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Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Escola de Engenharia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil
Laboratório de Dinâmica Estrutural e Confiabilidade
CRITÉRIO CONSTITUTIVO PARA O DESLIZAMENTO COM
ATRITO AO LONGO DA FALHA SÍSMICA
Letícia Fleck Fadel Miguel
Tese de Doutorado
Porto Alegre,
Dezembro de 2005.
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ii
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL
CRITÉRIO CONSTITUTIVO PARA O DESLIZAMENTO COM
ATRITO AO LONGO DA FALHA SÍSMICA
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Federal
do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos para a obtenção do
título de Doutor em Engenharia.
Porto Alegre,
Dezembro de 2005.
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CDU-550.34(043)
M636c Miguel, Letícia Fleck Fadel
Critério constitutivo para o deslizamento com atrito ao longo da
falha sísmica / Letícia Fleck Fadel Miguel. – Porto Alegre, 2005.
Tese (doutorado) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
Escola de Engenharia. Programa de Pós-Graduação em Engenha-
ria Civil. Porto Alegre, RS, Brasil, 2005.
Orientador: Prof. Ph.D. Jorge Daniel Riera
1. Sismologia. 2. Métodos numéricos. 3. Geologia da engenha-
ria. I. Riera, Jorge Daniel, orient. II. Título.
iii
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL
CRITÉRIO CONSTITUTIVO PARA O DESLIZAMENTO COM
ATRITO AO LONGO DA FALHA SÍSMICA
Esta tese de doutorado foi julgada adequada para a obtenção do título de DOUTOR EM
ENGENHARIA e aprovada em sua forma final pelo professor orientador e pelo Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
Porto Alegre, 20 de dezembro de 2005.
Prof. Jorge Daniel Riera
Ph.D. pela University of Princeton / EUA
Orientador
Prof. Fernando Schnaid
Coordenador do PPGEC / UFRGS
BANCA EXAMINADORA
Prof. Ignacio Iturrioz (PROMEC / UFRGS)
Dr. pelo PPGEC da Universidade Federal do Rio Grande do Sul / Brasil
Prof. Roberto Domingo Rios (PPGEC / UFRGS)
Dr. pelo PPGEC da Universidade Federal do Rio Grande do Sul / Brasil
Prof. Webe João Mansur (COPPE / UFRJ)
Ph.D. pela University of Southampton / Inglaterra
iv
Ao meu marido
Aos meus pais
v
AGRADECIMENTOS
Durante estes 3 anos e meio de Doutorado, foram muitas as pessoas que contribuíram
de uma forma direta ou indireta para a elaboração deste trabalho. Portanto, gostaria de deixar
registrado aqui o meu profundo e sincero agradecimento a todas elas.
De uma forma muito especial, agradeço e ressalto o meu orientador, Prof. Jorge Daniel
Riera, que acompanhou com muita dedicação e paciência todas as etapas desta tese, sempre
contribuindo com sugestões essenciais.
Agradeço a todos os professores e funcionários da Escola de Engenharia e do
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil (PPGEC/UFRGS), pelos ensinamentos.
Ao Prof. Ruy Carlos Ramos de Menezes, que além de professor, foi também um
amigo durante toda a realização deste trabalho.
Aos professores Ignacio Iturrioz, Roberto Domingo Rios e Marcelo Maia Rocha, pelas
sugestões valiosas dadas em determinadas etapas do trabalho. E ao pesquisador Luis Angel
Dalguer Gudiel, que mesmo estando distante, contribuiu com comentários e dicas
importantes.
A todos os professores e colegas do Laboratório de Dinâmica Estrutural e
Confiabilidade (LDEC), em especial ao amigo João Kaminski Junior, meu colega desde a
realização das disciplinas e companheiro de muitos trabalhos de pesquisa.
A toda a minha família e aos meus amigos e colegas pela amizade. Meus pais, Celina e
João, que sempre me deram apoio e me incentivaram a estudar, meu irmão Leandro, que
também é doutorando na área de estruturas. E em especial ao meu marido, o engenheiro
eletricista Rafael Boldori, por estar sempre ao meu lado, dando amor, carinho e compreensão.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), pela
bolsa de estudos concedida.
vi
RESUMO
MIGUEL, L.F.F. Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha
Sísmica. 2005. Tese (Doutorado em Engenharia Civil - Estruturas). Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Civil, UFRGS, Porto Alegre.
A dinâmica de propagação da ruptura durante terremotos é um dos assuntos mais
relevantes e complexos em Sismologia. Um critério constitutivo para a falha que descreva
corretamente a relação das variáveis estáticas (tensões normais e tangenciais) com as
variáveis cinéticas (deslocamentos e velocidades) na interface é necessário para efetuar uma
análise dinâmica confiável.
A fim de determinar um critério constitutivo para o deslizamento com atrito ao longo
da falha sísmica, primeiramente apresentam-se métodos para caracterizar as superfícies
deslizantes e discutem-se os principais critérios constitutivos que têm sido usados. Também
são apresentados os resultados de um estudo experimental realizado, evidenciando, para
sólidos metálicos em contato, uma lei constitutiva de variação do atrito com a velocidade.
Um modelo numérico tridimensional baseado no Método dos Elementos Discretos
(DEM) é usado para representar a região de rocha adjacente à falha. O modelo consiste de
uma estrutura tridimensional periódica com massas concentradas nos nós, interconectadas por
elementos visco-elásticos unidimensionais.
Inicialmente, de acordo com modelos usuais em Sismologia, admite-se que o material
é elástico, linear e homogêneo. Em uma segunda análise, a influência da não-homogeneidade
do material é avaliada considerando que a massa específica, o módulo de Young e o
coeficiente de atrito são campos aleatórios Gaussianos correlacionados. Na análise seguinte, o
efeito da fratura na região de rocha adjacente à falha é também numericamente avaliado. Por
fim, a influência de ruptura de micro-asperezas nas superfícies deslizantes é analisada.
vii
Através de simulação de Monte Carlo, as relações constitutivas macro (ou globais)
para a falha são obtidas, admitindo como leis constitutivas micro (ou locais) os dois critérios
mais usados em Sismologia: a lei de variação do atrito com a velocidade e a lei de variação do
atrito com o deslizamento. Quando os blocos de rocha são admitidos serem elásticos e
homogêneos não há um efeito de escala. Novamente, quando a rocha é considerada não-
homogênea não há um efeito de escala significativo, apenas pequenas variações nos
parâmetros das leis constitutivas macro em relação às leis micro são percebidas, exceto pela
influência do campo aleatório do coeficiente de atrito, o qual apresenta um efeito de escala
perceptível. A ocorrência de fratura nas proximidades da falha não causa modificações
significativas nas leis constitutivas macro, apenas causa algumas oscilações em torno da lei
sem fratura. Finalmente, obtém-se um critério constitutivo macro que leva em consideração a
ruptura por cisalhamento das micro-asperezas nas superfícies deslizantes. O modelo é
chamado lei modificada de variação do atrito com a velocidade e é considerado um critério
constitutivo mais geral.
Palavras-chave: falha sísmica; critério constitutivo; deslizamento com atrito.
viii
ABSTRACT
MIGUEL, L.F.F. Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha
Sísmica. 2005. Tese (Doutorado em Engenharia Civil - Estruturas). Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Civil, UFRGS, Porto Alegre.
The dynamics of rupture propagation during earthquakes is one of the most relevant
and complex issues in Seismology. A constitutive criterion for the fault that correctly
describes the relation between the static variables (normal and tangential stresses) and the
kinetic variables (displacements and velocities) on the interface is needed for a reliable
dynamic analysis.
In order to determine a constitutive criterion for sliding with friction along the seismic
fault, methods to characterize the sliding surfaces are initially presented and the main
constitutive criteria that have been used are discussed. Results of an experimental study on
friction between metallic solids, which furnishes evidence in favor a velocity-weakening law,
are also presented.
A three-dimensional numerical model based on the Discrete Element Method (DEM)
is used to represent the rock region adjacent to the fault. The model consists of a three-
dimensional periodic structure with nodal lumped masses, interconnected by uni-dimensional
visco-elastic elements.
Initially, in accordance with usual models in Seismology, the material is assumed to be
linearly elastic and homogeneous. Next, the influence of non-homogeneous material
properties is evaluated by assuming that mass density, Young’s modulus and friction
coefficient are correlated Gaussian random fields. In the following analysis, the effect of
fracture within the rock region adjacent to the fault is also numerically evaluated. Finally, the
influence of micro-asperities rupture on the sliding surfaces is analyzed.
ix
By means of Monte Carlo simulation, the macro (or global) constitutive relations for
the fault are obtained, admitting for micro (or local) constitutive laws the two criteria more
used in Seismology: the velocity-weakening and the slip-weakening laws. When the rock
blocks are assumed to be linearly elastic and homogeneous there is no size effect. Again,
when the rock is considered non-homogeneous no significant size effect is observed, only
minor variations in the parameters of the macro constitutive laws in relation to the micro
constitutive laws are perceived, except for the influence of the friction coefficient random
field, which does present a perceptible size effect. Fracture occurrence in the proximities of
the fault does not cause significant modifications in the macro constitutive laws, it just causes
some oscillations around the law without fracture. Finally, a macro constitutive criterion that
takes into account the shear rupture of micro-asperities on the sliding surfaces is obtained.
The model is called modified velocity-weakening law and is considered a more general
constitutive criterion.
Key-words: seismic fault; constitutive criterion; sliding with friction.
x
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS..........................................................................................................XIV
LISTA DE TABELAS......................................................................................................XXIV
LISTA DE SÍMBOLOS ...................................................................................................XXVI
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................1
1.1 GENERALIDADES.........................................................................................................1
1.2 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ...............................................................................2
2 APLICAÇÃO DA TEORIA DE CAMPOS ALEATÓRIOS NA
CARACTERIZAÇÃO DE SUPERFÍCIES........................................................................5
2.1 JUSTIFICATIVA .............................................................................................................5
2.2 HISTÓRICO DA CARACTERIZAÇÃO DE SUPERFÍCIES.........................................6
2.3 TIPO DE PERFIL DE SUPERFÍCIE ANALISADO.......................................................8
2.4 FUNDAMENTOS DE CAMPOS ALEATÓRIOS ........................................................11
2.5 RESULTADOS DE ANÁLISES DE PERFIS DE SUPERFÍCIES ...............................16
2.6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO.....................................................................................21
2.6.1 Programa Superfície ................................................................................................21
2.6.2 Programa Cidade .....................................................................................................25
2.7 COMENTÁRIOS FINAIS .............................................................................................28
3 SUPERFÍCIE DE FRATURA EM MATERIAIS FRÁGEIS .........................................30
3.1 EQUIPAMENTOS PARA CARACTERIZAR A SUPERFÍCIE ..................................30
3.2 PARÂMETROS DE CARACTERIZAÇÃO DA SUPERFÍCIE DE FRATURA .........33
3.2.1 Determinação de R
L
e R
S
.........................................................................................34
3.2.2 Determinação da Dimensão Fractal, D....................................................................35
xi
3.3 RESULTADOS DE TESTES EM SUPERFÍCIES DE CONCRETO ...........................36
3.4 CARACTERIZAÇÃO DA SUPERFÍCIE DE FRATURA DE ROCHAS....................38
3.4.1 Caracterização Através da Teoria de Campos Aleatórios .......................................40
3.4.2 Caracterização Através da Teoria de Fractais .........................................................48
3.4.3 Comentários Finais..................................................................................................55
4 CRITÉRIOS CONSTITUTIVOS EM DESLIZAMENTO COM ATRITO..................57
4.1 ASPECTOS GERAIS.....................................................................................................57
4.2 LEI CONSTITUTIVA PARA A RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO ..................59
4.2.1 Determinação de JCS ..............................................................................................62
4.2.2 Determinação de φ
b
e φ
r
...........................................................................................66
4.2.3 Determinação de JRC..............................................................................................70
4.3 COMPARAÇÃO DE DADOS PREDITOS E MEDIDOS ............................................76
4.4 FAIXA DE PICO DA RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO...................................79
4.5 EFEITO DA DILATAÇÃO NA ESTABILIDADE DA MASSA DE ROCHA............81
4.6 DESLOCAMENTO E RIGIDEZ DE PICO DE CISALHAMENTO............................86
4.7 EFEITO DE ESCALA....................................................................................................87
4.7.1 Procedimento Experimental ....................................................................................90
4.7.2 Características Gerais das Juntas.............................................................................90
4.7.3 Resultados Experimentais .......................................................................................94
4.7.4 Efeito de Escala no Deslocamento de Pico do Cisalhamento .................................97
4.7.5 Efeito de Escala na Dilatação de Pico .....................................................................98
4.7.6 Efeito de Escala em JRC .........................................................................................99
4.7.7 Efeito de Escala no Componente de Falha da Rugosidade ...................................100
4.7.8 Efeito de Escala no Tamanho e na Distribuição das Áreas de Contato.................101
4.7.9 Efeito de Escala em Diferentes Níveis de Tensão Normal....................................104
4.7.10 Soluções Práticas para o Problema de Efeito de Escala......................................109
4.8 CRITÉRIO CONSTITUTIVO ATUAL.......................................................................113
4.8.1 Preparação das Amostras de Rochas .....................................................................115
4.8.2 Descrição das Superfícies......................................................................................116
4.8.3 Resultados de Testes de Cisalhamento..................................................................117
4.8.4 Critério Atual para Obtenção do Pico da Resistência ao Cisalhamento................123
4.8.5 Quantificação Objetiva de JRC .............................................................................128
xii
5 CRITÉRIOS CONSTITUTIVOS APLICADOS À SISMOLOGIA.............................130
5.1 CRITÉRIO DE COULOMB ........................................................................................130
5.2 CRITÉRIO DE VARIAÇÃO DO ATRITO COM O DESLIZAMENTO...................132
5.3 CRITÉRIO DE VARIAÇÃO DO ATRITO COM A VELOCIDADE DE
DESLIZAMENTO..........................................................................................................135
5.4 CRITÉRIO DE VARIAÇÃO DO ATRITO COM O DESLIZAMENTO E
COM A VELOCIDADE DE DESLIZAMENTO ..........................................................136
5.5 CRITÉRIO DEPENDENTE DO DESLIZAMENTO, DA VELOCIDADE DE
DESLIZAMENTO E DO TEMPO.................................................................................137
5.6 EVIDÊNCIA EXPERIMENTAL SOBRE CRITÉRIOS CONSTITUTIVOS.............139
5.7 DEFICIÊNCIA ENCONTRADA NOS CRITÉRIOS ATUAIS ..................................142
6 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA REGIÃO DA FALHA SÍSMICA.............................146
6.1 DESCRIÇÃO SIMPLIFICADA DO PROGRAMA COMPUTACIONAL
DESENVOLVIDO .........................................................................................................146
6.2 DESCRIÇÃO DO MODELO.......................................................................................150
6.3 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO.............................................................................152
6.3.1 Lei Micro (ou Local) de Variação do Atrito com a Velocidade na Interface........154
6.3.2 Lei Micro (ou Local) de Variação do Atrito com o Deslizamento na
Interface ......................................................................................................................157
6.4 RELAÇÕES CONSTITUTIVAS PARA A FALHA ...................................................161
6.5 INFLUÊNCIA DE DIFERENTES EXCITAÇÕES.....................................................162
7 CARACTERÍSTICAS ALEATÓRIAS DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS
E APLICAÇÕES À RUPTURA DINÂMICA DA FALHA SÍSMICA........................168
7.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS......................................................................................168
7.2 FORMULAÇÃO TEÓRICA DO MÉTODO DE REPRESENTAÇÃO
ESPECTRAL..................................................................................................................169
7.3 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA REGIÃO ADJACENTE À FALHA
SÍSMICA ........................................................................................................................172
7.4 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO.............................................................................176
7.4.1 Lei Micro de Variação do Atrito com a Velocidade na Interface .........................176
7.4.2 Lei Micro de Variação do Atrito com o Deslizamento na Interface .....................181
7.5 RELAÇÕES CONSTITUTIVAS PARA A FALHA CONSIDERANDO NÃO-
HOMOGENEIDADES...................................................................................................185
xiii
8 INFLUÊNCIA DE FRATURA NA VIZINHANÇA DA FALHA SÍSMICA...............187
8.1 JUSTIFICATIVA E MÉTODOS PROPOSTOS..........................................................187
8.2 APLICAÇÕES DOS MÉTODOS PROPOSTOS.........................................................188
8.3 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO.............................................................................190
8.3.1 Lei Micro de Variação do Atrito com a Velocidade na Interface .........................190
8.3.2 Lei Micro de Variação do Atrito com o Deslizamento na Interface .....................196
9 INFLUÊNCIA DA RUPTURA DE ASPEREZAS NA SUPERFÍCIE DA
FALHA SÍSMICA ............................................................................................................200
9.1 JUSTIFICATIVA E MÉTODO PROPOSTO ..............................................................200
9.2 APLICAÇÕES DO MÉTODO PROPOSTO ...............................................................203
9.3 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO.............................................................................204
10 CONCLUSÕES FINAIS E SUGESTÕES PARA FUTUROS TRABALHOS ..........210
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...............................................................................214
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 2.1: Modelos de Superfícies Contendo Asperezas de Escalas de Tamanho
Diferentes................................................................................................................................7
FIGURA 2.2: Perfil de Superfície Analisado................................................................................9
FIGURA 2.3: Função de Autocorrelação e Densidade Espectral de Potência............................10
FIGURA 2.4: Modelo Usado na Dedução da Distribuição dos Picos: (a) Intervalo
amostral, e correlação, ρ = 0,10; (b) Intervalo amostral, e
correlação, ρ = 0,85 ..............................................................................................................11
*
β3,2=l
*
β16,0=l
FIGURA 2.5: Densidade de Probabilidade de uma Ordenada ser um Pico a uma Altura
y ............................................................................................................................................13
FIGURA 2.6: Modelo Usado na Dedução da Distribuição das Curvaturas: (a) Intervalo
amostral, e correlação, ρ = 0,10; (b) Intervalo amostral, e
correlação, ρ = 0,85 ..............................................................................................................14
*
β3,2=l
*
β16,0=l
FIGURA 2.7: Características dos Perfis Representados como um Campo Aleatório: (a)
Distribuição acumulada das alturas (papel de probabilidade normal); (b)
Correlação como uma função do intervalo amostral ............................................................17
FIGURA 2.8: Densidades de Probabilidade de uma Ordenada ser um Pico a uma
Altura y. As linhas cheias representam a teoria (equação (2.6)) e os círculos
representam os resultados experimentais: (a) = 15μm, ρ = 0,10; (b)
l
= 3,0μm,
ρ = 0,63; (c) l = 1,0μm, ρ = 0,86 ........................................................................................18
l
xiv
FIGURA 2.9: Características das Distribuições de Picos. A linha cheia fornece o valor
médio (equação (2.7)) e a linha tracejada fornece o desvio padrão (equação (2.8));
os triângulos e os círculos representam os resultados experimentais...................................19
FIGURA 2.10: Densidades de Probabilidade de uma Ordenada ser um Pico de uma
Dada Curvatura. As linhas cheias representam a teoria (equação (2.13)) e os
círculos fornecem os resultados experimentais (σ = 0,5μm, β
*
= 6,5μm): (a) =
15μm, ρ = 0,10; (b) = 3,0μm, ρ = 0,63; (c) =1,0μm, ρ = 0,86. A seta indica a
curvatura nominal da agulha.................................................................................................19
l
l l
FIGURA 2.11: Curvatura Média dos Picos como uma Função da Correlação Entre
Amostras Sucessivas. A linha cheia representa a teoria (equação (2.14)) e os
círculos (agulha normal com dimensão nominal de ponta de 2,5μm) e os triângulos
(agulha especial com dimensão nominal de ponta de 0,25μm) fornecem os
resultados experimentais (σ = 0,5μm, β
*
= 6,5μm)..............................................................20
FIGURA 2.12: Relação dos Picos com as Ordenadas como uma Função da Correlação
Entre Amostras Sucessivas. A linha cheia representa a teoria (equação (2.9)) e os
círculos (agulha normal com dimensão nominal de ponta de 2,5μm) e os triângulos
(agulha especial com dimensão nominal de ponta de 0,25μm) fornecem os
resultados experimentais.......................................................................................................21
FIGURA 2.13: Perfil de Superfície Gerado com o Programa Superfície ...................................22
FIGURA 2.14: Densidade de Probabilidade da Superfície Gerada ............................................22
FIGURA 2.15: Função de Autocorrelação da Superfície Gerada ...............................................23
FIGURA 2.16: Espectro de Potência da Superfície Gerada........................................................23
FIGURA 2.17: Função de Autocorrelação Média de 10000 Simulações da Superfície .............24
FIGURA 2.18: Espectro de Potência Médio de 10000 Simulações da Superfície......................24
FIGURA 2.19: Perfil de Cidade Gerado com o Programa Cidade .............................................25
FIGURA 2.20: Função de Autocorrelação da Cidade Gerada ....................................................26
FIGURA 2.21: Espectro de Potência da Cidade Gerada.............................................................26
FIGURA 2.22: Função de Autocorrelação Média de 10000 Simulações da Cidade ..................27
FIGURA 2.23: Espectro de Potência Médio de 10000 Simulações da Cidade...........................27
FIGURA 3.1: Nove Modelos de Perfis de Superfície de Concreto.............................................32
FIGURA 3.2: Perfis Obtidos com o Equipamento Laser para os Nove Tipos de
Superfície de Concreto da Figura 3.1 ...................................................................................32
xv
xvi
FIGURA 3.3: Escâner Laser 3-D Usado para Medir a Topografia de Superfícies.....................33
FIGURA 3.4: Exemplo de Superfície de Fratura e Parâmetros Caracterizando sua
Geometria .............................................................................................................................34
FIGURA 3.5: Exemplos de Perfis de Superfície de Fratura de Concreto Epóxi: (a)
Ampliação de 10x; (b) Ampliação de 160x..........................................................................37
FIGURA 3.6: Parâmetros de Caracterização das Superfícies em Função da Ampliação:
(a) Taxa de rugosidade do perfil; (b) Taxa de rugosidade da superfície; (c)
Dimensão fractal...................................................................................................................37
FIGURA 3.7: Taxa de Rugosidade da Superfície em Função da Taxa de Rugosidade
do Perfil ................................................................................................................................38
FIGURA 3.8: Altura da Rugosidade, y, Altura da Rugosidade Reduzida, y
r
, Regressão
Linear da Superfície, l, em relação a uma linha de base O-X...............................................43
FIGURA 3.9: Auto-Covariância e Variograma da Altura da Rugosidade Reduzida
versus o Comprimento de Retardo para um Certo Tamanho de Amostra............................44
FIGURA 3.10: Desvio Padrão da Altura da Rugosidade Reduzida versus o Tamanho
da Amostra............................................................................................................................46
FIGURA 3.11: Variância da Inclinação das Faces Planas versus o Tamanho da
Amostra.................................................................................................................................47
FIGURA 3.12: Desvio Padrão da Altura da Rugosidade Reduzida versus o
Comprimento do Perfil .........................................................................................................50
FIGURA 3.13: Desvios Padrões da Altura da Rugosidade Reduzida versus Janelas
com Tamanhos Iguais, mas Separações Diferentes..............................................................51
FIGURA 3.14: Lei Potencial que Relaciona σ
yr
e h de Dez Janelas de Amostragem
com Diferentes Tamanhos (de (a) 100x100mm a (j) 1000x1000mm) .................................53
FIGURA 3.15: Desvios Padrões da Altura da Rugosidade Reduzida versus o Tamanho
da Janela................................................................................................................................54
FIGURA 3.16: Relação entre a Dimensão Fractal e o Tamanho da Janela de
Amostragem..........................................................................................................................55
FIGURA 3.17: Relação entre o Parâmetro de Amplitude e o Tamanho da Janela de
Amostragem..........................................................................................................................55
FIGURA 4.1: Lei Constitutiva para a Resistência ao Cisalhamento ..........................................61
FIGURA 4.2: Relação do Número de Rebote com a Resistência à Compressão em
Função do Peso Específico da Rocha ...................................................................................64
FIGURA 4.3: Resultados de Richards (1975) para Sete Juntas Desgastadas em Arenito,
Testadas com Baixa Tensão Normal ....................................................................................67
FIGURA 4.4: Resultados Médios de Testes de Inclinação Residuais para Determinar
φ
b
para Rochas Não-desgastadas ..........................................................................................69
FIGURA 4.5: Valores Estimados de φ
r
a partir da Equação (4.7) Usando os Dados da
Figura 4.4..............................................................................................................................70
FIGURA 4.6: Exemplos de Rugosidades de Juntas Estudadas por Barton e Choubey
(1977)....................................................................................................................................71
FIGURA 4.7: Perfis de Rugosidade Correspondendo às Juntas da Figura 4.6, com suas
Respectivas Faixas de Valores de JRC.................................................................................72
FIGURA 4.8: Teste de Inclinação para Determinar o JRC de uma Superfície...........................73
FIGURA 4.9: Faixa de Aplicação de Testes de Inclinação e Testes de Empurrar/Puxar
para Determinar os Valores de JRC de Juntas......................................................................74
FIGURA 4.10: Resultados de Testes de Inclinação (Δ) e de Empurrar ( ) e os
Correspondentes Valores de Pico da Resistência ao Cisalhamento .....................................77
FIGURA 4.11: Pico da Arctan(τ
p
/σ
n
) Predito de Testes de Inclinação e de Empurrar
Comparado com os Valores Medidos de Testes de Cisalhamento Convencionais ..............78
FIGURA 4.12: Faixa de Valores do Pico da Resistência ao Cisalhamento para 136
Juntas Representando 8 Tipos Diferentes de Rochas ...........................................................80
FIGURA 4.13: Distribuição dos Ângulos de Dilatação de Pico e Iniciais e suas
Relações com a Componente de Rugosidade da Resistência ao Cisalhamento ...................82
FIGURA 4.14: Efeitos de Escala na Resistência ao Cisalhamento de Juntas de Diorito
de Quartzo.............................................................................................................................89
FIGURA 4.15: Tensão de Cisalhamento versus Deslocamento de Cisalhamento para
Juntas Modelo com Diferentes Rugosidades da Superfície..................................................91
FIGURA 4.16: Envoltórias do Pico da Resistência para Quatro Conjuntos de Juntas
Modelo..................................................................................................................................91
xvii
xviii
FIGURA 4.17: Juntas Modelo Mostrando Efeito da Rugosidade da Superfície (JRC) na
Dilatação...............................................................................................................................92
FIGURA 4.18: Efeito da Tensão Normal no Ângulo de Dilatação de Pico................................92
FIGURA 4.19: Variação do Pico Médio da Tensão de Cisalhamento com a Área da
Junta......................................................................................................................................95
FIGURA 4.20: Curvas do Modelo 1 (a) Tensão de Cisalhamento e (b) Dilatação.....................96
FIGURA 4.21: Curvas do Modelo 7 (a) Tensão de Cisalhamento e (b) Dilatação.....................96
FIGURA 4.22: Curvas do Modelo 11 (a) Tensão de Cisalhamento e (b) Dilatação...................97
FIGURA 4.23: Variação do Deslocamento de Pico do Cisalhamento com o Aumento
do Comprimento da Junta.....................................................................................................98
FIGURA 4.24: Variação do Ângulo de Dilatação de Pico com o Aumento do
Comprimento da Junta..........................................................................................................99
FIGURA 4.25: Variação Aparente de JRC com o Aumento do Comprimento da Junta..........100
FIGURA 4.26: Componentes Angulares da Resistência ao Cisalhamento para uma
Junta Ondulada ...................................................................................................................101
FIGURA 4.27: Efeito de Escala na Resistência à Compressão da Parede da Junta (JCS) .......103
FIGURA 4.28: Efeito de Escala no Coeficiente de Rugosidade da Junta (JRC) ......................103
FIGURA 4.29: Efeitos de Escala Experimentais em Forma Adimensional..............................104
FIGURA 4.30: Vários Efeitos de Escala em Diferentes Níveis de Tensão Normal .................105
FIGURA 4.31: Envoltórias Teóricas Ajustadas aos Dados Experimentais ..............................106
FIGURA 4.32: Os Três Componentes de Resistência ao Cisalhamento são Afetados
pelo Tamanho da Amostra em Vários Graus......................................................................106
FIGURA 4.33: Testes de Inclinação com Vários Blocos Indicam Resistência Mais Alta
que com um Único Bloco Grande ......................................................................................109
FIGURA 4.34: Teste de Inclinação para Obter um Valor de JRC Independente da
Escala..................................................................................................................................110
FIGURA 4.35: Teste de Puxar, Outro Método Simples de Obter um Valor de JRC
Independente da Escala.......................................................................................................111
FIGURA 4.36: Exemplo do Modelo Nº 1 Mostrando as Variações no Ângulo de
Inclinação da Rugosidade com o Tamanho do Passo.........................................................113
FIGURA 4.37: Variação da Resistência ao Cisalhamento com o Aumento da Carga
Normal ................................................................................................................................118
FIGURA 4.38: Variação de τ
p
/σ
n
com o Aumento da Carga Normal.......................................118
FIGURA 4.39: Cisalhamento de Réplicas de Serpentinita em 3 Direções Diferentes:
0°, 180° e 90°......................................................................................................................119
FIGURA 4.40: Distribuição Anisotrópica dos Valores de
r
*
max
Cθ
para a Superfície de
uma Réplica de Serpentinita ...............................................................................................119
FIGURA 4.41: Testes de Cisalhamento Executados em Amostras de Mármore Carrara.........121
FIGURA 4.42: Cisalhamento Múltiplo na Mesma Amostra de Serpentinita............................121
FIGURA 4.43: Cisalhamento Múltiplo na Mesma Amostra de Gnaisse ..................................122
FIGURA 4.44: Cisalhamento Múltiplo na Mesma Amostra de Granito...................................122
FIGURA 4.45: Comparação entre os Valores Obtidos de Testes de Cisalhamento e os
Calculados com a Equação (4.30) ......................................................................................125
FIGURA 4.46: Contribuição da Rugosidade para a Estimação da Resistência ao
Cisalhamento ......................................................................................................................126
FIGURA 4.47: Distribuição Anisotrópica dos Valores de φ
pico
Calculada Usando as
Equações (4.36) e (4.28) para uma Réplica de Serpentinita...............................................127
FIGURA 4.48: Comparação entre os Resultados Experimentais de Laboratório e o
Modelo Constitutivo Proposto na Equação (4.39)..............................................................128
FIGURA 5.1: Critério Constitutivo de Coulomb ......................................................................131
FIGURA 5.2: Critério Constitutivo de Variação do Atrito com o Deslizamento.....................132
FIGURA 5.3: Critério Constitutivo de Variação do Atrito com o Deslizamento
Simplificado........................................................................................................................133
FIGURA 5.4: Esquema Simplificado do Critério Constitutivo de Variação do Atrito
com o Deslizamento............................................................................................................134
FIGURA 5.5: Critério Constitutivo de Variação do Atrito com a Velocidade de
Deslizamento ......................................................................................................................136
xix
xx
FIGURA 5.6: Critério Constitutivo de Variação do Atrito com o Deslizamento e com a
Velocidade de Deslizamento ..............................................................................................137
FIGURA 5.7: Ciclos de Histerese com freq. = 0,5Hz, amp. = 4mm.........................................140
FIGURA 5.8: Energia Dissipada por Ciclo em Função da Amplitude .....................................140
FIGURA 5.9: Força de Atrito em Função da Velocidade de Deslizamento.............................141
FIGURA 5.10: Curva de Ajuste da Variação da Força de Atrito com a Velocidade de
Deslizamento – Equação Constitutiva Obtida ....................................................................141
Figura 5.11: Pulso Senoidal de Velocidade............................................................................142
FIGURA 5.12: Critério Constitutivo de Variação da Força de Atrito com o
Deslizamento ......................................................................................................................142
FIGURA 5.12: Critério Constitutivo de Variação da Força de Atrito com o
Deslizamento ......................................................................................................................143
FIGURA 5.13: Variação da Força de Atrito com o Tempo para as Duas Leis
Consideradas.......................................................................................................................144
FIGURA 6.1: Fluxograma Simplificado do Programa DEMASF ............................................147
FIGURA 6.2: (a) Módulo cúbico; (b) Prisma formado por vários módulos cúbicos; (c)
Lei constitutiva bi-linear; (d) Esquema de carga e descarga ..............................................148
FIGURA 6.3: Etapas até o Deslizamento..................................................................................149
FIGURA 6.4: Simulação da Falha Sísmica com o DEM..........................................................151
FIGURA 6.5: Tensões Aplicadas na Região da Falha ..............................................................152
FIGURA 6.6: Evolução com o Tempo da Tensão Normal Aplicada........................................153
FIGURA 6.7: Evolução com o Tempo da Tensão Tangencial Aplicada ..................................153
FIGURA 6.8: Lei Micro (ou Local) de Variação do Atrito com a Velocidade ........................154
FIGURA 6.9: Evolução com o Tempo da Tensão Tangencial Média na Interface ..................155
FIGURA 6.10: Evolução com o Tempo da Resistência ao Corte por Atrito Média na
Interface ..............................................................................................................................155
FIGURA 6.11: Evolução com o Tempo do Deslizamento Médio na Interface ........................156
FIGURA 6.12: Evolução com o Tempo da Velocidade Média na Interface ............................156
xxi
FIGURA 6.13: Evolução com o Tempo da Aceleração Média na Interface.............................156
FIGURA 6.14: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslizamento ................157
FIGURA 6.15: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade ....................157
FIGURA 6.16: Lei Micro (ou Local) de Variação do Atrito com o Deslizamento...................158
FIGURA 6.17: Evolução com o Tempo da Tensão Tangencial Média na Interface ................158
FIGURA 6.18: Evolução com o Tempo da Resistência ao Corte por Atrito Média na
Interface ..............................................................................................................................159
FIGURA 6.19: Evolução com o Tempo do Deslizamento Médio na Interface ........................159
FIGURA 6.20: Evolução com o Tempo da Velocidade Média na Interface ............................159
FIGURA 6.21: Evolução com o Tempo da Aceleração Média na Interface.............................160
FIGURA 6.22: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslizamento ................160
FIGURA 6.23: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade ....................160
FIGURA 6.24: Evolução com o Tempo das Cinco Tensões Tangenciais Aplicadas ...............163
FIGURA 6.25: Evolução com o Tempo das Tensões Tangenciais Médias na Interface ..........163
FIGURA 6.26: Evolução com o Tempo das Resistências ao Corte por Atrito Médias na
Interface ..............................................................................................................................164
FIGURA 6.27: Evolução com o Tempo dos Deslizamentos Médios na Interface....................164
FIGURA 6.28: Evolução com o Tempo das Velocidades Médias na Interface........................164
FIGURA 6.29: Evolução com o Tempo das Acelerações Médias na Interface........................165
FIGURA 6.30: Leis Macro de Variação do Atrito com o Deslizamento para Lei Micro
de Variação do Atrito com a Velocidade............................................................................165
FIGURA 6.31: Leis Macro de Variação do Atrito com a Velocidade para Lei Micro de
Variação do Atrito com a Velocidade ................................................................................166
FIGURA 6.32: Leis Macro de Variação do Atrito com o Deslizamento para Lei Micro
de Variação do Atrito com o Deslizamento........................................................................166
FIGURA 6.33: Leis Macro de Variação do Atrito com a Velocidade para Lei Micro de
Variação do Atrito com o Deslizamento ............................................................................167
FIGURA 7.1: Amostra para o Campo Aleatório do Coeficiente de Atrito Estático.................175
xxii
FIGURA 7.2: Evolução com o Tempo da Tensão Tangencial Média na Interface ..................177
FIGURA 7.3: Evolução com o Tempo da Resistência ao Corte por Atrito Média na
Interface ..............................................................................................................................178
FIGURA 7.4: Evolução com o Tempo do Deslizamento Médio na Interface ..........................178
FIGURA 7.5: Evolução com o Tempo da Velocidade Média na Interface ..............................179
FIGURA 7.6: Evolução com o Tempo da Aceleração Média na Interface...............................179
FIGURA 7.7: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslizamento..................180
FIGURA 7.8: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade ......................180
FIGURA 7.9: Evolução com o Tempo da Tensão Tangencial Média na Interface ..................181
FIGURA 7.10: Evolução com o Tempo da Resistência ao Corte por Atrito Média na
Interface ..............................................................................................................................182
FIGURA 7.11: Evolução com o Tempo do Deslizamento Médio na Interface ........................182
FIGURA 7.12: Evolução com o Tempo da Velocidade Média na Interface ............................183
FIGURA 7.13: Evolução com o Tempo da Aceleração Média na Interface.............................183
FIGURA 7.14: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslizamento ................184
FIGURA 7.15: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade ....................184
FIGURA 8.1: Disposição Aleatória A das Barras Pré-fraturadas.............................................189
FIGURA 8.2: Disposição Aleatória B das Barras Pré-fraturadas .............................................189
FIGURA 8.3: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade (Rochas
Homogêneas) ......................................................................................................................190
FIGURA 8.4: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade (Rochas
Não-Homogêneas) ..............................................................................................................191
FIGURA 8.5: Evolução com o Tempo da Tensão Tangencial Média na Interface ..................192
FIGURA 8.6: Evolução com o Tempo da Resistência ao Corte por Atrito Média na
Interface ..............................................................................................................................192
FIGURA 8.7: Evolução com o Tempo do Deslizamento Médio na Interface ..........................193
FIGURA 8.8: Evolução com o Tempo da Velocidade Média na Interface ..............................193
FIGURA 8.9: Evolução com o Tempo da Aceleração Média na Interface...............................193
xxiii
FIGURA 8.10: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslizamento ................194
FIGURA 8.11: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade ....................194
FIGURA 8.12: Disposição Final das Barras Fraturadas ...........................................................195
FIGURA 8.13: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade ....................195
FIGURA 8.14: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade ....................196
FIGURA 8.15: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslocamento ...............197
FIGURA 8.16: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslocamento ...............198
FIGURA 8.17: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslocamento ...............198
FIGURA 8.18: Disposição Final das Barras Fraturadas ...........................................................199
FIGURA 9.1: Critério Constitutivo para um Cubo de 1m de Aresta Sem Restrição
Vertical ...............................................................................................................................201
FIGURA 9.2: Critério Constitutivo para um Cubo de 1m de Aresta Com Restrição
Vertical ...............................................................................................................................201
FIGURA 9.3: Critério Constitutivo Micro para a Fratura de Micro-Asperezas Sem
Restrição Vertical ...............................................................................................................202
FIGURA 9.4: Critério Constitutivo Micro para a Fratura de Micro-Asperezas Com
Restrição Vertical ...............................................................................................................202
FIGURA 9.5: Evolução com o Tempo da Tensão Tangencial Média na Interface ..................205
FIGURA 9.6: Evolução com o Tempo da Resistência ao Corte por Atrito Média na
Interface ..............................................................................................................................206
FIGURA 9.7: Evolução com o Tempo do Deslizamento Médio na Interface ..........................206
FIGURA 9.8: Evolução com o Tempo da Velocidade Média na Interface ..............................207
FIGURA 9.9: Evolução com o Tempo da Aceleração Média na Interface...............................207
FIGURA 9.10: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslizamento ................208
FIGURA 9.11: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade ....................208
FIGURA 9.12: Lei Modificada de Variação do Atrito com a Velocidade................................209
LISTA DE TABELAS
TABELA 2.1: Relação entre Intervalo Amostral e Correlação entre Sucessivas
Amostras...............................................................................................................................17
TABELA 2.2: Características de um Perfil Aleatório em Termos de σ e .............................29
*
β
TABELA 3.1: Parâmetros Fractais das Amostras.......................................................................54
TABELA 4.1: Ângulo de Atrito Básico de Várias Rochas Não-desgastadas .............................60
TABELA 4.2: Correções para Reduzir as Medidas de Rebote do Martelo de Schmidt..............65
TABELA 4.3: Reduções Estimadas do Peso Específico para Vários Graus de Alteração
Relativa.................................................................................................................................66
TABELA 4.4: Descrição das Juntas de Rochas Mostradas na Figura 4.6...................................71
TABELA 4.5: Ângulos de Dilatação Médios e Coeficientes de Dano .......................................85
TABELA 4.6: Comparação dos Ângulos de Dilatação e Coeficientes de Dano Preditos
e Medidos..............................................................................................................................86
TABELA 4.7: Variação do Valor Médio de d
hp
para as Oito Rochas Estudadas .......................87
TABELA 4.8: Valores Médios do Pico da Arctan(τ
p
/σ
n
) ...........................................................94
TABELA 4.9: Variação do Componente de Falha da Rugosidade Médio com Aumento
do Comprimento da Junta...................................................................................................101
TABELA 4.10: Deslocamento de Pico do Cisalhamento em Relação ao Comprimento
da Junta ...............................................................................................................................107
TABELA 4.11: Resistência ao Cisalhamento e Ângulo de Atrito de Pico Obtidos
Cisalhando Réplicas da Mesma Junta de Serpentinita ao Longo de Direções
Diferentes............................................................................................................................120
xxiv
xxv
TABELA 6.1: Propriedades Básicas de uma Rocha de Granito ...............................................152
TABELA 6.2: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de
Variação do Atrito com a Velocidade como Lei Local......................................................161
TABELA 6.3: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de
Variação do Atrito com a Velocidade como Lei Local - Ajuste por Zonas .......................161
TABELA 6.4: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de
Variação do Atrito com o Deslizamento como Lei Local ..................................................162
TABELA 6.5: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de
Variação do Atrito com o Deslizamento como Lei Local - Ajuste por Zonas ...................162
TABELA 7.1: Propriedades Admitidas para o Granito.............................................................175
TABELA 7.2: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de
Variação do Atrito com a Velocidade como Lei Local e Rochas Não-homogêneas..........185
TABELA 7.3: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de
Variação do Atrito com a Velocidade como Lei Local e Rochas Não-homogêneas -
Ajuste por Zonas.................................................................................................................185
TABELA 7.4: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de
Variação do Atrito com o Deslizamento como Lei Local e Rochas Não-
homogêneas ........................................................................................................................186
TABELA 7.5: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de
Variação do Atrito com o Deslizamento como Lei Local e Rochas Não-
homogêneas - Ajuste por Zonas .........................................................................................186
TABELA 8.1: Propriedades Admitidas para o Granito.............................................................188
TABELA 9.1: Propriedades Admitidas para o Granito.............................................................203
LISTA DE SÍMBOLOS
I. LETRAS ROMANAS MAIÚSCULAS
A Parâmetro de amplitude
A
0
Área de contato máxima possível na direção de cisalhamento
A
0*
Área de contato potencial
A
corr
Área de correlação dos campos aleatórios
A
e
Parâmetro determinado experimentalmente para o critério constitutivo dependente
do deslizamento, da velocidade de deslizamento e do tempo
A
f
Área fraturada da barra
A
s
Área da junta de rocha
B Parâmetro de ajuste adimensional
B
B
e
Parâmetro determinado experimentalmente para o critério constitutivo dependente
do deslizamento, da velocidade de deslizamento e do tempo
C Curvatura das rugosidades do perfil de superfície
C
Matriz de amortecimento
*
C
Curvatura média dos picos da rugosidade do perfil de superfície
C
r
Parâmetro de rugosidade
CV Coeficiente de variação
D Dimensão fractal
xxvi
D
0
Deslocamento de cisalhamento crítico (deslizamento necessário para o atrito cair
para seu valor dinâmico ou valor residual)
D
m
Deslizamento total correspondente a um pulso senoidal de velocidade
E Módulo de Young
E
u
Dimensão Euclidiana
F
a
Força de atrito
F
aest
Força de atrito estática
F
N
Força normal
()
tF
r
r
Vetor de forças internas
2
G
σ
Constante de proporcionalidade
G
f
Energia específica de fratura
G
fe
Energia específica de fratura das barras enfraquecidas
G
fpf
Energia específica de fratura das barras pré-fraturadas
H Expoente de Hurst
H
d
Dureza do material
JCS Resistência à compressão da rocha
JRC Coeficiente de rugosidade da rocha
JRC
0
Coeficiente de rugosidade de amostras de tamanho de laboratório
K Fator numérico que só depende da forma suposta da rugosidade
K
s
Rigidez de pico do cisalhamento
L Comprimento do perfil de superfície (ou comprimento da rocha)
L
0
Comprimento projetado do perfil
L
c
Comprimento crítico da junta de rocha
L
corr
Comprimento de correlação dos campos aleatórios
xxvii
L
e
Parâmetro do critério constitutivo dependente do deslizamento, da velocidade de
deslizamento e do tempo
0x
1
L
Período do campo estocástico simulado ao longo do eixo x
1
0x
2
L
Período do campo estocástico simulado ao longo do eixo x
2
M Coeficiente de dano da junta
M
Matriz de massa
N Fator de normalização (relação do número de picos com o número de ordenadas)
N
b
Componente normal do peso do bloco
N
c
Número total de intersecções do perfil com os ciclóides
N
i
Número de caixas necessárias para cobrir o perfil inteiro para determinar a
dimensão fractal
()
tP
r
Vetor de forças externas
R
Número de rebote para superfícies de rochas não-desgastadas
R
a
Raio das rugosidades
R
L
Taxa de rugosidade linear do perfil
R
S
Taxa de rugosidade da superfície
S Área real da superfície de fratura
S
0
Área aparente projetada da superfície de fratura
°
A
S
Componente de falha da rugosidade
T
1
Componente tangencial do peso próprio do bloco superior
T
2
Força de puxar externa
U
elem
Energia liberada na ruptura de um elemento
V
0
Velocidade de deslizamento característica para a qual a tensão de atrito começa a
aumentar quando a velocidade de deslizamento diminui
xxviii
V
corr
Volume de correlação dos campos aleatórios
V
m
Velocidade máxima (ou amplitude da velocidade) de um pulso senoidal de
velocidade
II. LETRAS ROMANAS MINÚSCULAS
a
Parâmetro dos critérios constitutivos de variação do atrito com a velocidade e de
variação do atrito com o deslizamento
°
a
Ângulo de inclinação médio das rugosidades
a
e
Parâmetro determinado experimentalmente para o critério constitutivo dependente
do deslizamento, da velocidade de deslizamento e do tempo
a
i
Dimensão do lado do quadrado das caixas para determinar a dimensão fractal
b
Parâmetro dos critérios constitutivos de variação do atrito com a velocidade e de
variação do atrito com o deslizamento
b
1
Parâmetro proporcional ao comprimento de correlação na direção x
1
b
2
Parâmetro proporcional ao comprimento de correlação na direção x
2
b
3
Parâmetro proporcional ao comprimento de correlação na direção x
3
b
e
Parâmetro determinado experimentalmente para o critério constitutivo dependente
do deslizamento, da velocidade de deslizamento e do tempo
c Parâmetro do critério constitutivo de variação do atrito com a velocidade
c
a
Coesão intercepta
°
0
d
Ângulo de dilatação máximo
d
h
Deslocamento de cisalhamento (deslocamento horizontal)
d
hp
Deslocamento de pico do cisalhamento
°
i
d
Ângulo de dilatação inicial
°
n
d
Ângulo de dilatação de pico
xxix
g
Quantifica a contribuição para o pico da resistência ao cisalhamento pelos
parâmetros relacionados à morfologia da superfície
h Tamanho da amostra (janela)
h
c
Altura do retângulo expresso como um múltiplo do comprimento do ciclóide
h
e
Espessura do bloco superior
h
r
Altura das rugosidades do perfil de superfície
l
Intervalo amostral
c
l
Comprimento dos elementos longitudinais do DEM
m Inclinação das rugosidades do perfil de superfície
m
Inclinação média das rugosidades do perfil de superfície
m
c
Número total de ciclóides contidos no retângulo medido
m
i
Valor da massa concentrada no nó do bloco inferior
m
s
Valor da massa concentrada no nó do bloco superior
n
h
Número total de janelas de comprimento h
n
i
Número de pontos na janela h
i
r
Número de rebote para superfícies de rochas desgastadas
r
i
Medida padrão para determinar a dimensão fractal
t Tempo
t
d
Duração de um pulso senoidal de velocidade
u
m
Deslocamento horizontal necessário para juntar a junta de rocha
u
p
Deslocamento de pico do cisalhamento horizontal
w
i
Coordenada do nó do bloco inferior na direção Z
w
s
Coordenada do nó do bloco superior na direção Z
x Deslizamento
xxx
x
&
Velocidade de deslizamento
x
&&
Aceleração
x
r
Vetor de deslocamento nodal
x
r
&
Vetor de velocidade nodal
x
r
&&
Vetor de aceleração nodal
y Altura normalizada das rugosidades do perfil de superfície
y
r
Altura reduzida das rugosidades do perfil de superfície
y
rj
Resíduos na tendência
r
y
Resíduo médio na janela h
i
III. LETRAS GREGAS MAIÚSCULAS
Δt
Intervalo de integração
Δu
p
Deformação horizontal da junta unida antes do pico
Δx
1
Incremento de distância no eixo x
1
Δx
2
Incremento de distância no eixo x
2
Φ
Ângulos de fase aleatórios
IV. LETRAS GREGAS MINÚSCULAS
α
Ângulo de inclinação
α
x
Ângulo entre o plano de xistosidade e o normal à junta de rocha
β
Comprimento de retardo
β
*
Comprimento de correlação das alturas das rugosidades do perfil de superfície
β
c
Comprimento de retardo para covariância zero (igual ao comprimento de
correlação)
xxxi
β
r
Contribuição da rugosidade ao ângulo de atrito residual
ε
Parâmetro de valor próximo a zero
ε
p
Deformação proporcional crítica
e
φ
r
Ângulo de atrito residual
Ângulo de atrito residual medido depois de um deslocamento padrão de 5mm
cha seca
κ
κ
1u
e corte dos números de onda correspondentes ao eixo x
1
no domínio do
κ
2u
e corte dos números de onda correspondentes ao eixo x
2
no domínio do
κ
3u
e corte dos números de onda correspondentes ao eixo x
3
no domínio do
λ
c
as irregularidades geométricas da
μ
μ
0
nstitutivo dependente
de deslizamento e do tempo
tico
ε
r
Deformação limit
φ
a
Ângulo de atrito
φ
b
Ângulo de atrito básico
φ
p
Ângulo de atrito total de pico
*
r
φ
γ
Peso específico da ro
Número de onda
Limite d
espaço
Limite d
espaço
Limite d
espaço
Comprimento característico que representa
superfície
λ
g
Fator de escala geométrico
Coeficiente de atrito
Parâmetro determinado experimentalmente para o critério co
do deslizamento, da velocidade
μ
d
Coeficiente de atrito dinâmico
μ
s
Coeficiente de atrito está
xxxii
ν
θ
tutivo dependente do deslizamento, da
θ*
Ângulo de mergulho aparente mínimo
θ
Ângulo de mergulho aparente máximo na direção de cisalhamento
ρ
p
σ
tura das rugosidades do perfil de superfície
2
mpressão da rocha recente intacta
σ
n0
Tensão normal gerada pela força gravitacional que age no bloco superior
Variância da inclinação das rugosidades
cha não-desgastada
τ
τ
0
ento ocorre sob níveis de tensão
τ
p
Valor de pico da resistência ao cisalhamento
Coeficiente de Poisson
Variável de estado do critério consti
velocidade de deslizamento e do tempo
*
max
ρ
Correlação
ρ
g
Massa específica do granito analisado
ρ
m
Massa específica do material modelo
Massa específica do protótipo de rocha
Valor r.m.s. da distribuição de al
(equivalente ao seu desvio padrão)
σ
Variância para a geração dos campos aleatórios
σ
c
Resistência à compressão da rocha não-desgastada
σ
c0
Resistência à co
σ
n
Tensão normal
2
slopes
σ
σ
t
Resistência à tração da ro
Tensão de cisalhamento
Tensão de cisalhamento quando o deslizam
normal muito baixos
τ
i
Tensão de cisalhamento inicial
τ
L
Tensão vertical aplicada nos nós das extremidades dos blocos de rocha
xxxiii
p
τ
Tensão de cisalhamento de pico média
τ
r
Resistência ao cisalhamento residual
τ
t
Tensão tangencial
τ
u
Tensão última
ξ
1
Distância de separação na direção x
1
ξ
2
Distância de separação na direção x
2
ξ
3
Distância de separação na direção x
3
ψ
Índice de plasticidade
ψ
T
Fator de escala da tensão
xxxiv
1
1 INTRODUÇÃO
1.1 GENERALIDADES
Terremotos são movimentos de deslizamento nas interfaces entre placas tectônicas que
constituem a Crosta Terrestre (Langer e Nakanishi, 1994). As tensões na Crosta vão se
acumulando lentamente quando as placas tectônicas se movem uma em relação à outra.
Quando a tensão de cisalhamento nas placas supera a tensão devida ao atrito, o terremoto
acontece, sendo que na maioria dos casos os terremotos ocorrem repetidamente ao longo de
falhas pré-existentes.
Um tópico de grande relevância e não menor complexidade na Mecânica Não-Linear é
a propagação de fraturas em sólidos. O problema apresenta dificuldades ainda maiores em
Sismologia, pois nesse caso a propagação da ruptura em uma falha é controlada pelo atrito
entre as superfícies em contato, ao invés de depender de propriedades de um meio contínuo,
como a energia específica de fratura. As propriedades da lei de atrito entre os lados da falha,
as quais não são facilmente quantificáveis, controlam a iniciação, a propagação, e o término
do deslizamento ao longo da falha.
