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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matemática
EXTENSÃO DO TEOREMA DE H. HOPF PARA
SUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA
CONSTANTE EM S
2
× R.
ADRIANO REGIS MELO RODRIGUES DA SILVA
Sob a orientação da Prof. Maria Luiza Leite
Recife, 21 de fevereiro de 2006
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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matemática
EXTENSÃO DO TEOREMA DE H. HOPF PARA
SUPERFÍCIES COM CURVATURA MÉDIA
CONSTANTE EM S
2
× R.
Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de
Pernambuco, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Matemática
ADRIANO REGIS MELO RODRIGUES DA SILVA
Sob a orientação da Prof. Maria Luiza Leite
Recife, 21 de fevereiro de 2006
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Agradecimentos
Agradeço, primeiramente a Deus por me conceder a vida, em seguida
À professora Maria Luiza pela orientação, paciência e valiosos ensinamentos sobre ética e
profissionalismo.
Aos professores Henrique Araújo e Jorge Herbert por participarem da banca e prestarem
grandes contribuições na elaboração deste trabalho.
À CAPES pelo apoio financeiro.
Aos meus pais José Nauci e Kátia Cristina e minha avó materna Euridice, pela brilhante
educação e por me apoiarem em todos os aspectos da minha vida.
Aos meus irmãos Anderson, Adson e Alessandra pelo amor e carinho.
À minha amada e companheira Alexsandra Karine, que sempre me ajudou e me deu força
para conquistar meus objetivos.
A todos do departamento de matemática da UFPE, professores, funcionários e colegas da
pós-graduação que de alguma forma contribuíram para a conclusão desta dissertação, em espe-
cial aos amigos Darlan Ferreira, Evaneide Alves, Naldisson, Wallisom Rosa, Cláudio Cristino,
Éder Mateus, Fábio dos Santos, Dâmocles e Janilson.
A todos os meus professores e colegas de graduação na UFRPE, pela formação e incentivo
quando tudo não passava de um sonho.
Resumo
Há cerca de cinqüenta anos, H. Hopf descobriu uma importante ferramenta para a teoria de
superfícies com curvatura média constante, peça fundamental para demonstrar o seu teorema
de rigidez da esfera redonda no espaço euclidiano.
Recentemente, Uwe Abresch e Harold Rosenberg generalizaram a técnica de Hopf para
outros espaços, entre os quais o produto isométrico de uma esfera por uma reta. Estenderam
o resultado de rigidez, provando que uma esfera imersa com curvatura média constante nesse
espaço deve ser rotacional. Nesta dissertação descrevemos detalhadamente essa extensão .
Abstract
Fifty years ago, H. Hopf discovered an important tool in the theory of surfaces with
constant mean curvature, essential to prove his famous theory on the rigidity of a round sphere
in Euclidian space.
Recently, Uwe Abresch end Harold Rosenberg generalized Hopf’s techniqueto otherspaces,
such as the isometric product of a sphere by a line. The rigidity theory was extended, in the
sense that any immersed sphere with constant mean curvature must be rotational. This disserta-
tion describes this extension by Abresch end Rosenberg.
Sumário
1 Preliminares 12
1.1 Preliminares algébricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 Complexificação de um espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.2 Complexificação de uma forma bilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Preliminares geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 O teorema de H. Hopf 23
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 A diferencial de Hopf em parâmetros isotérmicos . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 O teorema de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 A diferencial de Abresch-Rosenberg em S
2
× R 29
3.1 A diferencial Q de Abresch-Rosenberg em parâmetros isotérmicos . . . . . . . 29
3.2 Superfícies em S
2
× R com diferencial de Abresch-Rosenberg nula . . . . . . . 33
4 O teorema de Abresch-Rosenberg 41
4.1 A geometria de uma superfície de revolução em S
2
× R . . . . . . . . . . . . . 41
8
4.2 O teorema de Abresch-Rosenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Bibliografia 48
10
Introdução
Em 1955, H. Hopf ([9]) descobriu uma diferencial quadrática em superfícies de R
3
que,
aliada ao fato de ser holomorfa quando a curvatura média é constante, tornou-se peça funda-
mental para demonstrar seu importante teorema de rigidez: que uma esfera imersa em R
3
com
curvatura média constante é a esfera redonda. Este resultado foi estendido para esferas imersas
com curvatura média constante em S
3
e H
3
.
Em 2004, Uwe Abresch e Harold Rosenberg ([1]) generalizaram a diferencial de Hopf para
superfícies imersas em S
2
× R e H
2
× R, mantendo a propriedade de ser holomorfa quando a
curvatura média constante; classificaram as imersões com essa diferencial nula e obtiveram um
resultado correspondente ao de Hopf sobre a geometria de esferas imersas com curvatura média
constante nestes espaços, que apresentamos a seguir:
Teorema de Abresch-Rosenberg: Toda esfera imersa em S
2
×R ou H
2
×R com curvatura
média constante é uma superfície de rotação mergulhada.
Este trabalho tem por objetivo descrever sistematicamente o teorema acima no caso de
S
2
×R e será baseado essencialmente em [1], [9], [10] e [14]. Usaremos também dois fortes re-
sultados: a existência de parâmetros isotérmicos e o teorema de uniformização para superfícies
simplesmente conexas. Introduziremos, no capítulo 1, conceitos preliminares tanto para apre-
sentarmos as diferenciais quadráticas de Hopf e Abresch-Rosenberg, quanto para entendermos
a geometria de S
2
× R.
Na demonstração do teorema de Hopf, que será tratada no capítulo 2, usaremos uma ca-
racterização da esfera e o fato de que uma diferencial quadrática holomorfa definida numa
11
superfície de Riemann homeomorfa à esfera deve ser identicamente nula, fato este que será
também usado na conclusão do teorema de Abresch-Rosenberg.
No capítulo 3 estudaremos as superfícies em S
2
×R com diferencial de Abresch-Rosenberg
nula, entre as quais as esferas imersas com curvatura média constante. Concluiremos então que
estas imersões são superfícies invariantes por rotação em torno de um eixo {C
0
} × R, C
0
∈ S
2
.
Finalmente no capítulo 4, obteremos a conclusão deste trabalho, analisando um sistema de
equações diferencias ordinárias associado à uma superfície de revolução com curvatura média
constante em S
2
× R.
Capítulo 1
Preliminares
Neste capítulo, vamos desenvolver conceitos clássicos de Álgebra Linear e Geometria Rie-
manniana, que terão um papel fundamental para o entendimento da diferencial Q de Abresch-
Rosenberg e da geometria de S
2
× R.
1.1 Preliminares algébricos
O objetivo desta seção é facilitar a compreensão pontual da diferencial Q de Abresch-
Rosenberg (definida em [1]).
Seja V um espaço vetorial real de dimensão dois com produto interno. Dada uma forma
bilinear simétrica B : V ×V → R, existe um único operador auto-adjunto
˜
B tal que B(v,w) =
˜
Bv,w.
Exemplo 1.1.1 : a segunda forma fundamental A num ponto P de uma superfície M imersa
em R
3
ou S
2
× R com normal N. Dados v,w ∈ T
P
M temos que A(v,w) = −∇
v
N,w é uma
forma bilinear simétrica; o operador correspondente
˜
A(v) = −∇
v
N é o operador de forma.
Exemplo 1.1.2 : a forma bilinear simétrica dada por B(v, w) = u
0
,vu
0
,w, onde u
0
é um
vetor fixo; a projeção
˜
B(v) = u
0
,vu
0
é o operador auto-adjunto associado a B.
1. Preliminares 13
Convém lembrar que o traço de um operador é o traço de sua matriz em qualquer base,
pois as matrizes
˜
B e
˜
B
′
de um mesmo operador nas bases U e U
′
de V, respectivamente, estão
relacionadas por
˜
B
′
= P
−1
˜
BP, onde P é a matriz de passagem da base U
′
para U. Entretanto
o traço da matriz de uma forma bilinear pode mudar com a base, já que suas matrizes B e B’
nas referidas bases estão relacionadas por B
′
= P
t
BP. Sendo assim, define-se o traço de B ou
o traço da forma quadrática associada, como o traço de
˜
B. Em uma base {e
1
,e
2
} de V, onde
e
i
,e
j
= λδ
ij
, as matrizes de B e
˜
B satisfazem: [B] = λ[
˜
B] (por conveniência chamaremos uma
tal base de isotérmica). Em particular, numa base ortonormal essas matrizes coincidem.
Definição 1.1.3 (i) Dada uma forma bilinear simétrica B : V ×V → R, define-se a parte de
traço nulo de B por B
0
= B−
tr(B)
2
, .
(ii) Dado um operador linear auto-adjunto
˜
B : V → V, define-se a parte de traço nulo de
˜
B
por
˜
B
0
=
˜
B−
tr(
˜
B)
2
I.
Observe que a notação é consistente, pois B
0
é a forma bilinear associada ao operador
˜
B
0
. Além
disso,
tr(B
0
) := tr(
˜
B
0
) = tr(
˜
B) −
tr(
˜
B)
2
tr(I) = 0,
justificando o termo traço nulo.
Fixada uma orientação em V, denota-se por J o operador rotação de
π
2
no sentido positivo.
