( PDF ) Ajustes para verossiilhança perfilada na distribuição birnbaum-saunders

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AJUSTES PARA VEROSSIMILHANC¸ A PERFILADA

NA DISTRIBUIC¸

AO BIRNBAUM-SAUNDERS

CARLOS ANT

ONIO GADELHA DE ARA

UJO J

UNIOR

Orientadora: Profa. Dra. Audrey Helen Mariz de Aquino Cysneiros

Co-orientador: Prof. Dr. Francisco Cribari-Neto

Area de concentra¸c˜ao: Estat´ıstica Matem´atica

Disserta¸c˜ao submetida como requerimento parcial para obten¸c˜ao do

grau de Mestre em Estat´ıstica pela Universidade Federal de Pernambuco

Recife, fevereiro de 2006

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Agradecimentos

• Primeiramente a Deus, por ter permitido que eu conquistasse mais esta dif´ıcil

etapa da minha vida.

•

A professora Audrey Cysneiros, pela incr´ıvel paciˆencia, apoio e excelente ori-

enta¸c˜ao na elabora¸c˜ao desta disserta¸c˜ao. Mais ainda, pela dedica¸c˜ao incondi-

cional na trajet´oria ﬁnal deste trabalho.

• Ao professor Francisco Cribari, pela enorme contribui¸c˜ao dada a minha for-

ma¸c˜ao acadˆemica desde a gradua¸c˜ao at´e o presente momento. E pela orienta¸c˜ao

e leitura cuidadosa deste trabalho.

• Aos meus pais Carlos e Joselene, que contribu´ıram de forma incondicional para

a minha forma¸c˜ao moral e acadˆemica durante toda minha vida. E tamb´em aos

meus irm˜aos Petterson e M´arcio, por tudo que n´os compartilhamos juntos.

• Ao meu tio Jos´e Emiliano (in memorian), que sempre esteve muito presente na

minha vida. Tamb´em pela amizade, incentivo e pelas boas horas de discontra¸c˜ao.

• A todos os meus companheiros do Mestrado, principalmente aos meus grandes

amigos Renata, Tiago, Milena e Daniela pela amizade compartilhada durante

estes dois anos de luta.

• Aos meus grandes amigos Luiz Henrique e Marcela Verˆonica, que sempre

me apoiaram e me incentivaram nos momentos mais dif´ıceis.

• A todos os professores e funcion´arios do Departamento de Estat´ıstica, em especial

`a Val´eria e `as professoras Jacira Guiro Marino e Cl´audia Lima.

•

A CAPES, pelo apoio ﬁnanceiro.

Resumo

A presente disserta¸c˜ao desenvolve ajustes para a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca per-

ﬁlada na distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders. Consideramos os ajustes da fun¸c˜ao de ve-

rossimilhan¸ca perﬁlada propostos por Cox e Reid (1987) e Barndorﬀ-Nielsen (1983).

No que diz respeito ao parˆametro de interesse, estas vers˜oes modiﬁcadas da fun¸c˜ao de

verossimilhan¸ca foram obtidas para os parˆametros de forma e escala da distribui¸c˜ao.

Obtivemos tamb´em os estimadores de m´axima verossimilhan¸ca perﬁlados modiﬁca-

dos a partir da maximiza¸c˜ao das vers˜oes ajustadas da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca.

Em seguida, realizamos diversas simula¸c˜oes envolvendo os diferentes estimadores.

Adicionalmente, avaliamos numericamente o comportamento dos testes da raz˜ao de

verossimilhan¸cas baseados nas fun¸c˜oes de verossimilhan¸cas perﬁladas modiﬁcadas

de Cox e Reid e Barndorﬀ-Nielsen em amostras ﬁnitas. Tanto os testes quanto

os estimadores baseados nas vers˜oes modiﬁcadas da verossimilhan¸ca perﬁlada que

foram desenvolvidas neste trabalho apresentaram desempenhos superiores `as suas

contrapartidas n˜ao-modiﬁcadas. Por ﬁm, realizamos duas aplica¸c˜oes emp´ıricas.

Abstract

This dissertation obtains adjustments to the proﬁle likelihood function of the

Birnbaum-Saunders distribution. We consider the adjustments proposed by Cox and

Reid (1987) and by Barndorﬀ-Nielsen (1983). The modiﬁed versions of the likelihood

function were obtained for both the shape and the scale parameter. We obtained

the modiﬁed proﬁle maximum likelihood estimators through maximization of the

adjusted likelihood functions. We have performed several simulations envolving the

diﬀerent estimators. Moreover, we have numerically evaluated the ﬁnite-sample per-

formance of likelihood ratio tests based on the mo diﬁed proﬁle likelihood funtions.

The estimators and tests obtained from the adjusted proﬁle likelihood functions dis-

played superior ﬁnite-sample behavior. Finally, we present two empirical aplications.

iii

Sum´ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Organiza¸c˜ao da disserta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Suporte computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Verossimihan¸ca perﬁlada 4

2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Deﬁni¸c˜oes b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Verossimilhan¸ca perﬁlada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Ajustes para verossimilhan¸ca perﬁlada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1 Verossimilhan¸ca perﬁlada de Barndorﬀ-Nielsen . . . . . . . . . . . 10

2.4.2 Verossimilhan¸ca perﬁlada de Cox e Reid . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.3 Aproxima¸c˜oes para a verossimilhan¸ca de Barndorﬀ-Nielsen 16

3 Distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders 20

3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Deﬁni¸c˜oes b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Estima¸c˜ao dos parˆametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Ajustes para a Birnbaum-Saunders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Resultados num´ericos 32

4.1 Comportamento dos estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Desempenhos dos testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Aplica¸c˜oes 52

5.1 Exemplo 1 - Fadiga do alum´ınio 6061-T6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Exemplo 2 - Fadiga da chumaceira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6 Conclus˜oes 55

Apˆendice A - C´alculo dos ajustes 57

Apˆendice B - Programa de simula¸c˜ao 63

Referˆencias 75

Lista de quadros

4.1 Resultados de estima¸c˜ao pontual para α, modelo indexado pelos

parˆametros α = 0,1, 0,5 e β = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Resultados de estima¸c˜ao pontual para α, modelo indexado pelos

parˆametros α = 1, 2 e β = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Resultados de estima¸c˜ao pontual para β, modelo indexado pelos

parˆametros β = 1 e α = 0,1, 0,5, 1 e 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Taxas de rejei¸c˜ao (%) calculadas a partir de 10.000 amostras de

Monte Carlo geradas a partir de uma distribui¸c˜ao Birnbaum-

Saunders com parˆamtros

= 1 e

= 0,1, 0,5, 1 e 2

. . . . . . . . . . . . .

4.5 M´edia e variˆancia de χ

, LR

e LR

para um modelo

indexado pelos parˆametros β = 1, α = 0,5 e n = 10 . . . . . . . . . . . . . 41

4.6 Quantis de χ

, LR

e LR

para um modelo indexado

pelos parˆametros β = 1, α = 0,5 e n = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.7 N´umero de rejei¸c˜oes em 100.000 amostras de Monte Carlo para

um modelo indexado pelos parˆametros β = 1, α = 0,5 e n = 10 . 42

4.8 Poderes dos testes calculados de 10.000 amostras de Monte Carlo

geradas a partir de uma distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders com

parˆametros β = 1 e α = 0,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.9 Taxas de rejei¸c˜ao (%) calculadas a partir de 10.000 amostras de

Monte Carlo geradas a partir de uma distribui¸c˜ao Birnbaum-

Saunders com parˆametros β = 1 e α = 0,1, 0,5, 1 e 2 . . . . . . . . . . . . 46

4.10 M´edia e variˆancia de χ

, LR

e LR

para um modelo

indexado pelos parˆametros β = 1, α = 0,5 e n = 10 . . . . . . . . . . . . . 48

4.11 Quantis de χ

, LR

e LR

para um modelo indexado

pelos parˆametros β = 1, α = 0,5 e n = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.12 N´umeros de rejei¸c˜oes em 10.0000 amostras de Monte Carlo para

um modelo indexado pelos parˆametros β = 1, α = 0,5 e n = 10 . 48

4.13 Poderes dos testes calculados de 10.000 amostras de Monte Carlo

geradas a partir de uma distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders com pa-

rˆametros β = 1 e α = 0,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1 N´umero de ciclos at´e a falha da lˆamina do alum´ınio 6061 - T6 . . 53

5.2 Tempo de fadiga em horas das chumaceiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

vii

Lista de ﬁguras

3.1 Gr´aﬁcos das fun¸c˜oes de densidade (a) e de distribui¸c˜ao acumulada

(b) Birnbaum-Saunders para β = 4 e diferentes valores do parˆame-

tro α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Gr´aﬁco da fun¸c˜ao de taxas de falhas da Birnbaum-Saunders para

β = 4 e diferentes valores do parˆametro α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Gr´aﬁco das discrepˆancias relativas de quantis em rela¸c˜ao a α

(n = 10,α = 0,5 e β = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Gr´aﬁco das discrepˆancias relativas de n´ıveis descritivos em rela¸c˜ao

a α (n = 10, α = 0,5 e β = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Gr´aﬁco das discrepˆancias relativas de quantis em rela¸c˜ao a α

(n = 10,α = 0,5 e β = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 Gr´aﬁco das discrepˆancias relativas de n´ıveis descritivos em rela¸c˜ao

a α (n = 10, α = 0,5 e β = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

viii

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

1.1 Introdu¸c˜ao

Birnbaum e Saunders (1969a) propuseram uma distribui¸c˜ao para modelagem do

tempo de falha de materiais e equipamentos. Esta distribui¸c˜ao, que ﬁcou conhecida

como distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders, vem sendo largamente utilizada em engenha-

ria como uma forma eﬁcaz de modelar desgastes estoc´asticos em geral. Ela tem ainda

assumido um papel de destaque na modelagem do tempo de falha de processos de

fadiga. A distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders ´e deﬁnida pelos seus parˆametros de forma

e escala.

E comum que inferˆencias para um determinado modelo envolvam apenas alguns,

mas n˜ao todos os parˆametros do modelo. Nestes casos dizemos que os parˆametros

envolvidos s˜ao parˆametros de interesse, enquanto que os demais s˜ao chamados de

parˆametros de perturba¸c˜ao. Para a distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders, por se tratar

de uma distribui¸c˜ao biparam´etrica, podemos considerar dois casos. O primeiro caso

ocorre quando o parˆametro de forma ´e o parˆametro de interesse e o parˆametro de

escala ´e o parˆametro de perturba¸c˜ao. No segundo caso, a situa¸c˜ao ´e inversa, ou seja,

os parˆametros de escala e de forma da distribui¸c˜ao s˜ao considerados como parˆametros

de interesse e de perturba¸c˜ao, respectivamente.

Inferˆencias em um determinado modelo envolvendo parˆametros de perturba¸c˜ao

podem ser feitas atrav´es da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada. Esta verossimi-

lhan¸ca pode ser obtida substituindo o parˆametro de perturba¸c˜ao por uma estimativa

consistente na verossimilhan¸ca original. A fun¸c˜ao resultante depender´a, portanto,

apenas do parˆametro de interesse. Algumas propriedades b´asicas das fun¸c˜oes de

verossimilhan¸ca n˜ao s˜ao v´alidas para a verossimilhan¸ca perﬁlada, dado que esta n˜ao

´e uma verossimilhan¸ca genu´ına. Alguns problemas inferenciais, como, por exem-

plo, ineﬁciˆencia e inconsistˆencia dos estimadores, podem surgir quando utilizamos a

fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada. Dessa forma, torna-se necess´ario obter ajustes

para a verossimilhan¸ca perﬁlada com o intuito de minimizar estes problemas.

Na literatura, existem v´arias modiﬁca¸c˜oes para a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁ-

lada propostas por diversos autores, ver Barndorﬀ-Nielsen (1983, 1994), Cox e Reid

(1987, 1992), McCullagh e Tibshirani (1990) e Stern (1997). Estas modiﬁca¸c˜oes

consistem na incorpora¸c˜ao de um termo `a verossimilhan¸ca perﬁlada anteriormente `a

estima¸c˜ao e tˆem o efeito de diminuir os vieses da fun¸c˜ao escore e da informa¸c˜ao.

A principal contribui¸c˜ao deste trabalho reside na obten¸c˜ao de alguns destes ajus-

tes para a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada da distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders,

considerando as duas situa¸c˜oes no que diz respeito ao parˆametro de interesse. Rea-

lizamos diversas simula¸c˜oes com o intuito de comparar a eﬁc´acia dos ajustes consi-

derados.

1.2 Organiza¸c˜ao da disserta¸c˜ao

A presente disserta¸c˜ao de mestrado est´a dividida em seis cap´ıtulos. No se-

gundo cap´ıtulo, apresentamos uma revis˜ao de alguns conceitos b´asicos relacionados

`a inferˆencia estat´ıstica, como por exemplo fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca, estima¸c˜ao de

parˆametros e testes de hip´oteses. Al´em disso, apresentamos a deﬁni¸c˜ao de fun¸c˜ao

de verossimilhan¸ca perﬁlada, suas propriedades e as modiﬁca¸c˜oes propostas por

Barndorﬀ-Nielsen (1983), Cox e Reid (1987) e Severini (1998, 1999).

No terceiro cap´ıtulo, apresentamos uma breve introdu¸c˜ao sobre a distribui¸c˜ao

Birnbaum-Saunders. Em seguida, desenvolvemos ajustes para a fun¸c˜ao de veros-

similhan¸ca perﬁlada desta distribui¸c˜ao considerando os casos em que temos como

parˆametro de interesse o parˆametro de forma e tamb´em o parˆametro de escala. S˜ao

apresentados testes da raz˜ao de verossimilhan¸cas baseados nos ajustes obtidos. No

quarto cap´ıtulo, com base em simula¸c˜oes de Monte Carlo, avaliamos os comporta-

mentos dos testes da raz˜ao verossimilhan¸cas e tamb´em dos estimadores de m´axima

verossimilhan¸ca baseados nas fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca perﬁlada ajustadas obti-

das no Cap´ıtulo 3. No quinto cap´ıtulo, aplicamos os desenvolvimentos apresentados

neste trabalho a dois conjuntos de dados reais e comparamos os resultados obtidos

no que diz respeito `a estima¸c˜ao dos parˆametros e a testes de hip´oteses. Por ﬁm,

no sexto cap´ıtulo, apresentamos as conclus˜oes ﬁnais de todos os resultados obtidos

neste trabalho.

1.3 Suporte computacional

As simula¸c˜oes computacionais realizadas ao longo desta disserta¸c˜ao foram feitas

utilizando a vers˜ao 3.30 da linguagem matricial Ox de programa¸c˜ao para o sis-

tema operacional Windows. A linguagem Ox est´a dispon´ıvel gratuitamente para

uso acadˆemico no endere¸co http://www.doornik.com. Trata-se de uma linguagem

orientada a objetos com sintaxe similar `as sintaxes das linguagens C e C++ de pro-

grama¸c˜ao. Doornik e Ooms (2001) pode ser utilizado como documenta¸c˜ao intro-

dut´oria. Mais detalhes sobre a linguagem Ox podem ser encontrados em Doornik

(2001) e em Cribari-Neto e Zarkos (2003).

As apresenta¸c˜oes gr´aﬁcas foram produzidas atrav´es do ambiente de programa¸c˜ao

R, tendo sido utilizada a vers˜ao 2.0.1 para a plataforma Windows. R ´e um ambiente

integrado de softwares que possui grandes facilidades para manipula¸c˜ao de dados,

gera¸c˜ao de gr´aﬁcos e modelagem estat´ıstica em geral. A linguagem e seus pacotes

podem ser obtidos gratuitamente no endere¸co http://www.r-project.org. Maiores

detalhes podem ser obtidos em Cribari-Neto e Zarkos (1999) e em Ihaka e Gentleman

(1996).

Por ﬁm, a presente disserta¸c˜ao foi digitada utilizando o sistema tipogr´aﬁco

(Plain) T

X desenvolvido por Donald Knuth. Uma implementa¸c˜ao do T

X para a

plataforma Windows (MikTeX) encontra-se dispon´ıvel em http://www.miktex.org.

Mais detalhes podem ser obtidos em Knuth (1986).

Cap´ıtulo 2

Verossimilhan¸ca perﬁlada

2.1 Introdu¸c˜ao

Em muitas situa¸c˜oes, desejamos realizar inferˆencias em um determinado mo-

delo envolvendo alguns, mas n˜ao todos os parˆametros. Nesse caso, dizemos que

os parˆametros sobre os quais a inferˆencia ser´a feita s˜ao de interesse e os demais

parˆametros s˜ao de perturba¸c˜ao. Quando o n´umero de parˆametros de perturba¸c˜ao ´e

grande, pode ser mais adequado basear as inferˆencias sobre o parˆametro de interesse

em uma fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca marginal ou condicional, que s˜ao verossimilhan-

¸cas genu´ınas. Entretanto, a constru¸c˜ao destas verossimilhan¸cas pode ser feita apenas

quando o modelo tem uma estrutura particular, a saber, em fam´ılias exponenciais e

fam´ılias de grupo.

Uma outra solu¸c˜ao ´e utilizar uma pseudo-verossimilhan¸ca, que ´e uma fun¸c˜ao dos

dados que depende apenas do parˆametro de interesse, como se fosse uma verossi-

milhan¸ca genu´ına. A id´eia comumente utilizada ´e substituir o vetor de parˆametros

de perturba¸c˜ao por uma estimativa consistente deste na verossimilhan¸ca original. A

fun¸c˜ao resultante ´e conhecida como fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada. Esta fun¸c˜ao

n˜ao ´e deduzida de uma fun¸c˜ao densidade e, portanto, n˜ao ´e uma verossimilhan¸ca

genu´ına. Entretanto, possui propriedades interessantes que a fazem parecer com uma

verossimilhan¸ca verdadeira. De fato, a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada pode ser

tratada como uma fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca genu´ına. Por´em, tal procedimento

pode conduzir a alguns problemas, como, por exemplo, inconsistˆencia e ineﬁciˆencia

dos estimadores. Usar a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada assemelha-se a tratar o

parˆametro de perturba¸c˜ao como se fosse conhecido.

E claro que isto n˜ao ´e razo´avel

quando os dados n˜ao fornecem muita informa¸c˜ao sobre o parˆametro de perturba¸c˜ao,

o que usualmente ocorre quando a dimens˜ao do vetor de parˆametros de perturba¸c˜ao ´e

grande. Isto pode prejudicar a qualidade das aproxima¸c˜oes envolvidas nas inferˆencias

que se baseiam em resultados assint´oticos. Portanto, ajustes para a fun¸c˜ao de veros-

similhan¸ca perﬁlada s˜ao necess´arios para reduzir os problemas provenientes do fato

desta fun¸c˜ao n˜ao ser uma fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca genu´ına.

Diversas modiﬁca¸c˜oes para a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada e para es-

tat´ısticas da raz˜ao de verossimilhan¸cas derivadas de tal fun¸c˜ao tˆem sido propostas.

Como exemplos de trabalhos recentes neste sentido, podemos mencionar Barndorﬀ-

Nielsen (1983, 1994), Cox e Reid (1987,1992), McCullagh e Tibishirani (1990), Stern

(1997), Ferrari e Cribari-Neto (2002), Ferrari et al. (2004) e Cysneiros e Ferrari

(2006). Alguns ajustes para a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada est˜ao descritos

em Severini (2000, Cap´ıtulo 9); ver tamb´em Pace e Salvan (1997, Cap´ıtulo 11).

Neste cap´ıtulo inicialmente apresentaremos uma revis˜ao de alguns conceitos

b´asicos relacionados a inferˆencia estat´ıstica, como, por exemplo, fun¸c˜ao de veros-

similhan¸ca, estima¸c˜ao e testes. Em seguida, na Se¸c˜ao 2.3 apresentaremos a deﬁni¸c˜ao

de verossimilhan¸ca perﬁlada e suas propriedades. Na Se¸c˜ao 2.4 apresentaremos as

vers˜oes modiﬁcadas da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada propostas por Barndorﬀ-

Neilsen (1983) e Cox e Reid (1987) e, tamb´em, aproxima¸c˜oes para a verossimilhan¸ca

perﬁlada modiﬁcada de Barndorﬀ-Nielsen.

