ads:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
ESCOAMENTO LAMINAR DE LÍQUIDOS NÃO-NEWTONIANOS EM
SEÇÕES ANULARES: ESTUDOS DE CFD E ABORDAGEM
EXPERIMENTAL
FABIO DE ASSIS RESSEL PEREIRA
Uberlândia – Minas Gerais
2006
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
ESCOAMENTO LAMINAR DE LÍQUIDOS NÃO-NEWTONIANOS EM
SEÇÕES ANULARES: ESTUDOS DE CFD E ABORDAGEM
EXPERIMENTAL
Fabio de Assis Ressel Pereira
Tese de Doutorado apresentada à Faculdade de
Engenharia Química da Universidade Federal de
Uberlândia como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Doutor em Engenharia
Química.
Uberlândia – Minas Gerais
2006
ads:
Pereira, Fabio de Assis Ressel, 1971
Escoamento Laminar de Líquidos não-Newtonianos em Seções Anulares: Estudos de CFD e
Abordagem Experimental / Fabio de Assis Ressel Pereira – Uberlândia – 2006.
XXX f.:il
Orientador: Prof. D. Sc. Carlos Henrique Ataíde
Tese de Doutorado. Universidade Federal de Uberlândia.
Bibliografia: f.: YY – ZZ
1. Líquidos não-Newtonianos 2. Fluidodinâmica computacional 3.Escoamento anular
I. Universidade Federal de Uberlândia II. Título
CDU ZZZZZZZ
ESCOAMENTO LAMINAR DE LÍQUIDOS NÃO-NEWTONIANOS EM
SEÇÕES ANULARES: ESTUDOS DE CFD E ABORDAGEM
EXPERIMENTAL
Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química da
Universidade Federal de Uberlândia como parte dos requisitos para obtenção do título de
Doutor em Engenharia Química.
Banca examinadora:
______________________________________
Prof. Dr. Carlos Henrique Ataíde
(Orientador – FEQUI – UFU)
______________________________________
Prof. Dr. Marcos Antonio Souza Barrozo
(co – Orientador – FEQUI – UFU)
______________________________________
Prof. Dr. Humberto Molinar Henrique
(FEQUI – UFU)
______________________________________
Profa. Dra. Valéria Viana Murata
(FEQUI – UFU)
_______________________________________
Profa. Dra. Maria Laura de Azevedo Passos
(DEQ – UFSCar /Pesquisador Associado)
_______________________________________
Dr. André Leibsohn Martins
(PETROBRAS/CENPES)
Dedico este trabalho à minha família: aos
meus pais que nunca pouparam esforços
para investir em minha educação e a minha
esposa pelo apoio nos momentos de decisão.
AGRADECIMENTOS
Antes de tudo agradeço a Deus pela oportunidade de vida e pelo espírito perseverante
na busca do conhecimento.
Aos meus pais que sempre me apoiaram e me deram suporte nos momentos de decisão
em minha vida. A querida esposa Gisele, pelo carinho, paciência e compreensão durante esta
jornada acadêmica.
Ao corpo técnico da Faculdade de Engenharia Química pelo apoio e amizade, em
especial ao “seu Alcides”, Anísio, Cleide, Édio, “dona Ione”, José Henrique, Tiago, Roberta e
Silvino.
Agradeço aos meus ‘mais do que amigos’... aos meus ‘irmãos’ Cláudio Roberto
Duarte (Mezenga) e Luis Gustavo Martins Vieira que juntos compartilhamos todos os
momentos da pioneira turma de doutorandos em Engenharia Química do Estado de Minas
Gerais.
A turma de trabalho da Unidade Avançada de Pesquisa (carinhosamente chamada de
“postinho”) pelos momentos agradáveis de convivência.
Agradeço à FAPEMIG e ao CNPq pelo suporte financeiro e financiamento da
pesquisa.
Em especial aos meus amigos e orientadores: professores Marcos Antônio Souza
Barrozo e Carlos Henrique Ataíde, que ao longo desses anos com amizade e profissionalismo
muito contribuíram para minha formação.
“ A mente que se abre a uma nova idéia
jamais voltará ao seu tamanho original.”
Albert Einstein
SUMÁRIO
Lista de figuras i
Lista de tabelas vi
Lista de símbolos vii
Resumo x
Abstract xi
CAPÍTULO 1 11
1.1 Motivação pelo tema 2
1.1.1 A utilização de fluidos de perfuração 2
1.1.2 Evolução da perfuração de poços horizontais 3
1.1.3 Contribuição da fluidodinâmica computacional 4
1.2 Objetivos específicos 5
1.3 Temática da tese 6
CAPÍTULO 2 6
2.1 Fluidos Newtonianos 7
2.2 Fluidos não-Newtonianos 9
2.2.1 Fluidos pseudoplásticos 10
2.2.2 Fluidos dilatantes 12
2.2.3 Fluidos viscoplásticos 13
2.2.4 Fluidos de perfuração 16
2.3 Escoamento em tubos e analogia para o escoamento anular 23
2.3.1 As definições para o número de Reynolds 23
2.3.2 Efeito do comprimento de entrada 24
2.3.3 Regimes de escoamento e critérios de transição 26
2.3.4 Fator de atrito para fluidos Newtonianos 29
2.3.5 Fator de atrito para fluidos não-Newtonianos 30
2.4 Escoamento anular: resenha do material consultado 33
2.4.1 Critério de transição entre regimes de escoamento 34
2.4.2 Arranjos verticais 35
2.4.3 Arranjos horizontais 37
2.4.4 Influência da vazão do fluido e rotação do cilindro interno 39
2.4.5 Influência da excentricidade e viscosidade do fluido 40
2.4.6 Trabalhos empregando simulação numérica 40
2.5 Equacionamento do escoamento 44
2.5.1 Abordagem “macro” com uso de adimensionais 44
2.5.2 Modelagem das Equações de Conservação 46
2.6 Revisão sobre a fluidodinâmica computacional 47
2.6.1 Geração de malhas computacionais 49
2.6.2 Técnica dos Volumes Finitos 52
2.6.3 Métodos numéricos para solução de problemas em volumes finitos 58
2.6.4 Discretização 63
2.6.5 O resolvedor segregado 70
2.6.6 O resolvedor acoplado 75
2.6.7 Monitoramento da convergência pelos resíduos 76
2.6.8 Modelo de Fase Discreta (particle track) 78
2.7 Planejamento de experimentos 79
2.8 Análise canônica 82
2.9 Principais pontos de discussão 84
CAPÍTULO 3 86
3.1 Materiais 86
3.1.1 Determinação das propriedades físicas 86
3.1.2 Preparo das soluções poliméricas 87
3.2 Unidade experimental 91
3.2.1 Montagem principal e seus acessórios 91
3.2.2 Metodologia para os ensaios experimentais 98
3.3 Unidade virtual 99
3.3.1 Infraestrutura computacional 99
3.3.2 Montagem da malha computacional 99
3.3.3 Metodologia para as simulações numéricas 103
3.4 Planejamento de experimentos 104
CAPÍTULO 4 107
4.1 Propriedades físicas dos fluidos Newtonianos e não-Newtonianos 107
4.1.1 Densidade e viscosidade das soluções de glicerina hidratada 107
4.1.2 Densidade e reogramas das suspensões de goma xantana 107
4.1.3 Efeito da temperatura 108
4.1.4 Efeito da faixa de taxa de deformação 108
4.1.5 Escolha do modelo reológico 110
4.1.6 Efeito do tempo na qualidade das suspensões 111
4.2 Testes preliminares de simulação numérica 112
4.2.1 Tipo da alimentação do fluido 112
4.2.2 Comparação dos resultados da literatura 113
4.2.3 Avaliação das principais variáveis sobre a queda de pressão 118
4.3 Ensaios preliminares: ajustes na unidade experimental 123
4.4 Resultados experimentais 124
4.4.1 Efeito da concentração 125
4.4.2 Efeito da vazão 126
4.4.3 Efeito da rotação do eixo interno 126
4.4.4 Efeito da excentricidade 126
4.4.5 Análise da superfície de resposta 126
4.5 Simulação numérica das condições experimentais 133
4.5.1 Avaliação do comprimento de entrada 133
4.5.2 O perfil axial de queda de pressão 134
4.5.3 Contornos e perfis de velocidade 137
4.5.4 Algumas particularidades das simulações numéricas 143
4.5.5 Efeito da transição de regime na queda de pressão 146
4.6 Resultados complementares 147
4.6.1 Efeito da rotação do eixo interno 147
4.7 Abordagem da simulação numérica com modelo de fase discreta 149
4.7.1 Verificação da correlação de Haider e Levenspiel 149
4.7.2 Escoamento anular/helicoidal concêntrico 150
4.7.3 Escoamento anular/core-flow excêntrico 152
CAPÍTULO 5 156
5.1 Principais conclusões 156
5.2 Sugestões para trabalhos futuros 158
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 159
i
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1: Esquema da perfuração vertical de poços de petróleo.............................................2
Figura 1.2: Esboço do escoamento de fluidos de perfuração. ....................................................3
Figura 1.3: Esboço de um sistema de perfuração horizontal......................................................4
Figura 2.1: Representação esquemática de um escoamento unidirecional de fluido. ................7
Figura 2.2: Viscosidade para fluidos Newtonianos; fonte: CHHABRA (1999). .......................8
Figura 2.3: Tipos de fluidos não-Newtonianos independentes do tempo. ...............................10
Figura 2.4: Gráfico típico de dois fluidos viscoplásticos; fonte: CHHABRA (1999)..............14
Figura 2.5: Exemplo de reograma para lamas MMH (Dow Chemical Company). ..................21
Figura 2.6: Reograma de uma suspensão polimérica de goma xantana...................................22
Figura 2.7: Evolução do perfil de velocidade axial em função do comprimento de entrada. ..25
Figura 2.8: Evolução do comprimento de entrada para fluidos não-Newtonianos; fonte:
CHEBBI (2002).
...............................................................................................................26
Figura 2.9: Coeficiente de interação viscosa em função de Re
MR
; fonte: DESOUKY e AWAD
(1998)
...............................................................................................................................28
Figura 2.10: Fator de atrito em função do número de Reynolds para escoamento em tubos...30
Figura 2.11: Fator de atrito em função do número de Reynolds generalizado; fonte:
ESCUDIER et al. (1999).
.................................................................................................31
Figura 2.12: Fator de atrito em função do número de Reynolds generalizado; fonte:
RUDMAN et al. (2004).
...................................................................................................31
Figura 2.13: Redução do atrito em função da concentração de polímero; fonte: MOWLA e
NADERI (2006).
..............................................................................................................33
Figura 2.14: Influência do parâmetro ‘n’ de power law no Reynolds crítico em função da
razão entre diâmetro de tubos; fonte: GUCUYENER e MEHMETOGLU (1996).
.........34
Figura 2.15: Influência dos parâmetros ‘n’ e ‘T
o
’ no Reynolds crítico para k=0,6; fonte:
GUCUYENER e MEHMETOGLU (1996).
.....................................................................35
Figura 2.16: Fator de atrito em função de Re
G
em arranjo excêntrico; fonte: NOURI e
WHITELAW (1997).
.......................................................................................................36
Figura 2.17: Fator de atrito vs Re
G
para fluxo anular concêntrico de fluido não-Newtoniano;
fonte: ESCUDIER e GOULDSON (1995).
......................................................................37
Figura 2.18: Efeito da velocidade angular do eixo interno sobre o gradiente de pressão; fonte
ESCUDIER et al. (2002).
.................................................................................................38
Figura 2.19: Queda de pressão vs rotação do eixo fluxo laminar concêntrico; fonte:
McCANN et al. (1995).
....................................................................................................39
ii
Figura 2.20: Efeito da excentricidade na fluidodinâmica do escoamento anular; fonte:
MANGLIK et al. (1999).
..................................................................................................42
Figura 2.21: Perfil de velocidade axial em função da excentricidade; fonte: SHARIFF e
HUSSAIN (2000).
............................................................................................................43
Figura 2.22: Influência da excentricidade e da velocidade de rotação do eixo interno na queda
de pressão; fonte ESCUDIER et al. (2002).
.....................................................................45
Figura 2.23: Soluções dotadas e desprovidas de realismo físico, para velocidade do fluido
escoando em tubo.
............................................................................................................53
Figura 2.24: Balanço de fluxos em um volume de controle.....................................................54
Figura 2.25: Representação de um volume de controle finito genérico em 2D. ......................56
Figura 2.26: Algoritmo do método de solução segregada........................................................60
Figura 2.27: Algoritmo do método de solução acoplada..........................................................61
Figura 2.28: Volume de controle usado para ilustrar a discretização da equação de transporte
de um escalar.
...................................................................................................................64
Figura 2.29: Alterações de uma variável ‘
’ entre x=0 e x=L. ................................................66
Figura 2.30: Volume de controle unidimensional. ...................................................................67
Figura 2.31: Representação vetorial dos elementos da Equação (2.88)...................................76
Figura 2.32: Matrizes da análise canônica, Equação (2.101)...................................................82
Figura 2.33: Forma canônica para uma superfície de resposta em duas variáveis...................83
Figura 3.1: Foto do conjunto banho termostatizado – reômetro. .............................................87
Figura 3.2: Foto do aquecedor elétrico.....................................................................................88
Figura 3.3: Efeito do modo de adição de polímero na qualidade da suspensão.......................89
Figura 3.4: Preparo de uma batelada de 46 litros de solução polimérica.................................90
Figura 3.5: Detalhes do mixer. .................................................................................................90
Figura 3.6: Detalhes do tanque de homogeneização. ...............................................................91
Figura 3.7: Fotografia da unidade experimental.......................................................................92
Figura 3.8: Detalhes da montagem do flange...........................................................................93
Figura 3.9: Detalhes dos flanges para o arranjo excêntrico......................................................93
Figura 3.10: Distribuidor de fluxo............................................................................................94
Figura 3.11: Concentrador de fluxo com terminal para termômetro........................................94
Figura 3.12: Estroboscópio digital FRATA. ............................................................................95
Figura 3.13: Detalhes do acoplamento entre eixos...................................................................95
Figura 3.14: Arranjo da bomba helicoidal e seus acessórios....................................................96
Figura 3.15: Válvulas e medidor magnético de vazão..............................................................96
iii
Figura 3.16: Sistema de queda de pressão................................................................................97
Figura 3.17: Detalhes do transdutor de pressão e válvulas para eliminação de bolhas............97
Figura 3.18: Definição das fronteiras da unidade virtual. ......................................................100
Figura 3.19: Definição do posicionamento entre tubos para e=0,75......................................100
Figura 3.20: Subdivisão do corpo principal para a situação excêntrica. ................................101
Figura 3.21: Malha da seção anular divida em quatro quadrantes para e=0,0. ......................101
Figura 3.22: Malha da seção anular divida em quatro quadrantes para e=0,75. ....................102
Figura 3.23: Refinamento de malha empregando a ferramenta de camada limite para e=0,0.
........................................................................................................................................102
Figura 3.24: Malha dos tubos externo e interno.....................................................................103
Figura 4.1: Reogramas das suspensões de goma xantana. .....................................................108
Figura 4.2: Dados reológicos da suspensão de goma xantana a 0,55 %.................................109
Figura 4.3: Início da decomposição da suspensão de goma xantana a 0,55 %. .....................111
Figura 4.4: Arranjo de alimentação ortogonal do anular........................................................112
Figura 4.5: Velocidade axial adimensional na seção concêntrica. .........................................116
Figura 4.6: Velocidade axial adimensional na seção excêntrica. ...........................................116
Figura 4.7: Perfis adimensionais de velocidade axial e tangencial para e=0,00. ...................117
Figura 4.8: Perfis adimensionais de velocidade axial para e=0,80.........................................117
Figura 4.9: Perfis adimensionais de velocidade tangencial para e=0,80................................117
Figura 4.10: Efeito da vazão e da rotação sobre a queda de pressão para o Fluido 1 em
arranjo concêntrico.
........................................................................................................119
Figura 4.11: Efeito da vazão e da rotação sobre a queda de pressão para o Fluido 1 em
arranjo excêntrico.
..........................................................................................................119
Figura 4.12: Efeito da vazão e da rotação sobre a queda de pressão para o Fluido 2 em
arranjo concêntrico.
........................................................................................................120
Figura 4.13: Efeito da vazão e da rotação sobre a queda de pressão para o Fluido 2 em
arranjo excêntrico.
..........................................................................................................120
Figura 4.14: Comprimento de entrada para o escoamento do Fluido 1, nas condições de
arranjo concêntrico, U=0,406 m/s e ausência de rotação.
..............................................121
Figura 4.15: Comprimento de entrada em função da rotação e excentricidade. ....................122
Figura 4.16: Perda de carga em função da vazão e rotação para solução de glicerina (e=0,0).
........................................................................................................................................124
Figura 4.17: Superfície de resposta para vazão e concentração para e=0,00 em X
2
=0,00. ....128
Figura 4.18: Superfície de resposta para vazão e rotação para e=0,00 em X
3
=0,00...............128
iv
Figura 4.19: Superfície de resposta para rotação e concentração para e=0,00 em X
1
=0,00...129
Figura 4.20: Superfície de resposta para vazão e concentração para e=0,75 em X
2
=0,00. ....131
Figura 4.21: Superfície de resposta para vazão e rotação para e=0,75 X
3
=0,00.....................131
Figura 4.22: Superfície de resposta para rotação e concentração para e=0,75 X
1
=0,00.........132
Figura 4.23: Comprimento de entrada para o ensaio número 12 dos planejamentos.............134
Figura 4.24: Efeitos da concentração polimérica nos ensaios 15, 16 e 17, para e=0,00. .......135
Figura 4.25: Efeitos da vazão nos ensaios 11, 12 e 17, para e=0,00. .....................................135
Figura 4.26: Perfil de queda de pressão para os testes 10, 13 e 14 para e=0,00.....................136
Figura 4.27: Comparação da queda de pressão para valores experimentais e simulados. .....136
Figura 4.28: Contornos da velocidade axial para a condição 11 do planejamento concêntrico.
........................................................................................................................................137
Figura 4.29: Contornos da velocidade axial para a condição 12 do planejamento concêntrico.
........................................................................................................................................138
Figura 4.30: Contornos da velocidade axial para a condição 13 do planejamento concêntrico.
........................................................................................................................................138
Figura 4.31: Contornos da velocidade axial para a condição 14 do planejamento concêntrico.
........................................................................................................................................139
Figura 4.32: Contornos da velocidade axial para a condição 14 do planejamento do
arranjo excêntrico.
..........................................................................................................139
Figura 4.33: Perfis de velocidade para a condição 11 do planejamento concêntrico.............140
Figura 4.34: Perfis de velocidade para a condição 12 do planejamento concêntrico.............141
Figura 4.35: Perfis de velocidade para a condição 13 do planejamento concêntrico.............142
Figura 4.36: Perfis de velocidade para a condição 14 do planejamento concêntrico.............142
Figura 4.37: Perfis de velocidade para a condição 14 do planejamento do arranjo excêntrico.
........................................................................................................................................143
Figura 4.38: Exemplo da flutuação dos resíduos na solução numérica..................................144
Figura 4.39: Efeito da rotação sobre a queda de pressão para solução de glicerina 2 para o
arranjo concêntrico.
........................................................................................................146
Figura 4.40: Efeito da rotação do eixo interno sobre a queda de pressão. .............................148
Figura 4.41: Comparação da queda de pressão para valores experimentais e simulados. .....148
Figura 4.42: Comparação da equação de Haider e Levenspiel com dados experimentais.....150
Figura 4.43: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 13 para e=0,00 (0 RPM). ...............151
Figura 4.44: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 17 para e=0,00 (300 RPM). ...........151
Figura 4.45: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 14 para e=0,00 (600 RPM). ...........152
v
Figura 4.46: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 13 para e=0,75 (0 RPM). ...............153
Figura 4.47: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 17 para e=0,75, partindo da seção
superior do anular (300 RPM).
.......................................................................................153
Figura 4.48: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 17 para e=0,75, partindo da seção
inferior do anular (300 RPM).
........................................................................................154
Figura 4.49: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 14 para e=0,75, partindo da seção
inferior do anular (600 RPM).........................................................................................154
Figura 4.50: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 14 para e=0,75, partindo da seção de
menor espaço anular (600 RPM).
...................................................................................155
vi
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1: Valores típicos de viscosidade a temperatura ambiente; fonte: CHHABRA (1999).
............................................................................................................................................8
Tabela 2.2: Matriz do planejamento composto central.............................................................81
Tabela 3.1: Valores nominais e codificados para as variáveis do planejamento e propriedades
do escoamento. ...............................................................................................................106
Tabela 4.1: Viscosidade e densidade das soluções de glicerina.............................................107
Tabela 4.2: Parâmetros reológicos do modelo de Herschel-Bulkley......................................111
Tabela 4.3: Condições de simulação para verificação............................................................113
Tabela 4.4: Parâmetros reológicos do modelo de Cross.........................................................114
Tabela 4.5: Condições empregadas nas simulações numéricas..............................................118
Tabela 4.6: Efeitos das variáveis investigadas na resposta da queda de pressão. ..................125
Tabela 4.7: Parâmetros da regressão múltipla para o arranjo concêntrico.............................127
Tabela 4.8: Parâmetros da regressão múltipla para o planejamento do arranjo excêntrico....130
Tabela 4.9: Condições dos ensaios complementares..............................................................147
vii
LISTA DE SÍMBOLOS
a fator de ortogonalidade do planejamento de experimentos, (–)
A representação de área superficial, (m
2
)
A
RS
parâmetro do modelo reológico de Robertson-Stiff, (–)
B parâmetro do modelo reológico de Robertson-Stiff, (–)
C constante de interação viscosa, Equação (2.29), (–)
C
D
coeficiente de arraste, (–)
C
P
concentração polimérica, (%)
D diâmetro do tubo, (m)
D
E
diâmetro do tubo externo, (m)
D
I
diâmetro do tubo interno, (m)
D
H
diâmetro hidráulico, (m)
e excentricidade, (–)
E relação adimensional entre velocidades tangencial e axial, (–)
f fator de atrito de Fanning, (–)
G
M
adimensional de MAGLIONE (1995), (–)
F representação de um vetor força, (N)
He adimensional de Hedstrom, (–)
k razão entre diâmetros, (–)
L comprimento, (m)
L
E
comprimento de entrada, (m)
m índice de consistência do modelo reológico de power-law, (Pa.s
n
)
n índice de comportamento do modelo reológico de power-law, (–)
Pe adimensional de Peclet, (–)
PI índice de plasticidade, (–)
P
0
pressão piezométrica inicial, (Pa)
P
L
pressão piezométrica na posição L, (Pa)
Q vazão de escoamento, (m
3
/h)
Re número de Reynolds, (–)
Re
G
número de Reynolds generalizado, (–)
Re
MR
número de Reynolds generalizado de METZNER e REED (1955), (–)
R
EXT
raio do tubo externo, (m)
R
INT
raio do tubo interno, (m)
viii
s parâmetro do modelo reológico de Carreau, (–)
Ta adimensional de Taylor, (–)
T
0
tensão residual adimensional, (–)
U velocidade média no anular, (m/s)
U
C
velocidade média no centro do anular para CHEBBI (2002), (m/s)
U
0
velocidade média inicial para CHEBBI (2002), (m/s)
w velocidade angular, (rad/s)
w
i
variáveis da equação canônica, (–)
W rotação do eixo interno, (RPM)
v
a
velocidade axial anular, (m/s)
x constante adimensional da Equação (2.26), (–)
X
i
variável codificada do planejamento de experimentos, (–)
Y
i
resposta da queda de pressão para o planejamento de experimentos, (Pa)
LETRAS GREGAS
α parâmetro de ruptura do modelo reológico de Cross, (s)
α’ parâmetro da Equação (2.26), (–)
α
c
parâmetro da Equação (2.27), (–)
α
E
parâmetro da Equação (2.8), (–)
β
i
parâmetros de ajuste da Equação (2.97), (–)
P queda de pressão, (Pa)
ζ variável codificada para planejamento de experimentos, (–)
λ constante de tempo do modelo reológico de Carreau, (s)
λ
i
raízes da equação canônica, (–)
viscosidade dinâmica de fluidos Newtonianos, (Pa.s)
B
viscosidade do modelo reológico de Bingham, (Pa.s)
C
viscosidade do modelo reológico de Casson, (Pa.s)
0
viscosidade zero, em baixas taxas de deformação (Pa.s)
∞
viscosidade infinita, em altas taxas de deformação (Pa.s)
E
viscosidade efetiva para fluidos não-Newtonianos, (Pa.s)
tensão cisalhante, (Pa)
v
tensão cisalhante viscosa, parâmetro da Equação (2.29), (Pa)
ix
0
tensão residual do modelo reológico de Herschek-Bulkley, (Pa)
0
B
tensão residual do modelo reológico de Bingham, (Pa)
0
C
tensão residual do modelo reológico de Casson, (Pa)
1/2
parâmetro do modelo reológico de Ellis, (Pa)
taxa de deformação característica, (s
-1
)
γ
0
taxa de deformação inicial, parâmetro do modelo reológico de Robertson-Stiff, (s
-1
)
ρ densidade do fluido, (kg/m
3
)
x
RESUMO
O escoamento de fluidos em regiões anulares tem grande destaque na indústria
petrolífera, tanto na perfuração, com o carreamento das partículas pelos fluidos de perfuração,
quanto na elevação artificial do petróleo por sistemas de bombeamento com cavidades
progressivas. A constante preocupação com custos de operação e a necessidade cada vez mais
freqüente de aumentos nas capacidades de produção implicam em vazões cada vez maiores
nos poços. Com isso as perdas de carga ao longo do anular tubo/eixo passaram a representar
uma quantia significativa da energia total a ser fornecida e consequentemente a sua
determinação assumiu papel importante no dimensionamento de tais unidades.
No estudo desenvolvido, a análise do campo de escoamento de líquidos, baseou-se
numa abordagem experimental e também na utilização de técnicas numéricas de
fluidodinâmica computacional (CFD).
Na parte experimental, montou-se uma unidade piloto para investigar o fluxo
horizontal de líquidos não Newtonianos na região anular formada por dois tubos em arranjos
concêntrico e excêntrico. Os ensaios experimentais planejados foram conduzidos no sentido
de avaliar o efeito das principais variáveis sobre a queda de pressão, como: excentricidade do
sistema (e=0,00; e=0,75), rotação do eixo (0<W<600 RPM), concentração polimérica
(0,25<C
P
<0,55 %) e vazão de escoamento (0,2<Q<2,2 m
3
/h).
O trabalho realizado também contempla, através da simulação empregando códigos
comerciais de CFD, a investigação das condições experimentais testadas na análise dos perfis:
de queda de pressão, do comprimento de entrada, de velocidades axial e tangencial e trajetória
de escoamento. Usualmente, considera-se que essas variáveis são relevantes no entendimento
pormenorizado do escoamento de fluidos de perfuração e das partículas por elas
transportadas.
A comparação dos resultados experimentais e simulados mostrou boa concordância,
permitindo a satisfatória avaliação do desempenho da técnica numérica empregada. A
capacidade preditiva da técnica numérica também foi observada, considerando alguns
resultados experimentais reportados na literatura, buscando uma forma de verificação de
modelos matemáticos adotados bem como os algoritmos de acoplamento e a malha
computacional empregada.
xi
ABSTRACT
The annular flow has great importance in the oil industry, in drilling operations with
cuttings removal by drilling mud and also in petroleum artificial lifting, with progressive
cavity pumping systems. The constant concern about operation costs and the more frequent
necessity of raising the production capacity implies in larger flow through oil wells. In this
way the pressure drop through the annular region started to represent a significant amount of
the overall energy to be supplied, consequently its prediction assumed an important role in the
dimensioning of these units.
In the present study, the flow field analysis was based on experimental approach and
also applying numeric techniques of computational fluid dynamics (CFD).
In the experimental part, a pilot unit was assembled to investigate the horizontal flow
of non-Newtonian liquids though the annular space formed by two tubes with concentric and
eccentric layouts. The planned experimental assays were conduced to evaluate the effect of
the main variables over the pressure drop, such as: system geometry (e=0,00; e=0,75), shaft
rotation (0<W<600 RPM), polymeric concentration (0,25<C
P
<0,55 %) and fluid flow
(0,2<Q<2,2 m
3
/h).
This work also contemplates, through commercial CFD codes simulations, the
investigation of experimental conditions by analyzing the profiles: of pressure drop, entrance
length, axial and tangential velocities and flow trajectories. Considering that these variables
are relevant to the whole understanding of drilling mud flow and cuttings transport.
The comparison between the results obtained by the two techniques showed good
agreement, allowing a satisfactory performance valuation of the numeric technique. The
prediction capacity was also observed considering some experimental results reported in the
literature, in order to verify the adopted mathematical models, the coupling algorithms and the
computational grid used.
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 Motivação pelo tema
O escoamento de fluidos em espaços anulares passou a receber maior destaque na
indústria petrolífera a partir do início da década de 80, tanto na perfuração com o carreamento
de cascalho (cuttings) pelos fluidos de perfuração (esquema da Figura 1.1), quanto na
elevação artificial do petróleo com sistemas de bombeamento em cavidades progressivas
(BCP). Com a constante preocupação com custos de operação e a necessidade de aumento de
capacidade de produção, vazões cada vez maiores são utilizadas e as perdas hidrodinâmicas ao
longo do anular poço/eixo passaram a representar uma quantia significativa da energia total a
ser fornecida e consequentemente sua determinação assumiu papel relevante no
dimensionamento de tais unidades.
Figura 1.1: Esquema da perfuração vertical de poços de petróleo.
1.1.1 A utilização de fluidos de perfuração
A remoção dos cascalhos ocorre com a circulação do fluido de perfuração escoando
pela broca (drillbit), fazendo sua lubrificação, resfriamento e limpeza da região de corte,
evitando que o acúmulo de cascalhos aumente o torque desnecessariamente. O fluido de
perfuração usualmente apresenta comportamento reológico não-Newtoniano, do tipo
pseudoplástico ou viscoplástico. O fluido de perfuração escoa no interior do eixo de
acionamento até alcançar a broca, retornando à superfície carreando os cascalhos através do
anular formado entre o poço perfurado e o eixo da broca. A Figura 1.2 apresenta um esboço
do escoamento de fluidos de perfuração.
Figura 1.2: Esboço do escoamento de fluidos de perfuração.
1.1.2 Evolução da perfuração de poços horizontais
A perfuração horizontal passou a ter destaque a partir da década de 90, já que antes
disso os altos custos de perfuração e as limitações tecnológicas desencorajavam
investimentos. Contudo, pode-se destacar algumas das inovações que viabilizaram o uso dessa
técnica de perfuração:
Melhores sistemas de balanceamento da broca, permitindo a manutenção da direção de
perfuração;
Desenvolvimento de técnicas de deslocamento em poços, que facilitam o trabalho de
transporte de equipamentos (colunas, cabos e revestimento);
Melhoria da qualidade de fluidos de perfuração, permitindo a melhor remoção de
sedimentos evitando o acúmulo na região anular.
Mesmo com o avanço tecnológico, os custos de perfuração ainda permanecem
elevados quando comparados com os de perfuração vertical, chegando a ser de 1,5 a 3 vezes
mais dispendiosos. Entretanto, a possibilidade de exploração de reservatórios delgados ou em
fraturas verticais, conforme esquema da Figura 1.3, justifica sua implantação. A taxa de
recuperação é outro aspecto extremamente favorável, por ser usualmente de 3 a 5 vezes
superior em relação aos poços verticais. Fatores associados à segurança de operação e a
Capítulo 1 – Introdução 3
integridade física do poço também são evidenciados na perfuração horizontal. Nesta
configuração, o controle dos fluidos de formação (água e gases) é mais eficiente, evitando os
indesejáveis kicks (oscilações de pressão pela maior entrada de óleo e/ou gás no poço) e
blow-out (aumento abrupto da pressão causada por gás podendo causar danos à estrutura do
poço).
Figura 1.3: Esboço de um sistema de perfuração horizontal.
1.1.3 Contribuição da fluidodinâmica computacional
Os aspectos físicos de qualquer escoamento de fluido são governados por três
princípios fundamentais: a conservação da massa, a segunda lei de Newton e a conservação da
energia. Estes princípios fundamentais podem ser expressos em termos de equações
matemáticas, as quais em sua maioria são equações diferenciais parciais. A fluidodinâmica
computacional (do inglês CFD) é a ciência que visa determinar a solução numérica das
equações que governam o escoamento de fluidos, enquanto a solução avança no tempo e
espaço para obter a descrição numérica completa do campo de escoamento de interesse.
As leis governantes para a fluidodinâmica Newtoniana, as equações transientes de
Navier-Stokes, são conhecidas há mais de um século. Entretanto, a investigação analítica das
formas reduzidas destas equações é, ainda, uma área ativa de pesquisa assim como os
aspectos relacionados à turbulência nas equações normalizadas de Reynolds. Para a
fluidodinâmica não-Newtoniana, escoamentos com reações químicas e escoamentos
multifásicos os desenvolvimentos científicos estão em um estágio ainda menos avançado.
A técnica de CFD quando associada à fluidodinâmica experimental tem exercido um
importante papel na verificação e delineamento dos limites de diversas aproximações para as
equações governantes, mostrando ser uma alternativa efetiva de menor custo para medições
Capítulo 1 – Introdução 4
em escalas totais. A fluidodinâmica computacional tem sido, usualmente, empregada no
projeto de equipamentos que dependem criticamente da descrição do comportamento do
escoamento dos fluidos. Particularmente, naquelas situações, cujas medições ou
determinações em escala total, são economicamente impraticáveis.
O atual incremento na velocidade de processamento dos computadores e a quantidade
de memória disponível, desde 1950, têm conduzido à emergência da fluidodinâmica
computacional. Este braço da fluidodinâmica complementa os trabalhos experimentais e
teóricos pelo fornecimento de alternativas economicamente interessantes, através da
simulação numérica de escoamentos reais, permitindo avanços em condições indisponíveis
experimentalmente.
O papel da CFD nas predições da engenharia se tornou tão forte que atualmente ela
pode ser vista como a terceira dimensão da fluidodinâmica, que se somam as outras duas
dimensões clássicas: experimental e teórica.
O desenvolvimento de computadores pessoais mais potentes antecipou os avanços que
estavam sendo feitos no campo da fluidodinâmica computacional. Consequentemente, a CFD
é agora o meio preferido de se testar projetos alternativos, em muitas empresas de engenharia,
antes mesmo que qualquer teste experimental seja realizado.
1.2 Objetivos específicos
Os principais objetivos a serem alcançados neste trabalho são:
Montar uma unidade piloto, em escala laboratorial, para aquisição de dados referentes
às perdas hidrodinâmicas em sistemas anulares horizontais em função da geometria do
sistema (excentricidade), vazão de escoamento, reologia do fluido e rotação do eixo
interno;
Simular o escoamento de fluidos de perfuração em regiões anulares com o uso da
técnica de fluidodinâmica computacional para a determinação dos perfis de velocidade
axial e tangencial além dos gradientes de pressão ao longo do escoamento;
Verificar os modelos e a técnica de solução numérica a partir dos resultados
experimentais, estendendo a análise para a predição da trajetória de partículas
inseridas no escoamento do fluido. Estas informações ganham relevância à medida
que possibilitam predizer situações operacionais com torques excessivos e avaliar as
situações fluidodinâmicas onde possam ocorrer entupimentos do poço horizontal pelos
sedimentos gerados no processo de perfuração.
Capítulo 1 – Introdução 5
1.3 Temática da tese
No Capítulo 2, apresenta-se uma revisão bibliográfica de trabalhos associados ao
escoamento helicoidal de fluidos em espaços anulares. São abordados ainda: a classificação
de fluidos, uma resenha dos trabalhos reportados na literatura, o equacionamento e
modelagem matemática do fenômeno, a parte relacionada à fluidodinâmica computacional e a
técnica de planejamento de experimentos.
No Capítulo 3, tem-se a descrição dos métodos empregados na investigação científica,
a descrição individual dos equipamentos utilizados e a sua integração na unidade
experimental e o detalhamento do uso da técnica de CFD para simulação do problema.
Os resultados obtidos e as discussões sobre os resultados experimentais e os simulados
são apresentados no Capítulo 4.
Finalmente, o Capítulo 5 resume as principais conclusões deste estudo e também
apresenta um elenco de sugestões para continuação desta linha de pesquisa e o
desenvolvimento de trabalhos futuros.
CAPÍTULO 2
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O principal objetivo deste capítulo é apresentar, de forma sucinta, tanto um conteúdo
referencial quanto o material bibliográfico sobre o escoamento anular disponível na literatura;
e ainda alguns dos princípios sobre a fluidodinâmica computacional.
A coletânea de artigos discutida neste capítulo não representa todos os trabalhos
publicados sobre o assunto, mas representa uma amostra significativa dos estudos
desenvolvidos sobre o tema.
2.1 Fluidos Newtonianos
Seja uma fina camada de fluido contida entre duas placas paralelas separadas por uma
dada distância, como mostrado na Figura 2.1. Em condições de estado permanente, se este
fluido for submetido a uma tensão pela aplicação de uma força ‘F’ (na placa superior), essa
será equilibrada por uma força de fricção interna no fluido de igual intensidade e sentido
oposto. Para um fluido Newtoniano incompressível em regime laminar, a tensão de
cisalhamento ‘
’, é igual ao produto entre a taxa de deformação ‘
’, e a viscosidade média do
fluido ‘
’. Neste caso, a taxa de deformação pode ser expressa como o gradiente de
velocidade na direção perpendicular à força de cisalhamento, ou seja, como a razão entre o
diferencial da velocidade ‘dV
x
’ e o diferencial da espessura do fluido ‘dy’.
Figura 2.1: Representação esquemática de um escoamento unidirecional de fluido.
dV
F
x
dy A
(2.1)
O sinal negativo na Equação (2.1) indica que a tensão de cisalhamento é a medida de
resistência do fluido ao movimento. A constante de proporcionalidade ou razão entre tensão
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 7
de cisalhamento e taxa de deformação é denominada de viscosidade Newtoniana, sendo por
definição de fluido Newtoniano, independente da taxa de deformação ou da tensão de
cisalhamento; dependendo somente do material e de sua temperatura e pressão. O diagrama
da tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação é usualmente conhecido como
reograma; sendo para um fluido Newtoniano, representado por uma linha reta de inclinação
igual a ‘
’ que passa pela origem. Isto significa que a viscosidade Newtoniana é
numericamente igual à linha tangente à curva do gráfico de ‘
’ em função de ‘
’. A Figura
2.2, mostra um diagrama típico de tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação
para dois fluidos Newtonianos: óleo de cozinha e óleo de milho.
Figura 2.2: Viscosidade para fluidos Newtonianos; fonte: CHHABRA (1999).
A constante ‘
’, desse modo, caracteriza completamente o comportamento de um
fluido Newtoniano a temperatura e pressão constantes. Gases, líquidos orgânicos simples,
soluções de sais inorgânicos de baixo peso molecular e metais fundidos são exemplos
clássicos de fluidos Newtonianos.
A Tabela 2.1 mostra alguns valores de viscosidade de substâncias, sendo algumas
delas empregadas no cotidiano.
Tabela 2.1: Valores típicos de viscosidade a temperatura ambiente; fonte: CHHABRA (1999).
Substância
(mPa.s)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 8
Ar 10
-2
Benzeno 0,65
Água 1,00
Álcool etílico 1,20
Mercúrio 1,55
Etileno glicol 20
Óleo de oliva 100
Glicerina 100 % 1000
Betume 10
11
Vidro fundido 10
15
2.2 Fluidos não-Newtonianos
Fluido não-Newtoniano é aquele cujo diagrama de escoamento (tensão de
cisalhamento em função da taxa de deformação) não é linear ou não passa através da origem,
ou seja, é aquele cuja viscosidade não é constante a uma dada temperatura e pressão, mas
dependente de condições como, por exemplo: geometria do fluxo ou vazão de fluido e taxa de
deformação. Dessa maneira, esses fluidos podem ser convenientemente agrupados em três
classes:
Fluidos nos quais a taxa de deformação em qualquer ponto é determinada somente
pelo valor da tensão de cisalhamento naquele ponto e naquele instante; esses fluidos
são conhecidos como “independentes do tempo”.
Fluidos mais complexos onde a relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de
deformação depende ainda do tempo de duração do cisalhamento e de sua cinemática;
estes fluidos são denominados “fluidos dependentes do tempo”.
Substâncias com características de fluidos ideais e sólidos elásticos demonstrando
recuperação elástica parcial após a deformação; caracterizadas como fluidos visco-
elásticos.
Esse esquema de classificação é ainda arbitrário e a maioria dos materiais reais exibe
frequentemente, uma combinação de dois ou até três tipos destas características
não-Newtonianas.
Neste capítulo, é abordada apenas a classe de fluidos não-Newtonianos independentes
do tempo devido às características da proposta de estudo.
Em um cisalhamento simples, o comportamento da vazão de materiais clássicos pode
ser descrito por equações que determinam o valor da taxa de deformação em qualquer ponto
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 9
do escoamento no qual o fluido é cisalhado. Inversamente, pode-se obter uma função que
prediz a tensão de cisalhamento em função de sua taxa de deformação. Esta classe de fluidos
independente do tempo pode ser dividida em três subgrupos de acordo com a forma da função
representada nas Equações (2.2) e (2.3), a saber:
Pseudoplásticos;
Dilatantes;
Viscoplásticos.
f
(2.2)
g
(2.3)
A Figura 2.3 esboça as curvas (em escala linear) do comportamento típico desses três
subgrupos de fluido, comparando-as com a curva de um fluido Newtoniano.
