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Universidade Federal do Maranh˜ao
Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnologia
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia
El´etrica
Estima¸c˜ao no Espa¸co de Estado do Ponto de
Impacto de Foguetes
Jonas de Jesus Barros
S˜ao Lu´ıs - Dezembro/2005
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CDU xxx.xx
Universidade Federal do Maranh˜ao
Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnologia
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´etrica
Estima¸c˜ao no Espa¸co de Estado do Ponto de
Impacto de Foguetes
Jonas de Jesus Barros
Disserta¸c˜ao apresentada ao Curso de
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´etrica da UFMA, para obten¸c˜ao do
grau de Mestrado em Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´etrica.
S˜ao Lu´ıs - Dezembro/2005
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-
Barros, Jonas de Jesus
Estima¸c˜ao no Espa¸co de Estado do Ponto de Impacto de
Foguetes / Jonas de Jesus Barros - Dezembro/2005
56.p
1. Sinais de Radares 2. Trajet´oria de foguetes 3. Ponto de im-
pacto 3. Filtro de Kalman 4. Sintonia do filtro 5. Estimador
de PI. I.T´ıtulo.
CDU xxx.xx
Estima¸c˜ao n o Espa¸co de Estado d o Ponto de
Impacto de Foguetes
Jonas de Jesus Barros
Aprovado em
BANCA EXAMINADORA
Prof. Jo˜ao Viana da Fonseca Neto
Dr. em Engenharia El´etrica
Prof.
Prof.
“Lembra que o sono ´e sagrado e alimenta de horizontes o tempo acordado de
viver”.
Beto Guedes (Amor de
´
Indio)
Agradecimentos
Agrade¸co `a dire¸c˜ao do Centro de Lan¸camento de Alcˆantara (CLA), `a Divis˜ao
de Opera¸coes (DOP) e a todos os colegas de trabalho do CLA pelo incentivo
constante, aos colegas do curso de mestrado pelo encorajamento e apoio. Ao
T´ecnico do CLA, Larry Bruzaca , pelas discuss˜oes esclarecedoras sobre o processo
de tratamento de dados de trajetografia.
Agrade¸co tamb´em ao meu orientador Prof. Jo˜ao Viana da Fonseca Neto,
pelos seus ensinamentos, amizade e principalmente pela paciˆencia, sem a qual
este trabalho n˜ao se realizaria.
A todos os amigos.
A toda minha fam´ılia.
Resumo
A estima¸c˜ao do Ponto de Impacto, PI, instantˆaneo de foguete em vˆoo ´e um dos
principais requisitos do sistema de seguran¸ca de um Centro de Lan¸camento de
Foguetes. A estimativa deste ponto permite u m monitoramento da evolu¸c˜ao in-
stantˆanea de sua trajet´oria, fornecendo assim informa¸c˜oes necess´arias para tomada
de decis˜oes, tal como interromp er a miss˜ao em pleno vˆoo. A sistematiza¸c˜ao de
um dispositivo que implementa a estimativa do ponto de impacto, chamado de
estimador de PI, s˜ao os principais objetos de estu do dessa disserta¸c˜ao. O Fil-
tro de Kalman constitui o n´ucleo de um algoritmo para estima¸c˜ao dos estados
de foguetes, a posi¸c˜ao filtrada e a predi¸c˜ao da velocidade do foguete, que s˜ao as
entradas do estimador de PI. Nesta perspectiva, a seq¨uˆencia de eventos deste pro-
cesso de previs˜ao enfoca o desenvolvimento de filtros digitais de alto desempenho.
O desenvolvimento de um m´etodo para a sintonia dos ganhos do filtro via
Algoritmo Gen´etico ´e discutida e apresentada sua representa¸c˜ao matem´atica. O
m´etodo proposto ´e baseado em ajustes das matrizes de covariˆancia dos ru´ıdos da
planta e em t´ecnicas inteligentes para determina¸c˜ao da melhor m´edia de segunda
ordem dos sinais de ru´ıdo. O desempenho obtido do filtro de Kalman ´e comparado
com o do filtro αβγ de um sistema do mundo real.
Abstract
The estimation of the instantaneous Impact Point of a flying rocket is one of
the main requirements of a Rocket Launching Center safety system. This point
estimation allows the monitoring the rocket instantaneous trajectory evolution,
providing the necessary information for decisions making , such flying rocket mis-
sion abortion. A methodology systematization to implement the IP estimation
via a device, called IP estimator, is the main target of this research. A Kalman
filter is the core of an algorithm for the rocket states estimation, the rocket filtered
position and predicted speed are the inputs of IP estimator. In this pespective,
the sequence of these predicting process events, the development of high perfor-
mance digital filters is stressed in this research. The development of a method for
the filter gains tuning via Genetic Algorithms is discussed and presented in his
mathematical model representation, the proposed method is based upon adjust-
ments of the plant noise covariance matrices, in order to find out the best second
order average of this signals. The Kalman filter and proposed tuning performance
are compared with the αβγ filter in a real world system.
List of Figures
2.1 Blocos Funcionais Fundamentais do Estimador de PI. . . . . . . . 14
2.2 Trajet´oria do foguete decomposta em dois planos: Altitude vs
distˆancia e sua proje¸c˜ao no plano XY . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Evolu¸c˜ao do ponto de impacto do vˆoo referente `a figura 2.2. O
aspecto ruidoso reflete sua sensibilidade `a filtragem . . . . . . . . 16
2.4 Diagrama representando o processo no qual esta inserida a filtragem 17
2.5 Diagrama em Blocos da Estrutura Funcional do Filtro. . . . . . . 18
2.6 Elipse da trajet´oria de predi¸c˜ao de impacto a partir dos vetores da
posi¸c˜ao e velocidade estimados pelo filtro . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Diagrama em bloco do Estimador do PI envolve o processo d e
Filtragem e o c´alculo do Ponto de Impacto . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Coordenadas esf´ericas (el, az, d) e cartesianas (x,y,z) da posi¸c˜ao
do foguete com radar na origem do sistema . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Processo de Medi¸c˜ao e Filtragem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Diagrama Geral do processo de filtragem de Kalman. . . . . . . . 38
3.5 Diagrama em Blocos do Filtro Digital. . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 Coordenada Z da posi¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7 Velocidade na eixo Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.8 Acelera¸c˜ao no eixo Z da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.9 Estima¸c˜ao da velocidade - Modelo-Filtro. . . . . . . . . . . . . . . 44
3.10 Estima¸c˜ao da acelera¸c˜ao - Modelo-Filtro. . . . . . . . . . . . . . . 45
1
3.11 Ganhos no eixo Z para 100 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.12 Esquema b´asico para teste de desempenho do FKP . . . . . . . . 48
3.13 Coordenada Z filtrada - Filtro αβγ e FKP. . . . . . . . . . . . . 49
3.14 Velocidade no eixo Z - Filtro αβγ e FKP. . . . . . . . . . . . . . 50
3.15 Velocidade no eixo Y - Filtro αβγ e FKP. . . . . . . . . . . . . . 51
3.16 Velocidade no eixo X - Filtro αβγ e FKP. . . . . . . . . . . . . . 52
3.17 Latitude PI vs tempo - Filtro αβγ e FKP. . . . . . . . . . . . . . 53
3.18 Longitude PI vs tempo - - Filtro αβγ e FKP. . . . . . . . . . . . 54
3.19 Evolu¸c˜ao do PI - Filtro αβγ e FKP padr˜ao. . . . . . . . . . . . . 55
3.20 Velocidade estimada, eixo Z, ap´os ajustes no FKP padr˜ao. . . . . 57
3.21 Velocidade estimada, eixo Y , ap´os ajustes no FKP padr˜ao. . . . . 58
3.22 Velocidade estimada, eixo X, ap´os ajustes no FKP padr˜ao. . . . 59
3.23 Evolu¸c˜ao do PI ap´os ajustes no FKP padr˜ao. . . . . . . . . . . . 60
4.1 Unidades Funcionais do Sistema de Filtragem do Tipo Kalman. . 66
4.2 M´odulo da velocidade para σ
Q
= 0.005. . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 M´odulo da velocidade para σ
Q
= 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 M´odulo da acelera¸c˜ao- σ
Q
= 0.005. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5 M´odulo da acelera¸c˜ao- σ
Q
= 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.6 Ganho - σ
Q
= 50. Aspecto ruidoso em regime permanente. . . . . 73
4.7 Longitude PI. Altera¸c˜oes para σ
Q
=0.005 e σ
Q
50) . . . . . . . . . 74
4.8 Curva do desvio padr˜ao do erro de velocidade no eixo X . . . . . 81
4.9 Curva do desvio padr˜ao do erro de velocidade no eixo Y . . . . . 82
4.10 Curva do desvio padr˜ao do erro de velocidade no eixo Z . . . . . . 83
4.11 Curva do desvio padr˜ao do erro do m´odulo da velocidade. . . . . . 84
4.12 Unidade Funcional de Processamento de Sinais do Sistema de Fil-
tragem do Tipo Kalman baseada em Algoritmo Gen´etico. . . . . . 86
B.1 Foguete de Sondagem SONDA-II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B.2 Foguete de Sondagem SONDA-III . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2
B.3 Foguete VS-30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B.4 Foguete VS-40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
B.5 Foguete de Sondagem VSB-30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B.6 Foguete VLS1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
B.7 Foguete VLS1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B.8 Quadro geral da fam´ılia de foguetes nacionais . . . . . . . . . . . 116
3
List of Tables
4.1 Desvios padr˜ao dos erros de velocidade - 1 . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Desvios padr˜ao dos erros de velocidade - 2 . . . . . . . . . . . . . 80
4
Contents
1 Introdu¸c˜ao 8
1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Motiva¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Organiza¸c˜ao da Disserta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 O Problema do Ponto de Impacto 13
2.1 Predi¸c˜ao do ponto de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Caracteriza¸c˜ao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Um Sistema de Filtragem Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Estrutura do Processo de Filtragem . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Filtro αβγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Modelo do PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Estimador do Ponto de Impacto via Filtro de Kalman 27
3.1 Estimador do Ponto de Impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Modelos para Rastreio de Foguetes . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Modelo de acelera¸c˜ao do Processo de W inner discreto . . 29
3.2.2 Modelo linear Estoc´astico para Radar de Rastreio . . . . . 31
3.3 O Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Filtragem da Trajet´oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5
3.4.1 O Foguete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.2 Posi¸c˜ao, Velocidade e Acelera¸c˜ao do Foguete . . . . . . . . 41
3.4.3 O Ganho de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Filtragem de Sinais de Radares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5.1 Filtros αβγ e FKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5.2 Velocidade nas dire¸c˜oes XYZ . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.3 O Ponto de Impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.4 Ajustes no Ganho de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 O Ajuste do Ganho-FKP 62
4.1 Algoritmo Padr˜ao de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Sintonia Emp´ırica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Formula¸c˜ao do Problema de Sintonia . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.1 A fun¸c˜ao Objetivo do Ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.2 Experimentos Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.3 An´alise e Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 Modelo do Algoritmo Gen´etico para Ajuste do Ganho . . . . . . . 84
4.4.1 Modelagem das Matrizes Q e R . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4.2 As Opera¸c˜oes Gen´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4.3 A Fun¸c˜ao de Fitness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4.4 M´etodos de Sele¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 Conclus˜ao 93
A Equa¸c˜oes do Filtro de Kalman 96
A.1 Formula¸c˜ao Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A.2 Erro de predi¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.3 Predi¸c˜ao a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6
7
A.4 Estimativa m´axima a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.5 Variˆancia d o erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.6 Algoritmo Gen´etico para Ajuste do Ganho . . . . . . . . . . . . . 105
A.6.1 Ao Operadores Cromossˆomicos . . . . . . . . . . . . . . . 105
B Os Foguetes Nacionais 108
Chapter 1
Introdu¸c˜ao
A estimativa do ponto de impacto, PI, a cada instante de aquisi¸c˜ao das coor-
denadas de posi¸c˜ao do foguete rastreado ´e requisito b´asico para opera¸c˜ao de
lan¸camento de foguetes. O Impacto Instantˆaneo, PI, ind ica em tempo real o
ponto de contato do foguete com a superf´ıcie terrestre, considerando o s´ubito fim
do vˆoo propulsado. A necessidade da determina¸c˜ao cont´ınua deste ponto ´e uma
condi¸c˜ao essencial para a seguran¸ca de vˆoo. O monitoramento do rastreio e da
estima¸c˜ao do PI do ve´ıculo permite ao controle da miss˜ao discernir se o foguete
eventualmente desviar´a para fora dos limites permitidos das ´areas protegidas.
Desta forma, situa¸c˜oes vˆoos anˆomolos podem ser abortadas, isto ´e, a destrui¸c˜ao
do ve´ıculo em vˆoo. Neste par´agrafo salienta-se a importˆancia e a necessidade do
conhecimento com a maior precis˜ao poss´ıvel do PI do ve´ıculo.
O sistema de tratamento dos sinais do rastreio pelos radares disponibiliza
`a seguran¸ca de vˆoo do Centro de Lan¸camento meios de monitoramento da tra-
jet´oria do foguete, dando-lhe a capacidade de acompanhar a posi¸c˜ao do ve´ıculo e a
evolu¸c˜ao do seu ponto de impacto a cada instante. O PI ´e calculado das amostras
fornecidas pelo filtro obtendo-se assim um perfil de seu deslocamento. A prote¸c˜ao
da ´area delimitada de seguran¸ca se ap´oia em muitos parˆametros dentre os quais,
a trajetografia fornecida pelos radares e computadores de rastreio que executam
8
CHAPTER 1. INTRODUC¸
˜
AO 9
o processo de filtragem digital das coordenadas de posi¸c˜ao.
A importˆancia da estimativa do PI ´e o enfoque dado p or (Viertotak 2003).
Este autores abordaram o problema sob uma vis˜ao de elementos do Sistema de
Medi¸c˜ao de Sinais de trajet´oria. Desta forma, tra¸cam um paralelo entre sistemas
baseados em sinais de radares e GPS.
Nesta pesquisa o processamento dos sinais dos radares ´e realizado por um Fil-
tro Estoc´astico do tipo Kalman. Este filtro ´e largamente usado na engenharia
aeroespacial, (Veniamin V. Malyshev 1996), principalmente em aplica¸c˜oes de ras-
treio de aeronaves e foguetes para estima¸c˜ao da posi¸c˜ao e da velocidade usando
medidas do radar. A reconstru¸c˜ao da trajet´oria de foguetes ´e tipicamente formu-
lada como um problema de estima¸c˜ao de estado. O vetor de estado ´e composto
pela posi¸c˜ao, velocidade e acelera¸c˜ao no espa¸co tridimensional estimados a partir
das medidas da distˆancia, eleva¸c˜ao e azimute do ve´ıculo feitas pelo radar.
O desempenho do algoritmo ´e avaliado atraves da compara¸c˜ao de seus resul-
tados com valores estimados utilizando o filtro αβγ, filtro local,que se encon-
tra operacional no sistema de computadores interligado ao radar do Centro de
Lan¸camento de Alcˆantara (CLA). Na compara¸c˜ao foram utilizados dados ar-
mazenados sem tratamento (sinais ruidosos antes da filtragem) do rastreio de um
foguete de dois est´agios.
1.1 Objetivo
Nesta disserta¸c˜ao ´e abordada uma metodologia para sintonia do filtro de Kalman
baseada em Algoritmos Gen´eticos. O m´etodo de sintonia proposto ´e aplicado de
rastreios de foguetes multi-est´agios.
CHAPTER 1. INTRODUC¸
˜
AO 10
1.2 Motiva¸c˜ao
A motiva¸c˜ao para o desenvolvimento desta pesquisa ´e de ordem te´orica. Contribuir
com uma metodologia de filtragem aplicada a sinais de rastreamento de foguetes
de modo que a predi¸c˜ao do Ponto de Impacto utilize de filtragem Eestoc´astica
com t´ecnicas de sintonia para o Filtro Kalman Padr˜ao. Contribu ir com uma
metodologia que melhore a confiabilidade dos dados de rastreio para a seguran¸ca
de vˆoo ´e a principal motiva¸c˜ao para o desenvolvimento desta pesquisa.
1.3 Justificativa
Uma d as fun¸c˜oes de um Centro de Lan¸camento de Foguetes ´e assegurar o sucesso
do rastreio de ve´ıculos espaciais assim como registro de vˆoo. As opera¸c˜oes de
lan¸camentos de ve´ıculos espaciais apresentam riscos inerentes que, embora possam
ser minimizados, nunca podem ser completamente eliminados. Esta ´e a raz˜ao pela
qual a Seguran¸ca de Vˆoo de Centro de Lan¸camento deve adotar medidas visando
proteger pessoas, bens e meio ambiente contra danos causados pelo impacto do
foguete ou partes do mesmo (Gomes 2005). Uma das maneiras para garantir
esse objetivo ´e por meio do acompanhamento, em tempo real, da evolu¸c˜ao da
trajet´oria de impacto do ve´ıculo afim de resguadar as ´areas protegidas de uma
poss´ıvel viola¸c˜ao.
Portanto toda uma metodologia espec´ıfica de trabalho e recursos s˜ao necess´arios.
Isto envolve pesquisa e desenvolvimento de t´ecnicas na qual est´a inserido o pro-
cesso de filtragem dos sinais de rastreio de um foguete e a estima¸c˜ao do seu ponto
de impacto.
1.4 Organiza¸c˜ao da Disserta¸c˜ao
A disserta¸c˜ao centra foco na caracteriza¸c˜ao do processo de estima¸c˜ao do PI e
nos ajustes dos ganhos de um filtro que fornece as coordernadas de posi¸c˜ao e
CHAPTER 1. INTRODUC¸
˜
AO 11
de velocidade para o c´alculo da estimativa do PI. Os fundamentos te´oricos de
modelos que representam a trajet´oria do foguete, aspectos pr´aticos de filtragem
e implementa¸c˜ao de um filtro s˜ao os assuntos discutidos sobre a Estima¸c˜ao no
Espa¸co de Estado do Ponto de Impacto de Foguetes.
O Problema do Ponto de Impacto de foguetes e a sua caracteriza¸c˜ao
s˜ao os assuntos tratados no Cap´ıtulo 2. A descri¸c˜ao de um sistema de filtragem
de sinais, a estrutura do Filtro αβγ, coment´arios de ordem pr´atica sobre sua
implementa¸c˜ao em um Sistema de Filtragem do Mundo Real e a formula¸c˜ao de
um modelo para predi¸c˜ao de ponto de impacto s˜ao os temas desenvolvidos neste
cap´ıtulo. Cada tema contribui para uma investiga¸c˜ao de t´ecnicas direcionada para
proposta desta disserta¸c˜ao.
O Estimador do Ponto de Impacto via Filtro de Kalman ´e ampla-
mente discutido no Cap´ıtulo 3. Inicialmente, apresenta-se o Estimador do Ponto
de Impacto, este ´e contextualizado como um Sistema constitu´ıdo pelo agrupa-
mento de dois blocos funcionais, um para filtragem de sinais de radares e o outro
para estima¸c˜ao do Ponto de Impacto. Apresenta-se o desenvolvimento de mod-
elos dinˆamicos que fornecem as coordenadas posi¸c˜ao, velocidade e acelera¸c˜ao de
foguetes para o processo de estima¸c˜ao do PI. Ainda, neste cap´ıtulo aborda-se o
desenvolvimento de um algoritmo de filtragem do tipo Kalman. O filtro ´e desta-
cado como um bloco funcional de um Sistema para Estima¸c˜ao do PI. O Apˆendice
A complementa o referido Cap´ıtulo com a Formula¸c˜ao da Filtragem-Predi¸c˜ao
ou da Predi¸c˜ao-Corre¸c˜ao para um processo de filtragem de sinais do tipo
Kalman.
No Cap´ıtulo Ajuste do Ganho-FKP, discute-se o m´eto do para sintonia de
um filtro Kalman padr˜ao, FKP, atrav´es d e varia¸c˜oes na estrutura dos elementos
da matriz de covariˆancia utilizadoa no ganho de Kalman. O m´etodo proposto
tem como objetivo ponderar a velocidade de r ea¸c˜ao do filtro sem prejudicar o
cancelamento do ru´ıdo da planta. Os elementos que inferem diretamente no ajuste
s˜ao chamados de parˆametros operacionais e s˜ao escolhidos p ara promover um
CHAPTER 1. INTRODUC¸
˜
AO 12
aumento na velocidade de convergˆencia e reduzir o n´ıvel ru´ıdo do sinal filtrado. A
partir destas considera¸c˜oes foi estabelecida uma a formu la¸c˜ao geral do problema
de otimiza¸c˜ao baseado em Algoritmo Gen´etico.
Conclus˜oes sobre Estimador no Espa¸co de Estado do Ponto de Impacto
de Foguetes e sugest˜oes para trabalhos futuros no Cap´ıtulo 5.
Chapter 2
O Problema do Ponto de Impacto
O problema da predi¸c˜ao do Ponto de Impacto que envolve filtros digitais para
estimar a posi¸c˜ao e a velocidade de foguetes e o c´alculo de sua latitude e longitude.
Estes t´opicos varrem desde a caracteriza¸c˜ao do problema de estima¸c˜ao do PI, a
descri¸c˜ao e an´alise de opera¸c˜ao de um sistema de filtragem real. A solu¸c˜ao deste
problema leva em conta o desenvolvimento de modelos dinˆamicos do sistema que
s˜ao utilizados pelo filtro e pelo c´alculo do ponto de impacto.
