ads:
Universidade Federal de Uberl
ˆ
andia
Faculdade de Engenharia Qu
´
ımica
Programa de P
´
os-Gradua¸c
˜
ao
em Engenharia Qu
´
ımica
Contribui¸c˜ao `a Modelagem da Secagem em
Leito Deslizante Concorrente
Taisa Shimosakai de Lira
Uberlˆandia
2005
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Universidade Federal de Uberl
ˆ
andia
Faculdade de Engenharia Qu
´
ımica
Programa de P
´
os-Gradua¸c
˜
ao
em Engenharia Qu
´
ımica
Contribui¸c˜ao `a Modelagem da Secagem em
Leito Deslizante Concorrente
Taisa Shimosakai de Lira
Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Pro-
grama de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia
Qu´ımica da Universidade Federal de Uberlˆan-
dia como parte dos requisitos necess´arios `a
obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Engenharia
Qu´ımica.
´
Area de Concentra¸c˜ao: Desenvolvi-
mento de Processos Qu´ımicos.
Uberlˆandia
2005
ads:
Contribui¸c˜ao `a Modelagem da Secagem em
Leito Deslizante Concorrente
Disserta¸c˜ao de mestrado submetida ao corpo docente do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao
em Engenharia Qu´ımica da Universidade Federal de Uberlˆandia como parte dos requi-
sitos necess´arios para obten¸c˜ao do grau de mestre em Engenharia Qu´ımica.
Banca Examinadora
P rof. Dr. Adilson Jos´e de Assis
Orientador - PPG - FEQUI/UFU
P rof. Dr. Marcos Antˆonio de Souza Barrozo
Co-orientador - PPG - FEQUI/UFU
P rof
a
Dr
a
Val´eria Viana Murata
PPG - FEQUI/UFU
P rof. Dr. Carlos Alberto Severo Felipe
Pesquisador DCR/CNPq/SECTEC - UEG
Dedicat´oria
Aos meus pais, Roberto e Kayo, por sempre depositarem confian¸ca e incentivo; por
serem amigos, perseverantes, companheiros, batalhadores e exemplos de honestidade e
humildade.
`
A eles dedico este trabalho, por serem o motivo maior do meu viver e por
darem li¸c˜oes de vida, pois nos v´arios momentos dif´ıceis que passamos, eles carregaram
o fardo pesado com muita dignidade e persistˆencia, mostrando-nos que ´e preciso lutar
e ultrapassar os obst´aculos que a vida nos imp˜oe.
Ao Thiago pela constante compreens˜ao, apoio e amor a mim dedicados todos
os dias; pelos momentos dif´ıceis que abdicou de minha companhia e com paciˆencia
soube esperar por um minuto de aten¸c˜ao. Com carinho, amor e gratid˜ao dedico-lhe
este trabalho. Consegui trilhar esse caminho e gra¸cas ao seu incentivo alcancei meu
objetivo.
Aos meus queridos irm˜aos Tommaso, Tatiana, Tarita e Tˆamara pelo apoio e
carinho oferecidos em todos os momentos de minha vida e principalmente neste.
Agradecimentos
Aos Professores Adilson Jos´e de Assis e Marcos Antˆonio de Souza Barrozo pela
valiosa orienta¸c˜ao, confian¸ca e dedica¸c˜ao durante toda a realiza¸c˜ao deste trabalho, bem
como pela amizada cultivada.
Aos Professores Val´eria Viana Murata e Carlos Alberto Severo Felipe pela aten¸c˜ao
dispensada e opini˜oes relevantes na conclus˜ao deste trabalho.
Aos meus amigos D´ebora, Jos´e Gon¸calves, Vin´ıcius, Tatyana, Rafaela, Nath´alia
e Cynara pelos momentos de alegria, descontra¸c˜ao e serenidade ao longo de nossa
amizade.
`
A todos os professores e funcion´arios da FEQUI/UFU pelo grande apoio.
`
A CAPES pela concess˜ao de bolsa de estudo.
`
A todos aqueles que de alguma forma contribu´ıram para a realiza¸c˜ao deste tra-
balho.
SUM
´
ARIO
Lista de Figuras vi
Lista de Tabelas viii
Lista de S´ımbolos ix
Resumo xii
Abstract xiii
1 Introdu¸c˜ao 1
2 Revis˜ao Bibliogr´afica 4
2.1 Importˆancia da Secagem da Soja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 M´etodos de Secagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Fases da Secagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Secadores de Leito Deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Perfis Radiais de Porosidade e Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.1 Perfil de Porosidade Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.2 Perfil de Velocidade Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Sum´ario iv
2.6 An´alise de Sensibilidade de EADs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Planejamento de Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Modelo Matem´atico 19
3.1 Modelo Matem´atico do Secador Concorrente . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Transferˆencia Simultˆanea de Calor e Massa . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 Equa¸c˜oes para o Coeficiente de Transferˆencia de Calor, Umidade
de Equil´ıbrio e Cin´etica de Secagem . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Equa¸c˜oes para o Perfil Radial de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 Perfil de Porosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Perfil de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Resultados e Discuss˜ao 28
4.1 Estudo do Perfil Radial de Velocidade do Ar . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.1 Dados Experimentais e Perfis Simulados . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.2 Efeito do Perfil Radial de Velocidade do Ar no Modelo a Duas
Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 An´alise de Sensibilidade de Parˆametros F´ısico-Qu´ımicos . . . . . . . . . 34
4.2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.2 An´alise de Sensibilidade por Planejamento de Experimentos . . 35
4.2.3 An´alise de Sensibilidade por DASPK 3.0 . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Conclus˜oes e Sugest˜oes 44
5.1 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Sugest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Referˆencias Bibliogr´aficas 46
Sum´ario v
Apˆendices 50
Apˆendice A - Rotinas em Scilab das Equa¸c˜oes de Velocidade . . . . . . . . . 50
Apˆendice B - Descri¸c˜ao do Vetor INFO do DASPK 3.0 . . . . . . . . . . . . 57
Apˆendice C - Rotinas em FORTRAN da An´alise de Sensibilidade . . . . . . 59
LISTA DE FIGURAS
2.1 Curva t´ıpica de secagem (PARK et al., 2001). . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Configura¸c˜oes do leito deslizante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Unidade t´ıpica de secagem em leito deslizante e escoamentos concorrentes. 12
3.1 Esquema para escoamentos concorrentes em secador de leito deslizante. 20
3.2 Distribui¸c˜ao de porosidade radial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1 Perfis radiais de velocidade experimental e simulados (equac˜oes de Vort-
meyer e Schuster (1983) e de Fahien e Stankovich (1979)). . . . . . . . 29
4.2 Perfis radiais de velocidade experimental e simulados (equa¸c˜oes de John-
son e Kapner (1990) e de Fahien e Stankovich (1979). . . . . . . . . . . 30
4.3 Esquema do leito deslizante concorrente dividido em camadas concˆen-
tricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Perfis axiais de temperatura do ar (condi¸c˜oes operacionais: v
int
= 2, 0
m/s, T
f0
= 37, 0
o
C, T
s0
= 22, 4
o
C, M
0
= 0, 1581 Kg agua/Kg sol.
seco, W
0
= 0, 0030 Kg agua/Kg ar seco, G
f
= 8, 8210 × 10
−1
Kg/m
2
s,
G
s
= 2, 1075 × 10
−1
Kg/m
2
s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Perfis axiais de umidade das sementes (condi¸c˜oes operacionais: v
int
=
2, 0 m/s, T
f0
= 37, 0
o
C, T
s0
= 22, 4
o
C, M
0
= 0, 1581 Kg agua/Kg
sol . seco, W
0
= 0 , 0030 Kg agua/Kg ar seco, G
f
= 8 , 8210 × 10
−1
Kg/m
2
s, G
s
= 2, 1075 × 10
−1
Kg/m
2
s). . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Lista de Figuras vii
4.6 Perfis radiais de temperatura do ar simulados para as posi¸c˜oes axiais
x = 0,3 e 0,8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.7 Perfis de temperatura das sementes para a entalpia de vaporiza¸c˜ao da
´agua (λ) igual a 531 cal/g, 544 cal/g, 573 cal/g, 602 cal/g e 615 cal/g. 37
4.8 Perfis de temperatura das sementes para o calor espec´ıfico do ar seco
(Cp
f
) igual a 0, 23 cal /g
o
C, 0, 24 cal/g
o
C, 0, 25 cal/g
o
C, 0, 26 cal/g
o
C
e 0, 27 cal/g
o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.9 Perfis de umidade das sementes para a entalpia de vaporiza¸c˜ao da ´agua
(λ) igual a 531 cal/g, 544 cal/g, 573 cal /g, 602 cal/g e 615 cal/g. . . . 38
4.10 Perfis de umidade das sementes para o calor espec´ıfico do ar seco (Cp
f
)
iguais a 0, 23 cal/g
o
C, 0, 24 cal/g
o
C, 0, 25 cal/g
o
C, 0, 26 cal/g
o
C e 0, 27
cal /g
o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.11 Sensibilidade da umidade das sementes com rela¸c˜ao aos parˆametros Cp
f
,
Cp
v
, Cp
l
e λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.12 Sensibilidade da umidade das sementes com rela¸c˜ao aos parˆametros Cp
v
,
Cp
l
e λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.13 Sensibilidade da temperatura das sementes com rela¸c˜ao aos parˆametros
Cp
f
, Cp
v
, Cp
l
e λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.14 Sensibilidade da temperatura das sementes com rela¸c˜ao aos parˆametros
Cp
v
, Cp
l
e λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
LISTA DE TABELAS
2.1 Balan¸co mundial da soja (em mil toneladas) nos ´ultimos cinco anos,
segundo o United States Department of Agriculture (USDA). . . . . . . 5
2.2 Matriz de planejamento do tipo composto central com quatro fatores. . 17
4.1 Matriz do planejamento composto central para an´alise de sensibilidade 36
4.2 Resultados da an´alise de variˆancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Parˆametros f´ısico-qu´ımicos estudados na an´alise de sensibilidade por
DASPK 3.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
LISTA DE S
´
IMBOLOS
a - ´area interfacial de transferˆencia por unidade de volume do leito, L
−1
A
1
, A
2
, A
3
, B - parˆametros da Equa¸c˜ao 3.32
B
1
, a
1
, n, R
∗
- parˆametros da Equa¸c˜ao 3.21
Cp - calor espec´ıfico, L
−2
θ
−1
T
−2
d
p
- diˆametro da part´ıcula, L
d
T
- diˆametro do tubo, L
D
ef
- difusividade m´assica efetiva da ´agua no interior do gr˜ao, L
2
T
−1
f
m
- taxa lo cal de secagem por unidade de ´area, ML
−2
T
−1
G
f
- fluxo m´assico do g´as seco, ML
−2
T
−1
G
s
- fluxo m´assico do s´olido seco, ML
−2
T
−1
h - coeficiente de transferˆencia de calor, Mθ
−1
T
−3
k
f
- condutividade t´ermica do ar, MLθ
−1
T
−3
L - altura do leito, L
M - umidade do s´olido, massa de ´agua por massa de s´olido seco
M - umidade m´edia volum´etrica do s´olido, massa de ´agua por massa de s´olido seco
MR - adimensional de umidade, adimensional
Nu =
hd
p
k
f
- n´umero de Nusselt, adimensional
Lista de S´ımbolos x
P - press˜ao, ML
−1
T
−2
P
m
- fun¸c˜ao de permeabilidade, adimensional
P r =
µρCp
f
k
f
- n´umero de Prandtl, adimensional
r - coordenada radial, L
R - raio do tubo, L
Re =
G
s
d
p
µ
- n´umero de Reynolds, adimensional
R
p
- raio da part´ıcula, L
t - vari´avel tempo, T
T - temperatura, θ
u - componente axial da velocidade, LT
−1
UR - umidade relativa do ar, adimensional
v - componente radial da velocidade, LT
−1
v
z
- velocidade do fluido na dire¸c˜ao axial, LT
−1
v
m
- velocidade m´edia do fluido, LT
−1
x - coordenada da dire¸c˜ao do escoamento do s´olido, L
y - coordenada da dire¸c˜ao do escoamento do fluido, L
W - umidade absoluta do ar, massa de ´agua por massa de ar seco
S´ımbolos Gregos
α =
R
R
p
= δ =
d
T
d
p
- aspecto de raio, adimensional
ε - porosidade do leito, adimensional
λ - entalpia de vaporiza¸c˜ao da ´agua, L
2
T
−2
µ - viscosidade do ar, ML
−1
T
−1
ρ - densidade do ar, ML
−3
ρ
s
- densidade das sementes, ML
−3
Lista de S´ımbolos xi
φ - adimensional de velocidade radial, adimensional
ξ - adimensional de comprimento axial, adimensional
ζ - adimensional de comprimento radial, adimensional
ε
0
- porosidade m´edia do leito, adimensional
Sub-´ındices
eq - equil´ıbrio
f - fluido
int - intersticial
l - l´ıquido
s - s´olido
ref - referˆencia
v - vapor
0 - condi¸c˜ao de entrada
RESUMO
A modelagem da transferˆencia de calor e massa entre o ar e sementes de soja em
secadores de leito deslizante ´e baseada na aplica¸c˜ao das equa¸c˜oes de balan¸co de massa
e energia para as fases s´olida e fluida (modelo a duas fases). No desenvolvimento destas
equa¸c˜oes, algumas hip´oteses cl´assicas s˜ao assumidas, tais como perfil plano de veloci-
dade do ar e parˆametros f´ısico-qu´ımicos constantes ao longo do leito, dentre outras.
O principal objetivo desta disserta¸c˜ao foi discutir a validade destas considera¸c˜oes no
modelo do secador de leito deslizante com escoamentos concorrentes. Para tanto, di-
versas equa¸c˜oes de distribui¸c˜ao de porosidade do leito e de velocidade do fluido foram
consideradas e comparadas com dados experimentais. Este estudo verificou que perfis
n˜ao planos de velocidade do ar s˜ao significativos em leitos com raz˜ao d
T
/d
p
= 13, 3.
A equa¸c˜ao que melhor representou os dados experimentais foi a equa¸c˜ao de Fahien e
Stankovich (1979), sendo a mesma incorporada ao modelo a duas fases. Atrav´es de
compara¸c˜oes entre dados experimentais e respostas simuladas foi poss´ıvel verificar a
influˆencia significativa da distribui¸c˜ao da velocidade do ar no modelo de secagem. As
influˆencias de alguns parˆametros f´ısico-qu´ımicos do modelo tamb´em foram analisadas
atrav´es de estudos de sensibilidade por planejamento de experimento e pelo m´etodo
das derivadas usando o c´odigo DASPK 3.0. O modelo apresentou maior sensibilidade
absoluta `a perturba¸c˜ao do parˆametro calor espec´ıfico do ar seco (Cp
f
). Isto significa
ent˜ao que pequenas varia¸c˜oes no valor deste parˆametro tˆem forte influˆencia nos resul-
tados obtidos pelo modelo.
Palavras-chave: transferˆencia de calor e massa, sementes de soja, leito deslizante,
perfil radial de velocidade, an´alise de sensibilidade.
ABSTRACT
The modelling of heat and mass transfer between the air and soybean seeds in moving
bed dryers is based on the application of mass and energy balances equations for both
solid and fluid phases (two phases model). In the development of these equations,
some classic hypotheses are assumed, such as flat air velocity profiles and constant
physico-chemical parameter along the bed, among others. The main goal of this the-
sis was to discuss the validity of these assumptions in concurrent moving bed dryer
modelling. For so much, several equations of bed porosity and air velocity distribu-
tion were considered and compared with experimental data. This study verified that
non-flat fluid velocity profiles are significant in beds with reason d
T
/d
p
= 13, 3. The
equation that best represented the experimental data was the Fahien e Stankovich
(1979) equation. This equations was incorporated to the two phases mo del. Through
comparisons between the experimental data and the simulated responses it was pos-
sible to verify the significant influence of the air velocity distribution in the drying
process. The influences of some physico-chemical parameters of the mo del were also
analyzed through sensitivity studies using experiment design and derivative methods
using the code DASPK 3.0. The model presented large absolute sensitivity to the
perturbations of the parameter specific heat of the dry air (Cp
f
). This means then
that small variations in the value of this parameter have strong influence in the results
obtained by the model.
Keywords: heat and mass transfer, soybean seeds, moving bed, radial velocity profile,
sensitivity analysis.
CAP
´
ITULO 1
Introdu¸c˜ao
Os pro dutos granulares rec´em colhidos do campo apresentam, em geral, um teor de
umidade inadequado para a armazenagem segura, necessitando, portanto, de serem
submetidos a um processo de secagem. A escolha de um equipamento de secagem e
condi¸c˜oes operacionais adequados ´e de fundamental importˆancia para preserva¸c˜ao das
qualidades f´ısicas e fisiol´ogicas das sementes.