Proposição 1.1.4 Sejam B uma forma bilinear simétrica e B
0
a forma bilinear simétrica de
traço nulo associada a B definida em 1.1.3. Então se verificam as seguintes propriedades:
(i) B(u,v) + B(Ju,Jv) = tr(B)u,v
(ii) B
0
(u,v) =
1
2
{B(u,v) − B(Ju, Jv)}
(iii) B
0
(u,Ju) = B(u,Ju)
Prova: (i) Note que L(u,v) := B(u,v) + B(Ju,Jv) =
˜
Bu,v +
˜
BJu,Jv é uma forma bilinear
simétrica, pois
˜
B é um operador linear auto-adjunto e J é linear. Portanto, basta mostrar que as
formas L(u,v) e tr(B)u, v coincidem numa base ortonormal.
1. Preliminares 14
De fato, se {e
1
,e
2
} é uma base ortonormal positiva, então
Je
1
= e
2
e Je
2
= −e
1
.
Logo,
L(e
1
,e
1
) = B(e
1
,e
1
) + B(e
2
,e
2
) = tr(
˜
B) = tr(B)e
1
,e
1
L(e
2
,e
2
) = B(e
2
,e
2
) + B(−e
1
,−e
1
) = B(e
2
,e
2
) + B(e
1
,e
1
) = tr(B)e
2
,e
2
L(e
1
,e
2
) = B(e
1
,e
2
) + B(e
2
,−e
1
) = 0 = e
1
,e
2
Portanto fica provado (i).
(ii) Por definição, B
0
(u,v) = B(u, v) −
tr(B)
2
u,v. Pelo item (i), obtém-se:
B
0
(u,v) = B(u, v) −
1
2
{B(u,v) + B(Ju, Jv)}, logo
B
0
(u,v) =
1
2
{B(u,v) − B(Ju, Jv)} e obtemos o resultado (ii).
(iii) É uma conseqüência imediata do item anterior, uma vez que J
2
= −I.
Este resultado também pode ser obtido apenas pela definição :
B
0
(u,Ju) = B(u,Ju) −
tr(B)
2
u,Ju = B(u,Ju), pois u,Ju = 0. ✷
1.1.1 Complexificação de um espaço vetorial
Seja V um espaço vetorial real de dimensão dois munido com produto interno , , como
no início deste capítulo. Seja {e
1
,e
2
} uma base isotérmica de V e {µ
1
,µ
2
} sua base dual.
A complexificação de V, que denotaremos por V
C
, é um espaço vetorial complexo de di-
mensão dois, definido por:
V
C
= {w = u+ iv; u,v ∈ V}.
1. Preliminares 15
Defina e =
1
2
(e
1
−ie
2
) e ¯e =
1
2
(e
1
+ie
2
). É fácil ver que {e, ¯e} é uma base de V
C
. Além disso,
afirmamos que
µ = µ
1
+ iµ
2
e ¯µ = µ
1
− iµ
2
, (1.1)
formam a base dual de {e, ¯e} em (V
C
)
∗
.
De fato,
µ(e) =
1
2
(µ
1
+ iµ
2
)(e
1
− ie
2
) =
1
2
[µ
1
(e
1
) + µ
2
(e
2
) + iµ
2
(e
1
) − iµ
1
(e
2
)] = 1.
Analogamente,
µ( ¯e) =
1
2
[µ
1
(e
1
) − µ
2
(e
2
) + iµ
2
(e
1
) + iµ
1
(e
2
)] = 0;
¯µ(e) =
1
2
[µ
1
(e
1
) − µ
2
(e
2
) − iµ
2
(e
1
) − iµ
1
(e
2
)] = 0;
¯µ(¯e) =
1
2
[µ
1
(e
1
) + µ
2
(e
2
) − iµ
2
(e
1
) + iµ
1
(e
2
)] = 1.
✷
Estendemos o produto interno , a V
C
, como uma forma bilinear complexa (não hermi-
tiana) do seguinte modo
u
1
+ iv
1
,u
2
+ iv
2
= u
1
,u
2
− v
1
,v
2
+ i{v
1
,u
2
+ u
1
,v
2
}.
Observação 1.1.5 Note que
e, ¯e =
λ
2
2
; e, e = ¯e, ¯e = 0,
onde ||e
1
|| = ||e
2
|| = λ. Com efeito,
e, ¯e =
1
4
e
1
− ie
2
,e
1
+ ie
2
=
1
4
{e
1
,e
1
+ e
2
,e
2
+ ie
1
,e
2
− ie
2
,e
1
} =
λ
2
2
,
e,e =
1
4
e
1
− ie
2
,e
1
− ie
2
=
1
4
{e
1
,e
1
− ie
1
,e
2
− ie
2
,e
1
− e
2
,e
2
} = 0 = ¯e, ¯e
Exemplo 1.1.6 Em cada ponto P ∈ M S
2
× R, temos uma base isotérmica {
∂
∂x
,
∂
∂y
} de T
P
M
com base dual {dx,dy}(veremos com mais detalhes a existência de uma tal base, no próximo
capítulo). Assim,
∂
∂z
=
1
2
{
∂
∂x
−i
∂
∂y
} e
∂
∂¯z
=
1
2
{
∂
∂x
+i
∂
∂y
} formam uma base de (T
P
M)
C
com base
dual dada por dz = dx+ idy e d¯z = dx− idy.
1. Preliminares 16
1.1.2 Complexificação de uma forma bilinear
Seja B : V ×V → R uma forma bilinear simétrica. A complexificação de B, denotada por
B
C
, é uma forma bilinear complexa, obtida pela extensão de B a V
C
.
A seguir, obteremos uma expressão para B
C
. Suponha que
B = aµ
1
⊗ µ
1
+ b(µ
1
⊗ µ
2
+ µ
2
⊗ µ
1
) + cµ
2
⊗ µ
2
,
onde a = B(e
1
,e
1
), b = B(e
1
,e
2
) = B(e
2
,e
1
) e c = B(e
2
,e
2
).
(Lembramos que o produto tensorial satisfaz: µ⊗ ν(u,v) = µ(u)η(v), ver [16]).
Por (1.1), µ
1
=
1
2
(µ+ ¯µ) e µ
2
=
−i
2
(µ− ¯µ), logo
aµ
1
⊗ µ
1
=
a
4
(µ⊗ µ+ µ⊗ ¯µ+ ¯µ⊗ µ+ ¯µ⊗ ¯µ);
bµ
1
⊗ µ
2
=
−ib
4
(µ⊗ µ− µ⊗ ¯µ+ ¯µ⊗ µ− ¯µ⊗ ¯µ);
bµ
2
⊗ µ
1
=
−ib
4
(µ⊗ µ+ µ⊗ ¯µ− ¯µ⊗ µ− ¯µ⊗ ¯µ);
cµ
1
⊗ µ
2
=
−1
4
(µ⊗ µ− µ⊗ ¯µ− ¯µ⊗ µ+ ¯µ⊗ ¯µ).
Somando as equações acima, obtemos a partir de B
B
C
=
1
4
{(a− c− 2ib)µ⊗ µ+ (a+ c)(µ⊗ ¯µ+ ¯µ⊗ µ) + (a− c+ 2ib)¯µ⊗ ¯µ}. (1.2)
Um simples cálculo mostra que os coeficientes das partes (2,0), (1,1) e (0,2) de B
C
(que correspondem a µ ⊗ µ, (µ ⊗ ¯µ+ ¯µ ⊗ µ) e ¯µ⊗ ¯µ) são iguais a B(e,e), B(e, ¯e) e B( ¯e, ¯e),
respectivamente.
Fazendo
β = 2B(e,e) =
a− c
2
− ib, tr(B) = a+ c, µ
2
= µ⊗ µ e ¯µ
2
= ¯µ⊗ ¯µ, (1.3)
resulta de (1.2) que
B
C
=
1
2
{βµ
2
+tr(B)(µ⊗ ¯µ+ ¯µ⊗ µ) +
¯
β¯µ
2
}. (1.4)
1. Preliminares 17
Observe que a parte (1,1) de B
C
0
é nula, pois tr(B
0
) = 0. Além disso, a parte (2,0) e (0,2)
das complexificações B
C
0
e B
C
coincidem. Em outras palavras
B
C
0
=
1
2
(βµ
2
+
¯
β¯µ
2
).
De fato, se a matriz de B numa base isotérmica {e
1
,e
2
} é [B] =
a b
b c
, resulta de e
i
,e
j
=
λδ
ij
e dos itens (ii) e (iii) da Proposição 1.1.4 que
[B
0
] =
a−c
2
b
b
c−a
2
. (1.5)
Usando (1.2), obtemos
B
C
0
=
1
4
{(
a− c
2
−
c− a
2
− 2ib)µ⊗ µ+ (
a− c
2
−
c− a
2
+ 2ib)¯µ⊗ ¯µ} =
1
2
{(
a− c
2
− ib)µ⊗ µ+ (
a− c
2
+ ib)¯µ⊗ ¯µ}.
✷
Na proposição a seguir, usaremos as notações de 1.1.1 e (1.3).
Proposição 1.1.7 Dada uma forma bilinear simétrica B, seja B = βµ
2
a parte (2,0) de 2B
C
(veja (1.4)).
(i) Se a matriz de B numa base isotérmica {e
1
,e
2
}, é [B] =
a b
b c
, então B admite a
expressão
B = 2B(e,e)µ
2
= (
a− c
2
− ib)µ
2
.
(ii) A complexificação B pode ser definida em V da segunte maneira:
B(u,v) = B
0
(u,v) − iB
0
(Ju,v),
com u, v ∈ V.
1. Preliminares 18
Prova: (i) É imediato do que vimos para obter (1.4).