Na sec¸c˜ao 2.1, a formula¸c˜ao do modelo p ara predi¸c˜ao de ponto de impacto
´e discutida atrav´es das suas equa¸c˜oes b´asicas. Problema do PI ´e caracterizado
como sendo um problema de estima¸c˜ao durante o vˆoo sob o ponto de vista das
leis da mecˆanica cl´assica. Neste caso as entradas os sinais de posi¸c˜ao capturados
pelo radar.
A descri¸c˜ao de um sistema de filtragem de sinais que representam a posi¸c˜ao
no espa¸co e no tempo de um foguete ´e apresentada na sec¸c˜ao 2.3.
´
E resaltada
a importˆancia da utiliza¸c˜ao do filtro no processo de rastreio de foguetes, cuja
finalidade ´e estimar a posi¸c˜ao e a velocidade do alvo com a maior precis˜ao poss´ıvel,
`a partir de medidas feitas pelo radar. Na sec¸c˜ao 2.3.2 apresenta-se estrutura
do Filtro αβγ e coment´arios de ordem pr´atica sobre sua implementa¸c˜ao em um
sistema de filtragem real.
13
CHAPTER 2. O PROBLEMA DO PONTO DE IMPACTO 14
2.1 Predi¸c˜ao d o ponto de impacto
A estima¸c˜ao do ponto de impacto ´e realizada por um estimador que pode ser
visto, em um sentido amplo, como sendo constitu´ıdo de dois blocos funcionais,
um respons´avel pela filtragem de sinais de radares e o outro respons´avel pela
previs˜ao da posi¸c˜ao do PI, Figura 2.1. Estes blocos funcionais tem como n´ucleo
de sua funcionalidades o modelo da planta, descrito no espa¸co de estados, e o
modelo para o PI.
Modelo
do
Filtro Digital
Modelo
do
Ponto de Impacto
Sinais
do
Radar
S
xyz
V
xyz
Coordenadas
do
Ponto de Impacto
Estimador de PI
Figure 2.1: Blocos Funcionais Fundamentais do Estimador de PI.
Durante a fase propulsada do foguete a equa¸c˜ao do movimento se assemelha `a
do movimento retil´ıneo uniformemente acelerado, (MRUA), visto que nessa fase
o ve´ıculo apresenta acelera¸c˜ao de propuls˜ao que varia rapidamente de zero a um
certo patamar, mantendo-se aproximadamente constante at´e instantes finais do
est´agio, caindo rapidamente para zero. Na fase bal´ıstica a equa¸c˜ao do movimento
assemelha-se `a do movimento de um proj´etil, desprezando a resistˆencia do ar, o
ve´ıculo est´a sujeito unicamente `a for¸ca gravitacional. No eixo Z, temos um movi-
mento MRUA. Enquanto que nos eixos X e Y, temos movimento com velocidade
constante e diferente de zero.
CHAPTER 2. O PROBLEMA DO PONTO DE IMPACTO 15
2.2 Caracteriza¸c˜ao do Problema
O problema da estima¸c˜ao do PI durante o vˆoo do ve´ıculo ´e caracterizado sob
o ponto de vista das leis da mecˆanica cl´assica e tem como entrada vari´aveis fil-
tradas. A trajet´oria do PI ´e tipicamente projetada no plano horizontal, relativo
ao lan¸cador, permitindo visualizar a cada amostragem, sua evolu¸c˜ao durante a
fase propulsada e estacionamento em raz˜ao do fim da propuls˜ao, caracterizando
a fase bal´ıstica do vˆoo.
Exemplificando, as Figuras 2.2 e 2.3 mostram uma caracteriza¸c˜ao da trajet´oria
da posi¸c˜ao e do PI de um vˆoo real de foguete. Na Figura 2.2 temos a trajet´oria
a altitude em fun¸c˜ao da distˆancia representando o perfil no plano vertical e sua
respectiva proje¸c˜ao, composta com o fundo cartogr´afico. Na Figura 2.3 temos
o tra¸cado da evolu¸c˜ao da proje¸c˜ao do ponto de impacto estimado. Seu aspecto
ruidoso mostra o quanto essa estimativa ´e sens´ıvel `a filtragem, como veremos no
decorrer deste trabalho.
ALTITUDE EM
FUNÇÃO DA
DISTÂNCIA
PROJEÇÃO DA
TRAJETÓRIA
NO
PLANO XY
TRAJETÓRIA DA POSIÇÃO DO FOGUETE
DECOMPOSTA EM DOIS PLANOS
Figure 2.2: Trajet´oria do foguete decomposta em dois planos: Altitude vs
distˆancia e sua proje¸c˜ao no plano XY
CHAPTER 2. O PROBLEMA DO PONTO DE IMPACTO 16
Figure 2.3: Evolu¸c˜ao do ponto de impacto do vˆoo referente `a figura 2.2. O aspecto
ruidoso reflete sua sensibilidade `a filtragem
2.3 Um Sistema de Filtragem Real
Neste sec¸c˜ao apresenta-se um sistema real para a filtragem dos dados de rastrea-
mento de foguetes. Na Figura 2.4 mostra-se um esquema geral do processo na qual
est´a inserido o filtro. Os sinais ruidosos do rastreio da posi¸c˜ao do alvo, chama-
dos sinais brutos, s˜ao adquiridos pelo radar em coordenadas esf´ericas (eleva¸c˜ao,
azimute e d istˆancia, bloco 1), a uma freq¨uˆencia fixa. As informa¸c˜oes de posi¸c˜ao
s˜ao medidas em rela¸c˜ao ao radar, seguida de uma mudan¸ca de referˆencia para
a rampa de lan¸camento (origem do lan¸camento) em coordenadas cartesianas X
b
,
Y
b
, Z
b
, (bloco 3). Na sa´ıda do bloco 4 s˜ao fornecidos, al´em da posi¸c˜ao filtrada na
forma cartesiana, ( X, Y , Z ), a informa¸c˜ao de velocidade para cada eixo ( V
x
,
V
y
e V
z
) do alvo. A posi¸c˜ao predita ´e utilizada no passo seguinte, t
k+1
, para ser
comparada ( bloco 2 ) com a pr´oxima medida do radar, o que permite eliminar
medidas aberrantes (medi¸c˜oes errˆoneas), sendo que antes sofre uma transforma¸c˜ao
CHAPTER 2. O PROBLEMA DO PONTO DE IMPACTO 17
inversa, bloco 5, `a ocorrida no bloco 3.
1 2 3
4
5
Figure 2.4: Diagrama representando o processo no qual esta inserida a filtragem
As informa¸c˜oes necess´arias para inicializa¸c˜ao do filtro s˜ao :
• Instante da partida do foguete,
• M´odulo da acelera¸c˜ao inicial do foguete,
• Eleva¸c˜ao e azimute da rampa para lan¸camento do foguete,
• Tempo de in´ıcio da fase bal´ıstica em rela¸c˜ao ao instante da decolagem.
2.3.1 Estrutura do Processo de Filtragem
O sistema de filtragem ´e constitu´ıdo e seis blocos funcionais. Esta estrutura
funcional ´e apresentada no diagrama em bloco 2.5
CHAPTER 2. O PROBLEMA DO PONTO DE IMPACTO 18
Status
do
Rastreio
Qualidade
da
Filtragem
Dinˆamica
do
Vˆoo
N´ucleo
do
Filtro
Fun¸c˜ao
de
Mem´oria
Sa´ıda
Entrada
Condi¸c˜ao
de
Reinicializa¸c˜ao
Bloco 1
Bloco 2
Bloco 3
Bloco 4
Bloco 5
Bloco 6
Figure 2.5: Diagrama em Blocos da Estrutura Funcional do Filtro.
O bloco 1, Status do Rastreio, temos o sensor e a entrada dos sinais das
medidas de rastreio, com informa¸c˜ao de rastreio do radar em autom´atico, sem
rastreio (radar no modo manual) ou uma condi¸c˜ao anˆomala de rasreio ( perda do
rastreio ou medi¸c˜oes inv´alidas) al´em das condi¸c˜oes iniciais no instante t = 0 para
o processo da filtragem.
O bloco 2, Qualidade da Filtragem, ´e respons´avel pelo crit´erio da validade
ou n˜ao da filtragem baseado num indicador de qualidade validando o resultado da
filtragem ou n˜ao. No caso da invalidade os dados de filtragem s˜ao desconsiderados.
Paralelamente ao bloco 2, o bloco 3, Dinˆamica do Vˆoo, ´e ativado, sendo
respons´avel por adaptar todo o processo `a dinˆamica do vˆoo, mais precisamente `as
fases propulsada ou bal´ıstica do foguete rastreado em condi¸c˜oes normais. Em caso
de situa¸c˜oes de invalidade da filtragem o bloco 4, Condi¸c˜ao de Reinicializa¸c˜ao,
´e respons´avel por reposicionar as condi¸c˜oes iniciais do filtro.
Os blocos 3 e 4 se interligam ao bloco 6, N´ucleo do Filtro, principal bloco
funcional que sintetiza o algoritmo da filtragem aplicado `a planta que representa
CHAPTER 2. O PROBLEMA DO PONTO DE IMPACTO 19
o processo. As ´ultimas medidas filtradas s˜ao m emorizadas no bloco 5, Fun¸c˜ao de
Mem´oria como recurso adicional para recupera¸c˜ao de rastreio. Ap´os completado
o ciclo a informa¸c˜ao ´e disponibilizada para visualiza¸c˜ao da trajet´oria e c´alculo do
PI. O processo se repete ap´os nova aquisi¸c˜ao disponibilizada pelo radar.
Conforme a situa¸c˜ao do rastreio as condi¸c˜oes operacionais do filtro de acordo
com o status do radar e eventos na dinˆamica de vˆoo do foguete rastreado. Condi¸c˜oes
operacionais a que ´e submetido o filtro:
1
o
caso - Sem rastreio: Neste caso o contador score que indica a qualidade
e a validade da filtragem ´e inicializado.
2
o
caso - A medida fornecida ´e um ponto aberrante: O valor do score ´e
decrementado. Enquanto este valor for positivo, o ´ultimo dado v´alido ´e
extrapolado, se for nulo, a extrapola¸c˜ao ´e aband onada.
3
o
caso - Rastreio ´e bom: O indicador score ´e incrementado at´e seu valor
m´aximo 10, ficando neste estado enquanto o rastreio for normal.
Uma memoriza¸c˜ao come¸ca quando o filtro atinge pela primeira vez sua largura de
banda ´otima, score=10. Dois casos podem se produzir:
1
o
caso - A pista ´e mantida: Trˆes pontos filtrados espa¸cados de um segundo
s˜ao memorizados, mantidos por janelas deslizantes.
2
o
caso - A pista ´e abandonada: A memoriza¸c˜ao fica v´alida vinte segundos
ap´os o ´ultimo ponto memorizado.
Em resumo, no final de cada instante de amostragem, temos na sa´ıda do
processo as seguintes informa¸c˜oes
1 - Validade da filtragem
2 - Uma posi¸c˜ao filtrada, uma velocidade filtrada e um ponto predito a cada vez
que uma medida ´e d ispon´ıvel. Somente um ponto predito em caso de perda
CHAPTER 2. O PROBLEMA DO PONTO DE IMPACTO 20
de detec¸c˜ao, a velocidade do alvo ´e considerada igual `a ´ultima velocidade
filtrada.
3 - Validade da memoriza¸c˜ao
4 - Tempo do ´ultimo ponto memorizado
5 - Coordenadas cartesianas dos trˆes ´ultimos pontos memorizados espa¸cados de
um segundo. Isto permite, em caso de perda de detec¸c˜ao, orientar o radar
por extrapola¸c˜ao das coordenadas memorizadas.
2.3.2 Filtro αβγ
A estrutura do Filtro αβγ e coment´arios de ordem pr´atica sobre o seu desem-
penho s˜ao discutidos no contexto do Sistema de Filtragem Real. A rela¸c˜ao b´asica
utilizada para o desenvolvimento de um algoritmo para filtragem de Wiener ´e,
ˆx
k+1
= ˆx
p
k+1
+ W
k+1
(z
k+1
− ˆz
p
k+1
), (2.1)
sendo ˆx
k+1
a atualiza¸c˜ao da estimativa do vetor de estado, ˆx
p
o valor predito da
estimativa do vetor de estado, ˆz
p
(k + 1) o valor predito da estimativa da medida,
W
k+1
a estimativa do vetor ganho do filtro e z
k+1
o valor medido.
Este filtro tem ganhos fixos denominados αβγ, que s˜ao utilizados para imple-
mentaro estimador do vetor de estado para um dado instante do sistema dinˆamico.
Pode-se mostrar (Kirubarajan 2001) que para o modelo cinem´atico apresentado
na Se¸c˜ao 3.2.2, a matriz de covariˆancia da estimativa do vetor de estado converge
para um valor de estado estacion´ario. Pode-se obter express˜oes expl´ıcitas para
o vetor ganh o. O filtro αβγ ´e sub-´otimo e caracteriza-se por possuir ganhos α
referente `a posi¸c˜ao, β referente `a velocidade e γ referente `a acelera¸c˜ao, constantes.
Esses ganhos s˜ao espec´ıficos para cada tipo de foguete a ser lan¸cado sendo cal-
culados off-line de acordo com a metodologia (Alexandre D. Caldeira 2000). A
nota¸c˜ao para o vetor ganho deste tipo de filtro ´e
CHAPTER 2. O PROBLEMA DO PONTO DE IMPACTO 21
lim
k→∞
W
k
= [α;
β
T
;
γ
2T
2
]
= W
,
sendo que α,
β
T
,
γ
2T
2
referem-se aos ganhos para as vari´aveis posi¸c˜ao, velocidade,
acelera¸c˜ao respectivamente e T o per´ıodo de amostragem uniforme.
´
E demon-
strado que sob certas condi¸c˜oes estes ganhos ´e o limite (ou regime permanente)
da matriz de ganho de Kalman (Guanrong 1991).
As equa¸c˜oes da estimativa atualizada do vetor de estados, para uma dire¸c˜ao
espec´ıfica, s˜ao dadas por:
XL
k+1
= XP
k+1
+ α (ZL
k+1
− ZP
k+1
) (2.2)
V L
k+1
= V P
k+1
+
β
T
(ZL
k+1
− ZP
k+1
) (2.3)
AL
k+1
= AP
k+1
+
γ
T
2
(ZL
k+1
− ZP
k+1
). (2.4)
O algoritmo completo considera este conjunto de equa¸c˜oes para todas as dire¸c˜oes.
2.4 Modelo d o PI
Considerando que os radares medem apenas a posi¸c˜ao do foguete e que o ponto de
impacto, PI, ´e uma vari´avel estimada a partir de posi¸c˜ao e velocidade estimadas,
conseguida atrav´es de t´ecnicas de filtragem, tem-se que a evolu¸c˜ao do PI reflete a
qualidade da filtragem (Alexandre D. Caldeira 2000). Atrav´es do comportamento
do curva do PI podemos verificar o n´ıvel de ru´ıdo do sinal filtrado, Figura 2.6, e
tempo de resposta do filtro sob as seguintes situa¸c˜oes:
- Entre as fases de fim de queima de um est´agio e in´ıcio de queima do seguinte;
- Filtragem na fase bal´ıstica final;
- Entre certas condi¸c˜oes operacionais ( tal como instantes entre perda e recu-
pera¸c˜ao do rastreamento do alvo).
CHAPTER 2. O PROBLEMA DO PONTO DE IMPACTO 22
Na determina¸c˜ao do PI, o modelo considera as seguintes hip´oteses:
• A trajet´oria ´e puramente bal´ıstica, isto ´e, el´ıptica conforme as Leis de
Kepler;
• O movimento ´e calculado em rela¸c˜ao ao centro de gravidade do engenho em
vˆoo.;
• O relevo terrestre e o atrito da atmosfera n˜ao s˜ao levados em conta;
• A terra ´e considerada perfeitamente esf´erica.
Utilizando o sistema de referˆencia tendo o centro da terra como origem, o eixo
Z ´e o eixo de rota¸c˜ao terrestr e, o eixo X ´e dado pela interse¸c˜ao do plano definido
pelo meridiano de Greenwich com o plano do equador, e o eixo Y ´e normal
ao plano definido pelos eixos X e Z. Conhecidos os vetores posi¸c˜ao
−−→
OM
i
=
−→
R
i
e
velocidade
−→
V
i
, obtidos do filtro, o vetor posi¸c˜ao do PI
−−−→
OM
ti
, Figura 2.6,
−−−→
OM
ti
=
−−→
ON
i
+
−−−→
N
i
M
ti
, (2.5)
que pode-se escrever como:
−−−→
OM
ti
= F
i
−−→
OM
i
+ G
i
−→
V
i
(2.6)
CHAPTER 2. O PROBLEMA DO PONTO DE IMPACTO 23
Centro da terra
Ri
Rti
Mti
Mi
Vi
dRi
dt
ti
i
d
dt
i Ri
0
Trajetória de impacto
Figure 2.6: Elipse da trajet´oria de predi¸c˜ao de impacto a partir dos vetores da
posi¸c˜ao e velocidade estimados pelo filtro
Conhecidos
−−→
OM
i
−→
V
i
, o c´alculo de
−−−→
OM
ti
consiste em determinar os coeficientes
F
i
e G
i
. Para isto calcula-se sucessivamente as proje¸c˜oes, o vetor da Equa¸c˜ao
(2.6) sobre a reta que cont´em o vetor
−−→
OM
i
e sobre sua perpendicular. A proje¸c˜ao
do vetor da Equa¸c˜ao (2.6) sobre a perpendicular `a reta OM
i
R
n
· sen(θ
ti
− θ
i
) = G
i
R
i
dθ
i
dt
=> R
i
R
n
· sen(θ
ti
− θ
i
) = G
i
R
2
i
dθ
i
dt
(2.7)
No caso de uma trajet´oria plana a grandeza R
2
i
dθ
i
dt
representa a constante de
superf´ıcie dada por
R
2
i
dθ
i
dt
=
k · µ, (2.8)
sendo
√
µ =
√
γ · M ≈ 1, 9964 · 10
7
(γ a constante de gravita¸c˜ao, M a massa
da terra) e k = a(1 − e
2
), sendo a o semi-eixo maior da elipse que representa a
trajet´oria de impacto do ve´ıculo, figura 2.6, e e a excentricidade dessa elipse.
Substituindo em 2.7,
G
i
=
R
i
R
n
· sen(θ
ti
− θ
i
)
√
k · µ
(2.9)
CHAPTER 2. O PROBLEMA DO PONTO DE IMPACTO 24
Exprimindo G
i
e F
i
em termos das anomalias excˆentricas E
ti
e E
i
, carac-
ter´ısticas da elipse considerada
R · cos(π −θ) = a ·cos(π −E) + a · e => R · cos(θ) = a · (cosE − e) (2.10)
A equa¸c˜ao em coord enadas cartesianas da elipse de centro C no plano xy,
(x − a.e)
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1. (2.11)
Substituindo x = R.cosθ por seu valor : a(cosE − e), y = b.senE = R.senθ,
R.senθ = a
√
1 − e
2
senE =
√
ak.senE. (2.12)
A equa¸c˜ao (2.7) pode ent˜ao ser escrita em termos de :
G
i
=
(R
ti
.senθ
ti
)(R
i
· cosθ
i
) − (R
ti
.cosθ
ti
)(R
i
· senθ
i
)
√
k · µ
(2.13)
e finalmente obtemos G
i
em termos de excentricidade:
G
i
=
a
3/2
µ
[sen(E
ti
− E
i
) − e(senE
ti
− senE
i
)]. (2.14)
A proje¸c˜ao sobre a reta
−−→
OM
i
se torna
R
i
.cos(θ
ti
− θ
i
) = F
i
R
i
+ G
i
dR
i
dt
(2.15)
sendo o termo
dR
i
dt
desconhecido. Da equa¸c˜ao da elipse em coordenadas polares,
R =
a(1 − e
2
)
1 + e.cosθ.
k
1+e.cosθ
. (2.16)
Derivando em rela¸c˜ao `a t
1
k
dR
dt
(1 + e.cosθ) −
R
k
e.senθ
dθ
dt
= 0 =>
1 + e.cosθ
k
=
1
R
=>
dR
dt
=
e.senθ
k
R
2
dθ
dt
(2.17)
CHAPTER 2. O PROBLEMA DO PONTO DE IMPACTO 25
Substituindo R
2
dθ
dt
e R.senθ
√
ak.senE
dR
dt
=
√
µa
e
R
senE. (2.18)
Aplicando as equa¸c˜oes 2.18, 2.10, 2.12 na equa¸c˜ao 2.15, e substituindo o valor
de G
i
,
F
i
=
cos(E
n
− E
i
) − e · cosE
i
1 − ecos · E
i
(2.19)
O problema consiste agora em determinar a, e, E
i
e E
n
. A partir das equa¸c˜oes
obtidas da elipse que representam a trajet´oria de impacto do foguete, os produtos
escalares dos vetores posi¸c˜ao e velocidade, que s˜ao dados de entradas fornecidos
pelo filtro, podem ser expressos em fun¸c˜ao destas grandezas:
semi-eixo maior
a =
µ(
−→
R
i
−→
R
i
)
1/2
2µ − (
−→
V
i
−→
V
i
)(
−→
R
i
−→
R
i
)
, (2.20)
excentricidade
e =
a(
−→
R
i
−→
V
i
)
2
+ µ[a − (
−→
R
i
−→
R
i
)
1/2
]
2
a
√
µ
, (2.21)
anomalia excˆentrica no instante i
E
i
= arctan
a
1/2
(
−→
R
i
−→
V
i
)
√
µ[a − (
−→
R
i
−→
R
i
)
1/2
, (2.22)
anomalia excˆentrica no instante do impacto
E
ti
= arctan
−
e
2
− (1 −
R
ti
a
)
1 −
R
ti
a
. (2.23)
Portanto, no referencial geocˆentrico o vetor de impacto
−−→
OM
i
= F
i
−−→
OM
i
+ G
i
−→
V
i
=
−→
R
ti
(2.24)
decomposto nas coordenadas R
xi
, R
yi
e R
zi
, obt´em-se a latitude λ
k
e longitude
ϕ
k
de impacto,
CHAPTER 2. O PROBLEMA DO PONTO DE IMPACTO 26
λ
i
= arctan
R
zi
R
2
xi
+ R
2
yi
(2.25)
ϕ
i
= arctan
R
yi
R
xi
(2.26)
2.5 Conclus˜ao
Neste cap´ıtulo apresentou-se o problema da predi¸c˜ao do Ponto de Impacto,PI,
que envolve filtros digitais para estimar a posi¸c˜ao e a velocidade de foguetes e o
modelo de impacto. Verificou-se a importˆancia de filtro no pro cesso de rastreios
de foguetes que tem como fun¸c˜ao estimar a posi¸c˜ao e a velocidade desse alvo
com maior precis˜ao poss´ıvel, `a partir d e medidas feitas pelo radar. Mostou-se um
sistema do mundo real para filtragem dos dados de rastreamento de foguetes e
uma estrutura do esquema de filtragem, al´em das condi¸c˜oes operacionais do filtro
conforme o status do radar e eventos na dinˆamica de vˆoo do foguete rastreado.