Figura 2.3: Tipos de fluidos não-Newtonianos independentes do tempo.
2.2.1 Fluidos pseudoplásticos
Dentre os fluidos não-Newtonianos independentes do tempo, um dos mais comumente
observado é o pseudoplástico, caracterizado por uma viscosidade efetiva que decresce com o
incremento da taxa de deformação.
Tanto em taxas de deformação muito baixas como muito altas, a grande maioria das
soluções poliméricas com comportamento pseudoplástico exibe características Newtonianas,
isto é, o gráfico da tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação aproxima-se de
uma linha reta.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 10
Os valores de viscosidade aparente a taxas de deformação muito baixas e muito altas
são designados, respectivamente, viscosidade de deformação zero ‘
0
’ e viscosidade de
deformação infinita ‘
’. Desse modo, a viscosidade efetiva, para um fluido pseudoplástico,
decresce de ‘
0
’ para ‘
’ com o aumento da taxa de deformação.
Geralmente, numa faixa muito baixa de taxa de deformação, a viscosidade efetiva é
constante (região de deformação zero) e o valor de ‘
0
’ tende a aumentar com a elevação da
massa molecular do polímero ou ainda com o incremento da concentração do mesmo.
2.2.1.1 Alguns modelos matemáticos para fluidos pseudoplásticos
Muitas expressões de complexidade e forma variadas foram propostas para modelar
matematicamente as características pseudoplásticas dos fluidos; na verdade essas correlações
são tentativas diretas de ajustes empíricos, oriundos de regressão linear ou não linear, de
dados experimentais de tensão cisalhante em função da taxa de deformação. Por outro lado,
algumas correlações fundamentam-se em bases teóricas da mecânica clássica (como uma
extensão da teoria cinética do estado líquido). Os modelos reológicos reportados na literatura
são os de power-law, Carreau, Cross e de Ellis, descritos a seguir:
Modelo de Ostwald de Waele ou power-law
Estes tipos de fluidos exibem uma relação não linear entre a tensão de cisalhamento e
a taxa de deformação, conforme representado na Equação (2.4). Esta abordagem com base em
modelos de potência denomina ‘m’ como o índice de consistência e ‘n’ o índice de
comportamento.
n
m
(2.4)
Desse modo, a viscosidade efetiva para um fluido de tipo
power-law é expressa pela
Equação (2.5).
1n
E
m
(2.5)
Para
n<1, o fluido exibe propriedades pseudoplásticas; se n=1 o fluido comporta-se
como Newtoniano, e se
n>1 o fluido é caracterizado como dilatante.
Embora o modelo
power-law seja a mais simples representação matemática para um
fluido pseudoplástico, ele tem algumas imperfeições. Por exemplo, esse modelo não
caracteriza fluidos nas regiões de viscosidade aparente para deformação tendendo a zero, ‘
0
’,
bem como nas regiões de viscosidade para deformação infinita, ‘
’.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 11
Modelo de Carreau
Esse modelo foi proposto por CARREAU e KEE (1979) para representar o
comportamento reológico de resinas e de soluções poliméricas. O modelo se baseia em três
parâmetros: a viscosidade a baixas taxas de deformação ‘
0
’, uma constante de tempo ‘
’ e
um parâmetro adimensional ‘
s’, conforme visto na Equação (2.6).
2
0
S
(2.6)
Modelo de Cross
Para representar o comportamento reológico de resinas e de soluções poliméricas,
CROSS (1965) apud RAJU
et al. (1993) propôs um modelo a três parâmetros para representar
a viscosidade efetiva em função da viscosidade a altas taxas de deformação ‘
’, a
viscosidade a baixas taxas de deformação ‘
0
’ e um parâmetro associado à ruptura das
ligações ‘
’, de acordo com a Equação (2.7).
0
23
1
E
(2.7)
Esse modelo é bastante empregado para descrever o comportamento reológico em
amplos intervalos de taxa de deformação.
Modelo de Ellis
O modelo de Ellis diferentemente dos dois anteriores, descreve a viscosidade efetiva
em função da tensão de cisalhamento ao invés da taxa de deformação, segundo a Equação
(2.8)
0
1
1/2
1/
E
E
(2.8)
Nessa equação, ‘
0
’ é a viscosidade para taxa de deformação tendendo a zero e as duas
constantes,
E
>1 e
1/2
são parâmetros de ajuste. Enquanto ‘
E
’ é a medida do grau de
comportamento pseudoplástico (maior valor de
E
, maior dimensão de pseudoplasticidade),
‘
1/2
’ representa o valor da tensão de cisalhamento quando a viscosidade efetiva tender a
assumir a metade do valor inicial, ou seja,
1/2
quando
E
0
2
.
2.2.2 Fluidos dilatantes
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 12
Os fluidos dilatantes são similares aos pseudoplásticos por não possuírem uma tensão
de cisalhamento inicial, porém sua viscosidade aparente aumenta com o incremento da taxa
de deformação. Esse tipo de comportamento foi observado originalmente em suspensões
concentradas e uma possível explicação para isso é que, em repouso, o espaço entre as
partículas é mínimo e o líquido presente é suficiente para preenchê-lo. A baixas taxas de
deformação, o líquido lubrifica a superfície de contato de uma partícula com outra resultando,
consequentemente, em uma redução do atrito entre partículas e numa tensão de cisalhamento
menor. As altas taxas de deformação, por outro lado, o material expande ou dilata
ligeiramente (como é observado também no movimento de dunas de areia), de modo que o
líquido existente passa a ser insuficiente para preencher o espaço vazio e prevenir o contato
direto sólido-sólido, resultando num aumento de fricção e da tensão de cisalhamento. Esse
mecanismo causa uma rápida elevação da viscosidade efetiva com o aumento da taxa de
deformação.
Dentre os fluidos independentes do tempo, esta subclasse tem recebido pouca atenção,
consequentemente poucos dados confiáveis estão disponíveis na literatura. Até recentemente,
os fluidos dilatantes eram considerados como sendo os menos comuns nas indústrias de
processos químicos. Porém, com o recente aumento de interesse no manuseio e
processamento de sistemas com altas cargas de sólidos, tem aumentado o número de artigos
publicados sobre esse tema.
Como exemplos de materiais com esse comportamento, podem-se citar: suspensões
concentradas de argila para fabricação de louças, dióxido de titânio e farinha de trigo em água
entre outros.
As limitadas informações relatadas na literatura sobre esse fluido sugerem que a
viscosidade efetiva/taxa de deformação resulta, frequentemente, num gráfico linear (em
coordenadas logarítmicas) acima de uma faixa limite de taxa de deformação. A modelagem
matemática segue o modelo
power-law, porém com índice de comportamento do fluido ‘n’
maior que um, conforme a Equação (2.9).
1n
E
m
(2.9)
2.2.3 Fluidos viscoplásticos
Esse tipo de fluido é caracterizado pela existência de uma tensão de cisalhamento
inicial (tensão residual) ‘
0
’, diferente de zero, antes do fluido sofrer uma deformação ou
escoamento. Tal material apenas se deforma quando uma tensão externa aplicada for maior
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 13
que esta tensão de cisalhamento inicial. Quando a tensão externa exceder o valor da tensão de
cisalhamento inicial, a curva da tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação do
fluido pode ser linear ou não-linear, mas não passa pela origem de coordenadas. Para níveis
de cisalhamento maiores que ‘
0
’, a substância comporta-se como um material viscoso.
Um fluido cuja curva de tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação é
linear, para
>
0
, é chamado fluido plástico de Bingham, sendo caracterizado por uma
constante de viscosidade plástica (tangente à curva) e pela tensão de cisalhamento inicial. Por
outro lado, materiais que possuem uma tensão de cisalhamento inicial e uma curva não-linear
no gráfico de ‘
’ em função de ‘
’ em coordenadas lineares (para
>
0
) são chamados
pseudoplásticos com tensão residual.
A Figura 2.4 ilustra o comportamento viscoplástico observado num extrato de carne
com comportamento de Bingham e numa solução polimérica como comportamento
pseudoplástico com tensão residual (solução de Carbopol
®
).
É interessante notar que materiais viscoplásticos também apresentam uma viscosidade
aparente que diminui com o acréscimo da taxa de deformação. É possível então, considerar
esses materiais como sendo uma classe particular de fluidos pseudoplásticos.
Exemplos comuns de fluidos viscoplásticos incluem partículas em suspensão,
emulsões, gêneros alimentícios, sangue, fluidos de perfuração etc (BARNES, 1999).
Figura 2.4: Gráfico típico de dois fluidos viscoplásticos; fonte: CHHABRA (1999).
2.2.3.1 Modelos matemáticos para fluidos viscoplásticos
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 14
Muitas expressões empíricas são propostas na literatura como resultado direto de
ajuste de dados experimentais. Três modelos usualmente empregados para descrever fluidos
viscoplásticos são apresentados a seguir:
O modelo plástico de Bingham
É a mais simples equação que descreve fluidos viscoplásticos com uma tensão
cisalhante inicial. Para uma tensão cisalhante unidimensional e constante, têm-se as Equações
(2.10) e (2.11).
0
B
B
para
0
B
(2.10)
0
para
0
B
(2.11)
Sendo
0
B
e
B
tratados como parâmetros de ajuste da regressão.
Modelo Herschel-Bulkley
Estudando soluções heterogêneas de borracha em benzeno, HERSCHEL e BULKEY
(1926) apresentaram um modelo baseado nas propostas de Bingham e
power-law (apud BIRD
et al.,1960), que contempla ajustes não lineares para a taxa de deformação e um valor de
tensão residual ‘
0
’, como visto nas Equações (2.12) e (2.13).
0
n
m
para
o
(2.12)
0
para
0
(2.13)
Com o uso de um terceiro parâmetro adicional ao modelo de
power-law, essa
expressão fornece um ajuste mais satisfatório para algumas categorias de fluidos, como por
exemplo: suspensões heterogêneas de bentonita e soluções poliméricas de Carbopol
®
(KEE et
al.
, 2005).
É comum a utilização da forma modificada, conforme a Equação (2.14), para
expressar a viscosidade efetiva em função dos parâmetros da Equação (2.12) junto a um novo
parâmetro: a viscosidade inicial ‘
0
’, correspondente a baixas taxas de deformação (FLUENT,
2005).
00
n
n
E
m
0
(2.14)
O modelo de Casson
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 15
Muitos gêneros alimentícios e materiais biológicos, especialmente sangue, são
descritos por esse modelo:
1/2
1/2 1/2
0
C
C
para
0
C
(2.13)
0
para
0
C
(2.14)
Esse modelo tem sido frequentemente utilizado para descrever o comportamento da
tensão de cisalhamento/taxa de deformação de sangue, iogurte, extrato de tomate, chocolate
líquido etc.
O modelo de Robertson-Stiff
Também um modelo não linear a três parâmetros baseado em estudos da reologia de
pastas e polpas, este modelo incorpora a taxa de deformação inicial ‘
o
’, um adimensional ‘B’
e um parâmetro de ajuste ‘
A
RS
’. (ROBERTSON e STIFF, 1976; apud XU et al. 1994),
conforme a Equação (2.15).
B
RS o
A
(2.15)
2.2.4 Fluidos de perfuração
A tecnologia envolvendo fluidos de perfuração vem recebendo aportes em pesquisa e
desenvolvimento devido à necessidade de suplantar novos desafios para exploração e
produção de petróleo. As perfurações de poços ultraprofundos com elevadas inclinações e
longas seções horizontais deixaram de ser desafios e hoje se tornaram alternativas
economicamente viáveis para altas taxas de exploração de petróleo (QUDAIHY
et al., 2005).
MARTINS
et al. (2004) destacam os limites hidráulicos para perfuração de poços
horizontais profundos brasileiros. Ressaltando que para cada avanço em termos de
profundidade encontram-se faixas cada vez mais estreitas entre pressão de poro e pressão de
fratura, exigindo progressivamente elevadas performances dos fluidos de perfuração.
Contudo estes incrementos de tecnologia não visam somente superar dificuldades
técnicas. Buscam também atender parâmetros econômicos, já que uma limpeza de poço
(
cuttings removal) mais eficiente resulta em operações com menor consumo de energia
(torque mais baixos) e com taxas de penetração mais altas, o que implica na redução de
custos. Sendo que este último acaba se tornando um fator preponderante, visto que geralmente
os equipamentos para perfuração são terceirizados ou alugados; sendo que a perfuração de um
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 16
poço pode chegar a cifras próximas a seis milhões de dólares (DODSON e SCHMIDT, 2004
apud PAES
et al., 2005).
Em termos de uma ordem de grandeza do volume da utilização destes materiais na
indústria petrolífera, o Instituto Americano do Petróleo (API) estima que cerca de
24.000.000 m
3
de dejetos de perfuração foram gerados em 1995 dos poços terrestres
(
onshore) apenas nos Estados Unidos. Desta forma, enquadra-se a relevância de estudos
envolvendo fluidos de perfuração, na busca permanente de altas performances e condições
otimizadas de operação.
A literatura técnica, a maioria dos livros-texto e os manuais de perfuração trazem uma
lista de 10 a 20 funções para os fluidos de perfuração durante uma prospecção de poço de
petróleo. As principais podem ser citadas resumidamente (CHILINGARIAN e VORABUTR,
1983; DARLEY e GRAYM, 1988; apud CHILINGAR e CAENN, 1996):
Refrigerar a broca;
Lubrificar as partes móveis da broca;
Reduzir o atrito entre o eixo da broca e a parede do poço;
Manter a estabilidade das paredes do poço;
Prevenir a penetração de fluidos de formação (água e gás) pela parede do poço;
Formar uma fina e pouco permeável torta de filtrado;
Proporcionar resistência aos fluidos de formação;
Fazer a limpeza do poço pelo carreamento dos cascalhos até a superfície.
A qualquer momento da perfuração de um poço, uma ou mais destas funções podem
prevalecer sobre as demais. Como por exemplo, em poços profundos ou em recuperação
horizontal, a capacidade de limpeza e a manutenção da integridade das paredes do poço se
sobressaem em relação às demais funções. Já em situações de prospecção em regiões arenosas
(
sensitive sands), a resistência aos fluidos de formação passa a ser uma característica
prioritária.
Recentemente fatores ambientais passaram a receber maior destaque e alguns autores,
já os posicionam na condição de critério de seleção do fluido de perfuração. Revelando desta
forma uma nova fronteira de investigação para pesquisadores, a de conjugar parâmetros
técnico-econômicos com fatores ambientais. (AMANULLAH e YU, 2005).
2.2.4.1 Categorias de fluidos de perfuração
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 17
Existem essencialmente três principais categorias de fluidos de perfuração ou lamas de
perfuração: a base de óleo (OBF,
oil based fluids), sintético (SBF, synthetic based fluid) e a
base de água (WBF,
water based fluids).
Tradicionalmente os OBF têm uma restrita faixa de aplicação, situando-se entre 5 e
10 % dos casos. Estes se destacam pela temperatura de estabilidade e pela sua alta
performance na perfuração (alta lubricidade e atributos de estabilização do poço). Contudo
possuem características que limitam suas aplicações como: altos custos, necessidades
especiais de manuseio e sobretudo um fraco apelo ambiental em relação à eco-toxicidade e à
tendência residual.
Mais recentemente, o tipo SBF tem sido desenvolvido como aditivos para prover
melhores performances de perfuração, similares aos OBF no que diz respeito à estabilidade do
poço e com melhorias em parâmetros ambientais como a biodegradabilidade. Os fluidos
sintéticos incluem as parafinas e “oleofinas internas”: poli-alfas oleofinas (PAO), linear-alfa
oleofinas (LAO), acetais, fluidos a base de éteres/ésteres e detergentes aquilatos. Sua
aplicação não segue uma regra definida, a decisão do uso é específica às particularidades
encontradas em cada poço.
Os fluidos a base de água, WBF, geralmente não possuem performance de perfuração
otimizada, principalmente em condições de perfuração mais complexas, entretanto fornecem a
melhor performance ambiental em termos da sua natureza atóxica e de destacados níveis de
biodegradabilidade. Outro aspecto favorável é o baixo custo quando comparado às outras
categorias. Em sua maioria os fluidos são suspensões poliméricas solúveis em água com
elevado poder de espessamento. Nesta categoria destacam-se a goma xantana e os celulósicos:
CMC - carboximetilcelulose e HEC - hidroxietilcelulose (HUGHES
et al., 1993).
Na classe dos WBF´s, a bentonita ainda tem grande aplicação, principalmente para
produzir propriedades como:
Aumento nas propriedades para limpeza do anular;
Redução na filtração na formação do permeado (
water seepage);
Manutenção da estabilidade da parede do poço em formações mal “cementadas”.
Conduto a bentonita em baixas concentrações é incapaz de prover propriedades
reológicas satisfatórias para a perfuração de poços de petróleo. Em muitas situações esta
precisa ser conjugada com aditivos de espessamento.
Embora tenham-se três categorias de fluidos, é imperativo estabelecer preliminarmente
as necessidades operacionais para então avaliar qual o melhor tipo de fluido que atenda às
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 18
expectativas. Pode-se destacar alguns trabalhos da literatura como HEMPHILL (1990) cujos
resultados visam determinar as propriedades de OBF´s que melhor se ajustam à operação com
poços de elevada inclinação.
Trabalhando com a categoria dos SBF´s, GROWCOCK e FREDERICK (1996)
estudaram os limites de estabilidade do comportamento reológico e do fator de perda de
fluido de perfuração em função de variações na temperatura de estabilização (30 a 150
o
C).
Os testes com poli-alfas oleofinas, linear-alfa oleofinas, fluidos a base de ésteres e detergentes
aquilatos mostram melhores performance quando comparado ao OBF´s, sugerindo ganhos em
termos de custos operacionais e ressaltando a facilidade de manuseio dos fluidos sintéticos.
MORTON
et al. (2004) avaliaram a performance de fluidos de perfuração sobre
critérios de operação como: distância de perfuração (372 a 4392 m), taxa de penetração (3 a
55 m/h) e temperatura de circulação (62 a 132
o
C). Os autores comparam os resultados
obtidos a partir das três categorias de fluidos (OBF, SBF e WBF). Os resultados com fluidos a
base de água se destacam de maneira tão significativa que os autores propõem a criação de
um subgrupo de estudo: lamas a base de água de alta performance, do inglês HPWBM (
high
performance water based muds
); acreditando que normas ambientais futuras subjugarão
parâmetros técnico-operacionais, principalmente quando se tratar de operações marítimas,
pois este delicado ecossistema traz consigo um apelo ecológico ainda maior.
2.2.4.2 Aditivos de fluidos de pefuração
Para a prospecção de um novo poço não há regra geral ou um fluido de perfuração
padrão, cada poço tem suas particularidades. Desta forma, na prática, é muito comum o uso de
aditivos aos fluidos de perfuração. Esses materiais visam potencializar determinadas
propriedades, como a temperatura de estabilização, a lubricidade, o enceramento da broca (
bit
balling
) e a viscosidade.
Atualmente, não há lamas a base de água estáveis em temperaturas acima dos 200
o
C
como as lamas a base de óleo. Há diversos trabalhos que sugerem o uso de polímeros
sintéticos como aditivos. Dentre os trabalhos destaca-se o de PLANK (1992) que descreve a
ação do dimetil-acrilamida e do hidrato-maleico-estirenosulfonato como agentes de
estabilidade para elevadas temperaturas.
Alguns óleos vegetais modificados e glicerina são usualmente empregados como
elementos para redução do fator de atrito entre o fluido de perfuração as paredes do poço e
eixo da broca. Estes aditivos são conhecidos também como agentes de lubricidade. Autores
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 19
como BLAND (1994) sugerem o uso de glicóis e poliglicóis como aditivos aos WBF´s, como
alternativa ao uso de lamas à base de óleo.
A classe dos glicóis e seus derivados são empregados também com a finalidade de
formar uma película hidrofóbica superficial sobre as partes metálicas da broca, evitando a
formação de agentes ligantes (argamassas) entre as partes móveis durante a perfuração; efeito
conhecido como enceramento da broca.
Espessantes são aditivos que visam modificar a reologia dos fluidos de perfuração,
principalmente aumentando as “viscosidades de baixa deformação”. A goma xantana,
produzida em uma rota biológica, além de fornecer alto poder de espessamento em baixas
taxas de deformação, possui também respeitável nível de biodegradabilidade. Pesquisadores
como SPARLING e WILLIAMSON (1991) sugerem o uso de hidróxidos-metálicos
misturados (
mixed metal hidroxides – MMH) que são materiais cristalinos cationicamente
carregados. Estes materiais uma vez associados à bentonita formam um suspensão na
consistência de gel. Esta estrutura de gel quando bombeada desloca-se como uma massa
sólida carregando consigo todos os cascalhos no anular. Entretanto, mais resultados de
pesquisa sobre estes aditivos são necessários para comprovar esse mecanismo de transporte.
Aditivos com ação conjugada também vêm sendo estudados, como a proposta de
ZAKHAROV e KONOVALOV (1992), sobre o uso de silicatos para promover alterações na
reologia de lamas de perfuração e ao mesmo tempo atuar como agente de lubrificação.
Destacam-se também os estudos de HUGHES
et al. (1993) que visam a ação simultânea de
suspensões de CMC como espessante e agente de redução de perda de fluido de perfuração.
Pode-se ressaltar também a proposta de SHARMA e MAHTO (2004) para o uso de
goma de tamarindo e celulose polianiônica como aditivos nas suspensões de bentonita em
água. Apresentando bons resultados tanto de biodegradabilidade, quanto no controle da perda
de fluido e ainda produzindo propriedades reológicas apropriadas à perfuração de poços de
petróleo. Na mesma linha, AMANULLAH e YU (2005) destacam o uso de amidos
modificados como aditivos a fluidos WBF. Os dados reportados apontam que esta nova
proposta pode atuar com agente de redução da perda de fluido tolerando temperaturas de
operação em torno de 150
o
C sem gerar resíduos nocivos ao ecossistema marítimo.
2.2.4.3 Propriedades reológicas e o carreamento de sólidos
A eficiência no transporte dos cascalhos gerados está fortemente associada às
propriedades físicas dos fluidos como a densidade e principalmente a viscosidade, ou a
reologia quando se tratar de fluidos não-Newtonianos. O comportamento reológico da lama de
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 20
perfuração deve estar ajustado para manter as partículas sólidas suspensas durante o
transporte dos cascalhos de perfuração. Se a consistência for baixa pode ocorrer a
sedimentação durante o processo, gerando acúmulo de sólidos na parte inferior do espaço
anular. A presença de sólidos acumulados nessa região pode provocar desde um aumento no
torque de acionamento da broca até a critica situação de entupimento do poço. Neste sentido,
necessita-se de um fluido que possa conjugar duas situações operacionais bem distintas.
Quando sob bombeamento (altas deformações) este fluido deve apresentar uma viscosidade
reduzida que permita seu deslocamento com baixo consumo de energia. Caso venha ocorrer
escoamento a baixas vazões de circulação (baixas deformações) este possa apresentar uma
viscosidade suficiente que evite ou minimize a sedimentação dos cascalhos no anular
(FRIGAARD
et al., 2001). A Figura 2.5 apresenta um exemplo de reograma para o uso de
aditivos metálicos (MMH) visando o aumento de viscosidade e de densidade do fluido de
perfuração. Ressalta-se o eixo das ordenadas nas faixas de viscosidades usualmente
encontradas em cada etapa do processo de perfuração; variando de 20 a 3000 mPa.s.
Figura 2.5: Exemplo de reograma para lamas MMH (
Dow Chemical Company).
Algumas suspensões poliméricas produzem um comportamento não-Newtoniano do
tipo pseudoplásticos e viscoplásticos, similares ao descrito na Figura 2.5. A Figura 2.6
apresenta um reograma típico da viscosidade e tensão cisalhante em função da taxa de
deformação de uma suspensão de goma xantana com concentração de 0,31 %. Destacam-se as
elevadas viscosidades efetivas para baixas taxas de deformação.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 21
Figura 2.6: Reograma de uma suspensão polimérica de goma xantana.
O fato de apresentarem altas viscosidades em taxas de deformação muito baixas faz
com que os fluidos pseudoplásticos tenham comportamento apropriado para lamas de
perfuração; mantendo praticamente em suspensão os cascalhos em eventual redução ou
mesmo interrupção do escoamento pelo anular.
Dos trabalhos reportados na literatura, encontram-se um apreciável número de
publicações sobre o assunto, fato que traduz a importância do tema para as aplicações na
indústria do petróleo.
Pode-se destacar como referência SIFFERMAN
et al. (1974) pelo estudo do transporte
de sólidos na perfuração em poços verticais. Neste trabalho os autores apresentaram o
conceito da razão de transporte de sólidos, com base na velocidade terminal do sólido e na
velocidade do fluido escoando pelo espaço anular. Seus resultados são avaliados sob efeito da
vazão de fluido, das propriedades físicas dos fluidos, da distribuição de tamanhos do cascalho
de perfuração e das respectivas concentrações, da rotação do eixo interno e das dimensões do
espaço anular. Os autores destacam como fatores preponderantes na eficiência de “limpeza”
do poço a velocidade anular do fluido e suas propriedades reológicas. De forma significativa
mas com moderada importância estão a rotação do eixo interno e a excentricidade do sistema.
Ressaltando os efeitos viscoplásticos de fluidos, ESTES
et al. (1996) apresentaram a
análise da capacidade de limpeza do anular empregando fluidos de Bingham para poços
horizontais, nos quais os fluidos escoam em regimes laminar e turbulento.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 22
Para a estimativa de condições de limpeza de poços de elevada inclinação (55 a 90
o
)
partindo da perfuração de poços horizontais, PLLEHVART
et al. (1997) apresentaram uma
abordagem alternativa com base em fatores de correção para predição de uma velocidade de
fluido crítica para transporte de sólidos. As variáveis de correção investigadas foram as
propriedades físicas do fluido, o tamanho médio das partículas e o ângulo de inclinação.
Buscando operações eficientes de perfuração, MAGLIONE (1999) ressalta a
necessidade de integração de parâmetros reológicos e hidráulicos. Os resultados apresentados
pelos autores buscam a otimização da operação de perfuração pela comparação entre estudos
de casos.
Recentemente, materiais com comportamento reológico complexo quando em
suspensão, como as espumas por exemplo, têm sido empregados para o aumento da
capacidade de remoção de cascalhos gerados durante a perfuração de poços horizontais como
no trabalho apresentado por OZBAYOGLU
et al. (2005).
2.3 Escoamento em tubos e analogia para o escoamento anular
Em relação ao estudo sobre o escoamento anular é muito comum, para diversos
autores, a analogia com deslocamento de fluidos em dutos de seção circular. A quantidade de
informações sobre o fluxo de líquidos em tubos, tanto para fluidos Newtonianos quanto para
os de comportamento não-Newtonianos é significativamente superior. Uma das principais
analogias é o conceito do diâmetro hidráulico ‘
D
H
’, segundo a Equação (2.16).
2
H
EXT INT
DRR (2.16)
Sendo que este substitui o valor do diâmetro interno do tubo em aplicações como o
uso do número de Reynolds, o comprimento de entrada, em critérios de transição de
escoamento e, ainda, em informações referentes ao fator de atrito.
2.3.1 As definições para o número de Reynolds
Desde o pioneiro trabalho sobre escoamento de REYNOLDS (1884) até os dias de
hoje que o conceito do adimensional, que relaciona as forças inerciais com as forças viscosas,
é empregado. Sua aplicação consiste em uma referência direta ao regime de escoamento de
um fluido. Numa única expressão considera-se a geometria do sistema ‘
D’, a velocidade
média do fluido ‘
v’ e suas principais propriedades físicas. A Equação (2.17) representa a
definição clássica do número de Reynolds para fluidos Newtonianos incompressíveis.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 23
Re
vD
(2.17)
Quando o fluido passa a ter um comportamento não-Newtoniano, o conceito do
número de Reynolds se mantém, sendo a viscosidade dinâmica substituída pela a viscosidade
efetiva, neste caso o número de Reynolds recebe o complemento de generalizado,
representado pela Equação (2.18).
Re
G
E
vD
(2.18)
A viscosidade efetiva é calculada como o auxílio de duas expressões, uma para o
modelo de viscosidade em função da taxa de deformação e outra para a determinação de como
o fluido é deformado durante o escoamento.
Pela ampla utilização do modelo reológico de power-law para fluxo em dutos
circulares, representado pelos parâmetros ‘m’ e ‘n’, é comum também o emprego do número
de Reynolds generalizado definido pela Equação (2.19), conhecido como Reynolds de
METZNER e REED (1955).
(2 )
Re
nn
MR
vD
m
(2.19)
2.3.2 Efeito do comprimento de entrada
À medida que um fluido entra no interior de um tubo uma camada limite se forma na
superfície interna do duto, delimitando a região na qual os efeitos das forças viscosas são mais
relevantes. Fora desta região o fluxo principal tem escoamento potencial, ou seja, os efeitos
viscosos são negligenciáveis. Em algum ponto ao longo do eixo axial a camada limite ocupa
toda a área da seção transversal. Este ponto marca o fim da região de alimentação, mas não o
fim da “região de entrada” (MONHANTY e ASTHANA, 1978). Somente a partir deste ponto,
o perfil de velocidade do fluido não apresenta mais variações significativas ao longo do seu
escoamento (formação assintótica), que passa a ser considerado completamente estabelecido.
Esta distância, contada a partir da entrada do duto, é denominada de comprimento de entrada
‘L
E
’. A Figura 2.7 apresenta esquematicamente o perfil de velocidade axial do fluido na
evolução da camada limite até atingir a região de escoamento plenamente estabelecido.
Um dos pioneiros trabalhos de quantificação do comprimento de entrada foi
desenvolvido por LANGHAAR (1942) para escoamento laminar de fluidos Newtonianos, o
qual resultou na Equação (2.20). Nessa equação, ‘D’ representa do diâmetro do duto e ‘Re’ o
número adimensional de Reynolds.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 24
0,0575Re
E
L
D
(2.20)
Na mesma linha de pesquisa, FOUMENY et al. (1993), com uma abordagem
numérica do escoamento laminar de fluidos Newtonianos em dutos, apresentaram uma
correlação, conforme a Equação (2.21), para avaliação do comprimento de entrada em função
do número de Reynolds e do diâmetro do duto. Os resultados deste estudo foram confrontados
com os dados experimentais de FRIEDMANN et al. (1968) e com a correlação proposta por
CHEN (1973), segundo a Equação (2.22).
(0,148Re)
0,379 0,0575Re 0,260
E
L
e
D
(2.21)
0,6
0,056 Re
1 0,035Re
E
L
D
(2.22)
A Equação (2.21) apresentou um desvio médio da ordem de 2,0 %, em relação aos
dados experimentais de FRIEDMANN et al. (1968), enquanto que analogamente a Equação
(2.22) apresentou um desvio médio de 4,0 %.
Figura 2.7: Evolução do perfil de velocidade axial em função do comprimento de entrada.
Pode-se destacar também o trabalho de JAYANTI et al. (2001) com o estudo do
desenvolvimento do escoamento bifásico em região anular vertical para dois fluidos
Newtonianos (ar e água). Os autores detalham experimentalmente os valores locais de
gradiente de pressão, espessura da camada limite, tensão cisalhante na parede do duto, além
do perfil de velocidade. Os resultados mostram as variações que ocorrem nos primeiros “50
diâmetros de tubo” caracterizando a região de alimentação, sendo que o comprimento de
entrada responde de forma mais lenta, apresentando valores na faixa de 100 a 300 diâmetros
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 25
para atingir a condição de plenamente estabelecido. As condições experimentais de
escoamento testadas foram de 71 a 154 kg/m
2
.s para o ar e 10 a 120 kg/m
2
.s para a água.
Mais recentemente, CHEBBI (2002) apresenta os resultados obtidos do escoamento
laminar em dutos circulares para fluidos não-Newtonianos, representados pelo modelo de
power-law. A Figura 2.8 apresenta um dos resultados obtidos, destacando a evolução do
escoamento até atingir a condição de plenamente estabelecido (linha pontilhada).
A relação ‘U
c
/U
o
’ representa a razão entre as velocidades central e de alimentação
enquanto que ‘x’ representa o comprimento axial, ‘R’ o raio do duto e ‘Re
G
’ o número de
Reynolds generalizado. O autor comenta a influência do índice comportamento de power-law
‘n’ sobre o comprimento de entrada, reportando que quanto menor for seu valor, maior será a
relação ‘x/R’. Recalculando para ‘L
E
/D’ como convencionalmente é encontrado na literatura,
seus resultados sugerem um valor de 0,20 vezes o número de Reynolds generalizado para a
condição de escoamento plenamente estabelecido.
Figura 2.8: Evolução do comprimento de entrada para fluidos não-Newtonianos; fonte:
CHEBBI (2002).
2.3.3 Regimes de escoamento e critérios de transição
Para todos os fluidos, a natureza do escoamento é governada pela relação entre forças
viscosas e inerciais. Para fluidos Newtonianos, o balanço entre estas forças é traduzido pelo
adimensional número de Reynolds. Com este conceito, tem-se estabelecido que valores de
‘Re’ acima de 2100 não caracteriza mais o fluxo laminar no escoamento de fluidos em tubos
(seção circular).
Como referência, pode-se citar talvez um dos primeiros trabalhos na tentativa de
elucidar o critério de transição de escoamento de fluidos não-Newtonianos. HEDSTROM
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 26
(1952) propôs a avaliação do escoamento de fluido com comportamento viscoplástico do tipo
de Bingham em tubos. O autor destaca como critério de início da turbulência a intersecção das
curvas do fator de atrito com as curvas dos adimensionais: número de Hedstrom ‘He’ e o
Índice de Plasticidade ‘PI’, respectivamente representados pelas Equações (2.23) e (2.24).
2
0
2
B
B
D
He
(2.23)
2
0
B
B
D
PI
U
(2.24)
Para fluidos não-Newtonianos do tipo power-law pode-se citar a proposta de RAYAN
e JOHNSON (1959), com o cálculo do número de Reynolds de transição em função do índice
de comportamento ‘n’, traduzida na Equação (2.25).
21
2
6464
Re 2
31
nn
MR
C
n
n
n
(2.25)
Fornecendo valores de Reynolds críticos crescentes para a redução de ‘
n’, até atingir
n=0,4 (Re=2400) onde se verifica que a partir desse valor de n, ocorre uma reversão seguindo
de um forte decréscimo até atingir o valor de 1600 (para
n= 0,1). Resultados estes que não
foram confirmados por DODGE e METZNER (1959). Os autores reportaram a presença do
escoamento laminar em condições de
Re
MR
=3100 (para fluido com n=0,38) e de Re
MR
=2700
(para fluido com
n =0,73). Contudo, numa análise mais ampla, alguns autores sugerem que,
devido à complexa relação do ‘(
Re
MR
)
C
’ com o índice de comportamento ‘n’, é aceitável
considerar o fim do regime laminar na faixa de valores de
Re
MR
>2000 a 2500.
Outro trabalho da literatura frequentemente referenciado é o estudo matemático de
HANK (1963), no qual o cálculo de uma constante de estabilidade visando estimar a transição
entre regimes de escoamento. Esta constante é a razão de acoplamento entre a magnitude da
taxa de variação de momento angular e a magnitude da taxa de perda de momento (apud
GÜCUYNER e MEHMETOGLU, 1996).
De forma similar MISHRA e TRIPATHI (1971) propõem uma constante de
estabilidade, com base na razão entre a energia cinética média por unidade de volume de
fluido e a tensão cisalhante na parede do tubo. Esta constante (Equação 2.26) é dependente ao
número de Reynolds generalizado e, uma vez testada para fluidos Newtonianos escoando em
dutos com
Re
MR
=2100 e
’ =1, pôde ser quantificada em x=62,5. A partir de então, assume-se
este valor como válido também para fluidos não-Newtonianos, calculando-se o valor do
número de Reynolds generalizado crítico pelas Equações (2.27) e (2.28).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 27
Re
'
M
R
x
(2.26)
Re 2100
M
R
C
c
(2.27)
2
4253
33 1
c
nn
n
(2.28)
Avaliando o escoamento de fluidos viscoplásticos (
yield-pseudoplastic) em tubos,
DESOUKY e AWAD (1998) propõem um novo critério para transição de regime,
fundamentada no parâmetro chamado de coeficiente de interação viscosa ‘
C’.
Conceitualmente, pode-se dizer que esse parâmetro é resultado do movimento caótico
característico de turbulência, sendo a tensão cisalhante viscosa ‘
v
’ amplificada em valores
muito superiores em relação à tensão cisalhante laminar ‘
’, conforme a Equação (2.29).
Sendo que para
C > 1, tem-se fluxo turbulento, enquanto que para C < 1 tem-se o regime
laminar.
v
C
(2.29)
A Figura 2.9 representa a aplicação do conceito do coeficiente de interação viscosa em
função no número de Reynolds generalizado.
Figura 2.9: Coeficiente de interação viscosa em função de
Re
MR
; fonte: DESOUKY e AWAD
(1998)
Outros trabalhos reportados na literatura estudam a evolução do escoamento em dutos,
muitos deles abordam a transição de regime com base na análise do fator de atrito em função
do número de Reynolds.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 28
2.3.4 Fator de atrito para fluidos Newtonianos
A definição de fator de atrito baseia-se na consideração do escoamento estacionário de
um fluido com densidade constante. O fluido exerce uma força ‘
F’ na superfície sólida,
convenientemente dividida em duas componentes: ‘
F
s
’ a força que o fluido exerce mesmo
estando parado e ‘
F
k
,’ uma força adicional associada ao comportamento cinético do fluido.
Neste conceito, a magnitude da força ‘
F
k
’ pode ser expressa arbitrariamente como o produto
de uma área característica ‘
A’, por energia cinética característica por unidade de volume ‘K’ e
uma quantidade adimensional ‘
f’, conhecida como fator de atrito, segundo a Equação (2.30).
(2.30)
k
FAKf
Embora a equação acima não represente a lei de mecânica dos fluidos, esta introduz
uma definição para ‘
f’, onde a adimensionalidade e simplicidade pode ser fornecida por
relações em funções de Reynolds e a geometria do sistema.
O exemplo clássico da correlação do fator de atrito com o regime de escoamento é o
caso de escoamento de fluido no interior de um tubo cilíndrico, sendo ‘
A’ representado pela
superfície interna do tubo e ‘
K’ pela quantidade ½
<v>
2
, de acordo com a Equação (2.31).
2
1
2
2
k
FRL v
f
R
(2.31)
O termo ‘
F
k
’ geralmente é obtido experimentalmente pela queda de pressão e a
diferença de elevação, representadas pelas Equações (2.32) e (2.33).
2
00
kL L
Fpp ghh
(2.32)
2
0
kL
FPPR
(2.33)
Igualando as Equações (2.31) e (2.33), tem-se a definição do conhecido fator de atrito
de Fanning, segundo a Equação (2.34).
0
2
1
2
1
4
L
PP
D
f
L
v
(2.34)
A Figura 2.10 representa a evolução do fator de atrito de Fanning com o regime de
escoamento no interior de um tubo. Um aspecto importante a acentuar nesta figura é a
identificação de duas formas de curvas distintas separadas por uma descontinuidade entre
2100 <
Re < 3500. Na primeira região, a curva é contínua para Reynolds baixos até Re =2100,
correspondendo ao regime laminar. Pelo modelo de membranas de tensão é nesta região que
os vórtices incipientes não têm energia suficiente para passar pela membrana de tensão. Na
faixa de
Re > 3500 o fluido está normalmente em escoamento turbulento. Nesta região, a
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 29
atividade dos vórtices é suficientemente violenta para ultrapassar as membranas de tensão e
há transferência de momento não só pela atividade dos turbilhões, mas também pelo
transporte molecular.
No intervalo entre 2100 e 3500, ocorre o escoamento de transição, instável;
caracterizado pela possível existência combinada de escoamento laminar e de escoamento
turbulento. O comportamento do fluido nesta região de transição é uma função das suas
propriedades e da geometria do sistema.
Figura 2.10: Fator de atrito em função do número de Reynolds para escoamento em tubos.
2.3.5 Fator de atrito para fluidos não-Newtonianos
De forma análoga à categoria dos fluidos Newtonianos, o fator de atrito em tubos tem
um amplo número de publicações. A maioria destas publicações associa as perdas
hidrodinâmicas às características reológicas dos fluidos e ao regime de escoamento. Pode-se
citar, por exemplo, a proposta de PINHO e WHITELAW (1990), que além de quantificar as
quedas de pressão em função de uma ampla faixa do número de Reynolds generalizado (214 a
111000), avaliaram também a influência da turbulência sobre os perfis de velocidade axial,
tangencial e radial em suspensões de carboximetil celulose.
Na mesma linha de pesquisa, tem-se o trabalho experimental de ESCUDIER
et al.
(1999), que empregando diversas suspensões poliméricas de carboximetil celulose ‘CMC’, a
goma xantana ‘XG’ e poliacrilamida ‘PAA’, quantificaram as perdas de carga em tubos
utilizando o fator de atrito em função do regime de escoamento. A Figura 2.11 apresenta a
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 30
amplitude dos resultados experimentais obtidos pelos autores; ressaltando o fim da região
laminar em torno de Reynolds generalizado a 2000, a região de transição de 2000 a 3500 e a
turbulenta para valores superiores a 3500.
Figura 2.11: Fator de atrito em função do número de Reynolds generalizado; fonte:
ESCUDIER
et al. (1999).
