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César Alexandre Varela Ataíde
ESTUDO COMPARATIVO ENTRE O MÉTODO
DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS E O DOS ESTADOS
LIMITES PARA ALVENARIA ESTRUTURAL
Dissertação apresentada ao Departamento de
Engenharia de Estruturas da EESC-USP como parte
dos requisitos necessários à obtenção do título de
Mestre em Engenharia de Estruturas
Orientador: Prof. Assoc. Márcio Roberto Silva Corrêa
São Carlos
2005
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Dedico este trabalho ao meu filho, Davi,
e à memória das minhas avós: Julieta e Edite.
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AGRADECIMENTOS
A minha esposa, Márcia e ao meu filho, Davi pelo amor e paciência.
Aos meus pais, Ilton e Arcângela pelo apoio e incentivo.
Aos amigos, Caio, Fernando e George pela verdadeira amizade e
companheirismo.
Ao Professor Márcio R. S. Corrêa, pela orientação, compreensão e
incentivo, demonstrados durante o desenvolvimento deste trabalho.
Ao Professor Libânio M. Pinheiro, pela amizade e por sempre estar
disposto a ajudar.
Aos colegas pela agradável convivência durante a estadia em São Carlos.
A todos os Professores e funcionários do SET.
A CNPq, pela concessão da bolsa para a realização do mestrado.
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS
viii
LISTA DE TABELAS ix
RESUMO
x
ABSTRACT
xi
1 INTRODUÇÃO
1
1.1 Breve Histórico 3
1.2 Objetivos 5
1.3 Justificativas 5
1.4 Metodologia 7
1.5 Organização do Trabalho 7
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 9
2.1 Introdução 9
2.2 Evolução da Verificação da Segurança Estrutural 9
2.3 O Método das Tensões Admissíveis 15
2.4 O método dos Estados Limites 17
2.5 Principais Trabalhos 18
3 NORMAS PARA ALVENARIA ESTRUTURAL 24
3.1 NBR 10837: 1989 24
3.1.1 Altura Efetiva 24
3.1.2 Espessura Efetiva 25
3.1.3 Esbeltez 26
3.1.4 Tensões Admissíveis na Alvenaria 26
3.2 Eurocódigo 6:1996 29
3.2.1 Definições 30
3.2.2 Ações e Valores Característicos 32
3.2.3 Estados Limites Últimos 32
3.2.3.1 Coeficientes Parciais de Segurança para os Estados Limite Últimos 33
3.2.4 Estados Limites de Serviço 34
3.2.5 Dimensionamento da Alvenaria 34
3.2.5.1 Altura Efetiva das Paredes 34
3.2.5.2 Espessura Efetiva das Paredes 35
3.2.5.3 Esbeltez das Paredes 36
3.2.5.4 Resistência Característica à Compressão da Alvenaria 36
3.2.5.5 Resistência Característica ao Cisalhamento da Alvenaria Simples 37
3.2.5.6 Verificação da Segurança de Paredes de Alvenaria Simples 38
3.2.6 Alvenaria Armada 38
3.2.6.1 Verificação da Segurança de Elementos de Alvenaria Armada
Sujeitos à Flexão e/ou Esforço Axial 39
3.2.6.2 Verificação da Segurança de Elementos Submetidos à Força
Cortante com a Dispensa de Armaduras 40
3.2.6.3 Verificação da Segurança de Elementos com Armadura para
Absorção de Esforço Cortante 41
3.2.6.4 Verificação de Elementos de Alvenaria Armada em Relação
aos Estados Limites de Serviço 42
3.3 Texto Base para Revisão da NBR 10837:1989 44
3.3.1 Propriedades dos Componentes e Materiais 44
3.3.1.1 Blocos 44
3.3.1.2 Propriedades Elásticas da Alvenaria 45
3.3.1.3 Coeficientes de Ponderação das Resistências 45
3.3.2 Dimensionamento e Verificação da Alvenaria 45
3.3.2.1 Resistência de Cálculo em Paredes Submetidas à Compressão
Simples 46
3.3.2.2 Seções Retangulares Submetidas à Flexão 46
3.3.2.3 Alvenaria Submetida ao Cisalhamento 47
3.3.2.4 Alvenaria Submetida à Flexão Composta 48
3.3.3 Estados Limites de Serviço (ELS) 50
3.4 Comentários Gerais Sobre as Normas 50
4 SITUAÇÕES DE PROJETO 52
4.1 Compressão Simples 52
4.1.1 Exemplo A 52
4.1.2 Exemplo B 57
4.2 Flexão Simples 62
4.2.1 Dimensionamento de Acordo com a NBR 10837:1989 62
4.2.2 Dimensionamento de Acordo com o EC 6:1996 65
4.2.3 Dimensionamento com a Proposta de Revisão da NBR 10837 65
4.2.4 Exemplo C 65
4.2.5 Exemplo D 70
4.3 Cisalhamento 85
4.3.1 Exemplo E 85
4.3.2 Exemplo F 92
4.3.2.1 Alvenaria Não-Armada 93
4.3.2.2 Alvenaria Armada 95
4.4 Flexão Normal Composta 101
4.4.1 Exemplo G 101
4.4.2 Exemplo H 106
4.5 Comentários Gerais Sobre o Capítulo 111
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 112
5.1 Conclusões 112
5.2 Sugestões de Pesquisa 115
6 BIBLIOGRAFIA 117
ANEXOS 122
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Aqueduto erguido pelo Imperador Romano Trajano. Segóvia, Espanha. 10
Figura 2.2 - Evolução da segurança ao longo do tempo. Adaptado de HENRIQUES
(1998). 11
Figura 3.1 - Altura efetiva de pilares. ABCI (1990). 25
Figura 3.2 - Altura efetiva de paredes 35
Figura 3.3 - Relação tensão-deformação para o cálculo de alvenaria em flexão
e compressão. EC-6. 39
Figura 4.1 - Exemplo de compressão simples 52
Figura 4.2 - Superfície NBR 10837:1989 60
Figura 4.3 - Superfície EC 6:1996 (Categoria I-A) 60
Figura 4.4 - Superfície EC 6:1996 (Categoria II-C) 60
Figura 4.5 - Superfície Revisão (Comb. Especiais) 61
Figura 4.6 - Superfície Revisão (Comb. Normais) 61
Figura 4.7 - Viga submetida à flexão simples 65
Figura 4.8 - Segundo exemplo de cisalhamento. 85
Figura 4.9 - Diagrama de esforço cortante. 86
Figura 4.10 - Armaduras para a viga do exemplo E. 87
Figura 4.11 - Diagrama de esforço cortante. 89
Figura 4.12 - Diagrama de esforço cortante. 90
Figura 4.13 - Distribuição das armaduras para a viga do exemplo E. 91
Figura 4.14 - Superfície de tensões para alvenaria não-armada. NBR 10837:1989. 94
Figura 4.15 - Superfície de tensões para alvenaria não-armada. EC 6:1996. 94
Figura 4.16 - Superfície de tensões para alvenaria não-armada. Texto de Revisão. 95
Figura 4.17 - Cisalhamento em vigas. 99
Figura 4.18 - Cisalhamento em paredes com σ = 2,25 MPa. 99
Figura 4.19 - Cisalhamento em paredes com σ = 1,125 MPa. 100
Figura 4.20 - Flexão composta em pilar. 101
Figura 4.21 - Exemplo de flexão normal composta em paredes. 107
ix
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 - Evolução da probabilidade com base nos códigos. 14
Tabela 3.1 - Tensões admissíveis na alvenaria não-armada (NBR 10837). 27
Tabela 3.2 - Tensões admissíveis na alvenaria armada (NBR 10837) 28
Tabela 3.3 - Tensões admissíveis no aço. NBR 10837. 29
Tabela 3.4 - Requisitos para a classificação das unidades de alvenaria. EC-6. 30
Tabela 3.5 - Valores do coeficiente δ. EC-6. 31
Tabela 3.6 - Coeficientes parciais de segurança relativos a ações em estruturas
de edifícios para situações de projeto persistentes e transitórias. EC-6. 33
Tabela 3.7 - Coeficientes parciais de segurança relativos às propriedades dos
materiais. EC-6. 34
Tabela 3.8 - Valores de f
vk0
e valores limites de f
vk
para argamassa convencional.
EC-6. 37
Tabela 3.9 - Limite entre o vão e a altura útil para paredes e vigas de alvenaria
armada. EC-6. 43
Tabela 3.10 - Propriedades elásticas da alvenaria. 45
Tabela 3.11 - Valores de γ
m
. 45
Tabela 3.12 - Resistência característica ao cisalhamento. f
vk
(MPa). 47
Tabela 4.1 - Resistências necessárias aos blocos para o exemplo A. (MPa). 56
Tabela 4.2 - Parâmetros do exemplo B 59
Tabela 4.3 - Capacidade resistente (MPa) 62
Tabela 4.4 - Flexão de seções normalmente armadas. RAMALHO & CORRÊA
(2003) 64
Tabela 4.5 - Quadro comparativo dos resultados do exemplo C. 70
Tabela 4.6 - Área de armadura longitudinal. f
p
= 12,5 MPa 84
Tabela 4.7 - Área de armadura longitudinal. f
p
= 8,0 MPa. 84
Tabela 4.8 - Área de armadura longitudinal. f
p
= 3,5 MPa. 84
Tabela 4.9 - Comparação de dimensionamentos f
p
= 12,5 MPa. 92
Tabela 4.10 - Processo iterativo Exemplo G 103
Tabela 4.11 - Área das armaduras (em cm
2
) para o exemplo H com f
p
= 12,5 MPa. 108
Tabela 4.12 - Área das armaduras para o exemplo H com f
p
= 8 MPa. 109
Tabela 4.13 - Área das armaduras para o exemplo H com f
p
= 3,5 MPa 110
x
RESUMO
ATAIDE, C. A. V. (2005). Estudo comparativo entre o método das tensões admissíveis
e o método dos estados limites para a alvenaria estrutural. Dissertação (Mestrado) –
Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2005.
A norma que prescreve o cálculo de alvenaria estrutural de blocos vazados de concreto,
NBR 10837:1989, encontra-se em fase de revisão, sendo que a principal alteração é a
introdução do método dos estados limites no dimensionamento e na verificação dos
elementos de alvenaria. Neste trabalho, estudam-se duas normas para alvenaria, a
NBR 10837:1989 e EC 6:1996, e o texto proposto para revisão da NBR 10837. A
escolha do EC 6:1996 se deu pela sua importância em relação à comunidade européia e
porque muitas das prescrições contidas nessa norma foram adaptadas para o texto de
revisão da NBR 10837. Quando necessárias, são realizadas comparações entre as duas
normas e o texto de revisão, com o intuito de auxiliar no entendimento das implicações
que a mudança de abordagem causará. Vários exemplos que simulam situações típicas
de projeto, como compressão simples, flexão e cisalhamento, são apresentados. Com a
variação dos diversos parâmetros envolvidos no dimensionamento dos elementos de
alvenaria, é possível a elaboração de gráficos e ábacos. Desta forma consegue-se
englobar uma grande variedade de situações, e a comparação entre as respostas obtidas
com cada uma das normas e com o texto de revisão torna-se bem mais simples e
precisa. Pretende-se, com este trabalho, contribuir para a introdução do método dos
estados limites na norma de cálculo de alvenaria estrutural, bem como avaliar as mais
importantes adaptações propostas.
Palavras-chave: alvenaria estrutural; tensões admissíveis; estados limites; normalização.
xi
ABSTRACT
ATAIDE, C. A. V. (2005). Comparative study between the allowable stress method and
the limit state method for structural masonry. M.Sc. Dissertation – Escola de
Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2005.
The code that regulates the design of concrete blockwork structural masonry,
NBR 10837:1989, is under revision phase. The main change is the introduction of limit
state method for the design and verification of masonry elements. In this work, two
masonry codes (NBR 10837:1989 and EC 6:1996) and a proposed revised text for the
NBR 10837 are studied. The choice for EC 6:1996 is justified by its importance to
European community and because many clauses of the revised text are adapted from
that code. When necessary, comparisons between the two codes and revised text are
carried out, to help the understanding of the changes implications. Some examples, that
simulate typical design situation, such as axial compression, bending and shear are
presented. A parametric study on the masonry elements design is carried out, allowing
for the elaboration of graphs and abacus. Thus, various situations are explored, showing
different results corresponding to each one of the codes and the revision text, in order to
clarify the comparisons. The general aim of this work is help the introduction of the
limit state method in the masonry code, and to evaluate the most important changes in
the proposed revised text of the Brazilian Code.
Keywords: structural masonry; allowable stress; limit state; codes.
Introdução 1
1 INTRODUÇÃO
Nas duas últimas décadas, a alvenaria estrutural passou a ser cada vez mais
empregada em vários tipos de edificações, não só em habitações populares como era
atribuído ao seu uso, mas em edifícios de mais alto padrão. A possibilidade de
racionalização do projeto e da execução da obra torna este sistema bastante atrativo ao
meio técnico.
Um dos possíveis motivadores do rápido desenvolvimento dos processos
construtivos e controle de execução da alvenaria estrutural foi o aumento do número de
edifícios construídos. Contudo, o mesmo desenvolvimento não foi observado para os
procedimentos relativos à fase de projeto. Isto fica evidente, observando que a norma
para o cálculo de alvenaria de blocos de concreto ainda é baseada no método das
tensões admissíveis. A norma que regulamenta o cálculo das estruturas de concreto
armado, desde a década de 70, já adota o método dos estados limites para a verificação
da segurança.
Em relação às diversas normas que tratam da alvenaria, percebe-se uma situação
contraditória, pois a norma que regulamenta a aceitação de blocos, a NBR 7186:1982, e
a de execução e controle, a NBR 8798:1985 têm como base o valor característico da
resistência dos prismas, enquanto a NBR 10837:1989 utiliza como critério para o
dimensionamento o valor médio desta resistência.
Na engenharia estrutural, o método das tensões admissíveis para
dimensionamento e verificação da segurança é considerado antiquado, e não atende às
necessidades de desenvolvimento do projeto com critérios mais realistas e com maior
controle sobre a segurança.
Atualmente, a NBR 10837:1989 está em fase de revisão, sendo que a principal
alteração consiste na introdução da segurança com base no método dos estados limites.
Esta alteração torna-se necessária em função das disparidades entre as normas que
tratam da alvenaria estrutural no Brasil e do avanço que esta nova abordagem da
Introdução 2
segurança representará para o desenvolvimento da fase de projeto e, conseqüentemente,
do sistema construtivo como um todo. Tal alteração demandará um estudo profundo dos
conceitos envolvidos e da verificação cuidadosa das implicações decorrentes desta
alteração.
Introdução 3
1.1 Breve Histórico
Uma das características do início da civilização foi a construção de moradias e o
esforço para que elas se tornassem duráveis, sendo largamente utilizados blocos de
pedra, de argila e outros materiais. Segundo CAMACHO (1986), em construções
assírias e persas de 10000 a.C. já eram utilizados blocos de argila queimados ao sol.
Porém, essas antigas construções basicamente eram erguidas pelo empilhamento de
unidades dos materiais. Talvez os mais célebres exemplos sejam as grandes pirâmides
egípcias.
O uso da alvenaria com função estrutural também não é recente. Grandes obras
já eram erguidas utilizando-se dimensionamentos empíricos, baseados na intuição sobre
a forma como as cargas deveriam ser transportadas pelos elementos resistentes até o
solo. Seguindo essa técnica, obras importantes foram construídas, como o Coliseo de
Roma (82 a.C.). Este grande teatro era suportado por arcos, que se apoiavam em pilares
formando pórticos.
O uso de arcos permitiu a construção de estruturas com grandes vãos, em que os
esforços predominantes eram de compressão. Grandes catedrais da idade média
possuem esses elementos para sua sustentação e que promovem amplos espaços
internos. Vários estudiosos tinham a preocupação de conhecer melhor o comportamento
dessas estruturas, o que resultou em algumas teorias, como a de Leonardo da Vinci, que
procurava explicar o mecanismo interno de ação entre os elementos de um arco.
Com o surgimento do aço e do concreto, no fim do século XIX, a alvenaria foi
relegada à função de vedação, estética, ou estruturas de pequeno porte. A inovação que
estes novos materiais representaram era mostrada pela variedade de arranjos possíveis,
maior esbeltez dos elementos resistentes e rápido desenvolvimento do conhecimento
técnico. Outro importante motivo para a rápida expansão da nova técnica de construir
era o baixo custo energético de produção dos materiais, que também os tornava
financeiramente competitivos.
Em busca de novas alternativas, em função da limitação dos recursos disponíveis
e do crescente déficit habitacional, a alvenaria voltou a ser observada como uma
importante técnica de construção, sendo desenvolvidos vários estudos científicos. Pode
ser mencionado como marco desta retomada da alvenaria estrutural, o estudo publicado
Introdução 4
em 1923 por Brebner
1
. CAMACHO (1986) afirma que, a partir desse momento, o
conhecimento sobre a alvenaria cresceu mais do que todo o adquirido ao longo de
muitos anos. Isto porque muitas pesquisas que se desenvolveram buscavam explicar o
comportamento das estruturas de alvenaria perante variados tipos de solicitações.
Na Suíça, Paul Haller construiu um edifício em alvenaria não armada de 13
pavimentos, que é considerado como marco inicial da utilização de métodos mais
racionais para o dimensionamento de estruturas em alvenaria. RAMALHO & CORRÊA
(2003) atestam que o dimensionamento ocorreu com critérios muito parecidos com os
atuais, e que o valor obtido para a espessura das paredes internas mais solicitadas, 15
cm, seria muito próximo do obtido se fossem adotados os critérios atuais de
dimensionamento.
No Brasil, ocorreu maior demora no emprego da alvenaria com blocos
estruturais, sendo que apenas no final da década de 60 começaram as obras com esta
técnica, com a construção de blocos de apartamentos de quatro pavimentos em São
Paulo. Edifícios de maior porte foram erguidos em alvenaria armada de blocos de
concreto, em que, provavelmente, os projetistas e construtores foram influenciados pela
tecnologia deste tipo específico de alvenaria existente nos Estados Unidos.
Segundo CAMACHO (1986), as pesquisas tiveram um início posterior ao
emprego da alvenaria estrutural, o que gerou um desenvolvimento lento. Porém, nos
últimos anos, muitos estudos realizados propiciaram um maior conhecimento dos
materiais e do comportamento das estruturas, contribuindo para o aumento do emprego
desse sistema construtivo atualmente no Brasil.
A chegada tardia ao Brasil ocasionou um atraso no desenvolvimento da
normalização em relação a outros países. Porém, muitas pesquisas, contribuindo para
mudar esta situação foram realizadas e outras estão em andamento, e que serão de
grande ajuda para a consolidação da alvenaria estrutural, não só de blocos de concreto,
mas também considerando outros materiais.
1
Disponível em < http://www.bia.org/pdfs/17.pdf >. Acesso em 10/07/2004.
Introdução 5
1.2 Objetivos
O presente trabalho tem como objetivo principal dar contribuições para a
adaptação da atual norma brasileira que trata do cálculo de alvenaria de blocos vazados
de concreto, para que a mesma venha a incorporar o método dos estados limites. Tal
método será a base para a alteração da forma de verificar a segurança em projetos de
edifícios de alvenaria estrutural de blocos de concreto. Conseqüentemente, as
discordâncias conceituais entre as normas que tratam de alvenaria estrutural serão
corrigidas. Com este novo conceito incorporado, será possível utilizar a norma de ações
e segurança nas estruturas, NBR 8681:2003, para definir as ações e suas diversas
combinações nas estruturas de alvenaria, de modo semelhante ao que se faz nas
estruturas de concreto e aço, por exemplo.
Como objetivo específico será feito um estudo do texto base para a revisão da
NBR 10837:1989, que será avaliado através de uma comparação com o Eurocódigo
6:1996, baseado nos estados limites. Assim, em situações típicas de projeto de
estruturas de alvenaria poderão ser apresentadas as implicações práticas de tal
adaptação.
Dentro das situações típicas de projeto, pretende-se ainda, apresentar roteiros
para o dimensionamento e a verificação de vários elementos de alvenaria, submetidos a
diversos tipos de solicitações. Pretende-se também, avaliar os estados limites de serviço
para cada caso estudado, quando oportuno.
1.3 Justificativas
Em um contexto de economia estável e concorrência acirrada no mercado da
construção civil, é crescente a busca por formas mais racionais de emprego dos
materiais, com objetivos de redução de custos e uma avaliação mais realista e segura
das estruturas.
Quando se avaliam os custos das estruturas de concreto e de alvenaria, nota-se
esta última ser bastante atrativa, com valores sistematicamente menores, sendo este um
dos principais fatores para o rápido crescimento do número de edifícios de alvenaria
estrutural. A maior facilidade na organização da construção, com significativa redução
Introdução 6
do desperdício de materiais, a qual só pode ser conseguida com uma mão de obra
qualificada, são contribuintes para a escolha desse processo construtivo.
Porém, a adoção de uma forma mais racional de se avaliar as estruturas de
alvenaria só é possível com a substituição do método atualmente utilizado. O
procedimento atual, baseado em tensões admissíveis, pode fornecer informações
distorcidas, por considerar que a estrutura, ao longo de sua vida útil, apresentará um
comportamento linear. Não é possível a interpretação do coeficiente interno,
i
γ
, como
um coeficiente externo, e também, por haver somente a preocupação com a relação
entre o carregamento de serviço e o de ruptura.
Atualmente, o uso das diversas normas que tratam da alvenaria no Brasil, como
a que envolve o controle da execução e a norma que regulamenta o cálculo, gera
confusão entre os profissionais pelas discordâncias existentes entre elas, como visto no
início deste capítulo. Esta discordância é inaceitável, visto o uso cada vez mais
difundido da alvenaria estrutural em edificações.
Desta forma, o método dos estados limites caracteriza o desenvolvimento natural
da norma brasileira de cálculo de alvenaria, por possibilitar a definição de critérios mais
realistas para a resistência das estruturas, dos materiais e para as condições de serviço.
Permite, ainda, uma melhor previsão das condições de segurança das estruturas. Para as
estruturas de concreto armado, há muitos anos já é utilizado o método dos estados
limites, o que denota a necessidade de avanço, tardio, mas necessário da alvenaria
estrutural.
A revisão bibliográfica do assunto mostra que é muito reduzido o número de
trabalhos em língua portuguesa que tratam do dimensionamento e verificação das
estruturas de alvenaria com base no método dos estados limites. Mais especificamente,
os que se propõem a realizar um estudo comparativo entre as normas internacionais em
estados limites com a NBR 10837:1989, e que auxiliem o processo de adaptação da
norma de cálculo brasileira.
Introdução 7
1.4 Metodologia
A princípio foi realizado um estudo das principais normas internacionais que
tratam da alvenaria com base no método dos estados limites: a norma britânica, BS
5628:1992 e o Eurocódigo, EC 6:1996. Com maior ênfase à última, dada sua
importância em relação à comunidade européia. Foram estudados todos os aspectos
contidos em tais normas que tratem do dimensionamento e da verificação das estruturas.
Foram observados os coeficientes de majoração das ações e minoração das
resistências contidos no texto base para a revisão da NBR 10837:1989, comparando-os
com o contidos no EC 6:1996.
Em seguida foram escolhidas situações típicas de projeto que representem os
casos mais importantes das solicitações dos elementos de alvenaria. Nesta fase, sempre
que oportuno, foram comparadas as considerações do EC 6:1996 e do texto base para a
revisão com as da NBR 10837:1989.
Para um melhor entendimento das prescrições do EC 6:1996 e do texto base
para revisão é efetuado o dimensionamento dos elementos escolhidos para as situações
mais comuns de solicitações, bem como a avaliação dos estados limites de serviço.
Esses resultados passarão por um estudo comparativo com os obtidos pelo uso da NBR
10837:1989.
Com base na análise comparativa das diversas situações de projeto, será
formalizada a proposta para a adaptação da norma nacional.
1.5 Organização do Trabalho
No capítulo 2 é apresentada a revisão bibliográfica com uma breve descrição da
história da evolução dos métodos de verificação da segurança. O método das tensões
admissíveis e o método dos estados limites são estudados, e são apresentadas as
principais vantagens do segundo em relação ao primeiro. Procura-se organizar os
principais trabalhos que auxiliaram o desenvolvimento da presente pesquisa em ordem
cronológica.
Introdução 8
No capítulo 3 são descritas as normas analisadas neste trabalho, a NBR
10837:1989, em tensões admissíveis, o EC 6:1996 e o texto base para revisão da NBR
10837, estes dois últimos em estados limites. São colocadas as principais prescrições de
cada norma com o intuito de facilitar a compreensão dos exemplos.
O capítulo 4 traz exemplos de aplicação das três normas citadas anteriormente.
São mostrados os dimensionamentos de elementos de alvenaria submetidos à
compressão simples, flexão simples, cisalhamento e flexão composta. Em seguida,
ocorre uma análise comparativa dos resultados obtidos entre as três normas estudadas.
Por fim, no capítulo 5, estão os comentários e as conclusões finais deste
trabalho.
Revisão bibliográfica 9
2REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 Introdução
Este capítulo mostra um estado da arte sobre a verificação da segurança estrutural
com o objetivo de situar o trabalho entre as várias pesquisas já efetivadas. A princípio
procurou-se apresentar um resumo da história da evolução dos métodos de verificação
da segurança, para em seguida analisá-los separadamente. Desejou-se descobrir o que já
havia sido investigado sobre o assunto, com ênfase a trabalhos voltados para a alvenaria
estrutural. Os principais trabalhos encontrados foram reunidos em ordem cronológica no
final do capítulo.
2.2 Evolução da Verificação da Segurança Estrutural
“Se um construtor ou mestre de obras construiu uma casa para um homem, mas
se a obra não foi realizada convenientemente e se a casa que construiu ruir e causar a
morte do dono da casa, esse construtor deverá ser morto. Se causar a morte do filho do
dono dessa casa, o filho do construtor deverá ser morto”
2
. Essas são as regras
profissionais, com relação à segurança nas construções do antigo código do Rei
Hammurabi, podendo ser considerado o primeiro ou um dos primeiros documentos que
tratam da segurança estrutural.
Uma estrutura é projetada considerando três aspectos fundamentais: segurança,
economia e durabilidade.
O conceito de segurança é qualitativo e diz respeito à capacidade da estrutura de
resistir às distintas ações que venham a solicitá-la durante sua vida útil, não sendo
2
Disponível em:< http://planeta.terra.com.br/arte/hammurabi/leis.html>. Acesso em 15 / 08 / 2004.
Revisão bibliográfica 10
atingidos estados de desempenhos patológicos, e mantendo as condições de
funcionamento a que foi destinada.
Desde a antiguidade os construtores deparavam-se com o problema de conseguir
a resistência apropriada para as estruturas. Nas antigas construções, como a da Figura
2.1, as dimensões das seções críticas eram determinadas de acordo com formulações
empíricas que levavam em consideração, mesmo que implicitamente, um coeficiente de
segurança, como também uma parcela de sobrecarga, além de uma determinada
resistência do material empregado.
Figura 2.1 - Aqueduto erguido pelo Imperador Romano Trajano. Segóvia,
Espanha
3
.
