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Universidade Federal do Cear
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Centro de Ci
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encias
Departamento de F
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ısica
Curso de P
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os-Graduac¸
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ao em F
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ısica
Confinamento Diel´etrico versus Quˆantico
em Nanoestruturas
Teldo Anderson da Silva Pereira
Tese de Doutorado
Orientador:
Prof. Dr. Gil de Aquino Farias
Fortaleza
14 de Julho de 2006
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Universidade Federal do Cear
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Departamento de F
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Curso de P
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os-Graduac¸
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ao em F
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ısica
Teldo Anderson da Silva Pereira
Confinamento Diel´etrico versus Quˆantico
em Nanoestruturas
Tese apresentada ao Curso de P´os-
Gradua¸c˜ao em F´ısica da Universidade
Federal do Cear´a como parte dos requisitos
para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em
F´ısica.
Orientador:
Prof. Dr. Gil de Aquino Farias
Fortaleza
14 de Julho de 2006
ads:
Universidade Federal do Cear
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Centro de Ci
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encias
Departamento de F
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ısica
Curso de P
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os-Graduac¸
˜
ao em F
´
ısica
Teldo Anderson da Silva Pereira
Confinamento Diel´etrico versus Quˆantico
em Nanoestruturas
Tese apresentada ao Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica da Universidade Federal do
Cear´a como parte dos requisitos para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em F´ısica.
Prof. Dr. Gil de Aquino Farias
Orientador
Dr. Jos´e Alexander de King Freire
Universidade Federal do Cear´a
Dr. Valder Nogueira Freire
Universidade Federal do Cear´a
Prof. Dr. Eudenilson Lins de Albuquerque
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Dr. Alberto Sebasti˜ao de Arruda
Universidade Federal de Mato Grosso
Aprovada em 14 de Julho de 2006.
`
A minha fam´ılia:
pai (em mem´oria), m˜ae, esposa,
irm˜aos, cunhados e sobrinhos
Agradecimentos
Ningu´em consegue muita coisa sem a contribui¸c˜ao dos outros, e a cria¸c˜ao desta tese n˜ao
foi uma exce¸c˜ao. Fui aben¸coado com o incentivo e a ajuda de muitas pessoas maravilhosas
e talentosas, desde o momento em que decidi trilhar o caminho dos estudos, passando por
v´arios processos de forma¸c˜ao, que nunca poderei agradecer a todos. Mas gostaria de
agradecer a algumas pessoas a quem devo muito, e antes de tudo agrade¸co a Deus pela
ben¸c˜ao de tˆe-las em meu caminho.
Esta tese nunca poderia ser escrita sem a orienta¸c˜ao do professor Dr. Gil de Aquino
Farias, a quem sou muito grato pela paciˆencia, e pela valiosa amizade e confian¸ca.
Agrade¸co ao professor Jos´e Alexander de King Freire, pela co-orienta¸c˜ao no trabalho
e pela amizade dedicada ao longo destes anos.
Sou grato tamb´em ao professor Valder Nogueira Freire, pelas constantes discuss˜oes e
cr´ıticas construtivas do trabalho e pela confian¸ca.
Agrade¸co ao professor Jeanlex Soares de Sousa, pela contribui¸c˜ao no trabalho, e prin-
cipalmente pelo conv´ıvio e amizade ao longo destes anos.
Ao professor Jos´e Soares Andrade Jr., coordenador da p´os gradua¸c˜ao do Departamento
de F´ısica.
Ao professor Josu´e Mendes Filho, pela admira¸c˜ao e o exemplo de dedica¸c˜ao ao meio
acadˆemico.
Ao professor e amigo Alberto Sebasti˜ao de Arruda, pela forma¸c˜ao na gradua¸c˜ao e
principalmente pela confian¸ca e amizade adquiridas ao longo dos anos.
As secret´arias Rejane e Ana Cleide por serem sempre prestativas e amigas.
Agrade¸co em especial aos amigos que aqui em Fortaleza me ajudaram a conter a
saudade que sinto de minha cidade natal.
Aos amigos do grupo, Ewerton Wagner, Ricardo Pires, Francisco Francin´e, Marilza
Gusm˜ao, Marcelo Zimmer, Erlania, Luciana Magalh˜aes, Erivelton Fa¸canha, Andrei, pelos
cinco anos e meio de boa convivˆencia, respeito e principalmente pelos bons momentos
compartilhados no meio acadˆemico.
Aos amigos cuiabanos Ricardo Bento e Karen, Euzenil, Daniel, Arian, Hulk e Rozi,
Pablo, aos amigos do Cear´a: Helano Jos´e, Henrique Cardoso, Lu´ıs Gonzaga e fam´ılia,
Dem´etrius Ribeiro, Eduardo Bede, Jo˜ao Jos´e, Ana Raquel, Eveline Fernandes, Maria
Aparecida, Tamara, Milene, Juliana e C´ıntia; aos amigos de S˜ao Luis: Rivelino Cunha
e fam´ılia, Lucilene Pereira; aos amigos de Teresina: Tayroni Francisco e Sandra Alves;
aos amigos do Par´a: Roberval e Fabricio Potiguar; `a amiga paraibana Joelma; ao amigo
sergipano Cristiano; e `as paulistas Daniela Maionchi e Sofia Helena.
Meu agradecimento mais que especial vai para minha fam´ılia e minha doce Rosinha,
por tudo que sou nesta vida.
Ao CNPq pelo apoio financeiro.
E finalmente a Deus por me fazer perseverar em todos os desafios, por ter me dado a
certeza de que Nele posso todas as coisas, mesmo sendo pequeno diante das dificuldades
e dos inimigos. Eu e Deus no cora¸c˜ao, somos a maioria absoluta. Agrade¸co por ter dado
prop´osito `a minha existˆencia, por tudo o que tenho e tudo o que sou, por saciar a minha
sede interior e por curar todas as feridas da minha alma.
Resumo
Esse trabalho tem por objetivo estudar sistemas quˆanticos de baixa dimensionali-
dade do tipo po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
e Si/High − k. Investigamos propriedades
eletrˆonicas, ´opticas e estados de impurezas em po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
, levando em
considera¸c˜ao efeito de cargas imagem devido `a descontinuidade das constantes diel´etricas
dos materiais do po¸co (ε
w
) e da barreira (ε
b
) destas estruturas. Primeiramente estudamos
os efeitos do potencial imagem de auto-energia sobre as propriedades ´opticas e eletrˆonicas
de po¸cos quˆanticos abruptos e n˜ao abruptos. Nossos resultados mostram que o efeito do
potencial imagem de auto-energia modifica fortemente as estruturas eletrˆonicas de po¸cos
quˆanticos, podendo variar a energia de recombina¸c˜ao dos portadores em at´e 100 meV.
Al´em disso, o modelo ideal (E
n
∼ n
2
/L
2
) de po¸cos quˆanticos n˜ao ´e v´alido para algumas
estruturas com ε
w
< ε
b
, devido ao confinamento de portadores na regi˜ao da interface. A
energia de liga¸c˜ao e a energia total do exciton s˜ao estudadas em po¸cos quˆanticos abruptos
com ε
w
< ε
b
e ε
w
> ε
b
, dando ˆenfase a efeitos causados por cargas imagem: potencial
de auto-energia e intera¸c˜ao do el´etron (buraco) com as imagens do buraco (el´etron). Os
resultados mostram que, considerando os parˆametros dos materiais usados neste trabalho,
modelos simples (que n˜ao consideram efeito de cargas imagem) para c´alculos de excitons
s˜ao inadequados para estudar sistemas com ε
w
< ε
b
, visto que modelos mais precisos
(que incluem todas as contribui¸c˜oes devido `as cargas imagem) apresentam resultados com
diferen¸cas significativas, em torno de ∼ 80 meV, entre modelos simples e modelos mais
precisos. Finalmente, estudamos a intera¸c˜ao entre el´etron-impureza em po¸cos quˆanticos
GaN/HfO
2
abruptos. Os c´alculos consideram simultaneamente todas as contribui¸c˜oes
de energias causadas pela diferen¸ca entre as constantes diel´etricas de GaN (ε
GaN
=9.5)
e HfO
2
(ε
HfO
2
=25). Os resultados mostram que, considerando os parˆametros dos ma-
teriais usados neste trabalho, `a medida que a posi¸c˜ao da impureza afasta-se do centro
do po¸co, no sentido positivo do eixo z, a fun¸c˜ao de onda do el´etron ´e atra´ıda no mesmo
sentido de deslo camento da impureza. A intensidade da atra¸c˜ao diminui quando a posi¸c˜ao
da impureza afasta-se da interface, no sentido positivo de z, dentro da regi˜ao da barreira
quˆantica.
Abstract
We study in this work the low dimensional quantum well systems (QW) of GaN/HfO
2
and Si/High − k. In GaN/HfO
2
QW, we analyze not only the electronic and optic
properties but also impurity states of this system. Moreover, we consider the image
charge effects. This is due to discontinuity of materials dielectric constant of well (ε
w
)
and barriers (ε
b
) of this structures. At first, we analyze the image potential effects of self-
energy in electronic and optic proprieties of abrupt and non-abrupt QWs. We observed
that the electronic structure of QW is strongly modified by the image potential effect
of self-energy. It is found that the recombination energy of carriers can change up to
100 meV. Moreover, we observed that the ideal model (E
n
∼ n
2
/L
2
) of QWs is not
valid for some structures with ε
w
< ε
b
due to confinement of carries in the interface.
Second, exciton binding and exciton total energy in ε
w
< ε
b
and ε
w
> ε
b
abrupt QWs
are studied giving more importance on effect caused by image charges, for example, self
energy potential and interactions among electron (hole) and the image charges of hole
(electron). Considering the materials and parameters used in this work, we observed that
simple models used to evaluate exciton, which do not consider image charge effects, are
not appropriated to study systems with ε
w
< ε
b
since appropriated models, which consider
all image charge effects, present results with significative changes, around 80 meV, with
regard to the simplest models. Finally, impurity states are studied in abrupt GaN/HfO
2
QWs. We considered all the energy contributions caused by the change between the
dielectric constant of GaN (ε
GaN
=9.5) and HfO
2
(ε
HfO
2
=25) simultaneously. The
results show that, as the impurity is dislocated toward the interface, the electron wave
function is attracted in the same direction. The attraction intensity decreases when the
impurity moves to far from interface in the barrier region.
Os que confiam no Senhor ser˜ao como o monte de Si˜ao,
que n˜ao se abala, mas permanece para sempre.
– Sl 125.1 –
Sum´ario
Lista de Figuras iv
Lista de Tabelas 1
1 Introdu¸c˜ao 2
1.1 Dispositivos semicondutores: uma vis˜ao no contexto hist´orico . . . . . . . . 2
1.2 Nanotecnologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Importˆancias e aplica¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Bandas de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Teoria da massa efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Confinamento de portadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Excitons em nanoestruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Impurezas em nanoestruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Diel´etricos em nanoestruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.1 Potencial eletrost´atico em meio diel´etrico . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 Escopo da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Propriedades eletrˆonicas e ´opticas de po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
e
Si/High − k 30
2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Modelo Te´orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Po¸cos abruptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Po¸cos n˜ao abruptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Adi¸c˜ao de campo el´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Po¸cos quˆanticos Si/High − k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Excitons: Confinamento Diel´etrico versus Quˆantico 55
3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Modelo te´orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.1 Potencial Imagem e Energia de Liga¸c˜ao do Exciton . . . . . . . . . 61
3.2.2 M´etodo do Potencial Efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 Resultados num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Intera¸c˜ao El´etron-impureza em po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
77
4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Modelo Te´orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.1 Potencial de confinamento V (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Resultados num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Conclus˜oes Gerais e Perspectivas 91
Apˆendice A 94
Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Schr¨odinger Dependente do Tempo . . . . . . . . . . . . 94
Apˆendice B 100
Artigos publicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Trabalhos apresentados em Congressos Internacionais . . . . . . . . . . . . . . . 100
Trabalhos apresentados em Congressos Nacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Referˆencias 103
Lista de Figuras
1.1 Fotografia do primeiro transistor bipolar de contato criado em dezembro de 1947,
por pesquisadores da Bell Labs. Foto retirada da Referˆencia [9]. . . . . . . . . . 3
1.2 Fotografia do primeiro circuito integrado desenvolvido por J. Kilby, em 1958.
Foto retirada do site: http://www.uib.es/c-calculo/scimgs/fc/tc1/historia.html
(´ultimo acesso em junho de 2006). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Representa¸c˜ao gr´afica da lei de Moore para dupli¸c˜ao de transistor em um circuito
integrado a cada dois anos. Foto retirada do site: http://www.physics.udel.edu
(´ultimo acesso em junho de 2006). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Estrutura simples de um dispositivo eletrˆonico. Os trˆes terminais s˜ao normal-
mente indicados como G, S e D, seguindo a terminologia anglo-sax˜a de gate
(porta), source (fonte) e drain (dreno), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 (Esquerda) dimens˜oes representativas de algumas esp´ecies t´ıpicas, em suas v´arias
escalas. (Direita) regi˜ao de dom´ınio da nanotecnologia, comparada com uma
faixa que compreende desde macroestruturas at´e dimens˜oes subatˆomicas (escala
logar´ıtmica). Figuras retiradas das Referˆencias [8 e 9] . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Fotos de alguns dispositivos constitu´ıdos de nanoestruturas semicondutoras e
aplica¸c˜oes. Retirada do site http://www.intel.com (´ultimo acesso em junho de
2006). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 (a) Forma¸c˜ao de bandas de n´ıveis de energia devido `a aproxima¸c˜ao dos ´atomos
em um s´olido. (b) Bandas de valˆencia e condu¸c˜ao em semicondutores (as regi˜oes
hachuriadas representam a ocupa¸c˜ao de el´etrons em T > 0 K). . . . . . . . . . 10
1.8 Perfis de potenciais de confinamento de portadores em nanoestruturas. Em (a)
perfil de confinamento de um po¸co quˆantico e em (b) perfil do potencial de
confinamento de um fio ou ponto quˆantico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9 Estrutura f´ısica de um po¸co quˆantico de GaN/Hf O
2
e representa¸c˜ao do mo-
vimento de um portador no plano do po¸co. Figura reproduzida a partir da
Referˆencia [15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10 Diagrama esquem´atico das curvas de dispers˜ao (k
x,y
) no plano xy e estrutura
subbanda. Figura reproduzida a partir da Referˆencia [15]. . . . . . . . . . . . . 17
1.11 Representa¸c˜ao esquem´atica de gera¸c˜ao de excitons. Figura reproduzida a partir
da Referˆencia [15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.12 (a) Representa¸c˜ao esquem´atica de um par el´etron-buraco, firmemente ligado,
formando um exciton de Frenkel. (b) Representa¸c˜ao esquem´atica de um par
el´etron-buraco, fracamente ligado, formando um exciton de Wannier-Mott. Fi-
gura reproduzida a partir da Referˆencia [19]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.13 Esquerda: modelo esquem´atico de um Cristal de Si dopado com impurezas
substitucionais Ga (aceitador) e As (doador). Direita: representa¸c˜ao esquem´atica
dos n´ıveis de impurezas no gap de semicondutores dopados. E
c
e E
v
representam
as energias m´ınimas e m´aximas das bandas de condu¸c˜ao e valˆencia, respectiva-
mente. Figura reproduzida a partir da Referˆencia [10]. . . . . . . . . . . . . . 21
1.14 (a) Representa¸c˜ao esquem´atica do efeito da largura do po¸co quˆantico sobre a
fun¸c˜ao de onda do portador. (b) Representa¸c˜ao esquem´atica do efeito da posi¸c˜ao
de impureza sobre a fun¸c˜ao de onda do portador. Figura reproduzida a partir
da Referˆencia [15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 Perfil do po¸co quˆantico. Linha s´olida representa po¸co n˜ao abrupto, linha trace-
jada representa po¸co abrupto e as linhas pontilhadas s˜ao as fun¸c˜oes de onda do
portador (z
1
= −a; z
2
= −(a −σ); z
3
= (a −σ); z
4
= a). . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Po¸co quˆantico GaN/HfO
2
. (a) Potencial de confinamento ∆E
e
(z
e
) em eV; (b)
Representa¸c˜ao do potencial de auto-energia Σ
i
(z
i
) em meV. Perfil do potencial
de confinamento para el´etrons e buracos, em (c) sem campo el´etrico V
i
T
= ∆E
i
+
Σ
i
(z
i
) e em (d) com campo el´etrico de 200 kV/cm, V
i
T
= ∆E
i
+Σ
i
(z
i
)±eF z
i
. As
fun¸c˜oes de onda do el´etron e do buraco est˜ao representadas pela linha vermelha
no gr´afico (c) e (d) e a linha horizontal em azul representa o estado fundamental
de energia do portador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 N´ıveis de energia dos portadores no estado fundamental em fun¸c˜ao da largura
do po¸co para (a) el´etrons, (b) buraco leve e (c) buraco pesado. Linhas preta,
vermelha e azul representam, respectivamente, interfaces com espessura de 0.0
nm (abrupta), 0.5 nm e 1.0 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Fun¸c˜ao de onda dos portadores em unidades arbitr´arias: el´etron (linha preta),
buraco leve (linha vermelha) e buraco pesado (linha azul). As fun¸c˜oes de onda
dos gr´aficos acima, em (a) e (c), s˜ao de po¸cos estreitos com 5 nm; abaixo, em
(b) e (d), s˜ao para po¸cos largos com 20 nm. σ representa a espessura da interface. 42
2.5 Efeito Stark sobre a energia de recombina¸c˜ao ∆E
R
para po¸cos com largura de
(a)-(c) 5 nm e (b)-(d) 20 nm. (a)-(b) Energia de recombina¸c˜ao de el´etron-buraco
leve e (c)-(d) energia de recombina¸c˜ao de el´etron-buraco pesado. Linha preta
representa interface abrupta e linha vermelha interface de 1.0 nm. Para efeitos
de compara¸c˜ao, os s´ımbolos (σ = 0.0 nm) e ◦ (σ = 1.0 nm) s˜ao plotados para
representar a energia de recombina¸c˜ao sem efeito do potencial de auto-energia. . 44
2.6 Superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda do el´etron e do buraco versus largura do
po¸co, (a)-(c) el´etron-buraco leve e (b)-(d) el´etron buraco pesado, para po¸cos n˜ao
polarizados (esquerda) e polarizados p or um campo el´etrico de intensidade igual
a 200 kV/cm (direita). As interfaces consideradas s˜ao: abrupta (preto), 0.5 nm
(vermelho) e 1.0 nm (azul). Para efeito de compara¸c˜ao, resultados sem efeito
do potencial de auto-energia, para po¸cos n˜ao polarizados tamb´em s˜ao inclu´ıdos:
σ = 0.0 nm (), σ = 0.5 nm () and σ = 1.0 nm (×). . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Potencial de condu¸c˜ao ∆E
e
(z
e
), potencial de auto-energia Σ
e
(z
e
) e potencial de
confinamento V
T
(z) sem efeito de campo el´etrico, para po¸cos abruptos GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As
(topo esquerda), Si/HfO
2
(base esquerda), Si/SiO
2
(topo direita) e Si/SrT iO
3
(base direita) com 5 nm de largura. Fun¸c˜oes de onda est˜ao plotadas com linha
vermelha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8 Energia de recombina¸c˜ao em fun¸c˜ao da largura do po¸co, para po¸cos quˆanticos ab-
ruptos. (a) Energia de recombina¸c˜ao do portador el´etron-buraco pesado E
e−hh
R,(∆E)
,
calculada para os portadores confinados no potencial ∆E
i
(z
i
). (b) Energia de
recombina¸c˜ao do portador el´etron-buraco pesado E
e−hh
R,(V
T
)
, calculada para os por-
tadores confinados no potencial V
T
= ∆E
i
(z
i
) + Σ
i
(z
i
). Ainda em (b), triˆangulo
e c´ırculos representam a energia de recombina¸c˜ao do el´etron-buraco pesado, con-
finados no po¸co Si/HfO
2
e Si/SrT iO
3
respectivamente, com interface n˜ao ab-
rupta de 0.5 nm e sem o efeito do potencial Σ
i
(z
i
). (c) Efeito efetivo do potencial
de auto-energia ∆E
R
= E
e−hh
R,(V
T
)
− E
e−hh
R,(∆E)
. As cores preta, vermelha, azul e
verde representam, respectivamente, os po¸cos Si/SrT iO
3
, Si/HfO
2
, Si/SiO
2
e
GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.9
`
A esquerda, n´ıveis de energia dos portadores no estado fundamental em fun¸c˜ao
da largura do po¸co Si/SrT iO
3
para (a) el´etrons, (b) buraco leve e (c) buraco
pesado. Linhas preta, vermelha e azul representam, respectivamente, interface
com espessura de 0.0 nm (abrupta), 0.5 nm e 1.0 nm. Na direita, fun¸c˜ao de
onda dos portadores em unidades arbitr´arias: el´etron (linha preta), buraco leve
(linha vermelha) e buraco pesado (linha azul). Em (d) as fun¸c˜oes de onda est˜ao
confinadas em po¸cos estreitos com largura de 5 nm e interface de 1.0 nm. Em
(e) as fun¸c˜oes de onda est˜ao confinadas em po¸cos largos com largura de 20 nm
e interface de 1.0 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.10 Perfis de potencial total V
T
(z) com campo el´etrico de 200 kV/cm, para el´etron e
buraco confinados em po¸cos quˆanticos de 20 nm de largura: (a) GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As,
(b) Si/HfO
2
, (c) Si/SiO
2
e (d) Si/SrT iO
3
. Fun¸c˜oes de onda do estado funda-
mental est˜ao plotadas com linhas vermelhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.11 Efeito Stark sobre a energia de recombina¸c˜ao E
R
para po¸cos Si/SiO
2
(topo) e
Si/HfO
2
(base) com largura de (a)-(c) 5 nm e (b)-(d) 20 nm. Esquerda: energia
de recombina¸c˜ao de el´etron-buraco leve. Direita: energia de recombina¸c˜ao de
el´etron-buraco pesado. Linha preta representa interface abrupta e linha vermelha
interface de 1.0 nm. Para efeitos de compara¸c˜ao, os s´ımbolos (σ = 0.0 nm)
e ◦ (σ = 1.0 nm) s˜ao plotados para representar a energia de recombina¸c˜ao sem
efeito do potencial de auto-energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.12 Superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda do el´etron e do buraco versus largura do
po¸co, (a) el´etron-buraco leve e (b) el´etron-buraco pesado, confinados nos po¸cos
Si/SrT iO
3
(topo), Si/HfO
2
(base esquerda) e Si/SiO
2
(base direita). As in-
terfaces consideradas s˜ao: abrupta (preto), 0.5 nm (vermelho) e 1.0 nm (azul).
Para efeito de compara¸c˜ao, resultados sem efeito do potencial de auto-energia,
para po¸cos n˜ao polarizados, tamb´em s˜ao incluidos: σ = 0.0 nm (), σ = 0.5 nm
() and σ = 1.0 nm (×). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1 (a) Diagrama esquem´atico de um exciton em um material cristalino tridimensio-
nal, com o buraco (c´ırculo cheio pr´oximo ao centro) e el´etron separados pelo raio
de Bohr λ , orbitando o centro de massa. (b) Diagrama de bandas de energia de
um exciton em material tridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 (a) Representa¸c˜ao esquem´atica do confinamento de exciton por barreiras de um
po¸co quˆantico abrupto. (b) Diagrama de bandas de energia do po¸co quˆantico
abrupto, com um exciton confinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Aspecto de confinamento de uma fun¸c˜ao de onda Ψ
e
e o potencial φ em uma
estrutura de po¸co quˆantico. A parte cinza representa a penetra¸c˜ao da fun¸c˜ao de
onda e do potencial eletrost´atico. Figura reproduzida a partir da Referˆencia [35]. 62
3.4 (a) diagrama esquem´atico de uma estrutura quˆantica diel´etrica. (b) configura¸c˜ao
t´ıpica de uma carga real localizada no po¸co e as imagens geradas por ela. (c)
carga real localizada na barreira da direita e (d) na barreira da esquerda. Figura
reproduzida a partir da Referˆencia [35] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Correla¸c˜ao em z das posi¸c˜oes do el´etron z
e
e do buraco z
h
nas regi˜oes L, C e R
do po¸co quˆantico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6 Energia de liga¸c˜ao do exciton calculada por Kumagai e Takagahara (Referˆencia
[35]), representada pela linha s´olida. Os s´ımbolos (×) representam a energia de
liga¸c˜ao do exciton, calculada neste trabalho, usando m´etodo do potencial efetivo,
com os mesmo parˆametros do po¸co GaAs/ZnSe usado por Kumagai e Takagahara. 70
3.7 Diferen¸ca na energia de recombina¸c˜ao ∆E
e−h
R
(a) el´etron-buraco leve e (b) el´etron
buraco pesado para diferentes larguras de po¸co: (+) L =5 nm, (•) L =10 nm e
() L =15 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.8 Energia de recombina¸c˜ao el´etron buraco-leve (vermelho) e el´etron-buraco pesado
(preto) em fun¸c˜ao da largura do po¸co L e com efeito do potencial Σ
i
(z
i
). Os
po¸cos abruptos considerados s˜ao: (a) GaN/HfO
2
, (b) Si/HfO
2
, (c) Si/SiO
2
e
(d) Si/SrT iO
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9 Valor absoluto da energia de liga¸c˜ao |E
b
| do exciton (a)-(b) el´etron-buraco leve
e (c)-(d) el´etron buraco pesado, confinado em po¸cos com larguras de (a)-(c) L =
5 nm e (b)-(d) L = 20 nm. Trˆes diferentes aproxima¸c˜oes para o c´alculo de |E
b
|
s˜ao consideradas: AP0 (), AP1 (◦) e AP2 (×). . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.10 Diagrama esquem´atico das intera¸c˜oes entre os portadores e as cargas imagem.
Quando ε
b
> ε
w
as cargas imagem tˆem sinal oposto ao sinal do portador, que
sente um potencial atrativo na regi˜ao do po¸co devido `a intera¸c˜ao com as cargas
imagem que ele produz e um potencial repulsivo devido `a intera¸c˜ao com as cargas
imagem geradas pelo outro portador. Quando ε
b
< ε
w
a situa¸c˜ao se inverte. . . 74
4.1 (a) Perfil do potencial devido `as bandas de energia ∆E
e
(z) ao longo do eixo z.
(b) Perfil do potencial de auto-energia Σ
e
(z) ao longo do eixo z. (c) Perfil do
potencial da impureza, com efeito da carga imagem, ao longo do eixo z. (d)
Perfil do potencial total de confinamento ao longo do eixo z. . . . . . . . . . . 83
4.2 Esquerda: Potencial da impureza V
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
), com efeito da carga imagem.
Direita: Potencial total de confinamento. Impureza localizada na posi¸c˜ao (0,0,0). 84
4.3 Energia de liga¸c˜ao el´etron-impureza, calculada por Cen e Bajaj (Ref. [44]), re-
presentada pela linha s´olida. Os s´ımbolos (×), () e (•) representam a energia
de liga¸c˜ao do estado fundamental, primeiro e segundo estados excitados, respec-
tivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Proje¸c˜ao nos eixos y e z da fun¸c˜ao de onda do el´etron para (a) estado funda-
mental, (b) primeiro e (c) segundo estado excitado. Em (d) ´e plotado a proje¸c˜ao
do potencial de confinamento ao longo do eixo z. A impureza est´a localizada
no centro do po¸co GaN/Hf O
2
de largura L = 5 nm. A linha horizontal em (d)
representa o estado fundamental do el´etron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5 Proje¸c˜ao nos eixos y e z da fun¸c˜ao de onda do el´etron para (a) estado funda-
mental, (b) primeiro e (c) segundo estado excitado. Em (d) ´e plotado a proje¸c˜ao
do potencial de confinamento ao longo do eixo z. A impureza est´a localizada
pr´oximo `a interface direita do po¸co GaN/Hf O
2
, de largura L = 5 nm, na
posi¸c˜ao z
im
= 2 nm. A linha horizontal em (d) representa o estado fundamental
do el´etron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6 Proje¸c˜ao nos eixos y e z da fun¸c˜ao de onda do el´etron para (a) estado funda-
mental, (b) primeiro e (c) segundo estado excitado. Em (d) ´e plotado a proje¸c˜ao
do potencial de confinamento ao longo do eixo z. A impureza est´a localizada na
barreira do po¸co GaN/HfO
2
, de largura L = 5 nm, na posi¸c˜ao z
im
= 10 nm. A
linha horizontal em (d) representa o estado fundamental do el´etron. . . . . . . . 87
4.7 Esquerda: energia do el´etron para (preto) estado fundamental, (vermelho) pri-
meiro e (azul) segundo estado excitado, em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da impureza (z
im
).
Direita: energia de liga¸c˜ao para, (preto) estado fundamental, (vermelho) pri-
meiro e (azul) segundo estado excitado, em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da impureza (z
im
).
Em (a)-(c) o po¸co GaN/HfO
2
tem largura L = 5 nm, em (b)-(d) o po¸co tem
largura L = 10 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.8 Centro de massa do el´etron em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da impureza (z
im
). Em (a) o
po¸co GaN/Hf O
2
tem largura L = 5 nm e em (b) o po¸co tem largura L = 10
nm. O estado fundamental, primeiro e segundo estado excitado s˜ao representados
pelas cores preta, vermelha e azul, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . 89
Lista de Tabelas
1.1 Propriedades relevantes dos materiais candidatos. Referˆencia [7] . . . . . . 26
2.1 Potencial de confinamento ∆E
i
(z
i
) devido `as bandas de energia. Q
i
representa
o band-off-set de condu¸c˜ao (i = e) e valˆencia (i = h). . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Interpola¸c˜ao linear entre a constante diel´etrica da barreira ε
b
e a constante
diel´etrica do po¸co ε
w
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Parˆametros dos materiais. Referˆencias [57, 59]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Parˆametros dos materiais. Referˆencias [33, 38, 58, 62] . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Compara¸c˜ao da energia total do exciton el´etron-buraco leve, calculada com dife-
rentes aproxima¸c˜oes. AP0 n˜ao considera nenhuma contribui¸c˜ao devido a efeitos
de cargas imagem, AP1 considera apenas corre¸c˜ao devido ao potencial de auto-
energia, AP2 inclui todas as intera¸c˜oes relacionadas a cargas imagem. A energia
total do exciton ´e calculada para po¸cos estreitos (L = 5.0 nm) e largos (L = 20
nm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 Compara¸c˜ao da energia total do exciton el´etron-buraco pesado, calculada com
diferentes aproxima¸c˜oes. AP0 n˜ao considera nenhuma contribui¸c˜ao devido a
efeitos de cargas imagem, AP1 considera apenas corre¸c˜ao devido ao potencial
de auto-energia, AP2 inclui todas as intera¸c˜oes relacionadas `a cargas imagem.
A energia total do exciton ´e calculada para po¸cos estreitos (L = 5.0 nm) e largos
(L = 20 nm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2
1 Introdu¸c˜ao
“...as pessoas me falam sobre miniaturiza¸c˜ao e o quanto ela tem
progredido nos dias de hoje. Elas me falam de motores el´etricos com o
tamanho de uma unha do seu dedo mindinho. E que h´a um dispositivo
no mercado, dizem elas, com o qual se pode escrever o Pai Nosso na
cabe¸ca de um alfinete. Mas isso n˜ao ´e nada: ´e o passo mais primitivo e
hesitante na dire¸c˜ao que eu pretendo discutir.
´
E um novo mundo
surpreendentemente pequeno. No ano 2000, quando olharem para esta
´epoca, elas se perguntar˜ao por que antes de 1960 ningu´em come¸cou a
se movimentar seriamente nessa dire¸c˜ao.”
Richard Feynman
Trecho de discurso proferido em 1960
1.1 Dispositivos semicondutores: uma vis˜ao no con-
texto hist´orico
O decurso hist´orico do desenvolvimento dos dispositivos eletrˆonicos teve in´ıcio em
1874, quando Karl Ferdinand Braun (1850-1918) construiu um retificador com um cris-
tal de P bS [1], soldado com um fio met´alico (diodo de ponta de contato) e observou
uma altera¸c˜ao no fluxo de corrente total como fun¸c˜ao da polariza¸c˜ao da tens˜ao aplicada
e das condi¸c˜oes da superf´ıcie do material, descobrindo assim o car´ater assim´etrico da
condu¸c˜ao el´etrica entre metais e semicondutores. Desde ent˜ao, importantes avan¸cos em
pesquisas relacionadas com a f´ısica da mat´eria condensada possibilitaram a constru¸c˜ao de
novos dispositivos que se tornavam cada vez mais eficientes e com not´aveis aplicabilidades
tecnol´ogicas.
Durante todos estes anos destacaram-se algumas pesquisas que conduziram ao atual
avan¸co tecnol´ogico que vivemos nos dias de hoje. O in´ıcio do s´eculo XX, por sua vez, foi