(ii) Supondo a expressão dada como definição, mostraremos que ela coincide com a ante-
rior.
Observeque Re(B) = B
0
é uma forma bilinear simétrica. Paramostrarque Im(B) é simétrica
usamos 1.1.4 (ii) e J
2
= −I. Assim,
Im(B)(u,v) = B
0
(Ju,v) =
1
2
{B(Ju,v) − B(J
2
u,Jv)} =
1
2
{B(v,Ju) + B(u,Jv)}, óbviamente
simétrica em relação aos vetores u,v.
Decorre da linearidade de J que B é uma forma bilinear simétrica.
Por (1.5) temos
[B
0
] =
a−c
2
b
b
c−a
2
.
Seja {µ
1
,µ
2
} a base dual de {e
1
,e
2
}. Então a parte real de B fica
Re(B) = B
0
= (
a− c
2
)µ
1
⊗ µ
1
+ b(µ
1
⊗ µ
2
+ µ
2
⊗ µ
1
) + (
c− a
2
)µ
2
⊗ µ
2
.
Para a parte imaginária de B, note que
[B
0
][J] =
a−c
2
b
b
c−a
2
·
0 −1
1 0
=
b
c−a
2
c−a
2
−b
. Logo,
−Im(B) = bµ
1
⊗ µ
1
+
c− a
2
(µ
1
⊗ µ
2
+ µ
2
⊗ µ
1
) − bµ
2
⊗ µ
2
.
Note que
µ
2
= µ⊗ µ = (µ
1
+ iµ
2
) ⊗ (µ
1
+ iµ
2
) = µ
1
⊗ µ
1
+ i{µ
1
⊗ µ
2
+ µ
2
⊗ µ
1
} − µ
2
⊗ µ
2
.
Assim,
Re(B) + iIm(B) = (
a− c
2
)µ
1
⊗ µ
1
+ b(µ
1
⊗ µ
2
+ µ
2
⊗ µ
1
) + (
c− a
2
)µ
2
⊗ µ
2
+
−i{bµ
1
⊗ µ
1
+
c− a
2
(µ
1
⊗ µ
2
+ µ
2
⊗ µ
1
) − bµ
2
⊗ µ
2
} =
1. Preliminares 19
(
a− c
2
− ib)µ
1
⊗ µ
1
+ i(
a− c
2
− ib)(µ
1
⊗ µ
2
+ µ
2
⊗ µ
1
) − (
a− c
2
− ib)µ
2
⊗ µ
2
⇒
B = (
a− c
2
− ib)µ
2
✷
Exemplo 1.1.8 : a diferencial de Hopf A num ponto, que é a complexificação obtida da
proposição 1.1.7, associada a forma bilinear A dada no exemplo 1.1.1. Suponha que a ma-
triz de A numa base isotérmica {F
x
,F
y
} seja [A] =
l m
m n
. Utilizando a notação complexa
dz = dx + idy, onde {dx, dy} é a base dual de {F
x
,F
y
} obtemos, pela proposição 1.1.7 (i), a
diferencial de Hopf expressa localmente por:
A = (
l − n
2
− im)dz⊗ dz = α dz
2
Exemplo 1.1.9 : denotemos por T = τ dz
2
a complexificação da proposição 1.1.7, associada
a forma dada no exemplo 1.1.2, onde em cada ponto P ∈ M S
2
× R, o vetor u
0
= T é a
projeção ortogonal de e
4
= (0, 0, 0,1) sobre T
P
M.
Definição 1.1.10 A diferencial de Abresch-Rosenberg Q num ponto P∈ M S
2
×R, é definida
em termos dos exemplos 1.1.8 e 1.1.9, por:
Q = 2HA −T = (2Hα− τ)dz
2
onde H é a curvatura média de M.
1.2 Preliminares geométricos
Dadas uma variedade riemanniana
¯
M
n+1
e uma hipersuperfície orientada imersa M
n
¯
M
n+1
com a métrica induzida, sejam ∇e ∇as conexõesriemannianas em M
n
e
¯
M
n+1
, respectiva-
mente. Sejam R e
¯
R os respectivos tensores de Riemann, e N o campo normal da imersão (ver
[6]).
1. Preliminares 20
Proposição 1.2.1 Seja
˜
A(v) = −∇
v
N o operador de forma da imersão M
n
¯
M
n+1
. Então se
verifica, para campos X,Y, Z e W de M
n
:
¯
R(X,Y)Z ·W = R(X,Y)Z ·W − {(
˜
AX · Z)(
˜
AY ·W) − (
˜
AX ·W)(
˜
AY · Z)}
(Equação de Gauss)
Prova: Por definição , temos que
R(X,Y)Z := ∇
Y
(∇
X
Z) − ∇
X
(∇
Y
Z) + ∇
[X,Y]
Z,
∇
X
Z = ∇
X
Z + (∇
X
Z · N)N.
Segue-se de ∇
X
Z · N = −Z · ∇
X
N e
˜
AX = −∇
X
N que
∇
X
Z = ∇
X
Z + (
˜
AX · Z)N, (1.6)
logo ∇
Y
(∇
X
Z) = ∇
Y
(∇
X
Z) + ∇
Y
[(
˜
AX · Z)N]. Usando mais uma vez (1.6),
∇
Y
(∇
X
Z) = ∇
Y
(∇
X
Z) + (
˜
AY · ∇
X
Z)N +Y[
˜
AX · Z]N + (
˜
AX · Z).∇
Y
N =
∇
Y
(∇
X
Z) + (
˜
AY · ∇
X
Z)N + {(∇
Y
(
˜
AX) · Z) + (
˜
AX · ∇
Y
Z)}N − (
˜
AX · Z)
˜
AY =
∇
Y
(∇
X
Z) − (
˜
AX · Z)
˜
AY + {(
˜
AY · ∇
X
Z) + (∇
Y
(
˜
AX) · Z) + (
˜
AX · ∇
Y
Z)}N
Analogamente,
∇
X
(∇
Y
Z) = ∇
X
(∇
Y
Z) − (
˜
AY · Z)
˜
AX + {(
˜
AX · ∇
Y
Z) + (∇
X
(
˜
AY) · Z) + (
˜
AY · ∇
X
Z)}N
Portanto,
¯
R(X,Y)Z := ∇
Y
(∇
X
Z) − ∇
X
(∇
Y
Z) + ∇
[X,Y]
Z =
= ∇
Y
(∇
X
Z) − (
˜
AX · Z)
˜
AY + {(
˜
AY · ∇
X
Z) + (∇
Y
(
˜
AX) · Z) + (
˜
AX · ∇
Y
Z)}N−
−∇
X
(∇
Y
Z) + (
˜
AY · Z)
˜
AX − {(
˜
AX · ∇
Y
Z) + (∇
X
(
˜
AY) · Z) + (
˜
AY · ∇
X
Z)}N−
∇
[X,Y]
Z + (
˜
A[X,Y] · Z)N =
1. Preliminares 21
R(X,Y)Z − (
˜
AX · Z)
˜
AY + (
˜
AY · Z)
˜
AX + {
˜
AX · (∇
Y
Z − ∇
Y
Z) +
˜
AX · (∇
X
Z − ∇
X
Z)+
(∇
Y
(
˜
AX) · Z) − (∇
X
(
˜
AY) · Z) + (
˜
A[X,Y] · Z)}N.
Tomando o produto interno com o vetor tangenteW obtemos:
¯
R(X,Y)Z ·W = R(X,Y)Z ·W − (
˜
AX · Z)(
˜
AY ·W) + (
˜
AX ·W)(
˜
AY · Z) ✷
Considere uma superfície imersa M S
2
× R ⊂ R
4
. Denotaremos por ∇, ∇ e ∇ as
respectivas conexões riemannianas em M, S
2
× R e R
4
, assim como R,
¯
R e
¯
¯
R os respectivos
tensores de Riemann.
Corolário 1.2.2 ([14]) A equação de Gauss torna-se
¯
R(X,Y)Z · N = −(e
4
· N){(X · Z)(Y · T) − (X · T)(Y · Z)}
onde, relativamente a M, os campos X, Y e Z são tangentes, N é normal e T = e
4
− (e
4
· N)N
é a componente tangente de e
4
.
(Equação de Codazzi da imersão M S
2
× R.)
Prova: Sejam
¯
N o campo normal de S
2
× R em R
4
e
˜
A(v) = ∇
v
¯
N o respectivo operador de
forma. Como
¯
¯
R ≡ 0, segue-se da equação de Gauss para S
2
× R ⊂ R
4
que
¯
R(X,Y)Z ·W = (
˜
AX · Z)(
˜
AY ·W) − (
˜
AX ·W)(
˜
AY · Z),
para X,Y, Z e W campos suaves de S
2
× R.
Se P = (p, p
4
) ∈ S
2
×R, então o campo normal
¯
N de S
2
×R é dado por
¯
N(p, p
4
) = (−p,0).
Um vetor V ∈ T
P
(S
2
×R) decompõe-se na forma V = (V
1
,V
4
), comV
1
∈ T
p
S
2
e V
4
∈ R. Temos
que
˜
AV = −∇
V
¯
N = (V
1
,0).