Era evidente que nem o engenheiro nem o autor das formulações empíricas
conheciam suficientemente as suposições básicas em relação ao comportamento dos
materiais e das estruturas para tal dimensionamento, contentando-se somente com a sua
experiência e a sua intuição. Os construtores executavam as obras baseados em
construções anteriores que eram consideradas adequadas em relação à resistência
estrutural.
Este método intuitivo utilizado pelos construtores desde tempos remotos tinha
como única preocupação e propósito obter construções seguras, pois ainda não havia a
intenção de quantificar a segurança.
Como explica FUSCO (1976), as modificações que eventualmente ocorriam em
novas construções eram de pequeno porte, em conseqüência de muitos anos de tradição.
3
Disponível em: <http://www.calendario.cnt.br/maravilhas02.htm>. Acesso em 25 / 05 / 2004.
Revisão bibliográfica 11
A tradição era de se conceber a segurança das estruturas em função de sucessos ou
fracassos de construções semelhantes anteriores. Hoje, essa metodologia conduziria a
estruturas que seriam consideradas antieconômicas.
A evolução esquemática da segurança estrutural é ilustrada na Figura 2.2, onde o
nível ou grau de confiança, o qual reflete diretamente no custo da construção, é
relacionada com o tempo. Quando a estrutura é construída pela primeira vez, o nível de
segurança é alto, pela falta de experiência e confiança dos calculistas, e que resulta em
estruturas “pesadas”. Com as experiências bem sucedidas o nível de segurança vai
diminuindo gradualmente, pois a confiança dos calculistas aumenta e que resulta em
estruturas cada vez mais “leves”. Esta tendência continua até ocorrer uma falha, muitas
vezes trágica, com perda de vidas. Em reação, as exigências de segurança aumentam, na
maioria das vezes mais do que o necessário. O processo vai sendo repetido, cada vez
mais se aproximando do que pode ser considerado como dimensionamento ótimo.
Figura 2.2 - Evolução da segurança ao longo do tempo. Adaptado de HENRIQUES (1998).
I - Período de dimensionamento conservador, com nível de segurança
muito elevado.
II - Aumento da confiança, graças a experiências bem sucedidas, com
diminuição gradual do nível de segurança.
III - Ocorrência de falha na estrutura, geralmente catastrófica.
Revisão bibliográfica 12
IV - Aumento do nível e segurança para as estruturas seguintes, uma
compensação por causa do medo de novas falhas estruturais.
Essa abordagem empírica, dependente da intuição e da experiência do
construtor, perdurou até princípios do século XIX, quando estruturas com peças de
ferro, de dimensões bem menores que as tradicionais, começaram a ser utilizadas.
Com o grande desenvolvimento nas indústrias, principalmente a siderúrgica,
estimulada pela revolução industrial que ocorria, aumentou a necessidade de se
conhecer a mecânica das estruturas, sendo criadas e aperfeiçoadas teorias que
reproduziram os diversos comportamentos estruturais com precisão cada vez maior.
Conforme ZAGOTTIS (1974), foi possível definir-se com mais precisão o
comportamento reológico dos materiais, determinando os esforços internos,
deslocamentos e deformações causados por um dado carregamento e definindo critérios
de resistência dos materiais. Sob este contexto, consolidou-se a Mecânica das
Estruturas.
Com as teorias desenvolvidas e a ajuda de processos numéricos ou gráficos
determinou-se o comportamento das estruturas. Tal desenvolvimento permitiu que o uso
dos requisitos de segurança previamente estabelecidos disponibilizassem projetos mais
racionais para as construções.
Paralelamente ao desenvolvimento das teorias, eram aperfeiçoados métodos
experimentais. Assim, foi possível a verificação experimental das teorias quantitativas
existentes. Os estudos experimentais dos materiais realizados em grandes laboratórios
de pesquisa foram incentivados pelo desenvolvimento de equipamentos de ensaio e de
aquisição de dados.
A utilização dos novos materiais, como o aço e o concreto, não mais permitia o
emprego dos métodos antiquados de verificação da segurança, em função apenas da
experiência adquirida ao longo dos anos. Existia a necessidade de se estabelecer uma
medida de segurança para as novas construções, com base em novas teorias, pois não
havia modelos anteriores a serem utilizados.
Como primeira regra de avaliação de segurança com base científica foi criado o
conceito de tensões admissíveis. Neste método considerava-se que os esforços podiam
ser analiticamente determinados admitindo-se um comportamento elástico linear, dado
Revisão bibliográfica 13
um modelo que considerava elementos resistentes suficientemente simples. Os modelos
simplificados formulados para análise elástica levaram ao cálculo de tensões.
Segundo HENRIQUES (1998), durante cerca de um século, para variadas
estruturas, este critério de segurança foi aceito. Neste intervalo, os progressos que
ocorreram, relativos ao melhoramento das técnicas de produção dos materiais utilizados,
e em relação a um maior conhecimento da mecânica estrutural e das cargas aplicadas,
resultaram em redução e diversificação do coeficiente de segurança.
Contudo, as falhas contidas no método das tensões admissíveis, que serão
discutidas mais adiante, em conjunto com a noção de que a segurança deveria ser
estabelecida contra estados de ruptura e não em condições de utilização normal, e a
necessidade de controlar de forma racional o risco, conduziram o desenvolvimento da
noção da segurança sob uma perspectiva probabilística. Desta forma, surgiu o conceito
de probabilidade de ruptura, o qual era associado às variadas situações que deveriam ser
evitadas e a identificação dos níveis de risco.
Novos critérios de verificação da segurança com base probabilística surgiram
como resultado da nova interpretação da segurança estrutural. Com estes critérios
procurou-se definir estados limites ou situações a evitar e a gravidade das conseqüências
caso esses estados limites fossem atingidos. Também foram determinados coeficientes
de segurança e ferramentas adequadas para garantir que a probabilidade de serem
alcançados os estados limites fosse suficientemente pequena, ou aceitável de acordo
com as estimativas sobre a gravidade de se atingir tais estados.
Nesse contexto foi desenvolvido o conceito de dimensionamento nos estados
limites, o qual foi introduzido na engenharia civil a partir da segunda metade do século
XX. Desenvolvido na Rússia foi, segundo SÁLES et al (2004), a primeira tentativa de
organizar a análise estrutural, inclusive a especificação das ações e a análise da
segurança.
Neste método é estipulado um limite de carregamento que, acima do qual a
estrutura não terá condição de utilização. Quando o limite for ultrapassado e a estrutura
for considerada insegura é caracterizado um estado limite último. Se acima de um dado
limite definido, não for possível o uso da estrutura, mesmo não sendo considerada
insegura, fica caracterizado o estado limite de serviço.
Revisão bibliográfica 14
Segundo ZAGOTTIS (1974), a introdução do método dos estados limites
proporcionou significativo progresso em relação ao método das tensões admissíveis.
Porém considera que o método dos estados limites significa um estágio intermediário do
desenvolvimento das normas de cálculo. E prevê ainda que a conceituação
probabilística juntamente com teorias adequadas para a tomada de decisão constituirão a
meta a ser atingida para a prática do projeto estrutural.
BORGES (1997) confirma a previsão citada anteriormente e resume em um
quadro os principais avanços dos conceitos probabilísticos aplicados nos códigos
normativos. São descritas as situações que ocorriam no passado, antes da introdução dos
conceitos probabilísticos, com a situação atual e o esperado para o futuro, como é
mostrado a seguir:
Tabela 2.1 - Evolução da probabilidade com base nos códigos.
Passado Presente Futuro
O método determinístico
não oferecia uma base
racional para conceituar a
segurança.
O método probabilista é
largamente usado na
formulação dos problemas
de segurança estrutural.
O método probabilista
poderá ser combinado com
a teoria adequada para
tomada de decisões e a uma
idealização estratégica, de
acordo com o tipo de
problema.
A decisão fundamental
consiste em limitar a tensão
para valores aceitáveis,
sendo os valores baseados
em experiências anteriores.
A decisão fundamental
consiste em limitar a
probabilidade de ruína ou o
índice de confiabilidade.
As decisões serão baseadas
numa formulação sócio-
econômica do problema,
com especial atenção à
comparação entre custo e o
benefício.
Havia um dilema entre a
escolha de modelos
elásticos ou plásticos para
os métodos de projeto.
Os computadores podem
resolver a maioria dos
problemas estruturais, quer
seja com linearidade,
plasticidade ou com
comportamento não-linear.
Haverá um claro
entendimento do campo de
aplicação das diferentes
teorias estruturais. A
aleatoriedade do
comportamento estrutural
será devidamente
considerada.
Revisão bibliográfica 15
2.3 O Método das Tensões Admissíveis
No método das tensões admissíveis as cargas de projeto são determinísticamente
admitidas como os valores máximos concebidos para atuarem ao longo da vida útil da
estrutura. As máximas tensões que poderão ocorrer na estrutura devido à sua utilização
não devem ultrapassar o valor das correspondentes tensões de ruptura ou de escoamento
dos materiais, divididas por um coeficiente de segurança interno, γ
i
, maior que a
unidade. O quociente da tensão de ruptura, ou de escoamento do material pelo
coeficiente de segurança interno é denominado tensão admissível.
Pode-se também descrever este método como o adotado para assegurar que, nas
zonas críticas da peça, as resistências dos materiais divididas por um coeficiente de
segurança previamente fixado, denominado coeficiente de segurança interno, não sejam
ultrapassadas pelas tensões máximas produzidas pelo carregamento.
O uso do coeficiente interno foi contestado ao perceber-se que em algumas
situações ocorria grande proximidade do carregamento de utilização da estrutura ao que
caracterizaria a ruptura. Como por exemplo, o caso de pilares engastados na base e
livres na extremidade superior. Segundo ZAGOTTIS (1974), a distância quase
inexistente entre as duas condições de carregamento se deve à perda de linearidade
geométrica. Este foi um dos principais argumentos contra o uso exclusivo do coeficiente
de segurança interno. Como conseqüência, em elementos que podem apresentar
problemas de flambagem e que não possuam contenções laterais adequadas, foi
introduzido o coeficiente de segurança externo, γ
e
. Para as demais solicitações ainda
seria usado o coeficiente interno.
Assim, o método passou a introduzir a segurança de duas maneiras diferentes.
Na primeira, para elementos submetidos a solicitações, como as de tração por exemplo,
é utilizado o coeficiente de segurança interno. Na segunda, para os elementos que
podem apresentar flambagem e que não possuem contenções laterais adequadas, é
utilizado o coeficiente de segurança externo. Numa estrutura sujeita a determinado
carregamento, deve-se multiplicar o coeficiente externo ao valor do carregamento para
se obter um novo carregamento, proporcional ao primeiro, que produza a ruptura ou o
colapso da estrutura.
Revisão bibliográfica 16
Pelo que foi apresentado, pode-se afirmar que o método das tensões admissíveis
procura estabelecer uma medida de segurança das estruturas e uma metodologia para a
introdução da segurança nos projetos estruturais.
Sobre estes dois aspectos observam-se falhas consideráveis. A principal é a
distância que o método introduz entre uma situação de uso da estrutura e aquela que
corresponderia ao colapso, devido às relações estarem em tensões. Conseqüentemente, a
idealização do comportamento da estrutura deveria ser feita de maneira conservadora
para que as estimativas teóricas fossem seguras. ZAGOTTIS (1974) afirma que esta
distância ficaria “melhor definida procurando estabelecer uma relação entre os
carregamentos correspondentes a situações de uso e ruptura da estrutura do que
estabelecer a relação entre as tensões relacionadas a tais situações”.
No método não ocorre a verificação de situações de serviço que poderiam
invalidar o uso da estrutura, como por exemplo, o surgimento de grandes deformações,
entre outros.
Com relação ao coeficiente de segurança interno, sua utilização é baseada na
consideração de que a estrutura ao longo de sua vida apresenta um comportamento
linear, ou seja, a estrutura apresentaria proporcionalidade entre a intensidade do
carregamento e a intensidade das tensões. Porém, o comportamento linear da estrutura
só ocorre enquanto existir a linearidade física e linearidade geométrica. E observa-se
que a maioria das estruturas deixa de apresentar reposta linear antes do colapso ou
ruptura, por perder linearidade geométrica ou linearidade física.
SÁLES et al (2004) afirmam que o método das tensões admissíveis não possui
precisão adequada para retratar a condição de colapso, e também não permite uma
avaliação confiável dessa condição. Consideram ainda que, como não é um método
realista, poderia representar perigo uma redução do coeficiente de segurança, mesmo
sendo esta uma tendência natural à medida que a experiência e confiança do calculista
aumentam.
Por fim, deve ser observado que o método não oferece meios necessários para a
análise de todos os fatores que determinam o projeto estrutural. É evidente que, além
das tensões, outros efeitos como deformações, fissuração, entre outros, devem ser
analisados no projeto estrutural.
Revisão bibliográfica 17
2.4 O Método dos Estados Limites
Neste método, o nível de segurança de uma estrutura é determinado pela
capacidade que ela possui de suportar as várias ações que vierem a solicitá-la durante
sua vida útil, sem atingir qualquer estado limite último ou estado limite de serviço.
Os estados limites últimos estão relacionados ao esgotamento da capacidade
resistente da estrutura, ou seja, ao colapso. Estes deverão ter uma probabilidade de
ocorrência pequena, pois a sua ocorrência pode resultar em perda de vidas humanas. Os
estados limites últimos podem ter origem nas seguintes causas:
1. Perda de estabilidade de uma parte ou do conjunto da estrutura, assimilidada a
um corpo rígido;
2. Transformação da estrutura original em uma parcial ou totalmente hipostática;
3. Instabilidade por deformação;
4. Deformações elásticas ou plásticas, deformação lenta e fissuração que
provoquem uma mudança de geometria que exija uma substituição da estrutura;
5. Ruptura das seções críticas da estrutura;
6. Propagação de um colapso (colapso progressivo ou falta de integridade
estrutural);
7. Grandes deformações, transformação de mecanismo e instabilidade global.
FUSCO (1974) acrescenta ainda o estado limite último relacionado à
sensibilidade da estrutura ao fogo, explosão, repetição das ações, etc.
Os estados limites de serviço correspondem a limites estabelecidos que, se
obedecidos, garantem que o comportamento da estrutura será adequado para sua
utilização normal e durabilidade. Uma maior probabilidade de ocorrência é permitida
para os estados limites de serviço, pelo fato de não representarem situações de risco de
morte. Podem ter origem nos seguintes fenômenos:
1. Deformações excessivas para uma utilização normal da estrutura;
2. Danos locais excessivos por fissuração, corrosão, etc., e que afetam a aparência,
a utilização ou durabilidade da estrutura;
3. Deslocamentos excessivos sem perda de equilíbrio;
Revisão bibliográfica 18
4. Vibrações excessivas;
O método dos estados limites permite um processo mais racional para o
dimensionamento, pois envolve a identificação de todos os modos de colapso ou
situações em que a estrutura deixaria de atender os requisitos para os quais foi
projetada, e a determinação de níveis satisfatórios de segurança para cada estado limite.
O dimensionamento pelo método dos estados limites proporciona uma melhor
compreensão dos requisitos que uma estrutura deve atender, e qual o comportamento
que a estrutura deve possui para atender tais requisitos. Segundo SÁLES et al (2004) é
uma ferramenta que ajuda o calculista a avaliar situações de projeto atípicas, simplifica
o processo de dimensionamento e permite a atualização das normas de maneira mais
racional.
2.5 Principais Trabalhos
FUSCO (1974) procurou contribuir com a reformulação da norma brasileira de
projetos de estruturas de concreto, procurando contribuir com a revisão da NB-1. A
principal meta do trabalho era a modificação da forma de se verificar a segurança em
estruturas de concreto com aplicação do método semi-probabilístico dos estados limites.
O autor tomou como base as recomendações do CEB-FIP. Procurou esclarecer os
conceitos envolvidos no método probabilístico e semi-probabilístico. Ao final, concluiu
que havia a necessidade de uma regulamentação minuciosa dos coeficientes de
ponderação e das condições de determinação dos valores de cálculo, através de
propostas objetivas de normalização.
ZAGOTTIS (1974) introduziu os conceitos de segurança estrutural, inicialmente
analisando o caráter histórico da verificação da segurança até o desenvolvimento do
método das tensões admissíveis. Vários exemplos de pilares e vigas, submetidos a
diferentes tipos de carregamentos foram apresentados e serviriam para mostrar as falhas
do método das tensões admissíveis, e como argumentos inegáveis para a substituição do
antigo método por um método mais racional. Contribuiu com o meio técnico com várias
considerações sobre as principais características do método em estados limites. Realizou
um estudo detalhado sobre os métodos probabilísticos, especificamente o método
probabilista puro, o condicionado e o semi-probabilístico. Concluiu que o método
Revisão bibliográfica 19
probabilista puro, em conjunto com critérios decorrentes da teoria da decisão,
constituiria o objetivo a ser alcançado na prática corrente do projeto estrutural e,
portanto, ocorreria o abandono da utilização dos coeficientes parciais de segurança.
GOMES (1983) realizou um estudo experimental de paredes armadas e não
armadas de blocos cerâmicos submetidas à compressão simples, em que foram
observados os modos de ruptura dessas paredes. Comentou sobre a avaliação da
segurança estrutural através do método das tensões admissíveis e os fatores que compõe
o coeficiente de segurança utilizado neste método. Realizou a análise de várias normas
estrangeiras, todas com base em conceitos determinísticos. Em seguida descreveu a
norma britânica BS 5628:1978 em estados limites. Com o intuito de demonstrar os
procedimentos adotados pela norma britânica, apresentou um exemplo de determinação
de resistência característica e de cálculo de uma parede de alvenaria, para diferentes
tipos de controle de qualidade. Nas suas conclusões, apontou à necessidade de um
rigoroso controle de qualidade na execução e produção dos blocos. Porém não produziu
nenhum resultado com a BS 5628:1978, de forma que fosse possível alguma
comparação com as várias normas em tensões admissíveis apresentadas na dissertação.
CAMACHO (1986) seguiu a mesma linha de estudo do autor citado
anteriormente, enfatizando o aspecto estrutural das obras em alvenaria. Mostrou a
análise do comportamento da alvenaria não armada quando submetida aos esforços de
compressão. É importante destacar o estudo das paredes de contraventamento, com a
consideração do problema de estabilidade lateral e discussão de diferentes métodos para
o cálculo dos esforços. Ao final do trabalho, constatou a tendência de que as normas que
tratam da alvenaria deixariam de utilizar o método das tensões admissíveis por um mais
racional. Desta forma ocorreria uma evolução na verificação da segurança adotando o
método semi-probabilístico dos estados limites. Determinou quatro etapas que seriam
fundamentais para o desenvolvimento da alvenaria estrutural no Brasil: a normalização
de ensaios em alvenaria estrutural, o estudo e execução de programas de ensaios, a
elaboração de uma norma nacional baseada nos materiais e mão-de-obra, e a previsão de
uma disciplina sobre alvenaria estrutural nos cursos de engenharia.
OLIVEIRA (1992) apresentou em sua dissertação os principais aspectos
tecnológicos, de recomendações normativas, dimensionamento em tensões admissíveis,
detalhes construtivos e controle de qualidade para alvenaria de blocos vazados de
concreto. E em OLIVEIRA JR & PINHEIRO (1994) determinaram a resistência à
Revisão bibliográfica 20
compressão de paredes de alvenaria de um edifício residencial pelo método dos estados
limites, de acordo com as recomendações da norma inglesa BS-5628:1978 parte 1. Em
seguida, dimensionaram a mesma parede do edifício pelo método das tensões
admissíveis. A comparação dos resultados obtidos pelos dois métodos mostra valores de
resistência necessária à parede com mesma ordem de grandeza. Apesar disto,
concluíram que o método semi-probabilístico propiciava uma maior facilidade para
eventuais correções ou adaptações, pois assegurava um maior entendimento do
processo. E que o uso do método dos estados limites reforçava a necessidade de um
melhor controle de qualidade na execução da obra e na fabricação dos componentes.
BASTOS (1993) forneceu informações que auxiliassem o projeto de edifícios
de alvenaria estrutural de blocos vazados de concreto, desde a sua concepção até o
dimensionamento dos principais elementos de alvenaria estrutural. Apresentou ainda
diferentes sistemas estruturais: sistema de paredes transversais, sistema celular e sistema
complexo. Em seguida descreveu as principais características da parede de alvenaria,
resistências e parâmetros de projeto. Baseado no método das tensões admissíveis
dimensionou elementos de alvenaria submetida à compressão axial, flexão simples,
flexão normal composta e esforço cortante. Porém, neste trabalho não se procurou
analisar as vantagens do método dos estados limites em relação ao das tensões
admissíveis, o objetivo era dar subsídios aos projetistas sobre a alvenaria estrutural,
ainda com base na NBR 1228:1985 – Cálculo de alvenaria estrutural de blocos vazados
de concreto. Nas suas conclusões sugere estudos verificação da alvenaria estrutural em
relação ao estado limite último e a importância de uma revisão da NBR 10837:1989.
CASTRO (1997) procurou conceituar a segurança baseada em métodos semi-
probabilísticos. Esclareceu os fundamentos teóricos de tal método e as vantagens que
este possui em relação ao método das tensões admissíveis. Conceituou a confiabilidade
de sistemas de engenharia e fez uma análise dos níveis de confiabilidade do cálculo em
tensões admissíveis. Também descreveu uma perspectiva futura para as normas de
cálculo estrutural. Numa fase inicial, ocorreria a substituição da antiga forma de
verificação da segurança pelo método dos estados limites. Na próxima etapa, o
problema da introdução da segurança seria resolvido mais adequadamente com
formulações probabilísticas e dados confiáveis das variáveis envolvidas no cálculo.
Concluiu que este próximo passo no desenvolvimento das normas em estados limites
Revisão bibliográfica 21
demandará mais pesquisas, a fim de obter dados estatísticos que proporcionem as bases
com as quais se desenvolverão métodos adequados para as situações de projeto.
VILATÓ (1998) estudou uma metodologia de projetos para edifícios em
alvenaria estrutural não armada. Com base em diversas pesquisas, buscou um método
para orientar o processo de projeto dentro dos princípios de racionalização construtiva.
Também tratou da introdução da segurança em alvenaria estrutural através de um estudo
comparativo entre as normas em tensões admissíveis, ACI-530-95 e NBR 10837, com a
norma em estados limites BS 5628:1978 parte 1. Concluiu que a definição da resistência
dos materiais e a introdução da segurança apresentavam-se como os aspectos mais
críticos no cálculo da estrutura, e que esta situação estava relacionada a falta de
pesquisas.
ACCETTI (1998) mostrou diversas considerações que envolvem a tomada de
decisão no projeto de edifícios de alvenaria estrutural. Exibiu critérios utilizados na
concepção estrutural dos edifícios, os modos de determinação das ações atuantes e sua
distribuição. Ainda descreveu os métodos para dimensionamento dos elementos em
relação a NBR-10837:1989. Descreveu os principais parâmetros existentes na norma,
como a resistência média dos prismas aos 28 dias, que deve ser tomada como base para
a determinação das tensões admissíveis, tanto na alvenaria armada como a não armada.
Desenvolveu equacionamento dos casos de flexão simples e composta e utilizou-se de
exemplos que simulam as situações de projeto. Vale salientar o exemplo estudado, um
edifício com quatro pavimentos inicialmente e em seguida considerando-o com oito
pavimentos. Entre as conclusões destaca-se a recomendação de evitar estruturas de
contraventamento assimétricas, devido aos esforços de torção no edifício, que tornariam
o cálculo da distribuição das ações mais complexo. E a utilização, para o edifício
analisado, de grupos isolados de paredes como procedimento para o cálculo da
distribuição das ações verticais, por ser seguro e razoavelmente econômico.
JOAQUIM (1999) tratou do dimensionamento e verificação das peças de
alvenaria com ênfase aos problemas de flexão. Fez um profundo estudo dos problemas
de flexão em alvenaria estrutural, considerou as hipóteses básicas e o equacionamento
para a flexão simples e composta. Vale destacar, dada a raridade de trabalhos que se
dedicam a este tema, o estudo da flexão composta oblíqua. Este tipo de flexão foi
estudado desde o seu equacionamento, incluindo as equações de compatibilidade, de
deformações e as de equilíbrio até a determinação dos esforços resistentes da seção.
Revisão bibliográfica 22
Como resultado, foram desenvolvidos aplicativos para a análise de seções retangulares
de alvenaria submetidas à flexão simples, composta reta e à flexão composta oblíqua.
Concluiu que a implementação de aplicativos de caráter prático é tarefa viável dentro da
engenharia de estruturas. Também indicou a necessidade de estudos conclusivos sobre a
relação tensão-deformação na alvenaria, uma vez que esta relação é um parâmetro
importante na análise da flexão.
ANDRADE (2000) propôs um novo modelo para verificação da segurança das
estruturas de alvenaria, tomando como base conceitos relativos aos métodos de
verificação da segurança e fundamentos sobre estabilidade das estruturas. A partir dos
estudos, procurou desenvolver um modelo de cálculo para paredes de alvenaria
estrutural submetidas à compressão, de acordo com os fundamentos do método dos
estados limites. Em seguida tentou calibrar o modelo, comparando os resultados obtidos
a partir deste modelo de cálculo com algumas experimentações físicas de outros
pesquisadores. Na maioria das comparações com os resultados experimentais, os valores
não foram coerentes com o modelo desenvolvido, o que impossibilitou sua calibração.
Segundo o autor, tal fato ocorreu por causa do tipo de pórtico utilizado nos ensaios das
paredes, o qual não garantia rigidez suficiente, de forma a se obter travamento no topo
da parede e distribuição uniforme da carga sobre a mesma. Sugeriu um esquema de
ensaio de parede que garanta as condições de contorno citadas. Concluiu ainda que o
modelo de cálculo desenvolvido, baseado no método dos estados limites, ainda
demandaria tempo, pois ainda havia a necessidade da definição de vários parâmetros
que envolvem sua aplicação. Contudo, os conceitos apresentados sobre estados limites e
estabilidade das paredes de alvenaria são de grande interesse.
RAMALHO & CORRÊA (2003) trataram de diversos aspectos relacionados ao
projeto estrutural em alvenaria, de acordo com os conceitos das tensões admissíveis. Foi
dada atenção aos principais parâmetros para o dimensionamento de elementos conforme
as recomendações da NBR 10837:1989 e da BS-5628:1992. Com relação à
BS-5628:1992 os autores observaram uma maior complexidade para a determinação da
resistência de projeto de parede submetida à compressão, em comparação à norma
brasileira. Afirmaram ainda que os coeficientes de segurança parciais que ponderam as
ações são específicos para o cálculo da tensão atuante, e que contribuem para o aumento
da complexidade ao se utilizar o método dos estados limites. Porém, este método,
Revisão bibliográfica 23
mesmo exigindo inicialmente mais dos projetistas, trata de maneira mais racional e
realista a estrutura.
RABELO (2004) fez um importante estudo sobre o dimensionamento de
alvenaria estrutural segundo as recomendações do Eurocódigo 6:1996 em estados
limites. Estudou as considerações sobre a verificação da segurança de paredes de
alvenaria armada, para elementos submetidos à força cortante com e sem armaduras,
para vigas-parede submetidas a carregamento vertical, etc. Como aplicação prática
procedeu a análise de um edifício em alvenaria estrutural de quinze pavimentos, desde a
determinação das ações atuantes até o dimensionamento das paredes e lintéis. Concluiu
que o padrão de qualidade dos materiais e o processo construtivo são decisivos para a
definição do coeficiente parcial de segurança para a alvenaria estrutural e,
conseqüentemente, exercendo grande influência nos custos da obra.
