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SERVIC¸ O P
´
UBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
´
A
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIA EXATA E NATURAIS
CURSO DE MESTRADO EM MATEM
´
ATICA E ESTAT
´
ISTICA
Carlos Alessandro da Costa Baldez
Existˆencia, Unicidade e Comportamento
Assint´otico da Solu¸c˜ao de uma Equa¸c˜ao de
Onda com Termo de Mem´oria na Fronteira
Bel´em
CCEN - UFPA
Dezembro 2005
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SERVIC¸ O P
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UBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
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A
CENTRO DE CI
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ENCIA EXATA E NATURAIS
CURSO DE MESTRADO EM MATEM
´
ATICA E ESTAT
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ISTICA
Carlos Alessandro da Costa Baldez
Existˆencia, Unicidade e Comportamento
Assint´otico da Solu¸c˜ao de Uma Equa¸c˜ao de
Onda com Termo de Mem´oria na Fronteira
Disserta¸c˜ao apresentada ao Curso de Mestrado
em Matem´atica e Estat´ıstica da Universidade
Federal do Par´a, como pr´e-requisito para a ob-
ten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
Orientador: Prof
◦
.Dr
◦
. JO
˜
AO DOS SANTOS
PROT
´
AZIO
´
Area de Concentra¸c˜ao: AN
´
ALISE
Bel´em
CCEN - UFPA
Dezembro 2005
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SERVIC¸ O P
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UBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
´
A
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIA EXATA E NATURAIS
CURSO DE MESTRADO EM MATEM
´
ATICA E ESTAT
´
ISTICA
Carlos Alessandro da Costa Baldez
Existˆencia, unicidade e comportamento assint´otico da solu¸c˜ao de
uma equa¸c˜ao de onda com termo de mem´oria na fronteira
Disserta¸c˜ao apresentada ao Curso de Mestrado
em Matem´atica e Estat´ıstica da Universidade
Federal do Par´a, como pr´e-requisito para a ob-
ten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
Data da defesa: 12 de Dezembro de 2005.
Conceito:
Banca Examinadora
Prof.
◦
Dr. JO
˜
AO DOS SANTOS PROT
´
AZIO - Orientador
Departamento de Matem´atica - UFPA - ESMAC
Prof.
◦
Dr. MAURO LIMA SANTOS - Co-Orientador
Departamento de Matem´atica - UFPA
Prof.
◦
Dr. JORGE FERREIRA - Membro
Departamento de Matem´atica - UFSJ
Prof.
◦
Dr. DUCIVAL CARVALHO PEREIRA - Membro
UFPA - FACI - IESAM
Prof.
◦
Dr. MARCUS PINTO DA COSTA DA ROCHA - Suplente
Departamento de Matem´atica - UFPA
AGRADECIMENTOS
Agrade¸co a Deus que no decorrer desses dois anos me deu sa´ude para que este trabalho
fosse realizado.
Agrade¸co `a minha fam´ılia que sempre me incetivou a nunca desistir do curso devido a
dificuldades.
Agrade¸co ao meu orientador Prof
◦
. Dr. Jo˜ao dos Santos Prot´azio que durante a
realiza¸c˜ao deste trabalho sempre esteve disposto a esclarecer alguns pontos obscuros do
trabalho.
Ao meu co-orientador Prof
◦
. Dr. Mauro Lima Santos pelas suas sugest˜oes, as quais
sempre me conduziram a resultados corretos.
Ao Prof
◦
. Dr. Jorge Ferreira p or suas observa¸c˜oes durante o desenvolvimento deste
trabalho e sua amizade conquistada durante este curso.
Agrade¸co aos professores do Departamento da P´os-Gradua¸c˜ao de Matem´atica e Estatistica-
PPGEM por minha forma¸c˜ao profissional.
Finalmente, agrade¸co a todas as pessoas, em particular Nilda( minha fiel companheira),
que de alguma forma contribu´ıram para a realiza¸c˜ao deste trabalho.
”O espirito s´o usa sua faculdade criadora quando a experiˆencia lhe imp˜oem
tal necessidade”.
Henri Poincar´e(Matem´atico francˆes).
Resumo
Neste trabalho obtemos resultados de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao
de onda com termo de mem´oria na fronteira e de seus comportamentos assint´oticos expo-
nencial e polinomial. Obtemos, tamb´em, a dependˆencia cont´ınua da solu¸c˜ao com rela¸c˜ao
a dados iniciais fortes. Para a obten¸c˜ao da existˆencia de solu¸c˜ao utilizamos o m´etodo
de aproxima¸c˜ao de Galerkin e para a sua unicidade, o m´etodo da energia. No estudo
da an´alise assint´otica, os decaimentos s˜ao obtidos atrav´es da constru¸c˜ao de funcionais
de Lyapunov adequados. Al´em disso, apresentamos um esquema num´erico num´erico de
solu¸c˜ao para o problema.
Abstract
We establish existence and uniqueness for the wave equation including a memory term
on the boundary. Exponential and polynomial asymptotic behavior are also obtained.
The stability are derived for strong initial data and the Galerkin approximation method
is used to prove existence and uniqueness is deduced from energy method. Asymptotic
analysis are derived through convenient Lyapunov functionals and numerical solutions are
also presented.
´
Indice
Introdu¸c˜ao
Cap´ıtulo 1 : Preliminares 8
1.1. Resultados Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Desigualdades Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Equa¸c˜oes de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Equa¸c˜ao Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Cap´ıtulo 2 : Existˆencia e Unicidade 24
2.1 Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Cap´ıtulo 3 : An´alise assint´otica 51
3.1 Decaimento exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Decaimento polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Cap´ıtulo 4 : Formalismo Num´erico 64
4.1 Formalismo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Conclus˜ao 67
Referˆencias Bibliograficas 68
8
Introdu¸c˜ao
Neste trabalho discutimos a existˆencia, unicidade e comportamento assint´otico da
seguinte equa¸c˜ao.
u
tt
− µ(t)u
xx
= 0 em (0, 1) × (0, ∞) (1)
u(0, t) = 0, u(1, t) +
t
0
g(t − s)µ(s)u
x
(1, s)ds = 0, ∀t > 0 (2)
u(x, 0) = u
0
(x), u
t
(x, 0) = u
1
(x) em (0, 1) (3)
O sistema acima ´e originado do trabalho de Santos [12] em que o autor estuda o
comportamento assint´otico de (1)-(3). A integral em (2) ´e uma condi¸c˜ao de fronteira que
inclui o efeito mem´oria, que do ponto de vista f´ısico, ´e causado pelo contato da fronteira
x = 1 com algum material viscolel´astico. A fun¸c˜ao u denotar´a a amplitude da onda, g
uma fun¸c˜ao de relaxamento e µ = µ(t) representaremos uma fun¸c˜ao de W
1,∞
loc
(0, ∞; R),
satisfazendo µ(t) ≥ µ
0
> 0 e µ
(t) ≤ 0 para todo t ≥ 0.
Em [4] Ciarletta estabeleceu teoremas de existˆencia, unicidade e estabilidade assint´otica
para o problema linear da condu¸c˜ao do calor. Neste caso, a condi¸c˜ao de mem´oria descreve
uma fronteira que pode absorver calor e devido ao termo heredit´ario pode reter parte dele.
Em [7] Fabrizio & Morro consideraram um modelo eletromagn´etico linear como condi¸c˜ao
de fronteira tipo mem´oria e mostraram existˆencia, unicidade e comportamento assint´otico
da solu¸c˜ao. Rivera & Andrade [6] consideraram uma equa¸c˜ao da onda n˜ao linear com
uma condi¸c˜ao de fronteira viscoel´astico, prova a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao forte
global para pequenas pertuba¸c˜oes ou seja, com condi¸c˜oes iniciais (u
0
, u
1
) com pequenas
normas em H
2
× H
1
.
O trabalho foi organizado do seguinte modo: no Cap´ıtulo 1 s˜ao enunciados alguns
teoremas de compacidade e algumas desigualdades que ser˜ao fundamentais para o desen-
volvimento do trabalho, por exemplo: O teorema de Aubin-Lions e a Desigualdade de
Gronwall. Alguns desses resultados ser˜ao demonstrados e outros sua demonstra¸c˜ao ser´a
omitida e uma introdu¸c˜ao `as equa¸c˜oes integrais de Volterra ser´a apresentada.
No cap´ıtulo 2, ser´a enunciado e demonstrado o teorema de existˆencia e unicidade da
solu¸c˜ao de (1)−(3). Ser˜ao mostradas a existˆencia e unicidade da solu¸c˜ao forte e fraca, assim
como sua dependˆencia cont´ınua dos dados iniciais, para ambos mostramos a unicidade da
solu¸c˜ao com m´etodos diferentes. No primeiro caso, usamos o m´etodo da energia e, no
segundo, o m´etodo de Ladyzhenskaya.
No cap´ıtulo 3, ser´a mostrado o decaimento exponencial e polinomial da solu¸c˜ao. Mais
precisamente, mostra-se que a solu¸c˜ao do sistema (1)−(3) decai uniformemente no tempo
9
10
com a taxa dependendo da taxa de decaimento da fun¸c˜ao relaxa¸c˜ao, ou seja, denotando
por k o n´ucleo resolvente de g
(a derivada da fun¸c˜ao relaxa¸c˜ao) mostra-se que a solu¸c˜ao
decai exponencialmente se k decair exponencialmente. Quando k decai polinomialmente
mostra-se que a solu¸c˜ao correspondente tamb´em decai polinomialmente com a mesma taxa
de decaimento. O m´etodo usado ´e baseado na constru¸c˜ao de um funcional de Lyapunov
L adequado satisfazendo:
d
dt
L(t) ≤ −c
1
L(t) + c
2
e
−γt
ou
d
dt
L(t) ≤ −c
1
L(t)
1+
1
α
+
c
2
(1 + t)
1+α
para algumas constantes positivas c
1
, c
2
e γ.
No cap´ıtulo 4, ´e feito uma abordagem num´erica do problema, usa-se o m´etodo de
elementos finitos para a an´alise da obten¸c˜ao da solu¸c˜ao num´erica.
Cap´ıtulo 1
Preliminares
Neste cap´ıtulo ser´a enunciado teoremas que, posteriormente, ser˜ao utilizados na obten¸c˜ao
da solu¸c˜ao e de seu comportamento assint´otico, incluindo teoremas de compacidade e
teoremas tipo Gronwall e uma breve introdu¸c˜ao as equa¸c˜oes integrais de Volterra.
1.1 Resultados Fundamentais
Denota-se por L
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞, o espa¸co das fun¸c˜oes reais u : Ω −→ R, mensur´aveis
e tais que |u|
p
s˜ao Lebesgue integr´aveis em Ω. O espa¸co L
p
(Ω), ´e um espa¸co de Banach
com a norma:
u
p
L
p
(Ω)
=
Ω
|u|
p
dx.
Quando p = ∞, L
∞
(Ω) denota o espa¸co de Banach de todas as fun¸c˜oes reais essencial-
mente limitadas com norma
u
∞
= sup
x∈Ω
ess|u(x)|
Quando p = 2, L
2
(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert com produto interno:
(u, v) =
Ω
u(x)v(x)dx,
e norma induzida:
|u|
2
=
Ω
|u(x)|
2
dx.
Representa-se por C
∞
0
o espa¸co das fun¸c˜oes reais em Ω, infinitamente diferenci´aveis e com
suporte compacto em Ω. Por D(Ω) representa-se o espa¸co C
∞
0
, com a seguinte no¸c˜ao de
convergˆencia: uma sucess˜ao (ϕ
n
)
n∈N
⊂ C
∞
0
converge para zero, quando se verificam as
seguintes condi¸c˜oes:
i) Existe K ⊂ Ω tal que supp{ϕ
n
} ⊂ K,
ii) ϕ
n
e todas as suas derivadas convergem uniformente para zero sobre K.
11
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 12
Uma distribui¸c˜ao sobre Ω ´e uma forma linear cont´ınua T sobre D, deriv´avel, com derivada
de ordem α, D
α
T, definida por:
< D
α
T, ϕ >= (−1)
|α|
< T, D
α
ϕ >,
para todo ϕ ∈ D(Ω). Denota-se por < T, ϕ >, o valor de T em ϕ. Representa-se por
W
m,p
(Ω) o espa¸co d Sobolev de ordem m, isto ´e, o espa¸co de todas as fun¸c˜oes reais
u ∈ L
p
(Ω) tal que D
α
u ∈ L
p
(Ω) para todo |α| ≤ m. Em W
m,p
(Ω) defini-se a segunte
norma:
u
p
m,p
=
|α|≤m
Ω
|D
α
u(x)|
p
dx.
Segue-se que W
m,p
(Ω), com esta norma, ´e um espa¸co de Banach.
Quando p = 2, o espa¸co W
m,2
(Ω) ser´a representado por: H
m
(Ω), que ´e um espa¸co de
Hilbert com o produto interno
(u, v) =
|α|≤m
Ω
D
α
u(x)D
α
v(x)dx,
e norma induzida:
u
2
m,2
=
|α|≤m
Ω
|D
α
u(x)|
2
dx.
Dado um espa¸co de Banach X e T > 0 um n´umero real, representa-se por L
p
(0, T ; X),
com 1 ≤ p < ∞, o espa¸co das fun¸c˜oes vetoriais u : (0, T ) −→ X, mensur´aveis e tais que
u(t)
p
X
´e integr´avel em (0, T ). O espa¸co L
p
(0, T ; X) ´e Banach com a norma:
u
p
L
p
(0,T ;X)
=
T
0
u(t)
p
X
dt.
Quando p = ∞ tem-se que L
∞
(0, T ; X) ´e um espa¸co de Banach com norma:
u
L
∞
(0,T ;X)
= sup
0≤t≤T
essu(t)
X
.
Teorema 1.1.1. (Teorema da convergˆencia Dominada de Lebesgue)- Seja (f
n
)
uma sucess˜ao de fun¸c˜oes de L
1
(Ω). Suponha que:
a) f
n
(x) → f(x) q.s em Ω,
b) Existe uma fun¸c˜ao g ∈ L
1
(Ω) tal que para todo n ∈ N, |f
n
(x)| ≤ g(x) q.s em Ω.
Ent˜ao, f ∈ L
1
(Ω) e f
n
− f
L
1
→ 0.
Demonstra¸c˜ao: Ver referˆencias [1],[2] e [11].
Teorema 1.1.2. (Banach-Alouglu-Bourbaki). Seja E um espa¸co de Banach. O
conjunto B
E
= {f ∈ E
; f ≤ 1} ´e compacto na topologia fraca estrela.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 13
Demonstra¸c˜ao: Ver referˆencia [3].
Teorema 1.1.3. Seja E um espa¸co de Banach separ´avel e seja (f
n
) uma sequˆencia limi-
tada em E
. Ent˜ao, existe uma subsequˆencia (f
n
k
) que converge na topologia fraca estrela.
Demonstra¸c˜ao: Ver referˆencia [3].
Teorema 1.1.4. Seja E um espa¸co de Banach reflexivo e seja (x
n
) uma sequˆencia limitada
em E. Ent˜ao, existe uma subsequˆencia (x
n
k
) que converge na topologia fraca.
Demonstra¸c˜ao: Ver referˆencia [3].
Denotamos por B
0
, B e B
1
espa¸cos de Banach com B
0
e B
1
espa¸cos reflexivos satis-
fazendo:
B
0
⊂ B ⊂ B
1
, imers˜ao de B
0
em B compacta (1.1)
Teorema 1.1.5. (Teorema de Aubin-Lions). Sejam 1 < p
0
, p
1
< ∞ e suponhamos
que (1.1) seja v´alida. Ent˜ao, a imers˜ao de W sobre L
p
0
(0, T ; B) ´e compacta.
Sendo W = {v; v ∈ L
p
0
(0, T ; B
0
), v
t
∈ L
p
1
(0, T ; B
1
)}
Demonstra¸c˜ao: Ver referˆencia [8].
Lema 1.1.1. Sejam V, H espa¸cos de Hilbert, com a imers˜ao V → H com imers˜ao
cont´ınua. Se u ∈ L
p
(0, T ; V ) e u
t
∈ L
p
(0, T ; H), 1 ≤ p ≤ ∞, ent˜ao u ∈ C(0, T ; H).
Demonstra¸c˜ao: Ver referˆencia [8].
Teorema 1.1.6. (Teorema de Existˆencia de Cauchy-Peano). Seja f ∈ C(R),
sendo R um retˆangulo,. Ent˜ao existe um intervalo I e uma fun¸c˜ao ϕ : I −→ R de classe
C
1
, solu¸c˜ao do problema:
y
= f (t, y)
y(t
0
) = y
0
.
Demostra¸c˜ao: Ver referˆencia [5]
Teorema 1.1.7. Seja f ∈ C em um dom´ınio do plano (t, x), e suponha que f ´e limitada
em D. Se ϕ ´e uma solu¸c˜ao do P.V.I acima em um intervalo (a, b), ent˜ao os limites laterais
ϕ(a+0) = lim
x→a
+
ϕ(x) e ϕ(b−0) = lim
x→b
−
ϕ(x) existem. Se (a, ϕ(a+0))[ou (b, ϕ(b−0))]
pertence a D, ent˜ao a solu¸c˜ao ϕ pode ser continuada.
Demonstra¸c˜ao: Ver referˆencia [5].
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 14
1.2 Desigualdades Elementares
Lema 1.2.1. Seja f uma fun¸c˜ao real positiva de classe C
1
. Se existem constantes positivas
c
0
, c
1
e γ tais que:
f
(t) ≤ −c
0
f(t) + c
1
e
−γt
,
ent˜ao
f(t) ≤ ce
−γ
0
t
.
Demonstra¸c˜ao: Definindo
F (t) = f(t) +
2c
1
γ
e
−γt
tem-se que:
F
(t) = f
(t) − 2c
1
e
−γt
≤ −c
0
f(t) − c
1
e
−γt
.
Tomando γ
0
= min{c
0
,
γ
2
.}, Obt´em-se:
γ
0
F (t) ≤ c
1
f(t) + c
1
e
−γt
.
Segue-se que:
F
(t) ≤ −γ
0
F (t).
Logo:
F
(t)
F (t)
≤ −γ
0
.
Integrando de 0 a t, obt´em-se:
F (t)
F (0)
≤ e
−γ
0
t
=⇒ F (t) ≤ F (0)e
−γ
0
t
.
Como F (0) = f(0) +
2c
1
γ
e f(t) ≤ F (t) :
f(t) ≤ ce
−γ
0
t
,
com c = f(0) +
2c
1
γ
.
Lema 1.2.2. Seja f ≥ 0 uma fun¸c˜ao real positiva de classe C
1
satisfazendo
f
(t) ≤ −k
0
[f(1)]
1+
1
p
+
k
1
(1 + t)
p+1
,
em que p > 1, k
0
, k
1
> 0. Ent˜ao, existe uma constante k
2
> 0, tal que
f(t) ≤ k
2
pf(0) + 2k
1
(1 + t)
p
.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 15
Demonstra¸c˜ao: Toma-se h(t) =
2k
1
p(1+t)
p
e g(t) = f(t) + g(t). Nestas condi¸c˜oes tem-se
g
(t) = f
(t) −
2k
1
(1 + t)
p+1
≤ −k
0
[f(t)]
1+
1
p
+
k
1
k
0
(1 + t)
p+1
≤ k
0
[f(t)]
1+
1
p
+ (
p
2
)
1+
1
p
1
k
0
k
1
p
1
[h(t)]
1+
1
p
.
Seja a
0
= min
1, (
p
2
)
1+
1
p
1
k
0
k
1
p
1
. Assim,
g
(t) ≤ −k
0
a
0
[f(t)]
1+
1
p
+ [h(t)]
1+
1
p
.
Como existe uma constante positiva a
1
, tal que
[f(t) + h(t)]
1+
1
p
≤ a
1
[f(t)]
1+
1
p
+ [h(t)]
1+
1
p
,
conclui-se
g
(t) ≤ −
k
0
a
0
a
1
[g(t)]
1+
1
p
, ⇒
g
(t)
[g(t)]
1+
1
p
≤ −
k
0
a
0
a
1
.
Integrando de 0 a t, tem-se:
g(t) ≤
p
p
g(0)
p +
k
0
a
0
a
1
[g(0)]
1
p
t
≤
p
p−1
[pf(0) + 2k
1
]
a
p
2
(1 + t)
p
,
em que a
2
= min
p,
k
0
a
0
a
1
[g(0)]
1
p
. Tomando k
2
=
1
a
2
(
p
a
2
)
p−1
, segue-se o resultado
Lema 1.2.3. (Desigualdade de Gronwall)- Sejam m, g, e ϕ fun¸c˜oes positivas satisfazendo:
ϕ(t) ≤ g(t) +
t
0
m(s)ϕ(s) ds, ∀ t ∈ [0, T ].
Ent˜ao:
ϕ(t) ≤ g(t) +
t
0
m(s)g(s)e
t
s
m(τ)dτ
ds.
Demonstra¸c˜ao: Ver[10]
1.3 Equa¸c˜oes de Volterra
Nesta se¸c˜ao ser´a feita uma introdu¸c˜ao `a teoria das equa¸c˜oes integrais de Volterra.
Defini¸c˜ao 1.3.1. Uma equa¸c˜ao integral de Volterra linear de primeira ordem ´e toda
equa¸c˜ao da forma:
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 16
f(t) = g(t) +
t
0
k(t, s)f (s)ds, (1.2)
sendo g(t) e k(t, s) fun¸c˜oes dadas.
Teorema 1.3.1. Seja k(t, s) uma fun¸c˜ao cont´ınua em 0 ≤ s ≤ t ≤ T, T > 0 e g(t) uma
fun¸c˜ao cont´ınua em 0 ≤ t ≤ T. Ent˜ao existe uma ´unica fun¸c˜ao cont´ınua f : [0, T ] −→ R
que satisfazendo:
f(t) = g(t) +
t
0
k(t, s)f (s)ds.
Demonstra¸c˜ao:
Existˆencia
A prova ´e baseada nas aproxima¸c˜oes sucessivas de Picard. Para isto, seja a seguinte
sequˆencia de fun¸c˜oes:
{f
0
, f
1
, f
2
, . . . , f
n
, . . .},
Sendo
f
0
(t) = g(t),
f
1
(t) = g(t) +
t
0
k(t, s)g(s)ds,
.
.
. =
.
.
.
f
n
(t) = g(t) +
t
0
k(t, s)f
n−1
(s)ds,
com n = 1, 2, . . . Desta forma:
f
n
(t) = g(t) +
t
0
k(t, s)f
n−1
(s)ds,
f
n−1
(t) = g(t) +
t
0
k(t, s)f
n−2
(s)ds.
Portanto:
f
n
(t) − f
n−1
(t) =
t
0
k(t, s)[f
n−1
(s) − f
n−2
(s)]ds.
Definindo a sequˆencia ϕ
n
(t) = f
n
(t) − f
n−1
(t) com ϕ
0
(t) = g(t) tem-se:
ϕ
n
(t) =
t
0
k(t, s)ϕ
n−1
(s)ds.
Logo:
f
n
(t) =
n
i=0
ϕ
i
(t).
Sejam G, K constantes positivas tais que:
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 17
|g(t)| ≤ G 0 ≤ t ≤ T, |k(s, t)| ≤ K 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
Segue-se que
|ϕ
n
(t)| ≤
G(Kt)
n
n!
0 ≤ t ≤ T, n = 0, 1, . . . .
A prova ´e feita por indu¸c˜ao. Para n = 0 tem-se:
|ϕ
0
(t)| = |g(t)| ≤ G =
G(Kt)
0
0!
.
Suponha que a propriedade seja v´alida para n = l. Resta mostrar que ´e v´alida para
n = l + 1.
Por hip´otese, tem-se:
|ϕ
l
(t)| ≤
G(Kt)
l
l!
.
Para n = l + 1, temos:
|ϕ
l+1
(t)| = |
t
0
k(t, s)ϕ
l
(s)ds|
≤
t
0
|k(t, s)| |ϕ
l
(s)|ds
≤
t
0
K
G(Ks)
l
l!
ds
≤
GK
l+1
l!
t
0
s
l
ds.
Assim:
|ϕ
l+1
(t)| ≤
G(Kt)
l+1
(l + 1)!
.
O que conclui a demonstra¸c˜ao.
Portanto, vale a seguinte desigualdade:
n
n=0
G(Kt)
i
i!
≤
∞
n=0
G(KT )
n
n!
= Ge
KT
.
Desta forma, pelo teste M de Weirstrass, a s´erie
∞
n=0
ϕ
n
(t) ´e absoluta e uniformemente
convergente. Denotandos por f(t) =
∞
n=0
ϕ
n
(t), conclui-se que f ´e cont´ınua. De fato, seja
t
0
∈ [0, T ]. Ent˜ao:
lim
t→t
0
f(t) = lim
t→t
0
∞
n=0
ϕ
n
(t) =
∞
n=0
lim
t→t
0
(ϕ
n
(t)) =
∞
n=0
ϕ
n
(t
0
) = f(t
0
)
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 18
o que mostra a continuidade de f. A fun¸c˜ao f ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao integral de Volterra
dada em (1.2). Com efeito:
m
n=1
ϕ
n
(t) =
t
0
k(t, s)
m
n=1
ϕ
n−1
(s)
ds.
Fazendo m → ∞ e devido a convergˆencia uniforme:
lim
m→∞
m
n=1
ϕ
n
(t) =
t
0
k(t, s) lim
m→∞
(ϕ
n−1
(s)) ds,
ou
f(t) − g(t) =
t
0
k(t, s)f (s)ds,
isto ´e:
f(t) = g(t) +
t
0
k(t, s)f (s)ds.
Unicidade
Suponha que existam fun¸c˜oes f
1
, f
2
cont´ınuas satisfazendo (1.2). Portanto:
|f
1
(t) − f
2
(t)| = |
t
0
k(t, s)(f
1
(s) − f
2
(s)ds|. (1.3)
Pela continuidade de f
1
e f
2
, existe C > 0 tal que
|f
1
(t) − f
2
(t)| ≤ C ∀ 0 ≤ t ≤ T.
Logo, substituindo em (1.3) vem:
|f
1
(t) − f
2
(t)| ≤ KCt, 0 ≤ t ≤ T.
Repetindo esse processo n-vezes em (1.3), obtemos:
|f
1
(t) − f
2
(t)| ≤
C(Kt)
n
n!
, 0 ≤ t ≤ T.
Fazendo n → ∞ vem que lim
n→∞
C(Kt)
n
n!
= 0. Assim, conclu´ımos que
f
1
(t) = f
2
(t).
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 19
1.4 Equa¸c˜ao Resolvente
Vimos pelo teorema anterior que dada g ∈ C[0, T ] existe uma ´unica f ∈ C[0, T ], tal que:
f(t) −
t
0
k(t, s)f (s)ds = g(t)
Desta forma, podemos considerar o seguinte operador:
K : C[0, T ] −→ C[0, T ]
f −→ K[f ] = f(t) −
t
0
k(t, s)f (s)ds.
O operador K ´e linear e bijetivo. De fato,
K ´e linear.
K[f
1
+ λf
2
] = f
1
(t) + λf
2
(t) +
t
0
k(t, s)(f
1
(s) + λf
2
(s))ds
= f
1
(t) + λf
2
(t) +
t
0
k(t, s)f
1
(s)ds + λ
t
0
k(t, s)f
2
(s))ds
= f
1
(t) +
t
0
k(t, s)f
1
(s)ds + λ(f
2
(t) +
t
0
k(t, s)f
2
(s)ds)
= K[f
1
] + λK[f
2
]
K ´e bijetivo.
A sobrejetividade segue do fato que, dada g ∈ C[0, T ], pelo teorema de existˆencia e
unicidade, existe uma ´unica f ∈ C[0, T ] tal que K[f ] = g.
A injetividade conclui-se de maneira an´aloga, pois K[f ] = 0 pode ser, interpretada
como a equa¸c˜ao K[f ] = g sendo, g ≡ 0 e pelo teorema de existˆencia e unicidade existe
uma ´unica f ∈ C[0, T ] que satisfaz essa equa¸c˜ao, a saber f(x) = 0.
A fun¸c˜ao k(t, s) ´e chamada n´ucleo do operador de Volterra. Note que, como foi definido
ϕ
1
(t), vem que:
ϕ
2
(t) =
t
0
k(t, s)ϕ
1
(s)ds
=
t
0
k(t, s)
s
0
k(s, τ )g(τ)dτds
=
t
0
t
τ
k(t, s)k(s, τ )g(τ)dτds
=
t
0
t
τ
k(t, s)k(s, τ )dsg(τ)dτ,
pois o integrando ´e cont´ınuo em 0 ≤ τ ≤ s ≤ t. Assim:
ϕ
2
(t) =
t
0
k
2
(t, τ)g(τ )dτ,
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 20
sendo
k
2
(t, τ ) =
t
τ
k(t, s)k(s, τ )ds.
Indutivamente:
ϕ
n
(t) =
t
0
k
n
(t, s)g(s)ds ∀n ≥ 1,
sendo k
1
(t, s) = k (t, s), k
n
(t, s) =
t
s
k(t, τ )k
n−1
(τ, s)dτ para n ≥ 2. Como f
n
(t) =
n
i=0
ϕ
i
(t) tem-se:
f
n
(t) =
t
0
r
n
(t, s)g(s)ds,
sendo r
n
(t, s) =
n
i=1
k
i
(t, s). Usando a continuidade da fun¸c˜ao k temos, |k(t, s)| ≤ K
analogamente mostra-se que: |k
n
(t, s)| ≤
K
n
(t − s)
n−1
(n − 1)!
.
Da´ı segue que a s´erie r(t, s) =
∞
n=1
k
n
(t, s) ´e absoluta e, portanto, uniformemente conver-
gente. A fun¸c˜ao r(t, s) ´e chamada o n´ucleo resolvente de k(t, s).
Teorema 1.4.1. Se k(t, s) e g(t) s˜ao cont´ınuas, ent˜ao a ´unica solu¸c˜ao cont´ınua de (1.2)
´e dada por:
f(t) = g(t) +
t
0
r(t, s)g(s)ds.
Demonstra¸c˜ao: Das rela¸c˜oes anteriores:
t
0
r(t, s)g(s)ds =
t
0
∞
i=1
k
i
(t, s)g(s)ds.
Como a s´erie converge uniformemente pode-se permutar a ordem da soma com inte-
gra¸c˜ao, obtendo:
t
0
r(t, s)g(s)ds =
∞
i=1
t
0
k
i
(t, s)g(s)ds =
∞
i=1
ϕ
i
(t) = f(t) − g(t),
ou seja,
f(t) = g(t) +
t
0
r(t, s)g(s)ds.
Observa¸c˜ao 1.4.1. O teorema anterior mostra que o operador inverso K
−1
tem a forma
de uma equa¸c˜ao integral de Volterra, ou seja:
K
−1
: C[0, T ] −→ C[0, T ]
g → K
−1
[g] = g(t) +
t
0
r(t, s)g(s)ds.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 21
Para uma melhor compreens˜ao do que vai ser feito no pr´oximo cap´ıtulo s˜ao introduzidos
os seguintes operadores bin´arios:
(f✷ϕ)(t) =
t
0
f(t − s)|ϕ(t) − ϕ(s)|
2
ds,
(f ∗ ϕ)(t) =
t
0
f(t − s)ϕ(s)ds,
com ∗ denotando o produto de convolu¸c˜ao. O lema abaixo mostra uma importante pro-
priedade do operador de convolu¸c˜ao.
Lema 1.4.1. Sejam f, ϕ ∈ C
1
([0, ∞[; R). Ent˜ao:
t
0
f(t − s)ϕ(s)dsϕ
t
= −
1
2
f(t)|ϕ(t)|
2
+
1
2
f
✷ϕ
−
1
2
d
dt
f✷ϕ − (
t
0
f(s)ds)|ϕ|
2
.
Demonstra¸c˜ao: Diferenciando o termo (f✷ϕ)(t), tem-se:
(f✷ϕ)
(t) = (f
✷ϕ)(t) + 2
t
0
f(t − s)(ϕ(t) − ϕ(s))dsϕ
t
+f(0)(ϕ(t) − ϕ(t)).
= (f
✷ϕ)(t) + 2
t
0
f(t − s)ϕ(t)dsϕ
(t)
−2
t
0
f(t − s)ϕ(s)dsϕ
(t)
2
t
0
f(t − s)ϕ(s)dsϕ
(t) = (f✷ϕ)(t) − (f✷ϕ)
(t) +
t
0
f(t − s)ds
d
dt
|ϕ|
2
Como
t
0
f(t − s)ds =
t
0
f(s)ds segue que:
t
0
f(t − s)ϕ(s)dsϕ
t
= −
1
2
f(t)|ϕ(t)|
2
+
1
2
f
✷ϕ
−
1
2
d
dt
f✷ϕ − (
t
0
f(s)ds)|ϕ|
2
.
A condi¸c˜ao na fronteira x = 0 nos motivou a definir o seguinte espa¸co V = {v ∈
H
1
(0, 1), v(0) = 0}.
Lema 1.4.2. O conjunto V ´e um espa¸co de Hilbert, na norma induzida por H
1
(0, 1).
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 22
Demonstra¸c˜ao:
´
E suficiente mostrar que V ´e fechado na norma induzida por H
1
(0, 1).
Seja (u
n
) uma sequˆencia de Cauchy em V. Logo, existe u ∈ H
1
(0, 1) tal que:
u
n
→ u em H
1
(0, 1)
Para mostrar que u ∈ V, ´e necess´ario que u(0) = 0. Mas, isso ´e imediato, pois, sendo
a imers˜ao de H
1
(0, 1) em C[0, 1] cont´ınua, vem que:
max
0≤x≤1
|u
n
− u| ≤ c u
n
− u
com c uma constante positiva.
Assim, a sequˆencia (u
n
) converge uniformemente para u em C
0
[0, 1], e, como u
n
(0) = 0
para todo n ∈ N resulta da convergˆencia uniforme que u(0) = 0.
Pode-se definir em V um produto interno dado por:
((u, v)) =
1
0
du
dx
dv
dx
dx, (1.4)
cuja norma induzida ´e dada por:
u
2
=
1
0
|
du
dx
|
2
dx. (1.5)
Lema 1.4.3. As normas · e ·
H
1
(0,1)
s˜ao equivalentes.
Demonstra¸c˜ao:
´
E imediato que:
u ≤ u
H
1
(0,1)
.
Por outro lado, tem-se que para todo u ∈ V :
u(x) =
x
0
du
ds
ds.
Logo,
|u(x)| ≤
1
0
|
du
dx
| dx
≤
1
0
|
du
dx
|
2
dx
.
1/2
Ou seja, |u(x)|
2
≤ u, integrando de 0 a 1, segue que:
1
0
|u|
2
dx ≤ u.
Da´ı, segue facilmente que:
u
H
1
(0,1)
≤ 2u, ∀ u ∈ V.
CAP
´
ITULO 1. PRELIMINARES 23
Desta forma:
1
2
u
H
1
(0,1)
≤ u ≤ u
H
1
(0,1)
.
Do lema acima decorre que V ´e um espa¸co de Hilbert com a norma definida em (1 .5).
Cap´ıtulo 2
Existˆencia e unicidade
Neste cap´ıtulo ser´a enunciado e demonstrado o teorema relativo `a existˆencia e `a unicidade
da solu¸c˜ao do seguinte sistema.
u
tt
− µ(t)u
xx
= 0 em (0, 1) × (0, ∞) (2.1)
u(0, t) = 0, u(1, t) +
t
0
g(t − s)µ(s)u
x
(1, s)ds = 0, ∀t > 0 (2.2)
u(x, 0) = u
0
(x), u
t
(x, 0) = u
1
(x) em (0, 1) (2.3)
2.1 Teorema Principal
Sejam g a fun¸c˜ao relaxament, k o n´ucleo resolvente satisfazendo:
0 < k(t) ≤ b
0
e
−γ
0
t
,
−b
1
k(t) ≤ k
(t) ≤ −b
2
k(t), (2.4)
−b
3
k
(t) ≤ k

