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ESTIMAC¸
˜
AO DOS PAR
ˆ
AMETROS DE UM C
´
IRCULO PARA MODELOS
HETEROSCED
´
ASTICOS DE REGRESS
˜
AO
FRANCISCO EDUARDO ROMERO MORALES
Orientador: Prof. Klaus Leite Pinto Vasconcellos
Co-orientador: Prof. Francisco Cribari-Neto
´
Area de Concentra¸c˜ao: Estat´ıstica Matem´atica
Disserta¸c˜ao submetida como requerimento parcial para obten¸c˜ao do
grau de Mestre em Estat´ıstica pela Universidade Federal de Pernambuco
Recife, fevereiro de 2006
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2
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3
c
Copyright by
FRANCISCO EDUARDO ROMERO MORALES
2006
Todos os direitos reserva dos
Typeset by L
A
T
E
X
A Carmen y Francisco, que me han dado lo mejor posible.
A la memoria de familiares y amigos
Cristian, Empera, Nohemi, Blanca, Marcos y Miguel.
iii
AGRA D ECIMENTOS
A Deus principal fonte de sabidur´ıa.
Aos meus pais que me han dado amor incondicionalmente.
A minhas irm ˜as e familia que estiveram presentes em minha forma¸c˜ao.
Aos professores Klaus Vasconcellos e Francisco Cribari Neto, pelo profissionalismo e ori-
enta¸c˜ao.
A Val´eria, por sua amabilidade e bom esp´ırito de colabora¸c˜ao.
A colegas e amigos de mestrado N´ataly, Daniela, Renata, Fabio, Tiago, Carlos, Camilo e
Artur pelos horas de divers˜ao, companherismo e orienta¸c˜oes.
´
A Coordena¸c˜ao de Aperfeicoamento d e Pessoal de Nivel Superior, CAPES, pelo apoio fi-
nanciero.
iv
RESUMO
T´ecnicas cl´assicas de regress˜ao linear assumem que os erros, que representam a componente
aleat´oria do modelo, tˆem variˆancia constante, ou seja, assumem homoscedasticidade. Esta
´e uma suposi¸c˜ao bastante forte e, em grande parte dos problemas pr´aticos, pouco razo´avel.
Um estimador consistente da matriz de variˆancias e covariˆancias do estimador do vetor
de parˆametros foi proposto por Halbert White e ´e conhecido como HC0. Algumas f ormas
alternativas deste estimador foram propostas na literatura, dentre as quais destacam-se
HC1, HC2, HC3 e HC4. Os estimadores HC’s usam os quadrados dos res´ıduos irrestritos; n´os
apresentamos tamb´em variantes que usam os quadrados dos res´ıduos restritos, denotadas
por HCR0, HCR1, HCR2, HCR3 e HCR4. O objetivo da presente disserta¸c˜ao ´e, atrav´es
de uso de m´etodos num´ericos, estudar o comportamento, sob heteroscedasticiadade, de
inferˆencia sobre os parˆametros de um c´ırculo m ed iante um modelo de regress˜ao e mediante
o uso dos estimadores consistentes da matriz de variˆancia e covariˆancias do estimador do
vetor d e parˆametros de regress˜ao.
v
ABSTRACT
This thesis considers the have issue of performing inference on the parameters of a circle
through a regression model. We focus on the situation where the erros are heteroskedastic
and the functional form of heteroskedasticity is unknown. We evaluate the fi nite-sample
performance of tests based on different con sistent estimators of the variance-covariance
matrix of the vector of least squares parameter estimators.
vi
´
Indice
1 Introdu¸c˜ao 1
1.1 Considera¸c˜oes iniciais 1
1.2 Organiza¸c˜ao da disserta¸c˜ao 3
1.3 Suporte computacional 3
2 Modelo de regress˜ao 4
2.1 Introdu¸c˜ao 4
2.2 O modelo de regress˜ao linear e seus estimadores 6
2.3 Dados direcionais 20
2.3.1 Introdu¸c˜ao 20
2.3.2 Estat´ısticas descritivas d e dados circulares 20
2.3.3 Algumas distribui¸c˜oes de probabilidade circulares 24
2.3.4 Modelos de regress˜ao 29
2.4 O modelo estudado e suas estimativas 32
3 Avalia¸c˜ao num´erica 37
3.1 Introdu¸c˜ao 37
3.2 Metodologia 38
3.3 Resultados num´ericos 41
3.4 Medidas descritivas da distribui¸c˜ao emp´ırica das estat´ısticas de teste 68
4 Conclus˜oes 87
Referˆencias Bibliogr´aficas 89
vii
CAP
´
ITULO 1
Introdu¸c˜ao
1.1 Considera¸c˜oes iniciais
An´alise de regress˜ao ´e uma ferramenta estat´ıstica que explora a rela¸c˜ao entre vari´aveis
quantitativas (ou qualitativas). Foi primeiro desenvolvida pelo pesquisador britˆanico Sir
Francis Galton (1822-1911), nu m estudo das alturas m´edias dos filhos e pais muito altos
e muito baixos. Ele descobriu que filhos de pais muito altos ou muito baixos tendiam a
ser altos ou baixos, respectivamente, mas n˜ao t˜ao altos ou t˜ao baixos quanto seus pais.
Essa tendˆencia de se mover afastando-se dos extremos em dire¸c˜ao `a m´edia foi chamada
de regress˜ao. O estudo foi publicado em 1885 e denominado de Regress˜ao em Dire¸c˜ao `a
Mediocridade na Estatura Heredit´aria.
A inferˆencia estat´ıstica tradicional sobre o modelo de regress˜ao linear est´a funda-
1
mentada em suposi¸c˜oes muito estritas sobre a componente aleat´oria, que na pr´atica s˜ao
freq¨uentemente violadas. Em particular, ao se utilizar o modelo de regress˜ao cl´assico, ´e
usual assumir que os erros tˆem variˆancia constante, caso em que se diz haver homosce-
dasticidade; esta suposi¸c˜ao n˜ao ´e verificada em muitas situa¸c˜oes pr´aticas. Na presen¸ca
de heteroscedasticidade, a estimativa pelo m´etodo de m´ınimos quadrados ordin´arios da
matriz de variˆancias e covariˆancias dos estimadores dos parˆametros de regress˜ao torna-se
imprecisa, podendo conduzir a conclus˜oes incorretas a respeito da rela¸c˜ao entre as vari´aveis
dependente e explicativas do modelo. Isso ocorre porque os testes t associados requerem
estimativas confi´aveis das variˆancias dos estimadores dos parˆametros. Uma poss´ıvel solu¸c˜ao
´e usar estimadores consistentes da matriz de variˆancias e covariˆancias, os estimadores HC ’s,
que funcionam bem tanto sob homoscedasticidade quanto sob h eteroscedasticidade (Long
& Ervin 2000). Os estimadores HC’s usam os quadrados dos res´ıduos irrestritos; em con-
traste, as variantes que usam quadrados dos res´ıduos restritos, denotadas por HCR0, HCR1,
HCR2, HCR3 e HCR4, funcionam bem em amostras finitas com diferen¸cas pequenas entre
elas (Godfrey 2005).
Nosso objetivo ´e r ealizar uma compara¸c˜ao dos testes de hip´oteses baseados nos
diferentes estimadores da matriz de variˆancias e covariˆancias do estimador do vetor de
parˆametros, com base em um conjunto de dados circulares usando modelos de regress˜ao li-
near com estrutur a de variˆancia heterosced´astica quando as diferen¸cas angulares entr e dois
pontos quaisquer s˜ao conhecidas.
2
1.2 Organiza¸c˜ao da disserta¸c˜ao
A presente disserta¸c˜ao de mestrado est´a dividida em quatro cap´ıtulos. No segundo
cap´ıtulo ´e apresentado formalmente o modelo d e regress˜ao linear e algumas de suas pro-
priedades quando tem-se estrutu ra de variˆancia homosced´astica e heterosced´astica. Faz-se
uma breve descri¸c˜ao dos dados direcionais, e as suposi¸c˜oes qu e, em geral s˜ao feitas.
´
E
apresentado o modelo no que ´e baseada a presente disserta¸c˜ao. No terceiro cap´ıtulo s˜ao
apresentados os resultados num´ericos, onde ´e feita uma compara¸c˜ao entre os desempenhos
dos testes baseados nos diferentes estimadores da matriz de variˆancias e covariˆancias, HC0,
HC2, HC3 e HC4, e os testes baseados nos estimadores restritos da matriz de variˆancias
e covariˆancias HCR0, HCR2, HCR3 e HCR4. No quarto cap´ıtulo s˜ao apresentadas as
conclus˜oes obtidas ao longo desta disserta¸c˜ao.
1.3 Suporte computacional
A linguagem de programa¸c˜ao matricial Ox, criada por Jurgen Doornik em 1994,
constitui a plataforma computacional u tilizada no desenvolvimento d a presente disserta¸c˜ao
de mestrado. Esta ´e uma linguagem bastante flex´ıvel e que permite a implementa¸c˜ao de
t´ecnicas estat´ısticas com grande facilidade e eficiˆencia. Ela ´e distribuida gratuitamente para
uso acadˆemico no endere¸co: http://www.doornik.com. Detalhes sobre esta linguagem de
programa¸c˜ao podem s er encontrados em Doornik (2001).
3
CAP
´
ITULO 2
Modelo de regress˜ao
2.1 Introdu¸c˜ao
An´alise de regress˜ao ´e uma ferramenta estat´ıstica que explora a rela¸c˜ao entre vari´aveis
quantitativas (ou qualitativas). T´ecnicas cl´assicas de regress˜ao linear tipicamente assumem
que os erros, que correspondem `a componente aleat´oria do modelo, tˆem variˆancia constante,
ou seja, apresentam a propriedade de homoscedasticidade. Esta suposi¸c˜ao ´e bastante forte
e em muitos problemas pr´aticos ´e pouco razo´avel.
Para a estima¸c˜ao dos parˆametros ´e comum usar o m´etodo de m´ınimos quadrados
ordin´arios (MQO), o qual fornece estimadores que possuem p ropriedades desej´aveis, como
n˜ao-vi´es, consistˆencia e eficiˆencia, al´em da f´acil implementa¸c˜ao computacional. Quando a
suposi¸c˜ao de homoscedasticidade ´e violada, ou seja, a variˆancia dos erros n ˜ao ´e constante,
4
dizemos que h´a heteroscedasticidade no modelo.
Sob heteroscedasticidade, o estimador de m´ınimos quadrados ordin´arios (EMQO) do
vetor de parˆametros de regress˜ao mant´em algumas propriedades, ele ´e n ˜ao-viesado e consis-
tente, tornando-se ineficiente, i.e., n˜ao sendo mais o melhor estimador linear n ˜ao-viesado.
O estimador usual de sua matriz de variˆancias e covariˆancias passa a ser viesado e n˜ao-
consistente, tornando, assim, pouco confi´aveis estimativas intervalares e testes de hip´oteses
(tais como o teste t) que utilizam estes valores. Torna-se necess´aria a obten¸c˜ao de um
m´etodo de estima¸c˜ao alternativo para a matriz de variˆancias e covariˆancias dos estimadores
dos parˆametros da regress˜ao. Dessa forma, ´e poss´ıvel realizar inferˆencias assintoticamente
v´alidas.
A estima¸c˜ao dos parˆametros do c´ırculo pode ser feita com base no melhor estimador
linear n˜ao-viesado (BLUE), via estima¸c˜ao de m´ınimos quadrados (EMQO) ou atrav´es de
estima¸c˜ao em duas etapas (TSE), esta ´ultima tendo sido proposta por Yin & Wang (2004).
Na literatura h´a uma grande variedade de m´etodos para estima¸c˜ao no c´ırculo, algu-
mas delas fazendo uso de mod elos estat´ısticos; ver, por exemplo, Chan (1965), Anderson
(1981), Berman & Culpin (1986) e Wu (1997).
Sejam (x
i
, y
i
) as coordenadas x e y do i-´esimo dado, n o n´umero de dados, (ξ
1
, ξ
2
)
as coordenadas do centro e ρ o raio do c´ırculo. Para o c´alculo estat´ıstico, Berman & Somlo
(1986) assumem que todos os x
i
e y
i
s˜ao vari´aveis aleat´orias com variˆancia comum. Em
algumas situa¸c˜oes pr´aticas esta suposi¸c˜ao pode ser violada; como notou Kasa (1976), em
engenharia de microon das. Um dos exemplos de aplica¸c˜ao para este tipo de modelo ´e a
calibra¸c˜ao de um instrumento de medi¸c˜ao da impedˆancia. O Laborat´orio de Microondas no
5
Laborat´orio de Medidas Nacional CSIRO tem um instr umento o qual ´e usado para medir a
impedˆancia (um n´umero complexo) nas freq¨uˆencias de microonda. Es te instrumento deve
ser calibrado (Somlo & Hunter 1982). No processo de calibra¸c˜ao, diversas se¸c˜oes de linha
da transmiss˜ao da precis˜ao variando comprimentos e termina¸c˜oes com impedˆancia comum
s˜ao conectad as ao instrumento. A conex˜ao de cada se¸c˜ao produz um n´umero complexo
chamado coeficiente de reflex˜ao. De acordo com a teoria f´ısica, o coeficiente de reflex˜ao fica
nu m c´ırculo com centro e radio desconhecido, j´a que a solu¸c˜ao de este sistema corresponde
`as equa¸c˜oes de um c´ırculo, mas devido a v´arias causas as leituras est˜ao sujeitas a uma
componente aleat´oria (s˜ao ruidosas). A calibra¸c˜ao do instrumento requer a estima¸c˜ao do
centro do c´ırculo te´orico.
Igualmente, as diferen¸cas angulares entre os coeficientes de reflex˜ao est˜ao funcional-
mente relacionadas aos comprimentos da correspondente se¸c˜ao da linha de transmiss˜ao de
uma maneira sabida. Daqui, um conhecimento d os compr imentos das se¸c˜oes perm ite um
uso do modelo a estudar para estimar o centro do c´ırculo. Neste cap´ıtulo estudaremos a
estima¸c˜ao do c´ırculo por um modelo de regress˜ao que foi introd uzido em Berman & Somlo
(1986) e Berman (1983); por en quanto, n˜ao assumimos que x
i
e y
i
tˆem variˆancia comum.
2.2 O modelo de regress˜ao linear e seus estimadores
Consideramos o mo delo de regress˜ao linear definido como
y = Xβ + ε, (2.1)
onde y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
)
⊤
´e um vetor contendo n observa¸c˜oes da vari´avel dependente, X ´e
uma matriz n × p (p < n) de regressores fixos, de posto coluna completo,
6
β = (β
1
, β
2
, . . . , β
p
)
⊤
´e um vetor contendo os p parˆametros desconhecidos e
ε = (ε
1
, ε
2
, . . . , ε
n
)
⊤
´e um vetor de erros aleat´orios.
As seguintes suposi¸c˜oes s˜ao feitas:
1. E(ε
i
) = 0, i = 1, 2, . . . , n;
2. E(ε
2
i
) = σ
2
i
, 0 < σ
2
i
< ∞, i = 1, 2, . . . , n;
3. E(ε
i
ε
j
) = 0, ∀i = j;
4. lim
n→∞
1
n
X
⊤
X = L , onde L ´e uma matriz positiva definida;
As suposi¸c˜oes (1) − (3) garantem que o vetor de erros do modelo ε tem m´edia zero
e matriz de variˆancias e covariˆancias diagonal, que definiremos como
cov[ ε ] = Ω = diag
σ
2
1
, σ
2
2
, . . . , σ
2
n
, (2.2)
onde cada elemento σ
2
i
representa a i-´esima variˆancia, i.e., σ
2
i
= var(ε
i
), i = 1, 2, . . . , n.
Em caso de homoscedasticidade, todos os elementos diagonais da matriz (2.2) s ˜ao iguais,
ou seja, Ω = σ
2
I
n
. A condi¸c˜ao de regularidade assint´otica sobre a matriz X na su posi¸c˜ao
(4) indica que, quando n cresce, os elementos de X
⊤
X n˜ao crescem a uma raz˜ao maior do
que n e que, no limite, os regressores s ˜ao linearmente independentes.
Consideremos ainda a seguinte suposi¸c˜ao:
5. lim
n→∞
1
n
X
⊤
ΩX = M, onde M ´e uma matriz positiva definida.
O vetor de parˆametros desconhecidos β representa os efeitos dos regressores consi-
derados sobre a m´edia da vari´avel dependente. Um dos obj etivos centrais em m odelagem
de regress˜ao ´e f azer inferˆencias sobr e este vetor de parˆametros. O m´etodo d e MQO ´e o m ais
7
utilizado para estimar os p arˆametros do modelo (2.1). O estimador MQO de β ´e obtido
minimizando-se a soma de quadrados dos erros do modelo (SQ), dada por
SQ = ε
⊤
ε
= (y − Xβ)
⊤
(y − Xβ).
(2.3)
O EMQO de β ´e
β = (X
⊤
X)
−1
X
⊤
y. (2.4)
Uma vez que
β ´e uma fun¸c˜ao do vetor aleat´orio y,
β tamb´em ´e uma vari´avel aleat´oria.
Duas quantidades de interesse podem ser calculadas a partir da estima¸c˜ao de β e da matriz
de regressores X; s˜ao elas, o vetor de valores preditos,
y = X
β = Hy,
(2.5)
onde H = X(X
⊤
X)
−1
X
⊤
, e o vetor de res´ıduos de MQO,
ε = y −
y = (I
n
− H)y = H
∗
y,
(2.6)
onde H
∗
= I
n
− H. A matriz H ´e chamada de matriz chap´eu por possuir a caracter´ıstica
de que, quando multiplicada por y, fornece
y como em (2.5), tamb´em sendo conhecida
como matriz proje¸c˜ao. As matrizes H
∗
e H s˜ao sim´etricas e idempotentes. O i-´esimo
elemento da diagonal da matriz H, h
i
, ´e usado como uma medida de influˆencia da i-´esima
observa¸c˜ao sobre o respectivo valor ajustado, assumindo valores no intervalo [0,1] (Hoaglin
& Welsch 1978), em especial quando h
i
´e grande, i.e., h
i
>
2p
n
, acostuma-se dizer que ´e
ponto de alavanca.
Para avaliar a qualidade do estimador encontrado, d evemos investigar as proprie-
dades amostrais de
β.
8
O estimador
β pode ser escrito como
β = (X
⊤
X)
−1
X
⊤
y, de (2.4)
= (X
⊤
X)
−1
X
⊤
(Xβ + ε), por (2.1)
= (X
⊤
X)
−1
X
⊤
Xβ + (X
⊤
X)
−1
X
⊤
ε
= β + (X
⊤
X)
−1
X
⊤
ε.
(2.7)
Usando o f ato de que X ´e uma matriz de regressores fixos, podemos obter o valor
esperado de
β:
E [
β ] = E [ β + (X
⊤
X)
−1
X
⊤
ε ]
= β + (X
⊤
X)
−1
X
⊤
E (ε)
= β, pela suposi¸c˜ao (1).
(2.8)
Um estimador qualquer
θ ´e dito ser n˜ao-viesado para u m parˆametro θ se E(
θ ) = θ,
(Hogg & Craig 1995). A partir de (2.8), conclui-se que o E MQO ´e n˜ao-viesado para β, ou
seja, a m´edia de
β ´e igual ao verdadeiro valor do parˆametro.
Observe que para estabelecer a propriedade de n˜ao-vi´es do EMQO, n˜ao foi necess´ario
assumir homoscedasticidad e. Utilizou-se apenas que os erros tˆem m´edia zero, al´em da su-
posi¸c˜ao b´asica de que o modelo sendo o estimado ´e o correto. Sob heteroscedasticidade,
al´em de ser n˜ao-viesado, o EMQO ´e consistente para β, i.e., quando o tamanho amostral
n aumenta,
β converge em probabilidade para β, denotado plim
β
= β, onde “plim”
representa o limite em probabilidade.
´
E poss´ıvel provar este resultado utilizando o teo-
rema que garante que se g(·) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua e z
n
´e qualquer seq¨uˆencia de vetores
aleat´orios, ent˜ao
plim g(z
n
) = g [ plim(z
n
) ]
9
se plim(z
n
) existe (Rao 1973). Por (2.7), temos que
plim(
β ) = plim( β + (X
⊤
X)
−1
X
⊤
ε )
= β + plim
1
n
X
⊤
X
−1
plim
1
n
X
⊤
ε
.
(2.9)
Utilizando o fato de que o limite em probabilidade de um a seq¨uˆencia n˜ao-estoc´astica
´e igual a s eu limite e aplicando o teorema citado, tem-se que
plim
1
n
X
⊤
X
−1
=
plim
1
n
X
⊤
X
−1
=
lim
n→∞
1
n
X
⊤
X
−1
= L
−1
, por (4).
(2.10)
Al´em disso, ε ´e um vetor de vari´aveis aleat´orias n˜ao-correlacionadas que possuem variˆancias
finitas e X
⊤
ε =
n
i=1
X
⊤
(i)
ε
i
, onde X
⊤
(i)
´e a i-´esima linha da matriz X e ε
i
´e o i-´esimo
elemento do vetor ε, sendo E
X
⊤
ε
=
n
i=1
X
⊤
(i)
E(ε
i
) = 0 por (1). Ent˜ao, pela Lei Fraca
de Chebyshev (Rao 1973) e por (5), temos que
plim
1
n
X
⊤
ε
= 0; (2.11)
logo, por (2.10) e (2.11) segue qu e plim(
β ) = β, ou seja,
β ´e consistente para β.
Para avaliar a precis˜ao do EMQO no modelo (2.1), ser´a obtida sua matriz de variˆan-
cias e covariˆancias:
Ψ = cov[
β ]
= cov[ β + (X
⊤
X)
−1
X
⊤
ε ], por (2.7)
= cov[ (X
⊤
X)
−1
X
⊤
ε ]
= (X
⊤
X)
−1
X
⊤
cov[ ε ] X(X
⊤
X)
−1
= (X
⊤
X)
−1
X
⊤
ΩX (X
⊤
X)
−1
, por (2.2).
