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iv
Agradecimentos
Gostaria de agradecer a todas as pessoas que contribuiram de forma direta
ou indiretamente para a constru¸c˜ao desta disserta¸c˜ao.
Agrade¸co primeiramente a minha m˜ae Maria de F´atima por todo o amor,
dedica¸c˜ao e esfor¸co na minha cria¸c˜ao e pelo apoio incondicional ao caminho que eu
escolhi para trilhar.
Agrade¸co tamb´em aos meus irm˜aos Manuela, Gustavo e meu irm˜ao ca¸cula
Guilherme, a minha v´o por parte de m˜ae Berenice, a meu avˆo por parte de pai
Afonso, a meu pai Gerson Cortˆes, a minhas tias-m˜aes Gra¸ca e Gl´oria, aos meus
primos Hilton, Glauber, Carolina, Nat´alia, Rubinho, Rejane, Bruno e Otto, a minhas
tias Mariinha, Maria, Faf´a, Teresa e Lilian, a meus tios Antonio, Ab´ılio, Rog´erio,
Roberto, D´ario e Ivanildo e a meu padrinho Get´ulio por todo o carinho e apoio a que
me foi demonstrado. Agrade¸co de forma especial tamb´em aos meus av´os Severino e
L´ılia que n˜ao est˜ao mais entre n´os.
Um forte abra¸co em sinal da minha gratid˜ao pela amizade e companheirismo
aos meus irm˜aos que eu fui ganhando durante a minha vida: Antonio M´ario (Cioba),
Cl´audio, Danilo Carvalho, Marcelo Anabuki (X´eu), Lu´ıs, Eduardo (Neg˜ao), Daniel
(Bui´u), Danilo, Alexandre (Xandinho), Marcus Vin´ıcius (Bundinha), Gabriel, Tiago,
Fredinho, Sandrinha e Carlos Henrique (Mestrinho).
Agrade¸co aos amigos e colegas f´ısicos do DF pela amizade e for¸ca nos momen-
tos dif´ıceis: Tˆamara, Fredson, Erms, Vladimir, Antonius, Eroni, Lincoln, Arthur,
Alexandre Carvalho, Jos´e Augusto, Cleverson, Douglas (Ga´ucho), Cinthia, Fernando
(Neg˜ao), Fernando (Ma¸c˜a), Augusto (Mindoim), Danieverton, Anderson, Paulo Re-
nato, Edilberto, Leozinho, Karlla, Priscila, Bernardo, Glendo, Maxwell, Valderlan,
Pedro Hugo, Alan, Caio, Ferraz, Renˆe, Luiz Felipe, Dieguito, Barba, Jairo, Miguel,
Camis, Clara, Moema, Carlos Eduardo, Bettina, Carlos Andr´e, Mathias, M´arcio,
Lu´ıs, Roberto Melo, Roberto (Cubano), Hernesto (Brother), Rafael Menezes, Her-
mes, Rodrigo (Barba), Juliana (Juju), Sergio (Cubano), Laura, Jorge Gabriel, Sergio
(Alvi-rubro), Diego, Luis Umberto, Aldonso e tantos ourtos que infelizmente neste
momento o nome n˜ao me vem a cabe¸ca.
Agrade¸co tamb´em aos amigos do Marista, UFPE e de outros lugares pela
amizade: Humberto Viglioni, Priscila Cat˜ao, Marina, Mar´ılia (Lila), Natalia, Rafaelli,
Patr´ıcia, Emmanuel (Deco), Rita, Alice, Gabriela, Zilka, Tia Magn´olia, Tia Gerusa,
Larissa, Rafael Formiga, Renato, Carlos Henrique (Doido), Marcos Antonio, Daniel
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
v
Formiga, Prof. Ivan, Ade´ılson, Fl´avio, Rafael (Pequeno), Mario Gaiber, al´ıpio, Fe-
lipe (Alvi-rubro), Felipe (Rubro-negro), Marcelo (Gordo), Paulinha, Pedro, Euz´ebio
e Ivan Pitta. Um agradecimento especial a Anete pelo companheirismo e carinho
que ela sempre me demonstrou como namorada e atualmente como amiga.
Agradecimento em especial a Ailton pela a amizade e a ajuda fundamental na
realiza¸c˜ao deste trabalho principalmente na parte computa¸c˜ao alg´ebrica. Tamb´em
agrade¸co de forma especial aos companheiros de LFTC e finais de semana no DF
Antˆonio Cruz (Toinho) e Vladimir (Cearense) pelo companheirismo e a valiosa ajuda
prestada para meu aprendizado de Latex e Free BSD.
Agrade¸co ao meu orientador Antˆonio Murilo por sua impec´avel orienta¸c˜ao
durante esse per´ıodo e pela motiva¸c˜ao que ele transmite a seus alunos para estudar
e fazer f´ısica te´orica.
Agrade¸co aos professores do DF pelos os cursos de excelente n´ıvel ao qual
fui aluno durante a gradua¸c˜ao e p´os gradua¸c˜ao e um agradecimento em especial
a dois professores que hoje n˜ao fazem parte do DF mas que com certeza fizeram
parte importante na minha forma¸c˜ao b´asica que s˜ao Cl´audio Furtado e Fernando
Moraes ambos hoje professores da UFPB. Ao professor Jos´e Rios Leite meu pro-
fundo agradecimento por me motivar a procurar o melhor entendimento da parte
experimental do problema que eu estudei no meu mestrado.
Agrade¸co aos funcion´arios e servidores do DF pelo empenho em tornar o DF
um local agrad´avel de se trabalhar e a eficiˆencia nos assuntos burocr´aticos relaciona-
dos a um ambiente de pesquisa. Em especial gostaria de agradecer a secret´aria de
gradua¸c˜ao Paula pelo carinho a que trata todos os alunos que chegam no DF e ao
pessoal que faz parte da secretaria da p´os gradua¸c˜ao: Ana Maria (quando eu entrei
no mestrado) e Sara e Paulo atuais pela eficiˆencia e aten¸c˜ao.
Por fim agrade¸co ao CNPq pelo apoio financeiro.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
Resumo
Nesta disserta¸c˜ao estudamos a estat´ıstica de contagem de carga atrav´es do
formalismo de fun¸c˜oes de Green de Keldysh para pontos quˆanticos conectados a
guias por barreiras de transparˆencia arbitr´aria. Este formalismo microsc´opico serve
de base para a constru¸c˜ao de duas abordagens semicl´assicas complementares: a teo-
ria de circuitos matricial [Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. Lett. 73, 134 (1994)] e a
teoria de circuitos escalar [A. M. S. Macˆedo, Phys. Rev. B 66, 033306 (2002)].
Nosso resultado principal consiste da apresenta¸c˜ao de fortes evidˆencias em favor da
equivalˆencia desta duas teorias de circuitos para cavidades ca´oticas conectadas a
barreiras de transparˆencia arbitr´aria. Utilizando a estat´ıstica de contagem para a
teoria de circuitos escalar calculamos analiticamente a condutˆancia de uma jun¸c˜ao
metal-normal-supercondutor (NS) num regime de interesse f´ısico, no qual o efeito de
proximidade ´e m´aximo. Nestas condi¸c˜oes a condutˆancia NS, que ´e uma estat´ıstica
linear dos autovalores de reflex˜ao de Andreev, pode ser escrita em termos dos auto-
valores de transmiss˜ao do lado normal. Identificamos uma transi¸c˜ao gradual entre
o regime de tunelamento sem reflex˜ao e o regime de tunelamento usual a partir da
verifica¸c˜ao de um m´ınimo na resistˆencia NS, confirmando os resultados num´ericos
obtidos por Apolin´ario [S. W. S. Apolin´ario, Tese de Mestrado, UFPE (Mar¸co -
2004)]. Conclu´ımos que certos mecanismos presentes em processos de transporte
coerente ressonante est˜ao relacionados ao fenˆomeno de tunelamento sem reflex˜ao.
Abstract
In this thesis we study charge counting statistics using the Keldysh’s Green
functions approach to quantum dots connected to leads via barriers of arbitrary
transparencies. This microscopic formalism is used to construct two complemen-
tary semiclassical approaches: the matricial circuit theory [Yu. V. Nazarov, Phys.
Rev. Lett. 73, 134 (1994)] and the scalar circuit theory [A. M. S. Macˆedo, Phys.
Rev. B 66, 033306 (2002)]. Our main result consists of the presentation of strong
evidences in favor of the equivalence of these circuit theories for chaotic cavities con-
nected to barriers of arbitrary transparencies. Using the counting statistics of the
scalar circuit theory we calculate analytically the conductance of the normal-metal-
superconductor (NS) junction in a physical regime of interest when the proximity
effect is maximum. In this regime, the NS conductance, that is a linear statistics
of Andreev reflection eigenvalues, can be written in terms of transmission eigenval-
ues of the normal side. We identify a gradual transition between the reflectionless
tunneling regime and the usual tunneling regime through the observation of an NS
resistance minimum, in agreement with numerical results obtained by Apolin´ario [S.
W. S. Apolin´ario, Tese de Mestrado, UFPE (Mar¸co - 2004)]. We conclude that some
of the mechanisms present in resonant coherent transport processes are related to
the reflectionless tunneling phenomenon.
Conte´udo
1 Introdu¸c˜ao 1
1.1 F´ısica Mesosc´opica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sistemas e Fenˆomenos Mesosc´opicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Sistemas Mesosc´opicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Fenˆomenos Mesosc´opicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 O Formalismo de Landauer e B¨uttiker . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Equa¸c˜oes de Bogoliubov-de Gennes . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Teoria de Espalhamento em Sistemas NS . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 Espalhamento Andreev na Interface NS . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Teoria de Landauer-B¨uttiker para Sistemas NS . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Matriz Espalhamento para Multi-Terminais . . . . . . . . . . 26
1.5.2 Sistemas NS de Dois Terminais . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6 Abordagem Quase-Cl´assica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.1 A Equa¸c˜ao de Gorkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.2 Aproxima¸c˜ao Quase-cl´assica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7 Teoria de Campos para Sistemas NS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Estat´ıstica de Contagem 36
2.1 Estat´ıstica de Contagem de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Estat´ıstica de Contagem de Cargas em Circuitos: Casos Simples . . . 39
2.2.1 G´as de El´etrons a Temperatura Nula . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 G´as de El´etrons a Temperatura Finita . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 Generaliza¸c˜ao para Multi-Canais . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Processo de Medi¸c˜ao em Sistemas Mesosc´opicos . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem . . . . . . . . 43
2.4.1 O M´etodo da Equa¸c˜ao de Movimento . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.2 Corrente M´edia em Regime Estacion´ario . . . . . . . . . . . . 48
i
CONTE
´
UDO ii
2.4.3 Densidade Espectral do Ru´ıdo de Disparo . . . . . . . . . . . 51
2.5 Estat´ıstica de Contagem em Regime Estacion´ario . . . . . . . . . . . 57
2.6 Estat´ıstica de Contagem para uma Jun¸c˜ao NS . . . . . . . . . . . . . 58
3 Teoria de Circuitos Matricial 61
3.1 Formula¸c˜ao Matricial da Teoria de Circuitos . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Cavidade Ca´otica Acoplada a Guias Assim´etricos por Con-
tatos ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.2 Cavidades Ca´oticas Acopladas a Guias Assim´etricos por Jun¸c˜oes
de Tunelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.3 Cavidades Acopladas a Guias Assim´etricos por Barreiras de
Transparˆencia Abitr´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Representa¸c˜ao Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 Teoria de Circuitos Vetorial Para Cavidades . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.1 Cavidades Acopladas por Jun¸c˜oes de Tunelamento . . . . . . . 75
3.3.2 Cavidades Acopladas por Barreiras Sim´etricas . . . . . . . . . 76
3.3.3 Cavidades Acopladas por Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 77
3.4 Teoria de Circuitos Matricial para Sistemas NS . . . . . . . . . . . . 79
4 Teoria de Circuitos Escalar 81
4.1 Conceitos B´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 A Densidade M´edia de Autovalores de Transmiss˜ao . . . . . . . . . . 83
4.3 Momentos dos Autovalores de Transmiss˜ao e Autovalores de Reflex˜ao
de Andreev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 A Pseudocorrente K(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5 Conex˜ao com a Estat´ıstica de Contagem de Carga . . . . . . . . . . . 88
4.6 Aplica¸c˜oes Simples da Teoria de Circuitos Escalar . . . . . . . . . . . 89
4.6.1 Ponto Quˆantico Ca´otico Conectado a Guias por Contatos Ideais 89
4.6.2 Ponto Quˆantico Conectados a Guias Sim´etricos por Barreiras
Idˆenticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 95
4.7.1 Cavidade Acoplada a Guias por Barreiras de Transpa-rˆencia
Arbitr´aria: Caso normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.7.2 Cavidade Acoplada a Guias por Barreiras de Transpa-rˆencia
Arbitr´aria: Caso NS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5 Conclus˜oes e Perspectivas 108
Apˆendices 111
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
CONTE
´
UDO iii
A O M´etodo dos Resolventes de Lagrange 111
Bibliografia 116
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
Lista de Figuras
1.1 Geometria utilizada por Landauer para o c´alculo da resistˆencia da
amostra. Figura retirada de [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Diferentes regimes de transporte em sistemas mesosc´opico. Figura
retirada de [7]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Condutor em formato de anel feito apartir de um filme policristalino
de ouro de 38nm de expessura. Figura tirada de [8]. . . . . . . . . . . 5
1.4 Um fio de 75nm de largura feito a partir de um heterojun¸c˜ao GaAs-
AlGaAs. Vemos tamb´em um aparato de medi¸c˜ao Hall de quatro
terminais. Cada ponta est´a a aproximadamente 2µm de distˆancia do
fio. Figura retirada de [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Condutˆancia adimensional (normalizado em termos de G
0
) em fun¸c˜ao
do campo magn´etico aplicado de um ponto quˆantico de GaAs. O
ponto tem livre caminho m´edio e comprimento de coerˆencia de fase
que excede suas dimens˜oes (1µm). As duas curvas tracejadas cor-
respondem a dois formatos particulares do ponto e a curva s´olida ´e
a m´edia sobre um ensemble formado por 47 formatos diferentes do
ponto. Notar o m´ınimo para campo nulo devido a simetria de re-
vers˜ao temporal. Gr´afico retirado de [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 A figura acima mostra o resultado de uma simula¸c˜ao num´erica que
ilustra tanto o efeito de localiza¸c˜ao fraca quanto o efeito de flutua¸c˜ao
universal da condutˆancia. Nesta simula¸c˜ao as condutˆancias cl´assica
e quˆantica s˜ao calculadas para um condutor com 30 modos e 600
impurezas. A m´edia da condutˆancia quˆantica ´e menor que o valor
cl´assico por G
0
, as flutua¸c˜oes da condutˆancia tamb´em s˜ao dessa ordem
[8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Quantiza¸c˜ao da condutˆancia em termos de 2G
0
observada em contatos
pontuais a campo magn´etico nulo e a temperatura de 0,6 K. Ref. [8] . 9
iv
LISTA DE FIGURAS v
1.8 A figura a esquerda mostra o espalhamento de um el´etron em uma in-
terface metal-isolante, j´a a figura a direita mostra uma vis˜ao pict´orica
do espalhamento de Andreev numa interface NS. Figura retirada de
[24]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Condutˆancia diferencial em fun¸c˜ao da voltagem aplicada numa amostra
NS para diferentes teperaturas entre 60mK e 1500mK a campo magn´etico
nulo. Figura retirada de [25]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 (a) Magneto-resistˆencia de um fio de ouro conectado a um fio de
niobio em fun¸c¸c˜ao do campo magn´etico aplicado a uma temperatura
de 50 mK. Do lado direito em cima vemos a geometria da amostra.
(b) Flutua¸c˜oes da condutˆancia da amostra NS no caso NS (0.4 < B <
1.9 T ) e no caso normal (3.1 < B < 9 T ). Figura retirada de [26]. . . 17
1.11 Esta figura mostra um t´ıpico par de trajet´orias de Feynman que tem
contibui¸c˜ao n˜ao nula para os efeitos de proximidade. Vale salientar
que n˜ao h´a trasmiss˜ao de momento linear no lado supercondutor como
poderia-se imaginar olhando para o lado S da figura. Esta figura foi
retirada da ref. [31]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.12 Sistema NS mesosc´opico composto por guias de onda I e II perfeitos.
O guia I conecta um reservat´orio de quase-part´ıculas, com potencial
qu´ımico µ, `a esquerda do guia `a regi˜ao met´alica desordenada D. O
guia II conecta a regi˜ao D ao supercondutor S que tamb´em tem a
fun¸c˜ao de reservat´orio de quase-part´ıculas. Figura retirada da ref. [32]. 21
1.13 Ilustra¸c˜ao do n-´esimo modo de propaga¸c˜ao de el´etrons na regi˜ao N
do sistema NS indicados pelos coeficientes de ϕ
I , II
e
. Figura retirada
da ref. [32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.14 Ilustra¸c˜ao do n-´esimo modo de propaga¸c˜ao de buracos na regi˜ao N
do sistema NS indicados pelos coeficientes de ϕ
I , II
h
. Figura retirada
da ref. [32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 A linha acima do eixo real do tempo representa γ
1
e linha a baixo
representa γ
2
. a uni˜ao de γ
1
e γ
2
forma o contorno de Keldysh. . . . . 47
3.1 Cavidade ca´otica conectada por contatos ideais a guias assim´etricos
(`a esquerda). Circuito que representa um ponto quˆantico conectado
a guias assim´etricos (`a direita). Figura retirada da ref. [53]. . . . . . 62
3.2 Vemos a representa¸c˜ao da teoria de circuitos matricial para um ponto
quˆantico acoplado a guias por barreiras de transparˆencia arbitr´aria. . 77
4.1 Conserva¸c˜ao da pseudocorrente K(x) em um circuito arbitr´ario. . . . 88
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
LISTA DE FIGURAS vi
4.2 Representa¸c˜ao de um ponto quˆantico ligado a dois guias por barreiras
de transparˆencia arbitr´aria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Condutˆancia G
NS
em fun¸c˜ao de T
2
para alguns valores fixos de T
1
. . . 103
4.4 M´ınimo de R
NS
para T
1
= 0.1. Este m´ınimo sinaliza uma transi¸c˜ao
gradual entre dois regimes de transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5 A curva acima representam os m´ınimos de R
NS
quando variamos a
intensidade das barreiras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
1.1 F´ısica Mesosc´opica
Em 1970 R. Landauer [1] calculou a resistˆencia eletrˆonica de um g´as fermiˆonico
numa rede unidimensional completamente desordenada. Neste trabalho Landauer
obt´em a m´edia da resistividade para um ensemble de redes unidimensionais comple-
tamente desordenadas. O m´etodo usado na ref. [1] surgiu de conceitos explicados
pelo pr´oprio Landauer em 1957 [2], num artigo que tratava do problema da resistivi-
dade met´alica residual do ponto de vista no qual o fluxo de corrente ´e considerado
como o agente causal e o campo el´etrico ´e criado como uma consequˆencia de um fluxo
cont´ınuo de cargas entre centros espalhadores. Assim a dualidade entre correntes
e campos passa a ter papel importante na teoria de transporte. No tratamento de
Landauer uma corrente constante ´e injetada na amostra e a quest˜ao b´asica passa a
ser qual seria a distribui¸c˜ao n˜ao homogˆenea de campos na amostra como resposta ao
fluxo de el´etrons. A amostra passa ent˜ao a ser vista como um centro espalhador e a
condutˆancia pode ser interpretada como uma medida do coeficiente de transmiss˜ao.
A fig.(1.1) mostra o “circuito”utilizado por Landauer para o c´alculo da resistˆencia.
Os dois reservat´orios s˜ao mantidos a diferentes potenciais qu´ımicos e funcionam
como fontes de portadores. Esses reservat´orios “alimentam”condutores ideais com
portadores e estes s˜ao acoplados `a amostra que tem o papel de centro “espalhador”.
Landauer mostrou que a condutˆancia de um condutor unidimensional ´e dada por
g =
e
2
h
T
R
. (1.1)
onde T = 1 − R e R s˜ao os coeficientes de transmiss˜ao e reflex˜ao respectivamente
do condutor, visto como um ´unico centro espalhador e com apenas uma dire¸c˜ao de
1
1.2 Sistemas e Fenˆomenos Mesosc´opicos 2
Figura 1.1: Geometria utilizada por Landauer para o c´alculo da resistˆencia da
amostra. Figura retirada de [3]
spin considerada. Voltaremos a discutir nas pr´oximas se¸c˜oes este redirecionamento
do problema de condu¸c˜ao em s´olidos como um problema de espalhamento que tem
grande importˆancia pr´atica no entendimento do transporte quˆantico em sistemas
mesosc´opicos.
1.2 Sistemas e Fenˆomenos Mesosc´opicos
A teoria de transporte eletrˆonico em metais normais macrosc´opicos ´e um
assunto que se fundamenta na teoria de transporte de Boltzmann e em aborda-
gens semi-cl´assicas para o c´alculo da fun¸c˜ao distribui¸c˜ao eletrˆonica no s´olido. Nesta
teoria sucessivos espalhamentos s˜ao tratados como independentes e os observ´aveis
s˜ao obtidos atrav´es de m´edias sobre configura¸c˜oes de impurezas. A geometria da
amostra n˜ao tem grande relevˆancia pois os observ´aveis de interesse, e.g. a condu-
tividade macrosc´opica, s˜ao grandezas intensivas. Na d´ecada de 1980 observou-se
que alguns efeitos, tais como a localiza¸c˜ao fraca em metais [4], ocorrem na escala
macrosc´opica mas em condi¸c˜oes de temperaturas t˜ao baixas que n˜ao podiam ser
abordados quantitativamente assumindo a independˆencia dos espalhamentos. Ficou
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.2 Sistemas e Fenˆomenos Mesosc´opicos 3
claro tamb´em que com a descoberta do efeito Aharonov-Bohm em an´eis de metal iso-
lados [5] e com a obseva¸c˜ao de flutua¸c˜oes universais e reprodut´ıveis na condutˆancia
de amostras mesosc´opicas [6], que transporte em condutores na escala do micron
ou menor exibir´a propriedades que a teoria macrosc´opica n˜ao d´a conta. Uma li¸c˜ao
importante que foi aprendida com essa s´erie de experimentos ´e que esta nova f´ısica
n˜ao ´e caracter´ıstica de uma escala de comprimento espec´ıfico, pois depende do valor
relativo de outras grandezas tais como a temperatura T , o comprimento de onda de
Fermi λ
F
e o grau de desordem do material. Portanto o termo mesos´opico ´e utilizado
para a designa¸c˜ao de um regime de transporte e n˜ao para uma escala de tamanho.
Vamos brevemente discutir os regimes poss´ıveis para o transporte em metais. Para
distinguir os diversos regimes de transporte mesosc´opico falaremos de comprimen-
tos caracter´ısticos [7] da amostra, que dependem de T e do grau de desordem do
sistema. Os comprimentos est˜ao abaixo relacionados:
Comprimento de onda de Fermi (λ
F
). Est´a relacionado ao n´ıvel de
Fermi, λ
F
=
h
√
2mε
F
. Tipicamente, varia de alguns angstroms em metais
a centenas de angstroms em heteroestruturas semicondutoras.
Livre caminho m´edio el´astico (L
e
).
´
E a distˆancia m´edia que o el´etron viaja at´e
sofrer uma colis˜ao el´astica. Este comprimento varia de alguns angstroms em
ligas amorfas a uma dezena de microns em heteroestruturas semicondutoras.
Comprimento de localiza¸c˜ao eletrˆonica (ξ). Mede a extens˜ao espacial das fun-
¸c˜oes de onda eletrˆonicas. Para condutores, estas fun¸c˜oes se estendem sobre
toda a amostra, ao passo que para isolantes elas decaem exponencialmente a
partir do chamado centro de localiza¸c˜ao.
Comprimento de coerˆencia de fase (L
φ
).
´
E o comprimento ao longo do qual a
fase da fun¸c˜ao de onda n˜ao relaxa. Est´a associado a este comprimento o tempo
de relaxa¸c˜ao de fase τ
φ
. O valor de L
φ
cresce com a diminui¸c˜ao da temperatura
e ´e a escala mais importante para o aparecimento de efeitos mesosc´opicos.
Em geral para amostras em baixas temperaturas temos, λ
F
< L
e
< ξ < L
φ
.
Neste caso, existem trˆes regimes de transporte distintos:
regime bal´ıstico. Quando L, que ´e o comprimento da amostra, ´e menor que o livre
caminho m´edio el´astico (L < L
e
), o sistema se encontra no regime bal´ıstico,
pois o el´etron viaja atrav´es da estrutura tipicamente sem sofrer colis˜oes. Neste
regime o comprimento de coerˆencia de fase ´e dado por L
φ
= v
F
τ
φ
.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.2 Sistemas e Fenˆomenos Mesosc´opicos 4
regime difusivo Para L
e
< L < ξ, o sistema est´a no regime difusivo, pois o el´etron
sofre diversas colis˜oes el´asticas antes de “sair” da amostra. Para este regime
de transporte L
φ
=
Dτ
φ
, onde D ´e a constante de difus˜ao.
regime localizado Quando ξ < L < L
φ
, o sistema encontra-se no regime local-
izado. A amostra neste regime se comporta como um isolante.
Figura 1.2: Diferentes regimes de transporte em sistemas mesosc´opico. Figura reti-
rada de [7].
1.2.1 Sistemas Mesosc´opicos
A uma temperatura suficientemente baixa, condutores cujas dimens˜oes s˜ao
intermedi´arias entre o microsc´opico e o macrosc´opico s˜ao chamados de mesosc´opicos.
Como vimos anteriormente na se¸c˜ao (1.2) as escalas de comprimento relevantes de
um condutor variam muito de um para outro e s˜ao fortemente afetados pela tem-
peratura, campo magn´etico etc. Por esta raz˜ao, fenˆomenos mesosc´opicos foram
observados em condutores cujas dimens˜oes variam de poucos nanˆometros a cente-
nas de microns. Condutores mesosc´opicos s˜ao normalmente fabricados atrav´es de
condutores planares de dimens˜oes muito pequenas. A figura (1.3) mostra a foto am-
pliada de um condutor em formato de anel com dimens˜oes aproximadas de 100nm
produzido atrav´es de um filme policristalino de ouro de expessura aproximada de
40nm. Com esta estrutura foi realizado um dos experimentos fundamentais na f´ısica
mesosc´opica [5]. Mostrou-se que a resistˆencia deste anel oscilava quando o campo
magn´etico que o atravessava variava, pois o campo magn´etico modificava a inter-
ferˆencia entre as fun¸c˜oes de onda dos el´etrons que atravessavam os dois bra¸cos do
anel.
Embora os experimentos pioneiros nesta ´area tenham sido realizados usando
condutores met´alicos, os mais recentes trabalhos em f´ısica mesosc´opica vem sendo
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.2 Sistemas e Fenˆomenos Mesosc´opicos 5
Figura 1.3: Condutor em formato de anel feito apartir de um filme policristalino de
ouro de 38nm de expessura. Figura tirada de [8].
realizados em heterojun¸c˜oes de GaAs-AlGaAs onde uma fina lˆamina bidimensional
´e formada na interface entre esses dois semicondutores (para uma discuss˜ao bem
elementar sobre a forma¸c˜ao desta lˆamina ver o livro do S. Datta [8]). A densidade
eletrˆonica encontra-se quase completamente confinada na vizinhan¸ca da interface
GaAs-AlGaAs formando assim uma fina camada de condu¸c˜ao que corresponde a um
g´as bidimensional de el´etrons (2-DEG).
Atrav´es deste 2-DEG pode-se criar diversos dispositivos, tais como fios e pon-
tos quˆanticos. Pontos quˆanticos s˜ao dispositivos, que consistem de uma regi˜ao con-
dutora espacialmente delimitada por regi˜oes isolantes na qual ocorre transporte coer-
ente de el´etrons. As modernas t´ecnicas de litografia permitem a constru¸c˜ao de pontos
quˆanticos de dimens˜oes menores do que o livre caminho m´edio para espalhamento
el´astico, que operam como cavidades bal´ısticas para el´etrons. V´arios fenˆomenos ob-
servados em pontos quˆanticos assemelham-se aos observados em ´atomos e n´ucleos,
tais como n´ıveis de energia quantizados devido ao confinamento eletrˆonico, estru-
turas de camadas e caos quˆantico. De forma simples diz-se que um sistema quˆantico
´e ca´otico quando a dinˆamica cl´assica correspondente ´e ca´otica . O interesse no
estudo de dispositivos ca´oticos reside no fato de que suas propriedades f´ısicas s˜ao
universais, dependendo apenas da existˆencia ou ausˆencia de certas simetrias funda-
mentais e de certas rela¸c˜oes entre as escalas de tempo do dispositivo. A figura (1.4)
mostra um fio de 75nm de largura feito a partir de um heterojun¸c˜ao semicondutora
de GaAs-AlGaAs, o fio encontra-se acoplado a um dispositivo de medi¸c˜ao Hall de
quatro terminais, cada ponta do aparato de medi¸c˜ao est´a a aproximadamente 2µm
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.2 Sistemas e Fenˆomenos Mesosc´opicos 6
Figura 1.4: Um fio de 75nm de largura feito a partir de um heterojun¸c˜ao GaAs-
AlGaAs. Vemos tamb´em um aparato de medi¸c˜ao Hall de quatro terminais. Cada
ponta est´a a aproximadamente 2µm de distˆancia do fio. Figura retirada de [8].
de distˆancia do fio.
1.2.2 Fenˆomenos Mesosc´opicos
Agora discutiremos um pouco dos principais efeitos do transporte eletrˆonico
na escala mesosc´opica. Faremos uma breve explana¸c˜ao sobre os fenˆomenos conheci-
dos como locliza¸c˜ao fraca, flutua¸c˜oes universais da condutˆanica e quantiza¸c˜ao da
condutˆancia.
Localiza¸c˜ao fraca. De acordo com a lei de Ohm, a resistˆencia de uma sequˆencia de
centro espalhadores aumenta linearmente com o comprimento da sequˆencia.
Transporte eletrˆonico na presen¸ca de coerˆencia de fase pertence ao regime
difusivo quˆantico. Neste regime, a interferˆencia construtiva da fun¸c˜ao de
onda eletrˆonica devido aos diferentes espalhadores, leva `a diminui¸c˜ao da con-
dutˆancia. Para um condutor com condutˆancia total muito maior que o quan-
tum de condutˆancia G
0
=
e
2
h
, o decr´escimo na condutˆancia ´e devido a efeitos
de interferˆencia ondulat´oria e ´e da ordem de G
0
. Tal condutor ´e dito estar no
regime de localiza¸c˜ao fraca. O regime de localiza¸c˜ao fraca ´e caracterizado pela
alta sensitividade ao relaxamento da fase. A condutˆancia quˆantica ´e calculada
combinando matrizes de espalhamento contendo amplitudes de probabilidade
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1.2 Sistemas e Fenˆomenos Mesosc´opicos 7
de se¸c˜oes adjacentes, cada se¸c˜ao contendo impurezas em quantidade pequena
suficiente para valer a aproxima¸c˜ao de Born. J´a a condutˆancia cl´assica, G
CL
, ´e
calculada combinando matrizes de probabilidade assumindo incoerˆencia com-
pleta. Em ambos os casos a f´ormula de Landauer pode ser usada. A m´edia da
condutˆancia quˆantica ´e menor que o resultado cl´assico G
CL
por um valor da
ordem de G
0
:
∆G =< G
Q
> −G
CL
= −G
0
(1.2)
Esta corre¸c˜ao da condutˆancia cl´assica ´e devida `a interferˆencia construtiva entre
pares de trajet´orias conjugadas revertidas no tempo. Esse efeito ´e suprimido
com a quebra da simetria de revers˜ao temporal causada pela aplica¸c˜ao de um
campo magn´etico. Na figura (1.5) vemos um gr´afico t´ıpico de um condutor
que est´a no regime de localiza¸c˜ao fraca, temos um ponto quˆantico de aprox-
imadamente 1µm de comprimento fabricado atrav´es de uma heterojun¸c˜ao de
GaAs, ´e medido a condutˆancia em fun¸c˜ao do campo magn´etico para dois for-
matos espec´ıficos de ponto (curvas pontilhadas) e uma m´edia entre 47 tipos
diferentes de formatos (curva s´olida).
Figura 1.5: Condutˆancia adimensional (normalizado em termos de G
0
) em fun¸c˜ao do
campo magn´etico aplicado de um ponto quˆantico de GaAs. O ponto tem livre cam-
inho m´edio e comprimento de coerˆencia de fase que excede suas dimens˜oes (1µm).
As duas curvas tracejadas correspondem a dois formatos particulares do ponto e a
curva s´olida ´e a m´edia sobre um ensemble formado por 47 formatos diferentes do
ponto. Notar o m´ınimo para campo nulo devido a simetria de revers˜ao temporal.
Gr´afico retirado de [9].
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1.2 Sistemas e Fenˆomenos Mesosc´opicos 8
Flutua¸c˜oes Universais da Condutˆancia (FUC). Observa-se experimentalmen-
te que a condutˆancia de sistemas mesosc´opicos flutua com amplitude universal
de amostra para amostra, em fun¸c˜ao do campo magn´etico ou da energia de
Fermi. Estas flutua¸c˜oes n˜ao s˜ao ru´ıdo dependente do tempo, mas sim um
padr˜ao completamente reprodut´ıvel numa mesma amostra. O car´ater univer-
sal deste efeito consiste no fato da amplitude das oscila¸c˜oes ser sempre da
ordem de G
0
, independente da amostra e do valor m´edio da condutˆancia da
mesma [10]. As flutua¸c˜oes da condutˆancia s˜ao atenuadas com o aumento da
temperatura.