(t) ≤ −b
4
k
(t),
para algumas constantes positivas b
i
, i = 0, 1, . . . , 4, e γ
0
. Para o caso em que o n´ucleo
resolvente decai polinomialmente a demonstra¸c˜ao do teorema ´e feito de maneira an´aloga.
Derivando a equa¸c˜ao (2.2), em rela¸c˜ao ao tempo, tem-se:
µ(t)u
x
(1, t) = −
1
g(0)
u
t
(1, t) −
1
g(0)
t
0
g
(t − s)µ(s)u
x
(1, s) ds,
usando o operador inverso de Volterra, obtem-se:
µ(t)u
x
(1, t) = −
1
g(0)
{u
t
(1, t) + k ∗ u
t
(1, t)}.
Note que
k ∗ u
t
(1, t) =
t
0
k(t − s)u
t
(1, s)ds,
24
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 25
= k(t − s)u(1, s)
t
0
−
t
0
k
(t − s)u(1, s)ds
= k(0)u(1, t) − k(t)u
0
(1) +
t
0
k
(t − s)u(1, s)ds
fazendo τ =
1
g(0)
e, usando a identidade acima, obtemos:
µ(t)u
x
(1, t) = −τ{u
t
(1, t) + k(0)u(1, t) − k(t)u
0
(1) + k
∗ u(1, t)}. (2.5)
Reciprocamente, tomando u
0
(1) = 0, segue que a identidade acima implica em (2.2).
Como estamos interessados nas fun¸c˜oes relaxamento do tipo exponencial ou polinomial, e
a identidade (2.5) envolve o n´ucleo resolutivo, seria interessante saber se o n´ucleo k, tem
a mesma propriedade. Essa quest˜ao ´e respondida como demonstra¸c˜ao do lema abaixo.
Sejam h uma fun¸c˜ao relaxamento e k seu n´ucleo resolvente tal que
k(t) − k ∗ h(t) = h(t) (2.6)
Lema 2.1.1. Se h ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua e positiva, ent˜ao k tamb´em ´e uma fun¸c˜ao
cont´ınua e positiva. Al´em disso,
1 Se existem constantes positivas c
0
e γ, com c
0
< γ, tal que
h(t) ≤ c
0
e
−γt
,
ent˜ao, a fun¸c˜ao k satisfaz
k(t) ≤
c
0
(γ − )
γ − − c
0
e
−t
,
para todo 0 < < γ −c
0
.
2 Se p > 1 c
p
= sup
t∈R
+
t
0
(1 + t)
p
(1 + t − s)
−p
(1 + s)
−p
ds e existe c
0
com c
0
c
p
< 1,
satisfazendo
h(t) ≤ c
0
(1 + t)
−p
,
ent˜ao a fun¸c˜ao k satisfaz
k(t) ≤
c
0
1 − c
0
c
p
(1 + t)
−p
.
Demonstra¸c˜ao: A cont´ınuidade de da fun¸c˜ao k segue imediato da identidade (2.6).
Suponha que k n˜ao seja estritamente positiva, ou seja, existe pelo ao menos um t
0
∈ [0, ∞)
tal que k(t) ≤ 0. Fazendo t = 0 na equa¸c˜ao (2.6), tem-se que:
k(0) = h(0) > 0.
Devido a continuidade de k, existe um intervalo I = (0, δ) de modo que k(t) > 0 ∀t ∈ (0, δ).
Assim, existe
t
1
= inf{t ∈ R
+
; k(t) = 0}
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 26
com k(t) > 0 para todo t ∈ [0, t
1
]. Se t
0
∈ R
+
, pela equa¸c˜ao (2.6) tem-se:
−k ∗ h(t
0
) = h(t
0
),
isto ´e contradit´orio, visto que h(t
1
) > 0. Portanto, k(t) > 0 para todo t ∈ R
+
.
Seja uma constante fixa, tal que 0 < < γ − c
0
e defina-se:
k
(t) = e
t
k(t) e h
(t) = e
t
h(t). (2.7)
Mltiplicando (2.6) por e
t
, obtem-se:
k
(t) = h
(t) + e
t
(k ∗ h(t)). (2.8)
Multiplicando (2.7) por e
t
, obtem-se:
h
(t) ≤ c
0
e
t(−γ)
. (2.9)
De (2.8) e (2.9):
k
(t) ≤ h
(t) +
t
0
k
(t − s)c
0
e
s(−γ)
ds. (2.10)
Tomando o sup se (2.10) com s ∈ [0, t]:
sup
s∈[0,t]
k
(t) ≤ sup
s∈[0,t]
h
(s) +
∞
0
c
0
e
s(−γ)
ds sup
s∈[0,t]
k
(s). (2.11)
Note que,
∞
0
c
0
e
s(−γ)
ds = lim
λ→∞
λ
0
c
0
e
αs
ds
= c
0
lim
λ→∞
(
e
(−γ)λ
− γ
−
1
− γ
)
=
c
0
γ −
(2.12)
Da´ı, substituindo (2.12) em (2.11), obtem-se:
sup
s∈[0,t]
k
(s) ≤ sup
s∈[0,t]
h
(s) +
c
0
γ −
sup
s∈[0,t]
k
(s),
ou seja,
sup
s∈[0,t]
k
(s)
(γ − − c
0
)
γ −
≤ sup
s∈[0,t]
h
(s). (2.13)
Substituindo (2.9) em (2.13):
sup
s∈[0,t]
k
(s) ≤
c
0
(γ − )
γ − − c
0
e
t(−γ)
.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 27
Portanto,
k
≤
c
0
(γ − )
γ − − c
0
e
t(−γ)
.
Para demonstrar a outra parte, sejam:
k
p
(t) = (1 + t)
p
k(t) e h
p
(t) = (1 + t)
p
h(t).
Multiplicando a equa¸c˜ao (2.6) por (1 + t)
p
, obtem-se:
k
p
(t) = h
p
(t) +
t
0
k(t − s)h(s)ds(1 + t)
p
,
ou seja,
k
p
(t) = h
p
(t) +
t
0
k
p
(t − s)(1 + t − s)
−p
(1 + t)
p
(1 − s)
−p
h
p
(s)ds, (2.14)
pois,
k(t − s) = (1 + t − s)
−p
k
p
(t) e h(s) = (1 + s)
−p
h
p
(s).
Multiplicando, h(t) ≤ c
0
(1 + t)
−p
por (1 + t)
p
:
h
p
(t) ≤ c
0
. (2.15)
Assim, tomando o sup de (2.14), com s ∈ [0, t],:
sup
s∈[0,t]
k
p
(s) ≤ sup
s∈[0,t]
h
p
(s) + sup
s∈[0,t]
k
p
(s) sup
s∈[0,t]
h
p
(s)
t
0
(1 + t − s)
−p
(1 + t)
p
(1 − s)
−p
ds.
Devido a condi¸c˜ao para c
0
, obtemo-se:
sup
s∈[0,t]
k
p
(s) ≤ sup
s∈[0,t]
h
p
(s) + c
0
c
p
sup
s∈[0,t]
k
p
(s),
isto ´e,
sup
s∈[0,t]
k
p
(s)(1 − c
0
c
p
) ≤ sup
s∈[0,t]
h
p
(s). (2.16)
Substituindo (2.15) e (2,16):
sup
s∈[0,t]
k
p
(s) ≤
c
0
1 − c
0
c
p
.
Portanto,
k
p
(t) ≤
c
0
1 − c
0
c
p
.
A seguir ser´a enunciado o principal teorema desse cap´ıtulo
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 28
Teorema 2.1.1. Seja (u
0
, u
1
) ∈ V ×L
2
(0, 1), . Ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao de (2.1) −
(2.3) satisfazendo
u ∈ C([0, T ]; V ) ∩ C
1
([0, T ]; L
2
(0, 1)).
Al´em disso, se (u
0
, u
1
) ∈ H
2
(0, 1) ∩ V × V satisfazendo a condi¸c˜ao de compatibilidade
µ(0)u
0,x
(1) = −τu
1
(1), (2.17)
ent˜ao, u ∈ C([0, T ]; H
2
(0, 1) ∩ V ) ∩ C
1
([0, T ]; V ).
Demonstra¸c˜ao:
Entende-se por solu¸c˜ao fraca do sistema (2.1)−(2.3), uma fun¸c˜ao u : [0, 1]×[0, T ] −→ R
com T > 0 satisfazendo:
u ∈ C([0, T ]; V ),
du
dt
∈ C([0, T ]; L
2
(0, 1)),
d
dt
(
du
dt
, v) + µ(t)((u, v)) + τ {u
t
(1, t) + k(0)u(1, t) − k(t)u
0
(1) + k ∗ u(1, t)}v(1) = 0,
para toda v ∈ V, a igualdade tomada no sentido de D
(0, T ).
u(0) = u
0
(x),
d
dt
u(0) = u
1
(x).
A demonstra¸c˜ao ´e baseada no m´etodo de aproxima¸c˜ao de Faedo-Galerkin. Seja inicial-
mente (u
0
, u
1
) ∈ H
2
(0, 1) ∩ V × V e satisfazendo (2.17) o resultado segue usando-se
argumento de densidade.
Existˆencia
Seja {w
i
}
i∈N
uma base de V ∩H
2
(0, 1) que ´e ortonormal em V. Seja V
m
o subespa¸co gerado
pelos m primeiros vetores dessa base:
V
m
= [w
1
, w
2
, . . . , w
m
]
Procuram-se fun¸c˜oes u
m
(t) ∈ V
m
, tais que:
u
m
(t) =
m
i=1
h
im
(t)w
j
.
O problema aproximado ´e dado por:
(u
m
tt
, v) + µ(t)((u
m
, v)) = −τ{u
m
t
(1, t) + k(0)u
m
(1, t) − k(t)u
m
0
(1)+
k ∗ u
m
(1, t)}v(1)
u
m
0
=
m
i=1
α
i0
w
i
, u
m
1
=
m
i=1
β
i0
w
i
.
(2.18)
sendo, u
0
=
∞
i=1
α
i0
w
i
e u
1
=
∞
i=1
β
i0
w
i
, ou seja,
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 29
u
m
0
−→ u
0
, forte em V ∩ H
2
(0, 1), u
m
1
−→ u
1
, forte em V.
Substituindo a express˜ao u
m
(t) em (2.18), obtem-se:
(
m
i=1
h

