( PDF ) Análise da interação solo-estrutura via acoplamento MEC-MEF

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Dimas Betioli Ribeiro

ALISE DA INTERA¸C

AO SOLO-ESTRUTURA

VIA ACOPLAMENTO MEC-MEF

Disserta¸c˜ao apresentada `a Escola de Engenharia de

S˜ao Carlos da Universidade de S˜ao Paulo, como parte

dos requisitos para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre

em Engenharia de Estruturas.

Orientador : Professor Doutor Jo˜ao Batista de Paiva

S˜ao Carlos

2005

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Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente ao meu orientador Jo˜ao Batista de Paiva por toda a

aten¸c˜ao e paciˆencia e tamb´em `a indispens´avel ajuda do Val´erio, sem a qual n˜ao teria

sido p oss´ıvel concluir este trabalho. Tamb´em aos professores Nelson Aoki, Libˆanio

Miranda Pinheiro e Jos´e Samuel Giongo pela assistˆencia.

Agrade¸co tamb´em `a minha namorada, Ana Carolina Lorena, por toda a ajuda

para com o Latex e tamb´em na corre¸c˜ao do texto da disserta¸c˜ao.

A minha fam´ılia por toda compreens˜ao e apoio.

A ajuda de v´arios dos meus colegas do departamento, os velhos e novos amigos,

que me auxiliaram em diversos detalhes referentes ao trabalho. S˜ao tantos que nem

cabem aqui.

Por ﬁm, agrade¸co ao pessoal da secretaria do SET por toda a for¸ca de vontade

e aten¸c˜ao.

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Resumo

RIBEIRO, D. B. (2005). An´alise da Intera¸c˜ao Solo-Estrutura via Acoplamento

MEC-MEF. 121p. Disserta¸c˜ao (Mestrado) - Escola de Engenharia de S˜ao Carlos,

Universidade de S˜ao Paulo, S˜ao Carlos, 2005.

O objetivo central deste trabalho ´e o estudo da intera¸c˜ao do solo com a estrutura.

Para tanto, s˜ao introduzidos mais recursos na ferramenta num´erica desenvolvida no

trabalho de ALMEIDA (2003a). O solo ´e mo delado pelo M´etodo dos Elementos

de Contorno (MEC) tridimensional, aplicando a solu¸c˜ao fundamental de Kelvin.

poss´ıvel analisar problemas nos quais o solo ´e composto por camadas de diferentes

caracter´ısticas f´ısicas, apoiadas em uma sup erf´ıcie de deslocamento nulo e enrijeci-

das por elementos de funda¸c˜ao, tamb´em modelados pelo MEC tridimensional. A

superestrutura tridimensional, diferentemente do modelo utilizado em ALMEIDA

(2003a), ´e simulada pelo M´etodo dos Elementos Finitos (MEF), sendo composta

por elementos planos e reticulares com seis graus de liberdade por n´o. Tamb´em

´e introduzido no programa o recurso de simular um n ´umero qualquer de blocos,

modelados pelo MEC tridimensional, apoiados sobre o solo. Estes blocos podem ser

utilizados como elementos de funda¸c˜ao para o edif´ıcio, permitindo estudar a intera-

¸c˜ao do solo em conjunto com os blocos e o edif´ıcio. S˜ao analisados alguns exemplos,

nos quais ´e validada a formula¸c˜ao empregada e ´e demonstrada a necessidade de se

considerar a intera¸c˜ao do solo com a estrutura em problemas pr´aticos de engenharia.

Palavras-chave: intera¸c˜ao solo/estrutura; m´etodo dos elementos de contorno;

solo n˜ao-homogˆeneo; acoplamento MEC/MEF; blo co; edif´ıcio.

Abstract

RIBEIRO, D. B. (2005). Analysis of soil-structure interaction using BEM-FEM

coupling. 121p. M.Sc. Dissertation - Escola de Engenharia de S˜ao Carlos, Univer-

sidade de S˜ao Paulo, S˜ao Carlos, 2005.

The main objective of this work is to study the soil structure interaction problem.

For such, more resources in the numerical tool developed in ALMEIDA (2003a)

are introduced. The soil is simulated by the three-dimensional Boundary Element

Method (BEM), applying Kelvin’s fundamental solution. It is possible to analyze

problems in which the soil is composed by layers of diﬀerent physical characteristics,

supported by a rigid and adhesive interface and reinforced by foundation elements,

also simulated by the three-dimensional BEM. The three-dimensional superstructure

is simulated using the Finite Element Method (FEM), with shell and frame ele-

ments with six degrees of freedom by node. This model is diﬀerent of the one used

in ALMEIDA (2003a). It is also introduced in the program the resource to con-

sider blocks, simulated by the three-dimensional BEM and supported by the soil.

These blocks can be used as foundation elements for the building, coupling the

non-homogeneous soil-foundation-blocks-superstructure system as a whole. Some

examples are analyzed, in order to validate the theory employed and demonstrate

the necessity of considering the soil structure interaction in practical problems of

engineering.

Key-words: soil-structure interaction; boundary element method; non-homoge-

neous soil; coupling BEM-FEM; block; building.

iii

Sum´ario

Agradecimentos ii

Resumo iii

Abstract iv

Sum´ario v

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Revis˜ao bibliogr´aﬁca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Organiza¸c˜ao da disserta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 O M´etodo dos Elementos de Contorno 10

2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Equacionamento b´asico do problema el´astico linear . . . . . . . . . . 11

2.2.1 O estado de tens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 O estado de deforma¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.3 Rela¸c˜oes constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Solu¸c˜oes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Equa¸c˜oes integrais de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Equa¸c˜ao integral para pontos do contorno . . . . . . . . . . . 22

2.4.2 Formula¸c˜ao de elementos de contorno . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.3 Transforma¸c˜ao de co ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.4 Sistema de equa¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.5 Movimentos de corpo r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.6 Pontos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.7 Subelementa¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Considera¸c˜oes ﬁnais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 O M´etodo dos Elementos Finitos 36

3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

SUM

ARIO v

3.2 O Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais (PTV) . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Elementos ﬁnitos laminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 Graus de liberdade do elemento ﬁnito laminar . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Rota¸c˜ao de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.6 Elementos utilizados no edif´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7 Considera¸c˜oes ﬁnais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 O M´etodo da Rigidez Sucessiva 48

4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 O MRS aplicado ao solo estratiﬁcado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 O MRS aplicado ao solo com estacas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4 Considera¸c˜oes ﬁnais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Intera¸c˜ao do solo com estrutura 68

5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Acoplamento entre o solo e um bloco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3 Acoplamento entre o solo e N blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4 Acoplamento entre o solo e o edif´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.5 Acoplamento entre solo, blocos e edif´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.6 Considera¸c˜oes ﬁnais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Exemplos 84

6.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.2 Bloco sem estacas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3 Bloco sobre uma estaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.4 Intera¸c˜ao entre dois blo cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.5 Intera¸c˜ao entre quatro blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.6 Ediﬁca¸c˜ao apoiada sobre blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.7 Considera¸c˜oes ﬁnais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7 Conclus˜oes 107

7.1 Observa¸c˜oes ﬁnais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.2 Propostas para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas 111

A Integral singular 119

Lista de Figuras

2.1 S´olido tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Equil´ıbrio em um elemento inﬁnitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Equil´ıbrio em um elemento inﬁnitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Equil´ıbrio de um tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Condi¸c˜oes de contorno arbitr´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Ponto i envolvido por uma semi-esfera de raio ε . . . . . . . . . . . . 22

2.7 Elemento de contorno triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8 Fun¸c˜oes interpoladoras adotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.9 Sistemas de coordenadas global e local . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.10 Subelementa¸c˜ao convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.11 Subelementa¸c˜ao progressiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1 S´olido qualquer com condi¸c˜oes de contorno arbitr´arias . . . . . . . . . 37

3.2 Dire¸c˜ao dos deslocamentos e posi¸c˜ao dos pontos P e P



. . . . . . . . 41

3.3 Graus de liberdade do elemento ﬁnito de membrana FF . . . . . . . . 43

3.4 Graus de liberdade do elemento ﬁnito DKT . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Graus de liberdade do elemento ﬁnito laminar DKT/FF . . . . . . . . 44

3.6 Sistema de coordenadas global x

e local x

. . . . . . . . . 45

4.1 Solo estratiﬁcado em camadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 Camada i isolada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Equil´ıbrio e compatibilidade entre as camadas 1 e 2 . . . . . . . . . . 52

4.4 Ordem de obten¸c˜ao das matrizes no processo iterativo . . . . . . . . . 54

4.5 Ordem do c´alculo dos valores de contorno no processo iterativo . . . . 56

4.6 Contorno da camada i dividido em trechos . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.7 Caso mais geral para uma camada i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.8 Estaca j gen´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1 Conjunto formado pelo solo e o bloco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Intera¸c˜ao do solo com o edif´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3 Incompatibilidade entre as cargas de superf´ıcie e as cargas nodais . . 78

5.4 Aproxima¸c˜oes lineares adotadas para w e p . . . . . . . . . . . . . . . 79

LISTA DE FIGURAS vii

5.5 Graus de liberdade do MEF e do MEC . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.6 Conjunto formado pelo solo, blocos e edif´ıcio . . . . . . . . . . . . . . 82

5.7 Casca ﬂex´ıvel conectada ao topo do bloco . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.1 Vista em planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.2 Vista em perﬁl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3 Vista em planta dos deslocamentos verticais . . . . . . . . . . . . . . 85

6.4 Deslocamentos no contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.5 Tens˜oes de contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.6 Tens˜oes de contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.7 Superf´ıcie de deslocamentos nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.8 Deslocamentos verticais em planta considerando a superf´ıcie de des-

locamentos nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.9 Compara¸c˜ao dos deslocamentos no contato . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.10 Vista em perﬁl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.11 Vista em planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.12 Vista em planta dos deslocamentos verticais . . . . . . . . . . . . . . 90

6.13 Deslocamentos no contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.14 Vista em planta das tens˜oes de contato . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.15 Tens˜oes no contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.16 Deslocamento no topo da estaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.17 Vista em planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.18 Vista em perﬁl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.19 Vista em planta dos deslocamentos verticais . . . . . . . . . . . . . . 96

6.20 Deslocamento vertical na base dos blocos . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.21 Tens˜ao de contato na base dos blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.22 Vista em planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.23 Vista em planta dos deslocamentos verticais . . . . . . . . . . . . . . 98

6.24 Deslocamento vertical na base dos blocos . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.25 Tens˜ao de contato na base dos blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.26 Ediﬁca¸c˜ao tridimensional em perspectiva . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.27 Ediﬁca¸c˜ao tridimensional em perﬁl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.28 Vista em planta dos blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.29 Se¸c˜ao transversal dos pilares e vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.30 Geometria da laje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.31 Vista em planta dos deslocamentos verticais . . . . . . . . . . . . . . 102

6.32 Deslocamento vertical na base dos blocos . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.33 Tens˜ao de contato na base dos blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.34 Deslocamento vertical no eixo s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

LISTA DE FIGURAS viii

6.35 Deslocamento vertical no eixo s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.36 Momento MX no eixo s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.37 Momento MY no eixo s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.38 Deslocamento horizontal do pilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

A.1 Sistema de coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

1.1 Objetivos

O objetivo deste trabalho ´e alterar o programa desenvolvido em ALMEIDA

(2003a) para analisar um conjunto composto por um solo estratiﬁcado e blocos,

ambos modelados pelo MEC em trˆes dimens˜oes. A parcela referente `as camadas de

solo pode ser aproveitada do programa computacional desenvolvido em ALMEIDA

(2003a), sendo necess´ario ent˜ao implementar o acoplamento entre blocos tridimen-

sionais e este conjunto. Para isto, cada bloco ´e considerado uma nova subregi˜ao e

acoplado ao sistema ﬁnal de equa¸c˜oes regentes do problema.

O ojetivo ﬁnal, ﬁnalizando a parte de implementa¸c˜ao, ´e acoplar ao conjunto

formado por solo e blocos um edif´ıcio tridimensional modelado pelo MEF.

1.2 Revis˜ao bibliogr´aﬁca

A intera¸c˜ao do solo com a estrutura representa um sistema mecˆanico integrado.

Este mecanismo, no entanto, geralmente ´e estudado separando-se a parte estrutural

da parte geot´ecnica. Esta simpliﬁca¸c˜ao adv´em do alto grau de complexidade en-

volvido em se avaliar este fenˆomeno mecˆanico. Cada um dos subsistemas isolado

leva a um vasto campo de estudo, tanto na variabilidade de parˆametros f´ısicos e

geom´etricos como nas correspondentes idealiza¸c˜oes dos modelos mecˆanicos. Soma-

se a isto o fato de que cada pesquisador tende a focar mais sua pr´opria ´area de

conhecimento em seus estudos.

O engenheiro geot´ecnico, ao analisar a integra¸c˜ao entre a subestrutura e o maci¸co

de solos, geralmente n˜ao considera mudan¸cas de conﬁgura¸c˜ao que possam ocorrer

na superestrutura. Estas mudan¸cas podem levar a um estado de tens˜oes n˜ao pre-

visto no sistema formado pela subestrutura e o maci¸co. Em contrapartida, o enge-

nheiro estrutural, por estar voltado aos fenˆomenos que ocorrem na superestrutura,

CAP

ITULO 1. INTRODU ¸C

AO 2

diﬁcilmente leva em conta os efeitos que ocorrem no solo devido `a absor¸c˜ao das

a¸c˜oes. Estes efeitos causam modiﬁca¸c˜oes na superestrutura que nem sempre s˜ao

desprez´ıveis.

Al´em disto, um fenˆomeno comum que ambos os pesquisadores usualmente n˜ao

enfatizam ´e o efeito de grupo que altera o estado de tens˜oes do sistema envolvido.

Assim, al´em de se avaliar o sistema formado pela superestrutura, subestrutura e

maci¸co de solos de forma n˜ao acoplada, considera-se este sistema livre do efeito

de vizinhan¸ca. Isto pode levar a estados de deforma¸c˜oes e tens˜oes diferentes dos

previstos nos projetos envolvidos.

Como a an´alise da intera¸c˜ao do solo com a estrutura de forma integrada ´e com-

plexa, ´e comum encontrar na literatura trabalhos que considerem estes sub-sistemas

de forma separada. Em se tratando da superestrutura isolada, diversos trabalhos

podem ser citados.

Em BATOZ (1980) s˜ao estudadas placas ﬂetidas com o emprego do M´etodo

dos Elementos Finitos (MEF), mais precisamente com o elemento DKT. Tamb´em

empregam o MEF em an´alise de estruturas os trabalhos de BATHE (1982) e O

NATE

(1995). Em BEZERRA (1995) utiliza-se o MEF no c´alculo de edif´ıcios, enquanto

em RIOS (1991) analisa-se a envolt´oria de esfor¸cos em edif´ıcios altos.

Como trabalhos mais recentes, pode-se citar PELETEIRO (1996), MESQUITA

(1998) e DUARTE, BABUSCA & ODEN (2000). O primeiro utiliza a teoria do

MEF na descri¸c˜ao de um elemento de membrana com graus de liberdade rotacionais

nos n´os. O segundo analisa estruturas com elementos de casca e o terceiro aplica o

MEF tridimensional em problemas de mecˆanica estrutural.

Considerando os trabalhos que envolvem intera¸c˜ao do solo com a estrutura, ´e

poss´ıvel distinguir alguns modelos nos quais ´e baseada a simula¸c˜ao do solo.

O modelo de WINKLER (1867) consiste na substitui¸c˜ao do solo por um conjunto

de molas discretas. Os coeﬁcientes das molas s˜ao adotados segundo o problema que

se est´a analisando. Geralmente s˜ao utilizadas correla¸c˜oes emp´ıricas na determina¸c˜ao

destes coeﬁcientes, o que pode prejudicar a precis˜ao dos resultados. Pode-se con-

siderar uma estaca imersa no solo, modelando-a como um elemento de viga ou uma

barra r´ıgida. Entretanto, caso se queira analisar uma estaca de comprimento gen´erico

imersa em um solo qualquer, os resultados perdem precis˜ao devido `a diﬁculdade de

se determinar os coeﬁcientes das molas. A maior vantagem do modelo de Winkler ´e

sua simplicidade e consequente facilidade de implementa¸c˜ao, podendo-se citar os tra-

balhos de CHEUNG & ZIENKIEWICZ (1965), RANDOLPH & WROTH (1979) e

WITT (1984). Tamb´em relacionados a este tema os trabalhos de LEE (1993) e MY-

LONAKIS & GAZETAS (1998) analisam grupos de estacas, calculando recalques e

tens˜oes e considerando o solo n˜ao-homogˆeneo.

Outra t´ecnica que pode ser encontrada na literatura, baseada na teoria da elas-

CAP

ITULO 1. INTRODU ¸C

AO 3

ticidade, parte do manuseio de equa¸c˜oes diferenciais e integrais com o intuito de

encontrar solu¸c˜oes anal´ıticas ou semi-anal´ıticas para problemas espec´ıﬁcos de inte-

ra¸c˜ao do solo com a estrutura. O solo ´e geralmente assumido como el´astico, linear e

homogˆeneo, simpliﬁcando assim o equacionamento. A principal desvantagem desta

t´ecnica ´e que ela se restringe a um pequeno grupo de problemas, n˜ao podendo ser

aplicada em casos gerais. Relacionado a este contexto, pode-se citar o trabalho de

BURMISTER (1945a), no qual ´e analisado um solo formado por duas camadas,

sendo a inferior um meio semi-inﬁnito. A carga externa, aplicada na superf´ıcie livre

do solo, ´e uma for¸ca concentrada. Partindo do equacionamento da teoria da elastici-

dade, s˜ao obtidas solu¸c˜oes semi-anal´ıticas de deslocamento e tens˜ao no dom´ınio das

camadas. Em BURMISTER (1945b), esta an´alise ´e extendida para trˆes camadas de

solo.

As solu¸c˜oes de Burmister foram utilizadas por outros autores. Em CHAN,

KARASUDHI & LEE (1974) ´e feito um estudo para um solo composto por duas

camadas, aplicando uma for¸ca concentrada horizontal ou vertical no interior destes

dom´ınios. O ponto de partida s˜ao as equa¸c˜oes apresentadas por BURMISTER

(1945a), chegando ent˜ao a um procedimento mais abrangente. Outro autor que

aplicou as solu¸c˜oes de Burmister foi POULOS (1967), com o intuito de obter fatores

de inﬂuˆencia do solo para diferentes carregamentos aplicados em sua superf´ıcie.

Para melhorar os resultados obtidos em CHAN, KARASUDHI & LEE (1974),

DAVIES & BANERJEE (1978) aplicam m´etodos de quadratura, tornando o c´alculo

das integrais mais preciso. As fun¸c˜oes de deslocamento s˜ao obtidas para v´arias

combina¸c˜oes de parˆametros el´asticos. Em casos simples, esta abordagem leva a

bons resultados e com alta convergˆencia. Nos casos mais complexos, entretanto,

esta t´ecnica se torna muito trabalhosa e se faz necess´aria a utiliza¸c˜ao de solu¸c˜oes

num´ericas. Em casos que envolvam meios n˜ao-homogˆeneos e grupos de estacas, por

exemplo, as integrais se tornam muito complexas e a precis˜ao dos resultados ﬁca

prejudicada.

Um modelo conhecido que pode ser aplicado na simula¸c˜ao do solo ´e o M´etodo

da Camada Finita (MCF). Neste m´etodo, o M´etodo dos Elementos Finitos (MEF) ´e

combinado `a t´ecnica da transformada de Fourier. Aplicando esta teoria em um pro-

blema tridimensional este ﬁca reduzido a apenas duas dimens˜oes, o que torna simples

sua implementa¸c˜ao. Esta ferramenta ´e eﬁciente em problemas el´asticos, podendo o

solo ser formado por camadas de diferentes propriedades f´ısicas e anis´otropo.

poss´ıvel tamb´em considerar estacas imersas no solo, bastando considerar condi¸c˜oes

de compatibilidade de deslocamentos e equil´ıbrio de for¸cas na superf´ıcie de con-

tato entre o solo e o fuste das estacas. Uma falha que pode ser apontada no MCF

´e que esta ferramenta pode ser aplicada somente em problemas de dom´ınio el´as-

tico. Alguns trabalhos relacionados ao MCF que podem ser citados s˜ao SMALL &

CAP

ITULO 1. INTRODU ¸C

AO 4

BOOKER (1984), BOOKER, CARTER & SMALL (1989), LEE & SMALL (1991),

SOUTHCOTT & SMALL (1996) e TA & SMALL (1998). Ainda relacionado a este

tema pode ser citado o trabalho de CHEUNG, THAM & GUO (1988), no qual ´e

apresentada uma varia¸c˜ao do MCF denominada M´etodo da Camada Inﬁnita (MCI).

Outra t´ecnica num´erica, amplamente utilizada em problemas de engenharia, ´e o

M´etodo dos Elementos Finitos (MEF). Esta ferramenta ´e extremamente vers´atil e,

na maioria dos casos, ´e a op¸c˜ao mais eﬁciente e pr´atica para a an´alise de estruturas.

No entanto, as vantagens do MEF s˜ao poucas quando se quer analisar situa¸c˜oes de

dom´ınio inﬁnito, que constitui o caso de problemas de intera¸c˜ao do solo com a estru-

tura. Isto acontece porque o MEF ´e um m´etodo de dom´ınio, sendo necess´ario dividir

o dom´ınio do problema em elementos. Para simular um dom´ınio semi-inﬁnito se

torna necess´ario aplicar as condi¸c˜oes de contorno do problema a grandes distˆancias,

resultando em um grande n´umero de elementos, n´os e, consequentemente, equa¸c˜oes

a serem resolvidas. Al´em disto, o armazenamento de informa¸c˜oes tais como coor-

denadas de n´os e conectividades entre n´os e elementos ´e onerosa. Estes problemas

se tornam acentuados principalmente em an´alises tridimensionais. Por estes mo-

tivos s˜ao escassos na literatura trabalhos que abordem a intera¸c˜ao do solo com a

estrutura simulando o solo pelo MEF, podendo-se citar OTTAVIANI (1975). Em

CHOW & TEH (1991), o MEF ´e aplicado no problema de uma placa r´ıgida com

estacas apoiada em um solo el´astico, linear e ﬁnito, estando a placa em contato com

o solo. O m´odulo de elasticidade do solo foi adotado variando linearmente com a

profundidade.

Uma ferramenta num´erica que pode ser considerada eﬁciente para modelar o solo

em problemas de intera¸c˜ao do solo com a estrutura ´e o M´etodo dos Elementos de

Contorno (MEC). Como somente o contorno do dom´ınio do problema ´e dividido em

elementos, a an´alise ﬁca reduzida em uma dimens˜ao. Isto diminui o custo computa-

cional envolvido na resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes, al´em de simpliﬁcar o armazenamento de

dados. Devido a estas vantagens v´arios autores utilizam o MEC na an´alise da inte-

ra¸c˜ao do solo com a estrutura, conforme pode ser observado nos trabalhos citados a

seguir.

No trabalho de MINDLIN (1936), foram obtidas solu¸c˜oes fundamentais em deslo-

camento e for¸ca para uma for¸ca concentrada unit´aria aplicada no interior de um meio

semi-inﬁnito homogˆeneo, el´astico, linear e isotr´opico. Como estas solu¸c˜oes podem ser

empregadas no equacionamento do MEC, v´arios pesquisadores analisam problemas

de semi-espa¸co inﬁnito com estas solu¸c˜oes.

No trabalho de POULOS (1967) ´e empregado o modelo de STEINBRENNER

(1934), utilizando as solu¸c˜oes de Mindlin para calcular valores de deslocamento

no interior de um solo apoiado em uma superf´ıcie de deslocamento nulo. Neste

modelo, escolhe-se a profundidade na qual se encontra a superf´ıcie de deslocamento

CAP

ITULO 1. INTRODU ¸C

AO 5

nulo e calcula-se, por Mindlin, o deslocamento de um ponto pertencente a esta

superf´ıcie. Em seguida determina-se, tamb´em por Mindlin, o deslocamento em um

ponto qualquer da camada de solo. O deslocamento neste ponto ´e obtido ent˜ao

pela diferen¸ca entre o valor calculado no ponto e o valor calculado na superf´ıcie de

deslocamento nulo.

O modelo de Steinbrenner foi aplicado novamente em POULOS & DAVIES

(1968), considerando agora uma estaca incompress´ıvel imersa no solo. Submetida

a uma carga axial, esta estaca ´e dividida em elementos cil´ındricos, cada qual sub-

metido a uma tens˜ao de cisalhamento uniforme. A ponta da estaca ´e uma base

alargada, na qual se considera unicamente a tens˜ao axial.

Esta mesma formula¸c˜ao foi empregada em POULOS (1968), considerando ent˜ao

grupos de estacas. O ponto de partida ´e a intera¸c˜ao de duas estacas, a partir da

qual ´e obtido um coeﬁciente de inﬂuˆencia α. Para grupos com mais de duas estacas

´e feita uma superposi¸c˜ao de efeitos, tomando as estacas duas a duas. S˜ao analisados

grupos sim´etricos e gerais, sendo as estacas idˆenticas e estando submetidas ao mesmo

carregamento.

Esta abordagem foi utilizada tamb´em em MATTES & POULOS (1969), con-

siderando as estacas compress´ıveis na dire¸c˜ao vertical. S˜ao calculados deslocamen-

tos verticais utilizando a t´ecnica das diferen¸cas ﬁnitas no c´alculo de uma equa¸c˜ao

diferencial. Estes deslocamentos s˜ao obtidos ap´os a determina¸c˜ao das tens˜oes de

cisalhamento ao longo da estaca.

Foi adicionado, em POULOS (1971a), o recurso de aplicar cargas horizontais e

momentos no topo de uma estaca isolada. Este pro cedimento foi ent˜ao estendido

para grupos de estacas em POULOS (1971b).

Em BUTTERFIELD & BANERJEE (1971), s˜ao analisados grupos de estacas

ligadas por uma placa r´ıgida.

E aplicada uma for¸ca concentrada e vertical na placa,

determinando ent˜ao o deslocamento vertical estabelecido no sistema. Em BANER-

JEE (1976) ´e feito um estudo semelhante, considerando ent˜ao estacas inclinadas.

utilizado, neste trabalho, o m´etodo indireto das equa¸c˜oes integrais. A carga aplicada

na placa pode ser uma for¸ca vertical, horizontal ou um momento. Outra extens˜ao

foi adicionada a este trabalho em BANERJEE (1978), tornando poss´ıvel simular um

solo com m´odulo de elasticidade linearmente vari´avel com a profundidade.

Em MAIER & NOVATI (1987), foi desenvolvida uma t´ecnica baseada no MEC

para a an´alise de solos estratiﬁcados denominada de “M´etodo da Rigidez Sucessiva”

(MRS). Tratando cada estrato como uma sub-regi˜ao e utilizando condi¸c˜oes de equi-

l´ıbrio e compatibilidade existentes entre estratos adjacentes, ´e poss´ıvel transferir a

rigidez da camada inferior para sua adjacente superior. Desta forma, chega-se `a

camada da superf´ıcie com uma matriz na qual est˜ao incorporadas as inﬂuˆencias de

todas as outras camadas inferiores. No trabalho de MAIER & NOVATI (1987) este

CAP

ITULO 1. INTRODU ¸C

AO 6

procedimento ´e aplicado em exemplos bidimensionais. Na conclus˜ao chega-se a uma

matriz ﬁnal que n˜ao ´e mal-condicionada e cuja resolu¸c˜ao demanda um custo com-

putacional inferior ao requerido pela t´ecnica convencional de sub-regi˜oes do MEC.

Este m´etodo po de ser aplicado na introdu¸c˜ao de outras sub-regi˜oes, como em an´alise

de t´uneis ou de elementos de funda¸c˜ao.

Podem ser encontrados tamb´em, na literatura, trabalhos que envolvam s´olidos

el´asticos tridimensionais modelados pelo MEC. Estes estudos utilizam as solu¸c˜oes

fundamentais de Kelvin, descritas em LOVE (1944). Em NAKAGUMA (1979) esta

teoria foi empregada em conjunto com as solu¸c˜oes fundamentais de MINDLIN (1936)

e BOUSSINESQ (1885) no estudo de um meio semi-inﬁnito. S˜ao apresentados exem-

plos relacionados `a intera¸c˜ao do solo com estrutura. O m´etodo dispensa a divis˜ao

da superf´ıcie livre em elementos, o que torna a ferramenta vers´atil. Relacionados

`a solu¸c˜ao fundamental de Kelvin, tamb´em podem ser citados BANERJEE (1976) e

BANERJEE & DAVIES (1977). Estes autores apresentam uma ferramenta para a

an´alise de estacas conectadas ou n˜ao por uma placa r´ıgida e imersas em um meio

heterogˆeneo.

Com o intuito de aumentar a abrangˆencia de seus trabalhos, alguns autores

estudam o acoplamento de diferentes formula¸c˜oes. Os trabalhos de BREBBIA &

GEORGIOU (1979) e BEER & MEEK (1981) podem ser citados neste contexto por

utilizarem uma combina¸c˜ao do MEC com o MEF na an´alise de problemas relaciona-

dos `a geomecˆanica. O trabalho de MEEK (1988) tamb´em utiliza uma combina¸c˜ao

entre o MEC e o MEF no estudo de problemas el´asticos tridimensionais.