Os trabalhos relativos ao secador de leito deslizante tˆem despertado o interesse da
comunidade cient´ıfica nos ´ultimos anos. A literatura apresenta v´arios estudos sobre
este equipamento que v˜ao desde a an´alise de aspectos tecnol´ogicos at´e a modelagem e
simula¸c˜ao de processos. Na Faculdade de Engenharia Qu´ımica da Universidade Federal
de Uberlˆandia (FEQUI/UFU), os trabalhos com este tipo de secador foram iniciados
com o estudo da transferˆencia de calor e massa entre o ar e sementes de soja em leito
deslizante com escoamentos concorrentes (CELESTINO, 1998), vindo em seguida os
trabalhos ligados a an´alise da qualidade das sementes submetidas `a secagem (FELIPE,
1999; LACERDA, 2002) e o estudo fluidodinˆamico em leito deslizante contracorrente
(SOUZA, 2001).
A modelagem da transferˆencia de calor e massa em secadores de leito deslizante
´e realizada a partir da aplica¸c˜ao das equa¸c˜oes de balan¸co de massa e energia para
ambas as fases, s´olida e fluida. No desenvolvimento destas equa¸c˜oes, algumas hip´oteses
Cap´ıtulo 1 - Introdu¸c˜ao 2
cl´assicas s˜ao assumidas, tais como a considera¸c˜ao do perfil plano de velocidade do ar
e propriedades f´ısico-qu´ımicas constantes ao longo do leito, dentre outras.
Entretanto, uma caracter´ıstica peculiar que tem sido observada por v´arios au-
tores ´e que a estrutura de empacotamento de leitos ´e caracterizada por significativas
varia¸c˜oes na porosidade na dire¸c˜ao radial. Com as caracter´ısticas de escoamento do
fluido intimamente relacionadas com a varia¸c˜ao da porosidade e, portanto, definindo
o mecanismo de transferˆencia de calor e massa no leito, ´e f´acil verificar que a ado¸c˜ao
da hip´otese de perfil plano da velocidade do ar necessita ser revista em leitos com
baixa raz˜ao d
T
/d
p
. Al´em do perfil de velocidade do fluido, h´a uma outra suposi¸c˜ao
que poderia ter forte influˆencia nos resultados da simula¸c˜ao do modelo: parˆametros
f´ısico-qu´ımicos constantes ao longo do leito. Os valores de parˆametros contˆem, geral-
mente, erros e incertezas, e estas incertezas podem refletir diretamente na precis˜ao dos
resultados obtidos pelo modelo.
Embora a quest˜ao do perfil radial de velocidade do ar ser de pouca importˆan-
cia quando se leva em conta secadores industriais, dada a sua dimens˜ao com alta
raz˜ao d
T
/d
p
, o projeto destes ´e feito tendo como referˆencia parˆametros levantados em
secadores em escala piloto. O mesmo acontece com os parˆametros f´ısico-qu´ımicos do
modelo. Assim, o procedimento de aumento de escala (scale-up) ser´a influenciado por
parˆametros medidos nos quais as influˆencias aqui discutidas s˜ao impactantes. Como
conseq
¨
uˆencia, um mau dimensionamento poder´a levar a secadores com gasto inade-
quado de energia e com qualidade de produto indesejada.
Diante do contexto apresentado, o objetivo geral desta disserta¸c˜ao foi estudar a
transferˆencia de calor e massa entre o ar e sementes de soja em leito deslizante e
escoamentos concorrentes. Para tanto, teve-se como objetivos espec´ıficos discutir a
validade das considera¸c˜oes de perfil plano de velocidade do ar e parˆametros f´ısico-
qu´ımicos constantes ao longo do leito. Diversos modelos de distribui¸c˜ao de porosidade
e de velocidade do ar foram considerados e validados por dados experimentais. Foram
realizadas tamb´em an´alises de sensibilidade de parˆametros f´ısico-qu´ımicos por plane-
jamento de experimentos e por coeficientes de sensibilidade usando o c´odigo DASPK
3.0.
O Cap´ıtulo 2 faz uma abordagem inicial sobre a importˆancia e os fundamentos da
secagem da soja, al´em de uma revis˜ao sobre os secadores de leito deslizante de forma
geral, configura¸c˜oes e modelagem; em seguida, ´e feita uma breve introdu¸c˜ao sobre os
perfis radiais de porosidade e velocidade em leitos empacotados. Este cap´ıtulo aborda
Cap´ıtulo 1 - Introdu¸c˜ao 3
tamb´em a an´alise de sensibilidade atrav´es de coeficientes de sensibilidade absoluta e
planejamento de experimentos do tipo composto central.
O Cap´ıtulo 3 traz o desenvolvimento do modelo a duas fases para o leito deslizante
com escoamentos concorrentes, sendo as equa¸c˜oes para o coeficiente de transferˆencia
de calor, umidade de equil´ıbrio e cin´etica de secagem oriundas de estudos espec´ıficos
de Barrozo (1995) e Sartori (1986). Na seq
¨
uˆencia, s˜ao apresentadas as equa¸c˜oes que
foram utilizadas para representar o perfil radial de porosidade do leito e de velocidade
do ar.
O Cap´ıtulo 4 apresenta os resultados dos perfis de velocidade radial do ar, experi-
mentais e simulados, e o posterior estudo do efeito do perfil radial de velocidade do ar
no modelo a duas fases. Apresenta tamb´em os resultados dos estudos de sensibilidade
de parˆametros f´ısico-qu´ımicos por planejamento de experimentos e por coeficientes de
sensibilidade usando o c´odigo DASPK 3.0. E, finalmente, no Cap´ıtulo 5 s˜ao apresen-
tadas as conclus˜oes e sugest˜oes para trabalhos futuros.
CAP
´
ITULO 2
Revis˜ao Bibliogr´afica
2.1 Importˆancia da Secagem da Soja
Nos ´ultimos vinte anos foi surpreendente o desenvolvimento do complexo soja (soja e
seus derivados) em todo o planeta. Apesar da expressiva queda de pre¸cos internacionais
do gr˜ao e do aumento dos estoques mundiais no per´ıodo, a produ¸c˜ao global, da ordem
de 62 milh˜oes de toneladas no in´ıcio da d´ecada de 1980, atingiu o n´ıvel recorde de 197
milh˜oes de toneladas na safra de 2002/03. A Tabela 2.1 mostra o balan¸co mundial da
soja nos ´ultimos cinco anos. Esse aumento de produ¸c˜ao deveu-se `a elevada expans˜ao
da demanda nos principais pa´ıses consumidores do gr˜ao de soja e seus derivados. O
consumo, no mesmo per´ıodo, saltou de 68 milh˜oes para 190 milh˜oes de toneladas
(NETO, 2004).
Essa evolu¸c˜ao do complexo soja, antes restrita a poucos participantes do com´ercio
internacional, pode ser explicada, em boa parte, pela abertura comercial e a maior
intera¸c˜ao entre os mais diversos pa´ıses. Nesse per´ıodo, a presen¸ca da soja brasileira
fortaleceu-se e dever´a continuar fortalecendo-se no mercado mundial, tanto em termos
de produ¸c˜ao quanto de exporta¸c˜ao.
2.1. Importˆancia da Secagem da Soja 5
Tabela 2.1: Balan¸co mundial da soja (em mil toneladas) nos ´ultimos cinco anos, se-
gundo o United States Department of Agriculture (USDA).
Pa´ıses 1999/00 2000/01 2001/02 2002/03 2003/04
Produ¸c˜ao 159.941 175.231 184.907 197.314 189.120
Estados Unidos 72.224 75.055 78.672 75.010 65.796
Brasil 34.200 39.000 43.500 52.500 52.600
Argentina 21.200 27.800 30.000 35.500 34.000
China 14.290 15.400 15.410 16.510 16.000
´
India 5.200 5.250 5.400 4.000 6.800
Outros 12.827 12.726 11.925 13.794 13.924
Consumo 159.554 171.604 184.200 190.492 191.830
Estados Unidos 47.388 49.203 50.867 47.505 43.726
China 22.894 26.697 28.310 35.290 34.967
Brasil 22.910 24.690 26.911 29.761 32.845
Argentina 18.045 18.400 22.064 24.862 26.355
Uni˜ao Europ´eia-25 15.288 18.309 19.501 17.840 16.381
Outros 33.029 34.305 36.547 35.234 37.556
Importa¸c˜ao 45.986 53.122 54.261 62.794 55.592
China 10.100 13.245 10.385 21.417 16.900
Uni˜ao Europ´eia-25 14.129 17.448 18.369 16.824 15.591
Jap˜ao 4.907 4.767 5.023 5.087 4.900
M´exico 4.039 4.381 4.510 4.230 4.000
Taiwan 2.408 2.330 2.578 2.351 2.300
Outros 10.403 10.951 13.396 12.885 11.901
Exporta¸c˜ao 45.517 53.799 53.594 62.075 56.421
Estados Unidos 26.537 27.103 28.948 28.442 24.222
Brasil 11.161 15.470 15.000 20.129 19.500
Argentina 4.131 7.415 6.005 8.713 8.000
Paraguai 2.025 2.509 2.386 3.200 2.465
Canad´a 949 747 495 700 700
Outros 714 555 760 891 1.534
A agricultura brasileira est´a passando por grandes transforma¸c˜oes resultantes da
globaliza¸c˜ao da economia. S˜ao mudan¸cas not´aveis no sistema de produ¸c˜ao agr´ıcola e de
processamento agroindustrial das mat´erias-primas, associada `a utiliza¸c˜ao de modernas
ferramentas tecnol´ogicas em busca de maior produtividade, qualidade e rendimento
industrial. Mundialmente, os mercados agr´ıcolas est˜ao se tornando cada vez mais
exigentes quanto `a origem e qualidade de produtos vegetais, resultando em maior
competitividade entre os mercados tradicionais e no surgimento de novos.
2.1. Importˆancia da Secagem da Soja 6
A produ¸c˜ao de sementes ou gr˜aos de alta qualidade inicia-se no campo. A ´epoca
de colheita ´e crucial para reduzir as chances de haver deteriora¸c˜ao. As sementes ou
gr˜aos quando deixados no campo al´em do per´ıodo em que est˜ao prontos para ser
colhidos (umidade favor´avel `a debulha ou trilha mecˆanica), ficam sujeitos `a condi¸c˜oes
clim´aticas desfavor´aveis, tais como chuvas e orvalhos fortes que fazem variar a umidade
das sementes ou gr˜aos.
A colheita no momento certo e com os devidos cuidados ´e a chave para a pro-
du¸c˜ao de sementes ou gr˜aos de alta qualidade. Isto porque na colheita as sementes
ou gr˜aos est˜ao no m´aximo, ou pr´oximo do m´aximo, de qualidade fisiol´ogica e todas
as atividades subseq
¨
uentes, como secagem, beneficiamento e armazenamento, devem
ser projetadas para a manuten¸c˜ao do n´ıvel de qualidade estabelecido, ou inicial, at´e a
pr´oxima temporada de semeadura (BALDET; VILELA, 2000).
A secagem ´e um processo fundamental da tecnologia para a produ¸c˜ao de sementes
ou gr˜aos de alta qualidade. Al´em de preservar as sementes ou gr˜aos de altera¸c˜oes
f´ısicas e qu´ımicas induzidas pelo excesso de umidade, tornando poss´ıvel a manuten¸c˜ao
da qualidade inicial durante o armazenamento, tamb´em ´e importante no que concerne
`a produ¸c˜ao e comercializa¸c˜ao, uma vez que (ATHI
´
E et al., 1998):
• possibilita a antecipa¸c˜ao da colheita, reduzindo as perdas de campo ocasionadas
por intemp´eries, a¸c˜ao de insetos, roedores e p´assaros;
• propicia o planejamento da colheita e o emprego mais eficiente de maquin´ario e
m˜ao-de-obra;
• fornece condi¸c˜oes ao produtor de obter melhores pre¸cos na comercializa¸c˜ao du-
rante a entressafra, no caso de estar associada ao armazenamento;
• permite a forma¸c˜ao de esto ques reguladores de mercado;
• promove a valoriza¸c˜ao de pre¸co com a oferta de produtos de melhor qualidade,
no caso de gr˜aos, quanto `as caracter´ısticas organol´epticas e nutricionais;
• proporciona `as sementes alta porcentagem de germina¸c˜ao.
2.2. M´etodos de Secagem 7
2.2 M´etodos de Secagem
Existem diferentes m´etodos para se proceder a redu¸c˜ao do teor de umidade de sementes
ou gr˜aos que podem ser divididos, basicamente, em dois grupos: secagem natural e
secagem artificial.
A secagem natural consiste na exposi¸c˜ao das sementes ou gr˜aos ao sol, ou `a sombra,
em ambiente atmosf´erico relativamente seco, podendo ser feita em terreiros, encerados
ou tabuleiros. Tal processo tem como fator muito importante a possibilidade de ser
praticada com baixo investimento em recursos materiais, sendo usada principalmente
em pequenas propriedades rurais. Entretanto, ´e limitado pelas condi¸c˜oes meteorol´ogi-
cas que podem conduzir `a deteriora¸c˜ao do produto (CARVALHO; NAKAGAWA, 2000;
FREIRE; GUBULIN, 1990).
J´a secagem artificial ´e realizada em secadores, submetendo-se as sementes ou gr˜aos
`a a¸c˜ao de um fluxo de ar aquecido, ou n˜ao, promovendo a secagem num per´ıodo relati-
vamente curto. Os altos custos para aquisi¸c˜ao, implanta¸c˜ao e operacionaliza¸c˜ao destes
sistemas fazem com que os mesmos s´o se tornem economicamente vi´aveis quando se tra-
balha com grandes volumes de sementes ou gr˜aos. Este m´etodo permite o controle da
temperatura, do fluxo do ar de secagem e do tempo de exposi¸c˜ao das sementes ou gr˜aos
ao ar aquecido, fatores fundamentais para garantir a eficiˆencia do processo e obten¸c˜ao
de produtos com caracter´ısticas pr´e-estabelecidas (CARVALHO; NAKAGAWA, 2000;
FREIRE; GUBULIN, 1990).
2.3 Fases da Secagem
Na secagem, quando o produto ´e colocado em contato com o ar quente ocorre uma
transferˆencia de calor do ar para o produto, devido `a diferen¸ca de temperatura existente
entre eles. Simultaneamente, a diferen¸ca de press˜ao parcial de vapor d’´agua existente
entre o ar e a superf´ıcie do produto determina uma transferˆencia de massa para o
ar. Esta ´ultima, faz-se na forma de vapor d’´agua. Uma parte do calor que chega
ao produto ´e utilizada para vaporizar a ´agua e a outra para elevar a temperatura do
material (DAUDIN, 1983).
A evolu¸c˜ao destas transferˆencias simultˆaneas de calor e massa, no decorrer da
opera¸c˜ao de secagem, ocorre em trˆes per´ıodos, mostrados na Figura 2.1, onde s˜ao
2.3. Fases da Secagem 8
apresentadas as curvas de evolu¸c˜ao do teor de ´agua do produto (M), de sua tempera-
tura (T
s
) e da velocidade de secagem (dM/dt), tamb´em chamada de taxa de secagem,
ao longo do tempo.
Figura 2.1: Curva t´ıpica de secagem (PARK et al., 2001).
A curva (a) representa a redu¸c˜ao do teor de ´agua do produto durante a secagem. A
curva (b) representa a velocidade (taxa) de secagem do produto, ou seja, a varia¸c˜ao do
teor de umidade do produto por intervalo de tempo. A curva (c) representa a varia¸c˜ao
da temperatura do produto ao longo do per´ıodo de secagem.
O per´ıodo 0 representa o in´ıcio da secagem, com eleva¸c˜ao gradual da temperatura
do pro duto e da press˜ao de vapor. Essas eleva¸c˜oes tem prosseguimento at´e o ponto
em que a transferˆencia de calor seja equivalente `a transferˆencia de massa.
No per´ıodo 1 a taxa de secagem ´e constante. Durante este per´ıodo, a quantidade de
´agua dispon´ıvel dentro do produto ´e bem grande e a resistˆencia interna ao transporte de
umidade ´e bem menor do que a resistˆencia externa de remo¸c˜ao do vap or da superf´ıcie.
2.4. Secadores de Leito Deslizante 9
A press˜ao de vapor d’´agua na superf´ıcie ´e constante e igual `a press˜ao de vapor de
´agua pura `a temperatura do produto. A temperatura do produto, por sua vez, ´e
tamb´em constante e igual `a temperatura de bulbo ´umido, caracter´ıstica do fato de
que as transferˆencias de calor e de massa se compensam exatamente. A velocidade de
secagem ´e, por conseguinte, constante.