Com a abordagem na simulação numérica, empregando a técnica de espectros de
elementos de Fourier, RUDMAN
et al. (2004) avaliaram o escoamento turbulento de fluidos
pseudoplásticos em dutos. Os resultados apontam a influência na redução de arraste (
drag
reduction
) do parâmetro ‘n’ (modelo de power-law), principalmente para Reynolds
generalizado maiores que 2000. A Figura 2.12 representa graficamente os resultados do fator
de atrito em função do número de Reynolds generalizado.
Figura 2.12: Fator de atrito em função do número de Reynolds generalizado; fonte:
RUDMAN
et al. (2004).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 31
Na literatura, há um número considerável de artigos técnicos reportando o
comportamento do fator de atrito em função do regime de escoamento. Contudo também há
um número significativo de pesquisadores que investiram em contribuições sobre os
mecanismos de redução de arraste; desde abordagens teóricas como em (RENARDY, 1995),
como publicações específicas para indústria petrolífera no uso de aditivos a fluidos de
perfuração para “redução do arraste” (
drag reduction), até as mais recentes pesquisas com
escoamentos bifásicos.
OUDEMAN e BACARREZA (1995) avaliaram a resposta da queda de pressão de
operação durante a perfuração de poços
offshore com altas pressões (bombeamento de lama) e
temperaturas do eixo da broca. Os testes foram realizados no espaço anular de diâmetros de
9
5/8
de polegadas por 13
5/8
de polegadas. Os resultados apontaram que altas quedas de
pressão, preditas por modelos teóricos em função de elevadas temperaturas, não ocorrem nos
testes de campo. Os autores ainda sugerem novas abordagens para comprovar os resultados,
como por exemplo o teste de resposta a pulsos de pressão.
Abordando a perda de carga em sistemas bifásicos, JOSEPH
et al. (2003) propõem
correlações para o fator de atrito em condições laminar e turbulenta de fluidos
não-Newtonianos escoando em tubos. Os resultados apresentam uma tendência quanto à
redução do fator de atrito similar àquelas reportados por ESCUDIER
et al. (1999) e
RUDMAN
et al. (2004); ressaltando-se a mudança no ponto de transição entre regimes. Os
resultados experimentais revelam valores do número de Reynolds generalisado bifásico
próximos a 1000 como sendo o ponto de término do escoamento laminar.
Com o uso de soluções de poliacrilamidas em diversas concentrações (200 a 1000
ppm), HANRATTY
et al. (2004) avaliaram a redução do atrito para escoamentos turbulentos
com a degradação das massas moleculares das cadeias poliméricas. Os resultados apontam
capacidades de redução na faixa de 34 a 38 % sem que uma degradação significativa nas
massas moleculares das cadeias poliméricas.
Visando a aplicação em sistemas de separadores gás-líquido para unidades de
perfuração, FERNANDES
et al. (2004) apresentam as determinações experimentais da
redução de arraste para escoamento bifásico. Os fluidos são a água e o ar, e o agente redutor
de arraste é constituido de polímeros a base de poli-alfa-oleofinas. Os resultados mostram
significativos valores de redução do atrito (40 a 50 %), sendo que estes mostram ser mais
sensíveis à variação da velocidade superficial do líquido do que à variação da velocidade
superficial do gás e ao diâmetro do tubo.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 32
Avaliando a capacidade do ar na redução do atrito do escoamento laminar de graxas
lubrificantes, FRANCO
et al. (2006) quantificaram as perdas hidrodinâmicas do escoamento
bifásico. Os resultados obtidos mostraram boa concordância com a clássica expressão do fator
de atrito de Fanning para o escoamento laminar não-Newtoniano (
f=16/Re).
MOWLA e NADERI (2006) reportam os resultados de agentes de redução de arraste
para escoamentos de ar e óleo bruto (
crude oil). O agente testado foi a poli-alfa-olieofina em
diversas concentrações para sistemas tubulares lisos e rugosos em condições de escoamento
turbulento. A Figura 2.13 apresenta um dos resultados obtidos mostrando o efeito da
concentração no percentual de redução de arraste.
Figura 2.13: Redução do atrito em função da concentração de polímero; fonte: MOWLA e
NADERI (2006).
2.4 Escoamento anular: resenha do material consultado
Dentre os diversos trabalhos disponíveis na literatura que tratam do escoamento anular
seja concêntrico ou excêntrico, ressaltam-se alguns trabalhos nos quais especificidades como:
aparato experimental, inovação de metodologia e aplicação de técnicas numéricas, fez com
que recebessem destaque consagrando-os como referência. Os trabalhos aqui reportados são
agrupados em categorias visando estabelecer não só uma cronologia, mas também permitir
analogias.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 33
2.4.1 Critério de transição entre regimes de escoamento
Buscado determinar os regimes de escoamento em tubos circulares e em tubos
concêntricos para fluido não-Newtonianos do tipo Herschel-Bulckey, MAGLIONE (1995)
apresenta um método, parametrizado em adimensionais, que visa predizer por correlações o
fim do regime laminar. As Equações (2.35) e (2.36) representam as propostas para tubos e
anulares respectivamente.
0
231
a
M
vmm
G
mD
(2.35)
0
4
41
a
M
EI
v
mm
G
mDD
(2.36)
Sendo que ‘
v
a
’ representa a velocidade média do fluido e ‘D’ o diâmetro interno para
tubos circulares. Para a situação anular sem os efeitos da rotação, ‘
D
E
’ corresponde ao
diâmetro interno do tubo externo e ‘
D
I
’ o diâmetro externo do tubo interno. O autor sugere
para o adimensional ‘
G
M
’ que os valores críticos de transição seriam de 2,8 para tubos e 14,7
para anulares.
Ainda sobre o critério de transição de regimes de escoamento, pode-se destacar o
estudo de GUCUYENER e MEHMETOGLU (1996) para fluidos psedoplásticos e
viscoplásticos em anulares concêntricos, mas sem os efeitos da rotação do eixo interno. Além
de uma revisão sobre trabalhos publicados na literatura abordando este tema, os autores
apresentam resultados da influência dos parâmetros reológicos no critério de transição. As
Figuras 2.14 e 2.15 reproduzem dois de seus resultados.
Figura 2.14: Influência do parâmetro ‘n’ de power law no Reynolds crítico em função da
razão entre diâmetro de tubos; fonte: GUCUYENER e MEHMETOGLU (1996).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 34
Mostrando que para fluidos pseudoplásticos, do tipo por
power-law, pode ocorrer uma
redução no valor de Reynolds, que determina o término da condição de escoamento laminar
em função do comportamento reológico do fluido (parâmetro ‘
n’) e da razão de diâmetros
entre os tubos ‘
k’.
Figura 2.15: Influência dos parâmetros ‘
n’ e ‘T
o
’ no Reynolds crítico para k=0,6; fonte:
GUCUYENER e MEHMETOGLU (1996).
Considerando fixa a razão entre diâmetros ‘
k’ igual a 0,6; verifica-se para fluidos
viscoplásticos representados por Hershel-Bulckley, mesmo operando com baixos valores de
tensões residuais adimensionalizadas (T
o
), que as condições de transição do regime laminar
podem atingir valores de Reynolds inferiores a 1000.
2.4.2 Arranjos verticais
NOURI et al. (1993) avaliaram experimentalmente o fluxo anular de fluidos
Newtonianos e não-Newtonianos em situações bem acima do escoamento a laminar (1150 <
Re < 26600), empregando a técnica de anemometria a laser para obter os perfis de velocidade
axial, radial e tangencial. Como fluido de comportamento não-Newtoniano, foram
empregadas soluções de CMC a 0,2 % (representadas pelo modelo de
power-law). Os autores
ainda obtiveram expressões de coeficiente de atrito superficial (
skin-friction) tanto para
fluidos Newtonianos quanto para os não-Newtonianos em arranjos concêntricos e excêntricos,
como a Equação (2.37). As determinações experimentais, contudo, não quantificaram o efeito
da rotação do eixo interno. Uma observação destacada pelos autores foi a redução da queda de
pressão da ordem de 7 % em função do aumento da excentricidade. Também como resultado,
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 35
os autores analisaram os perfis de velocidade para as configurações concêntricas e
excêntricas.
(2.37)
0,39
0,36 Re
G
f
Continuando a linha de pesquisa, NOURI e WHITELAW (1997) apresentam uma
breve revisão sobre as técnicas experimentais reportadas na literatura, envolvendo escoamento
em anulares. Como objeto de estudo, os autores investigaram o efeito da rotação do cilindro
interno sobre o escoamento de fluidos Newtonianos e não-Newtonianos. Neste trabalho foram
empregados arranjos excêntricos. Os perfis de escoamento foram apresentados nas três
componentes, destacando o efeito da rotação sobre o coeficiente de fricção superficial. A
Figura 2.16 apresenta um dos resultados obtidos, mostrando que a influência da rotação do
cilindro interno é mais significativa na faixa Re
G
< 3000, sendo que para o escoamento
turbulento a influência da rotação é menos expressiva.
Figura 2.16: Fator de atrito em função de Re
G
em arranjo excêntrico; fonte: NOURI e
WHITELAW (1997).
Com uma unidade experimental SIGINER e BAKHTIYAROV (1998) avaliaram os
perfis de velocidade do fluido empregando a técnica estroboscópica de visualização do
escoamento. Os autores observaram que os campos de escoamento são influenciados pela
excentricidade e parâmetros reológicos de fluidos Newtonianos e não-Newtonianos. Os
resultados experimentais foram reportados sobre os perfis de velocidade azimutal e
confrontados com aqueles obtidos de predições analíticas.
Excluído os efeitos da rotação do eixo interno, MÜLLER et al. (2004) avaliaram o
escoamento vertical anular concêntrico de areia em suspensões não-Newtonianas. O objeto
deste estudo foi como a velocidade anular média e a concentração de polímero afetavam a
distribuição axial de sólidos. Seus resultados mostraram que a capacidade de suspensão de
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 36
sólidos era potencializada pela presença do polímero. A adição deste reduzia a velocidade
anular mínima para atingir a condição de distribuição homogênea de sólidos no espaço anular.
Contudo nem sempre a capacidade de carreamento de sólidos era elevada pela adição de
polímero.
2.4.3 Arranjos horizontais
FARIA (1995) abordou experimentalmente a variação do gradiente de pressão em
tubulações anulares concêntricas e excêntricas com e sem rotação. Em seu trabalho,
avaliou-se o efeito de luvas de conexão do eixo de acionamento na queda de pressão e no
escoamento de fluidos Newtonianos. Um aspecto interessante é o estudo de proporção de
escala (scale-down) que o autor apresenta, utilizando uma comparação adimensionalisada, as
situações encontradas usualmente em aplicações de escala industrial.
De forma similar ESCUDIER e GOULDSON (1995) também estudaram
experimentalmente o escoamento de fluidos Newtonianos e pseudoplásticos sob a influência
da rotação do corpo central. Como técnica de medida os autores usaram o LDA (laser doppler
anenometer) e apresentaram os perfis de velocidade para diversas situações de escoamento
(vazão de fluido e rotação do cilindro interno), além de ressaltar o comportamento do fator de
atrito sob influência do escoamento. Para fluidos de característica Newtoniana foram
empregadas soluções de xarope de glicose, enquanto que a carboximetilcelulose foi a base
para as soluções de comportamento não-Newtoniano. A Figura 2.17 apresenta um dos
resultados obtidos nos testes com CMC, destaca-se o efeito da rotação (30 a 126 rpm) que
influencia o escoamento a partir de valores de Re
G
próximos a 500-700.
Figura 2.17: Fator de atrito vs Re
G
para fluxo anular concêntrico de fluido não-Newtoniano;
fonte: ESCUDIER e GOULDSON (1995).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 37
ESCUDIER et al. (2000) avaliaram o efeito da rotação do cilindro interno no
escoamento laminar de fluidos Newtonianos em região anular excêntrica. Os autores
verificaram simulações numéricas de escoamento bi-dimensional a partir de dados obtidos
experimentalmente por LDA. Os perfis de velocidades numéricos e simulados foram
confrontados mostrando boa concordância entre os resultados obtidos pelas duas técnicas.
Também como resultado os autores apresentam o efeito do fator de atrito sob influência da
condição de escoamento e da excentricidade do arranjo.
ESCUDIER et al. (2002) estendem o estudo para fluidos de características
não-Newtonianas comparando os resultados experimentais com aqueles oriundos da
simulação numérica. Destacando os perfis de velocidade e confrontando também com aqueles
obtidos em outros trabalhos publicados na literatura, como NOURI e WITHELAW (1997) e
NOUAR et al. (1987). A Figura 2.18 mostra alguns dos resultados obtidos referentes ao
gradiente de pressão em função da rotação do eixo interno.
Figura 2.18: Efeito da velocidade angular do eixo interno sobre o gradiente de pressão; fonte
ESCUDIER et al. (2002).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 38
Analisando a Figura 2.18, observa-se a presença de diversas tendências para o
comportamento do gradiente de pressão em função da rotação do eixo interno para o
escoamento laminar de fluidos não-Newtonianos, podendo ressaltar: a queda contínua deste
gradiente com aumento da rotação, o aumento progressivo e ainda um aumento seguido de
uma região de estabilidade. Os autores justificam estes comportamentos pela influência das
características não-Newtonianas e da predominância do escoamento helicoidal,
fundamentando a discussão na relação entre as velocidades tangencial e axial.
2.4.4 Influência da vazão do fluido e rotação do cilindro interno
McCANN et al. (1995), com os resultados de uma unidade experimental da Mobil
E&P, determinaram a influência da vazão do fluido sobre a queda de pressão ao longo de um
anular com rotação do cilindro interno. Os autores constataram a queda de pressão
comporta-se de maneira distinta em relação aos regimes de escoamento. Para o regime
turbulento excêntrico, a queda de pressão na região anular aumenta com a elevação da rotação
do cilindro interno, enquanto que para o escoamento laminar a queda de pressão diminui com
o incremento da rotação. Os autores obtiveram resultados similares para o arranjo
concêntrico. A Figura 2.19 apresenta o comportamento da queda de pressão em função da
rotação do eixo interno e da vazão de fluido em arranjo concêntrico.
Figura 2.19: Queda de pressão vs rotação do eixo fluxo laminar concêntrico; fonte:
McCANN et al. (1995).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 39
Para o escoamento de fluidos viscoplásticos (modelo de Herschel-Bulckley),
HEMPHILL e RAVI (2005) estudaram o escoamento laminar concêntrico sobre a influência
da rotação do eixo interno. Os autores destacaram a ausência de concordância entre os
resultados encontrados na literatura e apresentaram um estudo experimental em escala real
juntamente com técnicas numéricas para predição dos perfis de velocidade no espaço anular.
Os resultados indicaram um aumento da perda de carga sob ação do movimento do eixo
interno em rotações acima de 100 RPM, embora as simulações numéricas realizadas
apontassem, em alguns casos, para a redução do gradiente de pressão. Ainda como resultado,
apresentaram os perfis de velocidade axial, mostrando boa concordância com aqueles
reportados na literatura.
2.4.5 Influência da excentricidade e viscosidade do fluido
Avaliando os efeitos da reologia do fluido (modelo de power-law) e da geometria do
anular (dimensões e excentricidade) MARTINS (1990) propõe, numa abordagem numérica, a
quantificação destas variáveis na eficiência de limpeza de poços horizontais e de altas
inclinações. Os resultados foram ainda confrontados com correlações empíricas como a
IYOHO (1989) apud MARTINS (1990), mostrando que em muitas situações a vazão crítica
predita, via correlações empíricas, fornecem valores subestimados.
Na sequência, MARTINS et al. (1999) avaliaram o comportamento de três soluções
poliméricas (goma xantana, carboximetil celulose e poliacrilamida parcialmente hidrolisada)
sobre o escoamento de um leito de partículas (cuttings) na perfuração de poços de petróleo
horizontais. Os três fluidos ainda foram testados em diversas concentrações, obtendo
comportamentos reológicos em uma ampla faixa de viscosidade. Os autores destacaram o
papel da excentricidade para a redução das perdas hidrodinâmicas e propõem ressaltar as
características elásticas e viscoplásticas (tensão residual) em futuras investigações.
2.4.6 Trabalhos empregando simulação numérica
Embora muitos dos trabalhos consultados associam a parte experimental com a parte
numérica, algumas das referências citadas a seguir apresentam as contribuições mais
significativas às técnicas de simulação numérica.
Utilizando da técnica de modelagem por elementos finitos, HASSAGER e SZABO
(1992) simularam o escoamento de fluidos viscoplásticos em geometria anular excêntrica,
empregando uma modificação no modelo reológico de Bingham. Os resultados obtidos foram
confrontados com os dados do trabalho de WALTON e BITTLESTON (1991), mostrando boa
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 40
concordância. Estes autores destacaram as etapas que contribuíram para a otimização da
convergência das simulações implementadas.
O trabalho de CHUKWU e YANG (1995) ressalta a comparação de resultados obtidos
na simulação numérica com aqueles oriundos da solução analítica. Com um enfoque nos
perfis de queda de pressão em função da excentricidade da região anular e das propriedades
reológicas dos fluidos, os resultados mostraram concordância apenas para valores de
excentricidades abaixo de 0,7.
Investigando o escoamento de fluidos viscopláticos em anulares, MEURIC et al.
(1998) propuseram a resolução numérica das equações de conservação (continuidade e
momento) adimensionalisadas. Os perfis de velocidade axial foram determinados sob a
influência do comportamento reológico dos fluidos e da rotação do cilindro interno. A partir
dos resultados obtidos, os autores constataram que para um gradiente de pressão constante, há
um aumento na vazão de escoamento causado pelo incremento na rotação do eixo interno em
geometria concêntrica. Na situação de geometria excêntrica, observou-se o inverso, ou seja,
uma redução na vazão em função da elevação do nível de rotação do eixo interno.
Trabalhando a modelagem do escoamento com as equações governantes na forma
adimencionalisada, MANGLIK et al. (1999) propuseram simulações numéricas usando a
técnica das diferenças finitas para o escoamento de fluidos pseudoplásticos em anulares
excêntricos. Neste estudo foi abordado o efeito da excentricidade e da viscosidade sobre o
fator de atrito associado ao escoamento. Os autores confrontaram seus resultados com aqueles
reportados em outros trabalhos, como por exemplo: NOURI e WHITELAW (1997) e
ESCUDIER e GOULDSON (1997). A Figura 2.20 apresenta um dos resultados obtidos da
simulação, destacando o efeito da redução do gradiente de pressão (embutido no adimensional
fRe
G
) em função da excentricidade e do índice de comportamento de fluido do modelo power-
law. Apresenta-se ainda nesta figura três geometrias anulares, definidas pelo parâmetro ‘k’,
que traduz a razão entre os diâmetros dos tubos externo e interno.
Similarmente, contudo empregando o algoritmo de volumes finitos, SHARIFF e
HUSSAIN (2000) simularam o escoamento helicoidal de fluidos pseudoplásticos em anulares
excêntricos. Neste trabalho os autores reportam parâmetros inerentes à técnica da simulação,
como a independência da malha (grid), balizando a evolução dos resultados com aqueles
obtidos de forma analítica. Os resultados do perfil de velocidade axial apresentado sob a
forma de curvas de nível revelaram a influência da excentricidade sobre o escoamento;
conforme a Figura 2.21, ressaltando o perfil de velocidade axial obtido para valores
constantes tanto de rotação do eixo (16,67 rad/s) quanto de gradiente de pressão (25 Pa/m).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 41
Figura 2.20: Efeito da excentricidade na fluidodinâmica do escoamento anular; fonte:
MANGLIK et al. (1999).
Na sequência dos estudos desenvolvidos, MEURIC et al. (2000) incorporam o efeito
de porosidade na fronteira do sistema às simulações. O objetivo visa levantar a
fluidodinâmica do escoamento para predição do comportamento de perda de fluido de
perfuração e de formação de uma espessura de torta junto à parede do poço. Os resultados
consideram as influências da excentricidade e da rotação do eixo interno. Os autores reportam
a boa concordância com outras informações disponíveis na literatura sem, entretanto,
confrontar o resultados numéricos com dados experimentais.
Avaliando o escoamento bifásico de água e óleo, BANNWART (2001) apresenta a
modelagem do escoamento nucleado (core flow) desenvolvendo as equações de conservação
de massa e momento para a fração volumétrica das fases e a perda de carga. Os resultados de
gradiente de pressão foram comparados às determinações experimentais para arranjos
horizontais e verticais, mostrando bom ajuste entre as bandas de +/- 20 % de desvio.
Empregando códigos comerciais de fluidodinâmica computacional, ALI (2002) avalia
escoamento anular concêntrico de fluidos Newtonianos para arranjos verticais e horizontais.
Os efeitos da rotação do eixo interno não foram quantificados. O foco do estudo foi a
determinação, via modelagem de fase discreta, da fração de transporte de sólidos em função
da vazão de escoamento e das propriedades físicas do fluido (densidade e viscosidade).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 42
Figura 2.21: Perfil de velocidade axial em função da excentricidade; fonte: SHARIFF e
HUSSAIN (2000).
Incorporando os efeitos de turbulência ao escoamento nucleado (core-flow), JOSEPH
et al. (2002) incorporaram o modelo de k-
à estratégia de elementos finitos empregando o
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 43
modelo de transporte de tensões de cisalhamento. Como resultados os autores obtiveram a
quantificação dos gradientes de pressão em função do número de Reynolds, além de
confrontar os resultados com a clássica fórmula de Blasius para turbulência; obtendo bons
ajustes quando correlacionado com expressões de potência, pela razão entre velocidade média
e o diâmetro interno do tubo.
Para a determinação da distribuição do tempo de residência em células anulares,
LEGRAND et al. (2002) empregaram a abordagem Lagrangeana para modelo de trajetória em
escoamento turbulento. Os resultados de simulação foram confrontados com dados
experimentais obtidos pela técnica de velocimetria de imagem de partícula (PIV). Pela
concordância dos resultados, pôde-se avaliar os perfis de flutuação de velocidade do fluido e a
partir destes, quantificar a distribuição do tempo de residência.
Avaliando o efeito da turbulência em anulares concêntricos, LU e LIU (2005)
aplicaram o modelo de largas escalas (large eddy simulation) visando investigar o escoamento
turbulento próximo às paredes interna e externa do canal anular. Os resultados obtidos
apresentaram boa concordância com os dados experimentais de NOURI et al. (1993) e com
aqueles oriundos da simulação numérica direta (DNS, direct numeric simulation). Com base
nestes resultados, pôde-se não só constatar a presença, mas também quantificar a escala dos
vórtices durante o escoamento; além de predizer os perfis de velocidade axial.
2.5 Equacionamento do escoamento
O escoamento axial em um espaço anular entre cilindros, com rotação do cilindro
interno ou externo, é conhecido como fluxo helicoidal, uma vez que as “partículas de fluido”
se deslocam em trajetórias helicoidais (HUSSAIN e SHARIF, 2000). A representação do
fenômeno físico do escoamento anular pode ser abordada de duas maneiras: uma empregando
expressões adimensionalizadas visando uma análise macro e a outra com base na modelagem
das equações conservação objetivando a simulação numérica.
2.5.1 Abordagem “macro” com uso de adimensionais
ESCUDIER et al. (2002) reportam a análise do escoamento anular com auxílio de
adimensionais como o número de Reynolds generalizado (ver Equação 2.18) e o número de
Taylor (Equação 2.38), que traduz a contribuição do efeito do movimento rotacional do eixo
interno ‘w’.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 44
2
3
IE I
E
w
Ta R R R
(2.38)
Os cálculos dos adimensionais ‘
Re
G
’ e ‘Ta’ dependem da determinação da viscosidade
efetiva ‘
E
’ ou da taxa de deformação característica. Uma das expressões mais citadas na
literatura para determinar a taxa de deformação característica é a proposta de LOCKETT
(1992) apud ESCUDIER
et al. (2002), definida pela Equação (2.39).
2
2
1
H
U
E
D
(2.39)
Sendo que ‘
E’ representa a razão entre as componentes de velocidade tangencial e
axial, segundo a Equação (2.40).
I
wR
E
U
(2.40)
Uma vez calculado o valor da taxa de deformação característica, pode-se determinar a
viscosidade efetiva empregando uma expressão que represente a reologia do fluido
não-Newtoniano, podendo ser por exemplo a de
power-law (Equação 2.5), a de Cross
(Equação 2.7), ou a de Herschel-Bulckley (Equação 2.14) entre outras.
A Figura 2.22 reproduz um dos resultados obtido por ESCUDIER
et al. (2002). Os
resultados são agrupados em adimensionais visando a interpretação do efeito da rotação do
eixo interno e da excentricidade do anular.
Figura 2.22: Influência da excentricidade e da velocidade de rotação do eixo interno na queda
de pressão; fonte ESCUDIER
et al. (2002).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 45
Sendo os efeitos da rotação do eixo interno representados pelo número adimensional
de Taylor ‘
Ta’ nos símbolos: (○) Ta=0, () Ta=10, (∆) Ta=100, (◊) Ta=1000, (●) Ta=5000,
(
▄
) Ta=10000, (▲) Ta=50000. E todos os casos na condição de fluxo laminar (Re
G
=1000)
para um fluido do tipo
power-law, com parâmetro reológicos de m=0,5 e n=0,5.
Pode-se ressaltar que, na maioria dos casos, o efeito da excentricidade reduz a queda
de pressão no anular e que a rotação do eixo interno (no adimensional
Ta) promove um
aumento do qradiente de pressão (no adimensional
f).
2.5.2 Modelagem das Equações de Conservação
Equação da Continuidade
A equação da continuidade é escrita a partir de um balanço de massa em um volume
de controle estacionário através do qual o fluido escoa. Esta equação descreve a taxa de
variação de massa resultante das variações dos vetores ‘velocidade de massa’ (
v). A Equação
(2.41) representa este balanço em coordenadas cilíndricas (BIRD
et al.; 1961).
11
0
r
rv v v
trr r z
z
(2.41)
Equação do movimento
De forma análoga a equação do movimento é obtida a partir de um balanço de
quantidade de movimento, assumindo dois mecanismos de transporte: o convectivo e o
transporte molecular. Considerando o sistema de coordenadas cilíndricas em termos dos
gradientes de velocidade expressos para um fluido Newtoniano incompressível, têm-se as
Equações (2.42) a (2.44).
Para a componente radial:
2
22
22 2 2
112
rr r
rz
rr
rr
vvv
vv v
vv
trr rz
v
Pv
rv g
rrrr r r z
v
(2.42)
Para a componente tangencial:
22
22 2 2
1112
r
rz
r
vvvvvvv
vv
trr r z
vv
Pv
rv g
rrrr
rr z
(2.43)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 46
Para a componente axial:
22
22 2
11
zz zz
rz
zz
z
z
v
vv vv
vv
trr z
Pv
rv g
zrrr r z
v
(2.44)
Para os casos de fluidos não-Newtonianos, a viscosidade dinâmica é substituída pela
viscosidade efetiva, determinada por de um modelo de representação reológica associado a
uma expressão para a taxa de deformação característica. Em geral, a viscosidade efetiva é
função das três invariantes do tensor taxa de deformação. Para as simulações efetuadas neste
estudo emprega-se a clássica aproximação de considerar apenas o efeito da segunda invariante
do tensor taxa de deformação, definida pelas Equações (2.45) e (2.46).
:
(2.45)
2
22
2
2
2
2
1
2
11
rrz
rz r
v
vvv
rr r z
vv
vv v
r
rr r r z z r
z
v
(2.46)
2.6 Revisão sobre a fluidodinâmica computacional
O trabalho de RICHARDSON (1910) é considerado por muitos autores como sendo
pioneiro no desenvolvimento de métodos numéricos aplicados ao estudo da fluidodinâmica de
escoamento. Neste trabalho, o autor introduziu os esquemas iterativos e desenvolveu uma
técnica de relaxação para a solução numérica das equações de Laplace.
Naquela época, poucas foram as contribuições na análise numérica. Anos depois,
SOUTHWELL e ALLEN (1950) desenvolveram e aplicaram um esquema de relaxação para
efetuar um dos primeiros cálculos de escoamento viscoso incompressível sobre um cilindro. A
solução foi obtida com cálculos manuais e representou um excessivo trabalho braçal. Outra
importante contribuição foi o trabalho de O’BRIEN
et al. (1950) que apresentou a descrição
do cálculo de estabilidade de Von Newman, para esquemas numéricos. DOUGLAS e
RACHFORD (1956) desenvolveram uma nova família de métodos implícitos aplicado para a
solução de equações elípticas e parabólicas. Livros tratando de vários aspectos da análise
numérica aplicada à dinâmica dos fluidos começaram a surgir no início dos anos 60, como o
livro de FORSYTHE e WASOW (1960), que enfatizava métodos para a solução de problemas
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 47
envolvendo o equacionamento elíptico; e o livro de RICHTMYER e MORTON (1967) que
representou uma importante fonte de informação para solução de problemas com marcha no
tempo (transientes).
Apesar dos enormes esforços no desenvolvimento de métodos numéricos aplicados à
dinâmica dos fluidos, até 1965, métodos computacionais foram utilizados na indústria
aerodinâmica somente para análise estrutural. Ressalta-se que a indústria aerodinâmica foi a
principal impulsionadora dos estudos e do avanço da fluidodinâmica computacional.
Atualmente, existe uma grande quantidade de métodos numéricos eficientes que são
empregados, dependendo da necessidade e viabilidade, para a solução dos mais diversos
problemas em dinâmica dos fluidos. A contribuição dos pesquisadores nesta área tem sido
ampla e diversa permitindo o estudo de problemas envolvendo escoamentos viscosos
compressíveis instáveis e o uso de malhas não-estruturadas nos cálculos de escoamentos
complexos.
O computador abriu novas possibilidades para a abordagem deste problema, com a
utilização de cálculos de soluções para os mais completos modelos matemáticos. Atualmente
os PC’s já apresentam velocidade e memória suficientes para o estudo de sistemas complexos.
Visto o avanço na capacidade de processamento e no armazenamento de dados em
computadores, um grande avanço tem sido obtido na geração de
softwares de CFD
comerciais. Os códigos CFD comerciais são mais do que simples resolvedores de sistemas de
equações, estes códigos permitem a geração de malhas, o controle e acompanhamento da
solução ao longo das iterações e disponibilizam recursos com alta capacidade gráfica na
geração dos resultados. Uma das principais vantagens destes códigos refere-se à rápida
geração de resultados para sistemas simples (geometria simples, uma única fase e duas
dimensões).
Uma das mais importantes e significantes áreas de avanço em CFD nas últimas
décadas tem sido a flexibilidade das malhas. Atualmente os
softwares permitem refinamentos
detalhados em regiões específicas do domínio de um campo de escoamento. Em casos mais
sofisticados a malha pode acompanhar possíveis deformações do volume de controle durante
a simulação.
A maior parte dos códigos CFD comerciais usa a metodologia de volumes finitos, na
qual equações governantes são discretizadas na forma de um volume integral. Estes códigos
possuem diferentes esquemas de interpolação e métodos de discretização que podem ser
adotados conforme exigência de estabilidade ou outros critérios que o usuário julgue
apropriados.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 48
2.6.1 Geração de malhas computacionais
A geração de malha é citada frequentemente como a parte mais importante e que
consome um maior tempo na análise de CFD. A qualidade da malha possui um papel direto na
qualidade da análise, independente do tipo de resolvedor de fluxo utilizado. Adicionalmente,
os códigos CFD são mais robustos e eficientes ao usar uma malha bem construída. Pensando
nisto, é importante entender as características dos métodos de geração de malha ou grade
(
grid).
2.6.1.1 Métodos de malha estruturada
Métodos de malha estruturada possuem este nome devido ao fato da malha ser
disposta em um padrão regular repetido e chamado de bloco. Estes tipos de grades utilizam
elementos quadriláteros em duas dimensões (2D) e elementos hexahédricos em três
dimensões (3D) para uma malha regular computacional. Malhas estruturadas apresentam uma
considerável vantagem sobre outros métodos que permitem ao usuário um alto grau de
controle. Além disso, elementos quadriláteros e hexahédricos são muito eficientes e permitem
ao usuário condensar pontos nas regiões de altos gradientes de fluxo da grandeza de interesse
e também gerar regiões menos densas quando de interesse.
Embora a topologia de elemento seja fixa, a grade pode ser moldada para sofrer
alterações como torcer ou esticar. Geradores de malhas bem estruturadas utilizam equações
elípticas sofisticadas para aperfeiçoar a forma da malha automaticamente, buscando a
uniformidade e ortogonalidade.
Costumeiramente malhas estruturadas poderiam consistir somente de um bloco. O
usuário desta forma seria forçado a gerar vários blocos que se interconectavam para garantir
malhas estruturadas ou quase estruturadas para todo o domínio. Com o desenvolvimento das
técnicas de geração de malhas surgiu o sistema multiblocos estruturados, ou seja, esquemas de
geração de grade que permitem conectar vários blocos juntos e construir o domínio inteiro.
Nos últimos anos, vários métodos de conexão bloco-bloco têm sido desenvolvidos.
Os métodos multibloco geralmente incluem conexão ponto a ponto, no qual os blocos
têm que emparelhar topologicamente e fisicamente aos contornos. Enquanto grades de
multibloco fornecem ao usuário mais liberdade para construir a malha, as exigências de
conexão podem restringir e dificultar a construção da malha. Adicionalmente, os vários graus
de liberdade de conectividade de blocos podem gerar maior precisão da solução ou robustez
do resolvedor.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 49
Existe um outro método de malha estruturada, que busca evitar os problemas
associados à conexão de blocos. O método de malha
Chimer ou overse permite aos blocos
individuais adaptarem aos contornos físicos, mas isto pode gerar sobreposições de blocos
conectados. Programas sofisticados podem identificar e localizar
hole cutting em torno do
contorno de um bloco. O que estes métodos ganham em conveniência para o usuário
geralmente, perdem em precisão na solução. Porém, estes métodos podem gerar malhas para
geometrias que seriam uma tarefa dificil com métodos convencionais (exemplo: modelagem
de um helicóptero com lâminas de um rotor).
Quando uma malha está alinhada ao fluxo, esta gera maior precisão dentro do
resolvedor. Blocos estruturados requerem dos resolvedores uma menor quantidade de
memória para um determinado tamanho de malha e executam mais rapidamente os cálculos.
A desvantagem principal de malhas de blocos estruturados é o tempo e perícia
exigidas para se obter uma ótima estrutura de bloco. Algumas geometrias, como cones rasos e
cunhas, não comportam formatos de blocos estruturados. Nestas situações, o usuário é forçado
a torcer ou deformar enormemente os elementos da malha o que afeta a precisão e
desempenho do resolvedor. Tempos de geração de malhas para casos mais extremos são
normalmente medidos em dias ou até semanas.
2.6.1.2 Métodos de malha não-estruturada
Métodos de malhas não-estruturadas utilizam uma coleção arbitrária de elementos para
preencher o domínio. Como o arranjo de elementos não tem nenhum padrão discernível, a
malha é chamada não-estruturada. Estes tipos de grades geralmente utilizam triângulos em 2D
e tetraedros em 3D. Existem alguns códigos que podem gerar elementos quadriláteros não
estruturados em 2D, porém atualmente não existem códigos capazes de gerar elementos
hexaédricos não estruturados em 3D. Como ocorrem com as malhas estruturadas, os
elementos podem sofrer deformações para se ajustar ao domínio.
Uma vez definido o domínio no qual se deve gerar a malha, pode-se adicionar
triângulos automaticamente na superfície e tetraedros no volume com pouca contribuição do
usuário. Isto é obtido mais facilmente devido à maior flexibilidade na conexão dos elementos
das malhas para o caso de uma malha não-estruturada.
A vantagem de métodos de malha não estruturada é que eles são muito automatizados
e, então, requerem pequenos tempos ou esforço do usuário. O usuário não precisa se
preocupar com a disposição dos blocos, estrutura ou conexões. Métodos de malhas não
estruturadas também habilitam a solução de problemas muito complexos e detalhados em um
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 50
período relativamente curto de tempo. No caso de malhas não-estruturadas, os tempos de
geração de grade são normalmente medidos em minutos ou horas.
A principal desvantagem de malhas não estruturadas é a falta de controle do usuário
sobre a disposição da malha. Notadamente, o usuário nestes casos se restringe a definir os
limites e tamanho das células da malha. Os elementos triangulares e tetraédricos apresentam o
problema de não se acomodarem bem às deformações do corpo. Esta malha é geralmente
limitada, sendo largamente isotrópica com elementos com mesmo tamanho e formato.
Este é o principal problema ao tentar refinar a malha em uma área local,
frequentemente uma malha deve ser feita apresentando densidades de ponto requeridas
localmente. Códigos que resolvem problemas de malha não estruturada requerem mais
memória e têm execução mais longa que códigos que resolvem malhas estruturadas.
2.6.1.3 Métodos de malhas híbridas
O método de malhas híbridas apresenta os aspectos positivos do método de malha
estruturada e não estruturada. Malhas híbridas utilizam forma de grade estruturada em regiões
locais, enquanto usam grades não-estruturada no domínio. Malhas híbridas podem conter
elementos hexahédricos, tetrahédricos, dentre outros em 3D e triângulos e quadriláteros em
2D. Os vários elementos são usados de acordo com as particularidades e necessidade.
A vantagem de métodos de malha híbrida é a utilização das propriedades positivas de
elementos de grade estruturadas nas regiões de mais detalhamento e o uso de malha
não-estruturada onde o perfil a ser analisado for de menor interesse. A habilidade para
controlar a forma e distribuição da malha localmente é uma ferramenta poderosa que pode
render malhas excelentes e garantir resultados satisfatórios.
As desvantagens dos métodos híbridos é que eles exigem muita prática e experiência
na geração de malhas em corpos com geometrias complexas. Métodos híbridos são
tipicamente menos robustos que métodos de malhas não-estruturadas. A geração das porções
estruturadas da malha frequentemente apresenta problemas de conexão devido à
complexidade da geometria.
Com o avanço dos códigos computacionais de fluidodinâmica, o estudo de
escoamentos em três dimensões com malhas altamente refinadas tem se tornado mais comum.
Porém, o estudo de sistemas multifásicos envolvendo interações partículas-partículas e
partículas-fluido ainda é pouco explorado devido à sua maior complexidade.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 51
2.6.2 Técnica dos Volumes Finitos
A maioria dos métodos numéricos pode ser derivada do método de resíduos
ponderados, como é o caso de diferenças finitas, elementos finitos, volumes finitos entre
outros. A minimização dos resíduos, no método de volume finitos, é equivalente aos
princípios de conservação sobre cada volume de controle. Quando não ocorrer sobreposição
do volume de controle com seus vizinhos, é fácil criar um conjunto de equações discretas que
satisfaçam o balanço global de conservação. A garantia de que os princípios de conservação
são satisfeitos, em nível elementar e global, é o que torna o método de volumes finitos
atrativo e fisicamente consistente.
No âmbito do método dos volumes finitos, o tipo de função de interpolação que se
adota pode ser considerado como uma das principais características de um modelo numérico,
senão a principal, responsável pela qualidade da solução obtida. Entende-se por função de
interpolação, ou esquema numérico, o meio utilizado para se expressar o valor da incógnita do
problema e de suas derivadas normais, nas faces dos volumes de controle que são usados para
discretizar o domínio de cálculo.
Neste sentido, muitos métodos de interpolação são utilizados para a solução das
equações de transporte, muitos deles visando a diminuição da dispersão numérica. As
difusões numéricas geralmente são menores quando a função interpolação é de alta ordem,
mas em contrapartida, geralmente apresenta oscilações que podem comprometer totalmente o
significado físico da solução obtida.
Os principais passos que devem ser seguidos para o desenvolvimento e implementação
de esquemas numéricos são:
A escolha adequada da localização das variáveis dependentes na malha;
O tratamento do acoplamento entre a pressão e a velocidade;
A obtenção da função de interpolação entre os pontos discretos;
A escolha da sequência de solução das equações diferenciais;
A escolha do método de solução do sistema de equações lineares.
Sabe-se que as equações presentes na metodologia Euler-Euler, e parte das presentes
na metodologia Euler-Lagrange, caracterizam-se como Equações Diferenciais Parciais
EDPs,
sendo que os dois principais métodos numéricos aplicáveis a tais equações são: método dos
Elementos Finitos e o método dos Volumes Finitos.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 52
Vale ressaltar a crescente utilização do método dos volumes finitos para a resolução
numérica de sistemas de equações parciais diferenciais. Tal fato pode ser justificado pelas
peculiaridades do método dos Volumes Finitos em fornecer resultados providos de realismo
físico, caso a convergência seja atingida, até mesmo em situações onde são empregadas
malhas numéricas “grosseiras” (pouco refinadas).
Ao considerar o perfil de velocidade de um fluido no interior de um tubo, sabe-se que
a velocidade diminui do centro para a parede tubo, de modo análogo à curva real (solução
exata) mostrada na Figura 2.23. Nesta figura, retratam-se três soluções numéricas que
satisfazem as condições de contorno: V(0)=velocidade máxima
e V(R)=zero, embora nem
todas apresentem realismo físico, após a convergência.
Figura 2.23: Soluções dotadas e desprovidas de realismo físico, para velocidade do fluido
escoando em tubo.
O método dos Volumes Finitos, quando converge, fornece resultados dotados de
realismo físico, o que não quer dizer que os mesmos sejam acurados. Ressalta-se que a
solução numérica se aproxima da solução exata dentro de uma exatidão estabelecida, pois os
resultados das simulações fornecem o comportamento do modelo, o qual depende das
simplificações e das considerações feitas ao retratar os fenômenos mais relevantes no sistema
real e das simplificações das equações visando seu manuseio, bem como, da precisão dos
parâmetros envolvidos.