(2.12)
10
Se o mod elo f or homosced´astico, a matriz de variˆancias e covariˆancias dos erros ser´a
dada por Ω = σ
2
I
n
. Neste caso, tem-se que
Ψ = (X
⊤
X)
−1
X
⊤
σ
2
I
n
X (X
⊤
X)
−1
= σ
2
(X
⊤
X)
−1
X
⊤
X(X
⊤
X)
−1
= σ
2
(X
⊤
X)
−1
.
(2.13)
O Teorema de Gauss-Markov, enunciado a seguir, garante que a matriz em (2.13)
´e m´ınima, ou seja, garante a efi ciˆencia de
β, dentro da classe de estimadores lineares e
n˜ao-viesados para β.
Teorema 1 (Gauss-Markov). Seja β
∗
= C
⊤
y, onde C ´e uma matriz (p × n) de
constantes tais que C
⊤
X = I
n
, e sejam v´alidas as suposi¸c˜oes (1), (2) e (3). Ent˜ao,
β ´e
mais preciso do que β
∗
se
β = β
∗
, ou seja,
cov(β
∗
) = cov(
β ) + B,
onde B ´e uma matriz positiva-definid a.
Uma implica¸c˜ao do Teorema de Gauss-Markov ´e que, quando h´a homoscedasticidade,
o EMQO apresenta propriedades amostrais superiores a qualquer outro estimador para β
que seja linear e n˜ao-viesado.
Agora, nosso interesse reside em verificar o qu e acontece quando a suposi¸c˜ao (2)
´e violada, ou s eja, queremos analisar as conseq¨uˆencias dos erros serem heterosced´asticos
sobre o processo de estima¸c˜ao de β. Para isso, ´e necess´ario definir o estimador de m´ınimos
quadrados generalizados (EMQG).
Seja o modelo (2.1) e as suposi¸c˜oes para ele estabelecidas (de (1) at´e (5)). Dado que
Ω ´e uma matriz positiva definid a e Ω = Ω
⊤
, sua inversa existe (pela p ropriedade de seus
11
menores principais) e Ω
−1
= (Ω
−1
)
⊤
, sendo Ω
−1
uma matriz positiva definida. Ent˜ao,
existe uma matriz P de dimens˜ao (n × n) n˜ao-singular (Harville 1997, p. 219) tal que
Ω
−1
= P
⊤
P, (2.14)
o que implica que
PΩP
⊤
= I
n
.
(2.15)
Assim, podemos tr ansformar o modelo (2.1) usando a matriz P da seguinte forma:
Py = PXβ + Pε,
ou, fazendo uma mudan¸ca de vari´aveis,
y
∗
= X
∗
β + ε
∗
, (2.16)
onde y
∗
= Py, X
∗
= PX e ε
∗
= Pε. O vetor de erros transformado ε
∗
tem m´edia zero,
pois pela suposi¸c˜ao (1),
E( ε
∗
) = E(Pε ) = P E( ε ) = 0.
(2.17)
A matriz de variˆancias e covariˆancias ε
∗
´e dada por
cov(ε
∗
) = E [ε
∗
ε
∗T
] = E [ Pεε
⊤
P
⊤
] = PΩP
⊤
= I.
(2.18)
Assim, o modelo transformado ´e equivalente ao mo delo (2.1), exceto pela estrutura ho-
mosced´astica dos erros. Utilizand o o crit´erio de m´ınimos quadrados, o estimador para o
vetor d e parˆametros β no modelo (2.16) ´e dado por
β
G
=
X
∗T
X
∗
−1
X
∗T
y
∗
,
12
podendo ser escrito da forma
β
G
=
X
⊤
P
⊤
PX
−1
X
⊤
P
⊤
Py
=
X
⊤
Ω
−1
X
−1
X
⊤
Ω
−1
y, por (2.14).
(2.19)
Esse ´e o EMQG. Utilizando as suposi¸c˜oes do modelo, pode-se mostrar que
β
G
´e um
estimador n˜ao-viesado para β, ou seja,
E (
β
G
) =
X
⊤
Ω
−1
X
−1
X
⊤
Ω
−1
E (y)
=
X
⊤
Ω
−1
X
−1
X
⊤
Ω
−1
Xβ
= β
e que Ψ
G
= cov [
β
G
] =
X
⊤
Ω
−1
X
−1
.
Assumindo que a matriz de variˆancias e covariˆancias Ω ´e conhecida e que X
∗
satis-
faz as mesmas condi¸c˜oes que X, verifica-se que
β
G
´e consistente para β. Outro resultado
´e oferecid o pelo Teorema 1, estabelecendo que
β
G
´e o melhor estimador linear n˜ao-
viesado de β (BLUE, Best Linear Unbiased estimador). Como conseq¨uˆencia, temos que
cov(
β
G
) cov(
β ), ou seja
X
⊤
X
−1
X
⊤
ΩX
X
⊤
X
−1
−
X
⊤
Ω
−1
X
−1
´e uma matriz positiva semi-definida.
Conclu´ımos, ent˜ao, que o EMQO
β, sob heteroscedasticidade, apesar de n˜ao-viesado
´e, em geral, ineficiente.
A utiliza¸c˜ao do EMQG ´e invibilizada pelo fato de qu e, na pr´atica, a matriz Ω ´e
desconhecida, sendo necess´ario fazer alguma suposi¸c˜ao sobre a forma da heteroscedasti-
cidade. Uma alternativa ´e substituir a matriz de variˆancias e covariˆancias Ω por algum
13
estimador consistente
Ω, obtendo-se o estimador de m´ı nimos quadrados generalizado vi ´avel
(EMQGV):
β =
X
⊤
Ω
−1
X
−1
X
⊤
Ω
−1
y. (2.20)
Usualmente sup˜oe-se que os elementos de Ω s˜ao fun¸c˜oes de um n´umero pequen o
de parˆametros desconhecidos. Sendo assim,
Ω ´e obtido atrav´es da estima¸c˜ao desses
parˆametros.
Utilizar o EMQGV para β resolve um prob lema de implementa¸c˜ao pr´atica da es-
tima¸c˜ao, mas as propriedades amostrais desse estimador n˜ao s˜ao facilmente estabelecidas.
Isto deve-se ao fato de que
Ω e y s˜ao correlacionados, dado que
Ω depende das ob-
serva¸c˜oes amostrais, n˜ao sendo portanto poss´ıvel tratar
Ω
−1
em (2.20) como uma matriz
de elementos fixos, tornando at´e mesmo dif´ıcil a obten¸c˜ao de E
β
.
Outro aspecto ´e que, ap´os estimar o vetor de parˆametros
β para v´arios modelos,
considerando diferentes estruturas ced´asticas, torna-se necess´ario aplicar algum teste d e
heteroscedasticid ad e p ara determinar se a heteroscedasticidade foi, de fato, eliminada.
O que se faz mais comumente na pr´atica ´e utilizar o EMQO para o vetor de
parˆametros da regress˜ao, que permanece n˜ao-viesado e consistente, mesmo que nem sem-
pre seja eficiente. Al´em disso, utiliza-se um estimador para sua matriz de variˆancias e
covariˆancias que possua propriedades assint´oticas desej´aveis.
Para a estima¸c˜ao da matriz de variˆancias e covariˆancias de
β poder´ıamos pensar no
seu estimador usual, dado por
σ
2
X
⊤
X
−1
, (2.21)
14
com
σ
2
=
1
n−p
ε
⊤
ε,
onde
ε representa o vetor de res´ıduos de MQO dado em (2.6). Ainda, quando
cov(ε) = Ω = σ
2
I
n
, ou seja, n a presen¸ca de heteroscedasticidade, pode-se mostrar que
E
(n − p)σ
2
= E
ε
⊤
ε
= E
y
⊤
H
∗⊤
H
∗
y
, por (2.6)
= E
y
⊤
H
∗
y
, H
∗
´e sim´etrica e idempotente,
= tr
H
∗
Ω
.
(2.22)
Assim,
E
σ
2
(X
⊤
X)
−1
= E
1
n−p
ε
⊤
ε (X
⊤
X)
−1
, por (2.21)
=
1
n−p
(X
⊤
X)
−1
tr (H
∗
Ω), por (2.22),
(2.23)
que difere da matriz de variˆancias e covariˆancias Ψ dada em (2.12). Al´em disso, Ψ n˜ao ´e
estimada consistentemente quando (2.21) ´e utilizado, pois, sob algums suposi¸c˜oes, temos
plim
σ
2
=
1
n
lim
n→∞
tr
H
∗
Ω
;
com isso, plim σ
2
(X
⊤
X)
−1
´e diferente de (2.12).
Como o estimador usu al da matriz de variˆancias e covariˆancias de
β n˜ao apre-
senta propriedades desej´aveis, nosso problema reside na estima¸c˜ao consistente da matriz
de variˆancias e covariˆancias do EMQO na presen¸ca de heteroscedasticidade de forma des-
conhecida. Um estimador consistente muito utilizado ´e o proposto por Halbert White
(White 1980).
Para estimar consistentemente a matriz de variˆancias e covariˆancias em (2.12) po-
der´ıamos tentar estimar de forma consistente Ω, a matriz de variˆancias e covariˆancias do
15
vetor de erros d a regress˜ao. Note que Ω possui n variˆancias desconhecidas, o que torna
imposs´ıvel sua estima¸c˜ao consistentemente, j´a que dispomos de exatamente n observa¸c˜oes.
A id´eia de Halbert White foi obter um estimador p ara a matriz sim´etrica X
⊤
ΩX, j´a que
esta cont´em
p(p+1)
2
elementos distintos para qualquer tamanho amostral, e, assim, ´e poss´ıvel
ter
plim
1
n
X
⊤
ΩX
= plim
1
n
X
⊤
ΩX
.
Desta forma,
Ψ = n
X
⊤
X
−1
1
n
X
⊤
ΩX
X
⊤
X
−1
=
X
⊤
X
−1
X
⊤
ΩX
X
⊤
X
−1
(2.24)
pode ser utilizado como um estimador para a matriz de variˆancias e covariˆancias de
β
(Greene 1997, p. 548).
O estimador de White, denominado HC0, ´e obtido simplesmente s ubstituindo o i-
´esimo elemento da diagonal de Ω pelo quadrado do i-´esimo res´ıduo, ou seja, usando
Ω = diag
ε
2
1
, . . . , ε
2
n
. (2.25)
O estimador resultante ´e consistente para a matriz de variˆancias e covariˆancias de
β tanto
sob heteroscedasticidade como sob homoscedasticidade (White 1980), m as tende a subesti-
mar a variˆancia do EMQO (Judge, Griffiths, Hill, L¨utkepohl & Lee 1985, p. 367), o que o
torna viesado.
Isto foi verificado por Cribari-Neto & Zarkos (1999) e por MacKinnon & White
(1985) atrav´es de s imula¸c˜oes de Monte Carlo. Chester & Jewitt (1987) investigaram o vi´es
do estimador HC0 e conclu´ıram que este pode ser substancial, mesmo em grandes amostras
16
e mesmo quando os erros s˜ao h omosced´asticos. Estes autores chamaram aten¸c˜ao para o
fato de que a estrutura da matriz de regressores de X ´e importante para determinar a
adequa¸c˜ao do estimador quanto ao tamanho da amostra. Modelos que apresentam desenho
contendo observa¸c˜oes de alta alavancagem, ou seja, de infl uˆencia elevada para o respectivo
valor predito, podem contribuir para que HC0 apresente vi´es expressivo. Desta forma, o
uso deste estimador pode levar `a identifica¸c˜ao de rela¸c˜oes esp´urias entre os regressores e a
vari´avel resposta.
MacKinnon & White (1985) consideram trˆes estimadores alternativos para melhorar
as propriedades de HC0 em amostras pequenas. Um ajustamento simples para HC0, su-
gerido por Hinkley (1977), ´e usar uma corre¸c˜ao de graus de liberdade multiplicando HC0
por
n
n−p
; em amostras finitas este fator ´e um n´umero maior que um, portanto, tudo que
ele f az ´e inflar as estimativas fornecidas pelo estimador HC0. O estimador resultante ´e
HC1 =
n
n−p
X
⊤
X
−1
X
⊤
ΩX
X
⊤
X
−1
(2.26)
onde
Ω ´e definido como em (2.25).
Um segundo estimador ´e o proposto por Horn, Horn & Duncan (1975), conhecido
como HC2, onde o i-´esimo elemento da diagonal da matriz Ω, σ
2
i
, ´e estimado por
σ
2
i
=
ε
2
i
1 − h
i
,
sendo h
i
o i-´esimo elemento da diagonal da matriz H. Logo,
HC2 =
X
⊤
X
−1
X
⊤
Ω
2
X
X
⊤
X
−1
, (2.27)
onde
Ω
2
= diag
bε
2
1
1−h
1
, . . . ,
bε
2
n
1−h
n
. (2.28)
17
Note que, sob homoscedasticidade,
E(
ε
ε
⊤
) = E [H
∗
y][H
∗
y]
⊤
, por (2.6)
= E [H
∗
yy
⊤
H
∗⊤
]
= H
∗
E (yy
⊤
)H
∗
⊤
= σ
2
H
∗
.
(2.29)
Assim,
E(ε
2
i
) = σ
2
h
∗
i
= σ
2
(1 − h
i
).
Portanto, HC2 ´e n˜ao-viesado quando h´a homoscedasticidade.
Um terceiro estimador mo dificado a partir de HC0 ´e obtido atrav´es da t´ecnica den o-
minada jackknife. Recalculamos n vezes as estimativas de MQO para o vetor β, cada vez
retirando uma observa¸c˜ao; ao final do pr ocesso, calculamos a variabilidade das estimativas
obtidas como uma estimativa da variˆancia do EMQO original. Davidson & MacKinnon
(1993) propuseram o estimador HC3, que ´e uma aproxima¸c˜ao ao estimador jackknife, sendo
dado por
HC3 =
X
⊤
X
−1
X
⊤
Ω
3
X
X
⊤
X
−1
, (2.30)
onde
Ω
3
= diag
bε
2
1
(1−h
1
)
2
, . . . ,
bε
2
n
(1−h
n
)
2
. (2.31)
Cribari-Neto (2004) propˆos o estimador HC4, uma modifica¸c˜ao do estimador HC3,
que leva em considera¸c˜ao o impacto de observa¸c˜oes com alta alavancagem sobre a inferˆencia
resultante em amostras fi nitas. O estimador HC4 incorpora fatores de desconto definidos
pela raz˜ao entre os graus individuais de alavancagem e o grau m´edio de alavancagem. A
18
importˆancia de considerar o efeito de alta alavancagem ´e discutida em Cribari-Neto & Zarkos
(2001). O estimador HC4 ´e definido como
HC4 =
X
⊤
X
−1
X
⊤
Ω
4
X
X
⊤
X
−1
, (2.32)
onde
Ω
4
= diag
bε
2
1
(1−h
1
)
δ
1
, . . . ,
bε
2
n
(1−h
n
)
δ
n
, (2.33)
δ
i
= min
4,
h
i
h
e
h =
1
n
n
i=1
h
i
=
1
n
p.
O expoente δ
i
controla o n´ıvel de desconto do quadrado do i-´esimo res´ıduo.
Como 0 < 1 − h
i
< 1 e δ
i
> 0, ent˜ao 0 < (1 − h
i
)
δ
i
< 1. Quanto maior o
grau de alavancagem individual h
i
em compara¸c˜ao ao grau m´edio de alavancagem
h, mais
fortemente o i-´esimo res´ıduo ao quadrado ser´a in flacionado. Na defini¸c˜ao d o estim ador
HC4 existe um truncamento no exponente, no m´aximo igual a 4, ou equ ivalente ao dobro
do desconto usado pelo estimador HC3.
Segundo Godfrey (2005), os testes HC’s que usam os quadrados dos res´ıduos irrestri-
tos conduzem a resultados similares aos obtidos por MacKinnon & White (1985): HC0
pode ser pouco confi´avel e superado por HC1, que ´e, por sua vez inferior ao HC2, que em
termos da confiabilidade ´e dominado por HC3. Os resultados num´ericos em Cribari-Neto
(2004) mostraram que os testes baseados em HC4 produzem in ferˆencias mais confi´aveis do
que aqu elas obtidas com testes que usam HC3.
19
2.3 Dados direcionais
2.3.1 Int rodu¸c˜ao
Em algumas ´areas da investiga¸c˜ao cient´ıfica ´e necess´aria a aplica¸c˜ao de m´etodos es-
tat´ısticos a conjuntos de dados em que algumas vari´aveis possuem caracter´ısticas circulares.
As duas principais situa¸c˜oes em que aparecem dados circulares correspondem aos instru-
mentos de medida circular: o compasso e o rel´ogio. Medidas de observa¸c˜oes por compasso
podem ser, por exemplo, a dire¸c˜ao do vento ou dire¸c˜ao de vˆoo de aves. Observa¸c˜oes pelo
rel´ogio podem ser, por exemplo, o n´um ero de ocorrˆencias de algum evento durante um de-
terminado per´ıodo de tempo, como ´e o hor´ario de chegada (considerado sob 24 horas) de
pacientes a um hospital. Se os eventos s˜ao peri´odicos, estes podem s er reperesentados sobre
um c´ırculo, a circunferˆencia correspondend o ao per´ıodo, por exemplo, horas do dia, dias da
semana, etc.
De maneira um pouco mais geral, h´a vari´aveis que podem ser representadas sobre a
superf´ıcie de uma hiper-esfera de grau p. Es tes dados s˜ao denominados direcionais (Mardia
& Jupp 2000); quando p = 2, s˜ao dados circulares e quando p = 3, s˜ao dados esf´ericos.
Em diversos textos, como Jammalamadaka & SenGupta (2001), Mardia & Jupp (2000) e
Fisher (1993), s˜ao apresentadas modifica¸c˜oes adequadas sobr e as estat´ısticas cl´assicas para
este tipo de d ad os.
2.3.2 Estat´ısticas descritivas de dados circulares
Dados circulares podem ser representados como ˆangulos ou como pontos sobr e uma
circunferˆencia. A posi¸c˜ao direcional possui representa¸c˜ao ´unica num sistema coordenado de
20
duas dimens˜oes, isto ´e, qualquer ponto P sobre o plano pode ser representado como (X, Y )
em termos de coordenadas retangulares ou como (r, α) em termos de coordenadas polares,
onde r ´e a distˆancia do ponto `a origem e α ´e a dire¸c˜ao. Para o ponto origem, tem-se que
r = 0 e n˜ao h´a dire¸c˜ao, i.e., α n˜ao est´a definido.
Dire¸c˜oes no plano podem ser representadas como vetores unit´arios x ou, equivalente-
mente, como pontos no c´ırculo unit´ario (i.e., c´ırculo com centro origem de raio um). Outras
duas formas de observar tais dire¸c˜oes s˜ao como ˆangulos ou como n´umeros complexos de
m´odulo um. Es colhendo uma dire¸c˜ao inicial e uma orienta¸c˜ao para o c´ırculo unit´ario (o
que equivale a escolher um sistema coordenado ortogonal no plano), cada ponto pode ser
representado como um ˆangulo θ (ver figura 2.1) ou, equivalentemente, como um n´umero
complexo z, relacionados como
x = ( cosθ, sinθ)
⊤
e, z = e
iθ
= cosθ + i sinθ.
O
z
1
cosθ
θ
sinθ
i
Figura 2.1: Representa¸c˜ao da dire¸c˜ao x pelo ˆangulo θ e pelo n´umero complexo z = cos θ +
i sin θ.
21
Observe que:
1. θ e θ + 2π s˜ao o mesmo ponto. Assim, a aritm´etica que n ´os faremos no c´ırculo ser´a
de mo dulo 2π.
2. A representa¸c˜ao de dire¸c˜oes por ˆangulos ou por n´umeros complexos unit´arios depende
da escolha da dire¸c˜ao inicial e da orienta¸c˜ao.
A m´edia direcional
Sejam os vetores unit´arios x
1
, x
2
, . . . , x
n
com os correspondentes ˆangulos θ
i
,
i = 1, 2, . . . , n. A m´edia direcional
θ de θ
1
, θ
2
, . . . , θ
n
´e a d ire¸c˜ao da resultante
x
1
+ x
2
+ . . . + x
n
de x
1
, x
2
, . . . , x
n
, o que equivale `a dire¸c˜ao de centro de massa x
de x
1
, x
2
, . . . , x
n
. Como as coordenadas de x
j
s˜ao (cosθ
j
, sinθ
j
), para j = 1, 2, . . . , n, as
co ordenadas cartesianas do centro de massa s˜ao (
C, S), onde
C =
1
n
n
j=1
cos θ
j
,
S =
1
n
n
j=1
sin θ
j
. (2.34)
Seja
θ a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes
C = R cos θ e S = R sin θ, (2.35)
com
R > 0, onde a longitude da resultante m´edia R ´e dada por
R = (C
2
+ S
2
)
1/2
. (2.36)
Note que
θ n˜ao est´a d efi nido qu ando R = 0.
22
Uma defi ni¸c˜ao dada por Fisher (1993) para θ ´e a seguinte:
θ =
tan
−1
(
S/C) se C > 0, S ≥ 0,
π/2 se
C = 0, S > 0,
tan
−1
(
S/C) + π se C < 0,
tan
−1
(
S/C) + 2π se C ≥ 0, S < 0,
n˜ao-definida se
C = 0, S = 0,
onde a fun¸c˜ao tangente inversa (tan
−1
) assume valores em (−π/2, π/2). Note qu e
θ n˜ao ´e
a m´edia dos θ
i
’s, ou seja,
θ n˜ao ´e igual a (θ
1
+ θ
2
+ . . . , θ
n
)/n. Al´em de (2.34) e (2.35),
tem-se que
1
n
n
i=1
cos (θ
i
−
θ) = R (2.37)
e (para
R > 0)
n
i=1
sin (θ
i
−
θ) = 0. (2.38)
A equa¸c˜ao (2.38) ´e an´aloga a
n
i=1
(x
i
−
x) = 0, (2.39)
para observa¸c˜oes x
1
, x
2
, . . . , x
n
na reta com a m´edia amostral
x. As equa¸c˜oes (2.38) e
(2.39) expressam que a soma dos desvios ao redor da m´edia ´e zero.