Apresentou-se a estrutura do Filtro Local,αβγ, inserido no sistema de Filtragem-
Real e coment´arios de ordem pr´atica sobre o seu desempenho. Os ganhos s˜ao cal-
culados off-line, mostrando, portanto, sua limita¸c˜ao de desempenho para foguetes
multiest´agios.
Mostrou-se o desenvolvimento das equa¸c˜oes para c´alculo do PI utlizando mod-
elo Kleperiano que n˜ao leva em considera¸c˜ao o arrasto atmosf´erico e considera a
terra perfeitmante circular. Os vetores posi¸c˜ao e velocidade, que s˜ao dados de
entrada fornecidos pelo filtro, s˜ao utilizadas pelas grandezas que estimam PI.
Chapter 3
Estimador do Ponto de Impacto
via Filtro de Kalman
O Sistema para Estima¸c˜ao do ponto de impacto dos foguetes com a superf´ıcie
terrestre ´e formado basicamente por um sistema de aquisi¸c˜ao de sinais, de um
filtro digital e do estimador de PI. Neste Cap´ıtulo explora-se os blocos funcionais
de filtragem e d e previs˜ao P I que s˜ao implementados por meio dos Filtro de
Kalman e do Estimador de PI.
Na sec¸c˜ao 3.1 apresenta-se os conceitos do Sistema para Estima¸c˜ao do Ponto
de Impacto, enfocando-se o algoritmo para a determina¸c˜ao do PI que est´a fun-
damentado nos conceitos expostos em O Problema do Ponto de Impacto,
Cap´ıtulo 2.
Devido a importˆancia dos modelos para o processo de estima¸c˜ao do PI, discute-
se a formula¸c˜ao de dois modelos descritos no espa¸co de estados em Modelos
para Rastreio de Foguetes, se¸c˜ao 3.2. Estes modelos fornecem as coord enadas
de posi¸c˜ao, velocidade e acelera¸c˜ao de foguetes. Enfoca-se o modelo de acelera¸c˜ao
do processo de Winner discreto e o modelo linear estoc´astico no espa¸co de estado
para o radar de rastreio, tendo como estados a distˆancia, o azimute e a eleva¸c˜ao
do alvo.
27
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 28
Os fundamentos e a estr utura do Filtro de Kalman Discreto necess´arias para
uma implementa¸c˜ao em tempo real s˜ao discutidas na se¸c˜ao 3.3. No Apˆendice A
apresenta-se a Formula¸c˜ao da predi¸c˜ao-corre¸c˜ao para a filtragem de Kalman.
Na sec¸c˜ao 3.4 apresenta-se os resultados de uma filtragem da trajet´oria proje-
tada, de acordo com o plano de vˆoo, que ´e obtida p or meio de um modelo descrito
no espa¸co de estado. Sinais de rastreados por radares, se¸c˜ao 3.5, de um foguete bi-
est´agio ´e utilizado para comparar o desempenho de um filtro digital tipo Kalman
Padr˜ao com o filtro αβγ de um sistema do mundo real.
3.1 Estimador do Ponto de Impacto
O processo de Estima¸c˜ao do Ponto de Impacto ´e realizado em duas etapas. Na
primeira etapa tem-se o processo de filtragem digital e na segunda o processo de
c´alculo do PI. A idealiza¸c˜ao do Estimador do PI agrupa os processos de filtragem
e c´alculo do PI num s´o bloco. A entrada as in forma¸c˜oes da posi¸c˜ao do ve´ıculo
rastreado pelo radar. A estrutura b´asica deste estimador ´e apresentada na Figura
3.1. O filtro ´e baseado no algoritmo de Kalman e o c´alculo do PI ´e baseado
no modelo orbital de Kepler. A partir dos vetores de estado de posi¸c˜ao
R
i
e
de velocidade
V
i
fornecidos pelo filtro estima-se o vetor de impacto
R
ti
, equa¸c˜ao
(2.24).
Filtro
PI
ii
VR ,
ti
R
Elevação
Azimute
Distância
E s t i m a d o r d e PI
R A D A R
Figure 3.1: Diagrama em bloco do Estimador do PI envolve o processo de Fil-
tragem e o c´alculo do Ponto de Impacto
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 29
3.2 Modelos para Rastr eio de Fogu etes
O desenvolvimento te´orico mostra que as estruturas de filtros Kalman s˜ao forte-
mente dependentes do mo d elo d a p lanta. Os algoritmos que implementam o filtro
digital podem ser considerados como fun¸c˜ao dos parˆametros do Sistema e/ou Mod-
elo, no caso de fun¸c˜oes de transferˆencia: os coeficientes de polinˆomios e no caso do
espa¸co de estado: as matrizes do modelo dinˆamico sistema. Consequentemente, a
rela¸c˜ao existente entre o modelo e o filtro gera a necessidade do levantamento de
um modelo que represente satisfatoriamente o comportamento de um sistema do
mundo real. O sistema dinˆamico ´e visto como entrada param´etrica do filtro que
influˆencia com alto de grau de acoplamento na precis˜ao das medi¸c˜oes estimadas.
Os Modelos Dinˆamicos que s˜ao utilizados para o rastreamento de ve´ıculos pela
industria aeroespacial ´e o principal enfoque da referˆencia (Jilkov 2003). Os autores
apresentam uma revis˜ao bibliogr´afica do estado da arte nos ´ultimos 30 anos dos
modelos matem´aticos desenvolvidos para o rastreamento de ve´ıculos espaciais.
Inicialmente, apresenta-se o modelo de acelera¸c˜ao do processo de Winner
discreto, subse¸c˜ao 3.2.1. A seguir na se¸c˜ao 3.2.2, apresenta-se o modelo linear
estoc´astico no espa¸co de estado para radar de rastreio, tendo como estados as
coordenadas esf´ericas em distˆancia, azimute e eleva¸c˜ao do alvo, com rela¸c˜ao ao
radar localizado na origem do sistema de eixos de referˆencia. Devido ao fato da
solu¸c˜ao da equa¸c˜ao dinˆamica do Sistema implementar uma estima¸c˜ao da medida
x
k+1|k
os modelos far˜ao parte do N´ucleo do filtro, essencialmente compondo o
bloco funcional de predi¸c˜ao do Filtro de Kalman.
3.2.1 Modelo de acelera¸c˜ao do Processo de Winner dis-
creto
A referˆencia (Jilkov 2003) mostra este modelo como um Modelo de Manobra com
Coordenadas Desacopladas. Nesta classifica¸c˜ao tem-se uma fam´ılia d e modelos
que s˜ao agrupados em trˆes categorias de modelos de Ru´ıdo Branco, de Processo
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 30
Markovianos e de Processo Semi-Markovianos com Saltos.
Neste modelo o ru´ıdo branco do processo, v(k), ´e o incremento da acelera¸c˜ao
no k-´esimo per´ıodo de amostragem, considerando uma seq¨uˆencia de m´edia zero.
No modelo cinem´atico a acelera¸c˜ao ´e um processo de Winner (Kirubarajan 2001).
Portanto, para o intervalo de tempo compreendido entre os instantes t
k
e t
k+1
, a
acelera¸c˜ao ´e constante,
a(t) = a(t
k
) + v(k) (3.1)
para t
k
≤ t ≤ t
k+1
e
v(k) = a(t
k+1
) − a(t
k
) (3.2)
As Equa¸c˜oes de estado, posi¸c˜ao e velocidade, para um modelo cinem´atico s˜ao
dadas, respectivamente,
ds
dt
= v
el
(t) (3.3)
dv
el
dt
= a(t) (3.4)
Estas equa¸c˜oes s˜ao v´alidas p ara os trˆes eixos do modelo tridimensional. Con-
sideremos apenas um dos eixos.
Substituindo-se a Equa¸c˜ao (3.1) na Equa¸c˜ao (3.4) e integrando-se em rela¸c˜ao
ao tempo, entre os instantes t
k
e t
k+1
tal que t
k
≤ t ≤ t
k+1
,
v
el
(t) − v
el
(t
k
) =
t
t
k
[a(t
k
) + v(k)]dt = [a(t
k
) + v(k)](t − t
k
) (3.5)
De maneira an´aloga, integrando-se a Equa¸c˜ao (3.3),
s(t) − s(t
k
) =
t
t
k
v
el
(t)dt. (3.6)
Substituindo-se a Equa¸c˜ao (3.5) na Equa¸c˜ao (3.6),
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 31
s(t) − s(t
k
) =
t
t
k
[a(t
k
) + v(k)](t − t
k
)dt +
t
t
k
v
el
(t
k
)dt (3.7)
resultando em
s(t) = s(t
k
) + v
el
(t
k
)[t − t
k
] + a(t
k
)
T
2
2
+ v(k)
T
2
2
. (3.8)
Fazendo-se t = t
k+1
e definindo-se T = t
k+1
− t
k
(per´ıodo de amostragem
uniforme), obt´em-se as equa¸c˜oes que descrevem a dinˆamica de vˆoo do ve´ıculo
para um eixo de coordenadas,
s(t
k+1
) = s(t
k
) + v
el
(t
k
)T + a(t
k
)
T
2
2
+ v(k)
T
2
2
v
el
(t
k+1
) = v
el
(t
k
) − a(t
k
)T + v(k)T
a(t
k+1
) = a(t
k
) + v(k)
Estas trˆes equa¸c˜oes na forma matricial,
s(t
k+1
)
v
el
(t
k+1
)
a(t
k+1
)
=
1 T T
2
/2
0 1 T
0 0 1
s(t
k
)
v
el
(t
k
)
a(t
k
)
+
T
2
2
T
1
v(k) (3.9)
3.2.2 Modelo linear Estoc´astico para Radar de Rastreio
Considere d, az, el a distˆancia radial, o ˆangulo de azimute e o ˆangulo de eleva¸c˜ao,
respectivamente, como coordenadas esf´ericas alvo rastreado, em rela¸c˜ao ao radar
localizado na origem do sistema de eixos. As coordenadas x,y e z correspondem
as coordenadas cartesianas do mesmo alvo, conforme a Figura (3.2). O eixo Y ´e
o eixo de referˆencia zero apontando para o Norte terrestre. O ˆangulo de azimute
az tem sentido positivo hor´ario como indica a seta do arco. O ˆangulo de eleva¸c˜ao
el tem como referˆencia o plano xy.
Considerando as coordenadas x, y, e z como fun¸c˜oes d o tempo com primeira e
segunda derivadas denotadas por ˙x, ˙y, ˙z, ¨x, ¨y, ¨z, respectivamente. Seja T o tempo
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 32
Foguete
z (zênite)
x (leste)
y (norte)
el
az
d
X
Y
Z
RADAR
Figure 3.2: Coordenadas esf´ericas (el, az, d) e cartesianas (x,y,z) da posi¸c˜ao do
foguete com radar na origem do sistema
de amostragem e considerando para o eixo X, por exemplo, x
k
= x(kT ) = s
x
(kT ),
˙x
k
= ˙x(kT ) = v
x
(kT ),¨x
k
= ¨x(kT ) = a
x
(kT ), correspondendo `as posi¸c˜oes, veloci-
dades e acelera¸c˜oes, respectivamentes, para cada per´ıodo T no eixo considerado.
Faz-se as mesmas considera¸c˜oes para as outras duas dire¸c˜oes. Usando a aprox-
ima¸c˜ao polinomial de segunda ordem de Taylor, o modelo discreto de rastreio do
radar ´e descrito no espa¸co de estados linear estoc´astico tridimensional,
x
k+1
= Φx
k
+ Γw
k
z
k
= Hx
k
+ v
k
sendo
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 33
x
k
=
s
xk
v
xk
a
xk
s
yk
v
yk
a
yk
s
zk
v
zk
a
zk
T
,
o vetor de estados possui como e vari´aveis: s
xk
, s
yk
, s
zk
correspondendo `as
coordenadas de posi¸c˜ao, v
xk
,v
yk
, v
zk
`as coordenadas de velocidade e a
xk
, a
yk
, a
zk
`as coorden adas de acelera¸c˜ao nas dire¸c˜oes X, Y e Z respectivamente.
˜
Φ =
1 T
T
2
2
0 1 T
0 0 1
1 T
T
2
2
0 1 T
0 0 1
1 T
T
2
2
0 1 T
0 0 1
,
˜
H =
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
e {w
k
} e {v
k
} s˜ao seq¨uˆencias de ru´ıdo branco independentes de m´edia zero e matriz
de covariˆancia Q
k
e R
k
, respectivamente. Assumindo que
Γ
k
=
Γ
1
k
Γ
2
k
Γ
3
k
, Q
k
=
Q
1
k
Q
2
k
Q
3
k
, R
k
=
R
1
k
R
2
k
R
3
k
,sendo
Γ
i
k
sub-matrizes 3 × 3, Q
i
k
sub-matrizes sim´etricas 3 × 3 n ˜ao-negativa definida, e
R
i
k
sub-matrizes sim´etricas 3 × 3 positiva definida, para i = 1, 2, 3. O sistema
pode ser decomposto em trˆes sub-sistemas com descri¸c˜ao em espa¸co de estados
utilizando as seguintes defini¸c˜oes para o estado desses subsistemas
x
k
=
x
1
k
x
2
k
x
3
k
, x
1
k
=
s
xk
v
xk
a
xk
, x
2
k
=
s
yk
v
yk
a
yk
, x
3
k
=
s
zk
v
zk
a
zk
,
e para os ru´ıdos,
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 34
w
k
=
w
1
k
w
2
k
w
3
k
, v
k
=
v
1
k
v
2
k
v
3
k
, y
k
=
y
1
k
y
2
k
y
3
k
, Φ =
1 T T
2
/2
0 1 T
0 0 1
, H =
1 0 0
.
Tem-se ent˜ao o sistema decomposto em trˆes sub-sistemas
x
i
k+1
= Φx
i
k
+ Γ
i
k
w
i
k
z
i
k
= Hx
i
k
+ v
i
k
,
sendo que i = 1, 2, 3 referem-se aos eixos coordenados X, Y e Z do sistema tridi-
mensional de referˆencia respectivamente.
No modelo de rastreio do radar descrito pelos trˆes sub-sistemas em espa¸co de
estados para cada um dos eixos, x(t), 0 ≤ t < ∞ denota a trajet´oria no espa¸co
de um objeto em vˆoo, Figura (3.2), sendo que t denota a vari´avel tempo e T > 0
tempo de amostragem fixo,
x
k
.
= x(kT ).
Para proposta pr´atica, x(t) deve possuir derivadas de primeira e segunda or-
dem cont´ınua, denotadas por ˙x e ¨x, respectivamente. As equa¸c˜oes de posi¸c˜ao e
velocidade escritas em termos do vetor de estado x
x
k+1
= x
k
+ T ˙x
k
+
1
2
T
2
¨x
k
˙x
k+1
= ˙x
k
+ T ¨x
k
sendo ¨x
k
.
= ¨x(kT ) e k = 0, 1, . . ..
Para simplificar consideremos apenas um eixos coordenados do sistema tridi-
mensional,
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 35
x
k+1
˙x
k+1
¨x
k+1
=
1 T T
2
/2
0 1 T
0 0 1
x
k
˙x
k
¨x
k
+
w
k1
w
k2
w
k3
z
k
=
1 0 0
x
k
˙x
k
¨x
k
+ v
k
.
Tomando-se como exemplo o eixo Z
x
k
=
s
zk
v
zk
a
zk
, Φ =
1 T T
2
/2
0 1 T
0 0 1
, H =
1 0 0
e v
k
= v(k) ´e um escalar.
Como resultado, o modelo no espa¸co de estados e de medidas da posi¸c˜ao em
uma dire¸c˜ao ser´a dada por
x
k+1
= Φx
k
+ Γw
k
z
k
= Hx
k
+ v
k
,
sendo, w
k
=
w
k1
w
k2
w
k3
T
e v
k
seq¨uencias de ru´ıdo branco gaussiano de
m´edia zero,E(w
k
) = 0 e E(v
k
) = 0, satisfazendo,
E(w
k
w
T
k
) = Q
k
δ
k
, E(v
k
v
T
k
) = R
k
δ
k
, E(w
k
v
k
) = 0,
E(X
k
w
T
k
) = 0, E(X
k
v
k
) = 0,
sendo Q
k
uma matriz sim´etrica n˜ao-negativa definida e Q
k
> 0 para todo k.
Considera-se que as condi¸c˜oes iniciais E(X
0
) e V ar(X
0
) s˜ao dadas.
3.3 O Filtro de Kalman
O filtro de Kalman ´e o pr incipal algoritmo para estimar sistemas dinˆamicos rep-
resentados na forma de espa¸co-estado. Nesta representa¸c˜ao o sistema ´e descrito
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 36
por um conjunto de vari´aveis denominadas de estado. O estado cont´em toda a
informa¸c˜ao relativa ao sistema a um determinado instante. Esta informa¸c˜ao deve
permitir, atrav´es do comportamento passado d o sistema, predizer seu comporta-
mento futuro.
O filtro de Kalman ´e um estimador para o problema conhecido como linear
quadr´atico usando medidas linearmente relacionadas com o estado corrompido
por ru´ıdo branco. O estimador resultante ´e estatisticamente ´otimo em rela¸c˜ao
a estima¸c˜ao do erro quadr´atico. O algoritmo ”predi¸c˜ao-corre¸c˜ao”de filtragem de
Kalman ´e baseado no crit´erio de otimalidade da estima¸c˜ao dos m´ınimos quadra-
dos u sando toda informa¸c˜ao dispon´ıvel. Na pr´atica, as vari´aveis de estado indi-
viduais de um sistema dinˆamico n˜ao podem ser exatamente determinadas atrav´es
de uma medi¸c˜ao direta, sendo ent˜ao realizada por meio de processos estoc´asticos
que envolvem algum grau de incerteza na medi¸c˜ao. O filtro de Kalman estima
o processo anterior utilizando uma esp´ecie de controle de realimenta¸c˜ao, isto ´e,
estima o processo em algum momento n o tempo e ent˜ao obt´em a realimenta¸c˜ao
atrav´es dos dados observados.
As equa¸c˜oes do Filtro de Kalman podem ser divididas em dois grupos: as
que atualizam o tempo (equa¸c˜oes de predi¸c˜ao) e as que atualizam os dados ob-
servados (equa¸c˜oes de atualiza¸c˜ao). As equa¸c˜oes de predi¸c˜ao s˜ao respons´aveis
pela proje¸c˜ao do estado no momento t tomando como referˆencia o estado no mo-
mento t − 1 e da atualiza¸c˜ao intermedi´aria da matriz de covariˆancia do estado.
As equa¸c˜oes de atualiza¸c˜ao s˜ao respons´aveis pela realimenta¸c˜ao, ou seja, incor-
poram nova informa¸c˜ao dentro da estima¸c˜ao anterior com o qual se chega a uma
estima¸c˜ao melhorada do est ado.As equa¸c˜oes que atualizam o tempo podem ser
vistas como equa¸c˜oes de predi¸c˜ao visto que as equa¸c˜oes que incorporam a nova
informa¸c˜ao podem ser consideradas equa¸c˜oes de corre¸c˜ao. Efetivamente, o algo-
ritmo de estima¸c˜ao final pode definir-se como um algoritmo de predi¸c˜ao-corre¸c˜ao
para resolver numerosos problemas. Assim o Filtro de Kalman funciona por meio
de um mecanismo de proje¸c˜ao e corre¸c˜ao ao predizer o novo estado e sua incerteza
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 37
e corrigir a proje¸c˜ao com a nova medida.
