( PDF ) Campos de vetores lineares reversíveis equivariantes

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Campos de Vetores Lineares Revers´ıveis

Equivariantes

Michele de Oliveira Alves

Orientador: Prof. Dr. Cl´audio Aguinaldo Buzzi

Disserta¸c˜ao apresentada ao Departamento de

Matem´atica - IBILCE - UNESP, como parte dos

requisitos para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em

Matem´atica.

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S˜ao Jos´e do Rio Preto - SP

Fevereiro - 2006

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COMISS

AO JULGADORA

Titulares

Prof. Dr. Cl´audio Aguinaldo Buzzi (UNESP) - Orientador

Profa. Dra. Miriam Garcia Manoel (USP)

Profa. Dra. Angela Maria Sitta (UNESP)

Suplentes

Prof. Dr. Parham Salehyan (UNESP)

Prof. Dr. Osvaldo Germano do Rocio (UEM)

Dedico `a minha fam´ılia

Gentil, Neusa e Marcelo.

Agradecimentos

Ao t´ermino deste trabalho gostaria de agradecer a Deus por me dar a

gra¸ca de concluir mais uma etapa de minha vida. Ele que esteve presente

durante estes dois anos atrav´es da doce presen¸ca de minha querida m˜ae Nossa

Senhora de F´atima.

A minha fam´ılia pelo apoio, sacrif´ıcio, compreens˜ao de minha ausˆencia

em muitos momentos e por ser o alicerce que me d´a for¸ca, alegria, amor e

perseveran¸ca.

Ao professor Cl´audio por todos os ensinamentos, paciˆencia, aten¸c˜ao e dis-

ponibilidade para me atender, esclarecer d´uvidas etc...

As minhas amigas/irm˜as de rep´ublica Aline e Miriam, elas sim me aguen-

taram pacientemente, me ouviram (e como ouviram!) durante estes dois anos.

Pela oportunidade de ampliar minha amizade com a Miriam (j´a s˜ao quase 6

anos) e de conhecer a Aline, vivendo em um ambiente de paz e amizade em

nossa casa.

Agrade¸co tamb´em aos amigos dos grupos de ora¸c˜ao S˜ao Pe Pio, S˜ao Se-

basti˜ao e GOU-UNidos no ESP´ırito que proporcionaram para mim momentos

de intensa intimidade com Deus, onde eu sempre recarreguei minhas for¸cas.

Se hoje recebo este t´ıtulo, eles fazem parte desta conquista tamb´em.

Aos meus amigos da p´os-gradua¸c˜ao pelo conv´ıvio e amizade. Em particular,

aos grandes amigos Anderson e J´ulio vocˆes com certeza estar˜ao em meu cora¸c˜ao

mesmo que estejamos distantes.

Aos amigos de Prudente, Manduri e Cerqueira C´esar que mesmo distantes

ﬁsicamente estavam juntos em ora¸c˜ao e no cora¸c˜ao.

Ao professor Jos´e Roberto Nogueira (FCT/UNESP) que me incentivou a

seguir carreira acadˆemica.

Aos professores do departamento e funcion´arios do IBILCE. Particular-

mente aos professores Parham Salehyan e

Angela Maria Sitta pelas corre¸c˜oes

e dicas na qualiﬁca¸c˜ao. Tamb´em a Prof

. Dr

. Miriam Garcia Manoel pela

ajuda e as valiosas corre¸c˜oes em meu trabalho.

E tamb´em a FAPESP que me ajudou ﬁnanceiramente e me incetivou ainda

mais a pesquisa.

“Que fosse poss´ıvel colocar a ciˆencia ao servi¸co de Deus,

s´o o compreendi claramente com Santo Tom´as; e foi isso

que me fez decidir dedicar-me inteiramente ao trabalho

cient´ıﬁco.”

Edith Stein.

Sum´ario

Lista de S´ımbolos 9

Introdu¸c˜ao 13

1 Resultados Importantes de

Algebra e Representa¸c˜ao de Grupo 15

1.1

Algebra Linear Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Automorﬁsmos de

Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Grupos de Lie,

Algebras de Lie e A¸c˜oes Adjuntas . . . . . . . . 30

1.4 Representa¸c˜oes, Lema de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5 Decomposi¸c˜ao Isot´ıpica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Classiﬁca¸c˜ao das Representa¸c˜oes de G 54

2.1 Sistemas Lineares Revers´ıveis e Equivariantes . . . . . . . . . . 54

2.2 Prova de alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3 Representa¸c˜oes Irredut´ıveis de G . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3 Dinˆamica dos Sistemas Lineares Revers´ıveis Equivariantes 92

3.1 Fluxos Topologicamente Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2 Estudo dos autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas 120

Indice Remissivo 122

Lista de S´ımbolos

S´ımbolo Descri¸c˜ao P´agina

{A ∈ A| Σ(A) = A} 24

−

{A ∈ A| Σ(A) = −A} 24

A Automorﬁsmo K

(A) quando Σ ´e a conjuga¸c˜ao complexa 23



Automorﬁsmo K

(A) quando Σ ´e a conjuga¸c˜ao 23

quaterniˆonica

Algebra dos Complexos 14

gl(m; K)

Algebra das Matrizes m ×m com entradas em K 17

gl(m; H



) Conjunto das fun¸c˜oes H

−lineares, 28

onde α ´e a conjuga¸c˜ao quaterniˆonica

gl(m; C) Conjunto das fun¸c˜oes C

−lineares, 28

onde α ´e aconjuga¸c˜ao complexa

gl(V ; K) {f : V −→ V | f ´e K − linear} 15

gl(V ) {f : V −→ V | f ´e K − linear} 15

gl(V ; K

) {f : V −→ V | f(xk) = f (x)α(k), 26

∀x ∈ U, k ∈ K}

gl(V

, V

) {f : V

−→ V

| f ´e K − linear} 15

(V ) {f : V −→ V | f(ρ(g)v) = ρ(g)f(v), 42

∀g ∈ G, v ∈ V }

(V ) {L : V −→ V | L(ρ(g)v) = σ(g)ρ(g)L(v), 61

∀g ∈ G, v ∈ V }

S´ımbolo Descri¸c˜ao P´agina

(V, ρ) {L : V −→ V | L(ρ(g)v) = σ(g)ρ(g)L(v), 61

∀g ∈ G, v ∈ V }

G Grupo de Lie Compacto 56

GL(V ) {f : V −→ V | f ´e K − linear, invert´ıvel} 15

GL(V ; K) {f : V −→ V | f ´e K − linear, invert´ıvel} 15

GL(m; K) Grupo das matrizes m × m, invert´ıveis com 29

entradas em K

(V ) {f : V −→ V | f ´e invert´ıvel e 50

f(ρ(g)v) = ρ(g )f (v), ∀g ∈ G, v ∈ V }

Conjunto dos pontos ﬁxos da involu¸c˜ao Σ sobre G 31

Algebra dos Quat´ernios 14

((V

, ρ

), (V

, ρ

)) {f : V

−→ V

| f(ρ

(g)v) = ρ

(g)f (v), 42

∀g ∈ G, v ∈ V

}

((V

, V

) {f : V

−→ V

| f(ρ

(g)v) = ρ

(g)f (v), 42

∀g ∈ G, v ∈ V

}

(A) Σ

−1

◦ AΣ, onde Σ ´e um automorﬁsmo 23

sobre K

l(m, n; K) Conjunto das matrizes m × n com entradas em K 33

NSD Representa¸c˜ao irredut´ıvel que n˜ao ´e σ−auto dual 77

SD Representa¸c˜ao irredut´ıvel que ´e σ−auto dual 77

Algebra dos Reais 14

(R, σ) Representa¸c˜ao de um grupo G sobre Z

SO(n) {A ∈ GL(n; R)| AA

= Id

e det(A) = 1} 29

(U, τ

) Representa¸c˜ao σ−dual de (U, τ) 68

U ⊗ V Produto Tensorial de U por V 17

(V, ρ) Representa¸c˜ao de um grupo G sobre V 42

Conjuga¸c˜ao Quaterniˆonica 23

Resumo

Neste trabalho apresentamos um estudo dos campos de vetores lineares re-

vers´ıveis e equivariantes. Tal estudo tem como base a Teoria de Representa¸c˜oes

de grupos de Lie compactos. Usaremos o fato de que a a¸c˜ao de um grupo

de Lie compacto pode ser decomposta como soma direta de representa¸c˜oes

irredut´ıveis e de acordo com o Lema de Schur tais representa¸c˜oes poder˜ao ser

de trˆes tipos: R, C ou H. Daremos uma classiﬁca¸c˜ao das poss´ıveis estrutu-

ras dos sistemas lineares revers´ıveis equivariantes baseado na teoria de repre-

senta¸c˜oes citada acima e faremos um estudo dos autovalores para uma classe

particular de fun¸c˜oes σ−revers´ıveis. Dessa forma temos um cen´ario bem claro

da dinˆamica de tais sistemas em cada uma dessas classes.

Palavras chave: Sistemas Revers´ıveis, Sistemas Equivariantes, Teoria das

Representa¸c˜oes, Lema de Schur.

Abstract

In this work we present a study of the linear equivariant reversible vec-

tor ﬁelds. This study is based on the Theory of Representation of compact

Lie groups. We use the fact that an action of a compact Lie group can be

decomposed as a direct sum of irreducible representations, and according to

Schur’s Lemma these representations can be only of three types: R, C ou

H. We give a classiﬁcation of the possible structures of the linear equivariant

reversible systems based on the Theory of Representations mentioned above

and we study of the eigenvalues for a particular classes of σ−reversible maps.

In this way we have a very clear scenario about the dynamics of such systems

in each one of these classes.

Key words: Reversible Systems, Equivariant Systems, Theory of Represen-

tations, Schur’s Lemma.

Introdu¸c˜ao

Os sistemas lineares formam a base da maioria dos estudos sobre sistemas

dinˆamicos n˜ao-lineares. Em muitos casos, a dinˆamica local na vizinhan¸ca de

uma singularidade no espa¸co de fase ´e similar `a dinˆamica do sistema linear,

como o pr´oprio Teorema de Hartman garante, ver por exemplo [15]. Outro

aspecto que mostra a importˆancia do estudo de sistemas lineares ´e o seguinte:

A Teoria das Bifurca¸c˜oes, que estuda como a dinˆamica dos sistemas mudam

quando parˆametros s˜ao variados, em geral usa a teoria dos sistemas lineares

como uma de suas t´ecnicas principais.

O principal objetivo do trabalho ´e fazer um estudo da estrutura dos siste-

mas lineares que s˜ao simultaneamente revers´ıveis equivariantes.

Como veremos adiante no trabalho, os sistemas lineares revers´ıveis equiva-

riantes est˜ao associados a um grupo de Lie compacto G. Utilizamos resultados

da Teoria de representa¸c˜ao de grupos [6] e [7].

Usamos o fato de que a a¸c˜ao de um grupo de Lie compacto pode ser de-

composta como soma direta de representa¸c˜oes irredut´ıveis e de acordo com o

Lema de Schur tais representa¸c˜oes poder˜ao ser de trˆes tipos: R, C ou H. Assim

classiﬁcamos as representa¸c˜oes irredut´ıveis do grupo G mencionado acima.

Ap´os esta classiﬁca¸c˜ao ﬁzemos um estudo dos autovalores de um sistema li-

near revers´ıvel equivariante para uma classe particular de aplica¸c˜oes R−lineares

σ−revers´ıveis. Esse estudo ´e importante pois, para sistemas lineares, a posi¸c˜ao

dos autovalores no plano complexo determinam completamente a dinˆamica de

um sistema linear.

INTRODUC¸

AO 14

A referˆencia principal utilizada no desenvolvimento deste trabalho foi o

artigo de Lamb e Roberts [13]. Outros textos que serviram de apoio para

o estudo foram: Adams [1], Br¨ocker e Dieck [3], Golubitsky e Schaeﬀer [6],

Golubitsky [7] e Buzzi e Lamb [4].

O trabalho est´a organizado da seguinte maneira. No cap´ıtulo 1 abordamos

alguns resultados importantes de

Algebra e de Representa¸c˜ao de Grupos, tais

como Representa¸c˜oes Irredut´ıveis, Lema de Schur e Decomposi¸c˜ao Isot´ıpica,

que ser˜ao ´uteis nos cap´ıtulos seguintes para o desenvolvimento do trabalho.

No cap´ıtulo 2 apresentamos uma classiﬁca¸c˜ao das Representa¸c˜oes

Irredut´ıveis baseada no Lema de Schur.

No cap´ıtulo 3 ﬁzemos uma an´alise de como podem ser os autovalores e suas

respectivas multiplicidades para uma classe particular de fun¸c˜oes R−lineares

σ−revers´ıveis. Vimos tamb´em condi¸c˜oes para que dois sistemas lineares te-

nham a mesma dinˆamica, ou seja, para que seus ﬂuxos lineares sejam topolo-

gicamente conjugados.

Cap´ıtulo 1

Resultados Importantes de

Algebra e Representa¸c˜ao de

Grupo

1.1

Algebra Linear Real

Nesta se¸c˜ao veremos alguns conceitos b´asicos de

Algebra Linear Real, Pro-

dutos Tensoriais, entre outros que nos ser˜ao ´util na classiﬁca¸c˜ao dos sistemas

lineares revers´ıveis equivariantes.

Deﬁni¸c˜ao 1.1.1. Uma ´algebra linear real ´e um espa¸co vetorial real A junto

com a opera¸c˜ao produto, isto ´e, uma fun¸c˜ao bilinear de A×A em A.

Exemplos que tem um importante papel em teoria de representa¸c˜oes de

grupos incluem R, C e H, as ´algebras dos reais, complexos e quat´ernios com

seus produtos usuais.

Observa¸c˜ao 1.1.1. A opera¸c˜ao produto na ´algebra dos quat´ernios ´e dada por

m · n = (a + bi + cj + dk) · (x + yi + uj + wk)

= (ax + by − cu − dw) + (ay + bx + cw − du)i+

(au − bw + cx + dy)j + (aw + bu − cy + dx)k,

1.1.

ALGEBRA LINEAR REAL 16

para qualquer m, n ∈ H.

Deﬁni¸c˜ao 1.1.2. Seja A uma ´algebra linear real. Dizemos que A

⊂ A ´e

uma sub´algebra se para qualquer A, B ∈ A

temos AB ∈ A

Os n´umeros reais formam uma sub´algebra de C pois

R = { a + bi ∈ C| b = 0} e C ´e uma sub´algebra de H, pois

C = { a + bi + cj + dk ∈ H| c = d = 0}.

Temos que se K denota R, C ou H, ent˜ao K

denota a soma direta de m

c´opias de K.

Deﬁni¸c˜ao 1.1.3. Dizemos que V ´e um espa¸co vetorial `a esquerda de dimens˜ao

m sobre K, se existe uma fun¸c˜ao K × V −→ V dada por

(k, v) = kv = k(v

, ··· , v

) = (kv

, ··· , kv

A estrutura de um espa¸co vetorial `a direita ´e an´aloga a estrutura de espa¸co

vetorial `a esquerda, sendo que esta coincide para R e C, pois eles s˜ao comu-

tativos, o que n˜ao acontece para H. Sempre usaremos a estrutura de espa¸co

vetorial `a direita em H

, exceto onde ´e explicita a declara¸c˜ao que ´e requerida

uma estrutura esquerda.

Note que as imers˜oes de R em C e C em H signiﬁca que qualquer espa¸co

vetorial sobre H ´e naturalmente tamb´em um espa¸co vetorial sobre C e qualquer

espa¸co vetorial sobre C ´e tamb´em um espa¸co vetorial sobre R.

Temos tamb´em para estrutura de espa¸co vetorial K

, a estrutura de uma

´algebra linear real com a opera¸c˜ao produto dada por

u.v = (u

, ··· , u

)(v

, ··· , v

) = (u

, ··· , u

), ∀ u, v ∈ K

Para qualquer espa¸co vetorial `a direita V sobre K, denotaremos por gl(V ; K),

ou simplesmente gl(V ), o espa¸co das fun¸c˜oes K-lineares de V em V , gl(V

, V

)

o espa¸co das fun¸c˜oes K-lineares de V

em V

e por GL(V ; K), ou simplesmente

GL(V ), o espa¸co das fun¸c˜oes K-lineares invert´ıveis de V em V .

1.1.

ALGEBRA LINEAR REAL 17

Proposi¸c˜ao 1.1.1. Se V ´e um espa¸co vetorial `a esquerda, ent˜ao gl(V ; K) ´e

um espa¸co vetorial `a direita.

Demonstra¸c˜ao.

Sejam T ∈ gl(V ; K) tal que sua matriz ´e dada por







··· t







v = (v

, ··· , v

) ∈ V e k ∈ K.

Temos por deﬁni¸c˜ao que (kT )(v) = T (kv) e como por hip´otese V ´e um

espa¸co vetorial `a esquerda segue que

(kT )(v) = kT (v) = T (kv) = T (kv

, ··· , kv

ou ainda

(kT )(v) =







··· t



























j=1



j=1













k ··· t



















= (T k)(v).

Portanto, gl(V ; K) ´e um espa¸co vetorial `a direita.

Analogamente, se V ´e um espa¸co vetorial `a direita sobre K, o espa¸co

gl(V ; K) ´e um espa¸co vetorial `a esquerda sobre K. Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes

1.1.

ALGEBRA LINEAR REAL 18

tamb´em deﬁnem um produto em g l(V ; K) e assim temos a estrutura de uma

´algebra linear real.

Se V = K

denotaremos esta ´algebra por gl(m, K), como sendo a ´algebra

das matrizes m × m com entradas em K.

Vejamos que espa¸cos e fun¸c˜oes lineares podem ser combinadas por produtos

tensoriais. Para isto deﬁniremos primeiro o centro de uma ´algebra linear com

o objetivo de utilizar produtos tensoriais quando K = H.

Deﬁni¸c˜ao 1.1.4. Seja A uma ´algebra linear real. Deﬁnimos o centro de A

como o conjunto dos elementos que comutam com todos os elementos de A,

isto ´e

Z(A)= {x ∈A| xg = gx, ∀g ∈A} .

Exemplo 1.1.1. O centro da ´algebra linear real H ´e R.

Deﬁni¸c˜ao 1.1.5. Sejam U, V, M, N espa¸cos vetoriais e suponha que

ϕ : U × V −→ M ´e uma aplica¸c˜ao bilinear de U × V em M. O par ( M, ϕ)

´e chamado produto tensorial para U × V se dada ψ : U × V −→ N uma

transforma¸c˜ao bilinear, ent˜ao existe uma ´unica f : M −→ N linear tal que

ψ = f ◦ ϕ.

Ou ainda, se o diagrama ´e comutativo.

U × V

Denotaremos M por U ⊗V e o par (M, ϕ) ´e a aplica¸c˜ao ϕ : U ×V −→ U ⊗V

dada por ϕ(x, y) = x ⊗ y.

Assim, o fato de ϕ : U ×V −→ U ⊗V ser bilinear nos diz que para qualquer

x, x

, x

∈ U , y, y

, y

∈ V e λ, µ ∈ K,

1. (λx

+ µx

) ⊗ y = λ(x

⊗ y) + µ(x

⊗ y),

1.1.

ALGEBRA LINEAR REAL 19

2. x ⊗ (λy

+ µy

) = λ(x ⊗ y

) + µ(x ⊗ y

Observa¸c˜ao 1.1.2. A deﬁni¸c˜ao acima que estaremos usando de produto ten-

sorial n˜ao ´e a deﬁni¸c˜ao mais geral, por´em esta pode ser encontrada em [20],

p´agina 54.

Observa¸c˜ao 1.1.3. Para K = R ou C o produto tensorial U ⊗ W de dois

espa¸cos vetoriais U e W sobre K ´e tamb´em um espa¸co vetorial sobre K.

Deﬁni¸c˜ao 1.1.6. Sejam U

, U

, V

espa¸cos vetoriais sobre K, S ∈ gl(V

, V

T ∈ gl(U

, U

). Ent˜ao, o produto tensorial de S e T ´e dado pela fun¸c˜ao

S ⊗ T : V

⊗

−→ V

⊗

(v ⊗u) −→ S(v) ⊗ T (u).

Em termos de matrizes temos,

[S ⊗ T ] =







[T ] ··· S

[T ]

[T ] ··· S

[T ]







onde [T ] ´e a matriz da fun¸c˜ao linear T e [S] =







··· S







´e a matriz

de S.

Observe que sendo a dimS = m e dimT = n, ent˜ao dimS ⊗ T = mn.

Proposi¸c˜ao 1.1.2. Sejam U e W espa¸cos vetoriais sobre K, onde K = R ou

C, de dimens˜oes m e n, respectivamente. Se A : U −→ U e B : W −→ W

s˜ao fun¸c˜oes K-lineares, ent˜ao A ⊗ B ´e uma fun¸c˜ao K-linear de U ⊗

W em

U ⊗

W .

1.1.

ALGEBRA LINEAR REAL 20

Demonstra¸c˜ao

Sejam u, w ∈ U ⊗

W , onde u =













, w =













e l = mn.

Queremos mostrar que

A ⊗

B(αu + βw) = αA ⊗

B(u) + βA ⊗

B(w),

para qualquer α, β ∈ K.

Por hip´otese, temos que A e B s˜ao fun¸c˜oes lineares. Consideremos suas

matrizes

[A] =







··· A







e [B] =







··· B







Ent˜ao, αA ⊗

B(u) + βA ⊗

B(w) ´e dado por

[B] . . . A

[B]

[B] . . . A

[B]

+ β

[B] . . . A

[B]

[B] . . . A

[B]

= α

. . . A

· · ·

. . . A

· · ·

+ β

. . . A

· · ·

. . . A

· · ·

αu

+ · · · + A

αu

+ · · · + A

βw

+ · · · + A

βw

+ · · ·

αu

+ · · · + A

αu

+ · · · + A

βw

+ · · · + A

βw

+ · · ·

1.1.

ALGEBRA LINEAR REAL 21

Assim,

αA ⊗

B(u) + βA ⊗

B(w) =

(αu

+ βw

) + · · · + A

(αu

+ βw

) + · · ·

(αu

+ βw

) + · · · + A

(αu

+ βw

) + · · ·

· · · A

· · ·

· · · A

· · ·

αu

+ βw

αu

+ βw

= A ⊗

B(αu + βw).

E preciso cuidado quando K = H, pois este n˜ao ´e comutativo. Contudo, se

U ´e um espa¸co vetorial `a direita sobre H e W ´e um espa¸co vetorial `a esquerda

sobre H, ent˜ao U ⊗

W ´e ainda bem deﬁnido e naturalmente tem a estrutura

de um espa¸co vetorial sobre o centro de H, isto ´e, sobre R.

Se A : U −→ U e B : W −→ W s˜ao fun¸c˜oes H-lineares, com estruturas

direita e esquerda sobre H, respectivamente, ent˜ao A ⊗

B ´e uma fun¸c˜ao R-

linear de U ⊗

W sobre ele mesmo.

Vejamos algumas inclus˜oes naturais de ´algebra linear real que ser˜ao usadas

de forma natural por todo este texto.

1. K ⊂ K

⊂ gl(m; K).

De fato, a primeira inclus˜ao ´e dada pela fun¸c˜ao k −→ (k, ··· , k) e a se-

gunda por (k

, ··· , k

) −→ diag(k

, ··· , k

), isto ´e, na matriz diagonal

com entradas k

, ··· , k

2. gl(m; K) ⊂ gl(rm; K) para qualquer r ≥ 1.

De fato, esta inclus˜ao ´e dada em termos de matrizes pela fun¸c˜ao

1.1.

ALGEBRA LINEAR REAL 22

A =







··· a







−→







··· a







onde I

´e a fun¸c˜ao identidade sobre K

. Isto ocorre usando 1), onde

−→ diag(a

) tal que i, j = 1, ··· , m.