im
(t)w
i
, v) + µ(t)(
m
i=1
h
im
(t)w
i,x
, v
x
) = −τ{
m
i=1
h
im
(t)w
i
(1) + k(0)
m
i=1
h
im
(t)w
i
(1)
−k(t)
m
i=1
h
im
(0)w
i
(1) + k
∗
m
i=1
h
im
(t)w
i
(1)}v(1).
h
im
(0) = α
i0
, h
im
(0) = β
i0
Como a igualdade ´e v´alida para todo v ∈ V
m
, tomando v = w
i
e somando em j de 1 a
m resulta no seguinte sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias:
IH

(t) + µ(t)AH(t) = −τBH
(t) − τ k(0)BH(t) + τk(t)BH(0) − τ B(k ∗ H)(t),
H(0) = H
0
,
H
(0) = H
1
,
sendo:
A = ((w
i
, w
j
))
m×m
, B = (w
i
(1)w
j
(1))
m×m
, H(t) = [h
im
(t)]
m×1
H
0
= [α
i0
]
m×1
e
H
1
= [β
i0
]
m×1
.
Introduzindo uma nova nota¸c˜ao matricial, o sistema acima, torna-se:
Y
= F (t, Y )
Y (0) = Y
0
sendo:
F (t, Y ) =
0 I
µ(t)A − τ k(0) 0
H
H
+
0 0
−τB 0
k ∗ H
k ∗ H
+
0 0
τk(t)B 0
H(0)
H
(0)
O sistema acima est´a nas condi¸c˜oes do teorema de Cauchy-Peano, pois F ´e cont´ınua.
Portanto, existe uma solu¸c˜ao local em um intervalo [0 , t
m
).
Estimativa a priori I - De (2.18), tem-se que:
(u
m
tt
, w
i
) + µ(t)(u
m
x
(t), w
i,x
) = −τ{u
m
t
(1, t) + k(0)u
m
(1, t) − k(t)u
m
0
(1)
+k
∗ u
m
(1, t)}w
i
(1).
Multiplicando a igualdade acima por h
im
(t) e somando em j, de 1 a m, tem-se:
(u
m
tt
, u
m
t
(t)) + µ(t)(u
m
x
(t), u
m
x,t
) = −τ{u
m
t
(1, t) + k(0)u
m
(1, t) − k(t)u
m
0
(1)
+k
∗ u
m
(1, t)}u
m
(1, t).
Segue-se que:
1
2
d
dt
1
0
|u
m
t
|
2
+ µ(t)
1
2
d
dt
1
0
|u
m
x
|
2
= −τ {|u
m
t
(1, t)|
2
+ k(0)
1
2
d
dt
|u
m
(1, t)|
2
−k(t)u
m
0
(1)u
m
t
(1, t) + k
∗ u
m
(1, t)u
m
t
(1, t)}.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 30
Usando o lema 1.4.1 e somando o termo:
1
2
µ
(t)
1
0
|u
x
|
2
dx,
a igualdade acima resulta na seguinte desigualdade:
1
2
d
dt
{|u
m
t
|
2
L
2
+ µ(t)u
m
2
+ τ (k(t)|u
m
(1, t)|
2
− k
✷u
m
(1, t))} ≤ −τ{|u
m
t
(1, t)|
2
+
+
1
2
k

✷u
m
(1, t) − k(t)u
m
0
(1)u
m
t
(1, t).
Lembrando da desigualdade fundamental 2ab ≤ a
2
+ b
2
, tem-se que:
k(t)u
m
0
(1)u
m
t
(1, t) ≤
1
2
k
2
(t)|u
m
0
(1)|
2
+
1
2
|u
m
t
(1, t)|
2
,
o que implica que:
1
2
d
dt
{|u
m
t
|
2
L
2
+ µ(t)u
m
2
+ τ (k(t)|u
m
(1, t)|
2
− k
✷u
m
(1, t))} ≤ −
τ
2
{|u
m
t
(1, t)|
2
+
+
τ
2
k
2
(t)|u
m
0
(1)|
2
−
τ
2
k

