( PDF ) Compressão de sinais de eletrocardiograma utilizando análise de componentes independentes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANH

CENTRO DE CI

ENCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

PROGRAMA DE P

OS-GRADUAC¸

AO EM ENGENHARIA DE ELETRICIDADE

DENNER ROBERT RODRIGUES GUILHON

COMPRESS

AO DE SINAIS DE ELETROCARDIOGRAMA

UTILIZANDO AN

ALISE DE COMPONENTES

INDEPENDENTES

ao Lu

ıs - MA

2006

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DENNER ROBERT RODRIGUES GUILHON

COMPRESS

AO DE SINAIS DE ELETROCARDIOGRAMA

UTILIZANDO AN

ALISE DE COMPONENTES

INDEPENDENTES

Dissertac¸

ao apresentada ao Programa de P

os-

Graduac¸

ao em Engenharia de Eletricidade da UFMA,

como requisito para a obtenc¸

ao parcial do grau de

MESTRE em Engenharia de Eletricidade.

Orientador: Allan Kardec Duailibe Barros Filho

Universidade Federal do Maranh

ao Lu

ıs - MA

2006

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Guilhon, Denner Robert Rodrigues

Compress

ao de sinais de eletrocardiograma utilizando an

alise de

componentes independentes / Denner Robert Rodrigues Guilhon. - S

ıs, 2006.

Dissertac¸

ao (Mestrado) - Programa de P

os-Graduac¸

ao em

Engenharia de Eletricidade, Universidade Federal do Maranh

ao.

1.Eletrocardiograma-Algoritmo. 2. An

alise de componentes

independentes. 3.KLT. I. T

ıtulo.

CDU 004.421:616.12-073.97

DENNER ROBERT RODRIGUES GUILHON

COMPRESS

AO DE SINAIS DE ELETROCARDIOGRAMA

UTILIZANDO AN

ALISE DE COMPONENTES

INDEPENDENTES

Dissertac¸

ao apresentada ao Programa de P

os-

Graduac¸

ao em Engenharia de Eletricidade da UFMA,

como requisito para a obtenc¸

ao parcial do grau de

MESTRE em Engenharia de Eletricidade.

Aprovada em 24 de fevereiro de 2006

BANCA EXAMINADORA

Allan Kardec Duailibe Barros Filho

Universidade Federal do Maranh

Hani Camille Yehia

Universidade Federal de Minas Gerais

ao Viana da Fonseca Neto

Universidade Federal do Maranh

Ao meu pai, que

a sua maneira sempre torceu

pelo sucesso de cada um de seus ﬁlhos.

A minha m

ae e aos meus irm

aos, pelo

companheirismo em todos os momentos.

A minha esposa, Eliz

angela, pelo apoio

incondicional.

Resumo

A demanda cont

ınua de por sistemas de processamento de eletrocardiogramas de

alto desempenho e baixo custo tem exigido a elaborac¸

ao de t

ecnicas de compress

ao de ECG

cada vez mais eﬁcientes e conﬁ

aveis. O objetivo deste trabalho

e avaliar o desempenho de

um algoritmo baseado em an

alise de componentes independentes (ICA) para a compress

ao de

eletrocardiogramas (ECGs). Para cada um dos sinais de ECG utilizados foram obtidos, atrav

de ICA, subespac¸os vetoriais constru

ıdos a partir de suas func¸

oes base, pois o sinal pode ser

expresso como uma combinac¸

ao linear destas.

O sinal de ECG foi subdividido em m janelas de comprimento ﬁxo, e cada uma

delas foi projetada no subespac¸o, resultando em um vetor w de coeﬁcientes para cada janela.

Um processo de quantizac¸

ao simples foi executado para os m vetores w, segundo n

ıveis de

quantizac¸

ao deﬁnidos, cada um gerando diferentes n

ıveis de erro de reconstruc¸

ao.

Foi observado que o armazenamento dos coeﬁcientes implica na utilizac¸

ao de um

menor espac¸o em mem

oria em comparac¸

aquele utilizado pelas janelas correspondentes

do sinal de eletrocardiograma. A medida tradicionalmente utilizada de erro de reconstruc¸

ao,

diferenc¸a m

edia quadr

atica percentual (PRD), foi empregada para a avaliac¸

ao do algoritmo. Os

resultados foram comparados

aqueles obtidos utilizando a transformada de Karhunen Lo

eve

(KLT).

PALAVRAS-CHAVE: an

alise de componentes independentes, eletrocardiograma, compress

ao,

KLT.

Abstract

The continuing demand for high performance and low cost electrocardiogram

processing systems have required the elaboration of even more efﬁcient and reliable ECG

compression techniques. The objective of this work is to evaluate the performance of an

electrocardiogram (ECG) compression algorithm based on independent components analysis

(ICA). To each of the ECG signal we processed, using ICA, vectorial subspaces composed of

its basis functions were obtained, for the signal can be expressed as a linear combination of

them.

The ECG signal was subdivided into m ﬁxed length windows, and each of them

was projected in the subspace, resulting in a vector w of coefﬁcients for each window. A

simple quantization process was performed over the m vectors w, according to deﬁned levels of

quantization, each one generating different levels of reconstruction error.

It was observed that the storage of the coefﬁcients implies the use of less space in

memory in comparison to that one used by the corresponding windows of the electrocardiogram

signal. The reconstruction error measure traditionally used, the percent root mean-square

difference (PRD), was used into the evaluation of the algorithm. The results had been compared

with those obtained using the Karhunen Lo

eve transform (KLT).

KEYWORDS: independent component analysis, electrocardiogram, KLT.

Agradecimentos

Mais do que a todos os outros, agradec¸o a Deus por ter me permitido chegar ao ﬁm

desta etapa da minha vida.

Agradec¸o tamb

em aos meus pais e irm

aos por terem sempre e invariavelmente me

incentivado a perseverar nos estudos, ainda que algumas vezes eu tenha discordado.

Sou muito grato

a minha inabal

avel esposa, Eliz

angela, que esteve sempre ao meu

lado, mesmo nas piores horas.

Expresso minha gratid

ao aos colegas do Laborat

orio de Processamento da

Informac¸

ao Biol

ogica - PIB e dos corredores: Ana B

arbara, Andr

e Cavalcante, Carla Borba,

Carlos Magno, Ewaldo Santana, Fausto Lucena, Glenda Salgado, Ivan J

unior, Jaciani Pereira,

ucio Campos, Raniere Machado, Renata Feques, Ricardo Robson, entre outros. Tamb

agradec¸o a todos os professores, em especial ao Prof. Eug

enio Medeiros, por sua colaborac¸

paciente, e ao Prof. Allan Kardec Barros, por n

ao desanimar diante da in

ercia dos alunos.

“O problema n

e como ter pensamentos

novos e inovadores, mas como tirar os

velhos da cabec¸a.”

Dee Hock

Sum

ario

Lista de Figuras viii

Lista de Tabelas x

Lista de Abreviac¸

oes xi

1 Introduc¸

ao 1

2 Aspectos B

asicos da Teoria da Informac¸

ao 3

2.1 Fontes de Informac¸

ao e Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Teoria da Codiﬁcac¸

ao de Fontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 An

alise de Componentes Independentes 8

3.1 Hist

orico e Motivac¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Deﬁnic¸

oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Estimac¸

ao de Componentes Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3.1 Estimac¸

ao atrav

es de Maximizac¸

ao de N

ao-Gaussianidade . . . . . . . 11

3.3.2 Negentropia como Medida de N

ao-Gaussianidade . . . . . . . . . . . . 13

4 Eletrocardiogramas 14

4.1 Deﬁnic¸

oes e Forma de Aquisic¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Compress

ao de Eletrocardiogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.1 Transformada de Karhunen-Lo

eve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Compress

ao utilizando An

alise de Componentes Independentes 22

5.1 M

etodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

vii

5.1.1 Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.1.2 Estimac¸

ao das Func¸

oes Bases atrav

es de ICA . . . . . . . . . . . . . . 24

5.1.3 Estimac¸

ao dos Coeﬁcientes da Projec¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Material Utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.4 Discuss

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Conclus

oes 35

Refer

encias 37

viii

Lista de Figuras

2.1 Diagrama de blocos de um sistema de comunicac¸

oes. . . . . . . . . . . . . . . 3

3.1 Segmento de um sinal de eletrocardiograma como combinac¸

ao linear de suas

caracter

ısticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Segmentosde sinal de eletrocardiograma dispostos como combinac¸

ao linear das

func¸

oes base do sinal. (a) Segmentos do ECG. (b) Componentes independentes.

