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Júlio César do Espírito Santo
Estudo de uma Equação de Onda Não-linear
Dissertação apresentada ao Instituto de Biociências, Le
tras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Pau
lista, Câmpus de São José do Rio Preto, como parte dos
requisitos para obtenção do título de Mestre em Mate
mática.
Orientador: Prof. Dr. Waldemar Donizete Bastos
Co-Orientador: Prof. Dr. German Jesus Lozada-Cruz
São José do Rio Preto
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COMISSÃO JULGADORA
Titulares
Prof. Dr. Waldemar Donizete Bastos - Orientador
Prof. Dr. Carlos Alberto Raposo da Cunha
Prof. Dr. Adalberto Spezamiglio
Suplentes
Prof(a). Dr(a). Adélia Conceição Diniz
Prof. Dr. Maurilio Boaventura
À minha familia,
dedico.
Agradecimentos
“É bom lembrar que junto a mim recebem este diploma todos aqueles que
me acompanharam nesta trajetória.” Com esta frase, a alguns anos atrás numa
situação semelhante, resumi os meus agradecimentos aos que me apoiaram e,
como o sentimento agora não é muito diferente e o espaço é maior, vou reutilizá-la
detalhando-a melhor. Uma conquista como esta é algo que foi construído não só
ao longo destes dois últimos anos e por uma única pessoa. Foram muitos os
personagens que atuaram para fazer com que esse texto fosse concluído, que esse
título fosse conquistado e muito devo a estes que me ajudaram durante este longo
processo. Tal conquista é resultado de uma soma, uma série de opiniões e do
apoio dos amigos e parentes, além, é claro, da ajuda Divina! A Estes que direta
ou indiretamente auxiliaram durante a minha formação ‘básica’ no CEFET-MG,
em Belo Horizonte, minha graduação na UFOP, em Ouro Preto, o período do
mestrado no Ibilce, em São José do Rio Preto; obrigado pelo apoio e amizade.
Ao professor Dr. Waldemar Donizete Bastos, pelo apoio científico e pessoal,
pelos valiosos ‘passeios’ à trabalho na região de Rio Preto, por tão bem ter rece
bido na pós-graduação a mim e aos meus colegas - principalmente os que vieram
de fora, que ainda não estavam alojados e não conheciam bem a cidade - quando
chegamos à Rio Preto para participarmos do programa de verão em Funções Analí
ticas; pelas palavras, idéias, paciência, dedicação e amizade, fortemente agradeço.
Ao professor Dr. German Jesus Lozada-Cruz, pelas valiosas dicas de L
A
T
E
X(pelo
rico preâmbulo!), pelas dicas, correções e por ter me ouvido pacientemente por
v
bastante tempo, obrigado.
Também gostaria de registrar meu agradecimento e admiração pelos professo
res e funcionários do departamento de matemática do Ibilce pelas lições proferidas,
pelo agradável ambiente de trabalho, pelas conversas que muito acrescentaram e
pelas ‘reuniões’ sociais na Adunesp e similares; e também agradecer aos professo
res e funcionários do departamento de matemática do ICEB, em Ouro Preto, aos
quais devo muito de minha formação.
Aos amigos (fisicamente) distantes em Belo Horizonte - pessoas importantís
simas para mim; em Contagem, Ouro Preto, Mariana etc; aos amigos próximos;
meus amigos do mestrado (“pediram-me” que os explicitasse: Miriam, Gi, Mi
chele, Tati, Anderson, Francielle, Rubens, Fernanda, Cátia, Elen), obrigado pela
amizade e convivência. Às pessoas fantásticas com as quais convivi na moradia
estudantil da Unesp: ali foi um lar para mim; valeu A! Aos colegas de república,
Luiz, Marcus - amigo e companheiro de discussões matemáticas profundas ao qual
não há palavras para agradecer o que ele e a Elba fizeram por mim, ao Durval -
desejo-lhe sucesso em sua carreira e em sua vida, ao Eduardo (Canetas) - outro
que também desejo muito sucesso, à Cidinha e família, agradeço a todos por suas
contribuições.
Agradeço à minha mãe Zinha e à minha irmã Gabriela.
A Deus por tudo.
vi
Sumário
Introdução xi
Material Preliminar
. Continuidade e Completamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Os Espaços C
k
b
(Ω) e C
k
d
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. O Lema de Grönwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Existência e Unicidade para a Equação da Onda Unidimensional
. A Equação da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Algumas Ferramentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Caso Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Fórmula de D’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Estimativas de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Iterações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Caso Não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. A Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Existência Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Existência Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Não-Existência de Soluções
. A Não-Existência Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Comparação de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Um Contra Exemplo Para a Existência Global . . . . . . .
. Um Contra Exemplo Para a Existência Local . . . . . . . . . . . .
Referências Bibliográficas
vii
Lista de Figuras
. Bola B
|h|
(x) ⊂ Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Localização de
b−a
δ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Intervalo I
t
0
,t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Trapézio D
I
t
0
,t
1
quando t
0
≤ t
1
, . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Trapézio D
I
t
0
,t
1
quando t
1
≤ t
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Trapézio D
I
0,t
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Cone de Luz do Passado C(t
0
, x
0
). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
Resumo
Neste trabalho examinaremos a unicidade, existência e não-existência local e glo
bal de solução clássica para a equação da onda não-linear u
tt
− u
xx
= F (u, ∂u),
t, x ∈ R. Estudamos a comparação entre as soluções de u
tt
− u
xx
= F (u) e
w
tt
− w
xx
= G(w) a partir da comparação entre F e G.
ix
Abstract
In this work we study uniqueness, existence and non-existence of local and global
classical solutions for the nonlinear wave equation u
tt
−u
xx
= F (u, ∂u), t, x ∈ R.
We also establish some comparison results for the solutions u and w for the
equations u
tt
−u
xx
= F (u) and w
tt
−w
xx
= G(w) from the comparison of F and
G.
x
Introdução
Aos que ainda tem dúvida de que ’aventurar-se’ no estudo da matemática
é extremamente prazeroso e agradável gostaria de acrescentar que a experiência
por ela proporcionada é indescritível. O prazer da descoberta, o sabor do conheci
mento matemático, o poder da modelagem dos eventos da natureza (oscilação das
cordas dos instrumentos musicais, dinâmica dos gases, condução de calor, entre
outros), o gosto da resolução de problemas interessantes, o ensino e a pesquisa
científica. De maneira saudável, a evolução é, através de uma constante maior
que a unidade, proporcional à dedicação, e isto muito nos estimula, pois aprender
é algo que, a menos de ’exceções extremas’, só depende do estudante.
A modelagem de um problema real através da matemática é um sonho que a
humanidade vem tentando alcançar desde os tempos mais remotos. Houve casos
em que se desejava fazer com que a matemática, ainda bem restrita na época,
fosse capaz de representar todas as coisas existentes na realidade conhecida. Pi
tágoras e alguns seguidores tinham essa ambição. Infelizmente frustraram-se com
a não compreensão dos incomensuráveis irracionais e do significado de pensar
no infinito. Há certa razão em estranhar que o simples fato de colocarmos uma
calculadora de bolso ideal para somar - por exemplo - a série dos inversos dos
quadrados indefinidamente, esgotaríamos toda a energia do universo destruin
do-o. Felizmente os pitagóricos inauguraram um pensamento que persiste até
xi
xii
hoje. Já no século dezenove os matemáticos desta época herdaram do século an
terior difíceis problemas oriundos da física e, talvez, o mais fascinante deles seja o
problema relacionado aos movimentos ondulatórios. Com o desenvolvimento da
teoria das equações diferenciais tais problemas foram e tem sido incansavelmente
estudados até os dias de hoje [].
Neste trabalho estudamos as questões de unicidade, existência local e existên
cia global de solução clássica para a equação da onda não-linear
u
tt
− u
xx
= F (u, ∂u) ()
com dados iniciais e termo forçante suficientemente regulares. Estas três questões
são discutidas nos capítulos e , sendo o capítulo destinado ao estudo de alguns
conceitos básicos e a introdução dos espaços de funções adequados. O principal
resultado relativo à equação () é o Teorema . que estabelece a existência de
solução local única para () no intervalo de tempo (−
k
,
k
) onde k é um inteiro
positivo tal que
u(0, x) = f(x) ∈ C
k+1
(R),
u
t
(0, x) = g(x) ∈ C
k
(R),
com f e g tendo todas as suas derivadas decaindo no infinito. A função F é su
posta ser C
∞
e F (0, 0, 0) = 0. Ainda no capítulo examinaremos a possibilidade
do intervalo de tempo de existência da solução ser infinito (solução global) e a
questão da ilimitação da solução.
Um exemplo de não-existência local para () com dados iniciais suaves é dado
na seção . do capítulo . Os capítulos e baseiam-se fortemente em [].
xiii
O capítulo se ocupa principalmente de estabelecer comparação entre as
soluções das equações semilineares
u
tt
− u
xx
= F (u)
w
tt
− w
xx
= G(w)
a partir da comparação entre seus termos forçantes F e G.
Os resultados lá apresentados são devidos à J. B. Keller [] e constituem uma
importante ferramenta para o estudo do fenômeno de blow up. Ainda no terceiro
capítulo mostraremos que a solução de u
tt
− u
xx
= u
p
, p = 2, 3, ···, com dados
iniciais positivos torna-se infinita em tempo finito.
Capítulo
Material Preliminar
Neste capítulo iremos nos ater ao estudo de certos espaços de funções contínuas
apropriados para os nossos objetivos e ao seu completamento - uma importante
propriedade destes espaços.
. Continuidade e Completamento
Sejam (X, d) e (Y, ρ) espaços métricos, x
0
um ponto de X e f uma função
definida em X tomando valores em Y .
Dizemos que f é uma função contínua em x
0
se dado arbitrariamente > 0,
existe δ > 0 tal que ρ(f(x), f(x
0
)) < sempre que x ∈ X e d(x, x
0
) < δ. Se f
é contínua em todo ponto x
0
de X dizemos simplesmente que f é uma função
contínua.
Equivalentemente, f é contínua em x
0
∈ X se dada uma seqüência (x
n
)
+∞
n=0
⊂
X convergente para x
0
tivermos a seqüência (f(x
n
))
+∞
n=0
⊂ Y convergindo para
f(x
0
). Usaremos essa forma da definição repetidamente neste trabalho.
A seguir destacamos as definições de Seqüência de Cauchy e de Espaço Métrico
Completo.
. Continuidade e Completamento
Definição . (Seqüência de Cauchy). Seja (X, d) um espaço métrico. Uma
seqüência (x
n
)
+∞
n=0
em X é seqüência de Cauchy se dado > 0 existir um inteiro
positivo N
0
tal que para m, n ≥ N
0
temos d(x
m
, x
n
) < .
Definição . (Espaço Métrico Completo). Dizemos que um espaço métrico é
completo se toda seqüência de Cauchy converge para um elemento desse espaço.
Finalmente damos o nome de Espaço de Banach a um espaço vetorial normado
e completo com respeito à métrica definida pela norma da diferença.
Se (Y, · ) é um espaço vetorial normado, o símbolo C
b
(X, Y ) será usado
para denotar o conjunto de todas as funções contínuas e limitadas, definidas em
X tomando valores em Y .
Com as operações usuais de soma de funções e produto de uma função por
um escalar e com a norma
f
C
= sup
x∈X
f(x) ,
o conjunto C
b
(X, Y ) é um espaço vetorial normado.
Teorema .. Seja (X, d) um espaço métrico e (Y, · ) um espaço de Banach.
Então, (C
b
(X, Y ), ·
C
) é um espaço de Banach.
Demonstração. Considere (f
n
)
+∞
n=0
⊂ C
b
(X, Y ) uma seqüência de Cauchy e x
um ponto de X. Observe que (f
n
(x))
+∞
n=0
é uma seqüência de Cauchy no espaço
de Banach Y , logo f
n
(x) converge para um certo f(x), que pela unicidade do
limite é único. Isso define uma função f . Provaremos que essa função é contínua,
limitada e que f
n
converge para f na norma ·
C
.
Essa função f é limitada, pois existe um inteiro positivo N
0
tal que para
m, n ≥ N
0
,
f
n
C
− f
m
C
≤ f
n
− f
m
C
≤ 1.
. Continuidade e Completamento
Em particular, f
n
C
≤ 1+ f
N
0
C
para todo n ≥ N
0
. Além disso, como
{0, 1, 2, ··· , N
0
} é um conjunto finito, existe uma constante real C > 0 tal que
f
n
C
≤ C
para todo n ≤ N
0
e assim
f
n
C
≤ 1 + C
para todo n ∈ Z
+
.
Como f(x) = lim
n→+∞
f
n
(x) ≤ 1 + C para todo x ∈ X concluímos que f
é uma função limitada.
Provemos que f é contínua. Sejam x
0
∈ X e > 0 arbitrários. Existe N
0
∈ Z
+
tal que f
m
− f
n
C
<
3
para todos m, n ≥ N
0
. Segue então
f
m
(x) − f
n
(x) <
3
para todos m, n ≥ N
0
e todo x ∈ X. Logo
f(x) − f
N
0
(x) = lim
m→+∞
f
m
(x) − f
N
0
(x) ≤
3
para todo x ∈ X. Como f
N
0
é contínua em x
0
, existe δ > 0 tal que
f
N
0
(x) − f
N
0
(x
0
) <
3
sempre que d(x, x
0
) < δ. Assim,
f(x) − f(x
0
) ≤ f (x) − f
N
0
(x) + f
N
0
(x) − f
N
0
(x
0
) + f
N
0
(x
0
) − f(x
0
)
<
3
+
3
+
3
=
. Continuidade e Completamento
para todo x ∈ X tal que d(x, x
0
) < δ. Assim, f é contínua em todo x
0
∈ X. Logo
f ∈ C
b
(X, Y ). Temos também
f(x) − f
n
(x) <
3
para todo x ∈ X e todo n ≥ N
0
, logo f − f
n
C
<
3
para todo n ≥ N
0
, ou seja,
f
n
→ f em C
b
(X, Y ).