No per´ıo do 2 a taxa de secagem ´e decrescente. Desde o momento em que a ´agua
come¸ca a ser deficiente na superf´ıcie, a velocidade de secagem diminui. Durante este
per´ıodo, a tro ca de calor n˜ao ´e mais compensada, conseq
¨
uentemente, a temperatura
do produto aumenta e tende assintoticamente `a temperatura do ar. Durante todo
este per´ıodo, o fator limitante ´e a migra¸c˜ao interna de ´agua. No final deste per´ıodo o
produto estar´a em equil´ıbrio com o ar (M = M
eq
) e a velocidade de secagem ´e nula.
As leguminosas raramente apresentam o per´ıodo de secagem a taxa constante, a
menos que as mesmas sejam colhidas imaturas ou sofram algum processo de umidifi-
ca¸c˜ao excessiva. Isto posto, ´e de se esperar que os mecanismos internos de transferˆencia
de umidade tenham bastante relevˆancia na an´alise do processo de secagem.
2.4 Secadores de Leito Deslizante
Entre os secadores industriais, o secador de leito deslizante tem apresentado algumas
vantagens em rela¸c˜ao aos demais, tais como: menor investimento e baixo consumo de
energia, al´em de provocar menos inj´urias mecˆanicas `a semente (BARROZO, 1995). As
trˆes configura¸c˜oes cl´assicas s˜ao definidas de acordo com as dire¸c˜oes de escoamentos do
fluido e dos s´olidos, como mostra a Figura 2.2, podendo ser concorrentes, contracor-
rentes e cruzados.
Na secagem com escoamentos concorrentes, o fluido e os s´olidos escoam em dire¸c˜oes
paralelas e no mesmo sentido. Esta configura¸c˜ao apresenta maior aproveitamento do
calor transferido pelo g´as, resultando em um produto com temperatura relativamente
baixa que, com o aumento do tempo de residˆencia dos s´olidos, aproxima-se do valor de
equil´ıbrio termodinˆamico. Entretanto, ´e a configura¸c˜ao em que se verificam menores
taxas de transferˆencia de umidade (VALEN ¸CA; MASSARANI, 1996).
Na secagem com fluxos contracorrentes, ambas as fases, s´olida e fluida, apresentam
escoamentos paralelos, por´em em sentidos opostos. Neste tipo de configura¸c˜ao, ao con-
tr´ario do que ocorre nos fluxos concorrentes, o produto sai do secador com temperatura
2.4. Secadores de Leito Deslizante 10
alta, pr´oxima da temperatura de entrada do fluido. Contudo, ´e a configura¸c˜ao em que
se verificam as maiores taxas de redu¸c˜ao no teor de umidade dos s´olidos (VALEN ¸CA;
MASSARANI, 1996).
fluido fluido
fluido
sólido sólido sólido
ESCOAMENTOS
CONTRACORRENTES
CONCORRENTES
ESCOAMENTOS
ESCOAMENTOS
CRUZADOS
Figura 2.2: Configura¸c˜oes do leito deslizante.
No leito deslizante com fluxos cruzados, a dire¸c˜ao de escoamento dos s´olidos ´e
perpendicular `a dire¸c˜ao do escoamento do fluido. Este tipo de configura¸c˜ao causa uma
maior secagem e um maior aumento de temperatura nos s´olidos com os quais entra
em contato primeiro. O resultado ´e que ocorre uma supersecagem de um lado e uma
subsecagem de outro, do que pode resultar diferen¸ca significativa de conte´udo de ´agua
de um s´olido para outro ao final da secagem (CARVALHO, 1994).
A configura¸c˜ao com escoamentos cruzados apresenta como vantagem operacional
uma menor diferen¸ca de press˜ao imposta ao escoamento do ar, permitindo o uso de
sopradores de menor potˆencia. J´a os escoamentos com fluxos paralelos fornecem um
produto final mais homogˆeneo e proporcionam um melhor aproveitamento energ´etico
durante o processo (BARROZO, 1995; BARROZO; MURATA, 1996).
2.4. Secadores de Leito Deslizante 11
Na FEQUI/UFU, os trabalhos relativos aos leitos deslizantes concorrentes e con-
tracorrentes foram orientados pelo Professor Marcos Antˆonio de Souza Barrozo, sendo
que o mesmo estudou a configura¸c˜ao cruzada do leito. O primeiro trabalho foi o de
Celestino (1998) que adotou o mesmo modelo que foi utilizado neste trabalho e que
ser´a apresentado no pr´oximo cap´ıtulo. Os perfis simulados de temperatura do ar e dos
s´olidos e umidade dos s´olidos apresentaram a mesma tendˆencia dos dados experimen-
tais. O estudo fluidodinˆamico deste leito mostrou que o perfil de velocidade dos s´olidos
tem um t´ıpico comportamento empistonado, entretanto n˜ao foi poss´ıvel verificar a dis-
tribui¸c˜ao de velocidade do ar durante o escoamento dos s´olidos devido `a configura¸c˜ao
do equipamento.
O trabalho seguinte foi o de Felipe (1999) que estudou a influˆencia das principais
vari´aveis do processo de secagem em leito deslizante concorrente na qualidade das
sementes de soja. A qualidade das sementes foi analisada em termos dos ´ındices de
germina¸c˜ao, vigor e fissuras e as vari´aveis estudadas foram: velocidade, temperatura
e umidade relativa do ar e vaz˜ao dos s´olidos. Os melhores ´ındices de qualidade foram
obtidos com altos valores de umidade relativa do ar e baixos valores de temperatura e
velocidade do ar e vaz˜ao dos s´olidos.
J´a o estudo fluidodinˆamico realizado por Souza (2001) em leito deslizante contra-
corrente permitiu verificar que o perfil de velocidade do ar pode ser considerado plano
apenas quando a c´elula de secagem encontra-se vazia. Para a situa¸c˜ao em que as se-
mentes de soja escoam atrav´es da c´elula, as regi˜oes pr´oximas `a parede apresentaram
velocidades maiores. Verificou-se que este efeito ´e minimizado, ou seja, o perfil torna-
se mais plano, `a medida em que a velocidade do ar ´e elevada. Foi avaliado tamb´em
o efeito da velocidade do ar sobre as vari´aveis de secagem atrav´es de simula¸c˜oes do
processo. As simula¸c˜oes foram realizadas utilizando os valores das velocidades do ar
no centro e pr´oximo `a parede do leito, permitindo identificar diferen¸cas significativas
entre os valores finais de umidade dos s´olidos, o que representa a possibilidade do
compromentimento da homogeneidade do produto.
E por fim, o trabalho de Lacerda (2002) avaliou a influˆencia da temperatura,
velocidade e umidade do ar e vaz˜ao de s´olidos na qualidade das sementes de soja
submetidas a secagem em leito deslizante contracorrente. De forma geral, os melhores
´ındices (germina¸c˜ao, vigor e fissura) foram conseguidos em condi¸c˜oes que conduzem a
menores taxas de secagem, ou seja, menores temperatura e velocidade do ar, e maiores
umidades relativas do ar.
2.4. Secadores de Leito Deslizante 12
A Figura 2.3 mostra a unidade t´ıpica de secagem em leito deslizante com escoa-
mentos concorrentes utilizada nos trabalhos desenvolvidos na FEQUI/UFU, sendo a
diferen¸ca b´asica entre esta unidade e a unidade com escoamentos contracorrentes a
posi¸c˜ao de entrada da corrente de ar.
.
Figura 2.3: Unidade t´ıpica de secagem em leito deslizante e escoamentos concorrentes.
1 - Reservat´orio superior 7 - Reservat´orio inferior
2 - Equalizador de press˜ao 8 - Placa de orif´ıcio
3 - C´elula de secagem 9 - Bomba perist´altica
4 - Termopares 10 - Bico atomizador
5 - Controlador de velocidade 11 - Aquecedor el´etrico
6 - Esteira transportadora 12 - Soprador
2.5. Perfis Radiais de Porosidade e Velocidade 13
2.5 Perfis Radiais de Porosidade e Velocidade
2.5.1 Perfil de Porosidade Radial
A presen¸ca de uma parede limitando um leito de part´ıculas ocasiona modifica¸c˜oes no
mesmo. As part´ıculas pr´oximas `a parede da coluna adaptam-se `a mesma diferen-
temente do que ocorre com as part´ıculas que constituem o leito propriamente dito.
Isso ocasiona a forma¸c˜ao de duas regi˜oes distintas: uma bem definida, onde o car´ater
casual na disposi¸c˜ao das part´ıculas permanece e a influˆencia das paredes n˜ao ´e perce-
bida; e outra, de estrutura incerta, onde predomina a forma¸c˜ao de arranjos regulares,
denotando, assim, a influˆencia das paredes do recipiente (FREIRE; GUBULIN, 1986).
Muitos pesquisadores tˆem investigado o comportamento de part´ıculas empacotadas
na vizinhan¸ca de uma parede confinante, na tentativa de verificar uma rela¸c˜ao entre a
porosidade do leito com o grau de arranjo das part´ıculas, na dire¸c˜ao radial.
Furnas (1929) foi um dos precursores nos estudos relativos ao efeito de parede, cujo
trabalho baseou-se em observa¸c˜oes visuais do escoamento de ´agua em leitos de part´ıcu-
las envolvidos por colunas de material transparente. Estes experimentos levaram-no
a concluir que a permeabilidade do leito ´e maior nas regi˜oes pr´oximas `a parede da
coluna.
Graton e Fraser (1935) observaram a perda da homogeneidade no que se refere
`a disposi¸c˜ao das part´ıculas nas proximidades das paredes de uma coluna de recheio.
Desta forma, parˆametros b´asicos envolvidos em opera¸c˜oes de colunas de recheio, tais
como porosidade m´edia, porosidade, velocidade e temperatura, mostraram-se direta
ou indiretamente relacionados com a estrutura do leito de part´ıculas.
Leva e Grummer (1947) demonstraram que a porosidade de um leito depende das
dimens˜oes da coluna e que a porosidade m´edia aumenta com o decr´escimo da raz˜ao
entre diˆametro da coluna (d
T
) e o diˆametro das part´ıculas (d
p
). Tamb´em apresentaram
dados de porosidade m´edia em fun¸c˜ao da raz˜ao d
T
/d
p
para diversos tipos de recheio.
Os trabalhos de Roblee et al. (1958), Benenati e Brosilow (1962), Zotin (1985) e
Zotin et al. (1985), entre outros, praticamente definiram um comportamento geral do
perfil de porosidade radial para os principais tipos de recheio.
2.5. Perfis Radiais de Porosidade e Velocidade 14
Foi observado que part´ıculas de formato altamente regular, como esferas e cil´ındros
equil´ateros, apresentam um perfil de porosidade oscilat´orio amortecido indicando um
car´ater bastante ordenado das part´ıculas pr´oximo `a parede.
Os recheios nitidamente irregulares como selas de Berl e lascas, por outro lado,
proporcionam perfis praticamente uniformes, uma vez que sua geometria mascara a
ordena¸c˜ao que a parede tende a inserir no empacotamento das part´ıculas que lhe
avizinham. J´a os an´eis de Raschig, part´ıculas consideradas regulares, apresentam
perfis de porosidade uniforme, devendo-se `a sua regi˜ao oca esse perfil.
2.5.2 Perfil de Velocidade Radial
A porosidade vari´avel conduz a um n´umero de importantes efeitos, gerando uma par-
ticular distribui¸c˜ao do escoamento e a forma¸c˜ao de caminhos preferenciais, com a
ocorrˆencia de picos de velocidade na regi˜ao pr´oxima ao contorno externo.
Schwartz e Smith (1953), no estudo de percola¸c˜ao de gases em colunas de recheio,
verificaram um pico no perfil de velocidade a, aproximadamente, um diˆametro de
part´ıcula da parede do tubo. Essa observa¸c˜ao foi, de modo geral, tamb´em confirmada
por Morales et al. (1951), Cairns e Prausnitz (1959) e Fahien e Stankovich (1979),
dentres outros.
A dimens˜ao desse pico, segundo a maioria dos trabalhos citados, varia com a raz˜ao
d
T
/d
p
e com o tipo de recheio envolvido, chegando a atingir 100% acima do valor
registrado no centro do tubo, tomando-se por base leitos de part´ıculas regulares como
esferas e cilindros eq
¨
uil´ateros.
Entretanto, Marivoet et al. (1974) e Lerou e Froment (1977) discordam que o perfil
de velocidade obtido apresente um ´unico pico e, atrav´es de observa¸c˜oes experimentais,
afirmam que o mesmo ´e oscilante, lembrando o comportamento do perfil de porosidade.
Segundo Zotin e Freire (1986) da mesma forma que as perturba¸c˜oes na estrutura do
leito interferem nos perfis de velocidade, o mesmo ocorre com os perfis de temperatura.
Ent˜ao, de acordo com estes autores, ´e necess´ario analisar as conseq
¨
uˆencias das per-
turba¸c˜oes nos perfis de porosidade, velocidade e temperatura tanto na hidrodinˆamica
quanto nos fenˆomenos de transferˆencia de calor e massa.
2.6. An´alise de Sensibilidade de EADs 15
2.6 An´alise de Sensibilidade de EADs
Muitos problemas de engenharia s˜ao descritos por sistemas de equa¸c˜oes alg´ebrico-
diferenciais (EADs). Um sistema de EADs ´e caracterizado pelo seu ´ındice diferencial,
que ´e o n´umero m´ınimo de vezes que o sistema ´e diferenciado analiticamente com
rela¸c˜ao a vari´avel independente, at´e ser transformado por manipula¸c˜oes alg´ebricas
num sistema expl´ıcito de EDOs (equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias). O valor do ´ındice
diferencial est´a diretamente relacionado `as propriedades de convergˆencia dos m´etodos
num´ericos de solu¸c˜ao (MURATA, 1996).
O modelo a duas fases, utilizado para representar a secagem em leito deslizante,
juntamente com suas equa¸c˜oes constitutivas (coeficiente de transferˆencia de calor,
cin´etica de secagem e umidade de equil´ıbrio), ´e um exemplo de um sistema de EADs
de ´ındice diferencial zero.
A an´alise de sensibilidade de EADs pode ser usada para quantificar a magnitude da
dependˆencia das predi¸c˜oes do modelo a determinados parˆametros e condi¸c˜oes iniciais.
O sistema de EADs de um modelo pode ser representado pela equa¸c˜ao geral:
F (x, y, y
, p) = 0, y(0) = y
0
(2.1)
onde y ∈
n
y
e p ∈
n
p
. Aqui, n
y
e n
p
s˜ao a dimens˜ao e o n´umero de parˆametros
do sistema de EADs original, respectivamente. A an´alise de sensibilidade consiste em
encontrar a derivada do sistema em rela¸c˜ao a cada parˆametro de interesse:
∂F
∂y
s
i
+
∂F
∂y
s
i
+
∂F
∂p
i
= 0, i = 1, ..., n
p
, (2.2)
onde s
i
=
dy
dp
i
´e o coeficiente de sensibilidade absoluta. Isto produz n
s
= n
p
.n
y
equa¸c˜oes de sensibilidade adicionais, que juntamente com o sistema original, rende:
F =
F (x, y, y
, p)
∂F
∂y
s
1
+
∂F
∂y
s
1
+
∂F
∂p
1
.
.
.
∂F
∂y
s
n
p
+
∂F
∂y
s
n
p
+
∂F
∂p
n
p
= 0, Y (0) =
y
0
∂y
0
∂p
1
.
.
.
∂y
0
∂p
n
p
(2.3)
2.7. Planejamento de Experimentos 16
As equa¸c˜oes de sensibilidade podem ser resolvidas analiticamente se a equa¸c˜ao do
modelo tem solu¸c˜ao anal´ıtica conhecida. Infelizmente, isto raramente acontece e alguns
m´etodos num´ericos tˆem sido utilizados para aproximar as equa¸c˜oes de sensibilidade.
Dentre eles est˜ao o m´etodo diferencial direto (ATHERTON et al., 1975), o m´etodo
fun¸c˜ao de Green (HWANG et al., 1978), o m´etodo da aproxima¸c˜ao polinomial (HWANG,
1983) e o m´etodo de diferencia¸c˜ao autom´atica (HWANG et al., 1997).
2.7 Planejamento de Experimentos
A caracter´ıstica b´asica de um planejamento fatorial de experimentos ´e o estudo si-
multˆaneo de v´arios fatores em contrapartida da id´eia de variar um fator de cada vez.
Neste tipo de planejamento, a primeira coisa que se deve fazer ´e decidir quais s˜ao os
fatores e as respostas de interesse para o sistema em estudo. Os fatores, em geral,
s˜ao as vari´aveis que se p odem manipular. As respostas s˜ao as vari´aveis de sa´ıda do
sistema, nas quais estamos interessados, e que ser˜ao, ou n˜ao, afetadas por modifica¸c˜oes
provocadas nos fatores (BRUNS et al., 2003).