Normas para Alvenaria Estrutural 24
3 NORMAS PARA ALVENARIA ESTRUTURAL
Neste capítulo são apresentados alguns pontos das normas NBR 10837:1989, o
EC-6:1996 e o texto de revisão proposto para a revisão da NBR 10837, que tenham
relação com os assuntos tratados no presente trabalho.
3.1 NBR 10837: 1989
Baseada em tensões admissíveis, a NBR 10837:1989 regulamenta as condições
de projeto de obras em alvenaria armada ou não-armada, considerando somente blocos
vazados de concreto.
As ações provenientes do vento serão estimadas somente em edifícios com mais
de cinco pavimentos. Em comparação, a NBR 6118:2003 recomenda a consideração das
ações ocasionadas pelo vento sem a restrição de número mínimo de pavimentos.
Questões relacionadas a impactos, explosões e colapso progressivo não são
consideradas, bem como comportamento térmico e acústico.
A seguir serão apresentadas as considerações da NBR 10837:1989 mais
relevantes ao trabalho.
3.1.1 Altura Efetiva
A altura efetiva das paredes e dos pilares é estabelecida em função das condições
de vínculo na base e no topo.
Se a parede possuir apoios nas extremidades superior e inferior, a altura efetiva
será igual à altura real (h
ef
= h). No entanto, se não houver apoio no topo, a altura
efetiva deverá ser duas vezes a altura real (h
ef
= 2h).
Normas para Alvenaria Estrutural 25
Para pilares, a NBR 10837:1989 considera duas situações. A primeira em que o
pilar, nas suas extremidades, dispõe de travamentos laterais nas direções dos eixos
principais. A altura efetiva será então a do pilar ou do enrijecedor. Para a situação em
que o pilar só possuir travamentos numa das direções principais do topo e em ambas
direções na base fica estabelecido que:
• Na direção do travamento no topo do pilar a altura efetiva é a altura entre os
apoios;
• Na direção que não dispõe de travamento no topo do pilar, a altura efetiva
será o dobro da altura acima da sua base.
Figura 3.1 – Altura efetiva de pilares. ABCI (1990).
3.1.2 Espessura Efetiva
A espessura de um pilar ou de uma parede resistente sem enrijecedores é sua
espessura real, sem a consideração dos revestimentos existentes.
Quando são utilizados enrijecedores, a NBR 10837:1989 estabelece um fator
multiplicador para a espessura efetiva, que pode contribuir para o seu aumento e
conseqüente redução do índice de esbeltez. No presente trabalho não serão considerados
os enrijecedores, por serem mais aplicáveis a edifícios industriais.
A norma especifica um valor mínimo de 14 cm para as paredes de alvenaria,
para pilares a espessura mínima aumenta para 19 cm podendo-se ainda optar por 1/15 da
altura efetiva do pilar de alvenaria não armada.
Normas para Alvenaria Estrutural 26
3.1.3 Esbeltez
A esbeltez é obtida pela razão entre a altura efetiva e a espessura efetiva, ou seja:
ef
ef
t
h
=λ
(3.1)
São ainda estabelecidos valores máximos, apresentados pela NBR 10837:
λ ≤ 20, para paredes e pilares não armados;
λ ≤ 30, para paredes e pilares armados.
Em comparação com o EC 6:1996, que limita a esbeltez em 27, a norma
brasileira parece apresentar valores mais conservadores e, como resultado, uma altura
disponível de parede menor do que a obtida com o código europeu.
3.1.4 Tensões Admissíveis na Alvenaria
Para a alvenaria armada e não-armada, as tensões admissíveis são usualmente
expressas em função da resistência do prisma aos 28 dias ou na idade em que a estrutura
estará submetida ao carregamento total. A NBR 10837:1989 também considera a
determinação da tensão admissível à compressão através do ensaio de paredes, o que
leva a uma adaptação do coeficiente de segurança para
γ
i
= 3,5, como pode ser
observado nas Tabelas 3.1 e 3.2.
Normas para Alvenaria Estrutural 27
Tabela 3.1 - Tensões admissíveis na alvenaria não-armada (NBR 10837).
Tensão admissível (MPa)
Tipos de solicitação
12,0 ≤ f
a
≤ 17,0 5,0 ≤ f
a
≤ 12,0
Parede 0,20 f
p
R ou 0,286 f
par
R 0,20 f
p
R ou 0,286 f
par
R
Compressão
simples
Pilar 0,18 f
p
R 0,18 f
p
R
Compressão na flexão
0,30 f
p
0,30 f
p
Normal à
fiada
0,15 (bloco vazado)
0,25 (bloco maciço)
0,10 (bloco vazado)
0,15 (bloco maciço)
Tensões normais
Tração na
flexão
Paralela à
fiada
0,30 (bloco vazado)
0,55 (bloco maciço)
0,20 (bloco vazado)
0,40 (bloco maciço)
Cisalhamento
0,25 0,15
As resistências das paredes e dos prismas se relacionam à resistência do bloco
através de um fator de eficiência, menor que a unidade, dado pela equação (3.2).
b
p
f
f
=η ou
b
par
f
f
=η
(3.2)
RAMALHO & CORRÊA (2003) apontam valores de eficiência prisma-bloco
que variam de 0,5 a 0,9 para blocos de concreto e de 0,3 a 0,6 para os cerâmicos. Com
relação à eficiência parede-bloco, esta varia de 0,4 a 0,6 para blocos de concreto,
enquanto para os cerâmicos de 0,2 a 0,5.
Normas para Alvenaria Estrutural 28
Tabela 3.2 - Tensões admissíveis na alvenaria armada (NBR 10837)
Tipos de solicitação
Tensão admissível Valor máximo
Parede 0,225 f
p
R
Compressão
Simples
Pilar
(0,20 f
p
+ 0,30 ρ f
s,c
) R
0,33 f
p
≤ 6,2
Compressão na flexão
0,33 f
p
6,2
Tensões Normais
Tração na flexão
--- ---
Vigas
0,09
p
f
0,35
Se 1
d
V
M
≥
×
0,07
p
f
0,25
Peças fletidas
sem
armadura
Pilares paredes
Se 1
d
V
M
<
×
0,17
p
f
0,35
Vigas
0,25
p
f
1
Se 1
d
V
M
≥
×
0,12
p
f
0,5
Cisalhamento
Peças fletidas
com
armadura
para todas as
tensões de
cisalhamento
Pilares paredes
Se 1
d
V
M
<
×
0,17
p
f
0,8
Em toda a espessura da parede
0,250 f
p
Em 1/3 da espessura (mínimo)
0,375 f
p
Tensão de
contato
Entre os limites acima
Interpolar entre os valores acima
Aderência
1,0
Onde:
f
p
: resistência do prisma.
f
a
: resistência da argamassa.
f
pa
: resistência da parede.
3
40
1R
λ
−= : fator de redução da resistência, relacionado a esbeltez.
Notas:
a) Pode-se também usar a resistência de paredes, ou seja, 0,286 f
par
R;
b) O intervalo de resistência das argamassas é o mesmo apresentado na Tabela
3.1.
Normas para Alvenaria Estrutural 29
Observando-se a Tabela 3.2 percebe-se a pequena contribuição do aço (12,5%)
para o aumento da tensão admissível na alvenaria armada nos casos de compressão
simples em paredes, e 10 % de aumento da tensão admissível para os casos de
compressão na flexão.
Tabela 3.3 - Tensões admissíveis no aço. NBR 10837.
Solicitação Armadura
Tensão admissível
(MPa)
Barras com mossas, f
yd
≥ 412 MPa e φ ≤ 32mm
165
Barras colocadas na argamassa de assentamento
0,50 f
yd
≤ 206
Tração
Outras armaduras 137
Armaduras de pilares
0,40 f
yd
≤ 165
Compressão
Armaduras em paredes 62
A pequena contribuição da armadura ocorre pela limitação imposta aos valores
de tensão admissível das armaduras. São mostradas na Tabela 3.3 as tensões
admissíveis, as quais estão bem abaixo da tensão de escoamento do aço, 500 MPa.
Conforme OLIVEIRA JR. (1992), procura-se evitar uma fissuração excessiva na
alvenaria com essa redução.
3.2 Eurocódigo 6:1996
Baseadas no método dos estados limites, as recomendações desta norma se
aplicam aos projetos de construções em alvenaria simples, armada, protendida e
confinada. Considera unidades cerâmicas, sílico-calcáreas, de concreto, concreto
celular, de pedra artificial ou natural com forma regular.
Considera as ações devidas ao vento em estruturas de qualquer porte, onde os
pormenores destas considerações encontram-se na parte 1-3 da referida norma.
Também aborda questões pertinentes à execução, buscando garantir a qualidade
dos materiais e da mão-de-obra para atender às hipóteses admitidas no projeto.
Recomenda considerar a eventualidade de explosões, impactos ou erros humanos.
Normas para Alvenaria Estrutural 30
Assim como a NBR 10837:1989, não descreve considerações em relação ao
comportamento acústico ou térmico.
3.2.1 Definições
• Classificação das unidades por grupos
As unidades de alvenaria são dividas em grupos com relação ao volume e a área
dos furos, como é apresentado pela Tabela 3.4.
Tabela 3.4 - Requisitos para a classificação das unidades de alvenaria. EC-6.
Grupos de unidades de alvenaria
1 2a 2b 3
Volume de
furos (%do
volume total)
(ver nota 1)
≤ 25
> 25-45 para
unidades
cerâmicas
> 25-50 para
unidades de
concreto
> 45-55 para
unidades de
argila
> 50-60 para
unidades de
concreto
(ver nota 2)
≤ 70
Volume de
qualquer
furo (% do
volume total)
≤ 12,5
≤ 12,5 para
unidades
cerâmicas
≤ 25 para
unidades de
concreto
≤ 12,5 para
unidades
cerâmicas
≤ 25 para
unidades de
concreto
Limitada pelo
volume
(ver abaixo)
Área de
qualquer
furo
Limitada pelo
volume
(ver acima)
Limitada pelo
volume
(ver acima)
Limitada pelo
volume
(ver acima)
≤ 2800 mm
2
exceto para
unidades de
um só furo,
quando este
for ≤ 18000
mm
2
Largura
equivalente
(% da
largura total)
≥ 37,5 ≥ 30 ≥ 20
Sem
exigências
1. Os furos podem ser verticais através da unidade de alvenaria, depressões ou
rebaixos.
2. Se existir experiência nacional baseada em ensaios que confirmem que a
segurança da alvenaria não é reduzida para limites inaceitáveis quando esta tem
uma proporção maior de furos, os limites de 55% para as unidades cerâmicas e de
60% para as unidades de concreto podem ser aumentados para as unidades de
alvenaria que são utilizadas no país com essa experiência nacional.
Normas para Alvenaria Estrutural 31
• Classificação das unidades em relação ao controle de produção.
Categoria I: Se o fabricante fornecer um conjunto de unidades de alvenaria com
resistência à compressão especificada e possuir um sistema de controle de qualidade, de
forma que os resultados demonstrem que o valor médio da resistência à compressão do
conjunto tenha uma probabilidade de não alcançar a resistência especificada à
compressão, inferior a 5%.
Categoria II: Quando o fabricante fornece a resistência à compressão de um
conjunto de unidades de alvenaria, mas não observa o requisito relativo ao controle de
qualidade.
• Propriedades das unidades de alvenaria
Resistência normalizada à compressão das unidades de alvenaria:
Considera-se esta resistência nos projetos em alvenaria estrutural, designada por f
b
. É
descrita como a resistência à compressão de uma unidade de alvenaria, modificada para
condições de secagem ao ar e para uma unidade equivalente com 100 mm de largura por
100 mm de altura. Caso a resistência à compressão das unidades de alvenaria seja
considerada a resistência média, deve-se fazer a conversão para a resistência
normalizada através do fator de conversão δ indicado na Tabela 3.5, multiplicando a
resistência média por este fator.
Caso considere-se a resistência característica à compressão das unidades de
alvenaria, procede-se a sua conversão para a resistência média equivalente, através de
um fator de correção baseado no coeficiente de variação usual. Em seguida faz-se a
conversão para a resistência normalizada.
Tabela 3.5 – Valores do coeficiente δ. EC-6.
Menor dimensão horizontal da unidade de alvenaria (mm) Altura da
unidade de
alvenaria
(mm)
50 100 150 200
≥ 250
50
0,85 0,75 0,70 - -
65
0,95 0,85 0,75 0,70 0,65
100
1,15 1,00 0,90 0,80 0,75
150
1,30 1,20 1,10 1,00 0,95
200
1,45 1,35 1,25 1,15 1,10
≤ 250
1,55 1,45 1,35 1,25 1,15
Nota: Pode-se efetuar uma interpolação linear.
Normas para Alvenaria Estrutural 32
No próximo capítulo será apresentado o uso da Tabela 3.5 para a conversão da
resistência normalizada à compressão dos blocos para a resistência característica.
Resistência característica à compressão das unidades de alvenaria: É a
resistência à compressão em que a probabilidade de ocorrência é de pelo menos 95 %.
3.2.2 Ações e Valores Característicos
• Ações permanentes (G): É considerado o valor característico (G
k
), porém o
EC-6:1996 considera a possibilidade da ação variar durante o período de
vida da estrutura; desta forma sugere dois valores característicos, um
superior (G
k,sup
) e um inferior (G
k,inf
).
• Ações variáveis (Q
k
): Devem ser previstos um valor superior e outro
inferior, com certa possibilidade de não serem atingidos durante o período
de vida da estrutura. Pode-se utilizar o valor especificado no EC-1:1991.
• Ações acidentais (A
k
): Quando for aplicável, o valor característico
geralmente corresponde a um valor especificado.
O EC-6:1996 permite que os valores característicos das ações sejam
especificados pelo projetista sob aprovação do proprietário da obra, mas que devem ser
observadas as disposições mínimas especificadas na ENV 1991: Eurocódigo 1- Bases
de projeto e ações em estruturas, ou em outro regulamento de ações.
3.2.3 Estados Limites Últimos
A verificação dos estados limites últimos é feita em relação a valores de cálculo
dos efeitos das ações desestabilizantes e estabilizantes, ou seja:
E
d, dst
≤ E
d, stb
(3.3)
S
d
≤ R
d
(3.4)
Em que:
Normas para Alvenaria Estrutural 33
E
d, dst
: valores de cálculo dos efeitos das ações desestabilizantes.
E
d, stb
: valores de cálculo dos efeitos das ações estabilizantes.
S
d
: valor de cálculo de um ou de um conjunto de esforços atuantes.
R
d
: valor de cálculo do esforço resistente.
3.2.3.1 Coeficientes Parciais de Segurança para os Estados Limite
Últimos
Para situações de projeto persistentes e transitórias, o EC-6:1996 recomenda o
uso da Tabela 3.6:
Tabela 3.6 – Coeficientes parciais de segurança relativos a ações em estruturas
de edifícios para situações de projeto persistentes e transitórias. EC-6.
Ações variáveis (γ
Q
)
Ações
permanentes
Uma com valor
característico
As outras com
os valores de
combinação
Pré-esforço (γ
P
)
Efeito
favorável
1,0 0 0 0,9
Efeito
desfavorável
1,35 1,5 1,35 1,2
Estabelece ainda que os coeficientes parciais de segurança para as situações de
projeto acidentais, relativos às ações variáveis são iguais a unidade.
Os coeficientes parciais de segurança relativos às propriedades dos materiais
estão indicados na Tabela 3.7.
O EC-6:1996 recomenda que a definição das categorias de execução devem
considerar aspectos relacionados à qualificação do pessoal, fiscalização dos trabalhos,
verificação das propriedades da argamassa e concretos feitos na obra e do processo de
produção controlado por peso. As definições das categorias de execução podem ser
indicadas nas normas nacionais, de forma a contemplar os aspectos citados de forma
adequada à realidade de cada país.
Normas para Alvenaria Estrutural 34
Tabela 3.7 – Coeficientes parciais de segurança relativos às propriedades
dos materiais. EC-6.
Categoria de execução
γ
m
A B C
I
1,7 2,2 2,7
Alvenaria
Categoria
do controle
de produção
das
unidades.
II
2,0 2,5 3,0
Aderência e resistências à tração e à
compressão dos ligadores de parede e de
topo
2,5 2,5 2,5
Aderência das barras de aço
1,7 2,2 -
Aço (γ
S
)
1,15 1,15 -
3.2.4 Estados Limites de Serviço
Os coeficientes parciais de segurança relativos aos materiais são considerados
iguais à unidade. E verifica-se que:
E
d
≤ C
d
(3.5)
Onde:
E
d
: valor de cálculo do efeito das ações.
C
d
: valor nominal ou uma função de determinadas propriedades de cálculo dos
materiais, relacionado ao valor de cálculo do efeito das ações consideradas.
3.2.5 Dimensionamento da Alvenaria
3.2.5.1 Altura Efetiva das Paredes
O EC-6 permite a distinção entre paredes apoiadas, contraventadas em dois, três
ou quatro lados, ou paredes livres. A altura efetiva deve ser avaliada considerando-se a
rigidez relativa dos elementos da estrutura ligados à parede e a eficácia destas ligações.
A determinação da altura efetiva é dada pela equação (3.6):
Normas para Alvenaria Estrutural 35
h
ef
= ρ
n
h
(3.6)
Onde:
h
ef
: altura efetiva
h: altura livre
ρ
n
: fator de redução, onde n = 2, 3 ou 4 é função do número de apoios dos
bordos.
No presente trabalho o fator de redução utilizado será:
ρ
2
= 0,75 para paredes restringidas no topo e na base por pavimentos de concreto
armado com vãos para ambos os lados da parede, ou ainda com o vão para apenas um
dos lados
desde que tenha um apoio mínimo de 2/3 da espessura da parede, porém não
menor que 8,5 cm, conforme Figura 3.2.
Figura 3.2 – Altura efetiva de paredes
3.2.5.2 Espessura Efetiva das Paredes
O EC-6:1996 prescreve que a espessura efetiva (t
ef
) de uma parede simples deve
ser a sua espessura real. Ao contrário da NBR 10837:1989, não faz nenhuma
consideração quanto ao uso de enrijecedores.
Normas para Alvenaria Estrutural 36
3.2.5.3 Esbeltez das Paredes
A esbeltez da parede não deve ultrapassar 27 e é definida por:
λ =
ef
ef
t
h
(3.7)
3.2.5.4 Resistência Característica à Compressão da Alvenaria
Neste caso são consideradas todas as juntas preenchidas e uma constante K em
(MPa) que é escolhida em função do grupo associado as unidades que serão utilizadas.
A equação (3.8) é válida para argamassas com resistência não maior que 20 MPa ou 2f
b
,
o que for menor.
f
k
= K f
b
0,65
f
m
0,25
(MPa) (3.8)
Onde K é:
•
0,60 para unidades do grupo 1 (Tabela 3.4);
•
0,55 para unidades do grupo 2a (Tabela 3.4);
•
0,50 para unidades do grupo 2b (Tabela 3.4);
•
0,40 para unidades do grupo 3 (Tabela 3.4);
f
b
: resistência normalizada à compressão dos blocos.
f
m
: resistência média à compressão da argamassa (em MPa).
f
k
: resistência característica à compressão (em MPa).
O grupo representativo dos blocos estruturais empregados no Brasil é o 2b, este
será o utilizado para a definição de K.
Utiliza-se a constante K como um redutor da resistência característica à
compressão. Nota-se que o aumento do volume de vazios dos blocos diminui a
capacidade resistente. Por exemplo, os blocos do grupo 2b, que serão utilizados no
presente trabalho, possuem a resistência característica à compressão 17 % menor do que
a resistência obtida com blocos do grupo 1.
Normas para Alvenaria Estrutural 37
3.2.5.5 Resistência Característica ao Cisalhamento da Alvenaria
Simples
A resistência pode ser obtida através de ensaios. Quando não disponíveis os
resultados experimentais, deve ser considerado para a alvenaria simples com juntas
verticais preenchidas, um valor característico f
vk
indicado na Tabela 3.8
f
vk
= f
vk0
+ 0,4σ
d
(3.9)
Em que:
f
vk0
: resistência característica ao cisalhamento, sob compressão nula, obtida
experimentalmente ou de acordo com a Tabela 3.8. Se não estiverem disponíveis
resultados de ensaios, f
vk0
deve ser considerado igual a 0,1 MPa.
σ
d
: valor de cálculo da tensão de compressão normal ao plano de corte.
O EC-6:1996 ainda considera a determinação da resistência característica ao
cisalhamento da alvenaria simples com juntas verticais não preenchidas.
Tabela 3.8 - Valores de f
vk0
e valores limites de f
vk
para argamassa convencional. EC-6.
Unidades de alvenaria Argamassa
f
vk0
(MPa)
Valor limite f
vk
(MPa)
M10 a M20 0,3 1,7
M2,5 a M9 0,2 1,5
Unidades cerâmicas – Grupo 1
M1 a M2 0,1 1,2
M10 a M20 0,2 1,7
M2,5 a M9 0,15 1,5
Unidades de concreto – Grupo 1
M1 a M2 0,1 1,2
M2,5 a M9 0,15 1,0 Unidades de pedra natural –
Grupo 1
M1 a M2 0,1 1,0
M10 a M20 0,3 1,4
M2,5 a M9 0,2 1,2
Unidades cerâmicas – Grupo 2
M1 a M2 0,1 1,0
M10 a M20 0,2 1,4
M2,5 a M9 0,15 1,2
Unidades de concreto do Grupo 2a
e 2b, e unidades cerâmicas do
Grupo 2b
M1 a M2 0,1
O menor valor
entre a
resistência
longitudinal e à
compressão (ver
nota abaixo)
1,0
M10 a M20 0,3
M2,5 a M9 0,2
Unidades cerâmicas – Grupo 3
M1 a M2 0,1
Nenhum valor limite
exceto o fornecido pela
equação (3.9)
Nota: Para unidades de alvenaria dos Grupos 2a e 2b, a resistência longitudinal à
compressão das unidades toma o valor da resistência medida, com δ não superior a 1,0.
Nos casos em que se considere uma resistência longitudinal à compressão superior a 0,15
f
b
, dada a distribuição dos furos, não são necessários quaisquer ensaios.
Normas para Alvenaria Estrutural 38
3.2.5.6 Verificação da Segurança de Paredes de Alvenaria Simples
Deve-se verificar que a carga vertical de cálculo (N
sd
) numa parede de alvenaria
deve ser menor ou igual à sua resistência de cálculo (N
rd
), ou seja:
N
sd
≤ N
rd
(3.10)
E N
rd
por unidade de comprimento é dada por:
m
km.i
rdsd
ft
NN
γ
⋅⋅
φ
=≤
(3.11)
Em que:
t : espessura da parede.
f
k
: resistência característica à compressão da parede.
m.i
φ : coeficiente de redução da capacidade resistente, função dos efeitos da
esbeltez e da excentricidade do carregamento.
γ
m
: coeficiente parcial de segurança para a alvenaria indicado na Tabela 3.7.
O coeficiente de redução da capacidade resistente pode ser tomado em relação
ao topo ou base da parede (φ
i
), como também em relação à zona média da parede (φ
m
).
Na tabela I em anexo estão organizados os valores de redução na zona média da
parede (φ
m
).
O EC-6:1996 simplifica bastante a verificação ao admitir que as paredes que
satisfaçam o estado limite último quando verificadas pela equação (3.11), também
satisfazem o estado limite de serviço.
3.2.6 Alvenaria Armada
O dimensionamento de elementos de alvenaria armada sujeitos à flexão simples,
flexão composta ou esforços axiais devem basear-se nas seguintes hipóteses:
• Seções planas permanecem planas;
Normas para Alvenaria Estrutural 39
• As armaduras sofrem a mesma deformação da alvenaria;
• A resistência à tração da alvenaria é nula;
• As deformações máximas de compressão para a alvenaria e de tração das
armaduras são estabelecidas de acordo com os materiais;
• A relação tensão-deformação admite a forma parábola-retângulo;
• Para compressão pura, o encurtamento na seção transversal fica limitado a
0,002, ver Figura 3.3.
Figura 3.3 - Relação tensão-deformação para o cálculo de alvenaria em
flexão e compressão. EC-6.
• Quando não ocorrer somente a compressão, o encurtamento máximo é
considerado 0,0035;
• O alongamento máximo permitido para a armadura de tração é 0,01.
3.2.6.1 Verificação da Segurança de Elementos de Alvenaria Armada
Sujeitos à Flexão e/ou Esforço Axial
Para a verificação em relação aos estados limites últimos, o valor de cálculo da
ação atuante, S
d
, deve ser menor ou igual ao valor de cálculo da resistência do elemento,
R
d
.
S
d
≤ R
d
(3.12)
Nos locais onde não tenha sido efetuada nenhuma redistribuição de momentos, a
razão entre a profundidade da linha neutra e a altura útil não deve ser maior que 0,4.
γ
m
Normas para Alvenaria Estrutural 40
Para seção retangular simplesmente armada, submetida somente à flexão, o valor
de cálculo do momento resistente, M
Rd
, é considerado:
s
yks
Rd
zfA
M
γ
=
(3.13)
d95,0
fbd
fA
5,01dz
sk
myks
≤
γ⋅
γ
−=
(3.14)
Em que:
A
s
: área da seção transversal de armadura de tração.
b: largura da seção.
d: altura útil da seção.
f
k
: valor característico da resistência à compressão da alvenaria ou graute.
f
yk
: valor característico da tensão de escoamento da armadura.
γ
m
: coeficiente parcial de segurança relativo à alvenaria ou ao graute.
γ
s
: coeficiente parcial de segurança relativo à armadura.
3.2.6.2 Verificação da Segurança de Elementos Submetidos à Força
Cortante com a Dispensa de Armaduras
O EC-6:1996 considera a contribuição da alvenaria na resistência ao
cisalhamento, V
rd1
. Se a força cortante atuante for menor ou igual a esse valor resistente
não será necessária a utilização de armaduras transversais.
V
sd
≤ V
rd1
(3.15)
Sendo:
V
sd
: valor de cálculo do esforço de corte na face do apoio.
m
vk
1rd
dbf
V
γ
⋅
⋅
=
(3.16)
Normas para Alvenaria Estrutural 41
Onde:
V
rd1
: parcela da força cortante resistida pela alvenaria.
b: largura da seção.
d: altura útil.
f
vk
: valor característico de resistência ao cisalhamento da alvenaria (Tabela 3.8).
γ
m
: coeficiente parcial de segurança da alvenaria (Tabela 3.7).
3.2.6.3 Verificação da Segurança de Elementos com Armadura para
Absorção de Esforço Cortante
Nos casos em que não for possível superar a força cortante somente com a
contribuição da alvenaria, deve-se verificar a seção com o uso de armaduras
transversais.
V
sd
≤ V
rd1
+ V
rd2
(3.17)
()
αα+
γ
= sencot1
f
s
A
d9,0V
s
yk
sw
2rd
(3.18)
Em que:
d: altura útil da seção.
A
sw
: área da armadura de esforço cortante.
s: espaçamento da armadura.
α: ângulo de inclinação das armaduras entre 45
o
e 90
o
.
f
yk
: valor característico da tensão de escoamento do aço.
γ
s
: coeficiente parcial de segurança relativo ao aço.