Sendo assim,
¯
R(X,Y)Z ·W = (X
1
· Z
1
)(Y
1
·W
1
) − (X
1
·W
1
)(Y
1
· Z
1
). (1.7)
(Observe que usamos ( · ) para denotar o produto interno tanto de R
3
quanto de R
4
)
1. Preliminares 22
Sejam X, Y e Z campos suaves de M. Como T
P
M ⊂ T
P
(S
2
× R) e N(P) ∈ T
P
(S
2
× R), pela
equação (1.7) temos:
¯
R(X,Y)Z · N = (X
1
· Z
1
)(Y
1
· N
1
) − (X
1
· N
1
)(Y
1
· Z
1
) =
(X · Z − X
4
Z
4
)(Y · N −Y
4
N
4
) − (X · N − X
4
N
4
)(Y · Z −Y
4
Z
4
) =
−N
4
{(X · Z)Y
4
− X
4
Y
4
Z
4
− X
4
(Y · Z) + X
4
Y
4
Z
4
} =
−(e
4
· N){(X · Z)(Y · e
4
) − (X · e
4
)(Y · Z)} =
−(e
4
· N){(X · Z)(Y · T) − (X · T)(Y · Z)}. ✷
Capítulo 2
O teorema de H. Hopf
2.1 Introdução
Neste capítulo, introduziremos algumas ferramentas para provar o teorema de H. Hopf [9],
que serão constantemente usadas neste trabalho, sobretudo no capítulo 3.
O teorema de H. Hopf afirma que uma esfera imersa em R
3
com curvatura média H constan-
te é a esfera redonda. A demonstração que faremos consiste em mostrar que todos os pontos da
imersão são umbílicos, já que a esfera é a única superfície compacta com esta propriedade. De
fato mostraremos que tal esfera é mergulhada. Para isto, usaremos a existência de parâmetros
isotérmicos (ver [15], [7]).
2.2 A diferencial de Hopf em parâmetros isotérmicos
Nesta seção, assim como no capítulo 3, estudaremos a geometria de uma superfície orien-
tada M imersa em R
3
ou S
2
× R com a métrica induzida, usando uma linguagem complexa.
Desta forma, é necessário introduzirmos alguns conceitos.
Uma aplicação f : U ⊂ C → M é uma aplicação conforme, se para todo z = x+ iy ∈ U,
2. O teorema de H. Hopf 24
Df(z) : C → T
f(z)
M é um isomorfismo que preserva ângulos, equivalentemente, existe uma
função positiva λ definida em U, tal que
Df(z)w,Df(z)v
M
= λw,v,
para todo w, v ∈ C, onde ,
M
é a métrica induzida.
Um sistema de coordenadas em M que satisfaz essa condição é chamados sistema de coor-
denadas isotérmicas, cujos coeficientes da primeira forma fundamental satisfaz
E = G > 0, F = 0.
A existência de um tal sistema de coordenadas(parâmetros isotérmicos), provada primeiro
por Gauss em 1822, nos diz que toda variedade riemanniana de dimensão dois é localmente
conformemente equivalente ao plano, isto é, em torno de cada ponto p ∈ M existe um sistema
de coordenadas isotérmicas (ver [7] ou [15]). Neste caso, um fato bem conhecido é que as
mudanças de coordenadas que preservam a orientação são funções holomorfas. Sendo assim,
podemos admitir que M é uma superfície de Riemann, ou seja, M possui uma estrutura com-
plexa dada por um atlas compatível com sua orientação, onde as mudanças de coordenadas são
bi-holomorfas.
Portanto, podemos supor que F : M → R
3
(ou S
2
× R) é uma imersão conforme de uma
superfície de Riemann, isto é, em coordenadas locais z = x+ iy,
F
x
2
= F
y
2
= E > 0, F
x
· F
y
= 0.
A métrica induzida é ds
2
= E|dz|
2
e o campo normal orientado é N = (F
x
× F
y
)/E. A
segunda forma fundamental é dada por ldx
2
+ 2mdxdy+ ndy
2
, onde l = F
xx
· N,m = F
xy
· N e
n = F
yy
· N. As curvaturas média H e Gaussiana K, são dadas por
H =
l + n
2E
e K =
ln− m
2
E
2
.
Lema 2.2.1 Uma função complexa diferenciável ϕ = U + iV é holomorfa se, e somente se,
ϕ
¯z
= 0.
2. O teorema de H. Hopf 25
Prova:
ϕ
¯z
= U
¯z
+ iV
¯z
⇒ 2ϕ
¯z
= (U
x
+ iU
y
) + i(V
x
+ iV
y
) = (U
x
−V
y
) + i(U
y
+V
x
).
A conclusão segue das equações de Cauchy-Riemann (ver [2]). ✷
É importante recordar o exemplo 1.1.8, onde está definida a diferencial de Hopf.
Pela seção 1.1.1, F
z
=
1
2
(F
x
− iF
y
) e F
¯z
=
1
2
(F
x
+ iF
y
) formam uma base de T
P
M
C
em cada
ponto.
Proposição 2.2.2 Em termos da coordenada complexa z, a imersão satisfaz:
(i) F
zz
= (
E
z
E
)F
z
+
α
2
N
(ii) F
z¯z
= (
EH
2
)N
(iii) Equação de Codazzi: α
¯z
= EH
z
(iv) Se H é constante, então a diferencial de Hopf A, localmente expressa por, A = αdz
2
é
holomorfa e definida globalmente em M; além disso os zeros de A são os pontos umbíli-
cos da imersão .
Prova: Esta proposição e sua demonstração podem ser vistas em [4]. Entretanto, uma
demonstração para os três primeiros ítens será obtida como conseqüência da demonstração da
proposição 3.1.1 no próximo capítulo.
(iv): Se H é constante, H
z
= 0 e pela equação de Codazzi, α
¯z
= 0. Portanto, pelo lema 2.2.1,
α é holomorfa.
Pelo que vimos nos preliminares algébricos, A está golbalmente definida. Entretanto,
podemos ilustrar essa propriedade observando que, dada uma mudança de coordenadas z−→ w,
com A = ψ(w)dw
2
localmente, resulta de (i) que
ψ(w) = 2(F(z(w))
ww
· N) = 2(
dz
dw
F
z
)
w
· N =
2. O teorema de H. Hopf 26
2[
d
2
z
dw
2
F
z
+ (
dz
dw
)
2
F
zz
] · N = 2(F
zz
· N)(
dz
dw
)
2
= α(z)(
dz
dw
)
2
.
Assim,
A = ψ(w)dw
2
= α(z)(
dz
dw
)
2
dw
2
= α(z)dz
2
é uma diferencial quadrática holomorfa definida globalmente em M.
Além disso,
|α|
2
=
(l − n)
2
4
+ m
2
=
(l + n)
2
4
+ m
2
− ln = E
2
H
2
− E
2
K =
E
2
(
k
2
1
+ k
2
2
+ 2k
1
k
2
4
− k
1
k
2
) = E
2
(k
1
− k
2
)
2
4
,
onde k
1
e k
2
são as curvaturas principais.
Portanto os zeros de A ocorrem nos pontos onde k
1
= k
2
, isto é, nos pontos umbílicos.
✷
2.3 O teorema de Hopf
Teorema 2.3.1 (Hopf, [9]) Se M é uma superfície homeomorfa à esfera imersa em R
3
com
curvatura média constante, então M é uma esfera redonda.
Para demonstrarmos esse teorema, necessitamos de alguns resultados.
Teorema 2.3.2 Se M é uma superfície de Riemann homeomorfa à esfera, então toda diferencial
quadrática holomorfa, globalmente definida em M, é nula.
Prova: Sabemos, pelo teorema de uniformização para superfícies simplesmente conexas (ver
[3] p. 142 ou [8], p. 194) que existe somente um tipo conforme de superfície de Riemann
compacta homeomorfa à esfera S
2
. Portanto podemos supor que nossa superfície é a esfera de
Riemann
C = C ∪{∞}, cuja topologia consiste dos abertos usuais juntamente com os conjuntos
da forma V ∪ {∞}, onde V é o complemento de um compacto K ⊂ C.
2. O teorema de H. Hopf 27
Temos uma estrutura complexa em
C, dada por um atlas formado por dois sistemas de
coordenadas: um é a identidade ϕ
1
:
C − {∞} → C, que cobre toda a esfera exceto z = ∞; o
outro ϕ
2
:
C − {0} → C, cobrindo toda a esfera exceto z = 0, é dado por
ϕ
2
(z) =
z
−1
, se z = ∞
0, se z = ∞
Uma diferencial quadrática C admite expressões locais holomorfas nesses sistemas, a saber,
γ(z)dz
2
, z ∈ ϕ
1
(
C − { ∞} ) = C, β(w)dw
2
, w ∈ ϕ
2
(
C − { 0}) = C.
Na interseção C−{0} das vizinhanças de coordenadas, temos a mudança w= z
−1
, e conseqüente-
mente,
γ(z) = β(w)(
dw
dz
)
2
= β(w)z
−4
= β(w)w
4
.
Ora, γ e β são funções inteiras e
lim
z→∞
γ(z) = lim
w→0
β(w).w
4
= β(0).0 = 0.
Pelo teorema de Liouville, resulta que C ≡ 0. ✷
Corolário 2.3.3 Seja M uma superfície de Riemann homeomorfa à esfera imersa em R
3
com
curvatura média constante. Então M está contida numa esfera redonda.