3. gl(m; R) ⊂ gl(m; C) ⊂ gl(m; H).

De fato, estas inclus˜oes valem pelo fato das inclus˜oes naturais

R ⊂ C ⊂ H, isto ´e, qualquer matriz com entradas em R pode ser conside-

rada uma matriz com entradas em C que por sua vez pode ser considerada

uma matriz com entradas em H.

4. gl(m; C) ⊂ gl(2m; R).

De fato, o isomorﬁsmo entre os espa¸cos vetoriais C e R

dado por

a + bi −→ (a, b) se estende naturalmente para um isomorﬁsmo entre

e R

. A inclus˜ao de gl(m; C) em gl(2m; R) ´e obtido por considerar

fun¸c˜oes lineares complexas sobre C

como fun¸c˜oes lineares reais sobre

. Em termos de matrizes temos







+ ib

··· a

+ ib

··· a

+ ib







−→







−b

··· a

−b

··· b

−b

··· a

−b

··· b







Isto decorre do isomorﬁsmo

+ ib

−→





0 a









0 −1

1 0









0 b





tal que i −→





0 −1

1 0





1.2. AUTOMORFISMOS DE

ALGEBRAS 23

5. gl(m; H) ⊂ gl(2m; C).

De fato, o isomorﬁsmo entre H e C

´e dado por q = α + jβ −→ (α, β)

que induz um isomorﬁsmo dos espa¸cos C-vetoriais H

com C

, onde a

estrutura complexa sobre H

´e aquela herdada da estrutura direita de

H. Sobre este isomorﬁsmo toda fun¸c˜ao H-linear ´e C-linear.

Em termos de matrizes a inclus˜ao ´e dada por

+ jβ

· · · α

+ jβ

· · · α

+ jβ

−→

−β

· · · α

−β

· · · β

−β

· · · α

−β

· · · β

1.2 Automorﬁsmos de

Algebras

Deﬁni¸c˜ao 1.2.1. Um automorﬁsmo sobre uma ´algebra linear real A ´e uma

aplica¸c˜ao R-linear invert´ıvel Σ : A −→ A que preserva a opera¸c˜ao produto,

isto ´e, Σ(AB) = Σ(A)Σ(B), para quaisquer A, B ∈ A.

O seguinte resultado descreve os automorﬁsmos das ´algebras R, C e H.

Proposi¸c˜ao 1.2.1. 1. O automorﬁsmo da ´algebra R ´e somente a fun¸c˜ao

identidade.

2. Os automorﬁsmos da ´algebra C s˜ao a identidade e o conjugado complexo.

3. Os automorﬁsmos da ´algebra H s˜ao precisamente as fun¸c˜oes

: H −→ H dada por Σ

(x) = q

−1

xq, para algum quat´ernio invert´ıvel

Demonstra¸c˜ao.

Demonstraremos apenas os casos 1 e 2. O caso 3 se encontra em [16]

p´aginas 230-231.

1. Seja Σ um automorﬁsmo da ´algebra de R. Por deﬁni¸c˜ao de automorﬁsmo

Σ(m) = mΣ(1) para qualquer m ∈ R. Mas temos que R ´e um corpo, ou

seja, Σ(1) = 1. Ent˜ao, Σ(m) = m, para qualquer m ∈ R.

1.2. AUTOMORFISMOS DE

ALGEBRAS 24

Portanto, a identidade ´e o ´unico automorﬁsmo da ´algebra de R.

2. Seja x ∈ C tal que x = a + bi, com a, b ∈ R. Por deﬁni¸c˜ao de automor-

ﬁsmo Σ(x) = a + bΣ(i).

Observe que

Σ(i) = Σ(

√

−1) =⇒ Σ

(i) = Σ

(

√

−1) = Σ((

√

−1)

) = Σ(−1) = −1

=⇒ Σ(i) = ±

√

−1 = ±i.

Ent˜ao, Σ(x) = a + bi = x ou Σ(x) = a − bi = x. Portanto, os automor-

ﬁsmos da ´algebra de C s˜ao a identidade e o conjugado complexo.

Ser´a conveniente para os automorﬁsmos Σ

de H um tratamento especial e

os denotaremos por Σ

(x) = x



, chamado conjuga¸c˜ao quaterniˆonica.

Note que, Σ

(a + ib + jc + kd) = (a + ib + jc + kd)



= a + ib − jc − kd

e seu conjunto de pontos ﬁxos ´e a sub´algebra C imersa em H. Isto ´e an´alogo

ao aspecto de R como o conjunto de pontos ﬁxos do automorﬁsmo conjugado

complexo sobre C.

Um automorﬁsmo Σ sobre K = R, C ou H estende-se de forma natural

para um automorﬁsmo de K

que continuaremos denotando por Σ,

Σ(k

, ··· , k

) = (Σ(k

), ··· , Σ(k

)).

Um automorﬁsmo de gl(m; K), denotado por K

, ´e dado por

(A) = Σ

−1

◦ A ◦ Σ, (1.1)

onde Σ ´e o automorﬁsmo sobre K.

Se A ´e uma matriz com entradas em K a matriz K

(A) ´e obtida aplicando

Σ em cada uma de suas entradas. Se Σ ´e o automorﬁsmo conjugado complexo

ou quaterniˆonico, denotaremos K

(A) por A ou A



, respectivamente.

1.2. AUTOMORFISMOS DE

ALGEBRAS 25

Relembraremos a deﬁni¸c˜ao de involu¸c˜ao e de um m´odulo sobre uma ´algebra,

para utilizarmos na demonstra¸c˜ao da pr´oxima proposi¸c˜ao.

Deﬁni¸c˜ao 1.2.2. Uma involu¸c˜ao sobre uma ´algebra A ´e o automorﬁsmo in-

vert´ıvel Σ sobre A que ´e o seu pr´oprio inverso, ou seja, Σ

= Id

Deﬁni¸c˜ao 1.2.3. Dizemos que um m´odulo V sobre uma ´algebra A ´e um espa¸co

vetorial, juntamente com uma opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao A×V −→ V , deno-

tada por (X, v) −→ Xv, que satisfaz as seguintes propriedades

i) (X + Y )v = Xv + Y v,

ii) X(u + v) = Xu + Xv,

iii) xXv = X(xv),

iv) [X, Y ]v = XY v − Y Xv, onde [ , ] ´e o colchete de Lie,

para qualquer X, Y ∈A, v, u ∈ V e um escalar x, .

Exemplos de involu¸c˜oes sobre uma ´algebra s˜ao os automorﬁsmos da con-

juga¸c˜ao complexa e quaterniˆonica.

Algumas propriedades elementares de involu¸c˜oes sobre uma ´algebra s˜ao

resumidas na seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 1.2.2. Seja A uma ´algebra linear real com uma involu¸c˜ao Σ.

1. A ´algebra A se decomp˜oe com uma soma direta de espa¸cos lineares

A = A

⊕ A

−

, onde

= {A ∈ A| Σ(A) = A} e A

−

= {A ∈ A| Σ(A) = −A}.

2. O subespa¸co A

´e uma sub´algebra de A e A ´e um m´odulo sobre A

3. O subespa¸co A

−

´e um subm´odulo de A sobre A

1.2. AUTOMORFISMOS DE

ALGEBRAS 26

Demonstra¸c˜ao.

1. Mostraremos que A = A

+ A

−

e A

∩ A

−

= {0}.

De fato

A ∈ A

∩ A

−

=⇒ A ∈ A

e A ∈ A

−

=⇒ Σ(A) = A e Σ(A) = −A

=⇒ A = −A

=⇒ A = 0

=⇒ A

∩ A

−

= {0}.

Seja A ∈ A. Temos que A =

A + Σ(A)

A − Σ(A)

Observe que

A + Σ(A)

∈ A

A − Σ(A)

∈ A

−

Portanto, A = A

⊕ A

−

2. Mostremos primeiramente que A

´e uma sub´algebra de A. De fato,

Σ(AB) = Σ(A)Σ(B) = AB =⇒ AB ∈ A

, ∀A, B ∈A

Pela Deﬁni¸c˜ao (1.1.1), A ´e um espa¸co vetorial real com a aplica¸c˜ao pro-

duto dada pela fun¸c˜ao bilinear de A×A em A. Em particular, tem-se a

opera¸c˜ao f : A

×A−→ A dada por (A

, A)−→A

A, que satisfaz, para

qualquer A

, B

∈A

, A, B ∈A e um escalar x

i) (A

+ B

)A = f(A

+ B

, A) = f (A

, A) + f (B

, A)

= (A

A) + (B

A),

ii) A

(A+B) = f (A

, A+B) = f(A

, A)+f (A

, B) = (A

A)+(A

B),

iii) xA

A = xf(A

, A) = f (A

, xA) = A

(xA),

1.2. AUTOMORFISMOS DE

ALGEBRAS 27

iv) [A

, B

]A = (A

− B

)A = f(A

− B

, A)

= f (A

, A) − f (B

, A) = (A

A) − (B

A).

Portanto de i), ii), iii) e iv) segue que A ´e um m´odulo sobre A

3. Mostrar que A

−

´e um subm´odulo de A sobre A

, ou seja,

∀A

∈ A

, ∀A

−

∈ A

−

, A

−

∈ A

−

De fato, sejam A

∈ A

e A

−

∈ A

−

Σ(A

−

) = Σ(A

)Σ(A

−

) = A

(−A

−

) = −(A

−

) =⇒ A

−

∈ A

−

Deﬁni¸c˜ao 1.2.4. Sejam U e V espa¸cos vetoriais `a direita sobre K e α ´e

um automorﬁsmo de K. Dizemos que uma fun¸c˜ao R-linear f de U em V ´e

-linear ou K-semilinear com rela¸c˜ao a α se

f(xk) = f (x)α(k), ∀x ∈ U, k ∈ K.

Uma deﬁni¸c˜ao an´aloga pode ser feita para fun¸c˜oes entre espa¸cos vetoriais

esquerdo. Denotaremos o espa¸co das fun¸c˜oes K

-lineares do espa¸co vetorial V

em V por gl(V ; K

Observa¸c˜ao 1.2.1. Se V ´e um K-espa¸co vetorial `a direita de dimens˜ao n,

ent˜ao como gl(V ; K) ´e um espa¸co vetorial esquerdo, gl(V ; K

) ´e um K-espa¸co

vetorial esquerdo.

De fato, sejam f ∈ gl(V ; K

), k ∈ K e x = (x

, ··· , x

) ∈ V .

(kf )(x) = kf(x) = k







··· a



















1.2. AUTOMORFISMOS DE

ALGEBRAS 28

Ent˜ao,

(kf )(x) =







··· ka

























+ ··· + x







Portanto,

(kf )(x) = (kf)(x).

Observa¸c˜ao 1.2.2. Como a composi¸c˜ao de duas fun¸c˜oes K

-lineares ´e K-

linear, para K = R ou C e n˜ao K

-linear, se α n˜ao ´e a identidade, ent˜ao em

geral gl(V ; K

) n˜ao ´e uma ´algebra em rela¸c˜ao a composi¸c˜ao.

De fato, sejam A, B ∈ gl(V ; K

), x ∈ V e k ∈ K.

(A ◦ B)(xk) = A(B(xk)) = A(B(x)α(k)) = A ◦ B(x)α

(k). (1.2)

Por outro lado, para qualquer x ∈ V e k ∈ K

(A ◦ B)(xk) = A ◦ B( x)α(k). (1.3)

Portanto, de (1.2) e (1.3) temos que,

= α =⇒ α = Id

ou seja, (A◦B) ´e K

−linear se, e somente se, o automorﬁsmo α ´e a identidade.

Vejamos que A ◦ B ´e K-linear. De fato, sejam β ∈ K e u, v ∈ V .

Como A e B s˜ao K

-lineares, por deﬁni¸c˜ao, segue que A e B s˜ao R-lineares.

Logo,

A ◦ B(u + v) = A(B(u) + B(v)) = A ◦ B(u) + A ◦ B(v), ∀u, v ∈ V.

E ainda por (1.2)

A ◦ B(wβ) = A ◦ B(w)α

(β), ∀w ∈ V, β ∈ K.

1.2. AUTOMORFISMOS DE

ALGEBRAS 29

Pela Proposi¸c˜ao (1.2.1) segue que,

i) Se K = R, ent˜ao α = Id

. Logo A ◦B(wβ) = A ◦B(w)β, para qualquer

w ∈ V e β ∈ K.

ii) Se K = C, ent˜ao α = Id

ou conjuga¸c˜ao complexa.

Se α = Id

, ent˜ao analogamente ao item 1. A ◦ B(βw) = βA ◦ B(w),

para qualquer w ∈ V e β ∈ K.

Se α = conjuga¸c˜ao complexa, ent˜ao

A ◦ B(wβ) = A ◦B(w)α

(β) = A ◦B(w)β = A ◦B(w)β, ∀w ∈ V, β ∈ K.

Portanto, A ◦ B ´e K−linear para K = R ou C.

No caso em que K = C e α ´e a conjuga¸c˜ao complexa, substitu´ımos a nota¸c˜ao

por C, ou seja, g l(V ; K

) = gl(m; C). Analogamente, para K = H e α a

conjuga¸c˜ao quaterniˆonica, temos que gl(V ; K

) = gl(m; H



Fun¸c˜oes semilineares podem ser combinadas por produtos tensoriais em

muitos casos usando o mesmo caminho que as fun¸c˜oes lineares. Em

particular, se U e W s˜ao espa¸cos K-vetoriais `a direita e `a esquerda, respectiva-

mente, A : U −→ U e B : W −→ W s˜ao fun¸c˜oes K

-lineares, ent˜ao A ⊗

B ´e

bem deﬁnido como uma fun¸c˜ao K

-linear de U ⊗

W em U ⊗

W , considerado

como um espa¸co vetorial sobre o centro de K.

De fato, sejam u ⊗ w ∈ U ⊗

W e k ∈ K.

(A ⊗

B)((u ⊗ w)k) = (A ⊗

B)(u ⊗ (wk))

= A(u) ⊗

B(wk)

= A(u) ⊗

(B(w)α(k))

= [A(u) ⊗

B(w)]α(k)

= (A ⊗

B)(u ⊗ w)α(k).

Portanto A ⊗

B ´e semilinear.

1.3. GRUPOS DE LIE,

ALGEBRAS DE LIE E AC¸

OES ADJUNTAS 30

Observe que o produto tensorial U ⊗

W est´a bem deﬁnido sobre o centro

de K, pois K = H n˜ao ´e comutativo. Assim o automorﬁsmo que torna A ⊗

−linear ´e o automorﬁsmo α restrito ao centro de K.

Se K

= C, ent˜ao temos que A ⊗

B ´e uma fun¸c˜ao C-linear bem deﬁnida,

enquanto que se K

= H



, A ⊗

B ´e uma fun¸c˜ao R-linear.

1.3 Grupos de Lie,

Algebras de Lie e A¸c˜oes

Adjuntas

Deﬁni¸c˜ao 1.3.1. Seja G uma variedade diferenci´avel com estrutura de grupo.

Dizemos que G ´e um grupo de Lie se a aplica¸c˜ao G × G −→ G deﬁnida por

(a, b) −→ ab

−1

for diferenci´avel. Em particular a aplica¸c˜ao G −→ G tal que

b −→ b

−1

´e diferenci´avel.

Exemplo 1.3.1. O espa¸co euclidiano R

e o espa¸co C

∗

, dos n´umeros comple-

xos n˜ao nulos, com as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, respectivamente.

Exemplo 1.3.2. O conjunto GL(m; K) das matrizes invert´ıveis m × m com

entradas em K e a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de matrizes.

Exemplo 1.3.3. O conjunto das rota¸c˜oes n-dimensionais dado por

SO(n) = {A ∈ GL(n; R)| AA

= Id

e det(A) = 1}.

Deﬁni¸c˜ao 1.3.2. Uma ´algebra de Lie g sobre R ´e um espa¸co vetorial real g

junto com um operador [ , ] : g ×g −→ g tal que para todo X, Y, Z ∈ g temos

1. [X, X] = 0,

2. [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0.

Exemplo 1.3.4. O espa¸co gl(m; K) tem a estrutura de uma ´algebra de Lie

com a opera¸c˜ao colchetes de Lie dada por

[A, B] = AB − BA.

1.3. GRUPOS DE LIE,

ALGEBRAS DE LIE E AC¸

OES ADJUNTAS 31

Observa¸c˜ao 1.3.1. 1. A importˆancia do conceito de ´algebra de Lie ´e que

existe uma ´algebra de Lie especial, de dimens˜ao ﬁnita, intimamente as-

sociada com o respectivo grupo de Lie, e que propriedades do grupo de

Lie s˜ao reﬂetidas em propriedades de sua ´algebra de Lie associada.

2. A ´algebra de Lie g tamb´em pode ser vista como o espa¸co tangente do

Grupo de Lie G em seu elemento neutro.

3. O conjunto GL(n; K) ´e o grupo de Lie associado a ´algebra de Lie gl (n; K).

Deﬁni¸c˜ao 1.3.3. Sejam M um conjunto qualquer e G um grupo de Lie. Di-

zemos que uma a¸c˜ao de G sobre M ´e uma fun¸c˜ao C

∞

, µ : G × M −→ M

satisfazendo

1. µ(στ, m) = µ(σ, µ(τ, m)) para quaisquer σ, τ ∈ G, m ∈ M ,

2. µ(e, m) = m, para qualquer m ∈ M onde e ´e o elemento neutro de G,

3. Para cada τ ∈ G,

µ(τ, v

+ v

) = µ(τ, v

) + µ(τ, v

µ(τ, αv) = αµ(τ, v),

para quaisquer v, v

, v

∈ M e α ∈ K.

Exemplo 1.3.5. A a¸c˜ao canˆonica ou natural do grupo de Lie GL(m; K) sobre

sua ´algebra gl(m; K) ´e dada por

GL(m; K) × gl(m; K) −→ gl(m; K)

(φ, A) −→ φ

−1

Aφ.

Esta a¸c˜ao ´e chamada A¸c˜ao Adjunta de GL(m; K) sobre gl(m; K).

De maneira geral, para cada ´algebra de Lie g existe um grupo de Lie G

associado e uma a¸c˜ao natural adjunta de G sobre g.

1.3. GRUPOS DE LIE,

ALGEBRAS DE LIE E AC¸

OES ADJUNTAS 32

Deﬁni¸c˜ao 1.3.4. Uma involu¸c˜ao Σ sobre uma ´algebra de Lie g ´e uma in-

volu¸c˜ao de Lie sobre esta ´algebra se preserva o colchete de Lie, isto ´e,

[Σ(A), Σ(B)] = Σ([ A, B]).

Observe que se Σ ´e uma involu¸c˜ao sobre a ´algebra gl(m; K), ent˜ao clara-

mente, tamb´em ´e uma involu¸c˜ao de Lie sobre gl(m; K). De fato,

[Σ(A), Σ(B)] = Σ(A )Σ(B) − Σ(B)Σ(A) = Σ(AB − BA) = Σ([A, B]).

Uma involu¸c˜ao de Lie sobre uma ´algebra de Lie g induz uma involu¸c˜ao de

Lie sobre seu grupo de Lie G, correspondente, que denotaremos tamb´em por

Σ.

Como A

e A

−

denotam os ±1 autoespa¸cos de Σ sobre A, pela Proposi¸c˜ao

(1.2.2), A

´e uma sub´algebra de Lie da ´algebra de Lie A e A

−

um subm´odulo

sobre A

. Se G

denota o conjunto dos pontos ﬁxos de Σ sobre G, os seguintes

resultados s˜ao consequˆencias imediatas das deﬁni¸c˜oes.

Proposi¸c˜ao 1.3.1. 1. A sub´algebra de Lie A

´e a ´algebra de Lie de G

2. A restri¸c˜ao da a¸c˜ao adjunta de G em A, para G

, preserva os subespa¸cos

e A

−

. A a¸c˜ao induzida de G

sobre A

´e a a¸c˜ao adjunta de G

Demonstra¸c˜ao.

1. Queremos mostrar que A

= T

, isto ´e, A

´e o plano tangente de G

em seu elemento neutro e.

De fato,

a ∈ T

=⇒ ∃λ : (−, ) −→ G

, onde λ



(0) = a e λ(0) = e. (1.4)

Temos que λ ´e um caminho e para todo t ∈ (−, ), λ(t) ∈ G

. Logo

como G

denota o conjunto dos pontos ﬁxos de Σ, segue que

Σ(λ(t)) = λ(t) para todo t ∈ (−, ).

Observe, pela Regra da Cadeia, que λ



(t) = (Σ(λ(t)))



= DΣ

λ(t)

(λ



(t)),

para todo t ∈ (−, ).

1.3. GRUPOS DE LIE,

ALGEBRAS DE LIE E AC¸

OES ADJUNTAS 33

Em particular para t = 0



(0) = DΣ

λ(0)

(λ



(0)) = DΣ

(λ



(0)).

Ent˜ao, por (1.4) segue que, Σ(a) = a, ou seja, a ∈ A

. Portanto,

⊂ A

Analogamente seja b ∈ A

, assim Σ(b) = b.

Seja o caminho,

λ : (−, ) −→ G

t −→ tb.

Temos que λ(0) = 0 e λ



(0) = b. Portanto, A

⊂ T

Finalmente, conclu´ımos que A

= T

, e pela observa¸c˜ao (1.3.1), segue

que A

´e a ´algebra de Lie associada `a G

2. Considere a a¸c˜ao adjunta de G sobre A dada por

ϕ : G × A −→ A

(T, t) −→ T ◦ t.

Restringindo ϕ para G

devemos mostrar que as fun¸c˜oes



: G

× A

−→ A



: G

× A

−

−→ A

−

est˜ao bem deﬁnidas.

De fato, lembrando que

= {A ∈ A| Σ(A) = A} e A

−

= {A ∈ A| Σ(A) = −A}.

1.3. GRUPOS DE LIE,

ALGEBRAS DE LIE E AC¸

OES ADJUNTAS 34

sejam T ∈ G

, t

∈A

e t

−

∈A

−

i) Σ(T ◦ t

) = Σ(T ) ◦ Σ(t

) = T ◦ t

=⇒ T ◦ t

∈A

ii) Σ(T ◦ t

−

) = Σ(T ) ◦ Σ(t

−

) = T ◦ (−t

−

) = −T ◦ t

−

=⇒ T ◦ t

−

∈A

−

Portanto, de i) e ii) segue que ϕ



e ϕ



est˜ao bem deﬁnidas. Assim,

conclu´ımos que A

e A

−

s˜ao preservados pela a¸c˜ao adjunta de G sobre

A restrita `a G

Descreveremos alguns exemplos de ´algebras de Lie A e involu¸c˜oes Σ que

ser˜ao usados posteriormente.

Para estes exemplos consideremos a involu¸c˜ao R

m,n

sobre K

⊕K

que ﬁxa

e atua por −I sobre K

, ent˜ao sua matriz ´e dada por [R] =





m×m

m×n

n×m

−I

n×n





E lembremos que l(m, n; K) ´e o conjunto das matrizes m ×n com entradas em

Exemplo 1.3.6. Seja a ´algebra A= gl(m + n; K) e a involu¸c˜ao

Σ(A) = R

−1

m,n

A R

m,n

sobre A.

Considere A ∈ A

dado pela matriz [A] =









tal que

= [A

]

m×m

, A

= [A

]

m×n

, A

= [A

]

n×m

e A

= [A

]

n×n

Assim,

Σ(A) = A =⇒ R

−1

m,n

A R

m,n

= A =⇒ A R

m,n

= R

m,n

1.3. GRUPOS DE LIE,

ALGEBRAS DE LIE E AC¸

OES ADJUNTAS 35

Em termos de matrizes,













m×m

m×n

n×m

−I

n×n









m×m

m×n

n×m

−I

n×n













=⇒ A

= A

= 0

=⇒ [A] =





0 A





= A

⊕ A

onde A

∈ gl(m; K) e A

∈ gl(n; K).