A dinâmica de propagação de rupturas durante grandes terremotos é um dos problemas
mais importantes em Engenharia Sísmica e Geofísica. Recentes estudos (por exemplo,
Fukuyama e Madariaga, 1998) do processo de ruptura ao longo da falha permitiram esclarecer
diversos aspectos do modo de propagação da ruptura sísmica e da forma de relaxamento das
tensões, pondo em evidência o papel fundamental do deslizamento com atrito no
desenvolvimento da ruptura. No entanto, o estabelecimento de modelos analítico-numéricos
para o estudo da propagação da ruptura permanece sendo um problema difícil, no qual muitas
propriedades físicas importantes, como o campo inicial de tensões, a distribuição espacial das
propriedades mecânicas do meio e, em particular, as leis que governam o deslizamento com
atrito, ainda são muito pouco conhecidas.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
2
Com efeito, essas leis de atrito controlam o começo do deslizamento, ou seja, a ruptura
na falha, o desenvolvimento e o fim do movimento. O já bem conhecido modelo de atrito de
Coulomb fornece os conceitos básicos para o fenômeno do atrito, entretanto, é claramente
insuficiente para quantificar a relação entre a resultante de tensões de cisalhamento na direção
de propagação da ruptura e as variáveis cinemáticas (deslizamento, velocidade de
deslizamento) que caracterizam o movimento na superfície de falha.
Portanto, faz-se necessário a utilização de modelos mais complexos para o
deslizamento com atrito. A determinação de uma lei constitutiva é um dos principais
problemas a serem resolvidos. Segundo, por exemplo, Scholz (1998), o desenvolvimento de
uma lei constitutiva completa para o atrito entre rochas mostra a série de fenômenos que
ocorre durante os terremotos e quanto mais rica esta lei de atrito, mais precisos serão os
resultados.
Conseqüentemente, o principal objetivo da presente tese é encontrar um critério
constitutivo para o deslizamento com atrito ao longo da falha sísmica que relacione da forma
mais completa possível as variáveis estáticas (tensões normal e tangencial) com as variáveis
cinemáticas (deslizamento, velocidade de deslizamento) que caracterizam o movimento na
superfície de falha.
Cabe ainda ressaltar que este é um tema pouquíssimo ou praticamente não explorado
no Brasil, de caráter inovador, apesar da clara relevância do assunto.
1.2 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
O presente trabalho está dividido em dez capítulos, dos quais esta introdução é o
primeiro.
O capítulo 2 dá início à revisão bibliográfica. Para se determinar uma lei constitutiva
para o deslizamento com atrito, é relevante o conhecimento das características das superfícies
que estão em contato. Com esse objetivo, no capítulo 2 discute-se como caracterizar perfis de
superfícies utilizando a Teoria de Campos Aleatórios. Propõe-se representar o perfil da
superfície com a forma de onda de um campo aleatório, o qual pode ser completamente
definido pela distribuição de probabilidade da altura das rugosidades e uma função de
autocorrelação. Apresenta-se uma comparação da teoria com resultados de análise digital de
medidores de perfis. Por fim, são apresentados dois programas computacionais desenvolvidos,
os quais geram perfis de superfícies aleatórias e calculam suas funções de autocorrelação e
espectro de potência.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
3
No capítulo 3 apresentam-se mais alguns métodos sobre descrição de superfícies,
entretanto, restringindo-se à caracterização da superfície de fratura de materiais frágeis,
tratando-se em especial da superfície de concretos e rochas. Descrevem-se alguns
equipamentos utilizados para medir a superfície, apresentam-se três parâmetros muito usados
para caracterizar a superfície de fratura de materiais frágeis e por fim mostra-se como
caracterizar a superfície de fratura de rochas através da teoria de campos aleatórios e através
da teoria de fractais.
O capítulo 4 contém uma visão geral sobre os critérios constitutivos em deslizamento
com atrito. Discute-se a lei constitutiva mais usada na prática, a qual foi proposta por Barton e
Choubey (1977), passando por uma investigação dos efeitos de escala e possíveis soluções
para o problema. Finalmente, um critério constitutivo atual, proposto por Grasselli e Egger
(2003), é apresentado e discutido. São apresentados vários resultados experimentais
realizados em pequena escala.
No capítulo 5 restringe-se o estudo de critérios constitutivos, iniciado no capítulo
anterior, à Sismologia. Inicia-se com o critério constitutivo simples de Coulomb, passando
pelos modelos constitutivos de variação do atrito com o deslizamento (“slip-weakening law”)
e de variação do atrito com a velocidade de deslizamento (“velocity ou rate-weakening law”),
até chegar a critérios constitutivos mais complexos como o de variação do atrito com o
deslizamento e com a velocidade de deslizamento (“slip and velocity weakening law”) e o
critério dependente do deslizamento, da velocidade de deslizamento e do tempo (“rate- and
state-dependent friction law”). São apresentados resultados de um estudo experimental
realizado, evidenciando uma lei de variação do atrito com a velocidade de deslizamento. Por
fim, são formuladas algumas observações em relação aos critérios constitutivos mais
utilizados em Sismologia.
Depois de fornecida toda a base teórica, no capítulo 6 inicia-se o processo numérico de
busca da relação constitutiva macro (ou global) da falha sísmica. Primeiramente, faz-se uma
breve descrição do programa computacional implementado e em seguida descreve-se o
modelo adotado para o estudo. Neste capítulo admite-se que as rochas são elásticas, lineares e
homogêneas e que não ocorrem fraturas na vizinhança da falha e nem ruptura de micro-
asperezas na interface. Na seqüência, apresentam-se os resultados de simulações numéricas
considerando-se as duas principais leis constitutivas como leis micro (ou locais) na interface.
Com isso determinam-se as relações constitutivas macro para a falha, ajustadas a partir dos
resultados das simulações. Por fim, mostra-se que a excitação não tem influência no critério
constitutivo macro.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
4
Dando continuidade ao estudo iniciado no capítulo anterior, no capítulo 7 acrescenta-
se ao modelo desenvolvido a possibilidade da consideração da não-homogeneidade da rocha
no programa numérico. Para isso, é apresentada a formulação proposta por Shinozuka e
Deodatis (1996) para a geração de campos aleatórios Gaussianos através de representação
espectral. A teoria exposta é utilizada para gerar campos estocásticos tridimensionais para a
massa específica e o módulo de Young e campos bidimensionais para o coeficiente de atrito
estático. Para as duas principais leis constitutivas, são realizadas simulações da falha sísmica
considerando cada uma das propriedades do material como um campo aleatório Gaussiano
correlacionado.
No capítulo 8 amplia-se o programa desenvolvido para possibilitar a análise da
ocorrência de fratura nas proximidades da falha sísmica. São propostos dois métodos para
resolver este problema. Para as duas principais leis constitutivas, são realizadas simulações da
falha sísmica permitindo a ocorrência de fratura através de cada um dos métodos sugeridos,
inicialmente admitindo que o material é homogêneo e posteriormente considerando a não-
homogeneidade da rocha.
O capítulo 9 considera que, além de deslizamento, ocorre ruptura de algumas micro-
asperezas nas superfícies deslizantes, por cisalhamento ou por cisalhamento e compressão
simultaneamente. Determina-se um critério constitutivo macro que leve em consideração o
efeito conjunto de alguns pontos estarem deslizando e outros fraturarem durante o
deslizamento. É proposto um método para resolver este problema. Por fim, chega-se a uma lei
mais geral para representar o deslizamento com atrito ao longo da falha sísmica, a qual é
chamada lei modificada de variação do atrito com a velocidade.
No capítulo 10 apresentam-se as conclusões finais deste trabalho, bem como algumas
sugestões de estudos futuros sobre o assunto.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
5
2 APLICAÇÃO DA TEORIA DE CAMPOS ALEATÓRIOS NA
CARACTERIZAÇÃO DE SUPERFÍCIES
Para se determinar uma lei constitutiva para o deslizamento com atrito, é relevante o
conhecimento das características das superfícies que estão em contato. Por isso, neste capítulo
discute-se como caracterizar perfis de superfícies utilizando a Teoria de Campos Aleatórios.
Para isso, foi seguida a metodologia sugerida por Whitehouse e Archard (1970) e Whitehouse
(1994), os quais propõem representar o perfil da superfície com a forma de onda de um campo
aleatório, que é completamente definido por duas funções: a distribuição de probabilidade da
coordenada normal à superfície média das rugosidades (distribuição da altura das asperezas) e
uma função de autocorrelação. Posteriormente, faz-se uma comparação da teoria com
resultados de análise digital de medidores de perfis e alguns comentários finais. Como
exemplos, são apresentados dois programas computacionais, os quais geram perfis de
superfície e calculam suas funções de autocorrelação e espectro de potência.
2.1 JUSTIFICATIVA
Atualmente uma das dificuldades no desenvolvimento de critérios constitutivos
aplicáveis a superfícies de descontinuidade em sólidos e em uma falha sísmica é a
caracterização da superfície de forma simples e precisa. É importante compreender, em alguns
detalhes, o papel que a topografia da superfície desempenha no processo de deslizamento.
Devido a isso, se inicia a tese com estudos sobre a representação de superfícies utilizando a
Teoria de Campos Aleatórios. O tema tem relevância em muitas áreas da engenharia, tais
como: sismologia, ruptura de sólidos, tribologia e aerodinâmica.
Whitehouse e Archard (1970) já haviam citado há mais de 30 anos atrás: “Todas as
superfícies são rugosas. Esse é o ponto inicial a partir do qual as idéias correntes sobre atrito,
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
6
desgaste, e outros aspectos de superfícies em contato têm evoluído”. Uma observação mais
detalhada mostra que as superfícies possuem ondulações que formam vales e picos cujas
dimensões são grandes em comparação com dimensões moleculares. Esses desvios da forma
plana são chamados asperezas. Através de observações e medições de superfícies variadas,
muitos pesquisadores, tais como Greenwood e Williamson (1966) e Whitehouse e Archard
(1970), constataram que os tipos usuais de superfícies apresentam uma estrutura
completamente aleatória.
Portanto, neste capítulo, é descrito a caracterização de superfícies utilizando a
metodologia de Whitehouse e Archard (1970) e Whitehouse (1994), que sugerem representar
o perfil da superfície como um campo aleatório, que fica completamente definido por duas
funções: a distribuição da altura das asperezas e uma função de autocorrelação.
2.2 HISTÓRICO DA CARACTERIZAÇÃO DE SUPERFÍCIES
Desde alguns anos atrás, por volta da metade do século XX, muitos pesquisadores
começaram a ter interesse em caracterizar as superfícies de uma forma adequada. Dentre os
principais autores nesse tema, podem-se citar Archard (1957), Greenwood e Williamson
(1966), Whitehouse e Archard (1970) e Oden e Martins (1985), entre outros. O objetivo
inicial foi determinar se a deformação das superfícies em contato era elástica, plástica ou uma
combinação de ambas.
Como as superfícies são rugosas, a área real de contato, a qual é muito menor que a
área aparente de contato, deve suportar pressões tão grandes que são comparáveis com a
resistência dos materiais dos corpos em contato. Bowden e Tabor (1954) sugeriram que essas
pressões de contato são iguais à tensão de escoamento do material em contato mais macio e a
carga normal é então suportada pelo escoamento plástico das asperezas deste material. A área
real de contato é então proporcional à carga, assim foi possível dar uma explicação simples
das conhecidas leis do atrito de Amontons. Entretanto, se as asperezas são plasticamente
deformadas, os detalhes da superfície final parecem relativamente sem importância desde que
a área total de contato e a pressão de contato não dependam da topografia da superfície.
Alguns anos depois foi reconhecido que freqüentemente o contato de superfícies deve
envolver uma considerável proporção de contatos de asperezas nas quais a deformação é
inteiramente elástica. Foi mostrado que, em condições de contatos múltiplos, mesmo se a
deformação fosse inteiramente elástica, a área real de contato pode aumentar quase
proporcionalmente com a carga, de acordo com Archard (1957) e Greenwood e Williamson
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
7
(1966). Assim uma explicação satisfatória das leis do atrito de Amontons não é dependente da
suposição de deformação plástica. Por isso estes autores ficaram interessados em
compreender o papel que a topografia da superfície desempenha no contato de superfícies.
Por exemplo, a superfície final será importante na determinação das proporções de
deformação elástica e plástica que ocorrerão em qualquer conjunto de condições dado.
O conhecimento da topografia de superfícies tem sido obtido a partir do uso de várias
técnicas de exame de superfície. Contudo, a informação mais importante veio do uso de
medidores de perfis nos quais uma agulha levemente carregada é movida pela superfície.
Freqüentemente foi admitido que as únicas informações significantes assim obtidas poderiam
ser expressas como o valor da raiz quadrática média (r.m.s.) ou da linha média do centro
(c.l.a.) do perfil. Entretanto, nos últimos anos, os resultados de medidores de perfis têm sido
analisados em maior detalhe por técnicas analógicas e digitais. No campo da engenharia esta
informação tem sido apresentada de modos diferentes: distribuições de altura, distribuições de
inclinação, curvas de densidade espectral de potência e funções de autocorrelação são
algumas das características que foram exibidas, por exemplo, por Whitehouse e Archard
(1970).
Por outro lado, aqueles pesquisadores preocupados com os problemas de contato de
superfície têm usado modelos de superfícies com muitas suposições diferentes sobre a
natureza da topografia da superfície. Assim Archard (1957) postulou uma série de modelos,
os quais podem ser vistos na Figura 2.1, que eram usados para dar a primeira explicação das
leis do atrito de Amontons para deformação elástica das asperezas. Embora tenha sido
admitido que esses modelos eram artificiais, eles contêm uma característica importante que é
a suposição de que existem nas superfícies asperezas superpostas de escalas de tamanhos
completamente diferentes.
FIGURA 2.1: Modelos de Superfícies Contendo Asperezas de Escalas de Tamanho Diferentes
[Reproduzida de Whitehouse e Archard, 1970]
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
8
Obviamente é importante que os modelos usados em teorias de contato e deslizamento
de superfícies sejam fundados na topografia da superfície. Greenwood e Williamson (1966), e
outros, usando informação obtida por análise digital de resultados de medidores de perfis,
mostraram que para muitas superfícies a distribuição de alturas é muito próxima da
Gaussiana. Greenwood e Williamson (1966) também fizeram uma investigação da
distribuição das alturas dos picos, mostrando que esta distribuição também é próxima da
Gaussiana, mas o valor médio e o desvio padrão desta distribuição diferem dos anteriores.
Além disso, a distribuição das curvaturas dos picos foi obtida. Como resultado dessas
observações, Greenwood e Williamson (1966) postularam um modelo consistindo de uma
série de picos esféricos, todos com o mesmo raio de curvatura, e tendo uma distribuição
Gaussiana das alturas. Com base nesse modelo, e na suposição de que a deformação era
elástica, foi mostrado que a relação entre a área real de contato e a carga estava perto da
proporcionalidade direta. Assim foi fornecida uma segunda obtenção teórica das leis de
Amontons para condições de deformação elásticas.
A teoria de Greenwood e Williamson (1966), embora representando um notável
avanço, está ainda longe de uma completa ou precisa representação de superfícies aleatórias.
Em particular, a suposição de um único raio de curvatura para as asperezas da superfície é
claramente a maior simplificação do modelo. Além disso, em seus exames de perfis de
superfícies foi usado um único intervalo de amostra, o que limita severamente a informação
obtida do perfil da superfície.
2.3 TIPO DE PERFIL DE SUPERFÍCIE ANALISADO
Um perfil de superfície, como o apresentado na Figura 2.2, é de um tipo aleatório e,
portanto, pode ser completamente definido (no sentido estatístico e não determinístico) por
duas funções características: a distribuição de altura e a função de autocorrelação. Seguindo
as recomendações de Whitehouse e Archard (1970), considera-se, para uma análise mais
detalhada, o caso particular de um perfil de superfície que tem uma distribuição Gaussiana das
alturas e uma função de autocorrelação exponencial. Há muitas razões para usar este modelo
particular. Primeiro, e principalmente, porque um grande número de superfícies usadas em
engenharia e analisadas por Whitehouse mostrou que uma proporção significativa dessas
superfícies ajusta-se a este modelo ou é uma aproximação razoável deste. Além disso, este
modelo tem sido amplamente usado na descrição de superfícies aleatórias. E, de acordo com
Whitehouse e Archard (1970), também tem sido usado para representar superfícies em
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
9
estudos de dispersão de radiação eletromagnética, por Beckmann e Spizzichino (1963). O
modelo também simplifica alguns aspectos da matemática e permite um enunciado mais claro
dos princípios físicos importantes. Durante esta análise é admitido que as superfícies são
isotrópicas, embora seja possível estender a teoria para superfícies que tem uma estrutura
anisotrópica.
FIGURA 2.2: Perfil de Superfície Analisado
[Reproduzida de Whitehouse e Archard, 1970]
O sistema de coordenadas usado é mostrado na Figura 2.2 e a linha média através do
perfil será tomada como y = 0. σ é o valor r.m.s. da distribuição de altura, que é equivalente
ao seu desvio padrão e é o comprimento de correlação. A probabilidade de se encontrar
uma ordenada a uma altura entre h
*
β
r
e (h
r
+δh
r
) é f(h
r
)δh
r
. Quando a distribuição de altura é
Gaussiana, a função densidade de probabilidade da altura é:
() ( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−π=
−
2
21
y
2
1
exp2yf
, (2.1)
sendo que a altura h
r
foi expressa na forma normalizada
σ
=
r
hy
, onde σ é o desvio padrão
da altura. A função de autocorrelação do perfil é definida como:
() ()
()
()
()
dxxyxy
L
1
limC
L21
L21
L
β+=β
∫
+
−
∞→
, (2.2)
sendo y(x) a altura do perfil em uma dada coordenada x e y(x+β) a altura em uma coordenada
adjacente (x+β). Na teoria que segue é admitido que:
()
(
)
*
expC ββ−=β
, (2.3)
sendo o comprimento de correlação. Quando
β
, C(β) decai à 10%, o que sugere
pegar esta distância como sendo aquela na qual os dois pontos no perfil alcançam as
condições em que eles podem ser estimados como eventos independentes.
*
β
*
3,2 β=
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
10
A relação entre a função de autocorrelação C(β) e a função de densidade espectral de
potência P(ω) de uma forma de onda aleatória é dada por uma transformada de Fourier:
() () ( )
ωωβω
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
=β
∫
∞+
∞−
diexpP
2
1
C
. (2.4)
Para uma função de autocorrelação exponencial a função densidade espectral de
potência é representada pelo ruído branco limitado apenas nas freqüências superiores. Isso
está ilustrado na Figura 2.3.
FIGURA 2.3: Função de Autocorrelação e Densidade Espectral de Potência
[Reproduzida de Whitehouse e Archard, 1970]
Assim o significado físico do modelo é que os principais componentes do perfil de
superfície consistem de uma banda abrangendo as freqüências mais baixas (comprimentos de
onda maiores). Componentes com comprimentos de onda mais curtos existem, mas suas
magnitudes decaem com o aumento da freqüência então, nessa variação, a amplitude é
proporcional ao comprimento de onda. Portanto, em termos gerais, a representação de um
perfil como um campo aleatório possui características semelhantes à superposição de
asperezas de diferentes escalas de tamanho. Isso introduz a escala múltipla de tamanho,
característica da Figura 2.1(c), em uma representação de modelo aleatório.
Consideram-se a seguir propriedades relevantes para a caracterização das superfícies,
tais como as alturas dos picos e suas curvaturas. A técnica proposta é aplicada ao modelo
teórico do perfil aleatório e os resultados desta teoria comparados com resultados
experimentais de Whitehouse e Archard (1970).
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
11
2.4 FUNDAMENTOS DE CAMPOS ALEATÓRIOS
Como um ponto de início no desenvolvimento da teoria, admite-se que o perfil foi
amostrado como uma seqüência de eventos independentes, portanto as ordenadas
consideradas são separadas por comprimentos . Assim um pico a uma altura entre y
e y+δy pode ser definido por três eventos sucessivos, mostrados na Figura 2.4(a), com as
seguintes restrições: (a) o evento central fica entre y e y+δy; (b) o evento (1) tem um valor
menor que y; (c) o evento (3) também tem um valor menor que y. Assim a probabilidade de
que a ordenada central represente um pico entre y e y+δy é o produto de P
*
3,2 β≥l
1
, P
2
e P
3
sendo que
os P’s referem-se às áreas hachuradas das distribuições de alturas.
FIGURA 2.4: Modelo Usado na Dedução da Distribuição dos Picos: (a) Intervalo amostral, e
correlação, ρ = 0,10; (b) Intervalo amostral, e correlação, ρ = 0,85
*
β3,2=l
*
β16,0=l
[Reproduzida de Whitehouse e Archard, 1970]
Usando esta definição simples de um pico e a equação (2.1) para definir a densidade
de probabilidade da distribuição de altura, pode-se mostrar que a densidade de probabilidade
de uma ordenada sendo um pico a uma altura y é expressa por:
() ()
[]
()
[]
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+π=
2
2
*
y
2
1
exp2yerf1241yf
,
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
12
()
[]
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−Φπ=
22
y
2
1
expy21
, (2.5)
sendo usado para indicar que são consideradas propriedades dos picos, e f refere-se às
propriedades do perfil inteiro.
*
f
Este argumento pode ser estendido para incluir a situação em que as ordenadas
amostradas estão muito perto para que sejam consideradas independentes umas das outras. Tal
situação é mostrada na Figura 2.4(b). Neste caso, a probabilidade de uma ordenada ser um
pico a altura entre y e y+δy é também expressa por P
1
P
2
P
3
. Contudo, as ordenadas adjacentes
ao y
0
central devem ter seus valores modificados em relação aos valores da distribuição de
altura original. Agora eles passam a ter valores ajustados em uma distribuição modificada
cuja forma depende do intervalo amostrado. As distribuições modificadas de altura mostradas
na Figura 2.4(b) são o resultado de se ter as ordenadas y
+1
e y
-1
muito perto da ordenada
central y
0
, tomada como referência. Assim, para intervalos amostrais curtos, y
+1
não pode
diferir grandemente de y
0
, devido à incapacidade do campo de mudar rapidamente. Em geral,
a distribuição de y
+1
é influenciada não apenas por y
0
, mas também, em um grau menor, por y
-
1
, entretanto para o exemplo particular do modelo usado aqui, y
+1
pode ser considerado como
influenciado por apenas y
0
e não por y
-1
. Considerando a Figura 2.4(b), a densidade de
probabilidade de uma ordenada ser um pico a uma altura y é expressa por:
()
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ+
ρ−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
π
=ρ
2
2
*
y
2
1
exp
1
1
2
y
erf1
24
1
,yf
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ+
ρ−
Φ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
π
=
22
y
2
1
exp
1
1
y
2
1
. (2.6)
A Figura 2.5 mostra gráficos desta distribuição de altura de pico para valores alto e
baixo da correlação, ρ. A distribuição das alturas das ordenadas também é mostrada para
comparação. Quando ρ → 0 (grande intervalo amostral), a forma da distribuição de altura de
pico é inclinada ligeiramente, seu valor médio chega a +0,85 e seu desvio padrão chega ao
valor de 0,70. Assim, quando se usam intervalos amostrais maiores, comprimento de onda
mais longo, a estrutura do perfil é revelada e os picos tendem a se posicionar acima da linha
de centro. Quando ρ → 1 a forma da distribuição de altura de pico, e seu valor médio e desvio
padrão, aproximam-se daqueles da distribuição das alturas das ordenadas. Assim, quando se
usam intervalos amostrais curtos, comprimento de onda mais curto, os picos revelados
seguem muito próximos à escala geral da estrutura da superfície.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
13
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Gaussiana
ρ = 0,10
ρ = 0,86
FIGURA 2.5: Densidade de Probabilidade de uma Ordenada ser um Pico a uma Altura y
O valor médio da curva de densidade das alturas de pico
(
)
ρ
*
y
é encontrado tomando
o primeiro momento de na versão normalizada da equação (2.6) e produz:
(
ρ,yf
*
)
()
2
1
*
1
N2
1
y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
ρ−
=ρ
. (2.7)
Similarmente, a variância das alturas de pico é o segundo momento central. Assim,
()
[]
()
()
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
π
ρ−
−
ππ
ρ+
−=ρσ
22
21
2
*
N4
1
NtanN2
1
1
, (2.8)
sendo que o fator de normalização N, o qual fornece a relação do número de picos com o
número de ordenadas, é:
() ( )( )
(
)
ρ+ρ−π=
−
13tan1N
1
. (2.9)
Nota-se que as equações (2.5) e (2.6), quando divididas pela equação (2.9), são as
densidades de probabilidade das alturas de pico. A equação (2.9) mostra que quando a
correlação, ρ, aumenta de zero a unidade, N cai de 1/3 a 1/4. Esses valores limites têm uma
explicação simples. Quando o intervalo amostral é aumentado, ρ → 0 e N → 1/3; os três
eventos são efetivamente independentes (Figura 2.4(a)) e a chance que qualquer um deles, por
exemplo o do centro, seja o mais alto torna-se um terço. Por outro lado, quando o intervalo
amostral for diminuído ρ → 1 e N → 1/4. As distribuições modificadas dos dois eventos
externos são agora centradas na ordenada central (Figura 2.4(b)), as áreas P
1
e P
3
têm valores
de 1/2 e a probabilidade que o evento central seja um pico é 1/4.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
14
Para dar uma descrição adequada da superfície em termos de uma distribuição de
asperezas também é necessário especificar seu raio de curvatura. É mais conveniente discutir
isso em termos de uma distribuição de curvaturas e, para isso é seguido Greenwood e
Williamson (1966), os quais obtiveram curvaturas da apresentação digital do perfil.
Considere, primeiro, o exemplo de três eventos independentes (Figura 2.4(a)). A Figura 2.6(a)
mostra um arranjo possível de três eventos os quais resultarão um pico à altura y com uma
curvatura C expressa por:
110
yyy2C
−+
−−=
. (2.10)
Nesta equação, C é adimensional, mas o valor real da curvatura depende do intervalo amostral
e para se obter um valor real, C deve ser multiplicado por
l
2
lσ
.
FIGURA 2.6: Modelo Usado na Dedução da Distribuição das Curvaturas: (a) Intervalo amostral,
e correlação, ρ = 0,10; (b) Intervalo amostral, e correlação, ρ = 0,85
*
β3,2=l
*
β16,0=l
[Reproduzida de Whitehouse e Archard, 1970]
Este tratamento supõe que a derivada segunda do perfil é uma aproximação aceitável
da curvatura. Então a probabilidade da configuração mostrada na Figura 2.6(a) é P
1
P
2
P
3
,
sendo P
1
, P
2
e P
3
, dados pelas áreas hachuradas mostradas. De forma a obter a probabilidade
total de um pico com curvatura C a uma altura entre y e y+δy muitas configurações similares
às mostradas na Figura 2.6(a) devem ser levadas em conta. Sabe-se que esta probabilidade
total é expressa por uma integral de convolução. Assim a função densidade de probabilidade
que qualquer ordenada seja um pico de curvatura C a altura y é:
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
15
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= C
2
1
erfC
2
1
yexp
22
y
2
1
exp
C,yf
2
2
*
. (2.11)
Como antes, o argumento pode ser repetido para um intervalo amostral mais curto
(Figura 2.6(b)). Assim,
()
()
[]
()
()
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ρ−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−ρ−
−
ρ−π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=ρ
2
2
221
2
2
*
12
C
erf
1
C
2
1
y1
exp
122
y
2
1
exp
,C,yf
. (2.12)
A função densidade de probabilidade de que qualquer ordenada seja um pico de
curvatura C (a qualquer altura) é obtida por integração da equação (2.12), resultando:
()
()()
()()
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ρ−ρ−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ρ−ρ−π
=ρ
2
2
21
*
12
C
erf
134
C
exp
134
1
,Cf
. (2.13)
Esta distribuição é inclinada para curvatura zero, o que está de acordo com a
distribuição de curvaturas obtida por Greenwood e Williamson (1966) de análise digital de
uma superfície jateada. Esses autores notaram que para grandes curvaturas a distribuição é
muito próxima da Gaussiana. Uma comparação adicional destas equações com os resultados
obtidos de perfis de superfícies é apresentada a seguir.
A curvatura média
*
C
para todos os picos é obtida encontrando o primeiro momento
de na equação (2.13). Isso resulta:
(
ρ,Cf
*
)
()
(
)
π
ρ−ρ−
=
N2
13
C
21
*
, (2.14)
sendo que a distribuição foi normalizada por N, (equação (2.9)). A curvatura (ou, mais
estritamente, a derivada segunda) do perfil como um todo é expressa por:
()
()()
[]
()()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ρ−ρ−
−
ρ−ρ−π
=ρ
134
C
exp
134
1
,Cf
2
21
, (2.15)
a qual é a equação (2.13) com a função de erro removida. Isso é uma distribuição Gaussiana
com média zero e desvio padrão de
(
)
(
)
[
]
21
132 ρ−ρ− . Um teste simples deste valor de desvio
padrão (ou, mais estritamente, a variância) é obtido encontrando o quadrado do valor esperado
da curvatura da equação (2.10). Assim
(
)
[
]
2
2
110
286yyy2E ρ+ρ−=+−
+−
.
Conforme Whitehouse e Archard (1970), a distribuição das inclinações é importante,
pois um critério amplamente usado para o princípio do escoamento plástico (Blok (1952) e
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
16
Halliday (1955)) usa a inclinação média do lado das asperezas. A distribuição de inclinações
(m) no perfil é facilmente obtida do fato de que a fórmula envolve uma relação linear simples
das variáveis Gaussianas y
-1
e y
+1
e assim é Gaussiana com uma média zero e uma variância
de
(
)
[
]
222
412 lρ−σ
. Conseqüentemente:
()
()
()
[]
21
2
22
22
14
1
m
exp,mf ρ−π
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ρ−σ
−
=ρ
l
, (2.16)
da qual se obtém a inclinação média positiva ou negativa (valor médio do módulo):
21
2
1
m
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
π
ρ−σ
=
l
. (2.17)
Estas fórmulas também podem ser obtidas pelo mesmo tipo de procedimento usado na
obtenção da equação (2.15).
2.5 RESULTADOS DE ANÁLISES DE PERFIS DE SUPERFÍCIES
A validade da teoria apresentada anteriormente é testada pela análise digital de
resultados de medidores de perfis obtidos por Whitehouse e Archard (1970). De forma a
apresentar dados coerentes foi feita uma análise bastante completa dos resultados obtidos de
uma superfície. Os principais resultados do experimento foram obtidos de perfis de
superfícies medidos com uma agulha Talysurf 4, instrumento para medir a rugosidade da
superfície no qual uma agulha de diamante é passada pela superfície sob exame. Foi usada
uma agulha normal com a dimensão nominal da ponta de 2,5μm. Junto ao Talysurf estava um
sistema que anotava os dados. Deste equipamento o sinal analógico amplificado do perfil de
superfície foi convertido em uma seqüência de ordenadas, amostradas a intervalos de 1μm.
Resultados adicionais foram obtidos também com o instrumento Talystep, que
consiste de uma agulha afiada especial tendo uma ponta com dimensão de 0,25μm. O
Talystep é capaz de realizar amplificações verticais de até 10
6
e ampliações horizontais de até
2x10
3
. Essa última facilidade tornou possível amostrar o perfil em intervalos de 0,25μm.
Outra característica desse instrumento é a carga normal na agulha que foi reduzida para
apenas 10
-3
g (um centésimo da carga na agulha Talysurf) o que tornou possível o uso de uma
agulha bastante afiada.
Os resultados apresentados a seguir estão baseados em cinco perfis. Análises
estatísticas mostram que os erros padrão normalizados estão em torno de 2% para valores
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
17
médios (por exemplo, equações (2.7) a (2.9)) e em torno de 5% para pontos nas distribuições
de probabilidade (por exemplo, equações (2.4), (2.5) e (2.13)).
Apresentam-se resultados para intervalos amostrais entre 0,25 e 15μm. Assim,
constata-se (Figura 2.7) que o modelo usado é uma boa representação dos dados obtidos de
perfis de superfície e a distribuição de ordenadas está muito próxima da Gaussiana, com um
valor r.m.s. (σ) de 0,5μm, e a função de autocorrelação está próxima da exponencial com um
comprimento de correlação
(
)
*
β
de 6,5μm.
FIGURA 2.7: Características dos Perfis Representados como um Campo Aleatório: (a) Distribuição
acumulada das alturas (papel de probabilidade normal); (b) Correlação como uma função do intervalo
amostral
[Reproduzida de Whitehouse e Archard, 1970]
Usaram-se valores teóricos de correlação (ρ) para os valores selecionados de
intervalos amostrais, como mostrado na Tabela 2.1. É observado que qualquer divergência
entre estes valores e aqueles obtidos dos perfis estão, na maior parte, dentro dos limites de
erro experimental. Nos resultados apresentados a seguir em forma gráfica, intervalos
amostrais (
l ) de 15, 3 e 1μm (correspondendo a correlações (ρ) de 0,10, 0,63 e 0,86,
respectivamente) foram selecionados para mostrar certas características importantes.
TABELA 2.1: Relação entre Intervalo Amostral e Correlação entre Sucessivas Amostras
(Extraída de Whitehouse e Archard, 1970)
Intervalo amostral, l (μm)
15 6,0 3,0 2,0 1,0 0,5 0,25
Correlação, ρ
0,10 0,40 0,63 0,74 0,86 0,92 0,96
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
18
A Figura 2.8 mostra uma comparação da teoria com experimentos para a
probabilidade que uma ordenada seja um pico a uma altura y (equação (2.6)). É observado
que para =15μm e
l
=3μm a concordância da teoria com o experimento é bastante boa.
Porém, para =1μm (Figura 2.8(c)) há uma divergência, o número de picos detectados cai
significativamente abaixo dos valores teóricos. Os resultados para todos os valores de
intervalos amostrais são mostrados na Figura 2.9, na qual o valor médio e o desvio padrão da
distribuição de picos (equações (2.7) e (2.8)) são graficados em função do valor da correlação
entre amostras sucessivas. A divergência mais significante entre teoria e experimento é o fato
que, para os intervalos amostrais mais curtos, os valores médios estão situados acima dos
cálculos teóricos (Figura 2.8(c)).
l
l
A Figura 2.10 apresenta resultados teóricos e experimentais para a probabilidade que
uma ordenada seja um pico de dada curvatura. Como antes, para =15μm e =3μm a
concordância é excelente, mas há diferenças significantes para os intervalos amostrais mais
curtos de
l
=1μm. É observado das magnitudes das curvaturas mostradas nas Figuras 2.10 (a)
a (c) que, quando o intervalo amostral é diminuído, têm-se asperezas de raios cada vez
menores. Isso está bem claro na Figura 2.11, a qual compara valores teóricos da curvatura
média dos picos com valores encontrados dos perfis para diferentes intervalos amostrais. Mais
uma vez, a única divergência significante entre teoria e experimento ocorre para intervalos
amostrais mais curtos (
l =1μm).
l l
FIGURA 2.8: Densidades de Probabilidade de uma Ordenada ser um Pico a uma Altura y. As linhas
cheias representam a teoria (equação (2.6)) e os círculos representam os resultados experimentais: (a)
= 15μm, ρ = 0,10; (b) = 3,0μm, ρ = 0,63; (c) = 1,0μm, ρ = 0,86
l l l
[Reproduzida de Whitehouse e Archard, 1970]
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
19
FIGURA 2.9: Características das Distribuições de Picos. A linha cheia fornece o valor médio (equação
(2.7)) e a linha tracejada fornece o desvio padrão (equação (2.8)); os triângulos e os círculos
representam os resultados experimentais
[Reproduzida de Whitehouse e Archard, 1970]
FIGURA 2.10: Densidades de Probabilidade de uma Ordenada ser um Pico de uma Dada Curvatura. As
linhas cheias representam a teoria (equação (2.13)) e os círculos fornecem os resultados experimentais
(σ = 0,5μm, β
*
= 6,5μm): (a) = 15μm, ρ = 0,10; (b)
l
= 3,0μm, ρ = 0,63; (c) =1,0μm, ρ = 0,86. A
seta indica a curvatura nominal da agulha
l l
[Reproduzida de Whitehouse e Archard, 1970]
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
20
FIGURA 2.11: Curvatura Média dos Picos como uma Função da Correlação Entre Amostras
Sucessivas. A linha cheia representa a teoria (equação (2.14)) e os círculos (agulha normal com
dimensão nominal de ponta de 2,5μm) e os triângulos (agulha especial com dimensão nominal de
ponta de 0,25μm) fornecem os resultados experimentais (σ = 0,5μm, β
*
= 6,5μm)
[Reproduzida de Whitehouse e Archard, 1970]
Os resultados obtidos em intervalos amostrais mais curtos (Figuras 2.8(c), 2.10(c))
sugerem que as medidas dos perfis de superfície são afetadas pelo tamanho da agulha. Na
Figura 2.10(c) um valor da curvatura nominal da agulha foi indicado. O caráter da divergência
entre teoria e experimento mostrado na Figura 2.10(c) é consistente com a suposição que ela
surge do tamanho da agulha. O número total de picos detectados é menor que pela previsão
teórica e a distribuição foi aparentemente destorcida para valores menores de curvatura.
Também foram realizados experimentos com uma agulha com uma ponta de menor
dimensão. Os resultados são mostrados na Figura 2.12, na qual a relação de picos com
ordenadas é graficada em função da correlação entre amostras sucessivas. Recorda-se que a
teoria (equação (2.9)) prevê que esta relação varia entre 0,33 (ρ = 0) e 0,25 (ρ = 1). A Figura
2.12 mostra, mais uma vez a divergência entre teoria e experimento para intervalos amostrais
menores que 2μm, onde nesta região o número de picos detectados cai bem abaixo dos
valores teóricos. A Figura 2.12 também mostra que quando se usa uma agulha com uma
dimensão de ponta menor, o declínio é retardado a valores menores do intervalo amostral.
Claramente, então, a resolução da agulha é um fator significante que afeta o comportamento
nesta região.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
21
FIGURA 2.12: Relação dos Picos com as Ordenadas como uma Função da Correlação Entre Amostras
Sucessivas. A linha cheia representa a teoria (equação (2.9)) e os círculos (agulha normal com
dimensão nominal de ponta de 2,5μm) e os triângulos (agulha especial com dimensão nominal de
ponta de 0,25μm) fornecem os resultados experimentais
[Reproduzida de Whitehouse e Archard, 1970]
2.6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
A fim de ilustrar a teoria estudada neste capítulo, desenvolveram-se dois programas
computacionais em Matlab os quais geram perfis de superfície aleatórios e retornam a função
de autocorrelação, o comprimento de correlação e o espectro de potência do perfil.
2.6.1 Programa Superfície
O primeiro programa elaborado chama-se “Superfície” e gera um perfil de uma
superfície qualquer, por exemplo, o perfil de uma superfície metálica a nível microscópico. O
programa requer como dados de entrada o comprimento do perfil a ser gerado, o número de
irregularidades (asperezas) medidas nesse comprimento, a altura média dessas irregularidades
e o desvio padrão das mesmas. Com isso, o algoritmo calcula a densidade de probabilidade, a
função de autocorrelação, o comprimento de correlação e o espectro de potência do perfil
gerado. Como exemplo, simula-se um caso em que o perfil medido possui um comprimento
de 50cm, com 80 irregularidades espalhadas em seu comprimento, tendo estas uma altura
média de 1mm e desvio padrão de 0,3mm, com uma distribuição normal. Os resultados
obtidos com o programa são apresentados a seguir. As Figuras 2.13, 2.14, 2.15 e 2.16
mostram, respectivamente, um perfil da superfície gerado, sua densidade de probabilidade,
sua função de autocorrelação com o comprimento de correlação e o seu espectro de potência.
As Figuras 2.17 e 2.18 representam, respectivamente, a função de autocorrelação com o
comprimento de correlação e o espectro de potência de uma média de 10000 simulações da
superfície.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
22
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Perfil de Superfície
coordenada
altura das irregularidades
FIGURA 2.13: Perfil de Superfície Gerado com o Programa Superfície
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Densidade de Probabilidade
altura das irregularidades (passada para média zero)
número de dados nesses intervalos
FIGURA 2.14: Densidade de Probabilidade da Superfície Gerada
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
23
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Autocorrelação do Perfil de Superfície
coordenada
autocorrelação
Comprimento de
Correlação =
3,5390
FIGURA 2.15: Função de Autocorrelação da Superfície Gerada
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Espectro de Potência do Perfil de Superfície
número de onda (1/m)
Gx
FIGURA 2.16: Espectro de Potência da Superfície Gerada
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
24
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Autocorrelação Média do Perfil da Superfície
coordenada
autocorrelação
Comprimento de
Correlação = 1,2803
FIGURA 2.17: Função de Autocorrelação Média de 10000 Simulações da Superfície
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Espectro de Potência Médio do Perfil da Superfície
número de onda (1/m)
Gx
FIGURA 2.18: Espectro de Potência Médio de 10000 Simulações da Superfície
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
25
2.6.2 Programa Cidade
O segundo programa elaborado chama-se “Cidade” e também gera um perfil de uma
superfície, mas neste caso, o perfil de superfície gerado representa um perfil de uma cidade
aleatória. O programa requer como dados de entrada o comprimento do perfil a ser gerado, ou
seja, a dimensão da quadra onde estão localizados os edifícios, o número de edifícios
localizados nessa quadra, a altura média desses edifícios e o desvio padrão das mesmas, a
largura média dos edifícios e seu correspondente desvio padrão, e a correlação entre as alturas
e as larguras dos edifícios. Com isso, o programa gera o perfil da cidade, calcula a sua função
de autocorrelação, o seu comprimento de correlação e o seu espectro de potência. Como
exemplo, faz-se um caso em que a cidade possui uma quadra de 500m de comprimento, com
20 edifícios nessa quadra tendo uma altura média de 35m e desvio padrão de 10m e largura
média de 15m com desvio padrão de 3m, seguindo, tanto as alturas como as larguras dos
edifícios, uma distribuição normal. A correlação entre as alturas e as larguras foi escolhida
como 0,8. Os resultados obtidos com este programa são apresentados a seguir. As Figuras
2.19, 2.20 e 2.21 mostram, respectivamente, um perfil de cidade gerado, sua função de
autocorrelação com o comprimento de correlação e o seu espectro de potência. Os gráficos
das Figuras 2.22 e 2.23 representam, respectivamente, a função de autocorrelação com o
comprimento de correlação e o espectro de potência de uma média de 10000 simulações da
cidade.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Perfil da Cidade
coordenada
altura dos edifícios
FIGURA 2.19: Perfil de Cidade Gerado com o Programa Cidade
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
26
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Autocorrelação do Perfil da Cidade
coordenada
autocorrelação
Comprimento de
Correlação = 29,9142
FIGURA 2.20: Função de Autocorrelação da Cidade Gerada
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
Espectro de Potência do Perfil da Cidade
número de onda (1/m)
Gx
FIGURA 2.21: Espectro de Potência da Cidade Gerada
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
27
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
Autocorrelação Média do Perfil da Cidade
coordenada
autocorrelação
Comprimento de
Correlação = 10,7335
FIGURA 2.22: Função de Autocorrelação Média de 10000 Simulações da Cidade
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
Espectro de Potência Médio do Perfil da Cidade
número de onda (1/m)
Gx
FIGURA 2.23: Espectro de Potência Médio de 10000 Simulações da Cidade
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
28
2.7 COMENTÁRIOS FINAIS
O ponto inicial deste capítulo é o conceito, bem aceito na teoria de processos
aleatórios, mas inexplorado no campo de contato e deslizamento entre superfícies, que um
perfil aleatório pode ser completamente definido por duas funções: a distribuição da altura e a
função de autocorrelação. Para o modelo usado neste capítulo, essas duas funções apresentam
apenas dois parâmetros, o valor r.m.s. da altura (σ) e o comprimento de correlação ( ). As
distribuições estatísticas de todas as características geométricas importantes do perfil de
superfície, por exemplo, inclinações, picos e curvaturas, podem ser preditas em termos desses
dois parâmetros independentes. Embora algumas superfícies não se comportem exatamente
como o modelo usado neste capítulo, a definição de uma superfície em termos de dois
parâmetros independentes é suficiente em numerosas aplicações.
*
β
A comparação dos resultados desta teoria com os resultados experimentais,
apresentada no item 2.5, mostra que o modelo adotado fornece uma descrição satisfatória das
características geométricas dos perfis de uma superfície típica. A distribuição estatística das
características de superfície é com precisão prevista para uma extensa faixa. Divergências só
aparecem em comprimentos de onda mais curtos e estas surgem da resolução da agulha.
Um objetivo importante de estudos da topografia da superfície tem sido dar uma
estimativa das possibilidades que uma dada superfície será submetida a escoamento plástico
durante o contato. Blok (1952) e Halliday (1955) consideraram a forma das asperezas que
poderiam ser pressionadas sem recurso da deformação plástica. Mostrou-se que esse critério
poderia ser expresso da forma:
'EKHm
d
≤
, (2.18)
sendo H
d
a dureza,
(
)
2
1E'E ν−=
, E sendo o módulo de Young e ν o coeficiente de Poisson,
m
a inclinação média e K é um fator numérico, na faixa de 0,8 a 1,7, que só depende da
forma suposta da aspereza. Greenwood e Williamson (1966) avaliaram a probabilidade de
deformação plástica usando seus modelos nos quais as asperezas, todas de raio R
a
, são
dispostas em uma distribuição Gaussiana das alturas de desvio padrão . Neste modelo
sempre há uma chance de escoamento plástico, contudo, foi mostrado que ela depende muito
pouco da carga, mas sim de um índice de plasticidade,
*
σ
ψ
, expresso por:
21
a
*
d
RH
'E
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=ψ
. (2.19)
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
29
Os critérios de plasticidade das equações (2.18) e (2.19) são similares. O critério de
Blok-Halliday (equação (2.18)) é, entretanto, indevidamente severo, pois assume depressão
completa das asperezas. O índice de plasticidade de Greenwood e Williamson (1966) leva em
conta o fato de que apenas as pontas das asperezas normalmente são envolvidas no contato.
Algumas simplificações foram feitas nestes critérios de plasticidade, pois eles não levam em
conta a existência, sobre as superfícies, de asperezas superpostas de diferentes escalas de
tamanho. Os cálculos de plasticidade das equações (2.18) e (2.19) supõem que a deformação
de cada aspereza é independente. Portanto, o índice de plasticidade da equação (2.19) tem
uma significância só se é aplicado ao comprimento de onda principal (longo) da estrutura,
então ele deve indicar a probabilidade de escoamento plástico sobre regiões associadas com
esta escala de tamanho. Se valores de R
a
que correspondem à estrutura de menor escala são
usados, os argumentos envolvidos na obtenção da equação (2.19) ficam inválidos porque a
deformação de asperezas adjacentes interage, como no modelo das Figuras 2.1(b), (c).
Para resumir os resultados obtidos do modelo adotado, a Tabela 2.2 mostra o modo no
qual as características significantes de um perfil de superfície dependem dos dois parâmetros
independentes σ e . Para enfatizar a importância da escala de tamanho usada na análise,
cada característica (exceto ψ, por razões expressas anteriormente) é mostrada em duas
escalas. A estrutura principal do perfil é obtida supondo um intervalo amostral,
l , de e
a estrutura de escala refinada supõe dimensões de aspereza uma ordem de magnitude menor
*
β
*
3,2 β
(
)
*
23,0 β=l
.
TABELA 2.2: Características de um Perfil Aleatório em Termos de σ e
*
β
(Extraída de Whitehouse e Archard, 1970)
Estrutura Principal Estrutura Refinada
Características do Perfil
(
)
*
3,2 β=l
(
)
*
23,0 β=l
Média da distribuição de pico
+0,82σ +0,47σ
Desvio padrão da distribuição
de pico,
*
σ
0,71σ 0,69σ
Relação de picos com
ordenadas, N
0,33 0,26
Média da inclinação,
m
*
24,0 βσ
*
66,1 βσ
Curvatura média do pico,
*
c
2*
45,0 βσ
2*
20 βσ
Índice de plasticidade, ψ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
β
σ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
*
d
H
'E
3,0
______
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
30
3 SUPERFÍCIE DE FRATURA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Dando continuidade ao tema iniciado no capítulo anterior, neste capítulo estuda-se a
caracterização da superfície de fratura de materiais frágeis, tratando-se, em especial, de
concretos e rochas. Inicia-se descrevendo alguns equipamentos utilizados para medir a
superfície. Em seguida, descrevem-se três parâmetros muito usados para caracterizar a
superfície de fratura de materiais frágeis. A determinação destes parâmetros é exemplificada
com resultados de testes realizados por Czarnecki
et al. (2001) na superfície de concretos.
Posteriormente, faz-se uma descrição de como caracterizar a superfície de fratura de rochas,
através da teoria de campos aleatórios, sugerida por Lanaro (2000), e através da teoria de
fractais, sugerida por Fardin
et al. (2001), apresentando um exemplo de aplicação e alguns
comentários.
3.1 EQUIPAMENTOS PARA CARACTERIZAR A SUPERFÍCIE
Conforme o Instituto Americano de Padrões Nacionais (American National Standards
Institute (ANSI)), os métodos de medição da rugosidade e textura da superfície podem ser
classificados em três tipos: métodos de contato, de seccionamento cônico e óticos. Entre os
métodos de contato, os medidores de perfis do tipo agulhas fornecem medidas precisas ao
longo de uma travessia linear. Normalmente, a deflexão vertical da agulha é gravada em
função da posição, conforme apresentado no capítulo 2. O método de seccionamento cônico é
usado em metalurgia e consiste em cortar uma superfície a um baixo ângulo para fisicamente
amplificar a altura das rugosidades pela cotangente desse ângulo. Os métodos de não-contato
ou óticos são aqueles que utilizam instrumentos óticos, tais como microscópios e medidores
de perfis a laser.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
31
De acordo com Maerz et al. (2001), a caracterização de superfícies de materiais, tais
como concreto e rochas, requer que a superfície ou perfil de superfície possa ser medido e
caracterizado em termos de suas rugosidades (asperezas). Com esse objetivo, desenvolveram
um equipamento portátil que utiliza raio laser e análise de imagem. Tal instrumento foi
testado em seis blocos de concreto jateados com areia, com diferentes graus de rugosidade da
superfície. O equipamento também foi testado em uma série de nove modelos de perfis de
superfície de concreto produzidos pelo Instituto Internacional de Reparo de Concreto
(International Concrete Repair Institute (1997)), conforme se apresenta na Figura 3.1. Nessa
figura os perfis estão ordenados de acordo com o aumento da rugosidade. A Figura 3.2 mostra
os perfis obtidos com o equipamento laser desenvolvido por Maerz
et al. (2001) para esses
nove modelos de perfis de superfície de concreto.
Entre os métodos óticos para medir a superfície, também se encontra o equipamento
utilizado por Lanaro (2000) e Fardin
et al. (2001), que mediram a topografia das superfícies
de fratura de amostras de rochas por meio de um escâner laser 3-D, mostrado na Figura 3.3. O
escâner laser 3-D consiste em um sensor laser montado sob um equipamento para medir
coordenada, o qual é capaz de digitalizar amostras de uma dimensão global de até
1000x1040x420mm, o que limita o tamanho máximo da amostra. A fonte de laser projeta uma
linha de luz linear de 25mm de largura, cujas imagens são capturadas através de duas
máquinas fotográficas. O escâner escolhe 600 pontos ao longo da largura da linha de laser,
50μm separadamente, com uma precisão de ± 20μm e uma resolução de 10μm, e pode
escanear até 15.000 pontos por segundo, conforme o tamanho do passo de escaneamento
selecionado. O sensor laser pode mover-se automaticamente sobre a amostra através de
caminhos pré-programados para medir a topografia da porção desejada da superfície da
amostra. O sensor tem que manter uma certa distância de foco do objeto designado
(50∼100mm). Um computador executa a coleta e o processamento dos dados em tempo real.
Os pontos de dados coletados consistem nas coordenadas 3-D da superfície do objeto, com
formato de arquivo ASCII ou binário. Resultados de processos de escaneamento diferentes
podem ser combinados e analisados.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
32
FIGURA 3.1: Nove Modelos de Perfis de Superfície de Concreto
[Reproduzida de Maerz et al., 2001]
FIGURA 3.2: Perfis Obtidos com o Equipamento Laser para os Nove Tipos de Superfície de Concreto
da Figura 3.1
[Reproduzida de Maerz et al., 2001]
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
33
FIGURA 3.3: Escâner Laser 3-D Usado para Medir a Topografia de Superfícies
[Reproduzida de Fardin et al., 2001]
3.2 PARÂMETROS DE CARACTERIZAÇÃO DA SUPERFÍCIE DE
FRATURA
A geometria da superfície de fratura, isto é, sua rugosidade ou aspereza, está
relacionada com a dureza do material. Esta abordagem requer uma descrição quantitativa da
superfície de fratura. Por exemplo, no concreto, que é um material frágil, os valores dos
parâmetros que caracterizam a superfície de fratura dependem não apenas da composição e
adesão entre a pasta e o agregado, mas também da escala de observação. Czarnecki
et al.