A mediana direcional
Esta medida ´e ´util para estima¸c˜ao robusta. A dire¸c˜ao mediana amostral
∼
θ dos
ˆangulos θ
1
, θ
2
, . . . , θ
n
´e q ualquer ˆangulo φ tal que (i) metade dos dados ficam no arco
[φ, φ + π) e (ii) a maioria dos pontos de dados est´a mais pr´oxima de φ do que de φ + π.
23
Quando o tamanho da amostra n ´e ´ımpar, a mediana amostral ´e um dos dados; quando n ´e
par, ´e conveniente tomar a mediana amostral como o ponto m´edio de dois pontos adjacentes
apropriados.
Longitude da resultante m´edia
A longitude da resultante m´edia
R est´a dada em (2.36) como o comprimento do centro
de massa. Adicionalmente, os vetores x
1
, x
2
, . . . , x
n
s˜ao vetores unit´arios. Portanto,
0 <
R < 1. (2.40)
Se as dire¸c˜oes θ
1
, θ
2
, . . . , θ
n
estiverem aglomeradas, ent˜ao
R ser´a quase igual a 1, e se
θ
1
, θ
2
, . . . , θ
n
estiverem dispersos, ent˜ao
R ser´a quase igual a zero. Por´em, R ´e uma me-
dida de concentra¸c˜ao para o conjunto de dados. Ob serve que qualquer conjunto de dados da
forma
θ
1
, θ
2
, . . . , θ
n
, θ
1
+ π, θ
2
+ π, . . . , θ
n
+ π tem
R = 0. Assim, R ≃ 0 (≃ significando
“aproximadamente igual”) n˜ao implica que as dire¸c˜oes s˜ao distribu´ıdas quase uniformente
ao redor do c´ırculo. Cumpre ainda notar que
R ´e invariante s ob rota¸c˜oes.
Variˆancia circular
Uma forma simples de definir a variˆancia ´e V = 1 −
R. Note que 0 ≤ V ≤ 1.
2.3.3 Algumas distribui¸c˜oes de probabilidade circulares
A seguir, apresentaremos alguns conceitos e alguns modelos de dados circulares. O
modelo central para dados circulares ´e a distribui¸c˜ao von Mises. Outras distribui¸c˜oes no
24
c´ırculo podem ser constru´ıdas por proje¸c˜ao radial de distribui¸c˜oes no plano ou envolvendo
(“wrapping”) distribui¸c˜oes da reta no c´ırculo.
Fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao
Suponha que a dire¸c˜ao inicial e a orienta¸c˜ao no c´ırculo s˜ao escolhidos, ent˜ao a fun¸c˜ao
de distribui¸c˜ao considerada para um ˆangulo aleat´orio θ ´e dada por
F (x) = Pr(0 < θ ≤ x), 0 ≤ x ≤ 2π ,
e
F (x + 2π) − F (x) = 1, −∞ < x < ∞. (2.41)
Esta equa¸c˜ao nos diz que o arco de longitude 2π sobre o c´ırculo unit´ario tem probabilidade
1 (j´a que este arco ´e a circunferˆencia total do c´ırculo).
Para α ≤ β ≤ α + 2π,
Pr(α < θ ≤ β) = F (β) − F (α) =
β
α
dF (x), (2.42)
onde a integral ´e de Lebesgue-Stieltjes. A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao F ´e cont´ınua `a direita.
Em contraste `a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao na reta, temos que
lim
x→∞
F (x) = ∞, lim
x→−∞
F (x) = −∞. (2.43)
Por defi ni¸c˜ao,
F (0) = 0 e F (2π) = 1.
Note qu e, embora a fun¸c˜ao F dependa da escolha da dire¸c˜ao zero, (2.42) mostra que
F (β) − F (α) ´e independente d a escolha. Ass im, mudando a dire¸c˜ao zero, simplesmente
adicionamos uma constante a F .
25
Se a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de probabilidade F for absolutamente cont´ınua, ent˜ao
sua fun¸c˜ao de densidade de probabilidade f ´e tal que
β
α
f(θ)dθ = F (β) − F (α), −∞ < α ≤ β < ∞.
A fun¸c˜ao f ´e uma fun¸c˜ao de densidade de probabilidade de uma distribui¸c˜ao absolutamente
cont´ınua se e s´o se
1. f(θ) ≥ 0, em quase toda parte sobre (−∞, ∞),
2. f(θ + 2π) = f(θ), em quase toda parte sobre (−∞, ∞),
3.
2π
0
f(θ)dθ = 1.
Distribui¸c˜ao uniforme
A distribui¸c˜ao uniforme ´e a mais b´asica. Ela ´e a ´unica distribui¸c˜ao que ´e invariante
sob rota¸c˜ao e reflex˜ao. S ua fu n¸c˜ao de densidade de probabilidade ´e
f(θ) =
1
2π
. (2.44)
Assim, para α ≤ β ≤ α + 2π, temos
Pr(α < θ ≤ β) =
β − α
2π
,
i.e., a probabilidade ´e proporcional ao comprimento do arco.
Distribui¸c˜ao cardi´oide
Perturba¸c˜oes da fun¸c˜ao de d en s idade de probabilidade uniforme mediante uma fun-
¸c˜ao cosseno produz a distribui¸c˜ao cardi´oide C(µ, ρ), que tem fun¸c˜ao de densidade de pro-
26
babilidade
f(θ) =
1
2π
{1 + 2ρ cos (θ − µ)}, |ρ| <
1
2
. (2.45)
O nome vem do fato de q ue a curva dada em coordenadas polares por r = f(θ), com f como
em (2.45), ´e a curva cardi´oide. A distribui¸c˜ao f oi introduzida por Jeffreys (1948, p. 302).
A longitude resultante m´edia de C(µ, ρ) ´e ρ e (se ρ > 0) a m´edia direcional ´e µ.
A distribui¸c˜ao ´e sim´etrica e unimodal com moda em µ (se ρ > 0). Para ρ = 0, a distribui¸c˜ao
cardi´oide se reduz `a distribui¸c˜ao uniforme. O prin cipal uso da distribui¸c˜ao cardi´oide s˜ao as
aproxima¸c˜oes para pequ en as concentra¸c˜oes da distribui¸c˜ao von Mises.
Distribui¸c˜ao von Mises
Do ponto de vista de inferˆencia, a distribui¸c˜ao von Mises M(µ,k) ´e a distribui¸c˜ao mais
usada no c´ırculo, de forma an´aloga `a distribui¸c˜ao normal na reta (Mardia & Jupp 2000,
p.32). Sua fun¸c˜ao de densidade de probabilidade ´e
g(θ; µ, k) =
1
2πI
0
(k)
e
k cos (θ−µ)
, θ ∈ (0, 2π), (2.46)
onde I
0
denota a fu n¸c˜ao de Bessel modificada do primeiro tipo e ordem zero, definida como
I
0
(k) =
1
2π
2π
0
e
kcos θ
dθ. (2.47)
Sua expans˜ao em s´eries de potˆencias ´e
I
0
(k) =
∞
r=0
1
(r!)
2
k
2
2r
. (2.48)
A fun¸c˜ao de Bessel de primeiro tipo e ordem p ´e definida como
I
p
(k) =
1
2π
2π
0
cos pθ e
kcos θ
dθ, (2.49)
27
sua expans˜ao em s´eries de potˆencias sendo dada por
I
p
(k) =
∞
r=0
1
Γ(p + r + 1)Γ(r + 1)
k
2
2r+p
. (2.50)
O parˆametro µ ´e a dire¸c˜ao m´edia e o parˆametro k ´e o parˆametro de concentra¸c˜ao. A
longitude resultante m´edia ρ ´e A(k), definida como
A(k ) =
I
1
(k)
I
0
(k)
. (2.51)
Note que M (µ + π, k) e M(µ, −k) s˜ao a m esma d istribui¸c˜ao. Para eliminar essa indeter-
mina¸c˜ao dos parˆametros µ, k ´e usual tomar k ≥ 0. Esta distribui¸c˜ao foi introduzida por von
Mises (1918) para estudar os desvios dos pesos atˆomicos.
A distribui¸c˜ao ´e unimodal e sim´etrica ao redor de θ = µ. A moda est´a em θ = µ e a
anti-moda em θ = µ + π.
A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao da distribui¸c˜ao von Mises M(0, k) ´e
F (θ; 0, k) =
1
I
0
(k)
θ
0
e
k cos u
du. (2.52)
Ela n˜ao ´e facilmente avaliada numericamente. A fun¸c˜ao de d istribui¸c˜ao da distribui¸c˜ao
N(0, k
−1
) ´e uma boa aproxima¸c˜ao `a fun¸c˜ao d e distribui¸c˜ao M(0, k); para k > 10, esta
aproxima¸c˜ao ´e razoavelmente precisa (Mardia & Jup p 2000, p. 44).
Rela¸c˜ao com outras distribui¸c˜oes
Quando k = 0 a distribui¸c˜ao von Mises se reduz `a distribui¸c˜ao uniforme. A aproxi-
ma¸c˜ao exp(x) ≃ 1 + x mostra qu e, para pequenos valores de k,
M(µ, k ) ≃ C(µ, k/2), (2.53)
28
onde C(µ, k/2) denota a distribui¸c˜ao cardi´oide. Assim, a d istribui¸c˜ao von Mises com
parˆametro de concentra¸c˜ao pequeno aproxima a distribui¸c˜ao cardi´oide com a mesma d ire¸c˜ao
m´edia e longitude resultante m´edia. Quando k → ∞, a distribui¸c˜ao se concentra ao redor
do ponto θ = µ. Assuma que k ´e grande e seja ξ = k
1/2
(θ − µ). Ent˜ao, de (2.46) a fun¸c˜ao
de densidade de probabilidade de ξ ´e proporcional a
exp{−k[1 − cos (k
−1/2
ξ)]}. (2.54)
Para grandes valores de k,
1 − cos (k
−1/2
ξ) =
1
2
k
−1
ξ
2
+ O(k
−2
).
Ent˜ao, de (2.54) temos que ξ ∼: N(0, 1) (∼: s ignifi cand o “aproximadamente distribu´ıdo
como”). Portanto,
θ ∼: M(µ , k) ⇒ k
−1/2
(θ − µ) ∼: N(0, 1), k → ∞. (2.55)
2.3.4 Modelos de r egr ess˜ao
A maioria da aplica¸c˜ao destes modelos fazem referˆencia `as posi¸c˜oes e localiza¸c˜oes de
objetos com respeito a um sistema de referˆencia. H´a v´arios tipos de modelos, os quais ficam
dependendo do tipo de vari´avel resposta.
1. Resposta linear
Um mo delo de regress˜ao de uma variavel X sobre uma variavel angular θ ´e
X | θ ∼ N (α + β
1
cosθ + β
2
sinθ, σ
2
) (2.56)
29
introduzido por Mardia (1976) (modelo de regress˜ao linear multiple de X sob ( cosθ, sinθ)).
Extens˜ao e aplica¸c˜ao para estudos da polui¸c˜ao do ar ´e dado em Johnson & Wehrly (1978).
2. Resposta circular
Considere uma variavel r esposta Θ, a qual ´e medida em valores x
1
, . . . , x
n
de uma
vari´avel explicativa X de dimens˜ao k.
Fun¸c˜oes helicoidais do regress˜ao
Se k = 1, a ideia ´e envolver “wrapping” a reta no c´ırculo, o que conduz aos modelos
de regress˜ao de Gould (Gould 1969), no qual
Θ
i
∼ M(µ + βx
i
, k), i = 1, . . . , n, (2.57)
os Θ
i
’s s˜ao independentes e µ, β e k s˜ao parˆametros desconhecidos (veja tamb´em Laycock
(1975)). Porque a curva de regress˜ao dada por (2.57) ´e h elicoidal, este modelo ´e algumas
vezes conhecido como o modelo p´olo do barbeiro “pole b aber’s”. A maior desventagem de
(2.57) ´e que a fun¸c˜ao de verossimilha¸ca tem muitos m´aximos. Al´em disso, se x
1
, . . . , x
n
s˜ao
igualmente espaciados ent˜ao β n˜ao ´e identific´avel.
Regress˜ao usando a fun¸c˜oes de liga¸c˜ao
A fun¸c˜ao de regress˜ao helicoidal aplica x → βx (mod 2π), i.e., aplica a reta real
infinitas veces aorededor do c´ırculo. Para evitar este pr oblema, se sugere substituir esta
fun¸c˜ao por uma fun¸c˜ao in jectiva (sugerencia dada por Fisher & Lee (1992)). Esta fun¸c˜ao
injectiva g, ´e tal que g : R → (−π, π), e satisfaz, g(0) = 0, pode ser a fun¸c˜ao tangente inversa
g(x) = 2tan
−1
x, (2.58)
30
ou a f un¸c˜ao probit escalonada
g(x) = 2π(Φ(x) − 0.5). (2.59)
3. Resposta esf´erica
Regress˜ao usando rota¸c˜ao
Regress˜ao de uma vari´avel aleat´oria esf´erica y em S
p−1
(esfera unitaria em R
p
) s o-
bre uma preditora x em S
p−1
acontece em varios campos. Algums destos exemplos s˜ao o
seguintes. Um problema importante en cristalografia ´e de relacionar o eixo y de um cristal
com o eixo x de um sistema coordenado padr˜ao (Mackenzie 1957). Determina¸c˜ao da ori-
enta¸c˜ao de um satelite, involucra comparar dire¸c˜oes y de estrelas no sistema coordenado d o
sat´elite com as correspondentes dire¸c˜oes x num sistema coordenado terrestre (Wahba 1966).
Avaliando “integridade geom´etrica” em control de calidade industrial ´e conseguido compa-
rando dire¸c˜oes normais y de uma parte feita `a m´aquina com a correspondente dire¸c˜ao x
nu m desenho especificado no computador (Chapman, Chen & Kim 1995). Muitas aplica¸c˜oes
de vis˜ao de maquinas involucra compara¸c˜oes de dire¸c˜oes y de objetos detectados por um
sensor com as correspond entes dire¸c˜oes x detectad as por outro sensor (Kanatani 1993). Um
problema em geof´ısica ´e o de estimar a rota¸c˜ao de uma placa tect´onica relativa a outra, este
´e dado comparando as posi¸c˜oes y de pontos sobre a superficie da terra (interse¸c˜oes de zonas
de fraturas com anomalias magn´eticas) numa placa com as posi¸c˜oes x das correspondentes
posi¸c˜oes de pontos em outra placa (Chang 1993).
A fun¸c˜ao de regress˜ao mais simples para uma vari´avel aleat´oria esf´erica y em S
p−1
31
sobre uma preditora esf´erica x em S
p−1
´e da forma
y = Ax (2.60)
para alguma rota¸c˜ao A em SO(p) (grupo das matrizes de r ota¸c˜ao de ordem p × p). Uma
classe de modelos de regress˜ao com fun¸c˜oes de regress˜ao da forma (2.60) s˜ao os modelos
de Chang (1986) no qual a distribui¸c˜ao condicional de y dado x ´e circular sim´etrica com a
dire¸c˜ao m´edia Ax.
Modelos de regress˜ao para estimar o centro
Em algums contextos, tais como o de estimar a fonte de uma sinal a ou o centro
de uma explos˜ao, dire¸c˜oes y
i
em S
p−1
s˜ao observadas com posi¸c˜oes x
i
em R
p
. Um modelo
conveniente para isto ´e
y | x ∼ M
p
(x − a
−1
(x − a), k
0
+ kx − a
c
), (2.61)
asimm que y | x tem uma distribui¸c˜ao von Mises-Fisher com dire¸c˜ao m´edia que aponta para
o “centro” desconheciado a. Varios casos part´ıculares d e (2.61) com k
0
= 0 s˜ao aplicados
em Lenth (1981), Jup p (1987), e Jup p & Spurr (1989).
2.4 O modelo estudado e suas estimativas
Considere o seguinte modelo para os dados (x
i
, y
i
), i = 1, 2, . . . , n, os quais s˜ao
tomados de uma circunferˆencia:
x
i
= ξ
1
+ ρ cos φ
i
+ ε
1i
,
y
i
= ξ
2
+ ρ sin φ
i
+ ε
2i
,
(2.62)
32
onde (ξ
1
, ξ
2
) s˜ao as coordenadas d o centro do c´ırculo, ρ ´e o raio do c´ırculo, φ
i
´e a fase ou
ˆangulo da i-´esima observa¸c˜ao, ε
1i
e ε
2i
s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes normais de
m´edia zero e variˆancias σ
2
1
e σ
2
2
, respectivamente, i.e., ε
1i
∼ N(0, σ
2
1
), e ε
2i
∼ N(0, σ
2
2
),
i = 1, 2, . . . , n. Este modelo ´e o m esmo qu e foi tratado em Berman & Somlo (1986) com
a diferen ¸ca de que aqui assumimos que as variˆancias σ
2
1
e σ
2
2
s˜ao d iferentes. Em muitos
casos as med idas das fases φ
i
, i = 1, 2, . . . , n, s˜ao desconhecidas (Berman 1983), mas as
mudan¸cas φ
i+1
− φ
i
, i = 1, 2, . . . , n, s˜ao conhecidas. Neste caso, φ
i
, i = 1, 2, . . . , n, pode
ser expresso como φ
i
= θ
0
+ θ
i
, i = 1, 2, . . . , n, onde θ
i
´e conhecido e θ
0
´e desconhecido.
Portanto, o modelo (2.62) pode ser escrito como:
x
i
= ξ
1
+ α
1
cosθ
i
− α
2
sinθ
i
+ ε
1i
,
y
i
= ξ
2
+ α
1
sinθ
i
+ α
2
cosθ
i
+ ε
2i
,
(2.63)
i = 1, 2, . . ., n, onde α
1
= ρ cosθ
0
, α
2
= ρ sinθ
0
. Como os θ
i
s˜ao conhecidos, o mo-
delo (2.63) ´e um modelo linear com parˆametros ξ
1
, ξ
2
, α
1
e α
2
e estrutura de variˆancia
heterosced´astica.
Para simplificar a nota¸c˜ao, introduzimos os seguintes vetores:
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
⊤
, y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
)
⊤
,
c = (cos θ
1
, cos θ
2
, . . . , cos θ
n
)
⊤
, s = (sin θ
1
, sin θ
2
, . . . , sin θ
n
)
⊤
,
ε
1
= (ε
11
, ε
12
, . . . , ε
1n
)
⊤
, ε
2
= (ε
21
, ε
22
, . . . , ε
2n
)
⊤
.
Portanto, o modelo (2.63) pode ser escrito como
x
y
=
1
n
0
0 1
n
ξ
1
ξ
2
+
c −s
s c
α
1
α
2
+
ε
1
ε
2
, (2.64)
33
onde 1
n
denota um vetor n × 1 de uns. A matriz de variˆancias e covariˆancias dos erros
aleat´orios no modelo (2.64) ´e d ada por
σ
2
1
I
n
0
0 σ
2
2
I
n
= σ
2
2
σ
2
1
σ
2
2
I
n
0
0 I
n
= σ
2
2
V(ω).
Fazendo ω = σ
2
1
/σ
2
2
, tem-se que V(ω) = diag{ωI
n
, I
n
}, I
n
sendo a matriz identidade de
ordem n. Para o modelo (2.64) com estrutura de variˆancia heterosced´astica, se as variˆancias
σ
2
1
e σ
2
2
ou a raz˜ao ω = σ
2
1
/σ
2
2
forem conhecidas, o melhor estimador linear n˜ao-viesado do
vetor de parˆametros β = (ξ
1
, ξ
2
, α
1
, α
2
)
⊤
, d en otado por β
∗
= (ξ
∗
1
, ξ
∗
2
, α
∗
1
, α
∗
2
)
⊤
, pode ser
obtido pelo pro cesso de m´ınimos quadrados ponderados. N´os obtemos a seguintes express˜oes
para tal estimador no mod elo (2.64):
ξ
∗
1
=
x − cα
∗
1
+ sα
∗
2
,
ξ
∗
2
=
y − sα
∗
1
− cα
∗
2
,
α
∗
1
=
1
d(ω)
v
⊤
v
ω
+ u
⊤
u
Z
1
+
1
ω
− 1
(u
⊤
v)Z
2
,
α
∗
2
=
1
d(ω)
u
⊤
u
ω
+ v
⊤
v
Z
2
+
1
ω
− 1
(u
⊤
v)Z
1
,
(2.65)
onde
x =
n
i=1
x
i
n
,
y =
n
i=1
y
i
n
,
c =
n
i=1
cos θ
i
n
,
s =
n
i=1
sin θ
i
n
,
d(ω) =
u
⊤
u
ω
+ v
⊤
v
v
⊤
v
ω
+ u
⊤
u
−
1
ω
− 1
2
(u
⊤
v)
2
,
u = c −
c1
n
, v = s − s1
n
,
Z
1
=
x
⊤
u
ω
+ y
⊤
v, Z
2
= −
x
⊤
v
ω
+ y
⊤
u.
34
Note que quando σ
2
1
= σ
2
2
, temos ω = 1 e os estimadores acima se reduzem aos estimadores
de m´ınimos quadrados ordin´arios,
β = (
ξ
1
,
ξ
2
, α
1
, α
2
)
⊤
, discutidos em Berman & Somlo
(1986).
Na pr´atica, σ
2
1
e σ
2
2
s˜ao desconhecidos e, portanto, temos que substitu´ı-los por estima-
tivas. Estimativas ´uteis podem ser obtidas pelo processo de m´ınimos quadrados ordin´arios
a partir dos seguintes modelos de regress˜ao d e cada coordenada:
x = (1
n
, c, −s)(ξ
1
, α
1
, α
2
)
⊤
+ ε
1
,
y = (1
n
, s, c)(ξ
2
, α
1
, α
2
)
⊤
+ ε
2
,
onde ε
i
∼ N(0, σ
2
i
I
n
), i = 1, 2, s˜ao independentes. As estimativas de σ
2
1
e σ
2
2
s˜ao dadas por
σ
2
1
=
1
n−3
x
⊤
[I
n
− X
1
(X
⊤
1
X
1
)
−1
X
1
]x,
σ
2
2
=
1
n−3
y
⊤
[I
n
− X
2
(X
⊤
2
X
2
)
−1
X
2
]y,
onde X
1
= (1
n
, c, −s) e X
2
= (1
n
, s, c).