2.6.2.1 Descrição matemática do método de Volumes Finitos
A solução numérica dos problemas de transferência de quantidade de momento, de
energia e de massa só pode existir com base numa descrição matemática adequada dos
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 53
processos de transporte. Esta descrição é normalmente obtida pelas equações diferenciais.
Não é de interesse a obtenção de equações diferenciais particulares, mas sim a identificação
da forma geral destas equações para que se possa estabelecer regras, também gerais, na sua
solução.
Considere a Figura 2.24 e suponha que o fluxo ‘
J
J
G
’ represente o escoamento da
grandeza por unidade de tempo/unidade de área.
x
x
J
Jdx
x
dy
dz
dx
J
x
Figura 2.24: Balanço de fluxos em um volume de controle.
Os termos da equação diferencial de transporte (equações governantes) são definidos
por unidade de volume e por unidade de tempo.
propriedade específica (grandeza/unidade de massa);
grandeza por unidade de volume;
t
taxa de variação da grandeza por unidade de volume;
x
J é o componente de na direção x; J
JG
J
JG
o fluxo da grandeza que pode ser devido à convecção e à difusão.
No volume representado na Figura 2.24, tem-se:
Taxa de variação da grandeza por unidade de volume:
t
Efluxo líquido da grandeza através da área superficial
x
J
dydz dxdydz
x
;
Efluxo líquido da grandeza por unidade de volume:
.
y
x
z
J
J
J
divJ J
xyz
JGJG
;
Taxa de geração/destruição da grandeza por unidade de volume:
S
;
Com base no princípio da conservação, pode-se obter a Equação (2.47):
Taxa de Acumulo Efluxo Taxa Geraçao Destruiçao
(2.47)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 54
Ou ainda a Equação (2.48):
divJ S
t
JG
(2.48)
Desta forma pode-se, então, escrever a Equação (2.49) como sendo o fluxo total.
convecçao
difusao
J u grad
JG G
(2.49)
Substituindo
J na Equação (2.48) pela Equação (2.49), obtém-se:
JG
N
/
convecçao
acumulo
g
eraçao destruiçao
difusao
div u div grad S
t
G
(2.50)
O método dos Volumes Finitos é uma técnica numérica capaz de resolver equações
diferenciais parciais, desde que estas sejam oriundas do balanço infinitesimal de uma
propriedade ‘
’ (por exemplo: massa, quantidade de movimento, energia etc); representando
portanto, o princípio físico da conservação da referida propriedade. Equação (2.51) é a forma
compacta da equação de transporte (conservação da propriedade ‘
’):
..ugrad
t
S
G
(2.51)
A forma conservativa da equação supracitada é obtida diretamente pela aplicação do
princípio da conservação na variável dependente de interesse, num volume infinitesimal
(volume finito), sendo a mesma utilizada na derivação do método dos Volumes Finitos
(BARREIRA, 2003).
Como as demais técnicas numéricas empregadas na resolução de
EDP’s , o método
dos Volumes Finitos transfere informações das fronteiras, condições de contorno, que são
especificadas para o interior do domínio de solução, obtendo a distribuição espacial e
temporal. [
=
(x,y,z,t)] da variável dependente em pontos discretos. Numa visão simplificada
o mesmo consiste de 4 etapas:
Divisão do domínio de solução em volumes de controle finitos;
Integração da equação diferencial parcial nos volumes de controle finitos, nos quais
foi dividido o domínio de solução;
Discretização de cada termo da EDP de modo a convertê-la num conjunto de equações
algébricas;
Solução do sistema de equações algébricas resultante, empregando métodos iterativos.
Visando um melhor entendimento do método, linguagem e nomenclatura associada ao
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 55
mesmo, ilustra-se este método na Figura 2.25, empregando o sistema de coordenadas
cartesianas e a abordagem em 2D, tendo em vista a facilidade da obtenção por
analogia da abordagem em 3D.
Figura 2.25: Representação de um volume de controle finito genérico em 2D.
Definições da Figura 2.25:
xWP
: distância entre o ponto nodal W e o ponto nodal P;
xPE
: distância entre o ponto nodal P e o ponto nodal E;
xwP
: distância entre a interface “w” e o ponto nodal P;
xPe
: distância entre o ponto nodal P a interface “e”;
ySP
: distância entre o ponto nodal S e pontos nodal P;
yPN
: distância entre o ponto nodal P e o ponto nodal N;
ysP
: distância entre a interface “s” o ponto nodal P;
yPn
: distância entre o ponto nodal P e a interface “n”.
x = xwe : largura do volume de controle finito;
y = ysn : altura do volume de controle finito.
Quando
xWP = xPE e ySP = yPN a malha é dita uniforme. O emprego de malhas
uniformes é frequentemente desejável e recomendável. Tendo em vista que a precisão da
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 56
solução aumenta com o refinamento da malha (supondo sempre que a convergência seja
obtida) implicando num aumento do esforço computacional até alcançar o limite da
capacidade de processamento. Portanto malhas não-uniformes podem vir a utilizar
efetivamente a capacidade de processamento disponível. As melhores malhas devem ser mais
refinadas nas regiões onde há grande alterações na variável dependente ‘
’ e das propriedades
físicas (
,
, C
p
etc), e grosseiras nas regiões que apresentam variações relativamente
pequenas. Muitos programas refinam automaticamente a malha nas áreas onde ocorrem
variações acentuadas nas variáveis de interesse (VERSTEEG e MALALASEKERA, 1996).
Uma vez que a distribuição
(x,y,z) não é conhecida no domínio de cálculo, espera-se
um conhecimento prévio acerca do sistema a ser modelado de modo a prever qualitativamente
um comportamento da variável dependente, o qual pode ser empregado no refinamento da
malha. Sugere-se que, inicialmente, obtenham-se soluções empregando malhas “grosseiras”
(pouco refinadas) de modo a se ter uma avaliação inicial sobre as variações de ‘
’. A partir
desta avaliação, pode-se construir a malha não-uniforme. Isto é uma das razões porque os
autores insistem que o método numérico deva fornecer soluções dotadas de realismo físico até
mesmo nos casos utilizando malhas grosseiras. As análises das soluções obtidas a partir de
malhas grosseiras não são úteis quando o método utilizado só fornece soluções dotadas de
realismo físico em malhas suficientemente refinadas (PATANKAR, 1980).
O número de pontos da malha numérica necessário para fornecer uma solução acurada
e a maneira que os mesmos se distribuem no domínio de cálculo são questões que dependem
da natureza do problema a ser resolvido. Estudos usando uma malha com poucos pontos
nodais consistem num modo conveniente de se compreender a natureza da solução. Tal
procedimento é comumente empregado nos experimentos em laboratório, pois experimentos
preliminares são conduzidos e as informações resultantes são usadas para decidir o número e
a localização dos pontos de medição a serem instalados no experimento final (PATANKAR,
1980).
2.6.2.2 Estabilidade numérica
A solução de problemas de Engenharia, envolvendo escoamento de fluidos com
transferência de calor e massa, requer a solução de um conjunto de equações diferenciais
parciais não lineares acopladas, que expressam a conservação de massa, quantidade de
movimento e energia.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 57
Devido às não linearidades e ao forte acoplamento existente entre as equações, na
maioria dos casos, torna-se necessária a utilização de métodos numéricos para a obtenção da
solução destes problemas. Na aplicação destes métodos, as equações diferenciais originais são
discretizadas, gerando um conjunto de equações algébricas. Estas ainda mantêm as não
linearidades e o acoplamento entre as equações diferenciais originais pelos seus coeficientes,
que dependem da solução do problema, como apresentado no item anterior.
Se o conjunto completo de equações algébricas fosse resolvido por um método direto,
seriam necessárias diversas iterações, com coeficientes atualizados sucessivamente, devido às
não linearidades. O número de equações algébricas em geral é muito elevado que o custo na
utilização de solução direta torna-se proibitivo, sendo os sistemas de equações algébricas
resolvidos sequencialmente. Para se obter a solução do conjunto completo de equações,
devido ao acoplamento existente entre elas, cada sistema precisa ser resolvido várias vezes,
mesmo que os coeficientes sejam mantidos inalterados. No caso particular da solução de
problemas que envolvem escoamento de fluidos, o tratamento deste acoplamento é
extremamente importante para o sucesso da simulação.
Quando se trabalha com sistemas de equações não lineares resolvidas de forma
sequencial e acopladas de forma complexa, uma aproximação numérica requer certas
condições para ser estável e convergente, condições como tamanho da malha, tamanho do
passo de tempo, coeficientes de relaxação etc. Diz-se que quando o tamanho da malha e o
passo de tempo tendem a zero, os erros de truncamento devem tender a zero, ou seja, as
equações discretizadas devem tender às equações diferenciais.
2.6.3 Métodos numéricos para solução de problemas em volumes finitos
Os dois principais métodos numéricos mais empregados para solução de problemas
em Volumes Finitos são:
Resolvedor segregado ou sequencial;
Resolvedor acoplado ou simultâneo.
Em ambos os métodos, as equações integrais governantes da conservação de massa, da
quantidade de movimento e, quando apropriado, da equação da energia são resolvidos, assim
como outros escalares: a turbulência e o transporte de espécies químicas. Nas duas situações,
uma técnica baseada em volume de controle é usada nesta resolução, consistindo de:
Divisão do domínio em volumes de controle discretos, usando uma malha
computacional;
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 58
Integração das equações governantes em volumes de controle individuais para
construção de equações algébricas para as variáveis dependentes discretas (não
conhecidas) assim como velocidade, pressão, temperatura e grandezas escalares
conservadas;
Linearização das equações discretizadas e solução do sistema de equações lineares
resultante para obter valores atualizados das variáveis dependentes.
Os dois métodos numéricos disponíveis empregam um processo similar de
discretização, mas a aproximação usada para linearizar e resolver as equações discretizadas
são diferentes.
2.6.3.1 Método de solução segregada
No método de solução segregada, as equações governantes são resolvidas
sequencialmente, isto é, segregada uma da outra. Por causa das não linearidades das equações
governantes, várias iterações devem ser realizadas até se obter uma convergência. Cada
iteração consiste de passos ilustrados na Figura 2.26 e destacados a seguir:
Propriedades fluidas são atualizadas, baseadas na solução atual;
As equações de quantidade de movimento são resolvidas usando valores correntes da
pressão e fluxos de massa na face, ao invés de atualizar o perfil de velocidade;
Como as velocidades obtidas anteriormente podem não satisfazer localmente a
equação da continuidade, uma equação do tipo Poisson para a correção da pressão é
derivada da equação da continuidade e das equações de quantidade de movimento
linearizadas. Esta equação de correção da pressão é então resolvida para obter os
ajustes necessários para a pressão, o perfil de velocidade e o fluxo de massa na face
até que a continuidade seja satisfeita;
Quando apropriado, as equações para escalares como a turbulência, a energia, as
espécies e a radiação são resolvidas utilizando valores previamente atualizados de
outras variáveis;
A checagem da convergência do conjunto de equações é realizada.
Estas etapas são executadas até o critério de convergência ser satisfeito.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 59
Propriedades Atualizadas
Resolvem-se as equações de quantidade de movimento
Resolvem-se as equações de correção da pressão (continuidade). Atualização
da pressão e da taxa de fluxo mássico na face
Resolvem-se as equações de energia, espécies, turbulência e outros escalares
Convergiu ? Finaliza
Figura 2.26: Algoritmo do método de solução segregada.
2.6.3.2 Método de solução acoplada
O método de solução acoplada resolve as equações governantes da continuidade,
quantidade de movimento e, quando apropriado, as equações de energia e transporte de
espécies simultaneamente. As equações governantes de escalares adicionais são resolvidas
sequencialmente aplicando o procedimento descrito para o resolvedor segregado. Por causa da
não linearidade das equações governantes, várias iterações do ciclo de solução são necessárias
até atingir a convergência. Cada iteração consiste de etapas ilustradas na Figura 2.27 e
destacadas a seguir:
As propriedades do fluido são atualizadas, baseadas na solução corrente (partindo das
condições iniciais);
As equações da continuidade, quantidade de movimento, energia e espécies são
resolvidas simultaneamente;
Quando apropriado, as equações para escalares como a turbulência e a radiação são
resolvidas usando valores atualizados de outras variáveis;
Uma checagem para convergência da equação é efetuada.
Estas etapas são executadas até o critério de convergência ser satisfeito.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 60
Propriedades atualizadas
Resolvem-se as equações da continuidade, quantidade de movimento e
energia simultaneamente
Resolvem-se a turbulência e outros escalares
Convergiu ? Finaliza
Figura 2.27: Algoritmo do método de solução acoplada.
2.6.3.4 Linearização: implícita e explicita
Tanto no método de solução segregada quanto no método de solução acoplada, as
equações governantes não lineares são linezarizadas para se obter um sistema de equações das
variáveis dependentes em cada célula da malha computacional. A maneira na qual as
equações governantes são linearizadas pode ser de forma implícita ou explícita com respeito a
variável (ou conjunto de variáveis) de interesse.
No método implícito, para uma dada variável, o valor não conhecido em cada célula é
calculado empregando uma relação que inclui os valores conhecidos e desconhecidos das
células vizinhas. Portanto, cada valor desconhecido aparece em mais de uma equação do
sistema, e estas equações devem ser resolvidas simultaneamente para quantidades
desconhecidas.
No método explícito, para uma dada variável, o valor não conhecido em cada célula é
calculado usando uma relação que inclui somente os valores conhecidos. Contudo, cada valor
desconhecido aparece somente em uma equação do sistema e as equações com estas variáveis
de valores desconhecidos em cada célula podem ser obtidas de uma vez para fornecer os estes
valores.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 61
No método de solução segregado, cada equação governante discreta é linearizada
implicitamente com respeito às variáveis dependentes das equações. Isto resultará em um
sistema de equações lineares com uma equação para cada célula no domínio, ou também
conhecida como sistema escalar de equações. No ponto implícito um resolvedor de equações
lineares (Gauss-Seidel) é usado em conjunto com um método algébrico multimalha (AMG)
visando resolver o sistema de equações escalares para a variável dependente em cada célula.
Por exemplo, a equação da quantidade de movimento-
x é linearizada para produzir um
sistema de equações no qual a velocidade
u é desconhecida. Soluções simultâneas deste
sistema de equações (usando o resolvedor AMG) geram um perfil de velocidade
u atualizado.
Em resumo, o modelo segregado resolve as equações para um campo de uma variável
simples, considerando todas as células ao mesmo tempo. Na sequência ele resolve estas
equações para o próximo campo da variável, empregando novamente todas as células ao
mesmo tempo, e assim sucessivamente. Não existe a opção explícita para o resolvedor
segregado.
No método de solução acoplada é necessário escolher entre usar uma linearização
explícita ou implícita das equações governantes. Esta escolha aplica-se somente para as
equações governantes. Equações governantes para escalares adicionais são resolvidas na
forma segregada a partir do conjunto acoplado, como turbulência, radiação etc, que não
linearizadas e resolvidas implicitamente empregando o mesmo procedimento como no
método segregado.
Caso seja escolhida a opção de resolvedor acoplado, cada equação governante
acoplada é linearizada implicitamente com respeito a todas as variáveis dependentes. Isto
resultará em um sistema de
N equações lineares para cada célula no domínio, sendo N o
número de equações acopladas. Como existem
N equações por célula, este é as vezes
chamado de um sistema de equações “bloco”. Um resolvedor de equação linear com ponto
implícito (
block Gauss-Seidel) é usado em conjunto com um método algébrico multimalha
(AMG) para resolver o sistema “bloco” de equações resultante para todas as
N variáveis
dependentes em cada célula. Por exemplo, a linearização da equação da continuidade
acoplada,
x-, y-, z- quantidade de movimento e equações da energia produz um sistema de
equações na qual
p, u, v, w e T são desconhecidas.
Em resumo, a opção de resolução implícita acoplada busca a solução para todas as
variáveis (
p, u, v, w, T) em todas as células ao mesmo tempo.
Caso se opte pelo resolvedor acoplado e o método explícito, cada equação é acoplada
e as equações governantes são linearizadas explicitamente. Como na opção implícita, isto
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 62
também resulta em um sistema de equações com ‘
N’ equações para cada célula do domínio.
Contudo, este sistema de equações é explicito nas variáveis dependentes não conhecidas.
Neste caso, o resolvedor de equações lineares não é necessário, a solução é atualizada usando
um resolvedor multi-estágio (Runge-Kutta). Aqui se tem a opção adicional de empregar um
esquema multimalha (FAS,
full approximation storage) para acelerar o resolvedor multi-
estágio.
Em resumo, a opção de resolução acoplada explícita obtém a solução para todas as
variáveis (
p, u, v, w e T) em uma célula no tempo. Observe que o esquema FAS multimalha é
um componente opcional do método explícito, enquanto o AMG é um elemento requerido em
ambos os métodos segregado e acoplado implícito.
2.6.4 Discretização
A técnica baseada em volumes de controle converte as equações governantes em
equações algébricas que podem ser resolvidas numericamente. Esta técnica de volumes de
controle consiste de integrar as equações governantes sobre cada volume de controle, gerando
equações discretas que conservam cada quantidade em um volume de controle.
A discretização das equações governantes pode ser ilustrada mais facilmente
considerando uma equação de conservação em estado estacionário para o transporte da
quantidade escalar ‘
’. Isto é demonstrado pela Equação (2.52) escrita na forma integral para
um volume de controle arbitrário ‘
V’.
..
(2.52)
V
vdA dA S dV
GJG JG JG
vv
Sendo as definições para a Equação (2.52):
= densidade;
v
G
= vetor velocidade (=
ui v j
em 2D);
A
JG
= vetor área de superfície;
= coeficiente de difusão para
;
= gradiente de
(
(/)(/)
x
î
yj
) em 2D;
S
=superfície de
por unidade de volume
A Equação (2.52) é aplicada a cada volume de controle, ou célula, no domínio na
malha computacional. A célula bidimensional triangular apresentada na Figura 2.28 é um
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 63
exemplo de um volume de controle. A discretização da Equação (2.52) em um dado volume
de controle é dada por:
faces faces
NN
f
f
ff
n
ff
vA ASV
f
J
GJG
K
(2.53)
Sendo as definições para a Equação (2.53):
N
face
= número de faces que compõe a célula,
f
= valor de
que atravessa a face f,
f
f
f
vA
GJG
= fluxo mássico através da face,
f
A
JG
= área da face f,
n
= magnitude de
normal a face f,
V= volume da célula.
Figura 2.28: Volume de controle usado para ilustrar a discretização da equação de transporte
de um escalar.
A equação resolvida considera uma mesma forma geral, como a fornecida na
Equação (2.53), e aplica aos sistemas multidimensionais compostos por malhas não
estruturadas e estruturadas.
É usual armazenar valores discretos de escalares ‘
’ no centro das células (c0 e c1). O
esquema de interpolação utilizado para obter os valores no centro de cada célula é o esquema
upwind.
O método
upwind considera que o valor de ‘
f
’ na face é obtido a partir das
quantidades nas células anteriores, ou
upwind, relativo à direção normal do vetor velocidade
‘
v
f
’ na Equação (2.53). Além deste, existem outros esquemas de interpolação, nos quais
pode-se destacar:
upwind de primeira-ordem, upwind de segunda–ordem, power law e
QUICK.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 64
2.6.4.1 Esquema upwind de primeira ordem
Quando o esquema upwind de primeira ordem é utilizado, quantidades nas faces das
células são determinadas assumindo que o valor no centro da célula de algum campo da
variável representa um valor médio ao longo de toda a célula. Considera-se ainda que as
quantidades na face são idênticas a quantidade na célula. Assim quando a opção
upwind de
primeira ordem é selecionada, o valor da face ‘
f
’ é igual ao valor de ‘
’ na face a jusante.
2.6.4.2 Esquema power-law
O esquema de discretização power-law interpola o valor da face de uma variável,
,
usando a solução exata. No caso de uma equação unidimensional de difusão convectiva pode-
se escrever a Equação (2.54).
u
x
xx
(2.54)
Sendo ‘
’, ‘
’ e ‘
’ são constantes em um intervalo ‘
x
’. A Equação (2.54) pode ser
integrada para gerar a seguinte solução descrevendo como ‘
’ varia com ‘x’:
0
0
exp 1
exp 1
L
x
Pe
x
L
Pe
(2.55)
Para:
0
=
0x
L
=
xL
Sendo ‘Pe’ o número de Peclet, dado pela Equação (2.56):
uL
Pe
(2.56)
A variação de ‘
(x)’, entre x=0 e x=L é descrita na Figura 2.29 para uma faixa de
valores de número de Peclet, mostrando que para altos valores de ‘Pe’, o valor de ‘
’ em
x=L/2 é aproximadamente igual ao valor da célula a jusante. Isto implica que quando o fluxo
é dominado pela convecção, a interpolação pode ser acompanhada simplesmente pela leitura
do valor da variável da face upwind ou valor upstream.
Observa-se também que
pode ser interpolado usando uma média linear simples entre
os valores de x=0 e x=L, quando o numero de Peclet é nulo. Quando Pe possui um valor
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 65
intermediário, o valor interpolado para ‘
’ em x=L/2 deve ser obtido aplicando o modelo
power-law.
Figura 2.29: Alterações de uma variável ‘
’ entre x=0 e x=L.
2.6.4.3 Esquema upwind de segunda ordem
Quando uma maior precisão é desejada, as quantidades nas células são calculadas
empregando uma reconstrução linear multidimensional aproximada. Nesta aproximação, uma
precisão de alta ordem é atingida nas faces das células, utilizando-se uma expansão em séries
de Taylor de soluções de células centradas sobre uma célula centróide. Assim quando um
upwind de segunda-ordem é selecionado, o valor de ‘
f
’ é calculado usando a Equação (2.57).
.
(2.57)
f
s
G
Sendo ‘
’ e ‘
’ os valores centrados na célula e seu gradiente na célula upstream, e
‘
’ o vetor deslocamento a partir de uma célula centróide a jusante para o centróide da face.
Esta formulação requer a determinação do gradiente ‘
’ em cada célula. Este gradiente é
calculado usando o teorema divergente, o qual na forma discreta é escrito pela Equação
(2.58).
s
G
1
faces
N
f
f
A
V
JG
(2.58)
Aqui o valor da face ‘
f
’ é calculado pela média de ‘
’ a partir das duas células
adjacentes à face.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 66
2.6.4.4 O Esquema QUICK
Este método é indicado para malhas quadrilaterais e hexaédricas, quando, uma única
face a jusante e a montante, pode ser identificada. O esquema QUICK é baseado na média
ponderada do upwind de segunda ordem e interpolação central da variável. Para a face ‘e’ na
Figura 2.30 se o fluxo é direcionado da esquerda para a direita pode-se escrever a Equação
(2.59).
2
1
dd ucc
ePE P
cd cd uc uc
SS SSS
SS SS SS SS
W
(2.59)
Na equação
=1 resulta em uma interpolação de segunda ordem central enquanto que
=0 obtém-se um valor upwind de segunda ordem. O esquema QUICK tradicional é obtido
fixando
=1/8.
Figura 2.30: Volume de controle unidimensional.
O esquema QUICK é mais preciso em malhas estruturadas alinhadas com a direção do
fluxo. O esquema QUICK para malhas não estruturadas ou híbridas também pode ser
empregado, contudo nestes casos, usualmente aplica-se o esquema de discretização upwind de
segunda ordem.
2.6.4.5 Forma linearizada da equação discreta
A equação de transporte de um escalar discretizada contém a variável escalar ‘
’ não
conhecida no centro da célula bem como valores desconhecidos em torno de sua vizinhança.
Esta equação, em geral, é não linear em relação a esta variável. Uma forma linearizada pode
ser escrita, conforme a Equação (2.60):
(2.60)
pnbnb
nb
aa
b
Sendo que o subscrito ‘nb’ se refere às células vizinhas e ‘a
p
’ e ‘a
nb
’ são coeficientes
linearizados para ‘
’ e ‘
nb
’.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 67
O número de células vizinhas para cada célula depende do tipo de malha, mas será
tipicamente igual ao numero de faces que fecham a célula. Equações similares podem ser
escritas para cada célula que compõem a malha.
2.6.4.6 Sub-relaxação
Por causa da não linearidade das equações que são resolvidas é necessário o controle
de atualização do valor de ‘
’. Isto é tipicamente atingido por sub-relaxação, a qual reduz a
troca de
produzida durante cada iteração. Em uma forma simples, o novo valor da variável
‘
’ dentro da célula depende do valor antigo (passo anterior), ‘
old
’ a troca calculada em ‘
’,
‘
’, e o fator de sub-relaxação, ‘
s
’, é dada pela Equação (2.61) a seguir.
old S
(2.61)
2.6.4.7 Discretização temporal
Para simulações transientes, as equações governantes devem ser discretizadas no
tempo e no espaço. A discretização espacial para a equação dependente no tempo é idêntica
ao caso de estado estacionário. A discretização temporal envolve a integração de todos os
termos na equação diferencial em um tempo ‘
t
’. A integração do termo transiente segue o
procedimento apresentado a seguir.
Uma expressão genérica para a evolução do tempo de uma variável ‘
’ é fornecida
pela Equação (2.62).
F
t
(2.62)
Nesta equação a função ‘F’ incorpora uma discretização espacial. Caso o tempo
derivativo seja discretizado usando diferenças backward, a discretização temporal de primeira
ordem será obtida por:
1nn
F
t
(2.63)
E a discretização de segunda ordem é dada por:
11
34
2
nnn
F
t
(2.64)
Definidas por:
= uma quantidade escalar;
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 68
n+1= valor no próximo nível de tempo,
tt
;
n= valor no nível de tempo corrente, t;
n-1= valor no nível de tempo anterior,
tt
.
Discretização temporal: Integração implícita no tempo
Um método para calcular ‘F(
)’ em um nível de tempo futuro é representado pela
Equação (2.65).
1
1
nn
n
F
t
(2.65)
Esta é uma integração implícita desde que ‘
1n
’ em uma dada célula é relatada a
‘
1n
’ em células vizinhas utilizando ‘
1n
F
’:
(2.66)
1nn n
tF
1
Esta equação implícita pode ser resolvida iterativamente inicializando ‘
i
’ para ‘
n
’,
segundo a Equação (2.67).
in i
tF
(2.67)
Para a formulação de primeira ordem implícita, ou:
1
4/3 1/3 2/3
inn
tF
i
(2.68)
Para a formulação de segunda ordem implícita. A vantagem de um esquema
totalmente implícito é que este é, incondicionalmente, estável com respeito ao tamanho do
passo no tempo.
Discretização temporal: Integração explícita no tempo
Este método calcula ‘
F
’ no nível de tempo corrente:
1nn
n
F
t
(2.69)
Referido como integração explícita desde que ‘
1n
’ possa ser explicitado em termos
de ‘
n
’ (este método é também conhecido como global time stepping).
1nn
tF
n
(2.70)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 69
2.6.4.8 Calculando as derivadas
O termo derivativo ‘
’ de uma dada variável ‘
’ é usado para discretizar os termos
convectivos e difusivos da equação do movimento. O gradiente é calculado usando o teorema
de Green-Gauss (FLUENT, 2005):
0
1
f
f
c
f
A
JG
(2.71)
Sendo ‘
f
’ o valor de ‘
’ no centróide da face da célula, e a adição de todas as faces
que fecham a célula.
2.6.5 O resolvedor segregado
Esta prática é mais facilmente descrita considerando as equações de quantidade de
movimento e da continuidade em estado estacionário na forma integral:
(2.72)
.vdA
GJG
v
0
...
V
vvdA pIdA dA FdV
GJGJG JG JG JG
vvv
(2.73)
Sendo ‘I’ a matriz identidade, ‘
’ o tensor tensão e ‘
F
J
G
’
o vetor força.
2.6.5.1 Discretização da equação da quantidade de movimento
O esquema de discretização da equação de transporte de uma grandeza escalar também
é usado para discretizar as equações de quantidade de movimento. Por exemplo, a equação de
x-quantidade de movimento pode ser obtida fixando
=u:
(2.74)
ˆ
.
Pnbnbf
nb
au a u p Ai S
Se o perfil de pressão e o fluxo de massa na face fossem conhecidos, a Equação (2.74)
poderia ser resolvida. Porém, o perfil de pressão e os fluxos de massa na face não são
conhecidos a priori e devem ser obtidos como uma parte da solução do sistema de equações.
2.6.5.2 Esquemas de interpolação de pressão
Há uma tendência para padrões, na qual o esquema interpola os valores de pressão nas
faces usando quocientes da equação da quantidade de movimento. Este procedimento trabalha
bem quando a variação da pressão entre centros de célula é tida como “comportada”. Quando
há altos gradientes dentro das condições de fonte de quantidade de movimento entre volumes
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 70
de controle, o perfil de pressão tem um alto gradiente na face da célula, e não pode ser
interpolado aplicando esta estratégia de solução.
Alguns métodos alternativos estão disponíveis quando o esquema “padrão” de
interpolação não é válido:
Um esquema linear calcula as pressões na face como uma média dos valores de
pressão nas células adjacentes;
O esquema de força-corpo ponderado calcula a pressão da face assumindo que o
gradiente normal da diferença entre pressão e força-corpo é constante;
O esquema PRESTO (PREssure STaggering Option) utiliza o balanço da continuidade
discretizado para um volume de controle sobre a face para calcular a pressão.
2.6.5.3 Discretização da equação da continuidade
A Equação (2.75) deve ser integrada sob um volume de controle seguindo a equação
discreta a seguir:
(2.75)
0
faces
N
ff
f
JA
Sendo o termo ‘J
f
’ o fluxo mássico através da face ‘f ’.
Como descrito anteriormente, as equações da continuidade e do movimento são
resolvidas sequencialmente. Neste procedimento sequencial, a equação da continuidade é
usada como uma equação para pressão. Contudo, a pressão não aparece explicitamente na
Equação (2.75) para fluxos incompressíveis, desde que a densidade não esteja diretamente
relacionada à pressão. O SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) é
usado para introduzir a pressão na equação da continuidade. Este procedimento é descrito a
seguir.
Faz-se necessário relacionar o valor da velocidade na face ‘
’ com o valor
armazenado no centro da célula. O fluxo em uma face, ‘J
n
v
G
f
’
,
pode ser escrito da seguinte forma:
l
01
f
ffc
c
J
Jdp p
(2.76)
Sendo os termos ‘p
c0
’
e ‘p
c1
’ os de pressão dentro das duas células em ambos os lados
da face. A variável ‘
l
f
J
’ contém a influência das velocidades desta célula. O termo ‘d
f
’ é
função de ‘
p
a
’, a média dos coeficientes a
p
da equação da quantidade de movimento para as
células em ambos os lados da face ‘f ’.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 71
2.6.5.4 Esquema de interpolação da densidade
Para o cálculo de fluxo compressível é usual aplicar o esquema upwind de
interpolação para variável densidade nas células. Para fluxos incompressíveis, três outros
esquemas de interpolação podem ser usados: upwind de primeira ordem, upwind de segunda
ordem e QUICK.
O esquema upwind de primeira ordem considera a densidade na face da célula como
sendo o valor do centro da célula ajusante. Este esquema gera estabilidade para a equação de
correção da pressão e gera bons resultados para muitas classes de fluxos.
O esquema upwind de segunda ordem gera mais estabilidade para fluxos supersônicos
e capta choques melhor que o esquema de primeira ordem, o esquema QUICK para a
densidade é similar ao QUICK para outras variáveis.
O esquema upwind de segunda ordem e o QUICK não podem ser usados para o caso
de fluxos compressíveis multifásicos, o esquema upwind é usado para a fase compressível e
uma média aritmética é usada para a fase incompressível.
2.6.5.5 Acoplamento pressão–velocidade
A solução segregada das equações de conservação da quantidade de movimento e de
massa, para problemas incompressíveis, gera o problema do acoplamento pressão-velocidade.
Neste sentido, é preciso encontrar um procedimento sequenciado e iterativo (algoritmo) que
melhore a estimativa do campo de pressão de modo que o campo imperfeito de velocidade se
aproxime progressivamente da solução que satisfaz a equação da continuidade na forma
discretizada.
O acoplamento da pressão com a velocidade é feito usando a Equação (2.76) para
obter a pressão a partir da equação da continuidade discreta. Os três algoritmos de acoplagem
pressão-velocidade, mais comumente empregados são: SIMPLE, SIMPLEC e PISO.
Acoplamento pressão–velocidade: O algoritmo SIMPLE
Uma das formas de se abordar o problema acoplamento pressão-velocidade é seguindo
o princípio dos métodos tipo SIMPLE.
Inicialmente estima-se um campo de pressão ‘p*’ e obtém-se utilizando as equações
de conservação da quantidade de movimento, um campo de velocidades que, a priori, não
satisfaze a equação de continuidade. Sendo que não há lógica em alterar aleatoriamente o
campo de pressão a fim de que, em algum momento, um campo de velocidade satisfaça a
equação de continuidade. O procedimento recomendado comumente é estabelecer expressões
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 72
de correção para as velocidades em função de gradientes de correção de pressão ‘p’ ’. Quando
esta correção de pressão não for mais necessária, estes gradientes de ‘p’ ’ serão nulos e a
correção sobre velocidades será nula. Para a evolução de ‘p’ ’, utiliza-se a equação da
continuidade, na qual as equações de correção são introduzidas gerando uma equação para ‘p’
’ com termo fonte envolvendo as velocidades.
O algoritmo SIMPLE usa uma relação de correção entre velocidade e pressão e garante
que a conservação de massa seja satisfeita. Se a equação de quantidade de movimento é
resolvida com um campo de pressão ‘p
*
’, o fluxo resultante na face, ‘
*
f
J
’ é calculado a partir
da Equação (2.77).
(2.77)
m
** * *
01
fffcc
JJdpp
Visto que a Equação (2.54) não satisfaz a equação da continuidade.
Consequentemente, uma correção ‘
'
f
J
’ é adicionada ao fluxo da face ‘
*
f
J
’ tal que o fluxo na
face seja obtido corretamente.
*'
f
f
JJJ
f
(2.78)
Uma vez satisfeito a equação da continuidade. O algoritmo SIMPLE postula que
'
f
J
seja escrito como:
''
01
f
fc c
J
dp p
(2.79)
Sendo o termo ‘
'
p
’ a correção da pressão na célula.
O algoritmo SIMPLE substitui a equação de correção de fluxo na equação da
continuidade para obter uma equação discreta para correção da pressão ‘
'
p
’ na célula.
(2.80)
''
pnbnb
nb
ap a p b
A
p
Sendo o termo b a soma das taxas de fluxos na célula:
(2.81)
*
faces
N
ff
f
bJ
A equação de correção de pressão pode ser resolvida empregando o método
multimalha algébrico. Uma solução é obtida para pressão da célula e o fluxo na face é
corrigido usando:
'*
p
pp
'
(2.82)
(2.83)
*'
01
fffcc
JJdpp
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 73
Aqui ‘
p
’ é o fator de sub-relaxação para a pressão. O fluxo da face corrigida, ‘ ’,
satisfaz a equação da continuidade discreta durante cada iteração.
f
J
Acoplamento pressão–velocidade: O Algoritmo SIMPLEC
O procedimento SIMPLEC é similar ao SIMPLE, sendo que a única diferença esta na
expressão utilizada para a correção do fluxo na face, ‘
'
f
J ’. Como no SIMPLE, a equação de
correção pode ser escrita como:
(2.84)
*'
01
fffcc
JJdpp
'
Contudo, o coeficiente d
f
é redefinido como uma função de
pn
nb
aa
b
. O uso desta
equação de correção modificada tem acelerado a convergência em problemas onde a
acoplagem de velocidade-pressão é o impedimento principal na obtenção da solução.
Acoplamento pressão–velocidade: O Algoritmo PISO
O algoritmo PISO (Pressure-Implicite with Splitting of Operators) de acoplagem de
pressão-velocidade faz parte dos algoritmos da família SIMPLE. Uma das limitações dos
algoritmos SIMPLE e SIMPLEC é que novas velocidades e fluxos correspondentes não
satisfazem o balanço de quantidade de movimento, após a aplicação da equação de correção
de pressão. Para melhorar a eficiência deste cálculo, o algoritmo PISO possui duas correções
adicionais: correção das vizinhanças e correção “skewness”.
2.6.5.6 Cálculos com dependência de tempo e em estado estacionário
No caso de estado estacionário, as equações governantes para o resolvedor segregado
não contém o termo dependente do tempo. Para o fluxo dependente do tempo (transiente), a
forma discretizada das equações genéricas de transporte é fornecida pela Equação (2.85).
..
VV
dV v d A d A S dV
t
GJG JG
vv
(2.85)
Sendo os termos da Equação (2.85) definidos por:
t
= forma conservativa da derivada transiente de
;
= densidade;
v
G
= vetor velocidade;
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 74
A
JG
= vetor área superficial;
= coeficiente de difusão para
;
= gradiente de
;
S
= geração de
por unidade de volume.
Como uma aproximação do padrão todos os termos convectivo, difusivo e fonte são
calculados a partir do perfil de tempo no nível
n+1.
1
1
11 1
..
n
n
nn n
V V
dV v d A d A S dV
t
1
n
GJG JG
vv
.
(2.86)
2.6.5.7 A Formulação de fluxo frozen
O padrão de discretização completamente implícito da parte convectiva produz termos
não lineares na equação resultante. A resolução desta equação geralmente requer muitas
iterações por
time step. Como uma alternativa, há uma opção para discretizar a parte
convectiva do fluxo de massa na face da célula a partir de um nível de tempo anterior.
(2.87)
1
.
n
nn
vdA v dA
JGJG G JG
vv
A solução possui o mesmo nível de precisão, mas o caráter não linear da equação de
transporte discretizada é essencialmente reduzido e a convergência dentro de cada
time step é
obtida. Esta opção somente está disponível para problemas transientes de fase simples que
usam o resolvedor segregado.
2.6.6 O resolvedor acoplado
O resolvedor acoplado resolve as equações governantes da continuidade, quantidade
de movimento, energia e transporte de espécies simultaneamente. Equações governantes para
escalares adicionais são resolvidas sequencialmente.
O sistema de equações governantes para um fluido é escrito para descrever as
propriedades médias de escoamento, na forma cartesiana para um volume de controle
arbitrário ‘
V’ com área de superfície diferencial ‘dA’, com na Equação (2.88).
.
V
WdV F G dA HdV
t
v
v
(2.88)
Nesta equação o vetor
H representa termos como as forças de campo e as fontes de
energia e os vetores
W, F e G são definidos na Figura 2.31:
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 75
Figura 2.31: Representação vetorial dos elementos da Equação (2.88).
As equações de Navier-Stokes, representadas na Equação (2.88), tornam-se
numericamente rígidas em escoamentos incompressíveis com baixos números de Mach
(subsônico) e resultando em uma taxa convergência baixa. Para contornar esta dificuldade é
usual empregar a técnica conhecida como pré-condicionante (
time-derivative). Esta técnica
modifica o termo da derivada temporal da Equação (2.88) pela multiplicação de uma matriz
pré-condicionante. Esta tem o efeito de re-escalar o termo de velocidade das equações do
sistema, aliviando a rigidez numérica.
2.6.6.1 Marcha de tempo para escoamentos estacionários
O conjunto de equações governantes acopladas pode ser discretizadas tanto para
simulações estacionárias quanto para simulações transientes. No caso independente do tempo,
assume-se que a marcha de tempo evolui até alcançar o regime estacionário. Já no caso
transiente, a discretização pode ser feita com base em dois algoritmos de marcha de tempo:
implícito e explícito.
2.6.7 Monitoramento da convergência pelos resíduos
Durante o processo de solução pode-se monitorar dinamicamente a convergência
conferindo os resíduos, as estatísticas, os valores de força, as integrais de superfície, e as
integrais de volume. Para escoamento transiente, pode-se também monitorar o tempo
decorrido.
Ao término de cada interação do resolvedor, a soma residual para cada uma das
variáveis conservadas é computada e armazenada, registrando assim a história de
convergência. Esta história também é gravada no arquivo de dados. A soma residual é
definida a seguir.
2.6.7.1 Definição de resíduos para o resolvedor segregado
Depois da discretização, a equação de conservação para uma variável geral em uma
célula ‘
P’ pode ser escrita como:
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 76
(2.89)
PP nbnb
nb
aa
b
Nesta equação, ‘
a
P
’ é o quociente de centro, ‘a
nb
’ são os quocientes de influência sobre
as células vizinhas e ‘
b’ é a contribuição da parte constante do termo de fonte ‘S
c
’ em S =
S
c
+S
P
e das condições de contorno.
P
nb P
nb
aa
S (2.90)
O resíduo ‘
R
’ computado no resolvedor segregado é o desequilíbrio em
Equação (2.90) somada sobre toda as células computacionais ‘
P’. Isto pode ser chamado de
resíduo não escalar. Pode ser escrito como:
nb nb P P
celulasP nb
Rab
a
(2.91)
Em geral, é difícil julgar a convergência examinando os resíduos definidos pela
Equação (2.91) desde que nenhum escalonamento é empregado. Isto é especialmente verídico
dentro escoamento confinado como a convecção natural em um quarto onde não há nenhuma
taxa de fluxo de entrada de ‘
‘ para comparar o resíduo. Geralmente, ponderam-se os resíduos
usando um fator de escala representativo da taxa de escoamento ‘
’ através do domínio. Este
resíduo é definido como
nb nb P P
celulasP nb
PP
celulasP
aba
R
a
(2.92)
Para as equações de quantidade de movimento o termo do denominador ‘
a
P
P
’é
substituído por ‘
a
P
v
P
’ sendo ‘v
P
’ a magnitude da velocidade em célula ‘P’. O resíduo é um
indicador mais apropriado de convergência para a maioria dos problemas.