Figura 1.6: A figura acima mostra o resultado de uma simula¸c˜ao num´erica que
ilustra tanto o efeito de localiza¸c˜ao fraca quanto o efeito de flutua¸c˜ao universal
da condutˆancia. Nesta simula¸c˜ao as condutˆancias cl´assica e quˆantica s˜ao calculadas
para um condutor com 30 modos e 600 impurezas. A m´edia da condutˆancia quˆantica
´e menor que o valor cl´assico por G
0
, as flutua¸c˜oes da condutˆancia tamb´em s˜ao dessa
ordem [8].
Quantiza¸c˜ao da condutˆanica. Em 1988, dois grupos separadamente [11, 12] ob-
servaram a quantiza¸c˜ao da condutˆancia em sistemas mesosc´opicos. Eles cri-
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1.3 O Formalismo de Landauer e B¨uttiker 9
aram uma constri¸c˜ao de largura D e utilizaram uma montagem tipo split-gate
na qual uma tens˜ao negativa num par de eletrodos ´e usada para controlar a
largura D da constri¸c˜ao. Eles observaram que `a medida que D diminu´ıa a con-
dutˆancia tamb´em diminu´ıa na forma de degraus com altura igual ao quantum
da condutˆancia, G
0
, como mostra a figura (1.7).
Figura 1.7: Quantiza¸c˜ao da condutˆancia em termos de 2G
0
observada em contatos
pontuais a campo magn´etico nulo e a temperatura de 0,6 K. Ref. [8]
1.3 O Formalismo de Landauer e B¨uttiker
Nesta se¸c˜ao, discutiremos do ponto de vista hist´orico um dos primeiros for-
malismos desenvolvidos para explicar alguns dos novos efeitos surgidos com o estudo
dos sistemas mesosc´opicos, tais como quantiza¸c˜ao da condutˆancia, localiza¸c˜ao fraca
e flutua¸c˜oes universais da condutˆancia. Para mais detalhes ver a revis˜ao [3], que
usamos como base para o desenvolvimento desta se¸c˜ao. Em 1980, Anderson et al.
[13] reobtiveram a express˜ao (1.1) e propuseram uma generaliza¸c˜ao desta f´ormula
para o caso de multi-canais. O sucesso do m´etodo proposto em [13] ficou limitado
ao caso unidimensional. A deriva¸c˜ao de Landauer [1] da eq. (1.1) apresentada
em [1] n˜ao ´e baseada na teoria da resposta linear, mas numa s´erie de argumentos
fenomenol´ogicos. Era aparente a dificuldade de se formalizar este m´etodo via teoria
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1.3 O Formalismo de Landauer e B¨uttiker 10
da resposta linear, o que de certa forma motivou v´arios pesquisadores a tentarem
obter a express˜ao (1.1) atrav´es desta teoria [3]. Fisher e Lee [14] generalizaram a
express˜ao (1.1) para o caso de N canais, obtendo a rela¸c˜ao
g =
e
2
h
Tr(tt
†
), (1.3)
onde t ´e a matriz de transmiss˜ao que ´e uma submatriz da matriz de espalhamento S
(para uma discuss˜ao da matriz S, veja a se¸c˜ao (1.5)). A matriz t conecta amplitudes
do fluxo incidente nos v´arios canais do lado esquerdo da regi˜ao desordenada com as
amplitudes do fluxo que sai pelos canais do lado direito. Ainda na equa¸c˜ao (1.3)
temos a matriz hermitiana conjugada representada por t
†
e Tr denota a opera¸c˜ao
de tra¸co. Outros autores propuseram outras generaliza¸c˜oes da equa¸c˜ao (1.1) para
o caso de multi-canais que em certos limites reduziam `a equa¸c˜ao (1.3). Existe uma
aparente inconsistˆencia entre as equa¸c˜oes (1.3) e (1.1) obviamente no caso de um
canal, pois quando a matriz de transmiss˜ao tende a identidade a condutˆancia tende
a NG
0
e n˜ao infinito como intuitivamente obtemos da equa¸c˜ao (1.1). Para agravar
a situa¸c˜ao a ´unica aplica¸c˜ao quantitativa relevante de uma f´omula de Landauer
para multi-canais no problema de transporte quˆantico foi realizada por Fisher e Lee
[15] utilizando a express˜ao (1.3). Novamente Anderson volta `a cena agora com En-
gquist [16]. Eles reexaminam a equa¸c˜ao (1.1) introduzindo um novo ponto de vista,
onde enfatizam a necessidade de considera¸c˜oes f´ısicas consistentes com o processo de
medi¸c˜ao. Em [16] eles argumentam que devido ao movimento de portadores entre os
reservat´orios o potencial qu´ımico nos mesmos n˜ao poderia ser bem definido, o que
os levam a propor um sistema de quatro reservat´orios ao inv´es dos dois propostos
inicialmente. Dois desses seriam a fonte e o dreno da corrente e os dois restantes
definiriam os potenciais qu´ımicos de referˆencia para o processo de medi¸c˜ao da volt-
agem. Este aparato de medi¸c˜ao tem como id´eia b´asica a observa¸c˜ao de que uma
vez que a corrente foi imposta podemos “ligar o volt´ımetro”, ou seja, uma vez que
deixamos a corrente estabilizar entre os guias e os reservat´orios de medi¸c˜ao at´e que a
corrente l´ıquida em cada reservat´orio seja zero, ent˜ao o potencial qu´ımico nos reser-
vat´orios de medi¸c˜ao ser´a bem definido. Finalmente, a corrente dos guias de correntes
dividido pela diferen¸ca de potencial qu´ımico induzido nos fornece a condutˆancia da
amostra. O ponto crucial assumido em [16] ´e que os reservat´orios de medi¸c˜ao s˜ao
fracamente acoplados aos guias de correntes. Esta e muitas outras hip´oteses ad-
mitidas, que lembram as do trabalho original de Landauer [1], levaram Anderson
e Engquist a reobter a express˜ao (1.1). Em 1985 B¨uttiker et al. [17] extenderam
os m´etodo de Anderson e Engquist para o caso de multi-terminais. B¨uttiker et al.
usaram essencialmente o mesmo esquema utilizado em [16], mas enfatizaram que
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1.3 O Formalismo de Landauer e B¨uttiker 11
a diferen¸ca de potencial qu´ımico local entre as extremidades da amostra n˜ao era
igual a diferen¸ca de potencial qu´ımico dos reservat´orios de correntes. Na verdade,
era menor devido `a distribui¸c˜ao de n˜ao equil´ıbrio dos portadores nos guias. Eles
definiram este potencial qu´ımico local como o potencial qu´ımico que corresponderia
`a densidade de portadores se eles estivessem em equil´ıbrio e, ainda `a luz do trabalho
de Anderson e Engquist, sugeriram que este seria o potencial qu´ımico obsevado nos
reservat´orios de medi¸c˜ao. A express˜ao obtida por B¨uttiker et al. ´e a seguinte:
g = (
e
2
h
ij
T
ij
)
2
i
v
−1
i
i
(1 +
j
R
ij
−
j
T
ij
)v
−1
i
(1.4)
onde T
ij
e R
ij
s˜ao respectivamente as probabilidades de transmiss˜ao e reflex˜ao do
canal i para o j e v
i
´e a velocidade longitudinal associada com o canal i. Vale a
pena notar que (1.4) continua sendo uma f´ormula de dois terminais, as propriedades
dos reservat´orios de medi¸c˜ao n˜ao aparecem em (1.4). Pouco depois desta dedu¸c˜ao
surgiram uma s´erie de experimentos fundamentais sobre medidas da condutˆancia
de dispositivos met´alicos de dimens˜oes muito pequenas os quais confrontavam a
validade de (1.4) para a total explica¸c˜ao dos efeitos observados. Salientamos que
estes experimentos primeiramente foram feitos em configura¸c˜oes de multi-terminais.
Em [5, 18] podemos encontrar uma revis˜ao sobre os detalhes desses experimentos
bem como suas motiva¸c˜oes.
Lee e Stone [10] consideraram o modelo de dois terminais e a eq. (1.3) para
o c´alculo da flutua¸c˜ao universal da condutˆancia. Em [10] eles mostraram que a
universalidade da variˆancia da condutˆancia, var(g), s´o era observado no modelo de
dois terminais, quando o livre caminho m´edio inel´astico L
in
era maior ou igual ao
tamanho do dispositivo, o que real¸ca as limita¸c˜oes do modelo de dois terminais
as quais n˜ao foram percebidas nos artigos anteriores sobre flutua¸c˜oes universais da
condutˆancia. A maioria dos experimentos ainda sem explica¸c˜ao eram feitos em
configura¸c˜oes de quatro terminais e o comprimento da amostra na teoria de dois
terminais era ingenuamente considerado como o espa¸camento entre os terminais de
voltagem nas medidas de multi-terminais, o que de fato nos experimentos anteriores
funcionava muito bem na explica¸c˜ao da magnitude e dos comprimentos de correla¸c˜ao
das flutua¸c˜oes da condutˆancia [10]. O ´unico aspecto experimental ainda n˜ao expli-
cado era a assimetria das flutua¸c˜oes da condutˆancia em rela¸c˜ao ao campo magn´etico,
que era completamente ignorado por qualquer abordagem tipo a de Fisher e Lee [14]
que leva a (1.3). O que se precisava naquele momento era de um formalismo que
descrevesse flutua¸c˜oes de voltagem de dispositivos com multi-terminais, ou seja, os
aparatos de medi¸c˜ao deveriam ser partes integrantes do sistema f´ısico.
B¨uttiker [19] prˆopos uma extens˜ao da f´ormula de Landauer para multi-canais
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1.3 O Formalismo de Landauer e B¨uttiker 12
equa¸c˜ao (1.4), para dispositivos de multi-terminais. Em [19] B¨uttiker considera
um dispositivo de quatro terminais conectado a quatro reservat´orios de diferentes
potenciais qu´ımicos e assumiu que n˜ao havia diferen¸ca qualitativa entre os terminais
de corrente e de voltagem. Ent˜ao a corrente medida entre dois reservat´orios com
diferen¸ca de potencial qu´ımico ∆µ = µ
1
− µ
2
´e apenas i =
e
2
h
T
12
∆µ, onde T
12
´e o
coeficiente de transmiss˜ao do reservat´orio 1 para o 2 no caso de um canal. Note que
a diferen¸ca de voltagem que corresponde a corrente calculada acima ´e a diferen¸ca
de potencial qu´ımico entre os reservat´orios e n˜ao um“potencial qu´ımico local” nos
guias. As express˜oes abaixo resultam da generaliza¸c˜ao de (1.3) para o caso de multi-
terminais:
I
m
=
N
L
n=1
g
mn
V
n
g
mn
=
e
2
h
Tr(t
mn
t
†
mn
), m = n,
g
nn
=
e
2
h
Tr(r
nn
r
†
nn
− 1).
(1.5)
B¨uttiker assumiu que esta express˜ao ´e v´alida tamb´em na presen¸ca de um campo
magn´etico onde seu ´unico efeito seria a supress˜ao da simetria da matriz S devido
a quebra da simetria de revers˜ao temporal. Para uma dedu¸c˜ao de (1.5) via teoria
da resposta linear para campo magn´etico nulo ver a referˆencia [3]. O formalismo
de Landauer-B¨uttiker(L-B) ´e uma poderosa descri¸c˜ao de transporte mesosc´opico,
i. e. quando transporte no condutor ´e coerente, podendo as fun¸c˜oes de trans-
miss˜ao (Tr(t
mn
t
†
mn
)) serem em pric´ıpio calculadas atrav´es da equa¸c˜ao de Schr¨odinger.
Mesmo considerando transporte incoerente o formalismo ´e v´alido desde que n˜ao haja
fluxo vertical (transi¸c˜ao entre diferentes canais de energia do mesmo guia), nesse caso
as fun¸c˜oes de transmiss˜ao s˜ao obtidas via abordagem fenomenol´ogicas. Quando os
efeitos de coerˆencia podem ser desprezados completamente ent˜ao as fun¸c˜oes de trans-
miss˜ao podem ser calculadas utilizando m´etodos semi-cl´assicos. Mesmo havendo
fluxo vertical, este pode ser desprezado caso as fun¸c˜oes de transmiss˜ao sejam aprox-
imadamente constantes na faixa de energia onde o transporte ocorre.
O formalismo de L-B aplica-se a uma enormidade de efeitos observados em
sistemas mesosc´opicos tais como, efeito Hall quˆantico, fenˆomenos de localiza¸c˜ao,
transporte no regime de localiza¸c˜ao forte, tunelamento por barreira dupla (neste caso
s´o poss´ıvel de ser estudado via L-B com um tratamento pr´oprio do fluxo vertical) etc.
O grande m´erito do formalismo de L-B ´e o de capacitar-nos a estudar um t´opico
t˜ao complexo quanto transporte quˆantico em condutores desordenados e ca´oticos
utilizando apenas mecˆanica quˆantica elementar.
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1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor 13
1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor
A teoria BCS ´e um modelo microc´opico introduzido por Bardeen, Cooper
e Schrieffer em 1957 e que tem como seu grande sucesso a explica¸c˜ao das pro-
priedades dos supercondutores convencionais em termos de um n´umero m´ınimo de
parametros experimentais. Nesta teoria mostrou-se que uma intera¸c˜ao atrativa en-
tre el´etrons, mesmo fraca, causa uma instabilidade no estado fundamental de um
g´as eletrˆonico levando `a forma¸c˜ao de pares de el´etrons ligados ocupando estados
com momento linear e spins opostos. Esse par de el´etrons recebe o nome de par de
Cooper. A constata¸c˜ao via uma teoria microsc´opica desta quase-part´ıcula de carga
2e , como a portadora de carga no supercondutor confirmou as especula¸c˜oes das teo-
rias fenomenol´ogicas predecessoras. Para uma discuss˜ao bem abrangente da teoria
BCS recomendamos o livro do M. Tinkham [20]. Uma discuss˜ao um pouco mais
sofisticada pode ser encontrada nos livros sobre muitos corpos de Fetter e Walecka
[21] e Mahan [22].
A teoria BCS pode ser extendida para o estudo de transporte atrav´es de inter-
faces entre condutores ref. [20]. Neste caso admite-se uma probabilidade diferente de
zero para a transferˆencia de carga por tunelamento eletrˆonico entre condutores sep-
arados por uma fina barreira isolante. Esta probabilidade cai exponencialmente com
a distˆancia de separa¸c˜ao e depende dos detalhes do material isolante que comp˜oe a
barreira. Para uma discuss˜ao quantitativa de tunelamento entre condutores normal-
normal (NN), normal-supercondutor (NS) e supercondutor-supercondutor (SS), ver
e. g. ref. [20]. Nesta tese estudaremos transporte quˆantico em sistemas h´ıbridos
normal-supercondutor. Discutiremos a seguir o principal efeito relacionado a uma
interface NS, que ´e a reflex˜ao de Andreev.
Na interface entre um metal normal e um supercondutor, temos a convers˜ao
de uma corrente el´etrica dissipativa (do lado normal) em supercorrente n˜ao dissipa-
tiva (no supercondutor). O mecanismo respons´avel por esta convers˜ao foi descoberto
por A. F. Andreev [23]. Formalmente, a reflex˜ao de Andreev consiste da reflex˜ao
de uma excita¸c˜ao eletrˆonica levemente acima do n´ıvel de Fermi no metal normal,
com componente n˜ao nula de momento na dire¸c˜ao normal da interface, como uma
excita¸c˜ao tipo buraco levemente abaixo do n´ıvel de Fermi, ou vice-versa. O buraco
(ou el´etron) refletido tem (aproximadamente) o mesmo momento do el´etron (ou
buraco) incidente, sendo exatamente igual apenas na energia de Fermi. Para cada
el´etron refletido como buraco, excita-se um par de Cooper no meio supercondutor
que ´e absorvido pelo condensado. Essa convers˜ao recebe o nome de reflex˜ao de An-
dreev. A reflex˜ao de Andreev conserva a energia, o momento linear total e o spin
total no metal normal, mas introduz um mecanismo de convers˜ao de carga, e → −e,
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1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor 14
quebrando assim a simetria de conserva¸c˜ao de carga no metal normal.
Figura 1.8: A figura a esquerda mostra o espalhamento de um el´etron em uma inter-
face metal-isolante, j´a a figura a direita mostra uma vis˜ao pict´orica do espalhamento
de Andreev numa interface NS. Figura retirada de [24].
No decorrer da d´ecada de 1980 v´arios grupos de pesquisas chegaram `a con-
clus˜ao de que a contribui¸c˜ao do espalhamento de Andreev para a condutˆancia era
significativa e desenvolveram uma teoria para interfaces limpas normal-isolante-
supercondutor (NIS). Esta teoria mostra que para uma barreira tipo fun¸c˜ao delta, h´a
uma discordˆancia em rela¸c˜ao `a formula¸c˜ao usual de hamiltoniano de tunelamento,
que s´o desaparece quando a intensidade da barreira aumenta. Esta nova teoria ficou
conhecida como BTK (Blonder-Tinkham-Klapwijk) e ´e aplicada a sistemas N-I-S
unidimensionais ou, somando sobre todos os vetores de ondas transversais, para sis-
temas de duas ou trˆes dimens˜oes que apresentam invariˆancia translacional no plano
da barreira.
Uma das motiva¸c˜oes para o estudo das interfaces NS vem do avan¸co tec-
nol´ogico na fabrica¸c˜ao de contatos altamente transparentes entre filmes supercon-
dutores e o 2-DEG formado na interface de heteroestruturas semicondutoras. Tais
sistemas revelam muito sobre a influˆencia m´utua entre reflex˜ao de Andreev e os
efeitos j´a observados nas heteroestruturas semicondutoras. A coerˆencia de fase em
jun¸c˜oes NS tem papel important´ıssimo no estudo deste sistema. Considere a re-
sistˆencia de um fio feito de metal normal de comprimento L, pela lei de Ohm sua
resistˆencia cresce monotonicamente com L. Quando conectamos o fio a um super-
condutor atrav´es de uma barreira de tunelamento (com coeficiente de transmiss˜ao
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1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor 15
Γ), a resistˆencia por sua vez passa a exibir um m´ınimo quando L
L
e
Γ
onde L
e
´e o livre caminho m´edio el´astico do fio. Este m´ınimo ´e um exemplo do efeito de
proximidade da interface NS e desaparece quando a coerˆencia de fase entre el´etron e
buraco ´e quebrada, o que pode ser provocado pelo aumento da voltagem ou quando
aplicamos um campo magn´etico. Este m´ınimo da resistˆencia est´a associado com a
transi¸c˜ao entre os regimes Γ
−1
para Γ
−2
para a dependˆencia da resistˆencia com a
tranparˆencia da barreira. A dependˆencia tipo Γ
−2
´e esperada para o tunelamento
num supercondutor, que ´e um processo de duas part´ıculas. J´a a dependˆencia tipo
Γ
−1
´e surpreendente.
´
E como se o buraco refletido pelo processo de Andreev atraves-
sasse a barreira sem sofrer reflex˜ao. Este fenˆomeno recebeu o nome de tunelamento
sem reflex˜ao.
A coerˆencia de fase em jun¸c˜oes NS revelam novos paradigmas em trans-
porte quˆantico, como por exemplo a supress˜ao da condutˆancia eletrˆonica devido aos
efeitos de proximidade com o supercondutor. Em metais normais, efeitos de local-
iza¸c˜ao fraca n˜ao podem ser detectados via curvas (I-V) caracter´ısticas. A raz˜ao ´e
que a aplica¸c˜ao de voltagem n˜ao quebra a simetria de revers˜ao temporal. Numa
jun¸c˜ao NS, podemos observar localiza¸c˜ao fraca em curvas (I-V) caracter´ısticas, j´a
que a aplica¸c˜ao de uma voltagem quebra a coerˆencia de fase entre el´etrons e buracos.
O resultado ´e um pequeno declive na curva (∂I/∂V − V ) pr´oximo de V = 0 para
Γ 1. Reduzindo Γ, o declive tranforma-se em um pico devido ao tunelamento
por reflex˜ao. Na figura (1.9), retirada da ref. [25], mostramos alguns gr´aficos ex-
perimentais da varia¸c˜ao da condutˆancia diferencial ∂I/∂V de um fio de ouro com
1µm de comprimento em fun¸c˜ao da tens˜ao aplicada para diversas temperaturas.
O fio se encontra conectado a um contato de ouro (lado normal) e a um contato
de niobio (lado supecondutor) esta estrutura NS tem aproximadamente 400nm de
comprimento. Detalhes experimentais deste experimento bem como detalhes sobre
o aparato de medi¸c˜ao pode ser encontrado em [25, 26].
Outro efeito interessante acontece nas flutua¸c˜oes universais da condutˆancia.
No estado normal, a condutˆancia flutua de amostra para amostra com uma variˆancia
que independe do tamanho da amostra bem como do grau de desordem da mesma.
Quando aplicamos um campo magn´etico que quebra a simetria de revers˜ao temporal,
a variˆancia da condutˆancia cai precisamente por um fator dois. Em interfaces NS
tamb´em s˜ao observadas tais flutua¸c˜oes. Na figura (1.10) temos dois gr´aficos obtidos
experimentalmente por Hecker et al. [26] para um amostra NS que consiste em um
fio de ouro em contato com um filme de Niobio na sua fase supercondutora. A figura
(1.10.b) contrasta as amplitudes de oscila¸c˜ao da condutˆancia em fun¸c˜ao do campo
magn´etico aplicado para duas situa¸c˜oes: quando o campo magn´etico aplicado ´e
inferior ao campo cr´ıtico do niobio (valor onde o niobio deixa de ser supercondutor),
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor 16
Figura 1.9: Condutˆancia diferencial em fun¸c˜ao da voltagem aplicada numa amostra
NS para diferentes teperaturas entre 60mK e 1500mK a campo magn´etico nulo.
Figura retirada de [25].
mostrando que as amplitudes de oscila¸c˜ao neste regime NS ´e bem mais acentuadas
que no caso normal quando o campo magn´etico ´e maior que o campo cr´ıtico de
niobio.
Os fenˆomenos mencionados acima s˜ao discutidos com maiores detalhes na ref.
[24]. Nesta referˆencia o autor descreve uma teoria de espalhamento que relaciona a
condutˆancia G
NS
da interface NS com a matriz de transmiss˜ao t do lado normal,
para disposistivos de dois terminais. Uma revis˜ao mais abrangente sobre este assunto
incluindo m´utiplos terminais pode ser encontrada em [27].
1.4.1 Equa¸c˜oes de Bogoliubov-de Gennes
Os fenˆomenos t´ıpicos de sistemas h´ıbridos NS mesosc´opicos mencionados na
se¸c˜ao anterior, ilustram a necessidade de se usar um formalismo que leve em consid-
era¸c˜ao os espalhamentos tais como reflex˜ao de Andreev, espalhamento por impurezas
e/ou bordas da amostra. A extens˜ao da teoria BCS que permite descrever estes
efeitos foi desenvolvida por Bogoliubov [28] e foi posteriormente aperfei¸coada por
de Gennes [29]. Nesta se¸c˜ao apresentaremos brevemente este formalismo seguindo
as refs. [30] e [29].
Nosso ponto de partida ´e o hamiltoniano em segunda quantiza¸c˜ao para um
sistema geral de el´etrons interagentes
H = H
(1)
+ V
(2)
, (1.6)
onde
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor 17
Figura 1.10: (a) Magneto-resistˆencia de um fio de ouro conectado a um fio de niobio
em fun¸c¸c˜ao do campo magn´etico aplicado a uma temperatura de 50 mK. Do lado
direito em cima vemos a geometria da amostra. (b) Flutua¸c˜oes da condutˆancia da
amostra NS no caso NS (0.4 < B < 1.9 T ) e no caso normal (3.1 < B < 9 T ).
Figura retirada de [26].
H
(1)
=
αβ
d
3
r ψ
†
α
(r)
−
2
2m
(
∇ −
iq
c
A)
2
δ
αβ
+ U
(1)
αβ
(r)
ψ
β
(r), (1.7)
´e o termo de uma part´ıcula e
V
(2)
=
1
2
α β γ δ
d
3
r
d
3
r
ψ
†
δ
(r)ψ
†
γ
(
r
) U
(2)
δ γ,α β
(r,
r
) ψ
α
(
r
)ψ
β
(r), (1.8)
onde U
(2)
δ γ,α β
(r,
r
) ´e o potencial de intera¸c˜ao el´etron-el´etron, ψ
†
α
(r) e ψ
α
(r) s˜ao op-
eradores de campos fermiˆonicos que obedecem `as seguintes rela¸c˜oes canˆonicas:
{ψ
α
(r), ψ
†
α
(
r
)} = δ
α,α
δ(r −
r
) ,
{ψ
α
(r), ψ
α
(
r
)} = 0 = {ψ
†
α
(r), ψ
†
α
(
r
)}.
(1.9)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor 18
O hamiltoniano descrito por (1.6-1.8) ´e demasiado geral pois inclui termos que
dependem do spin das part´ıculas. Nossos sistemas n˜ao apresentam tal complexidade
e podemos simplificar:
U
(1)
αβ
(r) = U(r) δ
α β
,
U
(2)
δ γ,α β
(r,
r
) = U
(2)
(r,
r
) δ
α γ
δ
β δ
,
(1.10)
eliminando a dependˆencia em spin. Assumindo tamb´em uma intera¸c˜ao pontual,
temos que:
U
(2)
(r,
r
) = −V
0
δ(r −
r
). (1.11)
Este conjunto de restri¸c˜oes acima ´e similar ao introduzido na teoria BCS. Fazendo a
aproxima¸c˜ao de Hartree-Fock usual da teoria BCS obtemos o hamiltoniano efetivo
H
eff
=
d
3
r{
α
ψ
†
α
(r) [K + U(r)] ψ
α
(r) +
∆(r)ψ
†
↑
(r)ψ
†
↓
(r) − ∆(r)
∗
ψ
↓
(r)ψ
↑
(r)}, (1.12)
onde
∆(r) ≡ −V
0
ψ
↓
(r)ψ
↑
(r) = V
0
ψ
↑
(r)ψ
↓
(r) , (1.13)
e
K = −
2
2m
(
∇ −
iq
c
A)
2
− µ . (1.14)
Note que os termos que admitem a cria¸c˜ao ou destrui¸c˜ao de um par de el´etrons com
spins anti-paralelos com amplitude de probabilidade ∆(r), denominada amplitude
de emparelhamento, n˜ao conservam o n´umero de el´etrons no g´as justificando a in-
trodu¸c˜ao do potencial qu´ımico µ. Os efeitos de proximidade que nos referimos no
come¸co desta se¸c˜ao est˜ao relacionados com a m´edia sobre desordem desta ampli-
tude ψ
↓
(r)ψ
↑
(r), que permite a destrui¸c˜ao de dois el´etrons (ou a cria¸c˜ao de dois
buracos) no mesmo ponto dentro do metal normal. A cria¸c˜ao desta amplitude de
emparelhamento local est´a relacionada com o mecanismo de reflex˜ao de Andreev.
Considere que inicialmente temos um el´etron que se propaga difusivamente no meio
normal e eventualmente atinge a interface NS sendo refletido atrav´es do mecanismo
de reflex˜ao de Andreev como um buraco que agora segue seu pr´oprio caminho no
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor 19
meio normal. Contudo, uma situa¸c˜ao particularmente interessante surge quando o
buraco segue a trajet´oria descrita pelo el´etron com sentido oposto voltando assim
para o ponto de cria¸c˜ao do el´etron incidente, sendo assim as fases acumuladas por
ambas quase-part´ıculas durante este processo se cancelam quase que completamente.
Para uma excita¸c˜ao exatamente em cima do n´ıvel de Fermi este cancelamento das
fases ´e total de fato.
Figura 1.11: Esta figura mostra um t´ıpico par de trajet´orias de Feynman que tem
contibui¸c˜ao n˜ao nula para os efeitos de proximidade. Vale salientar que n˜ao h´a
trasmiss˜ao de momento linear no lado supercondutor como poderia-se imaginar ol-
hando para o lado S da figura. Esta figura foi retirada da ref. [31].
A contribui¸c˜ao para esta amplitude ψ
↓
(r)ψ
↑
(r) quando el´etrons e buracos seguem
trajet´orias distintas ´e nula quando ´e feita a m´edia sobre desordem devido `a forte
dependˆencia destas trajet´orias com a fase acumulada. Alguns aspectos relacionados
com este potencial de emparelhamento est˜ao discutidos em [31].
Utilizaremos a seguinte transform¸c˜ao canˆonica para diagonalizar o hamilto-
niano efetivo (1.12):
ψ
↑
(r) =
n
[u
n
(r)γ
n,↑
− v
∗
n
(r)γ
†
n,↓
]; ψ
†
↑
(r) =
n
[u
∗
n
(r)γ
†
n,↑
− v
n
(r)γ
n,↓
]; (1.15)
ψ
↓
(r) =
n
[u
n
(r)γ
n,↓
+ v
∗
n
(r)γ
†
n,↑
]; ψ
†
↓
(r) =
n
[u
∗
n
(r)γ
†
n,↓
+ v
n
(r)γ
n,↑
], (1.16)
onde {u
n
(r)} e {v
n
(r)} s˜ao bases ortonormais de autofun¸c˜oes complexas e os campos
γ
n
e γ
†
n
obedecem rela¸c˜oes de anticomuta¸c˜ao de f´ermions. Substituindo (1.15) e
(1.16) em (1.12) o hamiltoniano efetivo fica:
H
eff
= E
GS
+
nα
n
γ
†
nα
γ
nα
, (1.17)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor 20
onde E
GS
´e a energia do estado fundamental e
n
´e a energia de excita¸c˜ao do n-´esimo
estado do metal normal. Utilizando as regras de anticomuta¸c˜oes dos operadores γ
nα
e γ
†
nα
podemos calcular os seguintes comutadores
H
eff
, γ
†
nα
=
n
γ
†
nα
, (1.18)
[H
eff
, γ
nα
] = −
n
γ
nα
. (1.19)
Calculando agora os comutadores de H
eff
com os operadores de campo ψ
α
(r)
obtemos
[H
eff
, ψ
↑
(r)] = −(K + U(r)) ψ
↑
(r) − ∆(r)ψ
†
↓
(r) , (1.20)
[H
eff
, ψ
↓
(r)] = −(K + U(r)) ψ
↓
(r) + ∆(r)ψ
†
↑
(r) . (1.21)
Substituindo (1.15) e (1.16) em (1.20) e utilizando as equa¸c˜oes (1.18) e (1.19), obte-
mos:
n
u
n
(r) = (K + U(r))u
n
(r) + ∆(r)v
n
(r) ,
n
v
∗
n
(r) = −(K + U(r))v
∗
n
(r) + ∆(r)u
∗
n
(r) .
(1.22)
Tomando o complexo conjugado da segunda equa¸c˜ao de (1.22), temos como resultado
as equa¸c˜oes de Bogoliubov-de Gennes:
n
u
n
(r) = (K + U(r))u
n
(r) + ∆(r)v
n
(r) ,
n
v
n
(r) = −(K
∗
+ U(r))v
n
(r) + ∆
∗
(r)u
n
(r) .
(1.23)
Escrevendo as equa¸c˜oes BdG, (1.23), numa forma matricial obtemos nosso resultado
final
K + U(r) ∆(r)
∆
∗
(r) −K
∗
− U(r)
u
n
(r)
v
n
(r)
=
n
u
n
(r)
v
n
(r)
. (1.24)
1.4.2 Teoria de Espalhamento em Sistemas NS
Apresentaremos agora uma pequena revis˜ao sobre a teoria de espalhamento
para sistemas mesosc´opicos NS seguindo as referˆencia [24] e [32]. A necessidade
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor 21
de uma teoria espec´ıfica para sistemas NS surge como consequˆencia da existˆencia
de coerˆencia de fase entre part´ıculas e buracos acoplados pela reflex˜ao de Andreev
nas interfaces NS. Esta coerˆencia introduz efeitos de proximidade no transporte de
quase-part´ıculas nestes sistemas. A teoria de espalhamento nos fornece uma maneira
simples de implementar as simetrias de conserva¸c˜ao do fluxo e simetria part´ıcula-
buraco no formalismo de transporte pois baseia-se em conceitos b´asicos da f´ısica
quˆantica tais como a fun¸c˜ao de onda em primeira quantiza¸c˜ao e suas condi¸c˜oes de
contorno nas interfaces.
A geometria do nosso sistema ´e basicamente uma regi˜ao desordenada adja-
cente a um supercondutor (regi˜ao `a direita fig.(1.12)) e ligado a um reservat´orio
de quase-part´ıculas de potencial qu´ımico µ (regi˜ao `a esquerda fig.(1.12)) admitimos
Figura 1.12: Sistema NS mesosc´opico composto por guias de onda I e II perfeitos.
O guia I conecta um reservat´orio de quase-part´ıculas, com potencial qu´ımico µ, `a
esquerda do guia `a regi˜ao met´alica desordenada D. O guia II conecta a regi˜ao D
ao supercondutor S que tamb´em tem a fun¸c˜ao de reservat´orio de quase-part´ıculas.
Figura retirada da ref. [32].
tamb´em uma separa¸c˜ao espacial entre as interfaces NN e NS via regi˜oes met´alicas
perfeitas (guias ideais). Esta separa¸c˜ao espacial ´e utilizada para separarmos espa-
cialmente o espalhamento Andreev do espalhamento normal devido a impurezas da
regi˜ao desordenada.