oes base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1 Tri

angulo de Einthoven e as derivac¸

oes DI, DII e DIII. . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Esquema do terminal central de Wilson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3 Esquema das derivac¸

oes aumentadas de Goldberger. . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4 Esquema das derivac¸

oes precordiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.5 Exemplos de registros das 12 derivac¸

oes: (a) derivac¸

oes bipolares e

aumentadas. (b) derivac¸

oes precordiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.6 Estrutura do eletrocardiograma normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.1 Diagrama de blocos para o algoritmo de compress

ao proposto: (a) fase de

treinamento: estimac¸

ao das func¸

oes base. (b) fase de estimac¸

ao dos coeﬁcientes. 22

5.2 Combinador linear de m

ultiplas entradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3 PRD ap

os a reconstruc¸

ao de 15 registros do MIT-BIH NSRD, segundo taxas

de compress

ao ﬁxas, obtidas utilizando PCA (KLT) e ICA. Observar que os

trac¸ados de PCA e ICA t

em a mesma cor (vermelho, azul, verde ou preto) para

taxas de compress

ao iguais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.4 PRD ap

os a reconstruc¸

ao de 15 registros do MIT-BIH SVDB, segundo taxas

de compress

ao ﬁxas, obtidas utilizando PCA (KLT) e ICA. Observar que os

trac¸ados de PCA e ICA t

em a mesma cor (vermelho, azul, verde ou preto) para

taxas de compress

ao iguais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.5 PRD ap

os a reconstruc¸

ao de 15 registros do MIT-BIH VFDB, segundo taxas

de compress

ao ﬁxas, obtidas utilizando PCA (KLT) e ICA. Observar que os

trac¸ados de PCA e ICA t

em a mesma cor (vermelho, azul, verde ou preto) para

taxas de compress

ao iguais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.6 Resultados do algoritmo proposto para as 600 primeiras amostras para o registro

16265. (a) Sinal original. (b) Sinal obtido ap

os a reconstruc¸

ao, com CR = 2.4:1

e PRD = 3.26%. (c) Erro de reconstruc¸

ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.7 Resultados do algoritmo proposto para as 600 primeiras amostras para o registro

SVDB 809. (a) Sinal original. (b) Sinal obtido ap

os a reconstruc¸

ao, com CR =

2:1 e PRD = 4.85%. (c) Erro de reconstruc¸

ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Lista de Tabelas

4.1 Comparac¸

ao entre alguns esquemas de Compress

ao de ECG . . . . . . . . . . 19

5.1 Relac¸

ao de registros utilizados das base de dados. . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2 Taxa de amostragem e resoluc¸

ao das bases de dados. . . . . . . . . . . . . . . 28

Lista de Abreviac¸

oes

AZTEC amplitude zone-time epoch coding

BIH Beth Israel Hospital

CORTES coordinate reduction time encoding system

CR compression ratio

DPCM differential pulse code modulation

ECG eletrocardiograma

ICA independent component analysis

KLT Karhunen-Lo

eve transform

MIT Massachusetts Institute of Technology

MSE mean-square error

MOS mean opinion score

NSRD Normal Sinus Rhythm Database

PCA principal components analysis

PRD percent root mean-square difference

SAPA scan-along polygonal approximation

SVDB Supraventricular Arrhythmia Database

TP turning point

VFDB Malignant Ventricular Arrhythmia Database

WDD weighted diagnostic distortion

1 Introduc¸

O eletrocardiograma

e usado para determinar as condic¸

oes do corac¸

ao atrav

es de

medidas de sua atividade el

etrica. Os sinais eletrocardiogr

aﬁcos dos pacientes podem ser

armazenados com os prop

ositos de diagn

ostico, comparac¸

ao e avaliac¸

ao futura. O conjunto

de in

umeros desses registros comp

oem imensas bases de dados que, por motivos de eﬁci

encia

de armazenamento e transmiss

ao, exigem m

etodos de compress

ao de dados efetivos.

Em ci

encia da computac¸

ao e teoria da informac¸

ao, a compress

ao de dados

e o

processo de convers

ao de uma mensagem em uma representac¸

ao que consuma menos bits (ou

outra medida de informac¸

ao) que a representac¸

ao original. A compress

e poss

ıvel devido

presenc¸a de redund

ancias estat

ısticas nos dados a serem comprimidos.

A compress

ao de dados

e importante pois reduz o consumo de recursos, como

espac¸o em disco ou largura de banda da conex

ao. Entretanto, requer capacidade de

processamento, o que pode se mostrar dispendioso. O projeto de esquemas de compress

inclui compromissos entre v

arios fatores como a capacidade de compress

ao, quantidade de

distorc¸

ao introduzida e recursos computacionais exigidos.

Os esquemas de compress

ao de eletrocardiogramas s

ao classiﬁcados essencialmente

em: compress

ao direta de dados, m

etodos de transformac¸

ao e t

ecnicas de extrac¸

de par

ametros. Trabalhos recentes sobre compress

ao de eletrocardiogramas utilizam

principalmente os m

etodos de transformac¸

ao, tais como a transformac¸

ao de Karhunen-Lo

eve

[OLMOS et al (1996)] e wavelets [BLANCO-VELASCO et al(2004), MIAOU & CHAO (2005) ,

RAJOUB (2002)].

Entretanto, tais trabalhos n

ao exibem com clareza os resultados dos algoritmos

propostos, pois fazem uso de t

ecnicas adicionais de codiﬁcac¸

ao (DPCM, Huffmanequantizac¸

vetorial, por exemplo) [JALALEDDINE et al (1990)]. Isso faz com que tanto a complexidade

dos sistemas necess

arios para reproduzir tais taxas de compress

ao seja aumentada quanto nos

torna incapazes de deﬁnir a eﬁci

encia dos algoritmos propostos sem o uso dessa codiﬁcac¸

ﬁnal.

Neste trabalho propomos um novo m

etodo de compress

ao onde

e criado, para um

dado sinal de ECG, um subespac¸o vetorial atrav

es do qual podemos expressar completamente

o sinal. Para a estimac¸

ao desse subespac¸o

e utilizada a an

alise de componentes independentes.

O sinal

e ent

ao dividido em segmentos, para os quais s

ao calculados coeﬁcientes de tal forma

que todas esses segmentos sejam descritas como combinac¸

oes lineares do subespac¸o vetorial

encontrado.

Com essa t

ecnica, obtemos uma representac¸

ao menos redundante do sinal de ECG,

o que nos permite uma codiﬁcac¸

ao mais eﬁciente. Diferentemente de outros trabalhos, optou-

se por mostrar os resultados do algoritmo sem o beneﬁciamento de t

ecnicas adicionais, sendo

utilizado apenas quantizac¸

ao simples.

Este trabalho est

a organizado da seguinte forma. O Cap

ıtulo 2 apresenta os

elementos essenciais ao trabalho no que se refere

a Teoria da Informac¸

ao, tais como fontes,

entropia e codiﬁcac¸

ao. No Cap

ıtulo 3 s

ao apresentadas as bases de an

alise de componentes

independentes, sua deﬁnic¸

ao e forma de estimac¸

ao de componentes. O Cap

ıtulo 4 trata da

deﬁnic¸

ao de eletrocardiograma, sua forma de aquisic¸

ao e uma breve discuss

ao sobre compress

de ECGs. No Cap

ıtulo 5

e descrito o m

etodo proposto, assim como suafundamentac¸

ao, material

utilizado para teste, apresentac¸

ao e discuss

ao dos resultados obtidos. Finalmente, o Cap

ıtulo 6

mostra as considerac¸

oes ﬁnais sobre o trabalho, assim como propostas de trabalhos futuros.

2 Aspectos B

asicos da Teoria da Informac¸

A Teoria da Informac¸

ao abrange a transmiss

ao e o armazenamento de dados,

tratando da an

alise dos sistemas de comunicac¸

ao [ASH (1990)], tradicionalmente representado

pelo diagrama de blocos mostrado na Figura 2.1. A transmiss

ao de dados atrav

es de um canal

ruidoso

e um problema cl

assico da teoria da informac¸

ao.

O principal resultado dessa teoria

e o fato de que a utilizac¸

ao de estrat

egias

de codiﬁcac¸

ao e decodiﬁcac¸

ao apropriadas tornam poss

ıvel a comunicac¸

ao em canais n

ao-

conﬁ

aveis a taxas menores que a (mas arbitrariamente pr

oximas da) capacidade do canal, com

pequenas probabilidades de erro [WIKIPEDIA (2005d)].

Figura 2.1: Diagrama de blocos de um sistema de comunicac¸

oes.

No esquema da Figura 2.1, a fonte produz as informac¸

oes a serem transmitidas,

enquanto o codiﬁcador associa a cada mensagem gerada pela fonte seq

encias bin

arias mais

adequadas para a transmiss

ao atrav

es do canal. O decodiﬁcador, por sua vez, opera na sa

ıda

do canal, com o objetivo de extrair a mensagem original da mensagem codiﬁcada. Por

em, a

qualidade desta transmiss

e geralmente afetada pela presenc¸a de ru

ıdo.