Assim, uma estimativa de ω ´e dada por ω =
σ
2
1
/
σ
2
2
. O estimador em duas etapas,
denotado por
˜
β = (
˜
ξ
1
,
˜
ξ
2
, ˜α
1
, ˜α
2
)
⊤
, ´e obtido substituindo ω em (2.65) por ω.
Para o c´alculo da matriz de variˆancias e covariˆancias dos estimadores do vetor de
parˆametros precisamos do seguinte lema.
Lema 1. Suponha que a matriz A ´e n˜ao-sigular e ´e particionada como
A =
A
11
A
12
A
21
A
22
.
35
Se A
−1
11
existe, ent˜ao
A
−1
=
A
−1
11
0
0 0
+
A
−1
11
A
12
−I
A
−1
22.1
(A
−1
11
A
12
| −I),
onde A
22.1
= A
22
− A
21
A
−1
11
A
12
. A prova deste lema pode ser obtida diretamente da
aplica¸c˜ao do Teorema 8.5.11 de Harville (1997, p. 99).
Seja
X =
1
n
0 c −s
0 1
n
s c
.
Aplicando o Lema 1 `a matriz X
⊤
V
−1
(ω)X, obtemos as seguintes express˜oes para as matrizes
de variˆancias e covariˆancias dos estimadores BLUE, MQO e TSE:
Cov(β
∗
) = M + σ
2
2
B A(ω) B
⊤
d(ω)
, (2.66)
Cov(
β) = M + σ
2
2
B C(ω) B
⊤
d(1)
, (2.67)
Cov(
˜
β) = M + σ
2
2
E
B A(ω) C(ω/ω
2
) A(ω) B
⊤
d
2
(ω)
, (2.68)
respectivamente, onde
M = diag
σ
2
1
n
,
σ
2
2
n
, 0, 0
,
A(ω) =
1
ω
v
⊤
v + u
⊤
u
1
ω
− 1
u
⊤
v
1
ω
− 1
u
⊤
v
1
ω
u
⊤
u + v
⊤
v
, B(ω) =
−
c s
−
s −c
1 0
0 1
,
C(ω) =
ωu
⊤
u + v
⊤
v (1 − ω)u
⊤
v
(1 − ω)u
⊤
v ωv
⊤
v + u
⊤
u
= B
⊤
X
⊤
V
⊤
(ω)XB.
36
CAP
´
ITULO 3
Avalia¸c˜ao num´erica
3.1 Introdu¸c˜ao
O Estimador de M´ınimos Quadrados Ordin´arios (EMQO) ´e rotineiramente utilizado
para estimar os parˆametros do modelo de regress˜ao linear. Ao se utilizar o modelo de
regress˜ao cl´assico ´e comum assumir que os erros tˆem variˆancia constante. Contudo, tal
suposi¸c˜ao n˜ao ´e verificada muitas vezes na pr´atica. Na presen¸ca de heteroscedasticidade, o
EMQO da matriz de variˆancias e covariˆancias torna-se impreciso, podendo conduzir a con-
clus˜oes incorretas a respeito da rela¸c˜ao entre as vari´aveis resposta e explicativas do modelo.
Isto acontece porque os testes t associados requerem estimativas confi´aveis das variˆancias
dos estimadores dos parˆametros. Uma poss´ıvel solu¸c˜ao neste caso ´e usar estimadores consis-
tentes da matriz d e variˆancias e covariˆancias, i.e., utilizar os HC’s (estimadores consistentes
37
na presen¸ca de heteroscedasticidade −“heteroskedasticity consistent”) que funcionam bem
mesmo sob homoscedasticidade (Long & Ervin, 2000).
Na realiza¸c˜ao dos testes de hip´oteses sobre os parˆametros do modelo de regress˜ao
linear do tipo H
0
: β
i
= β
(0)
contra H
1
: β
i
= β
(0)
, em que β
(0)
´e uma constante conhecida,
tem-se que
τ =
β
i
− β
(0)
var(
β
i
)
D
−→ N(0, 1),
onde var(
β
i
) ´e um estimador consistente para var(
β
i
). Mesmo em amostras de tamanho
pequeno ou moderado, s ˜ao freq¨uentemente utilizados valores cr´ıticos assint´oticos obtidos
da distribui¸c˜ao normal padr˜ao, o que pode ser uma fonte de imprecis˜ao. Al´em disso, os
graus de alavancagem das diferentes observa¸c˜oes tamb´em podem in fluir na qualidade da
aproxima¸c˜ao d a distribu i¸c˜ao nula de τ pela distribui¸cao normal padr˜ao.
3.2 Metodologia
Apresentaremos a seguir resultados num´ericos baseados no modelo:
x
i
= ξ
1
+ α
1
cosθ
i
− α
2
senθ
i
+ ε
1i
,
y
i
= ξ
2
+ α
1
senθ
i
+ α
2
cosθ
i
+ ε
2i
,
para i = 1, 2, . . . , n, em que α
1
= ρ cosθ
0
, α
2
= ρ senθ
0
, ρ representa o raio do c´ırculo,
os θ
i
’s, s˜ao conhecidos, o vetor de parˆametros ´e β = (ξ
1
, ξ
2
, α
1
, α
2
)
⊤
= (β
1
, β
2
, β
3
, β
4
)
⊤
,
ε
1i
e ε
2i
s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes com distribui¸c˜ao normal d e m´edia zero e
variˆancias σ
2
1
e σ
2
2
, respectivamente, i.e., ε
1i
∼ N(0, σ
2
1
) e ε
2i
∼ N(0, σ
2
2
), ε
ji
, j = 1, 2,
i = 1, 2, . . . , n, sendo n˜ao-correlacionados (maiores detalhes Se¸c˜ao 2.4).
38
Consideramos ω = σ
2
1
/σ
2
2
= 1/10000, 1/100, 1, 100 e 10000, com a finalidade de obter
diferentes graus de heteroscedasticidade. Consideramos ainda quatro tamanhos amostrais:
n = 20, 40, 60 e 100. Para n = 20, as covariadas (os θ’s) foram geradas a partir da dis-
tribui¸c˜ao von Mises (M(µ , k)) veja se¸c˜ao 2.3; neste caso usamos a dire¸c˜ao m´edia zero (µ = 0)
e parˆametro de concentra¸c˜ao com valores k = 0.5, 2 e 4. Os demais tamanhos amostrais
foram obtidos replicando-se as vinte primeiras observa¸c˜oes tantas vezes quanto necess´ario
para atingir o tamanho desejado, de modo q ue o grau de heteroscedasticidade fosse mantido
constante com o aumento do tamanho amostral.
Para cada tamanho de amostra h´a dois valores correspondentes `as vari´aveis explicati-
vas que s ˜ao pr´e-determinados na s imula¸c˜ao. O primeiro deles ´e θ
0
; lembre que as diferen¸cas
angulares entre pontos ´e conhecida, i.e., φ
i+1
− φ
i
´e conhecido; temos que φ
i
= θ
0
− θ
i
, com
θ
0
desconhecido e θ
i
conhecido; o s egun do valor corresponde a θ
n
, que ´e a dire¸c˜ao associada
ao n-´esimo ponto. A dire¸c˜ao para o primeiro valor ´e zero i.e., (θ
0
= 0), com a finalidade
de realizar testes para o parˆametro α
2
; lembre que α
2
= ρ senθ
0
. O ´ultimo ponto (θ
n
) foi
fixado no ˆangulo d e 180
o
, com o objetivo de se avaliar as taxas de rejei¸c˜ao dos testes quando
s˜ao usados diferentes estimadores da matriz de variˆancias e covariˆancias do estimador do
vetor d e parˆametros tendo conhecimento da presen¸ca de um ponto de alavanca.
Intuitivamente, um ponto d e alavanca tem sua medida de infl uˆencia aumentada
quando sua dire¸c˜ao se afasta da m´edia direcional (considerando todos os pontos). As-
sim, um ponto alcan¸ca seu maior grau de influˆencia no caso em que se encontra do lado
oposto da m´edia direcional.
Quando geramos os dados a partir de uma distribui¸c˜ao M(0, k), temos que, `a medida
39
que o tamanho amostral aumenta, a dire¸c˜ao m´edia dos dados tende a zero.
Um crit´erio de qualidade para um estimador da matriz de covariˆancias ´e o desem-
penho do teste quasi-t, com rela¸c˜ao ao tamanho, associado em amostras finitas. Nas tabelas
da se¸c˜ao 3.3 apresentamos resultados num´ericos ao desempenho dos diferentes testes aqui
estudados.
Em algumas tabelas us amos nota¸c˜oes como “HCj = HCi”, i = j, i = 0, 2, 3 e 4,
j = 0, 2, 3 e 4, indicando com isso que as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas obtidas nos testes
baseados nesses estimadores para a matriz de variˆancias e covariˆancias s˜ao iguais, al´em de
serem as mais pr´oximas de 5% (tamanho nominal); ou a nota¸c˜ao “HCj / HCi”, indicando
que a diferen¸ca (em m´odulo) entre as taxas de rejei¸c˜ao do teste baseado em HC j e o tamanho
nominal (5%) ´e menor do que a correspondente diferen¸ca para HCi (|HCj − 5| < |HCi − 5|)
e, adicionalmente, que a diferen¸ca destas diferen¸cas, em m´odulo, ´e menor ou igual a 0.01
(||HCj − 5| − |HCi − 5|| ≤ 0.01); esta mesma nota¸c˜ao ´e empregada para o caso em que o
melhor estimador ´e o EMQO (substituindo algum dos HCi’s por EMQO).
Outro caso que consideramos ´e o de hip´oteses restritas, no qual levamos em conta
que um parˆametro ´e conhecido e igual a zero. Para identificar o parˆametro que foi “reti-
rado”empregaremos a nota¸c˜ao R
ξ
1
, R
ξ
2
e R
α
2
quando ´e retirado o parˆametro ξ
1
, ξ
2
e α
2
,
respectivamente. O caso de retirar o parˆametro α
1
implicaria que θ
0
= 90
o
ou 270
o
, caso
que n˜ao trataremos neste trabalho.
Os efeitos de usar o quadrado do res´ıduo restrito, i.e., os res´ıduos de MQO do mo-
delo nulo, s˜ao explorados em Davidson & MacKinnon (1985). As duas estrat´egias s˜ao
assint´oticamente equivalentes sob a hip´otese nula (Godfrey 2005).
40
Nossas simula¸c˜oes de Monte Carlo foram baseadas em dez mil (10,000) r´eplicas com
ξ
1
= ξ
2
= α
2
= 0, α
1
= ρ. Deseja-se testar H
0
: β
i
= 0 contra H
1
: β
i
= 0, i = 1, 2
e 4 (lembremos que β = (ξ
1
, ξ
2
, α
1
, α
2
)
⊤
), com ε
ji
∼ N(0, σ
2
j
), j = 1, 2, i = 1, 2, . . . , n.
Todas as simula¸c˜oes foram realizadas usando a linguagem de programa¸c˜ao matricial Ox
(Doornik 2001).
Ao todo, foram realizad as 600 simula¸c˜oes que combinam quatro tamanhos amostrais,
cinco graus de heteroscedasticidade, trˆes parˆametros de concentra¸c˜ao, um ˆangulo de ponto
influente de duas formas, a saber: garantind o ou n˜ao um ´unico ponto influente e a restri¸c˜ao
imposta por cada um dos parˆametros .
Ap´os a realiza¸c˜ao de todas as simula¸c˜oes, foi realizada a modelagem estat´ıstica onde
as quantidades de interesse s˜ao as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas correspondentes aos testes
que utilizam E MQO, HC0, HC 2, HC3, HC4 e os HCR’s considerando como tamanho do
teste α = 5%.
3.3 Resultados num´ericos
Quando ω = 1, h´a heteroscedasticidade, o que significa que o componente em y para
cada uma das obs erva¸c˜oes tem maior variabilidade em compara¸c˜ao com o componente em
x (caso em que ω < 1), ou que o componente em x para cada um dos dados tem maior
variabilidade em compara¸c˜ao com o componente em y (caso no que ω > 1). No caso em
que ω = 1, h´a homoscedasticidade, i.e., os dois componentes tˆem a mesma variabilidade.
Em algumas tabelas n˜ao ´e poss´ıvel garantir que θ
n
seja o ´unico ponto de alavanca
(os dados foram gerados da distribui¸c˜ao von Mises), j´a que a probabilidade de que algum
41
Tabela 3.1: Quantis (em graus) da M(0, k) ao n´ıvel de 5%.
k α = 0.05
0.5 15.7
1 29.6
2 77.3
3 103.3
4 118.3
5 126.2
dos primeiros n − 1 pontos tenha dire¸c˜ao m ais afastada (comparado com o n-´esimo ponto),
com respeito `a dire¸c˜ao m´edia, ´e maior que zero. Este fato pode ser notado a partir dos
quantis δ (tabela 3.1) da distribui¸c˜ao von Mises, em especial da distribui¸c˜ao M(0, k), em que
Pr(−180
◦
< θ < −180
◦
+ δ) = α/2 (´area que fica acima da dire¸c˜ao de 180
◦
) e
Pr(180
◦
− δ < θ < 180
◦
) = α/2 (´area abaixo da dire¸c˜ao de 180
◦
).
Nas tabelas 3.2 a 3.6, em que n˜ao se garante a existˆencia de um ´unico ponto de
alavanca, s˜ao apresentadas as probabilidades de rejei¸c˜ao emp´ıricas de H
0
: ξ
1
= 0 corres-
pondentes aos diferentes estimadores da matriz de variˆancias e covariˆancias dos estimadores
dos parˆametros do m od elo de regress˜ao. Adicionalmente, s˜ao apresentadas as taxas de re-
jei¸c˜ao quando s˜ao estimados os modelos completo e restritos. Os modelos r estritos para
este caso s˜ao o modelo com a restri¸c˜ao ξ
2
= 0, que denotaremos por (R
ξ
2
) e o modelo com
a restri¸c˜ao α
2
= 0 denotado por (R
α
2
). Na tabela 3.7 ´e apresentad o u m resumo das tabelas
3.2 at´e 3.6; naquela tabela s˜ao listados os estimadores da matriz de variˆancias e covariˆancias
que se revelaram mais confi´aveis no que diz respeito `as distor¸c˜oes de tamanho dos testes
associados. Estes resultados s ˜ao obtidos para diferentes graus de heteroscedasticidade (ω),
valores do parˆametro de concentra¸c˜ao, tamanhos de amostras e ˆangulo correspondente ao
ponto influente (que neste caso ´e de 180
o
).
42
Tabela 3.2: Tax as de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes quasi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influ ente. Parˆametro: ξ
1
, ω = 10
−4
.
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC 0 HC2 HC3 H C 4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 0.00 0.18 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0. 00 0.00
40 0.00 2.27 1.39 0.74 0.78 0.00 1.80 1.09 0.61 0.50 0.01 0.14 0.00 0.00 0.00
60 0.00 3.27 2.83 2.37 2.45 0.00 3.03 2.40 1.99 2.03 0.03 1.27 0.54 0.07 0.00
100 0.00 3.78 3.46 3.24 3.34 0.00 3.62 3.42 3.20 3.26 0. 01 2.58 2.10 1.69 1.16
R
ξ
2
20 0.00 0.13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
40 0.00 2.07 1.36 0.82 0.61 0.00 1.59 1.03 0.65 0.27 0.01 0.10 0.00 0.00 0.00
60 0.00 3.19 2.86 2.45 2.37 0.00 2.87 2.52 2.07 1.87 0.03 1.17 0.44 0.07 0.00
100 0.00 3.69 3.52 3.34 3.37 0.00 3.57 3.40 3.15 3.15 0. 01 2.50 2.07 1.63 1.16
R
α
2
20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
40 0.00 1.52 0.89 0.41 0.17 0.00 1.66 0.98 0.54 0.21 0.02 0.12 0.00 0.00 0.00
60 0.01 2.72 2.15 1.74 1.64 0.00 3.00 2.50 2.01 1.76 0.03 1.13 0.44 0.05 0.00
100 0.01 3.51 3.30 2.93 2.93 0.00 3.80 3.50 3.21 3.14 0. 01 2.54 2.05 1.72 1.11
43
Tabela 3.3: Tax as de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes quasi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influ ente. Parˆametro: ξ
1
, ω = 10
−2
.
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC 0 HC2 HC3 H C 4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 0.00 0.87 0.14 0.02 0.04 0.00 0.70 0.13 0.01 0.01 0.02 0.02 0.00 0. 00 0.00
40 0.00 2.55 1.82 1.12 1.22 0.00 2.01 1.21 0.79 0.76 0.03 0.53 0.05 0.01 0.00
60 0.00 3.59 3.04 2.58 2.73 0.00 3.36 2.85 2.25 2.31 0.03 1.69 0.85 0.30 0.00
100 0.00 4.06 3.87 3.54 3.69 0.01 3.68 3.39 3.24 3.30 0. 02 2.61 2.19 1.74 1.20
R
ξ
2
20 0.00 0.73 0.15 0.02 0.01 0.00 0.58 0.18 0.02 0.01 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00
40 0.00 2.34 1.94 1.32 1.13 0.00 1.78 1.27 0.84 0.69 0.03 0.49 0.05 0.01 0.00
60 0.00 3.43 3.04 2.73 2.68 0.00 3.25 2.80 2.45 2.33 0.03 1.56 0.79 0.30 0.00
100 0.00 3.94 3.70 3.55 3.62 0.01 3.64 3.41 3.27 3.25 0. 02 2.60 2.12 1.78 1.23
R
α
2
20 0.00 1.18 0.44 0.12 0.08 0.00 1.49 0.61 0.17 0.09 0.03 0.04 0.00 0.00 0.00
40 0.00 2.40 1.91 1.48 1.45 0.00 2.22 1.74 1.33 1.26 0.03 1.02 0.25 0.00 0.00
60 0.01 2.90 2.55 2.16 2.12 0.00 3.21 2.92 2.54 2.48 0.03 1.95 1.47 0.99 0.28
100 0.00 3.31 3.14 2.92 2.95 0.01 3.54 3.26 2.95 2.97 0. 02 2.71 2.45 2.11 1.81
44
Tabela 3.4: Tax as de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes quasi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influente. Parˆametro: ξ
1
, ω = 1.
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC 0 HC2 HC3 H C 4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 0.73 9.83 7.57 5.85 6.22 0.57 9.73 7.42 5.58 5.76 0.76 14.59 10.21 7.17 3.62
40 0.58 7.13 6.16 5.17 5.37 0.55 7.05 6.23 5.32 5.35 0.62 9. 32 7.70 6.09 4.22
60 0.60 6.27 5.65 5.10 5.18 0.49 6.27 5.70 5.07 5.13 0.64 7. 89 6.80 5.81 4.26
100 0.52 5.63 5.21 4. 86 4.94 0.53 5.67 5.34 4.99 4.99 0.48 7.11 6.46 5.74 4.66
R
ξ
2
20 0.73 9.42 7.66 5.93 5.75 0.57 9.52 7.53 5.80 4.99 0.76 14.15 10.27 7.32 3.90
40 0.58 6.98 6.10 5.26 5.12 0.55 6.95 6.19 5.45 4.98 0.62 9. 18 7.67 6.11 4.18
60 0.60 6.20 5.66 5.18 5.00 0.49 6.21 5.63 5.16 4.81 0.64 7. 80 6.82 5.87 4.26
100 0.52 5.58 5.19 4. 92 4.80 0.53 5.63 5.35 5.03 4.79 0.48 7.09 6.45 5.71 4.66
R
α
2
20 0.92 1.88 1.39 0.93 0.79 0.59 2.32 1.71 1.25 0.95 0.79 5. 32 3.74 2.53 1.23
40 0.76 1.24 0.93 0.71 0.59 0.55 1.22 0.91 0.70 0.59 0.68 2. 30 1.75 1.22 0.65
60 0.75 1.06 0.92 0.84 0.78 0.52 1.03 0.86 0.72 0.56 0.69 1. 47 1.17 0.93 0.56
100 0.70 0.84 0.74 0. 67 0.64 0.56 0.75 0.68 0.60 0.52 0.52 0.90 0.69 0.60 0.39
45
Tabela 3.5: Tax as de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes quasi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influ ente. Parˆametro: ξ
1
, ω = 100.
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 3.40 11.19 8.63 6.67 7.05 3.40 11.42 8.88 6.57 6.56 2.27 21.41 13.47 7.65 3.18
40 2.91 7.77 6.77 5. 79 5.97 3.03 7.98 6.90 5.91 5.83 1.74 13.73 10.79 8.11 4.60
60 3.22 6.75 6.05 5. 49 5.54 2.91 6.68 6.06 5.38 5.27 1.66 10.37 8.54 7.07 4.87
100 3.09 5.95 5.63 5.31 5.36 3.05 6.16 5.82 5.44 5.40 1.74 8.62 7.51 6.57 5.03
R
ξ
2
20 3.40 10.85 8.58 6.80 6.25 3.40 11.14 8.87 6.84 5.60 2.27 20.65 13.15 7.59 3.30
40 2.91 7.72 6.80 5. 87 5.49 3.03 7.91 6.85 5.84 5.34 1.74 13.47 10.84 8.18 4.54
60 3.22 6.66 6.08 5. 52 5.32 2.91 6.61 6.06 5.34 4.96 1.66 10.26 8.55 7.06 4.85
100 3.09 5.93 5.61 5.33 5.19 3.05 6.15 5.82 5.43 5.14 1.74 8.60 7.50 6.59 5.03
R
α
2
20 4.05 9.69 7.95 6. 45 6.03 3.45 10.48 8.30 6.51 5.49 2.40 19.35 12.68 7.64 3.32
40 3.57 6.95 6.30 5. 53 5.39 3.07 7.53 6.59 5.79 5.25 1.80 12.71 9.91 7.50 4.12
60 3.73 6.15 5.63 5. 13 5.01 2.98 6.42 5.77 5.26 4.90 1.79 9.67 8.05 6.56 4. 56
100 3.74 5.72 5.35 5.04 4.93 3.10 5.94 5.59 5.35 5.06 1.84 7.97 7.01 6.09 4.69
46
Tabela 3.6: Tax as de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes quasi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influ ente. Parˆametro: ξ
1
, ω = 10
4
.