Os estados de espalhamento com energia E s˜ao autofun¸c˜oes das equa¸c˜oes
BdG (1.24):
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor 22
H
e
∆(r)
∆
∗
(r) H
h
u(r)
v(r)
= E
u(r)
v(r)
, (1.25)
onde definimos H
e
≡ K +U(r) e H
h
≡ −H
∗
e
como os hamiltonianos para a part´ıcula
e buraco de Bogoliubov, respectivamente. Utilizaremos uma fun¸c˜ao degrau para
modelar nosso potencial de emparelhamento
∆(r) = ∆
0
e
iφ
Θ(r) . (1.26)
No guia normal a equa¸c˜ao BdG se reduz `a equa¸c˜oes de Schr¨odinger separadas
para el´etron e buracos nas vizinhan¸cas do n´ıvel de Fermi
H
e
0
0 H
h
ϕ
e
(r)
ϕ
h
(r)
= E
ϕ
e
(r)
ϕ
h
(r)
. (1.27)
Nos guias h´a forte confinamento nas dire¸c˜oes transversais (y, z), os n-´esimos modos
de propaga¸c˜ao de el´etrons e buracos com energia E s˜ao respectivamente representa-
dos pelas seguintes fun¸c˜oes de onda
ϕ
±
n,e
(r) = χ
n
(y, z)
e
±ik
e
n
x
k
e
n
, (1.28)
ϕ
±
n,h
(r) = χ
n
(y, z)
e
±ik
h
n
x
k
h
n
, (1.29)
onde
k
e
n
≡
2m
2
(µ −
n
+ E) , (1.30)
k
h
n
≡
2m
2
(µ −
n
− E) , (1.31)
e
n
´e a energia associada ao modo confinado na dire¸c˜ao transversal do guia.
As fun¸c˜oes de onda de el´etrons e buracos nos guias s˜ao
Φ
I ,II
e
=
ϕ
I ,II
1 ,e
, ... ϕ
I ,II
2N ,e
T
,
Φ
I ,II
h
=
ϕ
I ,II
1 ,h
, ... ϕ
I ,II
2N ,h
T
,
(1.32)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor 23
onde os modos eletrˆonicos s˜ao dados por
ϕ
I
n ,e
= a
+
n ,I
ϕ
+
n ,e
+ a
−
n ,I
ϕ
−
n ,e
,
ϕ
II
n ,e
= a
+
n ,II
ϕ
+
n ,e
+ a
−
n ,II
ϕ
−
n ,e
,
(1.33)
Figura 1.13: Ilustra¸c˜ao do n-´esimo modo de propaga¸c˜ao de el´etrons na regi˜ao N do
sistema NS indicados pelos coeficientes de ϕ
I , II
e
. Figura retirada da ref. [32].
e os modos de buracos s˜ao
ϕ
I
n ,h
= b
−
n ,I
ϕ
+
n ,h
+ b
+
n ,I
ϕ
−
n ,h
,
ϕ
II
n ,h
= b
−
n ,II
ϕ
+
n ,h
+ b
+
n ,II
ϕ
−
n ,h
,
(1.34)
Podemos tratar daqui por diante o problema de espalhamento todo em fun¸c˜ao
destes coeficientes de (1.33) e (1.34), usando as matrizes de espalhamento 4N × 4N
que relacionam as amplitudes de fluxo que entram na regi˜ao desordenada com as
que saem da mesma. A matriz de espalhamento que relacionam os coeficientes de
(1.33) ´e definida como
S
e
a
+
I
a
−
II
=
a
−
I
a
+
II
; S
e
=
r
e
t
e
t
e
r
e
. (1.35)
A matriz S
e
possui as seguintes propriedades:
S
†
e
= S
−1
e
,
S
e
= S
T
e
,
(1.36)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor 24
Figura 1.14: Ilustra¸c˜ao do n-´esimo modo de propaga¸c˜ao de buracos na regi˜ao N do
sistema NS indicados pelos coeficientes de ϕ
I , II
h
. Figura retirada da ref. [32].
onde as equa¸c˜oes de (1.36) dizem respeito `a conserva¸c˜ao de fluxo e `a simetria de
revers˜ao temporal, respectivamente.
Analogamente, definimos a matriz espalhamento que relaciona os coeficientes
de (1.34):
S
h
b
+
I
b
−
II
=
b
−
I
b
+
II
; S
h
=
r
h
t
h
t
h
r
h
. (1.37)
Tomando o complexo conjugado de (1.34) e de (1.37) e posteriomente fazendo as
seguintes substitui¸c˜oes E → −E e ϕ
∗
h
→ ϕ
e
, obtemos de (1.34)
ϕ
I
n ,e
= (b
−
n ,I
)
∗
ϕ
−
n ,e
+ (b
+
n ,I
)
∗
ϕ
+
n ,e
,
ϕ
II
n ,e
= (b
−
n ,II
)
∗
ϕ
−
n ,e
+ (b
+
n ,II
)
∗
ϕ
+
n ,e
,
(1.38)
comparando (1.33) e (1.38) obtemos a seguinte rela¸c˜ao entre os coeficientes:
a
+
n ,I
= (b
+
n ,I
)
∗
a
−
n ,I
= (b
−
n ,I
)
∗
,
a
+
n ,II
= (b
+
n ,II
)
∗
a
−
n ,II
= (b
−
n ,II
)
∗
.
(1.39)
De (1.37) obtemos depois de algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas:
S
h
(E) = S
∗
e
(−E) . (1.40)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.4 Sistemas H´ıbridos Normal-Supercondutor 25
1.4.3 Espalhamento Andreev na Interface NS
Nesta se¸c˜ao vamos abordar alguns detalhes microsc´opicos da reflex˜ao de An-
dreev. Vamos considerar que a energia E do el´etron incidente na interface NS em
rela¸c˜ao ao n´ıvel de Fermi E
F
, est´a no intervalo 0 < E < ∆
0
, de modo que n˜ao h´a
transmiss˜ao de corrente no lado supercondutor, ou seja o par de Cooper ´e absorvido
pelo condensado em repouso. Na aproxima¸c˜ao de Andreev, temos que o potencial
de emparelhamento ´e bem menor que a energia de Fermi E
F
>> ∆
0
e portanto o
principal efeito da interface ´e a reflex˜ao do el´etron incidente como um buraco no
lado normal. Na regi˜ao normal a representa¸c˜ao conjunta part´ıcula-buraco da fun¸c˜ao
de onda ´e
Φ =
ϕ
e
ϕ
h
=
1
0
ϕ
+
n e
+
0
r
A
h e
ϕ
+
n h
; r
A
h e
= ie
−iφ
(1.41)
A matriz de espalhamento de Andreev ´e
S
A
a
+
II
b
+
II
=
a
−
II
b
−
II
; S
A
=
0 r
A
e h
r
A
e h
0
. (1.42)
´
E ´util definirmos o vetor 4N-dimensional:
c
±
I
=
a
±
I
b
±
I
; c
±
II
=
a
±
II
b
±
II
(1.43)
Necessitamos de uma matriz de espalhamento geral, que incorpore a matriz
de espalhamento devido `a desordem S
D
e a matriz espalhamento de Andreev (1.42).
A matriz da regi˜ao I que governa a reflex˜ao de quase-part´ıculas em todo dispositivo
´e dada por
S c
+
I
= c
−
I
; S =
r
e e
r
e h
r
h e
r
h h
. (1.44)
A matriz de esplhamento devido `as impurezas ´e
S
D
c
+
I
c
−
II
=
c
−
I
c
+
II
; S
D
=
r t
t r
, (1.45)
com
r =
r
e
0
0 r
h
; t
=
t
e
0
0 t
h
; t =
t
e
0
0 t
h
; r
=
r
e
0
0 r
h
. (1.46)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.5 Teoria de Landauer-B¨uttiker para Sistemas NS 26
Como n˜ao h´a reflex˜ao de Andreev na regi˜ao desordenada, a conserva¸c˜ao de carga
n˜ao ´e violada localmente, ou seja n˜ao h´a mecanismo de troca da natureza das quase-
part´ıculas entre as regi˜oes I e II, por isso as matrizes em (1.46) s˜ao diagonais. A
rela¸c˜ao entre a matriz S da eq. (1.44) e as matrizes S
D
da eq. (1.45) e S
A
da eq.
(1.42) ´e dada pela express˜ao abaixo:
S = r + t
S
A
1 − r
S
A
−1
t . (1.47)
Da eq. (1.47) obtemos os coeficientes da matriz de espalhamento de interesse da
jun¸c˜ao NS atrav´es das matrizes de espalhamento da regi˜ao desordenada. Para obter
a rela¸c˜ao entre os coeficientes das matrizes e os observ´aveis de transporte (e.g.
condutˆacia NS), devemos utilizar a teoria de Landauer-B¨uttiker para sistemas NS
mesososc´opicos.
1.5 Teoria de Landauer-B¨uttiker para Sistemas
NS
Nesta se¸c˜ao faremos a conex˜ao entre a teoria de espalhamento de sistemas NS
e os observ´aveis destes sistemas via uma extens˜ao da teoria de Landauer e B¨uttiker.
1.5.1 Matriz Espalhamento para Multi-Terminais
Considere os elementos da matriz-S, S
α β
p n, q m
(E), com p , q = 1, 2, ... , M (M
´e o n´umero de terminais do sistema), n = 1, ... , N
α
p
(E); n = 1, ... , N
β
q
(E) (n´umero
de modos de quase-part´ıculas de natureza determinada pelo valor de α ou β), se α
(ou β) for + estamos tratando de uma part´ıcula, se α (ou β) for − ent˜ao temos um
buraco. As simetrias desses elementos s˜ao dadas por (1.36), junto com a simetria
part´ıcula-buraco descrita pela equa¸c˜ao abaixo
S
α β
p n, q m
(E) = α β
S
−α −β
p n, q m
(−E)
∗
. (1.48)
De (1.36) temos que
β ,q ,m
(S
†
(E))
α β
p n, q m
(S(E))
β α
q m, p
n
= δ
α α
p p
, n n
=
β ,q ,m
(S(E))
α β
p n, q m
(S
†
(E))
β α
q m, p
n
.
(1.49)
A fun¸c˜ao de transi¸c ao de part´ıculas tipo α em tipo β, com energia E, partindo do
guia p para o guia q ´e definida como:
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.5 Teoria de Landauer-B¨uttiker para Sistemas NS 27
T
α β
p q
(E) =
m ,n
|S
α β
p n, q m
(E)|
2
. (1.50)
As rela¸c˜oes que respresentam as simetrias de conserva¸c˜ao do fluxo, eq. (1.49), e
de convers˜ao part´ıcula-buraco, eq. (1.48), podem ser representadas em termos das
fun¸c˜oes de transmiss˜ao, respectivamente por;
β q
T
α β
p q
(E) = N
α
p
(E) =
β q
T
β α
p q
(E) (1.51)
e
T
α β
p q
(E) = T
−α −β
p q
(−E) ⇒ N
α
p
(E) = N
−α
p
(−E) . (1.52)
Na presen¸ca de espalhamento Andreev, que introduz um mecanismo de quebra da
simetria de conserva¸c˜ao de carga no lado normal, transporte de carga e difus˜ao de
quase-part´ıculas n˜ao s˜ao mais equivalentes. H´a uma separa¸c˜ao entre carga e energia
que modifica as rela¸c˜oes entre corrente e voltagem no sistema.
Considere M reservat´orios com potenciais V
1
, V
2
, ... V
M
conectados a uma
regi˜ao desordenada, que por sua vez est´a conectada a v´arias regi˜oes supercondutoras
mantidas a um potencial qu´ımico comum µ. No limite de resposta linear a corrente
de quasi-part´ıculas no reservat´orio p ´e dada por
I
p
=
M
q = 1
G
p q
(V
q
− V ) V =
−µ
e
, V
q
=
−µ
q
e
. (1.53)
Usando o argumento de contagem da teoria de Landauer-B¨uttiker, obtemos
I
p
=
−2e
h
∞
−∞
dE
α
δ
p q
N
α
p
(E) f
α
p
(E) −
β
T
α β
p q
(E) f
α
q
(E)
, (1.54)
onde
f
α
p
(E) ≡
1
e
β(E−α(µ
p
−µ))
+ 1
e (1.55)
e
f(E) =
1
e
βE
+ 1
, (1.56)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.5 Teoria de Landauer-B¨uttiker para Sistemas NS 28
s˜ao as distribui¸c˜oes de Fermi Dirac. No limite V
p
→ V (voltagem nula) os coeficientes
de condutˆancia s˜ao dados por
G
p q
= G
0
∞
−∞
dE
−
∂ f(E)
∂ E
N
+
p
(E) δ
p q
− T
+ +
p q
(E) + T
−+
p q
(E)
, (1.57)
ou equivalentemente
G
p q
= G
0
∞
−∞
dE
−
∂ f(E)
∂ E
N
−
p
(E) δ
p q
− T
−−
p q
(E) + T
+ −
p q
(E)
. (1.58)
1.5.2 Sistemas NS de Dois Terminais
A matriz-S para um sistema com dois terminais tem a seguinte estrutura:
S(E) =
S
1 1
(E) S
1 2
(E)
S
2 1
(E) S
2 2
(E)
=
r(E) t
(E)
t(E) r
(E)
, (1.59)
onde os elementos de S
p q
(E) s˜ao representados pelos coeficientes S
α β
p q
(E)
S
α β
1 1
= r
α β
(E) ; S
α β
1 2
= t
α β
(E) ; S
α β
2 1
= t
α β
(E) ; S
α β
2 2
= r
α β
(E) . (1.60)
Assim por exemplo:
r(E) =
r
+ +
(E) r
+ −
(E)
r
−+
(E) r
−−
(E)
, (1.61)
e a rela¸c˜ao corrente-voltagem ´e dada por
I
1
I
2
=
G
1 1
G
1 2
G
2 1
G
2 2
V
1
− V
V
2
− V
, (1.62)
onde os coeficientes G
p q
s˜ao dados por (1.57). Introduzindo coeficientes de con-
dutˆancia adimensionais, g
p q
, temos
g
p q
= N
+
p
(E) δ
p q
− T
+ +
p q
(E) + T
−+
p q
(E) . (1.63)
Para p = q = 1, obtemos
g
1 1
= N
+
1
(E) − T
+ +
1 1
(E) + T
−+
1 1
(E) . (1.64)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.5 Teoria de Landauer-B¨uttiker para Sistemas NS 29
onde
T
+ +
1 1
(E) = Tr(r
+ +
(E) r
†
+ +
(E)) ,
T
−+
1 1
(E) = Tr(r
−+
(E) r
†
−+
(E)) ,
. (1.65)
Substituindo (1.65) em (1.64) obtemos
g
1 1
= N
+
1
(E) − Tr(r
+ +
(E) r
†
+ +
(E)) + Tr(r
−+
(E) r
†
−+
(E)) . (1.66)
Condutˆancia de uma jun¸c˜ao NS :
Definimos a condutˆancia de uma jun¸c˜ao NS, correspondendo a um terminal normal
e outro supercondutor como
G
NS
= G
0
∞
−∞
dE
−
∂ f(E)
∂ E
g
NS
(E) , (1.67)
onde,
g
NS
= g
1 1
= N
+
1
(E) − Tr(r
+ +
(E) r
†
+ +
(E)) + Tr(r
−+
(E) r
†
−+
(E)) =
Tr(
˘
1 − r
+ +
(E) r
†
+ +
(E) + r
−+
(E) r
†
−+
(E)) . (1.68)
Definimos
˘
1 como a matriz unidade de dimens˜ao 4N. Da simetria de conserva¸c˜ao
de fluxo, eq. (1.36), temos
S
†
(E)S(E) =
˘
1 = S(E)S
†
(E) onde S(E) =
r
+ +
(E) r
+ −
(E)
r
+ −
(E) r
−−
(E)
. (1.69)
De (1.69) obtemos,
r
†
+ +
(E) r
+ +
(E) + r
†
−+
(E) r
−+
(E) =
˘
1 . (1.70)
Substituindo (1.70) em (1.68) resulta em
g
NS
= 2 Tr(r
†
−+
(E) r
−+
(E)) . (1.71)
De (1.47) obtemos (fazendo + = e e − = h),
r
h e
= ie
−i φ
(t
)
∗
e
(1 + r
e
(r
)
∗
e
)
−1
t
e
, (1.72)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.5 Teoria de Landauer-B¨uttiker para Sistemas NS 30
com E = 0. Na presen¸ca de revers˜ao temporal temos r
e
= (r
e
)
T
e t
e
= (t
e
)
T
,
portanto (1.72) fica,
r
h e
= ie
−i φ
(t
)
†
e
(1 + r
e
(r
)
†
e
)
−1
t
e
. (1.73)
Substituindo (1.73) em (1.71):
g
NS
= 2 Tr(ie
−i φ
(t
)
†
e
(1 + r
e
(r
)
†
e
)
−1
t
e
(−ie
i φ
(t
)
†
e
(1 + r
e
(r
)
†
e
)
−1
t
e
)) . (1.74)
Utilizando a simetria de conserva¸c˜ao de fluxo eq. (1.36),temos
t
†
e
t
e
+ (r
)
†
e
r
e
= 1 , (1.75)
assim,
G
NS
= G
0
g
NS
= 2 G
0
Tr
t
e
t
†
e
2 − t
e
t
†
e
2
. (1.76)
Definindo τ
n
como n-´esimo autovalor da matriz de transmiss˜ao t
e
t
†
e
, obtemos a
f´ormula de Beenakker [24]
G
NS
= 2 G
0
N
n = 1
τ
2
n
(2 − τ
n
)
2
. (1.77)
Potˆencia do Ru´ıdo de Disparo
Utilizando um m´etodo an´alogo ao desenvolvido acima, no limite de baixas
temperaturas, T → 0, e na aproxima¸c˜ao de resposta linear [33], podemos obter para
a potˆencia do ru´ıdo de disparo de uma jun¸c˜ao NS a seguinte f´ormula
P
NS
= 4 P
0
Tr
r
h e
r
†
h e
1 − r
h e
r
†
h e
, (1.78)
onde, P
0
= 2e V G
0
. Reescrevendo a eq. (1.78) em fun¸c˜ao dos autovalores de
transmiss˜ao obtemos
P
NS
= 16 P
0
N
n = 1
τ
2
n
(1 − τ
n
)
(2 − τ
n
)
4
. (1.79)
Conclu´ımos observando as express˜oes, (1.77) e (1.79), que a condutˆancia e a potˆencia
do ru´ıdo de disparo do sistema NS no regime de transporte considerado aqui, podem
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.6 Abordagem Quase-Cl´assica 31
ser obtidos se conhecemos os autovalores de transmiss˜ao do meio normal. Isto foi
poss´ıvel pois atrav´es do formalismo de matriz de espalhamento, desenvolvido acima,
eliminamos todos os graus de liberdade da parte supercondutora.
1.6 Abordagem Quase-Cl´assica
Na d´ecada de 1960 Eilenberger [34] introduziu uma nova abordagem para de-
screver supercondutores macrosc´opicos atrav´es de um m´etodo que mostrou-se bas-
tante ´util tamb´em na an´alise de sistemas NS. Esta abordagem, denominada, quase-
cl´assica mostrou ser um procedimento control´avel que simplifica drasticamente a
equa¸c˜ao microc´opica de Gorkov para as fun¸c˜oes de Green de supercondutores. Es-
tas fun¸c˜oes de Green cont´em toda a informa¸c˜ao relevante para a descri¸c˜ao do sistema
NS, mas seu c´alculo na presen¸ca de efeitos de proximidade ´e em geral muito com-
plicado. Extendendo o trabalho de Eilenberger, Usadel deduziu uma equa¸c˜ao tipo
difus˜ao para as fun¸c˜oes de Green quase-cl´assicas de metais sujos, que ´e conhecida
como equa¸c˜ao de Usadel [35]. Inspirados nos trabalhos pioneiros de Eilenberger
e Usadel, v´arios m´etodos quase-cl´assicos tˆem sido formulados para o estudo das
propriedades m´edias de sistemas NS. Nesta se¸c˜ao discutiremos alguns pontos im-
portantes sobre as diversas abordagens quase-cla´ssicas para sistemas NS.
1.6.1 A Equa¸c˜ao de Gorkov
Para introduzir os m´etodos quase-cl´assicos, conv´em apresentarmos a fun¸c˜ao
de Green de Gorkov. A equa¸c˜ao de Gorkov ´e definida como [31]
K
1
(r
1
, r
2
) − V (r
1
) ∆(r
1
)
−∆
∗
(r
1
) K
1
(r
1
, r
2
) − V (r
1
)
G
r , a
(r
1
, r
2
) =
ˆ
1δ
d
(r
1
−r
2
) , (1.80)
onde
G
r , a
(r
1
, r
2
) =
G
r , a
F
r , a
F
†
r , a
G
†
r , a
, (1.81)
e
K
1
= µ +
±
−
1
2m
(ˆp −
e
c
A(r
1
))
2
,
K
1
= µ −
±
−
1
2m
(ˆp +
e
c
A(r
1
))
2
.
(1.82)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.6 Abordagem Quase-Cl´assica 32
As fun¸c˜oes G
r , a
e F
r , a
s˜ao respectivamente a fun¸c˜ao de Green normal e anˆomala,
∆(r) ´e o potencial de emparelhamento e V ´e o potencial devido `as impurezas.
Esta equa¸c˜ao pode ainda ser escrita em uma forma mais elegante utilizando
as matrizes de Pauli, operando nas duas componentes (part´ıcula e buraco) do espa¸co.
A equa¸c˜ao (1.80) fica,
F
−
1
2m
(ˆp −
e
c
A(r
1
)σ
3
)
2
− V (r
1
) + (
ˆ
∆(r
1
) +
±
)σ
3
G
r , a
(r
1
, r
2
) = δ
d
(r
1
−r
2
) ,
(1.83)
onde
ˆ
∆ = σ
1
|∆|e
−iϕ(r
1
)σ
3
, |∆| ´e o modulo do potencial de emparelhamento e ϕ(r) ´e
a sua fase.
A presen¸ca do potencial V (r) devido a impurezas torna a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
(1.83) muito trabalhosa. Vamos agora discutir sob que condi¸c˜oes podemos recorrer
a uma aproxima¸c˜ao quase-cl´assica para esta equa¸c˜ao.
1.6.2 Aproxima¸c˜ao Quase-cl´assica
Uma simplifica¸c˜ao crucial para a equa¸c˜ao (1.83) acontece quando o compri-
mento de onda dos el´etrons ´e pequeno comparado com as escalas caracter´ısticas
sobre as quais o potencial de emparelhamento e o potencial vetor variam. O ponto
de partida da aproxima¸c˜ao quase-cl´assica ´e a observa¸c˜ao de que a fun¸c˜ao de Green
´e composta por um termo respons´avel por r´apidas oscila¸c˜oes na escala do compri-
mento de onda de Fermi, modulada por um termo que oscila lentamente em escalas
maiores. A abordagem quase-cl´assica dos efeitos de proximidade ´e baseada numa
m´edia sobre as varia¸c˜oes r´apidas da fun¸c˜ao de Green. A vantagem t´ecnica ´e uma
simplifica¸c˜ao tremenda da equa¸c˜oes cin´eticas correspondentes. Para uma discuss˜ao
mais detalhada das fun¸c˜oes de Green quase-cl´assicas sugerimos o artigo de revis˜ao
[27].
A fun¸c˜ao de Green quase-cl´assica (ou fun¸c˜ao de Green de Eilenberger), ´e
obtida da fun¸c˜ao de Green de Gorkov atrav´es de uma transformada de Wigner
seguida de uma m´edia sobre impurezas e uma integral sobre a energia cin´etica.
g
r , a
(ˆn, r) =
i
π
dξ
p
d(r
1
−r
2
)G
r , a
(r
1
, r
2
) exp (−ip · (r
1
−r
2
)) , (1.84)
onde, r =
r
1
+r
2
2
´e a coordenada do centro de massa, ξ
p
= v
F
(p − p
F
), ˆn = p/p e
p
F
= mv
F
´e o momento de Fermi. A implementa¸c˜ao da aproxima¸c˜ao acima descrita
na equa¸c˜ao de Gorkov (1.83) nos leva a equa¸c˜ao de Eilenberger:
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.6 Abordagem Quase-Cl´assica 33
v
F
· ∇
r
g
r , a
(ˆn, r) = i
σ
3
(
±
+
ˆ
∆(r)) +
i
2τ
g
r , a
(
n
, r)
ˆn
, g
r , a
(ˆn, r)
. (1.85)
A equa¸c˜ao acima ´e similar `a equa¸c˜ao de Boltzmann e ´e mais simples que a
equa¸c˜ao Gorkov, mas ainda ´e muito trabalhoso resolvˆe-la em geral. Simplifica¸c˜oes
desta equa¸c˜ao s˜ao poss´ıveis no limite sujo. O limite sujo acontece quando o mecan-
ismo principal de transporte ´e o difusivo (L
e
<< ξ) e as escalas de tempo s˜ao bem
maiores que o tempo de espalhamento τ. Nestas condi¸c˜oes, podemos expandir a
fun¸c˜ao de Green em torno da sua forma isotr´opica
g
r , a
(v
F
, r) = g
r , a
0
(r) + ˆn ·g
r , a
1
(r) + ... , (1.86)
onde, g
r , a
0
(r) >> ˆn · g
r , a
1
(r). Implementando esta expans˜ao na equa¸c˜ao de Eilen-
berger, (1.85), obtemos uma equa¸c˜ao n˜ao-linear de segunda ordem
D∇(g
r , a
0
(r)∇g
r , a
0
(r)) + i
σ
3
(
±
+
ˆ
∆(r)) , g
r , a
0
(r)
= 0 ; (g
r , a
0
)
2
(r) =
ˆ
1 , (1.87)
conhecida como equa¸c˜ao de Usadel. Para obtermos a solu¸c˜ao de (1.87) precisamos
especificar as condi¸c˜oes de contorno apropriadas. Solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Usadel
com suas respectivas condi¸c˜oes de contorno foram obtidas para v´arias geometrias de
interesse.
Inspirado na abordagem de Usadel, Nazarov [36], [37], obteve uma rela¸c˜ao
entre a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de autovalores de transmiss˜ao de condutores difusivos
normais e uma corrente fict´ıcia relacionada `a fun¸c˜ao de Green de Keldysh.
ρ(T ) =
ρ
0
(T )
πG
Re
I(π + i arccosh(
1
√
T
))
, (1.88)
onde a corrente fict´ıcia ´e definida por
I(φ) ≡ G
Q
sin φ Tr
t
†
t
1 − sin
2
(φ/2) t
†
t
. (1.89)
Se determinarmos esta corrente podemos portanto obter a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de
autovalores de transmiss˜ao. Para o c´alculo desta corrente Nazarov desenvolveu uma
teoria de elemento finito, conhecida como teoria de circuitos. Nesta abordagem
ele separa o condutor em elementos finitos conectados por n´os e cada n´o tem um
certo potencial fict´ıcio. A “corrente” que atravessa cada elemento est´a relacionada `a
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.7 Teoria de Campos para Sistemas NS 34
diferen¸ca de “potencial” no elemento atrav´es de uma lei de Ohm generalizada. Uma
lei de conserva¸c˜ao nos n´os do circuito nos possibilita o c´alculo da corrente total. Em
[37] tamb´em ´e discutido a extens˜ao desta abordagem para elementos n˜ao difusivos
onde a rela¸c˜ao entre a corrente e a diferen¸ca de potencial n˜ao ´e linear, como por
exemplo numa jun¸c˜ao de tunelamento e em pontos de contatos ideais. A teoria de
circuito de Nazarov n˜ao ´e capaz de estudar flutua¸c˜oes quˆanticas.
1.7 Teoria de Campos para Sistemas NS
Trabalhos experimentais e te´oricos recentes (as referˆencias deste trabalhos
podem ser obtidas em [38, 31]) tˆem mostrado que flutua¸c˜oes quˆanticas em sistemas
NS n˜ao somente tendem a ser mais acentuadas que no caso normal como podem
ter origem f´ısica distintas. Esta tendˆencia dos sistemas NS de apresentar flutua¸c˜oes
resulta da combina¸c˜ao dos mecanismos de coerˆencia quˆantica da f´ısica mesosc´opica
da fase normal com os efeitos de proximidade.
Quando comparada com as propriedades m´edias dos sistemas NS, a f´ısica
dos fenˆomenos de flutua¸c˜oes nestes sistemas ´e bem menos conhecida. Isso porque
abordagens quase-cl´assicas n˜ao s˜ao ´uteis no estudo destas flutua¸c˜oes. A extens˜ao
da formula¸c˜ao de espalhamento para transporte de sistemas mesosc´opicos normais
para sistemas NS, possibilitou o c´alculo da contribui¸c˜ao tanto de localiza¸c˜ao fraca
quanto de flutua¸c˜oes para v´arias propriedades globais de transporte de sistemas NS.
Contudo diferentemente de abordagens quase-cl´assicas o formalismo de matriz de
transferˆencia n˜ao ´e microsc´opico, sendo assim n˜ao pode ser usado em problemas que
necessitam de uma descri¸c˜ao local verdadeiramente microsc´opica. Em [31], [38] os
autores prop˜oem uma abordagem te´orica para o estudo de sistemas NS. Este m´etodo
´e basicamente a unifica¸c˜ao de conceitos quase-cl´assicos com t´ecnicas modernas de
teoria de campos aplicada ao estudo de sistemas mesosc´opicos normais. O produto
final desta jun¸c˜ao ´e uma modelagem de sistemas NS que trata em p´e de igualdade
as manifesta¸c˜oes dos efeitos de proximidade tanto na m´edia como nas flutua¸c˜oes.
Mais especificamente esta abordagem tem como ponto de partida a conex˜ao
entre equa¸c˜oes quase-cl´assicas para as fun¸c˜oes de Green e o modelo-σ n˜ao-linear
supersim´etrico. O ponto de partida tamb´em ´e a equa¸c˜ao de Gorkov de uma sistema
NS. Depois ´e definido um funcional geratriz para a m´edia da desordem do produto
de fun¸c˜oes de Green avan¸cadas e retardadas. Este funcional ´e similar a um modelo-
σ n˜ao linear. A abordagem quase-cl´assica dos sistemas NS ´e equivalente ao campo
m´edio desta teoria de campo.
Uma outra abordagem utilizando tamb´em modelo-σ n˜ao linear supersim´etrico,
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
1.7 Teoria de Campos para Sistemas NS 35
foi proposta por Macˆedo [39]. Neste trabalho o autor mostrou que avan¸cos substan-
ciais no estudo de sistemas de dois terminais, tanto no caso normal como em sistemas
NS, podem ser feitos obtendo a corrente fict´ıcia via o modelo-σ n˜ao linear, derivando
desta forma equa¸c˜oes de escala para a m´edia da densidade de autovalores de trans-
miss˜ao. A teoria proposta em [39] tem as vantagens de descrever completamente
a transi¸c˜ao gradual do regime bal´ıstico para o difusivo e de tratar interfaces de
transparˆencia arbitr´aria.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
Cap´ıtulo 2
Estat´ıstica de Contagem
Em 1909 Einstein [40] demonstrou que as flutua¸c˜oes da radia¸c˜ao eletro-
magn´etica est˜ao intimamente ligadas `a dualidade onda-par´ıcula. Ele mostrou que
quando a energia ´e transmitida por part´ıcula cl´assicas, a amplitude das flutua¸c˜oes
escala com a ra´ız quadrada da energia m´edia, ao passo que ondas cl´assicas levam
a uma dependˆencia linear com a energia m´edia. Levando-se em conta a natureza
dual da luz, essas duas contribui¸c˜oes devem coexistir, podendo-se ter, todavia, a
predominˆancia de uma delas para uma determinada faixa de frequˆencia. Na d´ecada
de 1960 essas flutua¸c˜oes foram utilizadas para distinguir a radia¸c˜ao proveniente de
um laser, da radia¸c˜ao do corpo negro. Como o el´etron tamb´em possui natureza
dual, j´a era esperado que sua discreteza levasse a um tipo espec´ıfico de ru´ıdo. O
ru´ıdo de disparo foi descrito pela primeira vez por Walter Schottky em experimentos
utilizando tubos de raios cat´odicos. Ao contr´ario do ru´ıdo t´ermico que ´e branco e in-
forma apenas a temperatura, o ru´ıdo de disparo tem bastante informa¸c˜ao, podendo
ser usado como ferramenta de estudo de propriedades de transporte dos sistemas
que o exibem. Uma breve introdu¸c˜ao sobre flutua¸c˜oes em sistema eletrˆonicos pode
ser encontrada em [41].
Um problema muito interessante em sistemas quˆanticos ´e o problema de
medi¸c˜ao de observ´aveis. Como vemos em cursos b´asicos de mecˆanica quˆantica
uma medi¸c˜ao pode ser interprestada como um processo instantˆaneo de natureza
estat´ıstica. Essa medi¸c˜ao instantˆanea ´e descrita pela redu¸c˜ao do pacote de onda que
descreve o sistema, que por sua vez envolve a proje¸c˜ao deste pacote em um auto-
estado do observ´avel medido, o qual ´e representado por um operador hermiteano.
Um modelo de medi¸c˜ao mais real´ısta ´e a medi¸c˜ao estendida no tempo como ocorre
por exemplo em fotodetectores. Neste processo de medi¸c˜ao pergunta-se quantos
f´otons atingem o detector em um intervalo de tempo fixo τ. O objetivo desta es-
36
2.1 Estat´ıstica de Contagem de Carga 37
tat´ıstica de contagem de f´otons ´e calcular a probabilidade P
n
(τ) de que n f´otons
atinjam o detector no intervalo τ . Para um campo de radia¸c˜ao com apenas um
modo normal a probabilidade P
n
(τ) ´e dada pela f´ormula de Glauber [42]
P
n
=
(ητ )
n
n!