(2001) investigaram os efeitos de escala nas características geométricas da superfície de
fratura de concreto polímero (concreto no qual uma resina, por exemplo epóxi, substitui o
cimento) com diferentes microestruturas. As superfícies de fratura foram analisadas em
diferentes ampliações e a principal conclusão obtida pelos autores foi que a geometria da
superfície de fratura de concreto polímero depende da escala de observação.
De acordo com Czarnecki
et al. (2001) existem muitos parâmetros úteis na
caracterização da superfície de fratura de materiais frágeis. Entre estes, os três parâmetros
mais comumente usados são:
- Taxa de rugosidade linear do perfil, R
L
, que é definida como o comprimento da linha
do perfil, L, dividida pelo comprimento projetado da linha do perfil, L
0
, ou seja,
R
L
= L / L
0
(3.1)
- Taxa de rugosidade da superfície, R
S
, que é definida como a área real da superfície
de fratura, S, dividida pela área aparente projetada, S
0
, ou seja,
R
S
= S / S
0
(3.2)
- Dimensão fractal, D, a qual foi introduzida na ciência dos materiais por Mandelbrot
(1983) como uma característica de contornos rugosos de objetos. O requerimento básico para
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
34
o contorno fractal é que alguma característica estrutural ou unidade seja seqüencialmente
repetida em diferentes níveis, como observado na Figura 3.4(a). Isto significa que, de um
ponto de vista estatístico, morfologia similar pode ser observada em uma grande faixa de
ampliações da superfície de fratura, e a medida desta mesma similaridade é a dimensão
fractal. Estes parâmetros são apresentados na Figura 3.4.
A geometria da superfície de fratura está relacionada à escala de observação. Isto
implica que a mesma similaridade da superfície de fratura pode não ser estendida sobre todas
as faixas de ampliação. Isso é importante no caso de concretos em que o tamanho dos
agregados varia, praticamente, de 0,01 a 32mm.
FIGURA 3.4: Exemplo de Superfície de Fratura e Parâmetros Caracterizando sua Geometria
[Reproduzida de Czarnecki et al., 2001]
3.2.1 Determinação de R
L
e R
S
Devido a dificuldades técnicas para a medição de R
S
, um perfil de seções
perpendiculares à superfície de fratura é freqüentemente examinado e a taxa de rugosidade do
perfil, R
L
, é calculada com a equação (3.1). A estimação de R
L
de imagens de perfis é fácil
por automatização com medidores de perfis e análise de imagem. Muitos pesquisadores
trabalharam no desenvolvimento de relações entre R
S
e R
L
e várias relações lineares foram
propostas, tais como:
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
35
- Dada por Chermant e Coster (1979):
R
S
≈ 1,75 R
L
- 0,75 (3.3)
- Dada por Wright e Karlsson (1983):
R
S
≈ 1,57 R
L
- 0,57 (3.4)
- Dada por Underwood (1986):
R
S
≈ 1,25 R
L
- 0,27 (3.5)
- Dada por Gokhale e Underwood (1986):
R
S
≈ 1,16 R
L
(3.6)
Segundo Czarnecki
et al. (2001), desenvolvimentos recentes tornaram possível estimar
R
S
de estudos de perfis de fratura sem suposições simplificativas sobre a relação entre R
L
e
R
S
. A taxa de rugosidade da superfície, R
S
, pode ser estimada efetivamente usando o método
das seções verticais, encontrado em Baddeley
et al. (1986). Nesse método, um eixo arbitrário
é escolhido e o espécime de material examinado é cortado paralelo a esse eixo. A seção
deveria ser aleatoriamente localizada e orientada com respeito à geometria do espécime (por
exemplo, perpendicular à superfície de fratura), respeitando a restrição de ser paralela ao eixo.
De acordo com Czarnecki
et al. (2001), Wojnar (1990) propôs um processo de medição de R
S
baseado na contagem de pontos de intersecção do perfil de fratura com uma grade especial de
ciclóides (Figura 3.4(b)). O uso de ciclóides possibilita relacionar a área de fratura ao perfil de
fratura de uma forma direta e esta estimação é independente da ampliação. O valor de R
S
é
calculado com a seguinte fórmula:
R
S
= 2N
c
h
c
/m
c
(3.7)
sendo N
c
o número total de intersecções do perfil com os ciclóides, h
c
a medida da altura do
retângulo expresso como um múltiplo do comprimento do ciclóide e m
c
o número total de
ciclóides contidos no retângulo medido.
3.2.2 Determinação da Dimensão Fractal, D
Há muitas definições e diferentes técnicas que podem ser usadas para estimar a
dimensão fractal de um perfil de superfície de fratura. Embora esses métodos sejam
equivalentes no domínio contínuo, podem diferir quando o perfil é digitalizado por análise de
imagem. O método de contagem de caixas (“box-counting method”) e o método da divisão
(“divider method”) são os comumente usados para caracterizar a superfície de fratura de
concreto e rochas.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
36
O método da contagem de caixas (Figura 3.4(c)) consiste na geração de uma grade de
quadrados (caixas) de dimensões lineares dadas e determinar o número de caixas, N
i
, com
dimensão a
i
, necessárias para cobrir o perfil inteiro. O processo é repetido com
progressivamente menores tamanhos de caixas. E conforme Czarnecki
et al. (2001), a
dimensão fractal é obtida da inclinação α (D
b
= -α) da melhor reta que ajusta os dados bi-
logarítmicos (log(N
i
) x log(a
i
)) para diferentes dimensões a
i
.
O método da divisão consiste em escolher valores seqüencialmente menores de uma
medida padrão de comprimento, r
i
, e medir com esta medida padrão o comprimento total, L
i
,
do perfil inteiro (Figura 3.4(d)). A dimensão fractal está relacionada à inclinação do gráfico
log-log de L
i
versus a medida do tamanho do passo r
i
. O perfil examinado é considerado um
fractal em toda a escala de observação quando o resultado obtido do gráfico log(L
i
) - log(r
i
) é
aproximadamente uma linha reta com uma inclinação negativa α = 1-D. O comprimento total
do perfil, L
i
, é freqüentemente substituído por suas medidas relativas R
L
ou R
S
. Neste caso a
dimensão fractal está relacionada à inclinação dos dados bi-logarítmicos log(R
L
) - log(r
i
) ou
log(R
S
) - log(r
i
), respectivamente.
3.3 RESULTADOS DE TESTES EM SUPERFÍCIES DE CONCRETO
Czarnecki
et al. (2001) realizaram testes de flexão em sete vigas de concreto epóxi
com diferentes composições. A superfície de fratura de cada tipo de concreto criada durante o
teste de flexão foi examinada com as seguintes ampliações: 10x, 25x, 63x, 160x e 400x. Os
perfis das superfícies de fratura (Figura 3.5) foram obtidos de acordo com o método da seção
vertical. Com isso, determinaram-se os valores de R
L
, R
S
e D para cada uma das sete vigas e
para cada ampliação. A Figura 3.6 mostra os gráficos dos parâmetros encontrados para cada
tipo de concreto epóxi em função de cada ampliação examinada. Os valores de R
L
foram
obtidos com a equação (3.1), as medidas dos valores de R
S
foram baseadas na contagem dos
pontos de intersecção do perfil de fratura digitalizado com a grade de ciclóides, sendo os
valores de R
S
calculados com a equação (3.7) e a determinação da dimensão fractal de cada
uma das sete vigas foi feita com a utilização do método de contagem de caixas.
Dos resultados obtidos, Czarnecki
et al. (2001) concluíram que o concreto epóxi não
pode ser considerado um fractal. A investigação da geometria da superfície de fratura deve ser
feita na mesma ampliação. A relação entre R
S
e R
L
para os concretos epóxis testados (Figura
3.7) pode ser aproximada, para toda a faixa de ampliações, por uma dependência linear:
R
S
≈ 1,45 R
L
- 0,41 (3.8)
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
37
FIGURA 3.5: Exemplos de Perfis de Superfície de Fratura de Concreto Epóxi: (a) Ampliação de 10x;
(b) Ampliação de 160x
[Reproduzida de Czarnecki et al., 2001]
FIGURA 3.6: Parâmetros de Caracterização das Superfícies em Função da Ampliação: (a) Taxa de
rugosidade do perfil; (b) Taxa de rugosidade da superfície; (c) Dimensão fractal
[Reproduzida de Czarnecki et al., 2001]
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
38
FIGURA 3.7: Taxa de Rugosidade da Superfície em Função da Taxa de Rugosidade do Perfil
[Reproduzida de Czarnecki et al., 2001]
3.4 CARACTERIZAÇÃO DA SUPERFÍCIE DE FRATURA DE ROCHAS
A determinação precisa da rugosidade da superfície de rochas em grande escala é
essencial para um estudo aprofundado sobre o processo de deslizamento com atrito. A
rugosidade da superfície de rochas é geralmente caracterizada usando amostras pequenas.
Porém, como os parâmetros de rugosidade de rochas são dependentes da escala e suas
descrições mudam com a escala, é necessária uma investigação aprofundada para entender o
efeito de escala na rugosidade da superfície de rochas. Ou seja, um dos problemas mais
importantes, mas ainda não resolvidos na mecânica das rochas é a precisa caracterização da
rugosidade da superfície de rochas na escala relevante.
Como a rugosidade da superfície de juntas de rochas afeta os comportamentos
mecânicos e hidráulicos de massas de rochas, um grande número de investigadores tentou
estabelecer um método adequado e preciso para caracterizar a rugosidade da superfície de
juntas de rochas e relacionar este parâmetro às propriedades hidro-mecânicas. Para quantificar
a rugosidade da superfície de juntas de rochas, uma variedade de parâmetros tem sido
proposta. O coeficiente de rugosidade da junta (JRC), proposto por Barton (1973) e estudado
em mais detalhes no capítulo 4, é muito usado na prática. Os valores de JRC escalam a
rugosidade da junta na faixa de 20 (rugosa) a 0 (lisa) e podem ser determinados por testes de
inclinação (“tilt tests”), empurrar ou puxar (“push or pull tests”) nas amostras de rocha.
Muitos pesquisadores também têm investigado a aplicabilidade de vários parâmetros
estatísticos convencionais para calcular o JRC, tais como Wu e Ali (1978), Tse e Cruden
(1979), Krahn e Morgenstern (1979), Dight e Chiu (1981), Maerz
et al. (1990) e Reeves
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
39
(1990). Porém, pesquisas detalhadas de laboratório indicaram que JRC não só varia de fratura
para fratura, mas também com a escala, conforme apresentado por Bandis
et al. (1981) e
discutido em mais detalhes no capítulo 4. A limitação de JRC e dos parâmetros estatísticos
convencionais na quantificação da rugosidade da rocha também foi relatada por Kulatilake
et
al. (1995). Então, a rugosidade da superfície de juntas de rochas precisa ser caracterizada
usando um parâmetro invariante com a escala.
De acordo com Lanaro (2000) e Fardin
et al. (2001), nos últimos anos, devido ao
trabalho pioneiro de Mandelbrot (1983) sobre geometria fractal, tem havido vários estudos
para investigar a aplicabilidade de modelos fractais para caracterizar a rugosidade da
superfície de fratura. O interessante de um modelo fractal está em sua habilidade para predizer
o comportamento de escala, isto é, a relação entre a geometria da superfície observada a
escalas diferentes. Fractais podem ser tanto auto-semelhantes (“self-similar fractals”) quanto
auto-compatíveis (“self-affine fractals”). Se uma superfície é auto-semelhante, uma porção
pequena da superfície, quando aumentada isotropicamente, será estatisticamente idêntica para
a superfície inteira. Se uma superfície é auto-compatível, uma porção aumentada da superfície
só será estatisticamente idêntica para a superfície inteira se escalas de ampliação diferentes
são usadas para as direções paralela e perpendicular à superfície. Estudos extensos mostraram
que as superfícies de rocha natural têm as propriedades dos auto-compatíveis, de acordo com
Mandelbrot (1983), Brown e Scholz (1985), Odling (1994), Kulatilake
et al. (1995) e Lanaro
(2000). Vários métodos foram sugeridos na literatura para estimar os parâmetros fractais da
rugosidade da superfície da rocha. De acordo com Fardin
et al. (2001), os métodos
variograma (Orey, 1970), espectral (Berry e Lewis, 1980), escalamento de linha (Matsushita e
Ouchi, 1989) e comprimento de rugosidade (Malinverno, 1990) parecem adequados para
serem aplicados a perfis auto-compatíveis. Kulatilake
et al. (1997, 1999) estudaram os
parâmetros fractais para perfis 2-D e investigaram a precisão dos parâmetros fractais
estimados usando métodos diferentes. Recentemente, Lanaro (2000) utilizou uma máquina de
escaneamento laser tridimensional e digitalizou a topografia de superfícies de juntas de rochas
determinando a rugosidade das juntas. Este método aumenta grandemente a densidade dos
dados coletados e a precisão das medidas. Além disso, também permite às superfícies serem
consideradas como um todo e não como um conjunto de seções transversais discretas e
independentes.
Barton e Choubey (1977) confirmaram que a rugosidade da superfície é uma fonte
potencial de efeito de escala. Para obter a rugosidade da superfície de rochas em grande escala
é necessário um método seguro para extrapolar os dados de laboratório a escalas de campo.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
40
Brown e Scholz (1985) estudaram a variabilidade da rugosidade da rocha com o tamanho da
superfície e encontraram que a topografia das superfícies de rochas naturais não pode ser
descrita com uma única dimensão fractal. Usando duas amostras de rocha pequena de 90mm x
180mm, Lanaro (2000) investigou a estacionariedade da rugosidade da rocha e concluiu que
há um limite de estacionariedade abaixo do qual não podem ser extraídas propriedades
estatísticas seguras da superfície da rocha. De acordo com Fardin
et al. (2001), estudos
adicionais de Xie
et al. (1997) mostraram que os parâmetros fractais são dependentes da
escala que surge do tamanho de amostragem, intervalo amostral e a resolução do instrumento
de escanear.
Embora estudos prévios tenham fornecido informação importante a respeito da precisa
caracterização da rugosidade da superfície da rocha, a maioria dos estudos concentrou-se em
caracterizar a rugosidade da superfície da rocha usando amostras pequenas e nenhum estudo
sistemático foi feito para investigar o efeito de escala usando amostras de rocha 3-D grandes.
Então, um alto grau de empirismo ainda permanece na caracterização de massas de rochas em
relação a valores de rugosidades que são usados em modelos constitutivos para rocha.
Freqüentemente há incerteza relativa a escala dos resultados experimentais com condições de
campo. São usados métodos empíricos para colocar em escala os resultados experimentais em
pequena escala para propriedades em grandes escalas da massa de rocha e sistemas de fratura
ainda são controlados com métodos empíricos. Há uma necessidade de um entendimento mais
profundo da geometria de rochas e de técnicas mais poderosas e precisas para caracterização
das mesmas.
3.4.1 Caracterização Através da Teoria de Campos Aleatórios
Conforme apresentado no capítulo 2, e agora por Lanaro (2000), a caracterização da
superfície de fratura de uma rocha pode ser feita através da teoria de campos aleatórios. Uma
amostra de junta de rocha particular é apenas uma das amostras possíveis que poderiam ser
coletadas de uma certa junta, e esta é apenas uma medida entre todas as juntas na massa de
rocha. Segue que o observado é só uma realização de um processo que em parte pode ser
determinístico, e em parte aleatório ou estocástico. Por isso, deve ser garantido que o que é
observado e medido na amostra é representativo para a junta ou conjunto de juntas. Em outras
palavras, há modos para quantificar estas observações de forma que amostras diferentes da
mesma junta ou juntas diferentes para o mesmo conjunto de juntas dêem o mesmo resultado?
A aleatoriedade de um processo pode ser corretamente controlada se o processo é
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
41
estacionário, e o processo é ergódico se uma amostra for representativa de todas as possíveis
amostras.
Quando um fenômeno físico, y(x) (por exemplo, altura da rugosidade), pode ser
considerado como um campo aleatório, suas características podem ser determinadas
calculando-se a média das propriedades do processo que são funções da posição, x. Estes
cálculos de médias normalmente produzem o valor médio e a função de auto-covariância
entre as propriedades de processos aleatórios que acontece a uma certa distância ou
comprimento de retardo, β. A auto-covariância mede a força de correlação entre os valores de
uma função separada por uma distância β e, em outras palavras, descreve a estrutura espacial
da função. O valor médio, m
μ
, e a função de auto-covariância, cov(y, y’), são definidos como
segue (por exemplo, Bendat e Piersol (1986)):
() (){
xyEdxxy
X
1
limm
X
0
X
==
∫
→∞
μ
}
, (3.9)
() ()() ()(){}
2
X
0
X
mxyxyEdxxyxy
X
1
lim'y,ycov
μ
∞→
−β+=β+=
∫
, (3.10)
onde X é o domínio de x do processo (campo) aleatório; y’ = y(x+β); o operador E{} fornece
o valor esperado; o vetor x representa uma posição particular no domínio X e β representa o
intervalo de retardo. A variância do processo aleatório, var(y) = , é a covariância definida
pela equação (3.10), quando a distância de retardo é nula.
2
y
σ
Os parâmetros estatísticos descritos podem ser funções do determinado domínio de
investigação X, dentro do qual eles são calculados, e da distância de retardo β, mas também
eles podem depender só do intervalo de distância β. Neste último caso, o processo aleatório é
dito estacionário de segunda ordem ou estacionário no sentido geral. A definição de
estacionariedade do processo aleatório, porém, deveria incluir alguns outros momentos
estatísticos. Se a invariância de todas as propriedades estatísticas com respeito à posição x
persiste para momentos de ordem mais alta, então o processo aleatório é dito fortemente
estacionário.
As propriedades estatísticas dos processos aleatórios deveriam ser deduzidas do
conjunto inteiro de valores, mas normalmente há acesso apenas a algumas amostras ou poucas
realizações do processo aleatório. Se as propriedades estatísticas definidas nas equações (3.9)
e (3.10) são as mesmas para todas as realizações ou amostras do processo, então o processo é
chamado ergódico. As propriedades estatísticas de um processo ergódico podem ser
deduzidas calculando a média de uma única realização ou amostra.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
42
Quando as propriedades estatísticas de uma amostra particular tomada do processo
forem estacionárias, os dados amostrados são ditos estacionários, e normalmente as
propriedades médias não variam significativamente de uma amostra ou intervalo para o outro
(Bendat e Piersol, 1986). Isto significa que as estatísticas observadas da amostra são
ligeiramente diferentes das estatísticas do processo, mas estacionariedade da amostra também
indica estacionariedade do processo aleatório. Na prática, dados amostrados de fenômenos
físicos que mostram estacionariedade são freqüentemente também ergódicos.
Estacionariedade de uma amostra de dados justificaria a suposição de estacionariedade e
ergodicidade do processo aleatório.
Alguns processos físicos não têm uma variância ou função de covariância. Porém,
seus incrementos expressam-se como:
()
(
)
xyxyyyy
'
−β+=−=Δ
ββ
(3.11)
podem possuir uma variância ou função de auto-covariância (β em Δy
β
e y’
β
é um sobrescrito
e não um expoente). Em tal caso particular, o incremento do processo aleatório é dito
intrinsecamente estacionário, e possui as relações seguintes:
{
}
()
(
){
xyxyEyyE0
'
−β+=−=
}
(3.12)
()
()()()
{
}
(
)
βγ=−β+=Δ
β
y
2
'
xyxyEyvar
(3.13)
onde var() representa o operador de variância e γ
y
() é a função variograma. Estacionariedade
de segunda ordem implica estacionariedade intrínseca, mas o inverso não é necessariamente
verdade. Um processo aleatório cujos incrementos são estacionários de segunda ordem
necessariamente é intrinsecamente estacionário, mas sua estacionariedade de segunda ordem
não está garantida.
Rearranjando os termos na equação (3.10), a auto-covariância do processo y pode ser
expressa como função do variograma como segue:
()
() () ()
βγ−σ=βγ−=
y
2
yy
'
2
1
2
1
yvary,ycov
(3.14)
que define a relação entre a covariância e o variograma de um processo aleatório com
estacionariedade de segunda ordem.
Quando um processo aleatório não exibe uma média constante, m
μ
, a definição de
valores amostrais reduzidos, y
r
(x), pode ser dada. Amostrando um intervalo x de comprimento
h, a tendência da amostra ou regressão linear, l(x), pode ser avaliada e subtraída da própria
amostra, conforme apresentado na Figura 3.8:
y
r
(x) = y(x) - l(x) (3.15)
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
43
y
r
y
FIGURA 3.8: Altura da Rugosidade, y, Altura da Rugosidade Reduzida, y
r
, Regressão Linear da
Superfície, l, em relação a uma linha de base O-X
[Reproduzida de Lanaro, 2000]
O valor médio do recentemente definido valor de amostra reduzido é claramente zero
e a variância destes valores é a variância da regressão linear, :
2
y
r
σ
E{y
r
} = E{y(x) - l(x)} = 0 (3.16)
{}
() ()
(
)
{
}
2
y
2
2
r
r
σxlxyEyvar =−=
(3.17)
A equação (3.17) pode ser considerada equivalente à equação (3.13), e assim
corresponde à segunda hipótese de estacionariedade intrínseca. A covariância e o variograma
dos incrementos dos valores de amostra reduzidos também podem ser calculados de acordo
com as equações (3.10) e (3.13).
Como explicitado anteriormente, muitos estudos mostraram que as superfícies de
rochas poderiam ser tratadas como fractais auto-compatíveis. Baseado nesta suposição, para
amostras de superfície de tamanho h, a variância da altura da rugosidade reduzida, y
2
y
r
σ
r
,
segue uma lei potencial com expoente 2H:
H2
h
2
y
hG|
2
r
σ
=σ (3.18)
onde H é o expoente de Hurst e é uma constante de proporcionalidade. Se em alguma
posição a altura da rugosidade aumentar, provavelmente também aumentará nos pontos da
vizinhança. A variância da inclinação da rugosidade para um certo tamanho de janela h é
expressa por:
2
G
σ
()
()()
()()()
{}
()
2
y
2
rr
2
2
rr
2
slopes
h
h
xyhxyE
h
1
h
xyhxy
Eh
r
γ
=−+=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
=σ
(3.19)
Da equação (3.19) segue que a variância da inclinação da rugosidade da superfície
é proporcional ao variograma da superfície,
2
slopes
σ
r
y
γ
. E, conforme Lanaro (2000), para um
objeto fractal, o variograma segue uma lei potencial do tamanho de amostragem, h:
()
H2
y
hGh
r
γ
=γ (3.20)
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
44
Substituindo a equação (3.20) na equação (3.19) obtém-se:
2H22
slopes
hG
−
γ
=σ (3.21)
que é a lei potencial da variância da inclinação da superfície.
Para cada tamanho de amostragem, h, é obtido um valor diferente da variância da
altura da rugosidade reduzida. Então a equação (3.14) pode ser mudada ligeiramente para:
()
() ()
βγ−σ=β=
rr
yh
2
yh
'
rr
2
1
||covy,ycov
. (3.22)
A auto-covariância de uma junta de superfície na equação (3.22) dá uma medida da
correlação entre as alturas da rugosidade para uma distância de retardo β. Tal expressão é
válida para comprimentos de retardo menores que h. Por conseguinte, o variograma sempre é
limitado, conforme apresentado na Figura 3.9.
cov(y,y’
β
)
β
β
β
FIGURA 3.9: Auto-Covariância e Variograma da Altura da Rugosidade Reduzida versus o
Comprimento de Retardo para um Certo Tamanho de Amostra
[Reproduzida de Lanaro, 2000]
Usualmente, quando a função de correlação das alturas das rugosidades reduz-se a um
décimo do valor que teve para β = 0, é considerado que a altura da rugosidade já não é
correlacionada; o comprimento de retardo correspondente é chamado o comprimento de
correlação. O comprimento de correlação também pode ser avaliado tomando o valor do
comprimento de retardo β para o qual a função de covariância da altura da rugosidade se torna
zero. Substituindo as equações (3.18) e (3.20) na equação (3.22) e equacionando para zerar a
covariância ao comprimento de retardo β, pode-se obter:
()
H2H2
h
G
2
1
hG|cov0
2
β−=β=
γ
σ
(3.23)
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
45
A distância de retardo para covariância zero, β
c
, será:
h
G
G2
H21
c
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=β
γ
σ
(3.24)
A equação (3.24) mostra que o comprimento de correlação, β
c
, para um fractal auto-
compatível aumenta linearmente com o tamanho de amostra, h , conforme Poon
et al. (1992).
De acordo com Lanaro (2000), para um certo tamanho de amostragem a variância das
alturas da rugosidade pode alcançar um patamar para um tamanho de amostragem, chamado
de limite de estacionariedade da rugosidade. Além deste limite, o variograma das alturas da
rugosidade torna-se constante como todos os outros parâmetros estatísticos da superfície da
rocha. Por outro lado, abaixo deste limite não há nenhuma restrição para o expoente de Hurst
da superfície da rocha, a qual poderia variar como uma função do tamanho de amostragem.
Exemplo Prático
Com o objetivo de conferir a validade de um modelo fractal da geometria de fratura,
Lanaro (2000) estudou duas amostras de rochas naturais: amostra A, xisto de Offerdal da
Suécia Central, e amostra B, gneiss básico da área de Estocolmo, Suécia. As superfícies
escaneadas de ambas as amostras foram aproximadamente 90x180mm e em torno de 500.000
pontos foram medidos com uma densidade de 1ponto/0,03mm
2
.
Para caracterizar as superfícies dessas amostras de rochas, Lanaro (2000) analisou a
variação das propriedades estatísticas da altura da rugosidade reduzida dessas amostras,
representadas pelos desvios padrões das alturas das rugosidades e das inclinações das
rugosidades. O valor médio das alturas de rugosidade reduzidas é espacialmente invariante
desde que seja zero para toda amostra de tamanho, h. Além disso, é admitida isotropia da
rugosidade da rocha. Também estudou como estas estatísticas mudam com a escala,
analisando-se porções das amostras de tamanhos diferentes.
Foram processados dados coletados para estudar a dependência da escala das
estatísticas da altura da rugosidade, y. Áreas quadradas foram amostradas nas superfícies
escaneadas, de tamanho h de 2, 5, 10, 20 e 30mm para a amostra A e 2, 5, 10, 20, 40 e 60mm
para amostra B, respectivamente. Foram calculadas as distâncias entre os pontos na superfície
e as faces planas para um certo tamanho de amostragem. Estes definiram a altura de
rugosidade reduzida, y
r
(Figura 3.8). Seu desvio padrão,
r
y
σ
, aumenta quando o tamanho de
amostragem, h, aumenta, como mostrado na Figura 3.10 para as amostras A e B,
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
46
respectivamente. O desvio padrão para cada tamanho de amostragem constituiu um conjunto
aleatório, no qual as distribuições de freqüência são Gaussianas (Figura 3.10). Os picos das
distribuições de desvio padrão para as duas amostras estão alinhados no diagrama log-log que
reflete a equação (3.18). Em particular, os expoentes de Hurst obtidos são 0,529 e 0,737,
enquanto as constantes de proporcionalidade são 4,49x10
2
G
σ
-4
mm
0,942
e 5,57x10
-4
mm
0,526
para as amostras A e B, respectivamente. Porém, para amostra A, o diagrama exibe um platô
quando o tamanho de amostragem cresce mais que 20 mm.
A orientação e a inclinação das faces planas em relação a um sistema de referência no
plano médio de fratura define as inclinações das rugosidades. A variância das inclinações das
faces, , depende do tamanho de amostragem. Assim, a variância das inclinações é
computada para tamanhos de amostragem diferentes e o gráfico log-log obtido é linear para
ambas as amostras A e B, como apresentado na Figura 3.11, na qual as leis potenciais que
interpolam a variância das inclinações também são determinadas. Os expoentes de Hurst
obtidos ajustando as leis potenciais são 0,749 e 0,466 para amostras A e B, respectivamente.
Os resultados apresentam boa concordância com aqueles obtidos do desvio padrão da altura
de rugosidade reduzida.
2
slope
σ
A topografia da superfície da rocha pode então ser descrita por dois parâmetros
estatísticos que dependem da escala: o desvio padrão da altura de rugosidade reduzida,
r
y
σ
, e
o desvio padrão das inclinações da face plana,
slope
σ
.
FIGURA 3.10: Desvio Padrão da Altura da Rugosidade Reduzida versus o Tamanho da Amostra
[Reproduzida de Lanaro, 2000]
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
47
A
B
FIGURA 3.11: Variância da Inclinação das Faces Planas versus o Tamanho da Amostra
[Reproduzida de Lanaro, 2000]
Comparando resultados de muitas amostras com o mesmo tamanho h, Lanaro (2000)
observou que o desvio padrão da altura de rugosidade reduzida apresenta um histograma com
distribuição Gaussiana, como também observado por Schmittbuhl
et al. (1995). Pode-se então
calcular a média de amostras diferentes e supõe-se a existência de um único desvio padrão e
variância da altura de rugosidade reduzida para um certo tamanho de amostra. Isto implica
que a variância é constante para um tamanho de amostra escolhido e a hipótese de
estacionariedade de segunda ordem da altura de rugosidade reduzida é cumprida.
Entretanto, como mostrado por resultados experimentais (Figura 3.10), embora o
desvio padrão da altura da rugosidade reduzida exista, ele não é constante quando amostras de
tamanhos diferentes são analisadas. Além disso, a suposição de que a altura da rugosidade
reduzida é estacionária de segunda ordem significa que a covariância deveria ser uma função
do tamanho de amostra. Em outras palavras, a variância também deveria ser dependente da
escala. Segundo Lanaro (2000), alguns autores, tais como Liu e Sterling (1990), Gentier e
Riss (1990) e Sun
et al. (1995), que consideraram estacionariedade de segunda ordem para as
alturas de rugosidade reduzidas, obtiveram resultados razoáveis.
A análise dos dados mostra que os modelos fractais aplicam-se até que a
estacionariedade acontece para amostras suficientemente grandes que se comportam como
variáveis aleatórias. Estes tamanhos de amostra são definidos como limites de
estacionariedade da rugosidade, ou seja, a maior escala ou tamanho de amostra aos quais as
superfícies de rochas deixam de ser fractal é chamada seu limite de estacionariedade. Além
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
48
deste tamanho, as amostras de rochas exibem propriedades estatísticas constantes, ou em
outras palavras, tornam-se estacionárias.
3.4.2 Caracterização Através da Teoria de Fractais
Com o objetivo de determinar a rugosidade representativa da superfície de rochas além
de seu limite de estacionariedade usando dados obtidos no laboratório, Fardin
et al. (2001)
digitalizaram a superfície de uma réplica de borracha de silicone, de tamanho 1000mm x
1000mm, que foi modelada em situ de uma superfície de rocha natural. A rugosidade da
superfície da réplica foi determinada em escalas diferentes, de uma escala pequena (100mm x
100mm) à amostra inteira. A topografia da superfície da réplica foi digitalizada usando um
escâner laser 3-D (Figura 3.3) que tem precisão e resolução altas. Antes de fazer a réplica
principal, uma réplica pequena foi feita de uma amostra de rocha no laboratório. Tanto a
superfície da amostra de rocha quanto a da réplica obtida foram escaneadas no laboratório
usando a máquina de escaneamento laser tridimensional. Os resultados obtidos mostraram que
amostra e réplica têm as mesmas características morfológicas. Isto provou a adequabilidade
da técnica de réplica escolhida.
De acordo com Fardin
et al. (2001), entre os métodos tradicionais, estatísticos e
matemáticos, a teoria fractal tem indicado que é capaz de descrever objetos irregulares
quantitativamente. Um modelo fractal, como um modelo matemático particular da geometria
irregular, pode predizer a relação entre a geometria da superfície observada em escalas
diferentes. A dimensão fractal D, relacionando o tamanho total do conjunto e o tamanho dos
elementos que cobre, descreve a propriedade de escala de uma geometria irregular. Segundo
Fardin
et al. (2001), pelo menos dois parâmetros são exigidos para caracterizar um objeto
fractal auto-compatível: (1) a dimensão fractal D, que tipicamente descreve como a
rugosidade muda com a escala; e (2) o parâmetro de amplitude A, que especifica a variância
ou inclinação da superfície a uma escala de referência. A estrutura de auto-correlação da
superfície é capturada pela dimensão fractal D, ou pelo expoente de Hurst H (0 < H < 1). Os
parâmetros H e D estão relacionados pela relação H = E
u
– D, onde E
u
é a dimensão
Euclidiana (E
u
= 3 para uma superfície e E
u
= 2 para um perfil) para um objeto fractal auto-
compatível. Tanto a auto-correlação (isto é H ou D) quanto a amplitude (A) de uma superfície
contribuem para a rugosidade da superfície. A dimensão fractal sozinha não é suficiente para
quantificar a rugosidade da rocha.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
49
Como dito anteriormente, na literatura foram sugeridos métodos diferentes para
estimar D e A para representar a rugosidade de uma superfície de rocha, como o variograma
(Orey, 1970), espectral (Berry e Lewis, 1980), escalamento de linha (Matsushita e Ouchi,
1989), comprimento de rugosidade (Malinverno, 1990) e função de estrutura (Odling, 1994).
Entre estes métodos possíveis, seguindo o trabalho de Fardin
et al. (2001), optou-se por
calcular os parâmetros fractais com base no Método de Comprimento da Rugosidade (RLM).
O RLM foi proposto originalmente para calcular parâmetros fractais de perfis 2-D
(Malinverno, 1990 e Kulatilake e Um, 1999). A vantagem principal do RLM, comparado a
outros métodos, é sua capacidade de remover uma tendência global plana de um perfil.
Para um perfil fractal auto-compatível, há uma lei potencial relacionando o desvio
padrão das alturas do perfil , e o comprimento da janela amostral do perfil, h, como
segue (Lanaro, 2000):
()
h
r
y
σ
()
h
r
y
σ
= Ah
H
, (3.25)
sendo H e A o expoente de Hurst e uma constante de proporcionalidade, respectivamente. A
constante de proporcionalidade A, está definida como uma medida de amplitude de um perfil
(parâmetro de amplitude). é calculado como o valor da raiz quadrática média (r.m.s.)
dos resíduos de altura do perfil de um ajuste de tendência linear com os pontos da amostra em
uma janela de comprimento h, de acordo com a equação seguinte:
()
h
r
y
σ
() ()
()
∑∑
=∈
−
−
==
h
i
r
n
1i
2
hj
rrj
ih
y
yy
2n
1
n
1
hrmshσ
, (3.26)
sendo n
h
o número total de janelas de comprimento h, n
i
o número de pontos na janela h
i
, y
rj
os resíduos na tendência e
r
y
o resíduo médio na janela h
i
.
Se um gráfico log-log de
(
)
h
r
y
σ
versus h dá uma linha aproximadamente reta, os
parâmetros H e A podem ser estimados facilmente como a inclinação e o intercepto da linha
obtida, respectivamente (Figura 3.12). Na equação (3.25), quando h = 1, segue que
(
)
h
r
y
σ
=
A. Como unidades diferentes (mm, cm, m, km) podem ser usadas para representar h,
diferentes valores de A são possíveis para a mesma superfície dependendo da unidade usada
para h. Isso significa que o efeito de escala para rugosidade de rocha pode ser capturado por
este parâmetro de amplitude A.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
50
σ
yr
(h) (mm)
h (mm)
FIGURA 3.12: Desvio Padrão da Altura da Rugosidade Reduzida versus o Comprimento do Perfil
[Reproduzida de Fardin et al., 2001]
A metodologia anterior pode ser desenvolvida facilmente para calcular parâmetros
fractais da rugosidade da superfície de rocha 3-D. Neste caso, uma lei potencial entre o desvio
padrão das alturas da superfície residuais
(
)
h
r
y
σ
, e o tamanho da janela de amostragem h,
está definida para uma superfície auto-compatível, na mesma forma como a equação (3.25).
Para calcular os parâmetros fractais, a superfície da rocha é dividida em uma grade de
quadrados de tamanho da janela desejado (h). Para cada quadrado, um plano de ajuste local é
definido por uma análise de regressão de mínimos quadrados. Os resíduos da altura da
rugosidade, definidos como a distância normal entre as alturas da rugosidade da superfície e
seus planos de ajuste locais, e r.m.s.(h) são então calculados para cada quadrado. Os
parâmetros usados na equação (3.26) são agora redefinidos como: n
h
, o número total de
janelas quadradas de comprimento de lado h; n
i
, o número de pontos na janela quadrada h
i
; y
rj
,
os resíduos da altura da rugosidade na tendência e
r
y
, a altura da rugosidade residual média
na janela quadrada h
i
, respectivamente.
Para estudar o efeito de escala na rugosidade da superfície da réplica, a superfície
digitalizada da réplica foi analisada sistematicamente com base no RLM. Dez janelas de
amostragem quadradas de tamanhos diferentes - de 100mm x 100mm a 1000mm x 1000mm -
foram escolhidas da parte central da superfície digitalizada da réplica. Para calcular os
parâmetros fractais D e A, de cada janela de amostragem, séries diferentes de tamanhos de
janela de 2%, 4%, 5%, 6,66% e 10% do comprimento total da amostra foram considerados. O
problema principal para analisar as janelas de amostragem com objetos maiores é o número
enorme de pontos de dados digitalizados, e então, muito tempo é necessário para analisar
essas amostras. Para resolver este problema, foi decidido diminuir a densidade de dados
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
51
(número de pontos de dados por unidade de comprimento) das janelas de amostragem
maiores, aumentando gradualmente a separação dos intervalos de dados (a distância entre dois
pontos adjacentes) com aumento do tamanho da janela de amostragem. Este procedimento foi
adotado de acordo com critérios sugeridos para caracterização precisa da rugosidade da
superfície da rocha usando métodos de RLM de Kulatilake e Um (1999). Para janelas de
amostragem com tamanho maior, intervalos de separação maiores são selecionados. Então, o
número total de pontos de dados para todas as janelas de amostragem foi selecionado
igualmente, com aproximadamente 250.000 pontos uniformemente distribuídos.
Para cada janela de amostragem, os desvios padrões da altura de rugosidade reduzida
, foram calculados para séries definidas de tamanhos de janela h, de acordo com a
equação (3.26). Antes de determinar os parâmetros fractais de cada janela de amostragem, o
efeito do aumento da separação dos intervalos na caracterização precisa teve que ser
investigado. Então, os desvios padrões da altura da rugosidade reduzida obtidos para janelas
com o mesmo tamanho, mas diferentes separações de intervalos foram comparados e suas
sensibilidades para intervalos de separação foi investigada. Como ilustrado na Figura 3.13, os
desvios padrões da altura da rugosidade reduzida de janelas com o mesmo tamanho caíram na
faixa apropriada e permanecem quase estáveis desconsiderando os intervalos de separação.
Então, os parâmetros fractais de todas as janelas de amostragem podem ser determinados com
a mesma confiança e precisão.
()
h
r
y
σ
FIGURA 3.13: Desvios Padrões da Altura da Rugosidade Reduzida versus Janelas com Tamanhos
h (mm)
σ
yr
(h) (mm)
Separações
Iguais, mas Separações Diferentes
[Reproduzida de Fardin et al., 2001]
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
52
(
)
h
r
y
σ
Para avaliar os parâmetros fractais, em função de h relacionado são graficados
separadamente, para cada janela de amostragem, nos seguintes diagramas log-log (Figura
3.14) os quais mostram relações lineares muito boas existentes entre os desvios padrões da
altura de rugosidade reduzida e os tamanhos das janelas para as janelas de amostragem com
tamanhos diferentes. Então, os parâmetros fractais D e A, de cada janela de amostragem
podem ser estimados facilmente através de análise de regressão de lei potencial nos dados
obtidos. As linhas de ajuste obtidas e suas equações da lei potencial relacionada também são
mostradas na Figura 3.14.
Como mencionado anteriormente, os expoentes de Hurst H, são obtidos como as
inclinações destas linhas ajustadas. As dimensões fractais D, de todas as amostras podem ser
obtidas facilmente da relação de D = 3 – H. Os parâmetros de amplitude A, também podem
ser extraídos diretamente do coeficiente constante destas equações. Para entender o efeito de
escala nos dados obtidos, todos os gráficos mostrados na Figura 3.14 são regraficados na
Figura 3.15 a qual mostra em média, inclinações das linhas ajustadas aumentadas com o
aumento do tamanho da janela de amostragem. As inclinações das linhas ajustadas para
tamanhos de janela pequenos são pequenas comparadas com aquelas de janelas de
amostragem maiores (Linha a na Figura 3.15). Isto significa que janelas de amostragem
menores têm H menor, e então dimensões fractais maiores. De acordo com a Figura 3.15,
porém, com o aumento do tamanho da janela de amostragem, a inclinação da linha ajustada
aumenta e permanece quase constante (Linha b na Figura 3.15).
Os parâmetros fractais calculados D e A, para caracterizar a rugosidade da superfície
das janelas de amostragem selecionadas com tamanhos diferentes são apresentados na Tabela
3.1, que mostra que a dimensão fractal D e o parâmetro de amplitude A, são dependentes da
escala e diminuem com o aumento do tamanho da janela de amostragem. Esta diminuição é
limitada a um certo tamanho de amostra, aproximadamente 500mm (Figuras 3.16 e 3.17,
respectivamente), representando o limite de estacionariedade da réplica. Em tamanhos
menores que o limite estacionário, a rugosidade da superfície das rochas é dependente da
escala. Além deste limite, seu comportamento morfológico será independente da escala ou
seus parâmetros fractais permanecerão constantes.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
53
σyr (mm)
h
(
mm
)
h
(
mm
)
FIGURA 3.14: Lei Potencial que Relaciona σ
yr
e h de Dez Janelas de Amostragem com Diferentes
Tamanhos (de (a) 100x100mm a (j) 1000x1000mm)
[Reproduzida de Fardin et al., 2001]
h
(
mm
)
h
(
mm
)
h
(
mm
)
h
(
mm
)
h
(
mm
)
h
(
mm
)
h
(
mm
)
h
(
mm
)
σyr (mm)
σyr (mm)
σyr (mm)
σyr (mm)
σyr (mm)
yr (mm) σ
σyr (mm)
σyr (mm)
σyr (mm)
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
54
σyr (mm)
h (mm)
FIGURA 3.15: Desvios Padrões da Altura da Rugosidade Reduzida versus o Tamanho da Janela
[Reproduzida de Fardin et al., 2001]
TABELA 3.1: Parâmetros Fractais das Amostras
(Extraída de Fardin et al., 2001)
Janela de Amostragem
(mm x mm)
A
D
(mm)
100 x 100 2,4207 0,0188
200 x 200 2,3740 0,0179
300 x 300 2,3193 0,0161
400 x 400 2,2850 0,0149
500 x 500 2,2721 0,0140
600 x 600 2,2664 0,0139
700 x 700 2,2670 0,0141
800 x 800 0,0146 2,2779
900 x 900 2,2687 0,0141
1000 x 1000 2,2822 0,0148
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
55
FIGURA 3.16: Relação entre a Dimensão Fractal e o Tamanho da Janela de Amostragem
[Reproduzida de Fardin et al., 2001]
FIGURA 3.17: Relação entre o Parâmetro de Amplitude e o Tamanho da Janela de Amostragem
[Reproduzida de Fardin et al., 2001]
Conforme se observa das Figuras 3.16 e 3.17, os dados têm comportamento
dependente da escala, m alcançar este limite de
estacionariedade, seus valores pe . Dos dados calculados observa-
se ionariedade pa
aproximada mm. Então, os par fractais para descrever a rugosidade da
superfície da réplica em escala de campo ser extraídos de amostras que têm um
tamanho ig r que o limite de est . Os r s obtidos de
amostras co menor não serão representativos.
3.4.3 Comentários Finais
Lanaro (2000) investigou a dependência da escala da rugosidade da superfície de
rochas inspecionando o comportamento global do desvio padrão da altura da rugosidade com
as limitado a um certo tamanho, e depois de
rmanecem quase constantes
que o limite de estac ra rugosidade da superfície da réplica é
mente 500 âmetros
podem
ual ou maio acionariedade de 500mm esultado
m tamanho
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
56
respeito ao tamanho da janela em duas amostras pequenas. Ele observou que há uma lei
potencial entre o desvio padrão da altura da rugosidade e o tamanho da janela para ambas as
amostras, mas, para uma certa escala, a relação deixa de ser de forma potencial e o desvio
padrão torna-se aproximadamente constante para uma das amostras estudadas (amostra A).
Lanaro (2000) definiu isto como o limite de estacionariedade e concluiu que as propriedades
estatísticas da superfície da rocha só poderiam ser extraídas de uma amostra maior que este
limite de estacionariedade.
O estudo de Fardin
et al. (2001) apóia este conceito de limite de estacionariedade.
Porém esvio
padrão da altura da rugosidade la em todas as escalas. Então,
gundo Fardin
et al. (2001), o limite de estacionariedade pode não ser corretamente
determinado usando o desvio padrão. Usar os parâmetros fractais D e A, em vez do próprio
desvio padrão parece ser um modo mais correto.
Os estudos de Lanaro (2000) e Fardin
et al. (2001), apresentados neste capítulo,
mostram que para se fazer uma correta análise estatística baseada nos métodos propostos no
capítulo 2, deve-se tomar amostras com tamanhos maiores que seu limite de estacionariedade.
, os resultados de seu trabalho mostram que também há uma lei potencial entre o d
reduzida e o tamanho da jane
se
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
57
4 CRITÉRIOS CONSTITUTIVOS EM DESLIZAMENTO COM ATRITO
to. Uma investigação dos efeitos de escala e
possíve
4.1 ASPECTOS GERAIS
O termo junta de rocha é usado para descrever as descontinuidades mecânicas de
origem geológica que aparecem em praticamente todas as massas de rochas próximas à
superfície. As juntas podem ser desgastadas ou não-desgastadas. A diferença mecânica entre
as paredes das juntas estarem ou não em contato resultará em uma grande diferença nas
características de resistência ao cisalhamento e de deformação. No caso de juntas não-
preenchidas, a rugosidade e a resistência à compressão das paredes são importantes, enquanto
que no caso de juntas preenchidas, as propriedades físicas e mineralógicas do material
separando as paredes são de grande importância.
Nas últimas cinco décadas, muitos pesquisadores têm proposto vários critérios para
identificar a resistência de uma junta de rocha. Estes critérios caracterizam o estado de tensão
que separa pré-deslizamento e pós-deslizamento da junta. O modelo mais simples que
determina o pico da resistência ao cisalhamento para juntas de rocha é, talvez, o modelo de
Patton (1966b). Baseado na lei de atrito de Coulomb, esse modelo caracteriza o
comportamento da junta com um único valor de ângulo de atrito e com um único parâmetro
Neste capítulo discutem-se os aspectos gerais de critérios constitutivos em
deslizamento com atrito. Inicia-se com a lei constitutiva proposta por Barton e Choubey
(1977), tratando também do efeito da dilatação na estabilidade da massa de rocha e do
deslocamento e da rigidez de pico do cisalhamen
is soluções para o problema são mostradas, baseando-se, principalmente, nos estudos
de Bandis
et al. (1981). Finalmente, um critério constitutivo atual, proposto por Grasselli e
Egger (2003), é apresentado e discutido.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
58
de superfície: o ângulo de rugosidade médio. Modelos mais complicados apareceram depois,
companhando o desenvolvimento de métodos numéricos. Entre eles estão o modelo empírico
e Ladanyi e Archambault (1970), o modelo empírico de Barton e Choubey (1977), o modelo
órico de Plesha (1987), o modelo analítico de Saeb e Amadei (1992) e Amadei
et al. (1998)
mais recentemente o modelo empírico de Grasselli e Egger (2003). Com exceção do modelo
e Grasselli e Egger (2003), os demais são modelos bidimensionais.
a literatura, o critério de Barton e Choubey (1977) é o mais usado na prática. Nesse critério,
arton e Choubey (1977) consideram a influência da rugosidade na resistência ao
cisalha
s consideradas críticas para estabilidade. Isto é
proximadamente três ordens de magnitude mais baixa que aquelas usadas por tectonofísicos,
uando estudam a resistência ao cisalhamento de falhas introduzidas no laboratório, sob
plo, 100 a 2000MN/m
2
. Por conseguinte, a literatura contém
ados de resistência ao cisalhamento para juntas de rocha que atravessam uma faixa de tensão
de pelo
é aplicada aos resultados de testes de
cisalham
a
d
te
e
d
Porém, de acordo com Grasselli e Egger (2003), entre todos esses modelos propostos
n
B
mento, introduzindo um parâmetro morfológico conhecido como: coeficiente de
rugosidade da junta (JRC), que os autores propõem estimar ou através de comparação visual
com dez perfis padrões, ou por retro-análise de resultados de testes de cisalhamento.
O fator externo mais importante que afeta a resistência ao cisalhamento é a magnitude
da tensão normal efetiva, σ
n
, agindo na junta. Segundo Barton e Choubey (1977), em muitos
problemas de engenharia de rochas a tensão normal efetiva máxima ficará na faixa de 0,1 a
2,0MN/m
2
(1 a 20kg/cm
2
) para junta
a
q
níveis de tensão de, por exem
d
menos quatro ordens de magnitude. É, em parte por isso, que opiniões relativas à
resistência ao cisalhamento variam muito.
Tem sido habitual ajustar a relação linear de Coulomb,
anap
tanc φσ+=τ
(4.1)
para os resultados de investigações de resistência ao cisalhamento em juntas de rocha. Sendo
τ
p
o valor de pico da resistência ao cisalhamento, c
a
a coesão intercepta, σ
n
a tensão normal
efetiva e φ
a
o ângulo de atrito. Se esta equação
ento em juntas rugosas, sob alta e baixa tensão normal, o tectonofísico encontra uma
coesão intercepta de dezenas de MN/m
2
e um ângulo de atrito de, talvez, só 20°, enquanto o
engenheiro de taludes encontra um ângulo de atrito de, talvez, 70° e coesão zero. A envoltória
do pico da resistência ao cisalhamento para juntas de rochas não-planas apresenta na realidade
forte curvatura. E de acordo com Barton e Choubey (1977), esse fato foi reconhecido por
Jaeger (1959), Krsmanovic e Langof (1964), Lane e Heck (1964), Patton (1966a), Byerlee
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
59
(1967) e por outros pesquisadores durante os últimos anos. Porém, o hábito de descrever a
resistência ao cisalhamento em termos das “constantes” c
a
e φ
a
de Coulomb permanece.
Ambas “constantes” são, na realidade, variáveis dependentes da tensão e da escala.
Barton e Choubey (1977) defendem a necessidade de empirismo para introduzir um
método mais satisfatório para descrever a resistência ao cisalhamento de juntas de rocha.
Cálculos de estabilidade na mecânica dos solos e das rochas são r
ealizados em termos de
tensões
rea total.
Em um
plamente utilizada até os dias atuais. A equação
empíric tanto para ajustar quanto para
extrapolar dados experim
)) de m
“nominais”. Isso quer dizer, um determinado nível de tensão é igual à força efetiva
dividida pela área total, sem considerar a área de contato microscópica ou visível. Atualmente
sabe-se que a área de contato envolvida no cisalhamento de juntas de rocha é extremamente
pequena, como mostrado, por exemplo, por Jaeger (1971) e Barton (1971a) e já discutido no
capítulo 2. De acordo com o dano visível ao término de um teste de cisalhamento, a área de
contato real pode ser qualquer valor de um décimo a um milésimo (ou menos) da á
problema de projeto típico da mecânica das rochas, as tensões de cisalhamento e
normais reais, que agem nas rugosidades visivelmente em contato, podem ser até mil vezes
mais altas que as tensões nominais. Portanto, não é surpreendente que uma formulação
empírica seja exigida para descrever a resistência ao cisalhamento corretamente, quando são
usadas condições de tensões nominais.
4.2 LEI CONSTITUTIVA PARA A RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO
Barton e Choubey (1977) obtiveram uma lei empírica para a resistência ao
cisalhamento de rochas, sendo esta lei am
a proposta por Barton e Choubey (1977) pode ser usada
entais e até mesmo para predizê-los. As três constantes envolvidas
(JRC, JCS e φ
b
) podem ser determinadas tão precisamente de testes simples que foi possível
predizer o ângulo médio do pico da resistência ao cisalhamento (arctan(τ
p
/σ
n
ais de 100
espécimes de juntas com uma tolerância de 0,5°. Esses resultados experimentais
surpreendentes são relatados por Barton e Choubey (1977). A obtenção da relação empírica
foi descrita por Barton (1973) e pode ser escrita como segue:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
φ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
σ=τ
b
n
10np
JCS
logJRCtan
(4.2)
onde τ
p
é o valor de pico da resistência ao cisalhamento, σ
n
é a tensão normal efetiva, JRC é o
coeficiente de rugosidade da junta, JCS é a resistência à compressão da parede da junta e φ
b
é
o ângulo de atrito básico.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
60
As famílias de curvaturas de resistência de pico mostradas na Figura 4.1 ilustram a
natureza prática desta lei empírica de atrito. Valores de JRC de 20, 10 e 5 são usados para
ilustrar o efeito da rugosidade da junta, enquanto os números das curvas 5, 10,
50 e 100
(unidad
es de MN/m
2
) ilustram o efeito da resistência à compressão de parede da junta (JCS).