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 3.44 11.24 8.74 6.75 7.14 3.39 11.41 8.84 6.49 6.64 2.27 21.24 13.23 7.45 2.92
40 3.02 7.80 6.71 5. 81 6.00 3.05 8.18 6.87 5.91 5.80 1.76 13.69 10.88 8.25 4.56
60 3.28 6.76 6.11 5. 52 5.63 2.98 6.71 6.14 5.37 5.33 1.77 10.43 8.58 7.07 4.91
100 3.12 5.99 5.65 5.28 5.32 3.07 6.21 5.87 5.43 5.40 1.79 8.63 7.50 6.62 5.15
R
ξ
2
20 3.44 10.93 8.64 6.92 6.21 3.39 11.13 8.86 6.71 5.57 2.27 20.51 13.05 7.34 3.07
40 3.02 7.76 6.71 5. 87 5.52 3.05 8.05 6.88 5.89 5.43 1.76 13.46 10.78 8.28 4.56
60 3.28 6.73 6.16 5. 56 5.37 2.98 6.65 6.12 5.40 4.90 1.77 10.29 8.62 7.15 4.88
100 3.12 5.91 5.63 5.30 5.17 3.07 6.17 5.87 5.47 5.22 1.79 8.61 7.48 6.62 5.13
R
α
2
20 4.08 9.89 8.16 6. 72 6.16 3.48 10.72 8.63 6.82 5.78 2.35 20.01 13.31 7.86 3.25
40 3.65 7.19 6.42 5. 72 5.56 3.12 7.78 6.86 5.95 5.46 1.85 13.20 10.47 8.07 4.48
60 3.80 6.36 5.87 5. 40 5.33 3.05 6.47 5.97 5.39 5.00 1.82 10.15 8.42 7.03 4.94
100 3.77 5.86 5.59 5.23 5.12 3.12 6.09 5.82 5.46 5.22 1.87 8.43 7.47 6.61 5.12
47
Tabela 3.7: “Melhores”estimadores segundo taxa de rejei¸c˜ao emp´ırica. Dados de M(0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influente. Parˆametro: ξ
1
.
ω 10
−4
10
−2
10
0
10
2
10
4
Mo delo n k 0.5 2 4 0.5 2 4 0.5 2 4 0.5 2 4 0.5 2 4
Completo 20 HC0 HC0 MQO HC0 HC0 MQO=HC0 HC3 HC3 HC4 MQO HC4 HC4 MQO HC3 HC4
40 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC3 HC3 HC4 HC3 HC4 HC4 HC3 HC4 HC4
60 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC3 HC3 HC4 HC3 HC4 HC4 HC3 HC4 HC4
100 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC4 HC3=HC4 HC4 H C3 HC4 HC4 HC3 HC4 HC4
R
ξ
2
20 HC0 HC0 MQO HC0 HC0 MQO=HC0 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4
40 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4
60 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC4 HC3 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4
100 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC3 HC3 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4
R
α
2
20 MQO HC0 MQO HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 MQO HC4 HC4 MQO HC4 HC4
40 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4
60 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4
100 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC3 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4
48
Tabela 3.8: Tax as de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes quasi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influ ente. Parˆametro: ξ
2
, ω = 10
−4
.
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 3.54 11.29 9.09 6.83 7.31 3.33 12.12 9.43 7.13 7.21 2.06 21.47 13.37 7.66 3.15
40 3.04 7.71 6.62 5. 75 5.93 2.97 8.17 7.00 5.85 5.84 1.79 14.32 11.17 8.61 5.01
60 3.01 6.48 5.85 5. 29 5.34 3.16 7.11 6.29 5.56 5.56 1.76 11.76 9.94 7.99 5.22
100 2.92 5.49 5.17 4.76 4.81 2.89 6.07 5.67 5.29 5.26 1.75 8.57 7.63 6.65 5.10
R
ξ
1
20 3.54 10.99 8.90 6.94 6.40 3.33 11.92 9.38 7.17 6.14 2.06 20.82 13.29 7.69 3.37
40 3.04 7.64 6.59 5. 82 5.51 2.97 8.10 7.01 5.90 5.47 1.79 14.13 11.15 8.61 5.00
60 3.01 6.41 5.89 5. 34 5.14 3.16 7.03 6.29 5.61 5.28 1.76 11.62 9.85 8.10 5.22
100 2.92 5.47 5.15 4.79 4.65 2.89 6.01 5.65 5.30 5.01 1.75 8.46 7.62 6.63 5.12
R
α
2
20 7.12 7.65 6.57 5. 70 6.37 8.57 7.52 6.53 5.79 6.45 16.18 7.36 6.46 5.63 5.34
40 6.64 5.84 5.30 4. 84 5.17 8.53 5.70 5.30 4.90 5.26 16.81 5.66 5.28 4.92 5.24
60 6.49 5.92 5.54 5. 16 5.45 8.48 5.66 5.33 5.08 5.33 16.67 5.69 5.41 5.09 5.34
100 6.16 5.26 4.97 4.81 4.90 8.25 5.15 4.95 4.79 4.93 16.09 5.00 4.91 4.76 4.91
49
Tabela 3.9: Tax as de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes quasi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influ ente. Parˆametro: ξ
2
, ω = 10
−2
.
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 3.47 11.07 8.96 6.88 7.28 3.30 12.08 9.36 7.08 7.17 1.96 21.32 13.66 7.89 3.30
40 2.95 7.52 6.58 5. 75 5.86 3.01 8.23 7.01 5.99 5.84 1.75 14.15 11.22 8.55 5.14
60 2.96 6.52 5.91 5. 33 5.40 3.08 7.10 6.28 5.62 5.53 1.73 11.74 9.86 8.19 5.22
100 2.88 5.63 5.21 4.79 4.86 2.89 6.11 5.70 5.26 5.20 1.70 8.79 7.62 6.75 5.14
R
ξ
1
20 3.47 10.79 8.93 6.97 6.29 3.30 11.82 9.31 7.14 6.31 1.96 20.70 13.35 7.82 3.48
40 2.95 7.43 6.58 5. 77 5.44 3.01 8.12 6.95 6.09 5.45 1.75 13.95 11.17 8.51 5.03
60 2.96 6.47 5.88 5. 34 5.18 3.08 7.05 6.31 5.67 5.17 1.73 11.57 9.81 8.23 5.17
100 2.88 5.60 5.21 4.83 4.70 2.89 6.07 5.71 5.31 5.08 1.70 8.70 7.60 6.74 5.15
R
α
2
20 6.88 7.56 6.60 5. 57 6.25 8.58 7.49 6.55 5.75 6.45 15.92 7.38 6.43 5.57 5.36
40 6.60 5.70 5.16 4. 74 5.02 8.28 5.64 5.25 4.89 5.18 16.56 5.67 5.26 4.93 5.20
60 6.39 5.79 5.43 5. 05 5.30 8.25 5.55 5.29 5.01 5.27 16.54 5.61 5.38 5.03 5.34
100 6.08 5.11 4.94 4.69 4.86 8.24 5.12 4.92 4.78 4.91 15.83 5.04 4.90 4.69 4.88
50
Tabela 3.10: Taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes qu asi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influente. Parˆametro: ξ
2
, ω = 1.
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC 0 HC2 HC3 H C 4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 0.61 9.29 7.40 5.65 6.13 0.61 9.86 7.90 5.94 6.17 0.53 13.85 9.83 6.59 3.33
40 0.49 6.79 5.77 4.78 4.96 0.68 7.41 6.39 5.46 5.48 0.71 10.31 8.28 6.52 4.57
60 0.61 6.36 5.76 5.20 5.33 0.69 6.46 5.82 5.28 5.28 0.59 8. 49 7.21 6.07 4.74
100 0.48 5.65 5.30 4. 96 5.05 0.63 5.74 5.30 4.90 4.88 0.57 7.28 6.41 5.85 4.78
R
ξ
1
20 0.61 8.93 7.30 5.83 5.36 0.61 9.62 7.94 6.22 5.52 0.53 13.62 9.95 6.71 3.52
40 0.49 6.63 5.69 4.88 4.66 0.68 7.29 6.46 5.63 5.16 0.71 10.19 8.24 6.57 4.66
60 0.61 6.28 5.72 5.28 5.15 0.69 6.47 5.82 5.32 5.10 0.59 8. 43 7.19 6.11 4.67
100 0.48 5.59 5.30 5. 03 4.91 0.63 5.67 5.33 4.94 4.75 0.57 7.23 6.47 5.88 4.73
R
α
2
20 1.95 2.64 2.02 1.45 1.54 2.64 3.68 3.02 2.31 2.78 9.59 4. 94 3.86 2.69 1.31
40 1.73 1.66 1.52 1.32 1.37 2.93 2.74 2.45 2.16 2.32 10.31 3.63 3.15 2.75 2.37
60 1.81 1.63 1.46 1.34 1.38 2.75 2.64 2.44 2.26 2.37 9.97 3. 53 3.22 2.87 2.76
100 1.68 1.53 1.38 1. 31 1.33 2.72 2.11 2.00 1.93 1.98 10.20 2.85 2.70 2.52 2.48
51
Tabela 3.11: Taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes qu asi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influ ente. Parˆametro: ξ
2
, ω = 100.
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC 0 HC2 HC3 H C 4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 0.00 1.05 0.28 0.08 0.09 0.00 0.57 0.10 0.01 0.01 0.04 0.00 0.00 0. 00 0.00
40 0.00 2.75 2.07 1.37 1.45 0.00 2.45 1.63 1.01 1.02 0.02 0.39 0.02 0.00 0.00
60 0.00 3.34 2.77 2.32 2.42 0.00 3.12 2.63 2.11 2.23 0.02 1.43 0.68 0.24 0.01
100 0.00 4.09 3.72 3.47 3.59 0.00 4.04 3.66 3.44 3.53 0. 02 2.68 2.28 1.92 1.30
R
ξ
1
20 0.00 0.86 0.32 0.11 0.08 0.00 0.44 0.12 0.02 0.01 0.04 0.00 0.00 0.00 0.00
40 0.00 2.56 2.04 1.39 1.30 0.00 2.27 1.64 1.15 0.92 0.02 0.33 0.03 0.00 0.00
60 0.00 3.13 2.82 2.46 2.39 0.00 2.98 2.66 2.19 2.08 0.02 1.42 0.60 0.25 0.01
100 0.00 3.99 3.77 3.55 3.59 0.00 3.93 3.68 3.51 3.53 0. 02 2.65 2.24 1.84 1.23
R
α
2
20 0.00 2.40 1.44 0.79 0.74 0.01 2.59 1.87 1.45 1.47 3.55 6.54 4.60 2.84 1.54
40 0.00 3.12 2.55 2.04 1.94 0.04 2.70 2.26 1.92 1.85 3.87 5.57 4.36 3.36 2.23
60 0.01 3.35 2.91 2.56 2.42 0.00 2.73 2.33 2.13 2.12 4.07 5.36 4.37 3.48 2.55
100 0.00 3.54 3.36 3.09 2.96 0.03 2.84 2.64 2.41 2.40 4. 10 5.26 4.55 3.91 3.11
52
Tabela 3.12: Taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes qu asi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influ ente. Parˆametro: ξ
2
, ω = 10
4
.
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC 0 HC2 HC3 H C 4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 0.00 0.19 0.00 0.00 0.00 0.00 0.03 0.00 0.00 0.00 0.04 0.00 0.00 0. 00 0.00
40 0.00 2.34 1.59 0.94 0.98 0.00 1.68 1.00 0.56 0.52 0.01 0.06 0.00 0.00 0.00
60 0.00 3.07 2.52 2.12 2.23 0.00 2.63 2.12 1.71 1.74 0.02 1.04 0.42 0.04 0.00
100 0.00 4.00 3.67 3.28 3.41 0.00 3.82 3.48 3.13 3.19 0. 03 2.37 1.86 1.44 0.93
R
ξ
1
20 0.00 0.13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.03 0.00 0.00 0.00 0.04 0.00 0.00 0.00 0.00
40 0.00 2.15 1.55 1.04 0.92 0.00 1.42 1.01 0.62 0.39 0.01 0.06 0.00 0.00 0.00
60 0.00 2.87 2.53 2.27 2.20 0.00 2.53 2.15 1.75 1.62 0.02 0.99 0.38 0.04 0.00
100 0.00 3.88 3.63 3.43 3.50 0.00 3.74 3.49 3.22 3.23 0. 03 2.25 1.84 1.44 0.85
R
α
2
20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 3.37 0.00 0.00 0.00 0.00
40 0.01 1.09 0.55 0.21 0.20 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 3.66 0.06 0.03 0.02 0.01
60 0.00 2.33 1.85 1.36 1.23 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3.72 1.87 1.06 0.61 0.22
100 0.00 3.46 3.19 2.89 2.71 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 3. 77 4.53 3.58 2.80 1.87
53
Tabela 3.13: “Melhores”estimadores segundo taxa de rejei¸c˜ao emp´ırica. Dados de M(0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influente. Parˆametro: ξ
2
.
ω 10
−4
10
−2
10
0
10
2
10
4
Mo delo n k 0.5 2 4 0.5 2 4 0.5 2 4 0.5 2 4 0.5 2 4
Completo 20 MQO MQO HC4 MQO MQO HC4 HC3 HC3 HC3 HC0 HC0 MQO HC0 HC 0 MQO
40 HC3 HC4/HC3 HC4 HC3 HC4 HC4 HC4 HC3 HC4 HC0 HC0 HC0 HC0 H C0 HC0
60 HC3 HC3=HC4 HC4 HC3 HC4 HC4 HC3 HC3=HC4 HC4 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0
100 HC2 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC3/HC4 HC3 HC4 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0
R
ξ
1
20 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC0 HC0 MQO HC0 HC0 MQO
40 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC3 HC4 HC4 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0
60 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0
100 HC2 HC4 HC4 HC3 HC4 HC4 HC3 HC3 HC4 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0
R
α
2
20 HC3 HC3 HC4 HC3 HC3 HC4 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC2 MQO MQO MQO
40 HC3 HC3 HC3 HC4 HC3 HC3 MQO MQO HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 MQO MQO
60 HC3/HC4 HC3 HC3 HC3 HC3 HC3 MQO MQO HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 MQO MQO
100 HC2 HC2 HC0 HC2 HC2/HC4 HC0 MQO MQO HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 MQO HC0
54
Na tabela 3.7 observa-se que para o parˆametro ξ
1
, no caso em que ω < 1, as taxas de
rejei¸c˜ao emp´ıricas mais pr´oximas de 5% s˜ao aquelas obtidas quando se emprega o estimador
HC0 como estimador da matriz de variˆancias e covariˆancias; este mesmo comportamento ´e
verificado para os modelos R
ξ
2
e R
α
2
. Quando ω > 1, as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas mais
pr´oximas de 5% s˜ao aquelas do teste que usa o estimador HC4 como estimador da matriz
de variˆancias e covariˆancias, exceto no caso em que o parˆametro de concentra¸c˜ao k ´e igual
a 0.5, quando as melhores taxas s˜ao aquelas do teste HC3. Para os modelos R
ξ
2
e R
α
2
, o
melhor teste ´e o que se baseia em HC4. No caso de homoscedasticidade (ω = 1), observa-se
que para o modelo completo as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas mais pr´oximas de 5% s˜ao as do
teste HC3 quando os parˆametros de concentra¸c˜ao s˜ao k = 0.5 e 2; para k = 4, o melhor
teste ´e o que se baseia em HC4. Para o modelo R
ξ
2
as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas mais
pr´oximas de 5% s˜ao as do teste HC4, exceto para k = 2 e tamanhos de amostra n = 60 e
100, quando s˜ao as do teste HC3 e para o modelo R
α
2
s˜ao as d o teste HC0.
Nas tabelas 3.8 a 3.12 s˜ao apresentadas as probabilidades de rejei¸c˜ao emp´ıricas de
H
0
: ξ
2
= 0 correspondentes aos testes baseados nos diferentes estimadores da matriz de
variˆancias e covariˆancias dos estimadores dos parˆametros do modelo de regress˜ao. Al´em
disso, s˜ao apresentadas as taxas de r ejei¸c˜ao quando s˜ao estimados os m odelos completo e
restritos, R
ξ
1
e R
α
2
. Na tabela 3.13 ´e apresentado um resu mo das tabelas 3.8 at´e 3.12;
naquela tabela s˜ao listados os estimadores da matriz de variˆancias e covariˆancias que se
revelaram mais confi´aveis no qu e diz respeito `as distor¸c˜oes de tamanho dos testes asso ciados.
Estes r esultados foram obtidos para diferentes graus de heteroscedasticidade (ω), valores
do parˆametro de concentra¸c˜ao, tamanhos de amostras e ˆangulo correspondente ao ponto
55
influente.
No caso do modelo completo e quando ω = 1/10000, observa-se que quando k = 4
as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas mais pr ´oximas de 5% s˜ao aquelas obtidas quando se empr ega
o estimador HC4 como estimador da matriz d e variˆancias e covariˆancias; quando k = 0.5 e
2 n˜ao ´e poss´ıvel identificar um estimador como o melhor. Um fato muito similar acontece
quando ω = 1/100, s´o que aqui o melhor teste ´e o baseado no estimador HC4 quando
k = 2 e 4; para k = 0.5, ´e dif´ıcil identificar um ´unico estimador como o melhor. Para o
modelo R
ξ
1
, quando ω < 1 observa-se que as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas mais pr´oximas de
5% s˜ao aquelas obtidas quand o se emprega o estimador HC4 como estimador da matriz de
variˆancias e covariˆancias, enquanto qu e para o modelo R
α
2
o teste baseado no estimador
HC3 ´e o melhor, com poucas exce¸c˜oes (j´a que n˜ao h´a uma “u niformidade”na escolha do
melhor teste). Para o caso em que ω > 1, observa-se que as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas
mais pr´oximas de 5% s˜ao as do teste HC0; este comportamento ´e verificado para quase
todos os modelos, exceto o modelo R
α
2
quando ω = 10000, caso em que, para k = 2 e 4, o
teste baseado no EMQO ´e o melhor. Quando h ´a homoscedasticidade, observa-se que para o
modelo completo e no caso em que k = 0.5 e 2, as melhores taxas de rejei¸c˜ao s˜ao as do teste
HC3 e no caso em que k = 4 o teste baseado no estimador HC4 ´e o melhor. Para o modelo
R
ξ
1
, quando k = 2 e 4, as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas mais pr´oximas de 5% s˜ao aquelas
obtidas quando se emprega o estimador HC4 como estimador da matriz de variˆancias e
covariˆancias, enquanto que para k = 0.5 n˜ao ´e poss´ıvel identificar um s´o estimador como
sendo o melhor. Par a o mod elo R
α
2
e quando k = 0.5 e 2, o teste mais confi´avel ´e aquele
que usa EMQO e para k = 4 o teste baseado no estimador HC0 ´e o melhor.