O planejamento composto central ´e uma classe de planejamento fatorial de primeira
ordem acrescido de alguns pontos que permitem a estimativa de coeficientes de segunda
ordem (MYERS, 1976). Os experimentos a serem realizados s˜ao organizados em uma
matriz de planejamento, onde os n´ıveis s˜ao representados numa forma codificada de
acordo com a seguinte equa¸c˜ao:
x
i
=
ϕ
i
− ϕ
(0)
(ϕ
(1)
− ϕ
(−1)
)/2
(2.4)
onde:
x
i
- valor da vari´avel codificada;
ϕ
i
- valor da vari´avel n˜ao codificada;
ϕ
(0)
- valor da vari´avel n˜ao codificada referente ao n´ıvel central;
ϕ
(1)
e ϕ
(−1)
- valores das vari´aveis n˜ao codificadas referentes aos n´ıveis 1 e −1.
2.7. Planejamento de Experimentos 17
O n´umero de experimentos a serem realizados ´e dado por:
N
T
= 2
k
+ 2k + n
2
(2.5)
onde N
T
´e o n´umero total de experimentos, k ´e o n´umero de vari´aveis em estudo e n
2
´e o n´umero de pontos no centro.
A Tabela 2.2 mostra como deve ser montada uma matriz de planejamento para
realiza¸c˜ao de um planejamento composto central com quatro fatores, sendo Y
i
as re-
spostas do experimento e α e −α os n´ıveis extremos escolhidos pelo pesquisador para
an´alise das vari´aveis.
Tabela 2.2: Matriz de planejamento do tipo composto central com quatro fatores.
x
1
x
2
x
3
x
4
Y
i
-1 -1 -1 -1 Y
1
1 -1 -1 -1 Y
2
-1 1 -1 -1 Y
3
1 1 -1 -1 Y
4
-1 -1 1 -1 Y
5
1 -1 1 -1 Y
6
-1 1 1 -1 Y
7
1 1 1 -1 Y
8
-1 -1 -1 1 Y
9
1 -1 -1 1 Y
10
-1 1 -1 1 Y
11
1 1 -1 1 Y
12
-1 -1 1 1 Y
13
1 -1 1 1 Y
14
-1 1 1 1 Y
15
1 1 1 1 Y
16
0 0 0 0 Y
17
0 0 0 0 Y
18
−α 0 0 0 Y
19
α 0 0 0 Y
20
0 −α 0 0 Y
21
0 α 0 0 Y
22
0 0 −α 0 Y
23
0 0 α 0 Y
24
0 0 0 −α Y
25
0 0 0 α Y
26
2.8. Conclus˜oes 18
Para que um planejamento composto central seja ortogonal ´e necess´ario que o valor
de α adotado pelo pesquisador torne a matriz de variˆancia e covariˆancia diagonal e os
parˆametros estimados, relativos aos efeitos, n˜ao correlacionados. Das Equa¸c˜oes (2.6)
e (2.7), ´e obtido o valor de α para um planejamento ortogonal (MYERS, 1976).
α =
QG
4
1
4
(2.6)
Q =
(G + T )
1
2
− G
1
2
2
(2.7)
onde G ´e o n´umero de pontos fatoriais (2
k
) e T ´e o n´umero de pontos adicionais no
pcc (2k + n
2
).
2.8 Conclus˜oes
Neste cap´ıtulo foi apresentada uma vis˜ao geral do processo de secagem, focando a
secagem em leito deslizante nas suas trˆes configura¸c˜oes cl´assicas. Foi realizada tam-
b´em uma revis˜ao dos principais trabalhos relativos ao estudo do perfil n˜ao plano de
velocidade do ar, assim como os dois principais m´etodos de an´alise de sensibilidade.
CAP
´
ITULO 3
Modelo Matem´atico
3.1 Modelo Matem´atico do Secador Concorrente
3.1.1 Transferˆencia Simultˆanea de Calor e Massa
A modelagem da transferˆencia de calor e massa em secadores de leito deslizante ´e
realizada a partir da aplica¸c˜ao das equa¸c˜oes de balan¸co de massa e energia para as
fases fluida e s´olida.
´
E o chamado modelo a duas fases em que se considera fase fluida
o ar e o vapor d’´agua, e fase s´olida a matriz seca e a ´agua l´ıquida. No estabelecimento
destas equa¸c˜oes, s˜ao assumidas as seguintes suposi¸c˜oes:
• regime permanente de opera¸c˜ao;
• escoamentos unidirecionais do g´as e do s´olido;
• difus˜ao interna ´e o mecanismo predominante na transferˆencia de massa;
• o encolhimento do gr˜ao ´e desprez´ıvel durante o processo de secagem;
• convec¸c˜ao ´e o mecanismo predominante na transferˆencia de calor;
• os gr˜aos tˆem velocidade uniforme;
3.1. Modelo Matem´atico do Secador Concorrente 20
• o g´as tem perfil plano de velocidade;
• propriedades f´ısico-qu´ımicas constantes ao longo do leito;
• perda de calor atrav´es do sistema ´e desprez´ıvel.
Considerando tais suposi¸c˜oes e a geometria cil´ındrica do leito, conforme as coorde-
nadas indicadas na Figura 3.1, as equa¸c˜oes de balan¸co de massa e energia para ambas
as fases podem ser escritas, para a configura¸c˜ao de escoamentos concorrentes, como:
fluidosólido
x
Figura 3.1: Esquema para escoamentos concorrentes em secador de leito deslizante.
a) Conserva¸c˜ao de massa
- Fase fluida
G
f
dW
dx
= f
m
a (3.1)
- Fase s´olida
G
s
dM
dx
= −f
m
a (3.2)
b) Conserva¸c˜ao de energia
- Fase fluida
dH
f
dx
= f
m
aH − ha(T
f
− T
s
) (3.3)
3.1. Modelo Matem´atico do Secador Concorrente 21
- Fase s´olida
dH
s
dx
= −f
m
aH + ha(T
f
− T
s
) (3.4)
A entalpia associada ao vapor da ´agua evaporada e as entalpias do fluido e do
s´olido podem ser expressas, respectivamente, por:
H = λ + Cp
v
(T
v
− T
ref
) (3.5)
H
f
= Cp
f
(T
f
− T
ref
) + W [λ + Cp
v
(T
v
− T
ref
)] (3.6)
H
s
= Cp
s
(T
s
− T
ref
) + MCp
l
(T
s
− T
ref
) (3.7)
Assumindo que a evapora¸c˜ao ocorra na temperatura do ar, ou seja, T
v
= T
f
(BROOKER et al., 1974), e substituindo as Equa¸c˜oes 3.5, 3.6 e 3.7 nas equa¸c˜oes de
balan¸co de energia, chega-se `as seguintes equa¸c˜oes:
dT
f
dx
= −
ha(T
f
− T
s
)
G
f
(Cp
f
+ W Cp
v
)
(3.8)
dT
s
dx
=
ha(T
f
− T
s
)
G
s
(Cp
s
+ MCp
l
)
−
f
m
a(λ + Cp
v
T
f
− Cp
l
T
s
)
G
s
(Cp
s
+ MCp
l
)
(3.9)
As temperaturas e umidades de ambas as fases s˜ao consideradas constantes na
entrada do leito (x = 0), resultando nas seguintes condi¸c˜oes de contorno:
W (0) = W
0
(3.10)
M(0) = M
0
(3.11)
T
f
(0) = T
f0
(3.12)
T
s
(0) = T
s0
(3.13)
3.1. Modelo Matem´atico do Secador Concorrente 22
3.1.2 Equa¸c˜oes para o Coeficiente de Transferˆencia de Calor,
Umidade de Equil´ıbrio e Cin´etica de Secagem
O coeficiente de transferˆencia de calor entre o ar e as sementes de soja em leito
deslizante concorrente ´e estimado usando a correla¸c˜ao proposta por Sartori (1986),
como segue:
Nu = 0, 84P r
1/3
Re
0,65
(3.14)
para 80 < Re < 900 e P r = 0, 72.
O teor de umidade das sementes de soja no equil´ıbrio ´e bem descrito pela equa¸c˜ao
de Halsey modificada com os parˆametros estimados pelos dados de equil´ıbrio obtidos
por Barrozo (1995), qual seja:
M
eq
=
−exp(−0, 00672T
s
+ 3, 02)
ln(UR)
1
1, 508
(3.15)
para M
eq
em base seca e T
s
em Celsius.
O modelo difusivo, representado pela Equa¸c˜ao (3.16), ´e usado para descrever a
cin´etica de secagem de sementes de soja:
MR =
M − M
eq
M
0
− M
eq
=
6
π
2
∞
n=1
1
n
2
exp
−n
2
π
2
D
ef
t
R
2
(3.16)
Baseado em dados experimentais obtidos na secagem de sementes de soja em ca-
mada fina, Barrozo (1995) estimou o coeficiente de difusividade efetiva D
ef
. A varia¸c˜ao
deste coeficiente com a temperatura ´e obtida pela reparametriza¸c˜ao da equa¸c˜ao de Ar-
rhenius, como mostra a Equa¸c˜ao (3.17).
D
ef
= exp(β)exp[−T
exp(γ)] (3.17)
onde T
= (1/T
f
−1/T
∗
), T
∗
= 273K, T
f
em Kelvin e D
ef
em cm
2
/min. Os parˆametros
β e γ, estimados pelo m´etdo dos m´ınimos quadrados, s˜ao -13,185 e 8,36, resp ectiva-
mente.
3.2. Equa¸c˜oes para o Perfil Radial de Velocidade 23
3.2 Equa¸c˜oes para o Perfil Radial de Velocidade
3.2.1 Perfil de Porosidade
No trabalho de Benenati e Brosilow (1962), realizado com esferas de 4 mm, verificou-se
que ocorre uma t´ıpica varia¸c˜ao oscilat´oria na porosidade na regi˜ao pr´oxima `a parede,
sendo proposta uma equa¸c˜ao emp´ırica que relaciona a porosidade com a distˆancia a
partir da parede e com a raz˜ao d
T
/d
p
.
ε = 0, 38 + 0, 62e
1,70x
0,434
cos(6, 67x
1,13
) (3.18)
onde x = (1 − ζ)δ/2 = n ´umero de d
p
a partir da parede, conforme mostrado na Figura
3.2. Observa-se que junto `a parede a porosidade tende a 1 e que o perfil radial da
mesma tem um comportamento oscilat´orio amortecido em dire¸c˜ao ao centro do tubo.
ε
Número de dp a partir da parede
0
1 2 3 4 5
1,000
0,875
0,750
0,625
0,500
0,375
0,250
0,125
0,000
Figura 3.2: Distribui¸c˜ao de porosidade radial.
J´a Vortmeyer e Schuster (1983), reportando-se a dados experimentais de terceiros,
mostraram que o p erfil de porosidade em tubos circulares oscila apenas duas vezes
quando o leito ´e constitu´ıdo por esferas com pequenos desvios da estrutura esf´erica,
adotando, neste caso, um perfil de porosidade aproximado por uma fun¸c˜ao exponencial
3.2. Equa¸c˜oes para o Perfil Radial de Velocidade 24
da forma:
ε = ε
o
1 + Cexp
1 − 2
R − r
d
p
(3.19)
sendo ε
o
a porosidade m´edia e C ajustado de acordo com ε
o
.
3.2.2 Perfil de Velocidade
Vortmeyer e Schuster (1983) reportam-se `a formula¸c˜ao diferencial proposta por Brink-
man (1947) que descreve o perfil de escoamento dentro de um meio poroso confinado
por uma parede r´ıgida. Embora Brinkman tenha feito seus desenvolvimentos uti-
lizando o regime de escoamento de Darcy, ampliando-o pela introdu¸c˜ao de um termo
de viscosidade a fim de incluir as for¸cas viscosas pr´oximas `a parede, posteriormente
este modelo foi estendido a vaz˜oes maiores pela incorpora¸c˜ao da equa¸c˜ao de Ergun
que prediz a queda de press˜ao ao longo do leito. Utilizando uma correla¸c˜ao emp´ırica
para predizer o perfil radial de porosidade na forma da Equa¸c˜ao (3.19), Vortmeyer
e Schuster (1983) propuseram uma solu¸c˜ao para o modelo de Brinkman estendido,
utilizando o m´etodo variacional, que consiste na transforma¸c˜ao do problema original
na forma diferencial para um problema na forma integral. A solu¸c˜ao anal´ıtica para o
perfil radial de velocidade ´e apresentada a seguir:
v
z
v
m
= B
1
1 − exp
a
1
R − r
d
p
1 − n
R − r
d
p
(3.20)
com:
B
1
=
1
2
R
∗2
R
∗2
2
−(a
1
R
∗
+1)(nR
∗
−1)
1
a
2
1
+n
R
∗2
a
1
+
2R
∗
a
2
1
+
2
a
3
1
−e
−a
1
R
∗
1
a
2
1
1−R
∗
n+n
2
a
1
−1
R
∗
=
R
d
p
, a
1
=
4n
4 − n
, Re =
G
f
d
p
µ
Se 0, 1 ≤ Re ≤ 1:
n = 112, 5 − 26, 31Re + 10, 97Re
2
− 0, 1804Re
3
Se 1 ≤ Re ≤ 1000:
n = −1803 + 201, 62(lnRe + 4) − 3737(lnRe + 4)
1
2
+ 5399(lnRe + 4)
1
3
Se Re > 1000:
n = 27
3.2. Equa¸c˜oes para o Perfil Radial de Velocidade 25
Uma outra abordagem tamb´em empregando a Equa¸c˜ao de Navier-Stokes, por´em
com algumas simplifica¸c˜oes a fim de se chegar a um modelo final mais simples, foi
apresentada por Johnson e Kapner (1990). Com as propriedades do fluido constantes
e um termo adicional, como sugerido por Brinkman (1947), a fim de considerar a
resistˆencia adicional do escoamento devido `a presen¸ca do empacotamento, a Equa¸c˜ao
de Navier-Stokes se reduz a:
ρ
D
˙
V
Dt
= −gradP + µ∇
2
V + ρg −
µ
˙
V
k
(3.21)
Ao se impor restri¸c˜oes de estado estacion´ario e simetria axial, o componente de
velocidade axial ´e dado por:
ρ
v
∂u
∂r
+ u
∂v
∂z
= −
∂P
∂z
+ µ
∂
2
u
∂r
2
+
1
r
∂u
∂r
+
∂
2
u
∂z
2
−
µ
k
u + ρg (3.22)
A equa¸c˜ao anterior pode ser linearizada assumindo que v
∂u
∂r
+u
∂v
∂z
possa ser escrito
como u(r, z) vezes uma fun¸c˜ao apenas de z:
v
∂u
∂r
+ u
∂v
∂z
=
µ
R
2
λ
2
(z)u(r, z) (3.23)
Quando o escoamento est´a completamente desenvolvido, λ
2
= 0. Assumindo que
−∂P
∂z
seja uma fun¸c˜ao somente de z e que o termo
∂
2
u
∂z
2
possa ser negligenciado, tem-se:
µ
R
2
λ
2
u = −
dP
dz
+ µ
∂
2
u
∂r
2
+
1
r
∂u
∂r
−
µ
k
u + ρg (3.24)
Introduzindo as vari´aveis adimensionais:
ζ =
r
R
=
r
R
p
δ
, ξ =
z
2R
p
onde: δ =
R
R
p
. Rearranjando:
∂
2
u
∂ζ
2
+
1
ζ
∂u
∂ζ
−
λ
2
+
R
2
p
δ
2
k
u =
R
p
δ
2
2µ
dP
dξ
−
ρgR
2
p
δ
2
µ
(3.25)
3.2. Equa¸c˜oes para o Perfil Radial de Velocidade 26
Pode-se observar que o lado direito da equa¸c˜ao acima ´e fun¸c˜ao apenas de ξ;
chamando este termo de γ(ξ), e ent˜ao intro duzindo a vari´avel escalonada φ =
u
γ
;
tamb´em definindo P
m
=
R
2
p
δ
2
k
como sendo a fun¸c˜ao de permeabilidade adimensional,
a equa¸c˜ao de velocidade axial se torna:
∂
2
φ
∂ζ
2
+
1
ζ
∂φ
∂ζ
− (λ
2
+ P
m
)φ = 1 (3.26)
com as condi¸c˜oes de contorno:
(i) aderˆencia na parede e simetria no centro
φ(1, ξ) =
∂φ
∂ζ
(0, ξ) = 0 (3.27)
(ii) distribui¸c˜ao inicial de velocidade
φ(ζ, 0) = φ
m
η + 1
η
(1 − ζ
2η
)
(3.28)
A solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao (3.26) juntamente com as condi¸c˜oes de contorno (Equa¸c˜oes
3.27 e 3.28) fornecer´a perfis de velocidade perpendiculares ao escoamento, no estado
estacion´ario. Para o caso particular de escoamento completamente estabelecido, ou
nenhuma dependˆencia com ξ, tem-se que λ
2
= 0. Neste caso, a forma do perfil de
velocidade ser´a dependente da velocidade m´edia, isto ´e, γ ´e uma constante. Assim, a
equa¸c˜ao da velocidade axial no estado estacion´ario ´e dada por:
d
2
φ
dζ
2
+
1
ζ
dφ
dζ
− P
m
(ζ)φ = 1 (3.29)
com a condi¸c˜ao de contorno:
φ(1) =
dφ
dζ
(0) = 0 (3.30)
Muitas express˜oes tˆem sido desenvolvidas relacionando a permeabilidade de meios
porosos `a porosidade e ao tamanho das part´ıculas. Neste trabalho, utilizou-se a ex-
press˜ao (JOHNSON; KAPNER, 1990):
P
m
= 45δ
2
(1 − ε)
2
ε
3
(3.31)
onde ε ´e descrito pela Equa¸c˜ao (3.18).