Um ângulo de atrito básico de 30° foi suposto para todos. O valor de φ
b
para a maioria das
superfícies de rochas não-desgastadas lisas, na realidade, fica entre 25° e 35°, como pode ser
visto na Tabela 4.1. Será mostrado na seção 4.2.2 que, para o caso de juntas desgastadas, o
ângulo de atrito residual φ
r
(< φ
b
) pode ser substituído por φ
b
na equação (4.2).
TABELA 4.1: Ângulo de Atrito Básico de Várias Rochas Não-desgastadas
(Extraída de Barton e Choubey, 1977)
Tipo de Rocha Condição de Umidade
φ
b
Referência
Rochas Sedimentares
Arenito Seco 26 - 35 Patton (1966a)
Arenito Molhado 25 - 33 Patton (1966a)
Arenito Molhado 29 Ripley e Lee (1962)
Arenito Seco 31 - 33 Krsmanovic (1967)
Arenito Seco 32 - 34 Coulson (1972)
Arenito Molhado 31 - 34 Coulson (1972)
Arenito Molhado 33 Richards (1975)
Xisto Molhado 27 Ripley e Lee (1962)
Siltito Molhado 31 Ripley e Lee (1962)
Siltito Seco 31 - 33 Coulson (1972)
Siltito Molhado 27 - 31 Coulson (1972)
Conglomerado Seco 35 Krsmanovic (1967)
Giz Molhado 30 Hutchinson (1972)
Pedra Calcária Seco 31 - 37 Coulson (1972)
Pedra Calcária Molhado 27 - 35 Coulson (1972)
Rochas Ígneas
Basalto Seco 35 - 38 Coulson (1972)
Basalto Molhado 31 - 36 Coulson (1972)
Granito de grão fino Seco 31 - 35 Coulson (1972)
Granito de grão fino Molhado 29 - 31 Coulson (1972)
Granito de grão grosso Seco 31 - 35 Coulson (1972)
Granito de grão grosso Molhado 31 - 33 Coulson (1972)
Pórfiro Seco 31 Barton (1971b)
Pórfiro Molhado 31 Barton (1971b)
Dolerito Seco 36 Richards (1975)
Dolerito Molhado 32 Richards (1975)
Rochas Metamórficas
Anfibolito Seco 32 Wallace et al. (1970)
Gnaisse Seco 26 - 29 Coulson (1972)
Gnaisse Molhado 23 - 26 Coulson (1972)
Ardósia Seco 25 - 30 Barton (1971b)
Ardósia Seco 30 Richards (1975)
Ardósia Molhado 21 Richards (1975)
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
61
FIGURA 4.1: Lei Cons a a Resistênci Cisalh
[Reproduz on e Choubey, ]
A lei constitutiva proposta por Barton e Choubey (1977), apresentada na equação
(4.2), pode se da para três finali erentes: ajus uma curva aos dados de pico
experime ncia ao cisalh extrapolar s de tais da
resistênc nto e predizer o v lor de pico da resistência ao cisalhamento. Se um
ou mais testes de cisalhamento são ex então as duas variáveis na equação (4.2) (τ
p
e
σ
n
) são conhecidas. O valor de φ
b
nor ente pode ser estimado com a ajuda dos dados
listad enos que as juntas sejam fortemente desgastadas. Se as juntas são
comp tadas, ent será igual stênci não-
confinada da rocha não-desgastada, σ ência à comp são pode astante
bem através de carga pontu descrito por Broch e Franklin (1972). Porém,
em geral, paredes de juntas de rochas são desgastadas até certo ponto e então JCS é mais
baixo que σ lor é medido usando um Martelo de Schmidt ap nte às
paredes das juntas expostas. O valor é converti ma es stência
à compressão usando o Método de Miller (1965). Este tipo de teste é adequado, já que os
resultados s às resistências m astada
titutiva par a ao amento
ida de Bart 1977
r usa dades dif tar
ntais da resistê a , mento os dado pico experimen
ia ao cisalhame a
ecutados,
malm
os na Tabela 4.1, a m
letamente não-desgas ão JCS à resi a à compressão
c
. A resist res ser estimada b
de testes ais, como
c
. O va licado diretame
de te rebo do em u t iimativa da res
ão sensíveis ais baixas da “pele” fina de rocha desg
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
62
encontrada ao longo da maioria das juntas. O método é descrito com mais detalhes na seção
4.2.1. A incógnita restante é o coeficiente de rugosidade da junta, JRC. Este é estimado por
retro-análise de testes de cisalhamento. Assim, rearranjando a equação (4.2):
(
)
()
n10
bnp
JCSlog
arctan
JRC
σ
φ−στ
=
(4.3)
Como exemplo, supõe-se que foram executados três testes de cisalhamento e os
seguintes valores médios foram estimados ou medidos:
Pico da arctan(τ
p
/σ
n
) = 50°
φ
b
= 30°
JCS = 100MN/m
2
(estimativa média de testes de rebote de Schmidt)
σ
n
= 1MN/m
2
(valor médio aplicado nos três testes de cisalhamento)
De acordo com a equação (4.3) o valor de JRC médio é igual a 10. A tarefa de ajuste
de curva e extrapolação é agora uma questão simples. Os valores das três constantes JCS, JRC
e φ
b
são simplesmente substituídos na equação (4.2) para a faixa desejada de σ
n
. Se o
problema fosse de predição do valor de pico da resistência ao cisalhamento, o mesmo
procedimento é seguido para estimar JCS e φ
b
, mas, neste caso, JRC também tem que ser
estimado. Isto po a com os perfis
ostrados na Figura 4.1, ou com o conjunto mais completo de perfis de rugosidade
apresen
uma pequena fração da resistência, σ , associada à maioria da massa de rocha. A profundidade
de penetração dentro das paredes de juntas desgastadas depende do tipo de rocha, em
de ser feito ade da roch por comparação visual da rugosid
m
tado na Figura 4.7. Porém, o método mais satisfatório é estimar JRC por retro-cálculo,
baseado em um teste notavelmente simples. A seguir apresentam-se métodos de como
determinar cada uma das três constantes envolvidas na lei constitutiva dada na equação (4.2).
4.2.1 Determinação de JCS
A determinação do coeficiente de resistência à compressão da parede da junta (JCS) é
de importância fundamental na engenharia de rocha já que são em grande parte as camadas
finas de rocha adjacente às paredes da junta que controlam a resistência e as propriedades de
deformação da massa de rocha como um todo. Naturalmente a importância do parâmetro é
acentuada se as paredes da junta são desgastadas, já que então o valor de JCS pode ser apenas
c
particular de sua permeabilidade. Uma rocha permeável tenderá a ser desgastada por inteiro,
enquanto rochas impermeáveis apenas desenvolverão paredes de juntas desgastadas, deixando
a rocha relativamente não desgastada no interior de cada bloco.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
63
Conforme Barton e Choubey (1977), os valores de JCS podem ser obtidos de testes de
compressão não-confinados convencionais ou de testes de carga pontuais. Este último teste foi
descrito em detalhes por Broch e Franklin (1972). Porém, quando a espessura
do material que
controla a resistência ao cisalham s
planas) até alguns milímetros (para juntas rugosas, desgastadas) com os limites dependendo
da rela
podem ser avaliados por estes testes
da mec
Martelo de Schmidt fornece a solução ideal para a determinação do JCS. O
Martel êmbolo depois de
seu im S de menos de
20MN/
ento é uma pequena fração de um milímetro (para junta
ção JCS/σ
n
, que basicamente controla a quantia de dano da rugosidade para uma
determinada rugosidade da junta, os valores de JCS não
ânica das rochas padrão.
O teste do
o de Schmidt é um dispositivo simples que registra o rebote de um
pacto com uma superfície. É adequado para medir valores de JC
m
2
até, pelo menos, 300MN/m
2
. Segundo Barton e Choubey (1977), Miller (1965)
avaliou uma extensa faixa da adequabilidade do Martelo de Schmidt para uso em mecânica
das rochas e encontrou uma correlação razoável entre o número de rebote (faixa 10 a 60) e a
resistência à compressão não confinada, σ
c
, da rocha. Porém, uma correlação melhor foi
obtida quando se multiplicou o número de rebote pelo peso específico da rocha seca.
()
01,1R00088,0log
c10
+
γ
=σ
(4.4)
onde σ
c
é a resistência à compressão não confinada da superfície (MN/m
2
), γ é o peso
específico da rocha seca (kN/m
3
) e R é o número de rebote. A relação anterior e uma medida
aproximada da dispersão são mostradas na Figura 4.2. O valor de σ
c
obtido para um
determinado valor de R e γ representará o valor de JCS da superfície. Por conveniência, o
mbolo R representará os resultados de testes de rebote em superfícies de rochas não-
o para testes em superfícies de juntas desgastadas.
Entretanto, alguns detalhes práticos precisam ser observados ao usar o Martelo de
Schmid
sí
desgastadas, enquanto r será usad
t, tais como a orientação do martelo, as dimensões da amostra, o número de testes e a
influência da umidade. Para uma determinada superfície, o número de rebote é mínimo
quando o martelo for usado verticalmente para baixo (rebote contra gravidade) e máximo
quando usado verticalmente para cima. A equação (4.4) e a Figura 4.2 se aplicam a testes para
baixo verticais em superfícies horizontais. Deveriam ser aplicadas as correlações fornecidas
na Tabela 4.2 quando o martelo for usado em outras direções. O martelo sempre deveria ser
aplicado perpendicular à superfície em questão. Também não será obtida uma medida de
rebote correta se o impulso do Martelo de Schmidt for suficiente para mover a amostra de
rocha que está sendo testada. Assim, se amostras pequenas são testadas, deveriam ser
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
64
firmem
ituras mais baixas, e tomar a média das cinco leituras mais
altas. F
ente sentadas ou engastadas em uma base pesada. Blocos maiores extraídos de taludes
de rocha ou paredes de túnel que serão testados não-engastados devem, aproximadamente,
medir 20cm, pelo menos, em cada direção. O movimento das amostras, o esmagamento dos
grãos soltos, etc., são algumas das razões para valores de rebotes inesperadamente baixos em
um determinado conjunto de resultados. Raramente são obtidas leituras altas. Um método
conveniente e realístico de avaliar o valor relevante de r para uma determinada superfície de
junta é tomar 10 leituras em locais diferentes de uma amostra representativa ou metro
quadrado, descontar as cinco le
inalmente, o conteúdo de umidade da rocha reduz a resistência à compressão e à
tração. Geralmente uma redução de 10 a 30% pode ser esperada. Por isso, é importante usar o
Martelo de Schmidt em superfícies da junta molhadas, com a finalidade de estimar os valores
mínimos de JCS.
FIGURA 4.2: Relação do Número de Rebote com a Resistência à Compressão em Função do Peso
Específico da Rocha
[Reproduzida de Barton e Choubey, 1977]
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
65
TABELA 4.2: Correções para Reduzir as Medidas de Rebote do Martelo de Schmidt
(Extraída de Barton e Choubey, 1977)
Rebote Para Baixo Para Cima Horizontal
R -90° -45° +90° +45° 0°
10 0 -0,8 - - -3,2
20 0 -0,9 -8,8 -6,9 -3,4
30 0 -0,8 -7,8 -6,2 -3,1
40 0 -0,7 -6,6 -5,3 -2,7
50 0 -0,6 -5,3 -4,3 -2,2
60 0 -0,4 -4,0 -3,3 -1,7
O possível contraste na resistência entre a parede da junta (representada por JCS) e a
rocha no interior dos blocos (representada por σ
c
) pode servir como uma indicação útil do
grau de desgaste ou alteração da junta. Estudos de Barton (1971b, 1973) indicaram que a
alteração relativa
(σ
c
/JCS) pode chegar a 4. Na realidade um valor de JCS igual a (1/4)σ
c
representa um limite conservador mais baixo se o valor de JCS tiver que ser estimado na
ausência de testes com o Martelo de Schmidt. Trabalhos de Richards (1975) mostraram que
uma série de juntas desgastadas em arenito teve valores de alteração relativa variando de 1,8 a
3,8. Nesse caso os valores de JCS foram obtidos de testes de rebote de Schmidt nas
superfícies das juntas desgastadas, enquanto os valores de σ
c
foram obtidos de testes de carga
pontuais em rochas adjacentes às juntas particulares. As amostras foram obtidas da face de
uma pedreira que exibia vários graus de desgaste. Se os vários valores de JCS são comparados
com os testes de carga pontuais na amostra de arenito mais recente (σ
c0
= 336MN/m
2
)
encontra-se que a relação σ
c0
/JCS pode chegar a 16. A rocha intacta desgasta a um sexto de
sua resistência não-desgastada (σ
c0
/σ
c
= 6). No estudo de Barton e Choubey (1977)
encontraram-se valores de alteração relativa variando de 1,0 a 5,2, contudo, a maioria dos
valores fica entre 1,4 e 1,9. Superfícies saturadas foram usadas para estimação de JCS e σ
c
.
Até o momento sabe-se pouco sobre o peso específico do perfil adjacente a uma
parede da junta desgastada, ou sobre o efeito que isto pode ter na interpretação de JCS de
testes de rebote de Schmidt. Um estágio avançado de desgaste ou de alteração da junta
provavelmente conduziria a uma redução local do peso específico, e isso deveria ser avaliado
na estimação de JCS. Os testes de Richards (1975) em juntas de arenito indicaram reduções
de ia
do arenito desgastado. Os v adamente 114 a 21MN/m
2
,
baseados em valores de rebote r de 46 até 15. De acordo com Barton e Choubey (1977),
Martin e Millar (1974) realizaram uma série semelhante de testes em juntas de arenito
peso específico de aproximadamente 25,5 a 23,5kN/m
3
da não-desgastada para a maior
alores de JCS variaram de aproxim
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
66
desgastad é 40 foi
25,7kN/
3
com
específico mínimo de N/m . Nota-se que os resultados são próximos comparáveis com
aqueles de Richards (1975), porém os graus mais severamente desgastados com es r na
faixa de 20 tiveram pesos específ ariando d 3 a 25,4k . No estudo de Barton
e Choub 1977), com aioria das juntas teve valores de ção relat
c
/JCS)
menores que 2,0, não é surpreendente que as variações de peso específico não sejam mais do
ue 2%. Aumentos ou reduções desta ordem são, claramente, de pouca importância na
estimaç
o. O peso específico máximo de rocha que deu valores de rebote da junta r at
m , enquanto o próxim
o estágio de desgaste
3
valores r até 15 tiveram um peso
23,2k
valor
0 a icos v e 19, N/m
3
ey ( o a m altera iva (σ
q
ão de JCS da Figura 4.2, e foram ignorados nesses testes.
Na ausência de dados adicionais, pode-se seguir o conjunto de diretrizes apresentadas
na Tabela 4.3, se estudos detalhados de variações do peso específico não são realizados. As
reduções de peso específico são consistentes com os resultados discutidos anteriormente.
TABELA 4.3: Reduções Estimadas do Peso Específico para Vários Graus de Alteração Relativa
(Extraída de Barton e Choubey, 1977)
Alteração Relativa % Mudança no Peso Específico
(σ
c
/JCS) (γ)
1 - 2 0%
2 - 3 -5%
3 - 4 -10%
4 - 10 -20%
φ
b
e φ
os
testes.
4.2.2 Determinação de
r
A lista abrangente de valores do ângulo de atrito básico, φ
b
, mostrada na Tabela 4.1,
está, na maior parte, baseada na resistência residual exibida por superfícies de rochas não-
desgastadas planas. Em alguns casos essas superfícies foram jateadas com areia entre
Os ângulos de atrito obtidos são aplicáveis a superfícies da junta não-desgastada, e não
serão aplicáveis às juntas de rocha desgastadas a menos que o nível de tensão normal efetiva
aplicado seja alto o bastante para as camadas finas de rocha desgastada serem gastas com o
uso, assim permitindo contato entre a rocha subjacente mais fresca (Richards, 1975). Sob
baixos níveis de tensão normal efetiva, as camadas finas de material desgastado, talvez menos
que 1mm em espessura, podem continuar controlando a resistência ao cisalhamento passada a
resistência de pico, e mesmo para deslocamentos até a resistência residual. Os testes de
Richards (1975) em juntas de arenito desgastadas mostraram que era possível ter ângulo de
atrito residual, φ
r
, para juntas vazias de apenas 12°, se os níveis de tensão normal fossem
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
67
baixos. Os resultados desses testes estão reproduzidos na Figura 4.3, e indicam a forte
correlação com o valor de rebote da junta, r. Sob níveis altos de tensão normal, o arenito mais
resistente em baixo da pele desgastada entrou em efeito e o valor médio de φ
r
obtido para os
mesmos sete espécimes foi 28,5° (faixa de 19,5° a 33°).
FIGURA 4.3: Resultados de Richards (1975) para Sete Juntas Desgastadas em Arenito, Testadas com
Baixa Tensão Normal
eproduzida de Barton e Choubey, 1977]
ey (1977), um relatório não publicado dos resultados
anteriores estimulou o autor a procurar um método simples de estimar φ a partir dos
resultados de testes de rebote de Schmidt. A primeira relação empírica tentada foi a seguinte:
[R
Segundo Barton e Choub
r
(
)
°°
−φ+=φ 10Rr10
br
(4.5)
onde r é o rebote na superfície da junta desgastada e R é o rebote na superfície da rocha não-
desgastada. Esta equação foi avaliada posteriormente por Richards (1975), usando um valor
de φ
b
de 30° que parece ser um valor médio realístico para arenito de acordo com a Tabela
4.1. Valores de JRC iguais a 5 ou 10 foram designados às sete juntas de arenito através de
comparação visual com os perfis mostrados na Figura 4.1. O rebote da junta medido r para
cada espécime foi convertido ao valor de JCS usando a Figura 4.2, e com φ
r
estimado da
equação (4.5), foi possível estimar o valor médio global de pico da arctan(τ
p
/σ
n
) para as sete
juntas com uma tolerância de 1°. (Média medida = 38,6°, média estimada = 37,6°). Estava
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
68
claro que para o caso geral de juntas desgastadas e não-desgastadas a equação (4.2) deveria
ser escrita como segue:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
r
n
10np
JCS
logJRCtan
(
φ+
⎟⎜
σ=τ
4.6)
Barton e Choubey (1977) estudaram oito tipos de rochas diferentes, representadas por
136 espécimes de juntas individuais. Os espécimes foram serrados de blocos maiores que
continham juntas que foram extraídas de cortes de estradas e pedreiras na área de Oslo. Como
o objetivo do estudo era desenvolver métodos simples para estimar o valor de pico da
resistência ao cisalhamento, não faz sentido ter que medir φ
r
para cada espécime.
Reciprocamente, não é prático usar a equação (4.5) para estimar φ
r
se o valor relevante de φ
b
não pudesse ser encontrado na literatura (Tabela 4.1). Foi inventada uma solução muito
simples.
Foram retidos os blocos de rocha dos quais espécimes de juntas eram serrados. Após
lavar completamente para remover o pó de rocha, e depois de secar no ar, pares de superfícies
serradas planas foram unidos, e os pares de blocos foram inclinados até que o deslizamento
apenas começasse a ocorrer. Dez pares de blocos foram usados para caracterizar cada tipo de
rocha. O teste de inclinação residual é basicamente um teste de cisalhamento sob tensão
norm s
deslizou quando se chegou a de 30°, a faixa de σ
n
foi de
proximadamente 1 a 5kN/m
2
(0,01 a 0,05kg/cm
2
). Seguindo o teste de inclinação, as mesmas
superfí
extrema dessa rocha. Então,
al muito baixa. Na série de testes de Barton e Choubey (1977), a maioria das superfície
um ângulo de inclinação de cerca
a
cies serradas secas foram testadas com o Martelo de Schmidt para obter R. São
mostrados os resultados médios obtidos para sete dos oito tipos na Figura 4.4. No caso de
ardósia, os blocos dos quais as amostras foram serradas desintegraram, devido à friabilidade
testes de Martelo de Schmidt e de inclinação residuais não
puderam ser executados nas superfícies serradas de blocos grandes, como com os outros sete
tipos de rocha.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
69
FIGURA 4.4: Resultados Médios de Testes de Inclinação Residuais para Determinar φ
b
para Rochas
Não-desgastadas
[Reproduzida de Barton e Choubey, 1977]
A relação empírica usada no trabalho de Barton e Choubey (1977) para estimar φ
r
a
partir dos valores de φ
b
obtidos de testes de inclinação residuais difere ligeiramente da
equação (4.5). A equação apresentada a seguir é preferida já que permite uma faixa de valores
de φ
r
mesmo quando a junta for muito desgastada. A equação (4.5) tende a descontar
diferenças mineralógicas já que φ
r
tende a um único valor mínimo de 10° quando r for zero. A
relação preferida é como segue:
(
)
()
r2020
br
+−φ=φ
°
(4.7)
onde φ
R
Figura 4.4, os valores apresentados na Figura 4.5 são obtidos. Estes valores
de φ
r
são importantes para condições saturadas.
Para provar, mais uma vez, a eficiência de métodos empíricos, Barton e Choubey
(1977) mostraram que o ângulo médio do pico da resistência ao cisalhamento em mais de 100
espécimes de junta foi estimado com uma tolerância de 0,5°, baseado nas equações (4.6) e
(4.7), o que sugere que estas relações empíricas refletem o comportamento da junta com
bastante precisão. Na realidade, os erros individuais na estimação de φ
r
para 15 tipos de juntas
diferentes, em nenhum caso foram mais que -1,0° a +0,8° do valor correto. O erro na
estimação do valor médio de φ
r
para mais de 100 espécimes de junta foi só 0,1°.
b
é o ângulo de atrito básico, estimado de testes de inclinação residuais em superfícies
serradas não-desgastadas secas (ou da Tabela 4.1), R é o rebote de Schmidt em superfícies
serradas não-desgastadas secas e r é o rebote de Schmidt em superfícies da junta molhadas.
Quando a equação (4.7) é usada para estimar os valores de φ
r
a partir dos sete valores de φ
b
apresentados na
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
70
FIG
pida da resistência ao cisalhamento das juntas. Por exemplo,
φ
r
poderia ser estimado de mod
experiência e JCS aproximado por (1/4)σ . A única estimativa restante requerida é o valor do
reproduzidas na Figura 4.1 foram designadas como um guia preliminar para essa incapacidade
e foram medidos. Os valores de JRC retro-
calcula
URA 4.5: Valores Estimados de φ
r
a partir da Equação (4.7) Usando os Dados da Figura 4.4
[Reproduzida de Barton e Choubey, 1977]
4.2.3 Determinação de JRC
Nas fases preliminares de um projeto de engenharia de mecânica das rochas é útil ser
capaz de fazer uma estimativa rá
o conservador como sendo 20°, σ
c
poderia ser estimado da
c
coeficiente de rugosidade da junta, JRC.
As estimativas aproximadas de JRC (5, 10 e 20) dadas por Barton (1973) e
de investigar o parâmetro JRC mais precisamente. Com esse propósito, Barton e Choubey
(1977) mediram todos os perfis dos 136 espécimes de juntas testados no seu trabalho. Na
maioria dos casos, três perfis de cada espécim
dos foram agrupados nas seguintes faixas: 0 - 2, 2 - 4, etc., até 18 - 20. Então foi feita
uma tentativa de selecionar os perfis mais típicos de cada grupo. As juntas particulares
escolhidas para representar valores específicos de JRC são mostradas na Figura 4.6 e os perfis
são reproduzidos na Figura 4.7. A Tabela 4.4 apresenta uma descrição das 10 superfícies.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
71
TABELA 4.4: Descrição das Juntas de Rochas Mostradas na Figura 4.6
(Extraída de Barton e Choubey, 1977)
Número
da Amostra
Tipo de Rocha
JRC
Descrição da Junta
(retro-calculado)
1 Ardósia
Lisa, plana: juntas de clivagem, manchas
cor de ferro
0,4
2 Aplito
Lisa, plana: juntas tectônicas, não-
desgastadas
2,8
3 Gnaisse
Ondulada, plana: juntas xistosas, não-
desgastadas
5,8
4 Granito
Rugosa, plana: juntas tectônicas,
levemente desgastadas
6,7
5 Granito
Rugosa, plana: juntas tectônicas,
levemente desgastadas
9,5
6 Hornfel
Rugosa, ondulada: juntas estratificadas,
cobertura de calcita
10,8
7 Aplito
Rugosa, ondulada: juntas tectônicas,
levemente desgastadas
12,8
8 Aplito
Rugosa, ondulada: juntas de elevação,
14,5
parcialmente oxidadas
9 Hornfel
cadas,
cobertura de calcita
16,7
Rugosa, irregular: juntas estratifi
10 Pedra Sabão
Rugosa, irregular: fraturas por tração
artificiais, superfícies recentes
18,7
FIGURA 4.6: Exemplos de Rugosidades de Juntas Estudadas por Barton e Choubey (1977)
[Reproduzida de Barton e Choubey, 1977]
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
72
FIGURA 4.7: Perfis de Rugosidade Correspondendo às Juntas da Figura 4.6, com suas Respectivas
Faixas de Valores de JRC
[Reproduzida de Barton e Choubey, 1977]
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
73
O teste de inclinação residual descrito anteriormente para medir o ângulo de atrito
básico, φ
b
, para superfícies de rochas não-desgastadas lisas é basicamente um teste das
propriedades mineralógicas das rochas de interesse. Se o mesmo tipo de teste de inclinação é
executado em uma junta rugosa como ilustrado na Figura 4.8, o ângulo α no qual o
deslizamento acontece pode ser 40° ou 50° mais que φ
b
(e até mais alto comparado com φ
r
).
Esta resistência ao cisalhamento adicional é devida ao efeito geométrico da rugosidade. O
ângulo de dilatação máximo, d
0
, quando deslizamento acontece é expresso pela seguinte
relação simples:
r0
d
φ
−α=
(4.8)
O ângulo de inclinação α é uma função da relação entre a tensão de cisalhamento, τ
0
, e a
tensão normal, σ
n0
, agindo na junta quando o deslizamento acontece sob estes níveis de tensão
muito baixos:
()
0n0
arctan σ
τ
=α
(4.9)
A tensão normal efetiva, σ
n0
, gerada pela força gravitacional que age na metade superior do
bloco, é como segue para o caso de um bloco infinitamente longo:
α
γ
=σ cosh
e0n
(4.10)
onde h
e
(m) é a espessura da metade superior do bloco e γ (kN/m
3
) é o peso específico da
rocha.
FIGURA 4.8: Teste de Inclinação para Determinar o JRC de uma Superfície
[Reproduzida de Barton e Choubey, 1977]
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
74
No exemplo ilustrado na Figura 4.8 (α = 69,7°), onde h
e
= 0,025m e γ = 25kN/m
3
, o
valor de σ
n0
é teoricamente igual a 0,22kN/m
2
(0,0022kg/cm
2
) se a relação limitada de
comprimento/espessura (aproximadamente 4) for ignorada. Esta é uma tensão extremamente
baixa. No estudo de Barton e Choubey (1977), a maioria das amostras de junta tinha um
comprimento de 98mm e uma espessura média da metade superior de cada par de blocos
unidos de 23mm. A presente relação de comprimento/espessura de cerca de 4 é mais
favorável de ser esperada no campo quando dois blocos unidos são inclinados durante uma
versão em grande
escala destes testes de laboratório. Por essa razão, usa-se a seguinte relação
empírica:
ais importante é o fato de que automaticamente limita a faixa de aplicação do
teste de inclinação a super s
FIGURA 4.9: Faixa de Aplicaçã purrar/Puxar para Determinar
os Valores de JRC de Juntas
[Reproduzida de Barton e Choubey, 1977]
αγ=σ
2
e0n
cosh (4.11)
Isto faz alguma compensação para a distribuição de tensão desigual, particularmente quando
α é grande. M
fícies suficientemente lisas para serem testadas sem destruição da
rugosidades ao deslizar. Os limites de aplicação são ilustrados na Figura 4.9.
o de Testes de Inclinação e Testes de Em
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
75
As 57 amostras com juntas suficientemente lisas para serem testadas com teste de
inclinação, deram estimativas de JRC bastante precisas para o ângulo médio de resistência ao
cisalhamento (arctan(τ
p
/σ
n
)) das mesmas amostras preditas com tolerância de 0,2°. Então o
fator de correção empírico (cos α) usado na equação (4.11) é verificado ser realístico. O valor
de JRC é estimado de testes de inclinação usando a equação (4.6), substituindo os valores de
α e σ
n0
. Assim:
⎟
⎟
⎞
⎜
⎛
φ
⎠
⎜
⎝
σ
−
α
=
r
JCS
log
JRC
(4.12)
0n
10
Observa-se que uma sub
secas, usando o
Martelo de Schmidt. Três testes de inclinação são executados em cada junta e o valor médio é
usado para estimar JRC. Devido ao nível muito baixo de tensão não há nenhum dano visível,
assim o teste de inclinação pode ser repetido muitas vezes sem redução na resistência. Para o
exemplo ilustrado na Figura 4.8, uma junta tectônica ondulada de aplito, o valor de JRC
estimado das equações (4.11) e (4.12) foi:
estimativa do valor de φ
r
resulta em um valor de JRC superestimado,
e vice-versa. Esta compensação automática de erros é uma das razões para o método dar tais
estimativas tão precisas do pico da arctan(τ
p
/σ
n
). O teste de inclinação só é executado em
juntas secas para evitar qualquer possível problema com pressões de água da junta ou
capilaridade. Como antes, o valor de JCS apropriado é medido nas juntas
()
7,6
09,6
7,40
000075,092log
297,69
JRC
10
==
−
=
°°
Então, esse valor de JRC e o valor de JCS para a junta saturada (77MN/m
2
) podem ser usados
para estimar o valor de pico da arctan(τ
p
/σ
n
) da junta saturada para qualquer valor desejado de
tensão normal efetiva, usando a equação (4.6).
O problema de abertura da junta e de destruição quando uma junta rugosa é
abruptamente inclinada significa que o teste de inclinação não deveria ser tentado no caso de
juntas muito rugosas. Na Figura 4.9, a relação empírica expressa na equação (4.6) é
representada em forma gráfica, para três valores realísticos de φ
r
. Os pares de envoltórias
curvas representam a faixa aproximada de valores de JRC que podem ser testados usando o
método de inclinação com confiança. A espessura do bloco toma faixas de 2cm (amostra de
laboratório, curva da direita) a 20cm (bloco de campo, curva da esquerda), e é suposto que
JCS é igual a 100MN/m
2
. As curvas foram avaliadas usando a equação (4.11), que incorpora
um fator de correção cosα, como discutido anteriormente. No caso dos testes de laboratório
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
76
de Bar
blemas de estabilidade é causada pelas juntas mais lisas, as limitações
anteriores do teste de inclina
Juntas mais rugosas podem ser testadas por meio de testes de “empurrar” ou “puxar”,
com a junta em um plano horizontal (ou inclinado como conveniente) e o bloco do topo
EDITOS E MEDIDOS
Os resultados de testes de inclinação e testes de empurrar de Barton e Choubey (1977)
o direto usando as mesmas juntas, sob níveis
conven
ton e Choubey (1977), o valor máximo de JRC que poderia ser obtido dos testes de
inclinação em escala de laboratório era aproximadamente 8, já que o valor médio de φ
r
para os
136 espécimes era 27,5°. Se testes de inclinação em escala de campo fossem executados em
juntas fortemente desgastadas (φ
r
= 20°, Figura 4.9) o valor limite de JRC seria pelo menos
10, especialmente se o valor de JCS fosse baixo devido aos efeitos de desgaste. Como a
maioria dos pro
ção raramente serão de importância.
empurrado ou puxado paralelo ao plano da junta. A faixa aproximada de aplicação para este
tipo de teste de laboratório é determinada pelas linhas pontilhadas na Figura 4.9. Um valor
máximo de JRC de cerca de 12 poderia ser testado satisfatoriamente nos estudos de Barton e
Choubey (1977). Em uma situação de campo, com blocos maiores e juntas mais desgastadas,
a faixa de JCS/σ
n
poderia ser até duas ordens de magnitude mais baixa, por meio disso
permitindo juntas rugosas de JRC = 20 serem testadas deste modo. É então possível testar o
espectro inteiro de rugosidade da junta usando uma combinação de testes de inclinação,
empurrar ou puxar.
4.3 COMPARAÇÃO DE DADOS PR
são apresentados na Figura 4.10. Esta figura mostra os resultados de testes de laboratório de
inclinação (Δ) e de empurrar ( ) e os correspondentes valores de pico da resistência ao
cisalhamento medidos de testes de cisalhament
cionais de tensão normal (aproximadamente 0,05 a 1,50MN/m
2
). Os dados de teste de
inclinação são relevantes para as 57 juntas que tinham valores de JRC menores que 8, de
acordo com retro-análise dos testes de cisalhamento convencionais nas mesmas juntas. Os
dados de teste de empurrar são relevantes para as 45 juntas que tinham valores de JRC na
faixa de 8 a 12. O valor médio de φ
r
= 27,5° usado para graficar as linhas inclinadas pode dar
só um quadro aproximado do valor real de JRC, já que φ
r
na verdade variou de 23° a 31° para
este conjunto de 102 juntas.
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77
FIGURA 4.10: Resultados de Testes de Inclinação (Δ) e de Empurrar ( ) e os Correspondentes Valores
de Pico da Resistência ao Cisalhamento
[Reproduzida de Barton e Choubey, 1977]
Apesar da inevitável dispersão dos resultados, os valores médios preditos e medidos
foram muito próxim
os. O valor médio de JRC predito através dos testes de inclinação nas 57
ntas mais lisas foi 5,4, enquanto a média obtida medida de retro-análise dos testes de
estes de empurrar nas
5 juntas mais rugosas foi 9,9, enquanto a média medida foi 9,3. Se os 102 testes são
combin
valor médio da arctan(τ
p
/σ
n
) predito dos 57 testes de inclinação
foi 40,3°, e o medido médio foi 40,5°. No caso dos 45 testes de empurrar nas juntas mais
rugosas, as médias preditas e medidas foram respectivamente 52,2° e 50,9°. As médias
globais para os 102 espécimes foram 45,6° (predita) e 45,1° (medida).
ju
cisalhamento convencionais foi 5,5. O valor médio de JRC predito dos t
4
ados a média predita do valor de JRC é igual a 7,4, e o valor da média medida é 7,2.
Pode-se concluir que JRC é essencialmente uma constante para uma determinada junta, já que
não varia significativamente até mesmo em uma faixa de tensão de até cinco ordens de
magnitude. Estudos de Barton (1976) indicaram que esta extrapolação também pode ser
executada para juntas muito rugosas, e em uma faixa de tensão de até oito ordens de
magnitude. Esta faixa de tensão pode ser visualizada como uma “sobrecarga” de rocha que
varia de aproximadamente 0,5mm a 50km. As estimativas individuais de JRC obtidas de cada
teste de inclinação ou de empurrar foram usadas para predizer os valores individuais de pico
da arctan(τ
p
/σ
n
) prováveis de serem medidos no cisalhamento direto sob os níveis de tensão
normal efetiva nominal aplicada. Uma comparação dos valores preditos com os medidos é
mostrada na Figura 4.11. O
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
78
FIGURA 4.11: Pico da Arctan(τ
p
/σ
n
) Predito de Testes de Inclinação e de Empurrar Comparado com os
Valores Medidos de Testes de Cisalhamento Convencionais
[Reproduzida de Barton e Choubey, 1977]
teste de inclinação ou de em aracterizar a resistência ao
isalhamento de um plano de junta inteiro. Porém, conforme mostrado por Barton e Choubey
(1977)
Os valores médios notavelmente próximos podem deixar a falsa impressão que só um
purrar necessita ser executado para c
c
, a proximidade da concordância entre predição e medida é uma função do número de
amostras disponível. A comparação dos dados preditos com os medidos é dividida em três
categorias: juntas com JRC ≤ 8,0 (faixa de teste de inclinação), juntas com 8,0 < JRC ≤ 12,0
(faixa de teste de empurrar), e resultados combinados (JRC ≤ 12,0). As seguintes faixas de
erros médios foram encontradas para 15 variedades de junta, considerando (+) para
superestimativa e (-) para subestimativa:
1) JRC ≤ 8,0 (faixa de teste de inclinação)
(a) faixa de erros na média predita da arctan(τ
p
/σ
n
) = -3,0° a +3,5°.
(erro médio para 57 espécimes = -0,2°)
2) 8,0 < JRC ≤ 12,0 (faixa de teste de empurrar)
(a) faixa de erros na média predita da arctan(τ
p
/σ
n
) = -3,4° a +4,1°.
(erro médio para 45 espécimes = +1,3°)
3) JRC ≤ 12,0 (combinado)
(a) faixa de erros na média predita da arctan(τ
p
/σ
n
) = -2,4° a +3,2°.
(erro médio para 102 espécimes = +0,5°)
(b) faixa de erros na média predita de JRC = -0,9 a +1,4.
(erro médio para 102 espécimes = +0,2)
(c) faixa de erros na arctan(τ
p
/σ
n
) predita causada por erros na predição de JRC = -2,2°
a + 3,2°.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
79
(erro médio para 102 espécimes = +0,5°)
(d) faixa de erros na predição de φ
r
acarretada pelos erros anteriores = -1,0° a +0,8°.
(erro médio para 102 espécimes = -0,1°)
Foi visto dos resultados combinados que os erros na predição da arctan(τ
p
/σ
n
) para
uma rocha qualquer ou tipo de junta chegaram a aproximadamente ±3°. Porém, em dois casos
havia só uma amostra testada com teste de inclinação ou de empurrar, da qual “calculou-se” a
média. Caso se selecionasse só essas rochas ou tipos de junta nas quais havia mais de cinco
amostras de testes de inclinação e/ou de empurrar, então a faixa de erros na arctan(τ
p
/σ
n
)
e aplito, em que ha inclinação e/ou de
empurrar, os erros de predição m amente a +0,3° e -0,4°. Um
ínimo de dez testes resultaria em um erro na predição de não mais que ± 1°.
ra níveis de tensão normal efetiva abaixo de
te, Barton e Choubey (1977) realizaram um estudo
experim amostra maior de
Barton (1973). Os resultados de todos os testes são mostrados na Figura 4.12. No estudo de
es de pico da arctan(τ
p
/σ
n
) variaram de 26,6°
(junta dulada, rugosa em
hornfel valor de JRC de só 0,4, assim até mesmo se
mais alto que 50MN/m
2
, o ângulo de atrito total dificilmente
poderia ugosa em hornfel o
valor d 62MN/m
2
. Neste caso o componente de
rugosid lo de atrito residual φ
r
= 25°.
O ângu máximo medido no pico da resistência) foi
igualm
ueno para ser detectado.
predita reduz-se a -1,1° a + 1,5° para uma junta qualquer ou tipo de rocha. No caso de granito
via 34 e 22 espécimes respectivamente para testes de
édios foram reduzidos respectiv
m
4.4 FAIXA DE PICO DA RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO
Barton (1973) coletou os resultados de um grande número de testes de cisalhamento
direto informados na literatura, para salientar o amplo espectro dos valores de pico da
resistência ao cisalhamento exibido por juntas de rocha. Foram incluídos resultados de testes
em situ e de laboratório. Encontrou-se que os valores de pico da arctan(τ
p
/σ
n
) variaram de
aproximadamente 28° a 82° para juntas vazias. A maior concentração dos resultados estava na
faixa de 40° a 50°, pelo menos pa
aproximadamente 0,6MN/m
2
. Posteriormen
ental em 136 juntas e encontraram uma tendência semelhante à
Barton e Choubey (1977) encontrou-se que valor
de clivagem plana, lisa em ardósia) até 80,3° (junta estratificada on
nodular). Essa junta em ardósia tinha um
o valor de JCS tivesse sido
ser muito maior que o valor de φ
r
= 26,0°. No caso da junta mais r
e JRC era 17,9, e o valor de JCS era
ade (JRC×log
10
(JCS/σ
n
)) foi 55°, comparado com o ângu
lo de dilatação de pico medido (valor
ente muito alto: 51,4°. No caso da ardósia o ângulo de dilatação de pico foi 0° ou
muito peq
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
80
As três curvas marcadas 1, 2 e 3 na Figura 4.12 foram obtidas a partir da lei empírica
de atrit or
de proj o de atrito total (Figura 4.1). Isto é realmente
um bom
o apresentada na equação (4.6). A curva 1 tem um “corte” linear representando o val
eto sugerido máximo de 70° para o ângul
limite superior no caso das 136 amostras de juntas estudadas por Barton e Choubey
(1977). O restante da curva 1 tem a seguinte equação:
(i)
(
)
[
]
°
+σσ=τ 2996log9,16tan
n10np
A curva 2 representa a média de todos os 136 espécimes. As três constantes empíricas JRC,
JCS e φ
r
tiveram os seguintes valores médios; 8,9, 92MN/m
2
e 27,5°.
(ii)
(
)
[
]
°
+σσ=τ 5,2792log9,8tan
n10np
A curva 3 representa o limite inferior e é avaliada da seguinte equação:
(iii)
(
)
[
]
°
+σσ=τ 2650log5,0tan
n10np
Para aqueles que ainda preferem interpretar a resistência ao cisalhamento de juntas de
2) poderia ser
rosseiramente aproximada por c
a
= 0,04MN/m
2
e φ
a
= 45°, para a faixa de tensão normal de
0,05 a
o 8 Tipos Diferentes de Rochas
duzida de Barton e Choubey, 1977]
rocha em termos das “constantes” de Coulomb c
a
e φ
a
, a curva média (Nº.
g
1,0MN/m
2
. Então, o valor φ
a
= 45° é uma aproximação realística para estimativas de
primeira ordem do pico da resistência ao cisalhamento de juntas de rochas vazias. Pode-se
concluir então, como regra aproximada, que um valor comum de pico do coeficiente de atrito
para juntas de rocha é 1,0, mas a faixa pode ser de 0,5 a 5,0.
FIGURA 4.12: Faixa de Valores do Pico da Resistência ao Cisalhamento para 136 Juntas
Representand
[Repro
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
81
4.5 E
longo de suas faces de inclinação contrárias, assim mudando as posições de contato “em
repouso”. Na realidade, as paredes da junta unida oferecem relativamente pequena resistência
as faces de inclinação
contrárias das rugosidades principais estabelecem contato as características de cisalhamento
latação contra a carga
normal começa. O momento de pico da re stência está se aproximando. Tudo isso
normalmente acontece antes do deslocamento de cisalhamento ter alcançado 1% do
compri
ou menos simultaneamente com cia ao cisalhamento. No caso de um talude
de rocha, o valor do ângulo de dilatação de pico determina de forma bastante simples se ou
não se pode confiar em uma resistência ao cisalhamento maior que o ângulo de atrito residual
φ
r
. Se as juntas críticas são preenchidas com argila, ou planas, ou exibem sinais de
cisalhamento anterior então claramente devem usar φ
r
no projeto. É suposto que o ângulo de
dilatação é zero para todos os propósitos práticos. Se por outro lado as juntas são não-planas,
vazias e não pré-cisalhadas então o ângulo de dilatação de pico dará uma idéia aproximada de
quanto maior a resistência ao cisalh ento disponível é que o valor de φ
r
. De considerações
geométricas simples o ângulo de atrito total parece ser pelo menos igual à soma de φ
r
e :
Isto é, arctan(τ
p
/σ
n
) ≥ φ
r
+
Freqüentemente é provável que a resistência ao cisalhamento disponível seja mais alta que a
soma de φ
r
e já que a componente de resistência devida à qualquer achatamento das
rugosi
FEITO DA DILATAÇÃO NA ESTABILIDADE DA MASSA DE
ROCHA
Quando juntas de rochas são submetidas à tensão de cisalhamento sob carga normal,
as rugosidades em qualquer lado da junta tenderão a deslizar em contato a alguns pontos ao
ao cisalhamento antes desta deformação de cisalhamento inicial, já que a dilatação
(deslocamento perpendicular à junta) está ausente. Porém, quando
inerentes começam a aparecer; a resistência ao cisalhamento sobe e a di
si
mento da junta que é testada. Em geral, uma parede de junta rugosa fraca (baixo JCS,
JRC alto) sofrerá mais dano durante cisalhamento que uma superfície lisa forte, entretanto
nenhuma das duas dilatará fortemente. Só as superfícies com JCS alto e JRC alto dilatarão
fortemente no momento de resistência de pico. O grau para o qual uma junta de rocha dilata
quando cisalhada é de extrema importância e é representado pelo ângulo de dilatação de pico.
O ângulo de dilatação de pico,
°
n
d
, é o ângulo de dilatação máximo que acontece mais
o pico da resistên
am
°
n
d
°
n
d
°
n
d
dades foi ignorada.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
82
Um dos problemas mais importantes na mecânica das rochas, que ainda tem que ser
resolvido,
é o modelamento da complicada relação entre deformação de cisalhamento,
al efetiva e rigidez da massa de rocha. O método mais esperançoso de
resolver este problem
dilatação
ão dos Ângulos de Dilatação de Pico e Iniciais e suas Relações com a
Componente de Rugosidade da Resistência ao Cisalhamento
[Reproduzida de Barton e Choubey, 1977]
dilatação, tensão norm
a parece ser por técnicas numéricas como elementos finitos e métodos
de diferenças finitas. O sucesso futuro dessas técnicas fica na incorporação de dados de
entrada realísticos. No momento, os dados de entrada parecem ser mais ou menos adivinhados
ou extraídos da literatura, que está até hoje limitada. Pequena notificação é feita da
dependência da tensão de quase todos os parâmetros de entrada (isto é, resistência ao
cisalhamento, rigidez, ângulo de dilatação, etc.). O efeito de escala que ocorre nestes mesmos
parâmetros é importantíssimo, mas ignorado.
Barton e Choubey (1977) tentaram melhorar a qualidade deficiente dos dados de
entrada. Anteriormente os autores mostraram como as constantes empíricas JRC e JCS podem
conduzir a um modelo preciso da resistência ao cisalhamento e agora a intenção é mostrar
como estas mesmas constantes empíricas podem ser usadas para estimar o ângulo de dilatação
para qualquer junta dada sob uma determinada faixa de tensão normal efetiva. O interesse está
centrado no ângulo de dilatação de pico (
°
n
d
) e no ângulo de dilatação inicial (
°
i
d
). Estes dois
ângulos estão definidos na inserção da Figura 4.13. Nesta figura esses dois ângulos de
são graficados em função da componente de rugosidade. O ângulo de dilatação de
pico,
°
n
d
, é igual à diferença entre o ângulo de atrito total medido (arctan(τ
p
/σ
n
)) e o ângulo de
atrito residual estimado, φ
r
.
FIGURA 4.13: Distribuiç
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
83
Podem ser notadas várias características da distribuição de dados:
(i) Ângulos de dilatação de pico e iniciais foram ocasionalmente negativos ou zero.
Em tais casos as juntas não começaram a dilatar significativamente até depois que resistência
de pico foi alcançada, e na realidade pode ter contraído para começar. Sob níveis de tensão da
mecânica das rochas convencional, tais casos são a exceção.
(ii) A maioria dos ângulos de dilatação de pico cai entre os seguintes limites:
0,5 JRC log
10
(JCS/σ
n
) <
°
n
d
< 2 JRC log
10
(JCS/σ
n
)
Com a exceção daqueles casos descritos no item (i) acima, a linha 2 na Figura 4.13
parece ser um limite inferior muito bom, isto é,
°
d
= 1/2 JRC log (JCS/σ ) (
n
10 n
4.13)
(
do ângulo de dilatação de pi ). Assim, como uma primeira
aproximação:
= 1/3 JRC log
10
(JCS/σ
n
) (4.15)
Pode ser concluído da equação (4.14) que para juntas que sofrem relativamente pequeno dano
durante cisalhamento, a equação seguinte pode ser usada como uma primeira aproximação ao
pico de resistência:
τ
p
= σ
n
tan +φ
r
) (4.16)
Barton (1971a) executou uma série de testes de cisalhamento direto em fraturas por
tração de modelos rugosos a níveis de tensão normal que resultaram em consideravelmente
maior dano de rugosidade que aqueles encontrados na série de testes de Barton e Choubey
(1977). Na realidade JCS/σ
n
variou de aproximadamente 4,1 a 125 (médio de 29 a 130
fraturas artificiais). Na série de testes de cisalhamento em juntas naturais de Barton e
Cho de
(iii) A curva do meio (linha 1) é uma aproximação próxima ao desempenho médio das
136 amostras de juntas testadas por Barton e Choubey (1977). O valor médio global de
°
n
d
para as 136 amostras foi 20,0°, comparado a 21,1° para o componente de rugosidade. Em
outras palavras, onde o dano da rugosidade é leve (devido a valores de JCS relativamente
altos, ou baixos valores de σ
n
, e/ou pequenos valores de JRC) a relação seguinte dá uma
primeira aproximação do ângulo de dilatação de pico.
°
n
d
= JRC log
10
(JCS/σ
n
) (4.14)
iv) O valor médio do ângulo de dilatação inicial (
°
i
d
) para os 136 espécimes foi 6,6°,
aproximadamente um terço co (
°
n
d
°
i
d
(
°
n
d
ubey (1977), o valor médio de JCS/σ
n
foi 440 (faixa de 15,5 a 5550). Os testes
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
84
inclina o pode ser visto na
Figura
,15°, enquanto o componente de
rugosid nduziu à
seguint a de juntas onduladas rugosas
(Barton
(4.17)
onde 30° r
ficiente de dano da junta como segue:
ção e de empurrar claramente deram valores muito mais altos, com
4.10.
É significante que a equação (4.13) (o limite inferior) deu um ajuste extremamente
bom aos dados do teste obtido desses 130 modelos de fraturas. Na realidade, o ângulo de
dilatação de pico medido médio para as 130 fraturas foi 13
ade médio (JRC×log
10
(JCS/σ
n
)) foi 26,34°. Esta concordância próxima co
e relação para o pico d resistência ao cisalhamento
, 1971a):
τ
p
= σ
n
tan(2
°
n
d
+30°)
epresentou o ângulo de atrito básico, φ
b
, do material não-desgastado.
Notou-se que as equações (4.13) e (4.17) são relevantes para testes de cisalhamento
nos quais a relação de JCS/σ
n
é suficientemente baixa, permitindo que dano de rugosidade
considerável aconteça, enquanto as equações (4.14) e (4.16) são importantes para testes de
cisalhamento nos quais o valor de JCS/σ
n
é alto, tal que pequeno dano acontece. No primeiro
caso há um componente de falha de rugosidade alto e um baixo componente geométrico, e no
segundo caso o contrário. É conveniente definir um coe
()
n10
JCSlog
d
σ=
°
(4.18)
n
JRC
M
(M +φ
r
) (4.19)
É
cada grupo de rochas. Na parte inferior da tabela, os resultados para as
fratura a
determinados por comparação com as juntas naturais. Quatro amostras de xisto calcário
exibiram
Uma expressão geral para o pico da resistência ao cisalhamento será obtida se as
equações (4.16) e (4.17) são generalizadas para todos os estados de dano para:
τ
p
= σ
n
tan
°
n
d
de interesse examinar o valor de M para os oito tipos de rochas diferentes estudadas
por Barton e Choubey (1977), e compará-los com o valor de M = 2,00 obtidos dos testes de
alto dano nos 130 modelos de fratura por tração (Barton, 1971a). A Tabela 4.5 resume os
valores médios para
s por tração rtificiais rugosas em pedra sabão e no material modelo frágil fraco são
dilatação zero. Estas não dilataram até depois que resistência de pico fosse
alcançada. Só duas amostras de basalto estavam disponíveis. Estes resultados não foram
incluídos na Tabela 4.5.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
85
TABELA 4.5: Ângulos de Dilatação Médios e Coeficientes de Dano
(Extraída de Barton e Choubey, 1977)
Tipo de Rocha
Nº de
Amostras
°
n
d
log
10
(JCS/σ
n
)
JRC
Comp. de
Rugosidade
M
Aplito 36 25,5° 2,53 9,3 23,5° 0,92
Granito 38 20,9° 2,36 8,9 21,0° 1,00
Hornfel 17 26,5° 2,72 9,6 26,1° 0,99
Xisto Calcário 11 14,8° 2,50 8,2 20,5° 1,39
Ardósia 7 6,8° 1,83 2,9 5,3° 0,78
Gnaisse 17 17,3° 2,26 7,7 17,4° 1,01
Pedra Sabão 5 16,2° 1,56 16,6 24,8° 1,53
Modelo de Fraturas 130 13,2° 1,29 21,1 26,3° 2,00
o de pico para
uma de
inclinada com área da base gran
graficados para estabelecer a tendência principal de comportamento. Um gráfico do
coefici
Está claro do exame da Tabela 4.5 que a estimação do ângulo de dilataçã
terminada junta não é uma questão simples. O coeficiente de dano é geralmente mais
alto quando JCS/σ
n
é baixo, mas o valor do coeficiente de rugosidade da junta, JRC, complica
este quadro já que juntas lisas, como as juntas em ardósia, sofrem muito pequeno dano, até
mesmo quando o valor de JCS/σ
n
é suficientemente baixo para sugerir dano considerável.
Essa influência da rugosidade é bastante lógica, pois uma rugosidade íngreme com uma área
de base pequena (JRC alto) será cisalhada mais prontamente que uma rugosidade suavemente
de (baixo JRC). Os resultados mostrados na Tabela 4.5 foram
ente de dano (M) versus JRC/log
10
(JCS/σ
n
) estabeleceu as seguintes relações
aproximadas como as mais seguras para estimar M e
°
n
d
.