. Os Espaços C
k
b
(Ω) e C
k
d
(Ω)
Nesta seção introduziremos os espaços de funções adequados, de acordo com
nosso enfoque, ao estudo do Problema de Cauchy para a equação da onda não-li
near.
Chamamos um elemento α = (α
1
, α
2
, ··· , α
p
) de Z
p
+
de multi-índice e defini
mos
|α| :=
p
i=1
α
i
.
Se Ω ⊂ R
n
é um aberto e k é um inteiro positivo, definimos
C(Ω) = {f : Ω −→ R; f é contínua}
C
k
(Ω) = {f : Ω −→ R; ∂
α
f ∈ C(Ω) para todo α; |α| ≤ k}
onde
∂
α
f =
∂
|α|
f
∂
α
1
x
1
···∂
α
p
x
p
.
. Os Espaços C
k
b
(Ω) e C
k
d
(Ω)
Usaremos a seguinte notação
C
k
b
(Ω) =
f ∈ C
k
(Ω)
∂
α
f é limitada em Ω, ∀α, |α| ≤ k
e para f ∈ C
k
b
(Ω) definimos a seguinte norma
f
C
k
b
(Ω)
:=
|α|≤k
sup
x∈Ω
|∂
α
f(x)|.
Proposição .. Se Ω é um aberto de R
p
e k ∈ Z
+
, então (C
k
b
(Ω), ·
C
k
b
(Ω)
) é
espaço de Banach.
Demonstração. Não há maiores dificuldades em provar que C
k
b
(Ω) é espaço
vetorial normado. Portanto provaremos apenas o seu o completamento.
Se k = 0 o resultado segue do Teorema .. Assuma que (C
k−1
b
(Ω), ·
C
k−1
b
(Ω)
)
seja um espaço de Banach e considere uma seqüência de Cauchy (f
n
)
+∞
n=0
em
C
k
b
(Ω); isto é, dado > 0, existe um inteiro positivo N
0
tal que se m, n ≥ N
0
temos
f
m
− f
n
C
k
b
(Ω)
=
|α|≤k
sup
x∈Ω
|∂
α
f
m
(x) − ∂
α
f
n
(x)| < .
Mas
f
m
− f
n
C
k−1
b
(Ω)
=
|α|≤k−1
sup
x∈Ω
|∂
α
f
m
(x) − ∂
α
f
n
(x)| ≤ f
m
− f
n
C
k
b
(Ω)
.
Se i = 1, ··· , p, temos para ∂
i
f
n
=
∂f
n
∂x
i
∂
i
f
m
− ∂
i
f
n
C
k−1
b
(Ω)
=
|α|≤k−1
sup
x∈Ω
|∂
α
∂
i
f
m
(x) − ∂
α
∂
i
f
n
(x)| ≤ f
m
− f
n
C
k
b
(Ω)
mostrando que (f
n
)
+∞
n=0
e (∂
i
f
n
)
+∞
n=0
são seqüências de Cauchy em C
k−1
b
(Ω). Da
. Os Espaços C
k
b
(Ω) e C
k
d
(Ω)
hipótese de indução, existem funções f, g
i
∈ C
k−1
b
(Ω) para i = 1, 2, ··· , p tais que
f
n
→ f e ∂
i
f
n
→ g
i
na norma C
k−1
b
(Ω). Queremos provar que f ∈ C
k
b
(Ω) e que
f
n
→ f em C
k
b
(Ω). Seja x ∈ X e h ∈ R
p
tais que B
|h|
(x) ⊂ Ω.
B
h
||
(x)
Figura .: Bola B
|h|
(x) ⊂ Ω
Temos
f(x + h) − f(x) = lim
n→+∞
f
n
(x + h) − f
n
(x)
= lim
n→+∞
1
0
∂
t
(f
n
(x + th))dt
= lim
n→+∞
1
0
p
i=1
∂f
n
∂x
i
(x + th) · h
i
dt
=
1
0
p
i=1
g
i
(x + th) · h
i
dt
e assim, fazendo h
j
= 0 para todo i = j e h
i
= h temos
∂f
∂x
i
(x) = lim
|h|→0
f(x
1
, x
2
, ··· , x
i
+ th, ··· , x
p
) − f(x
1
, x
2
, ··· , x
p
)
h
= lim
|h|→0
1
h
1
0
g
i
(x
1
, x
2
, ··· , x
i
+ h, ··· , x
p
)hdt
= g
i
(x).
Como g
i
∈ C
k−1
b
(Ω) temos finalmente f ∈ C
k
b
(Ω).
. Os Espaços C
k
b
(Ω) e C
k
d
(Ω)
Resta provar que f
n
→ f em C
k
b
(Ω). Com efeito, já temos
lim f
n
− f
C
k−1
b
(Ω)
= 0
e
lim ∂
i
f
n
− g
i
C
k−1
b
(Ω)
= 0
para todo i = 1, 2, ··· , p. Mas como
f
n
− f
C
k
b
(Ω)
=
|α|≤k−1
sup
x∈Ω
|∂
α
f
n
(x) − ∂
α
f(x)| +
|α|=k
sup
x∈Ω
|∂
α
f
n
(x) − ∂
α
f(x)|
= f
n
− f
C
k−1
b
(Ω)
+
p
i=1
|α|=k−1
sup
x∈Ω
|∂
α
∂
i
f
n
(x) − ∂
α
∂
i
f(x)|
≤ f
n
− f
C
k−1
b
(Ω)
+
p
i=1
∂
i
f
n
− g
i
C
k−1
b
(Ω)
segue o resultado.
Seja Y = C
k
b
(R
n
) e · = ·
C
k
b
(R
n
)
. Então, pelo Teorema . o espaço
C([a, b], Y ) é um espaço de Banach. Seja F : R
n+1
−→ R uma função k vezes
continuamente diferenciável com respeito às n últimas variáveis. Considere a
aplicação α(t) := F(t, ·). Dizemos que F ∈ C((−T, +T ), Y ) para algum T > 0 se
α ∈ C((−T, +T ), Y ).
Definiremos agora uma classe de funções que nos serão úteis em se tratando
de dados iniciais do Problema de Cauchy. Veremos mais adiante um exemplo
de Problema de Cauchy onde os dados iniciais não pertencem a essa classe de
funções e isto acarreta a não-existência local de solução.
Definição .. Dizemos que uma função f ∈ C
k
b
(R
p
) tende a zero quando x tende
. Os Espaços C
k
b
(Ω) e C
k
d
(Ω)
a infinito (ou funções que decaem no infinito) se para todo multi-índice α ∈ R
p
tal que |α| ≤ k tivermos
lim
|x|→+∞
∂
α
f(x) = 0
e denotamos por C
k
d
(R
p
) o espaço de tais funções.
Proposição .. O espaço C
k
d
(R
p
) com a norma ·
C
k
b
(R
p
)
é um espaço de
Banach.
Demonstração. Seja (f
n
)
+∞
n=0
uma seqüência de Cauchy. Logo existe uma função
f em C
k
b
(R
p
) tal que f
n
→ f. Precisamos mostrar apenas que f decai no infinito.
Tome arbitrariamente > 0 e note que existe um inteiro positivo N
0
tal que
f
N
0
− f
C
k
b
(R
p
)
< /2. Como f
N
0
decai, para todo α ≤ k temos
lim
|x|→+∞
∂
α
f
N
0
(x) = 0,
isto é, existe uma constante M > 0 tal que para todo |x| ≥ M e todo multi-índice
α tal que se |α| ≤ k tem-se
|∂
α
f
N
0
(x)| < /2.
Logo
|∂
α
f(x)| ≤ |∂
α
f(x) − ∂
α
f
N
0
(x)| + |∂
α
f
N
0
(x)| <
para todo x tal que |x| ≥ M. Assim, f ∈ C
k
d
(R
p
).
. O Lema de Grönwall
Em , o sueco Thomas Hakon Grönwall provou uma notável desigualdade
que apesar de sua aparência inofensiva atraiu e continua atraindo considerável
atenção na literatura e nos será muito útil na abordagem de alguns problemas
como, por exemplo, a unicidade de solução da equação da onda não-linear. Agora
. O Lema de Grönwall
será feita uma demonstração para essa desigualdade pela qual, principalmente,
Grönwall é recordado ainda hoje. []
Lema de Grönwall. Sejam f, g : [t
0
, t
0
+ T ] −→ R funções contínuas, não-ne
gativas e T um número positivo. Se existe uma constante C ≥ 0 tal que
f(t) ≤ C +
t
t
0
g(s)f(s)ds (.)
para todo t ∈ [t
0
, t
0
+ T ], então
f(t) ≤ C exp
t
t
0
g(s)ds (.)
para todo t ∈ [t
0
, t
0
+ T ].
Demonstração. Seja > 0 e defina
h(t) := C + +
t
t
0
g(s)f(s)ds.
Como f e g são funções contínuas, a função h é continuamente diferenciável e
usando (.) juntamente com a definição de h podemos notar que
dh
dt
(t) = g(t)f(t) ≤ g(t)h(t).
A presença de nos garante que h é estritamente positiva e, assim,
1
h(t)
dh
dt
≤ g(t)
por integração fornece
ln
h(t)
h(t
0
)
= ln h(t) − ln h(t
0
) =
t
t
0
1
h(t)
dh
dt
≤
t
t
0
g(s)ds.
Capítulo
Existência e Unicidade para a Equação da
Onda Unidimensional
Na primeira parte deste capítulo estudaremos algumas propriedades das so
luções da equação da onda linear, as quais serão utilizadas na parte final para
provar existência local de solução para uma equação de onda não-linear.
. A Equação da Onda
A equação da onda não-linear considerada neste capítulo, é dada por
u
tt
− u
xx
= F (u, u
t
, u
x
) (.)
onde u
t
=
∂u
∂t
, u
tt
=
∂
2
u
∂t
2
, u
xx
=
∂
2
u
∂x
2
e F é uma função apropriada.
O estudo de (.) a ser feito aqui, segundo [] baseia-se fortemente em estima
tivas para soluções da equação linear
u
tt
− u
xx
= F (t, x). (.)
. A Equação da Onda
Assim, estudaremos inicialmente o caso linear. A fim de simplificar a escrita
usaremos a notação u = u
tt
− u
xx
. Algumas Ferramentas
A proposição abaixo nos será útil no manuseio da fórmula explícita da solução
de (.); a conhecida fórmula de D’Alambert.
Proposição .. Seja f uma função em C
d
(R) e defina ψ
±
(t, x) = f (x ± t).
Então, ψ
±
∈ C(R, C
d
(R)); isto é,
Ψ
±
: R −→ C
d
(R)
t −→ Ψ
±
(t, ·)
é contínua.
Demonstração. Faremos a demonstração para ψ
+
dividindo a reta em duas par
tes. Uma parte onde |f(x)| é pequeno e outra onde f é uniformemente contínua.
Para ψ
−
o raciocínio é similar.
Fixe t ∈ R e seja (t
k
)
∞
k=0
uma seqüência real convergindo para t. Seja > 0
arbitrário. Como f ∈ C
d
(R), existe M > 0 tal que se |x| ≥ M temos |f(x)| < /2.
Seja I = [−M −2, M +2]. Como I é compacto f é uniformemente contínua em I.
Então, existe δ > 0, δ < 1 tal que se x, y ∈ I e |x−y| < δ temos |f(x)−f (y)| < .
Para este δ > 0 existe um inteiro positivo N
0
tal que k ≥ N
0
teremos |t
k
−t| < δ.
Seja k ≥ N
0
. Consideremos os casos.
◦
Caso: Onde |x + t| ≤ M + 1.
Aqui temos x + t
k
∈ I, pois |x + t
k
| ≤ |x + t| + |t − t
k
| ≤ M + 2. Usando a
continuidade uniforme da função f concluímos que
. Algumas Ferramentas
|ψ
+
(t
k
, x) − ψ
+
(t, x)| = |f(t
k
+ x) − f(t + x)| < ;
◦
Caso:Onde |x + t| ≥ M + 1.
Aqui temos |x + t
k
| ≥ M. Usando o decaimento da função f concluímos que
|ψ
+
(t
k
, x) − ψ
+
(t, x)| = |f(t
k
+ x)| + |f(t + x)| < /2 + /2.
Desse modo foi provado que fixando arbitrariamente > 0 existe N
0
∈ Z
+
tal
que k ≥ N
0
|ψ
+
(t
k
, x) − ψ
+
(t, x)| <
para todo x real. Assim,
sup
x∈R
|ψ
+
(t
k
, x) − ψ
+
(t, x)| = ψ
+
(t
k
, x) − ψ
+
(t, x)
C
b
(R)
< .
Ou melhor dizendo,
lim
k→∞
ψ
+
(t
k
, x) − ψ
+
(t, x)
C
b
(R)
= 0
e finalmente ψ
+
∈ C(R, C
b
(R)).
Corolário .. Se f ∈ C
k
d
(R) e ψ
±
(t, x) = f(x ± t), então ψ
±
∈ C(R, C
k
d
(R)).
Demonstração. Vamos fazer um esboço da demonstração no caso k = 1. Para
provar que ψ
±
∈ C(R, C
1
d
(R)) precisamos mostrar que a aplicação t → ψ
±
(t, ·) é
contínua, isto é, sendo (t
j
)
+∞
j=0
uma seqüência que converge para um certo real t,
provar que
lim
j→+∞
ψ
±
(t
j
, ·) − ψ
±
(t, ·)
C
1
b
(R)
= 0.
. Algumas Ferramentas
Em seguida precisamos mostrar que ψ
±
(t, ·) ∈ C
1
d
(R).