3.3. Conclus˜oes 27
Ao inv´es de tentar obter perfis radiais de velocidade aplicando as equa¸c˜oes de
balan¸co, outros autores correlacionaram dados experimentais de velocidade para uma
ampla faixa de d
p
, d
T
e n´umero de Reynolds, resultando em modelos emp´ıricos. Fahien
e Stankovich (1979) propuseram uma express˜ao em fun¸c˜ao apenas da raz˜ao α = d
T
/d
p
:
V
∗
=
v
z
v
m
=
A
1
+ A
2
r
∗
(B+1)
− A
3
r
∗
(B+2)
A
1
+
2A
2
B + 3
−
2A
3
B + 4
(3.32)
onde:
B = 0, 45α
1,5
A
1
=
1
B + 2
−
α − 1
α(B + 1)
A
2
=
α − 1
α(B + 1)
A
3
=
1
B + 2
r
∗
=
r
r
T
e r
T
=
d
T
2
3.3 Conclus˜oes
Neste cap´ıtulo foram apresentadas as equa¸c˜oes de balan¸co de massa e energia para o
secador de leito deslizante concorrente juntamente com as equa¸c˜oes para o coeficiente
de transferˆencia de calor, umidade de equil´ıbrio e cin´etica de secagem. Foram apre-
sentadas tamb´em algumas equa¸c˜oes que descrevem o perfil de porosidade do leito e de
velocidade do ar (fenomenol´ogico e emp´ırico).
CAP
´
ITULO 4
Resultados e Discuss˜ao
4.1 Estudo do Perfil Radial de Velocidade do Ar
4.1.1 Dados Experimentais e Perfis Simulados
Os dados experimentais utilizados neste estudo s˜ao do leito deslizante contracor-
rente, pois o equipamento com fluxos concorrentes n˜ao permite a introdu¸c˜ao de um
anemˆometro de fio quente durante o escoamento dos s´olidos, impossibilitando, desse
modo, verificar a distribui¸c˜ao de velocidade radial do ar. Apesar disto, os resultados
obtidos neste estudo podem ser aplicados tamb´em a configura¸c˜ao concorrente uma vez
que a fluidodinˆamica do leito n˜ao ´e afetada pelo sentido de escoamento do ar.
As medidas de velocidade do ar feitas por Souza (2001) na dire¸c˜ao radial foram
realizadas introduzindo-se um anemˆometro de fio quente na posi¸c˜ao de sa´ıda do ar
do leito, sendo registrados os valores de velocidade do ar em cinco posi¸c˜oes radiais
distintas. As medidas foram realizadas utilizando os seguintes valores de velocidade
m´edia superficial do ar: 0,74; 0,98; 1,11; 1,25 e 1,42 m/s (incerteza: 3,0 %). Dentro de
cada ensaio, as medidas radiais de velocidade foram registradas cinco vezes, garantindo
a obten¸c˜ao de uma m´edia representativa em cada posi¸c˜ao.
4.1. Estudo do Perfil Radial de Velocidade do Ar 29
A Figura 4.1 mostra a distribui¸c˜ao de velocidade radial do ar experimental e simu-
lada utilizando as equa¸c˜oes de Vortmeyer e Schuster (1983) e de Fahien e Stankovich
(1979) (Equa¸c˜oes 3.20 e 3.32). Nota-se que ambas as equa¸c˜oes tendem a prever um
perfil mais achatado no centro do que aqueles observados experimentalmente, sendo
este comportamento mais pronunciado no perfil obtido pela equa¸c˜ao de Vortmeyer e
Schuster (1983).
vm = 0,74 m/s
vm = 0,98 m/s
vm = 1,11 m/s
vm = 1,25 m/s
vm = 1,42 m/s
v/vm = 1
correlação de Fahien e Stankovich (1979)
modelo de Vortmeyer e Schuster (1983)
r (adimensional)
v/vm
+
+
+
+
×
×
×
×
⊕
⊕
⊕
⊕
♦
♦
♦
♦
◊
◊
◊
◊
+
+
+
+
×
×
×
×
⊕
⊕
⊕
⊕
♦
♦
♦
♦
◊
◊
◊
◊
+
×
⊕
♦
◊
2,4
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
−1,0 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00
0
Figura 4.1: Perfis radiais de velocidade experimental e simulados (equac˜oes de Vort-
meyer e Schuster (1983) e de Fahien e Stankovich (1979)).
Percebe-se tamb´em, uma melhor representa¸c˜ao dos dados experimentais pela cor-
rela¸c˜ao de Fahien e Stankovich (1979), a qual ´e fun¸c˜ao apenas da raz˜ao d
T
/d
p
, embora
os dados experimentais sugiram claramente que o perfil radial de velocidade seja fun¸c˜ao
do Re; entretanto, apesar da equa¸c˜ao de Vortmeyer e Schuster (1983), ser fun¸c˜ao do
Re no leito, apresenta uma predi¸c˜ao pior, com um pico mais acentuado de velocidade
muito pr´oximo `a parede (a 0,25 d
p
), enquanto que a correla¸c˜ao de Fahien e Stankovich
(1979) prevˆe a velocidade m´axima a 1 d
p
a partir da parede.
4.1. Estudo do Perfil Radial de Velocidade do Ar 30
O modelo de Johnson e Kapner (1990) advindo da Equa¸c˜ao de Navier-Stokes
modificada, conforme a Equa¸c˜ao (3.29), com as condi¸c˜oes de contorno apresentadas
na Equa¸c˜ao (3.30), com p ermeabilidade do leito dada pela Equa¸c˜ao (3.31) e o perfil de
porosidade dado pela Equa¸c˜ao (3.18), foi resolvido numericamente empregando a t´ec-
nica de diferen¸cas finitas implementada no software livre Scilab
T M
(www.scilab.org),
empregando uma malha com 200 p ontos. A Figura 4.2 mostra a solu¸c˜ao num´erica jun-
tamente com os pontos exp erimentais obtidos para uma velocidade m´edia superficial
do ar de 1,25 m/s.
r (adimensional)
Correlação de Fahien e Stankovich (1979)
Modelo de Johnson e Kapner (1990)
vm = 1,25 m/s
v/vm
×
×
×
×
×
×
×
×
×
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0−0,2−0,4−0,6−0,8−1,0
6
5
4
3
2
1
0
Figura 4.2: Perfis radiais de velocidade experimental e simulados (equa¸c˜oes de Johnson
e Kapner (1990) e de Fahien e Stankovich (1979).
O comportamento oscilat´orio do perfil de velocidade est´a diretamente relacionado
com o perfil de porosidade empregado, e, segundo Johnson e Kapner (1990), tal carac-
ter´ıstica do perfil, prevista pelo modelo empregado, deve ser retida quando o objetivo
´e a estimativa de parˆametros de transferˆencia de calor e massa; caso contr´ario, tais
parˆametros n˜ao s˜ao estimados de modo satisfat´orio. Resultados recentes de perfil de
velocidade (NEGRINI et al., 1999) corroboram a natureza oscilat´oria deste, embora
n˜ao com uma amplitude e freq
¨
uˆencia t˜ao acentuados como os previstos pelo modelo
4.1. Estudo do Perfil Radial de Velocidade do Ar 31
de Johnson e Kapner (1990). A Figura 4.2 tamb´em mostra que o perfil de velocidade
obtido com a correla¸c˜ao de Fahien e Stankovich (1979) est´a muito pr´oximo `a m´edia
das velocidades previstas pela solu¸c˜ao num´erica citada.
Os resultados mostrados anteriormente devem ser levados em considera¸c˜ao na mo-
delagem de leitos com recheio tal como a secagem de soja em leito deslizante. Isto
porque leitos com baixa raz˜ao d
T
/d
p
s˜ao utilizados na determina¸c˜ao de parˆametros
de transferˆencia de calor e massa, atrav´es do ajuste de dados experimentais a mo-
delos apropriados para descrever os fenˆomenos intr´ınsecos da secagem. Por sua vez,
tais parˆametros s˜ao utilizados no dimensionamento de secadores industriais. Assim,
considerar perfil plano de velocidade do ar incorrer´a em erros nos parˆametros estima-
dos que por sua vez resultar´a em projetos sub ou superespecificados, o que acarretar´a
produto de qualidade inferior e/ou consumo energ´etico superior ao m´ınimo necess´ario.
4.1.2 Efeito do Perfil Radial de Velocidade do Ar no Modelo
a Duas Fases
O fato de existir um perfil n˜ao plano de velocidade do ar faz com que v
x
= v
x
(r),
ou seja, a velocidade axial do ar depende da posi¸c˜ao radial. Entretanto, n˜ao h´a (por
hip´otese) uma velocidade do ar na dire¸c˜ao do raio (n˜ao existe v
r
), o que n˜ao justifica
o uso de um modelo bidimensional para representar o secador, j´a que este levaria a
uma complexidade num´erica muito maior. Assim, a melhor maneira de incorporar
v
x
(r) ao modelo, e a mais simples, ´e tomar como hip´otese que o secador seja dividido
em camadas concˆentricas, como mostra a Figura 4.3, nas quais a velocidade do ar ´e
constante e diferente das demais. Isto equivale a fazer uma discretiza¸c˜ao na dire¸c˜ao
radial.
r
x
camada externa
sólido
camada intermediária
camada interna
W(r,x)
M(r,x)
f
(r,x)
s
(r,x)
sólido
T
T
fluido fluido
Figura 4.3: Esquema do leito deslizante concorrente dividido em camadas concˆentricas.
4.1. Estudo do Perfil Radial de Velocidade do Ar 32
A fim de estudar o efeito do perfil radial de velocidade do ar no modelo a duas
fases, o leito deslizante foi dividido em seis camadas concˆentricas (δ = r/R = 0-0,5;
0,5-0,6; 0,6-0,7; 0,7-0,8; 0,8-0,9; 0,9-1 em unidades dimensionais). A velocidade do ar
foi calculada com a equa¸c˜ao de Fahien e Stankovich (1979) (Equa¸c˜ao 3.20) usando as
posi¸c˜oes radiais m´edias para cada camada mencionada acima. Os dados experimentais
utilizados neste estudo foram obtidos por Felipe e Barrozo (2003) para secagem de
sementes de soja usando um leito deslizante concorrente de d
T
/d
p
= 13,3.
As Figuras 4.4 e 4.5 comparam resultados simulados do modelo aos dados experi-
mentais para as vari´aveis: temperatura do ar e umidade das sementes, respectivamente,
para as posi¸c˜oes radiais mencionadas anteriormente, ao longo do sentido axial. Pode-se
observar que o perfil axial de temperatura depende da posi¸c˜ao radial. Na posi¸c˜ao bem
pr´oxima `a parede, onde a velocidade ´e significativamente mais baixa (veja Figura 4.1),
a temperatura tamb´em ´e mais baixa, e um pequeno incremento na posi¸c˜ao radial, a
partir desse ponto, faz com que a temperatura aumente consideravelmente.
aumento de "r"
centro
experimental
simulado
próximo à parede
Temperatura do fluido (°C)
x (adimensional)
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Figura 4.4: Perfis axiais de temperatura do ar (condi¸c˜oes operacionais: v
int
= 2, 0 m/s,
T
f0
= 37, 0
o
C, T
s0
= 22, 4
o
C, M
0
= 0, 1581 Kg agua/Kg sol. seco, W
0
= 0, 0030 Kg
agua/Kg ar seco, G
f
= 8, 8210 × 10
−1
Kg/m
2
s, G
s
= 2, 1075 × 10
−1
Kg/m
2
s).
4.1. Estudo do Perfil Radial de Velocidade do Ar 33
centro
aumento de "r"
experimental
x (adimensional)
simulado
próximo à parede
Umidade do sólido (g água/g sólido seco)
0,135
0,140
0,145
0,150
0,155
0,160
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Figura 4.5: Perfis axiais de umidade das sementes (condi¸c˜oes operacionais: v
int
= 2, 0
m/s, T
f0
= 37, 0
o
C, T
s0
= 22, 4
o
C, M
0
= 0, 1581 Kg agua/Kg sol. seco, W
0
= 0, 0030
Kg agua/Kg ar seco, G
f
= 8, 8210 × 10
−1
Kg/m
2
s, G
s
= 2, 1075 × 10
−1
Kg/m
2
s).
Os dados experimentais aqui utilizados foram obtidos na regi˜ao central do secador,
mas devido `a caracter´ıstica do equipamento experimental empregado ´e dif´ıcil de assegu-
rar que todos os dados sejam realmente desta regi˜ao; assim, aceita-se que os pequenos
desvios dessa regi˜ao possam ter ocorrido e isto poderia explicar os pequenos desvios
entre resultados experimentais e simulados. Al´em disso, diversos parˆametros f´ısico-
qu´ımicos foram considerados constantes durante todo o secador no desenvolvimento
do modelo. N˜ao obstante, como estes parˆametros s˜ao afetados pelo perfil de temp era-
tura, pode se esperar que esta considera¸c˜ao contribua para os desvios entre os dados
experimentais e simulados. Apesar disso, os desvios m´edios entre dados experimen-
tais e simulados para a temperatura de ar e umidade das sementes est˜ao perto das
incertezas da medida destas vari´aveis.
A Figura 4.6 mostra perfis radiais simulados para a temperatura do ar em duas
posi¸c˜oes axiais (x = 0,3 e 0,8). Fica claro que h´a gradientes da temp eratura no sentido
radial, afetando desse modo o mecanismo de transferˆencia de calor e massa ao longo de
todo o leito. Em conseq
¨
uˆencia deste fato, a qualidade das sementes poder´a ser afetada
como mostrado por Felipe e Barrozo (2003).
4.2. An´alise de Sensibilidade de Parˆametros F´ısico-Qu´ımicos 34
Temperatura do fluido (°C)
x = 0,8
x = 0,3
r (adimensional)
22
23
24
25
26
27
28
29
−1 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Figura 4.6: Perfis radiais de temperatura do ar simulados para as posi¸c˜oes axiais x =
0,3 e 0,8.
4.2 An´alise de Sensibilidade de Parˆametros F´ısico-
Qu´ımicos
4.2.1 Introdu¸c˜ao
Al´em da hip´otese do perfil de velocidade do ar ser plano, foi questionada tamb´em a
hip´otese dos parˆametros f´ısico-qu´ımicos serem constantes ao longo do leito. Para tanto,
faz-se necess´ario detectar qual(ais) parˆametro(s) influencia(m) mais significativamente
o modelo, pois n˜ao h´a raz˜oes para buscar descrever com grande acur´acia um parˆametro
que n˜ao trar´a melhorias significativas ao modelo. A influˆencia de parˆametros em um
modelo ´e determinada atrav´es da sensibilidade param´etrica, que neste trabalho foi
avaliada usando dois m´etodos distintos conforme segue.
4.2. An´alise de Sensibilidade de Parˆametros F´ısico-Qu´ımicos 35
4.2.2 An´alise de Sensibilidade por Planejamento de Experi-
mentos
A an´alise de sensibilidade por planejamento de experimentos tem a vantagem de ser
simples de ser efetuada, embora o n´umero de vezes que o programa deve ser executado
aumenta muito com o aumento no n´umero de parˆametros investigados. Ademais, neste
tipo de an´alise de sensibilidade verifica-se a influˆencia de parˆametros em apenas um
ponto do secador, neste estudo, na sa´ıda, n˜ao havendo nenhuma informa¸c˜ao sobre o
que acontece ao longo do secador.
As condi¸c˜oes experimentais para as simula¸c˜oes deste estudo de sensibilidade de
parˆametros f´ısico-qu´ımicos foram estabelecidas por um planejamento de experimentos
do tipo composto central. Foram estudados apenas quatro parˆametros: densidade
do s´olido (ρ
s
), calor espec´ıfico do ar seco (Cp
f
), viscosidade do ar (µ) e entalpia de
vaporiza¸c˜ao da ´agua (λ). Desta forma, o n´umero total de experimentos realizados foi
igual a 26, sendo que este valor foi calculado atrav´es da Equa¸c˜ao (2.5) com r´eplica
no ponto central. Foram utilizadas como respostas a umidade e a temperatura das
sementes, M e T
s
, respectivamente.