Na figura 3.3 apresenta-se em diagrama de blocos o problema de forma gen-
eralizada que consiste da estima¸c˜ao do vetores de estado e de sa´ıda {ˆx
k
ˆz
k
}
T
a
partir de medi¸c˜oes. Nesta figura salienta-se os componentes do vetor de medi¸c˜ao,
sinais de entrada do filtro s˜ao considerados conhecidos, no caso o vetor de medi-
das {z
k
}
T
obtido por meio de um sensor e o vetor de entradas {u
k
}
T
do Sistema
Dinˆamico.
Planta
Sistema
de
Medi¸c˜ao
Filtro
de
Kalman
u
k
x
k
z
k
{ˆx
k
ˆz
k
}
T
Figure 3.3: Processo de Medi¸c˜ao e Filtragem.
Na figura 3.4 mostra-se o pr ocesso de filtragem ocorrendo em quatro etapas
que consistem da aquisi¸c˜ao das medi¸c˜oes, das inicializa¸c˜oes, da predi¸c˜ao e da fase
final que ´e a corre¸c˜ao da predi¸c˜ao para uma amostragem de T segundos.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 38
Medidas
Inicializar
Predi¸c˜ao
Corre¸c˜ao
{ˆx
k
ˆz
k
}
T
Sintonia
do
Ganho
N´ucleo
Filtro
z
k
u
k
Figure 3.4: Diagrama Geral do processo de filtragem de Kalman.
Na figura 3.5 apresenta-se o diagrama em blocos de uma estrutura funcional
para implementa¸c˜ao de processo de filtragem tipo FKP. Nesta figura representa-
se as rela¸c˜oes entre sinais. Os sinais s˜ao processados no n´ucleo do filtro que s˜ao
constitu´ıdos das unidades de previs˜ao e de filtragem.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 39
K
H
Φ
q
−1
ψ
z
k+1
+
−
z
k+1/k
z
k+1/k
x
k+1/k
x
k+1/k
u
k
x
k/k
x
k+1/k+1
x
k+1/k+1
Mecanismo
de
Ajuste
Filtragem
Previs˜ao
N´ucleo do Filtro
Figure 3.5: Diagrama em Blocos do Filtro Digital.
O processo de previs˜ao, figur a 3.4, tem como sa´ıda o estado x
k+1/k
e baseia-se
no modelo do sistema dinˆamico,
ˆx
k+1|k+1
= ˆx
k+1|k
+ K
k
(z
k+1
− H ˆx
k+1|k
) (3.10)
sendo K
k
o ganho de Kalman. O processo de filtragem x
k+1/k+1
´e fundamentado
no modelo de Estima¸c˜ao de Gauss-Legendre,
ˆx
k+1|k
= Φˆx
k|k
, (3.11)
, sendo Φ a matriz de transi¸c˜ao de estado.
A metodologia utilizada para o sintetizar o mecanismo de ajuste do ganho K
define o tipo da Filtragem. Neste caso, o ajuste ´e feito utilizando a metodologia
do Filtro de Kalman na sua essˆencia que para fins de projeto ´e chamada de Filtro
de Kalman Padr˜ao.
O mecanismo de ajuste envolve a computa¸c˜ao de m´edias e variˆancias de sinais
e parˆametros do modelo do Sistema Dinˆamico para determina¸c˜ao do ganho. As
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 40
referˆencias apresentam o ajuste on line do ganho K.
3.4 Filtragem da Trajet´oria
Nesta se¸c˜ao apresenta-se resultados de uma implementa¸c˜ao do algoritmo Filtro
de Kalman Padr˜ao - FKP para filtragem da trajet´oria de vˆoo de foguete.
O algoritmo implementado ´e constitu´ıdo de duas partes: a primeira simula a
cada intervalo de tempo as coordenadas de posi¸c˜ao, de velocidade e de acelera¸c˜ao
do vˆoo de um foguete num sistema tridimensional. Na segunda parte, os sinais
das coordenadas de posi¸c˜ao s˜ao processadas pelo filtro digital de Kalman. A
simula¸c˜ao se justifica porque al´em de possibilitar conhecimento do comportamento
da velocidade e da acelera¸c˜ao de um foguete, os seus resultados s˜ao utilizados como
referˆencia nominal para an´alise do desempenho do filtro, umas vez que na pr´atica
a ´unica vari´avel medida pelo radar ´e a de posi¸c˜ao.
3.4.1 O Foguete
Os foguetes de sondagem s˜ao utilizados para miss˜oes suborbitais de explora¸c˜ao
do espa¸co, capazes de lan¸car cargas ´uteis compostas por experimentos cient´ıficos
e tecnol´ogicos. Registros de medi¸c˜oes do rastreio por radar do foguete nacional
bi-est´agio , o VS-40, foram utilizados neste trabalho.Este foguete pode efetuar
miss˜oes com cargas ´uteis cient´ıficas e tecnol´ogicas de at´e 500 kg em trajet´orias de
650 km de apogeu. Modelos de foguetes Nacionais s˜ao apresentados no Apˆendice
B.
Na a fase de simula¸c˜ao de vˆoo de foguete criou-se um programa que tem como
parˆametros de entrada a massa , M, do foguete, a massa inicial do combust´ıvel
M
0
, a taxa de queima do combust´ıvel R e empuxo causada pela queima desse
combust´ıvel al´em dos ˆangulos de eleva¸c˜ao e azimute de lan¸camento.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 41
3.4.2 Posi¸c˜ao, Velocidade e Acelera¸c˜ao do Foguete
Cada coordenada de posi¸c˜ao do ve´ıculo no sistema de coordenadas cartesianas
tridimensional ( X, Y, Z ) ´e medida independentemente, assim os mesmos podem
ser tratados separadamente. Os gr´aficos das figuras 3.6, 3.7 e 3.8 mostram toda
a extens˜ao da trajet´oria percorrida em termos da posi¸c˜ao, da velocidade e da
acelera¸c˜ao, para a coordenada Z, todas em rela¸c˜ao ao tempo.
Na figura 3.6, ´e apresentado o comportamento n a coordenada Z da posi¸c˜ao
(gerada pela implementa¸c˜ao do modelo antes da filtragem), estimada e de re-
ferˆencia se confundem devido a escala, mas evidenciam o comportamento t´ıpicos
desse tipo de aplica¸c˜ao.
Figure 3.6: Coordenada Z da posi¸c˜ao.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 42
Figure 3.7: Velocidade na eixo Z.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 43
Figure 3.8: Acelera¸c˜ao no eixo Z da .
3.4.3 O Ganho de Kalman
Para coment´arios e conclus˜oes dos resultados obtidos nos concentraremos nos de-
talhes do comportamento da velocidade e da acelera¸c˜ao, que s˜ao apresentadas
nas Figuras 3.9 e 3.10, respectivamente, para as primeiras 1000 amostras com
cadˆencia de amostragem de 0.1 segundos. Primeiramente ser´a observado o com-
portamento t´ıp ico. Precisamente de 0 `a 40 segundos tem-se a fase propulsada. Por
inspe¸c˜aomda Figura 3.9 constata-se a existˆencia de um sobresinal provocado pela
a¸c˜ao do filtro na estima¸c˜ao da velocidade ap´os a mudan¸ca para a fase bal´ıstica. O
comportamento d o filtro ´e ainda mais pronunciado para estima¸c˜ao da acelera¸c˜ao,
Figura 3.10. A curva de acelera¸c˜ao de refˆencia (cor azul) gerada na simula¸c˜ao ´e
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 44
acompanhada pela acelera¸c˜ao estimada (cor verde).
Figure 3.9: Estima¸c˜ao da velocidade - Modelo-Filtro.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 45
Figure 3.10: Estima¸c˜ao da acelera¸c˜ao - Modelo-Filtro.
Do resultado obtido pode-se concluir que a acelera¸c˜ao estimada, figura 3.10,
est´a ligeiramente defasada no tempo da curva de referˆencia na fase propulsada.
Verifica-se, ap´os a s´ubita passagem para a fase bal´ıstica (fim da fase propulsada
ap´os 40 segundos), um sobresinal da curva estimada para posterior acomoda¸c˜ao
e acompanhamento.
A figura 3.11 mostra o comportamento do ganho de Kalman para os primeiros
100 segundos para fins de an´alise. Os resultados da an´alise conduzem ao desen-
volvimento de um m´etodo para ajustar o ganho via varia¸c˜oes na covariˆancia do
ru´ıdo do processo.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 46
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
AMOSTRAS
Ganho
Ganho K
Ganho Pos.
Ganho Veloc.
Ganho Acel.
Figure 3.11: Ganhos no eixo Z para 100 segundos.
3.5 Filtragem de Sinais de Radares
Os registros dos sinais de rastreio do foguete utilizado neste trabalho tem como
fonte o radar de precis˜ao ATLAS, localizado a 30 km da rampa de lan¸camento.
Os dados brutos (medidas da posi¸c˜ao do foguete pelo radar) fornecidos pelo
radar ATLAS, s˜ao disponibilizados para tratamento na freq¨uˆencia de 20 Hz,
fornecendo as informa¸c˜oes de eleva¸c˜ao, azimute e distˆancia do foguete e enviados,
via modem, ao sistema de tratamento de dados. Uma caracter´ıstica importante
desse sistema ´e a de operar em tempo real, que a condi¸c˜ao necess´aria para o ras-
treamento d e foguetes. Uma das finalidades destes sistemas ´e efetuar a filtragem
dos dados brutos atrav´es de algoritmos computacionais e gerar o que se denomina
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 47
dados filtrados (valores de posi¸c˜ao e velocidade estimados do foguete), (Alexandre
D. Caldeira 2000).
Nesta se¸c˜ao s˜ao abordados os aspectos pr´aticos para o ajuste no algoritmo
do filtro de Kalman Padr˜ao - FKP, (Fonseca Neto 2005b). Os resultados
apresentados nesta se¸c˜ao s˜ao obtidas com medidas reais de um rastreio de foguete
de dois est´agios. O desempenho do algoritmo FKP ´e avaliado por compara¸c˜ao
com os valores estimados pelo filtro αβγ, filtro local, que se encontra operacional
nos computadores do Centro de L an¸camento de foguetes de Alcˆantara. Modelo
de foguetes Nacionais s˜ao apresentados no Apˆendice B. Registros de medi¸c˜oes de
vˆoos de alguns desse ve´ıculos foram utilizados neste trabalho.
Um indicador do n´ıvel de ru´ıdo do sinal filtrado e tempo de rea¸c˜ao do filtro
na transi¸c˜ao da fase propulsada para fase bal´ıstica ´e uma medida de qualidade
da estima¸c˜ao do PI, (Alexandre D. Caldeira 2000). Isto se deve ao fato de que
os parˆametros de entrada para o c´alculo do PI s˜ao a posi¸c˜ao e velocidade do
ve´ıculo estimados pelo filtro. Para obter a curva de evolu¸c˜ao do PI e verificar
o efeito da estima¸c˜ao da velocidade, procedeu-se conforme o esquema da figura
3.12. Observa-se que os gr´aficos do PI obtidos a partir da sa´ıda do filtro local
(cor azul) e do filtro FKP est˜ao deslocado. Isto ocorre devido ao fato de que
o filtro local disponibilza os dados filtrados com uma mudan¸ca da origem-radar
para origem-rampa de lan¸camento.
Nos testes utilizou-se registros de medidas real de vˆoo de um foguete de dois
est´agios que atingiu apogeu de 355, 96 km (altitude m´axima) e alcance de 1100, 4
km para um tempo de rastreio de 648, 8 segundos. A sequˆencia de passos para
verificar o comportamento do filtro ´e ilustrado por meio do esquema apresentado
na figura 3.12.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 48
(elev.,azim e dist.)
FKP
Dados filtrados
(X,Y,Z,Vx,Vy.Vz,
Ax,Ay.Az)
X,Y,Z,
Vx,Vy.Vz,
Computador
gráfico para
trajetografia
Cálculo da
evolução PI
(Lat. e Long.)
Dados filtrados
(X,Y,Z,Vx,Vy.Vz)
Filtro
Local
Dados
Brutos
Figure 3.12: Esquema b´asico para teste de desempenho do FKP
3.5.1 Filtros αβγ e FKP
Ajustou-se primeiro a variˆancia do ru´ıdo do processo, σ
r
, para 0.05 (variˆancia do
ru´ıdo da acelera¸c˜ao) e os elementos da matriz diagonal da covariˆancia de erro P .
Na Figura 3.13, tem-se o perfil da coordenada Z da posi¸c˜ao que descreve a altitude
do vˆoo em rela¸c˜ao ao tempo. Verifica-se que h´a superposi¸c˜ao entre a curva do
filtro local, que serve como referˆencia, portanto, n˜ao h´a divergˆencia por parte do
FKP.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 49
0 50 100 150 200 250 300
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x 10
5
Tempo (seg)
Z(m)
Coord.Z da Posiçao
Filtro local
Filtro FKP
Figure 3.13: Coordenada Z filtrada - Filtro αβγ e FKP.
3.5.2 Velocidade nas dire¸c˜oes XYZ
Nas figuras 3.14, 3.15 e 3.16 s˜ao apresentadas as estimativas das componentes V
z
,
V
y
e V
x
com objetivo de se analisar o tempo de rea¸c˜ao e velocidade de convergˆencia
do algoritmo FKP. Observa-se que no momento da transi¸c˜ao da fase propulsada
para bal´ıstica (aos 40 e 140 segundos aproximadamente) h´a uma diferen¸ca nas
estimativas velocidade estimadas pelo FKP (curva vermelha), tomando-se como
referˆencia as velocidades estimada pelo filtro local (curva azul ). Ap´os estes mo-
mentos a velocidade estimada pelo FKP converge para os mesmo valores do filtro
local. Observa-se, portanto, que o algoritmo FKP est´a respondendo lentamente
`a mudan¸ca de fases.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 50
0 50 100 150 200 250 300
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Tempo (seg)
Vz (m/s)
Coord.Z da Velocidade
Filtro local
Filtro FKP
Figure 3.14: Velocidade no eixo Z - Filtro α βγ e FKP.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 51
0 50 100 150 200 250 300
−200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Tempo (seg)
Vy(m/s)
Coord.Y da Velocidade
Filtro local
Filtro FKP
Figure 3.15: Velocidade no eixo Y - Filtro αβγ e FKP.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 52
0 50 100 150 200 250 300
−1000
−500
0
500
1000
1500
2000
Tempo (seg)
Vx (m/s)
Coord.X da Velocidade
Filtro local
Filtro FKP
Figure 3.16: Velocidade no eixo X - Filtro αβγ e FKP.
Outra observa¸c˜ao ´e a grande instabilidade nos instantes iniciais nas compo-
nentes de velocidade, Figuras 3.14, 3.15 e 3.16,provocando u ma oscila¸c˜ao bastante
pronunciada, a partir do instante em que o radar entra em autom´atico, causando
retardos para que o filtro FKP estime valores da velocidade de referˆencia.
3.5.3 O Ponto de Impacto
Nas curvas da latitude λ
k
, figura 3.17, e longitude ϕ
k
, figura 3.18, representando
a evolu¸c˜ao do PI em fun¸c˜ao do tempo, observa-se um sobresinal causado pela
sobre-estima¸c˜ao da velocidade nos momentos de passagem da fase propulsada para
bal´ıstica.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 53
0 500 1000 1500
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
tempo (s)
Latitude
Latitude do PI- simu 1
Lat. PI (filtro Local)
Lat. PI (FKP)
Figure 3.17: Latitude PI vs tempo - Filtro αβγ e FKP.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 54
0 500 1000 1500
-46
-44
-42
-40
-38
-36
-34
tempo (s)
Longitude
Longitude do PI- simu 1
Long. PI (filtro Local)
Lat. PI (FKP)
Figure 3.18: Longitude PI vs tempo - - Filtro αβγ e FKP.
Observando, no in´ıcio, a proje¸c˜ao no plano da trajet´oria do PI, Figura 3.19
(Lat vs Long), ´e evidente a pertuba¸c˜ao (curva vermelha) devido as oscila¸c˜oes
nos momentos iniciais na estima¸c˜ao da velocidade pelo FKP e verifica-se tamb´em
que o final dessa trajet´oria (impacto do segundo est´agio) est´a ligeiramente avan¸cada
em compara¸c˜ao ao PI de referˆencia.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 55
-46 -44 -42 -40 -38 -36 -34
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Longitude
Latitude
Evoluçao do PI -simu 1
PI (filtro Local)
PI
(FKP)
Figure 3.19: Evolu¸c˜ao do PI - Filtro αβγ e FKP padr˜ao.
Na pr´atica este ponto, Figura 3.19, recua para coincidir com o valor calculado a
partir do filtro local (trajet´oria da curva em vermelho). Este efeito ´e conseq¨uˆencia
dos overshoots da propaga¸c˜ao da pertuba¸c˜ao na estima¸c˜ao da velocidade, a qual
se observa evolu¸c˜ao das latitudes e longitudes de impacto,
−−→
OM
i
= F
i
−−→
OM
i
+ G
i
−→
V
i
=
−→
R
ti
(3.12)
λ
i
= arctan
R
zi
R
2
xi
+ R
2
yi
(3.13)
ϕ
i
= arctan
R
yi
R
xi
(3.14)
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 56
Conforme a equa¸c˜ao (3.12), para o vetor impacto, e as equa¸c˜oes (3.13) e (3.14),
decomposi¸c˜ao do vetor impacto em latitude e longitude no referencial geocˆentrico,
respectivamente, como mostradas nas Figuras 3.17 e 3.18.
3.5.4 Ajustes no Ganho de Kalman
A fim de proporcionar uma melhoria no desempenho do filtro de Kalman nos
instantes iniciais de rastreio, considera-se o vetor de estado inicial com coorde-
nadas mais p r´oximas do instante de aquisi¸c˜ao do radar, ou seja x
0
= [zz; v z; 0;
yy; vy; 0; zz; vz; 0], ao inv´es de x
0
= [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0].
Com a matriz de covariˆancia do erro inicializada para P = diag(1000), e aumen-
tando por um fator de multiplica¸c˜ao 10 os elementos matriz de ru´ıdo do processo
consegue-se atenuar os efeitos de sobresinal, como pode-se verificar nas Figuras
3.20, 3.21 e 3.22 referentes `as velocidade, assim como tamb´em na Figura 3.23
referente ao PI.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 57
0 50 100 150 200 250 300
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Tempo (seg)
Vz (m/s)
Coord.Z da Velocidade
Filtro local
Filtro FKP
Figure 3.20: Velocidade estimada, eixo Z, ap´os ajustes no FKP padr˜ao.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 58
0 50 100 150 200 250 300
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Tempo (seg)
Vy(m/s)
Coord.Y da Velocidade
Filtro local
Filtro FKP
Figure 3.21: Velocidade estimada, eixo Y , ap´os ajustes no FKP padr˜ao.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 59
0 50 100 150 200 250 300
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Tempo (seg)
Vx (m/s)
Coord.X da Velocidade
Filtro local
Filtro FKP
Figure 3.22: Velocidade estimada, eixo X, ap´os ajustes no FKP padr˜ao.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 60
-45 -44 -43 -42 -41 -40 -39 -38 -37 -36 -35
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Longitude
Latitude
Evoluçao do PI - simu 2
PI(filtro Local)
PI
(FKP)
Figure 3.23: Evolu¸c˜ao do PI ap´os ajustes no FKP padr˜ao.
3.6 Conclus˜ao
Neste cap´ıtulo utilizou-se o modelo cinem´atico que tem como ru´ıd o do processo
o incremento da acelera¸c˜ao conhecida como processo de Winner a partir do qual
chegou-se `as equa¸c˜oes que descrevem a dinˆamica de vˆoo do ve´ıculo. No modelo
no espa¸co de estado dessas equa¸c˜oes definiu-se a posi¸c˜ao, velocidade e acelera¸c˜ao
como var´aveis de estado.
O Estimador do Ponto de Impacto surgiu como uma proposta natural a
idealiza¸c˜ao num ´unica estrutura os modelos da duas fun¸c˜oes distintas e indepen-
dentes existentes: a Filtragem baseada no filtro de Kalman e o C´alculo do PI
.
CHAPTER 3. ESTIMADOR DO PONTO DE IMPACTO VIA FILTRO DE KALMAN 61
Mostrou-se resultados pr´aticos com dados de trajet´oria simulada com objetivo
de conhecer o comportamento do filtro FKP na estima¸c˜ao das var´aveis de estado
em rela¸c˜ao as curvas de referˆencias ideais. Os resultados do filtro FKP com
trajet´orias reais foram comparados e avaliados com o filtro local αβγ. Em fun¸c˜ao
dessas an´alises foram feitos ajuste para problemas de estabilidade nos instantes
iniciais nas componentes de velocidade quando o radar entra em autom´atico,
provocando retardos para que o filtro FKP.
Chapter 4
O Ajuste do Ganho-FKP
O desenvolvimento de uma metodologia para ajustar do ganho do Filtro de
Kalman e uma an´alise de seu desempenho na predi¸c˜ao do PI s˜ao assuntos desen-
volvidos neste t´opico em Modelagem de Sistemas Dinˆamicos, dando enfoque
ao Ajuste de Ganhos do Filtro de Kalman para Estimadores do Ponto de
Impacto.
