma versão do MRMC sem a correção para perda
contínua de energia próximo às interfaces - feixe incidente de 5 MeV e objeto simulador de água.
76
Energia (MeV)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número de partículas
10
2
10
3
10
4
10
MRMC
Geant4
MRMC sem correção dE/dX
Espectro frontal dos elétrons - 1 MeV
Figura 42: Comparação entre MRMC, Geant4 e uma versão do MRMC sem a correção para perda
contínua de energia próximo às interfaces - feixe incidente de 1 MeV e objeto simulador de água.
Conforme podemos observar, o desligamento dessa correção desloca para a direita o espec-
tro frontal do feixe incidente de 1 MeV no objeto simulador de água, além de gerar algumas
anomalias no espectro. Essas anomalias tendem a desaparecer com o aumento da energia, uma
vez que a perda contínua de energia passa a ser desprezível em elétrons com altas energias para
distâncias de até 250
µ
m.
Observamostambém que os espectros para feixe incidente de 1 MeV no objeto simulador de
osso compacto concordam melhor com os simulados pelo Geant4, quando comparados à mesma
energia incidente no objeto simulador de água ou tecido mole. Uma possível causa desses
desvios em materiais de
Z baixo são os kugels de 250
µ
m de raio que, conforme apresentado
na seção 2.3.3, o algoritmo de MSC do Geant4 possui como limite inferior na espessura dos
materiais de um milésimo do comprimento de radiação, que no caso da água é de 360
µ
m.
Como as dimensões dos objetos simuladores de água e tecido mole utilizados nas simulações
para feixe incidente de 1 MeV possuem 0,3 cm de comprimento e 0,1 cm de raio, os kugels
mais requisitados são os de raios 0,05 cm e 0,025 cm. Por esse motivo, qualquer pequeno
77
erro sistemático introduzido no transporte local (geração do kugel) pode resultar em desvios
significativos no resultado final do transporte global.
Os desvios nas energias dos espectros mostrados nesta seção, podem ser atribuídos às ta-
belas de Stopping Power utilizadas para a correção pela perda contínua de energia nos trechos
onde não há kugel disponível, conforme apresentado na seção 4.2. Tais tabelas são conhecidas
por apresentarem incertezas da ordem de 1 a 2% para energias acima de 100 keV; para energias
entre 100 e 10 keV as incertezas podem chegar a 3% para materiais de baixo Z, e até 10% para
materiais de alto Z (40). Portanto, esta pode ser a causa para os desvios da ordem de 1,5% nos
picos dos espectros dos objetos simuladores de água e tecido mole.
6.1.2 O espectro de elétrons primários e secundários
Nesta seção e nas seguintes trataremos apenas das simulações completas, com os elétrons
secundários sendo gerados e transportados normalmente, assim como os primários, conforme
descrito no capítulo 4.
Os espectrosresultantes para o objeto simuladorde água estão nos gráficos das figuras 43 a 50,
e as análises desses resultados são apresentadas na tabela 8.
Tabela 8: Tabela de análise dos espectros referentes ao objeto simulador homogêneo de água
Ítem/Energia 25 MeV 10 MeV 5 MeV 1 MeV
∆E
pico
frontal 1,7±0, 7% 1,5±0,7% 0, 0±0, 7%. 13,9±1, 0%
∆E
max
frontal 3,9±0,6% 4,1±0, 7% 2,7±0, 7% 4,8±0,8%
∆E
pico
lateral 1,4±0,7% 0, 0±0,7% 0,0±0, 7% 4,6±0,8%
∆E
max
lateral 0,0±0, 5% 1,1±0,5% 2,1±0, 5% 3,6±0,6%
∆N frontal 18,2±0,1% 12,0±0,1% 17,0±0,1% 46,9±0,1%
∆N lateral 15,4±0,1% 11,6±0,1% 10,6±0,1% 53,0±0,1%
78
Energia (MeV)
0 5 10 15 20 25
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Espectro frontal dos elétrons - 25MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 25 MeV
Figura 43: Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 25 MeV no objeto simulador de água.
Energia (MeV)
0 5 10 15 20 25
Número de partículas
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 25MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 25 MeV
Figura 44: Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 25 MeV no objeto simulador de água.
79
Energia (MeV)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Espectro frontal dos elétrons - 10MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 10 MeV
Figura 45: Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 10 MeV no objeto simulador de água.
Energia (MeV)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de partículas
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 10MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 10 MeV
Figura 46: Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 10 MeV no objeto simulador de água.
80
Energia (MeV)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro frontal dos elétrons - 5MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 5 MeV
Figura 47: Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 5 MeV no objeto simulador de água.
Energia (MeV)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 5MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 5 MeV
Figura 48: Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 5 MeV no objeto simulador de água.
81
Energia (MeV)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número de partículas
10
2
10
3
10
4
10
Espectro frontal dos elétrons - 1MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 1 MeV
Figura 49: Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 1 MeV no objeto simulador de água.
