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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
ESTUDO DA ESTABILIDADE A PEQUENAS
PERTURBAÇÕES DO SISTEMA ELÉTRICO DE
POTÊNCIA SOB A AÇÃO DO DISPOSITIVO FACTS
“PHASE SHIFTER – PS”
André Luiz Silva Pereira
Percival Bueno de Araujo
Orientador
Ilha Solteira – SP, Setembro de 2005
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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
ESTUDO DA ESTABILIDADE A PEQUENAS
PERTURBAÇÕES DO SISTEMA ELÉTRICO DE
POTÊNCIA SOB A AÇÃO DO DISPOSITIVO FACTS
“PHASE SHIFTER – PS”
André Luiz Silva Pereira
Percival Bueno de Araujo
Orientador
Dissertação submetida à Universidade Estadual
Paulista – UNESP, Câmpus de Ilha Solteira, para
obtenção do título de Mestre em Engenharia
Elétrica.
Ilha Solteira – SP, Setembro de 2005
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À minha família
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por estar me abençoando durante toda esta minha trajetória, me dando
forças e vontade de vencer mais este obstáculo na vida.
A minha noiva Eliane Leonora da Silva, que mesmo estando distante, sempre procurou me
incentivar, e me apoiar nos momentos difíceis.
Ao amigo, professor e orientador Percival Bueno de Araujo pela paciência orientação,
dedicação, atenção, estímulo e ensinamentos, que contribuíram na minha formação
profissional e na realização deste trabalho.
Aos professores Ana Diva Placencio Lotufo, Laurence Duarte Colvara e Antonio Padilha
Feltrin, pela grandiosa colaboração nas discussões técnicas e pelas valiosas sugestões.
Aos amigos e companheiros de laboratório do departamento de engenharia elétrica, que
sempre me ajudaram.
Aos funcionários do departamento de engenharia elétrica, que sempre estivaram dispostos
a nos ajudar da melhor maneira possível. Em especial não poderia deixar de agradecer ao
Professor Laurence pela amizade, apoio e disponibilidade na troca de conhecimentos que
contribuíram para o enriquecimento deste trabalho.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior pelo apoio financeiro.
Índice de Figuras
VIII
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2.1: Sistema MBI, com PS em operação......................................................................7
Figura 2.2: Diagrama de Blocos – Sistema MBI/PS..............................................................16
Figura 3.1: Variações da constate K em função do carregamento
1
.......................................19
Figura 3.2: Variações da constate K em função do carregamento
2
.......................................19
Figura 3.3: Variações da constate K em função do carregamento
3
.......................................20
Figura 3.4: Variações da constate K em função do carregamento
4
.......................................21
Figura 3.5: Variações da constate K em função do carregamento
5
.......................................21
Figura 3.6: Variações da constate K em função do carregamento
6
.......................................22
Figura 3.7: Variações da constate K em função do carregamento
7
.......................................23
Figura 3.8: Variações da constate K em função do carregamento
8
.......................................24
Figura 3.9: Variações da constate K em função do carregamento
9
.......................................24
Figura 4.1: Variações da Velocidade Angular (∆ω)..............................................................28
Figura 4.2: Variações do Deslocamento Angular (∆δ)..........................................................29
Figura 4.3: Controle do Grau de Compensação do PS..........................................................30
Figura 4.4: Influência do Controle do Grau de Compensação – Exemplo 1.........................32
Figura 4.5: Influência do Controle do Grau de Compensação – Exemplo 2.........................33
Figura 4.6: Influência do Ganho K
aPS
....................................................................................34
Figura 4.7: Trajetória do Autovalor do Modo Local de Oscilação .......................................35
Figura 4.8: Trajetória do Autovalor.......................................................................................36
Figura 5.1: Comparação entre os Sinais de Entrada do CPS.................................................43
Figura 5.2: Comparação entre os Sinais de Entrada do CPS – Aumento do Carregamento.44
Figura 5.3: Efeito do Ganho K na Estabilidade do Sistema – Entrada ∆I
aPS
.........................45
Figura 5.4: Efeito do Ganho K na Estabilidade do Sistema – Entrada ∆P
aPS e
.......................47
Figura 5.5: Efeito do Ganho Ka na Estabilidade do Sistema – Entrada ∆ω
PS
......................49
Figura 6.1: Simplificação do Sistema de Controle do PS ....................................................54
Figura 6.2: Caminhos para Formação de Torque Elétrico – Atuação do PS........................54
Índice de Figuras
IX
Figura 6.3: Coeficientes de Torque Elétrico de Amortecimento – entrada ∆ω....................57
Figura 6.4: Coeficientes de Torque Elétrico de Sincronização – entrada ∆ω ......................58
Figura 6.5: Coeficientes K e K – entrada ∆ω
Sω Dω
................................................................58
Figura 6.6: Coeficientes de Torque Elétrico de Amortecimento – entrada ∆I.....................61
Figura 6.7: Coeficientes de Torque Elétrico de Sincronização – entrada ∆I........................62
Figura 6.8: Coeficientes K e K – entrada ∆I
S∆I D∆I
................................................................62
Figura 6.9: Coeficientes de Torque Elétrico de Amortecimento – entrada ∆P
e
...................65
Figura 6.10: Coeficientes de Torque Elétrico de Sincronização – entrada ∆P
e
......................66
Figura 6.11: Coeficientes K e K – entrada ∆P
S∆Pe D∆Pe e
.........................................................66
Figura 6.12: Coeficientes de Torque Elétrico de Amortecimento.........................................67
Figura 6.13: Coeficientes de Torque Elétrico de Sincronização...........................................68
Figura A.I.1: Sistema Máquina Síncrona x Barra Infinita.....................................................78
Figura A.I.2: Sistema Máquina Síncrona x Barra Infinita – Diagrama de Blocos.................80
Figura A.III.1: Sistema de Coordenadas ∆δ x ∆ω..................................................................82
Figura AN.I.1: Diagrama de Blocos – Sistema MBI/PS com a Inclusão do Controle do PS
(‘CPS’)...........................................................................................................84
Índice de Tabelas
X
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 4.1: Autovalores Dominantes – Influência do Grau de Compensação φ.................30
Tabela 4.2: Autovalores Dominantes – Influência do Controle de φ..................................33
Tabela 4.3: Autovalores do Sistema MBI – Influência do Ganho K
aPS
...............................35
Tabela 5.1: Autovalores – Influência dos Sinais de Entrada para o CPS............................44
Tabela 5.2: Autovalores Dominantes – Variação em K
aPS
– Entrada ∆I.............................46
Tabela 5.3: Autovalores Dominantes – Variação em K
aPS
– Entrada ∆P
e
...........................48
Tabela 5.4: Autovalores Dominantes – Variação em K
aPS
– Entrada ∆ω...........................50
Lista dos Principais Símbolos
VII
LISTA DOS PRINCIPAIS SÍMBOLOS
D : Coeficiente de amortecimento da máquina síncrona;
E
fd
: Tensão de Campo da máquina síncrona;
E
’
q
: Tensão interna de eixo em quadratura da máquina síncrona;
i
d
, i
q
: Correntes da máquina síncrona referidas às coordenadas (d,q);
K
aPS
: Ganho do controle do PS;
K
r
: Ganho do regulador automático de tensão;
K
t
: Ganho do circuito de disparo do tiristor;
M = 2H : Constante de inércia da máquina síncrona;
s : Operador de Laplace;
T
’
d0
: Constante de tempo transitória de eixo direto em circuito aberto da
máquina síncrona;
T
r
: Constante de tempo do regulador de tensão;
T
t
: Constante de tempo do circuito de disparo do tiristor;
V
d
, V
q
, V
t
, V
∞
: Tensões de eixo direto, eixo em quadratura, terminal e na barra
infinita.
x
d
: Reatância síncrona de eixo direto da máquina síncrona;
x
’
d
: Reatância transitória de eixo direto da máquina síncrona;
x
q
: Reatância síncrona de eixo de quadratura da máquina síncrona;
ω
0
: Velocidade síncrona = 377 (rads/s);
δ : Ângulo de carga da máquina síncrona;
φ : Defasagem angular introduzida no sistema através do PS (Grau de
Compensação);
][
o
: Representa d/dt;
∆ : Representa pequenas variações em torno de um ponto de operação.
ξ : Coeficiente de Amortecimento
Resumo V
Resumo
Este trabalho apresenta estudos referentes à estabilidade dinâmica de sistemas de energia
elétrica, a partir de um sistema de potência máquina síncrona ligada a uma barra infinita,
estando presente um transformador defasador (PS). Realiza-se o desenvolvimento de um
modelo linear deste sistema, análogo ao modelo linear de Heffron & Phillips.
Para se avaliar o impacto do PS quando este está operando no sistema, são analisadas as
constantes que definem o modelo, para diferentes níveis de variação do carregamento da
máquina.
Através de simulações analisa-se a introdução de amortecimento no sistema de potência,
pela atuação do PS. São estudadas situações onde a defasagem introduzida é manual e
situações em que é automática (realizada através de um sistema de controle).
Para o ajuste automático da defasagem, inicialmente é definido um sistema de controle e
efetua-se a análise com o sinal de entrada “variações da velocidade angular do rotor”.
Prosseguindo no desenvolvimento do trabalho, são estudados os sinais de entrada
“variações da corrente elétrica” e “variações da potência elétrica”.
É feita uma análise de como estas entradas influenciam a formação de torque elétrico
(amortecimento e sincronização) no sistema MBI, e suas conseqüências na estabilidade a
pequenas perturbações.
Resultados e conclusões são obtidos a partir de simulações efetuadas para um sistema
exemplo.
Abstract
VI
Abstract
This work presents studies with respect to the dynamic stability of a single machine infinite
bus (SMIB) system, with a phase shifter installed (SMIB/PS system). The development of a linear
model system, analogous to the linear model of Heffron & Phillips is presented.
The constants that define the model are analyzed to evaluate the impact of the PS when
operating under machine load variations conditions.
The introduction of damping in the power system is analyzed through simulation by the
dynamic of the PS. The manual and automatic shift introductions are studied.
For the automatic adjustment of the shift, initially a control system is defined, and the analysis
is effectuated the analysis with the input signal "variations of the rotor speed".
Afterwards the input signals variations of the electric current and variations of the electric
power are studied.
The influence of the inputs on the formation of the electric torque (damping and synchronism)
on the SMIB system is analyzed.
Results and conclusions are shown from simulations effectuated for an example system.
Sumário
XI
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1...................................................................................................................1
Introdução
Introdução..........................................................................................................................1
CAPÍTULO 2....................................................................................................................6
Modelo Linear de Heffron & Phillips com a Inclusão do Transformador
Defasador
2.1. Introdução............................................................................................................. 6
2.2. Equacionamento do Modelo Linear com a Inclusão do Transformador
Defasador ............................................................................................................. 6
2.3. Cálculo das Correntes da Máquina Síncrona........................................................ 7
2.4. Equação do Torque Elétrico ................................................................................. 9
2.5. Cálculo da Tensão Interna da Máquina Síncrona............................................... 10
2.6. Tensão Terminal da Máquina Síncrona.............................................................. 11
2.7. Interpretação Física das Constantes do Modelo do Sistema MBI/PS................. 13
2.8. Tensão de Campo da Máquina Síncrona............................................................ 14
2.9. Equações de Movimento da Máquina Síncrona ................................................. 15
2.10. Representações do Sistema MBI/PS................................................................... 15
2.11. Conclusões.......................................................................................................... 17
Sumário
XII
CAPÍTULO 3.................................................................................................................18
Constantes do Modelo Linear MBI/PS
3.1. Introdução........................................................................................................... 18
3.2. Análise da Influência do Carregamento nas Constantes do Sistema MBI/PS.... 18
3.3. Conclusões.......................................................................................................... 25
CAPÍTULO 4.................................................................................................................27
Influência do PS na Estabilidade a Pequenas Perturbações
4.1. Introdução........................................................................................................... 27
4.2. Sistema MBI sob a Influência do PS.................................................................. 27
4.3. Efeitos do Grau de Compensação no Amortecimento das Oscilações do
Sistema de Potência............................................................................................ 28
4.4. Controle do PS.................................................................................................... 30
4.5. A Influência do Ganho K
aPS
na Estabilidade a Pequenas Perturbações ............. 34
4.6. Conclusões.......................................................................................................... 37
CAPÍTULO 5.................................................................................................................39
Sinais de Entrada para o Controle do PS
5.1. Introdução ............................................................................................................ 39
5.2. Análise do Sinal Referente às Variações da Corrente Elétrica (∆I) ................... 39
5.3. Análise do Sinal Referente às Variações da Potência Elétrica (∆P
e
).................. 41
5.4. Análise do Sinal Referente às Variações da Velocidade Angular (∆ω)............. 42
5.5. Simulações e Resultados..................................................................................... 42
5.6. Conclusões.......................................................................................................... 51
Sumário
XIII
CAPÍTULO 6.................................................................................................................53
Formação dos Torques de Sincronização e Amortecimento no Sistema com a
Atuação do PS (“Phase Shifter”)
6.1. Introdução ............................................................................................................ 53
6.2. Contribuição do PS para Formação de Torque no Sistema Elétrico de Potência 53
6.3. Torque Elétrico Tendo como Entrada as Variações da Velocidade do Rotor
(∆ω)..................................................................................................................... 55
6.4. Torque Elétrico Tendo como Entrada as Variações da Corrente Elétrica (∆I).... 59
6.5. Torque Elétrico Tendo como Entrada as Variações da Potência Elétrica (∆P
e
).. 63
6.6. Comparação Entre os Sinais de Entrada para o CPS ........................................... 67
6.7. Conclusões ........................................................................................................... 68
CAPÍTULO 7.................................................................................................................70
Conclusões
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................75
APÊNDICES
Apêndice I....................................................................................................................78
Apêndice II...................................................................................................................81
Apêndice III.................................................................................................................82
Apêndice IV.................................................................................................................83
ANEXOS
Anexo I.........................................................................................................................84
Anexo II.......................................................................................................................85
Capítulo 1
1
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
Na era digital são grandes os desafios das empresas do setor elétrico para produzir e
fornecer, de maneira eficiente e segura, energia para seus consumidores. As principais
barreiras a serem superadas são o rápido crescimento da demanda, a infra-estrutura
inadequada, a obrigação de equilibrar crescimento de energia com proteção ambiental, a
reestruturação, a desregulamentação e a falta de investimentos [1]. Esse conjunto de fatores
contribui para que o sistema existente opere de maneira diferente do que havia sido concebido
e como conseqüência, existe a necessidade de se adotar novas estratégias para sua operação e
planejamento.
A complexidade da operação e planejamento de um sistema de potência se deve, em
grande parte, aos problemas relacionados com o sistema de transmissão, que tem como
função, fazer com que a potência gerada chegue aos centros de consumo, bem como prover a
interligação entre áreas de maneira eficiente e flexível. As linhas de transmissão estão sujeitas
a limites (térmicos e/ou de estabilidade) que restringem o nível de potência que pode ser
transmitido com segurança.
Uma estratégia adequada para resolver este problema seria a implantação de novas usinas
geradoras e novas linhas de transmissão no sistema de potência, mas atualmente, torna-se
difícil devido ao custo elevado e às rígidas restrições impostas pela legislação ambiental.
A demora na construção de unidades de geração e linhas de transmissão, aliada à
necessidade de maior eficiência na gestão dos sistemas elétricos, faz com que os
pesquisadores busquem soluções alternativas para o problema de suprimento elétrico através
de inovações tecnológicas na área de transmissão de energia elétrica, a fim de aumentar a
Capítulo 1
2
capacidade de transmissão e melhorar o controle do sistema existente, tornando-o mais
aproveitável.
Os planejadores e operadores trabalham com sistemas cada vez mais dinâmicos e com
menor margem operacional, consequentemente, os sistemas de potência precisam ter uma
maior flexibilidade para interagir com a maior diversidade dos padrões de geração e carga.
Embora o conceito de flexibilidade seja bastante geral, no que diz respeito aos sistemas
elétricos é definido como “a habilidade dos sistemas de potência em se adaptarem
rapidamente a novas circunstâncias, de modo a operarem permanentemente da melhor forma
possível” [2]. Neste sentido, a aplicação de novos dispositivos desenvolvidos na eletrônica de
potência, os chamados controladores FACTS (Flexible Alternating Current Transmission
Systems), vêm aliviar este novo cenário que se apresenta para o setor elétrico.
Equipamentos FACTS começaram a ser implementados a partir do final da década de 60,
mas a denominação FACTS surgiu na década de 80 quando da publicação de um trabalho
com a finalidade de propor o uso da eletrônica de potência para o controle de parâmetros dos
sistemas de potência em corrente alternada [1][3]. Pode-se dizer que FACTS é uma filosofia
(ou conceito tecnológico), de transporte de energia elétrica por sistemas flexíveis de
transmissão em corrente alternada, que permite novas estratégias de operação e controle
dinâmico dos sistemas.
O surgimento dos controladores flexíveis e sua utilização nos sistemas de energia elétrica
propiciaram um maior grau de liberdade na operação dos sistemas de potência [4][22]. O
controle do fluxo de potência nas linhas de transmissão foi grandemente melhorado, trazendo
como conseqüência, o aumento da capacidade de transmissão de potência das redes elétricas
[5][6][20].
Dentre os diversos dispositivos FACTS, um deles é o defasador angular (no inglês Phase
Shifter – PS) [6][7]. O Phase Shifter é um tipo de transformador defasador de fase (no inglês
Phase Shifting Transformer – PST) que tem como função introduzir no sistema de energia
elétrica uma defasagem no ângulo de fase entre os fasores tensão terminal, através do fasor
corrente [6].
Em termos práticos de acordo com sua estrutura podem existir vários tipos de PSTs. Mas
para aplicação prática dois tipos são mais interessantes, como exemplo temos o Phase Angle
Regulator (PAR) e o Quadrature Boosting Transformer QBT [6][30][31].
O PAR é um tipo de PST, que devido a sua estrutura tem a capacidade de mudar a fase do
fasor tensão terminal sem alterar sua magnitude (as perdas não são levadas em consideração),
ou seja, a posição quando da sua instalação no sistema de energia elétrica não tem nenhum
Capítulo 1
3
impacto sobre as características de transmissão de energia elétrica podendo assim ser
considerado um dispositivo “simétrico” [6].
Já o QBT além de alterar a fase do fasor tensão terminal altera também sua magnitude, ou
seja, sua posição no sistema influencia essencialmente nas características de transmissão de
energia, logo não pode ser considerado um dispositivo “simétrico”.