Prova: Resulta da proposição 2.2.2 (iv), que a diferencial A de Hopf é holomorfa e definida
globalmente em M. Pelo teorema anterior, A é identicamente nula. Como os zeros de A são
os pontos umbílicos da imersão (2.2.2), segue-se que M é totalmente umbílica. Sabendo que
a curvatura média H é constante e pelo fato de M ser compacta, resulta que H = 0. Sendo M
conexa, está contida numa esfera S
2
r
de raio r =
1
|H|
. ✷
Prova: (do teorema de Hopf)
Pelo corolário 2.3.3, a imagem de M pela imersão F (do início deste capítulo) está contida
numa esfera S
2
r
. Portanto, podemos considerar que F : M → S
2
r
é uma imersão entre superfí-
cies de mesma dimensão, logo um difeomorfismo local. Como M é compacta e S
2
r
é conexa,
2. O teorema de H. Hopf 28
obtemos que F é sobrejetiva e, além disso, uma aplicação de recobrimento. Do fato de S
2
r
ser simplesmente conexa, concluímos que F é injetiva (ver, por exemplo [11], pg 136). Sendo
assim, F é um difeomorfismo global e fica provado o teorema de Hopf. ✷
Capítulo 3
A diferencial de Abresch-Rosenberg em
S
2
× R
Neste capítulo, provaremos que a diferencial Q de Abresch-Rosenberg é holomorfa e em
seguida estudaremos a geometria de uma superfície imersa M S
2
× R com Q = 0, provando
que é rotacional. A técnica usada neste capítulo difere daquela de [1] e segue [10].
3.1 A diferencial Q de Abresch-Rosenberg em parâmetros
isotérmicos
Seja F : M S
2
× R ⊂ R
4
uma imersão conforme de uma superfície de Riemann, ou seja,
em relação à coordenada complexa z = x+ iy,
F
x
2
= F
y
2
= E > 0, F
x
· F
y
= 0.
Seja N o campo normal unitário de M compatível com sua orientação . O operador de
forma é
˜
A(v) = −∇
v
N e a segunda forma fundamental é dada por ldx
2
+ 2mdxdy+ ndy
2
, onde
l = ∇
F
x
F
x
· N, m = ∇
F
y
F
x
· N e n = ∇
F
y
F
y
· N.
3. A diferencial de Abresch-Rosenberg em S
2
× R 30
Estendemos a conexão ∇ a campos complexos (ver 1.1.1) de maneira linear. Verifica-se
facilmente a equação de compatibilidade de ∇ com a extensão bilinear do produto interno.
Lembramos que a atuação de F
z
=
1
2
(F
x
−iF
y
) e F
¯z
=
1
2
(F
x
+iF
y
) como derivação sobre funções
é exatamente a dos operadores
∂
∂z
e
∂
∂¯z
.
Proposição 3.1.1 Em termos da coordenada complexa z, a imersão satisfaz:
(i) ∇
F
z
F
z
= (
E
z
E
)F
z
+
α
2
N, onde α é o coeficiente local da diferencial A de Hopf definida em
1.1.8.
(ii) ∇
F
¯z
F
z
=
EH
2
N
(iii) Equação de Codazzi: 2Hα
¯z
− τ
¯z
= E(H
2
)
z
, onde τ = 2(F
z
· e
4
)
2
.
Prova: Pela observação 1.1.5, temos:
F
z
· F
z
= F
¯z
· F
¯z
= F
z
· N = F
¯z
· N = 0 e F
z
· F
¯z
=
E
2
.
(i) ∇
F
z
F
z
=
1
4
∇
(F
x
− iF
y
)
(F
x
− iF
y
) =
1
4
{∇
F
x
F
x
− ∇
F
y
F
y
− 2i∇
F
y
F
x
}.
Tomando o produto interno por N, temos:
∇
F
z
F
z
· N =
1
4
(l − n− 2im) =
1
2
(
l − n
2
− im) =
α
2
. (3.1)
Da equação F
z
· F
¯z
=
E
2
, obtemos
∇
F
z
F
z
· F
¯z
+ F
z
· ∇
F
z
F
¯z
=
E
z
2
.
Observamos que F
z
· ∇
F
z
F
¯z
= F
z
· ∇
F
¯z
F
z
=
1
2
F
¯z
[F
z
· F
z
] = 0
¯z
= 0 e portanto
∇
F
z
F
z
· F
¯z
=
E
z
2
. (3.2)
Consideremos a decomposição ∇
F
z
F
z
= aF
z
+ bF
¯z
+ cN.
3. A diferencial de Abresch-Rosenberg em S
2
× R 31
Por (3.1), obtemos c =
α
2
e de (3.2) segue-se a
E
2
=
E
z
2
, logo a =
E
z
E
Finalmente, tomando o produto interno por F
z
∇
F
z
F
z
· F
z
= 0 ⇒ b
E
2
= 0 ⇒ b = 0
e assim provamos (i)
(ii) ∇
F
¯z
F
z
=
1
4
∇
(F
x
+ iF
y
)
(F
x
− iF
y
) =
1
4
(∇
F
x
F
x
+ ∇
F
y
F
y
). Logo:
∇
F
¯z
F
z
· N =
1
4
(∇
F
x
F
x
· N + ∇
F
y
F
y
· N) =
l+n
4
=
EH
2
.
Como ∇
F
¯z
F
z
· F
z
= 0 = ∇
F
¯z
F
z
· F
¯z
, temos:
∇
F
¯z
F
z
=
EH
2
N
e concluímos o resultado de (ii).
(iii) Pelo exemplo1.1.9 e pela proposição 1.1.7, τ= 2B(F
z
,F
z
), onde B(u,v) = (u·T)(v·T).
Logo,
τ = 2(F
z
· T)
2
= 2(F
z
· e
4
)
2
.
Pela regra da cadeia,
τ
¯z
= 4(F
z
· T)F
¯z
[(F
z
· T)] = 4(F
z
· T)(∇
F
¯z
F
z
· T + F
z
· ∇
F
¯z
T). (3.3)
Decorre de (ii) que ∇
F
¯z
F
z
· T = 0, e como T = e
4
− (e
4
· N)N, temos:
∇
F
¯z
T = −F
¯z
[(e
4
· N)]N − (e
4
· N)∇
F
¯z
N = −(e
4
· ∇
F
¯z
N)N − (e
4
· N)∇
F
¯z
N, portanto
F
z
· ∇
F
¯z
T = −(e
4
· N)(F
z
· ∇
F
¯z
N) = (e
4
· N)(∇
F
¯z
F
z
· N) =
EH
2
(e
4
· N).
Desta forma a equação (3.3) torna-se:
τ
¯z
= 2EH(F
z
· T)(e
4
· N). (3.4)
Para obter a equação de Codazzi, lembramos que:
¯
R(F
¯z
,F
z
)F
z
· N = (∇
F
z
∇
F
¯z
F
z
− ∇
F
¯z
∇
F
z
F
z
) · N (3.5)
3. A diferencial de Abresch-Rosenberg em S
2
× R 32
Calculando:
∇
F
z
(∇
F
¯z
F
z
) = ∇
F
z
{(
1
2
EH)N} =
1
2
F
z
[EH]N +
1
2
EH.∇
F
z
N
∇
F
¯z
(∇
F
z
F
z
) = ∇
F
¯z
{
E
z
E
F
z
+
α
2
N} = F
¯z
[
E
z
E
].F
z
+
E
z
E
.∇
F
¯z
F
z
+ F
¯z
[
α
2
]N +
α
2
∇
F
¯z
N
Portanto a componente normal de ∇
F
z
∇
F
¯z
F
z
− ∇
F
¯z
∇
F
z
F
z
é
(
E
z
H
2
+
EH
z
2
−
E
z
E
1
2
EH −
α
¯z
2
).
Logo, o lado direito de (3.5) é:
1
2
(EH
z
− α
¯z
). (3.6)
E o lado esquerdo de (3.5) é obtido do corolário 1.2.2:
¯
R(F
¯z
,F
z
)F
z
· N = −(e
4
· N){(F
¯z
· F
z
)(F
z
· T) − (F
¯z
· T)(F
z
· F
z
)} =
−
E
2
(e
4
· N)(F
z
· T). Assim a igualdade (3.5) torna-se:
−E(e
4
· N)(F
z
· T) = EH
z
− α
¯z
.
Multiplicando a equação acima por 2H e usando a equação (3.4), chega-se a:
−τ
¯z
= 2EHH
z
− 2Hα
¯z
⇒ 2Hα
¯z
− τ
¯z
= E(H
2
)
z
,
e fica provada a equação de Codazzi na formulação do item (iii). ✷
Observação 3.1.2 As demontrações (i) e (ii) se aplicam aos mesmos itens da proposição 2.2.2.
Além disso, note que para obter (3.6) não usamos a geometria de S
2
× R. Portanto se consi-
derarmos a imersão M R
3
do capítulo 2, então
¯
R ≡ 0 e assim o lado esquerdo de (3.5) é
nulo. De (3.6) obtemos que α
¯z
= EH
z
, demonstrando o item (iii) daquela mesma proposição.
Corolário 3.1.3 (Teorema 1 de [1]) A diferencial Q de Abresch-Rosenberg para M S
2
× R
com curvatura média constante é holomorfa.
Prova: Usando (iii) é imediato que H constante implica que (2Hα−τ)
¯z
= 0, ou seja, (2Hα−
τ)dz
2
é uma expressão holomorfa da diferencial quadrática Q . ✷
3. A diferencial de Abresch-Rosenberg em S
2
× R 33
Observe que a diferencial Q é globalmente definida, pois, pelo que vimos nos preliminares
algébricos, A e T são definifda globalmente. Contudo, um simples cálculo reforça o fato de
que a diferencial quadrática T = ψ(w)dw
2
independe de coordenadas (da mesma maneira que
foi feito para A na demonstração de 2.2.2). De fato,
ψ(w) = 2(F
w
· e
4
)
2
= 2(
dz
dw
F
z
· e
4
)
2
= 2(F
z
· e
4
)
2
(
dz
dw
)
2
.