fundamental para o desenvolvimento da microeletrˆonica, pois houve um enorme progresso
na teoria f´ısica, com o desenvolvimento da mecˆanica quˆantica, por Bohr, de Broglie,
Heisenberg, Schr¨odinger e outros, notadamente durante os anos 20. Em paralelo a este
fato, foi proposto um primeiro conceito de desenvolvimento de um transistor de efeito de
campo (FET - “Field Effect Transistor”) em estado s´olido. Sua cria¸c˜ao se deu no ano
1.1 Dispositivos semicondutores: uma vis˜ao no contexto hist´orico 3
Figura 1.1: Fotografia do primeiro transistor bipolar de contato criado em dezembro de 1947,
por pesquisadores da Bell Labs. Foto retirada da Referˆencia [9].
Figura 1.2: Fotografia do primeiro circuito integrado desenvolvido por J. Kilby, em 1958. Foto
retirada do site: http://www.uib.es/c-calculo/scimgs/fc/tc1/historia.html (´ultimo acesso em
junho de 2006).
de 1930. Durante a d´ecada de 40 a eletrˆonica tinha p or base as v´alvulas termoiˆonicas e
rel´es eletro-mecˆanicos. Mas as v´alvulas termoiˆonicas eram fr´ageis, dispendiosas e de alto
consumo de energia, enquanto os rel´es eletro-mecˆanicos tinham comuta¸c˜ao muito lenta.
Estas limita¸c˜oes incentivaram novas pesquisas em torno dos semicondutores sil´ıcio (Si) e
germˆanio (Ge).
Em 1940, R. Ohi identifica, pela primeira vez, semicondutores de Si tipo p e tipo n.
No mesmo ano, J. Scaff e H. Theuerer mostram que o n´ıvel e o tipo de condutividade do
Si se devem `a presen¸ca de tra¸cos de impurezas, e este resultado demonstrou a importˆancia
da adi¸c˜ao de impurezas nas amostras semicondutoras para fabrica¸c˜ao de dispositivos se-
micondutores. Assim, as pesquisas baseadas nestes semicondutores conduziram `a cria¸c˜ao
das primeiras jun¸c˜oes p − n e transistores bipolares no fim da d´ecada de 40 (Fig. 1.1).
Na d´ecada de 50, o efeito de resistˆencia negativa em jun¸c˜oes p −n altamente dopadas
foi observado por Esaki [2], levando `a descoberta do efeito quˆantico de tunelamento. A
cria¸c˜ao do diodo t´unel teve tamanha importˆancia no percurso de desenvolvimento dos
dispositivos que garantiu para Leo Esaki o Prˆemio Nobel de 1973. Ainda na d´ecada de 50
foi criado o primeiro dispositivo que continha, em um ´unico bloco de Si, um transistor, um
1.1 Dispositivos semicondutores: uma vis˜ao no contexto hist´orico 4
Figura 1.3: Representa¸c˜ao gr´afica da lei de Moore para dupli¸c˜ao de transistor em um circuito
integrado a cada dois anos. Foto retirada do site: http://www.physics.udel.edu (´ultimo acesso
em junho de 2006).
capacitor e um resistor, interconectados atrav´es de fios soldados nos contatos (Fig. 1.2),
abrindo caminho para o desenvolvimento de circuitos integrados (CI). Outra contribui¸c˜ao
importante de Esaki (co-autoria de Tsu) [3, 4], foi a cria¸c˜ao de heteroestruturas, em 1969-
70, que separavam el´etrons de impurezas ionizadas, de forma a reduzir o espalhamento
Coulombiano e aumentar a mobilidade dos portadores.
Em 1965 Gordon Moore [5], um dos fundadores da Intel, percebeu que o n´umero de
transistores dos circuitos integrados cresceria exponencialmente, dobrando a cada dois
anos (atualmente observa-se este crescimento a cada um ano e meio), e previu que esta
tendˆencia deveria continuar. A esta tendˆencia denominou-se lei de Moore (Fig. 1.3).
O desenvolvimento e aperfei¸coamento de t´ecnicas de crescimento de filmes finos, com
alta qualidade, tais como deposi¸c˜ao por epitaxia do tipo MBE [6] (Molecular Beam
Epitaxy) e deposi¸c˜ao por vapor qu´ımico do tipo MOCVD (Metalorganic Chemical Va-
por Deposition), n˜ao s´o tornou poss´ıvel o grande avan¸co de dispositivos semicondutores
a partir de meados da d´ecada de 70, com a fabrica¸c˜ao de estruturas de heterojun¸c˜oes de
semicondutores dos grupos III-V e outros, como tamb´em manteve a lei de Moore vigente
at´e os dias atuais.
Os conhecimentos acumulados no decorrer destes anos possibilitaram integrar grandes
quantidades de circuitos sobre um mesmo substrato semicondutor. A funcionalidade e o
benef´ıcio do dispositivo est˜ao diretamente relacionados ao n´umero de circuitos integrados
no substrato semicondutor. A diminui¸c˜ao das dimens˜oes dos dispositivos aumenta o seu
desempenho e reduz o consumo de energia, e esta equa¸c˜ao econˆomica explica a imensa
evolu¸c˜ao registrada na eletrˆonica, nas ´ultimas quatro d´ecadas, valendo-se da tecnologia
planar de fabrica¸c˜ao de circuitos integrados [7]. Entretanto, `a medida que as dimens˜oes
1.2 Nanotecnologia 5
P -Si
P -Si
N-Si
Metal
Portadielétrica:SiO
2
Terminal
Dreno
Terminal
Fonte
Terminal
Porta
Figura 1.4: Estrutura simples de um dispositivo eletrˆonico. Os trˆes terminais s˜ao normalmente
indicados como G, S e D, seguindo a terminologia anglo-sax˜a de gate (porta), source (fonte) e
drain (dreno), respectivamente.
dos dispositivos foram diminuindo, as portas diel´etricas precisaram ser mais finas, e o uso
cont´ınuo do di´oxido de sil´ıcio SiO
2
, como material de porta diel´etrica nos dispositivos
1
,
come¸cou a ter limita¸c˜oes fundamentais devido a correntes de tunelamento atrav´es do
´oxido (Fig. 1.4). Este problema chamou a aten¸c˜ao dos pesquisadores, que estudaram
intensivamente novos materiais nos ´ultimos cinco anos com o objetivo de encontrar um
substituto para SiO
2
nas nanoestruturas, e com isto manter a miniaturiza¸c˜ao por mais
algum tempo.
1.2 Nanotecnologia
O entendimento do comportamento de materiais em escala nanom´etrica (10
−9
metros)
ocasionou uma revolu¸c˜ao na ciˆencia e na tecnologia. Materiais em escala nanom´etrica
apresentam novos comportamentos e/ou propriedades diferentes daquelas que geralmente
apresentam em escala macrosc´opica
2
. Ao ramo da ciˆencia que estuda esses materiais/comportamentos
foi atribu´ıdo o nome de nanociˆencia, e sua aplica¸c˜ao de nanotecnologia.
O dom´ınio da nanotecnologia encontra-se compreendido entre 0.1 a 100 nm, regi˜ao
onde as propriedades dos materiais s˜ao determinadas e podem ser controladas. Embora
as ciˆencias dos ´atomos, mol´eculas e da mat´eria, desde a micro at´e `a macroestrutura j´a
estejam bem estabelecidas e fundamentadas, a nanotecnologia ainda se encontra na sua
fase inicial, visto que h´a muito a ser compreendido sobre o comportamento dos materiais
1
Um dispositivo t´ıpico consiste de um substrato de Si tipo-n, coberto por uma camada de SiO
2
que
serve como isolante entre a superf´ıcie de Si (100) e um eletrodo met´alico (porta).
2
O entendimento te´orico destas propriedades requer a aplica¸c˜ao de teorias quˆanticas.
1.2 Nanotecnologia 6
em escala nanom´etrica [8, 9] (ver Fig. 1.5). A nanotecnologia desponta claramente como
uma ´area de pesquisa e desenvolvimento muito ampla e multidisciplinar, uma vez que
se baseia nos mais diversificados tipos de materiais (pol´ımeros, cerˆamicas, metais, semi-
condutores, biomateriais), estruturados em escala nanom´etrica. A habilidade de medir,
manipular e organizar a mat´eria em nanoescala, e os novos fenˆomenos apresentados pelos
materiais nanoestruturados, como aqueles causados pelo confinamento de tamanho, s˜ao
descobertas cient´ıficas importantes que come¸cam a apontar para os poss´ıveis avan¸cos que
ser˜ao alcan¸cados pela ciˆencia num futuro pr´oximo.
Nos dias atuais, a nanotecnologia vem atraindo interesse de in´umeros grupos de pes-
quisas em todo o mundo, devido ao seu enorme potencial de aplica¸c˜ao nos mais varia-
dos setores industriais e ao impacto que seus resultados podem dar ao desenvolvimento
tecnol´ogico e econˆomico, podendo at´e servir de base para um desenvolvimento local inte-
grado e sustent´avel, conforme previsto nas Agendas 21 global e locais
3
. Neste contexto,
existe uma infinidade de ´areas onde a nanotecnologia pode oferecer uma contribui¸c˜ao
significativa, algumas das quais j´a possuem produtos sendo comercializados. O Brasil
tem procurado n˜ao ficar fora do cen´ario internacional deste desenvolvimento tecnol´ogico,
e o governo come¸cou um esfor¸co conjunto nesta ´area, em 2001, conhecido como Iniciativa
Brasileira em Nanotecnologia, formando redes de pesquisas cooperativas neste tema, que
conta com a participa¸c˜ao de v´arias institui¸c˜oes de pesquisa e ensino em todo o Pa´ıs. Em
muitos casos, estas institui¸c˜oes tˆem expandido suas fronteiras para se integrar a centros
de excelˆencia em nanotecnologia nos Estados Unidos, na Europa, China, Am´erica Latina
e no Jap˜ao.
O presente trabalho ´e um esfor¸co do Grupo de Pesquisa em Semicondutores do Depar-
tamento de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica da Universidade Federal do Cear´a, o qual fez parte
de uma destas redes de pesquisa, a Rede Cooperativa para Pesquisa em Nanodispositivos
Semicondutores e Materiais Nanoestruturados (NanoSemiMat). A rede NanoSemiMat faz
parte de uma estrat´egia de fomento `a pesquisa cooperativa iniciada pelo CNPq desde 2000,
e que culminou, em novembro de 2001, com a forma¸c˜ao de 4 redes tem´aticas associadas `a
´area de Nanociˆencia e Nanotecnologia. Atualmente, o Grupo faz parte da Rede Nacional
de NanoBiotecnologia e Sistemas Nanoestruturados (NanoBioEstruturas). Nesta rede, o
Grupo integra atividades em pesquisa b´asica e aplica¸c˜oes em semicondutores 0-3D, dando
ˆenfase `a integra¸c˜ao de semicondutores com materiais bio-orgˆanicos e novos ´oxidos para o
desenvolvimento de biosensores e dispositivos optoeletrˆonicos.
3
http://www.crescentefertil.org.br/agenda21/index2.htm; ´ultimo acesso em junho de 2006
1.2 Nanotecnologia 7
Macroestrutura
+3
+2
+1
0
-1
-3
-5
-7
-9
-11
mm
mm
nm
Å
-13
-15
Subatômica
Níveldeestrutura
Escala
1.000m
1m
1/1.000m
1/1.000.000m
1/1.000.000.000m
Diâmetrodoátomo
1/1.000.000.000.000m
Diâmetrodonúcleoatômico
1/1.000.000.000.000.000m
microestrutura
atômica /cristalográfica
Domíniodananotecnologia
(0,1-100nm)
Figura 1.5: (Esquerda) dimens˜oes representativas de algumas esp´ecies t´ıpicas, em suas v´arias es-
calas. (Direita) regi˜ao de dom´ınio da nanotecnologia, comparada com uma faixa que compreende
desde macroestruturas at´e dimens˜oes subatˆomicas (escala logar´ıtmica). Figuras retiradas das
Referˆencias [8 e 9]
1.2.1 Importˆancias e aplica¸c˜oes
O crescente desenvolvimento tecnol´ogico e industrial caracter´ıstico do mundo globa-
lizado traz consigo alguns problemas dif´ıceis de serem resolvidos. Um deles ´e a procura de
uma alternativa economicamente vi´avel, respeitando os limites naturais, para a produ¸c˜ao
e consumo de energia el´etrica. O aumento das necessidades energ´eticas da sociedade atual
e a importˆancia do impacto da pol´ıtica adotada para a sociedade e o meio ambiente, levam
a optar por uma fonte de energia que possa suprir as necessidades da humanidade de forma
inesgot´avel e servir de base para um desenvolvimento local integrado e sustent´avel.
A produ¸c˜ao e consumo de energia el´etrica, especialmente no Brasil, n˜ao vem acompa-
nhando o ritmo de desenvolvimento econˆomico nos ´ultimos anos, tendo como conseq¨uˆencias
recentes o black-out (apag˜ao) que se tornou uma realidade vivida pela sociedade brasileira.
Desta forma, a energia el´etrica tem-se mostrado altamente relevante para o desenvolvi-
mento da na¸c˜ao, e um caminho para amenizar os problemas relacionados `a gera¸c˜ao e
consumo de energia ´e a busca pelo uso de energias alternativas, bem como a utiliza¸c˜ao de
dispositivos altamente eficientes.
Por um lado, a energia el´etrica obtida a partir da convers˜ao de energia solar vem
ganhando destaque, no contexto atual em que os problemas ambientais se agravam, tendo
em vista as caracter´ısticas por tr´as da tecnologia denominada energia solar fotovolt´aica,
1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas 8
Figura 1.6: Fotos de alguns dispositivos constitu´ıdos de nanoestruturas semicondutoras e
aplica¸c˜oes. Retirada do site http://www.intel.com (´ultimo acesso em junho de 2006).
que apresenta vantagens como f´acil armazenamento, baixo custo de instala¸c˜ao, baixo n´ıvel
de agress˜ao ambiental e n˜ao necessita de linhas de transmiss˜ao que agridem o meio em
que ´e instalado.
Por outro lado, uma forma de contornarmos o quadro ´e a busca de consumo econˆomico
da energia el´etrica, o que pode ser realizado atrav´es do desenvolvimento de dispositivos
eletrˆonicos emissores de luz (lˆampadas para ilumina¸c˜ao, etc) e equipamentos eletrˆonicos
constitu´ıdos de circuitos integrados altamente eficientes e econˆomicos (Fig. 1.6).
A produ¸c˜ao de dispositivos fotovoltaicos e dispositivos emissores de luz tem in´ıcio
invariavelmente na investiga¸c˜ao das propriedades ´opticas e eletrˆonicas dos materiais a
serem empregados para cria¸c˜ao destes dispositivos, que se constituem de nanoestruturas
semicondutoras. O seu entendimento te´orico requer a aplica¸c˜ao de teorias quˆanticas para
o c´alculo das propriedades de confinamento, ´opticas e de transporte de portadores em
po¸cos, fios e pontos quˆanticos, em conjunto com as teorias do eletromagnetismo cl´assico.
1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas
Estruturas semicondutoras de baixa dimensionalidade tˆem sido intensivamente abor-
dadas na literatura, tanto do ponto de vista da f´ısica fundamental quanto do ponto de vista
industrial. O imenso desenvolvimento de dispositivos ´opticos e eletrˆonicos, e de circuitos
integrados, impulsionado por uma moderna evolu¸c˜ao tecnol´ogica ´e motivado por avan¸cos
1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas 9
provenientes de pesquisas multidisciplinares (que estabelecem um relacionamento entre
as ´areas da f´ısica, qu´ımica, matem´atica, biociˆencias, ciˆencias de materiais, engenharia
eletrˆonica e engenharia da computa¸c˜ao) e pelo desenvolvimento de novos conceitos sobre
dispositivos.
1.3.1 Bandas de energia
Algumas propriedades de el´etrons em cristais s˜ao fundamentais para a compreens˜ao
dos mecanismos respons´aveis pela corrente el´etrica no material semicondutor e, portanto,
por sua aplica¸c˜ao na nanotecnologia. El´etrons em um ´atomo isolado ocupam estados
quˆanticos estacion´arios, distribu´ıdos em n´ıveis de energia discretos e quantizados, corres-
pondendo aos orbitais atˆomicos 1s, 2s, 3s, 3p,..., obedecendo ao Princ´ıpio de Exclus˜ao
de Pauli. Se trouxermos um ´atomo isolado para pr´oximo de outro, os n´ıveis de energia
de cada ´atomo ser˜ao levemente perturbados devido `a presen¸ca do ´atomo vizinho. Al´em
disso, um el´etron que est´a no n´ıvel 1s de um desses ´atomos tamb´em pode ocupar o n´ıvel
1s do outro ´atomo, possuindo duas fun¸c˜oes de onda distintas com a mesma energia, ou
degenerescˆencia dupla.
Se aproximarmos um grande n´umero de ´atomos, teremos tamb´em um grande n´umero
de n´ıveis pr´oximos uns dos outros, e a intera¸c˜ao entre eles ocasionar´a uma quebra de
degenerescˆencia, formando uma banda de energia quase cont´ınua. Em um sistema de
trˆes ´atomos, todos os n´ıveis s˜ao triplamente degenerados; com quatro ´atomos os n´ıveis
apresentam degenerescˆencia de ordem quatro, e assim por diante. Se considerarmos N
´atomos pr´oximos, cada n´ıvel atˆomico ser´a expandido em N n´ıveis distintos.
Como conseq¨uˆencia do grande n´umero de ´atomos presentes em um cristal (N ∼ 10
23
)
e do arranjo peri´odico destes ´atomos formando a rede cristalina, os estados energ´eticos
que descrevem o cristal se organizam de forma peculiar atrav´es do surgimento de faixas
cont´ınuas destes estados, por´em limitadas e separadas umas das outras por faixas de
energias proibidas. As faixas de energias permitidas s˜ao as chamadas bandas de energia.
`
As faixas de energias proibidas d´a-se o nome de gap, ver Fig. 1.7(a). Em um cristal,
semicondutor apenas na temperatura T = 0 K, a ´ultima banda de energia, denominada
banda de valˆencia, est´a completamente cheia. Quando a temperatura aumenta, os
el´etrons da banda de valˆencia ganham energia suficiente para passar `a banda seguinte,
denominada banda de condu¸c˜ao, que a T = 0 K n˜ao cont´em el´etrons. Os el´etrons
que migram para a banda de condu¸c˜ao deixam na banda de valˆencia vacˆancias que se
comportam como portadores de carga el´etrica positiva, denominados buracos [10]. A Fig.
1.7(b) ilustra um perfil simplificado de ocupa¸c˜ao das bandas de condu¸c˜ao e valˆencia em
1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas 10
Bandasde
Energia
Gap
Níveis
Discretos
Distância entreosátomosr
Energia
0
E
k
Bandadecondução
Bandadevalência
E
g
E
c
E
v
(a) (b)
E
F
el
lh
hh
Figura 1.7: (a) Forma¸c˜ao de bandas de n´ıveis de energia devido `a aproxima¸c˜ao dos ´atomos
em um s´olido. (b) Bandas de valˆencia e condu¸c˜ao em semicondutores (as regi˜oes hachuriadas
representam a ocupa¸c˜ao de el´etrons em T > 0 K).
um material semicondutor, representado pelo gr´afico da energia E versus o vetor de onda
k. Isso ´e facilmente verificado, em primeira aproxima¸c˜ao, se utilizarmos como exemplo a
energia de um el´etron livre, a qual ´e dada por
E =
2
2m
0
k
2
, (1.1)
onde m
0
´e a massa do el´etron livre.
Os el´etrons na banda de condu¸c˜ao e os buracos na banda de valˆencia produzem cor-
rente el´etrica sob a a¸c˜ao de um campo externo. A condutividade do material depende
do n´umero de el´etrons que passa para a banda de condu¸c˜ao. Esse n´umero ´e tanto maior
quanto maior for a temperatura e quanto menor for a energia do gap que separa as duas
bandas. Para uma descri¸c˜ao mais detalhada sobre bandas de energia ver Referˆencias
[10, 11, 12].
1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas 11
1.3.2 Teoria da massa efetiva
Para entender as propriedades el´etricas de um material semicondutor ´e necess´ario
estudar o comportamento de el´etrons dentro do material quando este ´e submetido a um
campo el´etrico externo. O el´etron, descrito por um pacote de onda, movimenta-se em um
cristal com velocidade de grupo v
g
= ∂ω/∂k e energia E = ω. Sendo assim, podemos
escrever
4
∂E
∂k
= v
g
. (1.2)
Na presen¸ca do campo el´etrico, o el´etron ´e submetido a uma for¸ca F que realiza
trabalho dE = F dx, variando a energia do el´etron de dE durante um percurso dx. Logo,
da Eq. 1.2, a velocidade do el´etron est´a relacionada `a for¸ca do campo el´etrico por
F dx = v
g
dk, (1.3)
ou, aplicando a defini¸c˜ao dx = v
g
dt,
F =
dk
dt
. (1.4)
Sendo k o momento do el´etron, a Eq. 1.4 representa o princ´ıpio fundamental da
dinˆamica:
F = m
∗
a = m
∗
dv
g
dt
,
F = m
∗
1
∂
2
E
∂k∂t
= m
∗
1
∂
2
E
∂k
2
dk
dt
= m
∗
1
2
∂
2
E
∂k
2
F,
1
m
∗
=
1
2
∂
2
E
∂k
2
. (1.5)
As equa¸c˜oes acima mostram que o potencial da rede cristalina n˜ao afeta a forma da
equa¸c˜ao da varia¸c˜ao do momento. De fato, em lugar disto a rede altera a dependˆencia da
energia com o momento, o que corresponde a mudar a massa do el´etron. Desta forma, sob
4
Este item da tese foi baseado nas Referˆencias [10] e [12], sendo a primeira publicada em l´ıngua
portuguesa. Dentre outras Referˆencias bibliogr´aficas que definem a teoria da massa efetiva, destacam-se
tamb´em as Referˆencias [11], [13], [14] e [15].
1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas 12
a a¸c˜ao de uma for¸ca externa o el´etron no cristal age de forma semelhante a um el´etron
livre, por´em com uma massa efetiva m
∗
definida pela Eq. 1.5. Este resultado ´e v´alido
tamb´em para o el´etron livre, o que pode ser demonstrado atrav´es das Eqs. 1.1 e 1.5, onde
obtemos m
∗
= m, ou seja, a massa efetiva ´e a pr´opria massa do el´etron livre.
Expandindo esse pensamento a uma estrutura de banda em um material, podemos
definir a massa de um dado portador como uma fun¸c˜ao da curvatura da banda. Quanto
mais cˆoncava for a banda, menor a massa associada a ela. Por outro lado, essas bandas
de energia em semicondutores freq¨uentemente exibem uma rela¸c˜ao anisotr´opica entre a
energia e o vetor de onda, tal que a energia n˜ao ´e apenas uma fun¸c˜ao da magnitude do
vetor k, mas depende separadamente das dire¸c˜oes k
x
, k
y
e k
z
. Isto significa que a massa
efetiva depende da dire¸c˜ao k . Na defini¸c˜ao mais geral, a massa efetiva n˜ao ´e uma grandeza
escalar e sim uma grandeza tensorial representada por uma matriz, cujo elemento µν para
a banda n ´e determinado por:
1
m
∗
n
µν
=
1
2
∂
2
E
nk
∂k
µ
∂k
ν
. (1.6)
Em geral, estes elementos n˜ao s˜ao constantes, mas fun¸c˜oes de k
x
, k
y
e k
z
. A massa
efetiva varia de um material para outro, j´a que o seu valor depende da curvatura das
bandas de energias do material.
A banda de valˆencia de alguns materiais semicondutores ´e formada por duas bandas
de energia, cada qual associada a uma massa efetiva (buraco leve e pesado). A banda
do buraco leve (light hole - lh) ´e a banda mais curva entre as duas e a banda do buraco
pesado (heavy hole - hh) ´e a banda menos curva. Como os valores das massas efetivas
est˜ao associados `a curvatura da banda, a massa associada ao buraco pesado ´e maior do
que a massa associada ao buraco leve, originando os nomes leve e pesado, ver Fig. 1.7(b).
1.3.3 Confinamento de portadores
Em um semicondutor cristalino tridimensional, a estrutura eletrˆonica ´e caracterizada
por estados eletrˆonicos deslocados e um espectro de energia quase-cont´ınuo nas bandas
de condu¸c˜ao e valˆencia. Em nanoestruturas semicondutoras, quando os el´etrons est˜ao
confinados em uma pequena regi˜ao do espa¸co (algumas dezenas de nanˆometros ou menos),
o espectro de energia ´e profundamente afetado pelo confinamento devido ao aumento do
gap e ao fato de que os n´ıveis de energia permitidos tornam-se discretos em sistemas 0D
1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas 13
Eg
1
DE
h
DE
e
Eg
2
Eg
1
Eg
2
(b)(a)
DE
e
DE
h
z
r, r
Figura 1.8: Perfis de potenciais de confinamento de portadores em nanoestruturas. Em (a)
perfil de confinamento de um po¸co quˆantico e em (b) perfil do potencial de confinamento de um
fio ou ponto quˆantico.
e formam mini-bandas em sistemas 1D e 2D
5
.
O efeito de confinamento quˆantico est´a presente em muitos sistemas de baixa dimen-
sionalidade, como po¸cos, fios e pontos quˆanticos, os quais s˜ao crescidos por avan¸cadas
t´ecnicas epitaxiais em nanocristais produzidos por m´etodos qu´ımicos ou por implanta¸c˜ao
iˆonica, ou nanodispositivos produzidos p or t´ecnicas de litografia. A escala de compri-
mento desses dispositivos ´e da ordem do comprimento de onda de Broglie do portador
[16], que assume um comportamento ondulat´orio. Por isso, a equa¸c˜ao de Schr¨odinger pode
ser aplicada para descrever suas propriedades eletrˆonicas e ondulat´orias no dispositivo.
Quando o potencial de confinamento (∆E(r)) for maior que a energia E
n
do portador,
ent˜ao estas energias E
n
do portador ser˜ao confinadas e quantizadas. O potencial ∆E(r)
pode confinar o portador em uma, duas ou trˆes dimens˜oes, correspondendo aos sistemas
po¸cos, fios ou pontos quˆanticos, respectivamente. A quantiza¸c˜ao da energia ´e acompa-
nhada pela limita¸c˜ao do movimento do portador na dire¸c˜ao em que o mesmo ´e confinado.
Desta forma, os portadores est˜ao limitados a mover-se no plano de um po¸co quˆantico, na
linha de um fio quˆantico ou em ilhas em pontos quˆanticos. Fios quˆanticos tamb´em s˜ao
chamados de nanofios, e pontos quˆanticos s˜ao comumente denominados ´atomos artificiais,
pois tais como ´atomos, as energias dos el´etrons s˜ao quantizadas e a carga total ´e restrita
a um pequeno n´umero inteiro de el´etrons [16].
O potencial de confinamento origina-se a partir da fra¸c˜ao da diferen¸ca entre os gaps
de energia dos materiais semicondutores que formam a heterojun¸c˜ao. A grandeza desta
fra¸c˜ao denomina-se band-off-set e sua determina¸c˜ao ´e um dos problemas importantes da
5
Sistemas 0D ponto quˆantico; 1D fio quˆantico; 2D po¸co quˆantico. O n´umero em frente `a letra “D”est´a
relacionado ao grau de liberdade dos portadores (el´etrons e buracos).
1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas 14
f´ısica de sistemas semicondutores de dimensionalidade reduzida
6
. A Fig. 1.8 ilustra dois
perfis de confinamento de portadores para po¸co, fio e ponto quˆantico. A diferen¸ca entre
o gap Eg
1
e o gap Eg
2
´e igual `a soma dos potenciais:
Eg
1
− Eg
2
= ∆E
e
+ ∆E
h
, (1.7)
onde ∆E
e
´e o potencial de confinamento de el´etrons, que surge devido ao n˜ao alinhamento
das bandas de condu¸c˜ao dos materiais que constituem a heterojun¸c˜ao, e ∆E
h
´e o potencial
de confinamento de buracos, que surge devido ao n˜ao alinhamento das bandas de valˆencia.
Para obter os valores de ∆E
e
e ∆E
h
pode-se usar a rela¸c˜ao:
∆E
e
+ ∆E
h
∆E
e
+ ∆E
h
=
∆E
e
∆E
e
+ ∆E
h
+
∆E
h
∆E
e
+ ∆E
h
= 1. (1.8)
A soma ∆E
e
+ ∆E
h
´e dada pela Eq. 1.7. O band-off-set pode ser definido por
Q
e
=
∆E
e
Eg
1
− Eg
2
, (1.9)
Q
h
=
∆E
h
Eg
1
− Eg
2
, (1.10)
onde Q
e
e Q
h
representam o band-off-set de condu¸c˜ao e valˆencia, respectivamente. Desta
forma, obtemos os potenciais de confinamento de el´etrons e buracos isolando ∆E
e
e ∆E
h
:
∆E
e
= Q
e
(Eg
1
− Eg
2
) , (1.11)
∆E
h
= Q
h
(Eg
1
− Eg
2
) . (1.12)
Se a nanoestrutura for constitu´ıda de uma fina camada de semicondutor, crescida por
epitaxia entre duas camadas de ´oxido (ou um outro semicondutor com propriedades f´ısicas
diferentes), conforme ilustra a Fig. 1.9, ent˜ao o p otencial ∆E
i
(z) confina o p ortador i
(i = e, h) em apenas uma dire¸c˜ao (dire¸c˜ao z da figura), e a nanoestrutura formada ´e
6
Band-off-set ´e uma caracter´ıstica do material e ´e obtida por meio de exp erimentos.
1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas 15
y
z
x
k
xy
GaN
HfO
2
2 2 2
xy x y
k k k= +
Figura 1.9: Estrutura f´ısica de um po¸co quˆantico de GaN/HfO
2
e representa¸c˜ao do movimento
de um portador no plano do po¸co. Figura reproduzida a partir da Referˆencia [15].
chamada de po¸co quˆantico. No po¸co quˆantico o portador tem movimento restrito na
dire¸c˜ao de crescimento, dire¸c˜ao z da Fig. 1.9, mas pode-se mover no plano do po¸co.
Neste caso, o movimento do portador pode ser descrito pela equa¸c˜ao de Schr¨odinger
independente do tempo
−
2
2m
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
ψ (x, y, z) + ∆E (r) ψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z) . (1.13)
O potencial de confinamento ∆E(r) pode ser representado por uma soma de fun¸c˜oes
independentes, ou seja, ∆E(r) = ∆E(x) + ∆E(y) + ∆E(z), sendo que a condi¸c˜ao para
forma¸c˜ao de um po¸co quˆantico estabelece que podemos considerar ∆E(x) = ∆E(y) = 0,
e que auto-fun¸c˜ao do sistema seja escrita como o produto:
ψ (x, y, z) = ψ (x) ψ (y) ψ (z) . (1.14)
Usando a Eq. 1.14 para reescrever a equa¸c˜ao de Schr¨odinger (Eq. 1.13), ent˜ao:
−
2
2m
∂
2
ψ (x)
∂x
2
ψ (y) ψ (z) +
∂
2
ψ (y)
∂y
2
ψ (x) ψ (z) +
∂
2
ψ (z)
∂z
2
ψ (x) ψ (y)
+∆E (z) ψ (x) ψ (y) ψ (z) = Eψ (x) ψ (y) ψ (z) . (1.15)
Desta forma ´e poss´ıvel identificar trˆes contribui¸c˜oes distintas para a energia cin´etica
total E do portador, uma para cada dire¸c˜ao perpendicular dos eixos x, y e z, isto ´e,
E = E
x
+ E
y
+ E
z
. Ent˜ao, ´e dito que o movimento desacoplado determina uma equa¸c˜ao
1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas 16
de movimento para cada um dos eixos:
−
2
2m
∂
2
ψ (x)
∂x
2
ψ (y) ψ (z) = E
x
ψ (x) ψ (y) ψ (z) , (1.16)
−
2
2m
∂
2
ψ (y)
∂y
2
ψ (x) ψ (z) = E
y
ψ (x) ψ (y) ψ (z) , (1.17)
−
2
2m
∂
2
ψ (z)
∂z
2
ψ (x) ψ (y) + ∆E (z) ψ (x) ψ (y) ψ (z) = E
z
ψ (x) ψ (y) ψ (z) , (1.18)
ou, ap´os uma divis˜ao:
−
2
2m
∂
2
ψ (x)
∂x
2
= E
x
ψ (x) , (1.19)
−
2
2m
∂
2
ψ (y)
∂y
2
= E
y
ψ (y) , (1.20)
−
2
2m
∂
2
ψ (z)
∂z
2
+ ∆E (z) ψ (z) = E
z
ψ (z) . (1.21)
A Eq. 1.21 ´e a equa¸c˜ao de Schr¨odinger que descreve o movimento unidimensional de
um portador confinado em um p otencial ∆E(z). As demais equa¸c˜oes, Eq. 1.19 e Eq.
1.20, descrevem o movimento unidimensional, na dire¸c˜ao de cada coordenada (x e y),
respectivamente. A solu¸c˜ao para estas duas equa¸c˜oes ´e do tipo exp(ik
x
x), ent˜ao:
ψ(x) = exp(ik
x
x), (1.22)
com
2
k
2
x
2m
∗
= E
x
, (1.23)
o que representa claramente a energia cin´etica de um portador propagando-se ao longo
1.3 Dispositivos semicondutores: nanoestruturas 17
E
z
n=1
n=2
2 2
,
2 *
x y
k
E En
m
= +
h
Figura 1.10: Diagrama esquem´atico das curvas de dispers˜ao (k
x,y
) no plano xy e estrutura
subbanda. Figura reproduzida a partir da Referˆencia [15].
do eixo x. Uma equa¸c˜ao similar a esta ´ultima representa a energia cin´etica do portador
na dire¸c˜ao do eixo y e, desta forma, o movimento no plano de um portador confinado,
devido a um potencial unidimensional, pode ser escrito na forma
ψ
x,y
(x, y) =
1
A
exp [ i (k
x
x + k
y
y)] , (1.24)
e
E
x,y
=
2
k
2
x
+ k
2
y
2m
∗
. (1.25)
Logo, enquanto a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger ao longo do eixo de confinamento
produz estados de energia discretos E
z
= E
n
, no plano do po¸co quˆantico semicondutor
existe uma extens˜ao cont´ınua de energias permitidas, conforme ilustra a Fig. 1.10.
Em um material cristalino tridimensional os portadores est˜ao distribu´ıdos em bandas
de energia, ao passo que em um po¸co quˆantico os portadores ocupam n´ıveis confinados
em subbandas de energia. Portanto, o efeito de confinamento unidimensional produz uma
redu¸c˜ao no grau de liberdade, restringindo o momento do portador de trˆes para duas
dimens˜oes. Por esta raz˜ao, os estados em um po¸co quˆantico s˜ao geralmente referidos
como bidimensionais. Em resumo, em um po¸co quˆantico, a energia total do el´etron ou
buraco de massa m
∗
´e igual a E
z
+ E
x,y
, a qual ´e definida por:
E = E
n
+
2
k
2
x
+ k
2
y
2m
∗
. (1.26)
1.4 Excitons em nanoestruturas 18
A descri¸c˜ao do movimento de portadores em fios e pontos quˆanticos foge ao obje-
tivo do presente trabalho. Portanto, n˜ao ser´a abordada nesta tese tal descri¸c˜ao, a qual
pode ser encontrada no trabalho proposto na disserta¸c˜ao de mestrado apresentada ao
Departamento de F´ısica da Universidade Federal do Cear´a no ano de 2005, ver Ref. [17].
1.4 Excitons em nanoestruturas
A caracteriza¸c˜ao ´optica de um semicondutor nos fornece informa¸c˜oes importantes so-
bre suas propriedades eletrˆonicas. Em muitos semicondutores, os f´otons
7
podem interagir
com a vibra¸c˜ao da rede cristalina, fˆonons
8
, e/ou com el´etrons localizados em impurezas.
Esta intera¸c˜ao faz das caracteriza¸c˜oes ´opticas uma ferramenta importante para estudar
excita¸c˜oes e forma a base de muitas aplica¸c˜oes tecnol´ogicas como lasers, diodos emissores
de luz e fotodetectores [15, 18, 19].
Se um f´oton incide sobre um semicondutor tridimensional, de gap Eg da mesma
ordem de grandeza da energia do f´oton hω ∼ Eg, ent˜ao o f´oton pode ser absorvido por
um el´etron, o qual poder´a mover-se no corpo do cristal semicondutor. Se a energia do
f´oton for maior que a energia do gap, ent˜ao ´e criado um el´etron na banda de condu¸c˜ao,
e um estado vazio ´e deixado na banda de valˆencia. Este estado vazio, denominado de
buraco, comporta-se como uma part´ıcula de carga positiva e, conseq¨uentemente, produz
uma intera¸c˜ao coulombiana atrativa com o el´etron na banda de condu¸c˜ao. O potencial
atrativo reduz a energia total do el´etron e do buraco na ordem de E
b
(energia de liga¸c˜ao
entre o el´etron e o buraco). A este par el´etron-buraco d´a-se a denomina¸c˜ao de exciton,
ver Fig. 1.11.
A massa do buraco ´e geralmente maior que a massa do el´etron, de forma que o sistema
de dois corpos, no material tridimensional, assemelha-se ao ´atomo de hidrogˆenio, com a
carga negativa orbitando a carga positiva. Tipicamente, os excitons s˜ao estudados em
dois casos limite, que se caracterizam atrav´es da forma de intera¸c˜ao entre o el´etron e o
buraco. Para uma atra¸c˜ao forte entre o par el´etron-buraco, como encontrado em cristais
iˆonicos, el´etron e buraco est˜ao firmemente ligados um ao outro. Esta forma de excita¸c˜ao
´e denominada de exciton de Frenkel [20, 21]. Por outro lado, existe uma outra forma de
intera¸c˜ao el´etron-buraco do tipo fraca, como encontrado em semicondutores, em que a
intera¸c˜ao coulombiana ´e blindada por el´etrons de valˆencia, via uma constante diel´etrica
7
Part´ıcula elementar associada ao campo eletromagn´etico, com massa nula, spin 1, carga el´etrica nula,
est´avel, e cuja energia ´e igual ao produto da constante de Planck pela freq¨uˆencia do campo (hω); quantum