✷u
m
(1, t).
Note que:
−
τ
2
k

✷u
m
(1, t) ≤ 0.
Desta forma:
d
dt
{|u
m
t
|
2
L
2
+ µ(t)u
m
2
+ τ (k(t)|u
m
(1, t)|
2
− k
✷u
m
(1, t))} + τ |u
m
t
(1, t)|
2
≤ τ k
2
(t)|u
m
0
(1)|
2
que integrando de 0 a t implica:
|u
m
t
|
2
L
2
+µ(t)u
m
2
+τ(k(t)|u
m
(1, t)|
2
−k
✷u
m
(1, t))+
t
0
τ|u
m
t
(1, t)|
2
≤
t
0
k
2
(t)|u
m
0
(1)|
2
.
+|u
m
1
|
2
+ µ(0)u
m
0
2
+ τ k(0)|u
m
0
(1)|
Como (u
m
0
) ´e convergente em H
2
(0, 1)∩V, segue-se que (u
m
0
) ´e limitada. De modo an´alogo
(u
m
1
) ´e limitada, pois, ´e convergente em V. Al´em disso, por (2.4)
1
, k(t) ´e limitada, o que
omplica que:
|u
m
t
|
2
+ µ(t)u
m
2
+ τ (k(t)|u
m
(1, t)|
2
− k
✷u
m
(1, t))} +
t
0
τ|u
m
t
(1, s)|
2
ds ≤ M,
sendo M uma constante indep endente de m. Desta forma, pelo teorema 1.1.7 ´e poss´ıvel
extender a solu¸c˜ao aproximada u
m
para um intervalo [0, T ], com T independente de m.
Logo:
(u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, T ; V ),
(u
m
t
) ´e limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1).
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 31
Estimativa a priori II - Aqui o objetivo ´e estimar o termo
1
0
|u
m
tt
|
2
. Para isso, ser´a esti-
mado inicialmente, o termo
1
0
|u
m
tt
(0)|. Por (2.18):
(u
m
tt
, v) + µ(t)((u
m
, v)) = −τ {u
m
t
(1, t) + k(0)u
m
(1, t) − k(t)u
m
0
(1) + k
∗ u
m
(1, t)}v(1),
∀ v ∈ V
m
.
Fazendo t → 0
+
e v = u
m
tt
(0) segue que
1
0
|u
m
tt
(0)|
2
− µ(0)
1
0
u
m
xx
(0)u
m
tt
(0) + µ(0)u
m
0,x
(1)u
m
tt
(1, 0) = {−τu
m
1
(1) − τ k(0)u
m
0
(1)
+τk(0)u
m
0
(1)}u
m
tt
(1, 0).
Por (2.17) :
1
0
|u
m
tt
(0)|
2
= µ(0)
1
0
u
m
xx
(0)u
m
tt
(0).
Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
1
0
|u
m
tt
(0)|
2
≤ µ(0)(
1
0
|u
m
xx
(0)|
2
)
1/2
(
1
0
|u
m
tt
(0)|
2
)
1/2
,
de onde segue a seguinte desigualdade:
(
1
0
|u
m
tt
(0)|
2
)
1/2
≤ µ(0)(
1
0
|u
m
xx
(0)|
2
)
1/2
.
Como u
m
0
(0) → u
0
fortemente em H
2
∩V, resulta que (
1
0
|u
m
xx
(0)|
2
)
1/2
´e limitada, ou seja,
|u
m
tt
(0)|
L
2
= (
1
0
|u
m
tt
(0)|
2
)
1/2
≤ M.
De (2.18), tem-se:
1
0
u
m
tt
w
i
+ µ(t)
1
0
u
m
x
w
i,x
= −τ {u
m
t
(1, t) + k ∗ u
m
t
(1, t)}w
i
(1).
Derivando a equa¸c˜ao acima em t, obtem-se:
1
0
u
m
ttt
w
i
+ µ
(t)
1
0
u
m
x
w
i,x
+ µ(t)
1
0
u
m
xt
w
i,x
= −τ {u
m
tt
(1, t) + k
∗ u
m
t
(1, t)
+k(0)u
t
(1, t)}w
i
(1).
Multiplicando, essa equa¸c˜ao por h

im
(t) e somando-se em j de 1 a m, obtem-se:
1
2
d
dt
{
1
0
|u
m
tt
|
2
+ µ(t)|u
m
xt
|
2
} = −τ{|u
m
tt
(1, t)|
2
+ k(0)
1
2
d
dt
|u
m
t
(1, t)|
2
+ k
∗ u
t
(1, t)u
m
tt
(1, t)}
+
1
2
1
0
µ
(t)|u
xt
|
2
− µ
(t)
1
0
u
m
x
u
m
xtt
.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 32
Usando o lema 1.4.1 :
d
dt
{
1
0
(|u
m
tt
|
2
+ µ(t)|u
m
xt
|
2
) + τ (k(t)|u
m
t
(1, t)|
2
− k
✷u
m
t
(1, t))} ≤ −2τ|u
m
tt
(1, t)|
2
−2µ
(t)
1
0
u
m
x
u
m
xtt
.
Para obter as estimativa desejadas, ´e preciso estimar o seguinte termo −µ
(t)
1
0
u
m
x
u
m
xtt
.
Do problema aproximado:
(u
m
tt
, v) + µ(t)(u
m
x
, v
x
) = −τ{u
m
t
(1, t) + k ∗ u
m
t
(1, t)}v(1).
Fazendo v = u
m
tt
, segue-se que:
−µ(t)
1
0
u
m
x
u
m
xtt
=
1
0
|u
m
tt
|
2
+ τ {u
m
t
(1, t) + k ∗ u
m
t
(1, t)}u
m
tt
(1, t)
.
Multiplicando a igualdade acima por
µ
µ
:
−µ
(t)
1
0
u
m
x
u
m
xtt
=
µ
µ
1
0
|u
m
tt
|
2
+ τ
µ
µ
{u
m
t
(1, t) + τ
µ
µ
k ∗ u
m
t
(1, t)}u
m
tt
(1, t).
Usando-se a desigualdade 2ab ≤ a
2
+ b
2
,segue-se que:
i) 2τ
µ
µ
u
m
t
(1, t)u
m
tt
≤ τ
|µ
|
2
|µ|
2
|u
m
t
(1, t)| + τ |u
m
tt
(1, t)|
2
ii) 2τ
µ
µ
k ∗ u
m
t
(1, t)u
m
tt
(1, t) ≤ τ
|µ
|
2
|µ|
2
|k ∗ u
m
t
(1, t)|
2
+ τ |u
m
tt
(1, t)|
2
.
Desta forma, segue de i) e ii) que:
d
dt
{
1
0
(|u
m
tt
|
2
+ µ(t)|u
m
xt
|
2
) + τ(k(t)|u
m
t
(1, t)|
2
− k
✷u
m
t
(1, t))} ≤ −2τ|u
m
tt
(1, t)|
2
+2τ|u
m
tt
(1, t)|
2
+ τ
|µ
|
2
µ
2
0
|k ∗ u
m
t
(1, t)|
2
+ τ
|µ
|
2
µ
2
0
|u
m
t
(1, t)|
2
+
|µ
|
2
µ
2
0
1
0
|u
m
tt
|
2
.
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz:
(|k ∗ u
m
t
(1, t)|)
2
≤ (
t
0
|k(s)|
2
ds)
1/2
(
t
0
|u
m
t
(1, s)|
2
ds)
1/2
.
Sendo k limitada e, devido `a estimativa a priori I, tem-se que
t
0
|u
m
t
(1, s)|
2
ds ´e limitada.
Sendo assim, tem-se:
|k ∗ u
m
t
(1, t)|
2
≤ C,
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 33
com C uma constante independente de m. Como µ
∈ L
∞
loc
(0, ∞; R) :
d
dt
{
1
0
(|u
m
tt
|
2
+ µ(t)|u
m
xt
|
2
) + τ (k(t)|u
m
t
(1, t)|
2
− k
✷u
m
t
(1, t))} ≤ c
1
+
1
0
c|u
m
tt
|
2
,
com c =
( sup
0≤t≤T
ess|µ
(t)|)
2
µ
2
0
. Integrando de 0 a t:
|u
m
tt
|
2
L
2
+ µ(t)u
m
t
2
+ τ (k(t)|u
m
t
(1, t)|
2
− k
✷u
m
t
(1, t)) ≤ c
1
+
t
0
c|u
m
tt
|
L
2
+ |u
m
tt
(0)|
2
L
2
+ µ(0)u
m
t
(0)
0
L
2
2
+ τ k(0)|u
m
t
(1)|
2
.
Por outro lado:
i)
1
0
|u
m
tt
(0)|
2
´e limitada,
ii) µ(0)
1
0
|u
m
xt
(0)|
2
´e limitada pois u
m
1
→ u
1
forte em V e µ ∈ L
∞
(0, T ; R),
iii) |u
m
1
(1)|
2
´e limitada devido a imers˜ao cont´ınua de H
1
(0, 1) em C([0, 1]).
Portanto, de i), ii) e iii) segue-se que:
|u
m
tt
|
2
L
2
+ µ(t)u
m
t
2
+ τ (k(t)|u
m
t
(1, t)|
2
− k
✷u
m
t
(1, t)) ≤ c
2
+
t
0
c|u
tt
|
2
dt.
Usando a desigualdade de Gronwall, segue-se que |u
m
tt
|
2
L
2
´e limitada. Das estimativas
acima, tem-se que:
(u
m
) limitada em L
∞
(0, T ; V ),
(u
m
t
) limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)),
(u
m
xt
) limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)),
(u
m
tt
) limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)),
(u
m
t
(1, t)) limitada em L
2
(0, T ).
(2.19)
De (2.19)
2
e (2.19)
3
segue-se que u
m
t
∈ L
∞
(0, T ; V ). Assim, devido `as estimativas (2.19)
1
,
(2.19)
2
e (2 .19)
4
e aos teoremas (1.1.3) e (1.1.4), conclu´ı-se que existe uma subsequˆencia,
que ser´a representa por (u
m
), satisfazendo:
u
m
∗
u em L
∞
(0, T ; V ),
u
m
t
∗
u
t
em L
∞
(0, T ; V ),
u
m
tt
∗
u
tt
em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)),
u
m
t
(1, t) χ em L
2
(0, T ).
(2.20)
Al´em disso, segue-se do lema 1.1.1, que u ∈ C(0, T ; V ) e u
t
∈ C(0, T ; L
2
(0, 1)).
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 34
Passagem ao limite
De (2.18):
(u
m
tt
, v) + µ(t)((u
m
, v)) + τ{u
m
t
(1, t) + k(0)u
m
(1, t) − k(t)u
m
0
(1) + k
∗ u
m
(1, t)}v(1) = 0,
∀v ∈ V
m
.
Multiplicando por θ ∈ D(0, T ) e integrando de 0 a T :
T
0
(u
m
tt
, v)θdt +
T
0
µ(t)((u
m
, v))θdt + τ
T
0
{u
m
t
(1, t) + k(0)u
m
(1, t) − k(t)u
m
0
(1)
+k
∗ u
m
(1, t)}v(1)}θdt = 0.
Assim, (2.20)
1
e (2.20)
3
:
T
0
((u
m
, v))θdt →
T
0
((u, v))θdt pois, vθ ∈ L
1
(0, T ; V
),
T
0
(u
m
tt
, v)θdt →
T
0
(u
tt
, v)θdt pois, vθ ∈ L
1
(0, T ; L
2
(0, 1)).
Como L
∞
(0, T ; V ) → L
2
(0, T ; V ). Segue-se que:
(u
m
) ´e limitada em L
2
(0, T, V ).
Usando o mesmo racioc´ınio conclu´ı-se que:
(u
m
t
) ´e limitada em L
2
(0, T, V ).
Logo, pelo lema de Aubin-Lions, vem que:
u
m
−→ u forte em L
2
(0, T ; V ),
ou seja,
lim
m→∞
T
0
|u
m
(x, t) − u(x, t)|
2
V
dt = 0.
Pela continuidade da imers˜ao de H
1
(0, 1) em C[0, 1], segue da igualdade acima que:
lim
m→∞
T
0
|u
m
(1, t) − u(1, t)|
2
dt = 0,
ou seja, u
m
(1, t) → u(1, t) forte em L
2
(0, T ). Assim, u(1, t) define uma distribui¸c˜ao em
D(0, T ) definida por:
< u(1, t), θ >=
T
0
u(1, t)θ(t)dt.
Deste modo, faz sentido falar em derivada no sentido distribucional. Decorre da´ı que:
<
d
dt
u
m
(1, t), θ > = − < u
m
(1, t),
d
dt
θ >
→ − < u(1, t),
d
dt
θ >
= <
d
dt
u(1, t), θ >,
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 35
ou seja, u
m
t
(1, t) → u
t
(1, t) em D
(0, T ). Por outro lado, u
m
t
(1, t) χ em L
2
(0, T ) impli-
cando que u
m
t
(1, t) → χ em D
(0, T ). Da unicidade do limite segue que:
χ = u
t
(1, t)
Desta forma, passando ao limite quando m tende ao infinito, conclui-se que:
T
0
{u
m
t
(1, t) + k(0)u
m
(1, t) − k(t)u
m
0
(1) + k
∗ u
m
(1, t)}v(1)}θdt −→
T
0
{u
t
(1, t) + k(0)u(1, t) − k(t)u
0
(1) + k
∗ u(1, t)}v(1) }θdt,
ou seja,
T
0
[(u
tt
, v)dt +µ(t)((u, v))dt +τ (u
t
(1, t)+k(0)u(1, t) −k(t)u
0
(1)+k
∗u(1, t))v(1)]θdt = 0,
(2.21)
∀v ∈ V
m
e θ ∈ D(0, T ). Como V
m
´e denso em V ∩ H
2
(0, 1), a igualdade acima ´e v´alida
∀v ∈ V ∩ H
2
(0, 1).
Considerando v ∈ D(0, 1) ⊂ V ∩ H
2
(0, 1), resulta que:
T
0
1
0
u
tt
vθdxdt +
T
0
1
0
µ(t)u
x
v
x
θdxdt = 0,
seguindo-se que:
Q
[u
tt
− µ(t)u
xx
]vθdxdt = 0 ∀ v ∈ D(0, 1), θ ∈ D(0, T ),
sendo Q = (0, 1) ×(0, T ). Como o conjunto das combina¸c˜oes lineares vθ ´e total em D(Q).
Segue-se que a igualdade acima ´e v´alida ∀ψ ∈ D(Q), ou seja.
Q
[u
tt
− µ(t)u
xx
]ψdx = 0, ∀ψ ∈ D( Q).
Em termos de distribui¸c˜oes, conclui-se que:
< u
tt
− µ(t)u
xx
, ψ >= 0, ∀ψ ∈ D(Q).
Como u
tt
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)), segue-se que u
xx
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)). Desta forma:
u
tt
− µ(t)u
xx
= 0 em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)).
(2.22)
Multiplicando (2.22) por vθ, com v ∈ V ∩ H
2
(0, 1) e θ ∈ D(0, T ) e, integrando em Q,
resulta que:
T
0
(u
tt
, v)θdt +
T
0
µ(t)((u, v))θdt −
T
0
µ(t)u
x
(1, t)v(1)θdt = 0, (2.23)
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 36
comparando (2.21) e (2.23), obtem-se que:
T
0
{[µ(t)u
x
(1, t) + τ (u
t
(1, t) + k ∗ u
t
(1, t))]v(1)}θdt = 0,
∀θ ∈ D(0, T ). Pelo lema de DuBois-Reymond( ver [3] p´ag 60) segue-se que:
{µ(t)u
x
(1, t) + τ [u
t
(1, t) + k ∗ u
t
(1, t)]}v(1) = 0, ∀v ∈ V ∩ H
2
(0, 1).
Tomando v(x) = x temos:
µ(t)u
x
(1, t) = −τ{u
t
(1, t) + k ∗ u
t
(1, t)}.
usando-se o operador inverso de Volterra, conclui-se que:
u(1, t) +
t
0
g(t − s)µ(s)u
x
(1, s)ds = 0 ∀t ∈ (0, T ).
Regularidade da solu¸c˜ao
Da equa¸c˜ao (2.22):
µ(t)u
xx
= u
tt
.
Como u
tt
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)), segue-se que µ(t)u
xx
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)), ou seja, u
xx
∈
L
2
(0, 1) ∀t ∈ (0, T ). Assim:
u ∈ C(0, T ; V ∩ H
2
(0, 1)).
Sendo u
t
∈ C(0, T ; L
2
(0, 1)) e de (2.19)
3
:
u
m
xt
∗
u
xt
em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)).
Assim:
u
t
∈ C(0, T ; V ),
concluindo-se, portanto, que:
u ∈ C(0, T ; V ∩ H
2
(0, 1)) ∩ C
1
(0, T ; V ).
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 37
Condi¸c˜oes iniciais
Aqui, ser´a mostrado que:
u(0) = u
0
.
Note que pelo fato de u ∈ C(0, T ; V ∩ H
2
(0, 1)) faz sentido calcular u(0).
De (2.20)
2
tem-se que, para v ∈ V e θ ∈ C(0, T ; R) com θ(T ) = 0 e θ(0) = 1:
T
0
(u
m
t
, v)θdt →
T
0
(u
t
, v)θdt,
ou seja,
lim
m→∞
T
0
(u
m
t
, v)θdt −
T
0
(u
t
, v)θdt
= 0.
Integrando-se por partes:
lim
m→∞
(u
m
(0), v) +
T
0
(u
m
, v)θ
dt − (u(0), v) −
T
0
(u, v)θ
dt
= 0,
de onde:
lim
m→∞
|(u
m
0
, v) − (u(0), v)| − |
T
0
(u
m
, v)θ
dt −
T
0
(u, v)θ
dt|
= 0.
Usando (2.20)
1
, segue-se:
(u
m
0
, v) → (u(0), v).
Como u
m
0
converge forte para u
0
em V ∩ H
2
(0, 1), tamb´em converge forte em V. Conse-
quentemente, converge fraco em V. Desta forma,
(u
m
0
, v) → (u
0
, v).
Da unicidade dos limites segue que:
(u(0), v) = (u
0
, v) ∀ v ∈ V,
e, portanto:
u(0) = u
0
.
Agora, ser´a mostrado que:
u
t
(0) = u
1
.
De (2.20)
3
tem-se que, ∀v ∈ L
2
(0, 1) e θ ∈ C(0, T ; R) com θ(T ) = 0 e θ(0) = 1:
T
0
(u
m
tt
, v)θdt →
T
0
(u
tt
, v)θdt.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 38
Integrando por partes, e notando que u
t
∈ C(0, T ; V ):
−(u
m
t
(0), v) −
T
0
(u
m
t
, v)θ
dt −→ −(u
t
(0), v) −
T
0
(u
t
, v)θ
dt. (2.24)
De (2.20)
2
e usando o mesmo racioc´ınio anterior, conclui-se que
(u
m
t
(0), v) → (u
t
(0), v), ∀v ∈ L
2
(0, 1).
Como u
m
t
(0) converge forte para u
1
em V , tamb´em converge forte em L
2
(0, 1). Conse-
quentemente, converge fraco em L
2
(0, 1). Desta forma:
(u
m
t
(0), v) → (u
1
, v) ∀ v ∈ L
2
(0, 1).
Da unicidade dos limites segue que
(u
t
(0), v) = (u
1
, v). ∀ v ∈ L
2
(0, 1),
e portanto:
u
t
(0) = u
1
.
Unicidade
Sejam u, v ∈ C(0, T ; V ∩H
2
(0, 1)) solu¸c˜oes de (2.1)−(2.3). Desta forma a fun¸c˜ao w = u−v
´e solu¸c˜ao da seguinte sistema:
w
tt
− µ(t)w
xx
= 0 em (0, 1) × (0, ∞),
w(0, t) = 0, w(1, t) +
t
0
g(t − s )µ(s)w
x
(1, s)ds = 0, ∀t > 0,
w(x, 0) = 0, w
t
(x, 0) = 0 em (0, 1).
Multiplicando a primeira equa¸c˜ao por w
t
, integrando em (0 , 1) e usando o lema 1.4.1
segue-se a seguinte desigualdade:
1
0
(|w
t
|
2
+ µ(t)|w
x
|
2
)dx + τ (k(t)|w(1, t)|
2
− k
✷w(1, t)) ≤
1
0
(|w
t
(0)|
2
− µ(0)|w
x
(0)|
2
+ τk(0)|w
0
(1)|
2
.
Usando-se as condi¸c˜oes iniciais do problema, segue-se que:
|w
t
|
2
L
2
+ µ(t)|w
x
|
2
L
2
+ τ (k(t)|w(1, t)|
2
− k
✷w(1, t)) = 0 ∀t ∈ [0, T ],
ou seja, |w|
L
2
= 0. Portanto w = 0, e, portanto:
u = v.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 39
Dependˆencia cont´ınua
Sejam u
0
, u
1
e v
0
, v
1
satisfazendo (u
i
, v
i
) ∈ [H
2
(0, 1)∩]V × V, com i = 0, 1. Sejam, agora,
u e v solu¸c˜oes do sistema associado aos dados iniciais u
0
, u
1
e v
0
, v
1
, respectivamente.
Considere w = u − v, ent˜ao, devido a linearidade do sistema (2 .1) − (2.3), a fun¸c˜ao w
satisfaz:
w
tt
− µ(t)w
xx
= 0 em (0, 1) × (0, ∞)
w(0, t) = 0, w(1, t ) +
t
0
g(t − s)µ(s)w
x
(1, s)ds = 0, ∀t > 0
w
0
(x) = w(x, 0) = u
0
− v
0
, w
1
(x) = w
t
(x, 0) = u
1
− v
1
em (0, 1)
Admitindo-se que w(x, 0) < e |w
t
(x, 0)|
L
2
< . Multiplicando-se a primeira equa¸c˜ao
por w
t
e integrando em (0, 1) e, usando o Lema 1.4.1, conclui-se que:
d
dt
{|w
t
|
2
L
2
+ µ(t)w + τ [k(t)w(1, t) − k
✷w(1, t)]} ≤ τk
2
(t)|w
0
(1)|
2
. (2.25)
Sendo k limitada e |w
0
(1)| = |w(1, 0)| ≤ w
0
< obtem-se que:
d
dt
{|w
t
|
2
L
2
+ µ(t)w + τ [k(t)w(1, t) − k
✷w(1, t)]} ≤ M
2
,
que integrada de 0 a t:
|w
t
|
2
L
2
+µ(t)w+τ[k(t)w(1, t)−k
✷w(1, t)] ≤
t
0
M
2
+|w
t
(0)|
2
L
2
+µ(0)w(0)+τk(0)|w
0
(1)|
2
.
Portanto:
|w
t
|
2
L
2
+ µ(t)w + τ [k(t)w(1, t) − k
✷w(1, t)] ≤
t
0
M
2
+
2
+ µ(0) + τ C
2
. (2.26)
Seguindo-se que
w ≤ M, ∀t ∈ [0, T ].
Logo:
|u(x, t) − v(x, t)| ≤ M,
O que mostra a dependˆencia cont´ınua.
Analisando de modo mais rigoroso (2.25) e (2.26) conclu´ımos qua a solu¸c˜ao dependende
continuamente, n˜ao somente dos dados iniciais, mas tamb´em dos parˆametros µ(t) e k(t).
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 40
Solu¸c˜ao Fraca
Para a obten¸c˜ao da existˆencia de solu¸c˜ao fraca, usa-se o argumento de densidade. Para
isso, considere-se o sistema (2.1)−(2.3) com os dados iniciais (u
0
, u
1
) ∈ V ×L
2
(0, 1). Sendo
V ∩ H
2
(0, 1) denso em V e, V denso em L
2
(0, 1) segue-se assim que existem (u
m
0
, u
m
1
) ∈
V ∩ H
2
(0, 1) × V satisfazendo:
u
m
0
−→ u
0
forte em V,
u
m
1
−→ u
1
forte em L
2
(0, 1).
Pelo teorema anterior, para cada m existe uma ´unica solu¸c˜ao
u
m
∈ C(0, T ; V ∩ H
2
(0, 1)) ∩ C
1
(0, T ; V ) satisfazendo
u
m
tt
− µ(t)u
m
xx
= 0,
u
m
(0, t) = 0, u
m
(1, t) +
t
0
g(t − s )µ(s)u
x
(1, s)ds = 0,
u
m
(x, 0) = u
m
0
, u
m
t
(x, 0) = u
m
1
(x, 0).
Multiplicando a primeira equa¸c˜ao por u
m
t
e integrando em (0,1), obtem-se:
1
2
d
dt
{
1
0
|u
m
t
|
2
+ µ(t)
1
0
|u
m
x
|
2
} = µ(t)u
m
x
(1, t)u
m
t
(1, t) +
1
2
µ
(t)
1
0
|u
m
x
|
2
.
Usando-se (2.5):
1
2
d
dt
{
1
0
|u
m
t
|
2
+ µ(t)
1
0
|u
m
x
|
2
} = −τ{|u
m
t
(1, t)|
2
+
1
2
k(0)
d
dt
|u
m
(1, t)| − k(t)u
m
0
(1)u
t
(1, t)
+k
∗ u
m
(1, t)u
m
t
(1, t)} +
1
2
µ
(t)
1
0
|u
m
x
|
2
.
Pelo lema 1.4.1 a igualdade acima resulta em:
d
dt
{
1
0
|u
m
t
|
2
+ µ(t)
1
0
|u
m
x
|
2
+ τ (k(t)|u
m
(1, t)|
2
− k
✷u
m
(1, t))} ≤ −τ|u
m
t
(1, t)|
2
+τk
2
(t)|u
m
0
(1)|
2
+ τ k
(t)|u
m
(1, t)|
2
− τ k