Energia (MeV)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 1MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 1 MeV
Figura 50: Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 1 MeV no objeto simulador de água.
82
Os espectros provenientes da simulação completa apresentam um pico secundário próximo
a região de baixa energia. Esse pico não será considerado nas análises, porque a precisão
nessa região é bastante inferior aos demais dados usados para as análises de concordância. No
entanto, qualitativamente, há uma boa concordância entre esses picos secundários simulados
pelo Geant4 e pelo MRMC, exceto no caso do feixe incidente de 1 MeV, que não possui esse
pico secundário.
Conforme podemos observar, os resultados apresentados para o objeto simulador de água
na simulação completa são significativamente melhores que os apresentados na tabela 5 para os
espectros primários.
Energia (MeV)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro frontal dos elétrons - 1MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 1 MeV
Figura 51: Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 1 MeV no objeto simulador de tecido
mole.
83
Energia (MeV)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 1MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 1 MeV
Figura 52: Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 1 MeV no objeto simulador de tecido
mole.
Tabela 9: Tabela de análise dos espectros referentes ao objeto simulador homogêneo de tecido mole
Ítem/Energia 25 MeV 10 MeV 5 MeV 1 MeV
∆E
pico
frontal 1, 4±0,7% 1,5±0, 7% 1,5±0,7%. 2,0±1, 0%
∆E
max
frontal 2, 5±0, 6% 4,1±0,7% 2,7±0, 7% 3,2±0, 8%
∆E
pico
lateral 1,4±0, 7% 1, 5±0,7% 0,0±0, 7% 0,0±0, 8%
∆E
max
lateral 0, 0±0,5% 1,1±0, 5% 1,0±0,5% 0, 0±0, 6%
∆N frontal 18,1±0,1% 13,0±0,1% 19,3±0,1% 46,8±0, 1%
∆N lateral 15,9±0,1% 11,9±0,1% 11,09±0,1% 32,0±0,1%
As mesmas observações feitas para o objeto simulador de água também podem ser feitas
para o objeto simulador de tecido mole, exceto pela surpreendente concordância dos espectros
para feixe incidente de 1 MeV. Os gráficos para esses espectros são apresentados nas figu-
ras 51 e 52, e na tabela 9 temos as análises desses resultados. Como os outros espectros para
84
o objeto simulador de tecido mole são muito semelhantes aos da água, os mesmos não serão
apresentados.
Tabela 10: Tabela de análise dos espectros referentes ao objeto simulador homogêneo de osso compacto
Ítem/Energia 25 MeV 10 MeV 5 MeV 1 MeV
∆E
pico
frontal 4,2±0, 7% 5, 3±0, 7% 4,9±0, 7%. 1, 3±1,0%
∆E
max
frontal 3,6±0,6% 6,1±0, 7% 1,9±0,7% 1,2±0, 8%
∆E
pico
lateral 1, 8±0, 7% 1, 9±0, 7% 1,7±0,7% 1, 7±0, 8%
∆E
max
lateral 0,0±0, 5% 1, 1±0, 5% 1,1±0,5% 0, 0±0, 6%
∆N frontal 39,5±0,1% 11,4±0,1% 19,1±0,1% 30,0±0,1%
∆N lateral 20,5±0,1% 9,0±0,1% 15,3±0, 1% 46,0±0,1%
Energia (MeV)
0 5 10 15 20 25
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro frontal dos elétrons - 25MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 25 MeV
Figura 53: Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 25 MeV no objeto simulador de osso
compacto.
85
Energia (MeV)
0 5 10 15 20 25
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 25 MeV
Figura 54: Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 25 MeV no objeto simulador de osso
compacto.
Energia (MeV)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 10 MeV
Figura 55: Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 10 MeV no objeto simulador de osso
compacto.
86
Energia (MeV)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 10 MeV
Figura 56: Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 10 MeV no objeto simulador de osso
compacto.
Energia (MeV)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro frontal dos elétrons - 5MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 5 MeV
Figura 57: Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 5 MeV no objeto simulador de osso
compacto.
87
Energia (MeV)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 5MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 5 MeV
Figura 58: Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 5 MeV no objeto simulador de osso
compacto.
Energia (MeV)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número de partículas
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Espectro frontal dos elétrons - 1MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 1 MeV
Figura 59: Espectro frontal de elétrons para feixe incidente de 1 MeV no objeto simulador de osso
compacto.
88
Energia (MeV)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro lateral dos elétrons - 1MeV
MRMC
Geant4
Espectro lateral dos elétrons - 1 MeV
Figura 60: Espectro lateral de elétrons para feixe incidente de 1 MeV no objeto simulador de osso
compacto.
Os espectros para o objeto simulador de osso compacto são mostrados nas figuras 53 a 60,
e na tabela 10 são apresentadas as análises para esses espectros.