Normas para Alvenaria Estrutural 42
Deve-se ainda verificar que:
m
k
2rd1rd
bdf30,0
VV
γ
≤+
(3.19)
Onde:
f
k
: valor característico da resistência à compressão da alvenaria.
γ
m
: coeficiente parcial de segurança relativo à alvenaria ou ao graute.
O EC-6:1996, assim como a NBR 10837:1989, admite a possibilidade de
elementos sem armaduras contra o cisalhamento. Quando estas armaduras são
utilizadas, deve haver a verificação da segurança de acordo com a equação (3.19). Na
verificação, nota-se a redução, imposta pelo EC-6:1996, do valor resistente da parede ao
esforço cortante. RABELO (2004) sugere o aumento da resistência característica à
compressão da alvenaria (f
k
) com o uso de graute ou ainda o acréscimo da espessura da
parede, quando a equação (3.19) não for atendida.
3.2.6.4 Verificação de Elementos de Alvenaria Armada em Relação aos
Estados Limites de Serviço
As condições apresentadas a seguir visam garantir que, nos elementos de
alvenaria armada, não apareçam deformações excessivas ou fendilhamento.
• Deformação:
Se os elementos de alvenaria armada satisfizerem os valores limites para as
dimensões, indicados nos itens (a) e (b), admite-se que os deslocamentos laterais em
paredes e os verticais em vigas atingem valores aceitáveis.
• Fendilhamento:
Para os elementos sujeitos à flexão, em que são observados os limites impostos
nos itens (a) e (b) seguintes, fica assegurado o controle do fendilhamento. Contudo,
pode ocorrer fendilhamento visível quando o cobrimento da armadura tracionada
Normas para Alvenaria Estrutural 43
ultrapassar os requisitos mínimos indicados na norma em questão. Assim, cabe ao
projetista definir a aceitação em relação a este estado limite de serviço.
(a) Visa garantir a estabilidade lateral de elementos simplesmente apoiados ou
contínuos. As proporções apresentadas em (3.20) devem proporcionar adequada
restrição lateral, escolhendo-se o menor dos valores:
Vão ≤
c
b60 ou
2
250
c
b
d
(3.20)
Onde:
d: altura útil.
b
c
: largura da zona comprimida a meia distância entre restrições.
(b) O vão do elemento de alvenaria armada deve ser limitado pelo valor obtido
da Tabela 3.9.
Tabela 3.9 – Limite entre o vão e a altura útil para paredes e vigas de alvenaria
armada. EC-6.
Razão entre o vão e a altura útil Condições de apoio
Parede Viga
Simplesmente apoiada
35 20
Contínua
45 26
Armada em duas direções
45 -
Em balanço
18 7
Notas:
1. Uma parede é um elemento sujeito a flexão lateral e uma viga pode ser parte de uma
parede sujeita a flexão no plano da parede.
2. Para paredes isoladas não estruturais e sujeitas predominantemente à ação do vento,
os coeficientes indicados para paredes podem ser aumentados em 30%, desde que estas
paredes não tenham aplicado um revestimento que possa ser danificado durante a
deformação.
Normas para Alvenaria Estrutural 44
3.3 Texto Base para Revisão da NBR 10837:1989
Baseado no método dos estados limites, o texto de revisão possui o mesmo
campo de aplicação da NBR 10837:1989.
Estabelece requisitos de qualidade da estrutura, de modo que esta seja projetada
para que possa suportar todas as ações que venham a solicitá-la durante sua vida útil.
Quanto às ações, as prescrições da NBR 8681:2003 – Ações e segurança nas
estruturas são totalmente aplicáveis. As ações devidas ao vento serão consideradas de
acordo com a NBR 6123:1998 – Forças devidas ao vento em edificações.
De acordo com o texto de revisão, as questões relacionadas a impactos de
veículos e equipamentos, explosões e colapso progressivo devem ser consideradas, afim
de reduzir a probabilidade de danos acidentais em elementos da estrutura e evitar
colapsos progressivos, caso ocorram tais danos acidentais.
3.3.1 Propriedades dos Componentes e Materiais
3.3.1.1 Blocos
É utilizado o valor característico da resistência à compressão dos blocos, de
acordo com a NBR 7184:1992.
Para paredes estruturais, o valor mínimo de resistência para os blocos é de 4
MPa. RAMALHO & CORRÊA (2003) estabelecem valores de eficiência entre a
resistência do prisma e a do bloco, que variam de 0,5 a 0,9. Para a mínima resistência do
bloco, considerando 0,9 o valor da eficiência prisma-bloco, é obtido como resultado
uma resistência de prisma de 3,5 MPa. Esse valor será utilizado para os exemplos
apresentados no capítulo 4.
Normas para Alvenaria Estrutural 45
3.3.1.2 Propriedades Elásticas da Alvenaria
Tabela 3.10 – Propriedades elásticas da alvenaria.
Propriedade Valor Valor máximo
Módulo de deformação longitudinal
800 f
pk
16 GPa
Módulo de deformação transversal
360 f
pk
6 GPa
Coeficiente de Poisson
0,2 -
Já o EC-6:1996 recomenda o módulo de deformação longitudinal igual a 1000
f
k
. Para verificação de ELS o texto de revisão e o EC-6:1996 recomendam reduzir em
40% o módulo de deformação longitudinal. Com isso, procura-se considerar de forma
aproximada o efeito de fissuração da alvenaria.
3.3.1.3 Coeficientes de Ponderação das Resistências
Tabela 3.11 – Valores de γ
m
.
Combinações Alvenaria Graute Aço
Normais
2,5 2,5 1,15
Especiais ou de construção
2,1 2,1 1,15
Excepcionais
2,1 2,1 1,0
Para verificação de ELS deve-se utilizar γ
m
= 1,0.
3.3.2 Dimensionamento e Verificação da Alvenaria
As prescrições sobre determinação da altura efetiva, espessura efetiva e esbeltez
são as mesmas da NBR 10837:1989.
As hipóteses admitidas para dimensionamento de elementos de alvenaria armada
submetidos a esforços axiais, a flexão simples e flexão composta são as mesmas do
EC-6:1996.
Normas para Alvenaria Estrutural 46
3.3.2.1 Resistência de Cálculo em Paredes Submetidas à Compressão
Simples
Será considerada a compressão simples em peças onde a excentricidade do
carregamento for menor que 5% de sua espessura.
A resistência de cálculo de paredes de alvenaria pode ser obtida pela equação:
RAfN
drd
⋅
⋅=
(3.21)
Onde:
N
rd
: normal resistente de cálculo.
f
d
: resistência à compressão de cálculo da alvenaria.
A: área da seção resistente.
R: coeficiente redutor devido à esbeltez da parede, definido em 3.1.4.
A contribuição de armaduras existentes deve ser sempre desconsiderada.
3.3.2.2 Seções Retangulares Submetidas à Flexão
Segundo o texto de revisão, se uma seção transversal está sujeita a uma força
normal de tração, seu efeito pode ser desprezado se o seu valor não supera o limite de
10% f
k
A, sendo f
k
a resistência característica da alvenaria e A a área resistente da
seção.
Quando a seção retangular possuir armadura simples, o momento resistente de
cálculo se iguala a:
zAf5,0M
sydrd
⋅⋅=
(3.22)
Onde z é o braço de alavanca e é dado por:
d95,0
fdb
fA
25,01dz
d
yds
⋅≤
⋅⋅
⋅
−=
(3.23)
Em que:
f
yd
: valor de cálculo da tensão de escoamento do aço.
Normas para Alvenaria Estrutural 47
A
s
: área de aço.
b: base da seção.
d: altura útil da seção.
Segundo o texto de revisão, não deve ser admitido M
rd
superior a 0,4 f
d
bd
2
.
A verificação de seções com armadura simples ocorre de forma semelhante a
realizada através do EC-6:1996. Contudo, o texto de revisão utiliza um coeficiente
redutor da tensão de cálculo do aço, (0,5). O uso do coeficiente tem como objetivo
aproximar os resultados obtidos com o texto de revisão dos alcançados utilizando-se a
NBR 10837:1989.
O texto de revisão ainda considera seções com abas em T ou L, porém
estas não serão tratadas neste trabalho.
3.3.2.3 Alvenaria Submetida ao Cisalhamento
É mantida a verificação do cisalhamento em termos de tensão, assim, é definida
uma tensão convencional de cisalhamento:
d
b
V
d
vd
⋅
=τ
(3.24)
Onde:
τ
vd
: tensão convencional de cisalhamento.
V
d
: força cortante de cálculo.
É permita a dispensa de armaduras quando a tensão convencional não supera as
resistências de cálculo correspondentes aos valores característicos indicados na Tabela
3.12.
Tabela 3.12 – Resistência característica ao cisalhamento. f
vk
(MPa).
Local
3,0 ≤ f
ak
≤ 5,0 f
ak
≥ 5,0
Juntas horizontais
0,15 + 0,6σ ≤ 1,4 MPa 0,35 + 0,6σ ≤ 1,7 MPa
Interfaces de paredes com
amarração direta
0,35 MPa 0,35 MPa
Normas para Alvenaria Estrutural 48
Onde:
σ: tensão normal de pré-compressão.
No caso de elementos submetidos à flexão simples com armaduras longitudinais,
a resistência característica ao cisalhamento pode ser estimada por:
()
ρ
+
= 5,1735,0f
vk
(3.25)
Onde:
ρ: taxa geométrica de armadura da armadura de flexão.
Segundo o texto de revisão, quando forem utilizadas armaduras transversais a
tensão convencional de cisalhamento deve atender a expressão:
MPa8,0
vd
≤τ
(3.26)
Quando utilizadas, as armaduras de cisalhamento são determinadas descontando-
se a parcela da força cortante absorvida pela alvenaria como mostra a Equação (3.27):
dbfV
vda
⋅
⋅=
(3.27)
Onde:
V
a
: parcela da força cortante absorvida pela alvenaria.
f
vd
: resistência de cálculo ao cisalhamento.
Para estribos paralelos à direção de atuação da força cortante, a área da armadura
de cisalhamento é calculada com a Equação:
()
df5,0
sVV
A
yd
ad
sw
⋅
⋅
−
=
(3.28)
Onde:
V
d
: força cortante de cálculo.
s: espaçamento da armadura de cisalhamento.
O texto de revisão impõe limite nos valores de tensões de cisalhamento. Caso
este limite (0,8 MPa) seja ultrapassado, pode-se alterar a geometria da peça.
Normas para Alvenaria Estrutural 49
3.3.2.4 Alvenaria Submetida à Flexão Composta
O texto de revisão fornece as recomendações para o dimensionamento de peças
de alvenaria submetidas à flexão composta, com uma excentricidade de carregamento
maior que 5% da espessura do elemento estrutural na direção da excentricidade.
Permite a consideração de peças curtas, quando a esbeltez é menor ou igual a 11,
e peças longas, no caso de peças com esbeltez maior que 11.
Para peças curtas, pode-se considerar o uso da armadura mínima quando a força
normal de cálculo N
d
não excede a resistência de cálculo, Equação (3.29):
(
)
xdrd
e2hbfN −⋅=
(3.29)
Onde:
b: largura da seção.
h: altura da seção no plano de flexão.
f
d
: resistência de cálculo de compressão na flexão.
e
x
: excentricidade resultante, com e
x
≤ 0,5h.
Quando a força normal excede o limite obtido com a Equação (3.29), o
dimensionamento da seção pode ser estimado com o roteiro apresentado na Tabela IV
em anexo.
Para os casos de peças longas, é necessário adicionar os efeitos de segunda
ordem, que podem ser estimados através da Equação (3.30):
t2000
)h(N
M
2
efd
d2
⋅
=
(3.30)
Em que:
N
d
: força normal de cálculo.
h
ef
: altura efetiva da peça comprimida.
t: altura da seção transversal da peça no plano de flexão.
Normas para Alvenaria Estrutural 50
3.3.3 Estados Limites de Serviço (ELS)
Estão relacionados à durabilidade, aparência, conforto e funcionalidade da
estrutura. O texto de revisão estabelece que devem ser verificados os ELS relativos a:
• Danos localizados que comprometam a durabilidade ou o aspecto estético da
estrutura;
• Deformações excessivas que afetem o uso normal da edificação;
• Vibração excessiva ou que cause desconforto aos usuários.
Também são estabelecidos valores para deslocamentos limites, para a
verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas da estrutura. Os
deslocamentos finais, onde se incluem os efeitos de fissuração, temperatura, retração e
fluência não devem ser maiores que L/125 para peças em balanço e L/250 para os
demais casos. Onde L é o vão livre da viga.
Prevê o uso de contraflechas para que os deslocamentos sejam parcialmente
compensados sendo limitadas em L/350.
Trata, ainda, da translação horizontal relativa de pavimentos vizinhos de um
edifício provocada pela ação do vento, limitando-a em H/1700 ou H
i
/850, onde H é a
altura total do edifício e H
i
a distância entre os pavimentos vizinhos.
3.4 Comentários Gerais Sobre as Normas
O EC-6:1996 e o texto de revisão introduzem maior número de exigências ao se
projetar a estrutura. Na fase projeto deve-se determinar as distintas ações que atuam na
estrutura, inclusive com valores de combinação, verificar os estados limites a evitar e a
consideração de diferentes valores para os coeficientes parciais de segurança. Todas
estas considerações, em conjunto com o dimensionamento em função de carregamentos
e não em função de tensões torna mais racional o projeto de estruturas de alvenaria.
A princípio, o uso das normas em estados limites possibilita maiores economias
em comparação com o uso da NBR 10837:1989. O EC-6:1996 e o texto base de revisão
permitem a avaliação mais adequada da estrutura, com melhor conhecimento da
Normas para Alvenaria Estrutural 51
segurança da estrutura. Isto se deve ao método dos estados limites que permite a
definição de um critério direto para a resistência e para as condições de serviço das
estruturas de alvenaria.
O EC-6:1996 permite até seis combinações para determinação do coeficiente
parcial de segurança relativo ao material. As categorias de produção já estão definidas
no texto. Já as categorias de execução devem ser definidas de acordo com a realidade de
cada país que utiliza estas prescrições normativas.
Com relação aos ELS, o EC-6:1996 recomenda uma avaliação muito simplista e
que, geralmente, produz valores exagerados para o vão de vigas, por exemplo. Já a
revisão avalia mais adequadamente levando em conta os efeitos da fissuração,
temperatura, fluência e retração. E comparando os valores calculados com valores pré-
estabelecidos considerados aceitáveis.
Situações de projeto 52
4 SITUAÇÕES DE PROJETO
Neste capítulo serão apresentados exemplos de dimensionamento para diversas
situações de projeto, de acordo com a NBR 10837:1989, o EC 6:1996 e o texto base
para a revisão da NBR 10837.
4.1 Compressão Simples
É a mais simples e importante das solicitações que podem surgir em estruturas
de alvenaria. RAMALHO & CORRÊA (2003) afirmam que para edifícios de até seis
pavimentos, geralmente esse é o único dimensionamento utilizado.
4.1.1 Exemplo A
Dimensionamento de uma parede de alvenaria não-armada, com carga vertical
centrada, sendo a parede vinculada no topo e apoiada na base em lajes de concreto
armado.
100 kN/m
Figura 4.1 – Exemplo de compressão simples
Situações de projeto 53
•
Solução - NBR 10837:1989
Para o problema, a altura efetiva e a espessura efetiva são determinadas de
acordo com a NBR 10837:1989.
h = h
ef
= 2,80 m
t = t
ef
= 0,14 m
Portanto a esbeltez é:
20
14,0
80,2
t
h
ef
ef
===λ caracterizando o limite imposto pela NBR 10837:1989.
Através do cálculo da tensão atuante na parede pode-se estabelecer a resistência
mínima do prisma, a seguir:
1. Tensão atuante:
MPa72,0m/kN3,714
14,000,4
00,4100
tL
Lq
f
2
ef
N
c,at
==
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
2. A tensão admissível é apresentada na Tabela 3.1. O valor da tensão atuante
deve ser igual à tensão admissível para obtenção da resistência mínima do
prisma.
c,at
3
pc,adm
f
t40
h
1f20,0f =
−⋅=
−⋅=
3
p
14,0.40
8,2
1f20,0MPa72,0
Com a igualdade 0,72
MPa = 0,175f
p
, determina-se a resistência mínima do
prisma em 4,08
MPa.
Atribuindo um valor de eficiência prisma-bloco da ordem de 0,7 encontra-se a
resistência mínima do bloco.
MPa82,5
7,0
08,4
f
f
f
b
b
p
==⇒=η
A resistência do bloco para esta solicitação deverá ser 6
MPa, conforme o item
5.1 da NBR 6136:1994.
Situações de projeto 54
•
Solução – EC 6:1996
O coeficiente parcial de segurança em relação ao material é definido para a
categoria de produção I e categoria de execução C, que de acordo com a Tabela 3.7
resulta em γ
m
=2,7.
O coeficiente parcial para as ações, de acordo com a Tabela 3.6 para ações
permanentes é γ
f
= 1,35.
A altura efetiva da parede, de acordo com 3.2.5.1 é:
1,280,275,0hh
nef
=⋅
=
⋅ρ= m
A espessura efetiva neste caso é a espessura real da parede.
14,0t
ef
= m
Com estes valores, define-se a esbeltez (λ ≤ 27):
15
14,0
10,2
==λ
Deve ser verificada a segurança da parede em relação aos estados limites
últimos, onde N
Sd
≤ N
Rd
. Inicialmente é determinado o coeficiente de redução da
capacidade resistente. Entrando com o valor da esbeltez na Tabela I em anexo,
determina-se o coeficiente redutor da capacidade resistente:
75,0
m
=φ
Em seguida é determinada a resistência de cálculo da parede através da equação
(3.11):
m
km.i
RdSd
ft
NN
γ
⋅⋅φ
=≤
2
k
k
m/kN3471f
7,2
f14,075,0
35,1100 =⇒
⋅⋅
=⋅
O EC 6:1996 determina que atendendo à essa condição, além da verificação
quanto ao estado limite último, admite-se que a parede também satisfaça ao estado
limite de serviço.
Para a determinação da resistência necessária ao bloco utiliza-se a equação (3.8):
Situações de projeto 55
f
k
= K f
b
0,65
f
m
0,25
(N/mm
2
)
Onde K = 0,5 para alvenarias do grupo 2b (Tabela 3.4), este grupo representa os
blocos usuais no Brasil.
Deve-se converter a resistência normalizada à compressão das unidades de
alvenaria para a resistência característica de blocos. Em RABELO (2004) é apresentada
a conversão desta unidade.
Normalmente, a resistência usual é a resistência característica dos blocos. Esta
deve ser convertida em resistência média. RABELO (2004) considera que a resistência
característica à compressão pode ser tomada simplificadamente como 85 % da
resistência média à compressão, ou seja:
f
bk
= 0,85 . f
bm
ou f
bm
= 1,18f
bk
(4.1)
Com a resistência média definida, resta fazer a conversão para a resistência
normalizada à compressão através do fator de conversão δ , ver Tabela 3.5.
As dimensões dos blocos deste exemplo são: 140mm x 390mm x 190mm
conforme Figura 4.1. Com uma interpolação entre os blocos 150 x 100 e 200 x 150 é
obtido δ = 1,24. Portanto:
f
b
= 1,24 . f
bm
=1,24.1,18 f
bk
= 1,46 . f
bk
(4.2)
Substituindo a equação (4.2) em (3.8):
25,0
m
65,0
bk
ffKf ⋅⋅=
25,0
m
65,0
bkk
ffK28,1f ⋅⋅⋅=
(4.3)
Resta agora determinar a resistência do bloco que será utilizado na parede. O
valor de K já foi estabelecido anteriormente. A resistência da argamassa será fixada em
80 % da resistência do bloco, conforme sugerido por GOMES (1983), o qual recomenda
para a resistência da argamassa, um valor entre 70% a 100% da resistência do bloco.
Desta forma:
()
25,0
bk
65,0
bkk
f8,0f5,028,1f ⋅⋅⋅⋅=
(4.4)
90,0
bkk
f605,0f ⋅=
(4.5)
Com f
k
= 3471 kN / m
2
= 3,471 MPa, determina-se à resistência do bloco:
Situações de projeto 56
MPa97,6ff605,0MPa471,3
bk
90,0
bk
=⇒⋅=
O bloco a ser utilizado será o de 7 MPa.
No dimensionamento segundo o EC 6:1996, há a possibilidade de variação do
coeficiente parcial de segurança relativo ao material em função da qualificação e
experiência dos responsáveis pela execução e fiscalização dos trabalhos, da verificação
das propriedades da argamassa e graute feitos na obra, e da existência de um processo
de amassamento da argamassa e de determinação das proporções corretas dos
constituintes.
Aproveitando os dados do exemplo A, na Tabela 4.1 estão organizadas as
resistências necessárias aos blocos de concreto para as várias categorias de controle de
produção e execução apresentadas pelo EC 6:1996.
Tabela 4.1– Resistências necessárias aos blocos para o exemplo A. (MPa).
Categoria de execução
A B C
I
4,16 5,55 6,97
Alvenaria
Categoria
do controle
de produção
das
unidades.
II
4,99 6,39 7,83
•
Solução – Proposta de Revisão da NBR 10837
O coeficiente parcial da segurança em relação ao material é definido para
combinações normais, ficando estabelecido γ
m
=2,5.
O coeficiente parcial para as ações é γ
f
= 1,35.
Primeiramente deve ser verificado que:
N
Sd
≤ N
Rd
A resistência de cálculo da parede pode ser obtida pela equação (3.21):
m
k
Rd
RAf
N
γ
⋅
⋅
=
Onde:
f
k
: resistência característica à compressão da alvenaria;
Situações de projeto 57
A: área da seção resistente;
R =
−
3
40
1
λ
: coeficiente redutor devido à esbeltez da parede.
Para h
ef
= 2,80 m e t = 0,14 m, a esbeltez da parede é 20, o que caracteriza o
limite imposto pelo texto de revisão.
O coeficiente redutor será, portanto:
R = 0,875
Admite-se que a resistência de cálculo da parede deve ser igual à força normal
de cálculo no estado limite último:
Aplicando a igualdade,
RdSd
NN
=
, na equação (3.21):
()
MPa755,2m/kN1,2755f
5,2
875,0414,0f
35,1)4100(
2
k
k
==∴
⋅
⋅⋅
=⋅⋅
A eficiência parede-bloco (η) deve estar entre os limites:
0,4 ≤ η ≤ 0,6
Estes valores são sugeridos por RAMALHO & CORRÊA (2003) para paredes
executadas com blocos vazados de concreto, não grauteadas e com argamassas usuais.
Considerando um valor intermediário (η = 0,5), a resistência necessária ao bloco
é calculada de acordo com a Equação (3.2):
MPa51,5
5,0
755,2
f
f
f
b
b
par
==∴=η
O bloco a ser utilizado é o de 6 MPa.
4.1.2 Exemplo B
Neste exemplo é determinada a capacidade resistente da parede em função das
variáveis: resistência do prisma e esbeltez. Desta maneira é avaliado, de forma geral, o
comportamento da parede, em termos de capacidade máxima resistente, para as várias
normas estudadas neste trabalho.
Situações de projeto 58
•
NBR 10837:1989
De acordo com o limite estabelecido pela norma, os valores de esbeltez variam
entre 1 e 20, já a resistência do prisma varia entre 3,5 MPa até 12,5 MPa. Estes valores
de resistência de prisma foram determinados com base nos ábacos apresentados em
JOAQUIM (1999).
A capacidade resistente da parede é determinada com a expressão que consta na
Tabela (3.1):
λ
−⋅⋅=
3
padm
40
1f20,0P
(4.6)
•
EC 6:1996
O EC 6:1996 permite um limite maior para os valores de esbeltez (λ ≤ 27).
Foram consideradas duas categorias para a determinação do coeficiente parcial de
segurança da alvenaria, uma referente à condição mais favorável, e outra para a
condição menos favorável, respectivamente categorias I-A e II-C. O coeficiente parcial
de segurança para o carregamento será estimado considerando-se a relação entre as
cargas permanentes e variáveis admitida para o carregamento. Observando as tabelas
(3.6) e a NBR 8681:2003 o coeficiente é estimado em 1,45. Este valor também será
utilizado para o exemplo com a revisão da NBR 10837:1989.
Como a resistência usada é a do prisma (f
p
), é necessário adaptar o valor para
resistência característica da parede. RAMALHO & CORRÊA (2003) sugerem que a
razão entre a resistência média da parede e a resistência média do prisma seja 0,7.
Assim, basta relacionar o valor médio da resistência da parede com o seu valor
característico. Esta relação é encontrada no apêndice A da BS 5628 parte 1 e é fixada
em 1,2. Desta forma, pode-se estabelecer que:
ppk
f583,0f
2,1
7,0
f ⋅=⋅=
(4.7)
A capacidade resistente é determinada de acordo com a Equação (3.11). Para
que o resultado seja obtido em tensão, a equação deve ser reescrita da seguinte forma:
Situações de projeto 59
fm
mp
k
f583,0
T
γ⋅γ
φ⋅⋅
=
(4.8)
Onde:
T
k
: Valor característico da capacidade resistente.
φ
m
: coeficiente de redução da capacidade resistente para zona média da parede.
•
Proposta de Revisão da NBR 10837
Os coeficientes parciais de segurança da alvenaria são definidos de acordo com a
Tabela (3.11), ou seja, combinações especiais e combinações normais.
Segundo o texto de revisão, a capacidade resistente pode ser determinada pela
Equação (3.21). Da mesma forma que no EC 6:1996, a equação é apresentada com
adaptações para que o resultado seja expresso em tensões:
fm
p
k
Rf583,0
T
γ⋅γ
⋅⋅
=
(4.9)
Todos os parâmetros envolvidos neste exemplo estão organizados na Tabela 4.2
a seguir:
Tabela 4.2 – Parâmetros do exemplo B
γ
m
γ
f
λ
f
p
(MPa)
NBR 10837
- - 1 a 20
Cat. I-A 1,7
EC 6
Cat. II-C 3,0
1,45 1 a 27
Comb. Especiais 2,1
Revisão
Comb. Normais 2,5
1,45 1 a 20
3,5 a 12,5
Os resultados de capacidade resistente para as três normas estudadas estão
reunidos em gráficos de superfície, que organizam o critério de resistência das paredes
em função das variáveis apresentadas.
Situações de projeto 60
Figura 4.2 – Superfície NBR 10837:1989
Em que:
λ: Esbeltez (h
ef
/t
ef
).
fp: Resistência do prisma
Figura 4.3 – Superfície EC 6:1996 (Categoria I-A) Figura 4.4 – Superfície EC 6:1996 (Categoria II-C)
λ
P
adm
(MPa)
λ
f
p
(MPa)
T
k
(
MPa
)
f
p
(MPa)
λ
T
k
(
MPa
)
f
p
(MPa)
λ
Situações de projeto 61
Figura 4.5 – Superfície Revisão (Comb. Especiais) Figura 4.6 – Superfície Revisão (Comb. Normais)
As superfícies de tensões obtidas com a NBR 10837:1989 e o texto de revisão,
Figuras 4.2, 4.5 e 4.6, apresentam valores de capacidade resistente constates para
valores de esbeltez em torno de 5. A diminuição da capacidade resistente com o
aumento da esbeltez é pequena, e isto ocorre em função da pequena variação do
coeficiente redutor em relação a esbeltez, por exemplo para λ = 20, R = 0,875.