2.2 Deﬁni¸c˜oes b´asicas

Suponha que y ´e o valor observado da vari´avel aleat´oria Y = (Y

, . . . , Y

)



asso-

ciada a um experimento aleat´orio, o qual ´e representado por um espa¸co de probabili-

dade (Ω, A, P), sendo Ω o conjunto de todos os poss´ıveis resultados do experimento,

A um σ-´algebra de subconjuntos de Ω e P uma medida de probabilidade deﬁnida nos

elementos de A . Suponha que Y seja caracterizada por uma fun¸c˜ao de densidade ou

de probabilidade com forma anal´ıtica f(y; θ) conhecida, mas envolvendo um vetor

θ = (θ

, . . . , θ

)



de parˆametros desconhecidos. Seja Θ ⊆ IR

o espa¸co param´etrico

representando o conjunto de valores poss´ıveis para o vetor θ. A fun¸c˜ao f(y; θ) ´e

denominada fun¸c˜ao do modelo estat´ıstico e deﬁne alguma fam´ılia F de distribui¸c˜ao

de probabilidade.

A fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca ´e deﬁnida como sendo igual a fun¸c˜ao modelo, em-

bora seja interpretada diferentemente como fun¸c˜ao de θ para y conhecido. Assim,

L = L(θ) = L(θ; y), onde θ ∈ Θ.

Sejam Y

, . . . , Y

n vari´aveis aleat´orias independentes com fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao

acumulada (f.d.a.) F (y

, . . . , y

|θ), onde θ ∈ Θ ´e desconhecido. A fun¸c˜ao de veros-

similhan¸ca ´e L(θ) = f(y

, . . . , y

|θ). Note que se Y

, . . . , Y

s˜ao vari´aveis aleat´orias

independentes, ent˜ao

L(θ) =



i=1

f(y

; θ).

Em muitas situa¸c˜oes ´e mais conveniente trabalhar com o logaritmo da fun¸c˜ao de

verossimilhan¸ca de θ, que ser´a denotado por

(θ) = (θ; y) = log L(θ).

O valor de θ que maximiza L(θ) em Θ, isto ´e, o valor



θ tal que L(



θ)=sup

θ ∈ Θ

L(θ),

´e chamado de estimativa de m´axima verossimilhan¸ca (EMV) de θ. Devido `a mono-

tonicidade da fun¸c˜ao logaritmo, o valor de θ que maximiza a fun¸c˜ao de verossimilhan-

¸ca L(θ; y) tamb´em maximiza (θ; y). Adicionalmente, no caso uniparam´etrico onde Θ

´e um intervalo da reta e (θ) ´e diferenci´avel, o estimador de m´axima verossimilhan¸ca

´e, na maioria dos casos, raiz da equa¸c˜ao de verossimilhan¸ca 



(



θ) = 0. Em exemplos

simples, a solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao pode ser obtida explicitamente. Entretanto, em

situa¸c˜oes mais complexas, tal solu¸c˜ao deve ser obtida por procedimentos num´ericos.

A fun¸c˜ao escore u(θ) ´e deﬁnida como

u(θ) =

∂

∂θ

(θ).

Para garantir que o estimador de m´axima verossimilhan¸ca de θ seja consistente e

possua distribui¸c˜ao limite conhecida, assumimos que a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca

satisfaz `as condi¸c˜oes usuais de regularidade (ver Cordeiro, 1992), o que implica que



∂

∂θ

(θ)



= 0.

Em suma, o valor esperado da fun¸c˜ao escore ´e sempre igual a zero. Um outro resul-

tado importante estabelece que quando as condi¸c˜oes de regularidade s˜ao satisfeitas

temos que



∂

∂θ

∂

∂θ





= −E



∂



∂θ∂θ





Esta igualdade ´e conhecida como igualdade da informa¸c˜ao.

A quantidade j(θ), denominada matriz de informa¸c˜ao observada, ´e dada por

j = j(θ) = −

∂

(θ)

∂θ∂θ



e a quantidade i(θ), denominada matriz de informa¸c˜ao esp erada ou matriz de in-

forma¸c˜ao de Fisher, ´e deﬁnida por

i = i(θ) = E{j(θ)}.

Assumimos que o vetor θ pode ser decomposto como θ = (τ, φ), onde τ tem di-

mens˜ao k e φ tem dimens˜ao p − k. Assim, temos a matriz de informa¸c˜ao observada

particionada

j = j(τ, φ) =



ττ

τφ

φτ

φφ



onde

ττ

= −

∂

(τ, φ)

∂τ∂τ



, j

τφ

= j



φτ

= −

∂

(τ, φ)

∂τ∂φ



e j

φφ

= −

∂

(τ, φ)

∂φ∂φ



Procedendo de forma an´aloga, temos para a matriz de informa¸c˜ao esperada a seguinte

parti¸c˜ao:

i = i(τ, φ) =



ττ

τφ

φτ

φφ



onde

ττ

= −E



∂

(τ, φ)

∂τ∂τ





, i

τφ

= i



φτ

= −E



∂

(τ, φ)

∂τ∂φ





e i

φφ

= −E



∂

(τ, φ)

∂φ∂φ





Em muitas situa¸c˜oes estaremos interessados em testar hip´oteses sobre uma parte

do vetor de parˆametros θ, digamos H

: τ = τ

contra H

: τ = τ

. Podemos deﬁnir

a estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas como

LR(τ) = 2{(τ ,



φ) − (τ,



φ(τ))},

onde τ ´e a estimativa de m´axima verossimilhan¸ca de τ e



φ(τ) ´e a estimativa de

m´axima verossimilhan¸ca de φ considerando τ ﬁxado. A estat´ıstica da raz˜ao de

verossimilhan¸cas tem, sob a hip´otese nula, distribui¸c˜ao assint´otica χ

, onde k ´e a

dimens˜ao do vetor τ .

2.3 Verossimilhan¸ca perﬁlada

Seja um modelo param´etrico F = {f(y; θ), y ∈ A, θ ∈ Θ}, Θ ⊆ IR

, sendo θ um

vetor de parˆametros desconhecidos de dimens˜ao p. Adotando a decomposi¸c˜ao (τ, φ)

para o vetor param´etrico θ, suponha que inferˆencias para o modelo F envolvem ape-

nas o parˆametro τ. Os parˆametros τ e φ s˜ao ditos ser de interesse e de perturba¸c˜ao,

respectivamente.

A fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada pode ser obtida substituindo, na fun¸c˜ao de

verossimilhan¸ca original, o vetor de parˆametros de perturba¸c˜ao φ por sua estimativa

de m´axima verossimilhan¸ca para valores ﬁxados do parˆametro de interesse denotada

por



Assim, podemos escrever



= (τ,



), onde



´e a solu¸c˜ao em φ de

∂(τ,φ)

∂φ

= 0.

A fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada ´e deﬁnida por

(τ) = L(τ,



Seja (τ, φ; y) o logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca, que ´e unicamente ma-

ximizado com rela¸c˜ao aos parˆametros dado y. Supondo que a estimativa



´e ´unica,

o logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada para τ ´e deﬁnido como



(τ) = (τ,



; y) = sup

(τ, φ; y).

A express˜ao acima sugere um procedimento de maximiza¸c˜ao em duas etapas. A

primeira etapa consiste em achar o valor ´unico



que maximiza (τ, φ) com respeito

a φ supondo τ constante. A segunda etapa visa encontrar o valor de τ que maximiza



(τ) = log L

(τ).

Dessa forma, o estimador de m´axima verossimilhan¸ca p erﬁlado τ

´e obtido no

caso continuamente diferenci´avel como solu¸c˜ao da equa¸c˜ao

∂

(τ)

∂τ

= 0.

A matriz de informa¸c˜ao observada perﬁlada do parˆametro de interesse τ ´e deﬁ-

nida de forma an´aloga `a matriz de informa¸c˜ao observada j(θ), isto ´e,

= j

(τ) = −

∂



(τ)

∂τ∂τ



A fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada L

(τ) n˜ao ´e uma fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca

genu´ına. Em particular, algumas propriedades v´alidas para a fun¸c˜ao de verossimi-

lhan¸ca n˜ao s˜ao satisfeitas para a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada, tais como as

propriedades que garantem que a esperan¸ca da fun¸c˜ao escore ´e sempre nula e que a

identidade da informa¸c˜ao n˜ao apresenta v´ıcio. Isto ´e, as igualdades

E{u

(τ)} = 0 e E



(τ)u



(τ)



+ E



∂u

(τ)

∂τ



= 0,

onde u

(τ) = ∂

(τ)/∂τ ´e a fun¸c˜ao escore perﬁlada associada a L

(τ), n˜ao s˜ao sempre

satisfeitas para a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada.

A estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas perﬁladas usada para testar hip´oteses

sobre τ, com φ desconhecido, ou seja, testar H

: τ = τ

contra H

: τ = τ

, ´e

= 2 {

(τ) −

(τ)}

= 2



(τ,



φ) − (τ,



)



Quando as condi¸c˜oes usuais de regularidade s˜ao satisfeitas, a distribui¸c˜ao assint´otica

de LR

sob a hip´otese nula ´e χ

, onde o n´umero de graus de liberdade k ´e a dimens˜ao

do vetor τ .

E interessante notar que a estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas LR

´e proporcional `a diferen¸ca entre os logaritmos de duas fun¸c˜oes de verossimilhan¸cas

perﬁladas maximizadas.

2.4 Ajustes para verossimilhan¸ca perﬁlada

Por causa de sua irrestrita aplicabilidade, a verossimilhan¸ca perﬁlada desem-

penha um papel fundamental na inferˆencia estat´ıstica em problemas com parˆametros

de perturba¸c˜ao. Ela ´e uma ferramenta atraente para realizar inferˆencias sobre o

parˆametro de interesse τ devido `as semelhan¸cas existentes com a fun¸c˜ao de veros-

similhan¸ca original. Infelizmente, ela n˜ao usufrui de todas as propriedades de uma

verossimilhan¸ca genu´ına. Usar L

(τ) ´e agir como se φ fosse conhecido e igual a



Isto pode n˜ao ser razo´avel quando os dados n˜ao contˆem muita informa¸c˜ao sobre φ,

fato que usualmente acontece quando a dimens˜ao do parˆametro φ ´e grande.

E por

esta raz˜ao que se faz necess´ario ajustar a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada de

alguma forma. Diversas aproxima¸c˜oes para as fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca marginal

e condicional podem ser expressas em termos da verossimilhan¸ca perﬁlada, dando

origem a verossimilhan¸cas perﬁladas modiﬁcadas. A seguir apresentaremos os ajustes

propostos por Barndorﬀ-Nielsen (1983) e Cox e Reid (1987, 1993) e tamb´em apro-

xima¸c˜oes para verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada propostas por Severini (1998,

1999).

2.4.1 Verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada de Barndorﬀ-Nielsen

A fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca p erﬁlada modiﬁcada introduzida por Barndorﬀ-

Nielsen (1983) pode ser derivada como uma aproxima¸c˜ao para uma verossimilhan¸ca

marginal ou condicional para τ, quando uma destas existir. Isto ´e feito com base

na f´ormula p

∗

, que ´e uma aproxima¸c˜ao para a fun¸c˜ao de densidade condicional do

estimador de m´axima verossimilhan¸ca do vetor de parˆametros do modelo dada uma

estat´ıstica ancilar. Seja uma fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca L(θ; s) associada a um mode-

lo estat´ıstico hipot´etico com o vetor param´etrico θ e seja s uma estat´ıstica suﬁciente

minimal para θ, onde s ressalta a depedˆencia desta fun¸c˜ao das observa¸c˜oes da vari´avel

modelada. A express˜ao de p

∗

´e dada por

∗

(



θ|a; θ) = c(θ, a)|j(θ;



θ, a)|

1/2

L(θ;



θ, a)



θ;



θ, a)

onde a ´e uma estat´ıstica ancilar,



θ ´e o estimador de m´axima verossimilhan¸ca de θ ,

(



θ, a) ´e uma fun¸c˜ao um-a-um de s e j(θ;



θ, a) = −∂

log L(θ;



θ, a)/∂θ

´e a informa¸c˜ao

observada. Esta aproxima¸c˜ao tem erro relativo de ordem O(n

−3/2

) para



θ = θ +

−1/2

). Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade c(θ, a) ´e igual

a (2π)

−dimθ/2

(1 + O(n

−1

)) (Pace e Salvan, 1997, Cap´ıtulo 11), em que dimθ ´e a

dimens˜ao do vetor param´etrico θ; esta constante ´e muitas vezes tomada como sendo

(2π)

−dimθ/2

, obtendo-se assim uma aproxima¸c˜ao para p

∗

(



θ|a; θ) de ordem O(n

−1

Para derivar a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca proposta por Barndorﬀ-Nielsen (1983,

1994), ´e necess´aria a existˆencia de uma estat´ıstica a

tal que, quando τ ´e considerado

ﬁxo, (φ

, a

) ´e suﬁciente minimal e a

´e ancilar. Ou seja, a distribui¸c˜ao de a

pode

depender de τ mas n˜ao de φ.

Inicialmente consideraremos tal fun¸c˜ao como aproxima¸c˜ao de uma verossimi-

lhan¸ca marginal. Suponha que (τ,



φ, a) ´e uma transforma¸c˜ao um a um da estat´ıstica

suﬁciente minimal do modelo. Aqui, τ e



φ s˜ao os estimadores de m´axima verossi-

milhan¸ca de τ e φ, respectivamente, e a ´e uma estat´ıstica ancilar. Assuma tamb´em

que, ﬁxado τ, τ seja ancilar, portanto, sua distribui¸c˜ao n˜ao depende de φ. Observe

que a distribui¸c˜ao condicional de τ dado a pode ser expressa por

p(τ|a; τ) =

p(τ,



φ|a; τ, φ)



φ|τ, a; τ, φ)

. (2.1)

A densidade p(τ,



φ|a; τ, φ) pode ser aproximada pela f´ormula p

∗

. Assim, temos

∗

(τ,



φ|a; τ, φ) = c

(τ, φ, a)|j(τ,



φ; τ,



φ, a)|

1/2

L(τ, φ; τ,



φ, a)

L(τ,



φ; τ,



φ, a)

. (2.2)

A densidade condicional de



φ dado (τ, a) pode ser aproximada usando p

∗

para a-

proximar a densidade condicional de



dado (τ, a) no modelo com τ ﬁxado, trans-

formando esta aproxima¸c˜ao em uma aproxima¸c˜ao para a densidade condicional de



φ.

Aplicando a f´ormula p

∗

para o modelo com τ ﬁxado temos

∗

(



|τ, a; τ, φ) = c

(τ, φ, a)|j

φφ

(τ,



; τ,



, a)|

1/2

L(τ, φ; τ,



, a)

L(τ,



; τ,



, a)

em que j

φφ

(τ,



; τ,



, a) = −∂

(τ, φ; τ,



, a)/∂φ

avaliada em (τ,



). Em segui-

da, realizando uma mudan¸ca de vari´avel na express˜ao acima, obt´em-se

∗

(



φ|τ, a; τ, φ) = c

(τ, φ, a)|j

φφ

(τ,



; τ,



φ, a)|

1/2

L(τ, φ; τ,



φ, a)

L(τ,



; τ,



φ, a)



∂



∂





. (2.3)

Agora, substituindo as densidades p(τ,



φ|a; τ, φ) e p(



φ|τ, a; τ, φ) por suas express˜oes

aproximadas (2.2) e (2.3) na equa¸c˜ao (2.1), obtemos a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca

perﬁlada modiﬁcada proposta por Barndorﬀ-Nielsen:

(τ) =



∂



∂





−1

φφ

(τ,



−1/2

(τ),

em que L

(τ) ´e a verossimilhan¸ca perﬁlada de τ, j

φφ

(τ,



) ´e a informa¸c˜ao observada

correspondente a φ quando τ ´e ﬁxado, ∂



/∂



φ ´e a matriz de derivadas parciais de



em rela¸c˜ao a



φ e as barras representam o determinante.

Esta aproxima¸c˜ao da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca marginal possui erro de ordem

O(n

−3/2

) quando comparada com a fun¸c˜ao de verossimihan¸ca marginal exata, caso

esta exista. Tomando o logaritmo de L

obt´em-se



(τ) = 

(τ) − log



∂



∂





−

log |j

φφ

(τ,



; τ,



φ, a)|.

O ponto de m´aximo de 

(τ) ser´a indicado por τ

e u

(τ) = ∂

(τ)/∂τ

denotar´a a fun¸c˜ao escore correspondente.

O jacobiano



∂



∂





pode ser expresso em termos de uma derivada do espa¸co amostral do logaritmo da

fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca. Observe que



satisfaz

∂(τ,



; τ,



φ, a)

∂φ

= 0.

Diferenciando esta express˜ao com rela¸c˜ao a



φ, produz-se a igualdade

∂

(τ,



)

∂



∂



∂





∂(τ,



)

∂φ



= 0.

Logo,

∂



∂



= j

φφ

(τ,



; τ,



φ, a)

−1

φ;



(τ,



; τ,



φ, a).

Para derivar a verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada como uma aproxima¸c˜ao para

uma fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca condicional precisamos que, ﬁxado τ , (



, a) seja

suﬁciente para o modelo. A fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca condicional pode ser baseada

p(τ|



φ, a; τ, φ) =

p(τ,



φ|a; τ, φ)



φ|a; τ, φ)

Uma aproxima¸c˜ao para esta densidade condicional pode ser obtida aproximando

as densidades p(τ,



φ|a; τ, φ) e p(



φ|a; τ, φ) atrav´es da aproxima¸c˜ao p

∗

. Assim, de forma

an´aloga ao procedimento anterior podemos obter L

(τ).

2.4.2 Verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada de Cox e Reid

Cox e Reid (1987) deﬁniram uma vers˜ao modiﬁcada da verossimilhan¸ca perﬁ-

lada explorando as conseq¨uˆencias de ortogonalidade entre os parˆametros de interesse

e de perturba¸c˜ao. Esta vers˜ao modiﬁcada ´e uma aproxima¸c˜ao para a fun¸c˜ao den-

sidade condicional das observa¸c˜oes dado o estimador de m´axima verossimilhan¸ca

do parˆametro de perturba¸c˜ao. Seja θ = (τ, φ) o vetor param´etrico para um modelo

estat´ıstico com fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca L(τ, φ). As componentes τ e φ de θ s˜ao or-

togonais se as componentes do vetor escore s˜ao assintoticamente n˜ao-correlacionadas

ou, equivalentemente, se i

τφ

= 0.

A principal conseq¨uˆencia da ortogonalidade dos parˆametros ´e a independˆencia

assint´otica dos estimadores de m´axima verossimilhan¸ca de τ e φ. Dessa forma, a

matriz de covariˆancia de τ pode ser avaliada como se φ fosse conhecido. De fato,

ττ

= (i

ττ

− i

τφ

φφ

)

−1

φτ

)

−1

= (i

ττ

)

−1

se i

τφ

= 0.

Uma outra conseq ¨uˆencia importante ´e que



−



φ = O

−1

), enquanto que usual-

mente



−



φ = O

−1/2

). O logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca pode ser

expandido em s´erie de Taylor em torno de (τ,



φ) como

(θ) =(



θ) −



(τ −τ)

ττ

(τ,



φ) + 2(τ − τ)(φ −



φ)j

τφ

(τ,



φ) + (φ −



φ)

φφ

(τ,



φ)



+ O

−1/2

(2.4)

Se τ e φ s˜ao ortogonais, j(τ, φ) e j(τ,



φ) s˜ao de ordem O

1/2

). Portanto,

(τ, φ) = c −

(τ − τ)

ττ

(τ,



φ) −

(φ −



φ)

φφ

(τ,



φ) + O

−1/2

)

= 

(τ) + 

(φ) + O

−1/2

)

para θ =



θ + O

−1/2

), onde c ´e uma constante que n˜ao envolve os parˆametros. De

(2.4), sob ortogonalidade dos parˆametros, temos que

(τ,



φ) = (τ, φ) −



(τ −τ)

ττ

(τ,



φ) + (φ −



φ)



φφ

(τ, φ)(φ −



φ)



+ O

−1/2

Portanto, a verossimilhan¸ca condicional dado



φ pode ser aproximada por

log p(y|



φ; τ) = c(y) + (τ, φ) −

log |j

φφ

(τ, φ )| +

(



φ − φ)



φφ

)

−1

(



φ − φ).