As simulações completas para o osso compacto apresentam alguns espectros de retroes-
palhamento que até permitem algum tipo de análise, conforme pode ser visto na figura 61.
Contudo, como não há como comparar com as análises dos espectros retroespalhados dos elé-
trons primários e nem com as análises dos espectros de retroespalhamento dos outros tipos de
materiais, também não fizemos uma análise do mesmo.
89
Energia (MeV)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Número de partículas
1
10
2
10
MRMC
Geant4
Espectro retroespalhado dos elétrons - 5 MeV
Figura 61: Espectro de elétrons retroespalhado para feixe incidente de 5 MeV no objeto simulador de
osso compacto.
6.1.2.1 Discussão dos resultados dos espectros primário e secundário
As análises dos espectros resultantes das simulações feitas pelo MRMC para objetos si-
muladores de água e tecido mole apresentaram uma sensível melhora nos resultados quando
comparados com as mesmas análises feitas para os espectros primários.
As análises dos espectros completos para o osso compacto não apresentaram uma concor-
dância maior quando comparadas às respectivas análises dos primários, provavelmente devido
à menor produção de secundários. Essa produção menor de secundários pode estar relacionada
à geração da base de dados que, por limitações técnicas, o RangeCut usado para o para o osso
compacto foi duas vezes maior que para os outros materiais, conforme tabela 15.
A exceção feita nos parágrafos acima, os mesmos comentários feitos na seção 6.1.1.1 para
os espectros primários também se aplicam aos espectros completos.
90
Apesar de não existirem na literatura comparações entre os espectros de algoritmos LGMC
e algoritmos de história condensada, as comparações entre a dose absorvida mostram um desvio
de até 4% em objetos simuladores homogêneos tanto na primeira versão do MMC (14) quanto
no Evolution (30), e para o MRMC as diferenças chegam a 2,5%.
6.2 Objeto simulador heterogêneo
A mesma metodologia usada na análise dos dados da seção anterior é aplicada para a análise
dos espectros completos dos elétrons de saída frontal e lateral dos objetos simuladores hetero-
gêneos. Os desenhos dos objetos simuladores heterogêneos e suas dimensões são mostrados na
seção 5.1.2. Os resultados das análises encontram-se nas tabelas 11 a 13.
Tabela 11: Análise dos espectros referentes ao objeto simulador A
Ítem/Energia 25 MeV 10 MeV 5 MeV 1 MeV
∆N frontal 29,9±0,1% 35,1±0,1% 20,2±0,1% 107, 8±0, 1%
∆N lateral 17,0±0,1% 9,9±0,1% 19, 9±0,1% 92,3±0, 1%
Tabela 12: Análise dos espectros referentes ao objeto simulador B
Ítem/Energia 25 MeV 10 MeV 5 MeV 1 MeV
∆N frontal 25,8±0,1% 34,4±0,1% 19,7±0,1% 269, 4±0, 1%
∆N lateral 21,9±0,1% 11,7±0, 1% 16,5±0,1% 48,8±0,1%
Tabela 13: Análise dos espectros referentes ao objeto simulador C
Ítem/Energia 25 MeV 10 MeV 5 MeV 1 MeV
∆N frontal 46,5±0,1% 29,6±0,1% 62,0±0,1% 73,1±0,1%
∆N lateral 37,1±0,1% 33,4±0, 1% 39,3±0,1% 56,1±0,1%
91
As análises dos espectros resultantes desses objetos simuladores heterogêneos apresentam
desvios médios maiores que para os objetos simuladores homogêneos. Esse fato já era espe-
rado, pois neste tipo de simulação o sistema de transporte de partículas precisa transpor mais
interfaces, e por este motivo, os erros devido a aproximação no transporte através das interfaces
acumulam-se, aumentando assim os desvios médios nos espectros de saída.
O objeto simulador A foi o que apresentou melhor concordância entre os espectros de saída,
como podemos ver na figura 62.
Energia (MeV)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro frontal dos elétrons - 10MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 10 MeV
Figura 62: Espectro frontal de elétrons do objeto simulador A para feixe incidente de 10 MeV.
O objeto simulador B mostra uma falha enunciada anteriormente, a baixa produção de
secundários no osso compacto, conforme pode ser visto na figura 63.
92
Energia (MeV)
0 5 10 15 20 25
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro frontal dos elétrons - 25MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 25 MeV
Figura 63: Espectro frontal de elétrons do objeto simulador B para feixe incidente de 25 MeV.
O objeto simulador C apresenta espectros que são bastante diferentes, figura 64. Essa simu-
lação é a mais crítica, pois a trajetória inicial do elétron incidente tangencia o cilindro de osso
compacto. Como não há algoritmo de MSC implementado, o elétron que tangenciar o cilindro
interno a uma distância inferior que 250
µ
m, poderá caminhar muito em linha reta até se distan-
ciar da interface. Esses resultados para esse tipo de geometria já eram esperados e representam
uma limitação conhecida desta implementação.