: (a
+
a)
n
e
−ητ a
+
a
:, (2.1)
onde a
+
e a s˜ao operadores bosˆonicos de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao de f´otons e η ´e o
parametro de eficiˆencia do detetor. A presen¸ca de dois pontos no come¸co e no final
da express˜ao : ... : acima corresponde ao ordenamento normal dos operadores na
eq. (2.1) e ... corresponde `a opera¸c˜ao de m´edia sobre um estado quˆantico descrito
por uma matriz densidade. Fisicamente (2.1) significa que uma vez que o f´oton foi
detectado, esse f´oton ´e destru´ıdo, ou seja ele ´e absorvido pelo detetor. Do ponto
de vista matem´atico ´e conveniente introduzirmos a fun¸c˜ao geratriz da estat´ıstica de
contagem de f´otons
χ(λ) =
n
P
n
e
iλn
, (2.2)
onde λ ´e o campo de contagem. Substituindo (2.1) em (2.2) obtemos uma express˜ao
para a fun¸c˜ao geratriz da dete¸c˜ao de f´otons num campo de radia¸c˜ao com um ´unico
modo normal:
χ(λ) = : exp ητ(e
iλ
− 1)a
+
a :. (2.3)
F´otons obedecem `a estat´ıstica de Bose-Einstein e por isso tendem a se agrupar
no mesmo estado de uma part´ıcula, j´a os el´etrons obedecem `a estat´ıstica de Fermi-
Dirac, que ao contr´ario dos b´osons tendem a evitarem-se ficando apenas um por
estado quˆantico de uma part´ıcula, resultado conhecido como princ´ıpio da exclus˜ao
de Pauli. A diferen¸ca crucial entre a contagem de f´otons e a contagem de el´etrons,
´e que o n´umero de el´etrons n˜ao muda por causa do processo de medi¸c˜ao, pois o
n´umero de el´etrons no circuito ´e sempre conservado.
2.1 Estat´ıstica de Contagem de Carga
Para lidarmos com cargas ´e mais conveniente trabalharmos com a fun¸c˜ao
P
τ
(Q), que ´e a probabilidade de uma carga Q medida em unidades da carga el´etrica
fundamental ser transmitida no intervalo de tempo τ. Desta forma, seja Q(τ) uma
vari´avel estoc´astica. A cada valor que Q(τ) pode assumir associamos uma proba-
bilidade P
n
. O conjunto {P
n
} representa a distribui¸c˜ao de probabilidade de Q(τ)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.1 Estat´ıstica de Contagem de Carga 38
e satisfaz as condi¸c˜oes P
n
≥ 0 e
N
i=1
P
n
= 1. Definimos tamb´em uma fun¸c˜ao
densidade de probabilidade:
P
τ
(Q) =
N
i=1
P
n
δ(Q − Q
i
) . (2.4)
O m-´esimo momento de Q(τ) ´e definido como:
(Q(τ))
m
=
∞
−∞
(Q(τ))
m
P
τ
(Q)dQ(τ) . (2.5)
´
E conveniente definir a fun¸c˜ao caracter´ıstica :
χ(λ) =
∞
−∞
e
iλQ
P
τ
(Q)dQ . (2.6)
Os momentos de P
τ
(Q) em fun¸c˜ao de χ(λ) s˜ao dados por:
Q
m
= lim
λ→0
(−i)
m
∂
m
χ(λ)
∂λ
m
. (2.7)
Os cumulantes s˜ao definidos como:
Φ(λ) = −ln χ(λ) = −
∞
k=1
(iλ)
k
k!
Q
k
, (2.8)
Q
k
= lim
λ→0
(−i)
k
∂
k
Φ(λ)
∂λ
k
. (2.9)
onde Φ(λ) ´e a fun¸c˜ao caracter´ıstica dos cumulantes. As rela¸c˜oes entre os quatro
primeiros momentos e os cumulantes de Q s˜ao representados abaixo:
Q
1
= Q , (2.10)
Q
2
= Q
2
− Q
2
, (2.11)
Q
3
= Q
3
− 3QQ
2
+ 2Q
3
, (2.12)
Q
4
= Q
4
− 3Q
2
2
− 4QQ
3
+ 12Q
2
Q
2
− 6Q
4
. (2.13)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.2 Estat´ıstica de Contagem de Cargas em Circuitos: Casos Simples 39
2.2 Estat´ıstica de Contagem de Cargas em Cir-
cuitos: Casos Simples
Nesta se¸c˜ao discutiremos casos onde podemos obter a estat´ıstica de contagem
utilizando argumentos f´ısicos intuitivos e an´alise combinat´oria elementar. Seguire-
mos a descri¸c˜ao da ref. [43].
2.2.1 G´as de El´etrons a Temperatura Nula
Considere el´etrons tunelando uma barreira que est´a entre dois reservat´orios a
temperatura nula. Temos ent˜ao reservat´orios sem ru´ıdo t´ermico, consequentemente
as flutua¸c˜oes de correntes est˜ao relacionadas aos espalhamentos no condutor que
conecta os dois reservat´orios. Por simplicidade admitiremos que este espalhamento
´e descrito por uma ´unica probabilidade de transmiss˜ao Γ, num intervalo de energia
δE = eV acima do n´ıvel de Fermi. A transferˆencia de part´ıculas nestas condi¸c˜oes
obedece a um processo de Bernoulli: seja N = τ eV /h o n´umero de part´ıculas que
tentam passar a barreira independentemente uma das outras num intervalo de tempo
τ com probabilidade de sucesso Γ. O n´umero n de el´etrons transmitido para um
dado N tem estat´ıstica binomial com distribui¸c˜ao
P (Q) =
N
n
Γ
n
(1 − Γ)
N−n
, (2.14)
onde Q = ne. A fun¸c˜ao geratriz dos cumulantes ´e
Φ(λ) = −N ln
1 + Γ
e
−iλ
− 1
. (2.15)
Se a probabilidade de transmiss˜ao for muito pequena Γ 1, a transferˆencia
de part´ıculas atrav´es da barreira se torna um evento raro, nesse limite a estat´ıstica
quˆantica das part´ıculas passa a ser irrelevante no processo levando a estat´ıstica de
contagem a seguir uma distribui¸c˜ao Poissoniana,
P (Q) =
n
n
n!
e
−n
, (2.16)
onde n = NΓ ´e o n´umero m´edio de part´ıculas transferidas. A distribui¸c˜ao de
Poisson tem a seguinte fun¸c˜ao geratriz de cumulantes
Φ(λ) = −n
e
−iλ
− 1
. (2.17)
Todas essas distribui¸c˜oes tendem `a distribui¸c˜ao Gaussiana no limite N → ∞
como consequˆencia do teorema central do limite.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.2 Estat´ıstica de Contagem de Cargas em Circuitos: Casos Simples 40
2.2.2 G´as de El´etrons a Temperatura Finita
Neste caso, flutua¸c˜oes de correntes oriundas de ambos reservat´orios s˜ao “mis-
turadas” via espalhamento na barreira. No limite de jun¸c˜ao de tunelamento (Γ 1)
a estat´ıstica de transferˆencia de carga fica um pouco mais simplificada.
`
A temper-
atura finita estados eletrˆonicos em ambos os lados da barreira podem estar parcial-
mente preenchidos e portanto, a tranferˆencia de carga neste regime consiste em dois
processos Poissonianos independentes, sendo um dos dois processos respons´avel pela
transferˆencia de cargas da esquerda para a direita da jun¸c˜ao de tunelamento a uma
taxa r
E→D
e o outro repons´avel pelo inverso com taxa de tranferˆencia r
D→E
. Neste
caso a fun¸c˜ao geratriz de cumulantes ´e dada por
Φ(λ) = −τ
r
E→D
e
−iελ
− 1
+ r
D→E
e
iελ
− 1
, (2.18)
onde ε ≡ sinal(µ
1
− µ
2
). As taxas de transferˆencias s˜ao dadas por
r
E→D
= Γ
eV
h
1
1 − e
−
eV
kT
, r
D→E
= e
−
eV
kT
r
E→D
, (2.19)
onde eV = µ
1
− µ
2
.
2.2.3 Generaliza¸c˜ao para Multi-Canais
Numa situa¸c˜ao mais geral teremos transmiss˜ao via N canais no nosso inter-
valo de energia e cada canal ter´a sua pr´opria probabilidade de transmiss˜ao Γ
k
onde
k = 1, 2, ... N. A generaliza¸c˜ao para multi-terminais da distribui¸c˜ao binomial a
temperatura nula ´e a distribui¸c˜ao multinomial e sua fun¸c˜ao geratriz de cumulantes
´e
Φ(λ) = −
eV τ
h
N
k=1
ln
1 + Γ
k
e
−iελ
− 1
(2.20)
Em [44], Levitov et al. generalizam (2.20) para o caso de temperatura finita,
obtendo
Φ(λ) = −τ
N
k=1
d
h
ln
1 + Γ
k
e
−iλ
− 1
f
E
(1 − f
D
) +
e
iλ
− 1
f
D
(1 − f
E
)
,
(2.21)
onde f
E
e f
D
s˜ao respectivamente as fun¸c˜oes distribui¸c˜ao nos reservat´orios `a esquerda
e `a direita.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.3 Processo de Medi¸c˜ao em Sistemas Mesosc´opicos 41
2.3 Processo de Medi¸c˜ao em Sistemas Mesosc´opicos
A primeira tentativa de se obter a estat´ıstica de contagem em sistemas
mesosc´opicos foi feita por Levitov e Lesovik em 1992 [45]. Neste trabalho eles
obtiveram resultados fisicamente inaceit´aveis no c´alculo dos cumulantes de ordem
maior que dois. A estat´ıstica de contagem de carga neste artigo para um condutor
com el´etrons n˜ao interagentes levava a concluir que a carga transferida envolvia por-
tadores com uma certa fra¸c˜ao da carga elementar do el´etron. O problema era que
do ponto de vista quˆantico a corrente el´etrica ´e um operador e portanto correntes
em diferentes tempos n˜ao comutam entre si, ou seja o operador carga transmitida
n˜ao tem sentido algum. Esta inconsistˆencia foi sanada quatro anos mais tarde na
ref. [44]. Neste trabalho Levitov, Lee e Lesovik propuseram um modelo de gal-
vanˆometro, que ´e baseado na dinˆamica de um spin-1/2. O funcionamento deste
galvanˆometro quˆantico se realiza da seguinte forma: um spin-1/2 precessiona no
campo magn´etico B criado pela corrente que atravessa o sistema e a frequˆencia de
precess˜ao ´e ω = eB/mc, onde m ´e a massa do el´etron e c ´e a velocidade da luz. Se
este campo magn´etico ´e gerado por uma corrente el´etrica seu valor ´e proporcional a
ω, que por sua vez ´e proporcional `a corrente I.
Vamos apresentar agora um resumo dos argumentos da ref. [44]. Adi-
cionamos ao hamiltoniano do el´etron um potencial vetor devido ao spin:
A(r) =
λΦ
0
4π
σ
z
∇θ (f (r) − f
0
) , (2.22)
onde σ
z
´e uma matriz de Pauli, Φ
0
= hc/e e θ(x) ´e a fun¸c˜ao degrau. A eq. (2.22)
descreve uma intera¸c˜ao el´etron-spin localizada na superf´ıcie S definida por f(r) = f
0
,
ou seja o spin s´o responde `a presen¸ca de um el´etron quando o mesmo atravessa tal
superf´ıcie, o que for¸ca o contador de carga a contar apenas valores inteiros de carga.
O hamiltoniano de intera¸c˜ao obtido da eq. (2.22) tem a forma
H
int
= −
1
c
dr
j .
A = −
λ
2e
σ
z
I
S
, (2.23)
onde I
S
=
S
j . d
S. O hamiltoniano total ´e
ˆ
H =
dr Ψ
†
(r)
1
2m
i
∇ −
e
c
A
2
− V (r)
Ψ(r) . (2.24)
Suponha que a intera¸c˜ao spin-corrente ´e “ligada” durante um intervalo de tempo
0 < τ < t. Em t = 0 a matriz densidade descreve o regime desacoplado
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.3 Processo de Medi¸c˜ao em Sistemas Mesosc´opicos 42
ˆρ = ˆρ
e
⊗ ˆρ
s
, (2.25)
onde ˆρ
e
´e a matriz densidade do el´etron e ˆρ
s
´e a matriz densidade do spin. A matriz
densidade num tempo t ´e dada pela f´ormula de Heisenberg
ˆρ(t) = e
i
ˆ
Ht
ˆρ e
−
i
ˆ
Ht
. (2.26)
A matriz densidade do spin, logo ap´os ser desconectado do sistema pode ser obtida
por
ˆρ
s
(t) = Tr
e
ˆρ(t) , (2.27)
onde Tr
e
representa o tra¸co parcial sobre os estados eletrˆonicos. Ap´os efetuar o tra¸co
parcial utilizando o fato de que
ˆ
H ´e diagonal no espa¸co de spin, obtemos:
ˆρ
s
(t) =
ρ
↑↑
χ(λ)ρ
↑↓
χ(−λ)ρ
↓↑
ρ
↓↓
, (2.28)
onde
χ(λ) =
e
−
iH
λ
t
e
iH
−λ
t
e
, (2.29)
onde ...
e
indica a m´edia sobre o estado quˆantico inicial dos el´etrons.
A rota¸c˜ao da matriz densidade ˆρ
s
por um ˆangulo θ em torno do eixo ˆz ´e dada
por:
θ
(ˆρ
s
) = e
−iθσ
z
/2
ˆρ
s
e
iθσ
z
/2
. (2.30)
Inserindo a eq. (2.28) na eq. (2.30) obtemos:
θ
(ˆρ
s
) =
ρ
↑↑
e
−iθ
ρ
↑↓
e
iθ
ρ
↓↑
ρ
↓↓
. (2.31)
Usando a defini¸c˜ao χ(λ) =
n
P
n
e
iλn
na eq. (2.28) e usando a eq. (2.31)
obtemos
ˆρ
s
(t) =
n
P
n
θ = nλ
(ˆρ
s
) . (2.32)
Esta f´ormula sugere que P
n
pode ser interpretado como a probabilidade de
que n el´etrons tenham atravessado a interface durante o tempo de observa¸c˜ao.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 43
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de
Contagem
Mostraremos agora como o formalismo de Keldysh pode ser usado para obter-
mos a fun¸c˜ao geratriz da estat´ıstica de contagem de um sistema mesosc´opico atrav´es
do galvanˆometro de spin-1/2 descrito na se¸c˜ao anterior. Uma das primeiras uti-
liza¸c˜oes do m´etodo de Keldysh para abordar este problema foi apresentado por
Nazarov [46], [47]. Uma revis˜ao bem geral sobre a t´ecnica das fun¸c˜oes de Green de
Keldysh pode ser encontrada em [48].
Seguiremos aqui uma abordagem, diferente da que Nazarov utiliza, desen-
volvida por Macˆedo [49]. Neste artigo Macˆedo formula o problema de transporte
em sistemas mesosc´opico interagentes na linguagem de f´ısica de muitos corpos, de-
screvendo o sistema juntamente com o aparato de medi¸c˜ao. Uma generaliza¸c˜ao da
f´ormula de Levitov e Lesovik para a fun¸c˜ao geratriz da estat´ıstica de contagem de
carga incluindo intera¸c˜ao ´e obtida [49]. Esta f´ormula generalizada traz `a tona uma
certa dualidade no tratamento do problema de transporte mesosc´opico de part´ıculas
n˜ao interagentes que consiste na existˆencia de duas abordagens equivalentes: o
m´etodo da matriz-S (abordagem externa do problema), no qual estados assint´oticos
s˜ao definidos nos guias e os detalhes microsc´opicos da dinˆamica dentro da amostra
s˜ao eliminados pela introdu¸c˜ao de matrizes de espalhamento com certas propriedades
estoc´asticas, as quais podem ser justificadas em termos de argumentos de m´axima
entropia. O segundo m´etodo ´e a t´ecnica das fun¸c˜oes de Green (abordagem interna
do problema), que satisfazem equa¸c˜oes microc´opicas de movimento com condi¸c˜oes
de contorno abertas, derivadas atrav´es de uma apropriada elimina¸c˜ao dos graus de
liberdade dos guias.
Apresentamos aqui o formalismo de Keldysh atrav´es de um modelo extrema-
mente simples que consiste de um ´unico estado quˆantico acoplado por um termo de
tunelamento a dois guias unidimensionais em contato com reservat´orios de part´ıculas.
Apesar da simplicidade este exerc´ıcio ilustra as principais caracter´ısticas do formal-
ismo. O hamiltoniano do sistema ´e dado por:
ˆ
H =
k α
k α
ˆa
†
k α
ˆa
k α
+ E
0
ˆc
†
ˆc +
k α
V
k α
(t) ˆc
†
ˆa
k α
+ V
∗
k α
(t) ˆa
†
k α
ˆc
, (2.33)
onde
k α
´e a energia cin´etica no guia α, ˆa
†
k α
e ˆa
k α
s˜ao respectivamente os operadores
cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao de uma part´ıcula nos guias, E
0
´e a energia do estado quˆantico,
ˆc
†
e ˆc s˜ao respectivamente os operadores cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao de uma part´ıcula no
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 44
estado de energia E
0
e finalmente V
k α
(t) e V
∗
k α
(t) que aprecem no ´ultimo termo de
(2.33) s˜ao amplitudes de tunelamento entre os guias e o estado quˆantico.
O operador corrente ´e definido como
ˆ
I
α
(t) = e
d
dt
k
ˆa
†
k α
(t)ˆa
k α
(t) =
ie
k
V
k α
(t) ˆc
†
ˆa
k α
− V
∗
k α
(t) ˆa
†
k α
ˆc
. (2.34)
Vamos medir flutua¸c˜oes dessa corrente via um galvanˆometro de spin-1/2 acoplado
ao sistema. O hamiltoniano do acoplamento ´e dado por
ˆ
H
acop
=
1
2
α
λ
α
(t)
ˆ
I
α
(t) . (2.35)
Defina a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao temporal de n-pontos:
K
n
(t
1
, ... , t
n
) ≡ (i)
n
δ
n
δλ
α
(t
1
) ... δλ
α
(t
n
)
ˆ
T
γ
t
exp
−
i
2
γ
t
dτ
α
λ
α
(τ)
ˆ
I
α
(τ)
˜
ˆ
T
γ
t
exp
−
i
2
γ
t
dτ
α
λ
α
(τ)
ˆ
I
α
(τ)
p.c.
λ=0
(2.36)
onde p.c. significa que estamos tomando a m´edia apenas sobre diagramas conec-
tados, γ
t
´e o contorno temporal de Keldysh e
ˆ
T
γ
t
(
˜
ˆ
T
γ
t
) ´e o operador de (anti-)
ordenamento temporal.
Pela f´ormula de Levitov-Lesovik (express˜ao (11) de ref. [44]), a fun¸c˜ao car-
acter´ıstica para a estat´ıstica de contagem ´e dada por
χ({λ}; γ
t
) ≡
ˆ
T
γ
t
exp
−
i
2
γ
t
dτ
α
λ
α
(τ)
ˆ
I
α
(τ)
×
˜
ˆ
T
γ
t
exp
−
i
2
γ
t
dτ
α
λ
α
(τ)
ˆ
I
α
(τ)
.
(2.37)
A fun¸c˜ao caracter´ıstica dos cumulantes ´e
S({λ}; γ
t
) ≡ −ln χ({λ}; γ
t
) . (2.38)
Defina a fun¸c˜ao
C
α
({λ}; γ
t
) ≡ −i
δ
δλ
α
(t)
S({λ}; γ
t
) . (2.39)
Substituindo a eq. (2.37) na eq. (2.38), obtemos:
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 45
C
α
({λ}; γ
t
) =
1
2
ˆ
T
γ
t
ˆ
I
α
(t)
+
1
2
˜
ˆ
T
γ
t
ˆ
I
α
(t)
, (2.40)
Substituindo o operador corrente, eq. (2.34), em (2.40) resulta em
C
α
({λ}; γ
t
) =
ie
2
k
V
k α
(t)
ˆ
T
γ
t
(ˆc
†
(t)ˆa
k α
(t))
+
˜
ˆ
T
γ
t
(ˆc
†
(t)ˆa
k α
(t))
−
−V
∗
k α
(t)
ˆ
T
γ
t
(ˆa
†
k α
(t)ˆc(t))
+
˜
ˆ
T
γ
t
(ˆa
†
k α
(t)ˆc(t))
.
(2.41)
Atrav´es de (2.41) definimos as seguintes fun¸c˜oes de Green ordenadas ao longo
do contorno de Keldysh
G
t
α c
(t , t
) ≡ −i
ˆ
T
γ
t
(ˆa
k α
(t)ˆc
†
(t
))
; G
¯
t
α c
(t , t
) ≡ −i
˜
ˆ
T
γ
t
(ˆa
k α
(t)ˆc
†
(t
))
,
G
t
c α
(t , t
) ≡ −i
ˆ
T
γ
t
(ˆc(t)ˆa
†
k α
(t
))
; G
¯
t
α c
(t , t
) ≡ −i
˜
ˆ
T
γ
t
(ˆc(t)ˆa
†
k α
(t
))
.
(2.42)
Definimos agora a fun¸c˜ao auxiliar F
α
(t , t
):
F
α
(t , t
) =
k
V
∗
k α
(t
)
G
t
c α
(t , t
) + G
¯
t
α c
(t , t
)
− V
k α
(t)
G
t
α c
(t , t
) + G
¯
t
α c
(t , t
)
(2.43)
Definindo a matriz de tempo real:
˘
G
c α
(t, t
) =
G
t
c α
(t , t
) G
<
c α
(t , t
)
−G
>
c α
(t , t
) −G
¯
t
c α
(t , t
)
, (2.44)
podemos escrever a equa¸c˜ao (2.43) da seguinte forma
F
α
(t , t
) =
k
V
∗
k α
(t
)T r
˘σ
3
˘
G
c α
(t , t
)
− V
k α
(t)T r
˘σ
3
˘
G
c α
(t , t
)
, (2.45)
onde ˘σ
3
= σ
z
a terceira matriz de Pauli. A express˜ao (2.41) em termos da matriz
(2.44) fica:
C
α
({λ}; γ
t
) = −
e
2
F
α
(t , t) (2.46)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 46
2.4.1 O M´etodo da Equa¸c˜ao de Movimento
Para calcularmos as fun¸c˜oes de Green introduzidas acima, utilizaremos o
m´etodo da equa¸c˜ao de movimento, que consiste em obter as fun¸c˜oes de Green atrav´es
das equa¸c˜oes de Heisenberg para operadores de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao
`
A temperatura nula o contorno de Keldysh ´e o eixo real, ent˜ao nossas fun¸c˜oes
de Green podem ser escritas da forma usual
G
t
c α
(t , t
) = −i θ(t − t
)
ˆc(t)ˆa
†
k α
(t
)
+ i θ(t
− t)
ˆa
†
k α
(t
)ˆc(t)
. (2.47)
A equa¸c˜ao de movimento para (2.47) ´e
i
∂
∂t
G
t
c α
(t , t
) = −i
ˆ
T
ˆc(t)
ˆa
k α
(t
) ,
ˆ
H
λ
, (2.48)
onde
ˆ
H
λ
´e o Hamiltoniano do sistema incluindo o termo de acoplamento
ˆ
H
λ
=
ˆ
H +
ˆ
H
acop
. (2.49)
Calculando o comutador de (2.48), obtemos a seguinte express˜ao:
−i
∂
∂t
−
k α
G
t
c α
(t , t
) =
1 +
ie
2
λ
α
V
k α
G
t
c
(t , t
) , (2.50)
onde
G
t
c
(t , t
) = −i
ˆ
T
ˆc(t)ˆc
†
(t
)
. (2.51)
Para a fun¸c˜ao de Green do sistema n˜ao acoplado, obtemos
−i
∂
∂t
−
k α
g
t
α
(t , t
) = δ(t − t
) . (2.52)
Considerando a eq. (2.52), G
t
c α
(t , t
) pode ser escrita como:
G
t
c α
(t , t
) =
dt
1
G
t
c
(t , t
1
)
1 +
ie
2
λ
α
V
k α
g
t
α
(t
1
, t
) . (2.53)
Similarmente para a fun¸c˜ao de Green anti-ordenada no tempo definida por
G
¯
t
c α
(t , t
) = −i θ(t
− t)
ˆc(t)ˆa
†
k α
(t
)
+ i θ(t − t
)
ˆa
†
k α
(t
)ˆc(t)
. (2.54)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 47
Combinando as equa¸c˜oes de movimento para G
t
c α
e G
¯
t
c α
podemos escrever uma ´unica
equa¸c˜ao matricial
−i
∂
∂t
−
k α
˘
G
c α
(t , t
) =
˘
G
c
(t , t
)
˘
1 +
ie
2
λ
α
˘σ
3
V
k α
, (2.55)
e similarmente para o sistema desacoplado
−i
∂
∂t
−
k α
˘g
α
(t , t
) =
˘
1 δ(t − t
) , (2.56)
onde
˘
G =
G
t
0
0 G
¯
t
. (2.57)
Usando a eq. (2.55) na eq. (2.56) obtemos
˘
G
c α
(t , t
) =
dt
1
˘
G
c
(t , t
1
)
˘
1 +
ie
2
λ
α
˘σ
3
V
k α
˘g
α
(t
1
, t
) . (2.58)
Aplicando o m´etodo de continua¸c˜ao anal´ıtica em G
t
c α
(t , t
) e G
¯
t
c α
(t , t
), obtemos
G
c α
(τ , τ
), onde τ e τ
s˜ao tempos complexos:
G
c α
(τ , τ
) =
γ
k
=γ
1
∪γ
2
dτ
1
G
c
(τ , τ
1
)
1 +
ie
2
λ
α
(τ
1
)
V
k α
(τ
1
)g
α
(τ
1
, τ
) , (2.59)
onde
λ
α
(τ) =
λ
α
(t) ; τ ∈ γ
1
,
−λ
α
(t) ; τ ∈ γ
2
,
(2.60)
Figura 2.1: A linha acima do eixo real do tempo representa γ
1
e linha a baixo
representa γ
2
. a uni˜ao de γ
1
e γ
2
forma o contorno de Keldysh.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 48
Ap´os a extens˜ao para tempos complexos podemos reconsiderar tempos reais
ao longo do contorno de Keldysh, de modo que a fun¸c˜ao de Green de Keldysh para
tempo real pode ser escrita como
˘
G
c α
(t , t
) =
dt
1
˘
G
c
(t , t
1
)
˘
1 +
ie
2
λ
α
(t
1
)˘σ
3
V
k α
(t
1
)˘g
α
(t , t
) . (2.61)
Similarmente, podemos obter express˜oes para as demais fun¸c˜oes de Green de
Keldysh
˘
G
α ,c
(t , t
) e
˘
G
c
(t , t
) . Em particular obtemos
˘
G
c
(t , t
) = ˘g
c
(t , t
) +
∞
−∞
dt
1
∞
−∞
dt
2
˘g
c
(t , t
1
)
˘
Σ(t
1
, t
2
)
˘
G
c
(t
2
, t
) , (2.62)
onde
˘
Σ(t
1
, t
2
) =
α β
˘
1 +
ie
2
λ
α
(t
1
)˘σ
3
V
k α
(t
1
)˘g
α
(t
1
, t
2
)V
∗
k α
(t
2
)
˘
1 −
ie
2
λ
α
(t
2
)˘σ
3
.
(2.63)
Note que o efeito do campo de contagem pode ser absorvido completamente na
fun¸c˜ao
˘g
α
({λ}; t , t
) ≡
˘
1 +
ie
2
λ
α
(t)˘σ
3
˘g
α
(t , t
)
˘
1 −
ie
2
λ
α
(t
)˘σ
3
. (2.64)
Substituindo (2.62) em (2.61) e inserindo posteriormente a nova express˜ao em (2.45),
obtemos:
F
α
(t , t
) =
∞
−∞
dt
1
Tr
˘σ
3
˘
G
c
(t , t
1
)
˘
Σ(t
1
, t
) − ˘σ
3
˘
Σ
α
(t , t
1
)
˘
G
c
(t
1
, t
)
. (2.65)
2.4.2 Corrente M´edia em Regime Estacion´ario
Vamos agora utilizar a express˜ao (2.65) para obter a corrente m´edia num regime
estacion´ario. A m´edia da corrente nesse formalismo ´e o correlator de um tempo
definido em (2.36) como
I
1
= K
1
(t) = C({λ}, t)
λ=0
= −
e
2
F
α
(t , t)
λ=0
. (2.66)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 49
Considere a transformada de Fourier de F
α
(t , t) no espa¸co das energias
F
α
(E) = Tr
˘σ
3
˘
G
c
(E) ,
˘
Σ
α
(E)
(2.67)
Faremos agora uma rota¸c˜ao das fun¸c˜oes de Green atrav´es da seguinte matriz R
R =
1
√
2
1 −1
1 1
. (2.68)
Assim podemos definimos novas fun¸c˜oes de Green de Keldysh
¯
G
c
(E) = R
˘
G
c
(E)R
†
, (2.69)
e
¯
Σ
α
(E) = R
˘
Σ
α
(E)R
†
. (2.70)
Em termos destas novas fun¸c˜oes, F
α
(E) pode ser reescrito como vemos abaixo:
F
α
= Tr
¯σ
2
¯
A
α
(E)
, (2.71)
onde
¯
A
α
(E) ≡
¯
G
c
(E) ,
¯
Σ
α
(E)
. (2.72)
A matriz
¯
A
α
(E) tem a seguinte forma padr˜ao
¯
A
α
(E) =
A
r
α
(E) A
K
α
(E)
0 A
a
α
(E)
; (2.73)
onde
A
K
α
(E) = A
>
α
(E) + A
<
α
(E) . (2.74)
Substituindo (2.73) em (2.74) em (2.71) obtemos:
F
α
(E) = A
K
α
= G
r
Σ
r
α
+ G
K
Σ
K
α
+ G
K
Σ
a
α
+ G
K
Σ
K
α
− Σ
r
α
G
K
− Σ
K
α
G
a
. (2.75)
Em (2.75) suprimimos a dependˆencia com a energia nos termos por quest˜ao de
conveniˆencia. Tamb´em suprimimos o ´ındice “c” nas fun¸c˜oes de Green.
Utilizando algumas identidades de fun¸c˜oes de Green (ver cap´ıtulo 8 do livro
do S. Datta [8]) relacionadas abaixo:
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 50
G
r
− G
a
= G
r
(Σ
r
α
− Σ
a
α
) G
a
,
Σ
r
α
− Σ
a
α
= Σ
>
α
− Σ
<
α
,
G
K
= G
r
Σ
K
G
a
; Σ
K
=
2
β=1
Σ
K
β
.
(2.76)
Na eq. (2.75), obtemos:
F
α
(E) = 2
2
β=1
Σ
<
α
G
r
Σ
>
β
G
a
− Σ
>
α
G
r
Σ
<
β
G
a
. (2.77)
De [8] temos tamb´em que
Σ
<
α
= if
α
(E)Γ
α
(E) , (2.78)
Σ
>
α
= −i(1 − f
α
(E))Γ
α
(E) , (2.79)
onde Γ
α
(E) descreve o efeito da presen¸ca das barreiras e f
α
(E) s˜ao fun¸c˜oes de
distribui¸c˜ao nos reservat´orios de part´ıculas.
Substituindo as eqs. (2.78) e (2.79) na eq. (2.77) obtemos,
F
α
(E) = 2
2
β=1
(f
α
(E) − f
β
(E)) Γ
α
(E)G
r
c
(E)Γ
β
(E)G
a
c
(E) . (2.80)
Como G
a
c
(E) = (G
r
c
(E))
∗
podemos reescrever (2.80) da seguinte forma
F
α
(E) = 2
2
β=1
(f
α
(E) − f
β
(E)) Γ
α
(E)Γ
β
(E)
G
r
c
(E)
2
. (2.81)
Note que
G
r
c
(E)
2
pode ser calculada via a teoria de matriz-S. No caso de um ´unico
n´ıvel obtemos
G
r
c
(E)
2
=
1
(E − E
0
)
2
+ (Γ
1
(E) + Γ
2
(E))
2
/4
. (2.82)
Finalmente substituindo a eq. (2.82) na eq. (2.81) obtemos a corrente m´edia:
I
1
= −
e
∞
−∞
dE
(f
1
(E) − f
2
(E)) Γ
1
(E)Γ
2
(E)
(E − E
0
)
2
+ (Γ
1
(E) + Γ
2
(E))
2
/4
, (2.83)
que coincide com a f´ormula de Landauer se identificamos o coeficiente de transmiss˜ao
do sistema com
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 51
T (E) =
Γ
1
(E)Γ
2
(E)
(E − E
0
)
2
+ (Γ
1
(E) + Γ
2
(E))
2
/4
. (2.84)
Isto corresponde ao modelo de ressonˆancia isolada de Breit-Wigner (uma breve re-
vis˜ao sobre este assunto pode ser encontrada em [61]).
2.4.3 Densidade Espectral do Ru´ıdo de Disparo
O correlator de dois tempos da corrente pode ser obtido da eq. (2.36)
K
α β
(t , t
) = i
δ
δλ
β
(t
)
C ({λ}, t)
λ=0
= −
ie
2
δ
δλ
β
(t
)
F
α
({λ}, t)
λ=0
, (2.85)
onde F
α
({λ}, t), em termos da fun¸c˜ao de Green da eq. (2.69) ´e dada por
F
α
({λ}, t) =
∞
−∞
dτ
Tr
¯σ
2
¯
G
c
(t , τ)
¯
Σ(τ , t) − ¯σ
3
¯
Σ
α
(t , τ)
¯
G
c
(τ , t)
. (2.86)
Substituindo a eq. (2.86) na eq. (2.85) obtemos:
K
α β
(t , t
) = −
ie
2
∞
−∞
dτ
Tr
¯σ
2
δ
¯
G
c
(t , τ)
δλ
β
(t
)
¯
Σ
α
(τ , t) +
¯
G
c
(t , τ )
δ
¯
Σ
α
(τ , t)
δλ
β
(t
)
−
−
δ
¯
Σ
α
(t , τ)
δλ
β
(t
)
¯
G
c
(τ , t) −
¯
Σ
α
(t , t
)
δ
¯
G
c
(τ , t)
δλ
β
(t
)
.
