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An´alise da Estabilidade das Distor¸c˜oes
Peri´odicas em Cristais L´ıquidos Nem´aticos na
presen¸ca de Campos Externos e Termos
El´asticos de Superf´ıcie.
Ney Sodre dos Santos
Orientado por Luiz Roberto Evangelista
Departamento de F´ısica, Universidade Estadual de Maring´a
Avenida Colombo, 5790 - 87020-900 Maring´a, Paran´a, Brasil
29 de Maio de 2006.
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Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 7
2 Teoria el´astica para cristais l´ıquidos nem´aticos 10
2.1 Generalidades sobre os cristais l´ıquidos . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Caracterizando os Cristais L´ıquidos . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Fase Nem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Fase Colest´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Fase Esm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Parˆametro de Ordem
Orientacional em Meios Nem´aticos . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Parˆametro de Ordem Microsc´opico . . . . . . . . . . . 18
2.4.2 Parˆametro de Ordem Macrosc´opico . . . . . . . . . . . 21
2.5 Elementos de Teoria El´astica: Elasticidade de Frank . . . . . . 22
2.5.1 Densidade de Energia El´astica . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 As Deforma¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Propriedades de Superf´ıcie de Cristais L´ıquidos Nem´aticos 29
3.0.1 Ancoramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 A Fun¸c˜ao Energia de Ancoramento . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Configura¸c˜ao de Equil´ıbrio em Situa¸c˜oes de Ancoramento Forte
e Fraco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 M´etodo das Constantes de Integra¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Transi¸c˜ao de Fr´eedericksz na situa¸c˜ao de Ancoramento Forte . 39
3.5 Transi¸c˜ao de Fr´eedericksz na situa¸c˜ao de Ancoramento Fraco . 41
4 Deforma¸c˜oes Peri´odicas em Cristais L´ıquidos Nem´aticos 44
4.1 A Densidade de Energia El´astica . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1 Configura¸c˜ao Uniforme Planar . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.2 An´alise Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.3 Instabilidade Peri´odica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1
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4.2 Dependˆencia com o ˆangulo do diretor . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1 An´alise linear da estabilidade . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Deforma¸c˜oes Peri´odicas: Efeito do Campo Externo 61
5.1 Efeito do Campo Magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Espessura Cr´ıtica na Ausˆencia de Campo . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Efeito de um Campo Externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6 Conclus˜oes 75
2
‘‘Poich`e: `e dando,
che si riceve;
Perdonando che
si `e perdonati;
Morendo, che si
resuscita a Vita
Eterna’’.
San Francesco
A Salva¸c~ao n~ao ´e
para homens comuns.
3
AGRADECIMENTOS
A Deus sem O qual seria imposs´ıvel chegar at´e aqui.
`
A minha fam´ılia, pelo apoio emocional dado em momentos muitos pecu-
liares.
Ao professor Luiz Roberto Evangelista, pela orienta¸c˜ao e paciˆencia du-
rante o per´ıodo deste trabalho.
Ao Professor Mauro Luciano Baesso, sem o qual est´a caminhada n˜ao teria
come¸cado.
A Akiko Nisida e Maria Casagrande, pela amizade constru´ıda neste per´ıodo
de mestrado.
Cito ainda alguns colegas: Fernando Carlos Messias Freire, C´esar Augusto
Refosco Yednak, Manoel Messias Alvino de Jesus, Kleber Antonio Peres
Prudˆencio e muitos outros que n˜ao est˜ao descritos nestas poucas linhas.
`
A CAPES, pelo apoio financeiro que permitiu a realiza¸c˜ao deste trabalho.
4
RESUMO
A influˆencia dos termos el´asticos de superf´ıcie e de um campo externo, no
surgimento de estruturas peri´odicas no meio nem´atico, ´e investigada. Par-
ticular ˆenfase ´e dada ao estudo da estabilidade dessas estruturas, que ´e de-
senvolvido por meio do m´etodo das constantes de integra¸c˜ao. Nesse m´etodo,
as solu¸c˜oes gerais que determinam o perfil de equil´ıbrio do campo do diretor
s˜ao linearizadas em torno da solu¸c˜ao que corresponde ao estado inicial uni-
forme, n˜ao distorcido. O surgimento das instabilidades ´e investigado a partir
da an´alise da positividade da forma quadr´atica que define a densidade de
energia el´astica do sistema, que consiste de uma c´elula nem´atica em forma
de fatia de espessura d, limitada por duas superf´ıcies planas. A an´alise re-
vela a existˆencia de uma espessura cr´ıtica separando o alinhamento uniforme
do alinhamento periodicamente distorcido, estendendo resultados anterior-
mente estabelecidos na literatura ao incorporar, a essa espessura cr´ıtica, a
dependˆencia com o ˆangulo do diretor e com o campo externo.
5
ABSTRACT
The influence of surface-like elastic terms and the external field on the for-
mation of periodic structures in a nematic medium is analyzed. Particular
emphasis is given to the study of the stability of these structures. This
study is carried out by means of the method of integration constants. In this
method, the general solutions determining the profile of the director field are
linearized around the initial uniform, non-distorted state. The arising of the
instabilities is investigated by investigating the positivity of the quadratic
form that defines the elastic energy density of the system, which consists in
a sample in the shape of a slab of thickness d. The analysis indicates the
existence of critical thickness separating the uniform from the periodically
distorted alignment, and extends previous results by incorporating, to the
critical thickness, the dependence on the tilt angle and on the external field.
6
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
A p ossibilidade de deforma¸c˜oes peri´odicas em cristais l´ıquidos nem´aticos
vem sendo analisada j´a h´a um bom tempo, e notadamente a partir do traba-
lho pioneiro de Lonberg e Meyer [1]. Em sua an´alise, a c´elula nem´atica com
orienta¸c˜ao planar foi submetida a um campo magn´etico externo cuja dire¸c˜ao
era perpendicular `aquela da orienta¸c˜ao inicial. Como resultado, eles mostra-
ram que se o valor da constante de twist, K
22
, for menor do que um certo
valor cr´ıtico, o campo magn´etico pode induzir uma deforma¸c˜ao peri´odica,
em vez de uma deforma¸c˜ao usual, n˜ao-peri´odica. Este tipo de problema ´e
muito importante e vem sendo analisado por diferentes autores ao longo dos
anos [2, 3, 4, 5, 6, 7]. Deforma¸c˜oes peri´odicas em c´elulas nem´aticas h´ıbridas,
na ausˆencia de campos el´etricos ou magn´eticos, p or exemplo, foram conside-
radas por Strigazzi e colaboradores [4, 5, 6]. Em todos os casos mencionados,
um campo externo, el´etrico ou magn´etico, ´e o respons´avel pela instabilidade
peri´odica. Recentemente, no entanto, Pergamenshick [8, 9] investigou a pos-
sibilidade do surgimento de deforma¸c˜oes planares peri´odicas em amostras
planarmente orientadas como conseq¨uˆencia da a¸c˜ao dos termos de superf´ıcie
presentes na densidade de energia livre de Frank. Ele mostrou que se a
constante el´astica de saddle-splay, K
24
, for suficientemente grande, o estado
fundamental de uma amostra nem´atica, limitada por superf´ıcies cujos eixos
f´aceis s˜ao planares, pode ser periodicamente deformado.
Esse mesmo problema foi posteriormente reconsiderado por Barbero e co-
laboradores [10] por meio de uma an´alise bastante simples da estabilidade da
solu¸c˜ao peri´odica. O m´etodo consiste em encontrar a matriz que caracteriza
a energia total em termos das constantes de integra¸c˜ao da solu¸c˜ao linearizada
do problema variacional. Como no estado n˜ao deformado todas as constan-
tes de integra¸c˜ao se anulam, a energia total nesse caso ´e nula. Assim sendo,
a an´alise da estabilidade da solu¸c˜ao n˜ao deformada se reduz ao estudo do
sinal dos determinantes dos menores principais da matriz que corresponde `a
7
forma quadr´atica da energia total da amostra nem´atica. Com essa an´alise,
eles tamb´em foram capazes de predizer a existˆencia de uma espessura cr´ıtica
abaixo do qual as deforma¸c˜oes peri´odicas s˜ao favorecidas.
Num trabalho posterior, Barbero e colaboradores [11] voltaram ao pro-
blema, mas agora considerando o papel do ˆangulo de inclina¸c˜ao para sur-
gimento de deforma¸c˜oes peri´odicas. Assim, uma amostra uniformemente
orientada, no plano, sofre uma perturba¸c˜ao perpendicular a esse plano. Uma
an´alise da estabilidade da solu¸c˜ao uniforme ´e novamente desenvolvida e for-
nece um quadro bastante detalhado de como podem surgir, no meio nem´atico,
distor¸c˜oes peri´odicas espontˆaneas, isto ´e, na ausˆencia de campos aplicados.
Neste trabalho, ´e abordada a influˆencia do termo de superf´ıcie na energia
livre nas distor¸c˜oes peri´odicas atrav´es de um simples modelo de an´alise da
estabilidade. Para isto, considera-se uma amostra de cristal l´ıquido nem´atico
em forma de slab de espessura d com o diretor da amostra, n, no plano xz,
e admite-se a presen¸ca de termos de superf´ıcie na energia livre de Frank.
A an´alise ´e feita para dois casos distintos. Primeiramente, ´e estudada a
forma¸c˜ao de distor¸c˜oes espontˆaneas peri´odicas devidas ao termo de saddle-
splay, usando-se a aproxima¸c˜ao K
11
= K
22
= K
33
= K. Nesse caso,
consegue-se determinar uma espessura cr´ıtica d
c
, tal que para d < d
c
, a
distor¸c˜ao peri´odica ´e favorecida. Em uma segunda an´alise ´e estudado o pro-
blema com um campo magn´etico H aplicado `a amostra, causando instabili-
dades peri´odicas no meio. Para isto, novamente usamos a aproxima¸c˜ao de
isotropia el´astica e espera-se obter uma espessura cr´ıtica; ap´os a obten¸c˜ao
desta espessura cr´ıtica ´e efetuada uma an´alise gr´afica do comportamento de
d
c
com alguns dos seus parˆametros de dependˆencia.
A disserta¸c˜ao est´a ordenada da seguinte forma: no cap´ıtulo (2) ´e apre-
sentado um breve hist´orico sobre os cristais l´ıquidos nem´aticos, bem como
algumas de suas propriedades gerais. S˜ao abordadas tamb´em as principais
caracter´ısticas das fases l´ıquido cristalinas, o parˆametro de ordem orientacio-
nal escalar e tensorial s˜ao obtidos com uma razo´avel riqueza de detalhes. Por
fim, s˜ao utilizados elementos de teoria el´astica para se obter a densidade de
energia el´astica de Frank e as constantes relacionadas com as deforma¸c˜oes
de volume s˜ao brevemente abordadas. Para uma vis˜ao mais detalhada dos
assuntos abordados neste cap´ıtulo ´e recomendada a leitura das obras citadas
nas referˆencias [12, 13, 14, 15].
No cap´ıtulo (3) ´e analisado o efeito, na densidade de energia, da pre-
sen¸ca de uma superf´ıcie limitando a amostra nem´atica e sua conseq¨uˆencia
nas propriedades dos cristais l´ıquidos nem´aticos, o conceito de energia de
ancoramento ´e apresentado e algumas formas para a energia de superf´ıcie
s˜ao propostas e discutidas em uma perspectiva macrosc´opica. O problema
da transi¸c˜ao de Fr´eedericksz ´e discutido nas situa¸c˜oes de ancoramento forte
8
e fraco.
´
E apresentado neste cap´ıtulo o m´etodo das constantes de integra¸c˜ao
que ser´a de suma importˆancia para o desenvolvimento dos pr´oximos cap´ıtulos.
No cap´ıtulo (4), uma reapresenta¸c˜ao da an´alise utilizando o m´etodo das
constantes de integra¸c˜ao ser´a efetuada com um duplo prop´osito. O primeiro
´e o de apresentar o m´etodo de an´alise da estabilidade da fase n˜ao-deformada
frente `as pertuba¸c˜oes indutoras de deforma¸c˜oes peri´odicas. O segundo ´e
a apresenta¸c˜ao das condi¸c˜oes sob as quais se formam as solu¸c˜oes. Esses
resultados estabelecem a linguagem e o ponto de partida para as an´alises
que ser˜ao desenvolvidas no pr´oximo cap´ıtulo.
Por fim, no cap´ıtulo (5) o papel de um campo externo constante na
forma¸c˜ao de estruturas peri´odicas na amostra nem´atica ´e investigado. A
an´alise se desenvolve usando o formalismo apresentado nos Cap´ıtulos pre-
cedentes e ao longo das mesmas linhas. O objetivo ´e investigar a eventual
existˆencia de uma espessura cr´ıtica para a forma¸c˜ao de estruturas peri´odicas
e determinar a dependˆencia da espessura cr´ıtica com o campo.
9
Cap´ıtulo 2
Teoria el´astica para cristais
l´ıquidos nem´aticos
Neste cap´ıtulo, faremos uma breve introdu¸c˜ao `as propriedades gerais dos
cristais l´ıquidos. Abordaremos algumas das principais caracter´ısticas de suas
fases. Os parˆametros de ordem escalar e tensorial tamb´em ser˜ao apresenta-
dos. Enfatizaremos a fase nem´atica, e a possibilidade de trat´a-la como um
cont´ınuo do ponto de vista el´astico. A teoria da elasticidade, aplicada aos cris-
tais l´ıquidos, ser´a utilizada para a obten¸c˜ao da densidade de energia el´astica
de Frank.
2.1 Generalidades sobre os cristais l´ıquidos
O estudo dos cristais l´ıquidos come¸cou em 1888 com um botˆanico austr´ıaco
chamado Friedrich Reinitzer, cujo principal interesse era investigar a fun¸c˜ao
do colesterol nas plantas, que at´e ent˜ao n˜ao era conhecida [16]. Reinitzer
descobriu que uma mistura orgˆanica que estava estudando, posteriormente
chamada de benzoato de colesterila, tinha dois pontos distintos de fus˜ao. Em
seus experimentos, Reinitzer aumentou a temperatura de uma amostra solida
e observou que, quando aquecida, a substˆancia fundia-se a 145
0
C, formando
um l´ıquido leitoso, e a 179
0
C esse l´ıquido tornava-se transparente. Quando a
substˆancia era resfriada o processo contr´ario ocorria. Por este motivo, os tra-
balhos de Reinitzer s˜ao os primeiros dedicados aos cristais l´ıquidos. Reinitzer
´e freq¨uentemente creditado como descobridor de uma nova fase da mat´eria –
a fase l´ıquido cristalina.
A caracter´ıstica diferenciada do estado l´ıquido cristalino ´e a tendˆencia das
mol´eculas apontarem ao longo de um eixo comum, chamado de diretor. Esta
caracter´ıstica contrasta com as mol´eculas na fase l´ıquida, pois as mol´eculas
10
Figura 2.1: Transi¸c˜ao de fase devido ao aumento da temperatura para cristais
l´ıquidos nem´aticos. a) cristal, b) esm´etico, c) nem´atico e d) l´ıquido.
na fase l´ıquida n˜ao possuem uma ordem orientacional intr´ınseca. No estado
s´olido, as mol´eculas s˜ao altamente ordenadas e possuem pouca liberdade
translacional. A caracter´ıstica de ordem orientacional dos cristais l´ıquidos
determina que ele esteja entre a tradicional fase solida e a fase l´ıquida e esta
´e a origem do termo estado mesogˆenico, usado de forma sinˆonima para com
o estado l´ıquido cristalino. Observe o alinhamento m´edio das mol´eculas para
cada fase na seguinte figura (2.2).
Figura 2.2: Alinhamento das mol´eculas na fase: s´olida, l´ıquida cristalina e
l´ıquida.
Desta forma, ´e algumas vezes dif´ıcil determinar se um material est´a no
estado de cristal ou no estado l´ıquido cristalino, em vez de passar direta-
mente da fase s´olida (materiais cristalinos manifestam ordem peri´odica de
longo alcance em trˆes dimens˜oes) para a fase l´ıquida (por defini¸c˜ao, um
11
l´ıquido isotr´opico n˜ao possui nenhuma ordem orientacional) quando aque-
cidas, substˆancias como, por exemplo, o benzoato de colesterila, passam por
uma fase intermedi´aria l´ıquido-cristalina; essa fase apresenta a mesma estru-
tura dos s´olidos e a mesma liberdade de movimento possu´ıda pelos l´ıquidos,
podendo apresentar forma¸c˜ao de estruturas de uma ou duas dimens˜oes, e
s˜ao tamb´em anisotr´opicas
1
. Estas fases entre o s´olido cristalino e o l´ıquido
isotr´opico
2
, mostrada na Fig. (2.1), que n˜ao s˜ao t˜ao ordenadas como um
s´olido, mas tˆem algum grau de alinhamento, s˜ao justamente chamada de
mesofases ou fases l´ıquido-cristalinas [19, 20, 21]. Materiais l´ıquidos cris-
talinos s˜ao ´unicos em suas propriedades e usos. Desde sua descoberta em
1888, o cristal l´ıquido vem sendo estudado. Como conseq¨uˆencia, os cristais
l´ıquidos, no desenvolvimento tecnol´ogico, tˆem tido um importante papel em
muitas ´areas da ciˆencia e da engenharia. Aplica¸c˜oes para este tipo especial
de material est˜ao sendo descobertas e continuam fornecendo solu¸c˜oes efetivas
para muitos problemas especiais. Como termˆometros de cristais l´ıquidos, cris-
tais l´ıquidos chirais (colest´erico) refletem a luz com um comprimento de
onda igual ao pitch e por causa desta dependˆencia com a temperatura a
cor refletida tamb´em ´e dependente com a temperatura. As aplica¸c˜oes mais
importantes destes termˆometros tˆem sido na medicina e na eletrˆonica, de-
vido `a sensibilidade deles.[22] A aplica¸c˜ao mais comum dos cristais l´ıquidos
na tecnologia s˜ao os mostradores de cristais l´ıquidos (liquid crystal displays
(LCDs)). Este campo tem crescido em uma ind´ustria multi-bilion´aria de
d´olares, e muitas descobertas significantes tanto relacionadas ´as suas propri-
edades quanto ´as novas aplica¸c˜oes tˆem sido feitas. O uso do cristal l´ıquido
resulta do fato de que as for¸cas intermoleculares s˜ao facilmente afetadas pela
temperatura, press˜ao e campos eletromagn´eticos.
Cristais l´ıquidos s˜ao usualmente observados em compostos orgˆanicos, pos-
suem mol´eculas na forma cil´ındrica, com massas de 200 a 500 u.m.a e com-
primento igual a 4 ou 5 vezes seu diˆametro. Potencialmente, representam
0, 5% dos compostos orgˆanicos [23].
1
Anisotropia ´e a caracter´ıstica de um meio no qual suas propriedades variam depen-
dendo da dire¸c˜ao em que s˜ao observadas, ou seja, da dire¸c˜ao em que s˜ao medidas. Nos
cristais l´ıquidos, tal caracter´ıstica ´e imposta tanto ao alinhamento, quanto `a forma das