2.6.7.2 Definição de resíduos para o resolvedor acoplado
O resíduo para o resolvedor acoplado é simplesmente a taxa de tempo de mudança da
variável de conservação ‘
W’. O resíduo é a raiz quadrada da média dos quadrados dos
resíduos em cada célula do domínio:
2
()
W
RW
t
(2.93)
Os resíduos para as equações que são resolvidas consecutivamente pelo resolvedor
acoplado (turbulência e outros escalares) são os mesmos descritos para o resolvedor
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 77
segregado. Em geral, é difícil julgar a convergência examinando os resíduos definidos pela
Equação (2.93) desde que nenhum escalonamento seja empregado.
2.6.8 Modelo de Fase Discreta (particle track)
O Modelo de Fase Discreta podem ser aplicados a sistemas nos quais a fração
volumétrica da fase discreta é pequena (sistemas diluídos com
α
d
< 12 %). À trajetória das
partículas (entendidas como bolhas, gotas, pequenas estruturas sólidas etc.), podem ser
associados os efeitos de turbulência, considerando as flutuações instantâneas ou médias da
velocidade da fase contínua. Independente da consideração adotada, as partículas não exercem
influência na geração ou dissipação de turbulência da fase contínua (abordagem
Lagrangeana).
O Modelo de Fase Discreta em estado estacionário é indicado para aqueles casos em
que as partículas são injetadas numa fase contínua e o sistema em si tem entradas e saídas
bem definidas. É o tipo de modelo que não deve ser aplicado para escoamentos dotados de
suspensão indefinida de partículas num fluido, como acontece em sistemas fechados tais
como tanques agitados, vasos de mistura ou leitos fluidizados. Todavia, a restrição anterior
não mais se aplica quando o modelo é aplicado numa abordagem transiente.
Pelo Fluent
®
, as trajetórias das partículas são preditas pela da integração da equação
do movimento, na qual está contemplado o balanço entre as principais forças atuantes sobre a
fase discreta, conforme descreve a Equação (2.94) para uma direção
x em coordenadas
cartesianas.
xp
p
D
p
p
g
du
Fuu F
dt
X
(2.94)
O termo ‘
F
D
(u - u
p
)’ representa as forças de arraste por unidade de massa da partícula
e pode ser representado como:
2
18 Re
24
D
D
pp
C
F
d
(2.95)
Nas equações anteriores, u representa a velocidade da fase fluida, ‘
u
p
’ a velocidade da
partícula, ‘
ρ’ a densidade do fluido, ‘ρ
p
’ a densidade da partícula e finalmente, ‘d
p
’o diâmetro
característico da partícula.
O coeficiente de arraste ‘
C
D
’, pode ser calculado por modelos disponíveis na literatura,
como por exemplo, os sugeridos por MORIS e ALEXANDER (1972) e HAIDER e
LEVENSPIEL (1989). Já o termo ‘
F
x
’ representa as forças adicionais, por unidade de massa,
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 78
que possam atuar sobre a trajetória da partícula, como por exemplo, a força mássica virtual
que representa aquela requerida para acelerar o fluido nas vizinhanças da partícula, tornando-
se relevante quando a densidade do fluido é maior que a densidade da partícula.
2.7 Planejamento de experimentos
Um método científico de planejamento e análise deve ser seguido para que se obtenha
um plano de experimentos visando racionalizar o esforço experimental. Quando o problema
envolve dados que possam conter erros experimentais, um modo adequado de análise é por
métodos estatísticos. Em qualquer experimento, há duas etapas: o planejamento do
experimento e a análise estatística dos dados obtidos. Estas etapas estão intimamente ligadas,
uma vez que o método a ser utilizado para análise depende diretamente do planejamento
realizado.
O método univariado onde o pesquisador altera uma variável enquanto as outras são
mantidas constantes, é totalmente inviável nos casos em que se possuem variáveis múltiplas,
por exigir um número muito elevado de experimentos. Além disso, este método não permite
uma análise sobre as possíveis interações entre as variáveis independentes.
Quando existem diversas possibilidades de combinação das variáveis relevantes no
processo, como no caso do escoamento helicoidal, a análise dos experimentos é mais
confiável utilizando técnicas estatísticas para esse fim. O planejamento fatorial dos
experimentos (BOX
et al., 1978) permite verificar a influência de efeitos individuais, como
também, os de interação entre as variáveis. A técnica de superfície de resposta proporciona o
ajuste empírico de equações que relacionam as respostas obtidas em função de variáveis
estudadas (MYERS, 1976).
Pelo planejamento fatorial são selecionados os níveis das variáveis a serem estudadas
e as combinações possíveis do experimento são determinadas. A determinação da quantidade
de experimentos é feita de acordo com a quantidade de variáveis estudadas e com os níveis
estipulados para essas variáveis. Um planejamento do tipo 2
K
determina a quantidade de
experimentos de um estudo em dois níveis com ‘K’ variáveis. Os planejamentos fatoriais a
dois níveis são recomendados para sistemas cujas equações experimentais são de primeira
ordem. Quando um sistema tiver um forte componente não linear, um planejamento fatorial
com mais níveis, avaliados em cada fator, se faz necessário (BOX
et al., 1978).
Uma desvantagem em utilizar o planejamento fatorial convencional para obter
equações preditivas de segunda ordem é a quantidade excessiva de experimentos que devem
ser realizados. Em planejamentos do tipo 3
K
(3 níveis), para um estudo com 5 variáveis
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 79
independentes, seriam necessários 243 experimentos. Dependendo do tipo de estudo, a
realização deste número de ensaios seria inviável. Com a necessidade de contornar esse
problema, foi desenvolvido (BOX e WILSON, 1951) um método alternativo que fornece uma
resposta equivalente a estes experimentos, porém com uma quantidade de experimentos
menor. Esse método é denominado de planejamento composto central (pcc). O planejamento
composto central nada mais é do que um planejamento fatorial de primeira ordem aumentado
de pontos adicionais que permitem a estimação de parâmetros de segunda ordem. A
quantidade de experimentos a ser realizado num planejamento do tipo composto central com
‘K’ variáveis é calculada a partir do planejamento fatorial a dois níveis (2
K
), acrescido dos
ensaios ou réplicas nos níveis centrais (n
2
) e dos ensaios nos níveis extremos (2K). A Equação
(2.96) mostra a codificação dos fatores que serão organizados em uma matriz de
planejamento:
0
11
/2
i
X
(2.96)
Sendo ‘
X’ o valor da variável codificada, ‘
i
’ o valor original ou não codificado, ‘
0
’
representa o valor original no nível central, ‘
1
’ é o valor original referente ao nível 1 e ‘
–1
’ o
valor original referente ao nível –1.
Os pontos adicionais do planejamento composto central são escolhidos pelo
pesquisador. Esses pontos são os valores extremos de cada variável. Essa escolha deve ser
feita de forma a deixar a matriz de variância e covariância diagonal (pcc ortogonal), o que
elimina as correlações entre os parâmetros (MYERS, 1976).
A Tabela 2.2 apresenta a distribuição de 16 experimentos, envolvendo as variáveis
independentes codificadas
X
1
, X
2
e X
3
, com duas réplicas no centro. A variável resposta é ‘Y
i
’
e ‘+a’ e ‘–a’, são respectivamente o nível superior e inferior de cada variável.
Pelo método dos mínimos quadrados, pode-se estimar os parâmetros ‘
ij
’ da Equação
(2.97). A análise de variância da regressão é feita com base no quadrado do coeficiente de
correlação múltipla ‘
r
2
’, em testes de hipótese usando as distribuições ‘F’ de Fisher e t-
Student.
(2.97)
1
2
0
11 11
k
kk k
ii iji iji j
ii ij
YXX
XX
O quadrado do coeficiente de correlação múltipla avalia a porcentagem de
variabilidade dos dados explicada pela equação.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 80
Tabela 2.2:
Matriz do planejamento composto central.
X
1
X
2
X
3
Y
i
1 1 1 Y
1
–1 1 1 Y
2
1 –1 1 Y
3
–1 –1 1 Y
4
1 1 –1 Y
5
–1 1 –1 Y
6
1 –1 –1 Y
7
–1 –1 –1 Y
8
0 0 0 Y
9
0 0 0 Y
10
+a 0 0 Y
11
–a 0 0 Y
12
0 +a 0 Y
13
0 –a 0 Y
14
0 0 +a Y
15
0 0 –a Y
16
O valor da distribuição t-
Student é importante para o cálculo da significância dos
parâmetros e é definido como a relação entre o valor do parâmetro estimado e o seu desvio
padrão. O valor de ‘
F’ (Fisher) é determinado pela razão entre o quadrado médio da equação
ajustada (QME) e o quadrado médio do resíduo (QMR), como mostra a Equação (2.98).
Quanto maior o valor de ‘
F’, melhor será o ajuste do modelo em questão.
QME
QMR
F (2.98)
O quadrado médio da equação ‘QME’ e o quadrado médio do resíduo ‘QMR’, são
dados pelas Equações (2.99) e (2.100) respectivamente.
Soma dos quadrados dos valores preditos
QME
Número de graus de liberdade da equação
(2.99)
Soma do quadrados do resíduo
QMR
Número de graus de liberdade do resíduo
(2.100)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 81
O número de graus de liberdade da equação é igual ao número de parâmetros da
equação reduzido de um e o número de graus de liberdade do resíduo é obtido pela diferença
entre o número total de experimentos e o número de parâmetros existentes na equação
ajustada.
O valor estatístico de ‘
F’ é tabelado de acordo com o nível de significância e os graus
de liberdade do resíduo e da equação. Mais detalhes sobre esta metodologia e valores
tabelados de ‘
F’ podem ser encontrados na literatura específica como BOX et al. (1978) e
MYERS (1976).
2.8 Análise canônica
Supondo que dentro da região experimental, uma determinada resposta (perda de carga
por exemplo) seja relacionada como uma função das variáveis independentes estudadas
(vazão, rotação, concentração e excentricidade) da seguinte forma:
0
ˆ
''
yb xbxBx (2.101)
Sendo ‘
x’, ‘b’, e ‘B’ definidos pelas matrizes:
Figura 2.32: Matrizes da análise canônica, Equação (2.101)
O ponto de máxima resposta, se existir, é dado por um conjunto de condições (
x
1
, x
2
,
...,
x
k
) que tornam as derivadas parciais
12
ˆˆ ˆ
, , ...,
k
yy y
x
xx
iguais a zero. Diferenciando a
Equação (2.101) em relação ao vetor ‘
x’ e igualando-a a zero, tem-se o ponto estacionário:
1
0
1
2
x
Bb
(2.102)
O ponto estacionário ‘
x
0
’ (Equação 2.102) pode representar um ponto de máxima ou
de mínima resposta, ou ainda um ponto de sela (
saddle point) da superfície ajustada. Para se
determinar a natureza do ponto estacionário, deve-se realizar uma translação da superfície
ajustada da origem o (
x
1
=0, x
2
=0,..., x
k
=0) até o ponto estacionário ‘x
0
’. A superfície de
resposta é então, expressa por novas variáveis, ‘
w
1
, w
2
, ...w
k
,’ cujos eixos correspondem aos
eixos principais do sistema de contornos (Figura 2.33). A função em termos dessas novas
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 82
variáveis é chamada de forma canônica da superfície ajustada e pode ser representada pela
Equação (2.103)
(2.103)
22
011 22
ˆˆ
...
kk
yy w w w
2
Na qual é a resposta estimada no ponto estacionário, ou seja,
00 0 0
ˆ
''
ybxbxBx
0
;
e
i
são as raízes características da matriz ‘B’. A redução da superfície de resposta ajustada
para a forma canônica é chamada de análise canônica.
Devido à translação de eixos da origem até o ponto estacionário ‘
x
0
’, a Equação
(2.104) é reescrita em termos de um novo vetor ‘
z’, tal que ‘z = x – x
0
’:
00 00 0 0
ˆ
''''
yb xbxBx zbzBx xBzzBz
'
(2.104)
Considerando que
z’Bx
0
=x’
0
Bz e que os três primeiros termos representam a resposta
avaliada no ponto estacionário ‘
ŷ
0
’, a Equação (2.104) pode escrita como:
00
0
ˆˆ
'2 '
ˆˆ
'
yy zb Bx zBz
yy zBz
(2.105)
A Equação (2.105) representa a superfície de resposta ajustada, após a translação para
a nova origem. Ante ao exposto, existe uma transformação ortogonal ‘
z=Mw’ tal que:
22
011 22
ˆ
' ' ' ....
kk
zBz wMBMw y w w w
2
(2.106)
Sendo ‘
M’ uma matriz k
x
k ortogonal (M´M = I
k
) e λ
1
, λ
2
, ..., λ
k
são as raízes
características da matriz ‘
B’ e ‘I
k
’ é a matriz identidade. A determinação da matriz ‘M’ é
importante pois a transformação ‘
w=M´z’ permite relacionar as variáveis ‘z
i
’
(consequentemente ‘
x
i
’, pois z = x–x
0
) com as variáveis canônicas ‘w
i
’. A matriz ‘M’ é a
matriz dos autovetores normalizados associados às raízes características ‘
λ
i
’.
A Figura 2.33 representa um exemplo dos contornos da superfície ajustada no caso de
duas varáveis independentes.
Figura 2.33: Forma canônica para uma superfície de resposta em duas variáveis.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 83
A natureza do ponto estacionário é determinada pela da análise das raízes
características. Se
λ
i
<0, um deslocamento a partir do ponto estacionário em qualquer direção
implicará em um decréscimo na resposta ‘
ŷ’, veja Equação (2.106). Neste caso, ‘x
0
’ é um
ponto de máximo. Caso
λ
i
>0, um deslocamento a partir do ponto estacionário em qualquer
direção implicará em um acréscimo na resposta ‘
ŷ’. Neste caso, ‘x
0
’ representa um ponto de
mínimo. Se as raízes características possuírem sinais diferentes, então ‘
x
0
’ é um ponto de sela.
Neste trabalho, propõe-se a análise canônica utilizando uma rotina implementada no
software
Maple na versão 7. A determinação dos parâmetros de regressão do modelo
(Equação 2.102) e os respectivos níveis de significância será implementado utilizando-se o
software
Statistica na versão 6.
2.9 Principais pontos de discussão
A partir da análise dos trabalhos disponíveis na literatura científica, foram encontradas
situações nas quais diferentes autores reportam resultados as vezes divergentes para a mesma
proposta de estudo. Não foi identificado consenso em relação ao efeito que a rotação do eixo
interno promove na fluidodinâmica do escoamento anular de fluidos não-Newtonianos
(McCANN
et al., 1995; ESCUDIER et al. 2002 e HEMPHILL e RAVI, 2005). Constatou-se
em alguns trabalhos consultados que pesquisadores ainda apontam dificuldades de
concordância entre dados obtidos experimentalmente e por simulação numérica (McCANN
et
al.
, 1995 e RUDMAN et al., 2004).
Neste sentido, dentro dos objetivos desta Tese, o trabalho pode ser dividido em duas
etapas principais: uma de cunho experimental e outra focada na simulação empregando
ferramentas/códigos comerciais de CFD. Mas tanto uma etapa quanto a outra passa por um
processo de “revisão conceitual”, pretendendo repassar os fundamentos aplicados ao
fenômeno em questão.
Na etapa experimental que envolve a montagem de uma unidade piloto e a formulação
dos procedimentos que visam a quantificação do gradiente de pressão em função de variáveis
como: a vazão, a excentricidade, a rotação do eixo interno e as propriedades reológicas;
pretende-se:
Enquadrar o conceito de comprimento de entrada para fluxo laminar não-Newtoniano,
visto que se constatou em diversos estudos, o uso de unidades compactas (1,2 a 12
metros de comprimento com diâmetros na faixa de 25 mm a 310 mm). Pois admitindo
como válida as considerações de CHEBBI (2002) e considerando uma situação
hipotética de escoamento com
Re
G
=1000, verifica-se a necessidade de que tais
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 84
unidades experimentais deveriam possuir comprimentos de entrada superiores a 200
diâmetros (
D
H
). Relação esta não observada em diversos trabalhos da literatura, o que
poderia colocar em questão os resultados de alguns dos trabalhos.
Desenvolver um sistema de distribuição de fluxo pelo anular evitando ao máximo os
efeitos de expansão e de fluxos preferencialmente tangenciais; permitindo ainda um
sistema de sustentação e acionamento do eixo interno (NEOFYTOU e DRIKAKIS,
2003 e ESCUDIER
et al., 2005).
Seleção e montagem de sistema para a medição de escoamento de fluidos
não-Newtonianos, preferentemente sistemas não invasivo (OWEN
et al., 2004).
Rever o conceito de transição de regime de escoamento visando a influência do
movimento rotacional do eixo interno (SHARIF
et al., 1997; TAN e TORPE, 2003;
ESCUDIER
et al., 2005 e ESCUDIER et al., 2005)
Preparo das suspensões poliméricas buscando reproduzir o comportamento reológico
das lamas/fluidos de perfuração, analisando parâmetros como a estabilidade reológica
sob deformações prolongadas (ESCUDIER
et al., 2001).
Montar um sistema de acompanhamento da temperatura do escoamento, dada a
importância que esta variável pode apresentar como elemento de desvio nas condições
que visam comparar e checar a reprodutibilidade dos testes (YASSEN
et al., 1996).
Já nos procedimentos numéricos planeja-se empregar ferramentas de CFD (ALI, 2002)
para a reprodução das condições testadas experimentalmente, buscando não só a predição dos
perfis de pressão e de velocidades axial e tangencial (SILVA
et al., 1996), mas também o
levantamento do campo de escoamento como um todo (
flowfield), visando fazer inferências
quanto aos mecanismos presentes no carreamento/transporte de partículas (JONES e
GRAHAM, 1994; RAMADAN
et al., 2001; RAMADAN et al., 2004 e TALMON e
HUISMAN, 2005).
Acredita-se que a tentativa de análise mais aprofundada dos pontos citados
anteriomente e das respectivas propostas de investigação, permita um primeiro passo para a
consolidação de mais uma linha de pesquisa aplicada no âmbito da Engenharia Química e
ainda a expansão do uso de técnicas de CFD como ferramenta de estudo para o Grupo de
Sistemas Particulados da Faculdade de Engenharia Química da Universidade Federal de
Uberlândia.
85
CAPÍTULO 3
MATERIAIS E MÉTODOS
Neste capítulo, são apresentadas as informações sobre os materiais empregados, os
detalhes da montagem experimental bem como as metodologias das abordagens experimental
e numérica (CFD) utilizadas neste estudo.
3.1 Materiais
Neste trabalho foram adotados dois tipos de fluidos de trabalho: fluidos Newtonianos e
fluidos não-Newtonianos. Como fluido de característica Newtoniana foram empregadas
soluções de glicerina, com as diluições (em água destilada) ajustadas conforme a viscosidade
desejada em cada determinação experimental.
Para fluidos de comportamento não-Newtoniano, trabalhou-se com suspensões
poliméricas de goma xantana. A variação de concentração do polímero em água destilada
forneceu um amplo espectro de viscosidades (comportamentos reológicos) necessários ao
escopo deste estudo.
3.1.1 Determinação das propriedades físicas
A viscosidade dinâmica das soluções de glicerina e a reologia das suspensões
poliméricas foram quantificadas a partir de dados obtidos de um viscosímetro digital do tipo
cone-prato, da marca Brookfield
(modelo RDV-III), acoplado a um banho termostatizado
Tecnal
previamente calibrado, conforme detalhes na Figura 3.1. Para atestar a confiabilidade
das medidas de viscosidade feitas pelo reômetro, dois fluidos padrão (Brookfield
viscosity
standard fluid
) foram empregados: o fluido 1000 (1.010 mPa a 20
o
C) lote 091395 e o fluido
500 (492 mPa.s a 20
o
C) lote 100695. A aferição do equipamento foi conduzida
quinzenalmente, pela comparação entre as leituras de viscosidade dinâmica obtidas do
viscosímetro e as propriedades do fluido padrão. Consideraram-se os dados obtidos como
válidos quando a aferição prévia ficou abaixo da faixa de desvio aceitável pelo fabricante
(inferior a 5 %). Quando a comparação entre os resultados se mostrou maior ou igual à faixa
de desvio, o procedimento de re-calibração (
hit-point) foi conduzido (detalhe no Apêndice A).
Para a determinação da densidade dos fluidos de trabalho a técnica de picnometria foi
empregada.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 86
Figura 3.1: Foto do conjunto banho termostatizado – reômetro.
3.1.2 Preparo das soluções poliméricas
O procedimento empregado tanto para o preparo de pequenos volumes de suspensões
(testes preliminares) quanto para quantidades maiores (fluido de trabalho para determinações
experimentais) foi padronizado a partir de ensaios preliminares. Durante estes testes
preliminares foi possível identificar diversos detalhes que foram relevantes para a melhoria da
metodologia de preparo das suspensões empregadas nos ensaios experimentais, como por
exemplo: o pré-aquecimento da água destilada, o tempo de dispersão e o uso de agente
fungicida.
Inicialmente, preparou-se um conjunto de soluções poliméricas de goma xantana com
o intuito de estipular uma faixa de viscosidade (reologia) que poderia ser obtida com a
variação da concentração de polímero em água destilada. Os testes preliminares foram
realizados adotando como volume de prova de 500 ml em balão volumétrico. A escolha de se
empregar a base volumétrica foi feita pensando na operacionalidade no preparo de volumes
maiores (acima de 85 litros) das suspensões para os ensaios experimentais.
Uma vez mensurado o volume de água destilada, a quantidade do polímero, com base
na concentração desejada, era pesada em balança analítica de precisão (Scientech SA210).
Com a realização de diversas tentativas de dispersão do polímero em água,
observou-se que a água destilada a uma temperatura acima da ambiente (
40
o
C) contribuía
de forma significativa na dispersão do polímero. Desta forma, incorporou-se o
pré-aquecimento da água ao procedimento experimental. Nos ensaios, foi utilizado a partir de
então um aquecedor elétrico (detalhes na Figura 3.2) de 2000 watts de potência.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 87
Figura 3.2: Foto do aquecedor elétrico.
Para promover a dispersão e homogeneização da solução foi empregado um béquer de
2000 ml e um agitador magnético (Fisatom 753a). O tempo de agitação não foi
pré-determinado. Como critério aguardava-se a completa dissolução do polímero. Durante os
ensaios, constatou-se que o tempo poderia variar de 45 a 150 minutos conforme a
concentração de polímero. As soluções mais concentradas necessitavam de um maior tempo
de preparo. Outro fator relevante foi a limitação do sistema de agitação magnética usado até
então; as suspensões com concentração acima de 0,75 % não apresentaram consistência
homogênea.
Constatou-se também que a forma de adição do polímero estava associada tanto ao
tempo necessário para dispersão quanto à qualidade da suspensão. A adição feita de uma
única vez gerava “grumos”, que necessitavam de um elevado período de tempo para
dissolução. Muitas vezes, a solução final não apresentava uma consistência homogênea, isto
é, ao promover seu escoamento percebia-se a presença de pequenos “flocos gelatinosos”, cuja
presença era indesejável, conforme detalhes na Figura 3.3. Portanto, como procedimento
empregou-se a rotina de se adicionar o polímero em pequenas alíquotas, aguardando sempre a
sua dispersão.
Quando as soluções preparadas permaneceram estocadas por mais de oito dias, mesmo
em boas condições de armazenamento (recipiente fechado longe de fontes de calor),
percebeu-se a formação de pequenas bolhas que se acumulam na superfície, formando uma
espécie de espuma. Estas bolhas, que aumentavam com o tempo de armazenamento, eram o
resultado de atividade microbiológica que degradavam a solução polimérica, causando
alterações na cor (levemente amarelada) e redução na viscosidade. Como o intuito de limitar o
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 88
desenvolvimento de microorganismos, empregou-se o procedimento recomendado por
fabricantes de CMC (carboximetilcelulose); a adição de solução de formol. Não havendo
correlações ou recomendações específicas para goma xantana, adotou-se o critério de que a
quantidade de solução de formol em mililitros seria numericamente igual ao peso de polímero
(em gramas) a ser adicionado para uma dada concentração.
Figura 3.3: Efeito do modo de adição de polímero na qualidade da suspensão.
Para o preparo das suspensões empregadas nos ensaios experimentais, estimou-se que
o volume mínimo necessário seria de 65 litros. Contudo para garantir uma margem de
segurança em caso de vazamentos ou pequenas perdas, para cada concentração foram
preparados 92 litros de solução de goma xantana. Este volume foi preparado em duas
bateladas de 46 litros.
No interior de um recipiente plástico (com capacidade de 80 litros), adicionava-se
46 litros de água destilada empregando balões volumétricos de 2000 ml. Na seqüência,
procedia-se o pré-aquecimento da água utilizando a resistência elétrica descrita anteriormente,
até atingir temperaturas próximas a 40
o
C. Quando então a massa de polímero previamente
quantificada em balança analítica de precisão (Scientech SA210), era adicionada
paulatinamente e homogeneizada com auxílio de um
mixer de uso doméstico (Mallory Robot
250). As Figuras 3.4 e 3.5 apresentam alguns detalhes da execução do procedimento descrito.
A utilização do
mixer apresentou outra função além da homogeneização da suspensão,
este equipamento se mostrou bastante eficiente no corte e na desagregação dos flocos
eventualmente formados durante a dispersão.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 89
Figura 3.4: Preparo de uma batelada de 46 litros de solução polimérica.
Figura 3.5: Detalhes do mixer.
Uma vez preparadas as duas bateladas de suspensões, estas eram homogeneizadas no
tanque da unidade experimental por uma hora (detalhes na Figura 3.6). O tanque, com
capacidade de 180 litros, possuía um sistema mecânico de agitação com um motor elétrico de
1 CV (acoplado a um inversor de frequência da marca WEG), um impelidor de aço inox de
pás inclinadas contando ainda com quatro chicanas laterais para evitar a formação de vórtices
durante a operação de agitação.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 90
Figura 3.6: Detalhes do tanque de homogeneização.
Uma vez concluído o processo de homogeneização, aguardava-se o tempo necessário
para a suspensão atingir uma temperatura próxima à ambiente, quando então se adicionava a
solução de formol. O volume adicionado dependia da quantidade de polímero, sendo o
volume em mililitros igual à massa em gramas do polímero. A suspensão permanecia por
mais quinze minutos sob agitação para uma boa incorporação e mistura da solução de
formaldeido.
3.2 Unidade experimental
Tanto o dimensionamento e montagem da nova unidade piloto, quanto a realização
dos testes experimentais, foram implementados nas dependências dos laboratórios da Unidade
Avançada de Pesquisa da Faculdade de Engenharia Química da Universidade Federal de
Uberlândia.
3.2.1 Montagem principal e seus acessórios
O foco principal deste estudo, a região anular, é formada por dois corpos cilíndricos:
um externo construído em acrílico cristal extrusado (67 mm de diâmetro) e outro interno
montado a partir de um tubo de aço inox (32 mm de diâmetro); ambos com 1500 mm de
comprimento, conforme mostra a Figura 3.7. A relação entre diâmetros ‘
k’ foi estabelecida
para fornecer um valor próximo a 0,50; valor este frequentemente encontrado em trabalhos da
literatura. Os pontos para medição de pressão foram distribuídos ao longo do comprimento do
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 91
tubo de acrílico. Os terminais do tipo
plug-flow foram distribuídos com distâncias regulares,
de 25 cm entre terminais.
Figura 3.7: Fotografia da unidade experimental.
Destacam-se os dois anéis de fixação do sistema à mesa de aço. Estes anéis foram
construídos em tecnil e foram posicionados próximos às regiões de entrada e de descarga para
fixarem a unidade à estrutura, e também atuar como sistema antivibração.
Outro detalhe é a presença de um manômetro digital de segurança (Gulpress 1000) que
foi instalado na parte superior do tubo de acrílico para evitar que a pressão interna de
escoamento superasse 3,0 kgf/cm
2
, o que poderia vir a comprometer a integridade estrutural
do casco de acrílico. Um outro detalhe a respeito do tubo externo é referente às suas
extremidades; às quais foram soldados quimicamente dois flanges de acrílico com doze
pontos de fixação para parafusos de ¼ de polegada. A Figura 3.8 apresenta detalhes da
montagem, juntamente com o flange (tecnil) que atua como elemento de sustentação do eixo
interno e também como difusor de escoamento.
A posição do cilindro interno em relação ao externo, um dos objetos deste estudo, foi
projetada com base na construção de flanges em tecnil. Cada par de flanges, uma vez fixado
ao tubo de acrílico, permitia o posicionamento do eixo interno para fornecer os arranjos
concêntrico e excêntrico (e=0,75), conforme detalhes na Figura 3.9.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 92
Figura 3.8: Detalhes da montagem do flange.
Figura 3.9: Detalhes dos flanges para o arranjo excêntrico.
No flange de entrada, foi adaptado um sistema de contenção para evitar vazamento do
fluido de trabalho, contudo sem impedir o movimento de acionamento da rotação do cilindro
interno. Este sistema consiste da associação de um acoplamento de bronzina grafitada e de
retentor de fibra de carbono. Com o intuito de reduzir o atrito, um lubrificante (a base de
graxa grafitada da marca ABOR) era adicionado antes de cada corrida experimental.
A alimentação da região anular de entrada entre os tubos foi configurada em uma
disposição axial. Este layout foi definido com base em simulações preliminares, comentadas
com mais detalhes no Capítulo 4. O mesmo flange que sustenta o arranjo entre os tubos
interno e externo permite a divisão do fluxo principal em dez posições ao redor da seção
anular (detalhes na Figura 3.10). Para a implementação deste dispositivo, um divisor de fluxo
foi montado em aço inox com distribuidores em mangueiras de silicone de parede grossa. De
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 93
forma análoga à alimentação, o sistema de descarga segue o mesmo princípio, mas com um
detalhe a mais: um terminal para acoplar um ponto de monitoramento de temperatura do
fluido foi montado ao corpo metálico. Um termômetro padrão, modelo Labortherm-N 19.89,
com bocal confeccionado em PVC completam o sistema de descarga da unidade experimental
conforme a Figura 3.11.
Figura 3.10: Distribuidor de fluxo.
Figura 3.11: Concentrador de fluxo com terminal para termômetro.
Para a rotação do cilindro interno, um motor WEG de quatro pólos com 1,0 CV de
potência foi utilizado. A rotação, adotada neste trabalho no sentido horário, era controlada por
um inversor de frequência da marca WEG modelo CFW08, conforme mostrado ainda na
Figura 3.10.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 94
Para a aferição e quantificação da rotação do eixo interno, empregou-se um
estroboscópio digital da marca FRATA. A Figura 3.12 apresenta o equipamento com seus
acessórios. A velocidade do
flash (lampejo da lâmpada) tem o ajuste facilitado por meio de
dois potenciômetros separados (pré-ajuste e ajuste fino), permitindo analisar movimentos
periódicos de alta e baixa rotação (frequência de 5 a 300 Hz).
Figura 3.12: Estroboscópio digital FRATA.
A base do motor de acionamento do eixo interno, apesar de fixa permite ajuste para os
dois arranjos entre os tubos. Isso se deve ao sistema de acoplamento entre os eixos do motor e
do tubo interno que foi montado sobre cabeças móveis (cruzetas), conforme detalhes na
Figura 3.13.
Figura 3.13: Detalhes do acoplamento entre eixos.
Para o deslocamento do fluido, uma bomba helicoidal, marca Helifer HX-30, de
deslocamento positivo foi montada sob um arranjo de válvulas, conforme visto na
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 95
Figura 3.14. Desta forma, pode-se avaliar o efeito a vazão de alimentação sob uma ampla
faixa operacional (0,2 a 2,2 m
3
/h). A vazão de escoamento pode ser quantificada empregando-
se um medidor magnético de vazão da marca CONAUT modelo 1FC03, previamente aferido
(detalhes na Figura 3.15).
Figura 3.14: Arranjo da bomba helicoidal e seus acessórios.
Figura 3.15: Válvulas e medidor magnético de vazão
Para as determinações experimentais da queda de pressão, um manômetro diferencial
digital da Druck modelo DPI 75r foi empregado. Assim as leituras de queda de pressão
puderam ser registradas a cada 0,25 m ao longo do tubo externo. A Figura 3.16 apresenta a
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 96
montagem do sistema de monitoramento da perda de carga. A este sistema acoplaram-se duas
válvulas do tipo agulha, antes dos pontos de tomada de pressão no equipamento, com o intuito
e rem
is
arranjos, situaram-se a 0,44 e 1,32 m do flange de entrada. Estas distâncias foram escolhidas
para permitir a condição de escoamento plenamente estabelecido e evitar a região de saída.
d over pequenas bolhas de ar eventualmente presentes na linha do canal de medida,
conforme detalhes na Figura 3.17.
Para o arranjo excêntrico, as determinações de queda de pressão foram realizadas na
seção de maior espaço anular. As distâncias dos terminais para as leituras de pressão nos do
Figura 3.16: Sistema de queda de pressão.
O sistema de medição de pressão contava com o auxílio de um recipiente plástico que
possui funções específicas: a sustentação do sensor na mesma altura que os pontos de tomada
de pressão, e servir como reservatório caso ocorra a necessidade de esgotamento ou uma
circulação de fluido pelo canal de medida em razão da presença de bolhas.
Figura 3.17: Detalhes do transdutor de pressão e válvulas para eliminação de bolhas.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 97
3.2.2 Metodologia para os ensaios experimentais
O procedimento a seguir relata as rotinas empregadas para as determinações
experimentais, cujo objetivo é avaliar o efeito das principais
variáveis envolvidas no
rimentais para os
tação moderada por quinze a trinta minutos para dispersar as
retorno são posicionadas para evitar que se dobrem, empregando conjuntos de
inicial, testa-se o escoamento nas condições máximas de vazão e rotação da
do nível de fluido no interior do tanque; visando a
inimi
nha do transdutor de pressão,
imina
ompanha-se a temperatura, que
geralmente oscila dentro de uma pequena faixa de 1 a 2
o
C.
escoamento anular através do monitoramento da queda de pressão.
Antes do
set-up experimental, avaliam-se as temperaturas ambiente e da suspensão
polimérica a ser empregada nos ensaios. A temperatura é um parâmetro importante em função
de sua influência sobre a reologia. Neste sentido, buscou-se estabelecer uma temperatura de
referência (24
o
C) para a realização dos ensaios; garantindo condições expe
testes de reprodutibilidade e permitir uma base para os testes comparativos.
Como etapa inicial, a reologia da suspensão é avaliada empregando o viscosímetro de
Brookfield
. Na seqüência, adiciona-se a suspensão ao tanque de homogeneização com o uso
de baldes e béqueres. Acoplando-se o impelidor ao sistema (detalhes na Figura 3.6),
mantém-se a suspensão sob agi
bolhas eventualmente geradas.
Antes do acionamento da bomba helicoidal, verifica-se o posicionamento das válvulas,
checam-se as abraçadeiras das mangueiras de silicone e o acoplamento do termômetro. As
mangueiras de
molas de aço.
Sequencialmente ligam-se o medidor magnético de vazão e o inversor do motor do
sistema de acionamento do eixo interno, deixando-o em
stand-by. Em seguida, liga-se o
sistema de bombeamento. Durante os dois primeiros minutos, avalia-se a ocorrência de
vazamentos e checa-se a pressão de segurança do casco de acrílico. Uma vez cumprida a
avaliação
unidade.
Novamente verifica-se o posicionamento da mangueira de retorno, com atenção para
que sua extremidade esteja abaixo
m zação da geração de bolhas.
Mantém-se o sistema ligado para a circulação do fluido pela unidade para que bolhas
de ar retidas possam ser excluídas. Neste momento uma atenção especial é dada ao sistema de
aquisição de dados de pressão. Liga-se o medidor e abrem-se os registros (detalhe na Figura
3.18) por cinco a dez minutos para que o fluido escoe pela li
el ndo dessa forma as pequenas bolhas de ar aprisionadas.
Durante o processo de pré-teste e de ajustes, ac
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 98
Terminando o processo de verificação da unidade, inicia-se a corrida experimental
ajustando-se a vazão pela combinação das válvulas de alimentação e
by-pass. Para cada
movimento no comando das válvulas, aguarda-se cerca de um minuto para a estabilização e
leitura do fluxo no medidor magnético (ver detalhes na Figura 3.16).
Uma vez acertada a vazão, procede-se com a programação da rotação do eixo interno,
utilizando o inversor de frequência. Com o uso do estroboscópio digital afere-se a rotação.
Depois de definida a condição de escoamento, checa-se novamente a temperatura de
escoamento e acompanha-se por alguns minutos a flutuação da queda de pressão do indicador
digital do transdutor de pressão. Nesse momento flutuações randômicas (altos desvios)
apontam para problemas como a presença de bolhas de ar no escoamento. Como medida
corretiva aumenta-se à máxima vazão (≈ 2,4 m
3
/h) para o interior do anular e novamente
abrem-se os registros do sistema de leitura de pressão. Por cinco minutos mantém-se o
procedimento para então voltar à condição programada.
Estando o sistema na condição desejada de vazão e rotação do eixo interno, faz-se a
coleta dos dados do gradiente de pressão. Estes são amostrados entre intervalos de 15
segundos e anotados numa planilha. Ao final da aquisição afere-se a temperatura de
escoamento. Caso esta apresente variação superior a 2
o
C ao valor do início do ensaio,
descartam-se os dados experimentais coletados.
Outro fator de qualificação dos dados experimentais é a relação entre o desvio padrão
e a sua média; os casos onde esta relação for superior a 7 % resultam na invalidação dos
mesmos. Nestes casos, repetem-se as condições testadas em uma nova corrida experimental.
3.3 Unidade virtual
3.3.1 Infraestrutura computacional
Os recursos computacionais disponíveis para a realização das simulações numéricas
foram dois computadores com as seguintes configurações:
Processador Intel Pentium 4 de 3,2 GHz, com 1024 Mb de memória RAM.
Processador Intel Pentium 4 de 3,0 GHz, com 512 Mb de memória RAM.
3.3.2 Montagem da malha computacional
Antes da implementação das simulações numéricas, deve-se proceder com o
pré-processamento. Nesta etapa, definem-se as fronteiras do sistema, suas subdivisões, os
tipos de interface e as faces de contorno. Para esta montagem da unidade virtual empregou-se
o
software comercial Gambit
, versão 2.0.4.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 99
Inicialmente foi definido o plano de dimensões para a montagem da malha. Optou-se
pelo plano tridimensional em função de fatores como: a maior similaridade com a unidade
experimental, a possibilidade do estudo da evolução do escoamento (comprimento de entrada)
e ainda como um diferencial dos trabalhos encontrados na literatura que abordam em sua
maioria o plano bidimensional.
Outra definição preliminar foi o tipo de configuração de malha a ser empregada.
Embora malhas não estruturadas necessitem de menor esforço de montagem, estas requerem
maiores esforços computacionais durante a simulação numérica. Visando obter situações mais
otimizadas de simulação, optou-se pela configuração de malhas estruturadas.
Uma vez definidas as estratégias, partiu-se para a montagem da malha com a definição
das fronteiras da unidade virtual, que seguem as reais dimensões da unidade experimental
(Seção 3.2.1), conforme detalhes na Figura 3.18.
Figura 3.18: Definição das fronteiras da unidade virtual.
Para o caso excêntrico foi necessário ter o deslocamento de posição pré-calculado,
pois a definição do layout entre os tubos (detalhes ampliados na Figura 3.19) tinha que ser
fornecida nos primeiros comandos da montagem da geometria.
Figura 3.19: Definição do posicionamento entre tubos para e=0,75.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 100
Com o intuito de melhorar a estabilidade da simulação numérica do escoamento, duas
subdivisões de 100 mm foram criadas no corpo principal a partir das extremidades, para
atuarem como regiões de refinamentos de malha. Estas atuariam como regiões de entrada e de
saída de fluxo. A Figura 3.20 apresenta em ampliação uma subdivisão quando aplicado para o
arranjo excêntrico.
Figura 3.20: Subdivisão do corpo principal para a situação excêntrica.
Na sequência, visando uma melhor condição de ortogonalidade; divide-se a seção
anular em quatro quadrantes para início da subdivisão em células. Esta estratégia foi adotada
em função da ausência de simetria no caso do arranjo excêntrico; e também aplicada ao
arranjo concêntrico com o intuito de manter o mesmo procedimento para ambos os casos.
Uma vez definidos os quatro quadrantes, procede-se com a divisão empregando a estratégia
de divisão por intervalos ao invés da divisão por dimensão fixa. Embora as duas estratégias
sejam bastante similares, quando aplicadas ao caso excêntrico, a divisão por intervalos mostra
maior capacidade para dividir com o mesmo número de malhas, seções de dimensões
distintas. As Figuras 3.21 e 3.22 apresentam a divisão da seção circular em 60 intervalos com
15 subdivisões internas no espaço anular, fornecendo com esta configuração 900 células por
face.
Figura 3.21: Malha da seção anular divida em quatro quadrantes para e=0,0.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 101
Figura 3.22: Malha da seção anular divida em quatro quadrantes para e=0,75.