Logo
T = ψ(w)dw
2
= 2(F
z
· e
4
)
2
(
dz
dw
)
2
dw
2
= τ(z)dz
2
está bem definida.
3.2 Superfíciesem S
2
×R com diferencialdeAbresch-Rosenberg
nula
Nesta seção, utilizaremos cálculos expostos em [14], com a abordagem de [10]. Mantemos
a notação da seção anterior.
Proposição 3.2.1 A diferencial quadrática T se anula em P ∈ M, se, e somente se, N(P) =
±e
4
.
Prova: Como T = τdz
2
e τ = 2(F
z
· T)
2
se τ = 0, então F
z
· T = 0. Sendo F
z
=
1
2
(F
x
− iF
y
),
segue que F
x
· T = 0 = F
y
· T. Logo T = 0, ou equivalentemente, N = ±e
4
. ✷
Corolário 3.2.2 ([1]) Se M é uma superfície homeomorfa à esfera imersa em S
2
× R com
curvatura média H ≡ 0, então M = S
2
× {ξ
0
}; ξ
0
constante.
Prova: Se H ≡ 0,resulta da equação de Codazzi: 2Hα
¯z
− τ
¯z
= E(H
2
)
z
, que τ é holomorfa.
Pela proposição 2.3.2, τ deve ser identicamente nula, ou seja N ≡ e
4
ou N ≡ −e
4
e portanto
F(M) ⊂ S
2
× {ξ
0
}. Usando o mesmo argumento da prova do teorema de Hopf, temos que
F : M → S
2
× {ξ
0
} é um difeomorfismo. ✷
3. A diferencial de Abresch-Rosenberg em S
2
× R 34
Proposição 3.2.3 ([10]) Se a diferencial Q de Abresch-Rosenberg é nula e T (P) = 0, então
T e JT são direções principais nesse ponto associadas a k
1
= H +
||T||
2
4H
e k
2
= H −
||T||
2
4H
,
respectivamente, com H = 0.
Prova: Note que T = 2HA ⇔ B
0
= 2HA
0
, onde A
0
e B
0
são as formas de traço nulo associa-
das à segunda forma fundamental A e B(v, w) = (v· T)(w· T), respectivamente. Além disso,
H = 0, pois T = 2HA = 0. Pela proposição anterior temos T = 0.
Sejam
˜
A o operador de forma e
˜
B o operador linear simétrico associado a B. Como
˜
B(u) =
(u· T)T e T · JT = 0 é fácil ver que a matriz de
˜
B na base isotérmica {T,JT} é
[
˜
B] =
||T||
2
0
0 0
.
Assim a matriz de
˜
B
0
, na mesma base fica:
[
˜
B
0
] =
||T||
2
2
0
0 −
||T||
2
2
.
Como
˜
A
0
=
1
2H
˜
B
0
, tem-se:
[
˜
A
0
] =
||T||
2
4H
0
0 −
||T||
2
4H
.
Da definição 1.1.3, temos
˜
A = HI +
˜
A
0
. Logo
[
˜
A] =
H +
||T||
2
4H
0
0 H −
||T||
2
4H
.
Isso comprova que T e JT são direções principais associadas a k
1
= H +
||T||
2
4H
e k
2
= H −
||T||
2
4H
, respectivamente. ✷
Lema 3.2.4 Seja (X,ρ) campo de S
2
× R, onde X(P) ∈ T
p
S
2
e ρ(P) ∈ R e seja (γ(t),γ
4
(t))
curva suave de S
2
× R. Então :
∇
(γ
′
,γ
′
4
)
(X, ρ) = (X
′
+ (X · γ
′
)γ,ρ
′
). (3.7)
3. A diferencial de Abresch-Rosenberg em S
2
× R 35
onde X
′
e ρ
′
denotam
d
dt
{X(γ(t),γ
4
(t))} e
d
dt
{ρ(γ(t), γ
4
(t))} respectivamente.
Prova: ∇ é a conexão Riemanniana em S
2
× R, portanto ∇
(γ
′
,γ
′
4
)
(X, ρ) é a componente tan-
gente a S
2
× R da derivada em R
4
,(X
′
,ρ
′
). Denotando um ponto de S
2
× R por P = (p, p
4
), a
normal N de S
2
× R é dada por N(P) = (−p, 0). Logo:
∇
(γ
′
,γ
′
4
)
(X, ρ) = (X
′
,ρ
′
) − {(X
′
,ρ
′
) · (−γ, 0)} (−γ,0) = (X
′
,ρ
′
) − (X
′
· γ)(γ, 0).
Note que X(γ(t)) · γ(t) = 0. Sendo assim, X
′
· γ = −X · γ
′
.
Finalmente, ∇
(γ
′
,γ
′
4
)
(X, ρ) = (X
′
,ρ
′
) + (X · γ
′
)(γ,0) = (X
′
+ (X · γ
′
)γ,ρ
′
). ✷
Proposição 3.2.5 ([10]) Considere a decomposição ortogonal do campo normal N = (V, ρ).
Se a diferencial Q de Abresch-Rosenberg é identicamente nula, então T e JT satisfazem:
(i) T = (−ρV,1− ρ
2
).
(ii) JT = (−V
⊥
,0), onde V
⊥
denota a rotação positiva de V em T
p
S
2
.
(iii) ||T||
2
= ||V||
2
= k
2
1
− k
2
2
= 1− ρ
2
Prova: (i) T = e
4
− (e
4
· N)N = e
4
− ρN = e
4
− ρ(V,ρ) = (−ρV,1− ρ
2
).
(ii) Para obter a expressão de JT, note que (±V
⊥
,0) é tangente a S
2
× R, ortogonal a T e N
e possui a mesma norma de T. Logo, JT = (±V
⊥
,0). O sinal decorre da orientação adotada.
(iii) ||T||
2
= ||e
4
− ρN||
2
= ||e
4
||
2
− 2ρ
2
+ ρ
2
= 1− ρ
2
.
Como ||N|| = 1 ⇒ ||V||
2
+ ρ
2
= 1 ⇒ | |V||
2
= 1− ρ
2
.
Além disso, se H = 0, k
1
− k
2
=
||T||
2
2H
=
||T||
2
k
1
+k
2
⇒ k
2
1
− k
2
2
= ||T||
2
.
Se H = 0, então τ = 0. Sendo assim, pela proposição 3.2.1 temos T = 0 e portanto
k
2
1
− k
2
2
= 0 = ||T||
2
.
✷
3. A diferencial de Abresch-Rosenberg em S
2
× R 36
A partir de agora, assumimos a diferencial Q de Abresch-Rosenberg identicamente nula e
H constante diferente de zero.
Proposição 3.2.6 ([10]) Seja Φ(t) = (φ(t),φ
4
(t)), t ∈ (−ε,ε), uma curva integral de JT, pas-
sando por um ponto não-umbílico P = (p, p
4
) ∈ M S
2
× R. Então verificam-se as seguintes
propriedades:
1. Φ é horizontal com φ
4
(t) = p
4
para todo t; k
1
e k
2
são constantes ao longo de Φ .
2. Se k
2
(P) = 0, então φ(t) está contido num círculo geodésico de S
2
de raio r(P) =
arctan
(
k
1
k
2
)
2
− 1 ∈ (0,
π
2
) e centro
Q(P)
||Q(P)||
, onde Q(P) = p+
V(P)
k
2
(P)
.
3. Se k
2
(P) = 0, então φ(t) está contida numa geodésica de S
2
.
Prova: O fato do ponto P não ser umbílico significa, pela proposição 3.2.3, que T(P) = 0.
Como Φ(t) = (φ(t), φ
4
(t)) é uma curva integral de JT, então Φ
′
(t) = JT(Φ(t)) e Φ(0) = P =
(p, p
4
).
Pelo item (ii) da proposição anterior, φ
′
4
(t) = 0. Assim φ
4
(t) = φ
4
(0) = p
4
, ou seja, as curvas
integrais de JT são horizontais, no sentido de estarem contidas em S
2
× {p
4
}.
Do lema 3.2.4, para o campo normal restrito a Φ segue-se:
∇
JT
(V,ρ) = ∇
(−V
⊥
,0)
(V,ρ) = (V
′
− (V ·V
⊥
)φ(t,P), ρ
′
) = (V
′
,ρ
′
).
Como JT é principal temos ∇
JT
N = −k
2
JT = k
2
(V
⊥
,0). Logo
V
′
= k
2
V
⊥
, ρ
′
= 0. (3.8)
De ρ
′
= 0 concluímos que
ρ(Φ(t)) = ρ(Φ(0)) = ρ(P), ∀t.
Portanto, usando o item (iii) da proposição anterior, k
1
= H +
||T||
2
4H
e k
2
= H −
||T||
2
4H
são
constantes ao longo de Φ.
3. A diferencial de Abresch-Rosenberg em S
2
× R 37
Agora, suponha que k
2
(P) = 0. Vamos mostrar φ(t) está contida na interseção de S
2
com
uma esfera em R
3
.