mol´eculas. Exce¸c˜ao feita para os do sistema c´ubico, os cristais l´ıquidos s˜ao sempre ani-
sotr´opicos. Os l´ıquidos n˜ao apresentam, em geral, anisotropia e os gases jamais a pos-
suem [17, 18].
2
Propriedade de uma substˆancia em que as caracter´ısticas f´ısicas, ou f´ısico-qu´ımicas,
s˜ao independentes da dire¸c˜ao em que s˜ao observadas. Distingue-se da homogeneidade, que
identifica as substˆancias em que as propriedades s˜ao as mesmas em todos os pontos [17, 18].
12
2.2 Caracterizando os Cristais L´ıquidos
Os seguintes parˆametros descrevem a estrutura l´ıquido cristalina:
• Ordem Posicional
• Ordem Orientacional
Cada um destes parˆametros descreve a medida em que a amostra de cristal
l´ıquido est´a ordenada. A ordem posicional refere-se `a medida para a qual uma
m´edia molecular ou um grupo de mol´eculas mostra simetria translacional
(como exibem materiais cristalinos). Ordem orientacional, como discutido
acima, representa uma medida da tendˆencia das mol´eculas de alinharem-se
ao longo do diretor em uma base de longo alcance [36]. Este quarto estado
da mat´eria geralmente ´e caracterizado p or possuir ordem orientacional e or-
dem posicional fraca, e por apresentar v´arias propriedades f´ısicas de cristais,
mas apresenta tamb´em fluidez que ´e uma caracter´ıstica da fase l´ıquida. Se
as transi¸c˜oes entre as fases forem determinadas por meio da varia¸c˜ao de
temperatura, eles ser˜ao chamados de cristais l´ıquidos termotr´opicos. Por ou-
tro lado, se essas transi¸c˜oes de fases forem observadas variando-se a con-
centra¸c˜ao dos diferentes componentes, ser˜ao chamados de cristais l´ıquidos
liotr´opicos. Os termotr´opicos s˜ao usados principalmente em aplica¸c˜oes tec-
nol´ogicas, enquanto os liotr´opicos s˜ao importantes para sistemas biol´ogicos,
como por exemplo, membranas.
Cristais l´ıquidos tˆem normalmente a forma de um bast˜ao (ou charuto)
cil´ındrico, ou podem ser achatados como discos (ou bolachas). Na Fig. (2.3)
mostramos a estrutura qu´ımica para dois dos representantes mais proemi-
nentes. O MBBA foi o primeiro a ser sintetizado em 1969, enquanto que o
5CB foi o primeiro membro, opticamente e quimicamente est´avel, dos cyano-
biphenyls - uma das fam´ılias mais aplic´aveis de cristais l´ıquidos - descoberto
em 1973.
Como resultado da ordem orientacional, a maioria das propriedades f´ısicas
dos cristais l´ıquidos ´e anisotr´opica e pode ser descrita por meio de tensores
de segunda ordem. Alguns exemplos s˜ao a difusividade t´ermica, a suscepti-
bilidade magn´etica e a birrefringˆencia ´optica. Al´em disso, h´a novas carac-
ter´ısticas f´ısicas que n˜ao aparecem em l´ıquidos simples, como, por exem-
plo, elasticidade e torque friccional (viscosidade rotacional) agindo estatica-
mente e dinamicamente nas deforma¸c˜oes de sua estrutura f´ısica, respectiva-
mente.
13
Figura 2.3: Representa¸c˜ao qu´ımica para os compostos MBBA e 5CB. Os
n´umeros indicam as dimens˜oes em angstroms.
2.3 Fases
O estado l´ıquido cristalino ´e uma fase da mat´eria observada entre a cris-
talina (s´olido) e o estado isotr´opico (l´ıquido). H´a muitos tipos de estados
l´ıquidos cristalinos, dependendo de como est´a o ordenamento na mat´eria. Su-
bstˆancias que formam o cristal l´ıquido s˜ao freq¨uentemente compostas por
mol´eculas longas, como j´a foi previamente mencionado. Em uma fase l´ıquida
normal, as mol´eculas est˜ao orientadas de uma forma aleat´oria, como exempli-
ficado na Fig. (2.1d). A fase l´ıquido-cristalina, por contraste, exibe alguma
ordem molecular, e assim po demos dividi-la em trˆes categorias: nem´atica,
esm´etica e colest´erica. Esta divis˜ao do cristal l´ıquido em trˆes classes, base-
adas em suas propriedades estruturais, foi primeiramente proposta por G.
Friedel(1922) [24]. Algumas mesofases de mol´eculas calam´ıticas est˜ao esque-
maticamente mostradas na Fig. (2.4). No caso mais simples, as mol´eculas
possuem somente ordem de longo alcance orientacional, mas nenhuma ordem
posicional.
.
14
Figura 2.4: Fases: a) nem´atica, b) esm´etica e c) colest´erica. Na fase colest´erica,
cada tom de cor simboliza uma camada.
2.3.1 Fase Nem´atica
A fase l´ıquida cristalina nem´atica ´e caracterizada pelas mol´eculas que n˜ao
possuem ordem posicional mas tendem a apontar na mesma dire¸c˜ao (ao longo
da dire¸c˜ao do diretor). Na figura (2.5), observe que as mol´eculas apontam
verticalmente mas est˜ao dispostas sem qualquer ordenamento particular.
Figura 2.5: Representa¸c˜ao esquem´atica da fase nem´atica (a esquerda)e uma
foto de um cristal l´ıquido nem´atico (a direita).
Na fase nem´atica l´ıquido-cristalina, Fig. (2.4)a, as mol´eculas est˜ao alinha-
das ao longo de um eixo, ou de uma dire¸c˜ao preferencial. O nome nem´atico
(do grego νεµoσ = linha) diz respeito a texturas na forma de linhas, obser-
vadas sob microsc´opio de luz polarizada. Grande parte das fenomenologias
de interesse dos cristais l´ıquidos envolve a geometria e a dinˆamica do eixo
preferencial; desta forma, ´e ´util introduzir um campo vetorial n, este campo
caracteriza sua orienta¸c˜ao local, ou seja, a dire¸c˜ao de alinhamento preferido
15
pelas mol´eculas ´e descrita por este campo vetorial e este campo vetorial ´e
chamado de diretor. J´a que sua magnitude n˜ao tem nenhum significado
distinto, este ´e tomado como sendo unit´ario. Na pr´atica, a orienta¸c˜ao das
mol´eculas individuais difere significativamente do diretor, e este deve ser defi-
nido mais corretamente como o eixo de simetria da distribui¸c˜ao orientacional.
Nos nem´aticos, a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao ´e rotacionalmente sim´etrica ao redor
do diretor, isto ´e, eles s˜ao uniaxiais.
2.3.2 Fase Colest´erica
A fase l´ıquida cristalina colest´erica (ou nem´atica colest´erica) ´e tipicamente
composta de mol´eculas nem´aticas mesogˆenicas contendo um centro chiral
que produz for¸cas intermoleculares que favorecem o alinhamento entre as
mol´eculas em um leve ˆangulo uma da outra. Isto produz a forma¸c˜ao de uma
estrutura que pode ser vista como um empilhamento de camadas com o
diretor em cada uma delas girado com rela¸c˜ao `a de cima e `a de baixo. Nesta
estrutura, o diretor na pr´atica forma uma estrutura helicoidal cont´ınua sobre
a camada normal, como ilustrado nas figuras (2.6) e (2.7). Se um cristal
l´ıquido nem´atico ´e feito de mol´eculas chirais
3
, um cristal l´ıquido colest´erico
4
´e obtido, (Fig. 2.4c). Localmente, n˜ao podem ser distinguidos colest´ericos de
nem´aticos, mas a orienta¸c˜ao preferida forma uma estrutura helicoidal, com
o eixo helicoidal perpendicular ao diretor.
Figura 2.6:
Cama-
das
giradas Figura 2.7: Estrutural helicoidal
3
As mol´eculas que diferem da sua imagem no espelho.
4
De acetato de colesterol, o primeiro deste tipo.
16
2.3.3 Fase Esm´etica
Na fase esm´etica (do grego σµεγµα = sab˜ao), Fig. (2.4b), as mol´eculas
s˜ao arranjadas em camadas e com dire¸c˜ao preferencial perpendicular ao plano
da camada. Os esm´eticos podem ser considerados como ondas de densidade
unidimensionais. Os movimentos poss´ıveis nesta fase s˜ao os de transla¸c˜ao
interna, mas n˜ao entre as camadas, e de rota¸c˜ao em torno de um eixo longo.
Mol´eculas nesta fase apresentam um grau de ordem translacional que n˜ao
est´a presente no nem´atico. No estado esm´etico, as mol´eculas mantˆem a or-
dem orientacional geral dos nem´aticos, mas tamb´em tendem a alinhar-se nas
camadas ou planos. O movimento ´e restrito a estes planos. O aumento da or-
dem significa que o estado esm´etico ´e mais “como s´olido”do que o nem´atico.
Figura 2.8: Foto de uma fase esm´etica.
2.4 Parˆametro de Ordem
Orientacional em Meios Nem´aticos
17
Para o estudo da orienta¸c˜ao molecular em meios nem´aticos, ´e necess´ario
estabelecer um modelo de simetria e de comportamento para essas mol´eculas.
Como visto anteriormente, as mol´eculas de um cristal l´ıquido nem´atico pos-
suem a forma alongada, como se fossem bast˜oes r´ıgidos. Portanto, ´e perfei-
tamente poss´ıvel abordar esse caso atrav´es de uma simetria cil´ındrica, na
qual os centros de massa das mol´eculas est˜ao dispostos aleatoriamente, mas
mantˆem um relevante grau de alinhamento. Posto isto, iremos abordar o
parˆametro de ordem que pode ser definido para descrever o grau de ordena-
mento nestes cristais l´ıquidos nem´aticos, tanto macrosc´opica, quanto micros-
copicamente.
2.4.1 Parˆametro de Ordem Microsc´opico
Para o estudo da ordem microsc´opica nos Cristais L´ıquidos, tomemos que
a energia de intera¸c˜ao molecular respons´avel pela fase ´e tal que tende a ali-
nhar as mol´eculas ao longo do eixo molecular paralelo ao diretor n, que ´e
dado pela m´edia estat´ıstica da dire¸c˜ao a de cada mol´ecula, coincidindo com
o eixo z, no sistema cartesiano. Os materiais s˜ao tais que:
n.a = 0 (2.1)
onde n e −n s˜ao completamente equivalentes. Naturalmente, a quantidade
(n · a)
2
= 0, e isto pode ser usado para definir um parˆametro de ordem
caracterizando a dispers˜ao de a em torno de n. A quantidade
S =
3
2
(n.a)
2
−
1
3
(2.2)
´e chamado de parˆametro de ordem escalar e pode ser usado para descrever
os graus de ordem na fase nem´atica. Na fase isotr´opica, (n.a)
2
= 1/3,
portanto S = 0. Na fase nem´atica perfeita, n = a, S = 1.
As mol´eculas na fase nem´atica est˜ao livre para se moverem em todas as
dire¸c˜oes, como em um l´ıquido comum. Entretanto, permanecem orientadas
em torno de uma dire¸c˜ao preferencial. Esta dire¸c˜ao ´e representada pelo vetor
unit´ario n(r), como j´a visto, chamado de diretor da fase nem´atica. Consi-
deremos tamb´em a como sendo a dire¸c˜ao do eixo longo da mol´ecula, cujas
componentes s˜ao:
18
a
x
= sin θ cos φ,
a
y
= sin θ sin φ,
a
z
= cos θ
onde θ ´e o ˆangulo formado entre o eixo longo da mol´ecula e o diretor; neste
caso n coincide com o eixo z do sistema cartesiano de referˆencia, Fig. (2.9).
Figura 2.9: Representa¸c˜ao cartesiana para o vetor n, a e o elemento de volume
dω.
Desta maneira, vamos definir uma fun¸c˜ao f como sendo uma fun¸c˜ao
distribui¸c˜ao, de tal forma que f(θ, φ)dΩ nos dˆe a probabilidade de que se
encontrem mol´eculas na dire¸c˜ao (θ, φ), em fun¸c˜ao de um determinado ˆangulo
s´olido dω. Como a fase nem´atica possui uma simetria cil´ındrica,
f = f(θ).
19
Al´em disso, ´e importante salientar que n e − n s˜ao equivalentes, portanto
f(θ) = f(π − θ), (2.3)
onde cos(π − θ) = −cos(θ), est´a de acordo com a equivalˆencia mencio-
nada. Por esse motivo, n˜ao ´e poss´ıvel relacionar o parˆametro de ordem
da fase no qual o sistema se encontra, com seu car´ater dipolar. Logo, a
solu¸c˜ao foi definir esse parˆametro a partir das caracter´ısticas quadrupolares
do meio[25]. Ou seja,
S =
1
2
< 3 cos
2
θ − 1 >, (2.4)
onde S define a m´edia de alinhamento das mol´eculas e ´e conhecido como
parˆametro de ordem escalar, e ser´a empregado na abordagem microsc´opica
dos problemas de ordenamento em meios nem´aticos.
Quando analisamos a ordem orientacional em meios nem´aticos, sabemos que
Figura 2.10: Onde θ ´e o ˆangulo entre o diretor e o eixo longo de cada mol´ecula.
para θ = 0 uma ´unica dire¸c˜ao ser´a prov´avel, ou seja, < cos
2
θ >≈ 1. Nesse
caso S ≈ 1, representa uma orienta¸c˜ao perfeita. Entretanto, o resultado ´e bem
diferente quando analisamos amostras isotr´opicas. Neste caso, as mol´eculas
podem estar orientadas em qualquer dire¸c˜ao. Tomemos agora
< cos
2
θ >=
cos
2
θ
dΩ
4π
,
em que, dΩ = sin(θ) dθ dφ, ´e o elemento de ˆangulo s´olido. Usando este fato
na integral acima, teremos
< cos
2
θ >=
1
4π
2π
0
dφ
π
0
cos
2
θ sin θ dθ =
1
3
20
aplicando este resultado na equa¸c˜ao (2.4), obtemos que S = 0, representando
uma desordem orientacional esperada na fase isotr´opica.
2.4.2 Parˆametro de Ordem Macrosc´opico
Sabe-se que cristais l´ıquidos s˜ao substˆancias anisotr´opicas, portanto, ´e
empregado o ferramental tensorial para representar grandezas f´ısicas como
´ındice de refra¸c˜ao, susceptibilidade magn´etica ou susceptibilidade diel´etrica.
Para se ter uma quantidade macrosc´opica que descreva o grau de ordem, na
orienta¸c˜ao molecular, deve-se escolher um parˆametro de ordem que se anule
na fase isotr´opica. Tomemos ent˜ao o tensor
Q
ij
=
ij
−
1
3
δ
ij
k
kk
, (2.5)
onde o tensor susceptibilidade magn´etica
ij
´e definido por
ij
=
⊥
0 0
0
⊥
0
0 0
, (2.6)
em que
⊥
e
se referem `as dire¸c˜oes perpendiculares e paralelas ao eixo de
simetria.
Na express˜ao (2.5), temos
j
jj
=
11
+
22
+
33
=
⊥
+
⊥
+
.
Portanto, separadamente para cada termo espec´ıfico de Q
ij
, teremos
Q
11
=
⊥
−
1
3
(
⊥
+
⊥
+
) = −
1
3
(
−
⊥
), (2.7)
em que po demos definir
−
⊥
= δ, como sendo a anisotropia. Isso se aplica
aos demais termos de Q
ij
; logo,
Q
11
= −
1
3
δ, Q
22
= −
1
3
δ e Q
33
=
2
3
δ.
Temos agora, uma nova forma de representar a equa¸c˜ao (2.5). Usando os
resultados obtidos acima, teremos:
Q
ij
=
−
1
3
δ 0 0
0 −
1
3
δ 0
0 0
2
3
δ
=
2
3
δ
−
1
2
0 0
0 −
1
2
0
0 0 1
, (2.8)
21
de tal forma que o tensor se anula na fase isotr´opica, em que
⊥
=
, pois
a matriz, al´em de sim´etrica, possui tra¸co zero. O termo 2/3 δ ´e conhecido
como a magnitude do tensor Q
ij
.
´
E necess´ario tamb´em definir um parˆametro de ordem, que pode alcan¸car
um valor m´aximo. Para se obter isto, ser´a dividida a magnitude do tensor
2/3 δ, pelo seu valor m´aximo 2/3 δ
max
. Desta maneira, ele ser´a definido
por
Q
ij
=
δ
δ
max
−
1
2
0 0
0 −
1
2
0
0 0 1
= Q
−
1
2
δ 0 0
0 −
1
2
δ 0
0 0 δ
, (2.9)
onde Q ´e uma constante de normaliza¸c˜ao, que tamb´em ´e conhecida como
sendo o inverso do valor m´aximo da anisotropia. Assim, podemos escrever
esse tensor de outra forma
Q
ij
= Q
ij
−
1
3
δ
ij
k
kk
. (2.10)
Este tensor tem todas as caracter´ısticas que quer´ıamos, pois se anula na
fase isotr´opica, e atinge o valor m´aximo igual a 1, nas fases mais anisotr´opicas.
Contudo, ainda ´e poss´ıvel relacionar o parˆametro de ordem microsc´opico
(escalar), com o de ordem macrosc´opico (tensorial)[15]. Essa rela¸c˜ao ´e dada
por
Q
ij
=
3
2
S
n
i
n
j
−
1
3
δ
ij
, (2.11)
e ela s´o ´e poss´ıvel devido ao fato de podermos escrever a susceptibilidade
magn´etica macrosc´opica atrav´es da susceptibilidade magn´etica molecular [15].
2.5 Elementos de Teoria El´astica: Elasticidade
de Frank
2.5.1 Densidade de Energia El´astica
Consideremos o parˆametro de ordem escalar como sendo espacialmente
constante, e assim obteremos uma express˜ao para a densidade de energia
el´astica de um Cristal L´ıquido Nem´atico em termos da primeira derivada
espacial do diretor, ou seja, em termos de n
i,j
, que ´e definida por
22
n
ij
=
∂n
i
∂x
j
.
Se o diretor n for independente da posi¸c˜ao, o meio n˜ao ´e distorcido, e a densi-
dade de energia el´astica neste caso ´e m´ınima, sendo aqui representada por f
0
.
Caso o meio seja distorcido, a densidade de energia el´astica ´e representada
por f com o diretor sendo dado por n (r) e em princ´ıpio, n
i,j
= 0. Para a
realiza¸c˜ao dos c´alculos, admitimos que a primeira derivada espacial n(r) seja
suficiente para descrever o estado distorcido, ou seja:
f = f(n
i,j
). (2.12)
Logo, se essa derivada for relativamente pequena, podemos desenvolver f em
uma s´erie de potˆencia de n
i,j
, como ´e usualmente feito na teoria da elastici-
dade e, desta forma, f pode ser escrita como
f(n
i,j
) = f
0
+
∂f
∂n
i,j
0
n
i,j
+
1
2
∂
2
f
∂n
i,j
n
k,l
0
n
i,j
n
k,l
+ ... , (2.13)
onde
∂f
∂n
i,j
0
= L
ij
, (2.14)
∂
2
f
∂n
ij
n
k,l
0
= K
ijkl
, (2.15)
com o subscrito 0 indicando que as derivadas s˜ao calculadas com rela¸c˜ao ao
estado n˜ao distorcido. Nas express˜oes acima e daqui em diante a conven¸c˜ao
de soma de Einstein ´e adotada. Os tensores fenomenol´ogicos L
ij
e K
ijkl
s˜ao
chamados de tensores el´asticos. Logo, tem-se que
f(n
i,j
) = f
0
+ L
ij
n
i,j
+
1
2
K
ijkl
n
i,j
n
k,l
.
= f
0
+ f
1
+ f
2
(2.16)
Podemos decompor L
ij
e K
ijkl
em termos das componentes de n, delta
de kronecker δ
ij
e do tensor anti-sim´etrico de Levi-Civita, ε
ijk
. Primeira-
mente, para L
ij
obtemos
L
ij
= L
1
n
i
n
j
+ L
2
δ
ij
+ L
3
n
k
ε
kij
, (2.17)
onde L
1
, L
2
e L
3
s˜ao constantes desconhecidas. Como se trata de um meio
nem´atico, as dire¸c˜oes n e −n s˜ao fisicamente equivalentes, ou seja, o meio ´e
23
n˜ao polar; conseq¨uentemente, f deve ser invariante frente a essa opera¸c˜ao de
troca de sinal de n. Devido a este fato, L
1
= L
2
= 0. Assim
L
ij
n
i,j
= L
3
n
k
ε
kij
n
i,j
, (2.18)
mas usando a propriedade vetorial ∇ × n = ε
kij
ˆe
i
∇
j
n
k
[28], tem-se
L
3
n
k
ε
kij
∇
j
n
i
= −L
3
n
k
∇ × n
= −L n ·
∇ × n
k
. (2.19)
O coeficiente L ´e n˜ao nulo somente para o cristal l´ıquido colest´erico, porque
ele apresenta deforma¸c˜ao espontˆanea no estado fundamental, isto ´e L = 0.
Agora, decompondo o tensor K
ijkl
, obtemos:
K
ijkl
= K
1
n
i
n
j
n
k
n
l
+ K
2
1
2
n
i
n
j
δ
kl
+ n
k
n
l
δ
ij
+ K
3
n
i
n
k
δ
jl
+ K
4
1
2
n
i
n
l
δ
jk
+ n
j
n
k
δ
il
+ K
5
n
j
n
l
δ
ik
+ K
6
δ
ij
δ
kl
+ K
7
δ
ik
δ
jl
+ K
8
δ
il
δ
jk
, (2.20)
substituindo (2.20) em (2.16), f
2
ser´a reescrita por:
f
2
=
1
2
K
ijkl
n
i,j
n
k,l
=
1
2
n
i,j
n
k,l
K
1
n
i
n
j
n
k
n
l
+
1
2
K
2
n
i
n
j
δ
kl
+ n
k
n
l
δ
ij
+ K
3
n
i
n
k
δ
jl
+ K
4
1
2
n
i
n
l
δ
jk
+ n
j
n
k
δ
il
+ K
5
n
j
n
l
δ
ik
+ K
6
δ
ij
δ
kl
+ K
7
δ
ik
δ
jl
+ K
8
δ
il
δ
jk
, (2.21)
mas n ´e um vetor unit´ario, de modo que n
i
· n
i
= 1 , logo
∂
∂x
j
1
2
n
i
n
i
=
1
2
n
i
∂ n
i
∂ x
j
+
∂ n
i
∂ x
j
n
i
= 0
n
i
n
i,j
= 0.
Portanto, os termos com K
1
, K
2
, K
3
e K
4
n˜ao contribuem para f
2
. Desta
forma, temos
f
2
= K
5
n
j
n
l
n
i,j
n
k,l
δ
ik
+ K
6
δ
ij
δ
kl
n
i,j
n
k,l
+ K
7
δ
ik
δ
jl
n
i,j
n
k,l
+ K
8
δ
il
δ
jk
n
i,j
n
k,l
, (2.22)
reescreveremos esses termos em nota¸c˜ao vetorial:
24
K
5
n
j
n
l
n
i,j
n
k,l
δ
ik
= K
5
n ×
∇ × n