Existem ainda t´ecnicas para simula¸c˜ao do solo que n˜ao p odem ser enquadradas

nas descritas anteriormente, podendo-se citar os trabalhos de HETENYI (1950),

onde ´e deﬁnida a funda¸c˜ao de Hetenyi, WANG,IANG & WANG (2001), que emprega

a funda¸c˜ao de Pasternak, KERR (1964), que utiliza a funda¸c˜ao de Kerr e KERR

(1965), que emprega a funda¸c˜ao generalizada. Todos estes m´etodos partem do mo-

delo de Winkler em conjunto com modelos cont´ınuos. S˜ao introduzidos elementos

estrututrais para conectar as molas discretas ou ent˜ao s˜ao adotadas simpliﬁca¸c˜oes

para os mo delos cont´ınuos. Estas simpliﬁca¸c˜oes s˜ao ajustadas por valores reais de

deslocamento ou tens˜ao.

No trabalho de CHIN & CHOW (1990) o MEC ´e empregado na an´alise de grupos

de estacas, por´em a solu¸c˜ao fundamental utilizada na formula¸c˜ao ´e obtida a partir

de CHAN, KARASUDHI & LEE (1974). Esta solu¸c˜ao corresponde a uma for¸ca

concentrada horizontal ou vertical aplicada no interior de um solo composto por

duas camadas.

Em FRASER & WARDLE (1976), ´e apresentada uma interessante t´ecnica de-

rivada do MEF. Nesta ferramenta, utilizada na an´alise da intera¸c˜ao de uma placa

ﬂex´ıvel com o solo, somente a por¸c˜ao carregada do solo necessita ser dividida em

CAP

ITULO 1. INTRODU ¸C

AO 7

elementos. O m´etodo ´e intitulado aproxima¸c˜ao por elemento de superf´ıcie, e se

baseia em fun¸c˜oes ponderadoras de meio semi inﬁnito. A placa ﬂex´ıvel ´e abordada

pelo MEF convencional.

Em PAN (1997) ´e analisado um solo formado por diferentes camadas isotr´opicas.

Para tornar mais eﬁciente a implementa¸c˜ao da intera¸c˜ao das camadas, modeladas

pelo MEC, s˜ao utilizadas as fun¸c˜oes de Green. Uma falha desta ferramenta ´e a

impossibilidade de se considerar elementos de funda¸c˜ao, uma vez que o m´etodo

permite unicamente a estratiﬁca¸c˜ao horizontal das camadas.

S˜ao estudadas em SADECKA (2000) placas grossas apoiadas sobre o solo. Este

admite camadas de diferentes propriedades al´em de uma superf´ıcie indesloc´avel

localizada a uma distˆancia prescrita. Utiliza-se o MEF na placa e o modelo de

Kolar-Nemec no solo, acoplando as formula¸c˜oes posteriormente. Para representar

a superf´ıcie do meio semi-inﬁnito, foram utilizados elementos inﬁnitos. Ap esar de

permitir placas grossas e solos estratiﬁcados a abordagem ´e limitada somente a estas

estruturas, impossibilitando a an´alise de sistemas mais complexos.

Entre os pesquisadores brasileiros, pode-se citar v´arios trabalhos relacionados `a

intera¸c˜ao do solo com estrutura. O trabalho de AOKI & LOPES (1975) faz um

estudo das funda¸c˜oes profundas, determinando deslocamentos e tens˜oes cisalhantes

de forma semelhante ao trabalho de POULOS (1968). Em REIS (2000) esta teoria

´e empregada novamente, agora no estudo de funda¸c˜oes rasas.

O trabalho de GUSM

AO (1990) tamb´em utiliza a formula¸c˜ao de AOKI & LOPES

(1975). S˜ao analisados deslocamentos em um edif´ıcio bidimensional, apoiado em um

solo estratiﬁcado que se encontra sobre um superf´ıcie de deslocamento nulo.

Em MOURA (1995) ´e analisada a intera¸c˜ao de um edif´ıcio tridimensional com

o solo. O edif´ıcio, modelado pelo MEF, ´e composto por elementos reticulares que

representam os pilares e vigas e por diafragmas r´ıgidos para simular as lajes. O solo,

considerado uma camada homogˆenea apoiada em uma superf´ıcie de deslocamento

nulo, ´e modelado segundo o procedimento apresentado em AOKI & LOPES (1975).

A conec¸c˜ao dos pilares do eﬁc´ıcio com o solo ´e feita por meio de elementos de sapata.

No trabalho de HOLANDA (1998), ´e empregado o procedimento descrito em

POULOS (1967) para simular uma camada de solo homogˆeneo apoiada em uma

superf´ıcie de deslocamento nulo. A estrutura considerada ´e um edif´ıcio de concreto

armado apoiado em funda¸c˜oes diretas.

Em FERRO (1998) ´e analisada a intera¸c˜ao de estacas modeladas pelo MEF e um

solo simulado pelo MEC em abordagem tridimensional. Tamb´em ´e feita a intera¸c˜ao

de uma placa com o solo, sendo a placa modelada pelo MEF com o elemento DKT.

O solo ´e homogˆeneo e inﬁnito, e po de ser analisado com comportamento n˜ao linear.

Em ANTUNES & IWAMOTO (2000), estuda-se a intera¸c˜ao de estacas com um

solo estratiﬁcado. O solo, apoiado em uma camada de deslocamento nulo, ´e mode-

CAP

ITULO 1. INTRODU ¸C

AO 8

lado utilizando a teoria descrita em POULOS (1967). S˜ao aplicados incrementos de

carga na estaca, e sua ponta absorve carga somente ap´os a mobiliza¸c˜ao de todo o

fuste.

Em MESQUITA & CODA (2000) ´e estudado um p´ortico plano apoiado sobre

uma camada de solo ﬁnita. Nesta an´alise visco-el´astica, o solo ´e modelado pelo MEC

em abordagem bidimensional e a conec¸c˜ao deste com o p´ortico ´e feita por meio de

sapatas, sendo poss´ıvel apoiar cada uma em um meio com propriedades diferentes.

Em LEITE, CODA & VENTURINI (2001) ´e utilizada esta mesma teoria, incluindo

elementos enrigecedores no solo representando estacas.

No trabalho de MENDON ¸CA & PAIVA (2003) s˜ao analisados grupos de estacas,

que podem estar conectadas por uma placa ﬂex´ıvel. O solo ´e considerado um semi-

espa¸co inﬁnito el´astico, linear e homogˆeneo, representado por equa¸c˜oes integrais

utilizando a solu¸c˜ao fundamental de Mindlin. Cada estaca ´e representada por um

´unico elemento ﬁnito reticular com trˆes n´os, e a for¸ca vertical cisalhante ao longo do

fuste ´e aproximada por uma fun¸c˜ao quadr´atica. Na extremidade inferior da estaca

a tens˜ao ´e considerada constante ao longo da se¸c˜ao transversal, e um dos n´os se

localiza nesta extremidade. A placa ´e modelada pelo MEF utilizando dois tipos de

elementos ﬁnitos planos, o DKT e o HSM. Em MENDON ¸CA & PAIVA (2000) ´e

feita uma an´alise semelhante, mas modelando a placa ﬂex´ıvel tamb´em por equa¸c˜oes

integrais ao inv´es de elementos ﬁnitos.

Em ALMEIDA (2003a) ´e proposta uma formula¸c˜ao para a an´alise da intera¸c˜ao do

solo com a estrutura na qual o solo, composto por uma ou mais camadas apoiadas

em uma superf´ıcie de deslocamento nulo, ´e modelado pelo MEC em abordagem

tridimensional. Al´em disto aplica-se no solo o M´etodo da Rigidez Sucessiva (MRS),

proposto em MAIER & NOVATI (1987), estendendo-o ao caso tridimensional e `a

inclus˜ao de subregi˜oes, tamb´em tridimensionais. Estas sub-regi˜oes simulam elemen-

tos de funda¸c˜ao tais como estacas, sapatas, tubul˜oes, buracos ou t´uneis, podendo

estes ultrapassar ou n˜ao as diferentes camadas de solo. A superestrutura, que p ode

ser at´e um edif´ıcio tridimensional, ´e simulada p elo MEF. Os pilares e vigas s˜ao re-

presentados por elementos reticulares e as lajes s˜ao consideradas diafragmas r´ıgidos.

O edif´ıcio pode ser apoiado em uma placa ﬂex´ıvel (radier), que ´e modelada por ele-

mentos ﬁnitos laminares. Para avaliar a intera¸c˜ao da superestrutura modelada pelo

MEF com a subestrutura formulada pelo MEC, ´e feito o acoplamento a partir das

matrizes provenientes de ambos subsistemas. O resultado ´e um sistema de equa¸c˜oes

que representa todo o conjunto.

A formula¸c˜ao de ALMEIDA (2003a) foi utilizada nos trabalhos de RIBEIRO,

ALMEIDA & PAIVA (2004) e ALMEIDA & PAIVA (2004), para analisar proble-

mas de intera¸c˜ao do solo com a estrutura. Foram estudados problemas complexos

em RIBEIRO, ALMEIDA & PAIVA (2004), tais como um edif´ıcio composto por ele-

CAP

ITULO 1. INTRODU ¸C

AO 9

mentos reticulares e membranas r´ıgidas e um silo formado por elementos laminares,

demonstrando a coerˆencia da formula¸c˜ao.

Outros trabalhos envolvendo o tema da intera¸c˜ao do solo com a estrutura e que

podem ser citados s˜ao SILVA (1994), MOURA (1999), LORENTZ (1985), MELLO

(1984), VEIGA (2000), BARRETTO (1995), MENDON ¸CA (1997), IWAMOTO

(2000), JORD

AO (2003), ALMEIDA (2003b), OSHIMA (2004) e PACCOLA (2004).

1.3 Organiza¸c˜ao da disserta¸c˜ao

O Cap´ıtulo 2 trata de maneira sucinta da formula¸c˜ao do M´etodo dos Elementos

de Contorno (MEC), voltando-a para para o campo de aplica¸c˜ao deste trabalho.

No Cap´ıtulo 3 ´e brevemente descrito o M´etodo dos Elementos Finitos (MEF),

abordando cada um dos diferentes tip os de elementos utilizados neste trabalho.

O Cap´ıtulo 4 cont´em o desenvolvimento do M´etodo da Rigidez Sucessiva (MRS)

aplicado ao maci¸co de solos, estendido para o caso tridimensional e com elementos

de funda¸c˜ao.

O Cap´ıtulo 5 aborda a teoria desenvolvida para simular a intera¸c˜ao do solo com

a estrutura. S˜ao descritas a intera¸c˜ao de um ou mais blocos tridimensionais com o

solo, a intera¸c˜ao de um edif´ıcio tridimensional com o solo e a intera¸c˜ao do conjunto

formado pelo solo, os blocos e um edif´ıcio tridimensional.

S˜ao apresentados, no Cap´ıtulo 6, exemplos de aplica¸c˜ao do programa, compa-

rando os resultados obtidos com os de outros autores ou com o programa Ansys. Os

exemplos mais complexos n˜ao tiveram seus resultados comparados devido `a lacuna

existente na literatura de an´alises mais completas.

O Cap´ıtulo 7 cont´em as conclus˜oes do trabalho.

No Apˆendice A ´e feita a dedu¸c˜ao para se obter uma parcela espec´ıﬁca da equa¸c˜ao

integral de contorno apresentada no cap´ıtulo 2.

Cap´ıtulo 2

O M´etodo dos Elementos de

Contorno

2.1 Introdu¸c˜ao

Este cap´ıtulo tem como objetivo apresentar sucintamente a formula¸c˜ao do M´etodo

dos Elementos de Contorno (MEC) para a an´alise est´atica de s´olidos tridimensio-

nais homogˆeneos em teoria linear. Este modelo ´e utilizado para simular as camadas

de solo e os blocos no programa computacional deste trabalho, fazendo parte das

extens˜oes desenvolvidas pelo aluno.

A partir do equacionamento b´asico do problema el´astico linear e de t´ecnicas

de res´ıduos ponderados chega-se `a Identidade Somigliana, que ´e uma equa¸c˜ao que

permite o c´alculo de deslocamentos em qualquer ponto do s´olido. Deve-se ent˜ao

aplicar t´ecnicas matem´aticas para escrever a Identidade Somigliana para pontos

do contorno do s´olido. A equa¸c˜ao resultante em conjunto com uma aproxima¸c˜ao

linear de deslocamento e for¸ca e as solu¸c˜oes fundamentais de Kelvin, LOVE (1944),

permitem representar o problema por meio de um sistema de equa¸c˜oes lineares, cuja

solu¸c˜ao s˜ao os valores inc´ognitos de contorno.

Resolvido o problema do valor de contorno, torna-se poss´ıvel retornar `a Identi-

dade Somigliana e aplicar t´ecnicas num´ericas para calcular deslocamentos e tens˜oes

em pontos internos do s´olido. Tamb´em s˜ao apresentadas t´ecnicas de subelementa¸c˜ao

ao ﬁnal do cap´ıtulo.

O MEC ´e descrito de forma semelhante `a apresentada em BREBBIA & DOMIN-

GUEZ (1989).

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 11

2.2 Equacionamento b´asico do problema el´astico

linear

Dado um s´olido, seu comportamento se torna conhecido caso estejam determina-

dos seus campos de tens˜oes, deforma¸c˜oes e deslocamentos. Assim, torna-se poss´ıvel

determinar-se o estado de tens˜ao, deforma¸c˜ao e deslocamento em qualquer ponto do

s´olido. Os dois primeiros s˜ao representados por tensores de segunda ordem, descritos

a seguir, que podem ser relacionados por equa¸c˜oes constitutivas. Estas rela¸c˜oes s˜ao

referentes `as caracter´ısticas do material do qual o s´olido ´e formado.

2.2.1 O estado de tens˜ao

O estado de tens˜ao em um ponto P qualquer de um s´olido tridimensional, con-

forme mostrado na ﬁgura 2.1, ´e composto de nove componentes. Estas componentes

podem ser agrupadas em um tensor, conforme a express˜ao 2.1:

σ =













(2.1)

Figura 2.1: S´olido tridimensional

As componentes σ

do tensor 2.1 obedecem condi¸c˜oes de equil´ıbrio, que podem

ser em momento ou em for¸ca. As equa¸c˜oes de equil´ıbrio em momento podem ser

escritas para um elemento inﬁnitesimal bidimensional, conforme ilustrado na ﬁgura

2.2. Assim, obt´em-se as rela¸c˜oes:

ΣM = 0 (2.2)

− σ

= 0 (2.3)

= σ

(2.4)

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 12

Figura 2.2: Equil´ıbrio em um elemento inﬁnitesimal

Em um s´olido tridimensional, a rela¸c˜ao 2.4 ´e v´alida para quaisquer i, j = 1, 2,

3. Portanto, pode-se escrever as igualdades:

= σ

, σ

= σ

, σ

= σ

(2.5)

Isto reduz as componentes do estado de tens˜ao de nove para seis. Mais equa¸c˜oes

podem ser obtidas a partir do equil´ıbrio de for¸cas nas dire¸c˜oes x

, x

e x

. A ﬁgura

2.3 ilustra o caso geral de uma parcela inﬁnitesimal de um s´olido tridimensional

submetida a um estado de tens˜ao e for¸cas de dom´ınio b

quaisquer. Considerando a

soma de for¸cas na dire¸c˜ao do eixo x

, conforme ilustrado na ﬁgura 2.3, obt´em-se a

equa¸c˜ao:



F x

= 0 (2.6)

−σ

−

∂σ

∂x

+ σ

−σ

−

∂σ

∂x

+ σ

−σ

−

∂σ

∂x

+ b

= 0 (2.7)

Figura 2.3: Equil´ıbrio em um elemento inﬁnitesimal

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 13

Desenvolvendo-se a equa¸c˜ao 2.7:

∂σ

∂x

∂σ

∂x

∂σ

∂x

+ b

= 0 (2.8)

E, por ﬁm, obt´em-se a equa¸c˜ao de equil´ıbrio:

∂σ

∂x

∂σ

∂x

∂σ

∂x

+ b

= 0 (2.9)

O somat´orio de for¸cas feito para a dire¸c˜ao do eixo x

´e v´alido tamb´em para as

dire¸c˜oes x

e x

. Portanto:

∂σ

∂x

∂σ

∂x

∂σ

∂x

+ b

= 0 (2.10)

∂σ

∂x

∂σ

∂x

∂σ

∂x

+ b

= 0 (2.11)

Utilizando nota¸c˜ao indicial, as equa¸c˜oes 2.9, 2.10 e 2.11 se reduzem `a seguinte

igualdade:

= 0 (2.12)

Na sequˆencia, ´e estudado o equil´ıbrio de um tetraedro deﬁnido pelos planos x = 0,

y = 0, z = 0 e um outro plano qualquer. Para que o tetraedro ﬁque equilibrado em

conjunto com o restante do s´olido, aparecem componentes de for¸ca nas trˆes dire¸c˜oes

cartesianas. Esta situa¸c˜ao pode ser visualizada na ﬁgura 2.4.

Figura 2.4: Equil´ıbrio de um tetraedro

Na ﬁgura 2.4, p

, p

e p

s˜ao as componentes, nas dire¸c˜oes dos eixos, da for¸ca

por unidade de ´area resultante que equilibra o plano. O versor η indica a orienta¸c˜ao

do plano e tamb´em pode ser decomposto nas dire¸c˜oes cartesianas, obtendo η

, η

. Estas componentes s˜ao denominadas co-senos diretores do plano. A partir da

ﬁgura 2.4, escreve-se as express˜oes:

= σ

+ σ

(2.13)

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 14

= σ

+ σ

(2.14)

= σ

+ σ

(2.15)

As rela¸c˜oes 2.13, 2.14 e 2.15 podem ser reduzidas a uma ´unica express˜ao, uti-

lizando nota¸c˜ao indicial. Esta express˜ao ´e:

= σ

(2.16)

Os co-senos diretores aparecem multiplicando as componentes do tensor de ten-

s˜oes porque estas atuam em parcelas dos planos x = 0, y = 0 e z = 0, correspon-

dentes `as faces do tetraedro em estudo.

As equa¸c˜oes 2.13, 2.14 e 2.15 s˜ao v´alidas para qualquer plano interno do s´olido

tridimensional em quest˜ao, no entanto geralmente s˜ao aplicadas ao seu contorno.

Este contorno ´e uma superf´ıcie Γ, na qual deve-se prescrever valores de contorno

que podem ser em for¸ca ou em deslocamento. No caso tridimensional, seis valores

de contorno para cada ponto do contorno Γ, um deslocamento e uma for¸ca para

cada dire¸c˜ao cartesiana. Dado um ponto e uma dire¸c˜ao, deve-se prescrever a for¸ca

ou o deslocamento, resultando em um valor conhecido e seu conjugado inc´ognito.

2.2.2 O estado de deforma¸c˜ao

O campo de deforma¸c˜oes ´e fun¸c˜ao do campo de deslocamentos ao qual est´a sujeito

o s´olido. As rela¸c˜oes entre estes campos est˜ao mostradas a seguir:

∂u

∂x

(2.17)

∂u

∂x

(2.18)

∂u

∂x

(2.19)

= ε



∂u

∂x

∂u

∂x



(2.20)

= ε



∂u

∂x

∂u

∂x



(2.21)

= ε



∂u

∂x

∂u

∂x



(2.22)

Caso se queira utilizar nota¸c˜ao indicial, pode-se reduzir estas seis rela¸c˜oes a uma

s´o, que ´e:



∂u

∂x

∂u

∂x



(2.23)

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 15

Assim como as tens˜oes, as deforma¸c˜oes podem ser agrupadas em um tensor,

conforme mostrado a seguir:

ε =













(2.24)

2.2.3 Rela¸c˜oes constitutivas

O estado de tens˜oes em um ponto qualquer pode ser relacionado ao estado de

deforma¸c˜oes no mesmo ponto por meio de rela¸c˜oes constitutivas referentes ao mate-

rial do s´olido. Para problemas el´asticos e lineares, podem ser deﬁnidas as constantes

de Lam´e λ e µ. Com estas constantes, pode-se encontrar o estado de tens˜oes em um

ponto a partir do estado de deforma¸c˜oes com a express˜ao:

= λδ

+ 2µε

(2.25)

Na express˜ao 2.25, o termo δ

corresponde `a fun¸c˜ao Delta de Kronecker, que ´e

igual a um quando i ´e igual a j e igual a zero quando i ´e diferente de j. Caso se

queira encontrar o estado de deforma¸c˜oes a partir do estado de tens˜oes, utiliza-se a

express˜ao:

−λδ

2µ (3λ + 2µ)

2µ

(2.26)

As constantes de Lam´e est˜ao relacionadas ao m´odulo de elasticidade longitudinal

do material e ao coeﬁciente de Poisson pelas express˜oes:

µ =

2 (1 + ν)

(2.27)

λ =

νE

(1 + ν) (1 − 2ν)

(2.28)

Na express˜ao 2.27, E ´e o m´odulo de elasticidade longitudinal do material e ν ´e o

coeﬁciente de Poisson. As express˜oes 2.25 e 2.26 podem ent˜ao ser escritas em fun¸c˜ao

de E e ν, se tornando:

(1 + ν)



(1 − 2ν)

+ ε



(2.29)

−ν

1 + ν

(2.30)

Na an´alise feita nesta se¸c˜ao relativa ao problema el´astico, foram deﬁnidas trˆes

componentes de deslocamento, seis comp onentes de tens˜ao e seis componentes de

deforma¸c˜ao, totalizando quinze vari´aveis a serem determinadas. Para auxiliar na

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 16

obten¸c˜ao destas vari´aveis, foram escritas trˆes equa¸c˜oes de equil´ıbrio, seis equa¸c˜oes

de compatibilidade entre deslocamentos e deforma¸c˜oes e a equa¸c˜ao 2.25 ou 2.26. Esta

´ultima est´a em nota¸c˜ao indicial e representa seis equa¸c˜oes constitutivas, somando

com as demais quinze equa¸c˜oes. Desta forma, com o n´umero de equa¸c˜oes igual

ao n´umero de inc´ognitas, torna-se poss´ıvel determinar todas as componentes de

deslocamento, deforma¸c˜ao e tens˜ao.

2.3 Solu¸c˜oes fundamentais

Nesta se¸c˜ao s˜ao apresentadas as solu¸c˜oes fundamentais para um meio inﬁnito,

tridimensional e el´astico, resultantes de uma for¸ca concentrada e unit´aria aplicada

em seu dom´ınio, conforme feito por Kelvin e publicado em LOVE (1944).

Inicialmente, deve-se reescrever as equa¸c˜oes de equil´ıbrio 2.12 em termos de deslo-

camentos. Para isto, substitui-se 2.29 em 2.12, obtendo:

(1 + ν)



(1 − 2ν)

mm,j

+ ε

lj,j



+ b

= 0 (2.31)

Na sequˆencia, substitui-se em 2.31 as rela¸c˜oes entre deforma¸c˜ao e deslocamento

dadas por 2.23. Com isto, chega-se `a equa¸c˜ao:

(1 + ν)



(1 − 2ν)

m,mj

l,jj

j,lj



+ b

= 0 (2.32)

Dividindo 2.32 por µ, constante de Lam´e deﬁnida pela express˜ao 2.27, obt´em-se:

(1 − 2ν)

j,jl

l,jj

j,jl

= 0 (2.33)

Foi utilizada a propriedade δ

m,mj

= u

m,ml

, e depois trocou-se o ´ındice mudo

m por j. Desenvolvendo 2.33, obt´em-se a equa¸c˜ao:

(1 − 2ν)

j,jl

+ u

l,jj

= 0 (2.34)

A express˜ao 2.34 representa as equa¸c˜oes de equil´ıbrio de Navier, ou equa¸c˜oes de

equil´ıbrio em deslocamentos. A solu¸c˜ao fundamental de Kelvin ´e obtida a partir da

equa¸c˜ao 2.34 quando uma for¸ca concentrada unit´aria ´e aplicada em um ponto i na

dire¸c˜ao de um versor e

, ou seja:

= ∆

(2.35)

em que o termo ∆

representa a fun¸c˜ao Delta de Dirac. Para tornar mais simples

a dedu¸c˜ao da solu¸c˜ao fundamental, os deslocamentos podem ser representados pelo

vetor de Galerkin. O deslocamento em uma determinada dire¸c˜ao j pode ser obtido

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 17

a partir do vetor de Galerkin G pela express˜ao:

= G

j,mm

−

2 (1 − ν)

m,jm

(2.36)

onde G ´e um vetor a ser determinado. Para prosseguir com o equacionamento,

deve-se substituir as express˜oes 2.35 e 2.36 em 2.34. Assim:

(1 − 2ν)



j,mmjl

−

2 (1 − ν)

m,jmjl





l,mmjj

−

2 (1 − ν)

m,jmjj



∆

= 0

(2.37)

Como o ´ındice m ´e mudo, ele pode ser trocado por qualquer outro. Na equa¸c˜ao

2.37, troca-se alguns ´ındices m por j e outros p or l, de forma conveniente. Ap´os a

troca de ´ındices, a equa¸c˜ao 2.37 se torna:

(1 − 2ν)



j,jjjl

−

2 (1 − ν)

j,jjjl





l,jjll

−

2 (1 − ν)

j,jjjl



∆

= 0 (2.38)

Desenvolvendo a express˜ao 2.38, obt´em-se a equa¸c˜ao:

∇



∇



∆

= 0 (2.39)

Para problemas de estado plano de deforma¸c˜ao, a express˜ao 2.39 pode ser escrita

como:

∇

) +

∆

= 0 (2.40)

em que

= ∇

(2.41)

A equa¸c˜ao 2.40 ´e semelhante `a que representa o problema potencial em BREB-

BIA & DOMINGUEZ (1989). Por isso, ela admite a seguinte solu¸c˜ao:

4πrµ

(2.42)

em que r ´e a distˆancia entre o ponto de aplica¸c˜ao da carga unit´aria e o ponto para

o qual F

est´a sendo calculado. O ponto de aplica¸c˜ao da carga ´e denominado “ponto

fonte” e o ponto no qual ´e feito o c´alculo ´e denominado “ponto campo”. Substituindo-

se a express˜ao 2.42 em 2.41, obt´em-se:

∇

4πrµ

(2.43)

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 18

A solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao ´e dada por:

8πµ

(2.44)

Tomando-se cada carga independentemente, pode-se escrever a igualdade:

= Gδ

(2.45)

em que

G =

8πµ

r (2.46)

e δ

´e a fun¸c˜ao Delta de Kronecker. O ´ındice k se refere `a componente do vetor

de Galerkin e l ´e a dire¸c˜ao da carga unit´aria aplicada no ponto i. O deslocamento

em um ponto qualquer do dom´ınio, considerando cada dire¸c˜ao como independente,

pode ser escrito como:

∗

= u

∗

(2.47)

em que u

∗

´e o deslocamento em qualquer ponto na dire¸c˜ao k, quando ´e aplicada uma

carga unit´aria no ponto i e na dire¸c˜ao l. De acordo com a deﬁni¸c˜ao dada por 2.36,

pode-se escrever:

∗

= G

lk,mm

−

2 (1 − ν)

lm,km

(2.48)

O passo seguinte ´e substituir 2.45 e 2.46 em 2.48, obtendo:

∗

16πµ (1 − ν) r

[(3 − 4ν) δ

+ r

] (2.49)

A express˜ao 2.49 correponde `a solu¸c˜ao fundamental de deslocamento de Kelvin.

A express˜ao 2.44 n˜ao ´e a ´unica solu¸c˜ao poss´ıvel para a equa¸c˜ao 2.40. Qualquer

express˜ao de dimens˜ao r ´e vi´avel, resultando em uma solu¸c˜ao fundamental igual `a da

express˜ao 2.49, exceto por um movimeto de corpo r´ıgido. Este pode ser desprezado

por n˜ao alterar os campos de tens˜ao e deforma¸c˜ao do s´olido.