Se as perdas (ativa e reativa) nestes dispositivos são desconsideradas, então os PSTs não
produzem nem consomem potência ativa e reativa (PST potência é balanceada).
No desenvolvimento deste trabalho será utilizado um PST do tipo PAR, que terá seu
modelo incluído no sistema elétrico de potência, para a realização dos diversos estudos
pertinentes à estabilidade.
Este transformador é utilizado nos casos em que o ângulo de tensão necessário para o uso
ótimo de uma linha de transmissão é incompatível com o ângulo de tensão de operação
normal do sistema de transmissão. Tais casos ocorrem quando a potência entre duas barras é
transmitida através de linhas paralelas de comprimento elétrico diferente. Outra situação
problema é quando a diferença angular de tensão entre duas barras não é suficiente para
estabelecer o fluxo de potência desejado [6][8].
Um sistema de potência real é composto por vários geradores síncronos, cargas, linhas de
transmissão e controladores que interligam estes dispositivos, formando assim o chamado
“sistema multimáquinas”. Para uma primeira análise, este sistema pode ser reduzido a um
“sistema maquina síncrona ligado a uma barra infinita” equivalente.
O barramento infinito é definido como uma máquina que possui capacidade de geração ou
absorção de potência ilimitada, com uma inércia infinita e impedância igual a zero. Isso
significa que a velocidade angular do barramento infinito é constante, independente da
potência absorvida ou fornecida à rede por este. Grandes sistemas podem ser considerados
infinitos quando comparados a pequenas máquinas conectadas a estes [23].
Neste trabalho será tratada a inclusão do PS no modelo do sistema máquina síncrona
operando contra uma barra infinita (sistema MBI), para estudos referentes a pequenas
perturbações.
Inicialmente, no Capítulo 2 é apresentada a formulação matemática para o
desenvolvimento do modelo linear do sistema de potência com um PS instalado (sistema
MBI/PS). Será mostrado que este modelo é visto como uma “ampliação” do modelo linear de
Heffron & Phillips do sistema máquina síncrona versus barra infinita [9][10][11][12][13].
No Capítulo 3 são analisadas as constantes que definem o modelo linear para diferentes
estados de variação do carregamento do sistema. As análises são realizadas através de
Capítulo 1
4
simulações onde foi utilizado o software MATLAB.
No Capítulo 4 é feita uma primeira avaliação do comportamento do sistema MBI/PS
quando este é submetido a uma pequena perturbação em torno de um ponto de operação.
Neste Capítulo são avaliados três casos distintos, a saber:
- sistema MBI sem a presença do PS (Caso1);
- sistema MBI com PS em operação e grau de compensação (defasagem introduzida pelo
PS - φ) feito manualmente (Caso 2);
- sistema MBI com PS instalado e grau de compensação ajustado por meio de um
sistema de controle (CPS) (Caso 3).
O sinal de entrada para o CPS é considerado a velocidade angular do rotor e são
apresentados resultados obtidos por meio das simulações. Da análise destes resultados
verifica-se a importância da introdução de um controle para a defasagem φ.
No Capítulo 5 são estudados três sinais distintos para entrada do CPS, sendo eles as
variações da corrente elétrica (∆I), as variações da potência elétrica (∆P
e
) e as variações da
velocidade angular do rotor (∆ω).
Dos resultados obtidos por meio de simulações procura-se avaliar qual o sinal que fornece
ao sistema MBI/PS maior amortecimento e como os parâmetros do CPS influenciam na
formação deste amortecimento.
No Capítulo 6 a influência do CPS no sistema elétrico de potência será avaliada através
dos torques formados pelo PS. Para se analisar a formação e o comportamento destes torques,
os três sinais citados anteriormente serão aplicados à entrada do controle do PS.
Uma vez definido o sinal de entrada para o CPS, o torque formado será decomposto em
parcelas de amortecimento e sincronização, o que servirá para obter conclusões a respeito da
estabilidade do sistema de potência.
No Capítulo 7 são apresentadas as principais conclusões obtidas durante o
desenvolvimento do trabalho e sugestões para trabalhos futuros. Seguem as Referências
Bibliográficas, os Apêndices e Anexos, necessários para uma melhor compreensão do
trabalho.
Contribuição do Trabalho
No desenvolvimento desta dissertação dois trabalhos foram utilizados como base, sendo
eles as referências [17] e [32].
Capítulo 1
5
No primeiro trabalho, é apresentado um método para determinar o numero ótimo de TCPSs
(Thyristor Controlled Phase Shifter) necessários e suas respectivas localizações no sistema de
energia elétrica, com o objetivo de avaliar qual efeito que o PS tem na estabilidade e na
redução de perdas ativas. Para isso é instalado ao PS um dsipositivo de controle semelhante
ao utilizado neste trabalho, no qual é aplicado como sinal de entrada as variações da
velocidade angular do rotor.
No segundo trabalho é proposto um esquema básico de controle para o TCSC (Thyristor
Controlled Series Compensator), para avaliar qual a influência que a instalação deste
dispositivo tem no que se refere a melhoria da estabilidade do sistema elétrico de potência.
Neste trabalho dois sinais distintos são aplicados à entrada do controle sendo eles a
corrente elétrica e a potência elétrica. Através da análise das curvas P
e
x δ, procura-se avaliar
qual sinal fornece um melhor desempenho do sistema elétrico no tocante à estabilidade a
pequenas perturbações.
Nesta dissertação é utilizado o sistema de controle proposto em [17], aplicado ao sistema
MBI/PS, cujo modelo considerado é uma ampliação do conhecido “modelo linear de Heffron
& Phillips” do sistema MBI. São analisados para o sistema de controle os sinais de entrada
propostos em [32] e é avaliada qual a contribuição (melhoria da estabilidade) que o PS
fornece ao sistema elétrico de potência.
Capítulo 1..................................................................................................................... 1
INTRODUÇÃO........................................................................................................... 1
Capítulo 2
6
Capítulo 2
Modelo Linear de Heffron & Phillips
com a Inclusão do Transformador
Defasador
2.1. Introdução
Neste capítulo é apresentada a formulação matemática para o desenvolvimento de um
modelo linear para o sistema “máquina síncrona ligada a uma barra infinita – MBI”, estando
ligado a ele um transformador defasador (no inglês, Phase Shifter – PS). As equações que
descrevem este modelo são obtidas e é mostrado que este modelo é uma ampliação do Modelo
Linear de Heffron & Phillips, largamente utilizado na literatura para estudos referentes à
estabilidade dinâmica [9][10][11][13][18][19].
Definidas as equações que descrevem o modelo, este será representado no domínio da
freqüência (diagrama de blocos – variável independente s) e no domínio do tempo (espaço de
estados – variável independente t).
2.2. Equacionamento do Modelo Linear com a Inclusão do Transformador
Defasador
Considere um gerador síncrono conectado a uma barra infinita através de uma linha de
Capítulo 2
7
transmissão, com um transformador defasador instalado, conforme esquema mostrado na
Figura 2.1.
PS
V
t
P
e
X
L
x’
d
V
∞
I
t
Figura 2.1: Sistema MBI, com PS em operação
Nesta Figura, V
t
, V
∞
, I
t
e P
e
são tensão terminal, tensão na barra infinita, corrente terminal
e potência ativa entregue ao sistema, respectivamente.
As grandezas x’
d
e X
L
são as reatâncias transitória de eixo direto do gerador e da linha de
transmissão.
2.3. Cálculo das Correntes da Máquina Síncrona
A tensão terminal do sistema de potência considerado na Figura 2.1, sem a presença do PS,
é dada pela equação (2.1)[24].
tLt
ijXVV +=
∞
(2.1)
Neste caso pode-se mostrar que as correntes de eixo direto e eixo de quadratura do gerador
são dadas pelas equações (2.2) e (2.3) [9][11][13].
L
'
d
'
q
d
Xx
cosVE
i
+
δ−
=
∞
(2.2)
Lq
q
Xx
senV
i
+
δ
=
∞
(2.3)
Quando o PS é instalado no sistema, o ângulo interno da máquina síncrona é modificado,
passando a ser dado pela equação (2.4) [14][15][16][17][33].
φ−δ=δ
PS
(2.4)
Capítulo 2
8
Na equação (2.4), φ é a defasagem angular introduzida pelo PS (que também será referida
como grau de compensação).
Substituindo-se a equação (2.4) em (2.2) e (2.3), tem-se as correntes de eixo direto e
quadratura, quando um PS está em operação no sistema, como nas equações (2.5) e (2.6).
L
'
d
'
q
d
Xx
)cos(VE
i
+
φ−δ−
=
∞
(2.5)
Lq
q
Xx
)sen(V
i
+
φ
−δ
=
∞
(2.6)
Admitindo-se pequenas variações em torno de um ponto de equilíbrio (“
0
”), a equação
(2.5) pode ser linearizada [21], resultando nas equações (2.7), que fornecem a variação da
corrente de eixo direto em função da tensão interna, ângulo δ e de φ.
φ∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
φ∂
∂
+δ∆
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
+∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=∆
0
d
0
d
'
q
0
'
q
d
d
ii
E
E
i
i (2.7)
)Xx(
1
E
id
L
'
d
'
q
+
=
∂
∂
(2.7.a)
)sen(
)Xx(
V
id
L
'
d
φ−δ
+
=
δ∂
∂
∞
(2.7.b)
)sen(
)Xx(
V
id
L
'
d
φ−δ
+
−=
φ∂
∂
∞
(2.7.c)
De maneira similar, a linearização da equação (2.6) fornece os desvios em torno de um
ponto de operação, da corrente de eixo de quadratura em função dos desvios do ângulo
interno da máquina (δ) e do grau de compensação (φ) (equações (2.8)).
φ∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
φ∂
∂
+δ∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
=∆
0
q
0
q
q
ii
i
(2.8)
Capítulo 2
9
)cos(
)xx(
V
i
Lq
q
φ−δ
+
=
δ∂
∂
∞
(2.8.a)
)cos(
)xx(
V
i
Lq
q
φ−δ
+
−=
φ∂
∂
∞
(2.8.b)
2.4. Equação do Torque Elétrico
O torque elétrico nos terminais da máquina síncrona pode ser calculado como na equação
(2.9) [9][11][13].
q
'
qd
'
dqe
i]Ei)xx[(T +−= (2.9)
A linearização da equação (2.9), mostrada nas equações (2.10), fornece a variação do
torque elétrico nos terminais da máquina síncrona.
'
q
0
'
q
e
q
0
q
e
d
0
d
e
e
E
E
T
i
i
T
i
i
T
T ∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=∆ (2.10)
q
'
dq
d
e
i)xx(
i
T
−=
∂
∂
(2.10.a)
'
qd
'
dq
q
e
Ei)xx(
i
T
+−=
∂
∂
(2.10.b)
q
'
q
e
i
E
T
=
∂
∂
(2.10.c)
A substituição das equações (2.7) e (2.8) nas equações (2.10) mostra os desvios para o
torque elétrico no eixo da máquina síncrona (equações (2.11)).
φ∆+∆+δ∆=∆
8
'
q21e
KEKKT (2.11)
Capítulo 2
10
0
q
'
q
0
q
d
0
d
q
'
dq1
i
0
E
i
0
i
i
0
i)xx(K
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
−=
(2.11.a)
0
q
0
'
q
d
'
dq2
i1
E
i
)xx(K +
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−= (2.11.b)
1
0
q
'
q
0
q
d
0
d
q
'
dq8
K
i
0
E
i
0
i
i
0
i)xx(K −=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
−−= (2.11.c)
2.5. Cálculo da Tensão Interna da Máquina Síncrona
Em [9][11][13] a variação da tensão interna da máquina síncrona (E’
q
) é obtida como nas
equações (2.12) e (2.13).
d
'
dd
'
qq
i)xx(EE −+= (2.12)
qfd
'
q
'
d
EEE
0
T −=
o
(2.13)
Substituindo (2.12) em (2.13), obtém-se a equação (2.14).
d
'
dd
'
qfd
'
q
'
0d
i)xx(EEET −−−=
o
(2.14)
Para pequenos desvios em torno de um ponto de equilíbrio, a equação (2.14) pode ser
linearizada, resultando na equação (2.15).
d
0
d
'
q
'
d
'
q
0
'
q
'
q
'
d
fd
0
fd
'
q
'
d
'
q
'
d
i
i
)E
0
T(
E
E
)E
0
T(
E
E
)E
0
T(
E
0
T ∆
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+∆
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+∆
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=∆
ooo
o
(2.15)
Capítulo 2
11
1
E
)ET(
fd
'
q
'
0d
=
∂
∂
o
(2.15.a)
1
E
)ET(
'
q
'
q
'
0d
−=
∂
∂
o
(2.15.b)
)xx(
i
)ET(
'
dd
d
'
q
'
0d
−−=
∂
∂
o
(2.15.c)
A substituição das equações (2.7) nas equações (2.15) fornece os desvios para a variação
da tensão interna da máquina síncrona (equações (2.16)).
φ∆−∆−δ∆−∆=∆
9
'
q
3
4fd
'
q
'
0d
KE
K
1
KEET
o
(2.16)
L
'
d
Ld
0
'
q
d
'
dd
3
xx
xx
E
i
)xx(1
K
1
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+= (2.16.a)
0
d
'
dd4
i
)xx(K
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
−= (2.16.b)
4
0
d
'
dd9
K
i
)xx(K −=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
−−= (2.16.c)
2.6. Tensão Terminal da Máquina Síncrona
A magnitude da tensão terminal da máquina síncrona, referida aos eixos direto e de
quadratura, é dada na equação (2.17) [9][11][13].
2
q
2
dt
VVV += (2.17)
Capítulo 2
12
A linearização de (2.18), após manipulações, fornece os desvios da tensão terminal em
função dos desvios das tensões de eixo direto e eixo de quadratura como nas equações (2.18).
q
0
q
t
d
0
d
t
t
V
V
V
V
V
V
V ∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=∆
(2.18)
t
d
d
t
V
V
V
V
=
∂
∂
(2.18.b)
t
q
q
t
V
V
V
V
=
∂
∂
(2.18.c)
Os desvios em torno de um ponto de operação das tensões de eixo direto (∆V
d
) e eixo em
quadratura (∆V
q
) podem ser escritos como nas equações (2.19) e (2.20), como afirmado em
[9].
qqd
ixV ∆=∆
(2.19)
'
qd
'
dq
EixV ∆+∆−=∆ (2.20)
Substituindo-se as equações (2.7) e (2.8) em (2.19) e (2.20), chega-se às equações (2.21) e
(2.22), que fornecem os desvios das tensões de eixo direto e de quadratura em função dos
desvios do ângulo interno, da tensão interna e do grau de compensação.
φ∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
φ∂
∂
+δ∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
=∆
0
q
q
0
q
qd
i
x
i
xV
(2.21)
φ∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
φ∂
∂
−∆
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+δ∆
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
−=∆
0
d
'
d
'
q
0
'
q
d
'
d
0
d
'
dq
i
xE
E
i
x1
i
xV (2.22)
Substituindo-se as equações (2.21) e (2.22) nas equações (2.18), tem-se os desvios da
Capítulo 2
13
tensão terminal da máquina síncrona, mostrados nas equações (2.23)
φ∆+∆+δ∆=∆
7
'
q65t
KEKKV (2.23)
0
d
'
d
t
q
0
q
q
t
d
5
i
x
0
V
0
V
i
x
0
V
0
V
K
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
=
(2.23.a)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
0
'
q
d
'
d
t
q
6
E
i
x1
0
V
0
V
K (2.23.b)
5
0
d
'
d
t
q
0
q
q
t
d
7
K
i
x
0
V
0
V
i
x
0
V
0
V
K −=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
−=
(2.23.c)
2.7. Interpretação Física das Constantes do Modelo do Sistema MBI/PS
constante
constantee
e
81
'
q
δ
T
KK
=φ
=
∆
∆
=−=
K
1
representa uma variação no torque elétrico, provocada pela variação do ângulo interno,
considerando constantes o enlace de fluxo com o eixo direto e o ângulo φ (e’
q
= constante e
φ = constante); é um coeficiente de torque de sincronização.
constante
constanteδ
'
q
e
2
∆e
∆T
K
=φ
=
=
K
2
representa uma variação no torque elétrico, provocada pela variação do enlace de fluxo
com o eixo direto, considerando constantes o ângulo interno e o ângulo φ (δ = constante e
φ = constante).
K
3
representa um fator de impedância que considera o efeito da impedância externa do
Capítulo 2
14
sistema (linha de transmissão e PS).
constante
constantee
'
q
3
94
fd
∆δ
∆e
K
1
KK
=φ
=
=−=
K
4
representa o efeito desmagnetizante de reação da armadura.
constante
constantee
t
75
'
q
∆δ
∆v
KK
=φ
=
=−=
K
5
representa uma variação na tensão terminal, provocada pela variação do ângulo interno,
considerando constantes o enlace de fluxo com o eixo direto e o ângulo φ (e’
q
= constante e
φ = constante).
constante
constanteδ
'
q
t
6
∆e
∆v
K
=φ
=
=
K
6
representa uma variação na tensão terminal, provocada pela variação do enlace de fluxo
com o eixo direto, considerando constantes o ângulo interno e o ângulo φ (δ = constante e
φ = constante).
2.8. Tensão de Campo da Máquina Síncrona
Para a inclusão da variação da tensão de campo da máquina síncrona no sistema MBI/PS,
será considerado o sistema de excitação representado por um bloco de primeira ordem
[9][10][11], com constante de tempo T
r
e ganho K
r
. Sendo assim, para pequenas variações em
torno de um ponto de equilíbrio, a variação da tensão de campo da máquina síncrona em sua
forma linearizada, é dada na equação (2.24), onde V
ref
é a tensão de referência.
t
r
r
ref
r
r
fd
r
fd
V
T
K
V
T
K
E
T
1
E ∆−∆+∆−=∆
o
(2.24)
Capítulo 2
15
2.9. Equações de Movimento da Máquina Síncrona
As equações que relacionam as grandezas mecânicas (velocidade angular do rotor (ω) e
ângulo interno (δ)) com as grandezas elétricas da máquina síncrona, são obtidas a partir da
equação de oscilação do gerador síncrono (equação “swing”), que em sua forma linearizada
são mostradas nas equações (2.25) e (2.26) [9][11][13].
ω∆ω=δ∆
0
o
(2.25)
)DTT(
M
1
em
ω∆−∆−∆=ω∆
o
(2.26)
Nas equações (2.25) e (2.26),
ω
o
é a velocidade síncrona (377 rad/s), M a constante de
inércia e D é o amortecimento inerente do sistema de potência devido à presença das cargas.