A metodologia consiste em desenvolver modelos, t´ecnicas e procedimentos para
o ajustar o ganho K
k
de Kalman por meio de varia¸c˜oes na matriz de covariˆancia
do ru´ıdo do modelo. Esta sintonia ´e feita, numa primeira etapa, por tentativa
e erro para que possamos conhecer os efeitos e justificar a aplica¸c˜ao proposta
baseada em uma t´ecnica baseada em Algoritmo Gen´etico para ajustar estes
ganhos. Experimenta-se diversos valores para a variˆancia σ
r
da matriz Q e avalia-
se os efeitos na estima¸c˜ao da velocidade do ve´ıculo, e a consequente predi¸c˜ao do
ponto de impacto instantˆaneo para os instantes de mudan¸ca na fase de vˆoo de
propulsada para bal´ıstica.
O m´etodo de ajuste do ganho de Kalman ´e baseado em modelo. No caso,
o modelo orbital de Kepler ´e utilizado para calcular os parˆametros da el´ıpse de
impacto do ve´ıculos.
A covariˆancia do ru´ıdo do estado Q pod e ser determinada a cada instante da
62
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 63
medi¸c˜ao z
k
por M´etodos de Computa¸c˜ao Evolutiva ou Inferˆencia Bayesiana. A
versatilidade e flexibilidade do m´etodos em Computa¸c˜ao evolutiva para otimiza¸c˜ao
nos conduziu a direcionar esta p esquisa para o desenvolvimento de um m´etodo
para determinar a matriz Q. Este algoritmo gen´etico realiza a busca d a matriz
de covariˆancia de forma minimizar os desvios do vetor de estado em rela¸c˜ao uma
referˆencia baseada em modelo da trajet´oria do ve´ıculo.
A fun¸c˜ao de fitness do algoritmo ´e uma fun¸c˜ao objetivo que representa
uma minimiza¸c˜ao das entradas do estimador por meio de um mapeamento das
entradas filtradas e de referˆencias da trajet´oria baseada em modelo matem´atico.
As matrizes de covariˆancia s˜ao representados pelos cromossomos da gen´etica
artificial. O algoritmo desenvolvido ´e fundamentado na modelagem de matrizes
para Algoritmos Gen´eticos proposto em (Fonseca Neto 2000), (Ferreira et al.
2003) e (Ferreira and Fonseca Neto 2003).
O Algoritmo Padr˜ao de Kalman ´e interpretado sob a luz de unidades fun-
cionais que apresentam as rela¸c˜oes entre os sinais e parˆametros do Sistemas,
se¸c˜ao 4.1, contribuindo para a defini¸c˜ao da arquitetura base para projeto e im-
plementa¸c˜ao de filtros digitais. A organiza¸c˜ao das equa¸c˜oes da teoria do Filtro
de Kalman fornecem os su bs´ıdios para uma an´alise que conduz a incorpora¸c˜ao
de estrat´egias para Sintonia do Filtro. O s resultados de uma implementa¸c˜ao de
estrat´egias para o ajuste do ganho ´e discutido em Sintonia Emp´ırica, se¸c˜ao 4.2.
Por meio de modifica¸c˜oes nas covariˆancias, implementa-se um procedimento de
tentativa e erro para Sintonia Filtro.
O problema de Sintonia do Filtro ´e definido como um problema de otimiza¸c˜ao,
se¸c˜ao 4.3, que minimiza uma fun¸c˜ao objetivo para o erro das entradas do filtro
em rela¸c˜ao a uma referˆencia baseada em modelo. Experimentos Computacionais
que minimizam uma fun¸c˜ao objetivo do desvio p adr˜ao da velocidade, an´alise e
conclus˜oes s˜ao consideradas para varia¸c˜oes da matriz de covari˜ancia Q.
O Modelo do Algoritmo Gen´etico proposto para o Ajuste do Ganho ´e ampla-
mente discutido na se¸c˜ao 4.4. A Matrizes da covariˆancias s˜ao modeladas na forma
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 64
escalar e matricial Q e R, subse¸c˜ao 4.4.1. As Opera¸c˜oes Gen´eticas, A Fun¸c˜ao de
Fitness e M´etodos de Sele¸c˜ao s˜ao os elementos funcionais que constituem o AG.
No Apˆendice A.6 apresenta-se os Operadores Cromossomicos.
4.1 Algoritmo Padr˜ao de Kalman
O desenvolvimento do processo filtragem do tipo Kalman est´a fundamentado em
um modelo do sistema. Este modelo ´e normalmente descrito no espa¸co de estado.
Para fins de projeto de ajuste do ganho do filtro, considere que o comportamento
dinˆamico do Sistema do mundo real ´e avaliado em termos de um modelo do ve´ıculo
espacial descrito no espa¸co de estado,
x
k+1
= Φx
k
+ Ψu
k
+ Γw
k
(4.1)
z
k
= Hx
k
+ v
k
(4.2)
sendo x
k
= (s
xk
v
xk
, a
xk
, s
yk
, v
yk
, a
yk
, s
zk
, v
zk
, a
zk
)
T
o vetor de estado
de vari´aveis s
xyz
= (s
xk
, s
yk
, s
zk
)
T
correspondendo `as coorden adas de posi¸c˜ao,
v
xyz
= (v
xk
,v
yk
, v
zk
)
T
`as coordenadas de velocidade e a
xyz
= (a
xk
, a
yk
, a
zk
)
T
`as
coordenadas de acelera¸c˜ao nas dire¸c˜oes X, Y e Z, respectivamente.
Definida a estrutura da modelagem do sistema, equa¸c˜oes (4.1) e (4.2), apresenta-
se o desenvolvimento te´orico do filtro Kalman. Este desenvolvimento, referˆencias
(Fonseca Neto 2005a) e (Guanrong 1991) ´e utilizado para o projeto de um algo-
ritmo para Sintonia do Filtro em Tempo real. As equa¸c˜oes b´asicas que regem o
processo de Filtragem de Kalman, considerando o sistema representado por um
modelo estoc´astico linear com descri¸c˜ao em espa¸co de estado,
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 65
P
0,0
= V ar(x
k
) (4.3)
K
k+1
= P
k+1|k
H
T
k
(H
k+1
P
k+1|k
H
T
k+1
+ R)
−1
(4.4)
P
k+1|k+1
= (I − K
k+1
H
k
)P
k+1|k
(4.5)
ˆx
0,0
= E(x
0
)
ˆx
k+1|k
= Φ
k
ˆx
k|k
(4.6)
ˆx
k+1|k+1
= ˆx
k+1|k
+ K
k+1
(z
k+1
− H
k+1
ˆx
k+1|k+1
) (4.7)
P
k+1|k
= Φ
k
P
k|k
Φ
T
k
+ Γ
k
QΓ
T
k
(4.8)
k = 1, 2, ···
Estas equa¸c˜oes s˜ao agrupadas para formar as unidades funcionais de entrada,
de processamento de Sinais e de sa´ıda para um Sistema de Filtragem do Tipo
Kalman. As rela¸c˜oes entre os sinais e os parˆametros representados pelo conjunto
de equa¸c˜oes (4.3 - 4.7) s˜ao utilizadas para o projeto do filtro de Kalman. Estas
equa¸c˜oes s˜ao agrupadas nos blocos funcionais que estabelecem a estrutura do
n´ucleo filtro em trˆes blocos que est˜ao representados na unidade funcional Unidade
do Processamento de Sinais.
Para fins de projeto de um Filtro Digital em Tempo Real, o processo de Fil-
tragem ´e formado por trˆes blocos, Figura 4.1, que est˜ao representando as rela¸c˜oes
entre o ganho de Kalman e as estimativas a priori, x
k+1|k
, e a posteriori,
x
k+1|k+1
, dos estados. As linhas tracejadas delimitam as unidades funcionais de
entrada, de Processamento de Sinais e de Sa´ıda do Sistema de Previs˜ao e Filtragem
de Sinais.
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 66
K
K
Bloco 3 - Filtragem
Bloco 1 - Previs˜ao
Unidade de Saida
Unidade do Processamento de Sinais
Unidade de Entrada
Parˆametros
do
Sistema
Φ e Ψ
H
Controle
u
k
Medida
z
k+1
xp
k
Bloco 2 - Ganho de Kalman
ˆx
k+1|k
ˆz
k+1
ˆx
k+1|k+1
C-iniciais
xp
0
= [0; 0]
P
n×n
0
e Q
n×n
0
R
n×r
0
xh
0
= [0; 0]
xh
k
xp
k
= Φxh
k
+ Ψu
k
P xp
k
= ΦP Φ
+ Q
K
K
= P H
/(HP H
+ R)
xh
k
K
K
P xp
k
= xp
k
+ K
K
(z
k+1
− Hxp
k
)
P = P − K
K
HP
Figure 4.1: Unidades Funcionais do Sistema de Filtragem do Tipo Kalman.
No Bloco 2 - Ganho de Kalman, Figura 4.1, estabelece-se o mecanismo para im-
plementa¸c˜ao de estrat´egias para o Ajuste do Ganho. Especificamente, o objetivo
´e a determina¸c˜ao das covariˆancias dos sinais de ru´ıdo que conduzem a melhorias
no desempenho do filtro.
As unidades de entrada e de sa´ıda s˜ao caracterizadas por um tratamento pr´evio
e p´os dos sinais que representam as vari´aveis d as referidas unidades, Figura 4.1.
As entradas s˜ao as medi¸c˜oes, as matrizes de covariˆancias do ruido e do estado,
os parˆametros do Sistema e as condi¸c˜oes iniciais dos estados. A unidade de sa´ıda
´e representada pelas estima¸c˜oes dos estados e da observa¸c˜ao. As funcionalidade
destas unidades podem ser caracterizadas a atrav´es de um rela¸c˜ao funcional en-
trada/sa´ıda,
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 67
Y
saida
= P
processo
U
entrada
(4.9)
sendo Y
saida
, P
processo
e U
entrada
as unidades funcionais de entrada, de Proces-
samento de Sinais e de Sa´ıda que s˜ao representadas por mapeamentos,
U
entrada
= F
e
u
k
, z
k
, H, Φ, Γ, xh
0
, xp
0
, P
n×n
0
, Q
n×n
0
, R
r×n
0
(4.10)
P
processo
= F
p
(xh
k
, K
K
, P, xp
k
) (4.11)
Y
saida
= F
s
ˆx
k+1|k
, ˆz
k+1
, ˆx
k+1|k+1
(4.12)
A fun¸c˜ao U
entrada
, rela¸c˜ao (4.10), representam os est´ımulos externos e a fun¸c˜ao
Y
saida
, rela¸c˜ao (4.12), representam a resposta da rea¸c˜ao aos est´ımulos. Esta rea¸c˜ao
´e um mapeamento estabelecido pela rela¸c˜ao (4.12).
4.2 Sintonia Emp´ırica
A sintonia emp´ırica do Filtro de Kalman ´e um procedimento de tentativa e erro
para um ajuste do ganho por meio de varia¸c˜oes na matriz de covariˆancia dos
ru´ıdo da planta. A experiˆencia d o projetista, em cima do processo de estima¸c˜ao
do PI, conduz a tomada de decis˜oes para o ajuste destes ganhos. As decis˜oes s˜ao
inferidas em n´ıveis de modelos discretos para fornecer sinais que s˜ao representados
por parˆametros. Estes parˆametros que integram o modelo da planta permitem
moldar os valores num´ericos do ganho. Observa-se que este tipo de evento registra
a ocorrˆencia de um ajuste do ganho, tendo como origem um parˆametro livre da
equa¸c˜ao do ganho.
Nesta sec¸c˜ao mostra-se um ajuste do ganho por tentativa e erro, as heur´ısticas
utilizadas est˜ao propostas em (Kirubarajan 2001). A aplica¸c˜ao deste m´etodo tem
por objetivo apresentar o comportamento do sistema e entender um procedimento
utilizado para determina¸c˜ao de ganhos.
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 68
o termo ru´ıdo do processo v
k
´e algumas vezes modelado por Γ
k
v
k
, sendo v
k
uma
sequˆencia de valores de ru´ıdo branco n
v
para t
k
segundos e Γ
k
uma matriz con-
hecida de dimens˜ao n
x
×n
v
. A matriz de covariˆancia do dist´urbio ´e representada
por varia¸c˜oes escalares σ
2
Q
,
Q = E[(Γ
k
v
k
)(Γ
k
v
k
)
T
] = Γ
k
σ
2
Q
Γ
T
k
. (4.13)
A escolha de uma faixa pr´atica da variˆancia do processo σ
w
, magnitude m´axima
da acelera¸c˜ao incremental sobre per´ıodo de amostragem ∆
m
conforme (Kirubara-
jan 2001),
∆σ
min
≤ σ
Q
≤ ∆σ
max
Inicialmente, utilizou-se trajet´orias estimadas por modelos que foram desen-
volvidos para fins de projeto e implementa¸c˜ao de Filtros Kalman. Ajustou-se os
valores da variˆancia do ru´ıdo do processo numa faixa entre σ
Q
= 0.005 e σ
Q
= 50,
dois extremos de grandezas para verificar o comportamento da curva de velocidade
estimada em rela¸c˜ao `a velocidade referˆencia, assim como as curvas de acelera¸c˜ao
e ganhos. Nesta faixa de grandeza tem-se uma id´eia de como modifica¸c˜oes da
covariˆancia Q influenciam no comportamento do filtro e consequentemente no
c´alculo do PI.
Para σ
Q
= 0.005, nota-se que a velocidade estimada ´e lenta para convergir
para a velocidade de referˆencia, no instante de 40 segundos, Figura 4.2, fim da
fase propulsada, em compara¸c˜ao com a velocidade estimada usando σ
r
= 50,
Figura 4.3.
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 69
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Tempo (seg)
Velocidade (m/s)
SIM− Modulo da Velocidade
Mod. veloc. de ref.
Mod. veloc. estimada
Figure 4.2: M´odulo da velocidade para σ
Q
= 0.005.
O tempo para convergir, ap´os a transi¸c˜ao da fase propulsada-bal´ıstica, ´e de 35
segundos para σ
r
= 0.005 e 7 segund os para σ
r
= 50. Observa-se os efeitos para o
tempo de resposta do filtro na estima¸c˜ao da velocidade na mudan¸ca da dinˆamica
do vˆoo para os dois valores de σ
r
.
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 70
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Tempo (seg)
Velocidade (m/s)
SIM− Modulo da Velocidade
Mod. veloc. de ref.
Mod. veloc. estimada
Figure 4.3: M´odulo da velocidade para σ
Q
= 50
Como pode ser constatados nas figuras 4.4 e 4.5 as varia¸c˜oes de σ
Q
atuam com
maior intensidade na estima¸c˜ao da acelera¸c˜ao.
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 71
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
50
100
150
200
250
Tempo (seg)
Aceleraçao (m/s
2
)
SIM − Modulo da Aceleracao
Modulo da Acel. ref.
Mod. da Acel. estimada
Figure 4.4: M´odulo da acelera¸c˜ao- σ
Q
= 0.005.
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 72
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Tempo (seg)
Aceleraçao (m/s
2
)
SIM − Modulo da Aceleracao
Modulo da Acel. ref.
Mod. da Acel. estimada
Figure 4.5: M´odulo da acelera¸c˜ao- σ
Q
= 50.
Para o primeiro valor de σ
r
temos, al´em de uma consider´avel defasagem, tem-se
uma pior-estimados em rela¸c˜ao `a acelera¸c˜ao de referˆencia. Em contrapartida para
o segundo valor de σ
r
´e revelado uma grande amplitude, uma piora no resultado
da estimativa, na fase transit´oria, al´em de um ru´ıdo relativamente pronunciado
na acelera¸c˜ao estimada em compara¸c˜ao com o primeiro valor de σ
r
. Isto ´e devido
a um acentuado n´ıvel de ru´ıdo nos ganhos do filtro para este valor de σ
r
, figura
4.6.
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 73
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo(seg)
Ganho
SIM− Ganho K
Ganho Pos.
Ganho Veloc.
Ganho Acel.
Figure 4.6: Ganho - σ
Q
= 50. Aspecto ruidoso em regime permanente.
Pode-se ent˜ao concluir que existe um compromisso entre a velocidade de re-
sposta e o n´ıvel ru´ıdo do sinal filtrado. Isto ´e bastante not´orio quando estes
resultados s˜ao utilizados para o c´alculo do PI instantˆaneo. Na figura 4.7 temos
a evolu¸c˜ao da longitude de impacto calculada a partir dos valores de sa´ıda do
filtro. Temos dois aspectos extremos: um impulso que reflete uma predi¸c˜ao do PI
a muitos kilometros de distˆancia do ponto de impacto real(curva em preto) com
grande quantidade de ru´ıdo (curva em vermelho) e no outro caso, uma demora
acentuada para c´alculo do ponto de impacto real em torno do qual oscila embora
descrevendo curva mais suave bem menos ruidosa (curva em azul). Temos, por-
tanto, aspectos conflitantes que s˜ao refletidos diretamente no c´alculo do ponto de
impacto, PI, instantˆaneo do ve´ıculo rastreado.
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 74
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
−44.5
−44
−43.5
−43
−42.5
−42
−41.5
−41
−40.5
−40
tempo (s)
Longitude
LONGITUDE PI
Long. VAR=50
Long. VAR=0.005
Long. Refer.
Figure 4.7: Longitude PI. Altera¸c˜oes para σ
Q
=0.005 e σ
Q
50)
Em resumo, pelo comportamento das coordenadas do PI, tomemos como ex-
emplo a longitude na Figura 4.7, a excessiva pertuba¸c˜ao para σ
Q
= 50 e para
σ
Q
= 0.005, uma grande lentid˜ao na convergˆencia da estimativa do valor de re-
ferˆencia do PI. Avaliando-se os m´odulos das velocidades estimadas para os respec-
tivos valores σ
Q
= 0.005 e σ
Q
= 50, Figuras 4.3 e 4.2, respectivamente, observa-se
a grande influˆencia dessa componente na estimativa do PI. O erro no PI pode
ser da ordem de dezenas de quilometros, causada principalmente pelos erros das
estimativas das velocidades. Isto sugere a importˆancia de se minimizar os erros
nessa componente. Para an´alise do desempenho do filtro, avalia-se os efeitos na
estima¸c˜ao d a velocidade do ve´ıculo e a consequente predi¸c˜ao do ponto de impacto,
PI.
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 75
Verifica-se, ent˜ao, que os dois valores extremos, σ
Q
= (0.005 e 50), provocaram
altera¸c˜oes sub stanciais no processo de filtragem, sob o ponto de vista de velocidade
de resposta e n´ıveis de ru´ıdo no sinal estimado. Estes parˆametros, neste texto, s˜ao
chamados de parˆametros operacionais que s˜ao utilizados para ajustar o ganho
do filtro FKP. Uma investiga¸c˜ao exaustiva em torno de limites para varia¸c˜ao da
matriz de convariˆancia ´e importante para estabelecermos referˆen cias que permitam
o desenvolvimento de m´etricas para o ajuste do ganho.
4.3 Formula¸c˜ao do Proble ma de Sintonia
O problema ´e enfatizado pela importˆancia que tem a filtragem para o c´alculo do
ponto de impacto. A estimativa do PI, a cada instante do vˆoo, depende da posi¸c˜ao
e da velocidade do foguete. Mais precisamente, o vetor do ponto de impacto pode
ser visto como fun¸c˜ao do vetor de posi¸c˜ao e do vetor velocidade a cada instante
i de amostragem, P I
i
= (
P
i
,
V
i
) para i = 1, 2, 3.... Estabelece-se uma formula¸c˜ao
para o problema do cancelamento de ru´ıdo e da velocidade de convergˆencia e
prop˜oe-se m´etodos para sua solu¸c˜ao. O problema ´e definido como um problema
de otimiza¸c˜ao,
Defini¸c˜ao do Problema - 4.3.1. Otimiza¸c˜ao de aspectos operacionais do filtro
para atingir um aumento da velocidade de resposta e redu¸c˜ao do ru´ıdo.
Uma investiga¸c˜ao exaustiva em torno de limites para varia¸c˜ao da matriz de
convariˆancia custa caro e muitas vezes n˜ao temos o ganho ´otimo de projeto e sim
uma aproxima¸c˜ao baseada no conhecimento emp´ırico. Nesta se¸c˜ao formula-se o
problema do ajuste do filtro como um problema de otimiza¸c˜ao que minimiza uma
fun¸c˜ao objetivo para o erro das entradas do filtro em rela¸c˜ao a uma referˆencia
baseada em modelo.
Definido o problema em 4.3.1, prop˜oe-se uma primeira realiza¸c˜ao que fornece
uma estimativa do vetor de estado [s, v, a]
T
do foguete a partir de sinais capturados
pelos radares,
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 76
Defini¸c˜ao do Problema - 4.3.2. Determina¸c˜ao de uma m´etrica que neste
intervalo avalie a velocidade de rea¸c˜ao do filtro considerando n´ıvel de ru´ıdo do
sinal filtrado.
A formula¸c˜ao em uma linguagem geral e formal para o problema de otimiza¸c˜ao,
considerando a minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao objetivo f(.) do erro da posi¸c˜ao e da ve-
locidade do ve´ıculo e tendo como restri¸c˜oes a velocidade η
conv
de convergˆencia
e o n´ıvel eta
ruid
(.) sinal/ru´ıdo. A solu¸c˜ao deste problema, consiste Deve-se na
determina¸c˜ao da matriz de covariˆancia que satisfaz a estrutura,
min
Q
f(.) (4.14)
sujeito a η
ruid
(.) ≤ ε
l1
(4.15)
η
conv
(.) ≤ ε
l1
(4.16)
Em particular, procura-se a determina¸c˜ao dos valores de σ
Q
utilizados na ma-
triz Q que minimizem a velocidade de convergˆencia do algoritmo, representado
pelo funcional f : R
n×n
→ R e as restri¸c˜oes. A estrutura de otimiza¸c˜ao, rela¸c˜oes
( 4.14 - 4.16), permite inserir o novo compromisso, sem prejudicar a minimiza¸c˜ao
do erro que j´a ´e considerada na determina¸c˜ao das equa¸c˜oes b´asicas do filtro e
satisfazer as novas restri¸c˜oes.