(2.87)
Ap´os calcularmos as derivadas em (2.87), podemos escrever K
α β
(t , t
) da seguinte
forma:
K
α β
(t , t
) = δ
α β
K
A
(t , t
) + K
B
(t , t
) . (2.88)
onde K
A
(t , t
) ´e dado por
K
A
(t , t
) =
e
2
2
Tr
¯σ
2
¯
G
c
(t , t
)¯σ
2
¯
Σ
α
(t
, t) + ¯σ
2
¯
Σ
α
(t , t
)¯σ
2
¯
G
c
(t
, t)
−
−δ(t − t
)
∞
−∞
dτ
Tr
¯
G
c
(t , τ)
¯
Σ
α
(τ , t) +
¯
Σ
α
(t , τ)
¯
G
c
(τ , t)
.
(2.89)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 52
Para o regime estacion´ario podemos introduzir a transformada de Fourier de K
A
(t , t
)
K
A
(ω , ω
) =
∞
−∞
dt
∞
−∞
dt
K
A
(t , t
)e
iωt
+
iω
t
= 2πδ(ω + ω
)K
A
(ω) , (2.90)
onde
K
A
(ω) =
e
2
2
∞
−∞
dE
2π
Tr
¯σ
2
¯
G
c
(E + ω) ¯σ
2
¯
Σ
α
(E) + ¯σ
2
¯
Σ
α
(E + ω) ¯σ
2
¯
G
c
(E)−
−2
¯
G
c
(E)
¯
Σ
α
(E)
.
(2.91)
Analisando o caso de frequˆencia nula K
A
≡ K
A
(0), a eq. (2.91) fica
K
A
= 2
e
2
2
∞
−∞
dE
2π
Tr
¯σ
2
¯
G
c
(E) ¯σ
2
¯
Σ
α
(E) −
¯
G
c
(E)
¯
Σ
α
(E)
. (2.92)
Substituindo as rela¸c˜oes (2.76), (2.78) e (2.79) em (2.92) obtemos:
K
A
=
e
2
2
β=1
∞
−∞
dE
2π
(f
α
(E)(1 − f
β
(E)) + f
β
(E)(1 − f
α
(E))) Γ
α
(E)Γ
β
(E)
G
r
c
(E)
2
.
(2.93)
O c´alculo de K
B
de (2.88) ´e um pouco mais trabalhoso e resulta em
K
B
(t , t
) = −
ie
2
∞
−∞
dτ
Tr
¯σ
2
¯
B
β
(t , τ ; t
)
¯
Σ
α
(τ , t) −
¯
Σ
α
(t , τ)
¯
B
β
(τ , t ; t
)
.
(2.94)
onde
¯
B
α
(τ
1
, τ
2
; t
) =
δ
δλ
α
(t
)
λ=0
∞
−∞
dτ
∞
−∞
dτ
¯g
c
(τ
1
, τ)
¯
Σ(τ , τ
)
¯
G
c
(τ
, τ
2
) . (2.95)
Para o regime estacion´ario a eq. (2.94) fica,
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 53
K
B
(t , t
) = −
ie
2
∞
−∞
dτ
Tr
¯σ
2
¯
B
β
(t − t
, t
− τ)
¯
Σ
α
(τ − t)−
−
¯
Σ
α
(t − τ)
¯
B
β
(τ − t
, t
− t)
.
(2.96)
Tomando a transformada de Fourier de (2.96), obtemos
K
B
(ω , ω
) = 2πδ(ω + ω
)K
B
(ω) , (2.97)
onde
K
B
(ω) = −
ie
2
∞
−∞
dE
2π
Tr
¯σ
2
¯
B
β
(E + ω , E)
¯
Σ
α
(E)−
−
¯
Σ
α
(E + ω)
¯
B
β
(E + ω , E)
.
(2.98)
Para frequˆencia nula K
B
≡ K
B
(0), temos
K
B
= −
ie
2
∞
−∞
dE
2π
Tr
¯
J
α
(E)
¯
J
β
(E)
, (2.99)
onde
¯
J
α
(E) ≡
¯
G
c
(E)
¯σ
2
,
¯
Σ
α
(E)
. (2.100)
Escrevendo K
A
de (2.92) em fun¸c˜ao de
¯
J
α
(E) inserindo em (2.88) juntamente com
K
B
, obtemos
K
α β
=
ie
2
∞
−∞
dE
2π
Tr
2δ
α β
¯σ
2
¯
J
α
(E) −
¯
J
α
(E)
¯
J
β
(E)
. (2.101)
Note que em fun¸c˜ao de
¯
J
α
(E) a corrente m´edia, eq. (2.83), fica da seguinte forma:
K
1
=
e
2
∞
−∞
Tr
¯
J
α
(E)
. (2.102)
Da express˜ao para
¯
J
α
(E), obtemos os seguintes tra¸cos que ser˜ao importantes nos
c´alculos seguintes.
Tr
¯
J
α
(E)
= 2
2
β=1
(f
β
(E) − f
α
(E))Γ
α
(E)Γ
β
(E)|G
r
c
(E)|
2
, (2.103)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 54
e
Tr
¯σ
2
¯
J
α
(E)
= 2
2
β=1
(f
α
(E)(1 − f
β
(E)) + f
β
(E)(1 − f
α
(E)))
Γ
α
(E)Γ
β
(E)|G
r
c
(E)|
2
.
(2.104)
Daqui por diante vamos assumir que os coeficientes de acoplamento, Γ
α
(E),
n˜ao dependem da energia.
• Ru´ıdo de equil´ıbrio
Para um sistema em equl´ıbrio t´ermico temos que
f
1
(E) = f
2
(E) = f
eq
(E) , (2.105)
e
f
eq
(E)(1 − f
eq
(E)) = −k
B
T
∂f
eq
(E)
∂E
, (2.106)
onde T ´e a temperatura do sistema. Utilizando (2.106), obtemos
Tr
¯σ
2
¯
J
1
(E)
= −4k
B
T
∂f
eq
(E)
∂E
Γ
1
(Γ
1
+ Γ
2
) |G
r
c
(E)|
2
,
Tr
¯
J
1
(E)
2
= −8k
B
T
∂f
eq
(E)
∂E
Γ
2
1
|G
r
c
(E)|
2
.
(2.107)
Substituindo a eq. (2.107) na eq. (2.101) obtemos
K
1 1
=
e
2
π
2
Γ
1
Γ
2
k
B
T
∞
−∞
dE
−
∂f
eq
(E)
∂E
|G
r
c
(E)|
2
(2.108)
A m´edia da corrente (2.83) ´e dada por
I
1
= −
e
h
Γ
1
Γ
2
∞
−∞
dE (f
1
(E) − f
2
(E)) |G
r
c
(E)|
2
(2.109)
Os potenciais eletroqu´ımicos dos resevat´orios s˜ao dados por µ
1
= µ − eV
1
; µ
2
=
µ − eV
2
, logo
f
α
(E) =
1
e
β(E−µ
α
)
+ 1
= f
eq
(E) + eV
α
∂f
eq
(E)
∂E
+ ... , (2.110)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 55
e portanto,
f
1
(E) − f
2
(E) = e
∂f
eq
(E)
∂E
(V
1
− V
2
) . (2.111)
Substituindo a eq. (2.111) na eq. (2.109) obtemos
I
1
=
e
2
h
Γ
1
Γ
2
(V
1
− V
2
)
∞
−∞
dE
−
∂f
eq
(E)
∂E
|G
r
c
(E)|
2
. (2.112)
Pela defini¸c˜ao do elemento da matriz de condutˆancia, G
1 1
, obtemos
G
1 1
=
∂ I
1
∂V
1
V
1
=0=V
2
=
e
2
h
Γ
1
Γ
2
∞
−∞
dE
−
∂f
eq
(E)
∂E
|G
r
c
(E)|
2
. (2.113)
Comparando (2.108) e (2.113) conclu´ımos que
K
1 1
=
2k
B
T
G
1 1
. (2.114)
O ru´ıdo de Nyquist-Johnson (ru´ıdo t´ermico) ´e definido como:
P
α β
= K
α β
, (2.115)
portanto de (2.114) temos que
P
1 1
= 2k
B
T G
1 1
, (2.116)
como esperado pelo teorema flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜ao. Para o caso α = β temos,
Tr
¯
J
1
(E)
¯
J
2
(E)
= −8k
B
T
∂f
eq
(E)
∂E
Γ
1
Γ
2
|G
r
c
(E)|
2
. (2.117)
Substituindo (2.117) em (2.101) e resulta em
K
1 2
= −
e
2
π
2
Γ
1
Γ
2
k
B
T
∞
−∞
dE
−
∂f
eq
(E)
∂E
|G
r
c
(E)|
2
. (2.118)
Calculando o coeficiente G
1 2
pela defini¸c˜ao, obtemos
G
1 2
=
∂ I
1
∂V
2
V
1
=0=V
2
= −
e
2
h
Γ
1
Γ
2
∞
−∞
dE
−
∂f
eq
(E)
∂E
|G
r
c
(E)|
2
. (2.119)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.4 Formalismo de Keldysh para a Estat´ıstica de Contagem 56
Comparando (2.118) e (2.119) conclu´ımos que
K
1 2
=
2k
B
T
G
1 2
, (2.120)
que combinado com (2.115) resulta em
P
1 2
= 2k
B
T G
1 2
, (2.121)
que mais uma vez concorda com o teorema dissipa¸c˜ao-flutua¸c˜ao.
• Potˆencia do Ru´ıdo de Disparo
Para temperatura nula a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de Fermi-Dirac se torna uma fun¸c˜ao
degrau, de modo que
f
α
(E) = Θ (µ
α
− E) ; α = 1 , 2 . (2.122)
Inserindo a eq. (2.122) em (2.104) temos
Tr
¯σ
2
¯
J
1
(E)
= 2 [Θ(E −µ
1
)Θ(µ
2
− E) − Θ(E − µ
1
)Θ(µ
1
− E)] Γ
1
Γ
2
|G
r
c
(E)|
2
.
(2.123)
Similarmente
Tr
¯
J
1
(E)
2
= 4 [Θ(E −µ
1
)Θ(µ
2
− E) − Θ(E − µ
1
)Θ(µ
1
− E)] Γ
2
1
Γ
2
2
|G
r
c
(E)|
4
.
(2.124)
Susbtituindo (2.123) e (2.124) em (2.101) obtemos
P
1 1
≡ K
1 1
=
e
2
h
µ
>
µ
<
dE Γ
1
Γ
2
|G
r
c
(E)|
2
1 − Γ
1
Γ
2
|G
r
c
(E)|
2
, (2.125)
onde µ
>
(µ
<
) ´e o maior (menor) potencial qu´ımico entre µ
1
e µ
2
. Para α = β temos:
Tr
¯
J
1
(E)
¯
J
2
(E)
= 4Θ(E −µ
<
)Θ(µ
>
− E)Γ
1
Γ
2
|G
r
c
(E)|
2
1 − Γ
1
Γ
2
|G
r
c
(E)|
2
.
(2.126)
Substiuindo a eq. (2.126) na eq. (2.101) resulta em
P
1 2
= −P
1 1
= −
e
2
h
µ
>
µ
<
dE Γ
1
Γ
2
|G
r
c
(E)|
2
1 − Γ
1
Γ
2
|G
r
c
(E)|
2
, (2.127)
em conformidade com a lei de conserva¸c˜ao de corrente.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.5 Estat´ıstica de Contagem em Regime Estacion´ario 57
2.5 Estat´ıstica de Contagem em Regime Estacion´ario
Seja P (N , T ) a probabilidade de que durante um intervalo de tempo t, N
el´etrons tenham sido transportados atrav´es da amostra. Ent˜ao
P (N , T ) =
π
−π
dλ
2π
e
−S(λ , t)−iNλ
, (2.128)
onde
χ (λ , t) = e
−S(λ , t)
=
∞
N=0
e
iNλ
P (N , T ) (2.129)
´e a fun¸c˜ao geratriz. A derivada de S(λ , t) em rela¸c˜ao a λ ´e dada por:
∂S(λ , t)
∂λ
=
t
∞
−∞
dE
2π
J(E , λ) , (2.130)
onde
J(E , λ) = Tr
¯
G(E , λ)
∂
∂λ
¯
Σ
1
(E , λ)
, (2.131)
e
¯
Σ
1
(E , λ) = e
iλ ¯σ
2
/2
¯
Σ
1
(E) e
−iλ ¯σ
2
/2
. (2.132)
A fun¸c˜ao de Green
¯
G(E , λ) obedece `a equa¸c˜ao de Dyson
¯
G(E , λ) = ¯g(E) + ¯g(E)
¯
Σ(E , λ)
¯
G(E , λ) , (2.133)
onde a autoenergia satisfaz a rela¸c˜ao aditiva
¯
Σ(E , λ) =
¯
Σ
1
(E , λ) +
¯
Σ
2
(E) . (2.134)
Calculando a derivada de
¯
Σ
1
(E , λ), chegamos `a importante rela¸c˜ao
∂
¯
G(E , λ)
∂λ
¯
G(E , λ)
−1
=
¯
G(E , λ)
∂
¯
Σ
1
(E , λ)
∂λ
, (2.135)
que nos permite escrever S(λ) de uma forma bem compacta
S(λ) =
t
∞
−∞
dETr
ln
¯
G(E , λ)
¯
G(E)
. (2.136)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.6 Estat´ıstica de Contagem para uma Jun¸c˜ao NS 58
Com a ajuda das eqs. (2.133) e (2.134), podemos reescrever a eq. (2.136) da seguinte
forma:
S(λ) = −
t
∞
−∞
dETr ln
(E − E
0
)
¯
1 −
¯
Σ(E , λ)
(E − E
0
)
¯
1 −
¯
Σ(E)
, (2.137)
onde usamos a identidade ¯g(E) = (E − E
0
)
−1
¯
1. Usando as express˜oes expl´ıcitas
para auto-energia
¯
Σ
α
(E , λ), obtemos:
S(λ) = −
t
∞
−∞
dE ln
1 + T (E)
(e
iλ
− 1) f
1
(1 − f
2
) − (e
−iλ
− 1) f
2
(1 − f
1
)
.
(2.138)
Esta express˜ao coincide com a f´ormula de Levitov et al. deduzida em [44]. O
coeficiente de transmiss˜ao ´e dado pela lei de Breit-Wigner
T (E) =
Γ
1
Γ
2
(E − E
0
)
2
+ Γ
2
/4
; Γ = Γ
1
+ Γ
2
. (2.139)
Para temperaturas muito baixas (T → 0), temos que
f
1
(1 − f
2
) → Θ(E − µ
2
)Θ(µ
1
− E) ,
f
2
(1 − f
1
) → Θ(E − µ
1
)Θ(µ
2
− E) .
(2.140)
Considerando (2.140), S(λ) fica da seguinte forma:
S(λ) = −M ln
1 + (e
iελ
− 1) T (E
F
)
; µ
>
− µ
<
= e|V |. (2.141)
onde ε = sinal(µ
1
− µ
2
) e M =
e t |V |
h
´e o n´umero de tentativas independentes de
atravessar a barreira durante um tempo t. A express˜ao (2.141) coincide com a eq.
(2.15).
2.6 Estat´ıstica de Contagem para uma Jun¸c˜ao NS
Em 1994 Muzykantskii e Khmelnitskii [50], calcularam a distribui¸c˜ao do ru´ıdo
de corrente de um ponto de contato metal normal-supercondutor, atrav´es da fun¸c˜ao
geratriz da estat´ıstica de contagem desse sistema. Eles utilizaram o formalismo de
matriz-S para sistemas NS visto no cap´ıtulo anterior e as id´eias desenvolvidas por
Levitov e Lesovik para o caso NN. Em [51], Levitov e Lesovik mostram que n˜ao ape-
nas o segundo correlator ´e suprimido, mas toda a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao muda no regime
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.6 Estat´ıstica de Contagem para uma Jun¸c˜ao NS 59
quˆantico de poissoniana para binomial. Uma dos primeiros estudos da potencia do
ru´ıdo de disparo num sistema NS foi feito por Khlus em 1987 [52]. Beenakker [24]
estende a an´alise de Khlus para o caso onde h´a desordem. Muzykantskii e Khmel-
nitskii [50] resolvem a equa¸c˜ao de Bogoliubov-de Gennes (1.25) para um ponto de
contato NS com um ´unico modo propagante caracterizado pelo seu potencial de em-
parelhamento ∆(x) e seu potencial confinador U(x). Eles desprezaram a influˆencia
da supercorrente atrav´es do contato e consideraram ∆(x) real, previnindo assim a
presen¸ca de campo magn´etico externo. Usando a simetria de conserva¸c˜ao de prob-
abilidade (SS
†
= 1) e a simetria de conjuga¸c˜ao complexa (SS
∗
= 1), eles prop˜oem
para a matriz S do problema da seguinte forma geral
S =
r r
A
t t
A
r
A
r
t
A
t
t t
A
r
<
r
A<
t
A
t
r
A<
r
A
(2.142)
Para energias E < ∆, a matriz S descreve de reflex˜ao de Andreev de el´etrons
em buracos e vice-versa na interface NS. Ent˜ao, apenas o bloco diagonal superior de
(2.142) nos interessa:
S =
r r
A
r
A
r
. (2.143)
Para o c´alculo da fun¸c˜ao caracter´ıstica do sistema NS, eles utilizaram o
mesmo m´etodo de Levitov-Lesovik para o caso NN. Obtendo a seguinte fun¸c˜ao
caracter´ıstica
S(λ) =
t
0
h
dE ln
1 +
2
n=−2
A
n
(e
iλn
− 1)
. (2.144)
A eq. (2.144) mostra que o ru´ıdo de disparo neste sistema est´a associado com a
transferˆencia de carga nas unidades ±e e ±2e. Os coeficientes A
n
no limite de
temperatura muito baixas s˜ao dados pelas seguintes express˜oes:
A
1
= n
1
(1 − |r|
2
− |r
A
|
2
) ,
A
−1
= n
2
(1 − |r|
2
− |r
A
|
2
) ,
A
2
= n
1
(1 − n
2
)|r
A
|
2
,
A
−2
= n
2
(1 − n
1
)|r
A
|
2
,
(2.145)
onde
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
2.6 Estat´ıstica de Contagem para uma Jun¸c˜ao NS 60
n
1
= n(E − eV ) ,
n
1
= 1 − n(−E −eV ) ,
(2.146)
e n(E) ´e fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de Fermi.
No limite de baixas temperaturas e baixas voltagens eV << ∆ a dependˆencia
com a energia das amplitudes de espalhamento pode ser desprezada, facilitando a
integra¸c˜ao de (2.144). Obtemos ent˜ao
S(λ) = −e|V |t
0
/h ln
1 + |r
A
|
2
(exp (2iελ) − 1)
. (2.147)
A caracter´ıstica principal de (2.147) corresponde a transferˆencia de duas cargas no
supercondutor (dois el´etrons para V > 0 e dois buracos para V < 0). Note tamb´em
que o coeficiente de reflex˜ao de Andreev faz a probabilidade de sucesso do processo
de Bernoulli, similar ao coeficiente de transmiss˜ao em sistemas normais.
Generalizando este resultado para o caso de m´ultiplos canais, obt´em-se que
S(λ) = −e|V |t
0
/h
N
n=1
ln [1 + r
n
(exp (2iελ) − 1)] , (2.148)
onde
r
n
=
τ
2
n
(2 − τ
n
)
2
, (2.149)
s˜ao os autovalores de r
h e
r
†
h e
, denominados autovalores de autovalores de reflex˜ao de
Andreev e τ
n
s˜ao autovalores de transmiss˜ao do lado normal.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
Cap´ıtulo 3
Teoria de Circuitos Matricial
Nos ´ultimos dois cap´ıtulos introduziremos um m´etodo muito poderoso no es-
tudo de sistemas mesosc´opicos, que ´e a teoria de circuitos, discutiremos duas vers˜oes
desta teoria. Primeiramente discutiremos a teoria de circuitos matricial de Nazarov
[36] e sua conex˜ao com a estat´ıstica de contagem de carga. Atrav´es da estat´ıstica de
contagem para a teoria de circuitos de Nazarov calcularemos os observ´aveis de alguns
sistemas mesosc´opicos, como pontos quˆanticos conectados a dois guias por barreiras
de transparˆencia arbitr´arias. Utilizaremos o m´etodo desenvolvido por Bulashenko
[53] para guias assim´etricos. Posteriormente apresentaremos uma vers˜ao escalar da
teoria de circuitos, recentemente proposta por Macˆedo [39], e sua conex˜ao com a
estat´ıstica de contagem. Mostraremos que as duas vers˜oes s˜ao completamente equiv-
alentes para pontos quˆanticos ca´oticos na presen¸ca de barreiras de transparˆencias
de valor arbitr´ario.
3.1 Formula¸c˜ao Matricial da Teoria de Circuitos
O m´etodo de elemento finito conhecido como teoria de circuitos proposto
por Nazarov tem como objetivo o estudo de condutores mesosc´opicos desordenados
de geometria arbitr´aria no regime semicl´assico onde o n´umero de canais N >>
1. Nesta teoria pode-se construir um circuito de m´ultiplos terminais combinando
elementos coerentes denominados conectores com elementos difusivos atrav´es de
jun¸c˜oes denominadas de n´os. A teoria representa uma vers˜ao finita da equa¸c˜ao
quase-cl´assica de Usadel e consiste em resolver um conjunto de equa¸c˜oes provenientes
de uma lei de conserva¸c˜ao nos n´os do circuito. A solu¸c˜ao destas equa¸c˜oes leva `a
determina¸c˜ao da corrente matricial que atravessa o circuito atrav´es da qual calcula-
se a densidade m´edia dos autovalores de transmiss˜ao ou diretamente os observ´aveis
61
3.1 Formula¸c˜ao Matricial da Teoria de Circuitos 62
de transporte.
Na teoria de circuitos de Nazarov existem trˆes tipos de elementos: terminais,
n´os e conectores. O circuito formado a partir desses elementos interconecta os
reservat´orios que podem ser constitu´ıdos por metais normais ou supercondutores.
´
E nos terminais que s˜ao especificadas as condi¸c˜oes de contorno do problema, como
voltagens, correntes ou tens˜oes aplicadas. Os conectores por sua vez s˜ao os objetos
que ligam dois reservat´orios ou dois n´os ou ainda um reservat´orio e um n´o.
A extens˜ao da teoria de Nazarov para descrever pontos quˆanticos ca´oticos
ou cavidades bal´ısticas n˜ao ´e imediata. Para come¸car, o elemento difusivo, que d´a
origem `a equa¸c˜ao de Usadel est´a ausente e portanto n˜ao ´e ´obvio como justificar
o uso do formalismo neste regime. Apesar de Nazarov ter apresentado argumentos
qualitativos em defesa de alguns aspectos da teoria, at´e o momento n˜ao h´a nenhuma
dedu¸c˜ao microsc´opica rigorosa dando suporte a tais argumentos.
Nesta tese usaremos o formalismo matricial apenas como prepara¸c˜ao para a
descri¸c˜ao mais rigorosa que faz uso da teoria de matrizes aleat´orias e do modelo-σ
n˜ao linear supersim´etrico. Nesta nova vers˜ao a teoria de circuitos ´e formalizada em
termos de um ´unico campo escalar, em contraste com o campo matricial de Nazarov.
Mostraremos que para os problemas abordados nesta tese as duas vers˜oes produzem
exatamente os mesmo resultados anal´ıticos!
Considere um ponto quˆantico conectado a duas barreiras de transparˆencia
arbitr´aria como mostrado na figura abaixo.
Figura 3.1: Cavidade ca´otica conectada por contatos ideais a guias assim´etricos (`a es-
querda). Circuito que representa um ponto quˆantico conectado a guias assim´etricos
(`a direita). Figura retirada da ref. [53].
Sejam f
1
e f
2
as fun¸c˜oes distribui¸c˜ao de equil´ıbrio dos reservat´orios, f
c
´e uma fun¸c˜ao
distribui¸c˜ao de n˜ao-equl´ıbrio que descreve o ponto quˆantico. Na teoria de circuitos
de Nazarov os n´os s˜ao descritos por fun¸c˜oes de Green matriciais promediadas sobre a
dinˆamica ca´otica de modo a ficarem completamente isotr´opicas. Para cada conector
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.1 Formula¸c˜ao Matricial da Teoria de Circuitos 63
tem-se uma corrente matricial associada representando uma rela¸c˜ao generalizada do
tipo tens˜ao-corrente. As fun¸c˜oes de Green de equil´ıbrio nos reservat´orios s˜ao dadas
por:
˘
G
j
(ε) =
1 − 2f
j
(ε) −2f
j
(ε)
2(1 − f
j
(ε)) 2f
j
(ε) − 1
;
˘
G
j
(ε)
2
=
˘
1 (3.1)
A presen¸ca do campo de contagem, λ, modifica
˘
G
1
(ε) de acordo com a lei de trans-
forma¸c˜ao
˘
G
1
(ε , λ) = e
iλ˘σ
3
2
˘
G
1
(ε) e
−
iλ˘σ
3
2
, (3.2)
onde ˘σ
3
´e uma matriz de Pauli. A principal hip´otese (ansatz) da teoria de Nazarov
´e a de que conectores arbitr´arios, caracterizados por autovalores de transmiss˜ao T
j
,
s˜ao descritos pela corrente matricial
˘
I
j
=
N
j
T
j
˘
G
j
(ε) ,
˘
G
c
(ε)
4 + T
j
˘
G
j
(ε) ,
˘
G
c
(ε)
− 2
, (3.3)
onde
˘
G
c
(ε) ´e a m´edia da fun¸c˜ao de Green no n´o que descreve a cavidade ca´otica. A
equa¸c˜ao de movimento quase-cl´assica ´e substitu´ıda por uma lei de conserva¸c˜ao da
corrente:
˘
I
1
+
˘
I
2
= 0 . (3.4)
Vale salientar que a validade desta equa¸c˜ao neste regime tamb´em necessita de uma
justificativa mais rigorosa. A equa¸c˜ao (3.4) junto com a normaliza¸c˜ao das fun¸c˜oes
de Green dos n´os
˘
G
j
(ε)
2
=
˘
1 formam as leis b´asicas da teoria de circuitos matricial.
A conex˜ao entre a teoria de circuitos e a estat´ıstica de contagem ´e dada pela
seguinte f´ormula [46]:
q(λ) = i
∂S(λ)
∂λ
=
t
0
2h
dεTr
˘σ
3
˘
I
1
(ε , λ)
. (3.5)
Esta ´e a fun¸c˜ao geratriz de cumulantes, que cont´em informa¸c˜ao completa sobre todas
as flutua¸c˜oes da corrente numa cavidade.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.1 Formula¸c˜ao Matricial da Teoria de Circuitos 64
3.1.1 Cavidade Ca´otica Acoplada a Guias Assim´etricos por
Contatos ideais
Nesta sub-se¸c˜ao discutiremos a estat´ıstica de contagem em cavidades ca´oticas
acopladas a guias assim´etricos (N
1
= N
2
), utilizando um m´etodo desenvolvido por
Bulashenko [53]. Para cavidades acopladas a guias sim´etricos encontramos em [54]
uma s´erie de aplica¸c˜oes da teoria de Nazarov incluindo contatos ideais, jun¸c˜oes de
tunelamento e conectores difusivos.
Para uma cavidade ca´otica conectada aos terminais por dois contatos ideais,
a corrente matricial, eq. (3.3), ´e dada por
˘
I
j
= N
j
˘
G
j
(ε) ,
˘
G
c
(ε)
2 +
˘
G
j
(ε) ,
˘
G
c
(ε)
. (3.6)
Substituindo (3.6) na lei de conserva¸c˜ao de corrente, eq. (3.4):
N
1
˘
G
1
(ε, λ) ,
˘
G
c
(ε)
2 +
˘
G
1
(ε, λ) ,
˘
G
c
(ε)
+ N
2
˘
G
2
(ε) ,
˘
G
c
(ε)
2 +
˘
G
2
(ε) ,
˘
G
c
(ε)
= 0 . (3.7)
Utilizando a propriedade das fun¸c˜oes de Green matriciais deste problema
terem tra¸co nulo podemos represent´a-las usando as matrizes de Pauli, de modo que
˘
G
j
= v
j
.
˘
σ ,
˘
G
c
= v
c
.
˘
σ ,
(3.8)
onde v
j
e v
c
s˜ao vetores unidades e
˘
σ = (˘σ
1
, ˘σ
2
, ˘σ
3
). Com a utiliza¸c˜ao desta
parametriza¸c˜ao os anti-comutadores podem ser escritos como um produto escalar
˘
G
j
,
˘
G
c
= 2 v
j
. v
c
,
˘
G
1
,
˘
G
2
= 2 v
1
. v
2
.
(3.9)
Seguindo a ref. [53] introduzimos as novas vari´aveis
p
j
≡
N
j
2 +
˘
G
j
,
˘
G
c
, (3.10)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.1 Formula¸c˜ao Matricial da Teoria de Circuitos 65
e
˘
G
Σ
≡ p
1
˘
G
1
+ p
2
˘
G
2
. (3.11)
Podemos reescrever a eq. (3.7) usando as equa¸c˜oes (3.10) e (3.11) da seguinte forma
p
1
˘
G
1
+ p
2
˘
G
2
,
˘
G
c
=
˘
G
Σ
,
˘
G
c
= 0 . (3.12)
Da eq. (3.12) conclu´ımos que
c
˘
G
c
= p
1
˘
G
1
+ p
2
˘
G
2
. (3.13)
Substituindo a eq. (3.8) na eq. (3.13) obtemos
c v
c
= p
1
v
1
+ p
2
v
2
. (3.14)
Calculando o m´odulo ao quadrado da eq. (3.14) e utilizando a eq. (3.9) vemos que
c
2
= p
2
1
+ p
2
2
+ p
1
p
2
˘
G
1
,
˘
G
2
. (3.15)
Tomando o produto interno de ambos os lados da eq. (3.14) com v
1
(e v
2
) obtemos
as seguintes express˜oes:
c
˘
G
1
,
˘
G
c
= 2 p
1
+ p
2
˘
G
1
,
˘
G
2
, (3.16)
e
c
˘
G
2
,
˘
G
c
= 2 p
2
+ p
1
˘
G
1
,
˘
G
2
. (3.17)
De (3.10) e (3.15) obtemos:
˘
G
1
,
˘
G
c
=
N
1
p
1
− 2
,
p
2
˘
G
1
,
˘
G
2
=
c
2
− (p
2
1
+ p
2
2
)
p
1
.
(3.18)
Substituindo (3.18) em (3.16):
c
N
1
p
1
− 2
= 2 (p
1
+ p
2
) +
(c + p
1
+ p
2
)(c − (p
1
+ p
2
))
p
1
. (3.19)
Agora multiplicando a eq. (3.14) por v
c
, obtemos:
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.1 Formula¸c˜ao Matricial da Teoria de Circuitos 66
N
+
− (p
1
+ p
2
) = c , (3.20)
onde
N
+
=
N
1
+ N
2
2
. (3.21)
Usando (3.20) em (3.19) podemos eliminar a combina¸c˜ao p
1
+ p
2
e obter
2 p
1
= N
+
− c
N
2
N
+
. (3.22)
Similarmente ao processo utilizado para a obten¸c˜ao de eq. (3.22), obtemos:
2 p
2
= N
+
− c
N
1
N
+
. (3.23)
O conjunto de equa¸c˜oes (3.15), (3.22) e (3.23) formam o sistema que devemos re-
solver.
c
2
= p
2
1
+ p
2
2
+ p
1
p
2
˘
G
1
,
˘
G
2
,
2 p
1
= N
+
− c
N
2
N
+
,
2 p
2
= N
+
− c
N
1
N
+
.
Ap´os certa ´algebra obtemos deste sistema uma express˜ao para c:
c = N
+
1 +
√
1 − a
−1
, (3.24)
onde
a ≡ 4
N
1
N
2
(N
1
+ N
2
)
2
1 −
4
2 +
˘
G
1
,
˘
G
2
. (3.25)
A conex˜ao com a estat´ıstica de contagem se faz atrav´es da eq. (3.5):
q(λ) = i
∂S(λ)
∂λ
=
t
0
2h
dεTr
˘σ
3
˘
I
1
(ε , λ)
.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.1 Formula¸c˜ao Matricial da Teoria de Circuitos 67
Calculando
˘
I
1
(ε , λ) obtemos
˘
I
1
(ε , λ) =
p
1
p
2
c
˘
G
1
,
˘
G
2
. (3.26)
Substituindo a eq. (3.26) em (3.5) tem-se que
q(λ) =
t
0
2h
dε
p
1
p
2
c
Tr
˘σ
3
˘
G
1
,
˘
G
2
. (3.27)
Utilizando as propriedades do tra¸co e dos comutadores, temos:
Tr
˘σ
3
˘
G
1
,
˘
G
2
= −i Tr
i
2
˘σ
3
,
˘
G
1
,
˘
G
2
. (3.28)
Da derivada de
˘
G
1
(ε , λ) obtemos:
∂
˘
G
1
(ε , λ)
∂λ
=
i
2
˘σ
3
,
˘
G
1
(ε , λ)
. (3.29)
Substituindo a eq. (3.29) em (3.28) obtemos q(λ) escrito da seguinte forma:
q(λ) = −
it
0
2h
dε
p
1
p
2
c
Tr
∂
∂λ
˘
G(ε , λ)
, (3.30)
onde
˘
G(ε , λ) ≡
˘
G
1
(ε , λ) ,
˘
G
2
(ε)
. O c´alculo de
˘
G(ε , λ) ´e um pouco trabalhoso,
mas envolve apenas multiplica¸c˜ao de matrizes 2 × 2. Apresentamos apenas o resul-
tado:
˘
G(ε, λ) = [2 + 4 J(ε, λ)]
˘
1 = G(ε, λ)
˘
1 , (3.31)
onde
J(ε, λ) = f
1
(ε)(1 − f
2
(ε))(e
iλ
− 1) + f
2
(ε)(1 − f
1
(ε))(e
−iλ
− 1) . (3.32)
O termo
p
1
p
2
c
da eq. (3.30) em fun¸c˜ao de G fica
p
1
p
2
c
= N
+
1 −
√
1 − a
G − 2
, (3.33)
onde
a = 4 F
G − 2
G + 2
e F ≡
N
1
N
2
(N
1
+ N
2
)
2
. (3.34)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.1 Formula¸c˜ao Matricial da Teoria de Circuitos 68
A vari´avel F ´e denominada de fator Fano.