2
K
6
δ
ij
δ
kl
n
i,j
n
k,l
= K
6
∇ · n
2
K
7
δ
ik
δ
jl
n
i,j
n
k,l
= K
7
n
k,j
n
k,j
K
8
δ
il
δ
jk
n
i,j
n
k,l
=
K
8
n
l,j
n
j,l
.
(2.23)
Portanto, tem-se
f
2
=
1
2
K
ijkl
n
i,j
n
k,l
=
1
2
K
5
n ×
∇ × n

2
+
1
2
K
6
∇ · n
2
+
1
2
K
7
n
k,j
n
k,j
+
1
2
K
8
n
l,j
n
j,l
.
Usando as rela¸c˜oes [15]:
n
k,j
n
k,j
= n
k,j
n
j,k
+
n · (∇ · n)
2
+
n × (∇ × n)
2
n
k,j
n
j,k
=
∇ · n
2
− ∇ ·
n · (∇ · n) + n × (∇ × n)
,
obt´em-se
f
2
=
1
2
K
5
n × (∇ × n)
2
+
1
2
K
6
(∇ · n
2
+
1
2
K
7
(∇ · n
2
− ∇ ·
n · (∇ · n) + n × (∇ × n)
+
n · (∇ · n)
2
+
n × (∇ × n)
2
+
1
2
K
8
∇ · n
2
− ∇ ·
n · (∇ · n) + n × (∇ × n)
.
Podemos tomar os fatores operatoriais em comum (rotacional e diver-
gente) e isol´a-los para simplificar essa equa¸c˜ao, ent˜ao teremos
f
2
=
1
2
K
6
+ K
7
+ K
8

∇ · n
2
+
1
2
K
7
n · (∇ × n)
2
+
1
2
K
5
+ K
7

n × (∇ × n)
2
−
K
7
+ K
8
∇ ·
n(∇ · n) + n × (∇ × n)
. (2.24)
Usualmente, (2.24) ´e reescrita utilizando-se a defini¸c˜ao:
(K
6
+ K
7
+ K
8
) = K
11
, K
7
= K
22
, (K
5
+ K
7
) = K
33
e K
8
= K
24
e
25
substituindo-as em (2.24), obt´em-se a densidade de energia el´astica de Frank
f
F rank
=
1
2
K
11
∇ · n
2
+
1
2
K
22
n · (∇ × n)
2
+
1
2
K
33
n × (∇ × n)
2
−
K
22
+ K
24
∇ ·
n · (∇ · n) + n × (∇ × n)
. (2.25)
Esta equa¸c˜ao (2.25) ´e a express˜ao de Frank para a densidade de energia
el´astica de um cristal l´ıquido nem´atico deformado, proposta em 1958[29]. As
constantes K
11
, K
22
, K
33
e (K
22
+ K
24
) s˜ao conhecidas como constantes
el´asticas de splay, twist, bend e saddle-splay, respectivamente.
2.6 As Deforma¸c˜oes
J´a que temos deforma¸c˜oes no cristal l´ıquido, podemos relacionar a estas
distor¸c˜oes a energia f por unidade de volume conectada com as propriedades
el´asticas do meio [30]. Esta energia livre, na ausˆencia de campos externos,
est´a relacionada a trˆes deforma¸c˜oes b´asicas, devido ao volume e uma de-
forma¸c˜ao devido a superf´ıcie.
Deformac¸
˜
ao de Diverg
ˆ
encia ou “Splay”
Podemos imaginar que esta deforma¸c˜ao ´e obtida ao impormos uma si-
tua¸c˜ao de ancoramento planar, ou seja, as mol´eculas est˜ao entre duas su-
perf´ıcies que formam um ˆangulo φ = 0 entre elas, e as mol´eculas pr´oximas `a
superf´ıcie, formam um ˆangulo de 0
o
com a mesma, Fig. (2.11).
Figura 2.11: Representa¸c˜ao para a deforma¸c˜ao do tipo splay (∇ · n = 0).
26
Deformac¸
˜
ao de Flex
˜
ao ou “Bend”
Como na deforma¸c˜ao anterior, mas as mol´eculas formam um ancoramento
homeotr´opico, ou seja, formam um ˆangulo de 90
o
com a superf´ıcie, Fig.( 2.12).
Figura 2.12: Representa¸c˜ao para a deforma¸c˜ao do tipo bend (∇ × n ⊥ n).
Deformac¸
˜
ao de Torc¸
˜
ao ou “Twist”
Este tipo de deforma¸c˜ao ´e obtido impondo-se um ancoramento planar
em duas superf´ıcies paralelas com as dire¸c˜oes de ancoramento formando um
ˆangulo qualquer entre elas e diferente de zero, Fig.( 2.13).
Figura 2.13: Representa¸c˜ao para a deforma¸c˜ao do tipo twist (∇ × n n).
Deformac¸
˜
ao“Saddle-Splay”
Por ´ultimo, comparece tamb´em a deforma¸c˜ao saddle - splay, que, con-
forme o teorema de Gauss, ´e uma contribui¸c˜ao de superf´ıcie j´a que ´e o coefi-
ciente de uma divergˆencia na equa¸c˜ao (2.25), sua representa¸c˜ao ”artistica”n˜ao
´e muito f´acil de ser reproduzida, contudo, um trabalho mais detalhado sobre
o comportamento desta constante el´astica ´e encontrado em [8].
27
As figuras ilustrando as constantes el´asticas foram gentilmente cedida por
F.C.M.Freire, autor do trabalho [12] de onde foram retiradas as ilustra¸c˜oes.
28
Cap´ıtulo 3
Propriedades de Superf´ıcie de
Cristais L´ıquidos Nem´aticos
Neste cap´ıtulo, analisaremos o efeito, na densidade de energia, da presen¸ca
de uma superf´ıcie limitando a amostra nem´atica, e sua conseq¨uˆencia nas
propriedades dos cristais l´ıquidos nem´aticos. Introduziremos o conceito de
ancoramento, e discutiremos algumas formas propostas para a energia de
superf´ıcie em uma perspectiva macrosc´opica. Como uma aplica¸c˜ao da teoria
do cont´ınuo introduzida no cap´ıtulo anterior e do conceito de energia de
superf´ıcie aqui discutido, o problema da transi¸c˜ao de Fr´eedericksz ´e discutido
nas situa¸c˜oes de ancoramento forte e fraco.
3.0.1 Ancoramento
Enquanto as propriedades de volume dos cristais l´ıquidos nem´aticos de-
pendem fortemente da estrutura molecular e das intera¸c˜oes moleculares, as
propriedades de superf´ıcie dependem, ainda, das intera¸c˜oes do meio com a
superf´ıcie. Quando a fase nem´atica ´e limitada por uma superf´ıcie criada pelo
contato com outra fase (s´olida, l´ıquida, gasosa) sua orienta¸c˜ao pode mu-
dar de uma maneira dr´astica. Em particular, as principais caracter´ısticas do
ancoramento dos cristais l´ıquidos s˜ao t˜ao importantes do ponto de vista fun-
damental, em geral, para uma descri¸c˜ao f´ısica correta das propriedades das
amostras, quanto o s˜ao para a performance dos dispositivos que se utilizam
dos cristais l´ıquidos.
O ancoramento pode ser definido como o fenˆomeno da orienta¸c˜ao do cris-
tal liquido por uma superf´ıcie.
´
E resultado de um delicado balan¸co entre
um n´umero de intera¸c˜oes e foi descoberto por Mauguin, no inicio do ´ultimo
s´eculo [31]. A superf´ıcie normalmente imp˜oe alguma dire¸c˜ao preferida, cha-
mada de dire¸c˜ao de ancoramento, ou, simplesmente, dire¸c˜ao f´acil. O “eixo
29
f´acil” ´e, ent˜ao, a dire¸c˜ao da orienta¸c˜ao espontˆanea de n na superf´ıcie,
na ausˆencia de um torque externo. A energia desta regi˜ao interfacial, for-
mada pr´oxima da superf´ıcie, depende tamb´em da orienta¸c˜ao das mol´eculas
na fase nem´atica. Uma situa¸c˜ao problem´atica t´ıpica requer a determina¸c˜ao
da orienta¸c˜ao do diretor na interface entre o cristal l´ıquido nem´atico e o
meio. Para encontrar a orienta¸c˜ao molecular de um cristal liquido nem´atico
no equil´ıbrio, devemos minimizar a energia livre de volume (descrevendo a
distor¸c˜ao no volume), mais a energia livre de superf´ıcie f
s
. Esta situa¸c˜ao apre-
sentada aqui ´e para uma amostra limitada por duas superf´ıcies planas. En-
tretanto, a parte volum´etrica da energia ´e bem conhecida. Como vimos no
cap´ıtulo anterior, esta ´e uma fun¸c˜ao quadr´atica da curvatura, isto ´e, das
derivadas de n. A energia de superf´ıcie, f
s
, n˜ao tem uma forma bem definida
e ´e ainda objeto de muitas discuss˜oes [32]. Na pr´atica, muitos m´etodos tˆem
sido usados para impor uma dire¸c˜ao preferida de n em uma superf´ıcie s´olida.
O procedimento mais comum consiste no polimento de uma superf´ıcie. Desta
maneira, podemos fazer ranhuras nela, e obtermos um alinhamento paralelo
`as ranhuras.
3.1 A Fun¸c˜ao Energia de Ancoramento
No caso mais simples em que as superf´ıcies s˜ao placas de vidro isotr´opicas, a
´unica dire¸c˜ao definida ´e a normal `as placas, que n´os denotamos por k. Neste
caso, a energia de superf´ıcie, f
s
, depende somente de (n·k) .
Como discutido no capitulo anterior, no volume n e −n s˜ao fisicamente
equivalentes. Entretanto, em uma superf´ıcie polar (por exemplo em um cris-
tal ferroel´etrico) esta degenerescˆencia pode ser removida, mas ´e comumente
usada uma placa de vidro que comporta-se como uma superf´ıcie apolar. Por-
tanto, f
s
deve ser uma fun¸c˜ao par de (n·k). A orienta¸c˜ao do diretor na inter-
face entre um cristal l´ıquido nem´atico e um outro meio ´e definida em termos
de um ˆangulo de superf´ıcie polar θ
s
e de um ˆangulo azimutal φ
s
. J´a que a
parte anisotr´opica da energia de superf´ıcie depende da orienta¸c˜ao do diretor
na interface, podemos escrever
f
s
= f
s
(Θ, Φ) + W (θ
s
− Θ, φ
s
− Φ), (3.1)
onde Θ e Φ correspondem a valores dos ˆangulos polar e azimutal que minimi-
zam a energia de superf´ıcie (eles caracterizam a dire¸c˜ao f´acil). A fun¸c˜ao W ´e
chamada “ energia de ancoramento”. Conforme segue da defini¸c˜ao da dire¸c˜ao
f´acil, no equil´ıbrio e na ausˆencia de torque externo, θ
s
= Θ e φ
s
= Φ. A ener-
gia de ancoramento pode ser fisicamente interpretada como o trabalho que
deve ser feito para girar o diretor da dire¸c˜ao f´acil para uma dada dire¸c˜ao.
´
E
30
ent˜ao possivel definir o torque polar e azimutal, por unidade de ´area, respec-
tivamente, na seguinte forma:
τ
p
= −
∂f
s
∂θ
s
e τ
A
= −
∂f
s
∂φ
s
, (3.2)
Nas vizinhan¸cas da posi¸c˜ao de equil´ıbrio estes torques podem ser aproxima-
damente dados por
τ
p
= −2W
p
(θ
s
− Θ) e τ
A
= −2W
A
(φ
s
− Φ), (3.3)
onde introduzimos duas importantes quantidades:
W
p
=
1
2
∂
2
f
s
∂θ
2
s
Θ,Φ
, (3.4)
chamada de coeficiente de ancoramento polar ou energia de ancoramento
polar e
W
A
=
1
2
∂
2
f
s
∂φ
2
s
Θ,Φ
, (3.5)
chamada coeficiente de ancoramento azimutal ou energia de ancoramento a-
zimutal. Esta energia de ancoramento pode ser medida por diferentes t´ecnicas
experimentais. T´ıpicos valores experimentais de W
p
e W
a
s˜ao da ordem de
10
−4
a 10
−1
erg/cm
2
[33].
Particularizemos nossa an´alise para o caso do substrato isotr´opico. Neste
caso, a energia livre de superf´ıcie f
s
n˜ao depende do ˆangulo azimutal e, p or-
tanto, W
a
= 0. A fun¸c˜ao f
s
depende somente do produto escalar n.k =
cos(θ
s
) e pode ser expressada como um desenvolvimento em s´erie de Taylor
em termos de cos(θ
s
), na forma
f
s
(θ
s
) = W
0
+ W
1
cos θ
s
+ W
2
cos
2
θ
s
+ ... + W
n
cos
n
θ
s
+ ..., (3.6)
que, entretanto, po de n˜ao ser ´util do ponto de vista pr´atico, pois os termos
do desenvolvimento n˜ao s˜ao fun¸c˜oes ortogonais. Uma express˜ao alternativa,
procedendo com fun¸c˜oes ortogonais, pode ser proposta na forma
f
s
(θ
s
) = W
0
+ W
1
cos θ
s
+ W
2
cos 2θ
s
+ ... + W
n
cos nθ
s
+ ... (3.7)
Na equa¸c˜ao acima o coeficiente ´ımpar W
(2n+1)
, para n = 0, 1, 2... deve desa-
parecer para sistemas de cristal l´ıquido n˜ao ferroel´etrico. Entretanto, isto ´e
verdade somente para o que concerne `as propriedades de volume. Pr´oximo `a
superf´ıcie, a simetria translacional da fase nem´atica ´e quebrada e uma ferro-
eletricidade superficial pode ocorrer. Em geral, entretanto, o sistema pode
31
ser considerado como n˜ao polar e a express˜ao acima pode ser muito ´util na
descri¸c˜ao - do ponto de vista macrosc´opico - de v´arias propriedades de um
nem´atico em contato com uma superf´ıcie s´olida, isotr´opica.
A express˜ao mais comum para a energia livre de superf´ıcie ´e a de Rapini
e Papoular(1969) que pode ser obtida da pen´ultima equa¸c˜ao como [31]
f
s
(θ
s
) = W
0
+ W
p
cos
2
θ
s
. (3.8)
Esta express˜ao simplificada nos fornece uma interpreta¸c˜ao simples da energia
livre de superf´ıcie. Neste caso, W
p
´e a energia de ancoramento que, como
definido antes, corresponde ao trabalho necess´ario para girar o diretor de
uma posi¸c˜ao de equil´ıbrio est´avel para uma n˜ao est´avel. Em geral, ´e poss´ıvel
partir da express˜ao de Rapini-Papoular operando da seguinte maneira. Se
o substrato ´e caracterizado por uma dire¸c˜ao f´acil de superf´ıcie dada por
n
0
, ent˜ao a energia livre de superf´ıcie ´e simplesmente definida como
f
s
= −
1
2
W (n·n
0
)
2
, (3.9)
de tal maneira a sublinhar o fato de que a dire¸c˜ao do eixo f´acil ´e aquela que, na
ausˆencia de um torque externo, minimiza a energia livre de superf´ıcie. Esta
simples express˜ao ser´a utilizada ao longo deste trabalho para discutir v´arios
efeitos de superf´ıcie na fase nem´atica de materiais l´ıquidos cristalinos [35].
3.2 Configura¸c˜ao de Equil´ıbrio em Situa¸c˜oes
de Ancoramento Forte e Fraco.
O principio b´asico envolvido na aplica¸c˜ao da teoria do cont´ınuo para
a solu¸c˜ao de problemas reais ´e que o estado de equil´ıbrio do diretor n ´e
sempre dado pela configura¸c˜ao do diretor que minimiza a energia total do
sistema. Para ilustrar esse princ´ıpio, particularizaremos nossa an´alise para
o caso de uma amostra de um cristal l´ıquido nem´atico limitado por duas
superf´ıcies, colocadas em z = ±d/2, ou seja, uma amostra na forma de
uma tira de espessura d. Se o tratamento da superf´ıcie, como suposto, ´e
uniforme, n = n(z), onde z, nesta geometria, ´e a coordenada normal `as
paredes limitantes. Neste caso, a densidade de energia el´astica f pode ser
escrita de maneira simples em termos dos ˆangulos que definem n. Se n´os
usarmos a geometria esf´erica
n
x
= sin(θ) cos(φ), n
y
= sin(θ) sin(φ), e n
z
= cos(θ),
32
onde θ e φ s˜ao, respectivamente, os ˆangulos polar e azimutal, teremos que
θ = θ(z) e φ = φ(z). Se desconsiderarmos o termo de superf´ıcie em (2.25), a
densidade de energia el´astica pode ser escrita como
f(θ , θ
, φ, φ
) =
1
2
(K
11
sin
2
θ + K
33
cos
2
θ)θ
2
+
+
1
2
(K
22
sin
2
θ + K
33
cos
2
θ) sin
2
θφ
2
(3.10)
onde o linha indica derivadas com rela¸c˜ao a z.
Alguns casos particulares s˜ao ´uteis. Se n ´e sempre paralelo ao plano (x, z), φ=0
e a equa¸c˜ao (3.10) nos d´a
f(θ , θ
) =
1
2
(K
11
sin
2
θ + K
33
cos
2
θ)θ
2
=
1
2
K(θ)θ
2
, (3.11)
onde K(θ)=(K
11
sin
2
θ + K
33
cos
2
θ). Este caso ´e relevante para a deforma¸c˜ao
splay-bend, isto ´e, nenhuma tor¸c˜ao ´e considerada. Entretanto, se n est´a sem-
pre no plano(x, y), isto ´e, θ = π/2, a equa¸c˜ao (3.10) nos d´a
f(φ, φ
) =
1
2
K
22
φ
2
, (3.12)
que ´e relevante para a deforma¸c˜ao de tor¸c˜ao pura. Finalmente, a aproxima¸c˜ao
de uma constante (K
11
= K
22
= K
33
= K) ´e comumente empregada e,
neste caso, a equa¸c˜ao (3.10) ´e escrita como
f(θ , θ
, φ, φ
) =
1
2
K(θ
2
+ sin
2
θφ
2
). (3.13)
A energia total de um cristal l´ıquido nem´atico de volume τ limitado por uma
superf´ıcie S, na aproxima¸c˜ao de uma fatia (slab) ´e dada por
F =
τ
f (θ, θ
, φ, φ
)dτ +
s
f
S
(θ, φ)dS , (3.14)
onde f
S
(θ, φ) leva em conta a contribui¸c˜ao de superf´ıcie para a energia total. A
integra¸c˜ao sobre x e y pode ser feita facilmente, e da equa¸c˜ao (3.14) obtemos
que a energia total por unidade de superf´ıcie ´e dada por
F =
F
A
=
d
2
−
d
2
f (θ, θ
, φ, φ
)dz + f
s1
(θ
1
, φ
1
) + f
s2
(θ
2
, φ
2
), (3.15)
33
onde A ´e a ´area da superf´ıcie limitante, θ
1
= θ(−
d
2
) , φ
1
= φ(−
d
2
) ,
θ
2
= θ(
d
2
) e φ
2
= φ(
d
2
). No caso em considera¸c˜ao, θ(z) e φ(z) s˜ao ent˜ao
determinados por meio de t´ecnicas variacionais usuais [15]. Da equa¸c˜ao (3.15)
obtemos que θ(z) e φ(z) s˜ao solu¸c˜oes das equa¸c˜oes diferenciais (Equa¸c˜oes de
Euler-Lagrange)
∂f
∂θ
−
d
dz
∂f
∂θ
= 0 e
∂f
∂φ
−
d
dz
∂f
∂φ
= 0, (3.16)
satisfazendo as condi¸c˜oes de fronteira
∂f
s
∂θ
1
−
∂f
∂θ
= 0 e
∂f
S
∂φ
1
−
∂f
∂φ
= 0 ,
∂f
s
∂θ
2
+
∂f
∂θ
= 0 e
∂f
S
∂φ
2
−
∂f
∂φ
= 0, (3.17)
para z = −d/2 e z = d/2, respectivamente. Esta situa¸c˜ao ´e conhecida como
situa¸c˜ao de ancoramento fraco. Corresponde ao caso no qual os ˆangulos θ
i
e
φ
i
(i=1,2), que s˜ao os ˆangulos atuais nas bordas da amostra, n˜ao s˜ao conheci-
dos e tˆem de ser determinados para se encontrar a configura¸c˜ao de equil´ıbrio
do diretor. A energia de superf´ıcie f
s
´e compar´avel com o termo de volume
em (3.15). Outra situa¸c˜ao ocorre quando o termo de superf´ıcie ´e muito maior
do que o termo de volume, isto ´e, se em (3.15) for admitido que
f
s
d
2
−
d
2
f (θ, θ
, φ, φ
)dz . (3.18)
Neste caso, chamado de situa¸c˜ao de ancoramento forte, o perfil do diretor
tem de ser determinado satisfazendo a condi¸c˜ao de fronteira do tipo
θ
i
= Θ
i
, e φ
i
= Φ
i
, (3.19)
para i = 1, 2, onde os valores de Θ
i
e Φ
i
(i = 1, 2) s˜ao conhecidos.
3.3 M´etodo das Constantes de Integra¸c˜ao.
Na se¸c˜ao (3.2), mostramos que o problema variacional relativo a situa¸c˜ao
de ancoramento fraco consiste em procurar extremos para uma energia livre
total, por unidade de ´area, dada na forma
F =
d/2
−d/2
f[φ (z) , φ
(z) ; z]dz + f
s1
(φ
1
) + f
s2
(φ
2
) , (3.20)
34
onde φ
1
= φ (−d/2) e φ
2
= φ ( d/2). A express˜ao (3.20) cont´em as energias de
superf´ıcie f
s1
(φ
1
) e f
s2
(φ
2
). Os valores do ˆangulo do diretor nas superf´ıcies, φ
1
e φ
2
, n˜ao s˜ao conhecidos.
Nesse caso, o problema variacional ´e resolvido procurando solu¸c˜oes para
a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange:
∂f
∂φ
−
d
dz
∂f
∂φ
= 0, ∀ z ∈
−
d
2
,
d
2
, (3.21)
que satisfa¸cam `as condi¸c˜oes de contorno:
−
∂f
∂φ
+
df
s1
dφ
1
z=−d/2
= 0 e −
∂f
∂φ
+
df
s2
dφ
2
z=d/2
= 0. (3.22)
´
E poss´ıvel obter as condi¸c˜oes de contorno (3.22) por um caminho alterna-
tivo, que ser´a de grande utilidade nos pr´oximos cap´ıtulos.
Efetivamente, vale a pena apresentar o m´etodo com um certo detalhe, em
vista da importˆancia de que se revestir´a, para n´os, como m´etodo de an´alise
da estabilidade das solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Euler-Lagrange (3.21).
No volume, estamos considerando que f = f (φ, φ
; z). Desse modo, a
equa¸c˜ao (3.21) ´e uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de segunda ordem, cuja
solu¸c˜ao geral cont´em duas constantes de integra¸c˜ao arbitr´arias c
1
e c
2
. Sem
perda de generalidade, podemos admitir que essas constantes s˜ao os valores
da fun¸c˜ao que procuramos na superf´ıcie, isto ´e, c
1
= φ (−d/2) = φ
1
e c
2
=
φ (d/2) = φ
2
. Portanto, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (3.21) ter´a a forma gen´erica:
φ = φ (φ
1
, φ
2
; z) . (3.23)
Se, agora, substituirmos (3.23) em (3.20), obteremos F como uma fun¸c˜ao
ordin´aria de φ
1
e φ
2
, na forma:
F [φ
1
, φ
2
] =
d/2
−d/2
f[φ (φ
1
, φ
2
; z) , φ
(φ
1
, φ
2
; z) ; z]dz + f
s1
(φ
1
)
+ f
s2
(φ
2
) . (3.24)
Os valores de φ
1
e φ
2
podem ser obtidos a partir do m´ınimo de F [φ
1
, φ
2
]. De
fato, devemos procurar solu¸c˜oes para as equa¸c˜oes:
∂F
∂φ
1
φ
1
=φ
1
,φ
2
=φ
2
= 0 e
∂F
∂φ
2
φ
2
=φ
2
,φ
1
=φ
1
= 0 (3.25)
As fun¸c˜oes φ
1
e φ
2
extremizam a fun¸c˜ao F [φ
1
, φ
2
]. Para que esse extremo
corresponda a um m´ınimo de F [φ
1
, φ
2
] ´e necess´ario que
∂
2
F
∂φ
2
1
φ
1
=φ
1
,φ
2
=φ
2
> 0 e
∂
2
F
∂φ
2
2
φ
2
=φ
2
,φ
1
=φ
1
> 0 (3.26)
35
e
H [φ
1
, φ
2
] =
∂
2
F
∂φ
2
1
∂
2
F
∂φ
2
2
−
∂
2
F
∂φ
1
∂φ
2
2
φ
1
=φ
1
,φ
2
=φ
2
> 0, (3.27)
onde o determinante H [a, b] ´e conhecido como o Hessiano. Trata-se do deter-
minante da matriz formada pelas derivadas segundas da fun¸c˜ao F , a saber
H =
∂
2
F
∂φ
2
1
∂
2
F
∂φ
1
∂φ
2
∂
2
F
∂φ
2
∂φ
1
∂
2
F
∂φ
2
2
. (3.28)
J´a as condi¸c˜oes (3.26) s˜ao obtidas a partir dos determinantes menores de
(3.28).
Calculemos, agora, as derivadas de F , considerando φ
1
e φ
2
como quan-
tidades independentes. Teremos:
∂F
∂φ
1
=
∂
∂φ
1
d/2
−d/2
f [φ (φ
1
, φ
2
; z) , φ
(φ
1
, φ
2
) ; z] dz +
∂f
s1
∂φ
1
=
d/2
−d/2
∂f (φ, φ
; z)
∂φ
1
dz +
∂f
s1
∂φ
1
=
d/2
−d/2
∂f
∂φ
∂φ
∂φ
1
+
∂f
∂φ
∂φ
∂φ
1
dz +
∂f
s1
∂φ
1
. (3.29)
Devemos observar que:
∂f
∂φ
∂φ
∂φ
1
=
∂f
∂φ
d
dz
∂φ
∂φ
1
=
d
dz
∂f
∂φ
∂φ
∂φ
1
−
d
dz
∂f
∂φ
∂φ
∂φ
1
.
Assim, a equa¸c˜ao (3.29) po de ser reescrita na forma
∂F
∂φ
1
=
d/2
−d/2
∂φ
∂φ
1
∂f
∂φ
−
d
dz
∂f
∂φ
dz +
d/2
−d/2
d
dz
∂f
∂φ
∂φ
∂φ
1
dz +
df
s1
∂φ
1
.
O primeiro termo ´e nulo, pois φ (z) satisfaz `a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange (3.21). O
segundo termo ´e facilmente integrado, fornecendo:
d/2
−
d/
2
d
dz
∂f
∂φ
∂φ
∂φ
1
dz =
∂f
∂φ
∂φ
∂φ
1
d/2
−d/2
= −
∂f
∂φ
z=−d/2
.
Portanto:
∂F
∂φ
1
= −
∂f
∂φ
z=−d/2
=
df
s1
dφ
1
. (3.30)
36
Um c´alculo semelhante, envolvendo φ
2
, fornece:
∂F
∂φ
2
= −
∂f
∂φ
z=d/2
=
df
s2
dφ
2
. (3.31)
No ponto de m´ınimo, devemos ter:
−
∂f
∂φ
+
df
s1
dφ
1
z=−d/2
= 0
−
∂f
∂φ
+
df
s2
dφ
2
z=d/2
= 0,
que coincidem com as condi¸c˜oes de contorno estab elecidas em (3.22), que
foram obtidas pelo m´etodo variacional usual.
Os resultados acima sugerem a possibilidade de usar o m´etodo das cons-
tantes de integra¸c˜ao para a an´alise da estabilidade de solu¸c˜oes em problemas
mais complicados. Um exemplo ilustrativo pode ser ´util para esclarecer todos
os passos empregados no procedimento.
Consideremos, inicialmente, o problema de extremizar um funcional do tipo
abaixo:
F =
d/
2
−d/2
f (φ, φ
, φ