Ent˜ao, A

⊂ gl(m; K) ⊕ gl(n; K). Portanto, A

= gl(m; K) ⊕ gl(n; K) pois

facilmente veriﬁcamos inclus˜ao contr´aria.

Analogamente seja B ∈A

−

formado pelos blocos B

com as mesmas di-

mens˜oes de A

onde i = 1 , 2, 3, 4. Como neste caso Σ(B) = −B, em termos de

matrizes temos que













m×m

m×n

n×m

−I

n×n









−I

m×m

m×n

n×m

n×n













=⇒ B

= B

= 0

=⇒ [B] =





0 B





onde B

∈ l(n, m; K) e B

∈ l(m, n; K).

Portanto, A

−











0 B

A 0





| A ∈ l(m, n; K) , B ∈ l(n, m; K)







O grupo de Lie G

´e GL(m; K) × GL(n; K), considerando como um sub-

grupo de GL(m + n; K).

A a¸c˜ao de G

sobre A

´e o pro duto da a¸c˜ao adjunta de GL(m; K) e

GL(n; K). Vejamos qual ´e a a¸c˜ao de G

sobre A

−

1.3. GRUPOS DE LIE,

ALGEBRAS DE LIE E AC¸

OES ADJUNTAS 36

Da deﬁni¸c˜ao de a¸c˜ao segue que

(GL(m; K) × GL(n; K)) × (l(m, n; K) ⊕ l(n, m; K)) −→ (l(m, n ; K) ⊕ l(n, m; K))

((φ

, φ

), (A, B)) −→ (φ

, φ

)

−1

(A, B)(φ

, φ

Observe que a matriz de ( φ

, φ

) ´e dada por





0 φ





e sua inversa





−1

0 φ

−1





Ent˜ao,

(φ

, φ

)

−1

(A, B)(φ

, φ

) =





−1

0 φ

−1









0 B

A 0









0 φ









0 φ

−1

Bφ

−1

Aφ





= (φ

−1

Aφ

, φ

−1

Bφ

Portanto a a¸c˜ao de G

sobre A

−

´e dada por

((φ

, φ

), (A, B)) −→ (φ

−1

Aφ

, φ

−1

Bφ

Exemplo 1.3.7. Seja A = gl(m; C) uma ´algebra de Lie e sua involu¸c˜ao dada

por Σ(A) = A.

Observe que neste caso,

= {A ∈ A| A = A} = gl(m; R) e A

−

= {A ∈ A| − A = A},

onde A

−

´e identiﬁcado como o espa¸co das matrizes m ×m com entradas ima-

gin´arias.

1.3. GRUPOS DE LIE,

ALGEBRAS DE LIE E AC¸

OES ADJUNTAS 37

Considere o isomorﬁsmo,

gl(m; C) −→ gl(m; R) ⊕ gl(m; R)

A + Bi −→ (A, B).

Como gl(m; C) = A = A

⊕A

−

, ent˜ao o isomorﬁsmo acima restrito a A

−

mostra que A

−

∼

gl(m; R).

O grupo de Lie G associado `a ´algebra A ´e GL(m; C) e de G

´e GL(m; R).

A a¸c˜ao de G

sobre A

e A

−

s˜ao ambas isomorfas a a¸c˜ao adjunta de

GL(m; R) sobre gl(m; R).

Exemplo 1.3.8. Considere A = gl(2m; R) e a involu¸c˜ao Σ(A) = −iAi, onde

i ´e identiﬁcado como um escalar em gl(m; C) e desde j´a como um elemento de

gl(2m; R).

Seja A ∈A

dado pela matriz







··· a

1(n−1)

··· a

2(n−1)

(n−1)1

(n−1)2

··· a

(n−1)(n−1)

(n−1)n

··· a

n(n−1)







onde a

∈ R e n = 2m.

Considere i como um elemento de gl(2m; R) dado pela matriz







0 −1 0 ··· 0

1 0 0 ··· 0

0 0

. ··· 0 −1

0 0 ··· 1 0







isto ´e, i ´e dado por uma matriz 2m × 2m formada pelos blocos





0 −1

1 0





em sua diagonal principal.

1.3. GRUPOS DE LIE,

ALGEBRAS DE LIE E AC¸

OES ADJUNTAS 38

Assim como A = −iAi, fazendo as multiplica¸c˜oes das matrizes, obtemos

que

A =







··· a

1(n−1)

−a

··· −a

1(n−1)

(n−1)1

(n−1)2

··· a

(n−1)(n−1)

(n−1)n

−a

(n−1)2

(n−1)1

··· −a

(n−1)n

(n−1)(n−1)







∈ gl(m; C),

pois para cada bloco da matriz A temos





−a





∼

+ a

Ent˜ao, segue que A

⊂ gl(m; C).

Observe ainda que se B ∈ gl(m; C), ent˜ao −iBi = B, logo, B ∈A

e assim

gl(m; C) ⊂A

Portanto, A

= gl(m; C).

Seja D ∈A

−

dado pela matriz







··· d

1(n−1)

··· d

2(n−1)

(n−1)1

(n−1)2

··· d

(n−1)(n−1)

(n−1)n

··· d

n(n−1)







onde d

∈ R e n = 2m.

Como −D = −iDi, fazendo os c´alculos entre as matrizes, obtemos que,

D =







··· d

1(n−1)

−d

··· d

−d

1(n−1)

(n−1)1

(n−1)2

··· d

(n−1)(n−1)

(n−1)n

(n−1)2

−d

(n−1)1

··· d

(n−1)n

−d

(n−1)(n−1)







Considere u ∈ R

e k ∈ C, dado pela matriz em gl(m; C)

1.3. GRUPOS DE LIE,

ALGEBRAS DE LIE E AC¸

OES ADJUNTAS 39







+ if

··· c

+ if

··· c

+ if







ou ainda, como um elemento de gl(2m; R)







−f

··· c

1m)

−f

··· f

−f

··· c

−f

··· f







Analogamente, atrav´es da multiplica¸c˜ao das matrizes, veriﬁcaremos que

D(ku) = kD(u), onde a matriz de k ´e dada por,







··· c

1m)

−f

··· −f

··· c

−f

··· −f







Ent˜ao, D ∈ gl(m; C) e assim A

−

⊂ gl(m; C).

Seja F ∈ gl(m; C), logo −iF i = −i − iF = −F , ou seja, F ∈A

−

, ent˜ao

gl(m; C) ⊂A

−

Portanto, A

−

= gl(m; C).

Se K : C

−→ C

´e uma fun¸c˜ao C-linear dada pela conjuga¸c˜ao complexa,

a fun¸c˜ao g : g l(m; C) −→ gl(m; C) dada por B −→ B ◦ K ´e um isomorﬁsmo

entre os espa¸cos vetoriais gl(m; C) e gl(m; C), logo A

−

∼

gl(m; C).

O grupo de Lie G associado a A ´e GL(2m; R) e de G

´e GL(m; C).

A a¸c˜ao de G

sobre A

´e a a¸c˜ao adjunta de GL(m; C) sobre gl(m; C) e

sobre A

−

´e dada por

ϕ : GL(m; C) × gl(m; C) −→ gl(m; C)

(φ, B) −→ φ

−1

Bφ.

1.3. GRUPOS DE LIE,

ALGEBRAS DE LIE E AC¸

OES ADJUNTAS 40

Ou ainda, pelo isomorﬁsmo entre gl(m; C) e gl(m; C), temos que ϕ pode

ser vista como

ψ : GL(m; C) × gl(m; C) −→ gl(m; C)

(φ, B ◦ k) −→ φ

−1

(B ◦ k)φ.

Observe para β ∈ C, u ∈ C

que

(φ

−1

(B ◦ k)φ)(βu) = φ

−1

(βu)(B ◦ k)(βu)φ(βu)

= βφ

−1

(u)(B(k(u)β)βφ(u)

= βφ

−1

(u)(B ◦ k)(u)ββφ(u)

= φ

−1

(βu)(B ◦ k)(u)βφ(βu)

= φ

−1

(βu)B(uβ)φ(βu)

= φ

−1

◦ B ◦ φ(βu).

Assim a fun¸c˜ao ψ : GL(m; C) × gl(m; C) dada por ( φ, B) −→ φ

−1

Bφ ´e

ainda uma a¸c˜ao de GL(m; C) sobre gl(m; C).

Exemplo 1.3.9. Sejam A= gl(m; H) uma ´algebra de Lie e sua involu¸c˜ao

Σ(A) = A



Este exemplo ´e semelhante ao anterior. Os ±1 autoespa¸cos s˜ao dados por

= {A ∈ A| A



= A},

−

= {A ∈ A| A



= −A},

tal que A

= gl(m; C) e A

−

pode ser identiﬁcado como as matrizes m ×m com

entradas de quat´ernios da forma cj + dk, c, d ∈ R.

O grupo de Lie associado `a ´algebra A ´e GL(m; H) e G

= GL(m; C).

Considere o isomorﬁsmo entre os espa¸cos vetoriais gl(m; H) e

1.3. GRUPOS DE LIE,

ALGEBRAS DE LIE E AC¸

OES ADJUNTAS 41

gl(m; C) ⊕ gl(m; C) dado p or

θ : gl(m; C) ⊕ gl(m; C) −→ gl(m; H)

(A, B) −→ A + jB.

Este isomorﬁsmo restrito `a A

−

mostra que A

−

∼

gl(m; C).

Temos que a a¸c˜ao de G sobre A ´e dada por

ϕ : GL(m; C) × gl(m; H) −→ gl(m; H)

(φ, A) −→ φ

−1

Aφ.

Usando o isomorﬁsmo θ acima, segue que, ϕ pode ser vista como

ψ : GL(m; C) × (gl(m; C) ⊕ gl(m; C)) −→ gl(m; C) ⊕ gl(m; C)

(φ, (A, B)) −→ φ

−1

(A, B)φ.

Mas,

−1

(A, B)φ = φ

−1

(A + jB)φ = (φ

−1

Aφ) + (φ

−1

jBφ). (1.5)

Observe para m = 4 que,

−1

j =





+ b

i a

+ b

i a

+ b





j =





j − jb

i a

j − jb

i a

j − jb





= j





− b

i a

− b

i a

− b





= jφ

−1

Analogamente para qualquer m temos φ

−1

j = jφ

−1

. Ent˜ao, em (1.5),

−1

(A, B)φ = (φ

−1

Aφ) + (jφ

−1

B)φ) = (φ

−1

Aφ) + jφ

−1

Bφ,

1.4. REPRESENTAC¸

OES, LEMA DE SCHUR 42

que ´e a a¸c˜ao de G

sobre A.

Assim a a¸c˜ao de G

sobre A

´e a a¸c˜ao adjunta de GL(m; C) sobre gl(m; C),

enquanto que sobre A

−

´e isomorfo a a¸c˜ao de G

sobre o espa¸co das fun¸c˜oes

C-lineares descritas no exemplo anterior.

Exemplo 1.3.10. Sejam A= gl(2m; C) e sua involu¸c˜ao Σ(A) = −jAj, onde

j ´e identiﬁcado como a fun¸c˜ao linear de H

em H

obtida pela sua a¸c˜ao `a

direita de H

Temos que,

= {A ∈ A| − jAj = A} = gl(m; H) e

−

= {A ∈ A| − jAj = −A} = gl(m; H



)

Identiﬁcamos H

com C

tal que

= gl(m; H) =











A B

C D





| C = −B, D = A







−

= gl(m; H



) =











A B

C D





| C = B, D = −A







A fun¸c˜ao





A B

C D





−→





A −B

B A





deﬁne um isomorﬁsmo entre os

espa¸cos vetoriais gl(m; H) e gl(m; H



O grupo de Lie G associado a A ´e GL(2m; C) e G

´e GL(m; H).

A a¸c˜ao de G

sobre A

´e a a¸c˜ao adjunta de GL(m; H) sobre gl(m; H).

Sobre o isomorﬁsmo que gl(m; H) descreve acima, a a¸c˜ao sobre A

−

= gl(m; H



)

´e tamb´em um isomorﬁsmo para esta a¸c˜ao adjunta.

1.4 Representa¸c˜oes, Lema de Schur

Como nosso objetivo ´e classiﬁcar os sistemas lineares revers´ıveis e equiva-

riantes usando a Teoria de Representa¸c˜ao de Grupos, apresentaremos alguns

1.4. REPRESENTAC¸

OES, LEMA DE SCHUR 43

conceitos sobre Teoria de Representa¸c˜ao de Grupos e tamb´em uma de suas

principais ferramentas que ´e o Lema de Schur.

Deﬁni¸c˜ao 1.4.1. Uma representa¸c˜ao de um grupo G sobre um espa¸co veto-

rial V ´e um homomorﬁsmo de grupos ρ : G −→ GL(V ; K). Denotamos a

representa¸c˜ao do grupo G sobre V por (V, ρ ).

A dimens˜ao de V ´e a dimens˜ao da representa¸c˜ao.

Como GL(V ; K) ´e isomorfo a GL(m; K) temos que ´e uma representa¸c˜ao o

homomorﬁsmo ρ : G −→ GL( m; K).

Deﬁni¸c˜ao 1.4.2. Sejam (V

, ρ

) e (V

, ρ

) duas representa¸c˜oes do grupo G.

Dizemos que uma fun¸c˜ao φ : V

−→ V

´e equivariante se esta comutar com as

representa¸c˜oes ρ

e ρ

, isto ´e,

φ(ρ

(g)v

) = ρ

(g)φ(v

), ∀g ∈ G, v

∈ V

O espa¸co de todas as fun¸c˜oes lineares equivariantes de uma representa¸c˜ao

, ρ

) para outra (V, ρ

) ser´a denotado por I

((V

, ρ

), (V

, ρ

)), ou simples-

mente, I

, V

). Quando duas representa¸c˜oes s˜ao iguais, denotamos I

(V, V )

por gl

(V ). Neste caso as fun¸c˜oes lineares equivariantes podem tamb´em ser

compostas, logo g l

(V ) obt´em estrutura de uma ´algebra e n˜ao somente de um

espa¸co vetorial real.

Deﬁni¸c˜ao 1.4.3. Dizemos que duas representa¸c˜oes (V

, ρ

) e (V

, ρ

) de G, s˜ao

isomorfas se existe uma fun¸c˜ao f : V

−→ V

linear, equivariante e invert´ıvel.

Observa¸c˜ao 1.4.1. Dizemos que uma representa¸c˜ao ρ ´e trivial se ρ(g) = Id ,

para qualquer g ∈ G.

Observa¸c˜ao 1.4.2. Dizemos que uma representa¸c˜ao ρ : G −→ GL(V ; K) ´e

ﬁel quando ker(ρ) = {0}.

1.4. REPRESENTAC¸

OES, LEMA DE SCHUR 44

Deﬁni¸c˜ao 1.4.4. Sejam (V, ρ) uma representa¸c˜ao de G e W um subespa¸co de

V . Dizemos que W ´e um subespa¸co G-invariante de V se ρ(g)W ⊆ W para

qualquer g ∈ G.

Deﬁni¸c˜ao 1.4.5. Uma representa¸c˜ao (V, ρ) de G ´e chamada de irredut´ıvel se

V n˜ao cont´em nenhum subespa¸co linear G-invariante n˜ao trivial.

O seguinte resultado descreve os espa¸cos lineares das fun¸c˜oes lineares entre

representa¸c˜oes irredut´ıveis que ´e o centro da Teoria de Representa¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 1.4.1 (Lema de Schur). Sejam (V

, ρ

) e (V

, ρ

) representa¸c˜oes

irredut´ıveis do grupo G sobre V

e V

, respectivamente. Considere a fun¸c˜ao

f : V

−→ V

linear tal que f(ρ

(g)u) = ρ

(g)f (u), para qualquer g ∈ G,

u ∈ V

1. Se (V

, ρ

) e (V

, ρ

) n˜ao s˜ao isomorfas, ent˜ao I

, V

) = {0}.

2. Se (V

, ρ

) = (V

, ρ

) = (V, ρ), ent˜ao gl

(V ) ´e isomorfo (como uma

´algebra real) a R, C ou H.

Demonstra¸c˜ao.

1. Seja f ∈ I

, V

), isto ´e, f : V

−→ V

´e uma fun¸c˜ao linear tal que

f(ρ

(g)v

) = ρ

(g)f (v

), ∀g ∈ G, v

∈ V

i) Se f ≡ 0, ent˜ao I

, V

) = {0}, como quer´ıamos demonstrar.

ii) Suponhamos f = 0. Considere W

= {x ∈ V

| f (x) = 0} ⊆ V

n´ucleo de f.

Dado x ∈ W

e g ∈ G, como f ´e equivariante, segue que,

f(ρ

(g)x) = ρ

(g)(f (x)) = ρ

(g)(0) = 0

=⇒ f(ρ

(g)x) = 0

=⇒ ρ

(g)(x) ∈ W

1.4. REPRESENTAC¸

OES, LEMA DE SCHUR 45

Ent˜ao, para qualquer g ∈ G, ρ

(g)(W

) ⊂ W

. Como ρ

´e irredut´ıvel,

= {0} ou W

= V

Mas se W

= V

, ent˜ao para todo x ∈ V

, f (x) = 0 logo f ≡ 0 o que ´e

absurdo.

Ent˜ao, W

= {0} e temos assim que f ´e injetora.

Analogamente, considere W

= Im(f) = {f (x) ∈ V

| x ∈ V

} ⊆ V

Tomando y = f (x) ∈ W

, pela equivariˆancia de f segue que

(g)f (x) = f (ρ

(g)x) ∈ W

=⇒ ρ

(g)f (x) ∈ W

, ∀y = f (x) ∈ W

, g ∈ G

=⇒ ρ

(g)W

⊂ W

, ∀g ∈ G

=⇒ W

= {0} ou W

= V

Se W

= {0}, ent˜ao f (x) = 0, para todo x ∈ V

logo f ≡ 0 o que ´e

absurdo.

Logo W

= V

e assim f ´e sobrejetora.

Finalmente, conclu´ımos que f ´e uma fun¸c˜ao linear, equivariante e in-

vert´ıvel, ent˜ao (V

, ρ

) e (V

, ρ

) s˜ao representa¸c˜oes isomorfas, absurdo,

pois contraria a hip´otese.

Portanto, de i) e ii) segue que I

, V

) = {0}.

2. Mostraremos para o caso em que V ´e um C−espa¸co vetorial. Os casos

em que V ´e um K−espa¸co vetorial para K = R ou H foram provados por

Frobenius and Peirce em 1878 e 1880.

Seja f ∈ gl

(V ). Como C ´e um corpo alg´ebricamente fechado, ou seja,

qualquer polinˆomio de grau m tem exatamente m ra´ızes, temos que f

tem um autovalor complexo.

Consideremos λ este autovalor associado ao autovetor n˜ao nulo x

, isto

´e, f(x

) = λx

1.4. REPRESENTAC¸

OES, LEMA DE SCHUR 46

Tomemos F = f − λI e observamos que

F (x

) = (f − λI)(x

) = f(x

) − λx

= λx

− λx

= 0.

Logo, kerF = 0 e F n˜ao ´e injetora.

Temos ainda que

F (ρ(g)u) = (f − λI)(ρ(g)u)

= f (ρ(g)u) − (λI)(ρ(g)u)

= ρ(g)f(u) − ρ(g)λu

= ρ(g)(f − λI)(u)

= ρ(g)F (u), ∀g ∈ G, u ∈ V.

Ent˜ao, F ∈ gl

(V ). Analogamente a demonstra¸c˜ao do item anterior

segue que kerF = {0} ou kerF = V .

Se kerF = {0}, ent˜ao F ´e injetora o que ´e absurdo, logo kerF = V , ou

seja, F (x) = 0 para qualquer x ∈ V , portanto F = 0. Ent˜ao, f −λI = 0

e assim f = λI.

Utilizando do isomorﬁsmo λI −→ λ temos para o caso em que V ´e um

C−espa¸co vetorial que

(a) gl

(V )

∼

C quando Im(λ) = 0.

(b) gl

(V )

∼

R quando Im(λ) = 0.

Portanto conclu´ımos que gl

(V ) ´e isomorfo, como uma ´algebra real, a R

ou C no caso em que V ´e um C−espa¸co vetorial.

Deﬁni¸c˜ao 1.4.6. Dizemos que uma representa¸c˜ao irredut´ıvel (V, ρ) de G ´e do

tipo R, C ou H segundo a classe do isomorﬁsmo de gl

(V ), ou seja, o tipo da

1.5. DECOMPOSIC¸

AO ISOT´ıPICA 47

representa¸c˜ao depende de gl

(V ) ser isomorfo, como uma ´algebra linear real,

a R, C ou H.

A a¸c˜ao natural de gl

(V ) sobre uma representa¸c˜ao irredut´ıvel (V, ρ) do

tipo K d´a a V a estrutura de um espa¸co vetorial `a esquerda sobre K. Com

esta estrutura os elementos de G atuam por fun¸c˜oes K-lineares sobre V .

1.5 Decomposi¸c˜ao Isot´ıpica

Nesta se¸c˜ao utilizaremos a Decomposi¸c˜ao Isot´ıpica para descrever a estru-

tura do espa¸co gl

(V ) de uma representa¸c˜ao qualquer de G sobre V , sem ser

necessariamente irredut´ıvel.

Primeiramente, relembramos como ´e a matriz de uma transforma¸c˜ao

linear de V em V , quando V ´e soma direta de subespa¸cos vetoriais.

Sejam V = V

⊕···⊕ V

e T : V −→ V uma transforma¸c˜ao linear tal que

T deixa invariante cada subespa¸co V

Considere B

= {v

, v

, ··· , v

}, com i = 1, ··· , m, bases para os

subespa¸cos vetoriais V

, onde dimV

= k

Assim uma base para V ´e dada por

B = {v

, v

, ··· , v

, v

, ··· , v

tal que dimV = k

+ ··· + k

Ent˜ao,

T (v

) = α

+ ··· + α

+ 0v

+ ··· + 0v

T (v

) = α

+ ··· + α

+ 0v

+ ··· + 0v

T (v

) = 0v

+ ··· + 0v

+ 0v

+ ··· + 0v

+ ··· + γ

T (v

) = 0v

+ ··· + 0v

+ 0v

+ ··· + 0v

+ ··· + γ

··· + γ

1.5. DECOMPOSIC¸

AO ISOT´ıPICA 48

Logo,

[T ] =







··· α

0 ··· 0

··· α

0 ··· 0

0 ··· 0 β

··· β

0 ··· 0

0 ··· 0 β

··· β

0 ··· 0

0 ··· 0 0 ··· 0

··· γ

0 ··· 0 0 ··· 0

··· γ







Ou ainda [T ] =







0 0 0

0 A

0 0

0 0 0 A







= A

⊕ ··· ⊕ A

, onde A

, com

i = 1, ··· , m, ´e a matriz de T |

Assim observamos que a matriz de uma transforma¸c˜ao linear deﬁnida em

um espa¸co vetorial que ´e soma direta de subespa¸cos vetoriais, ´e dada em forma

de blocos.

Com isso veremos que um espa¸co vetorial pode ser decomposto como soma

direta de subespa¸cos atrav´es da decomposi¸c˜ao isot´ıpica.

Teorema 1.5.1 (Teorema da Redutibilidade Completa). Seja (V, ρ) uma re-

presenta¸c˜ao do grupo de Lie compacto G sobre o espa¸co vetorial V . Ent˜ao,

existem subespa¸cos U

onde a representa¸c˜ao (U

, τ

) de G sobre U

´e irredut´ıvel

tais que

V = U

⊕ ··· ⊕ U

. (1.6)

Demonstra¸c˜ao. Ver [7], p´aginas 33-34.

A decomposi¸c˜ao dada pelo teorema acima n˜ao ´e ´unica.

