( PDF ) Existência, unicidade e estabilização da equação de Bernoulli-Euler com dissipação localizada e efeito de inércia rotacional

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Universidade Federal de Santa Catarina

Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e

Computa¸c˜ao Cient´ıﬁca

Existˆencia, Unicidade e Estabiliza¸c˜ao da

Equa¸c˜ao de Bernoulli-Euler com Dissipa¸c˜ao

Localizada e Efeito de In´ercia Rotacional

Cl´audio Roberto

Avila da Silva Junior

Orientador: Prof. Dr. Ruy Coimbra Char˜ao

Florian´opolis

Agosto de 2005

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Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

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Universidade Federal de Santa Catarina

Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e

Computa¸c˜ao Cient´ıﬁca

Existˆencia, Unicidade e Estabiliza¸c˜ao da Equa¸c˜ao de

Bernoulli-Euler com Dissipa¸c˜ao Localizada e Efeito

de In´ercia Rotacional

Disserta¸c˜ao apresentada ao Curso de P´os-

Gradua¸c˜ao em Matem´atica e Computa¸c˜ao

Cient´ıﬁca, do Centro de Ciˆencias F´ısicas e

Matem´aticas da Universidade Federal de

Santa Catarina, para a obten¸c˜ao do grau

de Mestre em Matem´atica, com

Area de

Concentra¸c˜ao em Equa¸c˜oes Diferenciais

Parciais.

Cl´audio Roberto

Avila da Silva J´unior

Florian´opolis

Agosto de 2005

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Existˆencia, Unicidade e Estabiliza¸c˜ao da Equa¸c˜ao de

Bernoulli-Euler com Dissipa¸c˜ao Localizada e Efeito

de In´ercia Rotacional

por

Cl´audio Roberto

Avila da Silva J´unior

Esta Disserta¸c˜ao foi julgada para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de “Mestre”,

Area de Concentra¸c˜ao em Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais, e aprovada em sua forma

ﬁnal pelo Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e

Computa¸c˜ao Cient´ıﬁca.

Igor Mozolevski (Coordenador)

Comiss˜ao Examinadora

Prof. Dr. Ruy Coimbra Char˜ao (UFSC-Orientador)

Prof. Dr. Ryo Ikehata (Hiroshima University )

Prof. Dr. Jardel Morais Pereira (UFSC)

Prof. Dr. Joel Santos Souza (UFSC)

Florian´opolis, Agosto de 2005.

A minha v´o Delﬁna

Aos meus pais

iii

Agradecimentos

A minha m˜ae Dinamar pelo carinho, aten¸c˜ao, ﬁrmeza e f´e nas coisas boas que

existem dentro de n´os;

Ao meu pai Claudio pela amizade, palavra de tranquilidade e experiˆencia, pelo

seu silˆencio obstinado, caracter´ıstico de suas conquistas;

Aos meus irm˜aos Douglas e Telmo pela amizade e conﬁan¸c a que sempre tiveram

comigo;

Aos meus queridos tios Chico e Zeila, por acreditarem na minha capacidade e

pela torcida que sempre ﬁzeram por mim;

Aos amigos conquistados durante este trabalho em especial Cleverson, Lucia,

Cleuzir, Claudio, Hilbeth, Danilo, Paulo, Dirlei e tantos outros que me acompanharam

nesta caminhada;

Em especial ao meu amigo, professor, orientador e colorado Ruy C. Char˜ao que

sempre esteve ao meu lado. O Ruy foi um grande amigo que me ajudou e aconselhou nos

momentos dif´ıceis que passei durante o tempo que estive em Florian´opolis.

Resumo

Neste trabalho estudamos a existˆencia, unicidade e comportamento assint´otico da

energia do problema de valor inicial e de fronteira associado com a equa¸c˜ao de Bernoulli-

Euler com efeito de in´ercia rotacional e um termo n˜ao linear dissipativo localizado em uma

vizinhan¸ca da fronteira do dom´ınio. A existˆencia de solu¸c˜oes globais ´e obtida via m´etodo

de Faedo-Galerkin. O comportamento assint´otico da energia no tempo ´e obtido com

taxas de decaimento expl´ıcitas. Esse resultado ´e obtido utilizando-se o lema de Nakao,

estimativas de energia via multiplicadores localizados e um argumento de ”compacidade-

unicidade”baseado no princ´ıpio de continua¸c˜ao ´unica. O comportamento assint´otico ´e

v´alido para a equa¸c˜ao de Bernoulli-Euler sem efeito de in´ercia rotacional ou para a equa¸c˜ao

de placas com efeito de in´ercia rotacional.

Abstract

In this work we study the existence, uniqueness and asymptotic behavior of the

energy associated with the initial boundary value problem for the Bernoulli-Euler equa-

tion with a non-linear dissipative term localized in a neighborhood of the boundary of

the domain and with rotational inertia eﬀects. The existenc e of global solutions is ob-

tained via Faedo-Galerkin method. We show the asymptotic behavior of the energy with

explicit decay rates. This result is proved using the Nakao´s lemma, energy estimates ob-

tained with localized multipliers and an argument of ”compactness-uniqueness”via unique

continuation principle. The asymptotic behavior holds for the Bernoulli-Euler equation

without rotational inertia eﬀects or for the plate equation with rotational inertia eﬀects.

Conte´udo

Introdu¸c˜ao 1

1 Nota¸c˜oes e Resultados Preliminares 4

1.1 Nota¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Topologias Fraca e Fraca Estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Distribui¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Espa¸cos L

(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Espa¸cos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Desigualdades Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Teorema da Divergˆencia e F´ormula de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8 Teoremas de Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes 23

2.1 Introdu¸c ˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Formula¸c˜ao Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 M´etodo de Faedo - Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 Problema Aproximado - Solu¸c˜ao Local . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Estimativas a Priori - Prolongamento da Solu¸c˜ao . . . . . . . . . . 28

vii

2.4 An´alise das Condi¸c˜oes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Unicidade da Solu¸c˜ao u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Estabiliza¸c˜ao 51

3.1 Lema de Nakao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Localiza¸c˜ao da Dissipa¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Identidades de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Estimativas de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5 Demonstra¸c˜ao do Teorema de Estabiliza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Bibliograﬁa 86

viii

Introdu¸c˜ao

Neste trabalho estudamos a existˆencia, unicidade e estabiliza¸c˜ao de solu¸c˜oes para

o problema de valor inicial e de fronteira associado com a equa¸c˜ao de placas de Bernoulli-

Euler com um termo n˜ao linear dissipativo com efeito de in´ercia rotacional











+ 

u −γ  u

− β∇u

 u + ρ(x, u

) = 0, x ∈ Ω, t > 0

u(x, 0) = u

(x), x ∈ Ω

(x, 0) = u

(x), x ∈ Ω

u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0

∂u

∂n

(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0

com Ω ⊂ R

aberto com fronteira regular.

O termo ρ = ρ(x, u

) modela ﬁsicamente uma dissipa¸c˜ao da energia associada a

esse problema. Por exemplo, se ρ(x, t) = a(x)u

(x, t) ent˜ao esse termo modela uma dissi-

pa¸c˜ao friccional linear, localizada na parte do dom´ınio onde a fun¸c˜ao a = a(x) ´e efetiva.

Neste trabalho a fun¸c˜ao ρ(x, s) possui um comportamento n˜ao linear. Nos trabalhos de

P. Martinez [19] e F. Alabau-Boussouira [3] o comportamento da fun¸c˜ao ρ = ρ(x, s), para

s pr´oximo da origem, ´e dado por

a (x) g (|s|) ≤ |ρ (x, s)| ≤ C a (x) g

−1

(|s|) |s| ≤ 1

sendo g : R → R uma fun¸c˜ao ´ımpar, de classe C

e estritamente crescente, por´em com

um comportamento tipo linear longe da origem, isto ´e da forma

|ρ(x, s)| ≤ c a(x)|s|, |s| ≥ 1.

Outra n˜ao linearidade presente no sistema acima ´e dada pelo termo β∇u

 u. Para

n = 1 o modelo acima descreve o problema de estabilidade el´astica (ﬂambagem) dinˆamica

de uma viga submetida a uma carga axial. Se n = 2 o modelo representa uma simpliﬁca¸c˜ao

do sistema completo de von K´arm´an que considera apenas efeitos de vibra¸c˜oes transversais

n˜ao lineares. O efeito de in´ercia rotacional ´e representado pelo termo γ  u

A existˆencia de solu¸c˜oes locais ´e obtida via m´etodo Faedo-Galerkin aplicado a

um problema variacional aproximado asociado ao sistema acima. A solu¸c˜ao local do

problema aproximado ´e obtida atrav´es do teorema de Caractheodory para EDO’s. A

solu¸c˜ao local do problema original ´e obtida por estimativas nas solu¸c˜oes do problema

aproximado e por passagem ao limite usando-se o teorema de compacidade de Aubins-

Lions. A solu¸c˜ao global ´e obtida extendendo-se a solu¸c˜ao local a um intervalo arbitr´ario

atrav´es de estimativas a priori. Finalmente, a regularidade dessa solu¸c˜ao ´e melhorada

usando-se um teorema de regularidade el´ıptica. Esse estudo ´e feito no cap´ıtulo 2. No

cap´ıtulo 1 s˜ao apresentados alguns resultados b´asicos que ser˜ao necess´arios no decorrer

do trabalho.

A estabiliza¸c˜ao ou o estudo do comportamento assint´otico da energia associada

ao problema de valor inicial e de fronteira dado acima ´e feita no cap´ıtulo 3. Ela ´e obtida

utilizando-se princ´ıpio de continua¸c˜ao ´unica.

E importante salientar que a estabiliza¸c˜ao

´e obtida, neste trabalho, apenas para o caso em que γ = 0, ou seja sem efeito de in´ercia

rotacional, ou ent˜ao no caso em que β = 0. Isso ´e devido ao fato de n˜ao sabermos se ´e

v´alido o princ´ıpio de continua¸c˜ao ´unica para a equa¸c˜ao completa, ou seja para o caso em

que γ e β s˜ao ambos n˜ao nulos. O princ´ıpio de continua¸c˜ao ´unica para equa¸c˜ao dada no

problema acima ´e demonstrado, para o caso γ = 0, no trabalho de Kim [14]. Para o caso

β = 0 o princ´ıpio de continua¸c˜ao ´unica ´e demonstrado por Gulliver et al [12].

No estudo de estabilizac˜ao de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais parciais com dis-

sipa¸c˜ao localizada ´e importante citar os trabalhos de Zuazua [28] que estudou a equa¸c˜ao

da onda semilinear com uma dissipa¸c˜ao linear localizada; Nakao [22] estudou a equa¸c˜ao

da onda com dissipa¸c˜ao n˜ao linear e localizada; Tucsnack [25] estudou o comportamento

assint´otico da energia da equa¸c˜ao de Bernoulli-Euler com termo dissipativo linear; Paz-

zoto e Char˜ao [23] estudaram o comportamento assint´otico de solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao de

Bernoulli-Euler sem efeito de in´ercia rotacional e com dissipa¸c˜ao n˜ao linear localizada. A

estabiliza¸c˜ao do sistema de ondas el´asticas ´e obtida por R. C. Char˜ao e outros em [6] e

[4]. Sobre establiza¸c˜ao da energia em dom´ınio exterior citamos os trabalhos [10] e [11] de

R. Ikehata e seus colaboradores. R. Ikehata estudou a equa¸c˜ao da onda obtendo taxas de

decaimento mais r´apidas que as obtidas por outros autores.

Cap´ıtulo 1

Nota¸c˜oes e Resultados Preliminares

Neste cap´ıtulo s˜ao apresentados alguns conceitos e resultados b´asicos os quais

ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos posteriores. As demonstra¸c˜oes s˜ao omitidas por se tratarem

de resultados conhecidos. S˜ao citadas as referˆencias onde s˜ao encontrados estes resultados

e as respectivas demonstra¸c˜oes.

Neste trabalho, o s´ımbolo Ω representar´a um subconjunto aberto do R

, que

eventualmente poder´a ser o pr´oprio R

1.1 Nota¸c˜oes

1. K indica o corpo R ou C.

2. |α| = α

+ α

+ ··· + α

para α = (α

, ··· , α

) ∈ N

, n ∈ N.

3. D

u =

∂

|α|

∂x

.....∂x

, α = (α

, ··· , α

), α

∈ N.

4. Se f : Ω ⊂ R

−→ R ´e diferenci´avel, ent˜ao o gradiente de f, que ser´a denotado por

∇f , ´e deﬁnido como o vetor de R

dado por ∇f =



∂f

∂x

, . . . ,

∂f

∂x



5. O Laplaciano de uma fun¸c˜ao f ´e deﬁnido como f = ∇ · ∇f =



i=1

∂

∂x

6. Sejam f, g ∈ L

(Ω) ent˜ao o produto interno entre f e g ´e deﬁnido como,

(f, g) =



Ω

f(x)g(x)dx,

sendo g o conjugado da fun¸c˜ao g.

7. u =





Ω

|u(x)|



8. ∇u =





i=1



Ω



∂u

∂x

(x)









i=1



∂u

∂x





9. O divergente de um campo F : Ω ⊂ R

→ R ´e deﬁnido por div F = ∇·F =



i=1

∂F

∂x

sendo F

a i-´esima componente de F.

Identidades

Uteis

Se f, g s˜ao fun¸c˜oes escalares de classe C

(Ω), Ω ⊆ R

, c uma constante real e F

e G s˜ao campos vetoriais de classe C

(Ω), ent˜ao s˜ao v´alidas as seguintes rela¸c˜oes.

1. ∇ (f + g) = ∇f + ∇g

2. ∇ (cf ) = c∇f

3. ∇ (f g) = f∇g + g∇f

4. ∇ · (F + G) = ∇ · F + ∇ · G

5. ∇ · (fF ) = f∇ · F + F · ∇f

1.2 Topologias Fraca e Fraca Estrela

Um espa¸co m´etrico ´e dito completo quando toda seq¨uˆencia de Cauchy nesse espa¸co

for convergente. Um espa¸co vetorial normado completo, relativamente `a m´etrica induzida

pela norma, chama-se espa¸co de Banach.

Um espa¸co vetorial normado V denomina-se um espa¸co de Hilbert V , se V ´e um

espa¸co de Banach com a norma induzida pelo produto interno.

Um espa¸co E ´e dito separ´avel se existe um subconjunto D ⊂ E, tal que D ´e

enumer´avel e denso em E.

Seja E um espa¸co de Banach e seja f ∈ E



, sendo E



o dual topol´ogico de E,

designamos por T

: E −→ R a aplica¸c˜ao dada por T

(x) = f, x.

A topologia fraca σ(E, E



) sobre E ´e a topologia menos ﬁna sobre E que torna

cont´ınua todas as aplica¸c˜oes (T

)

f∈E



Dada uma seq¨uˆencia x

em E, a nota¸c˜ao de convergˆencia fraca em geral ´e indicada

por:

 x fraco σ(E, E



ou simplesmente x

−→ x fraco em E.

Proposi¸c˜ao 1.1 Seja x

uma seq¨uˆencia em E. Ent˜ao

(i) x

 x fraco σ(E, E



), se e somente se, f, x

 −→ f, x, ∀f ∈ E



;

(ii) x

−→ x forte em E, ent˜ao x

 x fraco em E.

A demonstra¸c˜ao dessa proposi¸c˜ao pode ser vista em H. Brezis [8].

Seja E



o dual de E munido da norma f = sup

x≤1

|f(x)| e E



o bidual munido

da norma ξ = sup

f∈E



|ξ, f |. A topologia fraca estrela sobre E



tamb´em denotada por

σ(E



, E) ´e a topologia menos ﬁna sobre E



que torna cont´ınua todas as aplica¸c˜oes (T

)

x∈E

sendo T

: E



→ R deﬁnida como T

(f) = f, x, ∀f ∈ E



Dada uma seq¨uˆencia f

e f em E



a nota¸c˜ao de convergˆencia fraca -  em geral

´e indicada

 f fraco -  em σ(E



, E),

ou simplesmente x

−→ x fraco -  em σ(E



, E).

Proposi¸c˜ao 1.2 Seja E um espa¸co de Banach e seja f

uma seq¨uˆencia de E



ent˜ao:

(i) f



 f em σ(E



, E), se e somente se, f

, x −→ f, x, ∀x ∈ E;

(ii) f

−→ f forte em E



, ent˜ao f

 f para σ(E



, E



(iii) f

 f para σ(E



, E



), ent˜ao f



 f para σ(E



, E);

(iv) Se f



 f para σ(E



, E), ent˜ao f

, ´e limitada e f ≤ lim inff

;

(v) Se f



 f para σ(E



, E), e se x

−→ x forte em E, ent˜ao f

, x

 −→ f

, x.

A demonstra¸c˜ao dessa proposi¸c˜ao pode ser vista em H. Brezis [8].

1.3 Distribui¸c˜oes

Seja f : Ω −→ K. O suporte de f, denotado por Spp f, ´e o fecho em Ω do

seguinte conjunto:

{x ∈ Ω; f(x) = 0}.

Deﬁni¸c˜ao 1.1 Representamos por C

∞

(Ω) o conjunto das fun¸c˜oes u : Ω −→ K, cujas

derivadas parciais de todas as ordens s˜ao cont´ınuas e cujo suporte ´e um conjunto compacto

de Ω. Os elementos de C

∞

(Ω) s˜ao chamados de fun¸c˜oes testes.

O conjunto {f : Ω → K; f ∈ C

∞

(Ω)} com as opera¸c˜oes usuais de soma de fun¸c˜oes

e de multiplica¸c˜ao por escalar ´e um espa¸co vetorial sobre K .

No¸c˜ao de convergˆencia em C

∞

(Ω)

Deﬁni¸c˜ao 1.2 Sejam (ϕ

)

k∈N

uma sequˆencia em C

∞

(Ω) e ϕ ∈ C

∞

(Ω). Dizemos que

−→ ϕ se:

i) ∃ K ⊂ Ω, K compacto, tal que Spp ϕ

⊂ K, para todo k ∈ N;

ii) Para cada α ∈ N

, D

(x) −→ D

ϕ(x) uniformemente em x ∈ Ω.

Deﬁni¸c˜ao 1.3 O espa¸co vetorial C

∞

(Ω) com a no¸c˜ao de convergˆencia deﬁnida acima ´e

donotado por D(Ω) e ´e chamado de espa¸co das fun¸c˜oes testes.

Deﬁni¸c˜ao 1.4 Uma distribui¸c˜ao sobre Ω ´e um funcional linear deﬁnido em D(Ω) e

cont´ınuo em rela¸c˜ao a no¸c˜ao de convergˆencia deﬁnida em D(Ω). O conjunto de todas

as distribui¸c˜oes sobre Ω ´e denotado por D



(Ω).

Desse modo,



(Ω) = {T : D(Ω) −→ K; T ´e linear e cont´ınuo},

o conjunto D



(Ω) ´e um espa¸co vetorial sobre K.

Se T ∈ D



(Ω) e ϕ ∈ D(Ω) denotaremos por T, ϕ o valor de T aplicado ao

elemento ϕ.

No¸c˜ao de convergˆencia em D



(Ω)

Deﬁni¸c˜ao 1.5 Dize mos que T

−→ T em D



(Ω) se T

, ϕ −→ T, ϕ, para toda

ϕ ∈ D(Ω).

1.4 Espa¸cos L

(Ω)

Neste trabalho as integrais de fun¸c˜oes mensur´aveis deﬁnidas sobre a regi˜ao aberta

Ω s˜ao realizadas no sentido de Lebesgue.

Deﬁni¸c˜ao 1.6 Sejam Ω um conjunto mensur´avel e 1 ≤ p ≤ ∞. Indicamos por L

(Ω) o

conjunto das fun¸c˜oes mensur´aveis f : Ω → R tais que f

< ∞ onde:

f







Ω

|f(t)|





, se 1 ≤ p < ∞

f

∞

= sup

t∈Ω

ess |f(t)| = inf{C ∈ R

/ med{t ∈ Ω / |f(t)| > C} = 0}

= inf{C; |f| ≤ C q.s}.