✷u
m
(1, t).
Segue-se que:
d
dt
{
1
0
[|u
m
t
|
2
+ µ(t)|u
m
x
|
2
]dx + τ (k(t)|u
m
(1, t)|
2
− k
✷u
m
(1, t))} + τ |u
m
t
(1, t)|
2
≤ τ k
2
(t)|u
m
0
(1)|
2
.
Integrando de 0 a t e usando os seguintes fatos.
i) |u
m
t
(0)|
L
2
´e limitada, pois, u
m
1
→ u
1
forte em L
2
(0, 1).
ii) |u
m
x
(0)|
L
2
´e limitada, pois, u
m
0
→ u
0
forte em V.
iii) |u
m
(1)| ´e limitada.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 41
Conclu´ı-se que:
1
0
|u
m
t
|
2
+ µ(t)
1
0
|u
m
x
|
2
+ τ (k(t)|u
m
(1, t)|
2
− k
✷u
m
(1, t)) + τ
t
0
|u
m
t
(1, t)|
2
≤ M,
sendo M independente de m. Portanto:
(u
m
) ´e limitada em L
∞
(0, T ; V ),
(u
m
t
) ´e limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)),
(u
m
t
(1, t)) ´e limitada em L
2
(0, T ).
Desta forma, existe uma subsequˆencia de u
m
, que ser´a denotada por u
m
, de modo que:
u
m
∗
u em L
∞
(0, T ; V ),
u
m
t
∗
u
t
em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)),
u
m
t
(1, t) χ em L
2
(0, T ).
(2.27)
Sendo χ um elemento de L
2
(0, T ). Como
µ(t)u
m
x
(1, t) = −τ{u
m
t
(1, t) + k ∗ u
m
t
(1, t)},
segue-se que
u
m
x
(1, t) ´e limitada em L
2
(0, T ).
Logo, existe uma subsequˆencia de u
m
x
(1, t), denotanda por u
m
x
(1, t) satisfazendo:
u
m
x
(1, t) α em L
2
(0, T ), (2.28)
sendo α um elemento de L
2
(0, T ).Portanto:
µ(t)α + τ {χ + k ∗ χ} = 0.
De fato, sendo:
µ(t)u
m
x
(1, t) = −τ{u
m
t
(1, t) + k ∗ u
m
t
(1, t)},
multiplicando-se por v ∈ L
2
(0, T ) e integrando-se de 0 a T, conclui-se que:
T
0
µ(t)u
m
x
(1, t)vdt = −τ
T
0
{u
m
t
(1, t) + k ∗ u
m
t
(1, t)}vdt = 0.
Fazendo m → ∞ e usando as convergˆencias (2.27)
3
− (2.28) segue-se que:
T
0
{µ(t)α + τ [χ + k ∗ χ]}vdt = 0,
∀v ∈ L
2
(0, T ). Passando-se ao espa¸co D(0, T ) :
T
0
{µ(t)α + τ [χ + k ∗ χ]}θdt = 0 ∀ θ ∈ D(0, T ).
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 42
Do lema de DuBois-Reymond segue-se que:
µ(t)α + τ {χ + k ∗ χ} = 0.
Assim, ver refer encia [9], segue-se que:
α = u
x
(1, t).
Aqui ser´a mostrado que: u
t
(1, t) = χ. Note que:
u
m
L
∞
(0,T ;V )
≤ M.
Portanto:
|u
m
(1, t)| ≤ M.
Segue-se que (u
m
(1, t)) ∈ L
1
(0, T ). Pelas convergˆencias (2.27)
1
, (2.27)
2
e do teorema de
Aubin-Lions, tem-se que:
u
m
→ u forte em L
2
(0, T, L
2
(0, 1)) ≡ L
2
(Q).
Assim, existe uma subsequˆencia de (u
m
), representada por (u
m
), satisfazendo:
u
m
→ u q.s em [0, 1] × [0, T ].
Portanto:
u
m
(1, t) → u(1, t) q.s em (0, T ).
Desta forma:
i) (u
m
(1, t)) ∈ L
1
(0, T ),
ii) u
m
(1, t) → u(1, t) q.s em (0, T ).,
iii) |u
m
(1, t)| ≤ M.
Logo, pelo teorema da convergˆencia Dominada de Lebesgue segue-se que:
u
m
(1, t) → u(1, t) forte em L
1
(0, T ),
que implica em:
T
0
u
m
(1, t)θdt →
T
0
u(1, t)θdt ∀θ ∈ D(0, T )
Assim como no caso da solu¸c˜ao forte: u
m
t
(1, t) → u
t
(1, t) em D
(0, T ). Da unicidade do
limite segue-se que:
u
t
(1, t) = χ.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 43
Passagem ao limite
Sabe-se de (2.21) que:
T
0
(u
m
tt
, v)θdt +
T
0
µ(t)((u
m
, v))θdt + τ
T
0
{u
m
t
(1, t) + k(0)u
m
(1, t) − k(t)u
m
0
(1)
+k
∗ u
m
(1, t)}v(1)}θdt = 0,
∀θ ∈ D(0, T ) e v ∈ V ∩H
2
(0, 1). Usando o fato de que V ∩H
2
(0, 1) ´e denso em V segue-se
que a igualdade acima ´e v´alida ∀v ∈ V. Integrando por partes a primeira integral:
−
T
0
(u
m
t
, v)θ
dt +
T
0
µ(t)((u
m
, v))θdt + τ
T
0
{u
m
t
(1, t) + k(0)u
m
(1, t) − k(t)u
m
0
(1)
+k
∗ u
m
(1, t)}v(1)}θdt = 0.
Fazendo m → ∞ e analisando as convergˆencia acima segue-se que:
−
T
0
(u
t
, v)θ
dt +
T
0
µ(t)((u, v))θdt + τ
T
0
{u
t
(1, t) + k(0)u(1, t) − k(t)u
0
(1)
+k
∗ u(1, t)}v(1)θdt = 0,
∀θ ∈ D(0, T ) e v ∈ V. De forma mais compacta:
−
T
0
(u
t
, v)θ
dt +
T
0
µ(t)((u, v))θdt + τ
T
0
{u
t
(1, t) + k ∗ u
t
(1, t)}v(1)θdt = 0.
Passando ao espa¸co das distribui¸c˜oes, obtem-se que:
d
dt
(
du
dt
, v) + µ(t)((u, v)) + τ {u
t
(1, t) + k(0)u(1, t) − k(t)u
0
(1) + k ∗ u(1, t)}v(1) = 0,
∀v ∈ V.
De forma mais compacta
d
dt
(
du
dt
, v) + µ(t)((u, v)) + τ {u
t
(1, t) + k ∗ u
t
(1, t)}v(1) = 0, ∀v ∈ V (2.29)
Considerando v ∈ H
1
0
(0, 1), a igualdade acima resulta em:
u
tt
− µ(t)u
xx
= 0 em L
2
(0, T ; H
−1
(0, 1)).
Mostra-se que:
u
tt
− µ(t)u
xx
= 0 em L
2
(0, T ; V
),
sendo V
o espa¸co dual de V. Com efeito, ∀v ∈ V :
< −µ(t)u
xx
, v >= ((µ(t)u
x
, v)) + µ(t)u
x
(1, t)v(1).
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 44
Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, e usando a imers˜ao cont´ınua de H
1
(0, 1)
em C[0, 1], segue-se que:
< −µ(t)u
xx
, v > ≤ µ(t)u v + µ(t)cu v.
sendo c a constante da imers˜ao cont´ınua. Isto implica que:
|(µ(t)u
xx
, v)| ≤ k
u
v,
com
k
u
= µ(t)u + cu,
ou seja, −µ(t)u
xx
∈ L
2
(0, T ; V
).
Da´ı, segue-se que:
−
T
0
(u
t
, v)θ
dt +
T
0
< −µ(t)u
xx
, v > θ dt = 0,
∀v ∈ V e θ ∈ D(0, T ). Desta forma:
u
tt
− µ(t)u
xx
= 0 em L
2
(0, T ; V
).
Multiplicando a igualdade acima por, vθ, sendo v ∈ V, θ ∈ D(0, 1), e integrando sobre
(0, T ), tem-se:
T
0
< u
tt
, vθ > −
T
0
< µ(t)u
xx
, vθ >= 0,
ou seja,
−
T
0
(
du
dt
, v)θ
dt +
T
0
µ(t)((u, v))θ dt +
T
0
µ(t)u
x
(1, t)v(1)θ dt = 0,
∀v ∈ V, θ ∈ D(0, 1). Segue-se, portanto que:
d
dt
(
du
dt
, v) + µ(t)((u, v)) + µ(t)u
x
(1, t)v(1) = 0.
Igualando a igualdade acima com (2.29). Tem-se:
µ(t)u
x
(1, t) = −τ{u
t
(1, t) + k ∗ u
t
(1, t)}.
E, usando o operador inverso de Volterra, segue-se:
u(1, t) +
t
0
g(t − s)µ(s)u
x
(1, s) ds = 0.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 45
Regularidade da solu¸c˜ao
Seja (u
0
, u
1
) ∈ V ×L
2
(0, 1) os dados iniciais do problema (2.1) −(3). Vamos mostrar que
u ∈ C([0, T ]; V ) ∩ C
1
([0, T ]; L
2
(0, 1)).
De fato, para (u
0
, u
1
) ∈ V × L
2
(0, 1) existe (u
m
0
, u
m
1
) ∈ [V ∩ H
2
(0, 1)] × V, satisfazendo:
u
m
0
−→ u
0
forte em V ,
u
m
1
−→ u
1
forte em L
2
(0, 1).
Assim, para cada par (u
m
0
, u
m
1
) existe u
m
∈ C(0, T ; V )∩C
1
(0, T ; L
2
(0, 1)) solu¸c˜ao de (2.1).
Tomando u
0
∈ H
1
0
(0, 1), procede-se da seguinte forma: seja t ∈ [0, T ] e m = n ∈ N, tem-se
que:
(u
m
tt
−u
n
tt
, v) + µ(t)((u
m
−u
n
, v)) + τ{(u
m
t
(1, t) −u
n
t
(1, t)) + k ∗ (u
m
t
(1, t) −u
n
t
(1, t))}v(1),
para toda v ∈ V. De modo mais expl´ıcito:
(u
m
tt
− u
n
tt
, v) + µ(t)((u
m
− u
n
, v)) = −τ {(u
m
t
(1, t) − u
n
t
(1, t)) + k(0)(u
m
(1, t) − u
n
(1, t))
−k(t)(u
m
0
(1) − u
n
0
(1)) + k
∗ (u
m
(1, t) − u
n
(1, t))}v(1).
Fazendo v = u
m
(t) − u
n
(t), obtem-se que:
1
2
d
dt
|u
m
t
− u
n
t
|
2
L
2
+ µ(t)
1
2
d
dt
u
m
− u
n
2
= −τ {|u
m
t
(1, t) − u
n
t
(1, t)|
2
+k(0)
1
2
d
dt
|u
m
(1, t) − u
n
(1, t)|
2
+ k
∗ (u
m
(1, t) − u
n
(1, t))}(u
m
t
(1, t) − u
m
t
(1, t)).
Usando o Lema 1.4.1:
1
2
d
dt
|u
m
t
− u
n
t
|
2
L
2
+ µ(t)
1
2
d
dt
u
m
− u
n
2
+
τ
2
d
dt
[k(t)|u
m
(1, t) − u
n
(1, t)|
2
− k
✷(u
m
(1, t) −
u
n
(1, t))] = −τ{|u
m
t
(1, t) − u
n
t
(1, t)|
2
1
2
k