()
70,0
C
M
(4.20)
JCSlog12
n10
σ
JR
+=
(
)
()
n10
2
n10
n
JCSlog4,8JRC
JCSlogJRC12
d
σ+
σ
=
°
(4.21)
Os valores preditos de
°
n
d
e M obtidos destas equações são apresentados na Tabela
4.6. A concordância é boa, com exceção do xisto calcário. Esse consistiu em juntas totalmente
planas, mas com picos íngremes ocasionais, resultando em valores de JRC muito mais altos
que seriam esperados de superfícies relativamente planas. Porém, a dilatação medida foi
inesperadamente baixa em relação a esses inesperadamente altos valores de JRC, devido à
quantia de dano de rugosi
dade que acontece (M = 1,39).
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
86
TABELA 4.6: C os e Medidos omparação dos Ângulos de Dilatação e Coeficientes de Dano Predit
(Extraída de Barton e Choubey, 1977)
cha
N
Tipo de Ro
º de
Amostras
°
n
d
Medido
°
n
d
M
Predito
Medido
M
Predito
Aplito 36 25,5° 23,4° 0,92 01 1,
Granito 38 20,9° 20,7° 1,00 01 1,
Hornfel 17 26,5° 26,3° 0,99 99 0,
Xisto Calcário 11 14,8° 21,1° 1,39 97 0,
Ardósia 7 6,8° 6,4° 0,78 ,83 0
Gnaisse 17 17,3° 17,7° 98 1,01 0,
Pedra Sabão 5 16,2° 16,7° 55 1,53 1,
Modelo de Fratura 130 13,2° 13,2° 06 s 2,00 2,
Enquanto é fácil de entender que o coeficiente de dano M é maior que 1,0 quando
JCS/σ
n
é baixo e/ou quando JRC for alto, é bastante inesperado encontrar que M pode ser
aparentemente menor que 1,0. Por exemplo, o valor médio para os sete espécimes de juntas de
clivagem em ardósia era 0,78. A possibilidade que isso seja devido a erros experimentais deve
ser considerada, particularmente devido ao baixo valor médio do ângulo de dilatação de pico
(6,8°) medido nessas superfícies lisas. Se o valor mínimo de M é na realidade exatamente 1,0
como se esperaria de cisalhamento “dano zero”, a discrepância de 0,22 na verdade representa
só 1,5° de erro médio.
4.6 DESLOCAMENTO E RIGIDEZ DE PICO DE CISALHAMENTO
O deslocamento de pico do cisalhamento, d
hp
, requerido para alcançar o pico da
resistência ao cisalhamento determin
do cisalhamento, K
s
, é definida como o pico da resistência ao cisalhamento, τ
p
, dividida pelo
deslocamento de pico do cisalhamen
(1977) um método seguro de estimar τ para qualquer dado valor de JCS, JRC, φ e σ , falta
apenas estimar d para uma estimativa de K ser obtida.
s foi 0,93mm, o que representa
proximadamente 0,95% do comprimento médio da junta, L, o qual era 9,8cm.
a a rigidez de juntas em cisalhamento. A rigidez de pico
to, d
hp
. Como já foi desenvolvido por Barton e Choubey
p r n
hp s
Pode ser visto na Tabela 4.7 que o valor médio de d
hp
varia de aproximadamente 0,6 a
1,2mm para as juntas dos oito tipos de rochas estudadas por Barton e Choubey (1977). Juntas
mais lisas como a ardósia, ou juntas em rocha desgastada que não se une muito firmemente
como o granito, requerem maiores deslocamentos de cisalhamento para alcançar a resistência
de pico. A média global para os 136 espécime
a
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
87
TABELA 4.7: Variação do Valor Médio de d
hp
para as Oito Rochas Estudadas
(Extraída de Barton e Choubey, 1977)
Tipo de Rocha Nº Amostras d
hp
(mm) JRC
Aplito 36 0,89 9,3
Granito 38 1,14 8,9
Hornfel 17 0,78 9,6
Xisto Calcário 11 0,59 8,2
Basalto 2 0,69 8,5
Ardósia 7 1,21 2,9
Gnaisse 17 0,86 7,7
Pedra Sabão 5 0,83 16,6
Barton (1971a) estudou os efeitos de deslocamento da junta e indicou que modelos de
fratura
e era inversamente proporcional ao comprimento da junta. Porém,
arece claro que d
hp
reduzirá eventualmente a menos de 1% de L quando o comprimento da
a rigidez
e pico do cisalhamento apresentada na equação (4.22) é adequada como uma base para
calcula
por tração representando protótipo de comprimentos da junta de 225cm até 2925cm
requereu aproximadamente 1% de deslocamento (isto é, d
hp
/L ≈ 0,01) para alcançar o pico da
resistência ao longo desta faixa de comprimentos da junta simulados. Os resultados de Barton
e Choubey (1977) em juntas de rochas de 10cm ajustam bastante bem estas observações.
Devido a esta regra aproximada de deslocamento de 1%, a rigidez de pico do
cisalhamento, K
s
= τ
p
/d
hp
, é fortemente dependente da escala. Barton (1972) realizou uma
revisão de testes de cisalhamento de laboratório e em situ e indicou que a rigidez de
cisalhamento realment
p
junta aumenta a vários metros. Para a maioria dos propósitos práticos, a estimativa d
d
r a faixa apropriada de dados de entrada para uma determinada análise numérica.
()
[]
rn10ns
JCSlogJRCtan
L
100
K φ+σσ=
(4.22)
onde K
s
é a rigidez de pico do cisalhamento (MN/m
2
/m) e L é o comprimento da junta (m).
Porém, se o efeito de escala realmente desaparece quando um certo comprimento
crítico da junta, L
c
, é excedido, então o valor de L usado na equação (4.22) não deveria
excede
cas e técnicas.
O alto custo de testes de cisalhamento convencional de grande escala freqüentemente conduz
r L
c
.
4.7 EFEITO DE ESCALA
A escolha de um tamanho de junta apropriado para teste durante uma investigação de
resistência ao cisalhamento geralmente está baseada em considerações econômi
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
88
à alternativa pequenas.
Porém, amostras pequen m aturais reais e
tais testes freqüentem duzem dad não representativos. Schneider (1978) observa a
relutância de engenheiros práticos em aplicar valores ito deter dos em amostras de
tamanho de labor ção qu eqüentemente conduz a reduções mais ou menos
arbitrárias de ângulos (pico ou re ual) de 1,3 de seus res medidos.
A influência potencial do tamanho da junta testada nas m s de resistência ao
cisalhamento tem sido apontada há muitos anos por vários investigadores, tais como Deere
et
l
. (1967), Salas (1968), Jaeger (1971), Wareham e Sherwood (1974), Bandis et al. (1981),
Lanaro
estes
não ind
agem
partidos artificialmente em ardósia aumenta qua
a 1000cm
2
. Esses autores notaram que a divisão dos blocos de ardósia produziu um
te
efeito s
cordo com Bandis
et al. (1981), tamanhos diferentes de amostras de junta com
gosidade semelhante mostraram efeitos de escala “positivos” em uma série de testes de
et al. (1974). Uma faixa de tamanhos da junta em um diorito
de quartzo desgastado mostrou uma redução de
experimentais. Barton e Choubey (1977) mediram ângulos de inclinação de 59° durante testes
relativamente mais barata de teste de laboratório de amostras de juntas
as normal ente representam só uma fração das juntas n
ente pro os
de atr mina
atório, uma situa e fr
de atrito sid a 1,2 valo
edida
a
(2000), Fardin
et al. (2001), entre outros. Porém, poucos estudos sistemáticos do
efeito de escala foram realizados, e dados existentes de testes de pequenas e grandes escalas
são extremamente limitados e freqüentemente inconclusos. Uma razão é que grandes testes de
cisalhamento em situ estão geralmente reservados para as situações mais críticas.
Comparações de dados de juntas vazias apresentam um quadro confuso porque alguns t
icam nenhum efeito de escala (Krsmanovic e Popovic, 1966), considerando que em
outros casos o efeito de escala ou é “positivo” (Pratt
et al., 1974) ou é “negativo” (Locher e
Rieder, 1970). Efeitos de escala “negativos” são freqüentemente o resultado de rugosidade
dissimilar nas juntas. Por exemplo, no caso dos testes de Locher e de Rieder (1970) as
amostras de laboratório foram descritas como lisas, considerando que as juntas testadas em
situ tinham superfícies onduladas com amplitudes de ± 2cm. Isto poderia explicar porque o
ângulo de atrito de pico em situ foi 5° mais alto que o medido no laboratório. Brown
et al.
(1977) também encontraram que o pico da resistência ao cisalhamento de planos de cliv
ndo as áreas de amostragem aumentam de 60
“escalonamento” das superfícies de um plano de clivagem a outro. Como seria esperado, es
e tornou mais marcante quando o tamanho da amostra aumentou e produziu superfícies
mais “rugosas” com resistência mais alta.
De a
ru
cisalhamento de campo de Pratt
40% no pico da resistência ao cisalhamento
quando as áreas amostrais aumentaram de 140 a 5000cm
2
. A família de curvas de tensão de
cisalhamento, τ, versus deslocamento, d
h
, na Figura 4.14 resume esses resultados
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
89
de deslizamento com peso próprio em uma junta de granito de 45cm. Quando a mesma
amostra foi subdividida em dezoito blocos de 10cm de comprimento, um ângulo médio de 69°
foi obtido de uma combinação de testes de inclinação e de empurrar.
Os efeitos de escala na resistência ao cisalhamento foram explicados de modos
diferentes. Pratt
et al. (1974) pensaram que a redução no pico da resistência ao cisalhamento
fosse devida à diminuição da área de contato real com aumento do tamanho da junt
a. Eles
presum
iram que “... provavelmente não haveria nenhum efeito de escala se a área de contato
de juntas pequenas e grandes fosse a mesma” e que tal poderia ser o caso para juntas não-
desgastadas, perfeitamente unidas sob tensão normal alta. Barton (1976) interpretou os
mesmos resultados com base em um efeito de escala na resistência à compressão da junta
(JCS) operando nas amostras de tamanhos diferentes. Em uma publicação subseqüente Barton
e Choubey (1977) sugeriram que o coeficiente de rugosidade da junta (JRC) apresenta outra
fonte potencial de efeito de escala na resistência ao cisalhamento. Retro-análises de seus
testes de inclinação mostraram que o valor de JRC da junta de 45cm aumentou de 5,5 a 8,7
depois que a junta foi dividida em blocos menores.
Esta revisão mostra que, até hoje, os efeitos de escala ainda não são bem
compreendidos. Qualquer melhoria significante no entendimento requereria respostas às
seguintes perguntas:
(i) Os efeitos de escala no comportamento ao cisalhamento são características
intrínsecas de juntas de rocha?
(ii) Qual é o mecanismo de cisalhamento a escalas diferentes, e quais são os fatores
que controlam a magnitude de qualquer efeito de escala?
(iii) Até que ponto o comportamento da junta individual é relevante ao comportamento
de massas de rochas?
FIGURA 4.14: Efeitos de Escala na Resistência ao Cisalhamento de Juntas de Diorito de Quartzo
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
90
4.7.1 Procedimento Experimental
A fim de tentar responder as três questões anteriores, Bandis
et al. (1981) realizaram
experim
mostra foram testados na mesma direção
relativa
entos que consistiram em testes de cisalhamento direto de vários tamanhos de réplicas
de superfícies de juntas. Uma borracha quente que modela com alta resolução (Vinamold
9525) foi usada para tomar impressões precisas da rugosidade de uma variedade de
superfícies de juntas naturais em vários tipos de rochas. Os comprimentos das juntas usados
estavam entre 36 e 40cm, e o molde foi preparado de ambos os lados da junta. Um material
frágil multi-componente foi usado para preparar várias réplicas de modelos de espécimes
idênticos de cada par do molde. Mais detalhes sobre as propriedades do material usado para
fazer as réplicas pode ser encontrado em Bandis
et al. (1981).
Testes de cisalhamento direto foram realizados tanto no modelo de tamanho real
quanto em outras réplicas depois que elas tinham sido subdivididas em conjuntos de amostras
menores, cada conjunto representando um tamanho médio do bloco diferente, 5-6, 10-12, ou
18-20cm de comprimento. Todos os tamanhos de a
de cisalhamento e sob precisamente o mesmo nível de tensão normal, σ
n
.
Os princípios básicos de similitude do protótipo modelo requerem que:
mpgT
ρ
ρλ=ψ
(4.23)
onde ψ
a e ρ
m
é a massa específica do material modelo. Bandis et al.
(1981)
ssa específica de protótipo de rocha,
ρ , de 2,5g/cm
T
4.7.2 Características Gerais das Juntas
Antes de iniciar o programa de teste principal, Bandis
et al. (1981) realizaram uma
investigação preliminar para comparar o comportamento ao cisalhamento das juntas modelo
com aquelas esperadas de juntas de rochas reais. Várias réplicas idênticas foram feitas com
um molde de borracha de quatro amostras de juntas naturais (9 x 5cm) com rugosidade de
superfície distintamente diferente, como visto na Figura 4.15. A resistência à compressão
uniaxial, σ
c
, do material modelo era 2,0MPa (= 80MPa no protótipo de rocha). Réplicas
idênticas de cada tipo da junta foram cisalhadas sob σ variando de 10
-3
a 0,10MPa (0,04 a
T
é o fator de escala da tensão, λ
g
é o fator de escala geométrico, ρ
p
é a massa
específica do protótipo de roch
usaram em seus testes um fator de escala geométrico, λ
g
, de 30, a massa específica do
material modelo, ρ
m
, foi de 1,85g/cm
3
e supondo uma ma
p
3
, o fator de escala de tensão, ψ , encontrado por Bandis et al. (1981) foi 40.
n
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
91
4,0MPa na escala de protótipo) e os resultados são resumidos nas Figuras 4.15, 4.16, 4.17 e
.18.
Diferentes Rugosidades da Superfície
4
FIGURA 4.15: Tensão de Cisalhamento versus Deslocamento de Cisalhamento para Juntas Modelo com
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
FIGURA 4.16: Envoltórias do Pico da Resistência para Quatro Conjuntos de Juntas Modelo
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
92
F
FIGURA 4.18: Efeit
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
IGURA 4.17: Juntas Modelo Mostrando Efeito da Rugosidade da Superfície (JRC) na Dilatação
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
o da Tensão Normal no Ângulo de Dilatação de Pico
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
93
Exemplos típicos de relações da tensão de cisalhamento, τ, versus o deslocamento, d
h
,
sob níveis diferentes de tensão normal, σ
n
, são mostrados na Figura 4.15. Os diagramas
ilustram os efeitos antecipados da rugosidade no pico da resistência ao cisalhamento e na
rigidez em todos os níveis de tensão normal. Os valores do coeficiente de rugosidade da junta
(JRC) atribuídos a cada tipo de junta na Figura 4.15 foram retro-calculados da equação
empírica de Barton e Choubey (1977) para resistência ao cisalhamento de pico, τ
p
, equação
(4.6):
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
φ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
σ=τ
r
n
10np
JCS
logJRCtan
onde σ
n
é a tensão normal, JRC é o coeficiente de rugosidade da junta, JCS é a resistência à
compressão da junta (considerada igual a σ
c
neste caso) e φ
r
é o ângulo de atrito residual
(considerada igual a φ
b
neste caso).
A equação (4.6) dá um bom ajuste aos dados experimentais de todos os quatro tipos de
juntas m as
odelo muda na maneira esperada para juntas de rocha reais sobre uma ampla faixa de tensão
normal. Também é interessante notar as mudanças realísticas nas características de dilatação
com mudanças de JRC, mostradas na Figura 4.17, e as variações no ângulo de dilatação de
pico, , com aumento de σ
n
e JRC, mostradas na Figura 4.18.
Barton e Choubey (1977) mostraram que JRC pode ser considerado como uma
constante independente do nível de tensão normal, σ
n
, dentro da faixa de interesse da
engenharia. Isto também foi confirmado pelos resultados de testes de juntas modelo de Bandis
et al. (1981). Porém, indicações são que os valores de JRC podem mudar com o aumento do
comprimento da junta. O outro parâmetro de entrada significante na equação (4.6) é a
resistência à compressão da junta (JCS). Os efeitos de JCS no pico da resistência ao
cisalhamento, τ
p
, são ilustrados na Figura 4.1 para três valores diferentes de JRC. Se JCS
também for dependente da escala, então as envoltórias na Figura 4.1 implicam que o efeito de
escala em τ
p
seria máximo para juntas com JRC alto e mínimo para juntas com baixo JRC.
Um total de onze amostras de juntas naturais foi selecionado para a investigação do
efeito de escala. As superfícies variaram de onduladas e rugosas a quase lisas e planas. As
amostras de juntas foram coletadas de exposições naturais de arenito granulado grosso, siltito,
rocha calcária e um arenito granulado fino ligeiramente metamorfoseado. O estudo inicial das
características mportamento
realístico de um ponto de vista qualitativo. Porém, é necessário considerar a relação
odelo. A Figura 4.16 ia ao cisalhamento das juntmostra que o pico da resistênc
m
°
n
d
de cisalhamento odelo revela co fundamentais das juntas m
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
94
quantit
Os experimentos de Bandis
et al. (1981) mostraram que aumentando o tamanho do
bloco ou comprimento da junta revelaram eitos de escala notáveis nas características de
resistência ao cisalhamento e de deformação. Como uma introdução à magnitude do efeito de
Os valores ± correspondem a um desvio padrão e os
número
81
ativa entre as juntas modelo e as juntas de rocha, baseado nas leis de simulação de
protótipos de modelos. Os vários tamanhos de amostras modelo representam comprimentos
da junta em escala real de 1,5-1,8m, 3,0-3,6m, 5,4-6,0m ou 10,8-12,0m (réplica de tamanho
real).
4.7.3 Resultados Experimentais
-se ef
escala no pico da resistência ao cisalhamento, um resumo global dos resultados é apresentado
na Tabela 4.8, na qual os onze tipos de juntas modelo foram divididos em quatro grupos de
acordo com as suas rugosidades.
s entre parênteses fornecem o número total de espécimes de todos os tipos de juntas
em cada grupo. Os ângulos de atrito totais de pico (φ
p
= pico arctan(τ
p
/σ
n
)) são descritos pelos
valores de média e de desvio padrão. Uma comparação mostra que os valores médios de φ
p
diminuem aproximadamente 8° a 20° quando o comprimento de blocos individuais aumenta
de 5 ou 6cm a 36 ou 40cm (1,5-1,8m para 10,8-12m na escala de protótipo).
TABELA 4.8: Valores Médios do Pico da Arctan(τ
p
/σ
n
)
(Extraída de Bandis et al., 19 )
Comprimento da
Junta, L
Descrição da Rugosidade da Junta
Modelo
(cm)
[M]
Protótipo
(m)
[P]
Fortemente
ondulada,
rugosa
Fortemente
ondulada,
moderadamente
rugosa
Moderadamente
ondulada,
muito rugosa
Moderadamente
ondulada a
quase plana,
moderadamente
rugosa a quase
lisa
Modelos Números
1, 2, 3 4, 5 6, 7, 8 9, 10, 11
5, 6 1,5, 1,8
64,5° ± 6,8° (54) 58,4° ± 8,3° (36) 64,3° ± 6,3° (74) 49,8° ± 6,4° (54)
10, 12 3,0, 3,6
59,4° ± 7,9° (18) 58,7° ± 5,6° (12) 60,7° ± 6,3° (33) 46,1° ± 6,1° (18
)
18, 20 5,4, 6,0
56,2° ± 3,8° (12) 53,4° ± 3,2° (8) 52,1° ± 5,9° (12) 43,0° ± 5,0° (12)
36, 40 10,8, 12,0
51,9° ± 4,1° (3)
48,1° (2)
45,5° ± 1,6° (3) 41,5° ± 2,6° (3)
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
95
Outra ilustração deste efeito de escala é mostrada na Figura 4.19, na qual a tensão de
cisalhamento de pico média,
p
τ
, de todas as réplicas da junta foi graficada em função da área
média da junta. É interessante notar o efeito de escala não-linear em
p
τ
, o qual evidentemente
tende a um valor assintótico com o aumento da área média da junta. Tendências não-lineares
p
τ
semelhantes também são observadas em gráficos de
versus o comprimento da junta, mas o
chão” é menos pronunciado para as juntas mais longas. O declínio aparente do efeito de
escala
FIGURA 4.19: Variação do P mento com a Área da Junta
[Reprodu
r sã ent ão , d
h
as
Fig .20, 4 4.22 los de al n
ao cisalhamento da junta. É mostrado que o aumento do tam
co tas con
um o c d
hp
) u i a ento frágil para o
pl
(iii) uma diminuição do ângulo de dilatação de pico (Figuras 4.20(b), 4.21(b) e
4.22(b));
(iv) efeitos de escala insignificantes no caso de tipos de juntas relativamente planas e
lisas (Figura 4.22).
“
com a redução da rugosidade da superfície também deveria ser cuidadosamente
observado.
ico Médio da Tensão de Cisalha
zida de Bandis et al., 1981]
As elações ten o de cisalham o, τ, em funç do deslocamento
, ilustradas n
uras 4 .21 e são exemp típicos do efeito escala glob o comportamento
anho do bloco ou do
mprimento das jun duz a:
(i) aument gradual no deslo amento de pico o cisalhamento, d
;
(ii ma trans ção aparente de um modo de f lha de cisalham
ástico;
°
n
d
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
96
FIGURA 4.20: Curvas do Modelo 1 (a) Tensão de Cisalhamento e (b) Dilatação
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
.21: Curvas do Modelo 7 (a) Tensão de Cisalhamento e (b) Dilatação
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
FIGURA 4
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
97
FIGURA 4.22: Curvas do Modelo 11 (a) Tensão de Cisalhamento e (b) Dilatação
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
4.7.4 Efeito de Escala no Deslocamento de Pico do Cisalhamento
O efeito de escala no deslocamento de pico do cisalhamento, d
hp
, é ilustrado na Figura
4.23, na qual os valores médios d
hp
de cada modelo subdividido são graficados em função do
comprimento da junta, L, respectivo. As três famílias de curvas indicam que o tipo de
rugosidade da superfície tem uma influência decisiva na variação de d
hp
com o aumento do
tamanho do bloco. O deslocamento de pico do cisalhamento é efetivamente uma medida da
distância que uma junta tem que percorrer até o contato efetivo ser estabelecido entre as
rugosidades que controlam seu pico de resistência. O efeito de escala do deslocamento
implica claramente que sob o mesmo nível de tensão normal o comportamento de pico de
comprimentos da junta diferentes é controlado por irregularidades de tamanhos diferentes ou
comprimento base. Evidência indireta desse efeito é determinada pela mudança no
comportamento de frágil para plástico com o aumento da escala. É semelhantemente razoável
esperar qu res que o
tamanho ou comprimento base o comportamento de pico.
e a resistência última seja aproximada depois de deslocamentos maio
dessas rugosidades que controlam
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
98
FIGURA 4.23: Variação do Deslocamento de Pico do Cisalhamento com o Aumento do Comprimento
da Junta
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
4.7.5 Efeito de Escala na Dilatação de Pico
Curvas de dilatação méd de réplicas da junta podem ser
istas nas Figuras 4.20(b), 4.21(b) e 4.22(b). Os ângulos de dilatação de pico, , são
cisalha n
ias para os diferentes tamanhos
°
n
d
v
calculados da parte da curva de dilatação que corresponde a deslocamento de pico do
mento. A variação dos valores médios de
n
d
com o comprime to da junta é ilustrada
na Figura 4.24.
O ângulo de dilatação de pico representa a inclinação dos contatos entre as
rugosidades “críticas” no momento de pico da resistência (relativo ao plano médio da junta).
Análises de perfis da junta mostraram que quanto mais longo o comprimento da base
considerado, menos íngremes as rugosidades, conforme Patton (1966a), Rengers (1970) e
Barton (1971a). Considerando o efeito de escala no deslocamento de pico do cisalhamento,
d
°
hp
e na dilatação de pico,
°
n
d
, fica claro que quando o comprimento dos blocos da junta
aumenta, o pico da resistência não é alcançado até que contatos efetivos se desenvolvam entre
rugosidades de comprimento de base mais longo e correspondentemente inclinações mais
planas. Isto é confirmado de observações de testes posteriores das superfícies cisalhadas.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
99
F 4.24: Variação do Ângulo de Dilatação de Pico com o Aumento do Comprimento da Junta IGURA
comportamento de pico teria um valor de JRC mais alto que um perfil mais longo da mesma
por características de superfície maiores e
ente inclinadas.
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
4.7.6 Efeito de Escala em JRC
A mobilização de rugosidades de comprimento de base diferentes significa que o valor
do coeficiente de rugosidade da junta (JRC) para uma junta particular ou conjunto de juntas
dependerá da escala. Uma junta com rugosidades íngremes pequenas que controlam o
junta cujo comportamento tenha sido dominado
menos abruptam
As relações entre valores médios de JRC (retro-calculados da equação (4.6)) e o
comprimento da junta, L, são ilustradas na Figura 4.25. É mostrado que os valores de JRC
reduziram de um máximo de 1,3 (para juntas planas) e de um máximo de 11,2 (para juntas
rugosas). Como será discutido posteriormente, indicações são de que a resistência à
compressão da junta (JCS) também é dependente da escala. O efeito de escala em JRC visto
na Figura 4.25 pode, portanto, ser exagerado, já que um valor constante de JCS de 2,0MPa
(igual a resistência à compressão σ
c
do material modelo) foi suposto nos cálculos até este
ponto.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
100
FIGURA 4.25: Variação Aparen
[Repro
te de JRC com o Aumento do Comprimento da Junta
duzida de Bandis et al., 1981]
4.7.7 Efeito de Escala no Com
es contribui com cisalhamento ou
compo
ponente de Falha da Rugosidade
A redução no ângulo de dilatação de pico,
°
n
d
, com o aumento do tamanho da junta
(Figura 4.24) conta para parte do efeito de escala no ângulo de atrito de pico, φ
p
. Sob uma
determinada σ
n
, dano completo ou parcial das rugosidad
nente de falha,
°
A
S
, para a resistência de atrito de pico φ
p
, que é representada por:
()
°°°°
++φ=στ=φ
Anbnp
Sdarctanpico (4.24)
como indicado na Figura 4.26. Como
°
n
d
foi o único parâmetro dependente da escala, se
esperaria que o componente de falha da rugosidade de pico,
°
A
S
, permanecesse inalterado com
o aumento do comprimento da junta desde que φ
b
seja constante. Porém, os valores médios de
°
A
S
estimados de:
(
)
°°°°
+φ−φ=
nbpA
dS
revelam um efeito de escala forte como mostrado na Tabela 4.9.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
101
FIGURA 4.26: Componentes Angulares da Resistência ao Cisalhamento para uma Junta Ondulada
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
TABELA 4.9: Variação do Componente de Falha da Rugosidade Médio com Aumento do Comprimento
da Junta
(Extraída de Bandis et al., 1981)
Comprimento da Junta Modelos Números
Modelo [M] Protótipo [P]
(cm) (m)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 - 6 1° 7,5°1,5 - 1,8 19,6 18,7° 19,5° 16,3° 13,° 18,1° 19,9° 17,3° 21,1° 17,3°
10 - 12 3,0 - 3,6 17,4° 17,2° 17,9° 12,7° 9,6° 6,6°14,2° 15,4° 16,8° 17,1° 12,2°
18 - 20 5,4 - 6,0 13,2° 12,4° 12,2° 12,1° 12,1° 8,7° 10,4° 12,1° 10,7° 8,3° 4,9°
36 - 40 10,8 - 12,0 11,7° 10,1° 5,3° 8,4° 10,3° 5,1° 6,2° 6,0° 7,3° 6,6° 5,3°
4.7.8 Efeito de Escala no Tamanho e na
es de
cisalhamento de pós-pico fazem comparação
valor questionável. Porém, comparação visual das áreas de contato de pós-teste revela as
estes efeitos de escala estão reduzidos para o caso de juntas planas.
Notando que o desgaste de pós-pico das rugosidades deve ser menor para o caso das
amostras maiores; entretanto, são estas amostras grandes que mobilizam as rugosidades
alhamento, e explica vários
aspectos do efeito de escala.
Distribuição das Áreas de Contato
As réplicas das juntas menores (5-6cm de comprimento) foram cisalhadas um total de
5-6mm (d
h
/L ≈ 10%) enquanto as juntas correspondentes de tamanho real (36-40cm de
comprimento) foram cisalhadas 6-8mm (d
h
/L ≈ 1,8%). As quantias relativas diferent
quantitativa de áreas de contato de pós-teste de
seguintes características básicas:
(i) um número maior de áreas de contato pequenas nas amostras pequenas;
(ii) um tamanho maior de áreas de contato individuais nas amostras grandes;
(iii) ambos
maiores. Esta é uma característica fundamental de junta de cis
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
102
No caso da junta ondulada rugosa, o componente de falha de rugosidade média, , é
estimado para as amostras de 6cm como aproximadamente 8° mais alto que o valor de das
juntas de 36cm de comprimento. No caso da junta plana, o valor médio de
quando o tamanho do bloco aumenta de 6 para 18cm, e a diferença no tamanho dos contatos
individuais em ambos os tamanhos de amostra é muito pequena. Então, o aumento de
tamanho das áreas individuais de contato faz parte de um mecanismo que causa reduções
significantes no componente de falha de rugosidade em escala maior.
Barton (1976) e Barton e Choubey (1977) discutiram a possibilidade de um efeito de
es a
resistência intrínseca de mate proporcional ao tamanho do
spécime (Broch e Franklin, 1972 e Lama e Gonano, 1976). Por conseguinte, é razoável supor
resistirão a tensões mais bai pequenas mobilizadas durante
pequenas. A revisão de 6) sobre os efeitos de
escala na resistên comp são niax l in
acontece na faixa de tamanho de 1,0-10 s
de sapare o t a s s
a
c
b
sidade
duzido de juntas mais longas. Ainda falta determinar por quanto pode ser esperado que JCS
reduza
que geralmente diminui com o aumento da planaridade da
junta. O is altos que
aqueles ura 4.28
fornece
°
A
S
°
A
S
°
A
S
cai para 2,6°
cala na resistência à compressão da junta (JCS). É conhecido de numerosos testes que
riais de rocha é inversamente
e
que as irregularidades grandes mobilizadas durante cisalhamento de amostras grandes
xas que as rugosidades
cisalhamento de amostras Lama e Gonano (197
cia à res u ia dica que a maioria da redução de resistência
4
cm
3
. Estes autores sugerem que este efeito de e cala
JCS de cerá com aumento do comprimen o das mostras da junta. Efeito de e cala
n resistência à compressão uniaxial, σ
, tam ém foram relatados por, por exemplo, Einstein
et al. (1970). O efeito de escala em JCS (= σ
c
) explica o componente de falha de rugo
re
com o aumento do tamanho da junta.
Fatores de redução para JCS são obtidos das relações de
°
A
S
que correspondem às
amostras de 5-6cm de comprimento e aquelas obtidas das juntas mais longas. Um quadro
completo da magnitude do efeito de escala em JCS é apresentado na Figura 4.27. A dispersão
nos valores de JCS das amostras de juntas longas é significante e acontece devido ao tamanho
diferente de contatos individuais
uso do JCS reduzido pela escala na equação (4.6) dá valores de JRC ma
na Figura 4.25 na qual um JCS constante é suposto. As relações na Fig
m um quadro mais realístico da magnitude do efeito de escala em JRC.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
103
FIGURA 4.27: Efeito de Escala na Resistência à Compressão da Parede da Junta (JCS)
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
F 4.28: Efeito de Escala no Coeficiente de Rugosidade da Junta (JRC) IGURA
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
104
Dos resultados experimentais de Bandis et al. (1981), é importante notar que apesar da
grande redução no JRC de juntas não-planas e as pequenas reduções no JRC de juntas planas
não há, entretanto, convergência completa a uma faixa estreita de valores de JRC em grande
escala. Aparentemente as juntas retêm o seu caráter individual em todas as escalas, embora
elas sejam mais semelhantes quando as dimensões aumentam. A variedade de rugosidade de
superfície dos testes de Bandis
et al. (1981) representa uma faixa de JRC entre 5-18,5 nas
amostras de 5-6cm (= 1,5-1,8m na escala de protótipo), reduzindo para 4-14 nas amostras de
36-40cm (= 10,8-12,0m de comprimento nos protótipos de juntas). Isto significa que
superfícies rugosas representam um componente fundamental de resistência ao cisalhamento
em qualquer escala. A Figura 4.29 resume os efeitos de escala presentes em forma
adimensional. Predição da magnitude aproximada dos efeitos de escala é possível desde que
JRC
0
(de amostras de tamanho de laboratório) seja conhecido.
FIGURA 4.29: Efeitos de Escala Experimentais em Forma Adimensional
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
4.7.9 Efeito de Escala em Diferentes Níveis de Tensão Normal
Bandis
et al. (1981) realizaram uma série de testes em um conjunto completo de
tamanhos de amostra da junta rugosa, ondulada número 2 sob tensões normais, σ
n
, até
61,25kPa, = 2,45MPa na escala de protótipo. Um resumo dos resultados é apresentado na
Figura 4.30. É mostrado que o efe
normal. Isto é porque tanto o , quanto o componente de
rugosidade, , de amostras pequenas diminuem por uma quantia relativamente maior que no
caso da junta de tamanho real. Isto pode ser explicado pelos efeitos relativos de tensão normal
ito de escala em φ
p
diminui com o aumento da tensão
ângulo de dilatação de pico,
°
n
d
°
A
S
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
105
em áre
quatro nas indicam
esquematicamente como os com e reduzem com o aumento da escala. O
componente de falha de rugosidade reduz relativamente mais que o componente de dilatação
(geométrico).
GU
as de contato. Quando a tensão normal aumenta, as áreas de contato nas amostras de
6cm aumentam e o JCS efetivo diminui, por isso a redução em
°
A
S
. Um aumento análogo das
áreas de contato nas juntas de 36cm sob a mesma σ
n
não causa mudança significante no valor
de JCS, o qual já chegou no seu limite de efeito de escala como mostrado pela relação
assintótica na Figura 4.29, e por isso os valores virtualmente idênticos de
°
A
S
. Pela mesma
razão o ângulo de dilatação de pico,
°
n
d
, mostra uma redução relativamente menor sob mais
alta σ
n
quando o comprimento da junta aumenta.
A concordância entre as envoltórias de pico da resistência ao cisalhamento teóricas e
os dados experimentais é mostrada na Figura 4.31. Como pode ser visto, JRC e JCS foram
corretamente reduzidos pela escala com o aumento do tamanho da amostra. Um resumo dos
efeitos de escala anteriores é mostrado na Figura 4.32.
As colu
ponentes
°
A
S
°
n
d
FI RA 4.30: Vários Efeitos de Escala em Diferentes Níveis de Tensão Normal
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
106
FIGURA 4.31: Envoltórias Teóricas Ajustadas aos Dados Experimentais
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
FIGURA 4.32: Os Três Componentes de Resistência ao Cisalhamento são Afetados pelo Tamanho da
Amostra em Vários Graus
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
107
Barton (1972), com base nos resultados de testes de cisalhamento em fraturas por
tração modelo, e depois Barton e Choubey (1977), com base em testes em juntas de rocha de
10cm de comprimento, sugeriram como uma regra aproximada simples que d
hp
é alcançado
depois de um deslocamento de cisalhamento igual a aproximadamente 1% do comprimento da
amostra da junta, L, até algum tamanho limite, L
c
. Bandis et al. (1981) testaram esta regra e
apresentam os resultados na Tabela 4.10. Como indicado, a regra empírica mostra boa
concordância, com exceção das amostras grandes (18-40cm) das juntas números 6-11. Definir
um limite de validade para a regra de 1% é complicado pelos efeitos de rugosidade no
deslocamento de pico. Os dados presentes indicam um comprimento limite de cerca de 5m
para juntas onduladas e 3m para juntas menos onduladas a superfícies planas.
TABELA 4.10: Deslocamento de Pico do Cisalhamento em Relação ao Comprimento da Junta
(Extraída de Bandis et al., 1981)
Comprimento da Junta
(d
hp
/L)×100
Modelo [M] Protótipo [P]
1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8 9, 10, 11
(cm) (m)
5 – 6 1,5 - 1,8 1,5% 1,2% 1,2%
10 – 12 3,0 - 3,6 1,0% 0,7% 0,9%
18 – 20 5,4 - 6,0 0,9% 0,5% 0,6%
36 – 40 10,8 - 12,0 0,7% 0,5% 0,4%
Uma característica bastante com ico de várias das curvas τ-d
h
representando juntas grandes (18-40cm de comprimento) é a ocorrência de um ou mais pontos
de inflexão seguidos por diminuição na inclinação, como indicado pelos diagramas
idealizados na Figura 4.32. Já que as juntas modelo foram intertravadas completamente antes
da aplicação da força de cisalhamento, é provável que a forma variável das curvas com o
aumento da escala seja o resultado de falha progressiva das rugosidades ao longo das juntas
mais longas. É visualizado que durante o curso de deformação de pré-pico, uma junta terá que
superar a interferência de rugosidades de tamanho menor que as rugosidades críticas para o
comprimento particular. Notavelmente, as mudanças na inclinação freqüentemente acontecem
depois de deslocamentos aproximadamente iguais aos deslocamentos de pico (d
hp
) das juntas
de 6cm e/ou 12cm de comprimento.
Os diagramas τ-d
h
na Figura 4.32 também resumem o efeito de escala no
c
deslocamento de cisalhamento para a resistência última ser
alcançada. Podem ser vistos resultados experimentais que mostram estas características nas
um da etapa de pré-p
omportamento de pós-pico. É mostrado que quando o comprimento da junta diminui,
relativo maior é necessário
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
108
Figuras
1981) mostram
ma transição de comportamento frágil para plástico quando a escala aumenta. Esta é uma
cara ito
maior de bl ente unida tenderia a causar comportamento
coletivo m Os an que o pico da resistência
ao cisalhamento de uma massa de rocha uni a (c
junta) deveria ser mais alto que para uma m rocha c paçamento da junta mais
largo. A qu e a rigi ssa de rocha de cima e de baixo do plano ou zona de
lha de cis o perm blocos nos segu aminhos de cisalhamento
individuais exigidos para m
ez reduzida de modelos unidos densamente aumenta os
graus de liberdade dos blocos da
4.20, 4.21 e 4.22. Isto enfatiza um problema adicional de projeto baseado em
amostras da junta de tamanho de laboratório. A resistência última medida em testes de
cisalhamento de amostras pequenas é mais alta que aquela que seria medida em uma
exposição grande da mesma junta. Assim não só o pico, mas também a resistência última é
dependente da escala. A verdadeira resistência residual não pode ser alcançada até que muitos
deslocamentos maiores tenham ocorrido. Por isso é útil ter um método empírico conservador
de estimar φ
r
.
Uma limitação inerente em teste de cisalhamento direto de blocos com uma única
junta é que a resposta da massa de rocha adjacente está ausente. Isto às vezes pode conduzir a
extrapolações errôneas. Por exemplo, as juntas estudadas por Bandis
et al. (
u
cterística importante de comportamento de junta individual. Contudo, o número mu
ocos em uma massa de rocha fortem
ais plástico. resultados de B dis
et al. (1981) indicam
da próxim
om determinada rugosidade da
assa de om es
estão é s dez da ma
fa alhament itiriam aos peque ir os c
anter contato com suas rugosidades íngremes pequenas, e assim
desenvolve potencialmente o seu pico de resistência ao cisalhamento mais alto. Testes de
inclinação, executados por Bandis
et al. (1981), em modelos subdivididos e de tamanho real
de alguns tipos de juntas mostram que o ângulo de inclinação no qual a falha acontece
aumenta significativamente quando o tamanho do bloco da junta diminui. Isto é indicado na
Figura 4.33. A tensão normal diferente nos dois casos é insuficiente para explicar os 15° de
diferença na resistência ao cisalhamento. Testes semelhantes de Barton e Choubey (1977)
usando juntas de rochas naturais também indicaram diferenças grandes em φ
p
.
É visto que modelos com as juntas mais amplamente espaçadas requerem menor
tensão de cisalhamento para alcançar a falha, enquanto modelos unidos mais proximamente
precisam de tensão mais alta. A rigid
juntas individuais e os permite girar e “sentir” todas as
escalas de rugosidade mais prontamente. Por conseguinte, os blocos pequenos em uma massa
unida densamente podem ser capazes de mobilizar valores de JRC mais altos que blocos
maiores em uma massa com juntas amplamente espaçadas.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
109
FIGURA 4.33: Testes de Inclinação com Vários Blocos Indicam Resistência Mais Alta que com um
te da escala é
executa
Único Bloco Grande
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
4.7.10 Soluções Práticas para o Problema de Efeito de Escala
O efeito de escala no pico da resistência ao cisalhamento implica que há um tamanho
de espécime de teste mínimo que deveria ser considerado como tecnicamente aceitável.
Barton e Choubey (1977) sugeriram que o tamanho de teste da junta correto poderia, como
uma primeira aproximação, ser dado pelo tamanho do bloco natural, ou mais especificamente,
o espaçamento das juntas transversais. As faces de contato entre os blocos naturais
provavelmente podem ser consideradas como dobradiças potenciais prevenindo efeitos de
escala significantes em conjuntos de blocos. Amostras que consistem de blocos únicos
(menores) não contêm “dobradiças”, são rígidas e inflexíveis, e conseqüentemente
experimentam um efeito de escala. Para um espécime de tamanho maior que o do bloco
natural, os efeitos de escala são menos prováveis. Naturalmente, massas de rochas
aleatoriamente unidas, amostras com vários blocos intertravados podem ter que ser testadas
em cilindros triaxiais grandes para a resistência da massa de rocha correta ser obtida. Em
casos típicos com espaçamento de junta mais largo, onde seria impossível amostrar espécimes
com vários blocos, é suficiente testar blocos únicos de tamanho natural.
A solução mais barata para obter uma estimativa de JRC independen
r testes de inclinação simples, de puxar ou empurrar em blocos que ocorrem
naturalmente usando só o peso próprio do bloco de cima como a fonte de tensão normal.
Blocos individuais com juntas podem ser inclinados lentamente até o ponto (ângulo α) em
que deslizamento ocorre. Os valores individuais de JRC podem ser retro-analisados de cada
teste usando a equação (4.6) ou como mostrado anteriormente, usando a equação (4.12):
⎟
⎟
⎞
⎜
⎛
φ
⎠
⎜
⎝
σ
−
α
=
r
JCS
log
JRC
0n
10
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
110
onde α é o ângulo de inclinação e σ
n0
é a tensão normal quando deslizamento ocorre. Uma
ilustração esquemática deste teste simples é mostrada na Figura 4.34. O exemplo a seguir
mostra alguns valores típicos.
α = 51° (ângulo de inclinação)
h
e
= 0,50m (altura do bloco) σ
n
≈ 0,005MPa
γ = 25kN/m
3
(peso específico)
φ
r
= 23° (estimado da eq
JCS = 50MPa (estimado usando Martelo de Schmidt)
(4.7))
uação
0,7
005,0
50
log
10
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2351
JRC =
−
=
°°
As outras duas incógnitas na equação (4.12) são a resistência à compressão da junta
(JCS) e o ângulo de atrito residual, φ
r
. O valor de JCS pode ser predito de testes com o
Martelo de Schmidt, conforme Barton e Choubey (1977), mas uma compensação deveria ser
feita para um efeito de escala. Esses autores propuseram uma faixa tentativa de fatores de
redução de escala de 2,5, 5 e 10, sendo o máximo sugerido para rochas desgastadas, porosas e
o mínimo para rochas densas, duras. Os resultados do Martelo de Schmidt também podem ser
usados para predizer o valor de φ
r
, conforme apresentado na equação (4.7):
(
)
()
Rr2020
br
+−φ=φ
°
onde r é o número de rebote da parede da junta desgastada (saturada) e R é o número de
rebote de superfícies não-desgastadas secas da rocha. Como dito anteriormente, o ângulo de
atrito básico, φ
b
, se aplica a superfícies planas não-desgastadas secas e pode ser medido
através de teste de inclinação de blocos rugosos serrados.
FIGURA 4.34: Teste de Inclinação para Obter um Valor de JRC Independente da Escala
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
111
No caso de um teste de puxar, o qual é preferível para juntas de JRC alto, o bloco do
topo é puxado paralelo ao plano da junta horizontal ou inclinado, como apresentado na Figura
4.35. Deve-se tomar cuidado
para aplicar a força de puxar externa, T
2
, necessária perto do
plano d valor relevante de JRC pode ser obtido de:
a junta para evitar momentos. O
φ−
⎟
⎞
⎜
⎛
+
−
21
1
TT
tan
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
×
s
10
N
AJCS
log
⎠⎝
b
⎟
r
(4.25)
onde T
1
é o componente tangencial do peso próprio do bloco de cima (para planos da junta
inclinados), T
2
é a força de puxar externa (ou força de empurrar para testes de empurrar), N
b
é
o componente normal do peso do bloco e A
s
é a área da junta. A equação (4.6) pode então ser
usada p
FIGURA 4.35: Teste de Puxar, Outro Método Simples de Obter um Valor de JRC Independente da
Escala
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
É importante notar que na estimação de JRC das equações (4.12) ou (4.25) os valores
de entrada de JCS e φ
r
, não precisam ser muito precisos. Como a relação de JCS/σ
n
provavelmente estaria na faixa de 1000-100.000 na maioria dos casos concebíveis, o erro na
estimativa de φ
r
seria reduzido por um fator de 3-5. Também, o erro na estimação do valor de
escala real de JCS seria relati cada
⎠
⎜
⎝
=
b
N
JRC
ara predizer a envoltória completa do pico da resistência ao cisalhamento acima do
nível desejado de tensão normal.
v ulação logarítmica. Emamente pequeno devido à form
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
112
caso,
editos aos
níveis de engenharia exigidos de tensão normal seriam relativamente pequenos, como
mostrado por Barton e Choubey (1
Entretanto, nem sempre pode ser possível executar testes de inclinação, de empurrar
ou puxar em grande escala (tamanho natural do bloco). Um método é necessário para
tes. Tamanhos de passos maiores tornam lineares as
rugosidades íngremes pequenas, amostrando assim só as rugosidades mais longas e mais
suavemente inclinadas. Análises das réplicas das juntas de Bandis
et al. (1981) em escala
diferente (isto é, de 6cm e 36cm de comprimento) indicam que o ângulo de inclinação médio
das rugosidades (
as equações (4.12) ou (4.25) asseguram uma compensação automática para
superestimativas ou subestimativas de φ
r
e/ou JCS produzindo valores subestimados ou
superestimados de JRC, já que os três componentes combinados (JRC, JCS, φ
r
) têm que
constituir a resistência medida. Os erros nos valores de pico da arctan(τ
p
/σ
n
) pr
977).
extrapolar valores de laboratório de JRC para perfis mais longos medidos no campo para
completar as tendências experimentais mostradas na Figura 4.29. Rengers (1970) e Barton
(1971a) analisaram a rugosidade da junta dividindo perfis de rugosidade de superfície em
diferentes tamanhos de passos, assim amostrando rugosidades de declividades e
comprimentos de base diferen
°
a
) amostradas com tamanhos de passos de aproximadamente 2% do
comprimento de cada espécime dá a relação simples seguinte:
°°
=
636636
aaJRCJRC (4.26)
No exemplo mostrado na Figura 4.36, o tamanho do passo de 1,5mm nos perfis de
6cm fornecem
°
6
a
= 23,9°, enquanto o valor medido de JRC
6
é 17,7. O tamanho do passo de
9,0mm (6 × 1,5) nos espécimes de 36cm fornecem
°
36
a
= 15,9°, e então o valor de JRC
36
predito da equação (4.26) é 11,8. O valor medido de JRC
36
é 12,0. De acordo com Bandis et
al. (1981), esta boa concordância é encontrada para uma grande faixa de tipos de juntas.
Na prática, a seguinte forma da equação (4.26) é recomendada para obter um valor de
JRC mais ou m
enos independente da escala baseado em um tamanho de passo de 2%.
°°
= a/a
olaboratórialbloconaturolaboratórialbloconatur
JRC/JRC
O valor de JRC
lab
pode ser obtido prontamente de testes de inclinação de pequena
escala.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
113
FIGURA 4.36: Exemplo do Modelo Nº 1 Mostrando as Variações no Ângulo de Inclinação da
Rugosidade com o Tamanho do Passo
[Reproduzida de Bandis et al., 1981]
4.8 CRITÉRIO CONSTITUTIVO ATUAL
Grasselli e Egger (2003
e deslo
e nos resultados de mais de 50 testes com carga normal constante e cisalhamento direto
ser
medido
foram,
com sucesso, correlacionados com os valores de JRC obtidos por retro-análise de testes de
cisalha
estimar JRC ou através de comparação visual com
dez perfis padrões, ou por retro-análise de resultados de testes de cisalhamento. Porém, de
acordo Hsiung
et al. (1993), Ferrero et al. (1999) e Beer et al. (2002), a estimação de JRC
através de comparação visual é propensa à subjetividade e, por outro lado, retro-análise de
resultados de cisalhamento não é útil para uma estimação a priori do JRC. Então Grasselli e
) sugeriram um critério constitutivo novo, relacionando tensões
camentos, que é proposto para modelar a resistência ao cisalhamento de juntas sob
condições de carga normal constante. Está baseado em uma descrição empírica da superfície,
executados em réplicas de juntas tracionadas e em fraturas induzidas por tração para sete tipos
de rocha. Este modelo constitutivo pode descrever testes de cisalhamento experimentais
realizados no laboratório. Além disso, os parâmetros requeridos no modelo podem
s facilmente por testes de laboratório padrão. O critério proposto também foi usado
para estimar o valor do coeficiente de rugosidade da junta, JRC. Os valores preditos
mento.
Barton e Choubey (1977) propõem
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
114
Egger (2003) sugerem avaliar τ
p
usando parâmetros conhecidos, não estimar JRC conhecendo
τ
p
.
Várias abordagens, tais como análise fractal (Lee
et al. (1990), Huang et al. (1992),
Odling (1994), Den Outer
et al. (1995), Muralha (1995) e Xie et al. (1999)) ou estatísticas
(Reeves (1985)), foram propostas para estimar o valor do JRC para uma superfície (Tse e
Cruden (1979) e Maerz
et al. (1990)). Porém, nenhum destes métodos é capaz de predizer
sempre o valor de JRC que precisaria ser usado para obter o valor de pico da resistência ao
cisalhamento medida durante o teste de cisalhamento. Outra limitação importante é que os
métodos de estimação de JRC estão baseados na análise de apenas um único perfil na direção
de cisalhamento. Conseqüentemente, eles não levam em conta a geometria tridimensional real
da junta, enquanto que Gentier
et al. (2000) mostraram que o cisalhamento depende
estritamente da localização e distribuição da área de contato tridimensional. Para mostrar a
veracidade destas hipóteses, Grasselli e Egger (2003) extraíram aleatoriamente três perfis
difer om
comparação visual e com sultados confirmam
laramente que não é fácil estimar de forma única o valor do JRC usando os métodos
ou fornecer um modelo novo capaz de
estimar
lhamento. Entretanto, os comportamentos
mecâni
entes de amostras diferentes na direção de cisalhamento. JRC foi estimado c
retro-análise, supondo JCS = σ
c
. Os re
c
atualmente sugeridos.
Assim, os critérios constitutivos atuais buscam
precisamente a resistência ao cisalhamento da junta, ou incorporar novos parâmetros
medidos facilmente em uma expressão existente da resistência ao cisalhamento, por exemplo,
uma estimação objetiva de JRC.
De acordo com Grasselli e Egger (2003), o cisalhamento de juntas de rocha ocorre em
situ sob uma variedade de condições de contorno. Porém, é possível identificar dois
comportamentos característicos diferentes: a primeira condição, na qual a junta pode dilatar
livremente (por exemplo, talude de rocha), é reproduzida no laboratório mantendo uma carga
normal constante (CNL) sob o teste de cisalhamento; a segunda condição, na qual a junta é
restringida e qualquer dilatação ativa carga normal adicional (por exemplo, estacas de
fundação ou um bloco em uma massa de rocha), é simulada em laboratório mantendo uma
rigidez normal constante (CNS) durante o cisa
cos de testes de cisalhamento feitos sob condições de CNL ou de CNS diferem apenas
depois do pico, quando a dilatação tem um papel importante, induzindo um incremento na
tensão normal. Este incremento é proporcional à rigidez da rocha. Antes de alcançar o pico,
como nenhuma dilatação aconteceu, ambos os tipos de testes de cisalhamento seguem o
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
115
mesmo caminho, conforme Ohnishi e Dharmaratne (1990), Skinas et al. (1990) e Olsson e
Bar
ton (2001).
de cinco juntas de rocha diferentes: uma junta de gnaisse (Gn2), duas
juntas
4.8.1 P
cisalhamento paralela aos planos de xistosidade. Para estudar anisotropia de cisalhamento
Grasselli e Egger (2003) estudaram a resposta de juntas de rocha ao atrito, realizando
mais de 50 testes de cisalhamento direto no laboratório sob condições de carga normal
constante, para sete tipos de rocha. Primeiramente foram empregadas réplicas de uma junta
induzida na rocha. A decisão de usar réplicas foi tomada para permitir a investigação de
relações empíricas entre carga normal, pico da resistência ao cisalhamento e zonas de dano. O
fato de réplicas feitas do mesmo grupo terem superfícies idênticas permite executar vários
experimentos de cisalhamento em juntas com a mesma morfologia. Então, a vantagem de usar
réplicas é que elas permitem o estudo independente de dois parâmetros que influenciam
fortemente o comportamento ao cisalhamento: carga normal e morfologia da superfície.