2.1 Fontes de Informac¸

ao e Entropia

Uma fonte de informac¸

ao pode ser representada em termos de modelos

probabil

ısticos que emitem eventos ou vari

aveis aleat

orias [VITERBI & OMURA (1979)].

Uma fonte discreta sem mem

oria

e caracterizada por sua sa

ıda, a vari

avel aleat

oria S, que toma

elementos de um alfabeto ﬁnito de comprimento N

ϑ = (s

, s

, . . . , s

) , (2.1)

com probabilidades

P (S = s

) = p

k = 1 , 2, . . . , N. (2.2)

A fonte

e dita sem mem

oria, pois a cada unidade de tempo T

emite uma vari

avel

aleat

oria que

e independente de todas as sa

ıdas anteriores e posteriores da fonte. Portanto, se a

qualquer tempo a sa

ıda da fonte

e S = s

, ent

ao a quantidade de informac¸

ao, em bits, contida

na sa

ıda da fonte

e dada por

I(s

) = log





. (2.3)

A quantidade de s

ımbolos necess

arios, por unidade de tempo, para representar a

fonte totalmente e, em seguida, reconstruir a sua seq

encia de sa

ıda, ou seja, a quantidade

edia de informac¸

ao por s

ımbolo da fonte,

e chamada entropia da fonte [HAYKIN (2001),

PAPOULIS & PILLAI (2002), VITERBI & OMURA (1979)], dada por

H(ϑ) =



k=1

P (s

)I(s

) (2.4a)



k=1

log





. (2.4b)

A entropia H(ϑ), de acordo com (2.4b), depende apenas das probabilidades dos

ımbolos do alfabeto ϑ da fonte. Quanto mais aleat

oria, ou seja, quanto mais imprevis

ıvel

e n

ao estruturada for a vari

avel, maior a sua entropia. A entropia da fonte est

a limitada a

0 ≤ H(ϑ) ≤ log

N, onde H(ϑ) = 0 ocorre quando n

ao existe incerteza sobre o s

ımbolo

emitido pela fonte, e H(ϑ) = log

N quando os s

ımbolos emitidos pela fonte s

ao equiprov

aveis.

Na discuss

ao de conceitos de teoria da informac¸

ao,

e bastante

util considerar blocos

de s

ımbolos em vez de s

ımbolos individuais. Cada bloco consiste de n s

ımbolos sucessivos

emitidos pela fonte [HAYKIN (2001)]. O alfabeto da fonte estendida pode ser representado por

. Devido s

ımbolos da fonte discreta sem mem

oria serem estatisticamente independentes, a

probabilidade da fonte de s

ımbolos ϑ

e igual ao produto das probabilidades das N fontes de

ımbolos ϑ que constituem ϑ

. Portanto, podemos escrever

H(ϑ

) = N H(ϑ). (2.5)

2.2 Teoria da Codiﬁcac¸

ao de Fontes

A codiﬁcac¸

ao de fontes

e uma aplicac¸

ao direta da Teoria da Informac¸

ao, pois um

dos problemas em comunicac¸

oes

e a representac¸

ao eﬁciente dos dados gerados por uma fonte

discreta. O processo atrav

es do qual essa representac¸

e obtida

e chamado codiﬁcac¸

ao de

fonte. Um c

odigo

e o mapeamento da sa

ıda da fonte, cujas palavras pertencem ao alfabeto ϑ da

fonte, em palavras c

odigo, de um alfabeto ψ de c

odigo.

Quando a compress

e utilizada para aplicac¸

oes de transmiss

ao de dados, o

objetivo

e velocidade. Velocidade de transmiss

ao depende do n

umero de bits enviados, do

tempo necess

ario para codiﬁcador gerar c

odigo e para o decodiﬁcador recuperar o sinal original.

Quando a aplicac¸

e de armazenamento de dados, a preocupac¸

e a quantidade de mem

oria

utilizada ap

os a compress

ao.

As t

ecnicas de compress

ao de dados t

em sido utilizadas em v

arias

areas de

comunicac¸

ao, tais como fal e imagem. Tais m

etodos s

ao tradicionalmente classiﬁcados em

es categorias principais [JALALEDDINE et al (1990)]:

a) Compress

ao direta de dados;

b) M

etodos de transformac¸

ao;

c) T

ecnicas de extrac¸

ao de par

ametros.

Compress

ao de dados atrav

es de transformac¸

ao ou de m

etodos diretos cont

em dados

transformados ou dados reais do sinal original, podendo ser reconstru

ıdos atrav

es de processo

inverso. A compress

ao direta de dados baseia sua detecc¸

ao de redund

ancias na an

alise direta

das amostras sinal.

a os m

etodos de transformac¸

ao utilizam principalmente a an

alise das distribuic¸

oes

espectrais e de energia para a detecc¸

ao de redund

ancias. Por outro lado, a extrac¸

ao de

par

ametros

e um processo irrevers

ıvel com o qual uma caracter

ıstica ou par

ametro particular

do sinal

e extra

ıdo. Os par

ametros extra

ıdos (e.g. medidas da distribuic¸

ao de probabilidade)

ao ent

ao utilizados para classiﬁcac¸

ao baseada em conhecimento a priori das caracter

ısticas do

sinal.

A compress

ao de dados pode ser tamb

em classiﬁcada em: sem perdas, onde os

dados podem ser exatamente reconstru

ıdos; com perdas, em que s

ao calculados quantos bits

ao necess

arios para reconstruir os dados dentro de um n

ıvel estabelecido de ﬁdelidade. Entre

as t

ecnicas de compress

ao sem perdas est

ao a codiﬁcac¸

ao de Huffman e a codiﬁcac¸

ao aritm

etica.

As com perdas incluem JPEG, MP3, MPEG, etc.

O prop

osito do par codiﬁcador-decodiﬁcador de fonte na Figura 2.1

e reduzir a

ıda da fonte

a representac¸

ao m

ınima, ou seja, a codiﬁcac¸

ao mais eﬁciente. Para se alcanc¸ar

essa representac¸

ao,

e necess

ario conhecer a estat

ıstica da fonte, de forma a criar um c

odigo

unicamente decodiﬁc

avel [ASH (1990), HAYKIN (2001), VITERBI & OMURA (1979)]. Essa

representac¸

ao ser

otima quando sua redund

ancia for m

ınima.

Dada uma fonte discreta sem mem

oria, cujo alfabeto ϑ possua probabilidades p

onde k = 1,...,N. Considerando que para cada s

ımbolo s

gerado

e atribu

ıda uma palavra c

odigo

de comprimento l

bits, deﬁne-se o comprimento m

edio de palavra c

odigo como

L =



k=1

P (s

(2.6a)



k=1

. (2.6b)

Fisicamente, L representa o n

umero m

edio de bits por s

ımbolo da fonte usado no

processo de codiﬁcac¸

ao [HAYKIN (2001)]. Assim, a redund

ancia de uma codiﬁcac¸

ao pode ser

deﬁnida como [LELEWER & HIRSCHBERG (1987)]

R =



−



log





, (2.7)

o que, de acordo com (2.4b) e (2.6a), equivale a

R = L − H(ϑ). (2.8)

Assim, a redund

ancia mede a diferenc¸a entre o comprimento m

edio de palavra

odigo e a quantidade m

edia de informac¸

ao. Se um c

odigo tem o m

ınimo comprimento m

edio

de palavra c

odigo L, para uma dada distribuic¸

ao de probabilidades, ent

ao esse c

odigo tem

redund

ancia m

ınima. O menor valor poss

ıvel de L pode ser determinado atrav

es do primeiro

teorema de Shannon, o Teorema da Codiﬁcac¸

ao de Fontes. Esse teorema aﬁrma que, dada uma

fonte discreta sem mem

oria de entropia H(ϑ), o comprimento m

edio de palavra c

odigo L, para

qualquer esquema de codiﬁcac¸

ao sem distorc¸

ao,

e limitado por [SHANNON (1948)]

L ≥ H(ϑ). (2.9)

Logo, a entropia da fonte H(ϑ)

e a taxa m

ınima, ou ainda, o menor comprimento

de c

odigo pelo qual uma seq

encias de uma fonte digital estoc

astica pode ser transmitida

perfeitamente [PAPOULIS & PILLAI (2002), VITERBI & OMURA (1979)].

A quantidade de compress

ao obtida por um esquema de codiﬁcac¸

ao pode ser

medida pela a taxa de compress

ao (do ingl

es, compression ratio), deﬁnido por

CR =

(2.10)

sendo que M

e o comprimento m

edio da mensagem e L, conforme (2.6a),

e comprimento

edio de palavra c

odigo. Esse valor mostra a comprimento da mensagem original em relac¸

a mensagem codiﬁcada.