2.10. Representações do Sistema MBI/PS
Com as equações (2.11), (2.16) e (2.23 – 2.26), pode-se fazer uma representação do
sistema MBI/PS no espaço de estados, ou seja, representá-lo na forma das equações (2.27).
BuAxx +=
o
(2.27)
[
t
fd
'
q
eex ∆∆δ∆ω∆=
]
]
(2.27.a)
[
t
refm
vTu φ∆∆∆= (2.27.b)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−
ω
−−−
=
rr
6r
r
5r
'
0d
'
0d3
'
0d
4
0
21
T
1
T
KK
T
KK
0
T
1
TK
1
T
K
0
000
0
M
K
M
K
M
D
A (2.27.c)
Capítulo 2
16
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
r
r7
r
r
'
0d
9
8
T
KK
T
K
0
T
K
00
000
M
K
0
M
1
B
(2.27.d)
Nas equações (2.27), x é vetor de estados, u é vetor de entradas, A é matriz de estados e B
a matriz de entradas. Nesta representação, o grau de compensação foi considerado como uma
entrada para o sistema.
Para a representação do sistema MBI/PS através de diagrama de blocos, considere a
transformada de Laplace das equações (2.11), (2.16) e (2.23 – 2.26). Com isto é possível
representar o sistema MBI/PS através de funções de transferência, cujas conexões são
mostradas na Figura 2.2.
–
∆δ
K
2
K
5
K
6
∆
T
m
∆
e’
q
e
fd
–
–
D
Ms
1
+
∆
ω
'
0d3
3
TsK1
K
+
K
4
–
+
∆
v
t
+
+
+
∆
v
ref
–
K
1
s
0
ω
G
RAT(s)
K
8
K
9
K
7
∆
φ
–
+
–
laço eletromecânico
laço reativo
Figura 2.2: Diagrama de Blocos – Sistema MBI/PS
A partir da Figura 2.2 pode ser observado que o modelo linear do sistema MBI com um PS
em operação, é uma extensão do modelo convencional de Heffron & Phillips pelo surgimento
de três novas constantes (K
7
, K
8
e K
9
). Estas contribuições extras representam o impacto do
PS quando de sua instalação no sistema MBI.
Capítulo 2
17
Numericamente as constantes K
1
a K
6
(também presentes no modelo tradicional de Heffron
& Phillips), diferem das do modelo MBI/PS, pois em seus cálculos é considerada a inclusão
do PS no sistema.
Da mesma forma que no modelo convencional, no modelo do sistema MBI/PS, também
podem ser definidos os laços eletromecânico (envolvendo as grandezas ∆ω e ∆δ), e o reativo
(envolvendo o sistema de excitação do gerador), conforme pode ser visto na Figura 2.2.
2.11. Conclusões
Neste capítulo foram apresentados os efeitos da inclusão do dispositivo FACTS PS no
modelo matemático do sistema de potência máquina síncrona ligada a uma barra infinita.
A partir das equações que regem o sistema de potência, foi possível definir um modelo
para o sistema MBI/PS.
Pelo fato do objetivo deste trabalho ser o estudo da estabilidade a pequenas perturbações, o
modelo resultante foi descrito por equações diferenciais e algébricas lineares.
Observou-se que o modelo linear do sistema MBI/PS é uma ampliação do modelo
convencional de Heffron & Phillips (Apêndice I), sendo igualmente representado por
constantes, podendo também ser definidos os laços eletromecânico e reativo.
No modelo do sistema MBI/PS permanecem as seis constantes do modelo convencional
(K
1
a K
6
) e a inclusão do PS ao sistema MBI é refletido pelo surgimento de três novas
constantes (K
7
, K
8
e K
9
) [15][16].
Com a definição do modelo, foram realizadas representações do sistema MBI/PS no
domínio do tempo (representação no espaço de estados), e no domínio da freqüência
(diagrama de blocos, através de funções de transferência).
No próximo capítulo pretende-se estudar o comportamento das constantes que definem o
modelo MBI/PS quando da variação do carregamento do sistema de potência.
Capítulo 3
18
Capítulo 3
Constantes do Modelo Linear
MBI/PS
3.1. Introdução
Neste capítulo é analisado o comportamento das constantes que definem o modelo MBI/PS
quando da variação do carregamento do sistema [26], através de simulações para um sistema
exemplo [9], cujos principais dados são apresentados no Apêndice II.
As condições de simulação foram tensão terminal constante em 1.0 pu, com a potência
elétrica variando entre 0.1 pu e 1.0 pu, com fator de potência de 0.85 indutivo.
Para o grau de compensação φ (defasagem introduzida pelo PS), admitiu-se três situações
(–30
0
, 10
0
e 30
0
) [6].
3.2. Análise da Influência do Carregamento nas Constantes do Sistema MBI/PS
A Figura 3.1 apresenta os resultados para a constante K
1
onde observa-se que para baixos
carregamentos, a atuação do PS com grau de compensação no limite inferior (–30
o
), aumenta
o coeficiente de torque de sincronização (K
1
), diminuindo-o quando o sistema se torna mais
carregado. O inverso ocorre com o PS fazendo a compensação no limite superior (30
o
):
diminuição de K
1
para baixo carregamento e aumento para sistema bastante carregado. Das
Capítulo 3
19
simulações realizadas verificou-se que para valores intermediários de compensação, as curvas
que descrevem o comportamento da constante K
1
ficam entre as curvas dos limites inferior e
superior. Comparando-se a curva para φ = 10
0
(valor usual de operação [6]), com a curva
referente ao sistema sem PS (φ = 0
0
), pode-se concluir que para este sistema exemplo, o
coeficiente de torque de sincronização é diminuído com a entrada do PS em operação.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
potência elétrica (pu)
K
1
φ
= –30
0
φ
= 10
0
φ
= 30
0
sem PS
(
φ
= 0
0
)
Figura 3.1: K
1
x P
e
Na Figura 3.2 tem-se o comportamento da constante K
2
, que representa a contribuição das
variações da tensão interna na formação do torque elétrico.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
potência elétrica (pu)
K
2
φ
= –30
0
φ
= 10
0
φ
= 30
0
sem PS (
φ
= 0
0
)
Figura 3.2: K
2
x P
e
Capítulo 3
20
Dos estudos realizados verificou-se que para o PS agindo com compensação positiva (
φ
>
0), esta contribuição diminui, quando comparada com o sistema sem PS, enquanto que para
φ
< 0, a contribuição aumenta. Outro fato observado é que, diferentemente do que ocorria com o
sistema sem PS, quando K
2
é sempre positiva para o sistema operando em condições usuais, a
instalação do PS pode tornar esta constante negativa, no caso de φ > 0 (na Figura 3.2 vê-se
que para
φ = 30
o
, K
2
é negativa para baixo carregamento, aumentando seu valor conforme o
carregamento aumenta). Para a compensação usual de 10
0
, a constante K
2
é positiva para o
sistema exemplo simulado.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
K
3
potência elétrica (pu)
Figura 3.3: K
3
x P
e
A Figura 3.3 mostra o comportamento da constante K
3
, que não sofre alteração com a
instalação do PS no sistema, nem do grau de compensação utilizado (da mesma forma que no
modelo de Heffron & Phillips, independe do carregamento do sistema).
A representação do efeito desmagnetizante da reação de armadura (constante K
4
), é
mostrada na Figura 3.4, onde pode ser observado que este efeito aumenta na medida em que
φ
diminui. Além disso, para baixo carregamento e compensação de 30º, a reação de armadura
pode ser negativa. Para compensação negativa, a constante K
4
se mostrou positiva e para φ =
10
0
, positiva e menor que o sistema sem PS.
Na Figura 3.5 é mostrado o comportamento da constante K
5
que quando positiva (K
5
> 0),
fornece ao sistema torques de sincronização negativo e amortecimento positivo. Para K
5
< 0,
o torque de sincronização será positivo e o de amortecimento negativo [9][10][11][13].
Capítulo 3
21
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
potência elétrica (pu
)
K
4
φ
= –30
0
φ
= 30
0
φ
= 10
0
sem PS
(
φ
= 0
0
)
Figura 3.4: K
4
x P
e
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.3
-0.2 5
-0.2
-0.1 5
-0.1
-0.0 5
0
0.05
0.1
K
5
potência elétrica (pu
)
φ
= –30
0
φ
= 30
0
φ
= 10
0
sem PS
(
φ
= 0
0
)
Figura 3.5: K
5
x
P
e
Observe que para grau de compensação no limite superior (30
o
), esta constante apresenta
valores negativos para baixo carregamento e positivos para sistema bastante carregado. Isto
permite concluir que com esta compensação, será fornecido ao sistema torques de
sincronização positivo e amortecimento negativo, para a condição de carregamentos baixos.
Esta contribuição negativa de torque de amortecimento não deve comprometer a integridade
do sistema, pois as demais contribuições, aliada à situação de sistema pouco carregado, ainda
propiciarão um torque de amortecimento líquido positivo, mantendo o sistema estável.
Ainda para grau de compensação no limite superior, mas considerando alto carregamento,
Capítulo 3
22
a contribuição para o sincronismo do sistema será negativo e o de amortecimento positivo.
Nesta condição de operação, onde os problemas de estabilidade são maiores, principalmente
relacionados ao amortecimento do sistema de potência, a contribuição do PS será no sentido
de aumentar o torque de amortecimento. A contribuição negativa ao sincronismo não deverá
prejudicar a estabilidade do sistema, visto que nesta situação, a contribuição de sincronização
de K
1
será positiva e maior que a contribuição de K
5
(ver Figura 3.1).
Para compensação negativa do PS (φ < 0), das simulações observou-se que a constante K
5
se torna mais negativa a carregamentos menores que na situação de sistema sem o PS. A
condição de baixo carregamento e compensação negativa não deverá prejudicar a estabilidade
do sistema, pelo que já foi exposto. A situação se torna preocupante para carregamentos de
médio a alto e compensação negativa, pois assim será produzido torque de amortecimento
negativo, o que poderá tornar o sistema bastante oscilatório ou até mesmo instável.
Para
φ = 10
o
, K
5
se torna negativa para carregamentos maiores que os que ocorria com o
sistema sem PS, fornecendo assim maior torque de amortecimento positivo para condições
usuais de operação.
Na Figura 3.6 são mostradas as simulações referentes ao parâmetro K
6
, que representa a
contribuição das variações da tensão interna da máquina síncrona na formação dos desvios da
tensão terminal. Observe que a instalação do PS torna a tensão terminal do sistema mais
sensível às variações da tensão interna, quando comparada com o sistema sem o PS. Note
também que a constante K
6
é sempre positiva para todos os carregamentos simulados.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
potência elétrica (pu)
K
6
φ
= –30
0
φ
= 30
0
φ
= 10
0
sem PS
(
φ
= 0
0
)
Figura 3.6: K
6
x
P
e
Com a inclusão do PS no sistema, surgem no modelo linear três novas constantes (K
7
, K
8
e
Capítulo 3
23
K
9
), que representam os efeitos da inclusão do transformador defasador no sistema MBI. Das
equações (2.11.c), (2.16.c) e (2.23.c), vê-se que K
7
= –K
5
, K
8
= –K
1
e K
9
= –K
4
. Desta forma,
K
7
, K
8
e K
9
traduzem a contribuição da variação da defasagem introduzida pelo PS na
formação dos desvios da tensão terminal, torque elétrico e tensão interna da máquina
síncrona.
Na Figura 3.7 está o comportamento da constante K
7
, quando da variação da potência
elétrica.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.1
-0.0 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
potência elétrica (pu)
K
7
φ
= –30
0
φ
= 10
0
φ
= 30
0
Figura 3.7: K
7
x
P
e
Analisando a equação (2.23), pode-se concluir que a variação do grau de compensação do
PS (
∆φ), terá um efeito contrário ao da variação do ângulo interno da máquina síncrona (∆δ),
na formação dos desvios da tensão terminal. Fazendo-se um paralelo com o modelo
tradicional de Heffron & Phillips, pode-se afirmar que através de K
7
será formado no sistema
MBI/PS torque elétrico em fase com o ângulo
∆φ e também, torque elétrico no eixo (j∆φ)
(adiantado 90
o
do eixo ∆φ). A avaliação se estes torques são de sincronização (em fase com
∆δ) ou de amortecimento (em fase com ∆ω), será feita quando da definição do sistema de
controle da defasagem
φ e do sinal de entrada que será utilizado.
Na Figura 3.8 tem-se o efeito da variação do grau de compensação do PS na formação do
torque elétrico da máquina síncrona (constante K
8
), que é o oposto da Figura 3.1 (ver também
equação (2.11.c)).
Capítulo 3
24
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-1.3
-1.2
-1.1
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
K
8
potência elétrica (pu)
φ
= –30
0
φ
= 30
0
φ
= 10
0
Figura 3.8: K
8
x
P
e
Esta constante pode ser entendida como um coeficiente de torque de sincronização para o
ângulo
φ (o torque elétrico formado está em fase com ∆φ). Novamente, a decisão se este
torque está em fase com as variações do ângulo interno
∆δ ou com as variações da velocidade
angular
∆ω, será possível quando da escolha do sistema de controle da defasagem φ e do
correspondente sinal de entrada.
A Figura 3.9 traduz o efeito de “reação da armadura” introduzido pelo PS no sistema
MBI/PS.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
potência elétrica (pu
)
K
9
φ
= 30
0
φ
= 10
0
φ
= –30
0
Figura 3.9: K
9
x
P
e
Para este caso pode ser observado que este efeito diminui na medida em que o grau de
Capítulo 3
25
compensação vai diminuindo. Além disso, pode ser visto que para compensações de 10
o
e –
30º, a reação de armadura resultou negativa para todas as condições de simulação. Para
compensação de 30º, o efeito desmagnetizante da reação de armadura se mostrou positivo
para baixo carregamento e negativo para carregamentos médio e alto.
3.3. Conclusões
Neste capítulo foram apresentados estudos a respeito das constantes que definem o modelo
MBI/PS (K
1
a K
9
), quando da variação do ponto de operação do sistema de potência.
Através de simulações foi estudado o comportamento destas nove constantes para
diferentes graus de compensação (diferentes valores de
φ), em função do carregamento do
sistema.
Observou-se que apenas a constante K
3
não depende do carregamento nem do grau de
compensação, sendo determinada apenas pelas reatâncias representadas no sistema. Todas as
demais constantes dependem dos parâmetros da máquina síncrona, PS, reatância externa e
carga do sistema.
Fazendo-se uma analogia com o modelo tradicional de Heffron & Phillips para o sistema
MBI, foi feita uma primeira avaliação dos coeficientes de torques de sincronização e
amortecimento formados no sistema MBI/PS através das constantes K
1
e K
5
.
As constantes que refletem a inclusão do PS no sistema MBI (K
7
, K
8
e K
9
) também foram
avaliadas. Observou-se que estas constantes se comportam de maneira oposta às constantes
K
5
, K
1
e K
4
, respectivamente (este fato também pode ser comprovado pelas equações (2.11.c),
(2.16.c) e (2.23.c) do Capítulo 2).
Baseado no comportamento da constante K
7
e comparando-a com o efeito da constante K
5
do modelo de Heffron e Phillips para o sistema MBI, concluiu-se que ela deve fornecer torque
elétrico em fase com os eixos
∆φ e (j∆φ). De maneira similar, a constante K
8
fornecerá torque
elétrico em fase com o eixo
∆φ. A avaliação se estes torques serão de sincronização (em fase
com a grandeza
∆δ), ou de amortecimento (em fase com a grandeza ∆ω) será feita quando da
definição do sistema de controle para o grau de compensação do PS e de seu correspondente
sinal de entrada.
Para a constante K
9
, pela sua posição nas equações do sistema MBI/PS, concluiu-se que ela
representa o efeito desmagnetizante da reação de armadura introduzida pelo PS.
No próximo capítulo será avaliado como o PS instalado no sistema MBI influi na sua
Capítulo 3
26
estabilidade quando este é submetido a pequenas perturbações em torno de um ponto de
equilíbrio.
Capítulo 4
27
Capítulo 4
Influência do PS na Estabilidade a
Pequenas Perturbações
4.1. Introdução
Neste capítulo será avaliado o comportamento dinâmico do sistema MBI/PS quando
submetido a pequenas perturbações em torno de um ponto de equilíbrio. Para isto serão
avaliadas três situações distintas para o sistema:
• Sistema MBI sem o PS
• Sistema MBI com o grau de compensação atuando como entrada para o sistema (ajuste
manual da defasagem φ).
• Sistema MBI com o grau de compensação atuando como uma variável de estado
(ajuste da defasagem φ através de um dispositivo de controle).
Para este último caso, será definido inicialmente o sistema de controle a ser instalado junto
ao PS e será avaliado qual o efeito deste na estabilidade do sistema.
4.2. Sistema MBI sob a Influência do PS
Para uma primeira avaliação da influência do PS na estabilidade do sistema MBI, foram
Capítulo 4
28
realizadas simulações para um sistema exemplo adaptado de [9] (Apêndice II). O distúrbio
avaliado foi uma variação em degrau de 0.05 pu no torque mecânico de entrada (∆T
m
= 0.05).
A tensão terminal e a potência elétrica foram mantidas em 1.0 pu. O grau de compensação (φ)
foi de 10
o
(constante).
Utilizando as equações (2.27) , foram realizadas simulações e a Figura 4.1 mostra um dos
resultados, no caso, as variações da velocidade do rotor (∆ω), em função do tempo.
Desta Figura pode ser observado que o sistema sem a inclusão do PS é instável (as
oscilações possuem amplitude crescente). Com o PS em operação, o sistema se torna estável
para este ponto de operação. Isto se tornou possível apenas com a inclusão de uma defasagem
adequada, que permaneceu constante durante todo o processo, sem nenhum controle sobre ela.
Este fato mostra que a inclusão de um PS no sistema elétrico de potência pode trazer
efeitos benéficos para a estabilidade a pequenas perturbações.