Finalmente ap´os alguma ´algebra obtemos a seguinte express˜ao para a fun¸c˜ao
geratriz dos cumulantes:
q(λ) = −
it
0
h
N
+
dε
1 + J(ε, λ) −
1 + (1 − 4F )J(ε, λ)
J(ε, λ)
1 + J(ε, λ)
J
(ε, λ) , (3.35)
onde
J
(ε, λ) =
∂J(ε, λ)
∂λ
. (3.36)
Para o caso de guias sim´etricos (N
1
= N
2
) a eq. (3.35) fica
q(λ) = −
it
0
h
N
dε
J
(ε, λ)
1 + J(ε, λ) (1 +
1 + J(ε, λ))
, (3.37)
em concordˆancia com o resultado obtido por Borba [54] utilizando a teoria de cir-
cuitos escalar para guias sim´etricos.
3.1.2 Cavidades Ca´oticas Acopladas a Guias Assim´etricos
por Jun¸c˜oes de Tunelamento
Neste caso os coeficientes de transmiss˜ao das barreiras satisfazem T
1
, T
2
<< 1
e a corrente matricial, eq. (3.3), fica dada por
˘
I
j
=
N
j
T
j
4
˘
G
j
(ε) ,
˘
G
c
(ε)
. (3.38)
Da condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao
c
2
= p
2
1
+ p
2
2
+ p
1
p
2
˘
G
1
,
˘
G
2
,
temos que
c = ±
G
2
1
+ G
2
2
16
+
G
1
G
2
16
G
1/2
, (3.39)
onde G
j
= N
j
T
j
. A ra´ız f´ısica da eq. (3.39) ´e a com sinal “+”e portanto podemos
escrever
p
1
p
2
c
da seguinte forma
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.1 Formula¸c˜ao Matricial da Teoria de Circuitos 69
p
1
p
2
c
=
G
1
G
2
4
G
2
1
+ G
2
2
+ G
1
G
2
G
. (3.40)
Substituindo a eq. (3.40) em (3.30) obtemos:
q(λ) = −
it
0
h
G
1
G
2
dε
J
(ε, λ)
(G
1
+ G
2
)
2
+ 4G
1
G
2
J(ε, λ)
, (3.41)
tamb´em em concordˆancia com o resultado de Borba [54].
3.1.3 Cavidades Acopladas a Guias Assim´etricos por Bar-
reiras de Transparˆencia Abitr´aria
Estamos agora interessados em estudar o caso mais geral poss´ıvel onde o
acoplamento entre a cavidade ca´otica e os guias assinm´etricos ´e feito por barreiras
cujas transparˆencias variam de 0 a 1, indo do regime de jun¸c˜ao de tunelamento ao
de contato ideal. Vamos propor aqui uma extens˜ao do m´etodo desenvolvido por
Bulashenko, que foi descrito nas ´ultimas sub-se¸c˜oes. Para tanto, devemos obter um
conjunto de equa¸c˜oes similar ao obtido por Bulashenko em [53]. Come¸camos com a
equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao matricial, eq. (3.4), na sua forma mais geral
˘
I
1
+
˘
I
2
= 0 =
N
1
T
1
˘
G
1
(ε , λ) ,
˘
G
c
(ε)
4 + T
1
˘
G
1
(ε , λ) ,
˘
G
c
(ε)
− 2
+
N
2
T
2
˘
G
2
(ε) ,
˘
G
c
(ε)
4 + T
2
˘
G
2
(ε) ,
˘
G
c
(ε)
− 2
.
(3.42)
Definindo similarmente aos casos anteriores, as vari´aveis
p
j
≡
2N
j
T
j
2 (2 − T
j
) + T
j
˘
G
j
,
˘
G
c
, j = 1, 2 , (3.43)
obtemos novamente a condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao
c
2
= p
2
1
+ p
2
2
+ p
1
p
2
˘
G
1
,
˘
G
2
.
Da eq. (3.43) obtemos a seguintes equa¸c˜oes:
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.1 Formula¸c˜ao Matricial da Teoria de Circuitos 70
p
1
2(2 − T
1
) + T
1
˘
G
1
,
˘
G
c
= 2N
1
T
1
, (3.44)
p
2
2(2 − T
2
) + T
2
˘
G
2
,
˘
G
c
= 2N
2
T
2
. (3.45)
Temos ainda as rela¸c˜oes
˘
G
1
,
˘
G
c
= 2
p
1
c
+
p
2
c
˘
G ,
˘
G
2
,
˘
G
c
= 2
p
2
c
+
p
1
c
˘
G .
(3.46)
Para o caso de temperatura nula, T = 0 (f
1
= 1 e f
2
= 0), de modo que
˘
G fica:
˘
G = 2 (2e
iλ
− 1)
˘
1 . (3.47)
´
E conveniente neste momento fazer a seguinte mudan¸ca de vari´avel
e
iλ
= cosh
2
x . (3.48)
Substituindo a eq. (3.48) em (3.47) obtemos
˘
G = 2 cosh 2x
˘
1 . (3.49)
Multiplicando a eq. (3.44) por T
2
e a eq. (3.45) por T
1
e posteriomente somando e
subtraindo as mesmas, obtemos as seguintes equa¸c˜oes:
T
2
(2 − T
1
)p
1
+ T
1
(2 − T
2
)p
2
= (N
1
+ N
2
− c)T
1
T
2
, (3.50)
e
T
2
(2 − T
1
)p
1
− T
1
(2 − T
2
)p
2
+
T
1
T
2
c
(p
2
1
− p
2
2
) = T
1
T
2
(N
1
− N
2
) . (3.51)
Para podermos comparar os resultados obtidos atrav´es deste formalismo com
a teoria de circuitos escalar, ´e conveniente introduzirmos uma pseudo-corrente es-
calar, que est´a relacionada com q(λ) atrav´es da seguinte express˜ao:
K(x) =
tanh x
M
q(λ)
e
iλ
= cosh
2
x
; M =
eV t
0
h
. (3.52)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.1 Formula¸c˜ao Matricial da Teoria de Circuitos 71
Para T = 0 temos,
q(λ) =
M
2
Tr
˘σ
3
˘
I
1
, (3.53)
de modo que
q(λ) =
MN
1
T
1
2
4 + T
1
˘
G
1
,
˘
G
c
− 2
Tr
˘σ
3
˘
G
1
,
˘
G
c
. (3.54)
Calculando o tra¸co e o anticomutador de
˘
G
1
com
˘
G
c
obtemos
˘
G
1
,
˘
G
c
=
2
c
(p
1
+ (2e
iλ
− 1)p
2
) (3.55)
e
Tr
˘σ
3
˘
G
1
,
˘
G
c
= 8e
iλ
. (3.56)
Substituindo as equa¸c˜oes (3.55) e (3.56) em (3.54) e posteriormente substituindo na
express˜ao da pseudo-corrente, eq. (3.52), obtemos
K(x) =
N
1
T
1
p
2
sinh 2x
2c + T
1
(p
1
− c + p
2
cosh 2x)
. (3.57)
A equa¸c˜ao (3.57), juntamente com as equa¸c˜oes que formam o sistema abaixo
s˜ao as equa¸c˜oes da teoria de cicuitos que devemos resolver.
c
2
= p
2
1
+ p
2
2
+ p
1
p
2
˘
G
1
,
˘
G
2
,
T
2
(2 − T
1
)p
1
+ T
1
(2 − T
2
)p
2
= (N
1
+ N
2
− c)T
1
T
2
,
T
2
(2 − T
1
)p
1
− T
1
(2 − T
2
)p
2
+
T
1
T
2
c
(p
2
1
− p
2
2
) = T
1
T
2
(N
1
− N
2
) .
(3.58)
Resolvendo o conjunto de equa¸c˜oes (3.58) para p
1
, p
2
e c, para x << 1, obtemos a
seguinte expans˜ao para K(x):
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.2 Representa¸c˜ao Vetorial 72
K(x) =
G
1
G
2
G
1
+ G
2
x −
G
1
G
2
(3(G
3
1
T
2
+ G
3
2
T
2
) − 2(G
3
1
+ G
3
2
))
3(G
1
+ G
2
)
4
x
3
+
G
1
G
2
15
2(G
6
1
+ G
6
2
) − 18(G
1
G
5
2
+ G
2
G
5
1
) + 15(T
1
(1 − T
1
)G
6
2
+ T
2
(1 − T
2
)G
6
1
)−
−30(T
2
1
G
1
G
5
2
+ T
2
2
G
2
G
5
1
) + 40G
3
1
G
3
2
+ 45(T
2
G
2
G
5
1
+ T
1
G
1
G
5
2
)−
−60(G
3
1
G
3
2
T
2
+ G
3
1
G
3
2
T
1
) + 90G
3
1
G
3
2
T
2
T
1
/(G
1
+ G
2
)
7
x
5
+ O(x
7
)
(3.59)
Este resultado foi obtido via computa¸c˜ao alg´ebrica em colabora¸c˜ao com Ailton Fer-
nandes estudantes de doutorado do orientador desta disserta¸c˜ao professor Antˆonio
Macˆedo.
Antes de compararmos este resultado com o da teoria de circuitos escalar
vamos apresentar um m´etodo alternativo ao desenvolvido nesta se¸c˜ao, onde obtemos
um sistema de equa¸c˜ao equivalente ao exibido na eq. (3.58). Este novo sistema ´e
ainda mais simples pois conseguimos reduzir o n´umero de parametros de trˆes para
dois e por consequˆencia o n´umero de equa¸c˜oes do sistema tamb´em ser´a reduzido.
3.2 Representa¸c˜ao Vetorial
O ponto de partida desta representa¸c˜ao vetorial da teoria de circuitos de
Nazarov ´e a expans˜ao as fun¸c˜oes de Green matricias utilizando as matrizes de Pauli.
˘
σ = ˘σ
1
ˆe
1
+ ˘σ
2
ˆe
2
+ ˘σ
3
ˆe
3
. (3.60)
Escrevendo as fun¸c˜oes de Green do problema utilizando o vetor de Pauli definido
acima obtemos
˘
G
1
(x) = g
1
(x) ·
˘
σ . (3.61)
Determinamos g
1
(x) a partir da seguinte express˜ao para matrizes de tra¸co nulo:
˘
A = a ·
˘
σ ; a =
1
2
Tr
˘
A
˘
σ
(3.62)
Usando (3.62) obtemos
g
1
(x) = −cosh
2
x(ˆe
1
+ iˆe
2
) − ˆe
3
; g
1
(x) ·g
1
(x) = 1 . (3.63)
Similarmente para
˘
G
2
:
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.2 Representa¸c˜ao Vetorial 73
˘
G
2
= g
2
·
˘
σ , (3.64)
onde
g
2
= −ˆe
1
+ iˆe
2
+ ˆe
3
; g
2
·g
2
= 1 . (3.65)
Podemos relacionar agora os produtos interno e vetorial dos vetores g
1
(x), eq. (3.63),
e g
2
, eq. (3.65), com o anticomutador e comutador das fun¸c˜oes de Green
˘
G
1
(x) e
˘
G
2
. Obtemos
g
1
(x) ·g
2
= cosh 2x e portanto {
˘
G
1
(x) ,
˘
G
2
} = 2g
1
(x) ·g
2
˘
1 . (3.66)
A rela¸c˜ao entre o produto vetorial e o comutador ´e um pouco menos direto que a
rela¸c˜ao da eq. (3.66). Inicialmente note que
g
1
(x) ×g
2
= −i sinh
2
x ˆe
1
+ (1 + cosh
2
x) ˆe
2
− 2i cosh
2
x ˆe
3
. (3.67)
Para facilitar nossa compara¸c˜ao, come¸camos definindo a seguinte matriz de tra¸co
nulo auxiliar:
˘
A = a ·
˘
σ ≡
1 1
−sech
2
(x) −1
. (3.68)
Aplicando a eq. (3.62) em (3.68), obtemos o vetor
a =
1
2
tanh
2
x ˆe
1
+
i
2
(1 + sech
2
x)ˆe
2
+ ˆe
3
. (3.69)
O comutador de
˘
G
1
(x) com
˘
G
2
em fun¸c˜ao de a fica,
˘
G
1
(x) ,
˘
G
2
= 4(cosh
2
x)a ·
˘
σ . (3.70)
Comparando a eq. (3.67) com (3.70) conclu´ımos que
˘
G
1
(x) ,
˘
G
2
= 2i(g
1
(x) ×g
2
) ·
˘
σ . (3.71)
Podemos portanto escrever a corrente matricial usando as equa¸c˜oes (3.66) e (3.71):
˘
I
n
(x) =
iτ
n
(g
1
(x) ×g
2
) ·
˘
σ
2 + τ
n
(g
1
(x) ·g
2
− 1)
≡ i
I
n
(x) ·
˘
σ , (3.72)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.3 Teoria de Circuitos Vetorial Para Cavidades 74
onde
I
n
(x) ´e a corrente vetorial da nova representa¸c˜ao e τ
n
s˜ao autovalores de trans-
miss˜ao. Em resumo
I
n
(x) ≡
iτ
n
(g
1
(x) ×g
2
)
2 + τ
n
(g
1
(x) ·g
2
− 1)
. (3.73)
e
I
n
(x) · ˆe
3
= −
i
2
Tr
˘σ
3
˘
I
n
(x)
. (3.74)
A pseudo-corrente definida em (3.52) est´a relacionada `a
I
n
(x) da seguinte forma
K(x) = i tanh x
n
I
n
(x) · ˆe
3
, (3.75)
onde ... representa a m´edia sobre a distribui¸c˜ao conjunta dos autovalores de trans-
miss˜ao do sistema.
3.3 Teoria de Circuitos Vetorial Para Cavidades
Estamos interessados agora em utilizar as express˜oes deduzidas na ´ultima
se¸c˜ao para estudar alguns circuitos formados por uma cavidade ca´otica conectadas
a guias por barreiras de transparˆencia arbitr´aria. Nesta abordagem vetorial os reser-
vat´orios s˜ao descritos pelos seguintes “vetores de estado”,
r
1
= −cosh
2
x(ˆe
1
+ iˆe
2
) − ˆe
3
; r
1
·r
1
= 1 ,
r
2
= −ˆe
1
+ iˆe
2
+ ˆe
3
; r
2
·r
2
= 1 ,
r
1
·r
2
= cosh 2x .
(3.76)
Os conectores s˜ao descritos por correntes vetoriais:
I
1
=
N
1
T
1
r
1
×r
c
2 + T
1
(r
1
·r
c
− 1)
,
I
2
=
N
2
T
2
r
2
×r
c
2 + T
2
(r
2
·r
c
− 1)
,
(3.77)
onde r
c
corresponde ao vetor de estado da cavidade. O sistema de equa¸c˜oes ´e obtido
a partir da lei de conserva¸c˜ao de correntes vetoriais:
I
1
+
I
2
= 0. A pseudo-corrente
pode ser obtida atrav´es da rela¸c˜ao
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.3 Teoria de Circuitos Vetorial Para Cavidades 75
K(x) = −i tanh x
I
2
· ˆe
3
. (3.78)
Note que a m´edia que aparece na eq. (3.75) ´e substitu´ıda pelas regras da teoria de
circuitos correspondendo a uma aproxima¸c˜ao semi-cl´assica.
3.3.1 Cavidades Acopladas por Jun¸c˜oes de Tunelamento
Para o caso de uma cavidade ca´otica acoplada a guias por jun¸c˜oes de tunela-
mento (T
1
, T
2
<< 1) as correntes vetorias do circuito, eq. (3.77), s˜ao dadas por:
I
1
=
N
1
T
1
2
r
1
×r
c
,
I
2
=
N
2
T
2
2
r
2
×r
c
.
(3.79)
Da lei de conserva¸c˜ao de corrente:
N
1
T
1
r
1
×r
c
+ N
2
T
2
r
2
×r
c
= 0 . (3.80)
Considerando por conveniˆencia o caso no qual os guias s˜ao sim´etricos N
1
= N
2
=
N, propomos o seguinte ansatz:
r
c
= A(T
1
r
1
+ T
2
r
2
) . (3.81)
Da condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao do vetor r
c
obtemos A:
A =
1
T
2
1
+ T
2
2
+ 2T
1
T
2
cosh 2x
. (3.82)
O vetor de estado da cavidade ´e portanto:
r
c
=
T
1
r
1
+ T
2
r
2
T
2
1
+ T
2
2
+ 2T
1
T
2
cosh 2x
. (3.83)
Substituindo a eq. (3.83) na express˜ao da corrente vetorial
I
2
, obtemos:
I
2
=
N
2
A T
1
T
2
r
2
×r
1
,
r
2
×r
1
· ˆe
3
= 2i cosh
2
x .
(3.84)
Substituindo a eq. (3.84) em (3.78) obtemos:
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.3 Teoria de Circuitos Vetorial Para Cavidades 76
K(x) =
NT
1
T
2
sinh 2x
2
T
2
1
+ T
2
2
+ 2T
1
T
2
cosh 2x
. (3.85)
Esta express˜ao coincide com o resultado da teoria de circuitos escalar [54].
3.3.2 Cavidades Acopladas por Barreiras Sim´etricas
Para o caso onde a cavidade est´a acoplada aos guias por barreiras sim´etricas
(T
1
= T
2
= T ), as corrente vetoriais do circuito s˜ao dadas ent˜ao por:
I
1
=
NT r
1
×r
c
2 + T (r
1
·r
c
− 1)
,
I
2
=
NT r
2
×r
c
2 + T (r
2
·r
c
− 1)
.
(3.86)
Da lei de conserva¸c˜ao temos:
r
1
×r
c
2 + T (r
1
·r
c
− 1)
+
r
2
×r
c
2 + T (r
2
·r
c
− 1)
= 0 . (3.87)
Tentamos agora o seguinte ansatz:
r
c
= A(r
1
+ r
2
) . (3.88)
Da condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao de r
c
obtemos:
A =
1
2 cosh x
. (3.89)
Temos ent˜ao:
r
c
=
r
1
+ r
2
2 cosh x
,
r
2
·r
c
= cosh x ; r
2
×r
c
· ˆe
3
= i cosh x .
(3.90)
Finalmente de (3.90) podemos calcular a pseudo-corrente:
K(x) =
NT sinh x
2 + T (cosh x − 1)
, (3.91)
que tamb´em coincide com o resultado da teoria de circuitos escalar obtido por Borba
[54].
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.3 Teoria de Circuitos Vetorial Para Cavidades 77
3.3.3 Cavidades Acopladas por Barreiras de Transparˆencia
Arbitr´aria
Ap´os termos atacado casos particulares do nosso problema nas subse¸c˜oes an-
teriores, vamos agora abordar problema mais geral que ´e a cavidade ca´otica acoplada
a guias assim´etricos por barreiras de transparˆencia arbitr´aria. Nosso ponto de par-
tida como sempre ´e escrever as correntes vetorias que representam nossos conectores.
A figura (3.2) mostra um esbo¸co deste circuito
Figura 3.2: Vemos a representa¸c˜ao da teoria de circuitos matricial para um ponto
quˆantico acoplado a guias por barreiras de transparˆencia arbitr´aria.
I
1
=
N
1
T
1
r
1
×r
c
2 + T
1
(r
1
·r
c
− 1)
,
I
2
=
N
2
T
2
r
2
×r
c
2 + T
2
(r
2
·r
c
− 1)
.
Pela lei de conserva¸c˜ao de corrente no circuito temos que
N
1
T
1
r
1
×r
c
2 + T
1
(r
1
·r
c
− 1)
+
N
2
T
2
r
2
×r
c
2 + T
2
(r
2
·r
c
− 1)
= 0 . (3.92)
Escrevemos r
c
da seguinte forma
r
c
= A
1
r
1
+ A
2
r
2
. (3.93)
Da normaliza¸c˜ao de (3.93), obtemos
A
2
1
+ A
2
2
+ 2A
1
A
2
cosh 2x = 1 . (3.94)
Calculando produtos internos da equa¸c˜ao (3.93) usando o v´ınculo r
1
·r
2
= cosh 2x
obtemos
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.3 Teoria de Circuitos Vetorial Para Cavidades 78
r
1
·r
c
= A
1
+ A
2
cosh 2x ,
r
2
·r
c
= A
2
+ A
1
cosh 2x .
(3.95)
Substituindo a eq. (3.95) em (3.92) resulta em
N
1
T
1
A
2
2 + T
1
(A
1
+ A
2
cosh 2x − 1)
=
N
2
T
2
A
1
2 + T
2
(A
2
+ A
1
cosh 2x − 1)
. (3.96)
Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas em (3.96) obtemos a equa¸c˜ao
T
1
T
2
[(N
1
− N
2
)A
1
A
2
cosh 2x + N
1
A
2
(A
2
− 1) + N
2
A
1
(A
1
− 1)] +
+2 (N
1
T
1
A
2
− N
2
T
2
A
1
) = 0 .
(3.97)
Para obter a pseudo-corrente devemos primeiro calcular o seguinte produto misto
r
2
×r
c
· ˆe
3
= 2i A
1
cosh
2
x . (3.98)
Temos ent˜ao, usando (3.78)
K(x) =
N
2
T
2
A
1
sinh 2x
2 + T
2
(A
2
+ A
1
cosh 2x − 1)
. (3.99)
Em suma, a equa¸c˜ao (3.99) juntamente com o sistema de equa¸c˜oes abaixo,
s˜ao as equa¸c˜oes da teoria de circuitos que devemos resolver.
A
2
1
+ A
2
2
+ 2A
1
A
2
cosh 2x = 1 ,
T
1
T
2
[(N
1
− N
2
)A
1
A
2
cosh 2x + N
1
A
2
(A
2
− 1) + N
2
A
1
(A
1
− 1)] +
+2 (N
1
T
1
A
2
− N
2
T
2
A
1
) = 0 .
(3.100)
Resolvendo a eq. (3.100) para x << 1, obtemos a seguinte expans˜ao para K(x)
K(x) =
G
1
G
2
G
1
+ G
2
x −
G
1
G
2
(3(G
3
1
T
2
+ G
3
2
T
2
) − 2(G
3
1
+ G
3
2
))
3(G
1
+ G
2
)
4
x
3
+
G
1
G
2
15
2(G
6
1
+ G
6
2
) − 18(G
1
G
5
2
+ G
2
G
5
1
) + 15(T
1
(1 − T
1
)G
6
2
+ T
2
(1 − T
2
)G
6
1
)−
−30(T
2
1
G
1
G
5
2
+ T
2
2
G
2
G
5
1
) + 40G
3
1
G
3
2
+ 45(T
2
G
2
G
5
1
+ T
1
G
1
G
5
2
)−
−60(G
3
1
G
3
2
T
2
+ G
3
1
G
3
2
T
1
) + 90G
3
1
G
3
2
T
2
T
1
/(G
1
+ G
2
)
7
x
5
+ O(x
7
)
(3.101)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.4 Teoria de Circuitos Matricial para Sistemas NS 79
A expans˜ao (3.101) ´e idˆentica a da eq. (3.59). Fizemos uma verifica¸c˜ao us-
ando computa¸c˜ao alg´ebrica at´e termos de ordem 18. No pr´oximo cap´ıtulo faremos a
compara¸c˜ao entre os resultados obtidos pelas duas formula¸c˜oes da teoria de circuitos
de Nazarov com a teoria de circuitos escalar.
3.4 Teoria de Circuitos Matricial para Sistemas
NS
Nazarov [55] ainda em 1994 estende sua teoria de circuitos para o c´alculo
da condutˆancia em uma estrutura h´ıbridas feita de metal-normal em contato com
um ou mais condensados supercondutores atrav´es das equa¸c˜oes quase-cl´assicas de
supercondutividade de n˜ao-equil´ıbrio escritas em termos de fun¸c˜oes de Green de
Keldysh matriciais. Atrav´es da an´alise destas equa¸c˜oes em elementos finitos Nazarov
obt´em uma s´erie de regras para sua teoria de circuitos estendida para sistemas NS.
Ap´os a formula¸c˜ao, Nazarov aplica sua teoria de circuitos em dois casos simples
(veja ref. [55]): o primeiro quando uma jun¸c˜ao de tunelamento est´a em s´erie com um
condutor e um segundo caso, quando temos duas jun¸c˜oes de tunelamento conectadas
em s´erie. Ap´os esta aplica¸c˜ao inicial Nazarov discutiu o caso em que um metal
normal encontra-se conectado a dois supercondutores com parˆametros de ordem de
fases distintas por meio de jun¸c˜oes de tunelamento. Neste caso, observa-se uma
caracter´ıstica interessante da condutˆancia NS que ´e uma forte dependˆencia com a
diferen¸ca das fases dos supercondutores. Isto ´e conseq¨uˆencia do fato de que o el´etron
da regi˜ao normal n˜ao sofre reflex˜ao apenas por um supercondutor mas por ambos
supercondutores. Uma revis˜ao sobre diversas aplica¸c˜oes da teoria de circuitos de
Nazarov em sistemas NS pode ser encontrada na ref. [56].
Em 2005 Vanevi´c e Belzig [57] utilizando um m´etodo similar ao desenvolvido
por Bulashenko [53] para sistemas normais, apresentado nesta disserta¸c˜ao no cap´ıtulo
3, calcularam a fun¸c˜ao geratriz dos cumulantes para uma cavidade ca´otica normal
acoplada a um reservat´orio normal e a um reservat´orio supercondutor por guias as-
sim´etricos. O acoplamento entre a a cavidade e os guias ´e feito atrav´es de contatos
ideais. Obtendo um conjunto de equa¸c˜oes mais gerais do que o obtido por Bu-
lashenko [53], Vanevi´c e Belzig, conseguiram encontrar analiticamente a express˜ao
para a fun¸c˜ao geratriz de cumulantes do problema para temperatura finita e estu-
daram a partir desta fun¸c˜ao os trˆes primeiros cumulantes da estat´ıstica de contagem.
Em particular no limite de baixas temperaturas eles obt´em a seguinte express˜ao para
a condutˆancia G
NS
adimensional
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
3.4 Teoria de Circuitos Matricial para Sistemas NS 80
G
NS
= (N
1
+ N
2
)
1 −
N
1
+ N
2
q
, (3.102)
onde
q ≡
(N
1
+ N
2
)
2
+ 4N
1
N
2
. (3.103)
Vamos obter esta mesma express˜ao no pr´oximo cap´ıtulo utilizando a teoria de cir-
cuitos escalar.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
Cap´ıtulo 4
Teoria de Circuitos Escalar
Apresentamos neste cap´ıtulo uma extens˜ao da teoria de circuitos [39] que tem
como ponto de partida o modelo-σ n˜ao linear supersim´etrico. A grande vantagem
desta abordagem, denominada teoria de circuitos escalar, em rela¸c˜ao ao formalismo
de Nazarov, ´e a possibilidade de tratar sistemas quˆanticos ca´oticos abertos com
razo´avel rigor matem´atico. Em particular a inclus˜ao de barreiras de transparˆencia
arbitr´aria ´e feita de forma exata atrav´es do modelo de Mahaux-Weidenm¨uller. Um
resultado recente particularmente relevante foi a demonstra¸c˜ao da equivalˆencia entre
os resultados obtidos via teoria de circuitos escalar [58] e o m´etodo digram´atico
desenvolvido por Beenakker e Brouwer [59], para o estudo de cavidades ca´oticas
acopladas a guias por barreiras.
Nosso primeiro objetivo neste cap´ıtulo ´e mostrar a equivalˆencia entre a teoria
de circuitos fenomenol´ogica do cap´ıtulo anterior e a teoria de circuitos para cavidades
acopladas a guias por barreiras de transparˆencia arbitr´aria. Depois utilizaremos a
teoria de circuitos escalar para o c´alculo da condutˆancia G
NS
em um sistema NS.
Nosso objetivo com este c´alculo ´e observar a transi¸c˜ao gradual entre o regime de
tunelamento sem reflex˜ao e o regime de tunelamento com reflex˜ao. O regime de
tunelamento sem reflex˜ao foi observado por Beenakker et. al. [60].
4.1 Conceitos B´asicos
A teoria de circuitos escalar, da mesma forma que a teoria de Nazarov, con-
siste em dividir a amostra em elementos finitos denominados conectores e n´os e
representar os caminhos de condu¸c˜ao de carga eletrˆonica atrav´es de uma rede interli-
gada na qual as leis b´asicas de conserva¸c˜ao podem ser implementadas localmente de
forma muito simples e conveniente. Devido `a coerˆencia da fun¸c˜ao de onda eletrˆonica
81
4.1 Conceitos B´asicos 82
a teoria de circuitos n˜ao pode ser formulada em termos de um potencial eletrost´atico
real respons´avel pela diferen¸ca de voltagem no sistema uma vez que estes potenciais
n˜ao podem ser definidos localmente ao longo do circuito. Por isto a teoria de circuito
´e formulada em termos de um potencial complexo fict´ıcio cujo valor ´e especificado
nos terminais do circuito e gera uma corrente fict´ıcia denominada corrente espectral,
que tem a seguinte defini¸c˜ao [39]
I(φ) =
N
n=1
τ
n
sin φ
1 − τ
n
sin
2
φ/2
= sin φ F (φ) , (4.1)
onde τ
n
s˜ao os autovalores de transmiss˜ao correspodentes aos N canais de propaga¸c˜ao
da amostra e φ ´e o potencial complexo fict´ıcio especificado nos terminais do circuito.
Curiosamente esta forma escalar para a corrente espectral aparece tamb´em numa das
vers˜oes da teoria de Nazarov [37]. Na ref. [39] esta express˜ao ´e deduzida diretamente
do modelo-σ n˜ao linear supersim´etrico. Seja
ρ(τ) ≡
N
n=1
δ(τ − τ
n
) , (4.2)
a densidade m´edia de autovalores de trasnmiss˜ao. Podemos relacionar ρ(τ) com
F (φ) da seguinte forma:
F (φ) =
1
0
dτ
τ ρ(τ)
1 − τ sin
2
φ/2
. (4.3)
A lei de conserva¸c˜ao de corrente espectral que vamos utilizar ´e o resultado de um
teorema enunciado e demonstrado na ref. [39]. (Para uma dedu¸c˜ao mais detalhada
deste teorema ver refs. [54] e [61]).
Sejam θ
1
, θ
2
, ... , θ
M
os potenciais complexos nos n´os de uma rede, ent˜ao a
corrente espectral I
i j
(∆θ
i j
) descreve a rela¸c˜ao corrente-voltagem entre os conectores
(i , j). A lei de conserva¸c˜ao de corrente espectral ´e dada por:
I(φ) = I
0 1
(φ − θ
1
) = I
1 2
(θ
1
− θ
2
) = ... = I
M M+1
(θ
M
) . (4.4)
Nas pr´oximas se¸c˜oes usaremos este resultado para determinar ρ(τ ) em diversas
situa¸c˜oes.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.2 A Densidade M´edia de Autovalores de Transmiss˜ao 83
4.2 A Densidade M´edia de Autovalores de Trans-
miss˜ao
Nesta se¸c˜ao vamos inverter a rela¸c˜ao (4.3) e obter uma express˜ao para a
densidade de autovalores de transmiss˜ao em termos da corrente espectral. Considere
a seguinte fun¸c˜ao auxiliar:
h(z) ≡
1
0
dτ
τ
ρ(τ
)
1 − zτ
. (4.5)
Em termos de h(z), F (φ) pode ser escrita como
F (φ) = h(sin
2
φ/2) . (4.6)
Fazendo z = (τ ± iη)
−1
, com η → 0
+
, temos:
h
1
τ ± iη
=
1
0
dτ
(τ ± iη)ρ(τ
)
τ − τ
± iη
. (4.7)
Usando a seguinte identidade em (4.7):
1
τ − τ
± i0
+
= ℘
1
τ − τ
∓ iπδ(τ − τ
) , (4.8)
onde ℘ indica o valor principal de Cauchy, obtemos ent˜ao:
h
1
τ − i0
+
− h
1
τ + i0
+
=
1
0
dτ
ττ
ρ(τ
)[2πiδ(τ −τ
)] . (4.9)
Resolvendo a integral obtemos uma express˜ao para a densidade m´edia de
autovalores de transmiss˜ao
ρ(τ) =
1
2πiτ
2
h
1
τ − i0
+
− h
1
τ + i0
+
, (4.10)
ou ainda,
ρ(τ) = −
1
πτ
2
Im{h(z)}
z=
1
τ + i0
+
. (4.11)
Quando o condutor mesosc´opico ´e conectado a um supercondutor, as pro-
priedades eletrˆonicas do condutor s˜ao modificadas devido aos efeitos de proximi-
dade. Os efeitos de proximidade nesta escala s˜ao resultado da reflex˜ao de Andreev
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.3 Momentos dos Autovalores de Transmiss˜ao e Autovalores de Reflex˜ao de
Andreev 84
na interface NS. Em analogia ao condutor normal, as propriedades de transporte
no regime mais interessante, que corresponde a energias bem abaixo do potencial
de emparelhamento do supercondutor, podem ser representadas de forma simples
em termos dos autovalores de reflex˜ao de Andreev {r
n
}. Os {r
n
} s˜ao autovalores
do produto de matrizes r
†
h e
r
h e
, onde r
h e
´e a matriz de reflex˜ao de Andreev. Para
baixas energias, E << E
T houless
, onde a energia de Thouless ´e tipicamente o in-
verso do tempo de escape da part´ıcula, os autovalores de reflex˜ao de Andreev est˜ao
relacionados com os autovalores de transmiss˜ao do lado normal pela express˜ao [62]:
r
n
=
τ
2
n
(2 − τ
n
)
2
. (4.12)
Obtivemos esta f´ormula atrav´es da teoria de matriz-S no primeiro cap´ıtulo
desta disserta¸c˜ao (ver por exemplo express˜oes para a condutˆancia e potˆencia do
ru´ıdo de disparo NS, eqs. (1.77) e (1.79) respectivamente). A express˜ao (4.12) nos
fornece uma rela¸c˜ao direta entre a densidade de autovalores de reflex˜ao de Andreev
e a densidade de autovalores de transmiss˜ao. Um estudo desse assunto para outras
escalas de energia onde a densidade de autovalores de reflex˜ao de Andreev depende
da energia foi recentemente feito por Nazarov et al. [63]. Nesta disserta¸c˜ao vamos
trabalhar no regime onde a f´ormula de Beenakker, eq. (4.12), ´e v´alida.