Esta fun¸c˜ao n˜ao ´e independente de φ, pois a suﬁciˆencia parcial de



φ para φ ´e somente

observada assintoticamente; portanto, uma aproxima¸c˜ao foi utilizada. Uma solu¸c˜ao

natural ´e substituir φ por



. Atrav´es deste procedimento e dado que



−



φ =

−1

), a forma quadr´atica (



φ −



)



φφ

)

−1

(



φ −



) tem ordem O

−1

) e pode

ser desconsiderada.

Assim, o logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca proposta por Cox e Reid (1987)

´e dado por



(τ) = (τ,



) −

log |j

φφ

(τ,



)|, (2.5)

em que j

φφ

(τ,



) ´e a informa¸c˜ao observada correspondente a φ quando τ ´e ﬁxado.

Esta ´e uma vers˜ao penalizada do logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada,

onde a penaliza¸c˜ao leva em conta a informa¸c˜ao sobre o parˆametro de perturba¸c˜ao.

A fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada proposta por Cox e Reid (1987)

pode ser obtida aplicando a fun¸c˜ao inversa aos dois membros da igualdade (2.5),

assim obtemos:

(τ) = |j

φφ

(τ,



−1/2

(τ).

A correspondente fun¸c˜ao escore ´e dada por u

(τ) = ∂

(τ)/∂τ. O valor que

maximiza 

(τ) ser´a denotado por τ

A obten¸c˜ao da fun¸c˜ao 

(τ) requer a ortogonalidade dos parˆametros τ e φ.

Quando esta condi¸c˜ao n˜ao ´e satisfeita precisamos encontrar uma reparametriza¸c˜ao

do tipo (τ, λ(τ, φ)), onde τ e λ sejam ortogonais. Por´em, nem sempre ´e poss´ıvel

encontrar tal reparametriza¸c˜ao, exceto para o caso em que o parˆametro de interesse

´e escalar.

Assim, consideraremos o caso em que τ ´e um escalar e que φ = (φ

, . . . , φ

) ´e um

vetor de parˆametros. Estamos interessados em encontrar uma parametriza¸c˜ao (τ, λ),

com λ = λ(τ, φ) = (λ

(τ, φ), . . . , λ

(τ, φ)), tal que τ e λ sejam ortogonais. Denotamos

por 

⊥

(τ, λ) o logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca na nova parametriza¸c˜ao, i.e.,



⊥

(τ, λ ) = (τ, φ(τ, λ)).

Diferenciando os dois lados da igualdade acima com respeito a τ, temos

∂

⊥

∂τ

∂

∂τ



r=1

∂

∂φ

∂τ

Diferenciando com respeito a λ

, obtemos

∂



⊥

∂τ∂λ



h=1

∂



∂τ∂φ

∂φ

∂λ



r=1



h=1

∂



∂φ

∂λ

∂φ

∂τ



r=1

∂

∂φ

∂

∂τ∂λ

, (2.6)

para m = 1, . . . , q.

A parametriza¸c˜ao (τ, λ) deve satisfazer



∂



⊥

∂τ∂λ



= 0,

para m = 1, . . . , q. Tomando o valor esperado de ambos os lados de (2.6) ob-

servamos que a contribui¸c˜ao do terceiro termo do lado direito da equa¸c˜ao ´e nula,

pois E {∂/∂φ

} = 0 para todo r = 1, . . . , q. Assim, podemos concluir que a

parametriza¸c˜ao (τ, λ) deve satisfazer o seguinte sistema de equa¸c˜oes diferenciais par-

ciais:



h=1

∂φ

∂λ



τφ



r=1

∂φ

∂τ



= 0, m = 1 , . . . , q,

isto ´e,



r=1

∂φ

∂τ

= −i

τφ

, h = 1, . . . , q,

onde

τφ

= −E



∂



∂τ∂φ



e i

= −E



∂



∂φ



Se τ = (τ

, τ

), podemos calcular independentemente ∂φ

/∂τ

e ∂φ

/∂τ

atrav´es

destas equa¸c˜oes, por´em n˜ao h´a garantia de que a condi¸c˜ao de compatibilidade ∂

∂τ

= ∂

/∂τ

∂τ

ser´a satisfeita. Assim, ﬁca claro porque, em geral, n˜ao ´e

poss´ıvel obter ortogonalidade entre os parˆametros quando o parˆametro de interesse

n˜ao ´e escalar.

Uma outra desvantagem na utiliza¸c˜ao de 

(τ) ´e que esta fun¸c˜ao n˜ao ´e invari-

ante sob reparametriza¸c˜oes do tipo (τ, φ) → (ζ, λ), onde ζ = ζ( τ ) e λ = λ(τ, φ),

diferentemente de L

(τ).

2.4.3 Aproxima¸c˜oes para a verossimilhan¸ca de Barndorﬀ-Nielsen

Na Se¸c˜ao 2.4.1 vimos que a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada pro-

posta por Barndorﬀ-Nielsen depende da quantidade



∂



∂





−1

, onde

∂



∂



= j

φφ

(τ,



; τ,



φ, a)

−1



φ;



(τ,



; τ,



φ, a).

A quantidade 

φ;



(τ,



; τ,



φ, a) ´e uma derivada relativa ao espa¸co amostral,

sendo na maioria das situa¸c˜oes de dif´ıcil (ou at´e mesmo imposs´ıvel) obten¸c˜ao. Para

lidar com esta diﬁculdade diversas aproxima¸c˜oes para a derivada do espa¸co amostral

do logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca tˆem sido propostas. Nesta se¸c˜ao apre-

sentaremos duas destas aproxima¸c˜oes: uma baseada nas covariˆancias de derivadas do

logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca e a outra baseada em covariˆancias emp´ıricas.

Inicialmente desenvolveremos uma aproxima¸c˜ao para 

θ;



(θ; θ

, a) com base nas

covariˆancias das derivadas do logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca. Para tanto,

deﬁnimos

I(θ; θ

) = E[

(θ)

(θ

)

; θ

Utilizaremos a nota¸c˜ao



(θ) = 

(θ;



θ, a) =

∂(θ;



θ, a)

∂θ

e 

θ;



(θ) = 

θ;



(θ;



θ, a) =

∂

(θ;



θ, a)

∂



Para θ = θ

+ δ/

√



θ;



(θ; θ

, a) − 

;



(θ

; θ

, a) = I(θ; θ

) − I(θ

; θ

) + O(1)

e, assim,

I(θ; θ

) + 

;



(θ

; θ

, a) − I(θ

; θ

) = I(θ; θ

) + j(θ

) − i(θ

)

= I(θ; θ

) + i(θ

){i(θ

)

−1

j(θ

) − D}

= I(θ; θ

) + {I(θ; θ

) + O(n

1/2

)}

× {i(θ

)

−1

j(θ

) − D}

= I(θ; θ

)i(θ

)

−1

j(θ

) + O(1),

onde D denota a matriz identidade. Observe que usamos o fato de que



θ;



(θ; θ, a) = −

θθ

(θ; θ, a) = j(θ).

Este resultado ´e obtido derivando a igualdade 

(



θ;



θ, a) = 0 com rela¸c˜ao a



θ e

avaliando em



θ = θ; assim, tem-se que



(θ; θ, a) + 

θ;



(θ; θ, a) = 0.

Tamb´em foram usadas as expans˜oes

i(θ

) = I(θ; θ

) + O(n

1/2

) e i(θ

)

−1

j(θ

) = D + O(n

−1/2

Dessa forma, 

θ;



(θ; θ

, a) pode ser aproximado por I(θ; θ

)i(θ

)

−1

j(θ

Assim, fazendo θ



θ, uma aproxima¸c˜ao para 

θ;



(θ) com erro relativo de ordem

O(n

−1/2

) ´e dada por



θ;



(θ) = I(θ;



θ)i(



θ)

−1



θ).

Como i(



θ)

−1



θ) = D + O

−1/2

), costuma-se utilizar



θ;



(θ) = I(θ;



θ).

Este m´etodo de aproxima¸c˜ao foi usado por Skovgaard (1996) e Severini (1998);

ver tamb´em Barndorﬀ-Nielsen (1995).

Utilizando um argumento an´alogo, 

φ;



(τ,



) pode ser aproximado por I

(



;



θ),

onde

(θ; θ

) = I

(τ, φ; τ

, φ

) = E

(τ

,φ

)





(τ, φ ) , 

(τ

, φ

)





Assim, podemos aproximar 

(τ) por



(τ) = 

(τ) +

log |j

φφ

(τ,



)| − log |I

(τ,



; τ,



φ)|.

em que 

(τ) ´e a verossimilhan¸ca perﬁlada de τ, j

φφ

(τ,



) ´e a informa¸c˜ao observada

correspondente a φ quando τ ´e ﬁxado e as barras representam o determinante. Esta

aproxima¸c˜ao tamb´em tem erro relativo de ordem O(n

−1/2

). O correspondente esti-

mador de m´axima verossimilhan¸ca ser´a denotado por



¯τ

e a fun¸c˜ao escore, por

¯u

(τ) = ∂



(τ)/∂τ.

Supondo que os dados consistem de n observa¸c˜oes independentes, as covariˆancias

usadas em



(τ) podem ser subtitu´ıdas por covariˆancias emp´ıricas sem que a ordem

do erro de aproxima¸c˜ao seja alterada. Este m´etodo de aproxima¸c˜ao ´e baseado em

Severini (1999). Seja 

(j)

(θ) o logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca baseado na

j-´esima observa¸c˜ao; ent˜ao, (θ) =





(j)

(θ). Dessa maneira, I(θ; θ

) pode ser escrito

como

I(θ, θ

) = E









j=1



(j)

(θ

)

(j)

(θ)









e, conseq¨uentemente, aproximado por

I(θ, θ

) =



j=1



(j)

(θ

)

(j)

(θ)



De maneira an´aloga, temos

(θ; θ

) =

(τ, φ; τ

, φ

) =



j=1



(j)

(τ, φ), 

(j)

(τ

, φ

)



Inserindo

(τ, φ

; τ,



φ) no lugar de I

(τ, φ

; τ,



φ) na aproxima¸c˜ao



(τ) obte-

mos uma aproxima¸c˜ao para 

(τ) baseada em covariˆancias emp´ıricas:



(τ) = 

(τ) +

log |j

φφ

(τ,



)| − log |

(τ,



; τ,



φ)|.

O correspondente estimador de m´axima verossimilhan¸ca ser´a denotado por



˘τ

, a

fun¸c˜ao escore associada sendo ˘u

(τ) = ∂



(τ)/∂τ. Esta aproxima¸c˜ao ´e f´acil de

ser obtida numericamente, tornando-se bastante coveniente quando s˜ao encontradas

diﬁculdades no c´alculo das esperan¸cas dos produtos de derivadas do logaritmo da

fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca.

Cap´ıtulo 3

Distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders

3.1 Introdu¸c˜ao

A distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders foi inicialmente proposta por Birnbaum e

Saunders (1969a) para modelar o tempo de falha de um material sujeito a uma

mesma conﬁgura¸c˜ao de estresse de forma c´ıclica. A cada ciclo ocorre um aumento

na ruptura do material e a falha ocorre quando o tamanho da ruptura atinge um

valor limiar. Para chegar `a distribui¸c˜ao, uma das suposi¸c˜oes feitas por Birnbaum

e Saunders (1969a) foi que o tamanho da ruptura seguia uma distribui¸c˜ao normal.

Entretanto, Desmond (1985) mostrou que uma variedade de distribui¸c˜oes para o

tamanho da ruptura resulta em uma distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders. Desmond

(1986) observou que outras suposi¸c˜oes feitas por Birnbaum e Saunders (1969a) para

derivar a distribui¸c˜ao tamb´em poderiam ser relaxadas.

A distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders assumiu um importante papel na modelagem

do tempo de falha em processos de fadiga. Tamb´em vem sendo largamente utilizada

como um meio eﬁcaz de modelar falhas de desgaste estoc´astico em geral.

Neste cap´ıtulo apresentaremos, de forma introdut´oria, a distribui¸c˜ao Birnbaum-

Saunders, incluindo a sua fun¸c˜ao densidade, fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada e in-

ferˆencias sobre seus parˆametros. Em seguida, desenvolveremos ajustes para a fun¸c˜ao

de verossimilhan¸ca perﬁlada para o caso em que temos como parˆametro de interesse

o parˆametro de forma e tamb´em quando o parˆametro de interesse ´e o parˆametro

de escala. Consideraremos os ajustes propostos p or Cox e Reid (1987, 1993) e por

Barndorﬀ-Nielsen (1983). Apresentaremos alguns testes da raz˜ao de verossimilhan¸cas

baseados nos ajustes obtidos. Tamb´em avaliaremos o comp ortamento em amostras

ﬁnitas dos diferentes testes em rela¸c˜ao a tamanho e a poder. Alguns trabalhos re-

centes sobre a distribui¸c˜ao Birnbaum-Sauders s˜ao Chang e Tang (1993, 1994), Lu e

Chang (1997), Dupuis e Mills (1998), Ng et al. (2003) e Wu e Wong (2004). Ver

tamb´em Johnson et al. (1995).

3.2 Deﬁni¸c˜oes b´asicas

Se T ´e uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders, denotada

por BS(α, β), ent˜ao sua fun¸c˜ao densidade de probabilidade (f.d.p.) ´e dada por

f(t; α, β) =

√

2παβ







1/2





3/2



exp



−

2α



− 2



, t, α, β > 0,

(3.1)

em que α ´e o parˆametro de forma e β ´e o parˆametro de escala. A correspondente

fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada ´e

F (t; α, β) = Φ







1/2

−





1/2



, 0 < t < ∞, α, β > 0, (3.2)

em que Φ denota a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada da normal padr˜ao.

As Figuras 3.1 (a) e (b) ilustram a fun¸c˜ao de densidade e a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao

acumulada, respectivamente, para diferentes valores do parˆametros de forma con-

siderando o parˆametro de escala ﬁxo (β = 4). Na Figura 3.1 (a), observamos que

a densidade (3.1) ´e assim´etrica `a direita. Entretanto, a medida que o valor de α

decresce, particularmente para valores menores que um, a densidade torna-se mais

sim´etrica. Na Figura 3.1 (b), observamos que para difentes escolhas do parˆametro α

as suas respectivas fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao apresentam formas bem diferenciadas.

Mann et al. (1974, p. 155) mostraram que a fun¸c˜ao de densidade Birnbaum-

Saunders ´e unimodal e, embora a taxa de falhas h(t ; α, β) = f(t; α, β)/[1−F (t; α, β)]

n˜ao seja uma fun¸c˜ao crescente de t, a taxa de falhas m´edia ´e pr´oxima de uma fun¸c˜ao

n˜ao-decrescente em t. A Figura 3.2 apresenta a taxa de falhas para alguns valores

de α considerando β ﬁxo (β = 4).

Figura 3.1 Gr´aﬁcos das fun¸c˜oes de densidade (a) e de distribui¸c˜ao acumulada (b)

Birnbaum-Saunders para β = 4 e diferentes valores do parˆametro α.

0 2 4 6 8 10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

(a) t

densidade

0 2 4 6 8 10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(b) t

acumulada

α = 0.2

α = 0.5

α = 1.0

α = 1.5

α = 2.0

α = 3.0

Figura 3.2 Gr´aﬁco da fun¸c˜ao de taxas de falhas da Birnbaum-Saunders

para β = 4 e diferentes valores do parˆametro α.

0 2 4 6 8 10

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

h(t)

α = 0.4

α = 0.6

α = 0.8

α = 1.0

α = 1.4

α = 1.8

α = 2.2

Se T tem distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders com parˆametros α e β, podemos con-

siderar a seguinte transforma¸c˜ao monotˆonica:

X =







1/2

−





−1/2



A partir de (3.2), temos que X tem distribui¸c˜ao normal com m´edia zero e variˆancia

. Assim, n´umeros pseudo-aleat´orios provenientes de uma distribui¸c˜ao Birnbaum-

Saunders podem ser gerados a partir de uma distribui¸c˜ao normal atrav´es da rela¸c˜ao

T = β{1 + 2X

+ 2X(1 + X

)

1/2

Os momentos de T podem ser obtidos atrav´es da express˜ao abaixo, em que o

lado direito desta equa¸c˜ao depende apenas de α, pois o parˆametro β ´e apenas um

multiplicador e n˜ao afeta a forma da distribui¸c˜ao. O valor esperado de (T/β)

´e









j=0







i=0





[2(r − j + i)]

r−j+i

(r − j + i)





2(r−j+i)

Usando a equa¸c˜ao acima, a esperan¸ca, a variˆancia e os coeﬁcientes de assimetria e

curtose podem ser obtidos facilmente como

E(T ) = β(1 +

V ar(T ) = (αβ)

(1 +

16α

(11α

+ 6)

(5α

+ 4)

= 3 +

6α

(93α

+ 41)

(5α

+ 4)

respectivamente. A distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders possui algumas propriedades

interessantes. O parˆametro de escala β ´e a mediana da distribui¸c˜ao pois F

(β) =

Φ(0) = 1/2. Para qualquer constante k > 0, tem-se que kT ∼ BS(α, kβ). Adi-

cionalmente, a distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders possui propriedade rec´ıproca, isto ´e,

se T tem distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders com parˆametros α e β, ent˜ao T

−1

tem

distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders com os parˆametros α e β

−1

. Portanto,

E(T

−1

) = β

−1

(1 +

)

V ar(T

−1

) = α

−2

(1 +

3.3 Estima¸c˜ao dos parˆametros

Seja t = (t

, . . . , t

)



uma amostra aleat´oria de tamanho n proveniente de uma

distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders com f.d.p. dada em (3.1). O logaritmo da fun¸c˜ao

de verossimilhan¸ca para θ = (α, β) pode ser escrito como

(θ) = −n log(αβ) +



i=1

log







1/2





3/2



−

2α



i=1



− 2



. (3.3)

A fun¸c˜ao escore total u(θ) = (u

, u

) tem componentes dadas por

∂(θ)

∂α

= −



− 2



∂(θ)

∂β

= −



K(β)



2α



−



em que

r =



i=1

, s =





i=1

−1



−1

e K(γ) =





i=1

(γ + t

)

−1



−1

, para γ > 0.

(3.4)

A matriz de informa¸c˜ao observada ´e dada por

j(θ) =



αα

(θ) j

αβ

(θ)

βα

(θ) j

ββ

(θ)



em que

αα

(θ) = −

∂

(θ)

∂α

= −



− 2



αβ

(θ) = j

βα

(θ) = −

∂

(θ)

∂α∂β

= −



−



ββ

(θ) = −

∂

(θ)

∂β

= −





(β)



sendo r, s e K(γ) dados em (3.4) e K



(β) = ∂K(β)/∂β. Calculando a esperan¸ca

de j(θ) obtemos a matriz de informa¸c˜ao de Fisher i(θ). Os parˆametros α e β s˜ao

ortogonais, pois o elemento i

αβ

(θ) da matriz de informa¸c˜ao ´e nulo.

Os estimadores de m´axima verossimilhan¸ca s˜ao obtidos a partir da solu¸c˜ao das

equa¸c˜oes ∂(θ)/∂α = 0 e ∂(θ)/∂β = 0. O estimador de m´axima verossimilhan¸ca

para β ´e a raiz positiva da equa¸c˜ao n˜ao-linear

− β[2r + K(β)] + r[s + K(β)] = 0. (3.5)

Uma vez obtido o estimador de m´axima verossimilhan¸ca



β para β, podemos obter o

estimador de m´axima verossimilhan¸ca para α, dado por

α =





− 2



1/2

Os estimadores α e



β tˆem distribui¸c˜ao assint´otica normal bivariada, como foi

mostrado por Engelhardt et al. (1981):



α





∼ N









n[0,25+α

−2

+I(α)]



, (3.6)

em que

∼ denota assintoticamente distribu´ıdo,

I(α) = 2



∞

{[1 + g(αx)]

−1

− 0, 5}

dΦ(x) e g(y) = 1 +

+ y



1 +



1/2

Intervalos de conﬁan¸ca assint´oticos para α e



β podem ser obtidos a partir de (3.6).

Em rela¸c˜ao ao teste da raz˜ao de verossimilhan¸cas para os parˆametros da dis-

tribui¸c˜ao, suponha que estamos interessados em testar H

: α = α

contra H

α = α

. Para este caso, temos que LR(α) = 2{L(α,



β) − L(α



β)}. Se o inte-

resse residir em testar H

: β = β

contra H

: β = β

, a estat´ıstica da raz˜ao de

verossimilhan¸cas ser´a dada por LR(β) = 2{L(α,



β) − L(α, β

)}. Nas duas situa¸c˜oes

LR tem distribui¸c˜ao assint´otica, sob a hip´otese nula, qui-quadrado com um grau de

liberdade.