Observa¸c˜ao: As fun¸c˜oes .

: L

(Ω) −→ R

, 1 ≤ p ≤ ∞, s˜ao normas.

Na verdade L

(Ω) deve ser entendido como um conjunto de classes de fun¸c˜oes

onde duas fun¸c˜oes est˜ao na mesma classe se elas s˜ao iguais quase sempre em Ω.

Os espa¸cos L

(Ω) , 1 ≤ p ≤ ∞ , s˜ao espa¸cos de Banach, sendo L

(Ω) um espa¸co

de Hilbert com o produto interno usual da integral.

Teorema 1.1 C

∞

(Ω) ´e denso em L

(Ω), 1 ≤ p < +∞.

Teorema 1.2 (Interpola¸c˜ao dos Espa¸cos L

(Ω)) Sejam 1 ≤ p < q ≤ ∞. Se f ∈

(Ω) ∩ L

(Ω) ent˜ao f ∈ l

(Ω) para todo r ∈ (p, q). Al´em disso,

f

(Ω)

≤ f

(Ω)

f

1−α

(Ω)

para todo α ∈ [0, 1] tal que

= α

+ (1 − α)

Espa¸cos L

loc

(Ω)

Deﬁni¸c˜ao 1.7 Sejam Ω um aberto do R

e 1 ≤ p ≤ ∞. Indicamos por L

loc

(Ω) o conjunto

das fun¸c˜oes mensur´aveis f : Ω −→ R tais que fχ

∈ L

(Ω), para todo K compacto de

Ω, onde χ

´e a fun¸c˜ao caracter´ıstica do compacto K.

Observa¸c˜ao: L

loc

(Ω) ´e chamado o espa¸co das fun¸c˜oes localmente integr´aveis.

Para u ∈ L

loc

(Ω) consideremos o funcional T = T

: D(Ω) −→ K deﬁnido por

< T, ϕ > = < T

, ϕ > =



Ω

u(x) ϕ(x) dx.

E f´acil veriﬁcar que T deﬁne uma distribui¸c˜ao sobre Ω.

Lema 1.1 (Du Bois Reymond) Seja u ∈ L

loc

(Ω). Ent˜ao T

= 0 se e somente se

u = 0 q.s em Ω.

Obeservemos que a aplica¸c˜ao

loc

(Ω) −→ D



(Ω)

u −→ T

´e linear, cont´ınua e injetiva (devido ao Lema 1.1 ). Em decorrˆencia disso ´e comum

identiﬁcar a distribui¸c˜ao T

com a fun¸c˜ao u ∈ L

loc

. Nesse sentido tem-se que L

loc

⊂ D



(Ω).

Como L

(Ω) ⊂ L

loc

temos que toda fun¸c˜ao de L

(Ω) deﬁne uma distribui¸c˜ao sobre Ω, isto

´e, toda fun¸c˜ao de L

(Ω) pode ser vista como uma distribui¸c˜ao.

Deﬁni¸c˜ao 1.8 Sejam T ∈ D



(Ω) e α ∈ N

. A derivada de ordem α de T , denotada por

T , ´e a distribui¸c˜ao deﬁnida por

< D

T, ϕ > = (−1)

|α|

< T, D

ϕ >, para toda ϕ ∈ D(Ω).

Assim, se T ∈ D



(Ω) ent˜ao D

T ∈ D



(Ω) para to do α ∈ N

. Com esta deﬁni¸c˜ao tem-se

que se u ∈ C

(Ω) ent˜ao D

= T

, para todo |α| ≤ k, onde D

u indica a derivada

cl´assica de u.

1.5 Espa¸cos de Sobolev

Os principais resultados desta se¸c˜ao podem ser vistos nas referˆencias Adams [1],

Brezis [8], Kesavan [13], Medeiros [20], [21] e Rivera [24].

Deﬁni¸c˜ao 1.9 Sejam m ∈ N e 1 ≤ p ≤ ∞. Indicaremos por W

m,p

(Ω) o conjunto de

todas as fun¸c˜oes u de L

(Ω) tais que para todo |α|  m, D

u pertence a L

(Ω), sendo

u a derivada distribucional de u. O conjunto W

m,p

(Ω) ´e chamado de Espa¸co de Sobolev

de ordem m relativo ao espa¸co L

(Ω).

Resumidamente,

m,p

(Ω) = {u ∈ L

(Ω); D

u ∈ L

(Ω), |α|  m}

Norma em W

m,p

(Ω)

Para cada u ∈ W

m,p

(Ω) tem-se que

u

m,p







|α|m

D

u

(Ω)











|α|m



Ω

|(D

u)(x)|





, 1 ≤ p < ∞

u

m,∞



|α|m

D

u

∞

(Ω)

, p = ∞

deﬁne uma norma sobre W

m,p

(Ω).

Observa¸c˜oes

1. (W

m,p

(Ω),  · 

m,p

) ´e um espa¸co de Banach.

2. Quando p = 2, o espa¸co de Sobolev W

m,2

(Ω) torna-se um espa¸co de Hilbert com

produto interno dado por

(u, v) =



|α|m

u, D

(Ω)

u, v ∈ W

m,2

(Ω).

3. Denota-se W

m,2

(Ω) por H

(Ω).

Espa¸co W

m,p

(Ω)

Deﬁni¸c˜ao 1.10 Deﬁni mos o espa¸co W

m,p

(Ω) como sendo o fecho de C

∞

(Ω) em W

m,p

(Ω).

Observa¸c˜oes:

1. Quando p = 2, escreve-se H

(Ω) em lugar de W

m,p

(Ω).

2. Se W

m,p

(Ω) = W

m,p

(Ω) ent˜ao a medida de R

\ Ω ´e nula.

3. Vale que W

m,p

) = W

m,p

Espa¸co W

−m,q

(Ω)

Deﬁni¸c˜ao 1.11 Suponha 1  p < ∞ e q > 1 tal que

= 1. Representa-se por

−m,q

(Ω) o dual topol´ogico de W

m,p

(Ω).

O dual topol´ogico de H

(Ω) representa-se por H

−m

(Ω).

Espa¸cos H

), s ∈ R

Proposi¸c˜ao 1.3 O espa¸co H

), m ∈ N coincide com o conjunto

{u ∈ L

); J

ˆu ∈ L

)}

onde J

´e a fun¸c˜ao dada por J

(x) = (1 + x

)

, x ∈ R

. Aqui, ˆu indica a Transfor-

mada de Fourier da fun¸c˜ao u.

A fun¸c˜ao |.|

: H

) −→ R

deﬁnida por |u|

= J

ˆu

)

´e uma

norma equivalente a norma de Sobolev.

A partir dessa proposi¸c˜ao deﬁnimos:

Deﬁni¸c˜ao 1.12 Para s ∈ R

, indicaremos por H

) o conjunto

{u ∈ L

); J

ˆu ∈ L

)}

onde J

(x) = (1 + x

)

, x ∈ R

Observa¸c˜oes:

1. Em H

) deﬁne-se o seguinte produto interno:

(u, v)

)

= (J

ˆu, J

ˆv)

)



(1 + x

)

u(x)ˆv(x)dx.

2. H

), s ∈ R

, ´e um espa¸co de Hilbert.

Deﬁni¸c˜ao 1.13 Suponha 1 ≤ p < ∞ e q > 1 tal que

= 1 e seja s ∈ R

. Representa-

se por H

−s

) o dual topol´ogico de H

Espa¸cos H

(Ω), s ∈ R

Deﬁni¸c˜ao 1.14 Um aberto Ω do R

´e dito ser bem regular se a fronteira de Ω ´e uma

variedade C

∞

de dimens˜ao n − 1.

Deﬁni¸c˜ao 1.15 Sejam s ≥ 0 e Ω um conjunto aberto limitado bem regular. O espa¸co de

Sobolev H

(Ω) ´e deﬁnido por:

(Ω) = {r

Ω

u; u ∈ H

)}

onde r

Ω

u indica a restri¸c˜ao de u ao aberto Ω.

Para cada u ∈ H

(Ω) tem-se que

u

(Ω)

= inf{v

)

; v ∈ H

) e r

Ω

v = u}

deﬁne uma norma em H

(Ω).

Observa¸c˜oes:

1. H

(Ω) = L

(Ω).

2. H

(Ω), s > 0, ´e um espa¸co de Hilbert.

3. H

(Ω) coincide com o espa¸co usual de Sobolev H

(Ω), deﬁnido anteriormente, se

s = m ∈ N e se ∂Ω for regular. Tal resultado ´e provado usando a teoria do

prolongamento (ver Adams [1], Kesavan [13] e Medeiros [20]).

4. H

(Ω) ´e deﬁnido como sendo o fecho de C

∞

(Ω) em H

(Ω).

5. H

−s

(Ω) ´e deﬁnido como sendo o dual de H

(Ω), s > 0.

Espa¸cos H

(Γ), s ∈ R

Seja Ω um aberto limitado bem regular do R

Deﬁni¸c˜ao 1.16 Seja

Ω o fecho de Ω em R

. Denotaremos por D(

Ω) o seguinte conjunto:

Ω) = {ϕ|

Ω

; ϕ ∈ D(R

)}.

Observa¸c˜ao: D(

Ω) ´e denso em H

(Ω), s ≥ 0.

Deﬁni¸c˜ao 1.17 Denot aremos por D(Γ) o seguinte conjunto:

D(Γ) = {u : Γ −→ K; u ∈ C

∞

(Γ) e tem suporte compacto em Γ}

onde Γ denota a fronteira de Ω, isto ´e, Γ = ∂Ω.

Seja u :

Ω −→ K. Ent˜ao γ

u = u|

est´a bem deﬁnida como uma fun¸c˜ao de Γ em

K. Com isto tem-se que se u ∈ D(

Ω) ent˜ao γ

u ∈ D(Γ).

Deﬁni¸c˜ao 1.18 Um sistema de cartas locais para Ω ´e uma fam´ılia {ϕ

, U

}

i∈I

tal que:

i) para todo i ∈ I:

−→ Q = [0, 1]

n−1

× [−1, 1]

´e um difeomorﬁsmo de classe C

∞

tal que

∩ Ω) ⊂ [0, 1]

= Q

∩ ∂Ω) ⊂ [0, 1]

n−1

× {0} = Γ

(∂(U

∩ Ω)) = ∂Q

ii) ∂Ω ⊂ U =



i∈I

;

iii) Se U

∩ U

= ∅ e se W

= ϕ

∩ U

) e W

= ϕ

∩ U

) ent˜ao

(ϕ

−1

) : W

−→ W

e ϕ

(ϕ

−1

) : W

−→ W

s˜ao de classe C

∞

Agora, sejam (ψ

, U

), ··· , (ψ

, U

) um sistema de cartas locais e σ

, ··· , σ

fun¸c˜oes testes do R

tais que



i=1

(x) = 1 para todo x ∈ Γ = ∂Ω e spp σ

⊂ U

(tais

fun¸c˜oes existem pois Ω ´e um aberto limitado bem regular).

Para uma fun¸c˜ao w deﬁnida em Γ = ∂Ω sejam w

: R

n−1

−→ K, j = 1, 2, ··· , N

fun¸c˜oes deﬁnidas por:



) =











(σ

w)(ψ

−1



, 0), se x



∈ Ω

= (0, 1)

n−1

0, se x



∈ R

n−1

\Ω

Deﬁni¸c˜ao 1.19 Denot aremos por H

(Γ) o conjunto das fun¸c˜oes w : Γ −→ K tal que

∈ H

n−1

), j = 1, ··· , N, onde w

s˜ao deﬁnidas acima. Isto ´e,

(Γ) = {w : Γ −→ K; w

∈ H

n−1

), j = 1, ··· , N}.

Observa¸c˜oes:

1. Para u, v ∈ H

(Γ), a fun¸c˜ao

(u, v)

(Γ)



j=1

, v

)

n−1

)

deﬁne um produto interno sobre H

(Γ).

2. H

(Γ) ´e um espa¸co de Hilbert.

3. D(Γ) ´e denso em H

(Γ).

Proposi¸c˜ao 1.4 A aplica¸c˜ao

: D(

Ω) −→ H

(Γ)

deﬁnida por γ

u = u|

, ´e cont´ınua na topologia de H

(Ω), isto ´e, existe uma constante

positiva C tal que

γ

u

(Γ)

≤ Cu

(Ω)

Como D(

Ω) ´e denso em H

(Ω), em particular em H

(Ω), segue da proposi¸c˜ao

acima que existe uma aplica¸c˜ao, que continuaremos denotando por γ

, de H

(Ω) em

(Γ) linear e cont´ınua que estende γ

, isto ´e, tal que γ

u = u|

para toda u ∈ D(

Ω).

Esta aplica¸c˜ao γ

: H

(Ω) −→ H

(Γ) ´e chamada de fun¸c˜ao tra¸co e seu valor em um dado

u ∈ H

(Ω) ´e chamado o tra¸co de u sobre Γ.

Teorema 1.3 (Teorema do Tra¸co) Seja Ω um conjunto aberto limitado bem regular

do R

. A fun¸c˜ao tra¸co

: H

(Ω) −→ H

(Γ)

´e sobrejetiva e Ker(γ

) = H

(Ω)

Observa¸c˜ao: Quando dizemos que u ∈ H

(Ω) anula na fronteira de Ω, isto ´e, que u = 0

sobre Γ = ∂Ω, na verdade signiﬁca que γ

u = 0 sobre Γ.

Imers˜oes de Sobolev

Teorema 1.4 (Teorema de Sobolev) Sejam m ≥ 1 e 1 ≤ p < ∞. Ent˜ao

i) se

−

> 0 ent˜ao W

m,p

(Ω) ⊂ L

(Ω),

−

ii) se

−

= 0 ent˜ao W

m,p

(Ω) ⊂ L

(Ω), q ∈ [p, ∞),

iii) se

−

< 0 ent˜ao W

m,p

(Ω) ⊂ L

∞

(Ω)

sendo as imers˜oes acima cont´ınuas.

1.6 Desigualdades Importantes

Desigualdade de H¨older

Sejam f ∈ L

(Ω) e g ∈ L

(Ω) com 1  p  ∞ e

= 1 (q = 1 se p = ∞ e

q = ∞ se p = 1). Ent˜ao fg ∈ L

(Ω) e



Ω

|fg|  f

(Ω)

g

(Ω)

Desigualdade de Young

Se a  0 e b  0 e 1 < p, q < ∞ com

= 1 ent˜ao ab 

Desigualdade de Cauchy-Schwarz para fun¸c˜oes L

(Ω)

Sejam f : Ω → K e g : Ω → K duas fun¸c˜oes de quadrado integr´avel, ent˜ao

|(f, g)| ≤ fg.

Desigualdade de Poincar´e

Seja Ω ´e um aberto limitado do R

. Ent˜ao existe uma constante C (dependendo

de Ω) tal que

u

(Ω)

≤ C∇u

(Ω)

para toda u ∈ H

(Ω). (1.1)

A constante C = C(Ω) citada no teorema acima ´e chamada de constante de

Poincar´e para Ω.

Observa¸c˜oes:

1. A desigualdade de Poincar´e tamb´em ´e v´alida se u ∈ H

(Ω) e o tra¸co de u sobre

Γ = ∂Ω anular sobre apenas uma parte de Γ (ver H. Brezis [8]).

2. A desigualdade de Poincar´e (1.1) continua v´alida em W

1,p

(Ω).

Consequˆencias da Desigualdade de Poincar´e

1. A norma de Sobolev .

1,Ω

em H

(Ω) ´e equivalente a norma do gradiente em L

(Ω).

Isto ´e, existe C > 0 tal que u

(Ω)

≤ C∇u

(Ω)

para toda u ∈ H

(Ω).

2. A norma de Sobolev .

(Ω)

´e equivalente `a norma do Laplaciano em L

(Ω) para

fun¸c˜oes em H

(Ω), isto ´e, existe C > 0 tal que u

(Ω)

≤ C  u

(Ω)

para toda

u ∈ H

(Ω). Isso segue do fato que se u ∈ H

(Ω) ent˜ao

∂u

∂x

∈ H

(Ω) e ainda da

desigualdade de Poincar´e.

Desigualdade de Gronwall

Sejam m, g e ϕ fun¸c˜oes positivas satisfazendo:

ϕ(t) ≤ g(t) +



m(s)ϕ(s)ds, ∀t ∈ [0, T ]

Ent˜ao tem-se que

ϕ(t) ≤ g(t) +



m(s)g(s)e



m(τ)dτ

1.7 Teorema da Divergˆencia e F´ormula de Green

Valem as seguintes f´ormulas



Ω

(∇ · F )(x) dx =



∂Ω

F (x) · η(x) dΓ, F ∈



(Ω)



ii.



Ω

vu dx = −



Ω

∇v · ∇u dx, v ∈ H

(Ω), u ∈ H

(Ω)

iii.



Ω

v  u dx =



Ω

(v)u dx, v ∈ H

(Ω), u ∈ H

(Ω).

onde Ω ´e um aberto limitado do R

com fronteira de classe C

e η(x) denota a normal

exterior unit´aria no ponto x ∈ ∂Ω. A fun¸c˜ao F (x) integrada sobre ∂Ω ´e no sentido da

fun¸c˜ao tra¸co, isto ´e,



∂Ω

F (x) · η(x) dΓ signiﬁca



∂Ω

(γ

F )(x) · η(x) dΓ

1.8 Teoremas de Compacidade

Teorema 1.5 (Banach - Alaoglu - Bourbaki) Seja E um espa¸co de Banach reﬂexi-

vo. Ent˜ao



= {f ∈ E



: f  ≤ 1}

´e compacto na topologia fraca*, onde E



´e o dual topol´ogico de E.

A demostra¸c˜ao do teorema acima pode ser vista em Brezis [8].

Teorema 1.6 (Lema de Lions) Sejam Ω um conjunto aberto do R

, g

e g fun¸c˜oes de

(Ω), 1 < q < ∞ tais que

g



(Ω)

≤ C e g

−→ g q.s em Ω.

Ent˜ao, g

−→ g fraco em L

(Ω).

Esse resultado, juntamente com sua demostra¸c˜ao, pode ser encontrado em Lions [16]

Deﬁni¸c˜ao 1.20 Um operador diferencial de ordem 2m, m ∈ N da forma

L =



|α|≤m

(x)D

2α

u, x ∈ Ω

´e chamado de operador el´ıptico se existe uma constante C > 0 tal que



|α|≤m

(x)ξ

2α

≥ C|ξ|

para todo ξ ∈ R

e para todo x ∈ Ω.

Deﬁni¸c˜ao 1.21 Seja X um espa¸co de Banach. Denotaremos por L

(0, T ; X) o conjunto

das classes de fun¸c˜oes f : [0, T ] −→ X mensur´aveis tais que

f

(0,T ;X)





f(t)



< ∞.

Se p = ∞, ent˜ao L

(0, T ; X) ´e constitu´ıdo das fun¸c˜oes f : [0, T ] −→ X tais que

f

∞

(0,T ;X)

= sup

t∈(0,T )

essf(t)

< ∞.

Observa¸c˜oes

1. L

(0, T ; X) ´e um espa¸co de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞ (veja Boubarki [7]).

2. L

(0, T ; L

(Ω)) = L

(Q), onde Q = (0, T ) × Ω.

3. L

∞

(0, T ; L

(Ω)) ´e o dual de L

(0, T ; L

(Ω)) (ver Yosida [27]).

O resultado seguinte ´e conhecido como Lema de compacidade de Aubin-Lions e

pode ser encontrado em Aubin [5].

Teorema 1.7 (Aubin-Lions) Sejam X

, X e X

espa¸cos de Banach reﬂexivos. Suponha

que X

⊂ X ⊂ X

e que a imers˜ao X

⊂ X ´e compacta. Seja

W = {v ∈ L

(0, T ; X

);

∈ L

(0, T ; X

), 1 < p

, p

< ∞}.

Ent˜ao, a imers˜ao W ⊂ L

(0, T ; X) ´e compacta.