4.3 Momentos dos Autovalores de Transmiss˜ao e
Autovalores de Reflex˜ao de Andreev
Nesta se¸c˜ao definiremos os momentos da distribui¸c˜ao de autovalores de trans-
miss˜ao em fun¸c˜ao da corrente espectral, para o caso normal e momentos dos auto-
valores de reflex˜ao de Andreev para sistemas NS. Estes momentos est˜ao diretamente
relacionados com observ´aveis conforme veremos adiante.
Caso Normal
Neste caso a forma geral dos momentos dos autovalores de transmiss˜ao ´e:
g
m
≡
1
0
dτ τ
m
ρ(τ) . (4.13)
De (4.13), temos
g
0
= N =
1
0
dτρ(τ) , (4.14)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.3 Momentos dos Autovalores de Transmiss˜ao e Autovalores de Reflex˜ao de
Andreev 85
onde N ´e o n´umero de autovalores de transmiss˜ao. Para o primeiro momento temos
g
1
=
1
0
dττρ(τ) = F (φ)
φ=0
, (4.15)
que coincide com a f´ormula de Landauer para a condutˆancia adimensional. Para o
segundo momento temos
g
2
=
1
0
dττ
2
ρ(τ) =
2
sin φ
∂F
∂φ
φ=0
. (4.16)
As express˜oes de g
1
e g
2
est˜ao relacionadas com a potˆencia do ru´ıdo de disparo
adimensional pela rela¸c˜ao:
P = g
1
− g
2
. (4.17)
Esta express˜ao (4.17), foi deduzida primeiramente na ref. [64] utilizando a teoria de
matriz-S.
Caso NS
Para sistemas h´ıbridos normal-supercondutor, a express˜ao geral para os momentos
dos autovalores de reflex˜ao de Andreev ´e dada por:
g
(m)
NS
≡
1
0
dr r
m
ρ(r) =
1
0
dτ
τ
2
(2 − τ)
2
m
ρ
(τ) . (4.18)
O primeiro momento, fica
g
(1)
NS
=
1
0
dτ
τ
2
(2 − τ)
2
ρ
(τ) =
1
2
∂F
∂φ
φ=
π
2
. (4.19)
Nas refs. [65] e [66] os autores obtem a rela¸c˜ao entre o momento, eq. (4.19),
e a condutˆancia G
NS
:
G
NS
= 2g
(1)
NS
=
∂F
∂φ
φ=
π
2
. (4.20)
O segundo momento dos autovalores de reflex˜ao de Andreev ´e dado por
g
(2)
NS
=
1
0
dτ
τ
2
(2 − τ)
2
2
ρ
(τ) =
1
12
1
sin φ
∂
∂φ
3
φ=
π
2
F (φ) . (4.21)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.4 A Pseudocorrente K(x) 86
Como vimos no cap´ıtulo 1, de Jong e Beenakker [33], utilizando a teoria de matriz-S,
obtiveram uma express˜ao para a potˆencia do ru´ıdo de disparo, eq. (1.79), para um
sistema NS em termos dos autovalores de transmiss˜ao do lado normal. A express˜ao
em termos dos momentos dos autovalores de transmiss˜ao fica
P
NS
= 4(g
(1)
NS
− g
(2)
NS
) = 2G
NS
−
1
3
1
sin φ
∂
∂φ
3
φ=
π
2
F (φ) . (4.22)
4.4 A Pseudocorrente K(x)
Em algumas situa¸c˜oes ser´a mais conveniente trabalhar com uma pseudocor-
rente K(x) ao inv´es da corrente espectral. Efetuando a seguinte mudan¸ca de vari´avel,
τ
n
= 1/ cosh
2
x
n
, podemos escrever a corrente espectral, eq. (4.1), da seguinte forma:
I(φ) = sin φ
N
n=1
1
sinh
2
x
n
+ cos
2
φ/2
. (4.23)
Seja φ = π − 2ix, ent˜ao
J(x) ≡
i
2
I(π − 2ix) =
1
2
sinh 2x
N
n=1
1
sinh
2
x − sinh
2
x
n
. (4.24)
Definindo a densidade m´edia da vari´avel x como
ν(x) ≡
N
n=1
δ(x − x
n
) , (4.25)
podemos escrever a eq. (4.24) da seguinte forma,
J(x) =
1
2
sinh 2x
∞
0
dx
ν(x
)
sinh
2
x − sinh
2
x
. (4.26)
e portanto
ν(x) =
2
π
Im{J(x − i0
+
)}. (4.27)
A rela¸c˜ao entre ν(x) e ρ(τ ) ´e obtida notando que:
ρ(τ)dτ = ν(x)dx ;
dτ
dx
=
2 sinh x
cosh
3
x
, (4.28)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.4 A Pseudocorrente K(x) 87
e
cosh x =
1
√
τ
; sinh x =
1 − τ
τ
. (4.29)
Portanto
ρ(τ) =
ν(x)
2τ
√
1 − τ
x=cosh
−1
1/
√
τ
. (4.30)
A pseudocorrente ´e definida como:
K(x) ≡
i
2
I(−2ix) = J
x − i
π
2
, (4.31)
logo
K(x) =
sinh 2x
2
N
n=1
2
cosh 2x + cosh 2x
n
=
sinh 2x
2
H(x) . (4.32)
Em termos de ν(x) temos,
H(x) = 2
∞
0
dy
ν(y)
cosh 2x + cosh 2y
. (4.33)
A densidade ν(x) pode ser obtida diretamente da pseudocorrente atrav´es da seguinte
express˜ao:
ν(x) =
2
π
Im{K
x + iπ/2 − i0
+
}. (4.34)
A pseudocorrente K(x) satisfaz uma lei de conserva¸c˜ao semelhante `aquela obedecida
por I(φ):
K(x) = K
0 1
(x − y
1
) = K
1 2
(y
1
− y
2
) = ... = K
M M +1
(y
M
) , (4.35)
a eq. (4.35) diz que a pseudocorrente criada devido a queda de tens˜ao nos n´os do
circuito em cada conector que conecta um reservat´orio e um n´o do circuito ou dois
n´os do circuito ´e igual em todos os conectores. A figura (4.1) representa a lei de
conserva¸c˜ao (4.35).
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.5 Conex˜ao com a Estat´ıstica de Contagem de Carga 88
Figura 4.1: Conserva¸c˜ao da pseudocorrente K(x) em um circuito arbitr´ario.
4.5 Conex˜ao com a Estat´ıstica de Contagem de
Carga
No cap´ıtulo 2 obtivemos a fun¸c˜ao caracter´ıstica da estat´ıstica de contagem
em termos dos autovalores de transmiss˜ao, eq. (2.141). Para temperatura nula
temos
S(λ) = −M
N
n=1
ln [1 + τ
n
(e
iλ
− 1)] (4.36)
Podemos reescrever esta equa¸c˜ao em termos da densidade ρ(τ)
S(λ) = −M
1
0
dτρ(τ) ln [1 + τ(e
iλ
− 1)] . (4.37)
Os cumulantes da estat´ıstica de contagem s˜ao definidos por:
q
l
= (−i)
l
∂
l
S(λ)
∂λ
l
λ=0
. (4.38)
Definindo a fun¸c˜ao:
q(λ) ≡ i
∂S(λ)
∂λ
, (4.39)
e substituindo a eq. (4.37) em (4.39), obtemos:
q(λ) = M
1
0
dτ
τρ(τ)e
iλ
1 + τ(e
iλ
− 1)
. (4.40)
Fazendo as seguintes mudan¸cas de vari´aveis:
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.6 Aplica¸c˜oes Simples da Teoria de Circuitos Escalar 89
e
iλ
= cosh
2
x , (4.41)
e
τ =
1
cosh
2
x
, (4.42)
obtemos:
q(x) = M
∞
0
dx
ν(x
) cosh
2
x
cosh
2
x
+ sinh
2
x
. (4.43)
Multiplicando a ´ultima express˜ao por
tanh x
M
ficamos com
tanh x
M
q(x) = sinh 2x
∞
0
dx
ν(x
)
cosh 2x
+ cosh 2x
. (4.44)
Comparando a eq. (4.44) com (4.32) obtemos a express˜ao que conecta a
teoria de circuitos escalar com a estat´ıstica de contagem de carga desenvolvida no
cap´ıtulo 2:
K(x) =
tanh x
M
q(λ)
e
iλ
= cosh
2
x
. (4.45)
4.6 Aplica¸c˜oes Simples da Teoria de Circuitos Es-
calar
Nesta se¸c˜ao vamos obter a pseudocorrente de alguns sistemas simples. Ap´os
este c´alculo utilizaremos K(x) para obter alguns observ´aveis, como por exemplo a
condutˆancia normal e NS. A figura (4.2) representa o circuito que corresponde a um
ponto quˆantico conectado a guias por barreiras de transparˆencia arbitr´aria na teoria
de circuitos escalar.
4.6.1 Ponto Quˆantico Ca´otico Conectado a Guias por Con-
tatos Ideais
As pseudocorrentes em cada conector desse circuito s˜ao dadas por:
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.6 Aplica¸c˜oes Simples da Teoria de Circuitos Escalar 90
Figura 4.2: Representa¸c˜ao de um ponto quˆantico ligado a dois guias por barreiras
de transparˆencia arbitr´aria.
K
1
(x) = N
1
sinh 2x
cosh 2x + 1
= N
1
tanh x ,
K
2
(x) = N
2
tanh x .
(4.46)
Da lei de conserva¸c˜ao da pseudocorrente, eq. (4.35), temos:
K(x) = K
1
(x − y) = K
2
(y) ⇒ N
1
tanh (x − y) = N
2
tanh y . (4.47)
Utilizando a identidade abaixo:
tanh (x − y) =
tanh x − tanh y
1 − tanh x tanh y
, (4.48)
introduzindo novas vari´aveis:
ξ ≡ tanh y ; 0 ≤ ξ < 1 ,
η ≡ tanh x ; 0 ≤ η < 1 ,
a ≡ N
2
/N
1
,
(4.49)
e substituindo as equa¸c˜oes (4.48) e (4.49) em (4.47) obtemos
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.6 Aplica¸c˜oes Simples da Teoria de Circuitos Escalar 91
η − ξ
1 − ηξ
= aξ ⇒ aηξ
2
− (1 + a)ξ + η = 0 . (4.50)
As ra´ızes de (4.50) s˜ao:
ξ
±
=
1 + a
2aη
1 ±
√
∆
; ∆ = 1 −
4aη
2
(1 + a)
2
. (4.51)
Substiuindo a eq. (4.51) em (4.47) obtemos:
K
±
(x) = N
2
ξ
±
=
N
1
+ N
2
2
coth x
1 ±
1 − tanh
2
(x) tanh
2
(x
0
)
,
tanh
2
(x
0
) =
4aη
2
(1 + a)
2
.
(4.52)
O crit´erio para escolher a ra´ız f´ısica do problema, consiste em identificar qual das
duas produz a express˜ao correta para o primeiro cumulante, cuja f´ormula pode ser
obtida independentemente.
C´alculo de Observ´aveis
Os momentos dos autovalores de transmiss˜ao, em termos de ν(x), s˜ao dados
por
g
m
=
∞
0
ν(x)
cosh
2m
x
. (4.53)
A fun¸c˜ao H(x), eq. (4.33), para este exemplo ´e dada por:
H
±
(x) =
N
1
+ N
2
2 sinh
2
x
1 ±
1 − tanh
2
(x) tanh
2
(x
0
)
. (4.54)
a) Em termos dos momentos dos autovalores de transmiss˜ao a condutˆancia
normal adimensional ´e
G = g
1
= 2
∞
0
ν(y)dy
1 + cosh 2y
. (4.55)
Escrevendo a express˜ao acima em termos da fun¸c˜ao H(x), eq. (4.54), temos
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.6 Aplica¸c˜oes Simples da Teoria de Circuitos Escalar 92
G = H(0) =
N
1
N
2
N
1
+ N
2
. (4.56)
Note que podemos adicionar as resistˆencia de contato neste regime, ou seja
G
−1
=
1
N
1
+
1
N
2
. (4.57)
A ra´ız que produziu a express˜ao correta para a condutˆancia foi a ξ
−
e portanto
temos H(x) = H
−
(x).
b) A potˆencia do ru´ıdo de disparo normal ´e dado por
P = g
1
− g
2
= H(0) +
1
sinh 2x
∂
∂x
x=0
H(x) . (4.58)
Ap´os o c´alculo da derivada da express˜ao acima obtemos:
P =
N
2
1
N
2
2
(N
1
+ N
2
)
3
. (4.59)
c) A condutˆancia NS em termos de H(x) ´e dada por:
G
NS
= 2g
(1)
NS
= 2
∞
0
ν(y)dy
cosh
2
2y
=
i
2
∂H(x)
∂x
x=iπ/4
. (4.60)
O c´alculo da express˜ao nos leva `a seguinte f´ormula:
G
NS
= (N
1
+ N
2
)
1 −
(N
1
+ N
2
)
N
2
1
+ N
2
2
+ 6N
1
N
2
, (4.61)
que concorda com a eq. (3.102) obtida atrav´es da teoria de circuitos de
Nazarov.
d) A potˆencia do ru´ıdo de disparo NS ´e dado por
P
NS
= 4(g
NS
1
− g
NS
2
) = 2G
NS
+
1
3
1
2 sinh 2x
∂
∂x
3
x=iπ/4
H(x) . (4.62)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.6 Aplica¸c˜oes Simples da Teoria de Circuitos Escalar 93
Substituindo a eq. (4.61) em (4.62) e calculando as derivadas de H(x) obtemos:
P
NS
= 16
N
2
1
N
2
2
(N
1
+ N
2
)
2
(N
2
1
+ N
2
2
+ 6N
1
N
2
)
5/2
. (4.63)
que concorda com o resultado de Vanevi´c e Belzig na [57].
4.6.2 Ponto Quˆantico Conectados a Guias Sim´etricos por
Barreiras Idˆenticas
Neste caso temos T
1
= T
2
= T e N
1
= N
2
= N. A pseudocorrente em
qualquer um dos conectores ´e dada por
K
j
(x) = N
sinh 2x
cosh 2x + cosh 2α
=
N
2
[tanh (x + α) + tanh (x − α)] , (4.64)
onde utilizamos a seguinte parametriza¸c˜ao T = 1/ cosh
2
α. A lei de conserva¸c˜ao de
pseudocorrente para este problema fica ent˜ao:
K(x) = K
1
(x − y) = K
2
(y) . (4.65)
Substituindo a eq. (4.64) em (4.65), obtemos
tanh (x − y + α) + tanh (x − y − α) = tanh (x + α) + tanh (x − α) . (4.66)
Utilizando a eq. (4.48) e a eq. (4.49) em (4.66) obtemos:
(ηξ
2
− 2ξ + η) (ζ
2
ξ
2
+ (1 − ζ
2
)ηξ − 1) = 0 ; ζ
2
≡ tanh
2
α . (4.67)
A ra´ız f´ısica sai do primeiro fator da eq. (4.67):
ηξ
2
− 2ξ + η = 0 ⇒ ξ
±
= coth x ± sinh
−1
x . (4.68)
Para decidirmos qual das duas ra´ızes de (4.68), devemos usar a regra de composi¸c˜ao
de resistˆencias em s´erie
R = R
1
+ R
2
=
1
NT
1
+
1
NT
2
=
2
Nsech
2
α
=
2
N(1 − ζ
2
)
. (4.69)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.6 Aplica¸c˜oes Simples da Teoria de Circuitos Escalar 94
Logo, a condutˆancia normal ´e dada por:
G =
1
R
=
N
2
(1 − ζ
2
) . (4.70)
Com o resultado acima encontramos a ra´ız f´ısica do nosso problema
G = H(0) ⇒ ξ = ξ
−
= coth x − sinh
−1
x . (4.71)
Substituindo a ra´ız (4.71) na express˜ao da pseudocorrente obtemos:
K(x) =
NT sinh x(cosh x − 1)
sinh
2
x − (1 − T )(cosh x − 1)
2
. (4.72)
Da express˜ao (4.31) temos que
J(x) ≡ K (x + iπ/2) = N(1 − ζ
2
) cosh x
[(1 − ζ
2
) sinh x + i(1 + ζ
2
)]
4ζ
2
+ (1 − ζ
2
)
2
cosh
2
x
. (4.73)
Substituindo a eq. (4.73) em (4.34) obtemos a densidade
ν(x) =
2N
π
T (2 − T ) cosh x
4(1 − T ) + T
2
cosh
2
x
. (4.74)
Finalmente, substituindo a eq. (4.74) em (4.30) obtemos a densidade autovalores de
transmiss˜ao:
ρ(τ) =
N
π
τ(1 − τ)
T (2 − T )
T
2
+ 4(1 − T )τ
. (4.75)
Rela¸c˜ao com Observ´aveis
Apresentamos abaixo uma breve lista de express˜oes para observ´aveis de trans-
porte comuns.
a) condutˆancia normal
G = H(0) =
N
2
(1 − ζ
2
) . (4.76)
b) potˆencia do ru´ıdo de disparo normal
P = H(0) +
1
sinh 2x
∂
∂x
x=0
H(x) =
N
8
(1 − ζ
4
) . (4.77)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 95
c) condutˆancia NS
G
NS
=
i
2
∂H(x)
∂x
x=iπ/4
= (2 +
√
2)N
(1 − ζ
2
)(3 + 2
√
2 − ζ
2
)
(3 + 2
√
2 + ζ
2
)
2
. (4.78)
d) potˆencia do ru´ıdo de disparo NS
P
NS
= 2G
NS
+
1
3
1
2 sinh 2x
∂
∂x
3
x=iπ/4
H(x) ,
P
NS
=
N(1 − ζ
4
)
2
√
2
(17 + 12
√
2 − ζ
2
)
2
− (8 + 6
√
2)
2
ζ
2
(3 + 2
√
2 + ζ
2
)
4
. (4.79)
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de
Transparˆencia Arbitr´aria
Nesta se¸c˜ao aplicaremos a teoria de circuitos escalar para uma cavidade
bal´ıstica ca´otica acoplada a guias por barreiras de transparˆencia arbitr´aria. Esta
se¸c˜ao ser´a dividida em duas partes: na primeira estudaremos o caso normal, onde
mostraremos a completa equivalˆencia desta teoria com a que foi apresentada no
cap´ıtulo 3 e na ´ultima parte analisaremos o sistema NS, onde utilizaremos a teoria
de circuitos escalar para calcular a condutˆancia G
NS
. Os resultados ser˜ao analizados
atrav´es da interpreta¸c˜ao microsc´opica dos efeitos de proximidade.
4.7.1 Cavidade Acoplada a Guias por Barreiras de Transpa-
rˆencia Arbitr´aria: Caso normal
Utilizando a parametriza¸c˜ao T
i
= 1/ cosh
2
α
i
para a transparˆencia das bar-
reiras, onde i ∈ {1, 2}, as pseudocorrentes nos guias s˜ao dadas por:
K
1
(x) =
N
1
2
[tanh (x + α
1
) + tanh (x − α
1
)] ,
K
2
(x) =
N
2
2
[tanh (x + α
2
) + tanh (x − α
2
)] .
(4.80)
Da lei de conserva¸c˜ao da pseudocorrente, temos:
K(x) = K
1
(x − y) = K
2
(y) , (4.81)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 96
o que resulta em
tanh (x − y + α
1
)+tanh (x − y − α
1
) =
N
2
N
1
[tanh (y + α
2
)+tanh (y − α
2
)] . (4.82)
Utilizando a identidade (4.48) na express˜ao acima obtemos
tanh (x + α
1
) − tanh y
1 − tanh (x + α
1
) tanh y
+
tanh (x − α
1
) − tanh y
1 − tanh (x − α
1
) tanh y
=
N
2
N
1
tanh y + tanh α
2
1 + tanh y tanh α
2
+
tanh y − tanh α
2
1 − tanh y tanh α
2
.
(4.83)
Introduzindo as novas vari´aveis
ξ = tanh y ; η = tanh x ,
ζ
1
= tanh α
1
; ζ
2
= tanh α
2
,
a = N
2
/N
1
,
(4.84)
vemos que
tanh (x + α
1
) =
η + ζ
1
1 + ηζ
1
; tanh (x − α
1
) =
η − ζ
1
1 − ηζ
1
. (4.85)
Substituindo a eq. (4.85) em (4.83), obtemos a seguinte equa¸c˜ao qu´artica:
T
1
(1 − T
2
)ηξ
4
+ {[aT
2
+ T
1
(1 − T
2
)] η
2
+ T
2
(1 − T
1
)aT
1
(1 − T
2
)}ξ
3
−
−T
1
T
2
(1 + 2a)ηξ
2
+ {[T
1
+ aT
2
(1 − T
1
)] η
2
+ T
1
+ aT
2
}ξ − T
1
η = 0 .
(4.86)
A pseudocorrente do sistema em termos das novas vari´aveis ´e dada por:
K(x) = N
2
T
2
ξ
1 + (T
2
− 1)ξ
2
. (4.87)
A equa¸c˜ao acima para a pseudocorrente K(x) e a equa¸c˜ao qu´artica para
ξ, eq. (4.86), formam o conjunto de equa¸c˜oes da teoria de circuitos escalar que
devemos resolver. Formalmente elas correspondem `a equa¸c˜ao do ponto de sela do
medelo-σ n˜ao-linear supersim´etrico. A simplicidade desse conjunto de equa¸c˜oes deve
ser contrastada com os conjuntos de equa¸c˜oes acopladas obtidas no cap´ıtulo anterior
atrav´es da teoria de circuitos de Nazarov (ver conjunto de equa¸c˜oes (3.58) e (3.100)).
Para x << 1 obtemos a seguinte express˜ao para K(x):
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 97
K(x) =
N
1
N
2
T
1
T
2
N
1
T
1
+ N
2
T
2
x −
1
3
N
1
N
2
T
1
T
2
− 2(N
3
1
T
3
1
+ N
3
2
T
3
2
)+
+3T
1
T
2
(T
2
1
N
3
1
+ T
2
2
N
3
2
)
/(N
1
T
1
+ N
2
T
2
)
4
x
3
+ O(x
5
) .
(4.88)
A expans˜ao (4.88) foi comparada com as expans˜oes obtidas via teoria de circuito de
Nazarov, eqs. (3.59) e (3.101), onde observamos uma completa concordˆancia entre as
expans˜oes at´e ordem x
18
. Podemos portanto concluir que existe uma forte evidˆencia
para uma completa equivalˆencia entre as duas teorias de circuitos apresentadas nesta
disserta¸c˜ao. A teoria de circuitos escalar tem a vantagem t´ecnica de apresentar
uma estrutura escalar nas equa¸c˜oes de circuito, enquanto a de Nazarov possui uma
estrutura matricial (ou vetorial) irredut´ıvel.
Para a fun¸c˜ao H(x) temos que
H(x) =
K(x)
sinh x cosh x
=
N
2
T
2
ξ
sinh x cosh x(1 + (T
2
− 1)ξ
2
)
. (4.89)
Inserindo a eq. (4.88) em (4.89) obtemos a seguinte express˜ao para a condutˆancia
G = H(0) = N
1
ab
a + b
T , (4.90)
onde utilizamos a seguinte parametriza¸c˜ao para as barreiras: T
1
= bT e T
2
= T .
A potencia do ru´ıdo de disparo ´e dada pela exprees˜ao abaixo:
P = G +
1
2
1
x
∂
∂x
H(x)
x=0
= N
1
abT [(a + b)(a
2
+ b
2
) − b(a
3
+ b
2
)T ]
(a + b)
4
. (4.91)
Para o c´alculo da densidade de autovalores de transmiss˜ao ´e conveniente
trabalhar diretamente com a lei de conserva¸c˜ao de corrente espectral:
I(φ) = I
1
(φ − θ) = I
2
(θ) . (4.92)
As correntes nos guias s˜ao dadas por
I
1
(θ) =
2NT
1
tan θ/2
1 + (1 − T
1
) tan
2
θ/2
,
I
2
(θ) =
2NT
2
tan θ/2
1 + (1 − T
2
) tan
2
θ/2
.
(4.93)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 98
A rela¸c˜ao entre a corrente espectral e a fun¸c˜ao J(x) ´e dada pela seguinte express˜ao:
J(x) =
i
2
I(φ)
φ=π−2ix
. (4.94)
De J(x) obtemos ν(x) atrav´es da rela¸c˜ao
ν(x) =
2
π
Im
J(x − i0
+
)
(4.95)
Para φ = π − 2ix e θ = π − 2iy temos,
tan φ/2 = −i coth x ; tan θ/2 = −i coth y . (4.96)
Substituindo a eq. (4.96) em (4.92) obtemos a seguinte equa¸c˜ao qu´artica:
T
1
(1 − T
2
)ηβ
4
+ {[2T
2
T
1
− T
2
− T
1
] η
2
+ T
2
− T
1
+ T
1
T
2
}β
3
−
−3T
1
T
2
ηβ
2
+ {(T
1
+ T
2
) η
2
+ T
1
− T
2
+ T
2
T
1
}β − T
1
η = 0 ,
(4.97)
onde η = tanh x. A express˜ao para J(x) ´e
J(x) =
NT
2
β
1 − (1 − T
2
)β
2
. (4.98)
Para T
1
, T
2
<< 1 a equa¸c˜ao (4.97) pode ser fatorada da seguinte forma:
(β
2
− 1)[ηT
1
β
2
+ (T
2
− T
1
− (T
2
+ T
1
)η
2
)β + ηT
1
] = 0 . (4.99)
Do segundo fator da equa¸c˜ao acima, obtemos a ra´ız desejada. Para T
1
= T
2
= T
temos
β = η + i
1 − η
2
= tanh x + i cosh
−1
x (4.100)
Substituindo (4.100) na express˜ao (4.98) e tomando a parte imagin´aria deste resul-
tado obtemos:
ν(x) =
NT
π
cosh x (4.101)
Para T
1
= T
2
, obtemos:
ν(x) =
2NT
1
T
2
π(T
1
+ T
2
)
sinh x
tanh
2
x − tanh
2
x
0
; tanh
2
x
0
≡
T
1
− T
2
T
1
+ T
2
2
. (4.102)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 99
Substituindo a express˜ao acima na eq. (4.11) obtemos a densidade de autovalores
de transmiss˜ao
ρ(τ) =
2NT
1
T
2
π(T
1
+ T
2
)
1
τ
3/2
√
τ
0
− τ
; τ
0
=
4T
1
T
2
(T
1
+ T
2
)
2
. (4.103)
4.7.2 Cavidade Acoplada a Guias por Barreiras de Transpa-
rˆencia Arbitr´aria: Caso NS
Nosso objetivo nesta se¸c˜ao ´e calcular via teoria de circuitos escalar a con-
dutˆancia NS de uma cavidade bal´ıstica ca´otica conectada a guias por barreiras de
transparˆencia arbitr´aria. Para esse c´alculo ´e conveniente trabalhar com a corrente
espectral e sua respectiva lei de conserva¸c˜ao. A express˜ao (4.20) da condutˆancia em
fun¸c˜ao da fun¸c˜ao F (φ) ´e dada por
G
NS
=
∂F
∂φ
φ=
π
2
.
Implementando a seguinte mudan¸ca de vari´avel φ → φ + π/2, a express˜ao para G
NS
fica,
G
NS
=
∂F
∂φ
φ=0
. (4.104)
A lei de conserva¸c˜ao de corrente espectral neste caso fica:
I(φ + π/2) = sin (φ + π/2 − θ)F
1
(φ + π/2 − θ) =
= sin θF
2
(θ) = sin (φ + π/2)F (φ + π/2 − θ) .
(4.105)
Da eq. (4.105), temos:
N
1
T
1
sin (φ + π/2 − θ)
1 − T
1
sin
2
(φ/2 + π/4 − θ/2)
=
N
2
T
2
sin θ
1 − T
2
sin
2
θ/2
. (4.106)
Ap´os algumas manipula¸c˜oes trigonom´etricas em (4.106), obtemos:
2aT
2
tan θ/2
1 + (1 − T
2
) tan
2
θ/2
=
2T
1
tan (φ/2 + π/4 − θ/2)
1 + (1 − T
1
) tan
2
(φ/2 + π/4 − θ/2)
(4.107)
Definindo novas vari´aveis no problema:
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 100
ξ = tan θ/2 ; η
= tan (φ/2 + π/4) , (4.108)
podemos escrever
tan (φ/2 + π/4 − θ/2) =
η
− ξ
1 + η
ξ
. (4.109)
Substituindo a eq. (4.108) e a eq. (4.109) na eq. (4.107), obtemos:
aT
2
ξ
1 + (1 − T
2
)ξ
2
=
T
1
(η
− ξ)(1 + ξη
)
(1 + η
ξ)
2
+ (1 − T
1
)(η
− ξ)
2
. (4.110)
Da eq. (4.110), obtemos a seguinte equa¸c˜ao alg´ebrica de quarto grau:
T
1
(1 − T
2
)η
ξ
4
+ [(aT
2
− T
1
(1 − T
2
))η
2
+ aT
2
(1 − T
1
) + T
1
(1 − T
2
)]ξ
3
+
+(1 + 2a)T
1
T
2
η
ξ
2
+ [T
1
+ aT
2
+ (aT
2
(1 − T
1
) − T
1
)η
2
]ξ − T
1
η
= 0 .
(4.111)
Casos Particulares da Eq. (4.111)
• Para T
1
= T
2
= T temos neste caso que a equa¸c˜ao quart´ıca pode ser escrita
da seguinte forma:
ζ
2
η
ξ
4
+ [(a − ζ
2
)η
2
+ (1 + a)ζ
2
]ξ
3
+ (1 + 2a)(1 − ζ
2
)η
ξ
2
+
+[(1 + a) + (aζ
2
− 1)η
2
]ξ − η
= 0 .
(4.112)
Para guias sim´etricos (a = 1), temos a forma fatorada
−(η
ξ
2
+ 2ξ −η
)(−ζ
2
ξ
2
+ (ζ
2
− 1)η
ξ − 1) = 0 . (4.113)
• Para T
1
= 1 e T
2
= T a eq. (4.111) neste caso pode ser fatorada da
seguinte forma:
(η
ξ + 1)(ζ
2
ξ
3
+ η
[a(1 − ζ
2
) − ζ
2
]ξ
2
+ [a(1 − ζ
2
) + 1]ξ − η
) = 0 . (4.114)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 101
Vamos agora expandir a eq. (4.111) para φ → 0. As vari´aveis η
e ξ expandidas em
s´eries de potˆencia de φ ficam,
η
= 1 + φ +
1
2
φ
2
+
1
3
φ
3
+ O(φ
4
) ,
ξ = A + Bφ + Cφ
2
+ Dφ
3
+ O(φ
4
) .
(4.115)
Substituindo eq. (4.115) em eq. (4.111), obtemos as seguintes equa¸c˜oes:
ordem 0:
Para o termo independente de φ obtemos uma equa¸c˜ao de quarto
grau no coeficiente A da expans˜ao (4.115):
A
4
+
aT
2
(2 − T
1
)
T
1
(1 − T
2
)
A
3
+
(1 + 2a)T
2
1 − T
2
A
2
+
aT
2
(2 − T
1
)
T
1
(1 − T
2
)
A −
1
1 − T
2
= 0 . (4.116)
Multiplicando por T
1
(1 − T
2
) obtemos uma forma v´alida tamb´em no caso
T
2
= 1.
T
1
(1−T
2
)A
4
+aT
2
(2−T
1
)A
3
+(1+2a)T
2
T
1
A
2
+aT
2
(2−T
1
)A−T
1
= 0 . (4.117)
ordem 1:
Para o termo linear em φ, obtemos uma equa¸c˜ao linear para o
coeficiente B da expans˜ao (4.115) em termos de A. Isolando B obtemos:
B = −
T
1
A(−2 − aT
2
+ ((2 + a)T
2
− 2)A
2
)
4T
1
(1 − T
2
)A
3
+ 3aT
2
(2 − T
1
)A
2
+ 2T
1
T
2
(1 + 2a)A + aT
2
(2 − T
1
)
.
(4.118)
Expandindo F (φ), eq. (4.105), para φ pequeno, obtemos:
F (φ) =
2N
2
T
2
1 + (1 − T
2
)A
2
A +
1 − (1 − T
2
)A
2
1 + (1 − T
2
)A
2
B φ + O(φ
2
)
. (4.119)
Substituindo a eq. (4.119) na eq. (4.104) obtemos a seguinte express˜ao geral para a
condutˆancia G
NS
:
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 102
G
NS
= 2N
2
T
2
1 − (1 − T
2
)A
2
(1 + (1 − T
2
)A
2
)
2
B , (4.120)
que ´e o principal reultado desta se¸c˜ao.
No caso particular T
1
= 1 = T
2
obtemos da eq. (4.117)
A
2
+
1 + a
a
A −
1
a
= 0 , (4.121)
as ra´ızes desta equa¸c˜ao s˜ao
A
±
=
−(1 + a) ±
√
a
2
+ 6a + 1
2a
. (4.122)
Da eq. (4.118) obtemos
B = −
(aA
2
− 1)
2aA + a + 1
, (4.123)
substituindo a eq. (4.123) em (4.120) obtemos
G
NS
= N
2
(1 + a)
a
1 −
(1 + a)
√
a
2
+ 6a + 1
, (4.124)
que concorda com a eq. (4.61).