0
1
2
3
4
5
6
-3
-2
-1
0
1
2
3
x 10
-3
tempo (s)
∆ω
(pu)
sem PS
com PS (
φ
= 10
o
)
Figura 4.1: Variações da Velocidade Angular (∆ω)
4.3. Efeitos do Grau de Compensação no Amortecimento das Oscilações do Sistema
de Potência
Para se avaliar a influência do grau de compensação na estabilidade a pequenas
perturbações do sistema MBI, novas simulações foram realizadas com diferentes valores para
o ângulo φ (–10
o
, 0
0
, 10
o
, 20
o
e 30
o
), sendo considerado que ∆φ era uma entrada para o
sistema (equações (2.27)). As condições de simulação foram potência elétrica em 0.8 pu e
Capítulo 4
29
tensão terminal de 1.0 pu. O distúrbio considerado foi o mesmo da simulação anterior
(variação em degrau de 0.05 pu no torque mecânico ∆T
m
de entrada do sistema MBI).
Para facilidade de visualização, a Figura 4.2 mostra as variações do ângulo interno (∆δ)
apenas para valores de φ de –10
o
, 10
o
e 20
o
.
O primeiro fato a ser destacado é a importância do grau de compensação adequado.
Observe que para φ = -10
o
o sistema é instável, enquanto que para os outros valores simulados
o sistema é estável.
Destaca-se também que para φ = 20
o
, a amplitude da primeira oscilação é maior que para φ
= 10
o
, mas a compensação que propicia maior amortecimento é aquela com grau de
compensação de 20
o
.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
tempo (s)
∆δ
(radianos)
φ
= –10
0
φ
= 10
0
φ
= 20
0
Figura 4.2: Variações do Deslocamento Angular (∆δ)
Conclusão semelhante pode ser obtida da Tabela 4.1, onde são mostrados os autovalores
dominantes da matriz de estados A, [27][28][29] para todos os casos simulados, o coeficiente
de amortecimento (ξ), a freqüência natural não amortecida ω
n
(rad/s) e o valor final dos
desvios do ângulo δ (graus).
O melhor desempenho com respeito ao amortecimento ocorreu com φ = 20
o
(ver
coeficiente de amortecimento do sistema – coluna 3, Tabela 4.1). Outro fato interessante a ser
observado é que as simulações indicam que com o aumento do grau de compensação, ocorre
uma diminuição do poder de sincronização do sistema (observe o aumento dos desvios finais
do ângulo interno – coluna 4, Tabela 4.1).
Capítulo 4
30
Tabela 4.1: Autovalores Dominantes – Influência do Grau de Compensação φ
φ
autovalores
ξ
ω
n
∆δ
-10
o
0,1090 ± j9,3071
-0,0117 9,3077 -
0
o
-0,0953 ± j9,1742
0,0104 9,1746 2,79
10
o
-0,2130 ± j8,7927
0,0242 8,7952 3,20
20
o
-0,2431 ± j8,2529
0,0294 8,2565 3,66
30
o
-0,1945 ± j7,6716
0,0253 7,6741 4,15
Com base ainda nos dados da Tabela 4.1, pode-se concluir que em se tratando do grau de
compensação, o sistema MBI se comporta de uma maneira não linear no que se refere ao
amortecimento, ou seja, à medida que se aumenta o grau de compensação, o amortecimento
aumenta até certo valor de φ (no caso simulado, em torno de 20
o
), decrescendo em seguida,
mesmo com o aumento do grau de compensação. Na questão do sincronismo, os resultados
indicam que o aumento do grau de compensação provoca um maior desvio do ângulo interno,
em regime permanente.
4.4. Controle do PS
Assumindo que a resposta dinâmica de um gerador é causada pelo desequilíbrio entre
torque mecânico e torque elétrico, quando o PS é instalado no sistema MBI, pode-se ver da
equação (2.11), que o torque elétrico pode ser ajustado (assumindo excitação e deslocamento
angular constantes), pelo controle do ângulo defasador
φ
∆
.
Para se introduzir uma dinâmica no grau de compensação (isto é, permitir que φ varie de
acordo com o desempenho do sistema), considere o sistema de controle mostrado na Figura
4.3 (conforme sugerido em [17]).
t
t
sT1
K
+
∆
y(s)
–
+
∆
φ
ref
(s)
aPS
aPS
sT1
K
+
∆
φ
(s)
Figura 4.3: Controle do Grau de Compensação do PS
O digrama de blocos que define o modelo linear de Heffron & Phillips “ampliado” com um
Capítulo 4
31
controle para o PS é mostrado no Anexo I.
No diagrama de blocos da Figura 4.3, K
t
e T
t
representam o ganho e a constante de tempo
do circuito de disparo do tiristor, respectivamente [17].
O bloco de primeira ordem de ganho K
aPS
e constante de tempo T
aPS
representam a função
de transferência do circuito necessário para a adequação do sinal de entrada do dispositivo de
controle.
∆y(s) é o sinal de entrada para o controle do grau de compensação (para uma
primeira análise será considerado que
∆y(s) = ∆ω(s) (variações da velocidade angular do
rotor)[17][25]).
Para se avaliar o efeito deste controle no desempenho dinâmico do sistema MBI, serão
considerados dois exemplos, divididos em três casos: primeiro o sistema MBI sem PS (Caso
1) (equações no Apêndice I), seguido de sistema MBI com a presença do PS, sendo
considerado para
φ um valor constante igual a 10
o
(Caso 2) (equações (2.27),), e finalizando o
sistema MBI com PS e dispositivo de controle (ângulo φ se torna variável de estado – Caso 3),
cujas equações para representação no espaço de estados são mostradas na seqüência.
BuAxx +=
o
(4.1)
vetor de estados:
(4.1.a)
[
t
fd
'
q
eex φ∆∆∆δ∆ω∆=
]
]
vetor de entradas:
(4.1.b)
[
t
refm
vTu ∆∆=
matriz de estados:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−−−
−−−−
ω
−−−−
=
aPSaPS
aPS
r
7r
rr
6r
r
5r
'
0d
9
'
0d
'
0d3
'
0d
4
0
8
21
T
1
000
T
K
T
KK
T
1
T
KK
T
KK
0
T
K
T
1
TK
1
T
K
0
0000
M
K
0
M
K
M
K
M
D
A
(4.1.c)
Capítulo 4
32
matriz de entradas:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00
T
K
0
00
00
0
M
1
B
r
r
(4.1.d)
Para os parâmetros do sistema de controle do grau de compensação serão considerados K
t
= 1.0, T
t
= 0, K
aPS
= 20 e T
aps
= 0.15 (s) [17]. As condições de simulação foram tensão
terminal de 1.0 pu. O distúrbio considerado foi uma variação em degrau de 0.05 pu no torque
mecânico de entrada do sistema MBI.
Para o primeiro exemplo, a potência elétrica foi fixada em 1.0 pu e na Figura 4.4 são
mostradas as curvas das variações da velocidade do rotor (∆ω) para os três casos.
Das curvas pode-se notar que o sistema sem a atuação do PS é instável (Caso 1). Em
contrapartida, a operação do PS torna o sistema estável (Casos 2 e 3). Além disso, pode ser
observado que quando existe uma dinâmica para o controle do ângulo φ (Caso 3 – controle
automático da defasagem), o sistema MBI tem o melhor comportamento no que diz respeito
ao amortecimento de suas oscilações. Esta conclusão pode também ser retirada da Tabela 4.2,
através dos valores dos coeficientes de amortecimento dos autovalores dominantes do sistema
MBI, mostrados na coluna 3.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x 10
-3
tempo (s)
∆ω
(pu)
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Figura 4.4: Influência do Controle do Grau de Compensação – Exemplo 1
Capítulo 4
33
Tabela 4.2: Autovalores Dominantes – Influência do Controle de φ
Casos
autovalores
ξ
ω
n
(rad/s)
∆δ (
o
)
1
0,1179 ± j9,2807
-0,0127 9,2815 -
2
-0,0765 ± j9,1686
0,0083 9,1689 2,79
3
-0,7903 ± j10,332
0,0765 10,332 2,79
Outro fato que pode ser observado da Tabela 4.2 é que os desvios finais para o ângulo
interno do gerador (∆δ) (coluna 4), não diferem do Caso 2 para o Caso 3, indicando que a
presença ou não do controle para o grau de compensação não influencia na capacidade de
sincronização do sistema MBI (as simulações mostraram uma diferença de 10
-5
entre os
valores finais de desvios).
O carregamento do sistema do exemplo 1 foi aumentado em 0.5 pu, isto é, a potência
elétrica foi alterada para 1.5 pu e novas simulações foram realizadas. As curvas das variações
da velocidade do rotor em função do tempo para os três casos são mostradas na Figura 4.5.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
tempo (s)
∆ω
(pu)
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Figura 4.5: Influência do Controle do Grau de Compensação – Exemplo 2
Da Figura 4.5 observa-se que com o aumento do carregamento (P
e
= 1.5 pu), o sistema
MBI é instável tanto para o Caso 1 (MBI sem PS), quanto para o Caso 2 (MBI com PS, φ
valor constante). Para esta situação, o Caso 3 foi o único onde o sistema se manteve estável.
Este fato permite concluir que quando se acrescenta um sistema de controle para o grau de
compensação do PS, o sistema MBI tem um melhor comportamento no que diz respeito ao
amortecimento de suas oscilações.
Capítulo 4
34
4.5. A Influência do Ganho K
aPS
na Estabilidade a Pequenas Perturbações
Para se avaliar o impacto do ganho K
aPS
sobre a estabilidade a pequenas perturbações do
sistema MBI, foram realizadas novas simulações para diferentes valores de ganhos.
As condições de simulação foram potência elétrica em 0.8 pu e tensão terminal de 1.0 pu.
O distúrbio considerado foi de 0.05 pu no torque mecânico de entrada do sistema. O ganho
K
aPS
assumiu valores de 10, 20 e 30. A constante de tempo T
aPS
foi mantida em 0.15
segundos. O grau de compensação inicial foi mantido em 10
o
.
A figura 4.6 mostra o comportamento das variações do ângulo interno (∆δ), para o sistema.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
tempo (s)
∆δ
(radianos)
K
aPS
= 10
K
aPS
= 20
K
aPS
= 30
Figura 4.6: Influência do Ganho K
aPS
Das simulações pode-se concluir que o aumento de K
aPS
fornece ao sistema MBI maior
amortecimento, isto é, quanto maior for o ganho K
aPS
, maior será o amortecimento
introduzido pelo PS no sistema MBI.
A Tabela 4.3 mostra os autovalores do sistema MBI para os valores simulados de K
aPS
.
Analisando a quinta coluna da Tabela 4.3 (valores finais dos desvios do ângulo interno, em
graus), é possível concluir que o ganho K
aPS
não interfere nos valores finais destes desvios.
Outro fato interessante a ser observado na Tabela 4.3 são os deslocamentos sofridos pelos
autovalores do sistema, quando da variação do ganho K
aPS
.
Para os três casos simulados, o sistema MBI apresenta um pólo real negativo bem distante
do eixo imaginário, quando comparado com os demais autovalores (aproximadamente –95,
linhas 1, 5 e 8 – coluna 1, Tabela 4.3). Também para os três casos, existe um par complexo
Capítulo 4
35
conjugado de autovalores, com freqüência natural em torno de 9.5 rad/s (linhas 4, 6 e 9 –
coluna 1, Tabela 4.3), freqüência esta típica de oscilações eletromecânicas de modo local [12].
Tabela 4.3: Autovalores do Sistema MBI – Influência do Ganho K
aPS
K
aPS
Autovalores
ξ
ω
n
(rad/s) ∆δ (
o
)
-95,2426 - -
-5,8108 - -
-4,9743 - -
10
-0,5954 ± j9,3155
0,0638 9,3346
3,20
-95,2431 - -
-0,9398 ± j9,8721
0,0948 9,9167
20
-5,0479 ± j0,3596
0,9975 5,0607
3,20
-95,2436 - -
-1,2384 ± j0,4482
0,1177 10,5213
30
-4,7490 ± j0,4452
0,9956 4,7698
3,20
Para o caso de K
aPS
igual a 10, existem dois autovalores reais e negativos (linhas 2 e 3 –
coluna 1, Tabela 4.3), enquanto que para as situações de K
aPS
com valores de 20 e 30, surgem
pares complexos conjugados (linhas 7 e 10 – coluna 1, Tabela 4.3). Esta constatação indica
um “desligamento” dos dois pólos antes reais negativos (para K
aPS
igual a 10), do eixo real,
tornando-se pólos complexos conjugados. Este pólo está relacionado com outros modos do
sistema, que não o eletromecânico.
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
9
9.5
10
10.5
11
11.5
12
eixo real
eixo imaginário
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Figura 4.7: Trajetória do Autovalor do Modo Local de Oscilação
Capítulo 4
36
Para um melhor entendimento da trajetória dos autovalores do sistema MBI quando da
variação do ganho K
aPS
, novas simulações foram realizadas, para diferentes valores desta
grandeza (5 ≤ K
aPS
≤ 50).
A Figura 4.7 mostra o deslocamento sofrido pelo pólo relacionado com a oscilação
eletromecânica de modo local (apenas o semiplano esquerdo positivo do plano complexo).
Observe que este pólo, à medida em que se aumenta o ganho K
aPS
, descreve uma trajetória
que o afasta dos eixos real e imaginário.
Esta modificação na posição do pólo indica aumentos do coeficiente de amortecimento e
freqüência de oscilação.
A Figura 4.8 mostra a trajetória dos pólos que “descolam” do eixo real (apenas o
semiplano esquerdo do plano complexo).
-6.5
-6
-
5.5
-
5
-
4.5
-
4
-
0.5
-
0.4
-
0.3
-
0.2
-
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
eixo real
eixo imaginário
5
1010
15
15
20
20
25
30
35
40
45
50
25
30
35
40
45
50
5
Figura 4.8: Trajetória do Autovalor
Observe que no caso simulado, para um aumento de K
aPS
até um determinado valor menor
que 15, os pólos são reais e negativos. Para valores de K
aPS
entre aproximadamente 15 e 45,
os pólos “deixam” o eixo real, tornando-se pares complexos conjugados. Para valores de K
aPS
maiores ou iguais a 50, os pólos “retornam” ao eixo real.
Simulações adicionais mostraram que o aumento indiscriminado de K
aPS
faz com que os
pólos, agora reais negativos, tendam assintoticamente para valores entre – 4.76 e 0, não
deixando mais o eixo real e também não atingindo o semiplano direito do plano complexo (o
que caracterizaria a instabilidade do sistema MBI/PS).
Capítulo 4
37
4.6. Conclusões
A partir de um modelo linear do sistema MBI com um PS em operação, foram realizadas
simulações para se avaliar o efeito do PS na estabilidade a pequenas perturbações do sistema
elétrico.
Inicialmente comparou-se um sistema MBI convencional a um com um PS instalado.
Observou-se que o sistema MBI sem o PS, num ponto de operação de alto carregamento era
instável. Ao se colocar um PS atuando no sistema, introduzindo uma compensação de fase
adequada, este mesmo ponto de operação tornou-se estável. Concluiu-se então que o PS pode
fornecer, quando adequadamente ajustado amortecimento às oscilações do sistema elétrico de
potência. Deve ser ressaltado que nesta primeira avaliação da atuação do PS nenhum controle
foi realizado sobre o grau de compensação por ele introduzido. Este foi mantido constante em
todo o processo.
Para se avaliar como o nível de compensação influenciaria a estabilidade, novas
simulações foram realizadas, onde o grau de compensação assumiu valores diferentes, mas
ainda sem permitir nenhuma modificação sobre ele (a defasagem introduzida era tratada como
uma “entrada” para o sistema MBI).
Concluiu-se pela importância do grau de compensação adequado, pois um sistema sem PS,
anteriormente estável, ao se colocar uma compensação inconveniente, tornou-se instável.
Observou-se também que o desempenho do sistema MBI, no tocante ao amortecimento das
oscilações, comporta-se de uma maneira não linear: aumentando-se o grau de compensação, o
amortecimento aumenta até um determinado valor. Se continuar aumentando a defasagem
introduzida pelo PS, o amortecimento fornecido às oscilações tende a diminuir. Outra
conclusão obtida foi que o aumento do grau de compensação acarreta um maior desvio, em
regime permanente, do ângulo interno do sistema MBI (menor poder de sincronização).
Em seguida passou-se a avaliar como a introdução de um controle para o grau de
compensação influenciaria na estabilidade do sistema MBI. Para estas simulações, o sinal de
entrada utilizado para o controle do grau de compensação foi a variação da velocidade do
rotor (∆ω).
Simulou-se um sistema num ponto de operação de alto carregamento, em que ocorria a
instabilidade. Neste mesmo ponto de operação, ao sistema foi adicionado um PS com um
determinado grau de compensação constante e notou-se que o sistema se tornava estável. Ao
se adicionar ao PS um sistema de controle para o grau de compensação (neste caso a variação
Capítulo 4
38
da defasagem introduzida pelo PS se torna uma variável de estado), observou-se que mais
amortecimento foi introduzido no sistema.
Ao se aumentar ainda mais o carregamento, apenas o sistema MBI equipado com PS e
controle do grau de compensação conseguiu manter a estabilidade. Concluiu-se pela eficácia
do controle de compensação adicionado ao PS para o amortecimento das oscilações do
sistema.
Finalizando, avaliou-se como o ganho do controle de defasagem do PS atuaria na
estabilidade a pequenas perturbações.
Das simulações pode-se concluir que o aumento deste ganho fornece ao sistema MBI
maior amortecimento, isto é, quanto maior for o ganho do controle, maior será o
amortecimento introduzido pelo PS no sistema MBI.
Além disso, observou-se das simulações realizadas para o sistema exemplo que o aumento
do ganho do controle provocava um deslocamento do autovalor relacionado ao modo de
oscilação eletromecânico, afastando-o dos eixos real e imaginário. Outros dois autovalores
presentes no sistema, que para ganhos baixos eram reais e negativos, com o aumento do
ganho se tornavam par complexo conjugado. Um maior aumento do ganho levava-os
novamente ao eixo real, mas sempre no semiplano esquerdo do plano complexo.
Quanto aos desvios do ângulo interno em regime permanente, foi possível concluir que o
ganho do controle do PS não exerce influência sobre eles.
Capítulo 5
39
Capítulo 5
Sinais de Entrada para o Controle do
PS
5.1. Introdução
Neste capítulo serão avaliados três sinais de entrada para o controle do grau de
compensação do PS (∆y(s)), a saber: variações da corrente elétrica (∆I), variações da potência
elétrica (∆P
e
) e variações da velocidade angular do rotor (∆ω).
O objetivo é verificar quais destes sinais fornece melhores resultados no desempenho
dinâmico do sistema MBI/PS quando este é submetido a pequenas perturbações. As análises
serão baseadas em simulações e através dos autovalores da matriz de estados.