Observa¸c˜ao: Se X e Y s˜ao espa¸cos de Banach com X ⊂ Y compactamente ent˜ao

se (x

)

n∈N

´e uma sequˆencia limitada em X resulta, da compacidade, que existe uma

subsequˆencia que converge forte em Y .

Cap´ıtulo 2

Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes

2.1 Introdu¸c˜ao

Neste cap´ıtulo demonstra-se a existˆencia e a unicidade de solu¸c˜oes para o seguinte

problema de valor inicial e de fronteira associado com a equa¸c˜ao de Bernoulli-Euler em

um dom´ınio limitado Ω do R

, com fronteira regular:











+ 

u − γ  u

− β∇u

 u + ρ(x, u

) = 0, x ∈ Ω, t > 0

u(x, 0) = u

(x), x ∈ Ω

(x, 0) = u

(x), x ∈ Ω

u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0

∂u

∂n

(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0

(2.1)

Os dados iniciais u

e u

s˜ao tomadas tais que u

∈ H

(Ω)



(Ω) e u

∈ H

(Ω). A

fun¸c˜ao ρ : Ω × R −→ R ´e uma fun¸c˜ao que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

i) ρ(x, s)s ≥ 0, s ∈ R, x ∈ Ω;

ii) ρ e

∂ρ

∂s

s˜ao cont´ınuas em Ω × R;

iii) Existem constantes c

, c

> 0, e n´umeros r, p ∈ R, com

−1 < r < ∞ e − 1 < p ≤

n − 2

para n ≥ 3 ou − 1 < p < ∞ se n = 1

ou n = 2, tais que :

a(x) |s|

r+1

≤ |ρ(x, s)| ≤ c

a(x) [ |s|

r+1

+ |s|], ∀s ∈ R, |s| ≤ 1, ∀x ∈ Ω,

a(x) |s|

p+1

≤ |ρ(x, s)| ≤ c

a(x) [ |s|

p+1

+ |s|], ∀s ∈ R, |s| > 1, ∀x ∈ Ω;

iv)

∂ρ

∂s

(x, s) ≥ 0, ∀x ∈ Ω, ∀s ∈ R.

(2.2)

sendo a :

Ω −→ R

uma fun¸c˜ao tal que a ∈ L

∞

(Ω).

E importante observar que o termo

ρ(x, u

) representa uma dissipa¸c˜ao de energia do sistema. Se a fun¸c˜ao a = a(x) tem

suporte em uma subregi˜ao de Ω, ent˜ao isso signiﬁca que a dissipa¸c˜ao ´e efetiva apenas

nessa subregi˜ao. Nesse caso diz-se que a dissipa¸c˜ao ´e localizada.

O m´etodo de Faedo-Galerkin ser´a utilizado para demonstrar a existˆencia de

solu¸c˜oes globais do problema de Cauchy (2.1) associado com a equa¸c˜ao de Bernoulli-

Euler. A unicidade de solu¸c˜ao ´e demonstrada utilizando-se a t´ecnica de contradi¸c˜ao, com

aux´ılio da desigualdade de Gronwall. Ao longo deste trabalho para designar a derivada

em rela¸c˜ao a vari´avel temporal de uma fun¸c˜ao u : Q → R, com Q = Ω × (0, T ), ser˜ao

adotadas as seguintes conven¸c˜oes:



∂u

∂t

, u



∂

∂t

∂u

∂t

, u

∂

∂t

Para alcan¸car os objetivos acima deﬁnidos dividimos o trabalho nas seguintes

etapas:

i) Estudar a existˆencia local atrav´es do m´etodo de Faedo-Galerkin;

ii) Obter estimativas a priori e prolongamento da solu¸c˜ao (solu¸c˜ao global);

iii) Mostrar a unicidade da solu¸c˜ao.

Esses resultado s˜ao condensados no seguinte teorema:

Teorema 2.1 Seja ρ = ρ(x, t) fun¸c˜ao que satisfaz as hip´oteses dadas em (2.2) e u

∈

(Ω) ∩ H

(Ω) e u

∈ H

(Ω). Ent˜ao, para cada T > 0, o sistema dado em (2.1) admite

solu¸c˜ao ´unica e u ∈ C([0, T ]; H

(Ω) ∩ H

(Ω)) ∩ C

([0, T ]; H

(Ω)).

Demonstra¸c˜ao:

A demonstra¸c˜ao desse teorema ´e realizada nas pr´oximas se¸c˜oes desse cap´ıtulo.

2.2 Formula¸c˜ao Variacional

Para estudar a existˆencia de solu¸c˜ao do problema (2.1) considera-se o seguinte

problema variacional associado ao problema (2.1), deﬁnido sobre V = H

(Ω)



(Ω)











Determinar u = u(x, t) tal que para toda w ∈ V

, w) + (u, w) + γ(∇u

, ∇w) + β∇u

(∇u, ∇w)

+(ρ(u

), w) = 0, t > 0

u(x, 0) = u

(x), x ∈ Ω

(x, 0) = u

(x), x ∈ Ω

(2.3)

Para que (2.3) fa¸ca sentido, busca-se solu¸c˜ao do problema deﬁnido em (2.1) na

classe de fun¸c˜oes

u ∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω))

∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω))

∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω))

(2.4)

ent˜ao u ´e chamada de solu¸c˜ao forte do problema deﬁnido em (2.1).

2.3 M´etodo de Faedo - Galerkin

2.3.1 Problema Aproximado - Solu¸c˜ao Local

Os espa¸cos de Sobolev H

(Ω) s˜ao espa¸cos de Hilbert separ´aveis, assim pode-se

tomar uma base para V = H

(Ω) ∩ H

(Ω). Seja ent˜ao, (w

)

k∈N

uma base de V e V

subespa¸co de V dado por V

= [w

, ··· , w

], onde w

, i = 1, ··· , m, s˜ao as m−primeiras

fun¸c˜oes da base de V . Claramente, V

´e um subespa¸co de V com dimens˜ao m. Para o

problema variacional apresentado em (2.3) procura-se solu¸c˜oes aproximadas da forma

(x, t) =



j=1

(t)w

(x) (2.5)

com g

(t), 1 ≤ i ≤ m, fun¸c˜oes reais deﬁnidas em algum intervalo [0, t

) e satisfazendo

adequadas condi¸c˜oes iniciais. Isso produz um problema variacional aproximado. O proble-

ma variacional aproximado consiste em mostrar que existe uma fun¸c˜ao u

: [0, t

) → V

para algum t

> 0, que satisfaz













(t), w) + (u

(t), w) + γ(∇u



(t), ∇w) + β∇u

(t)

(∇u

(t), ∇w)

+(ρ(u



(t)), w) = 0, t > 0 w ∈ V

(x, 0) = u

(x), x ∈ Ω



(x, 0) = u

(x), x ∈ Ω

(2.6)

com u

, u

∈ V

, tal que u

→ u

converge forte em V e u

→ u

converge forte

em H

(Ω). Como (w

)

k∈N

´e base de V e de H

(Ω), pode-se escrever

(x) =

∞



j=1

(x), u

(x) =

∞



j=1

(x) (2.7)

e portanto, ´e natural propor que

(x) =



j=1

(x), u

(x) =



j=1

(x). (2.8)

E importante observar que u

n˜ao satisfaz os dados iniciais de (2.1), pois u

est´a deﬁnida em um espa¸co de dimens˜ao ﬁnita V

. Tomando w = w

com w

∈ V

substituindo-se (2.5) em (2.6), obt´em-se um sistema de equa¸c˜oes dado por



j=1



(t) + [B

m,m



i,l=1

(t)g

(t)C

(t) + (ρ(



j=1



(t)w

), w

) = 0 (2.9)

com A

= (w

, w

) + γ(∇w

, ∇w

), B

= (w

, w

), C

= β(∇w

, ∇w

) e D

(∇w

, ∇w

), para cada k = 1, 2, ..., m.

A equa¸c˜ao (2.9) representa um sistema de EDO´S n˜ao lineares de segunda ordem

em termos das fun¸c˜oes g

(t). Essas fun¸c˜oes devem ser tais que a fun¸c˜ao u

(t) deﬁnida em

(2.5) atenda as condi¸c˜oes iniciais do problema variacional aproximado. Considerando as

condi¸c˜oes iniciais para u

(0) deve-se procurar fun¸c˜oes g

(t), deﬁnidas em algum intervalo

[0, t

), 1 ≤ j ≤ m, tais que













j=1



(t) + [B

m,m



i,l=1

(t)g

(t)C

(t)}

+(ρ(



j=1



(t)w

), w

) = 0, ∀t ∈ (0, t

)

(0) = c

, j = 1, ..., m



(0) = d

, j = 1, ..., m

(2.10)

para cada k = 1, 2, ..., m. As constantes c

’s e d

’s est˜ao deﬁnidas em (2.8).

O problema deﬁnido em (2.10) representa um problema de valor inicial para

um sistema n˜ao linear de m-equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias de segunda ordem, para as

fun¸c˜oes g

(t), 1 ≤ j ≤ m. Esse sistema pode ser colocado na seguinte forma













(t) = F (Y

)

(0) = Y

(2.11)

sendo Y

(t) = (g

(t), ..., g

(t), g



(t), ..., g



(t)) e Y

= (c

, ..., c

, d

, ..., d

). Do

teorema de Caracteodory o problema de valor inicial (2.11) tem solu¸c˜ao ´unica, deﬁnida

em algum intervalo de existˆencia [0, t

), pois F e

∂F

∂Y

s˜ao cont´ınuas para i = 1, ..., m e

∈ Dom(F ).

2.3.2 Estimativas a Priori - Prolongamento da Solu¸c˜ao

O teorema de Caracteodory garante a existˆencia de uma solu¸c˜ao local para o

problema aproximado dado em (2.10) e deﬁnido no intervalo [0, t

). Para assegurar a

existˆencia para todo t ∈ [0, T ), com T > 0 arbitr´ario, ´e necess´ario prolongar a solu¸c˜ao u

na forma dada em (2.5), deﬁnida em termos das fun¸c˜oes g

’s. Para tal deve-se realizar

estimativas para a fun¸c˜ao u

. Para obter tais estimativas subs titui-se w = u



(t) na

equa¸c˜ao (2.6). Isso pode ser realizado pois u



(t) ∈ V

. Fazendo-se isso obt´em-se

u



(t)

  u

(t)

∇u



(t)

∇u

(t)

+(ρ(u



(t)), u



(t)) = 0, ∀t ∈ (0, t

)

(2.12)

Integrando-se (2.12) no intervalo [0, t] ⊂ [0, t

) e aplicando-se as condi¸c˜oes iniciais obt´em-

u



(t)

  u

(t)

∇u



(t)

∇u

(t)



(ρ(u



(s)), u



(s))ds =

u



  u



(Ω)

∇u



(Ω)

∇u



(Ω)

(2.13)

Da propriedade (2.2)(iii) da fun¸c˜ao ρ(., .) tem-se que

(ρ(u



(t)), u



(t)) ≥ 0 (2.14)

Das equa¸c˜oes (2.13) e (2.14) conclui-se que

u



(t)

+   u

(t)

+ γ∇u



(t)

∇u

(t)

≤ u



+   u



+ γ∇u



∇u



, ∀t ∈ (0, t

)

(2.15)

De (2.15) resulta que u

e u



s˜ao limitadas em V e H

(Ω), respectivamente. A constante

de limita¸c˜ao depende de u



e u



(Ω)

. Assim existe uma constante C > 0, tal que

u



(t)

+   u

(t)

+ γ∇u



(t)

∇u

(t)

≤ C

(2.16)

para m ∈ N e para todo t ∈ [0, t

). Consequentemente tem-se que

u



(t) ≤

√

C, ∀t ∈ [0, t

) e m ∈ N

∇u

(t) ≤



C, ∀t ∈ [0, t

) e m ∈ N

  u

(t) ≤

√

C, ∀t ∈ [0, t

) e m ∈ N

∇u



(t) ≤



, ∀t ∈ [0, t

) e m ∈ N

(2.17)

De (2.17) observa-se que (u



)

m∈N

, (∇u



)

m∈N

, (∇u

)

m∈N

e (∆u

)

m∈N

s˜ao sequˆencias limi-

tadas em L

∞

(0, t

; L

(Ω)). Como u

∈ V

, V

⊂ H

(Ω) e da se¸c˜ao tem-se que v

(Ω)

´e equivalente a v

(Ω)

∀v ∈ H

(Ω), isto implica que (u

)

m∈N

´e uma sequˆencia limitada

em L

∞

(0, t

; H

(Ω)). A consequˆencia disso ´e que a solu¸c˜ao u

(t) pode ser prolongada a

um intervalo arbitr´ario [0, T ]. As seq¨uˆencias (u



)

m∈N

e (u

)

m∈N

s˜ao sequˆencias limitadas

em L

∞

(0, T ; H

) e L

∞

(0, T ; H

(Ω)), respectivamente.

O objetivo a seguir ´e realizar novas estimativas a priori, no intervalo [0, T ], para

mostrar que a sequˆencia de solu¸c˜oes aproximadas (u

)

m∈N

converge para uma fun¸c˜ao

u, em certo sentido. Isto permite mostrar que por passagem ao limite no problema

aproximado, se obtenha que u ´e a solu¸c˜ao do problema variacional original dado em

(2.7). Para uma estimativa para u



(t), deve-se estimar u



(0) em L

(Ω). Colocando-se

w = u



(t) em (2.6) tem-se



(t), u



(t)) + (

(t), u



(t)) − γ(u



(t), u



(t))

−β∇u

(t)

(u

(t), u



(t)) + (ρ(u



(t)), u



(t)) = 0, ∀t ∈ (0, t

)

(2.18)

Avaliando-se (2.18) em t = 0 obt´em-se

u



(0)

+ γ∇u



(0)

= −(

(0), u



(0)) + β∇u

(0)

(u

(0), u



(0))

−(ρ(u



(0)), u



(0))

(2.19)

Segue de (2.19)

u



(0)

≤ −(

(0), u



(0)) + β∇u

(0)

(u

(0), u



(0))

−(ρ(u



(0)), u



(0))

(2.20)

Utilizando-se a desigualdade de Cauchy-Schawrz na equa¸c˜ao (2.19)

u



(0) ≤  

(0) + β∇u

(0)

  u

(0) + ρ(u



(0))

(2.21)

Aﬁrma¸c˜ao 1: ρ(., u



(0)) ´e limitada independente de m, ou seja,

ρ(., u



(0)) = ρ(u

) ≤ C (2.22)

com C = C(u

) uma constante positiva.

Demonstra¸c˜ao:

Deﬁnindo-se,

Ω

= {x ∈ Ω ||u



(x, 0)| ≤ 1, ∀m ∈ N}, Ω

= {x ∈ Ω ||u



(x, 0)| > 1, ∀m ∈ N}

(2.23)

Usando-se a hip´otese (2.2)(iii) sobre a fun¸c˜ao ρ(x, s) e as deﬁni¸c˜oes dadas em (2.23),

tem-se que

ρ(u



(0))



Ω

|ρ(x, u



(x, 0))|

dx ≤



Ω

a(x)





(x, 0)|

r+1



(x, 0)|



dx +



Ω

a(x)





(x, 0)|

p+1

+ |u



(x, 0)|



≤ 2c

a

∞



Ω





(x, 0)|

2r+2

+ |u



(x, 0)|



dx + 2c

a

∞



Ω





(x, 0)|

2p+2

+|u



(x, 0)|



dx ≤ 2(c

+ c

)a

∞

u



(0)

(Ω)

+ 2c

a

∞



Ω



(x, 0)|

2r+2

dx + 2c

a

∞



Ω



(x, 0)|

2p+2

dx = 2(c

+ c

)a

∞

u



(Ω)

+ 2c

a

∞



Ω

(x)|

2r+2

dx + 2c

a

∞



Ω

(x)|

2p+2

O primeiro termo na ´ultima igualdade ´e limitado pois u

−→ u

forte em H

(Ω) e,

portanto, em L

(Ω). Para limitar as integrais



Ω

(x)|

2r+2

dx e



Ω

(x)|

2p+2

dx na

desigualdade acima, s˜ao considerados os seguintes casos para r e p :

Caso I: −1 < r < 0.

Se r ´e tal que −1 < r < 0, ent˜ao usando a desigualdade de H¨older com

2r+2

−r

= 1

tem-se que



Ω

(x)|

2r+2

dx ≤





Ω



−r





Ω

(x)|



2r+2

≤ |Ω

−r

u



2r+2

Como u

−→ u

forte em H

(Ω) e, em particular, u

−→ u

forte em L

(Ω),

segue ent˜ao que integral



Ω

(x)|

2r+2

dx ´e limitada independentemente de m.

Caso II: 0 ≤ r < ∞.

Do fato de que |u

(x)| ≤ 1, ∀x ∈ Ω

tem-se que



Ω

(x)|

2r+2

dx ≤



Ω

(x)|

dx ≤ u



Novamente usando o fato de que u

−→ u

forte em H

(Ω) conclui-se que a integral



Ω

(x)|

2r+2

dx ´e limitada independentemente de m.

Caso III: −1 < p ≤ 0 .

Do fato de que |u

(x)| > 1, ∀x ∈ Ω

, tem-se que



Ω

(x)|

2p+2

dx ≤



Ω

(x)|

dx ≤



Ω

(x)|

dx ≤ u



De forma analoga aos casos anteriores conclui-se que a integral



Ω

(x)|

2p+2

e limitada.

Caso IV: 0 ≤ p ≤

n−2

com n ≥ 3.

Utilizando-se do fato de que |u

(x)| > 1, ∀x ∈ Ω

tem-se que



Ω

(x)|

2p+2

dx ≤



Ω

(x)|

n−2

Agora usando imers˜ao de Sobolev conclui-se que



Ω

(x)|

2p+2

dx ≤ C





Ω

|∇u

(x)|



n−2

com C > 0 dependendo da constante de imers˜ao de Sobolev. Do fato de que

)

m∈N

´e limitada em H

(Ω) segue que a integral



Ω

(x)|

2p+2

dx ´e limitada.

Caso V: 0 < p < ∞ para n = 1 ou n = 2.

Para este caso como (u

)

m∈N

∈ H

(Ω) e de resultados de imers˜ao espa¸cos de

Sobolev tem-se que H

(Ω) → L

∞

(Ω) segue que



Ω

(x)|

2p+2

dx ≤



Ω

(x)|

2p+2

dx ≤ |Ω|u



2p+2

∞

(Ω)

≤ |Ω|Cu



2p+2

(Ω)

Portanto a Aﬁrma¸c˜ao 1 est´a justiﬁcada.

Para concluir que u

(0) ´e limitada em L

(Ω) basta usar a estimativa dada e m (2.21), a

aﬁrma¸c˜ao 1 e notar que 

, ∇u

 e u

 s˜ao limitados por uma constante C =

C(u

), independente de m, pois u

(0) = u

−→ u

converge forte em H

(Ω) ∩ H

(Ω).

Para obter a es timativa para u



(t) torna-se necess´ario diferenciar em rela¸c˜ao a

”t” o sistema apresentado em (2.10),













j=1



(t) + [B

m,m



i,l=1

(t)g

(t)C



(t) +

m,m



i,l=1



(t)g

(t)

(t)g



(t)]C

(t)} +



∂ρ

∂s

(.,



i=1



(t)w

)(



i=1



(t)w

), w



= 0,

(0) = c



(0) = d



(0) = e

, ∀j = 1, ..., m

(2.25)

Os coeﬁcientes e



s est˜ao relacionados aos coeﬁcientes de u



(0)



(0) =



j=1



(0)w

(x) =



j=1

(x) (2.26)

Como u



(0)

´e limitada tem-se que os coeﬁcientes e



s s˜ao limitados por uma constante

independente de j e de m, pois

u



(0)

m,m



i,j=1



(0)g



(0)(w

, w

)

. (2.27)

O sistema de EDO´s de terceira ordem n˜ao linear (2.25) admite a existˆencia de

solu¸c˜oes g

(t), deﬁnidas em um intervalo [0, t

). Para ver isso, o sistema deﬁnido em

(2.25) deve ser colocado na forma apresentada em (2.11) devendo-se avaliar as condi¸c˜oes

necess´arias e suﬁcientes sobre a nova F (·) aﬁm de obter a existˆencia local de g

(t). A

nova F (·) apresentada na equa¸c˜ao (2.11) atende as hip´oteses do teorema de Caractheodory.