Com base na estrutura de divisão criada para a seção anular estende-se a divisão para
as periferias dos tubos externo e interno. Para manter um fator de proporcionalidade, as
divisões do tubo externo devem ser as mesmas para o tubo interno. Neste ponto, procede-se
com o refinamento das regiões apresentadas na Figura 3.20 (agora com o caso concêntrico).
Empregando a ferramenta de “camada limite”, pode-se criar uma seção de dimensões axiais
crescentes. A Figura 3.23 apresenta a “camada limite” criada com 18 intervalos para atingir a
dimensão máxima de 0,02 metros.
Figura 3.23: Refinamento de malha empregando a ferramenta de camada limite para e=0,0.
Na sequência fez-se a divisão do restante da periferia empregando intervalos fixos de
0,02 metros. A Figura 3.24 apresenta o resultado da malha das faces dos tubos externo e
interno.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 102
Figura 3.24: Malha dos tubos externo e interno.
Uma vez concluída as divisões das malhas das “faces” do sistema, procede-se com o
fechamento da malha em um volume empregando células hexaédricas, com a estratégia de
mapeamento, perfazendo um total de 92700 células, tanto para o caso concêntrico quanto para
o caso excêntrico. Encerrando a etapa de pré-processamento, definem-se as “faces de
contorno”, isto é, quais faces correspondem à entrada, saída, paredes e interior.
3.3.3 Metodologia para as simulações numéricas
O procedimento para a simulação numérica foi implementado com as configurações
dos computadores descritos anteriormente e empregando um
software comercial de CFD, o
Fluent
versão 6.2.16.
Como ponto de partida, carrega-se o pré-processamento descrito anteriormente,
iniciando com a configuração de modelos. Neste estudo foram definidas as seguintes
condições: regime estacionário tridimensional, laminar e com estratégia de resolução
segregada.
Na sequência definem-se as propriedades físicas do fluido, como sua densidade e
viscosidade ou parâmetros do modelo reológico de Herschel-Bulkley para os casos
não-Newtonianos.
Em outra etapa subseqüente, as condições de contorno são computadas, com por
exemplo: a velocidade de entrada, a pressão na saída, a posição do centro do eixo de rotação e
a definição da condição de movimento de rotação do tubo interno.
Na matéria referente aos esquemas de interpolação da pressão, adotou-se a rotina
PRESTO!. Enquanto para o acoplamento entre velocidade e pressão o algoritmo SIMPLEC
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 103
foi empregado. Como estratégia de discretização da equação do movimento empregou-se a
rotina QUICK pela sua performance em malhas hexaédricas.
Em seguida, definem-se os critérios de convergência para os resíduos da equação da
continuidade e as componentes da equação do movimento. Neste estudo, com base em
parâmetros da literatura (FLUENT, 2005), adotou-se o valor de 0,0001 para todos os
parâmetros.
Finalmente, a inicialização da simulação foi definida a partir da face de entrada do
anular, selecionando a condição de velocidade de entrada como ponto de partida. Uma vez
concluído este procedimento, acompanha-se a evolução da simulação pelo gráfico de resíduos
até sua convergência.
Uma particularidade para as situações de elevadas rotações, é o processo de simulação
implementado em etapas. Nesta estratégia inicia-se a simulação numérica a partir da condição
de escoamento sem rotação do eixo interno, obtido os resultados pela convergência da
simulação (análise dos resíduos), prossegue-se aumentando a rotação paulatinamente. Desta
forma o resultado obtido é aplicado como condição inicial para o próximo incremento de
rotação. Assim pode-se otimizar o processo de simulação com menor esforço computacional e
com a consequente redução do tempo de simulação.
3.4 Planejamento de experimentos
A etapa de planejamento de experimentos não houve a tentativa de se representar, em
escala reduzida (
scale-down), o fenômeno de escoamento anular como é proposto por alguns
autores na literatura (como por exemplo FARIA, 1995). O objetivo foi criar situações para
gerar significativos gradientes de pressão pela ação de variações na rotação do eixo interno
(0 a 600 RPM), na vazão de escoamento (0,2 a 2,2 m
3
/h), ou na viscosidade/reologia do fluido
(200 a 3600 mPa.s).
Embora seja uma variável de destaque nas operações reais de perfuração (controle
fluidos de formação), a pressão de bombeamento neste estudo foi estabelecida pouco acima
da ambiente. Isto devido ao fato de que as fronteiras do sistema são rígidas e não há
contra-fluxo de outros fluidos. Outra justificativa foi em função da escolha do material do
tubo externo (acrílico cristal); motivado pelo interesse na visualização do escoamento, mas
restringindo o uso de pressões mais elevadas (acima de 2,0 kg/cm
2
).
Os extremos do planejamento foram definidos balizados pelas capacidades máximas
dos equipamentos de bombeamento e de rotação do eixo interno, isto é, 2,5 m
3
/h e 600 RPM.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 104
A definição da geometria, para este estudo, apresentou um deslocamento máximo do tubo
interno em relação ao externo correspondente a uma excentricidade de 0,75.
Embora o motor de acionamento do eixo interno provesse rotações maiores, a vibração
causada no sistema foi um critério para limitação do nível de rotação.
Para os fluidos de trabalho foram preparadas cinco concentrações com base em
resultados obtidos em testes preliminares. Na escolha destas concentrações, buscaram-se
situações em que a reologia das suspensões fornecessem elevados gradientes de viscosidade.
Portanto para o planejamento, a faixa de concentração de goma xantana foi estipulada de 0,25
a 0,55 %.
Dado a ampla faixa de possíveis situações experimentais pela combinação entre as
variáveis investigadas, buscou-se a otimização dos ensaios experimentais implementando um
planejamento de experimentos do tipo composto central. Seguindo a estratégia descrita
anteriormente (Seção 2.7), montou-se um planejamento com 17 condições experimentais,
sendo destas três ensaios para avaliação da reprodutibilidade no ponto central. As variáveis
independentes investigadas foram: a vazão de escoamento, a rotação do eixo interno e a
concentração polimérica. Para a codificação dos níveis de cada variável, empregou-se a
Equação (3.1). Para a escolha do nível extremo de cada variável ‘a’, adotou-se a condição de
ortogonalidade no planejamento, sendo assim o valor encontrado foi de a=1,673. Os níveis
nominais e codificados, para cada variável são apresentados na Tabela 3.1.
33
1
3
2
3
(/) 1,2 /
0,6 /
( ) 300
180
(%) 0, 4 %
0,09 %
P
Qm h m h
X
mh
W RPM RPM
X
RPM
C
X
(3.1)
A posição relativa do eixo interno em relação ao tubo externo também foi objeto de
estudo. Aplicou-se o planejamento proposto para duas configurações experimentais, uma com
arranjo concêntrico (e=0,00) e outra para a configuração excêntrica (e=0,75), tendo como
resposta a ser avaliada a queda de pressão.
Com a proposta da faixa e dos níveis das variáveis, pôde-se estimar algumas
informações sobre as condições de escoamento a serem investigadas, como por exemplo: a
velocidade anular média ‘U’, a relação entre as velocidades tangencial e axial ‘E’, a taxa de
deformação ‘
’, e ainda os adimensionais: número de Reynolds generalizado ‘Re
G
’ e o
número de Taylor ‘Ta’.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 105
Pôde-se então verificar que devido à relação entre as velocidades tangencial e axial,
em alguns casos, há uma predominância do escoamento de Couette (E=24,65), podendo
prevalecer o perfil tangencial de escoamento. Em outros, há a predominância do outro
extremo, a condição do escoamento de Poiseuille (E=0,0), prevalecendo o perfil axial de
escoamento. Contundo, na maioria dos casos, há a contribuição dos dois tipos de escoamento.
Outro ponto observado é o baixo valor de taxa de deformação para as condições de
escoamento propostas. Ressalta-se ainda, em função desta informação, os baixos valores
obtidos para o número de Reynolds generalizado (2,35<Re
G
<45,44), caracterizando o regime
de escoamento laminar.
Em relação ao adimensional de Taylor, com valor máximo em torno de 11000,
pode-se apontar a inexistência de turbulência, na qual poderiam estar presentes a deformação
toroidal de escoamento e os vórtices de Taylor (CHHABRA, 1999).
Tabela 3.1: Valores nominais e codificados para as variáveis do planejamento e propriedades
do escoamento.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 106
CAPÍTULO 4
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Neste capítulo, encontram-se os resultados obtidos tanto nas determinações
experimentais quanto nas simulações numéricas, reportando ainda discussões sobre o efeito
do comprimento de entrada para a condição de escoamento plenamente estabelecido, os
principais efeitos das variáveis investigadas sobre a queda de pressão e ainda a influência da
rotação do eixo interno na transição de regime de escoamento.
4.1 Propriedades físicas dos fluidos Newtonianos e não-Newtonianos
4.1.1 Densidade e viscosidade das soluções de glicerina hidratada
As soluções de glicerina empregadas como fluido de trabalho com características
Newtonianas e tiveram suas viscosidades quantificadas em um viscosímetro do tipo
cone-prato. Este reômetro foi acoplado a um banho termostatizado previamente calibrado,
visando assegurar uma melhor precisão na reconstituição da temperatura do dia de trabalho
experimental.
As densidades das soluções de glicerina foram determinadas pela técnica
picnométrica. Encontram-se resumidamente na Tabela 4.1, os valores das propriedades físicas
para as soluções de glicerina.
Tabela 4.1: Viscosidade e densidade das soluções de glicerina.
Temperatura (
o
C) Viscosidade (mPa.s) Densidade (kg/m
3
)
Solução 1 21,8 112,7 1197
Solução 1 23,0 102,5 1197
Solução 1 25,3 78,2 1197
Solução 2 24,1 63,9 1181
Solução 2 26,0 55,6 1181
4.1.2 Densidade e reogramas das suspensões de goma xantana
Para a quantificação das propriedades reológicas, a temperatura de referência foi
ajustada em 24
o
C, em função desta ser a temperatura média (23 a 25
o
C) registrada durante as
determinações experimentais. A Figura 4.1 apresenta os reogramas das suspensões de goma
xantana empregadas nos ensaios experimentais.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 107
Figura 4.1: Reogramas das suspensões de goma xantana.
A densidade para as suspensões poliméricas, a partir de ensaios preliminares, pode ser
considerada como o mesmo valor da densidade da água (999 kg/m
3
). As concentrações de
polímero foram baixas (menores que 0,55 %) o suficiente para não promover variação
significativa no valor da densidade da água.
4.1.3 Efeito da temperatura
Durante os testes preliminares, a temperatura mostrou relevância em função de seu
efeito sobre as propriedades reológicas dos fluidos de trabalho. Para as soluções de glicerina,
pequenas variações de temperatura (1 a 2
o
C) promoviam desvios de até 6,9 % no valor médio
da viscosidade dinâmica.
Para as suspensões de goma xantana, constatou-se uma influência mais branda; para
variações em uma faixa de 20 a 32
o
C, observou-se um desvio médio na viscosidade efetiva
de 9,5 % para suspensões diluídas e de 7,3 % para as suspensões mais concentradas.
Estes desvios justificam o monitoramento da temperatura durante a realização dos
ensaios, sendo esta empregada como critério de validação de um resultado experimental.
4.1.4 Efeito da faixa de taxa de deformação
Na literatura, é frequente encontrar a representação reológica de fluidos
não-Newtonianos em amplas faixas de taxa de deformação, como por exemplo: NOURI et al.
(1993) com faixas de 140 a 12000 s
-1
e ESCUDIER et al. (2002) com faixas de 0,5 a 1000 s
-1
,
entre outros autores.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 108
Analisando o planejamento de experimentos proposto no Capítulo 3, os valores das
taxas de deformação estimados em função de suas variáveis e na proposta de LOCKET
(1992), segundo a Equação (2.39), mostraram modestos valores para a taxa de deformação
quando aplicadas às condições propostas. Em termos médios de taxa de deformação
encontrou-se um valor de 15,0 s
-1
; sendo a condição máxima de taxa de deformação foi de
30,0 s
-1
.
Esta diferença entre as ordens de grandeza de taxas de deformação pode embutir um
considerável desvio ao se estimar os parâmetros de um modelo reológico (empírico) visando à
aplicação em simulações numéricas.
A Figura 4.2 apresenta os dados de um reograma para uma mesma suspensão de goma
xantana, 0,55 % de concentração, conduzida em duas faixas de taxa de deformação.
Figura 4.2: Dados reológicos da suspensão de goma xantana a 0,55 %.
Visualmente, constata-se uma continuidade entre as faixas de pontos obtidos tanto em
baixas quanto em altas taxas de deformação. Embora os valores de ajuste das regressões
encontrados para os dois casos sejam satisfatórios (r
2
>0,99), os valores dos parâmetros do
modelo power-law (escolha preliminar) apresentam diferenças significativas, conforme
mostram as Equações (4.1) e (4.2).
Para a faixa de taxa de deformação 1,9 a 69,1 s
-1
com ajuste (r
2
) de 0,999.
(4.1)
(1 0,2099)
5801,3
E
Para a faixa de taxa de deformação 3,8 a 925,4 s
-1
com ajuste (r
2
) de 0,998.
(4.2)
(1 0,2516)
5493,5
E
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 109
Empregando-se a Equação (4.2) na predição de valores de viscosidade na faixa de taxa
de deformação 1,9 a 69,1 s
-1
, constatam-se desvios de até 12,3 % quando comparados com os
resultados medidos na região de baixa taxa de deformação, sendo que o desvio médio
calculado foi da ordem de 9,1 %. Observa-se que este efeito é proporcional ao caráter
pseudoplástico; e para este estudo, mais pronunciado quanto maior for a concentração da
suspensão de goma xantana.
Esta possível fonte de erro pode ser uma das justificativas para os desvios entre
resultados obtidos experimentalmente em unidades piloto e aqueles oriundos de simulação
numérica (McCANN
et al.; 1995 e RAVI e HEMPHILL ; 2005).
No desenvolvimento deste trabalho, as propriedades reológicas das suspensões de
goma xantana foram então quantificadas na faixa de aplicação do planejamento de
experimentos para taxas de deformação entre 1,9 e 69,1 s
-1
.
4.1.5 Escolha do modelo reológico
Na tentativa de reproduzir os comportamentos reológicos quantificados pelo
viscosímetro, pode-se ajustar os dados com os principais modelos para fluidos
não-Newtonianos, como por exemplo:
power-law (Equação 2.5), Cross (Equação 2.7) e
Herschel-Bulkley (Equação 2.14).
Uma vez testados, estes três modelos ajustaram bem os dados reológicos, mostrando
coeficientes de correlação quadrática ‘
r
2
’ superiores a 0,98. Analisando o gráfico de resíduos
como critério de seleção, verificou-se que nenhum dos modelos apresentou uma distribuição
aleatória. Nesta situação, a escolha natural seria então o modelo de
power-law, em função de
sua simplicidade e ampla aplicação. Contudo, duas suspensões, as de maior concentração
(0,49 % e 0,55 %), apresentaram valores de tensão inicial. Mesmo estas apresentando
modestos valores quando comparado às tensões residuais de fluidos de perfuração, decidiu-se
por não negligenciar seus valores. Neste sentido, a escolha do modelo reológico a ser adotado
recaiu sobre a proposta de Herschel-Bulkley.
Empregando o ajuste pela equação da viscosidade a quatro parâmetros, Equação
(2.14), todas as curvas reológicas (em toda faixa de concentração) mostraram coeficientes de
correlação superiores a 99 %. A Tabela 4.2 apresenta os valores dos parâmetros do modelo de
Herschel-Bulkley obtidos por regressão não-linear (
Statistica versão 6) a partir dos dados
reológicos levantados pelo viscosímetro Brookfield
®
na faixa de taxa de deformação de 1,9 a
69,1 s
-1
e na temperatura de referência de 25
o
C.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 110
Tabela 4.2: Parâmetros reológicos do modelo de Herschel-Bulkley.
Parâmetros Concentração em peso de goma xantana (%)
do modelo 0,25 0,31 0,40 0,49 0,55
m
1,5889 1,6853 2,8227 7,7121 10,1939
n
0,2765 0,2699 0,2127 0,1305 0,1310
0
0,6184 1,1394 2,3538 3,8422 5,7000
0
0,6970 0,9787 1,6386 2,6271 3,4834
4.1.6 Efeito do tempo na qualidade das suspensões
Durante a montagem da metodologia de preparo das suspensões poliméricas,
constatou-se a alta capacidade higroscópica da goma xantana, apontando a necessidade de
alguns cuidados no seu armazenamento. Além deste aspecto observou-se a ação de
microorganismos que atuam na decomposição das suspensões. Como ação paliativa, a adição
de solução de formol se mostrou eficiente até um prazo de aproximadamente 22 dias, sendo
que após este período, constatou-se o escurecimento da suspensão e o aparecimento de
manchas e bolores com apreciável modificação no comportamento reológico. A Figura 4.3
apresenta o início da decomposição de uma suspensão de goma xantana a 0,55 % (com
formol) após 22 dias de armazenamento.
Figura 4.3: Início da decomposição da suspensão de goma xantana a 0,55 %.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 111
4.2 Testes preliminares de simulação numérica
Os resultados obtidos nesta parte do estudo serviram tanto para avaliações qualitativas
que influenciaram na decisão do
layout da montagem da unidade experimental, quanto
quantitativas no que diz respeito à verificação da técnica de fluidodinâmica computacional
frente a alguns resultados disponíveis na literatura.
4.2.1 Tipo da alimentação do fluido
Uma das contribuições da fluidodinâmica computacional foi a determinação, mesmo
qualitativa, da forma de distribuição do fluxo ao longo do anular. Embora alguns trabalhos da
literatura apresentem o esquema das unidades experimentais, a maioria não fornece maiores
detalhes. Foram consideradas três configurações: tangencial, ortogonal e axial (clássica).
Estes arranjos foram concebidos buscando a melhor combinação para a montagem
experimental entre a distribuição de fluxo e sustentação do cilindro interno.
Para o caso da alimentação tangencial, como já esperado, os resultados mostraram a
influência deste tipo de alimentação nos perfis de velocidade tangencial do escoamento do
fluido; aspecto indesejável por concorrer com a influência da rotação do cilindro interno sobre
o escoamento.
A configuração de alimentação ortogonal, conforme detalhes da Figura 4.4, também
apresentou alteração nos perfis de velocidade tangencial do escoamento, em menor escala
quando comparada à alimentação tangencial, contudo seus efeitos não poderiam ser
negligenciados. Um outro fator de exclusão deste arranjo de distribuição foi a presença de
regiões de recirculação de fluido logo na entrada do anular; gerando perturbação no início do
escoamento e dificuldades de convergência das simulações numéricas.
Figura 4.4: Arranjo de alimentação ortogonal do anular.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 112
A distribuição axial mostrou ser a que menos influenciava o perfil de velocidade
tangencial. Os resultados de pressão e velocidade para os três arranjos não foram planificados
em função de que estes serviram apenas como base para a proposta de montagem da unidade
piloto.
4.2.2 Comparação dos resultados da literatura
Com o intuito de verificar a estratégia numérica adotada neste estudo, um conjunto de
simulações foi realizado com base no trabalho de ESCUDIER
et al. (2002), no qual os autores
realizaram determinações experimentais dos perfis de velocidade axial e tangencial,
empregando a anemometria a laser (Laser - Doppler). Embora as informações sobre os perfis
de velocidade sejam bastante detalhadas, pouco se comenta em relação às perdas de carga
influenciadas por suas principais variáveis. A Tabela 4.3 apresenta duas condições estudadas
experimentalmente por ESCUDIER
et al. (2002) e que foram reproduzidas neste trabalho
pelas simulações numéricas.
Tabela 4.3: Condições de simulação para verificação.
Excentricidade
U
(m/s)
w
(rad/s)
Viscosidade
0,00 0,203 5,24 Fluido 1
0,80 0,268 5,35 Fluido 2
4.2.2.1 Geometria anular e a malha computacional
A malha computacional foi montada reproduzindo as dimensões da unidade
experimental de ESCUDIER
et al. (2002), representado pelo arranjo de dois tubos (raios de
100 mm externo e 50 mm interno, ambos com 6,0 m de comprimento). A geometria anular,
formada pelo espaço entre os dois tubos, foi configurada em dois arranjos, um com tubos
concêntricos e outro com o deslocamento do tubo interno fornecendo um arranjo excêntrico
(e=0,80).
A malha foi montada seguindo a metodologia descrita no Capítulo 3. Para a situação
concêntrica, a malha possui um total de 57000 células, enquanto que para o caso excêntrico a
malha possui 68400 células. O fato deste último ter um maior número de células deve-se ao
maior refinamento na região de menor espaço anular. As malhas foram montadas a partir do
código comercial Gambit
versão 2.0.4, empregando apenas células hexaédricas, conferindo
ao conjunto a condição de malha estruturada.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 113
4.2.2.2 Modelagem do escoamento
De forma análoga, o equacionamento e a modelagem do fenômeno seguiu os mesmos
princípios descritos no Capítulo 3 para fluidos de comportamento não-Newtoniano. Uma
particularidade, apresentada pelos autores, é em relação ao modelo de representação
reológica, que seguiu uma equação com base no modelo modificado de Cross; segundo a
Equação (4.3).
0
1-
1
E
n
(4.3)
Sendo que os valores dos parâmetros reológicos empregados nas simulações, foram
estimados a partir dos resultados de ESCUDIER
et al. (2002) e encontram-se na Tabela 4.4.
Tabela 4.4: Parâmetros reológicos do modelo de Cross.
Parâmetros de Cross Fluido 1 Fluido 2
0
0,1775 0,1834
2,5684 0,4737
n
0,5485 0,4852
Foram ainda admitidas as seguintes hipóteses simplificadoras: o escoamento
isotérmico, laminar, permanente e incompressível e de um fluido com a viscosidade efetiva
‘
E
’ dependente apenas da segunda variante do tensor taxa de deformação.
4.2.2.3 Parâmetros adimensionais
Para facilitar a comparação com os casos reproduzidos, algumas informações são
reportadas com base em parâmetros adimensionais, como: velocidade axial, velocidade
tangencial e espaço anular.
Velocidade adimensional axial ‘
U
a
’: razão entre a velocidade axial local e a
velocidade de entrada ‘
v
entrada
’.
z
entrada
v
Ua
v
(4.4)
Velocidade adimensional tangencial ‘
V
a
’: relação entre a velocidade tangencial local
pelo produto da velocidade angular ‘
w’ e o raio do eixo interno ‘R
int
’.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 114
int
v
Va
wR
(4.5)
Espaço anular adimensional ‘
G
a
’ indicando o posicionamento radial em relação ao
espaço anular ‘
G’.
distância radial do tubo externo ao eixo interno
espaço anular
Ga (4.6)
4.2.2.4 Parâmetros da simulação numérica
Para calcular as componentes da velocidade, as equações governantes foram
integradas em cada célula da malha computacional sobre o domínio e então discretizadas
seguindo a abordagem dos volumes finitos. Então estas foram linearizadas para serem
resolvidas numericamente. Os cálculos foram realizados usando o esquema de discretização
da pressão seguindo a rotina PRESTO, sendo que para o acoplamento de pressão-velocidade
foi empregado neste trabalho o algoritmo SIMPLEC e para a interpolação da quantidade do
movimento a rotina QUICK, pela sua melhor adaptação Às malhas hexaédricas. O código
comercial empregado para a simulação da estratégia descrita foi o Fluent
versão 6.2.16.
Como referência o eixo de coordenadas, foi fixado na origem do tubo interno tanto
para o arranjo concêntrico quanto para o excêntrico.
4.2.2.5 Resultados preliminares
Os resultados obtidos nas simulações mostraram boa concordância com aqueles
reportados na literatura. No caso do arranjo excêntrico com menor espaço anular, observou-se
a região de estagnação de escoamento axial apresentada por MARTINS
et al. (1999). Os
perfis de velocidade simulados ajustaram satisfatoriamente com aqueles obtidos por
ESCUDIER
et al. (2002).
Determinação dos contornos e perfis de velocidade
Com as configurações entre os dois tubos, avaliou-se o escoamento laminar helicoidal
de fluidos não-Newtonianos nas situações descritas anteriormente (Tabela 4.3). As
Figuras 4.5 e 4.6 apresentam resultados típicos de velocidade adimensional axial do
escoamento plenamente estabelecido através de anular concêntrico e excêntrico,
respectivamente.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 115
Figura 4.5: Velocidade axial adimensional na seção concêntrica.
Figura 4.6: Velocidade axial adimensional na seção excêntrica.
Contudo os resultados são usualmente apresentados em de gráficos cartesianos, nos
quais o eixo das abscissas do sistema é utilizado como referência. As Figuras 4.7, 4.8 e 4.9
apresentam os resultados para o caso concêntrico e excêntrico. Os perfis adimensionais axial
‘
U
a
’ e tangencial ‘V
a
’ estão plotados em função do espaço anular adimensional ‘G
a
’. Cabe
ressaltar que para o caso concêntrico, em função de seu plano de simetria, o espaço anular
entre os tubos é o mesmo para qualquer posição; contudo para o caso excêntrico tem-se nas
figuras a representação de dois espaços anulares, definidos como: ‘(G)maior’ e ‘(G)menor’.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 116
Figura 4.7: Perfis adimensionais de velocidade axial e tangencial para e=0,00.
Figura 4.8: Perfis adimensionais de velocidade axial para e=0,80.
Figura 4.9: Perfis adimensionais de velocidade tangencial para e=0,80.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 117
A boa concordância entre os resultados simulados e aqueles obtidos por Escudier,
fundamentou os elementos empregados nas simulações, principalmente a estratégia de
montagem da malha e os algoritmos empregados na estratégia de simulação segregada;
ressaltando a rotina para acoplamento entre velocidade e pressão.
4.2.3 Avaliação das principais variáveis sobre a queda de pressão
Com o intuito de explorar qualitativamente os efeitos da vazão, da rotação do cilindro
interno e da reologia sobre a queda de pressão, outras 34 condições foram simuladas
numericamente. Este estudo foi referenciado na proposta de ESCUDIER
et al. (2002) visando
apenas um melhor entendimento do escoamento anular sobre a influência de suas principais
variáveis. A Tabela 4.5 resume as condições empregadas nas simulações.
Tabela 4.5: Condições empregadas nas simulações numéricas.
e (-)
U (m/s) w (rad/s) Viscosidade Re
G
(-)
0,203
0,406
0,00
0,609
0,0; 2,56 e 5,24 Fluidos 1 e 2
0,203
0,406
0,80
0,609
0,0; 2,56 e 5,24 Fluidos 1 e 2
219
a
1577
Para os casos de escoamento em arranjo excêntrico, com o Fluido 2 e com velocidade
de alimentação de 0,203 m/s; tiveram os resultados com rotação do eixo interno
desconsiderados. Durante a simulação, estes casos apresentaram instabilidade numérica
identificada pela análise dos resíduos, principalmente para a componente da equação da
continuidade.
Embora apenas duas condições num universo de 34 apresentaram problemas de
convergência, estas foram indício suficiente para a verificação da estratégia numérica de todo
o conjunto de dados. Não se constatou nenhum ponto de divergência entre os dois casos
problemáticos com as demais situações testadas. Efetivamente, a estratégia foi a mesma para
todos os casos, modificando apenas as condições de contorno (
U, w e parâmetros reológicos).
Neste sentido não se ateve a estas particularidades nesse momento, decidindo-se aguardar os
resultados experimentais para se obter mais elementos para compor uma discussão mais
abrangente sobre o fenômeno.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 118
O estudo, via simulação numérica, do escoamento anular foi realizado sobre as
determinações de queda de pressão obtidas ao longo do eixo axial. Com uma análise prévia
das equações de conservação, já se esperava que a vazão (velocidade anular axial) fosse uma
das variáveis com maior impacto sobre a queda de pressão e este efeito se confirmou para
todas as condições testadas. Juntamente com o efeito da vazão, estão representados o efeito da
rotação do eixo interno nas Figuras 4.10 (e=0,0) e 4.11 (e=0,8), ambos para Fluido 1; e de
forma análoga para o Fluido 2, nas Figuras 4.12 (e=0,0) e 4.13 (e=0,8).
Figura 4.10: Efeito da vazão e da rotação sobre a queda de pressão para o Fluido 1 em
arranjo concêntrico.
Figura 4.11: Efeito da vazão e da rotação sobre a queda de pressão para o Fluido 1 em
arranjo excêntrico.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 119
Para todos os casos simulados, o nível de rotação de 2,56 rad/s sempre se mostrou
numa posição intermediária entre os casos sem rotação e com rotação de 5,24 rad/s e nos
gráficos sua representação foi subtraída para facilitar a visualização dos mesmos.
Figura 4.12: Efeito da vazão e da rotação sobre a queda de pressão para o Fluido 2 em
arranjo concêntrico.
Figura 4.13: Efeito da vazão e da rotação sobre a queda de pressão para o Fluido 2 em
arranjo excêntrico.
Analisando as Figuras 4.10, 4.11, 4.12 e 4.13, observa-se uma inversão de tendência
com o aumento da queda de pressão pelo efeito do incremento na rotação do eixo interno para
o arranjo excêntrico. Este fato aponta para a necessidade de uma discussão mais aprofundada
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 120
com base em informações do campo de escoamento, com por exemplo, o comprimento de
entrada.
A simulação numérica em três dimensões permitiu observar o efeito do comprimento
de entrada ‘CE’ sobre o escoamento anular. Sendo esta, a distância necessária para que o
fluido alcance a situação de escoamento totalmente estabelecido. A partir dos resultados de
simulação, observou-se que o comprimento de entrada se mostrou mais pronunciado no caso
excêntrico sendo mais sensível à ação da viscosidade do fluido (quanto menor sua
consistência maior o ‘CE’) e da vazão (quanto maior a velocidade na seção anular, maior o
‘CE’). O conhecimento deste efeito revela um importante parâmetro para a estimativa do
tamanho (comprimento) de unidades piloto/experimentais em função dos regimes de
escoamento a serem investigados.
A Figura 4.14 apresenta um resultado numérico típico da evolução do perfil de
velocidade axial na posição central do anular para o caso concêntrico. O caso representado
corresponde ao Fluido 1 com uma velocidade média no anular de 0,406 m/s na ausência de
rotação.
Figura 4.14: Comprimento de entrada para o escoamento do Fluido 1, nas condições de
arranjo concêntrico,
U=0,406 m/s e ausência de rotação.
Um aspecto relevante, mostra o efeito combinado da excentricidade e rotação do eixo
interno em vazões maiores, exercendo uma forte alteração no comportamento da condição de
escoamento plenamente estabelecido. A Figura 4.15 mostra a simulação numérica em duas
condições de escoamento para o Fluido 1 com velocidade de alimentação de 0,609 m/s para
dois casos: o arranjo concêntrico sem rotação e a configuração excêntrica (e=0,8) com rotação
de 5,24 rad/s.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 121
Figura 4.15: Comprimento de entrada em função da rotação e excentricidade.
Esta situação de escoamento atípica foi constatada apenas para os casos com altos
fluxos no anular. Embora os resultados tenham caráter qualitativo nesta etapa do trabalho, esta
constatação revela um aspecto importante a ser observado na obtenção dos dados
experimentais. Este tipo de alteração no comprimento de entrada pode invalidar a condição
experimental testada e se caso desconsiderada, conduzir a resultados sobreestimados sem
concordância como o fenômeno físico.
Mesmo assim, pode-se avaliar para os casos concêntricos, o efeito da rotação sobre a
redução da perda de carga: quanto menor for a vazão de fluido mais pronunciada será este
efeito; e à medida em que se aumenta a vazão, a intensidade do efeito sobre a queda de
pressão tende a diminuir até quase ser desprezível. Fatos estes concordantes com algumas
informações reportadas na literatura, onde autores como McCANN
et al. (1995) constatam
este efeito para o escoamento laminar concêntrico, observando o efeito inverso para o regime
turbulento, isto é, o incremento de rotação do eixo interno acarreta um aumento da perda de
carga.
Para as simulações dos casos excêntricos há algumas peculiaridades que merecem
destaque. Enquanto o escoamento não está totalmente estabelecido constatam-se duas
situações: o incremento da rotação reduz a queda de pressão no início do escoamento. Na
sequência, à medida que o fluido avança o inverso ocorre, um incremento da rotação do eixo
interno provoca um aumento da perda de carga; passando a ser mais pronunciado quando
maior for a vazão (o contrário do observado para os casos concêntricos).
O efeito da excentricidade mostrou em todos os casos uma redução na perda de carga
quando comparadas àquelas obtidas nas mesmas condições do escoamento concêntrico. Já a
viscosidade do líquido mostrou que pode ter relevância da mesma magnitude que a vazão
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 122
sobre a queda de pressão. Estes casos simulados numericamente mostraram que para o fluido
mais viscoso (Fluido 2), as perdas de carga foram superiores quando comparadas àquelas
obtidas com o Fluido 1 nas mesmas condições de escoamento.
4.3 Ensaios preliminares: ajustes na unidade experimental
Na etapa de ensaios preliminares, após uma primeira avaliação do escoamento anular
pelo uso de técnicas de CFD, ferramentas estas que contribuíram com informações relevantes
para a montagem da unidade piloto; realizou-se um conjunto de testes visando atestar
experimentalmente o comportamento do fluxo anular. Os testes foram desenvolvidos com
fluidos Newtonianos (soluções de glicerina) e serviram não só para o desenvolvimento de
uma metodologia experimental segura, mas também para apontar os ajustes necessários no
aparato experimental.
A expectativa de trabalhar com fluido Newtoniano nesta etapa justifica-se pela
estabilidade da viscosidade dinâmica independente da taxa de deformação aplicada ao
escoamento. Neste sentido, buscou-se avaliar as condições de reprodutibilidade. Contudo,
muito dos resultados sobre as perdas hidrodinâmicas não foram planificados. A execução dos
experimentos usualmente não apresentava uma tendência definida e revelavam consideráveis
desvios, mesmo em situações de teste de reprodutibilidade. Estas informações, como os testes
com a solução 2 de glicerina hidratada, serviram apenas como um caráter qualitativo para o
desenvolvimento do sentimento físico do fenômeno.
Visando contornar estas dificuldades experimentais, alguns ajustes na montagem
experimental foram realizados, como por exemplo: ajuste da mangueira de retorno, válvulas
de esgotamento da linha de medição e monitoramento da temperatura de escoamento.
Como a unidade foi concebida para operação em circuito fechado, a posição do
retorno de fluido ao tanque revelou ser um fator de instabilidade. A posição do retorno acima
do nível de fluido no tanque, permitia que o fluxo gerasse um elevado número de bolhas.
Estas ao serem bombeadas junto com a solução aquosa de glicerina causavam alterações nas
propriedades físicas. Percebia-se a mudança nas condições de escoamento pelo aumento na
flutuação de pressão para condições operacionais constantes (vazão e rotação). Alterando o
suporte e aumentando o comprimento da mangueira de retorno, foi possível reduzir
drasticamente a geração de bolhas no sistema.
Outro aspecto associado ao circuito fechado, foi o gradual aumento da temperatura de
escoamento com o uso prolongado do sistema de bombeamento. O atrito causado pelo
deslocamento positivo do fluido nas partes internas da unidade piloto resulta em um
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 123
incremento de sua temperatura. Testes experimentais com duração maior que quarenta
minutos chegaram a causar variações de até 6
o
C. Em situações operacionais constantes, à
medida que a temperatura do fluido circulante aumentava, a queda de pressão no anular
decrescia. Neste sentido, o tempo de ensaio experimental foi estipulado entre 15 e 20 minutos
e foi incorporado à unidade um bocal para um termômetro, visando a medição em tempo real
da temperatura de escoamento. Como critério de validação de um teste experimental, a
variação de temperatura não poderia ser superior a 2
o
C.
Uma vez ajustada a unidade piloto alguns ensaios foram conduzidos com a solução de
glicerina (solução 1). Resultados dos testes para avaliar a influência da vazão e da rotação do
eixo interno para o caso concêntrico podem ser observados na Figura 4.16. Estes resultados
mostram a pouca influência da rotação na queda de pressão. Os valores médios mostram
redução na ordem 5,1 % para um incremento de 593 RPM.
Figura 4.16: Perda de carga em função da vazão e rotação para solução de glicerina (e=0,0).
Algumas simulações numéricas foram implementadas para o caso concêntrico sem
influência do movimento do eixo interno e revelaram um desvio médio, entre os dados
experimentais e simulados, de 14,4 % para a faixa de vazão estudada (0,37 a 2,56 m
3
/h). Já os
testes de reprodutibilidade implementados mostraram desvios inferiores a 5,0 %,
comprovando a operacionalidade de unidade experimental.
4.4 Resultados experimentais
As determinações experimentais seguiram o planejamento proposto no Capítulo 3. Os
ensaios foram realizados em sua maioria na parte da manhã, buscando temperaturas amenas
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 124
(inferiores a 23
o
C). Neste sentido, uma vez ajustada a unidade com os devidos preparativos
iniciais, a condição do fluido de trabalho estaria próximo a 25
o
C. Valores acima desta
referência inviabilizavam a condição de leituras e a corrida era abortada até a restauração da
mesma. Foi seguido o procedimento descrito anteriormente para a aquisição dos dados de
queda de pressão, a Tabela 4.6 apresenta as respostas em função das condições operacionais
(nominais e codificadas) dos planejamentos, tanto para o caso concêntrico (e=0,00) quanto
para o caso excêntrico (e=0,75).
Tabela 4.6: Efeitos das variáveis investigadas na resposta da queda de pressão.
4.4.1 Efeito da concentração
Os efeitos da concentração polimérica de goma xantana, associando indiretamente o
comportamento reológico de um fluido não-Newtoniano (Figura 4.1), mostram forte
influência na queda de pressão do escoamento anular. Tomando como exemplo a comparação
entre as corridas 15 e 16, representando os extremos do planejamento, verifica-se um aumento
de 224 % (e=0,00) e de 247 % (e=0,75) na queda de pressão para um incremento de 0,25 %
para 0,55 % na concentração da goma xantana, permanecendo inalteradas (nos níveis centrais)
as demais condições de vazão e rotação.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 125
4.4.2 Efeito da vazão
Seguindo um raciocínio análogo, constata-se pela comparação entre os pontos
extremos do planejamento, o marcante efeito da vazão de escoamento na queda de pressão. A
comparação entre as corridas 11 e 12 revela que um incremento na vazão de 0,2 para 2,2 m
3
/h
repercutiu na elevação da perda de carga em 149 %, para o caso concêntrico, e em 135 %,
para o caso excêntrico; com as demais condições operacionais mantidas nos níveis centrais.
4.4.3 Efeito da rotação do eixo interno
A análise das corridas 13 e 14 mostra um efeito inverso ao já constatado
anteriormente. O aumento no nível de rotação do eixo interno promove uma redução nas
perdas hidrodinâmicas do escoamento anular. Os valores desta redução foram de 24 %, para o
caso concêntrico, e de 11 % para o caso excêntrico; para um incremento de rotação de 0 a 600
RPM, considerando ainda constantes as demais variáveis. Esta variável foi a que apresentou
uma menor sensibilidade em relação à queda de pressão. Uma análise mais aprofundada da
mesma será realizada posteriormente na interpretação das superfícies de resposta.
4.4.4 Efeito da excentricidade
A quantificação do efeito da posição relativa do eixo interno em relação ao tubo
externo não foi realizada pela comparação entre valores do planejamento de experimentos,
mas entre os dois planejamentos como um todo. Nos casos testados destes planejamentos, a
excentricidade causou um efeito redutor na queda de pressão no anular. A comparação entre
os 34 ensaios analisados para os casos concêntricos (e=0,00) e excêntricos (e=0,75) mostrou
uma redução média de 21,4 %.
4.4.5 Análise da superfície de resposta
A abordagem estatística para o tratamento dos dados dos planejamentos de
experimentos permite uma visão mais abrangente, quantificando não só os efeitos isolados de
cada variável, mas também suas interações.
4.4.5.1 Planejamento de experimentos para o caso concêntrico
Pela regressão múltipla, pôde-se estimar os parâmetros das variáveis codificadas: X
1
(vazão),
X
2
(rotação) e X
3
(concentração); e os valores de t de Student obtidos da análise de
variância da regressão para cada parâmetro. Com os valores de t de Student foram realizados
testes de hipóteses, sendo que as variáveis cujos parâmetros relacionados possuem nível de
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 126
significância superior a 5 % são consideradas não relevantes e eliminadas da equação
empírica. A significância do modelo foi avaliada utilizando o quadrado do coeficiente de
correlação múltipla e confirmada pela realização de um teste de hipótese com a distribuição
‘
F’, bem como pela análise de resíduos. A Tabela 4.7 apresenta os parâmetros significativos e
os níveis de significância de cada variável codificada ajustados com um coeficiente
quadrático de correlação de 0,981.
Tabela 4.7: Parâmetros da regressão múltipla para o arranjo concêntrico.
Com a eliminação dos parâmetros não significativos e suas respectivas variáveis, foi
então encontrada a equação preditiva para a queda de pressão. A Equação (4.7) permite
avaliar os efeitos de cada variável na resposta estudada, determinando assim a intensidade
dessa influência.
12 3
2
23 1 3
529,5794 102,1895 66,1773 236,8274
43,9250 27,0424 88,6123
PXX
2
X
X
XX
X
(4.7)
Pela análise dos parâmetros, pôde-se observar que a concentração (
X
3
) apresentou
maior significância, seguida da vazão (
X
1
) e da rotação do eixo interno (X
2
). Destaca-se ainda
o sinal dos parâmetros; quando positivos apontam o caráter de proporcionalidade, isto é,
incrementos na variável resultam no aumento na resposta (queda de pressão). Logicamente, o
sinal negativo para o parâmetro está associado ao comportamento inversamente proporcional.