1.5. DECOMPOSIC¸

AO ISOT´ıPICA 49

Teorema 1.5.2. Seja a representa¸c˜ao (V, ρ) uma representa¸c˜ao do grupo de

Lie compacto G sobre o espa¸co vetorial V .

1. A menos de isomorﬁsmo existe um n´umero ﬁnito de subespa¸cos U

tais que (U

, τ

) ´e uma representa¸c˜ao irredut´ıvel de G. Ou seja,

, τ

), ··· , (U

, τ

2. Deﬁna V

para ser a soma de todos os subespa¸cos U

tais que as re-

presenta¸c˜oes (U

, τ

) de G s˜ao irredut´ıveis e (U

, τ

) ´e isomorfo a (U

, τ

)

com i ∈ {1, ··· , m }. Ent˜ao,

V = V

⊕ ··· ⊕ V

, (1.7)

Demonstra¸c˜ao. Ver [7], p´aginas 35-36.

A decomposi¸c˜ao (1.7) ´e ´unica a menos de uma reordena¸c˜ao das somas.

Referimos a V

com i ∈ {1, ··· , k} como os Blocos Isot´ıpicos de V e a

decomposi¸c˜ao (1.7) como Decomposi¸c˜ao Isot´ıpica de V .

Analogamente, ρ pode ser decomposta da seguinte maneira

∼

⊕ ··· ⊕ ρ

, (1.8)

onde a representa¸c˜ao ρ

com i = 1, ··· , k ´e isomorfa `a uma soma direta de m

c´opias de uma representa¸c˜ao irredut´ıvel (U

, τ

Observe que ρ

⊕ ··· ⊕ ρ

´e uma representa¸c˜ao.

De fato, considere a aplica¸c˜ao

⊕ ··· ⊕ ρ

: G −→ GL(V

⊕ ··· ⊕ V

)

g −→ ρ

(g) ⊕ . . . ⊕ ρ

(g),

onde ρ

s˜ao representa¸c˜oes do grupo G sobre o espa¸co vetorial V

tal que para

v = v

⊕ ··· ⊕ v

∈ V , (ρ

(g) ⊕ ··· ⊕ ρ

(g))(v) = ρ

(g)(v

) + ··· + ρ

(g)(v

1.5. DECOMPOSIC¸

AO ISOT´ıPICA 50

Sejam g, h ∈ G.

(ρ

⊕ ··· ⊕ ρ

)(gh) = ρ

(gh) ⊕ ··· ⊕ ρ

(gh)

= ρ

(g)ρ

(h) ⊕ ··· ⊕ ρ

(g)ρ

(h)

= (ρ

(g) ⊕ ··· ⊕ ρ

(g))(ρ

(h) ⊕ ··· ⊕ ρ

(h))

= (ρ

⊕ ··· ⊕ ρ

)(g)(ρ

⊕ ··· ⊕ ρ

)(h).

Portanto, ρ

⊕ ··· ⊕ ρ

´e um homomorﬁsmo e assim uma representa¸c˜ao.

Em forma de matriz, ρ se escreve em blocos como







0 0

0 0 ρ







, (1.9)

onde ρ

´e a representa¸c˜ao de G em V

dada pela matriz da transforma¸c˜ao linear

(g) : V

−→ V

na base de V

Teorema 1.5.3. Sejam (V, ρ) uma representa¸c˜ao do grupo compacto de Lie

G sobre o espa¸co vetorial V e a Decomposi¸c˜ao Isot´ıpica de V dada por

V = V

⊕ ··· ⊕ V

Considere L : V −→ V ´e uma aplica¸c˜ao G−equivariante. Ent˜ao,

L(V

) ⊂ V

, (1.10)

para i = 1, ··· , k.

Demonstra¸c˜ao. Ver [7], p´agina 41.

Pelo Teorema (1.5.3) temos que gl

(V ) decomp˜oe-se como a soma direta

1.5. DECOMPOSIC¸

AO ISOT´ıPICA 51

dos subespa¸cos que s˜ao isomorfos a gl

), isto ´e,

(V )

∼

) ⊕ ··· ⊕ gl

). (1.11)

Restringindo para fun¸c˜oes G−equivariantes invert´ıveis obteremos uma de-

composi¸c˜ao correspondente,

(V )

∼

) × ··· × GL

). (1.12)

O espa¸co gl

(V ) ´e a ´algebra de Lie associada ao grupo de Lie GL

(V )

e a a¸c˜ao adjunta de GL(V ) sobre gl(V ), restrita as transforma¸c˜oes lineares

equivariantes, ´e a a¸c˜ao adjunta de GL

(V ) sobre gl

(V ).

Esta a¸c˜ao decomp˜oe-se como a soma direta de a¸c˜oes adjuntas dos grupos

) sobre os espa¸cos gl

), ou seja,

φ = φ

⊕ ··· ⊕ φ

, (1.13)

onde φ

´e a a¸c˜ao de GL

) sobre gl

) tal que i = 1, ··· , k.

Como vimos V

= U

⊕ ··· ⊕ U

onde cada (U

, τ

) para j ∈ {1, ··· , m

}

´e isomorfo a (U

, τ

Seja {u

, ··· , u

} uma base para U

tal que i ∈ {1, ··· , k} se refere ao

bloco isot´ıpico V

ao qual U

pertence e j ∈ {1, ··· , m

Assim {u

, ··· , u

} ´e uma base para V

. Logo como

L(V

) ⊂ V

segue que

L(u

) = α

+ ··· + α

((m

−1)l+1)1

+ ··· + α

l)1

L(u

) = α

+ ··· + α

((m

−1)l+1)l

+ ··· + α

l)l

1.5. DECOMPOSIC¸

AO ISOT´ıPICA 52

Ent˜ao, sua matriz ´e dada por

[L] =

· · · α

· · ·

· · · α

· · ·

((m

−1)l+1)1

· · · α

((m

−1)l+1)l

· · ·

l)1

· · · α

l)l

· · ·

· · · L

, (1.14)

onde cada L

´e a matriz da transforma¸c˜ao linear L

: U

−→ U

que ´e equiva-

riante com rela¸c˜ao as representa¸c˜oes (U

, τ

) e (U

, τ

) tal que

j, t ∈ {1, ··· , m

Como V

´e isomorfo a soma direta das m

c´opias de U

pelo mesmo processo

feito acima obteremos uma matriz na base dos U

’s que ´e isomorfa a matriz

(1.14).

Atrav´es deste isomorﬁsmo se (U

, τ

) ´e do tipo K

, ent˜ao podemos tomar

= l

, onde l

∈ K

. Se considerarmos o isomorﬁsmo l

−→ l

I, onde I

´e a identidade sobre U

, ent˜ao L

= l

´e isomorfo a l

I. Portanto, a trans-

forma¸c˜ao linear L : V

−→ V

´e dada pela matriz m

× m

com elementos em

, logo gl

)

∼

gl(m

; K

), onde conclu´ımos a estrutura do espa¸co gl

Analogamente GL

)

∼

GL(m

; K

) e tamb´em a a¸c˜ao adjunta de GL

(V )

sobre gl

(V ) ´e isomorfa `a soma direta de a¸c˜oes adjuntas dos grupos de Lie

GL(m

; K

) sobre suas ´algebras de Lie gl(m

; K

Este resultado pode ser expresso naturalmente usando produto tensorial.

Primeiramente observemos que se U ´e um espa¸co vetorial sobre K, ent˜ao

U = K ⊗ U .

De fato, seja a aplica¸c˜ao ϕ : K×U −→ U dada p or ϕ(k, u) = ku. Considere

o espa¸co vetorial N e a aplica¸c˜ao bilinear ψ : K ×U −→ N. Tome a aplica¸c˜ao

linear f : U −→ N tal que f(u) = ψ(1, u), logo para qualquer u ∈ U e k ∈ K

segue que

f ◦ ϕ(k, u) = f(ku) = kf(u) = kψ(1, u) = ψ(k, u) =⇒ f ◦ ϕ = ψ.

1.5. DECOMPOSIC¸

AO ISOT´ıPICA 53

Portanto, pela Deﬁni¸c˜ao (1.1.5) segue que U = K ⊗ U.

Sendo assim, como V

´e soma direta de m

c´opias de U

e U

´e do tipo K

temos que

∼

⊕···⊕U

= (K

⊗U

)⊕···⊕(K

⊗U

) = (K

⊕···⊕K

)⊗U

= K

⊗U

Portanto, V

∼

⊗

. Ou ainda, as representa¸c˜oes (V

, ρ

) e

⊗

, 1

⊗

) s˜ao isomorfas.

Temos ainda pela matriz (1.14) que

[L] =







··· L













I ··· l













··· l







⊗

I = l ⊗

onde l : K

−→ K

e [l] = [l

]

×m

Portanto, o isomorﬁsmo de gl(m

; K

) para gl

) ´e dado por

l −→ L = l ⊗

Analogamente, restringindo para fun¸c˜oes invert´ıveis teremos o isomorﬁsmo

entre GL(m

; K

) e GL

) atrav´es do produto tensorial.

Finalmente, generalizamos a classiﬁca¸c˜ao de representa¸c˜oes irredut´ıveis em

tipos R, C e H e assim podemos deﬁnir o tipo de uma representa¸c˜ao geral

V (deﬁnida sobre R) para ser isomorfa `a classe de gl

(V ) como uma ´algebra

linear real.

Cap´ıtulo 2

Classiﬁca¸c˜ao das Representa¸c˜oes

de G

2.1 Sistemas Lineares Revers´ıveis e Equivari-

antes

Neste Cap´ıtulo classiﬁcaremos as poss´ıveis classes de isomorﬁsmos da

´algebra gl

(U) e as formas que os automorﬁsmos Σ podem tomar sobre gl

(U)

como na Se¸c˜ao (1.2). Com isso poderemos classiﬁcar as representa¸c˜oes ir-

redut´ıveis atrav´es da Teoria de Representa¸c˜ao de Grupos.

Consideremos um sistema linear da forma

= Lx, (2.1)

onde L : V → V ´e uma aplica¸c˜ao linear do espa¸co vetorial V em V .

Deﬁni¸c˜ao 2.1.1. Dizemos que o sistema (2.1) ´e revers´ıvel com rela¸c˜ao a uma

aplica¸c˜ao linear invert´ıvel R : V → V se

RL = −LR . (2.2)

2.1. SISTEMAS LINEARES REVERS´ıVEIS E EQUIVARIANTES 55

Em outras palavras, se x(t) ´e uma solu¸c˜ao do sistema (2.1), ent˜ao R(x(−t))

tamb´em o ´e.

A fun¸c˜ao R acima ´e chamada uma simetria revers´ıvel de L. Devemos notar

que n˜ao exigimos que R seja uma involu¸c˜ao, isto ´e, R

= R ◦R n˜ao precisa ser

a identidade I.

Exemplo 2.1.1. Sejam o sistema linear ˙x = Lx e uma simetria revers´ıvel

dada por R =





0 1

−1 0





Considere L =





a b

c d





tal que a, b, c, d ∈ R. Temos pela reversibilidade

do sistema que

LR = −RL =⇒





a b

c d









0 1

−1 0









0 −1

1 0









a b

c d





=⇒





−b a

−d c









−c −d

a b





=⇒







c = b

a = −d

=⇒ L =





a b

b −a





Observe que R n˜ao ´e uma involu¸c˜ao, pois R





−1 0

0 −1





n˜ao ´e a

identidade.

Deﬁni¸c˜ao 2.1.2. Dizemos que o sistema (2.1) ´e equivariante com rela¸c˜ao a

uma aplica¸c˜ao linear invert´ıvel S : V → V do espa¸co vetorial V em V se

SL = LS . (2.3)

2.1. SISTEMAS LINEARES REVERS´ıVEIS E EQUIVARIANTES 56

Equivalentemente, se x(t) ´e solu¸c˜ao de (2.1), ent˜ao S(x(t)) tamb´em ´e

solu¸c˜ao.

Assim quando (2.1) ´e S-equivariante dizemos que S ´e uma simetria de (2.1).

Exemplo 2.1.2. Seja o sistema linear ˙x = Lx tal que S =







−1







´e

uma simetria para o sistema.

Considere L =





a b

c d





tal que a, b, c, d ∈ R. Da equivariˆancia do sis-

tema, segue que

LS = SL =⇒





a b

c d











−1













−1











a b

c d





Assim

LS = SL =⇒







−b −

a −

−d −

c −













c −

d −

−a −

−b −







=⇒







c = −b

d = a

=⇒ L =





a −b

c a





Portanto, para que o sistema linear ˙x = Lx seja equivariante com rela¸c˜ao

`a aplica¸c˜ao S ´e necess´ario e suﬁciente que L =





a −b

c a





A composi¸c˜ao de duas simetrias de (2.1) ainda ´e uma simetria de (2.1),

a composi¸c˜ao de duas simetrias revers´ıveis de (2.1) ´e uma simetria de (2.1)

e a composi¸c˜ao de uma simetria com uma simetria revers´ıvel de (2.1) ´e uma

simetria revers´ıvel de (2.1). Portanto, o conjunto das simetrias e simetrias

2.1. SISTEMAS LINEARES REVERS´ıVEIS E EQUIVARIANTES 57

revers´ıveis de L ´e fechado sobre a composi¸c˜ao e formam um grupo que deno-

taremos por G.

Em nosso estudo estaremos considerando G como um Grupo de Lie Com-

pacto.

Seja G um grupo. Se G cont´em simetrias revers´ıveis o subgrupo H das

simetrias ´e um subgrupo de ´ındice 2, ou seja,

∼

. (2.4)

Devemos notar que (2.4) n˜ao implica que G cont´em uma simetria revers´ıvel

que seja uma involu¸c˜ao.

Por exemplo, seja o grupo G = {−1, 1, −i, i} =< i >

∼

com a opera¸c˜ao

de multiplica¸c˜ao de n´umeros complexos e H = Z

. O conjunto G n˜ao cont´em

nenhuma simetria revers´ıvel que ´e uma involu¸c˜ao.

De fato, primeiramente observemos que

) = [G : H] =

O(G)

O(H)

= 2 =⇒

∼

Logo, H ´e um subgrupo normal de G.

Por deﬁni¸c˜ao a identidade ´e sempre uma simetria. Suponhamos que i seja

uma simetria revers´ıvel, logo −1 ´e uma simetria e −i ´e uma simetria revers´ıvel.

Assim as simetrias revers´ıveis de G s˜ao i e −i, onde i

= −1 = 1 e

(−i)

= −1 = 1, o que nos mostra que G cont´em simetrias revers´ıveis que

n˜ao s˜ao involu¸c˜oes.

Vejamos que a reversibilidade tem uma implica¸c˜ao similar com a estrutura

Hamiltoniana.

Lema 2.1.1. Sejam L ∈ GL (n; R) revers´ıvel e λ um autovalor de L. Ent˜ao,

−λ tamb´em ´e autovalor de L.

Demonstra¸c˜ao

Por hip´otese L ´e revers´ıvel, logo existe R : R

−→ R

tal que LR = −RL.

Considere λ o autovalor de L, ou seja, L(x) = λx, para algum x.

2.1. SISTEMAS LINEARES REVERS´ıVEIS E EQUIVARIANTES 58

Logo,

L(R(x)) = −R (L( x)) = −R(λx) = −λR(x),

ou seja, −λ ´e um autovalor de L associado ao autovetor R(x).

Portanto, −λ ´e autovalor de L.

Observa¸c˜ao 2.1.1. Como conseq¨uˆencia do lema anterior, os autovalores dos

sistemas lineares revers´ıveis aparecem como λ = 0, duplas reais ou puramente

imagin´arias, (λ, −λ) com λ ∈ R ou λ ∈ iR.

Vejamos alguns exemplos onde esta observa¸c˜ao se veriﬁca.

Exemplo 2.1.3. Considere o caso puramente revers´ıvel, com G = Z

agindo

sobre R

, por R : R

−→ R

dada por R(x, y) = (x, −y) e H = {I}.

Seja L =





a b

c d





tal que a, b, c, d ∈ R. Pela reversibilidade de L

LR = −RL =⇒





a b

c d









1 0

0 −1









−1 0

0 1









a b

c d





=⇒





a −b

c −d









−a −b

c d





=⇒ a = d = 0.

Portanto, os sistemas lineares revers´ıveis em rela¸c˜ao a R dada s˜ao aqueles

tal que

L =





0 b

c 0





com b, c ∈ R.

Considere λ tal que o polinˆomio caracter´ıstico de L ´e dado por

det (L − λI) = det





−λ b

c −λ





= λ

− bc.

Assim λ

√

bc e λ

= −

√

bc s˜ao os autovalores de L, isto ´e, um par no

eixo real para b > 0 e c > 0 ou um par no eixo imagin´ario para b < 0 ou c < 0.

2.1. SISTEMAS LINEARES REVERS´ıVEIS E EQUIVARIANTES 59

Exemplo 2.1.4. Seja G = Z

agindo em R

por R =





0 −1

1 0





Ent˜ao, H

∼

pois como

∼

e a ordem de G ´e 4, segue que ordem

de H ´e 2.

Para reversibilidade de L considere sua matriz dada por L =





a b

c d





tal que a, b, c, d ∈ R.

LR = −RL =⇒





a b

c d









0 −1

1 0









0 1

−1 0









a b

c d





=⇒





b −a

d −c









c d

−a −b





=⇒ L =





a b

b −a





, onde a, b, c, d ∈ R.

Observe que neste caso L =





a b

b −a





tal que a, b, c, d ∈ R, ´e revers´ıvel

e equivariante, pois H = {−1, 1}, ou seja, L comuta sempre com os elementos

de H.

Considere p(λ) = −(a − λ)(a + λ) − b

o polinˆomio caracter´ıstico de L.

Ent˜ao, λ

√

+ b

e λ

= −

√

+ b

s˜ao os autovalores de L, isto ´e,

sempre um par de valores reais.

Exemplo 2.1.5. Seja G = D

=< α, β > agindo com a simetria do quadrado

em R

, onde α tem ordem 4, β tem ordem 2 e αβ = βα

= βα

−1

Usando a Teoria de Representa¸c˜ao, considere a representa¸c˜ao tal que

α −→





0 −1

1 0





e β −→





0 1

1 0





Como O(G) = 8 temos, por (2.4), que O(H) = 4.

Neste caso temos duas possibilidades para H, ou H

∼

×Z

ou H

∼

Contudo, a dinˆamica conseq¨uente dos dois casos s˜ao diferentes.

2.1. SISTEMAS LINEARES REVERS´ıVEIS E EQUIVARIANTES 60

De fato,

1. Para H

∼

× Z

Neste caso consideraremos que α e β s˜ao simetrias revers´ıveis. E assim,

H =< α

, αβ >.

Seja L dado pela matriz





a b

c d





tal que a, b, c, d ∈ R. Para L ser

equivariante basta veriﬁcarmos que L(αβ) = (αβ)L, tendo em vista que

Lα

= α

L sempre vale pois α

= −Id. Logo

L(αβ) = (αβ)L =⇒





a b

c d









−1 0

0 1









−1 0

0 1









a b

c d





=⇒ L =





a 0

0 b





, com a, b ∈ R.

Observe que as simetrias revers´ıveis de G s˜ao G\H = {α, α

, β, α

β}, as-

sim para L ser revers´ıvel ´e necess´ario que a = −b. Portanto,

L =





a 0

0 −a





onde a ∈ R ´e um sistema linear revers´ıvel e equiva-

riante.

O polinˆomio caracter´ıstico de L ´e dado por p(λ) = λ

−a

, ent˜ao λ

= a

e λ

= −a s˜ao os autovalores de L.

O retrato de fase deste sistema linear ´e dado pela seguinte ﬁgura.

Figura 2.1: Retrato de fase de um ﬂuxo linear sobre R

com o grupo simetria

revers´ıvel G = D

e H

∼

× Z

2.1. SISTEMAS LINEARES REVERS´ıVEIS E EQUIVARIANTES 61

2. Para H

∼

Neste caso consideraremos que α ´e uma simetria e β ´e uma simetria

revers´ıvel. Assim, H =< α >.

Seja L tal que sua matriz ´e dada por





a b

c d





tal que a, b, c, d ∈ R. Da

equivariˆancia de L, segue que

Lα = αL =⇒





a b

c d









0 −1

1 0









0 −1

1 0









a b

c d





=⇒ L =





a b

−b a





, onde a, b ∈ R.

As simetrias revers´ıveis de G s˜ao {β, αβ, α

β, α

β}, assim da reversibili-

dade de L temos que a = 0.

Portanto, o sistema linear revers´ıvel e equivariante ´e dado pela matriz

L =





0 b

−b 0





com b ∈ R e seu polinˆomio caracter´ıstico ´e dado por

p(λ) = λ

+ b

, o que conclu´ımos que λ

= bi e λ

= −bi s˜ao seus

autovalores.

O retrato de fase deste sistema ´e dado na ﬁgura abaixo.

Figura 2.2: Retrato de fase de um ﬂuxo linear sobre R

com o grupo simetria

revers´ıvel G = D

e H = Z

2.2. PROVA DE ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES 62

Considere o homomorﬁsmo σ : G → {1, −1} que identiﬁca precisamente

como o grupo G divide-se em simetrias e simetrias revers´ıveis, isto ´e, se g ´e uma

simetria, ent˜ao σ(g) = 1 e se g ´e uma simetria revers´ıvel, ent˜ao σ(g) = −1.

Temos que H = σ

−1

({1}) ´e um subgrupo normal de G.

Deﬁni¸c˜ao 2.1.3. Seja (V, ρ) uma representa¸c˜ao de G sobre V . Dizemos que

L : V −→ V ´e uma fun¸c˜ao (G, σ)-revers´ıvel, ou simplesmente σ- revers´ıvel, se

L(ρ(g)v) = σ(g)ρ(g)L(v), ∀g ∈ G, v ∈ V. (2.5)

Denotaremos por gl

(V, ρ), ou simplesmente gl

(V ), o espa¸co das aplica¸c˜oes

lineares σ-revers´ıveis de V em V .

Como nosso objetivo ´e usar a Teoria de Representa¸c˜ao para classiﬁcar os

sistemas lineares revers´ıveis e equivariantes, combinaremos as duas condi¸c˜oes

(2.2) e (2.3) em uma ´unica condi¸c˜ao dada por

Lρ(g) = σ(g)ρ(g)L, (2.6)

onde ρ ´e a representa¸c˜ao do grupo G com a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de

n´umeros reais e σ : G → {1, −1} ´e um homomorﬁsmo de grupos entre o grupo

G e {−1, 1} ⊂ GL(1, R) considerado acima.

Observe que L satisfazendo (2.6), pela Deﬁni¸c˜ao (2.1.3), L ´e uma trans-

forma¸c˜ao linear σ-revers´ıvel.

2.2 Prova de alguns resultados importantes

Seja H um subgrupo, de ´ındice 2 de um grupo G e σ : G −→ Z

homomorﬁsmo tal que kerσ = H.

Identiﬁque Z

como o subgrupo de GL(1; R) ´e isomorfo a R{0} tal que

´e isomorfo a {−1, 1} e portanto σ : G −→ GL(1; R) como uma repre-

senta¸c˜ao unidimensional (R, σ), que chamaremos de representa¸c˜ao sinal do

2.2. PROVA DE ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES 63

par (G, H).

Sejam φ ∈ GL

(V ) e L ∈ gl

(V ). Para g ∈ G e v ∈ V temos que

(φ

−1

◦ L ◦ φ)(ρ(g)v) = φ

−1

(L(ρ(g)φ(v))

= φ

−1

(σ(g)ρ(g)Lφ(v))

= σ(g)φ

−1

(ρ(g)Lφ(v))

= σ(g)ρ(g)φ

−1

(Lφ(v))

= σ(g)ρ(g)φ

−1

◦ L ◦ φ(v),

pois como φ ´e equivariante temos que φ

−1

tamb´em o ´e.