Considerando a estrutu ra de otimiza¸c˜ao e os resultados obtidos em Sinto-
nia Emp´ırica, se¸c˜ao 4.2, prop˜oe-se uma metodologia baseada em Algoritmo
Gen´etico para a Sintonia do filtro de Kalman por meio do ajuste no ganho
via matriz de covariˆancia Q. Para an´alise do desempenh o do filtro, avalia-se os
efeitos na estima¸c˜ao da velocidade do ve´ıculo e a consequente predi¸c˜ao do ponto
de impacto em termos das transi¸c˜oes de fases do foguete.
4.3.1 A fun¸c˜ao Objetivo do Ajuste
Definindo-se um vetor erro para as trˆes coordenadas da velocidade,
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 77
σ(eV ) = f[σ(V x
i
− V x
ref
), σ(V y
i
− V y
ref
), σ(V z
i
− V z
ref
)] (4.17)
sendo V x
i
− V x
ref
, V y
i
− V y
ref
e V z
i
− V z
ref
os desvios ou erros de cada
coordenada da velocidade em rela¸c˜ao `as respectivas coordenadas de velocidades de
referˆencia, s˜ao considerados os desvios padr˜ao para cada instante de amostragem
i = 1, 2, 3 . . ..
A fun¸c˜ao objetivo em n´ıvel de operadores ´e estabelecida para o projeto de
ajuste do ganho, esta fun¸c˜ao deve ser avaliada para valores de σ
Q
que minimize
a resultante dos vetores de desvio padr˜ao de erros, eV
x
= V x
i
− V x
ref
, eV
y
=
V y
i
− V y
ref
e eV
z
= V z
i
− V z
ref
,
σ(eV ) =
σ
2
(eV
x
) + σ
2
(eV
y
) + σ
2
(eV
z
) (4.18)
4.3.2 Experimentos Computacionais
A velocidade de referˆencia foi extra´ıda da trajet´oria nominal de um foguete. A
informa¸c˜ao da trajet´oria de posi¸c˜ao foi transmitida ao radar, como se este tivesse
rastreando um vˆoo de foguete real em modo autom´atico, sendo que no final do
ensaio resultou nessa medida de posi¸c˜ao nominal do foguete mais os ru´ıdos reais
de medidas, ou seja, obtemos dados brutos.
Estas medi¸c˜oes foram aplicadas ao Filtro de Kalman Padr˜ao (FKP) para
diferentes valores do ru´ıdo d o processo σ
Q
para um intervalo 0.005 ≤ σ
Q
≤ 50
resultando nas velocidades estimadas para cada valor de σ
Q
de forma a obtermos
diferentes aspectos em termos de n´ıveis de ru´ıdo presente nesta vari´avel estimada
assim como diferentes tempo de rea¸c˜ao para convergir para o valor de velocidade de
referˆencia, aspectos esses que se mostram conflitantes. Para σ
Q
pequenos, obteve-
se estima¸c˜ao com aspecto mais suave, por´em com uma evolu¸c˜ao lenta em rela¸c˜ao
`a curva de referˆencia. A medida que os valores de σ
r
est˜ao aumentando, verifica-
se uma estima¸c˜ao mais ruidosa, com grande amplitude e rapidez na transi¸c˜ao
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 78
de fase propulsada para bal´ıstica, como pode-se ver pelos gr´aficos das curvas.
Para cada instantes obteve-se um erro entre a velocidade estimada e a velocidade
de referˆencia para cada eixo. Calculou-se ent˜ao o desvio padr˜ao desses erros ou
varia¸c˜oes. O processo se repete para os valores de σ
Q
= (0.005 e 50). As tabelas
4.1 e 4.2 mostram os resultados obtidos dos desvios padr˜ao dos erros de velocidade
para os eixos X, Y e Z.
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 79
σ(V x
i
− V x
ref
) σ(V y
i
− V y
ref
) σ(V z
i
− V z
ref
)
81.7927 8.8262 643.4561
81.7927 8.8262 433.2390
81.8683 8.1866 433.9923
81.9076 8.4387 433.9978
81.2455 8.3507 434.0921
81.6490 9.4108 433.6560
82.0167 8.7065 434.8804
82.3696 7.7400 435.1441
82.1756 8.3817 434.2040
81.2931 7.8275 434.0746
81.7099 7.6386 435.1130
81.9714 7.2410 434.4881
81.8946 7.1547 436.0297
82.2797 6.9970 436.2696
81.6236 7.7224 436.3221
81.3841 6.2434 437.4206
82.2274 6.5785 438.3279
82.6279 6.0906 440.4257
83.1834 6.5113 444.9938
95.6593 6.6944 565.9272
Table 4.1: Desvios padr˜ao dos erros de velocidade - 1
Para o segundo intervalo,
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 80
σ(V x
i
− V x
ref
) σ(V y
i
− V y
ref
) σ(V z
i
− V z
ref
)
81.7654 8.5866 642.3877
81.8987 10.0638 432.6470
81.1820 11.2716 432.1545
82.3061 11.8100 432.9803
82.3060 13.0653 432.8264
82.3967 12.5590 433.7988
82.7514 14.6152 431.8186
81.7654 15.3640 431.5028
83.1246 15.8162 432.7538
83.0622 16.9657 432.7123
81.9971 15.7262 432.6809
82.7008 19.4304 431.7193
84.8284 17.8132 433.9869
85.2100 17.7750 434.2016
85.4791 19.7231 431.6940
83.5159 20.2285 430.7114
83.7058 20.7087 433.0786
84.9811 21.4913 430.8444
85.0264 21.3635 434.1373
85.2813 20.5287 433.6896
Table 4.2: Desvios padr˜ao dos erros de velocidade - 2
Portanto, cada elemento da popula¸c˜ao de σ
Q
produziu diferentes comporta-
mentos nas componentes V
x
, V
y
e V
z
estimadas pelo Filtro de Kalman Padr˜ao
- FKP. De cada coluna das tabelas, tem-se os vetores de desvio padr˜ao de erros,
eV
x
eV
y
e eV
z
, para as componentes de velocidades descritas pelas curvas conforme
as figuras 4.8, 4.9 e 4.10.
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 81
0 2 4 6 8 10 12
81
81.5
82
82.5
83
83.5
84
84.5
85
85.5
CURVA DO DESVIO PADRAO DO ERRO = Vx
est
− Vx
ref
Q
DESVIO PADRAO DO ERRO Vx
[0.001, 1.0]
[1.0, 20.0]
Figure 4.8: Curva do desvio padr˜ao do erro de velocidade no eixo X
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 82
0 2 4 6 8 10 12
6
8
10
12
14
16
18
20
22
CURVA DO DESVIO PADRAO DO ERRO = Vy
est
− Vy
ref
Q
DESVIO PADRAO DO ERRO Vy
[0.001, 1.0]
[1.0, 20.0]
Figure 4.9: Curva do desvio padr˜ao do erro de velocidade no eixo Y
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 83
0 2 4 6 8 10 12
430
435
440
445
CURVA DO DESVIO PADRAO DO ERRO = Vz
est
− Vz
ref
Q
DESVIO PADRAO DO ERRO Vz
[0.001, 1.0]
[1.0, 20.0]
Figure 4.10: Curva do desvio padr˜ao do erro de velocidade no eixo Z
4.3.3 An´alise e Conclus˜oes
Verifica-se, claramente, pelas curvas representadas nas figuras 4.8- 4.10 uma regi˜ao
de m´ınimo. Auxiliado por num algoritmo gen´etico para gerar essas curvas, de
maneira eficiente, tendo como objetivo determinar um conjunto de valores de σ
Q
que minimize a resultante dos vetores de desvio padr˜ao de erros, eV
x
= V x
i
−
V x
ref
, eV
y
= V y
i
−V y
ref
e eV
z
= V z
i
−V z
ref
da fun¸c˜ao objetivo, equa¸c˜ao (4.18),
ou seja, o desvio padr˜ao do m´odulo do erro da velocidade descrita na figura 4.11.
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 84
0 2 4 6 8 10 12
438
440
442
444
446
448
450
452
454
CURVA DO DESVIO PADRAO DO MODULO DO ERRO VELOC.
Q
DESVIO PADRAO DO MODULO DO ERRO V
[0.001, 1.0]
[1.0, 20.0]
Figure 4.11: Curva do desvio padr˜ao do erro do m´odulo da velocidade.
4.4 Modelo do Algoritmo Gen´etico para Ajuste
do Ganho
A utiliza¸c˜ao de algoritmos gen´eticos em aplica¸c˜oes do tipo filtragem de Kalman
vem sendo utilizado por (Chan 2000) para modelar Sistemas Dinˆamicos. Estes
autores prop˜oem a incorpora¸c˜ao de um operador de muta¸c˜ao que explora os au-
tovalores e fun¸c˜oes de rota¸c˜ao. Estes autores estimam os parˆametros (Φ, H, Q,
R) do modelo dinˆamico para minimizar o erro quadr´atico m´edio dos erros das ob-
serva¸c˜oes. Entre outras aplica¸c˜oes, tem-se em (Ferreira and Fonseca Neto 2003)
o desenvolvimento de um AG para determina¸c˜ao dos ganhos de ob servadores de
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 85
estados.
Prop˜oe-se um modelo para ajuste do ganho baseado em Algoritmos Gen´eticos,
Figura 4.12, que utiliza de curvas nominais da velocidade do ve´ıculo como re-
ferˆencia para ajuste do filtro. As estrat´egias para sintonia do filtro ´e fun¸c˜ao meio
de ajustes no ganho,
K
K
= F
K
(P
k+1|k+1
, H, R) (4.19)
sendo a matriz de covariˆancia do estado fun¸c˜ao das matrizes Φ, representando
a dinˆamica do sistema, e a matriz que ´e a covariˆancia do ru´ıdo da planta,
P
k+1|k+1
= F
P
(Φ, P
k+1|k
, Q) (4.20)
K
K
= F
K
(F
P
(Φ, P
k+1|k
, Q), H, R) (4.21)
O algoritmo gen´etico fornece solu¸c˜oes para o problema de minimiza¸c˜ao da
fun¸c˜ao objetivo, equa¸c˜ao (4.18), inserido na estrutura de otimiza¸c˜ao, rela¸c˜oes
(4.14 - 4.16), tendo como vari´avel de decis˜ao as matrizes de covariˆancia do ru´ıdo
da planta,
min
Q
σ
2
(eV
x
) + σ
2
(eV
y
) + σ
2
(eV
z
) (4.22)
sujeito a η
ruid
(Q) ≤ ε
l1
(4.23)
η
conv
(Q) ≤ ε
l1
(4.24)
A estrutura de otimiza¸c˜ao definida pelas rela¸c˜oes (4.22 - 4.24), conduzem a
dois caminhos para a determina¸c˜ao das matrizes Q de covariˆancia do ruido da
planta, o primeiro caminho desemboca no desenvolvimento de m´etodo basea-
dos em m´etodos de inferˆencia Bayesiana para determina¸c˜ao destas matrizes. O
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 86
outro caminho, consiste do desenvolvimento de m´etodos baseados em Algoritmos
Gen´eticos para selecionar as covariˆancias que contribuem para o ajuste do ganho.
Os mapeamentos F
K
(P
k+1|k+1
,H, R) e F
P
(Φ, P
k+1|k
, Q), rela¸c˜oes funcionais (4.19)
e (4.20), definem o ganho K
K
como uma fun¸c˜ao de Q,
K
K
= F
K
(F
P
(Φ, P
k+1|k
, Q), H, R) (4.25)
Sa´ıdas
Unidade do Processamento de Sinais com Ajuste GA
Entradas
ˆx
k+1|k
ˆz
k+1
ˆx
k+1|k+1
xp
k
= Φxh
k
+ Ψu
k
P = ΦP Φ
+ Q
K
K
= P H
/(HP H
+ R)
xp
k
= xp
k
+ K
K
(z
k+1
− Hxp
k
)
P = P − K
K
HP
xh
k
xp
k
Algoritmo Gen´etico
de
Ajuste
K
K
Bloco de Filtragem
Bloco de Previs˜ao
Ganho de Kalman Padr˜ao
Mecanismo de Sintonia
Entrada
Entrada
Entrada
Entrada
Bloco de Estima¸c˜ao
Q
Figure 4.12: Unidade Funcional de Processamento de Sinais do Sistema de Fil-
tragem do Tipo Kalman baseada em Algoritmo Gen´etico.
Apresenta-se os elementos b´asicos que comp˜oem o algoritmo gen´etico paralelo
que minimize a fun¸c˜ao de objetivo representada pela equa¸c˜ao (4.22). Especifi-
camente, determina-se as matrizes de covariˆancia do ru´ıdo Q e R. Cada par de
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 87
matrizes Q e R constitui um indiv´ıduo-cromossˆomico no modelo gen´etico artifi-
cial. O algoritmo proposto, de uma forma geral, procura guiar a busca definindo
o comportamento do processo d e busca.
4.4.1 Modelagem das Matrizes Q e R
As matrizes de covariˆancia s˜ao modeladas nas formas escalar e matricial, repre-
sentando as vari´aveis de decis˜ao da estrutura de otimiza¸c˜ao. A escolha da forma,
depende da complexidade do problema e do tempo dispon´ıvel para processamentos
em tempo real do algoritmo de ajuste. A modelagem escalar ´e uma particular-
idade do caso geral, neste tipo as varia¸c˜oes s˜ao iguais para todos os elementos
das matrizes de covariˆancia. Ao contr´ario a segunda alternativa de modelagem,
esta incorpora varia¸c˜oes diferentes em todos os elementos destas matrizes. Por
exemplo, a defini¸c˜ao geral de cromossomo do tipo Q
Q
cromossomo
=
n
j=1
σ
ij
q
ij
, i = 1, . . . n (4.26)
A escolha de do tipo de m odelo ´e definida pelo parˆametro σ
ij
na rela¸c˜ao (
4.26).
Modelagem Escalar da Matriz Q
Considerando σ
Q
da matriz Q, Equa¸c˜ao 4.13. Um conjunto de valores para
σ
Q
numa faixa ampla de valores formar˜ao a popula¸c˜ao inicial. Esta popula¸c˜ao
gera uma fam´ılia de curvas da estima¸c˜ao das velocidades atrav´es da filtragem
de Kalman. Evidentemente, teremos um grande n´umero de oscila¸c˜oes das mais
variadas magnitude em torno da curva da velocidade nominal referˆencia. O algo-
ritmo gen´etico ter´a como fun¸c˜ao objetivo a curva do desvio padr˜ao dos erros entre
a velocidade de referˆencia e a fam´ılia de velocidades estimadas a cada instante
de amostragem. O conjunto de valores ´otimos da popula¸c˜ao inicial de σ
Q
ser˜ao
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 88
aqueles que minimizar˜ao a curva do desvio padr˜ao dos erros entre velocidades
estimadas e a de referˆencia que ´e baseada em modelo.
O modelo QR-escalar tem como elemento gerador de matrizes a rela¸c˜ao (4.13),
Q
sigma
cromossomo
= σ
2
Q
(4.27)
O cromossomo Q
sigma
cromossomo
´e incorp orado na rela¸c˜ao (4.13) que ´e utilizado para
acelerar o processo de convergˆencia dos Ganhos.
Modelagem Matricial Q e R
As matrizes Q e R s˜ao modeladas como cromossomos. A base num´erica decimal
´e utilizada para representar os seus alelos. Cada matriz ´e representada por um
cromossomo, equa¸c˜oes (4.28-4.29), cada par de matrizes Q e R ´e chamado de
indiv´ıduo-QR, equa¸c˜ao (4.30), e cada conjunto de pares de matrizes constitui
uma popula¸c˜ao, equa¸c˜oes (4.31-4.33). As rela¸c˜oes (4.28-4.33) formalizam de forma
gen´erica o modelo proposto para as matrizes de pondera¸c˜ao Q e R de ordem n:
Q
cromossomo
= q
11
∪ q
12
. . . ∪ q
1n
. . . ∪ q
22
∪ q
2n
. . . ∪ q
nn
(4.28)
R
cromossomo
= r
11
∪ r
12
. . . ∪ r
1n
. . . ∪ r
22
∪ r
2n
. . . ∪ r
nn
(4.29)
sendo q
i,j
e r
i,j
, i = 1, . . . , (n
2
+ n)/2 e j = 1, . . . , (n
2
+ n)/2, representam
os elementos das matrizes Q e R, respectivamente, que s˜ao chamados de alelos
e possuem significado an´alogo ao da gen´etica natural. Os elementos Q e R s˜ao
representados em bases num´ericas bin´arias ou decimais.
QR
cromossomo
= q
11
∪ q
12
. . . ∪ q
nn
∪ r
11
∪ r
12
. . . ∪ r
nn
(4.30)
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 89
QR
1
cromossomo
= q
1
11
. . . ∪ q
1
nn
∪ r
1
11
. . . ∪ r
1
nn
(4.31)
QR
2
cromossomo
= q
2
11
. . . ∪ q
2
nn
∪ r
2
11
. . . ∪ r
2
nn
(4.32)
. . . = . . . . . . . . .
QR
k
cromossomo
= q
k
11
. . . ∪ q
k
nn
∪ r
k
11
. . . ∪ r
k
nn
(4.33)
Os elementos das matrizes Q e R s˜ao associados com os genes da gen´etica
natural.
4.4.2 As Opera¸c˜oes Gen´eticas
O procedimento para opera¸c˜oes gen´eticas ´e basicamente constitu´ıdo de cinco
est´agios sequenciais, que podem ser enumerados por ordem de ocorrˆencia da
seguinte maneira: sele¸c˜ao do tipo de opera¸c˜ao cromossˆomica, sele¸c˜ao dos in-
div´ıduos que sofrer˜ao a¸c˜ao das opera¸c˜oes cromossˆomicas, efetiva¸c˜ao das opera¸c˜oes
cromossˆomicas, avalia¸c˜ao dos novos indiv´ıduos e sele¸c˜ao da quantidade de in-
div´ıduos para compor a popula¸c˜ao permanente. As opera¸c˜oes gen´eticas cro-
mossˆomicas s˜ao duplica¸c˜ao, crossover (recombina¸c˜ao ou cruzamento), muta¸c˜ao
e visitante. A avalia¸c˜ao pode ser constitu´ıda de quatro fases: transforma¸c˜oes de
indiv´ıduos-QR em matrizes decimais de pondera¸c˜ao (s´o para a implementa¸c˜ao na
base num´erica bin´aria), pr´e-fitness, verifica¸c˜ao de fitness e escolha dos melhores
indiv´ıduos para compor a nova p opula¸c˜ao. A seguir, descrevem-se os conceitos
e os modelos dos cinco est´agios sequenciais. Os operadores cromossˆomicos est˜ao
apresentados no Apˆendice
4.4.3 A Fun¸c˜ao de Fitness
A fun¸c˜ao de fitness ou de adequabilidade tem por objetivo apontar os indiv´ıduos
pertencentes `a popula¸c˜ao permanente atual, juntamente com os criados a partir
das opera¸c˜oes gen´eticas, que est˜ao mais aptos a sobreviver ou a fazer parte da
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 90
pr´oxima popula¸c˜ao permanente. Em suma, diz-se que a fun¸c˜ao de fitness pontua
e seleciona indiv´ıduos que melhor se adequam ao meio ambiente. A fun¸c˜ao de
fitness representa o meio ambiente para uma determinada esp´ecie.
Dentro do contexto do desenvolvimento deste trabalho a fun¸c˜ao de fitness
´e constitu´ıda de duas fases. A primeira fase, pontua¸c˜ao e ordena¸c˜ao, consiste
da avalia¸c˜ao dos indiv´ıduos que foram gerados a partir das opera¸c˜oes gen´eticas;
todo indiv´ıduo possui uma caracter´ıstica que permite verificar o quanto ele ´e
adequado para ser um membro permanente da popu la¸c˜ao atual; esta avalia¸c˜ao
´e feita numericamente atrav´es de um dada fun¸c˜ao e este n´umero ´e uma marca
da qualidade do indiv´ıduo indicando o grau de satisfabilidade. A segunda fase,
forma¸c˜ao da popula¸c˜ao permanente, consiste da sele¸c˜ao propriamente dita; os
indiv´ıduos s˜ao escolhidos para compor a popula¸c˜ao e s˜ao ordenados de acordo
com o grau de satisfabilidade. Os que melhor satisfazem um determinado ´ındice
s˜ao selecionados para compor a popula¸c˜ao perm anente atual.
4.4.4 M´etodos de Sele¸c˜ao
No contexto dest e trabalho, os m´etodos de sele¸c˜ao s˜ao classificados de acordo
com a finalidade do processo de escolha. Existem trˆes processos de sele¸c˜ao que
s˜ao nitidamente distintos durante a busca das matrizes de pondera¸c˜ao, e todos
eles s˜ao dependentes de um gerador de n´umeros pseudo-aleat´orios.