de luz.
8
Part´ıcula hipot´etica, importante no tratamento te´orico da condutividade t´ermica nos s´olidos, e que
corresponde a um quantum de energia vibr´atil.
1.4 Excitons em nanoestruturas 19
Excitaçãodealtaenergia
Formaçãodeexciton
Excitaçãoresonante
E
b
Figura 1.11: Representa¸c˜ao esquem´atica de gera¸c˜ao de excitons. Figura reproduzida a partir
da Referˆencia [15].
elevada. Esta forma de excita¸c˜ao ´e denominada de exciton de Wannier-Mott
9
[22, 23],
ver Fig. 1.12.
O exciton ´e relativamente est´avel, e pode ter um tempo de vida m´edia relativa-
mente longo, da ordem de centenas de ps a ns. A recombina¸c˜ao de excitons ´e um efeito
importante para fotoluminescˆencia a baixa temperatura, embora as energias de liga¸c˜ao
sejam relativamente baixas, da ordem de algumas unidades de meV a dezenas de meV .
Quando submetidos a altas temperaturas os excitons tendem a dissociar-se.
Em heteroestruturas (po¸co, fio e pontos quˆanticos), assim como em materiais tri-
dimensionais, a forma¸c˜ao de excitons pode ocorrer por meio de excita¸c˜oes ressonantes.
Considerando que a energia total do exciton em um semicondutor cristalino tridimensio-
nal ´e simplesmente a energia de liga¸c˜ao E
b
do par el´etron-buraco, mais a energia do gap
Eg, em uma heteroestrutura existem duas componentes adicionais devido `as energias de
confinamento do el´etron e do buraco, ou seja:
E = Eg − E
b
, (1.27)
´e a energia total de um exciton em um cristal semicondutor tridimensional, e
E = Eg + E
e
+ E
h
− |E
b
|, (1.28)
´e a energia total de um exciton confinado em uma heteroestrutura.
A energia total do exciton ´e claramente uma fun¸c˜ao da estrutura quˆantica. Isto se
9
Nesta tese iremos trabalhar apenas com exciton de Wannier-Mott
1.5 Impurezas em nanoestruturas 20
h
e
Excitonde Wannier-Mott
(a)
ExcitondeFrenkel
(b)
Figura 1.12: (a) Representa¸c˜ao esquem´atica de um par el´etron-buraco, firmemente ligado,
formando um exciton de Frenkel. (b) Representa¸c˜ao esquem´atica de um par el´etron-buraco,
fracamente ligado, formando um exciton de Wannier-Mott. Figura reproduzida a partir da
Referˆencia [19].
deve ao fato de que a energia total do exciton depende da energia de confinamento, a qual
varia de acordo com o grau de liberdade dos portadores. A energia de liga¸c˜ao, devido `a
intera¸c˜ao Coulombiana do par el´etron-buraco, tamb´em depende do grau de liberdade dos
portadores, ou seja, do tipo da estrutura confinante.
1.5 Impurezas em nanoestruturas
A habilidade de introduzir impurezas em uma rede cristalina foi o avan¸co tecnol´ogico
mais importante no desenvolvimento dos semicondutores como mat´eria prima para a
ind´ustria eletrˆonica. Isto permitiu que as propriedades eletrˆonicas dos semicondutores
servissem `as necessidades da engenharia.
´
Atomos que s˜ao introduzidos em uma rede cris-
talina com um el´etron a mais do que o requerido para a liga¸c˜ao qu´ımica com os ´atomos
vizinhos da rede s˜ao facilmente ionizados, doando el´etrons para rede cristalina. Tais
´atomos recebem a denomina¸c˜ao de impurezas doadoras, Fig. 1.13(a).
´
Atomos que s˜ao
introduzidos na rede cristalina com um el´etron a menos do que ´e requerido para liga¸c˜ao
qu´ımica com os ´atomos vizinhos geram estados vazios na banda de valˆencia (buracos).
Tais ´atomos foram denominados de impurezas aceitadoras, Fig. 1.13(b). Estes buracos
movem-se na rede cristalina e podem contribuir para a condutividade el´etrica do semicon-
dutor. Dopar diferentes regi˜oes de uma mesma rede cristalina com impurezas doadoras e
1.5 Impurezas em nanoestruturas 21
As
+
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
e
-
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Bandade Valência
BandadeCondução
E
c
E
v
Eg
Ga
-
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
h
+
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Bandade Valência
BandadeCondução
E
c
E
v
Eg
(a)Impurezasdoadoras
(b)Impurezasaceitadoras
Figura 1.13: Esquerda: modelo esquem´atico de um Cristal de Si dopado com impurezas
substitucionais Ga (aceitador) e As (doador). Direita: representa¸c˜ao esquem´atica dos n´ıveis
de impurezas no gap de semicondutores dopados. E
c
e E
v
representam as energias m´ınimas e
m´aximas das bandas de condu¸c˜ao e valˆencia, respectivamente. Figura reproduzida a partir da
Referˆencia [10].
aceitadoras leva `a constru¸c˜ao de uma jun¸c˜ao p−n, a qual foi a base do primeiro transistor
a ser fabricado: o Transistor de Jun¸c˜ao Bipolar (TJB).
Impurezas num cristal modificam o potencial eletrost´atico nas suas vizinhan¸cas, que-
brando a simetria de transla¸c˜ao do potencial peri´odico. Essa perturba¸c˜ao pode produzir
fun¸c˜oes de onda eletrˆonicas que s˜ao localizadas nas proximidades da impureza, deixando
de ser propagantes em todo o cristal. As energias dessas fun¸c˜oes de onda s˜ao obtidas
atrav´es da equa¸c˜ao de Schr¨odinger, resolvida para o potencial da impureza. Essas ener-
gias aparecem na forma de n´ıveis discretos que podem estar situados entre as bandas do
cristal perfeito.
Quando um doador ´e inserido em um po¸co quˆantico, a estrutura ´e considerada mais
1.5 Impurezas em nanoestruturas 22
D
e
-
e
-
D
D
e
-
(a)
e
-
D
D
e
-
D
e
-
(b)
Figura 1.14: (a) Representa¸c˜ao esquem´atica do efeito da largura do po¸co quˆantico sobre a
fun¸c˜ao de onda do portador. (b) Representa¸c˜ao esquem´atica do efeito da posi¸c˜ao de impureza
sobre a fun¸c˜ao de onda do portador. Figura reproduzida a partir da Referˆencia [15].
complexa que o caso sem confinamento, devido `a limita¸c˜ao no movimento do portador,
em dois graus de liberdade, imposta pela barreira de potencial. Primeiro porque a energia
de liga¸c˜ao do portador (el´etron-impureza) depende do potencial de confinamento do po¸co
quˆantico. Na forma mais simples, isto pode ser representado atrav´es do efeito que a
largura do po¸co causa sobre a fun¸c˜ao de onda do portador (Fig. 1.14(a)). A energia
de liga¸c˜ao do portador ser´a diferente em um po¸co quˆantico duplo e em uma sup errede.
Em segundo lugar, a energia de liga¸c˜ao e a fun¸c˜ao de onda do portador dependem da
posi¸c˜ao que a impureza ocupa dentro do po¸co quˆantico. Quando a impureza ocupa a
posi¸c˜ao central do po¸co quˆantico, a energia de liga¸c˜ao e a fun¸c˜ao de onda do portador
s˜ao diferentes da energia de liga¸c˜ao e da fun¸c˜ao de onda do portador quando a impureza
ocupa uma p osi¸c˜ao pr´oxima a uma das interfaces do po¸co quˆantico, conforme ilustra a
Fig. 1.14(b).
O entendimento te´orico de nanoestruturas com uma impureza inserida requer a aplica-
¸c˜ao de teorias quˆanticas para o c´alculo das propriedades eletrˆonicas, ´opticas e de trans-
porte de po¸cos, fios e pontos quˆanticos, em conjunto com as teorias do eletromagnetismo
cl´assico. Em alguns casos, se faz necess´ario o uso de m´etodos computacionais sofisticados
para solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Schr¨odinger e Poisson atrav´es de m´etodos auto-consistentes,
como foi mostrado em disserta¸c˜ao de mestrado apresentada ao Departamento de F´ısica
da Universidade Federal do Cear´a, ver Ref. [24]. Em outros casos, necessita apenas ser
solucionada a equa¸c˜ao de Schr¨odinger para uma estrutura particular, com a inclus˜ao de
1.6 Diel´etricos em nanoestruturas 23
um termo coulombiano adicional que represente o potencial da impureza. O Hamilto-
niano para um el´etron confinado em uma nanoestrutura, consistente com a aproxima¸c˜ao
da massa efetiva e a fun¸c˜ao envelope, na presen¸ca de uma impureza, ´e o Hamiltoniano
padr˜ao para um el´etron confinado em um po¸co quˆantico simples mais o termo devido `a
intera¸c˜ao coulombiana, ou seja:
H = −
2
2m
∗
∇
2
+ ∆E (z) −
e
2
4πεr
, (1.29)
onde e representa a carga do el´etron e r ´e a posi¸c˜ao do el´etron com rela¸c˜ao `a impureza,
definida por:
r
2
= x
2
+ y
2
+ (z − r
d
)
2
, (1.30)
onde r
d
representa a posi¸c˜ao da impureza ao longo da dire¸c˜ao z de crescimento do po¸co
quˆantico. Por conveniˆencia, ´e considerado nesta equa¸c˜ao que a posi¸c˜ao da impureza
coincide com a origem do plano xy. Note-se tamb´em que a massa efetiva ´e considerada
constante na Eq. 1.21 para simplificar a an´alise do sistema.
M´etodos de solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger tˆem focado basicamente dois tipos de
aproxima¸c˜oes. A primeira destas aproxima¸c˜oes baseia-se na expans˜ao da fun¸c˜ao de onda
do el´etron como uma combina¸c˜ao linear de fun¸c˜oes Gaussianas [25, 26]. Esta t´ecnica pos-
sui uma boa aproxima¸c˜ao para calcular propriedades de impurezas em po¸cos quˆanticos
simples. A generaliza¸c˜ao desta t´ecnica para estruturas mais complexas n˜ao ´e, entre-
tanto, trivial. A segunda aproxima¸c˜ao baseia-se no princ´ıpio variacional. Neste m´etodo ´e
escolhida uma fun¸c˜ao de onda cuja forma funcional possa conter um ou mais parˆametros,
que s˜ao obtidos minimizando a energia do n´ıvel eletrˆonico. Embora estes sejam os m´etodos
comumente usados na literatura, neste trabalho ser´a aplicado um m´etodo para solucionar
a equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente do tempo que se baseia em propaga¸c˜ao no tempo
imagin´ario.
1.6 Diel´etricos em nanoestruturas
A fabrica¸c˜ao de nanodispositivos requer usualmente a combina¸c˜ao de semicondutores
com metais, isolantes e mol´eculas em um pequena regi˜ao do espa¸co. O comportamento
destes sistemas depende fortemente de aplica¸c˜ao de campo el´etrico, e muitos problemas
interessantes est˜ao relacionados a propriedades diel´etricas dos materiais que o constituem,
1.6 Diel´etricos em nanoestruturas 24
tais como:
• energia de liga¸c˜ao de um portador com a impureza;
• energia de liga¸c˜ao de um exciton;
• efeito de carga imagem sobre n´ıveis de energia dos portadores;
• efeito de carga imagem sobre energia de liga¸c˜ao de excitons e impurezas;
• propriedades ´opticas;
• propriedades de transporte.
Desta forma, a simula¸c˜ao de nanoestruturas em escala nanom´etrica torna-se um pro-
blema muito importante para desenvolvimento de nanotecnologias.
Desde a fabrica¸c˜ao do primeiro transistor, os diel´etricos vˆem sendo fundamentais na
fabrica¸c˜ao e opera¸c˜ao de dispositivos, bem como no uso como isolantes de interconectores.
As aplica¸c˜oes mais comuns dos diel´etricos est˜ao relacionadas `as importantes fun¸c˜oes que
estes desempenham em circuitos integrados como porta diel´etrica, elemento de mem´oria
dinˆamica de acesso randˆomico e isolantes em transistores (ver Fig. 1.4). Com a miniatu-
riza¸c˜ao das dimens˜oes dos dispositivos, e o conseq¨uente incremento em seu desempenho,
seguido da redu¸c˜ao do consumo de energia e o aumento da demanda da ordem de 15%, a
nanotecnologia requer destes diel´etricos incrementos significativos em seus desempenhos
nos dispositivos nanoestruturados. Alguns fatores s˜ao levados em conta no processo de
sele¸c˜ao do material diel´etrico a ser escolhido [7]:
• estabilidade termodinˆamica sobre Si;
• compatibilidade qu´ımica da porta diel´etrica e da porta de contato;
• influˆencia da estrutura eletrˆonica sobre as correntes de fuga atrav´es da interface
semicondutor-diel´etrico e sobre a eficiˆencia do transistor;
• caracter´ısticas das propriedades de transporte;
• forma¸c˜ao de defeitos na estrutura;
• compatibilidade qu´ımica no canal do Transistor de Efeito de Campo (FET: Field
Effect Transistor).
1.6 Diel´etricos em nanoestruturas 25
Para todas as portas diel´etricas finas a interface com o sil´ıcio desempenha um papel
importante, sendo, em muitos casos, um fator dominante na determina¸c˜ao das proprieda-
des el´etricas. O uso cont´ınuo do amorfo SiO
2
(di´oxido de sil´ıcio) como porta diel´etrica vem
oferecendo vantagens (nas ´ultimas trˆes d´ecadas) no processo de fabrica¸c˜ao de dispositivos
CMOS (Metal Oxide Semiconductor ) devido `as propriedades oferecidas por este diel´etrico
(estabilidade termodinˆamica quando em contato com Si, interface Si/SiO
2
e isolamento
el´etrico de qualidade). Apesar de todos estes benef´ıcios propiciados pelo diel´etrico SiO
2
,
o seu uso cont´ınuo come¸cou a ter limita¸c˜oes fundamentais, aproximando-se de um limite
te´orico de miniaturiza¸c˜ao. O principal problema concerne na corrente de tunelamento
atrav´es do diel´etrico para uma determinada tens˜ao aplicada ao dispositivo. Para um dis-
positivo t´ıpico, a corrente de tunelamento aceit´avel atrav´es de um diel´etrico SiO
2
com
15
˚
A de espessura, e submetido a uma tens˜ao de 1 V , ´e pr´oxima de 1 A/cm
2
. Visto que
o mecanismo de transporte dominante atrav´es de um filme de SiO
2
com uma espessura
pr´oxima de 30
˚
A ´e o tunelamento direto de el´etrons ou buracos, a corrente de tunelamento
cresce exponencialmente com o decr´escimo da espessura do diel´etrico [7]. De um ponto
de vista fundamental, foi sugerido que 7
˚
A ´e a espessura f´ısica limite para o SiO
2
, devido
`a forma¸c˜ao de um ´oxido SiO
x
de ∼ 3.5
˚
A na regi˜ao interfacial da nanoestrutura Si/SiO
2
[27].
O problema exposto sugere que a ind´ustria de dispositivos semicondutores est´a sub-
metida a exigˆencias tecnol´ogicas necess´arias para sua permanˆencia no mercado de dispo-
sitivos eletrˆonicos. Solu¸c˜oes para este problema tˆem sido amplamente propostas na
literatura [7, 27, 28, 29, 30]. Entre outras, surgem, como solu¸c˜oes, substituir a porta
diel´etrica por outro material ou executar/realizar mudan¸cas na geometria do dispositivo.
Todas essas solu¸c˜oes s˜ao fisicamente vi´aveis, embora a escolha por uma nova solu¸c˜ao
venha a ser definida por fatores econˆomicos. Entretanto, cabe ao pesquisador direcionar a
escolha p or uma alternativa que seja econˆomica e vi´avel, por meio de pesquisas que visam
caracterizar novos materiais alternativos. Muitos ´oxidos tˆem sido investigados como po-
tenciais candidatos para solu¸c˜ao deste problema. Tais materiais diel´etricos possuem, em
geral, constante diel´etrica maior que a constante diel´etrica do SiO
2
(ε
SiO
2
= 3.9ε
0
). Esta
procura por novos materiais gerou, como resultado, o interesse em uma grande quantidade
de materiais, dentre os quais destacaram-se aqueles apresentados na Tabela 1.1, alguns
dos quais j´a utilizados como porta diel´etrica.
1.6 Diel´etricos em nanoestruturas 26
Tabela 1.1: Propriedades relevantes dos materiais candidatos. Referˆencia [7]
Constante Gap ∆E
C
(eV )
Material Diel´etrica (ε/ε
0
) Eg (eV ) com Si
SiO
2
3.9 8.9 3.2
Si
3
N
4
7 5.1 2.0
Al
2
O
3
9 8.7 2.8
Y
2
O
3
15 5.6 2.3
T a
2
O
5
26 4.5 1-1.5
T iO
2
80 3.5 1.2
HfO
2
25 5.7 1.5
ZrO
2
25 7.8 1.4
1.6.1 Potencial eletrost´atico em meio diel´etrico
O uso de materiais diel´etricos em nanoestruturas tem influˆencia direta nas suas pro-
priedades eletrˆonicas e ´opticas. Embora estes problemas estejam bem definidos na lite-
ratura, c´alculos te´oricos de estruturas reais tˆem sido realizados com algumas aproxima¸c˜oes.
No caso de um po¸co quˆantico, alguns trabalhos usam o mesmo valor de massa efetiva e
constante diel´etrica para os materiais do po¸co e da barreira, evitando desta forma difi-
culdades te´oricas relacionadas a propriedades diel´etricas desta estrutura [31, 32, 33].
Em nanoestruturas formadas por materiais com constantes diel´etricas diferentes, a
intera¸c˜ao Coulombiana ´e significativamente alterada [34]. Este efeito ´e causado pela
redu¸c˜ao efetiva da constante diel´etrica com a penetra¸c˜ao do campo el´etrico no material
de constante diel´etrica menor, sendo denominado de confinamento diel´etrico, em um
trabalho proposto por Kumagai e Takagahara [35]. Portanto, se faz necess´ario investigar
a intera¸c˜ao Coulombiana de uma carga pontual inserida em um meio diel´etrico. A energia
de intera¸c˜ao entre duas cargas q e q
localizadas, respectivamente, nas posi¸c˜oes r e r
´e
igual a
V (r, r
) = qφ(r − r
), (1.31)
onde φ ´e obtido a partir da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Poisson
∇
r
· (ε(r)ε
0
∇
r
φ(r)) = −q
δ (r − r
) . (1.32)
Em um material homogˆeneo, onde a constante diel´etrica n˜ao muda, a energia de
intera¸c˜ao ´e igual a
1.6 Diel´etricos em nanoestruturas 27
V
b
(r −r
) =
qq
4πε
b
ε |r − r
|
. (1.33)
Quando o material ´e n˜ao homogˆeneo, V (r, r
) difere de V
b
(r −r
). Logo, a in-
tera¸c˜ao Coulombiana em heteroestruturas formadas com materiais de diferentes constan-
tes diel´etricas pode ser fortemente modificada. Outra conseq¨uˆencia importante se deve ao
fato de que a energia eletrost´atica da carga pontual depende de sua posi¸c˜ao r. De fato, a
carga pontual polariza o meio diel´etrico, induzindo polariza¸c˜ao de cargas nas superf´ıcies
e nas interfaces do sistema. Portanto, h´a uma intera¸c˜ao entre a carga pontual e o meio
polarizado, a qual depende da posi¸c˜ao da carga pontual com rela¸c˜ao `as superf´ıcies e `as
interfaces do sistema. Esta energia de intera¸c˜ao ´e denominada auto-energia Σ(z), por-
que o potencial ´e induzido pela presen¸ca da pr´opria carga pontual no meio diel´etrico. A
auto-energia Σ(z) devido `a diferen¸ca na constante diel´etrica da heteroestrutura pode ser
inclu´ıda no Hamiltoniano H
self
H
i,self
= −
2
2
d
dz
i
1
m
∗
i
d
dz
i
+ ∆E
i
(z
i
) + Σ
i
(z
i
), (1.34)
do el´etron (i = e ) e do buraco (i = h) confinado em um po¸co quˆantico, atrav´es do m´etodo
de carga imagem.
No c´alculo da energia total de excitons, confinados em po¸cos quˆanticos com diferentes
constantes diel´etricas, tˆem que ser levadas em considera¸c˜ao, al´em da auto energia do
el´etron e do buraco, as seguintes intera¸c˜oes:
1. intera¸c˜ao coulombiana el´etron-buraco;
2. intera¸c˜ao coulombiana do el´etron com as imagens do buraco;
3. intera¸c˜ao coulombiana do buraco com as imagens do el´etron.
A an´alise destas intera¸c˜oes precisa levar em conta as respectivas posi¸c˜oes do el´etron z
e
e
do buraco z
h
dentro e fora do po¸co quˆantico
10
.
10
O c´alculo da energia total do exciton levando em considera¸c˜ao estas intera¸c˜oes ser´a bem definido no
Cap´ıtulo 3.
1.7 Escopo da tese 28
1.7 Escopo da tese
Tendo em vista as importˆancias e aplica¸c˜oes das nanoestruturas, a presente tese tem
por objetivo principal investigar as propriedades eletrˆonicas e ´opticas de po¸cos quˆanticos
constitu´ıdos de materiais com constantes diel´etricas diferentes. O mo delo usado em
nossos estudos para calcular o potencial imagem em po¸cos quˆanticos ignora a natureza
atˆomica dos materiais, sendo portanto uma aproxima¸c˜ao do comportamento real do sis-
tema. Entretanto, esta aproxima¸c˜ao ´e justificada por ser consistente com a aproxima¸c˜ao
da massa efetiva, a qual tem sido comumente utilizada para descrever o comportamento
de el´etrons pr´oximos `a interface de filmes [36]. Neste trabalho calculamos o p otencial
imagem de auto-energia devido `a presen¸ca de uma carga pontual localizada em um meio
onde a constante diel´etrica varia espacialmente, dentro de uma heteroestrutura quˆantica
2D.
No Cap´ıtulo 2 estudamos sistemas quˆanticos de baixa dimensionalidade do tipo po¸cos
quˆanticos GaN/Hf O
2
e Si/High−k. Demonstramos que efeitos de cargas imagens, indu-
zidas pela varia¸c˜ao da constante diel´etrica, modificam fortemente a estrutura eletrˆonica
destes po¸cos quˆanticos, cujos modelos de confinamento usados para c´alculos de po¸cos
quˆanticos ideais s˜ao inadequados para descri¸c˜ao destes sistemas. Particularmente, dois
diferentes regimes de confinamento s˜ao observados: para po¸cos largos e estreitos.
No Cap´ıtulo 3 estudamos a energia de liga¸c˜ao e a energia total de excitons em po¸cos
quˆanticos abruptos formados por materiais tecnologicamente importantes para a ind´ustria
de dispositivos eletrˆonicos e opto-eletrˆonicos, tais como Si/SrT iO
3
, GaN/Hf O
2
, Si/SiO
2
,
GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As, GaAs/ZnSe e Si/SiO
2
. A energia de liga¸c˜ao e a energia total do
exciton s˜ao calculadas com o foco em efeitos causados por cargas imagens que aparecem
devido `a significante diferen¸ca entre a constante diel´etrica do material que comp˜oe o po¸co
(ε
w
) e a constante diel´etrica do material que comp˜oe a barreira (ε
b
) do po¸co quˆantico.
No Cap´ıtulo 4 estudamos a intera¸c˜ao entre el´etron-impureza em po¸cos quˆanticos
GaN/HfO
2
. Os c´alculos consideram simultaneamente todas as contribui¸c˜oes de ener-
gia causadas pela diferen¸ca entre as constantes diel´etricas de GaN (ε
GaN
=9.5) e HfO
2
(ε
HfO
2
=25): (i) potencial de auto-energia do el´etron Σ
e
(z
e
), que se origina a partir da in-
tera¸c˜ao do el´etron com suas cargas imagens; (ii) intera¸c˜ao Coulombiana el´etron-impureza;
(iii) intera¸c˜ao entre el´etron e as cargas imagens da impureza. A energia do el´etron, as-
sim como a energia de liga¸c˜ao, ´e obtida atrav´es de um m´etodo que se baseia na solu¸c˜ao
num´erica da equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente do tempo.
As conclus˜oes destes estudos est˜ao no Cap´ıtulo 5. Em seguida apresentamos no
Apˆendice A a resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente do tempo. No Apˆendice
1.7 Escopo da tese 29
B ´e mostrada a aceita¸c˜ao deste trabalho em Congressos nacionais e internacionais, bem
como publica¸c˜oes em revistas cient´ıficas. Por ´ultimo, listamos as referˆencias bibliogr´aficas
usadas para realiza¸c˜ao desta tese.
30
2 Propriedades eletrˆonicas e
´opticas de po¸cos quˆanticos
GaN/HfO
2
e Si/High − k
Neste Cap´ıtulo iremos estudar sistemas quˆanticos de baixa dimensionalidade do tipo
po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
e Si/High − k. Iremos demonstrar que efeitos de cargas
imagem, induzidos pela varia¸c˜ao da constante diel´etrica, modificam fortemente a estrutura
eletrˆonica destes po¸cos quˆanticos, cujos modelos de confinamento usados para c´alculos de
po¸cos quˆanticos ideais s˜ao inadequados para descri¸c˜ao destes sistemas. Particularmente,
dois diferentes regimes de confinamento s˜ao observados: para po¸cos largos e estreitos.
Em geral, para o primeiro caso, el´etrons, buracos leves e buracos pesados est˜ao espacial-
mente localizados na mesma regi˜ao. Para po¸cos largos, buracos pesados s˜ao confinados
na interface de algumas estruturas devido `a forte atra¸c˜ao das cargas imagens. Como con-
seq¨uˆencia, as transi¸c˜oes ´opticas envolvendo el´etrons e buracos pesados tornam-se menos
eficientes em po¸cos quˆanticos largos. Os resultados aqui apresentados tˆem aceita¸c˜ao na
comunidade cient´ıfica, atrav´es de publica¸c˜oes em revistas conceituadas e de circula¸c˜ao
internacional, Refs. [34, 37, 38, 39].
2.1 Introdu¸c˜ao 31
2.1 Introdu¸c˜ao
Propriedades diel´etricas de nanoestruturas baseadas em semicondutores tˆem sido in-
tensivamente estudadas nos ´ultimos anos, devido `a sua importˆancia na aplica¸c˜ao em
dispositivos eletrˆonicos e ´opticos [7, 40]. Exemplos de alguns problemas interessantes, re-
lacionados a propriedades diel´etricas dos materiais, s˜ao: a tens˜ao/corrente caracter´ıstica
do dispositivo [41, 42], energia de liga¸c˜ao de excitons e impurezas [35, 43, 44, 45], pro-
priedades eletrˆonica e ´optica de nanodispositivos [46, 47], energia de portadores em um
nanocapacitor [48, 49], etc.
Nos ´ultimos anos, novos materiais com constante diel´etrica elevada (high-k diel´etricos:
k ≥ 20)
1
tˆem chamado a aten¸c˜ao de muitos pesquisadores, devido `as promissoras pro-
priedades diel´etricas encontradas nestes materiais, considerados potencialmente quali-
ficados para substitui¸c˜ao do SiO
2
como material de portas diel´etricas em dispositivos
MOS (Metal-
´
Oxido-Semicondutor). Portanto, a introdu¸c˜ao destes high-k diel´etricos na
ind´ustria semicondutora ´e um assunto de consider´avel importˆancia para o desenvolvimento
de novos dispositivos eletrˆonicos e opto-eletrˆonicos e, por conseq¨uˆencia, a simula¸c˜ao de
estruturas em escala nanom´etrica torna-se crucial para o desenvolvimento desta nova e
avan¸cada nanotecnologia.
Os avan¸cos na fabrica¸c˜ao de alguns componentes semicondutores tˆem aberto opor-
tunidade para novas e potenciais aplica¸c˜oes. Por exemplo, o sucesso do crescimento
epitaxial, usando MBE, da perovesquita titanato de estrˆoncio SrT iO
3
e de di´oxido de
hafnium HfO
2
sobre um substrato semicondutor de Si e a forma¸c˜ao de filmes finos de
HfO
2
sobre a superf´ıcie de GaN(0001) foram recentemente aplicados em po¸cos quˆanticos
Nitretos/High − k, e apresentaram transi¸c˜oes ´opticas eficientes [50, 51, 52, 53]. Al´em
disso, a existˆencia de uma camada interfacial ´oxida de SiO
2
entre SrT iO
3
(ou HfO
2
) e
Si foi comprovada experimentalmente em trabalhos recentes [54, 55, 56, 57]. Entre outras
propriedades f´ısicas destas heteroestruturas, uma elevada diferen¸ca entre as constantes
diel´etricas de GaN e HfO
2
; Si e Hf O
3
; Si e SrT iO
3
´e observada, e este fato introduz
contribui¸c˜oes no potencial de confinamento de el´etrons e buracos, relacionadas a efeitos
de polariza¸c˜ao. Este efeito pode ser estudado por m´etodo de carga imagem e, como se
sabe, o potencial imagem pr´oximo da interface entre dois diel´etricos ´e atrativo (repulsivo)
quando o portador, el´etron ou buraco, encontra-se no diel´etrico de constante diel´etrica
menor (maior) [34, 37, 36, 58]. Tal potencial, repulsivo ou atrativo, ao qual o portador ´e
submetido devido `a sua intera¸c˜ao com as imagens que ele produz, ´e comumente denomi-
nado na literatura por self energy potential [35, 44, 45], ou seja, potencial de auto-energia,
1
k = ε/ε
0
2.2 Modelo Te´orico 32
representado nesta tese pelo s´ımbolo Σ
i
(z
i
).
No caso de po¸cos quˆanticos, a combina¸c˜ao do potencial de auto-energia com o poten-
cial de confinamento ∆E
i
devido `as bandas de energia resulta em uma forte modifica¸c˜ao
da estrutura eletrˆonica do po¸co. Assim, o potencial de auto-energia Σ
i
(z
i
) do portador
i n˜ao pode ser omitido no estudo das propriedades eletrˆonicas e ´opticas de nanoestru-
turas constitu´ıdas de materiais com diferen¸cas significativas nas constantes diel´etricas.
Em po¸cos quˆanticos do tipo GaAs/Al
x
Ga
1−x
As e sistemas similares de semicondutores
do grupo III-V a diferen¸ca entre as constantes diel´etricas ´e muito pequena. Conseq¨uente-
mente, a contribui¸c˜ao devido ao potencial de auto-energia ´e quase sempre desconsiderada
nestes sistemas. Entretanto, o potencial de auto-energia n˜ao pode ser negligenciado em sis-
temas que apresentam diferen¸cas significativas nas constantes diel´etricas, como por exem-
plo os po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
, Si/HfO
2
e Si/SrT iO
3
(ε
HfO
2
= 25, ε
SrT iO
3
= 300,
ε
GaN
= 9.5 e ε
Si
= 11.7 ).
O prop´osito deste Cap´ıtulo ´e descrever o m´etodo usado para estudar as mudan¸cas da
estrutura eletrˆonica de po¸cos quˆanticos abruptos e n˜ao abruptos, bem como os efeito sobre
as propriedades eletrˆonicas e ´opticas devido ao potencial de auto-energia. Para simular
po¸cos quˆanticos n˜ao abruptos, consideramos uma varia¸c˜ao linear dos parˆametros f´ısicos
que caracterizam o po¸co quˆantico, o que nos permite evitar divergˆencias do potencial
imagem de auto-energia na posi¸c˜ao das interfaces. O c´alculo do potencial de auto-energia
´e uma extens˜ao do trabalho proposto por F. Stern [36] para po¸cos quˆanticos n˜ao abruptos.
Embora a existˆencia de uma interface ´oxida de SiO
2
entre SrT iO
3
(ou Hf O
2
) e Si tenha
comprova¸c˜ao experimental, nesta Se¸c˜ao n˜ao ser˜ao descritas as propriedades destes siste-
mas. Entretanto, em um trabalho recente [38] demonstramos as propriedades eletrˆonicas
de po¸cos quˆanticos Si/SiO
2
/SrT iO
3
e T iO
2
/SrT iO
3
/Si, sendo este ´ultimo baseado no
trabalho proposto por Tuan et al. [59].
2.2 Modelo Te´orico
O modelo usado para simular po¸cos quˆanticos n˜ao abruptos baseia-se em um semi-
condutor crescido na dire¸c˜ao de z, limitado na regi˜ao |z| ≤ (a−σ), entre duas camadas de
diel´etricos crescidos nas regi˜oes |z| ≥ a. Nas regi˜oes entre o semicondutor e os diel´etricos
consideramos a existˆencia de interfaces n˜ao abruptas de espessura igual a σ, localizadas
nas regi˜oes (a − σ) ≤ |z| ≤ a. Nestas camadas os parˆametros massa efetiva do portador
m
∗
i
(z
i
), potencial de confinamento ∆E
i
(z
i
) e a constante diel´etrica ε(z) s˜ao tratados como
uma interpola¸c˜ao linear entre os valores dos parˆametros dos materiais que formam as
barreiras e po¸co da estrutura. Um diagrama esquem´atico mostrando o perfil do potencial
2.2 Modelo Te´orico 33
DE
e
DE
h
Eg
2
Eg
1
z
z
1
z
2
z
3
z
4
0
s
s
Wellwidth
e
b
e
w
e
b
e
1
(z) e
2
(z)
Figura 2.1: Perfil do po¸co quˆantico. Linha s´olida representa po¸co n˜ao abrupto, linha tracejada
representa po¸co abrupto e as linhas pontilhadas s˜ao as fun¸c˜oes de onda do portador (z
1
= −a;
z
2
= −(a −σ); z
3
= (a −σ); z
4
= a).
para um po¸co quˆantico abrupto e n˜ao abrupto ´e ilustrado na Fig. 2.1.
A equa¸c˜ao do tipo Schr¨odinger independente do tempo, que descreve o movimento do
portador confinado na dire¸c˜ao z de crescimento do po¸co quˆantico, dentro da aproxima¸c˜ao
da massa efetiva, ´e dada por
H
i
ψ
i
(z) = E
i
n
ψ
i
(z), (2.1)
onde E
i
n
´e o n-´esimo n´ıvel de energia do portador i (i = e, h) e H
i
´e o operador Hamilto-
niano que descreve todas as contribui¸c˜oes de energia dos portadores, ou seja
H
i
=
p
2
2m
∗
i
+ ∆E
i
(z
i
) + Σ
i
(z
i
), (2.2)
onde Σ
i
(z
i
) ´e o potencial de auto-energia, ∆E
i
(z
i
) ´e o potencial de confinamento devido
`as bandas de energias, m
∗
i
´e a massa efetiva do portador e p ´e o operador momento linear
quˆantico, dado por
p = −i∇,
ou na forma unidimensional,
p = −i
ˆ
k
d
dz
. (2.3)
2.2 Modelo Te´orico 34
Usando esta equa¸c˜ao como operador de energia cin´etica, o Hamiltoniano da Eq. 2.2
fica
H
i
= −
2
2m
∗
i
d
2
dz
2
i
+ ∆E
i
(z) + Σ
i
(z). (2.4)
Entretanto, para modelos mais robustos, os quais consideram que a massa efetiva
varia espacialmente nas regi˜oes interfaciais, o operador Hamiltoniano deve considerar a
dependˆencia espacial deste parˆametro. Em nosso modelo, trabalhamos com o operador
proposto por BenDaniel e Duke [60], por ser o mais usado na literatura. Ent˜ao, o operador
Hamiltoniano consistente com a varia¸c˜ao da massa efetiva fica
H
i
= −
2
2
d
dz
i
1
m
∗
i
d
dz
i
+ ∆E
i
(z
i
) + Σ
i
(z
i
), (2.5)
e a equa¸c˜ao do tipo Schr¨odinger independente do tempo, Eq. 2.1, dentro da aproxima¸c˜ao
da massa efetiva, fica igual a
−
2
2
d
dz
i
1
m
∗
i
d
dz
i
ψ
i
(z) + V
T
(z
i
)ψ
i
(z
i
) = E
i
n
ψ
i
(z
i
), (2.6)
onde V
T
(z
i
) ´e o potencial total de confinamento do portador dado pela soma
V
T
(z
i
) = ∆E
i
(z
i
) + Σ
i
(z
i
). (2.7)
O potencial ∆E
i
(z
i
) devido `as bandas de energia ´e dado pela interpola¸c˜ao linear
mostrada na Tabela 2.1. O potencial imagem Σ
i
(z
i
) ´e calculado atrav´es da solu¸c˜ao da
equa¸c˜ao de Poisson, levando em considera¸c˜ao as condi¸c˜oes de contorno da geometria do
po¸co quˆantico.
O p otencial eletrost´atico φ(r) produzido por uma carga pontual localizada em (ρ = 0,
Tabela 2.1: Potencial de confinamento ∆E
i
(z
i
) devido `as bandas de energia. Q
i
representa o
band-off-set de condu¸c˜ao (i = e) e valˆencia (i = h).
Q
i
(Eg
2
− Eg
1
) z < z
1
−Q
i
(Eg
2
− Eg
1
)
z+a−σ
σ
z
1
< z < z
2
∆E
i
(z
i
) = 0 |z| < z
3
Q
i
(Eg
2
− Eg
1
)
z−a+σ
σ
z
3
< z < z
4
Q
i
(Eg
2
− Eg
1
) z > z
4
2.2 Modelo Te´orico 35
z = z
0
), onde a constante diel´etrica varia com a posi¸c˜ao, satisfaz a equa¸c˜ao:
∇ ·[ε(z)∇φ(r)] = −Qδ(r − r
0
). (2.8)
Se a constante diel´etrica depende apenas da coordenada z, podemos escolher a posi¸c˜ao
da carga pontual coincidindo com a origem do plano xy. Definindo uma coordenada radial
R, o potencial φ(r) pode ser expresso como uma expans˜ao do tipo Fourier-Bessel [36]:
φ(r) =
∞
0
qJ
0
(qR)A(z; q)dq, (2.9)
onde J
0
(x) ´e a fun¸c˜ao de Bessel de ordem zero e A(z; q) ´e uma fun¸c˜ao a ser determinada
a partir das condi¸c˜oes de contorno nas posi¸c˜oes interfaciais do po¸co: continuidade do
potencial eletrost´atico e do deslocamento el´etrico, ou seja, φ(r) e ε
i
∂φ
i
/∂z, devem ser
cont´ınuos nas posi¸c˜oes interfaciais z = ±a e z = ±(a − σ). O coeficiente A(z; q) satisfaz
a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial
A