O tensor de tens˜oes em qualquer ponto interno pode ser encontrado substituindo

a express˜ao 2.49 em 2.23 e o resultado em 2.29. A express˜ao resultante, representada

em nota¸c˜ao indicial, ´e:

∗

= S

∗

lkj

(2.50)

em que S

∗

lkj

´e um tensor. Substituindo-se a express˜ao 2.50 em 2.16, obt´em-se o valor

da tra¸c˜ao em um ponto qualquer do contorno Γ, que ´e:

∗

= p

∗

(2.51)

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 19

em que as componentes de tens˜ao para o caso tridimensional s˜ao:

∗

−1

8π (1 − ν) r



∂r

∂η

[(1 − 2ν) δ

+ 3r

] + (1 − 2ν) (η

− η

)



(2.52)

A express˜ao 2.52 corresponde `a solu¸c˜ao fundamental de for¸ca de Kelvin. Os

termos η

e η

s˜ao os co-senos diretores relativos `a normal η e aos eixos cartesianos

e x

2.4 Equa¸c˜oes integrais de contorno

Considera-se um s´olido tridimensional, conforme ilustrado na ﬁgura 2.5. Nesta

ﬁgura, o dom´ınio do s´olido ´e tratado por Ω e seu cotorno por Γ. Os pontos s e P

s˜ao, respectivamente, o ponto fonte e o ponto campo. O ponto fonte ´e onde a carga

unit´aria est´a aplicada e o ponto campo ´e onde se quer calcular valores. O contorno

do s´olido est´a dividido em dois trechos. No primeiro, denominado Γ

, est˜ao deﬁnidas

as condi¸c˜oes de contorno essenciais do problema. Isto signiﬁca que o deslocamento

est´a prescrito em Γ

, ou seja:

= u

(2.53)

Figura 2.5: Condi¸c˜oes de contorno arbitr´arias

No segundo trecho, denominado Γ

, est˜ao deﬁnidas as condi¸c˜oes de contorno

naturais do problema. Isto signiﬁca que, em Γ

, foi prescrito for¸ca, isto ´e:

= p

(2.54)

A equa¸c˜ao integral governante do problema el´astico ser´a obtida pelo uso de t´ecni-

cas de res´ıduos ponderados. O ponto de partida ´e a equa¸c˜ao diferencial de equil´ıbrio

em tens˜oes deduzida anteriormente, que ´e:

= 0 (2.55)

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 20

Aplicando res´ıduos ponderados em 2.55, com uma fun¸c˜ao ponderadora em deslo-

camentos u

∗

, chega-se `a express˜ao:



Ω

(σ

kj,j

+ b

) u

∗

dΩ = 0 (2.56)

A equa¸c˜ao 2.56 tamb´em pode ser escrita como:



Ω



∂σ

∂x

∗

∂σ

∂x

∗

∂σ

∂x

∗

+ b

∗



dΩ = 0 (2.57)

Integrando 2.57 por partes, obt´em-se:

−



Ω



∂u

∗

∂x

+ σ

∂u

∗

∂x

+ σ

∂u

∗

∂x

+ b

∗



dΩ +



∗

dΓ = 0 (2.58)

Na passagem de 2.57 para 2.58, foi utilizada a deﬁni¸c˜ao:

= p

(2.59)

Utilizando as equa¸c˜oes de compatibilidade entre deslo camentos e deforma¸c˜oes

deﬁnidas pela express˜ao 2.23, pode-se reescrever 2.58 como:

−



Ω

∗

dΩ +



Ω

∗

dΩ = −



∗

dΓ (2.60)

O teorema de Betti garante que:



Ω

∗

dΩ =



Ω

∗

dΩ (2.61)

Aplicando 2.61 em 2.60, obt´em-se:

−



Ω

∗

dΩ +



Ω

∗

dΩ = −



∗

dΓ (2.62)

Integrando 2.62 por partes, chega-se a uma equa¸c˜ao similar a 2.56, que ´e:



Ω

∗

kj,j

dΩ +



Ω

∗

dΩ = −



∗

dΓ +



∗

dΓ (2.63)

Imaginando o contorno Γ dividido nas parcelas Γ

e Γ

nas quais s˜ao v´alidas as

condi¸c˜oes de contorno 2.53 e 2.54, reescreve-se 2.63 como:



Ω

∗

kj,j

dΩ +



Ω

∗

dΩ =



∗

dΓ +



∗

dΓ −



∗

dΓ −



∗

dΓ (2.64)

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 21

Na sequˆencia, deve-se integrar 2.64 por partes e aplicar o teorema de Betti de

forma a retornar `a express˜ao 2.56. Assim, integrando 2.64 por partes, chega-se `a

equa¸c˜ao:



Ω

∗

dΩ +



Ω

∗

dΩ =



− u

) p

∗

dΓ −



∗

dΓ −



∗

dΓ (2.65)

Aplicando o teorema de Betti em 2.65, obt´em-se:



Ω

∗

dΩ +



Ω

∗

dΩ =



− u

) p

∗

dΓ −



∗

dΓ −



∗

dΓ (2.66)

Integrando 2.66 por partes, obt´em-se a igualdade:



Ω

kj,j

∗

dΩ +



Ω

∗

dΩ =



− u

) p

∗

dΓ +



− p

) u

∗

dΓ (2.67)

A express˜ao 2.67 pode ser utilizada na obten¸c˜ao das equa¸c˜oes integrais de con-

torno. Para isto, deve-se aplicar as solu¸c˜oes fundamentais deduzidas anteriormente

nesta express˜ao. Deste modo, a carga externa a ser considerada ´e uma for¸ca con-

centrada unit´aria aplicada em um ponto i do dom´ınio Ω. A partir desta hip´otese, a

equa¸c˜ao diferencial de equil´ıbrio em tens˜oes 2.55 pode ser escrita como:

∗

kj,j

+ ∆

= 0 (2.68)

∗

kj,j

= −∆

(2.69)

em que ∆

´e a fun¸c˜ao Delta de Dirac concentrada no ponto i de aplica¸c˜ao da carga.

A igualdade 2.69 pode ser utilizada na primeira integral `a esquerda de 2.67, que se

torna:



Ω

∗

kj,j

dΩ =



Ω



−∆



dΩ = −u

(2.70)

Nas igualdades 2.70, u

´e o deslocamento no ponto i onde a carga unit´aria foi

aplicada e na dire¸c˜ao l. Substituindo 2.70 em 2.67, chega-se `a equa¸c˜ao:



∗

dΓe



∗

dΓe



∗

dΓe



∗

dΓe



Ω

∗

dΩe

(2.71)

O versor e

aparece em todos os termos, portanto pode ser exclu´ıdo. Assim:



∗

dΓ +



∗

dΓ =



∗

dΓ +



∗

dΓ +



Ω

∗

dΩ

(2.72)

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 22

A equa¸c˜ao 2.72 pode ser escrita de forma mais compacta caso as condi¸c˜oes de

contorno sejam, por enquanto, ignoradas. Desta forma:



∗

dΓ =



∗

dΓ +



Ω

∗

dΩ (2.73)

A equa¸c˜ao 2.73 ´e chamada de Indentidade Somigliana. Por meio dela, ´e pos-

s´ıvel determinar componentes de deslocamento em qualquer ponto do dom´ınio Ω em

fun¸c˜ao dos valores de contorno u

e p

E necess´ario que tamb´em sejam conheci-

das as solu¸c˜oes fundamentais em deslocamento u

∗

e for¸ca p

∗

, que foram deduzidas

anteriormente, al´em das cargas externas de dom´ınio b

2.4.1 Equa¸c˜ao integral para pontos do contorno

Para determinar as componentes de deslocamento em um ponto i do dom´ınio Ω

a partir da Identidade Somigliana 2.73, devem ser conhecidos os valores de contorno

dados por u

e p

. Portanto, para calcular valores em pontos internos do s´olido deve-

se primeiramente resolver o problema do valor de contorno. Como a equa¸c˜ao 2.73

´e v´alida somente no dom´ınio Ω e n˜ao no contorno Γ, deve-se obter uma equa¸c˜ao

integral de contorno levando-se 2.73 para o contorno. Neste procedimento, cada

termo deve ser analisado separadamente para tratar de forma esp ecial as integrais

que se tornem singulares. Para maior simplicidade, inicialmente ´e considerado que

o contorno Γ ´e suave no ponto i analisado. Com isto, torna-se poss´ıvel englobar o

ponto i ao interior de Ω por meio de uma semi-esfera, cujo raio ε ser´a posteriormente

levado a zero no limite. Isto est´a ilustrado na ﬁgura 2.6.

Figura 2.6: Ponto i envolvido por uma semi-esfera de raio ε

Iniciando a an´alise, toma-se a primeira integral `a direita da equa¸c˜ao 2.73. Con-

forme ilustrado na ﬁgura 2.6, a semi-esfera contribui com uma parcela Γ

do contorno

Γ. Assim, esta integral pode ser dividida em duas partes:



∗

dΓ = lim

ε→0













Γ−Γ

∗

dΓ











+ lim

ε→0













∗

dΓ











(2.74)

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 23

O primeiro limite `a direita de 2.74 torna Γ

inﬁnitamente menor que Γ, o que

leva `a conclus˜ao de que este limite ´e igual `a pr´opria integral inicial. O segundo limite

`a direita pode ser escrito como:

lim

ε→0













∗

dΓ











= p

lim

ε→0













∗

dΓ











(2.75)

em que p

´e uma for¸ca no ponto i na dire¸c˜ao k. A solu¸c˜ao fundamental u

∗

tem

dimens˜ao

, conforme demonstrado na express˜ao 2.49. Como a integral de

superf´ıcie na express˜ao 2.74 produz um termo ε

multiplicando a express˜ao, restar´a

do desenvolvimento desta equa¸c˜ao um ε multiplicando toda a express˜ao. Isto ´e

suﬁciente para concluir que este termo tende a zero no limite. Portanto, a primeira

integral `a direita de 2.73 n˜ao sofre inﬂuˆencia da singularidade no ponto i.

A pr´oxima integral a ser analisada ´e a da esquerda da express˜ao 2.73:



∗

dΓ = lim

ε→0













Γ−Γ

∗

dΓ











+ lim

ε→0













∗

dΓ











(2.76)

O primeiro limite `a direita de 2.76 se comporta da mesma maneira que o primeiro

limite `a direita de 2.74, portanto ´e igual `a integral `a esquerda de 2.76. O segundo

limite `a direita de 2.76 pode ser escrito como:

lim

ε→0













∗

dΓ











= u

lim

ε→0













∗

dΓ











(2.77)

A solu¸c˜ao fundamental p

∗

, dada pela express˜ao 2.52, tem dimens˜ao

, en-

quanto a integral de superf´ıcie de 2.77 produz um termo ε

multiplicando toda a

express˜ao. Isto signiﬁca que o limite 2.77 n˜ao ´e igual a zero, e sim um termo livre.

Para encontrar este termo ´e necess´ario desenvolver analiticamente a integral 2.77.

No apˆendice A est´a exposta esta dedu¸c˜ao. Ap´os os procedimentos matem´aticos,

chega-se `a igualdade:

lim

ε→0













∗

dΓ











= −

(2.78)

Portanto, a express˜ao 2.76 se torna:



∗

dΓ =



∗

dΓ −



∗

dΓ −

(2.79)

A integral de 2.79 ´e deﬁnida como Valor Principal de Cauchy.

Ap´os estas an´alises, pode-se retornar `a express˜ao 2.73 e reescrevˆe-la da seguinte

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 24

forma:



∗

dΓ =



∗

dΓ +



Ω

∗

dΩ (2.80)

Cada integral da express˜ao 2.80 ´e deﬁnida como Valor Principal de Cauchy e,

para o caso de i se encontrar em um trecho suave de Γ, o termo c

´e igual `a fun¸c˜ao

Delta de Kronecker dividida por dois.

Quando o ponto i se encontra em um trecho de Γ que n˜ao ´e suave, as integrais

da equa¸c˜ao 2.79 levam a diferentes valores de c

, tornando dif´ıcil encontrar uma

express˜ao geral para este termo. No entanto, calcular este valor analiticamente n˜ao

´e necess´ario, pois ele pode ser obtido aplicando movimentos de corpo r´ıgido ao s´olido.

Isto ´e explicado mais adiante, na dedu¸c˜ao das matrizes H e G.

A equa¸c˜ao 2.80 permite resolver o problema de valor de contorno para o problema

el´astico tridimensional. Em cada ponto deﬁnido em Γ e para cada dire¸c˜ao, deve-

se prescrever um valor de contorno em for¸ca ou deslo camento. Caso em todos os

pontos de Γ os deslocamentos sejam prescritos, 2.80 produz uma equa¸c˜ao integral

de primeiro tipo. Caso o que esteja prescrito em todos os pontos seja for¸ca, ent˜ao a

equa¸c˜ao integral se torna de segundo tipo. A combina¸c˜ao de ambas as condi¸c˜oes de

contorno, que ´e o mais usual, resulta em uma equa¸c˜ao integral mista.

2.4.2 Formula¸c˜ao de elementos de contorno

A equa¸c˜ao 2.80 pode ser resolvida numericamente dividindo-se o contorno Γ em

elementos. Neste trabalho s˜ao utilizados elementos planos triangulares, conforme

mostrado na ﬁgura 2.7. Nesta ﬁgura, a superf´ıcie do elemento encontra-se represen-

tada por Γ

. Em cada n´o do elemento, est˜ao deﬁnidos seis graus de liberdade. Como

o sistema cartesiano ´e de trˆes eixos, x

, x

e x

, cada n´o tem trˆes componentes de

deslocamento u e trˆes componentes de for¸ca p, indicados na ﬁgura. Nestes valores, o

´ındice subscrito indica a dire¸c˜ao cartesiana e o ´ındice sobrescrito indica a numera¸c˜ao

local do n´o.

Ao longo de cada elemento deve ser deﬁnida uma fun¸c˜ao para representar os

deslocamentos e as for¸cas a partir de seus valores nodais. Ao escrever 2.80 para

cada ponto no dal, ´e obtido um sistema de equa¸c˜oes lineares, ao qual devem ser

aplicadas as condi¸c˜oes de contorno do problema. Ent˜ao o sistema pode ser resolvido,

obtendo-se todos os deslocamentos e for¸cas inc´ognitos no contorno. Estes valores, em

conjunto com as condi¸c˜oes de contorno prescritas, constituem a solu¸c˜ao do problema

de valor de contorno.

Inicialmente, representa-se os deslocamentos u e for¸cas p por fun¸c˜oes conhecidas.

Estas fun¸c˜oes, cont´ınuas ao longo de cada elemento j, podem ser escritas em forma

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 25

Figura 2.7: Elemento de contorno triangular

matricial como:

u = Φu

(2.81)

p = Φp

(2.82)

Os vetores u

e p

s˜ao, respectivamente, os deslocamentos e for¸cas estabelecidos

nos n´os do elemento j. Para o caso tridimensional estes vetores tˆem 3Q linhas,

sendo Q o n´umero de n´os por elemento. Os vetores u e p contˆem, respectivamente,

os deslocamentos e for¸cas nas trˆes dire¸c˜oes em um ponto qualquer da superf´ıcie Γ

do elemento. Ou seja:

u =





















(2.83)

p =





















(2.84)

A matriz de interpola¸c˜ao Φ tem dimens˜ao 3×3Q e possui Q fun¸c˜oes φ diferentes.

Para o elemento de contorno de trˆes n´os da ﬁgura 2.7, a matriz Φ ´e:

Φ =







0 0 φ

0 0

0 φ

0 0 φ







(2.85)

e o vetor u

´e:









(2.86)

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 26

Portanto, o deslocamento em um ponto qualquer de Γ

pode ser escrito como:

u =































+ u











(2.87)

Pode-se observar, pela igualdade 2.87, que o deslocamento em uma dire¸c˜ao de

um ponto qualquer do elemento j ´e fun¸c˜ao dos deslocamentos nesta dire¸c˜ao dos trˆes

n´os do elemento. Observa-se tamb´em que as mesmas fun¸c˜oes s˜ao utilizadas nas trˆes

dire¸c˜oes.

A igualdade 2.87 tamb´em ´e v´alida para as for¸cas, ou seja:

p =































+ p











(2.88)

S˜ao adotadas fun¸c˜oes φ lineares, conforme mostrado na ﬁgura 2.8.

Figura 2.8: Fun¸c˜oes interpoladoras adotadas

Para tornar a resolu¸c˜ao das integrais mais simples, as fun¸c˜oes φ

, φ

e φ

s˜ao

deﬁnidas segundo um sistema de coordenadas local. Este sistema, juntamente com

o global, est´a ilustrado na ﬁgura 2.9.

Figura 2.9: Sistemas de coordenadas global e local

Por serem lineares, as fu¸c˜oes φ

, φ

e φ

devem ser do tipo:

(ξ

, ξ

) = αξ

+ βξ

+ χ (2.89)

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 27

em que α, β e χ s˜ao constantes e ξ

e ξ

s˜ao coordenadas adimensionais. Uma op¸c˜ao

para determinar estas constantes ´e obter equa¸c˜oes a partir da ﬁgura 2.8. Assim:

= 0 → φ

= 1, φ

= 0, φ

= 0 (2.90)

= 0 → φ

= 0, φ

= 1, φ

= 0 (2.91)

= 0 e ξ

= 0 → φ

= 0, φ

= 1 (2.92)

A partir das equa¸c˜oes 2.90, 2.91 e 2.92, pode-se concluir que:

= ξ

(2.93)

= ξ

(2.94)

= −ξ

− ξ

+ 1 (2.95)

Al´em dos deslocamentos u e das for¸cas p, tamb´em devem ser representadas de

forma matricial as cargas volum´etricas e as solu¸c˜oes fundamentais. As for¸cas exter-

nas de dom´ınio podem ser organizadas em um vetor que contenha suas componentes,

ou seja:

b =





















(2.96)

As solu¸c˜oes fundamentais podem ser representadas em forma matricial como

segue:

∗







∗







(2.97)

∗







∗







(2.98)

Os coeﬁcientes subscritos dos termos u

∗

e p

∗

das matrizes indicam a dire¸c˜ao l

da carga e a dire¸c˜ao k do deslocamento ou for¸ca.

Aplicando a nota¸c˜ao matricial apresentada, a equa¸c˜ao 2.80 se torna:



∗

udΓ=



∗

pdΓ+



Ω

∗

bdΩ (2.99)

Considerando agora que as fun¸c˜oes de forma Φ sejam substitu´ıdas na equa¸c˜ao

2.99, chega-se a uma equa¸c˜ao onde s˜ao discriminadas as inﬂuˆencias de cada elemento,

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 28

isto ´e:



j=1















∗

ΦdΓ















j=1















∗

ΦdΓ













(2.100)

em que ne ´e o n´umero de elementos deﬁnido no contorno. Foi considerado na

equa¸c˜ao 2.100 que as for¸cas externas de dom´ınio, b, s˜ao nulas.

E somada a inﬂuˆencia

da superf´ıcie Γ

de cada elemento de um at´e o n´umero de elementos, ne. Os vetores

e p

contˆem, respectivamente, os deslocamentos e for¸cas nos n´os do elemento j.

2.4.3 Transforma¸c˜ao de coordenadas

O sistema de coordenadas local pode ser relacionado ao global utilizando um

Jacobiano, como mostrado abaixo:

dΓ = |J|dξ

dξ

(2.101)

Substituindo a express˜ao 2.101 na equa¸c˜ao 2.100, obt´em-se:



j=1



















∗

Φ |J|dξ

dξ



















j=1



















∗

Φ |J|dξ

dξ

















(2.102)

As integrais da equa¸c˜ao 2.102 s˜ao calculadas numericamente. O resultado ´e a

express˜ao:



j=1





k=1

∗

Φ)

|J|







j=1





k=1

∗

Φ)

|J|





(2.103)

O termo l se refere ao n´umero de pontos de integra¸c˜ao deﬁnidos sobre a superf´ıcie

dos elementos de contorno. O peso de cada ponto ´e deﬁnido pela fun¸c˜ao w

2.4.4 Sistema de equa¸c˜oes

A equa¸c˜ao 2.103 ´e v´alida para um n´o i qualquer pertencente ao dom´ınio Ω do

s´olido. Para simpliﬁcar a implementa¸c˜ao desta equa¸c˜ao, ´e mais interessante que os

somat´orios sejam em n´os ao inv´es de elementos. Para efetuar esta transforma¸c˜ao,

s˜ao deﬁnidas as rela¸c˜oes:





∗

dΓ (2.104)





∗

dΓ (2.105)

Nestas rela¸c˜oes, o ´ındice i ´e o n´umero do n´o onde se encontra o ponto campo e

o ´ındice j ´e o n´umero do n´o onde se encontra o ponto fonte. O ´ındice q indica a

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 29

numera¸c˜ao local do n´o j no elemento t. A soma referenciada por t vai de 1 at´e o

n´umero de elementos dos quais o n´o j ´e v´ertice.

Assim, com as rela¸c˜oes 2.104 e 2.105, pode-se reescrever a equa¸c˜ao 2.103 como:



j=1



j=1

(2.106)

em que n ´e o n´umero de n´os no contorno. Para simpliﬁcar a equa¸c˜ao 2.106, imp˜oem-

se as condi¸c˜oes:

para i = j (2.107)

para i = j (2.108)

Substituindo H

, dado nas rela¸c˜oes 2.107 e 2.108, na equa¸c˜ao 2.106, obt´em-se:



j=1



j=1

(2.109)

A equa¸c˜ao 2.109 pode ser escrita para todos os n´os do contorno, resultando um

sistema de 3n equa¸c˜oes cuja forma matricial ´e:

[H] {u}= [G] {p} (2.110)

Conforme mostrado nas rela¸c˜oes 2.107 e 2.108, os termos c

s˜ao computados na

matriz H. Eles comp˜oem uma s´erie de submatrizes de dimens˜ao 3 × 3, somadas na

regi˜ao da diagonal principal de H. Para encontrar os valores das submatrizes c

casos gerais nos quais o contorno Γ n˜ao ´e suave, pode-se aplicar propriedades da

matriz H decorrentes de movimentos de corpo r´ıgido. Isto ser´a visto mais adiante,

na se¸c˜ao 2.4.5.

Para que se possa resolver o problema do valor de contorno a partir das equa¸c˜oes

representadas por 2.110, ´e necess´ario adaptar este sistema de equa¸c˜oes `as condi¸c˜oes

de contorno do problema. Isto pode ser feito prescrevendo, para cada dire¸c˜ao de

cada ponto do contorno, um valor de deslocamento ou um valor de for¸ca. Desta

forma, ambos os vetores u e p se tornam parcialmente conhecidos e parcialmente

inc´ognitos. Al´em disto, caso o valor de deslocamento em uma determinada linha de u

seja prescrito, o valor nesta mesma linha de p obrigatoriamente deve estar inc´ognito

e vice-versa. Desta forma, o n´umero de inc´ognitas se torna igual ao n´umero de

equa¸c˜oes e o sistema tem solu¸c˜ao ´unica.

Para obter os valores de contorno inc´ognitos na equa¸c˜ao 2.110, ´e necess´ario que

todos eles estejam no mesmo lado da equa¸c˜ao. Da mesma forma, todos os valores

prescritos devem estar do outro lado. Isto po de ser feito a partir da equa¸c˜ao 2.110,

passando para o lado esquerdo cada valor inc´ognito de p e o substituindo no lado

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 30

direito pelo correspondente conhecido de u. As matrizes H e G tamb´em devem ser

modiﬁcadas, trocando entre elas a coluna correspondente `a linha de p e u para a

qual foi feita a troca. Repetindo este procedimento para todas as for¸cas inc´ognitas,

obt´em-se a equa¸c˜ao:

Ax = By (2.111)

Na equa¸c˜ao 2.111, to dos os termos do vetor x s˜ao inc´ognitos e todos os termos

do vetor y s˜ao conhecidos. Al´em disto, todos os termos das matrizes A e B tamb´em

s˜ao conhecidos, pois elas s˜ao resultado da troca de colunas entre as matrizes H e G.

Por isto, pode-se fazer o produto entre a matriz B e o vetor y `a direita da igualdade.

O resultado ´e um sistema de 3n equa¸c˜oes com 3n inc´ognitas, ou seja:

Ax = f (2.112)

Pela resolu¸c˜ao do sistema 2.112 podem ser obtidos todos os valores de contorno

inc´ognitos, resolvendo o problema el´astico tridimensional do valor de contorno.

2.4.5 Movimentos de corpo r´ıgido

O conceito de movimento de corpo r´ıgido envolve deslocamentos na ausˆencia de

for¸cas. Isto implica em prescrever todas as for¸cas no contorno Γ do s´olido iguais a

zero. Ao fazer isto na equa¸c˜ao 2.110, o produto Gp ﬁca igual a zero. Assim:

Hu = 0 (2.113)

A interpreta¸c˜ao f´ısica do problema de valor de contorno representado pela equa¸c˜ao

2.113 ´e de um s´olido sem restri¸c˜ao alguma, portanto solto no espa¸co. Extendendo

esta interpreta¸c˜ao, uma conﬁgura¸c˜ao poss´ıvel ´e deslocar todos os n´os do contorno do

s´olido de uma distˆancia unit´aria no sentido positivo de um dos eixos coordenados.

Escolhendo o eixo x

, por exemplo, o vetor u

para um movimento de corpo r´ıgido

unit´ario positivo em sua dire¸c˜ao ´e:

}



1 0 0 1 0 0 ··· 1 0 0



(2.114)

O produto de uma linha i qualquer da matriz H pelo vetor u

deve ser igual a

zero, conforme imp osto na equa¸c˜ao 2.113. Assim, obt´em-se uma importante pro-

priedade da matriz H, que ´e:

+ H

+ ··· + H

(3n−2)

= 0 (2.115)

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 31

O mesmo pode ser feito para as dire¸c˜oes de x

e x

, obtendo outras duas equa¸c˜oes:

+ H

+ ··· + H

(3n−1)

= 0 (2.116)

+ H

+ ··· + H

(3n)

= 0 (2.117)

As equa¸c˜oes 2.115, 2.116 e 2.117 podem ser utilizadas para determinar indire-

tamente o valor dos termos das submatrizes c

. Depois da obten¸c˜ao da matriz

percorre-se cada linha i com as opera¸c˜oes:



j=1



(3j−2)



(2.118)



j=1



(3j−1)



(2.119)



j=1



(3j)



(2.120)

Os vetores R

, R

e R

contˆem a soma dos termos de cada linha i da matriz

H, correspondentes aos movimentos de corpo r´ıgido nas dire¸c˜oes x

, x

e x

, respec-

tivamente. Para obter a matriz ﬁnal H, utilizada na equa¸c˜ao 2.110, basta subtrair

os termos R

, R

e R

calculados para cada linha das posi¸c˜oes correspondentes

de cada linha. Assim, os trˆes termos corretores da submatriz c

para uma linha i

qualquer de

H s˜ao:

= −R

(2.121)

= −R

(2.122)

= −R

(2.123)

A posi¸c˜ao na linha i da matriz

H na qual cada termo de c

deve ser somado

pode ser encontrada a partir do n´umero j do n´o ao qual pertence o deslocamento

em quest˜ao. Aplicando a regra imposta pela rela¸c˜ao 2.108, conclui-se que o termo c

deve ser somado na posi¸c˜ao 3j −2 da linha, o termo c

deve ser somado na posi¸c˜ao

3j − 1 e o termo c

deve ser somado na posi¸c˜ao 3j.

Apesar de estar resolvido o problema da submatriz c

, deve-se ressaltar que os

deslocamentos segundo os trˆes eixos coordenados n˜ao s˜ao os ´unicos movimentos de

corpo r´ıgido poss´ıveis. Ainda podem ocorrer trˆes rota¸c˜oes, uma para cada eixo.

Assim, caso se tenha d´uvida quanto `a matriz H mesmo ap´os a corre¸c˜ao com as

submatrizes c

, ainda ´e poss´ıvel conferir suas propriedades quanto aos movimentos

de corpo r´ıgido rotacionais.

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 32

2.4.6 Pontos internos

Ap´os determinar todos os valores de contorno ´e poss´ıvel, a partir deles, deter-

minar deslocamentos e tens˜oes em qualquer ponto interno ao dom´ınio Ω do s´olido.

Para obter uma equa¸c˜ao cuja solu¸c˜ao sejam os deslocamentos em pontos internos,

primeiramente deve-se voltar `a equa¸c˜ao 2.73 com b

igual a zero, ou seja:



∗

dΓ =



∗

dΓ (2.124)

Para resolver a equa¸c˜ao 2.124 para um ponto no contorno Γ do s´olido, foi

necess´ario analisar a integral `a direta da igualdade em 2.124 de forma especial,

devido `a singularidade no ponto. Por´em, quando se considera um ponto interno ao

dom´ınio Ω do s´olido, n˜ao h´a sigularidade porque o ponto fonte nunca coincide com

o ponto campo. Assim, pode-se efetuar ambas as integrais da equa¸c˜ao 2.124 sem se

preocupar com singularidades. A partir da dedu¸c˜ao feita para o ponto do contorno,

aplicando os mesmos pro cedimentos num´ericos entre as equa¸c˜oes 2.73 e 2.106 na

equa¸c˜ao 2.124, pode-se deduzir que a equa¸c˜ao resultante ´e a seguinte:



j=1

−



j=1

(2.125)

Na equa¸c˜ao 2.125, n corresponde ao n´umero de n´os, i correponde ao n´umero n´o

interno ou ponto campo e j ´e o n´umero do n´o do contorno ou ponto fonte. A partir

dela, pode-se determinar diretamente o deslocamento em qualquer ponto interno.