Portanto



(t) =



j=1



(t)w

(x) (2.28)

existe em [0, t

). Portanto, diferenciando-se a equa¸c˜ao dada em (2.6) em rela¸c˜ao a ”t”

obt´em-se



(t), w) + (u



(t), w) + γ(∇u



(t), ∇w) + β∇u

(t)

(∇u



(t), ∇w)

+2β(∇u

(t), ∇u



(t))(∇u

(t), ∇w) +



∂ρ

∂s

(., u



(t))u



(t), w



= 0

(2.29)

Fazendo-se w = u



(t) em (2.29)



(t), u



(t)) + (u



(t), u



(t)) + γ(∇u



(t), ∇u



(t))

+β∇u

(t)

(∇u



(t), ∇u



(t)) + 2β(∇u

(t), ∇u



(t))(∇u

(t), ∇u



(t))



∂ρ

∂s

(., u



(t))u



(t), u



(t)



= 0

(2.30)

De (2.30) obt´em-se que



u



(t)

+   u



(t)

+ 2β(∇u

(t), ∇u



(t))

+ γ∇u



(t)



−2β(∇u

(t), ∇u



(t))∇u



(t)

∇u

(t)



∇u



(t)





∂ρ

∂s

(., u



(t))u



(t), u



(t)



= 0

(2.31)

Deﬁnindo-se a fun¸c˜ao f

: [0, t

) → R por

(t) =



u



(t)

+   u



(t)

+ 2β(∇u

(t), ∇u



(t))

+ γ∇u



(t)



(2.32)

segue de (2.32) que

− 2β(∇u

(t), ∇u



(t))∇u



(t)

∇u

(t)



∇u



(t)





∂ρ

∂s

(., u



(t))u



(t), u



(t)



= 0

(2.33)

Da propriedade (2.2)(iv) da fun¸c˜ao ρ(., .) conclui-se que



∂ρ

∂s

(., u



(t))u



(t), u



(t)





Ω

∂ρ

∂s

(x, u



(x, t))u



(x, t)u



(x, t) dx



Ω

∂ρ

∂s

(x, u



(x, t))|u



(x, t)|

dx ≥ 0

(2.34)

Usando-se na equa¸c˜ao (2.33) o fato apresentado em (2.34) tem-se que

∇u

(t)



∇u



(t)



≤ 2β (∇u

(t), ∇u



(t))∇u



(t)

(2.35)

Usando-se a regra do produto para diferencia¸c˜ao obt´em-se a seguinte identidade

∇u

(t)



∇u



(t)





∇u

(t)

∇u



(t)



−2(∇u

(t), ∇u



(t))∇u



(t)

(2.36)

Substituindo-se na equa¸c˜ao (2.35) a identidade expressa em (2.36) resulta que



∇u

(t)

∇u



(t)



≤ 3β (∇u

(t), ∇u



(t))∇u



(t)

(2.37)

Deﬁne-se a fun¸c˜ao g

: [0, t

) → R como

(t) = f

(t) +

∇u

(t)

∇u



(t)

(2.38)

Segue de (2.38) que

≤ 3β (∇u

(t), ∇u



(t))∇u



(t)

(2.39)

Integrando-se sobre o intervalo [0, t] a equa¸c˜ao (2.39), obt´em-se

(t) ≤ g

(0) + 3β



(∇u

(s), ∇u



(s))∇u



(s)

≤ g

(0) +



(∇u

(s), ∇u



(s))

ds +



∇u



(s)

≤ g

(0) + C



ds +



(∇u

(s), ∇u



(s))

≤ g

(0) + Ct +



g(s) ds

(2.40)

com C a constante que limita ∇u



, ver (2.17).

Da desigualdade de Gronwall tem-se que

(t) ≤ C(T ), ∀t ∈ [0, T ]

(2.41)

com C = C(T ) uma constante que depende dos dados iniciais e de T . Isso segue do fato

de que g

(0) ´e limitada independentemente de m.

Observa¸c˜ao: Notar que g

(0) ´e limitada para todo m ∈ N. Isso ´e decorrˆencia do

fato que u



(0) ´e limitada, pois u

−→ u

em V, u

−→ u

em H

(Ω) e do fato que

∇u



(0) ´e limitada independente de m.

Em particular da deﬁni¸c˜ao de g

tem-se que

u



(t)

+   u



(t)

+ γ∇u



(t)

≤ C(T ), ∀t ∈ [0, T ]

(2.42)

A estimativa apresentada em (2.42) ´e v´alida para T > 0 arbitr´ario. Ent˜ao de

(2.17) e (2.42) e usando a desigualdade de Poincar´e obt´em-se que

)

m∈N

∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω))



)

m∈N

∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω))



)

m∈N

∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω))

(2.43)

Com as estimativas dadas em (2.43) conclui-se que existe uma (u

)

k∈N

⊂ (u

)

m∈N

, que

continuar´a sendo chamada de (u

)

m∈N

tal que

 u fraco −  em L

∞

(0, T ; H

(Ω))



 u



fraco −  em L

∞

(0, T ; H

(Ω))



 u



fraco −  em L

∞

(0, T ; H

(Ω))

(2.44)

Para mostrar que u deﬁnida em (2.44) ´e solu¸c˜ao do problema variacional deﬁnido

em (2.3) torna-se necess´ario estudar o limite com m → ∞ no problema variacional aprox-

imado deﬁnido em (2.6). Isto ´e equivalente a estudar o limite com m → ∞ de cada uma

das parcelas na equa¸c˜ao do problema variacional aproximado. Essa an´alise ser´a realizada

a seguir:



, v) → (u



, v) em D



(0, T ), para cada v ∈ H

(Ω).

Identiﬁcando-se L

∞

(0, T ; H

(Ω)) como um sube spa¸co de (L

(0, T ; H

(Ω)))



e do fato de

que u



 u



fraco- em L

∞

(0, T ; H

(Ω)) tem-se que

u



, w → u



, w, ∀w ∈ L

(0, T ; H

(Ω))

ou seja



Ω



.w)(x, t) dxdt −→



Ω



.w)(x, t) dxdt ∀w ∈ L

(0, T ; H

(Ω)).

(2.45)

Em particular tomando w = vθ com v ∈ H

(Ω) e θ ∈ L

(0, T ) tem- se que





(t), v)θ(t)dt −→





(t), v)θ(t)dt

(2.46)

para toda v ∈ H

(Ω) e θ ∈ L

(0, T ).

Tomando θ ∈ D(0, T ) ⊂ L

(0, T ) conclui-s e de (2.46)



(t), v) → (u



(t), v)

(2.47)

em D



(0, T ) e para cada v ∈ H

(Ω).

Portanto, para cada v ∈ H

(Ω) vale que



, v) =



, v) →



, v) = (u



, v)

(2.48)

em D



(0, T ).

(u

, v) → (u, v) em D



(0, T ), para cada v ∈ H

(Ω).

Do fato de que u

 u fraco- em L

∞

(0, T ; H

(Ω)) resulta que

u

 u fraco −  em L

∞

(0, T ; L

(Ω))

∼

(0, T ; L

(Ω)))



Assim



Ω

(w.  u

)(x, t) dxdt −→



Ω

(w.  u)(x, t) dxdt

(2.49)

para toda w ∈ L

(0, T ; L

(Ω)). Em particular tomando w = θ  v com v ∈ H

(Ω) e

θ ∈ L

(0, T ) se gue da convergˆe ncia dada em (2.45) que



Ω

u

(x, t)θ(t)  v(x) dxdt −→



Ω

u(x, t)θ(t)  v(x) dxdt

Ent˜ao







Ω

u

(x, t)  v(x) dx



θ(t)dt −→







Ω

u(x, t)  v(x)dx



θ(t)dt

para toda v ∈ H

(Ω) e para toda θ ∈ L

(0, T ). Isso signiﬁca que



(u

(t), v)θ(t)dt −→



(u(t), v)θ(t)dt

para toda v ∈ H

(Ω) e para toda θ ∈ D(0, T ). Portanto

(u

, v) −→ (u, v)

(2.50)

para cada v ∈ H

(Ω), no sentido de D



(0, T ).

(∇u



, ∇v) → (∇u



, ∇v) em D



(0, T ), para cada v ∈ H

(Ω).

Do fato de que u



 u



fraco -  em L

∞

(0, T ; H

(Ω)) resulta que

∇u



 ∇u



fraco −  em L

∞

(0, T ; [L

(Ω)]

)

∼

(0, T ; [L

(Ω)]

))



ou seja tem-se que

∇u



, w → ∇u



, w, ∀w ∈ L

(0, T ; [L

(Ω)]

)

Assim



Ω

(w∇u



)(x, t) dxdt −→



Ω

(w∇u



)(x, t) dxdt

(2.51)

para toda w ∈ L

(0, T ; [L

(Ω)]

). Tomando w = θ∇v, com v ∈ H

(Ω) e θ ∈ L

(0, T ) e

substituindo-se em (2.51) tem-se



Ω

∇u



(x, t)∇v(x)θ(t) dxds −→



Ω

∇u



(x, t)∇v(x)θ(t) dxdt

(2.52)

para toda v ∈ H

(Ω) e θ ∈ L

(0, T ), ou se ja



(∇u



(t), v)θ(t)dt −→



(∇u



(t), v)θ(t)dt

Como D(0, T ) ⊂ L

(0, T ) ent˜ao tomando-se θ ∈ D(0, T ) tem-se que



(∇u



(t), v)θ(t)dt −→



(∇u



(t), v)θ(t)dt

para cada v ∈ H

(Ω) e para toda θ ∈ D(0, T ), i. ´e

(∇u



, v) −→ (∇u



, v)

(2.53)

para cada v ∈ H

(Ω), no sentido de D



(0, T ).

∇u

(t)

(∇u

(t), ∇v) → ∇u(t)

(∇u(t), ∇v) em D



(0, T ), para cada v ∈ H

(Ω).

De resultados anteriores tem-se que u



 u



fraco- em L

∞

(0, T ; H

(Ω)). Alem disso

tem-se que ∇u



u

´e limitada em L

∞

(0, T ; L

(Ω)). Ent˜ao existe uma subseq¨uˆencia

)

k∈N

que ser´a chamada de (u

)

m∈N

tal que

∇u



 u

 χ, fraco-  em L

∞

(0, T ; L

(Ω)).

(2.54)

Ent˜ao da unicidade do limite em D



(0, T ) tem- se que

χ = ∇u

 u

(2.55)

Portanto de (2.54) e (2.55) tem-se que

∇u



 u

 ∇u

 u, fraco-  em L

∞

(0, T ; L

(Ω)).

Em particular como foi realizado nos casos anteriores que

∇u



(u

, v)  ∇u

(u, v)

(2.56)

para cada v ∈ H

(Ω), no sentido de D



(0, T ).

(ρ(u



), v) → (ρ(u



), v) em D



(Q)

Para veriﬁcar isto ´e necess´ario que ρ(x, u

) seja limitada em L

(Ω). Utilizando-se a pro-

priedade da fun¸c˜ao ρ(., .) dada em (2.2)(iii) e analogamente ao que foi realizado na aﬁr-

ma¸c˜ao 1 tem-se que

Aﬁrma¸c˜ao 2: ρ(u



)

(Q)

´e limitada independente de m.

ρ(u



)

(Q)



Ω

|ρ(x, u



(x, t))|

dxdt ≤



Ω

|ρ(x, u



(x, t))|

dxdt



Ω

|ρ(x, u



(x, t))|

dxdt ≤



Ω

a(x)





(x, t)|

r+1

+ |u



(x, t)|



dxdt



Ω

a(x)





(x, t)|

p+1

+ |u



(x, t)|



dxdt ≤ C



Ω



(x, t)|

dxdt

+2c

a

∞



Ω



(x, t)|

2r+2

dxdt + 2c

a

∞



Ω



(x, t)|

2p+2

dxdt

Para justiﬁcar a aﬁrma¸c˜ao ´e necess´ario mostrar que as integrais



Ω



(x, t)|

dxdt,



Ω



(x, t)|

2r+2

dxdt e



Ω



(x, t)|

2p+2

dxdt s˜ao limitadas. Em (2.43) foi mostra-

do que (u



)

m∈N

´e limitada em L

∞

(0, T ; L

(Ω)) ⊂ L

(0, T ; L

(Ω)) e L

(0, T ; L

(Ω)) =

(Q). Desta forma a integral



Ω



(x, t)|

dxdt ´e limitada. Para limitar as integrais



Ω



(x, t)|

2r+2

dxdt e



Ω



(x, t)|

2p+2

dxdt utiliza-se um racioc´ınio an´alogo

ao que foi utilizado na aﬁrma¸c˜ao 1. Para tal s˜ao analisados os seguintes casos para r e p :

Caso I: −1 < r < 0.

Se r ´e tal que −1 < r < 0, ent˜ao usando a desigualdade de H¨older com

2r+2

−r

= 1

tem-se que



Ω



(x, t)|

2r+2

dxdt ≤





Ω

dxdt



−r





Ω



(x, t)|

dxdt



2r+2

≤ |Ω

−r

u





2r+2

(Q)

≤ C

com C

uma constante positiva independente de m.

Caso II: 0 ≤ r < ∞.

Em (2.43) foi mostrado que (u



)

m∈N

´e limitada em L

∞

(0, T ; H

(Ω)), i. ´e existe

C > 0 independente de m tal que u



(t)

(Ω)

≤ C, ∀t ∈ [0, T ]. Assim como

(x, t)| ≤ 1 sobre Ω

tem-se que



Ω



(x, t)|

2r+2

dx ≤



Ω



(x, t)|

dx = u



(t)

Colocando-se a estimativa acima no integrando de



Ω



(x, t)|

2r+2

dxdt, obt´em-



Ω



(x, t)|

2r+2

dxdt ≤ CT

Portanto para 0 < T < +∞ tem-s e que a integral



Ω



(x, t)|

2r+2

dxdt ´e

limitada independentemente de m ∈ N.

Caso III: −1 < p ≤ 0 .

Do fato de que |u



(x, t)| > 1, ∀x ∈ Ω

, obt´em-se



Ω



(x, t)|

2p+2

dxdt ≤



Ω



(x, t)|

dxdt

≤



Ω



(x, t)|

dxdt =



u

(t)

dt ≤ CT

Desta forma a integral



Ω



(x, t)|

2p+2

dxdt ´e limitada independentemente de

Caso IV: 0 ≤ p ≤

n − 2

com n ≥ 3.

Utilizando-se do fato de que |u



(x, t)| > 1, ∀x ∈ Ω

pode-se realizar a seguinte

estimativa



Ω



(x, t)|

2p+2

dx ≤



Ω



(x, t)|

n−2

dx ≤ C





Ω

|∇u



(x, t)|



n−2

com C > 0 uma constante que depende da imers˜ao de Sobolev. Assim tem-se que



Ω



(x, t)|

2p+2

dxdtC ≤



∇u



(t)

n−2

(Ω)

dt ≤ CT u





n−2

∞

(0,T ;H

(Ω))

≤ C

com C

> 0 uma constante proviniente da limita¸c˜ao de u



em L

∞

(0, T ; H

(Ω)).

Portanto para 0 < T < +∞ tem-se que a integral



Ω



(x, t)|

2p+2

dxdt ´e

limitada independentemente de m ∈ N.

Caso V: 0 < p < ∞ para n = 1 ou n = 2.

Como (u



)

m∈N

∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω)) e de resultados de imers˜ao em espa¸cos de Sobolev

tem-se que H

(Ω) → L

∞

(Ω) segue que para cada t ∈ [0, T ], ﬁxo tem-se que



Ω



(x, t)|

2p+2

dx ≤ |Ω|Cu



(t)

2p+2

(Ω)

≤ C

com C > 0 uma constante proviniente da imers˜ao de Sobolev e da limita¸c˜ao de u



em L

∞

(0, T ; H

(Ω)). Com essa estimativa pode-se limitar a integral



Ω



(x, t)|

2p+2

dxdt ≤ CT

A aﬁrma¸c˜ao 2 est´a justiﬁcada.

Da aﬁrma¸c˜ao 2 e do lema de Lions segue que

ρ(x, u



)  ρ(x, u



) fraco em L

(Q)

Logo,

T, ρ(x, u



)  T, ρ(x, u



), para toda T ∈ (L

(Q))



∼

(Q).

Isso signiﬁca que



ρ(x, u



(x, t))w(x, t)dxdt →



ρ(x, u



(x, t))w(x, t)dxdt ∀w ∈ L

(Q).

Escolhendo w = vθ, v ∈ H

(Ω) e θ ∈ D(0, T ), segue que w ∈ L

(Q) e portanto







Ω

ρ(x, u



(x, t))v(x)dx



θ(t)dt →







Ω

ρ(x, u



(x, t))v(x)dx



θ(t)dt

para toda v ∈ H

(Ω) e para toda θ ∈ D(0, T ), i. ´e. Desse modo conclui-se que

(ρ(u



), v) → (ρ(u



), v)

(2.58)

para cada v ∈ H

(Ω), no sentido de D



(0, T ).

Portanto de (2.48), (2.50), (2.53), (2.56) e (2.58) tem-se que a fun¸c˜ao u dada em

(2.44) satisfaz a equa¸c˜ao variacional

, w) + (u, v) + γ(∇u

, ∇v) + β∇u

(∇u, ∇v) + (ρ(u

), v) = 0

para cada v ∈ H

(Ω), no sentido de D



(0, T ). Isto implica que

+ 

u − γ  u

− β∇u

 u + ρ(x, u

) = 0

(2.59)

no sentido de D



(Ω) para cada t ∈ (0, T ).

Usando o fato de 

´e um operador el´ıptico de ordem quatro e que



u = −u

+ γ  u

+ β∇u

 u − ρ(x, u

)

no sentido de D



(Ω) e que u(t) ∈ H

(Ω), u

(t) ∈ H

(Ω) e u

(t) ∈ H

(Ω), para cada

t ∈ [0, T ], do teorema de Regularidade El´ıptica, Lions [17], segue que

u ∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω)



(Ω))

(2.60)

Logo a solu¸c˜ao u de (2.1) ´e tal que

u ∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω)



(Ω))

∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω))

∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω))

para cada v ∈ H

(Ω), no sentido de D



(0, T ).

2.4 An´alise das Condi¸c˜oes Iniciais

O objetivo dess a secao e mostrar que a fun¸c˜ao u dada em (2.21) satisfaz as

condi¸c˜oes inicias da problema (2.1), isto ´e,

u(0) = u

e u



(0) = u

Para fazer isso, deve-se considerar a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 2.1 Sejam V

e V

espa¸cos de Hilbert tal que V

→ V

continuamente. Seja

W (0, T ) = {u ∈ L

(0, T ; V

) :

∈ L

(0, T ; V

)}. Ent˜ao W (0, T ) est´a imerso continua-

mente em C(0, T ; V

A demonstra¸c˜ao ´e encontrada em Lions [18].

A solu¸c˜ao de (2.1), dada em (2.60), ´e tal que u ∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω) ∩ H

(Ω)) com

∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω)) e u

∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω)). Fazendo-se p = ∞ e V

= V

= H

(Ω) e

(0, T ) = {u ∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω)) : u



∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω))}, ent˜ao pela proposi¸c˜ao (1.1)

tem-se que

u ∈ C([0, T ], H

(Ω)).

De forma an´aloga fazendo-se v = u



, p = ∞, V

= H

(Ω) e V

= L

(Ω) e deﬁnindo-

se W

(0, T ) = {v ∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω)) : v



∈ L

∞

(0, T ; L

(Ω))} ent˜ao, novamente pela

proposi¸c˜ao 1.1, tem-se que



∈ C(0, T ; L

(Ω)).