93
Energia (MeV)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de partículas
1
10
2
10
3
10
4
10
Espectro frontal dos elétrons - 10MeV
MRMC
Geant4
Espectro frontal dos elétrons - 10 MeV
Figura 64: Espectro frontal de elétrons do objeto simulador C para feixe incidente de 10 MeV.
Na literatura são encontradas diferenças de até 5% na dose absorvida nas simulações rea-
lizadas em objetos simuladores heterogêneos para a segunda versão do MMC (15), e até 3,2%
para o MRMC (17).
6.3 Comparação entre os tempos de simulação do MRMC e
Geant4
Apresentamos na tabela 14 a razão entre os tempos de simulação no Geant4 e os tempos de
simulação no MRMC dos testes mostrados neste capítulo. Esses mesmos dados são apresenta-
dos em um gráfico na figura 65.
94
Tabela 14: Razão entre os tempos de simulação do Geant4 e MRMC
Tipo de objeto simulador 25 MeV 10 MeV 5 MeV 1 MeV
Água 16,53 11,25 5,16 3,24
Tecido Mole 18,86 11,75 5,36 3,05
Osso Compacto 17,13 21,96 6,60 3,43
Objeto simulador A 4,52 3.13 2,17 3,94
Objeto simulador B 5,30 3,65 3,47 3,88
Objeto simulador C 4,53 3,60 2,98 3,41
Energia do feixe incidente (MeV)
0 5 10 15 20 25
Tempo de simulação Geant4/MRMC
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Razão entre os tempos de simulação
Energia do feixe incidente (MeV)
0 5 10 15 20 25
Tempo de simulação Geant4/MRMC
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
água
tecido mole
osso compacto
fantom A
fantom B
fantom C
Figura 65: Comparação entre as razões dos tempos de simulação Geant4/MRMC.
Conforme podemos observar, a razão entre os tempos de simulação para objeto simulador
homogêneo aumenta conforme aumenta a energia do feixe incidente, com o MRMC sendo apro-
ximadamente 3 vezes mais rápido que o Geant4 para objetos simuladores pequenos e energia
incidente baixa, e até cerca de 15 vezes para a maior energia incidente testada neste trabalho.
95
Para os objetos simuladores heterogêneos essa razão não oscilou muito, com o MRMC
ficando entre 2 e quase 5 vezes mais rápido que o Geant4. Esse comportamento já era esperado,
pois nesses tipos de objetos simuladores o sistema de transporte MRMC não consegue usar com
muita freqüência os kugels de raios maiores, comprometendo assim o desempenho do MRMC.
Na implementação do MRMC por Svatos (17), a razão entre o MRMC e o programa Pe-
regrine (41) foi de 0,526, isto é, o MRMC foi cerca de duas vezes mais lento que Peregrine,
que usa história condensada classe II para elétrons. Svatos (17) em sua tese de doutorado pon-
dera que o MRMC deve chegar a ser 5 vezes mais rápido que os códigos que usam história
condensada de elétrons quando, em sua base de dados, forem utilizados kugel de raios maiores.
96
7 Conclusões
Implementamos o MRMC usando a biblioteca ROOT como base para o transporte dos
kugels, armazenagem e amostragem dos histogramas de função distribuição de probabilidade.
Essas funções foram obtidas por meio da simulação dos kugels pelo Geant4 em um cluster de
micros. Simulamos três tipos de materiais de interesse na radioterapia para compor a base de
dados de kugels: água, tecido mole e osso compacto.
Os espectros de elétrons apresentados pela primeira vez pelo MRMC mostram boa concor-
dância com os gerados pelo Geant4, para as energias entre 25 e 5 MeV. Os espectros de 1 MeV
ficaram comprometidos por algumas incertezas relacionadas ao transporte local e a aproxima-
ção usada para o transporte dos elétrons através das interfaces.
Os espectros obtidos pelo MRMC são mais fontes de informação para a compreensão dos
desvios observados nas distribuições de dose absorvida, presentes na literatura.
O MRMC apresentou um bom desempenho, em termos de tempo de simulação, sendo até
15 vezes mais rápido que o Geant4 em objetos simuladores homogêneos e cerca de 4 a 5 vezes
em objetos simuladores heterogêneos, confirmando as previsões de velocidade para este tipo de
modelo.
Neste trabalho mostramos, por meio do MRMC, que os algoritmos do tipo LGMC podem
ser interessantes para calcular espectros de elétrons em meios materiais, o que sugere que os
mesmos podem ser aplicados em outras áreas, além da radioterapia.
97
Referências
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ICRU Report 33. Radiation Quantities and Units. Washington, DC, 1980.
2 WEBB, S. The Physics of Three-Dimensional Radiation Therapy. [S.l.]: IOP Publishing
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FFT convolution. Phys. Med. Biol., v. 35, n. 3, p. 351–368, 1990.