Al´em dos deslocamentos, tamb´em ´e poss´ıvel determinar o tensor de tens˜oes em

um ponto interno i. Para isto, primeiramente ´e necess´ario encontrar a equa¸c˜ao

diferencial em deslocamentos que permite obter tens˜oes no interior de um s´olido

el´astico. Parte-se da rela¸c˜ao 2.23, que ´e:



∂u

∂x

∂u

∂x



(2.126)

Outra express˜ao a ser utilizada ´e a seguinte rela¸c˜ao constitutiva:

(1 + ν)



(1 − 2ν)

+ ε



(2.127)

Substituindo a rela¸c˜ao 2.126 na express˜ao 2.127, obt´em-se a express˜ao:

(1 + ν)



(1 − 2ν)

k,k

i,j

+ u

j,i

)



(2.128)

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 33

2νG

(1 − 2ν)

l,l

+ (u

i,j

+ u

j,i

) G (2.129)

Isolando o deslocameto u

na equa¸c˜ao 2.124 e substituindo em 2.129, obt´em-se:





2νG

(1−2ν)

∗

lk,l



∗

ik,j

+ u

∗

jk,i





dΓ+

−





2νG

(1−2ν)

∗

lk,l



∗

ik,j

+ p

∗

jk,i





dΓ

(2.130)

Todas as derivadas da express˜ao 2.130 s˜ao tomadas no ponto interno, con-

siderando onde est´a sendo aplicada a solu¸c˜ao fundamental. Esta rela¸c˜ao pode ser

reescrita de forma mais compacta da seguinte maneira:



kij

dΓ −



kij

dΓ (2.131)

Em que os termos D

kij

e S

kij

s˜ao tensores. Estes tensores s˜ao dados p or:

kij

8π (1 − ν) r

{(1 − 2ν) [δ

+ δ

− δ

] + 3r

} (2.132)

kij

4π(1−ν)r

{3r

,η

[(1 − 2ν) δ

+ ν (δ

+ δ

) − 5r

] +

+3ν (η

+ η

) + (1 − 2ν) (3η

+ η

) − (1 − 4ν) η

}

(2.133)

2.4.7 Subelementa¸c˜ao

Para melhorar a precis˜ao dos resultados caso o ponto fonte esteja muito pr´oxi-

mo ao elemento de contorno integrado, divide-se este elemento em ´areas menores

denominadas subelementos. Desta forma, para cada subelemento, pode-se deﬁnir

mais pontos de integra¸c˜ao. Percorre-se ent˜ao to dos os subelementos deﬁnidos no

elemento e soma-se cada inﬂuˆencia para obter a inﬂuˆencia total do elemento.

No trabalho apresentado em ALMEIDA (2003a), dois tipos de subelementa¸c˜ao

s˜ao empregadas, convencional e progressiva. Na subelementa¸c˜ao convencional o

elemento ´e dividido de forma regular, conforme mostrado na ﬁgura 2.10.

O tamanho dos subelementos ´e deﬁnido a partir da distˆancia do ponto fonte

ao elemento em quest˜ao. Caso o ponto fonte esteja muito pr´oximo, s˜ao deﬁnidos

subelementos muito pequenos e em grande quantidade no elemento. Caso esteja

distante o suﬁciente, ´e deﬁnido um ´unico subelemento que computa toda a inﬂuˆencia

do elemento.

Caso seja feita subelementa¸c˜ao progressiva, a divis˜ao no elemento ´e mais intensa

em sua regi˜ao mais pr´oxima do ponto fonte. Na ﬁgura 2.11, por exemplo, ´e mostrada

uma poss´ıvel conﬁgura¸c˜ao quando o ponto fonte se encontra pr´oximo ao v´ertice P

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 34

Figura 2.10: Subelementa¸c˜ao convencional

do elemento de contorno.

Figura 2.11: Subelementa¸c˜ao progressiva

A vantagem da subelementa¸c˜ao progressiva ´e que ela reduz o tamanho dos subele-

mentos onde ´e mais necess´ario. Com isto, ´e poss´ıvel obter resultados precisos e com

menor tempo de processamento quando comparado com a subelementa¸c˜ao conven-

cional.

A subelementa¸c˜ao demanda muito tempo de processamento, sendo a parte do

programa que exige maior esfor¸co computacional. Isto torna valiosa a utiliza¸c˜ao de

subelementa¸c˜ao progressiva, pois a diferen¸ca de tempo ´e signiﬁcativa. O programa

computacional utilizado neste trabalho cont´em os dois tipos, podendo-se optar entre

um e outro.

2.5 Considera¸c˜oes ﬁnais

Neste cap´ıtulo, a partir de equa¸c˜oes advindas da mecˆanica dos s´olidos e de t´ecni-

cas de res´ıduos ponderados, deduziu-se a equa¸c˜ao integral de contorno denominada

Identidade Somigliana. Apresentou-se tamb´em as solu¸c˜oes fundamentais de Kelvin

de deslocamento e for¸ca para uma carga unit´aria aplicada em um meio inﬁnito. A

partir da Identidade Somigliana e das solu¸c˜oes fundamentais, formulou-se o proble-

ma do valor de contorno e foi obtida a equa¸c˜ao 2.80, que ´e o ponto de partida do

CAP

ITULO 2. O M

ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 35

MEC.

Adotando aproxima¸c˜oes lineares para deslocamentos e for¸cas, foi obtido um sis-

tema de equa¸c˜oes cuja solu¸c˜ao leva aos valores inc´ognitos nos pontos deﬁnidos no

contorno. Descreveu-se ent˜ao o c´alculo de deslocamentos e tens˜oes em pontos inter-

nos do s´olido a partir dos valores de contorno.

Ao ﬁnal do cap´ıtulo, foram abordados os tipos de subelementa¸c˜ao contidos no

programa utilizado neste trabalho. Concluiu-se que a subelementa¸c˜ao progressiva,

por produzir subelementos menores onde ´e mais necess´ario, ´e mais eﬁciente que a

convencional e leva a resultados mais precisos.

Cap´ıtulo 3

O M´etodo dos Elementos Finitos

3.1 Introdu¸c˜ao

O M´etodo dos Elementos Finitos (MEF) ´e uma ferramenta num´erica utilizada

na resolu¸c˜ao de diversos problemas de engenharia. Neste trabalho esta ferramenta ´e

empregada na simula¸c˜ao de estruturas compostas por lˆaminas e ret´ıculas, em an´alise

est´atica, el´astica e linear. A teoria ´e apresentada de forma sucinta, referenciando

publica¸c˜oes complementares.

A partir do equacionamento b´asico do problema el´astico, obt´em-se uma equa¸c˜ao

diferencial que representa o equil´ıbrio de um s´olido qualquer. Aplicando-se nesta

equa¸c˜ao t´ecnicas de res´ıduos ponderados, chega-se a uma express˜ao que representa

os trabalhos interno e externo associados `a estrutura em estudo. Divide-se ent˜ao a

estrutura em um n´umero qualquer de subdom´ınios, denominados elementos ﬁnitos.

A cada elemento ´e aplicada a equa¸c˜ao dos trabalhos interno e externo, adotando

aproxima¸c˜oes para os deslocamentos e deforma¸c˜oes. O resultado ´e um sistema de

equa¸c˜oes para cada elemento, tornando-se poss´ıvel ent˜ao montar um ´unico sistema

v´alido para toda a estrutura. Ap´os considerar as condi¸c˜oes de contorno do problema

´e poss´ıvel resolver este sistema, obtendo-se deslocamentos em pontos deﬁnidos na

estrutura em quest˜ao.

Este mesmo tema pode ser encontrado em ASSAN (2003).

3.2 O Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais (PTV)

O MEF ´e, de forma geral, a mais poderosa e eﬁciente ferramenta para an´alise

de problemas de dom´ınio ﬁnito e de geometria qualquer. Neste trabalho o MEF ´e

aplicado utilizando-se o M´etodo dos Deslocamentos, o que implica em aproximar o

campo de deslocamentos de cada elemento ﬁnito por fun¸c˜oes ponderadoras. Estas

fun¸c˜oes est˜ao relacionadas aos parˆametros nodais do elemento, que s˜ao valores de

CAP

ITULO 3. O M

ETODO DOS ELEMENTOS FINITOS 37

deslocamento nos n´os do elemento.

No cap´ıtulo 2 foi descrito sucintamente o problema el´astico, e foi obtida a seguinte

equa¸c˜ao de equil´ıbrio:

= 0 (3.1)

Nesta equa¸c˜ao, σ

s˜ao as componentes de tens˜ao em um ponto qualquer de

um s´olido tridimensional submetido a cargas externas b

. Para equacionar o PTV

considera-se a equa¸c˜ao 3.1 v´alida em um s´olido tridimensional qualquer, conforme

ilustrado na ﬁgura 3.1. A este s´olido s˜ao impostas condi¸c˜oes de contorno essenciais

e naturais arbitr´arias.

Figura 3.1: S´olido qualquer com condi¸c˜oes de contorno arbitr´arias

Na ﬁgura 3.1, Ω ´e o dom´ınio do s´olido e Γ ´e seu contorno. As condi¸c˜oes de

contorno essenciais ou em deslocamento est˜ao aplicadas na parcela Γ

do contorno

Γ do s´olido. Isto ´e, em Γ

= ¯u

(3.2)

sendo i uma dire¸c˜ao do sistema x

Por outro lado, as condi¸c˜oes de contorno naturais ou em for¸ca est˜ao aplicadas

no trecho Γ

do contorno. Ou seja, em Γ

= ¯p

(3.3)

A soma dos trechos Γ

e Γ

comp˜oe o contorno total Γ do s´olido, ou seja:

Γ = Γ

+ Γ

(3.4)

Deﬁnido o problema em quest˜ao, a equa¸c˜ao 3.1 pode ser trabalhada aplicando-se

t´ecnicas de res´ıduos ponderados. A fun¸c˜ao ponderadora a ser escolhida corresponde

a um campo de deslocamentos virtuais ˜u

, o qual deve satisfazer as condi¸c˜oes de

contorno essenciais impostas ao problema. Para simpliﬁcar, considera-se que no

CAP

ITULO 3. O M

ETODO DOS ELEMENTOS FINITOS 38

contorno Γ

prescreveu-se deslocamentos iguais a zero. Ou seja, em Γ

˜u

= 0 (3.5)

Deﬁnida a fun¸c˜ao ponderadora, escreve-se a express˜ao:



Ω

(σ

ij,j

+ b

) ˜u

dΩ = 0 (3.6)

Integrando a express˜ao 3.6 por partes, obt´em-se:

−



Ω

˜u

i,j

dΩ +



Ω

˜u

dΩ +



˜u

dΓ = 0 (3.7)

A express˜ao 3.7, escrita em forma matricial, ´e equivalente a:



Ω

[˜ε]

[σ] dΩ=



Ω

{˜u}

{b}dΩ+



{˜u}

{p}dΓ (3.8)

em que ˜ε

corresponde ao campo de deforma¸c˜oes virtuais decorrentes do campo

de deslocamentos virtuais ˜u. Considerando que as condi¸c˜oes de contorno prescritas

em deslocamento s˜ao iguais a zero, a segunda integral `a direita da equa¸c˜ao 3.8 ﬁca

restrita ao contorno Γ

. Assim, chega-se `a equa¸c˜ao integral:



Ω

[˜ε]

[σ] dΩ=



Ω

{˜u}

{b}dΩ+



{˜u}

{¯p}dΓ (3.9)

em que ¯p s˜ao as condi¸c˜oes de contorno naturais do problema.

A integral `a esquerda da equa¸c˜ao 3.9 ´e o trabalho virtual interno mobilizado no

s´olido, enquanto as integrais `a direita s˜ao o trabalho virtual externo decorrente das

cargas externas aplicadas no s´olido. O trabalho interno, que est´a diretamente ligado

aos esfor¸cos internos estabelecidos no s´olido, est´a equacionado em fun¸c˜ao das tens˜oes

σ atuantes no s´olido. Para dar continuidade `as dedu¸c˜oes, ´e preciso expressar esta

integral em fun¸c˜ao das deforma¸c˜oes reais ε correspondentes `as tens˜oes σ. Pode-se

relacionar o campo de tens˜oes ao de deforma¸c˜oes por meio de rela¸c˜oes constitutivas.

Estas rela¸c˜oes podem ser representadas matricialmente pela rela¸c˜ao:

[σ] = [D] [ε] (3.10)

A matriz D representa um tensor de quarta ordem que traduz as caracter´ısti-

cas do material. Uma das hip´oteses iniciais deste trabalho ´e considerar o material

el´astico, linear e homogˆeneo, e por isto a matriz D ´e constante.

CAP

ITULO 3. O M

ETODO DOS ELEMENTOS FINITOS 39

Substituindo a rela¸c˜ao 3.10 na express˜ao 3.9, obt´em-se:



Ω

[˜ε]

[D] [ε] dΩ=



Ω

{˜u}

{b}dΩ+



{˜u}

{¯p}dΓ (3.11)

Na express˜ao 3.11, a fun¸c˜ao ponderadora ˜u pode ser qualquer uma que satis-

fa¸ca as condi¸c˜oes de contorno essenciais do problema. Pelo M´etodo de Galerkin,

descrito em ASSAN (2003), esta fun¸c˜ao ´e o pr´oprio campo de deslocamentos real u

do problema. Assim, adotando este procedimento, a express˜ao 3.11 se torna:



Ω

[ε]

[D] [ε] dΩ=



Ω

{u}

{b}dΩ+



{u}

{¯p}dΓ (3.12)

A equa¸c˜ao 3.12 representa o Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais (PTV). Para re-

solver esta equa¸c˜ao pelo MEF, deve-se dividir o dom´ınio Ω do s´olido em um deter-

minado n´umero de subdom´ınios Ω

, denominados elementos ﬁnitos. A equa¸c˜ao 3.12

´e ent˜ao aplicada nestes subdom´ınios, e a inﬂuˆencia de todos eles ´e somada posteri-

ormente. Considerando um elemento ﬁnito qualquer, escreve-se para ele a express˜ao

3.12 como:



Ω

[ε]

[D] [ε] dΩ=



Ω

{u}

{b}dΩ+



{u}

{¯p}dΓ (3.13)

em que Γ

´e o contorno do elemento ﬁnito em quest˜ao.

As integrais em 3.13 s˜ao calculadas empregando fun¸c˜oes interpoladoras que

aproximam o campo de deslocamentos u e o campo de deforma¸c˜oes ε em fun¸c˜ao

dos parˆametros nodais do elemento. Estes parˆametros s˜ao os valores de desloca-

mento nos n´os do elemento. Desta forma, para o deslocamento u, escreve-se:

{u}=



)



nodal



(3.14)

Na igualdade 3.14, x

s˜ao coordenadas locais deﬁnidas em cada elemento ﬁnito,

H ´e uma matriz de fun¸c˜oes interpoladoras de deslocamento conhecidas e u

nodal

´e

um vetor que cont´em os valores de deslocamento nos n´os do elemento. Da mesma

forma, para o campo de deforma¸c˜oes ε:

{ε}=



)



nodal



(3.15)

em que B ´e uma matriz de fun¸c˜oes interpoladoras de deforma¸c˜ao. Substituindo as

CAP

ITULO 3. O M

ETODO DOS ELEMENTOS FINITOS 40

rela¸c˜oes 3.14 e 3.15 em 3.13, chega-se `a express˜ao:



nodal







Ω

[B]

[D] [B] dΩ





nodal





nodal





Ω

[H]

{b}dΩ+



nodal





[H]

{¯p}dΓ

(3.16)

Ap´os resolver as integrais, a equa¸c˜ao 3.16 resulta em um sistema de equa¸c˜oes

escritas para o elemento ﬁnito em quest˜ao. Este sistema ´e:

]



nodal



= {f

} (3.17)

em que:

] =









Ω

[B]

[D] [B] dΩ







(3.18)



Ω

[H]

{b}dΩ+



[H]

{¯p}dΓ (3.19)

O termo K

´e a matriz de rigidez do elemento ﬁnito e o termo f

´e o vetor

de cargas nodais do elemento. Escrevendo a equa¸c˜ao 3.17 para todos os elementos

ﬁnitos deﬁnidos no s´olido, ´e poss´ıvel montar uma ´unica matriz de rigidez que guarda

a inﬂuˆencia de todos os elementos, assim como um ´unico vetor de cargas nodais. Para

isto, deve-se rotacionar as matrizes K

e os vetores f

do sistema de coordenadas

local x

para o global x

. A matriz de rigidez global com o vetor de cargas nodais

global comp˜oem um sistema de equa¸c˜oes do tipo:

[K] {u}= {f} (3.20)

Ap´os aplicar as condi¸c˜oes de contorno, este sistema pode ser resolvido e sua

solu¸c˜ao resulta em valores de deslocamento nos n´os de todos os elementos.

3.3 Elementos ﬁnitos laminares

Nesta se¸c˜ao ´e feita uma breve descri¸c˜ao da formula¸c˜ao empregada nos elementos

ﬁnitos laminares que s˜ao utilizados na superestrutura do programa utilizado neste

trabalho. A combina¸c˜ao destes elementos permite a simula¸c˜ao de uma grande varie-

dade de estruturas, como por exemplo silos e galp˜oes. Esta abrangˆencia se d´a pela

da combina¸c˜ao do elemento de placa DKT com um elemento de membrana, como

ser´a visto mais adiante.

Podem ser considerados laminares estruturas tridimensionais nas quais uma di-

mens˜ao ´e muito menor que as outras duas. S˜ao exemplos disto placas, paredes e

CAP

ITULO 3. O M

ETODO DOS ELEMENTOS FINITOS 41

estruturas em geral formadas por estes dois subsistemas.

Na formula¸c˜ao utilizada neste trabalho, s˜ao consideradas as hip´oteses de Kirchoﬀ-

Love. Estas s˜ao:

• A espessura da lˆamina ´e pequena quando comparada `as suas demais dimens˜oes

e aos raios de curvatura de sua superf´ıcie m´edia.

• As tens˜oes normais `a superf´ıcie m´edia s˜ao desprez´ıveis em rela¸c˜ao `as demais.

• Um ponto pertencente a uma reta ortogonal ao plano m´edio indeformado, ap´os

a lˆamina ter se deformado continua pertencendo `a mesma reta ortogonal ao

plano m´edio deformado.

• Os deslocamentos normais ao plano m´edio s˜ao pequenos quando comparados

`a espessura da lˆamina.

Partindo destas hip´oteses, o campo de deslocamentos em um elemento ﬁnito

laminar po de ser escrito como:

{u} =











u (x

, x

)

v (x

, x

)

w (x

, x

)





















, x

) − x

∂w

∂x

, x

) − x

∂w

∂x

, x

)











(3.21)

Na igualdade 3.21, os deslocamentos u e u

encontram-se na dire¸c˜ao do eixo x

os deslocamentos v e v

est˜ao na dire¸c˜ao do eixo x

e os deslocamentos w e w

est˜ao

na dire¸c˜ao do eixo x

. Os deslocamentos u, v e w se referem a um ponto P qualquer

no dom´ınio da placa, e os deslocamentos u

, v

e w

ocorrem na proje¸c˜ao P



do ponto

P no plano m´edio da placa deformada. Estas informa¸c˜oes podem ser visualizadas

na ﬁgura 3.2.

Figura 3.2: Dire¸c˜ao dos deslocamentos e posi¸c˜ao dos pontos P e P



Ao determinar o campo de deforma¸c˜oes, deve-se separar as parcelas referentes

CAP

ITULO 3. O M

ETODO DOS ELEMENTOS FINITOS 42

ao efeito da ﬂex˜ao e ao efeito de membrana. As deforma¸c˜oes s˜ao dadas ent˜ao por:

{ε} = {ε }

+ {ε}











∂u

∂x

∂v

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x











− x











∂

∂x

∂

∂x

∂

∂x











(3.22)

Na igualdade 3.22, o ´ındice subscrito m indica efeito de membrana e o ´ındice

subscrito f indica efeito de ﬂex˜ao.

Para determinar a matriz de rigidez do elemento considerado, deve-se determinar

as matrizes B e D que aparecem na equa¸c˜ao 3.16. A obten¸c˜ao de D parte da

aplica¸c˜ao das rela¸c˜oes constitutivas entre tens˜ao e deforma¸c˜ao. Ou seja:

[σ] = [D] [ε] (3.23)

A obten¸c˜ao da matriz B envolve as aproxima¸c˜oes adotadas para os deslocamentos

no elemento. Estas s˜ao dependentes dos parˆametros nodais do elemento, e podem

ser escritas como:

{u}= [ϕ]



nodal







[ϕ

] [0]

[0] [ϕ

]











nodal







(3.24)

O subvetor u

nodal

cont´em todos os graus de liberdade do elemento ﬁnito referen-

tes ao efeito de membrana e o subvetor u

nodal

cont´em todos os graus de liberdade

referentes ao efeito de ﬂex˜ao. As submatrizes ϕ

e ϕ

contˆem as fun¸c˜oes de forma

adotadas para a parcela de ﬂex˜ao e de membrana, respectivamente. A aproxima¸c˜ao

para as deforma¸c˜oes, considerando a rela¸c˜ao 3.22, ´e:

{ε}= [B]



nodal





] x

]



nodal



(3.25)

O termo B

´e a matriz que cont´em as fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao referentes ao

efeito de membrana e o termo B

´e a matriz que cont´em as fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao

referentes ao efeito de ﬂex˜ao. Substituindo as matrizes B e D na express˜ao 3.18,

pode-se obter a matriz de rigidez do elemento laminar pela express˜ao:

] =



Ω

[B]

[D] [B] dΩ (3.26)

em que Ω

´e o dom´ınio do elemento. Expandindo as matrizes B e D, a express˜ao

3.26 se torna:

] =



Ω





]









] [D

]

] [D

]







] x

]



dΩ (3.27)

CAP

ITULO 3. O M

ETODO DOS ELEMENTOS FINITOS 43

Ap´os efetuar a integral, obt´em-se:

] =





] [0]

[0] [K

]





(3.28)

As submatrizes de zeros ocorrem devido ao seguinte fator:



−h

[D] ∂x

= [0] (3.29)

Assim, pode-se concluir que o termo K

da rela¸c˜ao 3.28 ´e nulo. Como a matriz

´e sim´etrica, o termo K

tamb´em ´e nulo. Por causa destas propriedades da matriz

K, ´e poss´ıvel aﬁrmar que o efeito de membrana ´e independente do efeito de ﬂex˜ao

nesta formula¸c˜ao.

3.4 Graus de liberdade do elemento ﬁnito laminar

Os elementos ﬁnitos laminares utilizados neste trabalho s˜ao triangulares e com

trˆes n´os, havendo um n´o em cada v´ertice. Dos graus de liberdade associados a cada

n´o, trˆes s˜ao referentes ao elemento ﬁnito de membrana, FF, e trˆes s˜ao referentes ao

elemento ﬁnito de ﬂex˜ao, DKT. O elemento ﬁnito de membrana com os graus de

liberdade de seus n´os pode ser visualizado na ﬁgura 3.3.

Figura 3.3: Graus de liberdade do elemento ﬁnito de membrana FF

Na ﬁgura 3.3 est´a ilustrado o sistema de coordenadas local x

, a numera¸c˜ao dos

n´os e os graus de liberdade de cada n´o referentes ao elemento ﬁnito de membrana.

No sistema local, a origem est´a localizada no n´o n´umero 1 do elemento. O eixo x

´e alinhado com o lado do elemento cujas extremidades s˜ao os n´os 1 e 2, apontando

para o n´o 2. O eixo x

´e perpendicular ao eixo x

, e pertence ao plano do elemento.

Por ﬁm, o eixo x

´e ortogonal ao plano do elemento.

Em cada n´o do elemento de membrana existem trˆes graus de liberdade. O

deslocamento u ocorre na dire¸c˜ao do eixo local x

e o deslocamento v ocorre na

dire¸c˜ao do eixo local x

. A rota¸c˜ao θ se d´a em torno do eixo x

, sendo positiva do

CAP

ITULO 3. O M

ETODO DOS ELEMENTOS FINITOS 44

eixo x

para o eixo x

. Os graus de liberdade nos n´os do elemento organizados em

forma de vetor s˜ao:

}





(3.30)

O elemento ﬁnito utilizado neste trabalho para computar o efeito da ﬂex˜ao foi o

DKT, como mencionado anteriormente. Este elemento com seus graus de liberdade

est´a ilustrado na ﬁgura 3.4

Figura 3.4: Graus de liberdade do elemento ﬁnito DKT

Nas rota¸c˜oes θ, indicadas nos n´os do elemento DKT na ﬁgura 3.4, o ´ındice

subscrito indica o n´umero do n´o e o ´ındice sobrescrito indica o n´umero do eixo

local em torno do qual se d´a a rota¸c˜ao. Os deslocamentos w s˜ao na dire¸c˜ao do eixo

local x

. Este graus de liberdade po dem ser listados em um vetor como segue:

}





(3.31)

O elemento ﬁnito de membrana indicado na ﬁgura 3.3 em conjunto com o ele-

mento ﬁnito DKT indicado na ﬁgura 3.4 comp˜oem o elemento ﬁnito laminar DKT/FF,

que ´e utilizado neste trabalho. Este elemento com todos os seus graus de liberdade

est´a ilustrado na ﬁgura 3.5.

Figura 3.5: Graus de liberdade do elemento ﬁnito laminar DKT/FF

Os deslocamentos u indicados na ﬁgura 3.5 s˜ao vetores que contˆem os graus de

liberdade de cada n´o. Estes vetores s˜ao escritos a seguir:

}





(3.32)

CAP

ITULO 3. O M

ETODO DOS ELEMENTOS FINITOS 45

}





(3.33)

}





(3.34)

S˜ao seis graus de liberdade por n´o, totalizando os dezoito graus de liberdade do

elemento ﬁnito DKT/FF.

3.5 Rota¸c˜ao de eixos

A matriz de rigidez do elemento ﬁnito DKT/FF pode ser obtida pela express˜ao

3.28, a partir das submatrizes K

e K

. A teoria envolvida na obten¸c˜ao destas

matrizes ´e extensa e expˆo-la neste texto desviaria muito dos objetivos deste tra-

balho. O desenvolvimento para a obten¸c˜ao da matriz K

pode ser encontrado em

BERGAN & FELIPPA (1985), onde ´e utilizada a formula¸c˜ao livre. As dedu¸c˜oes

para a obten¸c˜ao da matriz K

, referentes ao elemento DKT, podem ser encontradas

em BATOZ (1980).

Ap´os deduzir a matriz de rigidez do elemento DKT/FF, ´e preciso deﬁnir como

esta matriz pode ser rotacionada do sistema de coordenadas local para o global.

Isto ´e necess´ario porque a matriz deﬁnida para cada elemento ﬁnito da estrutura

deve ser rotacionada antes de computar sua inﬂuˆencia na matriz de rigidez global

da estrutura. Para formular este problema, considera-se um elemento ﬁnito gen´erico

orientado segundo uma dire¸c˜ao qualquer, conforme mostrado na ﬁgura 3.6.

Figura 3.6: Sistema de coordenadas global x

e local x

O sistema de coordenadas local x

pode ser relacionado ao sistema de coor-

denadas global x

por meio de uma matriz de rota¸c˜ao

β. Assim, escreve-se a

igualdade:









} (3.35)

CAP

ITULO 3. O M

ETODO DOS ELEMENTOS FINITOS 46













































(3.36)

A matriz de rota¸c˜ao

β ´e dada por:

















(3.37)

em que os temos γ correspondem aos co-senos diretores entre os eixos locais e globais.

Ap´os determinar a matriz de rota¸c˜ao

β, ´e poss´ıvel determinar a matriz a ser utlizada

para rotacionar a matriz de rigidez do elemento DKT/FF. Esta matriz ´e:

[β] =









[0]









(3.38)

A partir da matriz 3.38, pode-se rotacionar a matriz do elemento aplicando a

express˜ao:





= [β]

] [β] (3.39)

A matriz

calculada pela express˜ao 3.39 para cada elemento, est´a pronta para

ser computada na matriz de rigidez global da estrutura.

3.6 Elementos utilizados no edif´ıcio

No trabalho desenvolvido em ALMEIDA (2003a) foram utilizados dois tipos de

elementos estruturais para compor a estrutura do edif´ıcio. O primeiro, usado para

representar as vigas e pilares, ´e um elemento ﬁnito reticular no espa¸co tridimensional

que n˜ao considera o efeito da tor¸c˜ao. O segundo foi um diafragma r´ıgido. A teoria

envolvida na formula¸c˜ao destes subsistemas pode ser encontrada nas referˆencias

RIOS (1991) e BEZERRA (1995). A lˆamina composta por elementos DKT/FF

podia ser inclu´ıda como elemento de funda¸c˜ao para este edif´ıcio, sendo necess´ario

ligar os n´os dos pilares do andar t´erreo aos n´os desta lˆamina.

O fato de considerar as lajes r´ıgidas resulta em deslocamentos e giros horizon-

tais iguais para todos os n´os deﬁnidos em cada pavimento. Por isto, na formula¸c˜ao

empregada em ALMEIDA (2003a), a inﬂuˆencia de todas as vigas e pilares s˜ao trans-

feridas para um n´o mestre, localizado no centro de tor¸c˜ao do pavimento-tipo. As

a¸c˜oes horizontais foram ent˜ao prescritas pontualmente neste n´o mestre, podendo

ser for¸cas ou momentos. Esta formula¸c˜ao foi modiﬁcada ao longo deste projeto.

CAP

ITULO 3. O M

ETODO DOS ELEMENTOS FINITOS 47

O elemento DKT/FF ´e agora tamb´em empregado nas lajes, discretizando-as em

elementos ﬁnitos triangulares com seis graus de liberdade por n´o. A formula¸c˜ao

dos elementos reticulares tamb´em ´e diferente, estando agora deﬁnidos seis graus de

liberdade nos n´os de suas extremidades, ou seja, considerando tamb´em o efeito da

tor¸c˜ao.