56
Tabela 3.14: Taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes qu asi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influ ente. Parˆametro: α
2
, ω = 10
−4
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 0.50 11.14 8.01 5.17 5.32 0.58 12.84 8.87 5.74 5.41 0.65 27.07 10.76 4.47 1.14
40 0.72 8.55 7.36 5. 95 5.92 0.66 9.31 7.62 6.36 6.06 0.81 18.62 13.57 9.13 3.38
60 0.71 6.99 6.16 5. 40 5.39 0.85 8.09 7.20 6.22 6.08 0.81 14.16 11.40 8.65 5.05
100 0.66 6.24 5.83 5.37 5.37 0.77 6.92 6.49 5.90 5.81 0.95 10.60 8.94 7.63 5.30
R
ξ
1
20 0.64 11.01 8.00 5.54 4.36 0.61 12.78 9.37 6.02 4.22 0.69 27.21 9.13 3.30 1.32
40 0.91 8.56 7.33 6. 16 5.43 0.66 9.06 7.65 6.49 5.39 0.86 19.41 13.94 8.85 2.56
60 0.89 7.14 6.30 5. 60 5.03 0.88 8.14 7.17 6.33 5.60 0.87 14.58 11.58 8.95 4.83
100 0.85 6.54 6.07 5.44 5.13 0.81 6.88 6.42 5.97 5.42 0.99 10.73 9.18 7.84 5.43
R
ξ
2
20 1.63 7.08 6.24 5. 46 6.22 2.94 6.87 6.02 5.46 6.15 11.18 7.48 6.55 5.58 5.17
40 2.24 5.85 5.45 5. 18 5.51 3.36 5.77 5.38 5.02 5.44 12.09 5.61 5.15 4.81 5.10
60 2.07 5.35 5.18 4. 95 5.21 3.43 5.82 5.61 5.36 5.66 12.02 5.46 5.22 4.99 5.23
100 1.96 4.98 4.85 4.68 4.86 3.39 5.00 4.92 4.82 4.94 11.92 5.06 4.88 4.78 4.88
57
Tabela 3.15: Taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes qu asi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influ ente. Parˆametro: α
2
, ω = 10
−2
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 0.50 10.88 7.72 4.95 5.10 0.60 12.67 9.02 6.01 5.83 0. 6 26.12 11.92 5.07 1.41
40 0.68 8.49 7.12 6. 00 5.95 0.72 9.25 7.63 6.53 6.24 0.86 18.31 13.45 9.07 3.51
60 0.71 7.07 6.16 5. 38 5.31 0.85 8.12 7.19 6.20 6.00 0.80 14.10 11.37 8.82 5.03
100 0.66 6.29 5.92 5.45 5.39 0.81 6.86 6.36 5.89 5.75 0.98 10.30 8.91 7.58 5.35
R
ξ
1
20 0.67 10.89 7.70 5.40 4.23 0.64 12.45 9.14 6.37 4.53 0.64 26.48 10.56 4.36 1.39
40 0.91 8.53 7.14 6. 03 5.34 0.73 9.03 7.57 6.53 5.51 0.90 18.94 13.53 9.11 2.95
60 0.90 7.04 6.36 5. 69 5.21 0.86 8.06 7.21 6.32 5.53 0.83 14.54 11.59 9.00 4.90
100 0.86 6.29 5.94 5.59 5.30 0.86 6.82 6.39 5.94 5.43 1.00 10.57 9.06 7.78 5.48
R
ξ
2
20 1.65 6.98 6.18 5. 40 6.21 2.89 6.89 6.04 5.38 6.25 11.41 7.54 6.46 5.49 5.20
40 2.29 5.90 5.44 5. 13 5.48 3.41 5.57 5.15 4.87 5.26 11.99 5.48 5.07 4.66 5.02
60 2.01 5.33 5.08 4. 85 5.10 3.31 5.89 5.68 5.43 5.71 11.94 5.39 5.22 4.97 5.20
100 2.02 5.04 4.91 4.71 4.91 3.43 5.09 4.94 4.82 4.95 11.77 5.03 4.93 4.82 4.93
58
Tabela 3.16: Taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes qu asi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´u nico ponto influente. Parˆametro: α
2
, ω = 1
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC 0 HC2 HC3 H C 4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 0.59 9.53 7.37 5.55 5.98 0.56 9.97 7.85 5.88 6.06 0.48 14.41 10.33 6.93 3.61
40 0.59 7.24 6.20 5.30 5.52 0.69 7.50 6.33 5.51 5.55 0.53 10.09 8.15 6.72 4.50
60 0.67 6.14 5.63 4.94 5.04 0.57 6.72 6.02 5.43 5.50 0.50 8. 67 7.45 6.35 4.75
100 0.59 5.62 5.26 4. 92 5.00 0.69 6.31 5.89 5.56 5.57 0.62 7.16 6.43 5.76 4.86
R
ξ
1
20 0.72 8.47 6.86 5.50 5.09 0.57 9.37 7.64 6.03 5.40 0.55 14.28 10.56 7.23 3.74
40 0.77 6.64 5.74 5.04 4.93 0.70 7.29 6.44 5.64 5.15 0.59 10.11 8.24 6.67 4.49
60 0.82 5.82 5.43 4.94 4.79 0.59 6.56 5.95 5.41 5.15 0.51 8. 40 7.33 6.25 4.78
100 0.81 5.71 5.42 5. 08 5.07 0.72 6.32 5.99 5.62 5.51 0.67 7.19 6.63 5.92 4.99
R
ξ
2
20 1.50 7.12 6.18 5.10 5.80 2.79 7.27 6.31 5.41 6.24 9.45 7. 15 6.18 5.27 4.73
40 1.57 5.92 5.38 4.91 5.22 2.82 5.56 5.20 4.76 5.16 10.19 5.35 4.89 4.52 4.57
60 1.77 5.41 5.14 4.83 5.03 2.78 5.44 5.26 4.93 5.21 10.34 5.39 5.11 4.79 4.90
100 1.85 4.95 4.74 4. 56 4.70 3.17 5.13 4.96 4.83 4.94 10.17 5.03 4.76 4.57 4.64
59
Tabela 3.17: Taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes qu asi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influ ente. Parˆametro: α
2
, ω = 100
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC 0 HC2 HC3 H C 4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 0.36 5.49 3.31 1.71 1.94 0.24 4.46 2.35 0.98 0.79 0.18 0.13 0.00 0. 00 0.00
40 0.46 5.39 4.55 3.75 4.08 0.27 5.11 4.13 3.48 3.69 0.24 1.33 0.25 0.02 0.00
60 0.50 5.35 4.78 4.39 4.59 0.38 4.83 4.38 3.84 4.06 0.31 2.43 1.61 0.92 0.17
100 0.47 5.02 4.68 4.44 4.58 0.40 5.15 4.85 4.60 4.78 0. 26 3.68 3.32 2.87 2.21
R
ξ
1
20 0.52 4.84 3.29 2.05 1.58 0.25 3.93 2.40 1.21 0.33 0.21 0.12 0.00 0.00 0.00
40 0.65 5.30 4.78 4.20 4.36 0.28 4.72 4.17 3.70 3.65 0.25 1.34 0.28 0.01 0.00
60 0.67 4.86 4.61 4.30 4.46 0.38 4.89 4.54 4.19 4.29 0.33 2.51 1.66 1.02 0.16
100 0.62 4.74 4.61 4.44 4.55 0.42 5.29 5.11 4.93 5.00 0. 26 3.72 3.29 2.87 2.32
R
ξ
2
20 1.34 6.75 5.23 4.07 4.38 1.92 5.83 4.57 3.50 4.19 7.67 5.02 3.67 2.36 1.57
40 1.48 5.87 5.22 4.51 4.79 2.03 5.56 4.85 4.20 4.60 8.05 4.89 4.22 3.55 3.15
60 1.59 5.89 5.49 4.83 4.97 1.99 5.23 4.86 4.44 4.70 8.26 5.10 4.73 4.36 3.98
100 1.50 5.16 4.88 4.68 4.75 2.32 5.28 5.06 4.88 4.96 8. 30 4.88 4.57 4.27 4.13
60
Tabela 3.18: Taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes qu asi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´unico ponto influ ente. Parˆametro: α
2
, ω = 10
4
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC 0 HC2 HC3 H C 4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 0.39 5.43 3.19 1.49 1.59 0.22 4.14 1.92 0.67 0.46 0.14 0.00 0.00 0. 00 0.00
40 0.46 5.48 4.56 3.80 4.09 0.26 5.13 4.14 3.29 3.58 0.25 1.10 0.10 0.00 0.00
60 0.50 5.40 4.83 4.21 4.63 0.38 4.84 4.33 3.76 3.94 0.32 2.22 1.46 0.71 0.02
100 0.48 5.06 4.75 4.50 4.67 0.42 4.94 4.71 4.47 4.61 0. 23 3.25 2.89 2.51 2.11
R
ξ
1
20 0.53 4.89 3.38 1.92 1.41 0.24 3.66 2.06 0.88 0.07 0.17 0.00 0.00 0.00 0.00
40 0.58 5.35 4.77 4.29 4.38 0.28 4.75 4.10 3.51 3.44 0.30 1.16 0.11 0.00 0.00
60 0.59 4.98 4.64 4.34 4.44 0.38 4.77 4.38 4.11 4.20 0.32 2.22 1.49 0.79 0.02
100 0.63 4.52 4.39 4.22 4.29 0.47 5.01 4.83 4.67 4.79 0. 24 3.42 2.96 2.65 2.09
R
ξ
2
20 1.31 6.78 5.25 4.01 4.31 1.86 5.52 4.19 3.15 3.72 7.62 4.35 2.89 1.80 1.04
40 1.38 5.95 5.29 4.63 4.74 2.05 5.56 5.14 4.42 4.91 7.92 4.87 4.25 3.43 3.01
60 1.57 5.81 5.29 4.86 4.93 2.09 5.17 4.82 4.35 4.69 8.12 5.18 4.63 4.19 3.69
100 1.50 5.04 4.77 4.54 4.62 2.25 5.23 4.98 4.76 4.93 8. 33 4.98 4.77 4.47 4.15
61
Tabela 3.19: “Melhores”estimadores segundo taxa de rejei¸c˜ao emp´ırica. Dados de M(0, k).
N˜ao se garante que h´a apenas um ´u nico ponto influente. Parˆametro: α
2
.
ω 10
−4
10
−2
10
0
10
2
10
4
Mo delo n k 0.5 2 4 0.5 2 4 0.5 2 4 0.5 2 4 0.5 2 4
Completo 20 HC3 HC4 HC3 HC3 HC4 HC3 HC3 HC3 HC4 HC0 HC0 MQO HC0 HC0 MQO
40 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 H C3 HC3 HC4 HC0 HC0 HC0 HC2 HC0 HC0
60 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 H C4 HC3 HC4 HC2 HC0 HC0 HC2 HC0 HC0
100 HC3 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC3 HC4 HC0 HC0=HC2 HC0 HC0 HC 0 HC0
R
ξ
1
20 HC3 HC4 HC3 HC3 HC4 HC3 H C4 HC4 HC4 HC0 HC0 MQO HC0 HC0 MQO
40 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 H C3 HC4 HC4 HC2 HC0 HC0 HC2 HC0 HC0
60 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 H C3 HC4 HC4 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0 HC0
100 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4 HC4/HC3 HC4 HC4 HC0 HC4 HC0 HC0 HC0 HC0
R
ξ
2
20 HC3 HC3 HC4 HC3 HC3 HC4 H C3 HC3 HC3=HC4 HC2 H C 2 HC 0 HC2 HC0 HC0
40 HC3 HC3 HC4 HC3 HC3 HC4 H C3 HC4 HC2 HC4/HC2 HC2 HC0 HC4 HC4 HC0
60 HC3 HC3 HC3 HC2 HC3 HC3 H C4 HC3 HC4 HC4 HC2 HC0 HC4 HC0/HC2 HC0
100 HC0 HC0 HC0 HC0 HC4/HC2 HC0 HC0 HC2 HC0 HC2 HC4 HC0 HC0 HC2 HC0
62
Tabela 3.20: Taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes qu asi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
Garantindo que h´a um ´unico ponto influente. Parˆametro: ξ
1
, ω = 10
−4
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC 0 HC2 HC3 H C 4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 0.00 2.23 0.39 0.00 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0. 00 0.00
40 0.00 3.97 2.81 1.98 1.91 0.00 1.80 1.09 0.61 0.50 0.01 0.14 0.00 0.00 0.00
60 0.01 4.42 3.91 3.18 3.22 0.00 3.03 2.40 1.99 2.03 0.03 1.27 0.54 0.07 0.00
100 0.01 4.60 4.26 3.96 4.00 0.00 3.62 3.42 3.20 3.26 0. 01 2.58 2.10 1.69 1.16
R
ξ
2
20 0.00 1.86 0.37 0.00 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
40 0.00 3.68 2.82 2.17 1.71 0.00 1.59 1.03 0.65 0.27 0.01 0.10 0.00 0.00 0.00
60 0.01 4.24 3.84 3.40 3.29 0.00 2.87 2.52 2.07 1.87 0.03 1.17 0.44 0.07 0.00
100 0.01 4.48 4.26 4.04 4.11 0.00 3.57 3.40 3.15 3.15 0. 01 2.50 2.07 1.63 1.16
R
α
2
20 0.00 1.11 0.04 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
40 0.00 3.18 2.24 1.56 1.02 0.00 1.66 0.98 0.54 0.21 0.02 0.12 0.00 0.00 0.00
60 0.03 3.90 3.41 2.74 2.50 0.00 3.00 2.50 2.01 1.76 0.03 1.13 0.44 0.05 0.00
100 0.02 4.44 4.16 3.79 3.74 0.00 3.80 3.50 3.21 3.14 0. 01 2.54 2.05 1.72 1.11
63
Tabela 3.21: Taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes qu asi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
Garantindo que h´a um ´unico ponto influente. Parˆametro: ξ
2
, ω = 10
−4
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 2.53 11.01 8.50 6.50 6.59 3.33 12.12 9.43 7.13 7.21 2.06 21.47 13.37 7.66 3.15
40 2.01 7.69 6.59 5. 67 5.72 2.97 8.17 7.00 5.85 5.84 1.79 14.32 11.17 8.61 5.01
60 2.02 6.75 6.16 5. 41 5.39 3.16 7.11 6.29 5.56 5.56 1.76 11.76 9.94 7.99 5.22
100 2.03 5.88 5.43 5.04 5.02 2.89 6.07 5.67 5.29 5.26 1.75 8.57 7.63 6.65 5.10
R
ξ
1
20 2.53 10.56 8.46 6.66 6.07 3.33 11.92 9.38 7.17 6.14 2.06 20.82 13.29 7.69 3.37
40 2.01 7.46 6.62 5. 73 5.43 2.97 8.10 7.01 5.90 5.47 1.79 14.13 11.15 8.61 5.00
60 2.02 6.69 6.15 5. 49 5.21 3.16 7.03 6.29 5.61 5.28 1.76 11.62 9.85 8.10 5.22
100 2.03 5.80 5.45 5.07 4.95 2.89 6.01 5.65 5.30 5.01 1.75 8.46 7.62 6.63 5.12
R
α
2
20 6.29 8.24 6.83 5. 80 6.15 8.57 7.52 6.53 5.79 6.45 16.18 7.36 6.46 5.63 5.34
40 6.06 6.05 5.48 4. 93 5.18 8.53 5.70 5.30 4.90 5.26 16.81 5.66 5.28 4.92 5.24
60 5.93 5.91 5.48 5. 00 5.27 8.48 5.66 5.33 5.08 5.33 16.67 5.69 5.41 5.09 5.34
100 5.83 5.46 5.22 4.91 5.02 8.25 5.15 4.95 4.79 4.93 16.09 5.00 4.91 4.76 4.91
64
Tabela 3.22: Taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas de testes qu asi-t, α = 5%. Dados de M (0, k).
Garantindo que h´a um ´unico ponto influente. Parˆametro: α
2
, ω = 10
−4
k 0.5 2 4
Mo delo n MQO HC 0 HC2 HC3 H C 4 MQO HC0 HC2 H C3 HC4 MQO HC0 HC2 HC3 HC4
Completo 20 0.07 8.64 5.45 3.03 3.02 0.58 12.84 8.87 5.74 5.41 0.65 27.07 10.76 4.47 1.14
40 0.15 8.03 6.59 5.41 5.14 0.66 9.31 7.62 6.36 6.06 0.81 18.62 13.57 9.13 3.38
60 0.21 6.77 6.02 5.27 5.03 0.85 8.09 7.20 6.22 6.08 0.81 14.16 11.40 8.65 5.05
100 0.23 6.65 6. 19 5.52 5.35 0.77 6.92 6.49 5.90 5.81 0.95 10.60 8.94 7.63 5.30
R
ξ
1
20 0.18 7.90 5.29 3.27 2.65 0.61 12.78 9.37 6.02 4.22 0.69 27.21 9.13 3.30 1.32
40 0.22 7.71 6.51 5.41 4.46 0.66 9.06 7.65 6.49 5.39 0.86 19.41 13.94 8.85 2.56
60 0.35 6.93 6.15 5.45 4.61 0.88 8.14 7.17 6.33 5.60 0.87 14.58 11.58 8.95 4.83
100 0.33 6.41 5. 90 5.55 5.10 0.81 6.88 6.42 5.97 5.42 0.99 10.73 9.18 7.84 5.43
R
ξ
2
20 0.91 6.90 5.99 5.01 5.80 2.94 6.87 6.02 5.46 6.15 11.18 7.48 6.55 5.58 5.17
40 1.14 5.68 5.18 4.69 5.18 3.36 5.77 5.38 5.02 5.44 12.09 5.61 5.15 4.81 5.10
60 1.16 5.34 5.03 4.65 5.03 3.43 5.82 5.61 5.36 5.66 12.02 5.46 5.22 4.99 5.23
100 1.24 5.03 4. 88 4.74 4.92 3.39 5.00 4.92 4.82 4.94 11.92 5.06 4.88 4.78 4.88
65
Nas tabelas 3.14 a 3.18 s˜ao apresentadas as probabilidades de rejei¸c˜ao emp´ıricas de
H
0
: α
2
= 0 correspondentes aos testes baseados nos diferentes estimadores da matriz de
variˆancias e covariˆancias dos estimadores dos parˆametros d o modelo de regress˜ao. S˜ao ainda
apresentadas as taxas de rejei¸c˜ao quando s˜ao estimados os modelos completo e restritos,
R
ξ
1
e R
ξ
2
. Na tabela 3.19 ´e apr esentado um resumo das tabelas 3.14 at´e 3.18; nesta
tabela s˜ao listados os estimadores da matriz de variˆancias e covariˆancias que se revelaram
mais confi´aveis no que diz respeito `as distor¸c˜oes de tamanho dos testes associados. Estes
resultados foram obtidos para diferentes graus de heteros cedasticaidade (ω), valores do
parˆametro de concentra¸c˜ao e tamanhos de amostras.
Quando ω < 1 nos modelos completo e R
ξ
1
observa-se que as taxas de rejei¸c˜ao
emp´ıricas mais pr´oximas de 5% s˜ao aquelas obtidas quando se emprega o estimador HC4
como estimador da matriz de variˆancias e covariˆancias, havendo poucas exce¸c˜oes, por exem-
plo, quando o tamanho d e amostra ´e n = 20, onde o teste HC3 ´e s uperior aos demais. Para
ω > 1 nos modelos com pleto e R
ξ
1
observa-se que as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas mais
pr´oximas de 5% s˜ao aquelas obtidas quand o se emprega o estimador HC0 como estimador
da matriz de variˆancias e covariˆancias (com poucas exce¸c˜oes) e para o modelo R
ξ
2
observa-se
que, para k = 4, o teste baseado no estimador HC0 ´e o melhor, enquanto que para k = 0.5
e 2, ´e dif´ıcil apontar um s´o estimador como sendo o melhor. No caso de homoscedastici-
dade, observa-se que os melhores testes s˜ao os baseados nos estimadores HC3 e HC4 para
os diferentes modelos. Para o modelo completo, quando k = 0.5 e 2 o teste baseado n o
estimador HC3 ´e o m elhor enquanto que para k = 4 o teste mais confi´avel ´e aquele que usa
HC4; para o modelo R
ξ
1
quando k = 2 e 4 as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas mais pr´oximas de
66
5% s˜ao aquelas obtidas quand o se emprega o estimador HC4 como estimador da matriz de
variˆancias e covariˆancias, enquanto que para k = 0.5, da mesma forma que no modelo R
ξ
2
,
´e dif´ıcil apontar um s´o estimador.
Nesta segunda parte, consideramos o caso em qu e o n-´esimo ponto (θ
n
) est´a numa
regi˜ao afastada da dir e¸c˜ao m´edia dos n − 1 pontos, de tal forma que se pode garantir que
este ponto ´e o ´unico ponto influente. O processo ´e realizad o da seguinte forma: ao gerar os
n − 1 pontos (lembre que sempre h´a dois valores que s˜ao fixados, θ
0
= 0 e θ
n
), calcula-se
h
ii
(i-´esimo elemento diagonal da matriz H), este valor ´e comparado com
8
n
,
2p
n
, de tal
forma que para os h
ii
, i = 2, . . . , n − 1, valham:
1. h
ii
<
8
n
;
2. h
ii
< h
nn
;
e, para i = 1, 2, . . . , n,
3. h
ii
= h
(i+n)(i+n)
;
4. h
ii
=
2(1−
s
2
−c
i
c)
n(1−s
2
−c
2
)
;
onde
c =
1
n
n
i=1
cosθ
i
e
s =
1
n
n
i=1
senθ
i
, c
i
= cosθ
i
. Caso exista algum θ
i
que n˜ao
satisfa¸ca as condi¸c˜oes (1) e (2), este ´e desprezado e se gera um novo θ
i
a partir da distribui¸c˜ao
von Mises. Assim, garantimos que o ´unico valor que n˜ao cumpre a condi¸c˜ao (1) ´e o n-´esimo
(θ
n
), que ´e o ponto que est´a fixado (n a dire¸c˜ao 180
◦
).
Nas tabelas 3.20 a 3.22 apresentamos resultados que foram obtidos usando o mesmo
ˆangulo do ponto influente, os mesmos parˆametros de concentra¸c˜ao e grau de heteroscedasti-
cidade (ω = 1/10000) das tabelas anteriores, com a diferen¸ca do ˆan gulo do ponto influ ente
67
j´a explicado, i.e., garantindo-se que h´a um ´unico ponto influente.
Os resultados de simula¸c˜ao mostraram que s´o foi necess´ario fazer trˆes mudan¸cas d e
pontos quando o tamanho de amostra ´e n = 20; para os outros tamanhos de amostra n˜ao
houve mudan¸cas de valores. Este fato possivelmente explica o resultado de que quando
o parˆametro de concentr a¸c˜ao ´e k = 0.5, as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas s˜ao diferentes das
obtidas no caso em que n˜ao se tem garantia de que h ´a um ´unico ponto influente. Para os
parˆametros de concentra¸c˜ao k = 2 e 4, as taxas de rejei¸c˜ao s˜ao iguais `as obtidas anterior-
mente.
Podemos comparar a tabela 3.2 com a tabela 3.20, que fornece as taxas de rejei¸c˜ao
emp´ıricas d e testes quasi-t para o parˆametro ξ
1
, a tabela 3.8 com a tabela 3.21, para o
parˆametro ξ
2
, e a tabela 3.14 com a tabela 3.22, para o parˆametro α
2
. C omo mencionado
anteriormente, para k = 0.5 as taxas de rejei¸c˜ao s˜ao diferentes, mas n˜ao podemos afirmar
que tais valores ficaram mais perto do n´ıvel nominal (5%) ou, ao contr´ario, que s ˜ao valores
mais afastados.
3.4 Medidas descritivas da distribui¸c˜ao emp´ırica das
estat´ısticas de teste
Nas tabelas 3.23 a 3.37 s˜ao apresentadas a m´edia, a mediana, o desvio-padr˜ao, a
assimetria e a curtose d as distribui¸c˜oes emp r´ıricas das estat´ısticas de teste (τ) baseadas
nos estimadores HC0, HC2, HC3 e HC4. S˜ao considerados fatores tais como tamanho de
amostra, parˆametro de concentra¸c˜ao (k) e grau de heteroscedasticidade (ω), atrav´es dos
diferentes modelos, ou seja, o modelo completo e os modelos restritos (R
ξ
1
, R
ξ
2
e R
α
2
).