3.4 Ajustes para a distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders

Nesta se¸c˜ao consideraremos o problema de realizar inferˆencias sobre um dos pa-

rˆametros da distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders atrav´es da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca

perﬁlada. Tamb´em obteremos as fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcadas

de Cox e Reid (1987) e Barndorﬀ-Nielsen (1983) e, adicionalmente, determinaremos

estat´ısticas da raz˜ao de verossimilhan¸cas baseadas nestas fun¸c˜oes.

Podemos considerar duas situa¸c˜oes, a saber: caso (i), α sendo o parˆametro de

interesse e β sendo o parˆametro de perturba¸c˜ao; caso (ii), β sendo o parˆametro de

interesse e α, o parˆametro de perturba¸c˜ao.

No primeiro caso, ﬁxando α e resolvendo a equa¸c˜ao u

= 0, obtemos o estimador

de m´axima verossimilhan¸ca restrito de β (



). O estimador



´e o mesmo estimador

de m´axima verossimilhan¸ca original



β que pode ser obtido como solu¸c˜ao da equa¸c˜ao

n˜ao-linear dada em (3.5). Substituindo β por



β na fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca original

obtemos a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada para α. O logaritmo da fun¸c˜ao de

verossimilhan¸ca perﬁlada ´e dado por



(α) = −n log α − n log



β +



i=1

log











1/2







3/2





−

2α





− 2



Calculando ∂

(α)/∂α, obtemos a fun¸c˜ao escore perﬁlada para α:

(α) = −





− 2



Resolvendo a equa¸c˜ao u

(α) = 0 obtemos

α





− 2



1/2

que ´e a estimativa de m´axima verossimilhan¸ca perﬁlada para α. Observe que α

= α.

O logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada proposta por Cox

e Reid (1987) obtida para o parˆametro α ´e



(α) = 

(α) −

log |j

ββ

(α,



)|,

em que

ββ

(α,



) = −









(



β)

(



β)





β) =





i=1

(



β + t

)

−1



−1



(



β) =



(



β + t

)

−2





(



β + t

)

−1



A fun¸c˜ao escore modiﬁcada correspondente ´e dada por

(α) = −









− 2







−







(



β)

(



β)



−





−1







O estimador de m´axima verossimilhan¸ca p erﬁlado modiﬁcado α

para α , que

´e obtido como solu¸c˜ao da equa¸c˜ao u

(α) = 0, n˜ao possui forma fechada. Assim, ´e

necess´aria a utiliza¸c˜ao de um procedimento de otimiza¸c˜ao n˜ao-linear para encontrar o

valor de α que maximiza a fun¸c˜ao 

(α), como, por exemplo, o algoritmo de Newton

(Newton-Raphson, escore de Fisher) ou um algoritmo quasi-Newton (BFGS); ver

Nocedal e Wright (1999) para detalhes sobre tais algoritmos.

O logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada proposta por

Barndorﬀ-Nielsen (1983) para o parˆametro α ´e dado por



(α) = 

(α) + log

ββ

(α,



1/2

β;



(α,



. (3.7)

A quantidade j

β;



(α,



) envolve derivadas sobre o espa¸co amostral de forma que

sua obten¸c˜ao ´e tipicamente complicada. Assim, ´e ´util adotar uma aproxima¸c˜ao para

obten¸c˜ao desta quantidade. Utilizamos a aproxima¸c˜ao baseada nas covariˆancias

emp´ıricas proposta por Severini (1999) devido `a diﬁculdade de encontrar as co-

variˆancias populacionais envolvidas. Tal aproxima¸c˜ao ´e dada por

I(α,



; α,



β) =



j=1



(j)

(



)

(j)

(



θ)



−





j=1

−







α









j=1

−





j=1







j=1

α



j=1





em que





−1/2



−1/2

+ 3



1/2

−3/2

−1/2



1/2



3/2

−3/2





e B





−



A fun¸c˜ao escore perﬁlada modiﬁcada ´e obtida a partir de u

(α) = ∂

(α)/∂α.

O estimador de m´axima verossimilhan¸ca perﬁlado α

´e obtido como solu¸c˜ao de

(α) = 0 e n˜ao apresenta forma fechada, devendo ser obtido numericamente.

A estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas baseada na fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca

perﬁlada modiﬁcada de Cox e Reid, 

(α), para testar H

: α = α

contra H

α = α

´e dada por

(α) = 2 {

(α) − 

(α

)},

em que α ´e o valor de α que maximiza 

(α). A estat´ıstica da raz˜ao de veros-

similhan¸cas baseada na verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada de Barndorﬀ-Nielsen,

(α), ´e deﬁnida de maneira semelhante. Assim, temos

(α) = 2 {

(α) − 

(α

)},

em que α ´e o valor de α que maximiza 

(α). Assintoticamente e sob a hip´otese

nula, estas estat´ısticas tˆem distribui¸c˜ao qui-quadrado com um grau de liberdade.

Agora consideraremos o caso (ii), ou seja, o parˆametro de interesse ´e o parˆametro

de escala β e α ´e o parˆametro de perturba¸c˜ao. Fixando β e resolvendo a equa¸c˜ao u

0 com rela¸c˜ao a α obtemos a estimativa de m´axima verossimilhan¸ca do parˆametro

de perturba¸c˜ao α considerando β ﬁxo:

α



− 2



1/2

Substituindo α

no logaritmo da fun¸c˜ao verossimilhan¸ca original obtemos o lo-

garitmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada. Para o caso em quest˜ao tal fun¸c˜ao

´e dada, ignorando uma constante, por



(β) = (α

, β) = −

log



− 2



− n log β +



i=1

log







1/2





3/2



em que r e s s˜ao dados em (3.4). Derivando essa fun¸c˜ao com rela¸c˜ao a β obtemos a

fun¸c˜ao escore perﬁlada:

(β) = −



−



− 2



−1

−



K(β)



A estimativa de m´axima verossimilhan¸ca perﬁlada para β, denotada



, pode ser

obtida como solu¸c˜ao da equa¸c˜ao u

(β) = 0. Neste caso, n˜ao ´e poss´ıvel expressar

o estimador



em forma fechada, ent˜ao



deve ser obtido numericamente pela

maximiza¸c˜ao do logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada 

(β) usando um

algoritmo de otimiza¸c˜ao n˜ao-linear.

O bloco j

αα

(α, β) da matriz de informa¸c˜ao observada avaliada em (α

, β) pode

ser escrito como

αα

(α

, β) = −2n



− 2



−1

Seguindo a deﬁni¸c˜ao da verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada de Cox e Reid (1987),

obtemos o logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada correspon-

dente para β:



(β) = 

(β) +

log



− 2



. (3.8)

Podemos observar que n˜ao foi necess´ario encontrar uma reparametriza¸c˜ao orto-

gonal entre os parˆametros de interesse e perturba¸c˜ao para a obten¸c˜ao de (3.8), pois

os parˆametros α e β que indexam a distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders s˜ao ortogonais.

A partir da primeira derivada de (3.8) com rela¸c˜ao a β obtemos a fun¸c˜ao escore

perﬁlada modiﬁcada:

(β) = −

n + 1



−



− 2



−1

−



K(β)



A estimativa de m´axima verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada



n˜ao pode ser

obtida de forma expl´ıcita. Portanto, ´e necess´ario usar um procedimento num´erico

para encontrar o valor de β que maximiza a fun¸c˜ao 

(β).

O logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada proposta por

Barndorﬀ-Nielsen (1983) para o modelo em estudo ´e dado por



(β) = 

(β) + log

αα

(α

, β)|

1/2

|

α;α

(α

, β)|

. (3.9)

Novamente, devido `as diﬁculdades encontradas na obten¸c˜ao de 

α;α

(α

, β), por

se tratar de uma derivada do espa¸co amostral, utilizamos uma aproxima¸c˜ao. Foi

poss´ıvel obter a aproxima¸c˜ao baseada em covariˆancias populacionais proposta por

Severini (1998). Assim, o logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁ-

cada proposta por Barndorﬀ-Nielsen foi obtido substituindo o termo 

α;α

(α

, β) por

I(α

, β; α,



β) na express˜ao (3.9). A express˜ao obtida para esta aproxima¸c˜ao ´e dada

por

I(α

, β; α,



β) =

nα

α







A fun¸c˜ao escore perﬁlada modiﬁcada correspondente ´e

(β) = u

(β)+



−







− 2



−1

2α



−







−1





−





Resolvendo a equa¸c˜ao u

(β) = 0 encontramos o estimador de m´axima verossimi-

lhan¸ca perﬁlado modiﬁcado



A estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas baseada na fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca

perﬁlada modiﬁcada de Cox e Reid para o teste de H

: β = β

versus H

: β = β

´e dada por

(β) = 2





(



β) − 

(β

)



em que



β ´e o valor de β que maximiza a fun¸c˜ao 

(β). Esta estat´ıstica possui

distribui¸c˜ao assint´otica, sob a hip´otese nula, qui-quadrado com um grau de liber-

dade. De forma an´aloga, podemos deﬁnir a estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas

para o mesmo teste como LR

(β) = 2





(



β) − 

(β

)



, que tamb´em possui

distribui¸c˜ao assint´otica qui-quadrado com um grau de liberdade, sob a hip´otese nula.

Cap´ıtulo 4

Resultados num´ericos

Neste cap´ıtulo avaliaremos numericamente a qualidade das inferˆencias realizadas

para o parˆametro de interesse da distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders baseadas na fun¸c˜ao

de verossimilhan¸ca perﬁlada e em algumas de suas vers˜oes modiﬁcadas. Considerare-

mos as fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca perﬁladas modiﬁcadas prop ostas por Barndorﬀ-

Nielsen (1983) e por Cox e Reid (1987). Estas fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca foram

obtidas no cap´ıtulo anterior considerando os dois casos poss´ıveis para o parˆametro

de interesse da distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders, ou seja, quando os parˆametros de

forma e escala s˜ao tidos como parˆametros de interesse e de perturba¸c˜ao, respectiva-

mente, e vice-versa.

Formulamos um experimento de simula¸c˜ao de Monte Carlo baseado em 10.000

r´eplicas

∗

considerando os seguintes tamanhos amostrais: n = 10, 25 e 50. Os va-

lores verdadeiros considerados para o parˆametro de forma foram α = 0,1, 0,5, 1

e 2. Para o parˆametro de escala atribu´ımos um ´unico valor (β = 1) para todas

as simula¸c˜oes, dado que este parˆametro funciona apenas como um multiplicador.

O principal interesse do estudo ´e comparar os vieses dos estimadores de m´axima

verossimilhan¸ca perﬁlado e perﬁlados modiﬁcados, as distor¸c˜oes dos testes da raz˜ao

de verossimilhan¸cas baseados nas verossimilhan¸cas perﬁlada e perﬁladas modiﬁcadas

consideradas e tamb´em veriﬁcar a qualidade das aproxima¸c˜oes das estat´ısticas de

teste em rela¸c˜ao `a distribui¸c˜ao qui-quadrado apropriada. Tamb´em s˜ao apresentadas

medidas amostrais de loca¸c˜ao e de dispers˜ao dos estimadores considerados, bem

como a m´edia e variˆancia das estat´ısticas de teste. As simula¸c˜oes foram realizadas

usando a linguagem de programa¸c˜ao Ox (ver Doornik, 2001). Para as maximiza¸c˜oes,

utilizamos o algoritmo quasi-Newton BFGS, atrav´es da fun¸c˜ao MaxBFGS, que est´a

∗

Os quadros 4.7 e 4.12 apresentam resultados de simula¸c˜ao baseados em 100.000 r´eplicas.

implementada na linguagem Ox.

4.1 Comportamento dos estimadores

Nesta se¸c˜ao estamos interessados em avaliar o comportamento dos estimadores

obtidos a partir da maximiza¸c˜ao das fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca perﬁlada e suas

vers˜oes modiﬁcadas propostas por Cox e Reid (1987) e por Barndorﬀ-Nielsen (1983).

Isto ´e, estamos interessados em avaliar, quando α ´e parˆametro de interesse, os de-

sempenhos dos estimadores α

, α

e α

e, quando β ´e que ´e de interesse, dos

estimadores



. Consideramos as seguintes medidas de estima¸c˜ao pon-

tual para os estimadores considerados: m´edia, vi´es, variˆancia, erro quadr´atico m´edio

(EQM), vi´es relativo (VR), assimetria e curtose. O vi´es relativo ´e deﬁnido como

100× (vi´es / valor verdadeiro do parˆametro)%.

Primeiramente apresentaremos os resultados de simula¸c˜ao correspondentes `a

situa¸c˜ao em que α ´e o parˆametro de interesse. Consideramos β = 1 e α = 0,1,

0,5, 1 e 2. Atrav´es dos resultados apresentados nos Quadros 4.1 e 4.2 podemos

analisar os desempenhos dos estimadores α

, α

e α

. O Quadro 4.1 cont´em re-

sultados de simula¸c˜ao para α = 0,1 e α = 0,5. Notamos que as estimativas dos vieses

dos estimadores α

e α

s˜ao, em m´odulo, bem menores que os correspondentes

valores para α

. Entretanto, essas melhorias s˜ao acompanhadas de aumentos das

estimativas das variˆancias comparativamente `aquela obtida para α

. Observamos

que, quando α = 0,1, os estimadores α

e α

s˜ao bem mais precisos que α

principalmente para n = 10 e n = 25. Por exemplo, para n = 10, as estimativas

das m´edias de α

, α

e α

s˜ao 0,09274, 0,09777 e 0,09777, respectivamente, e os

correspondentes valores para os vieses relativos s˜ao 7,25%, 2,22% e 2,22 %. Tamb´em

observamos que todos os estimadores apresentaram valores negativos para o vi´es, ou

seja, os estimadores subestimam o verdadeiro valor do parˆametro. Quando α = 0,5,

estes estimadores apresentaram comportamento bem semelhante em rela¸c˜ao ao caso

em que α = 0,1. Temos, por exemplo, para n = 10, os valores 7,50%, 2,16% e 2,13%

para os vieses relativos de α

, α

e α

, respectivamente.

E importante notar que

Quadro 4.1 Resultados de estima¸c˜ao pontual para α, modelo indexado pelos parˆametros α = 0,1, 0,5 e β = 1.

α = 0,1

n estimador m´edia vi´es variˆancia EQM VR(%) assimetria curtose

α

0,09274 -0,00726 0,00048 0,00054 7,25832 0,01269 3,13197

α

0,09777 -0,00223 0,00054 0,00054 2,22656 0,01408 3,14664

α

0,09777 -0,00223 0,00054 0,00054 2,22651 0,01408 3,14664

α

0,09698 -0,00302 0,00020 0,00021 3,01667 0,01386 3,14429

α

0,09899 -0,00101 0,00020 0,00021 1,01146 0,01443 3,15030

α

0,09899 -0,00101 0,00020 0,00021 1,01146 0,01443 3,15030

α

0,09841 -0,00159 0,00010 0,00010 1,58802 0,01426 3,14856

α

0,09941 -0,00059 0,00010 0,00010 0,58632 0,01455 3,15159

α

0,09941 -0,00059 0,00010 0,00010 0,58632 0,01455 3,15159

α = 0,5

n estimador m´edia vi´es variˆancia EQM VR(%) assimetria curtose

α

0,46246 -0,03754 0,01205 0,01346 7,50740 0,21940 6,04050

α

0,48915 -0,01085 0,01363 0,01375 2,16952 0,23552 6,36293

α

0,48931 -0,01069 0,01367 0,01378 2,13846 0,23561 6,36483

α

0,48440 -0,01560 0,00490 0,00514 3,11941 0,23270 6,30486

α

0,49499 -0,00501 0,00514 0,00516 1,00299 0,23895 6,43463

α

0,49501 -0,00499 0,00514 0,00516 0,99868 0,23896 6,43489

α

0,49179 -0,00821 0,00250 0,00257 1,64212 0,23707 6,39529

α

0,49707 -0,00293 0,00256 0,00257 0,58631 0,24017 6,46033

α

0,49707 -0,00293 0,00256 0,00257 0,58526 0,24017 6,46040

Quadro 4.2 Resultados de estima¸c˜ao pontual para α, modelo indexado pelos parˆametros α = 1, 2 e β = 1.

α = 1

n estimador m´edia vi´es variˆancia EQM VR(%) assimetria curtose

α

0,91598 -0,08402 0,04722 0,05428 8,40199 0,37146 11,92210

α

0,97516 -0,02484 0,05481 0,05542 2,48406 0,37324 12,63564

α

0,97917 -0,02083 0,05672 0,05715 2,08335 0,37325 12,68285

α

0,96729 -0,03271 0,01985 0,02092 3,27077 0,37318 12,54254

α

0,99072 -0,00928 0,02101 0,02109 0,92845 0,37322 12,81809

α

0,99130 -0,00870 0,02111 0,02119 0,87012 0,37321 12,82489

α

0,98233 -0,01767 0,00992 0,01023 1,76670 0,37325 12,72005

α

0,99398 -0,00602 0,01020 0,01023 0,60160 0,37319 12,85614

α

0,99413 -0,00587 0,01021 0,01025 0,58679 0,37319 12,85786

α = 2

n estimador m´edia vi´es variˆancia EQM VR(%) assimetria curtose

α

1,75337 -0,24663 0,17726 0,23808 12,33143 0,26943 19,06939

α

1,88157 -0,11843 0,20853 0,22255 5,92134 0,24909 19,69956

α

1,92256 -0,07744 0,23049 0,23649 3,87196 0,24286 19,88307

α

1,93035 -0,06965 0,08064 0,08549 3,48258 0,24169 19,91702

α

1,98211 -0,01789 0,08532 0,08564 0,89447 0,23406 20,13558

α

1,98901 -0,01099 0,08691 0,08703 0,54947 0,23306 20,16381

α

1,96225 -0,03775 0,04013 0,04156 1,88742 0,23696 20,05317

α

1,98792 -0,01208 0,04126 0,04140 0,60380 0,23322 20,15938

α

1,98964 -0,01036 0,04144 0,04155 0,51817 0,23297 20,16636

os desempenhos dos estimadores α

e α

s˜ao bem parecidos. A semelhan¸ca entre

estes estimadores se torna mais evidente em amostras maiores. Tamb´em observa-

mos que o estimador α

apresentou os menores coeﬁcientes de assimetria e curtose

quando comparado com os estimadores α

e α

. Um outro fato interessante ´e

que para α = 0,1 a curtose dos estimadores considerados est˜ao pr´oximas de 3, ou

seja, a curtose destes estimadores est˜ao pr´oximas da curtose da distribui¸c˜ao normal

padr˜ao.

A medida que α cresce observamos que os estimadores passam a apresen-

tar uma curtose bem mais elevada, i.e., a distribui¸c˜ao destes estimadores passa a

ter uma curva leptoc´urtica. Em rela¸c˜ao a assimetria, observamos que esta medida

´e sempre positiva, ou seja, a distribui¸c˜ao dos estimadores considerados apresentam

valores concentrados `a esquerda. No Quadro 4.2, apresentamos os resultados obtidos

quando α = 1 e α = 2. Analisando este quadro notamos que, quando α = 1, no que

se refere `a precis˜ao, o estimador α

apresenta desempenho bem inferior em rela¸c˜ao

aos demais, principalmente em amostras menores. Tamb´em ´e interessante notar que

o desempenho do estimador α

´e levemente superior em rela¸c˜ao ao estimador α

Esta diferen¸ca de desempenho ´e mais evidente quando α = 2. Por exemplo, quando

n = 10, os vieses relativos do estimador α

s˜ao aproximadamente 2,48% (α = 1) e

5,92% (α = 2) e para o estimador α

s˜ao 2,08% (α = 1) e 3,87% (α = 2). Con-

tudo, a escolha de um estimador adequado para o parˆametro de forma deve levar em

considera¸c˜ao outras medidas como o EQM, a assimetria e a curtose das estimativas.

Os estimadores



s˜ao equivalentes, pois maximizar a fun¸c˜ao 

(β)

equivale a maximizar 

(β) ou 

(β). Adicionalmente, estes estimadores s˜ao

equivalentes ao estimador de m´axima verossimilhan¸ca usual



β, que pode ser obtido

como solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao n˜ao-linear. Portanto, para o parˆametro β, apresentare-

mos apenas resultados de simula¸c˜ao referentes ao estimador



β.