3 An

alise de Componentes Independentes

3.1 Hist

orico e Motivac¸

O problema de separac¸

ao de fontes

e antigo na engenharia el

etrica. Existem muitos

algoritmos, dependendo da natureza da mistura dos sinais. O problema de separac¸

ao cega de

fontes

e maior, pois sem o conhecimento dos sinais que foram misturados,

e imposs

ıvel propor

o pr

e-processamento apropriado que os separe de forma

otima. A estrutura geral de an

alise de

componentes independentes foi introduzida por Jean Herault e Christian Jutten em 1986, sendo

mais claramente proposta por Pierre Comon em 1994.

Em 1995 Tony Bell e Terry Sejnowski introduziram um algoritmo r

apido e eﬁciente

de ICA baseado no infomax, um princ

ıpio criado por Ralph Linsker em 1992. Em 1997,

Shun-ichi Amari melhorou este algoritmo usando o gradiente natural, o que foi descoberto

de forma independente por Jean Francois Cardoso. Entretanto, o algoritmo original, com n

ao-

linearidades sigmoidais, era apenas apropriado para fontes super-Gaussianas. Te-Won Lee,

juntamente com Mark Girolami, desenvolveu uma vers

ao ampliada eﬁciente do algoritmo de

ICA baseado no infomax, pr

opria para sinais n

ao-Gaussianos em geral [WIKIPEDIA (2005c)].

Muitas abordagens diferentes foram utilizadas para a separac¸

ao cega de fontes, o

que inclui m

axima verossimilhanc¸a, m

etodo Bussgang baseado em cumulantes e negentropia.

Todas elas s

ao relacionadas

a estrutura do infomax. Por isso, um grande n

umero de

pesquisadores que se dedicaram ao estudo de ICA, vindos de v

arias

areas, convergiram para

um conjunto comum de princ

ıpios e de algoritmos. Para um hist

orico mais completo, ver

[COMON (1994)].

Considere, por exemplo, os registros el

etricos das atividades do c

erebro, dados por

um eletroencefalograma (EEG), consistindo dos potenciais el

etricos em diferentes pontos do

escalpo. Esses potenciais s

ao supostamente gerados pela mistura de componentes impl

ıcitas da

atividade cerebral. Essa situac¸

e semelhante ao problema de cocktail party, pois desejamos

encontrar as componentes originais da atividade cerebral, mas podemos apenas observar as

misturas das componentes. ICA pode revelar informac¸

oes interessantes sobre a atividade

cerebral a partir das suas componentes independentes

Outra aplicac¸

ao importante de ICA

e a extrac¸

ao de caracter

ısticas. Um problema

fundamental em processamento de sinais

e encontrar uma representac¸

ao apropriada para

imagem,

audio e outros formatos de dados quando da compress

ao e da remoc¸

ao de ru

ıdos.

Representac¸

ao de dados pode ser feita atrav

es de transformac¸

oes lineares, logo

e bastante

util

estimar tal transformac¸

ao dos pr

oprios dados, pois nesse caso a transformac¸

ao seria adaptada

ao tipo de dado processado [HYV

ARINEN & OJA (2000), HYV

ARINEN et al (2001)].

3.2 Deﬁnic¸

oes

Considere que sejam observados n segmentos aleat

orios x

, . . . , x

de um

eletrocardiograma, modeladas como combinac¸

ao linear de n func¸

oes base

= ϕ

+ ϕ

+ · · · + ϕ

j = 1, . . . , n (3.1)

e que cada segmento x

, assim como cada componente independente s

seja uma vari

avel

aleat

oria. Em an

alise funcional e suas aplicac¸

oes, um espac¸o de func¸

oes pode ser visto como

um espac¸o vetorial de inﬁnitas dimens

oes cujos vetores bases s

ao func¸

oes e n

ao vetores. Isso

signiﬁca que cada func¸

ao no espac¸o de func¸

oes pode ser representada como combinac¸

ao linear

das func¸

oes base [WIKIPEDIA (2005a)]. As Figuras 3.1 e 3.2 ilustram o proposto acima.

Figura 3.1: Segmento de um sinal de eletrocardiograma como combinac¸

ao linear de suas caracter

ısticas.

Sem perda de generalidade, supomos que tanto as vari

aveis originadas dos

segmentos do ECG quanto aquelas das componentes independentes t

em m

edia zero. Por

conveni

encia, ser

a usada a notac¸

ao vetorial em vez de somas, como aquelas vistas em (3.1),

. . .

(a)

(b)

(c)

Figura 3.2: Segmentos de sinal de eletrocardiograma dispostos como combinac¸

ao linear das func¸

oes base do sinal.

(a) Segmentos do ECG. (b) Componentes independentes. (c) Func¸

oes base.

utilizando letras min

usculas e mai

usculas, ambas em negrito, para representar, respectivamente,

vetores coluna e matrizes. Dessa maneira, podemos reescrever (3.1) das seguintes formas

X = ΦS. (3.2)

O modelo estat

ıstico de (3.2)

e chamado de modelo de an

alise de componentes

independentes.

E preciso estimar tanto a matriz de componentes independentes S quanto a

matriz de func¸

oes base Φ, que tamb

e desconhecida, pois tudo o que se observa s

ao os

segmentos do eletrocardiograma, X.

Para tanto,

e preciso fazer suposic¸

oes t

ao gerais quanto poss

ıvel. Portanto, supomos

que [HYV

ARINEN et al (2001)]:

a) As componentes s

ao estatisticamente independentes;

b) Elas t

em distribuic¸

oes n

ao-gaussianas;

c) Por motivos de simplicidade, a matriz Φ seja quadrada.

O modelo de ICA apresenta algumas ambig

uidades em relac¸

as componentes

independentes. S

ao elas:

1. N

ao se pode determinar suas vari

ancias (energias);

2. N

ao se pode determinar a sua ordem.

Ambas derivam do fato de S e Φ serem desconhecidas. No item 1, existe

ambig

uidade j

a que qualquer escalar α

multiplicando uma das fontes s

pode ser cancelado

dividindo-se a coluna ϕ

correspondente pelo mesmo escalar α

, ou seja



(

)(s

). (3.3)

ı tamb

em ocorre a ambig

uidade de sinal, pois

e poss

ıvel multiplicar uma

componente por −1. J

a no item 2, a ambig

uidade ocorre devido

a possibilidade de se alterar

livremente a ordem dos termos em (3.1), denominando qualquer componente como a primeira.

3.3 Estimac¸

ao de Componentes Independentes

3.3.1 Estimac¸

ao atrav

es de Maximizac¸

ao de N

ao-Gaussianidade

A n

ao-gaussianidade

e um elemento chave para a estimac¸

ao do modelo de ICA,

pois a matriz Φ n

e identiﬁc

avel quando as componentes independentes t

em distribuic¸

gaussiana. Assumimos que x seja um dos segmentos de ECG, conforme a Figura 3.2, distribu

ıdo

de acordo com o modelo de ICA em (3.2) e que todas as componentes independentes s

em distribuic¸

oes iguais. Para estimar as componentes independentes, basta encontrar as

combinac¸

oes lineares corretas de x

, de modo que

s = Φ

−1

x. (3.4)

Assim, podemos expressar uma combinac¸

ao linear de x

por

y = b

x (3.5a)



(3.5b)

= b

Φs, (3.5c)

onde b deve ser determinado. A partir de (3.5c) podemos observar que y

e uma combinac¸

linear de s

, com coeﬁcientes dados por q = b

Φ. Logo obtemos

y = q

s (3.6a)



. (3.6b)

Se b corresponder a uma das linhas da inversa de Φ, ent

ao y ser

a uma das

componentes independentes e, nesse caso, apenas um dos elementos de q ser

a igual a 1,

enquanto todos os outros ser

ao iguais a zero. N

e poss

ıvel determinar b exatamente, mas

podemos estimar seu valor com boa aproximac¸

ao.

Uma forma de determinar b

e variar os coeﬁcientes em q e ent

ao veriﬁcar

como a distribuic¸

ao de y = q

s muda. J

a que, conforme o Teorema do Limite Central

[PAPOULIS & PILLAI (2002)], a soma de duas vari

aveis aleat

orias independentes

e mais

gaussiana que as vari

aveis originais [PAPOULIS & PILLAI (2002)], y = q

s normalmente

e mais gaussiana que qualquer uma das s

e menos gaussiana quando se iguala a uma das s

Nesse caso, apenas um dos elementos q

de q

e diferente de zero [HYV

ARINEN et al (2001)].

Como, na pr

atica, os valores de q s

ao desconhecidos e sabemos, atrav

es de (3.5a) e

(3.6a), que

x = q

s, (3.7)

podemos variar b e observar a distribuic¸

ao de b

x. Portanto, podemos tomar, como b, um vetor

que maximiza a n

ao-gaussianidade de b

x, sendo que esse vetor necessariamente corresponde

a q = Φ

s, vetor esse que possui apenas uma de suas componentes diferente de zero. Isso

signiﬁca que y em (3.5a)

e igual a uma das componentes independentes. Logo, a maximizac¸

da n

ao-gaussianidade de b

x permite encontrar uma das componentes.