Usando réplicas da mesma superfície, os parâmetros morfológicos são constantes, assim
permitindo a investigação da influência da carga normal no pico da resistência ao
cisalhamento. Além disso, usando réplicas das mesmas superfícies e executando testes de
cisalhamento em direções diferentes, a influência da anisotropia da rugosidade na resistência
ao atrito poderia ser examinada. Para validar e generalizar esta abordagem, Grasselli e Egger
(2003) fizeram grupos
de granito (G8 e G2), e duas juntas de serpentinita (S1 e S2). Os tipos de rochas como
também as juntas de rocha do grupo foram escolhidas para cobrir o espectro de rochas. Os
autores usaram fraturas de rocha reais e réplicas em seus estudos.
reparação das Amostras de Rochas
Grasselli e Egger (2003) induziram juntas tracionadas (14x14cm) em espécimes de
rochas retangulares de 30cm de altura com uma base de 15cm
2
. A localização do plano da
junta foi controlada serrando um encaixe profundo de 5mm ao redor cada amostra. Sete tipos
diferentes de rochas foram usados durante este estudo: (a) arenito da região de Friburgo,
Suíça; (b) rocha calcária de Cote d'Or, França; (c) rocha calcária de Languedoc região de
Roussillon, França; (d) mármore Carrara dos Alpes Apuane, Itália; (e) granito da região de
Tarn, França; (f) serpentinita da região de Valtellina, Itália e (g) gnaisse da região de Erstfeld,
Suíça.
Gnaisse e serpentinita são rochas metamórficas e contêm planos de xistosidade que
resultam em propriedades mecânicas anisotrópicas e uma redução na resistência ao
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
116
destas rochas, foram criadas amostras com juntas perpendiculares e paralelas aos planos de
xistosidade. As
juntas são geralmente lisas quando coincidem com o plano de xistosidade, e
tendem
junta antes e depois do
isalhamento, e as superfícies da junta foram reconstruídas das nuvens de pontos
ulação especialmente desenvolvido. Esta
bordagem resulta em uma discretização da superfície da junta em triângulos contíguos,
definid
a ter uma forma de dente de serra quando forem perpendiculares ao plano de
xistosidade. Em contraste com as juntas de todos os outros tipos de rochas estudadas, juntas
de serpentinita exibem uma característica anisotrópica “senoidal” padrão.
4.8.2 Descrição das Superfícies
A medida da rugosidade da junta e dos perfis de juntas em núcleos de rocha e em
rochas expostas é relativamente demorada por quaisquer dos procedimentos clássicos. Então,
em seus estudos, Grasselli e Egger (2003) utilizaram um escâner laser semelhante ao descrito
no capítulo 3 (Seção 3.1, Figura 3.3) para digitalizar as superfícies das juntas de rochas
inteiras (medida 3D). Como já explicado anteriormente e agora confirmando, só um
subconjunto da área de contato sob a carga normal aplicada desempenha um papel no
processo de cisalhamento, conforme Riss
et al. (1996) e Re e Scavia (1999). Além disso, a
distribuição espacial dos contatos também depende da direção de cisalhamento, como também
das condições de carga. Então, para estimar o tamanho e localização dessas áreas de contato
que estão ativamente envolvidas no processo de cisalhamento, é necessário especificar a
direção de cisalhamento primeiro.
Grasselli e Egger (2003) mediram as superfícies da
c
tridimensionais com um algoritmo de triang
a
os pelos vértices e pela orientação do vetor normal ao plano do triângulo. A precisão
da reconstrução depende do número de medidas; quanto mais medidas, mais alta a precisão da
reconstrução. Este método de discretização das superfícies da junta é particularmente
vantajoso para estimar as áreas das superfícies em contato durante cisalhamento. Para
descrever a relação entre a área de contato potencial A
0*
e o ângulo de mergulho aparente
mínimo correspondente θ*, a equação seguinte foi adotada para ajustar os dados:
r
C
**
⎞⎛
θ−θ
*
max
0*0
AA
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
θ
= (4.27)
max
onde A
0
é a área de contato máxima possível na direção de cisalhamento,
*
max
θ
é o ângulo de
mergulho aparente máximo na direção de cisalhamento, e C
r
é um parâmetro de “rugosidade”,
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
117
calculado usando uma função de regressão de melhor ajuste, a qual caracteriza a distribuição
dos ângulos de mergulho aparentes sobre a superfície, segundo Grasselli
et al. (2002). Os
parâmetros A
0
, C
r
e
*
max
θ dependem da direção de cisalhamento especificada, como também
da representação da superfície tridimensional. Os testes de laboratório mostraram que
superfícies de rochas naturais têm valores de
*
em uma faixa entre 20° e 9
max
θ
0°.
.8.3 Resultados stes de Cisalhamento
r cima das rugosidades que permanecem irrompíveis. Para
valores
da própria
amostra, e neste caso a relação das cargas cisalhamento/normal é máxima. O ângulo de pico
do atrito máximo corresponde
4 de Te
A curva carga x deslocamento é obtida graficando-se a carga de cisalhamento em
função dos deslocamentos horizontais. A falha começa no pico da curva e ocorre
progressivamente ao longo da região frágil na qual a rocha deteriora continuamente. Os
critérios para a falha tentam predizer o começo da falha (valor de pico) sob condições de
cargas mais gerais.
De acordo com Flamand (2000) e Huang
et al. (2002), o efeito da rugosidade da
superfície na resistência ao cisalhamento foi mais pronunciado para valores relativamente
baixos de tensão efetiva. Então Grasselli e Egger (2003) testaram juntas rugosas em réplicas a
valores de tensão normal extremamente baixos (σ
n
/σ
c
= 6×10
-4
) e encontraram que o
cisalhamento acontece passando po
mais altos de tensão normal (σ
n
/σ
c
= 1,5×10
-2
), as rugosidades começam a ser
cisalhadas. A dilatação é completamente substituída pelo cisalhamento a uma tensão normal
suficientemente alta (σ
n
/σ
c
= 0,15 a 0,2). As curvas experimentais mostram que aumentando a
carga normal aplicada, N, o valor absoluto de pico da resistência ao cisalhamento, τ
p
,
aumenta, como mostrado na Figura 4.37. Porém, com o aumento de σ
n
, a relação τ
p
/σ
n
diminui, como ilustrado na Figura 4.38. Além da carga normal crítica que foi avaliada
correspondendo a σ
n
/σ
c
= 0,2, τ
p
/σ
n
tende a um valor constante (resistência ao cisalhamento
residual ou última). Isto significa que o papel que a morfologia da superfície desempenha na
resistência ao cisalhamento diminui com o aumento da carga normal. Quando não houver
carga normal aplicada, a força normal que age na junta é resultante do peso
a esta condição de carregamento.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
118
FIGURA 4.37: Variação da Resistência ao Cisalhamento com o Aumento da Carga Normal
[Reproduzida de Grasselli e Egger, 2003]
FIGURA 4.38: Variação de τ
p
/σ
n
com o Aumento da Carga Normal
[Reproduzida de Grasselli e Egger, 2003]
A suposição que a resistência ao cisalhamento depende da direção do movimento foi
verificada experimentalmente cisalhando superfícies idênticas em direções diferentes, como
apresentado na Figura 4.39. Então, Grasselli e Egger (2003) decidiram usar réplicas para se
ter as mesmas condições iniciais para cada teste. Uma junta de serpentinita foi a fratura
escolhida a ser testada e analisada devido à sua superfície ca
racterística com anisotropia
padrão senoidal. Para visualizar a anisotropia, os parâmetros A
0
, C
r
e foram calculados
ao redor do plano médio da junta em passos de 5°, e os valores da relação
*
max
θ
r
*
max
Cθ
, obtidos
para cada direção, foram graficados no diagrama polar da Figura 4.40.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
119
FIGURA 4.39: Cisalhamento de Réplicas de Serpentinita em 3 Direções Diferentes: 0°, 180° e 90°
[Reproduzida de Grasselli e Egger, 2003]
FIGURA 4.40: Distribuição Anisotrópica dos Valores de
r
max
Cθ
para a Superfície de uma Réplica de
Serpentinita
[Reproduzida de Grasselli e Egger, 2003]
Além disso, foram realizados testes de inclinação em quatro direções diferentes para
confirmar os resultados obtidos durante testes de cisalhamento. A comparação entre os
valores de resistência ao cisalhamento obtidos durante testes de laboratório, e parâmetros
mostra a Tabela 4.11. Os valores de pico da resistência ao cisalham
*
morfológicos calculados de medidas da superfície, resulta em uma correlação estrita, como
ento obtidos do
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
120
cisalhamento da amostra nas direções 0° e 180° são semelhantes, como também são os
parâmetros de superfície calculados nessas direções. Cisalhada na direção 90°, a junta provê
muito menos resistência e o parâmetro de superfície resulta em um valor menor de
r
*
max
Cθ
direção da
etros de
ente, o
.
Então, é possível concluir que resultados experimentais mostram a dependência da
resistência ao cisalhamento de juntas de rocha, e demonstra a habilidade dos parâm
superfície propostos para capturar e quantificar o efeito da anisotropia da superfície na
resistência ao cisalhamento de uma fratura (Grasselli
et al. (2002)). Conseqüentem
diagrama polar de
r
*
max
Cθ
poderia se tornar uma ferramenta qualitativa útil para engenheiros
práticos para a determinação fácil do comportamento direcional na resistência de juntas de
rocha.
TABELA 4.11: Resistência ao Cisalhamento e Ângulo de Atrito de Pico Obtidos Cisalhando Réplicas
da Mesma Junta de Serpentinita ao Longo de Direções Diferentes
(Extraída de Grasselli e Egger, 2003)
Teste de
r
C
*
max
θ
Direção T/N
φ
pico
Inclinação
0° 62° 19,9° 1,01 45°
90° 46° 7,8° 0,70 35°
180° 60° 16,8° 1,02 45°
270° 45° 7,5° - -
Grasselli e Egger (2003) realizaram 45 testes de cisalhamento em juntas de rochas
tracionadas recentes. O comportamento de cisalhamento depende da natureza da rocha. É
possível identificar, para a faixa de carga normal testada (σ
n
/σ
c
= 0,01 a 0,4), os seguintes
tipos de comportamento: dúctil para arenito e rocha calcária de Cote d’Or, semidúctil para
mármore Carrara (Figura 4.41), e frágil para serpentinita (Figura 4.42), gnaisse (Figura 4.43)
e granito (Figura 4.44).
argas cíclicas, Grasselli e Egger (2003)
realizaram várias séries de testes de ci múltiplos em amostras de rocha e em
réplicas. Foi observado que o valor do atrito
eiro ciclo (chamado atrito último) é constante, mas é mais alto que os valores obtidos nos
entre a resistência última de uma junta e a resistência residual poderia ser usada para
Para estudar a resposta de uma junta a c
salhamento
medido depois de cisalhar 3mm durante o
prim
ciclos seguintes, os quais tendem todos ao mesmo valor residual (chamado atrito residual;
Figura 4.42). Esta diferença pode ser explicada pelo cisalhamento de micro-rugosidades nas
áreas de contato. Durante o segundo cisalhamento, como o teste de cisalhamento começa
novamente da mesma posição, a maioria das áreas de contato já foi alisada. Então, a diferença
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
121
quantificar a influência da micro-rugosidade no atrito da junta. Até mesmo se só uns poucos
testes de cisalhamento forem realizados, com deslocamento horizontal maior que 5mm, os
resultados mostram uma constante, pequena diminuição do valor de atrito para a re a
residual (Figura 4.43). Assim, é possível discutir que o atrito último também diminuirá à
resistência residual para grandes deslocamentos durante o primeiro ciclo. É evidente que,
cisalhando várias vezes as mesmas juntas recentemente juntadas, só o primeiro e
eventualmente o segundo teste apresente uma resistência de pico (Figura 4.44). Para os outros
casos é possível identificar só um ponto de escoamento e um valor residual para a resistência
sistênci
ao cisalhamento.
FIGURA 4.41: Testes de Cisalhamento Executados em Amostras de Mármore Carrara
[Reproduzida de Grasselli e Egger, 2003]
FIGURA 4.42: Cisalhamento Múltiplo na Mesma Amostra de Serpentinita
[Reproduzida de Grasselli e Egger, 2003]
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
122
FIGURA 4.43: Cisalhamento Múltiplo na Mesma Amostra de Gnaisse
[Reproduzida de Grasselli e Egger, 2003]
FIGURA 4.44: Cisalhamento Múltiplo na Mesma Amostra de Granito
[Reproduzida de Grasselli e Egger, 2003]
Observações das superfícies de várias juntas de rochas cisalhadas indicaram que a
falha por tração, em lugar da falha por compressão, desempenha um papel maior no
rompimento de rugosidades individuais. Olhando para as juntas cisalhadas, as áreas nas quais
a falha aconteceu tendem a serem rugosas, e foi possível observar fragmentos intactos
cisalhados da superfície (particularmente evidente em superfícies nas quais o cisalhamento foi
interrompido depois de deslocamentos de cisalhamento pequenos). Esta abordagem é
consistente c utter e Otto
om resultados experimentais publicados por Fishman (1990), K
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
123
(1990), Handanyan et al. (1990), Pereira e De Freitas (1993), Armand (2000) e Huang et al.
(2002). Assim, parece que a resistência à tração pode ser um parâmetro mais importante que a
resistência à compressão na quantificação do pico da resistência ao cisalhamento de juntas de
rochas. Esta conclusão foi importante na obtenção de uma expressão mais geral para o pico da
resistência ao cisalhamento que acontece para réplicas de argamassa e juntas de rocha.
4.8.4 Critério Atual para Obtenção do Pico da Resistência ao Cisalhamento
As curvas obtidas experimentalmente de τ
p
/σ
n
versus σ
n
/σ
c
(Figura 4.38) mostram que
o pico da resistência ao cisalhamento diminui de um valor finito máximo para um valor
residual constante com crescente σ
n
, e também indica que as curvas têm uma forma
exponencial ne Egger (2003)
ostram que o ângulo de atrito de pico, expresso de acordo com a expressão de Coulomb pela
relação de cargas de cisalhamento/normal,
gativa. Os resultados experimentais apresentados por Grasselli e
m
p
n
p
tanφ=
σ
τ
, (4.28)
nunca excede aproximadamente 65° a 80°, dependendo da morfologia da junta. Isso está
consistente com resultados apresentados por outros pesquisadores; por exemplo, Barton e
Choubey (1977) sugeriram que o ângulo de atrito de pico máximo seria fixado em um valor
de 70° para fins de projeto. Assim, uma expressão para o pico da resistência ao cisalhamento
deveria chegar a um valor finito quando a carga normal aplicada chega a zero.
Uma segunda consideração foi a importância de usar a resistência à tração da rocha em
lugar da resistência à compressão. Levando em conta estas considerações e os resultados de
testes, os quais sugerem a forma global da curva, a seguinte expressão para o pico da
resistência ao c
isalhamento é proposta por Grasselli e Egger (2003):
(
)
(
)
[
]
tnr0
*
max
*
rnp
e1tan
θ−
+φσ=τ
(4.29)
onde τ
amostras de junta de rocha foi usada para estimar o valor de B, e um valor de 9,0 foi obtido.
CBA σσ
p
é o pico da resistência ao cisalhamento da junta, σ
n
é a tensão de normal média
aplicada, σ
t
é a resistência à tração,
*
r
φ
é o ângulo de atrito residual (medido depois de um
deslocamento padrão de 5mm), A
0
é a área de contato potencial máxima para a direção de
cisalhamento especificada,
*
max
θ é o ângulo de mergulho aparente máximo com respeito à
direção de cisalhamento e C
r
é o parâmetro de rugosidade. O parâmetro B é um parâmetro de
ajuste adimensional. Regressão de mínimos quadrados usando os dados obtidos de todas as 37
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
124
Assim, para juntas induzidas nos tipos de rochas e nas réplicas de argamassa usados por
Grasselli e Egger (2003), a seguinte expressão para o pico da resistência ao cisalhamento é
proposta:
(
)
(
)
[
]
tnr0
*
max
CA9
*
rnp
e1tan
σσθ−
+φσ=τ
(4.30)
Esta equação pode ser escrita como:
()
g1tan
rnp
+φσ=τ (4.31)
*
onde o fator g quantifica a contribuição para o pico da resistência ao cisalhamento pelos
parâme
tros relacionados à morfologia da superfície da junta; isto é, g é expresso por:
(
)
()
tnr0
*
max
CA9
eg
σσθ−
=
(4.32)
A expressão dentro dos colchetes na equação (4.30) se aproxima ao valor limite de
dois quando o argumento no termo exponencial vai para zero. O argumento neste termo chega
a zero se
*
max
θ
ou σ
n
chegam a zero. Entretanto, na prática,
*
θ
é limitado a uma faixa de
max
aproximadamente 20° a 90°. Com respeito à σ
n
, como descrito em detalhes anteriormente, o
valor mínimo acon
tece quando não houver carga normal aplicada, neste caso a tensão normal
é resultante do peso da própria amostra. Nesta situação, como σ
n
chega a zero, é possível
mostrar que:
°−°=φ→φ=φ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
τ
→σ
8065tantan2lim
pp
*
r
n
p
0
n
(4.33)
As predições do pico da resistência ao cisalhamento feitas com a e
quação (4.30)
concor
l, , para cada amostra.
Porém, análise de resultados de laboratório
dam bem com os resultados experimentais obtidos em testes de laboratório, como
mostra a Figura 4.45. Porém, como o objetivo deste estudo é desenvolver um método simples
para estimar a resistência ao cisalhamento da junta, a equação (4.30) não é completamente
satisfatória, porque requer uma estimativa do ângulo de atrito residua
*
r
φ
conduz à hipótese que
*
r
φ
é função do ângulo de
atrito básico do material, e da rugosidade da superfície da junta específica. Como a junta
chegou a seu estado residual, a relação entre as cargas de cisalhamento e normais aplicadas é
constante, e é razoável escrever que:
*
r
n
r
tanφ=
σ
, (4.34)
onde τ
τ
r
é a resistência ao cisalhamento residual da junta, σ
n
é a tensão de normal média
aplicada, e
*
r
φ
é o ângulo de atrito residual (depois de um deslocamento padrão de 5mm).
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
125
FIGURA 4.45: Comparação entr
ger ite i
residual de uma junta de rocha seca é dado pelo valor do ângulo de atrito básico do próprio
iretamente o ângulo de atrito residual. A estrutura interna da própria rocha, por
exemplo, xistosidade, também tem um efeito imp
exemplo, cisalhando gnaisse ao longo de um plano de xistosidade resulta em um ângulo de
atrito r
es
e os Valores Obtidos de Testes de Cisalhamento e os Calculados com a
Equação (4.30)
[Reproduzida de Grasselli e Egger, 2003]
Em al, os testes de laboratório mostram que o lim nferior do ângulo de atrito
material. Na realidade, o efeito da rugosidade da superfície é aumentar o ângulo de atrito
residual. Assim, usando o ângulo de atrito básico para o material dá uma estimativa
conservadora do limite inferior. A distribuição espacial e magnitude da rugosidade
influenciam d
ortante. Isto é importante porque, por
esidual igual ao ângulo de atrito básico. Assim, o ponto de partida para a obtenção de
uma expressão empírica para o ângulo de atrito residual foi o ângulo de atrito básico. Uma
consideração importante foi a incorporação dos parâmetros da superfície que descrevem a
morfologia da junta: A
0
, C
r
, e
*
θ
. A forma funcional para incorporar estes parâmetros foi
determinada testando expressões diferentes e comparando os r ultados aos dados
experimentais. Há muita dispersão nos dados experimentais; assim a melhor relação empírica
obtida por Grasselli e Egger (2003) foi a seguinte:
max
x
cos18,1
r
*
max
brb
*
r
C
α
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
+φ=β+φ=φ
, (4.35)
onde φ
b
é o ângu
α
x
é
suposto ser igual a zero. O parâmetro β
r
representa a contribuição da rugosidade ao ângulo de
lo de atrito básico,
*
max
θ
é o ângulo de mergulho aparente máximo da
superfície com respeito à direção de cisalhamento, C
r
é o parâmetro de rugosidade, e α
x
é o
ângulo entre o plano de xistosidade e o normal à junta. Se a rocha não exibe xistosidade,
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
126
atrito residual, o qual, de acordo com os resultados de testes de cisalhamento, toma valores na
faixa entre 15° e 24°. Assim, substituindo a expressão empírica para o ângulo de atrito
residual na equação (4.30), a expressão final para o pico da resistência ao cisalhamento da
junta de rocha é:
()
()
[
]
tnr0
*
max
x
CA9
cos18,1
r
*
max
bnp
e1
C
tan
σσθ−
α
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
+φσ=τ
. (4.36)
As predições do pico da resistência ao cisalhamento feitas com a equação (4.36)
concordam bem com os resultados experimentais obtidos em testes de laboratório, segundo
ao cisalhamento fornecida po ais que dobrar a
a resistência ao cisalhamento comparada a uma lisa. Além disso, a anisotropia da junta
relativa
Grasselli e Egger (2003). Na Figura 4.46 é possível ver a grande contribuição para resistência
es rugosas. Um
r superfíci a junta rugosa pode m
su
à resistência ao cisalhamento depende diretamente da sua anisotropia da superfície. A
habilidade da equação proposta por Grasselli e Egger (2003) para capturar a anisotropia da
resistência ao cisalhamento direcional da junta foi verificada calculando o ângulo de atrito de
cisalhamento de pico, φ
pico
, para a réplica da junta de serpentinita S2 ao longo de cada direção
de cisalhamento possível. Os valores de φ
pico
foram calculados ao redor do plano médio da
junta a passos de 5°, e graficado em um diagrama polar, apresentado na Figura 4.47. A
anisotropia no diagrama de φ
pico
reflete a anisotropia no cisalhamento para a junta testada. Os
valores estimados de φ
pico
estão, em geral, de acordo com aqueles obtidos experimentalmente,
como mostrado na Tabela 4.11.
FIGURA 4.46: Contribuição da Rugosidade para a Estimação da Resistência ao Cisalhamento
[Reproduzida de Grasselli e Egger, 2003]
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
127
FIGURA 4.47: Distribuição Anisotrópica dos Valores de φ
pico
Calculada Usando as Equações (4.36) e
(4.28) para uma Réplica de Serpentinita
[Reproduzida de Grasselli e Egger, 2003]
Observando os gráficos da resistência ao cisalhamento versus o deslocamento
horizontal obtidos experimentalmente, Grasselli e Egger (2003) perceberam que
freqüentemente o começo do teste era caracterizado pelo fato que a junta não estava
totalmente unida. Então, um pequeno deslocamento ocorria antes que a junta fosse capaz de
fornecer toda a sua resistência. Assim, o deslocamento de pico do cisalhamento horizontal
pode ser expresso como a de duas contribuições:
u
a som
4.37)
onde u
m
é o deslocamento horizontal necessário para juntar a junta e Δu
p
é a deformação
horizontal da junta antes do pico. Subtraindo este deslocamento de junção do deslocamento de
pico total, foi observado que, em amostras testadas de 140 mm, Δu
p
tomou valores entre 0,27
e 0,65mm.
Observando as curvas experimentais, quando a junta é unida, é possível afirmar que a
junta deforma quase linearmente até a tensão de cisalhamento de pico. Então, uma relação
linear é usada para descrever a rigidez de cisalhamento, K
s
:
p
= u
m
+Δu
p
, (
n
p
p
s
u
1
K
σ
τ
Δ
=
, (4.38)
onde τ
p
é o pico da resistência cisalhamento da junta, σ
n
é a tensão de normal média aplicada,
Δu
p
é a deformação horizontal da junta unida antes do pico. Uma inclinação negativa da curva
de tensão-deformação caracteriza o comportamento pós-pico, no qual a resistência ao
cisalhamento
da junta cai a nde à resistência ao atrito um valor constante que correspo
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
128
último/residual da junta. Estas considerações conduzem à formulação de um modelo capaz de
resumir a resistência ao cisalhamento dada pela junta, sob condições de carga normal
constante, em cada estado de deslocamento:
0
n
=
σ
τ
,
m
uu0
≤
≤
,
() ()
m
n
p
p
ms
n
uu
u
1
uuK −
σ
τ
Δ
=−=
σ
τ
,
pm
uuu
≤
≤
, (4.39)
u
u
p
n
rp
n
r
n
σ
τ−
τ
+
σ
τ
=
σ
τ
, .
Esta expressão mostra que τ aproxima a resistência residual para valores de deslocamento
m
Grasselli e Egger (2003) obti a Figura 4.48.
3]
4.8.5 Quantificaçã
p
uu >
aiores que u
r
. A concordância entre o modelo constitutivo e os resultados experimentais de
d ra
os no laboratório é boa, como most
FIGURA 4.48: Comparação entre os Resultados Experimentais de Laboratório e o Modelo Constitutivo
Proposto na Equação (4.39)
[Reproduzida de Grasselli e Egger, 200
o Objetiva de JRC
Cada investigador que tenta estudar a contribuição da morfologia da superfície na
resistência ao cisalhamento tem que lidar com o critério de JRC proposto por Barton nos anos
setenta (Barton e Choubey (1977)), e adotado como uma referência pela Sociedade
Internacional de Mecânica das Rochas em 1978 (ISRM, 1978). Realmente, entre todos os
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
129
modelos propostos na literatura para estimar a resistência de juntas de rocha, o critério de
Barton e Choubey (1977) é o que é principalmente usado na prática. Como apresentado
anteriormente, o critério de Barton e Ch
oubey (1977) para o pico da resistência ao
cisalhamento é expresso
pela equação (4.2) como:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
+φσ=τ
n
10bnp
JCS
logJRCtan
.
Considerando que o valor do pico da resistência ao cisalhamento é único para um dado
experimento, é possível comp para obter:
arar as equações (4.2) e (4.31)
()
g1tanlogJRCtan
r
n
10b
+φ=
⎥
⎦
⎢
⎣
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
σ
+φ
. (4.40)
Disso segue que:
JCS
*
⎤⎡
⎞⎛
()
[]
g1tanarctan
JCS
logJRC
*
r
n
10b
+φ=
⎟
⎟
⎠
⎞⎛
⎜
⎜
⎝
σ
+φ
. (4.41)
Então, JRC pode ser expresso como:
()
[
]
()
n10
b
*
r
JCSlog
g1tanarctan
JRC
σ
φ−+φ
=
. (4.42)
Como as juntas consideradas são “recentes”, adota-se JCS = σ
c
, em tal caso:
()
[
]
()
nc10
b
*
r
log
g1tanarctan
JRC
σσ
φ−+φ
=
. (4.43)
Substituindo g da equação (4.32), e da equação (4.35), encontra-se que:
*
r
φ
()
(
)
()
[
]
()
nc10
b
CA9
cos18,1
r
*
maxb
log
e1Ctanarctan
JRC
tnr0
*
max
x
σσ
φ−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ+φ
=
σσθ−
α
. (4.44)
Os valores de JRC calculados com retro-análise dos testes experimentais e esses
e Egger (2003). A novidade a quantificar JRC é que a
idimensionalidade da superfície é considerada, e conseqüentemente a análise não é reduzida
Contudo, deve-se mencionar que Grasselli e Egger (2003) não investigaram a
influên
obtidos com a equação (4.44) geralmente estão em boa concordância, de acordo com Grasselli
desta abordagem par
tr
somente a um único perfil.
cia da escala no cisalhamento. Portanto seus resultados só têm garantia na faixa das
amostras testadas em laboratório (σ
n
/σ
c
= 0,01 a 0,4 e σ
c
/σ
t
= 5 a 46). Estudos adicionais
poderiam ser feitos para explorar a aplicabilidade do modelo proposto a condições de situ.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
130
Dando continuidade ao estudo de critéri
tulo restringe-se este estudo à área da Sismologia. São discutidos os
principais critérios constitutivos utilizados em Engenharia Sísmica. Inicia-se apresentando o
critério de Coulomb, que é a lei mais simples po
constitutivos de variação da força de atrito com o deslizamento (“slip-weakening law”), de
ento (“velocity ou rate-weakening law”), de
variação do atrito com o deslizamento
weakening law”) e o mais complexo critério dependente do deslizamento, da velocidade de
ão apresentados
resultados experimentais evidencian
velocidade de deslizamento e, por fim são mostradas algumas deficiências nos critérios
5.1 CRITÉRIO DE COULOMB
o é
independente dessa velocidade.
5 CRITÉRIOS CONSTITUTIVOS APLICADOS À SISMOLOGIA
os constitutivos iniciado no capítulo anterior,
no presente capí
ssível. Em seguida discutem-se os critérios
variação do atrito com a velocidade de deslizam
e com a velocidade de deslizamento (“slip and velocity
deslizamento e do tempo (“rate and state dependent friction law”). S
do uma lei de variação da força de atrito com a
constitutivos atualmente usados.
O critério constitutivo mais simples é o critério de Coulomb, também conhecido como
de atrito seco. Através de experimentos físicos envolvendo, usualmente, deslizamento entre
superfícies planas, a teoria básica do atrito seco pôde ser estabelecida a partir das seguintes
hipóteses:
a) A força total de atrito que pode ser desenvolvida é independente da área de contato;
b) A força total de atrito que pode ser desenvolvida é proporcional à força normal total
na interface;
c) Para o caso de deslizamento com baixa velocidade relativa, a força total de atrit
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
131
Das suposições anteriores pode-se escrever, no instante de impedimento do
eslizamento ou durante o deslizamento:
d
Na
FF
μ
=
(5.1)
nde F
a
e F
N
representam a força de atrito e a força normal, respectivamente, e μ é o
enominado coeficiente de atrito. Dos experimentos físicos pôde-se observar que este
oeficiente de atrito é um pouco maior antes do deslizamento do que durante o deslizamento.
,
o
d
c
s
μ
Com isso, separa-se o coeficiente de atrito μ em coeficiente de atrito estático
, e
te de atrito dinâmico,
d
μ
coeficien
. Em qualquer caso, a força de atrito atua tangencialmente à
interfac
e dos corpos, no sentido oposto ao movimento.
Visando expandir a teoria para condições mais gerais, envolvendo distribuições não-
uniformes ou superfícies não-planas, essas suposições básicas são freqüentemente
consideradas como relações locais. Dessa maneira, as forças são substituídas por tensões, e a
generalização da equação (5.1) torna-se:
nt
μ
σ=τ
(5.2)
em termos das tensões tangencial,
t
τ
, e normal,
n
σ
. Percebe-se que uma integração da
equação (5.2) sobre uma área de contato plana fornece a equação (5.1).
No critério constitutivo de Coulomb considera-se que a tensão de cisalhamento, τ, cai
bruscamente de seu estado estático (µ
s
σ
n
), para o estado dinâmico (-µ
d
σ
n
sgn(
x
&
)), sem
nenhuma dependência de outros parâmetros, como pode ser observado no gráfico da Figura
5.1. Com isso, no critério de Coul
omb, a equação constitutiva é representada por:
τ ≤ µ
s
σ
n
p = 0
τ = -µ
d
σ
n
sgn( ) ≠ 0 (5.3)
al, µ
s
é o coeficiente de atrito estático,
µ
d
é o coeficiente d
5.1: Critério Constitutivo de Coulomb
ara
x
&
x
&
para
x
&
onde τ é a tensão de cisalhamento, σ
n
é a tensão norm
e atrito dinâmico e
x
&
é a velocidade de deslizamento.
O conceito de atrito de Coulomb fornece apenas a teoria básica. Deve-se enfatizar que
os processos de atrito não são tão simples. A teoria de Coulomb é apenas uma aproximação.
τ
µ
s
σ
n
x
&
-µ
d
σ
n
sgn( x
&
)
FIGURA
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
132
5.2 CR
Entre os
rvaram que o modelo de variação do
atrito c
seram uma lei constitutiva de variação com o
deslizamento pa
o efeito de
diferentes leis de variação do atrito na propagação dinâmica da falha por cisalhamento.
Madariaga
os autores
encont deslizamento apresentada na Figura 5.2 (na
esquerda). Posteriormente, Ohnaka
e
FIGURA 5.2: Cr Deslizamento
[Rep 97]
ITÉRIO DE VARIAÇÃO DO ATRITO COM O DESLIZAMENTO
principais modelos de variação da força de atrito está a lei de variação com o
deslizamento, conhecida como “slip-weakening law” na literatura em inglês. O critério de
variação do atrito com o deslizamento é uma simplificação prática, mas é muito utilizado
devido a sua simplicidade e aceitação na simulação de terremotos. Este critério foi
primeiramente proposto por Ida (1972) e Palmer e Rice (1973). Posteriormente, Ohnaka e
Yamashita (1989) realizaram experimentos de laboratório para estudar a iniciação da
propagação de ruptura e encontraram que a lei de variação com o deslizamento desempenha
um papel importante. Ohnaka e Kuwahara (1990) obse
om o deslizamento pôde explicar de forma satisfatória os experimentos realizados por
eles. Matsu’ura
et al. (1992) mostraram que esta lei é consistente com conceitos clássicos da
mecânica da fratura, em particular com modelos de dissipação de energia próximo à frente de
ruptura. Ohnaka
et al. (1997) propu
ra a falha por cisalhamento de rochas sob condições litosféricas. Fukuyama e
Madariaga (1998) propuseram um novo método para modelar a propagação espontânea da
ruptura em uma falha plana dentro de um meio elástico homogêneo e estudaram
et al. (1998) propuseram um método de estudar a falha dinâmica em três
dimensões, o qual permite o uso de vários modelos de variação do atrito, incluindo o modelo
de variação com o deslizamento.
Em experimentos de aderência-deslizamento de Ohnaka
et al. (1987),
raram a lei de variação do atrito com o
t al. (1997) representaram esta lei pelo gráfico da Figura
5.2 (na direita). Contudo, para fins práticos, esta lei é simplificada como apresentado na
Figura 5.3 de Fukuyama e Madariaga (1998).
itério Constitutivo de Variação do Atrito com o
roduzidas de Ohnaka et al., 1987 e Ohnaka et al., 19
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
133
FIGURA 5.3: Critério Constitutivo de Variação do Atrito com o Deslizamento Simplificado
[Reproduzida de Fukuyama e Madariaga, 1998]
Onde, na Figura 5.2, τ
i
é a tensão de cisalhamento inicial, τ
p
é a tensão de cisalhamento de
pico, τ
r
é a tensão de atrito residual, D
a
é o deslocamento de cisalhamento no qual a tensão de
pico é obtida e D
0
é o deslocamento de cisalhamento crítico, isto é, é o deslizamento
necessário para o atrito cair para seu valor dinâmico ou valor residual.
Então, de acordo com Fukuyama e Madariaga (1998), o critério constitutivo de
variação do atrito com o deslizam
ento é definido pelas seguintes equações, de acordo com o
esquem
a simplificado da Figura 5.4.
τ ≤ τ
u
para x = 0
()
0
ruu
D
x
τ−τ−τ=τ
para 0 < x < D
0
e
x
&
> 0 (5.4)
τ = τ para x ≥ D
r 0
e > 0
A primeira parte da equação (5.4) se aplica para tensão de cisalhamento, τ, abaixo da
tensão última, τ
u
. A segunda parte é aplicada quando a tensão de cisalhamento, τ, alcança o
nível de tensão último, τ
u
. Deve-se ressaltar que não é permitido deslizamento reverso
(“backslip”), ou seja, a lei não é aplicada quando a velocidade de deslizamento, , muda de
sinal. A tensão residual, τ
r
, é o nível de tensão do atrito dinâmico, isto é, atrito a altas
velocidades de deslizamento. x representa o deslizamento.
x
&
x
&
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
134
τ
τ
u
x
τ
r
D
0
FIGURA 5.4: Esquema Simplificado do Critério Constitutivo de Variação do Atrito com o
Deslizamento
Fukuyama e Madariaga (1998) observaram que quando se considera um modelo de
variação do cisalhamento por atrito com o deslizamento, a tensão cai gradualmente, enquanto
a vel . O
rocesso inicial de ruptura é completamente diferente daquele observado quando se considera
io constitutivo
de variação
as irregularidades geométricas da superfície. Então,
conform variação do atrito com o deslizamento
incorpora o parâmetro de escala D
0
, este critério fornece a resistência ao cisalhamento de
qualquer escala de tamanho sde p es es m situ.
O capítu sky (2004) também
confirmam que o valor do deslocamento crítico, D , depende, por exemplo, do valor r.m.s. da
altura das rugosidad
ocidade de deslizamento aumenta gradualmente depois do começo da ruptura
p
atrito de Coulomb (D
0
= 0), mas o mecanismo de encerramento do processo é similar. Se o
deslizamento é menor que D
0
, a força de atrito resiste ao deslizamento, porém quando o
deslizamento excede D
0
, este se desenvolve sem atrito.
Ohnaka
et al. (1997) e Ohnaka e Shen (1999) mencionam que o critér
do atrito com o deslizamento é dependente da escala. Este critério incorpora o
parâmetro de escala D
0
explicitamente e este parâmetro é escalado por um comprimento
característico, λ
c
, o qual representa
e esses autores, como o critério constitutivo de
, de equena escala em laboratório até grand calas e
lo 4 da presente tese e o recente trabalho de Kanamori e Brod
0
es da superfície, sendo que este valor r.m.s. pode ser calculado conforme
explicado no capítulo 2. Dos experimentos realizados em escala de laboratório, apresentados
no capítulo 4, puderam-se observar que o deslocamento crítico é da ordem de 0,5 a 1mm,
enquanto para escalas reais este valor foi estimado em 0,5m para o terremoto de Kobe em
1995, podendo chegar a 1m para outros terremotos (Kanamori e Brodsky (2004)).
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
135
5.3 CRITÉRIO DE VARIAÇÃO DO ATRITO COM A VELOCIDADE DE
DESLIZAMENTO
Outro modelo importante de variação da força de atrito é a lei que sugere uma
dependência da força de atrito com a velocidade de deslizamento, conhecida como “velocity
ou rate-weakening law” na literatura em inglês. A variação da força de atrito com a
velocidade de deslizamento foi observada em numerosos experimentos e parece ser sempre
aplicável, razão pela qual é geralmente considerada em Sismologia como um modelo mais
real.
ropostos desde os estudos de aderência-deslizamento de Burridge e Knopoff (1967) que
modela
em superfícies metálicas e encontrou
uma le
Modelos simples de atrito dependentes da velocidade de deslizamento têm sido
p
ram numericamente uma cadeia de blocos ligados entre eles sobre uma superfície
áspera (modelo massa-mola). Carlson e Langer (1989), Huang e Turcotte (1990), entre outros
pesquisadores, seguem a mesma idéia de massa-mola e atrito dependente da velocidade para
estudar a seqüência e estado caótico dos terremotos. Fukuyama e Madariaga (1998) e
Madariaga
et al. (1998) também estudaram o critério de variação do atrito com a velocidade
de deslizamento em seus trabalhos sobre o modelamento da ruptura em falhas de rochas.
Miguel, L. F. F. (2002) realizou experimentos de atrito
i de variação do atrito com a velocidade de deslizamento, conforme apresentado na
Figura 5.10.
De acordo com Fukuyama e Madariaga (1998), o critério constitutivo de variação do
atrito com a velocidade de deslizamento é definido pelas seguintes equações, conforme
apresentado no gráfico da Figura 5.5.
τ ≤ τ
u
para
x
&
= 0
()
xV
V
0
0
rur
&
+
τ−τ+τ=τ
para
x
&
> 0 (5.5)
onde V
0
é a velocidade de deslizamento característica para a qual a tensão começa a aumentar
quando a velocidade de deslizamento diminui.
Novamente, a primeira parte da equação (5.5) se aplica para níveis de tensão de
cisalhamento, τ, abaixo da tensão última, τ
u
. A segunda parte é aplicada quando a tensão de
cisalhamento, τ, alcança o nível de tensão último, τ
u
. Mais uma vez, considera-se que não é
permitido deslizamento reverso, ou seja, a lei não é aplicada quando a vel
ocidade de
deslizamento, , muda de sinal.
x
&
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
136
FIGURA 5.5: Critério Constitutivo de Variação do Atrito com a Velocidade de Deslizamento
[Reproduzida de Fukuyama e Madariaga, 1998]
5.4 CRITÉRIO DE VARIAÇÃO DO ATRITO COM O DESLIZAMENTO E
COM A VELOCIDADE DE DESLIZAMENTO
Madariaga
et al. (1998) sugerem uma combinação dos critérios constitutivos de
variação do atrito com
o deslizamento e variação com a velocidade de deslizamento. Este
critério é cham
rva contínua na figura mostra a trajetória
típica da ten
Para valores de tensão
velocidade de deslizamento são zero. Uma vez que o deslizamento começa, a tensão é uma
superfície,
variação com a velocidade de deslizamento.
ado lei de variação do atrito com o deslizamento e com a velocidade de
deslizamento ou “slip and velocity weakening law” na literatura em inglês, a qual está
apresentada esquematicamente na Figura 5.6. A cu
são em um ponto da curva.
menores que o pico de atrito estático, τ
u
, o deslizamento e a
função tanto do deslizamento quanto da velocidade de deslizamento descrita pelo atrito da
τ
(x,
x
&
). A variação do atrito com o deslizamento é medida com D
0
, e V
0
mede a
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
137
τ
u
FIGURA 5.6: Critério Constitutivo de Variação do Atrito com o Deslizamento e com a Velocidade de
Deslizamento
[Reproduzida de Madariaga et al., 1998]
SLIZAMENTO, DA VELOCIDADE
E DESLIZAMENTO E DO TEMPO
experimentos a taxas baixas de
ento e propuseram um modelo no qual a tensão de cisalhamento devida ao atrito
mori e Brodsky (2004), entre outros. Baseado
Dieterich (1987) demonstrou que a velocidade, o
tempo e o deslizam
5.5 CRITÉRIO DEPENDENTE DO DE
D
Dieterich (1979) e Ruina (1983) realizaram
deslizam
depende da velocidade, do deslocamento e também do tempo. Esse critério é conhecido como
“rate and state dependent friction law” na literatura em inglês.
Resultados experimentais e características dessa lei constitutiva são discutidos em
detalhes por Dieterich (1979), Rice (1983), Ruina (1983), Weeks e Tullis (1985), Tullis e
Weeks (1986), Biegel
et al. (1989) e Kana
diretamente em experimentos de laboratório,
ento são parâmetros ubíquos do atrito. Tse e Rice (1986) e Stuart (1988)
usaram este critério constitutivo para modelar terremotos.
Dieterich (1987, 1992) sugere a seguinte equação constitutiva:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
θ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−μ=μ 1
b
lnB1
x
a
lnA
e
e
e0
&
e
(5.6)
onde µ é o coeficiente de atrito definido na equação (5.2), µ
0
, A
e
, B
e
, a
e
e b
e
são parâmetros
determinados experimentalmente e x, e θ são o deslizamento, a velocidade de deslizamento
e uma variável de estado, respectivamente. Efeitos da história de deslizamento e
conseqüentemente os efeitos dependentes do tempo e do deslocamento são representados pela
x
&
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
138
variável θ. Dieterich (1979) e Dieterich e Conrad (1984) interpretaram esta variável como
uma medida do tempo médio de contato entre as superfícies deslizantes e que os contatos
fortalecem com o tempo. Como os contatos são destruídos e criados durante o deslizamento, é
razoável que θ dependa da história do deslizamento.
Bizzarri
et al. (2001) analisaram a lei de atrito dependente do deslizamento, da
velocidade de deslizamento e do tempo através das seguintes equações:
n
e
0
e
0
e0
1
L
x
lnb1
x
x
lna σ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
θ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−μ=τ
&
&
&
(5.7)
e
L
x
1
dt
d
&
θ
−=
θ
(5.8)
onde μ e são valores de referência arbitrários do coeficiente de atrito e da velocidade de
deslizamento, respectivamente, a , b , e metros constitutivos e θ é a variável de
stado. O parâmetro constitutivo A
e
= a
e
σ
n
representa a sensibilidade da taxa instantânea, isto
0
0
L são os parâ
x
&
e e e
e
é, o efeito direto do atrito depois de uma mudança repentina na velocidade de deslizamento.
B
B de estado. A distância característica L
e
é o
omprimento sobre o qual a superfície desliza antes que o movimento aproxime o
desliza
quações:
e
= b
e
σ
n
controla a evolução da variável
c
mento estacionário.
Kato e Tullis (2003) analisaram o comportamento da lei de atrito dependente do
deslizamento, da velocidade de deslizamento e do tempo considerando diferentes formas de
evolução da variável de estado θ, de acordo com as seguintes e
e
L
x
1
dt
d
&
θ
−=
θ
(5.9)
chamada lei de atraso (“slowness law”)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
−=
θ
ee
L
x
ln
L
x
dt
d
&&
(5.10)
chamada lei de deslizamento (“slip law”)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
θ
eec
L
x
ln
L
x
x
x
exp
dt
d
&&
&
&
(5.11)
chamada lei composta (“composite law”), a qual foi proposta por Kato e Tullis (2001).
Kato e Tullis (2003) concluíram que a lei composta proposta por eles representa
melhor seus resultados experimentais.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
139
5.6 EVIDÊNCIA EXPERIMENTAL SOBRE CRITÉRIOS CONSTITUTIVOS
A autora da presente tese realizou durante a sua dissertação de mestrado uma série de
ensaios para medir a evolução da força de atrito entre
duas superfícies metálicas. As áreas das
superfí
2
detalhadamente em
Miguel, L. F. F. (2002).
Os ensaios foram realizados em uma máq t
System”) 810, com capacidade de até 100kN, do Laboratório de Metalurgia Física (LAMEF),
registrando-se for
freqüências utilizadas variaram de 0,1 a 3Hz enquanto as amplitudes variaram de 0,1 a 8mm.
is
ajustados com uma expressão empírica ilustrada na Figura 5.10, a
qual m
cies de contato variaram em torno de 28cm , sendo a força normal de contato
controlada por meio de duas molas. Todo o experimento é descrito
uina servo-hidráulica MTS (“Material Tes
ça e deslocamento durante 480 ciclos de excitação harmônica. As
A energia d sipada por ciclo é calculada a partir da área do ciclo de histerese.
As figuras a seguir apresentam alguns resultados típicos de atrito entre sólidos. A
Figura 5.7 mostra os ciclos de histerese correspondentes a um dos ensaios (freqüência de
0,5Hz e amplitude de 4mm), já a Figura 5.8 apresenta a energia dissipada por ciclo em função
da amplitude para as diferentes freqüências ensaiadas. A evolução da força de atrito com a
velocidade de deslizamento está representada na Figura 5.9 para as quatro maiores amplitudes
testadas. Estes dados foram
ostra claramente uma lei de variação do atrito com a velocidade de deslizamento.
A lei constitutiva encontrada para a variação da força de atrito com a velocidade de
deslizamento é representada pela equação (5.12):
b
1
be
+
(5.12)
1
FF
xc
aesta
+
=
−
&
força de atrito estática, calculada por μ
s
F
N
, é a
velocidade de deslizamento e b e c são constantes que variam de acordo com o material e com
a escala.
x
&
onde F
a
é a força de atrito, F
aest
é a
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
140
Freqüência de 0,5Hz e Amplitude de 4mm
3000
4000
5000
N
2000
)
-3000
-2000
-1000
0
1000
-5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Força de Atrito (
-5000
-4000
Deslocamento (mm)
FIGURA 5.7: Ciclos de Histerese com freq. = 0,5Hz, amp. = 4mm
Energia Dissipada por Ciclo x Amplitude
0
20000
40000
80000
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
Amplitude (mm)
Energia D Ciclo (Nm
100000
120000
m)
FIGURA 5.8: Energia Dissipada por Ciclo em Função da Amplitude
60000
issipada por
f=0,1Hz
f=0,3Hz
f=0,5Hz
f=1Hz
f=2Hz
f=3Hz
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
141
Força de Atrito x Amplitude da Velocidade
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Amplitude da Velocidade (mm/s)
Força de Atrito (N)
Amp=2mm
Amp=4mm
Amp=6mm
Amp=8mm
FIG to
F
IGURA 5.10: C eslizamento –
Equação Constitutiva Obtida
URA 5.9: Força de Atrito em Função da Velocidade de Deslizamen
Força de Atrito x Velocidade de Deslizamento
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Ve locidade de De slizamento (mm/s)
Força de Atrito (N)
26,01
e26,01
3510F
x06,0
a
+
+
=
−
&
urva de Ajuste da Variação da Força de Atrito com a Velocidade de D
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
142
5.7 DEFICIÊNCIA ENCONTRADA NOS CRITÉRIOS ATUAIS
Atualmente o critério constitutivo mais utilizado por Sismólogos e Engenheiros
Sísmicos é o critério de variação da força de atrito com o deslizamento (“slip-weakening
law”) apresentado na seção 5.2. Contudo, apesar da ampla utilização de tal lei devida a sua
simplicidade, a evidência experimental sobre critérios constitutivos apresentada na seção 5.6,
o trabalho de Miguel e Riera (2003) e o recente trabalho de Hartzell
et al. (2005) conduzem a
utilização de uma lei exponencial de variação da força de atrito com a velocidade de
deslizamento, representada pela equação (5.12).
Acredita-se que o critério de variação da força de atrito com a velocidade de
deslizamento representado pela equação (5.12) é uma lei mais real, mais precisa, que permite
levar em consideração, através dos coeficientes b e c, mais características das superfícies em
contato. Por exemplo, para cada tipo de material e área em contato (efeito de escala), têm-se
diferentes coeficientes b e c. Além disso, Miguel e Riera (2003) mostraram que a lei de
variação do at seguir.
A fim de analisar as duas leis mais utilizadas em Sismologia e explicar o porquê da lei
e variação do atrito com o deslizamento ser amplamente usada mesmo sendo formalmente
incorreta, é desenvolvido um exemplo simples no qual se considera a evolução do
deslizamento com o tempo associada a um pulso senoidal da velocidade, esquematizados na
Figura 5.11. É admitido em tal análise ambos os critérios, a lei de variação do atrito com a
velocidade, representada pela equação (5.12) e na Figura 5.10, e a lei de variação do atrito
com o deslizamento representada pela equação (5.4) e na Figura 5.12.
Figura 5.11: Pulso Senoidal de Velocidade
rito com o deslizamento não é totalmente válida, como se observa a
d
t
x
V
m
t
d
t
d
D
m
t
t
d
/2
x
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
143
Força de Atrito x Deslizamento
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
Força de Atrito (N)
2600
2700
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Deslizamento (mm)
3600
FIGURA 5.12: Critério Constitutivo de Variação da Força de Atrito com o Deslizamento
Para o exemplo em consideração, a velocidade esquematizada na Figura 5.11 é:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
π
=
d
m
t
t
senVx
&
(5.13)
Integrando a equação (5.13), obtém-se o deslocamento:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
π
−
π
==
∫
d
dm
t
0
t
t
cos1
tV
dtxx
&
(5.14)
Portanto, a relação entre velocidade e deslocamento é:
2
dmdm
m
tV
x
tV
x
2Vx
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
π
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
π
=
&
(5.15)
Substituindo a equação (5.15) na equação (5.12), obtém-se:
b
1
be1
FF
2
dmdm
m
tV
x
tV
x
2cV
aesta
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
π
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
π
−
(5.16)
O deslizamento total é
π
=
dm
m
tV2
D
, então a equação (5.16) pode ser escrita da
seguinte forma:
b
1
be1
FF
mmd
m
D
x
1
D
x
t
D
c
aesta
+
+
=
−
π
−
(5.17)
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
144
a qual é uma lei de variação da força de atrito com o deslizamento equivalente a lei de
variação do atrito com a velocidade de deslizamento.
Na Figura 5.13 apresenta-se a evolução da força de atrito com o tempo, supondo-se as
leis de variação do atrito com a velocidade de deslizamento e com o deslizamento ilustradas
nas Figuras 5.10 e 5.12, respectivamente, para a história de movimento na falha da Figura
5.11. Observa-se que ambas as leis são equivalentes, isto é, conduziriam a resultados similares
durante a primeira parte do movimento. Entretanto, na parte final do movimento, quando a
velocidade decresce, a lei de variação do atrito com o deslizamento subestima o atrito,
tornando-se necessária a introdução de hipóteses arbitrárias, como a existência de um
mecanismo de frenagem (“arresting mechanism”). Na análise de Dalguer
et al. (2001),
observa-se claramente a deficiência apontada, pois na maioria dos registros a correlação entre
velocidades e deslocamentos determinados numericamente e observados nas estações
sismol m sua
arte final. Os resultados numéricos nos últimos trechos superam os valores medidos, o que
sugere egada
em tal análise (Figura 5.