3.7 Considera¸c˜oes ﬁnais

Neste cap´ıtulo, foi apresentada de forma sucinta a formula¸c˜ao do M´etodo dos

Elementos Finitos (MEF) empregada na simula¸c˜ao da superestrutura formada por

lˆaminas e ret´ıculas, em an´alise el´astica e linear.

Aplicando a teoria advinda da Mecˆanica dos S´olidos, foi obtida uma equa¸c˜ao de

equil´ıbrio v´alida para um s´olido qualquer. A partir desta equa¸c˜ao e de t´ecnicas de

res´ıduos ponderados, foi poss´ıvel obter uma express˜ao que representa os trabalhos

externo e interno, referentes `as cargas externas e aos esfor¸cos internos, respectiva-

mente. Analisando a estrutura dividida em um n´umero qualquer de sub dom´ınios,

denominados elementos ﬁnitos, aplicou-se a equa¸c˜ao dos trabalhos interno e ex-

terno a cada um dos elementos. Adotando aproxima¸c˜oes para os deslocamentos e

deforma¸c˜oes e minimizando a energia potencial total, chegou-se a um sistema de

equa¸c˜oes para cada elemento, deﬁnindo o conceito de matriz de rigidez e vetor de

cargas nodais. A partir das matrizes de rigidez e vetores de cargas nodais dos ele-

mentos, foi poss´ıvel montar uma ´unica matriz e um ´unico vetor v´alidos para toda

a estrutura. Ap´os considerar as condi¸c˜oes de contorno do problema, resolve-se o

sistema de equa¸c˜oes, obtendom deslocamentos nos n´os deﬁnidos na estrutura em

quest˜ao.

As lajes do edif´ıcio, que em ALMEIDA (2003a) foram simuladas por diafragmas

r´ıgidos, foram modiﬁcadas neste trabalho. Estas s˜ao agora tamb´em modeladas pelo

elemento DKT/FF. Os elementos reticulares tamb´em foram modiﬁcados, possuindo

agora seis graus de liberdade por n´o ao inv´es de cinco.

Cap´ıtulo 4

O M´etodo da Rigidez Sucessiva

4.1 Introdu¸c˜ao

Neste cap´ıtulo analisa-se um solo formado por um n´umero qualquer de camadas

as quais podem conter um n´umero qualquer de estacas, sendo que a camada mais

profunda se encontra apoiada em uma superf´ıcie de deslocamento nulo.

E obtida

ent˜ao uma matriz que representa a inﬂuˆencia de todas estas camadas e de todas as

estacas contidas nelas. Para cumprir este objetivo, ´e apresentada uma formula¸c˜ao

baseada no M´etodo da Rigidez Sucessiva (MRS) apresentada em MAIER & NOVATI

(1987). Estes procedimentos te´oricos s˜ao base de parte do programa computacional

descrito em ALMEIDA (2003a), utilizado neste trabalho.

Na formula¸c˜ao apresentada, o vetor de for¸cas de superf´ıcie ´e relacionado ao vetor

de deslocamentos por meio de uma matriz. Esta rela¸c˜ao, por ser semelhante `aquela

proveniente do MEF, ´e o motivo pelo qual o termo “M´etodo da Rigidez Sucessiva”

(MRS) ´e empregado em MAIER & NOVATI (1987). Apesar disto, a matriz obtida

por este m´etodo n˜ao pode ser considerada de rigidez por n˜ao ser sim´etrica tampouco

positiva deﬁnida.

E dito “sucessiva” porque parte-se da camada em contato com a

superf´ıcie de deslocamento nulo, incluindo ent˜ao a inﬂuˆencia de cada camada de

baixo para cima. O processo ´e repetido iterativamente at´e que a superf´ıcie livre do

solo seja atingida.

Iniciando as descri¸c˜oes desta teoria, na se¸c˜ao 4.2 o MRS ´e aplicado ao solo

tridimensional sem estacas. S˜ao apresentadas as dedu¸c˜oes para a obten¸c˜ao da matriz

de inﬂuˆencia do solo e para o c´alculo dos valores de contorno de todas as camadas.

Em seguida, ´e demonstrado na se¸c˜ao 4.3 como incluir a inﬂuˆencia das estacas

na formula¸c˜ao do MRS. O resultado ´e uma matriz referente a uma camada gen´erica

cruzada por um n´umero qualquer de estacas, computando toda a inﬂuˆencia em

fun¸c˜ao dos n´os de topo e base da camada e das estacas. A partir desta matriz

torna-se poss´ıvel aplicar o MRS da mesma forma que na se¸c˜ao 4.2, obtendo todos

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 49

os valores de contorno referentes `as camadas e estacas.

4.2 O MRS aplicado ao solo estratiﬁcado

Para as dedu¸c˜oes feitas nesta se¸c˜ao, s˜ao v´alidas as seguintes hip´oteses:

• As camadas do solo s˜ao formadas por material el´astico-linear, isotr´opico e

homogˆeneo.

• A camada mais profunda est´a apoiada em uma superf´ıcie de deslocamento

nulo. Por este motivo, os deslocamentos nas trˆes dire¸c˜oes de todos os n´os

situados em sua base s˜ao prescritos iguais a zero.

• Em todos os n´os do topo da camada superior, correspondente `a superf´ıcie livre

do solo, a for¸ca est´a prescrita nas trˆes dire¸c˜oes. Esta ´e a ´unica superf´ıcie na

qual o m´etodo admite cargas externas aplicadas.

• As camadas, representadas por dom´ınios s´olidos tridimensionais, s˜ao exten-

sas em planta quando comparadas com a ´area de aplica¸c˜ao da carga. Esta

hip´otese permite supor que os deslocamentos estabelecidos no contorno lateral

das camadas ´e desprez´ıvel.

Considera-se o caso geral de um solo formado por N camadas, cada qual com

uma espessura e diferentes caracter´ısticas f´ısicas, conforme ilustrado na ﬁgura 4.1.

Nesta ﬁgura, E

´e o m´odulo de elasticidade de uma camada j qualquer e ν

´e seu

coeﬁciente de Poisson. O dom´ınio da camada est´a denominado por Ω

. Numera-se

as camadas de baixo para cima.

Seja uma camada i qualquer como apresentado na ﬁgura 4.2, sendo seu contorno

tratado por Γ. Os subscritos t, s e b s˜ao correspondentes a, respectivamente, o topo,

as laterais e a base da camada. Sendo ela um dom´ınio tridimensional, ´e poss´ıvel

aplicar a formula¸c˜ao apresentada no cap´ıtulo 2 e obter a seguinte equa¸c˜ao:













(4.1)

A equa¸c˜ao 4.1 ´e v´alida somente para dom´ınios el´astico-lineares e isotr´opicos. Os

termos H

e G

s˜ao as matrizes de inﬂuˆencia obtidas aplicando-se o MEC `a camada

i. O vetor u

cont´em os deslocamentos nas trˆes dire¸c˜oes de cada n´o do contorno,

sendo composto pelos subvetores u

, u

e u

indicados na ﬁgura 4.1. O vetor p

cont´em as for¸cas de superf´ıcie e ´e composto pelos subvetores p

, p

e p

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 50

Figura 4.1: Solo estratiﬁcado em camadas

Figura 4.2: Camada i isolada

Como a matriz G

´e invers´ıvel, pode-se multiplicar ambos os lados da equa¸c˜ao

4.1 por sua inversa obtendo:





−1











(4.2)

Efetuando o produto matricial `a esquerda de 4.2 chega-se `a equa¸c˜ao:











(4.3)

com









−1





(4.4)

A equa¸c˜ao 4.3, decomposta nas parcelas do contorno referentes ao topo, `as late-

rais e `a base da camada i, se torna:





















































(4.5)

Nas submatrizes de K

, o primeiro ´ındice subscrito indica a parcela do contorno

que gerou a linha. J´a o segundo faz referˆencia ao subvetor de u

que multiplica a

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 51

submatriz. O ´ındice sobrescrito i indica o n´umero da camada para a qual se est´a

escrevendo a equa¸c˜ao.

Por 4.5, pode-se obter uma equa¸c˜ao para cada camada do solo. Estas equa¸c˜oes

podem ser simpliﬁcadas considerando-se a quarta hip´otese apresentada no in´ıcio

desta se¸c˜ao. Deste modo, pode-se igualar u

a zero e reescrever 4.5 da seguinte

forma:





















































(4.6)

Considerando somente as duas primeiras linhas de 4.6, nota-se que a terceira

coluna da matriz desaparece, restando:

































(4.7)

A terceira linha de 4.6 poder´a ser utilizada posteriormente para calcular as for¸cas

nos n´os do contorno lateral das camadas. Para isto, depois de determinar os deslo-

camentos para a camada i, aplica-se a rela¸c˜ao:

















(4.8)

E agora que se inicia o processo iterativo do MRS para a obten¸c˜ao da matriz

ﬁnal de inﬂuˆencia do solo. Considera-se a equa¸c˜ao 4.7 para a camada que est´a em

contato com a superf´ıcie de deslo camento nulo, ou seja, i igual a 1:

































(4.9)

A segunda hip´otese assumida no in´ıcio desta se¸c˜ao garante que os deslocamentos

na base da camada 1 s˜ao iguais a zero. Isto permite reescrever a equa¸c˜ao 4.9 como:

































(4.10)

A primeira linha de 4.10 isolada fornece:











(4.11)











(4.12)

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 52

com









(4.13)

A equa¸c˜ao 4.12 relaciona os deslocamentos do topo da camada 1 com as for¸cas

de superf´ıcie atuantes neste contorno por meio da matriz

. Nesta matriz est˜ao

condensadas as inﬂuˆencias de todos os n´os do contorno da camada, incluindo os da

lateral e da base.

Para relacionar a camada 1 com a camada 2, aplica-se na superf´ıcie de contato

entre elas condi¸c˜oes de equil´ıbrio de for¸cas e compatibilidade de deslocamentos,

conforme ilustrado na ﬁgura 4.3.

Figura 4.3: Equil´ıbrio e compatibilidade entre as camadas 1 e 2

Para representar estas condi¸c˜oes, escreve-se as igualdades:





= −





(4.14)









(4.15)

O passo seguinte ´e obter a equa¸c˜ao 4.9 para a camada 2, ou seja:

































(4.16)

Aplicando as igualdades 4.14, 4.15 e 4.12 em 4.16, ´e poss´ıvel obter uma rela¸c˜ao

semelhante a 4.12 mas para a camada 2. Em princ´ıpio, escreve-se a segunda linha

de 4.16 de forma isolada:

















(4.17)

Aplicando as igualdades 4.14 e 4.15 em 4.17, obt´em-se:













= −





(4.18)

Agora ´e poss´ıvel substituir a express˜ao 4.12 ao lado direito de 4.18, chegando `a

rela¸c˜ao:













= −







(4.19)

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 53

Na sequˆencia, isola-se o vetor u

em 4.19, ou seja:









−





−







(4.20)







−





−





−1







(4.21)

Esta express˜ao obtida para u

deve ser guardada para ser utilizada mais adiante.

Tomando agora a primeira linha de 4.16, escreve-se:

















(4.22)

Aplicando a rela¸c˜ao 4.15, pode-se reescrever 4.22 como:

















(4.23)

Para continuar as dedu¸c˜oes, deve-se agora substituir a express˜ao 4.21 obtida para

na igualdade 4.23, obtendo a equa¸c˜ao:















−





−





−1













(4.24)

Para concluir a dedu¸c˜ao para a camada 2, deve-se trabalhar a equa¸c˜ao 4.24 para

obter uma rela¸c˜ao mais compacta. Tem-se ent˜ao o equacionamento:















−





−





−1















(4.25)

Desenvolvendo a equa¸c˜ao 4.25, todos os termos que multiplicam u

se reduzem

a uma ´unica matriz. Assim, a equa¸c˜ao 4.25 se torna:











(4.26)

A equa¸c˜ao 4.25 relaciona os deslocamentos nos n´os do topo da camada 2 com as

for¸cas nestes n´os por meio da matriz

. Nesta matriz est˜ao presentes as inﬂuˆencias

de todo o contorno da camada 2 e tamb´em de todo o contorno da camada 1. Con-

forme pode ser observado, o procedimento adotado entre a equa¸c˜ao 4.12 e a equa¸c˜ao

4.26 ´e v´alido para quaisquer camadas subsequentes i e i + 1. Portanto, isto po deria

ser repetido mais uma vez obtendo, para a camada 3, a equa¸c˜ao:











(4.27)

Da mesma forma, poderiam ser obtidas as equa¸c˜oes:











(4.28)

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 54











(4.29)

e assim sucessivamente.

O MRS repete este processo iterativo at´e que seja atingida a camada da superf´ıcie

livre do solo. A ordem de obten¸c˜ao das matrizes se d´a, portanto, da camada 1 para

a camada N. Isto est´a ilustrado na ﬁgura 4.4.

Figura 4.4: Ordem de obten¸c˜ao das matrizes no processo iterativo

Para a camada N obt´em-se:











(4.30)

O vetor u

cont´em os deslocamentos nas trˆes dire¸c˜oes nos n´os da superf´ıcie livre

do solo, e o vetor p

cont´em as cargas externas atuantes nesta superf´ıcie. O vetor

´e conhecido, conforme a terceira hip´otese feita ao in´ıcio desta se¸c˜ao. A matriz

cont´em a inﬂuˆencia de todas as camadas do solo, e relaciona os deslocamentos

dos n´os da superf´ıcie livre do solo com as for¸cas de superf´ıcie nestes n´os.

Sendo conhecidos todos os termos da matriz

e do vetor p

, pode-se deter-

minar os termos do vetor u

resolvendo-se o sistema de equa¸c˜oes lineares 4.30 .

Determinados os deslocamentos na superf´ıcie livre do solo, ﬁca encerrada a primeira

parte do MRS.

Na segunda etapa s˜ao determinados todos os valores de contorno que permanece-

ram inc´ognitos em todas as camadas, come¸cando pela camada N. A equa¸c˜ao 4.7,

escrita para a camada N, se torna:

































(4.31)

Neste ponto s˜ao conhecidas todas as submatrizes `a esquerda de 4.31 e os subve-

tores u

e p

. A primeira linha de 4.31 escrita isoladamente ´e:

















(4.32)

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 55

Como se pode observar o ´unico termo desconhecido de 4.32 ´e o vetor u

, que

cont´em os deslocamentos nas trˆes dire¸c˜oes dos n´os da base da camada N. Para

determin´a-lo basta isol´a-lo em 4.32, ou seja:











−







(4.33)









−1





−





−1







(4.34)

Ap´os determinar os deslocamentos dos n´os da base, pode-se determinar as for¸cas

nos n´os da base. A segunda linha de 4.31 ´e:

















(4.35)

O ´unico termo desconhecido na rela¸c˜ao 4.35 ´e o subvetor p

, que pode ser

determinado diretamente desta igualdade. Os deslocamentos nos n´os do contorno

lateral da camada N s˜ao nulos, segundo a quarta hip´otese feita no in´ıcio da se¸c˜ao.

Os ´unicos valores de contorno que continuam desconhecidos para a camada N s˜ao

as for¸cas nos n´os do contorno lateral. Estas podem ser determinadas aplicando-se a

rela¸c˜ao 4.8 `a camada N, ou seja:

















(4.36)

Assim, ﬁcam conhecidos todos os valores de contorno relativos `a camada N. De-

terminados os valores de contorno, torna-se poss´ıvel calcular deslocamentos e tens˜oes

em n´os internos `a camada N aplicando as express˜oes apresentadas no cap´ıtulo an-

terior.

Como os deslocamentos e for¸cas na base da camada N s˜ao conhecidos, pode-se

obter os deslocamentos e for¸cas no topo da camada N − 1. Para isto basta aplicar

as condi¸c˜oes de equil´ıbrio 4.14 e compatibilidade 4.15 na interface das camadas N e

N − 1, ou seja:



N−1



= −





(4.37)



N−1







(4.38)

Concluindo as dedu¸c˜oes escreve-se a equa¸c˜ao 4.7 para a camada N − 1, isto ´e:





N−1











N−1













N−1







(4.39)

Para determinar todos os valores de contorno da camada N − 1 e chegar ao

ponto de partida da camada N − 2, basta repetir o equacionamento feito entre

as igualdades 4.31 e 4.39. Conhecidos os valores de contorno da camada N − 1,

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 56

torna-se poss´ıvel calcular deslocamentos e tens˜oes em pontos internos a esta camada

tamb´em. O procedimento entre as equa¸c˜oes 4.31 e 4.39 ´e repetido at´e a camada

n´umero 1, quando ﬁcam conhecidos os valores de contorno de todas as camadas.

Isto possibilita o c´alculo de deslocamentos e tens˜oes em pontos internos a qualquer

camada. A ordem do c´alculo dos valores de contorno no processo iterativo se d´a,

portanto, da camada N para a camada 1. Isto est´a ilustrado na ﬁgura 4.5.

Figura 4.5: Ordem do c´alculo dos valores de contorno no processo iterativo

4.3 O MRS aplicado ao solo com estacas

Na se¸c˜ao 4.2, foi apresentado o MRS para camadas de solo sem estacas. O ponto

de partida do m´etodo foi a equa¸c˜ao 4.7, na qual a inﬂuˆencia de todo o contorno

de uma camada i qualquer ﬁcou representada apenas pelo n´os de topo e base da

camada i. Nesta se¸c˜ao ´e obtida uma equa¸c˜ao similar `a equa¸c˜ao 4.7, por´em tamb´em

considerando a inﬂuˆencia de um n´umero qualquer de estacas cruzando a camada i.

Se torna poss´ıvel ent˜ao aplicar o MRS de forma muito semelhante `a apresentada

na se¸c˜ao 4.2, obtendo todos os valores de contorno referentes a todas as camadas e

estacas.

As hip´oteses iniciais a serem consideradas nesta se¸c˜ao, al´em das da se¸c˜ao anterior,

s˜ao as seguintes:

• Quando uma estaca cruza mais de uma camada, ela ﬁca dividida em segmentos.

O comprimento de um segmento ´e sempre igual `a expessura da camada `a qual

este pertence, e o equil´ıbrio entre camadas adjacentes garante a continuidade

de todas as estacas.

• Cada camada, assim como os segmentos de estaca, ´e um s´olido tridimensional

no qual o MEC p ode ser aplicado.

Considerando a segunda hip´otese adotada, inicia-se as dedu¸c˜oes escrevendo, para

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 57

uma camada i qualquer, a equa¸c˜ao:













(4.40)

que ´e igual `a equa¸c˜ao 4.1 escrita para uma camada i qualquer na se¸c˜ao 4.2. Tamb´em

como foi feito na se¸c˜ao anterior pode-se obter, a partir da equa¸c˜ao 4.40, a equa¸c˜ao:











(4.41)

com









−1





(4.42)

A diferen¸ca ´e que agora pretende-se considerar um n´umero qualquer de segmen-

tos de estaca atravessando totalmente a camada i. O contorno da camada ﬁca

modiﬁcado pela inclus˜ao dos trechos correspondentes aos contatos entre o solo e as

estacas, al´em da exclus˜ao dos trechos correspondentes ao topo e base de cada estaca.

Tratando o topo da camada pelo ´ındice subscrito t, a base pelo ´ındice subscrito b

e o contato com o fuste de uma estaca qualquer pelo ´ındice subscrito f, pode-se

visualizar na ﬁgura 4.6 a camada i cruzada por um ´unico segmento de estaca.

Figura 4.6: Contorno da camada i dividido em trechos

Como se pode observar na ﬁgura 4.6, a camada i ´e um s´olido com um furo. O

´ındice sobrescrito i indica o n´umero da camada. O contorno da camada, indicado

por Γ

, est´a dividido em quatro trechos. O trecho Γ

corresponde ao topo da camada,

corresponde `a base da camada, Γ

`as laterais e Γ

ao contato entre solo e estaca.

Cada uma destas parcelas do contorno deve ser discriminada na equa¸c˜ao 4.41 para

tornar poss´ıvel as dedu¸c˜oes. Para tratar de um caso mais geral, considera-se uma

camada i cruzada por um n´umero qualquer de estacas. Este caso ´e apresentado

esquematicamente na ﬁgura 4.7.

Na ﬁgura 4.7, aparecem dois ´ındices sobrescritos na indica¸c˜ao das parcelas do

contorno Γ

correspondentes `as estacas. O primeiro indica o n´umero da camada e o

segundo o n´umero da estaca. O n´umero total de estacas encontra-se indicado pela

letra n.

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 58

Figura 4.7: Caso mais geral para uma camada i

Para o s´olido tridimensional ilustrado na ﬁgura 4.7, a equa¸c˜ao 4.41 pode ser

escrita discriminando cada parcela do contorno. Esta equa¸c˜ao ent˜ao se torna:







tf1

tf2

··· S

tfn

bf1

bf2

··· S

bfn

f1t

f1b

f1f1

f1f2

··· S

f1fn

f2t

f2b

f2f1

f2f2

··· S

f2fn

fnt

fnb

fnf1

fnf2

··· S

fnfn















































(4.43)

Foi eliminada da equa¸c˜ao 4.43 a inﬂuˆencia das laterais da camada, igualando

os deslocamentos das laterais a zero. Este mesmo procedimento foi feito na se¸c˜ao

anterior, entre as equa¸c˜oes 4.5 e 4.7.

Ap´os obter a equa¸c˜ao 4.43, deve-se deduzir uma express˜ao semelhante para cada

estaca imersa na camada i. Considera-se uma estaca gen´erica j, conforme ilustrado

na ﬁgura 4.8.

Figura 4.8: Estaca j gen´erica

Considerando cada trecho do contorno, conclui-se que a equa¸c˜ao 4.41 escrita para

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 59

uma estaca gen´erica j ´e:







ﬀ















































(4.44)

Para relacionar as equa¸c˜oes 4.43 e 4.44, pode-se utilizar condi¸c˜oes de equil´ıbrio

de for¸cas e compatibilidade de deslocamentos que existem no contato entre a estaca

j e a camada i. Estas condi¸c˜oes s˜ao traduzidas pelas rela¸c˜oes:









(4.45)





= −





(4.46)

A condi¸c˜ao de compatibilidade de deslocamentos 4.45 pode ser aplicada direta-

mente `a equa¸c˜ao 4.43. Ap´os as substitui¸c˜oes, esta se torna:







tf1

tf2

··· S

tfn

bf1

bf2

··· S

bfn

f1t

f1b

f1f1

f1f2

··· S

f1fn

f2t

f2b

f2f1

f2f2

··· S

f2fn

fnt

fnb

fnf1

fnf2

··· S

fnfn















































(4.47)

A partir da equa¸c˜ao 4.46 aplicada `as equa¸c˜oes 4.44 e 4.47, deve-se isolar os

deslocamentos relacionados aos fustes de todas as estacas. Com isto ser´a poss´ıvel

elimin´a-los da equa¸c˜ao, juntamente com as for¸cas nos contornos referentes aos con-

tatos. Inicialmente, isola-se da equa¸c˜ao 4.47 as linhas correspondentes `as for¸cas nos

fustes das estacas. Isto resulta na equa¸c˜ao:







f1t

f1b

f1f1

f1f2

··· S

f1fn

f2t

f2b

f2f1

f2f2

··· S

f2fn

fnt

fnb

fnf1

fnf2

··· S

fnfn















































(4.48)

Para seguir com as dedu¸c˜oes, deve-se escrever a terceira linha da equa¸c˜ao 4.44

para j de 1 at´e n.

E mais interessante que estas equa¸c˜oes sejam organizadas matri-

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 60

cialmente, resultando ent˜ao em uma ´unica equa¸c˜ao. Esta equa¸c˜ao ´e:







0 0 ··· 0 0 E

ﬀ

0 ··· 0

0 0 E

··· 0 0 0 E

ﬀ

··· 0

0 0 0 0 ··· E

0 0 ··· E

ﬀ















































(4.49)

Na igualdade 4.49, as equa¸c˜oes foram organizadas de forma a deixar to dos os

deslocamentos referentes aos fustes por ´ultimo no vetor de deslocamentos.

O passo seguinte ´e relacionar as equa¸c˜oes 4.48 e 4.49 pelas condi¸c˜oes de equil´ıbrio

representadas pela rela¸c˜ao 4.46. O procedimento consiste em igualar cada linha da

equa¸c˜ao 4.48 `a sua correspondente da equa¸c˜ao 4.49 multiplicada por (−1). Em

seguida, isola-se no mesmo lado da igualdade da express˜ao resultante todos os ter-

mos relacionados aos deslocamentos de fuste. Considerando uma estaca j gen´erica,

escreve-se a equa¸c˜ao:



fjt







fjb







fjf1



}+ ···+



fjfn



−







−







−



ﬀ





(4.50)

Passando para o lado esquerdo da igualdade todos os termos relacionados aos

deslocamentos de fuste, chega-se `a express˜ao:



fjf1



}+ ···+



fjfj





+ ···+



fjfn



−



fjt





−



fjb





−







−







(4.51)

em que a matriz

fjfj

´e resultado da soma das matrizes S

fjfj

e E

ﬀ

. A equa¸c˜ao 4.51

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 61

escrita matricialmente ´e:

[

fjf1

· · ·

fjfj

· · · S

fjfn

]





















= −[

fjt

fjb

0 0 · · · E

· · · 0 0

]





















(4.52)

O conjunto de todas as equa¸c˜oes 4.52, escritas para j de 1 at´e n, po de ser orga-

nizado em uma ´unica equa¸c˜ao. Esta equa¸c˜ao ´e:







f1f1

f1f2

··· S

f1fn

f2f1

f2f2

··· S

f2fn

fnf1

fnf2

···

fnfn



























= −







fjt

··· 0 0

fjt

0 0 ··· 0 0

fjt

0 0 ··· E



























(4.53)

Para isolar os deslocamentos referentes aos fustes das estacas, deve-se inverter a

matriz `a equerda da igualdade da equa¸c˜ao 4.53 e multiplicar o resultado a ambos os

lados da equa¸c˜ao. Assim, chega-se ao sistema de equa¸c˜oes:



























···

1(2n+2)

···

2(2n+2)

(2n+2)1

(2n+2)2

···

(2n+2)(2n+2)



























(4.54)

Com o sistema 4.54, conclui-se a tarefa de escrever os deslocamentos dos fustes

de todas as estacas em fun¸c˜ao dos n´os de topo e base da camada i e das estacas.

Para obter uma parte do sistema de equa¸c˜oes ﬁnal, deve-se escrever isoladamente as

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 62

duas primeiras linhas da equa¸c˜ao 4.47. Isto fornece:





tf1

tf2

··· S

tfn

bf1

bf2

··· S

bfn





































(4.55)

Pode-se substituir a equa¸c˜ao 4.54 na equa¸c˜ao 4.55, eliminando dela os deslo ca-

mentos de fuste. O resultado ´e a seguinte express˜ao:





··· K

1(2n+2)

··· K

2(2n+2)





































(4.56)

A express˜ao 4.56 corresponde `as duas primeiras linhas da equa¸c˜ao ﬁnal. Pode-

se chegar `as demais linhas a partir das duas primeiras linhas da equa¸c˜ao 4.44 em

conjunto com a equa¸c˜ao 4.54. As duas primeiras linhas de 4.44 isoladas s˜ao:









































(4.57)

Como se est´a analisando uma estaca j, busca-se a linha j da equa¸c˜ao 4.54. Esta

´e:

























}+ ···



j(2n+1)





j(2n+2)



}

(4.58)

Substituindo a equa¸c˜ao 4.58 em 4.57, obt´em-se duas linhas da equa¸c˜ao ﬁnal. Isto

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 63

´e:





(2j+1)1

(2j+1)2

··· K

(2j+1)(2n+2)

(2j+2)1

(2j+2)2

··· K

(2j+2)(2n+2)





































(4.59)

A equa¸c˜ao 4.59 deve ser escrita para j de 1 at´e n. Estas equa¸c˜oes em conjunto

com a equa¸c˜ao 4.56 comp˜oem o sistema ﬁnal de equa¸c˜oes, que ´e o objetivo desta

se¸c˜ao. Este sistema ´e:







··· K

1(2n+2)

··· K

2(2n+2)

(2n+2)1

··· K

(2n+2)(2n+2)















































(4.60)

A partir da equa¸c˜ao 4.60 torna-se poss´ıvel aplicar o M´etodo da Rigidez Sucessiva

(MRS) `as diferentes camadas, podendo estas conter um n´umero qualquer de estacas

cruzando-as. O procedimento iterativo de obten¸c˜ao das matrizes

´e igual ao

empregado na se¸c˜ao 4.2, por isto n˜ao ser´a refeito aqui. Entretanto, o c´alculo dos

valores de contorno na segunda etapa do MRS n˜ao pode ser feito da mesma forma

devido aos contornos referentes aos contatos das camadas com as estacas. Portanto,

o procedimento para a obten¸c˜ao dos valores de contorno ´e descrito a seguir.