3.3.2 Negentropia como Medida de N

ao-Gaussianidade

Uma importante medida de n

ao-gaussianidade

e a negentropia. A deﬁnic¸

ao de

entropia em (2.4a) pode ser generalizada para vetores e vari

aveis aleat

orias cont

ınuas, vindo

a ser chamada entropia diferencial. Tomando um vetor aleat

orio y cuja func¸

ao densidade de

probabilidade

e f(y), temos a entropia diferencial dada por

H(y) = −



f(y) log f (y). (3.8)

Como um dos resultados fundamentais da Teoria da Informac¸

ao, sabe-se que uma

vari

aveis gaussiana tem a maior entropia entre todas as vari

aveis aleat

orias de igual vari

ancia

[HYV

ARINEN et al (2001), PAPOULIS & PILLAI (2002)]. Isso quer dizer que uma vers

modiﬁcada da entropia diferencial pode ser usada como medida de n

ao-gaussianidade. Essa

medida

e chamada negentropia, deﬁnida por

J(y) = H(y

gauss

) − H(y), (3.9)

sendo y

gauss

uma vari

avel aleat

oria de mesma matriz de covari

ancia que y. A negentropia

sempre

e n

ao-negativa, tem valor igual a zero se e somente se y tem distribuic¸

ao gaussiana

invariante para transformac¸

oes lineares invers

ıveis.

Em contraste

as suas qualidades como medida de n

ao-gaussianidade, a negentropia

e de dif

ıcil estimac¸

ao. Por isso,

e necess

aria a utilizac¸

ao de aproximac¸

oes usando, por exemplo,

momentos de alta ordem. Logo

J(y) ≈





kurt(y)

(3.10)

sendo kurt(y), ou seja, a kurtose de y, deﬁnida como o momento de quarta ordem da vari

avel

aleat

oria y, expresso por

kurt(y) = E





− 3(E





)

. (3.11)

A kurtose

e zero para vari

aveis gaussianas e maior que zero para a maioria das

vari

aveis aleat

orias n

ao-gaussianas.

4 Eletrocardiogramas

4.1 Deﬁnic¸

oes e Forma de Aquisic¸

O eletrocardiograma (ECG)

e um teste n

ao-invasivo usado para determinar as

condic¸

oes do corac¸

ao atrav

es das medidas de sua atividade el

etrica [KULICK (2005)]. O ECG

constru

ıdo utilizando as medidas dos potenciais el

etricos presentes nos tecidos card

ıacos. Estas

medidas s

ao obtidas por meio de derivac¸

oes, circuitos formados por dois eletrodos ligados aos

olos positivo e negativo de um galvan

ometro.

As derivac¸

oes DI, DII e DIII (tamb

em chamadas de derivac¸

oes bipolares) foram

introduzidas por Einthoven, que imaginou o corac¸

ao no centro de um tri

angulo eq

uil

atero cujos

ertices estariam representados pelo brac¸o direito (R), brac¸o esquerdo (L) e perna esquerda (F)

[UNIFESP VIRTUAL (2003)], conforme mostrado na Figura 4.1. Essa orientac¸

ao foi baseada

na Segunda Lei de Kirchoff que diz que num circuito fechado, a soma das diferenc¸as de

potencial

e igual a zero.

Figura 4.1: Tri

angulo de Einthoven e as derivac¸

oes DI, DII e DIII.

Wilson introduziu o chamado terminal central (T), cujo potencial

e considerado

nulo em relac¸

ao a todas as regi

oes do corac¸

ao. Os potenciais dos pontos L, R e F s

medidos com refer

encia ao terminal. O terminal de Wilson

e obtido unindo-se os v

ertices

do tri

angulo de Einthoven a um terminal central atrav

es de resist

encias iguais de 5kΩ, como

ilustra a Figura 4.2. Tr

es derivac¸

oes adicionais s

ao obtidas medindo-se o potencial entre o

eletrodo de cada membro e o terminal central de Wilson. Em 1942, Goldberger observou que

esses sinais poderiam ser aumentados omitindo-se a resist

encia do terminal central de Wilson

[MALMIVUO & PLONSEY (1995)], que

e conectado ao eletrodo de medida. As derivac¸

oes

assim obtidas s

ao chamadas aVR, aVL e aVF, mostradas na Figura 4.3.

Figura 4.2: Esquema do terminal central de Wilson.

Figura 4.3: Esquema das derivac¸

oes aumentadas de Goldberger.

Para medir os potenciais pr

oximos ao corac¸

ao, Wilson introduziu as derivac¸

oes

precordiais. Estas derivac¸

oes s

ao obtidas unindo-se o terminal de Wilson, onde o eletrodo

negativo

e colocado, e posicionando o eletrodo explorador, positivo, sucessivamente sobre seis

posic¸

oes da superf

ıcie tor

acica, conforme a Figura 4.4: quarto espac¸o intercostal,

a direita do

esterno (V1); quarto espac¸o intercostal,

a esquerda do esterno (V2); a meio caminho entre os

pontos V2 e V4 (V3); quinto espac¸o intercostal esquerdo, na linha clavicular m

edia (V4); quinto

espac¸o intercostal esquerdo, na linha axilar anterior (V5); quinto espac¸o intercostal esquerdo,

na linha axilar m

edia (V6) [UNIFESP VIRTUAL (2003)].

Figura 4.4: Esquema das derivac¸

oes precordiais.

Portanto, as doze derivac¸

oes registram informac¸

oes de regi

oes particulares do

corac¸

ao. As derivac¸

oes inferiores (DII, DIII e aVF) registram a atividade el

etrica do topo do

ventr

ıculo esquerdo, enquanto as derivac¸

oes laterais (DI, aVL, V5 e V6) registram a atividade

etrica da parede frontal do ventr

ıculo esquerdo. J

a as derivac¸

oes anteriores (V1 a V6)

representam a parede anterior do corac¸

ao, ou seja, a parede frontal do ventr

ıculo esquerdo.

A derivac¸

ao aVR raramente

e usada para ﬁns de diagn

ostico, mas indica se as derivac¸

oes foram

dispostas corretamente no paciente.

A Figuras 4.5(a) e 4.5(b) mostra exemplos dos registros obtidos a partir de cada

uma das derivac¸

oes, onde as diferenc¸as entre os registros mostram, a partir de cada derivac¸

ao,

a seq

encia de polarizac¸

ao e despolarizac¸

ao dos

atrios e ventr

ıculos [KLABUNDE (2005)]. A

Figura 4.6 apresenta um registro eletrocardiogr

aﬁco t

ıpico.

Atrav

es do ECG,

e poss

ıveldiagnosticar [THE BETTER HEALTH CHANNEL (2003)]:

aumento do corac¸

ao; defeitos card

ıacos cong

enitos; arritmias; posic¸

ao anormal do corac¸

ao;

inﬂamac¸

oes (pericardite e miocardite), entre outras.

(a) (b)

Figura 4.5: Exemplos de registros das 12 derivac¸

oes: (a) derivac¸

oes bipolares e aumentadas. (b) derivac¸

oes

precordiais.

Figura 4.6: Estrutura do eletrocardiograma normal.

4.2 Compress

ao de Eletrocardiogramas

O uso cont

ınuo de sistemas computadorizados para o processamento de

eletrocardiogramas, assim como a necessidade de melhor desempenho e menor custo, t

cada vez mais exigido t

ecnicas de compress

ao de ECG conﬁ

aveis, precisas e eﬁcientes. A

import

ancia pr

atica da compress

ao de ECG evidencia-se diante:

1. Do aumento da capacidade de armazenamento de ECGs como base de dados para

veriﬁcac¸

ao posterior;

2. Da possibilidade de transmitir ECG em tempo real, ou off-line para centros de

interpretac¸

ao;

3. Da funcionalidade crescente dos monitores de ECG ambulatoriais.

O objetivo principal da compress

ao de eletrocardiograma, assim como de qualquer

outra t

ecnica de compress

ao,

e a m

axima reduc¸

ao do volume dos dados, mantendo as

caracter

ısticas morfol

ogicas signiﬁcativas do sinal ap

os da sua reconstruc¸

ao. Essa compress

de dados, al

em da diminuic¸

ao de custo, proporciona a diminuic¸

ao do peso e tamanho do

equipamento

As t

ecnicas utilizadas na compress

ao de eletrocardiograma podem ser classiﬁcadas,

conforme a sec¸

ao 2.2, como: compress

ao direta de dados (AZTEC, DPCM, TP, CORTES,

SAPA, FAN), m

etodos de transformac¸

ao (Fourier, Walsh, KLT) e t

ecnicas de extrac¸

ao de

par

ametros [JALALEDDINE et al (1990)].