Seja Q(t) = φ(t) +
V(t)
k
2
, onde usamos a notação simplificada
Q(t) = Q(Φ(t,P)), φ(t) = φ(t,P) e V(t) = V(Φ(t,P)).
Sabemos k
2
é constante ao longo de Φ. Assim,
Q
′
(t) = φ
′
(t) +
V
′
(t)
k
2
.
Mas, φ
′
(t) = −V
⊥
(t) e pela equação (3.8), V
′
(t) = k
2
V
⊥
(t). Logo Q
′
(t) = 0, onde con-
cluímos que Q(t) = Q(P) é constante.
Desta forma ||φ(t) − Q(P)|| = ||
V(t)
k
2
|| é constante e diferente de zero, pois V = 0 ⇔ T = 0.
Portanto φ(t) está contido na interseção de S
2
com uma esfera de centro Q(P) em R
3
.
Para o raio geodésico, temos
tanr(P) = ||
V(P)
k
2
|| =
k
2
1
−k
2
2
k
2
2
. Logo r(P) = arctan
(
k
1
k
2
)
2
− 1.
Se k
2
(P) = 0 por (3.8), temos V
′
= 0, ou seja, além de ser tangente V = V
0
é constante ao
longo de φ(t). Logo φ(t) está contida no plano ortogonal a V
0
passando por p, cuja intersecão
com a esfera é um círculo. Tal círculo é máximo, pois o campo constante V
0
é tangente a S
2
. ✷
Observação 3.2.7 A seguir, redefinimos os círculos da proposição 3.2.6 de modo a expressar
seus centros por uma função suave.
Se k
2
(P) < 0, temos o círculo de centroC(P) = −
Q(P)
||Q(P)||
e raio π− r(P);
Se k
2
(P) = 0, interpretamos a geodésica como um círculo geodésico de raio
π
2
e centro
C(P) =
V(P)
||V(P)||
.
Se k
2
(P) > 0 temos C(P) =
Q(P)
||Q(P)||
e raio r(P)
Se P é umbílico, temos r(P) = 0 e C(P) = ±p, conforme o sinal de H.
3. A diferencial de Abresch-Rosenberg em S
2
× R 38
Desta forma os centros são unificados pela função suave
C(P) =
k
2
p+V(P)
||k
2
p+V(P)||
. (3.9)
De fato, se k
2
= 0, então
C(P) =
k
2
|k
2
|
Q(P)
||Q(P)||
.
Se k
2
= 0, então
C(P) =
V(P)
||V(P)||
.
Proposição 3.2.8 ([10]) Seja Γ(s) = (γ(s),γ
4
(s)), s ∈ (a, b) uma curva integral de T e denote
por C(s) o centro C(Γ(s)) do círculo definido em (3.9). Então C(s) = C
0
é constante.
Prova: Usando as notações : k
2
(s) = k
2
(Γ(s)) e V(s) = V(Γ(s)), temos
C(s) =
q(s)
||q(s)||
,
onde q(s) = k
2
(s)γ(s) +V(s).
Sendo assim,
C
′
=
q
′
||q||
−
q
′
· q
||q||
3
q (3.10)
Um cálculo simples usando a equação (3.10) mostra que para obtermos o resultado desejado
é suficiente que
q
′
(s) = λ(s)q(s), (3.11)
com λ(s) ∈ R.
A demonstração de (3.11) é dada a seguir.
Diferenciando q(s) = k
2
(s)γ(s) +V(s), obtemos
q
′
(s) = k
′
2
(s)γ(s) + k
2
(s)γ
′
(s) +V
′
(s). (3.12)
3. A diferencial de Abresch-Rosenberg em S
2
× R 39
Pelo fato de Γ ser uma curva integral e do item (i) de 3.2.5 (omitindo o parâmetro s), resulta
que (γ
′
,γ
′
4
) = T = (−ρV,1− ρ
2
), portanto
γ
′
= −ρV, γ
′
4
= 1− ρ
2
. (3.13)
Além disso, fora dos pontos umbílicos, T é principal
−k
1
T = ∇
(γ
′
,γ
′
4
)
(V,ρ) = (V
′
+ (V · γ
′
)γ,ρ
′
),
assim
V
′
+ (V · γ
′
)γ = k
1
ρV, ρ
′
= −k
1
(1− ρ
2
).
Seque-se de (3.13) e do item (iii) de 3.2.5 que V · γ
′
= −ρ(k
2
1
− k
2
2
). Logo
V
′
= k
1
ρV + ρ(k
2
1
− k
2
2
)γ e ρ
′
= −k
1
(k
2
1
− k
2
2
). (3.14)
Por outro lado,
k
2
= H −
1− ρ
2
4H
⇒ k
′
2
=
ρρ
′
2H
.
Usando (3.14), tem-se
k
′
2
=
−ρk
1
(k
2
1
− k
2
2
)
k
1
+ k
2
= −ρk
1
(k
1
− k
2
). (3.15)
Substituindo (3.13), (3.14) e (3.15) na equação (3.12), obtemos
q
′
= −ρ(k
2
1
− k
1
k
2
)γ− k
2
ρV + k
1
ρV + ρ(k
2
1
− k
2
2
)γ = ρ(k
1
− k
2
)k
2
γ+ ρ(k
1
− k
2
)V ⇒
q
′
= ρ(k
1
− k
2
)q.
Como as curvas não triviais de T e JT não passam pelos pontos umbílicos, mostramos que
o gradiente de C se anula nos pontos não-umbílicos, já que sua derivada é zero nas direções JT
(proposição 3.2.6) e T (pelo resultado acima).
3. A diferencial de Abresch-Rosenberg em S
2
× R 40
Suponha que exista um aberto U de pontos umbílicos. Então U ⊂ S
2
×{ξ
0
} e assim H = 0,
contrariando nossa hipótese inicial. Desta forma, por continuidade, temos ∇C ≡ 0 e C(s) = C
0
constante. ✷
O corolário a seguir, prova uma parte do teorema de Abresch-Rosenberg, que uma esfera
imersa em S
2
× R é rotacional, isto é, invariante por rotação em torno de um eixo em S
2
× R.
O teorema anterior fornece {C
0
} × R como candidato ao eixo de rotação.
Corolário 3.2.9 Seja M uma superfície homeomorfa à esfera e imersa em S
2
×R com curvatu-
ra média constante. Então M é rotacional.
Prova: Falta o caso H = 0. Pelo corolário 3.1.3 a diferencial Q de Abresch-Rosenberg é
holomorfa. Pelo argumento utilizado no capítulo 2 para demonstrar o teorema de Hopf, conclui-
se que Q ≡ 0. Como M é completa, as curvas integrais de JT estão definidas para todo tempo
e tem velocidade constante por 3.2.6 e 3.2.5, logo cobrem todo o paralelo. Além disso, um
ponto é umbílico se, e somente se, está sobre o eixo {C
0
} × R. ✷
Capítulo 4
O teorema de Abresch-Rosenberg
Vimos no capítulo anterior que uma esfera imersa M S
2
× R com curvatura média
constante é invariante por rotação em torno de um eixo {C
0
} × R. A menos de uma isome-
tria de S
2
×R, podemos supor que C
0
coincide com o polo norte (0, 0, 1). Queremos provar que
M é mergulhada. A classificação destas superfícies de rotação encontra-se em [13].
4.1 A geometria de uma superfície de revolução em S
2
× R
Para obtermos uma parametrização de M, introduzimos o sistema de coordenadas geodési-
cas polares Y(r,θ) ∈ S
2
a partir do pólo norte,
Y(r, θ) = (sinrcosθ, sinrsinθ, cosr), r ∈ (0,π), θ ∈ (0,2π).
As geodésicas de S
2
que partem do pólo norte intersectam a órbita de cada ponto de M
apenas uma vez. Assim obtemos uma curva suave
˜c(s) = (r(s), ξ(s)) ∈ (0,π) × R, (4.1)
onde s ∈ (a, b) é o parâmetro comprimento de arco.
Uma curva perfilde M é dada por c(s) = (0,sinr(s), cosr(s), ξ(s)) ∈ {0}×S
1
×R ⊂ S
2
×R
4. O teorema de Abresch-Rosenberg 42
Obtemos assim uma parametrização para M,
X(s,θ) = (Y(r(s),θ), ξ(s)) ∈ S
2
× R.
Note que
X
s
= (r
′
Y
r
, ξ
′
), X
θ
= (Y
θ
, 0), (4.2)
onde Y
r
= (cosrcosθ, cosrsinθ, −sinr), Y
θ
= (−sinrsinθ,sinrcosθ, 0) satisfazem:
Y
r
· Y
r
= 1; Y
r
· Y
θ
= 0 e Y
θ
· Y
θ
= sin
2
r. (4.3)
Os coeficientes da primeira forma fundamental de M são :
E = 1, F = 0, G = sin
2
r. (4.4)
De fato,
E = X
s
· X
s
= r
′2
Y
r
· Y
r
+ ξ
′2
= 1, F = X
s
· X
θ
= r
′
Y
r
· Y
θ
= 0, G = X
θ
· X
θ
= Y
θ
· Y
θ
=
sin
2
r.
Recordemos a notação introduzida no cap
´
tulo 3: N é o campo normal de M, o operador de
forma é
˜
A(v) = −∇
v
N com tr[
˜
A] = 2H (∇ é a conexão Riemanniana em S
2
× R) e a segunda
forma fundamental é dada por lds
2
+ 2mdsdθ+ ndθ
2
, onde l = ∇
X
s
X
s
· N, m = ∇
X
θ
X
s
· N e
n = ∇
X
θ
X
θ
· N.