Ent˜ao, φ

−1

◦ L ◦ φ ∈ gl

(V ).

Portanto, a aplica¸c˜ao

µ : GL

(V ) × gl

(V ) −→ gl

(V )

µ(φ, L) −→ φ

−1

◦ L ◦ φ,

´e uma a¸c˜ao de GL

(V ) sobre gl

(V ).

Observa¸c˜ao 2.2.1. Seja g ∈ G\H. Durante o trabalho consideraremos a

involu¸c˜ao sobre o grupo GL

(V ) dada por

Σ : GL

(V ) −→ GL

(V )

φ −→ ρ(g)

−1

φρ(g).

Note que Σ independe da escolha de g ∈ G\H e ainda Σ

´e a identidade,

(φ) = Σ(Σ(φ)) = Σ(ρ(g)

−1

φρ(g)) = ρ(g)

−1

ρ(g)

−1

φρ(g)ρ(g)

= ρ(gg)

−1

φρ(gg) = ρ(gg)

−1

ρ(gg)φ = φ, pois gg ∈ H.

2.2. PROVA DE ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES 64

Tamb´em denotaremos por Σ a involu¸c˜ao sobre a ´algebra gl

(V ), dada por

Σ : gl

(V ) −→ gl

(V )

A −→ ρ(g)

−1

Aρ(g).

Algumas propriedades elementares desta involu¸c˜ao est˜ao resumidas na se-

guinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 2.2.1. 1. O grupo GL

(V ) ´e o conjunto dos pontos ﬁxos da

a¸c˜ao Σ sobre GL

(V ).

2. A restri¸c˜ao da a¸c˜ao adjunta de GL

(V ) sobre gl

(V ) para GL

(V )

preserva os subespa¸cos

(V ) = {A ∈ gl

(V )| Σ(A) = A},

(V ) = {A ∈ gl

(V )| Σ(A) = −A}.

3. A a¸c˜ao induzida de GL

(V ) sobre gl

(V ) ´e a a¸c˜ao adjunta.

4. O subespa¸co gl

(V ) ´e um gl

(V )-subm´odulo de gl

(V ), ambos com res-

pectiva estrutura de ´algebra induzida pela composi¸c˜ao e o produto dado

pelo colchete de Lie.

5. Se existe uma fun¸c˜ao σ-revers´ıvel invert´ıvel T : V −→ V , ent˜ao gl

(V )

´e gerado por T como um gl

(V )-subm´odulo de gl

(V ) com a opera¸c˜ao

de composi¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao.

1. Primeiramente observemos que a involu¸c˜ao Σ : GL

(V ) −→ GL

(V ),

dada pela Observa¸c˜ao (2.2.1), ´e uma a¸c˜ao de G sobre GL

(V ).

2.2. PROVA DE ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES 65

De fato, pela Deﬁni¸c˜ao (1.3.3), temos que,

ψ : G × GL

(V ) −→ GL

(V )

(g, φ) −→ ρ(g)

−1

φρ(g),

´e uma a¸c˜ao de G sobre GL

(V ). Como a restri¸c˜ao de uma a¸c˜ao ´e ainda

uma a¸c˜ao e para cada g ∈ G \H a aplica¸c˜ao Σ : GL

(V ) −→ GL

(V ) ´e

uma restri¸c˜ao da aplica¸c˜ao ψ de G para G \H, temos que Σ ´e uma a¸c˜ao.

Considere A = {φ ∈ GL

(V )| Σ(φ) = φ} o conjunto dos pontos ﬁxos

de Σ.

Seja φ ∈ A, logo

Σ(φ) = φ ⇐⇒ ρ(g)

−1

φρ(g) = φ

⇐⇒ φρ(g) = ρ(g)φ, ∀g ∈ G\H.

Se g ∈ H ent˜ao φρ(g) = ρ(g)φ, pois φ ∈ GL

(V ).

Ent˜ao, para qualquer g ∈ G temos que φρ(g) = ρ(g)φ, isto ´e,

φ ∈ GL

(V ) e portanto A ⊂ GL

(V ).

Seja θ ∈ GL

(V ), logo

θρ(g) = ρ(g)θ, ∀g ∈ G.

Em particular para g ∈ G\H,

θρ(g) = ρ(g)θ =⇒ θ = ρ(g)

−1

θρ(g) = Σ( θ)

=⇒ Σ(θ) = θ

=⇒ GL

(V ) ⊂ A.

Portanto, GL

(V ) ´e o conjunto dos pontos ﬁxos da a¸c˜ao Σ sobre GL

(V ).

2.2. PROVA DE ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES 66

2. Observe que A= gl

(V ), A

= gl

(V ) e A

−

= gl

(V ).

De fato, temos que gl

(V ) ´e um espa¸co vetorial com a opera¸c˜ao produto

dada p ela composi¸c˜ao, onde para qualquer T

, T

∈ gl

(V ), g ∈ H, v ∈ V

temos

◦ T

(ρ(g)v) = T

(ρ(g)T

(v)) = ρ(g)T

◦ T

(v),

ou seja, T

◦ T

∈ gl

(V ).

Al´em disso,

T ∈ gl

(V ) ⊂ gl

(V ) =⇒ T (ρ(g)v) = ρ(g)T (v), ∀g ∈ G, v ∈ V

=⇒ T (v) = ρ

−1

(g)T (v)ρ(g), ∀g ∈ G, v ∈ V

=⇒ T (v) = Σ(T (v)), ∀g ∈ G \ H, v ∈ V

=⇒ T ∈ A

Logo, gl

(V ) ⊂ A

Seja A ∈ A

, ent˜ao Σ(A) = A e A ∈ gl

(V ).

Por deﬁni¸c˜ao para todo g ∈ G \ H, Σ(A) = ρ

−1

(g)Aρ(g), assim

A = ρ

−1

(g)Aρ(g) =⇒ Aρ(g) = ρ(g)A, ∀g ∈ G \ H

=⇒ A ∈ gl

(V ), ∀g ∈ G \ H.

Se g ∈ H, como A ∈ gl

(V ), ent˜ao Aρ(g) = ρ(g)A.

Ent˜ao, para todo g ∈ G temos que A ∈ gl

(V ) e assim A

⊂ gl

(V ).

Portanto, A

= gl

(V ).

2.2. PROVA DE ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES 67

Temos tamb´em

T ∈ gl

(V ) ⊂ gl

(V ) =⇒ T (ρ(g)v) = σ(g)ρ(g)T (v), ∀g ∈ G, v ∈ V

=⇒ σ(g)T (v) = ρ

−1

(g)T (v)ρ(g), ∀g ∈ G, v ∈ V

=⇒ −T (v) = ρ

−1

(g)T (v)ρ(g), ∀g ∈ G \ H, v ∈ V

=⇒ Σ(T (v)) = −T (v), ∀g ∈ G \ H, v ∈ V

=⇒ T ∈ A

−

=⇒ gl

(V ) ⊂ A

−

Seja B ∈ A

−

, ent˜ao Σ(B) = −B e B ∈ gl

(V ).

Se g ∈ G \ H, por deﬁni¸c˜ao

Σ(B) = ρ

−1

(g)Bρ(g) =⇒ −B = ρ

−1

(g)Bρ(g)

=⇒ Bρ(g) = −ρ(g)B.

Se g ∈ H, como B ∈ gl

(V ), ent˜ao Bρ(g) = ρ(g)B para qualquer g ∈ H.

Assim, Bρ(g) = σ(g)ρ(g)B para qualquer g ∈ G, logo, A ∈ gl

(V ), ou

seja, A

−

⊂ gl

(V ).

Portanto, A

−

= gl

(V ).

Considerando G = GL

(V ), pelo item 1., G

= GL

(V ).

Portanto, a demonstra¸c˜ao deste item, segue imediatamente da Proposi¸c˜ao

(1.3.1).

3. Segue diretamente do item 2. da Proposi¸c˜ao (1.3.1), considerando

= GL

(V ) e A

= gl

(V ).

4. Segue do item 4. da Proposi¸c˜ao (1.2.2).

5. Devemos mostrar que gl

(V ) =< T >, pela opera¸c˜ao de composi¸c˜ao,

isto ´e, dado T ∈ gl

(V ), invert´ıvel e qualquer S ∈ gl

(V ) temos que

2.2. PROVA DE ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES 68

S = A ◦ T , onde A ∈ gl

(V ).

De fato, observe que como S e T s˜ao fun¸c˜oes σ-revers´ıveis e T ´e invert´ıvel,

ent˜ao para g ∈ G, v ∈ V temos que

T (ρ(g)v) = σ(g)ρ(g)T (v) =⇒ ρ(g)v = σ(g)T

−1

(ρ(g)T (v)),

ou ainda

−1

(ρ(g)T (v)) = σ(g)ρ(g)v = σ(g)ρ(g)T

−1

(T (v)).

Portanto, T

−1

´e σ-revers´ıvel. Assim,

S ◦ T

−1

(ρ(g)v) = S(σ(g)ρ(g)T

−1

(v)) = σ(g)S(ρ(g)T

−1

(v))

= σ(g)σ(g)ρ(g)S ◦ T

−1

(v) = ρ(g)S ◦ T

−1

(v).

Portanto, S ◦ T

−1

´e G-equivariante.

Ent˜ao,

S = (S ◦ T

−1

) ◦ T =⇒ S ∈< T >=⇒ gl

(V ) ⊂< T >.

Mas se A ∈< T >, ent˜ao A = B ◦ T , onde B ∈ gl

(V ).

A(ρ(g)v) = B ◦ T (ρ(g)v) = B(σ(g)ρ(g)T (v)) = σ(g)B(ρ(g)T (v))

= σ(g)ρ(g)B ◦ T (v) = σ(g)ρ(g)A(v).

Ent˜ao, A ∈ gl

(V ) e assim segue que < T >⊂ gl

(V ).

Portanto, gl

(V ) =< T >.

Observa¸c˜ao 2.2.2. Pelas Proposi¸c˜oes (1.2.2) e (2.2.1) temos que

(V ) = gl

(V ) ⊕ gl

(V ).

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 69

2.3 Representa¸c˜oes Irredut´ıveis de G

Deﬁni¸c˜ao 2.3.1. Seja (U, τ ) uma representa¸c˜ao do grupo G sobre U . Deﬁni-

mos a sua representa¸c˜ao σ-dual, denotada por (U, τ

), como o homomorﬁsmo

: G −→ GL(U) dado por

(g) = σ(g)τ(g).

Equivalentemente (U, τ

) ´e o pro duto tensorial (sobre R) de (U, τ ) com a

representa¸c˜ao sinal (R, σ), ou seja, as representa¸c˜oes (U, τ

) e (R ⊗

U, σ ⊗

τ)

s˜ao isomorfas.

De fato, seja a aplica¸c˜ao linear invert´ıvel

f : U −→ R ⊗

u −→ 1 ⊗

Temos que

f(τ

(g)u) = f (σ(g)τ(g)u) = σ(g)f (τ (g)u) (2.7)

= σ(g)(1 ⊗

τ(g)u)

(σ ⊗

τ)(g)f (u) = (σ(g) ⊗

τ(g)) f (u) = (σ(g) ⊗

τ(g))(1 ⊗

u) (2.8)

= (σ(g)1) ⊗

(τ(g)u) = σ(g)(1 ⊗

τ(g)u).

Portanto, de (2.7) e (2.8) segue que (U, τ

) ´e o produto tensorial (sobre R)

de (U, τ ) com a representa¸c˜ao sinal (R, σ).

Observe que uma fun¸c˜ao σ-revers´ıvel T : U −→ U p ode ser considerada

tamb´em uma fun¸c˜ao G-equivariante em rela¸c˜ao `as representa¸c˜oes (U, τ ) e sua

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 70

σ-dual, pois

T ∈ gl

(U) =⇒ T (ρ(g)u) = σ(g)ρ(g)T (u), ∀g ∈ G, u ∈ U

=⇒ T (ρ(g)u) = ρ

(g)T (u), ∀g ∈ G, u ∈ U

=⇒ T ´e G − equivariante.

Proposi¸c˜ao 2.3.1. Se duas representa¸c˜oes s˜ao isomorfas, ent˜ao suas σ-duais

tamb´em o s˜ao.

Demonstra¸c˜ao.

Sejam (V

, ρ

) e (V

, ρ

) duas representa¸c˜oes de G isomorfas, ent˜ao existe

f : V

−→ V

linear, invert´ıvel tal que f (ρ

(g)v) = ρ

(g)f (v), para todo

g ∈ G, v ∈ V

. Assim

f((ρ

)

(g)v) = f(σ(g)ρ

(g)v) = σ(g)f (ρ

(g)v) = σ(g)ρ

(g)f (v)

= (ρ

)

(g)f (v) =⇒ (V

, (ρ

)

∼

, (ρ

)

Considere a representa¸c˜ao (U, τ

). Temos pela Deﬁni¸c˜ao (2.3.1) que o ho-

momorﬁsmo (τ

)

: G −→ GL(U) dado por

(τ

)

(g) = σ(g)(τ

)(g) = σ(g)σ(g)τ(g)

= σ(gg)τ (g) = τ (g),

´e a representa¸c˜ao σ-dual de (U, τ

), logo, a σ-dual de (U, τ

) ´e (U, τ ). Temos,

ent˜ao que o operador (U, τ ) −→ (U, τ

), que leva uma representa¸c˜ao `a sua σ-

dual deﬁne uma involu¸c˜ao sobre o conjunto de todas as classes de isomorﬁsmos

de representa¸c˜oes de G.

Deﬁni¸c˜ao 2.3.2. Seja (U, τ ) uma representa¸c˜ao de um grupo G. Dizemos

(U, τ ) ´e uma representa¸c˜ao σ-auto dual se (U, τ

) ´e isomorfo a (U, τ ).

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 71

Considere o automorﬁsmo sobre a ´algebra gl

(U), dado por

α : gl

(U) −→ gl

(U)

A −→ SAS

−1

onde S : U −→ U ´e a fun¸c˜ao invert´ıvel que torna a representa¸c˜ao (U, τ ) σ-auto

dual.

Observe que α(S) = SSS

−1

= S, para qualquer S ∈ gl

(U) e α restrito

`a uma ´algebra gl

(U) que ´e isomorfo a K, ´e ainda um automorﬁsmo. Este

automorﬁsmo induzido de K ser´a denotado tamb´em por α.

Lema 2.3.1. Seja (U, τ ) uma representa¸c˜ao de G do tipo K, σ-auto dual.

Considere S : U −→ U a transforma¸c˜ao linear que torna (U, τ ) isomorfo a

(U, τ

). Ent˜ao,

1. S : U −→ U ´e semilinear com respectivo automorﬁsmo α.

2. S

= kI para algum k ∈ K \ {0} com α(k) = k.

Demonstra¸c˜ao.

1. Segue imediatamente da deﬁni¸c˜ao de α, pois

α(k)S ◦ I = (SkS

−1

)(S ◦ I) = (Sk) ◦ I = S ◦ (kI).

Portanto, S(ku) = α(k)S(u) para qualquer u ∈ U, k ∈ K.

2. Observemos, primeiramente, que S

∈ GL

(U), com rela¸c˜ao a repre-

senta¸c˜ao (U, τ) e sua σ-dual.

De fato, seja g ∈ G, v ∈ U , da hip´otese temos

S(τ (g)v) = τ

(g)S(v) = σ(g)τ(g)S(v).

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 72

Aplicando S na igualdade segue que

(τ(g)v) = S(σ(g)τ (g)S(v)) = σ(g)S(τ (g)S(v))

= σ(g)τ

(g)S

(v) = σ(g)σ(g)τ(g)S

(v)

= τ (g)S

(v) =⇒ S

(τ(g)v) = τ (g)S

(v), ∀g ∈ G, v ∈ U.

Mas

∈ GL

(U) ⊂ gl

(U)

∼

KI,

logo, S

= kI, para algum k ∈ K \ {0}.

Aplicando α na igualdade S

= kI obtemos que α(k) = k, como quer´ıamos.

Proposi¸c˜ao 2.3.2. Uma representa¸c˜ao (U, τ ) de G ´e irredut´ıvel do tipo K se,

e somente se, sua representa¸c˜ao σ-dual (U, (τ )

) ´e irredut´ıvel do tipo K.

Demonstra¸c˜ao.

Aﬁrmamos que, I

((U, τ ), (U, τ)) = I

((U, τ

), (U, τ

)). De fato,

f ∈ I

((U, τ ), (U, τ)) ⇐⇒ f(τ (g)v) = τ(g)f(v), ∀g ∈ G, v ∈ U

⇐⇒ σ(g)f(τ (g)v) = σ(g)τ (g)f(v), ∀g ∈ G, v ∈ U

⇐⇒ f(σ(g)τ (g)v) = σ(g)τ (g)f(v), ∀g ∈ G, v ∈ U

⇐⇒ f(τ

(g)v) = τ

(g)f (v), ∀g ∈ G, v ∈ U

⇐⇒ f ∈ I

((U, τ

), (U, τ

)).

Portanto, desta igualdade temos (U, τ ) do tipo K se, e somente se, sua

representa¸c˜ao σ-dual (U, τ

) ´e do tipo K.

Suponhamos que (U, τ

) ´e irredut´ıvel do tipo K.

Sejam V um subespa¸co vetorial de U e g ∈ G tal que τ (g)V ⊂ V , para

todo g ∈ G.

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 73

Em particular, τ (g)V ⊂ V para qualquer g ∈ H, ent˜ao −τ (g)V ⊂ V para

qualquer g ∈ H e como τ (g)V ⊂ V para qualquer g ∈ H, segue que

σ(g)τ(g)V ⊂ V, ∀g ∈ G =⇒ τ

(g)V ⊂ V, ∀g ∈ G

=⇒ V = {0} ou V = U,

pois (U, τ

) ´e irredut´ıvel. Portanto, (U, τ ) ´e irredut´ıvel.

E trivial veriﬁcar que se (U, τ ) ´e irredut´ıvel, ent˜ao (U, τ

) tamb´em ´e ir-

redut´ıvel.

Teorema 2.3.1. Seja (U, τ ) uma representa¸c˜ao irredut´ıvel de G do tipo K.

Ent˜ao, as seguintes propriedades s˜ao equivalentes

1. A representa¸c˜ao (U, τ ) ´e σ-auto dual.

2. Existe uma fun¸c˜ao linear T : U −→ U σ-revers´ıvel n˜ao nula.

3. Existe uma fun¸c˜ao linear T : U −→ U σ-revers´ıvel, invert´ıvel satisfa-

zendo um dos seguintes conjuntos de condi¸c˜oes,

(a) K = R, T ´e R-linear e T

= I.

(b) K = R, T ´e R-linear e T

= −I.

= I.

(d) K = C, T ´e

C-linear e T

= I.

(e) K = C, T ´e

C-linear e T

= −I.

(f) K = H, T ´e H-linear e T

= I.

(g) K = H, T ´e H-linear e T

= −I.

E ainda, se (U, τ ) ´e σ-auto dual e T : U −→ U σ-revers´ıvel, invert´ıvel,

ent˜ao gl

(U) ´e gerado como um m´odulo sobre gl

(U) por T .

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 74

Demonstra¸c˜ao.

3) =⇒ 2)

E imediato, tendo em vista que T

= ±I por hip´otese, segue que T

´e n˜ao nula.

2) =⇒ 1) Suponhamos que a representa¸c˜ao (U, τ) n˜ao seja σ-auto dual.

Ent˜ao, como (U, τ ) e (U, τ

) s˜ao irredut´ıveis, pelo Lema de Schur, temos

que

((U, τ ), (U, τ

)) = {0},

ou seja, para qualquer f : U −→ U linear, tal que

f(τ(g)u) = τ

(g)f (u), ∀g ∈ G, u ∈ U, (2.9)

segue que f ≡ 0.

Mas observe que f satisfazendo (2.9) teremos que f ´e σ-revers´ıvel.

Ent˜ao, conclu´ımos que qualquer fun¸c˜ao f : U −→ U σ-revers´ıvel ´e nula,

absurdo, pois contraria a hip´otese.

Potanto, (U, τ ) ´e σ-auto dual.

1) =⇒ 3) Por hip´otese, (U, τ ) ´e isomorfo a (U, τ

), ent˜ao existe S : U −→ U

linear, invert´ıvel tal que S(τ(g)u) = τ

(g)S(u), para qualquer g ∈ G,

u ∈ U.

Assim segue que S ´e σ-revers´ıvel. Tome T = φ ◦ S, para algum

φ ∈ GL

(U).

Aﬁrmamos que T : U −→ U ´e σ-revers´ıvel e invert´ıvel.

De fato, T ´e invert´ıvel pois φ e S s˜ao invert´ıveis. Sejam g ∈ G, u ∈ U

T (τ(g)u) = φ ◦ S(τ(g)u) = φ(S(τ (g)u))

= φ(σ(g)τ (g)S(u)) = σ(g)φ(τ (g)S(u))

= σ(g)τ (g)φ(S(u)) = σ(g)τ (g)φ ◦ S(u), pois φ ∈ GL

(U).

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 75

Portanto, T ´e σ-revers´ıvel e invert´ıvel, assim provamos a existˆencia da

T .

Mostremos agora que φ pode ser escolhido de modo que T satisfa¸ca um

dos conjuntos de condi¸c˜oes do item 3. do teorema.

Usando a estrutura de espa¸co K-vetorial sobre U induzido do isomorﬁsmo

de gl

(U) com K, as fun¸c˜oes φ podem ser dadas por φ = k



I, para



∈ K \ {0} , pois

φ ∈ GL

(U) ⊂ gl

(U)

∼

KI.

Logo

i) Se K = R, pela Proposi¸c˜ao (1.2.1) e o lema anterior, α deve ser o

automorﬁsmo identidade. Observe que

= ±I =⇒ ±I = (φ ◦ S)

= ((k



I) ◦ S)

, k



∈ K \ {0}

=⇒ ±I = (k



)

(I ◦ S)

= (k



)

(I ◦ S)(I ◦ S) = (k



)

(I ◦ S

). (2.10)

Mas S

= kI, para algum k ∈ R \ {0} tal que α(k) = k e isto j´a

ocorre pois α = Id

. Ent˜ao, em (2.10) segue que

±I = (k



)

(I ◦ S

) = (k



)

(I ◦ kI) = (k



)

kI =⇒ (k



)

k = ±1

=⇒ k



= |k|

−

Portanto, T = φ ◦ S com φ = |k|

−

I para algum k ∈ R \ {0}, onde

T ´e R-linear e T

= ±I.

ii) Se K = C, pela Proposi¸c˜ao (1.2.1), α pode ser o automorﬁsmo iden-

tidade ou a conjuga¸c˜ao complexa.

No caso de α ser a identidade, pelo mesmo processo do item i),

temos que T = φ ◦ S onde φ = k

−

I, para algum k ∈ C \ {0}. E

ainda T ´e C-linear e T

= I.

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 76

Quando α ´e a conjuga¸c˜ao complexa, pelo lema anterior, S

= kI,

para algum k ∈ C \ {0} e

α(k) = k =⇒ k = k =⇒ k ∈ R,

e assim nos restringimos ao caso i) novamente.

Observe que T ´e C-linear, pois seja u ∈ U, β ∈ C.

T (βu) = (φ ◦ S)(βu) = φ(S(βu)) = φ(βS(u)) = β(φ ◦ S)(u)

= βT (u) = α(β)T (u) =⇒ T (βu) = α(β)T (u).

iii) Se K = H, ent˜ao pela Proposi¸c˜ao (1.2.1), existe q ∈ H invert´ıvel

tal que para qualquer r ∈ H temos α(r) = q

−1

rq, onde α ´e o

automorﬁsmo sobre H. Ou ainda, α(r) = qrq

−1

Tome T



= q

−1

I ◦ S.