) dz, (3.32)
isto ´e, que envolva, inclusive, a derivada segunda da fun¸c˜ao[15]. O m´etodo
variacional nos informa que a solu¸c˜ao deve obedecer `a equa¸c˜ao de Euler-
Lagrange, na forma:
∂f
∂φ
−
d
dz
∂f
∂φ
+
d
2
dz
2
∂f
∂φ

= 0, ∀z ∈ (−d/2, d/2) , (3.33)
satisfazendo condi¸c˜oes de contorno apropriadas.
No caso de ancoramento forte, poder´ıamos ter:
φ
1
= φ (−d/2) = Φ
1
e φ
2
= φ ( d/2) = Φ
2
,
onde Φ
1
e Φ
2
s˜ao conhecidos. O caso de ancoramento fraco ´e um pouco mais
complicado e est´a discutido em detalhes na Ref.[15].
Consideremos, agora, um problema variacional ilustrativo que consiste
em encontrar a fun¸c˜ao que extremiza o funcional:
F =
d/2
−d/2
−α φ
(z) − q φ

(z) +
1
2
φ
(z) +
1
2
c (φ

(z))
2
dz, (3.34)
37
satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes de contorno:
φ
±
d
2
= φ
1
−q + c φ

(z)
z=−d/2
= 0 e −q + c φ

(z)
z=d/2
= 0. (3.35)
Este problema ´e relevante na teoria eletrost´atica de materiais isolantes na
ausˆencia de cargas livres. Essa equa¸c˜ao pode ser obtida por meio de um
princ´ıpio variacional[26, 27]. Nesse caso, φ representa o potencial eletrost´atico, que
´e uma fun¸c˜ao par da coordenada, ´e o coeficiente diel´etrico, α est´a ligado `a
polariza¸c˜ao, q est´a ligado `as propriedades quadrupolares do meio e c ´e um
coeficiente fenomenol´ogico e e a carga el´etrica.
A equa¸c˜ao de Euler-Lagrange, (3.21), nos d´a:
c
d
4
φ
dz
4
−
d
2
φ
dz
2
= 0,
que pode ser escrita na forma
d
4
φ
dz
4
−
1
l
2
d
2
φ
dz
2
= 0, l
2
= c/. (3.36)
Ora, a solu¸c˜ao geral de (3.36) pode ser escrita em termos de quatro constantes
de integra¸c˜ao, na forma:
φ (z) = c
1
+ c
2
cosh (z/l) + c
3
sinh (z/l) + c
4
z. (3.37)
Evidentemente, as condi¸c˜oes de contorno (3.35) fornecem quatro equa¸c˜oes a
quatro inc´ognitas, que podem ser facilmente resolvidas.
´
E facil mostrar que
c
3
= c
4
= 0 e que
c
1
=
q − Φ
1
e c
2
=
q
d
el
.
A solu¸c˜ao, portanto, se torna:
φ (z) =
q − Φ
1
+
q
cos (z/l)
cosh (z/2l)
. (3.38)
Usando (3.38) em F , dada por (3.34), obtemos:
F
φ
= −
q
2
√
c
tanh (d/2l) < 0, (3.39)
que ´e menor que a energia do estado uniforme, isto ´e, aquela para a qual
φ = 0.
38
Usando, agora, o m´etodo alternativo discutido anteriormente, considera-
mos a solu¸c˜ao (3.37) e a substitu´ımos diretamente em F , dada por (3.34), para
obter:
F = F (c
1
, c
2
, c
3
, c
4
) . (3.40)
Ocorre, por´em, que F n˜ao deve depender de c
1
pois em (3.34) apenas as deri-
vadas de φ (z) comparecem. Por outro lado, φ (z) ´e uma fun¸c˜ao par. Logo, c
3
=
c
4
= 0.
Assim, ficamos com
F = F (c
2
) .
Impondo, a condi¸c˜ao de m´ınimo ∂F/∂c
2
= 0, obtemos:
c
2
=
2q
sinh (d/2l)
sinh (d/l)
. (3.41)
Substituindo c
2
acima em (3.34), obtemos
F =
q
2
√
c
tanh (d/2l) ,
que coincide com o valor de F , no ponto de m´ınimo, dado por (3.39).
Note que as solu¸c˜oes n˜ao s˜ao as mesmas. De fato, usando (3.41) e (3.37), ob-
temos:
φ (z) =
q
cosh (z/l)
cosh (d/2l)
(3.42)
que difere por uma constante de (3.38), d no lugar de z no denominador, mas
´e uma leg´ıtima solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Euler-Lagrange.
Nos pr´oximos cap´ıtulos, este m´etodo ser´a empregado na an´alise de estabi-
lidade de solu¸c˜oes peri´odicas induzidas por flutua¸c˜oes em meios nem´aticos. Tra-
ta-se de um m´etodo que, embora de simples formula¸c˜ao, tem-se revelado de
grande generalidade.
3.4 Transi¸c˜ao de Fr´eedericksz na situa¸c˜ao de
Ancoramento Forte
A transi¸c˜ao de Fr´eedericksz em uma amostra uniforme ´e um efeito bem
conhecido, descrito em muitos livros-texto [15, 35, 36]. Esta ´e uma transi¸c˜ao
de orienta¸c˜ao em cristais l´ıquidos nem´aticos induzida por um campo ex-
terno. Para uma situa¸c˜ao particular de simetria esta transi¸c˜ao de ordem ´e
uma transi¸c˜ao de fase cont´ınua, para a qual o parˆametro de controle ´e o
39
campo aplicado e o parˆametro de ordem o valor m´aximo do ˆangulo de in-
clina¸c˜ao.
Para ver o aspecto significativo deste fenˆomeno na hip´otese de ancora-
mento forte e fraco uma fatia(slab) nem´atica de espessura d ´e novamente
considerada. Abordaremos primeiro o caso de ancoramento forte. A dire¸c˜ao
f´acil ´e suposta paralela ao eixo z (alinhamento homeotr´opico).
´
E admitido
tamb´em que o diretor situa-se sempre no plano (x, z) de tal forma que
n = sin θ (z) i + cos θ (z) k e onde θ (z) ´e o ˆangulo de inclina¸c˜ao, i e k s˜ao os
vetores unit´arios paralelo aos eixos x e z, respectivamente.
Na aproxima¸c˜ao de uma constante el´astica (aproxima¸c˜ao isotr´opica), a densi-
dade de energia volum´etrica para distor¸c˜oes el´asticas e para o campo E, apli-
cado ao longo da dire¸c˜ao z, ´e
f =
1
2
K
dθ
dz
2
+
a
E
2
sin
2
θ. (3.43)
A energia total da amostra nem´atica, por unidade de ´area, ´e dada pelo fun-
cional
F [θ (z)] =
d
2
−d
2
1
2
K
dθ
dz
2
+
a
E
2
sin
2
θ
dz. (3.44)
O perfil θ (z) ´e obtido pela minimiza¸c˜ao da energia total dada por (3.44). Se a
situa¸c˜ao de ancoramento fraco ou forte ´e considerada, diferentes condi¸c˜oes de
fronteira devem ser obedecidas por θ (z). Na hip´otese de ancoramento forte
θ (±d/2) = Θ = 0, e podemos realizar a normaliza¸c˜ao pela imposi¸c˜ao de que
dθ/dz = 0 em z = 0 e θ (0) = θ
M
. Da considera¸c˜ao acima, podemos deduzir
que θ (z), minimizando (3.44) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial
dθ
dz
2
=
1
ξ
2
sin
2
θ
M
− sin
2
θ
, (3.45)
onde
ξ =
K
−
a
E
2
(3.46)
´e o comprimento de coerˆencia diel´etrica. Da equa¸c˜ao (3.45), no caso home-
otr´opico, obtemos
dθ
±
d
2
dz
2
= ∓
a
E
2
K
sin
2
θ
M
. (3.47)
Se
a
> 0, ξ ´e imagin´ario e θ (0) = 0 para qualquer campo aplicado. Do
contr´ario, se
a
< 0, ξ e dθ/dz s˜ao reais e o padr˜ao homeotr´opico pode ser
40
destabilizado: θ = 0 em z = 0 ´e poss´ıvel.
H´a uma transi¸c˜ao de Fr´eedericksz quando
E = E
c∞
=
π
d
K
−
a
. (3.48)
Este campo cr´ıtico pode ser determinado reescrevendo (3.45) na forma
θ
M
0
dθ
sin
2
θ
M
− sin
2
θ
=
d
2ξ
. (3.49)
Se introduzirmos sin ψ = sin θ/ sin θ
M
, a equa¸c˜ao (3.49) pode ser reescrita
como
d
2ξ
=
π
2
0
dψ
1 − sin
2
θ
M
sin
2
ψ
= K (sin θ
M
) , (3.50)
onde K (sin θ
M
) ´e a integral el´ıptica completa de primeira esp´ecie. Esta
equa¸c˜ao pode ser analisada no limite de θ
M
pequeno. Desta forma, temos
d
2ξ
=
π
2
+
π
8
θ
2
M
+ O(θ
M
)
3
, (3.51)
o qual ´e resolvida para θ
M
dando
θ
M
=
4
d
πξ
− 1
. (3.52)
Ent˜ao, se ξ < d/π a solu¸c˜ao ´e real e θ
M
= 0, de outra maneira θ
M
= 0. Segue
que ξ
c
= d/π, que define o campo cr´ıtico introduzido acima, e ´e denotado por
E
c∞
. J´a que no caso que estamos considerando V = Ed, a voltagem limiar
para a transi¸c˜ao de Fr´eedericksz ´e
V
c∞
= π
K
−
a
(3.53)
isto ´e, ´e independente da espessura da amostra e ´e da ordem de poucos volts
para sistemas t´ıpicos de cristais l´ıquidos nem´aticos.
3.5 Transi¸c˜ao de Fr´eedericksz na situa¸c˜ao de
Ancoramento Fraco
Uma determina¸c˜ao experimental comum da energia de ancoramento ´e
freq¨uentemente feita pela medi¸c˜ao do campo limiar E
C
para a transi¸c˜ao de
41
Fr´eedericksz em uma fina camada de espessura d. Esta esp´ecie de medi¸c˜ao
fornece o coeficiente da energia de ancoramento W e, portanto, n˜ao d´a in-
forma¸c˜ao ´util sobre sobre a dependˆencia angular de f
s
.
Analisemos a influˆencia da energia de ancoramento no campo cr´ıtico pela
suposi¸c˜ao de que a energia de ancoramento de superf´ıcie ´e do tipo Rapini-
Papoular, dada pela equa¸c˜ao(3.9). Consideremos uma fatia de espessura d
e admitamos que as superf´ıcies s˜ao da mesma esp´ecie, com o eixo-z sendo
perpendicular ao campo. Neste caso a energia livre de superf´ıcie pode ser
escrita como
f
s
=
1
2
W sin
2
θ
s
, (3.54)
onde θ
s
= θ(±d/2), e um termo constante independente da orienta¸c˜ao na
superf´ıcie foi descartado. Neste caso, a equa¸c˜ao de volume ´e ainda a equa¸c˜ao
de Euler-Lagrange, mas as condi¸c˜oes de fronteira s˜ao
−Kθ
+
W
2
sin(2θ
s
) = 0 e Kθ
+
W
2
sin (2θ
s
) = 0, (3.55)
para z = −d/2 e z = d/2, respectivamente, como segue da condi¸c˜ao de
fronteira para a situa¸c˜ao de ancoramento fraco. Levando em conta que
θ
±
d
2
= ±
1
ξ
sin
2
θ
M
− sin
2
θ
s
1
2
, (3.56)
as condi¸c˜oes de fronteira acima fornecem
sin
2
θ
M
− sin
2
θ
s
1
2
=
ξ
2L
sin(2θ
s
), (3.57)
onde L = K/W ´e o comprimento de extrapola¸c˜ao. Como feito na transi¸c˜ao
de Fr´eedericksz no ancoramento forte, n´os temos agora
θ
M
θ
s
1
sin
2
θ
M
− sin
2
θ
s
dθ =
d
2ξ
, (3.58)
j´a que θ
s
0 para E > E
c
θ(z)
θ
s
1
sin
2
θ
M
− sin
2
µ
dµ =
z
ξ
, para −
d
2
≤ z ≤ 0, (3.59)
usaremos novamente a equa¸c˜ao sin ψ = sin θ/ sin θ
M
.
Desta forma, com θ = θ
s
correspondendo a ψ = ψ
s
= sin
−1
(sin θ
s
/ sin θ
M
) ,
e para θ = θ
M
,ψ = π/2. Assim, (3.58) pode ser escrita agora na forma
π
2
ψ
s
1
1 − sin
2
θ
M
sin
2
ψ
dψ =
d
2ξ
, (3.60)
42
da qual, no limite θ
M
→0, obtemos
lim
θ
M
→→0
π
2
ψ
s
1
1 − sin
2
θ
M
sin
2
X
dX =
π
2
− lim
θ
M
→→0
ψ
s
. (3.61)
O limite considerado em (3.57), nos fornece
θ
2
m
− θ
2
s
=
ξ
L
2
θ
2
s
. (3.62)
Ent˜ao,
θ
s
=
θ
M
1 +
ξ
L
2
1
2
(3.63)
Conseq¨uentemente,
lim
θ
M
→0
tan
−1
L
ξ
c
. (3.64)
A equa¸c˜ao (3.60), leva em conta (3.61) e (3.64), nos dando finalmente
π
2
− tan
−1
L
ξ
c
=
d
2ξ
c
, (3.65)
que ´e usualmente escrita como
cot
d
2ξ
c
=
L
ξ
c
, (3.66)
e ´e conhecida como a rela¸c˜ao de Rapini-Papoular. A equa¸c˜ao (3.66) determina
o campo critico E
c
. No limite de d grande, (3.66) temos o caso de ancoramento
forte. O comprimento de coerˆencia, pode ser escrito na forma
1
ξ
=
π
d
E
E
∞
=
π
d
h, (3.67)
onde
h =
E
E
∞
(3.68)
´e o campo medido em unidades de E
∞
. Por meio de (3.67), a equa¸c˜ao (3.66)
se torna:
d
2L
=
π
2
cot

π
2
h
c
h, (3.69)
onde h
c
´e o campo critico reduzido, esta ´e a rela¸c˜ao de Rapini-Papoular
que determina o campo cr´ıtico em fun¸c˜ao da espessura da amostra. Observe
que para d/2L→0, h
c
→0. Para uma abordagem mais detalhada sobre as
propriedades de superf´ıcie em cristal l´ıquido nem´atico cito [35].
43
Cap´ıtulo 4
Deforma¸c˜oes Peri´odicas em
Cristais L´ıquidos Nem´aticos
A p ossibilidade de deforma¸c˜oes peri´odicas em cristais l´ıquidos nem´aticos
tem sido analisada h´a algum tempo, e notadamente a partir do trabalho
pioneiro de Lonberg e Meyer [1]. Em sua an´alise, a c´elula nem´atica com ori-
enta¸c˜ao planar foi submetida a um campo magn´etico externo cuja dire¸c˜ao era
perpendicular `aquela da orienta¸c˜ao inicial. Como resultado, eles mostraram
que se o valor da constante de twist for menor do que um certo valor cr´ıtico,
o campo magn´etico pode induzir uma deforma¸c˜ao peri´odica, em vez de uma
deforma¸c˜ao usual, n˜ao-peri´odica. Este tipo de problema ´e muito importante
e vem sendo analisado por diferentes autores ao longo dos anos[2, 3, 4, 5, 6, 7].
Deforma¸c˜oes peri´odicas em c´elulas nem´aticas h´ıbridas, na ausˆencia de cam-
pos el´etricos ou magn´eticos, por exemplo, foram consideradas por Strigazzi
e colaboradores [4, 5, 6]. Em todos os casos mencionados, um campo ex-
terno, el´etrico ou magn´etico, ´e o respons´avel pela instabilidade peri´odica.
Recentemente, no entanto, Pergamenshick [8, 9] investigou a possibilidade
do surgimento de deforma¸c˜oes planares peri´odicas em amostras planarmente
orientadas, como conseq¨uˆencia da a¸c˜ao dos termos de superf´ıcie presentes na
densidade de energia livre de Frank. Ele mostrou que se a constante el´astica
de saddle-splay, K
24
, for suficientemente grande, o estado fundamental de