(z; q) − q
2
A(z; q) +
ε
(z)
ε(z)
A
(z; q) = −
Q
2πε(z
0
)
δ(z − z
0
), (2.10)
onde as derivadas da Eq. 2.10 s˜ao feitas com rela¸c˜ao `a coordenada z. As condi¸c˜oes de
contorno tˆem que satisfazer A(z; q) → 0 quando |z| → ∞. Se a constante diel´etrica for
independente de z, o que significa considerar um po¸co quˆantico onde ε
b
= ε
w
, ent˜ao a
solu¸c˜ao da Eq. 2.10 ser´a:
A
0
(z; q) =
Q
4πε(z
0
)
e
−q|z−z
0
|
, (2.11)
e o potencial eletrost´atico ser´a igual ao potencial Coulombiano
φ(r) =
Q
4πε(z
0
)|z − z
0
|
, (2.12)
o qual diverge na posi¸c˜ao da carga pontual. A equa¸c˜ao que expressa o potencial imagem
na posi¸c˜ao z
0
da carga pontual, incluindo a varia¸c˜ao espacial da constante diel´etrica, pode
ser escrita como
2.2 Modelo Te´orico 36
Σ(z) =
Q
2
∞
0
q
A(z
0
; q) − A
0
(z
0
; q)
dq, (2.13)
onde o fator 1/2 aparece porque o potencial imagem ´e um p otencial de auto-energia. A
Eq. 2.13 fornece a intera¸c˜ao de energia de todas a cargas imagens sobre a carga pontual
(el´etron ou buraco), excluindo a intera¸c˜ao da carga consigo mesma.
2.2.1 Po¸cos abruptos
Em po¸cos quˆanticos com interfaces abruptas, a Eq. 2.10 se reduz a
A