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planejamento em radioterapia. In: Anais do VI Congresso Brasileiro de Física Médica. [S.l.:
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<http://stacks.iop.org/0031-9155/26/445>.
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8 FORSTER, R. A.; GODFREY, T. N. K. MCNP- A General Monte-Carlo Code for
Neutrons and Photon Transport. LNP Vol. 240: Monte-Carlo Methods and Applications in
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9 SALVAT, J. M. F.-V. F.; ACOSTA, E.; SEMPAU, J. PENELOPE - A code system for
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10 AGOSTINELLI, S. et al. Geant4–a simulation toolkit. Nucl. Instrum. Meth. A, v. 506, p.
250-303, 2003.
11 KAWRAKOW, I.; ROGERS, D. W. O. The EGSnrc code system: Monte Carlo
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12 KAWRAKOW, I.; FIPPEL, M. Investigation of variance reduction technics for Monte
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13 KAWRAKOW, I.; FIPPEL, M.; FRIEDRICH, K. 3D electron beam dose calculation using
a Voxel based Monte Carlo algorithm (VMC). Med. Phys., n. 23, p. 445–457, 1996.
98
14 NEUENSCHWANDER, H.; BORN, E. J. A macro Monte Carlo method for electron beam
dose calculations. Phys. Med. Biol., v. 37, n. 1, p. 107–125, 1992.
15 NEUENSCHWANDER, H.; MACKIE, T.; RECKWERDT, P. MMC-a high-performance
Monte Carlo code for electron beam treatment planning. Phys. Med. Biol., v. 40, p. 543–574,
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16 BALLINGER, C. T. The Response History Monte Carlo method for electron
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19 ATTIX, F. H. Introduction to Radiological Physics and Radiation Dosimetry. New
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20 JOHNS, H. E.; CUNNINGHAM, J. R. The Physics of Radiology. 4th. ed. Springfield,
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v. 36, n. 7, p. 861–920, 1991.
22 BERGER, M. Monte Carlo calculation of the penetration and diffusion of fast charged
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23 MOLIÈRE, G. Theorie der Streuung schneller geladener Teilchen. II. Mehrfach-und
Vielfachstreuung. Z. Naturforsch, n. 3a, 1948.
24 BETHE, H. A. Molière’s theory of multiple scattering. Phys. Rev., American Physical
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29 MACKIE, T.; BATTISTA, J. A macroscopic Monte Carlo method for electron beam dose
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100
APÊNDICE A -- Exemplo de funções de distribuição
de probabilidade de um kugel
Neste apêndice são apresentados os histogramas para as funções de distribuição de proba-
bilidade de um kugel de água com energia incidente de 1,33 MeV e raio de 0,25 mm. O número
de histórias foi de 5×10
5
. Todos os histogramas são normalizados pelo número de histórias.
101
)
kugel
Cosseno de Posição (z/R
0,98 0,982 0,984 0,986 0,988 0,99 0,992 0,994 0,996 0,998 1
Probabilidade / história
-4
10
-3
10
-2
10
Banda 1 - Cosseno de Posição
Primários
Secundários
Figura 66: Cosseno da posição de saída para os elétrons primários e secundários da Banda 1.
)
kugel
Cosseno de Posição (z/R
0,8 0,82 0,84 0,86 0,88 0,9 0,92 0,94 0,96 0,98
Probabilidade / história
-4
10
-3
10
-2
10
Banda 2 - Cosseno de Posição
Primários
Secundários
Figura 67: Cosseno da posição de saída para os elétrons primários e secundários da Banda 2.
102
)
kugel
Cosseno de Posição (z/R
0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8
Probabilidade / história
-5
10
-4
10
Banda 3 - Cosseno de Posição
Primários
Secundários
Figura 68: Cosseno da posição de saída para os elétrons primários e secundários da Banda 3.
)
kugel
Cosseno de Posição (z/R
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0 0,2 0,4
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
Banda 4 - Cosseno de Posição
Primários
Secundários
Figura 69: Cosseno da posição de saída para os elétrons primários e secundários da Banda 4.
103
)
inicial
/E
saída
Energia de saída (E
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
1
Banda 1 - Energia de saída
Primários
Secundários
Figura 70: Energia de saída normalizada pela energia inicial dos elétrons primários e secundários da
Banda 1.
)
inicial
/E
saída
Energia de saída (E
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
Banda 2 - Energia de saída
Primários
Secundários
Figura 71: Energia de saída normalizada pela energia inicial dos elétrons primários e secundários da
Banda 2.
104
)
inicial
/E
saída
Energia de saída (E
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, 1
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
Banda 3 - Energia de saída
Primários
Secundários
Figura 72: Energia de saída normalizada pela energia inicial dos elétrons primários e secundários da
Banda 3.
)
inicial
/E
saída
Energia de saída (E
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
-4
10
Banda 4 - Energia de saída
Primários
Secundários
Figura 73: Energia de saída normalizada pela energia inicial dos elétrons primários e secundários da
Banda 4.