De fato, f
∈ C
d
(R) e, da Proposição ., a função Φ
1
±
definida por Φ
1
±
(t, x) =
f
(x ± t) está em C(R, C
d
(R)). Disto
lim
j→+∞
Φ
1
±
(t
j
, ·) − Φ
1
±
(t, ·)
C
b
(R)
= 0.
Como f ∈ C
d
(R), de maneira análoga obtemos que
lim
j→+∞
ψ
±
(t
j
, ·) − ψ
±
(t, ·)
C
b
(R)
= 0 e que ψ
±
(t, ·) ∈ C(R, C
d
(R)). Assim con
cluímos este caso simples, pois
lim
j→+∞
ψ
±
(t
j
, ·) − ψ
±
(t, ·)
C
1
b
(R)
=
= lim
j→+∞
ψ
±
(t
j
, ·) − ψ
±
(t, ·)
C
b
(R)
+ Φ
1
±
(t
j
, ·) − Φ
1
±
(t, ·)
C
b
(R)
= 0
e, de Φ
±
, ψ
±
∈ C(R, C
d
(R)), obtemos que ψ
±
∈ C(R, C
1
d
(R)). Procedendo da
mesma forma demonstra-se o caso geral.
O próximo lema desempenha um papel importante no cálculo de estimativas
para as derivadas da solução de (.).
Lema .. Seja I = [a, b] um intervalo fechado da reta real. Se F ∈ C(I, C
k
d
(R)),
então dado um > 0, existe uma constante real positiva M() tal que
|α|≤k
sup
|x|≥M()
|∂
α
x
F (t, x)| ≤
para todo t ∈ I. (Aqui estamos usando a notação ∂
α
x
F =
∂
α
F
∂x
α
onde α é um
inteiro positivo.)
Demonstração. Seja > 0. Como I é compacto F é uniformemente contínua.
. Algumas Ferramentas
Logo, existe δ > 0 tal que se t, s ∈ I são tais que |t − s | < δ acarreta
F (t, ·) − F (s, ·)
C
k
b
(R)
< /2. (.)
Seja l ≥ 0 tal que lδ ≤ b − a ≤ (l + 1)δ. Faça t
i
= a + iδ com i = 0, 1, ··· , l.
ll+1
b-a
Figura .: Localização de
b−a
δ
Notemos que F (t
i
, ·) ∈ C
k
d
(R) implica que existe M
i
() > 0 tal que
|α|≤k
sup
|x|≥M
i
()
∂
α
x
F (t
i
, x)
≤
2
.
Assim, se t ∈ I teremos que |t −t
i
| < δ para algum i ∈ {0, 1, ··· , l}. Fazendo
M() = max
M
i
()
i = 0, 1, ··· , l
e usando a desigualdade triangular podemos
concluir que
|α|≤k
sup
|x|≥M()
∂
α
x
F (t, x)
≤
≤
|α|≤k
sup
|x|≥M()
∂
α
x
F (t, x) − ∂
α
x
F (t
i
, x)
+
|α|≤k
sup
|x|≥M()
∂
α
x
F (t
i
, x)
≤ F (t, ·) − F (t
i
, ·)
C
k
b
(R)
+
|α|≤k
sup
|x|≥M()
∂
α
x
F (t
i
, x)
≤ .
. Caso Linear
. Caso Linear
Para estudar o caso o caso não-linear u = F (u, u
t
, u
x
) primeiro considerare
mos o problema linear não-homogêneo
u = F (t, x);
u(0, x) = f(x);
u
t
(0, x) = g(x).
onde x ∈ R e as funções F , f e g têm regularidade conveniente. O problema
acima é conhecido como Problema de Cauchy ou Problema de Valor Inicial para
a equação da onda linear não-homogênea. As funções f e g são os dados iniciais
(posição inicial e velocidade inicial respectivamente) do problema e a função F é
o termo forçante da equação.
A fórmula explícita para a solução deste problema é conhecida como Fór
mula de D’Alambert. Tal expressão é uma importante ferramenta através da qual
podemos extrair informações sobre o comportamento da solução da equação da
onda. Em particular ela mostra que a solução da equação da onda homogênea
num ponto do espaço-tempo só depende do valor dos dados iniciais num certo
intervalo chamado intervalo de dependência da solução.
.. Fórmula de D’Alambert
Existem várias formas para se obter a Fórmula de D’Alambert. A maneira
por nós apresentada na proposição a seguir explora a fatoração do operador
em (
∂
∂t
−
∂
∂x
)(
∂
∂t
+
∂
∂x
) e difere daquela apresentada na maioria dos textos sobre o
assunto [].
Proposição . (Fórmula de D’Alambert). Sejam f ∈ C
k+1
d
(R), g ∈ C
k
d
(R) e F
um termo forçante em C
k
((T
−
, T
+
) ×R) para algum k ≥ 1 e algum intervalo real
. Caso Linear
(T
−
, T
+
) contendo o zero. Então, existe uma única solução u ∈ C
k+1
((T
−
, T
+
)×R)
para
u = F (t, x), em (T
−
, T
+
) × R;
u(0, x) = f(x), em R;
u
t
(0, x) = g(x), em R.
(.)
Mais ainda, u é dada explicitamente por
u(t, x) =
1
2
[f(x + t) + f(x − t)] +
1
2
x+t
x−t
g(s)ds +
1
2
t
0
x+(t−s)
x−(t−s)
F (s, ν)dνds
(.)
Demonstração. Suponhamos a priori que exista uma solução u de classe C
2
para
(.) e defina h
−
(s) := (u
t
− u
x
)(s, x
0
+ s) onde x
0
é um parâmetro. Derivando
essa função obtemos
dh
−
(s)
ds
= u(s, x
0
+ s) = F (s, x
0
+ s).
Integrando essa última igualdade e usando o Teorema Fundamental do Cálculo
temos
h
−
(t) = h
−
(0) +
t
0
F (s, x
0
+ s)ds
(u
t
− u
x
)(t, x
0
+ t) = (u
t
− u
x
)(0, x
0
) +
t
0
F (s, x
0
+ s)ds
= (g − f
)(x
0
) +
t
0
F (s, x
0
+ s)ds.
Fazendo x
0
= x − t, a última igualdade torna-se
(u
t
− u
x
)(t, x) = (g − f
)(x − t) +
t
0
F (s, x − t + s)ds. (.)
. Caso Linear
Analogamente definindo h
+
(s) := (u
t
+u
x
)(s, x
0
−s) e fazendo x
0
= x+t obtém-se
(u
t
+ u
x
)(t, x) = (g + f
)(x + t) +
t
0
F (s, x + t − s)ds. (.)
Adicionando (.) à (.) obtemos a importante identidade a seguir
u
t
(t, x) =
1
2
(g − f
)(x − t) + (g + f
)(x + t) +
+
t
0
F (s, x − t + s) + F (s, x + t − s)ds
(.)
que integrando mais uma vez em relação à t fornece
u(t, x) = u(0, x) +
1
2
t
0
[(g − f
)(x − s) + (g + f)(x + s)]ds +
+
1
2
t
0
ν
0
[F (s, x − ν + s ) + F (s, x + ν −s)]dsdν
= f(x) +
1
2
t
0
[f
(x + s) − f
(x − s)]ds +
1
2
t
0
[g(x − s) + g(x + s)]ds +
+
1
2
t
0
t
s
[F (s, x − ν + s) + F (s, x + ν − s)] dνds
=
1
2
[f(x + t) + f(x − t)] +
1
2
x+t
x−t
g(s)ds +
1
2
t
0
x+(t−s)
x−(t−s)
F (s, ν)dνds.
O Cálculo acima mostra que se tal solução existe, então ela é dada por (.).
Como u dada por (.) satisfaz todas as condições de (.), então fica provado a
existência e a fórmula explícita para a solução. A unicidade segue imediatamente
de (.) e da linearidade da equação. Que u ∈ C
k+1
((T
−
, T
+
) × R) segue de
derivação direta em (.), o que é permitido em função da regularidade dos dados
. Caso Linear
iniciais.
.. Estimativas de Energia
Sejam I = [a, b] um intervalo fechado da reta, t
0
e t números reais tais que
|t
0
− t| ≤
b − a
2
. Para cada par t
0
, t nestas condições definimos
I
t
0
,t
:=
a + |t − t
0
|, b − |t − t
0
|
.
Para ilustrar temos
I
Figura .: Intervalo I
t
0
,t
.
Se t
0
≤ t
1
, então definimos o trapézio D
I
t
0
,t
1
dado por
D
I
t
0
,t
1
:= {(s, x) : s ∈ [t
0
, t
1
], x ∈ I
t
0
,s
}
t
0
t
x
1
a
b
t
D
I
0
1
t
0
t
Figura .: Trapézio D
I
t
0
,t
1
quando t
0
≤ t
1
,
. Caso Linear
e se t
0
≥ t
1
, definimos o trapézio D
I
t
0
,t
1
por
D
I
t
0
,t
1
:= {(s, x) : s ∈ [t
1
, t
0
], x ∈ I
t
0
,s
}.
0
t
x
t
1
a
b
t
D
I
0
1
t
0
t
Figura .: Trapézio D
I
t
0
,t
1
quando t
1
≤ t
0
.
Seja u = u(t, x) uma função com derivadas parciais limitadas. Definimos a
quantidade
E[u](t) := (u
t
− u
x
)(t, ·)
C
b
(R)
+ (u
t
+ u
x
)(t, ·)
C
b
(R)
.
Se u satisfaz u = 0 então E[u] independe de t, isto é, dizemos que E[u] é uma
quantidade conservada. De fato, usando (.) e (.) obtemos
E[u](t) = (g − f
)(· − t)
C
b
(R)
+ (g + f
)(· + t)
C
b
(R)
= (g − f
)
C
b
(R)
+ (g + f
)
C
b
(R)
= cte.
Para u suficientemente regular definiremos também as quantidades
E
j
[u](t) := (∂
j
x
∂
t
u − ∂
j+1
x
u)(t, ·)
C
b
(R)
+ (∂
j
x
∂
t
u + ∂
j+1
x
u)(t, ·)
C
b
(R)
. Caso Linear
e
E
k
[u](t) :=
k
j=0
E
j
[u](t)+ u(t, ·)
C
b
(R)
, E
0
= E.
Quando não houver dúvida quanto à função u usaremos E(t), E
j
(t) e E
k
(t)
em vez de E[u](t ), E
j
[u](t) e E
k
[u](t) respectivamente.
Lema . (Estimativas). Sejam f ∈ C
k+1
d
(R), g ∈ C
k
d
(R),
F ∈ C
k
((T
−
, T
+
) × R) para algum k ≥ 1, onde T
−
, T
+
∈ R e t
0
∈ (T
−
, T
+
).
Assuma que F ∈ C((T
−
, T
+
), C
k
d
(R)). Se u é solução de
✷u = F (t, x), em (T
−
, T
+
) × R;
u(t
0
, x) = f(x), em R;
u
t
(t
0
, x) = g(x), em R,
então valem
u ∈ C((T
−
, T
+
), C
k+1
d
(R)) e u
t
∈ C((T
−
, T
+
), C
k
d
(R)). (.)
Além disso,
E
j
(t) ≤ E
j
(t
0
) + 2
t
t
0
∂
j
x
F (s, ·)
C
b
(R)
ds
(.)
e
E
k
(t) ≤ E
k
(t
0
) + 2
k
j=0
t
t
0
∂
j
x
F (s, ·)
C
b
(R)
ds
+
1
2
E(t
0
)|t − t
0
| +
+
t
t
0
s
t
0
F (ν, ·)
C
b
(R)
dν
ds. (.)
Demonstração. Vamos provar primeiro a segunda parte de (.).
. Caso Linear
Como u ∈ C
2
(R
2
), temos por (.)
u
t
(t, x) =
1
2
(g − f
)(x − t + t
0
) + (g + f
)(x + t − t
0
)
+
+
1
2
t
t
0
F (s, x + t − s) − F (s, x − t + s)
ds.
A primeira parcela da soma no segundo membro da identidade acima cla
ramente pertence ao espaço desejado por uma aplicação do Corolário .. De
finindo Φ(t, x) :=
t
t
0
F (s, x + t − s)ds e sendo t
1
∈ (T
−
, T
+
), devemos mostrar
que Φ ∈ C((T
−
, T
+
), C
k
d
(R)). Escolha J ⊂ (T
−
, T
+
), intervalo fechado tal que
t
0
, t
1
∈ int(J), onde int(J) denota o interior de J.
Assim, basta mostrar que,
lim
t→t
1
Φ(t, ·) = Φ(t
1
, ·) em C
k
d
(R).
Notemos que
v
C
k
b
(R)
= v
C
b
(R)
+ v
C
b
(R)
+ ···+ v
(
k
)
C
b
(R)
e mostremos inicialmente que lim
t→t
1
Φ(t, ·) − Φ(t
1
, ·)
C
b
(R)
= 0.
. Caso Linear
Seja > 0 dado arbitrariamente e seja x um real qualquer. Temos
|Φ(t, x) − Φ(t
1
, x)| =
t
t
0
F (s, x + t − s)ds −
t
1
t
0
F (s, x + t
1
− s)ds
=
t
t
0
F (s, x + t − s)ds +
t
1
t
0
F (s, x + t − s)ds −
−
t
1
t
0
F (s, x + t − s)ds −
t
1
t
0
F (s, x + t
1
− s)ds
≤
t
1
t
F (s, x + t − s)ds
+
+
t
1
t
0
F (s, x + t − s) − F (s, x + t
1
− s)ds
.
Portanto,
|Φ(t, x)−Φ(t
1
, x)| ≤
t
1
t
F (s, x+t−s)ds
+
t
1
t
0
F (s, x+t−s)−F (s, x+t
1
−s)ds
.
Estudaremos as duas parcelas no segundo membro da desigualdade acima
separadamente.