(z; q) − q
2
A(z; q) = −
Q
2πε(z
0
)
δ(z − z
0
), (2.14)
e as solu¸c˜oes para a Eq. 2.13 s˜ao dadas por
Σ
lb
(z
i
) =
ε
w
λQ
2π (ε
w
+ ε
b
)
2
∞
0
e
q(2z−L)
1 + λ
2
e
−2qL
dq +
λQ
16πε
b
z +
L
2
, (2.15)
Σ
w
(z
i
) =
λQ
8πε
w
∞
0
e
q(2z−L)
+ 2λe
−2qL
+ e
−q(2z+L)
1 + λ
2
e
−2qL
dq, (2.16)
Σ
rb
(z
i
) =
ε
w
λQ
2π (ε
w
+ ε
b
)
2
∞
0
e
−q(2z+L)
1 + λ
2
e
−2qL
dq +
λQ
16πε
b
z −
L
2
, (2.17)
onde os ´ındices lb, w e rb denotam, respectivamente, a regi˜ao da barreira do lado esquerdo
do po¸co, a regi˜ao interna ao po¸co e a regi˜ao da barreira do lado direito do po¸co. As
grandezas ε
b
e ε
w
representam, respectivamente, as constantes diel´etricas da barreira e
do po¸co. A constante λ = (ε
w
− ε
b
)/(ε
w
+ ε
b
) surge devido `as condi¸c˜oes de contorno. Q
´e a carga elementar e L representa a largura do po¸co quˆantico. O potencial imagem de
auto-energia Σ
i
(z
i
) diverge na posi¸c˜ao das interfaces, ou seja, quando z → ±L/2. Para
contornar esta divergˆencia, usamos um esquema num´erico similar ao shift δ introduzido
fenomenologicamente por Kumagai e Takagahara na Referˆencia [35].
2.2.2 Po¸cos n˜ao abruptos
Em po¸cos quˆanticos com interfaces n˜ao abruptas, a constante diel´etrica varia linear-
mente nas interfaces atrav´es de uma interpola¸c˜ao linear entre a constante diel´etrica da
barreira ε
b
e a constante diel´etrica do po¸co ε
w
. A Tabela 2.2 mostra esta interpola¸c˜ao
2.2 Modelo Te´orico 37
Tabela 2.2: Interpola¸c˜ao linear entre a constante diel´etrica da barreira ε
b
e a constante
diel´etrica do po¸co ε
w
.
ε
b
> ε
w
ε
b
< ε
w
ε
i
(z) = ε
w
+ (ε
b
− ε
w
)S(z) ε
i
(z) = ε
w
+ (ε
b
− ε
w
)S(z)
1 0 z < z
1
−
z+a−σ
σ
z+a
σ
z
1
< z < z
2
S(z) = 0 1 |z| < z
3
z−a+σ
σ
−
z−a
σ
z
3
< z < z
4
1 0 z > z
4
linear para po¸cos quˆanticos baseados em diel´etricos high-k (ε
b
> ε
w
) e para po¸cos quˆanticos
diel´etricos (ε
b
< ε
w
).
O modelo de carga imagem para o c´alculo do potencial de auto-energia requer que a
solu¸c˜ao para a Eq. 2.10, nas regi˜oes interfaciais, obtidas atrav´es da fun¸c˜ao de Green [61],
seja dada por:
A(z; q) = αI
0
(η) + βK
0
(η), (2.18)
para a interface `a esquerda do po¸co, e
A(z; q) = ωI
0
(γ) + νK
0
(γ), (2.19)
para a interface `a direita do po¸co. As grandezas I
0
(x) e K
0
(x) s˜ao fun¸c˜oes modificadas
de Bessel com argumento imagin´ario. As constantes α, β, ω e ν s˜ao obtidas a partir das
condi¸c˜oes de contorno. O argumento η das fun¸c˜oes de Bessel ´e dado por
η =
q
σε
w
ε
b
−ε
w
− a − z
→ ε
b
> ε
w
;
q
z + a +
σε
w
ε
w
−ε
b
→ ε
b
< ε
w
,
(2.20)
e o argumento γ ´e dado por
γ =
q
z − a +
σε
w
ε
b
−ε
w
→ ε
b
> ε
w
;
q
σε
w
ε
w
−ε
b
+ a − z
→ ε
b
< ε
w
.
(2.21)
A equa¸c˜ao de Poisson ´e resolvida numericamente, com a constante diel´etrica deter-
2.2 Modelo Te´orico 38
minada pela interpola¸c˜ao linear mostrada na Tabela 2.2. Para valores grandes de |z|, em
um meio onde a constante diel´etrica ´e homogˆenea, ent˜ao a solu¸c˜ao para A(z; q) tem valor
aproximado a
A(z; q) ∼ exp (−q|z|) . (2.22)
As condi¸c˜oes de contorno para o potencial requerem que A(z
0
−
; q) = A(z
0
+
; q) e
dA(z; q)
dz
z
0
+
−
dA(z; q)
dz
z
0
−
=
Q
2πε(z
0
)
. (2.23)
A integral da Eq. 2.13 ´e resolvida para grandes valores de |z|, satisfazendo a igualdade
z = z
0
.
2.2.3 Adi¸c˜ao de campo el´etrico
Do ponto de vista pr´atico, ´e importante investigar os efeitos de campos el´etricos
externos sobre a estrutura eletrˆonica do po¸co quˆantico. O campo el´etrico, aplicado ao
longo da dire¸c˜ao do eixo z−, empurra el´etrons e buracos em sentidos opostos, na dire¸c˜ao
das interfaces, resultando em uma redu¸c˜ao l´ıquida na energia total do par el´etron-buraco
e em um deslocamento na energia de absor¸c˜ao do exciton, o qual ´e conhecido na literatura
por efeito Stark [62], e pode ser observado experimentalmente em heteroestruturas [63].
Para analisar o problema de el´etrons e buracos confinados em p o¸cos quˆanticos sob
efeito de campos el´etricos externos F, aplicado na dire¸c˜ao z
−
, consideramos no Hamilto-
niano do portador uma contribui¸c˜ao na energia devido ao potencial eletrost´atico ±eF z
i
(i = e → eF z
e
; i = h → −eF z
h
) que o portador ´e submetido devido ao campo el´etrico.
Reescrevendo a Eq. 2.5 com a contribui¸c˜ao do campo, temos
H
e
= −
2
2
d
dz
e
d
m
∗
e
d
dz
e
+ ∆E
e
(z) + Σ
e
(z) + eF z
e
, (2.24)
para el´etrons, e
H
h
= −
2
2
d
dz
h
d
m
∗
h
d
dz
h
+ ∆E
h
(z) + Σ
e
(z) − eF z
h
, (2.25)
para buracos. Ent˜ao, a equa¸c˜ao do tipo Schr¨odinger a ser solucionada ser´a dada pela Eq.
2.6
2.3 Po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
39
−
2
2
d
dz
i
d
m
∗
i
d
dz
i
ψ
i
(z) + V
T
(z
i
)ψ
i
(z
i
) = E
i
n
ψ
i
(z
i
),
para o potencial total V
T
(z
i
) dado por:
V
T
(z
i
) = ∆E
i
(z
i
) + Σ
i
(z
i
) ±eF z
i
(2.26)
onde consideramos i = e → eF z
e
e i = h → −eF z
h
.
2.3 Po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
Nesta Se¸c˜ao iremos descrever as modifica¸c˜oes na estrutura eletrˆonica do po¸co quˆantico
GaN/HfO
2
devido `a diferen¸ca entre as constantes diel´etricas do po¸co ( ε
GaN
= 9.5) e da
barreira (ε
HfO
2
= 25). Por simplicidade, os parˆametros do semicondutor GaN usados
referem-se `a fase cristalina zinc blend [64] em lugar da fase cristalina wurtzite, com o
objetivo de evitar complicados efeitos de polariza¸c˜ao espontˆanea e piezoel´etrica [65, 66]
que s˜ao observados na fase cristalina wurtzite deste semicondutor, o que poderia sobrepor
os efeitos de cargas imagens que queremos mostrar para esta heteroestrutura. O modelo
da heteroestrutura ´e formado por uma camada de GaN localizada na regi˜ao |z| ≤ (a −σ)
entre duas camadas do ´oxido Hf O
2
localizadas nas regi˜oes |z| ≥ a. Entre estes materiais,
consideramos a existˆencia de uma interface gradual de espessura σ, localizada nas regi˜oes
(a − σ) ≤ |z| ≤ a. Nestas camadas interfaciais, parˆametros como massa efetiva m
∗
i
(z
i
),
potencial de confinamento devido `as bandas de energia ∆E
i
(z
i
) e `a constante diel´etrica
ε(z) s˜ao tratados como uma interpola¸c˜ao linear entre os valores da regi˜ao da barreira e da
regi˜ao interna ao po¸co. Estes parˆametros foram obtidos a partir das Referˆencias [64, 67].
Embora Cook et al. [68] tenham mostrado, em um trabalho recente, que ∆E
e
= 2.1
eV e ∆E
h
= 0.3 eV para o po¸co wurtzite GaN(0001)/HfO
2
, a falta deste parˆametro
na literatura para o po¸co zinc blend GaN/HfO
2
nos levou a estimar estas quantidades
atrav´es de um modelo simples de afinidade eletrˆonica [69, 70], para os quais obtivemos
os valores ∆E
e
= 0.9 eV e ∆E
h
= 1.6 eV. Os demais parˆametros necess´arios para a
simula¸c˜ao do po¸co s˜ao fornecidos na Tabela 2.3
A Fig. 2.2 ilustra as contribui¸c˜oes para a energia de confinamento do portador,
definidas pela Eq. 2.26. Em (a) o potencial de condu¸c˜ao ∆E
e
(z
e
) ´e plotado em eV. Em
(b) o potencial de auto-energia Σ
i
(z
i
) mostra que o uso apropriado de uma varia¸c˜ao linear
da constante diel´etrica atrav´es das interfaces do po¸co contorna o problema de divergˆencias,
2.3 Po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
40
Figura 2.2: Po¸co quˆantico GaN/HfO
2
. (a) Potencial de confinamento ∆E
e
(z
e
) em eV; (b)
Representa¸c˜ao do potencial de auto-energia Σ
i
(z
i
) em meV. Perfil do potencial de confinamento
para el´etrons e buracos, em (c) sem campo el´etrico V
i
T
= ∆E
i
+ Σ
i
(z
i
) e em (d) com campo
el´etrico de 200 kV/cm, V
i
T
= ∆E
i
+Σ
i
(z
i
)±eF z
i
. As fun¸c˜oes de onda do el´etron e do buraco est˜ao
representadas pela linha vermelha no gr´afico (c) e (d) e a linha horizontal em azul representa o
estado fundamental de energia do portador.
conduzindo a um potencial imagem de auto-energia limitado e cont´ınuo, em oposi¸c˜ao ao
caso abrupto, onde h´a divergˆencias e descontinuidades [61]. Conforme ilustra o gr´afico, o
potencial imagem de auto-energia tende a zero quando |z| tende para um valor elevado.
Este resultado remove a singularidade e descontinuidade do potencial imagem cl´assico da
Eq. 2.12. Al´em disso, o portador sente um potencial de auto-energia atrativo dentro do
po¸co e repulsivo nas barreiras, isto porque a constante diel´etrica da barreira ´e maior que
a do po¸co (ε
b
> ε
w
). Os demais gr´aficos da Fig. 2.2 ilustram os resultados obtidos para
o perfil do potencial de confinamento sem campo el´etrico (V
i
T
(z
i
) = ∆E
i
(z
i
) + Σ
i
(z
i
))
na Fig. 2.2(c), e com um campo el´etrico de intensidade igual a 200 kV/cm (V
i
T
(z
i
) =
∆E
i
(z
i
) + Σ
i
(z
i
) ±eF z
i
) na Fig. 2.2(d).
As Figs. 2.3(a)-2.3(c) ilustram o estado fundamental de energia dos portadores E
i
0
em
fun¸c˜ao da largura do po¸co L para el´etron, buraco leve e buraco pesado, respectivamente.
As curvas dos gr´aficos indicam que o modelo ideal para o c´alculo de energia dado pela
rela¸c˜ao E
n
∼ n
2
/L
2
, onde n indica o n´ıvel de energia do portador e L representa a
largura do po¸co, n˜ao se aplica `a heteroestrutura GaN/HfO
2
. Fenomenologicamente, as
Tabela 2.3: Parˆametros dos materiais. Referˆencias [57, 59].
GaN HfO
2
Eg (eV) 3.4 5.8
ε/ε
0
9.5 25
m
e,⊥
/m
0
0.19 0.836
m
lh,⊥
/m
0
0.27 0.580
m
hh,⊥
/m
0
0.86 0.871
2.3 Po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
41
Figura 2.3: N´ıveis de energia dos portadores no estado fundamental em fun¸c˜ao da largura do
po¸co para (a) el´etrons, (b) buraco leve e (c) buraco pesado. Linhas preta, vermelha e azul
representam, respectivamente, interfaces com espessura de 0.0 nm (abrupta), 0.5 nm e 1.0 nm.
cargas imagens induzidas, as quais tem sinal oposto ao do portador, criam um potencial
acentuado e atrativo no material GaN (e repulsivo no material HfO
2
) que puxa o portador
na dire¸c˜ao das interfaces. A for¸ca deste potencial ´e t˜ao grande quanto maior for a diferen¸ca
entre as constantes diel´etricas ε
b
e ε
w
.
A referˆencia da energia potencial ´e tomada com rela¸c˜ao ao n´ıvel zero do potencial
∆E
i
(z
i
), ilustrado na Fig. 2.2(a). Quando o potencial Σ
i
(z
i
) da Fig. 2.2(b) ´e adicionado,
o menor valor do potencial total V
T
(z
i
) assume valores negativos abaixo do referencial
zero do potencial ∆E
i
(z
i
), conforme ilustra a Fig. 2.2(c). Isto faz com que o estado
fundamental dos portadores assuma valores negativos, conforme ilustram os gr´aficos da
energia em fun¸c˜ao da largura do p o¸co na Fig. 2.3. Estes gr´aficos mostram que, exceto
para buraco pesado em po¸cos abruptos, as energias dos portadores decrescem at´e atingir
um valor m´ınimo, em po¸cos com largura entre 5 e 9 nm, dependendo do portador e da
espessura da interface. Ent˜ao, para po¸cos com larguras maiores que 9 nm a energia do
portador cresce assintoticamente em dire¸c˜ao a zero, exibindo um comportamento dife-
rente do convencional (E
n
∼ n
2
/L
2
), o que indica a existˆencia de diferentes regimes de
confinamento para po¸cos estreitos e para po¸cos largos em heteroestruturas GaN/HfO
2
.
2.3 Po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
42
Figura 2.4: Fun¸c˜ao de onda dos portadores em unidades arbitr´arias: el´etron (linha preta),
buraco leve (linha vermelha) e buraco pesado (linha azul). As fun¸c˜oes de onda dos gr´aficos
acima, em (a) e (c), s˜ao de po¸cos estreitos com 5 nm; abaixo, em (b) e (d), s˜ao para po¸cos largos
com 20 nm. σ representa a espessura da interface.
Este efeito ´e melhor observado comparando os gr´aficos da Fig. 2.4, os quais plotam
as fun¸c˜oes de onda dos portadores para po¸cos quˆanticos estreitos (5 nm) e para po¸cos
quˆanticos largos (20 nm). Em po¸cos quˆanticos estreitos, el´etrons e buracos est˜ao con-
finados espacialmente na mesma regi˜ao do po¸co. As fun¸c˜oes de onda mostram-se um
pouco espalhadas em po¸cos abruptos e pressionadas para o centro do po¸co em po¸cos n˜ao
abruptos, conforme se observa nas Fig. 2.4 (a) e 2.4(c), respectivamente. Por outro lado,
este efeito n˜ao se observa em p o¸cos largos, onde o comportamento das fun¸c˜oes de onda
mostra que buraco pesado encontra-se espacialmente separado de el´etron e buraco leve,
devido ao potencial de auto-energia atrativo que confina o buraco pesado nas interfaces
do po¸co GaN/HfO
2
, conforme mostram as Fig. 2.4 (b) e 2.4(d). Um comportamento
semelhante a este ´e observado tamb´em em heteroestruturas do tipo II.
A presen¸ca ou ausˆencia de interfaces n˜ao abruptas afeta o confinamento dos portadores
em po¸cos largos, de uma forma tal que:
1. buraco pesado est´a mais pressionado para o centro do po¸co em po¸cos n˜ao abruptos
do que em po¸cos abruptos;
2. embora interfaces n˜ao abruptas pressionem buraco pesado para o centro do po¸co, o
confinamento interfacial deste portador ainda persiste, conforme mostram as Figs.
2.4(b) e 2.4(d);
2.3 Po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
43
3. a fun¸c˜ao de onda do el´etron tende para um confinamento interfacial em po¸cos ab-
ruptos, o que deve ocorrer em po¸cos largos (L > 20 nm), Fig. 2.4(b).
Como iremos ver, tais efeitos interfaciais afetam profundamente as propriedades ´opticas
de po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
. Para as larguras L de po¸cos GaN/HfO
2
investigadas
nesta tese, n˜ao foi observado confinamento interfacial de el´etron e buraco leve devido ao
pequeno valor de massa efetiva destes portadores (ver Tabela 2.3). Entretanto, o con-
finamento interfacial pode ocorrer para qualquer tipo de portador em heteroestruturas
semicondutor/High −k, dependendo apenas de trˆes fatores:
1. grau da diferen¸ca entre as constantes diel´etricas do po¸co ε
w
e da barreira ε
b
;
2. valor da massa efetiva do portador;
3. altura do potencial de confinamento ∆E
i
(z
i
).
O motivo pelo qual n˜ao ocorre confinamento interfacial de portadores em po¸cos
estreitos se deve `a altura do p otencial ∆E
i
(z
i
) j´a que, embora o potencial Σ
i
(z
i
) esteja
presente, o seu efeito ´e menor em compara¸c˜ao com o confinamento imposto pelo primeiro
potencial. Para po¸cos largos, as cargas imagens est˜ao mais separadas umas das outras
e do centro do po¸co. Por isso, o potencial Σ
i
(z
i
) ´e mais forte pr´oximo das interfaces,
espalhando a fun¸c˜ao de onda dos portadores.
A Fig. 2.5 ilustra o efeito Stark
∆E
R
= E
R
(F = 0) −E
R
(F = 0), (2.27)
sobre a energia de recombina¸c˜ao E
R
= E
e
+ E
h
+ Eg para po¸cos estreitos (L = 5 nm) e
para po¸cos largos (L = 20 nm). Observa-se que ∆E
R
pode ser superestimado por algumas
dezenas de meV, se forem levados em considera¸c˜ao efeitos do potencial imagem de auto-
energia. Esta diferen¸ca cresce com o campo F e com a largura do po¸co L, e torna-se t˜ao
grande quanto 72 meV em po¸cos abruptos de 20 nm de largura, para campos el´etricos
de 300 kV/cm. A presen¸ca de interfaces n˜ao abruptas apenas decresce a amplitude deste
efeito.
Outro importante parˆametro para dispositivos ´opticos ´e a eficiˆencia das transi¸c˜oes
eletrˆonicas. Esta quantidade pode ser estimada atrav´es da superposi¸c˜ao da fun¸c˜ao de
onda do el´etron com a fun¸c˜ao de onda do buraco |ψ
e
(z
e
)| ψ
h
(z
h
)|
2
, plotadas na Fig. 2.6
para po¸cos largos e estreitos, sem e com efeito de campo el´etrico (F = 200 kV/cm).
2.3 Po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
44
Figura 2.5: Efeito Stark sobre a energia de recombina¸c˜ao ∆E
R
para po¸cos com largura de
(a)-(c) 5 nm e (b)-(d) 20 nm. (a)-(b) Energia de recombina¸c˜ao de el´etron-buraco leve e (c)-(d)
energia de recombina¸c˜ao de el´etron-buraco pesado. Linha preta representa interface abrupta e
linha vermelha interface de 1.0 nm. Para efeitos de compara¸c˜ao, os s´ımbolos (σ = 0.0 nm) e
◦ (σ = 1.0 nm) s˜ao plotados para representar a energia de recombina¸c˜ao sem efeito do potencial
de auto-energia.
Figura 2.6: Superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda do el´etron e do buraco versus largura do po¸co,
(a)-(c) el´etron-buraco leve e (b)-(d) el´etron buraco pesado, para po¸cos n˜ao polarizados (es-
querda) e polarizados por um campo el´etrico de intensidade igual a 200 kV/cm (direita). As
interfaces consideradas s˜ao: abrupta (preto), 0.5 nm (vermelho) e 1.0 nm (azul). Para efeito
de compara¸c˜ao, resultados sem efeito do potencial de auto-energia, para po¸cos n˜ao polarizados
tamb´em s˜ao inclu´ıdos: σ = 0.0 nm (), σ = 0.5 nm () and σ = 1.0 nm (×).
2.4 Po¸cos quˆanticos Si/High − k 45
Para po¸cos n˜ao polarizados pelo campo, o efeito do potencial de auto-energia modifica
fortemente o comportamento da superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda, indicando que, in-
dependentemente da existˆencia de interfaces n˜ao abruptas, a eficiˆencia das transi¸c˜oes
eletrˆonicas pode ser menor que o previsto pelo modelo de confinamento ideal, com o
crescimento da largura do po¸co. A superposi¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda do el´etron com a
fun¸c˜ao de onda do buraco pesado decresce devido ao confinamento interfacial do buraco
pesado (Fig. 2.4). A superposi¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda do el´etron com a fun¸c˜ao de onda
do buraco leve tamb´em decresce com o aumento da largura do po¸co, para o caso abrupto.
Intuitivamente, poder´ıamos esperar um comportamento diferente, j´a que tanto o el´etron
quanto o buraco leve est˜ao confinados na mesma regi˜ao do po¸co. Isto se deve ao pequeno
valor da massa efetiva do el´etron m
∗
e
< m
∗
lh
), o que causa o espalhamento da fun¸c˜ao de
onda com rela¸c˜ao ao buraco leve. Al´em disso, o el´etron tende para confinamento interfacial
em po¸cos largos com interfaces abruptas.
Se interfaces n˜ao abruptas s˜ao consideradas, a fun¸c˜ao de onda do el´etron e do buraco
leve s˜ao pressionadas para o centro de po¸cos estreitos, favorecendo o acr´escimo da su-
perposi¸c˜ao. Neste caso, o comportamento desta superposi¸c˜ao torna-se qualitativamente
similar ao comportamento da superposi¸c˜ao quando o potencial de auto-energia ´e descon-
siderado, como ilustra a Fig. 2.6(a).
Quando um campo el´etrico ´e aplicado ao longo da dire¸c˜ao do eixo z (com intensidade
igual ou superior a 200 kV/cm), observa-se que a superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda do
el´etron e do buraco decresce fortemente, tornando-se desprez´ıvel at´e mesmo em p o¸cos
razoavelmente estreitos (maiores que 8 nm).
2.4 Po¸cos quˆanticos Si/High − k
Nesta Se¸c˜ao iremos descrever as modifica¸c˜oes nas estruturas eletrˆonicas de po¸cos
quˆanticos Si/high − k devido `a diferen¸ca entre as constantes diel´etricas do p o¸co (ε
Si
=
11.7) e da barreira (ε
SrT iO
3
= 300 e ε
HfO
2
= 25). Estes po¸cos quˆanticos apresentam
ε
b
> ε
w
. O modelo da heteroestrutura, assim como no caso do po¸co GaN/HfO
2
, ´e
formado por uma camada de Si localizada na regi˜ao |z| ≤ (a − σ) entre duas camadas
de ´oxidos high-k localizados nas regi˜oes |z| ≥ a. Entre estes materiais, consideramos a
existˆencia de uma interface gradual de espessura σ localizada nas regi˜oes (a−σ) ≤ |z| ≤ a.
Nestas camadas interfaciais, parˆametros como massa efetiva m
∗
i
(z
i
), potencial de confi-
namento devido `as bandas de energia ∆E
i
(z
i
) e a constante diel´etrica ε(z) s˜ao tratados
atrav´es de interpola¸c˜oes lineares entre os valores da regi˜ao da barreira e da regi˜ao in-
terna ao po¸co. Estes parˆametros foram obtidos a partir das Referˆencias [35, 45, 67, 71],
2.4 Po¸cos quˆanticos Si/High − k 46
Figura 2.7: Potencial de condu¸c˜ao ∆E
e
(z
e
), potencial de auto-energia Σ
e
(z
e
) e potencial de
confinamento V
T
(z) sem efeito de campo el´etrico, para po¸cos abruptos GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As (topo
esquerda), Si/HfO
2
(base esquerda), Si/SiO
2
(topo direita) e Si/SrT iO
3
(base direita) com
5 nm de largura. Fun¸c˜oes de onda est˜ao plotadas com linha vermelha.
e encontram-se listados na Tabela 2.4. Para descrever a interpola¸c˜ao linear entre ε
b
e
ε
w
, consideramos dois modelos. O primeiro modelo s˜ao po¸cos quˆanticos Si/high − k, os
quais apresentam ε
b
> ε
w
. Por efeito de compara¸c˜ao, apresentamos tamb´em resultados
para po¸cos Si/SiO
2
e GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As, os quais apresentam ε
b
< ε
w
, segundo modelo.
Os valores de ∆E
e
para os po¸cos Si/HfO
2
, Si/SrT iO
3
, Si/SiO
2
e GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As
usados neste trabalho s˜ao, respectivamente, 1.44 eV, 0.1 eV, 3.2 eV e 0.229 eV, como
mostra a Fig. 2.7.
Quando a diferen¸ca entre as constantes diel´etricas do po¸co ε
w
e da barreira ε
b
´e similar
a po¸cos do tipo GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As, o efeito do potencial Σ
i
(z
i
) ´e desprez´ıvel, embora
apresente pequenas divergˆencias nas interfaces devido `a mudan¸ca abrupta da constante
diel´etrica. Como resultado da contribui¸c˜ao do potencial Σ
i
(z
i
) para tais po¸cos, observa-
se uma pequena suaviza¸c˜ao no perfil do potencial V
T
(z), a qual pode ser comparada a
modelos de interpola¸c˜oes suaves iguais ao modelo da fun¸c˜ao-erro, conforme ilustra a Fig.
2.7.
O efeito do potencial Σ
i
(z
i
) sobre a fun¸c˜ao de onda do portador ψ
i
(z
i
) n˜ao s´o depende
da diferen¸ca ε
w
− ε
b
, mas tamb´em do potencial ∆E
i
(z
i
) e da massa efetiva m
∗
i
(z
i
) do
portador. Por isto, a mo derada diferen¸ca ε
w
− ε
b
no po¸co Si/Hf O
2
n˜ao favorece a
existˆencia de c´uspides nas interfaces desta heteroestrutura, embora exista no perfil do
2.4 Po¸cos quˆanticos Si/High − k 47
Tabela 2.4: Parˆametros dos materiais. Referˆencias [33, 38, 58, 62]
MATERIAIS ε/ε
0
Eg(eV ) m
e,⊥
/m
0
m
lh,⊥
/m
0
m
hh,⊥
/m
0
Si 11.7 1.1 0.173 0.147 0.533
GaAs 12.91 1.425 0.067 0.09 0.377
Al
0.3
Ga
0.7
As 12.06 1.805 0.092 0.125 0.408
SiO
2
3.9 8.9 0.3 5.0 5.0
Hf O
2
25.0 5.8 0.836 0.58 0.871
SrT iO
3
300.0 3.3 0.676 0.967 1.588
po¸co Si/SrT iO
3
devido `a elevada diferen¸ca ε
w
−ε
b
e `a profundidade do potencial ∆E
e
(z
e
).
A caracter´ıstica atrativa (repulsiva) do potencial Σ
i
(z
i
) na regi˜ao do po¸co (barreira) define
um potencial V
T
(z) com c´uspides profundas, as quais podem confinar os portadores nas
interfaces do po¸co Si/SrT iO
3
. A fun¸c˜ao de onda do el´etron do estado fundamental e
do primeiro estado excitado ´e plotada em vermelho na Fig. 2.7, para o po¸co quˆantico
Si/SrT iO
3
.
A importˆancia do potencial Σ
i
(z
i
) para o confinamento de portadores nestes po¸cos
quˆanticos depende fortemente do fator λ = (ε
w
−ε
b
)/(ε
w
+ ε
b
). Quando o po¸co apresenta
ε
b
> ε
w
o peso do fator λ ´e negativo, o que significa que to das as cargas imagens tˆem o sinal
oposto ao sinal do portador. Se ε
b
< ε
w
ent˜ao o peso do fator λ ´e positivo, o que significa
que todas as cargas imagens tˆem o mesmo sinal que o portador. O efeito qualitativo
deste potencial ´e decrescer (ε
w
< ε
b
) ou acrescer (ε
w
> ε
b
) a energia de recombina¸c˜ao do
portador, E
R
= Eg + E
e
+ E
h
, conforme ilustra a Fig. 2.8.
A Fig. 2.8(a) ilustra a energia de recombina¸c˜ao de el´etron buraco pesado, confinados
em po¸cos abruptos quando o potencial Σ
i
(z
i
) n˜ao ´e inclu´ıdo no c´alculo. Note que a energia
de recombina¸c˜ao no po¸co GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As ´e mais alta porque o gap do GaAs ´e 325
meV maior que o gap do Si. A Fig. 2.8(b) ilustra a energia de recombina¸c˜ao de el´etron
buraco pesado, confinados em po¸cos abruptos, cujo potencial ´e V
T
= ∆E
i
(z
i
) + Σ
i
(z
i
).
O perfil do potencial V
T
(z) muda fortemente quando a diferen¸ca entre as constan-
tes diel´etricas ε
b
e ε
w
´e grande. O potencial Σ
i
(z
i
) ´e mais forte em po¸cos Si/HfO
2
e
Si/SrT iO
3
do que em po¸cos GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As e Si/SiO
2
, como mostra a Fig. 2.7. A
referˆencia da energia potencial ´e tomada com rela¸c˜ao ao n´ıvel zero do potencial ∆E
i
(z
i
),
ilustrado na Fig. 2.8. Quando o potencial Σ
i
(z
i
) ´e adicionado, o menor valor do potencial
total V
T
(z
i
) na regi˜ao interna ao po¸co, conforme ilustra a Fig. 2.7, pode assumir dois
tipos de valores:
• abaixo do referencial zero do potencial ∆E
i
(z
i
), para po¸cos com ε
w
< ε
b
;
• acima do referencial zero do potencial ∆ E
i
(z
i
), para po¸cos com ε
w
> ε
b
.
2.4 Po¸cos quˆanticos Si/High − k 48
Figura 2.8: Energia de recombina¸c˜ao em fun¸c˜ao da largura do po¸co, para po¸cos quˆanticos
abruptos. (a) Energia de recombina¸c˜ao do portador el´etron-buraco pesado E
e−hh
R,(∆E)
, calcu-
lada para os portadores confinados no potencial ∆E
i
(z
i
). (b) Energia de recombina¸c˜ao do
portador el´etron-buraco pesado E
e−hh
R,(V
T
)
, calculada para os portadores confinados no potencial
V
T
= ∆E
i
(z
i
) + Σ
i
(z
i
). Ainda em (b), triˆangulo e c´ırculos representam a energia de recom-
bina¸c˜ao do el´etron-buraco pesado, confinados no po¸co Si/HfO
2
e Si/SrT iO
3
respectivamente,
com interface n˜ao abrupta de 0.5 nm e sem o efeito do potencial Σ
i
(z
i
). (c) Efeito efetivo do
potencial de auto-energia ∆E
R
= E
e−hh
R,(V
T
)
− E
e−hh
R,(∆E)
. As cores preta, vermelha, azul e verde
representam, respectivamente, os po¸cos Si/SrT iO
3
, Si/HfO
2
, Si/SiO
2
e GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As.
2.4 Po¸cos quˆanticos Si/High − k 49
Isto se deve `a caracter´ıstica atrativa (repulsiva) do potencial dentro do po¸co para
heteroestruturas com ε
w
< ε
b
(ε
w
> ε
b
). Assim, o efeito do potencial Σ
i
(z
i
) diminui a
energia de recombina¸c˜ao dos portadores em po¸cos com ε
w
< ε
b
e aumenta em po¸cos com
ε
w
> ε
b
, como podemos observar na Fig. 2.8(c), que plota a diferen¸ca
∆E
R
= E
e−hh
R,(V
T
)
− E
e−hh
R,(∆E)
, (2.28)
onde E
e−hh
R,(V
T
)
´e a energia de recombina¸c˜ao dos portadores confinados no potencial V
T
e E
e−hh
R,(∆E)
´e a energia de recombina¸c˜ao dos portadores confinados apenas no potencial
∆E
i
(z
i
). O efeito do potencial de auto-energia no po¸co HfO
2
´e compar´avel ao efeito de
uma interface de 0.5 nm em um po¸co sem efeito do potencial de auto-energia, conforme
mostra a curva representada por triˆangulos na Fig. 2.8(b).
O efeito do potencial Σ
i
(z
i
) ´e muito forte no po¸co quˆantico Si/SrT iO
3
devido prin-
cipalmente `a elevada diferen¸ca entre ε
Si
e ε
SrT iO
3
(ε
SrT iO
3
- ε
Si
= 288.3), Fig. 2.9. Como
dito antes, a combina¸c˜ao dos parˆametros ∆E
i
(z
i
), m
∗
i
(z
i
) e, principalmente Σ
i
(z
i
), pro duz
efeitos de confinamento diferente do modelo ideal (E
n
∼ n
2
/L
2
), apresentando compor-
tamentos similares ao que ocorre com o po¸co GaN/HfO
2
mostrado na se¸c˜ao 2.3, com
confinamentos interfaciais dos portadores. O valor negativo do fator λ (∼ −0, 925) re-
sulta em um potencial atrativo no Si (repulsivo em SrT iO
3
), que induz ao confinamento
do el´etron na regi˜ao interfacial. A Fig. 2.9(b) revela, para buraco leve em po¸cos n˜ao
abruptos, que o estado fundamental de energia decresce at´e um valor m´ınimo para po¸cos
de largura entre 4 e 7 nm, dependendo da largura da interface. Ent˜ao, para po¸cos com
larguras maiores que 8 nm a energia do p ortador cresce assintoticamente em dire¸c˜ao a
zero, exibindo um comportamento diferente do convencional (E
n
∼ n
2
/L
2
), o que indica
a existˆencia de diferentes regimes de confinamentos para buracos leves. Este efeito ocorre
devido ao valor da massa efetiva do buraco leve que ´e pequena em rela¸c˜ao `a do el´etron e
`a do buraco pesado, como mostra a Tabela 2.4.
Em po¸cos quˆanticos com ε
w
> ε
b
, tais como Si/SiO
2
, GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As, GaAs/ZnSe,
entre outros, os n´ıveis de energia n˜ao mudam qualitativamente suas formas, apresentando
comportamento similar ao modelo ideal (E
n
∼ n
2
/L
2
), diminuindo o seu valor com o
aumento da largura do po¸co. Al´em disso, o potencial repulsivo na regi˜ao do po¸co, n˜ao
favorece ao confinamento de portadores na regi˜ao da interface.
A Fig. 2.10 ilustra as modifica¸c˜oes no potencial V
T
e as fun¸c˜oes de onda dos por-
tadores, ocasionadas por um campo el´etrico externo, aplicado com uma intensidade de
200 kV/cm na dire¸c˜ao de crescimento dos po¸cos (a) GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As, (b) Si/HfO
2
,
2.4 Po¸cos quˆanticos Si/High − k 50
Figura 2.9:
`
A esquerda, n´ıveis de energia dos portadores no estado fundamental em fun¸c˜ao da
largura do po¸co Si/SrT iO
3
para (a) el´etrons, (b) buraco leve e (c) buraco pesado. Linhas preta,
vermelha e azul representam, respectivamente, interface com espessura de 0.0 nm (abrupta), 0.5
nm e 1.0 nm. Na direita, fun¸c˜ao de onda dos portadores em unidades arbitr´arias: el´etron (linha
preta), buraco leve (linha vermelha) e buraco pesado (linha azul). Em (d) as fun¸c˜oes de onda
est˜ao confinadas em po¸cos estreitos com largura de 5 nm e interface de 1.0 nm. Em (e) as
fun¸c˜oes de onda est˜ao confinadas em po¸cos largos com largura de 20 nm e interface de 1.0 nm.
Figura 2.10: Perfis de potencial total V
T
(z) com campo el´etrico de 200 kV/cm, para el´etron
e buraco confinados em po¸cos quˆanticos de 20 nm de largura: (a) GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As, (b)
Si/HfO
2
, (c) Si/SiO
2
e (d) Si/SrT iO
3
. Fun¸c˜oes de onda do estado fundamental est˜ao plotadas
com linhas vermelhas.
2.4 Po¸cos quˆanticos Si/High − k 51
(c) Si/SiO
2
e (d) Si/SrT iO
3
. Conforme mencionado antes, o campo el´etrico aplicado ao
longo da dire¸c˜ao do eixo z
−
atrai a fun¸c˜ao de onda do el´etron e do buraco em sentidos
opostos, na dire¸c˜ao de cada uma das interfaces, resultando em uma redu¸c˜ao l´ıquida na
energia de recombina¸c˜ao do par el´etron-buraco. Campos el´etricos de intensidade igual ou
inferior a 200 kV/cm, n˜ao s˜ao fortes o suficiente para induzir o tunelamento da fun¸c˜ao de
onda do buraco atrav´es da barreira do po¸co Si/SrT iO
3
, embora este campo tenha inten-
sidade suficientemente grande para induzir tunelamento de el´etrons, conforme mostra a
Fig. 2.10(d). O comportamento do el´etron ´e explicado levando-se em considera¸c˜ao que o
potencial ∆E
e
(z
e
) possui uma profundidade relativamente pequena (0.1 eV). Da mesma
forma, em po¸cos GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As, uma intensidade de campo el´etrico inferior a 200
kV/cm ´e suficientemente grande para induzir tunelamento de el´etron e buraco atrav´es das
barreiras, Fig. 2.10(a). Em p o¸cos Si/HfO
2
e Si/SiO
2
n˜ao foi observado tunelamento dos
portadores para as intensidades de campo el´etrico usadas, j´a que os potenciais ∆E
i
(z
i
)
destas heteroestruturas s˜ao grandes o suficiente para barrar os portadores nas interfaces,
Fig. 2.10(b)-(c).
A Fig. 2.11 ilustra o efeito Stark (Eq. 2.27) sobre a energia de recombina¸c˜ao E
R
=
E
e
+ E
h
+ Eg para po¸cos quˆanticos Si/SiO
2
e Si/HfO
2
estreitos (L = 5 nm) e largos
(L = 20 nm). Mesmo na presen¸ca de campos externos, o efeito do potencial Σ
i
(z
i
) pode
significar uma diferen¸ca de algumas dezenas de meV sobre a energia de recombina¸c˜ao
∆E
R
, e em alguns casos esta diferen¸ca mostra-se maior em po¸cos largos. Isto pode
significar um efeito de 36 meV sobre a energia E
e−hh
R
em po¸cos Si/HfO
2
com 20 nm de
largura, e um efeito de 26 meV sobre a energia E
e−hh
R
em po¸cos Si/SiO
2
com largura de 20
nm. Efeito Stark em po¸cos Si/SrT iO
3
n˜ao ´e abordado, visto que pequenas intensidades
de campo el´etrico s˜ao suficientes para induzir tunelamento de el´etrons atrav´es da interface,
como mostra a Fig. 2.10(d).
A eficiˆencia das transi¸c˜oes eletrˆonicas em po¸cos Si/SrT iO
3
, Si/HfO
2
e Si/SiO
2
, ´e
estimada atrav´es da superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda el´etron-buraco |ψ
e
(z
e
)| ψ
h
(z
h
)|
2
,
plotadas na Fig. 2.12. O gr´afico ilustra a superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda (a) do el´etron
com o buraco leve e (b) do el´etron com o buraco pesado em po¸cos quˆanticos abruptos
(preto) e n˜ao abruptos, com interfaces de espessuras iguais a 0.5 nm (vermelho) e 1.0 nm
(azul).
Na ausˆencia de campo el´etrico externo, o efeito do potencial de auto-energia modifica
fortemente o comportamento da superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda em po¸cos Si/HfO
2
e
Si/SrT iO
3
. Assim como no po¸co GaN/HfO
2
, independentemente da existˆencia de inter-
faces n˜ao abruptas, a eficiˆencia das transi¸c˜oes eletrˆonicas pode ser menor que o previsto
2.4 Po¸cos quˆanticos Si/High − k 52
Figura 2.11: Efeito Stark sobre a energia de recombina¸c˜ao E
R
para po¸cos Si/SiO
2
(topo) e
Si/HfO
2
(base) com largura de (a)-(c) 5 nm e (b)-(d) 20 nm. Esquerda: energia de recom-
bina¸c˜ao de el´etron-buraco leve. Direita: energia de recombina¸c˜ao de el´etron-buraco pesado.
Linha preta representa interface abrupta e linha vermelha interface de 1.0 nm. Para efeitos de
compara¸c˜ao, os s´ımbolos (σ = 0.0 nm) e ◦ (σ = 1.0 nm) s˜ao plotados para representar a
energia de recombina¸c˜ao sem efeito do potencial de auto-energia.
2.4 Po¸cos quˆanticos Si/High − k 53
Figura 2.12: Superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda do el´etron e do buraco versus largura do po¸co,
(a) el´etron-buraco leve e (b) el´etron-buraco pesado, confinados nos po¸cos Si/SrT iO
3
(topo),
Si/HfO
2
(base esquerda) e Si/SiO
2
(base direita). As interfaces consideradas s˜ao: abrupta
(preto), 0.5 nm (vermelho) e 1.0 nm (azul). Para efeito de compara¸c˜ao, resultados sem efeito do
potencial de auto-energia, para po¸cos n˜ao polarizados, tamb´em s˜ao incluidos: σ = 0.0 nm (),
σ = 0.5 nm () and σ = 1.0 nm (×).
2.4 Po¸cos quˆanticos Si/High − k 54
pelo modelo de confinamento ideal, com o crescimento da largura do po¸co de heteroestru-
turas com ε
w
< ε
b
. Isso se deve `a caracter´ıstica atrativa do p otencial dentro do po¸co,
visto que em po¸cos com ε
w
> ε
b
a eficiˆencia das transi¸c˜oes eletrˆonicas ´e maior que o
previsto pelo modelo de confinamento ideal, conforme mostram as curvas da superposi¸c˜ao
das fun¸c˜oes de onda em po¸cos Si/SiO
2
na Fig. 2.12.
A superposi¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda do el´etron com a fun¸c˜ao de onda do buraco pesado
em po¸cos Si/SrT iO
3
decresce devido ao confinamento interfacial dos portadores. Em
po¸cos Si/HfO
2
o comportamento da superposi¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda do el´etron com a
fun¸c˜ao de onda do buraco pesado torna-se qualitativamente similar ao comportamento da
superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda, quando o potencial de auto-energia ´e desconsiderado,
isto porque a fun¸c˜ao de onda dos portadores n˜ao muda qualitativamente com o efeito
do potencial de auto-energia. Para po¸cos polarizados com campo el´etrico de intensidade
igual a 200 kV/cm, a superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda decresce fortemente, tornando-se
desprez´ıvel at´e mesmo em po¸cos razoavelmente estreitos (maiores que 8 nm), demostrando
um comportamento similar ao gr´afico apresentado na Fig. 2.6.
Em conclus˜ao, nesta Se¸c˜ao investigamos propriedades eletrˆonicas e estimamos a efi-
ciˆencia das transi¸c˜oes eletrˆonicas de po¸cos quˆanticos diel´etricos e po¸cos quˆanticos baseados
em novos materiais de grande importˆancia para aplica¸c˜ao tecnol´ogica. Os resultados
obtidos neste trabalho mostram que po¸cos quˆanticos com ε
w
< ε
b
podem apresentar
comportamentos diferentes para dois regimes de confinamento distintos, o primeiro em
po¸cos estreitos e o segundo em po¸cos largos. Al´em disso, a eficiˆencia das transi¸c˜oes
eletrˆonicas dep ende fortemente da combina¸c˜ao dos seguintes parˆametros: massa efetiva
m
i
(z
i
), profundidade do p otencial ∆E
i
(z
i
) e, principalmente, do efeito do potencial de
auto-energia Σ
i
(z
i
), o qual pode ser estimado pelo fator λ (quando |λ| → 1 o efeito do
potencial Σ
i
(z
i
) fica mais forte). Estes parˆametros combinados podem conduzir o portador
ao confinamento nas regi˜oes interfaciais, afetando desta forma a eficiˆencia das transi¸c˜oes
eletrˆonicas.
Os resultados apresentados aqui n˜ao possuem confirma¸c˜oes experimentais na lite-
ratura at´e o presente momento. Entretanto, os c´alculos usados tˆem embasamento te´orico
na literatura, sendo consistentes com a aproxima¸c˜ao da massa efetiva comumente usada.
Al´em disso, as Referˆencias [34, 37, 38, 39] mostram os resultados deste Cap´ıtulo.
55
3 Excitons: Confinamento
Diel´etrico versus Quˆantico
Neste Cap´ıtulo iremos calcular a energia de liga¸c˜ao e a energia total de excitons em po¸cos
quˆanticos abruptos formados por materiais tecnologicamente importantes para a ind´ustria
de dispositivos eletrˆonicos e opto-eletrˆonicos, tais como Si/SrT iO
3
, GaN/Hf O
2
, Si/SiO
2
,
GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As, GaAs/ZnSe and Si/SiO
2
. A energia de liga¸c˜ao e a energia total do
exciton s˜ao calculadas com o foco em efeitos causados por cargas imagem que aparecem
devido `a significante diferen¸ca entre a constante diel´etrica do material que comp˜oe o po¸co
(ε
w
) e a constante diel´etrica do material que comp˜oe a barreira (ε
b
) do po¸co quˆantico.
O modelo te´orico usado para o c´alculo da energia de liga¸c˜ao e energia total do exciton
baseia-se no m´etodo do potencial efetivo, que consiste em calcular a energia de liga¸c˜ao sem
precisar conhecer a fun¸c˜ao de onda do exciton φ(ρ), e considera todas as contribui¸c˜oes de
energia associadas com cargas imagem, barreiras finitas e a anisotropia da massa efetiva.
3.1 Introdu¸c˜ao 56
3.1 Introdu¸c˜ao
Estudos de exciton (par el´etron-buraco) e sua respectiva energia de liga¸c˜ao (E
B
) em
po¸cos quˆanticos diel´etricos tˆem sido assunto de grande aten¸c˜ao por parte dos pesquisado-
res, desde o trabalho pioneiro de Keldysh em 1979 [72, 73]. Um po¸co quˆantico diel´etrico
difere do po¸co quˆantico convencional por ser constitu´ıdo de uma barreira cujo material
possui constante diel´etrica menor que o material que forma a regi˜ao do po¸co quˆantico
(ε
w
> ε
b
). Desta forma, importantes efeitos de polariza¸c˜ao sobre as propriedades ´opticas
destas estruturas aparecem devido `a diferen¸ca da constante diel´etrica das regi˜oes interfa-
ciais que formam o po¸co quˆantico.
Diferentes m´etodos para o c´alculo da energia do exciton tˆem sido propostos e testa-
dos na literatura com diferentes n´ıveis de sofistica¸c˜ao. Com o objetivo de resolver este
problema, modelos robustos tˆem que ser capazes de considerar simultaneamente todas as
contribui¸c˜oes de energias causadas pela significante diferen¸ca das constantes diel´etricas,
como:
1. p otencial imagem de auto-energia (que aparece devido `a intera¸c˜ao entre o por-
tador, el´etron ou buraco, e suas respectivas cargas imagem), para ambos el´etron e
buraco;
2. intera¸c˜ao do tipo Coulomb entre o el´etron e o buraco;
3. as intera¸c˜oes coulombianas entre o el´etron e as cargas imagem devido ao buraco, e
vice e versa.
Entretanto, muitos trabalhos na literatura desconsideram algumas destas contribui¸c˜oes,
ou fazem uso de outras simplifica¸c˜oes, tais como po¸cos quˆanticos com barreiras infinitas e
teoria de perturba¸c˜ao para o c´alculo da energia do exciton. Como exemplo podemos citar
os trabalhos propostos por Kumagai e Takagahara [35, 74], os quais calcularam a energia
do exciton usando barreiras finitas, incluindo efeito de auto-energia, intera¸c˜ao de Coulomb
entre el´etron e buraco com as respectivas intera¸c˜oes com as cargas imagem, intera¸c˜ao do
el´etron com as cargas imagem do buraco e vice e versa, mas sem levar em considera¸c˜ao
a anisotropia das massas efetivas dos portadores. Em um outro trabalho, Thoai et al.
[45] calcularam a energia de liga¸c˜ao de excitons em po¸cos quˆanticos com barreiras finitas,
inclus˜ao de todos efeitos devido a cargas imagem e anisotropia das massas efetivas. Bajaj
et al. [44] desenvolveram um formalismo para calcular a energia de liga¸c˜ao do exciton em
po¸cos quˆanticos diel´etricos na presen¸ca de campo magn´etico aplicado ao longo do eixo de
crescimento do po¸co, solucionando a equa¸c˜ao de Poisson. Em princ´ıpio, esta aproxima¸c˜ao
3.2 Modelo te´orico 57
l
e
-
el
E
k
lh hh
Bandadecondução
Bandadevalência
Eg
E
0
e
E
0
h
h
e
(a) (b)
Figura 3.1: (a) Diagrama esquem´atico de um exciton em um material cristalino tridimensional,
com o buraco (c´ırculo cheio pr´oximo ao centro) e el´etron separados pelo raio de Bohr λ, orbitando
o centro de massa. (b) Diagrama de bandas de energia de um exciton em material tridimensional.
pode ser aplicada para estruturas mais complexas, baseadas em po¸cos quˆanticos, com
uma not´avel diferen¸ca da constante diel´etrica entre os meios. Todos os trabalhos relacio-
nados anteriormente foram baseados em fun¸c˜oes de onda perturbativas ou em m´etodos
variacionais com um ou dois parˆametros. Al´em disso, estes m´etodos foram aplicados em
po¸cos quˆanticos do tipo GaAs/GaN e po¸cos quˆanticos formados por semicondutores do
grupo III-V, os quais apresentam ε
w
/ε
b
∼ 1.
Neste trabalho calculamos a energia de liga¸c˜ao do exciton tanto em po¸cos quˆanticos
diel´etricos (ε
w
> ε
b
) quanto em po¸cos quˆanticos baseados em high-k diel´etricos (ε
w
< ε
b
).
O modelo que ser´a apresentado consiste em calcular a energia de liga¸c˜ao sem precisar
conhecer a fun¸c˜ao de onda do exciton φ(ρ) e inclui todas as energias associadas `a dis-
tribui¸c˜ao de cargas imagem, levando em considera¸c˜ao a anisotropia das massas efetivas
dos portadores. N´os demonstramos que a raz˜ao ε
w
/ε
b
´e uma grandeza ´util para prever o
comportamento das propriedades eletrˆonicas dos po¸cos quˆanticos.
3.2 Modelo te´orico
Em um material cristalino tridimensional, sem potencial de confinamento, os porta-
dores encontram-se em estados de mais baixa energia. Os buracos localizam-se no topo
da banda de valˆencia e os el´etrons na borda da banda de condu¸c˜ao [15] (Fig. 3.1). Para
calcular o exciton neste cristal, basta subtrair o gap do m´odulo da energia de liga¸c˜ao:
E
exc
= E
g
− |E
b
|.
Em po¸cos quˆanticos, os portadores, el´etron e buraco, n˜ao possuem m´ınimos de energia,
conforme ilustra a Fig. 3.1(b), devido `a presen¸ca do confinamento. Desta forma, tanto o
3.2 Modelo te´orico 58
Eg
2
Eg
1
DE
e
DE
h
E
0
e
E
0
h
h
e
z
0-a
a
z
-a a
Figura 3.2: (a) Representa¸c˜ao esquem´atica do confinamento de exciton por barreiras de um
po¸co quˆantico abrupto. (b) Diagrama de bandas de energia do po¸co quˆantico abrupto, com um
exciton confinado.
el´etron como o buraco tˆem uma energia m´ınima E
e
0
e E
h
0
, respectivamente, como mostrado
na Fig. 3.2(b). Assim, a energia total do exciton ´e dada pela soma da energia dos
portadores, el´etron E
e
e buraco E
h
, com a energia do gap, menos a energia de liga¸c˜ao
el´etron-buraco
E
exc
= E
g
+ E
e
+ E
h
− |E
b
|, (3.1)
onde o sinal negativo no m´odulo da energia de liga¸c˜ao ´e usado para garantir que esta
energia ´e perdida pelo sistema el´etron-buraco. A equa¸c˜ao que descreve o exciton ´e dada
por
H
exc
Ψ(r
e
, r
h
) = E
exc
Ψ(r
e
, r
h
), (3.2)
sendo Ψ(r
e
, r
h
) a fun¸c˜ao de onda do exciton, que depende das coordenadas do el´etron e
do buraco. Visto que no po¸co quˆantico os portadores possuem dois graus de liberdade,
podemos escrever o Hamiltoniano do exciton separando a coordenada z do plano xy.
Assim, Eq. 3.2 pode ser expressa como
H
exc
= Eg −
2
2m
e
∇
2
e,2D
−
2
2
d
dz
e
1
m
⊥
e
d
dz
e
−
2
2m
h
∇
2
h,2D
−
2
2
d
dz
h
1
m
⊥
h
d
dz
h
+∆E
e
(z
e
) + Σ
e
(z
e
) + ∆E
h
(z
h
) + Σ
h
(z
h
) + V
e−h
(ρ
e
, z
e
, ρ
h
, z
h
), (3.3)
sendo o primeiro termo Eg o gap do material que forma o po¸co quˆantico, os termos en-
3.2 Modelo te´orico 59
volvendo as derivadas na dire¸c˜ao de z s˜ao associados `as energias cin´eticas do el´etron e do
buraco, ∆E
e
(z
e
) e ∆E
h
(z
h
) s˜ao os potenciais de confinamento de el´etron e buraco, respec-
tivamente, devido `as bandas de energia, Σ
e
(z
e
) e Σ
h
(z
h
) s˜ao os potenciais de auto-energia
do el´etron e do buraco, respectivamente, devido `a diferen¸ca nas constantes diel´etricas. O
´ultimo termo desta equa¸c˜ao, V
e−h
(ρ, z
e
, z
h
), representa a intera¸c˜ao Coulombiana entre o
el´etron e o buraco, levando em considera¸c˜ao as devidas intera¸c˜oes entre o el´etron (bu-
raco) com as imagens do buraco (el´etron). m
⊥
i
´e a massa efetiva do portador i, onde
i=e, h (h=lh, hh), e depende da dire¸c˜ao z; m
i
´e a massa efetiva no plano xy e ∇
2
i,2D
´e o
Laplaciano em coordenadas polares aplicado nas coordenadas do portador i, dado por:
∇
2
i,2D
=
1
ρ
i
∂
∂ρ
i
ρ
i
∂
∂ρ
i
+
1
ρ
2
i
∂
2
∂θ
2
i
, (3.4)
Usando os termos que dependem de z
i
, podemos definir o Hamiltoniano de confina-
mento do portador i como
H
i
(z
i
) = −
2
2
d
dz
i
1
m
⊥
i
d
dz
i
+ V
i
(z
i
) + Σ
i
(z
i
). (3.5)
Ent˜ao, podemos reescrever a Eq. 3.3 como
H
exc
= Eg −
2
2m
e
∇
2
e,2D
−
2
2m
h
∇
2
h,2D
+ H
e
(z
e
) + H
h
(z
h
) + V
e−h
(ρ, z
e
, z
h
), (3.6)
onde os termos com Laplaciano representam o el´etron e o buraco movimentando-se em
um plano. Vamos considerar coordenadas relativas,
ρ = ρ
e
− ρ
h
, (3.7)
e as coordenadas do centro de massa do sistema,
R
cm
=
m
e
ρ
e
+ m
h
ρ
h
m
e
+ m
h
, (3.8)
de forma que a Eq. 3.6 se reduz a
3.2 Modelo te´orico 60
H
exc
= Eg + H
e
(z
e
) + H
h
(z
h
) −
2
2M
∇
2
R,2D
−
2
2µ
e−h
∇
2
ρ,2D
+ V
e−h
(ρ, z
e
, z
h
), (3.9)
onde
M = m
e
+ m
h
, (3.10)
e
µ
e−h
=
m
e
m
h
m
e
+ m
h
, (3.11)
´e a massa relativa e reduzida do exciton, respectivamente. A referˆencia da energia do
exciton ´e considerada como sendo a energia do centro de massa E
cm
. Assim, para calcular a
energia de liga¸c˜ao do par el´etron-buraco, na dire¸c˜ao de confinamento, podemos considerar
que a energia do centro de massa seja igual a zero (E
cm
= 0). Desta forma, o termo que
cont´em o Laplaciano ∇
2
R,2D
na Eq. 3.9 se anula. Logo, podemos definir o Hamiltoniano
da energia de liga¸c˜ao como sendo
H
B
= −
2
2µ
e−h
∇
2
+ V
e−h
(ρ, z
e
, z
h
). (3.12)
Para uma aproxima¸c˜ao simples, ou seja, sem considerar as corre¸c˜oes devido `as intera¸c˜oes
entre o portador e as cargas imagem, o termo V
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) ´e igual a
V
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) = −
e
2
4πεε
0
ρ
2
+ (z
e
− z
h
)
2
, (3.13)
e para aproxima¸c˜oes que incluem efeitos de cargas imagem, as corre¸c˜oes que o termo
V
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) deve considerar ser˜ao mostradas na Se¸c˜ao 3.2.1. Ent˜ao, podemos escrever
o Hamiltoniano do exciton como sendo a soma dos Hamiltonianos do el´etron, do buraco
e da energia de liga¸c˜ao
H
exc
(z
e
, z
h
, ρ ) = Eg + H
e
(z
e
) + H
h
(z
h
) + H
B
(z
e
, z
h
, ρ ). (3.14)
3.2 Modelo te´orico 61
Na solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger, Eq. 3.2, sup˜oe-se uma fun¸c˜ao de onda para o
exciton, estado fundamental, dada por
Ψ (z
e
, z
h
, ρ ) = ϕ
e
(z
e
) ϕ
h
(z
h
) φ (ρ, z
e
− z
h
) . (3.15)
A solu¸c˜ao da Eq. 3.2 pode ser calculada, para o po¸co quˆantico, atrav´es de diferentes
m´etodos:
1. m´etodo do potencial efetivo;
2. m´etodo variacional com um parˆametro;
3. m´etodo variacional com dois parˆametros;
4. propaga¸c˜ao em tempo imagin´ario: solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente
do tempo.
O m´etodo do potencial efetivo consiste em calcular a energia de liga¸c˜ao sem precisar
conhecer a fun¸c˜ao de onda do exciton φ(ρ) [75]. M´etodos variacionais [76] consistem em
usar uma fun¸c˜ao tentativa para descrever φ(ρ), a qual ´e fun¸c˜ao de um (m´etodo variacional
de um parˆametro) ou de dois parˆametros (m´etodo variacional de dois parˆametros), que
minimizam a energia do exciton. Propaga¸c˜ao do tempo imagin´ario, proposta nas Refs.
[77, 78, 79, 80], consiste em solucionar a equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente do tempo
i
∂Ψ(r, t)
∂t
= HΨ(r, t), (3.16)
onde a solu¸c˜ao formal da equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente do tempo ´e dada por
Ψ(r, t + ∆t) = exp
−
i
H∆t
Ψ(r, t). (3.17)
Neste trabalho iremos usar apenas o m´etodo do potencial efetivo para o c´alculo da
energia de liga¸c˜ao do exciton. No Cap´ıtulo 4 usaremos o m´etodo de propaga¸c˜ao em tempo
imagin´ario para c´alculo da energia de liga¸c˜ao entre el´etron e impureza.
3.2.1 Potencial Imagem e Energia de Liga¸c˜ao do Exciton
O aumento da intera¸c˜ao Coulombiana em um filme fino de semicondutor crescido
entre duas camadas de isolante, estudado pela primeira vez por Keldysh [72], ´e cau-
sado pela redu¸c˜ao efetiva da constante diel´etrica, e ´e chamado de efeito de confinamento
3.2 Modelo te´orico 62
L
- ef
y
e
Figura 3.3: Aspecto de confinamento de uma fun¸c˜ao de onda Ψ
e
e o potencial φ em uma
estrutura de po¸co quˆantico. A parte cinza representa a penetra¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda e do
potencial eletrost´atico. Figura reproduzida a partir da Referˆencia [35].
diel´etrico, por analogia ao efeito de confinamento quˆantico. Quando as descontinuidades
de bandas s˜ao finitas, a fun¸c˜ao de onda do portador penetra na barreira e a redu¸c˜ao da
constante diel´etrica efetiva ´e mais real¸cada. Ao mesmo tempo, o efeito de confinamento
de massa aumenta a energia de liga¸c˜ao do exciton. O confinamento em po¸co quˆantico e
o confinamento diel´etrico est˜ao mostrados na Fig. 3.3.
Quando a constante diel´etrica varia com a posi¸c˜ao na dire¸c˜ao de crescimento de um
po¸co quˆantico, cargas imagem aparecem devido a esta descontinuidade, e o comporta-
mento eletrˆonico e ´optico da estrutura sofre forte influˆencia do efeito da intera¸c˜ao dos
portadores com as cargas imagem [34, 37]. Al´em disso, a energia de liga¸c˜ao do exciton e a
for¸ca de oscilador excitˆonica podem ser alteradas de forma significante por conta do efeito
de confinamento adicional produzido pela distribui¸c˜ao das cargas imagem. Desta forma,
o efeito de confinamento devido `a distribui¸c˜ao de carga imagem ´e muito importante em
uma estrutura onde a constante diel´etrica varia de um material para outro. A intera¸c˜ao
Coulombiana entre um el´etron e um buraco depende n˜ao apenas de z
e
−z
h
, como mostra
a Eq. 3.14, mas tamb´em de z
e
+ z
h
, onde z ´e a dire¸c˜ao normal `a interface. Devido `a dife-
ren¸ca das constantes diel´etricas, o el´etron n˜ao apenas interage com o buraco mas tamb´em
com as imagens geradas pelo buraco. Da mesma forma, o buraco interage com o el´etron
e com as imagens geradas pelo el´etron.
Nesta Se¸c˜ao iremos mostrar os c´alculos da energia de liga¸c˜ao el´etron-buraco leve e
el´etron-buraco pesado, levando em considera¸c˜ao a intera¸c˜ao Coulombiana entre o el´etron
na posi¸c˜ao z
e
e o buraco na p osi¸c˜ao z
h
(correla¸c˜ao em z das posi¸c˜oes dos portadores),
em um po¸co quˆantico abrupto. Os c´alculos baseiam-se na Referˆencia [35], de onde as
3.2 Modelo te´orico 63
-L/2
L/20
z
e
2
e
1
e
3
RegiaoI
RegiaoII RegiaoIII
(a)
z
0
z
2
z
3
z
1
z
-1
z
-2
z
-3
(b)
z
0
z
2
z
3
z
1
z
-1
z
-2
z
-4
(c)
z
0
z
2
z
3
z
1
z
-1
z
-2
z
-4
(d)
Figura 3.4: (a) diagrama esquem´atico de uma estrutura quˆantica diel´etrica. (b) configura¸c˜ao
t´ıpica de uma carga real localizada no po¸co e as imagens geradas por ela. (c) carga real localizada
na barreira da direita e (d) na barreira da esquerda. Figura reproduzida a partir da Referˆencia
[35]
equa¸c˜oes para o potencial V
e−h
(ρ
e
, z
e
, ρ
h
, z
h
), aqui apresentadas, foram retiradas. Nosso
modelo difere do modelo de Kumagai e Takagahara [35], por calcular a energia de liga¸c˜ao
do exciton atrav´es do m´etodo do potencial efetivo e levando em considera¸c˜ao a anisotropia
da massa efetiva. Al´em disso, estendemos o c´alculo para po¸cos quˆanticos baseados em
materiais com constantes diel´etricas elevadas ε
w
< ε
b
, estimando o comp ortamento das
propriedades eletrˆonicas do po¸co quˆantico, a partir da raz˜ao ε
w
/ε
b
.
O caso que iremos considerar ´e aquele no qual a heteroestrutura ´e dividida em trˆes
regi˜oes. A regi˜ao I ´e a regi˜ao interna ao po¸co, com constante diel´etrica ε
w
. A regi˜ao II e
a regi˜ao III s˜ao, respectivamente, a barreira do lado esquerdo e a barreira do lado direito,
ambas com constante diel´etrica ε
b
, como mostra a Fig. 3.4(a). Primeiramente calculamos
o potencial eletrost´atico dado por uma part´ıcula carregada em um po¸co quˆantico. A
descontinuidade da constante diel´etrica induz polariza¸c˜ao de cargas nas interfaces. Este
3.2 Modelo te´orico 64
efeito de polariza¸c˜ao pode ser simplesmente incorporado pelo m´etodo das cargas imagem.
Entretanto, neste caso existe uma s´erie infinita de cargas imagem devido `a presen¸ca das
duas interfaces. As posi¸c˜oes destas cargas imagem s˜ao dadas por
z
n
= nL + (−1)
n
z
0
, n = 0, ±1, ±2... (3.18)
onde z
0
denota a posi¸c˜ao da carga original, L ´e a largura do po¸co e o eixo z ´e perpendi-
cular `a interface. Trˆes casos ser˜ao estudados separadamente, dependendo da p osi¸c˜ao da
carga real.
Caso 1
A carga real est´a localizada no po¸co quˆantico, regi˜ao I da Fig. 3.4(a). As posi¸c˜oes
t´ıpicas das cargas imagem para este caso s˜ao definidas na Fig. 3.4(b).
(a) O potencial na regi˜ao I ´e determinado colocando as cargas imagem e
±1
, e
±2
, ... em
z
±1
, z
±2
, ..., respectivamente, e ao mesmo tempo considerando que toda estrutura possui
em comum a constante diel´etrica ε
w
. As cargas {e
n
} (n = ±1, ±2, ...) s˜ao determinadas
a partir das condi¸c˜oes de continuidade para o potencial eletrost´atico e da componente
normal do vetor deslocamento nas interfaces. Os resultados s˜ao dados por
e
±2(n+1)
= λ
2(n+1)
e
0
;
e
2n+1
= λ
2n+1
e
0
;
e
−2n−1
= λ
2n+1
e
0
, n = 0, 1, 2... (3.19)
onde e
0
´e a carga real localizada em z
0
. A constante λ ´e a mesma que aparece no Cap´ıtulo
2, definida por
λ =
ε
w
− ε
b
ε
w
+ ε
b
. (3.20)
(b) O potencial na regi˜ao II (barreira do lado esquerdo) ´e obtido colocando as cargas
imagem e
0
, e
1
, e
2
,... em z
0
, z
1
, z
2
,... e ao mesmo temp o considerando que a estrutura
possua constante diel´etrica ε
b
. As cargas {e
n
} (n = 0, 1, 2, ...) s˜ao definidas como
e
n
=
2ε
b
ε
w
+ ε
b
e
n
, n = 0, 1, 2... (3.21)
3.2 Modelo te´orico 65
onde as cargas {e
n
} s˜ao dadas pela Eq. 3.19
(c) O potencial na regi˜ao III (barreira do lado direito) ´e obtido colocando as cargas
imagem e