Ap´os a conclus˜ao da primeira etapa do MRS, referente `a obten¸c˜ao das matrizes

para todas as camadas, chega-se `a seguinte equa¸c˜ao:

] {u

} = {p

} (4.61)

em que nc ´e o n´umero de camadas. Esta equa¸c˜ao relaciona os deslocamentos u

superf´ıcie livre do solo com as for¸cas p

tamb´em da superf´ıcie, levando em conta

a inﬂuˆencia de todas as camadas de solo e todos os segmentos de estaca contidos

nelas. Pelas hip´oteses assumidas ao in´ıcio da se¸c˜ao 4.2, o vetor p

´e conhecido, o

que torna poss´ıvel encontrar o vetor u

a partir da equa¸c˜ao 4.61.

Ap´os determinar os deslocamentos na superf´ıcie livre, escreve-se a equa¸c˜ao 4.60

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 64

para a camada nc, ou seja:







··· K

1(2n+2)

··· K

2(2n+2)

(2n+2)1

··· K

(2n+2)(2n+2)















































(4.62)

A matriz `a esquerda da igualdade j´a foi deduzida anteriormente. Como s˜ao

conhecidos todos os valores de contorno referentes ao topo da camada nc, o n´umero

de inc´ognitas na equa¸c˜ao 4.62 ´e igual ao n´umero de equa¸c˜oes. Ap´os organizar o

sistema, passando para o lado esquerdo todos os valores desconhecidos, torna-se

poss´ıvel resolvˆe-lo determinando todos os valores de contorno referentes `a base da

camanda nc. Com estes dados, pode-se calcular os valores de deslocamento e for¸ca

no fuste de cada estaca. Para isto escreve-se, considerando uma estaca j qualquer,

a equa¸c˜ao:







ﬀ















































(4.63)

A matriz `a esquerda da igualdade ´e conhecida, assim como os termos u

, u

, p

e p

. Como a equa¸c˜ao 4.63 tem duas inc´ognitas e trˆes equa¸c˜oes, pode-se determinar

os valores desconhecidos escrevendo duas das esqua¸c˜oes. A primeira linha de 4.63

fornece:























(4.64)

Pode-se determinar o termo u

isolando-o na equa¸c˜ao 4.64. Ou seja:









−1





−







−







(4.65)

Sendo u

conhecido, o termo p

pode ser calculado diretamente da terceira linha

de 4.63, isto ´e:



















ﬀ





(4.66)

Por meio das rela¸c˜oes 4.65 e 4.66 ´e poss´ıve l obter os valores de contorno referentes

aos fustes de todas as estacas, com referˆencia nas estacas. Caso se queira determinar

os deslocamentos e for¸cas com referˆencia na camada nc, basta aplicar as seguintes

igualdades:









(4.67)

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 65





= −





(4.68)

que representam as condi¸c˜oes de compatibilidade de deslocamentos (rela¸c˜ao 4.67)

e equil´ıbrio de for¸cas (rela¸c˜ao 4.68), existentes nos contatos entre as estacas e a

camada.

Os ´unicos valores de contorno da camada nc que ainda n˜ao foram determinados

s˜ao aqueles referentes aos contornos laterais da camada, os deslocamentos u

e as

for¸cas p

. Pelas hip´oteses assumidas no in´ıcio da se¸c˜ao 4.2, u

´e igual a zero. Desta

forma, o ´unico valor de contorno ainda inc´ognito ´e o termo p

. Para determinar

este valor escreve-se, para a camada nc, a equa¸c˜ao:







ﬀ















































(4.69)

A equa¸c˜ao 4.69 pode ser originada motando a equa¸c˜ao 4.40 para a camada nc,

ivertendo a matriz G

e multiplicando-a ao lado esquerdo da equa¸c˜ao. Os vetores

e p

contˆem os deslocamentos e for¸cas referentes a todos os fustes de todas as

estacas. Como pode ser observado, a ´unica inc´ognita na equa¸c˜ao 4.69 ´e o termo p

Este pode ser determinado diretamente da ´ultima linha da equa¸c˜ao 4.69, ou seja:

}= [K

] {u

}+ [K

] {u

}+ [K

] {u

}+ [K

] {u

} (4.70)

Assim, ﬁcam determinados todos os valores de contorno referentes `a camada nc

e aos segmentos de estaca contidos nela. Conclu´ıdos os c´alculos referentes `a camada

nc, parte-se para a camada nc − 1. Para esta, escreve-se:







nc−1

··· K

nc−1

1(2n+2)

nc−1

··· K

nc−1

2(2n+2)

nc−1

(2n+2)1

nc−1

(2n+2)1

··· K

nc−1

(2n+2)(2n+2)

















nc−1





















nc−1











(4.71)

A matriz `a esquerda da igualdade ´e conhecida. Pode-se facilmente determinar

tamb´em todos os valores de contorno referentes ao topo da camada nc − 1 aplicando

condi¸c˜oes de equil´ıbrio e compatibilidade entre as camadas nc e nc − 1. A partir

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 66

destas condi¸c˜oes, escreve-se as igualdades:



nc−1



= {u

} (4.72)



nc−1



= −{p

} (4.73)

Repetindo os procedimentos realizados entre as equa¸c˜oes 4.62 e 4.71 para a ca-

mada nc − 1, determina-se todos os valores de contorno referentes a esta camada

e aos segmentos de estaca contidos nela. Este c´alcutos s˜ao ent˜ao refeitos para to-

das as camadas inferiores, determinando todos os valores de contorno de todos os

subdom´ınios do problema. Desta forma, torna-se poss´ıvel calcular deslocamentos e

tens˜oes em pontos internos a qualquer um destes subdom´ınios.

Com isto, ﬁca conclu´ıda toda a teoria utilizada em ALMEIDA (2003a) na simu-

la¸c˜ao do maci¸co de solos estratiﬁcado em camadas e com um n´umero qualquer de

estacas.

4.4 Considera¸c˜oes ﬁnais

Neste cap´ıtulo foi empregada uma extens˜ao do M´eto do da Rigidez Sucessiva,

apresentado em MAIER & NOVATI (1987), com o objetivo de obter uma matriz

que representa a inﬂuˆencia de todas as camadas de solo e de todas as estacas contidas

nestes meios.

O MRS foi aplicado inicialmente ao solo tridimensional sem estacas, para me-

lhor entendimento de seu funcionamento. Considerando uma camada gen´erica como

um s´olido tridimensional, aplicou-se a formula¸c˜ao do MEC para chegar `as matrizes

H e G desta camada. A partir de condi¸c˜oes de compatibilidade de deslocamentos

e equil´ıbrio de for¸cas, foi obtida uma equa¸c˜ao que representa a inﬂuˆencia da ca-

mada em fun¸c˜ao de seus n´os de topo e base. Tomando a camada em contato com

a superf´ıcie de deslocamento nulo, chegou-se a outra equa¸c˜ao que computa toda a

inﬂuˆencia desta camada em fun¸c˜ao apenas dos n´os localizados em seu topo. Uma

nova aplica¸c˜ao das condi¸c˜oes de compatibilidade de deslocamentos e equil´ıbrio de

for¸cas resultou nesta mesma equa¸c˜ao para a camada superior. Repetindo este pro-

cedimento interativamente atinge-se a camada da superf´ıcie, concluindo com um

sistema de equa¸c˜oes que relaciona os deslocamentos nos n´os de topo desta camada

`as for¸cas nestes mesmos n´os por meio de uma matriz que tem computadas as in-

ﬂuˆencias de todas as camadas. Resolvendo-se o sistema, obt´em-se os deslocamentos

na superf´ıcie livre do solo. Inicia-se ent˜ao a segunda etapa do MRS, calculando os

valores de contorno de todas as camadas de cima para baixo. Por ﬁm, torna-se

poss´ıvel determinar deslocamentos e tens˜oes em n´os internos a qualquer camada.

CAP

ITULO 4. O M

ETODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA 67

Em seguida, na se¸c˜ao 4.3, foi demonstrado como incluir a inﬂuˆencia das esta-

cas na formula¸c˜ao do MRS. Chega-se a uma matriz que computa a inﬂuˆencia de

uma camada qualquer cruzada por um n´umero qualquer de estacas, relacionando os

deslocamentos de topo e base desta camada `as for¸cas de topo e base. Utilizando esta

matriz como ponto de partida torna-se poss´ıvel aplicar o MRS da mesma forma que

na se¸c˜ao 4.2, obtendo todos os valores de contorno referentes `as camadas e estacas.

Cap´ıtulo 5

Intera¸c˜ao do solo com estrutura

5.1 Introdu¸c˜ao

Este cap´ıtulo trata da intera¸c˜ao do solo com dois tipos de estruturas. O primeiro

s˜ao blocos tridimensionais modelados pelo MEC, e o segundo ´e um edif´ıcio tridi-

mensional modelado pelo MEF. Ao ﬁnal do cap´ıtulo ´e descrito como este edif´ıcio ´e

apoiado sobre os blocos, compondo o conjunto solo/blocos/edif´ıcio.

A intera¸c˜ao do solo com um bloco, ambos modelados pelo MEC, ´e tratada ini-

cialmente. Este caso ´e um problema de subregi˜oes do MEC, e pode ser resolvido

aplicando condi¸c˜oes de compatibilidade de deslocamentos e equil´ıbrio de for¸cas nos

n´os de contato entre os dois meios. Na sequˆencia, ´e descrita a teoria utilizada no

acoplamento entre um n´umero qualquer de blocos e o solo.

O estudo da intera¸c˜ao do solo com o edif´ıcio envolve dom´ınios modelados por

diferentes t´ecnicas num´ericas, sendo o solo simulado pelo MEC e o edif´ıcio pelo MEF.

E poss´ıvel acoplar estas formula¸c˜oes por meio das condi¸c˜oes de compatibilidade e

equil´ıbrio, no entanto o vetor de for¸cas advindo do MEC deve ser compatibilizado

antes de ser relacionado `a formula¸c˜ao do MEF.

Representando o conjunto formado pelo solo e os blocos com uma ´unica matriz

de inﬂuˆencia, torna-se poss´ıvel acoplar o edif´ıcio a este sistema utilizando a mesma

teoria empregada no acoplamento do solo sem blocos ao edif´ıcio.

5.2 Acoplamento entre o solo e um bloco

As inﬂuˆencias das camadas de solo foram condensadas por meio do M´etodo

da Rigidez Sucessiva (MRS), conforme descrito no cap´ıtulo 4. O resultado deste

procedimento foi um sistema de equa¸c˜oes que relaciona os deslocamentos dos n´os da

superf´ıcie livre do solo com as for¸cas prescritas nestes n´os. Este sistema, mostrado

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 69

na equa¸c˜ao 4.61, pode ser escrito como:











(5.1)

O ´ındice S indica que os vetores e matrizes foram originados da formula¸c˜ao feita

para o solo. A matriz K

, como foi visto no cap´ıtulo 4, cont´em a matriz de inﬂuˆencia

de todas as camadas de solo.

Considerando que o bloco ´e um s´olido tridimensional, pode-se aplicar a ele a

formula¸c˜ao do MEC descrita no cap´ıtulo 2. Assim sendo, p elo MEC, tem-se a

equa¸c˜ao 2.110 para o blo co. Esta equa¸c˜ao ´e:













(5.2)

Para tornar as dedu¸c˜oes mais pr´aticas, ´e interessante obter uma equa¸c˜ao similar

`a equa¸c˜ao 5.1 para o bloco. Portanto, inverte-se a matriz G

e multiplica-se o

resultado a ambos os lados da equa¸c˜ao 5.2. O resultado ´e a equa¸c˜ao:











(5.3)

com









−1





(5.4)

O acoplamento entre o solo e o bloco, ilustrado na ﬁgura 5.1, ´e realizado a partir

das equa¸c˜oes 5.1 e 5.3.

Figura 5.1: Conjunto formado pelo solo e o bloco

Primeiramente deve-se separar, nas equa¸c˜oes 5.1 e 5.3, as parcelas referentes aos

n´os que pertencem ao contato entre os meios das parcelas referentes aos n´os que n˜ao

pertencem ao contato entre os meios. Indicando as parcelas pertencentes ao contato

pelo ´ındice subscrito C e as parcelas pertencentes `as superf´ıcies livres pelo ´ındice

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 70

subscrito L, obt´em-se as seguintes equa¸c˜oes:

































(5.5)

































(5.6)

Para relacionar as equa¸c˜oes 5.5 e 5.6 aplica-se, na superf´ıcie de contato entre os

dois meios, condi¸c˜oes de compatibilidade de deslocamentos e equil´ıbrio de for¸cas. A

compatibilidade de deslocamentos permite escrever as igualdades:









= {u

} (5.7)

Aplicando as condi¸c˜oes de compatibilidade de deslocamentos representadas por

5.7 nas equa¸c˜oes 5.5 e 5.6, chega-se `as equa¸c˜oes:

































(5.8)

































(5.9)

Utilizando a partir deste ponto as equa¸c˜oes 5.8 e 5.9, torna-se desnecess´ario

recorrer novamente `as igualdades 5.7. As equa¸c˜oes 5.8 e 5.9 devem ser relacionadas

para que os dom´ınios sejam acoplados. Para isto imp˜oe-se no contato condi¸c˜oes de

equil´ıbrio de for¸cas, traduzidas pela igualdade:





= −





(5.10)

Para que a igualdade 5.10 possa ser utilizada escreve-se, a partir das equa¸c˜oes

5.8 e 5.9, express˜oes que representem as for¸cas no contato. Assim, a segunda linha

de 5.8 fornece:















(5.11)

E a segunda linha de 5.9 gera a igualdade:















(5.12)

Por meio da igualdade 5.10, ´e poss´ıvel unir as express˜oes 5.11 e 5.12 em uma

´unica. O resultado ´e a igualdade:











}= −







−





} (5.13)

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 71

Desenvolvendo a express˜ao 5.13, ´e poss´ıvel isolar os deslocamentos do contato,

. Assim:









}= −







−







(5.14)

}= −[K

]

−1







−[K

]

−1







(5.15)

com

] =









(5.16)

A express˜ao 5.15 relaciona os deslocamentos nos n´os do contato aos deslocamen-

tos nas superf´ıcies livres do solo e do bloco. Analisando agora as equa¸c˜oes rela-

cionadas `as for¸cas na superf´ıcie livre do solo, escreve-se a primeira linha da equa¸c˜ao

5.8:















(5.17)

Substituindo a express˜ao 5.15 na rela¸c˜ao 5.17, chega-se `a equa¸c˜ao:











−[K

]

−1







−[K

]

−1











(5.18)

A equa¸c˜ao 5.18 deve ser desenvolvida de forma a isolar os deslocamentos ao lado

direito da igualdade e as for¸cas ao lado esquerdo. Efetuando os produtos de matrizes,

conclui-se com a igualdade:

]





+ [K

]









(5.19)

Prosseguindo com as dedu¸c˜oes, analisa-se agora as equa¸c˜oes relacionadas `as

for¸cas na superf´ıcie livre do bloco. A primeira linha da equa¸c˜ao 5.9, referente a

estas for¸cas, ´e:















(5.20)

Substituindo a express˜ao 5.15 na equa¸c˜ao 5.20, obt´em-se a igualdade:











−[K

]

−1







−[K

]

−1











(5.21)

Desenvolvendo a equa¸c˜ao 5.21 da mesma forma feita com a equa¸c˜ao 5.18, conclui-

se com a igualdade:

]





+ [K

]









(5.22)

As equa¸c˜oes 5.22 e 5.19 comp˜oem o seguinte sistema de equa¸c˜oes:

































(5.23)

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 72

[K] {u}= {p} (5.24)

Prescrevendo for¸cas em todos os n´os das superf´ıcies livres do solo e do bloco,

torna-se poss´ıvel resolver o sistema de equa¸c˜oes 5.23. Sua solu¸c˜ao leva aos deslo ca-

mentos nas superf´ıcies livres do solo e do bloco. Determinados os deslocamentos nas

superf´ıcies livres, torna-se poss´ıvel calcular os deslocamentos nos n´os do contato a

partir da express˜ao 5.15. Ou seja:

}= −[K

]

−1







−[K

]

−1







(5.25)

Depois de determinar todos os deslocamentos referentes ao bloco e `a superf´ıcie

livre do solo, pode-se calcular as for¸cas nos n´os do contato pela express˜ao 5.11 ou

pela express˜ao 5.12, isto ´e:















(5.26)















(5.27)

As for¸cas de contato obtidas pela igualdade 5.26 s˜ao iguais `as for¸cas de contato

obtidas pela rela¸c˜ao 5.27, por´em com o sinal trocado. Isto acontece por causa da

condi¸c˜ao de equil´ıbrio imposta pela igualdade 5.10, ou seja:





= −





(5.28)

5.3 Acoplamento entre o solo e N blocos

No caso do acoplamento do solo com um ´unico bloco, partiu-se da equa¸c˜ao 5.3.

Nesta equa¸c˜ao a matriz K

representa o bloco nas dedu¸c˜oes subsequentes, que re-

sultam na matriz K da equa¸c˜ao 5.24. Caso exista mais de um bloco, uma forma

de aproveitar estas mesmas dedu¸c˜oes ´e obter uma matriz K

que represente to-

dos os blocos deﬁnidos no problema. Pode-se ent˜ao utilizar esta matriz na equa¸c˜ao

5.3 e seguir com as demais dedu¸c˜oes at´e a equa¸c˜ao 5.24, representando o acopla-

mento entre um n´umero qualquer de blocos e o solo. Existindo N blocos, a equa¸c˜ao

equivalente a 5.3 que deve ser obtida ´e:











(5.29)

O vetor u

cont´em os deslocamentos em todos os n´os do contorno dos blocos,

enquanto o vetor p

cont´em as for¸cas em todos os n´os do contorno dos blocos.

A matriz K

relaciona estes dois vetores, e representa a rigidez dos blocos. Para

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 73

facilitar o entendimento, inicialmente ´e apresentada a dedu¸c˜ao da matriz K

para

N igual a 2 para depois generalizar o racioc´ınio para qualquer N. Considerando dois

blocos, a equa¸c˜ao 5.3 po de ser escrita para ambos seguindo as instru¸c˜oes do in´ıcio

da se¸c˜ao 5.2. Ou seja:











(5.30)











(5.31)

Tamb´em na se¸c˜ao 5.2, escreveu-se a equa¸c˜ao 5.3 separando as parcelas referentes

aos n´os que pertencem ao contato entre o bloco e o solo das parcelas referentes aos

n´os que pertencem `a superf´ıcie livre do bloco. O resultado foi a equa¸c˜ao 5.6, que no

caso das equa¸c˜oes 5.30 e 5.31 se torna:

































(5.32)

































(5.33)

A matriz K

procurada pode ser obtida a partir das equa¸c˜oes 5.32 e 5.33.

importante observar que, para que as dedu¸c˜oes compreendidas entre as equa¸c˜oes

5.3 e 5.24 sejam v´alidas, nos vetores u

e p

as parcelas referentes aos n´os do

contato dos dois blocos com o solo devem estar agrupadas na parte inferior dos

vetores, enquanto as parcelas referentes aos n´os das superf´ıcies livres dos dois blocos

devem estar agrupadas na parte superior dos vetores. Isto signiﬁca que o vetor de

deslocamentos u

deve ser:

























(5.34)

O vetor de for¸cas p

, an´alogo ao vetor u

considerado na igualdade 5.34, ´e

dado por:

























(5.35)

A partir das express˜oes 5.32, 5.33, 5.34 e 5.35, ´e poss´ıvel montar a seguinte

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 74

equa¸c˜ao:







0 K















































(5.36)











(5.37)

Como n˜ao existe contato entre os blocos, as parcelas referentes aos n´os de cada

bloco s˜ao independentes umas das outras. Isto pode ser observado na matriz K

pelos trechos de zeros que aparecem, nunca ocorrendo o produto de uma submatriz

de um bloco por um deslocamento de outro.

Por ﬁm, torna-se poss´ıvel utilizar a equa¸c˜ao 5.6 da se¸c˜ao 5.2 por meio das

seguintes associa¸c˜oes:









0 K





(5.38)









0 K





(5.39)









0 K





(5.40)









0 K





(5.41)

















(5.42)

















(5.43)

















(5.44)

















(5.45)

A obten¸c˜ao da matriz K

para um N qualquer segue um racioc´ınio an´alogo ao

empregado para dois blocos. As equa¸c˜oes 5.30 e 5.31 escritas para os blocos 1 e 2

devem ser obtidas para todos os demais blocos. Desta forma, a equa¸c˜ao do n-´esimo

bloco ﬁca:











(5.46)

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 75

































(5.47)

Considerando um n ´umero qualquer de blo cos, o vetor de deslocamentos u

indicado na rela¸c˜ao 5.34 ´e:

























(5.48)

e o vetor de for¸cas p

se torna:

























(5.49)

A partir dos vetores 5.48 e 5.49 e analogamente `a equa¸c˜ao 5.36, obt´em-se a

equa¸c˜ao:







0 ··· 0 K

0 ··· 0

0 K

··· 0 0 K

··· 0

0 0 ··· K

0 ··· 0 K

0 ··· 0

0 K

··· 0 0 K

··· 0

0 0 ··· K















































(5.50)

Assim como na equa¸c˜ao 5.36, pode-se observar na equa¸c˜ao 5.50 a independˆencia

entre as parcelas referentes a cada bloco. Isto o corre porque n˜ao existem n´os de

contato entre os blocos.

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 76

Finalizando, pode-se utilizar a equa¸c˜ao 5.6 para um n´umero qualquer de blocos.

Para isto, devem ser feitas as seguintes associa¸c˜oes:











0 ··· 0

0 K

··· 0

0 0 ··· K







(5.51)











0 ··· 0

0 K

··· 0

0 0 ··· K







(5.52)











0 ··· 0

0 K

··· 0

0 0 ··· K







(5.53)











0 ··· 0

0 K

··· 0

0 0 ··· K







(5.54)

























(5.55)

























(5.56)

























(5.57)

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 77

























(5.58)

5.4 Acoplamento entre o solo e o edif´ıcio

Assim como foi feito para os blocos, o acoplamento entre as formula¸c˜oes do solo

com o conjunto formado pelo edif´ıcio e a placa, ilustrado na ﬁgura 5.2, ´e baseado

em condi¸c˜oes de compatibilidade de deslocamentos e equil´ıbrio de for¸cas nos n´os

de contato entre os dois meios.

E utilizada como ponto de partida a equa¸c˜ao 4.61,

resultado do M´etodo da Rigidez Sucessiva aplicado ao solo estratiﬁcado, e a rela¸c˜ao

3.20, advinda da simula¸c˜ao do edif´ıcio pelo MEF. Estas equa¸c˜oes podem ser escritas,

respectivamente, como:

MEC

] {u

MEC

}= {p

MEC

} (5.59)

MEF

] {u

MEF

}= {f

MEF

} (5.60)

Figura 5.2: Intera¸c˜ao do solo com o edif´ıcio

Antes de serem relacionadas, as matrizes e vetores das equa¸c˜oes 5.59 e 5.60 s˜ao

expandidos de forma a obter duas equa¸c˜oes que levem em conta todos os n´os da

superf´ıcie do solo e do edif´ıcio. Como resultado tem-se as equa¸c˜oes:



MEC



{u}= {¯p

MEC

} (5.61)



MEF



{u}=



MEF



(5.62)

O vetor u cont´em os deslocamentos nos n´os de ambos os meios. Em sua mon-

tagem foram aplicadas condi¸c˜oes de compatibilidade de deslocamentos nos n´os do

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 78

contato, p ossibilitando a obten¸c˜ao de um ´unico vetor. As matrizes

MEC

MEF

possuem trechos de zeros devido `as expans˜oes, bem como os vetores ¯p

MEC

MEF

Considerando o equil´ıbrio existente no contato entre o solo e o edif´ıcio, ´e poss´ıvel

relacionar as equa¸c˜oes 5.61 e 5.62 considerando o vetor de for¸cas ¯p

MEC

como cargas

reativas no vetor

MEF

. Entretanto, n˜ao ´e poss´ıvel realizar esta opera¸c˜ao subtraindo

diretamente do vetor

MEF

o vetor ¯p

MEC

devido `a incompatibilidade que existe entre

as for¸cas contidas nos vetores. Isto pode ser visualizado na ﬁgura 5.3. No MEC as

for¸cas s˜ao tratadas como cargas por unidade de ´area, enquanto que no MEF as for¸cas

s˜ao tratadas com cargas concentradas nos n´os.

Figura 5.3: Incompatibilidade entre as cargas de superf´ıcie e as cargas no dais

Para compatibilizar os vetores, foram estudadas em ALMEIDA (2003a) duas

possibilidades. A primeira ´e transformar o vetor

MEF

em um vetor de cargas de

superf´ıcie equivalente, e a segunda ´e transformar o vetor ¯p

MEC

em um vetor de

cargas nodais equivalente. O crit´erio adotado para optar entre um ou outro pro-

cedimento foi o custo computacional envolvido nas transforma¸c˜oes. Assim, optou-se

por transformar o vetor ¯p

MEC

em um vetor de cargas nodais equivalente por ser de

menor custo computacional.

Como o procedimento a ser realizado ´e o mesmo para as trˆes dire¸c˜oes do sistema

de coordenadas global x

, p or quest˜ao de praticidade, nas pr´oximas dedu¸c˜oes ´e

tomada uma ´unica dire¸c˜ao.

Para transformar o vetor de cargas de superf´ıcie ¯p

MEC

em um vetor de cargas

nodais equivalente, parte-se do trabalho realizado por estas cargas de superf´ıcie.

Este trabalho, analisado em um ´unico elemento ﬁnito, pode ser representado pela

express˜ao:

T =



p (ξ

, ξ

) w (ξ

, ξ

) dA (5.63)

em que ξ

e ξ

s˜ao coordenadas locais deﬁnidas no elemento e ξ

´e fun¸c˜ao das outras

duas. A fun¸c˜ao p ´e uma aproxima¸c˜ao das for¸cas de superf´ıcie atuantes no elemento,

e a fun¸c˜ao w ´e uma aproxima¸c˜ao do campo de deslocamentos do elemento. A ´area

do elemento est´a indicada pela letra A.

Como na formula¸c˜ao do MEC apresentada no cap´ıtulo 2 ´e considerada uma

aproxima¸c˜ao linear de for¸cas e deslocamentos, conforme ilustrado na ﬁgura 5.4, as

aproxima¸c˜oes de w e p s˜ao adotadas como lineares. Esta aproxima¸c˜ao foi descrita

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 79

no cap´ıtulo 2, e resultou nas fun¸c˜oes:

w (ξ

, ξ

) = w

+ w

(5.64)

p (ξ

, ξ

) = p

+ p

(5.65)

com

= 1 − ξ

− ξ

(5.66)

Figura 5.4: Aproxima¸c˜oes lineares adotadas para w e p

Substituindo as fun¸c˜oes 5.64 e 5.65 na express˜ao 5.63, obt´em-se a express˜ao:

T =



+ w

) (p

+ p

) dA (5.67)

A express˜ao ﬁnal do trabalho realizado pelas for¸cas de superf´ıcie ´e obtida desen-

volvendo-se a express˜ao 5.67 e efetuando-se a integral. Neste procedimento, uma

ferramenta ´util ´e a seguinte f´ormula:



η1

η2

η3

dA = 2A

!η

(η

+ η

+ 2)!

(5.68)

Depois de chegar `a express˜ao ﬁnal do trabalho realizado pelas for¸cas de superf´ıcie,

deve-se minimizar o funcional da energia potencial acumulada no elemento ﬁnito.

Ao ﬁnal das dedu¸c˜oes, chega-se `a igualdade:



























2 1 1

1 2 1

1 1 2



























(5.69)

O vetor `a direita da igualdade em 5.69 cont´em as cargas de superf´ıcie nos n´os

de um elemento qualquer da superf´ıcie do solo, segundo uma dire¸c˜ao qualquer. O

vetor `a esquerda cont´em as cargas nodais equivalentes, obtido por meio da matriz

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 80

de transforma¸c˜ao `a direita. Uma forma mais compacta da rela¸c˜ao 5.69 ´e:

{f}=





{p} (5.70)

com











2 1 1

1 2 1

1 1 2







(5.71)

Considerando a rela¸c˜ao 5.70 aplicada a todos os elementos, obt´em-se a igualdade:

{r}= [Q] {¯p

MEC

} (5.72)

O vetor r cont´em as cargas nodais equivalentes `as for¸cas de superf´ıcie contidas no

vetor ¯p

MEC

. O efeito do vetor r pode ser considerado na equa¸c˜ao 5.62 caso ele seja

encarado como um conjunto de for¸cas reativas atuantes na base do edif´ıcio. Desta

forma, chega-se `a equa¸c˜ao:

MEF

] {u}=



MEF



−{r} (5.73)

Aplicando a igualdade 5.72 na equa¸c˜ao 5.73, conclui-se que:



MEF



{u}=



MEF



−[Q] {¯p

MEC

} (5.74)

Finalmente, considera-se a igualdade dada pela equa¸c˜ao 5.61 na equa¸c˜ao 5.74.

Assim:



MEF



{u}=



MEF



−[Q]



MEC



{u} (5.75)

Para chegar ao sistema de equa¸c˜oes ﬁnal, basta desenvolver a equa¸c˜ao 5.75. Desta

forma:



MEF



+ [Q]



MEC



{u}=



MEF



(5.76)

Por ﬁm:

[K] {u}= {f} (5.77)

A matriz K representa o acoplamento entre o MEC e o MEF, e cont´em a inﬂuˆen-

cia das camadas de solo e do edif´ıcio. O vetor u cont´em os deslocamentos dos n´os

da superf´ıcie livre do solo e do edif´ıcio, sendo todos inc´ognitos. O vetor f guarda

as cargas externas aplicadas no edif´ıcio. A resolu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes 5.77

permite a obten¸c˜ao dos deslocamentos u.