O Quadro 4.3 cont´em resultados de estima¸c˜ao pontual para o parˆametro β con-

siderando α = 0,1, 0,5, 1 e 2. Atrav´es deste quadro observamos que o vi´es do

estimador



β tende a crescer com o parˆametro α. Por exemplo, quando n = 10,

temos para α = 0,1, 0,5, 1 e 2 os correspondentes vieses 0,00057, 0,01194, 0,04004

Quadro 4.3 Resultados de estima¸c˜ao pontual para β, modelo indexado pelos parˆametros β = 1 e α = 0,1, 0,5, 1 e 2.

n α m´edia vi´es variˆancia EQM VR(%) assimetria curtose

0,1 1,00057 0,00057 0,00099 0,00099 0,05706 0,01472 3,15338

0,5 1,01194 0,01194 0,02411 0,02425 1,19371 0,24187 6,49660

1,0 1,04004 0,04004 0,08859 0,09020 4,00369 0,37311 12,92593

2,0 1,10201 0,10201 0,26966 0,28007 10,20085 0,23148 20,20833

0,1 1,00029 0,00029 0,00040 0,00040 0,02942 0,01472 3,15338

0,5 1,00528 0,00528 0,00966 0,00968 0,52824 0,24187 6,49660

1,0 1,01725 0,01725 0,03344 0,03373 1,72463 0,37311 12,92593

2,0 1,04010 0,04010 0,08310 0,08471 4,01038 0,23148 20,20833

0,1 1,00016 0,00016 0,00020 0,00020 0,01623 0,01472 3,15338

0,5 1,00271 0,00271 0,00476 0,00477 0,27073 0,24187 6,49660

1,0 1,00871 0,00871 0,01619 0,01627 0,87096 0,37311 12,92593

2,0 1,01967 0,01967 0,03818 0,03856 1,96730 0,23148 20,20833

e 0,10201. Podemos ainda comparar os respectivos vieses relativos, que s˜ao 0,057%,

1,19%, 4,00% e 10,20%. Este comportamento tamb´em se veriﬁca para tamanhos

de amostra maiores, por´em, nestes casos, o aumento do vi´es ´e menor para valores

maiores de α. Por exemplo, quando n = 50, os vieses do estimador



para α = 0,1,

0,5, 1 e 2 s˜ao 0,00016, 0,00271, 0,00871 e 0,01967. Ou seja, os vieses relativos s˜ao

menores que 2% para os quatro valores de α considerados. Comportamento seme-

lhante ocorre para as medidas de variˆancia, erro quadr´atico m´edio e curtose.

4.2 Desempenhos dos testes

Nesta se¸c˜ao, temos como objetivo comparar os desempenhos dos testes baseados

na estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas original e em suas vers˜oes modiﬁcadas.

Consideramos a estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas usual (LR), a estat´ıstica

da raz˜ao de verossimilhan¸cas perﬁladas modiﬁcadas proposta por Cox e Reid (1987)

(LR

) e a estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas perﬁladas modiﬁcadas proposta

por Barndorﬀ-Nielsen (1983) (LR

). Estas estat´ısticas foram obtidas a partir das

respectivas fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca perﬁlada e perﬁladas modiﬁcadas desenvolvi-

das na Se¸c˜ao 3.4. Os desempenhos s˜ao avaliados em fun¸c˜ao da proximidade da

probabilidade de rejei¸c˜ao da hip´otese nula, sendo esta verdadeira, aos respectivos

n´ıveis nominais. Avaliamos tamb´em os poderes dos testes em estudo sob algumas

situa¸c˜oes. Adicionalmente, comparamos a m´edia, a variˆancia e os quantis amostrais

das estat´ısticas de teste relativamente `as correspondentes quantidades da distribui¸c˜ao

assint´otica de referˆencia.

Para cada tamanho de amostra e cada n´ıvel nominal considerado, calculamos as

taxas de rejei¸c˜ao (expressas em porcentagem) de cada teste, isto ´e, estimamos, via

simula¸c˜ao, P (LR ≥ x), P (LR

≥ x) e P (LR

≥ x) em que x ´e o quantil (1 −α)

da distribui¸c˜ao χ

Primeiramente nosso interesse reside em testar a hip´otese nula H

: α = α

contra a hip´otese alternativa bilateral H

: α = α

, em que α

´e uma constante es-

peciﬁcada, α sendo o parˆametro de interesse e β sendo o parˆametro de perturba¸c˜ao.

Quadro 4.4 Taxas de rejei¸c˜ao (%) calculadas a partir de 10.000 amostras de Monte Carlo geradas

a partir de uma distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders com parˆametros β = 1 e α = 0,1, 0,5, 1 e 2.

n´ıvel α = 0,1 α = 0,5 α = 1 α = 2

nominal LR LR

LR LR

10% 13,44 11,00 11,00 13,57 10,85 10,86 13,97 10,65 10,78 16,10 9,89 8,99

5% 7,47 5,14 5,14 7,60 5,18 5,20 7,83 5,24 5,29 9,44 5,20 4,58

1% 1,70 1,07 1,07 1,72 1,11 1,11 1,83 1,06 1,11 2,53 1,04 1,96

0,5% 0,89 0,53 0,53 0,91 0,52 0,52 0.97 0,52 0,55 1,40 0,48 0,40

10% 10,84 10,15 10,15 10,88 10,13 10,14 11,56 10,41 10,50 11,98 10,12 10,10

5% 5,94 5,33 5,33 5.93 5,34 5,35 6,18 5,31 5,33 6,24 5,36 5,30

1% 1,43 1,18 1,18 1,46 1,15 1,15 1,46 1,04 1,04 1,54 1,07 1,06

0,5% 0,82 0,57 0,57 0,82 0,59 0,59 0,61 0,50 0,52 0,82 0,59 0,54

10% 10,89 10,35 10,35 10,86 10,35 10,34 10,93 10,31 10,32 11,24 10,48 10,47

5% 5,54 5,21 5,21 5,53 5,20 5,19 5,40 5,03 5,05 5,65 4,95 5,04

1% 1,19 0,99 0,99 1,21 1,02 1,02 1,14 1,02 1,02 1,18 1,03 1,03

0,5% 0,70 0,56 0,56 0,71 0,55 0,55 0,68 0,61 0,61 0,60 0,49 0,51

O Quadro 4.4 apresenta as taxas de rejei¸c˜ao dos testes da raz˜ao verossimilhan¸cas

baseados nas fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca perﬁlada e suas vers˜oes modiﬁcadas, isto ´e,

dos testes baseados em LR, LR

e LR

. Neste estudo, ﬁxamos β = 1 e variamos

o tamanho da amostra tomando n = 10, 25 e 50 para α = 0,1, 0,5, 1 e 2. Atrav´es

do Quadro 4.4, podemos observar que os testes baseados nas estat´ısticas da raz˜ao de

verossimilhan¸cas perﬁladas modiﬁcadas LR

e LR

tˆem desempenhos superiores

ao teste da raz˜ao de verossimilhan¸cas original LR. Por exemplo, para um teste com

n´ıvel nominal de 10%, tamanho amostral n = 10 e para α = 0,5, o teste LR apresen-

tou taxa de rejei¸c˜ao de 13,57%, enquanto que os testes LR

e LR

apresentaram

taxas de 10,85% e 10,86%, respectivamente. Neste caso, podemos dizer que o teste

LR ´e bastante anti-conservativo, apresentando taxa de rejei¸c˜ao bem acima do n´ıvel

nominal. J´a os testes LR

e LR

ainda s˜ao anti-conservativos, por´em apre-

sentando taxas de rejei¸c˜ao n˜ao muito acima do n´ıvel nominal. Quando o tamanho

amostral aumenta, os testes passam a apresentar desempenhos semelhantes. Por

exemplo, quando α = 0,5, para n = 50 e n´ıvel nominal de 10%, os testes LR, LR

e LR

apresentam as seguintes taxas de rejei¸c˜ao: 10,86%, 10,35% e 10,34%, repec-

tivamente. Um outro fato interessante ´e que, para valores elevados do parˆametro de

forma, o teste LR passa a apresentar taxas de rejei¸c˜ao ainda mais elevadas, prin-

cipalmente em pequenas amostras. Enquanto que os testes LR

e LR

ainda

apresentam taxas de rejei¸c˜ao pr´oximas dos n´ıveis nominais correspondentes. Por e-

xemplo, quando o parˆametro de forma ´e igual a α = 2, n = 10 e n´ıvel nominal de 10%,

os testes apresentam as seguintes taxas de rejei¸c˜ao: LR = 16, 10%, LR

= 9, 89%

e LR

= 8, 99%. Por´em, ainda para α = 2, mas agora com n = 25, estes testes

passam a apresentar taxas de rejei¸c˜ao bem mais pr´oximas dos respectivos n´ıveis

nominais. Neste caso, as taxas de rejei¸c˜ao s˜ao LR = 11, 98%, LR

= 10, 12% e

= 10, 10% para o n´ıvel nominal de 10%.

De acordo com os resultados apresentados no Quadro 4.4, os testes LR

apresentaram comportamentos bastante semelhantes, principalmente para

valores menores dos parˆametros de forma. Por exemplo, para n = 10 e ao n´ıvel

nominal de 1%, os dois testes apresentaram taxas de rejei¸c˜ao de 1,07%. Vale ressaltar

os que valores para o parˆametro de forma entre 0,1 e 0,5 s˜ao t´ıpicos em problemas de

modelagem de desgaste estoc´astico em geral. Portanto, tanto o teste LR

quanto

o teste LR

s˜ao recomendados em problemas gerais.

No Quadro 4.5 comparamos as m´edias e as variˆancias das estat´ısticas LR, LR

e LR

e as respectivas medidas da distribui¸c˜ao χ

, para um modelo indexado

por α = 0,5 e β = 1 e tamanho amostral n = 10. Os resultados deste quadro

mostram que as estat´ısticas LR

e LR

apresentam m´edias e variˆancias bem mais

pr´oximas da m´edia e variˆancia de uma vari´avel χ

do que as da estat´ıstica LR. Um

comportamento semelhante ´e observado no Quadro 4.6, onde comparamos os quantis

da distribui¸c˜ao χ

com os quantis amostrais das estat´ısticas LR, LR

e LR

Atrav´es deste quadro, tamb´em notamos que para quantis mais elevados os quantis

amostrais das estat´ısticas LR , LR

e LR

s˜ao mais pobremente aproximados

pelos quantis da distribui¸c˜ao χ

do que se veriﬁca para quantis mais baixos.

Quadro 4.5 M´edia e variˆancia de χ

, LR

e LR

para um mo delo

indexado pelos parˆametros β = 1, α = 0,5 e n = 10.

momentos χ

LR LR

m´edia 1,000 1,188 1,024 1,025

variˆancia 2,000 2,798 2,091 2,094

No Quadro 4.7 avaliamos os tamanhos emp´ıricos dos testes para uma gama de

valores para o n´ıvel nominal (de 0,01% a 50%). Para esta situa¸c˜ao, as simula¸c˜oes

foram baseadas em 100.000 amostras de Monte Carlo, ou seja, utilizamos 10 vezes

mais r´eplicas do que nas simula¸c˜oes anteriores. Estes resultados consideram o caso

em que n = 10, α = 0,5 e β = 1. Do Quadro 4.7, notamos que no extremo da

cauda da distribui¸c˜ao χ

as diferen¸cas relativas entre as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas

dos testes da raz˜ao de verossimilhan¸cas e os n´ıveis nominais s˜ao extremamente ele-

vadas, ao contr´ario do que ocorre na regi˜ao mediana da distribui¸c˜ao. Por exemplo,

quando α = 0,01%, para a estat´ıstica LR essa diferen¸ca relativa ´e de 290% ((39 −

10)/10 × 100%), enquanto que para o n´ıvel nominal de 50% esta diferen¸ca ´e de

apenas 7,83% ((53916 − 50000)/50000 × 100%). Esta discrepˆancia relativa ´e bem

menor para as estat´ısticas LR

e LR

. As estat´ısticas LR

e LR

, por

exemplo, apresentaram diferen¸cas relativas para o n´ıvel nominal α = 0,05% de 30%

((65 −50)/50 ×100%) e 34% ((67 −50)/50 ×100%), respectivamente, enquanto que

para a estat´ıstica LR tal diferen¸ca ´e de 192% ((146 − 50)/50 × 100%).

Quadro 4.6 Quantis de χ

, LR

e LR

para um mo delo

indexado pelos parˆametros β = 1, α = 0,5 e n = 10.

quantis(%) χ

LR LR

85,0 2,072 2,497 2,190 2,194

90,0 2,706 3,332 2,823 2,826

95,0 3,841 4,563 3,892 3,895

97,0 4,709 5,600 4,869 4,867

99,0 6,635 7,645 6,751 6,759

99,5 7,879 9,317 7,969 7,967

Quadro 4.7 N ´umero de rejei¸c˜oes em 100.000 amostras de Monte Carlo para um modelo

indexado pelos parˆametros β = 1, α = 0,5 e n = 10.

α(%) exato LR LR

50 50000 53916 50499 50514

15 15000 19053 15763 15792

10 10000 13546 10649 10659

5 5000 7572 5452 5459

3 3000 4909 3289 3298

1 1000 1874 1137 1140

0,5 500 1022 606 608

0,1 100 279 121 121

0,05 50 150 68 69

0,01 10 39 9 9

Analisamos tamb´em os poderes dos testes LR , LR

e LR

para testar a

hip´otese H

: α = α

contra H

: α = α

, para valores de α

variando de 0,14 a

0,28 e n´ıveis nominais 5% e 1%. O valor verdadeiro para o parˆametro de interesse

foi ﬁxado em α = 0,1. As simula¸c˜oes do poder foram feitas usando valores cr´ıticos

estimados e n˜ao valores tabulados. Adotamos este procedimento porque em deter-

minadas situa¸c˜oes alguns testes s˜ao anti-conservativos. Dessa forma, as simula¸c˜oes

ﬁcam ajustadas para que todos os testes tenham o mesmo tamanho. Os resultados

encontram-se apresentados no Quadro 4.8 para o caso em que n = 10 e β = 1. O

poder do teste LR ´e superior ao poder do teste LR

e este, por sua vez, ´e ligeira-

mente superior ao do teste LR

. Por exemplo, para α

= 0,26 e n´ıvel nominal de

5%, temos os valores 98,96%, 98,04% e 98,13% para os poderes dos testes LR, LR

e LR

, respectivamente. Comportamento semelhante ocorre para o n´ıvel nominal

de 1%, por´em a superioridade do poder do teste LR em rela¸c˜ao aos demais ´e mais

acentuada. Por exemplo, ainda para α

= 0,26, temos os valores 88,87%, 83,65%

e 84,15% para os poderes dos testes LR, LR

e LR

, respectivamente, ao n´ıvel

nominal de 1%.

Quadro 4.8 Poderes dos testes calculados de 10.000 amostras de Monte Carlo geradas a partir

de uma distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders com parˆametros β = 1 e α = 0,1.

5% 1%

LR LR

0, 14 28,68 23,89 24,00 10,18 7,89 7,94

0, 16 49,53 42,92 43,08 20,61 16,07 16,18

0, 18 68,48 61,87 62,14 35,03 28,57 28,89

0, 20 83,98 78,97 79,25 53,01 45,49 45,86

0, 22 92,33 88,86 89,10 66,95 59,26 59,55

0, 24 96,80 95,19 95,35 80,04 73,44 73,94

0, 26 98,96 98,04 98,13 88,87 83,65 84,15

0, 28 99,66 99,44 99,49 94,91 91,65 92,00

A ﬁm de avaliar a aproxima¸c˜ao assint´otica dos testes LR, LR

e LR

apre-

sentamos o gr´aﬁco das discrepˆancias relativas entre os quantis amostrais e os quantis

assint´oticos das estat´ısticas de testes contra os quantis assint´oticos. Este gr´aﬁco ´e

apresentado na Figura 4.1. A discrepˆancia relativa ´e deﬁnida como

ST (1 −α) − χ

(1 − α)

em que ST denota a estat´ıstica de teste (LR, LR

ou LR

, conforme o caso),

ST (1 − α) denota o quantil amostral de ordem (1 − α) do conjunto de valores si-

mulados da estat´ıstica de teste e o correspondente quantil da distribui¸c˜ao χ

sendo

Figura 4.1 Gr´aﬁco das discrepˆancias relativas de quantis

em rela¸c˜ao a α (n = 10, α = 0,5 e β = 1).

0 2 4 6 8 10

0.00 0.10 0.20 0.30

Quantis assintóticos

Discrepâncias relativas de quantis

Figura 4.2 Gr´aﬁco das discrepˆancias relativas de n´ıveis descritivos

em rela¸c˜ao a α (n = 10, α = 0,5 e β = 1).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Níveis descritivos assintóticos

Discrepâncias relativas de níveis descritivos

denotado por χ

(1−α). A id´eia, ent˜ao, ´e que quanto mais pr´oxima da ordenada zero

a curva estiver, melhor ser´a a aproxima¸c˜ao assint´otica utilizada no teste. Observa-

mos, na Figura 4.1, que para todos os testes as curvas de discrepˆancias de quantis

oscilam bastante ao longo do eixo horizontal. Note que esta oscila¸c˜ao ocorre num

patamar mais elevado para o teste LR, aproximadamente em torno de 18%, o que

conﬁrma que este teste ´e anti-conservativo. As curvas de discrepˆancia de quantis

para as estat´ısticas LR

e LR

encontram-se bem pr´oximas e oscilam aproxi-

madamente em torno de 3%. A curva de discrepˆancia de quantis para LR encontra-se

inteiramente acima de 12%, enquanto que para os testes LR

e LR

estas curvas

encontram-se abaixo de 9%. Ou seja, as discrepˆancias de quantis para as estat´ısticas

e LR

s˜ao menores que as da estat´ıstica LR ao longo do eixo horizontal.

Na Figura 4.2 apresentamos o gr´aﬁco das discrepˆancias relativas entre os n´ıveis

descritivos (p-valores) dos testes e os n´ıveis descritivos assint´oticos contra os n´ıveis

descritivos assint´oticos. Para um valor x observado da estat´ıstica ST esta dis-

crepˆancia ´e deﬁnida como

P (ST > x) − P (χ

> x)

P (χ

> x)

Analisando a Figura 4.2 notamos que quando se caminha em dire¸c˜ao ao extremo

da cauda da distribui¸c˜ao χ

de referˆencia, as discrepˆancias relativas de n´ıveis des-

critivos tendem a crescer rapidamente para o teste da raz˜ao de verossimilhan¸cas.

Estas discrepˆancias est˜ao bastante pr´oximas para os testes LR

e LR

ao longo

dos quantis da distribui¸c˜ao de referˆencia e no extremo da cauda s˜ao bem menos

acentuadas em rela¸c˜ao ao teste LR.

A seguir avaliaremos os resultados de simula¸c˜ao dos testes da raz˜ao de verossimi-

lhan¸cas baseados nas fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca perﬁlada e p erﬁladas modiﬁcadas

de Cox e Reid e Barndorﬀ-Nielsen desenvolvidas para o parˆametro de interesse β.