5.2. Análise do Sinal Referente às Variações da Corrente Elétrica (∆I)
A magnitude da corrente terminal da máquina síncrona, escrita em função das correntes de
eixo direto e eixo de quadratura, pode ser calculada como na equação (5.2.1).
2
q
2
dt
t
~
qd
t
~
iiiijiii +==→+= (5.1)
A linearização da equação (5.1), após manipulações, fornece os desvios da corrente
Capítulo 5
40
terminal em função dos desvios das correntes de eixo direto e eixo de quadratura (equações
(5.2)).
q
0
q
t
d
0
d
t
t
i
i
i
i
i
i
i ∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=∆
(5.2)
()
t
d
2
1
2
q
2
d
d
d
t
i
i
ii
i
i
i
=
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
(5.2.a)
()
t
q
2
1
2
q
2
d
d
q
t
i
i
ii
i
i
i
=
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
(5.2.b)
Substituindo as equações (2.7) e (2.8), nas equações (5.2), as variações da magnitude da
corrente terminal são dadas pelas equações (5.3).
φ∆+∆+δ∆=∆
3
'
q21t
mEmmi (5.3)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ∂
∂
=
0
q
t
q
0
d
t
d
1
i
i
i
i
i
i
m
(5.3.a)
0
`
q
d
t
d
2
E
i
i
i
m
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
= (5.3.b)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
φ∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
φ∂
∂
=
0
q
t
q
0
d
t
d
3
i
i
i
i
i
i
m
(5.3.c)
Nas equações (5.3), as constantes m
1
, m
2
e m
3
podem ser interpretadas como:
- m
1
representa uma variação da corrente terminal provocada pelas variações do ângulo
interno, considerando o grau de compensação e a tensão interna constantes;
- m
2
representa uma variação da corrente terminal provocada pelas variações da tensão
Capítulo 5
41
interna, considerando o grau de compensação e o ângulo interno constantes;
- m
3
representa uma variação da corrente terminal provocada pelas variações do grau de
compensação, supondo o ângulo interno e a tensão interna constantes.
A representação no espaço de estados do sistema MBI/PS, considerando como sinal de
entrada do controle de φ as variações da corrente elétrica são dadas pelas equações (5.4).
BuAxx +=
o
(5.4)
vetor de estados:
(5.4.a)
[
t
fd
'
q
eex φ∆∆∆δ∆ω∆=
]
]
vetor de entradas:
(5.4.b)
[
t
refm
vTu ∆∆=
matriz de estados:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−−−
−−−−
−−−
ω
−−−−
=
aPS
3aPS
aPS
2aPS
aPS
1aPS
r
7r
rr
6r
r
5r
'
0d
9
'
0d
'
0d3
'
0d
4
0
8
21
T
)mK1(
0
T
mK
T
mK
0
T
KK
T
1
T
KK
T
KK
0
T
K
T
1
TK
1
T
K
0
0000
M
K
0
M
K
M
K
M
D
A
(5.4.c)
matriz de entradas:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00
T
K
0
00
00
0
M
1
B
r
r
(5.4.d)
5.3. Análise do Sinal Referente às Variações da Potência Elétrica (∆P
e
)
Considerando ∆y(s) as variações da potência elétrica (que em valores pu se confunde com
o torque elétrico) (equação (2.11)), é possível fazer a representação em espaço de estados para
Capítulo 5
42
o sistema MBI/PS (equações (5.5)).
BuAxx +=
o
(5.5)
vetor de estados:
(5.5.a)
[]
t
fd
'
q
eex φ∆∆∆δ∆ω∆=
vetor de entradas:
(5.5.b)
[
t
refm
vTu ∆∆=
]
matriz de estados:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−−−
−−−−
−−−
ω
−−−−
=
aPS
8aPS
aPS
2aPS
aPS
1aPS
r
7r
rr
6r
r
5r
'
0d
9
'
0d
'
0d3
'
0d
4
0
8
21
T
)KK1(
0
T
KK
T
KK
0
T
KK
T
1
T
KK
T
KK
0
T
K
T
1
TK
1
T
K
0
0000
M
K
0
M
K
M
K
M
D
A
(5.5.c)
matriz de entradas:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00
T
K
0
00
00
0
M
1
B
r
r
(5.5.d)
5.4. Análise do Sinal Referente às Variações da Velocidade Angular (∆ω)
Para a análise deste sinal de entrada, as equações que serão utilizadas são as desenvolvidas
no Capítulo 4 (equações (4.1)).
5.5. Simulações e Resultados
Utilizando as equações (4.1), (5.4) e (5.5), foram realizadas simulações para se comparar a
Capítulo 5
43
eficácia dos diferentes sinais de entrada propostos para o controle do grau de compensação,
no que se refere à estabilidade do sistema quando este é submetido a pequenas perturbações.
A Figura 5.1 mostra o comportamento das variações da velocidade angular do rotor quando
são utilizados os três sinais de entrada propostos. Os parâmetros do controle do grau de
compensação referentes a esta simulação foram K
t
= 1, T
t
= 0, Ka
PS
= 0.8 e Ta
PS
= 0.001s. O
distúrbio avaliado foi uma variação em degrau de 0.05 pu no torque mecânico de entrada, a
tensão terminal foi mantida em 1.0 pu e a potência elétrica em 0.8 pu. O grau de compensação
inicial foi de 20
o
.
Da Figura 5.1 observa-se que o sinal referente à corrente elétrica se mostrou mais eficaz
(introduziu maior amortecimento) como sinal de entrada para controle do grau de
compensação do PS, seguido do sinal de potência elétrica e finalmente do sinal ∆ω.
Outro fato a ser ressaltado com relação às curvas da Figura 5.1 é que mesmo com um
ganho relativamente baixo para o CPS (Ka
PS
= 0.8), este controle assim ajustado se mostrou
capaz de amortecer as oscilações do sistema MBI/PS.
Este ganho baixo é recomendável, pois isto implica em um menor esforço da ação de
controle.
0
1
2
3
4
5
6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x 10
-3
tempo (s)
∆ω
(pu)
∆
P
e
∆
I
∆
ω
Figura 5.1: Comparação entre os Sinais de Entrada do CPS
As afirmações a respeito do amortecimento do sistema MBI/PS também podem ser
confirmadas analisando os dados da Tabela 5.1, onde na coluna 3 são mostrados os
coeficientes de amortecimento para o modo de oscilação excitado.
Capítulo 5
44
Tabela 5.1: Autovalores – Influência dos Sinais de Entrada para o CPS
Entradas Autovalores
ξ
ω
n
∆δ (
o
)
–94,9739 - -
–0,2431 ± j8,2529
0,0294 8,2565
sem CPS
–5,0916
- -
3,66
–999,8508 - -
–0,3174 ± j8,2498
0,0384 8,2559
–5,0932 - -
∆ω
–94,9731 - -
3,66
–293,4683 - -
–0,7388 ± j15,2916
0,0483 15,3094
–5,1380 - -
∆P
e
–93,2788 - -
1,37
–295,5104 - -
–1,2601 ± j15,1145
0,0831 15,1670
–5,2670 - -
∆Ι
–92,0704 - -
1,59
Observe que o sinal de corrente elétrica produz o maior coeficiente, seguido pela potência
elétrica e velocidade angular do rotor. Além disso, os três sinais de entrada introduzem um
amortecimento maior que o sistema sem controle para o grau de compensação.
No que diz respeito aos desvios finais do ângulo interno (coluna 5, Tabela 5.1), o sinal de
entrada ∆P
e
provocou o menor desvio, seguido do sinal ∆I e ∆ω.
0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
x 10
-3
tempo (s)
∆ω
(pu)
0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
tempo (s)
∆ω
(pu)
0 2 4 6
-5
0
5
10
∆ω
(pu)
tempo (s)
(a) (b)
(c)
Figura 5.2: Comparação entre os Sinais de Entrada do CPS – Aumento do Carregamento
Capítulo 5
45
Para se observar como o carregamento do sistema afeta o controle para os três sinais de
entrada considerados foram realizadas novas simulações. A Figura 5.2 mostra um dos
resultados obtidos, onde a única mudança com relação à simulação anterior é que a potência
elétrica foi modificada para 1.2 pu.
É interessante observar na Figura 5.2 que para este ponto de operação, apenas o CPS
alimentado com o sinal de entrada ∆ω (Gráfico (c)), consegue manter o sistema estável. Com
ambos os sinais, ∆I e ∆P
e
, (Gráficos (a) e (b)), o sistema se torna instável.
Também foram realizados estudos para verificar como o ganho do CPS modifica o
amortecimento introduzido pelo PS no sistema de potência e na Figura 5.3 estão os resultados
para o CPS com sinal de ∆I. O ganho K
aPS
assumiu valores de 0.3, 0.9 e 1.06. A constante
Ta
PS
foi mantida em 0.001 (s) e a potência elétrica em 0.8 pu. A compensação inicial foi de
20
o
.
Pode-se observar da Figura 5.3 que para K
aPS
= 0.3, o amortecimento introduzido é menor
que para K
aPS
= 0.9. Para K
aPS
igual a 1.06 o sistema se torna instável.
0
1
2
3
4
5
6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x 10
-3
tempo (s)
∆ω
(pu)
Ka
PS
= 1.06
Ka
PS
= 0.9
Ka
PS
= 0.3
Figura 5.3: Efeito do Ganho K
aPS
na Estabilidade do Sistema – Entrada ∆I
Para melhor compreender como o ganho K
aPS
interfere no fornecimento de amortecimento
ao sistema MBI/PS, novas simulações foram realizadas e os resultados são mostrados na
Tabela 5.2.
Nestes cálculos a potência elétrica foi considerada 0.8 pu, tensão terminal de 1.0 pu,
constante de tempo T
aPS
em 0.001 (s). Foram considerados três graus de compensação iniciais
Capítulo 5
46
(φ = 10
o
, φ = 20
o
, φ = 30
o
e φ = 40
o
).
Tabela 5.2: Autovalores Dominantes – Variação em K
aPS
– Entrada ∆I
Sinal de entrada para o CPS: corrente elétrica (∆I)
φ (
o
)
K
aPS
Autovalores
ξ
ω
n
(rad/s)
0,6
– 0,63 ± j14,06
0,0451 14,077
0,7
– 0,80 ± j16,39
0,0488 16,412
0,8
– 0,93 ± j20,50
0,0452 20,525
0,9
0,88 ± j30,38
– 0,0290 30,390
1,0
25,84 ± j41,78
– 0,526 49,127
1,1 34,7171 - -
1,2 21,6582 - -
1,3 17,2188 - -
1,4 14,7339 - -
10
1,5 13,0867 - -
0,6
– 0,75 ± j11,9
0,0624 11,96
0,7
– 0,95 ± j13,2
0,0719 13,27
0,8
– 1,26 ± j15,1
0,0831 15,16
0,9
– 1,72 ± j18,1
0,0943 18,25
1,0
– 2,11 ± j24,5
0,0854 24,65
1,1
7,4 ± j39,99
– 0,1819 40,66
1,2
41,74 ± 34,8
– 0,7681 54,34
1,3 28,6896 - -
1,4 20,4410 - -
20
1,5 16,7823 - -
0,6
– 0,60 ± j10,06
0,0591 10,08
0,7
– 0,74 ± j10,75
0,0683 10,77
0,8
– 0,92 ± j11,61
0,0794 11,65
0,9
– 1,19 ± j12,74
0,0929 12,79
1,0
– 1,58 ± j14,31
0,1096 14,40
1,1
– 2,19 ± j16,74
0,1297 16,88
1,2
– 3,15 ± j21,30
0,1464 21,52
1,3
– 1,31 ± j33,28
0,0395 33,30
1,4
20,93 ± j42,79
– 0,4394 47,63
30
1,5
52,82 ± j19,05
– 0,9407 56,15
0,6
– 0,33 ± j8,56
0,0390 8,570
0,7
– 0,40 ± j8,89
0,0449 8,900
0,8
– 0,48 ± j9,26
0,0516 9,276
0,9
– 0,58 ± j9,69
0,0593 9,708
1,0
– 0,70 ± j10,19
0,0682 10,21
1,1
– 0,85 ± j10,78
0,0787 10,81
1,2
– 1,05 ± j11,5
0,0910 11,55
1,3
– 1,32 ± j12,41
0,1059 12,47
1,4
– 1,70 ± j13,6
0,1240 13,70
40
1,5
– 2,26 ± j15,27
0,1465 15,43
Analisando-se os resultados da Tabela 5.2 verifica-se primeiramente que o aumento
indiscriminado do ganho K
aPS
pode levar o sistema à instabilidade (caracterizado pelo
surgimento de autovalores com parte real positiva), dependendo do grau de compensação
inicial escolhido (observe que apenas para φ = 40
o
o sistema se mantém estável para todas as
Capítulo 5
47
condições consideradas).
Além disso, dependendo do valor da compensação inicial, o aumento de K
aPS
pode levar o
sistema MBI/PS a não apresentar modos oscilatórios. Observe que para φ = 10
o
e φ = 20
o
,
surgem autovalores reais e positivos para valores de K
aPS
acima de 1.1 e 1.3, respectivamente.
Outro fato a ser mencionado é que mesmo na faixa em que o aumento de K
aPS
mantém o
sistema estável, a introdução de amortecimento não é linear. Observe, por exemplo, que para
φ = 20
o
, o aumento de K
aPS
de 0.6 até 0.9 provoca um aumento no coeficiente de
amortecimento. Na alteração de 0.9 para 1.0, o coeficiente de amortecimento diminui.
Observe ainda que dependendo dos valores de φ e K
aPS
, os modos oscilatórios passam a
apresentar freqüências naturais relativamente elevadas, atípicas dos chamados “modos locais
de oscilação” [12].
Análise semelhante foi realizada para o CPS com sinal de entrada potência elétrica
(condições de simulação iguais às anteriores), cujos resultados estão na Figura 5.4 para K
aPS
com valores de 0.3, 0.9 e 1.06.
0
1
2
3
4
5
6
-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
tempo (s)
∆ω
(pu)
Ka
PS
= 0.9
Ka
PS
= 0.3
Ka
PS
= 1.06
Figura 5.4: Efeito do Ganho K
aPS
na Estabilidade do Sistema – Entrada ∆P
e
Da Figura 5.4 observa-se que o aumento do ganho K
aPS
de 0.3 para 0.9, provoca um maior
amortecimento das oscilações do sistema MBI/PS (as simulações mostraram uma mudança de
0.0352 para 0.0457 no coeficiente de amortecimento). A freqüência natural de oscilação
também foi alterada de 9.6280 (rad/s) para 18.4011 (rad/s). Em contrapartida, para K
aPS
igual
a 1.06 o sistema se tornou instável (coeficiente de amortecimento de –0.0863 e freqüência
Capítulo 5
48
natural de 32.1955 (rad/s)).
Fazendo uma mesma análise para o sinal de entrada ∆P
e
, considere a Tabela 5.3.
Tabela 5.3: Autovalores Dominantes – Variação em K
aPS
– Entrada ∆P
e
sinal de entrada para o CPS: potência elétrica (∆P
e
)
φ (
o
)
K
aPS
Autovalores
ξ
ω
n
(rad/s)
0,6
– 0,47 ± 13,87i
0,0338 13,8730
0,7
– 0,54 ± 16,0i
0,0336 16,0115
0,8
– 0,51 ± 19,58i
0,0263 19,5892
0,9
0,73 ± 27,28i
– 0,0267 27,2934
1,0
18,00 ± 40,72i
-0,4043 44,5252
1,1 44,9877 - -
1,2 22,9328 - -
1,3 17,8033 - -
1,4 15,0844 - -
10
1,5 13,3252 - -
0,6
– 0,52 ± 12,0i
0,0432 12,05
0,7
– 0,62 ± 13,38i
0,0462 13,39
0,8
– 0,74 ± 15,29i
0,0483 15,30
0,9
– 0,84 ± 18,38i
0,0457 18,40
1,0
– 0,34 ± 4,57i
0,0140 24,57
1,1
9,76 ± 37,87i
– 0,2495 39,10
1,2
43,46 ± 29,8i
– 0,8244 52,72
1,3 26,2069 - -
1,4 19,1950 - -
20
1,5 15,9166 - -
0,6
– 0,38 ± 10,41i
0,0360 10,41
0,7
– 0,43 ± 11,23i
0,0385 11,24
0,8
– 0,50 ± 12,29i
0,0410 12,30
0,9
– 0,59 ± 13,72i
0,0431 13,73
1,0
– 0,68 ± 15,82i
0,0432 15,83
1,1
– 0,66 ± 19,33i
0,0344 19,34
1,2
0,76 ± 26,64i
– 0,0287 26,65
1,3
15,25 ± 37,65i
– 0,3755 40,62
1,4
46,43 ± 21,82i
– 0,9050 51,30
30
1,5 24,3605 - -
0,6
– 0,17 ± 9,22i
0,0186 9,225
0,7
– 0,19 ± 9,77i
0,0194 9,774
0,8
– 0,21 ± 10,43i
0,0201 10,43
0,9
– 0,23 ± 11,25i
0,0207 11,25
1,0
– 0,25 ± 12,30i
0,0207 12,30
1,1
– 0,27 ± 13,72i
0,0194 13,71
1,2
– 0,23 ± 15,77i
0,0143 15,76
1,3
0,06 ± 19,11i
– 0,0029 19,11
1,4
1,98 ± 25,61i
– 0,0770 25,68
40
1,5
14,40 ± 34,53i
– 0,3849 37,41
A análise dos dados apresentados na Tabela 5.3 mostra praticamente as mesmas
conclusões obtidas dos resultados da Tabela 5.2.
Capítulo 5
49
Observa-se que o aumento de K
aPS
não implica necessariamente no aumento do
amortecimento introduzido no sistema MBI/PS, podendo inclusive introduzir no sistema
amortecimento negativo. Também fica evidenciado que o coeficiente de amortecimento
resultante depende do valor do grau de compensação inicial e do valor do ganho K
aPS
. As
outras considerações feitas com os dados da Tabela 5.3 também se verificam.
Para finalizar, são apresentadas análises quando o CPS utiliza como sinal de entrada as
variações da velocidade angular do rotor.
A Figura 5.5 mostra os desvios da velocidade angular para ganhos K
aPS
de 0.3, 0.9 e 1.06.
Os demais valores de parâmetros e ponto de operação do sistema MBI/PS são os mesmos das
simulações anteriores.