uma amostra nem´atica, limitada por superf´ıcies cujos eixos f´aceis s˜ao plana-
res, pode ser periodicamente deformado.
Esse mesmo problema foi posteriormente reconsiderado por Barbero e co-
laboradores [10] por meio de uma an´alise bastante simples da estabilidade
da solu¸c˜ao peri´odica. O m´etodo consiste em encontrar a matriz que carac-
teriza a energia total em termos das constantes de intregra¸c˜ao da solu¸c˜ao
linearizada do problema variacional. Como no estado n˜ao deformado todas
as constantes de integra¸c˜ao se anulam, a densidade deenergia total nesse caso
44
´e nula. Assim sendo, a an´alise da estabilidade da solu¸c˜ao n˜ao deformada se
reduz ao estudo do sinal dos determinantes dos menores principais da matriz
que corresponde `a forma quadr´atica da energia total da amostra nem´atica.
Com sua an´alise, tamb´em foi capaz de predizer a existˆencia de uma espessura
cr´ıtica abaixo da qual as deforma¸c˜oes peri´odicas s˜ao favorecidas.
Em um trabalho posterior, Barbero e colaboradores [11] voltaram ao pro-
blema, mas agora considerando o papel do ˆangulo de inclina¸c˜ao para sur-
gimento de deforma¸c˜oes peri´odicas. Assim, uma amostra uniformemente
orientada, no plano, sofre uma perturba¸c˜ao perpendicular a esse plano. Uma
an´alise da estabilidade da solu¸c˜ao uniforme ´e novamente desenvolvida e for-
nece um quadro bastante detalhado de como podem surgir, no meio nem´atico,
distor¸c˜oes peri´odicas espontˆaneas, isto ´e, na ausˆencia de campos aplicados.
Neste cap´ıtulo, uma reapresenta¸c˜ao dessas an´alises ser´a efetuada com
um duplo prop´osito. O primeiro ´e o de apresentar o m´etodo de an´alise
da estabilidade da fase n˜ao-deformada frente `as pertuba¸c˜oes indutoras de
deforma¸c˜oes peri´odicas. O segundo ´e a apresenta¸c˜ao das condi¸c˜oes sob as
quais se formam essas solu¸c˜oes. Esses resultados estabelecem a linguagem
e o p onto de partida para as an´alises que ser˜ao desenvolvidas no pr´oximo
cap´ıtulo.
4.1 A Densidade de Energia El´astica
Para analisarmos a estabilidade do alinhamento planar uniforme com res-
peito `as deforma¸c˜oes peri´odicas, come¸camos por construir a densidade de
energia el´astica, em termos das componentes do diretor n
i
(i = 1, 2, 3). A
c´elula nem´atica tem, como de resto em todo este trabalho, a forma de uma
tira de espessura d, limitada por duas superf´ıcies planas conforme a Fig. (4.1).
O diretor n, ou os ˆangulos polares que o definem no sistema de referˆencia
estabelecido na Fig. (4.1), depende das coordenadas x
2
= y e x
3
= z. Se
n = n(x
3
) somente, a deforma¸c˜ao nem´atica correspondente ´e chamada de
aperi´odica. Se, ao contr´ario, n = n(x
2
, x
3
), a dependˆencia com x
2
ser´a ad-
mitida como peri´odica, i.e.,
n(x
2
, x
3
) = n(x
2
+ λ, x
3
),
onde λ = 2π/q ´e o per´ıodo espacial da deforma¸c˜ao. Para pequenas flutua¸c˜oes
em torno da orienta¸c˜ao planar – flutua¸c˜oes que ocorrem na dire¸c˜ao perpendi-
cular `a configura¸c˜ao inicial – po demos admitir que o diretor da configura¸c˜ao
distorcida seja dado por
n = n
0
+ δn, (4.1)
45
-d/2
d/2
0
X
3
x
1
δn
k
j
i
n
0
Figura 4.1: T´ıpica c´elula nem´atica em forma de tira (slab). Por simplicidade, a
amostra ´e limitada por duas superf´ıcies planas, localizadas em z = x
3
= ±d/2.
Note que a orienta¸c˜ao inicial ´e planar. A perturba¸c˜ao ´e perpendicular `a orienta¸c˜ao
inicial, uniforme, definida por n
0
.
com δn = u(x
2
, x
3
), |δn| 1, representando as flutua¸c˜oes em torno do
estado uniforme, que admitiremos ser descrito por:
n
0
= n
01
i + n
03
k, (4.2)
onde i e k s˜ao os vetores unit´arios na dire¸c˜ao dos eixos x
1
e x
3
, respectiva-
mente. Como |n| = 1, em primeira ordem em δn temos:
n
0
· δn = 0, (4.3)
ou seja,
n
0
·δn = (n
01
i+n
02
j+n
03
k)·(u
1
i+u
2
j+u
3
k) = n
01
u
1
+n
02
u
2
+n
03
u
3
= 0.
Conseq¨uentemente, lembrando que n
02
= 0, ´e f´acil verificar que
u
1
= −
n
03
n
01
u
3
. (4.4)
A partir das hip´oteses acima, ´e poss´ıvel mostrar que
∇ · n = u
2,2
+ u
3,3
+ O(|δn|
2
)
∇ × n = (u
3,2
− u
2,3
)i −
u
03
u
01
u
3,3
j +
n
03
n
01
u
3,2
k + O(|δn|
2
), (4.5)
onde a v´ırgula indica a deriva¸c˜ao: X
,2
= ∂X/∂x
2
. Por conseguinte, podemos
escrever
46
-d/2
d/2
x
3
x
1
k
j
i
0
λ
x
2
Figura 4.2: C´elula nem´atica em forma de tira (slab)com orienta¸c˜ao inicial planar
e paralela ao eixo x
1
: n
01
= 1. A distor¸c˜ao peri´odica ´e tal que n(x
2
, x
3
) =
n(x
2
+ λ, x
3
).
(n · (∇ × n))
2
=
1
n
2
01
u
3,2
− n
2
01
u
2,3
2
+ O(|δn|
2
)
(n × (∇ × n))
2
=
n
03
n
01
2
u
2
3,3
+ n
2
01
u
2
2,3
+ O(|δn|
2
). (4.6)
A densidade de energia el´astica do nem´atico, na aproxima¸c˜ao de Frank –
dada pela Eq. (2.25)– em segunda ordem em u
2
e u
3
se torna
f =
1
2
K
11
(u
2,2
+ u
3,3
)
2
+
1
2
K
22
n
2
01
u
2
3,2
+ n
2
01
u
2
2,3
− 2n
2
01
u
3,2
u
2,3
+
1
2
K
33
n
03
n
01
2
n
2
01
u
2
2,3
+ u
2
3,3
− 2 (K
22
+ K
24
)
× (u
2,2
u
3,3
− u
2,3
u
3,2
) . (4.7)
4.1.1 Configura¸c˜ao Uniforme Planar
Analisemos, inicialmente, o caso particular investigado na Ref. [10]. Na-
quela situa¸c˜ao, admitiu-se que n
01
= 1 e n
02
= n
03
= 0 conforme se ilustra
na Fig. (4.2). Nesse caso, a densidade de energia livre se reduz a
47
f
e
=
1
2
K
11
(u
2,2
+ u
3,3
)
2
+ K
22
(u
3,2
− u
2,3
)
2
− 4(K
22
+ K
24
)
× (u
2,2
u
3,3
− u
2,3
u
3,2
)
, (4.8)
que pode ser, ainda, posta sob a forma
f
e
=
1
2
K
22
{r
1
(u
2,2
+ u
3,3
)
2
+ (u
3,2
− u
2,3
)
2
− 2r
2
(u
2,2
u
3,3
− u
2,3
u
3,2
)}, (4.9)
onde
r
1
=
K
11
K
22
e r
2
= 2
K
22
+ K
24
K
22
. (4.10)
Note que f
e
´e uma forma quadr´atica de u
2,2
, u
2,3
, u
3,2
e u
3,3
. Na ausˆencia
de v´ınculos na superf´ıcie, a orienta¸c˜ao planar homogˆenea corresponde a um
m´ınimo de f
e
somente se a forma quadr´atica for positiva definida. Isso ocorre
se os determinantes dos menores principais da matriz
Q =
r
1
0 0 r
1
− r
2
0 1 r
2
− 1 0
0 r
2
− 1 1 0
r
2
− r
1
0 0 r
1
(4.11)
forem positivos. Esses menores s˜ao definidos por:
m
1
= r1,
m
2
=
r
1
0
0 1
= r
1
> 0,
m
3
=
r
1
0 0
0 1 r
2
− 1
0 r
2
− 1 1
= r
1
1 − (r
2
− 1)
2
> 0,
m
4
= |Q| =
1 − (r
2
− 1)
2
r
2
1
− (r
1
− r
2
)
2
> 0, (4.12)
Uma vez que se verifica sempre que r
1
> 0, das Eqs. (4.12) segue que a
orienta¸c˜ao planar uniforme ´e est´avel se r
2
(r
2
− 2) < 0 e r
2
(r
2
− 2r
1
) < 0, de
onde obt´em-se
0 < r
2
< 2 ou 0 < r
2
< 2r
1
, (4.13)
48
de acordo com o valor de r
1
. Na fase nem´atica, r
1
> 1 e primeira desi-
gualdade ´e a dominante. Entretanto, perto da temperatura de transi¸c˜ao
nem´atico-esm´etico, a constante el´astica de twist diverge, enquanto que a
constante el´astica de splay permanece praticamente independente da tem-
peratura [37]. Conseq¨uentemente, nessa regi˜ao de temperatura r
1
→ 0, e
a segunda desigualdade torna-se a dominante. Estas conclus˜oes s˜ao v´alidas
para uma c´elula de espessura infinita e sem levar em conta a energia de su-
perf´ıcie. Se, ao contr´ario, a energia de ancoramento for diferente de zero, os
valores de r
2
para os quais a orienta¸c˜ao planar ´e est´avel ser˜ao outros.
Admitamos, agora, que a energia de superf´ıcie, caracterizada por uma
dire¸c˜ao f´acil ao longo do eixo x, seja dada por:
g
s
=
1
2
α,β
[w
αβ
(0)n
α
(0)n
β
(0) + w
αβ
(d)n
α
(d)n
β
(d)]]. (4.14)
A energia de ancoramento efetiva, em segunda ordem em |δn|, ´e dada por
g
s
=
1
2
[w
02
u
2
2
(0) + w
03
u
2
3
(0)] +
1
2
[w
12
u
2
2
(d) + w
13
u
2
3
(d)] = g
0
+ g
1
. (4.15)
Note que, em g
s
dada acima, a deforma¸c˜ao de splay-bend, envolvendo u
3
implica uma varia¸c˜ao da parte anisotr´opica da intera¸c˜ao de van der Waals
devido `a mudan¸ca da distˆancia m´edia entre a mol´ecula nem´atica na superf´ıcie
e o substrato. No caso de uma deforma¸c˜ao de twist pura, em que somente
u
2
muda, a distˆancia m´edia n˜ao muda.
A an´alise, agora, ser´a particularizada para o caso em que n˜ao haja energia
de ancoramento azimutal, i.e., quando w
02
= w
12
= 0. No caso mais simples,
em que w
αβ
= w
0
δ
αβ
e w
αβ
= w
1
δ
αβ
, temos
g
s
=
1
2
w
0
[u
2
2
(0) + u
2
3
(0)] +
1
2
w
1
[u
2
2
(d) + u
2
3
(d)] . (4.16)
A energia total m´edia, por unidade de comprimento ao longo do eixo x
2
, ´e
dada por
F =
1
λ
λ
0
d
0
f(u
2
, u
3
; u
2,i
, u
3,i
) dx
2
dx
3
+
λ
0
g
0
(u
2
(0), u
3
(0) dx
2
+
λ
0
g
1
(u
2
(d), u
3
(d) dx
2
}, (4.17)
onde u
2,i
= u
2,2
ou u
2,3
e u
3,i
= u
3,2
ou u
3,3
. Na Eq. (4.17), λ ´e o comprimento
de onda da deforma¸c˜ao.
49
De acordo com o Princ´ıpio Variacional, a configura¸c˜ao de equil´ıbrio ´e
aquela que minimiza F . As equa¸c˜oes de Euler-Lagrange, nesse caso, s˜ao
dadas por
∂f
∂u
2
−
∂
∂x
2
∂f
∂u
2,2
−
∂
∂x
3
∂f
∂u
2,3
= 0
∂f
∂u
3
−
∂
∂x
2
∂f
∂u
3,2
−
∂
∂x
3
∂f
∂u
3,3
= 0, (4.18)
para 0 ≤ x
3
≤ d e 0 ≤ x
2
≤ λ. As condi¸c˜oes de contorno, usando (3.22), s˜ao
−
∂f
∂u
2,3
+
∂g
0
∂u
2
(0)
= 0, −
∂f
∂u
3,3
+
∂g
0
∂u
3
(0)
= 0, (4.19)
em x
3
= 0 e
∂f
∂u
2,3
+
∂g
0
∂u
2
(d)
= 0 e
∂f
∂u
3,3
+
∂g
0
∂u
3
(d)
= 0, (4.20)
em x
3
= d. As Eqs. (4.19) e (4.20) s˜ao as condi¸c˜oes de contorno para as
Eqs. (4.18). Note que a condi¸c˜ao de contorno sobre x
2
´e automaticamente
satisfeita se considerarmos deforma¸c˜oes peri´odicas em x
2
, pois se n(x
2
, x
3
) =
n(x
2
+ λ, x
3
) ent˜ao δn(x
2
, x
3
) = δn(x
2
+ λ, x
3
).
4.1.2 An´alise Linear
Na an´alise linearizada em torno do estado n˜ao-deformado, as solu¸c˜oes
peri´odicas das equa¸c˜oes diferenciais s˜ao escolhidas de modo que
u
3
(x
2
, x
3
) = Θ(x
3
) cos(qx
2
) e u
2
(x
2
, x
3
) = Φ(x
3
) sin(qx
2
).
Nesse caso, Θ(x
3
) e Φ(x
3
) s˜ao solu¸c˜oes de duas equa¸c˜oes diferenciais acopla-
das de segunda ordem. A equa¸c˜ao diferencial que determina Θ(x
3
) ´e uma
equa¸c˜ao linear de quarta ordem e cont´em, portanto, quatro constantes de
integra¸c˜ao C
i
, com i = 1, 2, 3, 4. O mesmo racioc´ınio vale na determina¸c˜ao
de Φ(x
3
), que envolve quatro constantes C
i
. Como u
2
(x
2
, x
3
) e u
3
(x
2
, x
3
) tˆem
de satisfazer tamb´em as equa¸c˜oes diferenciais de segunda ordem acopladas, ´e
poss´ıvel obter as constantes de integra¸c˜ao C
i
em fun¸c˜ao de C
i
. Portanto, no
caso linearizado as solu¸c˜oes das Eqs. (4.18) ter˜ao, respectivamente, a forma
u
2
= u
2
(C
i
; x
2
, x
3
) e u
3
= u
3
(C
i
; x
2
, x
3
), (4.21)
50
onde – vale a pena repetir –, C
i
, com i = 1, 2, 3 e 4, s˜ao as quatro constantes
de integra¸c˜ao a serem determinadas pelas condi¸c˜oes de contorno (4.19) e
(4.20), que formam um sistema linear e homogˆeneo.
Agora, se (4.21) for substitu´ıda em (4.17), a energia total m´edia, F , se
tornar´a uma fun¸c˜ao ordin´aria das quatro constantes de integra¸c˜ao: F =
F (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
). Para descobrir se o estado n˜ao-deformado ´e est´avel, ´e
necess´ario analisar o sinal da forma quadr´atica sim´etrica que representa F .
Com efeito, F se torna
F =
1
2
i,j
M
ij
C
i
C
j
, (4.22)
onde M
ij
= M
ji
, pois a parte antissim´etrica da matriz M, de elementos M
ij
,
n˜ao contribui para F . As quantidades C
i
s˜ao obtidas pela minimiza¸c˜ao de F
com respeito `as constantes C
i
:
∂F
∂C
i
= 0, (4.23)
ou, explicitamente,
j
M
ij
C
j
= 0, (4.24)
que ainda pode ser posto na forma
M
11
M
12
M
13
M
14
M
21
M
22
M
23
M
24
M
31
M
32
M
33
M
34
M
41
M
42
M
43
M
44
C
1
C
2
C
3
C
4
= 0. (4.25)
O sistema de equa¸c˜oes representado por (4.25) ´e equivalente `as condi¸c˜oes de
contorno (4.19) e (4.20) como mostramos na se¸c˜ao (3.3). De fato, ´e poss´ıvel
escrever
∂F
∂C
i
=
1
λ
λ
0