As Equa¸c˜oes (4.1), (4.2), (4.3) e (4.4) s˜ao relativas `as codifica¸c˜oes dos parˆametros
estudados. Os valores dos n´ıveis -1 e 1 foram escolhidos de forma que a diferan¸ca entre
os valores extremos do intervalo (−α e α) e o valor original (n´ıvel central) n˜ao fosse
maior que 10% do valor original do parˆametro.
x
1
=
ρ
s
(g/cm
3
) − 0, 117g/cm
3
0, 012g/cm
3
(4.1)
x
2
=
Cp
f
(cal /g
o
C) − 25cal/g
o
C
0, 02cal/g
o
C
(4.2)
x
3
=
µ(g/cms) − 0, 185g/cms
0, 018g/cms
(4.3)
x
4
=
λ(cal/g) − 573cal/g
58cal /g
(4.4)
O valor de α foi de 1,4826, determinado pela Equa¸c˜ao (2.6) e que conduz a um
planejamento composto central ortogonal, ou seja, um planejamento em que a matriz
de variˆancia e covariˆancia ´e diagonal e os parˆametros n˜ao s˜ao correlacionados. A Tabela
4.1 apresenta a matriz de planejamento com os n´ıveis utilizados dos 26 experimentos.
4.2. An´alise de Sensibilidade de Parˆametros F´ısico-Qu´ımicos 36
Tabela 4.1: Matriz do planejamento composto central para an´alise de sensibilidade
ρ
s
(g/cm
3
) Cp
f
(cal/g
o
C) µ(g/cms) λ(cal/g) Y
i
0,111 0,24 0,176 544 Y
1
0,123 0,24 0,176 544 Y
2
0,111 0,26 0,176 544 Y
3
0,123 0,26 0,176 544 Y
4
0,111 0,24 0,194 544 Y
5
0,123 0,24 0,194 544 Y
6
0,111 0,26 0,194 544 Y
7
0,123 0,26 0,194 544 Y
8
0,111 0,24 0,176 602 Y
9
0,123 0,24 0,176 602 Y
10
0,111 0,26 0,176 602 Y
11
0,123 0,26 0,176 602 Y
12
0,111 0,24 0,194 602 Y
13
0,123 0,24 0,194 602 Y
14
0,111 0,26 0,194 602 Y
15
0,123 0,26 0,194 602 Y
16
0,117 0,25 0,185 573 Y
17
0,117 0,25 0,185 573 Y
18
0,108 0,25 0,185 573 Y
19
0,126 0,25 0,185 573 Y
20
0,117 0,23 0,185 573 Y
21
0,117 0,27 0,185 573 Y
22
0,117 0,25 0,171 573 Y
23
0,117 0,25 0,199 573 Y
24
0,117 0,25 0,185 531 Y
25
0,117 0,25 0,185 615 Y
26
A an´alise estat´ıstica dos resultados foi realizada no software Statistica (STAT-
SOFT, 1997), efetuando-se uma an´alise de variˆancia para cada uma das respostas. Os
parˆametros com n´ıvel de significˆancia do teste t de Student superior a 5% foram despre-
zados e considerados n˜ao relevantes. A Tabela 4.2 mostra os resultados da an´alise de
variˆancia, em que os parˆametros f´ısico-qu´ımicos entalpia de vap oriza¸c˜ao da ´agua (λ) e
calor espec´ıfico do ar seco (Cp
f
) foram os que influenciaram de forma mais significativa
a umidade e temperatura das sementes na sa´ıda do leito.
4.2. An´alise de Sensibilidade de Parˆametros F´ısico-Qu´ımicos 37
Tabela 4.2: Resultados da an´alise de variˆancia.
Vari´avel Parˆametro Coef. regres. Des. padr˜ao t de Student N´ıvel de signif.
M´edia 27,33103 0,094010 290,7235 0,000000
x
2
(Cp
f
) 0,24501 0,055129 4,4443 0,000225
T
s
x
2
2
(Cp
f
2
) -0,18363 0,079490 -2,3101 0,031133
x
4
(λ) -0,30237 0,055129 -5,4847 0,000019
x
4
2
(λ
2
) 0,19694 0,079490 2,4775 0,021810
M´edia 0,169703 0,000125 1354,516 0,000000
x
2
(Cp
f
) -0,000320 0,000084 -3,823 0,000992
M x
4
(λ) 0,000352 0,000086 4,071 0,000548
x
4
2
(λ
2
) -0,000310 0,000128 -2,420 0,024678
As Figuras 4.7, 4.8, 4.9 e 4.10 apresentam os perfis de umidade e temperatura das
sementes em fun¸c˜ao do comprimento adimensional do leito para os v´arios valores de λ
e Cp
f
estabelecidos pelo planejamento experimental. Observa-se que as diferen¸cas das
temperaturas e umidades das sementes na sa´ıda do leito s˜ao maiores quando varia-se o
valor do parˆametro Cp
f
. Observa-se tamb´em que as diferen¸cas entre as temperaturas
das sementes na sa´ıda do leito para os valores extremos de λ e Cp
f
s˜ao de 3,26% e
3,52%, respectivamente, ou seja, s˜ao maiores que as incertezas experimentais.
Temperatura do sólido (°C)
x (adimensional)
λ
λ
λ
λ
λ
= 531 cal/g
= 544 cal/g
= 573 cal/g
= 602 cal/g
= 615 cal/g
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Figura 4.7: Perfis de temperatura das sementes para a entalpia de vaporiza¸c˜ao da ´agua
(λ) igual a 531 cal/g, 544 cal/g, 573 cal /g, 602 cal/g e 615 cal/g.
4.2. An´alise de Sensibilidade de Parˆametros F´ısico-Qu´ımicos 38
Cpf = 0,23 cal/g°C
Cpf = 0,24 cal/g°C
Cpf = 0,25 cal/g°C
Cpf = 0,26 cal/g°C
Cpf = 0,27 cal/g°C
x (adimensional)
Temperatura do sólido (°C)
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Figura 4.8: Perfis de temperatura das sementes para o calor espec´ıfico do ar seco (Cp
f
)
igual a 0, 23 cal/g
o
C, 0, 24 cal/g
o
C, 0, 25 cal/g
o
C, 0, 26 cal/g
o
C e 0, 27 cal/g
o
C.
Umidade do sólido (g água/g sólido seco)
x (adimensional)
λ
λ
λ
λ
λ
= 531 cal/g
= 544 cal/g
= 573 cal/g
= 602 cal/g
= 615 cal/g
0,165
0,170
0,175
0,180
0,185
0,190
0,195
0,200
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Figura 4.9: Perfis de umidade das sementes para a entalpia de vaporiza¸c˜ao da ´agua
(λ) igual a 531 cal/g, 544 cal/g, 573 cal /g, 602 cal/g e 615 cal/g.
4.2. An´alise de Sensibilidade de Parˆametros F´ısico-Qu´ımicos 39
x(adimensional)
Cpf = 0,23 cal/g°C
Cpf = 0,24 cal/g°C
Cpf = 0,25 cal/g°C
Cpf = 0,26 cal/g°C
Cpf = 0,27 cal/g°C
Umidade do sólido (g água/g sólido seco)
0,165
0,170
0,175
0,180
0,185
0,190
0,195
0,200
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Figura 4.10: Perfis de umidade das sementes para o calor espec´ıfico do ar seco (Cp
f
)
iguais a 0, 23 cal/g
o
C, 0, 24 cal/g
o
C, 0, 25 cal/g
o
C, 0, 26 cal/g
o
C e 0, 27 cal/g
o
C.
4.2.3 An´alise de Sensibilidade por DASPK 3.0
Em contraposi¸c˜ao ao m´etodo de an´alise de sensibilidade por planejamento de ex-
perimentos, o m´etodo por derivadas constitui o procedimento mais rigoroso, por´em
apresenta uma complexidade matem´atica muito maior. Entretanto, a vantagem deste
m´etodo ´e que se obt´em a sensibilidade ao longo do leito, permitido assim uma avalia¸c˜ao
muito mais precisa de cada parˆametro.
As equa¸c˜oes diferenciais do modelo a duas fases, juntamente com suas equa¸c˜oes
constitutivas e os coeficientes de sensibilidade, foram resolvidas utilizando o c´odigo
DASPK 3.0 (LI; PETZOLD, 1999). O DASPK 3.0 ´e um c´odigo desenvolvido em FOR-
TRAN que al´em de resolver sistema de EADs com ´ındice zero, um ou dois, tamb´em
executa o c´alculo de coeficientes de sensibilidade absoluta de parˆametros e condi¸c˜oes
iniciais. O c´odigo e alguns exemplos podem ser obtidos no site dos desenvolvedores
1
.
O c´odigo oferece v´arios m´etodos para resolver sistemas de EADs e calcular coefi-
cientes de sensibilidade, dependendo da complexidade do problema. An´alises e com-
para¸c˜oes entre alguns m´etodos s˜ao apresentados por Li et al. (2000). Neste trabalho
1
www.engineering.ucsb.edu/∼cse/software
4.2. An´alise de Sensibilidade de Parˆametros F´ısico-Qu´ımicos 40
foram utilizados os m´etodos padr˜ao do pacote por serem simples e n˜ao apresentar
grandes diferen¸cas nos resultados ao se utilizar outras op¸c˜oes.
Al´em dos parˆametros que foram significativos na an´alise de sensibilidade por plane-
jamento de experimentos, neste estudo analisou-se tamb´em outros parˆametros que
poderiam influenciar o modelo: calor espec´ıfico das sementes (Cp
s
), calor espec´ıfico
do vapor d’´agua (Cp
v
) e calor espec´ıfico da ´agua (Cp
l
). O coeficiente de transferˆencia
de calor (h) n˜ao foi estudado, pois Barrozo (1995) analisou a sensibilidade do mo-
delo a este parˆametro, utilizando v´arias equa¸c˜oes da literatura, concluindo que este
parˆametro n˜ao influencia de forma significativa o modelo a duas fases. Desse mo do,
os coeficientes de sensibilidade absolutos da temperatura e umidade das sementes com
rela¸c˜ao `a perturba¸c˜ao de 10% nos parˆametros f´ısco-qu´ımicos apresentados na Tabela
4.3 foram determinados.
Tabela 4.3: Parˆametros f´ısico-qu´ımicos estudados na an´alise de sensibilidade por
DASPK 3.0
Parˆametro Valor
calor espec´ıfico do ar seco (Cp
f
) 0, 25 cal/g
o
C
calor espec´ıfico das sementes (Cp
s
) 0, 53 cal/g
o
C
calor espec´ıfico do vapor d’´agua (Cp
v
) 0, 28 cal/g
o
C
calor espec´ıfico da ´agua (Cp
l
) 1, 0 cal/g
o
C
entalpia de vaporiza¸c˜ao da ´agua (λ) 573 cal/g
A temperatura e umidade das sementes apresentaram grande sensibilidade abso-
luta com rela¸c˜ao ao parˆametro calor espec´ıfico do ar seco (Cp
f
) como mostram as
Figuras 4.11 a 4.13. Com rela¸c˜ao aos parˆametros calor espec´ıfico das sementes (Cp
s
) e
calor espec´ıfico da ´agua (Cp
l
) os coeficientes de sensibilidade absolutos foram menores.
J´a os parˆametros calor espec´ıfico do vapor d’´agua (Cp
v
) e entalpia de vaporiza¸c˜ao da
´agua (λ) influenciaram muito pouco os resultados da simula¸c˜ao (veja as Figuras 4.12
e 4.14).
Estes resultados mostram que o calor espec´ıfico do ar seco (Cp
f
) ´e o parˆametro
mais importante a ser considerado, uma vez que a umidade e temperatura das sementes
apresentaram maior sensibilidade absoluta a este parˆametro em toda a extens˜ao do
secador. Isto significa que pequenas varia¸c˜oes no valor deste parˆametro tˆem forte
influˆencia nos resultados obtidos pelo mo delo.
4.2. An´alise de Sensibilidade de Parˆametros F´ısico-Qu´ımicos 41
x (adimensional)
Cpf
Sensibilidade da umidade das sementes
(adimensional)
−0,005
0,000
0,005
−0,010
−0,015
−0,020
−0,025
−0,030
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
−0,040
−0,035
Figura 4.11: Sensibilidade da umidade das sementes com rela¸c˜ao aos parˆametros Cp
f
,
Cp
v
, Cp
l
e λ.
Cpl
Cpv
λ
Cps
x (adimensional)
(adimensional)
Sensibilidade da umidade das sementes
−0,0006
−0,0004
−0,0002
0,0000
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Figura 4.12: Sensibilidade da umidade das sementes com rela¸c˜ao aos parˆametros Cp
v
,
Cp
l
e λ.
4.2. An´alise de Sensibilidade de Parˆametros F´ısico-Qu´ımicos 42
Cpf
x (adimensional)
Sensibilidade da temperatura das sementes
(adimensional)
−5
0
5
10
15
20
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
25
Figura 4.13: Sensibilidade da temperatura das sementes com rela¸c˜ao aos parˆametros
Cp
f
, Cp
v
, Cp
l
e λ.
λ
Cpv
Cps
Cpl
x (adimensional)
(adimensional)
Sensibilidade da temperatura das sementes
−2,5
−2,0
−1,5
−1,0
−0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Figura 4.14: Sensibilidade da temperatura das sementes com rela¸c˜ao aos parˆametros
Cp
v
, Cp
l
e λ .
4.3. Conclus˜oes 43
Apesar dos resultados da an´alise de sensibilidade por planejamento de experimen-
tos indicar que o modelo do secador tamb´em apresenta grande sensibilidade a entalpia
de vaporiza¸c˜ao da ´agua (λ), os resultados obtidos pela an´alise por coeficientes de sen-
sibilidade s˜ao mais importantes por serem mais completos, j´a que a an´alise por plane-
jamento de experimentos ´e feita em apenas um ponto do secador, no final do leito,
n˜ao havendo nenhuma informa¸c˜ao do que acontece ao longo do secador. Entretanto,
os parˆametros considerados neste trabalho tˆem grandezas completamente diferentes
e um estudo futuro deve tamb´em considerar a an´alise de sensibilidade relativa ou a
adimensionaliza¸c˜ao do modelo.
4.3 Conclus˜oes
A partir dos modelos propostos obteve-se perfis com comportamento qualitativo seme-
lhante, mostrando que a velocidade do ar ´e maior pr´oxima `a parede do leito. A equa¸c˜ao
que melhor representou os dados experimentais obtidos em leito deslizante contracor-
rente foi a de Fahien e Stankovich (1979), sendo a mesma incorporada ao modelo do
secador de leito deslizante concorrente, e deste modo, observou-se que os perfis de
temperatura e umidade das sementes representaram bem os dados experimentais;
Na an´alise de sensibilidade por planejamento de experimentos, o modelo a duas
fases apresentou maior sensibilidade aos parˆametros entalpia de vaporiza¸c˜ao da ´agua
(λ) e calor espec´ıfico do ar seco (Cp
f
). Vale lembrar que a an´alise estat´ıstica utilizada
neste estudo foi efetuada com os dados simulados na sa´ıda do leito e que nada se sabe
sobre o que acontece ao longo do mesmo. J´a na an´alise de sensibilidade usando o
c´odigo DASPK 3.0, que leva em considera¸c˜ao coeficientes de sensibilidade absolutos,
o parˆametro calor espec´ıfico do ar seco (Cp
f
) foi o que influenciou de forma mais
significativa o modelo.
CAP
´
ITULO 5
Conclus˜oes e Sugest˜oes
5.1 Conclus˜oes
Diante os resultados obtidos neste trabalho, foi poss´ıvel concluir que:
• O modelo a duas fases representa adequadamente a secagem em leito deslizante
com escoamentos concorrentes, entretanto, as hip´oteses de perfil plano de veloci-
dade do ar e parˆametros f´ısico-qu´ımicos constantes ao longo do leito limitam a
precis˜ao dos resultados obtidos pelo modelo;
• Utilizando-se de uma revis˜ao da literatura mostrou-se que o perfil radial de
porosidade em leitos empacotados, com baixa raz˜ao d
T
/d
p
, possui um comporta-
mento n˜ao uniforme, indo de 1 na parede, at´e o valor m´edio no centro, de modo
oscilat´orio amortecido. Isto se deve ao arranjo peculiar das part´ıculas pr´oximas
`a parede, sendo mais evidenciado em empacotamentos com recheios esf´ericos;
• Tanto o perfil de velocidade radial calculado utilizando uma equa¸c˜ao emp´ırica
quanto os obtidos atrav´es da equa¸c˜ao da quantidade de movimento apresen-
taram comportamento qualitativo semelhante, mostrando que a velocidade do
ar ´e maior pr´oxima `a parede, sendo que a equa¸c˜ao de Fahien e Stankovich (1979)
foi a que forneceu melhor ajuste aos dados experimentais;
5.2. Sugest˜oes 45
• A equa¸c˜ao de Fahien e Stankovich (1979) incorporada ao modelo a duas fases
´e apropriada para estudar e analisar os mecanismos de transferˆencia de calor e
massa entre o ar e sementes de soja, tanto quanto, o efeito do perfil de velocidade
do ar na opera¸c˜ao de secagem em leito deslizante com escoamentos concorrentes.