0
, e

−1
, e

−2
,... em z
0
, z
−1
, z
−2
,... e considerando que toda a estrutura possui a
mesma constante diel´etrica ε
b
. As cargas
e

−n
(n = 0, 1, 2, ...) s˜ao definidas como
e

−n
=
2ε
b
ε
w
+ ε
b
e
−n
, n = 0, 1, 2... (3.22)
onde as cargas {e
−n
} s˜ao dadas pela Eq. 3.19
Caso 2
A carga real est´a localizada na regi˜ao II. As posi¸c˜oes t´ıpicas das cargas imagem para
este caso est˜ao definidas na Fig. 3.4(c).
(a) O potencial na regi˜ao I ´e obtido colocando as cargas imagem e
1
, e
3
, e
5
, ... em z
1
, z
3
, z
5
,
..., e e
0
, e
−2
, e
−4
, ... em z
0
, z
−2
, z
−4
, ..., respectivamente, e considerando que a constante
diel´etrica de todo sistema ´e igual a ε
w
. As cargas
e
2n+1
e
e
−2n
(n = 0, 1, 2, ...) s˜ao
determinadas por
e
2n+1
=
2ε
w
ε
w
+ ε
b
λ
2n+1
e
0
;
e
−2n
=
2ε
w
ε
w
+ ε
b
λ
2n
e
0
, n = 0, 1, 2... (3.23)
(b) O potencial na regi˜ao II ´e obtido colocando as cargas imagem e
−1
, e
1
, e
3
, e
5
... em
z
−1
, z
1
, z
3
, z
5
... e considerando que a constante diel´etrica de todo sistema ´e igual a ε
b
.
As cargas e
−1
e {e
2n+1
} (n = 0, 1, 2, ...) s˜ao definidas como
e
−1
= −λe
0
;
e
2n+1
=
4ε
w
ε
b
(ε
w
+ ε
b
)
2
λ
2n+1
e
0
, n = 0, 1, 2... (3.24)
(c) O potencial na regi˜ao III ´e obtido colocando as cargas imagem e

0
, e

−2
, e

−4
, ... em z
0
,
z
−2
, z
−4
, ... e considerando que a constante diel´etrica de todo sistema ´e igual a ε
b
. As
cargas
e

−2n
(n = 0, 1, 2, ...) s˜ao definidas como
e

−2n
=
4ε
w
ε
b
(ε
w
+ ε
b
)
2
λ
2n
e
0
, n = 0, 1, 2... (3.25)
3.2 Modelo te´orico 66
Caso 3
A carga real est´a localizada na regi˜ao III. As posi¸c˜oes t´ıpicas das cargas imagem para
este caso est˜ao definidas na Fig. 3.4(d).
(a) O potencial na regi˜ao I ´e obtido colocando as cargas imagem e
0
, e
2
, e
4
, ... em z
0
, z
2
, z
4
,
..., e e
−1
, e
−3
, e
−5
, ... em z
−1
, z
−3
, z
−5
, ..., respectivamente, e considerando que a constante
diel´etrica de todo sistema ´e igual a ε
w
. As cargas {e
2n
} e
e
−2n−1
(n = 0, 1, 2, ...) s˜ao
determinadas por
e
2n
=
2ε
w
ε
w
+ ε
b
λ
2n
e
0
;
e
−2n−1
=
2ε
w
ε
w
+ ε
b
λ
2n+1
e
0
, n = 0, 1, 2... (3.26)
(b) O potencial na regi˜ao II ´e obtido colocando as cargas imagem e

0
, e

2
, e

4
, ... em z
0
, z
2
,
z
4
, ... e considerando que a constante diel´etrica de todo sistema ´e igual a ε
b
. As cargas
{e

2n
} (n = 0, 1, 2, ...) s˜ao definidas como
e

2n
=
4ε
w
ε
b
(ε
w
+ ε
b
)
2
λ
2n
e
0
, n = 0, 1, 2... (3.27)
(c) O potencial na regi˜ao III ´e obtido colocando as cargas imagem e
1
, e
−1
, e
−3
, e
−5
... em
z
1
, z
−1
, z
−3
, z
−5
, ... e considerando que a constante diel´etrica de todo sistema ´e igual a
ε
b
. As cargas e
1
e {e
−2n−1
} (n = 0, 1, 2, ...) s˜ao definidas como
e
1
= −λe
0
;
e
−2n−1
=
4ε
w
ε
b
(ε
w
+ ε
b
)
2
λ
2n+1
e
0
, n = 0, 1, 2.... (3.28)
Tendo obtido o potencial eletrost´atico induzido por um p ortador confinado em um
po¸co quˆantico, podemos chegar na intera¸c˜ao Coulombiana entre dois portadores calcu-
lando o potencial na posi¸c˜ao de um portador devido `a posi¸c˜ao, em z, do outro portador.
Para intera¸c˜ao Coulombiana el´etron-buraco, calculamos diferentes intera¸c˜oes de acordo
com a posi¸c˜ao do el´etron e do buraco na estrutura do po¸co quˆantico. Vamos denotar as
regi˜oes I, II e III por C, L e R, respectivamente, conforme mostra a Fig. 3.5. Conside-
rando que V
AB
e−h
(r
e
, r
h
) representa a intera¸c˜ao Coulombiana entre um el´etron na regi˜ao A
3.2 Modelo te´orico 67
z
z
zz
z
z z
z
z
C
L R
C
L R
C
L R
e
h
C
L R
C
L R
C
L R
C
L R
C
L R
C
L R
Figura 3.5: Correla¸c˜ao em z das posi¸c˜oes do el´etron z
e
e do buraco z
h
nas regi˜oes L, C e R do
po¸co quˆantico.
e um buraco na regi˜ao B, temos
V
CC
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) = −
∞
n=−∞
λ
n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
+ [z
e
− (−1)
n
z
h
− nL]
2
, (3.29)
V
LC
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
∞
n=0
λ
n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
+ [z
e
− (−1)
n
z
h
− nL]
2
, (3.30)
V
RC
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
∞
n=0
λ
n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
+ [z
e
− (−1)
n
z
h
+ nL]
2
, (3.31)
V
LR
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
2
∞
n=0
λ
2n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
+ [z
e
− z
h
− 2nL]
2
, (3.32)
V
RR
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
2
∞
n=0
λ
2n+1
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
+ [z
e
+ z
h
+ (2n + 1)L]
2
−
e
2
4πε
b
ε
0
ρ
2
+ (z
e
− z
h
)
2
+
λ
1
e
2
4πε
b
ε
0
ρ
2
+ (z
e
+ z
h
− L)
2
, (3.33)
3.2 Modelo te´orico 68
V
LL
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
2
∞
n=0
λ
2n+1
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
+ [−z
e
− z
h
+ (2n + 1)L]
2
−
e
2
4πε
b
ε
0
ρ
2
+ (−z
e
+ z
h
)
2
+
λ
1
e
2
4πε
b
ε
0
ρ
2
+ (−z
e
− z
h
− L)
2
= V
RR
e−h
(ρ, z
e
, z
h
), (3.34)
V
CL
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
∞
n=0
λ
n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
+ [z
e
− (−1)
n
z
h
− nL]
2
= V
LC
e−h
(ρ, z
e
, z
h
), (3.35)
V
CR
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
∞
n=0
λ
n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
+ [z
e
− (−1)
n
z
h
+ nL]
2
= V
RC
e−h
(ρ, z
e
, z
h
), (3.36)
V
RL
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
2
∞
n=0
λ
2n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
+ [z
e
− z
h
− 2nL]
2
= V
LR
e−h
(ρ, z
e
, z
h
), (3.37)
onde ε
0
´e a permissividade el´etrica do v´acuo, ρ = ρ
e
− ρ
h
, e
λ
n
=
ε
w
− ε
b
ε
w
+ ε
b
|n|
. (3.38)
As rela¸c˜oes mostradas nas Eq. 3.34 a Eq. 3.37 s˜ao determinadas a partir da simetria
com rela¸c˜ao ao plano z = 0.
3.2.2 M´etodo do Potencial Efetivo
O m´etodo do potencial efetivo foi proposto por Ji-Wei Wu [75] e tem por objetivo
calcular a energia de liga¸c˜ao do exciton sem precisar conhecer a fun¸c˜ao de onda do exciton
φ(ρ). A equa¸c˜ao de Schr¨odinger para a energia de liga¸c˜ao, usando nota¸c˜ao de Dirac, ´e
dada por
H
B
|ϕ
e
, ϕ
h
, φ = E
B
|ϕ
e
, ϕ
h
, φ , (3.39)
3.2 Modelo te´orico 69
onde E
B
´e a energia de liga¸c˜ao do exciton, e
H
B
= −
2
2µ
e−h
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ

+ V
AB
e−h
, (3.40)
sendo que V
AB
e−h
representa a intera¸c˜ao Coulombiana entre um el´etron na regi˜ao A e um
buraco na regi˜ao B, definido pelas Eqs. 3.29 a 3.37. Aplicando o operador ϕ
e
, ϕ
h
| pelo
lado esquerdo da Eq. 3.39
ϕ
e
, ϕ
h
|H
B
|ϕ
e
, ϕ
h
, φ = ϕ
e
, ϕ
h
|E
B
|ϕ
e
, ϕ
h
, φ, (3.41)
onde
ϕ
e
, ϕ
h
|H
B
|ϕ
e
, ϕ
h
, φ = −
2
2µ
e−h
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ

|φ −ϕ
e
, ϕ
h
|(V
AB
e−h
)|ϕ
e
, ϕ
h
, φ . (3.42)
O ´ultimo termo do lado direito dessa equa¸c˜ao pode ser calculado como
ϕ
e
, ϕ
h
|(V
AB
e−h
)|ϕ
e
, ϕ
h
, φ =
+∞
−∞
dz
e
+∞
−∞
dz
h
ϕ
∗
e
ϕ
∗
h
(V
AB
e−h
)ϕ
e
ϕ
h
|φ =
+∞
−∞
|ϕ
e
|
2
dz
e
+∞
−∞
|ϕ
h
|
2
dz
h
V
AB
e−h
|φ, (3.43)
onde ϕ
∗
e
e ϕ
∗
h
s˜ao os complexos conjugados de ϕ
e
e ϕ
h
. Assim, obtemos o seguinte resultado
ϕ
e
, ϕ
h
|H
B
|ϕ
e
, ϕ
h
, φ = −
2
2µ
e−h
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ

|φ
−
+∞
−∞
|ϕ
e
|
2
dz
e
+∞
−∞
|ϕ
h
|
2
dz
h
V
AB
e−h

potencial ef etivo
|φ. (3.44)
Esta equa¸c˜ao ´e uma equa¸c˜ao diferencial do tipo ϕ
e
, ϕ
h
|H
B
|ϕ
e
, ϕ
h
, φ = −|E
B
||φ,
onde o sinal negativo do m´odulo de E
B
garante que esta energia ´e perdida pelo sistema
el´etron-buraco. A integral da Eq. 3.44 pode ser resolvida atrav´es de t´ecnicas de dis-
cretiza¸c˜ao.
3.3 Resultados num´ericos 70
Figura 3.6: Energia de liga¸c˜ao do exciton calculada por Kumagai e Takagahara (Referˆencia [35]),
representada pela linha s´olida. Os s´ımbolos (×) representam a energia de liga¸c˜ao do exciton,
calculada neste trabalho, usando m´etodo do potencial efetivo, com os mesmo parˆametros do
po¸co GaAs/ZnSe usado por Kumagai e Takagahara.
3.3 Resultados num´ericos
O efeito das cargas imagem sobre a energia do exciton pode ser dividido em duas ca-
tegorias. A primeira refere-se ao efeito do potencial de auto-energia Σ
i
(z
i
) sobre a energia
do portador E
i
n
. A segunda refere-se ao efeito do potencial V
e−h
(r
e
, r
h
) sobre a energia de
liga¸c˜ao E
b
do exciton. Estas contribui¸c˜oes est˜ao expl´ıcitas nas Eq. 3.5 e Eq. 3.12, respec-
tivamente. Assim, o entendimento do efeito das intera¸c˜oes dos portadores com as cargas
imagem sobre a energia do exciton, requer o conhecimento de ambas as contribui¸c˜oes
Σ
i
(z
i
) e V
e−h
(r
e
, r
h
) individualmente, e o efeito destas contribui¸c˜oes combinadas.
Para efeito de compara¸c˜ao, a Fig. 3.6 ilustra a energia de liga¸c˜ao do exciton el´etron-
buraco pesado E
e−hh
b
calculada por Kumagai e Takagahara [35], representada pela linha
s´olida. Os s´ımbolos (×) representam a energia de liga¸c˜ao do exciton el´etron-buraco pe-
sado E
e−hh
b
, calculada neste trabalho usando o m´etodo do potencial efetivo, demonstrado
na Se¸c˜ao 3.2.2. Os parˆametros utilizados s˜ao os mesmos parˆametros do po¸co quˆantico
GaAs/ZnSe usado por Kumagai e Takagahara [35]. Conforme demonstram os resulta-
dos apresentados por este gr´afico, o m´etodo usado neste trabalho est´a consistente com o
resultado apresentado na literatura.
Inicialmente iremos discutir o efeito do potencial Σ
i
(z
i
) sobre a energia de recom-
bina¸c˜ao ∆E
e−h
R
= E
R(im)
− E
R
,
1
em fun¸c˜ao da raz˜ao ε
w
/ε
b
, para po¸cos quˆanticos com
larguras iguais a L = 5, 10 e 15 nm. Esta grandeza denota a diferen¸ca entre as energias
1
E
R(im)
´e a energia de recombina¸c˜ao el´etron-buraco com efeito do potencial Σ
i
(z
i
) e E
R
´e a energia
de recombina¸c˜ao el´etron-buraco sem o efeito deste potencial
3.3 Resultados num´ericos 71
de recombina¸c˜ao, com e sem as corre¸c˜oes ocasionadas pelo potencial Σ
i
(z
i
). Assim, a Fig.
3.7 ilustra o gr´afico da energia de recombina¸c˜ao de (a) el´etron-buraco leve e (b) el´etron-
buraco pesado em fun¸c˜ao da grandeza ε
w
/ε
b
, para po¸cos quˆanticos com larguras iguais a
(+) 5 nm, (•) 10 nm e () 15 nm. Esta diferen¸ca exclui o efeito do confinamento quˆantico
devido `as bandas de energia ∆E
i
(z
i
), permanecendo apenas o confinamento devido ao po-
tencial de auto-energia Σ
i
(z
i
), ou seja, devido `a intera¸c˜ao entre o portador e as cargas
imagem. Esta figura mostra claramente que ∆E
e−h
R
< 0 para ε
w
< ε
b
, e ∆E
e−h
R
> 0 para
ε
w
> ε
b
. Como esperado, ∆E
e−h
R
≈ 0 para ε
w
≈ ε
b
. A raz˜ao para este comportamento
´e que a ordem de grandeza do fator λ, que aparece nas Eq. 2.15 e Eq. 2.17 (Cap´ıtulo
2), exerce grande influˆencia sobre a energia de recombina¸c˜ao, ou seja, quando ε
w
< ε
b
(λ < 0), o que significa que as cargas imagem tˆem sinal oposto ao sinal do portador e
que o potencial na regi˜ao do po¸co ´e atrativo. Para ε
w
> ε
b
(λ > 0), as cargas imagem
tˆem sinal igual ao sinal do portador, o que significa que o potencial na regi˜ao do po¸co ´e
repulsivo. Logo, a energia do portador cresce para λ > 0 e decresce para λ < 0, como foi
apresentado no Cap´ıtulo 2.
´
E importante observar a equivalˆencia entre os resultados da energia de recombina¸c˜ao
el´etron-buraco leve e el´etron buraco pesado, mostrados nas Figs. 3.7(a) e 3.7(b), respec-
tivamente. Esta equivalˆencia se deve ao fato de que a grandeza ∆E
e−h
R
cont´em apenas o
efeito do potencial Σ
i
(z
i
). Plotando a energia de recombina¸c˜ao E
e−h
R(im)
´e poss´ıvel observar
a diferen¸ca na energia de recombina¸c˜ao entre o par el´etron-buraco leve e el´etron-buraco
pesado, que ocorre devido `a diferen¸ca nas massas efetivas m
∗
lh
e m
∗
hh
, conforme pode ser
observado na Fig. 3.8, que ilustra a energia de recombina¸c˜ao el´etron buraco-leve (ver-
melho) e el´etron-buraco pesado (preto) em fun¸c˜ao da largura do po¸co L e com efeito do
potencial Σ
i
(z
i
), para po¸cos abruptos (a) GaN/HfO
2
, (b) Si/HfO
2
, (c) Si/SiO
2
e (d)
Si/SrT iO
3
.
Com o aumento da largura do po¸co quˆantico o efeito do potencial Σ
i
(z
i
) sobre a
energia de recombina¸c˜ao diminui, conforme pode ser observado na Fig. 3.7. Isto ocorre
porque quanto maior for a largura do po¸co maior ser´a a separa¸c˜ao entre o portador e as
cargas imagem. Conseq¨uentemente, menor ser´a a amplitude do efeito do potencial Σ
i
(z
i
)
sobre a energia |∆E
e−lh
R
|. Al´em disso, dependendo da largura do po¸co e da massa efetiva,
os portadores podem estar confinados na regi˜ao da interface, para po¸cos quˆanticos com
ε
w
< ε
b
(λ < 0), conforme foi mostrado no Cap´ıtulo 2.
A Fig. 3.9 ilustra os resultados obtidos do c´alculo da energia de liga¸c˜ao do exciton
(a)-(b) el´etron-buraco leve e (c)-(d) el´etron-buraco pesado, em (a)-(c) po¸cos quˆanticos
abruptos estreitos (L = 5 nm) e (a)-(d) po¸cos quˆanticos abruptos largos (L = 20 nm).
3.3 Resultados num´ericos 72
Figura 3.7: Diferen¸ca na energia de recombina¸c˜ao ∆E
e−h
R
(a) el´etron-buraco leve e (b) el´etron
buraco pesado para diferentes larguras de po¸co: (+) L =5 nm, (•) L =10 nm e () L =15 nm.
Figura 3.8: Energia de recombina¸c˜ao el´etron buraco-leve (vermelho) e el´etron-buraco pesado
(preto) em fun¸c˜ao da largura do po¸co L e com efeito do potencial Σ
i
(z
i
). Os po¸cos abruptos
considerados s˜ao: (a) GaN/HfO
2
, (b) Si/HfO
2
, (c) Si/SiO
2
e (d) Si/SrT iO
3
.
3.3 Resultados num´ericos 73
Figura 3.9: Valor absoluto da energia de liga¸c˜ao |E
b
| do exciton (a)-(b) el´etron-buraco leve e
(c)-(d) el´etron buraco pesado, confinado em po¸cos com larguras de (a)-(c) L = 5 nm e (b)-(d)
L = 20 nm. Trˆes diferentes aproxima¸c˜oes para o c´alculo de |E
b
| s˜ao consideradas: AP0 (),
AP1 (◦) e AP2 (×).
Os efeitos das cargas imagem sobre a energia de liga¸c˜ao el´etron-buraco s˜ao analisados sob
dois pontos de vista:
1. intera¸c˜ao Coulombiana entre o portador e as cargas imagem que ele produz, inclu´ıda
neste trabalho atrav´es do potencial Σ
i
(z
i
);
2. intera¸c˜ao direta entre el´etron e buraco juntamente com a intera¸c˜ao entre o el´etron
com as cargas imagem geradas pelo buraco e a intera¸c˜ao entre o buraco com as
cargas imagem geradas pelo el´etron. Isto leva em considera¸c˜ao a correla¸c˜ao em z
das posi¸c˜oes do el´etron e do buraco, ou seja, as nove combina¸c˜oes poss´ıveis das
posi¸c˜oes z
e
do el´etron e z
h
do buraco nas regi˜oes da barreira e interna ao po¸co da
heteroestrutura (ver Fig. 3.5)
Na Fig. 3.9 trˆes diferentes aproxima¸c˜oes s˜ao consideradas. A primeira AP0 () n˜ao
leva em considera¸c˜ao nenhum efeito o casionado pela intera¸c˜ao entre os portadores e as
cargas imagem. A segunda aproxima¸c˜ao AP1 (◦) considera somente a intera¸c˜ao entre o
portador e as cargas imagem que ele pr´oprio produz, atrav´es do potencial Σ
i
(z
i
), Eq. 3.5
com Eqs. 2.15 a 2.17. A terceira aproxima¸c˜ao AP2 (×) considera todos os efeitos rela-
cionados `a intera¸c˜ao dos portadores com as cargas imagem atrav´es dos potenciais Σ
i
(z
i
)
e V
e−h
(ρ, z
e
, z
h
), Eq. 3.5 com Eqs. 2.15 a 2.17 e Eq. 3.29 a Eq. 3.37, respectivamente.
Conforme mostra a Fig. 3.9, a corre¸c˜ao ocasionada pelo potencial de auto-energia
Σ
i
(z
i
) (AP1) sobre a energia de liga¸c˜ao ´e pequena em compara¸c˜ao com a aproxima¸c˜ao
3.3 Resultados num´ericos 74
Atrativo
Repulsivo
Repulsivo
Atrativo
Atrativo
z
e e
b w
>
Repulsivo
Atrativo
Atrativo
Repulsivo
z
e e
b w
<
Repulsivo
Figura 3.10: Diagrama esquem´atico das intera¸c˜oes entre os portadores e as cargas imagem.
Quando ε
b
> ε
w
as cargas imagem tˆem sinal oposto ao sinal do portador, que sente um po-
tencial atrativo na regi˜ao do po¸co devido `a intera¸c˜ao com as cargas imagem que ele produz e
um potencial repulsivo devido `a intera¸c˜ao com as cargas imagem geradas pelo outro portador.
Quando ε
b
< ε
w
a situa¸c˜ao se inverte.
simples (AP0). Isto ocorre porque os c´alculos destas duas aproxima¸c˜oes n˜ao incluem
a intera¸c˜ao entre el´etron (buraco) com as imagens do buraco (el´etron) atrav´es do po-
tencial V
e−h
(ρ, z
e
, z
h
). Logo, as diferen¸cas entre as aproxima¸c˜oes AP0 e AP1 aparecem
exclusivamente devido a corre¸c˜oes sobre as energias E
i
dos portadores.
Quando a aproxima¸c˜ao AP2 ´e considerada nos c´alculos, podemos observar que, em
adi¸c˜ao `a corre¸c˜ao na energia dos portadores E
i
, a corre¸c˜ao na energia de liga¸c˜ao E
b
pode
ser maior (menor) que 30 meV, em compara¸c˜ao com a energia de liga¸c˜ao calculada com
as aproxima¸c˜oes AP0 e AP1, para heteroestruturas com ε
w
> ε
b
(ε
w
< ε
b
). A explica¸c˜ao
para este comp ortamento diferente entre heteroestruturas com ε
w
> ε
b
e heteroestruturas
com ε
w
< ε
b
´e simples. Quando ε
w
> ε
b
as cargas imagem tˆem sinal oposto ao sinal
do portador que as geram. Conseq¨uentemente, a intera¸c˜ao entre um portador com as
cargas imagem geradas pelo outro portador ´e repulsiva, causando acr´escimos na energia
de liga¸c˜ao. Por outro lado, a intera¸c˜ao entre um portador e as imagens geradas pelo outro
portador ´e atrativa quando ε
w
< ε
b
, e a energia de liga¸c˜ao diminui, ver Fig. 3.10.
Os resultados apresentados pela Fig. 3.9 sugerem que a aproxima¸c˜ao AP0 ´e inade-
quada para o c´alculo da energia de liga¸c˜ao em heteroestruturas constitu´ıdas de constantes
diel´etricas muito diferentes, embora tenha sido comumente usada na literatura. Compa-
rando os resultados da energia de recombina¸c˜ao e da energia de liga¸c˜ao, calculadas com
diferentes aproxima¸c˜oes, ´e poss´ıvel obter resultados da energia total do exciton. Com a
aproxima¸c˜ao AP1, a energia total do exciton ´e menor (maior) que a energia calculada pela
aproxima¸c˜ao AP0 para ε
w
< ε
b
(ε
w
> ε
b
). Esta diferen¸ca pode ser maior que 100 meV,
dependendo da raz˜ao ε
w
/ε
b
e da largura do po¸co. Com a aproxima¸c˜ao AP2, a energia
total do exciton ´e razoavelmente menor, em compara¸c˜ao com a aproxima¸c˜ao AP0 e maior
3.3 Resultados num´ericos 75
Tabela 3.1: Compara¸c˜ao da energia total do exciton el´etron-buraco leve, calculada com di-
ferentes aproxima¸c˜oes. AP0 n˜ao considera nenhuma contribui¸c˜ao devido a efeitos de cargas
imagem, AP1 considera apenas corre¸c˜ao devido ao potencial de auto-energia, AP2 inclui todas
as intera¸c˜oes relacionadas a cargas imagem. A energia total do exciton ´e calculada para po¸cos
estreitos (L = 5.0 nm) e largos (L = 20 nm).
Energia total do L = 5 nm L = 20 nm
exciton e −lh (eV) ε
w
/ε
b
AP0 AP1 AP2 AP0 AP1 AP2
Si/SrT iO
3
0.0390 1.1583 1.0596 1.0783 1.0964 1.0643 1.0719
GaN/HfO
1
0.3800 3.3521 3.3090 3.3261 3.2906 3.2832 3.2889
Si/HfO
2
0.4680 1.1958 1.1679 1.1793 1.0974 1.0923 1.0961
GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As 1.0705 1.5381 1.5404 1.5396 1.4353 1.4359 1.4355
GaAs/ZnSe 1.5949 1.6594 1.6780 1.6699 1.5308 1.5351 1.5322
Si/SiO
2
3.0000 1.2004 1.2454 1.2162 1.0974 1.1074 1.0988
que a aproxima¸c˜ao AP1 para ε
w
< ε
b
, devido ao efeito combinado do p otencial das cargas
imagem sobre a energia de recombina¸c˜ao ∆E
R
(varia¸c˜ao negativa) e ao pequeno valor da
energia de liga¸c˜ao. Entretanto, para ε
w
> ε
b
, a energia de recombina¸c˜ao tem varia¸c˜ao
∆E
R
positiva enquanto a energia de liga¸c˜ao ´e maior que a energia de liga¸c˜ao calculada com
a aproxima¸c˜ao AP0 e menor que a energia calculada pela aproxima¸c˜ao AP1. As energias
totais do exciton (e−lh e e−hh) s˜ao mostradas nas Tabelas 3.1 e 3.2 para po¸cos quˆanticos
abruptos estreitos (L = 5 nm) e largos (L = 20 nm), respectivamente. Para ambos os
casos, pode-se observar que a varia¸c˜ao da energia de recombina¸c˜ao ∆E
R
combinada com
a varia¸c˜ao sofrida pela energia de liga¸c˜ao
E
b
, devido ao efeito da intera¸c˜ao dos portado-
res com as cargas imagem, ocasiona uma pequena varia¸c˜ao na energia total do exciton.
Em outras palavras, para os sistemas em estudo e para os parˆametros considerados neste
trabalho, podemos dizer que o efeito sobre a energia total do exciton devido ao potencial
V
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) ´e amenizado pelo potencial Σ
i
(z
i
). A explica¸c˜ao para este comportamento
refere-se, mais uma vez, ao sinal das cargas imagem. Para ε
w
> ε
b
as cargas imagem tˆem
sinal igual ao sinal do portador, o que significa que o portador sente um potencial Σ
i
(z
i
)
repulsivo dentro do po¸co, devido `as cargas imagem que ele produz (∆E
R
> 0) e um poten-
cial V
e−h
(ρ, z
e
, z
h
) atrativo devido `a intera¸c˜ao com as cargas imagem do outro portador,
aumentando a energia de liga¸c˜ao. Conseq¨uentemente, a corre¸c˜ao efetiva da aproxima¸c˜ao
AP2 sobre a energia do exciton ´e pequena em compara¸c˜ao com a aproxima¸c˜ao AP0, para
po¸cos quˆanticos estreitos e largos, ou seja, da ordem de |AP2 − AP0| < 15 meV para
L = 5 nm e |AP2 −AP0| < 1.6 meV para L = 20 nm, conforme pode ser observado nas
Tabelas 3.1 e 3.2.
Um comportamento oposto ´e observado em po¸cos com ε
w
< ε
b
, e a diferen¸ca entre
AP2 e AP0 mostra-se maior em alguns sistemas, devido ao confinamento dos portado-
3.3 Resultados num´ericos 76
Tabela 3.2: Compara¸c˜ao da energia total do exciton el´etron-buraco pesado, calculada com
diferentes aproxima¸c˜oes. AP0 n˜ao considera nenhuma contribui¸c˜ao devido a efeitos de cargas
imagem, AP1 considera apenas corre¸c˜ao devido ao potencial de auto-energia, AP2 inclui todas
as intera¸c˜oes relacionadas `a cargas imagem. A energia total do exciton ´e calculada para po¸cos
estreitos (L = 5.0 nm) e largos (L = 20 nm).
Energia total do L = 5 nm L = 20 nm
exciton e −hh (eV) ε
w
/ε
b
AP0 AP1 AP2 AP0 AP1 AP2
Si/SrT iO
3
0.0390 1.1093 1.0206 1.0479 1.0873 1.0555 1.0664
GaN/HfO
1
0.3800 3.3165 3.2767 3.2965 3.2843 3.2784 3.2845
Si/HfO
2
0.4680 1.1360 1.1108 1.1250 1.0876 1.0832 1.0872
GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As 1.0705 1.5100 1.5124 1.5116 1.4308 1.4313 1.4309
GaAs/ZnSe 1.5949 1.6090 1.6267 1.6192 1.5254 1.5295 1.5267
Si/SiO
2
3.0000 1.1498 1.1918 1.1590 1.0878 1.0969 1.0881
res na regi˜ao da interface, como ocorre com os po¸cos quˆanticos Si/SrT iO
3
e em po¸cos
quˆanticos GaN/HfO
2
largos.
Em conclus˜ao, estudamos as contribui¸c˜oes das cargas imagem sobre as energias de
recombina¸c˜ao, de liga¸c˜ao e energia total de exciton (e −lh e e −hh), em po¸cos quˆanticos
abruptos, estreitos (L = 5 nm) e largos (L = 20 nm). Os resultados mostram que, consi-
derando os parˆametros dos materiais usados neste trabalho, modelos simples (AP0) para
c´alculos de excitons s˜ao inadequados para estudar sistemas com ε
w
< ε
b
, visto que modelos
mais precisos (AP2) apresentam resultados com diferen¸cas significativas: quantitativas
(
∼
80 meV) e qualitativas (devido ao confinamento de portadores na interface de alguns
sistemas). Em sistemas ε
w
> ε
b
modelos simples (AP0) e modelos mais precisos (AP2)
apresentam resultados para a energia total do exciton, quantitativamente similares, com
diferen¸ca em torno de 16 meV para po¸cos Si/SiO
2
de 5 nm de largura, e uma diferen¸ca
menor que 2 meV para po¸cos de 20 nm de largura. Isto ocorre, principalmente, porque
o potencial de auto-energia minimiza a contribui¸c˜ao da correla¸c˜ao em z dos p ortadores,
juntamente com as intera¸c˜oes Coulombianas entre portadores e cargas imagem.
Como os po¸cos quˆanticos mais abordados na literatura s˜ao do tipo po¸cos quˆanticos
diel´etricos (estruturas Si/SiO
2
e estruturas constitu´ıdas de semicondutores do grupo III-V
e semicondutores do grupo II-VI), com ε
w
> ε
b
, os efeitos ocasionados por cargas imagem
n˜ao vˆem sendo comumente abordados. Entretanto, com o recente interesse em combinar
os tradicionais semicondutores com os high − k diel´etricos, tais como heteroestruturas
do tipo Si/HfO
2
(ZrO
2
), Si/SrT iO
3
, Si/HfSiO
4
, GaN/HfO
2
, entre outros, o estudo
das contribui¸c˜oes nas energias destes sistemas, devido a cargas imagem, torna-se indis-
pens´avel.
77
4 Intera¸c˜ao El´etron-impureza em
po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
Neste Cap´ıtulo iremos estudar a intera¸c˜ao entre el´etron-impureza em po¸cos quˆanticos
GaN/HfO
2
. Os c´alculos consideram simultaneamente todas as contribui¸c˜oes de energia
causadas pela diferen¸ca entre as constantes diel´etricas do GaN (ε
GaN
=9.5) e HfO
2
(ε
HfO
2
=25): (i) potencial de auto-energia do el´etron Σ
e
(z
e
), que se origina a partir
da intera¸c˜ao do el´etron com suas cargas imagens; (ii) intera¸c˜ao Coulombiana el´etron-
impureza; (iii) intera¸c˜ao entre el´etron e as cargas imagens da impureza. A energia de
liga¸c˜ao el´etron-impureza (E
e−im
b
) ´e obtida em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da impureza z
im
na
dire¸c˜ao de crescimento do po¸co quˆantico, para po¸cos com larguras iguais a 5 e 10 nm. A
energia do el´etron e a energia de liga¸c˜ao s˜ao obtidas atrav´es de um m´etodo que se baseia
na solu¸c˜ao num´erica da equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente do tempo, proposta nas Refs.
[77, 78, 79, 80].
4.1 Introdu¸c˜ao 78
4.1 Introdu¸c˜ao
Quando uma impureza ´e introduzida em um po¸co quˆantico, o c´alculo das propriedades
eletrˆonicas desta heteroestrutura torna-se consideravelmente mais complexo, quando com-
parada a uma rede cristalina tridimensional dopada. Isto ocorre por conta dos dois graus
de liberdade que o portador tem no plano do po¸co, e principalmente, pelo movimento
restrito na dire¸c˜ao de crescimento, imposto pelas bandas de energia dos materiais que
constituem a barreira e o po¸co da heteroestrutura. Primeiro, porque a energia de liga¸c˜ao
el´etron-impureza no po¸co quˆantico depende do potencial de confinamento ∆ E
e
(z
e
) devido
`a estrutura do po¸co quˆantico. Em segundo, porque a energia de liga¸c˜ao e a fun¸c˜ao de
onda tanto do el´etron quanto da impureza dependem da posi¸c˜ao da impureza ao longo da
dire¸c˜ao de crescimento do po¸co.
Os po¸cos quˆanticos que iremos tratar nesse trabalho possuem uma complexidade a
mais, que ´e a elevada diferen¸ca entre a constante diel´etrica do material que forma o po¸co
(ε
GaN
=9.5) e a constante diel´etrica que forma a barreira (ε
HfO
2
=25) da heteroestrutura.
A presen¸ca de uma carga pontual em um meio onde a constante diel´etrica ´e descont´ınua
induz polariza¸c˜ao de cargas nas interfaces da estrutura, e este problema pode ser resol-
vido atrav´es do m´etodo das cargas imagem. A fun¸c˜ao de onda do el´etron, bem como a
energia do el´etron e a energia de liga¸c˜ao el´etron-impureza, podem ser significantemente
alteradas por causa do efeito de confinamento adicional, produzido pela distribui¸c˜ao das
cargas imagem nas regi˜oes da barreira e do po¸co. Atrav´es de uma breve busca na litera-
tura, podemos observar que muitos trabalhos investigam estados de impureza em po¸cos
quˆanticos cujas constantes diel´etricas do material do po¸co e da barreira s˜ao iguais ou in-
significantemente diferentes [81, 82]. Por exemplo, Mailhiot et al. [25] investigaram po¸cos
quˆanticos GaAs/Ga
1−x
Al
x
As dopados, incluindo efeito de cargas imagem, para um po¸co
com potencial de confinamento ∆E
e
(z
e
) semi-infinito nas regi˜oes das barreiras
1
. Nesse
trabalho foram consideradas apenas duas posi¸c˜oes na estrutura para o posicionamento da
impureza : centro do po¸co e pr´oximo `as interfaces. Em um outro trabalho, Deng e Gu [83]
tamb´em estudaram po¸cos quˆanticos GaAs/Ga
1−x
Al
x
As dopados, dentro da aproxima¸c˜ao
da massa efetiva, usando m´etodo variacional e potencial ∆E
e
(z
e
) infinito nas regi˜oes
das barreiras. Chen e Bajaj [43] investigaram estados de impurezas em p o¸cos quˆanticos
diel´etricos (GaAs/ZnSe) com potencial de confinamento ∆E
e
(z
e
) finito (∆E
e
(z
e
) = 340
meV). Nesse trabalho, al´em do potencial de auto-energia do el´etron Σ
e
(z
e
), foram consi-
derados tamb´em intera¸c˜oes entre el´etron e as cargas imagem da impureza.
1
Considerar que o potencial de confinamento ´e semi-infinito ou infinito nas barreiras, significa que o
potencial imagem de auto-energia ´e calculado posicionando a carga pontual apenas na regi˜ao interna do
po¸co.
4.2 Modelo Te´orico 79
Uma caracter´ıstica comum entre as estruturas investigadas na literatura ´e que, em
geral, elas apresentam ε
w
> ε
b
e foram estudas atrav´es de m´etodo variacional. Entretanto,
com o surgimento de novos materiais com elevada constante diel´etrica, faz-se necess´ario o
estudo de estados eletrˆonicos de portadores e impurezas em po¸cos quˆanticos com elevada
descontinuidade entre as constantes diel´etricas nas regi˜oes das interfaces. C´alculos da
energia de liga¸c˜ao, e suas varia¸c˜oes com o campo aplicado, s˜ao necess´arios para obter
valores exatos das energias de transi¸c˜oes ´opticas de doadores e excitons nestes po¸cos
quˆanticos.
Neste sentido, investigamos intera¸c˜ao el´etron impureza em po¸cos quˆanticos abruptos
GaN/HfO
2
, levando em considera¸c˜ao:
• p otencial de auto-energia do el´etron Σ
e
(z
e
);
• intera¸c˜ao Coulombiana el´etron-impureza;
• intera¸c˜ao entre el´etron e as cargas imagem da impureza.
Dois regimes de confinamento s˜ao considerados, po¸cos estreitos e largos. A de-
pendˆencia da energia de liga¸c˜ao do estado fundamental, primeiro e segundo estados exci-
tado s˜ao plotadas em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da impureza z
im
. Por simplicidade, os parˆametros
do semicondutor GaN usados neste trabalho referem-se `a fase cristalina zinc blend [64]
em lugar da fase cristalina wurtzite, com o objetivo de evitar efeitos de polariza¸c˜ao
espontˆaneas piezoel´etricas [65, 66] que s˜ao observados na fase cristalina wurtzite deste
semicondutor.
4.2 Modelo Te´orico
Qualquer estudo te´orico das propriedades de uma impureza adicionada em uma he-
teroestrutura precisa resolver a equa¸c˜ao de Schr¨odinger para cada estrutura em particular,
incluindo um termo Coulombiano adicional, que representa o potencial da impureza. O
m´etodo escolhido neste trabalho baseia-se na solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger depen-
dente do tempo, proposta nas Refs. [77, 78, 79, 80], dentro da aproxima¸c˜ao da massa
efetiva, ou seja, calcular a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
i
∂Ψ(r, t)
∂t
= HΨ(r, t), (4.1)
onde o Hamiltoniano H ´e formado pelos termos cin´eticos e do potencial
4.2 Modelo Te´orico 80
H =
1
2
P
1
m
∗
(r)
P + V (r), (4.2)
onde o primeiro termo do lado direito da Eq. 4.2 representa o operador energia cin´etica,
com P = −i∇, e o ´ultimo termo representa o potencial de confinamento do portador. O
m´etodo usado parte de uma solu¸c˜ao inicial Ψ(r, t) dada por
Ψ(r, t) = exp
−
i
t
0
Hdt
Ψ(r, 0), (4.3)
onde o Hamiltoniano H (Eq. 4.2) n˜ao depende do tempo t, de forma que a integral da
Eq. 4.3, resolvida para o intervalo de tempo entre t e t + ∆t, ´e igual a
Ψ(r, t + ∆t) = exp
−
i
H
t+∆t
t
dt
Ψ(r, t ) = exp
−
i
H∆t
Ψ(r, t). (4.4)
Substituindo Eq. 4.2 em Eq. 4.4, obtemos
Ψ(r, t + ∆t) = exp
−i
∆t
1
2
P
1
m
∗
(r)
P + V (r)