Desta forma, faz sentido calcular u(0) e u



(0). Para avaliar u(0), tem-se de (2.4) que



 u



fraco -  L

∞

(0, T ; H

(Ω))

i.´e.

u



, w → u



, w, ∀w ∈ L

(0, T ; L

(Ω))

Tomando-se w = vθ com v ∈ H

(Ω) ⊂ L

(Ω) e θ ∈ L

(0, T ) tem- se:





(t), v)θ(t) dt −→





(t), v)θ(t) dt, ∀θ ∈ L

(0, T )

Em particular, o resultado de convergˆencia mostrado acima ´e v´alido se θ ∈ C

(0, T ),

pois C

(0, T ) ⊂ L

(0, T ). Al´em desse resultado, de (2.44) tem-se que u

 u fraco - 

em L

∞

(0, T ; H

(Ω)), i.´e.

u

, w → u, w, ∀w ∈ L

(0, T ; L

(Ω))

(2.62)

Ent˜ao, como foi realizado anteriormente, tomando-se w = vϕ com v ∈ H

(Ω) ⊂ L

(Ω) e

ϕ ∈ L

(0, T ) tem-s e que:



(t), v)ϕ(t) dt −→



(u(t), v)ϕ(t) dt, ∀ϕ ∈ L

(0, T )

Em particular, o resultado acima ´e valido para toda ϕ ∈ C(0, T ) pois C(0, T ) ⊂ L

(0, T ).

Escolhendo-se ϕ = θ



com θ ∈ C

(0, T ) conclui-s e que





(t), v)θ(t) dt −→





(t), v)θ(t) dt (2.63)



(t), v)θ



(t) dt −→



(u(t), v)θ



(t) dt (2.64)

para toda v ∈ H

(Ω) → L

(Ω) e para toda θ ∈ C

(0, T ) tal que θ(0) = 1 e θ(T ) = 0.

Somando-se as equa¸c˜oes (2.63) e (2.64) tem-se que





(t), v)θ(t) dt +



(t), v)θ



(t) dt





(t), v)θ(t)



dt = −(u

(0), v)

(2.65)

Por outro lado





(t), v)θ(t) dt +



(u(t), v)θ



(t) dt





(u(t), v)θ(t)



dt = −(u(0), v)

(2.66)

De (2.65) e (2.66)

(0), v) −→ (u(0), v)

para cada v ∈ H

(Ω), no sentido de D



(0, T ). Mas como u

(0) = u

−→ u

forte em

(Ω) e portanto em L

(Ω), tem-se que

(0), v) −→ (u

, v)

para cada v ∈ H

(Ω), no sentido de D



(0, T ). Portanto, da unicidade do limite, conclui-se

que

u(0) = u

. (2.67)

Para avaliar u



em t = 0 utiliza-se o fato de que u



 u



fraco -  L

∞

(0, T ; L

(Ω)), i.´e.

u



, w → u



, w, ∀w ∈ L

(0, T ; L

(Ω))

(2.68)

Ent˜ao, como foi realizado anteriormente, tomando-se w = vϕ com v ∈ H

(Ω) e ϕ ∈

(0, T ) tem- se que





(t), v)ϕ(t) dt −→





(t), v)ϕ(t) dt, ∀ϕ ∈ L

(0, T )

(2.69)

Em particular para ϕ ∈ C

(0, T ) ⊂ L

(0, T ), conclui-s e que





(t), v)ϕ(t) dt −→





(t), v)ϕ(t) dt (2.70)



(t), v)ϕ



(t) dt −→



(u(t), v)ϕ



(t) dt (2.71)

para toda v ∈ H

(Ω) e para to da ϕ ∈ C

(0, T ) com ϕ(0) = 1 e ϕ(T ) = 0. Somando-se

as equa¸c˜oes (2.70) e (2.71) tem-se





(t), v)ϕ(t) dt +





(t), v)ϕ



(t) dt







(t), v)ϕ(t)



dt = −(u



(0), v)

(2.72)

Por outro lado tem-se que





(t), v)ϕ(t) dt +





(t), v)ϕ



(t) dt







(t), v)ϕ(t)



dt = −(u



(0), v)

(2.73)

De (2.72), (2.73) e da convergencia dada em (2.69) tem-se que



(0), v) −→ (u



(0), v)

para toda v ∈ H

(Ω). Mas como u



(0) = u

−→ u

forte em H

(Ω) (ver (2.7) e (2.8))

e portanto em L

(Ω), tem-se que



(0), v) −→ (u

, v)

para toda v ∈ H

(Ω). Portanto, da unicidade do limite, concluimos que



(0) = u

. (2.74)

Agora, de (2.44), (2.67) e (2.74) conclu´ımos que a fun¸c˜ao u ´e solu¸c˜ao do problema (2.1),

j´a que as condi¸c˜oes de fronteira em (2.1) est˜ao satisfeitas pois u ∈ H

(Ω).

2.5 Unicidade da Solu¸c˜ao u

A unicidade da solu¸c˜ao e demonstrada supondo que existem duas solu¸c˜oes u e

v para o problema (2.1) na classe C(0, ∞; H

(Ω) ∩ H

(Ω)) ∩ C

(0, ∞; H

(Ω)). Ent˜ao

w = u − v ´e solu¸c˜ao de











+ 

w − γ  w

− β



∇u

 u − ∇v

 v



+ρ(x, u

) − ρ(x, v

) = 0 x ∈ Ω, t > 0

w(x, 0) = 0

(x, 0) = 0 x ∈ Ω

w(x, t) = 0

∂w

∂n

(x, t) = 0 x ∈ ∂Ω, t > 0

(2.75)

Multiplicando a equa¸c˜ao em (2.75) por w

, integrando-a sobre a regi˜ao Ω e aplicando-se

as condi¸c˜oes de fronteira para w dadas em (2.75), resulta que



w

(t)

+ γ∇w

(t)

+   w(t)



+ 2(ρ(u

) − ρ(v

), w

(t))

−2β



∇u(t)

 u(t) − ∇v(t)

 v(t), w

(t)



= 0

(2.76)

Integrando a equa¸c˜ao (2.76) em [0, t], t ≥ 0, e usando as condi¸c˜oes iniciais dadas em (2.75)

w

(t)

+ γ∇w

(t)

+   w(t)

+ 2



(ρ(u

) − ρ(v

), w

(s))ds

−2β





∇u(s)

 u(s) − ∇v(s)

 v(s), w

(s)



ds = w

(0)

+γ∇w

(0)

+   w(0)

(2.77)

A seguir s˜ao calculadas w

(0), ∇w

(0) e w(0). Das condi¸c˜oes iniciais tem-se que

(x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω ⇒ ∇w

(0) = 0.

Para mostrar que   w(0) = 0 deve-se observar que

w(x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω ⇒ w(x, 0) = 0

Desta forma tem-se que a identidade expressa na equa¸c˜ao (2.77)

w

(t)

+ γ∇w

(t)

+   w(t)

= −2



(ρ(u

) − ρ(v

), w

(s))ds

+2β





∇u(s)

 u(s) − ∇v(s)

 v(s), w

(s)



(2.78)

Utilizando-se as propriedades de diferenciabilidade da fun¸c˜ao ρ(., .) em Ω×R

e o teorema

do valor m´edio tem-se que

ρ(x, s) − ρ(x, τ) =

∂ρ

∂s

(x, ξ)(s − τ), para algum ξ ∈ (s, τ)

(2.79)

De (2.79) obt´em-se que

(ρ(u

) − ρ(v

), w

(t)) =



Ω

∂ρ

∂s

(x, ξ)w

(x, t)dx ⇒ (ρ(u

) − ρ(v

), w

(t)) ≥ 0

(2.80)

De (2.78) e (2.80) segue que

w

(t)

+ γ∇w

(t)

+   w(t)

≤ 2β







∇u(s)

 u(s) − ∇v(s)

 v(s), w

(s)





(2.81)

Analisando-se o integrando de (2.81) tem-se que





∇u

 u(s) − ∇v

 v, w





≤ ∇u

 u − ∇v

 vw



(2.82)

Analisando-se separadamente o termo

∇u

 u − ∇v

 v = (∇u

− ∇v

)  u + ∇v

 w

≤ (∇u − ∇v)(∇u+ ∇v)  u + ∇v

  w ≤ C  w

Integrando-se de (0, t) a desigualdade expressa em (2.82) e substituindo-se na equa¸c˜ao

(2.78)

w

(t)

+ γ∇w

(t)

+   w(t)

≤ C





w

(s)

+ γ∇w

(s)

+   w(s)



(2.83)

Deﬁne-se a fun¸c˜ao f : R

→ R

como

f(t) = w

(t)

+ γ∇w

(t)

+   w(t)

e importante observar que f(0) = 0 e que f ∈ C

) que segue do fato que w ∈

C(0, ∞; H

(Ω) ∩ H

(Ω)) ∩ C

(0, ∞; H

(Ω)). Usando a desigualdade de Gronwall tem-se

que

f(t) = 0, ∀t ∈ R

⇒ w

(t)

+ γ∇w

(t)

+   w(t)

= 0, ∀t ∈ R

i.´e.

w

(t) = 0, ∇w

(t) = 0 e   w(t) = 0, ∀t ∈ R

Como w ∈ C(0, ∞; H

(Ω) ∩ H

(Ω)) ∩ C

(0, ∞; H

(Ω)) e C(0, ∞; H

(Ω) ∩ H

(Ω)) ∩

(0, ∞; H

(Ω)) ⊂ C(0, ∞; H

(Ω)) ent˜ao w(t) ∈ L

(Ω), ∀t ∈ R

e Ω limitado ent˜ao

tem-se da desiguldade de Poincar´e

0 ≤ w(t)

(Ω)

≤ C  w(t)

(Ω)

= 0, ∀t ∈ R

Ent˜ao conclui-se que w = 0 q.s. em Ω × (0, T ) e portanto o problema (2.1) tem solu¸c˜ao

´unica.

Cap´ıtulo 3

Estabiliza¸c˜ao

Neste cap´ıtulo s˜ao apresentados resultados sobre a estabiliza¸c˜ao da energia para

o problema de Cauchy associado `a equa¸c˜ao de Bernoulli-Euler apresentada em (2.1).

importante ressaltar que o principal resultado que ser´a apresentado nesse cap´ıtulo ´e um

teorema que demonstra o comportamento assint´otico da energia do sistema e fornece as

taxas de decaimento da energia. Esse resultado ´e demonstrado com base no princ´ıpio da

continua¸c˜ao ´unica. Para equa¸c˜ao de Bernoulli-Euler sem termo de in´ercia rotacional, isto

´e, γ = 0 em (2.1), ou ent˜ao para a equa¸c˜ao (2.1) com β = 0, ou seja para equa¸c˜ao linear de

placas. Para a equa¸c˜ao completa (γ, β > 0) n˜ao conhecemos na literatura resultado sobre

continua¸c˜ao ´unica. Se tal resultado for v´alido, o teorema de estabiliza¸c ˜ao apresentado

neste trabalho ser´a tamb´em v´alido para esse caso.

Por estabiliza¸c˜ao entende-se como o comportamento da energia E(t) do sistema

quando t −→ ∞, ou o estudo do comportamento das solu¸c˜oes u(t) quando t −→ ∞, em

alguma norma. Por exemplo, estudar lim

t−→∞

u(t) ou lim

t−→∞

u(t)

∞

(Ω)

. S˜ao mostradas

taxas expl´ıcitas de decaimento da energia associada a solu¸c˜ao do problema (2.1).

A energia associada a equa¸c˜ao de Bernoulli-Euler com efeito de in´ercia rotacional

´e obtida multiplicando-se a equa¸c˜ao em (2.1) por u

e integrando sobre a regi˜ao Ω,

E(t) =



Ω



+ γ|u

+ |  u|

∇u(t)

|∇u|



dx.

(3.1)

A equa¸c˜ao (2.1) possui o termo ρ = ρ(x, u

) que representa uma dissipa¸c˜ao da energia

associada a esse problema. Isso pode ser demonstrado multiplicando-se a equa¸c˜ao em

(2.1) por u

e integrando-se em Ω × [t, t + T ] para obter que

E(t) − E(t + T ) =



t+T



Ω

ρ(x, u

dxdt, ∀t ≥ 0 e T ≥ 0. (3.2)

Em particular observa-se da hip´otese (2.2).(i) sobre ρ(x, s) que a energia E(t) ´e

uma fun¸c˜ao decrescente. Ent˜ao, faz sentido estudar o decaimento da energia total E(t)

associada ao problema (2.1). O objetivo desse cap´ıtulo ´e demonstrar o seguinte teorema:

Teorema 3.1 (Estabiliza¸c˜ao) : Supor que γ = 0 ou β = 0 e x

∈ Ω . Ent˜ao

considerando-se as hip´oteses feitas em (2.2) sobre as fun¸c˜oes a = a(x) e ρ = ρ(x, s),

tem-se que a energia associada a solu¸c˜ao u = u(x, t) do problema (2.1) tem o seguinte

comportamento assint´otico no tempo:

E(t) ≤ C (1 + t)

− δ

, i = 1, 2, 3, 4, t ≥ 0; (3.3)

sendo C uma constante positiva (dependendo de E(0)) e com taxa de decaimento δ

deﬁnida para os seguintes casos:

Caso I: Se r > 0 e 0 < p ≤

n−2

ent˜ao δ

= min



8(p+1)

4−p(n+2)



e δ

se p = 0 ou se

n = 1 ou 2 e 0 ≤ p < +∞. Se r = 0 e p > 0 ent˜ao δ

8(p+1)

4−p(n+2)

Caso II: Se r > 0 e −1 < p < 0 ent˜ao δ

= min



p(2−n)



e δ

se n = 1 ou 2. Se

r = 0 ent˜ao δ

p(2−n)

Caso III: Se −1 < r < 0 e 0 < p ≤

n−2

ent˜ao δ

= min



2(r+1 )

−r

4(p+1)

p(n−2)



e δ

2(r+1 )

−r

p = 0 ou se n = 1 ou 2 e 0 ≤ p < +∞.

Caso IV: Se −1 < r < 0 e −1 < p < 0 ent˜ao δ

= min



2(r+1 )

−r

p(n−2)



e δ

2(r+1 )

−r

n = 1 ou 2.

Observa¸c˜ao: Se r = p = 0 ent˜ao a energia decai exponencialmente no tempo (para a

equa¸c˜ao de Bernoulli-Euler sem o termo de in´ercia rotacional ver Tucsnack [25] e [26]).

O teorema acima mostra o comportamento assint´otico da energia associada a solu¸c˜ao do

problema deﬁnido em (2.1) e fornece as taxas expl´ıcitas de decaimento da energia.

Para demonstrar esse teorema s˜ao necess´arios alguns lemas e estimativas.

3.1 Lema de Nakao

Para demonstrar a estabiliza¸c˜ao da energia E(t) vamos mostrar que E(t) satisfaz

uma desigualdade do tipo:

E(t)

1+ξ

≤ C[E(t) − E(t + T )], t ≥ 0 (3.4)

sendo C uma constante positiva, T > 0 est´a ﬁxo e ξ

> 0 est´a relacionado com δ

dado

no teorema 3.1. Ent˜ao, a propriedade de decaimento seguir´a do seguinte lema (ver Nakao

[22]):

Lema 3.1 (Nakao) Seja ϕ(t) uma fun¸c˜ao n˜ao negativa em R

satisfazendo para t ≥ 0:

sup

t≤s≤t+T

ϕ(s)

1+δ

≤ g(t)[ϕ(t) − ϕ(t + T )]

com T > 0, δ ≥ 0 e g(t) uma fun¸c˜ao n˜ao decrescente. Se δ > 0 ent˜ao ϕ satisfaz

ϕ(t) ≤



ϕ(0)

−δ



g(s)

−1



−

, T ≤ t

Se δ = 0, ao inv´es da desigualdade acima tem-se ent˜ao para ϕ o seguinte comportamento

assint´otico

ϕ(t) ≤ Cϕ(0)e

−σt

, t ≥ 0

para algum σ > 0 ﬁxo e C > 0 uma constante.

3.2 Localiza¸c˜ao da D issipa¸c˜ao

Nessa se¸c˜ao s˜ao impostas as condi¸c˜oes que localizam o termo dissipativo repre-

sentado pela fun¸c˜ao ρ = ρ(x, u

) na equa¸c˜ao (2.1). Sejam x

∈ R

ﬁxado e Γ = ∂Ω a

fronteira de Ω e

Γ(x

) =



x ∈ Γ; (x − x

) · η(x) ≥ 0



sendo η = η(x) a normal exterior a Ω, unit´aria, no ponto x ∈ Γ. Considere-se ω uma

vizinhan¸c a, em

Ω, de Γ(x

), isto ´e, ω =

Ω ∩W , com W um aberto de R

com Γ(x

) ⊂ W .

Sobre a fun¸c˜ao a = a(x) que aparece nas hip´oteses (2.2) sobre o crescimento da fun¸c˜ao

ρ = ρ(x, u

), faz-se a seguinte hip´otese:

a(x) ≥ a

> 0, x ∈ ω

a(x) ≥ 0, x ∈ Ω

com a

uma constante. Desse modo a fun¸c˜ao a = a(x) e portanto a dissipa¸c˜ao representada

pela fun¸c˜ao ρ = ρ(x, u

) na equa¸c˜ao (2.1) ´e efetiva somente sobre ω. Assim a dissipa¸c˜ao

est´a localizada sobre ω, sendo ω uma vizinhan¸ca em Ω da parte Γ(x

) da fronteira de Ω.

Se x

∈ int(Ω) ent˜ao Γ(x

) = Γ e ω ´e uma vizinhan¸ca de toda fronteira de Ω.

3.3 Identidades de Energia

Para demonstrar o comportamento assint´otico da energia dada em (3.1) torna-se

necess´ario desenvolver algumas identidades de energia. Para isso ser˜ao ´uteis as seguintes

fun¸c˜oes:

Seja h : R

−→ R

um campo vetorial de classe C

tal que

h(x) = η(x) em Γ(x

)

h(x) · η(x) ≥ 0 em Γ

h(x) = 0 em Ω\ˆω

(3.5)

sendo ˆω um aberto do R

tal que Γ(x

) ⊂ ˆω ∩

Ω ⊂ ω (para a existˆencia de tal campo h

ver Lions [15]).

Seja m ∈ W

2,∞

(Ω) uma fun¸c˜ao tal que

|∇m|

|  m|

s˜ao limitados e

0 ≤ m ≤ 1 em Ω

m = 1 em ˜ω

m = 0 em

Ω\ω

(3.6)

sendo ˜ω ⊂

Ω um aberto em

Ω com Γ(x

) ⊂ ˜ω ⊂ ω ⊂

Ω. Evidentemente, uma tal fun¸c˜ao

m(x) existe (ver Lions [15] e Tucsnak [25], [26]).

O lema de Gagliardo-Niremberg se faz necess´ario para estimar uma integral en-

volvendo o termo dissipativo ρ(x, u

Lema 3.2 (Gagliardo-Niremberg) Seja 1 ≤ r < p < ∞, 1 ≤ q ≤ p e 0 ≤ m. Ent˜ao,

v

k,q

≤ C v

m,p

v

1−θ

para v ∈ W

m,p

(Ω) ∩ L

(Ω), Ω ⊂ R

, sendo C uma constante positiva e

θ =



−



−



−1

tal que 0 < θ ≤ 1.