68
Tabela 3.23: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro ξ
1
, com k = 0.5 e n = 40.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
M´edia HC0 −0.095 −0.094 −0.044 −0.095 −0.095 −0. 008 −0.061 −0.061 −0.052
HC2 −0.091 −0.092 −0.042 −0.091 −0.091 −0. 007 −0.059 −0.059 −0.05
HC3 −0.088 −0.089 −0.04 −0.088 − 0.088 −0.006 −0.056 −0.057 −0.049
HC4 −0.089 −0.09 −0.04 −0.089 −0.087 −0.004 −0.057 −0.056 −0.048
Mediana HC0 −0.104 −0.103 −0.068 −0.099 −0. 098 −0.046 −0.041 −0.041 −0.038
HC2 −0.101 0.000 −0.066 −0.095 −0.095 −0.044 −0.039 −0.039 −0.037
HC3 −0.098 −0.099 −0.064 −0.091 −0.092 −0. 042 −0.038 −0.038 −0.035
HC4 −0.100 −0.101 −0.064 −0.092 −0.091 −0. 041 −0.038 −0.037 −0.035
Desvio− HC0 0.932 0.922 0.921 1.081 1.075 0.752 1.11 1.106 1.093
padr˜ao HC2 0.898 0.899 0.891 1.040 1.040 0.721 1. 068 1.067 1.061
HC3 0.866 0.875 0.862 1.001 1.006 0.692 1.027 1.029 1.028
HC4 0.876 0.876 0.858 1.010 0.996 0.672 1.033 1.014 1.017
Assimetria HC0 0.038 0.037 0.074 −0.021 −0.018 0. 337 − 0.032 −0.032 −0.011
HC2 0.040 0.039 0.075 −0.021 −0.019 0.346 −0.032 −0.031 −0.011
HC3 0.041 0.041 0.077 −0.021 −0.019 0.355 −0.032 −0.031 −0.01
HC4 0.044 0.046 0.081 −0.022 −0.020 0.370 −0.031 −0.030 −0.009
Curtose HC0 2.379 2.386 2.324 3.208 3.201 3.278 3.231 3. 228 3.193
HC2 2.361 2.358 2.302 3.223 3.217 3.294 3.245 3.243 3.206
HC3 2.342 2.330 2.280 3.238 3.234 3.311 3.261 3.259 3.220
HC4 2.316 2.276 2.229 3.257 3.271 3.344 3.279 3.294 3.249
69
Tabela 3.24: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro ξ
1
, com k = 2 e n = 40.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
M´edia HC0 0.026 0.026 0.021 −0.032 −0.031 0.022 −0.05 −0.05 −0.048
HC2 0.025 0.025 0.020 −0.03 −0.03 0.022 −0.048 −0.048 −0.046
HC3 0.024 0.025 0.020 −0.029 −0.029 0.022 −0.046 −0.046 −0.044
HC4 0.024 0.025 0.021 −0.029 −0.028 0.023 −0.046 −0.045 −0.043
Mediana HC0 0.022 0.021 0.017 −0.027 −0.027 −0.026 −0.044 −0.044 −0.037
HC2 0.021 0.021 0.016 −0.026 −0.026 − 0.024 −0.042 −0.042 −0.036
HC3 0.021 0.021 0.016 −0.025 −0.025 − 0.023 −0.04 −0.04 −0.035
HC4 0.021 0.021 0.016 −0.025 −0.025 − 0.022 −0.04 −0.039 −0.034
Desvio− HC0 0.913 0.905 0.917 1.079 1.073 0.745 1.124 1. 12 1.112
padr˜ao HC2 0.881 0.881 0.887 1.037 1.037 0.712 1.078 1.077 1.074
HC3 0.848 0.857 0.857 0.996 1.000 0.679 1.033 1.036 1.037
HC4 0.855 0.852 0.849 0.998 0.981 0.648 1.032 1.008 1.011
Assimetria HC0 −0.015 −0.013 0.014 −0.002 0.000 0.409 −0.032 −0.033 −0.024
HC2 −0.015 −0.013 0.015 −0.002 0.000 0.421 −0.033 −0.033 −0.024
HC3 −0.015 −0.013 0.015 −0.002 −0.001 0.434 −0.033 −0.034 −0.024
HC4 −0.015 −0.013 0.017 −0.002 −0.001 0.462 −0.034 −0.035 −0.025
Curtose HC0 2.399 2.400 2. 360 3.221 3.219 3.411 3.255 3.256 3.248
HC2 2.372 2.365 2.330 3.237 3.236 3.442 3.273 3.274 3.265
HC3 2.345 2.329 2.299 3.254 3.256 3.475 3.291 3.293 3.285
HC4 2.306 2.252 2.222 3.278 3.304 3.551 3.316 3.340 3.331
70
Tabela 3.25: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro ξ
1
, com k = 4 e n = 40.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
M´edia HC0 0.039 0.04 0.037 −0.008 −0.008 0.099 −0.05 −0.05 −0.042
HC2 0.037 0.037 0.035 −0.007 −0.007 0.095 −0.046 −0.046 −0.038
HC3 0.034 0.035 0.034 −0.006 −0.006 0.089 −0.042 −0.042 −0.034
HC4 0.030 0.030 0.033 −0.005 −0.005 0.078 −0.034 −0.034 −0.027
Mediana HC0 0.038 0.038 0.035 −0.009 −0.009 −0.004 −0.042 −0.041 −0.036
HC2 0.037 0.037 0.035 −0.008 −0.008 −0.004 −0.038 −0.038 −0.033
HC3 0.036 0.036 0.034 −0.008 −0.008 −0.003 −0.034 −0.034 −0.030
HC4 0.037 0.037 0.034 −0.007 −0.007 −0.003 −0.028 −0.028 −0.024
Desvio− HC0 0.864 0.86 0.862 1.177 1.172 0.757 1.321 1.312 1.303
padr˜ao HC2 0.808 0.807 0.807 1.102 1.102 0.682 1. 215 1.212 1.207
HC3 0.751 0.753 0.75 1.028 1.031 0.611 1.112 1. 113 1.112
HC4 0.662 0.661 0.659 0.914 0.917 0.489 0.944 0.945 0.946
Assimetria HC0 −0.022 −0.021 0.002 −0.016 −0. 017 1.009 −0.051 −0.051 −0.031
HC2 −0.026 −0.025 −0.001 −0.016 −0.017 1.125 −0.058 −0.057 −0.036
HC3 −0.031 −0.029 −0.004 −0.016 −0.017 1.250 −0.065 −0.064 −0.040
HC4 −0.039 −0.038 −0.011 −0.014 −0.016 1.595 −0.082 −0.081 −0.049
Curtose HC0 2.166 2.16 2.140 3.591 3.593 4.973 3.129 3.119 3.134
HC2 2.063 2.053 2.035 3.704 3.710 5.508 3.216 3.207 3.222
HC3 1.964 1.95 1.934 3.842 3.856 6.171 3.328 3. 324 3.339
HC4 1.736 1.724 1.708 4.332 4.349 8.461 3.757 3.747 3.753
71
Tabela 3.26: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro ξ
1
, com k = 0.5 e n = 60.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
M´edia HC0 −0.085 −0.085 −0.041 −0.08 −0.08 −0.011 −0.05 −0.05 −0.045
HC2 −0.083 −0.083 −0.04 −0.078 − 0.078 −0.01 −0.049 −0.049 −0.044
HC3 −0.081 −0.082 −0.039 −0.076 −0.077 −0. 009 −0.048 −0.048 −0.043
HC4 −0.082 −0.083 −0.039 −0.077 −0.076 −0. 008 −0.048 −0.047 −0.043
Mediana HC0 −0.083 −0.082 −0.059 −0.083 −0. 083 −0.041 −0.053 −0.053 −0.043
HC2 −0.081 0.000 −0.058 −0.081 −0.081 −0.04 −0.052 −0. 052 −0.042
HC3 −0.08 −0.08 −0.057 −0.079 −0.08 −0.039 −0.05 −0.051 −0.041
HC4 −0.081 −0.081 −0.057 −0.079 −0.079 −0. 039 −0.051 −0.05 −0.04
Desvio− HC0 0.953 0.946 0.943 1.049 1.046 0.739 1. 071 1.069 1.057
padr˜ao HC2 0.932 0.932 0.924 1.023 1.023 0.719 1. 043 1.043 1.036
HC3 0.910 0.917 0.905 0.997 1.000 0.700 1.016 1.018 1.015
HC4 0.919 0.921 0.905 1.002 0.993 0.687 1.020 1.008 1.007
Assimetria HC0 0.027 0.026 0.049 0.050 0. 050 0.304 0.021 0.021 0.026
HC2 0.028 0.027 0.050 0.050 0.050 0.308 0.021 0.021 0.026
HC3 0.028 0.028 0.051 0.051 0.050 0.312 0.021 0.021 0.027
HC4 0.030 0.030 0.054 0.051 0.051 0.320 0.021 0.022 0.027
Curtose HC0 2.540 2.543 2.455 3.187 3.186 3.270 3.280 3. 277 3.219
HC2 2.528 2.526 2.442 3.193 3.193 3.278 3.287 3.285 3.227
HC3 2.517 2.509 2.429 3.199 3.199 3.287 3.295 3.293 3.234
HC4 2.500 2.474 2.399 3.206 3.214 3.303 3.305 3.313 3.249
72
Tabela 3.27: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro ξ
1
, com k = 2 e n = 60.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
M´edia HC0 0.019 0.019 0.014 −0.034 −0.034 0.011 −0.049 −0.048 −0.046
HC2 0.018 0.019 0.014 −0.033 −0.033 0.012 −0.047 −0.047 −0.045
HC3 0.018 0.019 0.014 −0.033 −0.033 0.012 −0.046 −0.046 −0.044
HC4 0.018 0.019 0.015 −0.033 −0.032 0.012 −0.046 −0.045 −0.044
Mediana HC0 0.036 0.036 0.025 −0.041 −0.041 −0.029 −0.047 −0.047 −0.043
HC2 0.035 0.035 0.024 −0.04 −0.04 −0.028 −0.045 −0.045 −0.043
HC3 0.034 0.035 0.024 −0.038 −0.039 −0.027 −0.044 −0.044 −0.042
HC4 0.035 0.035 0.024 −0.039 −0.039 −0.026 −0.044 −0.043 −0.041
Desvio− HC0 0.949 0.943 0.95 1.054 1.05 0.731 1.077 1.074 1.070
padr˜ao HC2 0.928 0.928 0.931 1.026 1.026 0.709 1. 047 1.047 1.045
HC3 0.907 0.913 0.912 0.999 1.002 0.687 1.018 1.019 1.020
HC4 0.913 0.914 0.91 0.999 0.988 0.667 1.016 1. 001 1.003
Assimetria HC0 −0.034 −0.032 −0.001 0.011 0.012 0.332 −0.015 −0.015 −0.013
HC2 −0.034 −0.031 −0.001 0.012 0.012 0. 339 − 0.014 −0.015 −0.013
HC3 −0.034 −0.031 0.000 0.012 0.012 0.345 −0.014 −0.014 −0.012
HC4 −0.033 −0.03 0.003 0.012 0.011 0.357 −0.014 − 0.014 − 0.011
Curtose HC0 2.525 2.525 2.484 3.243 3.245 3.339 3.177 3. 176 3.169
HC2 2.509 2.504 2.467 3.252 3.254 3.353 3.185 3.184 3.179
HC3 2.493 2.483 2.45 3.261 3.264 3.368 3.194 3. 194 3.189
HC4 2.470 2.436 2.404 3.274 3.288 3.398 3.206 3.216 3.211
73
Tabela 3.28: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro ξ
1
, com k = 4 e n = 60.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
M´edia HC0 0.032 0.033 0.030 −0.014 −0.014 0.070 −0.048 −0.048 −0.041
HC2 0.031 0.031 0.030 −0.014 −0.014 0.068 −0.046 −0.046 −0.039
HC3 0.03 0.03 0.029 −0.013 −0.013 0.066 −0.043 −0.043 −0.037
HC4 0.028 0.029 0.03 −0.013 −0.013 0.061 −0.038 − 0.038 −0.032
Mediana HC0 0.034 0.034 0.036 −0.023 −0.023 −0.018 −0.048 −0.048 −0.048
HC2 0.034 0.034 0.035 −0.021 −0.021 − 0.016 −0.045 −0.045 −0.046
HC3 0.033 0.033 0.035 −0.02 −0.02 −0.015 −0.042 −0.042 −0.043
HC4 0.034 0.034 0.035 −0.019 −0.019 − 0.013 −0.037 −0.037 −0.038
Desvio− HC0 0.903 0.900 0.901 1.123 1.12 0. 716 1.22 1.215 1.208
padr˜ao HC2 0.871 0.870 0.869 1.072 1.072 0.667 1.150 1.148 1.144
HC3 0.838 0.839 0.836 1.022 1.024 0.619 1.082 1.083 1.081
HC4 0.795 0.794 0.791 0.944 0.945 0.534 0.967 0.967 0.967
Assimetria HC0 −0.006 −0.006 0.017 0. 004 0.002 0.783 − 0.029 −0.029 −0.015
HC2 −0.009 −0.009 0.016 0.002 0.000 0.826 −0.032 −0.032 −0.017
HC3 −0.013 −0.013 0.014 0.000 −0.002 0.869 −0.035 −0.035 −0.019
HC4 −0.021 −0.02 0.010 −0.003 −0.007 0.970 −0.042 −0.041 −0.022
Curtose HC0 2.325 2.317 2. 301 3.367 3.365 4.320 3.204 3.197 3.194
HC2 2.260 2.25 2.236 3.422 3.422 4.486 3.258 3.252 3.251
HC3 2.195 2.182 2.171 3.486 3.489 4.663 3.320 3.316 3.317
HC4 2.030 2.019 2.008 3.686 3.689 5.122 3.512 3.503 3.508
74
Tabela 3.29: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro ξ
1
, com k = 0.5 e n = 100.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
M´edia HC0 −0.069 −0.069 −0.04 −0.062 − 0.061 −0.01 −0.037 −0.037 −0.033
HC2 −0.068 −0.068 −0.039 −0.061 −0.061 −0.01 −0.037 −0.037 −0.033
HC3 −0.067 −0.068 −0.039 −0.06 −0.06 −0.009 −0.036 −0.036 −0.033
HC4 −0.068 −0.068 −0.038 −0.06 −0.06 −0.009 −0.036 −0.036 −0.032
Mediana HC0 −0.078 −0.077 −0.051 −0.067 −0. 067 −0.033 −0.052 −0.052 −0.047
HC2 −0.077 0.000 −0.050 −0.066 −0.066 −0.033 −0.052 −0.052 −0.046
HC3 −0.076 −0.076 −0.050 −0.064 −0.065 −0. 032 −0.051 −0.051 −0.046
HC4 −0.077 −0.076 −0.05 −0.065 − 0.064 −0.032 −0.051 −0.051 −0.045
Desvio− HC0 0.966 0.962 0.960 1.024 1.021 0.728 1. 038 1.036 1.033
padr˜ao HC2 0.953 0.954 0.949 1.008 1.008 0.716 1. 021 1.021 1.02
HC3 0.941 0.946 0.938 0.993 0.994 0.704 1.005 1.006 1.008
HC4 0.947 0.95 0.939 0.996 0.990 0.697 1.007 1. 000 1.003
Assimetria HC0 0.027 0.025 0.037 −0.005 −0.005 0. 202 0.005 0.005 0.011
HC2 0.027 0.026 0.038 −0.005 −0.006 0.204 0.005 0.005 0.011
HC3 0.027 0.026 0.039 −0.006 −0.006 0.206 0.005 0.005 0.011
HC4 0.028 0.027 0.04 −0.006 −0.006 0.209 0.004 0.004 0.011
Curtose HC0 2.674 2.676 2.626 3.068 3.065 3.100 3.116 3. 115 3.134
HC2 2.669 2.669 2.62 3.070 3.067 3.103 3.118 3. 117 3.137
HC3 2.664 2.661 2.614 3.073 3.070 3.106 3.121 3.12 3.14
HC4 2.656 2.646 2.599 3.075 3.075 3.112 3.125 3.127 3.146
75
Tabela 3.30: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro ξ
1
, com k = 2 e n = 100.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
M´edia HC0 0.014 0.014 0.011 −0.024 −0.024 0.009 −0.034 −0.034 −0.033
HC2 0.014 0.014 0.011 −0.023 −0.023 0.009 −0.034 −0.034 −0.032
HC3 0.013 0.013 0.011 −0.023 −0.023 0.009 −0.033 −0.033 −0.032
HC4 0.013 0.014 0.011 −0.023 −0.023 0.009 −0.033 −0.033 −0.031
Mediana HC0 0.009 0.009 0.003 −0.016 −0.015 −0.013 −0.041 −0.041 −0.038
HC2 0.009 0.009 0.003 −0.015 −0.015 − 0.013 −0.041 −0.041 −0.037
HC3 0.009 0.009 0.003 −0.015 −0.015 − 0.013 −0.04 −0.04 −0.037
HC4 0.009 0.009 0.003 −0.015 −0.015 − 0.013 −0.04 −0.039 −0.036
Desvio− HC0 0.973 0.969 0.975 1.021 1.019 0.714 1.044 1.042 1.04
padr˜ao HC2 0.96 0.961 0.963 1.005 1.005 0.701 1.026 1.026 1.025
HC3 0.948 0.953 0.952 0.989 0.99 0.688 1.009 1.01 1.011
HC4 0.953 0.955 0.954 0.989 0.982 0.676 1.008 0.999 1.000
Assimetria HC0 −0.008 −0.007 0.018 0. 009 0.009 0.247 − 0.001 −0.002 −0.002
HC2 −0.008 −0.007 0.018 0.009 0.009 0.25 −0.001 −0.002 −0.002
HC3 −0.009 −0.007 0.018 0.01 0.009 0.252 −0.001 −0.001 −0.002
HC4 −0.009 −0.007 0.019 0.01 0.01 0.258 −0.001 −0.001 −0.002
Curtose HC0 2.645 2.646 2. 639 3.207 3.205 3.263 3.158 3.157 3.163
HC2 2.638 2.637 2.631 3.211 3.21 3.268 3.162 3.161 3.168
HC3 2.63 2.627 2.623 3.215 3.214 3.272 3.166 3.165 3.172
HC4 2.619 2.605 2.601 3.22 3.224 3.283 3.171 3.175 3.183
76
Tabela 3.31: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro ξ
1
, com k = 4 e n = 100.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
Completo R
ξ
2
R
α
2
M´edia HC0 0.027 0.027 0.026 −0.010 −0.010 0.051 −0.035 −0.034 −0.030
HC2 0.026 0.026 0.026 −0.010 −0.010 0.049 −0.033 −0.033 −0.029
HC3 0.026 0.026 0.026 −0.010 −0.01 0.048 −0.032 −0.032 −0.028
HC4 0.025 0.025 0.027 −0.009 −0.009 0.046 −0.03 −0.03 −0.026
Mediana HC0 0.032 0.032 0.027 −0.007 −0.007 −0.011 −0.038 −0.038 −0.036
HC2 0.032 0.032 0.027 −0.006 −0.006 −0.01 −0.037 −0.037 −0. 035
HC3 0.032 0.032 0.027 −0.006 −0.006 −0.01 −0.035 −0.035 −0. 034
HC4 0.032 0.032 0.027 −0.006 −0.006 − 0.009 −0.032 −0.032 −0.031
Desvio− HC0 0.938 0.936 0.935 1.07 1.069 0.683 1.137 1.135 1.132
padr˜ao HC2 0.921 0.921 0.919 1.04 1.04 0.655 1.096 1.095 1.093
HC3 0.904 0.905 0.903 1.009 1.011 0.626 1.054 1.055 1.054
HC4 0.89 0.89 0.887 0.962 0.963 0.575 0.984 0.983 0.984
Assimetria HC0 −0.011 −0.01 0.011 0.014 0.014 0.575 0.004 0.004 0.013
HC2 −0.011 −0.011 0.011 0.014 0.014 0.590 0.003 0.003 0.013
HC3 −0.012 −0.012 0.012 0.013 0.013 0.604 0.002 0.003 0.012
HC4 −0.014 −0.013 0.013 0.011 0.011 0.636 0.000 0.000 0.011
Curtose HC0 2.481 2.476 2. 463 3.272 3.27 3.835 3.271 3. 263 3.272
HC2 2.449 2.442 2.431 3.293 3.292 3.878 3.300 3.293 3.303
HC3 2.416 2.408 2.397 3.317 3.317 3.922 3.331 3.326 3.336
HC4 2.327 2.320 2.310 3.385 3.384 4.028 3.419 3.411 3.422
77
Tabela 3.32: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro ξ
2
, com k = 0.5 e n = 60.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
1
R
α
2
Completo R
ξ
1
R
α
2
Completo R
ξ
1
R
α
2
M´edia HC0 −0.067 −0.067 −0.118 −0.047 −0.047 −0.073 0.029 0.029 0.035
HC2 −0.065 −0.065 −0. 116 −0.046 −0.046 −0.071 0.029 0.029 0.034
HC3 −0.063 0.000 −0.115 −0.045 −0.045 −0.07 0.028 0.028 0.033
HC4 −0.064 −0.063 −0. 116 −0.045 −0.045 −0.07 0.028 0.028 0.032
Mediana HC0 −0.073 −0. 073 −0.131 −0.047 −0.047 −0.086 0.026 0.026 0.034
HC2 −0.071 −0.072 −0. 129 −0.046 −0.046 −0.085 0.026 0.026 0.032
HC3 −0.07 −0.07 −0.127 −0.045 −0.045 −0.083 0.025 0. 026 0.031
HC4 −0.07 −0.07 −0.128 −0.045 −0.045 −0.083 0.026 0. 026 0.031
Desvio− HC0 1.068 1.066 1.020 1.056 1.052 0.820 0.952 0.945 0. 944
padr˜ao HC2 1.040 1.040 1.006 1.029 1.029 0.806 0.93 0.93 0.919
HC3 1.013 1.015 0.992 1.003 1.006 0.792 0.909 0.916 0.895
HC4 1.017 1.004 1.002 1.008 0.999 0.795 0.917 0.92 0.881
Assimetria HC0 −0.025 −0.025 −0.014 −0.036 −0.037 0.091 −0.012 −0.011 0.026
HC2 −0.025 −0.025 −0. 014 −0.035 −0.037 0.092 −0.012 −0.011 0.026
HC3 −0.024 −0.025 −0. 014 −0.035 −0.036 0.093 −0.013 −0.011 0.026
HC4 −0.024 −0.024 −0. 014 −0.035 −0.036 0.094 −0.013 −0.012 0.027
Curtose HC0 3.118 3.115 3.023 3. 128 3.128 3.063 2.561 2.565 2.377
HC2 3.123 3.12 3. 023 3.132 3.133 3.065 2.549 2.547 2.387
HC3 3.128 3.126 3.024 3.137 3.138 3.067 2.537 2.529 2.398
HC4 3.134 3.138 3.024 3.142 3.148 3.069 2.521 2.494 2.426
78
Tabela 3.33: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro ξ
2
, com k = 2 e n = 60.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
1
R
α
2
Completo R
ξ
1
R
α
2
Completo R
ξ
1
R
α
2
M´edia HC0 −0.057 −0.057 −0.109 −0.061 −0.061 −0. 097 −0.02 −0.02 −0.049