FIGURA 5.13: Variação da Força d
ógicas é quase perfeita na primeira metade do registro, porém não é satisfatória e
p
que as forças de atrito estavam sendo subestimadas (Figura 5.13) pela lei empr
12).
Força de Atrito x Tempo
2600
2800
2900
3000
3200
3300
3500
3600
0 102030405060
Tempo (s)
Força d rito (N)
3400
e Atrito com o Tempo para as Duas Leis Consideradas
2700
3100
e At
Vel
Des
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
145
Hartzell et al. (2005) concluíram em seu trabalho que uma lei de variação do atrito
com a velocidade é mais consistente para o terrem
oto de Northridge de 1994, que uma
simple
s lei de variação do atrito com o deslizamento.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
146
6 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA REGIÃO DA FALHA SÍSMICA
Neste capítulo inicia-se o processo numérico de busca da relação constitutiva macro
(ou global) da falha sísmica. É admitido que o material é elástico, linear e homogêneo, que
não ocorre fratura e que não há asperezas na interface. Primeiramente, faz-se uma breve
descrição do programa computacional desenvolvido e em seguida descreve-se o modelo
adotado para as análises. Na seqüência, apresentam-se os resultados das simulações numéricas
considerando-se as duas principais leis constitutivas como leis micro (ou locais) na interface.
Com isso determinam-se as relações constitutivas macro para a falha, ajustadas a partir dos
resultados das simulações. Por fim, mostra-se que a excitação não influencia no critério
constitutivo macro.
6.1 DESCRIÇÃO SIMPLIFICADA DO PROGRAMA COMPUTACIONAL
DESENVOLVIDO
A fim de determinar a equação constitutiva macro (ou global) da falha sísmica, a partir
de uma lei constitutiva micro (ou local), foi desenvolvido um programa computacional na
linguagem Fortran denominado DEMASF - “Discrete Element Method for Analysis of
Sliding with Friction”. Este programa é uma continuação de um programa desenvolvido
anteriormente, o qual utiliza o Método dos Elementos Discretos (DEM) e integração direta
das equações do movimento por diferenças finitas centrais. De uma forma prática e resumida,
a lógica do programa DEMASF é apresentada na Figura 6.1.
O Método dos Elementos Discretos (Hayashi (1982) e Rocha (1989)) tem sido usado
por Doz (1995), Iturrioz (1995), Dalguer (2000) e Rios (2002), constituindo, portanto, em um
método já bem testado e confiável. O DEM também tem sido muito usado na análise
dinâmica linear e não-linear de movimentos sísmicos (Dalguer
et al., 2001, 2003).
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
147
Geram-se as Coordenadas Nodais do Bloco Inferio
r
Geram-se as Coordenadas Nodais do Bloco Su
p
erio
r
Especificam-se as Condições de Contorno
Calculam-se as Massas Nodais
Geram-se as Barras do Bloco Inferio
r
Geram-se as Barras do Bloco Su
p
erio
r
Calculam-se as Propriedades
d
as Barras do Bloco Inferio
r
Calculam-se as Propriedades das Barras do Bloco Superio
r
Início da Integração Passo a Passo
Es
p
ecificam-se as Cargas Nodais (Forças Externas)
Calculam-se as Forças nas Barras
Calculam-se as Forças Resultantes nos Nós
Calculam-se as Novas Coordenadas
p
or Diferenças Finitas
FIGURA 6.1: Fluxograma Simplificado do Programa DEMASF
Verifica Se Ocorre Deslizamento e Calcula as Forças na Interface
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
148
O DEM consiste em representar o contínuo através de uma estrutura treliçada
tridimensional periódica com massas concentradas em todos os nós, interconectadas por
elementos visco-elásticos unidimensionais, como mostra a Figura 6.2 (a) e (b), sendo que a
rigidez das barras é equivalente ao comportamento mecânico do meio contínuo em análise.
Esta equivalência foi verificada por Hayashi (1982) e Rocha (1989), entre outros. O
comportamento dos elementos é representado pela lei bi-linear sugerida por Hillerborg
(1978), a qual é apresentada na Figura 6.2 (c) e (d).
FIGURA 6.2: (a) Módulo cúbico; (b) Prisma formado por vários módulos cúbicos; (c) Lei constitutiva
bi-linear; (d) Esquema de carga e descarga
A deformação limite, ε
r
, é determinada para satisfazer a condição de que, na ruptura de
um elemento, uma vez que a deformação atinge o valor ε
r
, uma energia, U
elem
, é liberada. É
ossível expressar:
p
c
ff
elem
GA
U
l
=
, (6.1)
na qual A
f
é a área fraturada da barra, é o comprimento dos elementos longitudinais e G
f
é
a energia específica de fratura. As equações de movimento são da forma:
c
l
() ()
0tPtFxx
r
=−++
r
r
r
&
r
&&
CM
, (6.2)
na qual representa o vetor de deslocamento nodal,
M a matriz de massa, C a matriz de
amortecimento,
x
r
(
)
tF
r
r
o vetor de forças internas e
(
)
tP
r
o vetor de forças externas. Salienta-se
que quando
M e C são diagonais, as equações (6.2) não estão acopladas. O método explícito
de diferenças finitas centrais é então usado para integrar a equação (6.2). Como as
coordenadas nodais são alteradas em cada intervalo de tempo, grandes deslocamentos podem
ser considerados de forma natural e eficiente.
Y
(b)
(a)
X'
X
Y'
Z
(c)
(d)
c
ff
GA
l
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
149
Inicialmente os blocos de rocha estão submetidos apenas aos esforços normais
indicados na Figura 6.3(a), sendo posteriormente aplicados os esforços tangenciais mostrados
na Figura 6.3(b). Antes de deslizar, os blocos sofrem uma distorção (a qual foi exagerada para
fins de visualização na Figura 6.3(c)) e finalmente, após vencer a resistência ao atrito, os
blocos iniciam o deslizamento relativo (Figura 6.3(d)).
Z
X
t = 0
(a)
t = t
1
(b)
t < t
desliz
(c)
t > t
desliz
(d)
FIGURA 6.3: Etapas até o Deslizamento
ento e
calcula as forças na interface dos blocos, a qual poder ser explicada resumidamente pelas
quatro etapas seguintes:
)
pa, v
Se (w
s
(nó) - w
i
(nó)) ≤ 0 ⇒ Um bloco penetrou no outro. ⇒ Os nós da interface são
forçados a ficarem na mesma posição ⇒
A sub-rotina principal do programa é a sub-rotina que verifica se há deslizam
1º Verifica se um bloco não penetrou no outro: (direção Z)
Nesta eta erificam-se as coordenadas na direção Z dos nós da interface dos dois
blocos. Inicialmente, as coordenadas dos nós da interface do bloco superior (w
s
) coincidem
com as coordenadas dos nós da interface do bloco inferior (w
i
).
Se (w
s
(nó) - w
i
(nó)) > 0 ⇒ Os blocos não estão mais em contato. ⇒ Não há mais
atrito. ⇒ Continua a integração normalmente.
()
(
)
(
)
(
)()
() ()
nómnóm
nómnównómnów
nów
is
iiss
+
+
=
, (6.3)
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
150
sendo m(nó) o valor da massa concentrada no nó e w(nó) o valor da coordenada Z do nó.
2º) Calcula as tensões normal e tangencial em cada um dos nós da interface:
()
()
(
)
(
)()
()
nóInfluência de Área
nóZAceleraçãonóMassanóF
nó
N
n
−Σ
=σ
, (6.4)
sendo
N
FΣ
o somatório de todas as forças na direção Z que chegam num determinado nó.
()
() ()
(
)
(
)
(
)
()
nóInfluência de Área
nóXAceleraçãonóMassanóFnóF
nó
atritoTx
x
−
+Σ
=τ
, (6.5)
sendo o somatório de todas as forças na direção X que chegam num determinado nó.
3º) Calcula a resistência devida ao atrito:
Calcula o coeficiente de atrito em função da lei micro (local) escolhida. Pode ser uma
lei de variação do atrito com a velocidade (6.6) ou uma lei de variação do atrito com o
deslizamento (6.7).
Tx
FΣ
() ()
(
)
25,01
e25,01
nóμnóμ
nólReVel0,4
s
+
+
=
−
, (6.6)
() () () ()()
(
)
5,0
nólReDes
nóμ8,0nóμnóμnóμ
sss
−−=
, (6.7)
sendo μ
s
o coeficiente de atrito estático, VelRel e DesRel a velocidade e o deslocamento
relativos entre os nós da interface.
Com isso, a resistência ao corte por atrito é calculada por:
() ()()
nónónó
nresistente
σ
μ
=
τ
(6.8)
4º) Verifica se ocorre deslizam ireção X)
esmas.
necessário aplicar forças
na inte
smica são representadas por um modelo
numérico tridimensional baseado no Método dos Elementos Discretos (DEM).
ento e calcula as forças na interface: (d
Se │VelRel(nó)│ > zero ⇒ Há deslizamento. ⇒ Aplicam-se as forças de atrito
calculadas nesse passo na interface como forças externas no próximo passo de integração,
cuidando o sentido das m
Se │VelRel (nó)│ = zero ⇒ Não há deslizamento. ⇒ Não é
rface.
6.2 DESCRIÇÃO DO MODELO
As camadas de rocha adjacentes à falha sí
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
151
O modelo empregado para a simulação numérica de uma região de falha sísmica é
mostra rada são
apresentadas na Tabela 6.1. As dimensões do modelo são
•
Comprimento da aresta dos elementos = 10m
•
N
•
Número de elementos na direção Y = 5
•
Número de elementos na direção Z = 10
Port e
tangen o primeiro bloco e na superfície inferior do
segund
os. Todos os nós estão livres nas direções X e Z e fixos na direção Y. A
cada passo de integração, se ocorre deslizamento, forças de atrito são aplicadas em todos os
nós deslizantes da interface, de acordo com
FIGURA 6.4: Simulação da Falha Sísmica com o DEM
do na Figura 6.4. As propriedades básicas da rocha granítica conside
as seguintes:
úmero de elementos na direção X = 25
anto, cada bloco de rocha tem 250m x 50m x 50m de lados. Tensões normal
cial são aplicadas na superfície superior d
o bloco, como esquematicamente mostrado na Figura 6.5. Tensões vertical e horizontal
também são aplicadas nos nós das extremidades dos blocos, para representar as tensões
transmitidas aos mesm
uma lei de atrito especificada.
Z
Y
X
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
152
TABELA 6.1: Propriedades Básicas de uma Rocha de Granito
Propriedade Valor
E (módulo de Young) 7,5E10N/m
2
2700kg/m
3
ρ
g
(massa específica)
0,25
ν (coeficiente de Poisson)
g
E ρ (velocidade de propagação da onda)
5270,5m/s
FIGURA 6.5: Tensões Aplicadas na Região da Falha
6.3 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO
Neste capítulo, de acordo com modelos usuais em Sismologia, admite-se que o
material é elástico, linear e homogêneo. Não ocorre fratura e não há asperezas na interface.
Ambas as leis constitutivas mais utilizadas em Sismologia, a lei de variação da força de atrito
com a velocidade (“velocity-weakening law”) e a lei de variação da força de atrito com o
deslizamento (“slip-weakening law”) são consideradas na micro-escala da interface, da qual
uma lei macro (ou global) é obtida relacionando o valor médio da resistência ao corte por
atrito com o valor médio da tensão normal na interface e os valores médios do deslocamento e
da velocidade tangenciais na interface. As tensões normal e tangencial aplicadas são
mostradas nas Figuras 6.6 e 6.7, respectivamente. O intervalo de integração, Δt, adotado para
todas as análises é 10
-4
s e o tempo total de análise é 5s.
σ
n
νσ
n
νσ
n
τ
x
τ
σ
n
x
τ
L
τ
L
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
153
FIGURA 6.6: Evolução c o Tempo da Tensão Normal Aplicada
Tensão Normal Aplicada em Função do T
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0
3,5
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Tensão Normal Aplicada (N/m
2
)
empo
E+04
E+04
0,0
om
Tensão Tangencial Aplicada em Função do Tempo
6,0E+04
7,0E+04
al Ap
a
5,0E+04
licad
-1,0E+04
0,0E+00
1,0E+04
2,0E+04
3,0E+04
4,0E+04
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Tensão Tangenci
(N/m
2
)
FIGURA 6.7: Evolução com o Tempo da Tensão Tangencial Aplicada
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
154
6.3.1 Lei Micro (ou Local) de Variação do Atrito com a Velocidade na Interface
Inicialmente adota-se como lei micro (ou local) a lei de variação do atrito com a
velocidade obtida nos testes de laboratório descritos no item 5.6. Entretanto, os parâmetros da
lei de variação do atrito com a velocidade usados nas análises seguintes diferem daqueles
medidos nos testes de laboratório, a fim de levar em consideração o fato das escalas e dos
materiais serem diferentes. Com esse objetivo, adotam-se parâmetros que tornam a lei de
variação do atrito com a velocidade compatível com a lei de variação do atrito com o
deslizamento, amplamente usada em Sismologia, durante os estágios iniciais do movimento.
A Figura 6.8 apresenta a lei micro de variação do atrito com a velocidade usada nas análises
seguintes.
FIGURA 6.8: Lei Micro (ou Local) de Variação do Atrito com a Velocidade
Foram analisados casos para 6 coeficientes de atrito estático μ
s
diferentes entre os
blocos de rocha, sendo os resultados obtidos apresentados nos gráficos seguintes. A Figura
6.9 mostra a evolução com o tempo da tensão tangencial média na superfície de falha. Pode
ser observado que para um coeficiente de atrito igual a 2,0 não há deslizamento, então a
tensão tangencial média na interface apresenta a mesma forma senoidal da tensão tangencial
aplicada. Por outro lado, quando o coeficiente de atrito é zero, ou seja, quando não há atrito, a
tensão tangencial na interface é zero, como já era esperado. A Figura 6.10 mostra a evolução
com o tempo da resis
de coeficientes de atrito analisados. Uma forma de banheira pode ser observada devido ao fato
de que a força de atrito diminui quando o deslizamento inicia e posteriormente volta a
aumentar no fim do movimento, quando a velocidade diminui. As Figuras 6.11, 6.12 e 6.13
Lei Micro de Variação do Atrito com a Velocidade
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Velocidade (m/s)
Coeficiente de Atrito
25,01
x0,4
e25,01
μμ
sd
+
−
+
=
&
tência ao corte por atrito média na superfície de falha para os seis valores
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
155
mostram a evolução com o tempo do deslizamento (deslocamento relativo médio), da
velocidade de deslizamento (velocidade relativa média) e da aceleração médios na superfície
de falh
FIGURA 6.9: Evolução com o Tempo da Tensão Tangencial Média na Interface
a, respectivamente. Os casos extremos podem ser facilmente identificados, isto é, sem
atrito os blocos deslizam livremente, enquanto que para coeficientes de atrito iguais ou
maiores que 2,0, os blocos permanecem juntos, ou seja, não deslizam um em relação ao outro.
As leis macro (ou globais) de variação do atrito com o deslizamento resultantes para cada um
dos 6 coeficientes de atrito estáticos podem ser vistas nos gráficos da Figura 6.14,
apresentando uma forma de banheira. Enquanto as leis macro de variação do atrito com a
velocidade são mostradas nos gráficos da Figura 6.15, sendo muito similares à lei micro
adotada (Figura 6.8), confirmando que não há efeito de escala ou outro tipo de efeito.
Tensão Tangencial Média na Interface em Função do
Tempo
-1,0E+04
0,0E+00
1,0E+04
2,0E+04
3,0E+04
4,0E+04
5,0E+04
6,0E+04
7,0E+04
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Tensão Tangencial Média
na Interface (N/m
2
)
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
Resistência ao Corte por Atrito Média na Interface em
Função do Tempo
0,0E+00
1,0E+04
2,0E+04
3,0E+04
4,0E+04
5,0E+04
6,0E+04
7,0E+04
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Resistência ao Corte por
Atrito Média na Interface
(N/m
2
)
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
F
IGURA 6.10: Evolução com o Tempo da Resistência ao Corte por Atrito Média na Interface
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
156
Deslocamento Relativo Médio na Interface em Função
do Tempo
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Deslocamento Relativo
Médio na Interface (m)
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
FIGURA 6.11: Evolução com o Tempo do Deslizamento Médio na Interface
FIGURA 6.12: Evolução com o Tempo da Velocidade Média na Interface
FIGURA 6.13: Evolução com o Tempo da Aceleração Média na Interface
Velocidade Relativa Média na Interface em Função do
Tempo
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Velocidade Relativa
Média na Interface (m/s)
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
Tempo (s)
Aceleração Relativa Média na Interface em Função do
Tempo
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Aceleração Relativa
Média na Interface (m/s
2
)
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
Tempo (s)
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
157
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com o
Deslocamento Relativo Médio na Interface
0,0E+00
1,0E+04
2,0E+04
3,0E+04
4,0E+04
5,0E+04
6,0E+04
7,0E+04
Deslocamento Relativo Médio na Interface (m)
Resistência ao Corte por
Atrito Média na Interface
(N/m
2
)
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
FIGURA 6.14: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslizamento
FIGURA 6.15: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade
6.3.2 Lei Micro (ou Local) de Variação do Atrito com o Deslizamento na
Interface
A segunda relação constitutiva micro (ou local) empregada na análise dinâmica da
região da falha é a lei de variação do atrito com o deslizamento, apresentada na Figura 6.16, a
qual é amplamente usada em Sismologia.
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com a
Velocidade Relativa Média na Interface
0,0E+00
2,0E+04
3,0E+04
4,0E+04
5,0E+04
6,0E+04
7,0E+04
Velocidade Relativa Média na Interface (m/s)
Resistência ao Corte por
Atrito Média na Interface
(N/m
2
)
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
1,0E+04
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
158
FIGURA 6.16: Lei Micro (ou Local) de Variação do Atrito com o Deslizamento
A evolução com o tempo: (a) da tensão tangencial média na interface, (b) da
resistência ao corte por atrito média na interface, (c) do deslizamento tangencial médio na
terface, (d) da velocidade tangencial média na interface e (e) da aceleração tangencial média
na interface para os 6 coeficientes de atrito estáticos μ
s
é mostrada nas Figuras 6.17, 6.18,
6.19, 6.20 e 6.21, respectivamente. As curvas são similares às curvas obtidas considerando a
lei micro de variação do atrito com a velocidade mostrada anteriormente.
As relações globais entre a resistência ao corte por atrito média na interface com o
deslizamento médio e com a velocidade média na interface são apresentadas nas Figuras 6.22
e 6.23, respectivamente. Pode ser observado que a lei macro que expressa a variação do atrito
com o deslizamento (Figura 6.22) possui um único valor e é muito similar à lei micro adotada
(Figura 6.16), entretanto, as relações entre o atrito e a velocidade (Figura 6.23) são funções
multi-valuadas, pois apresentam dois valores de resistência para a mesma velocidade.
po da Tensão Tangencial Média na Interface
in
FIGURA 6.17: Evolução com o Tem
Tensão Tangencial Média na Interface em Função do
Tempo
1,0E+04
2,0E+04
4,0E+04
6,0E+04
7,0E+04
ens cial dia
na In ce (N
-1,0E+04
0,0E+00
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
T
3,0E+04
ão Tangen
terfa
5,0E+04
Mé
/m
2
)
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
Lei Micro de Variação do Atrito com o Deslizamento
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0,00,51,01,52,02,53,03,54,0
Deslizamento (m)
Coeficiente de Atrito
()
5,0
x
8,0
sssd
μ−μ−μ=μ
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
159
FIGURA
FIGURA 6.20: Evolução com o Tempo da Velocidade Média na Interface
6.18: Evolução com o Tempo da Resistência ao Corte por Atrito Média na Interface
FIGURA 6.19: Evolução com o Tempo do Deslizamento Médio na Interface
Deslocamento Relativo Médio na Interface em Função
do Tempo
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
nto Relativo
nterface (m)
-0,5
0,0
0,5
1,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Deslocame
Médio na I
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
Resistência ao Corte por Atrito Média na Interface em
Função do Tempo
0,0E+00
1,0E+04
2,0E+04
3,0E+04
4,0E+04
5,0E+04
6,0E+04
7,0E+04
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Resistência ao Corte por
Atrito Média na Interface
(N/m
2
)
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
Velocidade Relativa Média na Interface em Função do
Tempo
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Velocidade Relativa
Média na Interface (m/s)
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
160
FIGURA 6.21: Evolução com o Tempo da Aceleração Média na Interface
FIGURA 6.22: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslizamento
FIGURA 6.23: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com o
Deslocamento Relativo Médio na Interface
0,0E+00
1,0E+04
2,0E+04
3,0E+04
4,0E+04
5,0E+04
6,0E+04
7,0E+04
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
Deslocamento Relativo Médio na Interface (m)
Resistência ao Corte por
Atrito Média na Interface
(N/m
2
)
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
Aceleração Relativa Média na Interface em Função do
Tempo
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Aceleração Relativa
Média na Interface (m/s
2
)
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com a
Velocidade Relativa Média na Interface
0,0E+00
1,0E+04
2,0E+04
3,0E+04
4,0E+04
5,0E+04
6,0E+04
7,0E+04
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
Velocidade Relativa Média na Interface (m/s)
Resistência ao Corte por
Atrito Média na Interface
(N/m
2
)
μ=0,0
μ=0,2
μ=0,5
μ=1,0
μ=1,5
μ=2,0
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
161
6.4 RELAÇÕES CONSTITUTIVAS PARA A FALHA
Relações constitutivas macro (ou globais) para a falha são obtidas ajustando-se cu
ltados numéricos. A primeira lei constitutiva micro (ou local) empregada foi a lei d
variação do atrito com a velocidade (Figura 6.8), descrita pela equação (6.10):
rvas
aos resu e
b
1
xc
be1
aστ
n
+
+
=
&
, (6.9)
na qual: a = µ
s
, b = 0,25 e c = -4,0, então:
25,01
x0,4
e25,01
σμτ
ns
+
−
+
=
&
(6.10)
ões
numéricas são indicados na Tabela 6.2. A Tabela 6.3 apresenta os valores médios e
a
resist σ
n
) e a
velocida
TABELA
Os parâmetros das leis constitutivas macro (ou globais) ajustados às simulaç
coeficientes de variação dos parâmetros das leis constitutivas globais ajustados por zonas.
Tais zonas são cinco regiões quadradas adjacentes com lado igual a 50m, isto é, 5 módulos
cúbicos em cada direção da zona. As leis constitutivas macro para a falha relacionam
ência ao corte por atrito média (τ) na interface com a tensão normal média (
de de deslizamento média (
x
&
) na interface.
6.2: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de Variação do Atrito
com a Velocidade como Lei Local
Coeficiente de Atrito Parâmetros das Leis Constitutivas Globais
µ
s
= 0,2 a = 0,200 b = 0,250 c = -4,020
µ
s
= 0,5 a = 0,500 b = 0,250 c = -3,973
µ
s
= 1,0 a = 0,999 b = 0,250 c = -3,959
µ
s
= 1,5 a = 1,500 b = 0,253 c = -3,942
TABELA 6.3: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de Variação do Atrito
com a Velocidade como Lei Local - Ajuste por Zonas
Coeficiente de Atrito Parâmetros das Leis Constitutivas Globais
µ
s
= 0,2 a
m
= 0,200 a
CV
= 0,00% b
m
= 0,250 b
CV
= 0,54% c
m
= -4,014 c
CV
= 0,53%
µ
s
= 0,5 a
m
= 0,500 a
CV
= 0,11% b
m
= 0,250 b
CV
= 0,36% c
m
= -4,024 c
CV
= 1,87%
µ
s
= 1,0 a
m
= 1,000 a
CV
= 0,05% b
m
= 0,250 b
CV
= 0,54% c
m
= -3,988 c
CV
= 1,49%
µ
s
= 1,5 a
m
= 1,499 a
CV
= 0,06% b
m
= 0,253 b
CV
= 1,14% c
m
= -3,946 c
CV
= 1,51%
A segunda lei constitutiva micro utilizada foi a lei de variação do atrito com o
deslizamento (Figura 6.16), representada pela equação (6.12):
()
b
x
aσ8,0aσaστ
nnn
−−=
, (6.11)
na qual: a = µ
s
e b = D
0
= 0,50, conduzindo à seguinte expressão:
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
162
()
5,0
x
σ8,0σστ
nsnsns
μ−μ−μ=
(6.12)
Os parâmetros das leis constitutivas macro ajustados aos resultados das simulações
numéricas são indicados na Tabela 6.4. A Tabela 6.5 apresenta os valores médios e
coeficientes de variação dos parâmetros das leis constitutivas globais ajustados para as
mesmas 5 zonas na interface dos blocos descritas anteriormente. As leis constitutivas macro
para a falha relacionam a resistência ao corte por atrito média (τ) na interface com a tensão
normal média (σ
n
) e o deslizamento médio (x) na interface.
TABELA 6.4: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de Variação do Atrito
com o Deslizamento como Lei Local
Coeficiente de Atrito Parâmetros das Leis Constitutivas Globais
µ
s
= 0,2 a = 0,200 b = 0,501
µ
s
= 0,5 a = 0,500 b = 0,499
µ
s
= 1,0 a = 1,000 b = 0,500
µ
s
= 1,5 a = 1,500 b = 0,501
TABELA 6.5: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de Variação do Atrito
com o Deslizamento como Lei Local - Ajuste por Zonas
Coeficiente de Atrito Parâmetros das Leis Constitutivas Globais
µ
s
= 0,2 a
m
= 0,200 a
CV
= 0.00% b
m
= 0,500 b
CV
= 0,37%
µ
s
= 0,5 a
m
= 0,500 a
CV
= 0,00% b
m
= 0,500 b
CV
= 0,54%
µ
s
= 1,0 a
m
= 0,999 a
CV
= 0,05% b
m
= 0,500 b
CV
= 0,00%
µ
s
= 1,5 a
m
= 1,500 a
CV
= 0,09% b
m
= 0,499 b
CV
= 0,41%
Conforme Tabelas 6.2 a 6.5, os parâmetros das leis de atrito macro (Figuras 6.15 e
.22) permanecem praticamente invariantes quando comparados com os valores dos
parâmetro efeito de
scala significativo para todos os modelos, como já era esperado, visto que foi admitido que
os blocos d
6.5 INFLUÊNCIA DE DIFERENTES EXCITAÇÕES
Para confirmar que a equação constitutiva macro (ou global) da falha sísmica é
independente da excitação, foram aplicados cinco pulsos de tensão tangencial diferentes,
apresentados nos gráficos da Figura 6.24. Para todos os casos, adota-se o coeficiente de atrito
estático igual a 1,0.
6
s das leis de atrito micro (Figuras 6.8 e 6.16). Portanto, não se observa
e
e rocha são elásticos e homogêneos e não há asperezas.
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
163
Tensão Tangencial Aplicada em Função do Tempo
0,0E+00
1,0E+04
3,0E+04
4,0E+04
7,0E+04
Tens angencial
5,0E+04
6,0E+04
Aplicad
a
τ1
(N/m
2
)
τ2
τ3
FIGURA 6.24: Evolução com o Tempo das Cinco Tensões Tangenciais Aplicadas
Primeiramente considera-se que a lei micro (ou local) é a lei de variação do atrito com
a velocidade (Figura 6.8). A evolução com o tempo das tensões tangenciais médias na
interface, das resistências ao corte por atrito médias na interface, dos deslizamentos
tangenciais médios na interface, das velocidades e
das acelerações tangenciais médias na
terface é mostrada nas Figuras 6.25, 6.26, 6.27, 6.28 e 6.29, respectivamente.
FIGURA 6.25: Evolução com o Tempo das Tensões Tangenciais Médias na Interface
in
-1,0E+04
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
2,0E+04
ão T
τ4
τ5
Tensão Tan
g
encial Mé o
-5,0E+03
E+00
E+03
E+04
2,5E+04
E+04
E+04
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tensão Tan i ia
)
dia na Interface em Função d
Tempo
3,0
3,5
-1,0E+04
Tempo (s)
0,0
n
5,0
a I
1,0
erf
1,5E+04
genc
ace (
2,0E+04
al Méd
N/m
2
τ1
τ2
nt
τ3
τ4
τ5
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
164
Resistência ao Cor
Função do Tempo
0,0E+00
0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,55,0
te por Atrito Média na Interface em
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
Resistência ao Corte por
Atrito Média na Interface
(N/m
2
)
τ1
τ2
τ3
τ4
τ5
Tempo (s)
FIGURA 6.26: Evoluç
ão com o Te a Interface
FIGURA 6.28: Evolução com o Tempo das Velocidades Médias na Interface
mpo das Resistências ao Corte por Atrito Médias n
Deslocamento Relativo Méd nção
do Tem
0,0
0,1
0,2
0,3
0,6
0,7
at
e
io na Interface em Fu
po
0,5
ivo
(m)
0,4
Rel
rfac
τ1
FIGURA 6.27: Evolução com o Tempo dos Deslizamentos Médios na Interface
-0,1
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Desl
Mé
oc
dio
ame
na I
nto
nte
τ2
τ3
τ4
τ5
Velocidade Relativa Média na Interface em Funç
Tempo
ão do
-0,05
0,30
0,45
0,50
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
lati
ce (
0,35
0,40
va
m/s)
τ1
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
Velocidade Re
Média na Interfa
τ2
τ3
τ4
τ5
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
165
Aceleração Relativa Média na Interface em Função do
Tempo
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Aceleração Relativa
Média na Interface (m/s
2
)
τ1
τ2
τ3
τ4
τ5
FIGURA 6.29: Evolução com o Tempo das Acelerações Médias na Interface
As relações globais entre as resistências ao corte por atrito médias na interface com os
desliza
FIGURA ção do
Atrito com a Velocidade
mentos médios e com as velocidades médias na interface são apresentadas nas Figuras
6.30 e 6.31, respectivamente. Observando a Figura 6.31, a qual representa as leis constitutivas
macro, confirma-se que estes cinco critérios constitutivos macro são idênticos, isto é,
independem da excitação considerada.
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com o
Deslocamento Relativo Médio na Interface
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Deslocamento Relativo Médio na Interface (m)
Resistência ao Corte por Atrito
Média na Interface (N/m
2
)
τ1
τ2
τ3
τ4
τ5
6.30: Leis Macro de Variação do Atrito com o Deslizamento para Lei Micro de Varia
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
166
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com a
Velocidade Relativa Média na Interface
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
Velocidade Relativa Média na Interface (m/s)
Resistência ao Corte por Atrito
Média na Interface (N/m
2
)
τ1
τ2
τ3
τ4
τ5
0,0E+00
FIGURA 6.31: Leis Macro de Variação do Atrito com a Velocidade para Lei Micro de Variação do
Atrito com a Velocidade
O mesmo raciocínio é feito considerando a lei de variação do atrito com o
deslizamento como lei micro (Figura 6.16) e com isso obtêm-se as leis macro mostradas nas
Figuras 6.32 e 6.33. Novamente, observando-se as cinco leis constitutivas macro apresentadas
nos gráficos da Figura 6.32 percebe-se que estas leis são independentes da excitação.
FIGURA 6.32: Leis Macro de Variação do Atrito com o Deslizamento para Lei Micro de Variação do
Atrito com o Deslizamento
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com o
Deslocamento Relativo Médio na Interface
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,5E+04
3,5E+04
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Deslocamento Relativo Médio na Interface (m)
Resistência ao Corte por Atrito
Média na Interface (N/m
2
)
3,0E+04
τ1
2,0E+04
τ2
τ3
τ4
τ5
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
167
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com a
Velocidade Relativa Média na Interface
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
Resistência ao Corte por Atrito
Média na Interface (N/m
2
)
τ1
τ2
τ3
τ4
τ5
Velocidade Relativa Média na Interface (m/s)
FIGURA 6.33: Leis Macro de Variação do Atrito com a Velocidade para Lei Micro de Variação do
Atrito com o Deslizamento
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
168
7 CARACTERÍSTICAS ALEATÓRIAS DAS PROPRIEDADES
MECÂNICAS E APLICAÇÕES À RUPTURA DINÂMICA DA FALHA
SÍSMICA
Continuando o estudo iniciado no capítulo anterior, no presente capítulo acrescenta-se
ao o
roposta por Shinozuka e Deodati pos aleatórios Gaussianos
através de represen
o um
po aleatório Gaussiano correlacionado. Com isso determinam-se as relações constitutivas
macro para a falha, ajustadas a partir dos resultados de cada uma das simulações.
7.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS
Os materiais não são usualmente homogêneos, como suposto para simplificar as
teorias. No caso de rochas, essa não-homogeneidade pode ser significativa, portanto é
necessário incluir a não-homogeneidade do material no modelo. No trabalho de Schlangen
(1993), por exemplo, apresentam-se várias formas de incorporar a não-homogeneidade.
Entretanto, apesar de um grande número de métodos já terem sido desenvolvidos e estarem
disponíveis para resolver problemas que envolvam parâmetros descritos por processos ou
campos estocásticos, até hoje em dia, a Simulação de Monte Carlo é o melhor método.
A Simulação de Monte Carlo é um método universal que permite obter soluções para
numerosos problem
Carlo é que podem ser obtidas so lema cuja solução determinística
modelo a não-homogeneidade da rocha. Com esse objetivo, é utilizada a formulaçã
s (1996) para a geração de cam
p
tação espectral. A teoria exposta é usada para gerar campos estocásticos
tridimensionais para a massa específica e o módulo de Young e campos bidimensionais para o
coeficiente de atrito estático. Para as duas principais leis constitutivas, são realizadas
simulações da falha sísmica considerando cada uma das propriedades do material com
cam
as da mecânica estocástica. A maior vantagem da simulação de Monte
luções para qualquer prob
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
169
(analítica ou numérica) seja conhecida. Por outro lado, a única desvantagem da simulação de
Monte Carlo é seu alto custo computacional. Porém, com a evolução dos computadores, cada
vez mais rápidos, está desvantagem tende a desaparecer. Uma das aplicações mais
importantes da simulação de Monte Carlo é a geração de funções amostra (ou simplesmente
amostras) do processo ou campo aleatório envolvidos no problema. Tais amostras devem
apresentar precisamente as características aleatórias do correspondente processo ou campo,
que pode ser estacionário ou não-estacionário, homogêneo ou não-homogêneo,
unidimensional ou multidimensional, Gaussiano ou não-Gaussiano.
Entre os vários métodos existentes para a geração das funções amostra de processos ou
campos estocásticos, o método de representação espectral tem sido extensamente usado desde
a década de 90. Embora o conceito do método para uma dimensão e uma variável exista há
algum tempo (Rice, 1954), foi Shinozuka (1972) quem primeiro o aplicou para a simulação de
campos não-estacionários bi ou multidimensionais. Yang (1972, 1973) demonstrou que a
té r
onsideravelmente o tempo computacional. Yamazaki e Shinozuka (1988) desenvolveram um
processo iterativo para simular campos estocásticos não-Gaussianos que, como conseqüência,
aumenta o custo computacional requerido. Neste trabalho optou-se pela utilização do método
de representação espectral, proposto por Shinozuka e Deodatis (1996), para a simulação de
campos aleatórios Gaussianos, bi e tridimensionais, como se descreve a seguir.
7.2 FORMULAÇÃO TEÓRICA DO MÉTODO DE REPRESENTAÇÃO
ESPECTRAL
A formulação descrita a seguir é devida a Shinozuka e Deodatis (1996). Seja
um campo aleatório bidimensional, homogêneo, com valor médio igual a zero,
função de autocorrelação
cnica da Transformada Rápida de Fourier (FFT) pode ser usada para reduzi
c
()
210
x,xf
()
21ff
,R
00
ξ
ξ
e função densidade espectral de potência
(
)
21ff
,S
00
κ
κ
.
Então, as seguintes relações podem ser estabelecidas:
()
[]
0x,xfE
210
=
(7.1)
()()
[]
(
)
21ff21022110
,Rx,xfx,xfE
00
ξ
ξ
=
ξ+ξ+
(7.2)
()
()
()
(
)
21
i
21ff
2
21ff
dde,R
2
1
,S
2211
0000
ξξξξ
π
=κκ
ξκ+ξκ−
∞
∞−
∞
∞−
∫∫
(7.3)
() ( )
(
)
21
i
21ff21ff
dde,S,R
2211
0000
κκκκ=ξξ
ξκ+ξκ
∞
∞−
∞
∞−
∫∫
(7.4)
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
170
No qual E indica a esperança matemática, ξ
1
e ξ
2
denotam a distância de separação nas
ireções x
1
e x
2
, respectivamente, e κ
1
e κ
2
são os correspondentes números de onda. As
quações (7.3) e (7.4) correspondem à versão bidimensional do par transformado de Wiener-
hintchine. A função densidade espectral de potência,
d
e
(
)
21ff
,S
00
κ
κ
K
, é uma função real e não-
κ
1
e κ
2
, além de ser simétrica com respeito à origem. Shinozuka e Deodatis
negativa de
(1996) chegam à seguinte expressão para um campo aleatório bidimensional:
()
()
()
∑∑
−
=
−
=
+Φ+κ+κ=
1N
1
nn
2n21n1nn
1N
21
2
21
2121
1
xxcosA[2x,xf
0n0n
21
(
)
(
)
2
nn
2n21n1nn
21
2121
xxcosA
~
Φ+κ−κ ] (7.5)
Na equação (7.5),
()
1
nn
21
Φ e
(
)
2
nn
21
Φ com n
1
= 0, 1, ..., N
1
-1 e n
2
= 0, 1, ..., N
2
-1 são
ângulos de fase aleatórios independentes distribuídos uniformemente no intervalo [0, 2π].
21
nn
A
e
21
nn
A
~
são definidos pelas seguintes equações:
()
21n2n1ffnn
210021
,S2A κΔκΔκκ=
(7.6)
()
21n2n1ffnn
210021
,S2A
~
κΔκΔκ−κ=
(7.7)
Sendo:
11n1
n
1
κΔ=κ
,
22n2
n
2
κ
Δ
=κ
(7.8)
,
2
u2
2
N
κ
=κΔ
1
u1
1
N
κ
=κΔ
(7.9)
0AA
0nn0
12
=
=
para n
1
= 0, 1, ..., N
1
-1 e n
2
= 0, 1, ..., N
2
-1 (7.10)
== para n
1
= 0, 1, ..., N
1
-1 e n
2
= 0, 1, ..., N
2
-1 (7.11)
E:
0A
~
A
~
0nn0
12
() ()
00,S,0S
1ff2ff
0000
=κ
=
κ
para
∞
<
κ
<
∞
−
1
e
∞
<
κ
<
∞
−
2
(7.12)
Os valores de κ
1u
e κ
2u
são os limites de corte dos números de onda correspondentes
aos eixos x
1
e x
2
no domínio do espaço, respectivamente. Isto implica que a função densidade
espectral de potência é considerada nula, por razões matemáticas ou físicas, fora da
região
definid
a por:
u11u1
κ
≤κ≤κ−
e
u22u2
κ
≤
κ
≤κ−
(7.13)
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
171
O seguinte critério pode ser usado para determinar os limites de corte dos números de
onda:
() () ()
21
0
21ff21
0
21ff
dd,S1dd,S
00
u1u2
u2
00
κκκκε−=κκκκ
∫∫∫∫
∞∞
∞−
κκ
κ−
(7.14)
sendo ε << 1, por exemplo, ε = 0,001.
Como a função densidade espectral de potência é simétrica, as expressões (7.6) e (7.7)
possuem o mesmo valor, podendo-se então simplificar a equação (7.5). As condições
indicadas nas equações (7.10) e (7.11) são necessárias, e devem ser
forçadas em caso de não
se cum
prir, para garantir que a média espacial e a função de autocorrelação da função
simulada e a real sejam as mesmas.
O campo estocástico simulado,
(
)
21
x,xf
, dado pela equação (7.5), é periódico ao
longo dos eixos x
1
e x
2
com períodos:
1
0x
2
L
1
κΔ
π
=
ao longo do eixo x
1
(7.15)
2
0x
2
L
2
κΔ
π
=
ao longo do eixo x
2
(7.16)
Os pontos em que a função pode ser simulada deverão estar separados, segundo os
eixos x
1
e x
2
, pelos incrementos Δx
1
e Δx
2
, respectivamente. Com o objetivo de evitar o
fenômeno de aliasing, tais incrementos devem satisfazer os critérios apresentad
os na equação
.17).
(7
u1
x
2
2
1
κ
π
≤Δ
,
u2
x
2
2
2
κ
π
≤Δ
(7.17)
De forma semelhante ao desenvolvido para o caso bidimensional, Shinozuka e
Deodatis (1996) cheg
tridimensi
am à seguinte expressão para simular um campo aleatório
onal:
()
∑∑∑
−
===
0n
nnn
0n
N
0n
321
3
321
21
−−
=
1N
1N1
3
21
A2x,x,xf
(
)
(
)
+Φ+κ+
1
3n32
xx
[
κ+κ
nnn
n21n1
321
321
xcos
(
)
(
)
+Φ+κ−κ+κ
2
nnn
3n32n21n1
321
321
xxxcos (7.18)
(
)
(
)
+Φ+κ+κ−κ
3
nnn
3n32n21n1
321
321
xxxcos
(
)
(
)
4
nnn
3n32n21n1
321
321
xxxcos Φ+κ−κ−κ ]
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
172
Sendo, novamente,
()
1
nnn
321
Φ ,
(
)
2
nnn
321
Φ ,
(
)
3
nnn
321
Φ e
(
)
4
nnn
321
Φ ângulos de fase aleatórios
independentes distribuídos uniformemente no intervalo [0, 2π].
7.3 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA REGIÃO ADJACENTE À FALHA
SÍSMICA
Conforme se observa na formulação apresentada no item 7.2, para simular um campo
aleatório é necessário conhecer a função de autocorrelação ou a densidade espectral de
potência do processo que está sendo modelado. Desta forma, adotou-se como função de
autocorrelação para a geração do campo aleatório bidimens
stático, a função sugerida por Shinozuka e Deodatis (1996), expressa por:
ional do coeficiente de atrito
e
2
2
()
2
00
b
2
⎟
⎟
⎠
⎞
ξ
⎜
⎜
⎛
−
lo d ung, adotou-se para a função de autocorre
2
1
1
b
21ff
e,R
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎝
ξ
σ=ξξ
(7.19)
E para simular os campos estocásticos tridimensionais da massa específica e do
módu e Yo lação a seguinte expressão:
()
2
3
⎟
⎞
⎜
⎛
ξ
3
2
2
2
2
1
1
000
bbb
2
321fff
e,,R
⎟
⎠
⎜
⎝
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ξ
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ξ
−
σ=ξξξ
σ o desvio padrão e b
1
, b
2
, e b
3
parâmetros proporcionais ao comprimento de
correlação nas direções x , x
2
e x
3
, respectivamente.
Para obter a densidade espectral d
Fourier da funçã correlação
bidimensional do coeficiente de atrito estático tem-se:
(7.20)
Sendo
1
e potência dos campos, calcula-se a transformada de
o de auto de cada um dos campos. Para o campo estocástico
()
(
)
()
21
i
bb
2
2
ddee
2211
21
ξξσ
π
∫∫
∞− ∞−
ξκ+ξ−
⎠⎠⎝
(7.21)
21ff
2
1
,S
00
=κκ
∞ ∞
κ
⎟
⎟
⎜
⎜
⎝
−
⎟
⎟
⎜
⎜
−
tanto,
2
2
2
1
⎞⎛
ξ
⎞⎛
ξ
Por
()
2
22
2
11
b
⎜
⎛
−
⎟
⎞
κ
00
22
b
21
2
21ff
e
4
bb
,S
⎟
⎠
⎞
⎝
κ
⎠
⎜
⎝
⎛
−
π
σ=κκ
(7.22)
De forma análoga, para os campos aleatórios tridimensionais da massa específica e do
módulo de Young, tem-se:
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
173
()
()
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
⎟
⎟
⎞
⎜
⎛
ξ
−
⎟
⎞
⎜
⎛
ξ
−
⎟
⎞
⎜
⎛
ξ
−
2
3
2
2
2
1
⎠
⎜
⎝
⎟
⎠
⎜
⎝
⎟
⎠
⎜
⎝
σ
π
=κκκ
321
000
bbb
2
3
321fff
e
2
1
,,S
(
)
321
i
ddde
332211
ξξξ
ξκ+ξκ+ξκ−
(7.23)
Portanto,
()
2
33
2
22
2
11
000
2
b
2
b
2
b
23
321
2
321fff
e
8
bbb
,,S
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
κ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
κ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
κ
−
π
σ=κκκ
(7.24)
O comprimento de correlação dos campos aleatórios pode ser determinado através da
função de autocorrelação de cada um
dos campos, como segue:
Para o campo estocástico bidimensional:
()
()
0,0R
00
ff
0
(7.25)
dd,R
A
00
0
2121ff
corr
∫∫
∞∞
ξξξξ
=
2
corr
A
σ
(7.26)
0
21
0
22
σ
=
∫∫
∞∞
bb
2
dde
2
2
1
1
ξξ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ξ
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ξ
−
4
bb
A
21
corr
π
=
(7.27)
Para b
1
= b
2
= b, o comprimento de correlação pode ser obtido fazendo-se a raiz
quadrada da área de correlação, logo:
2
Para o campo estocástico tridimensional:
b
L
corr
π
=
(7.28)
()
()
0,0,0R
ddd,,R
V
000
000
fff
3
00
21
0
321fff
corr
ξξξξξξ
=
∫∫∫
∞∞∞
(7.29)
2
3
00
21
0
bbb
2
corr
ddde
V
2
3
3
2
2
2
2
1
1
σ
ξξξσ
=
∫∫∫
∞∞∞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ξ
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ξ
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ξ
−
(7.30)
8
bbb
V
23
321
corr
π
=
(7.31)
Para b
1
= b
2
= b
3
= b, o comprimento de correlação pode ser obtido fazendo-se a raiz
lume de correlação, logo:
cúbica do vo
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
174
2
b
L
π
=
(7.32)
corr
O critério apresentado na equação (7.14) é usado para determinar os limites de corte
dos números de onda:
Para o campo estocástico bidimensional:
=κκ
π
σ
∫∫
κ−
⎠⎝⎠⎝
21
0
22
21
2
dde
4
u1u2
u2
()
κκ
⎟
⎞
⎜
⎛
κ
−
⎟
⎞
⎜
⎛
κ
−
bb
bb
2
22
2
11
21
0
2
b
2
b
21
2
dde
4
bb
1
2
22
2
11
κκ
π
σε−
∫∫
∞∞
tra-se:
∞−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
κ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
κ
−
(7.33)
Resolvendo a equação (7.33) para b
1
= b
2
= b e κ
1u
= κ
2u
= κ
u
, encon
()
21
u
1
2
b
erf ε−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
κ
(7.34)
()
[]
21
u
1erfinv
b
2
ε−=κ
(7.35)
Para o campo estocástico tridimensional:
=κκκ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
321
2
ddd
33
π
σ
∫∫ ∫
κκ
κ−
κ
κ−
κ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
κ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
κ
−
0
b
2
b
2
b
23
321
2
e
8
bbb
u1u2 u3
22
22
2
11
u2 u3
()
321
2
b
ddd
332
κκκ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
(7.36)
0
23
8π
∞− ∞−
Resolvendo a equação (7.36) para b
2
b
2
b
321
2
e
bbb
1
22
2
2
11
σε−
∫∫∫
∞∞ ∞
κ
⎜
⎝
⎛
κ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
κ
−
1
= b
2
= b
3
=b e κ
1u
= κ
2u
= κ
3u
= κ
u
, encontra-se:
()
31
u
1
b
erf ε−=
⎟
⎞
⎜
⎛
κ
2
⎠⎝
(7.37)
()
[]
31
u
1erfinv
b
2
ε−=κ
Com isso, podem-se calcular todos os parâmetros necessários para a geração dos
campos aleatórios. O modelo empregado p
smica com rochas não-homogêneas é o mesmo anterior, mostrado na Figura 6.4. As
proprie
do campo aleatório bidimensional para o coeficiente de atrito
estático.
(7.38)
ara a simulação numérica da região da falha
sí
dades da rocha granítica analisada são indicadas na Tabela 7.1. Na Figura 7.1
apresenta-se uma amostra
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
175
TABELA 7.1: Propriedades Admitidas para o Granito
Propriedade Valor
E(E) (valor esperado do módulo de Young) 7,5E10N/m
2
CV(E) (coeficiente de variação do módulo de Young) 25%
E(ρ
g
) (valor esperado da massa específica)
2700kg/m
3
CV(ρ
g
) (coeficiente de variação da massa específica)
25%
0,25
ν (coeficiente de Poisson)
E(µ
s
) (valor esperado do coeficiente de atrito estático) 1,0
CV(µ
s
) (coeficiente de variação do coeficiente de atrito) 25%
L
corr
(comprimento de correlação dos campos aleatórios) 25m
FIGURA 7.1: Am
Campo Aleatório do Coeficiente de Atrito
1.8
1.6
1.4
1.2
ostra para o Campo Aleatório do Coeficiente de Atrito Estático
0
50
100
150
200
250
0
10
20
30
40
50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
C
o
o
r
d
e
n
ad
a
Y
(
m
)
Co ente de Atritoefici
Coo
r
de
na
da
X
(
m
)
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
176
7.4 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO
na interface. Ambas as leis mais utilizadas em Sismologia, a lei de
variaçã eakening law”) e a lei de variação do atrito
com o deslizamento (“slip-weakening law”), são consideradas na micro-escala da interface.
Uma lei macro (ou global) é obtida relacionando o valor médio da resistência ao corte por
atrito com o valor médio da tensão normal na interface e os valores médios do deslocamento e
da velocidade tangenciais na interface. As tensões normal e
mesmas utilizadas anteriormente, mostradas nas Figuras 6.6 e 6.7, respectivamente.
7.4.1 Lei Micro de Varia
Nas análises seguintes adota-se com
com a velocidade apresentada no capítulo anterior, no gráfico da Figura 6.8. Adota-se um
coefici ite-se que o módulo de Young, a massa
específica e o coeficiente de atrito variam com as coordenadas espaciais como campos
aleatórios Gaussianos. Um coeficiente de variação de 25% e um comprimento de correlação
de 25m são adotados para todos os campos.
Além do caso homogêneo, são analisados mais quatro casos: o pr
a massa específica como um campo aleatório Gaussiano tridimensional, de valor médio igual
a 2700kg/m
todas as demais propriedade
como um campo aleatório Gaussiano tridimensional, de valor médio 7,5E10N/m
2
, coeficiente
de variação de 25% e compr
tes. O terceiro caso considera o coeficiente de atrito estático como um campo aleatório
Gaussiano b
mulados.
Os resultados obtidos para todos os quatro casos e mais o homogêneo são
apresentados nos gráficos seguintes. A Figura 7.2 mostra a evolução com o tempo da tensão
Nesta etapa, considera-se que o material é não-homogêneo, que não ocorre fratura e
que não há asperezas
o do atrito com a velocidade (“velocity-w
tangencial aplicadas são as
ção do Atrito com a Velocidade na Interface
o lei micro (ou local) a lei de variação do atrito
ente de atrito estático igual a 1,0 e adm
imeiro considerando
3
, coeficiente de variação igual a 25% e comprimento de correlação de 25m, e
s constantes. No segundo caso o módulo de Young é considerado
imento de correlação de 25m, e todas as demais propriedades
constan
idimensional, de valor médio 1,0, coeficiente de variação de 25% e comprimento
de correlação de 25m, e todas as demais propriedades constantes. Por fim, o último caso
analisado considera todas as três propriedades anteriores (massa específica, módulo de Young
e coeficiente de atrito) como campos aleatórios Gaussianos simultaneamente, com
coeficientes de variação de 25% e comprimentos de correlação de 25m para cada um dos três
campos si
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
177
tangencial média na superfície de falha. Pode ser observado que os campos aleatórios da
massa específica e do são tangencial média
em relação ao seu valo a homogênea. A Figura 7.3 mostra a
evolução c sup a para os
cinco caso ser observada de de que a
força de at ente volta a a ar no fim
do movim e diminui. Novamente o campo aleatório da massa
específica stência ao por atrito
média em ênea. As s 7.4, 7.5
7.6 mostram a evolução com o tempo do deslizamento, da velocidade de deslizamento e da
celeração médios na superfície de falha, respectivamente. As leis de variação do atrito com o
eslizamento macro (ou globais), as quais são uma relação entre a resistência ao corte por
atrito média na superfície de falha com o deslocamento médio na interface, resultantes para
cada um dos cinco casos podem ser vistas nos gráficos da Figura 7.7, apresentando uma forma
de banheira. Enquanto as leis macro de variação do atrito com a velocidade, as quais são uma
relação entre a resistência ao corte por atrito média na superfície de falha com a velocidade
média na interface, são mostradas nos gráficos da Figura 7.8. Como observado nesta figura, a
lei de atrito global é ainda similar à lei local adotada (Figura 6.8), mas a resistência ao corte
por atrito sofre uma redução devido ao fato do coeficiente de atrito ser considerado como um
campo aleatório.