Seja
δ > 0 tal que [t
1
−
δ, t
1
+
δ] ⊂ int(J) ⊂ (T
−
, T
+
). Como
F ∈ C([t
1
−
δ, t
1
+
δ], C
k
d
(R)), existe um M = M(t
1
,
δ) > 0 tal que
|F (t, ξ)| ≤ F (t, ·)
C
b
(R)
≤ F (t, ·)
C
k
b
(R)
≤ M,
para todo t ∈ [t
1
−
δ, t
1
+
δ] e para todo ξ ∈ R. Logo
t
1
t
F (s, x + t − s)ds
≤ M|t − t
1
|,
para todo t ∈ [t
1
−
δ, t
1
+
δ] e todo x ∈ R. Assim, para qualquer t ∈ [t
1
−
δ, t
1
+
δ],
. Caso Linear
tal que |t − t
1
| <
2M
teremos
t
1
t
F (s, x + t − s)ds
<
2
, para todo x ∈ R. (.)
No outro caso, seja
I o intervalo fechado de extremos t
0
e t
1
. Como F ∈
C(
I, C
k
b
(R)), do Lema ., existe M() > 0 tal que
|α|≤k
sup
|ξ|≥M()
∂
α
ξ
F (s, ξ)
<
4|t
1
− t
0
|
, para todo s ∈
I.
Em particular,
|F (s, ξ)| <
4|t
1
− t
0
|
,
para todo ξ ∈ R, tal que |ξ| ≥ M() e para todo s ∈
I.
Vejamos
b
I
[F (s, x + t − s) − F (s, x − t + s)] ds
.
Seja x tal que |x| ≥ M() + |J|, então |x + t − s|, |x + t
1
− s| ≥ M() para todo
t ∈ J e para todo s ∈
I. Portanto
|F (s, x + t − s)| ≤
4|T
+
− T
−
|
, ∀s ∈
I, ∀t ∈ J
|F (s, x + t
1
− s)| ≤
4|T
+
− T
−
|
, ∀s ∈
I, ∀t ∈ J
. Caso Linear
Portanto
b
I
[F (s, x + t − s) − F (s, x − t + s)]ds
≤
b
I
|F (s, x + t − s)| + |F (s, x − t + s)|ds
≤
T
+
T
−
4|T
+
− T
−
|
+
4|T
+
− T
−
|
ds =
2
.
(.)
Seja x tal que |x| < M() + |J|. Neste caso; para todo s ∈
I e todo t ∈ J,
temos
|x + t − s|, |x + t
1
− s| < M() + 2|J|.
Assim,
(s, x + t − s), (s, x + t
1
− s) ∈ K
:= J × [−M() − 2|J|, M() + 2|J|]
para todo s ∈
I, t ∈ J. Como F é uniformemente contínua em K
, para o mesmo
existe δ
2
= δ
2
() > 0 tal que
(s
1
, ξ
1
), (s
2
, ξ
2
) ∈ K
, |(s
1
, ξ
1
)−(s
2
, ξ
2
)| < δ
2
⇒ |F (s
1
, ξ
1
)−F (s
2
, ξ
2
)| <
2|T
+
− T
−
|
Observe que
|(s, x + t − s) − (s, x + t
1
− s)| = |t − t
1
|.
. Caso Linear
Assim, se t ∈ [t
1
−
δ, t
1
+
δ] e |t − t
1
| < δ
2
temos
|F (s, x + t − s) − F (s, x + t
1
− s)| <
2|T
+
− T
−
|
para todo s ∈
I. Logo se|t − t
1
| < δ
2
temos
b
I
[F (s, x + t − s) − F (s, x + t
1
− s)]ds
≤
e
I
2|T
+
− T
−
|
ds =
2
. (.)
Combinando (.) e (.) concluímos que para t ∈ [t
1
−
δ, t
1
+
δ] e |t −t
1
| < δ
2
temos
t
1
t
0
[F (s, x + t − s) − F (s, x + t
1
− s)]ds
<
2
(.)
para todo x ∈ R. Seja δ = min{δ
1
, δ
2
,
δ}. Se |t − t
1
| < δ valem (.) e (.).
Logo
|Φ(t, x) − Φ(t
1
, x)| ≤
t
1
t
F (s, x + t − s)ds
+
+
t
1
t
0
F (s, x + t − s) − F (s, x + t
1
− s)ds
<
2
+
2
= ,
para todo x ∈ R e t satisfazendo |t − t
1
| < δ. Logo
sup
x∈R
|Φ(t, x) − Φ(t
1
, x)| < ,
para todo t tal que |t−t
1
| < δ, ou seja, lim
t→t
1
Φ(t, ·) − Φ(t
1
, ·)
C
b
(R)
= 0 mostrando
que
u
t
∈ C((T
−
, T
+
), C
d
(R)).
. Caso Linear
Agora observemos que
∂
∂x
Φ(t, x) =
t
t
0
∂F
∂x
(s, x + t − s)ds :=
t
t
0
F (s, x + t − s)ds.
Como
F satisfaz as condições do caso anterior temos
lim
t→t
1
Φ(t, ·) − Φ(t
1
, ·)
C
1
b
(R)
= 0,
daí,
Φ ∈ C((T
−
, T
+
), C
1
d
(R)).
Assim,
u
t
∈ C((T
−
, T
+
), C
1
d
(R)).
Repetindo o argumento concluímos que u
t
∈ C((T
−
, T
+
), C
k
d
(R)). Integrando em
relação à t obtemos u ∈ C((T
−
, T
+
), C
k
d
(R)), pois
u(t, x) = u(t
0
, x) +
t
t
0
u
t
(s, x)ds.
e tanto a função u(t
0
, x) = f(x) quanto a função u
t
estão em C
k
d
(R).
Como são válidas
(u
t
+ u
x
)(t, x) = (g + f
)(x + t − t
0
) +
t
t
0
F (s, x + t − s)ds
e
(u
t
− u
x
)(t, x) = (g − f
)(x − t + t
0
) +
t
t
0
F (s, x − t + s)ds.
. Caso Linear
A diferença entre elas fornece
u
x
(t, x) =
1
2
(g − f
)(x − t + t
0
) − (g + f
)(x + t − t
0
)
+
+
1
2
t
t
0
F (s, x + t − s) + F (s, x − t + s)
ds.
e o mesmo argumento prova que t → u
x
(t, ·) é contínua com valores em C
k
d
(R).
Isto prova (.).
Para obter as desigualdades (.) e (.), vamos começar com a expressão
(.)
(u
t
− u
x
)(t, x) = (g − f
)(x − t) +
t
0
F (s, x − t + s)ds.
Derivando a expressão acima j ≤ k vezes e tomando o supremo em x obtemos
(∂
j
x
∂
t
u − ∂
j+1
x
u)(t, ·)
C
b
(R)
≤ (∂
j
x
∂
t
u − ∂
j+1
x
u)(t
0
, ·)
C
b
(R)
+
+
t
t
0
∂
j
x
F (s, ·)
C
b
(R)
ds
.
Analogamente usando (.)
(u
t
+ u
x
)(t, x) = (g + f
)(x + t) +
t
0
F (s, x + t − s)ds,
obtemos uma estimativa similar que adicionadas fornecem (.).
Como
u(t, x) = u(t
0
, x) +
t
t
0
u
t
(s, x)ds
. Caso Linear
e 2|u
t
(s, x)| ≤ E(s), temos
u(t, ·)
C
b
(R)
≤ u(t
0
, ·)
C
b
(R)
+
1
2
t
t
0
E(s)ds
.
Podemos lançar mão de (.) com j = 0 para estimarmos o segundo membro
da desigualdade anterior e obtermos uma nova desigualdade que adicionada à
soma de (.) com j = 0, ··· , k fornece (.).
Versão Local das Estimativas
Definiremos de maneira análoga a anterior estimativas que serão usadas quando
formos trabalhar com a unicidade do problema não-linear.
Consideremos I = [a, b ] um intervalo fechado de R e façamos
E
I,t
0
,j
[u](t) := (∂
j
x
∂
t
u − ∂
j+1
u)(t, ·)
C
b
(I
t
0
,t
)
+ (∂
j
x
∂
t
u + ∂
j+1
u)(t, ·)
C
b
(I
t
0
,t
)
e
E
I,t
0
,k
[u](t) :=
k
j=0
E
I,t
0
,j
[u](t)+ u(t, ·)
C
b
(I
t
0
,t
)
.
A título de economia, usaremos futuramente a notação E
I
ao invés de E
I,0,0
e E
I
no lugar de E
I,0,0
.
Lema .. Sejam I = [a, b] ⊂ R, f ∈ C
k+1
d
(I),g ∈ C
k
d
(I),F ∈ C
k
(D
I,t
0
,t
1
) para
algum k ≥ 1. Se u é solução C
k+1
(D
I,t
0
,t
1
) de
✷u = F (t, x), em D
I,t
0
,t
1
;
u(t
0
, x) = f(x), em I;
u
t
(t
0
, x) = g(x), em I,
. Caso Linear
então valem
E
I,t
0
,j
(t) ≤ E
I,t
0
,j
(t
0
) + 2
t
t
0
∂
j
x
F (s, ·)
C
b
(I
t
0
,s
)
ds
(.)
e
E
I,t
0
,k
(t) ≤ E
I,t
0
,k
(t
0
) + 2
k
j=0
t
t
0
∂
j
x
F (s, ·)
C
b
(I
t
0
,s
)
ds
+
+
1
2
E
I,t
0
(t
0
)|t − t
0
| +
t
t
0
s
t
0
F (ν, ·)
C
b
(I
t
0
,ν
)
dν
ds.
(.)
Comentário: No Lema . era necessário termos F ∈ C((T
−
, T
+
), C
k+1
d
(R)).
Aqui, por estarmos tomando o supremo sobre um intervalo compacto não neces
sitamos de uma hipótese análoga.
A demonstração deste lema é muito parecida com a demonstração do lema
anterior bastando apenas tomar o supremo sobre os intervalos corretos.
.. Iterações
Para mostrar a existência local de solução para o problema não-linear utiliza
remos um argumento parecido com o Teorema de Picard das equações diferenciais
ordinárias, ou seja, usaremos iterações. Antes porém, mostraremos que a seqüên
cia assim construída está no espaço apropriado.
Lema .. Sejam f ∈ C
k+1
d
(R) e g ∈ C
k
d
(R) para algum k ≥ 1. Definamos uma
. Caso Linear
seqüência (u
n
)
+∞
n=0
onde; u
0
é a solução do problema
u
0
= 0, em R
2
u
0
(0, x) = f(x), em R;
∂
t
u
0
(0, x) = g(x), em R;
(.)
e, para n ≥ 1, u
n
é a solução de
u
n
= F (u
n−1
, ∂u
n−1
), em R
2
;
u
n
(0, x) = f(x), em R;
∂
t
u
n
(0, x) = g(x), em R;
(.)
onde F ∈ C
k
(R
3
), F (0, 0) = F (0, 0, 0) = 0 e F (u, ∂u) = F (u, u
t
, u
x
). Então,
(u
n
)
+∞
n=0
⊂ C
k+1
(R
2
) e, além disso, temos
u
n
∈ C(R, C
k+1
d
(R)) e ∂
t
u
n
∈ C(R, C
k
d
(R)). (.)
Demonstração. Vamos começar provando que u
n
∈ C
k+1
(R
2
) para n ≥ 0 usando
indução sobre n. Se n = 0, da Proposição . segue o resultado.
Suponhamos u
n
∈ C
k+1
(R
2
) e provemos que u
n+1
∈ C
k+1
(R
2
). Notemos que
F (u
n
, ∂u
n
) ∈ C
k
(R
2
), pois ∂u
n
∈ C
k
(R
2
) e F é suficientemente regular. Como
u
n+1
satisfaz u
n+1
= F (u
n
, ∂u
n
) ∈ C
k
(R
2
) utilizando novamente a Proposição
. temos
u
n+1
∈ C
k+1
(R
2
).
Que a expressão (.) é válida para u
0
, é claro, devido ao Lema .. Seja
(.) válida para u
n
. Para provar que (.) é válida para u
n+1
, basta mostrar
F (u
n
, ∂u
n
) ∈ C(R, C
k
d
(R)) (.)
. Caso Linear
e aplicar o Lema ..
Fixe t ∈ R e vamos começar provando que G
n
(t, ·), definida por
G
n
(t, ·) := F (u
n
(t, ·), ∂u
n
(t, ·)),
está em C
k
d
(R). Para tanto precisamos verificar que ∂
j
G
n
(t, ·); j = 0, ··· , k são
contínuas em x e decaem a zero quando |x| é suficientemente grande.
A regularidade de, F , u
n
(t, ·) e ∂u
n
(t, ·) garante G
n
(t, ·) ∈ C
k
(R).
Se j = 0 precisamos mostrar que
lim
|x|→+∞
G
n
(t, x) = lim
|x|→+∞
F (u
n
(t, x), ∂u
n
(t, x)) = 0.
Como F é contínua em (0, 0, 0), dado > 0 arbitrário, existe δ > 0 tal que
(x, y, z)−(0, 0, 0) < δ acarreta |F (x, y, z)| < . Do fato de u
n
∈ C(R, C
k+1
d
(R))
e ∂u
n
∈ C(R, C
k
d
(R)), existe η > 0 tal que se |x| > η temos
|u
n
(t, x)| < δ/3,
|∂
t
u
n
(t, x)| < δ/3 e
|∂
x
u
n
(t, x)| < δ/3.
Logo, sendo ·
+
a norma da soma em R
3
, podemos escrever
(u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))
+
= |u
n
(t, x)| + |∂
t
u
n
(t, x)| + |∂
x
u
n
(t, x)| < δ
para todo |x| > η.