0
1
2
3
4
5
6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x 10
-3
tempo (s)
∆ω
(pu)
K
aPS
= 0.3
K
aPS
= 0.9
≈
K
aPS
= 1.06
Figura 5.5: Efeito do Ganho Ka
PS
na Estabilidade do Sistema – Entrada ∆ω
Da Figura 5.5 pode-se concluir que o aumento do ganho K
aPS
provoca um maior
amortecimento das oscilações do sistema MBI/PS (as simulações mostraram mudanças de
0.0328, 0.0396 e 0.0414, respectivamente no coeficiente de amortecimento). A freqüência
natural de oscilação também foi alterada em 8.2563 (rad/s), 8.2558 (rad/s) e 8.2557 (rad/s),
para os valores em ordem crescente de K
aPS
.
A Tabela 5.4 mostra resultados para uma análise mais apurada para a variação do ganho
Ka
PS
quando o sinal de entrada utilizado para o CPS é ∆ω.
Uma primeira conclusão que pode ser obtida dos dados da Tabela 5.4 é que o aumento de
K
aPS
provoca um aumento no coeficiente de amortecimento do autovalor dominante do
Capítulo 5
50
sistema MBI/PS (se mantém a ligação entre aumento do ganho e aumento do amortecimento).
Este fato ocorreu para todas as condições simuladas.
Tabela 5.4: Autovalores Dominantes – Variação em K
aPS
– Entrada ∆ω
sinal de entrada para o CPS: velocidade do rotor (∆ω)
φ (
o
)
K
aPS
Autovalores
ξ
ω
n
(rad/s)
0,6
– 0,28 ± j8,79
0,0314 8,7951
0,7
– 0,29 ± j8,79
0,0326 8,7951
0,8
– 0,30 ± j8,79
0,0337 8,7950
0,9
– 0,31 ± j8,79
0,0349 8,7950
1,0
– 0,32 ± j8,79
0,0361 8,7950
1,1
– 0,33 ± j8,79
0,0373 8,7949
1,2
– 0,34 ± j8,79
0,0385 8,7949
1,3
– 0,35 ± j8,79
0,0397 8,7949
1,4
– 0,36 ± j8,79
0,0409 8,7949
10
1,5
– 0,37 ± j8,79
0,0421 8,7948
0,6
– 0,30 ± j8,25
0,0362 8,2560
0,7
– 0,31 ± j8,25
0,0373 8,2560
0,8
– 0,32 ± j8,25
0,0384 8,2559
0,9
– 0,33 ± j8,25
0,0396 8,2558
1,0
– 0,34 ± j8,25
0,0407 8,2558
1,1
– 0,35 ± j8,25
0,0418 8,2557
1,2
– 0,35 ± j8,25
0,0429 8,2556
1,3
– 0,36 ± j8,25
0,0441 8,2555
1,4
– 0,37± j8,25
0,0452 8,2555
20
1,5
– 0,38 ± j8,25
0,0463 8,2554
0,6
– 0,24 ± j7,67
0,0316 7,6737
0,7
– 0,25 ± j7,67
0,0326 7,6736
0,8
– 0,26 ± j7,67
0,0337 7,6735
0,9
– 0,27 ± j7,67
0,0347 7,6734
1,0
– 0,27 ± j7,67
0,0358 7,6734
1,1
– 0,28 ± j7,67
0,0368 7,6733
1,2
– 0,29 ± j7,67
0,0379 7,6732
1,3
– 0,30 ± j7,67
0,0389 7,6731
1,4
– 0,31 ± j7,67
0,0399 7,6731
30
1,5
– 0,31 ± j7,67
0,0410 7,6730
0,6
– 0,14 ± j7,17
0,0200 7,1756
0,7
– 0,15 ± j7,17
0,0210 7,1756
0,8
– 0,16 ± j7,17
0,0219 7,1756
0,9
– 0,16 ± j7,17
0,0229 7,1755
1,0
– 0,17 ± j7,17
0,0239 7,1755
1,1
– 0,18 ± j7,17
0,0248 7,1755
1,2
– 0,19 ± j7,17
0,0258 7,1755
1,3
– 0,19 ± j7,17
0,0268 7,1754
1,4
– 0,20 ± j7,17
0,0277 7,1754
40
1,5
– 0,21 ± j7,17
0,0287 7,1754
Diferentemente do que ocorreu quando da análise dos sinais ∆I e ∆P
e
, a utilização de ∆ω,
aliada ao aumento do ganho do CPS não levou o sistema à instabilidade em nenhuma
Capítulo 5
51
situação. Os autovalores dominantes sempre foram modos oscilatórios, com freqüências de
oscilação nos valores típicos das oscilações de modo local.
Outro fato a ser destacado é a não variação brusca dos autovalores e consequentemente,
dos coeficientes de amortecimento e freqüências naturais quando do aumento de K
aPS
(observe que ξ e ω
n
variam muito pouco, mesmo que para valores relativamente diferentes do
ganho, quando comparados com os resultados de ∆I e ∆P
e
).
Do exposto, pode-se concluir que o sinal ∆ω para a entrada do CPS é o mais “comportado”
dentre os três sinais estudados.
5.6. Conclusões
Neste capítulo foram analisados três sinais de entrada para o controle do grau de
compensação. Foram avaliadas as variações da corrente elétrica (∆I), variações da potência
elétrica (∆P
e
) e variações da velocidade angular do rotor (∆ω).
Para o sinal ∆I, primeiramente foi desenvolvida a equação matemática que descreve a
variação da magnitude a corrente elétrica. Este procedimento não foi necessário para os
demais sinais, já que as equações que os descreviam já tinham sido determinadas em capítulos
anteriores.
Foi realizada a representação em espaço de estados para os três casos e com estas equações
foram realizadas simulações para se inferir sobre a estabilidade a pequenas perturbações do
sistema MBI/PS.
Um primeiro resultado foi que o sinal representado pelas variações da corrente elétrica
fornece maior amortecimento ao sistema, seguido pelos sinais variações da potência elétrica e
variações da velocidade angular do rotor. Verificou-se ainda que mesmo com um ganho K
aPS
relativamente pequeno, o sistema se manteve estável durante todo processo para os três sinais
de entrada do CPS. No que diz respeito ao sincronismo do sistema (avaliados pelo desvio
final do ângulo interno δ), o sinal correspondente às variações da potência elétrica foi o que
proporcionou o menor desvio.
Uma outra análise foi feita com o objetivo de se verificar qual o comportamento do PS
quanto ao carregamento do sistema. Dos três sinais aplicados à entrada do CPS, apenas o sinal
referente às variações da velocidade angular do rotor manteve o sistema estável (para o
mesmo ganho da simulação anterior).
Capítulo 5
52
Finalmente, analisou-se a influência do ganho K
aPS
na estabilidade do sistema MBI/PS.
Concluiu-se que para os sinais ∆I e ∆P
e
o aumento de K
aPS
não implicou necessariamente
no aumento das oscilações do sistema. Em determinada faixa de aumento do ganho, o
amortecimento também aumentou. Continuando a aumentar este ganho, o amortecimento
passava a diminuir, e um aumento maior ainda de K
aPS
tornou o sistema instável.
Observou-se também que os autovalores problemáticos do sistema podiam se tornar reais e
positivos para determinados valores de K
aPS
, indicando um modo não mais oscilatório, mas
sim de crescimento exponencial.
Outro fato observado foram as freqüências naturais. Para os dois sinais em questão, os
modos oscilatórios apresentavam valores de freqüências bastante diferentes dos valores
típicos dos modos eletromecânicos de oscilação.
O sinal de entrada ∆ω para o CPS foi o que se mostrou mais comportado, promovendo
aumento de amortecimento diretamente ligado com o aumento de K
aPS
. Além disso, em
nenhuma situação o sistema se tornou instável, os autovalores dominantes resultaram sempre
em pares complexos conjugados, com freqüências na faixa típica dos modos de oscilação
eletromecânicas.
Interessante notar também que os deslocamentos dos autovalores dominantes eram bem
mais lentos quando comparados com o que ocorreu quando da utilização dos outros dois
sinais de entrada.
Capítulo 6
53
Capítulo 6
Formação dos Torques de
Sincronização e Amortecimento no
Sistema com a Atuação do PS
(“Phase Shifter”).
6.1. Introdução
A influência do CPS no sistema elétrico de potência será avaliada através dos torques
formados pelo PS. Para se analisar a formação e o comportamento destes torques, três sinais
distintos são aplicados à entrada do controle do PS [17][32], sendo eles as variações da
velocidade angular do rotor (∆ω), as variações da magnitude da corrente elétrica (∆I) e as
variações da potência elétrica (∆P
e
).
Uma vez definido o sinal de entrada para o CPS, o torque formado será decomposto em
parcelas de amortecimento e sincronização, o que servirá para obter conclusões a respeito da
estabilidade do sistema de potência.
6.2. Contribuição do PS para Formação de Torque no Sistema Elétrico de Potência
Com as considerações feitas no Capítulo 4, o CPS pode ser representado como na Figura
6.1 (considerando ∆φ
ref
(s) = 0, K
t
unitário e T
t
nulo [17]), a qual define o modelo a ser
Capítulo 6
54
utilizado neste capítulo.
∆
y(s)
aPS
aPS
sT1
K
+
−
∆
φ
(s)
– CPS
∆φ
(s)
∆
y(s)
=
Figura 6.1: Simplificação do Sistema de Controle do PS
Considerando um sistema de potência máquina síncrona ligada a uma barra infinita com
um PS instalado [9], cujo diagrama unifilar é mostrado na Figura 2.1 e com o modelo de
Heffron & Phillips “ampliado” deste sistema (conforme apresentado no Anexo I), é possível
se analisar os diferentes “caminhos” para formação de torque elétrico pela atuação do
transformador defasador. Para este propósito considere o diagrama de blocos mostrado na
Figura 6.2.
-CPS
∆
y(s)
+
-
∆
V
ref
∆
T
e2
+
r
r
sT1
K
+
d03
3
T'sK1
K
+
K
7
∆
φ
-
∆T
e1
K
8
K
9
-
∆E
’
q
K
6
K
2
Figura 6.2: Caminhos para Formação de Torque Elétrico – Atuação do PS
Como se pode observar na Figura 6.2 existem duas parcelas de torque elétrico formadas
pela atuação do PS no sistema elétrico (∆T
e1
e ∆T
e2
– equações (6.1) e (6.2)), sendo que o
torque elétrico total formado (∆T
ePS
), é mostrado na equação (6.3).
φ∆=∆
81e
KT (6.1)
'
q22e
EKT ∆=∆ (6.2)
'
q28ePS
EKKT ∆+φ∆=∆ (6.3)
Capítulo 6
55
Da Figura 6.2, considerando ∆V
ref
= 0, as variações da tensão interna E
’
q
, para pequenos
desvios em torno de um ponto de operação, pode ser calculada como na equação (6.4).
φ∆
+
+
−=∆
6RAT
7RAT9
'
q
KGB1
)KGK(
BE
(6.4)
Na equação (6.4), apenas para facilidade de notação, B = K
3
/(1+sK
3
T’
d0
) e G
RAT
é a função
de transferência que representa o regulador automático de tensão, que será considerado tendo
um ganho K
r
e constante de tempo T
r
.
Com a escolha do sinal de entrada para o CPS (∆y), consequentemente fica definida como
ocorre a variação do ângulo de compensação φ. Com isto, o torque elétrico formado no
sistema poderá ser avaliado.
6.3. Torque Elétrico Tendo como Entrada as Variações da Velocidade do Rotor (∆ω)
Considerando ∆y(s) = ∆ω(s), da manipulação do diagrama de blocos da Figura 6.1 é
possível estabelecer a expressão que define as variações do grau de compensação em função
das variações da velocidade angular do rotor (equação (6.5)).
ω∆−=φ∆ CPS (6.5)
Substituindo-se a equação (6.5) na equação (6.3), obtém-se a equação do torque elétrico
formado no sistema MBI/PS através do PS (equação (6.6)).
'
q28ePS
EKCPSKT ∆+ω∆−=∆ (6.6)
Da equação (6.6) vê-se que existe uma parcela de torque elétrico que não sofre a influência
do circuito de campo do gerador (primeira parcela); esta parcela será denominada de “torque
elétrico direto” (∆T
eDω
). A outra parcela de torque elétrico, formada através do circuito de
campo da máquina síncrona, será chamada de “torque elétrico indireto” (∆T
eIω
).
As variações da tensão interna E’
q
podem ser calculadas pela substituição da equação (6.5)
em (6.4), de onde se obtém a equação (6.8).
Capítulo 6
56
ω∆
+
+
=∆ CPS
KGB1
)KGK(
BE
6RAT
7RAT9
'
q
(6.8)
A substituição da equação (6.8) em (6.6), após as devidas manipulações matemáticas,
fornece as expressões dos torques direto e indireto formado no sistema de potência através do
PS, quando o sinal ∆ω é aplicado à entrada do CPS (equações (6.9)).
∆T
eDω
= –K
8
CPS ∆ω = F
Dω
∆ω (6.9.a)
ω∆=ω∆
+
+
=∆
ωω I
RAT6
9RAT72
eI
F
)GBK1(
CPS)KGK(BK
T (6.9.b)
Para uma dada freqüência ω (isto é, fazendo-se s = jω), as equações (6.9) podem ser
decompostas em partes real e imaginária. Com as equações mostradas no Apêndice III, podem
ser definidos os coeficientes de torque de amortecimento (K
DDω
) e sincronização (K
DSω
),
correspondentes à parcela de torque elétrico direto, quando o sinal de entrada aplicado à
entrada do CPS são as variações da velocidade angular do rotor (∆ω) (equações (6.10)). De
maneira análoga, são definidos os coeficientes de amortecimento (K
IDω
) e sincronização
(K
ISω
), correspondentes à parcela indireta (equações (6.11)).
{}
δ∆
ω
ω
−ω∆=ω∆+=∆
ωωωωω
0
DDDDeD
]FIm[]FRe[]FIm[j]FRe[T (6.10)
[
ωω
=
DDD
FRek
]
(6.10.a)
[]
0
DDS
FImk
ω
ω
−=
ωω
(6.10.b)
{}
δ∆
ω
ω
−ω∆=ω∆+=∆
ωωωωω
0
IIIIeI
]FIm[]FRe[]FIm[j]FRe[T (6.11)
[
ωω
=
IID
FRek
]
(6.11.a)
[]
0
IIS
FImk
ω
ω
−=
ωω
(6.11.b)
Os termos “torque de amortecimento” e “torque de sincronização” correspondem a parcela
Capítulo 6
57
de torque elétrico em fase com as variações da velocidade angular do rotor (∆ω) e parcela em
fase com as variações do ângulo interno (∆δ), respectivamente.
Para se avaliar o comportamento dos coeficientes dos torques direto e indireto foram
realizadas simulações para o sistema exemplo utilizado nos capítulos anteriores. Os dados
referentes as simulações foram carregamento do sistema assumindo valores entre 0.1 pu a 1
pu, fator de potência em 0.85 indutivo e tensão terminal em 1.0 pu. O grau de compensação
inicial (ϕ) foi de 20
o
. Os parâmetros do CPS foram mantidos em Ka
PS
= 0.8 e Ta
PS
= 0.001
segundos. Os demais dados referentes ao sistema são fornecidos no Apêndice I. As Figuras
6.3 a 6.5 mostram o resultado destas simulações.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
K
D
ω
K
ID
ω
K
DDω
Coeficientes de Torque de Amortecimento
potência elétrica (pu)
Figura 6.3: Coeficientes de Torque Elétrico de Amortecimento – entrada ∆ω
Observa-se da Figura 6.3 que a curva que representa o coeficiente de torque “direto” de
amortecimento (K
DDω
) aumenta de acordo com o aumento do carregamento do sistema. Isto é
interessante pois é para altos carregamentos que os problemas relacionados à estabilidade
aumentam. Para o coeficiente de torque “indireto” de amortecimento (K
IDω
), observa-se que
tanto para médio quanto para alto carregamento o PS produz (apesar de pequeno), uma
contribuição de torque de amortecimento negativo. Esta contribuição negativa de
amortecimento não deverá interferir na estabilidade do sistema, pois a parcela representada
pelo torque indireto é praticamente desprezível quando comparada com a parcela de torque
direto (observe a curva K
Dω
que é o coeficiente de torque de amortecimento total: K
DDω
+
K
IDω
). Com base nesta constatação, pode-se afirmar que quando se utiliza a entrada ∆ω para o
CPS, o torque de amortecimento é formado quase que totalmente pelo caminho direto.
Capítulo 6
58
Uma análise semelhante foi feita para se avaliar a contribuição do PS na formação do
torque elétrico de sincronização para o sistema MBI/PS, ainda considerando como entrada as
variações da velocidade angular. A Figura 6.4 mostra esta simulação, onde a freqüência
considerada foi a natural do laço eletromecânico ω
s
.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
x 10
-4
K
IS
ω
K
DSω
K
Sω
Coeficientes de Torque de Sincronização
potência elétrica (pu)
Figura 6.4: Coeficientes de Torque Elétrico de Sincronização – entrada ∆ω
Pode-se concluir da Figura 6.4 que o caminho direto produz torque de sincronização
positivo (coeficiente K
DSω
), e aumenta com o aumento do carregamento. O caminho indireto
(coeficiente K
ISω
) produz torque de sincronização negativo e é preponderante, quando
comparado com o caminho direto. Este fato leva ao formato da curva do coeficiente de torque
de sincronização total (K
Sω
= K
DSω
+ K
ISω
), bastante próximo da curva de K
ISω
.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Coeficientes de Torque Elétrico
potência elétrica (pu)
K
D ω
K
S
ω
Figura 6.5: Coeficientes K
Sω
e K
Dω
– entrada ∆ω
Capítulo 6
59
O coeficiente de torque de sincronização total negativo formado através do PS quando se
utiliza a entrada ∆ω não chega a ser preocupante pois a contribuição de torque de
sincronização através de K
1
é positiva (Figura 3.1, Capítulo 3) e se sobrepõe a este.
Para efeito de comparação a Figura 6.5 mostra o comportamento dos coeficientes de
torques de amortecimento e sincronização. Observa-se que a utilização de ∆ω como entrada
para o CPS produz quase que somente torque de amortecimento, visto que K
Sω
é praticamente
desprezível quando comparado com K
Dω
.
6.4. Torque Elétrico Tendo como Entrada as Variações da Corrente Elétrica (∆I)
De maneira semelhante à realizada anteriormente, considerando ∆y(s) = ∆I(s), a
manipulação do diagrama de blocos da Figura 6.1 fornece a expressão que define a variação
do grau de compensação em função do sinal magnitude da corrente elétrica ∆I (equação
(6.12), após a substituição da equação (5.3), desenvolvida no Capítulo 5).