Já na superfície do EC 6:1996, Figuras 4.3 e 4.4, a queda é mais acentuada em
virtude do coeficiente redutor ter maior variação. Em comparação com a NBR
10837:1989, a superfície do EC 6:1996 leva a valores de capacidade resistente maiores
para valores de esbeltez menores, porém esse comportamento se inverte à medida que
esbeltez aumenta, por exemplo, para a resistência de prisma de 3,5 MPa e esbeltez 20, a
capacidade resistente com o EC 6:1996 é 0,52 MPa contra 0,61 MPa da NBR
10837:1989.
Com relação ao texto de revisão, a superfície de tensões é semelhante à NBR
10837:1989, com valores de capacidade resistente próximos. Nota-se, também, que a
variação da resistência da parede, quando se muda da situação mais favorável para a
menos favorável é menor do que a observada no EC 6:1996.
A seguir são reunidos alguns resultados retirados dos gráficos de superfície.
T
k
(MPa)
f
p
(MPa)
λ
T
k
(
MPa
)
f
p
(MPa)
λ
Situações de projeto 62
Tabela 4.3 – Capacidade resistente (MPa)
f
p
= 12,5 MPa f
p
= 8 MPa f
p
= 3,5 MPa
EC 6 REVISÃO EC 6 REVISÃO EC 6 REVISÃO
λ
NBR
10837
I-A II-C C.E C.N
NBR
10837
I-A II-C C.E C.N
NBR
10837
I-A II-C C.E C.N
10
2,46 2,48 1,41 2,36 1,98 1,57 1,59 0,90 1,51 1,27 0,68 0,69 0,39 0,66 0,55
20
2,18 1,86 1,05 2,10 1,76 1,40 1,19 0,68 1,34 1,13 0,61 0,52 0,30 0,59 0,49
4.2 Flexão Simples
É comum a verificação e o dimensionamento de elementos de alvenaria
solicitados à flexão simples, principalmente em vigas e vergas. Em reservatórios e
muros de arrimo, quando os esforços de compressão são pequenos em relação à flexão,
o único dimensionamento considerado é para flexão simples.
4.2.1 Dimensionamento de Acordo com a NBR 10837:1989
Existem quatro tipos de dimensionamentos possíveis, o balanceado, com seção
normalmente armada, com seção superarmada ou com armadura dupla.
O dimensionamento balanceado corresponde ao melhor aproveitamento dos
materiais, ocorre quando as tensões no concreto e no aço são as admissíveis. Porém na
maioria das vezes só é aplicável quando existe liberdade para alterar a altura.
O dimensionamento inicia-se pela verificação da altura útil necessária ao
dimensionamento balanceado, que é determinada através do roteiro apresentado por
JOAQUIM (1999):
1. Determina-se a razão de tensões admissíveis (m
b
) e a razão modular (n).
f,alv
s
b
f
f
m
−
−
=
(4.10)
Situações de projeto 63
alv
s
E
E
n =
(4.11)
Onde
s
f
−
e
f,alv
f
−
: são as tensões admissíveis no aço e na alvenaria, respectivamente;
E
s
e E
alv
: são os módulos de deformação do aço e da alvenaria, respectivamente.
2. Cálculo da posição da linha neutra (k
xb
) e do braço entre as resultantes no aço
e na alvenaria (k
zb
)
b
xb
mn
n
k
+
=
(4.12)
3
k
1k
xb
zb
−=
(4.13)
3. Cálculo da altura útil para dimensionamento balanceado.
−
⋅
⋅
=
f,alv
zbxb
b
fb
M
kk
2
d
(4.14)
Caso a altura disponível seja igual à altura para o dimensionamento balanceado,
basta determinar a área de armadura utilizando:
dkf
M
A
b,z
s
s
⋅⋅
=
−
(4.15)
•
Dimensionamento para seção normalmente armada
Se a altura disponível é maior do que a necessária para o dimensionamento
balanceado, d > d
b
, fica caracterizado o dimensionamento com seção normalmente
armada.
Situações de projeto 64
Deve ser usado um processo iterativo para a determinação da posição da linha
neutra e da área de aço necessária, pois não se conhece, inicialmente, a tensão na
alvenaria.
O processo iterativo está organizado na Tabela 4.4, este é encerrado quando
ocorre a convergência do parâmetro K
zb
.
Tabela 4.4 – Flexão de seções normalmente armadas. RAMALHO & CORRÊA (2003).
i k
z
z
s
s
kf
1
k
−
=
d
M
kA
ss
=
bd
A
nn
s
=ρ
()
n2nnk
2
x
ρ+ρ+ρ−=
3
k
1k
x
z
−=
1 k
zb
→ → → → →
...
→ → → → → →
Admite-se que o aço está submetido à tensão admissível e ao final do processo, a
tensão atuante na alvenaria pode ser obtida através da equação (4.16):
2
zx
alv
bd
M
kk
2
f =
(4.16)
•
Dimensionamento superarmado
Quando a altura útil é menor que a do dimensionamento balanceado, d < d
b
,
dimensiona-se observando as seguintes condições:
f,alv
alv
ff
−
= e
s
s
ff
−
≤
(4.17)
Para estes casos, o dimensionamento será feito com o auxílio da Tabela IIA em
anexo.
•
Dimensionamento com armadura dupla
É uma opção ao dimensionamento superarmado, quando d < d
b
. Neste caso, o
dimensionamento será efetuado com o auxílio da Tabela IIB em anexo.
Situações de projeto 65
4.2.2 Dimensionamento de Acordo com o EC 6:1996
A verificação dos elementos submetidos à flexão deve seguir as recomendações
indicadas no item 3.2.6.
O equacionamento para os casos de flexão simples é apresentado em RABELO
(2004). O roteiro para dimensionamento pode ser observado na Tabela III em anexo.
4.2.3 Dimensionamento com a Proposta de Revisão da NBR 10837
As hipóteses consideradas no projeto de elementos de alvenaria armada são as
mesmas encontradas no EC 6:1996. Limitando a relação entre a profundidade da linha
neutra e a altura útil, de forma que não ultrapasse 0,4 é possível utilizar o mesmo
equacionamento apresentado no dimensionamento segundo o EC 6:1996. Guardando as
diferenças em relação aos coeficientes parciais de segurança e verificação dos estados
limites de serviço.
4.2.4 Exemplo C
Dimensionar a armadura da viga de alvenaria, mostrada na Figura 4.7,
submetida a um momento fletor de 4000
kN. cm.
Figura 4.7 – Viga submetida à flexão simples
Situações de projeto 66
•
Solução – NBR 10837:1989
Dados:
f
p
= 12,5 MPa
s
f
−
= 165 MPa
E
s
= 210000 Mpa
E
alv
= 800 f
p
Com os dados fornecidos pode-se calcular:
E
alv
= 800 . 12,5 =10000 MPa
0,21
10000
210000
E
E
n
alv
s
===
É preciso determinar a altura útil necessária ao dimensionamento balanceado:
p
f,alv
f33,0f ⋅=
−
(Tabela 3.2)
2
f,alv
cm/kN4125,025,133,0f =⋅=
−
0,40
4125,0
5,16
f
f
m
f,alv
s
b
===
−
−
344,0
0,400,21
0,21
mn
n
k
b
xb
=
+
=
+
=
885,0
3
344,0
1
3
K
1k
xb
zb
=−=−=
97,57
4125,019
4000
885,0344,0
2
d
b
=
⋅
⋅
⋅
= cm
Como a altura útil disponível é menor que a necessária ao dimensionamento
balanceado, deve ser usado o dimensionamento para seção com armadura dupla.
Inicialmente determina-se a parcela do momento fletor que é absorvida pela
seção, considerando armadura simples e dimensionamento balanceado, conforme
Tabela IIB em anexo:
Situações de projeto 67
cmkN94,3225885,0344,0
2
5219
4125,0kk
2
db
fM
2
zbxb
2
f,alv
0
⋅=⋅⋅
⋅
⋅=⋅⋅
⋅
⋅=
−
A seguir são determinadas as áreas de armadura tracionada (A
s
) e comprimida
(A
s
’), respectivamente:
()
()
7525,16
94,32254000
52
94,3225
885,05,16
1
ddf
MM
d
M
kf
1
A
'
s
00
zb
s
s
−⋅
−
+⋅
⋅
=
−⋅
−
+⋅
⋅
=
−−
A
s
= 4,25 + 1,04 = 5,29 cm
2
()
()
5,16
1
752334,0
52334,052
752
94,32254000
f
1
dx
xd
dd
MM
A
t,s
''
0
'
s
⋅
−⋅
⋅−
⋅
−
−
=⋅
−
−
⋅
−
−
=
−
A’
s
= 3,48 cm
2
• Solução – EC 6:1996
Informações adicionais:
γ
m
= 2,5 (ver Tabela 3.7);
γ
f
= 1,35 (ver Tabela 3.6);
γ
s
= 1,15;
Aço CA-50.
f
yd
= 50/1,15 = 43,5 KN/cm
2
K
L
= 0,269, em função da limitação imposta pela norma (x/d ≤ 0,4), este valor
permanece constante, de acordo com RABELO (2004).
A relação entre resistência do prisma e resistência característica é definida pela
Equação (4.7):
PKPK
f583,0ff
2,1
7,0
f =∴=
Para f
P
= 12,5 MPa:
f
K
= 7,29MPa
916,2
5,2
29,7
f
d
== MPa = 0,29 kN/cm
2
Situações de projeto 68
M
d
= 5400 kN. cm
De acordo com a Tabela III em anexo determina-se:
362,0
521929,0
5400
dbf
M
K
22
d
d
=
⋅⋅
=
⋅⋅
=
Como K > K
L
, a seção terá armadura dupla, o parâmetro K’deve ser igual a K
L
.
Portanto:
Armadura tracionada (A
S
= A
S1
+ A
S2
):
63,2)269,0211(
5,43
5219362,0
)'K211(
f
dbf
A
yd
d
1S
=⋅−−
⋅⋅
=−−
⋅
⋅
= cm
2
883,0
52
7
1
)269,0362,0(
222,8
d
'd
1
)'KK(
f
dbf
A
yd
d
2S
=
−
−
⋅=
−
−
⋅
⋅
⋅
= cm
2
A
S
=3,51 cm
2
Armadura comprimida (A’
S
):
n = d’/d = 7/52 = 0,135 < 0,169 ⇒ φ = 1,0 (CA-50)
88,0
A
'A
2S
S
=
φ
= cm
2
A verificação da segurança em relação aos estados limites de serviço deve seguir
as recomendações encontradas no capítulo 3. Estas se resumem em delimitar o vão
máximo da viga e a máxima distância livre entre os elementos que proporcionam
restrição lateral.
Com auxílio da Tabela 3.9 o vão máximo para essa viga fica limitado a um valor
de 10m, o qual pode ser considerado muito alto, mas segundo o EC 6:1996 desta forma
garante-se que os deslocamentos verticais na viga são aceitáveis. Contudo, é preferível
adotar os procedimentos do texto de revisão da NBR 10837:1989 que serão
apresentados no item seguinte.
Situações de projeto 69
•
Solução – Proposta de Revisão da NBR 10837
Informações adicionais:
γ
m
= 2,5
γ
f
= 1,35
γ
s
= 1,15
Aço CA-50.
f
K
= 7,29MPa
f
yd
= 50/1,15 = 43,5 kN/cm
2
f
d
= 7,29 / 2,5 = 2,92 MPa = 0,29 kN/cm
2
K
L
= 0,269, em função da limitação imposta (x/d ≤ 0,4).
A solicitação de cálculo:
M
d
= 5400 kN. cm
A partir do momento de cálculo, determina-se o valor de K:
362,0
521929,0
5400
dbf
M
K
22
d
d
=
⋅⋅
=
⋅⋅
=
Neste caso será usada armadura dupla e o parâmetro K’ = K
L
. Portanto:
Armadura tracionada (A
S
= A
S1
+ A
S2
):
21,4)269,0211(
75,21
521929,0
)'K211(
f5,0
dbf
A
yd
d
1S
=⋅−−
⋅⋅
=−−
⋅
⋅
⋅
= cm
2
415,1
52
7
1
)269,0362,0(
173,13
d
'd
1
)'KK(
f5,0
dbf
A
yd
d
2S
=
−
−
⋅=
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
= cm
2
A
S
=5,62 cm
2
Armadura comprimida (A
S
’):
n = d’/d = 7/52 = 0,135 < 0,169 ⇒ φ = 1,0 (CA-50)
41,1
A
'A
2S
S
=
φ
= cm
2
Situações de projeto 70
A verificação quanto ao estado limite de deformações excessivas ocorre pela
limitação dos deslocamentos finais (efeitos de fissuração, temperatura, retração e
fluência), estes deslocamentos não devem ser maiores que L/125 para peças em balanço
e L/250 para os outros casos. Considera-se ainda que os deslocamentos podem ser
parcialmente compensados por contraflechas.
Em seguida é apresentado um quadro comparativo com os resultados das três
normas:
Tabela 4.5 – Quadro comparativo dos resultados do exemplo C.
γ
m
γ
f
A
s
(cm
2
)
∆(%)
(1)
A’
s
(cm
2
)
∆(%)
(1)
NBR 10837
- - 5,29 - 3,48 -
EC 6
3,51 - 33,6 0,88 - 74,7
Revisão
2,5 1,35
5,62 + 6,24 1,41 - 59,5
(1): variação percentual em relação à área de armadura obtida com a NBR 10837:1989.
4.2.5 Exemplo D
Este exemplo engloba um grande número de casos de vigas submetidas à flexão
simples. As variáveis envolvidas no problema são: as resistências de prisma; a altura da
viga; o momento fletor atuante e o coeficiente parcial de segurança da alvenaria.
As resistências de prisma são determinadas em 12,5 MPa e 3,5 MPa.
A altura da viga sofreu variação para representar os casos mais comuns de vigas,
ou seja, com 1 bloco (19cm) e 3 blocos (59cm).
Para o momento fletor é estabelecido um valor inicial de 500 kN cm, variando
em 50 kN cm, com valor máximo de 3050 kN cm.
Os valores e a justificativa para a escolha dos coeficientes parciais de segurança
da alvenaria são as mesmas contidas no exemplo B. Já o coeficiente parcial de
segurança para o carregamento é tomado considerando-se as ações permanentes, o que
corresponde a γ
f
=1,35, tanto para o EC 6:1996 como para o texto de revisão.
Situações de projeto 71
Com as variáveis definidas obtiveram-se as áreas de armaduras, tracionada e
comprimida para as três normas estudadas. Estes resultados estão organizados em
anexo. A partir dos resultados, foi possível organizar ábacos que reunissem as
informações em termos de momento reduzido e taxa mecânica de armadura,
respectivamente Equações (4.18) e (4.19).
2
p
dbf
M
⋅⋅
=µ
(4.18)
p
s
f
f
db
As
−
⋅
⋅
=ω
(4.19)
Onde:
M: momento atuante.
f
p
: resistência do prisma.
−
s
f : tensão admissível no aço (16,5 MPa)
RAMALHO & CORRÊA (2003) apresentam o equacionamento para flexão
simples de acordo com a NBR 10837:1989. Para a construção do ábaco foi necessária a
adaptação deste equacionamento para obter um valor de momento reduzido em função
de uma determinada taxa de armadura. Para o EC 6:1996 e o texto de revisão foi preciso
somente adaptar os roteiros em anexo. Os equacionamentos para os ábacos de flexão
simples serão descritos a seguir.
•
NBR 10837:1989
Como visto, a tensão no aço é limitada em 16,5 MPa. RAMALHO & CORRÊA
(2003) sugerem para o módulo de elasticidade da alvenaria:
E
alv
= 800.f
p
(4.20)
Da Tabela (3.2) para compressão na flexão, a tensão admissível na alvenaria é:
pf,alv
f33,0f ⋅=
−
Situações de projeto 72
Com o módulo de elasticidade do aço e da alvenaria encontra-se o valor da razão
modular, Equação (4.11) e a razão de tensões balanceada, Equação (4.10),
respectivamente:
ppalv
s
f
25,26
f800
21000
E
E
n =
⋅
==
(4.21)
pp
f,alv
s
b
f
50
f33,0
5,16
f
f
m =
⋅
==
−
−
(4.22)
Substituindo as Equações (4.21) e (4.22) em (4.12) obtém-se a posição da linha
neutra para o dimensionamento balanceado:
344,0
f
50
f
25,26
f
25,26
mn
n
k
pp
p
b
xb
=
+
=
+
=
(4.23)
E conseqüentemente, o braço entre as resultantes:
885,0
3
k
1k
xb
zb
=−=
(4.24)
Assim, a partir da Equação (4.16) e considerando a máxima tensão na alvenaria,
é possível determinar um momento reduzido limite para os casos de armadura simples:
L
2
p
2
zbxb
f,alv
05028,0
bdf
M
bd
M
kk
2
f µ==
⋅
⇒=
−
(4.25)
Portanto, para µ ≤ µ
L
somente armadura simples é necessária.
Deve-se buscar, agora, relacionar o momento reduzido com a taxa mecânica de
armadura. Primeiramente é estabelecida a relação entre a taxa geométrica e a taxa
mecânica da armadura. Essa relação pode ser obtida com base na Equação (4.19) e no
algoritmo para determinação de armadura simples da Tabela 4.4.
bd
As
η=ηρ
(4.26)
Substituindo a Equação (4.19) em (4.26):
Situações de projeto 73
ω⋅=⋅ω⋅=⋅ω⋅η=ηρ 5909,1
5,16
f
f
25,26
f
f
p
ss
p
(4.27)
Para uma seção com armadura simples e considerando-se a resultante de tração
na armadura, o momento fletor atuante pode ser escrito como mostra a Equação (4.28):
dkAsfM
zs
⋅⋅⋅=
(4.28)
Substituindo-a em (4.18), tem-se:
⇒⋅
ω⋅
=
η⋅⋅ρ⋅
=
⋅⋅
⋅⋅⋅
=
⋅⋅
=µ
−
z
zs
2
p
zs
2
p
k
5,26
5909,15,16
5,26
kf
dbf
dkAsf
dbf
M
z
k⋅ω=µ⇒
(4.29)
Portanto, para µ
L
= 0,05028 e k
zb
= 0,885:
ω
L
= 0,05681
(4.30)
Esta é a máxima taxa mecânica para armadura simples. Portanto é possível
encontrar um valor de momento reduzido para cada valor de taxa mecânica utilizando-
se a Tabela 4.4.
Para µ > µ
L
a seção terá armadura dupla. Portanto, é preciso determinar a parcela
adicional de armadura na região tracionada e a armadura na região comprimida.
Da Tabela IIB em anexo pode-se retirar esta parcela complementar da armadura
tracionada:
()
()
()
()
d/'d1f
dbf
d/'d1df
dbf
dbf
M
ddf
M
As
s
p
L
s
2
p
2
p
'
s
2
−⋅
⋅⋅
⋅µ−µ=
−⋅⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅
∆
=
−⋅
∆
=
−−−
(4.31)
Analogamente a (4.19), é escrita a equação da taxa de armadura complementar:
p
s
2
2
f
f
db
As
−
⋅
⋅
=ω
(4.32)
Situações de projeto 74
Portanto, de (4.31) e (4.32) determina-se a taxa de armadura complementar:
d/'d1f
f
db
As
L
p
s
2
2
−
µ−µ
=⋅
⋅
=ω
−
(4.33)
A taxa de armadura tracionada fica definida como:
ω = ω
L
+ ω
2
(4.34)
Resta agora definir a taxa de armadura comprimida da seção. A área de
armadura comprimida é determinada por:
()
()
'
s
t,s
''
0
'
s
dx
xd
'ddf
M
f
1
dx
xd
dd
MM
A
−
−
⋅
−⋅
∆
=⋅
−
−
⋅
−
−
=
−−
(4.35)
Sendo que:
()
d
'd
K
k1
d
'd
d
x
d
K1d
dx
xd
x
xx
'
−
−
=
−
−
=
−
−
(4.36)
Com (4.31), (4.32) e (4.33) determina-se a taxa mecânica da armadura
comprimida:
d
'd
k
k1
AsA
x
x
2
'
s
−
−
⋅=
(4.37)
Sabendo que k
x
= k
xb
= 0,344:
d/'d344,0
656,0
d
'd
344,0
344,01
'
22
−
⋅ω=
−
−
⋅ω=ω
(4.38)
Para elaboração do ábaco, as Equações (4.33) e (4.38) são organizadas da
seguinte forma:
()
−⋅−ω+=µ
d
'd
105681,005028,0
(4.39)
()
d/'d344,0
656,0
05681,0'
−
⋅−ω=ω
(4.40)
Situações de projeto 75
•
EC 6:1996
Com base na Tabela III em anexo é preciso organizar o roteiro de
dimensionamento para também expressar os resultados em termos de momento reduzido
e taxa mecânica de armadura. Da Tabela III observa-se que K é função dos coeficientes
de segurança e que a resistência de cálculo pode ser relacionada com a resistência do
prisma, conforme a Equação (4.7). Desta forma o parâmetro pode ser escrito como:
2
p
mf
2
d
d
dbf
M
583,0
dbf
M
K
⋅⋅
⋅
γ
⋅
γ
=
⋅⋅
=
(4.41)
Atribuindo que:
583,0
mf
γ⋅γ
=β
(4.42)
É possível obter valores de β para os diversos valores de coeficientes de
segurança. Para as categorias I-A (γ
m
= 1,7) e II-C (γ
m
= 3), os valores de β são
respectivamente 3,937 e 6,947. Assim a Equação (4.41) reduz-se a:
µ⋅β=K
(4.43)
O valor máximo de K para armadura simples é 0,269 (K
l
= 0,269).
Portanto, podem ser definidos dois valores de µ
L
para o EC 6:
Cat. I-A:
0683,0
L
=µ
(4.44)
Cat. II-C:
0387,0
L
=µ
(4.45)
Para a taxa de armadura, primeiramente deve-se relacionar a tensão de
escoamento do aço (f
yd
) com a tensão admissível (
−
s
f ):
s
yd
s
yd
f635,2f
5,16
f
47,43
f
−
−
⋅=⇒=
(4.46)
Situações de projeto 76
A taxa de armadura é definida como:
dbf
fAs
5197,4
dbf
fAs
p
s
m
d
yd
*
⋅⋅
⋅
⋅γ⋅=
⋅⋅
⋅
=ω
−
(4.47)
Substituindo (4.19) em (4.47):
ω⋅γ⋅=ω
m
*
52,4
(4.48)
Observando-se que:
⇒µ⋅β−−=ω⋅γ⋅⇒−−=
⋅⋅
⋅
)211(52,4)K211(
dbf
fA
m
d
ydS
m
52,4
)211(
γ⋅
µ⋅β−−
=ω
(4.49)
Determina-se a taxa de armadura limite para consideração de armadura simples:
Cat. I-A:
0417,0
L
=ω
(4.50)
Cat. II-C:
0236,0
L
=ω
(4.51)
Devem ser analisados os casos em que µ > µ
L
. Desta forma é definida uma taxa
de armadura complementar:
⇒
−
βµ−βµ
=ω⋅γ⋅⇒
−
−
=
⋅⋅
⋅
d
'd
1
)(
52,4
d
'd
1
)KK(
dbf
fA
L
2m
L
d
yd2S
()
d/'d152,4
)(
m
L
2
−⋅γ⋅
µ−
µ
β
=ω
(4.52)
E também se define a taxa de armadura comprimida:
()
⇒
φ
ω−ω
=
φ
ϖ
=ω⇒
φ
=
L22S
S
'
A
'A
(4.53)
Para elaboração do ábaco, as Equações (4.52) e (4.53) são organizadas de forma
semelhante à NBR 10837:1989.
Situações de projeto 77
1. Categoria de produção I e categoria de execução A:
(
)
(
)
[]
937,3
d/'d1684,70417,0269,0
−
⋅
⋅−
ω
+
=µ
(4.54)
()
φ
−ω
=ω
04167,0
'
(4.55)
2. Categoria de produção II e categoria de execução C:
(
)
(
)
[]
947,6
d/'d156,130236,0269,0
−
⋅
⋅−
ω
+
=µ
(4.56)
()
φ
−ω
=ω
0236,0
'
(4.57)
φ: é determinado conforme Tabela I em anexo. Para os valores de d’/d podem ser
adotados os usuais dos livros de concreto, ou seja: 0,05; 0,10; 0,15; 0,20.
•
Proposta de Revisão da NBR 10837
O procedimento é o mesmo do EC 6:1996, porém é preciso refazer a relação
entre a tensão de escoamento e a tensão admissível para levar em consideração o
coeficiente redutor da tensão no aço:
s
yd
s
yd
f318,1f
5,16
f
47,435,0
f
−
−
⋅=⇒=
⋅
(4.58)
São definidos dois valores de µ
L
para o texto de revisão:
Combinações especiais:
0553,0
L
=
µ
(4.59)
Combinações normais:
0465,0
L
=
µ
(4.60)
Situações de projeto 78
E a taxa de armadura limite para consideração de armadura simples:
Combinações especiais:
0674,0
L
=
ω
(4.61)
Combinações normais:
0567,0
L
=
ω
(4.62)
Para os casos em que µ > µ
L
são consideradas as duas combinações das ações.
1. Combinações especiais:
(
)
(
)
[]
863,4
d/'d1748,40674,0269,0
−
⋅
⋅−
ω
+
=µ
(4.63)
()
φ
−ω
=ω
0674,0
'
(4.64)
2. Combinações normais
(
)
(
)
[]
789,5
d/'d1653,50567,0269,0
−
⋅
⋅−
ω
+
=µ
(4.65)
()
φ
−ω
=ω
0567,0
'
(4.66)
Com base nas equações anteriores são apresentados os ábacos de flexão simples
para NBR 10837:1989, EC 6:1196 e o texto de revisão:
Situações de projeto 79
Situações de projeto 80
Situações de projeto 81
Situações de projeto 82
Situações de projeto 83
Com base nos ábacos, é mostrado um comparativo das áreas de armadura de
tração para uma viga submetida a um momento fletor de 1000 kN cm. As armaduras são
calculadas tomando-se d’/d = 0,10 com d’= 5 cm e b = 14 cm. Os resultados estão
dispostos nas Tabelas 4.6, 4.7 e 4.8, a seguir.
Situações de projeto 84
Tabela 4.6 - Área de armadura longitudinal. f
p
= 12,5 MPa.
µ ω ω’
A
s
(cm
2
) A’
s
(cm
2
)
NBR 10837
0,0250 - 1,33 -
Cat. I-A 0,0123 - 0,65 -
EC 6
Cat. II-C 0,0129 - 0,68 -
C. Especiais 0,0250 - 1,33 -
REVISÃO
C. Normais
0,0229
0,0252 - 1,34 -
Tabela 4.7 - Área de armadura longitudinal. f
p
= 8,0 MPa.
µ ω ω’
A
s
(cm
2
) A’
s
(cm
2
)
NBR 10837
0,0396 - 1,35 -
Cat. I-A 0,0198 - 0,67 -
EC 6
Cat. II-C 0,0214 - 0,73 -
C. Especiais 0,0405 - 1,37 -
REVISÃO
C. Normais
0,0357
0,0414 - 1,41 -
Tabela 4.8 - Área de armadura longitudinal. f
p
= 3,5 MPa.