Observe que para todo r ∈ H



◦ rI = (q

−1

I ◦ S) ◦ (rI) = q

−1

I ◦ S(rI)

= q

−1

I ◦ (α(r)S ◦ I) = q

−1

I ◦ (α(r)I ◦S)

= q

−1

I(qrq

−1

)I ◦ S = q

−1

qIrq

−1

I ◦ S

= Irq

−1

I ◦ S = rI ◦T



Logo, T



´e H−linear. A composi¸c˜ao (T



)

´e tamb´em H−linear e

ainda



)

= (q

−1

I ◦ S)

= (q

−1

I ◦ S) ◦ (q

−1

I ◦ S)

= q

−1

I ◦ S(q

−1

I ◦ S) = q

−1

I(α(q

−1

)S ◦ I ◦S)

= q

−1

I((qq

−1

)S ◦ I ◦S) = q

−1

S ◦ I ◦S.

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 77



)

= q

−2

(I ◦ S) ◦ (I ◦ S) = q

−2

(I ◦ S)

= q

−2

(I ◦ S

) ∈ GL

(U) ⊂ gl

(U),

pois como vimos na demonstra¸c˜ao do Lema (2.3.1), S

∈ GL

(U).

Ent˜ao, como gl

(U) ´e isomorfo a H que por sua vez ´e isomorfo a

HI, segue que (T



)

= cI, para algum c ∈ H.

Mas (T



)

´e H−linear, ou seja,



)

◦ rI = rI ◦ (T



)

=⇒ (cI) ◦ (rI) = (rI) ◦ (cI)

=⇒ crI = rcI

=⇒ cr = rc, ∀r ∈ H e para algum c ∈ H

=⇒ c ∈ R.

Portanto, tomemos φ = |c|

−1

◦ I e assim

T = φ ◦ S = |c|

−1

◦ I ◦S

= |c|

−1

◦ Iq

−1

◦ I ◦S

= |c|

−1

I ◦ T



onde T ´e H−linear e

= (|c|

−1

I ◦ T



)

= (|c|

−1

I ◦ T



)(|c|

−1

I ◦ T



)

= |c|

−1

I(α(|c|

−1



◦ I ◦T



) = |c|

−1

q|c|

−1



◦ I ◦T



= |c|

−1

I ◦ (T



)

= |c|

−1

IcI = ±I.

Os resultados do Teorema (2.3.1) e do pr´oximo corol´ario s˜ao resumidos

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 78

na seguinte tabela, onde as siglas NSD e SD signiﬁcam que a representa¸c˜ao

irredut´ıvel dada ´e n˜ao σ−auto dual ou σ−auto dual, respectivamente.

(U) gl

(U) T T

α Σ(L)

NSD-R R R — — — L

NSD-C C C — — — L

NSD-H H H — — — L

SD-RR R R ⊕ R (1,-1) I R (L

, −L

)

SD-CC C C ⊕ C (1,-1) I C (L

, −L

)

SD-HH H H ⊕ H (1,-1) I H (L

, −L

)

SD-RC R C i -I R L

SD-CR C gl(2; R)



1 0

0 −1



I C −iLi

SD-CH C H j -I C L



SD-HC H gl(2; C)



i 0

0 i



-I H −jLj

Tabela 2.1: Classiﬁca¸c˜ao das Representa¸c˜oes Irredut´ıveis de um Grupo de Lie Com-

pacto G e suas restri¸c˜oes para um subgrupo H de ´ındice 2.

Corol´ario 2.3.1. Seja (U, τ ) uma representa¸c˜ao irredut´ıvel de G do tipo K.

Ent˜ao,

1. A ´algebra gl

(U) ´e isomorfa a uma das 10 ´algebras listadas na coluna 3

da Tabela (2.1).

2. Sobre este isomorﬁsmo, nos casos σ-auto dual, o subespa¸co gl

(U) ´e

gerado como um m´odulo sobre gl

(U) pela fun¸c˜ao T mostrada na coluna

4 da Tabela (2.1).

3. Sobre o isomorﬁsmo de 1., o automorﬁsmo Σ : gl

(U) −→ gl

(U) ´e

isomorfo `a aqueles listados na coluna 7 da Tabela (2.1).

Demonstra¸c˜ao.

Temos que gl

(U) = gl

(U)⊕gl

(U) pela Observa¸c˜ao (2.2.2), considerando

(U) =A, gl

(U) =A

e gl

(U) =A

−

Se (U, τ ) n˜ao ´e σ-auto dual, ent˜ao pelo Teorema (2.3.1) gl

(U) = {0}.

Logo, gl

(U) = gl

(U). Neste caso o item 1 est´a provado.

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 79

Se (U, τ ) ´e σ-auto dual, ent˜ao pelo Teorema (2.3.1) gl

(U) ´e gerado por

(U) e alguma fun¸c˜ao invert´ıvel, σ-revers´ıvel T : U −→ U.

Escolhemos T para ter as propriedades especiﬁcadas no item 3. do Teorema

(2.3.1). Para cada um dos sete casos σ-auto dual deﬁne um isomorﬁsmo da

´algebra gl

(U) para a ´algebra mostrada na coluna 3 da Tabela (2.1), usando

o isomorﬁsmo dado por hip´otese e T como o elemento na coluna 4.

Por exemplo, no caso SD-CR temos o isomorﬁsmo entre as ´algebras gl

(U)

e gl(2; R).

De fato, consideremos S ∈ gl

(U). Como gl

(U) = gl

(U)⊕gl

(U), temos

que S = L

⊕ L

T tal que L

, L

∈ gl

(U).

Mas gl

(U) ´e isomorfo a C, logo L

e L

s˜ao dados pelas matrizes





−b





e L





−b





onde a

, a

, b

∈ R.

Ent˜ao, para T = (1, −1), da coluna 4 da Tabela (2.1), segue que

S = L

⊕ L

T =





−b





⊕





−b









1 0

0 −1









+ a

− b

−b

− b

− a





∈ gl(2, R).

Portanto, conclu´ımos que gl

(U) ´e isomorfo a gl(2; R).

Facilmente veriﬁca-se que este ´e um isomorﬁsmo. Procedendo desta forma,

obtemos os demais isomorﬁsmo da coluna 3 da Tabela (2.1). Assim provamos

o item 1. do corol´ario. O item 2. segue diretamente do Teorema (2.3.1).

Note que o automorﬁsmo Σ : gl

(U) −→ gl

(U) ´e unicamente determi-

nado pelas condi¸c˜oes que ele ´e identidade sobre gl

(U) e satisfaz Σ(T ) = −T .

Facilmente veriﬁcamos que os automorﬁsmos listados na coluna 7 da Tabela

(2.1) tˆem estas propriedades.

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 80

Observa¸c˜ao 2.3.1. Em alguns dos casos ´e poss´ıvel escolher o gerador T de

(U) para ter diferentes propriedades daquelas dadas no Teorema (2.3.1) e

na Tabela (2.1).

Em geral, sejam (U, τ ) uma representa¸c˜ao σ-auto dual irredut´ıvel de G

do tipo K e T um gerador de gl

(U). Ent˜ao T



= kI ◦ T , para algum

k ∈ K onde K ´e isomorfo a gl

(U) tamb´em ´e gerador de gl

(U).

Se T ´e semilinear com um respectivo automorﬁsmo α de K, ent˜ao



)

= (kI ◦ T )

= (kI ◦ T )(kI ◦ T ) = (kI ◦ α(k)T ◦ I ◦ T ) = kα(k)T

Assim, (T



)

= kα(k)T

E ainda T



´e semilinear com rela¸c˜ao ao automorﬁsmo γ : K −→ K tal que

γ = ϕ ◦ α, onde ϕ : K −→ K ´e dada por ϕ(a) = ak, para o mesmo k ∈ K que

se deﬁne T



De fato



(βu) = (kI ◦ T )(βu) = kI(α(β)T (u))

= kα(β)I ◦ T (u) = kα(β)T (u)

= γ(β)T (u), ∀u ∈ U, β ∈ K.

Consideramos as poss´ıveis formas alternativas para T obtidas por tomar k

com kα(k) = −1.

1. Para K = R, segue que kα(k) = k

= −1 o que ´e absurdo, pois k ∈ R,

assim n˜ao existem alternativas para K = R.

2. Para K = C sempre temos α como a identidade e k = i, pois suponhamos

que α ´e a conjuga¸c˜ao complexa. Logo para k = a + bi ∈ C

kα(k) = kk = −1 =⇒ (a + bi )(a − bi) = −1

=⇒ a

+ b

= −1, absurdo.

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 81

Portanto, α ´e a identidade e como k

= −1 temos que k = i.

Logo pela Tabela (2.1) segue que (U, τ ) ´e uma representa¸c˜ao σ-auto dual

de G do tipo SD-CC e, ent˜ao pelo Teorema (2.3.1) o gerador T satisfaz

= I. Assim, T pode ser substitu´ıdo por um gerador C-linear T



sastisfazendo



)

= kα(k)T

= i

= −T

= −





1 0

0 −1









1 0

0 −1





= −I.

3. Para K = H a condi¸c˜ao kα(k) = −1 pode ser satisfeita em um n´umero

de caminhos. Por exemplo, se α ´e a identidade, ent˜ao k pode ser al-

gum elemento de H satisfazendo k

= −1. Em particular, tomando

k = i, nos casos SD-HH e SD-HC, os geradores H-lineares T satisfazendo

= ±I podem ser substitu´ıdos pelos geradores H



-lineares T



satisfa-

zendo (T



)

= −T

= ∓I.

Pelo Teorema (2.3.1), Corol´ario (2.3.1) e a Tabela (2.1) classiﬁcamos as re-

presenta¸c˜oes irredut´ıveis (U, τ ), e assim o subespa¸co gl

(U) das transforma¸c˜oes

σ-revers´ıveis, que ´e gerado pela fun¸c˜ao T da coluna 4 da Tabela (2.1).

Veremos alguns exemplos que ilustram cada caso do Corol´ario (2.3.1).

Exemplo 2.3.1. Seja G = D

= {e, θ, θ

, ··· , θ

n−1

, R, Rθ, ··· , Rθ

n−1

} um

grupo diedral de ordem 2n gerado por θ e R, com n ≥ 3. Observe que as

ordens de θ e de R s˜ao n e 2, respectivamente e θR = Rθ

n−1

Tome θ como sendo uma simetria e R uma simetria revers´ıvel. Logo

o subgrupo H de G, com ´ındice 2, ´e o grupo c´ıclio de ordem n dado por

H = {e, θ, ··· , θ

n−1

} =< θ >

∼

Seja a a¸c˜ao de G sobre U = R

dada como a rota¸c˜ao e reﬂex˜ao sim´etrica

de um polinˆomio regular de dimens˜ao n, logo a representa¸c˜ao dos geradores de

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 82

´e dada por

ρ(θ) =





cos θ

−senθ

senθ

cos θ





ρ(R) =





1 0

0 −1





onde θ

tal que n ∈ N.

Seja A ∈ gl

) dada por





a b

c d





com a, b, c, d ∈ R. Assim como

Aρ(g) = ρ(g)A para qualquer g ∈ G, segue

1. para g = θ





a b

c d









cos θ

−senθ

senθ

cos θ









cos θ

−senθ

senθ

cos θ









a b

c d





ou seja, b = c = o e assim A =





a 0

0 d





2. para g = R





a 0

0 d









1 0

0 −1









1 0

0 −1









a 0

0 d





=⇒ a = d.

Ent˜ao, segue que para Aρ(g) = ρ(g)A, para qualquer g ∈ D

, temos que

A =





a 0

0 a





tal que a ∈ R.

Portanto, gl

) ´e isomorfo a R e ﬁnalmente conclu´ımos pelo Lema de

Schur que ρ ´e uma representa¸c˜ao do tipo R.

Considere a restri¸c˜ao da representa¸c˜ao de G sobre U para H, dada por

: H −→ GL(R

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 83

Seja B ∈ gl

) dado por B =





x y

z w





onde x, y, z, w ∈ R.

Analogamente, como Bρ

(θ) = ρ

(θ)B para qualquer h ∈ H segue que





x y

z w









cos θ

−senθ

senθ

cos θ









cos(θ

) −sen(θ

)

sen(θ

) cos(θ

)









x y

z w





ou seja, y = −z e x = w.

Logo

B =





x y

−y x









x 0

0 x





+ y





0 1

−1 0





∼

x + yi.

Portanto, gl

) ´e isomorfo a C e assim (R

, ρ

) ´e do tipo C.

Vejamos que ρ ´e σ-auto dual.

De fato, sejam (R

, ρ

) sua representa¸c˜ao σ-dual e f : R

−→ R

dada pela

matriz





a b

c d





tal que a, b, c, d ∈ R.

i) se g ∈ H, ent˜ao σ(g) = −1.

fρ(g) = ρ

(g)f =⇒





a b

c d









1 0

0 −1









−1 0

0 1









a b

c d





=⇒ f =





0 b

c 0





ii) se g ∈ H, ent˜ao σ(g) = 1. Logo,





0 b

c 0









cos θ

−senθ

senθ

cos θ









cos θ

−sen(θ

)

senθ

cos θ









0 b

c 0





=⇒ b senθ

= −c senθ

=⇒ b = −c,

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 84

pois se senθ

= 0, ent˜ao θ

= kπ como k ∈ Z e neste caso

ρ(θ) =





1 0

0 1





ou ρ(θ) =





−1 0

0 −1





, ou seja, Z

∼

< I > ou

∼

< −I > o que ´e absurdo, pois n ≥ 3.

Ent˜ao, basta tomar f =





0 1

−1 0





para a representa¸c˜ao (R

, ρ) ser σ-

auto dual.

Portanto, este ´e um exemplo de uma representa¸c˜ao SD-RC, no Teorema

(2.3.1). O caso G = D

e H = Z

, no Exemplo (3.2), ´e o caso com n = 4.

Exemplo 2.3.2. Como no Exemplo (2.1.4), seja G = Z

que ´e isomorfo a

{1, −1, i, −i} =< i >, o grupo c´ıclico de ordem 4 agindo sobre R

pela rota¸c˜oes

atrav´es de m´ultiplos de

, isto ´e,

ρ : Z

−→ GL(R

)

i −→ ρ(i),

onde ρ(i) =





0 −1

1 0





Considere i uma simetria revers´ıvel. Ent˜ao, H = {−1, 1} denota o sub-

grupo isomorfo a Z

Temos, pela

Algebra Linear, que os ´unicos subespa¸cos vetoriais de R

s˜ao

os triviais e W

= {(x, y) = (at, bt)| t ∈ R, a

+ b

= 0},ou seja, as retas que

passam pela origem.

Suponhamos que ρ(g)W

⊂ W

, para todo g ∈ Z

, logo como Z

∼

< i >,

em particular para g = i temos que

ρ(i)W

⊂ W

=⇒ ρ(i)w = αw, ∀w ∈ W

, α ∈ R.

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 85

Assim para w = (at, bt), t ∈ R, temos que

ρ(i)w = αw =⇒





0 −1

1 0

















αat

αbt





=⇒





−bt









αat

αbt





=⇒







(αa + b)t = 0

(αb − a)t = 0

=⇒ t = 0 ou (α

+ 1)a = 0.

Mas t = 0 ´e absurdo, pois ρ(i)w = αw, para todo t ∈ R.

Ent˜ao, (α

+ 1)a = 0, ou seja, a = 0 pois α

= −1 ´e absurdo. Logo,

W = {(0, bt)| t ∈ R, b = 0}.

Neste caso, ρ(g)W  W para qualquer g ∈ Z

, por exemplo,

ρ(i)W ⊂ {(ct, 0)| t ∈ R e c = 0}  W.

Portanto, ρ n˜ao admite subespa¸co G−invariante n˜ao trivial, ou seja, ρ ´e

irredut´ıvel.

Sejam A ∈ gl(R

) dada pela matriz





a b

c d





tal que a, b, c, d ∈ R.

Aρ(i) = ρ(i)A ⇐⇒





a b

c d









0 −1

1 0









0 −1

1 0









a b

c d





⇐⇒ A =





a b

−b a





∼

a + ib ∈ C.

Logo gl

)

∼

C, e portanto, ρ ´e do tipo C.

Considere a restri¸c˜ao, (R

, ρ

), da representa¸c˜ao (R

, ρ) ao subgrupo H de

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 86

Tome W = {(0, y)| y ∈ R} um subespa¸co do R

. Observe que ρ(h)W ⊂ W ,

para qualquer h ∈ H, isto ´e, R admite um subespa¸co H-invariante n˜ao trivial,

ent˜ao ρ

n˜ao ´e irredut´ıvel.

Sejam A = {(x, 0)| x ∈ R} , B = {(0, y)| y ∈ R} subespa¸cos G-invariantes

e as seguintes representa¸c˜oes de H

: H −→ GL(A ) e ρ

: H −→ GL(B)

−1 −→ [−1] −1 −→ [−1]

Como R

= A ⊕B segue que ρ

= ρ

⊕ρ

, onde ρ

e ρ

s˜ao representa¸c˜oes

irredut´ıveis isomorfas do tipo R, logo ρ

´e do tipo R.

Seja f ∈ gl

) dada pela matriz





a b

c d





tal que a, b, c, d ∈ R.

fρ(i) = ρ

(i) ⇐⇒





a b

c d









0 −1

1 0









0 1

−1 0









a b

c d





⇐⇒ f =





a b

b −a





Portanto, tome f =





1 0

0 −1





e teremos que (U, ρ) ´e σ-auto dual.

Portanto, este ´e um exemplo SD-CR, do Teorema (2.3.1).

Exemplo 2.3.3. Sejam G = H × Z

e (U, τ

) uma representa¸c˜ao irredut´ıvel

de H do tipo K.

Estenda esta, para duas representa¸c˜oes n˜ao isomorfas de G, denotadas

(U, τ

) e (U, τ

−

), onde Z

age trivialmente sobre U e como −I, respectiva-

mente. Isto ´e, para cada g = (h, z) ∈ G

(h, 1) = τ

(h) e τ

(h, −1) = τ

(h),

−

(h, 1) = −τ

(h) e τ

−

(h, −1) = −τ

(h).

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 87

Observe que se W ´e um subespa¸co vetorial de U tal que τ

(g)W ⊂ W para

todo g ∈ G, segue que τ

(h)W ⊂ W para todo h ∈ H. Como por hip´otese,

´e irredut´ıvel temos que W = {0} ou W = U, logo τ

, analogamente τ

−

, ´e

irredut´ıvel.

Seja g ∈ G e x ∈ U.

fτ

(g)(x) = τ

(g)f (x) =⇒ f τ

(h)(x) = τ

(h)f(x), ∀h ∈ H

=⇒ f ∈ gl

(U)

∼

=⇒ (U, τ

) ´e do tipo K.

Suponha que exista f : U −→ U linear tal que f τ

(g)(u) = τ

−

(g)f (u),

para qualquer g ∈ G, u ∈ U .

Tome g = (e, −1) ∈ G. Assim

f(τ

(e, −1)u) = τ

−

(e, −1)f (u) ⇐⇒ f (τ

(e)u) = −τ

(e)f(u)

⇐⇒ f(u) = −f (u)

⇐⇒ f ≡ 0,

logo f n˜ao ´e invert´ıvel e assim segue que τ

n˜ao ´e isomorfa a τ

−

Considere a representa¸c˜ao (τ

)

: G −→ GL(U). Logo para g = (h, z) ∈ G

temos que

1. se g ∈ H, ent˜ao

(τ

)

(g) = τ

(h) = τ

−

(g),

ou seja, (τ

)

e τ

−

se coincidem pois ambas s˜ao estens˜ao de τ

2. se g ∈ H, ent˜ao

(τ

)

(g) = −τ

(h) = τ

−

(g).

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 88

Portanto, a representa¸c˜ao σ−dual de τ

´e τ

−

e vice-versa. Como τ

e τ

−

n˜ao s˜ao isomorfas, temos que tamb´em n˜ao σ-auto dual.

Exemplo 2.3.4. Seja (W, π) uma representa¸c˜ao irredut´ıvel do tipo K do grupo

compacto de Lie Γ. Seja H = Γ × Γ e U = W ⊕W .

Deﬁna uma representa¸c˜ao τ

de H sobre U por τ

(γ

, γ

) = π(γ

) ⊕π(γ

Olhando para π(γ

) e π(γ

) como restri¸c˜oes da representa¸c˜ao de H temos que

´e a soma direta de duas representa¸c˜oes n˜ao isomorfas de H do tipo K.

Se G denota o produto semi-direto Z

 (Γ × Γ), onde a a¸c˜ao de Z

sobre

H = Γ × Γ ´e gerada pela fun¸c˜ao r : (γ

, γ

) −→ (γ

, γ

Estenda a representa¸c˜ao τ

de H sobre U = W ⊕W para uma representa¸c˜ao

τ de G por requerendo τ (r)(w

, w

) = (w

, w

Esta ´e uma representa¸c˜ao de G do tipo K e tamb´em fornece exemplos de

SD-RR, SD-CC e SD-HH no Teorema (2.3.1).

Vejamos que o caso com G = D

e H

∼

×Z

do Exemplo (2.1.5) ´e para

este tipo com K = R.

De fato, primeiramente observe que neste caso Γ = Z

, W = R e

U = R ⊕ R = R

Seja (R, π) uma representa¸c˜ao irredut´ıvel do tipo R do grupo compacto de

Lie Z

dada por

π : Z

−→ GL(R)

1 −→ [1]

−1 −→ [−1],

Deﬁna uma representa¸c˜ao τ

de H sobre R

por

: Z

× Z

−→ GL(R

)

(γ

, γ

) −→ π(γ

) ⊕ π(γ

) =





π(γ

) 0

0 π(γ

)





2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 89

Observe que a representa¸c˜ao π(γ

) n˜ao ´e isomorfa a representa¸c˜ao π(γ

De fato, suponha que exista f tal que para qualquer γ

, γ

∈ Z

e x ∈ R

f(π(γ

)x) = π(γ

)f(x).

Em particular para γ

= 1 e γ

= −1 temos que

f(π(1)x) = π(−1)f (x) =⇒ f (x) = −f (x), ∀x ∈ R =⇒ f ≡ 0,

ou seja, f n˜ao ´e invert´ıvel. Portanto, π(γ

) n˜ao ´e isomorfa a representa¸c˜ao

π(γ

Temos que G = D

= Z

× H. Assim a representa¸c˜ao τ

de H sobre

U = W ⊕ W estendida para uma representa¸c˜ao τ de G ´e dada por

τ : D

−→ GL(R

)

(1, h) −→ τ

(h)

(−1, h) −→ −τ

(h),

tal que para h = (γ

, γ

) segue que

(γ

, γ

) =





π(γ

) 0

0 π(γ

)





−τ

(γ

, γ

) =





0 π(γ

)

π(γ

) 0





Como G =< α, β > e H =< α

, αβ > usando a representa¸c˜ao acima temos

que

α −→ τ(−1, (−1, 1)) =





0 −1

1 0





2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 90

β −→ τ (−1, (1, 1)) =





0 1

1 0





Considere a aplica¸c˜ao f dada pela matriz





a b

c d





com a, b, c, d ∈ R tal

que

fτ(g) = σ(g)τ (g)f, ∀g ∈ G.

1. Se g = α ∈ H, ent˜ao σ(g) = −1.





a b

c d









0 −1

1 0









0 1

−1 0









a b

c d





=⇒ f =





a b

b −a





tal que a, b ∈ R.

2. Se g = β ∈ H, ent˜ao σ(g) = −1.





a b

b −a









0 1

1 0









0 −1

−1 0









a b

b −a





=⇒ f =





a 0

0 −a





tal que a ∈ R.

Portanto, basta tomar a matriz invert´ıvel f =





1 0

0 −1





que teremos o

isomorﬁsmo entre as representa¸c˜oes τ e τ

, ou seja, a representa¸c˜ao τ ´e σ−auto

dual.