Ψ(r, t ). (4.5)
Desta forma o m´etodo prop˜oe encontrar uma fun¸c˜ao de onda em um tempo t+∆t, para
um potencial V ( r) qualquer
2
, partindo de uma fun¸c˜ao de onda inicial Ψ(r, t). Para calcular
os n´ıveis de energia e uma solu¸c˜ao Ψ(r, t) para a equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente do
tempo, expandimos uma fun¸c˜ao de onda inicial Ψ(t) em termos de
|Ψ(t) =
n
a
n
exp
−i
E
n
t
|φ
n
, (4.6)
onde E
n
representa o n-´esimo n´ıvel de energia permitido no sistema e φ
n
a auto-fun¸c˜ao.
Assim, o problema resume-se em resolver a Eq. 4.5 atrav´es da fun¸c˜ao de onda inicial
representada pela Eq. 4.6. O Apˆendice A demonstra o m´etodo que ´e usado nesse trabalho
para resolver a Eq. 4.5.
2
A forma do potencial tem apenas influˆencia fraca no tempo de convergˆencia.
4.2 Modelo Te´orico 81
4.2.1 Potencial de confinamento V (r)
Para uma aproxima¸c˜ao simples, ou seja, sem considerar as corre¸c˜oes devido `as cargas
imagem e sem impureza, o potencial da Eq. 4.5 ´e representado apenas pelo potencial das
bandas de energia, isto ´e, V (r) = V (z
e
) = ∆E
e
(z
e
). Quando uma impureza ´e introduzida
na banda de condu¸c˜ao de um po¸co quˆantico, o estudo das propriedades da impureza inclui
na Eq. 4.2 um termo Coulombiano adicional, que representa o potencial da impureza, e
pode ser adicionado ao potencial V (r) na forma
V (r) = V (ρ
e
, z
e
, z
im
) = ∆E
e
(z
e
) + V
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
), (4.7)
onde
V
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
) = −
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
e
+ (z
e
− z
im
)
2
, (4.8)
´e o potencial da impureza em po¸cos quˆanticos sem efeito de cargas imagem, similar `a
aproxima¸c˜ao AP0 do Cap´ıtulo 3. A localiza¸c˜ao da impureza ´e considerada na origem do
plano xy e denotada por (0, 0, z
im
), com ρ
2
e
= x
2
e
+ y
2
e
.
O potencial V (r) que usamos, inclui n˜ao s´o o potencial de confinamento ∆E
e
(z
e
) e o
termo Coulombiano adicional V
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
), mas tamb´em o efeito de polariza¸c˜ao do
sistema devido `a diferen¸ca das constantes diel´etricas ε
GaN
e ε
HfO
2
do po¸co GaN/Hf O
2
.
Assim como desenvolvido nos Cap´ıtulos 2 e 3, este efeito de polariza¸c˜ao ´e calculado
atrav´es do m´etodo de cargas imagem, cujos efeitos sobre as propriedades da impureza s˜ao
divididos nesse trabalho em duas categorias:
1. efeito do potencial de auto-energia Σ
i
(z
i
) sobre a energia do el´etron E
e
n
;
2. efeito da intera¸c˜ao Coulombiana entre el´etron e as cargas imagem da impureza, o
qual ´e inclu´ıdo no potencial V
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
) da Eq. 4.7.
Assim, o potencial V (r) da Eq. 4.7 fica
V (r) = V (ρ
e
, z
e
, z
im
) = ∆E
e
(z
e
) + Σ
e
(z
e
) + V
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
), (4.9)
onde as equa¸c˜oes que representam a contribui¸c˜ao do potencial Σ
i
(z
i
) est˜ao expl´ıcitas no
Cap´ıtulo 2 atrav´es das Eqs. 2.15 a 2.17, enquanto as equa¸c˜oes que representam a con-
4.2 Modelo Te´orico 82
tribui¸c˜ao do potencial V
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
) s˜ao obtidas de forma similar ao desenvolvimento
das Eqs. 3.29 a 3.37.
Vamos ponderar sobre o caso do po¸co abrupto de largura L, mostrado na Fig. 3.4,
e denotar as regi˜oes I, II e III, desta figura, por C, L e R, respectivamente, em um
esquema similar ao mostrado na Fig. 3.5. Considerando que V
AB
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
) representa
a intera¸c˜ao Coulombiana entre o el´etron na regi˜ao A e a impureza fixa em um ponto z
im
na regi˜ao B, temos
V
CC
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
) = −
∞
n=−∞
λ
n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
e
+ [z
e
− (−1)
n
z
im
− nL]
2
, (4.10)
V
LC
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
∞
n=0
λ
n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
e
+ [z
e
− (−1)
n
z
im
− nL]
2
, (4.11)
V
RC
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
∞
n=0
λ
n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
e
+ [z
e
− (−1)
n
z
im
+ nL]
2
, (4.12)
V
LR
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
2
∞
n=0
λ
2n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
e
+ [z
e
− z
im
− 2nL]
2
, (4.13)
V
RR
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
2
∞
n=0
λ
2n+1
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
e
+ [z
e
+ z
im
+ (2n + 1)L]
2
−
e
2
4πε
b
ε
0
ρ
2
e
+ (z
e
− z
im
)
2
+
λ
1
e
2
4πε
b
ε
0
ρ
2
e
+ (z
e
+ z
im
− L)
2
, (4.14)
V
LL
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
2
∞
n=0
λ
2n+1
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
+ [−z
e
− z
im
+ (2n + 1)L]
2
−
e
2
4πε
b
ε
0
ρ
2
e
+ (−z
e
+ z
im
)
2
+
λ
1
e
2
4πε
b
ε
0
ρ
2
e
+ (−z
e
− z
im
− L)
2
= V
RR
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
), (4.15)
V
CL
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
∞
n=0
λ
n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
e
+ [z
e
− (−1)
n
z
im
− nL]
2
4.2 Modelo Te´orico 83
Figura 4.1: (a) Perfil do potencial devido `as bandas de energia ∆E
e
(z) ao longo do eixo z. (b)
Perfil do potencial de auto-energia Σ
e
(z) ao longo do eixo z. (c) Perfil do potencial da impureza,
com efeito da carga imagem, ao longo do eixo z. (d) Perfil do potencial total de confinamento
ao longo do eixo z.
= V
LC
e−h
(ρ
e
, z
e
, z
im
), (4.16)
V
CR
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
∞
n=0
λ
n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
e
+ [z
e
− (−1)
n
z
im
+ nL]
2
= V
RC
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
), (4.17)
V
RL
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
) = −
2ε
w
ε
w
+ ε
b
2
∞
n=0
λ
2n
e
2
4πε
w
ε
0
ρ
2
e
+ [z
e
− z
im
− 2nL]
2
= V
LR
e−im
(r
e
, r
h
), (4.18)
onde ε
0
´e a permissividade el´etrica do v´acuo, ρ
2
= x
2
e
+ y
2
e
, e
λ
n
=
ε
w
− ε
b
ε
w
+ ε
b
|n|
. (4.19)
As rela¸c˜oes mostradas nas Eqs. 4.15 a 4.18 s˜ao determinadas a partir da simetria com
4.2 Modelo Te´orico 84
Figura 4.2: Esquerda: Potencial da impureza V
e−im
(ρ
e
, z
e
, z
im
), com efeito da carga imagem.
Direita: Potencial total de confinamento. Impureza localizada na posi¸c˜ao (0,0,0).
rela¸c˜ao ao plano z = 0.
A Fig. 4.1 ilustra os perfis das contribui¸c˜oes do potencial da Eq. 4.9, ao longo do
eixo z do po¸co quˆantico GaN/HfO
2
abrupto, com largura igual a L = 50 nm e impureza
localizada no centro do p o¸co (z
im
= 0). Em (a) o po¸co abrupto representa o potencial
devido `as bandas de condu¸c˜ao do semicondutor GaN e do ´oxido HfO
2
(∆E
e
(z
e
)). O
valor do potencial ∆E
e
(= 900 meV) foi estimado a partir de um modelo simples de
afinidade eletrˆonica. Em (b) o potencial imagem de auto-energia Σ
e
(z
e
) mostra que
o potencial na regi˜ao do po¸co ´e atrativo (devido `a ε
w
< ε
b
), produzindo c´uspides de
pequenas intensidades pr´oximo `as interfaces do potencial total, conforme observado em
(d). A Fig. 4.2 ilustra o potencial da impureza (Eqs. 4.10 a 4.18) e o potencial total (Eq.
4.9), plotadas em trˆes dimens˜oes.
A energia de liga¸c˜ao el´etron-impureza ´e calculada com as contribui¸c˜oes das cargas
imagem apropriadamente consideradas, atrav´es da diferen¸ca
E
n
b
= E
e
n(V
RL
e−im
(ρ
e
,z
e
,z
im
)=0)
− E
e
n(V
RL
e−im
(ρ
e
,z
e
,z
im
)=0)
, (4.20)
ou seja, a energia de liga¸c˜ao do el´etron com a impureza ´e exatamente a diferen¸ca entre a
energia do el´etron confinado no po¸co com impureza e a energia do el´etron confinado no
po¸co sem a impureza.
4.3 Resultados num´ericos 85
Figura 4.3: Energia de liga¸c˜ao el´etron-impureza, calculada por Cen e Bajaj (Ref. [44]), repre-
sentada pela linha s´olida. Os s´ımbolos (×), () e (•) representam a energia de liga¸c˜ao do estado
fundamental, primeiro e segundo estados excitados, respectivamente.
4.3 Resultados num´ericos
Neste Cap´ıtulo, estudamos estados de impureza em po¸cos quˆanticos GaN/Hf O
2
ab-
ruptos, considerando apenas dois regimes de confinamento com rela¸c˜ao `a largura do po¸co,
ou seja, foram calculadas as energias do el´etron e a energia de liga¸c˜ao para o estado fun-
damental, primeiro e segundo estado excitado, em po¸cos com L = 5 nm e L = 10 nm. As
fun¸c˜oes de onda do el´etron para estes estados s˜ao mostradas no plano yz, sendo o eixo
z a dire¸c˜ao de confinamento. As energias do el´etron, assim como as energias de liga¸c˜ao,
s˜ao plotadas em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da impureza z
im
, que varia de zero a 10 nm, entre a
regi˜ao central do po¸co e a barreira. Conforme mostra a Fig. 4.1, o po¸co tem simetria a
partir da origem, em z = 0, e a referˆencia do potencial V (z) da Eq. 4.9, ´e tomada com
rela¸c˜ao ao n´ıvel zero do potencial ∆E
e
(z
e
) ilustrado na Fig 4.1(a).
Para efeito de compara¸c˜ao, a Fig. 4.3 ilustra o m´odulo da energia de liga¸c˜ao E
b
calculada por Cen e Bajaj [43], representada pela linha s´olida. Os s´ımbolos (×), () e
(•) representam a energia de liga¸c˜ao do estado fundamental, primeiro e segundo estados
excitados, respectivamente, calculadas neste trabalho atrav´es da solu¸c˜ao num´erica da
equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente do tempo, e incluindo os efeitos de cargas imagem
representados pelo potencial Σ
e
(z
e
) e pelas Eqs. 4.10 a 4.18. Embora o primeiro () e o
segundo (•) estado excitado estejam plotados na Fig. 4.4, os mesmos n˜ao foram calculados
por Cen e Bajaj. Os parˆametros dos semicondutores GaAs e ZnSe usados para calcular
as energias de liga¸c˜ao foram os mesmos parˆametros usados por Cen e Bajaj [43].
4.3 Resultados num´ericos 86
Figura 4.4: Proje¸c˜ao nos eixos y e z da fun¸c˜ao de onda do el´etron para (a) estado fundamental,
(b) primeiro e (c) segundo estado excitado. Em (d) ´e plotado a proje¸c˜ao do potencial de
confinamento ao longo do eixo z. A impureza est´a localizada no centro do po¸co GaN/Hf O
2
de
largura L = 5 nm. A linha horizontal em (d) representa o estado fundamental do el´etron.
Figura 4.5: Proje¸c˜ao nos eixos y e z da fun¸c˜ao de onda do el´etron para (a) estado fundamental,
(b) primeiro e (c) segundo estado excitado. Em (d) ´e plotado a proje¸c˜ao do potencial de
confinamento ao longo do eixo z. A impureza est´a localizada pr´oximo `a interface direita do po¸co
GaN/HfO
2
, de largura L = 5 nm, na posi¸c˜ao z
im
= 2 nm. A linha horizontal em (d) representa
o estado fundamental do el´etron.
4.3 Resultados num´ericos 87
Figura 4.6: Proje¸c˜ao nos eixos y e z da fun¸c˜ao de onda do el´etron para (a) estado fundamental,
(b) primeiro e (c) segundo estado excitado. Em (d) ´e plotado a proje¸c˜ao do potencial de
confinamento ao longo do eixo z. A impureza est´a localizada na barreira do po¸co GaN/HfO
2
,
de largura L = 5 nm, na posi¸c˜ao z
im
= 10 nm. A linha horizontal em (d) representa o estado
fundamental do el´etron.
As Figs. 4.4, 4.5 e 4.6 ilustram a proje¸c˜ao nos eixos y e z da fun¸c˜ao de onda do
el´etron, para (a) estado fundamental, (b) primeiro e (c) segundo estado excitado, sendo
o eixo z a dire¸c˜ao do confinamento. Em (d) ´e plotado o perfil do potencial V (z) ao longo
do eixo z. As energias do el´etron, correspondentes a cada estado, tamb´em s˜ao mostradas.
Os po¸cos GaN/HfO
2
abruptos mostrados nesta figuras tˆem largura L = 5 nm.
Na Fig. 4.4, a impureza localiza-se no centro do po¸co (z
im
= 0). Neste caso, o estado
fundamental do el´etron est´a 8.71 meV acima do n´ıvel de referˆencia da energia potencial,
em ∆E
e
(z
e
) = 0, e a fun¸c˜ao de onda tem intensidade maior no centro do po¸co, devido ao
efeito das barreiras de potencial. Al´em disso, a massa efetiva do el´etron m
∗
e
n˜ao ´e grande o
suficiente para ocorrer confinamento interfacial, como foi observado para o buraco pesado
no Cap´ıtulo 2.
Na Fig. 4.5, a impureza localiza-se pr´oximo `a interface, em z
im
= 2 nm. Neste caso,
o estado fundamental do el´etron est´a 25.40 meV acima do n´ıvel de referˆencia do potencial
∆E
e
(z
e
), ou seja, 16.96 meV acima do estado fundamental de energia quando z
im
= 0 nm.
Conseq¨uentemente, a fun¸c˜ao de onda do estado fundamental mostra-se mais espalhada
com rela¸c˜ao ao caso em que a impureza localiza-se no centro do po¸co da estrutura. Este
efeito ocorre p orque a impureza, localizada em z
im
= 2 nm, atrai a fun¸c˜ao de onda do
estado fundamental e primeiro estado excitado, no sentido positivo do eixo z, conforme
mostra a Fig. 4.5(a)(b).
4.3 Resultados num´ericos 88
Figura 4.7: Esquerda: energia do el´etron para (preto) estado fundamental, (vermelho) pri-
meiro e (azul) segundo estado excitado, em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da impureza (z
im
). Direita:
energia de liga¸c˜ao para, (preto) estado fundamental, (vermelho) primeiro e (azul) segundo estado
excitado, em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da impureza (z
im
). Em (a)-(c) o po¸co GaN/Hf O
2
tem largura
L = 5 nm, em (b)-(d) o po¸co tem largura L = 10 nm.
Na Fig. 4.6, a impureza localiza-se na regi˜ao da barreira, em z
im
= 10 nm. Neste caso,
o estado fundamental do el´etron est´a 34.94 meV acima do n´ıvel de referˆencia do potencial
∆E
e
(z
e
), ou seja, 26.23 meV acima do estado fundamental de energia quando z
im
= 0
nm. A fun¸c˜ao de onda do estado fundamental mostra-se mais confinada com rela¸c˜ao ao
caso em que a impureza localiza-se no centro do po¸co da estrutura. Este efeito ocorre
porque a impureza, localizada em z
im
= 10 nm, tem pequena influˆencia sobre a fun¸c˜ao
de onda do estado fundamental, primeiro e segundo estado excitado, conforme mostra a
Fig. 4.6(a)-(c), respectivamente.
A Fig. 4.7 mostra a dependˆencia da energia do el´etron e da energia de liga¸c˜ao com a
posi¸c˜ao da impureza, para dois valores da largura de po¸co: L = 5 nm e L = 10 nm. Este
gr´afico mostra que a energia do estado fundamental cresce assintoticamente at´e atingir
valores com varia¸c˜oes menos acentuadas, a partir de z
im
≈ 2 nm e z
im
≈ 5 nm, para
po¸cos com larguras L = 5 nm, Fig. 4.7(a) e L = 10 nm, Fig. 4.7(b), respectivamente.
Para z
im
> 2 nm ( > 5 nm), em po¸cos com L = 5 nm (L = 10 nm), a energia do el´etron
praticamente n˜ao varia com a posi¸c˜ao da impureza, o que indica que o efeito do potencial
da impureza ´e pequeno, quando a impureza localiza-se na regi˜ao da barreira.
O m´odulo da energia de liga¸c˜ao (Eq. 4.19) ´e mostrado nas Figs. 4.7(c) e 4.7(d),
para po¸cos com L = 5 nm e L = 10 nm, respectivamente. S˜ao plotadas as energias
para o estado fundamental (preto), primeiro (vermelho) e segundo (azul) estado excitado.
Qualitativamente, em ambos os casos (L = 5 nm e L = 10 nm), a energia de liga¸c˜ao
4.3 Resultados num´ericos 89
Figura 4.8: Centro de massa do el´etron em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da impureza (z
im
). Em (a) o
po¸co GaN/HfO
2
tem largura L = 5 nm e em (b) o po¸co tem largura L = 10 nm. O estado
fundamental, primeiro e segundo estado excitado s˜ao representados pelas cores preta, vermelha
e azul, respectivamente.
decresce rapidamente com a posi¸c˜ao da impureza, at´e uma posi¸c˜ao pr´oxima `a interface
do po¸co. Quando a impureza localiza-se na regi˜ao da barreira, a energia de liga¸c˜ao ´e
pequena, embora n˜ao nula (∼ 5 meV), para os valores de z
im
investigados neste trabalho.
A posi¸c˜ao do centro de massa do el´etron, em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da impureza, ´e mos-
trada na Fig. 4.8, para po¸cos com (a) L = 5 nm e (b) L = 10 nm. Para po¸cos com
L = 5 nm (L = 10 nm), o centro de massa do el´etron, estado fundamental (preto), tem
deslocamento m´aximo de aproximadamente 0.12 nm (1.0 nm) quando a impureza localiza-
se em z
im
1 nm (3 nm). Deslocando a impureza para a regi˜ao da barreira, o centro
de massa tende a retornar para o centro do po¸co. O centro de massa do el´etron, para
(vermelho) primeiro e (azul) segundo estado excitado n˜ao sofre influˆencias significativas
com o deslocamento da posi¸c˜ao da impureza, em compara¸c˜ao com o estado fundamental.
Em conclus˜ao, estudamos estados de impureza em po¸cos quˆanticos GaN/HfO
2
, com
efeito de cargas imagem para dois regimes de confinamento, (i) po¸co com largura igual
a 5 nm e (ii) po¸co com largura igual a 10 nm. As energias do el´etron, assim como as
energias de liga¸c˜ao, s˜ao plotadas em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da impureza z
im
, que varia de
zero a 10 nm, entre a regi˜ao central do po¸co e a barreira. Os resultados mostram que,
considerando os parˆametros dos materiais usados neste trabalho, `a medida que a posi¸c˜ao
da impureza afasta-se do centro do po¸co, no sentido positivo do eixo z, a fun¸c˜ao de onda
do el´etron ´e atra´ıda no mesmo sentido de deslocamento da impureza. A intensidade da
atra¸c˜ao diminui quando a posi¸c˜ao da impureza afasta-se da interface, no sentido positivo
de z, dentro da regi˜ao da barreira quˆantica. Conseq¨uentemente, a energia do el´etron sofre
4.3 Resultados num´ericos 90
varia¸c˜oes insignificantes, entre os intervalos de deslocamento z
im
, afastando do centro
do po¸co dentro da barreira, assim como a energia de liga¸c˜ao que tende a valores de
baixa intensidade (quando comparada com as varia¸c˜oes que as energias sofrem quando a
impureza desloca-se dentro do po¸co).
91
Conclus˜oes Gerais e Perspectivas
Um ramo de pesquisa que tem sido amplamente estudado refere-se `a busca por novos
materiais ´oxidos com altas constantes diel´etricas, para aplica¸c˜ao em dispositivos semicon-
dutores. Embora o SiO
2
apresente boas caracter´ısticas f´ısicas [84], o seu uso cont´ınuo
nos dispositivos semicondutores apresentou limita¸c˜oes fundamentais, como, por exemplo,
a elevada corrente de tunelamento que aparece quando se usa este ´oxido com esp essura
abaixo de 1.0 nm [7]. O problema sugere que a ind´ustria de dispositivos semicondutores
est´a submetida a exigˆencias tecnol´ogicas necess´arias para sua permanˆencia no mercado
de dispositivos eletrˆonicos. O uso de novos materiais diel´etricos, que surgiram como pro-
postas para solu¸c˜ao deste problema dos nanodispositivos, tem influˆencia direta nas suas
propriedades eletrˆonicas e ´opticas. Embora estes problemas estejam bem definidos na
literatura, c´alculos te´oricos de estruturas reais tˆem sido realizados com algumas aproxi-
ma¸c˜oes.
Em nosso trabalho realizamos um estudo de confinamento de portadores em siste-
mas quˆanticos do tipo po¸cos quˆanticos GaN/Hf O
2
e Si/High − k, e demonstramos
que efeitos de cargas imagem modificam fortemente a estrutura eletrˆonica destes po¸cos
quˆanticos. Propriedades ´opticas e eletrˆonicas destes sistemas foram observadas levando em
considera¸c˜ao dois regimes de confinamento: po¸cos largos e estreitos. Estudamos tamb´em
energia de liga¸c˜ao e energia total de excitons, em po¸cos quˆanticos abruptos importantes
para a ind´ustria de dispositivos eletrˆonicos e opto-eletrˆonicos, e estudamos estados de
impureza em po¸cos GaN/Hf O
2
. Em todos os casos estudados, foram consideradas apro-
priadamente todas as contribui¸c˜oes de energia devido a intera¸c˜oes com cargas imagem.
O estudo das propriedades eletrˆonicas e da eficiˆencia das transi¸c˜oes ´opticas de po¸cos
quˆanticos diel´etricos e po¸cos quˆanticos baseados em novos materiais de grande importˆancia
para aplica¸c˜ao tecnol´ogica, mostrou que po¸cos quˆanticos com ε
w
< ε
b
podem apresentar
comportamentos diferentes para dois regimes de confinamento distintos, o primeiro em
po¸cos estreitos e o segundo em po¸cos largos. Al´em disso, a eficiˆencia das transi¸c˜oes
eletrˆonicas dep ende fortemente da combina¸c˜ao dos seguintes parˆametros: massa efetiva
m
i
(z
i
), profundidade do p otencial ∆E
i
(z
i
) e, principalmente, do efeito do potencial de
auto-energia Σ
i
(z
i
), o qual pode ser estimado pelo fator λ (quando |λ| → 1 o efeito do
potencial Σ
i
(z
i
) fica mais forte). Estes parˆametros combinados podem conduzir o portador
Conclus˜oes Gerais e Perspectivas 92
ao confinamento nas regi˜oes interfaciais, afetando desta forma a eficiˆencia das transi¸c˜oes
eletrˆonicas.
O estudo das contribui¸c˜oes das cargas imagem sobre as energias de recombina¸c˜ao, de
liga¸c˜ao e energia total de exciton (e −lh e e −hh), em po¸cos quˆanticos abruptos, estreitos
(L = 5 nm) e largos (L = 20 nm), mostrou que modelos simples (AP0) para c´alculos
de excitons, que desconsideram contribui¸c˜oes nas energias do sistema devido a cargas
imagem, podem ser quantitativamente similares a modelos mais precisos (AP2), porque
o potencial de auto-energia minimiza a contribui¸c˜ao da correla¸c˜ao em z dos p ortadores,
juntamente com as intera¸c˜oes Coulombianas entre portadores e cargas imagem. Mas isto
ocorre apenas para sistemas com ε
w
> ε
b
. Como os po¸cos quˆanticos mais abordados
na literatura s˜ao do tipo po¸cos quˆanticos diel´etricos (estruturas Si/SiO
2
e estruturas
constitu´ıdas de semicondutores do grupo III-V e semicondutores do grupo II-VI), com
ε
w
> ε
b
, os efeitos ocasionados por cargas imagem n˜ao vˆem sendo comumente abordados.
Entretanto, com o recente interesse em combinar os tradicionais semicondutores com os
high − k diel´etricos, tais como heteroestruturas do tipo Si/HfO
2
(ZrO
2
), Si/SrT iO
3
,
Si/HfSiO
4
, GaN/HfO
2
, entre outros, o estudo das contribui¸c˜oes nas energias destes
sistemas, devido a cargas imagem, torna-se indispens´avel.
O estudo dos estados de impureza em po¸cos quˆanticos GaN/Hf O
2
, com efeito de
cargas imagem, mostrou que, `a medida que a posi¸c˜ao da impureza afasta-se do centro
do po¸co, no sentido positivo do eixo z, a fun¸c˜ao de onda do el´etron ´e atra´ıda no mesmo
sentido de deslo camento da impureza. A intensidade da atra¸c˜ao diminui quando a posi¸c˜ao
da impureza afasta-se da interface, no sentido positivo de z, dentro da regi˜ao da barreira
quˆantica. Conseq¨uentemente, a energia do el´etron sofre varia¸c˜oes insignificantes, entre os
intervalos de deslocamento z
im
, afastando do centro do po¸co dentro da barreira, assim
como a energia de liga¸c˜ao que tende a valores de baixa intensidade (quando comparada
com as varia¸c˜oes que as energias sofrem quando a impureza desloca-se dentro do po¸co).
Os resultados obtidos neste trabalho acrescentam algumas perspectivas a mais para
o desenvolvimento de novas pesquisas:
1. estudos de estruturas semicondutoras de baixa dimensionalidade, como fios quˆanticos,
tˆem atra´ıdo muita aten¸c˜ao nos ´ultimos anos [85], n˜ao apenas pelas proprieda-
des eletrˆonicas e ´opticas, mas tamb´em devido a importantes aplica¸c˜oes em dis-
positivos eletrˆonicos e ´opticos. Em fios quˆanticos, portadores e excitons possuem
apenas um grau de liberdade, estando confinados em duas dire¸c˜oes. Isto resulta
em caracter´ısticas proeminentes do exciton tais como a elevada energia de liga¸c˜ao
e for¸ca de oscilador: a restri¸c˜ao no movimento dos portadores, reduz a distˆancia
Conclus˜oes Gerais e Perspectivas 93
entre o el´etron e o buraco, aumentando a intera¸c˜ao Coulombiana entre eles. Com
isto, o estudo de confinamento diel´etrico [86] em fios quˆanticos ´e um tema de grande
importˆancia para o entendimento de dispositivos eletrˆonicos e ´opticos baseados em
fios quˆanticos, e acrescenta perspectivas para realiza¸c˜ao de pesquisas relacionadas
com cargas imagem em fios quˆanticos;
2. a f´ısica de pontos quˆanticos semicondutores ´e uma das ´areas de pesquisa mais in-
tensificadas no estudo de heteroestruturas semicondutoras de baixa dimensionali-
dade [87, 88]. Nestes pontos quˆanticos, tamb´em chamados de ´atomos artificiais,
el´etrons e buracos est˜ao confinados em trˆes dire¸c˜oes espaciais, possuindo zero grau
de liberdade, dando a ascens˜ao para estados permitidos do sistema quˆantico. Esta
caracter´ıstica faz com que os pontos quˆanticos sejam qualitativamente diferentes
de po¸cos e fios quˆanticos, o que tamb´em acrescenta perspectivas para realiza¸c˜ao de
pesquisas relacionadas com cargas imagem nestes sistemas 0D;
3. consider´aveis aten¸c˜oes tˆem sido dadas a heteroestruturas semicondutoras relaciona-
das a transporte de el´etrons [89] na banda de condu¸c˜ao. O estudo de tunelamento
de el´etrons atrav´es de um gate ´oxido permite o entendimento do funcionamento
de dispositivos semicondutores como mem´orias e capacitores. Portanto, modelos
para simula¸c˜ao de dispositivos de tunelamento tornam-se um tema importante para
estudo, que pode ser realizado atrav´es de modelos de barreiras quˆanticas, e isto
acrescenta perspectivas para realiza¸c˜ao de pesquisas relacionadas com barreiras de
tunelamento (simples e dupla) com efeito de potencial imagem de auto-energia.
94
AP
ˆ
ENDICE A
Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Schr¨odinger Dependente do
Tempo
O m´etodo de propaga¸c˜ao no tempo imagin´ario, proposto nas Refs. [77, 78, 79, 80]
prop˜oe resolver a equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente do tempo (Eq. 4.5), e encontrar
uma solu¸c˜ao para a fun¸c˜ao de onda
Ψ(r, t + ∆t) = exp
−i
∆t
1
2
P
1
m(r)
P + V (r)