Os m

etodos diretos de compress

ao de dados baseiam-se na utilizac¸

ao de algoritmos

de predic¸

ao e interpolac¸

ao. Essas t

ecnicas tentam reduzir as redund

ancias presentes nos

dados. As t

ecnicas de transformac¸

ao, de forma geral, envolvem pr

e-processamento do sinal

de entrada por meio de transformac¸

oes lineares ortogonais e a codiﬁcac¸

ao apropriada do sinal

transformado. Para reconstruir o sinal,

e executado o processo inverso, o que resulta em um

determinado grau de erro. As t

ecnicas de extrac¸

ao de par

ametros s

ao processos irrevers

ıveis

nos quais caracter

ısticas particulares do sinal s

ao extra

ıdas para serem utilizadas em uma

classiﬁcac¸

ao baseada no conhecimento a priori das caracter

ısticas do sinal.

As t

ecnicas compress

ao direta de dados t

em se mostrado mais eﬁcientes em

seu desempenho quando comparadas

aquelas de transformac¸

ao, tanto em relac¸

ao ao

tempo de processamento quanto a taxa de compress

ao. Alguns trabalhos, como por

exemplo [BLANCO-VELASCO et al(2004), MIAOU & CHAO (2005) , OLMOS et al (1996),

RAJOUB (2002)], com o intuito de melhorar seus resultados, fazem uso de m

etodos de

codiﬁcac¸

ao adicionais, como DPCM e Huffman.

Os esquemas de compress

ao de ECG que envolvem perdas normalmente reduzem

o volume de dados de forma signiﬁcativa. Entretanto, tais esquemas envolvem a perda

de informac¸

oes possivelmente

uteis para diagn

osticos. Assim, alguns trabalhos preferem

abordar a compress

ao sem perdas, de forma a preservar ﬁelmente as informac¸

oes essenciais

ao diagn

ostico, ainda que dessa forma se tornem menos eﬁcientes [MIAOU & CHAO (2005) ].

em da comparac¸

ao visual, a maioria esquemas de compress

ao tem utilizado a

diferenc¸a m

edia quadr

atica percentual (PRD) como forma de avaliac¸

ao do sinal reconstru

ıdo.

O PRD

e deﬁnido por

PRD =





i=1

[ecg

orig

(i) − ecg

rec

(i)]



i=1

ecg

orig

(i)

∗ 100 (4.1)

onde ecg

orig

e o sinal de ECG original, enquanto ecg

rec

e o sinal recuperado ap

os a

descompress

ao. A Tabela 4.1 mostra a comparac¸

ao de alguns m

etodos de compress

ao de ECG

em relac¸

ao ao CR, deﬁnido em (2.10), e o PRD.

Tabela 4.1: Comparac¸

ao entre alguns esquemas de Compress

ao de ECG

etodo CR PRD (%)

AZTEC 10.0 28.0

CORTES 4.8 7.0

DPCM 2.5 -

FAN/SAPA 3.0 4.0

Fourier 7.4 7

KLT 3.0 -

TP 2.0 5.3

Entretanto, o PRD

e irrelevante do ponto de vista do diagn

ostico, pois n

revela se o algoritmo

e capaz ou n

ao de preservar caracter

ısticas signiﬁcativas do ECG

[JALALEDDINE et al (1990)]. Por esse motivo outras formas de avaliac¸

ao foram utilizadas,

como o WDD (weighted diagnostic distortion) e o teste MOS (mean opinion score), conforme

[ZIGEL et al (2000)].

4.2.1 Transformada de Karhunen-Lo

eve

Em estat

ıstica, an

alise de componentes principais (PCA)

e uma t

ecnica que pode ser

utilizada para simpliﬁcar um conjunto de dados. Formalmente,

e uma transformac¸

ao linear que

escolhe um novo sistema de coordenadas para os dados de tal forma que a maior vari

ancia entre

as projec¸

oes dos dados venha a recair sobre o primeiro eixo (chamado primeiro eixo principal),

a segunda maior vari

ancia no segundo eixo e assim por diante.

O PCA tamb

e chamado de transformada de Karhunen-Lo

eve. Essa

transformada tem a distinc¸

ao de ser a transformac¸

ao linear

otima para manter o subespac¸o que

tem a maior vari

ancia. Entretanto, o custo computacional dessa transformac¸

e muito grande.

Ao contr

ario de outras transformac¸

oes lineares, KLT n

ao tem um n

umero ﬁxo de func¸

oes base.

Considere a combinac¸

ao linear dos elementos de x



k=1

= w

x. (4.2)

Os termos w

, . . . , w

ao coeﬁcientes escalares do vetor n-dimensional w

. O fator y

chamado de primeira componente principal de x, caso a vari

ancia de y

seja a maior poss

ıvel.

a que a vari

ancia depende tanto da norma quanto da orientac¸

ao do vetor de coeﬁcientes w

cresce sem limites

a medida que a norma cresce,

e imposta a restric¸

ao de que a norma de w

seja igual a 1. Assim, procuramos o vetor de coeﬁcientes w

que maximize o crit

erio

P CA

) = E





= E





(4.3a)

= w





(4.3b)

= w

, (4.3c)

sendo que w = 1 e deﬁnindo

= E





. (4.4)

A soluc¸

ao para o problema de PCA

e dada em termos dos autovetores v

, . . . , v

, ordenados de maneira que os autovalores d

, . . . , d

satisfac¸am d

≥ d

≥ · · · ≥ d

. Assim

a soluc¸

ao de (4.3c)

e dada por

= v

. (4.5)

Assim, a primeira componente principal de x

e y

= v

x. O crit

erio deﬁnido em (4.3) pode ser

generalizado para m componentes, sendo m qualquer n

umero entre 1 e n. Igualmente, para a m-

esima componente principal y

= w

x, temos como soluc¸

ao w

= v

e, portanto, y

= v

Seja um conjunto de m func¸

oes base ortonormais w

, . . . , w

tal que o erro m

edio

quadr

atico entre x e sua projec¸

ao seja m

ınimo. Ent

P CA

MSE

= E



x −



i=1

x)w





. (4.6)

Devido

a ortogonalidade dos vetores w

, (4.6) pode ser reescrito como

P CA

MSE

= E



x



− E





i=1



(4.7a)

= tr(C

) −



i=1

(4.7b)



i=m+1

, (4.7c)

ou seja, o valor do MSE

e igual

a soma dos autovalores descartados v

m+1

, . . . , v

Uma importante aplicac¸

ao de KLT

e a compress

ao de dados, onde o vetor x

e o sinal

original que

e aproximado pela expans

ao truncada

x =



i=1

. (4.8)

A partir de (4.7c) sabemos que o erro diminui

a medida que mais termos s

inclu

ıdos (4.8), at

e que se torne nulo quando m = n ou todas as componentes principais s

inclu

ıdas. O problema consiste em escolher m de forma que haja um compromisso entre erro e

taxa de compress

ao.

5 Compress

ao utilizando An

alise de Componentes

Independentes

5.1 M

etodo

Suponha que um sinal de ECG e(t) possa ser dividido em m janelas de comprimento

ﬁxo n. Suponha tamb

em que

e poss

ıvel encontrar, atrav

es de treinamento, um subespac¸o

vetorial Φ(t) = [ϕ

(t), . . . , ϕ

(t)], deﬁnindo as colunas ϕ

(t) como func¸

oes base de e(t). Seja

a projec¸

ao da m-

esima janela de e(t) em Φ(t) deﬁnida por [GUILHON (2005)]

(t) = w

Φ(t), (5.1)

sendo w

os vetores de coeﬁcientes da projec¸

ao. Por motivo de simplicidade, a vari

avel

independente t ser

a omitida daqui em diante. Assim, os coeﬁcientes w

podem ser utilizados

para encontrar uma vers

ao estimada de e

, ou seja,

. Esses coeﬁcientes devem ser calculados

de forma que [e

−

]

, ∀ m, seja minimizado. Esses passos s

ao ilustrados na Figura 5.1

Os coeﬁcientes w

ao, ent

ao, quantizados usando tantos n

ıveisquantos necess

arios

para manter um n

ıvel desejado de precis

ao. O sinal pode ser reconstru

ıdo, conforme (5.1), a

partir de Φ e w

ESTIMAÇÃO

DOS

COEFICIENTES

(t)

1 i

. . .

DIVISÃO EM

JANELAS

. . .

ESTIMAÇÃO

DAS

FUNÇÕES

BASES

(t)

1 i

. . .

(a) (b)

Figura 5.1: Diagrama de blocos para o algoritmo de compress

ao proposto: (a) fase de treinamento: estimac¸

ao das

func¸

oes base. (b) fase de estimac¸

ao dos coeﬁcientes.