µ ω ω’
A
s
(cm
2
) A’
s
(cm
2
)
NBR 10837
0,0916 0,0935 1,36 1,39
Cat. I-A 0,0493 0,0076 0,73 0,11
EC 6
Cat. II-C 0,0480 0,0244 0,71 0,36
C. Especiais 0,0973 0,0299 1,44 0,44
REVISÃO
C. Normais
0,0816
0,0967 0,040 1,43 0,59
Para resistências de prisma de 12,5 e 8 MPa a área de armadura obtida com a
NBR 10837:1989 e o texto de revisão são em torno de 2 vezes maiores do que a
calculada com o EC 6:1996.
Para resistência de prisma 3,5 MPa, os valores obtidos com o texto de revisão
proporcionam uma economia importante em relação a área de armadura calculada com a
Situações de projeto 85
NBR 10837:1989. Isso se deve à maior importância da capacidade portante do aço para
baixos valores de resistência de prisma. Com resistência de prisma pequena, é menor a
parcela de momento fletor absorvida considerando armadura simples e
dimensionamento balanceado, portanto, há um maior aumento da armadura de
compressão para a NBR 10837:1989. O maior aproveitamento da tensão do aço
(f
yd
= 21,7 kN/cm
2
) por parte do texto de revisão, proporciona uma redução para as
armaduras de compressão, em torno de 2,3 vezes em relação à NBR 10837:1989.
4.3 Cisalhamento
Embora o cisalhamento geralmente ocorra em conjunto com o momento fletor,
nos exemplos será considerado isoladamente. As vigas, vergas e paredes que fazem
parte do sistema de contraventamento são sempre verificadas quanto a esta solicitação.
O cálculo da área de armadura para absorver o cisalhamento é desenvolvido com base
na analogia de treliça e, nos exemplos, admite-se que as armaduras transversais sejam
ortogonais ao eixo do elemento estrutural.
4.3.1 Exemplo E
Dimensionar as armaduras de cisalhamento para a viga da Figura 4.8:
Dados:
f
p
= 9 MPa
Aço CA-50A
20 kN/
m
Figura 4.8 – Segundo exemplo de cisalhamento.
Situações de projeto 86
• Solução – NBR 10837:1989
V = 20 kN / m . 5m = 100 kN / 2 = 50 kN em cada apoio.
Para vigas fletidas sem armaduras (Tabela 3.2):
1cis
f
−
= 0,09
p
f ≤ 0,35 MPa ⇒
2
1cis
cm
kN
027,0MPa27,0f ==
−
Para vigas fletidas com armaduras (Tabela 3.2):
2cis
f
−
= 0,25
p
f ≤ 1,00 MPa ⇒
2
1cis
cm
kN
075,0MPa75,0f ==
−
Pode-se determinar a máxima força cortante que pode ser absorvida pela
alvenaria sem armaduras de cisalhamento (V
1
) e a força cortante admissível na alvenaria
(V
2
).
kN03,2053.14.027,0dbfV
1cis
1
==⋅⋅=
−
kN65,5553.14.075,0dbfV
2cis
2
==⋅⋅=
−
A seguir é apresentado o diagrama de esforço cortante, com a indicação do
trecho da viga onde não será necessária a armadura de combate ao cisalhamento, pois
nessa região V < V
1
.
50 kN
20,03 kN
50 kN
Figura 4.9 – Diagrama de esforço cortante.
Na região da viga em que a força cortante é inferior a 20,03 kN não serão usadas
armaduras de cisalhamento. Basta determinar os estribos necessários para a região
correspondente a V = 50 kN.
Situações de projeto 87
m/cm72,5
535,16
10050
df
sV
A
2
t,s
s
,SW
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
α
Com estribos de dois ramos pode-se escolher por φ 10 mm a cada 20 cm,
conforme Figura 4.10.
Figura 4.10 – Armaduras para a viga do exemplo E.
•
Solução – EC 6:1996
Dados adicionais:
γ
f
= 1,35
γ
m
= 2,2
f
Vk
= 0,1 kN / cm
2
(ver Tabela 3.8)
f
yk
=50 kN/cm
2
γ
s
= 1,15
f
p
= 9 MPa
f
k
= 5,25 MPa
O dimensionamento inicia-se com a verificação da segurança desprezando-se a
armadura de esforço cortante. A resistência característica ao cisalhamento da alvenaria é
determinada conforme Tabela 3.8. Neste exemplo será utilizado o f
vk
= 1 MPa, abaixo
do limite determinado pelo EC 6:1996 para a classe de argamassa M2,5 a M9.
1Rdsd
VV ≤
V
sd
= (20 . 5 / 2) . 1,35 = 67,5 kN
kN1,33V
2,2
52141,0
dbf
V
1Rd
m
Vk
1Rd
=∴
⋅⋅
=
γ
⋅⋅
=
Situações de projeto 88
Como Vsd é maior que V
Rd1
será necessário utilizar armaduras de combate ao
cisalhamento. A verificação levando em conta a armadura inclui a capacidade resistente
da alvenaria e a contribuição das armaduras, como mostrado abaixo:
2Rd1RdSd
VVV
+
≤
Fazendo:
67,5 kN – 33,1 kN = V
Rd2
V
Rd2
= 34,4 kN
Em seguida é preciso verificar em relação à (3.19):
kN1,52
2,2
52145247,030,0
5,67
bdf30,0
VV
m
k
2rd1rd
=
⋅⋅⋅
≤⇒
γ
≤+
Neste caso existem algumas soluções que podem ser tomadas. Pode-se aumentar
a resistência característica ou aumentar uma das dimensões da viga. A opção mais
apropriada, neste caso, é a de modificar sua geometria aumentando a altura útil com a
introdução de mais um bloco, esta passando a ser d = 72 cm.
V
Rd1
e V
Rd2
passam a ser, respectivamente:
V
Rd1
= 45,8 kN
V
Rd2
= 21,7 kN
Substituindo-se V
Rd2
na equação (3.18):
() ()
⇒+⋅⋅=⇒αα+
γ
= 101
15,1
50
s
A
729,07,21sencot1
f
s
A
d9,0V
sw
s
yk
sw
2rd
m/cm77,0
15,1
50
729,0
1007,21
A
2
Sw
=
⋅⋅
⋅
=
A armadura mínima exigida é:
m/cm2,0
m
A
5/7214001,0
l
db%1,0
A
2
)mín(Sw
)mín(Sw
=⇒⋅⋅=
⋅⋅
=
A armadura mínima equivale a uma força cortante de 5,64 kN. O EC 6:1996
recomenda que a armadura deve ser mantida ao longo de todo o vão da viga, com área
mínima não inferior a 0,1% da seção transversal da alvenaria.
Situações de projeto 89
67,5 kN
5,63 kN
67,5 kN
Figura 4.11 – Diagrama de esforço cortante.
Poderiam ser usados estribos φ 3.2. Porém, será seguida a recomendação da
NBR 6118:2003 de que o diâmetro mínimo utilizado seja de 5 mm para estribos. Assim
serão usados estribos de 5 mm de diâmetro com espaçamento de 20 cm ao longo de todo
o vão da viga, já que o trecho de armadura mínima é bastante reduzido, como pode ser
visto na Figura 4.11.
Ainda segundo o EC 6, o espaçamento máximo dos estribos não deve ser
superior a 0,75d ou 30 cm, o que for menor.
•
Solução – Proposta de Revisão da NBR 10837
Dados:
γ
f
= 1,35
γ
m
= 2,5
A força cortante de cálculo será a mesma da solução anterior:
V
d
= 67,5 kN
A resistência característica de cisalhamento é determinada através da Tabela 3.12.
Será usado o mesmo valor da solução com o EC 6:1996, para tornar mais consistente a
comparação entre os resultados, ou seja f
vk
= 1 MPa, abaixo do limite estipulado pelo
texto de revisão (1,7 MPa).
V
rd
= 1 / 2,5 = 0,4 MPa = 0,04 kN/cm
2
.
Em seguida define-se a tensão de cisalhamento atuante na viga:
Situações de projeto 90
2d
vd
cm/kN093,0
c
m
52c
m
14
kN5,67
d
b
V
=
⋅
=
⋅
=τ
O texto base para revisão da norma recomenda que a tensão convencional de
cisalhamento deva ser menor ou igual a 0,8 MPa, quando forem usadas armaduras
transversais. Portanto, optou-se por modificar a geometria da viga para atender esta
recomendação. Adotando-se o mesmo critério da solução com o EC 6:1996, a altura útil
da viga será aumentada com a inclusão de mais um bloco canaleta, passando a ser de 72
cm.
A nova tensão de cisalhamento será:
2
d
vd
cm/kN067,0MPa67,0
c
m
72c
m
14
kN5,67
d
b
V
==
⋅
=
⋅
=τ
Agora, deve ser calculada a parcela da força cortante absorvida pela alvenaria:
kN32,40721404,0dbfV
vda
=
⋅⋅=
⋅
⋅=
Descontando-se a parcela da força cortante resistida pela alvenaria, determina-se
a armadura de cisalhamento:
()
m/cm74,1A
7248,435,0
10032,405,67
df5,0
s)VV(
A
2
SW
yd
ad
SW
=∴
⋅⋅
⋅−
=
⋅⋅
⋅
−
=
A distribuição dos estribos é apresentada na Figura 4.13.
67,5 kN
38,3 kN
67,5 kN
Figura 4.12 - Diagrama de esforço cortante.
Situações de projeto 91
Armadura mínima
Figura 4.13 – Distribuição das armaduras para a viga do exemplo E.
Quanto aos deslocamentos limites, o texto de revisão limita o valor máximo para
esta viga em 2 cm. Seguindo as recomendações do texto de revisão para verificação do
ELS (E = 480 f
p
), é calculado o valor da flecha na viga:
(
)
()
cm2,2
12
m52,0m14,0
m/kN9000480384
m5m/kN205
EI384
Lq5
a
3
2
4
4
=
⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅
=
⋅⋅
=
Com o valor de flecha máxima um pouco acima do limite considerado pelo texto
de revisão, o mais recomendável seria aumentar a resistência do prisma. Supondo uma
resistência de prisma de 12,5 MPa a flecha reduzir-se-ia a 1,6 cm.
Ao se utilizarem armaduras de cisalhamento, o texto de revisão da NBR 10837
limita a tensão cisalhante em 0,8 MPa. O EC 6:1996 também impõe uma limitação da
força cortante atuante na alvenaria. No exemplo E, a limitação imposta pelas duas
normas citadas causou uma modificação na geometria da viga, aumentando sua seção.
Complementando o exemplo E serão consideradas duas seções diferentes para a
viga, bem como três diferentes carregamentos. Os resultados estão organizados na
Tabela 4.9, desconsiderando-se a limitação do esforço cortante existente no EC 6:1996 e
o limite de tensão de cisalhamento prescrito na NBR 10837:1989 e no texto de revisão.
O que se pretende é a comparação entre as armaduras de cisalhamento necessárias para
cada caso de carregamento nas duas seções estudadas.
Situações de projeto 92
Tabela 4.9 – Comparação de dimensionamentos f
p
= 12,5 MPa.
A
sw
(cm
2
/ m)
EC 6 REVISÃO
b x d
(cm)
V (kN) NBR 10837
Cat.I-A Cat.II-C C. especiais C. normais
40
7,13 1,95 2,87
*
4,24
*
4,73
*
50
8,91
*
2,97
*
3,88
*
6,07
*
6,56
*
(14 x 34)
60
10,70
*
3,98
*
4,90
*
7,89
*
8,38
*
40
4,49 0,45 1,36 1,53 2,02
50
5,61 1,09 2,00
*
2,68
*
3,17
*
(14 x 54)
60
6,73 1,73 2,64
*
3,83
*
4,32
*
40
3,28 0,21 0,67 0,29 0,78
50
4,10 0,23 1,14 1,13 1.62
(14 x 74)
60
4,91 0,69 1,60
*
1,97 2,46
* Estes valores correspondem a uma força cortante acima do limite imposto pelas
normas, na prática deve-se alterar a geometria da viga para atender a estas limitações.
Deve ser acrescentado ainda que o EC 6:1996 e o texto de revisão recomendam
que, se forem necessárias armaduras de cisalhamento, estas deverão estar dispostas em
todo o vão da viga, com um valor não menor que o da armadura mínima.
4.3.2 Exemplo F
Neste exemplo são analisados os casos de alvenaria não-armada e armada, em
vigas e paredes. Para uma melhor comparação com a NBR 10837:1989, os resultados
obtidos estão no formato de tensão de cisalhamento. Esta tensão é determinada em
função da classe de resistência da argamassa e da pré-compressão para a alvenaria não-
armada. Já para a armada, para cada valor de tensão de cisalhamento há uma taxa de
armadura correspondente. Ainda com relação à alvenaria armada são tratados em
Situações de projeto 93
separado vigas e paredes, pois para as vigas a pré-compressão pode ser considerada
nula, o que não ocorre nas paredes.
4.3.2.1 Alvenaria Não-Armada
•
NBR 10837:1989
A norma impõe dois limites absolutos para tensão de cisalhamento, em função
de duas classes de argamassa (ver Tabela 3.1). Não leva em consideração a tensão
normal de pré-compressão na junta de argamassa. Portanto a resposta é constante para
cada intervalo de resistência.
•
EC 6:1996
Para a determinação da resistência característica ao esforço cortante na alvenaria
não-armada (f
vk
), admite-se uma parcela de resistência sob compressão nula (f
vko
) e
outra considerando parte da tensão normal de pré-compressão nas juntas (σ), ver
Equação (3.9). Estabelece, também, um limite para a resistência característica em
função de três classes de resistência de argamassa, (Tabela 3.8). O valor da tensão de
pré-compressão varia até que alcance o valor limite para resistência característica de
cisalhamento recomendada pelo EC 6:1996.
•
Proposta de Revisão da NBR 10837
O texto de revisão prescreve, assim como o EC 6:1996, uma parcela de
resistência ao esforço cortante sob compressão nula e outra parcela proveniente da
tensão de pré-compressão, ver Tabela 3.12. Porém o texto de revisão considera um
aproveitamento maior desta última parcela em comparação com o EC 6:1996.
Da análise das três prescrições normativas, apresentam-se gráficos de superfície
que descrevem as condições dispostas nas normas e no texto de revisão.
Os eixos são nomeados da seguinte maneira:
f
cis
: tensão de cisalhamento admissível para alvenaria não armada;
Situações de projeto 94
f
vk
: resistência característica ao esforço cortante da alvenaria não armada;
σ: tensão de pré-compressão;
λ: esbeltez.
Figura 4.14 – Superfície de tensões para alvenaria não-armada. NBR 10837:1989.
Figura 4.15 – Superfície de tensões para alvenaria não-armada. EC 6:1996.
f
a
(MPa)
σ
(MPa)
f
cis
(MPa)
f
a
(MPa)
σ
(MPa)
f
vk
(MPa)
Situações de projeto 95
Figura 4.16 – Superfície de tensões para alvenaria não-armada. Texto de Revisão.
As superfícies amarela e vermelha representam a resistência ao esforço cortante
para a classe de argamassa de menor e maior resistência, respectivamente. Os intervalos
podem ser encontrados no capítulo referente às normas para alvenaria estrutural.
4.3.2.2 Alvenaria Armada
Assim como nos exemplos anteriores, procura-se descrever de forma geral o
cisalhamento em paredes e vigas de alvenaria.
Para um dado valor de tensão de cisalhamento é obtida uma determinada taxa de
armadura. Estes valores são obtidos organizando as equações para dimensionamento de
seções submetidas a esforço cortante, para que estas expressem os resultados em taxa de
armadura.
•
NBR 10837:1989
De acordo com o exemplo E, e com o equacionamento encontrado em
RAMALHO & CORRÊA (2003), quando ocorre a necessidade de armaduras, estas são
calculadas por:
f
a
(MPa)
σ
(MPa)
f
vk
(MPa)
Situações de projeto 96
df
sV
A
t,s
s
sw
⋅
⋅
=
−
(4.67)
Dividindo (4.67) por b:
t,s
ssw
f
1
db
V
bs
A
−
⋅
⋅
=
⋅
(4.68)
É possível definir taxas de armadura para valores de tensão de cisalhamento. Da
Equação (4.68) nota-se que a NBR 10837:1989 não aproveita a capacidade da alvenaria
de absorver parte do esforço cortante. Quando armada, somente os estribos devem
absorver todo o esforço cortante.
A norma estabelece valores máximos de tensão de cisalhamento para vigas e
paredes. Para vigas esse valor máximo é 1 MPa, no caso de paredes ocorrem duas
situações:
Se
1
d
V
M
≥
⋅
(P1)
Valor máximo = 0,5 MPa
Se
1
d
V
M
<
⋅
(P2)
Valor máximo = 0,8 MPa
Este exemplo engloba estas três situações descritas pela norma.
•
EC 6:1996
De acordo com a Equação (3.17) a alvenaria absorve parte do esforço cortante e
a outra parcela deve ser resistida pela armadura, ou seja:
1rdsd2rd
VVV −=
(4.69)
A Equação (3.18) define o cálculo dos estribos e a (3.16) a parcela resistida pela
alvenaria, substituindo-as em (4.69):
m
vk
f
s
yk
sw
dbf
V
f
s
A
d9,0
γ
⋅⋅
−γ⋅=
γ
⋅
(4.70)
Situações de projeto 97
Dividindo (4.70) por (bd), é obtida a taxa de armadura por tensão de
cisalhamento:
s
yk
m
vk
f
sw
f
9,0
f
db
V
bs
A
γ
⋅
γ
−γ⋅
⋅
=
⋅
(4.71)
Para vigas, admite-se que não ocorre tensão de pré-compressão, portanto a
resistência característica ao esforço cortante será o valor de f
vk0
definido pela Tabela 3.8
para a classe de argamassa M2,5 a M9.
Para paredes são considerados dois valores para pré-compressão e para o
coeficiente de segurança da alvenaria, estes serão definidos mais adiante.
•
Proposta de Revisão da NBR 10837
Com base na Equação (3.28), a área da armadura é calculada descontando-se a
parcela de esforço cortante absorvida pela alvenaria. Esta parcela é encontrada através
da Equação (3.27). Organizando as duas equações determina-se a armadura por unidade
de comprimento:
s
yk
m
vk
f
sw
df5,0
dbf
V
s
A
γ
⋅⋅
γ
⋅⋅
−γ⋅
=
(4.72)
Dividindo a Equação (4.72) por b, é encontrada a taxa de armadura:
s
yk
m
vk
f
sw
f5,0
f
db
V
sb
A
γ
⋅
γ
−
⋅
γ⋅
=
⋅
(4.73)
Considerando elementos com armaduras de flexão, o texto de revisão prescreve
que a resistência característica ao cisalhamento seja determinada pela Equação (3.25).
No exemplo E foi considerada somente a força cortante, mas para este exemplo,
Situações de projeto 98
pretende-se simular uma situação real de projeto, onde as vigas estão submetidas à
flexão e cisalhamento. Introduzindo o cálculo de f
vk
na Equação (4.73) é determinada a
taxa de armadura para vigas.
()
[]
s
yk
m
f
sw
f5,0
5,1735,0
db
V
sb
A
γ
⋅
γ
ρ⋅+
−
⋅
γ⋅
=
⋅
(4.74)
A taxa de armadura longitudinal será a mínima recomendada pelo texto de
revisão, (0,1 %) da área da seção transversal. Para alvenaria armada, o texto de revisão
determina que a argamassa tenha resistência característica a compressão maior ou igual
a 5 MPa (Tabela 3.12).
Para a tensão de pré-compressão são usados dois valores. Admite-se um valor de
tensão de pré-compressão suficiente para alcançar o limite de resistência característica à
compressão, conforme a Tabela 3.12. O segundo valor foi arbitrado como sendo a
metade do primeiro. Estes valores de pré-compressão são nomeados, respectivamente,
como σ
1
= 2,25 MPa e σ
2
= 1,125 MPa.
O coeficiente parcial de segurança do aço é (γ
s
= 1,15), comum ao EC 6:1996 e o
texto de revisão.
Os coeficientes de segurança da alvenaria e das ações são os mesmos utilizados
no exemplo D de flexão simples e aqui cabem as mesmas justificativas.
Situações de projeto 99
Caso geral de cisalhamento (Vigas)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085 0,090
Tensão de cisalhamento (MPa)
NBR 10837
Viga EC6(Cat.IA)
VigaEC6(Cat.IIC)
Viga REV(CE)
Viga REV(CN)
(Asw/bs)
Figura 4.17 – Cisalhamento em vigas.
Caso geral de cisalhamento - Paredes
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070
Tensão de cisalhamento (MPa)
NBR10837
EC6 (Cat.IA)
EC6(Cat.IIC)
REV.(CE)
REV.(CN)
P2
P1
(Asw/bs)
σ
1
=2,25 MPa
Figura 4.18 – Cisalhamento em paredes com σ = 2,25 MPa.
Situações de projeto 100
Caso geral de cisalhamento - Paredes
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080
Tensão de cisalhamento (MPa)
NBR10837
EC6(Cat.IA)
EC6(Cat.IIC)
REV.(CE)
REV.(CN)
(Asw/bs)
σ
2
=1,125 MPa
P2
P1
Figura 4.19 – Cisalhamento em paredes com σ = 1,125 MPa.
Para o EC 6:1996 e o texto de revisão, a resistência característica ao
cisalhamento é crescente à medida que aumenta a tensão de pré-compressão. Porém, o
texto de revisão utiliza uma parcela de pré-compressão 50% maior do que o EC 6:1996.
Nas vigas de alvenaria armada, a área de armadura encontrada com o texto de
revisão, para combinações especiais, é aproximadamente 40,5% menor do que a obtida
com a NBR 10837:1989, e para as combinações normais, 33,6% menor.
A partir da Tabela 4.9, para V = 40kN, seção de 14 x 34 cm
2
e categoria I-A, o
EC 6:1996 fornece uma área de armadura 72,7 % menor do que a armadura da
NBR 10837:1989. Grande parte desta diferença se dá porque o EC 6:1996 aproveita
uma maior parcela da tensão de cálculo do aço, 39,1 kN/cm
2
contra 21,7 kN/cm
2
do
texto de revisão e 16,5 kN/cm
2
da NBR 10837:1989. E a economia de armaduras com o
EC 6:1996 é maior à medida que aumenta a tensão de cisalhamento.
No caso das paredes, devido à consideração do efeito da pré-compressão, o
texto de revisão apresenta taxas de armaduras menores para tensões de cisalhamento até
0,6 MPa (σ
1
e combinações especiais) do que o EC 6:1996.
Situações de projeto 101
Observando-se a Figura 4.18, percebe-se que o texto de revisão apresenta taxas
de armadura aproximadamente 74% menores, em comparação com a NBR 10837:1989,
e esta diferença é praticamente constante para todos os valores de tensão de
cisalhamento do gráfico. Para o gráfico da Figura 4.19, a diferença entre a taxa de
armadura do texto de revisão e da NBR 10837:1989 é de aproximadamente 43%.
4.4 Flexão Normal Composta
Em estruturas de edifícios de alvenaria, a flexão composta ocorre pela
combinação do carregamento vertical com as ações horizontais, sendo estas últimas
devidas ao vento, ao desaprumo em paredes, ou ao empuxo em estruturas de contenção.
O equacionamento dos problemas de flexão composta pode ser encontrado em
RAMALHO & CORRÊA (2003) e JOAQUIM (1999), sendo que neste último também
são apresentadas tabelas auxiliares para o dimensionamento à flexão normal composta
em tensões admissíveis. Para a solução com o EC 6:1996 será utilizado o roteiro de
cálculo descrito por RABELO (2004), disponível em anexo. A solução de acordo com o
texto de revisão segue as recomendações contidas no Item 3.3.2.4 do capítulo 3.
4.4.1 Exemplo G
Dimensionar um pilar de 2,80 m de altura em alvenaria estrutural onde atua uma
carga axial de 65 kN e um momento fletor de 7,5 kN na direção indicada pela Figura
4.20:
M=7,5 kNm
Figura 4.20 – Flexão composta em pilar.
Situações de projeto 102
Dados:
f
p
= 9,5 MPa = 0,95 kN/cm
2
d' = 7,5 cm
•
Solução – NBR 10837:1989
E
alv
= 800 . fp = 800 . 9,5 = 7600 MPa
n = E
s
/ E
alv
= 210000 / 7600 = 27,63
As máximas tensões admissíveis são dadas a partir:
()
2
c,alv
3
c,sp
c,alv
cm/kN2394,0f
t40
h
1f30,0f20,0f
=⇒
⇒
−⋅⋅ρ+⋅=
−
−
Da Tabela 3.2
2
p
f,alv
cm/kN3135,095,033,0f33,0f =⋅=⋅=
−
A máxima tensão causada pela compressão axial que a seção pode suportar é
obtida calculando-se:
2
c,alv
cm/kN057,0
3929
65
h
b
N
f =
⋅
=
⋅
=
Considerando-se a ação do vento (α=1,33), tem-se a máxima tensão de flexão:
2
f,alv
c,alv
c,alv
máx,f,alv
cm/kN239,03135,0
2394,0
057,0
33,1f
f
f
f =
−=⋅
−α=
−
−
Como a máxima tensão de compressão na alvenaria é a soma da tensão causada
pela compressão axial com a causada pela flexão:
2
máx,f,alvc,alvalv
cm/kN296,0239,0057,0fff =+=+=
A posição da linha neutra é conhecida através da determinação dos coeficientes
a, b e c da equação de segundo grau que fornece o valor de x:
431,1296,0.29).6/1(ft
6
1
a
alv
==⋅⋅=
Situações de projeto 103
198,1355,31.296,0.29).2/1(dft
2
1
b
alv
−=−=⋅⋅⋅−=
15307505,7
2
39
65M'd
2
H
Nc =+
−=+
−=
Calculando a raiz de interesse da equação, obtém-se a profundidade da linha
neutra:
cm145,13
a2
ca4bb
x
2
=
⋅
⋅⋅−−−
=
Com a linha neutra conhecida é possível calcular a tensão de tração no aço:
2
alvs
cm/kN42,11
145,13
145,135,31
296,063,27
x
xd
fnf =
−
⋅⋅=
−
⋅⋅=
A máxima tensão de compressão na alvenaria (0,296 kN/cm
2
) está relacionada a
x = 13,142 cm e a tensão no aço de 11,42 kN/cm
2
. Finalmente pode-se determinar a área
de armadura:
0A65
2
296,0142,1329
42,11
1
N
2
fxt
f
1
A
s
alv
s
s
<⇒
−
⋅⋅
=
−
⋅⋅
=
Como a área de armadura resultou negativa, será preciso fazer um processo
iterativo em que, a cada passo, o valor total de compressão na alvenaria será diminuído
até que o equilíbrio seja alcançado. O processo está organizado na Tabela 4.10:
Tabela 4.10 – Processo iterativo Exemplo F
falv A b c x fs As
0,296 1,431 -135,198 1530,00 13,15 11,42 -0,75
0,280 1,353 -127,890 1530,00 14,05 9,60 -0,83
0,270 1,305 -123,323 1530,00 14,69 8,54 -0,88
0,260 1,257 -118,755 1530,00 15,39 7,52 -0,93
0,250 1,208 -114,188 1530,00 16,16 6,55 -0,98
0,240 1,160 -109,620 1530,00 17,02 5,64 -1,02
0,230 1,112 -105,053 1530,00 17,99 4,77 -1,05
0,220 1,063 -100,485 1530,00 19,08 3,96 -1,05
0,210 1,015 -95,918 1530,00 20,32 3,19 -0,98
0,200 0,967 -91,350 1530,00 21,76 2,47 -0,77
0,190 0,918 -86,783 1530,00 23,45 1,80 -0,22
0,180 0,870 -82,215 1530,00 25,48
1,18 1,28
Situações de projeto 104
O equilíbrio da seção é conseguido com uma área de armadura de 1,28 cm
2
,
porém com sub-aproveitamento do aço (f
s
= 1,18 kN/cm
2
) o que torna esta solução
antieconômica. A NBR 10837:1989 indica uma taxa mínima de armadura para pilares
entre 0,3 % e 1% da área bruta e que deve ser de no mínimo quatro barras de 12,5 mm
de diâmetro, com pelo menos uma em cada furo.