−
∂f
∂u
2
+
∂g
0
∂u
2
(0)
∂u
2
(0)
∂C
i
+
−
∂f
∂u
3
+
∂g
0
∂u
3
(0)
∂u
3
(0)
∂C
i
+

∂f
∂u
2
+
∂g
1
∂u
2
(d)
∂u
2
(d)
∂C
i
+
∂f
∂u
3
+
∂g
1
∂u
3
(d)
∂u
3
(d)
∂C
i

dx
2
,(4.26)
pois u
2
(x
2
, x
3
) e u
3
(x
2
, x
3
) s˜ao solu¸c˜oes das equa¸c˜oes diferenciais de vo-
lume.
´
E evidente, a partir de (4.26), que a condi¸c˜ao (4.23) implica a mesma
exigˆencia das condi¸c˜oes de contorno (4.19) e (4.20).
51
O conhecimento da matriz M permite uma investiga¸c˜ao mais simples do
estado est´avel. No estado n˜ao-deformado, C
i
= 0 corresponde a um m´ınimo
de F se todos os quatro determinantes dos menores principais de M forem
positivos [10] e [11]. Diversamente, o conhecimento do sistema obtido por
meio de (4.19) e (4.20) n˜ao permite concluir nada acerca da estabilidade do
estado n˜ao-deformado.
4.1.3 Instabilidade Peri´odica
Usando (4.9) para f
e
e a Eq. (4.17) para g
0
e g
1
, as equa¸c˜oes diferenciais
(4.18) podem ser escritas como
u
3,22
+ r
1
u
3,33
+ (r
1
− 1)u
2,23
= 0,
r
1
u
2,22
+ u
2,33
+ (r
1
− 1)u
3,23
= 0. (4.27)
onde
u
2,22
=
∂
2
u
2
∂x
2
2
, u
2,33
=
∂
2
u
2
∂x
2
3
, u
2,23
=
∂
2
u
2
∂x
2
∂x
3
u
3,22
=
∂
2
u
3
∂x
2
2
, u
3,33
=
∂
2
u
3
∂x
2
3
, u
3,23
=
∂
2
u
3
∂x
2
∂x
3
.
As solu¸c˜oes gerais s˜ao:
u
2
(x
2
, x
3
) = [C
1
cosh(qx
3
) + C
2
x
3
cosh(qx
3
) + C
3
sinh(qx
3
)
+ C
4
x
3
sinh(qx
3
)] sin(qx
2
),
u
3
(x
2
, x
3
) = [C
1
cosh(qx
3
) + C
2
x
3
cosh(qx
3
) + C
3
sinh(qx
3
)
+ C
4
x
3
sinh(qx
3
)] cos(qx
2
),
(4.28)
onde q = 2π/λ, e
C
1
= AC
2
− C
3
, C
2
= −C
4
,
C
3
= AC
4
− C
1
, C
4
= −C
2
, (4.29)
com
A =
r
1
+ 1
q(r
1
− 1)
. (4.30)
Para analisar a estabilidade da orienta¸c˜ao planar homogˆenea, a matriz M
pode ser escrita no limite q → 0. Obtemos os determinantes dos menores
principais na forma
52
m
1
=
r
1
d
L
1
+ 2r
2
dq
2
+ O(3),
m
2
=
r
1
(1 + r
1
)
2
d[r
1
d + 2(L
0
+ L
1
)r
2
]
(r
1
− 1)
2
L
0
L
1
+ O(1),
m
3
=
4r
3
1
d
2
[r
1
d + 2(L
0
+ L
1
)r
2
]
(r
1
− 1)
2
L
0
L
1
q
2
+ O(3),
m
4
=
16r
3
1
d
3
(r
1
− 1)
4
L
0
L
1
r
2
1
d + 2r
1
(L
0
+ L
1
)r
2
− (L
0
+ L
1
)r
2
2
q
2
+ O(3), (4.31)
onde L
0
= L
03
= K
11
/w
03
e L
1
= L
13
= K
11
/w
13
s˜ao os comprimentos de
extrapola¸c˜ao asso ciados `as duas superf´ıcies em x
3
= 0 e x
3
= d, respectiva-
mente.
´
E f´acil constatar que m
1
> 0, m
2
> 0 e m
3
> 0; o ´unico que pode
tornar-se negativo ´e m
4
. De fato, a condi¸c˜ao m
4
= 0 nos d´a
r
2
1
d + 2r
1
(L
0
+ L
1
)r
2
− (L
0
+ L
1
)r
2
2
= 0,
ou seja,
d
c
= (L
0
+ L
1
)r
2
r
2
− 2r
1
r
2
1
, (4.32)
que representa uma espessura cr´ıtica abaixo da qual ´e favorecida uma de-
forma¸c˜ao peri´odica. Como r
1
> 0, d
c
> 0 implica que r
2
(r
2
− 2r
1
) > 0.
Desse resultado, deduzimos que r
2
> 2r
1
, ou r
2
< 0, que corresponde a
K
24
> K
11
−K
22
ou K
24
< −K
22
. Se d
c
> 0, para d > d
c
a forma quadr´atica
´e definida positiva e o estado homogˆeneo ´e est´avel.
O caso em que d → ∞ foi tratado analiticamente, pois, sendo qd 1,
podemos aproximar sinh(qd) ∼ cosh(qd). Assim, os menores principais da
matriz M se tornam
m
1
=
r
1
+ 2L
1
r
2
q
L
1
x
2
,
m
2
= −
r
2
(r
1
+ 1)∆
(r
1
− 1)
2
1 −
q
∗
1
q
x
4
[1 + O(x
−2
)],
m
3
= −
r
2
(r
1
+ 1)(r
1
+ 2L
0
r
2
q)∆
(r
1
− 1)
2
L
0
1 −
q
∗
1
q
x
4
[1 + O(x
−2
)],
m
4
=
(r
1
+ 1)∆
(r
1
− 1)
2
2
1 −
q
∗
0
q
1 −
q
∗
1
q
x
4
. (4.33)
onde x = (1/2) exp(qd),
53
q
∗
0
=
2r
2
1
L
0
r
2
[r
2
(r
1
+ 1) − 4r
1
]
,
q
∗
1
=
2r
2
1
L
1
r
2
[r
2
(r
1
+ 1) − 4r
1
]
, (4.34)
e ∆ = r
1
(r
2
− 4) + r
2
. A an´alise revelou que, no limite de uma amostra
muito espessa, limitada por duas superf´ıcies idˆenticas, tais que L
0
= L
1
e,
portanto, q
∗
0
= q
∗
1
= q
∗
, a orienta¸c˜ao planar homogˆenea ´e inst´avel. Devido `a
existˆencia de flutua¸c˜oes t´ermicas, a orienta¸c˜ao nem´atica est´avel ´e modulada
com um vetor de onda q
∗
.
O vetor de onda cr´ıtico da instabilidade deve ser positivo. Conseq¨uente-
mente, a existˆencia de estruturas moduladas em amostras espessas na pre-
sen¸ca de energia de ancoramento finito para os ˆangulos polares ´e
r
2
< 0 ou r
2
>
4r
1
1 + r
1
. (4.35)
Nota-se que r
1
> 1
4r
1
1 + r
1
> 2 e
4r
1
1 + r
1
> 2r
1
, (4.36)
para r
1
< 1. Isso significa que o dom´ınio definido pela Eq. (4.35) ´e mais
amplo do que aquele definido por Eq. (4.13), como se espera. De fato, na
presen¸ca de energia de ancoramento finita para o ˆangulo θ(= u
3
); o termo em
K
24
, respons´avel pela instabilidade mecˆanica, deve ser maior do que aquele
capaz de induzir uma estrutura peri´odica numa amostra n˜ao limitada (i.e,
de tamanho infinito).
Por fim, vale a pena mencionar que a an´alise desenvolvida na Ref. [10]
revela que o efeito de se considerar uma energia de ancoramento azimutal ´e
o aumento no valor do vetor de onda cr´ıtico, ou seja, uma redu¸c˜ao na perio-
dicidade espacial da deforma¸c˜ao. Efetivamente, se a energia de ancoramento
azimutal for muito grande (ancoramento azimutal forte), a periodicidade es-
pacial tende a dimens˜oes moleculares.
4.2 Dependˆencia com o ˆangulo do diretor
Para investigar o papel do ˆangulo do diretor na forma¸c˜ao de instabili-
dades peri´odicas, analisaremos o caso em que n
03
= 0, i.e., utilizaremos as
express˜oes gerais estabelecidas na se¸c˜ao precedente. Uma an´alise detalhada
do problema pode ser encontrada em [11].
54
A densidade de energia livre no volume ´e ainda dada por (4.7). J´a a parte
de superf´ıcie [11] n´os a reescreveremos aqui na forma
f
s
(u
i
) =
1
2
w
1
u
2
1
+ w
2
u
2
2
+ w
3
u
2
3
=
1
2

n
2
03
w
1
+ n
2
01
w
3
n
2
01
u
2
3
+ w
2
u
2
2
, (4.37)
onde w
i
(i = 1, 2, 3) s˜ao as energias de ancoramento e, na rela¸c˜ao cima, a
express˜ao (4.4) foi usada. A energia m´edia total, de maneira idˆentica ao que
foi feito com (4.17), se escreve na forma
F =
1
λ
λ
0
d
0
f(u
i,j
) dx
2
dx
3
+
λ
0
f
s
[u
2
(0), u
3
(0)] dx
2
+
λ
0
f
s
[u
2
(d), u
3
(d)] dx
2
, (4.38)
onde i, j = 2, 3. No presente caso, as equa¸c˜oes diferenciais (4.18) e as
condi¸c˜oes de contorno (4.19) e (4.20) se tornam, respectivamente,
K
11
u
2,22
+
K
22
n
2
01
+ K
33
n
2
03
u
2,33
+ (K
11
− K
22
) u
3,32
= 0,
K
22
u
3,22
+
K
11
n
2
01
+ K
33
n
2
03
u
3,33
+ n
2
01
(K
11
− K
22
) u
2,23
= 0, (4.39)
e
[(K
22
n
2
01
+ K
33
n
2
03
)u
2,3
+ (K
22
+ 2K
24
)u
2,3
] ∓ w
2
u
2
= 0
(K
11
n
2
01
+ K
33
n
2
03
)u
3,3
+ n
2
01
[K
11
− 2(K
22
+ K
24
)]u
2,2
∓(n
2
03
w
1
+ n
2
01
w
3
)u
3
= 0.
(4.40)
As equa¸c˜oes diferenciais de volume (4.39) e as condi¸c˜oes de contorno (4.40)
apresentam sempre as solu¸c˜oes triviais u
2
= u
3
= 0, que correspondem ao
alinhamento uniforme n
0
.
O objetivo ´e, ent˜ao, determinar em que condi¸c˜oes essa configura¸c˜ao n˜ao
corresponde a um estado est´avel e mostrar que uma deforma¸c˜ao peri´odica,
com um vetor de onda q bem definido, pode surgir na amostra.
55
4.2.1 An´alise linear da estabilidade
Novamente, para uma an´alise linear da estabilidade em torno do es-
tado n˜ao-deformado, as solu¸c˜oes peri´odicas das equa¸c˜oes diferenciais de vo-
lume s˜ao escolhidas na forma u
2
(x
2
, x
3
) = Φ(x
3
) sin(q x
2
) and u
3
(x
2
, x
3
) =
Θ(x
3
) cos(q x
2
). Como vimos na Se¸c˜ao 4.1.2, as solu¸c˜oes podem ser expres-
sas em termos de quatro constantes de integra¸c˜ao independentes C
i
. Isso
significa que, no caso linearizado que estamos considerando, mais uma vez,
as solu¸c˜oes de Eq. (4.39) podem se exprimir na forma
u
2
(x
2
, x
3
) = u
2
(C
i
; x
2
, x
3
) e u
3
(x
2
, x
3
) = u
3
(C
i
; x
2
, x
3
), (4.41)
para i = 1, 2, 3, 4, como na Eq. (4.21).
As quatro constantes de integra¸c˜ao s˜ao determinadas pelas condi¸c˜oes de
contorno (4.40). A an´alise, ent˜ao, se desenvolve do mesmo modo que na Se¸c˜ao
precedente. Os elementos de matriz de M podem ser facilmente obtidos pela
substitui¸c˜ao das solu¸c˜oes (4.41) em (4.38), o que permite transformar F numa
fun¸c˜ao ordin´aria das constantes de integra¸c˜ao C
i
, na forma F = F(C
i
). Feito
isso, obt´em-se
∂F
∂C
i
=
1
λ
λ
0
j=2,3