Os resultados simulados foram comparados aos dados experimentais obtidos na
regi˜ao central do secador para a temperatura do ar e umidade das sementes,
tendo como resultado uma boa concordˆancia;
• No estudo de sensibilidade por planejamento de experimentos, o modelo a duas
fases apresentou maior sensibilidade aos parˆametros f´ısico-qu´ımicos entalpia de
vaporiza¸c˜ao da ´agua (λ) e calor espec´ıfico do ar seco (Cp
f
). J´a na an´alise por
coeficientes de sensibilidade, usando o c´odigo DASPK 3.0, os resultados obtidos
pelo modelo mostraram maior sensibilidade absoluta `a perturba¸c˜ao do parˆametro
calor espec´ıfico do ar seco (Cp
f
).
• As metodologias de an´alise de sensibilidade empregadas neste trabalho possuem
uma grande gama de aplica¸c˜oes em outros problemas da Engenharia Qu´ımica,
devido a sua generalidade. Estudos de otimiza¸c˜ao de parˆametros e escolha de
vari´aveis para controle de processos s˜ao dois exemplos de utiliza¸c˜ao destas t´ec-
nicas.
5.2 Sugest˜oes
Como sugest˜oes para trabalhos futuros, tˆem-se:
• Estudo do efeito do perfil radial de velocidade do ar na modelagem dos leitos
deslizantes com escoamentos contracorrentes e cruzados;
• An´alise de sensibilidade relativa de parˆametros f´ısico-qu´ımicos para as trˆes con-
figura¸c˜oes do leito deslizante;
• Uso de uma equa¸c˜ao que represente a varia¸c˜ao do parˆametro calor espec´ıfico do
ar seco com a temperatura ao longo do leito.
REFER
ˆ
ENCIAS BIBLIOGR
´
AFICAS
ATHERTON, R. W.; SCHAINKER, R. B.; DUCOT, E. R. Statistical sensitivity
analysis of models for chemical-kinetics. AICHE J., v. 21, p. 441–448, 1975.
ATHI
´
E, I. et al. Conserva¸c˜ao de gr˜aos. Campinas: Funda¸c˜ao Cargill, 1998.
BALDET, L.; VILELA, F. A. Armazenamento. Revista Seed News , n. 4, p. 28–33,
2000.
BARROZO, M. A. S. Transferˆencia de calor e massa entre o ar e semntes de soja em
leito deslizante e escoamentos cruzados. Tese (Doutorado) — Universidade Federal de
S˜ao Carlos, 1995.
BARROZO, M. A. S.; MURATA, V. V. Modelagem e simula¸c˜ao da secagem de
sementes de soja em leito deslizante com escoamentos concorrentes e contracorrentes.
In: Anais do XXIV Congresso Brasileiro de Sistemas Particulados. Uberlˆandia: [s.n.],
1996. p. 213–220.
BENENATI, R. F.; BROSILOW, C. B. Void fraction distribution in beds of spheres.
AIChE J., v. 8, p. 359–362, 1962.
BRINKMAN, H. C. A calculation of the viscous forces exhibited by a flowing fluid
on a dense swarm of particles. Appl. Sci. Res., A1, p. 27–34, 1947.
BROOKER, D. B.; BAKKER-ARKEMA, F. W.; HALL, C. W. Drying cereal grains.
Westport: The Avi Publishing Company, Inc., 1974.
BRUNS, R. E.; NETO, B. B.; SCARMINIO, I. S. Como fazer experimentos.
Campinas: Editora Unicamp, 2003.
CAIRNS, E. J.; PRAUSNITZ, J. M. Velocity profiles in packed and fluidized beds.
Ind. Eng. Chem., v. 51, p. 11441–1444, 1959.
Referˆencias Bibliogr´aficas 47
CARVALHO, N. M.; NAKAGAWA, J. Sementes: ciˆencia, tecnologia e produ¸c˜ao.
Jabuticabal: Funep, 2000.
CARVALHO, N. M. A. A secagem de sementes. Jabuticabal: Funep, 1994.
CELESTINO, S. M. C. Transferˆencia de calor e massa em leito deslizante e
escoamentos concorrentes: secagem de sementes de soja. Disserta¸c˜ao (Mestrado) —
Universidade Federal de Uberlˆandia, 1998.
DAUDIN, J. D. Calcul des cin´etiques de s´echage par l’air chaud des produits
biologiques solides. Sciences des Aliments, v. 3, p. 1–36, 1983.
FAHIEN, R. W.; STANKOVICH, I. An equation for the velocity profile in packed
columns. Chem. Eng. Sci., v. 34, p. 1350–1354, 1979.
FELIPE, C. A. S. Influˆencia das vari´aveis de processo na qualidade de sementes
de soja submentidas a secagem em leito deslizante e escoamentos concorrentes.
Disserta¸c˜ao (Mestrado) — Universidade Federal de Uberlˆandia, 1999.
FELIPE, C. A. S.; BARROZO, M. A. S. Drying of soybean seeds in a concurrent
moving bed: heat and mass transfer and quality analysis. Drying Technology, v. 21,
p. 439–456, 2003.
FREIRE, J. T.; GUBULIN, J. C. T´opicos especiais em sistemas particulados. S˜ao
Carlos: Editora UFScar, 1986.
FREIRE, J. T.; GUBULIN, J. C. T´opicos especiais em sistemas particulados. S˜ao
Carlos: Editora UFScar, 1990.
FURNAS, C. Flow of gases through beds of broken solids. United States Department
of Commerce, Bureau of Mines, Bulletin 307, p. 74–83, 1929.
GRATON, L. C.; FRASER, H. J. Systematic packing of spheres with particular
relation to porosity and permeability. J. Geol., v. 43, p. 785–909, 1935.
HWANG, D.; BYUN, D. W.; ODMAN, M. T. An automatic differentiation technique
for sensitivity analysis of numerical advection schemes in air quality models.
Atmospheric Environment, v. 31, p. 879–888, 1997.
HWANG, J. T. Sensitivity analysis in chemical kinetics by the method of polynomial
approximations. International Journal of Chemical Kinetics, v. 15, p. 959–987, 1983.
HWANG, J. T. et al. The green’s function method of sensitivity analysis in chemical
kinetics. J. Chem. Phys., v. 69, p. 5180–5191, 1978.
JOHNSON, G. W.; KAPNER, R. S. The dependence of axial dispersion on
non-uniform flows in beds of uniform packing. Chem. Eng. Sci. , v. 45, p. 3329–3339,
1990.
Referˆencias Bibliogr´aficas 48
LACERDA, A. F. Secagem em leito deslizante concorrente: an´alise da qualidade das
sementes de soja. Disserta¸c˜ao (Mestrado) — Universidade Federal de Uberlˆandia,
2002.
LEROU, J. J.; FROMENT, G. F. Velocity, temperature and conversion profiles in
fixed bed catalytic reactors. Chem. Eng. Sci., v. 32, p. 853–861, 1977.
LEVA, M.; GRUMMER, M. Pressure drop through packed tubes: Prediction of voids
in packed tubes. Chem. Eng. Prog., v. 43, p. 713–718, 1947.
LI, S.; PETZOLD, L. R. Design of new DASPK for sensitivity analysis. Santa
Barbara, 1999.
LI, S.; PETZOLD, L. R.; ZHU, W. Sensitivity analysis of differential-algebraic
equations: a comparison of methods on a special problem. Appl. Numer. Math, v. 32,
p. 161–174, 2000.
MARIVOET, J.; TEODOROIU, P.; WAJC, S. J. Porosity, velocity and temperature
profiles in cylindrical packed bed. Chem. Eng. Sci., v. 29, p. 1836–1840, 1974.
MORALES, M.; SPINN, C. W.; SMITH, J. M. Velocities and effective thermal
conductivities in packed beds. Ind. Eng. Chem., v. 43, p. 225–231, 1951.
MURATA, V. V. Caracteriza¸c˜ao simb´olica de equa¸c˜oes alg´ebrico-diferenciais por
um sistema de ´algebra computacional com aplica¸c˜oes na engenharia qu´ımica. Tese
(Doutorado) — Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1996.
MYERS, R. H. Response Surface Methodology. Ann Arbor, Mich.: Edwards Brothers
(Distrubutors), 1976.
NEGRINI, A. L.; FUELBER, A.; FREIRE, J. T. Fluid dynamics of air in a packed
bed: velocity profiles and the continuum model assumption. Brazilian J. Chem. Eng.,
v. 16, p. 421–432, 1999.
NETO, S. P. S. Expans˜ao da demanda sustenta crescimento da produ¸c˜ao. Anu´ario
Estat´ıstico da Agricultura Brasileira, p. 423–425, 2004.
PARK, K. J.; YADO, M. K. M.; BROD, F. P. R. Estudo de segagem de pera bartlett
(Pyrus sp.) em fatias. Revista Ciˆencia e tecnologia de Alimentos, v. 21, n. 3, p.
288–292, 2001.
ROBLEE, L. H. S.; BAIRD, R. M.; TIERNEY, J. W. Radial porosity variations in
packed beds. AIChE J., v. 4, p. 460–464, 1958.
SARTORI, D. J. M. Transferˆencia de calor em leito deslizante. Tese (Doutorado) —
Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1986.
SCHWARTZ, C. E.; SMITH, J. M. Flow distribution in packed beds. Ind. Eng.
Chem., v. 45, p. 1209–1218, 1953.
Referˆencias Bibliogr´aficas 49
SOUZA, A. M. Estudo fluidodinˆamico e de transferˆencia de calor e massa em
leito deslizante contracorrente. Disserta¸c˜ao (Mestrado) — Universidade Federal de
Uberlˆandia, 2001.
STATSOFT. Statistica 5.1. Tulsa: Statsoft, Inc., 1997.
VALEN ¸CA, G. C.; MASSARANI, G. Avalia¸c˜ao de secadores em fluxo concorrentes e
contracorrentes. In: Anais do XXIV Congresso Brasileiro de Sistemas Particulados.
Uberlˆandia: [s.n.], 1996. p. 231–239.
VORTMEYER, D.; SCHUSTER, J. Evaluation of steady flow profiles in rectangular
and circular packed beds by a variational method. Chem. Eng. Sci., v. 38, p.
1691–1699, 1983.
ZOTIN, F. M. Z. O efeito de parede em colunas de recheio. Disserta¸c˜ao (Mestrado)
— Universidade Federal de S˜ao Carlos, 1985.
ZOTIN, F. M. Z.; FREIRE, J. T. Efeito de parede em colunas de recheio. In: T´opicos
especiais em sistemas particulados. S˜ao Carlos: Editora UFScar, 1986. v. 2, p.
347–392.
ZOTIN, F. M. Z.; SOUZA, R.; FREIRE, J. T. Efeito de parede no escoamento
monof´asico: perfil de porosidade radial. In: Anais do XIII Encontro Sobre Escoamento
em Meios Porosos. S˜ao Paulo: [s.n.], 1985.
AP
ˆ
ENDICES
Apˆendice A
Rotinas em Scilab das Equa¸c˜oes de Velocidade
Equa¸c˜ao deVortmeyer e Schuster (1983)
clear;
function va = veloc3(r)
dtdp = (dt/2)/dp;
R = dt/2;
Re = Gf*dp/mi;
if Re > 0.1
if Re <= 1
n = 112.5-26.31*Re+10.97*Re*Re-0.1804*Re^3;
elseif Re <= 1000
n = -1803+201.62*(log(Re)+4)-3737*sqrt(log(Re)+4)..
+5399*(log(Re)+4)^(1/3);
elseif Re > 1000
n = 27
end
Apˆendice A 51
else
printf(’Re fora da faixa de validade da correla¸c~ao \n’);
end
g = 4*n/(4-n);
aux1 = (n*dtdp-1)*(g*dtdp+1)/g^2;
aux2 = n*((dtdp^2)/g+2*dtdp/g^2+2/g^3);
aux3 = exp(g*dtdp)*(1-n*dtdp+2*n/g)/g^2;
B = (dtdp^2)/(2*((dtdp^2)/2-aux1+aux2-aux3));
aux4 = g*dtdp*(1-r/R);
aux5 = 1-n*dtdp*(1-r/R);
va = B*(1-exp(aux4)*aux5);
endfunction
dt = 8.0;//di^ametro do tubo (cm)
dp = 0.6;//di^ametro da part´ıcula (cm)
rt = dt/2;//raio do tubo (cm)
Gf = 0.038*2;//fluxo m´assico do ar (g/cm2.s)
mi = 0.185e-3;//viscosidade do ar (g/cm.s)
r = 0:0.01:rt;
for i=1:length(r)
va(i) = veloc3(r(i));
ra(i) = r(i)/rt;
end
xset(’line style’,2)
plot2d(ra,va,2),plot2d(-ra,va,2)
Apˆendice A 52
Equa¸c˜ao de Johnson e Kapner (1990)
clear;
function [fi,kk]=pf(xrange,fiLbound,epsilon,nmax)
n = length(xrange);
h = (xrange(n)-xrange(1))/(n-1);
//estimativa inicial de fi e fik (var. auxiliar)
fi =-1*ones(n);
fik=-1*ones(n)
//condi¸c~oes de contorno
fi(n) = fiLbound;
printf(’itera¸c~oes iniciadas...aguarde!\n\n’);
for k=1:nmax
ke = 0; kk = k;
//imprime a itera¸c~ao se for m´ultipla de 10, inclusive.
if modulo(kk,10) == 0 then
printf(’A itera¸c~ao atual ´e %g.\n’,k);
end;
for j = 1:n-1
x(j) = (1-xrange(j))*delta/2;
eps(j) = 0.38 + 0.62*exp(-1.70*x(j)^0.434)*cos(6.67*x(j)^1.13);
Pm = 45*(delta^2)*((1-eps(j))^2)/(eps(j)^3);
if j==1 then
fik(j) = (4*fi(j+1)-h^2)/(4+h^2*Pm);
else
fik(j) = ((1-h/(2*xrange(j)))*fi(j-1)+(1+h/(2*xrange(j)))..