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 81

5.5 Acoplamento entre solo, blocos e edif´ıcio

Quando o edif´ıcio ´e acoplado ao conjunto formado pelos blocos e o solo, surge

um problema a ser contornado. O fato do edif´ıcio ter sido modelado pelo MEF e os

blocos pelo MEC torna diferentes os graus de liberdade deﬁnidos na base dos pilares

e nos pontos dos blocos. Conforme explicado no cap´ıtulo 3 os n´os dos elementos

reticulares e planos do edif´ıcio tˆem seis graus de liberdade, sendo trˆes deslocamentos

e trˆes rota¸c˜oes. J´a os n´os dos blocos, que s˜ao modelados pelo MEC conforme descrito

no cap´ıtulo 2, s´o possuem trˆes graus de liberdade, que s˜ao os deslocamentos. Isto

est´a ilustrado na ﬁgura 5.5.

Figura 5.5: Graus de liberdade do MEF e do MEC

Na ﬁgura 5.5, o ponto A representa a extremidade do pilar e o ponto B pertence

ao bloco. Os deslocamentos est˜ao indicados por u, v e w, enquanto as rota¸c˜oes est˜ao

indicadas por θ

, θ

e θ

Devido a essa diferen¸ca existente entre os graus de liberdade, caso os pilares

fossem diretamente conectados aos blocos, as trˆes rota¸c˜oes ﬁcariam livres. Deste

modo existiria sempre uma r´otula na base dos pilares, algo que tornaria o programa

limitado. Outra op¸c˜ao seria restringir as trˆes rota¸c˜oes na base de todos os pilares,

mas ent˜ao as a¸c˜oes advindas do edif´ıcio n˜ao seriam totalmente transferidas para os

blocos. Isto entraria em contradi¸c˜ao com um dos prop´ositos deste trabalho, que ´e

analisar o comportamento da estrutura em conjunto com o solo.

A solu¸c˜ao adotada neste trabalho foi deﬁnir uma casca ﬂex´ıvel conectada ao

topo de cada blo co, conforme ilustrado na ﬁgura 5.6. Esta casca ´e modelada com

elementos ﬁnitos triangulares DKT/FF, sendo adotados m´odulo de elasticidade e

coeﬁciente de Poisson iguais aos do bloco. A espessura da casca ´e assumida igual a

um quarto da altura do bloco.

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 82

Figura 5.6: Conjunto formado pelo solo, blocos e edif´ıcio

Esta op¸c˜ao pode ser considerada mais vantajosa que conectar a base dos pilares

diretamente ao blo co, pois ´e poss´ıvel conectar os seis graus de liberdade da extre-

midade do pilar `a casca. Apesar de que em cada ponto da casca somente os trˆes

deslocamentos s˜ao conectados ao bloco, o fato de v´arios pontos estarem conectados

permite que as rota¸c˜oes ocorridas na base do pilar sejam indiretamente transmitidas

ao bloco por meio de bin´arios de for¸ca. Isto pode ser visualizado na ﬁgura 5.7.

Figura 5.7: Casca ﬂex´ıvel conectada ao topo do bloco

A ﬁgura 5.7 ilustra uma rota¸c˜ao θ do pilar sendo transmitida ao bloco por meio

da casca.

E mostrado o que ocorre com uma das rota¸c˜oes, sendo o racioc´ınio para

as outras duas an´alogo.

Outra vantagem de utilizar uma casca intermediando a conec¸c˜ao entre o bloco

e o edif´ıcio ´e que a teoria utilizada neste acoplamento ´e a mesma aplicada na se¸c˜ao

5.4, portanto n˜ao precisa ser deduzida novamente.

CAP

ITULO 5. INTERA¸C

AO DO SOLO COM ESTRUTURA 83

5.6 Considera¸c˜oes ﬁnais

Foi apresentada, neste cap´ıtulo, a formula¸c˜ao empregada no acoplamento entre

solo e estrutura. Dois tipos de estrutura foram analisados interagindo com o solo,

sendo o primeiro blocos tridimensionais modelados pelo MEC e o segundo um edif´ıcio

tridimensional modelado pelo MEF. Tamb´em foi descrito o acoplamento de um

edif´ıcio apoiado sobre blocos, formando o conjunto solo/blocos/edif´ıcio.

Na parte inicial do cap´ıtulo foram apresentadas as dedu¸c˜oes relativas `a intera¸c˜ao

do solo com o bloco, ambos modelados pelo MEC. Por ser um problema de subregi˜oes

do MEC, a intera¸c˜ao destes dois subsistemas foi resolvida aplicando condi¸c˜oes de

compatibilidade de deslocamentos e equil´ıbrio de for¸cas nos n´os de contato entre

os dois meios. Como resultado, obteve-se um sistema de equa¸c˜oes cuja solu¸c˜ao s˜ao

os deslocamentos nos n´os das superf´ıcies do solo e do bloco que n˜ao pertencem ao

contato. Em seguida, a formula¸c˜ao foi generalizada para um n´umero qualquer de

blocos apoiados sobre o solo.

Para possibilitar a an´alise da intera¸c˜ao do solo com o edif´ıcio de forma acoplada,

foi necess´ario obter um ´unico sistema de equa¸c˜oes para representar os dois meios.

Sendo o solo simulado pelo MEC e o ´edif´ıcio pelo MEF, ocorre uma incompatibi-

lidade nos vetores de for¸ca advindos de cada t´ecnica num´erica. A solu¸c˜ao adotada

foi representar o vetor de for¸cas de superf´ıcie originado no MEC por um vetor de

cargas nodais equivalentes.

O acoplamento do edif´ıcio com o conjunto formado pelo solo e os blocos foi feito

utilizando-se a mesma metodologia empregada no acoplamento do edif´ıcio com o

solo sem blocos. Para uma melhor transferˆencia das a¸c˜oes do edif´ıcio para os blocos,

empregou-se cascas ﬂex´ıveis para intermediar o contato das bases dos pilares com

os topos dos blocos.

Cap´ıtulo 6

Exemplos

6.1 Introdu¸c˜ao

Neste cap´ıtulo s˜ao apresentados exemplos, demonstrando assim a funcionalidade

do programa utilizado e das extens˜oes densenvolvidas neste trabalho.

6.2 Bloco sem estacas

Figura 6.1: Vista em planta

Figura 6.2: Vista em perﬁl

Neste exemplo ´e analisado um bloco sem estacas apoiado no solo, conforme

ilustrado nas ﬁguras 6.1 e 6.2. No ﬁnal do exemplo, ´e estudada a inﬂuˆencia de uma

superf´ıcie de deslocamento nulo a uma distˆancia prescrita.

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 85

As dimens˜oes do bloco s˜ao de 5 por 5 metros em planta e 1,25 metros de altura.

O m´odulo de elasticidade adotado para o bloco, compat´ıvel ao do concreto, ´e de

21000000kN/m

ou 21000MPa. O coeﬁciente de Poisson adotado para o bloco ´e de

0,3. O solo, assumido inicialmente como um semi-espa¸co inﬁnito, tem m´odulo de

elasticidade igual a 40000kN/m

ou 40MPa e coeﬁciente de Poisson igual a 0,3. A

carga externa, aplicada no topo do bloco de forma uniformemente distribu´ıda, ´e de

1000kN/m

ou 1MPa. O eixo s, apresentado na ﬁgura 6.1, tem origem no ponto

m´edio da lateral da base do bloco.

Em todos os valores apresentados, as unidades est˜ao em metros e kN. Como

primeiro resultado obtido pelo programa desenvolvido neste trabalho, s˜ao mostrados

os deslocamentos verticais ocorridos na superf´ıcie do solo. A ﬁgura 6.3 ilustra os

valores em metros obtidos pelo programa, considerando uma vista em planta. Optou-

se p or mostrar somente a regi˜ao pr´oxima do bloco porque, a distˆancias superiores a

10 metros do centro do bloco, os deslocamentos resultam praticamente nulos.

Figura 6.3: Vista em planta dos deslocamentos verticais

Conforme pode ser observado na ﬁgura 6.3, os deslocamentos ocorridos no con-

tato s˜ao sim´etricos e praticamente constantes. A simetria ocorre devido ao carrega-

mento externo, aplicado de forma sim´etrica no topo do bloco. A pequena varia¸c˜ao

nos deslocamentos pode ser explicada pela alta rigidez do bloco quando comparado

com o solo, sendo a rela¸c˜ao entre os dois de 525. A ´area onde ocorreram os maiores

deslocamentos, reconhecida pela cor verde, corresponde ao contato entre o bloco e

o solo. Este ´e um comportamento esperado, uma vez que todo o carregamento do

sistema est´a aplicado no topo do bloco.

O primeiro modelo escolhido para comparar resultados de deslocamento foi gera-

do pelo programa Ansys5.4, com o elemento ﬁnito tridimensional solid45. A escolha

deste programa pode ser considerada adequada, pois nele ´e poss´ıvel simular tanto o

bloco como o solo empregando o MEF tridimensional. Isto ´e compat´ıvel com an´alise

feita neste trabalho, que emprega o MEC tridimensional.

Os deslocamentos calculados pelo Ansys5.4 resultaram em uma ﬁgura pratica-

mente equivalente `a ﬁgura 6.3. Para comparar os modelos, tomou-se ent˜ao o valor

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 86

do deslocamento no centro do bloco. O deslocamento no centro do bloco calculado

pelo programa desenvolvido neste trabalho ´e de aproximadamente 9,26 cent´ıme-

tros, enquanto o Ansys5.4 obteve 8,84 cent´ımetros, implicando em uma diferen¸ca de

aproximadamente 4,8%.

O segundo modelo empregado para comparar valores de deslocamento foi a for-

mula¸c˜ao desenvolvida em ALMEIDA (2003a). A ´unica diferen¸ca entre as formu-

la¸c˜oes empregadas neste trabalho e no trabalho de ALMEIDA (2003a) na resolu¸c˜ao

deste exemplo ´e que, em ALMEIDA (2003a), o bloco ´e modelado pelo MEF com

elementos ﬁnitos de casca planos. Neste trabalho, o bloco ´e modelado pelo MEC

tridimensional.

A solu¸c˜ao obtida para os deslocamentos segundo a formula¸c˜ao de ALMEIDA

(2003a), da mesma forma que os valores do programa Ansys, resultaram em uma

ﬁgura praticamente equivalente `a ﬁgura 6.3. Tomou-se novamente ent˜ao o valor

do deslocamento no centro do bloco para comparar os modelos. Este valor, cal-

culado pela formula¸c˜ao de ALMEIDA (2003a), ´e de 9,39 cent´ımetros, enquanto o

deslocamento obtido do programa desenvolvido neste trabalho ´e de 9,26 cent´ımetros,

implicando em uma diferen¸ca de 1,4%.

Figura 6.4: Deslocamentos no contato

Para uma melhor visualiza¸c˜ao dos deslocamentos, organizou-se no gr´aﬁco da

ﬁgura 6.4 os deslocamentos ao longo do eixo s ilustrado na ﬁgura 6.1. Neste gr´aﬁco

pode ser observada boa simetria nos resultados, sendo a diferen¸ca de deslocamento

entre as bordas de 0,2%.

Um outro dado importante a ser apresentado ´e o das tens˜oes de contato que

ocorrem entre o solo e o bloco. Os valores calculados pelo programa desenvolvido

neste trabalho s˜ao apresentados na ﬁgura 6.5, com unidades em metro e kN . Nesta

ﬁgura est´a ilustrada a ´area de contato entre o bloco e o solo, de 5 por 5 metros,

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 87

Figura 6.5: Tens˜oes de contato

vista em planta. As tens˜oes nas ´areas centrais do contato, identiﬁcadas pelas cores

escuras, s˜ao menores e com pouca varia¸c˜ao. Esta distribui¸c˜ao homogˆenea pode ser

explicada pelo carregamento aplicado de forma uniformemente distribu´ıda no topo

do bloco. As tens˜oes mais elevadas, identiﬁcadas na ﬁgura 6.5 pela cor verde, se

estabelecem nas regi˜oes pr´oximas `as bordas do bloco. Este comportamento pode ser

atribu´ıdo ao alto m´odulo de elasticidade do bloco em rela¸c˜ao ao solo, impedindo o

bloco de moldar-se ao maci¸co.

Para comparar os valores de tens˜oes escolheu-se a formula¸c˜ao de ALMEIDA

(2003a), devido `as semelhan¸cas com o modelo empregado neste trabalho. A solu¸c˜ao

das tens˜oes de contato obtida pela formula¸c˜ao de ALMEIDA (2003a) resulta em

uma ﬁgura praticamente igual `a ﬁgura 6.5. Assim, para uma melhor compara¸c˜ao,

foi feito o gr´aﬁco da ﬁgura 6.6. Todos os valores est˜ao em metros e kN.

Figura 6.6: Tens˜oes de contato

Neste gr´aﬁco, feito para pontos ao longo do eixo s ilustrado na ﬁgura 6.1, pode-se

perceber que tens˜oes determinadas por cada modelo s˜ao muito pr´oximas. Percebe-

se de forma mais clara sua varia¸c˜ao ao longo do contato, sendo quase constante na

´area central e atingindo valores elevados nas bordas. Pode ser observada tamb´em

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 88

uma maior simetria no gr´aﬁco deste trabalho quando comparado aos valores de

ALMEIDA (2003a).

E muito comum, em projetos reais de engenharia, a existˆencia de uma super-

f´ıcie de deslocamentos nulos a uma certa distˆancia da superf´ıcie. Assim sendo, ´e

interessante estudar como a presen¸ca desta superf´ıcie inﬂui na estrutura em estudo.

Para avaliar-se esta inﬂuˆencia, este exemplo ser´a avaliado novamente prescrevendo

uma superf´ıcie de deslocamentos nulos a uma profundidade de 10 metros. Isto pode

ser visualizado na ﬁgura 6.7.

Figura 6.7: Superf´ıcie de deslocamentos nulos

As dimens˜oes do bloco, propriedades f´ısicas dos materiais e carregamento apli-

cado s˜ao os mesmos, sendo a ´unica altera¸c˜ao a considera¸c˜ao da superf´ıcie de desloca-

mentos nulos. Com esta altera¸c˜ao, ocorreu uma sens´ıvel redu¸c˜ao nos deslocamentos

verticais o corridos na superf´ıcie do solo, conforme pode ser visualizado na ﬁgura 6.8

quando comparada `a ﬁgura 6.3. Os valores est˜ao em metros.

Figura 6.8: Deslocamentos verticais em planta considerando a superf´ıcie de desloca-

mentos nulos

Conforme pode ser observado na ﬁgura 6.8, os deslocamentos tˆem boa simetria.

Seu comportamento ´e muito semelhante ao observado na ﬁgura 6.3, sendo a ´unica

diferen¸ca relevante os valores atingidos em cada caso. O valor m´aximo de desloca-

mento caiu de 9,26 cent´ımetros para 6,98 cent´ımetros, valor 24,6% inferior. Para

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 89

uma melhor visualiza¸c˜ao desta diferen¸ca ao longo da base do bloco, foi feito o gr´aﬁco

da ﬁgura 6.9.

Figura 6.9: Compara¸c˜ao dos deslocamentos no contato

Neste gr´aﬁco est˜ao representados os deslocamentos verticais em metros que ocor-

rem ao longo do eixo s, representado na ﬁgura 6.1.

E poss´ıvel observar a curvatura

semelhante que ocorre nos dois casos, apesar da grande diferen¸ca nos valores.

A relevˆancia desta diferen¸ca nos deslocamentos verticais pode ser melhor eviden-

ciada imaginando que estes dois blocos analisados estejam servindo de apoio para

uma ediﬁca¸c˜ao qualquer.

Simulando este caso com o Ansys5.4, obt´em-se um deslocamento no centro do

bloco de 6,81 cent´ımetros. Isto resulta em uma diferen¸ca de 2,5% em rela¸c˜ao ao valor

de 6,98 cent´ımetros encontrado utilizando o programa desenvolvido neste trabalho,

indicando uma boa concordˆancia entre os modelos.

As diferen¸cas observadas nas tens˜oes de contato n˜ao s˜ao t˜ao signiﬁcativas quanto

as dos deslocamentos verticais. Os valores s˜ao t˜ao pr´oximos que nem ´e poss´ıvel

distingui-los com clareza, podendo-se concluir que a superf´ıcie de deslocamentos

nulos n˜ao inﬂui neste resultado.

Pelos resultados obtidos neste trabalho, quando comparados `as demais formu-

la¸c˜oes, pode-se concluir que o programa desenvolvido est´a coerente.

6.3 Bloco sobre uma estaca

O objetivo deste exemplo ´e estudar os efeitos decorrentes de uma estaca conec-

tada `a base de um bloco. A geometria do problema est´a ilustrada nas ﬁguras 6.10

e 6.11. As dimens˜oes do bloco s˜ao de 1 por 1 metro em planta e 1 metro de altura.

A estaca, que ´e quadrada, tem 0,444 metro de diagonal e 4 metros de comprimento.

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 90

Figura 6.10: Vista em perﬁl

Figura 6.11: Vista em planta

O m´odulo de elasticidade adotado para o bloco e a estaca ´e de 21000000kN/m

, e o

coeﬁciente de Poisson para ambos ´e de 0,3. O solo, assumido como um semi-espa¸co

inﬁnito, tem m´odulo de elasticidade igual a 10500kN/m

e coeﬁciente de Poisson

igual a 0,5. A carga externa, aplicada verticalmente no topo do bloco de forma

uniformemente distribu´ıda, ´e de 1000kN/m

. O eixo s, apresentado na ﬁgura 6.11,

tem origem no ponto m´edio da lateral da base do bloco.

Figura 6.12: Vista em planta dos deslocamentos verticais

Os deslo camentos verticais calculados na superf´ıcie livre do solo pelo programa

desenvolvido neste trabalho est˜ao ilustrados, em metros, na ﬁgura 6.12.

E poss´ıvel

observar pequenas assimetrias, as quais podem ser atribu´ıdas `a malha de elementos

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 91

de contorno empregada na resolu¸c˜ao do exemplo. Apesar da malha do bloco ser

sim´etrica, a malha empregada para simular a superf´ıcie do solo, gerada no programa

Ansys, resultou assim´etrica devido `a complexa geometria do problema. Para uma

melhor an´alise do efeito causado nos deslocamentos pela presen¸ca da estaca, foi feito

o gr´aﬁco da ﬁgura 6.13.

Figura 6.13: Deslocamentos no contato

Neste gr´aﬁco constam os valores do deslocamento vertical nos n´os pertencentes

ao eixo s, mostrado na ﬁgura 6.11. Comparando este gr´aﬁco com o gr´aﬁco da ﬁgura

6.4, no qual est˜ao apresentados os deslocamentos em um bloco sem estacas, ´e poss´ıvel

perceber que a curvatura ´e invertida pela presen¸ca da estaca. A assimetria observada

nos resultados pode ser desprezada, pois representa uma diferen¸ca de apenas 0,15%

nos deslocamentos das bordas do bloco.

Figura 6.14: Vista em planta das tens˜oes de contato

As tens˜oes de contato calculadas pelo programa desenvolvido neste trabalho es-

t˜ao apresentadas, em kN/m

, na ﬁgura 6.14. Conforme esperado, o valores mais

elevados, indicados pela cor verde, ocorrem na parcela do contato onde est´a a es-

taca. Isto demonstra que a estaca absorve grande parte das cargas aplicadas no

bloco, sendo o contato com o solo menos solicitado. Isto pode ser observado mais

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 92

claramente no gr´aﬁco da ﬁgura 6.15.

E poss´ıvel notar que houve boa simetria neste

resultado, e que as bordas da estaca absorvem mais carga que seu centro.

Figura 6.15: Tens˜oes no contato

Para comprovar a consistˆencia do programa ser˜ao comparados resultados com

os publicados em BUTTERFIELD & BANERJEE (1971), onde ´e analisada uma

estaca conectada a uma lˆamina r´ıgida. Para simular esta lˆamina empregou-se o bloco

descrito no in´ıcio deste item, pois este pode ser considerado equivalente `a lˆamina

r´ıgida, devido `a sua espessura em conjunto com seu alto m´odulo de elasticidade em

rela¸c˜ao ao solo.

Em BUTTERFIELD & BANERJEE (1971) s˜ao deﬁnidos alguns termos, os quais

s˜ao explicados a seguir. O primeiro, denominado λ, ´e dado pela express˜ao:

λ =

(6.1)

Na express˜ao 6.1, E

´e o m´odulo de elasticidade longitudinal da estaca e G

´e

o m´odulo de elasticidade transversal do solo. O valor de G

´e dado pela seguinte

express˜ao:

2 (1 + ν

)

(6.2)

Como E

e ν

s˜ao conhecidos, ´e poss´ıvel substitui-los na express˜ao 6.2. Assim:

10500

2 (1 + 0, 5)

= 3500kN/m

Substituindo os valores de G

e E

em 6.1, chega-se ao seguinte valor de λ:

λ =

21000000

3500

= 6000

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 93

Outras vari´aveis a serem deﬁnidas s˜ao o comprimento em planta do bloco:

B = 1 m

a carga total P aplicada ao sistema, igual `a carga p uniformemente distribu´ıda vezes

a ´area do topo do bloco:

P = 1000 · 1 · 1 = 1000kN

e o diˆametro D da estaca. Em BUTTERFIELD & BANERJEE (1971) o diˆametro

D ´e fun¸c˜ao do comprimento B bloco, segundo a seguinte express˜ao:

D =

2, 5

(6.3)

Substituindo-se o valor de B em 6.3, obt´em-se o seguinte diˆametro de estaca:

D =

2, 5

= 0, 4 m

Para compensar o fato de que a estaca considerada em BUTTERFIELD &

BANERJEE (1971) ´e de se¸c˜ao circular e a estaca considerada no programa de-

senvolvido neste trabalho ´e de se¸c˜ao quadrada escolheu-se, para a estaca quadrada,

uma diagonal tal que seu per´ımetro seja igual ao de uma estaca circular de diˆametro

igual a 0,4 metro. O p er´ımetro P

de uma estaca circular de diˆametro igual a 0,4

metro pode ser calculado da seguinte forma:

= πD = 0, 4π

O per´ımetro P

de uma estaca quadrada de diagonal D

´e:

= 4

√

= 2D

√

Igualando P

a P

, torna-se poss´ıvel determinar a diagonal D

da estaca quadrada.

Assim:

√

2 = 0, 4π

0, 4π

√

≈ 0, 444 m

Portanto, uma estaca circular de diˆametro igual a 0,4 metro pode ser aproximada

por uma estaca quadrada de diagonal igual a 0,444 metro.

No estudo que ´e feito em BUTTERFIELD & BANERJEE (1971), varia-se o

comprimento da estaca e avalia-se este efeito no deslocamento ocorrido no topo da

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 94

estaca. Com os resultados, monta-se um gr´aﬁco no qual as abcissas x correspondem

ao cociente entre o comprimento L da estaca e seu diˆametro D. Ou seja:

x =

(6.4)

Os valores no eixo das coordenadas s˜ao calculados por meio da express˜ao:

y =

GW D

(6.5)

Na express˜ao 6.5, P ´e o valor da carga total aplicada ao sistema, G ´e o m´odulo de

elasticidade transversal G

do solo, W ´e o deslocamento calculado no topo da estaca

e D ´e o diˆametro da estaca. Assim, variando o comprimento da estaca e calculando

o valor de x e y pelas express˜oes 6.4 e 6.5, determinou-se o gr´aﬁco da ﬁgura 6.16.

Figura 6.16: Deslocamento no top o da estaca

Conforme pode ser observado no gr´aﬁco desta ﬁgura, os valores coincidem no

primeiro ponto da curva mas divergem com o aumento do comprimento da estaca.

Como os valores de y, express˜ao 6.5, determinados pelo programa desenvolvido neste

trabalho s˜ao maiores que os obtidos por BUTTERFIELD & BANERJEE (1971),

conclui-se que os deslocamentos obtidos por BUTTERFIELD & BANERJEE (1971)

resultaram maiores.

A diferen¸ca observada nas curvas pode ser atribu´ıda `as diversas diferen¸cas exis-

tentes entre os modelos empregados neste trabalho e em BUTTERFIELD & BANER-

JEE (1971). Algumas que podem ser citadas s˜ao a se¸c˜ao transversal considerada,

a ﬂexibilidade do bloco, a dimens˜ao de cada modelo e a carga aplicada. Apesar do

carregamento resultante ser o mesmo, no caso do bloco tridimensional este ´e apli-

cado em seu topo, enquanto que em BUTTERFIELD & BANERJEE (1971) a carga

´e aplicada diretamente no topo da estaca.

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 95

Foram analisados tamb´em outros exemplos envolvendo blocos sobre estacas.

Foram tamb´em comparados com BUTTERFIELD & BANERJEE (1971) os casos

de um bloco sobre duas estacas e de um bloco sobre quatro estacas, sendo o gr´a-

ﬁco resultante semelhante ao da ﬁgura 6.16. Como a conclus˜ao ´e a mesma, estes

exemplos n˜ao ser˜ao exibidos aqui.

6.4 Intera¸c˜ao entre dois blocos

Neste exemplo s˜ao analisados dois blocos idˆenticos ao do item 6.2, para estudar

a inﬂuˆencia que ocorre entre eles. Assim sendo, as dimens˜oes de cada bloco s˜ao de 5

por 5 metros em planta e 1,25 metros de altura. O m´odulo de elasticidade adotado

para os blocos ´e de 21000000kN/m

e o coeﬁciente de Poisson de 0,3. O solo, assu-

mido como um semi-espa¸co inﬁnito, tem m´odulo de elasticidade igual a 40000kN/m

e coeﬁciente de Poisson igual a 0,3. A carga externa, aplicada verticalmente no topo

de cada bloco de forma uniformemente distribu´ıda, ´e de 1000kN/m

. Estes blocos

est˜ao ilustrados nas ﬁguras 6.17 e 6.18.

Figura 6.17: Vista em planta

Figura 6.18: Vista em perﬁl

A distˆancia adotada entre os blocos foi de 5 metros, conforme ilustrado na ﬁgura

6.17. O eixo s, com origem na face esquerda do bloco 1, ´e utilizado como referˆencia

em alguns resultados. As unidades de todos os valores apresentados ent˜ao em kN e

metro.

Na ﬁgura 6.19 est˜ao ilustrados, em planta, os deslocamentos em metros ocorridos

na superf´ıcie livre do solo na dire¸c˜ao vertical.

E poss´ıvel observar que os maiores

deslocamentos, indicados pela cor verde, ocorreram no contato entre os blocos e o

solo. O valor m´aximo calculado foi de aproximadamente 9,88 cent´ımetros, o que

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 96

Figura 6.19: Vista em planta dos deslocamentos verticais

representa um aumento de aproximadamente 6,7% em rela¸c˜ao ao bloco isolado cal-

culado no item 6.2. Outra observa¸c˜ao importante a ser feita na ﬁgura 6.19 ´e que os

blocos se inclinaram para o centro, devido `a inﬂuˆencia de um sobre o outro. Mesmo

pequena esta inclina¸c˜ao introduz excentricidades aos carregamentos aplicados nos

blocos, e isto n˜ao seria detectado analisando cada bloco isoladamente.

Figura 6.20: Deslocamento vertical na base dos blocos

Para melhor visualiza¸c˜ao da inclina¸c˜ao dos blocos, foi montado o gr´aﬁco da

ﬁgura 6.20. Este gr´aﬁco, para melhor entendimento, cont´em apenas os n´os dos

blocos presentes no eixo s (ﬁgura 6.17).

Outro resultado relevante ´e o das tens˜oes de contato que ocorrem entre os blocos

e o solo. No gr´aﬁco da ﬁgura 6.21, est˜ao ilustrados os valores da tens˜ao ao longo do

eixo s (ﬁgura 6.17). Comparando as tens˜oes obtidas para dois blocos, ﬁgura 6.21,

com as tens˜oes obtidas no item 6.2 para um bloco, ﬁgura 6.6, pode-se concluir que

n˜ao h´a diferen¸cas signiﬁcativas. A assimetria dos resultados, decorrente da malha

n˜ao sim´etrica do solo , causa maiores perturba¸c˜oes que a inﬂuˆencia dos blocos entre

si.

Pode-se concluir que os resultados obtidos neste exemplo s˜ao coerentes. N˜ao foi

poss´ıvel reproduzir este exemplo utilizando o programa Ansys, pois este programa

´e baseado no MEF. Para obter valores coerentes, seria necess´ario dividir os blocos

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 97

Figura 6.21: Tens˜ao de contato na base dos blocos

e o solo em um grande n´umero de elementos ﬁnitos tridimensionais. Isto resultaria

em um sistema de equa¸c˜oes demasiadamente grande, inviabilizando sua resolu¸c˜ao.

6.5 Intera¸c˜ao entre quatro blocos

O objetivo deste exemplo ´e avaliar a inﬂuˆencia de quatro blocos entre si. Os

blocos s˜ao iguais, sendo adotados para cada um deles valores iguais aos do item 6.2.