Dessa maneira obtemos |F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))| < e concluímos
que
lim
|x|→+∞
G
n
(t, x) = 0
. Caso Linear
e que
G
n
(t, ·) ∈ C
d
(R).
Se j = 1, basta mostrar que lim
|x|→+∞
∂
x
G
n
(t, x) = 0 para provarmos que G
n
(t, ·) ∈
C
1
d
(R). Observe que, para algum x ∈ R,
∂
x
G
n
(t, x) = ∂
x
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))
= ∂
z
1
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))∂
x
u
n
(t, x) +
+ ∂
z
2
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))∂
x
∂
t
u
n
(t, x) +
+ ∂
z
3
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))∂
2
x
u
n
(t, x).
Se |x| > η temos que tanto u
n
(t, x) quanto ∂u
n
(t, x) estão dentro da caixa fechada
[−δ/3, δ/3]
3
. Logo, ∂
z
i
F (u
n
, ∂u
n
) é limitada para |x| > η. Como u
n
(t, ·) ∈
C
k+1
d
(R) e ∂u
n
(t, ·) ∈ C
k
d
(R) temos
lim
|x|→+∞
∂
x
u
n
(t, x) = 0, lim
|x|→+∞
∂
x
∂
t
u
n
(t, x) = 0, lim
|x|→+∞
∂
2
x
u
n
(t, x) = 0;
e disto concluímos que
lim
|x|→+∞
∂
x
G
n
(t, x) = 0
o que prova que G
n
(t, ·) ∈ C
1
d
(R).
Como k é pelo menos 1, estes dois passos devem sempre ser considerados na
demonstração de que G
n
(t, ·) ∈ C
k
d
(R). Se k > 1 consideraremos outros valores
para j; isto é, queremos mostrar que
lim
|x|→+∞
∂
j
x
G
n
(t, x) = 0
. Caso Linear
para j = 2, ··· , k.
Notemos que ∂
j
x
G
n
(t, x) é soma finita de termos do tipo
∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x)) ·
·∂
l
1
x
u
n
(t, x) . . . ∂
l
m
x
u
n
(t, x) · ∂
p
1
x
∂
t
u
n
(t, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t, x), (.)
onde j
1
+ j
2
+ j
3
≤ j, l
i
≤ k + 1 e p
i
≤ k. O raciocínio é análogo ao anterior, o
termo
∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))
é limitado, para todo |x| > η, os termos
∂
l
i
x
u
n
(t, x)
e
∂
p
i
x
∂
t
u
n
(t, x)
vão a zero com |x| → +∞ e, finalmente, toda a expressão (.) vai a zero quando
|x| → +∞.
Portanto
lim
|x|→+∞
∂
j
x
G
n
(t, x) = 0
para todo j = 0, ··· , k e G
n
(t, x) ∈ C
k
d
(R), como queríamos.
Resta mostrar a continuidade em t; isto é, precisamos provar que
G
n
∈ C(R, C
k
d
(R)). Para isto fixemos t
0
∈ R e mostremos que
lim
t→t
0
G
n
(t, ·) − G
n
(t
0
, ·)
C
k
d
(R)
= 0.
. Caso Linear
Com efeito, podemos escrever
G
n
(t, ·) − G
n
(t
0
, ·)
C
k
b
(R)
=
k
j=0
sup
x∈R
∂
j
x
G
n
(t, x) − ∂
j
x
G
n
(t
0
, x)
≤
k
j=0
<+∞
sup
x∈R
∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x)) ·
·∂
l
1
x
u
n
(t, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t, x) −
− ∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t
0
, x), ∂
t
u
n
(t
0
, x), ∂
x
u
n
(t
0
, x)) ·
·∂
l
1
x
u
n
(t
0
, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t
0
, x)
onde os índices j
i
, l
i
e p
i
são pertinentes e o símbolo
<+∞
significa que a soma é
finita. Somando e subtraindo
∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))∂
l
1
x
u
n
(t
0
, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t
0
, x)
à última expressão obtemos
. Caso Linear
G
n
(t, ·) − G
n
(t
0
, ·)
C
k
b
(R)
=
k
j=0
sup
x∈R
∂
j
x
G
n
(t, x) − ∂
j
x
G
n
(t
0
, x)
≤
k
j=0
<+∞
sup
x∈R
∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))·
·∂
l
1
x
u
n
(t, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t, x)−
−∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))∂
l
1
x
u
n
(t
0
, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t
0
, x)+
+∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))∂
l
1
x
u
n
(t
0
, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t
0
, x)−
−∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t
0
, x), ∂
t
u
n
(t
0
, x), ∂
x
u
n
(t
0
, x))∂
l
1
x
u
n
(t
0
, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t
0
, x)
≤
k
j=0
<+∞
sup
x∈R
∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))
·
· sup
x∈R
∂
l
1
x
u
n
(t, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t, x) − ∂
l
1
x
u
n
(t
0
, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t
0
, x)
+
+
k
j=0
<+∞
sup
x∈R
∂
l
1
x
u
n
(t
0
, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t
0
, x)
·
· sup
x∈R
∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))−
−∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t
0
, x), ∂
t
u
n
(t
0
, x), ∂
x
u
n
(t
0
, x))
.
. Caso Linear
Fixemos η > 0 e considere [t
0
− η, t
0
+ η]. Sabemos que
u
n
∈ C([t
0
− η, t
0
+ η], C
k+1
d
(R))
e que
∂u
n
∈ C([t
0
− η, t
0
+ η], C
k
d
(R)).
Com isto podemos afirmar que existe uma constante M > 0 tal que
u
n
(t, ·)
C
k+1
d
(R)
≤ M e ∂u
n
(t, ·)
C
k
d
(R)
≤ M para todo t no intervalo [t
0
−
η, t
0
+ η]. Portanto podemos usar M para limitar qualquer uma das quantidades
abaixo
|u
n
(t, x)|, |∂
x
u
n
(t, x)|, ··· , |∂
k+1
x
u
n
(t, x)|,
|∂
t
u
n
(t, x)|, |∂
x
∂
t
u
n
(t, x)|, ··· , |∂
k
x
∂
t
u
n
(t, x)|
desde que (t, x) ∈ [t
0
− η, t
0
+ η] × R. Ou melhor dizendo, para qualquer t em
[t
0
− η, t
0
+ η] e qualquer x ∈ R, vale
(u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x)) ∈ [−M, M]
3
.
Seja L
1
> 0 tal que |∂
a
z
1
∂
b
z
2
∂
c
z
3
F (z
1
, z
2
, z
3
)| < L
1
para quaisquer
z
1
, z
2
, z
3
∈ R, a, b, c ∈ Z
+
tais que z
1
, z
2
, z
3
∈ [−M, M]
3
e a + b + c ≤ k. Seja
L
2
> 0 tal que possamos escrever sup
x∈R
|∂
l
1
x
u
n
(t
0
, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t
0
, x)| < L
2
. Seja
. Caso Linear
L
3
> 0 tal que, da Desigualdade do Valor Médio segue
|∂
a
z
1
∂
b
z
2
∂
c
z
3
F (z
1
, z
2
, z
3
) − ∂
a
z
1
∂
b
z
2
∂
c
z
3
F ( z
1
, z
2
, z
3
)|
≤ L
3
(z
1
, z
2
, z
3
) − ( z
1
, z
2
, z
3
)
+
= L
3
|z
1
− z
1
| + L
3
|z
2
− z
2
| + L
3
|z
3
− z
3
|
para quaisquer a, b, c pertinentes e quaisquer (z
1
, z
2
, z
3
), ( z
1
, z
2
, z
3
) ∈ [−M, M]
3
.
Assim,
G
n
(t, ·) − G
n
(t
0
, ·)
C
k
d
(R)
≤
k
j=0
<+∞
L
1
sup
x∈R
∂
l
1
x
u
n
(t, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t, x) − ∂
l
1
x
u
n
(t
0
, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t
0
, x)
+
+
k
j=0
<+∞
L
2
L
3
sup
x∈R
u
n
(t, x) − u
n
(t
0
, x)
+ sup
x∈R
∂
t
u
n
(t, x) − ∂
t
u
n
(t
0
, x)
+
sup
x∈R
∂
x
u
n
(t, x) − ∂
x
u
n
(t
0
, x)
segue da continuidade em t de u
n
, ∂
t
u
n
, ∂
x
u
n
e de ∂
l
1
x
u
n
(t, ·) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t, ·) que
G
n
∈ C(R, C
k
d
(R)). (.)
Com a informação acima e munidos do Lema . concluímos a indução
ficando demonstrada a relação (.) e, conseqüentemente, o Lema ..
. Caso Não-linear
. Caso Não-linear
Nesta seção iremos mostrar existência e unicidade de solução local para o
Problema de Cauchy
✷u = F (u, ∂u);
u(0, x) = f(x);
u
t
(0, x) = g(x).
Apresentaremos também um critério para estudarmos a solução global do
problema.
.. A Unicidade
A partir do resultado a seguir fará sentido falarmos de intervalo máximo de
existência de solução C
k+1
. Neste sentido observamos que tal intervalo depende
de k pois podemos ter uma solução de classe C
3
num certo intervalo I
C
3
e C
2
num intervalo maior I
C
2
tal que I
C
3
⊂ I
C
2
.
Teorema .. Seja I = [ a, b ] um intervalo compacto da reta. Assuma que
F ∈ C
1
(R
3
) e que u
i
∈ C
2
(D
I
0,t
1
); i = 1, 2 são soluções para a equação u =
F (u, ∂u). Então, se u
1
(0, x) = u
2
(0, x) e ∂
t
u
1
(0, x) = ∂
t
u
2
(0, x) para x ∈ I, temos
u
1
(t, x) = u
2
(t, x) em D
I
0,t
1
.
Demonstração. Seja u = u
1
−u
2
e seja
F (u, ∂u) = F (u
1
, ∂u
1
)−F (u
2
, ∂u
2
). Por
(.) temos, para t ≥ 0,
E
I
0
[u](t) ≤ E
I
0
[u](0) + 2
t
0
||
F (s, ·)||
C
b
(I
0,s
)
ds +
1
2
E
I
0
[u](0)|t| +
+
t
0
s
0
||
F (ν, ·)||
C
b
(I
0,ν
)
dνds
≤ 2
t
0
||
F (s, ·)||
C
b
(I
0,s
)
ds +
t
0
s
0
||
F (ν, ·)||
C
b
(I
0,ν
)
dνds,
. Caso Não-linear
t
D
I
0
t
0
t
x
1
1
a
b
Figura .: Trapézio D
I
0,t
1
.
isto é,
E
I
0
[u](t) ≤ 2
t
0
||
F (s, ·)||
C
b
(I
0,s
)
ds +
t
0
s
0
||
F (ν, ·)||
C
b
(I
0,ν
)
dνds. (.)
Notemos que E
I
0
[u](0) = E
I
0
[u](0) = 0, pois u(0, x) = u
t
(0, x) = 0 para todo
x ∈ I e observemos que existe C > 0 tal que
|F (u
1
, ∂u
1
) − F (u
2
, ∂u
2
)| ≤ C
|u| + |∂u|
em D
I
0,t
1
.De fato,
|F (u
1
, ∂u
1
) − F (u
2
, ∂u
2
)| =
1
0
∂
τ
F (τu
1
+ (1 − τ)u
2
, τ∂u
1
+ (1 − τ)∂u
2
)dτ
≤
1
0
∂
z
1
F (τu
1
+ (1 − τ)u
2
, τ∂u
1
+ (1 − τ)∂u
2
)dτ(u
1
− u
2
)
+
+
1
0
∂
z
2
F (τu
1
+ (1 − τ)u
2
, τ∂u
1
+ (1 − τ)∂u
2
)dτ(∂
t
u
1
− ∂
t
u
2
)
+
+
1
0
∂
z
3
F (τu
1
+ (1 − τ)u
2
, τ∂u
1
+ (1 − τ)∂u
2
)dτ(∂
x
u
1
− ∂
x
u
2
)
.
. Caso Não-linear
Considere
C a constante positiva que limita uniformemente ∂
z
1
F , ∂
z
2
F e ∂
z
3
F
no compacto D
I
0,t
1
. Então
|F (u
1
, ∂u
1
) − F (u
2
, ∂u
2
)| ≤
C
|u
1
− u
2
| + |∂
t
u
1
− ∂
t
u
2
| + |∂
x
u
1
− ∂
x
u
2
|
≤ C
|u| + |∂u|
.
Assim,
||
F (u, ∂u)(s, ·)||
C
b
(I
0,s
)
≤ C
||u(s, ·)||
C
b
(I
0,s
)
+ ||∂u(s, ·)||
C
b
(I
0,s
)
.
É interessante ver que E
I
0
[u](t) domina ||u(s, ·)||
C
b
(I
0,s
)
, ||u
t
(s, ·)||
C
b
(I
0,s
)
e ||u
x
(s, ·)||
C
b
(I
0,s
)
.
Com efeito, E
I
0
[u](t) ≥ ||u(t, ·)||
C
b
(I
0,t
)
é imediato. Para a majoração de ||u
t
(t, ·)||
C
b
(I
0,t
)
veja que
E
I
0
[u](t) = E
I
0
[u](t) + ||u(t, ·)||
C
b
(I
0,t
)
≥ E
I
0
[u](t)
≥ ||(u
t
− u
x
)(t, ·) + (u
t
+ u
x
)(t, ·)||
C
b
(I
0,t
)
= 2||u
t
(t, ·)||
C
b
(I
0,t
)
≥ ||u
t
(t, ·)||
C
b
(I
0,t
)
.
Analogamente mostra-se que E
I
t
0
[u](t) domina ||u
x
(t, ·)||
C
b
(I
0,t
)
.