Vejamos que gl

) ´e isomorfo a R.

De fato, considere a aplica¸c˜ao F dada pela matriz





x y

z w





com

x, y, z, w ∈ R. Logo

2.3. REPRESENTAC¸

OES IRREDUT´ıVEIS DE G 91

1. Se g =





0 −1

1 0





segue que





x y

z w









0 −1

1 0









0 −1

1 0









x y

z w





=⇒ F =





x −y

y x





tal que x, y ∈ R.

2. Se g =





0 1

1 0





, ent˜ao





x −y

y x









0 1

1 0









0 1

1 0









x −y

y x





=⇒ F =





x 0

0 x





∼

x ∈ R.

Portanto, gl

) ´e isomorfo a R e pelo Lema (1.4.1) segue que τ ´e uma

representa¸c˜ao do tipo R.

Assim conclu´ımos que este ´e um exemplo SD-RR.

Cap´ıtulo 3

Dinˆamica dos Sistemas Lineares

Revers´ıveis Equivariantes

Nesse cap´ıtulo estudaremos a dinˆamica dos sistemas lineares revers´ıveis

equivariantes. Da teoria cl´assica dos sistemas dinˆamicos sabemos que a dinˆami-

ca de um sistema linear ﬁca completamente determinada por seus autovalores.

Faremos uma an´alise dos poss´ıveis autovalores em uma classe particular de

fun¸c˜oes R−lineares σ−revers´ıveis.

Inicialmente veremos as condi¸c˜oes para que dois sistemas lineares tenham

a mesma dinˆamica, ou seja, condi¸c˜oes para que seus ﬂuxos lineares sejam

topologicamente conjugados.

3.1 Fluxos Topologicamente Conjugados

Nesta se¸c˜ao estaremos estudando um pouco sobre teoria de estabilidade,

no¸c˜oes de ﬂuxo de um sistema linear e tamb´em quando dois ﬂuxos s˜ao top ologi-

camente conjugados e semelhantes. Para isto apresentaremos alguns teoremas

e deﬁni¸c˜oes necess´arias para se obter o teorema que mostra quando dois ﬂuxos

s˜ao topologicamente conjugados.

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 93

Consideremos uma equa¸c˜ao diferencial linear da forma

˙x = Ax. (3.1)

Temos que a solu¸c˜ao de (3.1) ´e dada por

x(t) = e

. (3.2)

Deﬁni¸c˜ao 3.1.1. A aplica¸c˜ao e

: R

−→ R

pode ser considerada como

descrevendo o movimento dos pontos x

∈ R

ao longo das trajet´orias de

(3.1). Esta aplica¸c˜ao ´e chamada de ﬂuxo do sistema linear (3.1).

Deﬁni¸c˜ao 3.1.2. Se todos os autovalores da matriz A, n × n tem parte real

n˜ao nula, ent˜ao o ﬂuxo e

: R

−→ R

´e chamado uma ﬂuxo hiperb´olico e

(3.1) ´e chamado sistema linear hiperb´olico.

Teorema 3.1.1. Seja A uma matriz real n ×n e considere a equa¸c˜ao ˙x = Ax.

Os seguintes resultados s˜ao equivalentes.

1. Existe uma norma  

∗

sobre R

e uma constante a > 0 tal que para

toda condi¸c˜ao inicial x ∈ R

a solu¸c˜ao satisfaz

 e

x 

∗

≤ e

−at

 x 

∗

, ∀t ≥ 0

2. Para qualquer norma  



existe constantes a > 0 e C ≥ 1 tal que para

toda condi¸c˜ao inicial x ∈ R

a solu¸c˜ao satisfaz

 e

x 



≤ Ce

−at

 x 



, ∀t ≥ 0

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 94

3. A parte real de todos os autovalores λ de A s˜ao negativas, ou seja,

Re(λ) < 0.

Demonstra¸c˜ao. Ver [17], p´agina 129-130.

Introduziremos o conceito de autovetor generalizado, com o objetivo de

deﬁnir os subespa¸cos est´aveis, inst´aveis e central.

Deﬁni¸c˜ao 3.1.3. Seja λ um autovalor da matriz A, n ×n com multiplicidade

m ≤ n. Ent˜ao, para algum k = 1, ··· , m, toda solu¸c˜ao n˜ao nula v de

(A − λI)

v = 0, (3.3)

´e chamada um autovetor generalizado de A associado ao autovalor λ.

Deﬁni¸c˜ao 3.1.4. Seja A uma matriz n × n. Deﬁnimos o autoespa¸co est´avel,

inst´avel e central, como segue respectivamente.

= {v| v ´e um autovetor generalizado para um autovalor λ com Re(λ) < 0}

= {v| v ´e um autovetor generalizado para um autovalor λ com Re(λ) > 0}

= {v| v ´e um autovetor generalizado para um autovalor λ com Re(λ) = 0}.

Teorema 3.1.2. Seja A uma matriz real n × n. Ent˜ao,

= E

⊕ E

onde E

, E

e E

s˜ao os subespa¸cos est´aveis, inst´aveis e central de (3.1),

repectivamente. Al´em disso E

, E

e E

s˜ao invariantes com o respectivo ﬂuxo

de (3.1).

Demonstra¸c˜ao.

Como E

⊕E

´e o espa¸co gerado pelos autovetores generalizados segue

a igualdade

= E

⊕ E

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 95

Mostraremos que E

´e invariante pelo ﬂuxo e

. Os casos dos subespa¸cos

e E

serem invariantes por e

seguem analogamente.

De fato, seja v ∈ E

, ou seja, existe λ com parte real negativa e k ∈ N tal

que

(A − λI)

v = 0.

Temos por deﬁni¸c˜ao que

= I + At +

+ ··· .

Assim,

= e

Logo,

(A − λI)

v = e

(A − λI)

v = 0 =⇒ e

v ∈ E

Portanto, E

´e invariante pelo ﬂuxo e

O pr´oximo lema e proposi¸c˜ao relacionam a dimens˜ao dos subespa¸cos generali-

zados referente a um autovalor com a soma das multiplicidades alg´ebricas deste

mesmo autovalor. Para isto para cada x ∈ V denotaremos por n = nil(x, N)

o menor inteiro positivo tal que N

x = 0, onde N : V −→ V ´e um operador

nilpotente.

Lema 3.1.1. Seja n = nil(x, N). Se p(t) ´e um polinˆomio tal que p(N)x = 0,

ent˜ao t

divide p(t), isto ´e, existe um polinˆomio p

(t) tal que p(t) = t

(t).

Demonstra¸c˜ao. Ver [9], p´agina 334-335.

Proposi¸c˜ao 3.1.1. Seja A : V −→ V uma transforma¸c˜ao linear tal que

V = N

⊕ ··· ⊕ N

, onde N



j≥0

Ker(A − λ

para cada autovalor λ

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 96

de A. Se λ

´e um autovalor de A com multiplicidade n

, ent˜ao dimE

= n

onde E

= Ker(A −λ

´e o espa¸co generalizado de A referente ao autovalor

Demonstra¸c˜ao.

Considere a restri¸c˜ao da aplica¸c˜ao A sobre N

, ou seja, a aplica¸c˜ao

: N

−→ N

Vejamos algumas aﬁrma¸c˜oes.

1. λ

´e autovalor de A

De fato, tome v ∈ Ker(A − λ

I) ⊂ N

e assim

(A − λ

I)v = 0 =⇒ Av = λ

v =⇒ A

v = λ

pois como v ∈ N

temos que A = A

2. λ

´e o ´unico autovalor de A

De fato, suponha que γ ´e um autovalor de A

diferente de λ

, assim

(v) = γv,

para algum v ∈ N

n˜ao nulo.

Assim para qualquer j maior ou igual a zero temos que,

− λ

v = (A

− λ

I) ···(A

− λ

  

j vezes

= (A

− λ

I) ···(A

− λ

  

j−1 vezes

− λ

I)v

= (A

− λ

I) ···(A

− λ

  

j−1 vezes

(γ − λ

= (γ − λ

)

v = 0,

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 97

pois γ = λ e v = 0.

Assim temos que v n˜ao pertence a N

o que ´e absurdo. Portanto, λ

´e o

´unico autovalor de A

3. λ

tem multiplicidade n

como autovalor de A

De fato, pois como V = N

⊕ ··· ⊕ N

, ent˜ao o polinˆomio caracter´ıstico

de A ´e igual ao produto dos polinˆomios caracter´ısticos dos A

= A|

com i = 1, ··· , q e para blocos diferentes temos autovalores diferentes,

ou seja, as n

c´opias de λ

s˜ao todas autovalores de A

Temos que a soma das multiplicidades alg´ebricas dos autovalores de A

´e

igual a dimens˜ao de N

, logo das aﬁrma¸c˜oes acima, temos que a dimens˜ao de

´e igual a n

Observe que

Ker(A − λ

I) ⊂ Ker(A − λ

⊂ ··· ⊂ V. (3.4)

Assim,

dim Ker(A − λ

I) ≤ dim Ker(A − λ

≤ ··· ≤ dimV < ∞.

Portanto, existe ˜n

pertencente aos naturais tal que







Ker(A − λ

˜n

= Ker(A − λ

, ∀n ≥ ˜n

Ker(A − λ

˜n

−1

= Ker(A − λ

˜n

Ent˜ao, N

= Ker(A − λ

˜n

Tome v

tal que,

∈ Ker(A − λ

˜n

e (3.5)

∈ Ker(A − λ

˜n

−1

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 98

Da´ı temos que,

1. v

∈ N

2. o polinˆomio caracter´ıstico de A

´e dado por p

(t) = (t − λ

)

Pela

Algebra Linear temos que,

p(A)v = 0, ∀v,

onde p ´e o polinˆomio caracter´ıstico de A. Ent˜ao, em particular para v

= 0 =⇒ (A

− λ

)

= 0.

Seja p(t) = t

. Por (3.5) temos que ˜n

= nil(v

, A − λ

I), isto ´e, ˜n

´e o

menor inteiro positivo tal que ( A − λ

˜n

= 0.

Ent˜ao, pelo Lema (3.1.1) segue que t

˜n

divide p(t) = t

, ou seja, ˜n

´e

menor ou igual a n

Logo, por constru¸c˜ao

Ker(A − λ

)

˜n

= Ker(A − λ

)

=⇒ N

= E

=⇒ dimN

= dimE

Portanto, a dimens˜ao do espa¸co E

´e igual a n

Observa¸c˜ao 3.1.1. Observe que o espa¸co generalizado E

= Ker(A − λ

de A referente ao autovalor λ

, quando λ

tem parte real negativa, positiva ou

nula, coincide com os espa¸cos est´aveis, inst´aveis ou central, respectivamente.

De fato, suponha que λ

tem parte real negativa. Ent˜ao,

= {v| v ´e um autovetor generalizado para um autovalor λ

com Re(λ

) < 0}

= {v| (A − λ

v = 0 para algum j = 1, ··· , n

e Re(λ) < 0}

= Ker(A − λ

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 99

onde a parte real de λ

´e negativa.

Claramente E

⊂ E

, basta tomar j = n

Seja v ∈ E

, ent˜ao existe j

< n

tal que v ∈ Ker(A − λ

. Assim

= m + j

, onde m ´e um inteiro positivo menor que n

. Logo,

(A − λ

v = (A − λ

(A − λ

v = (A − λ

0 = 0.

Portanto, E

⊂ E

e assim conclu´ımos a igualdade entre esses dois sub-

espa¸cos.

Teorema 3.1.3. Seja A uma matriz. Assuma que A induz um ﬂuxo hiperb´olico

para a equa¸c˜ao diferencial linear ˙x = Ax onde x ∈ R

. Se B ´e uma matriz

n × n com entradas suﬁcientemente pr´oximas de A, ent˜ao ˙x = Bx induz um

ﬂuxo linear hiperb´olico tal que a dimens˜ao das parti¸c˜oes de A e B s˜ao as

mesmas.

Demonstra¸c˜ao.

Como por hip´otese B est´a suﬁcientemente pr´oximo de A, ent˜ao o polinˆomio

caracter´ıstico de B, p

, est´a suﬁcientemente pr´oximo do polinˆomio caracte-

r´ıstico de A, p

Sendo assim as ra´ızes dos polinˆomios p

e p

(autovalores de A e de B,

respectivamente) tamb´em est˜ao suﬁcientemente pr´oximas umas das outras.

Da´ı conclu´ımos que o n´umero de autovalores contados com sua multiplici-

dade com parte real positiva de A e B s˜ao os mesmos. Analogamente, A e B

tem o mesmo n´umero de autovalores com parte real negativa.

Portanto, as dimens˜oes das parti¸c˜oes E

, E

de A s˜ao as mesmas dimens˜oes

das parti¸c˜oes E

, E

de B, respectivamente.

Consideraremos que dois ﬂuxos tem as mesmas propriedades qualitativas

e assim topologicamente semelhante, se pudermos transformar continuamente

as trajet´orias de um nas trajet´orias do outro.

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 100

Deﬁni¸c˜ao 3.1.5. Dizemos que dois ﬂuxos ϕ

e ψ

sobre um espa¸co M (M

pode ser R

ou alguma variedade) s˜ao topologicamente conjugados, se existe

um homeomorﬁsmo h : M −→ M tal que

h ◦ ϕ

(x) = ψ

◦ h(x), ∀x ∈ M, ∀t ∈ R.

Deﬁni¸c˜ao 3.1.6. Dizemos que dois ﬂuxos ϕ

e ψ

sobre um espa¸co M s˜ao

topologicamente equivalentes, se existe um homeomorﬁsmo h : M −→ M e

uma (reparametriza¸c˜ao) fun¸c˜ao α : R × M −→ R tal que

h ◦ ϕ

α(t,x)

(x) = ψ

◦ h(x), ∀x ∈ M, ∀t ∈ R,

onde assumiremos para cada x ﬁxado que α(t, x ) ´e monotonamente decrescente

em t e ´e sobrejetora em todo R.

Observa¸c˜ao 3.1.2. Geometricamente dois ﬂuxos ϕ

e ψ

sobre um espa¸co M

s˜ao topologicamente equivalentes se existe um homeomorﬁsmo h : M −→ M

que leva as trajet´orias de ϕ

nas trajet´orias de ψ

preservando sua orienta¸c˜ao.

J´a no caso de serem topologicamente conjugados este homermorﬁsmo tamb´em

preservar´a o tempo.

O seguinte teorema prova que dois ﬂuxos lineares hiperb´olicos com a mesma

dimens˜ao dos espa¸cos est´aveis e inst´aveis s˜ao topologicamente conjugados, ou

seja, ´e poss´ıvel preservar a parametriza¸c˜ao.

Teorema 3.1.4. Sejam A e B duas matrizes reais n × n.

a) Assuma que todos os autovalores de A e B tem parte real negativa.

Ent˜ao, os dois ﬂuxos lineares e

e e

s˜ao topologicamente conjugados.

b) Assuma que todos os autovalores de A e B tem parte real n˜ao nula e a

dimens˜ao da soma direta de todos os autoespa¸cos com parte real negativa

´e a mesma de A e B. (Assim a dimens˜ao da soma direta de todos os

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 101

autoespa¸cos com parte real positiva ´e a mesma de A e B). Ent˜ao, os dois

ﬂuxos lineares e

e e

s˜ao topologicamente conjugados.

c) Em particular, se todos os autovalores de A tem parte real n˜ao nula e B

´e suﬁcientemente pr´oximo de A, ent˜ao os dois ﬂuxos lineares e

e e

s˜ao topologicamente conjugados.

Demonstra¸c˜ao.

Por hip´otese, no item a), todos os autovalores de A e B tem parte real

negativa, logo pelo Teorema (3.1.1) existem normas  

,  

e constantes

a, b > 0 tais que temos as estimativas







 e

x 

≤ e

−at

 x 

 e

x 

≤ e

−bt

 x 

, ∀t > 0. (3.6)

Considerando t ≤ 0 temos as estimativas







 e

x 

≥ e

−a|t|

 x 

 e

x 

≥ e

−b|t|

 x 

. (3.7)

Consideremos duas esferas

= {x |  x 

= 1} e

= {x |  x 

= 1}.

Aﬁrmamos que para cada x = 0 a trajet´oria e

x cruzar´a, em algum tempo,

a esfera S

uma ´unica vez.

De fato, temos trˆes possibilidades para x com rela¸c˜ao a esfera S

1. Se  x 

= 1, ent˜ao temos que para t = 0 a trajet´oria e

x cruza a esfera

2. Se  x 

> 1 temos

 lim

t→+∞

x 

≤ lim

t→+∞

 e

x 

≤ lim

t→+∞

−at

 x 

= x 

lim

t→+∞

−at

= 0.

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 102

Portanto,

lim

t→+∞

x = 0,

ou seja, a medida que o tempo aumenta a trajet´oria e

x se aproxima

da origem da esfera S

, logo em algum momento a trajet´oria cruzar´a a

esfera S

3. Se  x 

< 1 temos que

+∞ = lim

t→+∞

 x 

≤ lim

t→+∞

 e

−At

x 

=⇒ lim

t→+∞

 e

−At

x 

= +∞.

Ent˜ao, a medida que o tempo aumenta a trajet´oria e

x sai da esfera, e

como  x 

< 1 segue que necessariamente a trajet´oria e

x cruzar´a a

esfera S

Suponha que exista x

n˜ao nulo e os tempos t

, t

distintos, tais que

 e



= 1 e

 e



= 1,

ou seja, a trajet´oria e

x cruza a esfera S

duas vezes.

Sem perda de generalidade, consideremos t

< t

Tome t = t

− t

e x = e

Como t ´e negativo, pela Estimativa (3.7)

 e

x 

≥ e

−a|t|

 x 

=⇒ e

−At



≥ e

a(t

−t

)

=⇒ e

a(t

−t

)

≤ 1.

Mas t

− t

> 0, logo e

a(t

−t

)

> 0. Ent˜ao,

a(t

−t

)

= 1 =⇒ t

= t

, absurdo.

Portanto, para cada x = 0 a trajet´oria e

x cruzar´a a esfera S

uma ´unica

vez.

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 103

Analogamente, para cada y = 0 trajet´oria e

y cruzar´a a esfera S

tamb´em

uma ´unica vez.

Observe que o tempo onde  e

x 

= 1 depende continuamente de x.

Assim deﬁniremos como τ (x) o tempo onde a trajet´oria e

x cruzar´a a esfera

para cada x = 0.

Sendo assim segue que τ (e

x) ´e o tempo tal que  e

Aτ(e

x 

= 1 e ´e

dado por τ (e

x) = τ(x) − t.

De fato,

 e

A(τ(x)−t)

x 

= e

Aτ(x)

−At

x 

= e

Aτ(x)

x 

= 1.

Considere o homeomorﬁsmo entre as esferas S

e S

dado por

: S

−→ S

x −→

 x 

Observe que a inversa de h

existe e ´e dada por h

−1

(y) =

 y 

De fato,

◦ h

−1

(y) = h



 y 



 y 

= y.

E ainda, h

e h

−1

s˜ao cont´ınuas pois s˜ao compostas de fun¸c˜oes cont´ınuas.

Agora podemos junto com o tempo τ (x), estender o homeomorﬁsmo h

para todo o R

Considere a fun¸c˜ao h : R

−→ R

dada por

h(x) =







−Bτ (x)

Aτ(x)

x) se x = 0

0 se x = 0

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 104

Geometricamente temos

Aτ

·h(x) = e

−Bτ

Aτ

✲

Figura 3.1: Representa¸c˜ao geom´etrica para se obter o homeomorﬁsmo h que torna

topologicamente conjugado os ﬂuxos e

e e

, referente aos sistemas lineares ˙x = Ax

e ˙x = Bx, respectivamente.

Observe que

1. Se x = 0, ent˜ao h(x) = 0 e assim

h(e

x) = 0 = e

h(x) =⇒ h(e

x) = e

h(x).

2. Se x = 0, ent˜ao

h(e

x) = e

−Btτ (e

Aτ(e

= e

−B(τ (x)−t)

A(τ(x)−t)

= e

−Bτ (x)

Aτ(x)

−At

= e

−Bτ (x)

Aτ(x)

= e

−Bτ (x)

Aτ(x)

= e

h(x).

Portanto, h(e

x) = e

h(x) para qualquer x ∈ R

Como τ e os ﬂuxos e

e e

s˜ao cont´ınuas, segue que h ´e uma fun¸c˜ao

cont´ınua nos pontos x = 0.

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 105

Mostremos que para x = 0 a fun¸c˜ao h ´e cont´ınua, ou seja, mostremos que

−→ 0 =⇒ h(x

) −→ h(0) = 0.

De fato, temos que τ(x

) = τ

´e o tempo para que  e

Aτ



= 1. Pelas

estimativas (3.6) e (3.7) temos que

1 = e

Aτ



≤ e

−aτ

 x



−→ 0 para τ

≥ 0, absurdo.

Ent˜ao, consideremos τ

≤ 0. Como vimos para cada x = 0 a trajet´oria

x cruza exatamente uma vez a esfera S

, ent˜ao para cada j existe um ´unico

∈ R

−

e um ´unico y

∈ S

tal que e

Aτ

= y

Suponhamos que |τ

| < M para qualquer j e M ∈ R. Pelo Teorema de

Bolzano Weierstrass, existe uma subsequˆencia τ

convergindo para t ∈ R.

A sequˆencia τ

est´a no compacto S

, logo existe uma subsequˆencia y

tal

que

−→ y

, y

∈ S

Portanto,

Aτ

= y

. (3.8)

Assim quando m tende ao inﬁnito, temos,

−→ t, x

−→ 0 e y

−→ y

Logo, em (3.8)

0 = y

=⇒ y

= 0, absurdo.

Portanto, τ

tende a menos inﬁnito quando x

tende a zero.

Fazendo, y

= h

Aτ

) temos que

 y



= h

Aτ



 e

Aτ



 e

Aτ



= 1.

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 106

Ent˜ao, usando a estimativa (3.6) segue que

 h(x

) 

= e

−Bτ

Aτ

) 

≤ e

−Bτ



 h

Aτ

) 

= e

−Bτ



≤ e

−b|τ

−→ 0.

Logo,  h(x

) 

converge para zero, ou seja, h(x

) converge para zero

quanto x

converge para zero. Portanto, h ´e cont´ınua em zero.

Sejam x, y tais que h(x) = h(y).

Se x = 0 , ent˜ao 0 = h(x) = h(y), ou seja, y = 0. Portanto, h ´e injetora

para x = 0.

Suponha que x = 0. Ent˜ao,

h(y) = h(x) = 0 =⇒ y = 0.

Considere τ(x) = τ e observe que

h(e

aτ

x) = e

bτ

h(x) = e

bτ

h(y) = h(e

aτ

y) =⇒ h(e

aτ

x) = h(e

aτ

y). (3.9)

Como vimos τ(e

x) = τ − t, logo τ (e

Aτ

x) = τ − τ = 0, ent˜ao

 h(e

Aτ

x) 

= e

−Bτ (e

Aτ

Aτ(e

Aτ

x) 

(3.10)

= h

Aτ

x) 

= 1,

logo, h(e

Aτ

x) ∈ S

e por (3.9) segue que h(e

Aτ

y) ∈ S

Observe que para qualquer x que n˜ao pertence a S

sua imagem, h(x), n˜ao

pertence a S

De fato, suponha que exista x

n˜ao pertencente a S

tal que sua imagem,

h(x

), perten¸ca a esfera S

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 107



✫✪

✬✩

·0

)

✲

h(x

)

✫✪

✬✩

·0

Figura 3.2: Representa¸c˜ao geom´etrica, onde x

= e

Aτ(x

)

Pela deﬁni¸c˜ao de h segue que

h(x

) = e

−Bτ (x

)

Aτ(x

)

) =⇒ h

Aτ(x

)

) = e

Bτ (x

)

h(x

) ∈ S

Mas h(x

) pertence a S

e como τ (x

) ´e o tempo quando a trajet´oria

Bτ (x

)

h(x

) cruza a esfera S

, segue que τ (x

) = 0. Absurdo, pois como x

n˜ao pertence a S

temos que τ(x

) ´e n˜ao nulo.