O Quadro 4.9 apresenta as taxas de rejei¸c˜ao (expressas em porcentagem) dos

testes LR, LR

e LR

para o caso em desejamos testar a hip´otete H

: β =

. O parˆametro de escala β funciona apenas como um multiplicador, portanto,

Quadro 4.9 Taxas de rejei¸c˜ao (%) calculadas a partir de 10.000 amostras de Monte Carlo geradas a partir

de uma distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders com parˆametros β = 1 e α = 0,1, 0,5, 1 e 2.

n´ıvel α = 0,1 α = 0,5 α = 1 α = 2

nominal LR LR

LR LR

10% 12,31 10,30 8,52 12,33 10,25 8,26 12,37 10,18 8,01 13,12 10,66 7,94

5% 6,61 5,35 3,95 6,62 5,30 3,85 6,75 5,18 3,65 6,95 5,27 3,65

1% 1,49 1,08 0,70 1,56 1,05 0,69 1,55 1,09 0,67 1,73 1,12 0,54

0,5% 0,91 0,59 0,35 0,89 0,60 0,33 0,87 0,59 0,28 0,97 0,53 0,25

10% 11,10 10,38 9,67 11,19 10,33 9,60 11,15 10,37 9,52 11,27 10,52 9,53

5% 5,83 5,30 4,86 5,91 5,38 4,76 5,87 5,33 4,75 6,14 5,49 4,77

1% 1,25 1,08 0,93 1,30 1,07 0,99 1,40 1,15 0,97 1,19 1,09 0,96

0,5% 0,62 0,52 0,44 0,64 0,52 0,45 0,76 0,61 0,46 0,80 0,64 0,43

10% 10,71 10,43 9,96 10,64 10,35 9,92 10,72 10,24 9,74 10,87 10,38 9,87

5% 5,32 5,05 4,85 5,36 5,17 4,88 5,54 5,17 4,90 5,39 5,07 4,79

1% 1,19 1,08 1,00 1,20 1,10 0,99 1,18 1,09 0,98 1,12 1,06 0,97

0,5% 0,56 0,51 0,48 0,58 0,53 0,46 0,61 0,55 0,50 0,65 0,59 0,52

as simula¸c˜oes foram realizadas ﬁxando β

= 1 .0. Foram considerados diferentes

valores de α (0,1, 0,5, 1 e 2) e variamos o tamanho da amostra em n = 10, 25 e

50. Analisando o Quadro 4.9 notamos que os testes LR e LR

s˜ao, em geral, anti-

conservativos, enquanto que o teste LR

apresentou taxas de rejei¸c˜ao inferiores aos

n´ıveis descritivos sendo, assim, um teste conservativo. Por exemplo, para n = 10 e

α = 0,5 ao n´ıvel nominal de 1%, os testes LR, LR

e LR

apresentaram taxas de

rejei¸c˜ao de 1,56%, 1,05% e 0,69%, respectivamente. O teste LR

apresentou melhor

desempenho, principalmente em amostras pequenas; por exemplo, ao n´ıvel nominal

10%, quando α = 1 e n = 10, o teste LR

apresentou taxa de rejei¸c˜ao de 10,18%,

enquanto que os testes LR e LR

apresentaram 12,37% e 8,01%, repectivamente.

Como esperado, em amostras maiores, os testes apresentaram taxas mais pr´oximas

dos correspondentes n´ıveis nominais. Por exemplo, quando α = 0, 5, n = 50 e ao

n´ıvel nominal de 10%, foram obtidas taxas de rejei¸c˜ao de 10,64%, 10,35% e 9,92%

para os testes LR, LR

e LR

, respectivamente.

Atrav´es do Quadro 4.10 podemos comparar a m´edia e a variˆancia das estat´ısticas

LR, LR

e LR

e as mesmas medidas da distribui¸c˜ao χ

para o caso em que

n = 10, β = 1 e α = 0,5. Observamos que, para a estat´ıstica LR

, estas medidas

est˜ao mais pr´oximas das medidas corresp ondentes da distribui¸c˜ao χ

de referˆencia.

Tamb´em observamos que para a estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas usual estas

medidas s˜ao bem mais elevadas quando comparadas com a m´edia e com a variˆancia de

uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao χ

. Para a estat´ıstica LR

, estas medidas

encontram-se abaixo das medidas correspondentes da distribui¸c˜ao χ

. Este mesmo

comportamento foi observado no Quadro 4.11 ao compararmos os quantis amostrais

das estat´ısticas LR, LR

e LR

com os da distribui¸c˜ao χ

. Os quantis amostrais

da estat´ıstica LR excedem os da estat´ıstica LR

e esta, p or sua vez, apresentou

quantis amostrais maiores que os quantis da distribui¸c˜ao χ

. Observamos ainda que

os quantis da estat´ıstica LR

n˜ao excederam os da distribui¸c˜ao χ

No Quadro 4.12 apresentamos os resultados de simula¸c˜ao de 100.000 amostras de

Monte Carlo com o intuito de avaliar os tamanhos emp´ıricos dos testes para valores

Quadro 4.10 M´edia e variˆancia de χ

, LR

e LR

para um mo delo

indexado pelos parˆametros β = 1, α = 0,5 e n = 10.

momentos χ

LR LR

m´edia 1,000 1,151 1,030 0,910

variˆancia 2,000 2,590 2,078 1,622

Quadro 4.11 Quantis de χ

, LR

e LR

para um mo delo

indexado pelos parˆametros β = 1, α = 0,5 e n = 10.

quantis(%) χ

LR LR

85,0 2,072 2,369 2,124 1,874

90,0 2,706 3,072 2,750 2,425

95,0 3,841 4,408 3,946 3,483

97,0 4,709 5,330 4,779 4,216

99,0 6,635 7,564 6,786 6,008

99,5 7,879 9,221 8,271 7,287

Quadro 4.12 N ´umeros de rejei¸c˜oes em 100.000 amostras de Monte Carlo para um modelo

indexado pelos parˆametros β = 1, α = 0,5 e n = 10.

α(%) exato LR LR

50 50000 53287 51035 48336

15 15000 18367 15967 13406

10 10000 12853 10822 8742

5 5000 7012 5619 4216

3 3000 4566 3450 2475

1 1000 1792 1197 729

0,5 500 943 605 318

0,1 100 209 118 58

0,05 50 118 61 29

0,01 10 31 12 5

pequenos do n´ıvel nominal. Este quadro mostra o n´umero de rejei¸c˜oes para os testes

LR, LR

e LR

para o caso em que n = 10, α = 0,1 e β = 1. Do Quadro 4.12,

notamos que as diferen¸cas relativas entre as taxas de rejei¸c˜ao emp´ıricas e os n´ıveis

nominais dos testes LR e LR

s˜ao positivas, enquanto que para o teste LR

esta diferen¸ca ´e negativa. Tamb´em podemos observar que estas diferen¸cas s˜ao mais

elevadas no extremo da cauda da distribui¸c˜ao χ

. Por exemplo, para o teste LR, ao

n´ıvel nominal 50% esta diferen¸ca ´e de 6,57% ((53287−50000)/50000×100) enquanto

que ao n´ıvel nominal 0,05% ela ´e de 136% ((118 −50)/50 ×100). Para o teste LR

esta diferen¸ca ´e menos acentuada; por exemplo, para as duas situa¸c˜oes citadas acima

as diferen¸cas relativas s˜ao de 2,07% ((51035 − 50000)/50000 × 100) e 22% ((61 −

50)/50 × 100), respectivamente. Para o teste LR

, ainda considerando as duas

situa¸c˜oes anteriores, as diferen¸cas relativas s˜ao −3, 38% ((48336−50000)/50000×100

e −42% ((29 − 50)/50 × 100), respectivamente.

Apresentamos, no Quadro 4.13, um estudo de poder dos testes aqui considerados

para testar a hip´otese H

: β = β

contra H

: β = β

, em que β

assume valo-

res variando de 1,2 a 4. Utilizamos valores cr´ıticos estimados ao inv´es dos valores

tabulados. Consideramos o modelo gerado com parˆametros α = 1 e β = 1 para

o tamanho amostral n = 10. Observamos que o teste LR ´e mais poderoso que o

teste LR

e este, por sua vez, ´e mais poderoso que o teste LR

. Por exemplo,

para β

= 2,8 e n´ıvel nominal de 5%, os testes LR, LR

e LR

apresentaram os

seguintes poderes: 90,77, 90,37 e 89,95, respectivamente. Para valores maiores de β

as diferen¸cas entre os poderes destes testes passam a ser menos acentuadas.

Quadro 4.13 Poderes dos testes calculados de 10.000 amostras de Monte Carlo geradas a partir

de uma distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders com parˆametros β = 1 e α = 0,1.

5% 1%

LR LR

1, 2 8,88 8,83 8,79 1,930 1,920 1,880

1, 6 30,38 30,07 29,69 9,420 9,360 9,170

2, 0 59,16 58,53 58,17 25,370 24,820 24,370

2, 4 79,69 79,20 78,68 44,050 43,150 41,910

2, 8 90,77 90,37 89,95 61,500 60,270 58,640

3, 2 96,79 96,63 96,25 75,970 74,900 73,140

3, 6 98,86 98,74 98,57 85,650 84,510 82,880

4, 0 99,65 99,60 99,55 92,550 91,610 90,330

A Figura 4.3 mostra o gr´aﬁco das discrepˆancias relativas entre os quantis a-

mostrais e os quantis assint´oticos das estat´ısticas de teste contra os correspondentes

quantis assint´oticos. Estas discrepˆancias oscilam em patamares diferentes para as

trˆes estat´ısticas consideradas. A curva de discrepˆancias relativas de quantis para

Figura 4.3 Gr´aﬁco das discrepˆancias relativas de quantis

em rela¸c˜ao a α (n = 10, α = 0,5 e β = 1).

0 2 4 6 8 10

−0.1 0.0 0.1 0.2

Quantis assintóticos

Discrepâncias relativas de quantis

Figura 4.4 Gr´aﬁco das discrepˆancias relativas de n´ıveis descritivos

em rela¸c˜ao a α (n = 10, α = 0,5 e β = 1).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.5 1.0

Níveis descritivos assintóticos

Discrepâncias relativas de níveis descritivos

LR encontra-se no patamar mais elevado, o que conﬁrma que este teste ´e o mais

anti-conservativo. Por outro lado, a estat´ıstica LR

mostrou-se conservativa, pois

apresentou discrepˆancias relativas de quantis em torno de -8%. Finalmente, a es-

tat´ıstica LR

apresentou a curva de discrepˆancia de quantis bem mais pr´oxima da

ordenada nula.

Na Figura 4.4 temos o gr´aﬁco das discrepˆancias relativas entre n´ıveis descritivos

dos testes contra os n´ıveis descritivos assint´oticos. Observamos que quando se cami-

nha em dire¸c˜ao ao extremo da cauda da distribui¸c˜ao χ

de referˆencia as discrepˆancias

relativas de n´ıveis descritivos para os testes LR e LR

tendem a se afastar rapida-

mente do eixo horizontal nulo. Por´em, este afastamento se d´a em dire¸c˜oes contr´arias.

Tais discrepˆancias s˜ao bem menos acentuadas para o teste LR

no extremo da

cauda.

Cap´ıtulo 5

Aplica¸c˜oes

Neste cap´ıtulo apresentaremos aplica¸c˜oes pr´aticas dos desenvolvimentos apre-

sentados at´e ent˜ao para a distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders com dois exemplos de

conjuntos de dados reais. Para ilustrar o efeito do tamanho amostral, os exemplos

considerados consistem de conjuntos de dados com tamanhos diferentes, um envol-

vendo uma quantidade pequena e o outro, uma quantidade elevada de observa¸c˜oes.

Em ambos os casos n´os assumimos que os dados s˜ao independentes e seguem dis-

tribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders. Realizaremos inferˆencias para os parˆametros de forma

e escala usando as fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca perﬁlada e perﬁladas modiﬁcadas que

foram apresentadas na Se¸c˜ao 3.4.

Todos os resultados foram obtidos utilizando a plataforma computacional Ox,

bem como suas rotinas e fun¸c˜oes; ver Doornik (2001). O procedimento utilizado

para as maximiza¸c˜oes num´ericas foi o algoritmo quasi-Newton BFGS.

5.1 Exemplo 1 - Fadiga do alum´ınio 6061-T6

Os dados utilizados neste exemplo est˜ao apresentados no Quadro 5.1 e foram

obtidos de Birnbaum-Saunders (1969b). Estes dados consistem do n´umero de ciclos

de estresse sofrido at´e a falha de 101 tiras de lˆamina de alum´ınio 6061-T6 com corte

paralelo na dire¸c˜ao do metal. Cada observa¸c˜ao foi submetida a uma carga peri´odica

com frequˆencia de 18 ciclos por segundo e estresse m´aximo de 31 kpsi.

Inicialmente estamos interessados em realizar inferˆencias sobre o parˆametro α.

As estimativas de m´axima verossimilhan¸ca obtidas atrav´es da maximiza¸c˜ao das

fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca perﬁlada e suas vers˜oes modiﬁcadas s˜ao α = 0,17038,

α

= 0,17125 e α

= 0,17122.

Suponha que estamos interessados em testar a hip´otese H

: α = 0,15 contra

: α = 0.15. Para este teste, as estat´ısticas da raz˜ao de verossimilhan¸cas baseadas

nas fun¸c˜oes 

(α), 

(α) e 

(α) s˜ao, respectivamente, 3,5771, 3,8421 e 3,8351,

que conduzem aos respectivos n´ıveis descritivos 0,05858, 0,04998 e 0,05019. Aqui, o

tamanho da amostra ´e grande (n = 101), portanto, como esperado, os testes baseados

nas estat´ısticas da raz˜ao de verossimilhan¸cas perﬁladas modiﬁcadas de Cox e Reid

e Barndorﬀ-Nielsen apresentaram n´ıveis descritivos aproximadamente iguais aos do

teste da raz˜ao de verossimilhan¸cas usual. Mesmo assim, ao n´ıvel signiﬁcˆancia de 5%,

o teste baseado na estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas perﬁladas modiﬁcado de

Cox e Reid rejeita a hip´otese nula, enquanto os demais n˜ao a rejeitam. Dessa forma,

os testes apresentam conclus˜oes divergentes.

Quadro 5.1 N ´umero de ciclos at´e a falha da lˆamina do alum´ınio 6061 - T6.

70 90 96 97 99 100 103 104 104 105 107

108 108 108 109 109 112 112 113 114 114 114

116 119 120 120 120 121 121 123 124 124 124

124 124 128 128 129 129 130 130 130 131 131

131 131 131 132 132 132 133 134 134 134 134

134 136 136 137 138 138 138 139 139 141 141

142 142 142 142 142 142 144 144 145 146 148

148 149 151 151 152 155 156 157 157 157 157

158 159 162 163 163 164 166 166 168 170 174

196 212

Agora, considerando a realiza¸c˜ao de inferˆencias sobre o parˆametro β, a hip´otese

nula de interesse ´e H

: β = 125. Para este teste, as estat´ısticas da raz˜ao de verossimi-

lhan¸cas perﬁladas e perﬁladas modiﬁcadas obtidas s˜ao LR = 9,4279, LR

= 9,3338

e LR

= 9,2397, que conduzem aos respectivos n´ıveis descritivos 0,00214, 0,00225

e 0,00237. Aqui, veriﬁcamos que os testes apontam para a mesma conclus˜ao. Isto ´e,

os trˆes testes considerados rejeitam a hip´otese nula ao n´ıvel de 1% de signiﬁcˆancia.

A estimativa de m´axima verossimilhan¸ca para β ´e



β = 131,81879.

5.2 Exemplo 2 - Fadiga da chumaceira

Neste segundo exemplo utilizamos os dados apresentados por McCool (1974)

para o tempo de fadiga em horas de 10 chumaceiras de um certo tipo. Estes dados

tamb´em foram utilizados por Cohen et al. (1984) como exemplo ilustrativo para a

distribui¸c˜ao Weibull de trˆes parˆametros. Os dados est˜ao apresentados no Quadro

5.2.

Quadro 5.2 Tempo de fadiga em horas das chumaceiras.

152,7 172,0 172,5 173,3 193,0

204,7 216,5 234,9 262,6 422, 6

As estimativas de m´axima verossimilhan¸ca perﬁlada e perﬁladas modiﬁcadas

para o parˆametro α s˜ao α = 0,2825, α

= 0,2989 e α

= 0,2973. Suponha que

estamos interessados em testar H

: α = 0,21 contra H

: α = 0,21. Para este

teste, obtemos as estat´ısticas da raz˜ao de verossimilhan¸cas perﬁladas e perﬁladas

modiﬁcadas LR = 2,1646, LR

= 2,8438 e LR

= 2,7963, que conduzem aos

n´ıveis descritivos 0,1412, 0,0917 e 0,0945, respectivamente. Assim, os testes baseados

nas estat´ısticas LR

e LR

rejeitam a hip´otese nula, enquanto que o teste baseado

na estat´ıstica LR n˜ao rejeita a hip´otese nula ao n´ıvel de signiﬁcˆancia de 10%. Dessa

forma, os testes conduzem a conclus˜oes diferentes.

Para o parˆametro β, a estimativa de m´axima verossimilhan¸ca ´e



β = 212,05.

Suponha que o interesse reside em testar a hip´otese H

: β = 180 contra H

β = 180. Para este teste, temos LR = 2,9417, LR

= 2,6415 e LR

= 2,3414;

estas estat´ısticas conduzem aos respectivos n´ıveis descritivos 0,0863, 0,1041 e 0,1260.

Observamos que estes testes, novamente, conduzem a conclus˜oes divergentes. O teste

que rejeita a hip´otese nula ao n´ıvel de 10% de signiﬁcˆancia ´e o teste baseado na

estat´ıstica LR.

Cap´ıtulo 6

Conclus˜oes

No desenvolvimento deste trabalho apresentamos as caracter´ısticas e proprie-

dades da distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders. Derivamos para esta distribui¸c˜ao as

fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca perﬁlada e perﬁladas modiﬁcadas de Cox e Reid (1987)

e Barndorﬀ-Nielsen (1983). Estas fun¸c˜oes foram derivadas para o caso (i) em que

temos α como parˆametro de interesse e β de perturba¸c˜ao. Para este caso, a fun¸c˜ao

de verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada de Barndorﬀ-Nielsen foi obtida usando a

aproxima¸c˜ao de Severini (1999). Para o caso (ii), ou seja, quando β ´e o parˆametro

de interesse e α ´e o parˆametro de perturba¸c˜ao, usamos a aproxima¸c˜ao proposta

por Severini (1998) para obter a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada modiﬁcada de

Barndorﬀ-Nielsen. Listaremos a seguir as principais conclus˜oes desta disserta¸c˜ao

para cada caso separadamente.

Caso (i): Os estimadores α

, α

e α

foram obtidos a partir da maximiza¸c˜ao de

suas respectivas fun¸c˜oes de verossimilhan¸cas perﬁladas. Diversas simula¸c˜oes foram

realizadas para avaliar os comportamentos destes estimadores. As simula¸c˜oes ilus-

tram detalhadamente os comportamentos destes estimadores em situa¸c˜oes bem es-

pec´ıﬁcas.

E importante destacar que os estimadores α

e α

mostraram-se mais

centrados em rela¸c˜ao ao estimador α

para todos os valores de α considerados. Os es-

timadores α

e α

apresentaram desempenhos bem semelhantes, principalmente

para valores de α = 0,1 e 0,5. Vale salientar que valores pequenos para o parˆametro

de forma s˜ao comumente veriﬁcados em aplica¸c˜oes pr´aticas. Portanto, tanto o esti-

mador α

quanto o estimador α

conduzem a estimativas precisas. Em seguida,

estudamos os tamanhos dos testes baseados nas estat´ısticas LR, LR

e LR

. Os

testes LR

e LR

, no geral, conduziram a taxas de rejei¸c˜ao bem semelhantes.

Estes testes tamb´em apresentaram desempenhos consideravelmente superiores em

rela¸c˜ao ao teste usual LR, principalmente em amostras pequenas e para valores mais

elevados do parˆametro de forma. Portanto, recomendamos o uso do teste LR

ou do teste LR

por apresentarem desempenhos bastante satisfat´orios mesmo em

condi¸c˜oes adversas.

Caso (ii): Os estimadores perﬁlados modiﬁcados obtidos para o parˆametro β s˜ao

equivalentes ao estimador



β, pois maximizar as fun¸c˜oes de verossimilhan¸cas perﬁ-

ladas modiﬁcadas obtidas equivale a maximizar a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁ-

lada. Alguns resultados de simula¸c˜ao foram apresentados para o estimador



β. Este

estimador apresentou comportamento bastante satisfat´orio, entretanto, para valores

elevados do parˆametro α observamos uma deteriora¸c˜ao no seu desempenho. Os

testes da raz˜ao de verossimilhan¸cas LR, LR

e LR

foram obtidos a partir de

suas respectivas fun¸c˜oes de verossimilhan¸cas. Atrav´es dos resultados de simula¸c˜ao

veriﬁcamos que, em geral, o teste LR

apresentou desempenho superior em rela¸c˜ao

aos demais. Observamos tamb´em que o teste LR

foi bastante conservativo, prin-

cipalmente para amostras pequenas e para valores elevados do parˆametro de forma,

enquanto que o teste usual LR mostrou-se bastante anti-conservativo nestas mesmas

condi¸c˜oes. Dessa forma, recomendamos o uso do teste LR

quando h´a interesse

em testar hip´oteses sobre o parˆametro de escala β.

Por ﬁm, conclu´ımos que as fun¸c˜oes de verossimilhan¸cas perﬁladas modiﬁcadas

desenvolvidas para a distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders podem melhorar consideravel-

mente a qualidade das inferˆencias produzidas para o parˆametro de interesse. Os

resultados contidos na presente disserta¸c˜ao possuem vasta aplicabilidade para pro-

blemas que envolvem a modelagem de desgaste estoc´astico em geral.