✷(u
m
(1, t) − u
n
(1, t)),
Somando-se, a igualdade acima com
−
1
2
µ
(t)u
m
− u
n
2
.
Desta forma:
d
dt
{|u
m
t
−u
n
t
|
2
L
2
+ µ(t)u
m
−u
n
2
+ τ [k(t)|u
m
(1, t) −u
n
(1, t)|
2
−k
✷(u
m
(1, t) −u
n
(1, t))]}
≤ 0,
ou seja,
|u
m
t
(t) − u
n
t
(t)|
2
L
2
+ µ(t)u
m
(t) − u
n
(t)
2
≤ |u
m
1
− u
n
1
|
2
L
2
+ u
m
0
− u
n
0
2
.
Desde que u
m
0
−→ u
0
fortemente em V, u
m
1
−→ u
1
fortemente em L
2
(0, 1) com t ar-
bitr´ariao, segue-se que:
u ∈ C([0, T ]; V ) ∩ C
1
([0, T ]; L
2
(0, 1)).
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 46
Condi¸c˜oes iniciais
Aqui ser´a mostrado que u(0) = u
0
. Para isso, considera-se v ∈ V e θ ∈ C
1
(0, T ; R) com
θ(0) = 1 e θ(T ) = 0. Por (2.27)
2
, tem-se:
T
0
(u
m
t
, v)θdt →
T
0
(u
t
, v)θdt,
integrando por partes obtem-se:
−(u
m
0
, v) −
T
0
(u
m
, v)θ
dt → −(u(0), v) −
T
0
(u, v)θ
dt.
Da convergˆencia (2.27)
2
, conclu´ı-se da express˜ao acima que:
(u
m
0
, v) → (u(0), v) ∀v ∈ V.
Pelas condi¸c˜oes iniciais u
m
0
converge forte para u
0
em V, logo fraco em V, ou seja:
(u
m
0
, v) → (u
0
, v) ∀v ∈ V.
Da unicidade do limite, segue-se que:
u(0) = u
0
Agora ser´a mostrado que u
t
(0) = u
1
. De fato, considerando v ∈ V e theta como
definida acima, tem-se:
(u
m
tt
, vθ) + µ(t)((u
m
, vθ = µ(t)u
m
x
(1, t)θ(t)v(1) ∀v ∈ V.
Tomando, v ∈ H
1
0
(0, 1) e integrando de 0 a T, resulta em:
−(u
m
1
, v) −
T
0
(u
m
t
, v)θ
dt +
T
0
µ(t)((u
m
, v))θdt = 0
Passando o limite, da convergˆencia dos dados iniciais e de (2 .27)
1
, (2.27)
2
tem-se:
−(u
1
, v) −
T
0
(u
t
, v)θ
dt +
T
0
µ(t)((u, v))θdt = 0
Sabe-se que
u
tt
− µ(t)u
xx
= 0 em L
2
(0, T ; V
)
Multiplicando por vθ e integrando de 0 a T vem que:
−(u
t
(0), v) −
T
0
(u
t
, v)θ
dt +
T
0
µ(t)((u, v))θdt = −
T
0
µ(t)u
x
(1, t)v(1)θ ∀v ∈ V.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 47
Tomando v ∈ H
1
0
(0, 1), tem-se:
−(u
t
(0), v) −
T
0
(u
t
, v)θ
dt +
T
0
µ(t)((u, v))θdt = 0,
segue-se que:
(u
t
(0), v) = (u
1
, v) ∀v ∈ H
1
0
(0, 1).
Logo:
u
t
(0) = u
1
Unicidade
Para a obten¸c˜ao da unicidade, ´e usado o m´etodo de Visik-Ladyzhenskaya. Para isto,
sejam u
1
, u
2
solu¸c˜oes do sistema (2.1) − (2.3). considere a seguinte fun¸c˜ao:
w = u
1
− u
2
Devido `a regularidade das solu¸c˜oes, segue-se que w ∈ C([0, T ]; V ) ∩ C
1
([0, T ]; L
2
(0, 1)).
Das condi¸c˜oes iniciais:
w(0) = 0, w
t
(0) = 0.
ser´a demonstrado que w ≡ 0 em [0, 1] × [0, T ].
Sejam s um ponto fixo em [0, T ] e a seguinte fun¸c˜ao:
ψ(t) =
−
s
t
w(σ)dσ, para 0 ≤ t ≤ s,
0 , para s ≤ t ≤ T.
Considerando a regularidade de w, segue-se que ψ ∈ C
1
(0, T ; V ). Definindo w
1
(ξ) =
ξ
0
w(τ)dτ, obtem-se que:
ψ(t) = w
1
(t) − w
1
(s).
Da´ı:
s
0
< w
tt
, ψ(t) > dt −
s
0
< µ(t)w
xx
, ψ(t) > dt = 0.
Note que:
< w
tt
, ψ >=
d
dt
(w
t
, ψ) − (w
t
, ψ
t
),
sendo ψ
t
= w. segue-se que:
s
0
< w
tt
, ψ > =
s
0
d
dt
(w
t
, ψ) −
s
0
(w
t
, w)
= (w
t
, ψ)
s
0
−
1
2
s
0
d
dt
|w|
2
L
2
= (w
t
(s), ψ(s)) − (w
t
(0), ψ(0)) −
1
2
|w(s)|
2
L
2
− |w(0)|
2
L
2
.
Sendo w(0) = w
t
(0) = 0 e ψ(s) = 0, conclui-se que:
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 48
i)
s
0
< w
tt
, ψ >= −
1
2
|w(s)|
2
L
2
Note que
< −µ(t)w
xx
, ψ > = ((µ(t)w, ψ)) − µ(t)w
x
(1, t)ψ(1, t)
= ((µ(t)w, ψ)) + τ {w
t
(1, t) + k ∗ w
t
(1, t)}ψ(1, t )
s
0
< −µ(t)w
xx
, ψ > =
s
0
((µ(t)w, ψ)) + τ
s
0
{w
t
(1, t) + k ∗ w
t
(1, t)}ψ(1, t )
Pelo fato de que ψ
t
= w, segue-se que:
s
0
((µ(t)ψ
t
, ψ)) =
s
0
µ(t)
1
2
d
dt
ψ
2
.
Obseve que:
1
2
s
0
d
dt
(µ(t)ψ
2
) =
1
2
s
0
µ
(t)ψ
2
+
s
0
µ(t)
1
2
d
dt
ψ
2
.
Da´ı, conclui-se:
s
0
µ(t)
1
2
d
dt
ψ
2
=
1
2
s
0
d
dt
(µ(t)ψ
2
) −
1
2
s
0
µ
(t)ψ
2
=
1
2
µ(t)ψ
2
s
0
−
1
2
s
0
µ
(t)ψ
2
=
1
2
µ(s)ψ(s)
2
− µ(0)ψ(0)
2
−
1
2
s
0
µ
(t)ψ
2
,
ou seja,
ii)
s
0
µ(0)
1
2
d
dt
ψ
2
= −
1
2
µ(t)w
1
(s)
2
−
1
2
s
0
µ
(t)ψ
2
.
Resta agora estimar o termo:
s
0
{w
t
(1, t) + k ∗ w
t
(1, t)}ψ(1, t )dt.
Tem-se que:
s
0
{w
t
(1, t) + k ∗ w
t
(1, t)}ψ(1, t )dt =
s
0
w
t
(1, t)ψ(1, t)dt

I
+
s
0
k ∗ w
t
(1, t)ψ(1, t)dt

II
De (I) segue-se que:
s
0
w
t
(1, t)ψ(1, t)dt = w(1, t)ψ(1, t )
s
0
−
s
0
w(1, t)ψ
t
(1, t)dt
= w(1, s )ψ(1, s) − w(1, 0)ψ(1, 0) −
s
0
|w(1, t)|
2
dt.
Portanto:
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 49
iii)
s
0
w
t
(1, t)ψ(1, t)dt = −
s
0
|w(1, t)|
2
dt
De (II) segue-se que:
s
0
k ∗ w
t
(1, t)ψ(1, t)dt =
s
0
t
0
k(t − σ)w
t
(1, σ)dσ
ψ(1, t)dt
≤
s
0
t
0
k(t − σ)w
t
(1, σ)dσ
|ψ(1, t)|dt
≤
s
0
t
0
|k(t − σ)| |w
t
(1, σ)|dσ |ψ(1, t)|dt
≤
s
0
T
0
|k(t − σ)| |w
t
(1, σ)|dσ |ψ(1, t)|dt.
Como k ´e limitada e w
t
∈ C([0, T ]; L
2
(0, 1)), segue-se que:
s
0
k ∗ w
t
(1, t)ψ(1, t)dt ≤ c
T
s
0
|ψ(1, t)|
2
dt, c
T
= const.
Da´ı:
iv)
s
0
k ∗ w
t
(1, t)ψ(1, t)dt ≤ c
T
s
0
ψ(t)
2
dt pois, ψ ∈ L
2
([0, T ]; V ).
Desta forma:
s
0
< w
tt
, ψ(t) > dt −
s
0
< µ(t)w
xx
, ψ(t) > dt = 0
Assim, de i), ii) e iii), segue-se que:
−
1
2
|w(s)|
2
L
2
−
1
2
µ(0)w
1
(s)
2
−
1
2
s
0
µ
(t)ψ
2
dt−
s
0
|w(1, t)|
2
dt+
s
0
k∗w
t
(1, t)ψ(1, t)dt = 0,
Seguindo-se que:
1
2
|w(s)|
2
L
2
+
1
2
µ(0)w
1
(s)
2
+
1
2
s
0
µ
(t)ψ
2
dt +
s
0
|w(1, t)|
2
dt =
s
0
k ∗w
t
(1, t)ψ(1, t)dt.
De iv) tem-se que:
1
2
|w(s)|
2
L
2
+
1
2
µ(0)w
1
(s)
2
≤
s
0
(c
t
+
1
2
|µ
(t)|)ψ(t)
2
dt.
Como ψ(t) = w
1
(t) − w
1
(s) =⇒ ψ
2
≤ 2(w
1
(t)
2
+ w
1
(s)
2
). Da´ı:
1
2
|w(s)|
2
L
2
+
1
2
µ(0)w
1
(s)
2
≤
s
0
2(c
T
+
1
2
|µ
(t)|)w
1
(t)
2
+ w
1
(s)
2
.dt
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 50
Segue-se que:
1
2
|w(s)|
2
L
2
+
µ
0
2
− (c
T
+ |µ
(t)|)s
w
1
(s)
2
≤
s
0
c
T
w
1
(t).dt
Tomando σ
T
= sup
0≤t≤T
ess|µ
(t)|:
1
2
|w(s)|
2
L
2
+
µ
0
2
− (c
T
+ σ
T
)s
w
1
(s)
2
≤
s
0
c
T
w
1
(t)dt.
De modo mais conciso:
1
2
|w(s)|
2
L
2
+
µ
0
2
− c
T
s
w
1
(s)
2
≤
s
0
c
T
w
1
(t)dt.
Tomando s
0
satisfazendo
µ
0
2
− c
T
s
0
=
3µ
0
8
. ⇒ 2c
T
s
0
=
µ
0
4
. Segue-se, portanto que, se
0 ≤ s ≤ s
0
, ent˜ao
µ
0
2
− c
T
s ≥
3µ
0
8
. Assim, segue-se que:
1
2
|w(s)|
2
L
2
+
3µ
0
8
w
1
(s)
2
≤
s
0
c
T
(w
1
(t)
2
+ |w(s)|
2
L
2
)dt.
Segue-se facilmente:
|w(s)|
2
L
2
+ w
1
(s)
2
≤
s
0
c
T
(|w(s)|
2
L
2
+ w
1
(t)
2
)dt
Da desigualdade de Gronwall, segue-se que:
w(s) = 0, ∀s ∈ [0, s
0
].
Por outro lado:
1
2
|w(s)|
2
L
2
+
µ
0
2
w
1
(s)
2
≤
s
0
2(c
t
+
1
2
|µ
(t)|)w
1
(t)
2
+ w
1
(s)
2
dt, ∀s ∈ [0, T ].
Logo:
1
2
|w(s)|
2
L
2
+
µ
0
2
w
1
(s)
2
≤
s
0
2(c
t
+
1
2
|µ
(t)|)w
1
(t)
2
dt + (s − s
0
)c
T
w
1
(s)
2
,
com w(s
0
) = w
1
(s
0
) = 0. Portanto:
1
2
|w(s)|
2
L
2
+
µ
0
2
− (s − s
0
)c
T
w
1
(s)
2
≤
s
0
2(c
t
+
1
2
|µ
(t)|)w
1
(t)
2
dt,
escolhendo s
1
∈ [s
0
, T ] satisfazendo:
µ
0
2
− (s
1
− s
0
)c
T
=
3µ
0
4
⇒ −(s
1
− s
0
)c
T
=
µ
0
4
.
CAP
´
ITULO 2. EXIST
ˆ
ENCIA E UNICIDADE 51
Sendo 2s
0
c
T
=
µ
0
4
tem-se que s
1
c
T
= 2s
0
c
T
, ou seja, s
1
= 2s
0
. Al´em disso,
µ
0
2
−(s−s
0
)c
T
≥
µ
0
4
, ∀s
0
≤ s ≤ s
1
. Usando-se o mesmo racioc´ınio anterior, conclui-se que w(s) = 0, ∀s ∈
[s
0
, 2s
0
]. Aplicando esse procedimento sucessivamente, conclui-se que:
w ≡ 0 em [0, T ],
Seguindo-se, portanto, a unicidade.
Cap´ıtulo 3
An´alise assint´otica
Neste cap´ıtulo, ser´a mostrado que a solu¸c˜ao do sistema (2.1) − (2.3) decai de modo ex-
ponencial e polinomial quando o tempo vai ao infinito, com uma taxa de decaimento
expl´ıcitamente dependente da taxa de decaimento do n´ucleo resolvente k.
3.1 Decaimento Exponencial
Nesta se¸c˜ao demonstra-se que a solu¸c˜ao de (2 .1) − (2.3) decai exponencialmente. Para
isso, ser˜ao estabelecidas algumas desigualdades para a solu¸c˜ao do sistema (2.1) − (2 .3).
Introduzi-se o funcional que define a energia do sistema:
E(t) =
1
2
1
0
|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
dx +
τ
2
k(t)|u(1, t)|
2
− k
(t)✷u(1, t)
.
A seguir demostra-se dois lemas que ser˜ao fundamentais para o estudo do decaimento
exponencial da solu¸c˜ao.
Lema 3.1.1. Para uma solu¸c˜ao forte do sistema (2.1) − (2.3), tem-se:
d
dt
E(t) ≤ −
τ
2
|u
t
(1, t)|
2
+
τ
2
k
2
(t)|u
0
(1)|
2
+
τ
2
k
(t)|u(1, t)|
2
−
τ
2
k

✷u(1, t) +
1
2
1
0
µ
|u
x
|
2
dx.
Demonstra¸c˜ao: Multiplicando (2.1) por u
t
e, integrando em (0, 1), obtem-se:
1
2
d
dt
1
0
|u
t
|
2
dx =
1
0
µ(t)u
xx
u
t
dx. (3.1)
Como
t
0
µ(t)u
xx
u
t
dx = µ(t)u
x
(1, t)u
t
(1, t) −
1
0
µ(t)u
x
u
xt
dx,
e,
1
2
d
dt
1
0
µ(t)|u
x
|
2
dx =
1
2
1
0
µ
|u
x
|
2
dx +
1
0
µ(t)u
x
u
xt
dx,
52
CAP
´
ITULO 3. AN
´
ALISE ASSINT
´
OTICA 53
segue-se que:
t
0
µ(t)u
xx
u
t
dx = µ(t)u
x
(1, t)u
t
(1, t) −
1
2
d
dt
1
0
µ(t)|u
x
|
2
dx +
1
2
1
0
µ
|u
x
|
2
dx.
Substituindo essa express˜ao em (3.1):
1
2
d
dt
1
0
|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
dx = µ(t)u
x
(1, t)u
t
(1, t) +
1
2
1
0
µ
|u
x
|
2
dx.
Multiplicando (2.5) por u
t
(1, t), tem-se que:
µ(t)u
x
(1, t)u
t
(1, t) = −τ{|u
t
(1, t)|
2
+
1
2
d
dt
k(0)|u(1, t)|
2
− k(t)u
0
(1)u
t
(1, t)
+(k ∗ u(1, t))u
t
(1, t)}.
Resulta do lema (1.4.1) que:
k
∗ u(1, t)u
t
(1, t) = −
1
2
k
|u(1, t)|
2
+
1
2
k