Lema 3.3 (Identidades de Energia) Sejam h : R

−→ R

de classe C

, m ∈ W

2,∞

(Ω),

u = u(x, t) a solu¸c˜ao de (2.1) e T > 0 ﬁxo. Ent˜ao as seguintes identidades s˜ao v´alidas

para todo t ≥ 0:





Ω

u dx



t+T

+ γ





Ω

∇u

· ∇u dx



t+T

−



t+T



Ω

dxds



t+T



Ω

|  u|

dxds − γ



t+T



Ω

|∇u

dxds + β



t+T

∇u



t+T



Ω

ρ(x, u

)u dxds = 0,

(3.7)



t+T



Ω

m(x)



|  u|

− γ|∇u

− |u

+ β∇u

|∇u|

+ ρ(x, u



dxds



t+T



Ω



γu

∇u

· ∇m − β∇u

u∇u · ∇m



dxds

−γ





Ω

m(x)u∇u

· ∇u dx



t+T

−



t+T



Ω



u  u  m + 2  u∇u · ∇m



dxds

−





Ω

[m(x)uu

+ ∇u

· ∇m] dx



t+T

(3.8)





Ω

(h · ∇u) dx



t+T



t+T



Ω

ρ(x, u

)(h · ∇u) dxds



t+T



Ω

(∇ · h)(|u

− |  u|

− β∇u

|∇u|

)dxds

n,n



i,j=1



t+T



Ω

(2D

u  u + β∇u

u) dxds

+γ

n,n



i,j=1



t+T



Ω



+ h



dxds



t+T



Ω

(h · ∇u)  u dxds =



t+T



(h · η)|  u|

dΓds,

(3.9)





Ω

(x − x

) · ∇u dx



t+T



t+T



Ω

(|u

− |  u|

− β∇u

|∇u|

)dxds



Ω

ρ(x, u

)[(x − x

) · ∇u] dxds +



t+T



Ω

(2|  u|

− γ|∇u

+ β∇u

|∇u|

)dxds

+γ





Ω

∇u

· ∇u dxds



t+T

n,n



i,j=1



t+T



Ω

− x

dxds



t+T



(x − x

) · η|  u|

dΓds.

(3.10)

sendo que h

indica a k-´esima componente do campo h, D

∂

∂x

, h = (h

, ··· , h

η = η(x) ´e a normal ao ponto x ∈ Γ e x

´e um ponto de R

ﬁxado arbitrariamente.

A demonstra¸c˜ao de ssas identidades ´e obtida usando-se os multiplicadores M(u) =

u, M(u) = m(x)u, M(u) = h·∇u e M(u) = (x−x

)·∇u, respectivamente. Na identidade

(3.9) n˜ao aparece o termo de fronteira da integral γ



t+T



Ω

u

(h · ∇u) dxds. Para o

termo de fronteira tem-se a seguinte identidade,



∂u

∂η

(h · ∇u) dΓ =





∂u

∂η

(h · ∇u) dΓ



−



∂u

∂η

(h · ∇u

) dΓ = 0,

pois u

(t) ∈ H

(Ω) para todo t ∈ [t, t + T ]. A identidade (3.10) ´e um caso particular

da equa¸c˜ao (3.9) quando h(x) = x − x

, com x, x

∈ R

. Em (3.8) n˜ao s˜ao usadas as

propriedades deﬁnidas em (3.5) e (3.6) do campo vetorial h e da fun¸c˜ao m = m(x).

3.4 Estimativas de Energia

E importante observar que para todas as estimativas que ser˜ao realizadas a se guir,

a letra C poder´a indicar diferentes constantes positivas. A primeira estimativa ´e dada

pelo seguinte lema:

Lema 3.4 Sejam T > 0 ﬁxo, h : R

−→ R

um campo vetorial de classe C

com as

propriedades (3.5) e u = u(x, t) a solu¸c˜ao de (2.1). Ent˜ao,





Ω

(h · ∇u) dx



t+T

≤ C



E(t + T ) + E(t)



, (3.11)





t+T



Ω

ρ(x, u

)(h · ∇u) dxds



≤ C



t+T



Ω

|ρ(x, u

)||∇u|dxds, (3.12)





t+T



Ω

(h · ∇u)  u dxds



≤ C



t+T



Ω∩ˆω

|  u|

dxds, (3.13)





t+T



Ω

(∇ · h)|  u|

dxds



≤ C



t+T



Ω∩ˆω

|  u|

dxds, (3.14)





t+T



Ω

(∇ · h)∇u

|∇u|

dxds



≤ C



t+T



Ω∩ˆω

∇u

|∇u|

dxds, (3.15)





t+T



Ω

∇u

n,n



j,k=1

)(D

u)dxds



≤ C



t+T



Ω∩ˆω

∇u

|∇u|

dxds.

(3.16)

Demonstra¸c˜ao:

Para obter a estimativa dada na equa¸c˜ao (3.11) foram utilizados as desigualdades de

H¨older e de Poincar´e e o fato do campo vetorial h ser de classe C





Ω

(h.∇u) dx



t+T

≤





Ω

(h · ∇u) dx



t+T





Ω

(h · ∇u) dx



≤ h

∞

(Ω)





Ω

||∇u|dx



t+T



Ω

||∇u|dx





≤



u

∆u



t+T

+ u

∆u





≤ C[E(t + T ) + E(t)].

Para obter a estimativa dada em (3.12) utiliza-se o fato de que h ∈ C





t+T



Ω

ρ(h · ∇u) dxds



≤



t+T



Ω

|ρ||h · ∇u|dxds ≤ C



t+T



Ω

|ρ||∇u|dxds.

Do fato de que u(t) ∈ H

(Ω) ∩ H

(Ω) ⊂ H

(Ω), h ≡ 0, em

Ω\ω e portanto h = 0 em

Ω ∩ ˆω e da desigualdade de Poincar´e tem-se que





t+T



Ω

(h · ∇u)  u dxds



≤



t+T



Ω∩ˆω

|  h · ∇u||  u|dxds

≤ C



t+T



Ω∩ˆω

|  u|

dxds.

Portanto a estimativa dada em (3.13) est´a demonstrada. Para demonstrar a estimativa

apresentada em (3.14) utiliza-se as propriedades do campo vetorial h apresentadas em

(3.6)





t+T



Ω

(∇ · h)|  u|

dxds



≤ C



t+T



Ω∩ˆω

|∇ · h||  u|

dxds

≤ C



t+T



Ω∩ˆω

|  u|

dxds.

A estimativa (3.14) est´a demonstrada. A demonstra¸c˜ao da estimativa (3.15) ´e an´aloga a

da estimativa (3.14),





t+T



Ω

∇u

n,n



j,k=1

)(D

u)dxds



≤ Cβ

n,n



j,k=1



t+T



Ω∩ˆω

∇u

u|dxds

≤ n



t+T



Ω∩ˆω

∇u

|∇u|

dxds ≤ C



t+T



Ω∩ˆω

∇u

|∇u|

dxds.

O lema (3.4) est´a demonstrado. Outro resultado importante ´e atrav´es de uma estimativa

de uma integral de fronteira dado no lema a seguir:

Lema 3.5 Exist e um T > 0 ﬁxo tal que a energia E = E(t) associada a solu¸c˜ao u =

u(x, t) do problema (2.1) satisfaz a seguinte desigualdade:



t+T



Γ(x

)

(x − x

) · η|  u|

dΓds ≤ C



E(t + T ) + E(t)



t+T



Ω

ρ |∇u| dxds +



t+T



dxds



t+T



Ω



|u|

+ |∇u|

+ |∇u



dxds



, ∀t > 0

com C uma constante positiva.

Demonstra¸c˜ao:

A integral de fronteira ´e estimada limitando-se cada termo da identidade (3.8) do lema 3.3.

Cada termo de (3.8) ´e estimado deﬁnindo-se C

= max



sup

x∈

Ω

|∇m(x)|

m(x)

, sup

x∈

Ω

|  m(x)|

m(x)



usando-se as propriedades da fun¸c˜ao m = m(x) dadas em (3.6) e as desigualdades de

Poincar´e e H¨older,



t+T



Ω

m(x)ρ(x, u

)u dxds ≤



t+T



Ω

ρ(x, u

) |u| dxds,

(3.21)



t+T



Ω

m(x) |u

dxds ≤ C



t+T



Ω

dxds,

(3.22)



Ω

m(x)[uu

− ∇u

· ∇m] dx



t+T

≤ C



E(t + T ) + E(t)



(3.23)



Ω

m(x)u∇u

· ∇m



t+T

dx ≤



Ω

|u∇u

· ∇m|

t+T

dx +



Ω

|u∇u

· ∇m|

≤ C



u∇u





t+T

+ u∇u







≤ C



E(t + T ) + E(t)



(3.24)

Sabendo-se que m ≡ 0 em

Ω/ω tem-se que,



t+T



Ω



u  u  m + 2  u∇u · ∇m + β∇u

u∇u · ∇m



dxds



t+T



Ω

γ u

∇u

· ∇m dxds =



t+T





u  u  m + 2  u∇u · ∇m



dxds



t+T





β∇u

u∇u · ∇m + γ u

∇u

· ∇m



dxds

(3.25)

Ser˜ao estimadas as duas primeiras parcelas da identidade acima,



t+T





u  u  m + 2  u∇u · ∇m



dxds

≤



t+T



Ω



|u||u||m| + 2 |u||∇u||∇m|



dxds



t+T



|u||u|

|m|





dxds + 2



t+T



|u||∇u|

|∇m|

√

m dxds.

(3.26)

A pimeira integral de (3.26) ´e estimada com aux´ılio da desigualdade de Young,



|u|

|m|





|u|





≤





|u|

|  u|



(3.27)

A segunda integral de (3.26) ´e estimada usando-se a hip´otese de limita¸c˜ao da fun¸c˜ao

|∇m|

e a desigualdade de H¨older, pois m ∈ W

2,∞

(Ω) e u ∈ H

(Ω) ∩ H

(Ω) ⊂ L

(Ω),



|u||∇u|

|∇m|

√

m dx ≤ 2







|  u|







m|∇u|



(3.28)

Colocando-se as estimativas apresentadas em (3.27) e (3.28) na desigualdade (3.26) obt´em-



t+T





u  u  m + 2  u∇u · ∇m



dxds

≤ C



t+T







|u|

|  u|



dx +





|  u|







m|∇u|





ds.

(3.29)

Outra estimativa necess´aria ´e dada por



t+T



Ω

∇u

u∇u · ∇m dxds ≤ β



t+T



Ω

∇u

|u||∇u||∇m| dxds

(3.30)

Como |u|, |∇u|, |∇m| ≥ 0 ent˜ao da desigualdade de Young tem-se que

|u||∇u||∇m| =

√

β |u|

|∇u||∇m|

√

≤



β |u|

|∇u|

|∇m|



(3.31)

Colocando-se essa estimativa em (3.30), obt´em-se



t+T



Ω

∇u

u∇u · ∇m dxds ≤ β



t+T



Ω

∇u

|u|

dxds



t+T



Ω

∇u

|∇u|

|∇m|

dxds ≤ β



t+T



Ω

∇u

|u|

dxds



t+T



Ω

m(x)∇u

|∇u|

dxds

(3.32)

Analisando-se separadamente o primeiro termo da desigualdade (3.32)



t+T



∇u

|u|

dxds = (β C

)



t+T



∇u

|u|

dxds

(3.33)

Do fato de que a energia ´e decrescente tem-se que

∇u

≤

β C

E(0).

(3.34)

Colocando-se a estimativa (3.34) na desigualdade (3.33) obt´em-se,



t+T



∇u

|u|

dxds ≤ 4E(0)β C



t+T



|u|

dxds

≤ C



t+T



Ω

|u|

dxds

(3.35)

Colocando-se a estimativa (3.35) em (3.32) tem-se,



t+T



Ω

∇u

u∇u · ∇m dxds ≤ C



t+T



Ω

|u|

dxds



t+T



Ω

m(x)∇u

|∇u|

dxds

(3.36)

Para a integral



t+T



γ u

∇u

· ∇m dx de (3.25) tem-se a seguinte estimativa



t+T



γ u

∇u

· ∇m dx ≤



t+T



γ |u

||∇u

||∇m| dx



t+T



√

m |u

||∇u

|∇m|

√

dx ≤ C



t+T



||∇u

| dx

≤ C



t+T



Ω

|∇u

dx.

(3.37)

Colocando-se as estimativas (3.29), (3.36) e (3.37) em (3.25) obt´em-se



t+T



Ω



u  u  m + 2  u∇u · ∇m + β∇u

u∇u · ∇m



dxds



t+T



Ω

γ u

∇u

· ∇m dxds ≤ C



t+T







|u|

|  u|







|  u|







m|∇u|





Ω

|∇u



ds.

(3.38)

Colocando-se as estimativas (3.21)-(3.24) e (3.38) na identidade (3.8) obt´em-se



t+T



Ω

m(x)



γ|∇u

+ |  u|

+ β∇u

|∇u|



dxds ≤ C



E(t + T )+

E(t) +



t+T



¯ω∩

Ω



|u|

+ |u

+ |∇u|

+ |∇u

+ ρ |u|



dxds



(3.39)

Notando que ¯ω ∩

Ω ⊂ ω e m ≡ 1 em ω ent˜ao



t+T



¯ω∩

Ω



γ|∇u

+ |  u|

+ β∇u

|∇u|



dxds ≤ C



E(t + T )+

E(t) +



t+T





|u|

+ |u

+ |∇u|

+ |∇u

+ ρ |u|



dxds



(3.40)

A estimativa dada no lema (3.5) est´a demonstrada.

Lema 3.6 Exist e um n´umero T > 0 ﬁxo tal que a energia E = E(t) associada a solu¸c˜ao

u = u(x, t) do problema (2.1) satisfaz a seguinte desigualdade:

E(t) ≤ C



E(t) − E(t + T ) +



t+T



Ω

|ρ(x, u



|u| + |∇u|



dxds



t+T



dxds +



t+T



Ω



|u|

+ |∇u|

+ |∇u



dxds



, ∀t > 0

com C uma constante positiva.

Demonstra¸c˜ao:

Fixando-se um n´umero positivo λ satisfazendo

λn

− 1 > 0. Multiplicando-se (3.10) por

λ, e depois somando-se com (3.7).



λn

− 1





t+T



Ω

dxds +



1 −

λn

+ 2λ





t+T



Ω

|  u|

dxds



1 + λ



1 −





t+T

β∇u

ds +



t+T



Ω

γ|∇u

dxds



t+T



(x − x

) · η|  u|

dΓds + (2 + λ)



t+T



Ω

γ|∇u

dxds

−



t+T



Ω

ρ(x, u

)[u + λ(x − x

) · ∇u] dxds

−





Ω

[u + λ(x − x

) · ∇u] dx



t+T

− (1 + λ)





Ω

γ∇u

· ∇u dx



t+T

−λ

n,n



i,j=1



t+T



Ω

γ(x

− x

dxds.

(3.41)

A ´ultima integral da desigualdade acima ser´a estimada como,



Ω

− x

dx ≤ M



Ω

|dx

≤ M



Ω



|D





dx ≤ M



  u



∇u





sendo que M = sup

x∈

Ω

|x−x

| e  > 0. Colocando-se a estimativa acima em (3.41) e tomando-

se C > 0, tal que

= min



λn

− 1





1 −

λn

+ 2λ − 2nM





1 + λ



1 −



obt´em-se



t+T

E(s) ds ≤ C

[E(t) + E(t + T )] +



Ω



t+T

ρ[λM|∇u| + |u|] dxds



t+T



Γ(x

)

(x − x

) · η|  u|

dΓds +



t+T



Γ\Γ(x

)

(x − x

) · η|  u|

dΓds

+(2 + λ)



t+T



Ω

γ|∇u

dxds +

2nM



λγ



t+T



Ω

|∇u

dxds

Do fato de que (x−x

)·η ≤ 0 em Γ\Γ(x

) e tomando-se C

= max



λM, (2+λ),

2nM





tem-se que



t+T

E(s) ds ≤ C



E(t) + E(t + T ) +



Ω



t+T

ρ[|∇u| + |u|] dxds



t+T



Γ(x

)

(x − x

) · η|  u|

dΓds +



t+T



Ω

|∇u

dxds



(3.43)

Colocando-se a estimativa para integral de fronteira dada no lema (3.5) na desigualdade

(3.43) obt´em-se



t+T

E(s)ds ≤



E(t + T ) + E(t) +



t+T



Ω



|u| + |∇u|



ρ dxds



t+T



dxds +



t+T



Ω



|u|

+ |∇u|

+ |∇u



dxds



(3.44)

Como a energia do sistema apresenta decaimento tem-se que

E(t + T )T ≤



t+T

E(s)ds.

(3.45)

Tomando-se T ≥ 2

+ 1 e colocando-se na desigualdade (3.45) tem-se que

E(t + T )



+ 1



≤



t+T

E(s)ds.

(3.46)

Colocando-se as estimativas (3.46) na desigualdade (3.44) obt´em-se

E(t) ≤ C



E(t) − E(t + T ) +



t+T



Ω

|ρ(x, u



|u| + |∇u|



dxds



t+T



dxds +



t+T



Ω



|u|

+ |∇u|

+ |∇u



dxds



O lema 3.6 est´a demonstrado.

Lema 3.7 Seja u = u(x, t) solu¸c˜ao de (2.1) e ∆E deﬁnido por ∆E ≡ E(t) − E(t + T ).

Ent˜ao para T > 0 dado no lema 3.4 e ρ = ρ(x, u

) satisfazendo (2.2), tem-se que



t+T



Ω

|ρ(x, u

)|[ |∇u| + |u|]dxds ≤ C (∆E)

r+2



E(t)

+C (∆E)

p+1

p+2

E(t)

4+p(n+2)

8(p+2)

(3.47)

para o caso r ≥ 0, 0 ≤ p ≤

n − 2

e n ≥ 3. Se n = 2, a estimativa expressa na equa¸c˜ao

(3.47) serve para o caso r ≥ 0 e p ≥ 0.



t+T



Ω

|ρ(x, u

)|[ |∇u| + |u|]dxds ≤ C (∆E)

r+2



E(t)

+C (∆E)

4+(2−n)p



E(t)

(3.48)

para o caso r ≥ 0, −1 < p < 0 e n ≥ 2.



t+T



Ω

|ρ(x, u

)|[ |∇u| + |u|]dxds ≤ C (∆E)

r+1

r+2



E(t)

+C (∆E)

p+1

p+2

E(t)

4−p(n−2)

4+(p+2)

(3.49)

para o caso −1 < r < 0, 0 ≤ p ≤

n − 2

e n ≥ 3. Se n = 2, a estimativa expressa na

equa¸c˜ao (3.49) ´e v´alida para o caso −1 < r < 0, p ≥ 0.



t+T



Ω

|ρ(x, u

)|[ |∇u| + |u|]dxds ≤ C (∆E)

r+1

r+2



E(t)

+C (∆E)

4+p(2−n)



E(t),

(3.50)

para o caso −1 < r < 0, −1 < p < 0 e n ≥ 2, com C uma constante positiva. Para n = 1

as estimativas acima s˜ao as mesmas que no caso n = 2.

Demonstra¸c˜ao:

Das hip´oteses de crescimento da fun¸c˜ao ρ, tem-se



t+T



Ω

|ρ(x, u

)|(|∇u| + |u|)dxds ≤



t+T



Ω

a(x)



r+1

+ |u



|∇u| + |u|



dxds



t+T



Ω

a(x)



p+1

+ |u



|∇u| + |u|



dxds = I

+ I

(3.51)

Para demonstrar o resultado desse lema s˜ao realizadas estimativas das integrais I

e I

baseadas nas hip´oteses de crescimento da fun¸c˜ao ρ.

Caso I: Estimativa de I

para r ≥ 0 e n ≥ 2.