Apˆendice A

Neste apˆendice, apresentamos os c´alculos de algumas quantidades necess´arias

`a obten¸c˜ao das fun¸c˜oes de verossimilhan¸cas perﬁladas modiﬁcadas propostas por

Cox e Reid (1987) e Barndorﬀ-Nielsen (1983) na distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders

considerando o caso em que temos como parˆametro de interesse o parˆametro de

forma e tamb´em quando o parˆametro de interesse ´e o parˆametro de escala.

O logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilha¸ca do vertor de parˆametros θ = ( τ, φ)



distribui¸c˜ao Birnbaum-Saunders ´e dado por

(θ) = −n log(αβ) +



i=1

log







1/2





3/2



−

2α



i=1



− 2



= −n log(αβ) +



i=1

log







1/2





3/2



−

2α





i=1

+ β



i=1

− 2n



Podemos reescrever o logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca dado acima como

(θ) = −n log(αβ) +



i=1

log(β

1/2

−1/2

+ β

3/2

−3/2

) −

2α



− 2



em que

r =



i=1

, s =





i=1

−1



−1

e K(γ) =





i=1

(γ + t

)

−1



−1

, para γ > 0.

Obten¸c˜ao da fun¸c˜ao escore:

As derivadas de primeira ordem com respeito a α e β s˜ao dadas, respectivamente,

por

∂(θ)

∂α

−n



− 2



∂(θ)

∂β

= −



−1/2

+ 3β

1/2

−

3/2

1/2

−1/2

+ β

3/2

−3/2

2α



−



= −



K(β)



2α



−



Obten¸c˜ao da matriz de informa¸c˜ao observada:

As derivadas de segunda ordem com respeito a α e β s˜ao dadas por

αβ

(θ) =

∂

(θ)

∂α∂β



−



αα

(θ) =

∂

(θ)

∂α

−



− 2



ββ

(θ) =

∂

(θ)

∂β

−





(β)



−

em que o termo K



(β) ´e obtido abaixo:

fazendo

u =



i=1

(β + t

)

−1

tem-se que



(β) = −



em que



= −



i=1



(β + t

)



= −



i=1

(β + t

)

−2

Portanto,



(β) =



i=1

(β + t

)

−2





i=1

(β + t

)

−1





i=1

(β + t

)

−2





i=1

(β + t

)

−1



Obten¸c˜ao das fun¸c˜oes de verossimilhan¸cas perﬁladas:

Substituindo α por α

no logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca original obt´em-



(β) = − n log(α

) − n log β +



i=1

log







1/2





3/2



−

2α



− 2



= −

log



− 2



− n log β +



i=1

log







1/2





3/2



−



− 2



−1



− 2



= −

log



− 2



− n log β +



i=1

log







1/2





3/2



−

A primeira derivada de 

(β) ´e dada por

∂

(β)

∂β



−



− 2



−1

−



K(β)



O estimador de m´axima verossimilhan¸ca de β para α ﬁxado ´e o mesmo estimador

de m´axima verossimilhan¸ca original (



β). Substituindo



β por β em (θ) temos



(α) = −n log α − n log



β +



i=1

log











1/2







3/2





−

2α





− 2



A primeira derivada da fun¸c˜ao 

(α) ´e dada por

∂

(α)

∂α

= −





− 2



Obten¸c˜ao das fun¸c˜oes de verossimilhan¸cas perﬁladas modiﬁcadas de Cox e Reid:

Quando α ´e o parˆametro de interesse, a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada de

Cox e Reid ´e dada por



(α) = 

(α) −

log |j

ββ

(α,



)|,

em que

ββ

(α,



) = −









(



β)

(



β)





sendo a primeira derivada de 

(α) dada por

∂

(α)

∂α

= −





− 2



−



−









(



β)

(



β)







−1



−





= −









− 2



−





−







(



β)

(



β)



−





−1







Quando β ´e o parˆametro de interesse, a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada

modiﬁcada de Cox e Reid ´e dada por



(β) = 

(β) −

log |j

αα

(α

, β)|,

em que

αα

(α

, β) = − n



− 2



−1

+ 3n



− 2



−2



− 2



= − n



− 2



−1

+ 3n



− 2



−1

= 2n



− 2



−1

sendo a primeira derivada de 

(β) dada por

∂

(β)

∂β

= −



− 2



−1



−



−



K(β)





− 2



−1



−



Obten¸c˜ao das fun¸c˜oes de verossimilhan¸cas perﬁladas de Barndorﬀ-Nielsen:

Quando α ´e o parˆametro de interesse, a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada

modiﬁcada de Barndorﬀ-Nielsen ´e dada por



(α) = 

(α) +

log |j

ββ

(α,



)| − log |

β;



(α,



)|.

A quantidade 

β;



(α,



) pode ser aproximada por

I(θ; θ

) =



j=1



(j)

(θ

)

(j)

(θ),

em que



(j)

(θ) =

−1/2

+ 3β

1/2

−3/2

−1/2

1/2

+ β

3/2

−3/2

2α



−





(j)

(θ

) =

−1/2

+ 3β

1/2

−3/2

−1/2

1/2

+ β

3/2

−3/2

2α



−



= (α,



β) e θ = (α,



β). Observamos que β

= β. Assim,



(j)

(θ

)

(j)

(θ) =



−

2α



−

2α





−

+ A



−

+ A





−

βα

−

+ A

−

βα





−









+ A





−





−



+ A



Assim, temos

I(θ

; θ) =



j=1



(j)

(θ

)

(j)

(θ) =



−



j=1











j=1

−



j=1







j=1



j=1



em que

−1/2

+ 3β

1/2

−3/2

−1/2

1/2

+ β

3/2

−3/2

e B



−



Note que



j=1

= n



K(β)





j=1

= n



−



A derivada da quantidade log |I(θ

; θ)| ´e dada por

∂ log |

I(θ

; θ)|

∂α



−



j=1











j=1

−



j=1







j=1



j=1



−1







j=1

−



j=1

−



j=1





Quando β ´e parˆametro de interesse, a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca perﬁlada mo-

diﬁcada de Barndorﬀ-Nielsen ´e dada por



(β) = 

(β) +

log |j

αα

(α

, β)| − log |

α;α

(α

, β)|.

A quantidade 

α;α

(α

, β) pode ser aproximada por

I(θ; θ

) = E





(j)

(θ

)

(j)

(θ)



em que



(θ) = −



− 2





(θ

) = −



− 2



e θ

= (α,



β) e θ = (α

, β). Sabemos que E [

(θ

)] = 0. Dessa forma, temos





(j)

(θ

)

(j)

(θ)



= −

E [

(θ

)] +

E [

(θ

)] +

nβ

E [

(θ

)] −

E [

(θ

)]

nβ

nα





nα

α







A derivada de primeira ordem de 

(β) ´e dada por

∂

(β)

∂β

∂

(β)

∂β

∂ log |j

αα

(α

, β)|

∂β

−

∂ log



nα

α









∂β

em que a derivada da quantidade log

nα

α







´e dada por

∂ log



nα

α









∂β

∂ log nα

∂β

−

∂ log α

∂β

∂ log







∂β

α



− 2



−1/2



−



−







−1





−





2α



−



−







−1





−





Apˆendice B

Neste apˆendice, apresentamos os programas utilizados para gera¸c˜ao dos resul-

tados de simula¸c˜ao obtidos nesta disserta¸c˜ao. S˜ao apresentados dois programas, a

saber: o programa de simula¸c˜ao utilizado no Cap´ıtulo 4 para gera¸c˜ao dos resultados

de simula¸c˜ao quando α ´e o parˆametro de interesse e o programa utilizado para gerar

os resultados das aplica¸c˜oes pr´aticas desenvolvidas no Cap´ıtulo 5. Esses dois pro-

gramas fazem referˆencia aos m´odulos likelihood.ox e likelihood.h. O primeiro

m´odulo cont´em as fun¸c˜oes que permitem o c´alculo das verossimilhan¸cas perﬁladas

modiﬁcadas e o segundo cont´em as diretrizes de liga¸c˜ao do m´odulo likelihood.ox.

O programa de simula¸c˜ao para o parˆametro β foi omitido devido `a sua semelhan¸ca

com o programa que compreende as simula¸c˜oes para o parˆametro de forma α.

Programa de simula¸c˜ao

/****************************************************************************

PROGRAMA: program1A.ox

DESCRICAO: Programa de simulacao principal. Simula as taxas de rejeicao

e calcula as estimativas de maxima verossimilhanca baseado nas

verossimilhancas perfiladas modificadas.

AUTOR: Carlos Gadelha Junior.

DATA: 11 de Abril de 2005.

ULTIMA MODIFICACAO: 12 de Janeiro de 2006

****************************************************************************/

#include <oxstd.h>

#include <oxprob.h>

#import <maximize>

#import <solvenle>

#include <oxfloat.h>

#import <likelihood>

main()

{

decl alpha, beta, et, n, nrepls, nsamples, i, j, X, test, rv, results,

criticalvalue, dfunc, vp, ir, x, c1, c2, c3, alphahat, pontualresults,

initialvalue, a, b, c;

decl chisq, qperf, qcoxr, aux, qbarn, pbarn, results2, criticalvalue2,

pchisq,pperf,pcoxr,n_cv2,n_cv3,results3, criticalvalue3;

// Inicializando o tempo

et = timer();

// Gerador de numeros aleatorios

ranseed("GM"); // George Marsaglia

ranseed({111,1111}); // semente do gerador

// Especificando os parametros da distribuicao

alpha = 0.5; beta = 1.00;

// Especificando os parametros de simulacao

n = <10,25,50>; nrepls = 100; nsamples = 1;

initialvalue = <0.5>; // para alpha

// Inicializando quantidades para o teste da razao de verossimilhancas

rv = zeros(3,nrepls);

criticalvalue = <2.705543,3.841459,6.634897,7.879439>;

results = zeros(3,4);

alphahat = zeros(3,nrepls);

pontualresults = zeros(3,7);

criticalvalue2 = range(0,9,0.01); // Variavel auxiliar para graficos

n_cv2 = columns(criticalvalue2);

results2 = zeros(3,n_cv2); // Variavel auxiliar para graficos

criticalvalue3 = quanchi(<0.50,0.85,0.90,0.95,0.97,0.99,

0.995,0.999,0.9995,0.9999>,1); //Aux. para tabela

n_cv3 = columns(criticalvalue3);

results3 = zeros(4,n_cv3); // Variavel auxiliar para graficos

a=b=c=0; c1=c2=c3=0;

// Salvando resultados (usados para os graficos)

decl file = fopen("rvA.txt", "w");

decl file2 = fopen("probA.txt","w");

// Loop para o tamanho amostral

for(j=0;j<nsamples;++j)

{

N = n[j];

// Loop para o numero de replicas

for(i=0;i<nrepls;)

{

// Gerando vetor aleatorio com distribuicao N(0,alpha^2/4)

X = (alpha/2).*rann(1,n[j]);

// Gerando vetor aleatorio com distribuicao Birnbaum-Saunders

t = beta.*(1 + 2*X.^2 + 2*X.*(1 + X.^2).^0.5);

u = meanr(t); //media aritmetica amostral

v = (meanr(t.^-1))^-1; //media armonica amostral

// Calculando o EMV de beta

x = <1.00>;

SolveNLE(nle_beta, &x);

betahat = x;

/////////////////////////////

B = (t.*(betahat.^-2) - (t.^-1));

A = 0.5*( (t*betahat).^-0.5 + 3*(betahat^0.5*t.^-1.5) )

.*( ( (t.^-0.5*betahat.^0.5) + (betahat^1.5*t.^-1.5) ).^-1 );

dfunc = 0; // valor inicial da funcao

vp = initialvalue; // valor inicial do parametro

// maximizacao de alpha

ir = MaxBFGS(fBS_profileAlpha, &vp, &dfunc, 0, FALSE);

alphahat[0][i] = vp;

a = ir; // checando convergencia

c1 = (ir!=MAX_CONV && ir!=MAX_WEAK_CONV) ? (c1 + 1) : c1;

// teste da razao de verossimilhancas perfiladas para alpha

rv[0][i] = 2*(- N*log(vp) - N*log(betahat) + sumr(log((betahat^0.5)*(t.^-0.5)

+ (betahat^1.5)*(t.^-1.5))) + (-N/(2*vp^2))*(u/betahat+betahat/v-2)

- (- N*log(alpha) - N*log(betahat) + sumr(log((betahat^0.5)

*(t.^-0.5) + (betahat^1.5)*(t.^-1.5))) + (-N/(2*alpha^2))

*(u/betahat + betahat/v - 2)));

K = (meanr((betahat + t).^-1)).^-1;

dK = (N*sumr((betahat + t).^-2))/((sumr((betahat + t).^-1)).^2);

alphazero = (u/betahat + betahat/v - 2).^0.5;

dfunc = 0; // valor inicial da funcao

vp = initialvalue; // valor inicial do parametro

ir = MaxBFGS(fBS_profileAlphaCR, &vp, &dfunc, 0, FALSE); // maximizacao de CR

alphahat[1][i] = vp;

b = ir; // checando convergencia

c2 = (ir!=MAX_CONV && ir!=MAX_WEAK_CONV) ? (c2 + 1) : c2;

//teste da razao de verossimilhancas perfiladas de Cox&Reid para alpha

rv[1][i] = 2*(- N*log(vp) - N*log(betahat) + sumr(log((betahat^0.5)*(t.^-0.5)

+ (betahat^1.5)*(t.^-1.5)))+(-N/(2*vp^2))*(u/betahat+betahat/v-2)

- 1/2*log(-(N/(betahat^2)-N/2*(1/(betahat^2) + 2*dK/(K^2))

- (N/(vp^2))*(u/(betahat^3)))) - (-N*log(alpha) - N*log(betahat)

+ sumr(log((betahat^0.5)*(t.^-0.5) + (betahat^1.5)*(t.^-1.5)))

+ (-N/(2*alpha^2))*(u/betahat + betahat/v - 2) - 1/2*log(-(N

/(betahat^2)-N/2*(1/(betahat^2) + 2*dK/(K^2))-(N/(alpha^2))

*(u/(betahat^3))))));

dfunc = 0; // valor inicial da funcao

vp = initialvalue; // valor inicial do parametro

// maximizacao de BN

ir = MaxBFGS(fBS_profileAlphaBN, &vp, &dfunc, 0, FALSE);

alphahat[2][i] = vp;

c = ir; // checando convergencia

c3 = (ir!=MAX_CONV && ir!=MAX_WEAK_CONV) ? (c3 + 1) : c3;

//teste da razao de verossimilhancas perfiladas Barndorff-Nielsen para alpha

rv[2][i] = 2*(- N*log(vp)-N*log(betahat)+sumr(log(((betahat^0.5).*(t.^-0.5))

+ ((betahat^1.5)*(t.^-1.5))))+(-N/(2*(vp^2)))*(u/betahat + betahat

/v - 2) + 1/2*log(((-N/(betahat^2)+N/2*(1/(betahat^2)+2*dK/(K.^2))

+ (N/(vp^2))*(u/(betahat^3))))) - log((N/(betahat^2) - (2/betahat)

*sumr(A) + (1/(vp^2) + 1/(alphazero^2)).*(0.5*sumr(A.*B)

-(0.5*betahat^-1)*sumr(B))+sumr(A.^2)+(0.25)*(vp^-2*alphazero^-2)

*sumr(B.^2)))-(-N*log(alpha)-N*log(betahat)+sumr(log(((betahat^0.5)

.*(t.^-0.5)) + ((betahat^1.5)*(t.^-1.5)))) + (-N/(2*(alpha.^2)))

*(u/betahat + betahat/v - 2) + 1/2*log(((-N/(betahat.^2)+N/2

*(1/(betahat.^2) + 2*dK/(K.^2))+(N/(alpha.^2))*(u/(betahat.^3)))))

-log( determinant(N/(betahat.^2) - (2/betahat)*sumr(A)+(1/(alpha^2)

+ 1/(alphazero.^2)).*(0.5*sumr(A.*B) - (0.5*betahat^-1)*sumr(B))

+ sumr(A.^2) + (0.25)*(alpha.^-2*alphazero.^-2)*sumr(B.^2) ))

));

//checando convergencia (para os tres estimadores)

i = ((a==MAX_CONV|a==MAX_WEAK_CONV) && (b==MAX_CONV|b==MAX_WEAK_CONV )

&& (c==MAX_CONV|c==MAX_WEAK_CONV)) ? ++i : i;

} // fim do loop para o numero de replicas

//Estimated size (Rejection rate)...

for(i=0;i<=3;++i)

{

results[0][i] = rejection(rv[0][],criticalvalue[i],nrepls);

results[1][i] = rejection(rv[1][],criticalvalue[i],nrepls);

results[2][i] = rejection(rv[2][],criticalvalue[i],nrepls);

}

// Estimacao pontual:

pontualresults[][0] = meanr(alphahat);

pontualresults[0][1] = bies(alphahat[0][],alpha);

pontualresults[1][1] = bies(alphahat[1][],alpha);

pontualresults[2][1] = bies(alphahat[2][],alpha);

pontualresults[][2] = varr(alphahat);

pontualresults[0][3] = eqm(alphahat[0][],alpha);

pontualresults[1][3] = eqm(alphahat[1][],alpha);

pontualresults[2][3] = eqm(alphahat[2][],alpha);

pontualresults[][4] = fabs((pontualresults[][1]./alpha)*100);

pontualresults[][5] =( 16*(pontualresults[][0].^2).*(11

*(pontualresults[][0].^2) + 6) ) ./((5*(pontualresults[][0].^2) + 4).^3);

pontualresults[][6] =3 + (( 6*(pontualresults[][0].^2).*(93

*(pontualresults[][0].^2) + 41) ) ./((5*(pontualresults[][0].^2) + 4).^2));

// Gerando dados para os graficos

if (j==0){

// Dados: discrepacia relativa de quantil

chisq = quanchi(range(0.05,0.999,0.001),1);

qperf = (quantilec(rv[0][]’,range(0.05,0.999,0.001)) - chisq’)./(chisq’);

qcoxr = (quantilec(rv[1][]’,range(0.05,0.999,0.001)) - chisq’)./(chisq’);

qbarn = (quantilec(rv[2][]’,range(0.05,0.999,0.001)) - chisq’)./(chisq’);

fprint(file, "%9.4f", qperf ~ qcoxr ~ qbarn);

// Dados: discrepacia relativa de niveis descritivos

for(i=0;i<n_cv2;++i)

{

results2[0][i] =(rejection(rv[0][],criticalvalue2[i],nrepls)/100);

results2[1][i] =(rejection(rv[1][],criticalvalue2[i],nrepls)/100);

results2[2][i] =(rejection(rv[2][],criticalvalue2[i],nrepls)/100);

}

pchisq = 1-probchi(criticalvalue2,1);

pperf = (results2[0][]’ - pchisq’)./(pchisq’);

pcoxr = (results2[1][]’ - pchisq’)./(pchisq’);

pbarn = (results2[1][]’ - pchisq’)./(pchisq’);

fprint(file2, "%9.4f", pperf ~ pcoxr ~ pbarn);

// Tabela: numero de rejeicoes

for(i=0;i<n_cv3;++i)

{

results3[1][i] =(rejection(rv[0][],criticalvalue3[i],nrepls)/100)*nrepls;

results3[2][i] =(rejection(rv[1][],criticalvalue3[i],nrepls)/100)*nrepls;

results3[3][i] =(rejection(rv[2][],criticalvalue3[i],nrepls)/100)*nrepls;

}

results3[0][] = (1 - <0.50,0.85,0.90,0.95,0.97,0.99,0.995,

0.999,0.9995,0.9999>).*nrepls;