As Figuras 4.17, 4.18 e 4.19 reportam a interpretação visual dos resultados de
superfície de resposta do planejamento concêntrico, apresentando efeitos não só de suas
variáveis mas também suas interações.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 127
Figura 4.17: Superfície de resposta para vazão e concentração para e=0,00 em
X
2
=0,00.
Pode-se observar a marcante influência da concentração em todos os níveis de vazão,
mostrando um comportamento contínuo para toda a superfície de resposta. Outro ponto de
destaque é a elevada sensibilidade da queda de pressão para incrementos na vazão de
escoamento.
Figura 4.18: Superfície de resposta para vazão e rotação para e=0,00 em
X
3
=0,00.
De forma análoga constata-se os efeitos da rotação para todos os níveis de vazão, na
qual seu incremento acarreta uma redução na resposta da queda de pressão ao longo da
contínua superfície de resposta.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 128
Figura 4.19: Superfície de resposta para rotação e concentração para e=0,00 em
X
1
=0,00.
Analisando a superfície de resposta para os efeitos da rotação e concentração,
percebe-se que a concentração polimérica exerce um papel dominante sobre os efeitos na
queda de pressão. Observa-se também na Figura 4.19, o efeito de interação entre as variáveis
rotação e concentração, definida na Equação (4.7) pelo parâmetro relacionado a
X
2
X
3
. Esta
interação fica evidenciada ao analisar o efeito da rotação em níveis elevados e reduzidos de
concentração. Para os maiores níveis de concentração, um incremento na rotação diminui a
queda de pressão, enquanto para concentrações mais baixas, observa-se, mesmo em menor
escala, um comportamento inverso.
Análise Canônica
Com a equação ajustada para o caso concêntrico, foi realizada uma análise canônica da
superfície ajustada, conforme detalhado anteriormente (Seção 2.8). As raízes características
obtidas da matriz resultante da Equação (4.7) foram as seguintes:
λ
1
=-25,93; λ
2
=12,44;
λ
3
=99,14. Com base nestas raízes, pôde-se compor a expressão canônica, conforme a
Equação (4.8). Observa-se neste resultado, que apenas duas raízes características foram
positivas, não caracterizando portanto, a existência de um ponto de mínimo para a queda de
pressão. Entretanto, a partir desse resultado é possível explorar regiões que otimizem
(minimizem) a resposta.
(4.8)
22
12
416,93 25,93 12,44 99,14Pww
3
3
w
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 129
A constante 416,93 foi obtida a partir do cálculo da resposta no ponto estacionário
‘
x
0
’, que seria a nova origem do eixo de coordenadas na transformação canônica. Para
encontrar as condições ótimas (mínimas) para a resposta, a partir da Equação (4.8), deve-se
fazer com que as variáveis canônicas
w
2
e w
3
sejam nulas. Na sequência, são atribuídos
valores para
w
1
e calculados a reposta e os respectivos valores de X
1
, X
2
e X
3
, por meio da
matriz
M, Equação (2.106). Seguindo este procedimneto até encontrar valores de w
1
que
minimizem a resposta e que esteja dentro da região experimental. Foi elaborada uma rotina
em
Maple versão 7, para este procedimento, sendo que as condições ótimas obtidas foram: 0,2
m
3
/h; 289 RPM e 0,29 %, correspondendo a uma queda de pressão de 126,13 Pa.
Observa-se que este resultado está coerente com a análise das superfícies de resposta,
ou seja, baixos valores de queda de pressão para as duas variáveis (concentração e rotação).
4.4.5.2 Planejamento de experimentos para o caso excêntrico
De forma análoga, apresentam-se os resultados obtidos por regressão múltipla para o
planejamento do arranjo excêntrico. Os dados mostram não só a mesma tendência que o
planejamento concêntrico como fornecem um coeficiente de correlação quadrática de 0,991.
A Tabela 4.8 apresenta os valores dos parâmetros para as variáveis codificadas, os desvios
padrão e os respectivos níveis de significância.
Tabela 4.8: Parâmetros da regressão múltipla para o planejamento do arranjo excêntrico.
Com a eliminação dos parâmetros não significativos e suas respectivas variáveis, foi
então encontrada a equação preditiva para a queda de pressão. A Equação (4.9) permite
avaliar os efeitos de cada variável codificada na resposta estudada, determinando assim a
intensidade dessa influência.
12 3
2
13 23 1 3
417,4062 82,8663 23,0642 169,7807
15,1417 15,9450 16,2483 52,2993
PXXX
2
X
XXXX
X
(4.9)
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 130
As Figuras 4.20, 4.21 e 4.22 reportam os resultados da superfície de resposta do
planejamento do arranjo excêntrico, apresentando efeitos das variáveis. Ressaltando a
concordância não só de tendências entre os planejamentos concêntrico e excêntrico, mas
também em relação à ordem de grandeza e os sinais dos parâmetros estimados.
Figura 4.20: Superfície de resposta para vazão e concentração para e=0,75 em
X
2
=0,00.
De forma análoga ao planejamento concêntrico, pode-se destacar a influência da
concentração em todos os níveis de vazão, mostrando na superfície de resposta um
comportamento marcante para concentrações mais elevadas.
Figura 4.21: Superfície de resposta para vazão e rotação para e=0,75
X
3
=0,00.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 131
Seguindo esta linha de raciocínio, verifica-se o efeito da rotação para a maioria dos
níveis de vazão, onde seu incremento acarreta uma redução na resposta da queda de pressão
ao longo da superfície de resposta.
Figura 4.22: Superfície de resposta para rotação e concentração para e=0,75
X
1
=0,00.
Similarmente ao caso concêntrico, constata-se que em altas concentrações de polímero
o incremento da rotação do eixo interno traduz na redução da queda de pressão; ao passo que
em baixas concentrações há a tendência que o aumento da rotação do eixo não reflete na
redução na perda de carga. Deve-se este efeito na superfície de resposta às inter-relações entre
as variáveis
X
2
e X
3
, conforme apresentado na Equação (4.9).
Análise Canônica
Analogamente à análise canônica para o caso concêntrico, determinaram-se as raízes
características obtidas da matriz resultante da Equação (4.9) sendo estas:
λ
1
=-17,21; λ
2
=3,31;
λ
3
=55,18; e com base nestas raízes, pode-se compor a equação canônica, conforme a
Equação (4.10). Observa-se neste resultado, que similarmente ao arranjo concêntrico apenas
duas raízes características foram positivas, confirmando a não existência de um ponto de
mínimo para a queda de pressão. Entretanto, a partir desse resultado é possível explorar
regiões que minimizem a resposta.
(4.10)
22
12
302,44 17,21 3,31 55,18Pww
3
3
w
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 132
A constante 302,44 foi obtida a partir do cálculo da resposta no ponto estacionário
‘
x
0
’, que seria a nova origem do eixo de coordenadas na transformação canônica.
Para encontrar as condições ótimas (mínimas) para a resposta, a partir da
Equação (4.10), empregou-se a mesma estratégia apresentada anteriormente. As condições
mínimas encontradas dentro da faixa do planejamento de experimentos foram: 0,2 m
3
/h;
62 RPM e 0,25 %, correspondendo a uma queda de pressão de 134,4 Pa.
Observa-se que este resultado está coerente com a análise das superfícies de resposta,
ou seja, baixos valores de queda de pressão para as duas variáveis (concentração polimérica e
rotação).
4.5 Simulação numérica das condições experimentais
A avaliação via simulação numérica das condições testadas nos planejamentos de
experimentos permitiu reforçar a verificação dos modelos matemáticos adotados e das rotinas
empregadas na estratégia de simulação segregada, principalmente para os algoritmos de
acoplamento pressão-velocidade e as rotinas de discretização.
Com a verificação da resposta em termos da queda de pressão, pretende-se estender a
análise para os elementos do campo de escoamento no anular (
flowfield), como o
comprimento de entrada, os perfis axiais de queda de pressão e as informações sobre os
contornos e perfis de velocidade (axial e tangencial).
4.5.1 Avaliação do comprimento de entrada
Durante a etapa de simulações numéricas preliminares (descrita anteriormente na
Seção 4.3), pôde-se constatar a importância do comprimento de entrada para o estudo do
desenvolvimento do escoamento laminar. Da literatura, autores como CHEBBI (2002), já
apontavam para as diferenças desta variável entre fluidos Newtonianos e não-Newtonianos.
Pode-se constatar, com auxílio da técnica de CFD, que as determinações
experimentais de queda de pressão estão dentro da região de escoamento plenamente
estabelecido. A Figura 4.23 apresenta um resultado típico, para a condição de escoamento
2,2 m
3
/h com rotação de 300 RPM e concentração polimérica de 0,40 % (ensaio número 12
dos planejamentos), tanto para o caso concêntrico quanto para o excêntrico. Esta condição foi
escolhida por ser a de maior valor de comprimento de entrada dentre as condições testadas.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 133
Figura 4.23: Comprimento de entrada para o ensaio número 12 dos planejamentos.
Pode-se destacar a influência da excentricidade na ordem de grandeza do perfil de
velocidade axial e também na evolução da condição de escoamento plenamente estabelecido.
Observa-se a que entre os pontos representados pelas linhas verticais pontilhadas, a 0,44 m e
1,32 m de comprimento, a velocidade permanece inalterada. Estas posições correspondem à
posição dos pontos de leitura de pressão na unidade piloto para as determinações
experimentais.
Os resultados de comprimento de entrada das condições simuladas seguindo os
planejamentos concêntrico e excêntrico estão apresentados no Apêndice B.
4.5.2 O perfil axial de queda de pressão
Os dados do perfil de queda de pressão foram os pontos de comparação com os testes
experimentais. Pela simulação numérica, pode-se determinar os valores de pressão estática
junto à parede do tubo externo ao longo de sua extensão. Os valores de queda de pressão
foram obtidos tomando como valor referencial a pressão estática na entrada no anular. As
condições em que ocorreram o aumento na perda de carga, avaliadas experimentalmente,
foram também observadas nas simulações numéricas; destacando os efeitos da concentração
polimérica e da vazão de escoamento. A Figura 4.24 representa os ensaios 15, 16 e 17
ressaltando os efeitos da concentração de goma xantana, quando mantidas constantes a vazão
em 1,2 m
3
/h e a rotação em 300 RPM para o caso concêntrico.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 134
Figura 4.24: Efeitos da concentração polimérica nos ensaios 15, 16 e 17, para e=0,00.
Destacam-se os pontos representados pelas linhas verticais pontilhadas, a 0,44 m e
1,32 m de comprimento, com sendo as duas posições onde foram determinadas as quedas de
pressão simuladas visando a comparação com os dados obtidos experimentalmente.
De forma análoga os ensaios 11, 12 e 17 apresentados na Figura 4.25, tem-se a
influência da vazão sobre as perdas hidrodinâmicas quando inalteradas a concentração
polimérica (em 0,40 %) e a rotação (em 300 RPM), também para o caso concêntrico.
Figura 4.25: Efeitos da vazão nos ensaios 11, 12 e 17, para e=0,00.
Os efeitos da rotação, preditos pela simulação numérica foram concordantes com as
tendências das determinações experimentais. A Figura 4.26 apresenta um resultado típico da
redução na queda de pressão influenciada pela rotação do eixo interno, conforme os ensaios
10, 13 e 14 do planejamento para o caso concêntrico; mantendo-se constantes a vazão em
1,2 m
3
/h e a concentração polimérica em 0,40 %.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 135
Figura 4.26: Perfil de queda de pressão para os testes 10, 13 e 14 para e=0,00.
Destaca-se que os resultados para o planejamento do arranjo excêntrico apresentaram a
mesma tendência, e os perfis de queda de pressão para as condições testadas estão
disponibilizados no Apêndice B.
Em termos quantitativos, os resultados obtidos da simulação numérica também
mostraram concordância com os dados experimentais nos dois planejamentos, apontando
desvios médios de 3,3 % para os casos concêntricos e de 3,2 % para os casos excêntricos. A
Figura 4.27 resume a variação entre os valores de queda de pressão experimentais e simulados
numericamente.
Figura 4.27: Comparação da queda de pressão para valores experimentais e simulados.
Pode-se observar uma leve tendência dos valores simulados serem predominantemente
menores que os valores experimentais. Mesmo assim, prevalece a boa concordância dos
resultados provenientes das duas técnicas utilizadas.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 136
4.5.3 Contornos e perfis de velocidade
Uma vez constatada a aplicabilidade da estratégia de CFD pela concordância entre os
dados de queda de pressão simulados e experimentais, criam-se as condições para estender a
análise do comportamento do campo de escoamento através do anular avaliando os efeitos das
componentes da velocidade.
4.5.3.1 Contornos de velocidade axial
Este tipo de informação representa a componente da velocidade em uma dada seção ao
longo do eixo axial do tubo. Para este estudo adotou-se a seção a 1,32 m da origem. Esta
escolha baseou-se no fato de ser uma das regiões de determinações experimentais e estar na
condição de escoamento plenamente estabelecido e ainda recebendo pouca influência da
região de descarga.
Para a quantificação dos valores na seção, empregou-se a mesma estrutura da malha
descrita anteriormente.
O efeito da concentração polimérica é pouco percebido nesta parte do estudo, contudo
os contornos de velocidade axial são influenciados pela vazão de escoamento e da rotação do
eixo interno. As Figuras 4.28 e 4.29 apresentam um resultado típico do efeito da vazão de
escoamento; nestes seguem os ensaios 11 (0,2 m
3
/h) e 12 (2,2 m
3
/h) do planejamento para o
caso concêntrico; mantidas em 0,40 % e 300 RPM. Embora já citados anteriormente, estas
condições agora comprovam o efeito da vazão de escoamento sobre uma das componentes da
velocidade.
Figura 4.28: Contornos da velocidade axial para a condição 11 do planejamento concêntrico.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 137
Figura 4.29: Contornos da velocidade axial para a condição 12 do planejamento concêntrico.
Nestas condições, percebe-se a tendência e a intensidade da esperada influência da
vazão sobre a distribuição da velocidade axial pelo anular.
Outra condição experimental comentada anteriormente, os ensaios 13 (0 RPM) e 14
(600 RPM), apresentam os efeitos da rotação sobre os contornos de velocidade axial; quando
a concentração permanece em 0,40 % e a vazão em 1,2 m
3
/h para o caso concêntrico,
conforme as Figuras 4.30 e 4.31.
Figura 4.30: Contornos da velocidade axial para a condição 13 do planejamento concêntrico.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 138
Figura 4.31: Contornos da velocidade axial para a condição 14 do planejamento concêntrico.
Analisando as Figuras 4.30 e 4.31, observa-se a alteração dos perfis, com um aparente
deslocamento da velocidade máxima axial em direção ao eixo interno e uma redução da
intensidade de escoamento na região mais próxima ao tubo externo.
As maiores alterações em termos dos contornos da velocidade axial foram
identificadas pela alteração da posição do eixo interno. A variação da excentricidade não só
influenciou na mudança do campo de escoamento mas também na sua intensidade. A Figura
4.32 apresenta a mesma condição do ensaio 14 (0,40 %; 1,2 m
3
/h e 600 RPM), citada
anteriormente, só que agora considerando o caso excêntrico.
Figura 4.32: Contornos da velocidade axial para a condição 14 do planejamento do
arranjo excêntrico.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 139
4.5.3.2 Perfis de velocidade axial e tangencial
Uma outra forma de análise dos perfis das componentes da velocidade no campo de
escoamento em anulares é a representação cartesiana. Citada por alguns autores este tipo de
apresentação permite a comparação simultânea da grandeza entre as componentes axial e
tangencial. Embora fisicamente também se tenha uma velocidade radial, esta mostrou valores
inferiores quando comparadas à ordem de grandeza das outras duas componentes. Neste
sentido apresentam-se nesta etapa do estudo apenas os perfis de velocidade axial e tangencial.
Como as simulações foram conduzidas em ambiente tridimensional, adotou-se a
mesma referência aplicada aos contornos de velocidade axial, a seção à 1,32 m da origem.
Nesta posição, ainda elegeu-se o eixo das abscissas, na dimensão do diâmetro do tubo externo
(distância radial) para planificar os resultados.
Visando seguir uma lógica de comparação de resultados tentando salientar os efeitos
das principais variáveis, propõe-se a escolha das condições já citadas anteriormente; sendo
que os demais resultados encontram-se no Apêndice B.
Inicialmente, pode-se destacar os efeitos da vazão de escoamento sobre os perfis de
velocidade. Os ensaios 11 (0,2 m
3
/h) e 12 (2,2 m
3
/h) do planejamento para o caso concêntrico,
constantes em 0,40 % e 300 RPM, podem ser visualizados nas Figuras 4.33 e 4.34
respectivamente.
Cabe ressaltar a presença da resultante entre as componentes da velocidade;
denominada doravante de velocidade de magnitude. Este tipo de perfil auxilia na elucidação
das contribuições de cada componente revelando a eventual predominância no escoamento
pelo anular.
Figura 4.33: Perfis de velocidade para a condição 11 do planejamento concêntrico.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 140
Como referencial de orientação, as linhas vermelhas verticais indicam os limites da
parede do tubo externo enquanto que a região em cinza ao centro representa a presença do
eixo interno.
Cabe apontar para a presença de simetria entre os dois planos do anular, mostrando
coerência física nas simulações implementadas. Outro ponto de destaque na Figura 4.33 é a
predominância do escoamento tangencial em relação ao axial; tanto que o perfil de magnitude
encontra-se sobreposto ao perfil de velocidade tangencial.
Figura 4.34: Perfis de velocidade para a condição 12 do planejamento concêntrico.
Diferentemente da condição do ensaio 11, a condição 12 além de uma superior ordem
de grandeza dos valores de velocidade, ainda apresenta um fluxo pelo anular
predominantemente axial. Contudo pode-se ressaltar a contribuição do escoamento tangencial,
principalmente na região mais próxima ao eixo interno.
Outro aspecto relevante é a perda da configuração parabólica para o perfil axial de
escoamento laminar em função da rotação do eixo interno. As Figuras 4.33 e 4.34 ainda
revelam uma tendência do deslocamento do perfil em direção ao eixo interno, reforçando as
constatações feitas na análise dos contornos de velocidade axial, descritos anteriormente
(Seção 4.5.3.1).
Em relação à influência do movimento de rotação, as Figuras 4.35 e 4.36 apresentam
os ensaios 13 (0 RPM) e 14 (600 RPM) do planejamento concêntrico; reiterando que as
condições de concentração em 0,40 % e de vazão em 1,2 m
3
/h, permanecem inalteradas.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 141
Figura 4.35: Perfis de velocidade para a condição 13 do planejamento concêntrico.
Nesta situação observa-se que a falta do perfil tangencial em função da ausência de
rotação do eixo interno, predominando assim o fluxo axial no anular (sobreposição dos perfis
de velocidade axial e magnitude). Um aspecto que chama a atenção é o formato do perfil de
velocidade axial. Considerando o escoamento laminar sem influência da rotação, observa-se o
formato parabólico parcialmente “achatado”. Este tipo perfil concorda com a clássica
distribuição de velocidade axial para o escoamento de fluidos psudoplásticos e viscoplásticos;
apontando para coerência física dos resultados numéricos e as informações disponíveis na
literatura (CHHABRA, 1999).
Figura 4.36: Perfis de velocidade para a condição 14 do planejamento concêntrico.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 142
Os resultados da Figura 4.36 mostram os efeitos conjugados de alta vazão e rotação
pelo anular; neste há tanto a contribuição axial quanto a tangencial, sem haver uma
predominância no escoamento.
Alterando a configuração entre os dois tubos percebe-se uma significativa alteração do
perfil de escoamento. A Figura 4.37 destaca o ensaio 14 (1,2 m
3
/h, 0,40 %, 600 RPM) agora
para o caso excêntrico.
Figura 4.37: Perfis de velocidade para a condição 14 do planejamento do arranjo excêntrico.
Para este caso além da diferença entre as ordens de grandeza dos perfis de velocidade
axial, observa-se sua distribuição no anular. Na região de maior espaço anular há um
escoamento predominantemente axial enquanto que na região de menor espaço anular o fluxo
é majoritariamente tangencial. Ainda sobre os efeitos da velocidade tangencial, ressalta-se o
efeito apenas nas regiões mais próximas ao eixo interno; observando-se que para o maior
espaço anular sua contribuição é quase nula na faixa central dessa região até a parede do tubo
externo.
4.5.4 Algumas particularidades das simulações numéricas
Nas simulações numéricas das condições experimentais não foram identificadas as
situações encontradas durante as simulações preliminares. A divergência dos valores de
resíduos não foi constatada. Contudo duas condições apresentaram flutuação nos valores dos
resíduos muito próximos ao critério de convergência adotado; a condição do ensaio 4 (0,31 %;
0,6 m
3
/h e 480 RPM) para os casos concêntrico e excêntrico. A Figura 4.38 representa a
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 143
condição descrita em relação aos resíduos da equação da continuidade e das componentes da
velocidade da equação do movimento.
Figura 4.38: Exemplo da flutuação dos resíduos na solução numérica.
Uma vez checadas as simulações numéricas para as condições 0,31 %, 0,6 m
3
/h e
120 RPM (ensaios 1; para e=0,00; e=0,75), não foi constatada nenhuma particularidade,
apontando para uma investigação da relação entre a consistência do fluido e da rotação do
eixo interno. Outro fator que reforça esta linha de raciocínio foram as simulações em
condições similares, como no ensaio 6 (0,49 %; 0,6m
3
/h e 480 RPM) que não apresentaram
alterações nas curvas de convergência.
A condição do ensaio 14 (0,40 %; 1,2 m
3
/h e 600 RPM) também não apresentou
nenhuma particularidade que recebesse destaque. O fato de estar num nível de rotação acima
não traduz necessariamente em um fator de instabilidade numérica.
Uma outra condição testada, o ensaio 15 (0,25 %; 1,2 m
3
/h e 300 RPM) aponta que
baixa consistência do fluido também não é fator preponderante, trazendo à luz da discussão o
efeito também da vazão de escoamento.
Desta forma, a avaliação entre os casos testados aponta que em determinada
combinação de vazão, rotação e reologia, tem-se uma condição de escoamento pelo anular
que não estaria de acordo com as hipóteses simplificadoras, já que a estratégia numérica foi
avaliada nas outras condições. O critério de escoamento laminar passou a ser um ponto de
reavaliação.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 144
Embora a condição do ensaio estivesse numa condição quantificada pelo número de
Reynolds generalizado como escoamento laminar, a relação entre forças inerciais e forças
viscosas poderiam estar recebendo uma influência externa da rotação do eixo interno
suficiente para perturbar o “fluxo entre lâminas” do fluido. Esta perturbação poderia ser
considerada como o início de uma precoce região de transição entre regimes. A componente
tangencial em baixas concentrações poliméricas com baixas vazões faria com que estas
“lâminas” começassem a se interpenetrar.
De forma qualitativa, tentou-se simular as condições do ensaio 4 em um nível maior
de rotação do eixo interno (900 RPM); o que antes mostrava uma flutuação dos valores de
resíduos próximos ao critério de convergência transformou-se uma situação clara de
divergência. Da mesma forma testaram-se as condições dos ensaios 6 e 14, agora em alta
rotação, e novamente a análise dos resíduos apontou para a condição divergente.
No código comercial adotado neste trabalho não é previsto modelo de turbulência para
escoamento de fluidos não-Newtonianos. Entretanto buscando um aspecto mesmo qualitativo
para esta discussão, implementou-se um conjunto de simulações para fluido Newtoniano de
baixa viscosidade (solução de glicerina 2) para vazão de 1,2 m
3
/h e em quatro níveis de
rotação de 0, 120, 300 e 600 RPM.
Os resultados obtidos em 0, 120 e 300 RPM mostram através dos resíduos uma
convergência contínua, promovendo um efeito muito pequeno na redução na queda de pressão
pela ação da rotação do eixo interno. Já para o caso de alta rotação (600 RPM) não foi
possível avaliar os resultados em função da divergência dos resíduos.
Partiu-se então para a incorporação de um modelo de turbulência para a simulação da
condição de alta rotação (600 RPM). Mesmo não estando no escopo deste estudo, buscou-se a
incorporação do modelo
k-ε para reforçar esta linha de discussão. Durante a simulação
acompanhou-se a evolução dos resíduos observando pequenas instabilidades, contudo a
sequência de iterações seguiu normalmente para a convergência. O fato do caso convergir
com a incorporação de um modelo de turbulência
não traduz necessariamente a existência de
turbulência no escoamento anular, mas reforça a condição de não “laminaridade”; reiterando
hipótese da presença de uma possível região de transição.
A Figura 4.39 apresenta graficamente o comportamento descrito para a queda de
pressão sobre a influência da rotação do eixo interno para solução 2 de glicerina no o arranjo
concêntrico. Destacando a mudança no padrão de comportamento da queda de pressão sob
influência da rotação do eixo interno. Para o maior nível de rotação (600 RPM), a perda de
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 145
carga que praticamente não recebia influência da rotação passou a aumentar; diferentemente
da tendência observada nas simulações das condições experimentais (Seção 4.5.2).
Figura 4.39: Efeito da rotação sobre a queda de pressão para solução de glicerina 2 para o
arranjo concêntrico.
4.5.5 Efeito da transição de regime na queda de pressão
Observando trabalhos da literatura sobre o fator de atrito tanto para fluidos
Newtonianos quanto para não-Newtonianos (exemplo das Figuras 2.10, 2.11 e 2.12), percebe-
se uma similaridade de tendência para o escoamento em tubos.
Analisando fenomenologicamente os casos de fluidos não-Newtonianos, espera-se que
a rotação do eixo interno aumente a deformação sobre o fluido; causando uma redução de sua
viscosidade (característica pseudoplástica). Com a redução da viscosidade tem-se um aumento
no valor do número de Reynolds generalizado. Projetando este efeito da curva do fator de
atrito para a região laminar, espera-se como resposta uma redução no valor de queda de
pressão. Análise esta que corrobora com as constatações experimentais e de simulação
numérica nas condições apresentadas.
Por outro lado, espera-se que o aumento da rotação do eixo combinado com as
condições de vazão e reologia do fluido, causem uma alteração da condição de escoamento
laminar (aumento do número de Reynolds generalizado), podendo refletir numa elevação nos
valores de queda de pressão. Este efeito juntamente com as situações apresentadas
anteriormente pode facilitar a compreensão de pontos de discordância em alguns estudos
reportados na literatura sobre o efeito da rotação do eixo na queda de pressão; além de ser
também uma possível justificativa para algumas discordâncias entre valores simulados e
experimentais relatados por alguns autores.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 146
Neste sentido a condição de escoamento laminar passa a ser avaliada não somente
através do número de Reynolds generalizado, mas também sobre as demais condições
operacionais (rotação do eixo); sendo necessário maior critério para o uso da hipótese
simplificadora de escoamento laminar empregada em simulações numéricas.
4.6 Resultados complementares
Nesta parte do trabalho, foram implementados simultaneamente com os planejamentos
de experimentos outros testes experimentais com as respectivas simulações numéricas. Os
planejamentos de experimentos propostos serviram para identificar as tendências
predominantes e a ordem de grandeza da influência de cada variável. Entretanto não se
verificou uma divergência significativa de comportamento nos valores da queda de pressão
reportadas em alguns artigos da literatura; embora este efeito possa estar associado à
específica faixa de escoamento investigada. Mesmo assim, visando reforçar a influência do
movimento do eixo interno sobre o escoamento no anular foram realizados 16 ensaios: 8 para
o caso concêntrico e 8 para o excêntrico; todas eles na condição de ausência de rotação,
balizadas nas condições de vazão e concentração polimérica do planejamento de
experimentos. A Tabela 4.9 apresenta as condições complementares testadas.
Tabela 4.9: Condições dos ensaios complementares.
4.6.1 Efeito da rotação do eixo interno
A associação de todos os resultados complementares, juntamente com os dados dos
planejamentos, confirmou a tendência já descrita anteriormente pelas superfícies de resposta.
Isto é, o predominante efeito redutor da rotação sobre a queda de pressão em anulares
concêntricos e excêntricos. A Figura 4.40 apresenta um resultado típico da influência da
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 147
rotação do eixo interno para o caso de vazão de 1,8 m
3
/h e concentração polimérica de 0,31 %
para o caso concêntrico (ensaios 4 e 8).
Figura 4.40: Efeito da rotação do eixo interno sobre a queda de pressão.
Da mesma forma, a comparação entre os dados complementares experimentais e
simulados numericamente mostrou boa concordância; com desvios médios de 4,1 % para o
caso concêntrico e de 2,7 % para o caso excêntrico. A Figura 4.41 apresenta graficamente os
desvios entre os resultados obtidos para os dois procedimentos.
Figura 4.41: Comparação da queda de pressão para valores experimentais e simulados.
Pode-se observar uma situação ligeiramente diferente daquela encontrada na
comparação entre os resultados do planejamento de experimentos. Para os testes
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 148
complementares, verificou-se uma leve tendência dos valores simulados serem
predominantemente maiores que os resultados experimentais.
4.7 Abordagem da simulação numérica com modelo de fase discreta
Nesta parte do estudo, avaliou-se qualitativamente o comportamento do escoamento
através do espaço anular na expectativa de confirmação do escoamento helicoidal.
Empregando a modelagem de fase discreta descrita anteriormente (Seção 2.6.8) e com os
resultados do campo de escoamento obtido nas simulações numéricas das condições
experimentais, levantou-se a trajetória de uma “partícula de fluido” escoando ao longo do
anular.
A estratégia de determinação de trajetórias empregando o modelo de fase discreta,
utiliza informações empíricas sobre a predição do coeficiente de arraste de partícula em
função da condição de escoamento do fluido (adimensional de Reynolds). Como há duas
correlações no código comercial adotado, houve a necessidade de uma avaliação preliminar
para a preleção entre os modelos de Moris e Alexander e Haider e Levenspiel.
4.7.1 Verificação da correlação de Haider e Levenspiel
Na versão 6.2.16 do código comercial Fluent
®
, as correlações disponíveis para a
predição do coeficiente de arraste foram desenvolvidas inicialmente para fluidos
Newtonianos. Contudo, empregado o conceito de viscosidade efetiva e juntamente com os
dados experimentais de velocidade terminal de queda de partículas em fluidos não-
Newtonianos dos trabalhos de PEREIRA (1999) e MELO (2003), pode-se avaliar a
concordância entre as determinações experimentais e a proposta de HAIDER e LEVENSPIEL
(1989), representada pela Equação (4.11),.
2
2
23
(2,3288 6,5481 2,4486 ) (0,0964 0,5565 )
(4,9050 13,8944 18,4222 10,2599 )
(1,4681 12,2584 20,7322 15,8855 )
24
1Re
Re
Re
Re
D
Ce
e
e
3
(4.11)
Na Equação (4.11) o parâmetro ‘φ’ representa o fator de forma da partícula e ‘Re’ a
clássica denominação do número adimensional de Reynolds. Doravante aplicado à definição
para Reynolds generalizado.
As faixas experimentais de tamanho e densidade da partícula e de reologia dos fluidos
permitiram explorar a validade da expressão num amplo range de escoamento. Os 128 pontos
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 149
experimentais e os respectivos valores preditos pela Equação (4.11) mostram um desvio
médio de 6,5 %; considerado satisfatório em função da alta não-linearidade de seu
comportamento. A Figura 4.42 apresenta graficamente a curva de Haider e Lenvespiel
juntamente com os pontos experimentais de PEREIRA (1999) e MELO (2003).
Figura 4.42: Comparação da equação de Haider e Levenspiel com dados experimentais.
Uma vez definida a equação de predição do coeficiente de arraste para aplicação na
abordagem lagrangeana, pelo uso de modelagem de fase discreta, pode-se avaliar a trajetória
de uma partícula de fluido (mesma densidade do fluido) escoando no espaço anular ao longo
da extensão axial do tubo.
4.7.2 Escoamento anular/helicoidal concêntrico
Dentre os casos avaliados, pode-se ressaltar dois pontos de maior destaque. A
independência do ponto de partida da “partícula” de fluido na região anular, em função do
plano de simetria e a influência da rotação do eixo interno.
As Figuras 4.43. 4.44 e 4.45 representam resultados típicos para o caso concêntrico;
estes respondem respectivamente aos ensaios 13, 17 e 14 do planejamento: 0,40 %; 1,2 m
3
/h
para 0 RPM, 300 RPM e 600 RPM respectivamente.
A face representada em azul corresponde à entrada do anular (local de partida da
“partícula” de fluido) e a face em vermelho associa a região de saída. Buscando facilitar a
visualização das figuras excluiu-se a representação do tubo externo; mantendo apenas o tubo
interno como referencial.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 150
Figura 4.43: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 13 para e=0,00 (0 RPM).
Pode-se ressaltar a trajetória retilínea devido à ausência de rotação do eixo interno,
independente da posição de entrada no espaço anular.
Figura 4.44: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 17 para e=0,00 (300 RPM).
Nesta situação de escoamento, a rotação do eixo interno em 300 RPM promove duas
voltas completas da “partícula” de fluido ao redor do eixo, caracterizando o escoamento
helicoidal. Embora a trajetória possa alterar em função do ponto de partida, o comportamento
caracterizado pelo número de voltas se mantém.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 151
Figura 4.45: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 14 para e=0,00 (600 RPM).
O incremento de rotação para 600 RPM alterou a trajetória da “partícula” de fluido
fazendo aumentar o número de revoluções em torno do tubo interno.
Para as condições testadas verificam-se as trajetórias helicoidais, sendo que o número
de voltas ao redor do eixo está relacionado com a rotação do eixo interno e com a vazão de
escoamento. Outro ponto, de caráter qualitativo, é o deslocamento contínuo sem
“recirculações”; que contribui para a verificação da ausência dos vórtices de Taylor para os
casos de maior rotação. Reiterando as informações apontadas pelos valores do adimensional
de Taylor ‘Ta’.
4.7.3 Escoamento anular/core-flow excêntrico
Para estes casos, a estratégia empregada foi a mesma para a condição concêntrica,
buscando comparar nas mesmas condições de escoamento apresentadas na seção anterior.
Destaca-se que a posição de entrada da “partícula” de fluido agora influencia a trajetória
descrita em função da ausência de plano de simetria.
A falta de rotação do eixo interno permite o desenvolvimento de trajetória retilínea em
qualquer parte no espaço anular, conforme mostra a Figura 4.46. Já os efeitos da rotação
mostram pouco efeito no desenvolvimento de um fluxo helicoidal. As Figuras 4.47, 4.48
destacam os efeitos da rotação de 300 RPM para duas condições entrada pelo anular.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 152
Figura 4.46: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 13 para e=0,75 (0 RPM).
Constata-se de forma análoga ao arranjo concêntrico a trajetória retilínea da
“partícula” de fluido desenvolvida pela ausência dos efeitos da rotação do eixo interno.
Figura 4.47: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 17 para e=0,75, partindo da seção
superior do anular (300 RPM).
A Figura 4.48 apresenta a trajetória da “partícula” de fluido partindo da seção superior
do anular. Pode-se observar a mudança em seu curso sem contudo desenvolver revoluções ao
redor do eixo interno.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 153
Figura 4.48: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 17 para e=0,75, partindo da seção
inferior do anular (300 RPM).
Observa-se agora que na condição de partida da seção inferior do anular a “partícula”
de fluido é capturada pelo movimento do eixo, mas logo em seguida busca a trajetória de
escoamento na maior seção anular. Pode-se constatar que não houve também a configuração
clássica de escoamento helicoidal
Com um incremento na rotação do eixo interno, para 600 RPM (ensaio 14), observa-se
também o comportamento de core-flow. As Figuras 4.49 e 4.50 destacam os efeitos da rotação
para diversas condições entrada no anular.
Figura 4.49: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 14 para e=0,75, partindo da seção
inferior do anular (600 RPM).
Capítulo 4 – Resultados e Discussões 154
O efeito do aumento da rotação do eixo interno, mesmo a “partícula” de fluido partido
da parte inferior do anular, não capturou sua trajetória sem configurar a disposição de fluxo
helicoidal.
Figura 4.50: Trajetória da partícula de fluido no ensaio 14 para e=0,75, partindo da seção de
menor espaço anular (600 RPM).
Na condição de partida na região de menor espaço anular, tem-se a predominância do
escoamento tangencial, não sendo suficiente para a caracterização de uma trajetória ao redor
do tubo interno. Mais uma vez o curso desenvolvido pela “partícula” de fluido caminhou para
o core-flow.
Para este estudo destaca-se o potencial uso da estratégia de simulação por fase
discreta, visando analisar o comportamento de partículas sólidas pelo anular; podendo avaliar
condições de sedimentação ou carreamento em função das propriedades do sólido (densidade,
tamanho e forma), das características de escoamento do fluido (reologia, vazão) bem como
das condições operacionais (excentricidade e rotação do eixo interno).
Neste sentido, encera-se a discussão dos resultados apontando que a denominação de
escoamento helicoidal deve ser empregada com ressalva, principalmente em condição de
elevada excentricidade.
Capítulo 5 – Conclusões e Sugestões 155
CAPÍTULO 5
CONCLUSÕES E SUGESTÕES
Nesta parte do trabalho, apresentam-se as principais conclusões obtidas considerando
as investigações realizadas experimentalmente e por simulações numéricas, sobre o
escoamento laminar de fluidos não-Newtonianos em regiões anulares. Ainda como
contribuições deste estudo deixam-se algumas sugestões para a continuidade deste tema de
pesquisa.
5.1 Principais conclusões
Levando em conta as metas traçadas nos objetivos específicos deste estudo (Seção 1.2)
e à luz das principais observações realizadas, pode-se concluir:
Foi possível construir uma unidade piloto visando investigar o gradiente de pressão
para fluidos não-Newtonianos sobre a influência de suas principais variáveis como: a vazão, a
rotação do eixo interno, a reologia do fluido e a geometria do sistema. A concordância das
simulações numéricas tanto com dados reportados na literatura quanto experimentais, trouxe
segurança para a verificação da técnica de CFD no levantamento do campo do escoamento
laminar em espaços anulares.
Utilizando dois planejamentos de experimentos, 34 ensaios permitiram elucidar a
ordem de grandeza dos efeitos das variáveis sobre a queda de pressão. Com destaque para o
efeito redutor no gradiente de pressão em função da rotação do eixo interno para os arranjos
concêntrico e excêntrico.
A análise da superfície de resposta reforçou as tendências observadas e trouxe a
discussão um ponto de investigação sobre o efeito da rotação do eixo interno em baixas
concentrações poliméricas (baixas “viscosidades”). Embora os dados experimentais
confirmem uma tendência redutora da queda de pressão sob influência da rotação do eixo, as
interações entre as variáveis apontaram um modesto efeito inverso, para o caso de baixa
concentração (0,25 %). Pela análise canônica foi possível identificar as condições
experimentais, dentro da faixa do planejamento de experimentos, que fornecessem um ponto
de mínimo (otimizado) na queda de pressão; tanto para o caso concêntrico quanto para o
excêntrico.
Dentro da abordagem experimental foi possível identificar elementos que poderiam
eventualmente atuar como fonte de desvios e que justificariam algumas divergências entre
Capítulo 5 – Conclusões e Sugestões 156
resultados experimentais e simulados numericamente, reportados em diversos trabalhos da
literatura; como por exemplo:
Efeito da temperatura no escoamento;
Efeito da faixa de aplicação da taxa de deformação;
Efeito das propriedades físicas das suspensões poliméricas (degradabilidade).
As simulações numéricas corroboraram com os resultados experimentais tanto
qualitativamente (em termos de tendências) quanto quantitativamente (com desvios médios
menores que 4 %). Pela técnica de CFD, pode-se observar os efeitos relevantes do
comprimento de entrada e do critério de escoamento laminar. Identificou-se que a falta da
condição de escoamento plenamente estabelecido pode levar a informações superestimadas de
queda de pressão, aumentando a discordância entre resultados numéricos e experimentais. Já a
hipótese de que a rotação do eixo interno cria uma condição de instabilidade no escoamento,
alterando a condição de escoamento laminar, favorece a compreensão das divergências de
resultados encontradas na literatura.
O levantamento dos perfis de velocidades permitiu um melhor entendimento sobre as
condições de escoamento em que se podem identificar fluxos preferencialmente axial,
tangencial ou misto. Estas avaliações contribuíram para um melhor entendimento do campo
de escoamento de fluidos não-Newtonianos, projetando sua aplicação para a operação de
limpeza de poços, isto é, o carreamento de partículas em suspensão através do anular.
O uso da simulação de fase discreta permitiu visualizar o fluxo helicoidal sobre
influência principalmente da rotação do eixo interno, sugerindo uma ressalva para o uso deste
termo para escoamento em arranjos de elevada excentricidade; uma vez constatada nestes
casos a presença de escoamento predominante do tipo core-flow.
De forma geral pode-se avaliar o potencial da técnica de CFD como ferramenta para
predizer condições experimentais. As simulações permitiram não só obter uma série de
informações que muito contribuíram para a montagem da unidade piloto, mas também
viabilizaram um “treinamento do sentimento físico” envolvido no fenômeno. Contudo
pode-se constatar que ainda há um amplo campo para melhorias, como por exemplo:
Escoamento não-laminar para fluidos não-Newtonianos;
Utilização de expressões para coeficiente de arraste definidas pelo usuário;
Melhorias de interface gráfica (resultados de pressão e velocidade em 3D).