Do fato de que u ∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω) ∩ H

(Ω)) e u

∈ L

∞

(0, T ; H

(Ω)) pode-se utilizar as

desigualdades de H¨older e Poincar´e obtendo-se

≤ ||

√

a||

∞

(Ω)



t+T



Ω



a(x)|u

|(|∇u| + |u|)dxds

≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

dxds







t+T



Ω

(|∇u| + |u|)

dxds



≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

dxds







t+T

E(s)ds



≤ C

√





t+T



Ω

a(x)|u

dxds





E(t)

Utilizando-se a desigualdade de H¨older com

r+2

= 1 na primeira integral da

desigualdade acima tem-se



t+T



Ω

a(x)|u

dxds ≤





t+T



Ω

|a(x)u

r+2

dxds



r+2



T |Ω|



2(r+2)

(3.53)

Observando que

|a(x)u

r+2

= |a(x)|

r+2

≤ a

∞

(Ω)

|a(x)||u

r+2

Colocando-se (3.53) em tem-se





t+T



Ω

a|u

dxds



≤



T |Ω|a

∞

(Ω)



2(r+2)





t+T



Ω

a|u

r+2

dxds



r+2

Com a desigualdade acima pode-se estimar a integral I

≤ C

√



T |Ω|a

∞

(Ω)



2(r+2)





t+T



Ω

|a(x)||u

r+2

dxds



r+2



E(t)

≤

r+2

√



T |Ω|a

∞

(Ω)



2(r+2)





t+T



Ω

|a(x)||u

r+1

|dxds



r+2



E(t)

≤ C





t+T



Ω

ρ(x, u

)|u

|dxds



r+2



E(t) ≤ C[E(t) − E(t + T )]

r+2



E(t)

= C(∆E)

r+2



E(t),

notando que a constante positiva C depende de T , |Ω|, r e a

∞

(Ω)

Caso II: Estimativa de I

para −1 < r < 0 e n ≥ 2.

Para estimar a integral I

utiliza-se, inicialmente, a desigualdade de H¨older com

r+1

r+2

= 1

≤ C



t+T



Ω

a(x)|u

r+1

[ |∇u| + |u|]dxds

≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

r+2

dxds



r+1

r+2





t+T



Ω

[|u| + |∇u|]

r+2

dxds



r+2

≤ C





t+T



Ω

ρ(x, u

dxds



r+1

r+2





t+T



Ω

[|u| + |∇u|]

dxds



(3.57)

Utilizando-se a desigualdade de H¨older com

r+2

(−r)

= 1 e a desigualdade de Poincar´e

para a segunda integral da estimativa expressa em (3.57) tem-se





t+T



Ω

[|u| + |∇u|]

r+2

dxds



r+2

≤ |Ω|

−r





t+T



Ω

[|u| + |∇u|]

dxds



≤ 2C|Ω|

−r





t+T



Ω

|∆u|

dxds



≤ 2C|Ω|

−r



E(t).

Colocando-se a estimativa acima na desiguadade expressa em (3.57) obt´em-se

≤ 2C|Ω|

−r





t+T



Ω

ρ(x, u

dxds



r+1

r+2



E(t) = C(∆E)

r+1

r+2



E(t),

com C > 0 dependendo de r, ||a||

∞

(Ω)

, |Ω| e T .

Caso III.a: Estimativa de I

para 0 ≤ p ≤

n − 2

e n ≥ 3.

Observando-se que

p+2

p+1

p+2

= 1

≤ 2 c



t+T



Ω

a(x)|u

p+1

(|∇u| + |u|)dxds

≤ 2c





t+T



Ω

|a(x)u

p+1

p+2

p+1

dxds



p+1

p+2





t+T



Ω

(|∇u| + |u|)

p+2

dxds



p+2

≤ 2c





t+T



Ω

|a(x)|

p+2

p+1

p+2

dxds



p+1

p+2





t+T



Ω

(|∇u| + |u|)

p+2

dxds



p+2

(3.60)

Das propriedades da fun¸c˜ao a = a(x) tem-se que

|a(x)|

p+2

p+1

= |a(x)||a(x)|

p+1

≤ |a(x)|a

p+1

∞

(Ω)

(3.61)

Notando que |∇u|, |u| ≥ 0 tem-se que,

(|∇u| + |u|)

p+2

≤ 2

p+2

(|∇u|

p+2

+ |u|

p+2

)

(3.62)

Colocando-se as estimativas expressas em (3.62) e (3.61) em (3.60), chega-se

≤ 2c

a

p+2

∞

(Ω)





t+T



Ω

|a(x)||u

p+2

dxds



p+1

p+2





t+T



Ω



|∇u|

p+2

+ |u|

p+2



dxds



p+2

Utilizando-se a desigualdade de Poincar´e em W

1,p+2

(Ω) na estimativa anterior obt´em-se,

≤ C





t+T



Ω

|a(x)||u

p+2

dxds



p+1

p+2





t+T



Ω

|∇u|

p+2

dxds



p+2

com C uma constante positiva dependendo de p , |Ω|, a

∞

(Ω)

e c

. Usando-se Gagliardo-

Nirenberg e a desigualdade de Poincar´e obt´em-se

||∇u(t)||

p+2

(Ω)

≤ C ||∇u(t)||

(Ω)

||∇u(t)||

1−θ

(Ω)

≤ C ||u(t)||

(Ω)∩H

(Ω)

||∇u(t)||

1−θ

(Ω)

≤ C ||∆u(t)||

(Ω)

||∇u(t)||

1−θ

(Ω)

≤ C E(t)

E(t)

1−θ

≤ C E(t)

E(0)

1−θ

E(t)

1−θ

= C E(t)

1+θ

a constante C > 0 depende de E(0) e θ sendo que θ =

2(p + 2)

. Ent˜ao de (2.2)(iii) e da

desigualdade acima obt´em-se a seguinte estimativa para (3.60)

≤ C





t+T



Ω

ρ(x, u

dxds



p+1

p+2

||∇u(t)||

p+2

(Ω)

≤ C (∆E)

p+1

p+2

E(t)

4+p(n+2)

8(p+2)

Caso III.b: Estimativa de I

para p ≥ 0 e n = 2.

Observando que ∇u ∈ H

(Ω) → L

(Ω), ∀q ≥ 1, das desigualdades de H¨older e Poincar´e

em W

p+2

(Ω) tem-se que,

≤ c



t+T



Ω

a(x)[ |u

p+1

+ |u

|](|∇u| + |u|)dxds

≤ 2c



t+T



Ω

a(x)|u

p+1

(|∇u| + |u|)dxds

≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

p+2

dxds



p+1

p+2





t+T



Ω

[ |∇u| + |u|]

p+2

dxds



p+2

≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

p+2

dxds



p+1

p+2





t+T



Ω

|∇u|

p+2

dxds



p+2

≤ C





t+T



Ω

ρ(x, u

dxds



p+1

p+2





t+T



Ω

|∇u|

p+2

dxds



p+2

Do lema de Gagliardo-Nirenberg com θ =

p + 2

tem-se

||∇u(s)||

p+2

(Ω)

≤ ||∇u(s)||

||∇u(s)||

1−θ

≤ C ||∆u(s)||

E(t)

1−θ

≤ C E(t)

E(0)

1−θ

E(t)

1−θ

= C E(t)

p+1

2(p+2)

, ∀s ∈ [t, t + T ].

Consequentemente

≤ C





t+T



Ω

ρ(x, u

dxds



p+1

p+2

E(t)

p+1

2(p+2)

≤ C(∆E)

p+1

p+2

E(t)

p+1

2(p+2)

com C uma constante positiva dependendo de p, a

∞

(Ω)

e E(0).

Caso IV.a: Estimativa de I

para −1 < p < 0 e n ≥ 3.

Novamente, utilizando-se as desigualdades de H¨older e Poincar´e obt´em-se

≤ c



t+T



Ω

a(x)[ |u

p+1

+ |u

|](|∇u| + |u|)dxds

≤ 2c



t+T



Ω

a(x)|u

|(|∇u| + |u|)dxds

≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

dxds







t+T



Ω

|∇u|

dxds



≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

dxds



√



E(t)

≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

λ l



dxds



2 l







t+T



Ω

(2−λ)l

dxds



2 l



E(t).

sendo l



conjugado de l. Escolhendo λ =

4(p + 2)

4 + p(2 − n)

e l =

(n − 2)(2 − λ)

, obt´em- se



p + 2

≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

p+2



4+p(2−n)





t+T



Ω

n−2

dxds



p(2−n)

2(4+p(2−n))



E(t)

≤ C





t+T



Ω

ρ(x, u

dxds



4+p(2−n)





t+T



Ω

n−2

dxds



p(2−n)

2(4+p(2−n))



E(t).

Observando-se que u

(s) ∈ H

(Ω) → L

n−2

(Ω), ∀s ∈ [t, t + T ] a segunda integral da

desigualdade acima pode ser estimada da seguinte forma,

u

(s)

n−2

(Ω)

≤ C u

(s)

(Ω)

≤ 2C



E(t) ≤ 2C



E(0) ≤ C, ∀s ∈ [t, t + T ].

Com as ´utlimas desigualdades obt´em-se a seguinte estimativa para I

≤ C (∆E)

4+p(2−n)



E(t).

com C > 0 dependendo de E(0), c

, T , n, p e a

∞

(Ω)

Caso IV.b: Estimativa de I

para −1 < p < 0 e n = 2. Das desiguldades de H¨older e

Poincar´e, tem-se

≤ c



t+T



Ω

a(x)[ |u

p+2

+ |u

|](|∇u| + |u|)dxds

≤ C



t+T



Ω

a(x)|u

|(|∇u| + |u|)dxds

≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

dxds







t+T



Ω

|∇u|

dxds



≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

dxds





E(t)

≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

p+2

dxds







t+T



Ω

2−p

dxds





E(t)

≤ C





t+T



Ω

ρ(x, u

dxds





E(t) ≤ C(∆E)



E(t),

com C uma constante positiva e dependendo de E(0), c

, T , p e a

∞

(Ω)

. Para obter essa

estimativa foram utilizadas as hip´oteses de crescimento da fun¸c˜ao ρ = ρ(x, u

) dada em

(2.2).(iii), a propriedade de decaimento da energia do sistema dada em (3.2) e o fato de

que u

∈ L

∞

(0, ∞; H

(Ω)) → L

∞

(0, ∞; L

(Ω)), ∀q ≥ 1 e n = 2. O caso n = 1 ´e obtido

naturalmente da imers˜ao de Sobolev L

∞

(0, ∞; H

(Ω)) → L

∞

(0, ∞; Ω) as estimativas

obtidas s˜ao as mesmas que para o caso n = 2.

A demonstra¸c˜ao do lema 3.7 ´e obtida combinando-se, para cada caso, as estima-

tivas acima obtidas para I

e I

com a desigualdade (3.51).

Combinando-se os lemas 3.6 e 3.7 com a desigualdade de Young obt´em-se o

seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 3.1 : Seja u = u(x, t) solu¸c˜ao de (2.1) e ∆E dado por ∆E ≡ E(t) −E(t +

T ). Para T > 0 dado no lema 3.4 e ρ = ρ(x, u

) satisfazendo (2.2) ent˜ao a energia

associada com (2.1) satisfaz

E(t) ≤ C



(t)



t+T



dxds



t+T



Ω



|u| + |∇u|

+ |∇u



dxds



(3.74)

com i ∈ {1, 2, 3, 4}, com

(t)

= ∆E + (∆E)

r+2

+ (∆E)

8(p+1)

12+p(6−n)

(3.75)

se r ≥ 0 e 0 ≤ p ≤

n − 2

( 0 ≤ p < ∞ se n = 2 ),

(t)

= ∆E + (∆E)

3(r+2)

+ (∆E)

12+3p(2−n)

(3.76)

se r ≥ 0 e −1 ≤ p < 0 ,

(t)

= ∆E + (∆E)

2(r+1)

r+2

+ (∆E)

8(p+1)

12+p(6−n)

(3.77)

se −1 < r < 0 e 0 ≤ p ≤

n − 2

(0 ≤ p < ∞ se n = 2),

(t)

= ∆E + (∆E)

2(r+1)

r+2

+ (∆E)

12+3p(2−n)

(3.78)

se −1 < r < 0, −1 < p < 0 e n ≥ 2.

Para o caso n = 1 as estimativas acima s˜ao as mesmas que para o caso n = 2.

Demonstra¸c˜ao:

Para r ≥ 0 e 0 ≤ p ≤

n − 2

( 0 ≤ p < ∞ se n = 2 ) tem-se do lema 3.7 a seguinte

estimativa,



t+T



Ω

|ρ(x, u

)|[ |∇u| + |u|]dxds ≤ C (∆E)

r+1

r+2



E(t)

+C (∆E)

p+1

p+2

E(t)

4+p(n+2)

8(p+2)

(3.79)

Da desigualdade de Young tem-se que

C (∆E)

r+2



E(t) ≤ C (∆E)

r+2

E(t)

C (∆E)

p+1

p+2

E(t)

4+p(n+2)

8(p+2)

≤ C (∆E)

8(p+2)

12+p(6−n)

E(t)

(3.80)

Colocando-se na desigualdade (3.79) as estimativas apresentadas em (3.80), obt´em-se



t+T



Ω

|ρ(x, u

)|[ |∇u| + |u|]dxds ≤ C (∆E)

r+2

+ C (∆E)

8(p+2)

12+p(6−n)

E(t)

(3.81)

Usando-se a estimativa dada em (3.81) na desigualdade apresentada no lema 3.6 obt´em-se

E(t) ≤ C



∆E + (∆E)

r+2

+ (∆E)

8(p+2)

12+p(6−n)



t+T



dxds +



t+T



Ω



|u|

+ |∇u|

+ |∇u



dxds



(3.82)

Da estimativa (3.82) conclui-se que (3.74) ´e valida com

(t)

= ∆E + (∆E)

r+2

+ (∆E)

8(p+2)

12+p(6−n)

Para o caso r ≥ 0 e −1 ≤ p < 0 do lema 3.7 tem-se



t+T



Ω

|ρ(x, u

)|[ |∇u| + |u|]dxds ≤ C (∆E)

r+2



E(t)

+C (∆E)

4+(2−n)p



E(t).

(3.84)

De forma an´aloga ao que foi realizado no caso anterior, pode-se estimar cada uma das

parcelas da equa¸c ˜ao (3.84) atrav´es da desigualdade de Young

C (∆E)

r+2



E(t) ≤ C (∆E)

r+2

E(t)

C (∆E)

4+(2−n)p



E(t) ≤ C (∆E)

4+(2−n)p

E(t)

(3.85)

Colocando-se as estimativas dadas em (3.85) na desigualdade (3.84) obt´em-se



t+T



Ω

|ρ(x, u

)|[ |∇u| + |u|]dxds ≤ C (∆E)

r+2

+ C (∆E)

4+(2−n)p

E(t)

(3.86)

Usando-se a estimativa dada em (3.86) na desigualdade apresentada no lema 3.6 obt´em-se

E(t) ≤ C



∆E + (∆E)

r+2

+ (∆E)

4+(2−n)p



t+T



dxds +



t+T



Ω



|u|

+ |∇u|

+ |∇u



dxds



(3.87)

Da estimativa (3.87) conclui-se que (3.74) ´e valida com

(t)

= ∆E + (∆E)

r+2

+ (∆E)

4+(2−n)p

(3.88)

Para os casos −1 < r < 0 e 0 ≤ p ≤

n − 2

(0 ≤ p < ∞ se n = 2) e −1 < r < 0,

−1 ≤ p ≤ 0 e n ≥ 2 a t´ecnica utilizada ´e a mesma dos casos anteriores. Isto ﬁnaliza a

demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 3.1.

Proposi¸c˜ao 3.2 Supor que x

∈ int(

Ω) e que γ = 0 ou β = 0. Ent˜ao existe uma

constante C > 0, tal que



t+T



Ω

[ |u|

+ |∇u|

+ |∇u

]dxds

≤ C



(t)



t+T



dxds



(3.89)

sendo u = u(x, t) solu¸c˜ao de (2.1) para dados iniciais u

e u

satisfazendo E(0) ≤ R,

R > 0 ﬁxado, com C = C(R) e D

= D

(t) deﬁnido na proposi¸c˜ao 3.1.

Demonstra¸c˜ao:

Fazemos a demostra¸c˜ao por contradi¸c˜ao. Supomos que (3.89) n˜ao ´e v´alida. Ent˜ao existe

uma seq¨uˆencia (t

)

n≥1

⊂ R e uma seq¨uˆencia de solu¸c˜oes (u

)

n≥1

com dado inicial u

, u

tal que

lim

m→∞



Ω



+ |∇u

m, t

+ |∇u

m, tt



dxds

)



m, t

dxds

= ∞, (3.90)

com u

m, t

∂u

∂t

e u

m, tt

∂

∂t

Seja



Ω

[ |u

+ |∇u

m, t

+ |∇u

m, tt

]dxds (3.91)

)



)



m, t

dxds



. (3.92)

Ent˜ao, de (3.90) tem-se

)

−→ 0, quando m → ∞. (3.93)

Fazendo-se v

(x, t) =

(x, t + t

)

, 0 ≤ t ≤ T , segue que

1 =



Ω



(x, s)|

+ |∇u

(x, s)|

+ |∇u

m, t

+ |∇u

m, tt



dxds



Ω



(x, t + t

+ |∇u

(x, t + t

+ |∇u

m, t

+ |∇u

m, tt



dxdt



Ω



(x, t)|

+ |∇v

(x, t)|

+ |∇v

m, t

(x, t)|

+ |∇v

m, tt

(x, t)|



dxdt,

isto ´e



Ω



(x, t)|

+ |∇v

(x, t)|

+ |∇v

m, t

(x, t)|

+ |∇v

m, tt

(x, t)|



dxdt = 1, (3.95)

para todo n ∈ N. Por outro lado, da proposi¸c˜ao 3.1 e do fato de que a energia ´e uma

fun¸c˜ao decrescente tem-se que

(t)) = E



(t + t

)



(t + t

)) ≤

E(u

(t + t

))

≤

E(u

)) ≤



)



m, t

dxds



Ω



+ |∇u

m, t

+ |∇u

m, tt



dxds



= CI

)



Ω



+ |∇u

m, t

+ |∇u

m, tt



dxds

= C I

)

+ C



Ω



+ |∇v

m, t

+ |∇v

m, tt



dxds = C



)

+ 1



onde denotamos por E

(t) a parcela da energia que permanece ap´os tomar β = 0. A

estimativa acima juntamente com (3.93) mostra que

(t)) ≤ C

∀ 0 ≤ t ≤ T e n ∈ N, com C uma constante positiva independente de m e t. Conse-

quentemente,

||v

m, t

(t)|| ≤ C, ||∇v

m, t

(t)|| ≤ C, e ||∆v

(t)|| ≤ C. (3.97)

Da desigualdade de Poincar´e obt´em-se

||v

(t)||



Ω

(x, t)|

dx =



Ω

(x, t + t

≤ C



Ω

|∇u

(x, t + t

dx = C



Ω

|∇v

(x, t)|

dx ≤ C,

(3.98)

para todo t ∈ [0, T ] e m ∈ N, com C uma constante positiva independente de m e t.

Combinando as estimativas anteriores consegue-se deduzir que

)

m∈N

´e limitada em W

1,∞

([0, T ], L

(Ω)) ∩ L

∞

([0, T ], H

(Ω)). (3.99)

Nessa etapa ser´a passado limite em (v

)

m∈N

para aplicar o princ´ıpio da continua¸c˜ao ´unica

para a equa¸c˜ao de placas, para os casos γ = 0 ou β = 0. Entretanto deve-se mostrar o

seguinte:

lim

m→∞

ρ(x, u

m, t

(t + t

)) = 0 em L

([0, T ] × Ω). (3.100)

Usando-se a deﬁni¸c˜ao de Ω

e Ω

dada em (2.23), tem-se que



Ω

|ρ(x, u

m, t

(x, t + t

))|dxdt =



Ω

|ρ(x, u

m, t

)|dxds

≤



Ω

a(x)[ |u

m, t

r+1

+ |u

m, t

|] dxds



Ω

a(x)[ |u

m, t

p+1

+ |u

m, t

|] dxds.

(3.101)

A demonstra¸c˜ao de (3.100) ´e dividida em quatro casos:

Caso I: 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ p ≤

n − 2

se n > 2 e 0 ≤ p < ∞ se n = 1, 2.