'
q
3
2
3
1
E
)mCPS1(
mCPS
)mCPS1(
mCPS
ICPS ∆
+
−δ∆
+
−=∆−=φ∆
(6.12)
A substituição da equação (6.12) na equação (6.3) fornece a expressão do torque elétrico
formado no sistema MBI/PS através do PS quando se utiliza a entrada ∆I (equação (6.13)).
'
q
3
28
2
3
18
ePS
E
)mCPS1(
)mCPSK(
K
)mCPS1(
mCPSK
T ∆
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−+δ∆
+
−=∆
(6.13)
De maneira análoga quando do uso de ∆ω para entrada do CPS, da equação (6.13) são
definidos “torque elétrico direto” (∆T
eD∆I
) e “torque elétrico indireto” (∆T
eI∆I
), quando o sinal
de entrada utilizado são as variações da corrente elétrica ∆I..
As variações da tensão interna E’
q
podem ser calculadas pela substituição da equação
(6.12) em (6.4), de onde se obtém a equação (6.14).
[]
δ∆
+−++
+
=∆
27RAT936RAT
17RAT9
'
q
mCPS)KGK(B)mCPS1)(KGB1(
mCPS)KGK(B
E
(6.14)
Capítulo 6
60
As expressões dos torques direto e indireto formado no sistema de potência através do PS,
quando o sinal ∆I é aplicado à entrada do CPS são obtidas pela substituição da equação (6.14)
em (6.13), cujos resultados são mostrados nas equações (6.15).
δ∆=δ∆
+
−=∆
∆∆ ID
3
18
IeD
F
)mCPS1(
mCPSK
T (6.15.a)
[
]
δ∆=δ∆
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−=∆
∆∆ II
17RAT9
3
28
2IeI
F
x
mCPS)KGK(B
)mCPS1(
)mCPSK(
KT
(6.15.b)
27RAT936RAT
mCPS)KGK(B)mCPS1)(KGB1(x
+
−
++=
Um fato interessante a ser ressaltado das equações (6.15) é que, diferentemente do que
ocorria quando o sinal de entrada do CPS era ∆ω, onde o caminho de formação de torque
elétrico pela constante K
8
contribuía apenas na formação do torque direto (ver equações
(6.9)), quando se utiliza para o sinal do CPS as variações da magnitude da corrente elétrica
(∆I), este caminho contribui tanto na formação do torque direto quanto do torque indireto.
A decomposição em partes real e imaginária das equações (6.15), para uma dada
freqüência ω, permitem definir os coeficientes de torque de amortecimento (K
DD∆I
) e
sincronização (K
DS∆I
) (correspondentes à parcela de torque elétrico direto) (equações 6.16).
Analogamente, os coeficientes de amortecimento (K
ID∆I
) e sincronização (K
IS∆I
),
correspondentes à parcela indireta também são calculados (equações (6.17)). Estes
coeficientes se referem à entrada do CPS “magnitude da corrente elétrica ∆I”.
{}
ω∆
ω
ω
+δ∆=δ∆+=∆
∆∆∆∆∆
0
IDIDIDIDIeD
]FIm[]FRe[]FIm[j]FRe[T
(6.16)
ω
ω
=
∆∆
0
IDIDD
]FIm[K (6.16.a)
]FRe[K
IDIDS ∆∆
= (6.16.b)
{}
ω∆
ω
ω
+δ∆=δ∆+=∆
∆∆∆∆∆
0
IIIIIIIIIeI
]FIm[]FRe[]FIm[j]FRe[T
(6.17)
ω
ω
=
∆∆
0
IIIID
]FIm[K (6.17.a)
Capítulo 6
61
]FRe[K
IIIIS ∆∆
= (6.17.b)
Novamente foram realizadas simulações (nas mesmas condições do caso anterior), para se
avaliar o comportamento destes coeficientes. Os resultados são mostrados nas Figuras 6.6 a
6.8.
A Figura 6.6 mostra o comportamento dos coeficientes de torque elétrico de
amortecimento em função do carregamento do sistema.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-10
0
10
20
30
40
50
potência elétrica (pu)
Coeficientes de Torque de Amortecimento
K
ID∆I
K
D∆I
K
DD∆I
Figura 6.6: Coeficientes de Torque Elétrico de Amortecimento – entrada ∆I
Da análise da Figura 6.6 conclui-se que o coeficiente de torque de amortecimento indireto
(K
ID∆I
) aumenta com o aumento do carregamento do sistema. Em contrapartida, o coeficiente
de torque de amortecimento direto (K
DD∆I
) diminui com o aumento do carregamento e nas
simulações realizadas, se manteve negativo para toda a faixa de potência considerada. Um
fato interessante com respeito ao torque de amortecimento quando se utiliza como entrada ∆I
é que, diferentemente do que ocorria com o sinal ∆ω, a maior parcela é formada pelo caminho
indireto (observe que a curva do coeficiente de torque de amortecimento total (K
D∆I
= K
DD∆I
+
K
ID∆I
) é praticamente a curva do coeficiente K
ID∆I
).
Os coeficientes de torques de sincronização direto (K
DS∆I
), indireto (K
IS∆I
) e total (K
S∆I
=
K
DS∆I
+ K
IS∆I
), são mostrados na Figura 6.7.
Analisando a Figura 6.7, vê-se que o coeficiente correspondente à parcela direta (K
DS∆I
),
apesar de contribuir ligeiramente com torque de sincronização negativo para baixos
carregamentos, torna-se positivo para carregamentos médios e elevados e aumenta de acordo
Capítulo 6
62
com o aumento do carregamento do sistema. O coeficiente referente à parcela indireta (K
IS∆I
),
diminui com o aumento do carregamento e se mostrou negativo, para este caso, em todos os
valores de potência simulados. Ainda com respeito ao torque de sincronização, conclui-se que
o PS irá contribuir com torque de sincronização total (coeficiente K
S∆I
) positivo para sistemas
bastante carregados. Outra conclusão que pode ser obtida das curvas da Figura 6.7 é que é
pelo caminho direto que é gerada a maior parcela de torque de sincronização no sistema
MBI/PS.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-1
0
1
2
3
4
5
potência elétrica (pu)
Coeficientes de Torque de Sincronização
K
DS
∆
I
K
IS
∆
I
K
S
∆
I
Figura 6.7: Coeficientes de Torque Elétrico de Sincronização – entrada ∆I
Para se avaliar qualitativa e quantitativamente os coeficientes de torques de sincronização e
amortecimento, considere a Figura 6.8.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
potência elétrica (pu)
Coeficientes de Torque Elétrico
K
D
∆
I
K
S
∆
I
Figura 6.8: Coeficientes K
S∆I
e K
D∆I
– entrada ∆I
Capítulo 6
63
Da Figura 6.8 conclui-se que no sistema MBI/PS, a utilização de ∆I como entrada para o
CPS produz maior contribuição no que se refere a torque de amortecimento, visto que K
S∆I
é
bem menor que K
D∆I
. Além disso, tanto K
S∆I
como K
D∆I
aumentam com o aumento do
carregamento do sistema e são positivos para cargas elevadas. Observe também que em
termos numéricos, os coeficientes de torque de amortecimento obtidos com a entrada ∆I são
bem maiores que os obtidos com a entrada ∆ω (este fato se deve à presença do termo ω
0
/ω
(equações (6.16) e (6.17)), presente quando da utilização da entrada ∆I para se fazer a
conversão de torque para o eixo ∆ω – ver Apêndice III).
6.5. Torque Elétrico Tendo como Entrada as Variações da Potência Elétrica (∆P
e
)
Finalmente, considerando ∆y(s) = ∆P
e
(s), a manipulação do diagrama de blocos da Figura
6.1 fornece a expressão que define a variação do grau de compensação em função do sinal
potência elétrica ∆P
e
(equação (2.11), Capítulo 2) (equação (6.18)).
'
q
8
2
8
1
e
E
)KCPS1(
KCPS
)KCPS1(
KCPS
PCPS ∆
+
−δ∆
+
−=∆−=φ∆ (6.18)
A substituição da equação (6.18) na equação (6.3) fornece a expressão do torque elétrico
formado no sistema MBI/PS através do PS quando se utiliza a entrada ∆P
e
, como na equação
(6.19).
'
q
8
28
2
8
18
ePS
E
)KCPS1(
)KCPSK(
K
)KCPS1(
KCPSK
T
∆
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−+δ∆
+
−=∆
(6.19)
Da equação (6.19) são definidos “torque elétrico direto” (∆P
eD∆Pe
) e “torque elétrico
indireto” (∆P
eI∆Pe
), quando o sinal de entrada utilizado são as variações da potência elétrica.
As variações da tensão interna E’
q
podem ser calculadas pela substituição da equação
(6.18) em (6.4), obtendo-se a equação (6.20).
[]
δ∆
+−++
+
=∆
27RAT986RAT
17RAT9
'
q
KCPS)KGK(B)KCPS1)(KGB1(
KCPS)KGK(B
E
(6.20)
Capítulo 6
64
As expressões dos torques direto e indireto formado no sistema de potência através do PS,
quando o sinal variações da potência elétrica ∆P
e
é aplicado à entrada do CPS são obtidas pela
substituição da equação (6.20) em (6.19), cujos resultados são mostrados nas equações (6.21).
δ∆=δ∆
+
−=∆
∆∆ PeD
8
18
PeeD
F
)KCPS1(
KCPSK
T
(6.21.a)
[
]
δ∆=δ∆
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−=∆
∆∆ PeI
17RAT9
8
28
2PeeI
F
x
KCPS)KGK(B
)KCPS1(
)KCPSK(
KT
(6.21.b)
27RAT986RAT
KCPS)KGK(B)KCPS1)(KGB1(x
+
−
++=
Também neste caso, o caminho de formação de torque elétrico através da constante K
8
contribui tanto na formação do torque direto quanto do torque indireto.
A decomposição em partes real e imaginária das equações (6.21), para uma dada
freqüência ω, permitem definir os coeficientes de torque de amortecimento (K
DD∆Pe
) e
sincronização (K
DS∆Pe
) (correspondentes à parcela de torque elétrico direto) (equações 6.22) e
os coeficientes de amortecimento (K
ID∆Pe
) e sincronização (K
IS∆Pe
), referentes à parcela
indireta (equações (6.23)).
{}
ω∆
ω
ω
+δ∆=δ∆+=∆
∆∆∆∆∆
0
PeDPeDPeDPeDPeeD
]FIm[]FRe[]FIm[j]FRe[T
(6.22)
ω
ω
=
∆∆
0
PeDPeDD
]FIm[K (6.22.a)
]FRe[K
PeDPeDS ∆∆
= (6.22.b)
{}
ω∆
ω
ω
+δ∆=δ∆+=∆
∆∆∆∆∆
0
PeIPeIPeIPeIPeeI
]FIm[]FRe[]FIm[j]FRe[T
(6.23)
ω
ω
=
∆∆
0
PeIPeID
]FIm[K (6.23.a)
]FRe[K
PeIPeIS ∆∆
= (6.23.b)
As Figuras 6.9 a 6.11 mostram os resultados de simulações realizadas para se avaliar o
Capítulo 6
65
comportamento destes coeficientes, quando da variação do carregamento do sistema.
A Figura 6.9 mostra o comportamento dos coeficientes de torque elétrico de
amortecimento em função do carregamento do sistema.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
potência elétrica (pu)
Coeficientes de Torque de Amortecimento
K
DD
∆
Pe
K
ID
∆
Pe
K
D
∆
Pe
Figura 6.9: Coeficientes de Torque Elétrico de Amortecimento – entrada
∆P
e
Da análise das curvas da Figura 6.9 conclui-se que o coeficiente de torque elétrico indireto
de amortecimento (K
ID∆Te
) aumenta com o carregamento do sistema e é maior que o
coeficiente de torque elétrico direto de amortecimento (K
DD∆Pe
), que diminui com o aumento
do carregamento. Outro fato a ser ressaltado é que da mesma maneira que ocorria quando da
utilização do sinal
∆I para entrada do CPS, a maior contribuição de torque de amortecimento
provém da parcela indireta. Esta conclusão pode ser confirmada pela observação da curva do
coeficiente de amortecimento total (K
D∆Pe
).
A Figura 6.10 mostra o comportamento dos coeficientes de torque de sincronização.
A Figura 6.10 mostra que o coeficiente de torque elétrico direto de sincronização (K
DS∆Pe
)
é positivo e aumenta com o carregamento do sistema. Além disso é maior que o coeficiente de
torque elétrico indireto (K
IS∆Pe
), que diminui com o aumento do sistema e se mostrou negativo
para toda a faixa de potência simulada.
O coeficiente de torque de sincronização total (K
S∆Pe
= K
DS∆Pe
+ K
IS∆Pe
) apresenta uma
curva bastante próxima do coeficiente K
DS∆Pe
.
Isto indica que a maior contribuição para o torque de sincronização, quando se utiliza
como entrada para o controle da defasagem angular as variações da potência elétrica, é
formada pelo caminho direto.
Capítulo 6
66
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Coeficientes de Torque de Sincronização
potência elétrica (pu)
K
DS
∆
Pe
K
IS
∆
Pe
K
S
∆
Pe
Figura 6.10: Coeficientes de Torque Elétrico de Sincronização – entrada
∆P
e
Para se comparar os torques de sincronização e amortecimento gerados quando da entrada
∆P
e
para o CPS, considere a Figura 6.11, de onde se pode concluir que a maior contribuição
de torque elétrico para o sistema MBI/PS é na forma de torque de amortecimento e apenas
pequena parcela de torque de sincronização é gerada.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-5
0
5
10
15
20
25
30
potência elétrica (pu)
Coeficientes de Torque Elétrico
K
S
∆
Pe
K
D
∆
Pe
Figura 6.11: Coeficientes K
S∆Pe
e K
D∆Pe
– entrada ∆P
e
Outro fato a ser ressaltado é que, tanto K
S∆Pe
como K
D∆Pe
aumentam com o aumento do
carregamento do sistema e são positivos para cargas elevadas. Observe também que
semelhantemente ao que ocorreu com o sinal
∆I, em termos numéricos, os coeficientes de
torque de amortecimento obtidos com a entrada
∆P
e
são bem maiores que os obtidos com a
Capítulo 6
67
entrada ∆ω, onde a mesma observação feita anteriormente também é valida para este caso.
6.6. Comparação Entre os Sinais de Entrada para o CPS
Para uma comparação entre os três sinais de entrada avaliados, considere a Figura 6.12 que
mostra os coeficientes de torque de amortecimento em função do carregamento do sistema.
Da análise destas curvas pode-se concluir que o torque de amortecimento gerado com a
entrada
∆I é maior que o gerado com a entrada ∆P
e
, que supera o torque de amortecimento
gerado com a entrada
∆ω (K
D∆I
> K
D∆Pe
> K
Dω
).
Para este sistema elétrico de potência, com o sistema de excitação considerado, pode-se
afirmar que a entrada
∆I é a que mais irá contribuir para o amortecimento das oscilações do
sistema MBI/PS. Este fato já foi observado no Capítulo 5, através da Figura 5.1 e da Tabela
5.1 (ver coeficiente de amortecimento
ξ - coluna 3), onde o sinal referente a ∆I fornece a
maior contribuição no que se refere ao amortecimento das oscilações, seguido dos sinais
∆P
e
e
∆ω.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
K
D ω
K
D ∆ I
K
D ∆Pe
Coeficientes de Torque Elétrico
potência elétrica (pu)
Figura 6.12: Coeficientes de Torque Elétrico de Amortecimento
Análise semelhante é realizada com os coeficientes de torque elétrico de sincronização
para as três entradas consideradas, cujos resultados são mostrados na Figura 6.13.
Da análise das curvas da Figura 6.13 pode-se concluir que a maior contribuição de torque
de sincronização é obtida quando se utiliza como entrada para CPS o sinal da potência elétrica
Capítulo 6
68
(∆P
e
), seguido pela corrente elétrica (∆I) e na seqüência, a velocidade angular do rotor (∆ω).
Este fato também já era esperado pois como pode ser visto no Capítulo 5 (Tabela 5.1- coluna
5), o sinal de entrada referente à potência elétrica provocou o menor desvio final do ângulo
interno da máquina, seguido de
∆I e ∆ω.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
K
S∆ I
K
Sω
K
S∆ Pe
Coeficientes de Torque Elétrico
potência elétrica (pu)
Figura 6.13: Coeficientes de Torque Elétrico de Sincronização
Outra observação a ser feita é que os dois primeiros sinais contribuem para a sincronização
do sistema com valores relativamente próximos, diferentemente do sinal
∆ω, que fornece
sincronização praticamente desprezível se comparado com os sinais
∆P
e
e ∆I.
6.7. Conclusões
Neste capítulo, a partir de um modelo linear do sistema MBI com um PS em operação, foi
introduzido um sistema de controle para o grau de compensação e se estudou a influência que
os sinais variação da velocidade angular do rotor (
∆ω), potência elétrica (∆P
e
) e magnitude
da corrente elétrica (
∆I), quando aplicados à entrada deste controle exerciam na formação de
torque elétrico através do PS.
Com o objetivo de avaliar o comportamento destes torques no sistema MBI/PS foram
realizadas simulações onde se analisou os coeficientes de torque elétrico de sincronização e
amortecimento, em função do carregamento do sistema.
Das simulações verificou-se que o sinal referente às variações da corrente elétrica (
∆I),
produziu a maior contribuição no coeficiente de torque elétrico de amortecimento. Entretanto,
Capítulo 6
69
para sistemas com baixo carregamento, a contribuição de torque de sincronização se mostrou
negativa, aumentando de acordo com o aumento do carregamento do sistema.
Com relação ao sinal do controle referente às variações da potência elétrica (
∆P
e
),
observou-se que o mesmo teve a maior contribuição de torque elétrico de sincronização, mas
para sistemas com baixo carregamento, o coeficiente de torque de amortecimento foi
negativo, e aumentava de acordo com o aumento do carregamento no sistema. No que se
refere ao torque de sincronização, os sinais
∆I e ∆P
e
apresentam praticamente a mesma
contribuição, podendo ser desprezada a contribuição de sincronização proveniente da entrada
∆ω, quando comparada com as demais.
A utilização das variações da velocidade angular (
∆ω) como sinal de entrada para o CPS,
produz praticamente torque de amortecimento, visto que K
Sω
é desprezível quando comparado
com K
Dω
. Outro fato a ser ressaltado é que dentre os sinais aplicados ao controle, foi o que
menos contribuiu na formação de torque elétrico no sistema MBI/PS.