Portanto, para a seção do pilar a armadura mínima é:
(0,3/100). 29 . 39 = 3,4 cm
2
Deverá ser usado o mínimo recomendado pela NBR 10837 (4 φ 12,5mm = 4 ,91
cm
2
).
Nota-se que a NBR 10837:1989 é muito exigente quanto à armadura mínima, o
que ocasiona uma área de armadura bastante elevada, principalmente ao se comparar
com as áreas de armaduras mínimas exigidas pelas duas outras normas analisadas, as
quais serão apresentadas a seguir.
•
Solução – EC 6:1996
Dados:
γ
f
= 1,35
γ
m
= 2,5
f
yk
=50 kN/cm
2
γ
s
= 1,15
f
p
= 9,5 MPa = 0,95 kN/cm
2
f
k
= 5,542 MPa = 0,5542 kN/cm
2
f
d
= 0,222 kN /cm
2
N
d
= 87,75 kN
M
d
= 1012,5 kN cm
K
l
= 0,269
De acordo com o roteiro da Tabela V em anexo:
Situações de projeto 105
211,0
3929222,0
5,1012
2
39
5,3175,87
dbf
M
2
h
dN
K
22
d
dd
=
⋅⋅
+
−⋅
=
⋅⋅
+
−⋅
=
K ≤ K
l
⇒ K’= K
A seguir calcula-se a área de armadura tracionada:
2
yd
dd
1S
cm90,0
f
N)'K211(dbf
A −=
−−−⋅⋅⋅
=
Como a armadura tracionada resultou negativa deverá ser considerado o 2
o
caso,
no qual o equilíbrio da seção é conseguido com a compressão do concreto e da
armadura:
h
bf
M'd
2
h
N
2'd'dy
d
dd
2
≤
⋅
−−
++=
hcm80,15
29222,0
5,10125,7
2
39
75,87
25,75,7y
2
<=
⋅
−
−
++=
Em seguida é determinada a armadura comprimida:
2
S
yd
S
cm47,0'A
f
)80,1529222,075,87(
'A −=⇒
⋅φ
⋅⋅−
=
Como o valor para armadura comprimida resultou menor que zero, será
calculada a armadura mínima:
0,001 . 29 . 39 = 1,131 cm
2
∴4 φ 6,3 mm onde o diâmetro mínimo recomendado
pelo EC 6:1996 é de 6 mm.
•
Solução – Proposta de Revisão da NBR 10837
Dados:
γ
f
= 1,35
Situações de projeto 106
γ
m
= 2,5
Primeiramente será conhecida a esbeltez do pilar. Considerando que o pilar
possui travamento nos bordos superior e inferior, altura efetiva será à distância entre tais
travamentos, portanto a esbeltez deste pilar é:
λ = 9,66
Sendo λ ≤ 11 o pilar é admitido como curto e deve ser verificada a condição:
N
d
≤ N
rd
= f
d
b (h – 2 e
x
)
kN51,102NN
75,87
5,1012
23929222,0N
rddrd
=<⇒
⋅−⋅⋅=
Portanto para este caso só é necessário prever a armadura mínima:
0,003 . 29 . 39 = 3,39 cm
2
∴8 φ 8 mm
O texto de revisão permite considerar a hipótese do pilar sofrer impactos e este
pode ser reforçado com armaduras a uma taxa mínima de 0,2 % da seção.
As normas em estados limites permitiram que o processo de verificação do pilar
fosse realizado de forma mais simplificada do que com o uso da NBR 10837:1989, ao
contrário do que seria esperado normalmente. Todos os resultados levaram ao uso da
armadura mínima, sendo que a determinada pelo EC 6:1996 é três vezes menor do que
em relação às outras duas utilizadas.
4.4.2 Exemplo H
Neste exemplo é determinada a área de armadura para determinados valores de
força normal e momento fletor. As armaduras da parede, Figura 4.21 , são determinadas
para valores de força normal e de momento fletor. Também serão usadas resistências de
prismas de: 12,5 MPa; 8 MPa e 3,5 MPa.
Situações de projeto 107
2,80 m
d'
0,19
1m
M (kN m)
N (kN)
Figura 4.21 – Exemplo de flexão normal composta em paredes.
•
NBR 10837:1989
No equacionamento desenvolvido por JOAQUIM (1999) não há consideração da
armadura dupla e, como pode ser visto no exemplo F, geralmente ocorre um sub-
aproveitamento da capacidade portante do aço. Assim, foi elaborado um roteiro de
cálculo que leva em consideração o aproveitamento total da tensão admissível do aço na
zona tracionada, e a utilização de armadura dupla. O equacionamento para determinação
das armaduras, para elementos de alvenaria estrutural submetidos à flexão normal
composta e o roteiro de cálculo estão em anexo.
•
EC 6: 1996
Na solução com o EC 6:1996 são considerados os coeficientes parciais de
segurança da alvenaria para o melhor e o pior controle, respectivamente γ
m
=1,7 e γ
m
=3.
•
Proposta de Revisão da NBR 10837
São utilizados os seguintes coeficientes de segurança para alvenaria: γ
m
=2,1 e
γ
m
=2,5 (ver Tabela 3.11).
O coeficiente de segurança das ações é γ
f
= 1,35. Este é utilizado para o
EC 6:1996 e o texto de revisão.
d'=0,2 m
Situações de projeto 108
Nas Tabelas 4.10, 4.11 e 4.12 são apresentados os resultados de armadura para
valores característicos de força normal e momento fletor. Para as normas em estados
limites, a área de armadura é apresentada a partir do valor majorado das ações e com os
coeficientes parciais de segurança da alvenaria indicados anteriormente.
Tabela 4.11 – Área das armaduras (em cm
2
) para o exemplo H com f
p
= 12,5 MPa.
EC 6:1996 Proposta de Revisão
As - Trac. (cm
2
)
A’s - Comp.(cm
2
)
N
k
(kN)//M
k
(kN.m)
NBR 10837
γ
m
= 1,7 γ
m
= 3,0 γ
m
= 2,1 γ
m
= 2,5
N
k
M
k
A
s
A’
s
A
s
A’
s
A
s
A’
s
A
s
A’
s
A
s
A’
s
75
3,46 - 1,84 - 2,11 - 3,82 - 3,99 -
85
4,16 - 2,21 - 2,51 0,41 4,62 - 4,84 -
40
95
4,88 - 2,60 - 2,90 0,87 5,45 - 5,73 0,06
75
2,81 - 1,52 - 1,81 0,32 3,22 - 3,43 -
85
3,53 - 1,90 - 2,20 0,78 4,04 - 4,31 -
60
95
4,25 - 2,29 - 2,59 1,24 4,89 - 5,10 0,79
75
2,18 - 1,20 - 1,50 0,69 2,63 - 2,89 -
85
2,90 - 1,59 - 1,89 1,15 3,47 - 3,71 0,61
80
95
3,64 - 1,99 - 2,28 1,61 4,35 - 4,48 1,53
75
1,55 - 0,89 - 1,19 1,06 2,06 - 2,31 0,43
85
2,28 - 1,29 - 1,58 1,52 2,93 - 3,09 1,34
100
95
3,03 - 1,70 - 1,97 1,98 3,79 0,33 3,86 2,26
O texto de revisão apresenta resultados mais conservadores do que a
NBR 10837:1989. Para um mesmo valor de força normal, com o aumento do momento
fletor, o aumento da área de armadura é maior para o texto de revisão do que para a
NBR 10837:1989.
O EC 6:1996 apresenta menores áreas em comparação com a NBR 10837:1989,
e conforme aumenta a tração no elemento, a área de armadura aumenta mais
rapidamente para a NBR 10837:1989. Porém para a normal de 100 kN e categoria II-C,
Situações de projeto 109
o EC 6:1996 mostra-se mais conservador do que a norma brasileira em tensões
admissíveis.
Tabela 4.12 – Área das armaduras para o exemplo H com f
p
= 8 MPa.
EC 6:1996 Proposta de Revisão
As - Trac. (cm
2
)
A’s - Comp.(cm
2
)
N
k
(kN)//M
k
(kN.m)
NBR 10837
γ
m
= 1,7 γ
m
= 3,0 γ
m
= 2,1 γ
m
= 2,5
N
k
M
k
A
s
A’
s
A
s
A’
s
A
s
A’
s
A
s
A’
s
A
s
A’
s
75
3,73 - 2,03 - 2,18 1,48 4,27 0,64 4,32 1,87
85
4,51 - 2,47 - 2,57 1,94 5,05 1,55 5,10 2,79
40
95
5,32 - 2,87 0,33 2,96 2,39 5,82 2,47 5,87 3,71
75
3,16 - 1,76 0 1,87 1,84 3,65 1,37 3,70 2,61
85
3,96 - 2,18 0,24 2,26 2,30 4,43 2,29 4,47 3,52
60
95
4,73 1,76 2,56 0,70 2,65 2,76 5,20 3,21 5,25 4,44
75
2,61 - 1,48 0,14 1,56 2,21 3,03 2,11 3,08 3,34
85
3,37 1,89 1,87 0,60 1,95 2,67 3,80 3,02 3,85 4,26
80
95
4,13 4,20 2,25 1,06 2,34 3,13 4,58 3,94 4,63 5,18
75
2,01 2,02 1,17 0,51 1,25 2,58 2,41 2,84 2,46 4,08
85
2,77 4,38 1,56 0,97 1,64 3,04 3,18 3,76 3,23 4,99
100
95
3,53 6,74 1,94 1,43 2,03 3,50 3,96 4,68 4,01 5,91
O EC 6:1996, com categoria II-C, apresenta resultados mais conservadores que a
NBR 10837:1989, mas à medida que o nível de compressão aumenta, a situação se
inverte com a soma das áreas de armadura (A
s
+ A
s
’) maiores por parte da
NBR 10837:1989. Já em relação ao texto de revisão, esta inversão ocorre somente para
a força normal de 100 kN e momento fletor de 95 kN cm.
Situações de projeto 110
Tabela 4.13 – Área das armaduras para o exemplo H com f
p
= 3,5 MPa.
EC 6:1996 Proposta de Revisão
As - Trac. (cm
2
)
A’s - Comp.(cm
2
)
N
k
(kN)//M
k
(kN.m)
NBR 10837
γ
m
= 1,7 γ
m
= 3,0 γ
m
= 2,1 γ
m
= 2,5
N
k
M
k
A
s
A’
s
A
s
A’
s
A
s
A’
s
A
s
A’
s
A
s
A’
s
75
4,19 10,29 2,21 2,09 2,24 3,00 4,44 4,98 4,47 5,52
85
4,95 12,63 2,59 2,55 2,63 3,46 5,22 5,90 5,24 6,44
40
95
5,71 14,96 2,98 3,01 3,02 3,92 6,00 6,82 6,02 7,36
75
3,59 13,42 1,90 2,46 1,93 3,36 3,82 5,72 3,85 6,26
85
4,35 15,90 2,28 2,92 2,32 3,82 4,60 6,63 4,62 7,17
60
95
5,10 18,37 2,67 3,38 2,71 4,28 5,38 7,55 5,40 8,09
75
2,99 16,93 1,59 2,83 1,62 3,73 3,20 6,45 3,22 6,99
85
3,75 19,55 1,97 3,29 2,01 4,19 3,98 7,37 4,00 7,91
80
95
4,50 22,17 2,36 3,75 2,40 4,65 4,75 8,29 4,78 8,83
75
2,39 20,88 1,27 3,19 1,31 4,10 2,58 7,18 2,60 7,73
85
3,14 23,66 1,66 3,65 1,70 4,56 3,36 8,10 3,38 8,64
100
95
3,90 26,45 2,05 4,11 2,09 5,02 4,13 9,02 4,16 9,56
Para resistência de prisma de 3,5 MPa, a NBR 10837:1989 conduz a valores de
armadura bem maiores do que as alcançadas com o uso do EC 6:1996 e do texto de
revisão. De fato, os valores de armadura obtidos pela norma brasileira em vigor são
impraticáveis.
Para força normal de 40 kN e momento fletor de 95 kN cm, a área de armadura
obtida com o EC 6:1996 é, para categoria I-A, 71% menor do que a obtida com a NBR
10837:1989 e, para categoria II-C, 66% menor. Em relação ao texto de revisão, para
combinações especiais, a área de armadura é 38% menor do que a da NBR 10837:1989,
e para combinações normais, 35% menor. A resposta da NBR 10837:1989 é
antieconômica, e a área de armadura cresce a uma taxa maior do que a das normas em
estados limites, conforme aumenta o nível de compressão na parede.
Situações de projeto 111
4.5 Comentários Gerais Sobre o Capítulo
Neste capítulo foram apresentados exemplos das situações típicas em projetos de
alvenaria estrutural. Para cada situação de projeto procurou-se explorar um grande
número de variáveis, envolvidas no dimensionamento e na verificação dos elementos.
Alguns parâmetros utilizados pelo EC 6:1996 e pelo texto de revisão tiveram que ser
adaptados para os padrões da NBR 10837:1989, como, por exemplo, a resistência
característica da parede que foi adaptada para a resistência de prisma, criando-se um
coeficiente apropriado para relacioná-las. Ao final de cada exemplo foram inseridos
comentários sobre os valores calculados, com o intuito de promover uma análise sucinta
sobre a influência dos aspectos particulares de cada norma nos resultados obtidos.
Conclusões 112
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
O campo de estudos, que envolve a introdução do método dos estados limites no
cálculo de alvenaria estrutural, é bastante amplo e não caberia somente neste trabalho a
análise de todos os aspectos relativos à essa mudança de abordagem. Contudo,
procurou-se mostrar algumas implicações que envolvem a substituição do método das
tensões admissíveis pelo método dos estados limites em aspectos de aplicação direta em
projetos estruturais de edificações em alvenaria.
5.1 Conclusões
No capítulo dois fica evidente a pequena quantidade de trabalhos em língua
portuguesa que se dedicaram ao estudo da alvenaria estrutural em estados limites, ou,
até mesmo, em relação à norma em vigor, já que existem alguns pontos obscuros na
NBR 10837:1989, como por exemplo, a utilização do valor médio da resistência do
prisma para o cálculo das estruturas de alvenaria, enquanto que a norma da aceitação de
blocos, NBR 7186:1982, toma como base o valor característico da resistência. Também
pode ser dado como exemplo, a não consideração da parcela de esforço cortante
resistida pela alvenaria sem o uso de armaduras transversais.
Para os exemplos de compressão simples, a utilização de gráficos de superfície
facilita bastante a comparação entre as normas estudadas e o texto de revisão, pois os
gráficos englobam os parâmetros mais importantes no dimensionamento de elementos
submetidos a esta solicitação. Os resultados encontrados estão de acordo com aquilo a
que o texto de revisão se propõe, que é a produção de resultados próximos à
NBR 10837:1989.
O coeficiente de redução da resistência devido à esbeltez exerce uma
importância menor para a NBR 10837:1989 e o texto de revisão, comparando-se com o
coeficiente do EC 6:1996. A forma de determinar o coeficiente redutor recomendada
pelo EC 6:1996 parece ser mais adequada, por considerar, também, a excentricidade do
Conclusões 113
pavimento sobre a parede, a excentricidade causada pela ação do vento, fluência e
excentricidade acidental.
O cálculo de elementos submetidos à flexão simples torna-se bastante prático
com o uso dos roteiros apresentados neste trabalho. Assim, foram criados ábacos, com
os quais seria possível determinar a área de armadura de vigas de alvenaria, com seção
retangular, a partir de valores característicos de momento, uniformizando os dados de
entrada tanto para a NBR 10837:1989 como para as normas em estados limites. Desta
forma, a comparação entre os resultados tornou-se mais fácil.
A partir dos ábacos de flexão simples foi possível observar que, para a
NBR 10837:1989, a parcela complementar de momento fletor, que é absorvida
considerando-se armadura dupla, é bem maior do que a observada para o EC 6:1996 e o
texto de revisão. Isso explica porque, para maiores níveis de momento fletor, a
NBR 10837:1989 fornece áreas de armadura comprimida demasiadamente elevadas
chegando a ultrapassar a área de armadura tracionada.
Com relação ao texto de revisão, a redução da capacidade portante do aço no
dimensionamento dos elementos aproximou as áreas de armadura tracionada dos valores
encontrados com a NBR 10837:1989.
As considerações contidas nas normas em estados limites propiciaram curvas de
flexão simples mais adequadas ao dimensionamento, em comparação com as obtidas
com a NBR 10837:1989. Para os casos de armadura dupla, o texto de revisão gera
economias importantes, em função da armadura comprimida ser bem menor do que a
obtida com a NBR 10837:1989. Note-se que os valores do texto de revisão são
balizados pelos resultados de uma norma já consolidada como o EC 6:1996.
Quanto ao cisalhamento, o texto de revisão corrige duas incoerências presentes
na NBR 10837:1989. A primeira é o não aproveitamento da parcela resistente ao
cisalhamento que ocorre na alvenaria. Quando há necessidade da armadura, esta deve
absorver todo o esforço cortante que atua na seção. A segunda, é referente à não
consideração da tensão de pré-compressão, que ocorre com maior importância em
paredes e tem sido motivo de críticas reiteradas à norma brasileira vigente.
Um conjunto de gráficos foi gerado para reunir as respostas de cada norma, de
forma a caracterizar os casos gerais de cisalhamento em vigas e paredes. Com a
observação desses gráficos, fica evidente a necessidade de se considerar a tensão de pré-
Conclusões 114
compressão no dimensionamento ao cisalhamento, principalmente para as paredes, dada
a distância que é observada entre a taxa de armadura do texto de revisão e a taxa
fornecida com o uso da NBR 10837:1989.
Com relação à flexão normal composta, o equacionamento desenvolvido por
JOAQUIM (1999) considera somente armadura simples e, para determinados casos,
gera soluções insatisfatórias, pois a tensão do aço, já bastante reduzida pela NBR
10837:1989, é sub-aproveitada.
Com base nisto, um novo equacionamento, fundamentado no desenvolvido por
RABELO (2004), foi formulado considerando que a tensão de tração atuante é igual a
tensão admissível do aço e três casos distintos de dimensionamento: um primeiro caso
em que existe uma armadura tracionada, podendo haver ou não outra comprimida; o
segundo caso onde o equilíbrio da seção é conseguido com a compressão da alvenaria e
da armadura; e um terceiro, no qual admite-se que a alvenaria está totalmente
comprimida com as duas armaduras comprimidas e a linha neutra, por simplificação,
considerada no infinito.
O dimensionamento à flexão normal composta, proposto pela NBR 10837:1989,
chega a ser mais econômico do que o EC 6:1996 e o texto de revisão, para resistência de
prisma de 12,5 MPa. Porém, conforme a resistência cai, a diferença diminui. Para a
resistência de prisma de 3,5 MPa nota-se claramente uma inversão dessa diferença,
como observado no exemplo H, em que a área de armadura comprimida com a
NBR 10837:1989 é em torno de duas vezes maior do que a correspondente ao texto de
revisão.
O dimensionamento à flexão composta, segundo o texto de revisão e o
EC 6:1996 é mais coerente, por estabelecer limites de deformação para a alvenaria e
para o aço, e assemelha-se ao dimensionamento do concreto com base na NBR
6118:2003. Estes fatores contribuirão para a rápida adaptação do meio técnico à nova
metodologia de cálculo.
Analisando-se, agora, a verificação dos estados limites de serviço, pode-se
afirmar que as recomendações contidas no EC 6:1996 são bastante simplificadas e
resumidas. Talvez por não haver risco de ruína relacionado a este tipo de verificação, a
norma européia não dá rigor às recomendações relacionadas às situações de serviço, o
Conclusões 115
que torna a verificação confusa e, por vezes, ocasiona valores duvidosos para peças
fletidas, por exemplo.
Já o texto de revisão, tomando como base as recomendações da NBR 6118:2003,
estabelece prescrições mais plausíveis quanto aos estados limites de serviço, por utilizar
a fixação de limites considerados aceitáveis para deslocamentos e por prescrever
recomendações para a observação de fissuras nos elementos de alvenaria estrutural.
5.2 Sugestões de Pesquisa
Como sugestão, é proposto um exemplo de análise e dimensionamento de um
edifício de alvenaria estrutural, com o objetivo de comparar os dimensionamentos feitos
com a NBR 10837:1989 e o texto de revisão.
Sugerem-se, também, pesquisas que procurem quantificar e determinar a
influência da pré-compressão para a avaliação da resistência característica ao
cisalhamento no caso dos materiais nacionais, visto que a recomendação feita pelo texto
de revisão é uma simples adaptação da BS 5628:1992 parte-1.
Para os casos de flexão normal composta, devido à ocorrência bastante comum
em estruturas portantes de edifícios, é sugerido o desenvolvimento de ábacos,
semelhantes aos encontrados para estruturas de concreto armado, que podem ser
ferramentas úteis para a comparação dos resultados do texto de revisão com a
NBR 10837:1989.
De forma geral, são necessários estudos experimentais que avaliem o
comportamento dos principais elementos de alvenaria estrutural, submetidos às
solicitações apresentadas neste trabalho. Desta maneira, podem ser estabelecidos
valores característicos de resistência, adequados à realidade brasileira, e o
desenvolvimento de processos analíticos que simulem os resultados experimentais.
Por fim, vale dizer que a mudança de metodologia para a verificação e
dimensionamento da alvenaria estrutural envolve ainda bastante estudo. Neste trabalho,
buscou-se contribuir com este processo de mudança através da apresentação de
situações típicas de projeto, inicialmente com exemplos de caráter didático, para, em
seguida, apresentar exemplos gerais, com uma maior variedade dos principais
Conclusões 116
parâmetros envolvidos no dimensionamento. Com isso tornou-se possível verificar
algumas das implicações decorrentes da utilização do texto de revisão. Os resultados
obtidos com os diversos exemplos apresentados comprovam que a NBR 10837:1989
está ultrapassada, produz resultados antieconômicos na grande maioria dos casos em
que há necessidade de armadura dupla, e gera confusão entre profissionais e estudantes.
A nova metodologia apresentada pelo texto de revisão poderá contribuir para o
desenvolvimento da alvenaria estrutural no Brasil.
Bibliografia 117
6 BIBLIOGRAFIA
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Anexos 122
ANEXOS
A1 – Tabelas para dimensionamento a flexão.
Tabela I. Coeficiente de redução na zona média, φ
m
, para E=1000f
k.
Excentricidade
e
mk
Excentricidade
e
mk
Esbeltez (h
ef
/ t
ef
)
0,05 t
Esbeltez (h
ef
/ t
ef
)
0,05 t
1 0,90 16 0,72
2 0,90 17 0,70
3 0,90 18 0,68
4 0,90 19 0,65
5 0,89 20 0,63
6 0,88 21 0,60
7 0,88 22 0,58
8 0,86 23 0,55
9 0,85 24 0,52
10 0,84 25 0,50
11 0,82 26 0,47
12 0,80 27 0,45
13 0,79 28 0,42
14 0,77 29 0,40
15 0,75 30 0,37
A versão completa da tabela de coeficiente de redução na zona média e a
dedução do coeficiente são encontradas no Anexo A do EC 6:1996.
Anexos 123
Tabela IIA. Flexão Simples – Dimensionamento Superarmado. NBR 10837
d < d
b
1. Encontrar a posição da linha neutra para a condição de seção superarmada com a
equação do segundo grau.
0
fbd
M6
K3K
f,alv
2
x
2
x
=
⋅
+−
−
2. Determinar a taxa de armadura e a área de armadura necessária à seção:
()
x
2
x
K1n2
K
−⋅
=ρ
alv
s
E
E
n =
3. Verificar a tensão no aço:
t,s
zs
s
f
dKA
M
f
−
≤
⋅⋅
=
f,alv
alv
ff
−
= e
s
s
ff
−
≤
Anexos 124
Tabela IIB. Flexão Simples - Dimensionamento com Armadura Dupla.
NBR 10837
d < d
b
b
xb
mn
n
K
+
=
3
K
1K
xb
zb
−=
alv
s
E
E
n =
f,alv
s
b
f
f
m
−
−
=
zbxb
2
f,alv
0
KK
2
db
fM ⋅⋅
⋅
⋅=
−
(KN cm)
Armadura Tracionada:
()
'
s
0
zb
s
s
ddf
M
d
M
Kf
1
A
−⋅
∆
+⋅
⋅
=
−−
Armadura Comprimida:
()
t,s
''
0
'
s
f
1
dx
xd
dd
MM
A
−
⋅
−
−
⋅
−
−
=
Anexos 125
Tabela III. Flexão Simples (E.L.U) - Dimensionamento com Armadura
Dupla. RABELO (2004).
2
d
d
dbf
M
K
⋅⋅
=
K ≤ K
l
⇒ K’= K
K > K
l
⇒ K’= K
l
K
l
= 0,269
A
S
= A
S1
+ A
S2
)'K211(
f
dbf
A
yd
d
1S
−−
⋅
⋅
=
d
'd
1
)'KK(
f
dbf
A
yd
d
2S
−
−
⋅
⋅
⋅
=
φ
=
2S
S
A
'A
−−
⋅=
80,0
'K211
dx
Valores de
yd
sd
f
'
σ
=φ
CA-25
n ≤ 0,281 ⇒ φ = 1,0
n > 0,281 ⇒ φ = 3,38. (1-2,5 n)
d
'd
n =
CA-50
n ≤ 0,163 ⇒ φ = 1,0
n > 0,163 ⇒ φ = 1,69. (1-2,5 n)
d
'd
n =
CA-60
n ≤ 0,116 ⇒ φ = 1,0
n > 0,116 ⇒ φ = 1,41. (1-2,5 n)
d
'd
n =
Nota: No dimensionamento segundo o texto de revisão, deve-se reduzir pela metade a
resistência de cálculo do aço (0,5 f
yd
).
Anexos 126
Tabela IV. Flexão Composta. NBR 10837:1989.