−
∂f
∂u
j,3
+
∂f
S
∂u
j
∂u
j
∂C
i
x
3
=0
+
j=2,3

∂f
∂u
j,3
+
∂f
S
∂u
j
∂u
j
∂C
i
x
3
=d
dx
2
. (4.42)
Usando a condi¸c˜ao ∂F/∂C
i
= 0, obt´em-se um sistema linear e homogˆeneo
como o introduzido em (4.25). Isso completa o formalismo necess´ario para a
an´alise da estabilidade do estado fundamental n˜ao-deformado em uma amos-
tra de cristal l´ıquido nem´atico. A extens˜ao deste formalismo para o caso em
que um campo externo seja aplicado ao sistema, que n˜ao apresenta maiores
dificuldades, ser´a discutida no pr´oximo cap´ıtulo.
A fim de explorar algumas das conseq¨uˆencias imediatas dos resultados
apresentados anteriormente, a an´alise ser´a particularizada para o caso em
que w
1
= w
3
e w
2
= 0 (ou seja, sem energia de ancoramento azimutal).
Vamos nos lembrar que no caso de um estado uniforme planar (n
01
= 1
e n
03
= 0) existe uma espessura cr´ıtica, d
c
, dada por detM = 0, tal que
para d < d
c
a configura¸c˜ao homogˆenea ´e inst´avel. Nesse caso, para q → 0,
m
4
(q) = α(d − d
c
)q
2
, onde α > 0. O comportamento de m
4
(q) em fun¸c˜ao
de q depende do sinal de d − d
c
. Em particular, para d d
c
, m
4
se anula
56
0.086
0.088
0.090
0.092
0.094
0.096
0.098
-20
0
20
40
60
80
m
4
m
1
m
2
m
3
Minors (arb. units)
q (
µ
m
-1
)
Figura 4.3: Comportamento de m
i
(q), com i = 1 a 4, para r
1
= 0.5, r
2
= 3.0
(K
24
= K
22
/2), w
1
= w
3
= 0, w
2
= 0 e n
03
= 0.5 . O eixo vertical ´e exibido
em unidades arbitr´arias. Reproduzido da Ref. [11].
para um valor bem definido q
∗
. Para q < q
∗
, todos os determinantes dos
menores principais da matriz M s˜ao positivos. Por outro lado, para q > q
∗
,
m
2
< 0 e, tamb´em, m
3
< 0. Esses resultados permitem a determina¸c˜ao dos
valores do vetor de onda q
∗
para o qual a orienta¸c˜ao planar ´e inst´avel, como
demonstrado anteriormente.
A an´alise mais geral, em que n
03
=
1 − n
2
01
= 0, ´e bem mais complicada.
Entretanto, ´e relativamente f´acil concluir que para q → 0, m
4
(q) ∝ q
−10
.
Esse resultado indica que n˜ao h´a mais uma espessura cr´ıtica para a qual
as instabilidades peri´odicas possam aparecer no sistema no limite em que
q → 0. Contudo, instabilidades peri´odicas podem, em princ´ıpio, aparecer
no sistema dependendo, fortemente, dos valores das raz˜oes r
1
= K
11
/K
22
e
r
2
= 2(1+K
24
/K
22
), e do valor do ˆangulo do diretor do estado uniforme. Esta
conclus˜ao segue do comportamento de m
4
(q), que, para valores arbitr´arios
de d, apresenta um m´aximo positivo para q = 0 e se anula para q = q
∗
,
dependendo do valor de n
03
, como se ilustra na Figura (4.3).
Este valor corresponde ao vetor de onda para o qual a instabilidade
57
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
(b)
(a)
d = 250
µ
m
q
*
(
µ
m
-1
)
n
03
Figura 4.4: Comportamento de q
∗
como fun¸c˜ao da componente z(x
3
) do diretor
(n
03
) para w
1
= w
3
e na ausˆencia de energia de ancoramento azimutal w
2
= 0.
A curva (a) se refere aos valores r
1
= 0.5, r
2
= 3.0 (K
24
= K
22
/2) e a curva
(b) a r
1
= 0.5, r
2
= 5.0 (K
24
= 3 K
22
/2). Instabilidades peri´odicas n˜ao s˜ao
favorecidas quando n
03
> 0.82 na curva (a) e quando n
03
> 0.95 na curva (b).
O valor q
∗
corresponde aos pontos nos quais m
4
(q), depois de apresentar um
m´aximo positivo, ´e zero em correspondˆencia com o valor de m
3
(q) que se anula,
como mostrado na Figura (4.3). Reproduzido da Ref. [11].
peri´odica aparece no sistema. A an´alise linear n˜ao permite determinar o
perfil da instabilidade favorecida; ela indica, entretanto, o seu surgimento
no sistema. Na Figura (4.4) se mostra o comportamento de q
∗
como fun¸c˜ao
do ˆangulo do diretor n
03
, nos seguintes casos: (a) r
1
= 0.5, r
2
= 3.0 e (b)
r
1
= 0.5, r
2
= 5.0.
A dependˆencia de q
∗
com n
03
´e tal que para n
03
→ n
L
03
, q
∗
→ ∞.
Para n
03
> n
L
03
, deforma¸c˜oes peri´odicas s˜ao proibidas. Em particular, para
n
03
→ 1, i.e., para um estado uniforme muito pr´oximo do homeotr´opico,
as deforma¸c˜oes peri´odicas s˜ao proibidas. Isso ´e esperado pois quando h´a
pequenas flutua¸c˜oes em torno da configura¸c˜ao homeotr´opica, o termo conec-
tado com K
24
´e de terceira ordem, enquanto que os termos de volume usuais
58
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
0.80
0.82
0.84
0.86
0.88
0.90
0.92
0.94
0.96
n
03
L
µ
=2(1+K
24
/K
22
)
Figura 4.5: Componente z do ˆangulo do diretor n
L
03
versus r
2
para r
1
= 0.5
e d = 250 µm. n
L
03
representa o valor do ˆangulo do diretor acima do qual as
distor¸c˜oes peri´odicas n˜ao s˜ao permitidas no sistema. Reproduzido da Ref. [11].
s˜ao de segunda ordem nas varia¸c˜oes do diretor. Nesse caso, ele desempenha
um papel menor na desestabiliza¸c˜ao da configura¸c˜ao uniforme. Note-se, en-
tretanto, que para o caso (b), que se refere a um valor mais alto de K
24
,
distor¸c˜oes peri´odicas podem existir tamb´em para valores de n
03
pr´oximos de
1. Isso tudo nos informa que o termo de superf´ıcie na densidade de energia
el´astica torna-se muito importante e acaba por governar o comportamento
do sistema. Evidentemente, para n
03
→ 1 conclui-se novamente que o estado
fundamental homeotr´opico ainda ´e o favorecido.
Na Figura (4.5) mostra-se n
L
03
em fun¸c˜ao de r
2
. De acordo com nossa
an´alise, n
L
03
´e uma fun¸c˜ao decrescente de r
2
e apresenta um platˆo nas vizi-
nhan¸cas de K
24
K
22
.
O formalismo que apresentamos acima para investigar a possibilidade de
forma¸c˜ao de instabilidades peri´odicas em cristais l´ıquidos nem´aticos ´e geral.
De fato, a an´alise desta Se¸c˜ao se aplica ao caso geral em que o padr˜ao uni-
forme (n˜ao-deformado) pode variar continuamente do caso planar ao caso
homeotr´opico. Ele tamb´em pode ser aplicado `a an´alise do sistema na pre-
59
sen¸ca de um campo externo uniforme, como ser´a feito no pr´oximo cap´ıtulo.
Assim sendo, ele p ermite investigar, de maneira exaustiva, a dependˆencia do
estado n˜ao-deformado com o ˆangulo do diretor na forma¸c˜ao de instabilidades
peri´odicas. A an´alise toda ´e calcada na positividade da forma quadr´atica que
representa a energia el´astica total da amostra. Preliminarmente, essa an´alise
permite concluir que: (1) o papel da constante el´astica de saddle-splay ´e
dominante na desestabiliza¸c˜ao do padr˜ao uniforme; (2) diferentemente do
que ocorre com o estado planar uniforme (i.e., n
01
= 1 e n
03
= 0) po de n˜ao
haver uma espessura cr´ıtica abaixo da qual as instabilidades peri´odicas s˜ao
favorecidas no sistema
Como conclus˜ao geral deste cap´ıtulo, podemos enfatizar que as deforma¸c˜oes
peri´odicas ligadas `a constante el´astica de saddle-splay podem ser observa-
das somente em amostras que apresentam alguma inclina¸c˜ao inicial. Se a
amostra for homeotropicamente orientada, para se observar uma deforma¸c˜ao
peri´odica, ´e necess´ario ter antes uma transi¸c˜ao induzindo uma inclina¸c˜ao.
60
Cap´ıtulo 5
Deforma¸c˜oes Peri´odicas: Efeito
do Campo Externo
Neste cap´ıtulo, o papel de um campo externo constante na forma¸c˜ao
de estruturas peri´odicas na amostra nem´atica ´e investigado. A an´alise se
desenvolve usando o formalismo apresentado nos cap´ıtulos precedentes e ao
longo das mesmas linhas. O objetivo ´e investigar a eventual existˆencia de uma
espessura cr´ıtica para a forma¸c˜ao dessas estruturas peri´odicas e determinar
a dependˆencia dessa espessura cr´ıtica com o campo.
5.1 Efeito do Campo Magn´etico
A susceptibilidade diamagn´etica de um cristal l´ıquido, devido `a forma
anisotr´opica das mol´eculas que o constituem, ´e tamb´em anisotr´opica. No
estado uniaxial, a susceptibilidade diamagn´etica ´e um tensor de segunda
ordem com duas componentes χ
e χ
⊥
, que s˜ao, respectivamente, paralela e
perpendicular ao eixo ´optico que, na fase uniaxial, coincide com a dire¸c˜ao de
n [38]. O tensor de susceptibilidade toma, assim, a forma
χ
ij
= χδ
ij
+ χ
a
n
i
n
j
, (5.1)
onde χ
a
= χ
− χ
⊥
´e a anisotropia. Cristais l´ıquidos nem´aticos usualmente
tˆem χ
a
> 0 [15]. Desse modo, ´e poss´ıvel exercer torques nos cristais l´ıquidos
pela aplica¸c˜ao de um campo. De fato, a presen¸ca de um campo magn´etico H
leva `a necessidade da inclus˜ao de um termo extra na energia livre, na forma
f
m
= −
1
2
χH
2
−
1
2
χ
a
(n · H)
2
. (5.2)
61
O primeiro termo – como de costume – ser´a omitido, pois ´e independente
da orienta¸c˜ao do diretor. O ´ultimo termo d´a origem a um torque no cristal
l´ıquido; se χ
a
> 0, ent˜ao as mol´eculas se alinhar˜ao paralelamente ao campo.
Portanto, a densidade de energia magn´etica para um Cristal L´ıquido
Nem´atico ´e dada por
f
h
= −
1
2
χ
a
(n · H)
2
. (5.3)
Estudaremos as distor¸c˜oes peri´odicas em cristais l´ıquidos nem´aticos tendo um
campo magn´etico externo aplicado na dire¸c˜ao k. Consideraremos novamente
uma amostra na forma de uma “tira(slab)”com as superf´ıcies localizadas
em x
3
= 0 e x
3
= d e usando o diretor no plano com a configura¸c˜ao inicial
uniforme dada por n
0
= n
01
i+n
03
k, como no Cap´ıtulo 4. Portanto, a energia
livre, dada por (2.25), ter´a o acr´escimo de um termo, que ´e dado por (5.3),
e a energia livre que descreve o sistema ser´a dada por
f = f
Frank
−
1
2
χ
a
(n · H)
2
=
1
2
{K
11
(∇ · n)
2
+ K
22
[n · (∇ × n)]
2
+ K
33
[n × (∇ × n)]
2
}
− (K
22
+ K
24
)∇ · [n∇ · n + n × (∇ × n)] −
1
2
χ
a
(n · H)
2
. (5.4)
Para a configura¸c˜ao que estamos considerando, teremos
f =
1
2
k
11
(u
2, 2
+ u
3, 3
)
2
+
1
2
k
22
n
2
01
u
2
3, 2
+ n
4
01
− 2n
2
01
u
3, 2
u
2, 3
+
1
2
k
33
n
03
n
01
2
n
2
01
u
2
2, 3
+ u
2
3, 3
− 2 (k
22
+ k
24
)
×(u
2, 2
u
3, 3
− u
2, 3
u
3, 2
) −
1
2
χ
a
H
2
(u
3
+ n
03
)
2
= f
e
−
1
2
χ
a
H
2
(u
3
+ n
03
)
2
, (5.5)
onde H = Hk ´e o campo aplicado ao longo de x
3
. Devido ao fato de a
anisotropia diamagn´etica variar para cada tipo de amostra, generalizaremos
nosso tratamento introduzindo a grandeza
H
c
=
π
d
K
11
χ
a
, (5.6)
62
sendo H
c
o campo cr´ıtico para se induzir uma distor¸c˜ao do tipo de Fr´eedericksz
no caso de ancoramento planar forte na sup erf´ıcie [38]. Isolando χ
a
de (5.6)
e substituindo-o em (5.5), obteremos a express˜ao
f = f
e
−
1
2
K
11
h
2
(u
3
+ n
03
)
2
. (5.7)
em que
h =
π
d
H
H
C
=
π
d
H
R
. (5.8)
Portanto, quando obtivermos H
R
= H/H
C
= 1 significar´a que atingimos o
campo cr´ıtico de Fr´eedericksz. O procedimento agora ´e similar ao apresen-
tado no Cap´ıtulo 4. Usando
f
s
(u
i
) =
1
2
w
1
u
2
1
+ w
2
u
2
2
+ w
3
u
2
3
=
1
2

n
2
03
w
1
+ n
2
01
w
3
n
2
01
u
2
3
+ w
2
u
2
2
(5.9)
e a equa¸c˜ao (5.7) construiremos a energia total p or unidade de comprimento
ao longo do eixo x
2
, correspondente a um ´unico per´ıodo, ou seja
F =
1
λ
λ
0
d
0
f (u
α,β
) dx
2
dx
3
+
λ
0
f
s
[u
2
(0) , u
3
(0)] dx
2
+
λ
0
f
s
[u
2
(d) , u
3
(d)] dx
2
. (5.10)
Usaremos, mais uma vez, a Equa¸c˜ao
∂f
∂u
α
−
β
∂
β
∂f
∂u
α,β
= 0
em que α, β = 2, 3, para, de forma an´aloga `a apresentada no Cap´ıtulo 4, ob-
termos
K
11
u
2,22
+
K
22
n
2
01
+ K
33
n
2
03
u
2,33
+ (K
11
− K
22
)u
3,32
= 0,
K
22
u
3,22
+
K
11
n
2
01
+ K
33
n
2
03
u
3,33
+ (K
11
− K
22
)u
2,23
+n
2
01
h
2
K
11
(n
03
+ u
3
) = 0. (5.11)
Para uma an´alise inicial do problema apresentado, faremos uso da apro-
xima¸c˜ao K
11
= K
22
= K
33
= K, ou seja, a aproxima¸c˜ao isotr´opica para as
63
constantes el´asticas. Com isso, as equa¸c˜oes diferenciais (5.11) adquirem a
seguinte forma
K (u
2,22
+ u
2,33
) = 0,
K (u
3,22
+ u
3,33
) + n
2
01
h
2
(n
03
+ u
3
) = 0, (5.12)
lembrando que (n
2
01
+ n
2
03
) = 1. Suporemos novamente que a solu¸c˜ao para as
equa¸c˜oes diferenciais (5.12) s˜ao dadas por
u
3
= u
3
(x
2
, x
3
) = Θ(x
3
) cos (qx
2
) ,
u
2
= u
2
(x
2
, x
3
) = Φ(x
2
) sin (qx
2
) . (5.13)
Ao substituirmos as equa¸c˜oes (5.13), que devem ser solu¸c˜oes das equa¸c˜oes
diferenciais de segunda ordem (5.12), obteremos duas equa¸c˜oes diferenciais
na forma
d
2
Φ(x
3
)
dx
2
3
− q
2
Φ(x
3
) = 0,
d
2
Θ(x
3
)
dx
2
3
+
n
2
01
h
2
− q
2
Θ(x
3
) + n
2
01
n
03
h
2
sec (qx
2
) = 0. (5.14)
As solu¸c˜oes peri´odicas que buscamos podem ser escritas na forma
u
2
= [C
1
exp(qx
3
) + C
2
exp(−qx
3
)] sin (qx
2
) ,
u
3
=
C
3
exp
x
3
q
2
− n
2
01
h
2
+ C
4
exp
−x
3
q
2
− n
2
01
h
2