De posse de (.) e do afirmado acima segue
E
I
0
[u](t) ≤ C
t
0
E
I
0
[u](s)ds + C
t
0
s
0
E
I
0
[u](ν)dνds (.)
a qual podemos simplificar fazendo
h(s) = sup
η∈[0,s]
E
I
0
[u](η); η ∈ [0, t
1
]
. Caso Não-linear
e finalmente obtendo
h(t) ≤ C
t
0
h(s)ds + C
t
0
|t
1
|h(s)ds.
Usando o Lema de Grönwall concluímos que h(s) = 0. Logo E
I
0
(η) = 0 para
todo η ∈ [0, t
1
] e obtemos u ≡ 0 em [0, t
1
].
.. Existência Local
Este é o resultado principal deste capítulo. Neste teorema provaremos a
existência local de solução para a equação da onda não-linear u = F (u, ∂u) =
F (u, u
t
, u
x
).
Teorema .. Sejam f ∈ C
k+1
d
(R), g ∈ C
k
d
(R) para algum k ≥ 1 e
F ∈ C
∞
(R
3
) tal que F(0, 0) = 0. Então existe um
k
> 0 dependendo de
f
C
k+1
d
(R)
, g
C
k
d
(R)
e da função F tal que o problema de valor inicial
u = F (u, ∂u);
u(0, x) = f(x);
∂
t
u(0, x) = g(x).
(.)
tem solução única em C
k+1
((−
k
,
k
), C
k
d
(R)). Além disso,
u ∈ C((−
k
,
k
), C
k+1
d
(R)) e ∂
t
u ∈ C((−
k
,
k
), C
k
d
(R)). (.)
Demonstração. Unicidade, ver Teorema .. Vamos à existência. Inicialmente
definamos uma seqüência de funções (u
n
)
+∞
n=0
por u
0
a solução da equação u
0
= 0
com dados iniciais u
0
(0, x) = f(x) e ∂
t
u
0
(0, x) = g(x) e, para n ≥ 1, u
n
é a solução
. Caso Não-linear
de
(∗)
u
n
= F (u
n−1
, ∂u
n−1
), em R
2
;
u
n
(0, x) = f(x), em R;
∂
t
u
n
(0, x) = g(x) em R.
Temos, do Lema ., (u
n
)
+∞
n=0
⊂ C
k+1
(R
2
) e
u
n
∈ C(R, C
k+1
d
(R)); ∂
t
u
n
∈ C(R, C
k
d
(R)).
Procuraremos agora controlar u
n
e todas as suas derivadas de ordem inferior ou
igual a k através de uma estimativa para E
k
[u
n
](t). Notemos que, para todo n ≥ 1,
E
k
[u
n
](0) = E
k
[u
0
](0), pois dependem apenas de f e g. Definamos c
k
:= E
k
[u
0
](0)
e F
n
tal que F
0
:= 0 e F
n
:= F (u
n−1
, ∂u
n−1
) para n ≥ 1.
Assumindo que 0 < ≤ 2 e t ∈ (−, ); o Lema . fornece
E
k
[u
n
](t) ≤ c
k
+ 2
k
j=0
t
0
∂
j
x
F
n
(s, ·)
C
b
(R)
ds
+
1
2
E[u
n
](0)|t| +
+
t
0
s
0
F
n
(ν, ·)
C
b
(R)
dνds.
Como |t| < 2 e E[u
n
](0) ≤ c
k
temos
E
k
[u
n
](t) ≤ 2c
k
+ 2
k
j=0
t
0
||∂
j
x
F
n
(s, ·)||
C
b
(R)
ds
+
t
0
s
0
||F
n
(ν, ·)||
C
b
(R)
dνds.
(.)
Provemos agora, por indução que, para cada n = 0, 1, 2, ···, a estimativa
E
k
[u
n
](t) ≤ 2c
k
+ 1, (.)
. Caso Não-linear
vale para todo t em alguma vizinhança [−, ] da origem com ∈]0, 2].
Primeiro precisamos provar que isto é verdade para n = 0. Considere (.).
Como F
0
= 0 segue (.). Seja válida a relação (.) para n. Queremos mostrar
que E
k
[u
n+1
](t) ≤ 2c
k
+ 1 para algum ∈]0, 2] e todo t ∈ (−, ) .
Com efeito, por (.), temos
E
k
[u
n+1
](t) ≤ 2c
k
+ 2
k
j=0
t
0
∂
j
x
F
n+1
(s, ·)||
C
b
(R)
ds
+
+
t
0
s
0
||F
n+1
(ν, ·)||
C
b
(R)
dνds.
(.)
Notemos que para j = 0, ··· , k, a derivada ∂
j
x
F
n+1
é uma soma de termos do tipo
(.)
∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))∂
l
1
x
u
n
(t, x) . . . ∂
l
m
x
u
n
(t, x) ·
·∂
p
1
x
∂
t
u
n
(t, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t, x)
com j
i
s, l
i
s e p
i
s pertinentes.
De acordo com a hipótese de indução ∂
j
x
u
n
com j = 0, ··· , k + 1 e ∂
j
x
∂
t
u
n
com j = 0, ··· , k são valores majorados por 2c
k
+ 1. Como F é suave existe uma
constante α
k
> 0 dependendo de c
k
e de F tal que
∂
j
x
F
n+1
(s, ·)
C
b
(R)
≤ α
k
para todo j = 0, ··· , k e todo t próximo da origem, digamos |t| ≤ < 2.
. Caso Não-linear
Assim,
2
k
j=0
t
0
∂
j
x
F
n+1
(s, ·)
C
b
(R)
ds
+
t
0
s
0
F
n+1
(ν, ·)
C
b
(R)
dνds
≤ 2
k
j=0
tα
k
+
t
0
sα
k
ds = 2(k + 1)tα
k
+
t
2
2
α
k
≤ 2(k + 1)α
k
+ α
k
= α
k
(2(k + 1) + 1) := α
k
.
Daí, E
k
[u
n+1
](t) ≤ 2c
k
+ α
k
para todo t no intervalo [−, ].
Reescolhendo (se necessário for) de tal forma a satisfazer
≤ min{1,
1
α
k
+ 1
} (.)
obtemos
E
k
[u
n+1
](t) ≤ 2c
k
+
α
k
α
k
+ 1
< 2c
k
+ 1
válida também em |t| ≤ , como queríamos mostrar.
Convergência.
Estamos interessados nas diferenças u
n
:= u
n+1
− u
n
. Notemos que E
k
[u
n
](t)
domina tanto u
n
(t, ·)
C
k+1
b
(R)
quanto ∂
t
u
n
(t, ·)
C
k
b
(R)
. Daí, se conseguirmos
mostrar que existe um > 0 e uma constante C
k
- que pode depender de k mas
não de n - tal que
sup
t∈[−,]
E
k
[u
n
](t) ≤ 2
−n
C
k
, (.)
então as seqüências (u
n
)
+∞
n=0
e (∂
t
u
n
)
+∞
n=0
serão de Cauchy respectivamente nos
espaços completos C([−, ], C
k+1
b
(R)) e C([−, ], C
k
b
(R)).
. Caso Não-linear
Como E
k
[u
n
](0) = 0, (.) acarreta
E
k
[u
n
](t) ≤ 2
k
j=0
t
0
∂
j
x
F
n
(s, ·)
C
b
(R)
ds
+
+
t
0
s
0
F
n
(ν, ·)
C
b
(R)
dνds (.)
onde
F
n
:= F (u
n
, ∂u
n
) − F (u
n−1
, ∂u
n−1
).
Vamos considerar, para n ≥ 1,
F (u
n
, ∂u
n
) − F (u
n−1
, ∂u
n−1
) =
1
0
∂
τ
F (τu
n
+ (1 − τ)u
n−1
, τ∂
t
u
n
+ (1 − τ)∂
t
u
n−1
,
∂
x
u
n
+ (1 − τ)∂
x
u
n−1
)dτ =
=
1
0
∂
z
1
F (τu
n
+ (1 − τ)u
n−1
, τ∂
t
u
n
+ (1 − τ)∂
t
u
n−1
,
∂
x
u
n
+ (1 − τ)∂
x
u
n−1
)dτ( u
n−1
) +
+
1
0
∂
z
2
F (τu
n
+ (1 − τ)u
n−1
, τ∂
t
u
n
+ (1 − τ)∂
t
u
n−1
,
∂
x
u
n
+ (1 − τ)∂
x
u
n−1
)dτ(∂
t
u
n−1
) +
+
1
0
∂
z
3
F (τu
n
+ (1 − τ)u
n−1
, τ∂
t
u
n
+ (1 − τ)∂
t
u
n−1
,
∂
x
u
n
+ (1 − τ)∂
x
u
n−1
)dτ(∂
x
u
n−1
).
. Caso Não-linear
Como F é suave e temos (.), obtemos
∂
j
x
1
0
∂
z
i
F (τu
n
+(1−τ)u
n−1
, τ∂
t
u
n
+(1−τ)∂
t
u
n−1
, ∂
x
u
n
+(1−τ)∂
x
u
n−1
)dτ
≤ β
k,i
.
para certas constantes β
k,i
> 0 que dependem apenas de c
k
e F .
Já que E
k
[ u
n−1
] domina u
n−1
, ∂
t
u
n−1
, ∂
x
u
n−1
e todas as suas derivadas em x
até a ordem k, existe β
k
dependendo apenas de c
k
e F tal que
∂
j
x
F
n
(s, ·)
C
b
(R)
=
sup
x∈R
∂
j
x
F (u
n
, ∂
t
u
n
, ∂
x
u
n
)(s, x) − ∂
j
x
F (u
n−1
, ∂
t
u
n−1
, ∂
x
u
n−1
)(s, x)
≤ β
k,1
E
k
[ u
n−1
](s) + β
k,2
E
k
[ u
n−1
](s) + β
k,3
E
k
[ u
n−1
]
:=
β
k
2
E
k
[ u
n−1
](s)
para j ≤ k e s ∈]0, ].
Assim,
2
k
j=0
t
0
∂
j
x
F
n
(s, ·)
C
b
(R)
ds
+
t
0
s
0
F
n
(ν, ·)
C
b
(R)
dνds
≤
β
k
2
t
0
E
k
[ u
n−1
](s)ds
+
β
k
2
t
0
s
0
E
k
[ u
n−1
](ν)dνds.
. Caso Não-linear
Combinando isto com (.), obtemos (para |t| ≤ ≤ 1),
E
k
[u
n
](t) ≤
β
k
2
t
0
E
k
[ u
n−1
](s)ds
+
t
0
s
0
E
k
[ u
n−1
](ν)dνds
≤
β
k
2
t
0
sup
t∈[−,]
E
k
[ u
n−1
](t)ds
+
t
0
s
0
sup
t∈[−,]
E
k
[ u
n−1
](t)dνds
≤
β
k
2
sup
t∈[−,]
E
k
[ u
n−1
](t)
|t| +
t
2
2
≤
β
k
2
sup
t∈[−,]
E
k
[ u
n−1
](t)
3
2
.
Conseqüentemente,
E
k
[u
n
](t) ≤ β
k
sup
t∈[−,]
E
k
[ u
n−1
](t)
para qualquer t tal que |t| ≤ < 1.
Definindo
k
:= min{1, (α
k
+ 1)
−1
, (2β
k
+ 1)
−1
} obtemos para n ≥ 1
sup
t∈[−
k
,
k
]
E
k
[u
n
](t) ≤ β
k
k
sup
t∈[−
k
,
k
]
E
k
[ u
n−1
](t)
<
1
2
sup
t∈[−
k
,
k
]
E
k
[ u
n−1
](t)
<
1
2
2
sup
t∈[−
k
,
k
]
E
k
[ u
n−2
](t)
.
.
.
<
1
2
n
sup
t∈[−
k
,
k
]
E
k
[ u
0
](t) := 2
−n
C
k
.
Isto mostra (.) e portanto (u
n
)
∞
n=0
e(∂
t
u
n
)
∞
n=0
são seqüências de Cauchy em
C([−
k
,
k
], C
k+1
b
(R)) e C([−
k
,
k
], C
k
b
(R)) respectivamente. Assim, existe uma
. Caso Não-linear
função u ∈ C([−
k
,
k
], C
k+1
b
(R)) tal que ∂
t
u ∈ C([−
k
,
k
], C
k
b
(R)) com
lim
n→∞
u
n
= u em C([−
k
,
k
], C
k+1
b
(R))
e
lim
n→∞
∂
t
u
n
= ∂
t
u em C([−
k
,
k
], C
k
b
(R)).
Queremos mostrar que o limite u está em C
k+1
((−
k
,
k
)×R). Para isto vamos
provar que (u
n
)
+∞
n=0
é uma seqüência de Cauchy em C
k+1
((−
k
,
k
) × R).
Note que (∂
j
x
u
n
)
+∞
n=0
é seqüência de Cauchy em C((−
k
,
k
) × R) para
j ≤ k + 1 e (∂
j
x
∂
t
u
n
)
+∞
n=0
é seqüência de Cauchy em C((−
k
,
k
) × R) para j ≤ k.
Resta mostrar que (∂
j
x
∂
m
t
u
n
)
+∞
n=0
é seqüência de Cauchy em C((−
k
,
k
) ×R) para
j + m ≤ k + 1. Vamos usar a equação. Assuma que j + 2 ≤ k + 1 e que m ≥ n.
Logo,
∂
j
x
∂
2
t
(u
n
− u
m
) = ∂
j+2
x
(u
n
− u
m
) + ∂
j
x
[F (u
n−1
, ∂u
n−1
) − F (u
m−1
, ∂u
m−1
)]
= ∂
j+2
x
(u
n
− u
m
) +
m−2
i=n−1
∂
j
x
[F (u
i
, ∂u
i
) − F (u
i+1
, ∂u
i+1
)].