Para o caso geral analisamos as ra´ızes da equa¸c˜ao qu´artica (4.116) atrav´es
do m´etodo dos resolventes de Lagrange (ver apˆendice), que permite escrevermos as
ra´ızes numa forma elegante em termos das ra´ızes c´ubicas de uma equa¸c˜ao de terceiro
grau auxiliar. Desta an´alise obtemos que a ra´ız f´ısica da eq. (4.116) ´e dada por (eq.
(A.12) do apˆendice):
A
1
=
1
4
(−m +
√
t
+
√
t
+
√
t
) , (4.125)
onde, t
, t
e t
s˜ao as ra´ızes da seguinte equa¸c˜ao c´ubica auxiliar:
t
3
− (3m
2
− 8n)t
2
+ (3m
4
− 16m
2
n + 16n
2
+
+16mp − 64q)t − (m
3
− 4mn + 8p)
2
= 0 ,
(4.126)
e m, n, p e q s˜ao os coeficientes da equa¸c˜ao qu´artica (4.116),
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 103
m =
aT
2
(2 − T
1
)
T
1
(1 − T
2
)
= p ,
n =
(1 + 2a)T
2
1 − T
2
,
q = −
1
1 − T
2
.
Algumas curvas mostrando a dependˆencia da condutˆancia G
NS
em fun¸c˜ao da
transparˆencia da segunda barreira T
2
, para T
1
fixo s˜ao mostradas na fig. (4.3). Estes
gr´aficos foram obtidos analiticamente apartir da eq. (4.120). Mostramos tamb´em
na fig. (4.4) a resistˆencia (R
NS
= 1/G
NS
) em fun¸c˜ao de 1/T
2
para T
1
= 0.1.
Figura 4.3: Condutˆancia G
NS
em fun¸c˜ao de T
2
para alguns valores fixos de T
1
.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 104
Figura 4.4: M´ınimo de R
NS
para T
1
= 0.1. Este m´ınimo sinaliza uma transi¸c˜ao
gradual entre dois regimes de transporte.
O m´ınimo de R
NS
mostrado na fig. (4.4) sinaliza uma transi¸c˜ao gradual entre
o regime de tunelamento sem reflex˜ao e o regime de tunelamento com reflex˜ao. Na
transmiss˜ao sem reflex˜ao uma das quase-part´ıculas tunela a amostra de metal-normal
sem sofrer reflex˜ao. Ent˜ao, um processo de transporte que envolve tipicamente duas
part´ıculas como em jun¸c˜oes NS passar a ser um processo de apenas uma part´ıcula.
Beenakker et. al. [60] observaram pela primeira vez este fenˆomeno em
jun¸c˜oes NS conectadas por uma barreira de tunelamento. Eles observaram que
a dependˆencia da resistˆencia R
NS
com a barreira era da ordem de 1/Γ e n˜ao 1/Γ
2
como esperado num processo de transporte involvendo duas part´ıculas que ´e o caso
de uma sistema h´ıbrido NS. Atrav´es de uma teoria de escala Beenakker et. al. ob-
servaram que o aumento da desordem estava relacionado com abertura de canais de
tunelamento de autovalores de transmiss˜ao pr´oximos de 1. Esta abertura de canais
de tunelamento induzida por desordem foi descoberta por Nazarov [36]. Estes canais
abertos como Beenakker se refere em [24] s˜ao respons´aveis pelo regime de tunela-
mento sem reflex˜ao.
Em cavidades ca´oticas este regime de tunelamento sem reflex˜ao est´a rela-
cionado aos estados ressonantes com autovalores de transmiss˜ao pr´oximos de 1 de
longo tempo de vida dentro da cavidade. A forma¸c˜ao de estados ressonantes de
longo tempo de vida est˜ao ligados ao fenˆomeno denominado de aprisionamento de
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 105
ressonˆancias. Quando a intensidade do acoplamento da cavidade com o exterior
aumenta, as ressonˆancias dentro da cavidade come¸cam a se sobrepor e come¸cam a
interagir fortemente no plano complexo. Para uma valor cr´ıtico do acoplamento h´a
uma reorganiza¸c˜ao de todo o espectro da cavidade, dando origem a uma bifurca¸c˜ao
no tempo de vida dos estados ressonantes. Alguns desses estados tornam-se inst´aveis
com tempo de vida muito curto, j´a os estados restantes s˜ao est´aveis e tem tempo de
vida longo.
Outro mecanismo eficiente de transmiss˜ao se deve `a forma¸c˜ao de modos
Fabry-Perot entre as barreiras conectadas `a cavidade ca´otica. O aparecimento desses
modos ´e sinalizado pelo aparecimento de uma singularidade do tipo inverso da ra´ız
quadrada na densidade de autovalores de transmiss˜ao. Note que a forma¸c˜ao de
modos de Fabry-Perot entre as barreiras constitui um fenˆomeno puramente ondu-
lat´orio n˜ao sendo necess´ario usar a natureza quˆantica do el´etron. Para uma breve
introdu¸c˜ao a este assunto veja ref. [54] e para uma discuss˜ao mais avan¸cada veja ref.
[67]. Ambos os fenˆomenos, aprisionamento de ressonˆancias e forma¸c˜ao de modos de
Fabry-Perot, devem contribuir para o aparecimento do regime de tunelamento sem
reflex˜ao na jun¸c˜ao NS.
Em 1994 Melsen e Beenakker [68] estudaram este mesmo problema pela
primeira vez. O objetivo deste trabalho era descrever a transi¸c˜ao gradual entre
o regime bal´ıstico e o difusivo entre barreiras de transparˆencia arbitr´aria atrav´es
de uma f´ormula fenomenol´ogica do tipo Fabry-Perot para os autovalores de trans-
miss˜ao, dada por:
τ
n
= (a + b cos φ
n
)
−1
, (4.127)
onde
a = 1 +
2 − T
1
− T
2
T
1
T
2
, (4.128)
b = 2
(1 − T
1
)
−1/2
(1 − T
2
)
−1/2
T
1
T
2
, (4.129)
e φ
n
´e a fase acumulada na viagem de ida e volta entre as barreiras. A express˜ao
para a condutˆancia G
NS
obtida na ref. [68] ´e
G
NS
= 2N
cosh 2α
1
cosh 2α
2
(cosh
2
2α
1
+ cosh
2
2α
2
− 1)
3/2
, (4.130)
onde T
i
= 1/ cosh
2
α
i
. Esta f´ormula deve ser contrastada com a equa¸c˜ao (4.120)
obtida atrav´es da teoria de circuitos escalar. A eq. (4.130) permitiu a Melsen e
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 106
Beenakker a observa¸c˜ao do m´ınimo da resistˆencia R
NS
similar, ao obtido nesta tese
atrav´es da teoria de circuitos escalar. Para a densidade de autovalores de transmiss˜ao
a express˜ao obtida por eles foi a seguinte
ρ(τ) =
N
πτ
(b
2
τ
2
− (aτ − 1)
2
)
−1
. (4.131)
Esta equa¸c˜ao foi utilizada em [68] como condi¸c˜ao inicial para obter a densidade
de autovalores de transmiss˜ao quando ´e introduzida desordem no sistema atrav´es
da inser¸c˜ao de um fio met´alico difusivo. Para obter tal densidade eles utilizam a
equa¸c˜ao de escala DMPK que descreve a evolu¸c˜ao da densidade de autovalores de
transmiss˜ao quando um peda¸co infinitesimal de material desordenado ´e adicionado
ao sistema. A an´alise de Melsen e Beenakker s´o tem sentido quando T
1
, T
2
<< 1,
que ´e o regime de validade da eq. (4.127) a despeito do argumento apresentado pelos
autores em favor da validade geral de (4.131). Portanto a densidade de autovalores
de transmiss˜ao, eq. (4.131), utilizada para o estudo da transi¸c˜ao gradual ´e incor-
reta para outros valores de transparˆencia das barreiras. Utilizando a densidade de
autovalores de transmiss˜ao correta, obtida atrav´es da corrente espectral deduzida
por Macˆedo em [39], Apolin´ario [61], via an´alise num´erica da teoria de circuitos
escalar fez uma an´alise completa da transi¸c˜ao gradual ponto-fio para barreiras de
transparˆencia arbitr´aria.
Mostramos na figura abaixo as curvas de m´ınimo de R
NS
no plano T
1
× T
2
que indicam a transi¸c˜ao gradual entre o regime de tunelamento sem reflex˜ao e o
de tunelamento com reflex˜ao, obtido atrav´es da teoria de circuitos escalar discu-
tida neste cap´ıtulo. Os resultados concordam com os obtidos numericamente por
Apolin´ario para fios de comprimento nulo.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
4.7 Teoria de Circuitos Escalar para Barreiras de Transparˆencia Arbitr´aria 107
Figura 4.5: A curva acima representam os m´ınimos de R
NS
quando variamos a
intensidade das barreiras.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
Cap´ıtulo 5
Conclus˜oes e Perspectivas
Nesta tese estudamos propriedades de transporte em pontos quˆanticos conec-
tados a guias por barreiras de transparˆencia arbitr´aria. Estudamos tanto o caso em
que os guias s˜ao conectados a reservat´orios de part´ıculas no estado normal quanto os
sistemas h´ıbridos metal-normal-supercondutor quando substitu´ımos um dos reser-
vat´orios no estado normal por um supercondutor.
Come¸camos no cap´ıtulo 1 com uma breve introdu¸c˜ao sobre f´ısica mesosc´opica,
discutindo regimes e propriedades de sistemas mesosc´opicos normais e os novos
paradigmas relacionados com os efeitos de proximidade resultantes da reflex˜ao de
Andreev na interface normal-supercondutor. Introduzimos neste cap´ıtulo tamb´em
o formalismo de Landauer-B¨uttiker para sistemas NS e sua conex˜ao com o formal-
ismo de matriz-S para sistemas normais. Esta conex˜ao levou Beenakker [24] a obter
a condutˆancia G
NS
e posteriormente a potˆencia do ru´ıdo de disparo de um sis-
tema h´ıbrido de dois terminais em termos dos autovalores de reflex˜ao de Andreev.
Estes autovalores de reflex˜ao por sua vez, no limite onde as energias est˜ao bem a
baixo do potencial de emparelhamento do supercondutor, podem ser expressos de
maneira simples em termos dos autovalores de transmiss˜ao do lado normal. Dis-
cutimos tamb´em sobre as bases das teorias quase-cl´assicas que descrevem a f´ısica
mesosc´opica, que diferentemente da formula¸c˜ao de matriz-S possuem um car´ater mi-
crosc´opico em sua formula¸c˜ao. Conclu´ımos este cap´ıtulo introdut´orio com um breve
coment´ario sobre formula¸c˜oes baseadas no modelo-σ n˜ao linear supersim´etrico.
No cap´ıtulo 2 tratamos de um t´opico crucial para o desenvolvimento desta
disserta¸c˜ao que ´e a estat´ıstica de contagem de carga para sistemas mesosc´opicos.
Come¸camos este cap´ıtulo utilizando argumentos f´ısicos intuitivos e an´alise combi-
nat´oria elementar para obter a fun¸c˜ao geratriz de cumulantes de alguns sistemas
108
109
simples. Utilizando o modelo de galvanˆometro de spin-1/2 proposto por Levitov,
Lee e Lesovik [44] implementamos o formalismo das fun¸c˜oes de Green de Keldysh
atrav´es de um modelo extremamente simples para obter a fun¸c˜ao geratriz de cumu-
lantes de uma cavidade ca´otica acoplada a guias em contato com reservat´orios de
part´ıculas. Obtivemos atrav´es deste m´etodo a f´ormula de Levitov-Lesovik [44].
Come¸camos no cap´ıtulo 3 a utilizar o formalismo microsc´opico desenvolvido
no cap´ıtulo 2 para estudar uma abordagem semi-cl´assica conhecida como teoria de
circuitos matricial [36]. Atrav´es de uma extens˜ao do m´etodo desenvolvido por Bu-
lashenko [53] para o estudo de uma cavidade ca´otica acoplada a guias assim´etricos
por barreiras de transparˆencia arbit´aria, obtivemos as equa¸c˜oes da teoria de circuitos
matricial. Vale salientar que a utiliza¸c˜ao da teoria de Nazarov para o estudo de pon-
tos quˆanticos ca´oticos e cavidades bal´ısticas n˜ao foi ainda justificada atrav´es de uma
dedu¸c˜ao microsc´opica rigorosa, sendo portanto neste regime uma teoria puramente
fenomenol´ogica. Um m´etodo vetorial tamb´em foi apresentado como alternativa ao
m´etodo matricial gerando um conjunto de equa¸c˜oes equivalentes. Toda esta dis-
cuss˜ao preliminar sobre a teoria de circuitos matricial foi feita com o esp´ırito de
prepara¸c˜ao para o estudo de uma abordagem semi-cl´assica rigorosa complementar
desenvoldida no cap´ıtulo 4.
A teoria de circuitos escalar [39] discutida no cap´ıtulo 4 tem como ponto de
partida o modelo-σ n˜ao linear supersim´etrico. Esta abordagem possibilita o estudo
de sistemas quˆantico ca´oticos com rigor matem´atico muito superior ao formalismo
de Nazarov pois fundamenta-se na teoria de matrizes aleat´orias e no modelo de
Mahaux-Weidenm¨uller. Mostramos a equivalˆencia entre a teoria fenomenol´ogica do
cap´ıtulo 3 e a teoria de circuitos escalar [39] para cavidades ca´oticas acopladas a
guias por barreiras de transparˆencia arbitr´aria. Posteriormente, utilizamos a teoria
de circuitos escalar em sistemas h´ıbridos metal-normal-supercondutor. Calculamos a
condutˆancia G
NS
de uma cavidade ca´otica conectada a dois reservat´orios de quase-
part´ıculas. Atrav´es do m´ınimo na resistˆencia NS observamos a transi¸c˜ao gradual
entre o regime de tunelamento sem reflex˜ao e o regime de tunelamento com reflex˜ao,
confirmando os resultados num´ericos obtidos por Apolin´ario [61]. Este fenˆomeno
de tunelamento sem reflex˜ao foi observado primeiramente por Beenakker et. al.
[60] no estudo de uma jun¸c˜ao metal-normal-isolante-supercondutor. Conclu´ımos
que certos mecanismos presentes em processos de transporte coerente ressonante
est˜ao relacionados ao fenˆomeno de tunelamento sem reflex˜ao em cavidades ca´oticas.
Apresentamos um diagrama no plano T
1
×T
2
que representa esta transi¸c˜ao gradual
entre os ois regimes de tunelamento.
Uma perspectiva imediata de nossos trabalhos seria o c´alculo dos pr´oximos
cumulantes da estat´ıstica de contagem num sistema NS, como por exemplo a potˆencia
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
110
do ru´ıdo de disparo. A extens˜ao destes resultados para temperatura e freq¨uˆencias
finitas tamb´em ´e desej´avel. Pretendemos tamb´em estudar efeitos de intera¸c˜ao e de-
scoerˆencia em sistemas NS embebidos em um ambiente eletromagn´etico atrav´es da
teoria de circuitos escalar.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
Apˆendice A
O M´etodo dos Resolventes de
Lagrange
Na se¸c˜ao (4.7.2) deparamo-nos com uma equa¸c˜ao alg´ebrica de quarto grau,
eq. (4.116). Neste apˆendice mostraremos um m´etodo desenvolvido por Lagrange
em 1770 para obter as ra´ızes de equa¸c˜oes alg´ebricas de quarto grau. O m´etodo
de Lagrange fundamenta-se na uni˜ao da teoria dos polinomios sim´etricos, teoria
da permuta¸c˜ao e da teoria dos resolventes. Para uma discuss˜ao hist´orica sobre o
m´etodo de Lagrange ver ref. [69].
Considere a seguinte equa¸c˜ao alg´ebrica de quarto grau
x
4
+ mx
3
+ nx
2
+ px + q = 0 , (A.1)
cujas ra´ızes s˜ao
(x − a)(x − b)(x − c)(x − d) = 0 , (A.2)
das equa¸c˜oes (A.1) e (A.2) temos
−m = a + b + c + d ,
n = ab + ac + bc + bd + cd ,
−p = abc + abd + acd + bcd ,
q = abcd ,
(A.3)
Considere o seguinte resolvente
S
1
= a + b − c − d ⇒ S
1
= a + c +
2
b +
3
d , (A.4)
111
112
onde = −1 ´e uma das ra´ızes da unidade (
4
= 1). Permutando as ra´ızes a, b, c e
d entre si obtemos seis resolventes distintos
S
1
= a + b − c − d = α , S
4
= −a − b + c + d = −α ,
S
2
= a + c − b − d = β , S
5
= −a − c + b + d = −β ,
S
3
= a + d − b − c = γ , S
6
= −a − d + b + c = −γ .
(A.5)
Podemos construir uma equa¸c˜ao de sexto grau auxiliar, cujas ra´ızes s˜ao os resolventes
exibidos em (A.5)
(y − α)(y + α)(y − β)(y + β)(y − γ)(y + γ) = 0 . (A.6)
Expandindo e agrupando obtemos
y
6
− (α
2
+ β
2
+ γ
2
)y
4
+ (α
2
β
2
+ α
2
γ
2
+ β
2
γ
2
)y
2
− α
2
β
2
γ
2
= 0 . (A.7)
Fazendo a substitui¸c˜ao, y
2
= t, ficamos com a seguinte equa¸c˜ao de terceiro grau
t
3
− (α
2
+ β
2
+ γ
2
)t
2
+ (α
2
β
2
+ α
2
γ
2
+ β
2
γ
2
)t − α
2
β
2
γ
2
= 0 . (A.8)
Pode-se obter uma rela¸c˜ao entre os resolventes e os parˆametros m, n, p, q da eq.
(A.1)
α
2
+ β
2
+ γ
2
= 3m
2
− 8n ,
α
2
β
2
+ α
2
γ
2
+ β
2
γ
2
= 3m
4
− 16n m
2
+ 16n
2
+ 16m p − 64q ,
α
2
β
2
γ
2
= (m
3
− 4m n + 8p)
2
.
(A.9)
Substituindo a eq. (A.9) em (A.8) obtemos
t
3
−(3m
2
−8n)t
2
+ (3m
4
−16n m
2
+ 16n
2
+ 16m p −64q)t −(m
3
−4m n + 8p)
2
= 0 .
(A.10)
Escrevendo os resolventes em termos das ra´ızes da eq. (A.10) t
, t
e t
obtemos
α = a + b − c − d =
√
t
,
β = a + c − b − d =
√
t
,
γ = a + d − b − c =
√
t
.
(A.11)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
113
Com a ajuda das equa¸c˜oes (A.3) e (A.11) obtemos as ra´ızes da equa¸c˜ao qu´artica
(A.1) em fun¸c˜ao das ra´ızes da equa¸c˜ao c´ubica auxiliar (A.10)
a =
1
4
(−m +
√
t
+
√
t
+
√
t
) , (A.12)
b =
1
4
(−m +
√
t
−
√
t
−
√
t
) , (A.13)
c =
1
4
(−m −
√
t
+
√
t
−
√
t
) , (A.14)
d =
1
4
(−m −
√
t
−
√
t
+
√
t
) . (A.15)
Portanto, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de quarto grau (A.1) ´e reduzida `a solu¸c˜ao
de uma equa¸c˜ao de terceiro grau. Vamos agora utilizar o m´etodo de Lagrange para
resolver a equa¸c˜ao (A.10).
Considere a equa¸c˜ao c´ubica abaixo
x
3
+ m
x
2
+ n
x + p
= 0 , (A.16)
cujas ra´ızes s˜ao a
, b
e c
(x − a
)(x − b
)(x − c
) = 0 , (A.17)
Das equa¸c˜oes (A.16) e (A.17) temos
m
= −(a
+ b
+ c
) ,
n
= a
b
+ a
c
+ b
c
,
p
= −a
b
c
.
(A.18)
Considere ≡
1
2
(−1 +
√
3 i) uma das ra´ızes c´ubicas da unidade. Defina os
seguintes resolventes
α
= a
+ b
+
2
c
,
β
= a
+ c
+
2
b
.
(A.19)
A equa¸c˜ao de sexto grau auxiliar da equa¸c˜ao c´ubica (A.16) ´e dada por
(y − α
)(y − α
)(y −
2
α
)(y − β
)(y − β
)(y −
2
β
) = 0 . (A.20)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
114
Expandindo a equa¸c˜ao de sexto grau (A.20) obtemos
(y
3
− α
3
)(y
3
− β
3
) = y
6
− (α
3
+ β
3
)y
3
+ α
3
β
3
. (A.21)
Definindo z ≡ y
3
a equa¸c˜ao (A.21) torna-se uma equa¸c˜ao quadr´atica
z
2
− (α
3
+ β
3
)z + α
3
β
3
= 0 . (A.22)
Escrevendo os resolventes em fun¸c˜ao dos parˆametros m
, n
e p
da equ¸c˜ao c´ubica
(A.16) obtemos
α
3
+ β
3
= −2m
3
+ 9m
n
− 27p
,
α
3
β
3
= (m
2
− 3n
)
3
.
(A.23)
Substituindo a eq. (A.23) em (A.22) obtemos
z
2
− (−2m
3
+ 9m
n
− 27p
)z + (m
2
− 3n
)
3
= 0 . (A.24)
Temos ent˜ao
α = a
+ b
+
2
c
= (z
1
)
1/3
,
β = a
+ c
+
2
b
= (z
2
)
1/3
,
(A.25)
onde z
1
e z
2
s˜ao as ra´ızes da equ¸c˜ao quadr´atica (A.24).
z
1, 2
=
−(−2m
3
+ 9m
n
− 27p
) ±
√
∆
2
, (A.26)
onde
√
∆ = 3
12m
3
p
− 3m
2
n
2
− 54m
n
p
+ 81p
2
+ 12n
3
. (A.27)
Resolvendo o conjunto de equa¸c˜oes (A.25) e usando a identidade −m
= a
+ b
+ c
para as ra´ızes da equa¸c˜ao c´ubica, (A.16), obtemos
a
=
1
3
(−m
+ (z
1
)
1/3
+ (z
2
)
1/3
) , (A.28)
b
=
1
3
(−m
+
2
(z
1
)
1/3
+ (z
2
)
1/3
) , (A.29)
e
c
=
1
3
(−m
+ (z
1
)
1/3
+
2
(z
2
)
1/3
) . (A.30)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
115
Com a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de terceiro grau podemos escrever as ra´ızes da equa¸c˜ao
de quarto grau numa forma fechada fazendo as seguintes identifica¸c˜oes
t
= a
, t
= b
, t
= c
, (A.31)
e
m
= −(3m
2
− 8n) ,
n
= 3m
4
− 16n m
2
+ 16n
2
+ 16m p − 64q ,
p
= −(m
3
− 4m n + 8p)
2
.
(A.32)
Finalmente podemos escrever as ra´ızes da equa¸c˜ao qu´artica (A.1) da seguinte
forma
a
b
c
d
=
1
4
−m +
+
+
−
−
(
1
3
(−m
+ (z
1
)
1/3
+ (z
2
)
1/3
))
1/2
+
+
+
−
+
−
(
1
3
(−m
+
2
(z
1
)
1/3
+ (z
2
)
1/3
))
1/2
+
+
+
−
−
+
(
1
3
(−m
+ (z
1
)
1/3
+
2
(z
2
)
1/3
))
1/2
.
(A.33)
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
Bibliografia
[1] R. Landauer. Eletrical resistance of disordered one-dimensional lattices. Phil.
Mag., 21:863, (1970).
[2] R. Landauer. Spatial variation of currents and fields due to localized scatterers
in metallic conduction. IBM J. Res. Develop, 1:233, (1957).
[3] A. D. Stone and A. Szafer. What is measured when you measure a resistance?
Landauer formula revisited. IBM J. Res. Develop, 32(3):384, 1988.
[4] G. Bergamnn. Weak localization in thin films: a time-of-light experiment with
conduction electrons. Phys. Rep., 107(1), 1984.
[5] R. A. Webb S. Washburn. Aharonov-Bohm effect in normal metal quantum
coherence and transport. Adv. Phys., 35:375, 1986.
[6] C. P. Umbach, S. Washburn, R. B. Laibowitz, and R. A. Webb. Magnetore-
sistance of small, quasi-one-dimensional, normal-metal rings and lines. Phys.
Rev. B, 30:4048, 1984.
[7] H. Bouchiat. Experimental signatures of quantum coherent transport. Lectures
at the Les Houches summer school, LXI, 1994.
[8] S. Datta. Electronic Transport in Mesoscopic Systems. Cambridge University
Press, first edition, 1997.
[9] B. D. Simons and A. Altland. Theories of mesoscopic physics. In Theoretical
Physics at the End of the XXth Century. Spring-Verlag, 2001. proceedings of
the CRM Summer school.
[10] P. A. Lee and A. D. Stone. Universal conductance fluctuations in metals: Effects
of finite temperature, interactions, and magnetic field. Phys. Rev. B, 35:1039,
1987.
116
BIBLIOGRAFIA 117
[11] B. J. van Wees, H. van Houten, C. W. J. Beenaker, J. G. Williamson,
P. Kouwenhoven, D. van der Marel, and C. T. Foxon. Quantized conductance
of points contacts in a two-dimensional electron gas. Phys. Rev. Lett., 60:848,
1988.
[12] D. Wharam, T. J. Thornton, R. Newbury, M. Pepper, H. Ahmed, J. E. F.
Frost, D. G. Hasko, D. C. Peacock, D. A. Ritchie, and G. A. C. Jones. One-
dimensional transport and quantisation of the ballistic resistance. J. Phys. C,
21:L209, 1988.
[13] P. W. Anderson, D. J. Thouless, E. Abrahams, and D. S. Fisher. New method
for scaling theory of localization. Phys. Rev. B, 22:3519, 1980.
[14] D. S. Fisher and P. A. Lee. Relation between conductivity and transmission
matrix. Phys. Rev. B, 23:6851, 1981.
[15] P. A. Lee and D. S. Fisher. Anderson localization in two dimensions. Phys.
Rev. Lett., 47:882, 1981.
[16] H. L. Engquist and P. W. Anderson. Definition and measurement of the elec-
trical and thermal resistance. Phys. Rev. B, 24:1151, 1981.
[17] M. B¨uttiker, Y. Imry, R. Landauer, and S. Pinhas. Generalized many channel
conductance formula with application to small rings. Phys. Rev. B, 31:6207,
1985.
[18] Yu. V. Sharvin A. G. Aronov. Magnetic flux effects in disordered conductors.
Rev. Mod. Phys., 59:755, 1987.
[19] M. B¨uttiker. Four-Terminal phase coherent conductance. Phys. Rev. Lett.,
57:1761, 1986.
[20] M. Tinkham. Intoduction to Superconductivity. Dover, New York, 2004.
[21] A. L. Fetter and J. D. Walecka. Quantum Theory of Many-Particles Systems.
Dover, 1971.
[22] G. D. Mahan. Many Particle Physics. Plenum Press, New York and London,
2nd edition, 1990.
[23] A. F. Andreev. Zh. Eksp. Teor. Fiz., 46:1823, 1964.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
BIBLIOGRAFIA 118
[24] C. W. J. Beenakker. Quantum transport in semiconductor-superconductor mi-
crojunction. Lectures at the Les Houches summer school, LXI, 1994. tamb´em
dispon´ıvel em cond-mat/9406083.
[25] T. Kemen, T. Bauch, W. Baer, K. Hecker, A. Marx, and R. Gross. Magnetocon-
ductance fluctuations and re-entrance effect in normal-metal-superconducting
nanostructures. J. Low Temp. Phys., 118:679, 2000.
[26] K. Hecker, H. Hegger, A. Altland, and K. Fiegle. Conductance fluctuations in
mesoscopic normal-metal-superconductor samples. Phys. Rev. Lett., 79(8):1547,
1997.
[27] C. J. Lambert and R. Raimondi. cond-mat/9708056.
[28] N. N. Bogoliubov, V. V. Tolmachev, and D. V. Shirkov. A New Method in the
Theory of Superconductivity. Consultants Bureau, New York, 1959.
[29] P. G. de Gennes. Superconductivity of Metals and Alloys. Perseus Books, 1999.
[30] J. B. Ketterson and S. N. Song. Superconductivity. Cambridge University Press,
Cambridge, 1999.
[31] A. Altland, B. D. Simons, and D. Taras-Semchuk. Field theory of mesoscopic
fluctuations in superconductor/normal-metal systems. cond-nat/9807371, 2006.
[32] M. J. Rufino. Pontos quˆanticos de classe d com estrutura h´ıbrida metal-normal-
supercondutor. Master’s thesis, Universidade Federal de Pernambuco, Mar¸co
2004.
[33] M. J. M. de Jong and C. W. J. Beenakker. Doubled shot noise in disordered
normal-metal-superconductor junctions. Phys. Rev. B, 49:16070, 1994.
[34] G. Eilenberger. Z. Phys. B, 214:195, 1968.
[35] K. Usadel. Phys. Rev. Lett., 25:507, 1970.
[36] Yu. V. Nazarov. Limits of universality in desordered conductors. Phys. Rev.
Lett., 73:134, 1994.
[37] Yu. V. Nazarov. cond-mat/9410011, 1994.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
BIBLIOGRAFIA 119
[38] D. Taras-Semchuk and A. Altland. Quantum interference and the formation of
the proximity effect in chaotic normal-metal/superconducting structures. cond-
mat/0010413, 2001.
[39] A. M. S. Macˆedo. Scaling theory of phase-coherent metallic conductors. Phys.
Rev. B, 66:033306, 2002.
[40] A. Einstein. Phys. Zeitschr., 10:185, 1909.
[41] C. W. J. Beenakker and C. Sch¨onenberger. Quantum shot noise. Physics Today,
page p.37, 2003.
[42] R. J. Glauber. Phys. Rev. Lett., 10:84, 1963.
[43] M. Kindermann. Electron counting statistic in nanostructures. PhD
thesis, Universiteit Leiden, Setembro 2003. Dispon´ıvel na Web em
http://www.ilorentz.org/beenakker/.
[44] L. S. Levitov, H. Lee, and G. B. Lesovik. Electron counting statistic and
coherent state of electric current. J. Math. Phys., 37(10):4845, 1996.
[45] L. S. Levitov and G. B. Lesovik. JEPT Lett., 55:555, 1992.
[46] Yu. V. Nazarov. Ann. Phys., 8:SI–193, 1999.
[47] W. Belzig and Yu. V. Nazarov. Phys. Rev. Lett., 87:67006, 2001.
[48] J. Rammer and H. Smith. Rev. Mod. Phys., 58:206801, 1986.
[49] A. M. S. Macˆedo. Transport theory of interacting mesoscopic systems:
A memory-function approach to charge-counting statistics. Phys. Rev. B,
69:155309, 2004.
[50] B. A. Muzykantskii and Khmelnitskii. Quantum shot noise in a normal-metal-
superconductor point contact. Phys. Rev. B, 50(6):3982, 1994.
[51] L. S. Levitov and G. B. Lesovik. JEPT Lett., 58:230, 1993.
[52] V. A. Khlus. JEPT, 66:1243, 1987.
[53] O. M. Bulashenko. Full counting statistics of a chaotic cavity with asymmetric
leads. cond-mat/0403388, 2004.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
BIBLIOGRAFIA 120
[54] H. S. Borba. Teoria de circuitos para a estat´ıstica de contagem de carga. Mas-
ter’s thesis, Universidade Federal de Pernambuco, Agosto 2005.
[55] Yu. V. Nazarov. Circuit theory of Andreev conductance. Phys. Rev. Lett.,
73:1420, 1994.
[56] W. Belzig. Full counting statistic of superconductor-normal-metal heterostruc-
tures. cond-mat/0210125, 2002.
[57] M. Vanevi´c and W. Belzig. Full counting statistic of Andreev scattering in an
asymmetric chaotic cavity. Phys. Rev. B, 72:134522, 2005. Tamb´em dispon´ıvel
em cond-mat/0412320.
[58] A. L. R. Barbosa and A. M. S. Macˆedo. Diagrammatic analysis of unitary group
for double-barrier ballistic cavities: Equivalence with circuit theory. Phys. Rev.
B, 71:235307, 2005.
[59] P. W. Brouwer and C. W. J. Beenakker. Diagrammatic method of integra-
tion over unitary group, with aplications to quantum transport in mesoscopic
systems. J. Math. Phys., 37:4904, 1996.
[60] C. W. J. Beenakker, B. Rejai, and J. A. Melsen. Scaling theory of conduction
through a normal-superconductor microbridge. Phys. Rev. Lett., 72:2470, 1994.
[61] S. W. S. Apolin´ario. Teoria quˆantica de circuitos para a transi¸c˜ao bal´ıstico-
difusivo. Master’s thesis, Universidade Federal de Pernambuco, Mar¸co 2004.
[62] C. W. J. Beenakker. Quantum transport in semiconductor-superconductor mi-
crojuntions. Phys. Rev. B, 46:12841, 1992.
[63] P. Samuelson, W. Belzig, and Yu. V. Nazarov. Andreev reflection eigenvalue
density in mesoscopic condutors. cond-mat/0312133, 2003.
[64] M. B¨uttiker. Scattering theory of thermal and excess noise in open conductors.
Phys. Rev. Lett., 65:2901, 1990.
[65] C. J. Lambert. Generalized Landauer formula for quasi-particle transport in
desordered superconductor. J. Phys. Condens. Matter, 3:6579, 1991.
[66] Y. Takane and H. Ebisawa. J. Phys. Soc. Jpn., 61:1685, 1992.
[67] A. M. S. Macˆedo and A. M. C. Souza. Formation of Fabry-Perot resonances in
double-barrier chaotic billiards. Phys. Rev. E, 71:066218, 2005.
Tese de Mestrado - Departamento de F´ısica - UFPE
BIBLIOGRAFIA 121
[68] J. A. Melsen and C. W. J. Beenakker. Reflectionless tunneling through a double-
barrier NS junction. Physica B, 203:219–225, 1994.
[69] A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, and M. A. Lavrent’ev. Mathematics:
Its content, methods and meaning. Dover, New York, 1999.
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