Portanto,

h(e

Aτ

y) ∈ S

=⇒ e

Aτ

y ∈ S

=⇒ τ = τ (y).

Como em (3.10) temos que h(e

Aτ

x) = h

Aτ

x), segue que

Aτ

x) = h(e

Aτ

x) = h(e

Aτ

y) = h

Aτ

y) =⇒ e

Aτ

x = e

Aτ

y =⇒ x = y.

Portanto, h ´e injetora.

Seja z ∈ R

. Temos que existe um ´unico τ (z) tal que e

Bτ (z)

z ∈ S

Como h

´e sobrejetora, existe um ´unico w ∈ S

tal que h

(w) = e

Bτ (z)

Tome x = e

−Aτ

w, logo, w = e

Aτ

x. Assim

h(x) = e

−Bτ

Aτ

x) = e

−Bτ

Aτ

−Aτ

w) = e

−Bτ

(w) = e

−Bτ

Bτ (z)

z = z

Portanto, h ´e sobrejetora.

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 108

Finalmente temos que a inversa de h ´e cont´ınua e ´e dada por

−1

(y) =







−Aτ(y)

−1

Bτ (y)

y) se y = 0

0 se y = 0

Portanto, conclu´ımos que h ´e um homeomorﬁsmo que torna os ﬂuxos e

topologicamente conjugados.

No item b), pelo Teorema (3.1.2) temos que R

= E

⊕ E

, pois E

= ∅.

Vejamos que b) segue diretamente do item a).

De fato, tamb´em pelo Teorema (3.1.2) temos que os subespa¸cos E

e E

s˜ao invariantes pelo ﬂuxo e

e os subespa¸cos E

e E

s˜ao invariantes pelo

ﬂuxo e

Assim pelo item a) os ﬂuxos e

e e

restritos aos subespa¸cos E

e E

respectivamente, s˜ao topologicamente conjugados, isto ´e, existe um homeo-

morﬁsmo h

: E

−→ E

tal que

x) = e

(x),

para qualquer x ∈ E

e t ∈ R.

Observe que se os autovalores de A e B tem parte real negativa, ent˜ao os

autovalores de −A e −B tem parte real positiva e neste caso os ﬂuxos e

−At

−Bt

s˜ao topologocamente conjugados.

De fato, basta tomar o homeomorﬁsmo que torna os ﬂuxos e

e e

to-

pologicamente conjugados, s´o que agora deﬁnido do susbespa¸co E

sobre o

sub-espa¸co E

, ou seja, tome h

: E

−→ E

e w = −t,

−At

x) = h

x) = e

(x) = e

−Bt

(x).

Assim considere o homeomorﬁsmo h

: E

−→ E

tal que

x) = e

(x),

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 109

para qualquer x ∈ E

e t ∈ R, onde σ = s, u.

Tome as proje¸c˜oes

: R

−→ E

x = x

⊕ x

−→ x

assim qualquer x ∈ R

pode ser escrito como x = π

(x) ⊕ π

(x).

Utilizando as conjuga¸c˜oes h

, h

e as proje¸c˜oes podemos obter uma con-

juga¸c˜ao sobre o espa¸co todo.

Considere a fun¸c˜ao

h : R

−→ R

x −→ h

(π

(x)) + h

(π

(x)).

Geometricamente temos

· · ·

(x) = x

= π

(x)

h(x)

· · ·

)

✲

Figura 3.3: Representa¸c˜ao geom´etrica para se obter o homeomorﬁsmo h que torna

topologicamente conjugado os ﬂuxos e

e e

, referente aos sistemas lineares ˙x = Ax

e ˙x = Bx, respectivamente.

Como h ´e soma de fun¸c˜oes cont´ınuas segue que h tamb´em ´e cont´ınua.

A fun¸c˜ao inversa de h ´e dada pela seguinte fun¸c˜ao cont´ınua

−1

: R

−→ R

y −→ h

−1

(π

(y)) + h

−1

(π

(y)),

3.1. FLUXOS TOPOLOGICAMENTE CONJUGADOS 110

onde π

´e a proje¸c˜ao do R

sobre E

De fato,

h ◦ h

−1

(y) = h(h

−1

(π

(y)) + h

−1

(π

(y)))

= h(h

−1

) + h

−1

))

= h

(π

−1

) + h

−1

))) + h

(π

−1

) + h

−1

)))

= h

(π

−1

)) + π

−1

))) + h

(π

−1

)) + π

−1

)))

= h

(π

−1

))) + h

(π

−1

)))

= h

−1

)) + h

−1

))

= y

+ y

= y.

Portanto, h ◦ h

−1

= Id

Seja x = x

⊕ x

∈ R

, t ∈ R, como e

e e

s˜ao lineares, segue que

h(e

x) = h

(π

x)) + h

(π

x))

= h

(π

) ⊕ e

)) + h

(π

) ⊕ e

)))

= h

)) + h

)))

= e

) + e

)

= e

) + h

))

= e

(π

(x)) + h

(π

(x)))

= e

h(x).

Portanto, h comuta com os ﬂuxos lineares e

e e

e assim conclu´ımos que

estes s˜ao topologicamente conjugados.

Sejam A e B satisfazendo a hip´otese do item c). Assim pelo Teorema (3.1.3)

3.2. ESTUDO DOS AUTOVALORES 111

as dimens˜oes das parti¸c˜oes de A e B s˜ao as mesmas, ou seja,

dimE

= dimE

dimE

= dimE

Portanto, este caso segue diretamente do item b).

Observa¸c˜ao 3.1.3. Pela Proposi¸c˜ao (3.1.1) e o Teorema (3.1.4) temos que

dadas duas matrizes A e B onde o n´umero de autovalores (contados com suas

multiplicidades) com parte real negativa (ou parte real positiva) ´e igual em am-

bas, segue que os dois ﬂuxos lineares e

e e

s˜ao topologicamente conjugados.

3.2 Estudo dos autovalores

Nesta se¸c˜ao faremos uma an´alise de como podem ser os autovalores e

suas respectivas multiplicidades para uma certa classe de fun¸c˜oes R−lineares

σ−revers´ıveis.

Focalizaremos sobre as situa¸c˜oes em que temos uma representa¸c˜ao σ−auto

dual de G e o automorﬁsmo α ´e trivial. Sobre estas circunstˆancias mos-

traremos que o estudo dos autovalores nesta classe de fun¸c˜oes R−lineares

σ−revers´ıveis est´a intimamente ligado com o estudo dos autovalores das ma-

trizes em gl(m; K).

Observa¸c˜ao 3.2.1. Os autovalores de uma matriz em gl(m; R) s˜ao por deﬁni-

¸c˜ao aqueles de sua complexiﬁca¸c˜ao. Existem m autovalores e se λ ´e um au-

tovalor de uma matriz em gl(m; R), ent˜ao λ ´e tamb´em um autovalor com a

mesma multiplicidade de λ.

Observa¸c˜ao 3.2.2. Uma matriz em g l(m; C) tem precisamente m autovalores

se cada um ´e contado de acordo com sua multiplicidade alg´ebrica.

3.2. ESTUDO DOS AUTOVALORES 112

Observa¸c˜ao 3.2.3. No caso K = C ou K = H notamos que toda matriz em

gl(m; C) pode ser representada como uma matriz R−linear em gl(2m; R). Se λ

´e um autovalor de uma matriz complexa com multiplicidade alg´ebrica a, ent˜ao

λ e λ s˜ao ambos autovalores da correspondente matriz em gl(2m; R), cada um

com multiplicidade alg´ebrica igual a a.

De fato, considere o exemplo.

Exemplo 3.2.1. Seja uma fun¸c˜ao C−linear tal que

f : C

−→ C

, z

) −→ (iz

, iz

Tome ξ = {(0, 1), (1, 0)} uma base para C

. Ent˜ao, a matriz da aplica¸c˜ao

f na base ξ ´e dada por,

[f] =





i 0

0 i





Assim temos que i ´e o ´unico autovalor de f com multiplicidade 2.

Consideremos a mesma fun¸c˜ao f , agora com uma fun¸c˜ao R−linear. Nesse

caso considere a base ξ = {(0, 1), (0, i), (1, 0), (i, 0)} e a matriz de f nesta base

´e tal que

[f] =







0 −1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 −1

0 0 1 0







Neste caso os autovalores de f formam o par conjugado (i, −i) ambos com

multiplicidade 2. Assim conclu´ımos esta observa¸c˜ao.

3.2. ESTUDO DOS AUTOVALORES 113

Observe ainda que se uma fun¸c˜ao C−linear tiver um autovalor real, ent˜ao

esta mesma fun¸c˜ao, vista como uma fun¸c˜ao R−linear, ter´a este mesmo auto-

valor mas agora com multiplicidade dupla, pois o conjugado de um n´umero

real ´e ele mesmo. Veja um exemplo.

Exemplo 3.2.2. Considere a fun¸c˜ao g : C

−→ C

tal que g(z

, z

) = (iz

, z

Analogamente ao exemplo anterior veriﬁcamos que g, como uma fun¸c˜ao

C−linear, tem 1 e i como seus autovalores, ambos com multiplicidade simples.

Por´em como uma fun¸c˜ao R−linear, seus autovalores s˜ao (i, −i) ambos com

multiplicidade simples e 1 com multiplicidade 2.

Observa¸c˜ao 3.2.4. Os autovalores de uma matriz em gl(m; H) s˜ao por deﬁni-

¸c˜ao aqueles obtidos por esquecendo a estrutura de H e olhando uma matriz em

gl(m; H) como uma fun¸c˜ao C−linear, isto ´e, como uma matriz em gl(2m; C).

Existem portanto 2m autovalores. Quando consideramos uma matriz de

gl(m; H) como uma fun¸c˜ao R− linear, esta ter´a o mesmo par conjugado como

autovalor, por´em com multiplicidade dupla.

De fato, veja o seguinte exemplo.

Exemplo 3.2.3. Seja f : H

−→ H

uma fun¸c˜ao tal que f(g

, g

) = (g

i, g

i).

Pela deﬁni¸c˜ao para obter os autovalores de f devemos olh´a-la como uma

fun¸c˜ao C−linear. Sendo assim, considere uma C−base para H

dada por

β = {(1, 0), (j , 0), (0, 1), (0, j)}, logo sua matriz em rela¸c˜ao a essa base ´e

[f] =







i 0 0 0

0 −i 0 0

0 0 i 0

0 0 0 −i







O par conjugado complexo (i, −i) ´e formado por autovalores de multiplici-

dade dupla da aplica¸c˜ao f.

3.2. ESTUDO DOS AUTOVALORES 114

Olhando f agora como uma aplica¸c˜ao R−linear, uma R−base de H

´e

{(1, 0), (i, 0), (j, 0), (k, 0), (0, 1), (0, i), (0 , j), (0, k)} e a matriz de f nessa base

´e a matriz







0 −1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 −1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 −1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 −1

0 0 0 0 0 0 1 0







Nesse caso os autovalores i e −i tem multiplicidade 4 cada um.

Destas observa¸c˜oes acima, temos que quando uma fun¸c˜ao linear L de um

R−espa¸co vetorial ´e obtida de uma fun¸c˜ao linear de um C−espa¸co vetorial com

autovalores µ

com multiplicidade a

, ela ter´a pares de autovalores conjugados

complexos (µ

, µ

) ambos com a mesma multiplicidade a

. Se a fun¸c˜ao linear L

de um R−espa¸co vetorial vˆem de uma fun¸c˜ao linear de um H−espa¸co vetorial,

que tem pares de autovalores complexos (µ

, µ

) ambos com multiplicidade a

ela ter´a esses mesmos pares de autovalores conjugados complexos mas agora

ocorrendo com multiplicidade dupla.

Observa¸c˜ao 3.2.5. Sejam as aplica¸c˜oes A : U −→ U e B : V −→ V . Se

λ e γ s˜ao autovalores de A e B respectivamente, ent˜ao λγ ser´a autovalor da

aplica¸c˜ao A ⊗

B : U ⊗

V −→ U ⊗

V .

De fato, como λ e γ s˜ao autovalores de A e B respectivamente segue que

existem u ∈ U e v ∈ V n˜ao nulos tais que

A(u) = λu e B(v) = γv.

3.2. ESTUDO DOS AUTOVALORES 115

Tome o vetor n˜ao nulo x = u ⊗

v ∈ U ⊗

V . Temos que

A ⊗

B(x) = A ⊗

B(u ⊗

v) = A(u) ⊗

B(v)

= (λu) ⊗

(γv) = (λγ)(u ⊗

v) = (λγ)x.

Portanto, λγ ´e autovalor de A ⊗

Observa¸c˜ao 3.2.6. Seja (V, ρ) uma representa¸c˜ao de G sobre V tal que (V, ρ)

´e isomorfo a m c´opias de uma representa¸c˜ao irredut´ıvel (W, ρ

) do tipo K,

onde ρ

´e a representa¸c˜ao ρ restrita ao subespa¸co W . Considerando os ca-

sos σ−auto duais da Tabela (2.1) onde o automorﬁsmo α ´e trivial temos que

se A ∈ gl (m, K), ent˜ao L = A ⊗

T ´e uma aplica¸c˜ao σ−revers´ıvel tal que

T : W −→ W ´e dada pela Tabela (2.1).

De fato, como vimos no Cap´ıtulo 1 temos que as representa¸c˜oes (V, ρ) e

⊗

W, 1

⊗

) s˜ao isomorfas. Ent˜ao, mostraremos que L ´e uma aplica¸c˜ao

σ−revers´ıvel com rela¸c˜ao a representa¸c˜ao (K

⊗

W, 1

⊗

) e assim a menos

de isomorﬁsmo L tamb´em ser´a σ−revers´ıvel com rela¸c˜ao a representa¸c˜ao (V, ρ).

Seja g ∈ G como T ´e uma aplica¸c˜ao σ− revers´ıvel segue que

L((1

⊗

)(g)) = (A ⊗

T )(1

(g) ⊗

(g))

= (A1

(g)) ⊗

(T ρ

(g))

= (1

(g)A) ⊗

(σ(g)ρ

(g)T )

= σ(g)[(1

(g)A) ⊗

(ρ

(g)T )]

= σ(g)[(1

(g) ⊗

(g))(A ⊗ T )]

= σ(g)(1

⊗

)(g)L

Com isso podemos estudar os autovalores de uma classe particular de

fun¸c˜oes R−lineares σ−revers´ıveis para cada um dos casos σ−auto duais tal

que o automorﬁsmo α ´e trivial obtido na classiﬁca¸c˜ao dada no Teorema (2.3.1).

3.2. ESTUDO DOS AUTOVALORES 116

Teorema 3.2.1 (Autovalores). Seja (V, ρ) uma representa¸c˜ao de G sobre V

tal que a decomposi¸c˜ao isot´ıpica de V possui um ´unico bloco isot´ıpico e a re-

presenta¸c˜ao (V, ρ) ´e isomorfa a soma direta de m c´opias de uma representa¸c˜ao

σ−auto dual irredut´ıvel (W, ρ

) do tipo K tal que o automorﬁsmo α ´e trivial.

Denote a dimens˜ao de W como um espa¸co vetorial sobre K por r. Seja ainda

L : V −→ V uma fun¸c˜ao R−linear σ−revers´ıvel dada por L = A ⊗

T onde

A ∈ gl(m, K) e T ´e dada na Tabela (2.1). Ent˜ao, os autovalores de L podem

ser determinados dos autovalores de A como segue.

(SD-RR) Se λ ´e um autovalor de A com multiplicidade alg´ebrica a, ent˜ao

(λ, −λ) ´e um par de autovalores de L com multiplicidade alg´ebrica

Se λ ∈ R este d´a um par real de autovalores. Caso contr´ario λ e λ d˜ao

um autovalor qu´adruplo que degenera em um par imagin´ario quando λ ´e

imagin´ario.

(SD-CC) Se λ ´e um autovalor de A (como uma fun¸c˜ao C−linear) com mul-

tiplicidade alg´ebrica a, ent˜ao (λ, −λ, λ, −λ) ´e uma qu´adrupla de autova-

lores de L com multplicidade alg´ebrica

(SD-HH) Se (λ, λ) ´e um par conjugado de autovalores de A (como uma fun¸c˜ao

C−linear) com multiplicidade alg´ebrica a, ent˜ao (λ, −λ, λ, −λ) ´e uma

qu´adrupla de autovalores de L com multplicidade alg´ebrica ar.

(SD-RC) Se λ ´e um autovalor de A com multiplicidade alg´ebrica a, ent˜ao

(iλ, −iλ) ´e um par de autovalores de L com multiplicidade alg´ebrica ar.

Se λ ∈ R este d´a um par de autovalores imagin´arios. Caso contr´ario λ

e λ d˜ao um autovalor qu´adruplo que degenera em um par real quando λ

´e imagin´ario.

(SD-HC) Se (λ, λ ) ´e um par conjugado de autovalores de A (como uma

fun¸c˜ao C−linear) com multiplicidade alg´ebrica a, ent˜ao (iλ, −iλ, iλ, −iλ)

´e uma qu´adrupla de autovalores de L com multplicidade alg´ebrica ar. A

3.2. ESTUDO DOS AUTOVALORES 117

qu´adrupla degenera de um par imagin´ario onde λ ´e real e de um par real

onde λ ´e imagin´ario.

Demonstra¸c˜ao.

Por hip´otese temos que L = A ⊗

T onde A ∈ gl(m; K) e a aplica¸c˜ao

T : W −→ W ´e dada pela Tabela (2.1).

A demonstra¸c˜ao ser´a feita por casos.

1. Caso SD-RR.

Neste caso como K = R temos que L = A ⊗

T com A ∈ gl(m; R) e

T = I

⊕ −I

−

. Assim os ´unicos autovalores de T s˜ao 1 e -1 ambos com

multiplicidade

, pois a dimens˜ao de W ´e r.

Se λ ´e autovalor de A com multiplicidade a, ent˜ao os autovalores de L

s˜ao λ e −λ ambos com multiplicidade

Temos ainda que se λ ∈ R, ent˜ao (λ, −λ) ´e um par real de autovalores

de L. Se λ ∈ C, como A ´e uma matriz com entradas em R, segue que

λ tamb´em ´e um autovalor de A e assim λ e −λ tamb´em s˜ao autovalores

de L, ou seja, (λ, −λ, λ, −λ) ´e uma qu´adrupla de autovalores para L que

degenera de um par imagin´ario (λ, −λ), quando λ ´e imagin´ario.

2. Caso SD-CC.

Para o caso SD-CC temos que L = A ⊗

T com A ∈ gl(m; C) e

T = I

⊕ −I

−

, j´a que K = C.

Se λ ´e um autovalor de A com multiplicidade a, ent˜ao λ e −λ s˜ao auto-

valores de L ambos com multiplicidade

Observe que neste caso L ´e uma fun¸c˜ao C−linear, pois por hip´otese A e T

s˜ao fun¸c˜oes C−lineares. Ent˜ao, pelas observa¸c˜oes vistas anteriormente,

(λ, −λ) e os seus conjugados ser˜ao autovalores de L, agora vista como

uma fun¸c˜ao R−linear, ambos com a mesma multiplicidade

3.2. ESTUDO DOS AUTOVALORES 118

Portanto, ( λ, −λ, λ, −λ) ´e uma qu´adrupla de autovalores da fun¸c˜ao

R−linear L com multiplicidade

3. Caso SD-HH.

Temos que L = A ⊗

T com A ∈ gl(m; H) e T = I

⊕ −I

−

Se (λ, λ) ´e um par de autovalores conjugados de A com multiplicidade

a, ent˜ao (λ, −λ, λ, −λ) ´e uma qu´adrupla de autovalores de L com multi-

plicidade

Por hip´otese A ´e uma fun¸c˜ao C−linear, logo L ´e uma fun¸c˜ao C−linear.

Ent˜ao, pelas observa¸c˜oes vistas anteriormente, como o conjugado da

qu´adrupla ´e ela mesmo, segue que (λ, −λ, λ, −λ) s˜ao autovalores de L

agora com multiplicidade dupla, isto ´e, ar.

4. Caso SD-RC.

Neste caso L = A ⊗

T com A ∈ gl(m, R) e T = i. Observe que o ´unico

autovalor da fun¸c˜ao C−linear T ´e i com multiplicidade r.

Olhando para T como uma fun¸c˜ao R−linear temos pelas observa¸c˜oes

vistas anteriormente que −i tamb´em ´e um autovalor de T com multipli-

cidade r. Ent˜ao, a fun¸c˜ao R−linear T tem o par conjugado complexo

(i, −i) de autovalores ambos com multiplicidades r.

Suponha que λ ´e um autovalor de A com multiplicidade alg´ebrica a,

ent˜ao (iλ, −iλ) s˜ao autovalores de L com multiplicidade ar.

Se λ ∈ R, ent˜ao (λi, −λi) ´e um par imagin´ario puro de autovalores de L.

Se λ ∈ C, ent˜ao como A ´e uma matriz real, λ tamb´em ´e um autovalor

de A e assim analogamente ao que foi feito anteriormente temos que

λi e −λi tamb´em s˜ao autovalores de L. Portanto, os autovalores de L

(λi, −λi, λi, −λi) formam um autovalor qu´adruplo que se degenera em

um par real quando λ ´e imagin´ario.

3.2. ESTUDO DOS AUTOVALORES 119

5. SD-HC.

Neste caso temos que L = A ⊗

T , com T =





i 0

0 i





e da hip´otese

A ´e uma fun¸c˜ao C−linear. Analogamente ao caso anterior, i o ´unico

autovalor de T com multiplicidade r.

Suponha que (λ, λ) ´e um par de autovalores de A com multiplicidade a.

Ent˜ao, o par (λi, λi) ´e autovalor de L com multiplicidade ar

Por hip´otese A ´e uma fun¸c˜ao C−linear, logo L tamb´em ´e uma matriz C−

linear. Assim, (λi, −λi, λi, −λi) formam uma qu´adrupla de autovalores

de L ambos com multiplicidade ar.

Esta qu´adrupla degenera em (λi, −λi), isto ´e, um par imagin´ario quando

λ ´e real e em um par real quando λ ´e imagin´ario.

Conclus˜ao.

Para se determinar a dinˆamica de uma aplica¸c˜ao R−linear σ−revers´ıvel da

forma L = A ⊗

T nas condi¸c˜oes da Proposi¸c˜ao (3.2.1) basta fazer uma an´alise

dos autovalores de A.

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas

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[20] Warner, F. W., Foundations of Diﬀerentiable Manifolds and Lie Groups,

Springer-Verlag, New York, 1983.

122

Indice Remissivo

Algebra

Linear Real, 15

de Lie, 30

A¸c˜ao, 31

adjunta, 31

Automorﬁsmo, 23

Blocos Isot´ıpicos, 49

Centro, 18

Conjuga¸c˜ao quaterniˆonica, 24

Decomposi¸c˜ao

isot´ıpica, 49

Fun¸c˜oes

-lineares, 27

equivariantes, 43

semilineares, 27

Grupo de Lie, 30

Involu¸c˜ao, 25

de Lie, 32

Lema de Schur, 44

Produto Tensorial

entre espa¸cos vetoriais, 18

entre fun¸c˜oes K-lineares, 19

Representa¸c˜oes, 43

σ-auto duais, 71

σ-duais, 69

σ-revers´ıveis, 62

do tipo K, 47

ﬁel, 43

irredut´ıveis, 44

isomorfas, 43

triviais, 43

Sistema Linear

equivariante, 56

revers´ıvel, 54

Sub´algebra, 16

Subespa¸co G-Invariante, 44

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