Rf225,0f
p
c,alv
⋅⋅=
−
b
h
N
f
c,alv
⋅
=
−
−
⋅=
p
f,alv
f33,0f
f,alv
c,alv
c,alv
.max,f,alv
f
f
f
f
−
−
⋅
−α=
.max,f,alvc,alvc
fff +=
p
c
c
f800
f
⋅
=ε
s
t,s
s
E
f
−
=ε
1
o
Caso:
2
c
dbf
M
2
h
dN
K
⋅⋅
+
−⋅
=
⋅
ε+ε
ε
−⋅
ε+ε
ε
⋅=
3
1
15,0K
sc
c
sc
c
lim
K ≤ K
lim
⇒ K’= K
K > K
lim
⇒ K’= K
lim
(
)
t,s
2
c
1S
f
Nd'K65,15,1bf5,0
A
−⋅−−⋅⋅⋅
=
()
)d/'d1(f
'KKdbf
A
t,s
c
2S
−⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
A
S
= A
S1
+ A
S2
A’
S
= A
S2
/ φ
(
)
d'K65,15,1x
2
⋅−−=
Se A
S
< 0, passar para o 2
0
caso
Anexos 127
2
o
Caso:
()
h
bf
'd
2
h
NM
6'd5,1'd5,1x
c
2
≤
⋅
−⋅−
⋅−⋅+⋅=
A
s
= 0
t,s
c
S
f
)xbf5,0N(
'A
⋅φ
⋅⋅
⋅
−
=
Se x > h, passar ao 3
o
caso.
Se A’
s
< 0, será usada somente a armadura mínima.
3
o
Caso: (Ambas armaduras compridas)
()
'ddf
M'd
2
h
)hbfN(
A
t,s
c
S
−⋅φ
−
−⋅⋅⋅−
=
()
'ddf
M
2
h
'd)hbfN(
'A
t,s
c
S
−⋅φ
+
−⋅⋅⋅−
=
Valores de
t,s
s
f
'f
=φ (1
o
e 2
o
casos)
CA-50
(
)
t,sp
c
fxf800
21000'dxf
⋅⋅⋅
⋅
−
⋅
=φ
x (cm)
f
s,t
(kN / cm
2
)
Valores de
t,s
s
f
'f
=φ (3
o
caso)
CA-50
φ =1
Anexos 128
Tabela V. Flexão Composta EC 6:1996. RABELO (2004).
1
o
Caso:
2
d
dd
dbf
M
2
h
dN
K
⋅⋅
+
−⋅
=
K
≤ K
l
⇒ K’= K
K > K
l
⇒ K’= K
l
K
l
= 0,269
A
S
= A
S1
+ A
S2
yd
dd
1S
f
N)'K211(dbf
A
−−−⋅⋅⋅
=
d
'd
1
)'KK(
f
dbf
A
yd
d
2S
−
−
⋅
⋅
⋅
=
φ
=
2S
S
A
'A
−−
⋅=
80,0
'K211
dx
Se A
s
< 0, ir para o 2
o
caso.
2
o
Caso:
h
bf
M'd
2
h
N
2'd'dy
d
dd
2
≤
⋅
−−
++=
A
s
= 0
yd
dd
S
f
)ybfN(
'A
⋅φ
⋅⋅
−
=
Se y >h, passar ao 3
o
caso.
Se A
s
≤ 0, será usada somente a armadura mínima.
3
o
Caso:
()
'ddf
M'd
2
h
)hbfN(
A
yd
ddd
S
−⋅φ
−
−⋅⋅⋅−
=
()
'ddf
M
2
h
'd)hbfN(
A
yd
ddd
S
−⋅φ
+
−⋅⋅⋅−
=
Anexos 129
Valores de
yd
sd
f
'
σ
=φ (1
o
e 2
o
casos)
CA-25
n
≤ 0,281 ⇒ φ = 1,0
n > 0,281
⇒ φ = 3,38. (1-2,5 n)
d
'd
n
=
CA-50
n
≤ 0,163 ⇒ φ = 1,0
n > 0,163
⇒ φ = 1,69. (1-2,5 n)
d
'd
n
=
CA-60
n
≤ 0,116 ⇒ φ = 1,0
n > 0,116
⇒ φ = 1,41. (1-2,5 n)
d
'd
n
=
Valores de
yd
sd
f
'
σ
=φ (3
o
caso)
CA-25
φ = 1,0
CA-50
φ = 0,966
Nota: No dimensionamento segundo o texto de revisão, deve-se reduzir pela metade a
resistência de cálculo do aço (0,5 f
yd
).
Anexos 130
A2 . Equacionamento para F.N.C. segundo a NBR 10837:1989
x
x-d
As
As'
x/3
M
fc
0,5 fc b x
d'
fs' As'
N
A
fs As
h /2
d-(h /2)
d
εc
εs
B
D
Σ V: N + A
s
f
s
= A’
s
f
s
’ + 0,5 f
c
b x (1)
Σ M
A
: )'dd('f'A
3
x
dxbf5,0M
2
h
dN
ssc
−+
−⋅⋅=+
− (2)
Dividindo (2) por f
c
b d
2
:
2
c
ss
2
c
2
c
2
c
bdf
)d/'d1(d'f'A
bdf
d3
x
1d
d
x
bf5,0
bdf
M
2
h
dN
−⋅
+
−⋅⋅⋅
=
+
−
(3)
Com as seguintes considerações:
x / d =
α
f
s
’=φ f
s,t
f
s
= f
s,t
(total aproveitamento do aço)
Pode-se fazer a simplificação:
2
c
bdf
M
2
h
dN
K
+
−
=
E assim reorganizar a equação (3):
bdf
)d/'d1(f'A
3
15,0K
c
t,ss
−
⋅
⋅
φ
⋅
+
α
−⋅α⋅=
(4)
Anexos 131
Chamando de K’o primeiro membro da soma:
α
−⋅α⋅=
3
15,0'K
Onde
α é:
'K65,15,1
2
−−=α
Retomando (4):
(
)
)d/'d1(f
'KKdbf
'A
bdf
)d/'d1(f'A
'KK
t,s
c
s
c
t,ss
−⋅
−⋅⋅⋅
=φ⇒
−⋅⋅φ
⋅
=− (5)
De (1):
φ⋅+−
⋅⋅⋅
=⇒−
⋅
φ⋅
+
⋅⋅⋅
=
s
t,st,s
c
s
t,st,s
t,ss
t,s
c
s
'A
f
N
f
xbf5,0
A
f
N
f
f'A
f
xbf5,0
A
Lembrando que:
x =
αd
São determinadas as equações para o primeiro caso:
Armadura tracionada:
(
)
t,s
2
c
1S
f
Nd'K65,15,1bf5,0
A
−⋅−−⋅⋅⋅
=
(6)
()
()
d/'d1f
'KKdbf
A
t,s
c
2S
−⋅
−⋅⋅
=
(7)
Armadura comprimida: A’
s
= A
S2
/ φ (8)
Linha Neutra:
(
)
d'K65,15,1x
2
⋅−−= (9)
Anexos 132
2
0
Caso:
Se a armadura tracionada for menor que zero. Deve ser considerado o segundo
caso em que o equilíbrio é conseguido com a compressão do concreto e da armadura
A’
s
.
B
x-d
As = 0
A
x
As'
N
M
εc
h /2
d'
D
fs' As'
fc
Das equações de equilíbrio, tem-se que:
t,sSc
f'Axbf5,0N ⋅φ⋅+⋅
⋅
⋅= (10)
⇒
−⋅⋅⋅=−
− 'd
3
x
xbf5,0M'd
2
h
N
c
⇒=
−−+⋅⋅⋅−⋅⋅ 0'd
2
h
NMx'dbf
2
1
xbf
6
1
c
2
c
⇒=
⋅
−−
+⋅
⋅
⋅⋅
− 0
bf
6
1
'd
2
h
NM
x
bf
6
1
'dbf
2
1
x
cc
c
2
Calculando a raiz interesse determina-se a posição da linha neutra para o
segundo caso:
()
bf
'd
2
h
NM
6'd5,1'd5,1x
c
2
⋅
−−
−±= (11)
E a partir da equação (10) encontra-se a área de armadura comprimida:
t,s
c
S
f
xbf5,0N
'A
⋅φ
⋅⋅⋅−
= (12)
Neste caso, a altura da linha neutra deve ser: (x ≤ h). Quando x = h, a seção
estará totalmente comprimida, e para x > h deve-se passar para o 3
0
caso.
Anexos 133
3
0
Caso:
Neste caso a seção está totalmente comprimida. Por simplificação admite-se a
linha neutra no infinito.
As
As'
d
N
M
fs' As'
d'
A
B
fs As
h /2
SSSSc
'f'AfAhbfN +
+
⋅⋅= (13)
()
0'ddfA'd
2
h
hbf'd
2
h
NM0M
cScB
=−⋅+
−⋅⋅+
−−⇒=Σ (14)
É considerado que:
f
S
= f
S
’= f
S,t
Assim, φ é tomado igual a unidade.
E a determinação das áreas de armadura é conseguida da seguinte maneira:
()
()
'ddf
M'd
2
h
hbfN
A
t,S
c
S
−⋅
−
−⋅⋅−
=
(15)
()
()
'ddf
M
2
h
dhbfN
'A
t,S
c
S
−⋅
+
−⋅⋅−
=
(16)
Anexos 134
A3. Resultados para os gráficos do exemplo B
• NBR 10837:1989
Anexos 135
•
EC 6:1996
Anexos 136
Anexos 137
•
Texto de revisão da NBR 10837.
Anexos 138
A4. Resultados do Exemplo D.
NBR 10837
Seção M
f
p
=12,5 MPa f
p
=3,5 MPa
(b x d) kN cm
A
s
A’
s
A
s
A’
s
50
0,22 0 0,22 0
550
2,77 12,55 2,98 22,63
1050
5,53 35,16 5,73 44,94
1550
8,28 57,77 8,49 67,55
2050
11,04 80,38 11,24 90,10
2550
13,79 102,99 14,00 112,78
14x15
3050
16,55 125,6 16,75 135,39
50
0,06 0 0,06 0
550
0,65 0 0,65 0
1050
1,24 0 1,29 0,83
1550
1,83 0 1,89 2,25
2050
2,43 0 2,48 3,67
2550
3,01 0 3,07 5,09
14x55
3050
3,78 0,99 3,67 6,51
EC 6:1996
f
p
=12,5 MPa f
p
=3,5 MPa
seção M
γ
m
= 1,7 γ
m
= 3,0 γ
m
= 1,7 γ
m
= 3,0
(b x d) kN
cm
A
s
A’
s
A
s
A’
s
A
s
A’
s
A
s
A’
s
50
0,11 0 0,12 0 0,13 0 0,14 0,24
550
1,71 5,98 1,79 7,91 1,84 9,18 1,87 9,72
1050
3,43 15,46 3,52 17,39 3,57 18,66 3,59 19,20
1550
5,16 24,94 5,24 26,86 5,29 28,14 5,32 28,68
2050
6,88 34,42 6,97 36,34 7,02 37,62 7,04 38,15
2550
8,61 43,89 8,63 45,82 8,74 47,09 8,77 47,63
14x14
3050
10,33 53,37 10,42 55,3 10,47 56,57 10,49 57,11
50
0,03 0 0,03 0 0,03 0 0,03 0
550
0,32 0 0,33 0 0,34 0 0,38 0
1050
0,63 0 0,65 0 0,72 0 0,69 0,31
1550
0,95 0 1,01 0 1,03 0,36 1,01 0,63
2050
1,29 0 1,40 0,05 1,35 0,68 133 0,95
2550
1,65 0 1,72 0,36 1,67 1,0 1,64 1,27
14x54
3050
2,03 0 2,03 0,68 1,98 1,31 1,96 1,58
Anexos 139
REVISÃO
f
p
=12,5 MPa f
p
=3,5 MPa
seção M
γ
m
= 2,1 γ
m
= 2,5 γ
m
= 2,1 γ
m
= 2,5
(b x d) kN
cm
A
s
A’
s
A
s
A’
s
A
s
A’
s
A
s
A’
s
50
0,23 0 0,23 0 0,26 0 0,27 0,20
550
3,49 13,66 3,54 14,91 3,71 18,84 3,72 19,16
1050
6,94 32,61 6,99 33,77 7,16 37,79 7,17 38,12
1550
10,39 51,57 10,44 52,72 10,61 56,75 10,62 57,07
2050
13,84 70,53 13,89 71,68 14,06 75,71 14,07 76,03
2550
17,29 89,48 17,34 90,63 17,51 94,66 17,54 94,98
14x14
3050
20,74 108,44 20,79 109,59 20,96 113,62 20,97 113,94
50
0,06 0 0,06 0 0,06 0 0,06 0
550
0,65 0 0,65 0 0,71 0 0,73 0
1050
1,27 0 1,29 0 1,41 0,33 1,4 0,49
1550
1,94 0 1,97 0 2,04 0,96 2,03 1,12
2050
2,65 0 2,72 0 2,68 1,60 2,67 1,76
2550
3,42 0 3,47 0,23 3,31 2,23 3,30 2,39
14x54
3050
4,15 0,29 4,11 0,86 3,95 2,86 3,93 3,02
Anexos 140
A5. Resultados para construção dos ábacos de flexão simples
• NBR 10837:1989
wnrkxkzmi
0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000
0,0025 0,0040 0,0853 0,9716 0,0024
0,0050 0,0080 0,1184 0,9605 0,0048
0,0075 0,0119 0,1430 0,9523 0,0071
0,0100 0,0159 0,1632 0,9456 0,0095
0,0125 0,0199 0,1805 0,9398 0,0117
0,0150 0,0239 0,1959 0,9347 0,0140
0,0175 0,0278 0,2098 0,9301 0,0163
0,0200 0,0318 0,2224 0,9259 0,0185
0,0225 0,0358 0,2342 0,9219 0,0207
0,0250 0,0398 0,2451 0,9183 0,0230
0,0275 0,0437 0,2553 0,9149 0,0252
0,0300 0,0477 0,2649 0,9117 0,0274
0,0325 0,0517 0,2740 0,9087 0,0295
0,0350 0,0557 0,2826 0,9058 0,0317
0,0375 0,0597 0,2909 0,9030 0,0339
0,0400 0,0636 0,2987 0,9004 0,0360
0,0425 0,0676 0,3063 0,8979 0,0382
0,0450 0,0716 0,3135 0,8955 0,0403
0,0475 0,0756 0,3205 0,8932 0,0424
0,0500 0,0795 0,3272 0,8909 0,0445
0,0525 0,0835 0,3336 0,8888 0,0467
0,0550 0,0875 0,3399 0,8867 0,0488
0,0568 0,0904 0,3443 0,8852 0,0503
ww2miw'miw'miw'mi w'
0,0570 0,0002 0,0505 0,0004 0,0505 0,0005 0,0504 0,0006 0,0504 0,0009
0,0575 0,0007 0,0509 0,0015 0,0509 0,0019 0,0509 0,0023 0,0508 0,0031
0,0600 0,0032 0,0533 0,0071 0,0532 0,0086 0,0530 0,0108 0,0528 0,0145
0,0625 0,0057 0,0557 0,0127 0,0554 0,0153 0,0551 0,0192 0,0548 0,0259
0,0650 0,0082 0,0581 0,0183 0,0577 0,0220 0,0572 0,0277 0,0568 0,0373
0,0675 0,0107 0,0604 0,0238 0,0599 0,0287 0,0594 0,0361 0,0588 0,0487
0,0700 0,0132 0,0628 0,0294 0,0622 0,0355 0,0615 0,0446 0,0608 0,0601
0,0725 0,0157 0,0652 0,0350 0,0644 0,0422 0,0636 0,0530 0,0628 0,0715
0,0750 0,0182 0,0676 0,0406 0,0667 0,0489 0,0657 0,0615 0,0648 0,0829
0,0775 0,0207 0,0699 0,0462 0,0689 0,0556 0,0679 0,0700 0,0668 0,0943
0,0800 0,0232 0,0723 0,0517 0,0712 0,0624 0,0700 0,0784 0,0688 0,1057
0,0825 0,0257 0,0747 0,0573 0,0734 0,0691 0,0721 0,0869 0,0708 0,1170
0,0850 0,0282 0,0771 0,0629 0,0757 0,0758 0,0742 0,0953 0,0728 0,1284
0,0875 0,0307 0,0794 0,0685 0,0779 0,0825 0,0764 0,1038 0,0748 0,1398
0,0900 0,0332 0,0818 0,0740 0,0802 0,0892 0,0785 0,1122 0,0768 0,1512
0,0925 0,0357 0,0842 0,0796 0,0824 0,0960 0,0806 0,1207 0,0788 0,1626
0,0950 0,0382 0,0866 0,0852 0,0847 0,1027 0,0827 0,1291 0,0808 0,1740
0,0975 0,0407 0,0889 0,0908 0,0869 0,1094 0,0849 0,1376 0,0828 0,1854
0,1000 0,0432 0,0913 0,0964 0,0892 0,1161 0,0870 0,1460 0,0848 0,1968
0,1025 0,0457 0,0937 0,1019 0,0914 0,1229 0,0891 0,1545 0,0868 0,2082
0,1050 0,0482 0,0961 0,1075 0,0937 0,1296 0,0912 0,1629 0,0888 0,2196
0,1075 0,0507 0,0984 0,1131 0,0959 0,1363 0,0934 0,1714 0,0908 0,2309
d'/d=0,05 d'/d=0,10 d'/d=0,15 d'/d=0,20
Anexos 141
•
EC 6:1996 (Categoria I-A)
wmi
0,0000 0,0000
0,0025 0,0048
0,0050 0,0096
0,0075 0,0142
0,0100 0,0188
0,0125 0,0232
0,0150 0,0276
0,0175 0,0319
0,0200 0,0360
0,0225 0,0401
0,0250 0,0441
0,0275 0,0480
0,0300 0,0518
0,0325 0,0555
0,0350 0,0591
0,0375 0,0626
0,0400 0,0661
0,0417 0,0683
ww2miw'miw'miw'miw'
0,0419 0,0002 0,0687 0,0002 0,0687 0,0002 0,0687 0,0002 0,0686 0,0002
0,0425 0,0008 0,0698 0,0008 0,0697 0,0008 0,0697 0,0008 0,0696 0,0009
0,0450 0,0033 0,0744 0,0033 0,0741 0,0033 0,0738 0,0033 0,0735 0,0039
0,0475 0,0058 0,0791 0,0058 0,0785 0,0058 0,0779 0,0058 0,0774 0,0069
0,0500 0,0083 0,0837 0,0083 0,0829 0,0083 0,0821 0,0083 0,0813 0,0098
0,0525 0,0108 0,0884 0,0108 0,0873 0,0108 0,0862 0,0108 0,0852 0,0128
0,0550 0,0133 0,0930 0,0133 0,0917 0,0133 0,0904 0,0133 0,0891 0,0157
0,0575 0,0158 0,0976 0,0158 0,0961 0,0158 0,0945 0,0158 0,0930 0,0187
0,0600 0,0183 0,1023 0,0183 0,1005 0,0183 0,0987 0,0183 0,0969 0,0217
0,0625 0,0208 0,1069 0,0208 0,1049 0,0208 0,1028 0,0208 0,1008 0,0246
d'/d=0,20d'/d=0,05 d'/d=0,10 d'/d=0,15
Anexos 142
•
EC 6:1996 (Categoria II-C)
wmi
0,0000 0,0000
0,0015 0,0029
0,0030 0,0057
0,0045 0,0085
0,0060 0,0112
0,0075 0,0139
0,0090 0,0165
0,0105 0,0190
0,0120 0,0215
0,0135 0,0239
0,0150 0,0263
0,0165 0,0286
0,0180 0,0308
0,0195 0,0330
0,0210 0,0352
0,0225 0,0372
0,0236 0,0387
ww2miw'miw'miw'miw'
0,0237 0,0001 0,0389 0,0001 0,0389 0,0001 0,0389 0,0001 0,0389 0,0001
0,0245 0,0009 0,0404 0,0009 0,0403 0,0009 0,0402 0,0009 0,0401 0,0011
0,0260 0,0024 0,0432 0,0024 0,0429 0,0024 0,0427 0,0024 0,0425 0,0028
0,0275 0,0039 0,0460 0,0039 0,0456 0,0039 0,0452 0,0039 0,0448 0,0046
0,0290 0,0054 0,0487 0,0054 0,0482 0,0054 0,0477 0,0054 0,0472 0,0064
0,0305 0,0069 0,0515 0,0069 0,0508 0,0069 0,0502 0,0069 0,0495 0,0082
0,0320 0,0084 0,0543 0,0084 0,0535 0,0084 0,0527 0,0084 0,0518 0,0099
0,0335 0,0099 0,0571 0,0099 0,0561 0,0099 0,0551 0,0099 0,0542 0,0117
0,0350 0,0114 0,0599 0,0114 0,0587 0,0114 0,0576 0,0114 0,0565 0,0135
0,0365 0,0129 0,0626 0,0129 0,0614 0,0129 0,0601 0,0129 0,0589 0,0153
0,0380 0,0144 0,0654 0,0144 0,0640 0,0144 0,0626 0,0144 0,0612 0,0170
0,0395 0,0159 0,0682 0,0159 0,0667 0,0159 0,0651 0,0159 0,0636 0,0188
0,0410 0,0174 0,0710 0,0174 0,0693 0,0174 0,0676 0,0174 0,0659 0,0206
0,0425 0,0189 0,0738 0,0189 0,0719 0,0189 0,0701 0,0189 0,0682 0,0224
0,0440 0,0204 0,0765 0,0204 0,0746 0,0204 0,0726 0,0204 0,0706 0,0241
0,0455 0,0219 0,0793 0,0219 0,0772 0,0219 0,0751 0,0219 0,0729 0,0259
0,0470 0,0234 0,0821 0,0234 0,0798 0,0234 0,0775 0,0234 0,0753 0,0277
0,0485 0,0249 0,0849 0,0249 0,0825 0,0249 0,0800 0,0249 0,0776 0,0295
0,0500 0,0264 0,0877 0,0264 0,0851 0,0264 0,0825 0,0264 0,0799 0,0312
0,0515 0,0279 0,0905 0,0279 0,0877 0,0279 0,0850 0,0279 0,0823 0,0330
0,0530 0,0294 0,0932 0,0294 0,0904 0,0294 0,0875 0,0294 0,0846 0,0348
0,0545 0,0309 0,0960 0,0309 0,0930 0,0309 0,0900 0,0309 0,0870 0,0366
0,0560 0,0324 0,0988 0,0324 0,0956 0,0324 0,0925 0,0324 0,0893 0,0383
d'/d=0,15 d'/d=0,20d'/d=0,05 d'/d=0,10
Anexos 143
•
Texto de revisão da NBR 10837 (Combinações especiais)
wmi
0,0000 0,0000
0,0025 0,0024
0,0050 0,0048
0,0075 0,0072
0,0100 0,0095
0,0125 0,0118
0,0150 0,0141
0,0175 0,0164
0,0200 0,0186
0,0225 0,0208
0,0250 0,0230
0,0275 0,0251
0,0300 0,0272
0,0325 0,0293
0,0350 0,0313
0,0375 0,0334
0,0400 0,0353
0,0425 0,0373
0,0450 0,0392
0,0475 0,0411
0,0500 0,0430
0,0525 0,0449
0,0550 0,0467
0,0575 0,0485
0,0600 0,0502
0,0625 0,0520
0,0650 0,0537
0,0674 0,0553
ww2miw'miw'miw'miw'
0,0675 0,0001 0,0554 0,0001 0,0554 0,0001 0,0554 0,0001 0,0554 0,0001
0,0700 0,0026 0,0577 0,0026 0,0576 0,0026 0,0575 0,0026 0,0573 0,0031
0,0725 0,0051 0,0600 0,0051 0,0598 0,0051 0,0595 0,0051 0,0593 0,0060
0,0750 0,0076 0,0624 0,0076 0,0620 0,0076 0,0616 0,0076 0,0613 0,0090
0,0775 0,0101 0,0647 0,0101 0,0642 0,0101 0,0637 0,0101 0,0632 0,0120
0,0800 0,0126 0,0670 0,0126 0,0664 0,0126 0,0658 0,0126 0,0652 0,0149
0,0825 0,0151 0,0693 0,0151 0,0686 0,0151 0,0678 0,0151 0,0671 0,0179
0,0850 0,0176 0,0716 0,0176 0,0708 0,0176 0,0699 0,0176 0,0691 0,0208
0,0875 0,0201 0,0740 0,0201 0,0730 0,0201 0,0720 0,0201 0,0710 0,0238
0,0900 0,0226 0,0763 0,0226 0,0752 0,0226 0,0741 0,0226 0,0730 0,0267
0,0925 0,0251 0,0786 0,0251 0,0774 0,0251 0,0761 0,0251 0,0749 0,0297
0,0950 0,0276 0,0809 0,0276 0,0796 0,0276 0,0782 0,0276 0,0769 0,0327
0,0975 0,0301 0,0832 0,0301 0,0818 0,0301 0,0803 0,0301 0,0788 0,0356
0,1000 0,0326 0,0856 0,0326 0,0840 0,0326 0,0824 0,0326 0,0808 0,0386
0,1025 0,0351 0,0879 0,0351 0,0862 0,0351 0,0844 0,0351 0,0827 0,0415
0,1050 0,0376 0,0902 0,0376 0,0884 0,0376 0,0865 0,0376 0,0847 0,0445
0,1075 0,0401 0,0925 0,0401 0,0906 0,0401 0,0886 0,0401 0,0866 0,0475
0,1100 0,0426 0,0948 0,0426 0,0927 0,0426 0,0907 0,0426 0,0886 0,0504
0,1125 0,0451 0,0971 0,0451 0,0949 0,0451 0,0927 0,0451 0,0905 0,0534
0,1150 0,0476 0,0995 0,0476 0,0971 0,0476 0,0948 0,0476 0,0925 0,0563
d'/d=0,20d'/d=0,05 d'/d=0,10 d'/d=0,15
Anexos 144
•
Texto de revisão da NBR 10837 (Combinações normais)
wmi
0,0000 0,0000
0,0025 0,0024
0,0050 0,0048
0,0075 0,0072
0,0100 0,0095
0,0125 0,0118
0,0150 0,0140
0,0175 0,0162
0,0200 0,0184
0,0225 0,0206
0,0250 0,0227
0,0275 0,0248
0,0300 0,0268
0,0325 0,0288
0,0350 0,0308
0,0375 0,0327
0,0400 0,0346
0,0425 0,0365
0,0450 0,0384
0,0475 0,0402
0,0500 0,0419
0,0525 0,0437
0,0550 0,0454
0,0567 0,0465
ww2miw'miw'miw'miw'
0,0568 0,0001 0,0466 0,0001 0,0466 0,0001 0,0466 0,0001 0,0465 0,0001
0,0593 0,0026 0,0489 0,0026 0,0488 0,0026 0,0486 0,0026 0,0485 0,0031
0,0618 0,0051 0,0512 0,0051 0,0509 0,0051 0,0507 0,0051 0,0505 0,0060
0,0643 0,0076 0,0535 0,0076 0,0531 0,0076 0,0528 0,0076 0,0524 0,0090
0,0668 0,0101 0,0558 0,0101 0,0553 0,0101 0,0549 0,0101 0,0544 0,0120
0,0693 0,0126 0,0582 0,0126 0,0575 0,0126 0,0569 0,0126 0,0563 0,0149
0,0718 0,0151 0,0605 0,0151 0,0597 0,0151 0,0590 0,0151 0,0583 0,0179
0,0743 0,0176 0,0628 0,0176 0,0619 0,0176 0,0611 0,0176 0,0602 0,0208
0,0768 0,0201 0,0651 0,0201 0,0641 0,0201 0,0632 0,0201 0,0622 0,0238
0,0793 0,0226 0,0674 0,0226 0,0663 0,0226 0,0652 0,0226 0,0641 0,0267
0,0818 0,0251 0,0698 0,0251 0,0685 0,0251 0,0673 0,0251 0,0661 0,0297
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