105
Trajetória de saída dcp
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
Banda 1 - Trajetória de saída dcp
Primários
Secundários
Figura 74: Trajetória de saída dcp dos elétrons primários e secundários da Banda 1.
Trajetória de saída dcp
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
Banda 2 - Trajetória de saída dcp
Primários
Secundários
Figura 75: Trajetória de saída dcp dos elétrons primários e secundários da Banda 2.
106
Trajetória de saída dcp
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
-4
10
Banda 3 - Trajetória de saída dcp
Primários
Secundários
Figura 76: Trajetória de saída dcp dos elétrons primários e secundários da Banda 3.
Trajetória de saída dcp
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
-4
10
Banda 4 - Trajetória de saída dcp
Primários
Secundários
Figura 77: Trajetória de saída dcp dos elétrons primários e secundários da Banda 4.
107
)µTrajetória de saída cos (
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
)µBanda 1 - Trajetória de saída cos(
Primários
Secundários
Figura 78: Trajetória de saída, cos(
µ
), dos elétrons primários e secundários da Banda 1.
)µTrajetória de saída cos (
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
)µBanda 2 - Trajetória de saída cos(
Primários
Secundários
Figura 79: Trajetória de saída, cos(
µ
), dos elétrons primários e secundários da Banda 2.
108
)µTrajetória de saída cos (
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
-4
10
)µBanda 3 - Trajetória de saída cos(
Primários
Secundários
Figura 80: Trajetória de saída, cos(
µ
), dos elétrons primários e secundários da Banda 3.
)µTrajetória de saída cos (
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Probabilidade / história
-6
10
-5
10
)µBanda 4 - Trajetória de saída cos(
Primários
Secundários
Figura 81: Trajetória de saída, cos(
µ
), dos elétrons primários e secundários da Banda 4.
109
Energia de saída do elétron primário
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número médio / história
-3
10
-2
10
-1
10
1
Número médio de secundários saindo
Banda 1
Banda 2
Figura 82: Número médio de elétrons secundários das Bandas 1 e 2.
Energia de saída do elétron primário
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número médio / história
-2
10
-1
10
1
Número médio de secundários saindo
Banda 3
Banda 4
Figura 83: Número médio de elétrons secundários das Bandas 3 e 4.
110
Energia de saída do elétron primário
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número médio / história
-3
10
-2
10
-1
10
1
Número médio de fótons saindo
Banda 1
Banda 2
Figura 84: Número médio de fótons das Bandas 1 e 2.
Energia de saída do elétron primário
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Número médio / história
-2
10
-1
10
1
Número médio de fótons saindo
Banda 3
Banda 4
Figura 85: Número médio de fótons das Bandas 3 e 4.
111
APÊNDICE B -- Terminologia usada pelo Geant4
Neste apêndice são apresentados alguns dos termos usados pelo Geant4 como parâmetros
das simulações.
B.1 Limites inferior de energia no transporte de partículas
(Cutoffs)
Tipicamente é comum falarmos em cutoffs de energia em programas de simulação de trans-
porte e interação de partículas tais como EGS4, EGSnrc, PENELOPE e MCNP (7–9, 11). Este
é sempre um parâmetro importante porque está associado à precisão dos resultados das simula-
ções em termos de energia, influenciando a energia depositada, os espectros das partículas, ou
mesmo a produção de secundários. O comportamento padrão do Geant4 é transportar as partí-
culas até que sua energia seja nula. Porém, este comportamento do Geant4 leva a uma redução
no desempenho das simulações. A fim de preservar a precisão sem, no entanto, comprometer
o desempenho, inserimos um cutoff de energia baixo, de 990 eV, nas simulações da base de
dados kugel. Em outras simulações apresentadas neste trabalho foram testados outros valores
para esse cutoff, devidamente citados no texto.
B.2 Limiar de produção de secundários (RangeCut)
Um dos parâmetros mais importantes do Geant4 é o limiar de produção de secundários cha-
mado de RangeCut. Este parâmetro é definido em termos do alcance da partícula e, por meio
da equação B.1, o Geant4 calcula os cutoffs de energia para cada combinação de material e
112
partícula incidente. Desta forma, podemos especificar a precisão em termos de resolução espa-
cial para todos os materiais de uma única forma. Por exemplo, ao definirmos um RangeCut de
1 mm, o Geant4 irá produzir partículas secundárias com alcance a partir de 1 mm, e transportá-
las até alcançar o cutoff de energia, caso definido previamente, ou até sua energia ser nula. Se o
mesmo sistema de limiar de produção fosse definido em energia ao invés de alcance, teríamos
um mesmo limiar de produção para todos os materiais, o que levaria a produção de secundários
com diferentes alcances.
R(T) =
T
0
1
(dE/dx)
dE (B.1)
Sendo R(T) o alcance da partícula, T a energia de cutoff e dE/dx o Stopping Power total
do meio material.