✷u(1, t)
−
1
2
d
dt
k
✷u(1, t) − k(t)|u(1, t)|
2
−
1
2
d
dt
k(0)|u(1, t)|
2
,
de onde:
µ(t)u
x
(1, t)u
t
(1, t) = −τ{|u
t
(1, t)|
2
+
1
2
d
dt
k(0)|u(1, t)|
2
− k(t)u
0
(1)u
t
(1, t)
−
1
2
k
|u(1, t)|
2
−
1
2
d
dt
k
✷u(1, t) − k(t)|u(1, t)|
2
−
1
2
d
dt
k(0)|u(1, t)|
2
+
1
2
k

✷u(1, t)}.
Assim:
d
dt
E(t) =
1
2
d
dt
1
0
|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
dx +
τ
2
d
dt
k(t)|u(1, t)|
2
− k
(t)✷u(1, t)
.
Fazendo as substitui¸c˜oes necess´arias segue-se facilmente que:
d
dt
E(t) = −τ{|u
t
(1, t)|
2
− k(t)u
0
(1)u
t
(1, t) −
1
2
k
|u(1, t)|
2
+
1
2
k

✷u(1, t)}
+
1
2
1
0
µ
|u
x
|
2
dx.
Usando, a desigualdade:
k(t)u
0
(1)u
t
(1, t) ≤
τ
2
k(t)
2
|u
0
(1)|
2
+
τ
2
|u
t
(1, t)|
2
,
e, substituindo-a, na express˜ao acima, obtem-se:
d
dt
E(t) ≤ −
τ
2
|u
t
(1, t)|
2
+
τ
2
k
2
(t)|u
0
(1)|
2
+
τ
2
k
|u(1, t)|
2
−
τ
2
k

✷u(1, t) +
1
2
1
0
µ
|u
x
|
2
dx.
CAP
´
ITULO 3. AN
´
ALISE ASSINT
´
OTICA 54
Para a constru¸c˜ao do funcional de Lyapunov ´e necess´ario construir o seguinte funcional
ψ(t) =
1
0
xu
x
u
t
dx
.
Lema 3.1.2. A solu¸c˜ao forte de (2.1) − (2.3) satisfaz.
d
dt
ψ(t) ≤ −
1
2
1
0
|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
dx + c|u
t
(1, t)|
2
+ ck
2
(t)|u
0
(1)|
2
ck(0)k(t)|u(1, t)|
2
+ ck(0)|k
|✷u(1, t).
Demonstra¸c˜ao: Tem-se que:
d
dt
ψ(t) =
d
dt
1
0
xu
x
u
t
dx
=
1
0
x[u
xt
u
t
+ u
x
u
tt
]dx.
Como
u
tt
− µ(t)u
xx
= 0 =⇒ xu
x
u
tt
= xµ(t)u
x
u
xx
,
segue-se que:
d
dt
ψ(t) =
1
2
1
0
x
d
dx
|u
t
|
2
+
1
2
1
0
xµ(t)|u
x
|
2
dx
=
1
2
x|u
t
|
2
1
0
−
1
0
|u
t
|
2
dx + xµ(t)|u
x
|
2
1
0
−
1
0
µ(t)|u
x
|
2
dx
= −
1
2
1
0
(|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
)dx +
1
2
|u
t
(1, t)|
2
+
1
2
µ(t)|u
x
(1, t)|
2
.
Note que,
k(0)u(1, t) + k
∗ u(1, t) =
t
0
k
(t − s)[u(1, s) − u(1, t)]ds + k(t)u(1, t).
Usando a desigualdade triangular:
|k(0)u(1, t) + k
∗ u(1, t)| ≤
t
0
|k
(t − s)| |u(1, s) − u(1, t)|ds + k(t)|u(1, t)|.
Escrevendo |k
(t − s)| = |k
(t − s)|
1/2
|k
(t − s)|
1/2
e, usando a desigualdade de H¨older,
segue-se que:
|k(0)u(1, t) + k
∗ u(1, t)| ≤ (
t
0
|k
(s)|ds)
1/2
[|k
|✷u(1, t)]
1/2
+ k(t)|u(1, t)|. (3.2)
CAP
´
ITULO 3. AN
´
ALISE ASSINT
´
OTICA 55
Usando, (2.5) e (3.2):
µ(t)
2
|u
x
(1, t)|
2
≤ |τ |
2
(|u
t
(1, t)| + k(t)|u
0
(1)| + (
t
0
|k
(s)|ds)
1/2
[|k
|✷u(1, t)]
1/2
+k(t)|u(1, t)|)
2
.
Pela desigualdade fundamental (a+b)
2
≤ 2a
2
+2b
2
e pelo fato de que k(t) < k(0) segue-se
que:
µ(t)
2
2
|u
x
(1, t)|
2
≤ |τ |
2
(|u
t
(1, t)|
2
+ k
2
(t)|u
0
(1)|
2
+ k(0)[|k
|✷u(1, t)]
1/2
+k(0)k(t)|u(1, t)|)
2
.
Sendo µ(t) ≥ µ
0
, obtem-se que:
1
2
µ(t)|u
x
(1, t)|
2
≤
|τ|
2
µ
0
(|u
t
(1, t)|
2
+ k
2
(t)|u
0
(1)|
2
+ k(0)[|k
|✷u(1, t)]
1/2
+k(0)k(t)|u(1, t)|)
2
.
Da´ı:
d
dt
ψ(t) ≤ −
1
2
1
0
(|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
)dx +
1
2
|u
t
(1, t)|
2
+
|τ|
2
µ
0
(|u
t
(1, t)|
2
+k
2
(t)|u
0
(1)|
2
+ k(0)[|k
|✷u(1, t)]
1/2
+ k(0)k(t)|u(1, t)|)
2
.
definindo-se c = (
1
2
+
|τ|
2
µ
0
), conclui-se que:
d
dt
ψ(t) ≤ −
1
2
1
0
|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
dx + c|u
t
(1, t)|
2
+ ck
2
(t)|u
0
(1)|
2
ck(0)k(t)|u(1, t)|
2
+ ck(0)|k
|✷u(1, t).
O funcional de Lyapunov, que ser´a fundamental para o estudo do decaimento da
solu¸c˜ao de (2.1) − (2.3) ´e definimos como sendo:
L(t) = NE(t) + ψ(t), (3.3)
sendo N um n´umero real positivo a ser escolhido adequadamento
Lema 3.1.3. O funcional de Lyapunov satisfaz as seguinte desigualdades.
q
0
E(t) ≤ L(t) ≤ q
1
E(t). (3.4)
sendo q
0
, q
1
constantes positivas.
CAP
´
ITULO 3. AN
´
ALISE ASSINT
´
OTICA 56
Demonstra¸c˜ao: De fato, observe que |ψ(t)| ≤
1
√
µ
0
1
0
|u
t
|
µ(t)|u
x
|. Usando a de-
sigualdade de Cauchy-Schwarz, segue-se que:
|ψ(t)| ≤
1
√
µ
0
(
1
0
|u
t
|
2
)
1/2
(µ(t)
1
0
|u
x
|
2
)
1/2
. Pela desigualdade de Young, ver referˆencia [3], tem-se que:
|ψ(t)| ≤
1
2
√
µ
0
1
0
(|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
)dx,
de onde, segue-se que:
|ψ(t)| ≤ cE(t),
com c =
√
µ
0
. Portanto:
L(t) ≤ q
1
E(t).
Tomando q de modo que (q − c) > 0, teremos (q − c)E(t) ≤ qE(t) + ψ(t) e assim:
q
0
E(t) ≤ L(t).
A seguir, o teorema central desta se¸c˜ao.
Teorema 3.1.1. Considere (u
0
, u
1
) ∈ V × L
2
(0, 1) e suponha que o n´ucleo resolvente k
satisfaz (2.4). Ent˜ao, existem constantes positivas α
1
e γ
2
satisfazendo:
E(t) ≤ α
1
e
−γ
2
t
E(0), ∀t ≥ 0.
Demonstra¸c˜ao: Supondo (u
0
, u
1
) ∈ H
2
(0, 1) ∩ V × V e satisfazendo(2.17),
a conclus˜ao do resultado seguir´a por argumentos de densidade. De fato, usando os lemas
3.1.1 e 3.1.2 obtem-se que:
d
dt
L(t) = N
d
dt
E(t) +
d
dt
ψ(t),
de onde segue-se:
d
dt
L(t) ≤ −
τ
2
N|u
t
(1, t)|
2
+
τ
2
Nk
2
(t)|u
0
(1)| +
τ
2
Nk
(t)|u(1, t)|
2
−
τ
2
Nk

✷u(1, t) −
1
2
1
0
(|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
)dx + c|u
t
(1, t)|
2
ck
2
(t)|u
0
(1)|
2
+ ck(0)k(t)|u(1, t)|
2
+ ck(0)|k
|✷u(1, t).
Usando-se (2.4) obtem-se as desigualdades:
τ
2
Nk

✷u(1, t) ≤ Nc
1
k
✷u(1, t),
CAP
´
ITULO 3. AN
´
ALISE ASSINT
´
OTICA 57
τ
2
Nk
|u(1, t)|
2
≤ −N c
2
k|u(1, t)|
2
.
Substituindo-as na equa¸c˜ao acima, segue-se que:
d
dt
L(t) ≤
τ
2
Nk
2
(t)|u
0
(1)|
2
− Nc
2
k(t)|u(1, t)|
2
+ Nc
1
k
✷u(1, t)
−
τ
2
N|u
t
(1, t)|
2
+ c|u
t
(1, t)|
2
−
1
2
1
0
(|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
)dx
+ck
2
(t)|u
0
(1)|
2
+ ck(0)k(t)|u(1, t)|
2
+ ck(0)|k
|✷u(1, t).
Tomando N suficientemente grande, tem-se as seguintes propriedades:
• −
τ
2
N|u
t
(1, t)|
2
+ c|u
t
(1, t)|
2
≤ 0.
Como (−Nc
3
+ ck(0)) < −1 e (Nc
4
− ck(0)) > 1 da´ı segue que
• −
1
2
1
0
(|u
t
|
2
+µ(t)|u
x
|
2
)dx+(−Nc
3
+ck(0))
τ
2
k(t)|u(1, t)|
2
+(Nc
4
−ck(0))
τ
2
k
✷u(1, t)) ≤
−E(t).
•
τ
2k(0)
Nk
2
(t)k(0)|u
0
(1)|
2
+
c
k(0)
k(0)|u
0
(1)|
2
≤ ck
2
(t)E(0).
Portanto:
d
dt
L(t) ≤ −E(t) + ck
2
(t)E(0).
De (3.4) obtem-se que:
d
dt
L(t) ≤ −γ
1
L(t) + ck
2
(t)E(0).
Usando o decaimento exponencial do n´ucleo k:
d
dt
L(t) ≤ −γ
1
L(t) + c
1
e
−γ
1
t
,
sendo c
1
= cE(0). Pelo lema 1.2.1 conclui-se que:
L(t) ≤ ce
−γ
2
t
e usando, novamente (3.4), conclu´ımos que:
E(t) ≤ α
1
e
−γ
2
t
E(0) ∀t ≥ 0.
Argumento de Densidade- Suponha agora que (u
0
, u
1
) ∈ V × L
2
(0, 1). Logo, existem
sequˆencias (u
n
0
, u
n
1
) ∈ H
2
(0, 1) ∩ V × V satisfazendo:
u
m
0
−→ u
0
fortemente em V ,
u
m
1
−→ u
1
fortemente em L
2
(0, 1).
Logo, existe uma sequˆencia de fun¸c˜oes (u
n
), solu¸c˜oes de (2.1)−(2.3). Do teorema anterior:
temos
E(t, u
n
) ≤ α
1
e
−γ
2
t
E(0, u
n
) ∀t ≥ 0,
CAP
´
ITULO 3. AN
´
ALISE ASSINT
´
OTICA 58
Sendo, E(t, u
n
) a energia do sistema de solu¸c˜ao u
n
e
E(0, u
n
) =
1
2
[ |u
n
1
|
2
L
2
+ µ(0)u + τ (k (0)|u
0
(1)|). ]
Usando as convergˆencias dos dados inicias, segue-se que:
E(0, u
n
)α
1
e
−γ
2
t
→ α
1
e
−γ
2
t
E(0, u), ∀t > 0.
Pela semicontinuidade inferior da norma, obtem-se que:
E(t, u) ≤ lim inf
n→∞
E(t, u
n
) ≤ α
1
e
−γ
2
t
E(0, u).
ou seja,
E(t, u) ≤ α
1
e
−γ
2
t
E(0, u).
3.2 Decaimento Polinomial
A prova de existˆencia da solu¸c˜ao global para (2.1) − (2.3) com o n´ucleo resolvente k de-
caindo polinomialmente ´e essencialmente a mesma como na se¸c˜ao anterior. Aqui a aten¸c˜ao
ser´a focada na taxa de decaimento uniforme quando o resolvente k decai polinomialmente
com taxa (1 + t)
−p
. Neste caso, mostra-se que a solu¸c˜ao tamb´em decai polinomialmente
na mesma taxa. Nesta se¸c˜ao s˜ao assumidas as seguintes hip´oteses:
0 < k(t) ≤ b
0
(1 + t)
−p
,
−b
1
k(t)
p+1
p
≤ k
(t) ≤ −b
2
k(t)
p+1
p
, (3.5)
−b
3
k
(t)
p+2
p+1
≤ k

(t) ≤ −b
4
k
(t)
p+2
p+1
.
sendo p > 1 e b
i
, i = 0, 1, . . . , 4 constantes positivas. Al´em disso, assumindo que:
∞
0
|k
(t)|
r
dt < ∞, com r >
1
p + 1
. (3.6)
O seguinte lema ser´a de fundamental importˆancia:
Lema 3.2.1. Sejam m e h fun¸c˜oes integr´aveis, sendo a fun¸c˜ao m limitada, 0 ≤ r < 1 e
q > 0. Ent˜ao, para t ≥ 0, obtem-se que:
t
0
|m(t − s)h(s)|ds ≤
t
0
|m(t − s)|
1+
1−r
q
|h(s)|ds
q
q+1
t
0
|m(t − s)|
r
|h(s)|ds
1
q+1
.
CAP
´
ITULO 3. AN
´
ALISE ASSINT
´
OTICA 59
Demonstra¸c˜ao:
Sejam
v(s) := |m(t − s)|
1−
r
q+1
|h(s)|
q
q+1
w(s) := |m(t − s)|
r
q+1
|h(s)|
1
q+1
,
sendo, t > 0 arbitr´ario, por´em fixo. Segue-se facilmente que,
|v(s)w(s)| = |m(t − s)| |h(s)| =⇒
t
0
|v(s)w(s)|ds =
t
0
|m(t − s)| |h(s)|ds.
Usando a desigualdade de H¨older para p =
q + 1
q
e p
= q + 1 segue-se que:
t
0
|m(t − s)h(s)| ds ≤
t
0
(|m(t − s)|
1−
r
q+1
|h(s)|
q
q+1
)
q+1
q
ds
q
q+1
t
0
(|m(t − s)|
r
q+1
|h(s)|
1
q+1
)
q+1
ds
1
q+1
,
de onde o resultado.
Lema 3.2.2. Seja p > 1, 0 ≤ r < 1 e t ≥ 0. Ent˜ao, para r > 0,
(|k
|✷u(1, t)|)
1+(1−r)(p+1)
(1−r)(p+1)
≤ 2
t
0
|k
(s)|
r
dsu
2
L
∞
(0,T ;H
1
(0,1))
1
(1−r)(p+1)
(|k
|
1+
1
p+1
✷u(1, t)).
Para r = 0 :
(|k
|✷u(1, t))
p+2
p+1
≤ 2
1
0
u(·, s)
H
1
(0,1)
ds + tu(·, t)
H
1
(0,1)
1
p+1
(|k
|
1+
1
p+1
✷u(1, t)).
Demonstra¸c˜ao: A desigualdade ´e consequˆencia do lema anterior tomando-se:
m(s) := |k
(s)|, h(s) := |u(1, t) − u(1, s)|
2
, q := (1 − r)(p + 1),
com t fixo.
CAP
´
ITULO 3. AN
´
ALISE ASSINT
´
OTICA 60
Caso r > 0:
Neste caso,
t
0
|k
(t − s)| |u(1, s) − u(1, t)|
2
ds
≤
t
0
|k
(t − s)
1+
1−r
(1−r)(p+1)
| |u(1, s) − u(1, t)|
2
ds
(1−r)(p+1)
(1−r)(p+1)+1
t
0
|k
(t − s)|
r
|u(1, s) − u(1, t)|
2
ds
1
(r+1)(r+1)+1
.
Mais compactamente, a desigualdade acima ´e equivalente:
|k
|✷u(1, t) ≤
t
0
|k
(s)|
r
|u(1, s) − u(1, t)|
2
ds
1
(1−r)(p+1)+1
|k
|
1+
1
p+1
✷u(1, t)
(1−r)(p+1)
(1−r)(p+1)+1
,
sendo
t
0
|k
(t−s)|
r
ds =
t
0
|k
(s)|
r
ds. Usando-se a desigualdade elementar 2ab ≤ a
2
+b
2
,
segue-se que:
|k
|✷u(1, t) ≤
2
t
0
|k
(s)|
r
dsu
2
L
∞
(0,T ;H
1
(0,1))
1
(1−r)(p+1)+1
|k
|
1+
1
p+1
✷u(1, t)
(1−r)(p+1)
(1−r)(p+1)+1
.
Elevando ambos os membros `a potˆencia
(1−r)(p+1)+1
(1−r)(1+p)
, o resultado segue.
Caso r = 0
Para o caso r = 0, temos:
t
0
|k
(t − s)| |u(1, s) − u(1, t)|
2
ds
≤
t
0
|k
(t − s)|
1+
1
p+1
|u(1, s) − u(1, t)|
2
ds
1
p+2
t
0
|u(1, s) − u(1, t)|
2
ds
p+1
p+2
.
Neste caso,
|k
|✷u(1, t) ≤
t
0
|u(1, s) − u(1, t)|
2
ds
1
p+2
|k
|
1+
1
p+1
✷u(1, t) ds
p+1
p+2
.
Como, |u(1, s) − u(1, t)|
2
≤ 2(|u(1, s)|
2
+ |u(1, t)|
2
), segue-se que:
|k
|✷u(1, t) ≤ 2
t
0
|u(1, s)|
2
+ |u(1, t)|
2
ds
1
p+2
|k
|
1+
1
p+1
✷u(1, t) ds
p+1
p+2
.
Assim:
|k
|✷u(1, t) ≤ 2
t
0
u(1, s)
2
H
1
(0,1)
ds + tu(1, t)
2
H
1
(0,1)
1
p+2
|k
|
1+
1
p+1
✷u(1, t)
p+1
p+2
.
Elevando, ambos os menbros `a potˆencia
p+2
p+1
, o resultado segue.
A seguir ser´a enunciado e demonstrado o resultado principal desta se¸c˜ao.
CAP
´
ITULO 3. AN
´
ALISE ASSINT
´
OTICA 61
Teorema 3.2.1. Sejam (u
0
, u
1
) ∈ V × L
2
(0, 1), com o n´ucleo resolvente k satisfazendo
(3.5. Ent˜ao, existe uma constante positiva c satisfazendo:
E(t) ≤
c
(1 + t)
p+1
E(0)
Demonstra¸c˜ao:
Suponha que (u
0
, u
1
) ∈ H
2
(0, 1) ∩ V × V, satisfazendo (2.17). A conclus˜ao do resuyltado
seguir´a por argumentos de densidade. Para isto, seja L o funcional definido (3.3). O
termo negativo
−ck(t)|u(1, t)|
2
.
Satisfaz a estimativa:
k(t)|u(1, t)|
2
≤ c
t
0
µ(t)|u
x
|
2
dx,
seguindo os lemas 3 .1.1 e 3.1.2. Aplicando-se as propriedades de k