Ψ(r, t), (A.1)
em um tempo posterior a t (o tempo funciona como um parˆametro de itera¸c˜ao desta
equa¸c˜ao).
A Eq. A.1 ´e do tipo exp(A+B), onde A e B s˜ao os operadores cin´etico e potencial,
que n˜ao comutam. A expans˜ao usada na Eq. A.1 neste trabalho foi proposta por Suzuki
[90] para a decomposi¸c˜ao de exponenciais de operadores, onde, em primeira aproxima¸c˜ao,
temos
exp[x(A + B)] = exp(xA ) exp(xB) + O(x
2
), (A.2)
onde O(x
2
) ´e um erro da ordem de x
2
, que dever´a ser zero quando os operadores comu-
tarem. Outra expans˜ao pode ser feita em segunda aproxima¸c˜ao [90]
exp[x(A + B)] = exp(xB/2) exp(xA) exp(xB/2) + O(x
3
), (A.3)
ou, em terceira aproxima¸c˜ao [90]
exp[x(A + B)] = exp( γxB/2) exp(γxA) exp(xB) exp(γ
∗
xA)×
exp(γ
∗
xB/2) + O(x
3
), (A.4)
A.0 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Schr¨odinger Dependente do Tempo 95
onde γ = (3 + i
√
3)/6.
Neste trabalho, vamos usar a segunda aproxima¸c˜ao, onde x ´e o ∆t, A ´e o operador
cin´etico e o B ´e o operador potencial. Portanto, a Eq. A.1 ficar´a
Ψ(r, t + ∆t) =
exp
−i
∆t
2
V (r)
exp
−i
∆t
1
2
P
1
m(r)
P
exp
−i
∆t
2
V (r)
Ψ(r, t) + O
∆t
3
. (A.5)
Vamos resolver esta equa¸c˜ao em trˆes passos diferente. Cada passo ser´a uma aplica¸c˜ao
de uma exponencial. Portanto, o primeiro passo ser´a a primeira aplica¸c˜ao que chamaremos
de ξ, ou seja
ξ(r, t + ∆t) = exp
−i
∆t
2
V (r)
Ψ(r, t ). (A.6)
Ent˜ao, a Eq. A.5 se torna
Ψ(r, t + ∆t) = exp
−i
∆t
2
V (r)
exp
−i
∆t
1
2
P
1
m(r)
P
ξ(r, t + ∆t) + O
∆t
3
. (A.7)
Como segundo passo, temos a aplica¸c˜ao da exponencial de P em ξ
η(r, t + ∆t) = exp
−i
∆t
1
2
P
1
m(r)
P
ξ(r, t + ∆t), (A.8)
e decompondo P em suas componentes cartesianas, temos
η(r, t + ∆t) =
exp
−i
∆t
2
P
x
1
m(r)
P
x
+ P
y
1
m(r)
P
y
+ P
z
1
m(r)
P
z

ξ(r, t + ∆t). (A.9)
P
x
, P
y
e P
z
comutam entre si, ent˜ao podemos escrever a exponencial da soma como
o produto das exponenciais
η(r, t + ∆t) = exp
−i
∆t
2
P
x
1
m(r)
P
x
exp
−i
∆t
2
P
y
1
m(r)
P
y
×
A.0 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Schr¨odinger Dependente do Tempo 96
exp
−i
∆t
2
P
z
1
m(r)
P
z
ξ(r, t + ∆t), (A.10)
ou, substituindo P
x
= −i∂/∂x, e da mesma forma para y e para z, escrevemos
η(r, t + ∆t) = exp
i
∆t
2
∂
∂x
1
m(r)
∂
∂x
exp
i
∆t
2
∂
∂y
1
m(r)
∂
∂y
×
exp
i
∆t
2
∂
∂z
1
m(r)
∂
∂z
ξ(r, t + ∆t). (A.11)
Novamente, vamos aplicar cada exp onencial por vez. Mas, agora, vamos usar a se-
guinte expans˜ao
exp
i
∆t
2
∂
∂x
i
1
m(r)
∂
∂x
i
=
1 −i
∆t
4
∂
∂x
i
1
m(r)
∂
∂x
i
−1
1 + i
∆t
4
∂
∂x
i
1
m(r)
∂
∂x
i
+ O
∆t
3
, (A.12)
onde x
i
= x, y, z. Escrevendo a Eq. A.11 na forma
η(r, t + ∆t) = exp
i
∆t
2
∂
∂x
1
m(r)
∂
∂x
η

(r, t + ∆t), (A.13)
onde η

´e a exponencial da derivada em y aplicado em η
, onde η
´e a exponencial da
derivada em z aplicado em ξ, ou seja
η

(r, t + ∆t) = exp
i
∆t
2
∂
∂y
1
m(r)
∂
∂y
η
(r, t + ∆t), (A.14)
η
(r, t + ∆t) = exp
i
∆t
2
∂
∂z
1
m(r)
∂
∂z
ξ(r, t + ∆t). (A.15)
Usando a Eq. A.12 na Eq. A.15, temos
η
(r, t + ∆t) =
1 −i
∆t
4
∂
∂z
1
m(r)
∂
∂z
−1
·
1 + i
∆t
4
∂
∂z
1
m(r)
∂
∂z
ξ(r, t + ∆t). (A.16)
A.0 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Schr¨odinger Dependente do Tempo 97
Ou ent˜ao, escrevendo da seguinte forma
1 −i
∆t
4
∂
∂z
1
m(r)
∂
∂z
η
(r, t + ∆t) =
1 + i
∆t
4
∂
∂z
1
m(r)
∂
∂z
ξ(r, t + ∆t), (A.17)
η
(r, t + ∆t) −ε
∂
∂z
1
m(r)
∂
∂z
η
(r, t + ∆t) = ξ(r, t + ∆t) + ε
∂
∂z
1
m(r)
∂
∂z
ξ(r, t + ∆t), (A.18)
onde ε = i∆t/4.
Para trabalhar com as derivadas, usamos uma fun¸c˜ao discreta ξ
i
, em lugar de ξ(r, t +
∆t), onde o ´ındice i indica a posi¸c˜ao da coordenada na qual se est´a derivando. Portanto,
a derivada de uma fun¸c˜ao discreta f
i
pode ser aproximada por
∂
∂z
f
i
=
f
i+1
− f
i
∆z
, (A.19)
ou por
∂
∂z
f
i
=
−f
i−1
+ f
i
∆z
, (A.20)
onde aqui, f
i
pode representar tanto ξ
i
quanto η
i
. Estamos considerando ∆z = z
i+1
− z
i
= constante.
Usaremos a derivada de f
i
dada pela Eq. A.19, portanto
∂
∂z
1
m(r)
∂
∂z
f
i
=
∂
∂z
1
m(r)
f
i+1
− f
i
∆z
=
∂
∂z
2
m
i+1
+ m
i
f
i+1
− f
i
∆z
, (A.21)
onde a massa efetiva ´e tratada como uma fun¸c˜ao discreta m
i
, e consideramos a massa
m(r) como sendo o valor m´edio dos pontos i + 1 e i.
Para a derivada do ´ultimo termo na Eq. A.1, usaremos a Eq. A.20, ent˜ao
∂
∂z
1
m(r)
∂
∂z
f
i
=
2
∆z
∂
∂z
f
i+1
− f
i
m
i+1
+ m
i
=
2
∆z
2
−
f
i
− f
i−1
m
i
+ m
i−1
+
f
i+1
− f
i
m
i+1
+ m
i
. (A.22)
Portanto, vamos substituir a rela¸c˜ao
A.0 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Schr¨odinger Dependente do Tempo 98
∂
∂z
1
m(r)
∂
∂z
f
i
=
2
∆z
2
−
f
i
− f
i−1
m
i
+ m
i−1
+
f
i+1
− f
i
m
i+1
+ m
i
, (A.23)
na Eq. A.18, lembrando que f
i
pode ser trocado por η
i
ou por ξ
i
η
i
−
2ε
∆z
2
−
η
i
− η
i−1
m
i
+ m
i−1
+
η
i+1
− η
i
m
i+1
+ m
i
=
ξ
i
+
2ε
∆z
2
−
ξ
i
− ξ
i−1
m
i
+ m
i−1
+
ξ
i+1
− ξ
i
m
i+1
+ m
i
, (A.24)
ou, reescrevendo
−
ε
m
i
+ m
i−1
η
i−1
+
1 +
ε
m
i
+ m
i−1
+
ε
m
i+1
+ m
i
η
i
−
ε
m
i+1
+ m
i
η
i+1
=
ε
m
i
+ m
i−1
ξ
i−1
+
1 −
ε
m
i
+ m
i−1
−
ε
m
i+1
+ m
i
ξ
i
+
ε
m
i+1
+ m
i
ξ
i+1
. (A.25)
onde ε
= 2ε/∆z
2
= i∆t/2∆z
2
.
Essa equa¸c˜ao pode ser posta na forma de uma matriz tridiagonal
1 +
ε
2m
1
+
ε
m
2
+m
1
−
ε
m
2
+m
1
0 0
−
ε
m
2
+m
1
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
−
ε
m
N
+m
N −1
0 0 −
ε
m
N
+m
N −1
1 +
ε
m
N
+m
N −1
+
ε
2m
N
η
1
η
2
.
.
.
η
N
=
1 −
ε
2m
1
−
ε
m
2
+m
1
ε
m
2
+m
1
0 0
ε
m
2
+m
1
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
ε
m
N
+m
N −1
0 0
ε
m
N
+m
N −1
1 −
ε
m
N
+m
N −1
−
ε
2m
N
ξ
1
ξ
2
.
.
.
ξ
N
, (A.26)
onde queremos encontrar a matriz η
.
A solu¸c˜ao da matriz da Eq. A.26 pode ser realizada atrav´es de subrotinas do Numerical
Recipes. Assim, as Eqs. A.16 e A.17 s˜ao resolvidas, e para encontrar η

temos que que
resolver a matriz A.26 novamente, substituindo os seguintes termos: ∆z → ∆y, ξ → η
e
η
→ η

. Conhecendo a matriz η

, podemos seguir o mesmo procedimento anterior para
A.0 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Schr¨odinger Dependente do Tempo 99
calcular η. Portanto, para encontrar a fun¸c˜ao de onda no tempo t + ∆t, faz-se necess´ario
calcular apenas
Ψ(r, t + ∆t) = exp
−i
∆t
2
V (r)
η(r, t + ∆t). (A.27)
100
AP
ˆ
ENDICE B
Artigos publicados
1. T. A. S. Pereira, J. A K. Freire, V. N.Freire, G. A. Farias, L. M. R. Scolfaro, J. R.
Leite, E. F. Silva Jr., Large image potential effects in Si/SrTiO
3
and Si/HfO
2
two
dimensional quantum well structures. Appl. Phys. Lett. 88, 242114 (2006).
2. T. A. S. Pereira, M. G. Bezerra, J. A K. Freire, V. N.Freire, G. A. Farias, Energy Le-
vels in Si and SrT iO
3
-based Quantum Wells with Charge Image Effects. Brazilian
Journal of Physics 36, 347 (2006).
3. T. A. S. Pereira, J. S. Sousa, J. A. K. Freire, V. N. Freire, G. A. Farias, M. H. Degani,
Dielectric mismatch effects on the electronic and optical properties of GaN/HfO
2
quantum wells. Appl. Phys. Lett. 87, 17190 (2005).
4. T. A. S. Pereira, J. A. K. Freire, V. N. Freire, G. A. Farias, L. M. R. Scolfaro, J.
R. Leite, E. F. Silva Jr., Confined excitons in Si/SrT iO
3
. Microelectronics Journal
34, 507 (2003).
5. T. A. S. Pereira, E. W. S. Caetano, J. A K. Freire, V. N.Freire, G. A. Farias,
Contribution of the Charge Image Potential to Carrier Confinement in Graded Si-
Based Quantum Wells. Brazilian Journal of Physics 34, 684 (2003).
Trabalhos apresentados em Congressos Internacionais
1. T. A. S. Pereira, J. A. K. Freire, J. S. Sousa, M. H. Degani, V. N. Freire, G. A.
Farias, Shallow Donor Impurities inn Gan/HfO
2
Quantum Wells. In: International
Conference on Superlattices Nono-Structures and Nano-Devices 2006, Istanbul.
2. T. A. S. Pereira, J. A. K. Freire, J. S. Sousa, V. N. Freire, G. A. Farias, E. F. Silva
Junior, L. M. R. Scolfaro, J. R. Leite, Remarkably Strong Image Potential Effects in
Si/SrT iO
3
and Si/HfO
2
Tunneling Structures. Physics of Semiconductors: 27th
International Conference on The Physics of Semiconductors 2005, Arizona.
B.0 Trabalhos apresentados em Congressos Nacionais 101
3. T. A. S. Pereira, J. A. K. Freire, J. S. Sousa, V. N. Freire, G. A. Farias, Exci-
tons in GaN/HfO
2
single quantum wells. In: International Workshop on Nitride
Semiconductors 2004, Pennsylvania.
4. T. A. S. Pereira, J. A. K. Freire, V. N. Freire, G. A. Farias, L. M. R. Scolfaro, J. R.
Leite, E. F. Silva Jr., Confined excitons in Si/SrTiO
3
In. International Conference
on Low Dimensional Structures and Devices 2002, Fortaleza.
Trabalhos apresentados em Congressos Nacionais
1. T. A. S. Pereira, M. G. Bezerra, J. A. K. Freire, V. N. Freire, G. A. Farias. Energy
Levels in Si and SrT iO
3
-Based Quantum Wells with Charge Image Effects. In:
Brazilian Workshop on Semiconductor Physics 2005, S˜ao Jos´e dos Campos.
2. T. A. S. Pereira, J. A. K. Freire, J. S. Sousa, V. N. Freire, G. A. Farias, Surpri-
singly strong image potential effects in Si/SrT iO
3
and Si/Hf O
2
two dimensional
quantum well structures. NanoSemiMat 2005, S˜ao Pedro - SP.
3. T. A. S. Pereira, E. W. S. Caetano, J. A. K. Freire, V. N. Freire, G. A. Farias,
Charge Image Potential Effects in Si/High −k Quantum Wells. In: NanoSemiMat
2004, Salvador.
4. T. A. S. Pereira, J. A. K. Freire, J. S. Sousa, V. N. Freire, G. A. Farias, Efeito
da Flutua¸c˜ao Interfacial de Dopagem na Fotoluminescˆencia de Po¸cos Quˆanticos.
XXVII Encontro Nacional de F´ısica da Mat´eria Condensada 2004, Po¸cos de Caldas.
5. T. A. S. Pereira, M. G. Bezerra, J. A. K. Freire, J. S. Sousa, V. N. Freire, G. A.
Farias. Coeficiente de absor¸c˜ao em po¸cos quˆanticos graduais GaAs/AlxGa1-xAs com
dopagem modulada. IX Escola Brasileira de Estrutura Eletrˆonica 2004, Salvador.
6. T. A. S. Pereira, J. A. K. Freire, E. W. S. Caetano, V. N. Freire, G. A. Farias. Con-
tribution of the Charge Image Potential to Carrier Confinement in Graded Si-based
Quantum Wells. Brazilian Workshop on Semiconductor Physics 2003, Fortaleza.
7. T. A. S. Pereira, J. A. K. Freire, E. W. S. Caetano, V. N. Freire, G. A. Farias. Con-
tribution of the Charge Image to Carrier Confinement in Graded Si-based Quantum
Wells. NanoSemiMat 2003, Natal.
8. T. A. S. Pereira, J. A. K. Freire, V. N. Freire, G. A. Farias. Image Potential Near
Dielectric Film. XXV Encontro Nacional de F´ısica da Mat´eria Condensada 2002,
Caxambu.
B.0 Trabalhos apresentados em Congressos Nacionais 102
9. T. A. S. Pereira, J. A. K. Freire, V. N. Freire, G. A. Farias. Potencial Imagem
Pr´oximo de um Filme Diel´etrico. XIX Encontro de F´ısicos do Norte e Nordeste
2001, Natal.
10. T. A. S. Pereira, J. A. K. Freire, E. W. S. Caetano, V. N. Freire, G. A. Farias.
Perspectivas Optoeletrˆonicas de Heteroestruturas Si/SrT iO
3
. XIX Encontro de
F´ısicos do Norte e Nordeste 2001, Natal.
103
Referˆencias
[1] K. F. Braun, Ann. Phy. Chem. 153, 556 (1874).
[2] L. Esaki, Phys. Rev. 109, 603 (1958).
[3] L. Esaki e R. Tsu, IBM J. Res. Develop. RC-2418 (1969).
[4] L. Esaki e R. Tsu, IBM J. Res. Dev. 14, 61 (1970).
[5] G. E. Moore, Electronics 38, 8 (1965).
[6] J. R. Arthur, Surface Science 500, 189 (2002).
[7] G. D. Wilk, R. M. Wallace, e J. M. Anthony, J. Appl. Phys. 89, 5243 (2001).
[8] N. Dur´an, L. H. C. Mattoso, e P. C. Morais, Nanotecnologia: Introdu¸c˜ao, prepara¸c˜ao
e caracteriza¸c˜ao de nanomateriais e exemplos de aplica¸c˜ao (Artliber Editora, 2006).
[9] H. E. Toma, O mundo nanom´etrico: a dimens˜ao do novo s´eculo, primeira ed. (Oficina
de Textos, 2004).
[10] S. M. Rezende, A F´ısica de Materiais e Dispositivos Eletrˆonicos, primeira ed. (Edi-
tora Universit´aria UFPE, 1996).
[11] M. Balkanski e R. F. Wallis, Semiconductor Physics and Applications (Oxford Uni-
versity Press, 2000).
[12] T. Wenckebach, Semiconductor Physics (Wiley, 1999).
[13] J. Sing, Physics of Semiconductors and their Heterostructures (MecGraw-Hill, 1993).
[14] S. L. Chuang, Physics of Optoeletronic Devices (Wiler, 1995).
[15] P. Harrison, Quantum Wells, Wires and Dots (Wiley, 2004).
[16] P. Matagne, Quantum Modelling of Single-Electron Charging in Vertical Quantum
Dots, Tese de doutorado, Universit´e de Li`ege, 2001.
[17] C. L. N. Oliveira, Excitons em Sistemas Quˆanticos 0-2D, Disserta¸c˜ao de mestrado,
Universidade Federal do Cear´a, 2005.
[18] S. M. Sze, Semiconductor Devices (Wiley, 1985).
[19] E. L. Albuquerque e M. G. Cottam, Polaritons in Periodic and Quasiperiodic Struc-
tures, first ed. (Elsevier, 2004).
[20] J. Frenkel, Phys. Rev. 37, 17 (1931).
[21] J. Frenkel, Phys. Rev. 37, 1276 (1931).
Referˆencias 104
[22] G. H. Wannier, Phys. Rev. 52, 191 (1937).
[23] N. F. Mott, Trans. Faraday Soc. 34, 500 (1938).
[24] M. G. Bezerra, Propriedades Eletrˆonicas em Po¸cos Quˆanticos GaAs/Al
x
Ga
1−x
As
Dopados, Disserta¸c˜ao de mestrado, Universidade Federal do Cear´a, 2004.
[25] C. Mailhiot, Y.-C. Chang, e T. C. McGill, Phys. Rev. B 26, 4449 (1982).
[26] R. L. Greene, Solid State Commun. 45, 825 (1983).
[27] D. A. Muller, T. Sorsch, S. Moccio, F. H. Baumann, K. Evans-Lutterodt, e G. Timp,
Nature 399, 758 (1999).
[28] G. D. Wilk, R. M. Wallace, e J. M. Anthony, J. Appl. Phys. 87, 484 (2000).
[29] G. D. Wilk e R. M. Wallace, Appl. Phys. Lett. 74, 2854 (1999).
[30] G. B. Rayner, D. Kang, e G. Lucovsky, J. Vac. Science Technology B 21, 1783
(2003).
[31] R. C. Miller, D. A. Kleinmann, W. T. Tsang, e A. C. Gossard, Phys. Rev. B 24,
1134 (1981).
[32] G. Bastard, E. E. Mendez, L. L. Chang, e L. Esaki, Phys. Rev. B 26, 1974 (1982).
[33] R. L. Greene e K. K. Bajaj, Solid State Commun. 45, 831 (1983).
[34] T. A. S. Pereira, J. S. de Sousa, G. A. Farias, J. A. K. Freire, M. H. Degani, e V. N.
Freire, Appl. Phys. Lett. 87, 171904 (2005).
[35] M. Kumagai e T. Takagahara, Phys. Rev. B 40, 12359 (1989).
[36] F. Stern, Phys. Rev. B 17, 5009 (1978).
[37] T. A. S. Pereira, J. A. K. Freire, V. N. Freire, G. A. Farias, L. M. R. Scolfaro, J. R.
Leite, e J. E. F. da Silva, Appl. Phys. Lett. 88, 242114 (2006).
[38] T. A. S. Pereira, M. G. Bezerra, J. A. K. Freire, V. N. Freire, e G. A. Farias, Brazilian
Journal of Physics 36, 347 (2006).
[39] T. A. S. Pereira, E. W. S. Caetano, J. A. K. Freire, V. N. Freire, e G. A. Farias,
Brazilian Journal of Physics 34, 684 (2004).
[40] C. J. F¨orst, C. R. Ashman, K. Schwarz, e P. E. Bl¨ochl, Nature 427, 53 (2004).
[41] Khairurrijal, W. Mizubayashi, S. Miyazaki, e M. Hirose, J. Appl. Phys. 87, 3000
(2000).
[42] Y. T. Hou, M. F. Li, Y. Jin, e W. H. Lai, J. Appl. Phys. 91, 258 (2002).
[43] J. Cen e K. K. Bajaj, Phys. Rev. B 48, 8061 (1993).
[44] J. Cen, R. Chen, e K. K. Bajaj, Phys. Rev. B 50, 10947 (1994).
Referˆencias 105
[45] D. B. T. Thoai, R. Zimmermann, M. Grundmann, e D. Bimberg, Phys. Rev. B 42,
5906 (1990).
[46] C. Monier, A. Freundlich, e M. F. Vilela, J. Appl. Phys. 84, 2713 (1999).
[47] J. Robertson, Applied Surface Science 190, 2 (2002).
[48] W. Magnus e W. Schoenmaker, J. Appl. Phys. 88, 5833 (2000).
[49] S. Mudanai, F. Li, S. B. Samavedam, P. J. Tobin, C. S. Kang, R. Nieh, J. C. Lee,
L. F. Register, e S. K. Banerjee, IEEE Electron Device Letters 23, 728 (2002).
[50] Y. Liang, J. Kulik, T. C. Eschrich, R. Droopad, Z. Yu, , e P. Maniar, Appl. Phys.
Lett. 85, 1217 (2004).
[51] H. Fujioka, J. Ohta, H. Katada, T. Ikeda, Y. Noguchi, e M. Oshima, Journal of
Crystal Growth 229, 137 (2001).
[52] X. Zhang, A. A. Demkov, H. Li, X. Hu, e Y. Wei, Phys. Rev. B 68, 125323 (2003).
[53] S. W. King, J. P. Barnak, M. D. Bremser, K. M. Tracy, C. Ronning, R. F. Davis, e
R. J. Nemanich, J. Appl. Phys. 84, 5248 (1998).
[54] X. Zhang, A. A. Demkov, H. Li, X. Hu, e Y. Wei, Phys. Rev. B 68, 125323 (2003).
[55] S. A. Chambers, Y. Liang, Z. Yu, R. Droopad, e J. Ramdani, J. Vac. Sci. Technol.
A 19, 934 (2001).
[56] P. W. Peacock e J. Robertson, Appl. Phys. Lett. 83, 5497 (2003).
[57] S. Sayan, T. Emge, E. Garfunkel, X. Zhao, L. Wielunski, R. A. Bartynki, D. Van-
derbilt, J. S. Suehle, S. Suzer, e M. B.-Holl, J. Appl. Phys. 96, 7485 (2004).
[58] J. Cazaux, Semicond. Sci. Technol. 13, 827 (1998).
[59] A. C. Tuan, T. C. Kaspar, T. Droubay, J. W. R. Jr., e S. A. Chambers, Appl. Phys.
Lett. 83, 3734 (2003).
[60] D. J. BenDaniel e C. B. Duke, Phys. Rev. 152, 683 (1966).
[61] T. A. S. Pereira, Propriedades Eletrˆonicas de Po¸cos Quˆanticos Baseados em Si,
Disserta¸c˜ao de mestrado, Universidade Federal do Cear´a, 2002.
[62] D. A. B. Miller, D. S. Chemla, T. C. Damen, A. C. Gossard, W. Wiegmann, T. H.
Wood, e C. A. Burrus, Phys. Rev. Lett. 53, 2173 (1984).
[63] M. Morita, K. Goto, e T. Suzuki, Japanese J. Appl. Phys. 29, L1663 (1990).
[64] I. Vurgaftmanand, J. R. Meyer, e L. R. Ram-Mohan, J. Appl. Phys. 89, 5815 (2001).
[65] F. Bernardini, V. Fiorentini, e D. Vanderbilt, Phys. Rev. B 56, 10024 (1997).
[66] S. H. Park e S. L. Chuang, Appl. Phys. Lett. 76, 1981 (2000).
Referˆencias 106
[67] J. C. Garcia, L. M. R. Scolfaro, J. R. Leite, A. T. Lino, V. N. Freire, G. A. Farias, e
J. E. F. da Silva, Appl. Phys. Lett. 85, 5022 (2004).
[68] J. T. E. Cook, C. C. Fulton, W. J. Mecouch, R. F. Davis, G. Lucovsky, e R. J.
Nemanich, J. Appl. Phys. 94, 7155 (2003).
[69] R. Y. Korotkov, J. M. Gregie, e B. W. Wessels, Appl. Phys. Lett. 80, 1731 (2002).
[70] C. I. Wu e A. Kahn, J. Appl. Phys. 86, 3209 (1999).
[71] M. Marques, L. K. Teles, V. Anjos, L. M. R. Scolfaro, J. R. Leite, V. N. Freire, G. A.
Farias, e E. F. da Silva Jr., Appl. Phys. Lett. 82, 3074 (2003).
[72] L. V. Keldysh e P. Zh, Eksp. Teor. Fiz. 29, 716 (1979).
[73] L. V. Keldysh, Superlatt. Microstruct. 4, 637 (1988).
[74] T. Takagahara, Phys. Rev. B 47, 4569 (1993).
[75] J. W. Wu, Solid State Communic. 69, 1057 (1989).
[76] P. Harrison, T. Piorek, W. E. Hagston, e T. Stirner, Superlattices and Microstruc-
tures 20, 45 (1996).
[77] R. Kosloff, J. Phys. Chem. 92, 2087 (1988).
[78] M. H. Degani, Phys. Rev. B 66, 233306 (2002).
[79] M. H. Degani e J. P. Leburton, Phys. Rev. B 44, 10901 (1991).
[80] M. H. Degani, Appl. Phys. Lett. 59, 57 (1991).
[81] G. Bastard, Phys. Rev. B 24, 4714 (1981).
[82] Y. T. Yip e W. C. Kok, Phys. Rev. B 59, 15825 (1999).
[83] Z.-Y. Deng e S.-W. Gu, Phys. Rev. B 48, 8083 (1993).
[84] K. B. Joelsson, W. x. Ni, G. Pozina, H. H. Radamson, e G. V. Hansson, Appl. Phys.
Lett. 71, 653 (1997).
[85] T. Someya, H. Akiyama, e H. Skaki, Phys. Rev. Lett.
76
, 2965 (1996).
[86] E. A. Muljarov, E. A. Zhukov, V. S. Dneproviskii, e Y. Masumoto, Phys. Rev. B.
62, 7420 (2000).
[87] U. Woggon e S. V. Gaponenko, Phys. Status Solid B 189, 285 (1995).
[88] J. M. Ferreyra e C. R. Proetto, Phys. Rev. B 57, 9061 (1998).
[89] E. I. Golant e A. B. Pashkovski, JETP Letters 75, 83 (2002).
[90] M. Suzuki, Phys. Lett. A 146, 319 (1990).
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