5.1.1 Prova

Seja a informac¸

ao m

utua das vari

aveis aleat

orias e

, . . . , e

deﬁnida por

I(e

, . . . , e

) =



i=1

H(e

) − H(e

, . . . , e

), (5.2)

sendo H(e

, . . . , e

) a entropia conjunta de e

, . . . , e

. A informac¸

ao m

utua mede

a depend

encia entre as vari

aveis. Sabendo que n

e poss

ıvel perder informac¸

[HAYKIN (2001)], podemos aﬁrmar que

I(e

, . . . , e

) ≥ 0. (5.3)

Substituindo (5.3) em (5.2), obtemos



i=1

H(e

) ≥ H(e

, . . . , e

). (5.4)

Da mesma forma, seja a informac¸

ao m

utua das vari

aveis aleat

orias w

, . . . , w

deﬁnida por

I(w

, . . . , w

) =



i=1

H(w

) − H(w

, . . . , w

), (5.5)

sendo H(w

, . . . , w

) a entropia conjunta de w

, . . . , w

. Supondo que w

, . . . , w

sejam

independentes, podemos dizer que [HYV

ARINEN et al (2001)]

I(w

, . . . , w

) = 0. (5.6)

Igualmente, substituindo (5.6) em (5.5), obtemos



i=1

H(w

) = H(w

, . . . , w

). (5.7)

Dada a transformac¸

ao linear

= Φw

, (5.8)

tem-se que [PAPOULIS & PILLAI (2002)]

H(e

, . . . , e

) = H(w

, . . . , w

). (5.9)

Logo, a partir (5.4), (5.7) e (5.9), obtemos



i=1

H(e

) ≥ H(w

, . . . , w

) (5.10a)

=⇒



i=1

H(e

) ≥



i=1

H(w

). (5.10b)

Assim, a partir de (2.9) e (5.10b), podemos concluir que



i=1

min

) ≥



i=1

min

), (5.11)

ou seja, o comprimento m

ınimo total de c

odigo necess

ario para representar as m janelas e

e maior que aquele necess

ario para representar os m coeﬁcientes w

. Isso signiﬁca que, em

edia, os coeﬁcientes da projec¸

ao em (5.1) ocupam menos espac¸o em mem

oria que o sinal de

ECG e(t).

5.1.2 Estimac¸

ao das Func¸

oes Bases atrav

es de ICA

Supondo que temos k vari

aveis aleat

orias 

, . . . , 

(segmentos aleat

orios, de

comprimento n, de um sinal de ECG), modelados como uma combinac¸

ao linear de n vari

aveis

aleat

orias a

, . . . , a

, tais que



= ϕ

+ ϕ

+ · · · + ϕ

i = 1, . . . , k, (5.12)

sendo que ϕ

ao coeﬁcientes reais. Deﬁnimos E, Φ e A como

E = [

, . . . , 

] (5.13)

Φ =







· · · ϕ







(5.14)

A = [a

, . . . , a

]. (5.15)

Usando (5.13)-(5.15), podemos reescrever (5.12) como

E = Φ

A. (5.16)

Atrav

es de an

alise de componentes independentes, podemos determinar Φ de forma

que os a

sejam mutuamente estatisticamente independentes. Para tanto, o algoritmo utilizado

foi o FastICA, descrito em [HYV

ARINEN et al (2001)] pelos seguintes passos:

1. Centralizar os dados para tornar sua m

edia nula;

2. Branquear os dados, resultando em z;

3. Escolher p, o n

umero de componentes independentes a estimar;

4. Escolher os valores iniciais para b

, i = 1,...,p, cada um de norma unit

aria. Ortogonalizar

a matriz B como no passo 6 abaixo;

5. Para cada i = 1,...,p, seja

← E



zg(b



− E







sendo g deﬁnido;

6. Ortogonalizar simetricamente a matriz B = (b

, . . . , b

)

fazendo

B ← (BB

)

−1/2

7. Caso o algoritmo n

ao convirja, repetir o passo 5.

Para o algoritmo proposto, foi utilizado p = n. Ap

os a estimac¸

ao de B, podemos

facilmente obter Φ.

5.1.3 Estimac¸

ao dos Coeﬁcientes da Projec¸

Para a estimac¸

ao dos coeﬁcientes w

e utilizado um combinador linear, cuja

estrutura

e mostrada na Figura 5.2. Os termos ϕ

, e

e w

correspondem, respectivamente,

ao vetor de entrada, ao sinal desejado, ao sinal estimado e aos coeﬁcientes da estimac¸

ao. O

sinal estimado

pode ser expresso por



j=0

(5.17a)

= w

(5.17b)

= ϕ

. (5.17c)

Deﬁnindo o erro de estimac¸

ao como sendo a diferenc¸a entre o sinal desejado e o

sinal estimado, e considerando (5.17a)-(5.17c), obtemos

= e

−

(5.18a)

= e

− ϕ

w (5.18b)

= e

− w

. (5.18c)

Figura 5.2: Combinador linear de m

ultiplas entradas.

Supondo ε

, e

e ϕ

como estatisticamente estacion

arios, tomamos o valor esperado de ε

ou seja





= E



− ϕ

)



(5.19a)

= E



− w

− 2e

)



(5.19b)

= E





− w





− 2E





. (5.19c)

Podemos deﬁnir

R = E





(5.20)

P = E [e

] , (5.21)

sendo R a matriz de autocorrelac¸

ao de entrada e P

e a matriz de correlac¸

ao cruzada entre a

entrada e o sinal desejado. Assim, designando o erro m

edio quadr

atico em (5.19c) por ξ e

reescrevendo essa equac¸

ao a partir de (5.20) e (5.21)

MSE  ξ = E





(5.22a)

= E





− w

Rw − 2P

. (5.22b)

Desejamos encontrar a matriz de coeﬁcientes w

= [w

, . . . , w

]

que resulte em

um valor m

ınimo para o MSE. Uma forma de encontrar tais valores

e atrav

es dos m

etodos

gradientes. O gradiente do MSE, deﬁnido por ∇(ξ) pode ser obtido pela diferenciac¸

ao de

(5.22b) [HAYKIN (1996), PRINCIPE et al (2000), WIDROW & STEARNS (1985)], ou seja

∇(ξ) 

∂ξ

∂w



∂ξ

∂w

∂ξ

∂w

· · ·

∂ξ

∂w



(5.23a)

= 2Rw

− 2P. (5.23b)

O erro m

edio quadr

atico m

ınimo

e obtido quando a matriz de coeﬁcientes tem valor

otimo w

∗

, onde o gradiente ∇(ξ)

e igual zero:

∇(ξ) = 0 = 2Rw

∗

− 2P (5.24a)

∗

= R

−1

P. (5.24b)

Para tanto, assumimos que R seja n

ao-singular. A express

ao (5.24b)

e chamada de

equac¸

ao de Wiener-Hopf.

5.2 Material Utilizado

Foram utilizados os 15 primeiros registros das bases MIT-BIH Normal Sinus

Rhythm Database (NSRD), da MIT-BIH Malignant Ventricular Arrhythmia Database (VFDB) e

da MIT-BIH Supraventricular Arrhythmia Database (SVDB) [9], conforme mostrado na Tabela

5.1.

A primeira base de dados inclui registros de pacientes que n

ao apresentaram

arritmia signiﬁcativa, a segunda mostra exemplos de arritmias supraventriculares e a

ultima,

pacientes que tiveram epis

odios de taquicardia ventricular, ﬂutter e ﬁbrilac¸

ao ventricular. Os

registros da NSRD, SVDB e VFDB foram digitalizados utilizando conforme a Tabela 5.2.

5.3 Resultados

O algoritmo proposto foi testado para todos os 45 registros mostrados na Tabela 5.1.

Para cada registro, os trinta minutos iniciais foram utilizados para a estimac¸

ao das func¸

oes base,

enquanto os dois minutos iniciais foram comprimidos usando o algoritmo [GUILHON (2005)].

Ent

ao foram calculados os valores de PRD, conforme deﬁnidos em (4.1), para

valores ﬁxos de CR, sendo este aqui redeﬁnido como

CR =

(5.25)

Tabela 5.1: Relac¸

ao de registros utilizados das base de dados.

Registro NSRD SVDB VFDB

1 16265 800 418

2 16272 801 419

3 16273 802 420

4 16420 803 421

5 16483 804 422

6 16539 805 423

7 16773 806 424

8 16786 807 425

9 16795 808 426

10 17052 809 427

11 17453 810 428

12 18177 811 429

13 18184 812 430

14 19088 820 602

15 19090 821 605

Tabela 5.2: Taxa de amostragem e resoluc¸

ao das bases de dados.