Capítulo 7
70
Capítulo 7
Conclusões
Neste trabalho foi realizado o estudo de um modelo linear para o sistema elétrico de
potência máquina síncrona ligada a uma barra infinita, com a presença do transformador
defasador (Phase Shifter – PS).
Pelo fato deste modelo ser voltado ao estudo da estabilidade a pequenas perturbações, o
modelo resultante foi descrito por equações diferenciais e algébricas lineares.
Mostrou-se que o modelo obtido é visto como uma “ampliação” do modelo linear
“convencional” de Heffron & Phillips. Esta ampliação se deve ao surgimento de três novas
constantes (K
7
, K
8
e K
9
), além daquelas seis já existentes no modelo tradicional.
Estas três novas constantes refletem o impacto do PS quando de sua instalação no sistema
de potência. As demais constantes (K
1
a K
6
), também diferem numericamente das do modelo
convencional, pois são calculadas considerando o PS no sistema.
Com as equações que definiram o modelo de Heffron & Phillips “ampliado”, foram feitas
duas representações do sistema MBI/PS: através de funções de transferência (diagrama de
blocos) e em espaço de estados (domínio do tempo).
Por meio de simulações foi estudado o comportamento das nove constantes do modelo
para diferentes graus de compensação (diferentes valores de φ), quando da variação do ponto
de operação do sistema de potência.
Observou-se que apenas a constante K
3
não depende do carregamento nem do grau de
compensação, sendo determinada apenas pelas reatâncias representadas no sistema. Todas as
demais constantes dependem dos parâmetros da máquina síncrona, PS, reatância externa e
Capítulo 7
71
carga do sistema.
As constantes que refletem a inclusão do PS no sistema MBI (K
7
, K
8
e K
9
) também foram
avaliadas. Observou-se que estas constantes se comportam de maneira oposta às constantes
K
5
, K
1
e K
4
, respectivamente. Para a constante K
9
, pela sua posição nas equações do sistema
MBI/PS, concluiu-se que ela representa o efeito desmagnetizante da reação de armadura
introduzida pelo PS.
Novas simulações foram realizadas para se avaliar o efeito do PS na estabilidade a
pequenas perturbações do sistema elétrico e inicialmente comparou-se um sistema MBI
convencional a um com um PS instalado.
Observou-se que o sistema MBI sem o PS, num ponto de operação de alto carregamento
era instável. Ao se colocar um PS atuando no sistema (com uma compensação de fase
adequada), este mesmo ponto de operação tornou-se estável. Concluiu-se então que o PS pode
fornecer, quando ajustado de maneira correta, amortecimento às oscilações do sistema elétrico
de potência.
Para se avaliar como o nível de compensação influenciaria na estabilidade a pequenas
perturbações, novas simulações foram realizadas, onde o grau de compensação assumiu
valores diferentes, mas ainda sem permitir nenhuma modificação sobre ele durante o processo
(a inclusão do grau de compensação não era automática).
Concluiu-se pela importância do grau de compensação adequado, pois um sistema sem PS,
anteriormente estável, ao se colocar uma compensação inconveniente, tornou-se instável.
Observou-se também que o desempenho do sistema MBI/PS, com relação ao amortecimento
das oscilações, comporta-se de uma maneira não linear. Ao se aumentar o grau de
compensação, o amortecimento aumentava até um determinado valor e, ao continuar
aumentando a defasagem introduzida pelo PS, o amortecimento fornecido às oscilações tendia
a diminuir. Outra conclusão obtida foi que o aumento do grau de compensação acarreta um
maior desvio, em regime permanente, do ângulo interno do sistema MBI/PS.
Em seguida passou-se a avaliar como a introdução de um controle para o grau de
compensação influenciaria na estabilidade do sistema MBI. Para estas simulações, o sinal de
entrada utilizado para este controle foi a variação da velocidade angular do rotor (∆ω).
Simulou-se um sistema num ponto de operação de alto carregamento, em que ocorria a
instabilidade. Neste mesmo ponto de operação, ao sistema foi adicionado um PS com um
determinado grau de compensação constante e notou-se que o sistema se tornava estável. Ao
se adicionar ao PS um sistema de controle para o grau de compensação (neste caso a variação
da defasagem introduzida pelo PS se torna uma variável de estado), observou-se que mais
Capítulo 7
72
amortecimento foi introduzido no sistema.
Aumentando ainda mais o carregamento, apenas o sistema MBI equipado com PS e
controle do grau de compensação conseguiu manter a estabilidade. Concluiu-se pela eficácia
do controle de compensação adicionado ao PS para o amortecimento das oscilações do
sistema.
Foi feita ainda uma análise com respeito ao ganho do controle de defasagem do PS para se
verificar qual sua influência na estabilidade a pequenas perturbações.
Das simulações pode-se concluir que o aumento deste ganho fornece ao sistema MBI
maior amortecimento, isto é, quanto maior for o ganho do controle, maior será o
amortecimento introduzido pelo PS no sistema MBI.
Observou-se também que o aumento do ganho do controle provocava um deslocamento do
autovalor relacionado ao modo de oscilação eletromecânico, afastando-o dos eixos real e
imaginário. Outros dois autovalores presentes no sistema, para ganhos baixos eram reais e
negativos; com o aumento do ganho se tornavam um par complexo conjugado. Um maior
aumento do ganho levava-os novamente ao eixo real, mas sempre no semiplano esquerdo do
plano complexo.
Quanto aos desvios do ângulo interno em regime permanente, foi possível concluir que o
ganho do controle do PS não exerce influência sobre eles.
Em seguida foram estudados três sinais de entrada para o controle do grau de compensação
sendo eles as variações da corrente elétrica (∆I), as variações da potência elétrica (∆P
e
) e as
variações da velocidade angular do rotor (∆ω), para posterior análise.
Um primeiro resultado foi que o sinal representado pelas variações da corrente elétrica
fornecia maior amortecimento ao sistema, seguido pelos sinais variações da potência elétrica e
variações da velocidade angular do rotor. Verificou-se ainda que mesmo com um ganho K
aPS
relativamente pequeno, o sistema se manteve estável durante todo o processo de simulação
para os três sinais de entrada do CPS. No que diz respeito ao sincronismo do sistema
(avaliados pelo desvio final do ângulo interno δ), o sinal correspondente às variações da
potência elétrica foi o que proporcionou o menor desvio.
Uma outra análise foi feita com o objetivo de se verificar qual o comportamento do PS
quanto ao carregamento do sistema. Dos três sinais aplicados à entrada do CPS, apenas o sinal
referente às variações da velocidade angular do rotor manteve o sistema estável (para o
mesmo ganho da simulação anterior).
Finalmente, analisou-se a influência do ganho K
aPS
na estabilidade do sistema MBI/PS.
Capítulo 7
73
Concluiu-se que para os sinais ∆I e ∆P
e
o aumento de K
aPS
não implicava necessariamente
na diminuição das oscilações do sistema. Em determinada faixa de aumento do ganho, o
amortecimento também aumentava. Continuando a aumentar este ganho, o amortecimento
passava a diminuir, e um aumento maior ainda de K
aPS
tornava o sistema instável.
Observou-se também que os autovalores problemáticos do sistema podiam se tornar reais e
positivos para determinados valores de K
aPS
, indicando um modo não mais oscilatório, mas
sim de crescimento exponencial.
Outro fato observado foram as freqüências naturais. Para os dois sinais em questão, os
modos oscilatórios apresentavam valores de freqüências bastante diferentes dos valores
típicos dos modos eletromecânicos de oscilação.
O sinal de entrada ∆ω para o CPS foi o que se mostrou mais comportado, promovendo
aumento de amortecimento diretamente ligado com o aumento de K
aPS
. Além disso, em
nenhuma situação o sistema se tornou instável, os autovalores dominantes resultaram sempre
em pares complexos conjugados, com freqüências na faixa típica dos modos de oscilação
eletromecânicas.
Interessante notar também que os deslocamentos dos autovalores dominantes eram bem
mais lentos quando comparados com o que ocorreu quando da utilização dos outros dois
sinais de entrada.
Para finalizar este trabalho foi avaliada a influência do CPS no sistema elétrico de potência
através dos torques formados pelo PS. Para se analisar a formação e o comportamento destes
torques, os três sinais citados anteriormente foram aplicados à entrada do controle do PS.
Definido o sinal de entrada para o CPS, o torque formado foi decomposto em parcelas de
amortecimento e sincronização.
Novamente foram realizadas simulações, mantendo-se constantes os valores dos
parâmetros do CPS para os três sinais de entrada considerados.
Dos resultados obtidos verificou-se que o sinal referente às variações da corrente elétrica
(∆I), produziu a maior contribuição no coeficiente de torque elétrico de amortecimento. Com
relação ao sinal do controle referente às variações da potência elétrica (∆P
e
), observou-se que
o mesmo teve a maior contribuição na formação de torque elétrico de sincronização.
Verificou-se também que a utilização das variações da velocidade angular do rotor (∆ω)
como sinal de entrada para o CPS, produz praticamente só torque de amortecimento, visto que
K
Sω
é desprezível quando comparado com K
Dω
. Outro fato a ser ressaltado é que dentre os
sinais aplicados ao controle, foi o que menos contribuiu na formação de torque elétrico (tanto
Capítulo 7
74
de sincronização como de amortecimento), no sistema MBI/PS.
Sugestões para Trabalhos Futuros.
Conhecendo-se o comportamento do sistema máquina síncrona ligada a uma barra
infinita (MBI) com diferentes dispositivos FACTS (Thyristor Controlled Series Compensator
(TCSC), Static Var Compensator (SVC), Thyristor Controlled Phase Shifter (TCPS))
instalados, outros dispositivos poderiam ser incluídos na modelagem, como os FACTS de
última geração, tal como o Compensador Avançado de Reativos (STATCON ou STATCOM),
o Controlador de Fluxo de Potência Ativa e o Controlador Unificado de Fluxo de Potência
(UPFC). De maneira geral, esta classe de controladores está em fase de desenvolvimento,
embora a literatura apresente casos de STATCOM e UPFC em funcionamento nos EUA.
. Além disso, os sinais estabilizadores de sistemas de potência – PSS (do inglês, Power
Systems Stabilizers), poderiam ser adicionados ao sistema e ajustados para se buscar um
melhor desempenho para a estabilidade a pequenas perturbações.
Outro foco de estudos seria a formulação matemática com conseqüente modelagem do
sistema multimáquinas com os dispositivos FACTS instalados.
Apêndice I
78
Apêndice I
Modelo Convencional de Heffron & Phillips : Máquina Síncrona x Barra
Infinita
Considere um sistema máquina síncrona ligada a uma barra infinita, através de uma linha
de transmissão como mostra a Figura A.I.1, onde V
t
e V
b
são as tensões terminal e da barra
infinita. I
t
é a corrente terminal (corrente que circula na linha de transmissão) e P
e
é a potência
elétrica fornecida pela máquina síncrona. A linha de transmissão é representada por uma
reatância x
e
.
V
t
x
e
I
t
P
e
V
∞
Figura A.I.1: Sistema Máquina Síncrona x Barra Infinita
Nas referências [9][10][11] é mostrado que este sistema pode ser representado por um
modelo linear cujas equações e principais definições são listadas na seqüência.
- Variações do Torque Elétrico nos Terminais da Máquina Síncrona
'
q21e
EKKT ∆+δ∆=∆ (A.I.1)
[
]
δ
+
−+
+δ
+
−
= cosV
)xx(
i)xx(E
senVi
)xx(
)xx(
K
b
eq
d
'
dq
'
q
bq
e
'
d
'
dq
1
(A.I.1.a)
q
e
'
d
eq
2
i
)xx(
)xx(
K
+
+
= (A.I.1.b)
Apêndice I
79
- Variações da Tensão Interna da Máquina Síncrona
'
q
3
4fd
'
q
'
0d
E
K
1
KEET ∆−δ∆−∆=∆
o
(A.I.2)
)xx(
)xx(
K
1
e
'
d
ed
3
+
+
=
(A.I.2.a)
δ
+
−
= senV
)xx(
)xx(
K
b
e
'
d
'
dd
4
(A.I.2.b)
- Variações da Tensão Terminal da Máquina Síncrona
'
q65t
eKKV ∆+δ∆=∆ (A.I.3)
δ
+
+δ
+
−= cos
V
v
)xx(
x
Vsen
V
v
)xx(
x
VK
t
d
eq
q
b
t
q
e
'
d
'
d
b5
(A.I.3.a)
)xx(
x
V
v
K
e
'
d
e
t
q
6
+
= (A.I.3.c)
- Variações da Tensão de Campo da Máquina Síncrona
- (sistema de excitação representado por um bloco de primeira ordem de ganho K
r
e
constante de tempo T
r
).
ref
r
r
fd
r
'
q6
r
r
5
r
r
fd
v
T
K
E
T
1
EK
T
K
K
T
K
E ∆+∆−∆−δ∆−=∆
o
(A.I.4)
- Equações Eletromecânicas
ωωδ
o
∆=∆
o
(A.I.5)
m
'
q
21
T
M
1
E
M
K
M
K
ω
M
D
ω ∆+∆−δ∆−∆−=∆
o
(A.I.6)
Apêndice I
80
Representação em espaço de estados:
BuAxx +=
o
(A.I.7)
Vetor de estados
(A.I.7.a)
[
t
fd
'
q
EEx ∆∆δ∆ω∆=
]
]
Vetor de entradas
(A.I.7.b)
[
t
refm
vTu ∆∆=
Matriz de estados
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−
ω
−−−
=
rr
6r
r
5r
'
0d
'
0d3
'
0d
4
0
21
T
1
T
KK
T
KK
0
T
1
TK
1
T
K
0
000
0
M
K
M
K
M
D
A
(A.I.7.c)
Matriz de Entradas
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
r
r
T
K
0
00
00
0
M
1
B (A.I.7.d)
Representação em Diagrama de Blocos:
–
∆δ
K
2
K
5
K
6
∆
T
m
∆
E’
q
∆
E
fd
–
–
D
Ms
1
+
∆
ω
'
0d3
3
TsK1
K
+
K
4
–
+
∆
V
t
+
+
+
∆
V
ref
–
laço eletromecânico
laço reativo
K
1
s
0
ω
r
r
sT1
K
+
Figura A.I.2: Sistema Máquina Síncrona x Barra Infinita – Diagrama de Blocos
Apêndice II
81
Apêndice II
Dados do Sistema Exemplo
Os dados são apresentados em valores pu, a não ser quando especificado.
Gerador:
x’
d
= 0.245
x
d
= 1.7
x
q
= 1.64
T’
d0
= 5.9 (s)
D = 0.0
H =
2
M
= 2.37 (s)
Linha de Transmissão:
R
L
= 0.0
X
L
= 0.4
Regulador de Tensão:
K
r
= 50.0
T
r
= 0.01 (s)
Dados da Carga:
Em todas as simulações, fator de potência (cosϕ) = 0.85 indutivo.
Apêndice III
82
Apêndice III
Sistema de Coordenadas ∆δ e ∆ω
∆
δ
j
∆δ
∆
δ
∆
ω
Figura A.III.1: Sistema de Coordenadas ∆δ x ∆ω
Do diagrama de blocos da Figura 2.2 tem-se:
ω
ω
δ
∆=∆
s
0
Para s = jω
s
, a equação acima pode ser escrita como:
ω
ω
ω
δ
∆=∆
s
0
j
Desta maneira, podem ser estabelecidas as relações abaixo:
ω
ω
ω
δ
∆=∆
s
0
j
δ
ω
ω
ω
∆−=∆
0
s
j
Apêndice IV
83
Apêndice IV
Freqüência Natural Não Amortecida (ω
n
) e Coeficiente de Amortecimento
(ξ)
Considere um polinômio de segunda ordem, que faz parte do denominador de uma
função de transferência F(s) = Y(s) / X(s).
Desta forma, este polinômio pode ser colocado na forma padrão (equação (AIV.1)),
cujas raízes são dadas nas equações (AIV.2-3).
2
nn
2
s2s ω+ξω+ (AIV.1)
s
1
= –ξω
n
+ j ω
n
(1 – ξ
2
)
1/2
(AIV.2)
s
2
= –ξω
n
– j ω
n
(1 – ξ
2
)
1/2
(AIV.3)
Nas equações A.IV são definidos:
ξ - coeficiente de amortecimento;
ω
n
– freqüência natural não amortecida (rad/s).
No caso do laço eletromecânico do modelo linear MBI/PS, por comparação se obtém:
M
K
10
n
ω
=ω
(A.IV.4)
MK
D
2
1
10
ω
−
=ξ
(A.IV.5)
Anexo I
84
Anexo I
Diagrama de Blocos – Sistema MBI/PS com Controle do Grau de
Compensação
φ
∆
t
t
s
T
K
+
1
aPS
aPS
s
T
K
+
1
ref
φ
)(
s
y
∆
-
+
2
K
'
q
E
∆
m
T
∆
1
K
H
s2
1
s
0
ω
δ
∆
ω
∆
6
K
r
r
s
T
K
+
1
'
3
3
0
1
d
T
sK
K
+
4
K
5
K
8
K
7
K
9
K
-
-
-
-
-
+
+
-
-
-
CPS
Figura AN.I.1: Diagrama de Blocos – Sistema MBI/PS com a Inclusão do Controle do
PS (‘CPS’)
Anexo II
85
Anexo II
Artigos Publicados e Aceito para Publicação
PEREIRA, A. L. S.; SILVA, M. S.; ARAUJO, P. B. “Modelo Linear de Heffron & Phillips
com a inclusão do Defasador (“Phase Shifter” (PS))”, Anais do 3
o
Congresso Temático de
Dinâmica e Controle da SBMAC, Ilha Solteira, junho (2004).
PEREIRA, A. L. S.; ARAUJO, P. B. “Análise da Influência do Transformador Defasador
(“Phase Shifter – PS”) na Estabilidade a Pequenas Perturbações do Sistema Elétrico de
Potência”, Anais do 4
o
Congresso Temático de Dinâmica e Controle da SMBAC, Bauru,
junho (2005).
PEREIRA, A. L. S.; ARAUJO, P. B., “Análise do Torque Elétrico no Sistema Máquina
versus Barra Infinita Utilizando Transformador”, 6
o
Latin-Americam
Congress: Eletricity
Generation and Transmission, Mar del Plata/Argentina, Novembro 2005 (Artigo aceito).
84
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