O primeiro m´etodo consiste na escolha das opera¸c˜oes gen´eticas; ´e classificado
pela escolha do tipo de opera¸c˜ao gen´etica a ser realizada em cada passo do ciclo de
busca e pela manipula¸c˜ao dos alelos cromossˆomicos em fun¸c˜ao da forma de atua¸c˜ao
dos operadores gen´eticos. O segundo m´etod o relaciona-se com o procedimento
para escolha de indiv´ıduos que sofrem a¸c˜oes dos operadores gen´eticos. O terceiro
m´etodo relaciona-se com a escolha da quantidade de indiv´ıduos para compor a
popula¸c˜ao permanente, ap´os o t´ermino de cada ciclo de busca, e constitui a fase
final do algoritmo de fitness; a quantidade de indiv´ıduos a ser inclu´ıda varia entre
1 e o n´umero m´aximo de indiv´ıduos que comp ˜oem a popula¸c˜ao permanente.
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 91
Ambas as categorias do processo de sele¸c˜ao utilizam o algoritmo d e gera¸c˜ao de
n´umeros pseudo-aleat´orios p roposto em (?). A qualidade do gerador de n´umeros
aleat´orios influencia fortemente no desempenho do algoritmo gen´etico.
4.5 Conclus˜ao
A formula¸c˜ao do problema de Sintonia do filtro de Kalman foi desenvolvido como
uma problema de otimiza¸c˜ao e a solu¸c˜ao proposta algoritmo gen´etico para bu sca
de matrizes de covariˆancia que minimizam a posi¸c˜ao e a velocidade do ve´ıculo, as
sa´ıdas do filtro s˜ao entradas de estimador de ponto de impacto.
O problema de otimiza¸c˜ao ´e resolvido considerando as restri¸c˜oes de velocidade
de convergˆencia e a redu ¸c˜ao da rela¸c˜ao sin al ru´ıdo. Estas novas imposi¸c˜oes a
solu¸c˜ao do problema n˜ao prejudicam o d esempenho d o fi ltro tipo Kalman padr˜ao,
pois a nova fun¸c˜ao objetivo contempla a minimiza¸c˜ao do erro de varia¸c˜ao dos
estados.
Dissertou-se sobre os procedimentos de manipula¸c˜ao da variˆancia do ru´ıdo
processo com objetivo de melhor sintonizar o filtro. Primeiramente por tentativa
e erros e numa ´ultima prop˜oe-se o ajuste por t´ecnicas de Algoritmo Gen´etico.
Analisou-se a influˆencia da variˆancia do ru´ıd o, que multiplica a matriz Q, na
estimativa da velocidade que por sua vez tem grande peso na estimativa do PI.
Definiu-se como parˆametros a velocidade de resp osta do filtro e n´ıvel do sinal
filtrado. Esses dois parˆametros s˜ao os crit´erio o problema de otimiza¸c˜ao para
ajuste do filtro. Ao mesmo tempo constatou-se um compromisso conflitante entre
esses dois crit´erios. Devido seu grande peso na estimativa do PI prop˜oe-se a
minimizar os erros na estimativa da velocidade.
Tratou-se o conjunto de variˆancias do r u´ıdo do processo como uma popula¸c˜ao
inicial utilizadas na gera¸c˜ao de uma fam´ılia de curvas de velocidades estimadas
pelo filtro. Partiu-se ent˜ao para elabora¸c˜ao da fun¸c˜ao objetivo baseada nos desvios
padr˜ao de erro entre as velocidades estimadas e a velocidade nominal de ve´ıculo
CHAPTER 4. O AJUSTE DO GANHO-FKP 92
como referˆencia.
A proposta do algoritmo Gen´etico pode ser caracterizada por oferecer duas
formas extremas de modelagem das matrizes de covariˆancia do ru´ıdo. Estas al-
ternativas fomentam uma flexibilidade em rela¸c˜ao a codifica¸c˜ao destas matrizes.
Uma codifica¸c˜ao escalar conduz a um n´umero reduzido de opera¸c˜oes gen´eticas.
Enquanto que uma codifica¸c˜ao matricial conduz a um aumento de n´umero de
opera¸c˜oes e dos requisitos de mem´oria. As demais funcionalidades do AG, tais
como: a fun¸c˜ao de Fitness, Operadores cromossˆomicos s˜ao so modelos desen-
volvidos por (Fonseca Neto 2000) para opera¸c˜oes cromossˆomicas artificiais que
envolvem a modelagem de matrizes.
Chapter 5
Conclus˜ao
Esta pesquisa tratou da estima¸c˜ao no espa¸co de estado do ponto de impacto
de foguete baseado na fi ltragem de Kalman onde destacamos a importˆancia do
conhecimento do ponto de impacto, PI, do foguete em vˆoo a cada instante das
medidas como um crit´erio fundamental para a seguran¸ca de vˆoo. Apresentou-se a
filtragem dentro do contexto do tratamento de dados para sinais de trajetografia
de um sistema real atrav´es de diagrama em bloco funcional.
As fun¸c˜oes de filtragem, baseado na Filtragem de Kalman, o c´alculo do PI
foram reunidas em um ´unico bloco funcional concebendo-se o que se intitulou
ESTIMADOR de PI devido o grau de importˆancia dessas duas fun¸c˜oes para a
seguran¸ca de vˆoo.
Investigou-se sintonia para o Filtro de Kalman, primeiramente modelou-se
um algoritmo de Kalman Padr˜ao, FKP, dedicado ao rastreio de foguetes. O
algoritmo foi implementado e em sua entrada dados s˜ao medidas de posi¸c˜ao de
um vˆoo simulado e analisou-se o comportamento das curvas t´ıpicas de sa´ıda para
essa aplica¸c˜ao. Prossegui-se os estudos utilizando-se medidas reais de rastreio de
foguetes para an´alises comparativas entre o filtro FKP e o filtro αβγ, que se encon-
tra operacional no sistema de processamento de d ados do Centro de Lan¸camento
de Alcˆantara - CLA. Nesta fase caracterizou-se o problema de estima¸c˜ao do ponto
93
CHAPTER 5. CONCLUS
˜
AO 94
de impacto, PI do ve´ıculo em vˆoo, onde se evidenciou sua sensibilidade ao processo
de filtragem. Nesta fase verificou-se que o filtro FKP apesar de n˜ao incluir nen-
huma t´ecnica avan¸cada de sintonia, apresentou resultados satisfat´orios sugerindo
uma alternativa para o filtro αβγ.
A pesquisa culmina com a proposta da sintonia filtro FKP utilizando-se uma
metodologia baseada em Algoritmo Gen´etico para melhor desempenho para os
instantes das passagens das fases propulsadas e balisticas do v´eiculo em vˆoo. A
investiga¸c˜ao prossegui com uso medidas de trajet´oria simuladas e medidas reais
de um vˆoo de um foguete bi-est´agio, caracterizando o aspecto pr´atico deste tra-
balho, identificou-se o que se chamou de crit´erios operacionais para o filtro. Estes
crit´erios operacionais foram a velocidade de convergˆencia e o n´ıvel de ru´ıdo do sinal
filtrado, aspectos refletidos diretamente na estima¸c˜ao do PI. Verificou-se, entre-
tando, a existencia de um compromisso conflitante entre esses dois parˆametros
operacionais.
O problema da sintonia do filtro foi definido como um problema de otimiza¸c˜ao.
Partiu-se ent˜ao para a defini¸c˜ao de uma fun¸c˜ao objetivo como uma norma da
variˆancia do erro de velocidade estimada. O que justificou o uso da velocidade
estimada ´e o seu forte peso na qualidade do c´alculo do PI que por sua vez reflete a
velocidade de rea¸c˜ao do filtro para os instantes de fase propulsada-bal´ıstica assim
como e o n´ıvel de ru´ıdo do sinal filtrado.
Ap´os uma s´erie de ensaios apresentou-se um procedimento para obten¸c˜ao da
fun¸c˜ao objetivo para o m´etodo de otimiza¸c˜ao proposto. Considerou-se como pop-
ula¸c˜ao inicial um conjunto de valores para σ
r
numa faixa ampla de valores da qual
obteve-se a curva de desvio padr˜ao da norma do erro da velocidade.
A metodologia de ajuste proposta neste trabalho foi executada off line. Prop˜oe-
se, portanto, estudos da viabilidade dessa metodologia em tempo real para sin-
tonia do Filtro de Kalman , ponderando os crit´erios j´a identificados nesse tra-
balho, n˜ao s´o nas mudan¸cas normais da dinˆamica de vˆoo, isto ´e, fases propulsadas
e bal´ısticas, mas tamb´em em condi¸c˜oes anˆomalas tal como uma perda repetina,
CHAPTER 5. CONCLUS
˜
AO 95
pelo radar, do rastreio do foguete para uma recupera¸c˜ao logo em seguida. Estes
tipos de eventos requerem reinicializa¸c˜ao do filtro, sugerindo, portanto um Filtro
de Kalman com caracter´ısticas adaptativas baseada em t´ecnicas de programa¸c˜ao
evolutivas.
Appendix A
Equa¸c˜oes do Filtro de Kalman
A formula¸c˜ao do Problema, se¸c˜ao A.1, a predi¸c˜ao a posteriori, se¸c˜ao A.3, o c´alculo
Estimativa m´axima a posteriori, se¸c˜ao A.4, e a variˆancia do erro, se¸c˜ao A.5 s˜ao
os t´opicos desenvolvidos para deduzir a equa¸c˜oes b´asicas que realizam o processo
de filtragem do tipo Kalman.
A.1 Formula¸c˜ao Problema
Dada a observa¸c˜ao z, obter a estima¸c˜ao ˆx
k
do vetor de estados. Para computar
ˆx
k
em tempo real ´e necess´ario montar uma f´ormula recursiva,
ˆx
k+1
= ˆx
k
+ K
k
(z
k
− H
k
ˆx
k|k−1
) (A.1)
ˆx
k|k−1
= Φ
k−1
ˆx
k−1|k−1
, (A.2)
sendo K
k
o ganho de Kalman.
O ponto de partida ´e a estima¸c˜ao inicial ˆx
0
= ˆx
0|0
. Sendo ˆx
0|0
uma estima¸c˜ao
n˜ao polarizada do estado inicial x
0
, ent˜ao: ˆx
0|0
= E(x
0
). Considerando a equa¸c˜ao
dinˆamica formulada no espa¸co de estado,
96
APPENDIX A. EQUAC¸
˜
OES DO FILTRO DE KALMAN 97
x
k+1
= Φ
k
x
k
+ Γ
k
w
k
. (A.3)
A m´edia condicional de
E[x
k
|z
k
] = Φ
k−1
E[x
k−1
|z
k−1
] + Γ
k−1
E[w
k−1
|z
k−1
], (A.4)
sendo que
E[w
k−1
|z
k−1
] = E[w
k−1
] = 0, (A.5)
a Equa¸c˜ao A.4 fica E[x
k
|z
k
] = Φ
k−1
E[x
k−1
|z
k−1
], sendo E[x
k−1
|z
k−1
] = ˆx
k|k−1
.Logo
temos a equa¸c˜ao do preditor,
ˆx
k|k−1
= Φ
k−1
ˆx
k−1|k−1
, (A.6)
obtendo-se a transi¸c˜ao do estado x
k−1
para x
k
.
A.2 Erro de predi¸c˜ao
A matriz de covariˆancia para o erro de predi¸c˜ao ´e defin ida como
P
k|k−1
= E[(x
k
− ˆx
k|k−1
)(x
k
− ˆx
k|k−1
)
T
/Y ], (A.7)
sendo Y = z
0
, z
1
, ..., z
k−1
.
Como o erro de predi¸c˜ao (x
k
−ˆx
k|k−1
) ´e independente da seq¨uˆencia Y , pode-se
escrever
P
k|k−1
= E[(x
k
− ˆx
k|k−1
)(x
k
− ˆx
k|k−1
)
T
]. (A.8)
O erro de predi¸c˜ao de um passo,
x
k
− ˆx
k|k−1
= Φ
k−1
(x
k
− ˆx
k−1|k−1
) + Γ
k−1
w
k−1
. (A.9)
APPENDIX A. EQUAC¸
˜
OES DO FILTRO DE KALMAN 98
Substituindo na matriz de covariˆancia o erro de predi¸c˜ao,
P
k|k−1
= E([Φ
k−1
(x
k
− ˆx
k−1|k−1
) + Γ
k−1
w
k−1
][Φ
k−1
(x
k
− |hatx
k−1|k−1
) + Γ
k−1
w
k−1
]
T
)
= E[Φ
k−1
x
k−1
(Φ
k−1
x
k−1
)
T
− Φ
k−1
x
k−1
(Φ
k−1
x
k−1|k−1
)
T
+ Φ
k−1
x
k−1
(Γ
k−1
w
k−1
)
T
− Φ
k−1
ˆx
k−1|k−1
(Φ
k−1
x
k−1
)
T
+ Φ
k−1
ˆx
k−1|k−1
(Φ
k−1
x
k−1|k−1
)
T
− Φ
k−1
ˆx
k−1|k−1
(Γ
k−1
w
k−1
)
T
+ Γ
k−1
w
k−1
(Φ
k−1
x
k−1
)
T
− Γ
k−1
w
k−1
(Φ
k−1
x
k−1|k−1
)
T
+ Γ
k−1
w
k−1
(Γ
k−1
w
k−1
)
T
], (A.10)
sabendo que E[x
k−1
w
T
k−1
] = 0 pois E[w
k−1
] = 0. Logo :
P
k|k−1
= Φ
k−1
P
k−1|k−1
Φ
T
k−1
+ Φ
k−1
E[(x
k
− ˆx
k−1|k−1
)w
T
]Γ
T
k−1
+ Γ
k−1
E[w
k−1
(x
k
− ˆx
k−1|k−1
)
T
]Φ
T
k−1
+ Γ
k−1
QΓ
T
k−1
). (A.11)
O termo Φ
k−1
P
k−1|k−1
Φ
T
k−1
da equa¸c˜ao acima ´e obtido pela seguinte simplifica¸c˜ao,
Φ
k−1
P
k−1|k−1
Φ
T
k−1
= Φ
k−1
E([x
k−1
(x
k−1
− ˆx
k−1
)]Φ
T
k−1
)
− Φ
k−1
[ˆx
k−1|k−1
(x
k−1
− ˆx
k−1|k−1
)
T
]Φ
T
k−1
), (A.12)
que resulta em
Φ
k−1
P
k−1|k−1
Φ
T
k−1
= Φ
k−1
E[(x
k−1
− ˆx
k−1|k−1
)(x
k−1
− ˆx
k−1|k−1
)
T
]Φ
T
k−1
. (A.13)
Sendo que E[(x
k−1
− ˆx
k−1|k−1
)(x
k−1
− ˆx
k−1|k−1
)
T
] = P
k−1|k−1
e tamb´em
E[ˆx
k−1|k−1
w
T
k−1
/z
k−1
] = ˆx
k−1|k−1
E[w
T
k−1|k−1
] = ˆx
k−1|k−1
E[w
T
k−1|k−1
] = 0. (A.14)
Portanto, a matriz de covariˆancia do erro de predi¸c˜ao,
APPENDIX A. EQUAC¸
˜
OES DO FILTRO DE KALMAN 99
P
k|k−1
= Φ
k−1
P
k−1|k−1
Φ
T
k−1
+ Γ
k−1
QΓ
T
k−1
, (A.15)
conhecida como equa¸c˜ao Recursiva de Riccati. Esta equa¸c˜ao determina o
Erro m´edio quadr´atico da Predi¸c˜ao.
A.3 Predi¸c˜ao a posteriori
A predi¸c˜ao de um passo da estimativa filtrada (a posteriori). Estimar x
k
dada
a seq¨uˆencia de medi¸c˜oes de sa´ıda Y
k
= z
0
, z
1
, ..., z
k
. Para isto determina-se a
densidade de probabilidade condicional,
p(x
k
|Y
k
)
que pode ser escrita como
p(x
k
|Y
k
) = p(x
k
|Y
k−1
, z
k
),
sendo que a ´ultima medida ´e separada de todas as medidas anteriores a z
k−1
.Aplicando
o Teorema de Bayes,
p(x
k
|Y
k
) = p(x
k
|Y
k−1
, z
k
)
p(x
k
|Y
k−1
, z
k
)
p(Y
k−1
, z
k
)
= p(z
k
|x
k−1
)
p(x
k
, Y
k−1
)
p(Y
k−1
, z
k
)
= p(z
k
|x
k−1
, Y
k−1
)
p(x
k
|Y
k−1
)
p(z
k
|Y
k−1
)
. (A.16)
Considerando a equa¸c˜ao de observa¸c˜ao (??), e observando que o conhecimento
de x
k
implica que a ´unica quantidade aleat´oria ´e v
k
que ´e independente de
z
0
, z
1
, ..., z
k−1
, pode-se escrever,
p(z
k
|x
k
, Z
k−1
) = p(z
k
|x
k
) (A.17)
APPENDIX A. EQUAC¸
˜
OES DO FILTRO DE KALMAN 100
p(x
k
|Z
k
) = p(z
k
|x
k
)
p(x
k
|Z
k−1
)
p(z
k
, Z
k−1
)
. (A.18)
Para determinar a estimativa m´axima a posteriori, avalia-se a express˜ao do nu-
merador da fun¸c˜ao densidade (A.18). Considerando que a equa¸c˜ao de observa¸c˜ao
(??) ´e um vetor aleat´orio Gaussiano de m´edia
E[z
k
|x
k
] = E[H
k
x
k
+ v
k
|x
k
] = H
k
E[x
k
|x
k
] + E[v
k
|x
k
] = H
k
E[x
k
], (A.19)
desde que E[v
k
|x
k
] = E[v
k
] = 0.
A matriz de covariˆancia do erro,
R = E[(z
k
− H
k
x
k
)(z
k
− H
k
x
k
)
T
] = E[v
k
v
T
k
]. (A.20)
A densidade de probabilidade de p(z
k
|x
k
) ´e :
p(z
k
|x
k
) = Ke
−1
2
(z
k
−H
k
x
k
)
T
R
−1
(z
k
−H
k
x
k
)
. (A.21)
Avaliando a densidade de probabilidade a priori p(x
k
|z
k−1
),
p(x
k
|z
k−1
) = Ke
−1
2
(x
k
−ˆx
k|k− 1
)
T
P
−1
k|k− 1
(x
k
−ˆx
k|k− 1
)
, (A.22)
de tal forma que a densidade de probabilidade aposteriori,
p(x
k
|z
k
) = Ke
−1
2
[(z
k
−H
k
x
k
)
T
R
−1
(z
k
−H
k
x
k
)+(x
k
−ˆx
k|k− 1
)
T
P
−1
k|k− 1
(x
k
−ˆx
k|k− 1
)]
(A.23)
A.4 Estimativa m´axima a posteriori
Para calcular a estimativa m´axima a posteriori ( estimativa m´ed ia condicional),
deriva-se o logaritmo de p
x
k
|z
k
em rela¸c˜ao a x
k
, igualando a zero para obter-se a
estimativa ´otima ˆx
k|k
,
APPENDIX A. EQUAC¸
˜
OES DO FILTRO DE KALMAN 101
H
T
R
−1
(z
k
− H
k
x
k
) − P
−1
k|k−1
(x
k
− ˆx
k|k−1
) = 0. (A.24)
Para x
k
= x
k|k
:
(H
T
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
)ˆx
k|k
= H
T
R
−1
z
k
+ P
−1
k|k−1
ˆx
k|k−1
(A.25)
ˆx
k|k
= (H
T
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
)
−1
(H
T
R
−1
z
k
+ P
−1
k|k−1
ˆx
k|k−1
) (A.26)
ˆx
k|k
= (H
T
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
)
−1
H
T
R
−1
z
k
+ (H
T
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
)
−1
P
−1
k|k−1
ˆx
k|k−1
(A.27)
Fazendo M = (H
T
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
)
−1
na Equa¸c˜ao (A.27), temos:
ˆx
k|k
= MH
T
R
−1
z
k
+ MP
−1
k|k−1
ˆx
k|k−1
). (A.28)
Usando o lema da invers˜ao da matriz no segundo termo da a equa¸c˜ao (A.28):
MP
−1
k|k−1
ˆx
k|k−1
= (I − MH
T
k
R
−1
H
k
)ˆx
k|k−1
= ˆx
k|k−1
MM
−1
− MH
T
k
R
−1
H
k
ˆx
k|k−1
= ˆx
k|k−1
− (H
T
k
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
)H
T
R
−1
H ˆx
k|k−1
. (A.29)
Substituindo este resultado na Equa¸c˜ao (A.28)
ˆx
k|k
= (H
T
k
R
−1
H
k
+P
−1
k|k−1
)
−1
H
T
R
−1
z
k
+ˆx
k|k−1
−(H
T
k
R
−1
H
k
+P
−1
k|k−1
)H
T
R
−1
H ˆx
k|k−1
(A.30)
que pode ser escrita como,
ˆx
k|k
= ˆx
k|k−1
+ (H
T
k
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
)
−1
H
T
k
R
−1
(z
k
− H
k
ˆx
k|k−1
). (A.31)
Esta express˜ao possibilita obter-se o novo valor de estima¸c˜ao do estado, dada uma
nova observa¸c˜ao.