*fi(j+1)-h^2)/(2+h^2*Pm);
end
if abs(abs(fik(j))-abs(fi(j))) > epsilon then
ke = ke + 1;
Apˆendice A 53
end
fi(j)=fik(j);
end;
if ke == 0 then
break
end
end
if kk == nmax then
printf(’O n´umero m´aximo de itera¸c~oes %g foi alcan¸cado \n\n’,kk);
end
endfunction
Rp = 0.6/2; //raio da part´ıcula (cm)
R = 8.1/2; //raio do leito (cm)
mi = 0.185e-3; //viscosidade do ar (g/cm s)
Tf = 30; //temperatura do ar (oC)
rho = 1.2e-3*293.15/(Tf+273.15); //densidade do ar a oC (g/cm^3)
g = 980; //acelera¸c~ao da gravidade (cm/s^2)
poros = 0.39; //porosidade do leito (adimensional)
delta = R/Rp; //aspecto de raio (adimensional)
//velocidade m´edia do ar [cm/s]
v(1) = 74/poros;
v(2) = 98/poros;
v(3) = 111/poros;
v(4) = 125/poros;
v(5) = 142/poros;
for i=1:5
dpdcsi = -1*rho*v(i)^2; //queda de press~ao indep. do comprimento
aux1 = Rp*delta^2*dpdcsi/(2*mi);
aux2 = rho*g*Rp^2*delta^2/(mi);
fator(i) = aux1 - aux2; // c´alculo do fator de adimensionaliza¸c~ao
end
Apˆendice A 54
//solu¸c~ao da EDO de 2a ordem por diferen¸cas finitas
uL = 0;
nmax = 1000;
epsilon = 1e-14;
J = 400; //200 pontos na malha
X = 1;
h = X/J;
x128 = [0:h:X];
[u128,k128] = pf(x128,uL,epsilon,nmax);
u = u128;
for i=1:5
u(:,i) = u128*fator(i)/v(i);
end
//posi¸c~ao radial (cm)
xx1 = [0; 1.5; 2.8; 4.05]/(R);
//velocidade do ar (m/s)
vv1 = [0.55 0.55; 0.73 0.79; 0.98 0.93; 0 0]*100/(poros*v(1));
vv2 = [0.77 0.77; 1.00 0.96; 1.29 1.25; 0 0]*100/(poros*v(2));
vv3 = [0.96 0.96; 1.10 1.09; 1.35 1.32; 0 0]*100/(poros*v(3));
vv4 = [1.13 1.13; 1.22 1.22; 1.45 1.49; 0 0]*100/(poros*v(4));
vv5 = [1.29 1.29; 1.38 1.46; 1.62 1.58; 0 0]*100/(poros*v(5));
for i=1:5
xbasc(i);
xset(’window’,i)
xset(’font size’,10);
xset(’thickness’,2);
xset(’line style’,1);
plot2d(x128,u(:,i),2);
plot2d(-1*x128,u(:,i),2);
end
Apˆendice A 55
xset(’window’,1)
xset(’mark size’,4);
plot2d(xx1,vv1(:,1),-2);
plot2d(-1*xx1,vv1(:,2),-2);
xset(’window’,2)
xset(’mark size’,4);
plot2d(xx1,vv2(:,1),-2);
plot2d(-1*xx1,vv2(:,2),-2);
xset(’window’,3)
xset(’mark size’,4);
plot2d(xx1,vv3(:,1),-2);
plot2d(-1*xx1,vv3(:,2),-2);
xset(’window’,4)
xset(’mark size’,4);
plot2d(xx1,vv4(:,1),-2);
plot2d(-1*xx1,vv4(:,2),-2);
xset(’window’,5)
xset(’mark size’,4);
plot2d(xx1,vv5(:,1),-2);
plot2d(-1*xx1,vv5(:,2),-2);
Equa¸c˜ao de Fahien e Stankovich (1979)
clear;
function v = veloc(r)
alfa = (dt/2.0)/dp;
B = 0.45*alfa^1.5;
A1 = 1/(B+2)-(alfa-1)/(alfa*(B+1));
A2 = (alfa-1)/(alfa*(B+1));
A3 = 1.0/(B+2);
v = (A1 + A2*r^(B+1) -A3*r^(B+2))/(A1 + 2*A2/(B+3) - 2*A3/(B+4));
endfunction
dt = 8.0;//di^ametro do tubo (cm)
dp = 0.6;//di^ametro da part´ıcula (cm)
rt = 0.04;//raio do tubo (m)
Apˆendice A 56
r = 0:0.01:1;
va = veloc(r);
//velocidade m´edia do ar [m/s]
vm1 = 0.74;
vm2 = 0.98;
vm3 = 1.11;
vm4 = 1.25;
vm5 = 1.42;
//velocidade do ar (m/s)
v1 = [0.55 0.55; 0.73 0.79; 0.98 0.93; 0 0]/vm1;
v2 = [0.77 0.77; 1.00 0.96; 1.29 1.25; 0 0]/vm2;
v3 = [0.96 0.96; 1.10 1.09; 1.35 1.32; 0 0]/vm3;
v4 = [1.13 1.13; 1.22 1.22; 1.45 1.49; 0 0]/vm4;
v5 = [1.29 1.29; 1.38 1.46; 1.62 1.58; 0 0]/vm5;
//posi¸c~ao radial (m)
xx1 = [0; 0.015; 0.028; 0.04]/rt;
xx2 = [0; -0.015; -0.028; -0.04]/rt;
xset(’font size’,10);
xset(’thickness’,2);
xset(’mark size’,4);
plot2d(xx1,[v1(:,1),v2(:,1),v3(:,1),v4(:,1),v5(:,1)],..
[-1,-2,-3,-4,-5]);
plot2d(xx2,[v1(:,2),v2(:,2),v3(:,2),v4(:,2),v5(:,2)],..
[-1,-2,-3,-4,-5]);
xset(’line style’,1)
plot2d(r,va,1),plot2d(-r,va,1)
xset(’line style’,3)
plot2d([-1 1],[1 1])
Apˆendice B 57
Apˆendice B
Descri¸c˜ao do Vetor INFO do DASPK 3.0
O uso do vetor INFO (dimens˜ao igual a 30) d´a ao c´odigo detalhes de como o problema
deve ser resolvido. O uso mais simples do DASPK 3.0 corresponde a atribuir 0 (zero)
a todos os valores de INFO. Os principais parˆametros do c´odigo est˜ao listados a seguir:
INFO(5) - Os m´etodos num´ericos usados em DASPK 3.0 fazem uso de uma
matriz de derivadas parciais do sistema de EADs (matriz jacobiana). Se for dada
uma rotina (JAC) para avaliar essa matriz analiticamente atribua INFO(5) = 0, caso
contr´ario, a mesma ser´a aproximada por diferen¸cas num´ericas (INFO(5) = 1, 2, ou 3).
Lembrando que essa matriz ´e apenas com respeito as vari´aveis de estado, excluindo as
de sensibilidade.
INFO(11) - O DASPK 3.0 requer que os valores iniciais de Y e Y’ sejam consis-
tentes, ou seja, que F (x, Y, Y
, p) = 0 em x = 0, incluindo as equa¸c˜oes de sensibilidade.
Se as condi¸c˜oes iniciais s˜ao conhecidas precisamente atribua INFO(11) = 0, do con-
tr´ario, em alguns casos, o DASPK 3.0 pode calcul´a-lo (INFO (11) = 1, 2, 3, 4 ou
5).
INFO(12) - Na solu¸c˜ao do sistema de EADs, o DASPK 3.0 usa uma combina¸c˜ao
do m´etodo BDF (Backward Differentiation Formula) e uma escolha de dois m´etodos
de solu¸c˜ao de sistema linear: intera¸c˜ao de Newton com o m´etodo direto (INFO (12)
= 0) ou intera¸c˜ao de Newton com o m´etdo de Krylov (INFO (12) = 1).
INFO(19) - Armazena o n´umero de parˆametros e/ou condi¸c˜oes iniciais que ser˜ao
analisados.
INFO(20) - A avalia¸c˜ao das equa¸c˜oes de sensibilidade pode ser feita de qua-
tro maneiras: por diferen¸cas finitas ao centro (INFO(20) = 0), por diferen¸cas finitas
a frente (INFO(20) = 1), analiticamente (INFO(20) = 2) ou por diferencia¸c˜ao au-
tom´atica usado o c´odigo ADIFOR (INFO(20) = 3 ou 4).
Apˆendice B 58
INFO(21) - O valor padr˜ao do fator de perturba¸c˜ao usado na aproxima¸c˜ao por
diferen¸cas finitas para as equa¸c˜oes da sensibilidade ´e 10
−3
. Para mudar este valor
atribua INFO(21) = 1 e RWORK(16) igual ao valor desejado.
INFO(22) - N´umero de parˆametros analisados que aparece na subrotina RES.
INFO(25) - Existem trˆes m´etodos para resolver o sistema n˜ao linear originado do
m´etodo BDF:
•M´etodo silmutˆaneo corretor (INFO (25) = 0): As EADs e as equa¸c˜oes de sensi-
bilidade s˜ao resolvidas simultaneamente;
•M´etodo escalonado corretor (INFO (25) = 1): Em cada passo, primeiro s˜ao
resolvidas as EADs, depois as equa¸c˜oes de sensibilidade s˜ao resolvidas a cada
intera¸c˜ao de Newton;
•M´etodo escalonado direto (INFO (25) = 2): Em cada passo, primeiro s˜ao resolvi-
das as EADs, depois o sistema linear das equa¸c˜oes de sensibilidade s˜ao resolvidas
diretamente por uma intera¸c˜ao. Neste m´etodo, o jacobiano ser´a avaliado e fa-
torado em cada passo.
Apˆendice C 59
Apˆendice C
Rotinas em FORTRAN da An´alise de Sensibilidade
PROGRAM MAIN
IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z)
EXTERNAL RESH,JAC
PARAMETER (NY = 4) !n´umero de equa¸c~oes do modelo
PARAMETER (NP = 5) !n´umero de par^ametros analisados
PARAMETER (NEQ = NY*(NP+1)) !n´umero total de equa¸c~oes
PARAMETER (LRW = 500)
PARAMETER (LIW = 50)
DIMENSION Y(NEQ),RWORK(LRW),IWORK(LIW),YPRIME(NEQ),DELTA(NEQ)
DIMENSION INFO(30),SENPAR(NP)
COMMON/propriedades/Epslon,Ral,RDs,dp,Fhi,Gs,vs,
# Gf,h,a,Visc,Rkf,Rhos,Rho
COMMON/condinicial/Wo,Tfo,RMo,Tso
!arquivos de sa´ıda dos dados
OPEN(unit=1,file=’sol_drying.dat’,status=’unknown’)
OPEN(unit=2,file=’sens_drying1.dat’,status=’unknown’)
OPEN(unit=3,file=’sens_drying2.dat’,status=’unknown’)
OPEN(unit=4,file=’sens_drying3.dat’,status=’unknown’)
OPEN(unit=5,file=’sens_drying4.dat’,status=’unknown’)
OPEN(unit=6,file=’sens_drying5.dat’,status=’unknown’)
DO i = 1,30
INFO(i) = 0
END DO
INFO(19) = NP !n´umero de par^ametros analisados
INFO(21) = 1 !muda o fator de perturba¸c~ao
RWORK(16) = 1.0D-1 !fator de perturba¸c~ao
INFO(22) = NP !n´umero de par^ametros analisados em RES
Apˆendice C 60
!par^ametros analisados
senpar(1) = 0.25E0 !calor especifico do ar seco (cal/g.C)
senpar(2) = 0.1E1 !calor especifico da agua liquida (cal/g.C)
senpar(3) = 0.28E0 !calor especifico do vapor d agua (cal/g.C)
senpar(4) = 0.53E0 !calor especifico do solido (cal/g.C)
senpar(5) = 573.E0 !entalpia de vaporiza¸c~ao da ´agua (cal/g)
Epslon = 0.39E0 !porosidade do leito (adimensional)
Ral = 64.E0 !altura do leito (cm)
RDs = 7.62E0 !di^ametro do leito (cm)
dp = 0.6E0 !di^ametro da part´ıcula (cm)
Fhi = 0.9E0 !esfericidade (adimensional)
Visc = 0.185E-3 !viscosidade do ar (g/cm.s)
Rkf = 0.637E-4 !condutividade t´ermica do ar (g.cm/C.s3)
Rhos = 1.17E0 !densidade do s´olido (g/cm3)
Rho = 1.0E0 !densidade do fluido (g/cm3)
Gf = 0.1073E0 !fluxo massico do ar seco (g ar seco/cm2.s)
Gs = 0.0165E0 !fluxo massico do sol.seco (g sol.seco/cm2.s)
vs = Gs/Rhos !velocidade do solido (cm/s)
!Condi¸c~oes iniciais das eq. do modelo
x=0.
y(1) = 0.014156 !umidade do ar (g agua/g ar seco)
y(2) = 0.20501 !umidade do solido (g ´agua/g sol. seco)
y(3) = 42.1147 !temperatura do ar (C)
y(4) = 33.74 !temperatura do solido (C)
Taxa = Fma(Tfo,y(4),Wo,x)*Ral
aux1 = h*a*(y(3)-y(4))
aux2 = Gs*(senpar(4)+y(2)*senpar(2))
aux3 = Gf*(senpar(1)+y(1)*senpar(3))
yprime(1) = Taxa/Gf
yprime(2) = -Taxa/Gs
yprime(3) = -aux1*Ral/aux3
yprime(4) = (aux1*Ral)/aux2-Taxa*(senpar(5)+senpar(3)*y(3)
# -senpar(2)*y(4))/aux2
Apˆendice C 61
Wo = y(1)
RMo = y(2)
Tfo = y(3)
Tso = y(4)
!condi¸c~oes iniciais das eq. de sensibilidade
DO i = 5,neq
y(i) = 0.0
yprime(i) = 0.0
END DO
WRITE(1,140)x,y(1),y(2),y(3),y(4)
WRITE(2,140)x,y(5),y(6),y(7),y(8)
WRITE(3,140)x,y(9),y(10),y(11),y(12)
WRITE(4,140)x,y(13),y(14),y(15),y(16)
WRITE(5,140)x,y(17),y(18),y(19),y(20)
WRITE(6,140)x,y(21),y(22),y(23),y(24)
!calcula a ´area interfacial por unidade de volume
a = 6.*(1.-Epslon)/(Fhi*dp)
!calcula o coeficiente de transfer^encia de calor (Sartori)
Pr = Visc*senpar(1)*Rho/Rkf !n´umero de Prandtl
Re = Gf*dp/Visc !n´umero de Reynolds
h = 0.84*Pr**(1./3.)*Re**0.65*Rkf/dp
RTOL = 1.0d-8
ATOL = 1.0d-8
XOUT = 1.0d-2
DXOUT = 1.0d-2
NOUT = 100
Apˆendice C 62
DO 170 IOUT=1,NOUT
CALL DDASPK (RES, NEQ, X, Y, YPRIME, XOUT, INFO, RTOL,
# ATOL, IDID, RWORK, LRW, IWORK, LIW, RPAR, IPAR,
# JAC, PSOL, SENPAR)
WRITE(1,140)x,y(1),y(2),y(3),y(4)
WRITE(2,140)x,y(5),y(6),y(7),y(8)
WRITE(3,140)x,y(9),y(10),y(11),y(12)
WRITE(4,140)x,y(13),y(14),y(15),y(16)
WRITE(5,140)x,y(17),y(18),y(19),y(20)
WRITE(6,140)x,y(21),y(22),y(23),y(24)
140 FORMAT(1X,E15.5,4(E16.5))
170 XOUT = XOUT + DXOUT
CONTINUE
STOP
END
!subrotina que cont^em as equa¸c~oes do modelo
SUBROUTINE RES(X,Y,YPRIME,CJ,DELTA,IRES,RPAR,IPAR,SENPAR)
IMPLICIT DOUBLE PRECISION(A-H,O-Z)
DIMENSION Y(*),YPRIME(*),DELTA(*),SENPAR(*)
COMMON/propriedades/Epslon,Ral,RDs,dp,Fhi,Gs,vs,
# Gf,h,a,Visc,Rkf,Rhos,Rho
COMMON/condinicial/Wo,Tfo,RMo,Tso
Taxa = Fma(y(3),y(4),y(1),x)*Ral
aux1 = h*a*(y(3)-y(4))
aux2 = Gs*(senpar(4)+y(2)*senpar(2))
aux3 = Gf*(senpar(1)+y(1)*senpar(3))
delta(1) = yprime(1)-Taxa/Gf
delta(2) = yprime(2)+Taxa/Gs
delta(3) = yprime(3)+aux1*Ral/aux3
delta(4) = yprime(4)-(aux1*Ral)/aux2+Taxa*
# (senpar(5)+senpar(3)*y(3)-senpar(2)*y(4))/aux2
RETURN
END
Apˆendice C 63
SUBROUTINE JAC(X,Y,YPRIME,PD,CJ,RPAR,IPAR,SENPAR,IJAC)
IMPLICIT DOUBLE PRECISION(A-H,O-Z)
DIMENSION Y(*),YPRIME(*),PD(4,4),SENPAR(*)
RETURN
END
DOUBLE PRECISION FUNCTION Fma(Tf,Ts,W,x)
IMPLICIT DOUBLE PRECISION(a-h,o-z)
COMMON/propriedades/Epslon,Ral,RDs,dp,Fhi,Gs,vs,
# Gf,h,a,Visc,Rkf,Rhos,Rho
COMMON/condinicial/Wo,Tfo,RMo,Tso
DATA B,D,Pi/4288.24,0.207667,3.141592654/
Rp = (dp/2.)**2
tempo = x*Ral/vs
TKf = Tf+273.15
TKs = Ts+273.15
!calcula a umidade relativa do ar
Pao = dexp(18.3036-3816.44/(TKs-46.13))/760.
aux4 = 695.1/760.
aux5 = (28.97/18.02)*W
Pab = (aux5/(1.+aux5))*aux4
UR = Pab/Pao
IF(UR.lt.0.) THEN
WRITE(*,*)’Umidade negativa!’
STOP
END IF
!calcula a umidade de equil´ıbrio (Halsey modificada)
aux6 = -dexp(-6.72d-3*Ts+3.02)
aux7 = dlog(UR)
Rmeq = 1.d-2*(aux6/aux7)**(1./1.508)
!calcula a difusividade efetiva (Arrhenius)
Def = D*dexp(-B/TKf)
Apˆendice C 64
!Isolando M no modelo difusivo; derivado M em rela¸cao `a t e
!transformando a vari´avel t em x, chega-se a equa¸c~ao para
!o c´alculo da fma.
sum = 0
DO i = 1,50
sum = sum+6./Rp*(RMo-Rmeq)*(Gs*Def/vs)*dexp(-(i**2)*
# (Pi**2)/Rp*Def*tempo)
END DO
fma = sum
RETURN
END
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