Capítulo 5 – Conclusões e Sugestões 157
5.2 Sugestões para trabalhos futuros
Neste estudo foram avaliadas duas situações de geometria. Para configuração
excêntrica, em e=0,75, atingiu-se o limite construtivo (arranjo entre os tubos externo e
interno) para esta unidade experimental. Sugere-se a continuidade da investigação
(experimental e numérica) para menores valores de excentricidade, como por exemplo:
e=0,25 e e=0,50. Buscando novas informações sobre a influência da geometria do sistema no
escoamento anular para fluidos Newtonianos e não-Newtonianos.
Outra possível contribuição seria a ampliação da faixa de escoamento a ser
investigada, como por exemplo: 50 < Re
G
< 500. Mas para que isto seja possível, suspensões
poliméricas mais diluídas deverão ser empregadas (menos viscosas). Contudo sugere-se a
verificação preliminar via CFD para a estimativa do comprimento de entrada e da faixa de
queda de pressão; avaliando se estas ainda estariam dentro das limitações experimentais da
unidade. A avaliação do efeito da rotação do eixo interno seria uma sugestão para alcançar
estas novas condições de escoamento. Contudo, neste caso, há a necessidade de modificações
estruturais como o acoplamento de um moto redutor ao sistema de acionamento do eixo
interno.
Incorporar o efeito da inclinação ao sistema também seria uma sugestão para futuros
trabalhos, mesmo que esta implique em alterações construtivas na unidade. Considera-se
válida esta proposta em função do restrito número de publicações sobre esta configuração
experimental, além de sua justificativa para aplicação aos casos de ‘perfuração direcionada’.
Uma sugestão no que se refere ao ambiente numérico, propõe-se o desenvolvimento
de estudos de simulação buscando informações sobre o escoamento não-laminar de fluidos
não-Newtonianos.
Outra possibilidade para novos estudos seria a extensão das simulações empregando o
Modelo de Fase Discreta. Novos casos poderiam se implementados para prever o
comportamento da trajetória de escoamento em funções das propriedades físicas do fluido,
ampliando a faixa de viscosidade e incorporando a variação da densidade do fluido. Ainda
dentro do contexto numérico, propõem-se a ampliação das simulações empregando a
abordagem de Fase Discreta para a interação entre o flow field e partículas sólidas. Estas
informações permitiram encontrar novos horizontes de pesquisa, como a investigação dos
efeitos de escoamento para limpeza de anulares em função das propriedades tanto do sólido
(forma, densidade e tamanho), quanto do escoamento (reologia, vazão, rotação do eixo
interno e excentricidade).
Referências Bibliográficas 158
Referências Bibliográficas
ALI, W. A parametric study of cutting transport in vertical and horizontal well using
computational fluid dynamics (CFD),
Tese de Mestrado, Departament of Petroleum
and Natural Gas Engineering, West Virginia University, Estados Unidos, 108 p., 2002.
AMANULLAH, M.; YU, L. Environment friendly fluid loss additives to protect the marine
environment from the detrimental effect of mud additives,
Journal of Petroleum
Science and Engineering, 48, p. 199 – 208, 2005.
BANNWART, A. C. Modeling aspects of oil-water core annular flows,
Journal of Petroleum
Science and Engineering, 32, p. 127 – 143, 2001.
BARNES, H. A. The yield stress – a review – everything flows?,
Journal of non-Newtonian
Fluid mechanics, 81, p. 133 – 178, 1999.
BARREIRA, N. B. Introdução à modelagem em 3d para reatores air-lift empregando o
“método dos volumes finitos” na resolução da fluidodinâmica (CFD),
Tese de
Doutorado, Campinas, UNICAMP, Departamento de Engenharia Química, 302 p.
2003.
BLAND, R. Quality criteria in selecting glycols as alternatives to oil-based drilling fluids
systems,
SPE Health, Safety and Environmental Conference, Jakarta, Indonésia, 25 a
27 de fevereiro, 1994.
BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N.
Transport Phenomena, New York,
John Wiley & Sons, 780 p., 1961.
BOX, M. J., HUNTER, W. G., HUNTER, J. S.
Statistics for experimenters. An introduction
to design, data analysis, and model building, John Wiley and Sons, New York, 1978.
330 p.
Referências Bibliográficas 159
CARREAU, P. J.; KEE, D. D. Review of some useful rheological equations,
The Canadian
Journal of Chemical Engineering, 57, p. 3 – 15, 1979.
CHEBBI, R. Laminar flow of power-law fluids in the entrance region of a pipe,
Chemical
Engineering Science, 57, p. 4435 – 4443, 2002.
CHHABRA, R. P.; RICHARDSON, J. F.
Non-Newtonian Flow in the Process Industries,
Oxford, Ed. Butterworth-Heinemann, 1999, 436 p.
CHEN, R. Y. Flow in the entrance region at loy Reynolds numbers.
Journal of Fluids
Engineering, 95, p. 153 – 158, 1973.
CHILINGAR, G. V.; CAENN, R. Drilling fluids: state of art,
Journal of Petroleum Science
and Engineering, 14, p. 221 – 230, 1966.
CHILINGARIAN, G. V.; VORABUTR, P.
Drilling and drilling fluids, Amsterdam, 2
a
edição,
Editora Elsevier, 1983, 767 p.
CHUKWU, G. A.; YANG, L. Couette flow of non-Newtonian power-law fluids in narrow
eccentric annuli,
Ind. Engineer Chemical Research, 34, p. 936 – 942, 1995.
CHUKWU, G. A.; YANG, L. A simplified couette flow solution of non-Newtonian power-
law fluids in eccentric annuli,
The Canadian Journal of Chemical Engineering, 75, p.
241 – 247, 1995.
DARLEY, H. C. H.; GRAY, G. R.
Composition and properties of drilling and completion
fluids, Houston, 5
th
edition, Gulf Press, 1988, 630 p.
DESOUKY, S. E. D. M.; AWAD, M. N. A. A new laminar to turbulent transition criterion for
yield-pseudoplastic fluids,
Journal of Petroleum Science and Engineering, 19, p. 171 –
176, 1998.
DODGE, D. W.; METZNER, A. B. Turbulent flow of non-Newtonian sytems,
AIChE
Journal, 5(2), p. 189 – 204, 1959.
Referências Bibliográficas 160
DODSON, J.; SCHMIDT, V. Gulf of Mexico trouble time creates major drilling expenses,
Offshore, janeiro, p. 46 – 48, 2004.
DOUGLAS Jr., J.; RACHFORD Jr, H .H. On the numerical solution of heat conduction
problems in two and three space variables,
Trans. Amer. Math. Soc., 82, p. 421 – 439,
1956.
ESCUDIER, M. P.; GOULDSON, I. W. Concentric annular flow with center body rotation of
a Newtonian and a shear-thinning liquid,
International Journal of Heat and Fluid Flow
16, p. 156 – 162, 1995.
ESCUDIER, M. P.; ´PRESTI, F.; SMITH, S. Drag reduction in the turbulent pipe flow of
polymers,
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 81, p. 197 – 213, 1999.
ESCUDIER, M. P.; GOULDSON, I. W.; OLIVEIRA, P. J.; PINHO, F. T. Effects of inner
cylinder rotation on laminar flow of a Newtonian fluid through an eccentricity
annulus,
International Journal of Heat and Fluid Flow 21, p. 92 – 103, 2000.
ESCUDIER, M. P.; GOULDSON, I. W.; PEREIRA, A. S.; PINHO, F. T.; POOLE, R. J. On
the reproducibility of the rheology of shear-thinning liquids,
Journal of
non-Newtonian Fluid Mechanics, 97, p. 99 – 124, 2001.
ESCUDIER, M. P.; OLIVEIRA, P. J.; PINHO, F. T. Fully developed laminar flow of purely
viscous non-Newtonian liquids though annuli, including effects of eccentricity and
inner-cylinder rotation,
International Journal of Heat and Fluid Flow 23, p. 52 – 73,
2002.
ESCUDIER, M. P.; OLIVEIRA, P. J.; PINHO, F. T.; SIMTH, S. Fully developed laminar
flow of non-Newtonian liquids though annuli: comparison of numerical calculations
with experiments,
Experiments in Fluids 33, p. 101 – 111, 2002.
ESCUDIER, M. P.; DALES, C.; POOLE, R. J. Asymmetry in the turbulent flow of a
viscoelastic liquid through an axisymmetric sudden expansion,
Journal of
non-Newtonian Fluid Mechanics, 125, p. 61 – 70, 2005.
Referências Bibliográficas 161
ESCUDIER, M. P.; POOLE, R. J.; PRESTI, F.; DALES, C.; NOUAR, C.; DESAUBRY, C.;
GRAHAM, L.; PULLUM, L. Observations of asymetrical flow behaviour in
transitional pipe flow of yield-stress and other shear-thinning liquids.
Journal of non-
Newtonian Fluid Mechanics, 127, p. 143 – 155, 2005.
ESCUDIER, M. P.; MIRZAZADEH, M.; RASHIDI, F.; HASHEMABADI, S. H. Purely
tangential flow of PTT-viscoelastic fluid within a concentric annulus,
Journal of non-
Newtonian Fluid Mechanics, 129, p. 88 – 97, 2005.
ESTES, J.; RANDALL, B.; BRIDGES, K. Bingham plastic fluids more effectively clean
horizontal holes,
Oil & Gas Journal, novembro, p. 89 – 93, 1996.
FARIA, R. C. Estudo experimental do gradiente de pressão em tubulações anulares
concêntricas e excêntricas com e sem rotação,
Dissertação de Mestrado, Faculdade de
Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, Brasil, 102 p., 1995.
FERNANDES, R. L. J.; JUTTE, B. M.; RODRIGUEZ, M. .G. Drag reduction in horizontal
annular two-phase flow,
International Journal of Multiphase Flow, 30, p. 1051 – 1069,
2004.
FLUENT INC., Fluent 6.1 User’s Guide, Centerra Resource Park,
Fluent, Lebanon, NH
03766, 2005.
FORSYTHE, G. E.; WASOW, W. R. Finite Difference Methods for Partial Differential
Equations,
Willey, p. 15 – 84, 1960.
FOUMENY, E. A.; DOMBROWSKI, N.; OOKAWARA, S.; RIZA, A. The influence on the
entry length and pressure drop for laminar pipe flow,
The Canadian Journal of
Chemical Engineering, 71, p. 472 – 476, 1993.
FRANCO, J. M.; VIERA, M. J. R.; DELGADO, M. A.; SANCHEZ, M. C.; GALLEGOS, C.
On the drag reduction for the two-phase horinzontal pipe flow of highly viscous non-
Newtonian liquid/air mixtures: case of lubrificating grease,
International Journal of
Multiphase Flow, 32, p. 232 – 247, 2006.
Referências Bibliográficas 162
FRIEDMANN, M., GILLIS, J.; LIRON, N. Laminar flow in a pipe at low and moderate
Reynolds numbers,
Applied Science Research, 19, p. 426 – 438, 1968.
FRIGAARD, I. A.; ALLOUCHE, M.; GABARD-CUOQ, C. Setting rheological targets for
chemical solutions in mud removal and cement slurry design,
SPE International
Symposium on Oilfield Chemistry, Houston, Texas, 13 – 18 fevereiro, 2001.
GROWCOCK, F. B. e FREDERICK, T. P. Operational limits of synthetic drilling fluids,
SPE
Drilling & Completion, september, p. 132 – 136, 1996.
GÜCUYENER, I. H.; MEHMETOGLU, T. Characterization of flow regime in concentric
annuli and pipes for yield-pseudoplastic fluids,
Journal of Petroleum Science and
Engineering, 16, p. 45 – 60, 1966.
HAIDER, A.; LEVENSPIEL, O. Drag coeficient and terminal velocity of spherical and non
spherical particles,
Powder Technology, 58, p. 63 – 70, 1989.
HANKS, R. W. The laminar-turbulent transition for flow in pipes, concentric annuli and
parallel plates,
AIChE Journal, 9(1), p. 45 – 48, 1963.
HANRATTY, T. J.; LIBERATORE, M. W.; BAIK, S.; MCHUGH, A. J. Turbulent drag
reduction of polyacrylamide solutions: effect of degradation on molecular weight
distribution,
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 123, p. 175 – 183, 2004.
HASSAGER, O.; SZABI, P. Flow of viscoplastic fluids in eccentric annular geometries,
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 45, p.149 – 169, 1992.
HEDSTROM, B. O. A. Flow of plastic material en pipes,
Industrial Chemical Engineering,
44(3), p. 651 – 656, 1952.
HEMPHILL, T. Tests determine oil-mud properties to watch in high-angle wells,
Oil & Gas
Journal, november, p. 64 – 70, 1990.
Referências Bibliográficas 163
HEMPHILL, T.; RAVI, K. Calculation of drillpipe rotation effects on fluids in axial flow: an
engineering aproach,
SPE Annual Technical Conference, Dallas, Texas, 9 a 12 de
outubro, 2005.
HERSCHEL, W. H.; BULKLEY, R. Measurement of consistency as applied to rubber-
benzene solutions,
Proc. ASTM, 26, p. 621 – 630, 1926.
HUGHES, T. I.; JONES, T .G. J.; HOUWENM O. H. Chemical characterization of CMC and
its relationship to drilling-mud rheology and fluid loss,
SPE Drilling & Completion,
setembro, p. 157 – 164, 1993.
IYOHO, A. W. Drilled cuttings transport by non-Newtonian drilling fluids through inclined,
excentric anulli,
Tese de Doutorado, Tulsa University, Estados Unidos, 1980.
JAYANTI, S.; WOLF, A.; HEWITT, G. F. Flow development in vertical anular flow,
Chemical Engineering Science, 56, p. 3221 – 3235, 2001.
JONES, T. E. R.; GRAHAM, D. I. Settling and transport of spherical particles in power-law
fluids at finite Reynolds number,
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 54, p.
465 – 488, 1994.
JOSEPH, D. D.; GARCÍA, F.; GARCÍA, R.; PADRINHO, J. C.; MATA, C.; TRALLERO, J.
L. Power law and composite power law friction factor correlations for laminar and
turbulent gas – liquid flow in horizontal pipelines,
International Journal of Multiphase
flow, 29, p. 1605 – 1624, 2003.
JOSEPH, D. D.; KO, T.; CHOI, H. G.; BAI, R. Finite element method simulation of turbulent
wavy core-annular flows using k-
turbulence model method, International Journal of
Multiphase flow, 28, p. 1205 – 1222, 2002.
LANGHAAR, H. L. Steady flow in the transition length of a straight tube,
Journal of Applied
Mechanics, 9, 55 – 58, 1942.
Referências Bibliográficas 164
LEGRAND, J.; PRUVOST, J.; LEGENTILHOMME, P.; FEUGA, A. M. Lagrangian
trajectory model for turbulent swirling flow in an annular cell: comparison with
residence time distribution measurements,
Chemical Engineering Science, 57, p.
1205 – 1215, 2002.
LOCKET, T. J. Numerical simulation of inelastic non-Newtonian fluid flow in annuli,
Tese
de Doutorado, University of London, Londres, 1992.
LU, X. Y.; LIU, N. S. Large eddy simulation of turbulent flows in a rotating concentric
annular channel,
International Journal of Heat and Fluid Flow, 26, p. 378 – 392, 2005.
KEE, D. D.; KIM, Y. D.; ZHU, H. Non-Newtonian fluids with a yield stress,
Journal of
non-Newtonian fluid mechanics, 129, p. 177 – 181, 2005.
McCANN, R. C.; QUIGLEY, M. S.; ZAMORA, M.; SLATER, K. S. Effects of high-speed
pipe rotation on pressures in narrow annuli, SPE Drilling & Completion, junho, p. 96 –
103, 1995.
MAGLIONE, R. New method determines flow regime and pressure losses during drilling and
cementing,
Oil & Gas Journal, 93(36), p. 94 –101, 1995.
MAGLIONE, R.; GUARNERI, A.; FERRARI, G. Rheologic and hydraulic parameter
integration improves drilling operations,
Oil & Gas Journal, fevereiro, p. 44 – 48,
1999.
MALISKA, C. R. Transferência de calor e mecânica dos fluidos computacional: fundamentos
e coordenadas generalizadas, Rio de Janeiro, Editora LTC, 472 p., 1995.
MANGLIK, R. M.; FANG, P.; JOG, M. A. Characteristics of laminar viscous shear-thinning
fluid flows in eccentric annular channels,
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics,
84, p.1 – 17, 1999.
MARTINS, A. L. Modelagem e simulação do escoamento axial anular de mistura sólido-
fluido não-Newtoniano em dutos horizontais e inclinados,
Dissertação de Mestrado,
Referências Bibliográficas 165
Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, Brasil, 102
p., 1990.
MARTINS, A. L.; CAMPOS, W.; MARAVILHA, C.; SATINK, H. E BAPTISTA, J. M.
Effect of non-Newtonian behaviour of fluids in the erosion of a cuttings bed in
horizontal oilwell drilling,
Hydrotransport, 14, p. 333 – 346, 1999.
MARTINS, A. L.; ARAGÃO, A. F. L.; CALDERON, A.; LEAL, R. A. F.; MAGALHÃES, J.
V. M.; SILVA, R. A. Hydraulic limits for drilling and completion long horizontal
deepwatter wells,
SPE International Thermal Operations and Heavy Oil Symposium,
Bakersfield, California, 16 – 18 março, 2004.
MELO, F. R. G. Utilização de câmera de alta velocidade no estudo da dinâmica de esferas em
líquidos,
Dissertação de Mestrado, Faculdade de Engenharia Química, Universidade
Federal de Uberlândia, Brasil, 104 p., 2003.
METZNER, A. B.; REED, J. C. Flow of non-Newtonian fluids – Correlation of laminar,
transition and turbulet flow regions. AIChE Journal, 1, p. 434 – 440, 1955.
MEURIC, O. F. J.; FISHER, K. A.; WAKEMAN, R. J.; CHIU, T. W. Numerical flow
simulation of viscoplastic fluids in annuli,
The Canadian Journal of Chemical
Engineering, 76, p. 27 – 40, 1998.
MEURIC, O. F. J.; FISHER, K. A.; WAKEMAN, R. J.; CHIU, T. W. Numerical modeling of
cake formation and fluid loss from non-Newtonian muds during drilling using
eccentric/concentric drill strings with/without rotation,
Trans IChemE, 78, p. 707 –
714, 2000.
MISHRA, P.; REED, J. C. Transition from laminar to turbulent flow of purely viscous non-
Newtonian fluids in tubes,
Chemical Engineering Science, 26, p. 915 – 920, 1971.
MYERS, R. H.
Response surface methodology. New York, Academic Press, 1976, 246 p.
Referências Bibliográficas 166
MOHANTY, A. K.; ASTHANA, S. B. L. Laminar flow in the entrance region of a smooth
pipe,
Journal of Fluid Mechanics, 90, p. 433 – 447, 1978.
MORTON, K., BOMAR, B., SCHILLER, M., GALLET, J., AZAR, S., DYE, W.,
DAUGEREAU, K., HANSEN, N., OTTO, M., LEAPER, R.; SHOULTS, L. Selection
and evaluation criteria for high-performance drilling fluids,
SPE Annual Technical
Conference, p. 1 – 13, Dallas, Texas, 9 a 12 outubro, 2005.
MOWLA, R.; NADERI, A. Experimental study of drag reduction by a polymeric additive in
slug two-phase flow of crude oil and air in horizontal pipes,
Chemical Engineering
Science, 61, p. 1549 – 1554, 2006.
MÜLLER, A. J.; SÁEZ, A. E.; PÉREZ, R. M.; SIQUIER, S.; RAMÍREZ, N. Non-Newtonian
annular vertical flow of sand suspensions in aqueous solutions of guar gum,
Journal of
Petroleum Science and Engineering, 44, p. 317 – 331, 2004.
NEOFYTOU, P.; DRIKAKIS, D. Non-Newtonian flow instability in a channel with sudden
expansion,
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 111, p. 127 – 150, 2003.
NOURI, J. M.; UMUR, H.; WHITELAW, J. H. Flow of Newtonian and non-Newtonian
fluids in concentric and eccentric annuli,
Journal of Fluid Mechanics, 253, p. 617 –
641, 1993.
NOURI, J. M.; WHITELAW, J. H. Flow of Newtonian and non-Newtonian fluids in eccentric
annulus with rotation of the inner cylinder,
International Journal of Heat and Fluid
Flow, 18, p. 236 – 246, 1997.
OUDEMAN, P., BACARREZA, L. J. Field trial results of annular pressure behavior in a
high-pressure / high-temperature well,
SPE Drilling & Completion, junho, p. 84 – 88,
1995.
OWEN, I.; FYRIPPI, I., ESCUDIER, M. P. Flowmetering of non-Newtonian liquids,
Flow
Measurement and Instrumentation, 15, p. 131 – 138, 2004.
Referências Bibliográficas 167
OZBAYOGLU, M. E.; MISKA, S. Z.; REED, T., TAKACH, N. Using foam in horizontal
well drilling: a cutting transport modeling approach,
Journal of Petroleum Science and
Engineering, 46, p. 267 – 282, 2005.
PAES, P.; AJIKOBI, F., CHEN, D. C. K. Challenges in drilling in Campos basin,
SPE
Annual Technical Conference, Dallas, Texas, 9 – 12 dezembro, 2005.
PATANKAR, S. V.,
Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, New York, Hemisphere
Publishing Corporation, 197 p., 1980.
PEREIRA, F. A. R. Estudo do movimento de partículas em fluidos pseudoplásticos:
coeficiente de arraste e efeito de parede,
Dissertação de Mestrado, Faculdade de
Engenharia Química, Universidade Federal de Uberlândia, Brasil, 63 p., 1999.
PINHO, F. T.; WHITELAW, J. H. Flow of non-Newtonian fluids in a pipe,
Journal of non-
Newtonian Fluid Mechanics, 34, p. 239 – 144, 1990.
PLANK, J. P. Water based muds using synthetic polymers developed for high-temperature
drilling,
Oil & Gas Journal, 90, p. 40 – 45, 1992.
PLLEHVART, A. A.; LARSEN, T. I.; AZAR, J. J. Development of a new cuttings-transport
model for high-angle wellbores including horizontal wells,
SPE Drilling &
Completion, junho, p. 129 – 135, 1997.
QUDAIHY, D. S.; AL-NUGHAIMISH, F. N.; SUNBUL, A. H.; ANSARI, A. A.;
HENBLING, D. E.; AL-FARAJ, O. A.; VOLL, B. A. Improving horizontal-well
productivity using novel technology and optimization of drilling fluid,
SPE Drillling &
Completion, setembro, p. 205 – 208, 2005.
RAJU, K. V. S. N.; KRISHNAM D.; RAMADEVU, G.; REDDY, P. J.; YASSEN, M.
Assessment of applicability of Carreau, Ellis and Cross models to the viscosity data of
resin solutins,
Journal of Applied Polymer Science, 48, p. 2101 – 2112, 1993.
Referências Bibliográficas 168
RAMADAN, A.; SKALLE, P.; JOHANSEN, S. T.; SVEIN, J.; SAASEN, A. Mechanistic
model for cutting removal from solid bed in inclined channels,
Journal of Petroleum
Science and Engineering, 30, p. 129 – 141, 2001.
RAMADAN, A.; SAASEN, A.; SKALLE, P. Application of the minimum transport velocity
model for drag-reducing polymers,
Journal of Petroleum Science and Engineering, 44,
p.303 – 316, 2004.
RAYN, N. W.; JOHNSON, M. M. Transition from laminar to turbulent flow in pipes,
AIChE
Journal, 5(4), p. 433 – 435, 1959.
RENARDY, M. On the mechanism of drag reduction,
Journal of non-Newtonian Fluid
Mechanics, 59, p. 93 – 101, 1995.
REYNOLDS, O. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the
determination of the criterion,
Philos. Trans. R. Soc., London, p.123 – 161, 1884.
RICHARDSON, L. F. The approximate arithmetical solution by finite difference of physical
problems involving diferential equations, with an application to the stress in a masonry
dam,
Philos. Trans. Roy. Soc. London, 210, p. 307 – 357, 1910.
RICHTMYER, R.; MORTON, K.
Difference Methods for Initial Value Problems, New York,
Cambridge University Press, 2
nd
edition, 1967, 239 p.
ROBERTSON, R. E.; STIFF, H. A. An improved mathematical model for relating shear
stress to shear rate in drilling fluids and cement slurries,
Soc. Pet. Eng. Journal, 16(1),
p. 31 – 36, 1976.
RUDMAN, M. BLACKBURN, H. M.; GRAHAM, L. J. W.; PULLUM, L. Turbulent pipe
flow of shear-thinnig fluids,
Journal of non-Newtonian Fluid Mechanics, 118, p. 33 –
48, 2004.
Referências Bibliográficas 169
SHARIF, M. A.; HUSSAIN, Q. E. Viscoplastic fluid flow in irregular eccentric annuli due to
axial motion of the inner pipe,
The Canadian Journal of Chemical Engineering, 75, p.
1028 – 1045, 1997.
SHARIF, M. A.; HUSSAIN, Q. E. Numerical modeling of helical flow of pseudoplastic
fluids,
Numerical Heat Transfer, 38, p. 225 – 241, 2000.
SHARIF, M. A.; HUSSAIN, Q. E. Numerical modeling of helical flow of viscoplastic fluids
in eccentric annuli,
AIChE Journal, 46, n. 10, p. 1937 – 1946, 2000.
SHARMA, V. P.; MATHO, V. Rheological study of a water based oil well drilling fluid,
Journal of Petroleum Science and Engineering, 45, p.123 – 128, 2004.
SIFFERMAN, T. R.; MAYERS, G. M.; HADEN, E. L.; WAHL, H. A. Drill-cutting transport
in full-scale vertical annuli,
Journal of Petroleum Technology, novembro, p. 1295 –
1302, 1974.
SIGINER, D. A.; BAKHTIYAROV, A. I. Flow of drilling fluids in eccentric annuli,
Journal
of non-Newtonian Fluid Mechanics, 78, p.119 – 132, 1998.
SILVA, M.A.L., Simulação de Escoamentos Aerodinâmicos Turbulentos e Compressíveis,
Usando os Modelos de Euler, de Navier-Stokes e o de Baldwin-Lomax,
Dissertação de
Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia - MG, 145p., 1996.
SILVA, M. G. P.; MARTINS, A. L.; BARBOSA, B. C.; GARCIA, H. Designing fluid
velocity profiles for optimal primary cementing,
SPE Latin American Conference,
Trinidad-Tobago, 23 a 26 abril, 1996.
SPARLING, D. P.; WILLIAMSON, D. Mixed metal hidroxide mud improves drilling in
unstable shales,
Oil & Gas Journal, 89, p. 29 – 33, 1991.
TALMON, A. M.; HUISMAN, M. Fall velocity of particles in shear flow of drilling fluids,
Tunnelling and Underground Space Technology, 20, p. 193 – 201, 2005.
Referências Bibliográficas 170
TAN, K. K.; THORPE, R. B. Transient instability of the flow induced by an impulsively
started rotating cylinder,
Chemical Engineering Science, 58, p. 149 – 156, 2003.
TEHRANI, A. A.; BITTLESTON, S. H.; LONG, P. J. G. Flow instabilities during annular
displacement of one non-Newtonian fluid by another,
Experiments in Fluids 14, p.
246 – 256, 1993.
VERSTEEG, H. K.; MALALASEKERA, W.
An Introduction to Computational Fluid
Dynamics : The Finite Volume Method Approach, Indiana, Prentice Hall, 272 p.,
1996.
WALTON, R. B.; BITTLESTON, S. H. The axial flow of a Binghan plastic in narrow
eccentric annulus,
Journal of Fluid Mechanics, 222, p. 39 – 60, 1991.
XU, H.; KHATANIAR, S.;CHUKWU, G. A. Evaluation of rheological models and
application to flow regime determination,
Journal of Petroleum Science and
Engineering, 11, p. 155 – 164, 1994.
YASSEN, M.; HASEEBUDIN, S.; RAJU, K. V. S. N.; KRISHNA, D.; REDDY, P. J.
Temperature dependence of viscosity of polyurethane polyol solutions: application on
rheological models,
Journal of Applied Polymer Science, 59, p. 29 – 36, 1996.
ZAKHAROV, A. P.; KONOVALOV, E. A. Silicon-based additives improve mud rheology,
Oil & Gas Journal, agosto, p. 61 – 64,1992.
Apêndices 171
APÊNDICES
Apêndices 172
APÊNDICE A
GEOMETRIA CONE-PRATO DO VISCOSÍMETRO DE BROOKFIELD
Apêndice A 173
A geometria cone–prato mostrada na Figura A.1 é um arranjo experimental para medida
de viscosidade e outras propriedades reológicas como tensão cisalhante e taxa de deformação.
Para se estimar valores destas propriedades é necessário relacioná-las analiticamente com as
variáveis inerentes à geometria do arranjo.
Figura A.1: Geometria cone–prato.
O ângulo
o
é geralmente utilizado em instrumentos comerciais dentro da faixa de 0,5 a 8
graus. A simples análise da geometria faz uso do fato de que o ângulo
o
é tão pequeno que uma
aproximação pode ser aplicada, considerando o fluido localizado entre pratos paralelos. A partir
desta constatação e trabalhando com as variáveis geométricas pode-se relacionar por exemplo a
velocidade angular W e a componente da taxa de deformação:
sen 1
sen
o
v
W
v
rr
(A.1)
sendo que
1
/2
/2
vWr
relação entre o torque e a componente da tensão cisalhante :
3
3
2
R
(A.2)
sendo que
2
2
00
r d
R
dr
(A.3)
Relação dando a viscosidade em termos da velocidade angular W e o torque :
3
3
2
o
R
W
(A.4)
Esta geometria foi utilizada durante os ensaios devido a sua precisão e ajuste a cada tipo de
fluido.
Apêndice A 174
O ajuste de hit point é um procedimento de re-calibração da distância ideal entre o cone e
o prato do reômetro para determinações de propriedades reológicas. Para a aferição do
viscosímetro inicia-se com o acoplamento do cone (spindle) ao eixo. Em seguida acopla-se o
prato com o travamento pela haste fixadora. A Figura A.2 apresenta um esquema do
posicionamento das partes descritas.
Figura A.2: Posicionamento do cone e prato do reômetro.
Inicia-se então a programação de acionamento para uma rotação de 10 RPM. Posiciona-se
anel de ajuste com movimento no sentido horário pelo até o equipamento indicar a leitura de 0,0
na escala de torque (em porcentagem), conforme detalhes da Figura A.3. Na sequência
realizam-se pequenos incrementos, de uma escala em relação a marca de referência, no anel de
ajuste no sentido anti-horário. Deve-se aguardar entre movimentos um período de 6 segundos.
Quando o display do equipamento registrar uma variação significativa para o torque (acima de 10
%) o ponto de toque ou hit point foi identificado. A seguir procede-se com o recuo de exatamente
de uma escala no anel de ajuste. Com isso estará definido o espaçamento apropriado (0,013 mm)
entre o cone e o prato para as determinações de viscosidade.
É recomendado pelo fabricante a aferição periódica do hit point visando manter o
equipamento ajustado para determinações de viscosidade com variações inferiores a 5 %. Outra
sugestão do fabricante é a aferição do equipamento com uso dos fluido padrão Brookfield.
Apêndice A 175
Figura A.3: Procedimento de incrementos no anel de ajuste para identificar o hit point.
Apêndice B 176
APÊNDICE B
RESULTADOS DE SIMULADOS NUMÉRICA A PARTIR DAS
CONDIÇÕES EXPERIMENTAIS
Apêndice B 177
Teste complementar com base no planejamento concêntrico para condição (15).
0,25 %; 1,2 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.1: Contornos de velocidade axial.
Figura B.2: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.3: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 178
Planejamento concêntrico para condição (15).
0,25 %; 1,2 m
3
/h e 300 RPM.
Figura B.4: Contornos de velocidade axial.
Figura B.5: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.6: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 179
Teste complementar com base no planejamento concêntrico para condições (1) e (7).
0,31 %; 0,6 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.7: Contornos de velocidade axial.
Figura B.8: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.9: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 180
Planejamento concêntrico para condição (1).
0,31 %; 0,6 m
3
/h e 120 RPM.
Figura B.10: Contornos de velocidade axial.
Figura B.11: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.12: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 181
Planejamento concêntrico para condição (7).
0,31 %; 0,6 m
3
/h e 480 RPM.
Figura B.13: Contornos de velocidade axial.
Figura B.14: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.15: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 182
Teste complementar com base no planejamento concêntrico para condições (4) e (8).
0,31 %; 1,8 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.16: Contornos de velocidade axial.
Figura B.17: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.18: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 183
Planejamento concêntrico para condição (8).
0,31 %; 1,8 m
3
/h e 120 RPM.
Figura B.19: Contornos de velocidade axial.
Figura B.20: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.21: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 184
Planejamento concêntrico para condição (4).
0,31 %; 1,8 m
3
/h e 480 RPM.
Figura B.22: Contornos de velocidade axial.
Figura B.23: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.24: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 185
Teste complementar com base no planejamento concêntrico para condição (11).
0,40 %; 0,2 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.25: Contornos de velocidade axial.
Figura B.26: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.27: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 186
Planejamento concêntrico para condição (4).
0,40 %; 0,2 m
3
/h e 300 RPM.
Figura B.28: Contornos de velocidade axial.
Figura B.29: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.30: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 187
Planejamento concêntrico para condição (13).
0,40 %; 1,2 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.31: Contornos de velocidade axial.
Figura B.32: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.33: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 188
Planejamento concêntrico para condição (5) = (10) = (17).
0,40 %; 1,2 m
3
/h e 300 RPM.
Figura B.34: Contornos de velocidade axial.
Figura B.35: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.36: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 189
Planejamento concêntrico para condição (14).
0,40 %; 1,2 m
3
/h e 600 RPM.
Figura B.37: Contornos de velocidade axial.
Figura B.38: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.39: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 190
Teste complementar com base no planejamento concêntrico para condição (12).
0,40 %; 2,2 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.40: Contornos de velocidade axial.
Figura B.41: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.42: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 191
Planejamento concêntrico para condição (14).
0,40 %; 2,2 m
3
/h e 300 RPM.
Figura B.43: Contornos de velocidade axial.
Figura B.44: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.45: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 192
Teste complementar com base no planejamento concêntrico para condições (2) e (6).
0,49 %; 0,6 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.46: Contornos de velocidade axial.
Figura B.47: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.48: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 193
Planejamento concêntrico para condição (6).
0,49 %; 0,6 m
3
/h e 120 RPM.
Figura B.49: Contornos de velocidade axial.
Figura B.50: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.51: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 194
Planejamento concêntrico para condição (2).
0,49 %; 0,6 m
3
/h e 480 RPM.
Figura B.52: Contornos de velocidade axial.
Figura B.53: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.54: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 195
Teste complementar com base no planejamento concêntrico para condições (3) e (9).
0,49 %; 1,8 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.55: Contornos de velocidade axial.
Figura B.56: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.57: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 196
Planejamento concêntrico para condição (3).
0,49 %; 1,8 m
3
/h e 120 RPM.
Figura B.58: Contornos de velocidade axial.
Figura B.59: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.60: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 197
Planejamento concêntrico para condição (9).
0,49 %; 1,8 m
3
/h e 480 RPM.
Figura B.61: Contornos de velocidade axial.
Figura B.62: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.63: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 198
Teste complementar com base no planejamento concêntrico para condição (16).
0,55 %; 2,2 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.64: Contornos de velocidade axial.
Figura B.65: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.66: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 199
Planejamento concêntrico para condição (16).
0,55 %; 2,2 m
3
/h e 300 RPM.
Figura B.67: Contornos de velocidade axial.
Figura B.68: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.69: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 200
Teste complementar com base no planejamento excêntrico para condição (15).
0,25 %; 1,2 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.70: Contornos de velocidade axial.
Figura B.71: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.72: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 201
Planejamento excêntrico para condição (15).
0,25 %; 1,2 m
3
/h e 300 RPM.
Figura B.73: Contornos de velocidade axial.
Figura B.74: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.75: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 202
Teste complementar com base no planejamento excêntrico para condição (1) e (7).
0,31 %; 0,6 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.76: Contornos de velocidade axial.
Figura B.77: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.78: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 203
Planejamento excêntrico para condição (1).
0,31 %; 0,6 m
3
/h e 120 RPM.
Figura B.79: Contornos de velocidade axial.
Figura B.80: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.81: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 204
Planejamento excêntrico para condição (7).
0,31 %; 0,6 m
3
/h e 480 RPM.
Figura B.82: Contornos de velocidade axial.
Figura B.83: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.84: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 205
Teste complementar com base no planejamento excêntrico para condição (8) e (4).
0,31 %; 1,8 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.85: Contornos de velocidade axial.
Figura B.86: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.87: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 206
Planejamento excêntrico para condição (8).
0,31 %; 1,8 m
3
/h e 120 RPM.
Figura B.88: Contornos de velocidade axial.
Figura B.89: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.90: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 207
Planejamento excêntrico para condição (4).
0,31 %; 1,8 m
3
/h e 480 RPM.
Figura B.91: Contornos de velocidade axial.
Figura B.92: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.93: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 208
Teste complementar com base no planejamento excêntrico para condição (11).
0,40 %; 0,2 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.94: Contornos de velocidade axial.
Figura B.95: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.96: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 209
Planejamento excêntrico para condição (11).
0,40 %; 0,2 m
3
/h e 300 RPM.
Figura B.97: Contornos de velocidade axial.
Figura B.98: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.99: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 210
Planejamento excêntrico para condição (13).
0,40 %; 1,2 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.100: Contornos de velocidade axial.
Figura B.101: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.102: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 211
Planejamento excêntrico para condição (5) = (10) = (17).
0,40 %; 1,2 m
3
/h e 300 RPM.
Figura B.103: Contornos de velocidade axial.
Figura B.104: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.105: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 212
Planejamento excêntrico para condição (14).
0,40 %; 1,2 m
3
/h e 600 RPM.
Figura B.106: Contornos de velocidade axial.
Figura B.107: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.108: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 213
Teste complementar com base no planejamento excêntrico para condição (12).
0,40 %; 2,2 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.109: Contornos de velocidade axial.
Figura B.110: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.111: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 214
Planejamento excêntrico para condição (12).
0,40 %; 2,2 m
3
/h e 300 RPM.
Figura B.112: Contornos de velocidade axial.
Figura B.113: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.114: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 215
Teste complementar com base no planejamento excêntrico para condição (6) e (2).
0,49 %; 0,6 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.115: Contornos de velocidade axial.
Figura B.116: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.117: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 216
Planejamento excêntrico para condição (6).
0,49 %; 0,6 m
3
/h e 120 RPM.
Figura B.118: Contornos de velocidade axial.
Figura B.119: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.120: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 217
Planejamento excêntrico para condição (2).
0,49 %; 0,6 m
3
/h e 480 RPM.
Figura B.121: Contornos de velocidade axial.
Figura B.122: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.123: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 218
Teste complementar com base no planejamento excêntrico para condição (3) e (9).
0,49 %; 1,8 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.124: Contornos de velocidade axial.
Figura B.125: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.126: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 219
Planejamento excêntrico para condição (3).
0,49 %; 1,8 m
3
/h e 120 RPM.
Figura B.127: Contornos de velocidade axial.
Figura B.128: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.129: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 220
Planejamento excêntrico para condição (9).
0,49 %; 1,8 m
3
/h e 480 RPM.
Figura B.130: Contornos de velocidade axial.
Figura B.131: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.132: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 221
Teste complementar com base no planejamento excêntrico para condição (16).
0,55 %; 1,2 m
3
/h e 0 RPM.
Figura B.133: Contornos de velocidade axial.
Figura B.134: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.135: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 222
Planejamento excêntrico para condição (16).
0,55 %; 1,2 m
3
/h e 300 RPM.
Figura B.136: Contornos de velocidade axial.
Figura B.137: Perfis axiais de comprimento de entrada e de queda de pressão.
Figura B.138: Perfis radiais de velocidades.
Apêndice B 223
APÊNDICE C
PLANILHAS DE RESULTADOS EXPERIMENTAIS
Apêndice C 224
Figura B.139: Planilha de dados experimentais para goma xantana a 0,25% em arranjo
concêntrico.
Figura B.140: Planilha de dados experimentais para goma xantana a 0,31% em arranjo
concêntrico.
Apêndice C 225
Figura B.141: Planilha de dados experimentais para goma xantana a 0,40% em arranjo
concêntrico.
Figura B.142: Planilha de dados experimentais para goma xantana a 0,40% em arranjo
concêntrico (réplicas do ponto central).
Apêndice C 226
Figura B.143: Planilha de dados experimentais para goma xantana a 0,49% em arranjo
concêntrico.
Figura B.144: Planilha de dados experimentais para goma xantana a 0,55% em arranjo
concêntrico.
Apêndice C 227
Figura B.145: Planilha de dados experimentais para goma xantana a 0,25% em arranjo
excêntrico.
Figura B.146: Planilha de dados experimentais para goma xantana a 0,31% em arranjo
excêntrico.
Apêndice C 228
Figura B.147: Planilha de dados experimentais para goma xantana a 0,40% em arranjo
excêntrico.
Figura B.148: Planilha de dados experimentais para goma xantana a 0,40% em arranjo
excêntrico (réplicas do ponto central).
Apêndice C 229
Figura B.149: Planilha de dados experimentais para goma xantana a 0,49% em arranjo
excêntrico.
Figura B.150: Planilha de dados experimentais para goma xantana a 0,55% em arranjo
excêntrico.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
