EUCLIDES
Com quatro âJlgulos planos propostos se podem forma.r inumeráveis
ângulos sólidos, e todos desiguais (Figs. 11, 12, 13 e 14).
Tomem-se os três ângulos planos A, B, C, de sorte que o ângulo A não
seja menor do que qualquer que quisermos dos dois B, é; e os dois A, B,
tomados juntos sejam menores que dois retos. Ache-se pelo problema
primeiro, e pelo seu corolário, o quarto ângulo D, de maneira que dos quatro
ângulos A, B, C, D, três tomados como quisermos sejam maiores que o quarto
que resta; e os dois A, B tomados juntos não sejam menores que os dois C, D,
também tomados juntos. Ache-se depois pelo problema segundo o quinto
ângulo E, de sorte que tanto dos três ângulos A, B, E, como, dos três C, D,E,
dois, quaisquer que sejam, tomados juntos sejam maiores que o terceiro. E
como os dois ângulos A, B tomados juntos são menores que dois retos; os
mesmos ângulos A, B juntos, e tomados duas vêzes, serão menores que
quatro retos. Mas os ângulos A, B Juntamente são maiores que o ângulo E.
Logo, os ângulos A, B juntos, e tomados duas vêzes serão maiores que os três
A, B, E também tomados juntos, os quais por conseqüência serão menores
que os quatro ângulos retos. Mas, dêstes três ângulos A, B, E, dois tornados
como quisermos são maiores que o terceiro. Logo, pela proposição 23, do
Livro XI, poder-se-á fazer um ângulo sólido com três ângulos planos, que
sejam iguais aos ditos três ângulos A, B, E. Faça-se pois, e seja o ângulo
sólido formado no ponto F (Fig. 13.) pelos três ângulos planos GFH, HFK, GFK,
que sejam iguais aos três A, B, E, cada um a cada um. E como os ângulos C, D
tomados juntos não são maiores que os ângulos A, B, também tomados
juntos; os três C, D, E juntos não serão maiores que os três A, B, E também
juntos. Mas já se tem demonstrado que os três A, B, E, tomados juntos, são
menores que quatro ângulos retos. Logo, os três C, D, E juntamente tomados
devem ser menores que quatro retos. Mas dois dêles juntos, e tomados como
quisermos, são maiores que o terceiro. Logo, pela mesma proposição 23, do
Livro XI, poder-se-á formar um ângulo sólido com três ângulos planos, que
sejam iguais, cada um a cada um, aos três C, D, E. Mas pela proposição 26 do
mesmo Livro XI, no ponto F existente na reta FG se pode fazer outro ângulo
sólido, igual ao precedente ângulo sólido, de que temos falado. Faça-se pois, e
o ângulo GFK, que é igual ao ângulo E, seja um dos três ângulos planos que
compreendem êste ângulo sólido, e sejam os outros dois os ângulos KFL, GFL
iguais aos ângulos C; D, cada um a cada um. Logo, no ponto F fica feito um
ângulo sólido compreendido pelos quatro ângulos planos GFH, HFK, KFL, GFL,
que são iguais aos ângulos A, B, C, D cada um a cada um.
Ache-se agora outro ângulo M (Fig. 12.), de maneira que tanto dos três
ângulos A, B, M, como dos três C, D, M, dois tomados juntamente, como
quisermos, sejam maiores que o terceiro que fica. Demonstrar-se-á, como
acima fizemos, que tanto os ângulos A, B, M, como os ângulos C, D, M
tomados juntos são menores que quatro retos. Considere-se (Fig. 14.), pela
proposição 23 do Livro XI, um ângulo sólido no ponto N formado pelos ângulos
planos ONP, PNQ, ONQ iguais aos ângulos A, B, M, cada um a cada um; e no
mesmo ponto N existente na reta ON, pela proposição 26 do mesmo Livro XI;
o outro ângulo sólido feito por três ângulos planos, dos quais um seja o ângulo
ONQ igual ao ângulo M, e os outros dois sejam os ângulos QNR, ONR iguais
ELEMENTOS DE GEOMETRIA 200