Para todo (t, x) ∈ (−
k
,
k
) × R temos
∂
j
x
∂
2
t
(u
n
− u
m
)(t, x)
≤
∂
j+2
x
(u
n
− u
m
)(t, x)
+
+
m−2
i=n−1
∂
j
x
F (u
i
, ∂u
i
) − F (u
i+1
, ∂u
i+1
)
(t, x)
.
. Caso Não-linear
Como anteriormente, para todo j ≤ k, |t| ≤
k
, x ∈ R,
∂
j
x
F
i+1
(t, x)
≤
β
k
2
E
k
[ u
i
](t)
≤
β
k
2
sup
t∈[−,]
E
k
[ u
i
](t)
.
.
.
≤
β
k
2
i+1
C
k
E, assim, (∂
j
x
F
n
)
+∞
n=0
é seqüência de Cauchy em C((−
k
,
k
) × R) o que nos leva a
concluir que (∂
j
x
∂
2
t
u
n
)
+∞
n=0
é de Cauchy neste espaço.
Derivando a equação com respeito à t, obtemos
∂
j
x
∂
3
t
(u
n
− u
m
) = ∂
j+2
x
∂
t
(u
n
− u
m
) + ∂
j
x
∂
t
[F (u
n−1
, ∂u
n−1
) − F (u
m−1
, ∂u
m−1
)].
De maneira análoga prova-se que a seqüência (∂
j
x
∂
3
t
u
n
)
+∞
n=0
com j + 3 ≤ k + 1 é
de Cauchy no espaço requerido. E assim faz-se para as outras derivadas mistas.
Agora, fazendo n → ∞ no problema aproximado (*) vemos que u é a solução
procurada de (.)
Observação. Suponhamos que todos os dados do Teorema . sejam de classe
C
∞
. Não é imediato concluir que o Problema de Cauchy possua uma solução local
de classe C
∞
. Se esse fosse o caso, para cada k, sua restrição ao intervalo (−
k
,
k
)
seria a solução de classe C
k
do Teorema .. Todavia, a seqüência (
k
)
∞
k=0
pode
convergir a zero quando k → ∞ e assim a solução C
∞
não haveria de ser definida
para t = 0. Um exemplo de não existência de solução local é dado no próximo
capítulo.
. Caso Não-linear
.. Existência Global
Aqui serão vistos alguns resultados que garantirão a existência de soluções
suaves para dados iniciais suaves e que fornecerão um passo para a continuação
da solução local em toda a reta.
Teorema .. Seja F ∈ C
∞
(R
3
) tal que F (0, 0) = 0 e sejam f ∈ C
k+1
d
(R) e
g ∈ C
k
d
(R) para algum k ≥ 1. Seja u uma solução C
k+1
((T
−
, T
+
) × R) para o
problema
u = F (u, ∂u),
u(0, x) = f(x);
u
t
(0, x) = g(x)
para T
−
, T
+
tais que T
−
< 0 < T
+
. Se existe uma constante real C
0
> 0 tal que
E
0
[u](t) ≤ C
0
(.)
para todo t ∈ [0, T
+
), onde T
+
< +∞, então existe uma constante real C
k
depen
dendo apenas de F , C
0
, T
+
e E
k
[u](0) tal que
E
k
[u](t) ≤ C
k
(.)
para todo t ∈ [0, T
+
). Analogamente enunciamos este teorema para T
−
.
Demonstração. Vamos provar (.) por indução. Por hipótese, a inequação é
válida para k = 0. Suponhamos que E
j
[u](t) ≤ C
j
para todo j ≤ k −1 seja válido
. Caso Não-linear
e provemos para j + 1. Devido à (.) temos
E
j+1
(t) ≤
1 +
T
+
2
E
j+1
(0) + 2
j+1
l=0
t
0
||∂
l
x
F (s, ·)||
C
b
(R)
ds
+ (.)
+
t
0
s
0
F (ν, ·)
C
b
(R)
dνds, (.)
onde F (s, ·) foi escrito no lugar de F (u(s, ·), ∂u(s, ·)) = F (u(s, ·), u
t
(s, ·), u
x
(s, ·))
e
E
j+1
no lugar de
E
j+1
[
u
]
.
Por hipótese as normas de
u
e
∂u
são majoradas por
C
0
e F é suave. Logo, F é limitada e o termo em (.) também o é para todo
t ∈ [0, T
+
). Definindo
α
j
:=
1 +
T
+
2
E
j+1
(0) + sup
t∈[0,T
+
)
t
0
s
0
F (ν, ·)
C
b
(R)
dνds,
obtemos
E
j+1
(t) ≤ α
j
+ 2
j+1
l=0
t
0
∂
l
x
F (s, ·)
C
b
(R)
ds
(.)
para todo t ∈ [0, T
+
). Observemos que α
j
depende apenas das constantes menci
onadas no teorema. Notemos também que ∂
l
x
F pode ser escrito como soma finita
de expressões do tipo (.)
∂
j
1
z
1
∂
j
2
z
2
∂
j
3
z
3
F (u
n
(t, x), ∂
t
u
n
(t, x), ∂
x
u
n
(t, x))∂
l
1
x
u
n
(t, x) . . . ∂
l
m
x
u
n
(t, x) ·
·∂
p
1
x
∂
t
u
n
(t, x) . . . ∂
p
o
x
∂
t
u
n
(t, x)
onde l
1
+ ···+ l
m
+ p
1
+ ···+ p
o
= l, l
i
≤ l + 1 e p
i
≤ l. Da hipótese de indução,
para todo j ≤ k − 1, existe C
j
nas condições requeridas tal que E
j
[u](t) ≤ C
j
.
Mas E
j
[u](t) domina ∂
l
i
x
u(t, x) e ∂
p
i
x
∂
t
u(t, x) para qualquer x ∈ R e quaisquer
l
i
≤ j + 1 e p
i
≤ j.
. Caso Não-linear
Agora, se Ou l
i
= j + 2 ou p
i
= j + 1, todos os outros l
i
e p
i
são zero e teremos
que a parcela em questão reduz-se à ∂
z
2
F (u, ∂u)∂
j+1
x
∂
t
u ou ∂
z
3
F (u, ∂u)∂
j+2
x
u. Nes
tes casos ∂
z
2
F (u, ∂u) e ∂
z
3
F (u, ∂u) são limitados por uma constante nas condições
pedidas devido à hipótese de indução. Os fatores ∂
j+2
x
u e ∂
j+1
x
∂
t
u são limitados
por E
j+1
[u](t). Assim, existem constantes convenientes β
(ι)
j
;
ι = 1, ··· , 5 tais que
E
j+1
(t) ≤ α
j
+ β
(1)
j
+ 2
t
0
∂
j+1
x
F (s, ·)
C
b
(R)
ds
≤ β
(2)
j
+
T
+
0
β
(3)
j
+ β
(4)
j
E
j+1
(s)ds
≤ β
(2)
j
+ β
(3)
j
T
+
+
T
+
0
β
(4)
j
E
j+1
(s)ds
.
Ou melhor escrevendo,
E
j+1
(t) ≤ β
(5)
j
+
T
+
0
β
(4)
j
E
j+1
(s)ds.
Usando o Lema de Grönwall concluímos
E
j+1
(t) ≤ β
(5)
j
e
“
T
+
β
(4)
j
”
:= C
j+1
.
O corolário a seguir fornece um critério para a continuação da solução em toda
a reta.
Corolário .. Seja F ∈ C
∞
(R
3
) tal que F (0, 0) = 0 e sejam f ∈ C
k+1
d
(R)
e g ∈ C
k
d
(R) para todo k ≥ 1. Se u é uma solução C
k+1
((T
−
, T
+
) × R) para o
. Caso Não-linear
problema
u = F (u, ∂u),
u(0, x) = f(x);
u
t
(0, x) = g(x)
onde (T
−
, T
+
) é o intervalo máximo de existência da solução u. Então, u ∈
C
∞
((T
−
, T
+
) × R) e;
ou T
+
= ∞, ou E
0
[u](t) é ilimitado em [0, T
+
).
Uma afirmação semelhante vale para T
−
.
Demonstração. Fixemos arbitrariamente k ≥ 1. Assumamos que o intervalo má
ximo de existência para soluções C
k+1
seja (T
k
−
, T
k
+
) e observemos que (T
k
−
, T
k
+
) ⊂
(T
−
, T
+
). Queremos provar que T
k
−
= T
−
e T
k
+
= T
+
. Faremos isto provando
apenas que T
k
+
= T
+
. Então suponhamos que T
+
> T
k
+
. No intervalo compacto
[0, T
k
+
], a função contínua E
0
[u](t) é limitada. E, devido ao Teorema ., E
k
[u](t)
é eqlimitada por uma constante pertinente em [0, T
k
+
). Como conseqüência do Te
orema . concluímos que existe um
k
> 0 tal que para todo t ∈ [0, T
k
+
) podemos
encontrar uma solução para a equação com dados iniciais u(t, ·), u
t
(t, ·) e exis
tência no tempo pelo menos
k
. Assim, existe t
0
∈ [0, T
k
+
) tal que t
0
+
k
o que
caracteriza uma contradição, pois t
0
+
k
é um ponto final á direita de um intervalo
de existência de uma solução de classe C
k+1
e T
k
+
é, por definição, o supremo de
pontos como esse. Logo, T
k
+
= T
+
; análogo para T
−
. Assim, o intervalo máximo
de existência para uma solução de classe C
k+1
é (T
−
, T
+
) para qualquer k ≥ 1.
Assim, u é suave neste intervalo. Para provar que ou T
+
= +∞ ou E
0
[u] é ili
mitado, suponha que T
+
< +∞ e E
0
[u] é limitado para t ∈ [0, T
+
) e proceda
com antes para mostrar que (T
−
, T
+
) não é o intervalo máximo de existência de
u chegando a um absurdo.
Capítulo
Não-Existência de Soluções
Neste capítulo estudaremos o Problema de Cauchy para a equação da onda
u
tt
− u
xx
= F (u) o qual pode não ter solução local para certos dados iniciais.
Também enunciaremos e demonstraremos teoremas de comparação de soluções
que servirão para entender o fenômeno chamado Blow up (isto é, a solução tor
nar-se infinita para t finito) e mostrar que para certos valores iniciais podemos
não ter solução global para a equação da onda. Este capítulo além de [] segue as
idéias de [].
. A Não-Existência Global
.. Comparação de Soluções
Teorema . (Teorema de Comparação). Considere os seguintes problemas de
Cauchy
u = F (u);
u(0, x) = f
1
(x);
∂
t
u(0, x) = g
1
(x).
(.)
. A Não-Existência Global
e
v = G(v);
v(0, x) = f
2
(x);
∂
t
v(0, x) = g
2
(x).
(.)
onde F , f
1
e g
1
são funções em C
2
(R) assim como G, f
2
e g
2
. Considere o cone
de luz do passado por
C(t
0
, x
0
) = {(t, x) : |x − x
0
| ≤ t
0
− t para t ≥ 0}.
t
t
x
0
00
0
Figura .: Cone de Luz do Passado C(t
0
, x
0
).
Suponha que F (u) ≥ G(v) sempre que u ≥ v. Considere u
0
a solução do
problema de valor inicial (.) com F ≡ 0 e v
0
a solução do problema (.) com
a mesma condição.
• Se u
0
> v
0
em C(t
0
, x
0
) então u > v em C(t
0
, x
0
);
• Se u
0
≥ v
0
em C(t
0
, x
0
) e G for Lipschitz contínua, então u ≥ v em C(t
0
, x
0
).
Demonstração. Usando (.) os problemas (.) e (.) tornam-se respectiva
. A Não-Existência Global
mente
u(t, x) =
1
2
f
1
(x + t) + f
1
(x −t)
+
1
2
x+t
x−t
g
1
(s)ds +
1
2
t
0
x+t−s
x−t+s
F (u(s, ν))dνds
e
v(t, x) =
1
2
f
2
(x + t) + f
2
(x −t)
+
1
2
x+t
x−t
g
2
(s)ds +
1
2
t
0
x+t−s
x−t+s
G(v(s, ν))dνds
onde as duas primeiras parcelas de cada caso representam a solução da equação
homogênea e o último termo pode ser visto como um operador integral linear que
chamaremos de L para reescrever as fórmulas acima como
u = u
0
+ LF (u) (.)
e
v = v
0
+ LG(v). (.)
Agora, suponhamos que u
0
> v
0
em C(t
0
, x
0
). Seja t
1
∈ [0, t
0
] o menor valor tal
que v(t
1
, x
1
) = u(t
1
, x
1
) para algum ponto (t
1
, x
1
) em C(t
0
, x
0
). Assim, subtraindo
(.) de (.) em (t
1
, x
1
) obtemos
0 = u
0
(t
1
, x
1
) − v
0
(t
1
, x
1
) + L
F (u(t
1
, x
1
)) − G(v(t
1
, x
1
))
. (.)
Por hipótese, u
0
(t
1
, x
1
) − v
0
(t
1
, x
1
) > 0. Vamos mostrar que o termo
. A Não-Existência Global
L
F (u(t
1
, x
1
)) − G(v(t
1
, x
1
))
é não negativo. De fato, note que
L
F (u) − G(v)
(t
1
, x
1
) =
1
2
t
1
0
x
1
+t
1
−s
x
1
−t
1
+s
F (u(s, ν)) − G(v(s, ν))
dνds
e que as integrais tem como domínio de integração o cone C(t
1
, x
1
) contido na
intersecção entre o cone C(t
0
, x
0
) e o semi-espaço s < t
1
. Mas nesta região u > v
devido a definição de t
1
e ao fato de que inicialmente u
0
> v
0
. Assim F (u) −
G(v) ≥ 0 e finalmente obtivemos que o segundo membro de (.) é estritamente
positivo; absurdo. Logo t
1
não pode existir e portanto u > v em C( t
0
, x
0
).