O Geant4 também possui um sistema sofisticado de redução do limiar de produção de se-
cundários. Por exemplo, uma partícula pode ser criada abaixo do limiar de produção caso o
sistema de transporte verifique que exista a possibilidade dessa partícula secundária alcançar
uma região atribuída pelo usuário como sensível (SensitiveDetector).
B.2.1 A região sensível do detetor (SensitiveDetector)
O usuário deve sempre registrar a região de seu detetor em que serão contabilizadas as
partículas que o atravessarem. A este ítem chamamos de SensitiveDetector, isto é, uma região
de seu detetor que é sensível à contagem de partículas. Caso o usuário não registre devidamente
essa região de interesse na contagem de partículas, a simulação pode resultar em informações
erradas (contagem inferior de partículas).
113
APÊNDICE C -- Parâmetros das simulações dos
kugels
Tipicamente, o espaço exigido para o armazenamento dos dados aumenta com o aumento
da resolução. O tempo de simulação também aumenta com o aumento da resolução. Na si-
mulação da base de dados de kugels foram usados parâmetros diferentes para cada tipo de te-
cido/material, sempre mantendo um compromisso entre o tempo de simulação, espaço em disco
e resolução dos resultados. A explicação para os termos usados na tabela 15 encontram-se no
apêndice B.
Tabela 15: Parâmetros das simulações
material/tecido RangeCut Cutoff
água 10
µ
m 990 eV
tecido mole 10
µ
m 990 eV
osso compacto 20
µ
m 990 eV
114
APÊNDICE D -- Diagramas de classes do código
MRMC
A seguir estão os principais diagramas de classes do código MRMC em formato Unified
Modeling Language (UML). Os diagramas de classes mostram como é a dependência entre as
classes. Nesses diagramas aparecem apenas ítens como agregação, composição e herança (ou
generalização).
A agregação é representada por uma linha com um losango aberto (♦), onde a classe mais
próxima do losango é a classe agregadora. A agregação acontece quando a instância da classe
agregada continua existindo após a instância da classe agregadora deixar de existir. A com-
posição é representada por um losango fechado (), aqui a classe mais próxima ao losango é
a classe principal. Ao contrário da agregação, a composição destrói as instâncias das classes
que fazem parte dela quando a mesma deixa de existir. A herança ocorre quando alguma classe
herda de outra suas propriedades (métodos e dados). A herança é representada por um triângulo
aberto (△) próximo à classe base.
Nos diagramas mostrados aqui, apresentamos uma versão simplificada do diagrama das
classes do MRMC, com apenas as principais classes e seus métodos. Por uma questão de
clareza não são apresentados seus atributos e atributos dos métodos.
Na figura 86 temos a relação entre as classes responsáveis pela construção geométrica do
meio em que serão transportadas as partículas (
) e a classe responsável
pelo gerenciamento das geometrias de transporte (
).
115
DetectorConstruction
+ DetectorConstruction()
+ ~ DetectorConstruction()
+ SetTargetMaterial()
+ SetSizeOfBoxDetector()
+ SetSizeOfCylDetector()
+ GetLength()
+ GetRadii()
+ BuildBoxDetector()
+ BuildTubeDetector()
- DrawGeometry()
- BuildMaterials()
DetectorManager
+ DetectorManager()
+ ~ DetectorManager()
+ AddDetector()
+ ComputeDose()
+ ComputeDoseBy3Seg()
+ EnergyGridDeposit()
+ GetDetectorManagerPointer()
- GetStepZ()
- GetFluctuation()
+detector
+fDetectorManager
Figura 86: Diagrama UML das classes relacionadas à geometria do MRMC.
A figura 87 apresenta o diagrama das classes relacionadas ao transporte das partículas. As
classes
, e são classes bases do ROOT, que são para a construção
do sistema de transporte do MRMC. A classe é uma classe do ROOT que funci-
ona como pilha de partículas e posicionamento na memória (place holder) dos eventos usando
a técnica de Placement New do C++ (42). Esta técnica permite que os eventos e as partículas
geradas sejam criadas e destruídas sem usar muito tempo de sistema. A classe responsável pelo
gerenciamento da pilha de partículas e eventos é a
.
O sistema que busca os kugels como função do raio e da energia inicial é mostrado na
figura 88. A instância da classe
contém as instâncias da classe de materiais
(
). Este por sua vez contém as instâncias da classe . Cada instância da
classe contém um raio e uma energia.