HC2 −0.056 −0.056 −0.108 −0.059 −0.059 −0. 096 −0.019 −0.02 −0.048
HC3 −0.054 −0.054 −0.106 −0.057 −0.058 −0. 094 −0.019 −0.019 −0.046
HC4 −0.054 −0.053 −0.107 −0.057 −0.057 −0. 095 −0.019 −0.019 −0.045
Mediana HC0 −0.078 −0.077 −0.118 −0.065 −0. 065 −0.103 −0.011 −0.011 −0.059
HC2 −0.075 −0.075 −0.117 −0.064 −0.063 −0. 101 −0.011 −0.011 −0.057
HC3 −0.073 −0.073 −0.115 −0.062 −0.062 −0. 100 −0.011 −0.011 −0.055
HC4 −0.072 −0.071 −0.116 −0.062 −0.062 −0. 101 −0.011 −0.011 −0.052
Desvio− HC0 1.087 1.084 1.018 1.060 1.056 0.867 0. 939 0.933 0.687
padr˜ao HC2 1.057 1.056 1.006 1.032 1.032 0.855 0. 918 0.918 0.670
HC3 1.027 1.028 0.993 1.004 1.007 0.843 0.897 0.903 0.654
HC4 1.026 1.010 1.004 1.005 0.994 0.852 0.904 0.904 0.646
Assimetria HC0 0.015 0.016 0.010 −0.018 −0.018 −0.003 −0.005 −0.006 −0.019
HC2 0.015 0.016 0.01 −0.018 −0.018 −0. 003 − 0.005 −0.006 −0.02
HC3 0.015 0.016 0.01 −0.018 −0.017 −0. 004 − 0.005 −0.006 −0.02
HC4 0.014 0.016 0.01 −0.017 −0.016 −0. 004 − 0.004 −0.006 −0.022
Curtose HC0 3.216 3.213 3.071 3.253 3.252 3.027 2.511 2. 514 1.691
HC2 3.225 3.221 3.071 3.260 3.259 3.028 2.496 2.495 1.700
HC3 3.233 3.23 3.072 3.267 3.267 3.028 2.481 2. 475 1.709
HC4 3.245 3.252 3.072 3.276 3.285 3.028 2.459 2.431 1.736
79
Tabela 3.34: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro ξ
2
, com k = 4 e n = 60.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
1
R
α
2
Completo R
ξ
1
R
α
2
Completo R
ξ
1
R
α
2
M´edia HC0 −0.039 −0.039 −0.112 −0.05 −0.05 −0.107 −0.026 −0.027 −0.037
HC2 −0.037 −0.037 −0.11 −0.048 − 0.048 −0.106 −0.025 −0.026 −0.034
HC3 −0.034 −0.035 −0.109 −0.046 −0.046 −0. 104 −0.024 −0.025 −0.032
HC4 −0.03 −0.03 −0.11 −0.042 −0.042 −0.104 −0.023 −0.024 −0.027
Mediana HC0 −0.055 −0.055 −0.12 −0.043 −0.043 −0.111 −0.025 − 0.025 −0.017
HC2 −0.051 −0.051 −0.119 −0.041 −0.041 −0. 109 −0.025 −0.025 −0.016
HC3 −0.047 −0.048 −0.117 −0.039 −0.039 −0. 107 −0.025 −0.025 −0.014
HC4 −0.041 −0.041 −0.118 −0.035 −0.035 −0. 106 −0.025 −0.025 −0.012
Desvio− HC0 1.242 1.236 1.016 1.129 1.126 0.912 0. 896 0.894 1.025
padr˜ao HC2 1.171 1.169 1.004 1.078 1.079 0.896 0. 864 0.864 0.969
HC3 1.102 1.102 0.992 1.028 1.03 0.879 0.832 0. 833 0.913
HC4 0.986 0.985 1.003 0.951 0.952 0.871 0.790 0.790 0.817
Assimetria HC0 −0.006 −0.007 0.013 −0.035 −0. 035 −0.019 0.015 0.015 −0.031
HC2 −0.007 −0.008 0.013 −0.036 −0.037 −0.021 0.017 0.017 −0.033
HC3 −0.007 −0.008 0.013 −0.037 −0.038 −0.023 0.019 0.019 −0.035
HC4 −0.008 −0.01 0.013 −0.041 −0.042 −0.028 0.024 0.024 −0.041
Curtose HC0 3.236 3.216 3.065 3.409 3.409 3.039 2.306 2. 302 2.033
HC2 3.297 3.278 3.066 3.469 3.470 3.040 2.243 2.237 2.091
HC3 3.366 3.348 3.066 3.537 3.541 3.041 2.181 2.172 2.155
HC4 3.579 3.554 3.066 3.762 3.761 3.043 2.021 2.014 2.333
80
Tabela 3.35: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro α
2
, com k = 0.5 e n = 60.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
1
R
ξ
2
Completo R
ξ
1
R
ξ
2
Completo R
ξ
1
R
ξ
2
M´edia HC0 −0.107 −0.099 −0.151 −0.087 −0.068 −0. 129 −0.021 −0.004 −0.016
HC2 −0.104 −0.097 −0.15 −0.084 − 0.066 −0.127 −0.02 −0.004 −0.016
HC3 −0.101 0 −0.148 −0.082 −0.065 −0.125 −0.02 −0.004 −0.015
HC4 −0.101 −0.092 −0.15 −0.083 − 0.065 −0.127 −0.02 −0.004 −0.015
Mediana HC0 −0.094 −0.087 −0.153 −0.085 −0. 059 −0.122 −0.023 −0.004 −0.017
HC2 −0.092 −0.084 0.000 −0.083 −0.058 −0.12 −0.022 −0.004 −0.017
HC3 −0.089 −0.081 −0.15 −0.081 − 0.057 −0.119 −0.022 −0.004 −0.016
HC4 −0.088 −0.079 −0.151 −0.081 −0.056 −0.12 −0.022 −0.004 −0.016
Desvio− HC0 1.080 1.081 1.007 1.058 1.047 1.012 1. 017 1.005 1.028
padr˜ao HC2 1.048 1.050 0.997 1.032 1.026 0.999 0. 996 0.992 1.009
HC3 1.017 1.019 0.987 1.005 1.006 0.986 0.976 0.98 0.991
HC4 1.014 0.997 0.998 1.010 1.000 0.995 0.988 0.988 0.995
Assimetria HC0 −0.045 −0.048 −0.008 −0.023 −0.032 −0.026 0.022 0.009 0.020
HC2 −0.046 −0.049 −0.008 −0.023 −0.033 −0. 026 0.022 0.009 0.020
HC3 −0.047 −0.051 −0.008 −0.024 −0.033 −0. 026 0.022 0.009 0.02
HC4 −0.049 −0.053 −0.008 −0.024 −0.034 −0. 026 0.022 0.009 0.019
Curtose HC0 3.012 2.998 3.024 3.29 3.236 3.126 2.867 2.876 2.971
HC2 3.019 3.008 3.023 3.296 3.242 3.126 2.86 2. 865 2.973
HC3 3.026 3.018 3.021 3.302 3.248 3.126 2.853 2.854 2.976
HC4 3.037 3.040 3.021 3.308 3.260 3.126 2.841 2.832 2.979
81
Tabela 3.36: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro α
2
, com k = 2 e n = 60.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
1
R
ξ
2
Completo R
ξ
1
R
ξ
2
Completo R
ξ
1
R
ξ
2
M´edia HC0 −0.090 −0.090 −0.135 −0.048 −0.051 −0. 104 0.017 0.011 0.014
HC2 −0.087 −0.087 −0.134 −0.047 −0.05 −0.103 0.016 0.011 0.014
HC3 −0.084 −0.084 −0.133 −0.046 −0.049 −0. 102 0.016 0.011 0.013
HC4 −0.084 −0.082 −0.134 −0.046 −0.048 −0. 103 0.016 0.011 0.014
Mediana HC0 −0.086 −0.088 −0.142 −0.043 −0. 046 −0.105 0.000 0.000 0.001
HC2 −0.083 −0.085 −0.141 −0.042 −0.045 −0. 104 0.000 0.000 0.001
HC3 −0.08 −0.082 −0.139 −0.04 −0.044 −0.103 0.000 0.000 0.001
HC4 −0.079 −0.079 −0.141 −0.04 −0.044 −0.104 0.000 0.000 0.001
Desvio− HC0 1.122 1.120 1.017 1.070 1.066 1.020 1. 001 0.995 1.013
padr˜ao HC2 1.086 1.085 1.007 1.042 1.042 1.009 0.98 0.982 0.997
HC3 1.050 1.051 0.998 1.014 1.019 0.998 0.96 0.968 0.982
HC4 1.041 1.018 1.010 1.015 1.006 1.008 0.971 0. 975 0.990
Assimetria HC0 −0.006 −0.006 −0.029 −0.007 −0.008 −0.016 0.009 0.004 0.009
HC2 −0.006 −0.007 −0.028 −0.007 −0.009 −0. 016 0.008 0.004 0.008
HC3 −0.006 −0.007 −0.028 −0.008 −0.01 −0.016 0.008 0.004 0.008
HC4 −0.007 −0.009 −0.028 −0.009 −0.012 −0. 016 0.008 0.004 0.008
Curtose HC0 3.036 3.022 3.056 3.225 3.242 3.103 2.768 2.784 2.840
HC2 3.049 3.038 3.055 3.233 3.250 3.103 2.758 2. 771 2.841
HC3 3.063 3.054 3.054 3.242 3.259 3.103 2.748 2. 758 2.843
HC4 3.083 3.092 3.054 3.253 3.281 3.103 2.732 2. 726 2.844
82
Tabela 3.37: Medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ , para o parˆametro α
2
, com k = 4 e n = 60.
ω 10
−4
1 10
4
Estimador Completo R
ξ
1
R
ξ
2
Completo R
ξ
1
R
ξ
2
Completo R
ξ
1
R
ξ
2
M´edia HC0 −0.085 −0.082 −0.127 −0.028 −0.029 −0. 105 0.026 0.02 0.022
HC2 −0.079 −0.076 −0.126 −0.026 −0.028 −0. 104 0.025 0.02 0.021
HC3 −0.073 −0.07 −0.124 −0.025 −0.026 −0.103 0.024 0.019 0.021
HC4 −0.063 −0.06 −0.126 −0.023 −0.024 −0.103 0.023 0.018 0.02
Mediana HC0 −0.077 −0.078 −0.121 −0.027 −0. 027 −0.099 0.029 0.022 0. 029
HC2 −0.07 −0.071 −0.12 −0.026 −0.026 −0.097 0.029 0.021 0.028
HC3 −0.064 −0.065 −0.118 −0.024 −0.024 −0. 096 0.028 0.021 0.028
HC4 −0.054 −0.055 −0.12 −0.022 − 0.022 −0.097 0.029 0.021 0.027
Desvio− HC0 1.322 1.326 1.012 1.133 1.133 1.012 0. 930 0.932 1.005
padr˜ao HC2 1.226 1.228 1.001 1.082 1.084 1.000 0. 901 0.905 0.985
HC3 1.135 1.134 0.990 1.031 1.035 0.987 0.871 0.877 0.964
HC4 0.974 0.969 1.001 0.953 0.955 0.992 0.837 0.842 0.947
Assimetria HC0 −0.020 −0.006 0.006 0. 004 0.006 0.014 −0.016 −0.016 −0.001
HC2 −0.023 −0.008 0.006 0.004 0.007 0.014 −0.018 −0.018 0.000
HC3 −0.026 −0.011 0.006 0.005 0.007 0.013 −0.02 −0.02 0.000
HC4 −0.032 −0.016 0.006 0.005 0.008 0.013 −0.024 −0.024 0.002
Curtose HC0 2.985 2.878 3.065 3.376 3.385 3.052 2.441 2. 439 2.774
HC2 3.032 2.920 3.065 3.429 3.437 3.051 2.381 2.378 2.78
HC3 3.083 2.964 3.065 3.491 3.498 3.051 2.320 2.315 2.788
HC4 3.224 3.080 3.064 3.688 3.686 3.050 2.158 2.156 2.814
83
Nas tab elas 3.23 a 3.31 apresentamos as medidas descritivas das estat´ısticas de teste
τ para os tamanhos de amostra n = 40, 60 e 100, correspondentes ao parˆametro ξ
1
, que ´e
o componente sob o eixo x das coordenadas do centro do c´ırculo, com diferentes graus de
heteroscedasticid ad e, i.e., heteroscedasticidad e “baixa”(ω = 10
−4
), e heteroscedasticidade
“alta”(ω = 10
4
), os quais est˜ao relacionados com as componentes x e y para cada um
dos pontos (ω > 1 implica maior variabilidade na componente x, ω < 1 implica maior
variabilidade na componente y, o caso de homoscedasticidade correspond en do a ω = 1),
al´em dos parˆametros de concentra¸c˜ao da distribui¸c˜ao von Mises, que s˜ao usados para a
gera¸c˜ao dos dados, sendo estes k = 0.5, 2 e 4 (para mais detalhes sobre k, ver tabela 3.1).
Observa-se que as m´edias para heteroscedasticidade baixa tˆem maior variabilidade
comparado aos de heteroscedasticidade alta quando k = 0.5, este fato pode-se observar
atrav´es dos diferentes tamanhos de amostra, como por exemplo para n = 40 (tabela 3.23)
o caso do estimador HC0, que atrav´es dos diferentes modelos com ω = 10
−4
as m´edias
est˜ao entre −0.095 e −0.044 e para o caso em que ω = 10
4
as m´edias est˜ao entre −0.061 e
−0.052, nos dois casos obtidas pelos modelos completo e R
α
2
respectivamente; para o caso
de tamanho de amostra 60 (tabela 3.26) qu ando ω = 10
−4
as m´edias ao se usar o estimador
HC0 est˜ao entre −0.085 e −0.041 e no caso em que ω = 10
4
as m´edias est˜ao entre −0.050 e
−0.045, nestas duas situa¸c˜oes s˜ao os obtidos pelos modelos completo e R
α
2
; para o tamanho
de amostra 100 (tabela 3.29) as m´edias est˜ao entre −0.069 e −0.040 quando ω = 10
−4
e de
−0.037 a −0.033 para ω = 10
4
, as duas situa¸c˜oes com os modelos completo e R
α
2
.
No caso em que os dados est˜ao mais dispersos (k = 0.5), as m´edias das estat´ısticas
para cada modelo s ˜ao menores do que zero, ao igual nos casos em que k = 2 e 4, para
84
ω = 10
4
, al´em disso, quando ω = 1 com os modelos completo e R
ξ
2
.
`
A medida que aum enta
o valor de k, as m´edias se aproximam a zero. A mediana tem o mesmo comportamento
que a m´edia. O desvio-padr˜ao no caso em que ω = 10
−4
e ω = 1 para o modelo R
α
2
´e
menor do que um; observa-se que `a medida que aumenta o parˆametro de concentra¸c˜ao, a
variabilidade diminui para cada um dos estimadores em cada modelo. Nos casos em que
ω = 1 e 10
4
, estes valores s˜ao m aiores do que um com algumas exce¸c˜oes, como, por exemplo,
sob homoscedasticidade para os modelos R
ξ
2
e R
α
2
utilizando o estimador HC4.
A assimetria ´e quase sempre menor do que zero, em especial nos casos de heteros-
cedasticidade. Al´em, esta medida muda de comportamento quando variamos o tamanho
da amostra, passando de negativa a positiva, como ocorre no caso dos modelos completo e
R
ξ
2
, quando k = 0.5 e ω = 1 ao se aumentar tamanho de amostra de 40 para 60.
A curtose ´e menor do que trˆes sob heteroscedasticid ad e baixa e sob heteroscedastici-
dade alta ´e maior do qu e trˆes; no caso de heteroscedasticidae baixa, estes valores diminuem
`a medida que o parˆametro d e concentra¸c˜ao aumenta; para o caso homoscedasticidade estes
valores aumentam `a medida que k aumenta. Quando o tamanho de amostra aumenta,
observa-se que a m´edia, mediana e assimetria v˜ao para zero e a curtose tende para trˆes
Agora, apresentamos as medidas descritivas das estat´ısticas de teste τ para os parˆa-
metros ξ
2
e α
2
no caso em que o tamanho da amostra ´e 60, estos valores s˜ao mostrados nas
tabelas 3.32 a 3.37, os outros casos (tamanhos de amostra 40 e 100), tem comportamento
similar `as apresentadas para o parˆametro ξ
1
.
No caso das estat´ısticas de teste para o parˆametro ξ
2
(tabelas 3.32 a 3.34), os valores
s˜ao mais “est´aveis”quando h´a heteroscedasticidade baixa comparados aos de heteroscedas-
85
ticidade alta. Observa-se que as m´edias s˜ao quase sempre menores do que zero, exceto
no caso em que ω = 10
4
com k = 0.5. As medianas tˆem o mesmo comportamento. Os
desvios-padr˜ao para os casos em que ω = 10
−4
e 1 s˜ao maiores do que um; quando ω = 10
4
eles s˜ao menores do que um. O sin al da assimetria muda atrav´es dos diferentes valores
de k; observa-se que esta medida ´e negativa para os modelos completo e R
ξ
1
no caso de
homoscedasticidade. As curtoses s˜ao maiores do que trˆes no caso em que ω = 10
−4
e 1 e
s˜ao menores do que trˆes no caso em que ω = 10
4
.
Para as estat´ısticas de teste para o parˆametro α
2
(tabelas 3.35 a 3.37) com tamanho
de amostra 60, observa-se que as m´edias para os casos em que ω = 10
−4
e 1 s˜ao menores do
que zero para os diferentes valores de k; para o caso em qu e ω = 10
4
`as m´edida s˜ao menores
do que zero quand o k = 0.5 e, para k = 2 e 4, s˜ao maiores do que zero. As medianas
tˆem comportamento similar. Os desvios-padr˜ao s˜ao menores do que um qu ando ω = 10
4
e maiores do que um nos outros casos (ω = 10
−4
e 1), exceto para o estimador HC4 nos
modelos restritos com ω = 10
−4
e k = 0.5. As assimetrias s˜ao menores do que zero para
os modelos completo e R
ξ
1
, quando ω = 10
−4
; para os outros casos elas variam atrav´es dos
diferentes valores de k. As curtoses, no caso em que ω = 10
4
, s˜ao menores do que trˆes e
maiores do que trˆes quando ω = 10
−4
e 1
Em geral, a estat´ıstica de teste baseada no estimador HC4 em qu ase todos os casos
apresenta desvio-padr˜ao mais pero de 1, tanto sob homoscedasticidade quanto sob heterosce-
dasticidade. Observamos que todas as estat´ısticas de teste (baseadas nos HC’s) apresentam
m´edia, mediana, desvio-padr˜ao, assimetria e curtose convergindo para as respectivas medi-
das da distribui¸c˜ao assint´otica normal padr˜ao `a medida que o tamanho amostral aumenta.
86
CAP
´
ITULO 4
Conclus˜oes
Os desempenhos dos diferentes HC’s est˜ao mais relacionados com o n´ıvel de heteros-
cedasticidade do que com o valor do parˆametro de concentra¸c˜ao da distribui¸c˜ao von Mises.
Por exemplo, no caso de ω pequeno existe mais pr ecis˜ao no eixo x do que no eixo y. E nt˜ao,
para o teste H
0
: ξ
1
= 0, as taxas de rejei¸c˜ao s˜ao muito pequen as, j´a que ξ
1
´e uma quan-
tidade ligada ao eixo dos x’s, a escolha do estimador HC’s n˜ao tendo muita importˆancia.
Por outro lado, ω grande sob heteroscedasticidade “alta”, espera-se imprecis˜ao no eixo dos
x’s, o que s ignifica que o uso d e HC ’s alternativos tem maior impacto. Para o teste de ξ
2
,
a situac˜ao se inverte, pois ξ
2
´e uma quantidade relacionada ao eixo y. Para o teste de α
2
,
ocorre algo an´alogo ao que ocorre com ξ
2
, porque α
2
´e uma quantidade relacionada ao eixo
y (α
2
= ρ sin(θ
0
)).
87
Recomenda-se de forma geral, como estimador da matriz de variˆancias e covariˆancias
do estimador do vetor de parˆametros o estimador HC4 no casos em que os parˆametros
tenham maior imprecis˜ao, i.e., para o parˆametro ξ
1
no caso em que ω = 1, 10
2
ou 10
4
e para
o parˆametros ξ
2
e α
2
nos casos em que ω = 10
−4
, 10
−2
ou 1; para os parˆametros nos casos
dos outros ω’s recomenda-se o estimador HC0.
No que se refere `as distribui¸c˜oes emp´ıricas das estat´ısticas de teste baseadas n os
diferentes estimadores consistentes da matriz de variˆancias e covariˆancias, foi m ostrado que
a estat´ıstica baseada em HC4 apresentou (para as situa¸c˜oes estudadas) na maioria dos casos
o desvio-padr˜ao mais perto de um , especialmente nos casos em que ω = 1.
88
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