}

// fim dos graficos

// Imprimindo resultados de simulacao:

print( "\n\t\t SIMULATION RESULTS: BIRNBAUM-SAUNDERS

(ALPHA = ","%1.2f",alpha,"; BETA = ","%1.2f",beta,")");

print( "\n\t\t ------------------\n");

print( "\n\t\t OX PROGRAM: ", oxfilename(0) );

print( "\n\t\t OX VERSION: ", oxversion() );

print( "\n\t\t NUM. REPLICATIONS: ", nrepls );

print( "\n\t\t NUM. OBSERVATIONS: ", n[j] );

println("");

println("\n *** Estimated size of Likilihood test ***\n","%r",

{"L-profile","L-Cox&Reid","L-BN"},

"%c",{"10%","5%","1%","0.5%"},"%10.3f",results);

println("\n\n *** Pontual estimation ***\n","%r",{"L-profile","L-Cox&Reid",

"L-BN"}, "%c",{"media","vies","variancia","EQM","RB ","assimetria","curtose"}

,"%10.5f",pontualresults);

println("\n\n *** Mean and Variance of the statistic ***\n","%r",

{"mean","variance"}"%c",{"Qui-quadrado","L-profile"," L-Cox&Reid","L-Barn-N"}

,"%10.3f",(1.00 ~ (meanr(rv))’) | (2.00~(varr(rv))’));

println("\n\n *** Quantiles of the statistic ***\n","%r",

{"85.0","90.0","95.0","97.0","99.0","99.5"},

"%c",{"Qui-quadrado","L-profile"," L-Cox&Reid","L-Barn-N"},"%10.3f",

(quanchi(<0.85,0.90,0.95,0.97,0.99,0.995>,1))’~

quantilec(rv’,<0.85,0.90,0.95,0.97,0.99,0.995>));

if (j==0){

println("\n\n *** Number of rejections ***\n","%r",

{"50","15","10","5","3","1","0.5","0.1","0.05","0.01"},

"%c",{"Exato","L-profile"," L-Cox&Reid","L-Barn-N"},"%10.3f",

results3’);

}

// Imprimindo numero de nao convergencias

println("\nNum. No Conv. Profile:", c1);

println("Num. No Conv. CoxReid:", c2);

println("Num. No Conv. Barndorff-Nielsen:", c3);

c1=c2=c3=0;

} // fim do loop do tamanho amostral

fclose(file); //fechando arquivo

fclose(file2); //fechando arquivo

println("\ntempo:",timespan(et));

} // fim do main()

rejection(const vector, const criticalvalue, const nrepls)

{

return (sumr(fabs(vector) .> criticalvalue)/nrepls) * 100;

}

bies(const vector, const parameter)

{

return (meanr(vector) - parameter);

}

eqm(const vector, const parameter)

{

return (varr(vector) + (bies(vector,parameter))^2);

}

/********************************************************************

PROGRAMA: likelihook.ox

DESCRICAO: Modulo de funcoes contento os logaritmos das funcoes de

verossimilhancas perfiladas modificadas

*********************************************************************/

#include <oxstd.h>

//Equao nao-linear de beta

nle_beta(const avF, const vX)

{

avF[0] = vX[0]^2 + v*(u + (meanr((vX[0] + t).^-1))^-1) - vX[0]

*(2*v + (meanr((vX[0] + t).^-1))^-1);

return 1;

}

//Verossimilhanca perfilada para alpha

fBS_profileAlpha(const vP, const adFunc, const avScore, const amHessian)

{

adFunc[0] = - N*log(vP[0]) - N*log(betahat) + sumr(log((betahat^0.5)*(t.^-0.5)

+ (betahat^1.5)*(t.^-1.5))) + (-N/(2*vP[0]^2))

*(u/betahat + betahat/v - 2);

if (avScore)

{

avScore[0]= -N/vP[0] + (N/(vP[0]^3))*(u/betahat + betahat/v - 2);

}

return 1;

}

//Verossimilhanca perfilada modificada de Cox&Reid para alpha

fBS_profileAlphaCR(const vP, const adFunc, const avScore, const amHessian)

{

adFunc[0] = - N*log(vP[0]) - N*log(betahat) + sumr(log((betahat^0.5)*(t.^-0.5)

+ (betahat^1.5)*(t.^-1.5))) + (-N/(2*vP[0]^2))

*(u/betahat + betahat/v - 2) - 1/2*log(((-N/(betahat^2)+N/2

*(1/(betahat^2) + 2*dK/(K^2))+(N/(vP[0]^2))*(u/(betahat^3)))) );

if (avScore)

{

avScore[0] = -N/vP[0] + (N/(vP[0]^3))*(u/betahat + betahat/v - 2) - 1/2

*(((((-N/(betahat^2)+(N/2)*(1/(betahat^2) + (2*dK)/(K^2))

+ (N/(vP[0]^2))*(u/(betahat^3))) )^-1))*determinant((-2*u

*N/(betahat^3*vP[0]^3))) );

}

return 1;

}

//Verossimilhanca perfilada modificada de Barndorff-Nielsen para alpha

fBS_profileAlphaBN(const vP, const adFunc, const avScore, const amHessian)

{

adFunc[0] = - N*log(vP[0]) - N*log(betahat) + sumr(log(((betahat^0.5).*(t.^-0.5))

+ ((betahat^1.5)*(t.^-1.5)))) + (-N/(2*(vP[0]^2)))*(u/betahat

+ betahat/v - 2) + 1/2*log(((-N/(betahat^2)+N/2*(1/(betahat^2)

+ 2*dK/(K.^2))+(N/(vP[0]^2))*(u/(betahat^3))) ) )

-log((N/(betahat^2) - (2/betahat) * sumr(A) + (1/(vP[0]^2)

+ 1/(alphazero^2)).*(0.5*sumr(A.*B) - (0.5*betahat^-1)*sumr(B))

+ sumr(A.^2) + (0.25)*(vP[0]^-2*alphazero^-2)*sumr(B.^2) ));

if (avScore)

{

avScore[0] = -N/vP[0] + (N/(vP[0]^3))*(u/betahat + betahat/v - 2) + 1/2

*(((((-N/(betahat^2)+(N/2)*(1/(betahat^2) + (2*dK)/(K^2))

+ (N/(vP[0]^2))*(u/(betahat^3))) )^-1))*((-2*u*N/(betahat^3

*vP[0]^3)))) + (((N/(betahat^2) - (2/betahat)*sumr(A)

+ (1/(vP[0]^2) + 1/(alphazero^2)).*(0.5*sumr(A.*B)

- (0.5*betahat^-1)*sumr(B)) + sumr(A.^2) + (0.25)

*(vP[0]^-2*alphazero^-2)*sumr(B.^2) ) )^-1)

*( (0.5*alphazero^-2*vP[0]^-3)*sumr(B.^2) + vP[0]^-3

*(sumr(A.*B) - betahat^-1*sumr(B)));

}

return 1;

}

//Verossimilhanca perfilada para beta

fBS_profileBeta(const vP, const adFunc, const avScore, const amHessian)

{

adFunc[0] = -N/2*log(u/vP[0] + vP[0]/v -2) - N*log(vP[0]) + sumr(log((vP[0]^0.5)

*(t.^-0.5) + (vP[0]^1.5)*(t.^-1.5)));

if (avScore)

{

avScore[0] = -(N/2)*((-u/(vP[0]^2) + 1/v)/(u/vP[0] + vP[0]/v - 2)) - N/vP[0]

+ (N/2)*( 1/vP[0] + (2/N)*sumr((vP[0]+t).^-1) );

}

return 1;

}

//Verossimilhanca perfilada modificada de Cox&Reid para beta

fBS_profileBetaCR(const vP, const adFunc, const avScore, const amHessian)

{

adFunc[0] = -N/2*log(u/vP[0] + vP[0]/v -2) - N*log(vP[0]) + sumr(log((vP[0]^0.5)

*(t.^-0.5) + (vP[0]^1.5)*(t.^-1.5))) - 1/2*log((2*N)/((u/vP[0])

+ (vP[0]/v)-2));

if (avScore)

{

avScore[0] = -(N/2)*((-u/(vP[0]^2) + 1/v)/(u/vP[0] + vP[0]/v - 2)) - N/vP[0]

+ (N/2)*( 1/vP[0] + (2/N)*sumr((vP[0]+t).^-1) ) + (1/2)

*( (u/vP[0] + vP[0]/v - 2)^-1 )*(1/v - u/(vP[0]^2));

}

return 1;

}

//Verossimilhanca perfilada modificada de Barndorff-Nielsen para beta

fBS_profileBetaBN(const vP, const adFunc, const avScore, const amHessian)

{

adFunc[0] = - N/2*log(u/vP[0] + vP[0]/v -2) - N*log(vP[0]) + sumr(log((vP[0]^0.5)

*(t.^-0.5) + (vP[0]^1.5)*(t.^-1.5))) + 1/2*log((2*N)/((u/vP[0])

+ (vP[0]/v)-2)) - log(((N*alphazero)/((u/vP[0] + vP[0]/v -2).^1.5))

*(betazero/vP[0] * vP[0]/betazero));

if (avScore)

{

avScore[0] = -(N/2)*((-u/(vP[0]^2) + 1/v)/(u/vP[0] + vP[0]/v - 2)) - N/vP[0]

+ (N/2)*( 1/vP[0] + (2/N)*sumr((vP[0]+t).^-1) ) - (1/2)

*( (u/vP[0] + vP[0]/v - 2)^-1 )*(1/v - u/(vP[0]^2)) + (3/2)

*((u/vP[0] + vP[0]/v - 2)^-1)*(1/v - u/(vP[0]^2)) - ((betazero

/vP[0] + vP[0]/betazero)^-1)*(1/betazero - betazero/(vP[0]^2));

}

return 1;

}

/*************************************************************

PROGRAMA: likelihood.h

DESCRICAO: Modulo contento as diretrizes de ligacao do modulo

likelihood.ox

*************************************************************/

//Equacao nao-linear de beta

nle_beta(const avF, const vX);

//Verossimilhanca perfilada para alpha

fBS_profileAlpha(const vP, const adFunc, const avScore, const amHessian);

//Verossimilhanca perfilada modificada de Cox&Reid para alpha

fBS_profileAlphaCR(const vP, const adFunc, const avScore, const amHessian);

//Verossimilhanca perfilada modificada de Barndorff-Nielsen para alpha

fBS_profileAlphaBN(const vP, const adFunc, const avScore, const amHessian);

//Verossimilhanca perfilada para beta

fBS_profileBeta(const vP, const adFunc, const avScore, const amHessian);

//Verossimilhanca perfilada modificada de Cox&Reid para beta

fBS_profileBetaCR(const vP, const adFunc, const avScore, const amHessian);

//Verossimilhanca perfilada modificada de Barndorff-Nielsen para beta

fBS_profileBetaBN(const vP, const adFunc, const avScore, const amHessian);

Programa para as aplica¸c˜oes pr´aticas

#include <oxstd.h>

#include <oxprob.h>

#import <maximize>

#import <solvenle>

#import "likelihood"

decl t,N,u,v,K,dK,betahat,alphazero,betazero,A,B;

main()

{

decl data,x,thetahat,ir,vp,dfunc,alpha,beta,rv;

decl irb, ira_cr, ira_bn, irb_cr, irb_bn;

data = loadmat("dados1.txt"); //Carregando dados

//Teste (Hipotese nula)

alpha = 0.15;

beta = 125;

//inicializando variaveis

thetahat = zeros(3,2);

rv = zeros(3,2);

t = data’;

N = columns(t);

u = sumr(t)/N;

v = (sumr(t.^-1)/N)^-1;

// Calculating the MLE of Beta

x = <200>;

irb = SolveNLE(nle_beta, &x);

betahat = x;

/////////////////////////////

betazero = betahat;

B = (t.*(betahat.^-2) - (t.^-1));

A = 0.5*( (t*betahat).^-0.5 + 3*(betahat^0.5*t.^-1.5) )

.*( ( (t.^-0.5*betahat.^0.5) + (betahat^1.5*t.^-1.5) ).^-1 );

//Estimando o parametro alpha:

thetahat[0][0] = (u/betahat + betahat/v - 2)^0.5;

K = (meanr((betahat + t).^-1))^-1;

dK = -N*sumr((betahat + t).^-2)/(sumr((betahat + t).^-1))^2;

alphazero = thetahat[0][0];

dfunc = 0; //valor inicial da funcao CR

vp = alphazero; //valor inicial do parametro CR

ir = MaxBFGS(fBS_profileAlphaCR, &vp, &dfunc, 0, FALSE); //maximizacao CR

ira_cr = ir; //verificando convergencia

thetahat[1][0] = vp;

dfunc = 0; //valor inicial da funcao BN

vp = alphazero; //valor inicial do parametro BN

ir = MaxBFGS(fBS_profileAlphaBN, &vp, &dfunc, 0, FALSE); //maximizacao BN

ira_bn = ir; //verificando convergencia

thetahat[2][0] = vp;

//fim do procedimento para alpha

// Teste da razao de verossimilhancas perfiladas para alpha

rv[0][0] = 2*(- N*log(thetahat[0][0]) - N*log(betahat) + sumr(log((betahat^0.5)

*(t.^-0.5) + (betahat^1.5)*(t.^-1.5)))

+ (-N/(2*thetahat[0][0]^2))*(u/betahat + betahat/v - 2)

- (- N*log(alpha) - N*log(betahat) + sumr(log((betahat^0.5)*(t.^-0.5)

+ (betahat^1.5)*(t.^-1.5))) + (-N/(2*alpha^2))

*(u/betahat + betahat/v - 2)));

// Teste da razao de verossimilhancas perfiladas de Cox&Reid para alpha

rv[1][0] = 2*(- N*log(thetahat[1][0]) - N*log(betahat) + sumr(log((betahat^0.5)

*(t.^-0.5) + (betahat^1.5)*(t.^-1.5))) + (-N/(2*thetahat[1][0]^2))

*(u/betahat + betahat/v - 2) - 1/2*log(-(N/(betahat^2)-N/2*(1

/(betahat^2) + 2*dK/(K^2))-(N/(thetahat[1][0]^2))*(u/(betahat^3)) ))

- (-N*log(alpha) - N*log(betahat) + sumr(log((betahat^0.5)*(t.^-0.5)

+ (betahat^1.5)*(t.^-1.5))) + (-N/(2*alpha^2))*(u/betahat + betahat

/v - 2) - 1/2*log(-(N/(betahat^2)-N/2*(1/(betahat^2) + 2*dK/(K^2))

-(N/(alpha^2))*(u/(betahat^3))))));

// Teste da razao de verossimilhancas perfiladas de Barndorff-Nielsen para alpha

rv[2][0] = 2*(-N*log(thetahat[2][0]) - N*log(betahat) + sumr(log(((betahat.^0.5)

.*(t.^-0.5))+((betahat^1.5)*(t.^-1.5))))+(-N/(2*(thetahat[2][0]^2)))

*(u/betahat + betahat/v - 2) + 1/2*log(((-N/(betahat.^2) + N/2

*(1/(betahat^2)+2*dK/(K.^2))+(N/(thetahat[2][0]^2))*(u/(betahat^3)))))

- log((N/(betahat.^2) - (2/betahat) * sumr(A) + (1/(thetahat[2][0]^2)

+ 1/(alphazero.^2)).*(0.5*sumr(A.*B) - (0.5*betahat^-1)*sumr(B))

+ sumr(A.^2) + (0.25)*(thetahat[2][0]^-2*alphazero^-2)

*sumr(B.^2))) - (-N*log(alpha) - N*log(betahat)

+ sumr(log(((betahat^0.5).*(t.^-0.5)) + ((betahat^1.5)*(t.^-1.5))))

+ (-N/(2*(alpha^2)))*(u/betahat+betahat/v-2)+1/2*log(((-N/(betahat^2)

+ N/2*(1/(betahat^2) + 2*dK/(K.^2))+(N/(alpha^2))*(u/(betahat^3)))))

-log((N/(betahat^2) - (2/betahat) * sumr(A) + (1/(alpha^2)

+ 1/(alphazero^2)).*(0.5*sumr(A.*B) - (0.5*betahat^-1)*sumr(B))

+ sumr(A.^2) + (0.25)*(alpha^-2*alphazero^-2)*sumr(B.^2)))));

//Estimando o parametro beta:

thetahat[0][1] = betahat;

dfunc = 0; //valor inicial da funcao CR

vp = betazero; //valor inicial do parametro CR

ir = MaxBFGS(fBS_profileBetaCR, &vp, &dfunc, 0, FALSE); //maximizacao CR

irb_cr = ir; //verificando convergencia

thetahat[1][1] = vp;

dfunc = 0; //valor inicial da funcao BN

vp = betazero; //valor inicial do parametro BN

ir = MaxBFGS(fBS_profileBetaBN, &vp, &dfunc, 0, FALSE); //maximizacao BN

irb_bn = ir; //verificando convergencia

thetahat[2][1] = vp;

//fim do procedimento para beta

// Teste da razao de verossimilhancas perfiladas para beta

rv[0][1] = 2*(-N/2*log(u/thetahat[0][1] + thetahat[0][1]/v -2)

- N*log(thetahat[0][1]) + sumr(log((thetahat[0][1]^0.5)*(t.^-0.5)

+ (thetahat[0][1]^1.5)*(t.^-1.5))) + N/2*log(u/beta + beta/v - 2)

+ N*log(beta) - sumr(log((beta^0.5)*(t.^-0.5)

+ (beta^1.5)*(t.^-1.5))));

// Teste da razao de verossimilhancas perfiladas de Cox&Reid para beta

rv[1][1] = 2*(-N/2*log(u/thetahat[1][1] + thetahat[1][1]/v -2)

- N*log(thetahat[1][1]) + sumr(log((thetahat[1][1]^0.5)*(t.^-0.5)

+ (thetahat[1][1]^1.5)*(t.^-1.5))) - 1/2*log((2*N)

/((u/thetahat[1][1])+(thetahat[1][1]/v)-2)) + N/2*log(u/beta

+ beta/v - 2) + N*log(beta) - sumr(log((beta^0.5)*(t.^-0.5)

+ (beta^1.5)*(t.^-1.5))) + 1/2*log((2*N)/((u/beta)+(beta/v)-2)) );

// Teste da razao de verossimilhancas perfiladas de Barndorff-Nielsen para beta

rv[2][1] = 2*(-N/2*log(u/thetahat[2][1] + thetahat[2][1]/v -2)

- N*log(thetahat[2][1]) + sumr(log((thetahat[2][1]^0.5)*(t.^-0.5)

+ (thetahat[2][1]^1.5)*(t.^-1.5))) + 1/2*log(((2*N)/((u

/thetahat[2][1])+(thetahat[2][1]/v)-2))) - log(( ((N*alphazero)

/((u/thetahat[2][1] + thetahat[2][1]/v -2).^1.5))*(betazero

/thetahat[2][1]*thetahat[2][1]/betazero))) - (-N/2*log(u/beta

+ beta/v -2) - N*log(beta) + sumr(log((beta^0.5)*(t.^-0.5)

+ (beta^1.5)*(t.^-1.5))) + 1/2*log(((2*N)/((u/beta)+(beta/v)-2)))

- log(( ((N*alphazero)/((u/beta + beta/v -2).^1.5))*(betazero/beta

*beta/betazero)))));

// Imprimindo resultados da aplicacao:

print( "\n\t\t APLICATION RESULTS: BIRNBAUM-SAUNDERS");

print( "\n\t\t ------------------\n");

print( "\n\t\t OX PROGRAM: ", oxfilename(0) );

print( "\n\t\t OX VERSION: ", oxversion() );

print( "\n\t\t NUM. OBSERVATIONS: ", N );

print("%r",{"\t\t ARITHMETIC MEAN: ","\t\t HARMONIC MEAN: "},"%10.4f",u

);

print("\n\n\t\t *** Estimation of parameters ***\n");

print("%r",{"\t\t PERFILE: ","\t\t COX&REID: ","\t\t BARN-NIL: "},

"%c",{"\t\t ALPHA","BETA"},"%12.6f",thetahat);

print("\n\n\t\t *** Likelihood ratio test ***\n");

print("\t\t Null hypothesis: alpha=",alpha,", beta=",beta,"\n");

print("%r",{"\t\t PERFILE: ","\t\t COX&REID: ","\t\t BARN-NIL: "},

"%c",{"\t\t ALPHA","BETA"},"%12.6f",rv);

print("\n\n\t\t *** Likelihood ratio test (p-value) ***\n");

print("%r",{"\t\t PERFILE: ","\t\t COX&REID: ","\t\t BARN-NIL: "},

"%c",{"\t\t ALPHA","BETA"},"%12.6f", 1 - probchi(rv,1));

print("\n\n\t\t *** Status of convergence ***\n");

println("\n\t\tEstimativa de beta (eq.-linear): ",MaxConvergenceMsg(irb));

println("\n\t\tEstimativa de alpha_CR: ",MaxConvergenceMsg(ira_cr));

println("\n\t\tEstimativa de alpha_BN: ",MaxConvergenceMsg(ira_bn));

println("\n\t\tEstimativa de beta_CR: ",MaxConvergenceMsg(irb_cr));

println("\n\t\tEstimativa de beta_BN: ",MaxConvergenceMsg(irb_bn));

}

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