Fazendo-se estimativas sobre (3.101) de forma an´aloga ao que foi realizado no lema 3.7,

obtem-se que



Ω

|ρ(x, u

m, t

)|dxdt ≤ C



[E(t

) − E(t

+ T )]

r+2

+ [E(t

) − E(t

+ T )]

p+1

p+2



Segue da deﬁni¸c˜ao de D

(t) na proposi¸c˜ao 3.1 e de (3.92) que



Ω

|ρ(x, u

m, t

)|dxdt ≤ C



) + D

)

12+p(6−n)

4(p+2)



≤ Cλ



) + λ

2(p+2)

)

12+p(6−n)

4(p+2)



(3.103)

Se n = 1, a estimativa ´e a mesma que aquela obtida para n = 2. Por outro lado uma vez

que E(0) ≤ R, E(u

(0)) ≤ R e da desigualdade de Poincar´e tem-se

≤ C





||∇u

(s)||



≤ C





||∆u

(s)||



≤ C E(u

(0)) ≤ C R.

(3.104)

Das estimativas (3.103) e (3.104), conclui-se que



Ω

|ρ(x, u

m,t

)|dxds ≤ C



)+λ

2(p+2)

)

12+p(6−n)

4(p+2)



→ 0, quando m → ∞

por (3.93). Consequentemente, (3.100) est´a demonstrada para este caso.

Caso II: 0 ≤ r < ∞, −1 < p < 0 e n ≥ 1.

Tamb´em neste caso seguindo o procedimento para provar o lema 3.7, obtem-se de (3.101)

que



Ω

|ρ(x, u

m, t

)|dxds ≤ C



[E(t

) − E(t

+ T )]

r+2

+ [E(t

) − E(t

+ T )]



≤ C



) + D

)



Da estimativa acima e de (3.93) pode-se concluir que



Ω

|ρ(x, u

m, t

)|dxds ≤ C



) +

)



≤ C



) + λ

)



→ 0, quando m → ∞

Desta forma (3.100) est´a demonstrada tamb´em para este caso.

Caso III: −1 < r < 0, 0 ≤ p ≤

n − 2

, se n > 2 ou 0 ≤ p < ∞ se n = 1, 2.

De forma an´aloga ao que foi feito para o caso anterior tem-se que



Ω

|ρ(x, u

m, t

)|dxds ≤ C



[E(t

) − E(t

+ T )]

r+1

r+2

+ [E(t

) − E(t

+ T )]

p+1

p+2



≤ C



) + D

)

12+p(6−n)

4(p+2)



Da estimativa anterior e de (3.92) obt´em-se



Ω

|ρ(x, u

m, t

)|dxds ≤ C



) +

)

12+p(6−n)

4(p+2)



≤ C



) + λ

4+p(2−n)

4(p+2)

)

12+p(6−n)

4(p+2)



→ 0, quando m → ∞,

novamente conclui-se que (3.100) ´e v´alida.

Caso IV: −1 < r < 0, −1 < p < 0 e n ≥ 1.

Novamente como foi realizado para os casos anteriores tem-se que



Ω

|ρ(x, u

m, t

)|dxds ≤ C



[ E(t

) − E(t

+ T )]

r+1

r+2

+ [ E(t

) − E(t

+ T )]



≤ C [ D

) + D

)

Da estimativa acima, de (3.92) e do fato de que λ

´e limitado tem-se que



Ω

|ρ(x, u

m, t

)|dxds → 0, quando m → ∞

Desta forma (3.100) est´a demonstrada para este caso.

Agora, usando (3.99) e o teorema de Aubin-Lions pode-se extrair um subseq¨uˆencia

de (v

)

m∈N

, a qual continuar´a sendo denotada de (v

)

m∈N

, tal que

−→ v em L

(0, T ; H

(Ω)).

Ent˜ao, passando o limite com m → ∞ em (3.95) tem-se



Ω



|v|

+ |∇v|

+ |∇v



dxdt = 1, ∀ m ∈ N.

(3.110)

De (3.92) e (3.93) obt´em-se



dxdt = 0.

De acordo com a an´alise anterior conclui-se que o limite v satisfaz:











v ∈ W

1,∞

(0, T ; L

(Ω)) ∩ L

∞

(0, T ; H

(Ω))

+ ∆

v − γ  v

− β v

 v = 0, em Ω × (0, T )

v = 0, em ∂Ω × (0, T )

∂u

∂η

= 0, em ∂Ω × (0, T )

= 0, em ω × (0, T ).

(3.111)

Ent˜ao, usando o princ´ıpio de continua¸c˜ao ´unica (v´alido para γ = 0 conforme Kim [14] e

para β = 0 segundo Gulliver et all [12]) tem-se que v ≡ 0 em Ω × (0, T ), contradizen-

do (3.90). Ent˜ao, necessariamente, o resultado da proposi¸c˜ao 3.2 expresso em (3.89) ´e

verdadeiro e a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 3.2 est´a completa.

3.5 Demonstra¸c˜ao do Teorema de Estabiliza¸c˜ao

Para provar o resultado do teorema 3.1 ´e suﬁciente considerar que u

∈ H

(Ω) ∩

(Ω), u

∈ H

(Ω). Das proposi¸c˜oes 3.1 e 3.2 tem-se

E(t) ≤ C



(t)



t+T



dxds



, (3.112)

com D

(t), i = 1, 2, 3, 4, dados na proposi¸c˜ao 3.1. Para derivar a estimativa de decaim-

mento deve-se estimar o ´ultimo termo do integrando de (3.112)



t+T



dxds ≤



t+T



Ω

a(x)|u

dxds. (3.113)

Usando-se as deﬁni¸c˜oes de Ω

e Ω

dadas (2.23) tem-se a seguinte identidade para (3.113),



t+T



Ω

a(x)|u

dxds =



t+T



Ω

a(x)|u

dxds



t+T



Ω

a(x)|u

dxds.

(3.114)

Colocando-se em (3.112) a identidade expressa em (3.114) chega-se

E(t) ≤ C



(t)



t+T



Ω

a(x)|u

dxds +



t+T



Ω

a(x)|u

dxds



, (3.115)

com D

(t), i = 1, 2, 3, 4, dados na proposi¸c˜ao 3.7. A seguir ser´a demonstrado o teorema de

estabiliza¸c˜ao, para tal ser˜ao utilizadas as hip´oteses de crescimento da fun¸c˜ao ρ = ρ(x, u

)

e o lema de Nakao.

Caso I: Seja 0 ≤ p ≤

n − 2

, n > 2 e 0 < r < ∞.

Da desiguladade de H¨older com

r+2

= 1 tem-se, para primeira integral de (3.114),



t+T



Ω

a(x)|u

dxds ≤

|Ω

a

r+2

∞

(Ω)





t+T



Ω

a(x)|u

r+2

dxds



r+2

≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

r+2

dxds



r+2

≤ C





t+T



Ω

ρ(x, s)u

dxds



r+2

= C[E(t + T ) − E(t)]

r+2

= C(∆E)

r+2

(3.116)

Para a segunda integral de (3.116) tem-se



t+T



Ω

a(x)|u

dxds ≤



t+T



Ω

a(x)|u

p+2

dxds

= C[E(t + T ) − E(t)] = C∆E.

(3.117)

Colocando-se as estimativas expressas em (3.116) e (3.117) na equa¸c˜ao (3.113) obt´em-se



t+T



dxds ≤ C[∆E + (∆E)

r+2

(3.118)

Colocando-se (3.118) em (3.115) chega-se

E(t) ≤ C[D

(t)

+ ∆E + ∆E

r+2

(3.119)

com C uma constante positiva dependendo de |Ω|, T e ||a||

∞

(Ω)

. Notando que

(t)

= C



∆E + (∆E)

r+2

+ (∆E)

8(p+1)

12+p(6−n)



resulta que

E(t) ≤ C



∆E + (∆E)

r+2

+ (∆E)

8(p+1)

12+p(6−n)



Deﬁnindo-se K

= min



r + 2

8(p + 1)

12 + p(6 − n)



e da estimativa acima tem-se que

sup

t≤s≤t+T

E(s)

≤ C∆E.

Observando-se que

> 1 →

= 1 + ξ, resolvendo-se para ξ tem-se ξ =

1 − K

Fazendo-se δ

e aplicando-se o lema de Nakao obt´em-se a prova do teorema para o

Caso I com a seguinte taxa de decaimento de energia δ

= min



8(p + 1)

4 − p(n + 2)



Caso II: r > 0 e −1 ≤ p < 0.



t+T



a(x)|u

dxds =



t+T



Ω

a(x)|u

dxds +



t+T



Ω

a(x)|u

dxds (3.123)

Para a primeira integral dada na equa¸c˜ao (3.123) pode-se obter uma estimativa utilizando-

se a desigualdade de H¨older



t+T



dxds ≤



t+T



Ω

dxds ≤



t+T



Ω

a(x)|u

dxds



t+T



Ω

a(x)|u

dxds +



t+T



Ω

a(x)|u

dxds

(3.124)

A primeira integral da estimativa expressa em (3.124)



t+T



Ω

a(x)|u

dxds ≤



t+T



Ω

a(x)|u

dxds

≤





t+T



Ω

|a(x)u

r+2

dxds



r+2





t+T



Ω

dxds



r+2

≤

|Ω|

r+2

a

r+2

∞

(Ω)





t+T



Ω

a(x)|u

r+2

dxds



r+2

≤ C





t+T



Ω

ρ(x, s)u

dxds



r+2

= C(∆E)

r+2

(3.125)

com C > 0 dependendo de |Ω|, r, a

∞

(Ω)

e c

. Para estimar a segunda integral da

equa¸c˜ao (3.124) ser´a utilizado o fato de que L

∞

(0, T ; H

(Ω)) → L

∞

(0, T ; L

(Ω)). Para

obter α ser´a utilizado res ultados de imers˜ao m = 1, p = 2 e n ≥ 3 mp = 1.2 <

3 → α =

n − 2

. Desta forma tem-se que H

(Ω) → L

n−2

(Ω) ⇒ L

∞

(0, T ; H

(Ω)) →

∞

(0, T ; L

n−2

(Ω)).



t+T



Ω

a(x)|u

dxds =



t+T



Ω

a(x)|u

2−λ

dxds

(3.126)

A desigualdade de H¨older ser´a utilizada na equa¸c˜ao (3.126), com



= 1 e fazendo-se



p+2

e l =

(2−λ)(n−2)



t+T



Ω

a(x)|u

2−λ

dxds ≤





t+T



Ω

|a(x)u



dxds









t+T



Ω

(2−λ)l

dxds



(3.127)

Observando que λl



= p + 2 a primeira integral de (3.127)





t+T



Ω

|a(x)u



dxds









t+T



Ω

|a(x)|



p+2

dxds





(3.128)

Notando que

|a(x)|



= |a(x)|

p+2

|a(x)|

≤

a

p+2

∞

(Ω)

|a(x)|.

(3.129)

Substituindo-se a estimativa expressa em (3.128) na desigualadade (3.129) tem-se





t+T



Ω

|a(x)u



dxds





≤



a

p+2

∞

(Ω)









t+T



Ω

|a(x)||u

p+2

dxds





= C





t+T



Ω

|a(x)||u

p+2

dxds





(3.130)

a constante C depende de a

∞

(Ω)

, a

, p, l



e λ. A segunda integral de (3.128) ´e estimada

observando-se que (2 − λ)l =

n−2

e utilizando-se o seguinte resultado de imers˜ao com

m.p = 1.2 < 3 ent˜ao H

(Ω

) → L

n−2

(Ω

)

u

(t)

n−2

(Ω

)

≤ C u

(t)

(Ω

)





Ω

(|u

+ |∇u

)dx



≤





Ω

(|u

+ |∇u

)dx



≤ CE(t)

≤ CE(0)

(3.131)

Integrando-se a estimativa dada em (3.131) no intervalo (t, t + T ) tem-se



t+T

u

(s)

n−2

(Ω

)

ds ≤ CT E(0)

(3.132)

A segunda integral da equa¸c˜ao (3.123) ´e estimada como



t+T



Ω

a(x)|u

dxds ≤ CT E(0)





t+T



Ω

a(x)|u

λl



dxds





(3.133)

Notando que l



p+2

e λ =

4(p+2)

4+p(2−n)

ent˜ao l



4+p(2−n)



t+T



Ω

a(x)|u

dxds ≤ CT E(0)





t+T



Ω

a(x)|u

p+2

dxds



4+p(2−n)

≤ C





t+T



Ω

ρ(x, u

dxds



4+p(2−n)

= C∆E

4+p(2−n)

(3.134)

Substituindo-se as estimativas dadas em (3.125) e (3.135) na estimativa expressa em

(3.115) obt´em-se

E(t) ≤ C



(t)

+ (∆E)

r+2

+ (∆E)

4+p(2−n)



Para r ≤ 0, −1 ≤ p ≤ 0 e n > 2 da proposi¸c˜ao 3.7 tem-se

(t)

= ∆E + (∆E)

r+2

+ (∆E)

4+p(2−n)

(3.136)

Colocando-se a equa¸c˜ao (3.136) na estimativa (3.135)

E(t) ≤ C



∆E + (∆E)

r+2

+ (∆E)

4+p(2−n)



Deﬁnindo-se K

= min



r + 2

4 + p(2 − n)



e da estimativa acima tem-se que

sup

t≤s≤t+T

E(s)

≤ C∆E.

Observando-se que

> 1 →

= 1 + ξ, resolvendo-se para ξ tem-se ξ =

1 − K

Fazendo-se δ

e aplicando-se o lema de Nakao obt´em-se a prova do teorema para o

Caso II com a seguinte taxa de decaimento de energia δ

= min



p(2 − n)



Caso III: Sejam −1 < r < 0, 0 < p <

n − 2

e 0 ≤ p < ∞ se n = 2.



t+T



dxds ≤



t+T



Ω

dxds ≤



t+T



Ω

a(x)

dxds

≤ C



t+T



Ω

a(x)|u

dxds + C



t+T



Ω

a(x)|u

dxds.

(3.139)

Avaliando-se separadamente as integrais apresentadas na desigualdade expressa em (3.139),

tem-se que 0 < r + 1 < 1 , 0 < 2(r + 1) < 2 e |u

(x, t)| < 1, ∀(x, t) ∈ Ω

× R

, tem-se

ainda que

2(r + 1)

r + 2

−r

r + 2

= 1,



t+T



Ω

a(x)|u

2(r+1 )

dxds ≤ C





t+T



Ω

|a(x)|

r+2

2(r+1)

r+2

dxds



2(r+1)

r+2

(3.140)

De forma an´aloga ao que foi realizado anteriormente estimaremos parte do integrando de

(3.140)

|a(x)|

r+2

2(r+1)

= |a(x)|

|a(x)|

2(r+1)

= |a(x)|

|a(x)|

2(r+1)



|a(x)|



≤ |a(x)|



a

2(r+1)

∞

(Ω)



(3.141)

Colocando-se a estimativa expressa em (3.141) na estimativa dada em (3.140) e usando-se

as hip´oteses de crescimento da fun¸c˜ao ρ = ρ(x, u

) expressas em (2.2)(iii) obt´em-se



t+T



Ω

a(x)|u

2(r+1 )

dxds ≤ C





t+T



Ω

a(x)|u

r+2

dxds



2(r+1)

r+2

≤ C





t+T



Ω

ρ(x, u

dxds



2(r+1)

r+2

≤ C(∆E)

2(r+1)

r+2

(3.142)

com C > 0 dependendo de a

∞

(Ω)

, c

, a

e r. A segunda integral da estimativa apre-

sentada na equa¸c˜ao (3.139)



t+T



Ω

a(x)|u

dxds ≤ C



t+T



Ω

a(x)|u

p+2

dxds



t+T



Ω

a(x)|u

p+2

dxds = C∆E

(3.143)

Colocando-se as estimativas (3.142) e (3.143) na desigualdade dada em (3.115) chega-se

E(t) ≤ C



∆E + (∆E)

2(r+1)

r+2

+ (∆E)

4(p+1)

4+p(n+2)



Deﬁnindo-se K

= min



2(r + 1)

r + 2

4(p + 1)

4 + p(n + 2)



e da estimativa acima tem-se que

sup

t≤s≤t+T

E(s)

≤ C∆E.

Observando-se que

> 1 →

= 1 + ξ, resolvendo-se para ξ tem-se ξ =

1 − K

Fazendo-se δ

e aplicando-se o lema de Nakao obt´em-se a prova do teorema para o

Caso III com a seguinte taxa de decaimento de energia δ

= min



2(r + 1)

−r

4(p + 1)

p(n − 2)



Caso IV: −1 < r < 0, −1 < p < 0 e n > 2.



t+T



dxds ≤ C dis



t+T



Ω

a(x)|u

dxds +



t+T



Ω

a(x)|u

dxds

(3.146)

Para estimar a primeira integral de (3.146) ´e importante observar que 0 < 2(r + 1) < 2 e

(x, t)| < 1, ∀(x, t) ∈ Ω

× R



t+T



Ω

a(x)|u

dxds ≤ C



t+T



Ω

a(x)|u

2(r+1 )

dxds.

(3.147)

Usando-se a desigualdade de H¨older na integral apresentada na estimativa dada em (3.147)

com

2(r + 1)

r + 2

(−r)

r + 2

= 1,



t+T



Ω

a(x)|u

dxds ≤ C





t+T



Ω

|a(x)|

r+2

2(r+1)

r+2

dxds



2(r+1)

r+2

(3.148)

Colocando-se a estimativa dada em (3.149) na integral dada em (3.149),



t+T



Ω

a(x)|u

dxds ≤ C



|Ω



−

r+2





t+T



Ω

|a(x)||u

r+2

dxds



2(r+1)

r+2

≤ C





t+T



Ω

ρ(x, u

dxds



2(r+1)

r+2

≤ C(∆E)

2(r+1)

r+2

(3.149)

A segunda integral de (3.146) ´e estimada da seguinte forma,



t+T



Ω

a(x)|u

dxds =



t+T



Ω

a(x)|u

λl



(2−λ)l

dxds.

(3.150)

Com



= 1, l



p + 2

, l =

(n − 2)(2 − λ)

e λ =

4(p + 2)

4 + p(2 − n)

e aplicando-se a

desigualdade de H¨older na identidade apresentada na equa¸c˜ao (3.150) obt´em-se,



t+T



Ω

a(x)|u

dxds ≤ C



|Ω







t+T



Ω

a(x)

p+2

dxds





≤ C





t+T



Ω

a(x)

p+2

dxds



4+p(2−n)

(3.151)

Observando que

|a(x)|

p+2

≤ |a(x)|a

p+1

∞

(Ω)

(3.152)

Colocando-se a estimativa dada em (3.152) na desigualdade (3.151)



t+T



Ω

a(x)|u

dxds ≤ C



|Ω







t+T



Ω

a(x)|u

p+2

dxds



4+p(2−n)

≤ C





t+T



Ω

ρ(x, u

dxds



4+p(2−n)

≤ C(∆E)

4+p(2−n)

(3.153)

Colocando-se as estimativas das integrais expressas em (3.139) e do lema 3.7 obt´em-se



t+T



dxds ≤ C



∆E + (∆E)

2(r+1)

r+2

+ (∆E)

4+p(2−n)



(3.154)

Colocando-se a estimativa apresentada em (3.154) na estimativa dada pela proposi¸c˜ao 3.1

E(t) ≤ C



∆E + (∆E)

2(r+1)

r+2

+ (∆E)

4+p(2−n)



Com K

= min



2(r + 1)

r + 2

4 + p(n − 2)



e usando fato de que E(t) ´e limitada obtem-se

que

sup

t≤s≤t+T

E(s)

≤ C∆E.

Observando-se que

> 1 →

= 1 + ξ, resolvendo-se para ξ tem-se ξ =

1 − K

Fazendo-se δ

e aplicando-se o lema de Nakao obt´em-se a prova do teorema para o

Caso IV com a seguinte taxa de decaimento de energia δ

= min



−r

2(r + 1)

p (n − 2)



A demonstra¸c˜ao do teorema de estabiliza¸c˜ao est´a completa.

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[24] J. E. M. Rivera, Teoria das Distribui¸c˜oes e Equa¸c˜oes Diferenciai s Parciais. Te xtos

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