APPENDIX A. EQUAC¸
˜
OES DO FILTRO DE KALMAN 102
A.5 Variˆancia do erro
Calculando a variˆancia do erro, temos que
ˆx
k|k
= (H
T
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
)
−1
(H
T
R
−1
z
k
+ P
−1
k|k−1
ˆx
k|k−1
), (A.32)
e
z
k
= H
k
x
k
+ v
k
. (A.33)
Logo,
x
k
− ˆx
k/k
= x
k
− (H
T
k
R
−1
H
k
+ P
−1
k/k−1
)
−1
(H
T
k
R
−1
H
k
x
k
+ H
T
k
R
−1
v
k
+ P
−1
k/k−1
ˆx
k/k−1
+ P
−1
k/k−1
x
k
− P
−1
k/k−1
x
k
), (A.34)
que simplificando :
x
k
− ˆx
k|k
= −(H
T
k
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
)
−1
[H
T
k
R
−1
v
k
− P
−1
k|k−1
(x
k
− ˆx
k|k−1
)]. (A.35)
Como E[v
k
x
k
] = 0, E[v
k
] = 0, E[v
k
ˆx
k|k−1
] = 0, obt´em-se:
P
k|k
= E[(x
k
− ˆx
k|k
)(x
k
− ˆx
k|k
)] = (H
T
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
)
−1
. (A.36)
Aplicando o lema da invers˜ao das matrizes na Equa¸c˜ao(A.36),
(H
T
k
R
−1
H
k
+ P
−1
k/k−1
)
−1
= P
−1
k/k−1
− P
−1
k/k−1
H
T
k
(H
k
P
k/k−1
H
T
k
+ R)
−1
H
K
P
k/k−1
.
(A.37)
Na Equa¸c˜ao (A.31), mostra-se que a igualdade abaixo ´e verdadeira,
(H
T
k
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
)
−1
H
T
k
R
−1
= P
k|k−1
H
T
k
(H
T
k
P
k|k−1
H
k
+ R)
−1
. (A.38)
O segundo membro da igualdade na Equa¸c˜ao (A.38) ´e demonst rado a seguir,
APPENDIX A. EQUAC¸
˜
OES DO FILTRO DE KALMAN 103
M = (H
T
k
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
)
−1
H
T
k
R
−1
(A.39)
M(H
T
k
R
−1
)
−1
= (H
T
k
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
)
−1
(A.40)
M
−1
H
T
k
R
−1
= H
T
k
R
−1
H
k
+ P
−1
k|k−1
(A.41)
M
−1
H
T
k
R
−1
P
k|k−1
= H
T
k
P
−1
k|k−1
R
−1
H
k
+ I (A.42)
M
−1
H
T
k
P
k|k−1
= H
T
k
P
−1
k|k−1
H
k
+ R (A.43)
(M
−1
H
T
k
P
k|k−1
)
−1
= (H
T
k
P
−1
k|k−1
H
k
+ R)
−1
(A.44)
M = (H
T
k
P
k|k−1
H
k
+ R)
−1
H
T
k
P
k|k−1
, (A.45)
sendo a equa¸c˜ao acima o segundo membro da Equa¸c˜ao (A.45). Usando a igualdade
acima, obt´em-se as duas novas rela¸c˜oes,
ˆx
k|k
= ˆx
k|k−1
+ P
k|k−1
H
T
k
(H
k
P
k|k−1
H
T
k
+ R)
−1
(z
k
− H
k
ˆx
k|k−1
). (A.46)
Definindo-se a matriz de ganho de Kalman K
k
como:
K
k
= P
k/k−1
H
T
k
(H
k
P
k/k−1
H
T
k
+ R)
−1
(A.47)
temos
ˆx
k|k
= ˆx
k|k−1
+ K
k
(z
k
− H
k
ˆx
k|k−1
) (A.48)
e
APPENDIX A. EQUAC¸
˜
OES DO FILTRO DE KALMAN 104
P
k|k
= P
k|k−1
− P
k|k−1
H
T
k
(H
k
P
k|k−1
H
T
k
+ R)
−1
H
k
P
k|k−1
= P
k|k−1
− K
k
H
k
P
k|k−1
= (I − K
k
H
k
)P
k|k−1
. (A.49)
Finalmente, combinando todos os resultados obtidos acima, chega-se ao seguinte
processo de Filtragem de Kalman para o sistema estoc´astico linear com descri¸c˜ao
em espa¸co de estado (??)
P
0,0
= V ar(x
k
)
P
k|k−1
= Φ
k−1
P
k−1|k−1
Φ
T
k−1
+ Γ
k−1
QΓ
T
k−1
K
k
= P
k|k−1
H
T
k
(H
k
P
k|k−1
H
T
k
+ R)
−1
P
k|k
= (I − K
k
H
k
)P
k|k−1
ˆx
0,0
= E(x
0
)
ˆx
k|k−1
= Φ
k−1
ˆx
k−1|k−1
ˆx
k|k
= ˆx
k|k−1
+ K
k
(z
k
− H
k
ˆx
k|k−1
)
k = 1, 2, ··· .
(A.50)
APPENDIX A. EQUAC¸
˜
OES DO FILTRO DE KALMAN 105
A.6 Algoritmo Gen´etico para Ajuste do Ganho
Nesta Apˆendice apresenta-se os componentes de um Algoritmo Gen´etico dedicado
ao do ganho Ajuste do Ganho de um Filtro de Kalman.
A.6.1 Ao Operadores Cromossˆomicos
A opera¸c˜ao de Duplica¸c˜ao
A opera¸c˜ao de duplica¸c˜ao n˜ao precisa ser avaliada porque esta opera¸c˜ao apenas
verifica qual ´e o indiv´ıduo que possui o pior valor de fitness. Este ´e removido e
substitu´ıdo por um clone do indiv´ıduo mais forte da popula¸c˜ao. Ent˜ao,
q
novo
ij
= q
melhor
ij
(A.51)
i = 1, . . . , (n
2
+ n)/2; j = 1, . . . , (n
2
+ n)/2
A opera¸c˜ao de Crossover
O procedimento de opera¸c˜oes de crossover implementa tipos de combina¸c˜oes en-
tre dois indiv´ıduos que dependem do alfabeto, base num´erica, utilizado na repre-
senta¸c˜ao dos genes. Para o caso de uma r epresenta¸c˜ao bin´aria, o algoritmo tem
op¸c˜ao de efetuar trˆes tipos de recombina¸c˜ao, que s˜ao: X-over de ponto ´unico,
X-over de ponto duplo e X-over uniforme. Para o caso de uma representa¸c˜ao
decimal, o procedimento implementa uma combina¸c˜ao linear dos indiv´ıduos, em
que cada alelo resultante ´e constitu´ıdo da combina¸c˜ao de dois alelos de indiv´ıduos
escolhidos por um dos m´eto dos de sele¸c˜ao utilizados durante o ciclo de busca das
matrizes de pondera¸c˜ao Q e R.
A equa¸c˜ao (A.52) representa a opera¸c˜ao de crossover entre alelos, na base dec-
imal, para gerar novos cromossomos do tipo Q. Estes cromossomos s˜ao montados
a partir dos cromossomos Q e de um indiv´ıduo l, Q
l
, e dos cromossomos Q de um
indiv´ıduo k, Q
k
.
APPENDIX A. EQUAC¸
˜
OES DO FILTRO DE KALMAN 106
A gera¸c˜ao de um cromossomo Q a partir da combina¸c˜ao de dois indiv´ıduos l
e k, respectivamente, para matrizes de ordem n ´e dada por:
q
novo
ij
= q(t)
idad
q
l
ij
− |1 − q(t)
idad
|q
k
ij
(A.52)
i = 1, . . . , (n
2
+ n)/2; j = 1, . . . , (n
2
+ n)/2
sendo q(t)
idad
, t = 1, . . . , nq
idad
, ´e um parˆametro que pondera os valores de
alelos dos cromossomos do tipo Q e que pode variar de acordo com a idade da
popula¸c˜ao. A varia¸c˜ao deste p arˆametro ´e amplamente explorada no sentido de
contribuir no direcionamento da busca das matrizes de pondera¸c˜ao.
A Opera¸c˜ao de Muta¸c˜ao
Os procedimentos para opera¸c˜ao de muta¸c˜ao decimal s˜ao implementados da seguinte
maneira: a muta¸c˜ao local consiste de uma modifica¸c˜ao em todos os alelos de in-
div´ıduos escolhidos aleatoriamente de acordo com o princ´ıpio de sele¸c˜ao natural
de Darwin. A equa¸c˜ao (A.53) representa esta muta¸c˜ao para um cromossomo Q
de um indiv´ıduo l e o valor de cada alelo ´e modificado de maneira multiplicativa:
q
novo
ij
= q
l
ij
b
x
local
(A.53)
i = 1, . . . , (n
2
+ n)/2 e j = 1, . . . , (n
2
+ n)/2
onde q
novo
ij
representa o valor do alelo do cromossomo do novo indiv´ıduo Q. O
elemento q
l
ij
representa o valor do alelo do cromossomo-Q do indiv´ıduo l. O valor
b ´e a base determin´ıstica do multiplicador exponencial, b > 1, e x
local
´e o expoente
aleat´orio, 0 ≤ x
local
≤ 1.
O procedimento para muta¸c˜ao decimal global consiste da escolha de indiv´ıduos
aleatoriamente, tal qual na muta¸c˜ao local, e para estes indiv´ıduos os valores de
cada alelo s˜ao incrementados de um valor que ´e o produto de um n´umero aleat´orio
pela diferen¸ca entre os alelos correspondentes do pior e do melhor indiv´ıduo da
APPENDIX A. EQUAC¸
˜
OES DO FILTRO DE KALMAN 107
popula¸c˜ao atual; a equa¸c˜ao (A.54) representa esta muta¸c˜ao para um cromossomo
do tipo Q de um indiv´ıduo l:
q
novo
ij
= q
l
ij
+ x
global
|q
melhor
ij
− q
pior
ij
| (A.54)
i = 1, . . . , (n
2
+ n)/2 e j = 1, . . . , (n
2
+ n)/2
sendo os elementos q
novo
ij
, q
l
ij
e x
global
definidos tal qual na muta¸c˜ao local. Os
elementos q
melhor
ij
e q
pior
ij
representam os alelos d os cromossomos Q dos indiv´ıduos
que apresentam o melhor e o pior valores dados pela fun¸c˜ao de fitness, respecti-
vamente, da popula¸c˜ao permanente atual.
Appendix B
Os Foguetes Nacionais
Uma descri¸c˜ao geral sobre os foguetes Nacionais suas aplica¸c˜oes, hist´orico e suas
especifica¸c˜oes t´ecnicas s˜ao assuntos abordados neste apˆendice.
Os foguetes de sondagem s˜ao utilizados para miss˜oes suborbitais de explora¸c˜ao
do espa¸co, capazes de lan¸car cargas ´uteis compostas por experimentos cient´ıficos
e tecnol´ogicos. O Brasil possui foguetes de sondagens operacionais que suprem
boa parte de suas necessidades, com uma hist´oria bem sucedida de lan¸camentos.
A pol´ıtica de envolvimento crescente das universidades e centros de pesquisa
no programa espacial vem acarretando uma demanda maior destes ve´ıculos, o que
tem levado `a continua¸c˜ao de sua produ ¸c˜ao.
No Centro T´ecnico Aeroespacial - CTA, em S˜ao Jos´e dos Campos, SP ´e onde se
desenvolve os foguetes de sondagem. Os ve´ıculos integralmente projetados e desen-
volvidos no CTA que j´a fizeram pelo menos um vˆoo s˜ao: SONDA I I (SII),SONDA
III (SIII), SONDA IV (SIV), VS 30, VS 40 e mais recentemente o VS-B 30. O
primeiro foguete da fam´ılia SONDA, o SONDA I, foi desenvolvido pela avibr´as,
segundo especifi¸c˜oes do Instituto de Aerona´utica e Espa¸co - IAE, no CTA, tendo
realizado mais de d uzentos vˆoos. A fam´ılia de foguetes SONDA contou com uma
filosofia de desenvolvimento baseada no aproveitamento de motores desenvolvidos
anteriormente, compondo est´agios superiores do ve´ıculo subsequente.
108
APPENDIX B. OS FOGUETES NACIONAIS 109
O foguete monoest´agio Sonda II, desenvolvido para transporte de cargas ´uteis
cient´ıficas e tecnol´ogicas, de 20 a 70 Kg, para experimentos na faixa de 50 a 100
Km de altitude, com inova¸c˜oes tecnol´ogicas, como novas prote¸c˜oes t´ermicas, novos
propelentes e testes de componentes eletrˆonicos.
Sonda II
Crédito: IAE
Sonda
II
Comprimento total: 4.534 m
Diâmetro máximo: 0,300 m
Nº de estágios: 1
Massa Total: 368
kg
Massa da Carga Útil: 70 kg
Apogeu: 100 km
Figure B.1: Foguete de Sondagem SONDA-II
Em 1969, o IAE iniciou o desenvolvimento do foguete biest´agio Sonda III
com propulsores do 1
o
e 2
o
est´agios carregados com propelente s´olido, capaz de
transportar cargas ´uteis cient´ıficas e tecnol´ogicas de 50 a 150 kg para experimentos
na faixa de 200 a 650 km de altitude. Esse ve´ıculo recebeu, pela primeira vez,
um sistema de instrumenta¸c˜ao completo, um sistema de separa¸c˜ao de est´agios,
um sistema de igni¸c˜ao para o segundo est´agio, uma carga ´util tecnol´ogica para
aquisi¸c˜ao de dados durante todo o vˆoo do ve´ıculo, um sistema de teledestrui¸c˜ao,
um sistema para controle de altitude dos trˆes eixos da carga ´util, um sistema de
recupera¸c˜ao da carga ´util no mar e muitos dispositivos eletrˆonicos. O primeiro
prot´otipo voou em 26 de fevereiro de 1976.
APPENDIX B. OS FOGUETES NACIONAIS 110
Sonda
III
Crédito: IAE
Sonda
III
Comprimento total: 6.985 m
Diâmetro máximo: 0,557 m
Nº de estágios: 2
Massa Total: 1.548
kg
Massa da Carga Útil: 150 kg
Apogeu: 650 km
Figure B.2: Foguete de Sondagem SONDA-III
Nos meados da d´ecada de 80, come¸cou o desenvolvimento, no IAE, do foguete
de sondagem mono-est ´agio, que corresponde ao 1
o
est´agio do Sonda III, o VS-30.
Todos os seus vˆoos, at´e o quinto ve´ıculo, foram relacionados com o Centro Espacial
Alem˜ao (DLR), respons´avel pela carga ´util. Dois vˆoos partiram do Campo de
Andoya (Noruega). Este foguete pode efetuar miss˜oes com cargas ´uteis cient´ıficas
e tecnol´ogicas de at´e 260 kg em trajet´orias de 160 km de apogeu, e continua em
desenvolvimento de suas vers˜oes, inclusive com coopera¸c˜oes tecnol´ogicas junto `a
Agˆencia Espacial Alem˜a (DLR).
APPENDIX B. OS FOGUETES NACIONAIS 111
VS -30
Crédito: IAE
VS - 30
Comprimento total: 7.428 m
Diâmetro máximo: 0,557 m
Nº de estágios: 1
Massa Total: 1.460
kg
Massa da Carga Útil: 260 kg
Apogeu: 160 km
Figure B.3: Foguete VS-30
O VS-40 sugiu da necessidade de se testar em vˆoo o motor S44, a ser utilizado
no primeiro est´agio do VLS-1. O ´ultimo est´agio de um lan¸cador de sat´lites deve
atender a requisitos muito severos quanto `a dispers˜ao de seus parˆametros. O S44
foi desenvolvido para esta finalidade, devendo ter suas caracter´ısticas propulsivas
e de massa estritamente controladas. As condi¸c˜oes ambientais mais atuantes no
desempenho do motor s˜ao o v´acuo e a rota¸c˜ao de 2, 5 rps, em torno de seu eixo. a
reprodu¸c˜ao desse ambiente no solo ´e de grande vulto financeiro, especialmente no
que concerne `a queima no v´acuo. Diante desta barreira, surgiu a id´eia de se efetuar
o tiro em vˆoo, com a monitora¸c˜ao dos parˆametros propulsivos, via telemetria. O
estudo da configura¸c˜ao de ve´ıculo, que permitiu o experimento, levou ao primeiro
prot´otipo do VS-40. Em 2 de abril de 1993 foi lan¸cado no Centro de Lan¸camento
de Alcˆantara - CLA, com o sucesso, o foguete V S−40 para realizar teste do quarto
est´agio do VLS em ambiente de v´acuo, al´em de outros experimentos de interesse
do projeto VLS. O ve´ıculo atingiu o apogeu de 950 km e um alcance de 2.680 km.
Este foguete pode efetuar miss˜oes com cargas ´uteis cient´ıficas e tecnol´ogicas de
APPENDIX B. OS FOGUETES NACIONAIS 112
at´e 500 kg em trajet´orias de 650 km de apogeu.
VS -40
Crédito: IAE
VS - 40
Comprimento total: 6.725 m
Diâmetro dos estágios: 1,000 m
Nº de estágios: 1
Massa Total: 6.235
kg
Massa da Carga Útil: 500 kg
Apogeu: 650 km
Figure B.4: Foguete VS-40
Os foguetes de sondagem vˆem contribuindo sensivelmente para o desenvolvi-
mento de grande parte de tecnologias imprescind´ıveis, e a inclus˜ao da ind´ustria
nacional, principalmente a relacionada ao setor espacial, como benefici´aria com
a transferˆencia de tecnologia de ponta desenvolvida no IAE e com encomen-
das de fabrica¸c˜ao de componentes nas ´area de mecˆanica de precis˜ao, eletrˆonica,
propuls˜ao, materiais sens´ıveis, entre outros.
O foguete VS-B30 foi acrescido de um primeiro est´agio (com o motor S31) que
se enquadra na categoria dos ”boosters”. Este tipo de motor se caracteriza por
uma queima muito r´apida, produzindo um efeito catapulta no restante do ve´ıculo.
O motor S31 teve seu desenvolvimento iniciado em 2001, e o primeiro vˆoo o correu
em 23 outubro de 2004 no Centro de Lan¸camento de Alcˆanatara.
Como exemplo da participa¸c˜ao industrial, temos a seguir a indica¸c˜ao de algu-
mas empresas e subsistemas (n˜ao integrados) fornecidos para o VSB-30.
APPENDIX B. OS FOGUETES NACIONAIS 113
Figure B.5: Foguete de Sondagem VSB-30
O VLS-1, atualmente, ´e o p rincipal projeto de lan¸cadores satelitizadores, onde
encontra-se na fase de qualifica¸c˜ao em vˆoo. At´e o presente, foram constru´ıdos
trˆes prot´otip os e efetuados dois lan¸camentos a partir do Centro de Lan¸camento
de Alcˆantara (CLA).
O VLS-1 tem a caracter´ıstica de ser ve´ıculo convencional, da classe dos pe-
quenos lan¸cadores, descart´avel, com quatro est´agios, com comprimento de 19
metros, com massa total de 50 toneladas lan¸cado de uma plataforma terrestre, e
um empuxo que chega a 1000 KN. A propuls˜ao inicial ´e garantida por motores a
propelente s´olido, em todos os est´agios, com capacidade de colocar em ´orbita cir-
cular, de 250 a 1000 Km de altitude, sat´elites de 100 a 300 Kg. Abaixo destaca-se
cada est´agio do VLS-1:
APPENDIX B. OS FOGUETES NACIONAIS 114
Figure B.6: Foguete VLS1
Nos lan¸camentos de qualifica¸c˜ao, o VLS foi programado para cumprir a seguinte
trajet´oria:
APPENDIX B. OS FOGUETES NACIONAIS 115
Figure B.7: Foguete VLS1
Nos lan¸camentos dos prot´otipos V 01 e V 02, realizados entre 1997 e 1999,
respectivamente, problemas t´ecnicos impediram o cumprimento da miss˜ao, mas
permitiu a qualifica¸c˜ao em vˆoo de diversos componentes do ve´ıculo. O prot´otipo
V 03, cujo lan¸camento deveria ter ocorrido em 2003, resultou em acidente, em 22
de agosto daquele ano, antes da tentativa de lan¸camento.
O Projeto VLS-1 vˆem contribuindo sensivelmente p ara o desenvolvimento de
tecnologias e da ind´ustria nacional, principalmente a relacionada ao setor espacial,
benefici´aria da transferˆencia de tecnologia de ponta desenvolvida no IAE e com
encomendas de fabrica¸c˜ao de componentes nas ´area de mecˆanica de precis˜ao,
eletrˆonica, propuls˜ao, materiais sens´ıveis, entre outros.
Atualmente a participa¸c˜ao da ind´ustria nacional no Programa de Foguetes de
APPENDIX B. OS FOGUETES NACIONAIS 116
Sondagem aconteceu em v´arias frentes, tais como: no fornecimento de mat´eria-
prima e padonizados,nos servi¸cos d e conforma¸c˜ao mecˆanica e usinagem, na fab-
rica¸c˜ao de prote¸c˜oes t´ermicas, no tratamento t´ermico e envelopes-motores, na
fabrica¸c˜ao de envelopes-motores e componentes de material composto,nos compo-
nentes pirot´ecnicos etc.
A integra¸c˜ao dos sistemas e subsistemas ´e realizada no IAE, mas a¸c˜oes est˜ao
sendo desenvolvidas para estimular o setor produtivo a fornecer sistemas e sub-
sistemas integrados.
Figure B.8: Quadro geral da fam´ılia de foguetes nacionais
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