Portanto, as dimens˜oes de cada bloco s˜ao de 5 por 5 metros em planta e 1,25 metros

de altura. O m´odulo de elasticidade adotado para os blocos ´e de 21000000kN/m

o coeﬁciente de Poisson de 0,3. O solo, assumido como um semi-espa¸co inﬁnito, tem

m´odulo de elasticidade igual a 40000kN/m

e coeﬁciente de Poisson igual a 0,3. A

carga externa, aplicada verticalmente no topo de cada blo co de forma uniformemente

distribu´ıda, ´e de 1000kN/m

. A ﬁgura 6.22 ilustra a geometria do problema.

Figura 6.22: Vista em planta

Foi adotada uma distˆancia de 5 metros entre os blocos, conforme ilustrado na

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 98

ﬁgura 6.22. O eixo s tem origem na face esquerda do bloco 1, sendo utilizado como

referˆencia em alguns resultados. As unidades de todos os valores apresentados ent˜ao

em kN e metro.

A ﬁgura 6.23 apresenta os deslocamentos verticais em metros ocorridos na super-

f´ıcie livre do solo. Pode-se visualizar, pela cor verde, a ´area do solo onde os blocos

est˜ao apoiados. O deslocamento m´aximo ocorreu nos cantos mais pr´oximos do cen-

tro, com valor de aproximadamente 12,8 cent´ımetros. Isto representa uma diferen¸ca

de aproximadamente 36,1% em rela¸c˜ao ao bloco isolado calculado no item 6.2 e de

27,5% em rela¸c˜ao aos dois blocos calculados no item 6.4. A inclina¸c˜ao para o centro

tamb´em se tornou mais evidente que aquela detectada no item 6.4. Isto implica em

excentricidades mais sens´ıveis para os carregamentos aplicados nos blocos, tornando

este efeito mais relevante.

Figura 6.23: Vista em planta dos deslocamentos verticais

O gr´aﬁco da ﬁgura 6.24 permite visualizar com mais facilidade a inclina¸c˜ao dos

blocos 1 e 2. Foram considerados somente os n´os pertencentes ao eixo s ilustrado na

ﬁgura 6.22. Comparando as ﬁguras 6.20 e 6.24, ´e poss´ıvel notar uma inclina¸c˜ao mais

acentuada ao se considerar quatro blocos. Enquanto a diferen¸ca nos deslocamentos

das extremidades do blo co 1 da ﬁgura 6.20 ´e de aproximadamente 6,5 mil´ımetros,

na ﬁgura 6.24 esta diferen¸ca atinge 9,5 mil´ımetros. Outra compara¸c˜ao importante

a ser feita entre estas ﬁguras se refere `a diferen¸ca nos valores dos deslocamentos,

claramente superiores ao se considerar quatro blocos.

As tens˜oes de contato que ocorrem entre os blocos 1 e 2 e o solo est˜ao ilustradas

no gr´aﬁco da ﬁgura 6.25. S˜ao tomados os valores ao longo d eixo s ilustrado na

ﬁgura 6.22. Assim como ocorreu na compara¸c˜ao dos exemplos dos itens 6.2 e 6.4,

n˜ao houve mudan¸cas signiﬁcativas nas tens˜oes de contato dos blocos com o solo.

A inﬂuˆencia dos blocos entre si n˜ao afeta este resultado sensivelmente. Novamente

ocorrem pequenas assimetrias na resposta, o que pode ser justiﬁcado pela malha de

elementos de contorno n˜ao sim´etrica que foi empregada no solo para a resolu¸c˜ao do

exemplo.

Pode-se concluir que os resultados obtidos neste exemplo s˜ao coerentes. Assim

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 99

Figura 6.24: Deslocamento vertical na base dos blocos

Figura 6.25: Tens˜ao de contato na base dos blocos

como no exemplo do item 6.4, n˜ao foi poss´ıvel reproduzir esta an´alise no programa

Ansys devido ao n´umero elevado de elementos ﬁnitos tridimensionais necess´arios

para uma simula¸c˜ao adequada do problema.

6.6 Ediﬁca¸c˜ao apoiada sobre blocos

Neste exemplo ´e analisada uma ediﬁca¸c˜ao tridimensional de um pavimento a-

poiada em quatro blocos, conforme ilustrado nas ﬁguras 6.26 e 6.27. S˜ao utilizados

elementos de casca DKT/FF nas lajes e seis graus de liberade por n´o nas barras,

diferente da formula¸c˜ao empregada em ALMEIDA (2003a).

A ediﬁca¸c˜ao ´e composta por uma laje apoiada em quatro vigas, as quais s˜ao

apoiadas nos quatro pilares. Todo o edif´ıcio ´e simulado pelo MEF, sendo a laje

modelada p elo elemento de casca DKT/FF e os pilares e vigas por elementos de

barra. A distˆancia entre os pilares ´e de 10 metros, e a altura do pavimento ´e de 3

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 100

Figura 6.26: Ediﬁca¸c˜ao tridimensional em perspectiva

Figura 6.27: Ediﬁca¸c˜ao tridimensional em perﬁl

metros. O eixo s

, indicado nas ﬁguras 6.26 e 6.27, tem origem na base de um dos

pilares e mesma dire¸c˜ao do eixo cartesiano z, indicado nas mesmas ﬁguras.

Os blocos utilizados para apoiar a ediﬁca¸c˜ao s˜ao idˆenticos aos da se¸c˜ao 6.5.

Portanto, as dimens˜oes de cada bloco s˜ao de 5 por 5 metros em planta e 1,25 metros

de altura. As propriedades f´ısicas adotadas para os blocos s˜ao m´odulo de elasticidade

de 21000000kN/m

e coeﬁciente de Poisson 0,3. A distˆancia entre os blocos ´e de

5 metros, tanto na dire¸c˜ao x como na dire¸c˜ao y. O solo, assumido como um semi-

espa¸co inﬁnito, tem m´odulo de elasticidade igual a 40000kN/m

e coeﬁciente de

Poisson 0,3. Tamb´em neste exemplo ser´a utilizado o eixo s, indicado na ﬁgura 6.28.

Figura 6.28: Vista em planta dos blocos

A espessura adotada para a laje foi de 0,3 metro e uma se¸c˜ao transversal quadrada

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 101

com 0,5 metro de lado para todas as vigas e pilares, conforme ilustrado na ﬁgura

6.29. Os eixos x e y desta ﬁgura tˆem a mesma dire¸c˜ao e orienta¸c˜ao dos eixos x e y

da ﬁgura 6.26.

Figura 6.29: Se¸c˜ao transversal dos pilares e vigas

A geometria da laje pode ser melhor visualizada na ﬁgura 6.30. Nesta ﬁgura,

o eixo s

´e alinhado ao eixo x da ﬁgura 6.26 e o eixo s

´e alinhado ao eixo y. Foi

adotado para a laje, os pilares e as vigas um m´odulo de elasticidade longitudinal

igual a 21000000kN/m

e coeﬁciente de Poisson 0,3. Foi aplicado na laje um carre-

gamento vertical uniformemente distribu´ıdo e igual a 5kN/m

, al´em de duas cargas

horizontais na dire¸c˜ao do eixo x. Estas cargas horizontais podem ser visualizadas

nas ﬁguras 6.26 e 6.27, e tˆem o valor de 20kN cada uma.

Figura 6.30: Geometria da laje

Em todos os resultados apresentados neste exemplo, as unidades est˜ao em metros

e kN/m

A ﬁgura 6.31 apresenta os deslocamentos verticais em metros ocorridos na su-

perf´ıcie livre do solo. A cor verde indica as ´areas que mais se deslocaram, enquanto

as cores escuras indicam as ´areas que menos se deslocaram.

E poss´ıvel notar que

a inclina¸c˜ao dos blocos ´e de dentro para fora, comportamento inverso ao observado

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 102

na ﬁgura 6.23 do item 6.5. Este comportamento pode ser explicado pelo momento

ﬂetor que ´e transmitido da laje para os pilares e destes para os blocos. Outra obser-

va¸c˜ao que pode ser feita ´e que os blocos da direita afundam um pouco mais que os

da esquerda. Isto ´e conseq

uˆencia do efeito do carregamento horizontal aplicado da

esquerda para a direita, causando um pequeno al´ıvio nos blocos da esquerda e uma

pequena sobre-carga nos blocos da direita. O deslocamento m´aximo ocorreu nos

cantos mais afastados do centro, com valor de aproximadamente 0,075 cent´ımetros.

Figura 6.31: Vista em planta dos deslocamentos verticais

Para melhor visualizar a diferen¸ca nos deslocamentos dos blocos da direita e

esquerda, foi montado o gr´aﬁco da ﬁgura 6.32. Este gr´aﬁco cont´em os deslocamentos

verticais o corridos nos blocos 1 e 2 ao longo do eixo s (ﬁgura 6.28). Al´em da

inclina¸c˜ao dos blocos, ´e poss´ıvel notar que o bloco da direita se inclina sensivelmente

mais que o bloco da esquerda. Esta diferen¸ca acontece devido `a carga horizontal

aplicada do lado esquerdo da ediﬁca¸c˜ao, causando uma maior solicita¸c˜ao dos blocos

da direita.

As tens˜oes de contato que ocorrem entre os blocos 1 e 2 e o solo est˜ao ilustradas

no gr´aﬁco da ﬁgura 6.33. S˜ao tomados os valores ao longo do eixo s ilustrado na

ﬁgura 6.28.

E poss´ıvel observar que as tens˜oes de contato na base do bloco 1 n˜ao

sofrem tanta varia¸c˜ao quanto as tens˜oes na base do bloco 2. Isso pode ser considerado

coerente, ap´os observar na ﬁgura 6.32 que o bloco 2 se inclina mais que o bloco 1.

Est˜ao ilustrados, na ﬁgura 6.34, os deslocamentos calculados na dire¸c˜ao z para

os n´os localizados sobre o eixo s

da laje da ediﬁca¸c˜ao. Al´em da ediﬁca¸c˜ao apoiada

sobre o conjunto formado pelos blocos e o solo, tamb´em foi calculada esta mesma

ediﬁca¸c˜ao com a base dos pilares restringida. Ou seja, restringiu-se os seis graus de

liberdade existentes na extremidade inferior de cada pilar.

E poss´ıvel observar que a ediﬁca¸c˜ao, quando apoiada no conjunto formado pelos

blocos e o solo, se desloca mais do que quando tem sua base restringida. Isto ´e

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 103

Figura 6.32: Deslocamento vertical na base dos blocos

Figura 6.33: Tens˜ao de contato na base dos blocos

previs´ıvel, uma vez que os deslocamentos ocorridos no solo e nos blocos se propagam

para o edif´ıcio. Esta diferen¸ca, ao longo do gr´aﬁco, ´e de cerca de 1 mil´ımetro.

O gr´aﬁco da ﬁgura 6.35 tamb´em cont´em os deslocamentos calculados na dire¸c˜ao

z para os n´os da laje, s´o que para o eixo s

. Da mesma forma, foram colocados no

mesmo gr´aﬁco os deslocamentos calculados com a base dos pilares restringida.

Nota-se novamente a diferen¸ca entre as curvas de aproximadamente 1 mil´ımetro.

Apesar de semelhantes, as ﬁguras 6.34 e 6.35 n˜ao s˜ao iguais. O deslocamento m´aximo

´e o mesmo, ocorrido no centro da laje onde os eixos s

e s

se cruzam, no entanto,

os deslocamentos m´ınimos ocorridos nas bordas da laje s˜ao diferentes. A varia¸c˜ao

no deslocamento ao longo do eixo s

´e maior que no eixo s

, o que permite concluir

que a ﬂex˜ao da laje ´e mais intensa na dire¸c˜ao do eixo x. Esta diferen¸ca pode ser

explicada pelo efeito das cargas horizontais aplicadas na ediﬁca¸c˜ao na dire¸c˜ao x.

O momento ﬂetor na dire¸c˜ao x ao longo do eixo s

est´a representado na ﬁgura

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 104

Figura 6.34: Deslocamento vertical no eixo s

Figura 6.35: Deslocamento vertical no eixo s

6.36, sendo analisado tamb´em para os dois tipos de funda¸c˜ao.

Algo interessante de ser observado na ﬁgura 6.36 ´e que o momento ﬂetor resul-

tou maior quando foi considerada a intera¸c˜ao do solo com a estrutura. Em outras

palavras, quando a funda¸c˜ao ´e o conjunto solo/blocos o momento MX resulta su-

perior ao calculado quando a funda¸c˜ao est´a restringida. Com isto, conclui-se que ´e

importante a considera¸c˜ao da intera¸c˜ao do solo com a estrutura. Caso esta intera¸c˜ao

fosse ignorada, o esfor¸co adicional decorrente da ﬂexibilidade da funda¸c˜ao n˜ao seria

detectado.

Pode-se chegar `a mesma conclus˜ao analisando-se o gr´aﬁco da ﬁgura 6.37, no qual

est˜ao apresentados os valores do momento ﬂetor na dire¸c˜ao y ao longo do eixo s

. A

diferen¸ca entre os valores das curvas nesta ﬁgura ultrapassa 5% nos apoios, podendo

ser considerada relevante. Caso o solo fosse mais ﬂex´ıvel, esta diferen¸ca seria ainda

maior.

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 105

Figura 6.36: Momento MX no eixo s

Figura 6.37: Momento MY no eixo s

Um outro dado a ser apresentado ´e o dos deslocamentos horizontais na dire¸c˜ao

x que ocorrem ao longo de um dos pilares. O pilar escolhido ´e o que est´a apoiado

sobre o bloco 1, indicado na ﬁgura 6.28. Ao longo deste pilar foi deﬁnido o eixo s

ilustrado nas ﬁguras 6.26 e 6.27. O deslocamento na dire¸c˜ao x ao longo do pilar est´a

apresentado no gr´aﬁco da ﬁgura 6.38.

Quando o pilar ´e conectado ao bloco, que por sua vez est´a apoiado no solo,

nota-se que o deslocamento em sua base ´e diferente de zero. J´a para o caso do pilar

com base restringida, conforme previsto, a base tem deslocamento nulo. Mesmo

com um deslocamento para a esquerda em sua base, o pilar conectado ao bloco

apresenta um deslocamento para a direita no topo claramente superior ao caso do

pilar com base restringida. Esta diferen¸ca ´e superior a 50%, tomando como referˆen-

cia o deslocamento do pilar de base restringida. Observando este comportamento,

conclui-se novamente que os efeitos da intera¸c˜ao do solo com a estrutura n˜ao podem

CAP

ITULO 6. EXEMPLOS 106

Figura 6.38: Deslocamento horizontal do pilar

ser desprezados. Como os deslocamentos s˜ao diferentes em cada caso, pode-se con-

cluir que os esfor¸cos tamb´em s˜ao. Portanto, caso a intera¸c˜ao solo/estrutura n˜ao seja

considerada, n˜ao ´e poss´ıvel calcular com exatid˜ao os esfor¸cos que solicitam o pilar.

Este exemplo apresenta resultados coerentes, e a partir dele ´e poss´ıvel perceber

a importˆancia da considera¸c˜ao da intera¸c˜ao do solo com a estrutura. N˜ao foram

apresentadas compara¸c˜oes com outros autores devido `a escassez de trabalhos que

analisem a intera¸c˜ao do solo com a estrutura em abordagem tridimensional.

6.7 Considera¸c˜oes ﬁnais

Este cap´ıtulo apresentou uma s´erie de resultados obtidos a partir do programa

desenvolvido por ALMEIDA (2003a) e das extens˜oes desenvolvidas neste trabalho

de mestrado. Grande parte dos resultados apresentados representam contribui¸c˜oes

originais, devido `a escassez na literatura de trabalhos que analisem a intera¸c˜ao do

solo com a estrutura de forma semalhante `a realizada aqui.

Cap´ıtulo 7

Conclus˜oes

7.1 Observa¸c˜oes ﬁnais

Para o desenvolvimento deste trabalho, foi feita uma revis˜ao bibliogr´aﬁca voltada

aos trabalhos que tratam da intera¸c˜ao do solo com a estrutura. A maior parte

das publica¸c˜oes apresenta modelos com algumas limita¸c˜oes para a simula¸c˜ao do

sistema funda¸c˜ao/solo, tais como a considera¸c˜ao de um meio homogˆeneo, isotr´opico

e semi-inﬁnito. Al´em disto, a grande maioria dos trabalhos emprega formula¸c˜oes

em duas dimens˜oes, o que diﬁculta a investiga¸c˜ao de casos reais de engenharia.

Estas limita¸c˜oes podem ser justiﬁcadas pelo grande volume de dados que devem

ser gerados em uma an´alise tridimensional de um problema t˜ao complexo quanto a

intera¸c˜ao solo/estrutura.

A ferramenta num´erica que se apresenta como a melhor op¸c˜ao para a simula¸c˜ao

tridimensional do solo semi-inﬁnito ´e o m´etodo dos elementos de contorno (MEC),

devido `as propriedades de suas fun¸c˜oes ponderadoras que permitem a considera¸c˜ao

de condi¸c˜oes de contorno aplicadas a grandes distˆancias. Al´em disto, pelo MEC, ´e

poss´ıvel representar um problema tridimensional por meio de um modelo em duas

dimens˜oes. Isto diminui consideravelmente o volume de dados gerado na an´alise.

Aplicando o MEC em an´alise tridimensional, este trabalho apresentou uma fer-

ramenta computacional para simula¸c˜ao de problemas de intera¸c˜ao do solo com a

estrutura. O ponto de partida foi o programa desenvolvido por ALMEIDA (2003a),

tendo sido revisada a teoria envolvida em sua implementa¸c˜ao.

O programa original de ALMEIDA (2003a) emprega o m´etodo dos elementos

de contorno (MEC) tridimensional, simulando um solo apoiado em uma superf´ıcie

de deslocamento nulo e dividido em camadas, podendo estas ser enrijecidas por

um n´umero qualquer de estacas. Neste solo foi empregado o M´etodo da Rigidez

Sucessiva (MRS) apresentado por MAIER & NOVATI (1987), aplicado a um meio

tridimensional e enrigecido por elementos de funda¸c˜ao.

107

CAP

ITULO 7. CONCLUS

OES 108

A superestrutura, que pode ser at´e um edif´ıcio, ´e simulada por trˆes tipos de

modelos num´ericos. O primeiro s˜ao elementos ﬁnitos triangulares DKT/FF, que

podem ser empregados em uma funda¸c˜ao do tipo radier para o edif´ıcio. O segundo

s˜ao elementos ﬁnitos reticulares, nos quais ´e desprezado o efeito da tor¸c˜ao, empre-

gados nas vigas e pilares do edif´ıcio. Por ﬁm, as lajes do edif´ıcio s˜ao modeladas por

membranas r´ıgidas.

Combinando as formula¸c˜oes do MEC e do MEF, o programa de ALMEIDA

(2003a) permite estudar a intera¸c˜ao do solo com a estrutura resolvendo um ´unico

sistema de equa¸c˜oes que representa toda a estrutura.

A primeira extens˜ao implementada neste trabalho no programa de ALMEIDA

(2003a) foi permitir a simula¸c˜ao de blocos tridimensionais e modelados pelo MEC

apoiados sobre o solo. A formula¸c˜ao utilizada se baseia em t´ecnicas de sub-regi˜oes do

MEC, aplicando condi¸c˜oes de equil´ıbrio de for¸cas e compatibilidade de deslocamentos

nas superf´ıcies de contato entre os diferentes meios.

Alguns exemplos envolvendo blocos sobre o solo foram resolvidos. Alguns dos

resultados obtidos s˜ao contribui¸c˜oes originais, pois n˜ao h´a publica¸c˜oes na biblio-

graﬁa nas quais s˜ao apresentadas as tens˜oes de contato que ocorrem entre blocos

tridimensionais e o solo. Outro dado interessante ´e a inﬂuˆencia de um bloco no

outro, imposs´ıvel de ser detectada analisando-se cada bloco isoladamente.

Pode-se chegar a uma conclus˜ao interessante a partir da diferen¸ca que ocorre

nos deslocamentos do bloco ao considerar ou n˜ao uma sup erf´ıciede deslocamentos

nulos. Caso dois blocos estivessem servindo de funda¸c˜ao para uma ediﬁca¸c˜ao, ambos

idˆenticoa, submetidos `a mesma carga e apoiadono mesmo tipo de solo, e sob apenas

um deles houvesse a camada de deslocamentos nulos, o recalque diferencial que

ocorreria entre estes blocos seria relevante. Esta diferen¸ca no recalque produziria

esfor¸cos n˜ao previstos na ediﬁca¸c˜ao em quest˜ao, podendo prejudicar sua estrutura.

Foi veriﬁcada uma boa co erˆencia nos exemplos nos quais s˜ao analisados blocos

apoiados em um solo sem estacas. Quando ´e considerado um n´umero maior de

blocos, dois ao inv´es de quatro, torna-se mais evidente a inﬂuˆencia entre eles. Este

fato foi observado pela inclina¸c˜ao estabelecida em cada um deles, mais acentuada

quando se aumenta o n´umero de blocos. Assim, ´e poss´ıvel concluir que a formula¸c˜ao

empregada na an´alise de um n´umero qualquer de blo cos apoiados sobre o solo ´e

adequada. Desta forma, o objetivo de acoplar ao solo um n´umero qualquer de

blocos tridimensionais foi cumprido.

Na parte ﬁnal do trabalho, foi acoplado ao sistema composto por blocos e o

solo um edif´ıcio tridimensional modelado pelo MEF. Esate edif´ıcio ´e diferente do

considerado na formula¸c˜ao de ALMEIDA (2003a), pois as lajes s˜ao simuladas por

elementos DKT/FF e os pilares s˜ao modelados por elementos reticulares com seis

graus de liberdade por n´o. A formula¸c˜ao utilizada para acoplar o edif´ıcio ao con-

CAP

ITULO 7. CONCLUS

OES 109

junto solo/blocos foi a mesma empregada em ALMEIDA (2003a) no acoplamento

placa/solo. Para que isto fosse poss´ıvel a conec¸c˜ao dos pilares com os blocos foi

intermediada por uma placa ﬂax´ıvel modelada por elementos DKT/FF, tal como a

placa considerada em ALMEIDA (2003a).

No ´ultimo exemplo foi considerada uma ediﬁca¸c˜ao de um pavimento, apoiando

seus pilares em blo cos e apoiando os blocos no solo. Nete exemplo foi poss´ıvel

estudar de forma mais abrangente a intera¸c˜ao do solo com a estrutura, apresentando

resultados que comprovam sua importˆancia. A inclina¸c˜ao estabelecida nos blocos

devido aos momentos transmitidos da estrutura ´e um dado interessante, pois nos

exemplos anteriores nos quais foram considerados blocos esta inclina¸c˜ao foi dife-

rente. As diferen¸cas detectadas entre dois blocos nos deslocamentos e tens˜oes de

seu contato com o solo foram explicadas pelo carregamento horizontal aplicado `a

ediﬁca¸c˜ao. Os resultados apresentados para a estrutura foram deslocamentos na

laje, deslocamentos em um pilar e momentos ﬂetores na laje, comparando os valores

calculados para a funda¸c˜ao solo/blocos com valores calculados para uma funda¸c˜ao

r´ıgida. A an´alise das diferen¸cas em cada caso levou `a conclus˜ao de que os efeitos da

intera¸c˜ao do solo com a estrutra n˜ao podem ser desprezados. Este estudo consiste

em mais uma contribui¸c˜ao original.

De forma geral, os resultados apresentados demonstraram a consistˆencia do pro-

grama com resultados coerentes. Alguns destes resultados foram comparados com

o programa Ansys ou publica¸c˜oes de outros autores, validando a formula¸c˜ao empre-

gada. Em alguns exemplos n˜ao foram apresentadas compara¸c˜oes devido `a escassez

existente na literatura de resultados semelhantes. Portanto, este trabalho preenche

uma lacuna existente nas pesquisas sobre intera¸c˜ao do solo com a estrutura, que ´e a

simula¸c˜ao deste problema de forma mais completa e em abordagem tridimensional.

Por ﬁm, este trabalho apresentou uma poderosa e vers´atil ferramenta para o

estudo da intera¸c˜ao do solo com a estrutura. Como principais contribui¸c˜oes deste

trabalho, podem-se citar as an´alises das tens˜oes de contato estabelecidas entre blocos

tridimensionais e o solo, da inﬂuˆencia entre blocos e dos resultados obtidos para um

edif´ıcio apoiado sobre blocos.

7.2 Propostas para trabalhos futuros

A seguir, s˜ao enumeradas propostas para trabalhos futuros que podem dar con-

tinuidade ao programa computacional aqui desenvolvido.

1. Modelar o solo empregando uma formula¸c˜ao semi-anal´ıtica, eleminando o pro-

blema com os n´os duplos;

2. Substituir as estacas tridimensionais por um modelo mais simpliﬁcado, de

CAP

ITULO 7. CONCLUS

OES 110

forma a reduzir o tempo de processamento necess´ario para calcular estruturas

mais complexas;

3. Considerar o deslizamento das estacas em rela¸c˜ao ao maci¸co;

4. Empregar modelos reol´ogicos mais completos no solo considerando, por exem-

plo, n˜ao-linearidade f´ısica;

5. Empregar modelos de n˜ao-linearidade geom´etrica na superestrutura.

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Apˆendice A

Integral singular

O objetivo deste apˆendice ´e expor as passagens matem´aticas impl´ıcitas e ntre as

igualdades 2.77 e 2.79, que s˜ao parte do processo dedutivo apresentado no cap´ıtulo

As hip´oteses iniciais s˜ao contorno suave no ponto i e uma semi-esfera de raio ε

envolvendo este ponto, conforme mostrado na ﬁgura 2.6. A express˜ao a ser analisada

´e a seguinte:



∗

· u

· dΓ = lim

ε→0













Γ−Γ

∗

· u

· dΓ











+ lim

ε→0













∗

· u

· dΓ











(A.1)

Considerando somente a integral em Γ

, tem-se que:

I = lim

ε→0













· p

∗

· dΓ











= u

· lim

ε→0













∗

· dΓ











(A.2)

Substituindo a express˜ao 2.52 na equa¸c˜ao A.2, obt´em-se:

I = lim

ε→0







−1

8·π·(1−ν)·r





∂r

∂η



(1 − 2 · ν) · δ

+ 3 ·

∂r

∂x

∂r

∂x



+ (1 − 2 · ν) ·



∂r

∂x

· η

−

∂r

∂x

· η



· dΓ



(A.3)

Como a integral est´a sendo feita no controno Γ

a partir do ponto i, que se

encontra no centro da semi-esfera, conclui-se que o raio ε da esfera ´e igual `a distˆancia

r entre o ponto campo e o ponto fonte. Com isto, torna-se mais pr´atico adotar um

sistema de coordenadas esf´erico com centro no ponto i. Assim, tornam-se v´alidas as

igualdades:

∂r

∂x

(A.4)

119

ENDICE A. INTEGRAL SINGULAR 120

∂r

∂x

(A.5)

Portanto:

∂r

∂x

· η

−

∂r

∂x

· η

∂r

∂x

∂r

∂x

−

∂r

∂x

∂r

∂x

= 0 (A.6)

Assim, a express˜ao A.6 se reduz a:

I = lim

ε→0















−1

8 · π · (1 − ν) · r





∂r

∂η



(1 − 2 · ν) · δ

+ 3 ·

∂r

∂x

∂r

∂x



· dΓ











(A.7)

Como se trata de uma semi-esfera, o termo

∂r

∂η

´e igual a um, pois a geometria da

semi-esfera garante que a normal `a sua superf´ıcie sempre esteja alinhada com seu

raio. A pr´oxima passagem utiliza propriedades do sistema de coordenadas esf´erico,

ilustrado na ﬁgura A.1.

Figura A.1: Sistema de coordenadas esf´ericas

Fazendo o ´ındice l igual a um e considerando o sistema de coordenadas esf´erico,

pode-se reescrever a express˜ao A.7 como:

I = lim

ε→0



−



· (1 − 2 · ε) + 3 · u

· e

+ 3 · u

· e

+ 3 · u

· e

}·

senθ·dθ·dφ

8·π·(1−ν)



(A.8)

onde os termos e

s˜ao versores na dire¸c˜ao i, tal que:

= η

∂r

∂x

(A.9)

Ap´os efetuar a integral de A.9 chega-se `a seguinte express˜ao:

I =



−1

8 · π · (1 − ν) · r



· [(1 − 2 · ν) · 2 · π + 2 · π] · u

(A.10)

ENDICE A. INTEGRAL SINGULAR 121

I =

−4 · (1 − ν)

8 · (1 − ν)

· u

(A.11)

I = −

· u

(A.12)

Pode-se constatar que o mesmo ocorre quando se considera l igual a dois ou l

igual a trˆes. Assim, conclui-se com a express˜ao geral:

lim

ε→0













· p

∗

· dΓ











= −

· u

(A.13)

A partir da express˜ao A.13, torna-se p oss´ıvel chegar `a express˜ao ﬁnal para a

equa¸c˜ao de contorno em um ponto onde Γ ´e suave. Esta ´e:

· u



· p

∗

· dΓ =



· u

∗

· dΓ =



Ω

· u

∗

· dΩ (A.14)

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