116
Particle
+ Particle()
+ ~ Particle()
+ GetID()
+ GetPosition()
+ GetDirection()
DetectorManager
+ DetectorManager()
+ ~ DetectorManager()
+ AddDetector()
+ ComputeDose()
+ ComputeDoseBy3Seg()
+ EnergyGridDeposit()
+ GetDetectorManagerPointer()
- GetStepZ()
- GetFluctuation()
TObject
KugelManager
+ KugelManager()
+ ~ KugelManager()
+ AddDataBase()
+ FindBestKugel()
+ FindMaterial_TotalCSDA()
+ FindMaterial_ColCSDA()
+ Build()
+ GetKugelManager()
TNamed
TClonesArray
EventManager
+ EventManager()
+ ~ EventManager()
+ SetBeamPosition()
+ SetBeamDirection()
+ SetBeamEnergy()
+ RunEvents()
Kugel
+ Kugel()
+ ~ Kugel()
+ SampleData()
+ GetSecondaryParticle()
+ GetPhotonParticle()
+ GetNumberOfSecondaries()
+ GetNumberOfPhotons()
+ GetRadii()
+ GetKugelEnergy()
+ GetDeltaEnergy()
+ ReadDataFromDir()
- GetPrimOutputBand()
- GetSecOutputBand()
- GetNSecondaries()
- GetNPhotons()
- GetPrimOutputVector()
- GetPrimMomentumDir()
- GetPrimEnergy()
- GetSecOutputVector()
- GetSecMomentumDir()
- GetSecEnergy()
- GetPhotonOutputVector()
- GetPhotonMomentumDir()
- GetPhotonEnergy()
TParticle
Event
+ Event()
+ ~ Event()
- Track()
- EndOfATrack()
- EndOfStep()
- DoSimpleTrack()
- DoTargetStep()
- CSDATrack()
- GetSecondaries()
- PartialKugel()
- GetFinalEnergy()
- GetFinalEnergy_SUM()
- GetFluctuation()
- InitializeTrack()
- AddTrackPoint()
- AddDaughter()
- DrawTrack()
RunManager
+ RunManager()
+ ~ RunManager()
+ Run()
+fKugel
+fKugelManager
+fKManager
+fEventManager
1
2
+fParticleStack
+fParticle
+fDetectorManager
+fDetectorManager
Figura 87: Diagrama UML do código de transporte do MRMC.
117
KugelManager
+ KugelManager()
+ ~ KugelManager()
+ AddDataBase()
+ FindBestKugel()
+ FindMaterial_TotalCSDA()
+ FindMaterial_ColCSDA()
+ Build()
+ GetKugelManager()
KugelMaterial
+ KugelMaterial()
+ KugelMaterial()
+ ~ KugelMaterial()
+ GetBestKugel()
+ GetColCSDA()
+ GetTotalCSDA()
- LoadRadiiEnergyVectors()
- LoadCSDA_Data()
- BuildKugelLists()
- FindEnergyInterval()
- FindKugelEnergy()
- FindKugelRadii()
Kugel
+ Kugel()
+ ~ Kugel()
+ SampleData()
+ GetSecondaryParticle()
+ GetPhotonParticle()
+ GetNumberOfSecondaries()
+ GetNumberOfPhotons()
+ GetRadii()
+ GetKugelEnergy()
+ GetDeltaEnergy()
+ ReadDataFromDir()
- GetPrimOutputBand()
- GetSecOutputBand()
- GetNSecondaries()
- GetNPhotons()
- GetPrimOutputVector()
- GetPrimMomentumDir()
- GetPrimEnergy()
- GetSecOutputVector()
- GetSecMomentumDir()
- GetSecEnergy()
- GetPhotonOutputVector()
- GetPhotonMomentumDir()
- GetPhotonEnergy()
Tipos de Materiais
1..*
1..*
+fKugelManager
Figura 88: Diagrama da classe de gerenciamento dos kugels e classes correlatas.
118
ANEXO A -- Dados dos Materiais e Tecidos
Nas tabelas 17, 18 e 19 temos as composições atômicas da água, tecido mole e osso com-
pacto. Na tabela 16 temos as densidades e comprimentos de radiação desses materiais. Os da-
dos da composição atômica e densidade são do National Institute of Standards and Technology
(NIST) (36), e os dados do comprimento de radiação são do Particle Data Group (PDG) (43).
Tabela 16: Densidade e comprimento de radiação dos materiais/tecidos usados neste trabalho
Material/Tecido Densidade (g/cm
3
) Comprimento de Radiação (cm)
água 1,000 36,08
tecido mole (ICRP) 1,000 37,63
osso compacto 1,850 16,48
Tabela 17: Composição atômica da água
Número Atômico Fração pelo peso
1 0,111894
8 0,888106
119
Tabela 18: Composição atômica do tecido mole
Número Atômico Fração pelo peso
1 0,104472
6 0,232190
7 0,024880
8 0,630238
11 0,001130
12 0,000130
15 0,001330
16 0,001990
17 0,001340
19 0,001990
20 0,000230
26 0,000050
30 0,000030
Tabela 19: Composição atômica do osso compacto
Número Atômico Fração pelo peso
1 0,063984
6 0,278000
7 0,027000
8 0,410016
12 0,002000
15 0,070000
16 0,002000
20 0,147000
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