NSRD SVDB VFDB

Amostragem (a/s) 128 128 250

Resoluc¸

ao (bits) 12 10 12

onde N e S representam o n

umero de bits por amostra e a quantidade de amostras,

respectivamente. Os

ındices O e R, por sua vez, indicam o sinal original e o sinal reconstru

ıdo.

a que S

e S

em o mesmo valor, pois n

ao s

ao suprimidas amostras, CR depende apenas dos

comprimentos das palavras c

odigo, ou seja

CR =

(5.26)

Os valores de PRD do m

etodo proposto s

ao mostrados nas Figuras 5.3 - 5.3, onde

ao comparados aos obtidos utilizando o m

etodo KLT [OLMOS et al (1996)]. Cada uma das

ﬁguras exibe quatro pares de trac¸ado (em vermelho, azul, verde e preto), correspondentes a

quatro n

ıveis diferentes de compress

ao, especiﬁcados nas legendas.

As Figuras 5.6 e 5.7 mostram os sinais originais, as suas reconstruc¸

oes ap

os o

processo de compress

ao e os respectivos erros de reconstruc¸

ao, para os registros NSRD - 16265

e SVDB - 809.

5.4 Discuss

Os resultados encontrados se referem aos registros listados na Tabela 5.1. Foram

utilizados 30 minutos de cada registro para encontrar, atrav

es de ICA, um subespac¸o vetorial

que caracterize o sinal, e ent

ao 2 minutos desse mesmo registro foram divididos em janelas de

igual comprimento. Essas janelas foram projetadas no subespac¸o gerado, resultando em um

conjunto de coeﬁcientes dessas projec¸

oes.

Esses coeﬁcientes foram quantizados, armazenados e ent

ao usados para reconstruir

o sinal. As Figuras 5.3 - 5.3 mostram a avaliac¸

ao do erro de reconstruc¸

ao do algoritmo para

ıveis de quantizac¸

ao ﬁxos. Observa-se que os valores de PRD tornaram-se menores

a medida

que a taxa de compress

ao diminu

ıa. Isso evidencia a relac¸

ao entre as perdas de quantizac¸

ao e

o erro na reconstruc¸

ao do sinal. Conseq

uentemente, a obtenc¸

ao de erros pequenos nos limita a

CRs menores, como reﬂexo de um maior n

umero de n

ıveis de quantizac¸

ao.

O m

etodo proposto atua na da remoc¸

ao de redund

ancias. Quanto menos redundante

os dados se tornam, mais eﬁciente

e o c

odigo que o representa [HAYKIN (2001)]. O algoritmo

de an

alise de componentes independentes remove a informac¸

ao m

utua do sinal de ECG de

forma a encontrar o subespac¸o vetorial onde as projec¸

oes das componentes desse sinal sejam

mutuamente independentes.

Portanto, qualquer sinal projetado nesse subespac¸o tem componentes (coeﬁcientes)

tamb

em independentes. Codiﬁcar tais sinais, dado que suas componentes s

ao independentes,

como um todo ou a partir de suas componentes individuais resulta no mesmo comprimento de

odigo [HYV

ARINEN et al (2001)].

Os resultados alcanc¸ados neste trabalho se referem apenas

a reduc¸

ao do n

umero

de bits necess

arios para representar os dados, devido

a sua caracter

ıstica menos redundante.

2 4 6 8 10 12 14

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

PCA 4:1

PCA 3:1

PCA 2.4:1

PCA 2:1

ICA 4:1

ICA 3:1

ICA 2.4:1

ICA 2:1

Figura 5.3: PRD ap

os a reconstruc¸

ao de 15 registros do MIT-BIH NSRD, segundo taxas de compress

ao ﬁxas, obtidas

utilizando PCA (KLT) e ICA. Observar que os trac¸ados de PCA e ICA t

em a mesma cor (vermelho, azul, verde ou

preto) para taxas de compress

ao iguais.

2 4 6 8 10 12 14

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

PCA 3.33:1

PCA 2.5:1

PCA 2:1

PCA 1.67:1

ICA 3.33:1

ICA 2.5:1

ICA 2:1

ICA 1.67:1

Figura 5.4: PRD ap

os a reconstruc¸

ao de 15 registros do MIT-BIH SVDB, segundo taxas de compress

ao ﬁxas, obtidas

utilizando PCA (KLT) e ICA. Observar que os trac¸ados de PCA e ICA t

em a mesma cor (vermelho, azul, verde ou

preto) para taxas de compress

ao iguais.

2 4 6 8 10 12 14

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

PCA 4:1

PCA 3:1

PCA 2.4:1

PCA 2:1

ICA 4:1

ICA 3:1

ICA 2.4:1

ICA 2:1

Figura 5.5: PRD ap

os a reconstruc¸

ao de 15 registros do MIT-BIH VFDB, segundo taxas de compress

ao ﬁxas, obtidas

utilizando PCA (KLT) e ICA. Observar que os trac¸ados de PCA e ICA t

em a mesma cor (vermelho, azul, verde ou

preto) para taxas de compress

ao iguais.

Figura 5.6: Resultados do algoritmo proposto para as 600 primeiras amostras para o registro 16265. (a) Sinal

original. (b) Sinal obtido ap

os a reconstruc¸

ao, com CR = 2.4:1 e PRD = 3.26%. (c) Erro de reconstruc¸

ao.

Figura 5.7: Resultados do algoritmo proposto para as 600 primeiras amostras para o registro SVDB 809. (a) Sinal

original. (b) Sinal obtido ap

os a reconstruc¸

ao, com CR = 2:1 e PRD = 4.85%. (c) Erro de reconstruc¸

ao.

Nenhuma estrat

egia adicional foi empregada para melhorar os resultados [GUILHON (2005)],

ao contr

ario dos trabalhos anteriormente mencionados [BLANCO-VELASCO et al(2004),

MIAOU & CHAO (2005) , OLMOS et al (1996), RAJOUB (2002)], tendo sido usado apenas

um processo de quantizac¸

ao simples. Assim, podemos avaliar a eﬁci

encia do algoritmo, o que

ao pode ser feito facilmente nos referidos trabalhos, j

a que estes n

ao explicitam os resultados

dos seus respectivos algoritmos sem o tratamento adicional.

Para efeito de comparac¸

ao, o KLT [OLMOS et al (1996)] foi selecionado e

simulado, obtendo resultados menos eﬁcientes que o m

etodo proposto sob condic¸

oes similares.

Isso

e mostrado nas Figuras 5.3 - 5.3, de onde podemos observar que os erros obtidos usando a

estrat

egia baseada em ICA s

ao at

e 20 vezes menores do que aqueles encontrados usando KLT.

6 Conclus

oes

Este trabalho prop

oe um m

etodo de compress

ao de eletrocardiogramas usando

alise de componentes independentes. O m

etodo proposto gera uma nova representac¸

do sinal, menos redundante e, por isso, de c

odigo mais eﬁciente. Isso torna poss

ıvel a

diminuic¸

ao do espac¸o exigido para o seu armazenamento. Foram mostrados inicialmente

os aspectos t

eoricos sobre os quais o trabalho se fundamenta, como teoria da informac¸

ao,

codiﬁcac¸

ao eﬁciente, compress

ao, an

alise de componentes independentes e compress

ao de

eletrocardiogramas.

Foram discutidos os resultados da compress

ao de 2 minutos de eletrocardiograma

de 45 pacientes de tr

es bases de dados diferentes (NSRD, SVDB e VFDB). Para 4 taxas

de compress

ao ﬁxas, foram calculados os PRDs de cada um dos 45 registros. Estes foram

comparados

aqueles PRDs obtidos quando da utilizac¸

ao do KLT como forma de construir novas

representac¸

oes dos sinais de ECG. Veriﬁcou-se que o m

etodo proposto gerou erros at

e vinte

vezes menores que o KLT. Isso se reﬂete no erro de reconstruc¸

ao do sinal comprimido utilizando

ICA, n

ao exibindo diferenc¸as visuais signiﬁcativas entre este e o sinal original. Isto indica as

caracter

ısticas morfol

ogicas do eletrocardiograma foram preservadas.

A partir do que foi proposto no presente trabalho, maiores avanc¸os podem ser

vislumbrados no que se refere tanto

a compress

ao de ECG quanto a de outras formas de dados.

O algoritmo aqui mostrado pode ser adaptado para diferentes usos. Pode-se, por exemplo:

- Utilizar ICA como pr

e-processamento para um m

etodo de compress

ao cl

assico de ECG,

buscando assim maiores CRs;

- Criar um crit

erio de eliminac¸

ao de componentes, com o intuito de reduzir o n

umero de

coeﬁcientes a serem armazenados, melhorando a compress

ao;

- Submeter os resultados do algoritmo

a an

alise de um cardiologista para avaliac¸

ao MOS;

- Avaliar o desempenho do algoritmo para diferentes tipos de dados, como

audio, imagens,

ıdeos, etc;

- Adaptar partes do algoritmo para ﬁnalidades diversas, como reconhecimento de padr

oes,

por exemplo.

Este trabalho deu origem ao artigo publicado nos anais do 2005 IEEE Signal

Processing Society Workshop, sob o t

ıtulo ECG Data Compression by Independent Component

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