cos (qx
2
)
+
n
2
01
h
2
n
03
q
2
− n
2
01
h
2
, (5.15)
e, essas solu¸c˜oes coincidem com as solu¸c˜oes encontradas anteriormente quando
h → 0.
5.2 Espessura Cr´ıtica na Ausˆencia de Campo
No Cap´ıtulo 4, apresentamos a an´alise das estruturas peri´odicas seguindo
o tratamento original das referˆencias [10] e [11]. Aqui, para valermo-nos
do formalismo desenvolvido diretamente a partir de F , uma nova an´alise
64
do problema, na ausˆencia de campo, ser´a inicialmente apresentada. Se as
solu¸c˜oes (5.15) forem substitu´ıdas nas densidades de energia el´astica (5.7),
para o volume, e (5.9), para a superf´ıcie, a energia total (5.10), relativa a um
per´ıodo, pode ser constru´ıda na forma:
F =
1
2
i,j
M
ij
C
i
C
j
. (5.16)
Evidentemente, mesmo no caso de isotropia el´astica no volume, a express˜ao
para F ´e muito complicada para ser reproduzida aqui. O c´alculo dos menores
principais pode ser realizado sem maiores dificuldades por meio do software
Mathematica. No limite em que q → 0, eles podem ser escritos na forma:
m
1
(q) = Kdq
2
+ O(q
3
) e m
2
(q) = (Kd)
2
q
4
+ O(q
5
). (5.17)
Estes dois menores s˜ao, obviamente, sempre positivos para q = 0. Nossa
aten¸c˜ao ser´a dedicada aos outros dois menores principais: m
3
(q) e m
4
(q).
No limite em que q → 0, temos:
m
3
(q) = f
3
(s, K, h, n
03
, d, w) q
4
+ O(q
5
)
m
4
(q) = f
4
(s, K, h, n
03
, d, w) q
6
+ O(q
7
), (5.18)
onde f
3
e f
4
s˜ao complicadas express˜oes envolvendo os parˆametros h (campo
em unidades reduzidas), n
03
(componente x
3
do diretor na configura¸c˜ao uni-
forme, w
1
= w
3
= w (energia de ancoramento), K
24
= sK (constantes
el´asticas de superf´ıcie e de volume) e a espessura da amostra d.
Consideremos, portanto, o que ocorre quando h = 0. Nesse caso, temos,
explicitamente, as seguintes express˜oes para os menores principais:
m
3
(q) =
K
2
d
2
w
1 − n
2
03
q
4
+ O(q
5
)
m
4
(q) =
K
2
d
2
w {2K [−4s(1 + s) + (n
03
+ 2n
03
s)
2
] + d w}
(n
2
03
− 1)
2
q
6
+ O(q
7
).
(5.19)
´
E f´acil constatar que m
3
(q) > 0 para q = 0. Contudo, m
4
(q) pode mudar de
sinal para q = 0. Isso ocorre quando
d = d
c
=
−2 (Kn
2
03
− 4Ks + 4Kn
2
03
s − 4Ks
2
+ 4Kn
2
03
s
2
)
w
, (5.20)
65
i.e., h´a uma espessura cr´ıtica que favorece a existˆencia de uma estrutura
peri´odica. Na Fig. (5.1), um gr´afico de d
c
em fun¸c˜ao do ˆangulo de inclina¸c˜ao
n
03
´e exibido para alguns valores representativos dos parˆametros mencionados
em (5.18).
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
d
C
(
µm)
n
03
Figura 5.1: Varia¸c˜ao da espessura cr´ıtica com o ˆangulo de inclina¸c˜ao. Os
parˆametros empregados s˜ao K = 10
−11
N, w = 10
−5
J/m
2
, K
24
= K, i.e.,
s = 1.
Nota-se que a espessura cr´ıtica ´e m´axima para o caso n
01
= 1 (n
03
= 0),
que corresponde ao caso planar tratado originalmente na Ref. [10]. Al´em
disso, a espessura cr´ıtica tende a zero para o caso de orienta¸c˜ao inicial home-
otr´opica (n
03
→ 1). De fato, a partir das express˜oes (5.19), verifica-se que,
nesse limite, m
3
(q) e m
4
(q) se tornam muito grandes. Isso ´e consistente com
o que discutimos no final do cap´ıtulo precedente. Ali, sublinhamos que no
caso de uma orienta¸c˜ao uniforme planar poderia haver uma espessura cr´ıtica.
Contudo, quando n
03
= 0 a espessura cr´ıtica pode n˜ao ocorrer, como ´e o caso
da orienta¸c˜ao homeotr´opica, em que n
03
= 1. Para que ocorressem estrutu-
ras peri´odicas quando a orienta¸c˜ao uniforme inicial fosse homeotr´opica, seria
necess´ario que tiv´essemos, antes, uma transi¸c˜ao induzindo uma inclina¸c˜ao.
No caso em que n
03
= 0, a espessura cr´ıtica, dada em (5.20) se torna:
d
c
=
8Ks
w
(1 + s). (5.21)
A espessura cr´ıtica obtida no Cap´ıtulo 4 era dada pela express˜ao (4.32), i.e.,
d
c
= (L
0
+ L
1
)
r
2
(r
2
− 2r
1
)
r
2
1
, (5.22)
66
em que r
1
= K
11
/K
22
e r
2
= 2 (K
22
+ K
24
)/K
22
. No limite que estamos
considerando nesta Se¸c˜ao, r
1
= 1, L
0
= L
1
= L = K/w e r
2
= 2(1 + s).
Portanto, d
c
, dada pela express˜ao (5.22), reduz-se a
d
c
=
8Ks
w
(1 + s) (5.23)
e os dois c´alculos fornecem resultados coincidentes.
Na Fig. (5.2), um comportamento t´ıpico de f
4
´e exibido em fun¸c˜ao do
ˆangulo de inclina¸c˜ao, n
03
, para uma espessura d = 15 µm de modo a ilustrar
a mudan¸ca de sinal caracter´ıstica do menor.
0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
m
4
(q)/q
6
(unidades arbitrÆrias)
n
03
Figura 5.2: f
4
= m
4
(q)/q
6
em fun¸c˜ao do ˆangulo de inclina¸c˜ao (componente
x
3
) n
03
para K = 10
−11
N, w = 10
−5
J/m
2
, K
24
= K, i.e., s = 1 e d = 15 µm.
Na Fig. (5.3), o comportamento da espessura cr´ıtica ´e mostrado em fun¸c˜ao
da energia de ancoramento e, como se espera, diminui drasticamente com o
aumento da energia. No limite de alta energia n˜ao h´a o favorecimento de
estruturas peri´odicas. Por outro lado, na Fig. (5.4), o comportamento da
espessura cr´ıtica ´e mostrado em fun¸c˜ao do valor da constante el´astica de
saddle-splay s. Observa-se a exigˆencia de um valor m´ınimo para K
24
a fim
de que possa surgir, no sistema, uma deforma¸c˜ao peri´odica na ausˆencia de
campo. Esta exigˆencia pode ser apreciada se considerarmos o comportamento
de m
4
(q) em fun¸c˜ao do valor dessa constante, como mostrado na Fig. (5.5).
5.3 Efeito de um Campo Externo
Podemos usar as express˜oes anteriores para os menores e escrevˆe-las na
forma
67
0 1 2 3 4 5
0
100
200
300
400
500
d
c
(µm)
W (10
-5
J/m
2
)
Figura 5.3: d
c
em fun¸c˜ao da energia de ancoramento w quando n
03
= 0.8
para K = 10
−11
N, K
24
= K (s = 1).
0 1 2 3 4 5
0
20
40
60
80
100
d
c
(µm)
s=K
24
/K
Figura 5.4: d
c
em fun¸c˜ao do valor da constante el´astica de saddle-splay s =
K
24
/K quand w = 10
−5
J/m
2
, n
03
= 0.8 para K = 10
−11
N.
68
0 1 2 3 4 5
-200
-150
-100
-50
0
50
m
4
(q)/q
6
(unidades arbitrÆrias)
s=K
24
/K
Figura 5.5: f
4
= m
4
(q)/q
6
em fun¸c˜ao do valor da constante el´astica de
saddle-splay quando n
03
= 0.8, K = 10
−11
N, w = 10
−5
J/m
2
e d = 15 µm.
m
3
(q, h) = f
3
(h)q
4
+ O(q
5
) e m
4
(q, h) = f
4
(h)q
4
+ O(q
5
), (5.24)
de mo do a sublinhar a dependˆencia com o campo, no limite em que q → 0.
Consideremos, inicialmente, a express˜ao para m
3
(q, h).
´
E poss´ıvel escrever
explicitamente f
3
(h):
f
3
(h) =
1
4
dK
2
2
1 − e
R
2
K(1 + 2s)
2
+
4e
R
1 − n
2
03
[dw cosh R + kR sinh R]
,
(5.25)
onde R =
n
2
03
− 1πH
R
e, por simplicidade, doravante usaremos o campo
reduzido, H
R
= H/H
c
, de modo a explicitar a dependˆencia com a espessura
presente na quantidade h, introduzida em (5.8). Se, agora, impusermos a
condi¸c˜ao f
3
(h) = 0 e procurarmos uma solu¸c˜ao para d encontraremos:
d
∗
= −
K
w
n
2
01
(1 + 2s)
2
[−1 + sech(πH
R
n
01
)] + π H
R
n
01
tanh(πH
R
n
01
)
.
(5.26)
O comportamento de d
∗
´e exibido na Fig. (5.6) como fun¸c˜ao de H
R
= H/H
c
para valores representativos dos parˆametros, quando n
03
= 0.1, i.e., a ori-
enta¸c˜ao inicial ´e praticamente planar. Nesse caso, s´o h´a valores aceit´aveis
69
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
d
C
(µm)
H/H
C
Figura 5.6: d
∗
dado por (5.26) em fun¸c˜ao do campo reduzido para os valores
representativos n
03
= 0.1, K = 10
−11
N, w = 10
−5
J/m
2
e s = 1.
para d
∗
acima de um certo valor para H
R
. A espessura d
∗
diminui drastri-
camente com o campo aplicado. A situa¸c˜ao ´e diferente quando n
03
= 0.95.
Nesse caso, a orienta¸c˜ao inicial ´e praticamente homeotr´opica. O camp o pode
induzir estruturas peri´odicas em espessuras muito baixas, como se pode ve-
rificar na Fig. (5.7). Na verdade, esse comportamento reflete o resultado
que obtivemos anteriormente, i.e., n˜ao h´a estrutura peri´odica no caso de
orienta¸c˜ao uniforme inicial homeotr´opica.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
d
c
(µm)
H/H
c
Figura 5.7: d
∗
dado por (5.26) em fun¸c˜ao do campo reduzido para os valores
representativos n
03
= 0.95, K = 10
−11
N, w = 10
−5
J/m
2
e s = 1.
Analisemos, agora, o que ocorre com m
4
(q, h) no limite q → 0. Nesse
70
caso, podemos escrever, explicitamente:
f
4
(h) =
2K
4
n
2
01
−dw cos
π H
R
n
01
2
+ K (π H
R
n
01
) sin
π H
R
n
01
2

×
K (π H
R
n
01
) cos
π H
R
n
01
2
+
−2K n
2
01
(1 + 2s)
2
+ dw
× sin
π H
R
n
01
2

sin (π H
R
n
01
) . (5.27)
Ao impormos, novamente, a condi¸c˜ao f
4
(h) = 0, resolvendo para d, obtemos
duas solu¸c˜oes, a saber:
d
c1
= −
K
w
−2n
2
01
(1 + 2s)
2
+ (π H
R
n
01
) cot
π H
R
n
01
2

(5.28)
e
d
c2
=
K
w
(π H
R
n
01
) tan
π H
R
n
01
2
. (5.29)
Note que (5.28), no limite em que H
R
→ 0, reduz-se `a express˜ao que encon-
tramos na ausˆencia de campo, como deve ser, e est´a dada em (5.20). Ob-
viamente, quando n
01
→ 1, mais uma vez recuperamos a express˜ao (5.21).
Agora, por´em, temos uma nova express˜ao para o caso de orienta¸c˜ao uniforme
planar, i.e, quando n
01
= 1. De igual maneira, quando considerarmos uma
orienta¸c˜ao inicial uniforme homeotr´opica – obtida fazendo n
01
= 0, portanto,
n˜ao h´a espessura cr´ıtica para qualquer valor do campo. Esse resultado gene-
raliza nossa conclus˜ao de que uma orienta¸c˜ao inicial uniforme homeotr´opica
n˜ao d´a origem a deforma¸c˜oes peri´odicas.
Na Fig. (5.8) as duas espessuras cr´ıticas s˜ao exibidas para valores repre-
sentativos dos parˆametros do sistema.
Na Fig. (5.9) as duas espessuras cr´ıticas s˜ao exibidas para outro conjunto
de valores representativos dos parˆametros do sistema, justamente aquele que
considera uma configura¸c˜ao uniforme planar: n
03
= 0. Nesse caso, h´a uma
divergˆencia em d
c2
, como se pode ver analiticamente a partir de (5.29), que
se torna:
d
c2
(H → H
c
) =
K
w
π tan
π
2
,
(5.30)
enquanto que d
c1
se comporta como (5.21) e, portanto, quando H → H
c
,
d
c2
= 18K/W = 18 µm, de acordo com as escolhas que fizemos dos parˆametros.
71
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
d
c
(µm)
H
R
= H/H
C
d
c1
d
c2
Figura 5.8: Espessuras cr´ıticas dadas por (5.28) e (5.29) em fun¸c˜ao do
campo reduzido para os valores representativos n
03
= 0.5, K = 10
−11
N,
w = 10
−5
J/m
2
e s = 1. A linha s´olida representa d
c1
e a linha pontilhada
representa d
c2
. Para esta escolha de parˆametros h´a uma coincidˆencia de va-
lores da esp essura cr´ıtica quando H
R
= 1, i.e., justamente quando o campo
atinge o valor do campo cr´ıtico de Fr´eedericksz.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
10
20
30
40
50
d
c2
d
c1
d
c
(µm)
H
R
= H/H
C
Figura 5.9: Espessuras cr´ıticas dadas por (5.28) e (5.29) em fun¸c˜ao do
campo reduzido para os valores representativos n
03
= 0, K = 10
−11
N,
w = 10
−5
J/m
2
e s = 1. A linha s´olida representa d
c1
e a linha pontilhada
representa d
c2
. Para esta escolha de parˆametros o valor de d
c1
varia muito
pouco com o campo para H
R
≤ 1.
72
0 5 10 15 20
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
H
R
=0.5
f
4
(h)
d (µm)
H
R
=0.1
Figura 5.10: f
4
(h) em fun¸c˜ao da espessura para dois valores do campo redu-
zido. Os parˆametros s˜ao o campo reduzido para os valores representativos
n
03
= 0, K = 10
−11
N, w = 10
−5
J/m
2
e s = 1.
A existˆencia dessas duas ra´ızes tamb´em pode ser vista diretamente no
gr´afico de f
4
(h) versus d, para dois valores de H
R
, como mostrado na Fig. (5.10).
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1
0
1
2
3
4
5
6
f
4
(H
R
)
H
R
Figura 5.11: f
4
(h) em fun¸c˜ao do campo reduzido H
R
para a espessura d =
10 µm. Os parˆametros s˜ao o campo reduzido para os valores representativos
n
03
= 0.1, K = 10
−11
N, w = 10
−5
J/m
2
e s = 1.
A segunda raiz, no entanto, n˜ao se refere `a forma¸c˜ao de instabilidades
peri´odicas. Na verdade, o estudo da transi¸c˜ao de Fr´eedericksz na situa¸c˜ao de
ancoramento forte revela que h´a uma rela¸c˜ao que determina o campo cr´ıtico
73
em fun¸c˜ao da espessura da amostra – conhecida como rela¸c˜ao de Rapini-
Papoular – que coincide com (5.29) para o caso n
01
= 1. De fato, nesse caso,
(5.29) pode ser escrita como [35]
d
L
= πH
R
tan
πH
R
2
. (5.31)
Portanto, a espessura cr´ıtica ligada `a forma¸c˜ao de estruturas peri´odicas ´e,
seguramente, aquela determinada por (5.28). Os ingredientes principais desta
an´alise s˜ao os que acabamos de expor. Uma an´alise mais exaustiva ainda
deve ser feita, principalmente enfatizando o papel do campo aplicado. Al´em
disso, embora n˜ao esperemos mudan¸cas significativas no quadro global aqui
delineado, o caso em que as constantes el´asticas de volume sejam diferentes
dever´a ser analisada tamb´em na presen¸ca de campos aplicados, de modo
a podermos avaliar a importˆancia da anisotropia el´astica no surgimento de
estruturas peri´odicas no meio nem´atico.
74
Cap´ıtulo 6
Conclus˜oes
Neste trabalho consideramos o surgimento de estruturas peri´odicas em
amostras de cristais l´ıquidos nem´aticos. Este estudo foi realizado de duas for-
mas: Primeiramente, foi analisado um caso simples de distor¸c˜ao espontˆanea
fazendo uso de uma aproxima¸c˜ao de isotropia el´astica, e em seguida foi ana-
lisado um caso mais geral, considerando-se um campo magn´etico H aplicado
`a amostra. Em ambos os casos foram usados termos que dependem da cons-
tante de saddle-splay K
24
.
Na primeira parte da an´alise das distor¸c˜oes peri´odicas 4, estudamos as
chamadas distor¸c˜oes espontˆaneas, muito comumente observadas em labo-
rat´orio, em que prepara-se uma amostra para um determinado objetivo, mas
antes mesmo de us´a-la, esta sofre uma mudan¸ca estrutural e distorce sem ne-
nhum est´ımulo externo. Como vimos, esta distor¸c˜ao po de estar relacionada a
termos de superf´ıcie normalmente descartados na energia livre. Observamos
que a constante de saddle-splay ´e dominante na desestabiliza¸c˜ao do padr˜ao
uniforme, comprovando os resultados j´a conhecidos; diferentemente do que
ocorre com o estado planar (i.e., n
01
= 1, n
03
= 0) observamos que pode
haver uma espessura cr´ıtica abaixo da qual as instabilidades peri´odicas s˜ao
favorecidas no sistema.
Como uma conclus˜ao geral vimos que as deforma¸c˜oes ligadas `a cons-
tante el´asticas de saddle-splay podem ser observadas somente em amostras
que apresentam alguma inclina¸c˜ao inicial. Um outro resultado muito im-
portante, foi a determina¸c˜ao de uma express˜ao anal´ıtica para a espessura
cr´ıtica d
c
, abaixo do qual a distor¸c˜ao peri´odica ´e energeticamente favorecida.
Constata-se que valores fisicamente aceit´aveis de espessuras cr´ıticas ocorrem
para orienta¸c˜oes planares (n
01
= 1) e (n
03
= 0) como predisse Pergamenshick
em seus trabalhos [8, 9]. Pode-se observar portanto, de acordo com o modelo
para o caso h = 0, distor¸c˜oes espontˆaneas peri´odicas em amostras com ori-
enta¸c˜oes iniciais planares, considerando-se valores t´ıpicos de energia de anco-
75
ramento e de constante el´astica. O comportamento da espessura cr´ıtica em
fun¸c˜ao da energia de ancoramento nos mostrou que ela diminui drasticamente
com o aumento da energia com era inicialmente esperado. O comportamento
da espessura cr´ıtica em fun¸c˜ao da constante el´astica de saddle-splay(s) nos
permitiu encontrar graficamente um valor m´ınimo para k
24
a fim de que possa
surgir uma deforma¸c˜ao na ausˆencia de campo.
Posteriormente, estudamos as distor¸c˜oes peri´odicas induzidas por um campo
magn´etico externo, mas ainda considerando a presen¸ca dos termos lineares,
dependentes da constante K
24
.
Com o mesmo racioc´ınio utilizado anteriormente, obtivemos duas ex-
press˜oes para d
c
, no limite de H
R
→ 0 a primeira express˜ao que chama-
mos de d
c1
, ´e a ligada a forma¸c˜ao de estruturas peri´odicas,recupera os d
c
encontrados anteriomente e com d
c1
, fazendo n
01
= 0, de que uma orienta¸c˜ao
inicial uniforme homeotr´opica n˜ao d´a origem a deforma¸c˜oes peri´odicas. A
segunda express˜ao encontrada, d
c2
, n˜ao se refere `a forma¸c˜ao de instabilidade
peri´odica, ela pode ser considerada como uma “extens˜ao”, para uma ori-
enta¸c˜ao inicial arbitr´aria dada por n
01
, da rela¸c˜ao de Rapini-Papoular que
foi dada no cap´ıtulo 3 na equa¸c˜ao (3.69) Na An´alise gr´afica de d
c
em fun¸c˜ao
de H
R
, quando n
03
= 0 .1, encontramos uma orienta¸c˜ao inicial praticamente
planar, observamos que s´o h´a valores aceit´aveis para d∗ acima de um certo
valor de H
R
, e que d∗ diminui drasticamente com o campo aplicado. Com
n
03
= 0.95 a orienta¸c˜ao ´e praticamente homeotr´opica.
A extens˜ao natural deste trabalho ´e aquela mencionada ao final do cap´ıtulo
5, i.e., a an´alise do papel do campo de modo a estabelecer a curva de equil´ıbrio
q(h) tanto no caso em que as constantes el´asticas de volume s˜ao iguais, quanto
no caso em que s˜ao diferentes. Pode ser ´util conhecer, p or exemplo, o papel
da constante el´astica de twist (K
22
), no panorama geral que delineamos neste
trabalho.
76
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