FIGURA 7.2: Evolução com o Tempo da Tensão Tangencial Média na Interface
módulo de Young praticamente não alteram a ten
r quando a rocha é considerad
om o tempo da resistência ao corte por atrito média na erfície de falh
s analisados. Uma forma de banheira pode vido ao fato
rito diminui quando o deslizamento inicia e posteriorm ument
ento, quando a velocidad
e o do módulo de Young praticamente não alteram a resi corte
relação ao seu valor quando a rocha é considerada homog Figura
e
a
d
Tensão Tan
g
encial Média na Interface em Função do
Tempo
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
Tempo (s)
Tensão Tangencial Média
na Interface (N/m
2
)
CV_T odas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_Atrito=25%
CV_Todas=25%
-5,0E+03
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
178
Resistência ao Corte por Atrito Média na Interface em
Função do Tempo
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
sistência ao Corte por
ito Média na Interface
(N/m
2
)
CV_Todas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_Atrito=25%
CV_Todas=25%
0,0E+00
5,0E+03
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Re
Atr
Tempo (s)
FIGURA 7.3: Evolução com o Tempo da Resistência ao Corte por Atrito Média na Interface
Deslocamento Relativo Médio na Interface em Função
do T
empo
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Deslocamento Relativo
Médio na Interface (m)
CV_Todas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_Atrito=25%
CV_Todas=25%
FIGURA 7.4: Evolução com o Tempo do Deslizamento Médio na Interface
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
179
FIGURA 7.5: Evolução com o Tempo da Velocidade Média na Interface
FIGURA 7.6: Evolução com o Tempo da Aceleração Média na Interface
Velocidade Relativa Média na Interface em Função do
Tempo
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Velocidade Relativa
Média na Interface (m/s)
CV_T odas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_Atrito=25%
CV_Todas=25%
Aceleração Relativa Média na Interface em Função do
5,0
Tempo
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Aceleração Relativa
Média na Interface (m/s
2
)
CV_Todas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_Atrito=25%
CV_Todas=25%
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
180
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com o
Deslocamento Relativo Médio na Interface
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Deslocamento Relativo Médio na Interface (m)
Resistência ao Corte por
Atrito Média na Interface
(N/m
2
)
CV_T odas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_Atrito=25%
CV_Todas=25%
FIGURA 7.7: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslizamento
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com a
Velocidade Relativa Média na Interface
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Velocidade Relativa Média na Interface (m/s)
Resistência ao Corte por
Atrito Média na Interface
(N/m
2
)
CV_Todas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_Atrito=25%
CV_Todas=25%
F IGURA 7.8: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
181
7.4.2 Lei Micro de Variação do Atrito com o Deslizamento na Interface
As rela erface com o
eslizamento médio e com a velocidade média na interface são apresentadas nas Figuras 7.14
7.15, respectivamente. Pode ser observado que a lei macro que expressa a variação do atrito
com o deslizamento (Figura 7.14) é ainda similar à lei local adotada (Figura 6.16), mas a
FIGURA 7.9: Evolução com o Tempo da Tensão Tangencial Média na Interface
A segunda relação constitutiva micro (ou local) empregada na análise dinâmica da
região da falha é a lei de variação do atrito com o deslizamento, da Figura 6.16. São
analisados os mesmos quatro casos apresentados no item 7.4.1 e mais o caso em que todas as
propriedades são constantes. A evolução com o tempo da tensão tangencial média na
interface, da resistência ao corte por atrito média na interface, do deslizamento tangencial
médio na interface, da velocidade e da aceleração tangenciais médias na interface é mostrada
nas Figuras 7.9, 7.10, 7.11, 7.12 e 7.13, respectivamente. Mais uma vez, as curvas são
similares às curvas obtidas considerando a lei micro de variação do atrito com a velocidade
mostrada anteriormente. Da mesma forma que ocorreu quando se considerou a lei de variação
do atrito com a velocidade como lei local, as relações constitutivas macro, quando é
considerada a lei micro de variação do atrito com o deslizamento, também não sofrem
alterações devido aos campos aleatórios da massa específica e do módulo de Young.
ções globais entre a resistência ao corte por atrito média na int
d
e
resistência ao corte por atrito sofre uma redução devido ao fato do coeficiente de atrito ser
considerado como um campo aleatório.
Tensão Tangencial Média na Interface em Função do
Tempo
-1
Tempo (s)
,0E+04
-5,0E+03
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,55,0
Tensão Tangencial Média
na Interface (N/m
2
)
CV_T odas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_Atrito=25%
CV_Todas=25%
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
182
Resistência ao Corte por Atrito Média na Interface em
Função do Tempo
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Resistência ao Corte por
Atrito Média na Interface
(N/m
2
)
CV_Todas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_Atrito=25%
CV_Todas=25%
FIGUR rface
F
IGURA 7.11: Evolução com o Tempo do Deslizamento Médio na Interface
A 7.10: Evolução com o Tempo da Resistência ao Corte por Atrito Média na Inte
Deslocamento Relativo Médio na Interface em Função
do Tempo
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Deslocamento Relativo
Médio na Interface (m)
CV_T odas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_At rito=25%
CV_Todas=25%
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
183
Velocidade Relativa Média na Interface em Função do
Tempo
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Velocidade Relativa
Média na Interface (m/s)
CV_T odas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_Atrito=25%
CV_Todas=25%
FIGURA 7.12: Evolução com o Tempo da Velocidade Média na Interface
FIGURA 7.13: Evolução com o Tempo da Aceleração Média na Interface
Aceleração Relativa Média na Interface em Função do
6,0
Tempo
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,55,0
Tempo (s)
Aceleração Relativa
Média na Interface (m/s
2
)
CV_Todas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_Atrito=25%
CV_Todas=25%
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
184
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com o
Deslocamento Relativo Médio na Interface
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Deslocamento Relativo Médio na Interface (m)
Resistência ao Corte por
Atrito Média na Interface
(N/m
2
)
CV_T odas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_Atrito=25%
CV_Todas=25%
FIGURA 7.14: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslizamento
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com a
Velocidade Relativa Média na Interface
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Velocidade Relativa Média na Interface (m/s)
Resistência ao Corte por
Atrito Média na Interface
(N/m
2
)
CV_T odas=0%
CV_Massa=25%
CV_Young=25%
CV_Atrito=25%
CV_Todas=25%
FIGURA 7.15: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
185
7.5 RELAÇÕES CONSTITUTIVAS PARA A FALHA CONSIDERANDO
NÃO-HOMOGENEIDADES
Da mesma forma que realizado para os casos analisados no capítulo anterior, as
relações constitutivas macro para a falha sísmica são obtidas ajustando-se curvas aos
resultados numéricos. A primeira lei constitutiva micro (ou local) empregada foi a lei de
variação do atrito com a velocidade (Figura 6.8), descrita pela equação (7.40):
b
1
xc
be1
aστ
n
+
+
=
&
, (7.39)
na qual: a = µ
s
, b = 0,25 e c = -4,0, então:
25,01
x0,4
e25,01
σμτ
ns
+
−
+
=
&
(7.40)
Os parâmetros das leis constitutivas macro (ou globais) ajustados às simulações
numéricas realizadas com as rochas não-homogêneas são indicados na Tabela 7.2. A Tabela
.3 apresenta os das leis
onstitutivas globais ajustados por zonas. Tais zonas são as mesmas cinco regiões quadradas
adjacentes com lado igual a 50m apresentadas no capítulo 6. As leis constitutivas macro para
l
7 os valores médios e coeficientes de variação dos parâmetr
c
a falha relacionam a resistência ao corte por atrito média (τ) na interface com a tensão norma
média (σ
n
) e a velocidade de deslizamento média (
x
&
) na interface.
TABELA 7.2: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de Variação do Atrito
com a Velocidade como Lei Local e Rochas Não-homogêneas
Condição Parâmetros das Leis Constitutivas Globais
µ
s
= 1,0 CV_Massa = 25% a = 1,000 b = 0,251 c = -3,967
µ
s
= 1,0 CV_Young = 25% a = 0,999 b = 0,250 c = -3,978
µ
s
= 1,0 CV_Atrito = 25% a = 0,876 b = 0,249 c = -4,008
µ
s
= 1,0 CV_Todas = 25% a = 0,867 b = 0,250 c = -4,000
TABELA 7.3: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de Variação do Atrito
com a Velocidade como Lei Local e Rochas Não-homogêneas - Ajuste por Zonas
Condição Parâmetros das Leis Constitutivas Globais
µ
s
= 1,0 CV_Massa = 25% a
m
= 1,000 a
CV
= 0,00% b
m
= 0,249 b
CV
= 0,44% c
m
= -4,001 c
CV
= 0,74%
µ
s
= 1,0 CV_Young = 25% a
m
= 1,000 a
CV
= 0,04% b
m
= 0,250 b
CV
= 0,91% c
m
= -3,998 c
CV
= 2,07%
µ
s
= 1,0 CV_Atrito = 25% a
m
= 0,870 a
CV
= 16,3% b
m
= 0,250 b
CV
= 0,46% c
m
= -4,005 c
CV
= 1,08%
µ
s
= 1,0 CV_T c
CV
= 1,60%odas = 25% a
m
= 0,864 a
CV
= 17,3% b
m
= 0,251 b
CV
= 0,98% c
m
= -4,000
A segunda lei constitutiva micro utilizada nas análises foi a lei de variação do atrito
com o deslizamento (Figura 6.16), representada pela equação (7.42):
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
186
()
b
x
aσ8,0aσaστ
nnn
−−=
, (7.41)
na qual: a = µ
s
e b = D
0
= 0,50, conduzindo à seguinte expressão:
()
5,0
x
σ8,0σστ
nsnsns
μ−μ−μ=
(7.42)
Os parâmetros das leis constitutivas macro ajustados aos resultados das simulações
numéricas considerando rochas não-homogêneas são indicados na Tabela 7.4. A Tabela 7.5
apresenta os valores médios e coeficientes de variação dos parâmetros das leis constitutivas
globais ajustados para as mesmas 5 zonas na interface dos blocos descritas anteriormente. As
leis constitutivas macro para a falha relacionam a resistência ao corte por atrito média (τ) na
interface com a tensão normal média (σ
n
) e o deslizamento médio (x) na interface.
TABELA 7.4: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de Variação do Atrito
com o Deslizamento como Lei Local e Rochas Não-homogêneas
Condição Parâmetros das Leis Constitutivas Globais
µ
s
= 1,0 CV_Massa = 25% a = 1,000 b = 0,501
µ
s
= 1,0 CV_Young = 25% a = 1,000 b = 0,500
µ
s
= 1,0 CV_Atrito = 25% a = 0,876 b = 0,500
µ
s
= 1,0 CV_Todas = 25% a = 0,866 b = 0,501
TABELA 7.5: Parâmetros das Leis Constitutivas Globais Considerando a Lei de Variação do Atrito
com o Deslizamento como Lei Local e Rochas Não-homogêneas - Ajuste por Zonas
Condição Parâmetros das Leis Constitutivas Globais
µ
s
= 1,0 CV_Massa = 25% a
m
= 1,000 a
CV
= 0,00% b
m
= 0,501 b
CV
= 0,33%
µ
s
= 1,0 CV_Young = 25% a
m
= 1,000 a
CV
= 0,04% b
m
= 0,500 b
CV
= 0,49%
µ
s
= 1,0 CV_Atrito = 25% a
m
= 0,870 a
CV
= 16,3% b
m
= 0,500 b
CV
= 0,18%
µ
s
= 1,0 CV_Todas = 25% a
m
= 0,862 a
CV
= 17,4% b
m
= 0,505 b
CV
= 1,70%
Conforme Tabelas 7.2 a 7.5, os parâmetros das leis de atrito macro (Figuras 7.8 e
7.14), para os casos em que são considerados como propriedades aleatórias a massa específica
e o módulo de Young, permanecem praticamente iguais aos valores dos parâmetros das leis de
atrito micro (Figuras 6.8 e 6.16), significando que os campos estocásticos da massa específica
e do módulo de Young não causam um efeito de escala significativo. Entretanto, como pode
ser observado nos gráficos das Figuras 7.8 e 7.14 e também nas Tabelas 7.2 a 7.5, o campo
aleatório do istência ao
corte por atrito sofra uma queda, ou em outras palavras, o parâmetro “a” da equação sofre
uma variação de seu valor na equação micro (ou local) para a equação macro (ou global).
coeficiente de atrito causa um efeito de escala, fazendo com que a res
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
187
8 INFLUÊNCIA DE FRATURA NA VIZINHANÇA DA FALHA SÍSMICA
Neste capítulo amplia-se o programa desenvolvido para possibilitar a análise da
ocorrência de fratura nas proxi
resolver este problema. Para as duas principais leis constitutivas, são realizadas simulações da
falha s
Além da consideração da não-homogeneidade da rocha, outro fator que pode
in a
vizinhan orrência de
f m falhas próximas star enfraquecida
devido à exposição à intempérie e onde h ência de tensões
p edida que a profu ncipais tendem a
pressão, limitando a ocorrência de fratura.
A topo dos
blocos e os deslocamentos ou velocida a como a lei
c r
p e
rma simples, dispensando uma análise que efetivamente considere a fratura, pois esta já
estará e
nsiste apenas em reduzir
a energia específica de fratura (G
f
) das barras na vizinhança da falha sísmica para possibilitar
midades da falha sísmica. São propostos dois métodos para
ísmica permitindo a ocorrência de fratura através de cada um dos métodos sugeridos,
inicialmente admitindo que o material é homogêneo e posteriormente considerando a não-
homogeneidade da rocha.
8.1 JUSTIFICATIVA E MÉTODOS PROPOSTOS
fluenciar a lei constitutiva macro (ou global) da falha sísmica é a ocorrência de fraturas n
erfícies deslizantes
ça das sup (Riera
et al., 2005). A possibilidade de oc
raturas é mais provável e à superfície, onde a falha pode e
á mais probabilidade de ocorr
rincipais de tração. À m ndidade aumenta, as tensões pri
ser de com
idéia básica é encontrar uma relação global entre a tensão resultante no
des médios no topo, a qual poderá ser usad
onstitutiva micro na inte face em modelos que não permitam a consideração de fratura de
equena escala. Portanto, st nova lei já estará levando em conta os efeitos da fratura de uma a
fo
mbutida no critério constitutivo micro.
Com esse objetivo, dois métodos são adotados. O primeiro co
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
188
que ocorra fratura próxima à mes
algumas barras do modelo numérico, tornando quase zero a sua energia específica de fratura,
ia específica
de fratura das demais barras na vizinh
fraturas. Com estes métodos, um critério constitutivo macro, o qual leva em consideração a
fratura
indicadas
a Tabela 8.1.
ma. O segundo método consiste em enfraquecer inicialmente
para simular fraturas pré-existentes nestas barras. Em seguida diminui-se a energ
ança da falha, para possibilitar a ocorrência de novas
na vizinhança da falha sísmica, pode ser obtido.
8.2 APLICAÇÕES DOS MÉTODOS PROPOSTOS
O modelo empregado para as simulações seguintes é o mesmo utilizado nos capítulos
anteriores, mostrado na Figura 6.4. As propriedades da rocha granítica analisada são
n
TABELA 8.1: Propriedades Admitidas para o Granito
Propriedade Valor
E(E) (valor esperado do módulo de Young) 7,5E10N/m
2
CV(E) (coeficiente de variação do módulo de Yo 25%ung)
E(ρ
g
) (valor esperado da massa específica)
2700kg/m
3
CV(ρ
g
) (coeficiente de variação da massa específica)
25%
ν (coeficiente de Poisson)
0,25
E(μ
s
) ( ado do coeficiente d
1,0
valor esper e atrito estático)
CV(μ
s
) (coeficiente de variação do
25%
coeficiente de atrito estático)
L (comprimento de co
corr
rrelação do 25ms campos aleatórios)
E(G
f
) (valor esperado da energia es ,2E5N/mp cífica de f tura) 1e ra
CV(G
f
) (coeficiente de variação da energia específica de fratura) 25%
E(G
fe
) (valor esperado da energia específica de fratura - barras enfraquecidas) 3,2N/m
CV(G
fe
) (coeficiente variação energia específica fratura-barras enfraquecidas) 25%
E(G
fpf
) (valor esperado da energia específica de fratura - barras pré-fraturadas) 1E-10N/m
CV(G
fpf
) (coeficiente variação energia específica fratura-barras pré-fraturadas) 0%
Para o segundo método proposto, consideram-se duas possibilidades de disposição das
barras inicialmente fraturadas. Na Figura 8.1 mostra-se a primeira configuração aleatória de
barras pré-fraturadas (chamada disposição aleatória A), enquanto a Figura 8.2 apresenta uma
segunda disposição aleatória adotada (chamada disposição aleatória B).
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
189
FIGURA 8.1: Disposição Aleatória A das Barras Pré-fraturadas
FIGURA 8.2: Disposição Aleatória B das Barras Pré-fraturadas
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
190
8.3 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO
Nesta etapa, considera-se que pode ocorrer fratura na vizinhança da falha sísmica. São
consideradas como lei micro tanto a lei de variação do atrito com a velocidade quanto a lei de
variação do atrito com o deslizamento. Admite-se, inicialmente, que o material é homogêneo,
considerando posteriormente a não-homogeneidade do
material. A lei macro (ou global) é
btida relacionando o valor médio da tensão resultante no topo do bloco superior com o valor
e da velocidade tangenciais no
po. As tensões normal e tangencial aplicadas são as mesmas utilizadas nas simulações
anterio
ro de Variação do Atrito com a Velocidade na Interface
Nas análises se de variação do atrito
com a velocidade apresentada no gráfico da Figura 6.8. Inicialmente o
ogêneas (Figura
, a ocorrência de fraturas em alg
não altera a lei constitutiva macro. Isto é, a lei macro ob
FIGURA 8.3: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade (Rochas Homogêneas)
o
médio da tensão normal e os valores médios do deslocamento
to
res, mostradas nas Figuras 6.6 e 6.7, respectivamente.
8.3.1 Lei Mic
guintes adota-se como lei micro (ou local) a lei
capítulo 6, no adota-se
primeiro método proposto, ou seja, apenas reduz-se a energia específica de fratura das barras
am que, tanto para rochas hom
na vizinhança da falha. Os resultados mostr
8.3) quanto para rochas não-homogêneas (Figura 8.4) umas
barras do modelo numérico tida é
praticamente a mesma de quando não há fratura.
Relação da Tensão Resultante com a Velocidade
o
1,0E+04
1,5E+04
Tensão R
loco Supe
(Relativa + Fratura) Média no Top
3,5E+04
2,0E+04
esu
ri
2,5E+04
ltant
or (
3,0E+04
o
2
)
e n
N/m
Sem Fr at ura
Co
0,0E+00
5,0E+03
0,00,10,20,30,40,5
Velocidade (Relativa + Fratura) Média no Topo do Bloco Superior
(m/s)
B
m Fratura
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
191
Relação da Tensão Resultante com a Velocidade
(Relativa + Fratura) Média no Topo
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Velocidade (Relativa + Fratura) Média no Topo do Bloco Superior
(m/s)
Tensão Resultante no
Bloco Superior (N/m
2
)
Sem Fr at ura
Com Fratura
FIGURA 8.4: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade (Rochas Não-
Homogêneas)
Analisando o problema com o segundo método proposto, considerando a disposição
leatória A de barras enfraquecidas mostrada na Figura 8.1, obtêm-se os resultados
apresentados nos gráficos das figuras seguintes.
Para rochas homogêneas, as Figuras 8.5, 8.6, 8.7, 8.8 e 8.9 mostram a evolução com o
tempo da tensão tangencial média na interface, da resistência ao corte por atrito média na
interface, do deslizamento, da velocidade de deslizamento e da aceleração médios na
superfície de falha, respectivamente. A lei macro (ou global) de variação do atrito com o
deslizamento, a qual é uma relação da tensão resultante no topo do bloco superior com o
deslocamento médio no topo, pode ser vista no gráfico da Figura 8.10. Enquanto a lei macro
de variação do atrito com a velocidade, a qual é uma relação da tensão resultante no topo do
bloco superior com a velocidade média no topo, é mostrada no gráfico da Figura 8.11. Como
observado nesta lei sem fratura,
apresentando apenas algumas oscilações em torno da lei sem fratura. A disposição final das
barras fraturadas é mostrada na Figura 8.12, na qual as barras azuis são barras intactas e as
barras vermelhas são barras rompidas.
a
figura, a lei de atrito global com fratura é similar à
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
192
Tensão Tan
g
encial Média na Interface em Função do
Tempo
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
angencial Média
nterface (N/m
2
)
Sem Frat ur a
Com Frat ura
0,0E+00
Te
5,0E+03
nsão T
na I
-5,0E+03
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
FIGURA 8.5: Evolução com o Tempo da Tensão Tangencial Média na Interface
Resistência ao Corte por Atrito Média na Interface em
Função do T
empo
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Resistência ao Corte por
Atrito Média na Interface
(N/m
2
)
Sem Frat ur a
Com Frat ura
FIGURA 8.6: Evolução com o Tempo da Resistência ao Corte por Atrito Média na Interface
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
193
Deslocamento Relativo Médio na Interface em Função
do Tempo
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Deslocamento Relativo
Médio na Interface (m)
Sem Fr at ur a
Com Fratura
FIGURA 8.7: Evolução com o Tempo do Deslizamento Médio na Interface
Velocidade Relativa Média na Interface em Função do
0,40
0,45
s)
Tempo
0,50
FIGURA 8.8: Evolução com o Tempo da Velocidade Média na Interface
FIGURA 8.9: Evolução com o Tempo da Aceleração Média na Interface
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Veloc
Média n
0,20
0,25
0,30
0,35
idade Relativa
a Interface (m/
Sem Fr at ura
Com Fratura
Aceleração Relativa Média na Interface em Função do
Tempo
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,0 0,5 1,0 1,5
eração Relativa
na Interface (m/s
2
)
-4,0
-3,0
-2,0
2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Acel
Média
Sem Fr at ur a
Com Fratura
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
194
FIGURA 8.10: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslizamento
F
IGURA 8.11: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade
Relação da Tensão Resultante com o Deslocamento
0,0E+00
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Deslocamento (Relativo + Fratura) Médio no Topo do Bloco
Tensão Resultante no Bloco Superior (N/m
2
)
(Relativo + Fratura) Médio no Topo
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
Sem Fr at ur a
Com Fratura
Superior (m)
Relação da Tensão Resultante com a Velocidade
(Relativa + Fratura) Média no Topo
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
Velocidade (Relativa + Fratura) Média no Topo do Bloco Superior
(m/s)
Tensão Resultante no Bloco Superior (N/m
2
)
Sem Fr at ura
Com Fratura
0,0E+00
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
195
FIGURA 8.12: Disposição Final das Barras Fraturadas
Para rochas não-homogêneas, a Figura 8.13 mostra a lei macro de variação do atrito
com a velocidade, a qual é uma relação da tensão resultante no topo do bloco superior com a
velocidade média no topo. Como pode ser visto nesta figura, novamente a lei de atrito global
com fratura é muito similar à lei sem fratura, mostrando que a ocorrência de fratura não altera
consideravelmente a lei constitutiva global.
FIGURA 8.13: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade
Relação da Tensão Resultante com a Velocidade
(Relativa + Fratura) Média no Topo
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E 4
2,0E 4
2,5E+04
3,0E+04
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Velocidade (Relativa + Fratura) Média no Topo do Bloco Superior
(m/s)
Tensão Resultante no Bloco Superior (N/m
2
)
+0
Sem Fr at ur a
Com Fratura
+0
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
196
Considerando a disposição aleatória B de barras enfraquecidas, mostrada na Figura
8.2, obtêm-se resultados muito semelhantes aos apresentados para a disposição aleatória A de
barras enfraquecidas, tanto para rochas homogêneas quanto para rochas não-homogêneas. A
Figura 8.14 mostra a lei macro de variação do atrito com a velocidade para rochas
homogêneas. Mais uma vez, como observado nesta figura, a lei de atrito global com fratura é
similar à lei sem fratura, apresentando apenas algumas pequenas oscilações em torno da lei
sem fratura, o que mostra que a ocorrência de fratura nas proximidades da falha não altera
consideravelmente a lei constitutiva global.
FIGURA 8.14: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade
8.3.2 Lei Micro de Variação do Atrito com o Deslizamento na Interface
Todas as simulações também foram realizadas considerando como lei micro a lei de
variação do atrito com o deslizamento, apresentada na Figura 6.16, porém, novamente, como
ocorre quando é considerada a lei de variação do atrito com a velocidade como lei local, os
resultados mostram que não há grandes alterações da lei global quando a possibilidade de
fratura é levada em consideração.
Inicialmente adota-se o primeiro método proposto, ou seja, apenas reduz-se a energia
specífica de fratura das barras da vizinhança da falha. Os resultados mostram que, tanto para
Relação da Tensão Resultante com a Velocidade
(Relativa + Fratura) Média no Topo
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Velocidade (Relativa + Fratura) Média no Topo do Bloco Superior
(m/s)
Tensão Resultante no Bloco
Superior (N/m
2
)
Sem Fr at ur a
Com Fratura
1,5E+04
e
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
197
rochas hom algumas
barras do modelo numérico não altera a lei constitutiva macro. Isto é, a lei macro obtida é
praticamente a mesma de quando não há fratura. A Figura 8.15 mostra a lei macro (ou global)
obtida considerando as rochas homogêneas, a qual é uma relação da tensão resultante no topo
do bloco superior com o deslocamento médio no topo.
FIGURA 8.15: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslocamento
Analisando o problema com o segundo método proposto, considerando a disposição
aleatória A de barras enfraquecidas mostrada na Figura 8.1, obtêm-se resultados muito
semelhantes aos obtidos considerando a lei de variação do atrito com a velocidade como lei
local, tanto para rochas homogêneas quanto para rochas não-homogêneas. A Figura 8.16
mostra a lei macro (ou global) obtida considerando as rochas não-homogêneas, a qual é uma
relação da tensão resultante no topo do bloco superior com o deslocamento médio no topo.
ogêneas quanto para rochas não-homogêneas, a ocorrência de fraturas em
Relação da Tensão Resultante com o Deslocamento
(Relativo + Fratura) Médio no Topo
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Deslocamento (Relativo + Fratura) Médio no Topo do Bloco
Superior (m)
Tensão Resultante no Bloco
Superior (N/m
2
)
Sem Frat ura
Com Fratura
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
198
Relação da Tensão Resultante com o Deslocamento
(Relativo + Fratura) Médio no Topo
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
-0,1
Deslocamento (Relativo + Fratura) Médio no Topo do Bloco
Tensão Resultante no Bloco
Superior (N/m
2
)
Sem Frat ur a
Com Fratura
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Superior (m)
FIGURA 8.16: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslocamento
Da mesma forma que ocorre quando se considera a lei de variação do atrito com a
velocidade como lei local, o gráfico apresentado na Figura 8.16 mostra que a lei de atrito
global com fratura é similar à lei sem fratura
.
Considerando a disposição aleatória B de barras enfraquecidas, mostrada na Figura
8.2, obtêm-se resultados muito semelhantes aos apresentados para a disposição aleatória A de
barras enfraquecidas, tanto para rochas homogêneas quanto para rochas não-homogêneas. A
Figura 8.17 mostra a lei macro de variação do atrito com o deslizamento para rochas
homogêneas.
F
Relação da Tensão Resultante com o Deslocamento
(Relativo + Fratura) Médio no Topo
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Deslocamento (Relativo + Fratura) Médio no Topo do Bloco
Superior (m)
Tensão Resultante no Bloco
Superior (N/m
2
)
Sem Frat ur a
Com Frat ura
IGURA 8.17: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslocamento
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
199
Como observado na Figura 8.17, a lei de atrito global com fratura é similar à lei sem
fratura, apresentando apenas algumas pequenas oscilações em torno da lei sem fratura.
A disposição final das barras fraturadas, considerando o material homogêneo, é
apresentada na Figura 8.18, na qual as barras azuis são barras intactas e as barras vermelhas
são barras rompidas.
FIGURA 8.18: Disposição Final das Barras Fraturadas
Conforme apresentado nos gráficos das Figuras 8.3, 8.4, 8.10, 8.11, 8.13, 8.14, 8.15,
8.16 e 8.17, as leis de atrito macro que levam em conta a ocorrência de fratura, obtidas pelos
dois métodos sugeridos, tanto para os casos em que o material é homogêneo quanto para os
casos em que são consideradas não-homogeneidades e tanto para a lei de variação do atrito
com a velocidade como lei local quanto para a lei de variação do atrito com o deslizamento
como lei local, permanecem quase iguais às respectivas leis macro sem fratura, ocorrendo
apenas algu de fratura
as proximidades da falha sísmica não causa mudanças significativas no critério constitutivo
mas oscilações em torno da curva sem fratura. Portanto, a ocorrência
n
global.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
200
9 INFLUÊNCIA DA RUPTURA DE ASPEREZAS NA SUPERFÍCIE DA
FALHA SÍSMICA
O presente capítulo considera que, além de deslizamento, ocorre ruptura de algumas
micro-asperezas nas superfícies deslizantes por cisalhamento ou por cisalhamento e
compressão juntos. Determina-se um critério constitutivo macro que leve em consideração o
efeito conjunto de alguns pontos estarem deslizando e outros fraturarem durante um sismo.
Um método para resolver este problema é proposto.
9.1 JUSTIFICATIVA E MÉTODO PROPOSTO
Quando ocorre um sismo, os maciços de rocha deslizam um em relação ao outro. E
durante este processo de deslizamento pode ocorrer ruptura de micro-asperezas
(irregular e como a
ptura por cisalhamento e por cisalhamento e compressão de micro-asperezas (rugosidades)
nas sup
a
influência de restrição ao movimento vertical de dita superfície, que introduz esforços de
compressão no cubo. Estes testes permitiram determinar uma relação constitutiva por fratura
de amostras representativas das rugosidades da rocha. Foram realizadas várias simulações
para cada espécime cúbico, então um critério constitutivo médio pôde ser obtido,
relacionando a tensão tangencial com o deslocamento no topo do cubo, tanto para os casos
idades) nas superfícies deslizantes. Com isso, é muito importante o estudo d
ru
erfícies deslizantes no início do deslizamento afeta a lei constitutiva macro (ou global)
da falha sísmica (Miguel
et al., 2006a).
Para simular a ruptura por cisalhamento de micro-asperezas, testes numéricos de falha
por cisalhamento (e em alguns casos falha por cisalhamento e compressão) foram realizados
usando pequenas amostras cúbicas de rocha (Miguel
et al., 2006b). Determina-se a resposta
de elementos cúbicos engastados na base a esforços de cisalhamento na superfície oposta e
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
201
sem restrição vertical (sem compressão) quanto para os casos com restrição vertical (com
compressão). Nas Figuras 9.1 e 9.2 apresentam-se as relações constitutivas médias obtidas
para um cubo de 1m de aresta, sem restrição vertical e com restrição vertical,
respectivamente.
FIGURA 9.2: Critério Constitutivo para um Cubo de 1m de Aresta Com Restrição Vertical
FIGURA 9.1: Critério Constitutivo para um Cubo de 1m de Aresta Sem Restrição Vertical
Sem Restrição Vertical (Sem Compressão)
0,0E+00
2,0E+06
0,00 0,03 0,06 0,09 0,1
T
4,0E+06
8,0E+06
1,0E+07
1,2E+07
1,4E+07
1,6E+07
2 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27 0,30
ensão Tangencial (N/m
2
)
Cubo 1,0
6,0E+06
Deslocamento no Topo (m)
Com Restrição Vertical (Com Compressão)
0,0E+00
5,0E+06
1,0E+07
1,5E+07
2,0E+07
2,5E+07
3,0E+07
3,5E+07
4,0E+07
0,00 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27 0,30
Deslocamento no Topo (m)
Tensão Tangencial (N/m
2
)
Cubo 1,0
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
202
A seguir foi ajustada uma curva à parte descendente da relação constitutiva, a qual
corresponde à fratura. A lei obtida pelo procedimento descrito para as amostras cúb
icas é
conside
ente, são as leis locais consideradas em alguns nós da interface para
representar a fratura das micro-asperezas.
FIGURA 9.4: Critério Constitutivo Micro para a Fratura de Micro-Asperezas Com Restrição Vertical
rada como a lei constitutiva micro em alguns nós do modelo numérico da falha
sísmica. As leis ajustadas aos casos sem compressão e com compressão, ilustradas nas Figuras
9.3 e 9.4, respectivam
Sem Restrição Vertical (Sem Compressão)
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
Tensão Tangencial (N/m
2
)
Cubo 1,0
Ajuste
0,00 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27 0,30
Deslocamento no Topo (m)
FIGURA 9.3: Critério Constitutivo Micro para a Fratura de Micro-Asperezas Sem Restrição Vertical
Com Restrição Vertical (Com Compressão)
7,0E+04
8,0E+04
9,0E+04
1,0E+05
N/m
2
)
0,0E+00
1,0E+04
2,0E+04
3,0E+04
4,0E+04
5,0E+04
6,0E+04
0,00 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27 0,30
Deslocamento no Topo (m)
Tensão Tangencial (
Cubo 1,0
Ajuste
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
203
9.2 APLICAÇÕES DO MÉTODO PROPOSTO
O modelo empregado para as simulações seguintes é o mesmo utilizado nos capítulos
nteriores, mostrado na Figura 6.4. As propriedades da rocha granítica analisada são
sumidas na Tabela 9.1.
a
re
TABELA 9.1: Propriedades Admitidas para o Granito
Propriedade Valor
E (módulo de Young) 7,5E10N/m
2
ρ
g
(massa específica)
2700kg/m
3
ν (coeficiente de Poisson)
0,25
μ
s
(coeficiente de atrito estático)
1,0
esente a ruptura destas irregularidades.
endo que estas equações, mostradas nos gráficos das Figuras 9.3 e 9.4, podem ser expressas
or:
Deseja-se encontrar um critério constitutivo macro que leve em consideração a fratura
por cisalhamento e por cisalhamento e compressão de micro-asperezas (rugosidades) nas
superfícies deslizantes. Com esse objetivo, considera-se que alguns nós do modelo numérico
possuem uma equação constitutiva micro que repr
S
p
x1,35
e71,71
−
+
71,71+
Para o caso sem restrição vertical, ou seja, sem compressão e
4E98,2
t
τ =
(9.1)
1,441
x9,72
e1,441
4E41,9
t
τ
+
−
+
=
(9.2)
Para o caso com restrição vertical, ou seja, com compressão.
Além dos nós que fraturam no in
ício do deslizamento, os quais possuem uma equação
constit
utiva micro representada pelas expressões (9.1) ou (9.2), os demais nós da interface
estão deslizando e, portanto, apresentam como equação constitutiva micro a lei de variação do
atrito com a velocidade mostrada no capítulo 6, no gráfico da Figura 6.8.
A idéia básica é encontrar uma relação constitutiva global entre a resistência ao corte
por atrito média e a velocidade tangencial média na interface, a qual levará em conta a fratura
por cisalhamento e por cisalhamento e compressão de micro-asperezas da interface. Esta nova
lei dispensa uma análise que efetivamente considere a fratura no modelo (a qual deveria ser
realizada utilizando elementos muito menores que os elementos do modelo global), pois esta
já estará embutida no critério constitutivo micro.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
204
9.3 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO
Nesta etapa, considera-se que ocorre fratura no início do deslizamento de micro-
asperezas na super
fície da falha sísmica. São consideradas como lei micro a lei de variação do
trito com a velocidade para os nós que estão deslizando, a lei mostrada no gráfico da Figura
ite-se
que o m icro-
édio da
tensão no gencial
respectivam
de mi
por
cisalham pressão
(equação riação do
atrito que
asperezas fraturam por cisalhamento apenas e os outros 50% rompem por
ento e compressão e 90% dos nós estão deslizando de acordo com a lei de variação
do atrito com
50% destas em por
cisalham
50% de
me
acordo com
que
não há m
evolução co ostra
força fim
a
9.3 (equação 9.1) para os nós que rompem por cisalhamento e a lei apresentada no gráfico da
Figura 9.4 (equação 9.2) para os nós que rompem por cisalhamento e compressão. Adm
aterial é homogêneo e analisam-se quatro possibilidades da quantidade de m
asperezas, além da possibilidade de não haver micro-asperezas. A lei macro (ou global) é
obtida relacionando o valor médio da resistência ao corte por atrito com o valor m
rmal e da velocidade tangencial média na interface. As tensões normal e tan
aplicadas são as mesmas utilizadas nas simulações anteriores, mostradas nas Figuras 6.6 e 6.7,
ente.
Adota-se um coeficiente de atrito estático igual a 1,0 e analisam-se quatro percentuais
cro-asperezas fraturadas: primeiro considera-se que existem 5% de asperezas (5% dos
nós da interface do modelo numérico fraturam), sendo que 50% destas asperezas fraturam
ento apenas (equação 9.1) e os outros 50% rompem por cisalhamento e com
9.2) e os demais nós (95%) estão deslizando de acordo com a lei de va
com a velocidade. No segundo caso considera-se que há 10% de asperezas, sendo
50% destas
cisalham
a velocidade. O terceiro caso considera que há 30% de asperezas, sendo que
asperezas fraturam por cisalhamento apenas e os outros 50% romp
ento e compressão e 70% dos nós estão deslizando de acordo com a lei de variação
do atrito com a velocidade. Por fim, o quarto caso analisado é quando existem
asperezas, sendo que metade destas asperezas fratura por cisalhamento apenas e a outra
tade rompe por cisalhamento e compressão e os restantes 50% dos nós estão deslizando de
a lei de variação do atrito com a velocidade.
Os resultados obtidos para todos os quatro casos descritos e mais para o caso em
icro-asperezas são apresentados nos gráficos seguintes. A Figura 9.5 mostra a
m o tempo da tensão tangencial média na superfície de falha. A Figura 9.6 m
a evolução com o tempo da resistência ao corte por atrito média na superfície de falha para os
cinco casos analisados. Uma forma de banheira pode ser observada devido ao fato de que a
de atrito diminui quando o deslizamento inicia e posteriormente volta a aumentar no
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
205
do mov
mente. As leis macro (ou globais) de variação do
atrito com o deslizamento, as quais são uma relação entre a resistência ao corte por atrito
média na superfície de falha com o deslocamento médio na interface, resultantes para cada um
dos cinco casos podem ser vistas nos gráficos da Figura 9.10, apresentando uma forma
semelhante à lei de variação do atrito com o deslizamento, quando a quantidade de micro-
asperezas é considerável (mais de 10%). As leis macro de variação do atrito com a
velocidade, as quais são uma relação entre a resistência ao corte por atrito média na superfície
de falha com a velocidade média na interface, são mostradas nos gráficos da Figura 9.11.
Como observado nesta figura, a lei de atrito global pode ser representada por duas leis de
variação do atrito com a velocidade, uma para a parte em que a aceleração (
) é positiva e
outra para a parte em que a aceleração ( ) é negativa. Esta lei foi chamada lei modificada de
variação do atrito com a velocidade e parece ser a lei mais geral para representar o
deslizamento da falha sísmica. Esta nova lei é compatível com numerosos estudos que
sugerem que a lei de variação do atrito com a velocidade simétrica (lei tradicional) tende a
fato de alguns pesquisadores preferirem a lei de variação do atrito com o deslizamento em
detrimento à lei de variação do atrito com a velocidade.
imento, quando a velocidade diminui. Entretanto, este aumento no fim do movimento
não é tão acentuado quando a quantidade de micro-asperezas é considerável e este fato está de
acordo com vários pesquisadores que afirmam que a lei de variação do atrito com a
velocidade sobreestima o atrito no fim do movimento. As Figuras 9.7, 9.8 e 9.9 mostram a
evolução com o tempo do deslizamento, da velocidade de deslizamento e da aceleração
médios na superfície de falha, respectiva
x
&&
x
&&
sobreestimar as forças de atrito quando a velocidade diminui a zero. Além disso, explica o
Tensão Tan
g
encial Média na Interface em Função do
Tempo
-5,0E+03
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
4,0E+04
4,5E+04
5,0E+04
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Tensão Tangencial Média
na Interface (N/m
2
)
0%As p
5%As p
10%Asp
30%Asp
50%Asp
FIGURA 9.5: Evolução com o Tempo da Tensão Tangencial Média na Interface
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
206
Resistência ao Corte por Atrito Média na Interface em
0,0E+00
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
a ao Corte p
ia na Interf
/m
2
)
Função do Tempo
4,0E+04
4,5E+04
5,0E+04
or
ace
0%Asp
5%Asp
10%Asp
30%Asp
50%Asp
5,0E+03
A
1,0E+04
Resi
tri
1,5E+04
stê
to
2,0E+04
nci
Méd
(N
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
FIGURA 9.6: Evolução com o Tempo da Resistência ao Corte por Atrito Média na Interface
Deslocamento Relativo Médio na Interface em Função
do Tempo
0,5
0,6
0,9
1,0
5,0
esloc ento Rela
édi nterfac
0,7
0,8
tivo
e (m)
0%Asp
5%Asp
0,3
0,4
am
o na I
10%Asp
30%Asp
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Tempo (s)
D
M
50%Asp
FIGURA 9.7: Evolução com o Tempo do Deslizamento Médio na Interface
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
207
Velocidade Relativa Média na Interface em Função do
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo (s)
Tempo
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,0
Velocidade Relativa
Média na Interface (m/s)
0%Asp
5%Asp
10%Asp
30%Asp
50%Asp
FIGURA 9.8: Evolução com o Tempo da Velocidade Média na Interface
Aceleração Relativa Média na Interface em Função do
Tempo
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Aceleração Relativa
Média na Interface (m/s
2
)
Tempo (s)
0%Asp
5%Asp
10%Asp
30%Asp
50%Asp
FIGURA 9.9: Evolução com o Tempo da Aceleração Média na Interface
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
208
FIGURA 9.10: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com o Deslizamento
FIGURA 9.11: Lei Macro (ou Global) de Variação do Atrito com a Velocidade
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com o
Deslocamento Relativo Médio na Interface
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
4,0E+04
4,5E+04
5,0E+04
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Deslocamento Relativo Médio na Interface (m)
Resistência ao Corte por Atrito Média
na Interface (N/m
2
)
0%Asp
5%Asp
10%Asp
30%Asp
50%Asp
Relação da Resistência ao Corte por Atrito com a
Velocidade Relativa Média na Interface
4,5E+04
5,0E+04
édia
0,0E+00
5,0E+03
1,0E+04
1,5E+04
2,0E+04
2,5E+04
3,0E+04
3,5E+04
4,0E+04
-0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
Velocidade Relativa Média na Inte rface (m/s)
Resistência ao Corte por Atrito M
na Interface (N/m
2
)
0%Asp
5%Asp
10%Asp
30%Asp
50%Asp
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
209
Conforme apresentado nos gráficos da Figura 9.11, as leis de atrito macro (ou globais)
que levam em conta a ocorrência de fratura de micro-asperezas nas superfícies deslizantes
podem ser representadas pela lei modificada de variação do atrito com a velocidade. Como se
espera que a situação mais comum durante um sismo seja o deslizamento junto com ruptura
de micro-asperezas, conclui-se que a lei modificada de variação do atrito com a velocidade é a
lei mais ampla para representar o deslizamento com atrito da falha sísmica. Esta lei proposta é
compatível com numerosos estudos que sugerem que a lei de variação do atrito com a
velocidade simétrica (“velocity-weakening law”) tende a sobreestimar as forças de atrito
quando a velocidade diminui a zero. Além disso, também explica o fato de alguns
pesquisadores preferirem a lei de variação do atrito com o deslizamento em detrimento à lei
de variação do atrito com a velocidade.
Por exempl odificadas
de variação do atrito com a velocidade são mostradas nos gráficos da Figura 9.12.
FIGURA 9.12: Lei Modificada de Variação do Atrito com a Velocidade
Se
o, para os casos com 10% e 30% de micro-asperezas, as leis m
0x ≥
&&
⇒
0,531
x7,58
0,53e1
1,13μ
+
−
+
=
&
Se 0x
<
&&
⇒
0,251
x3,98
0,25e1
0,90μ
+
−
+
=
&
Se 0x ≥
&&
⇒
1,341
x8,80
1,34e1
1,35μ
+
−
+
=
&
Se 0x
<
&&
⇒
0,241
x4,0
0,24e1
0,71μ
+
−
+
=
&
Lei Modificada de Variação do Atrito com a Velocidade
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
Velocidade (m/s)
Coeficiente de Atrito
10% Asp
30% Asp
Se 0x ≥
&&
⇒
0,531
x7,58
0,53e1
1,13μ
+
−
+
=
&
Se 0x
<
&&
⇒
0,251
x3,98
0,25e1
0,90μ
+
−
+
=
&
Se 0x ≥
&&
⇒
1,341
x8,80
1,34e1
1,35μ
+
−
+
=
&
0,241
x4,0
0,24e1
0,71μ
+
−
+
=
&
Se 0x
<
&&
⇒
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
210
const ce é
ara efetuar uma análise dinâmica confiável.
Conforme apresentado no capítulo 1, a propagação da ruptura em uma falha é
Estan tivo para o
deslizamento com atrito ao longo da falha sísmica, nos capítulos 2 e 3 apresentaram-se
métodos para caracterizar as superfícies em contato. Descreveu-se como caracterizar perfis de
superfícies utilizando a Teoria de Campos Aleatórios e através da Teoria de Fractais. Dois
programas computacionais baseados na Teoria de Campos Aleatórios foram desenvolvidos na
linguagem Matlab para ilustrar como caracterizar as superfícies deslizantes.
10 CONCLUSÕES FINAIS E SUGESTÕES PARA FUTUROS
TRABALHOS
Apesar de ser um tema pouquíssimo ou praticamente não explorado no Brasil, de
caráter inovador, a dinâmica de propagação da ruptura durante terremotos é um dos assuntos
mais relevantes e complexos na computação da resposta em Sismologia. Um critério
itutivo para a falha que descreva corretamente a evolução das tensões na interfa
necessário p
controlada pelo atrito entre as superfícies em contato, ao invés de depender de propriedades
de um meio contínuo, como a energia específica de fratura. As propriedades da lei de atrito
entre os lados da falha controlam a iniciação, a propagação, e o término do deslizamento ao
longo da falha. Portanto, conclui-se que o estudo de uma lei constitutiva para o deslizamento
com atrito ao longo da falha sísmica constitui um tema de fundamental importância. O já bem
conhecido modelo de atrito de Coulomb fornece os conceitos básicos para o fenômeno do
atrito, entretanto, é claramente insuficiente para quantificar a relação entre a resultante de
tensões de cisalhamento na direção de propagação da ruptura e as variáveis cinemáticas
(deslizamento, velocidade de deslizamento) que caracterizam o movimento na superfície de
falha. Com isso, tornou-se necessário a utilização de modelos mais completos para o
deslizamento com atrito, comprovando a necessidade de estudos mais aprofundados a respeito
do assunto.
do ciente da importância da determinação de um critério constitu
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
211
No capítulo 4 apresentou-se uma revisão bibliográfica geral sobre critérios
constitutivos em deslizamento com atrito. Mostraram-se algumas leis constitutivas e fez-se
uma investigação dos efeitos de escala e possíveis soluções para o problema. Vários
resultados experimentais de laboratório em escala reduzida foram apresentados.
Dando continuidade ao iniciado no capítulo 4, no capítulo 5 restringiu-se o estudo de
critérios constitutivos à Sismologia. Iniciou-se com o critério constitutivo simples de
Coulomb, passando pelos modelos constitutivos de variação do atrito com o deslizamento
(“slip-weakening law”) e de variação do atrito com a velocidade de deslizamento (“velocity
ou rate-weakening law”), até chegar a critérios constitutivos mais complexos como o de
variação do atrito com o deslizamento e com a velocidade de deslizamento (“slip and velocity
weakening law”) e o critério dependente do deslizamento, da velocidade de deslizamento e do
tempo (“rate- and state-dependent friction law”). Os experimentos realizados previamente
entre sólidos metálicos evidenciaram uma lei de variação do atrito com a velocidade de
deslizamento. em dano nas
perfícies deslizantes. As críticas feitas aos critérios constitutivos mais utilizados em
ismologia mostraram que a lei de variação do atrito com o deslizamento, apesar de
amplamente utilizada, é formalmente incorreta. Mostrou-se que esta lei é válida apenas na
primeira metade do deslizamento, quando coincide com a lei de variação do atrito com a
velocidade, ma movimento, quando a velocidade diminui, a lei de variação
do atrito com o deslizam a as forças de atrito, tornando necessária a adoção de
hipóteses arbitrárias para expl ento, como a existência de um mecanismo
de frenagem (“arresting m
Depois de fornecida toda a base teórica, no capítulo 6 iniciou-se o processo numérico
de busca da relação constitutiva macro (ou global) da falha sísmica. Com esse objetivo, para
modelar uma região de falha sísmica foram desenvolvidas algumas sub-rotinas
implementando um programa computacional previamente desenvolvido na linguagem
Fortran. Admitiu-se inicialmente que as rochas eram elásticas, lineares e homogêneas e que
não ocorriam fraturas na vizinhança da falha e nem ruptura de micro-asperezas na interface.
Adotaram-se como leis micro na interface a lei de variação do atrito com a velocidade e a lei
de variação d Monte Carlo
apresentados mostraram que as relações constitutivas macro para a falha não apresentam um
efeito de escala, ou seja, permanecem praticamente invariantes quando comparadas às leis de
atrito micro, como já era esperado, visto que foi admitido que os blocos de rocha eram
elásticos e homogêneos e não ocorreu o movimento de aderência-deslizamento (“stick and
Concluiu-se que esta é a lei correta, quando não há fratura e n
su
S
s na parte final do
ento subestim
icar o fim do movim
echanism”).
o atrito com o deslizamento. Os resultados das simulações de
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
212
slip motion”). Estes casos também serviram como um controle de qualidade do programa
desenvolvido. Outra conclusão que pôde ser obtida foi que o critério constitutivo macro da
falha sísmica é independente da excitação.
No capítulo 7 acrescentou-se ao programa desenvolvido a possibilidade da
consideração da não-homogeneidade da rocha, admitindo que a massa específica, o módulo
de Young e o coeficiente de atrito eram campos aleatórios Gaussianos correlacionados. Os
parâmetros das leis de atrito macro, para os casos em que foram considerados como
propriedades aleatórias a massa específica e o módulo de Young, permaneceram praticamente
iguais aos valores dos parâmetros das leis de atrito micro, significando que os campos
estocásticos da massa específica e do módulo de Young não causam um efeito de escala
significativo. Entretanto, o campo aleatório do coeficiente de atrito causou um efeito de
escala, fazendo com que a resistência ao corte por atrito sofresse uma queda.
A possibilidade de ocorrência de fratura nas proximidades da falha sísmica foi
avaliada no capítulo 8. Concluiu-se que as leis de atrito macro que levam em conta a
ocorrência de fratura, obtidas pelos dois métodos propostos, tanto para os casos em que o
material é homogêneo quanto para os casos em que são consideradas não-homogeneidades e
nto para a lei de
variação do atrito com o deslizamento como lei local, permanecem quase iguais às respectivas
leis de atrito macro sem fratura, ocorrendo apenas algumas oscilações em torno da curva sem
fratura. Portanto, a ocorrência de fratura nas proximidades da falha sísmica não causa
mudanças significativas no critério constitutivo global.
Finalmente, no capítulo 9, considerou-se que, além de deslizamento, ocorre ruptura de
algumas micro-asperezas nas superfícies deslizantes por cisalhamento ou por cisalhamento e
compressão simultaneamente. Determinou-se um critério constitutivo macro que leva em
consideração o efeito conjunto de alguns pontos estarem deslizando e outros fraturarem
durante um sismo. Esta lei de atrito proposta nesta tese, que leva em conta a ocorrência de
fratura de micro-asperezas nas superfícies deslizantes, foi chamada lei modificada de variação
do atrito com a velocidade. Como se espera que a situação mais comum durante um sismo
seja o deslizamento ocorrendo em conjunto com ruptura de micro-asperezas, concluiu-se que
a lei modificada de variação do atrito com a velocidade é a lei mais geral para representar o
deslizamento com atrito ao longo da falha sísmica. Esta lei proposta neste trabalho é
compatível com numerosos estudos que sugerem que a lei de variação do atrito com a
velocidade simétrica (lei tradicional) tende a sobreestimar as forças de atrito quando a
velocidade quisadores
ta a lei de variação do atrito com a velocidade como lei local quanto para
diminui a zero. Além disso, também explica o fato de alguns pes
LETÍCIA FLECK FADEL MIGUEL ([email protected].br) - Tese de Doutorado - PPGEC/UFRGS, 2005
213
preferi
ade.
rem a lei de variação do atrito com o deslizamento em detrimento à lei de variação do
atrito com a velocidade.
De modo a dar continuidade a essa tese, algumas sugestões podem ser feitas, tais
como:
a) Realizar um estudo experimental, semelhante ao executado com os sólidos
metálicos apresentado no capítulo 5, porém considerando blocos de rocha e uma escala maior
a fim de confirmar experimentalmente o critério constitutivo proposto na presente tese.
b) Relacionar de forma objetiva as características das superfícies em contato, como o
valor r.m.s. da altura das rugosidades, com os parâmetros das leis constitutivas de atrito, tais
como o parâmetro D
0
da lei de variação do atrito com o deslizamento ou os parâmetros b e c
da lei de variação do atrito com a velocid
c) Utilizar e verificar a viabilidade da lei de atrito proposta nesta tese em outras áreas
que envolvam deslizamento com atrito.
Critério Constitutivo para o Deslizamento com Atrito ao Longo da Falha Sísmica
214
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