Para demonstrar a segunda parte do teorema vamos denotar por t
2
o ínfimo
dos valores de t para os quais u(t, x) < v(t, x) em C(t
0
, x
0
). Seja > 0 um número
suficientemente pequeno para que (t
2
+ , x
1
) ∈ C(t
0
, x
0
) e que u(t
2
+ , x
1
) <
v(t
2
+ , x
1
). Assim, obtemos de (.) e (.),
u(t
2
+ , x
1
) − v
0
(t
2
+ , x
1
) = u
0
− v
0
+ L
F (u) − G(v)
. (.)
O termo u
0
−v
0
é não negativo por hipótese; vamos estudar o que sobrou. A
expressão
L
F (u) − G(v)
(t
2
+ , x
1
) =
1
2
t
2
+
0
x
1
+t
2
+−s
x
1
−t
2
++s
F (u(s, ν)) − G(v(s, ν))
dνds
pode ser escrita como
L
F (u) − G(v)
(t
2
+ , x
1
) =
1
2
t
2
0
x
1
+t
2
+−s
x
1
−t
2
++s
F (u(s, ν)) − G(v(s, ν))
dνds +
+
1
2
t
2
+
t
2
x
1
+t
2
+−s
x
1
−t
2
++s
F (u(s, ν)) − G(v(s, ν))
dνds.
. A Não-Existência Global
Devido à definição de t
2
, temos u ≥ v na região
{(t, x)|(t, x) ∈ C(t
2
+ , x
1
) e 0 ≤ t ≤ t
2
}
e graças às propriedades de F e G concluímos que a primeira das integrais fornece
um valor não negativo.
Agora analisemos a segunda integral da soma acima. Para isto consideremos
os seguintes conjuntos
R
1
:= {(t, x)|u(t, x) ≥ v(t, x) para todo (t, x) ∈ C(t
2
+ , x
1
) e t
2
≤ t ≤ t
2
+ }
e
R
2
:= {(t, x)|u(t, x) < v(t, x) para todo (t, x) ∈ C(t
2
+ , x
1
), t
2
≤ t ≤ t
2
+ }.
É fácil ver que a integral sobre R
1
é não negativa. Sobre R
2
vamos fazer mais
uma redução observando que
F (u) − G(v) =
F (u) − G(u)
+
G(u) − G(v)
e que
F (u) −G(u)
é também uma quantidade não negativa. Finalmente denote
por S ≥ 0 a soma dos quatro termos não negativos que consideramos no segundo
membro de (.) e por
L
t
2
+
t
2
G(u) − G(v)
=
R
2
G(u) − G(v)
(s, ν)dνds
a integral sobre a região R
2
para reescrever (.) como
u(t
2
+ , x
1
) − v
0
(t
2
+ , x
1
) = S + L
t
2
+
t
2
G(u) − G(v)
. (.)
. A Não-Existência Global
Como G é Lipschitz contínua e em R
2
sabemos que u < v temos que existe uma
constante de Lipschitz c > 0 tal que
G(u) − G(v) ≥ −c |u − v|,
e assim,
L
t
2
+
t
2
G(u) − G(v)
≥
R
2
c(u − v)(s, ν)dνds
≥ c min{(u − v)(s, ν)|(s, ν) ∈ R
2
}
R
2
dνds
≥ cα min{(u − v)(s, ν)|(s, ν) ∈ R
2
}
≥ K min{(u − v)(s, ν)|(s, ν) ∈ R
2
}.
Portanto,
L
t
2
+
t
2
G(u) − G(v)
≥ K min{(u − v)(s, ν)|(s, ν) ∈ R
2
}.
Agora escolhemos suficientemente pequeno para que K < 1 e aplicamos (.)
ao ponto de C(t
2
+ , x
1
) onde u − v tem mínimo para obter
min(u − v) ≥ S + K min(u − v) (.)
o que acarreta
min(u − v) ≥
S
1 − K
≥ 0. (.)
Absurdo! Deveríamos ter em R
2
⊂ C(t
2
+ , x
1
) uma região em que u − v < 0.
Logo t
2
não pode existir.
Corolário .. Se |x − x
0
| ≤ a, G é Lipschitz e os dados iniciais satisfazem
. A Não-Existência Global
f
1
(x) ≥ f
2
(x) e g
1
(x) ≥ g
2
(x), então u(t, x) ≥ v(t, x) em C(a, x
0
).
Demonstração. Primeiro notemos que u
0
≥ v
0
. De fato, considere ω
0
= u
0
−v
0
a solução do Problema de Cauchy
ω
0
= G(ω
0
);
ω
0
(0, x) = f
1
(x) − f
2
(x);
∂
t
ω
0
(0, x) = g
1
(x) − g
2
(x).
Pela fórmula de D’Alambert, temos
ω
0
(t, x) =
1
2
[f
1
(x + t) −f
2
(x + t) + f
1
(x −t) −f
2
(x −t)] +
1
2
x+t
x−t
[g
1
(ξ) −g
2
(ξ)]dξ
Disto e pelas hipóteses temos ω
0
(t, x) ≥ 0 para todo (t, x) ∈ C(a, x
0
). Portanto
u
0
≥ v
0
em C(a, x
0
). Sendo G Lipschitz concluímos pelo teorema de comparação
que u ≥ v em C(a, x
0
).
Vamos usar o Corolário . para estudar o seguinte problema de valor inicial.
¨y(t) = G(y(t));
y(0) = α;
˙y(0) = β;
(EDO-PVI)
onde α e β são constantes e G é tal que
β
2
+ 2
z
α
G(s)ds > 0.
A solução deste PVI é dada implicitamente por
t =
y(t)
α
β
2
+ 2
z
α
G(s)ds
−
1
2
dz.
. A Não-Existência Global
Assim, v(t, x) = y(t) é solução para o problema
v = G(v);
v(0, x) = α;
v
t
(0, x) = β,
em C(a, x
0
), temos que a função v(t, x) independe de x na região C(a, x
0
) e, pelo
Corolário ., podemos enunciar o seguinte resultado.
Corolário .. Se para |x−x
0
| ≤ a tivermos G Lipschitz, f
1
(x) ≥ α e g
1
(x) ≥ β,
então u(t, x) ≥ v(t, x) em C(a, x
0
) onde v(t, x) satisfaz o (EDO-PVI) e u(t, x)
satisfaz (.).
Demonstração. A demonstração já foi feita.
O teorema a seguir usa o Teorema da Comparação (Teorema .) para verificar
que para certas classes de funções forçantes F ocorre o Blow up da solução em
tempo finito.
Teorema . (Blow up). Seja u a solução do seguinte problema
u = F (u);
u(0, x) = f
1
(x), x ∈ R;
u
t
(0, x) = g
1
(x), x ∈ R.
Suponha que exista uma função Lipschitz contínua G(v) e duas constantes α e β
tais que
F (u) ≥ G(v) para u ≥ v,
f
1
(x) ≥ α e
g
1
(x) ≥ β
. A Não-Existência Global
em |x − x
0
| ≤ T satisfazendo
β ≥ 0; β
2
+ 2
z
α
G(s)ds > 0 para z > α e (.)
T :=
+∞
α
β
2
+ 2
z
α
G(s)ds
−
1
2
dz < +∞ (.)
ou
β < 0; β
2
+ 2
z
α
G(s)ds > 0 para z > v
m
(.)
onde v
m
é a maior raiz menor que α de
v
m
α
β
2
+ 2
z
α
G(s)ds
−
1
2
dz = 0; v
m
< α (.)
e
T :=
α
v
m
β
2
+ 2
z
α
G(s)ds
−
1
2
dz +
+∞
v
m
β
2
+ 2
z
α
G(s)ds
−
1
2
dz < +∞.
(.)
Então, u Blows up em C(T, x
0
).
Demonstração. Seja (.) satisfeita. Então, a solução do Problema de Cauchy
v = G(v);
v(0, x) = α,
v
t
(0, x) = β
. A Não-Existência Global
é dada implicitamente por
t =
+∞
α
β
2
+ 2
z
α
G(s)ds
−
1
2
dz; t ≥ 0.
Se
T :=
+∞
α
β
2
+ 2
z
α
G(s)ds
−
1
2
dz ≤ +∞,
então v(t) → ∞ quando t → T . Pelo Corolário ., u(t, x) ≤ v(t) em C(T, x
0
)
logo concluímos que u blows-up em algum t ≤ T .
Considere agora (.) e (.). Defina t
m
= −
v
m
α
β
2
+ 2
z
α
G(s)ds
−
1
2
dz.
Para t ∈ [0, t
m
] a solução é dada por
t = −
v(t)
α
β
2
+ 2
z
α
G(s)ds
−
1
2
dz
pois v(t) ∈ [v
m
, α].
Para t ≥ t
m
a solução é dada por
t = t
m
+
v(t)
v
m
β
2
+ 2
z
α
G(s)ds
−
1
2
dz.
Se vale (.), temos v(t) → ∞ quando t → T . Usando o Corolário . concluímos
que u blows-up em C(T, x
0
).
.. Um Contra Exemplo Para a Existência Global
Nesta seção vamos estudar o problema
u = u
p
;
u(0, x) = f
2
(x) ≥ 0;
u
t
(0, x) = g
2
(x) > β > 0.
(.)
. A Não-Existência Global
para x ∈ R e p = 2, 3, ···
Solução: Considere o seguinte problema de valor inicial
¨y(t) = y
p
;
y(0) = 0;
˙y(0) = β.
(EDO-PVI)
A solução é dada implicitamente por
t =
y(t)
0
β
2
+ 2
z
0
s
p
ds
−
1
2
dz.
Assim,
t =
p + 1
y(t)
0
dz
√
2z
p+1
+ c
onde c é uma constante. Como
1
√
2z
p+1
+ c
≈
1
√
z
p+1
para z suficientemente
grande e
+∞
a>0
dz
z
p+1
2
=
2
1 − p
1
√
z
p−1
−
1
√
a
p−1
z→∞
< ∞
se y → ∞ definimos
T .≡.
p + 1
y(t)
0
dz
√
2z
p+1
+ c
< ∞.
Logo, a solução y do (EDO-PVI) explode para T finito.
Como u
p
é Lipschitz, crescente, f
1
(x) ≥ 0, g
1
(x) ≥ β > 0 em |x − x
0
| < T
para todo x
0
∈ R e valem (.) e (.) podemos usar o Teorema . e concluir
que a solução u de (.) Blows up em C(T, x
0
).
. Um Contra Exemplo Para a Existência Local
. Um Contra Exemplo Para a Existência Local
Nesta seção daremos um exemplo de que se, a priori, os dados iniciais não ti
verem decaimento podemos não ter existência local de solução para um Problema
de Cauchy.
Proposição .. Existem dados iniciais f e g em C
∞
(R) tais que para qualquer
> 0, não existe u ∈ C
∞
((−, ) × R) solução para o Problema de Cauchy
u = u
2
t
;
u(0, x) = f(x);
u
t
(0, x) = g(x).
(.)
Demonstração. Considere a equação u
tt
= u
2
t
com u
t
(0, x) = k > 0. Então,
u
t
(t, x) =
k
1 − kt
.
Por integração obtemos
u(t, x) = u(0, x) − ln(1 − kt);
ou seja, ocorre Blow up em t = 1/k. Devido ao Teorema . temos que para
algum a ∈ R, a função u definida no cone C(
1
k
, a) por
u(t, x) = −ln(1 − kt)
. Um Contra Exemplo Para a Existência Local
é solução para o problema
u = u
2
t
;
u(0, x) = 0;
u
t
(0, x) = k,
(.)
para x em [a −
1
k
, a +
1
k
].
Seja
Φ(x) .≡.
1 se |x| ≤ 1
0 se |x| ≥ 2,
(.)
tal que Φ seja uma função suave para todo x em R. Para um inteiro k ≥ 1 defina
g
k
(x) := kΦ(x − 4k). Dessa forma g
k
(x) = k para x ∈ [4k −
1
k
, 4k +
1
k
]. Observe
que se k
1
= k
2
e g
k
1
= 0, então g
k
2
= 0. Assim, podemos definir
g(x) =
+∞
k=0
g
k
(x).
Claramente a função g é suave, g(x) = k para x ∈ [4k −
1
k
, 4k +
1
k
] e o problema
u = u
2
t
;
u(0, x) = 0;
u
t
(0, x) =
+∞
k=0
g
k
(x),
(.)
não admite solução local de classe C
∞
((−, ) × R).
Índice Remissivo
Blow up, , ,
Caixa fechada,
Comparação de Soluções,
Cone de luz do passado,
Continuação da solução,
Dados iniciais,
Desigualdade do Valor Médio,
EDO-PVI,
Equação
da Onda,
Hiperbólica,
Espaços
de Banach,
funcionais,
Métricos Completos,
Fórmula
de D’Alambert,
Funções
contínuas,
que decaem no infinito,
Lema de Grönwall, ,
Multi-índice,
Problema
de Cauchy,
de Valor Inicial,
não-homogêneo,
Não-linear,
Seqüência de Cauchy,
Soluções suaves,
Teorema
de Comparação,
Termo forçante,
Unicidade de solução
para o problema não-linear,
Versão
local das estimativas,
Referências Bibliográficas
[] Ringström, H., Non-linear Wave Equations(Lecture Notes), Department
of Mathematics, KTH, Sweden, Spring .
[] Keller, J.B. On Solutions of Non-linear Wave Equations, Comm. on pure
and appl. Math. Vol. X, - ()
[] Hönig, C. S. Aplicações da topologia à Análise, Instituto de Matemática
Pura e Aplicada, Projeto Euclides, CNPq, Rio de Janeiro, .
[] Figueiredo, D. G. Análise de Fourrier e Equações Diferenciais Parci
ais,Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Projeto Euclides, CNPq, Rio
de Janeiro, .
[] School of Mathematics and Statistics - University of St An-
drews Scotland The MacTutor History of Mathematics archive Website:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Gronwall.html
em /nov/ :
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