Proposição 4.1.1 Referente a parametrização X(s,θ) de M, verificam-se:
(i) N(s, θ) = (−ξ
′
(s)Y
r
(r(s),θ), r
′
(s)) ∈ T
Y(r,θ)
× R
(ii) l = k, m = 0 e n = ξ
′
sinrcosr, onde k(s) é a curvatura normal da curva c(s) em
M S
2
× R.
(iii) Os meridianos e paralelos são curvas principais e 2H = k+ ξ
′
cotr
4. O teorema de Abresch-Rosenberg 43
Prova: (i) Os campos (Y
r
,0) e e
4
= (0,0,0, 1) são tangentes a S
2
× R. Assim
N = −ξ
′
(Y
r
,0) + r
′
e
4
= (−ξ
′
Y
r
, r
′
)
é tangente a S
2
× R e satisfaz N · X
s
= N · Y
θ
= 0, N · N = 1.
Portanto N = (−ξ
′
Y
r
, r
′
) é normal unitário de M.
(ii) Observe que ∇
X
s
X
s
= X
ss
− (∇
X
s
X
s
·
¯
N)
¯
N, onde
¯
N(r,θ) = (−Y(r,θ), 0) é o campo
normal de S
2
× R. Decorre de N ·
¯
N = 0 que l = ∇
X
s
X
s
· N = X
ss
· N.
Analogamente, m = X
sθ
· N, n = X
θθ
· N.
Por (4.2) obtemos:
X
ss
= (r
′′
Y
r
+ r
′2
Y
rr
, ξ
′′
), X
sθ
= (r
′
Y
rθ
, 0), X
θθ
= (Y
θθ
, 0). (4.5)
De Y
r
· Y
r
= 1 em (4.3), resulta que Y
rθ
· Y
r
= 0 = Y
rr
· Y
r
.
Assim,
l = X
ss
· N = (r
′′
Y
r
+ r
′2
Y
rr
, ξ
′′
) · (−ξ
′
Y
r
,r
′
) = −r
′′
ξ
′
Y
r
· Y
r
− r
′2
Y
rr
· Y
r
+ r
′
ξ
′′
= r
′
ξ
′′
− r
′′
ξ
′
.
Um cálculo simples mostra que k(s) = r
′
ξ
′′
−r
′′
ξ
′
é a curvatura normal da curva c(s) (ver [12]).
Segue-se por (4.5) e (i) que
m = X
sθ
· N = −r
′
ξ
′
Y
rθ
· Y
r
= 0
Finalmente, para calcularmos n note que N
θ
= (−ξ
′
Y
rθ
, 0) e da expressão Y
θ
· Y
θ
= sin
2
r
de (4.3), obtém-se Y
rθ
· Y
θ
= sinrcosr. Logo,
n = X
θθ
· N = −X
θ
· N
θ
= ξ
′
Y
θ
· Y
rθ
= ξ
′
sinrcosr
e fica provado (ii).
(iii) Como F = m = 0, temos que os meridianos e paralelos são curvas principais. A matriz
do operador de forma
˜
A na base {X
s
,X
θ
} é obtida de (4.4) e (ii).
4. O teorema de Abresch-Rosenberg 44
[
˜
A] =
l
E
0
0
n
G
=
k 0
0 ξ
′
cotr
✷
4.2 O teorema de Abresch-Rosenberg
O teorema de Abresch-Rosenberg será obtido através da análise de um sistema de equações
diferenciais ordinárias associado a uma esfera imersa M S
2
× R com curvatura média
constante, que sabemos ser rotacional pelo Teorema 3.2.9.
Para obtermos expressões semelhantes às de [1], seção 2.2, considere a função ângulo ϕ(s)
determinada por ˜c tal que ˜c
′
(s) = (−sinϕ(s),cosϕ(s)). Assim, temos que k(s) = ϕ
′
(s)(ver [5]).
Por (4.1) e pelo item (iii) do teorema 4.1.1, obtemos o seguinte sistema:
r
′
= −sinϕ
ξ
′
= cosϕ
ϕ
′
= 2H − cosϕcotr
(4.6)
A útima equação deste sistema equivale a
ϕ
′
sinr = 2H sinr− cosϕcosr
que multiplicada por r
′
torna-se:
−ϕ
′
sinϕsinr+ r
′
cosϕcosr− 2Hr
′
sinr = 0 ⇒
d
ds
{cosϕsinr} −
d
ds
{4H sin
2
(
r
2
)} = 0 ⇒
L := cosϕsinr − 4H sin
2
(
r
2
) (4.7)
onde L é constante (ver [1], seção 2.3).
4. O teorema de Abresch-Rosenberg 45
Note que se r
′
(s) = 0 ∀s, então r = r
0
e ϕ = 0 ou ϕ = π. Assim obtemos um cilindro de raio
r
0
e curvatura média H =
±cotr
0
2
. Tais soluções são excluídas pois o cilindro não é homeomorfo
à esfera.
Em [1] seção 2, Uwe Abresch e Harold Rosenberg fazem uma classificação detalhada das
soluções de (4.6).
Como estamos considerando a imersão de uma esfera, a curva ˜c definida em (4.1) é limitada
e deve encontrar o eixo de rotação .
Desta forma, fazendo r → 0 ⇒ L = 0 e como sinr > 0, obtemos de (4.7)
cosϕ =
4H sin
2
(
r
2
)
sinr
=
4H sin
2
(
r
2
)
2sin(
r
2
)cos(
r
2
)
⇒
cosϕ = 2H tan(
r
2
) (4.8)
Observações :
Note que, se H = 0, então cosϕ= 0. Portanto ϕ= ±
π
2
e ξ = ξ
0
que corresponde às soluções
do tipo S
2
× {ξ
0
} conforme o corolário 3.2.2. Por outro lado, se H = 0 então cosϕ = 0,
portanto o máximo e o mínimo da altura ocorrem quando r = 0.
Além disso, a equação (4.8) confirma que a curva ˜c deve encontrar o eixo de rotação
perpendicularmente, pois cosϕ → 0 quando r → 0.
Usando (4.8), podemos eliminar o fator cotr em (4.6) e tirar algumas conclusões sobre
suas soluções .
De fato, da identidade
cotr =
1− tan
2
r
2
2tan
r
2
,
se H = 0 obtemos
ϕ
′
= 2H − 2H tan(
r
2
)
1− tan
2
(
r
2
)
2tan(
r
2
)
= H + H
cos
2
ϕ
4H
2
⇒
4. O teorema de Abresch-Rosenberg 46
ϕ
′
=
1
4H
(4H
2
+ cos
2
ϕ). (4.9)
A equação (4.9) indica que ϕ(s) é estritamente crescente ou decrescente conforme o sinal
de H seja positivo ou negativo, respectivamente.
Por (4.9) e (4.6), vemos que se r = 0, então ξ
′
> 0 ou ξ
′
< 0 (dependendo do sinal de H).
Logo, M está mergulhada em S
2
× R e atingimos o objetivo deste trabalho.
Teorema 4.2.1 (Abresch-Rosenberg, teorema 2 de [1]) Seja M S
2
× R uma esfera imersa
com curvatura média constante. Então M é uma superfície de rotação mergulhada em S
2
× R.
Referências Bibliográficas
[1] Abresch, U., Rosenberg, H., A Hopf diferential for constant mean curvature surfaces in
S
2
× R and H
2
× R, Acta Mathematica 193, 2004, 141-174.
[2] Ahlfors, L., An Introdution to the theory of analytic functions of one complex variable,
New York, McGraw-Hil, 1953.
[3] Ahlfors, L., Conformal invariants, New York, McGraw-Hil, 1973.
[4] Brito, F., Leite, M. L., Neto, V. de S., Liouville’s formula under the viewpoint of minimal
surfaces, Comm. Pure Appl. Analysis 3, 2004, 41-51.
[5] Carmo, M. do, Differential Geometry of Curves end Surfaces, N. J., Prentice-Hall, 1976.
[6] Carmo, M. do, Geometria Riemanniana, Rio de Janeiro, IMPA, 1979.
[7] Chern, S., An elementary proof of existence of isothermal parameters on a surface, Proc.
Amer. Math. Soc. 6, 1955, 771-782.
[8] Farkas, H., Kra, I., Riemann surfaces, Springer-Verlag 1991.
[9] Hopf, H., Differential Geometry in the Large, Lectures notes in Mathematics 1000, Berlin,
Springer-Verlag 1983.
[10] Leite, M. L., On surfaces of S
2
× R with null Abresch-Rosenberg differential, Preprint,
Recife, 2005.
[11] Lima, E. L., Grupo fundamental e espaços de recobrimento, Rio de Janeiro, IMPA, 1998.
Referências Bibliográficas 48
[12] O’Neill, B., Elementary differential geometry 3.ed. New York, Academic Press, 1966.
[13] Pedrosa, R., Ritoré, M., Isoperimetric domains in the Riemannian product of a circle with
a simply connected space form and applications to free boundary problems, Indiana Univ.
Math. J. 48 (1999), 1357-1394.
[14] Rosenberg, H., Notas particulares, Rio de Janeiro, 2005.
[15] Spivak, M., A Comprehensive introduction to differential geometry, vol IV, Publish or
Perish, Houston, 1979.
[16] Spivak, M., Calculus on manifolds, Benjamin Inc., New York, 1965.
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