devinidas em (3.5)
2
no termo:
−
τ
2
k

✷u(1, t),
obtem-se que:
d
dt
L(t) ≤ −
1
2
1
0
(|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
)dx
−qk(t)|u(1, t)|
2
−
τ
2
cN(−k
)
1+
1
p+1
✷u(1, t) + ck
2
(t)E(0)
Tomando c
1
= min(−
1
2
, −q, − c), segue-se que:
d
dt
L(t) ≤ −c
1
1
0
(|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
)dx + k(t)|u(1, t)|
2
+ N(−k
)
1+
1
p+1
✷u(1, t)
+ck
2
(t)E(0).
Aplicando-se o lema 3.2.2, com r > 0, tem-se que:
((−k
)✷u(1, t))
1+
1
(1−r)(p+1)
≤ cE(0)
1
(1−r)(p+1)
(
t
0
|k
|ds)
1
(1−r)(p+1)
((−k
)
1+
1
p+1
✷u(1, t)),
sendo, c =
2u
2
(1−r)(p+1)
L
∞
((0,T ;H
1
(0,1)))
E(0)
1
(1−r)(p+1)
. Da´ı, segue-se que
((−k
)
1+
1
p+1
✷u(1, t)) ≥
c
(
t
0
|k
|
r
ds)
1
(1−r)(p+1)
E(0)
1
(1−r)(1+p)
((−k
)✷u(1, t))
1+
1
(1−r)(p+1)
,
com c = c(r). Considerando-se r >
1
p+1
, e, usando (3.6), conclui-se que:
(−k
)
1+
1
p+1
✷u(1, t) ≥
c
E(0)
1
(1−r)(p+1)
((−k
)✷u(1, t))
1+
1
(1−r)(p+1)
.
CAP
´
ITULO 3. AN
´
ALISE ASSINT
´
OTICA 62
Considerando as hip´oteses sobre a solu¸c˜ao u, tem-se que as fun¸c˜oes u, u
t
, u
x
e k s˜ao
limitadas na vari´avel t, seguindo-se, portanto, que:
(k(t)|u(1, t)|
2
+
1
0
|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
dx) ≤ cE(0)
1
(1−r)(p+1)
.
Logo:
(k(t)|u(1, t)|
2
+
|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
dx)
1+
1
(1−r)(p+1)
≤ cE(0)
1
(1−r)(p+1)
(k(t)|u(1, t)|
2
+
|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
dx).
Assim:
d
dt
L(t) ≤ −
c
E(0)
1
(1−r)(p+1)
[(k(t)|u(1, t)|
2
+
|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
dx)
1+
1
(1−r)(p+1)
)
((−k
)✷u(1, t))
1+
1
(1−r)(p+1)
] + ck
2
(t)E(0)
Usando-se a desigualdade fundamental:
(a + b)
p
≤ 2
p
(a
p
+ b
p
),
segue-se que:
d
dt
L(t) ≤ −
c
E(0)
1
(1−r)(p+1)
[(k(t)|u(1, t)|
2
+
|u
t
|
2
+ µ(t)|u
x
|
2
dx) +
((−k
)✷u(1, t))]
1+
1
(1−r)(p+1)
+ ck
2
(t)E(0),
ou seja,
d
dt
L(t) ≤ −
c
E(0)
1
(1−r)(p+1)
E(t)
1+
1
(1−r)(p+1)
+ ck
2
(t)E(0).
Usando (3.4) obtem-se que:
d
dt
L(t) ≤ −
c
L(0)
1
(1−r)(p+1)
L(t)
1+
1
(1−r)(p+1)
+ ck
2
(t)L(0).
Usando-se o decaimento polinomial de k(t) obtem-se que:
d
dt
L(t) ≤ −
c
L(0)
1
(1−r)(p+1)
L(t)
1+
1
(1−r)(p+1)
+
c
1
(1 + t)
2p
L(0). (3.7)
Como a express˜ao (3.7) satisfaz a hip´otese do lema 1.2.2, considerando-se f = L, α =
(1 − r)(p + 1) e β = 2p, conclui-se que:
L(t) ≤
c
(1 + t)
α
L(0). (3.8)
O caso de interesse ´e quando α = p + 1, ou seja, r = 0. Para isso, ´e necess´ario as seguintes
estimativas. Escolhendo:
1
p + 1
< r <
p
p + 1
,
CAP
´
ITULO 3. AN
´
ALISE ASSINT
´
OTICA 63
e considerando (3.8), segue-se que:
∞
0
E(t)dt ≤ c
∞
0
L(t)dt ≤ cL(0).
De fato, de (3.4) segue-se que
E(t) ≤ cL(t).
Sendo (1 − α) < 0, obtem-se:
∞
0
1
(1 + t)
α
= −
1
(1 − α)
.
Assim:
∞
0
E(s)ds ≤ c
∞
0
L(s)ds ≤ cL(0)). (3.9)
Tomando t fixo, sabe-se que a norma:
u(·, t)
2
H
1
(0,1)
´e equivalente a norma u(·, t)
V
. Portanto:
tu(·, t)
2
H
1
(0,1)
≤ ctL(t) ≤ c
∞
0
L(t)dt ≤ cL(0).
Assim:
tu(·, t)
2
H
1
(0,1)
≤ ctL(t) ≤ cL(0). (3.10)
De modo an´alogo, conclui-se que:
t
0
u(·, s)
2
H
1
(0,1)
ds ≤ c
∞
0
L(t)dt ≤ cL(0). (3.11)
Para r = 0, e usando o lema 3.2.2, obtem-se que:
((−k
)
1+
1
p+1
✷u(1, t)) ≥
((−k
)✷u(1, t))
1+
1
p+1
2(
t
0
u(·, s)
2
H
1
(0,1)
+ tu(·, t)
2
H
1
(0,1)
)
1
p+1
.
Usando-se as estimativas (3.9), (3.10) e (3.11) segue-se que:
((−k
)
1+
1
p+1
✷u(1, t)) ≥
c
E(0)
1
p+1
((−k
)✷u(1, t))
1+
1
p+1
.
Pelo mesmo argumento usado em (3.7), obtem-se que:
d
dt
L(t) ≤ −
c
L(0)
.
Da´ı segue-se, do lema 1.2.2, que:
L(t) ≤
c
(1 + t)
p+1
L(0),
e usando a desigualdade (3.4) segue-se que:
E(t) ≤
c
(1 + t)
p+1
E(0).
Cap´ıtulo 4
Formalismo Num´erico
Neste cap´ıtulo ser´a feito um formalismo num´erico para, posteriormente, obter uma solu¸c˜ao
num´erica para o sistema (2.1) −(2.3). Para isso ser´a usado o m´etodo de elementos finitos.
Ser˜ao usadas as nota¸c˜oes · =
d
dt
e
=
d
dx
.
4.1 Formalismo num´erico
Nesta se¸c˜ao ser´a discutido o uso do m´etodo de elementos finito para a obten¸c˜ao da solu¸c˜ao
num´erica de:
¨u(x, t) − µ(t)u

(x, t) = 0 em (0, 1) × (0, ∞)
u(0, t) = 0
u(1, t) +
t
0
g(t − s)µ(s)u
(1, s)ds = 0 ∀t > 0
u(x, 0) = u
0
(x) ˙u(x, 0) = u
1
(x) em (0,1)
Inicialmente multiplica-se a equa¸c˜ao por v(x) ∈ V e integra-se em (0,1), ontendo-se:
1
0
¨u(x, t)x(x) dx − µ(t)
1
0
u

(x, t)v(x) dx = 0,
u(0, t) = 0,
u(1, t) +
t
0
g(t − s )µ(s)u
(1, s)ds = 0,
1
0
u(x, 0)v(x) dx =
1
0
u
0
(x)v(x) dx,
1
0
˙u(x, 0)v(x) dx =
1
0
u
1
(x)v(x) dx.
Segue-se que:
64
CAP
´
ITULO 4. FORMALISMO NUM
´
ERICO 65
1
0
¨u (x, t)v(x) dx − µ(t)u
(1, t)v(1) + µ(t)
1
0
u
(x, t)v
(x) dx = 0
u(0, t) = 0
u(1, t) +
t
0
g(t − s )µ(s)u
(1, s)ds = 0
1
0
u(x, 0)v(x) dx =
1
0
u
0
(x)v(x) dx
1
0
˙u(x, 0)v(x) dx =
1
0
u
1
(x)v(x) dx
O sistema acima constitui a vers˜ao variacional do problema dado.
Seja V
m
= {ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
N
, ϕ
N+1
} ⊂ V um conjunto finito de fun¸c˜oes b´asicas em V .
Considerando-se v(x) = ϕ
k
(x), umaa solu¸c˜ao aproximada do problema ´e dada por:
u
N
(x, t) =
N+1
j=1
u
j
(t)ϕ
j
(x)
Substituindo-as no sistema acima, tem-se que:
N+1
j=1
¨u
j
(t)[
1
0
ϕ
j
(x)ϕ
k
(x) dx] − µ(t)
N+1
j=1
u
j
(t)[ϕ
j
(1)ϕ
k
(1)] +
µ(t)
N+1
j=1
u
j
(t)[
1
0
ϕ
j
(x)ϕ
k
(x) dx] = 0,
N+1
j=1
u
j
(t)ϕ
j
(1) +
t
0
g(t − τ)[
N+1
j=1
u
j
(τ)ϕ
j
(1)]dτ = 0,
N+1
j=1
u
j
(0)[
1
0
ϕ
j
(x)ϕ
k
(x) dx] =
1
0
u
0
(x)ϕ
k
(x) dx,
N+1
j=1
˙u
j
(0)[
1
0
ϕ
j
(x)ϕ
k
(x) dx] =
1
0
u
1
(x)ϕ
k
(x) dx,
sendo 1 ≤ k ≤ N + 1.
Usando-se a seguinte nota¸c˜ao:
CAP
´
ITULO 4. FORMALISMO NUM
´
ERICO 66
U(t) = [u
1
(t), u
2
(t), . . . , u
N
(t), u
N+1
(t)]
T
A
jk
=
1
0
ϕ
j
(x)ϕ
k
(x) dx
B
jk
=
1
0
ϕ
j
(x)ϕ
k
(x) dx
C
jk
= ϕ
(1)ϕ
k
(1)
a
j
= ϕ
j
(1)
b
k
= ϕ
k
(1)
c
k
=
1
0
u
0
(x)ϕ
k
(x) dx
d
k
=
1
0
u
1
(x)ϕ
k
(x) dx
O sistema acima tem a forma:
A
¨
U(t) + µ(t)B U(t) − µ(t)C U (t) = 0
a
T
U(t) + b
T
t
0
g(t − τ)µ(τ )U(τ ) dτ = 0
A U(0) = c ; A
˙
U(0) = d
Multiplicando a segunda equa¸c˜ao acima por b e notando que C = b a
T
resulta em
C U(t) + D
t
0
g(t − τ)µ(τ)U(τ ) dτ = 0
sendo D = b b
T
Substituindo no sistema acima, temos:
A
¨
U(t) + µ(t)B U(t) + µ(t)D
t
0
g(t − τ )µ(τ)U(τ) dτ = 0
U(0) = A
−1
c
˙
U(0) = A
−1
d
Conclus˜ao
Este trabalho conclui que o problema da equa¸c˜ao de onda, com termo de mem´oria na
fronteira, ´e bem posto. E, que o decaimento exponencial e polinomial da solu¸c˜ao do sis-
tema (2.1)-(2.3) est´a diretamente determinado pelo comportamento do n´ucleo resolvente
k de modo que, se k decai exponencialmente, ent˜ao a solu¸c˜ao do sistema tamb´em decai
exponencialmente e, se k apresenta decaimento polinomial, ent˜ao o mesmo ocorrer´a com
a solu¸c˜ao u.
do ponto de vista num´erico obtem-se uma abordagem em forma matricial para encon-
trar uma solu¸c˜ao aproximada do problema.
As novas perspectivas deste trabalho s˜ao:
1. Obter solu¸c˜oes num´ericas apartir do formalismo feito anteriomente.
2. Fazer a an´alise de convergˆencia da solu¸c˜ao num´erica.
3. Mostrar que a solu¸c˜ao de (2.1)-(2.3) n˜ao depende, continuamente, apenas dos da-
dos iniciais, mas tamb´em depende continuamente dos parˆametros µ e d fun¸c˜ao de
relaxamento g.
4. Estender o problema para o espa¸c˜o R
n
, ou seja, investigar a solu¸c˜ao de:
u
tt
− µ(t)∆u = 0 em Ω × [0, T ]
u = 0 em Γ
0
× [0, T ]
u +
t
0
g(t − s)µ(s)
∂u
∂ν
ds = 0 em Γ
1
× [0, T ]
u(x, 0) = u
0
(x), u
t
(x, 0) = u
1
(x) em Ω,
sendo Ω ⊂ R
n
um aberto suficientemente regular, com fronteira ∂Ω = Γ
0
∪ Γ
1
,
satisfazendo Γ
0
∩ Γ
1
= ∅.
5. Investigar o problema com caso de fronteira m´ovel.
67
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] Barra, G. de, Measure Theory and Integration, New Age international (P) Limited,
1981.
[2] Bartle, R.G., The Elements of Integration, Jonh Wiley and Sons, 1966.
[3] Brezis, H., Analisi Funtionale teoria e aplicaciones, Alianza editorial, Madrid 1984.
[4] Ciarletta, M., a differential problem for heat equation with a boundary condition
with memory.Appl.Math.Lett.,10(1),95-191(1997).
[5] Coddington, E.A & Levinson, N.,Theory of Ordinary Differential Equation,McGraw-
Hill , 1955.
[6] Andrade, D. & Rivera, J.E.M.,Exponential decay of nonlinear wave equation with
viscoelastic boundary condition, Math. Meth. Appl. Sci. ,23, 41-61 (2000).
[7] Fabrizio, M. & Morro, M., A boundary condition with memory in Electromagnetism.
Arch. Rational Mech. Anal., 136, 359-381 (1996).
[8] Lions, J.L., Quelques M`ethodes de resolution de probl`emes aux limites non lineaires.
Dunod Gauthiers Villars, Paris (1969).
[9] Miranda M.M & Medeiros L.A., On boundary value problem for wave equations:
Existence Uniqueness-Asymptotic behavior. Rev. Mat. Apl. 17, 47-73, Universidad
de Chile (1996).
[10] Rivera, J.E.M., Teoria das Distribui¸c˜oes e Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais, S´ere: Tex-
tos de P´os-Gradua¸c˜ao, 2004.
[11] Royden H.L., Real Analysis, 2
◦
Edition, The Macmillan Company, 1968.
[12] Santos, M.L., Asyntoptic Behavior of solutions to wave equations with a memory
condition at the b oundary, Eletronic Journal Differential Equation, Vol. 2001, N
◦
73,
pp 1-11.
68
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